Derivada – Escola Naval
1. EN– A derivada f ’ (1) da função f (x) = log 2 x3 é:
(A) ln 2
(B) 0
(C) 3
(D) 3 ln 2
(E) 3/ ln 2.
2. EN– Se
⎧| x − 2 |
⎪
x
f (x) = ⎪⎨ 1
⎪ 2
⎪x
⎩1
se x ≥ 1
se 0 ≤ x < 1
se − 1 < x < 0
se ≤ −1
tem-se que:
III III IV -
f (x) só não é derivável para x = –1, x = 0 e x = 1.
f (x) só não é contínua para x = 0.
f (x) só não é derivável para x = –1, x = 0, x = 1 e
x = 2.
f (x) é contínua em todo o seu domínio mas não é derivável para x = 1, x = 0 e x = –1.
Pode-se concluir que:
(A) somente a afirmação I é falsa;
(B) todas as afirmações são verdadeiras;
(C) as afirmações II e III são verdadeiras;
(D) as afirmações I e III são falsas;
(E) somente a afirmação IV é verdadeira.
3. EN– A derivada de ordem n da função f(x) = x . ex para x = 1 é:
(A) e
(B) ne
(C) 2ne
(D) nen
(E) (n + 1) e.
4. EN– O brilho de uma fonte luminosa de intensidade I a uma distância d é dada por
origem e outra de intensidade B no ponto (1, 0). A razão
(A) 1
5. EN–
(B)
Se
(A) cos2e
1
3
(C)
2
3
(D)
1
8
I
d2
. Suponha que haja uma fonte de intensidade A na
A
1
que torna o ponto ( , 0) o menos iluminado de todos é:
B
3
3
(E) .
2
f ’ (x) = cos2 (ex+1), f (0) = 3, g (x)= f (x – 1) e g-1 é a inversa de g, o valor de (g-1)1 (3) é:
(B) sec2e
(C) tge
(D) e3
(E) 1.
2
−
6. EN– Os valores mínimo e máximo de f(x) = xe x no intervalo [ 0 1 ] são respectivamente:
(A) 0 e
1
e
(B) 0 e
1
2e
(C)
1
e
e
1
2e
(D) 0 e
1
2e 4
(E) 0 e e.
7. EN– O valor de a para o qual as curvas de equações y = a – x2 e xy = 16 são tangentes é:
(A) 12
(B) –4
(C) 4
(D) 2
(E) 1.
8. EN– Para x > 0, o valor mínimo de xx é obtido para x igual a:
(A)
1
10
(B)
1
3
(C)
1
e
(D)
1
2
9. EN–A equação da reta que é tangente à curva y =
(A) y = –5x + 17
(E) 1.
2x + 3
e que contém o ponto (3, 2) é:
x −1
(B) y = –4x + 14 (C) y = –3x + 11
(D) y = –2x + 8
(E) y = –x + 5.
10. EN– No intervalo [−1, 2 ] o menor valor e o maior valor da função f(x) = x4 – 3x2 + 1 são, respectivamente:
(A) –1,25 e 5
(B) –1,25 e 1
(C) –1 e 1
(D) –1 e 5
(E) 1 e 5.
11. EN– Considere o gráfico da função f, dado abaixo, onde f é contínua
(A) ∀ x ε R e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0;
(B) e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0;
(C) ∀ x ε R, x ≠ 0 e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0 e x ≠ 2;
(D) e derivável ∀ x ε R, x ≠ 2;
(E) ∀ x ε R, x ≠ 2 e x ≠ 0 e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0.
⎛π⎞
12. EN– Se f(x) = tg3 2x podemos afirmar que f” ⎜ ⎟ é igual a
⎝8⎠
(A) 0
(B) 72
(C) 144 (D) 96
(E) 24.
13. EN– A derivada da função f(x) =
(A) f ’(x) =
1
(B) f ’(x) =
ex
x
ex
x −1
ex
é:
(C) f ’(x) =
1− x
(D) f ’(x) =
ex
x
e 2x
(E) f ’(x) = x +
1
e 2x
14. EN– As tangentes à curva de equação y = x2 que passam pelo ponto P (–2, 0) formam ângulo α. Determine tg α.
(A) 1
(B) 2
15. EN– Se f(x) =
(A) –0,4
x
2
x +1
(B) – 0,12
(C) 4
(D) 6
(E) 8.
(D) 0,12
(E) 0,4 .
então f’(2) vale
(C) 0
16. EN– A área do triângulo formado pelos eixos coordenados e pela tangente à curva y = 4x2 no ponto (1, 4) vale:
1
(A) 8;
(B) 4;
(C) 2;
(D) 1;
(E) .
2
17. EN– A menor distância entre um ponto da parábola y = 1 − x 2 e a origem é igual a:
(A) 1
(B)
7
4
(C)
1
4
(D)
3
2
(E)
3
.
4
18. EN– Sejam a, b ∈ IR tal que P(x) = 2x3 – 3x2 + ax + b e P’(x) a derivada de P(x). Sabendo-se que P(x) + 3 é divisível por (x + 1) e
P’(x) – 5 é divisível por (x – 2) então (a + b) é igual a:
(A) –14
(B) –12
(C) –10
(D) –8
(E) –6.
19. EN– A derivada de y = 1/2 tg2 x + ln (cos x) é
(A) sen2 x – tg x
(B)
cos x − 1
cos 2 x
(C) tg3 x
(D)
sen x − cos 2 x
cos 3 x
(E) 0.
20. EN– Considere r a reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto (1, f(1)). Sejam f(1) = 3 e f’(1) = 2.Se r
intercepta o gráfico da função g(x) = x2 – 3x + 7 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2) então os valores de y1 e y2 são respectivamente
(A) 1 e 2
(B) 2 e 3
(C) 3 e 5
21. EN– A derivada da função
(A)
x2
x2 +1
(B)
(D) 5 e 7
⎛1⎞
⎟
⎝x⎠
f(x) = arctg ⎜
é
(C)
−1
1+ x2
1
1+ x2
(E) 7 e 9.
−1
x (1 + x 2 )
(E)
(D) ] 0, + ∞ [
(E) ] 0, 1[.
(D)
2
1
.
x
22. EN– A função f(x) = x e1/x é decrescente no intervalo
(A) ] 1, ∞ [
(B) ] – ∞ , 1[
(C) ] – ∞ , 0[
23. EN– Seja
y = x3 – 3x + 5, onde x = g(t), g’(2) = 3 e g(2) = 4. A derivada de y no ponto t = 2 é
(A) 9
(B) 27
(C) 45
(D) 90
(E) 135.
24. EN–A reta S passa pelo ponto (3, 0) e é normal ao gráfico de f(x) = x2 no ponto P(x, y). As coordenadas x e y de P, são,
respectivamente:
1
1
25
1
1
5
(A) 2 e 4;
(B)
(C) 1 e 1
(D)
(E)
.
e
e
e
4
9
4
2
3
2
25. EN– Na confecção da raia de tiro para navios da Marinha, verificou-se que o alvo ideal seria um retângulo. As dimensões de um
retângulo de área máxima com base no eixo x e vértices superiores sobre a parábola y = 12 – x2 pertencem ao intervalo:
(A) [2, 5]
(B) [0, 3]
(C) ]3, 7]
(D) [4, 9[
(E) [0, 6[.
26. EN– Sejam f e g funções definidas em R e deriváveis em x = 0, tais que f(0) = 3, f’(0) = 4, g(0) = 1 e g’(0) = -1.
Então
'
⎛ 2f + g ⎞
⎜⎜
⎟⎟ (0)
⎝ f −g ⎠
é igual a:
(A) 21/6
(B) 7/5
(C) –21/4
(D) –21/2.
27. EN– De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais os pontos A e B têm
coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), enquanto P encontra-se no semi-eixo positivo das abscissas. Se o ângulo A P̂ B de
observação é máximo, então a abscissa de P é igual a:
(A) 20 2
(B) 20 3
(C) 20
(D) 15
(E) 10.
28. EN– Seja g ( x ) uma função real, derivável até a 3ª ordem para todo x real, tal que g(0) = g' (0) = 0 e g" (0) = 16 . Se f ( x ) uma
função real definida por:
⎧ g(x )
se x ≠ 0
⎪
,
f ( x ) = ⎨ 2x
⎪0
se x = 0
⎩
então f ' (0) é igual a:
(A) 16.
(B) 12.
(C) 8.
(D) 4.
(E) 0.
29. EN– A função real f ( x) satisfaz a seguinte equação:
x
⎛x
⎞
sen ⎜ + f ( x ) ⎟ = x f ( x ) − + 3 .
2
⎝2
⎠
Considere a função g, definida por g(x) = k
f (x)
com x ≠ 0 e k ∈ R . Sabendo que f(2) = −1 , podemos afirmar que o valor da
x
constante real k para que g’(2) = f’(2) é:
(A)
1
.
2
(B)
3
.
4
(C)
4
.
3
(D)
8
.
5
(E) 2.
se x ≤ −1
⎧⎪a x + b
seja derivável para todo x é:
3
⎪⎩a x + x + 2b se x > −1
30. EN– O valor das constantes reais a e b para as quais a função real g (x) = ⎨
1
e b =1.
2
1
(B) a = 1 e b = − .
2
1
(C) a = − e b = 1 .
2
1
(D) a = −1 e b = − .
2
1
e b = −1
(E) a =
2
(A) a =
2
2
31. EN– A equação da reta que passa pelo centro da curva 4x + y − 4x + 4y = 0 e é normal ao gráfico da função real
f (x) = arc sen x
no ponto de abscissa x =
(A) 2 y − 2 x + 3 = 0 .
1
é:
2
(B) y − x + 3 = 0 .
(C) y + x + 1 = 0 .
(D) 2 y + 2 x + 3 = 0 .
(E) y − x − 1 = 0 .
32. EN– Sabendo-se que y (x) é uma função derivável em todo o seu domínio e que y ′(x) = e
3x
+
1
1
e
+
x 2 + 2x + 2 1 − 3x
π 4
+ , pode-se afirmar que y (−1) é igual a:
4 3
y (0) =
(A)
e −3 − 2 ln 2
.
3
(B)
4e −3 + 5
.
4
(C)
e −3 + 3 ln 2 + 3
.
3
(D)
3 − 2 ln 2 + e −3
.
3
(E)
e −3 − ln 2 + 3
.
3
33. EN– Um recipiente cilíndrico que deve ter 1 m 3 de volume vai ser construído nas oficinas do Arsenal de Marinha, para atender
a um dos navios da MB. Na lateral e na tampa, será utilizado um material cujo preço é R$ 1.000,00 por m 2 e, no fundo, um material
cujo preço é R$ 2.000,00 por m 2 . Que dimensões deve ter o recipiente, para que a MB tenha a menor despesa possível?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
3
3π
1
3
3π
1
3
π 3
1
3
3
3π
1
3π
m e
m e
m e
1
3π 2
1
m.
1
3
9π 2
m e3
9
m.
π
m e
m.
3
9π π 2
m.
1
3
π 9π 2
m.
34. EN– Um depósito de óleo diesel existente em uma das organizações militares da MB tem a forma de um prisma hexagonal
regular com altura de 2 metros. Sabendo-se que o comprimento da diagonal maior do depósito vale
menor diagonal da base, pode-se dizer que o valor da função f, definida por f (x) = 2x
do depósito vale:
(A) 2
6
3
.
9
(B) 2
6
3
243
. (C) 2
.
9
9
(D) 2
6
243
.
5
(E) 2
6
243
.
3
−1
3
2 30
do comprimento da
9
no número V representante do volume
2
*
35. EN– Sejam f e g duas funções reais e deriváveis tais que f ′(x) = sen (cos x ) e g(x) = f (x ) , x ∈ R + . Pode-se afirmar que
g ′(x 2 ) é igual a:
(A) 2 x sen (cos x 2 ) .
(B) 2 x 2 cos (cos x 2 ) .
(C) 2 x 2 sen (cos x 2 ) .
(D) 2 x cos (cos x ) .
(E) 2 x 2 sen (cos x ) .
36. EN– Considere y = f(x) uma função rela, de variável real, derivável até 2ª ordem e tal que f ′′(x) + f(x) = 0 , ∀ x ∈ R .
Se g(x) = f ′(x) sen x − f(x) cos x + cos 2 x , então:
sen 2x
+ C.
2
g(x ) = C .
cos 2 x
g(x ) =
+C.
2
cos 2x
g ( x ) = 2f ( x ) −
+C.
2
g(x ) =
(A)
(B)
(C)
(D)
g ( x ) = sen x + cos 2 x + C .
(E)
5
3
37. EN– A função real f, de variável real, é definida por f(x) = ln (x + x + x) . Podemos afirmar que a equação da reta normal ao
gráfico de função inversa f −1 no ponto
(ln 3 , f −1 (ln 3)) é:
(A) y − 3x + 3 ln 3 = 1 .
(B) 3y − x + ln 3 = 3 .
(C) y + 3x − ln 27 = 1 .
(D) 3y + x − ln 3 = −3 .
(E) y + 3x − ln 3 = 3 .
2
38. EN– Sejam L 1 a reta tangente ao gráfico da função real f(x) = e x −3x no ponto P( −1 , f( −1)) e L 2 a reta tangente ao gráfico da
função y = f ′(x) no ponto Q( −1 , f ′( −1)) . A abscissa do ponto de interseção de L 1 e L 2 é:
(A) −
1
.
9
(B) −
1
.
3
(C)
1
.
9
(D)
1
.
3
(E)1.
39. EN– O valor mínimo relativo de função f, de variável real x, definida por f(x) =
(
(A) a + 2 b
)2 .
(B) a 2 + b 2 .
(C) 2 ab .
(D)
( a + b )2 ,
(E) 2 (a + b) 2 .
a2
sen 2 x
+
b2
cos 2 x
, onde a , b ∈ R * , vale:
40. (EN) A equação
=0 ,
dy
43
vale
dx
48
d2y
dx
2
=
1
sen5x cos3x
3
é dita uma
equação
diferencial ordinária de 2a ordem. Quando x
e y vale 2. O
volume do cilindro circular reto, cujo raio da base mede 2 2 m e cuja altura, em metros, é o valor de y quando x = 4π,
vale em metros cúbicos
(A) 4π(2π + 1)
(B) 8π(4π + 1)
(C) 4π(4π + 2)
(D) 16π(π + 1)
(E) 16π(2π + 1).
1 ⎞
⎛1
41. (EN) Cada termo de uma seqüência de números reais é obtido pela expressão ⎜ −
⎟ com n ∈ IN*. Se ƒ(x) = x
⎝ n n +1⎠
⎛x⎞
⎛ 301
⎞
arcsen ⎜ ⎟ e Sn é a soma dos n primeiros termos da seqüência dada, então ƒ’ ⎜
S300 ⎟ vale
⎝6⎠
⎝ 100
⎠
2 3+π
6
6 5 + 5π
(B)
30
3 + 2π
(C)
18
(A)
4 3 + 3π
12
3+π
(E)
.
3
(D)
42. (EN) Considere a função real f, de variável real, definida por ƒ(x) = x + ln x, x > 0. Se g é a função inversa de f,
então g”(1) vale
(A) 1
(B) 0,5
(C) 0,125
(D) 0,25
(E) 0.
Gabarito
1- E
2- B
3- E
4- D
5- B
6- B
7- A
8- B
9- A
10- A
11- C
12- C
13- C
14- E
15- B
16- D
17- D
18- B
19- C
20- D
21- E
22- E
23- E
24- C
25- D
26- C
27- A
282930- C
31- D
32- D
33- D
34- C
35- C
36- C
37- C
38- A
39- D
40- E
41- A
42- C