MAVZU: DETERMINANT VA UNING XOSSALARI.
REJA:
I. Kirish.
II. Asosiy qism.
1. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar.
2. Minor va algebraik to’ldiruvchi.
3. Determinantlarning asosiy xossalari.
4. n-tartibli determinant haqida tushuncha.
5. Mavzuga doir misollar yechish.
III. Xulosa.
IV. Foydalanilgan adabiyotlar.
Mundarija.
1
KIRISH.
Ta’lim tizimini isloh qilish va unga hamohang dastur hamda darsliklarni
yaratish mamlakatimizda mustaqillikning dastlabki yillaridanoq zaruriy ehtiyojga
aylandi. Ayni shu maqsadda darslik vazifasini, uning g’oyaviy yo,nalishini
mustaqillik ehtiyoji nuqta’i nazaridan
qayta tahlil
etilib,
bir qator tavsiya
maqomiga ega bo’lgan qo’llanmalar yaratildikim, ular uzluksiz ta’lim tizimidan
darsliklarning dunyoga kelishiga dasturi-amal bo’lib xizmat qildi. Lekin zamon
shiddat bilan rivojlanib bormoqda. Bunda esa matematikaning ahamiyati juda
muhimdir.
Algebra - matematikaning algebraik amallarni o’rganuvchi bo’limi.
Algebraning hozirgi zamon matematikasidagiahamiyati nihoyatta katta. Umuman
hozirgi zamon matematikasi ko’p bo’limlarining “algebraiklashishi” kuchayib
bormoqda. Eng soda algebraik amallar - natural sonlar va musbat ratsional sonlar
ustidagi amallardir. Eng murakkab amallarning esa sanab adog’iga yeta
olmasligimiz ma’lum. Ammo barchasiga javob topish mumkin albatta.
Bugungi mavzuimiz “Determinant va uning xossalari” mavzusida so’z
yuritamiz va ba’zi savollarga javob berish orqali mavzuni yanada yoritamiz.
Determinant — kvadrat matritsalar uchun aniqlovchi funksiya bo‘lib, u matritsaning
xossalari va uning ko‘rsatkichlari haqida muhim ma'lumot beradi.
Mavzuning dolzarbligi. Bilamizki “Determinant va uning xossalari” mavzusi
algebraning asosiy bo’limi hisoblanadi. Determinantlar
ko‘plab sohalarda,
jumladan, fizika, kimyo, iqtisodiyot, kompyuter texnologiyalari, grafika, sun’iy
intellekt va boshqa ko‘plab yo‘nalishlarda keng qo‘llaniladi. “Determinant aslida
bizga nima uchun kerak? Undan qayerda foydalanamiz? Va qanday natija olamiz?”
kabi savollarga mavzuni yoritish davomida javob olamiz. Keltirilgan misollarga
javob topish orqali yanada chuqurroq bilim va ko’nikmalarga ega bo’lamiz.
Maqsad va vazifalari: Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi — determinantlar
va ularning ustida bajariladigan amallarni nazariy jihatdan o‘rganish va ularni
amaliyotda qo‘llash ko‘nikmalarini rivojlantirishdir. Shu maqsadni amalga oshirish
uchun quyidagi vazifalar belgilab olindi:
2
1. Determinant tushunchasi va turlarini aniqlash - determinantlar nima
ekanligini, ularning asosiy xossalarini o‘rganish.
2. Determinantlar ustida bajariladigan amallarni tadqiq qilish – determinantlar
ustida qo‘shish, ko‘paytirish kabi amallarni bajarishni o’rganish.
3. Chiziqli tenglamalar tizimlarini yechishda determinantlardan foydalanish
chiziqli algebra va tizimlarni modellashtirishda determinantlar yordamida
yechimlarni topish usullarini o‘rganish.
4. Amaliy misollar keltirish va ularni yechish — nazariy bilimlarni
mustahkamlash uchun misollarni amaliy ko‘rinishda yechish.
Kurs ishining obyekti: tenglamalar, matritsalar va determinantlar.
Kurs ishining tuzilmasi: Kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro’yhatidan iborat.
3
Ikkinchi tartibli determinantlar.
1- t e o r e m a . Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi
𝒂 𝒙 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 = 𝒃𝟏
{ 𝟏𝟏 𝟏
𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟐 = 𝒃𝟐
(1)
ushbu 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 ≠ 𝟎 shart bajarilganda yagona
(
𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟐 − 𝒃𝟐 𝒂𝟏𝟐
,
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏
𝒃𝟐 𝒂𝟏𝟏 − 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏
)
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏
yechimga ega.
Isbot. Ushbu Δ=𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 , Δ1 = 𝑏1 𝑎22 − 𝑏2 𝑎12 , Δ2 = 𝑏2 𝑎11 −
𝑏1 𝑎21 belgilashlarni kiritamiz. Tizimdagi birinchi tenglamani 𝑎22 ga ikkinchisini
esa (−𝑎12 )ga ko’paytirib, ularni qo’shsak, 𝛥𝑥1 = 𝛥1 tenglikni olamiz. Shunga
o’xshash, birinchi tenglamani (-𝑎21 )ga, ikkinchi tenglamani 𝑎11 ga ko’paytirib,
ularni qo’shsak, 𝛥𝑥2 = 𝛥2 tenglikni olamiz. Natijada Δ≠0 bo’lgani uchun
𝛥
𝑥1 = 1 ,
𝛥𝑥 = 𝛥 ,
𝑎 𝑥 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1 ,
𝛥
{ 11 1
⇒ {𝛥𝑥1 = 𝛥1 , ⇒ {
𝛥
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 ,
2
2
𝑥2 = 2 .
𝛥
Ikkinchi tomondan bevosita hisoblashlar noma’lumlarning topilgan qiymatlari
berilgan tizimni qanoatlantirishni ko’rsatadi:
𝛥
{
𝑥1 = 1 ,
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1 ,
⇒
{
𝛥
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 .
𝑥2 = 2 ,
𝛥
𝛥
Demak,
𝑎 𝑥 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1 ,
{ 11 1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 .
4
𝛥
⇔ {
𝑥1 = 1 ,
𝛥
𝑥2 =
𝛥2
𝛥
,
Bu esa teoremaning isbotidir.■
𝑎11
𝐴 = (𝑎
21
𝑎12
𝑎22 )
kvadrat matritsaga 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 sonni mos qo’yamiz. Bu son A matritsaning
determinant (2-tartibli determinant) deyiladi va det A yoki;
𝑎11
|𝑎
𝑎12
𝑎22 |
21
tarzida belgilanadi.
Bu belgilash tilida 1-t e o r e m a quyidagicha aytiladi: agar
𝑎11
𝛥=|𝑎
21
𝑎12
𝑎22 | ≠ 0
bo’lsa, u holda (1) tizim yagona
(
𝛥1 𝛥2
, )
𝛥 𝛥
yechimga ega, bu yerda 𝛥1 va 𝛥2 larni ham yuqorida kiritilgan belgilashga ko’ra
𝑏 𝑎
𝑎 𝑏
𝛥1 = | 1 12 |, 𝛥2 = | 11 1 |
𝑏2 𝑎22
𝑎21 𝑏2
ko’rinishida yozish mumkin.
a11, a12, a21, a22 sonlar berilgan bo’lsin.
Bu sonlardan tuzilgan a11, a22,- a12, a21 ifoda(son) ikkinchi tartibli
determinant deb ataladi va
𝑎11
|𝑎
21
ko’rinishida yoziladi.
Demak ta‘rifga binoan
5
𝑎12
𝑎22 |
𝑎11
|𝑎
21
𝑎12
𝑎22 | = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
(2)
𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎12 , 𝑎21 - sonlar determinantning elementlari deb ataladi.
Ikkinchi tartibli determinantlar ikkita gorizantal va ikkita vertikal qatorlarga
ega. Gorizantal qatorlarni satrlar, vertikal
qatorlarni ustunlar
deb ataymiz.
Satrlar yuqoridan pastga qarab,ustunlar esa chapdan o’ngga qarab sanaladi. Ikkinchi
tartibli determinantda a11, a12 birinchi satrni, a21, a22 ikkinchi satrni a11, a21 birinchi
ustunni, a12, a22 esa ikkinchi ustunni tashkil etadi. Shuningdek a11, a22 ikkinchi
tartiblidetirminantning bosh diagonalini a12, a21 uning yon (yordamchi)
diagonalini tashkil etadi. Shunday qilib ikkinchi tartibli determinantni hisoblash
uchun bosh diagonal elementlari ko’paytmasidan yon diagonal elementlari
ko’paytmasini ayirish lozim ekan.
1-misol.
|
2
1
3
| = 2 ∗ (−4) − 3 ∗ 1 = −8 − 3 = −11
−4
6
Uchinchi tartibli determinantlar.
Uch noma’lumli uchta tenglamalar tizimini yechish masalasi uchun uchinchi
tartibli determinant tushunchasi olib keladi. Agar
𝑎11
𝐴 = (𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 )
𝑎33
uchinchi tartibli kvadrat matritsa bo’lsa, ushbu
𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 −
−𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
son A matritsaning determinanti deyiladi va det A yoki
𝑎11 𝑎12 𝑎13
|𝑎21 𝑎22 𝑎23 |
𝑎31 𝑎32 𝑎33
tarzida belgilanadi. Yuqorida keltirilgan determinant qiymatini hisoblash qoidasi
esda qolishi uchun quyidagi Sarryus jadvallari ishlatiladi:
bu
yerdagi
(+)
• •
|• •
• •
•
• •
•| (+) |• •
•
• •
•
•| (−)
•
jadvalda
determinantning
musbat
ishorali
birhadlari
ko’payuvchilarining olinishi qoidasi: birhadga ko’paytuvchi sifatida kiruvchi
matritsalarning elementlari kesmalar bilan birlashtirilgan. Determinantning manfiy
ishorali hadlari uchun bunday qida jadvalda berilgan.
2 – t e o r e m a . Agar
7
𝑎11 𝑎12 𝑎13
|𝑎21 𝑎22 𝑎23 | ≠ 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33
bo’lsa, u holda
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1
{𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3
(3)
chiziqli tenglamalar tizimi yagona
(
𝛥1 𝛥2 𝛥3
, ,
)
𝛥 𝛥 𝛥
yechimga ega, bu yerda
𝑏1 𝑎12 𝑎13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
∆= |𝑎21 𝑎22 𝑎23 |, ∆1 = |𝑏2 𝑎22 𝑎23 |,
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏3 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑏1 𝑎13
𝑎11 𝑎12 𝑏1
∆2 = |𝑎22 𝑏2 𝑎23 |, ∆3 = |𝑎21 𝑎22 𝑏2 |
𝑎31 𝑎32 𝑏3
𝑎33 𝑏3 𝑎33
I s b o t . agar (3) tizimning birinchi tenglamasining har ikkala tomonini
𝑎22
|𝑎
32
𝑎23
𝑎33 |
𝑎12
|𝑎
32
𝑎13
𝑎33 |
𝑎12
|𝑎
𝑎13
𝑎23 |
ga, ikkinchisini
ga, uchinchisini
22
ga, ko’paytirsak va ularni qo’shsak, 𝛥𝑥1 = 𝛥1 tenglikni olamiz. Agar birinchi
tenglamani
8
𝑎21
− |𝑎
31
𝑎23
𝑎32 |
𝑎11
|𝑎
31
𝑎13
𝑎33 |
𝑎11
-|𝑎
𝑎13
𝑎23 |
ga, ikkinchisini
ga, uchinchisini
21
ga, ko’paytirsak va ularni qo’shsak, 𝛥𝑥2 = 𝛥2 tenglikni olamiz. Nihoyat, birinchi
tenglamani
𝑎21
|𝑎
31
𝑎22
𝑎32 |
𝑎11
-|𝑎
𝑎12
𝑎32 |
ga, ikkinchisini
31
ga, uchinchisini
𝑎11
|𝑎
𝑎12
𝑎22 |
21
ga, ko’paytirsak va ularni qo’shsak, 𝛥𝑥3 = 𝛥3 tenglikni olamiz. Olingan
tengliklarga asosan
𝑥1 =
𝑥2 =
𝛥1
𝛥
𝛥2
𝛥
𝛥3
(3)
{𝑥3 = 𝛥
tenglamalar tizimi (2) tizimning natijasidir. Ikkinchi tomondan (3) tizimdagi
qiymatlarni (2) tizimga olib borib qo’yilsa, uning qanoatlanishi bevosita
tekshiriladi. Bu (2) va (3) tizimlarning ekvivalentligini ko’rsatadi.
Isbotlangan 1- va 2- teoremalar n noma’lumli n ta tenglamaning yagona
yechimga ega bo’lishi haqidagi Kramer teoremasining xususiy hollaridir.
𝑎22
𝑎11 |𝑎
32
𝑎23
𝑎21
|
−
𝑎
|
12 𝑎
𝑎33
31
9
𝑎23
𝑎21
|
+
𝑎
|
13 𝑎
𝑎33
31
𝑎22
𝑎32 |
ifoda yordamida aniqlanadigan son uchinchi tartibli determinant deyiladi va
𝑎11 𝑎12 𝑎13
|𝑎21 𝑎22 𝑎23 |
𝑎31 𝑎32 𝑎33
kabi belgilanadi. Bu yerdagi a11, a12, …, …, …, a33 sonlar ma‘lum sonlar.
Uchinchi tartibli determinant uchta satr, uchta ustun va to’qqizta elementlarga
ega. Ta‘rifga binoan:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
𝑎21 𝑎23
𝑎21 𝑎22
|
−
𝑎
|
|
+
𝑎
|
|𝑎21 𝑎22 𝑎23 | = 𝑎11 |𝑎
12
13
𝑎33
𝑎31 𝑎33
𝑎31 𝑎32 |
32
𝑎31 𝑎32 𝑎33
(4)
2-misol.
Hisoblansin.
1 2 3
|−1 3 4|
2 5 2
Yechish: (4) formulaga binoan;
1 2 3
3 4
−1 3
−1 4
| − 2|
| + 3|
|=
|−1 3 4| = 1 |
5 2
2 2
2 5
2 5 2
= 6 − 20 − 2 ∗ (−2 − 8) + 3 ∗ (−5 − 6) = −14 + 20 − 33
= 20 − 47 = −27
Determinantning har bir elementi ikki xonali indeksga ega bo’lib ulardan
birinchisi shu element turgan satrning nomerini, ikkinchisi shu element turgan
ustunning nomerini bildiradi. Masalan a32 element uchinchi satr va ikkinchi
ustunda turadi. a11, a22, a33 uchinchi tartibli determinantning bosh diagonalini, a13,
a22, a31 uning yon diagonalini tashkil etadi.
10
Minor va algabraik to’ldiruvchi.
Determinantni biror elementining minori deb, determinantdan bu element
turgan satr va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan determinantga aytiladi.
Matritsadagi minor - bu ma'lum bir elementni o'z ichiga olgan kichik matritsa.
Minorlar determinantlarni hisoblashda muhim rol o'ynaydi. aik (i, k = 1,2,3)
elementning minori Мik kabi belgilanadi. Uchinchi tartibli determinant
elementlarining minorlari ikkinchi tartibli determinant bo’ladi. Berilgan n -tartibli
determinantning ixtiyoriy k ta satr va k ta ustunining kesishgan joylaridagi
elementlardan hosil qilingan k -tartibli determinantga k -tartibli minor deyiladi.
Determinantning i1 , i2 , ..., ik satrlari va j1 , j2 , ..., jk ustunlari kesishmasidan
tuzilgan
minor
2 ,..., jk
M i1j1, i,2j,...,
ik
kabi
belgilanadi.
Xususan,
determinantning
elementlarini ham birinchi tartibli minorlar deb qarash mumkin.
Tanlab olingan k ta satr va k ta ustunlarni o‘chirib tashlash natijasida hosil
bo‘lgan ( n  k ) -tartibli determinantga, berilgan minorning to‘ldiruvchi minori
j1 , j2 ,..., jk
j , j ,..., j
2
k
deyiladi. M i11, i2 ,...,
minorning to‘ldiruvchi minori M i1 , i2 ,..., ik
ik
kabi belgilanadi.
Masalan:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
∆= |𝑎21 𝑎22 𝑎23 |
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎21 𝑎23
determinant a12 elementining minori 𝑀12 = |𝑎 𝑎 | son, а23 elementining minori
31 33
𝑎11 𝑎12
𝑀23 = |𝑎 𝑎 | son bo’ladi. Chunki М12 ni topish uchun Δ determinantning
31 32
birinchi satri va ikkinchi ustuni М23 ni topish uchun esa shu а23 element turgan
determinantning ikkinchi satri va uchinchi ustuni o’chiriladi. Algebraik to'ldiruvchi
- bu berilgan matritsaning determinantini hisoblashda minorlardan foydalanishda
kelib chiqadigan qo'shimcha koeffitsientdir. Agar siz biror elementning minorini
olish uchun qator yoki ustunlarni olib tashlasangiz, algebraik to'ldiruvchi ushbu
11
minoraga ko'paytiriladi. Bu koeffitsient asosan minus belgilari bilan bog'liq va
quyidagi formulaga asosan hisoblanadi: Аik=(-1)i+kМik (i,k=1,2,3) son аik
elementning algebraik to’ldiruvchisi deb ataladi. Masalan Δ determinantning а32
elementining algebraik to’ldiruvchisi
𝑎11
𝐴32 = (−1)3+2 𝑀32 = − |𝑎
21
bo’ladi.
12
𝑎13
𝑎23 | = 𝑎13 𝑎21 − 𝑎11 𝑎23
Determenantning asosiy xossalari.
1.
Determinantning satrlarini unga mos ustunlar bilan almashtirish
natijasida determinantning qiymati o’zgarmaydi, ya‘ni;
𝑎11
|𝑎21
𝑎31
2.
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎11
𝑎23 | = |𝑎12
𝑎33
𝑎13
𝑎21
𝑎22
𝑎23
𝑎31
𝑎32 |
𝑎33
Determinantning ikkita satr (yoki ustun)larini o’rinlarini almashtirish
natijaida determinantning ishorasi o’zgaradi xolos, ya‘ni
𝑎11
|𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎11
𝑎23 | = − |𝑎21
𝑎33
𝑎31
𝑎13
𝑎23
𝑎33
𝑎12
𝑎22 |
𝑎32
Bu yerda berilgan determinantning ikkinchi va uchinchi ustunlari o’rin almashgan.
3. Ikkita bir xil satr (yoki ustun)ga ega bo’lgan determinant 0 ga tengdir.
4. Determinantning biror satr (yoki ustun) elementlarini biror λ songa
ko’paytirish determenantni shu songa ko’paytirishga teng kuchlidir:
𝑎11
|𝑎21
𝑎31
𝜆 𝑎12
𝜆 𝑎22
𝜆 𝑎32
𝑎11
𝑎13
𝑎23 | = 𝜆 |𝑎21
𝑎31
𝑎33
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
Determinantning bu xossasiga asoslanib 3-xossani biroz kuchaytirish mumkin.
Ya‘ni ikkita proporsional satr(yoki ustun)larga ega bo’lgan determinant nolga
tengdir.
5. Biror satr (yoki ustun) elementlari nollardan iborat determinant nolga
tengdir.
6. Determinantning biror satr (yoki ustun) elementlarini biror songa
13
ko’paytirib boshqa bir satr (yoki ustun) ning mos elementlariga qo’shish natijasida
determinantning qiymati o’zgarmaydi, ya‘ni;
𝑎11
|𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎11
𝑎23 | = |𝑎21
𝑎33
𝑎31
𝑎12 + 𝑚𝑎12
𝑎22 + 𝑚𝑎22
𝑎32 + 𝑚𝑎32
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
Bu yerda berilgan determinantning uchinchi ustun elementlari m songa
ko’paytirilib ikkinchi ustinning mos elementlariga qo’shildi.
7. Determinantning biror satr(yoki ustun) elementlarini ularning algebraik
to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shsak yig’indi determinantning o’ziga teng
bo’ladi, ya‘ni:
𝑎11
𝛥 = |𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
determinant uchun:
∆= 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + 𝑎13 𝐴13 ,
∆= 𝑎21 𝐴21 + 𝑎22 𝐴22 + 𝑎23 𝐴23 ,
∆= 𝑎31 𝐴31 + 𝑎32 𝐴32 + 𝑎33 𝐴33 ,
∆= 𝑎11 𝐴11 + 𝑎21 𝐴21 + 𝑎31 𝐴31 ,
∆= 𝑎12 𝐴12 + 𝑎22 𝐴22 + 𝑎32 𝐴32 ,
∆= 𝑎13 𝐴13 + 𝑎23 𝐴23 + 𝑎33 𝐴33 .
tengliklar o’rinlidir.
Determinantning bunday yozilishi uning satr yoki ustun elementlari bo’yicha
yoyilmasi deyiladi. Masalan, keltirilgan tengliklardan birinchisi Δ determinantning
birinchi satr elementlari bo’yicha yoyilmasini ifodalasa, oxirgisi uni uchinchi ustun
elementlari bo’yicha yoyilmasini ifodalaydi.
Biz yuqorida keltirgan uchinchi tartibli determinantning ta‘rifi uning birinchi
satr elementlari bo’yicha yoyilmasi ekan.
Izoh. Determinantning qaysi qatorida nol ko’p bo’lsa, uni o’sha qator
elementlari bo’yicha yoyish ma‘quldir.
14
2 3
3-misol. |1 2
4 7
4
5|
6
determinant hisoblansin.
Yechish. Determinantning birinchi ustun elementlarini –2 ga ko’paytirib,
ikkinchi ustunning mos elementlariga qo’shamiz, keyin hosil bo’lgan
determinantning birinchi ustun elementlarini –5 ga ko’paytirib, uchinchi ustunning
mos elementlariga qo’shamiz. U holda
2
|1
4
3
2
7
2
4
5| = |1
4
6
−4 + 3
−2 + 2
−8 + 7
−10 + 4
2
−5 + 5 | = |1
−20 + 6
4
−1
0
−1
−6
0 |
−14
hosil bo’ladi. Oxirgi determinantni ikkinchi satrida nollar ko’p bo’lganligi sababli
uni o’sha satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz:
2
|1
4
−1
0
−1
−6
−1
0 | = (−1)2+1 ∗ |
−1
−14
−6
| = −(14 − 6) = −8
−14
8. Determinantning biror satr (yoki ustun) elementlarini unga parallel boshqa
bir satr (yoki ustun)ning mos elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga
ko’paytirib qo’shsak yig’indi nolga teng bo’ladi.
Bu xolda ikkita bir xil satr (yoki ustun) da ega bo’lgan determinant hosil
bo’ladi.
Masalan, а11 А21+а12 А22+ а13 А23=0.
Bu yerda Δ determinantning birinchi satr elementlari ikkinchi satrning mos
elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shildi.
Keltirilgan barcha xossalarning ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar
uchun to’g’riligiga bevosita determinantlarni hisoblash yo’li bilan ishonch hosil
qilish mumkin.
15
n-tartibli determinant haqida tushuncha.
n-tartibli determinant deb n ta satr, n ta ustun va n2 ta elementlarga ega bo’lgan
kabi belgilanuvchi songa aytiladi
Yuqorida keltirilgan determinantning barcha xossalari istalgan tartibli
determinantlar uchun ham o’rinlidir. Tartibi to’rt va undan yuqori bo’lgan
determinantlarni determinantning 7-xossasidan foydalanib tartibini pasaytirish
orqali hisoblanadi.
Masalan, to’rtinchi tartibli determinantni (2.2) formulaga o’xshash
formula yordamida hisoblash mumkin.
Bu yerdagi uchinchi tartibli determinantlar а11, а12, а13, а14 elementlarning
minori deyiladi. аik(i,k=1,2,3,4,) elementning algebraik to’ldiruvchisini Aik orqali
belgilasak (2.3) tenglikni
Δ= а11 А11+ а12А12+ а13 А13+ а14 А14 ko’rinishida yozish mumkin.
Bu formula to’rtinchi tartibli determinantni uning birinchi satr elementlari
bo’yicha yoyilmasidir. Bunaqa yoyilmani har bir satr va ustun elementlari uchun
16
yozib to’rtinchi tartibli determinantni hisoblash uchun 8 ta formulalarni hosil
qilishimiz mumkin.
4-misol.
determinant hisoblansin.
Yechish. Determinantning xossalaridan foydalanib A determinantning biror
satri (yoki ustuni) ni ba‘zi elementlarini 0 ga aylantiramiz determinantning birinchi
satrini –3 va 2 ga ko’paytirib uning uchinchi va to’rtinchi satrlarning mos
elementlariga qo’shamiz. U holda
hosil bo’ladi. Buning oxirgi ustunida nollar ko’p bo’lganligi uchun uni o’sha ustun
elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz:
−2 1
4
𝐴 = 1(−1)
∗ |−6 −7 −2| =
8
8 −3
−7 −2
−6 −2
−6 −7
= −(−2) ∗ |
|+1∗|
|−4∗|
|=
8 −3
8 −3
8
8
= 2 ∗ (21 + 16) + (18 + 16) − 4 ∗ (−48 + 56) = 76
1+4
17
Mavzuga doir misollar.
 5-misol. |
3
5
4
| Ikkinchi tartibli determinantni hisoblang.
4
Yechish. Ikkinchi tartibli determinantni hisoblashda quyidagi formuladan
𝑎11
𝑎12
𝑎22 | = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 .
foydalanamiz: |𝑎
21
|
 6-misol.
|
3
5
4
| = 3 ∗ 4 − 4 ∗ 5 = 12 − (−20) = 32
4
−4
|
−3
−4
−3
1
 7-misol. |2
2
2
| ni hisoblang.
4
2
| = −4 ∗ 4 − 2 ∗ (−3) = −16 − (−6) = −16 + 6
4
= 10
0
1
3
3
4| uchinchi tartibli determinant hisoblansin.
5
Yechish. Uchinchi tartibli determinantni hisoblashda Sarryus jadvalidan
foydalanib hisoblaymiz:
1
|2
2
0
1
3
3
4| = 1 ∗ 1 ∗ 5 + 0 ∗ 4 ∗ 2 + 2 ∗ 3 ∗ 3
5
− (3 ∗ 1 ∗ 2 + 0 ∗ 2 ∗ 5 + 1 ∗ 4 ∗ 3)
= 5 + 0 + 18 − (6 + 0 + 12) = 23 − 18 = 5
 8-misol. Yuqoridagi misol yordamida determinantning 1-xossasini isbotlang.
18
1
|2
2
0
1
3
3
4|
5
Yechish: Determinantning satrlarini unga mos ustunlar bilan almashtirish
natijasida determinantning qiymati o’zgarmaydi.
1
|2
2
0
1
3
3
4| = 5
5
Xossaga ko’ra, 1-ustunni mos ravishda 3-qator bilan almashtiramiz.
1
|2
2
0
1
3
3
1 2 2
4| = |0 1 4| =
5
3 3 5
= 1 ∗ 1 ∗ 5 + 0 ∗ 3 ∗ 2 + 2 ∗ 4 ∗ 3 − (2 ∗ 1 ∗ 3 + 1 ∗ 4 ∗ 3
+ 0 ∗ 2 ∗ 5 = 5 + 0 + 24 − (6 + 12 + 0) = 29 − 18 = 11
 9-misol. Ikkinchi xossani quyidagi misol orqali ifodalang.
3
|−1
2
0
1
1
3
−3|
5
Yechish: birinchi 7-misol kabi hisoblab determinantning qiymatini topamiz.
3
|−1
2
0
1
1
3
−3| =
5
= 3 ∗ 1 ∗ 5 + 0 ∗ (−3) ∗ 2 + (−1) ∗ 1 ∗ 3 − (3 ∗ 1 ∗ 2
+ (−1) ∗ 0 ∗ 5 + 3 ∗ (−3) ∗ 1 =
= 15 + 0 − 3 − (6 + 0 − 9) = 12 − (−3) = 15
Determinantning ikkita satr (yoki ustun)larini o’rinlarini almashtirish
natijasida determinantning ishorasi o’zgaradi xolos, ya‘ni;
19
0
|1
1
3
−1
2
3
−3| =
5
= 0 ∗ (−1) ∗ 5 + 3 ∗ (−3) ∗ 1 + 1 ∗ 2 ∗ 3
− (3 ∗ (−1) ∗ 1 + 0 ∗ (−3) ∗ 2 + 1 ∗ 3 ∗ 5)
= 0 − 9 + 6 − (−3 + 0 + 15) = −3 − 12 = −15
Demak, haqiqatdan
3
|−1
2
0
1
1
3
0
−3| = − |1
5
1
20
3
−1
2
3
−3|
5
XULOSA.
Mazkur kurs ishi davomida determinant va uning xossalari haqidagi nazariy
bilimlar o‘rganildi hamda ularning matematik va amaliy ahamiyati tahlil qilindi.
Matritsa, ikkinchi tartibli determinant, uchinchi tartibli va n-tartibli determinant
hamda ularning asosiy tushunchalari, xossalari va ular bilan ishlash usullari ko‘rib
chiqildi. Shuningdek, determinantning algebraik to’ldiruvchilari haqida hm bilimga
ega bo’ldik.
Determinant — kvadrat matritsaning bir o'lchovli xususiyatlarini ifodalovchi
son. U ko'plab matematik va amaliy masalalarda muhim rol o'ynaydi, masalan,
chiziqli tenglamalar tizimini yechishda, geometrik transformatsiyalarni tahlil
qilishda va boshqa ko'plab sohalarda. Determinantlar matematikada juda muhim
tushunchadir va ularni bilish chiziqli algebra va boshqa sohalarda keng qo'llaniladi.
Kelajakda determinantlar nazariyasi va amallari yanada chuqur tadqiqotlar
orqali kengaytirilishi, ularning zamonaviy ilm-fan va texnologiyadagi qo‘llanilish
doirasini kengaytirishga asos bo‘lishi kutilmoqda. Shu orqali ilmiy va texnik
muammolarni hal qilishda determinantlarning ahamiyati oshadi.
Hayotimiz davomida har sohada matematikaning ahamiyti beqiyosdir.
Shunday
ekan
matematik,
jumladn
takomillashtirishimiz zarur.
21
algebraik
bilimlarimizni
yanada
Adabiyotlar ro’yxati.
1. “Algebra va sonlar nazariyasi kursi” J. Hojiyev, A. S. Faynleyb. Toshkent.
“O’ZBEKISTON”__2001
2. Oliy matematika (darslik. qo'llanma). Nikulina L. S., Stepanova A. A.
3. Vafoyev R. H. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va
kasb-hunar kollejlari uchun o`quv qo`llanma. Toshkent, “O’QITUVCHI”,
2001-yil.
4. Abduhamidov A. U. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey
va kasb-hunar kollejlari uchun sinov darsligi. Toshkent, “O’QITUVCHI”,
2001 yil.
5. Antonov K. P. va boshqalar. Elementar matematika masalalari to`plami.
Toshkent, “O’QITUVCHI”, 1975-yil va keyingi nashrlari.
6. Internet tarmoqlari:
Adpi.arm.bot
Yu.com
Elektron kutubxona.uz
22
MUNDARIJA:
1.
KIRISH…………………………………………………..2
2.
Ikkinchi tartibli determinantlar………………………….4
3.
Uchinchi tartibli determinantlar…………………………7
4.
Minor va algebraik to’ldiruvchi………………………..11
5.
Determinantlarning asosiy xossalari…………………..12
6.
n-tartibli determinant haqida tushuncha……………….15
7.
Mavzuga doir misollar yechish………………………..18
8.
Xulosa…………………………………………………21
9.
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………….22
23