Chapitre 1
Espa es de Bana h.
Dans toute la suite, K = R ou C.
1.1 Espa es ve toriels normés, Espa es préhilbertiens.
Dénition 1.1.1. Soit E un K-espa e ve toriel (K-e.v. en abrégé). Une norme sur E est
une appli ation k · k
(H)
(T)
(S)
Le
: E → R+ vériant les propriétés suivantes :
∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, kλxk = |λ| · kxk (Homogénéité).
∀x, y ∈ E , kx + yk ≤ kxk + kyk (Inégalité triangulaire).
∀x ∈ E , kxk = 0 ⇒ x = 0.
ouple (E, k · k) est alors appelé espa e ve toriel normé (evn, en abrégé).
Une semi-norme est une appli ation de E vers R+ qui vérie les propriétés (H) et (T ).
Exemples 1.1.1.
1. La valeur absolue est une norme sur K.
n
2. Plus généralement, les appli ations suivantes dénissent des normes sur K , appelées
n
normes standards de K :
kXk1 =
kXk2
n
X
k=1
|xk | ;
v
u n
uX
= t |xk |2 ;
k=1
kXk∞ =
sup |xk | ;
1≤k≤n
n
où X = (x1 , · · · , xn ) ∈ K .
3. Soient X un ensemble non vide et soit E = B(X, K) l'espa e des fon tions dénies sur
X à valeurs dans K et qui sont bornées. L'appli ation
f 7→ kf k∞ = sup |f (x)|
x∈X
dénit une norme sur X , dite norme de la
onvergen e uniforme sur X .
Démonstration. Seule l'inégalité triangulaire pour la norme k.k2 mérite une démonstration.
Elle fera l'objet du
orollaire 1.1.1 (voir page 2).
1
Il existe une
tiens ;
lasse spé iale d'espa es ve toriels normés formée des espa es appelés préhilber-
e sont les espa es ve toriels normés dont la norme provient d'un produit s alaire.
Dénition 1.1.2. Soit E un K-e.v. Un produit s alaire sur E est une appli ation h·, ·i :
E × E → K vériant les propriétés suivantes :
1. Linéarité par rapport à la première variable :
∀x1 , x2 ∈ E, ∀λ ∈ K, hλx1 + x2 , yi = λhx1 , yi + hx2 , yi,
2. Symétrie hermitienne :
∀x, y ∈ E, hx, yi = hy, xi.
3. Positivité :
∀x ∈ E, hx, xi ≥ 0.
4. Non dégénéres en e :
∀x ∈ E\{0}, hx, xi > 0.
Lemme 1. Soit E un K-espa e ve toriel muni d'un produit s alaire h., .i. Alors, pour tout
(x, y) ∈ E 2 , on a :
|hx, yi|2 ≤ hx, xi · hy, yi (Inégalité de Cau hy-S hwarz),
ave
(1.1)
égalité si, et seulement si x et y sont proportionnels.
Preuve. L'inégalité est évidente si y = 0. Si y 6= 0, é rivons hx, yi sous sa forme polaire :
hx, yi = reiθ , ave r ≥ 0 et θ ∈ [0, 2π[. Alors on a :
∀λ ∈ R, T (λ) = hx − λeiθ y, x − λeiθ yi = λ2 hy, yi − 2λr + hx, xi ≥ 0.
Ainsi le trinme T (λ) est toujours positif, don
son dis riminant réduit
∆′ = r 2 − hx, xi · hy, yi = |hx, yi|2 − hx, xi · hy, yi
est négatif. D'où l'inégalité 1.1.
D'autre part, si x et y sont proportionnels ( e qui in lut le
devient une égalité. Inversement si y 6= 0 et |hx, yi|
2
r
et l'on aurait
une ra ine double λ0 =
hy, yi
as où y = 0), alors l'inégalité 1.1
= hx, xi · hy, yi, alors le trinme T admet
hx − λ0 eiθ y, x − λ0 eiθ yi = 0 ⇒ x − λ0 eiθ y = 0.
Don
x = λ0 eiθ y =
hx, yi
y,
hy, yi
e qui prouve que x est proportionnel à y .
Corollaire 1.1.1. Soit
p E un K-espa e ve toriel muni d'un produit s alaire h., .i. Alors l'appli ation x 7→ kxk =
hx, xi est une norme sur E .
Preuve. Seule l'inégalité triangulaire mérite une démonstration. Or, on a :
kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2ℜhx, yi + hy, yi
≤ hx, xi + 2 |hx, yi| + hy, yi
p
≤ hx, xi + 2 hx, xi · hy, yi + hy, yi (Cau hy-S hwarz)
= kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .
D'où l'inégalité triangulaire.
2