,Y ; I
‘,,
‘..,*
Introduccióna~la
Termodinámica en m
Ingeniería Química
QUINTA EDICIÓN
Smith l Van Nes
Introducción a la
Termodinámica en
Ingeniería Química
Introducción a la
Termodinámica en
Ingeniería Química
Quinta edición
J.M. Smith
Profesor Emérito de Ingeniería Química
University of California, Davis
H. C. Van Ness
Profesor Emérito de Ingeniería Química
Rensselaer Polytechnic Iris titu te
M. M. Abbott
Profesor de Ingeniería Química
Rensselaer Polytechnic Institute
TRADUCCIÓN:
Edmundo G. Urbina Medal
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Autónoma Metropolitana
lztapalapa
María del Consuelo Hidalgo Mondragón
Química
Universidad Nacional Autónoma de México
Doctorado en Química
REVISIÓN TÉCNICA:
Ing. José Clemente Reza García
Profesor titular de Química general y Operaciones unitarias
Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
Instituto Politécnico Nacional
McGRAW-HILL
MÉXICO l BUENOS AIRES l CARACAS. GUATEMALA l LISBOA l MADRID l NUEVA’YORK
PANAMÁ l SAN JUAN l SANTAFÉ DE BOGOTÁ. SANTIAGO l SÁO PAULO
AUCKLAND l HAMBURGO l LONDRES l MILÁN l MONTREAL l NUEVA DEHLI l PARíS
SAN FRANCISCO l SINGAPUR l ST. LOUIS l SIDNEY l TOKIO l TORONTO
Gerente de producto: Alfonso García Bada Mena
Supervisor de edición: Mateo Miguel García
Supervisor de producción: Zeferino García García
INTRODUCCIÓN A LA TERMODINÁMICA EN INGENIERÍA QUÍMICA
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor
DERECHOS RESERVADOS 0 1997 respecto a la quinta edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
Cedro Núm. 512, Col. Atlampa
06450 México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana., Reg. Núm. 736
ISBN 970-10-1333-6
(ISBN 968-422-287-4 cuarta edición)
Translated of the fifth edition in English of
INTRODUCTION TO CHEMICAL ENGINEERING THERMODYNAMICS
Copyright 0 1996, by McGraw-Hill,
Inc.
ISBN 0-07-059239-X
3456789012
L.I.-97
Impreso en México
Esta obra se termino de
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Programas Educativos S. A. de C V
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Delegación Cuauhtémoc
C. P 06650 México, D. F
Empresa Certificada por el
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y Certificación A C. bajo la Norma
,ISO-9002:
1994/NMX-CC-04:
1995
con el Núm de Registro RSC-046
Se tiraron 1200 ejemplares
90765432 18
Printed in Mexico
CONTENIDO
Acerca de los autores ..........................................................................
Acerca del libro ....................................................................................
Lista de símbolos .................................................................................
Prefacio ..............................................................................................
1 Introducción .................................................................................
1.1
El ámbito de la termodinámica.. ..................................................
ix
xi
xv
xix
Dimensiones y unidades ..............................................................
Fuerza .........................................................................................
Temperatura ...............................................................................
Cantidades definidas; volumen ....................................................
Presión ........................................................................................
Trabajo .......................................................................................
Energía. ......................................................................................
Calor ..........................................................................................
.
2
3
5
7
7
10
11
17
Primera ley y otros conceptos básicos ..............................................
2.1
Experimentos de Joule ................................................................
2.2
Energía interna ...........................................................................
Primera ley de la termodinámica .................................................
2.3
2.4
Estado termodinámico y funciones de estado ..............................
Entalpía ......................................................................................
2.5
2.6
Proceso de flujo continuo en estado estable .................................
Equilibrio ....................................................................................
2.7
2.8
Regla de las fases ........................................................................
2.9
El proceso reversible ...................................................................
2.10 Procesos con V y P constantes .....................................................
2.11 Capacidad calorífica ....................................................................
21
21
21
22
24
29
31
38
39
41
47
49
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
3
Propiedades volumétricas de los fluidos puros ..................................
Comportamiento PVT de sustancias puras ..................................
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Ecuaciones del virial ...................................................................
. ................
El gas ideal ................................................................
Aplicación de las ecuaciones del virial ..........................................
Ecuaciones cúbicas de estado ......................................................
Correlaciones generalizadas para gases .......................................
Correlaciones generalizadas para líquidos ...................................
Teoría molecular de fluidos. .........................................................
Segundo coeficiente virial a partir de funciones de potencial .......
1
1
59
59
66
70
87
91
97
107
110
118
vi
CONTENIDO
4
Efectos caloríficos .........................................................................
4.1
Efectos del calor sensible.. ...........................................................
4.2
Energía interna de los gases ideales: punto de vista microscópico ....
4.3
Calores latentes de sustancias puras ...........................................
4.4
Calor estándar de reacción ..........................................................
4.5
Calor estándar de formación .......................................................
4.6
Calor estándar de combustión .....................................................
4.7
Dependencia de AiT con respecto A la temperatura. ....................
4.8
Efectos caloríficos de las reacciones industriales .........................
132
133
141
144
146
148
151
152
155
5
Segunda ley de la termodinámica ....................................................
5.1
Enunciados de la segunda ley.. ....................................................
5.2
Máquinas térmicas ......................................................................
5.3
Escalas de temperatura termodinámica ......................................
5.4
Temperatura termodinámica y la escala de gas ideal ...................
5.5
Entropía .....................................................................................
5.6
Cambios de entropía de un gas ideal.. ..........................................
5.7
Enunciado matemático de la segunda ley ....................................
5.8
Tercera ley de la termodinámica ..................................................
5.9
Entropía desde el punto de vista microscópico.. ...........................
171
172
1.73
177
178
181
185
189
195
195
6
Propiedades termodinámicas de los fluidos ......................................
6.1
Relaciones entre propiedades para fases homogéneas ..................
6.2
Propiedades residuales ................................................................
Sistemas de dos fases ..................................................................
6.3
6.4
Diagramas termodinámicos.. .......................................................
6.5
Tablas de propiedades termodinámicas .......................................
6.6
Correlaciones generalizadas de propiedades para gases ...............
203
204
2 16
222
226
229
23 1
7
Termodinámica de procesos de flujo ................................................
7.1
Ecuaciones de balance.. ...............................................................
7.2
Flujo en conductos de fluidos compresibles .................................
7.3
Turbinas (expansores) .................................................................
7.4
Procesos de compresión.. .............................................................
249
250
269
282
289
8
Producción de energía a partir de calor ...........................................
8.1
La planta de energía de vapor .....................................................
8.2
Motores de combustión interna ...................................................
El motor de Otto .........................................................................
8.3
8.4
El motor Diesel ...........................................................................
8.5
La planta de energía de turbina de gas.. ......................................
8.6
Motores a chorro; motores de cohete ...........................................
305
306
3 19
320
323
325
330
9
Refrigeración y licuefacción ...........................................................
El refrigerador de Carnot ............................................................
9.1
9.2
Ciclo de compresión de vapor ......................................................
33 6
337
339
vii
Contenido
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
10
Comparación de ciclos de refrigeración ........................................
Selección del refrigerante ............................................................
Refrigeración por absorción ........................................................
Bomba de calor ...........................................................................
Procesos de licuefacción ..............................................................
Termodinámica de soluciones: teoría ...............................................
10.1 Relación de propiedades fundamentales ......................................
10.2 Potencial químico como criterio para el equilibrio de fases ..........
10.3 Propiedades parciales ..................................................................
10.4 Mezclas de gases ideales ..............................................................
10.5 Fugacidad y coeficiente de fugacidad para una especie pura ........
10.6 F’ugacidad y coeficiente de fugacidad para especies en solución ...
10.7 Correlaciones generalizadas para el coeficiente de fugacidad .......
10.8 La solución ideal .........................................................................
10.9 Propiedades en exceso .................................................................
10.10 Enlace de hidrógeno y complejación por transferencia
de carga ......................................................................................
10.11 Comportamiento de las propiedades en exceso
de mezclas líquidas ......................................................................
l l Termodinámica
de
soluciones:
aplicaciones ......................................
340
345
347
350
35 1
359
360
361
363
376
380
386
391
398
400
404
407
419
Propiedades de fase líquida a partir de datos EVL ......................
Modelos para la energía de Gibbs en exceso .................................
Cambios de propiedades en el mezclado .......................................
Efectos caloríficos en los procesos de mezclado ...........................
Bases moleculares para el comportamiento de mezclas ................
419
440
445
453
468
1 2 EVL a presiones bajas y moderadas ................................................
482
482
483
484
494
498
520
526
11.1
ll .2
11.3
11.4
ll .5
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
Naturaleza del equilibrio .............................................................
Regla de las fases. Teorema de Duhem ........................................
EVL: comportamiento cualitativo ...............................................
Formulación gama/fi de EVL ......................................................
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja ........................
Cálculos de evaporación instantánea ...........................................
Sistemas soluto( l)/disolvente( 2) .................................................
1 3 Propiedades termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones
de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1
Propiedades de los fluidos a partir de las ecuaciones
viriales de estado. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Propiedades de los fluidos a partir de las ecuaciones
.
cúbicas de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...~................................
13.3 Propiedades de los fluidos a partir de las correlaciones
del tipo Pitzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
536
537
542
543
547
CONTENIDO
Vlll
14 Tomas en equilibrio de fases .........................................................
Equilibrio y estabilidad ...............................................................
(ELL) .................................................
Equilibrio líquido/líquido
Equilibrio vapor/líquido/líquido (EVLL) .....................................
Equilibrio sólido/líquido (ESL) ...................................................
Equilibrio sólido/vapor (ESV) .....................................................
Adsorción en equilibrio de gases en sólidos ..................................
EVL mediante simulación molecular ...........................................
573
573
581
590
601
607
613
633
15 Equilibrio en las reacciones químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
639
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
640
Coordenada de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicación de los criterios de equilibrio a las reacciones químicas . . . . 645
Cambio de la energía estándar de Gibbs y la constante
647
de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Efecto de la temperatura sobre la constante de equilibrio . . . . . . . . . . . 650
Evaluación de las constantes de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
Relación de las constantes de equilibrio con la composición . . . . . . . . . 656
Conversiones de equilibrio para reacciones individuales . . . . . . . . . . . . . . 661
Regla de las fases y teorema de Duhem para los sistemas reactivos . 676
Equilibrio en reacciones múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .680
...
16 Análisis
16.1
16.2
16.3
termodinámico
de
procesos ..............................................
Cálculo del trabajo ideal ..............................................................
Trabajo perdido.. .........................................................................
Análisis termodinámico de procesos de flujo en estado uniforme .....
700
700
705
708
A
Factores de conversión y valores de la constante de los gases . . . . . . . . 723
B
Propiedades de las especies puras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
725
C
Capacidades caloríficas y cambios de propiedades de formación . . . .
728
D
Programas de computadora representativos .................................
Funciones definidas.. ...................................................................
Resolución de problemas: ejemplo con MathCad@’ .......................
733
733
736
E
Tablas de correlación generalizada de Lee/Kesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
741
F
Tablas de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
759
G
Método UNIF’AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
832
H
Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
840
D. 1
D.2
Índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
845
ACERCA DEL LIBRO
Introducción a la termodinámica en ingeniería química quinta edición, presenta
una exposición completa de los principios de la termodinamica
y detalla la aplicación de éstos a los procesos químicos. Revisado y totalmente actualizado, este clásico también brinda al lector un fundamento adecuado para el autoaprendizaje
subsecuente.
Este excelente libro incluye un tratamiento elemental de los conceptos
moleculares y su significación para las propiedades termodinámicas. Otras mejoras de la quinta edición incluyen una revisión del capítulo "Procesos de flujo”
-para hacer el material más coherente y consistente con el estudio moderno de la
mecánica de fluidos- así como un reordenamiento y consolidación extensos de
material sobre el equilibrio vapor/líquido. También hay un nuevo capítulo, “Temas
en equilibrio de fases”, que comprende material sobre equilibrios sóIido/líquido,
sólido/vapor y de adsorción. Adicionalmente, se ha añadido material
para proporcionar un estudio más completo de las ecuaciones de estado y su aplicación a.1
equilibrio vapor/líquido.
La quinta edición de lntroducci6n a la termodanámica en ingeniería química, facilita el aprendizaje de la materia, e incluye más de 115 ejemplos resueltos,
así como ocho apéndices útiles. Este texto clásico está escrito no sólo para estudiantes, sino también para ingenieros en el desempeño de su profesión.
K LOS
A D AUTORES
E
Joe M. Smith, profesor emérito de ingeniería. química en la University of California,
Davis, recibió su grado de licenciatura en Química Aplicada en el California Institute
of Technology, y su grado de Doctor en Ciencias -con especialidad en ingeniería.
química y subespecialidades en matemáticas y química- en el Massachusetts
Institute of Technology. El profesor Smith tiene cientos de artículos publicados cn
revistas técnicas .y también es autor de un libro muy exitoso sobre cinética. en ingeniería química que actualmente se encuentra en su tercera edición. Entre sus muchos premios, Smith ha recibido el Warren K. Lewis Award por sus valiosas contribuciones a la educación en ingeniería química, así como el Richard H. Wilhem
Award por el avance de las fronteras de la ingeniería de reacciones químicas, con
énfasis en la originalidad, creatividad .y novedad del concepto ,y la aplicación.
Hendrick C. Van Ness es profesor emérito en el Rensselaer Polytechnic Institute.
Recibió su doctorado en ingeniería química de la Yale University. Siendo originalmente profesor en Purdue, el Dr. Van Ness se encuentra en Rensselaer desde 1956
y ha recibido el Warren K. Lewis Award de la AIChE por sus contribuciones importantes a la educación en ingeniería química. También es autor de muchos libros
y artículos técnicos en el campo de la. termodinámica.
Michael M. Abbott ha pasado toda su vida académia en el Rensselaer Polytechnic
Institute, donde recibió su grado de licenciatura. en ingeniería. química en 1961. y el
grado de Doctor en Ciencias en 1965. Después de varios años con Exxon Research
and Engineering, en 1969 el Dr. Abbott regresó a. Rensselaer donde actualmente
es profesor de ingeniería química. El Dr. Abbott es autor y coautor de muchos
libros y artículos técnicos sobre ingeniería, termodinámica.
Van Ness y Abbott han escrito de manera conjunta la sección de termodinámica. del Perry's Chemical Engineer's Handbook y el Schaum's Outline of Thermodynamics.
LIÁYTA DE 8ÍMBOLOS
A
A
A
a
a
a
a,j
i?i
âi
B
B
B’
B”, BI
B,
b
5
c
c
C’
C,,
CP
C V
Cj
C”
r;‘c;
(cP)H
Área.
Energía de Helmholtz
Pará,metro de la ecuación (4.4)
Aceleración
Área molar de una fase adsorbida
Parametro en las ecuaciones cúbicas de estado
Actividad de la especie pura i
Pakmetro parcial, ecuaciones cúbicas de estado
Actividad de la especie i en solución
Segundo coeficiente del virial, expansión de densidad
Parámetro de la ecuación (4.4)
Segundo coeficiente del virial, expansión de presión
Funciones dc correlación generalizada del segundo coeficiente del virial
Interacción del segundo coeficiente del virial
Parametro en ecuaciones cúbicas dc estado
ParW.metro parcial, ecuaciones cúbicas de estado
Tercer coeficiente del virial, expansión de densida.d
Parametro de la ecuación (4.4)
Tercer coeficiente del virial, expansión de presión
Interacción del tercer coeficiente del virial
Capacida.d ca.lorífica molar o específica. a, presión constante
Capack1a.d calorífica molar o específica a vohlmen constante
Ca,pacidad calorífica en exceso a presión constante
Capacida.d calorífica. dc estado estandar a presión constante
Cambio en la capacidad calorífica estándar dc rea.cción
Capacidad calorífica promedio pa.ra cálculos de entalpía
Capacidad calorífica promedio para cálculos de entropía.
Cw.pwcidad calorífica promedio estám1a.r para cálculos dc entalpía.
Capa.cidad calorífica promedio está.ndar para cálculos de entropía
Ve1ocida.d del sonido
Cua.rto coeficiente del virial, expansión de densidad
Parametro dc la ecuación (4.4)
LISTA
xiv
DE
Cuarto coeficiente del virial, expansión de presión
Nivel de energía
Energía cinética
Energía potencial gravitacional
Gra.dos de libertad (regla de las fases)
Flxrza.
(HR)1
M
M
64
E*
ME
MR
AM
Fugacidad de la. especie pura Z
Fuga,cidad de estado estandar
Fugacidad de la, especie i en solución
Energía de Gibbs molar o específica = H - TAS
Energía de Gibbs de estado estándar de la especie i
Energía de Gibbs parcial de la especie i en solución
Energía de Gibbs en exceso = G - Gid
Energía de Gibbs residual = G - G’g
Cambio en la energía de Gibbs de una mezcla
Cambio en la energía de Gibbs estándar de reacción
Cambio en la energía dc Gibbs estánda.r de formación
Aceleración de la gravedad loca.1
Constante dimensional = 32.1 740(lb,,)(ft)(lbf)-1(s)-2
Degeneración
Entalpía molar 0 específica = U + PV
Entalpía parcial de la especie ,i en solución
Enta.lpía, en exceso = H-I-I””
Entalpía. residual = H - Hig
Funciones en la correlación de entalpía. residual gcneraliza.da
Ca.mbio de enta.lpía. (“calor”) en el mezclado
Calor de solución
Ca.mbio en la. entalpía estandar de rea.cción
Ca,lor de reacción estandar a. temperatura. de referencia. TO
Cambio en la, entalpía. esta.ndar de formación
Consta.nte
de Plan&
Primer potencial de ioniza.ción
Consta.nte de equilibrio para. la reacción químicaj
Constante de equilibrio vapor/líquido para la especie 8
Constante dc Boltzmarin
Constante dc Henry para la. especie i en solución
Pa.rá.metro de interacción de la. ecua.ción de estado
Fracción mo1a.r líquida del sistema
Número de Ma.ch
Masa molar (peso molecular)
Va.lor mo1a.r 0 específico de una. pr0pieda.d termodinámica. extensiva.
Propiedad par&1 de la especie ji en solución
Propiedad en exceso = ll-I - il!F
Propiedad residual = ilf - dil@’
Cambio en una. propiedad en cl mezclado
SÍMBOLOS
LISTA DE SíMBOLOS
Cambio en una propiedad estándar de reacción
Cambio en la enta?.lpía esthdar de formación
Ma,sa
Rapidez de flujo de masa
Número de especies químicas (regla. de 1a.s fases)
Número de Avogadro
Número de moles
Moles de solvente por mol de soluto
Número de moles de la especie i
Presión absoluta
Presión en el estado est5,nda.r
Presión crítica
Presión reducida
Presión de referencia
Presión pa.rcial de la especie i
Presión de saturación de vapor de la especie *i
Calor
Rapidez de transferencia de calos
Carga eléctrica
Constante universal de los gases
Separación intermolecular
Número de reacciones químicas independientes (regla de las fa.scs)
Entropía. molar 0 específica
Entropía parcial de la especie i en solución
Entropía. en exceso E R - ~9”
Entropía. residua.l = 8 - AY@)
Funciones en la correlación de entropía residual generalizada.
Rapidez de generación de energía en el volumen dc control
Genera.ción de entropía?. total por ca.ntida.d unitaria. dc fluido
Rapidez tota1 de generación de entropía
Ca.mbio de entropía. en el mezclado
Cambio en la entropía. estándar de reacción
Cambio en la entropía. estándar de forma.ción
Temperatura, a.bsoluta. en Kelvin o Rankine
Tempera.tura crítica
Tempera.tura norn1a.l del punto de ebullición
Temperatura. reducida
Temperatura de referencia
Tempera.tura a,bsoluta de los alrededores
Temperatura de satura,ción de la especie i
Temperatura en “C o (“l?)
Energía interna mo1a.r 0 específica
Función de pa.res de potencial intermolecular
Velocidad
Volumen molar 0 específico
xv
xvi
LISTA DE SíMBOLOS
V
v;
VC
V,
VE
fracción molar del sistema que es vapor
Volumen parcial de la especie i en solución
Volumen crítico
Vohxmen reducido
Volumen en exceso = V- Vd
Volumen residual G V- Vg
Cambio de volumen en el mezclado
Trabajo
Rapidez de trabajo (potencia)
Trabajo ideal
Rapidez de trabajo ideal
Trabajo perdido
Rapidez de trabajo perdido
Trabajo en la flecha para procesos de flujo
Potencia en la flecha para procesos de flujo
Fracción mo1a.r de la especie i en general o en una fase líquida
Calidad
Fracción molar de la especie i en una fase de vapor
lktor de compresibilidad z PV/RT
Emtor de compresibilidad crítica. = P,V, IRT,
Knciones en la correlación generalizada de factores de compresibilidad
Función de partición
Bctor de compresibilidad de fa.se adsorbida; definido por la ecua.ción
(14.48)
Elevación por encima de ~111 nivel de referencia
Inacción molar total o fracción molar cn una fase sólida
VR
Av
W
w
wideal
E
co
Indica. una propiedad termodinámica en exceso
Indica una tra.nsición de la fase adsorbida. a vapor
Indica un valor para solución ideal
Indica. un valor para un gas ideal
Indica fase líquida
Indica. transición de fase de líquido a. vapor
Indica. una propiedad termodinamica residual
Indica fase sólida
Indica una transición de fase de sólido a. líquido
Indica el va.lor total de una propiedad termodinamica
Indica fase dc vapor
Indica un valor para dilución infinita.
C
Denota?.
cc%r
i d
ig
1
IV
R
s2
t
V
un valor para un reservorio de calor frío
extensiva,
LISTA DE SÍMBOLOS
Denota un valor para el estado crítico
Denota un volumen de control
Denota corrientes de flujo
Denota un valor para un reservorio de calor caliente
Denota un valor reducido
Letras griegas
Polarizabilidad
Como superíndices, identifican fases
Expansividad del volumen
Constante de integración
Cociente de capacidades caloríficas Cp/c~
Coeficiente de actividad de la especie i en solución
Profundidad del pozo en la función de potencial intermolecular
Permitividad eléctrica del vacío
Coordenadas de reacción
Eficiencia
Compresibilidad isotérmica
Presión de dispersión en fase adsorbida
Número de fases (regla de las fases)
Momento de dipolo
Potencial químico de la especie i
Número estequiométrico de la especie i
Densidad molar
Densidad crítica
Densidad reducida
Diámetro de colisión molecular
Tiempo
Cociente de temperatura = Th!‘0 [ = 1 - T, en la ecuación (6.56)]
Cociente de coeficientes de fugacidad, definido por la ecuación (12.2)
Coeficiente de fugacidad de 1; especie pura i
Coeficiente de fugacidad de la especie i en solución
Funciones en la correlación generalizada de coeficientes de fugacidad
Factor acéntrico
Notas
-
Como superíndice, denota el estado estándar
La sobrebarra indica una propiedad parcial
El sobrepunto señala una rapidez con respecto al tiempo
El circunflejo indica una propiedad en solución
Operador de diferencia
xvii
PREFACIO
El propósito de este libro es presentar la termodinámica desde el punto de vista de
la ingeniería química. Las leyes de la termodinámica son universales, pero su enseñanza es más eficaz en el contexto de la disciplina que interesa al estudiante. Esta
es la justificación para tener un texto exclusivo para ingenieros químicos, tal como
lo ha sido en las cuatro ediciones anteriores, las cuales han estado en prensa por 47
años.
Al escribir este libro, los autores han buscado mantener el rigor característico del análisis termodinámico y, a la vez, proporcionar una presentación comprendida fácilmente por el estudiante promedio de licenciatura. La naturaleza del material incluido es introductoria, pero el desarrollo llega hasta el punto de permitir
la aplicación a problemas importantes en la práctica de la ingeniería química. Por
otra parte, el contenido es más que adecuado para un curso de un año a nivel
licenciatura, así como lo suficientemente amplio para hacer del libro una referencia útil en cursos a nivel de posgrado y en la práctica profesional.
El estudiante que es nuevo en esta materia tiene por delante una tarea de
descubrimiento muy intensa. Las ideas, términos y símbolos nuevos aparecen con
una rapidez sorprendente. El reto, siempre presente, es reflexionar los temas hasta el punto de llegar a comprc~wlerlos,
adquirir la capacidad de razonamiento y
aplicar este cuerpo fundamental de conocimiento a la solución de problemas prácticos. Por otro lado, el conocimiento ganado aquí aumentará y se refinará a medida que continúe la experiencia educativa.
Los primeros dos capítulos del libro presentan las definiciones básicas y el
desarrollo de la primera ley, tal como ésta se aplica a procesos donde no hay flujo y
a procesos sencillos con flujo estable. Los capítulos 3 y 4 estudian el comportamiento presión/volumen/temperatura
de los fluidos y ciertos efectos caloríficos, lo
que permite la aplicación temprana de la primera ley a problemas importantes de
ingeniería. En el capítulo 5 se considera.la segunda ley y algunas de sus aplicaciones. El estudio de las propiedades termodinámicas de los fluidos puros en el capítulo 6, conduce a la aplicación, en el siguiente capítulo, de las leyes primera y
xx
PREFACIO
segunda a procesos de flujo en general, y en los capítulos 8 y 9, a la producción de
potencia y a los procesos de refrigeración. El resto de libro que tiene que ver con
mezclas de fluidos, trata temas que son del dominio único de la termodinámica en
ingeniería química. Los capítulos 10 y 11 proporcionan una exposición amplia
sobre las propiedades termodinámicas de las mezclas de fluidos, así como sobre
sus usos en el equilibrio vapor/líquido y en los procesos de mezclado. El capítulo 12
está dedicado a una presentación detallada del equilibrio vaporllíquido para sistemas donde las presiones son moderadas. El capítulo 13 estudia la aplicación de las
ecuaciones de estado a cálculos termodinámicos, en particular en el equilibrio vapor/líquido, mientras que el capítulo 14 trata temas adicionales relacionados con
el equilibria de fases. El capítulo 15 contiene una presentación extensa del equilibrio en reacciones químicas. Finalmente, el capítulo 16 trata el análisis termodinámico de procesos reales, ofreciendo un panorama de mucho material de interés
práctico.
Los autores desean dar las gracias a las contribuciones realizadas por los
profesores Charles Muckenfuss, Debra L. Sauke y Eugene N. Dorsi, cuyos esfuerzos produjeron los programas de computadora para el cálculo de las propiedades
termodinámicas del vapor y de las tablas de vapor del apéndice l? Agradecemos a
todos aquellos que ofrecieron críticas detalladas y constructivas sobre la cuarta
edición: Philip T. Eubank, Texas A&M University; Dana E. Knox, New Jersey
Institute of lbchnology; Joseph C. Mullins, Clemson University y Bruce E. Poling,
University of Toledo. Con respecto a la presente edición, apreciamos los esfuerzos
tanto de Alan L. Myers, University of Pennsylvania, y de Keith E. Gubbins, Cornell
University, quienes revisaron partes del manuscrito, como de John J. Hwalek,
University of Maine, quien contribuyó como asesor en las soluciones con MathCadB
del apéndice D.
J. M. Smith
H. C. Van Ness
M. M. Abbott
CAPíTULO 1
INTRODUCCIÓN
1.1
El ámbito de la termodinámica
La ciencia de la termodinámica nació en el siglo diecinueve como una necesidad de
describir el funcionamiento de las máquinas de vapor y de establecer límites a lo
que éstas podían hacer. Es así como el nombre mismo significa potencia generada
por el calor, y sus aplicaciones iniciales fueron las máquinas térmicas, de las cuales
la máquina de vapor es un ejemplo. Sin embargo, los principios observados como
válidos para las máquinas pronto se generalizaron en postulados, los cuales se
conocen ahora como la primera y segunda leyes de la termodinámica. Estas leyes
no tienen demostración en el sentido matemático; su validez se sustenta en la
ausencia de experiencia contraria a lo establecido por ellas. Así, la termodinámica
forma parte, junto con la mecánica y el electromagnetismo, del conjunto de leyes
básicas de la física.
A través de un proceso de deducción matemática, estas leyes conducen a un
conjunto de ecuaciones que encuentran aplicación en todas las ramas de la ciencia
y la ingeniería. El ingeniero químico debe enfrentar una gama muy amplia de
problemas. Entre ellos se encuentra el cálculo de los requerimientos de calor y
trabajo para procesos físicos y químicos, así como la determinación de las condiciones de equilibrio para reacciones químicas y para la transferencia de especies
químicas entre fases.
Las consideraciones termodinámicas no establecen la rapidez con la que se
llevan a cabo los procesos químicos o físicos. Esta rapidez depende tanto de las
fuerzas impulsoras como de la resistencia. Aunque las fuerzas impulsoras son variables termodinámicas, las resistencias no lo son. Ningún planteamiento termodinámico, que es una formulación de una propiedad macroscópica, puede revelar los
mecanismos microscópicos (moleculares) de los procesos físicos o químicos. Por
otra parte, el conocimiento del comportamiento microscópico de la materia puede
ser útil en el cálculo de propiedades termodinámicas. Los valores de las propiedades son esenciales para la aplicación práctica de la termodinámica. El ingeniero
CAPÍTULO 1. Introducción
2
l’hbla 1.1: Prefijos para unidades SI
Múltiplo Prefijo Símbolo
1o-g
1O-6
1O-3
1O-2
103
106
109
nano
micro
mili
centi
kilo
mega
giga
n
P
m
k
M
G
químico debe tratar con muchas especies químicas así como con las mezclas de
ellas, y a menudo no están disponibles datos experimentales. Por fortuna, en ausencia de datos experimentales, las correlaciones generalizadas obtenidas a partir
de una base de datos limitada proporcionan las estimaciones necesarias.
La aplicación de la termodinámica a cualquier problema real comienza con la
identificación de un cuerpo particular de materia como foco de atención. Este
cuerpo de materia recibe el nombre de sistema, y el estado termodinámico de éste
se define en términos de unas cuantas propiedades macroscópicas medibles. Estas
propiedades dependen de las dimensiones fundamentales utilizadas en ciencia, de
las cuales la longitud, el tiempo, la masa, la temperatura y la cantidad de sustancia son las de mayor interés.
1.2 Dimensiones y unidades
Las dimensiones Jundamentales son primitivas, reconocidas mediante nuestras
percepciones sensoriales y no definibles en términos de algo más simple. Su uso,
sin embargo, requiere la definición de escalas de medición arbitrarias, divididas en
unidades de tamaño específico. Las unidades primarias están dadas por un acuerdo internacional, y aparecen codificadas como el Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI, de Système International) .
El segundo, cuyo símbolo es s y que es la unidad SI de tiempo, es la duración
de 9 192 631 770 ciclos de la radiación asociada con una transición determinada
del átomo de cesio. El metro, con símbolo m, es la unidad fundamental de longitud
y se define como la distancia que la luz recorre en el vacío durante 1/299 792 458
de segundo. El Nogramo, símbolo kg, es la masa de un cilindro de platino/iridio
que se guarda en el International Bureau of Weights and Measures en Sèvres,
Rancia. La unidad de temperatura es el kecelvin, con símbolo K, el cual es igual a l/
273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. En la sección
1.4 se brinda un estudio más detallado de la temperatura, que es la dimensión
característica de la termodinámica. La medida de la cantidad de sustancia es el
mal, cuyo símbolo es mol, definida como la cantidad de sustancia representada por
1.3.
Fuerza
3
tantas entidades elementales (por ejemplo, moléculas) equivalentes a la cantidad
de átomos que existen en 0.012 kg de carbono 12. Lo anterior es lo que se conoce
como “gramo mal”, empleado comúnmente por los químicos.
Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades SI están indicados
por prefijos. En la tabla 1.1 aparecen los de uso más común. Es así como el centímetro está dado como 1 cm = 10m2 m, y lo3 g = 1 kg.
Otros sistemas de unidades, tales como el sistema inglés de ingeniería, emplean unidades que están relacionadas con las del sistema SI mediante factores de
conversión fijos. Así, el pie (ft) se define como 0.3048 m, la libramasa (Ib,) como
0.45359237 kg y la libra mol (Ib mol) como 453.59237 mol.
1.3 Fuerza
La unidad de fuerza del SI es el newton, con símbolo N, obtenida de la segunda ley
de Newton, la cual expresa la fuerza F como el producto de la masa m y la aceleración a:
F=ma
El newton se define como la fuerza que cuando se aplica a una masa de 1 kg
produce una aceleración de 1 m sd2; por tanto, el newton es una unidad derivada
que representa 1 kg m sM2.
En el sistema inglés de unidades de ingeniería, la fuerza se considera como
una dimensión independiente adicional junto con la longitud, el tiempo y la masa.
La librafierza (lbf) se define como la fuerza que acelera una libra masa 32.1740
pies por segundo por segundo. En este caso, la ley de Newton debe incluir una
constante de proporcionalidad dimensional para reconciliarse con esta definición.
Así
F=lma
gc
donde]
l(lbf) = ,’ x l(lb,) x 32.1740(ft)(s)-2
c
Y
gc = 32.1740(lb,)(ft)(lbf)-‘(s)-2
‘Donde se emplean unidades que no son SI (por ejemplo, unidades inglesas), los paréntesis encierran las abreviaturas de todas las unidades.
CAPÍ!lTlLO
4
1. Introducción
La 1ibraJUerza equivale a 4.4482216 N.
Puesto que la fuerza y la masa son conceptos diferentes, una libraberza y
una libra masa son cantidades diferentes y sus unidades no se cancelan entre sí.
Cuando una ecuación contiene ambas unidades, (lbf) y (Ib,), la constante
dimensional g, también debe aparecer en la ecuación para hacer que ésta sea
dimensionalmente correcta.
El peso es una propiedad que se refiere a la fuerza de gravedad que actúa
sobre un cuerpo y, por tanto, se expresa de manera correcta en newtons o en libras
berza. Desafortunadamente, los estándares de masa a menudo se conocen como
“pesos”, y el uso de una balanza para comparar masas recibe el nombre de rrpesar.” Así, es necesario discernir del contexto lo que se quiere dar a entender, fuerza
o masa, cuando se hace uso de la palabra “peso” de una manera casual o informal.
Ejemplo 1.1 Un astronauta pesa 730 N en Houston, Texas, donde la aceleración
local de la gravedad es g = 9.792 m se2. iCuál es la masa y el peso del astronauta en
la luna, donde g = 1.67 m sm2?
SOLUCIÓN
Sea a = g, con la siguiente forma de la ley de Newton
P=mg
de aquí que
P
730 N
= 74 55 N m-’ .s2
m = s = 9.792 m s2
’
Puesto que el newton N tiene las unidades kg m s2,
m = 74.55 kg
Esta masa del astronauta es independiente de la posición, pero el peso depende de la
aceleración local de la gravedad. Por tanto, el peso del astronauta en la luna es
P(luna.)
= mg(luna) = 74.55 kg X 1.67 m sm2
0
B(luna) = 124.5 kg m s2 = 124.5 N
El uso del sistema inglés de unidades de ingeniería requiere la conversión del
peso del astronauta a (lbr) y de los valores de g a (ft)(s)-“. Ya que 1 N equivale a
0.224809(1bf) y 1 m a 3.28084(ft), se tiene que
Peso del astronauta en Houston = 164.1(lbf)
g(Houston)
= 32.13
Con esto, de la ley de Newton,
y
g(luna) = 5.48(ft)(s)-2
1.4. Temperatura
5
47, = 164.1(lb,)x
m= ~
g
32.1740(1b,“)(ft)(lb,)-‘(s)-2
32.13(R)(s)+
m = 164.3(1b,)
La masa del astronauta en (Ib,) y su peso en (lbf) en Houston son numéricamente
casi los mismos, pero en la luna éste no es el ca.so:
P(luna) =
mg(luna)
9,
= (164’3)(5’48)
32.1740
= 28 O(lbf)
’
1.4 Temperatura
En general, lo común es medir la temperatura con termómetros de vidrio llenos de
líquido, en los que el líquido se expande cuando se calienta. Así es como un tubo
uniforme, lleno parcialmente con mercurio, alcohol o algún otro fluido, puede indicar el grado de “calentamiento” por la longitud de la columna de fluido. Sin embargo, la asignación de valores numéricos al grado de calentamiento se hace mediante una definición arbitraria.
Para la escala Celsius, el punto del hielo fundente (punto de congelación del
agua saturada con aire a presión atmosférica estandar) es cero, y el punto de
vapor (punto de ebullición del agua pura a presión atmosférica est$indar) es 100.
Al termómetro se le puede dar una escala numérica sumergiéndolo en un baño de
hielo y poniendo una marca para el cero en el nivel donde se encuentra el fluido, y
después colocándolo en agua hirviendo y haciendo una marca para el 1 OO a este
mayor nivel del fluido. La distancia entre las dos marcas se divide en 100 espacios
iguales denominados grados. Pueden marcarse otros espacios de igual tamaño por
debajo de cero y por encima de 100 para extender el rango del termómetro.
Todos los termómetros, sin importar el fluido, proporcionan la misma lectura
en 0 y 100 si se calibran con el método descrito, pero lo usual es que en los demás
puntos las lecturas no correspondan debido a que los fluidos cambian en cuanto a
sus características de dilatación. Puede hacerse una selección arbitraria del fluido
y para muchos propósitos será completamente satisfactoria. Sin embargo, como se
mostrará, la escala de temperatura del sistema SI, con el kelvin, símbolo K, como
unidad, está basada en el gas ideal como fluido termométrico. Puesto que la debínición de esta escala depende de las propiedades de los gases, su estudio detallado
se hará en el capítulo 3. Sin embargo, nótese que como escala absoluta, ésta depende del concepto de un límite inferior de temperatura.
Las temperaturas Kelvin tienen el símbolo T. Las temperaturas Celsius, con
símbolo t, están relacionadas con las temperaturas Kelvin por
PC = T K - 273.15
CAPÍTULO 1. Introducción
6
La unidad de temperatura Celsius es el grado Celsius, “C, igual en magnitud al
kelvin. Sin embargo, las temperaturas de la escala Celsius son 273.15 grados menores que las de la escala Kelvin. Lo anterior significa que el límite inferior de la
temperatura, denominado cero absoluto de la escala Kelvin, ocurre en -273.15”C.
En la práctica ésta es la Escala Internacional de Temperatura de 1990 (ITS90), la cual se emplea para la calibración de instrumentos científicos e industriales.2 La elección de esta escala se ha hecho para que las temperaturas medidas
sean aproximadamente cercanas a las temperaturas de gas ideal; las diferencias
están dentro de los límites de la exactitud con la que actualmente puede hacerse la
medición. La ITS-90 se basa en los valores asignados de temperatura para varios
estados de equilibrio cuya medición es reproducible (puntos fijos), así como en
instrumentos estándar calibrados en dichas temperaturas. La interpolación entre
las temperaturas de punto fijo está dada por fórmulas que establecen la relación
entre las temperaturas de los instrumentos estándares y los valores de la ITS-90.
Los puntos fijos están especificados como estados de equilibrio de fases de sustancias puras. El termómetro de resistencia de platino es un ejemplo de un instrumento estándar y se emplea para temperaturas que van desde -259.35”C (punto
triple del hidrógeno) hasta 961.78”C (punto de solidificación de la plata).
Además de las escalas Kelvin y Celsius, existen otras dos que emplean los
ingenieros en Estados Unidos: la escala Rankine y la escala Eàhrenheit. La escala
Rankine está relacionada directamente con la Kelvin por
T(R) = 1.8T K
y es una escala absoluta.
La escala Fahrenheit está relacionada con la Rankine por una ecuación análoga a la relación que existe entre las escalas Celsius y Kelvin.
t(“F) = T(R) - 459.67
Es así como el límite inferior de la escala Fahrenheit es -459.67(“F). La relación
entre las escalas Fhhrenheit y Celsius está dada por
t(“F) = 1.8t”C + 32
Por consiguiente, el punto de congelación del agua es 32(“F) y el punto de ebullición normal es 212(“F).
El grado Celsius y el Kelvin representan el mismo intervalo de temperatura;
lo mismo sucede con los grados Eàhrenheit y el rankine. La figura 1.1 muestra las
relaciones que existen entre las cuatro escalas de temperatura. En termodinámica, cuando se habla de una temperatura sin referencia siempre se remite a temperatura absoluta.
2E1 texto, en inglés, de la definición de la ITS-90 está dado por H. Preston-Thomas, Metmbgia,
vol. 27, pp. 3-10, 1990.
7
1.6. Presión
1.5 Cantidades definidas; volumen
En el sistema internacional de unidades, la fuerza se define mediante la ley de
Newton. Existen otras cantidades adicionales que encuentran un uso frecuente en
las aplicaciones de la termodinámica. Algunas, como el volumen, son tan comunes
que casi no necesitan definición. Otras requieren una explicación detallada, y son
las que se estudian en las siguientes secciones.
El volumen es una cantidad que representa el producto de tres longitudes. El
volumen de una sustancia, al igual que su masa, depende de la cantidad de material considerada. Por otra parte, el volumen específico o molar, V, está definido
como el volumen por unidad de masa o por mol y, por tanto, es independiente de la
cantidad total de material considerada. La densidad p es el recíproco del volumen
específico 0 molar.
1.6
Presión
La presión P ejercida por un fluido sobre una superficie está definida como la
fuerza normal ejercida por el fluido por unidad de área de la superficie. Si la
fuerza se mide en N y el área en m 2, la unidad es entonces el newton por metro
cuadrado N mm2 o Pascal, cuyo símbolo es Pa, y es la unidad básica de presión del
SI. En el sistema inglés de ingeniería, la unidad más común es la librafierza por
pulgada cuadrada (psi).
El estándar primario para la medición de la presión se obtiene a partir de la
definición de ésta. Para ello se equilibra una fuerza conocida con la presión de un
Celsius
Kelvin
Fahrenheit
Rankine
I
173.15 K -. 212(“F)
-
571.67(R)
32(“F)
-
491.67(R) __ Punto de congelación
273.15 K -
-459.67(“F) -
~ Punto de vaporización
I(R)
(
F’igura 1.1:
Relaciones entre escalas de temperatura.
Cero absoluto
~CAPÍTULO
8
1. Introducción
A la fuente
Figura 1.2:
Manómetro de peso muerto.
fluido que actúa sobre un área conocida; de aquí que P = RA. El instrumento que
proporciona esta medición directa es el manómetro de peso muerto. En la figura
1.2 se muestra un diseño sencillo de este manómetro. El pistón se ajusta de manera cuidadosa en el cilindro, de modo que el juego sea muy pequeño. A continuación
se ponen pesos en la bandeja hasta que la presión del aceite, la cual tiende a hacer
que se levante el pistón, quede equilibrada por la fuerza de gravedad sobre el pistón y todo lo que éste soporta. Con la fuerza de gravedad dada por la ley de Newton,
la presión del aceite es
donde WI, es la masa del pistón, la bandeja y los pesos, g es la aceleración local de la
gravedad, y A es el área de sección transversal del pistón. Los manómetros de uso
más común, como los de Bourdon, están calibrados por comparación con los
manómetros de peso muerto.
Puesto que una columna vertical de un fluido dado bajo la influencia de la
gravedad ejerce una presión en su base en proporción directa con la altura de
la columna, la presión también se expresa como la altura equivalente de una COlumna de fluido. Ésta es la base para el empleo de manómetros en la medición de
la presión. La conversión de la altura a fuerza por unidad de área se desprende
1 . 6 . Presión
9
de la ley de Newton aplicada a la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa de
fluido en la columna. La masa está dada por
m =Ahp
donde A es el área de sección transversal de la columna, h es la altura de ésta y p es
la densidad del fluido. Por tanto,
La presión que corresponde a una altura de fluido está determinada por la densidad del fluido (la cual depende de éste y de la temperatura) y de la aceleración
local de la gravedad. El (torr) es la presión equivalente de 1 milímetro de mercurio
a 0°C en un campo gravitacional
estándar, y es igual a 133.322 Pa.
Otra unidad de presión es la atmósfera estándar (atm), que es la presión
promedio aproximada ejercida por la atmósfera de la tierra a nivel del mar, definida como 101325 Pa, 101.325 kPa, o 0.101325 MPa. El bar, que es una unidad SI
definida como lo5 Pa, es igual a 0.986923(atm).
La mayoría de los manómetros proporcionan lecturas que son la diferencia
entre la presión de interés y la presión atmosférica de los alrededores. Estas lecturas se conocen como presiones manométricas, y pueden convertirse a presiones
absolutas al sumarles la presión barométrica. En los cálculos termodinámicos deben emplearse presiones absolutas.
Ejemplo 1.2 Se utiliza un manómetro de peso muerto con un pistón que tiene un
diámetro de 1 cm para medir presiones con mucha exactitud. En una medición en
particular, una masa de 6.14 kg (incluidos el pistón y la bandeja) logra el equilibrio.
Si la aceleración local de la gravedad es 9.82 m sm2, icuál es la presión manométrica
medida? Si la presión barométrica es 748(torr), iocuál es la presión absoluta?
SOLUCIÓN
es
La fuerza ejercida por la gravedad sobre el pistón, la bandeja y las pesas
P = mg = (6.14)(9.82)
= 60.295 N
60.295
Presión manométrica = $ = ___~ = 76.77N cm-’
(1/4)(d(V
Por tanto, la presión absoluta es
P = 76.77 + (748)(0.013332)
P = 867.4 kPa
= 86.74 Ncm-’
10
CAPÍTULO 1. Introducción
Ejemplo 1.3 La lectura a 27°C de un manómetro lleno con mercurio es 60.5 cm.
La aceleración local de la gravedad es 9.784 m s-~. &Cuál es la presión a la que
corresponde esta altura?
SOLUCIÓN
Recuérdese la ecuación
P=hpg
A 2’7°C la densidad del mercurio es 13.53 g cmm3. Entonces
P = 60.5 cm X 13.53 g cme X 9.784 m s? = 8 009 g m s2 cmw2
0
P = 8.009 kg m se2 cmm = 8.009 N cmw2 = 80.09 kPa = 0.8009 bar
1.7
Trabajo
Cada vez que una fuerza actúa a lo largo de una distancia, se realiza trabajo W.
Por definición, la cantidad de trabajo está dada por la ecuación
dW=Fdl
(1.1)
donde F es el componente de la fuerza que actúa a lo largo de la línea de desplazamiento dl. Cuando se integra esta expresión, lo que se tiene es el trabajo de un
proceso finito. Por convención, el trabajo se considera como positivo cuando el
desplazamiento está en la misma dirección que la fuerza aplicada, y negativo cuando
ambos tienen direcciones opuestas.
En termodinámica es frecuente encontrar el trabajo que acompaña al cambio en el volumen de un fluido. Considérese la compresión o expansión de un fluido
en un cilindro provocada por el movimiento del pistón. La fuerza ejercida por el
pistón sobre el fluido es igual al producto del área del pistón y la presión del fluido.
El desplazamiento del pistón es igual al cambio en el volumen del fluido dividido
entre el área del pistón. Por consiguiente, la ecuación (1.1) se convierte en
dW= -PAd;
o, puesto que A es constante,
dW=
-PdV
(1.2)
Al integrar,
w-j;
PdV
(1.3)
1.8. Energía
P
1
s
0’
-
v,
v,
V
Figura
1.3: Diagrama PV
En estas ecuaciones el signo menos se incluye para que éstas cumplan con la convención del signo adoptada para el trabajo. Cuando el pistón se mueve dentro del
cilindro comprimiendo al fluido, la fuerza aplicada y su desplazamiento están en la
misma dirección, por tanto, el trabajo es positivo. El signo menos es necesario
debido a que el cambio en el volumen es negativo. Para un proceso de expansión, la
fuerza aplicada y su desplazamiento tienen direcciones opuestas. En este caso el
cambio en el volumen es positivo y se requiere del signo menos para hacer que el
trabajo sea negativo.
La ecuación (1.3) expresa el trabajo hecho por un proceso finito de compresión 0 expansión. 3 Considérese la compresión de un gas desde un volumen inicial
VI a presión P1 hasta un volumen V2 a presión P2 a lo largo de la trayectoria que va
del punto 1 al punto 2, mostrada en la figura 1.3. Esta trayectoria relaciona la
presión en cualquier punto con el volumen durante todo el proceso. El trabajo
requerido por el proceso está dado por la ecuación (1.3) y representado en la figura
1.3 por el área bajo la curva. La unidad de trabajo SI es el newton-metro o joule,
con símbolo J. En el sistema inglés de unidades de ingeniería, la unidad más utilizada es el pie-libra&erza (ft lbf).
1.8 Energía
El principio general de la conservación de la energía fue establecido alrededor de
1850. El germen de este principio, tal como se aplica a la mecánica, estaba ya
implícito en los trabajos de Galileo (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1726). Por
otra parte, el principio se desprende directamente de la segunda ley de movimiento
de Newton una vez que el trabajo se define como el producto de la fuerza y el
3Sin embargo, como se explicará en la sección 2.9, esto sólo puede aplicarse en circunstancias
especiales.
m-
CAPÍTULO 1. Introducción
12
desplazamiento. Cuando un cuerpo de masam, sobre el que actúa una fuerzaF, se
desplaza una distancia dl durante un intervalo diferencial de tiempo dt, el trabajo
realizado está dado por la ecuación (1.1). Si esta ecuación se combina con la que
corresponde a la segunda ley de Newton, entonces se convierte en
dW=madl
Por definición, la aceleración es a = duldt, donde u es la velocidad del cuerpo. Por
tanto,
dW=m$dl
la cual puede escribirse como
dW=m$du
Puesto que la definición de velocidad es u = dlldt, la expresión para el trabajo se
convierte en
dW=mudu
La ecuación anterior puede integrarse para un cambio finito en la velocidad, de u1
a ~2:
0
(1.4)
Cada una de las cantidades f mu2 de la ecuación (1.4) es unaenergia
término introducido por Lord Kelvin4 en 1856. Así, por definición,
EK= $ mu2
cinética,
(1.5)
4Lord Kelvin, o William Thomson (18241907),
fue un físico inglés quien, junto con el físico
alemán Rudolf Clausius (1822-1888),
sentó los fundamentos de la ciencia moderna de la termodmámica.
1.8. Energía
La ecuación (1.4) muestra que el trabajo hecho sobre un cuerpo que se merera a
partir de una velocidad inicial ~1 hasta una velocidad final us, es igual al cambio de
energía cinética del cuerpo. En sentido opuesto, si el cuerpo en movimiento es
desacelerado por la acción de una fuerza resistiva, el trabajo hecho por el cuerpo es
igual al cambio en su energía cinética. En el sistema de unidades SI con la masa en
kg y la velocidad en ms- ‘, la energía cinética EK tiene las unidades de kg mz s-2.
Puesto que el newton es una unidad compuesta, kg m s2, EK se mide en newtonmetros o joules. De acuerdo con la ecuación (1.4), ésta es la unidad de trabajo.
En el sistema inglés de unidades de ingeniería, la energía cinética se expresa
como a mu2/gc, donde g, tiene el valor 32.1740 y las unidades (lb,)(ft)(lb$‘(s)-2.
Por tanto, la unidad de energía cinética en este sistema es
EK=$=
c
(h,Nft)2W2
(lb,)(ft)(lb,)-‘(s)-2 = (ft lbf)
En este caso, la consistencia dimensional requiere la inclusión de g,.
Si un cuerpo de masa m se levanta de una altura inicial 21 a una altura final
22, debe ejercerse una fuerza al menos igual al peso del cuerpo para hacer esto, y
esta fuerza debe actuar a través de la distancia 22 - zi. Puesto que el peso del
cuerpo es la fuerza de gravedad sobre él, la fuerza mínima requerida está dada por
la ley de Newton como
F=ma=mg
donde g es la aceleración local de la gravedad. El trabajo mínimo necesario para
levantar el cuerpo es el producto de esta fuerza y el cambio en la altura:
W = F(z2 - 21) = mg(zz - q)
0
w = mz2 g - mzl g = A(mzg)-
(1.6)
De la ecuación (1.6) se observa que el trabajo hecho sobre el cuerpo al levantarlo es igual al cambio en la cantidad mzg. En sentido opuesto, si el cuerpo desciende con una fuerza en contra igual a su peso, el trabajo hecho por el cuerpo es
igual al cambio en la cantidad mzg. La ecuación (1.6) es similar en forma a la
(1.4)) y ambas muestran que el trabajo realizado es igual al cambio en una cantidad que describe la condición del cuerpo en relación con sus alrededores. En cada
caso el trabajo realizado puede recuperarse rever-tiendo el proceso y regresando el
cuerpo a su condición original. Esta observación conduce con naturalidad a la idea
de que, si el trabajo hecho sobre un cuerpo en aceleración o en ascenso puede
recuperarse después, entonces el cuerpo, en virtud de su velocidad o altura, contiene la capacidad para hacer trabajo. Este concepto ha demostrado ser tan útil en la
mecánica de cuerpos rígidos que, a la capacidad dé un cuerpo para hacer trabajo,
CAl?Í!lULO
1. Introducción
se le dio el nombre de energia, palabra derivada de un vocablo griego que significa
“en trabajo”. De aquí que se diga que el trabajo necesario para acelerar un cuerpo
produzca un cambio en su ene$a cinética, o
y que el trabajo hecho para elevar un cuerpo produzca un cambio en su ener@a
potencial, 0
W = AEp = A(mzg)
Por tanto, la energía potencial5
se define como
Ep = mzg
(1.7)
En el sistema SI de unidades con la masa en kg, la altura en m y la aceleración de
la gravedad en m s-2, la energía potencial tiene unidades de kg m2 sm2, que es
newton-metro o joule, la unidad de trabajo de acuerdo con la ecuación (1.6).
En el sistema inglés de unidades de ingeniería, la energía potencial se expresa como mzglg,. Por consiguiente, la unidad de energía potencial de este sistema es
Ep= ?%! =i h,,)W(fi)W2
(lb,)(ft)(lb,)-‘(s)-2 = (ft lbf)
gc
De nuevo, debe incluirse la constante g, para lograr la consistencia dimensional.
En cualquier análisis de un proceso físico, se hace un intento por encontrar o
definir cantidades que permanezcan constantes sin importar los cambios que ocurran en el proceso. Una de estas cantidades, y que fue reconocida tempranamente
en el desarrollo de la mecánica, es la masa. La gran utilidad de la ley de la conservación de la masa sugiere que otros principios de conservación pueden tener un
valor comparable. Así es como el desarrollo del concepto de energía conduce de
manera lógica al principio de su conservación en procesos mecánicos. Si un cuerpo
recibe cierta energía al elevarlo, entonces el cuerpo debe conservarla o retenerla
hasta que lleve a cabo el trabajo que es capaz de hacer. Un cuerpo elevado, al cual
se le permite caer libremente, debe ganar en energía cinética lo que pierde en
energía potencial, de modo que su capacidad para hacer trabajo permanezca sin
cambio. Para un cuerpo en caída libre,
5Este término fue p ro puesto por primera vez en 1853 por el ingeniero eseoc& William Rankine
(1820-1872).
1 . 8 . Energía
mu2
mu,2
- _ ~ +mz2g-mzlg=O
2
2
La validez de esta ecuación se ha confirmado en una infinidad de experimentos. El
éxito en la aplicación a cuerpos en caída libre condujo a la generalización del principio de conservación de la energía para todos los procesos puramente mecánicos.
Pronto se obtuvo una evidencia experimental muy grande para justificar esta generalización.
Existen otras formas posibles de energía mecánica además de la cinética y la
potencial gravitacional. La más obvia es la energía potencial de una configuración.
Cuando se comprime un resorte, el trabajo lo hace una fuerza externa. Puesto que
después el resorte puede hacer este trabajo contra una fuerza resistiva, entonces el
resorte tiene capacidad para hacer trabajo. Esta es la energía potencial de la configuración. En una banda elástica estirada también existe la misma energía para
hacer trabajo, al igual que en una barra de metal deformada en la región elástica.
La generalidad del principio de conservación de la energía en mecánica aumenta si el trabajo mismo se considera como una forma de energía. Es evidente
que lo anterior es completamente permisible, ya que los cambios en energía tanto
cinética como potencial son iguales al trabajo hecho para producirlos [ecuaciones
(1.4) y (l.S)]. S in embargo, el trabajo es energía en tránsito y nunca se considera
como residente en un cuerpo. Cuando se hace trabajo y éste no aparece al mismo
tiempo como trabajo en otra parte, entonces se convierte en otra forma de energía.
El cuerpo o ensamble sobre el cual se dirige la atención recibe el nombre de
sistema. Todo lo demás son los alrededores. Cuando se hace trabajo, éste es realizado por los alrededores sobre el sistema, o viceversa, y la energía se transfiere de los
alrededores al sistema o al revés. Es sólo durante esta transferencia en la que
existe la forma de energía conocida como trabajo. En contraste, la energía potencial y cinética reside en el sistema. Sin embargo, sus valores se miden con respecto
a los alrededores, esto es, la energía cinética depende de la velocidad con respecto
a los alrededores y la energía potencial depende de la altura con respecto a un nivel
de referencia. Los cambios en la energía cinética y potencial no dependen de estas
condiciones de referencia, siempre y cuando éstas sean fijas.
Ejemplo 1.4 Un elevador con masa de 2 500 kg descansa a un nivel de 10 m por
encima de la base del pozo del elevador. El elevador sube 100 m con respecto a la base
del pozo cuando el cable que lo sostiene se rompe. El elevador cae libremente hasta la
base del pozo, donde golpea un resorte muy fuerte. El resorte está diseriado para
poner al elevador en reposo, por medio de un dispositivo de trampa, y mantenerlo en
la posición que corresponde a la máxima compresión del resorte. Suponiendo que
todo el proceso se lleva a cabo sin fricción, y tomando g = 9.8 m se2, calcule:
a)
La energía potencial del elevador en su posición inicial con respecto a la
base del pozo.
b)
El trabajo hecho para subir el elevador.
CA&!lVLO
16
1. Introducción
c)
La energía potencial del elevador en su posición más alta en relación con la
base del pozo.
d)
La velocidad y energía cinética del elevador justo antes de golpear el resorte.
e)
La energía potencial del resorte comprimido.
fl
La energía del sistema formado por el elevador y el resorte 1) al inicio del
proceso, 2) cuando el elevador alcanza su altura máxima, 3) justo antes de
que el elevador golpee el resorte y 4) después de que el elevador entra en
reposo.
El subíndice 1 denotará las condiciones iniciales; el subíndice 2, las condiciones cuando el elevador se encuentra en la posición más alta; y el subíndice 3 las
condiciones justo antes de que el elevador golpee el resorte.
SOLUCI Ó N
a) Por la ecuación (1.7),
Ep1 = mqg = (2 500)(10)(9.8) = 245 000 J
b) Por la ecuación (l.l),
W = 6 Pd1 = [”
z, mg dl = mdzz -21)
de aquí que
W = (2 500)(9.8)(100 - 10) = 2 205 000 J
c) De acuerdo con la ecuación (1.7),
Ep2 = mzzg = (2 500)(100)(9.8) = 2 450 000 J
Note que W = Ep2 - Ep,.
d) Del principio de conservación de la energía mecánica, la suma de los cambios
de energía cinética y potencial durante el proceso de ir de las condiciones 2 a 3 es
cero; esto es,
LiE KZ-PS
+
~EP,,, =
0
0
EK,--EK~
+ Ep3-Ep2= 0
Sin embargo, EK~ y Epa son cero. Por tanto,
EK~ = Epz = 2 450 000 J
Puesto que EK~ = i mu:,
u; = 2E
3 = (2)(2 450 000)
rn
2 500
1.9. calor
de donde
us = 44.27 m s-l
e) Puesto que la suma de los cambios en la energía potencial del resorte y la
energía cinética del elevador debe ser cero,
&Tp (resorte) + L\EK (elevador) = 0
La energía potencial inicial del resorte y la energía cinética final del elevador son
cero; por consiguiente, la energía potencial final del resorte debe ser igual a la energía cinética del elevador justo antes de que golpee el resorte. Por tanto, la energía
potencial final del resorte es 2 450 000 J.
fi Si se toman el elevador y el resorte juntos como el sistema, la energía inicial
del sistema es la energía potencial del elevador o 245 000 J. La energía total del
sistema puede cambiar sólo si se transfiere trabajo entre él y los alrededores. A medida que el elevador sube, los alrededores hacen un trabajo de 2 205 000 J sobre el
sistema. En consecuencia, la energía del sistema cuando el elevador llega a su altura
máxima es 245 000 + 2 205 000 = 2 450 000 J. Los cambios siguientes ocurren
completamente dentro del sistema, sin ninguna transferencia de trabajo entre éste y
los alrededores. De aquí que la energía total del sistema permanezca constante, en
2 450 000 J. Esta sólo cambia de energía potencial de posición (altura) del elevador
a energía cinética del elevador y de aquí, a energía potencial de configuración en cl
resorte.
Este ejemplo ilustra la aplicación de la ley de conservación de la energía mecanica. Sin embargo, se supone que todo el proceso ocurre sin fricción; los resultados
obtenidos sólo son exactos para procesos idealizados, como éste.
Durante el periodo de desarrollo de la ley de la conservación de la energía
mecánica, no se reconocía en general que el calor fuese una forma de energía, pero
se le consideraba como un fluido indestructible denominado calórico. Este concepto estaba establecido de manera muy firme, de modo que por muchos años no se
hizo ninguna conexión entre el calor resultante de la fricción y las formas de energía establecidas. Por tanto, la aplicación de la ley de conservación de la energía
quedó limitada a su aplicación a procesos mecánicos sin fricción. Esta limitación
no es necesaria; en la actualidad el calor, al igual que el trabajo, se considera como
energía en tránsito, un concepto que ganó aceptación después de 1850, en gran
medida por los experimentos realizados por JI? Joule (181%1889), un fabricante
de cerveza de Manchester, Inglaterra. En el capítulo 2 se consideran con detalle
estos experimentos, pero primero se examinarán algunas características del calor.
1.9 Calor
De la experiencia se sabe que un objeto caliente que entra en contacto con uno frío SC
enfría, mientras que el objeto tio se calienta. Un punto de vista razonable es que algo
se transfiere del objeto caliente al frío, y ese algo es lo que se llama calor, Q.6 Así SC
%n punto de vista igualmente razonable es considerar que se transfiere “frío” de un objeto frío a
otro caliente.
18
CAPÍTULO 1. Introducci6n
afirma que el calor siempre fluye de una temperatura mayor hacia otra menor. Lo
anterior conduce al concepto de temperatura como la fuerza necesaria para transferir energía en forma de calor. En términos más precisos, la rapidez con la que se
transfiere calor de un cuerpo a otro es proporcional a la diferencia de temperatura
entre los dos cuerpos; cuando no hay diferencia de temperatura, no existe transferencia neta de calor. En el sentido termodinámico, el calor nunca se considera
como algo almacenado en un cuerpo. Al igual que el trabajo, éste existe sólo como
energía en tránsito de un cuerpo a otro, o entre un sistema y sus alrededores.
Cuando se añade energía a un cuerpo en forma de calor, éste se almacena no como
calor sino como energía cinética y potencial en los átomos y moléculas que forman
el cuerpo.
A pesar de la naturaleza transitoria del calor, éste a menudo es visto en relación con su efecto sobre el cuerpo hacia o desde el cual se transfiere. De hecho,
alrededor de 1930 las definiciones de unidades de calor se basaban en cambios de
temperatura de una unidad de masa de agua. Así se definió la caloria como la
cantidad de calor que cuando se transfiere a un gramo de agua aumenta la temperatura de ésta un grado Celsius. Por otra parte, la unidad térmica británica, o
(Btu), era definida como la cantidad de calor que cuando se transfiere a una libra
masa de agua aumenta la temperatura de ésta un grado Fahrenheit. Aunque estas
definiciones proporcionan una “idea” de la magnitud de las unidades de calor,
dependen de los experimentos realizados con agua y, en consecuencia, están sujetas a cambio a medida que se obtengan mediciones más exactas. En la actualidad
se reconoce a la caloría y al (Btu) como unidades de energía, y se definen con
respecto al joule, que es la unidad SI de energía, igual a 1 N m. Este es el trabajo
mecánico realizado cuando una fuerza de un newton actúa a través de una distancia de un metro. Todas las demás unidades de energía se definen como múltiplos
del joule. El pie-libra Juerza, por ejemplo, equivale a 1.3558179 J, la caloría a
4.1840 J y el (Btu) a 1 055.04 J. La unidad SI de potencia es el tiatt, símbolo W,
definida como una rapidez de energía de un joule por segundo.
La tabla A.l del apéndice A proporciona una lista extensa de factores de
conversión para la energía, así como para otras unidades.
PROBLEMAS
1.1. iCuál es el valor de gc y cuáles son sus unidades en un sistema donde el segundo, el
pie y la libra masa están definidos como en la sección 1.2, y la unidad de fuerza es
el poundal, definida como la fuerza necesaria para dar a 1 (Ib,) una aceleración de
1 (fQ(s)-s?
1.2. Con un manómetro de peso muerto se miden presiones hasta de 3 500 bar. El diámetro del pistón es 0.95 cm. iCuál es la masa aproximada, en kg, de los pesos necesarios
para hacer las mediciones?
1.3. Con un manómetro de peso muerto se miden presiones hasta de 3 500 (atm). El
diámetro del pistón es 0.44 (in). iCuál es la masa aproximada, en (Ib,), de los pesos
necesarios para hacer las mediciones?
Problemas
1.4. La lectura de un manómetro de mercurio a 25°C (abierto a la atmosfera por uno de
sus extremos) es 43.62 cm. La aceleración local de la gravedad es 9.806 m s-2. La
presión atmosférica es 101.45 kPa. iCuál es la presión absoluta, en kPa, medida? La
densidad del mercurio a 25°C es 13.534 g cmm3.
1.5. La lectura de un manómetro de mercurio a 70(“F) (abierto a la atmósfera por uno de
susextremos) es27.36(in). Laaceleraciónlocaldelagravedades32.187(ft)(s)-2.
La
presión atmosférica es 30.06(in Hg). iCuál es el valor de la presión absoluta, en
(psia), medida? La densidad del mercurio a 70(“F) es 13.543 g cmm3.
1.6. Las primeras mediciones exactas de las propiedades de los gases a presiones altas
fueron hechas por E. H. Amagat en Rancia entre 1869 y 1893. Antes del desarrollo
del manómetro de peso muerto, Amagat trabajó en el pozo de una mina y utilizó un
manómetro de mercurio para medir presiones mayores que 400 bar. Estime la altura
del manómetro requerido para hacer esto.
1.7. Se construye un instrumento para medir la aceleración de la gravedad en Marte. El
aparato consta de un resorte del cual se suspende una masa de 0.38 kg. En un lugar
sobre la tierra donde la aceleración de la gravedad es 9.80 m s2, el resorte se alarga
1.03 cm. Cuando el instrumento aterriza en Marte, envía una señal donde informa
que el resorte se ha estirado 0.38 cm. iCuál es el valor de la aceleración de la gravedad en Marte?
1.8. Un grupo de ingenieros que ha aterrizado en la luna desea determinar la masa de
algunas rocas. Para hacerlo cuentan con un resorte calibrado para proporcionar
lecturas de libra masa en un sitio donde la aceleración de la gravedad es
32.192(ft)(s)-2. La lectura obtenida para una de las rocas lunares en esta escala es
13.37. iCuál es la masa de la roca? QCuál es el peso de ésta en la luna? Suponga que
g(luna) = 5.32(ft)(s)-2.
1.9. Un gas se encuentra confinado por un pistón en un cilindro que tiene un diámetro de
1.5(ft). Sobre el pistón se encuentra un peso. La masa del pistón y el peso es de
300(lb,). La aceleración local de la gravedad es 32.158(ft)(s)-2 y la presión atmosfcrica es 29.84(in Hg).
al
BCuál es la fuerza en (lbf) ejercida sobre el gas por la atmósfera, el pistón y el
peso, suponiendo que no hay fricción entre el pistón y el cilindro?
b)
%Cuál es la presión del gas en (psia)?
c)
Si se calienta el gas contenido en el cilindro, se expande, empujando el pistón y el
peso hacia arriba. Si el pistón y el peso se elevan Z(ft), icuál es el trabajo hecho
por el gas en (ft lbf)? iCuál es el cambio en la energía potencial del pistón y el
peso?
1.10. Un gas está confinado por un pistón en un cilindro con un diámetro de 0.47 m; sobre
el pistón se pone un peso. La masa del pistón y el peso es de 150 kg. La aceleración
local de la gravedad es 9.813 m se2 y la presión atmosférica es 101.57 kPa.
al
K!uál es la fuerza en newtons ejercida sobre el gas por la atmósfera, cl pistón Y
el peso, suponiendo que no hay fricción entre el cilindro y el pistón?
b)
iCuál es la presión del gas en kPa?
c)
Si se calienta el gas del cilindro, se expande, empujando hacia arriba al pistón Y
20
CAF’mO
1 . Imtroduccibn
al peso. Si éstos se elevan 0.83 m, Icuál es el trabajo hecho por el gas en kJ?
QCuál es el cambio en la energía potencial del pistón y el peso?
1. ll. Verifique que la unidad SI de energía cinética y potencial sea el joule.
1.12. Un automóvil con una masa de 1400 kg se desplaza a razón de 30 m s-l. iCuál es la
energía cinética del automóvil en kJ? QCuánto trabajo debe hacerse para detenerlo?
1.13. Las turbinas de una planta hidroeléctrica están alimentadas por agua que cae desde
una altura de 40 m. Suponga que la eficiencia del proceso de conversión de energía
potencial a eléctrica es de 93 por ciento y que 9 por ciento de la potencia resultante se
pierde en la transmisión. Euál es la rapidez de flujo de masa del agua requerido para
encender un foco de 150 watts?
CAPíTULO 2
PRIMERA LEYY OTROS
CONCEPTOS BÁSICOS
2.1
Experimentos de Joule
Durante los años 1840 a 1878, J.l? Joule’ llevó a cabo una serie de experimentos
cuidadosos sobre la naturaleza del trabajo y el calor. Estos experimentos son fundamentales para comprender la primera ley de la termodinámica y el concepto
moderno de energía.
En esencia, los experimentos de Joule eran bastante sencillos, pero él tomó
muchas precauciones para asegurar la exactitud. En su famosa serie de mediciones, Joule colocó cantidades conocidas de agua en un contenedor aislado y agitó el
agua con un agitador giratorio. La cantidad de trabajo hecha sobre el agua por el
agitador fue medida con exactitud, anotándose con cuidado los cambios de temperatura del agua. Joule encontró que se necesitaba una cantidad fija de trabajo por
unidad de masa de agua por cada grado de aumento en la temperatura provocado
por el agitador, y que la temperatura original del agua podía restablecerse por la
transferencia de calor a través del simple contacto con un objeto más frío. Así fue
como Joule mostró de manera concluyente la existencia de una relación cuantitativa entre el trabajo y el calor y que, en consecuencia, el calor es una forma de
energía.
2.2 Energía interna
En experimentos tales como los efectuados por Joule, se añade energía al agua
como trabajo, pero se extrae de ésta como calor. Con esto surge la pregunta de qué
‘Una descripción de los chlebres experimentos de Joule aparece en James Prescott Joule and th
Conce@ ofEne?gy por H.J. Steffens, capítulo 4, Neale Watson Academic Publications, Inc., Nueva
York, 1979.
CAPÍTULO 2.
22
Primera ley y otros conceptos b&icos
es lo que le sucede a la energía entre el momento en que se añade al agua como
trabajo y el momento en que se extrae como calor. La lógica sugiere que esta energía se encuentra contenida en el agua, en otra forma, la cual se define como energda
interna.
La energía interna de una sustancia no incluye la energía que ésta tal vez ya
tenga como resultado de su posición macroscópica o de su movimiento: En- lugar
de ello, el término se refiere a la energía de las moléculas que forman la sustancia,
lasCuáles se encuentran en un movimiento continuo y tienen energía-XI-..cinéticas-de
/
traslación, con excepción de las moléculas monoatómicas que tambiénposeenenergía cinética de rotación y de vibración interna. La adición de calor a la sustancia
aumenta esta actividad molecular, provocando un aumento-én la energía
-I- Interna.
I .. I
El trabajo hecho sobre la sustancia puede tener el mismo efecto, tal-como lo demostró Joule.
La energía interna de una sustancia también incluye la energía potencial
resultante de las fuerzas intermoleculares. A escala submolecular, existe una energía asociada con los electrones y los núcleos de los átomos, así como una energía de
enlace resultante de las fuerzas que mantienen a los átomos unidos como moléculas. Aunque se desconocen los valores absolutos de la energía interna, este hecho
no representa ninguna desventaja en el análisis termodinámico, ya que sólo se
necesitan los cambios en la energía interna.
La designación de esta forma de energía como interna la distingue de la energía cinética y potencial que tal vez tenga una sustancia como resultado de su posición o movimiento macroscópicos, y que pueden considerarse como formas externas de energía.
2.3
Primera ley de la termodinámica
El reconocimiento del calor y la energía interna como formas de energía sugiere
una generalización de la ley de la conservación de la energía mecánica (sec. 1.8)
para aplicarla al calor y a la energía interna, así como al trabajo y a la energía
cinética y potencial externas. Por otro lado, la generalización puede extenderse a
otras formas de energía, tales como la energía superficial, la energía eléctrica y la
energía magnética. Al principio esta generalización no fue más que un postulado,
pero sin excepción alguna todas las observaciones hechas en procesos ordinarios la
apoyan.2 De aquí que el postulado haya alcanzado el estado de ley de la naturaleza
y se conozca como primera ley de la termodinámica. Un planteamiento formal de
ésta es:
Aunque la eneryía tome muchas formas, la cantidad total de energia es
constante, y cuando la energia desaparece en una forma, aparece simultáneamente en otras formas.
’ F’ara procesos de reacción nuclear, la ecuación de Einstein es aplicable, E = ww?, donde c es la
velocidad de la luz. Aquí, la masa se transforma en energía, y las leyes de la conservación de la masa
y la energía se combinan para establecer que la masa y la energía juntas se conservan.
2.3. Primera ley de la termodinámica
23
Al aplicar la primera ley a un proceso dado, la esfera de influencia del proceso
se divide en dos partes, el sistema y sus alrededores. La parte donde se lleva a cabo
el proceso es la que se toma como sistema; toao aquello con lo que el sistema
interactúa se considera como los alrededores. El sistema puede tener cualquier
tamaño dependiendo de las condiciones particulares, y sus fronteras pueden ser
reales o imaginarias, rígidas o flexibles. Con frecuencia el sistema está formado
por una sola sustancia; en otros casos puede ser complejo. En cualquier caso, las
ecuaciones de la termodinámica se escriben con referencia a un sistema bien definido. Esto dirige la atención al proceso particular de interés y al equipo y material
que está directamente relacionado con el proceso. Sin embargo, la primera ley se
aplica al sistema y sus alrededores, y no únicamente .al sistema. En su forma más
básica, la primera ley puede escribirse como
A(Energía del sistema) + A(Energía de alrededores) = 0
(2.1)
donde el operador de diferencia “A” significa cambios finitos en las cantidades que
aparecen entre paréntesis. Los cambios en el sistema pueden darse en su energía
interna, en su energía potencial o cinética y en la energía potencial o cinética de sus
partes finitas. Puesto que la atención se dirige sobre el sistema, la naturaleza de
los cambios de energía en los alrededores no es de interés.
En un sentido termodinámico, el calor y el trabajo se refieren a energía en
tránsito a través de la frontera que divide al sistema de sus alrededores. Estas
formas de energía no se almacenan y nunca están contenidas en el cuerpo o sistema. La energía se guarda en forma de energía cinética, potencial e interna; éstas
residen en los objetos materiales y existen debido a la posición, configuración y
movimiento de la materia.
Si la frontera de un sistema nO permite el transporte de materia entre .el,
sistemay sus alrededores, entonces se dice que eisktema es cerrado,.y.8.u. rn.asa es
n&&&àmente
___ _. .-. . constante. En,este caso no puede haber traqsp&e de enxgía.interpa
a tr&és de la front.era,del sistema. Todo el intercambio de ener@Ia entre. un sistema i
SUS alr&edores Se hace como calor y trabajo, y el cambio en la energía total de 10s
alrededores es igual a la energía neta transferida hacia o desde él con@ c&r y,trabajo.
El segundo término de la ecuación (2.1) puede, por tanto, remplazarse por. .
_
.
A(Energía de alrededores) = ?Q + W
La selección de los signos utilizados con Q y W depende de la dirección del transporte considerada como positiva.
El primer término de la ecuación (2.1) puede desarrollarse para mostrar
cambios de energía en distintas formas. Si la masa del sistema es constante y sólo
participan cambios en las energías interna, cinética y potencial,
A(Energía del sistema) = AU’ + AEK + AEp
donde uf es la energía interna total del sistema. Con esto, la ecuación (2.1) puede
escribirse como
24
CAPÍTULO 2.
Primera ley y otros conceptos básicos
La convención moderna del signo, tanto para el calor Q como para el trabajo W,
hace que los valores numéricos de ambas cantidades sean positivos para el transporte, de los alrededores hacia el sistema, a través de la frontera. Con esto-G
. _ ._-_. -....mente, puede escribirse3
Aut+AEK+AEp=Q+W
(2.2)
La ecuación (2.2) indica que el cambio total de energía de un sistema de masa
constante es igual a la energía neta transportada hacia él como calor y trabajo.
Los sistemas cerrados a menudo.experimentan
pr.ooeso.sque no- --causan
nin_____~
gún ca~mZZ0 en su energía potenéial o..cinética externas, sino solamente en su ener----- gíii
procesos,.,l,l. ecuaeioni@,2&e reduce .a..
.____ EitëFñX~~~~~~~~t~!~~
-_ .- ...
IAr/‘=g+~i
.__ .__ _.._.~.__^
(2.3)
La ecuación (2.3) se aplica a procesos donde participan cambios finitos en la energía interna del sistema. Para cambios diferenciales, la ecuación se escribe como
dUt=dQ+dW
--_-
(2.4)
Esta ecuación, al igual que la (2.3), se aplica a sistemas cerrados que experimentan únicamente cambios en su energía interna. Claro está que el sistema debe
estar bien definido, tal como lo ilustran los ejemplos de éste y otros capítulos.
Las unidades utilizadas en las ecuaciones (2.2) a (2.4) deben ser las mismas
para todos los términos. En el sistema SI la unidad de energía es el joule. Todavía
se emplean otras unidades de energía como la caloría, la (ft lbf) y el (Btu).
2.4
Estado termodinámico y funciones de estado
La notación de las ecuaciones (2.2) y (2.3) sugiere que los términos de los miembros izquierdos tienen una naturaleza distinta a los que aparecen en los miembros
derechos. Los primeros representan cambios en las características del sistema que
determinan la condición macroscópica de éste. Los términos de energía cinética y
potencial toman en cuenta cambios en lo que se ha llamado formas externas de
energía. El término de energía interna refleja cambios a nivel molecular o microscópico, esto es, en el estado interno o estado termodinámico del sistema. Éste es el
estado que se encuentra reflejado por sus propiedades termodinámicas, entre las
cuales se encuentran la temperatura, la presión y la densidad. De la experiencia se
sabe que para una sustancia pura homogénea, la determinación de los valores de
dos de estas propiedades automáticamente fija el valor de todas las demás, lo que
determina el estado termodinámico. Por_ .~._
ejemplo,
el nitrógeno gaseoso a una tem- .---3Ésta es la convención recomendada por la International Union of Pure and Applied Chemistry.
Sin embargo, la selección original del signo para el trabajo empleada en las ediciones anteriores de
este libro-era opuesta a la adoptada aquí; el miembro derecho de la ecuación (2.2) era escrito como
Q- W.
2.4.
Estado termodinámico y funciones de estado
25
peratura de 300 K y-presión de lo5 kPa,(J- bar) tiene
. . - -...un ._ volumen
I.. ._ _-. __“. (0-densidad)
_-___.~p&fitio fij-o, as; como una energía interna fija. Por otro ladq,s’_g_ _--1-_tiene
___ __ un
coAjunto establecido de propiedades..--termodinámicas.
Si
~1
g&,se
calienta
o
enf&i..“.
._,.
..-- -.., . . .” _-__-”
comprime o expande, y !u.egi *egresa a.!ls condi&ones i+a,l.es, lo.. que-se .encuen..- _ _.I,
tra es que éste tiene el mismp .conjunto de D.r.opiedades cque antes. Estas pr.opicbades no dependen be lo que haya wcedibg.antes con la sustancia ni de los medj&
por los que ésta alcanza un estado- dado, sino que dependen ~&+v.am~nte de las..
condiciones presentes. Estas cantidades se conocen comofinciones de estado. Cuando dos de ellas se fijan o sus valores se mantienen constantes para una s&ancia
homogénea pura,4 entonces elestado termodinámico de la sustancia está completamente determinado. Lo anterior significa que una función de estado, tal corno la
energía interna o la densidad, es una propiedad que si&inpre tlcne un Valõr; -ti&
consiguiente, puede expresarse matemáticamente como una función de las demás
propiedades termodinámicas, tales como la temperatura y la presión, y es posible
identificar sus valores con puntos sobre una gráfica.
Por otro lado, los términos de los miembros derechos de las ecuaciones (2.2)
y (2.3) representan trabajo y calor, que no son propiedades; estos términos toman
en cuenta los cambios de energía que ocurren en los alrededores y aparecen sólo
cuando se presentan cambios en un sistema. Ellos dependen de la naturaleza del
proceso que provoca el cambio y están asociados con áreas más que con puntos
sobre una gráfica, tal como sugiere la figura 1.3. Aunque el tiempo no es una
coordenada termodinámica, es necesario notar que el transcurso del tiempo es
inevitable cada vez que se transfiere calor o trabajo.
La diferencial de una función de estado representa un cambio infinitesimal
e-c su valor. La integración de t,al diferencial resulta en una diferencia finita entre
dos de sus valores. Por ejemplo,
--‘--.__
fs i
4
dP=Pz-P1=AP
y
1; dV = V, - V, = AV
Las diferenciales de calor y trabajo no son cambios, sinocantidades infinitesimales.
Cuando éstas se integran, el resultado no es un cambio finito sino una cantidad
finita. Así
I dQ=Q
_---
Y
I dW = W
Para sistemas cerrados que experimentan el mismo cambio en el estado mediantèpf;ocesos diferentes, los experimentos muestran que las &titla¿les de calor
y trabajo necesarias difieren de un proceso a otro, pero qnc IU sunw Q + W es
_’ “-la-.misma para todos los procesos. Lo anterior proporciona una justificación experl4Para sistemas con una complejidad mayor que la de una sustancia pura homogénea simple, el
número de propiedades o funciones de estado que deben especificarse de manera arbitraria para
poder definir el estado de un sistema es distinta de dos. El método para determinar este número es
el tema de la sección 2.8.
CAF’ÍTULO
26
2.
Primera ley y otros conceptos básicos
mental del planteamiento para considerar a la energía interna como una función
de estado. La ecuación (2.3) proporciona el mismo valor de AUt sin importar el
proceso, siempre y cuando el cambio en el sistema tenga los mismos estados inicial
y final.
La
energía .- mterna
--- de un sistema,-_-jgual que-su vommen,. depende de la
cantidad de.mat.er& que hay en el; se
estas propiedades son extensivas.
En
.-.-- dice
- . .que
_ . _____
-II, -. .-- ____
con&aste, la temperaturas y la presión, que son las princìpales I, . coordenadas
termo-_ _
‘.
dinámmas para fluidos homogéneos, son iñdependíentesde
la cantidadI&“materia
_
_^ ___.-.. I.
que forma el sistema, y se conocen como propiedades intensivas.
Las ecuaciones de la primera ley pueden es¿%rse parax&emas que contienen cualquier cantidad de materia; con esto, los valores de Q, Wy los términos de
energía se refieren a todo el sistema. Sin embargo, lo más frecuente es escribir las
ecuaciones termodinámicas para una cantidad unitaria representativa de materia,
ya sea una unidad de masa o un mol. Con esto, el volumen y la energía interna
están dadas para cantidades unitarias, con lo que se convierten en propiedades
intensivas independientes de la cantidad de materia presente en el sistema. En
consecuencia, aunque el volumen total Vt y la energía interna total Ut de una cantidad arbitraria de materia sean propiedades extensivas, el volumen específico y
molar V (o densidad) y la energía interna específica y molar U son intensivas. Para
una cantidad unitaria representativa del sistema, la escritura de las ecuaciones
(2.3) y (2.4) establece todos los términos que aparecen en una base unitaria, pero
esto no convierte a Q y W en propiedades termodinámicas o funciones de estado.
La multiplicación de una cantidad, que está dada por unidad (Vo U), por la masa
(o número de moles) del sistema proporciona la cantidad total (esto es, Vt = mVo
U’ = mu).
La energía interna (a través de la entalpía, definida en la sección 2.5) es útil
para calcular cantidades de calor y trabajo para equipos tales como intercambiadores
de calor, evaporadores, columnas de destilación, bombas, compresores, turbinas,
máquinas, etc., precisamente debido a quees una función de estado. La tabulación
de todas las Q y W posibles para todos los procesos posibles es una tarea imposible.
Pero las funciones de estado intensivas, tales como el volumen específico y la energía interna específica, son propiedades de la materia. Estas pueden medirse, y sus
valores pueden tabularse como funciones de la temperatura y la presión de una
sustancia particular, para su uso futuro en el cálculo de Q y W, para cualquier
proceso donde participe dicha sustancia. En capítulos posteriores se estudiará la
medición, correlación y uso de estas funciones de estado.
qemplo 2.1 Una cascada tiene una caída de 100 metros de altura. Considere 1 kg
de agua y suponga que no se intercambia energía entre esta cantidad de agua y SUS
alrededores.
b)
es la energía potencial del agua en la parte superior de la cascada con
respecto al nivel inferior de la misma?
QCuál es la energía cinética del agua justo antes de que llegue al fondo de la
c)
Después de que el kilogramo de agua entra al río que corre debajo de la
al
iCuál
cascada?
cascada, Aqué
cambio ocurre en su estado?
2.4.
Estado
temodinámico
y
funciones
de
estado
27
Si se toma 1 kg de agua como el sistema, y si no existe intercambio de
energía entre éste y SUS alrededores, entonces pueden hacerse Q y Wiguales a cero y
escribir la ecuación (2.2) como
SOLUCIÓN
AU+AE,+A&=o
Esta ecuación se aplica a cada parte del proceso.
a) De la ecuación (1.7),
Ep = mzg = 1 kg X 100 m X 9.8066 m s2
donde el valor de g es el valor estándar. Con esto se tiene que
o
Ep = 980.66 N m
980.66 J
6) Durante la caída libre del agua no existe ningún mecanismo para la conversión
de la energía cinética o potencial en energía interna. Por tanto, AU debe ser cero y
AEp+AEK=EK2-E~]
+Ep,-Ep,=O
Con fines prácticos, puede tomarse EK~ = Ep2 = 0. Entonces,
EKz = Ep1 = 980.66 J
c) Al momento en que el kilogramo de agua llega al fondo de la cascada y se
mezcla con la demás agua que cae para formar parte del río, la turbulencia resultante tiene el efecto de convertir la energía cinética en energía interna. Durante este
proceso, AEp es esencialmente cero, y la ecuación (2.2) se convierte en
AU+AEK=O
o
AU = EK~ - EK:~
Sin embargo, la velocidad del río se supone que es pequeña, y por tanto EK, es despreciable. En consecuencia,
AU = EK~ = 980.66 J
El resultado global del proceso es la conversión de la energía potencial del agua en
energía interna del agua. Este cambio en la energía interna se manifiesta como un
aumento en la temperatura del agua. Puesto que se requiere una cantidad de energía
igual a 4 184 J kg-r para aumentar 1°C la temperatura del agua, el aumento de ésta
es 980.66/4 184 = 0.234”C, si no existe transferencia de calor con los alrededores.
Ejemplo 2.2 Un gas está confinado en un cilindro por un pistón. La presión inicial
del gas es 7 bar, y el volumen es 0.10 m3. El pistón se mantiene en su posición
mediante unos seguros que se encuentran en la pared del cilindro. Todo el aparato
está colocado dentro de un vacío total. iCuál es el cambio de energía en el aparato si
se quitan los seguros de modo que el gas se expanda repentinamente hasta duplicar
su volumen inicial? Al final del proceso, el pistón queda de nuevo sujeto por los
seguros.
SOLUCIÓN
Puesto que la pregunta tiene que ver con todo el aparato, el sistema que
se considera es el gas, el pistón y el cilindro. En este proceso no se hace ningún
CAPÍ!lULO 2.
28
Primera ley y otros conceptos básicos
trabajo, puesto que no se mueve ninguna fuerza externa al sistema, y tampoco se
transfiere calor por el vacío que rodea al aparato. De aquí que Q y W sean cero, y la
energía total del sistema permanece sin cambio. Sin información adicional, no puede
decirse nada sobre la distribución de energía entre las partes que forman el sistema.
‘IU vez ésta sea diferente a la de la distribución inicial.
Ejemplo 2.3
Si se repite el proceso descrito en el ejemplo 2.2, no en el vacío sino en
el aire a la presión atmosférica estándar de 101.3 kPa, icuál es el cambio de energía
del aparato? Suponga que la rapidez de intercambio de calor entre el aparato y el
aire que lo rodea es lenta comparada con la rapidez con la que ocurre el proceso.
SOLUCIÓN
El sistema es exactamente el mismo que el del ejemplo 2.2, pero en este
caso el sistema hace trabajo al empujar el pistón contra la atmósfera. Este trabajo
está dado por el producto de la fuerza ejercida por la presión atmosférica sobre el
pistón y el desplazamiento de éste. Si el área del pistón es A, la fuerza es P = P,d.
El desplazamiento del pistón es igual al cambio en el volumen del gas dividido por el
área del pistón, o AZ = AVt/A. El trabajo hecho por el sistema sobre los alrededores,
de acuerdo con la ecuación (l.l), es entonces
Trabajo hecho por el sistema = P Al = Patm AV’
= (101.3)(0.2 - 0.1) = 10.13 kPa m3
Puesto que W es el trabajo hecho sobre el sistema, es el negativo de este resultado:
W = -10.13 kN m = -10.13 kJ
En este caso también es posible la transferencia de calor cntrc el sistema y sus alrededores, pero el problema está resuelto para un instante después de ocurrido el proceso y antes de que se lleve a cabo la transferencia de calor. Por tanto, al suponer que
Q es cero en la ecuación (2.2), se tiene que
A(Energía del sistema) = Q + W = 0 - 10.13 = -10.13 kJ
La energía total del sistema ha disminuido en una cantidad igual al trabajo hecho
sobre los alrededores.
En la figura 2.1, cuando un sistema se lleva del estado a al b a lo largo
de la trayectoria acb, fluyen 100 J de calor hacia el sistema y éste hace un trabajo de
40 J. iCuánto calor fluye hacia el sistema a lo largo de la trayectoria aeb si el trabajo
hecho por el sistema es 20 J? El sistema regresa de b a a por la trayectoria bda. Si el
trabajo hecho sobre el sistema es 30 J, iel sistema absorbe o libera calor? BEn qué
cantidad?
IQemplo 2.4
Primero se supone que lo único que cambia del sistema es su energía
interna y que es posible aplicar la ecuación (2.3). Para la trayectoria acb,
SOLUCIÓN
AU;, =Q~+Ww,b=100-40=60J
Éste es el cambio en la energía interna para el cambio de estado de a a b a lo largo de
cualquier trayectoria. Por tanto, para la trayectoria aeb,
AU;, =60=Q,a+W,b=Qaeb-20
2.5. Entalpía
29
b
V
F’igura 2.1:
Diagrama del ejemplo 2.4.
de aquí que
Qaeb = 80 J
Para la trayectoria bda,
A TJia = - A U:, = -60 = Qbdu + Wl,<i,, = QM,, + 30
En consecuencia,
QMa = -60 - 30 = -90 J
Por consiguiente, el sistema libera
2.5
calor.
Entalpía
Existen varias propiedades termodinámicas relacionadas con la energía interna
que se definen debido a la utilidad que tienen cn la aplicación de la termodinámica
a los procesos prácticos. En esta sección se introduce la entalpía, y en otras sccciones subsecuentes se presentan otras. Para cualquier sistema, la entalpía está defínida explícitamente por la expresión matemática
donde u’ = energía total interna
P = presión absoluta
V = volumen total
i
CAPÍTULO
30
2.
Primera ley y otros conceptos básicos
Para una masa unitaria, 0 para un mal, la expresión anterior se convierte en
-_
~~
,-,
-----.------(2.5)
rLas unidades de todos los términos de esta ecuación deben ser las mismas. El
producto PV tiene unidades de energía, al igual que U; por consiguiente, H también tiene unidades de energía. En el sistema SI la unidad básica de presión es el
Pascal, o N rnm2, y, para el volumen, el m 3. Por tanto, el producto PV tiene la
unidad N m o joule. En el sistema inglés de unidades de ingeniería, una unidad
común para el producto PV es el (ft lbf), el cual aparece cuando la presión está
dada en (lbf) (ft)-2 y el volumen en (ft)3. A menudo este resultado se convierte a
(Btu) a través de una división por 778.16 para su uso en la ecuación (2.5) debido
a que la unidad común en el sistema inglés para U y H es el (Btu).
Puesto que U, P y V son todas funciones de estado, H, tal y como está clefinida por la ecuación (2.5), también debe ser una función de estado. La forma
dife~ ~ --_
rencial
íle
la
ecuación
(2.5)
puede
escribirse
como
,dH = dU + d(PV)
W-9
Esta ecuación se aplica cada vez que ocurre un cambio diferencial en el sistema. ,-La
integración de la ecuación (2.6) proporciona el resultado siguiente
(2.7)
-AH=AU+A(PV)
que es una expresión que puede aplicarse cada vez que ocurre un cambio finito en
el sistema. Las ecuaciones (2.5) a (2.7) se aplican a una masa unitaria de sustancia 0 a un mol. &l igual que el volumen y la energía interna, la eh&!& es una
propiedad extensiva; claro está que la entalpía específica 0 molar es intensiva.
La entalpía es Útil como propiedad termodinámica debido a que el término U +
PVaparece con mucha frecuencia, particularmente en problemas que involucran proce-
sos de flujo. En el ejemplo que sigue se ilustra el cálculo de un valor numérico para H.
qemplo 2.5 Calcule AU y hH para 1 kg de agua cuando ésta se evapora a una
temperatura y presión constantes de 100°C y 101.33 kPa, respectivamente. Los
volúmenes específicos del líquido y el vapor de agua en estas condiciones son 0.00104
y 1.673 m3 kg-‘. Para este cambio, se añade al agua una cantidad de calor igual a
2 256.9 kJ.
Se toma como sistema el kilogramo de agua debido a que éste es el único
en el que se tiene interés. Para ello, imagine que el agua está contenida en un cilindro
por un pistón que no tiene fricción, el cual ejerce una presión constante de 101.33
kPa. A medida que se añade calor, el agua se expande de su volumen inicial a SU
volumen final, haciendo trabajo sobre el pistón. De acuerdo con la ecuación (1.3),
SOLUCIÓN
W = -P AV = -101.33 kPa X (1.673 - 0.001) m3
de aquí que
W = -169.4 kPa m3 = -169.4 kN mw2 m3 = -169.4 kJ
2.6.
Procesos de flujo continuo en estado estable
Puesto que
31
Q = 2 256.9 kJ, la aplicación de la ecuación (2.3) da como resultado
AU = Q + W = 2 256.9 - 169.4 = 2 087.5 kJ
Con P constante, la ecuación (2.7) se convierte en
AH=AU+PAV
Pero PAV = -W. Por consiguiente,
AH = AU- W = Q = 2 256.9 kJ
2.6
Procesos de flujo continuo en estado estable
La aplicación de las ecuaciones (2.3) y (2.4) está restringida a procesos donde no
hay flujo (masa constante), en los que sólo ocurren cambios en la energía interna.
Mucho más importantes, desde un punto de vista industrial, son los procesos en
los que fluye fluido a una rapidez constante a través de un equipo. En esta sección
se considerará sólo el caso especial de un proceso de flujo continuo en estado cstable, para el que las condiciones y rapidez de flujo en todos los puntos a lo largo de
la trayectoria de flujo son constantes con respecto al tiempo. Lo anterior significa
que no puede haber acumulación de material o energía en cualquier punto. leles
procesos requieren la aplicación de la expresión general de la primera ley, ecuación
(2.2), pero primero es necesario escribir ésta de una forma más conveniente.
La figura 2.2 representa un proceso de flujo continuo en estado estable en el
que un fluido, ya sea líquido o gas, fluye por un equipo, desde una entrada hacia
una salida. Por tanto, la rapidez de flujo de masa es constante a lo largo dc toda la
trayectoria de flujo. En la sección 1, que es la entrada al aparato, las condiciones
del fluido se indican con el subíndice 1. En este punto el fluido tiene una altura 21,
medida con respecto a un nivel de referencia arbitrario, una velocidad promedio
UI, un volumen específico VI, una presión PI, una energía interna U1, etc. De manera similar, las condiciones del fluido en la sección 2, que es la salida del aparato,
están indicadas por el subíndice 2.
El sistema se toma como una masa unitaria de fluido, y se considerarán
todos los cambios que ocurren en la masa unitaria de fluido a medida que ésta
fluye por el aparato, desde la sección 1 hasta la 2. La energía de la masa unitaria
puede cambiar entre todas las tres formas de energía tomadas en cuenta por la ecuación
(2.2), esto es, potencial, cinética e interna. El cambio de energía cinética de una masa
unitaria de fluido entre las secciones 1 y 2 se desprende de la ecuación (1.5):
En esta ecuación u representa la velocidad promedio del fluido que fluye, definida
como la rapidez de flujo volumétrico dividida por el área de sección transversal.5 El
5Esta es una aproximación apropiada para el desarrollo completo del flujo turbulento, que normalmente es el único caso para el que el término de energía cinética es significativo.
CAPÍ!lVLO
32
2.
Primera ley y otros conceptos básicos
Seckn 1
Intercambiador
de calor
Sección 2
Nivel de referencia
Figura 2.2:
Proceso de flujo continuo en estado estable.
cambio en la energía potencial de una masa unitaria de fluido entre las secciones 1
y 2 se basa en la ecuación (1.7):
AEp = z2g-qg = g Az
Con esto, la ecuación (2.2) se convierte en
AU + ~
Au2 +gAz=&+W
2
G.53)
donde Q y W representan todo el calor y trabajo aiíadidos por unidad de masa del
fluido que fluye por el aparato.
Puede parecer que W es sólo el trabajo en la flecha W, indicado en la figura
2.2, pero éste no es el caso. El término trabajo en la flecha significa trabajo hecho
por o sobre el fluido que fluye a través de una pieza de equipo y que es transmitido
por un eje que sobresale del equipo y que gira o tiene un movimiento oscilante. Por
consi,guiente, W, representa el trabajo que se intercambia entre el sistema y sus
alrededores a través de este eje.
Además de W,, existe trabajo que se intercambia entre la masa unitaria de
fluido tomada como sistema y el fluido que se encuentra a cada lado de ella. La
masa unitaria de fluido considerada como el sistema puede imaginarse como encerrada por diafragmas flexibles y que su flujo por el aparato es como el de un cilindro de fluido cuyas dimensiones responden a cambios en el área de sección transversal, la temperatura y la presión. lbl como se ilustra en la figura 2.2, un dibujo
2.6.
33
l?rocesos de flujo continuo en estado estable
de este cilindro en cualquier parte a lo largo de su trayectoria muestra las fuerzas
de presión en sus extremos ejercidas por el fluido adyacente. Estas fuerzas se mueven
con el sistema y hacen trabajo. La fuerza que empuja al cilindro a favor de la
corriente hace trabajo sobre el sistema. La fuerza que se opone al flujo de corriente
da como resultado trabajo hecho por el sistema. De la sección 1 a la sección 2,
estas dos fuerzas de presión siguen exactamente la misma trayectoria y cambian
de la misma manera. De aquí que el trabajo neto que ellas producen entre estas
secciones sea cero. Sin embargo, los términos que representan el trabajo hecho por
estas fuerzas de presión a medida que el fluido entra y sale del aparato, en general
no se cancelan.
En la figura 2.2 la masa unitaria de fluido se muestra justo antes de que
entre al equipo. Este cilindro de fluido tiene un volumen igual a su volumen específico VI para las condiciones que existen en la sección 1. Si su área de sección transversal esAl, entonces su longitud es VIIAl. La fuerza ejercida en la cara opuesta al
flujo de corriente es PIAI, y el trabajo hecho por esta fuerza al empu,jar el cilindro
dentro del aparato es
La expresión anterior representa el trabajo hechosobre el sistema por los alrededores. En la sección 2, el trabajo es hecho por el sistema sobre los alrededores a
medida que el cilindro de fluido sale del aparato. En consecuencia, el trabqjo está
dado por
v,
w, = -P$& - = -P,V,
4
Puesto que en la ecuación (2.8) W representa todo el trabajo hecho sobre la masa
unitaria de fluido, éste es igual a la suma del trabajo en la flecha y del traba.jo
hecho en la entrada y la salida; esto es,
w = Iv, + PIV, - P2V2
En combinación con este resultado, la ecuación (2.8) se convierte en
2
- +gAz=&+W,+P,Vl-PzV2
BU+-”
0
AU+A(PV)+
Au’
2 +gAz=Q+W,
Pero, por la ecuación (2.7),
AU+A(PV)=AH
CAPÍTUL,O
34
2.
primera
ley y otros conceptos básicos
Por consiguiente,
Au2
AH+ ~ +gAz=Q+W,
2
(2.9a)
Esta ecuación es la expresión matemática de la primera ley para un proceso de
flujo continuo en estado estable entre una entrada y salida ímicas. En el capítulo 7
se desarrollarán ecuaciones de mayor generalidad. Todos los términos de la ecuación
(2.9a) son expresiones para la energía por unidad de masa del fluido; en el sistema
SI de unidades, todas ellas se expresan en joules o en múltiplos del joule. Para el
sistema inglés de ingeniería, esta ecuación debe expresarse de otra manera para
incluir la constante dimensional g, en los términos de energía cinética y potencial.
m+A!!Y +gAz=Q+Ws
2gc
gc
(2.9b)
En esta expresión la unidad usual para AH y Q es el (Btu), mientras que lo común
es expresar las energías potencial y cinética y el trabajo como (ft lbf). Por tanto, es
necesario utilizar el factor 778.16(ft lbf)(Btu)-i con los términos apropiados para
ponerlos en unidades consistentes, ya sea (ft lbf) o (Btu).
Para muchas de las aplicaciones consideradas en la termodinámica, los términos de energía cinética y potencial son muy pequeños comparados con los demás
y, por tanto, pueden despreciarse. En tales casos, las ecuaciones (2.9a) y (2.9b) se
reducen a
AH=Q+W,
(2.10)
Esta expresión de la primera ley para un proceso de flujo continuo en estado estable es análoga a la ecuación (2.3) para procesos donde no hay flujo. Sin embargo,
en este caso la entalpía es la propiedad termodinámica de importancia, en lugar de
la energía interna.
Las ecuaciones (2.9) y (2.10) son útiles para la solución de muchos problemas de flujo continuo en estado estable. Para la mayor parte de las aplicaciones, es
necesario tener a la mano el valor numérico de la entalpía. Puesto que H es una
función de estado y una propiedad de la materia, sus valores dependen sólo de las
condiciones en un punto; una vez determinados, éstos pueden tabularse para su
uso subsecuente cada vez que se encuentren las mismas condiciones. Por tanto, la
ecuación (2.9) puede aplicarse a procesos de laboratorio diseñados específicamente
para la medición de datos de entalpía.
Uno de estos procesos hace uso de un calorímetro de flujo. La figura 2.3
muestra un ejemplo sencillo, en forma esquemática, de un dispositivo de este tipo.
La característica esencial de éste es un calentador eléctrico sumergido en un fluido
que fluye. El equipo está diseñado de modo que los cambios en las energías cinética
y potencial del fluido, desde la sección 1 hasta la sección 2 (figura 2.3), sean des-
2.6.
Procesos de flujo continuo en estado estable
35
Sección 1
T,
I
I
I Calentador
Baño a
temperatura
constante
1
I
I
lV'
P-2
II
I
Válvula
1x1
V
- Descarga
Sección 2
Bomba
Figura 2.3:
Calorímetro de flujo.
preciables. Esto requiere simplemente que las dos secciones tengan la misma altura y que las velocidades sean pequeñas. Por otra parte, no se hace ningún trabajo
en la flecha entre las secciones 1 y 2. De aquí que la ecuación (2.9a) SC reduzca a
AH=H2-HI=&
La adición de calor al fluido se hace con el calentador de resistencia eléctrica; la
rapidez con que entra la energía está determinada por la resistencia del calentador
y la corriente eléctrica que pasa por él. Todo el equipo se encuentra bien aislado.
En la práctica existen varios detalles que necesitan atención, pero en principio la
operación del calorímetro de flujo es sencilla. Las mediciones de la rapidez con la
que entra el calor y de la rapidez con la que fluye el fluido, permiten el cálculo de los
valores de AH entre las secciones 1 y 2.
Como ejemplo considere la medición de las entalpías del H20, tanto en fase
líquida como en vapor. El agua en estado líquido es enviada al equipo por una
bomba. El baño de temperatura constante puede estar lleno con una mezcla dc
hielo triturado y de agua para mantener una temperatura de 0°C. El serpentín que
transporta el fluido de prueba (en este caso agua) a través del baño de temperatura constante debe tener una longitud suficiente como para que el fluido salga esencialmente a la temperatura del baño, que es de 0°C. Por tanto, el fluido en la sección 1 siempre es agua líquida a 0°C. La temperatura y la presión en la sección 2 se
miden con instrumentos apropiados. Los valores de la entalpía del Hz0 para varias condiciones en la sección 2 pueden calcularse con la ecuación
Hz = HI + Q
donde Q es el calor añadido mediante la resistencia del calentador por unidad de
masa del agua que fluye.
CAPÍTULO 2.
36
Primera ley y otros conceptos básicos
Es evidente que Hz depende no sólo de Q sino también de Hl. Las condiciones en la sección 1 siempre son las mismas, esto es, agua líquida a O”C, con la
salvedad de que la presión cambia de un experimento a otro. Sin embargo, la presión tiene un efecto despreciable sobre las propiedades del líquido, a menos que se
llegue a presiones muy altas y para fines prácticos, HI puede considerarse como
constante. Los valores absolutos de la entalpía, al igual que los de la energía interna, son desconocidos. Por tanto, puede asignarse un valor arbitrario a HI como
base para todos los demás valores de entalpía. Si se establece HI = 0 para el agua
líquida a O”C, entonces los valores de HZ están dados por
H2=H1+Q=O+Q=Q
Estos resultados pueden tabularse junto con las condiciones correspondientes de
T y P que existen en la sección 2 para un número grande de experimentos. Además,
pueden hacerse mediciones de volumen específico para estas mismas condiciones,
tabulando los resultados. Los valores correspondientes de la energía interna del
agua pueden calcularse con la ecuación (2.5), U = H - PV, y los resultados también pueden tabularse. De esta manera pueden recopilarse las tablas de propiedades termodinámicas sobre todo un rango completo de condiciones útiles. La
tabulación más utilizada es para el Hz0 y se conoce como tablas de vapor.6
La entalpía puede tomarse como cero para algún otro estado diferente al
líquido a 0°C. La elección es arbitraria. Las ecuaciones de la termodinámica, tales
como la (2.9), se aplican a cambios de estado, para los que las diferencias en la
entalpía son independientes de donde se coloque el origen de los valores. Sin embargo, una vez que se escoge el punto cero arbitrario para la entalpía, ya no es
posible hacer una elección arbitraria para la energía interna, ya que los valores de
ésta se calculan con la ecuación (2.5) a partir de la entalpía.
&emplo 2.6 Para el calorímetro de flujo antes descrito, se toman los siguientes
datos con agua como fluido de prueba:
Rapidez de flujo = 4.15 g s-l
t1 = 0°C
tz = 300°C
Pz = 3 bar
Rapidez con la que la resistencia del calentador agrega calor = 12 740 W
Se observa que el agua se vaporiza completamente en el proceso. Calcule la entalpía
del vapor a 300°C y 3 bar con base en H = 0 para el agua líquida a 0°C.
SOLUCIÓN
Si AZ y Au son despreciables y si W, y HI son cero, entonces Hz = Q, y
Hz =
12 740 J s-l
4.15 g s-l
= 3 070 J g-’
“Las tablas de vapor aparecen en el apéndice E En la literatura se encuentran tablas para diversas sustancias. En el capítulo 6 aparece una discusión sobre las compilaciones de propiedades termodinámicas.
2.6.
Procesos de flujo continuo en estado estable
37
Ejemplo 2.7 En un compresor entra aire a baja velocidad, a 1 bar y a 25°C; la
descarga tiene una presión de 3 bar y entra en una boquilla en la que se expande
alcanzando una velocidad final de 600 m s-l con las condiciones iniciales de presión y
temperatura. Si el trabajo hecho por la compresión es 240 kJ por kilogramo de aire,
Icuánto calor debe retirarse durante la compresión?
SOLUCIÓN Puesto que el aire regresa a sus condicicnes iniciales de T y P, el proceso
completo no produce ningún cambio en la entalpía del aire. Por otra parte, el cambio
en la energía potencial del aire es probablemente despreciable. Si también se desprecia la energía cinética inicial del aire, entonces la ecuación (2.9a) puede escribirse
como
El término que corresponde a la energía cinética se evalúa de la siguiente manera:
i ui = T$ (600)2 = 180 000 m2 sm2
0
i u,” = 180 000 N m kg-l = 180 kJ kg-'
Entonces,
Q = 180 - 240 = -60 kJ kg-’
Por tanto, debe retirarse una cantidad de calor igual a 60 kJ por kilogramo de aire
comprimido.
Ejemplo 2.8 Se bombea agua a 200(“F) de un tanque de almacenamiento con una
rapidez de 50(gal)(min)-‘. El motor de la bomba proporciona trabajo a razón de
2(HP). El agua pasa por un intercambiador de calor, entregando calor a razón de
40 OOO(Btu)(min)-‘, para después ser depositada en un segundo tanque de
almacenamiento que se encuentra a una altura de 5O(ft) por encima del primer
tanque. 1Cuál es la temperatura del agua depositada en el segundo tanque?
SOLUCIÓN Éste es un proceso de flujo continuo en estado estable, para el que se
aplica la ecuación (2.9b). Las velocidades inicial y final del agua en los tanques de
almacenamiento son despreciables, con lo que puede omitirse el término Au2/2gG.
Los demás términos están expresados en unidades de (Btu)(lb,)-’ a través del empleo de factores de conversión apropiados. A 200(“F) la densidad del agua es
60.1(lb,)(ftm3, y l(ft)3 equivale a 7.48(gal); por tanto, la rapidez con la que fluye la
masa es
(50)(60.1/7.48) = 402(lb,)(min)-’
a partir de lo cual se obtiene
Q = -40 000/402 = -99.50(Btu)(lb,)-1
CAPÍTULO
2. F!rimera ley y otros conceptos básicos
Puesto que l(HP) equivale a 42.41(Btu)(min-‘),
el trabajo en la flecha es
W, = (2)(42.41)/(402) = 0.21(Btu)(lb,)-r
Si se toma la aceleración local de la gravedad como el valor estándar de 32.174( ft) ( s)-~,
el término que corresponde a la energía potencial es
~ = O.O6(Btu)(lb,)-’
Con la ecuación (2.9b), AH ahora es:
AH = Q + W, - f AZ = -99.50 + 0.21 - 0.06 = -99.35(Btu)(lbJ1
c
La entalpía del agua a 200(“F) está dada por las tablas de vapor como
168.09(Btu)(lbm)-‘.
Por tanto,
AH = Hz -HI = Hz - 168.09 = -99.35
Y
H2 = 168.09 - 99.5 = 68.74(Btu)(lb,)-l
La temperatura del agua que tiene esta entalpía se obtiene de las tablas de vapor y es
t = 100.74(“F)
En este ejemplo, W, y (g/g,)Az son pequeños comparados con Q y, para fines prácticos, pueden despreciarse.
2.7
Equilibrio
La palabra equilibrio denota una condición estática, la ausencia de un cambio. En
termodinámica, el término se emplea no sólo para denotar la ausencia de cambio,
sino también la ausencia de cualquier tendencia hacia un cambio a escala
macroscópica. Así, un sistema en equilibrio es aquel que existe bajo condiciones
tales que no haya ninguna tendencia para que se presente un cambio de estado.
Puesto que cualquier tendencia hacia el cambio está provocada por una fuerza
impulsora de cualquier clase, la ausencia de tal tendencia también indica la ausencia de cualquier fuerza impulsora. De aquí que un sistema en equilibrio pueda
describirse como aquel donde todas las fuerzas tienen un balance exacto. La presencia o no de un cambio en un sistema que no está en equilibrio depende de la
resistencia y de la fuerza impulsora. Muchos sistemas experimentan cambios no
medibles, incluso bajo la influencia de fuerzas impulsoras grandes, debido a una
resistencia muy grande.
Distintas clases de fuerzas impulsoras tienden a producir clases diferentes
de cambios. Las fuerzas mecánicas tales como la presión sobre un pistón tienden a
2.8. Regla de las fases
39
provocar la transferencia de energía como trabajo; las diferencias de temperatura
tienden a causar el flujo de calor; los potenciales químicos tienden a hacer que las
sustancias reaccionen químicamente 0 que sean transferidas de una fase a otra.
En el equilibrio, todas las fuerzas se encuentran balanceadas. A menudo tiene que
tratarse con sistemas que se encuentran en un equilibrio parcial. En muchas aplicaciones de la termodinámica, las reacciones químicas no son de interés. Por ejemplo, una mezcla de hidrógeno y oxígeno bajo condiciones ordinarias no está en
equilibrio químico, debido a la fuerza impulsora tan grande necesaria para la formación de agua. En ausencia de reacciones químicas, este sistema bien puede estar en equilibrio térmico y mecánico, y los procesos puramente físicos pueden analizarse sin considerar las reacciones químicas posibles.
2.8
Regla de las fases
Como ya se mencionó, el estado de un fluido puro homogéneo queda determinado
cada vez que se dan valores definidos a aos propiedades termodinámicas intensivas. En contraste, cuando dos fases están en equilibrio, el estado del sistema es
determinado cuando se especifica una de dichas propiedades. Por ejemplo, la mezcla de vapor y agua líquida en equilibrio a 101.33 kPa sólo puede existir a 100°C.
Es imposible cambiar la temperatura sin cambiar también la presión si se desea
que el vapor y el líquido continúen existiendo en equilibrio.
El número de variables independientes que debe fijarse de manera arbitraria
para establecer el estado intensivo de cualquier sistema, esto es, el número de
grados de libertad P del sistema, está dado por la célebre regla de las fases de J.
Willard Gibbs,7 quien la dedujo en 1875 a partir de consideraciones puramente
teóricas. A continuación se presenta esta regla sin demostración, en la forma que
se aplica a los sistemas donde no hay reacciones químicas:’
F=2-n+N
(2.11)
donde T = número de fases, y N = número de especies químicas.
El estado intensivo de un sistema en el equilibrio queda establecido cuando se
fijan la temperatura, la presión y las composiciones de todas sus fases. Por tanto,
éstas son las variables de la regla de las fases, pero no todas ellas son independientes. La regla de las fases proporciona el número de variables de este conjunto que
deben especificarse de manera arbitraria para fijar el valor del resto de las variables de la regla de las fases.
Una fase es una región homogénea de materia. Un gas o mezcla de gases, un
líquido o una solución líquida y un cristal sólido son ejemplos de fases. No es nece7Josiah
Willard Gibbs
(1839-1903) fue un físico y matemático norteamericano.
sLa justifkación de la regla de las fases para sistemas donde no hay reacciones está dada en la
sección 12.2, mientras que la regla de las fases para sistemas con reacciones químicas se considera
en la sección 15.8.
CAPÍTULO 2.
40
Primera ley y otros conceptos básicos
sario que la fase sea continua; ejemplos de fases discontinuas son un gas disperso
en la forma de burbujas dentro de un líquido, un líquido disperso como gotas en
otro líquido que no es miscible y un sólido cristalino disperso ya sea en un gas o en
un líquido. En cada caso, la fase dispersa está distribuida en una fase continua.
En la frontera entre fases siempre ocurre un cambio abrupto en las propiedades.
Si bien puede darse la coexistencia entre fases, para poder aplicar la regla de las
fases es necesario que éstas se encuentren en equilibrio. Un ejemplo de sistema en
equilibrio formado por tres fases es una solución de sal y agua, saturada y en
ebullición, donde se tiene presente un exceso de cristales de sal. En este caso las
tres fases son la sal cristalina, la solución acuosa saturada y el vapor generado por
la ebullición.
Las variables de la regla de las fases son propiedades intensivas, independientes de la extensión del sistema y de las fases individuales. Por tanto, la regla de
las fases proporciona la misma información para un sistema grande que para uno
pequeño, así como para cantidades relativas distintas entre las fases presentes.
Por otra parte, las únicas composiciones que son variables de la regla de las fases
son las de cada fase. Las composiciones globales o totales no son variables de la
regla de las fases cuando existe más de una fase.
El número mínimo de grados de libertad para cualquier sistema es cero. Cuando F = 0, el sistema es invariante, y la ecuación (2.11) se convierte en T = 2 + N.
Este valor de IT es el número máximo de fases que pueden coexistir en el equilibrio
para un sistema que contiene N especies químicas. Cuando N = 1, este número es
3, algo característico de un punto triple. Por ejemplo, el punto triple del agua,
donde existen líquido, vapor y hielo juntos en equilibrio, se presenta a O.Ol”C y
0.0061 bar. Cualquier cambio en estas condiciones hará que al menos una de las
fases desaparezca.
Ejemplo 2.9
tes?
iCuántos
grados de libertad tiene cada uno de los sistemas siguien-
a)
Agua líquida en equilibrio con su propio vapor.
h)
Agua líquida en equilibrio con una mezcla de vapor de agua y nitrógeno.
c)
Una solución líquida de alcohol en agua en equilibrio con su propio vapor.
a) El sistema contiene sólo una especie química. Existen dos fases (líquida y vapor). Por tanto,
SOLUCIÓN
Este resultado está de acuerdo con el hecho bien conocido de que para una presión
dada el agua sólo tiene un punto de ebullición. Por tanto, para un sistema que contiene agua en equilibrio con su vapor, debe especificarse la temperatura o la presión,
pero no ambas.
b) En este caso están presentes dos especies químicas. De nuevo existen dos
fases. Por tanto,
41
2.9. El proceso reversible
En este ejemplo se observa que la adición de un gas inerte a un sistema de agua, en
equilibrio con su vapor cambia las características del sistema. Ahora la temperatura
y la presión pueden variar de manera independiente, pero una vez que tienen un
valor fijo el sistema descrito puede existir en equilibrio sólo para una composición
particular de la fase de vapor. (Si se considera que la solubilidad del nitrógeno en
agua es despreciable, entonces no es necesario tomar en cuenta la composición de la
fase líquida.)
c) En este caso, N = 2 y rr = 2. Por tanto,
P=2-1r+N=2-2+2=2
Las variables de la regla de las fases son la temperatura, la presión y las composiciones de fase. Las variables de composición son la fracción masa o la fracción molar de
las especies presentes en la fase, cuya suma debe ser uno para cada fase. Por tanto,
si se fija la fracción molar del agua en la fase líquida, esto determinará automáticamente la fracción molar del alcohol. No es posible especificar estas dos composiciones
de manera arbitraria.
2.9 El proceso reversible
EX~e.sarrollo de 1.a termodinámica se facilita con !aintroducción de una clase especial de proceso, donde no hay flujo, caracterizado como reversible. Un proceso es
. -_ -:reversrblec~&& su dirección puede invertirse en cualquier punto por un cambio
infinkes~mal en las condiciones externas.
“~Tara’ilustrar la naturaleza de un proceso reversible, se examinará la expansión simple de un gas contenido en una combinación pistónlcilindro. El aparato se
muestra en la figura 2.4, inmerso en un espacio donde se ha hecho vacío. Como
sistema, se elige el gas atrapado dentro del cilindro; todo lo demás constituye los
alrededores. El proceso de expansión ocurre cuando se retira masa del pistón. Para
hacer el proceso lo más sencillo posible, se supondrá que cl pistón se desliza sin
fricción dentro del cilindro, y que el pistón y el cilindro no absorben ni transmiten
calor. Por otro lado, dado que la densidad del gas dentro del cilindro es baja y
debido a que la masa del gas es pequeña, se ignorarán los efectos de la gravedad
sobre el contenido del cilindro. Esto significa que los gradientes de presión inducidos por la gravedad en el gas serán considerados como muy pequeños en relación
con su presión, y que los cambios en la energía potencial del gas se tomarán como
despreciables en comparación con los cambios de energía potencial del ensamble
del pistón.
El pistón de la figura 2.4 confina el gas a una presión suficiente para balancear el peso del pistón y de todo lo que éste soporta. IJa situación anterior constituye una condición de equilibrio, ya que el sistema no experimenta ninguna tendencia a cambiar. Para que el pistón se eleve es necesario quitar la masa que está
encima de él. Suponga primero que se retira repentinamente del pistón una masa
m, poniendo ésta en una repisa (que está al mismo nivel). El pistón se acelerará
con dirección hacia arriba, alcanzando su velocidad máxima en el punto donde la
fuerza hacia arriba sobre el pistón se equilibre con el peso de éste. El momento del
pistón lo llevará auna altura máxima, donde el movimiento cambiará de dirección.
42
CAPf!lVLQ
F’igura 2.4:
2.
Primera ley y otros
conceptos básicos
Expansión de un gas.
Si el pistón se mantuviera en esta posición de elevación maxima, su energía potencial aumentaría hasta ser casi igual al trabajo hecho por el gas durante el inicio del
movimiento. Sin embargo, sin ninguna restricción presente para el desplazamiento, el pistón oscila con una amplitud que decrece con el tiempo hasta alcanzar el
reposo en una nueva posición de equilibrio a una altura mayor que la inicial.
Las oscilaciones del pistón son amortiguadas debido a que la naturaleza viscosa del gas convierte gradualmente el movimiento grueso dirigido de las moléculas en un movimiento molecular caótico. Este proceso disipativo transforma parte
del trabajo hecho inicialmente por el gas para acelerar el pistón de nuevo en energía interna del gas. Una vez que se inicia el proceso, ningún cambio infinitesimal
en las condiciones externas podrá revertir su dirección; el proceso es irreversible.
‘Ibdos los procesos que se llevan a cabo en tiempo finito con sustancias reales
están acompañados en cierto grado por efectos disipativos de una clase u otra y, en
consecuencia, todos son irreversibles. Sin embargo, es posible imaginar procesos
que están libres de efectos disipativos. Para el proceso de expansión de la figura
2.4, tales efectos tienen su origen en el retiro repentino de una masa finita del
pistón. El desbalance resultante en las fuerzas que actúan sobre el pistón provoca
la aceleración de éste y conduce a su oscilación subsecuente. El retiro repentino de
cantidades menores de masa reduce, pero no elimina, este efecto disipativo. Incluso el retiro de una masa infinitesimal lleva a que el pistón oscile con una amplitud
infinitesimal, lo que trae como consecuencia un efecto disipativo. Sin embargo, es
posible imaginar un proceso donde se retiran del pistón cantidades pequeñas de
masa, una detrás de otra, con una rapidez tal que la elevación del pistón es continua, donde las oscilaciones se presentan sólo al final del proceso.
2.9. El proceso reversible
43
El caso límite de esta sucesión de retiro de masas infinitesimales del pistón
queda aproximado cuando la masa m de la figura 2.4 es remplazada por una pila
de polvo, mismo que va cayendo del pistón en un hilo muy fino. Durante este proceso, el pistón se eleva con una rapidez uniforme pero pequeña, y el polvo que cae
en un recipiente tiene cada vez una altura mayor en éste. El sistema nunca se
desplaza más que diferencialmente, ya sea de su equilibrio interno o del equilibrio
con los alrededores. Si se detiene la caída de polvo del pistón y se invierte la dirección en la que se transfiere el polvo, entonces el proceso cambia de dirección y
regresa a lo largo de la trayectoria original. Al cabo de cierto tiempo, el sistema y
sus alrededores regresan a sus condiciones iniciales. El proceso original es reversible.
Sin la hipótesis de un pistón sin fricción, no es posible imaginar un proceso
reversible. Si el pistón se pega debido a la fricción, entonces debe retirarse una
masa finita antes de que el pistón se libere. En este caso, no se mantiene la condición de equilibrio necesaria para la reversibilidad. Por otra parte, la fricción entre
aos partes deslizantes es un mecanismo para la disipación de energía mecánica en
energía interna.
Lo dicho hasta el momento se ha centrado en un proceso sencillo donde no
hay flujo, la expansión de un gas en un cilindro. El proceso opuesto, la compresión
del gas en un cilindro, se describe exactamente de la misma manera. Sin embargo,
existen muchos procesos que están manejados por fuerzas diferentes a las mecánicas. Por ejemplo, el flujo de calor ocurre cuando existe una diferencia de temperatura, la electricidad fluye bajo la influencia de una fuerza electromotriz, y las reacciones químicas aparecen debido a la existencia de un potencial químico. En general, un proceso es reversible cuando la fuerza impulsora neta que actúa sobre él
tiene una magnitud diferencial. Por tanto, el calor se transfiere de manera reversible
cuando fluye de un objeto finito, a una temperatura T, hacia otro que tiene una
temperatura T - dT.
El concepto de una reacción química reversible puede ilustrarse con la descomposición del carbonato de calcio, el cual cuando se calienta forma óxido de
calcio y dióxido de carbono gaseoso. En el equilibrio, para una temperatura dada,
el sistema ejerce una presión de descomposición definida de COZ. Cuando la presión desciende por debajo de este valor, el CaC se descompone. Supóngase que
se tiene un cilindro con un pistón sin fricción que contiene CaCOs, Ca0 y COZ en
equilibrio. El cilindro se encuentra sumergido en un baño de temperatura constante, como se muestra en la figura 2.5, con la temperatura ajustada en un valor tal
que la presión de descomposición es suficiente para balancear el peso que está
sobre el pistón. El sistema se encuentra en equilibrio mecánico, la temperatura del
sistema es igual a la del baño y la reacción química se mantiene balanceada por la
presión del COZ. Cualquier cambio en las condiciones, por pequeño que sea, perturbará el equilibrio y hará que la reacción avance en una dirección u otra. Si el
peso se incrementa de manera diferencial, entonces la presión de CO:! aumentará
diferencialmente, y el COZ se combinará con el Ca0 para formar CaCOs, permitiendo con ello que el peso disminuya lentamente. El calor generado por esta reacción aumenta la temperatura del cilindro, con lo que fluye calor hacia el baño. La
disminución diferencial en el peso provoca la cadena opuesta de eventos. Se ob’tienen los mismos resultados si la temperatura del baño aumenta o disminuye. Si la
CAF’Í~O 2.
44
Primera ley y otros conceptos básicos
Termostato
Figura 2.5:
A
Reversibilidad de una reacción química.
temperatura del baño aumenta de manera diferencial, fluye calor hacia el cilindro
y el carbonato de calcio se descompone. El COs generado hace que la presión aumente de manera diferencial, lo que a su vez hace que se eleven el pistón y el peso.
Lo anterior continúa hasta que el CaCOs se descompone completamente. El proceso es reversible, ya que el sistema nunca se desplaza del equilibrio más que de
manera diferencial, y sólo una disminución diferencial de la temperatura del baño
hará que el sistema regrese a su estado inicial.
Algunas veces las reacciones químicas se llevan a cabo en una celda electrolltica,
y en este caso pueden mantenerse balanceadas por la aplicación de una diferencia
de potencial. Si una de estas celdas contiene dos electrodos, uno de zinc y otro de
platino, sumergidos en una solución acuosa de ácido clorhídrico, la reacción que se
lleva a cabo es
Zn + 2HC1;1 H2 + ZnCls
La celda se mantiene bajo condiciones fijas de temperatura y presión, y los electrodos están conectados externamente a un potenciómetro. Si la fuerza electromotriz
producida por la celda queda balanceada de manera exacta por la diferencia de
potencial del potenciómetro, entonces la reacción se mantiene en equilibrio. Puede
hacerse que la reacción avance hacia la derecha con una disminución pequeña de la
diferencia de potencial opuesta; o puede invertirse con un aumento correspondiente en la diferencia de potencial de modo que ésta sea mayor que la fem de la celda.
En resumen, un proceso
delequili.- ._---i .-_ reversible
.-.. -. no tiene fricción; nunca se _.sale
brio más que de manera dlferencld y, por tanto, recorre üna sucesión de,estados
.-,-II de
equilibrio; las fuerzas impulsoras tienen una magnitud diferencial; la dirección del
proceso puede invertirse en cualquier punto mediante un cambio~~diferenciai‘enlas
--.condiciones externas, haciendo que el proceso vuelva a recorrer su trayectoria,
.-,“._- .restaurando el estado inicial,ldel sistema y sus alrededores:
2.9.
El
proceso
45
reversible
En la sección 1.7 se dedujo una ecuación para el trabajo de compresión o
expansión de un gas provocado por el desplazamiento diferencial de un pistón en
un cilindro:
dW= -PdV
(1.2)
El trabajo hecho sobre elsistema está dado por esta ecuación sólo cuando se tienen
ciertas características del proceso reversible. El primer requisito es que el sistema
se desplace sólo de manera infinitesimal a partir de un estado de equilibrio interno,
caracterizado por una temperatura y presión uniformes. Con esto el sistema tiene
siempre un conjunto identificable de propiedades, incluida la presión P. El segundo requisito es que el sistema no se desplace más que infinitesimalmente del punto
de equilibrio mecánico con sus alrededores. En este caso, la presión interna P
nunca queda más que un poco desbalanceada con la fuerza externa, con lo que
puede hacerse la sustituciónF = PA que transforma la ecuación ( 1.1) en la ecuación
(1.2). Los procesos para los que se cumplen estos requisitos se conocen como mecánicam-_reu~~~ibles. Para tales procesos, la ecuación (1.3) proporciona cory-tamente el trabaJo hecho sobre el sistema:
W = -1”: PdV
(1.3)
El proceso reversible es ideal, ya que en la práctica no existen procesos que tengan
todas sus características; éste representa un límite a.l desempeño de un proceso
real. En termodinámica, lo usual es calcular el trabajo hecho para procesos
reversibles, debido a la facilidad con la que puede hacerse el análisis matemático
de éstos. En realidad la opción es realizar estos cálculos o ninguno. Ila combinación de resultados para procesos reversibles y de fzficiencias apropiadas permite
obtener aproximaciones razonables del trabajo de un proceso real.
Ejemplo 2.10 Una combinación pistón/cilindro horizontal se coloca en un hafio que
tiene una temperatura constante. El pistón SC desliza en cl cilindro con una fricción
despreciable y una fuerza externa lo mantiene cn su lugar, actuando en contra de la
presión inicial ejercida por el gas, que es de 14 bar. El volumen inicial del gas es
Ví = 0.03 m3, donde el superíndice denota un volumen totd más que molar. La
fuerza externa sobre el pistón disminuye de manera. gradual, pcrmiticndo que el gas
se expanda hasta que su volumen se duplique. Un experimento muestra que bajo
estas condiciones el volumen del gas está relacionado con su presión de modo tal que
el producto Pb” es constante. Calcule el trabajo hecho por el gas al cambiar la fuerza
externa.
iCuánto trabajo se hubiese hecho si la fkerza externa sc reduce súbitamente a 1;~
mitad de su valor inicial en lugar de hacerlo de manera gradual?
SOLUCI Ó N
El proceso, cuando se lleva a cabo con lentitud, cs mecánicamentereversihle,
por lo que puede aplicarse la ecuación (1.3). Si PVf = k, entonces P = Ic/V’, y
“: dV”
w = -k I ~ =-kln$
v; V’
1
CAPÍTULO 2.
46
Primera ley y otros conceptos básicos
Pero
V,’ = 0.03 m3
Vi = 0.06 m3
Y
k = PV’ = PIV; = (14 X 10”)(0.03) = 42 000 J
Por tanto,
W = -42 000 In 2 = -29 112 J
La. presión final cs
= 700 000 Pa
0
7 bar
En el segundo caso, después de haber retirado la mitad de la fuerza inicial, el
gas experimenta una expansión repentina contra una berza constante equivalente a
una presión de 7 bar. Después de cierto tiempo, el sistema regresa a una condición de
equilibrio idéntica al estado final alcanzado en el proceso reversible. Por tanto, AV’
no cambia, y el trabajo neto realizado es igual al producto de la presión externa
equivalente y el cambio de volumen, o
W = -(7 x 10”)(0.06 - 0.03) = -21 000 J
Es evidente que el proceso es irreversible y si se le compara con el proceso reversible,
se dice entonces que tiene una eficiencia de
21000
~ = 0.721
29 112
o
72.1%
Ejemplo 2.11 La combinación pistón/cilindro
de la figura 2.6 contiene gas nitrógeno
atrapado debajo del pistón a una presión de 7 bar. El pistón se mantiene en su lugar
con unos seguros. El espacio que SC encuentra encima del pistón está evacuado. Se
fíja una bandeja al v&tago del pistón asegurando en ella una masa m de 45 kg. El
pistón, cl vástago y la bandeja tienen juntos una masa de 23 kg. Los seguros que
sostienen al pistón se sueltan permitiendo que el pistón suba con rapidez hasta tocar
la parte superior del cilindro. El pistón se mueve una distancia de 0.5 m. La aceleración local de la gravedad es 9.8 m s?. Estudie los cambios de energía originados por
este proceso.
Este ejemplo sirve para ilustrar algunas de las dificultades que aparecen cuando se analiza un proceso irreversible donde no hay flujo. En este caso se
considera al gas como el sistema. De acuerdo con la defi&ción básica, el trabajo
hecho por el gas sobre los alrededores es igual a, / P’ ClV’, donde P’ es la presión
ejercida por el gas sobre la cara del pistón. Dado que la expansión es muy rápida,
existen gradientes de presión en el gas, y no es posible evaluar P’ y tampoco la integral. Sin embargo, puede evitarse el cálculo del trabajo regresando a la ecuación
(2.1). El cambio en la energía total del sistema (el gas) es igual al cambio en SU
energía interna. Para & = 0, los cambios de energía en los alrededores consisten en
SOLUCIÓN
2.10.
Procesos con V y P constantes
47
Nasa
Randeja
- Espacio
evacuado
- Cilindro
0.5 m
- Pistbn
JLd
. ‘. . ....
. ,.
-...
:
I+
. .
Seguro
- Gas bajo
presión
m
Figura 2.6:
Diagrama para el ejemplo 2.11.
cambios en la energía potencial del pistón, cl vhstago, la bandeja y la masa m, así
como en cambios en la energía interna del pistón, cl vástago y cl cilindro. Por wnsiguiente, la ecuación (2.1) puede escribirse como
Ausist + (Aua1,1 + ~~a~t-c~) = 0
El término de energía potencial es
AE pal,.d = (45 + 23)(9.8)(0.5) = 333.2 N m
Por tanto,
AIJ,i,t + AlJ,ld = -333.2 N m = -333.2 J
y no es posible determinar los cambios individuales de energía interna que ocurren
en el conjunto pistó&lindro.
2.10
Procesos con Vy P constantes
En este libro se emplean letras mayúsculas, como V y U, para representar los
valoresespec@cos o molares de las propiedades termodinámicas extensivas. Se afiatle
el superíndice t para denotar las propiedades totales de un sistema: Vt, U’, etc.
Una alternativa para un sistema con una masa determinada m o con cierto núme-
CAPÍTULO 2.
48
l?rimera
ley y otros conceptos básicos
ro de moles n, es multiplicar cada propiedad molar o específica por el símbolo
apropiado para indicar de manera explícita la cantidad de sustancia presente en el
sistema: mU o nU, mV o nV, etc. Para un sistema cerrado de n moles, la ecuación
(2.4) se convierte en
d(nU)
= dQ + dW
(2.12)
donde Q y Wrepresentan siempre el calor y el trabajo totales, sin importar cuál sea
el valor de n.
El trabajo de un proceso donde no hay flujo y que es mecánicamente reversible
está dado por
dW = -Pd(nV)
(2.13)
Si este proceso se lleva a cabo a volumen constante, el trabajo es cero; si ocurre a
presión constante, entonces la integración proporciona el siguiente resultado
W=-nPhV
Cuando se combina con la ecuación (2.13), la ecuación (2.12) se convierte en
d(nU) = dQ - Pd(nV)
(2.14)
La expresión anterior es la ecuación general dde la primera ley para un proceso
donde no hay flujo y que es mecánicamente reversible. Si además el proceso ocurre
a volumen constante, entonces el trabajo es cero, y
dQ = d(nU)
(V constante)
----,
(2.15)
Q=nAU
(V constante)
(2.16)
Después de integrar
Por tanto, para un proceso donde no hay flujo, que se lleva a cabo a volumen
constante y que es mecánicamente reversible, el calor transferido es igual al cambio en la energía interna del sistema.
IJa ecuación (2.5), que define la entalpía, puede escribirse como
nH = nU + P(nV)
.
Para un cambio de estado infinitesimal a presión constante,
d(nH) = d(nU)
+ Pd(nT/?
Al combinar este resultado ___.
con la
(2.14), se tiene-que-~
.~--. ecuación
--dQ = d(nH)
(P constante)
(2.17)
2. ll.
Capacidad
calorífica
49
y, después de integrar,
-.-.
Q=nAH
(P constante)
.-.
(2.18)
Por tanto, para un proceso donde no hay flujo, que se realiza a presión constante y
que es mecánicamente reversible, el calor transferido es igual al cambio de entalpía
del sistema. La comparación de las dos últimas ecuaciones con las ewsciones (2.15)
y (2.16) muestra que la entalpía
^ . jueg_a un papel en los.prwesos + presión constante anái~go a la energía interna en un prqceso a volumen consta;&e.
2.11 Capacidad calorífica
Ya se comentó que el calor es visto a menudo en relación con cl efecto que ticnc
sobre el objeto hacia o desde el cual se transfiere. Lo anterior constituye el origen
de la idea de que un cuerpo tiene una capacidad para el calor. Entre más pequeRo
sea el cambio de temperatura en un cuerpo provocado por la transferencia de una
cantidad de calor dada, mayor es su capacidad. Por otra parte, la cupacidnd
calor@ca puede definirse como
dQ
c= E
La dificultad con esta expresión es que hace que C, al igual que Q, sea una cantidad que dependa del proceso más que una función de estado. Sin embargo, lo
anterior sugiere la posibilidad de definir más de una capacidad calorífica titil.
De hecho, existen dos capacidades caloríficas de uso muy común para tluidos
homogéneos; si bien sus nombres contradicen cl hecho, las dos son funciones tic
estado, definidas sin ambigüedad en relación con otras funciones de estado:
Capacidad ca.lorífiica a volumen constante
(2.19)
Capacidad calorifica a presión constante
(2.20)
Estas definiciones acomodan tanto capacidades caloríficas molares como específicas (las que usualmente se conocen como calores específicos), lo que depende del
hecho de que Uy H sean propiedades molares o específicas.
Aunque las definiciones de CV-Y Cp no hacen referencia a ningún proceso,
cada una, permite una descripción especialmente sencilla de un proceso en particu-
CAPÍTULO 2.
50
Primera ley y otros conceptos básicos
lar. Es así como, si se tiene un proceso a volumen constante, la ecuación (2.19)
puede escribirse como
dU = CvdT
(V constante)
(2.21)
Al integrar se tiene que
AU = 6 CvdT
(V constante)
(2.22)
Para un proceso a volumen constante y mecánicamente reversible, este resultado
puede cömbinarse con la ecuación (2.16) para dar
Q = n AU = n 1: CvdT
(V constante)
(2.23)
Considere ahora el caso donde el volumen cambia durante el proceso, pero es
el mismo al iniciar y terminar éste. Este proceso no puede llamarse, de manera
correcta, a volumen constante, aun cuando Vz = VI y AV = 0. Sin embargo, los
cambios en las funciones o propiedades de estado no dependen de la trayectoria y,
por tanto, son los mismos para todos los procesos que conduzcan, partiendo de las
mismas condiciones jniciales, a las mismas condiciones finales. Por tanto, los cambios de propiedad para este caso pueden calcularse a partir de las ecuaciones que
corresponden a un proceso que se lleva a cabo verdaderamente a volumen constante y que conducen a ia.s mismas condiciones finales a partir de las mismas condiciones iniciales. Para tales procesos, la ecuación (2.22) da como resultado AU =
1 Cvdt, debido a que U, CV y T son todas funciones o propiedades de estado. Por
otro lado, Q depende de la trayectoria, y la ecuación (2.23) es una expresión válida
para Q sólo para procesos a volumen constante. Por la misma razón, W es en general cero para procesos a volumen constante únicamente. Esta discusión muestra la
i-ázón por la &e debe hacerse una distinción cuidadosa entre las funciones de
estado y el trabajo y el calor. El principio de que las funciones de estado son independientes del proceso es un concepto útil e importante. Por consiguiente, para el
cálculo de cambios en las propiedades, el proceso en cuestión puede remplazarse
por cualquier otro procese que alcance el mismo cambio en el estado. !lhl proceso
alternativo puede escogerse, por ejemplo, debido a su simplicidad.
Para un proceso a presión constante, la ecuación (2.20) puede escribirse
- . - _ . como
_ ,_ dH = CpdT
(P constante)
-_- ..-
(2.24)
A H = j; CpdT
(P constante)
_ . _ _ --
(2.25)
de aquí que
Para uu proceso a presión consta$e y mecánicamente re~x&ue, el resultado an&oi~~pnede combinarse con la ecuación (2.18) para obtener
2. ll.
Capacidad calorífica
51
Q=nAH=n
j-z CpdT
(P constante)
(2.26)
Puesto que H, Cp’y T son todas funciones dé estado, la ecuación (2.25) se aplica a
cualquier proceso para el que Yz = P1, sin importar en realidad si se lleva. o no a
cabo a presión constante. Sin embargo, sólo es posible calcular el calor y el trabqjo
para un proceso a presión constante y mecánicamente reversible con las ecuaciones
Q=nAH,Q=nICpdTyW=-PnAV.
Ejemplo 2.12 Un gas ideal es aquel para el cual PV/l’ es una constante, sin importar los cambios que experimente. Este gas t,iene un volumen de 0.02271 m3 mal-’ a
0°C y 1 bar. En el siguiente problema, el a.ire puede considerarse un gas ideal con
capacidades caloríficas constantes
CV = (5/2)R
y
Cl, = (7/2)R
donde R = 8.314 J mal-’ K-‘. Por tanto,
CV = 20.785
y
Cp = 29.099 J mal-’ K-’
Las condiciones iniciales del aire son 1 bar a 25°C. El gas se comprime a 5 bar
y 25°C siguiendo dos procesos distintos mednicamentc reversibles. Calcule los requerimientos de calor y trabajo así como la AU y AH del aire para cada trayectoria:
a)
Enfriamiento a presión constante seguido por calentamiento a volumen constante.
b)
Calentamiento
tante.
avolumen
constante seguido por enfriamiento a presibn cons-
SOLUCIÓN
En cada caso se toma como sistema 1 mol de aire contenido en un conjunto imaginario pistón/eilindro.
Puesto que el proceso se considera como mecbnicamente reversible, es posible suponer que el movimiento del pisti>n dentro del cilindro
se hace sin fricción. El volumen inicial del aire es
= 0.02479 m’j
El volumen final es
V, = VI + = (0.02479) ‘,
0
2
= 0.004958 rn”
‘4
T,
- “2
’ - 7,
“/.
2
v,
P
21y
w) En este caso, durante la primera etapa, el aire se enfría a una presibn constante de 1 bar hasta que se alcanza un volumen final de 0.004958 m3. Durante la
segunda etapa, el volumen se mantiene constante en este valor mientras que el aire
se caliente hasta llegar a su estado final. La temperatura del aire al final del paso de
enfriamiento es
T= (298.15)(ooo24475))
= 59.63K
CAPÍTlXO
52
2.
Primera ley y otros conceptos básicos
Para esta etapa la presión es constante. De acuerdo con la ecuación (2.26),
Q = AH = C, AT = (29.099)(5.63
- 298.15) = -6 941 J
Puesto que AU = AH - A(PV) = AH-P AV, entonces
AU = -6 941- (1 x 105)(0.004958
- 0.02479) = -4 958 J
En la segunda etapa, el aire se calienta a volumen constante. Por la ecuación (2.23),
AU = Q = CV AT = (20.785)(298.15 - 59.63) = 4 958 J
El proceso completo representa la suma de sus etapas. Por consiguiente,
Q = -6 941 + 4 958 = -1 983 J
Y
AU = -4 958 + 4 958 = 0
Puesto que la primera ley se aplica a todo el proceso, AU = Q + W y por tanto,
0 = -1983 + W
En consecuencia,
W = 1 983 ,J
La ecuación (2.7), AH = AU + A(W), también se aplica a. todo el proceso. Pero TI
= Tz, y por consiguiente P,Vl = PzVz. De aquí que A(PV) = 0 y
AH = AfJ = 0
h) En este caso se emplean dos etapas diferentes para llegar al mismo estado
final del aire. En la primera el aire se calienta a volumen constante, igual a su volumen inicial, hasta que se alcanza la presión final de 5 bar. Durante la segunda etapa,
cl aire se enfría a una presión constante de 5 bar hasta llegar a su estado final. La
temperatura del aire al término de la primera etapa es
T = (298.15)(5/1) = 1490.75 K
Para esta etapa el volumen es constante, y
Q = AU = CrAT = (20.785)(1
490.75 - 298.15) = 24 788 J
Para la segunda etapa la presión es constante, y
Q = LW = C, AT = (29.099)(298.15 - 1 490.75) = -34 703 J
Asimismo
AU = Al!-A(PV)
= AH-PAV
AU = -34 703 - (5 x 10S)(0.004958
- 0.02479) = -24 788 J
53
2.11. Capacidad calorífica
Al combinar las dos etapas
&= 24788-34703=-9915J
AU= 24788-24788=0
W =
AU-Q=O-(-9915)=9915J
y, al igual que antes,
AH=AU=O
Los cambios de propiedad AU y AH calculados para el cambio dado en el estado
son los mismos para ambas trayectorias. Por otra parte, las respuestas a las partes
a) y b) muestran que & y W dependen de la trayectoria.
Ejemplo 2.13 Calcule los cambios de energía interna y entalpía que se presentan
cuando el aire cambia del estado inicial 40(“F) y lO(atm), donde su volumen molar
es 36.49(ft)3(lb mal)-‘, al estado final donde las condiciones son 140(“F) y l(atm).
Suponga que para el aire PV/T es constante y que Cv = 5 y Cp = 7(Btu)(lb mal)-’
(“F)-‘.
SOLUCIÓN
Puesto que los cambios en las propiedades son independientes del proceso que los provoca, los cálculos pueden basarse en un proceso mecánicamente
reversible de dos etapas, en las que l(lb mol) de aire es a) enfriada a volumen constante hasta alcanzar la presión final y h) calentada a presión constante hasta llegar
a la temperatura final. En este caso, las temperaturas absolutas están dadas en la
escala de Rankine:
Tl = 40 + 459.67 = 499.67(R)
T2 = 140 + 459.67 = 599.67(R)
Puesto que PV = kT, el cociente T/P es constante para la etapa IC). Por tanto, la
temperatura intermedia entre las dos etapas es
T’ = (499.67)(1/10)
= 49.97(R)
mientras que los cambios de temperatura para las dos etapas son
AT, = 49.97 - 499.67 = -499.70(R)
Y
AT,, = 599.67 - 49.97 = 549.70(R)
Para la etapa a), la ecuación (2.22) se convierte en
AU, = CV AT,
de donde
Au,, = (5)(-449.70) = -2 248.5(Btu)(lb
mal)-’
CAPÍTULO 2.
54
Primera ley y otros conceptos básicos
Para la etapa b), la ecuación (2.25) toma la forma
Al& = Cp AT,
así que
AH6 = (7)(549.70)
= 3 847.9(Btu)(lb
mal)-’
Para la etapa a), la ecuación (2.7) se convierte en
AH, = AU, + VAP,
En
consecuencia,
AHa = -2 248.5 + 36.49(1- 10)(2.7195)
= -3 141.6(Btu)
El factor 2.7195 convierte el producto PVde (atm)(ft)3, que es una unidad de energía, en (Btu). Para la etapa h), la ecuación (2.7) se convierte en
AUb=AHHb-PA&
El volumen final del aire está da.do por
a partir de la cual se tiene que Vz = 437.93(ft)3. En consecuencia,
AU, = 3 847.9 - (1)(437.93 - 36.49)(2.7195)
= 2 756,2(Btu)
Para las dos etapas juntas,
AU = -2 248.5 + 2 756.2 = 507,7(Btu)
AH = -3 141.6 + 3 847.9 = 706,3(Btu)
PROBLEMAS
2.1. Un recipiente no conductivo lleno con 25 kg de agua a 20°C contiene un agitador que
se mueve por la acción de la gravedad sobre un peso que tiene una masa de 35 kg. El
peso cae con lentitud una distancia de 5 m accionando el agitador. Suponga que todo
cl trabajo hecho sobre el peso se transfiere al agua, y que la aceleración local de la
gravedad es 9.8 m s-s. Determine:
a,)
La cantidad de trabajo hecha sobre el agua.
h)
El cambio en la energía interna del agua.
c)
La temperatura final del agua, para la que Cp = 4.18 kJ kg-’ “C-l.
d)
La cantidad de calor que debe extraerse del agua para que la temperatura de
ésta regrese a su valor inicial.
Problemas
55
e)
El cambio en la energía total del universo debido a 1) el proceso de bajar el peso,
2) el proceso de enfriar el agua de nuevo a su temperatura inicial y 3) los dos
procesos.
2.2. Vuelva a resolver el problema 2.1 para un recipiente aislado que cambia de temperatura junto con el agua y que tiene una capacidad calorífica equivalente a la de 5 kg
de agua. Encuentre la solución de dos maneras distintas:
a)
Tomando el agua y el recipiente como el sistema.
b)
Tomando sólo al agua como el sistema.
2.3. Haga un comentario sobre la factibilidad de enfriar una cocina en el verano abriendo
la puerta del refrigerador eléctrico.
2.4. El agua líquida a 180°C y 1 002.7 kPa tiene una energía interna (en una escala
arbitraria) de 762.0 kJ kg-’ y un volumen específico de 1.128 cm3 g-‘.
al
ioQué valor tiene la entalpía?
b)
El agua se lleva al estado de vapor a 300°C y 1 500 kW, donde su energía
interna es 2 784.4 kJ kg-’ y su volumen específico es 169.7 cms g-l. Calcule,
para cl proceso, AU y AH.
2.5. Si un tanque que contiene 20 kg de agua a 20°C posee un agitador que proporciona
trabajo al agua con una rapidez de 0.25 kW icuánto tiempo transcurrirá para que la
temperatura del agua aumente a 30°C si no se pierde calor del agua hacia los alrededores? Para el agua, Cp = 4.18 kJ kg-’ “C-r.
2.6. Con respecto a una masa de 1 kg,
al
iQué cambio de altura debe experimentar para que su energía potencial cambie
1 kJ?
b)
Si la masa está en reposo, ehasta qué velocidad debe acelerarse para que su
energía cinética sea 1 kJ?
cl
iQué conclusiones indican estos resultados?
2.7. Se añade a un sistema cerrado una cantidad de calor igual a 7.5 kJ, al mismo tiempo
que su energía interna disminuye 12 kJ. iCuánta energia se transfiere como trabajo? iCuánto calor se transfiere para un proceso que provoca el mismo cambio pero
donde el trabajo es cero?
2.8. Un bloque de acero fundido con un peso de 2 kg tiene una temperatura inicial de
500°C. En un tanque de acero perfectamente aislado, con un peso de 5 kg, están
contenidos 40 kg de agua cuya temperatura inicial es de 25°C. El bloque se sumerge
en el agua y se permite que el sistema llegue al equilibrio. %Cuál es la temperatura
final de éste? Ignore cualquier efecto de expansión o contracción, y suponga que los
calores específicos son 4.18 kJ kg-i K-l para el aguay 0.50 kJ kg-’ K-’ para el acero.
2.9. Por una tubería horizontal aislada, con un diámetro interior de 1.5(in) [3.81 cm],
fluye nitrógeno en estado estable. Se obtiene una caída de presión cn el flu.jo como
resultado del paso a través de una válvula parcialmente abierta. Un poco antes de
llegar a la válvula, la presión es lOO(psia)[689.5 kPa], la temperatura cs
120(“F)[48.9”C], con unavelocidad promedio de 2O(ft)(s)-’ [6.09 m s-l]. Si la presión después de que el flujo pasa por la válvula es 20 (psia)[137.9 kPa], icuál es la
CAPÍ!KKO 2. Primera ley y otros conceptos básicos
56
temperatura? Suponga que para el nitrógeno PV/T es constante, CV = (5/2)R y I& =
(7/2)R. (Los valores de R aparecen en el apéndice A.)
2.10. En una tubería horizontal recta fluye agua líquida a 80(“F)(26.67”C). La tubería no
permite el intercambio de calor o trabajo con los alrededores. La velocidad del agua
en una tubería que tiene un diámetro interno de l(in)[2.54 cm] es de 4O(ft) (s)-l
[ 12.19 m s-l], hasta que fluye en una sección donde el diámetro de la tubería aumenta repentinamente. tCuá1 es el cambio en la temperatura del agua si el diámetro en la
dirección del flujo es 1.5(in)[3.81 cm]? iSi es de 3(m) [7.62 cm]? iCuál es el cambio
de temperatura máximo para un alargamiento de la tubería?
2.11. En un serpentín horizontal fluye agua. El serpentín es calentado externamente po~
un gas que tiene una temperatura alta. A medida que el agua pasa por el serpentín,
cambia de estado, esto es, de líquido a 200 kPa y 80°C pa.sa a vapor a 100 kPa y
125°C. La velocidad con la que entra el agua es de 3 m s-l, mientras que su velocidad
de salida es 200 m s-l. Determine el calor transferido a través del serpentín por
unidad de masa de agua. Las entalpías de los flujos de entrada y salida son:
Entrada: 334.9 kJ kg-l; Salida: 2 726.5 kJ kg-‘.
2.12. Un vapor fluye en estado estable a través de una boquilla convergente, aislada, de 25
cm de longitud y con un diámetro de entrada de 5 cm. A la entrada de la boquilla
(estado l), la temperatura y presión son 325°C y 700 kPa, respectivamente, y la
velocidad es de 30 m s-l. A la salida de la boquilla (estado 2), la temperatura y
presión del vapor son 240°C y 350 kPa respectivamente. Los valores de las propiedades son
HI = 3 112.5 kJ kg-’
VI = 388.61 cm3 g-l
Hz = 2 945.7 kJ kg-’
V!J = 667.75 cm3 g-’
iCuál es la velocidad del vapor a la salida de la boquilla y cuál es el diámetro de esta
salida?
2.13. Un sistema, formado por cloroformo, 1,4-dioxano
y etanol, existe como un sistema de
dos fases vapor/líquido
a 50°C y 55 kPa. Se encuentra que, después de la adición de
un poco de etanol puro, el sistema se puede regresar al equilibrio dc dos fases, con las
mismas T .y P iniciales. iEn qué aspecto ha cambiado este sistema y en cuál no?
2.14. Para el sistema descrito en el problema 2.13:
4
iCuántas
variables de la regla de las fases, además de 7’ y P, deben escogerse
para fijar la composición de ambas fases?
6)
Si la temperatura y presión no experimentan cambios, ipuede cambiarse la composición total del sistema (ya sea añadiendo o quitando material) sin afectar las
composiciones de las fases líquida y de vapor?
2.15. Para lo siguiente, tome Cr = 20.8 y Cp = 29.1 J mal-’ “C-l para el gas nitrógeno:
a)
Tres moles de nitrógeno a 30°C contenidos en un recipiente rígido, se calientan
a 250°C. QCuánto calor se requiere si el recipiente tiene una capacidad calorífica
despreciable? Si el recipiente pesa 100 kg y tiene una capacidad calorífica de 6.5
kJ kg-’ T-‘, icuánto calor se necesita?
b)
Un conjunto pistón/cilindro
contiene cuatro moles de nitrógeno a 200°C. BCuán-
57
to calor debe extraerse de este sistema, el cual se mantiene a presión constante,
para enfriarlo a 40°C si puede despreciarse la capacidad calorífica del pistón y el
cilindro?
2.16. En lo siguiente, tome Cr = 5 y Cp = 7(Btu)(lb mol)-l(“F)-l para el gas nitrógeno:
a)
Tres libras mol de nitrógeno a 70(“F) están contenidas en un recipiente rígido, el
cual se calienta hasta 350(“F). iCuánto calor se requiere si el recipiente tiene
una capacidad calorífica despreciable? Si éste pesa 200(lb,) y tieneuna capacidad calorífica de 0.12(Btu)(lb,)-1(“F)-1, icuánto calor se necesita?
b)
Cuatro libras mol de nitrógeno a 400(“F) están contenidos en un conjunto pistón/cilindro. iCuánto calor debe extraerse de este sistema, el cual SC mantiene a
presión constante, para enfriarlo a 150(“F) si se desprecia la capacidad calorífica
del pistón y el cilindro?
2.17. Encuentre la ecuación para el trabajo de la compresión isotérmica y reversible de 1
mol de gas contenido en un conjunto pistón/cilindro,
si el volumen molar del gas está
dado por
v=$ch
donde b y R son constantes positivas.
2.18. Por una tubería que tiene 3 pulgadas de diámetro entra vapor a una turbina con una
velocidad de lO(ft)(s)-’ a 200(psia) y GOO(“F)[estado 11. La descarga de la turbina
se lleva a cabo a través de una tubería que tiene un diámetro de 10 pulgadas, con una
presión de S(psia) y 200(“F) [estado 21. iCuál es la potencia de salida de la turbina?
HI = 1322.6(Btu)(lb,)-’
V, = 3.058(ft)3(lb,)-’
HZ = 1 148,6(Btu)(lb,)-’
V, = 79.14(ft)3(lb,)-1
2.19. En un compresor enfriado por agua entra dióxido de carbono gaseoso con condiciones iniciales PI = íF>(psia) y Tl = 50(“F), y se descarga con condiciones finales Pz
= 520(psia) y T2 = 200(“F). El flujo de COs que entra, fluye por una tubería que
tiene un diámetro de cuatro pulgadas, con una velocidad de 20( ft) (s)-l, y se descarga
a través de una tubería de una pulgada de diámetro. El trabajo en la flecha hecho
por el compresor es de 5 360(Btu)(mol)-1. iCuál es la rapidez con la que el calor se
transfiere desde el compresor en (Btu)(hr)-‘?
HI = 307(Btu)(lb,)-’
V, = 9.25(ft)“(lb,)-’
HZ = 330(Btu)(lb,)-’
V, = 0.28(ft)“(lb,)-’
2.20. Se calienta un kilogramo de aire, de manera reversible y a presión constante, a partir
de un estado inicial cle 300 K y 1 bar, hasta que su volumen se triplica. Calcule W, &,
AU y AH para el proceso. Suponga que el aire obedece a la relación PVIT = 83.14
bar cm3 mal-’ K-’ y que Cp = 29 J mal-’ K-l.
2.21. Las condiciones de un gas cambian en un proceso de flujo continuo de 20°C y 1 000
kPa a 60°C y 100 kPa. Proponga un proceso reversible sin flujo (cualquier número
de etapas) para alcanzar este cambio de estado y calcule AU y AH para el proceso
CAPÍTULO 2.
58
Primera ley y otros conceptos básicos
con base en 1 mol de gas. Suponga que para el gas, PV/T es constante, CV = (5/2)R
y Cp = (7/2)R.
2.22. Demuestre que, para un proceso arbitrario doncle no hay flujo y que es mecánicamente reversible, W y & están dados por
W
=
I
VdP-A(PV)
Q = AH-1 VdP
CAPíTULO 3
PROPIEDADES VOLUMÉTRICAS
DE LOS FLUIDOS PUROS
3.1
Comportamiento PVT de sustancias puras
Las propiedades termodinámicas, como la energía interna y la entalpía, a partir de
las cuales se calculan los requerimientos de calor y trabajo de los procesos industriales, a menudo se evalúan a partir de datos volumétricos. Por otra parte, las
relaciones presión/volumen/temperatura
(PVT) son en sí mismas importantes para
algunos fines como medición de fluidos y determinación del tamaño de recipientes
y tuberías. Por consiguiente, en este capítulo se describe el comportamiento PVT
de los fluidos puros.
Normalmente los fluidos homogéneos se dividen en dos clases, líquidos y gases. Sin embargo, no siempre puede hacerse esta distinción tan abrupta debido a
que ambas fases se vuelven indistinguibles en lo que se llama el punto critico. Las
mediciones de la presión de vapor de un sólido puro a temperaturas hasta la de su
punto triple y las mediciones de la presión de vapor del líquido puro a temperaturas mayores que la de su punto triple, conducen a una curva presión contra temperatura como la formada por las líneas l-2 y 2-C de la figura 3.1. La tercera línea
(2-3) de esta gráfica proporciona la relación de equilibrio sólidokquido. Estas tres
curvas representan las condiciones de P y T necesarias para la coexistencia de las
dos fases y son, por tanto, las fronteras de las regiones de una sola fase. La línea
1-2, curva de sublimación, separa las regiones sólida y gaseosa; la línea 2-3, curva
de fusión, separa las regiones sólida y líquida; la línea 2-C, curva de vaporización,
separa las regiones líquida y gaseosa. Las tres curvas convergen en el punto triple,
que es el punto donde las tres fases coexisten en equilibrio. De acuerdo con la regla
de las fases [ecuación (2.11) 1, el punto triple es invariante. Si el sistema existe a 10
largo de cualquiera de las líneas de dos fases de la figura 3.1, entonces éste es
univariante, mientras que en las regiones de una sola fase, el sistema es divariante.
La curva de vaporización 2-C termina en el punto C, que es el punto crítico.
Las coordenadas de este punto son la presión críticaP, y la temperatura crítica T,,
CAPÍ!lVLO
60
1
3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
&gión líquida
Curva de fusión
c
:o
á:
&
Región sólida
Región gaseosa
- Punto
triple
1
Región d e
vapor
I
\ Curva de sublimación
TC
Temperatura
Figura 3.1:
Diagrama PT para una sustancia pura.
las cuales representan la mayor temperatura y presión para las que una especie
química pura pueda existir en equilibrio vapor/líquido. La región de fluido, la cual
existe a temperaturas y presiones mayores, está indicada por líneas punteadas que
no representan transiciones de fase, sino más bien límites fijados por los significados acordados para las palabras líquido y gas. En general, una fa~e~se~nsidera
como líquida si puede vaporizarse por disminución de la presión a temperatura
constante. Una fase& considerada gaseosa si el gas puede condensarse mediante
una reducción de la temperatura a presión constante. Puesto que la re-gi& que
corresponde al fluido no cabe en ninguna de estas definiciones, no es ni líquida ni
gaseosa. La región gaseosa a veces se divide en dos partes, como lo muestra la
línea puntéada de la figura 1.3. Un
conden__.__.. gas
I_ a
._. la izquierda de esta línea puede^_____
sarse ya sea por compresión a temperatura constap@ 0 por enfriamiento a en
constante, y se conoce como vapor.
Dada la existencia del punto crítico, es posible dibujar una trayectoria de la
región líquida a la región gaseosa que no cruce la frontera de la fase; por ejemplo,
la trayectoria de A a B de la figura 3.1. Esta trayectoria representa una transición
gradual de la región líquida a la gaseosa. Por otro lado, una trayectoria que vaya
de A a B y que cruce la frontera de fase 2-C incluye una etapa de vaporización,
donde ocurre un cambio abrupto de las propiedades.
La figura 3.1 no proporciona ninguna información sobre el volumen, sólo
muestra las fronteras de fase en un diagrama PT. Estas fronteras aparecen en un
diagrama PV como áreas que representan regiones donde dos fases, sólidollíquido,
3.1.
Comportamiento
PVT
de
sustancias
puras
61
sólido/vapor y líquido/vapor,
coexisten en equilibrio a una temperatura y presión
dadas. Sin embargo, el volumen molar (o específico) depende de las cantidades
relativas de las fases presentes. El punto triple de la figura 3.1 se convierte en una
línea horizontal, donde coexisten las tres fases en una sola temperatura y presión.
En la figura 3.3 se superponen cuatro isotermas en esa parte del diagrama
PV de la figura 3.2 que representa regiones de líquido, líquido/vapor y vapor. La
línea marcada con T > Tc es una isoterma para una temperatura mayor que la
crítica. Como puede observarse en la figura 3.1, tales isotermas no cruzan una
frontera de fase y, por tanto, son suaves. Las líneas marcadas como Tl y Tz corresponden a temperaturas subcríticas, y están formadas por tres segmentos distintos. Los segmentos horizontales representan el cambio de fase entre líquido y vapor. La presión constante para la que esto sucede a una temperatura determinada
es la presión de saturación o de vapor, y está dada por el punto de la figura 3.1
donde la isoterma cruza la curva de vaporización. Los puntos que están a lo largo
de las líneas horizontales de la figura 3.3 representan todas las mezclas posibles de
líquido y vapor en equilibrio, las cuales van desde 100 por ciento de líquido en el
extremo izquierdo, ha.sta 100 por ciento vapor en el extremo derecho. El lugar de
estos puntos extremos se encuentra en la curva en forma de domo que tiene la
etiqueta BCD, cuya mitad izquierda (de B a C) representa liquido saturado y la
mitad derecha (de C a D) vapor saturado. La región de dos fases se encuentra bajo
el domo BCD, mientras que las regiones líquida y gaseosa están en las partes
izquierda y derecha respectivamente. Las isotermas en la región líquida son muy
pronunciadas, debido a que el volumen de los líquidos cambia muy poco con variaciones grandes en la presión. Los segmentos horizontales de las isotermas en la
región de dos fases se vuelven progresivamente más cortos a, temperaturas altas,
reduciéndose a un punto en C. En consecuencia, la isoterma crítica, Tc, exhibe una
inflexión horizontal en el punto crítico C que está en la parte superior del domo. En
él no pueden distinguirse las fases líquida y de vapor debido a que sus propiedades
son las mismas.
Se obtiene cierta idea de la naturaleza del punto crítico a partir de una descripción de los cambios que ocurren cuando se calienta una sustancia pura en un
tubo sellado de volumen constante. Estos cambios siguen las líneas verticales de la.
figura 3.3 y también aparecen en el diagrama PT de la figura 3.4, donde la curva
de vaporización de la figura 3.1 aparece como una línea continua. Las líneas punteadas son trayectorias de volumen constante sólo en las regiones donde existe una
fase. Si el tubo se llena con líquido o gas, el proceso de calenta.miento produce
cambios descritos por estas líneas, por ejemplo, el ca.mbio de E aF (región líquida)
y el cambio de G a H (región de vapor). IJaS líneas verticales correspondientes de la
figura 3.3 se encuentran a la izquierda y derecha de BCD.
Si el tubo sólo se llena de manera parcial con líquido (y el resto es vapor en
equilibrio con el líquido), el calentamiento primero provocará cambios descritos
por la curva de la presión de vapor (línea continua) de la figura 3.4. Si el menisco
está originalmente cerca de la parte superior del tubo, el líquido se expande debido
al calentamiento hasta que llena completamente el tubo. Un proceso de esta naturaleza está descrito por la trayectoria que va de (J, K) a &; si el calentamiento
continúa, el proceso sigue la trayectoria de volumen molar constante Vi. Si el
CAPÍTULO
62
P
3.
volumétricas
de los fluidos PWS
/ Sólido/líquido
t
t
l
T
Í
l
\
\
Fluido
I 1 1 / Líquidohapor
Figura 3.3:
Propiedades
\
\
I I
Sólidohapol
L
I
K
F’igura 3.2:
Diagrama PV para una sustancia pura.
Diagrama PV para las regiones líc@o, líqnido/vapor
w
V
y vapor de un fluido puro.
3.1.
Comportamiento
PVT
de
sustancias
I
puras
63
*
T
Figura 3.4: Diagrama PT para un fluido puro donde se muestra Ia curva dc presión dc
vapor y las líneas de volumen constante en las regiones con una sola fasc.
menisco que separa las dos fases está más hacia la parte inferior del tubo, el líquido se vaporiza, el menisco retrocede hacia el fondo del tubo y desaparece cuando se
evapora la última gota de líquido. Por ejemplo, en la figura 3.4, una de estas trayectorias es la que va de (J, K) a N; si el calentamiento sigue, entonces el proceso
sigue la línea de volumen molar constante Vi. Las dos trayectorias también SC
muestran en la figura 3.3 con líneas punteadas, donde la primera pasa por los
puntos J y Q y la segunda por K y N.
El llenado del tubo con una altura intermedia particular del menisco, hará
que la trayectoria del proceso de calentamiento coincida con la curva de la presión
de vapor de la figura 3.4 hasta su extremo en el punto crítico C. En la figura 3.3 la
trayectoria es una línea vertical que pasa por el punto crítico. Físicamente, cl
calentamiento no produce mucho cambio en el nivel del menisco. A medida que el
proceso se acerca al punto crítico, el menisco se torna indistinguible y finalmente
desaparece cuando el sistema cambia de dos fases (como indica la curva de la
presión de vapor) a una sola fase (lo que está representado por la región ubicada
encima de C). Si el calentamiento continúa, se producen los cambios representados
en la figura 3.4 por la trayectoria V,, que es la línea de volumen molar constante
que corresponde al volumen crítico del fluido.
64
CAPÍ!lVLO
3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Para las regiones del diagrama donde existe sólo una fase, la figura 3.3 implica una relación que conecta aP, Vy T, la que puede expresarse mediante la ecuación
funcional:
f(P, V, T) = 0
Lo anterior significa que existe una ecuación de estado que relaciona la presión, el
volumen molar o específico y la temperatura para cualquier fluido homogéneo puro
en estados de equilibrio. La ecuación de estado más simple es la de un gas ideal, PV
= RT, una relación que tiene una validez aproximada para la región de la figura
3.3, donde la presión del gas es baja, y que se estudiará con detalle en la sección 3.3.
La ecuación de estado puede resolverse para cualquiera de la tres cantidades, P, V o T, como una función de las otras dos. Por ejemplo, si se considera
a V
.-_-_
como una función de T y P, entonces V = V( T, P), y
dV= (g)pdT+($$dI=
(3.1)
En esta ecuación las derivadas parciales tienen significados físicos bien definidos y
son cantidades medibles. Estas cantidades están relacionadas con dos propiedades que comrínmente se tabulan para los líquidos:
1. Expansividad volumétl-ica
(3.2)
2. Compresibilidad isotérmica
(3.3)
La combinación de las ecuaciones (3.1) a (3.3) produce
la expresión
_.
$ = pdT-KdP
Las isotermas para la fase líquida de la parte izquierda de la figura 3.3 son
muy pronunciadas y muy cercanas entre sí. Por tanto (aV/tJP)T y (aV/aT)p, y por
ende p y K, son pequenos. Este comportamiento característico de los líquidos (fuera de la región del pumo crítico) sugiere una idealización, muy utilizada en mecá-
3.1.
Comportamiento PV!l’ de sustancias puras
65
nica de fluidos, que es la del jZuido incompresible, para el que /3 y K son cero. De
hecho ningún fluido real es incompresible, pero la idealización es muy útil debido a
que a menudo proporciona, para fines prácticos, un modelo bastante realista del
comportamiento del líquido. No existe ninguna ecuación PVT de estado para un
fluido incompresible, debido a que Ves independiente de T y P.
Para líquidos reales B y K son funciones débiles de la temperatura y la presión. si T y P cambian muy poco y se les considera constantes, entonces el error
introducido por esta suposición es pequeño. Con esto, la ecuación (3.4) puede integrarse, obteniendo
.
ln!$ = B(T~-T~)-K(P~-PI)
_
(3.5)
1
La expresión anterior es una aproximación menos restrictiva que la suposicion tic
un fluido incompresible.
Ejemplo 3.1
Para la acetona a 20°C y 1 bar,
p = 1.487 x lo-” ‘YI-’
K = 62
X 10m6
bar-’
V = 1.287 cn? g-r
Encuentre:
a)
El valor de (dP/aT)v.
h)
La presión generada cuando la acetona SC calicnh
desde 20°C y 1 bar hasta 30°C.
c)
El cambio de volumen cuando la acetona se cambia (Ic 20°C y 1 bar 21 0°C y
10 bar.
ii volurncn consti~ntc
a) La derivada (dP/dT)v SC ohticnc con la aplicaciím tic la ccnacii>n (3.4)
al caso en el que Ves constante y dV = 0:
SOLUCIÓN
/3dT-~dP=0
(V constante)
0
P = 1.487 x lo-‘: = 24 bar oc-1
62x lo-"
b) Si se supone que p y K son constantes en cl intervalo tle temperatura dc lO”C,
entonces la ecuación deducida en a) puede cscribirsc como (V = constante)
AP = -P-AT = (24)(10) = 240 bar
K
CAPfTULO
66
3. Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Y
Pz = PI + AP = 1 + 240 = 241 bar
c) La sustitución directa en la ecuación (3.5) proporciona lo siguiente
In; = (1.487 X 10e3)(-20)
- (62 X 10w6)(9) = -0.0303
1
De aquí que
V
-L = 0.9702
v,
Y
Vz = (0.9702)(1.287) = 1.249 cm3 g-l
de donde
AV = Vz - VI = 1.249 - 1.287 = -0.038 cm3 g-’
3.2 Ecuaciones del vial
La figura 3.2 indica la complejidad del comportamiento PVT de una sustancia
pura y sugiere la dificultad de su descripción mediante una ecuación. Sin embargo,
para la región gaseosa, a menudo es suficiente el empleo de ecuaciones sencillas.
Para una isoterma como TI, a partir de la figura 3.3 se nota que P aumenta a
medida que V disminuye. Por tanto el producto PV para un gas o vapor debe ser
mucho más constante que cualquiera de sus miembros, por lo que debe ser más
facil representarlo. Por ejemplo, el producto PV a lo largo de una isoterma puede
cspresarse por un desarrollo en serie de potencias en P:
PV = a + bP + cP’- + . .
Si se establece b = aB’, c = aC’, etc., la ecuación anterior se convierte en
PV = a(1 + B’P + C’P” + D’P3 + . .)
(3.6)
donde CC, B’, C’, etc. son constantes para una temperatura y especie química dadas.
En principio, el miembro derecho de la ecuación (3.6) es una serie infinita.
Sin embargo, en la práctica se emplea un número finito de términos. De hecho, los
dat.os PVT muestran que a presiones bajas el truncamiento de la serie después de
los dos primeros términos proporciona resultados satisfactorios. En general, entre
3.2. Ecuaciones del virial
67
más grande es el intervalo de presión considerado, el número de términos necesarios aumenta.
Los parámetros B’, C’, etc. son funciones de la temperatura y de la identidad
de las especies químicas; sin embargo, el parámetro a tiene la misma fimción de
temperatura para todas las especies. Lo anterior está señalado por datos tomados
de varios gases a una temperatura constante específica (fija por cl empleo de un
estado reproducible tal como el punto triple del agua o el punto de ebullición normal del agua). Los resultados, presentados en la figura 3.5 como una gráfica PV
contra P, tienen todos el mismo valor límite de PV para todos los gases, a medida
que P + 0. En el límite, cuando P -+ 0, la ecuación (3.6) se convierte en
líí(PV) = (PV)* = a
Por tanto, a es la misma para todos los gases y depende sólo de la temperatura:
(PV)* = a =.f[T)
Esta propiedad de los gases es la que los hace valiosos cn la termometría,
donde se emplean los valores límites de (PV) * para establecer una escala de tempcratura que sea independiente de la identidad del gas utilizado como fluido
termométrico. Para ello sólo es necesario fijar la forma de la relación funcional
f(T) y definir una escala cuantitativa; los dos pasos son completamcntc arbitrarios, El procedimiento más simple, adoptado internacionalmentc, es:
1. Fijar la relación funcional de modo que (PV)* sea directamente proporcional
a T,
(PV)” = a = RT
donde R es la constante de proporcionalidad.
\ lím(PV), = (PVj: = 22 711.8 an3 bar mol- ’ K-’
k
P--O
T = 273.16 K = punto triple del agua
0
P
Figura 3.5: El límite de PV cuando P -+ 0 cs indcpcndientc del gas.
(3.7)
CAPÍTULO 3.
68
2.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Asignar un valor de 273.16 K a la temperatura del punto triple del agua,
(PV): = R x 273.16 K
(3.8)
donde el subíndice t denota el valor en el punto triple del agua.
El resultado de la división de la ecuación (3.7) por la (3.8) es
TE
UT*
cplí):= 273.16 K
0
T/K = 273.16 o*
UV:
1
(3.9)
I
La ecuación (3.9) establece la escala Kelvin de temperatura en el intervalo de temperatura para el que se tiene acceso experimental a los valores límites de PV a
medida que P + 0 [valores de (Pb’)“].
El estado de un gas en la condición límite donde P + 0 merece cierto estudio.
A medida que disminuye la presión sobre un gas, las moléculas de éste se alejan
ca.da vez más. El volumen mismo de las moléculas se convierte en una fracción
cada vez más pequefia del volumen total ocupado por el gas. Por otra parte, las
fuerzas de atracción entre moléculas se vuelven más pequeñas debido a que la
distancia entre ellas es cada vez más grande. En el límite, a medida que la presión
tiende a cero, las moléculas están separadas por distancias infinitas. Sus volúmenes se vuelven despreciables comparados con el volumen total del gas y las fuerzas
intennolecnlares tienden a cero. En estas condiciones se dice que todos los gases
sou ideales, y la escala de temperatura establecida por la ecuación (3.9) se conoce
como escala de temperatura del gas ideal. La constante de proporcionalidad R de
121 ecuación (3.7) SC conoce comoconstante universal de los yases. El valor numérico
de ésta se obtiene con la ecuación (3.8) a partir de datos experimentales PVT:
R = (“):
273.16 K
Puesto que los datos PVT no pueden tomarse de hecho a una presión cero, los
dat,os se t,oman a presiones finitas y luego se extrapolan al estado donde la presión
es cero. El valor aceptado actualmente para (PV): es 22 711.8 cm3 bar mal-‘. La
figura 3.5 muestra la forma en que se hace esta determinación. Lo anterior conduce al siguiente valor de R:
R =
22 711.8 cm’ bar 11101-l
- = 83.1447 cm3 bar mal-’ K-l
273.16 K
3.2. Ecuaciones del víríal
6g
B
El valor de R puede expresarse en unidades distintas mediante el emple d e facto- i
res de conversión. Los valores más utilizados están dados en la tabla A.: del apén- ~
dice A.
Con el establecimiento de una escala de temperaturas de gas ide/’ la co?,sb
tante a de la ecuación (3.6) puede remplazarse por RT, de acuerdo con ! ecuaclon Q
(3.7). Por tanto, la ecuación (3.6) se convierte en
2 z g = 1 + B’p + fyp2 + gp3 + . .
npresibilidonde el cociente adimensional PVIRT recibe el nombre de factor de coén
de uso k
da,d y se le da el símbolo 2. Una. expresión alternativa para 2, tamt
b
común, es
Las dos ecuaciones anteriores se conocen como desarrollos vitiales, y los. jarámetros b
B’, C’, D’, etc., y B, C, D, etc., reciben el nombre de coeficientes VI riales. Losh
parámetros B’ y B son los segundos coeficientes viriales; C’ y C son los. terceros$
coeficientes viriales, etc. Para un gas dado, los coeficientes viriales son 1tnicamenteh
funciones de la temperatura.
Los dos conjuntos de coeficientes en las ecuaciones (3.10) y (:!‘ll) estáQti
relacionados de la siguiente manera:
D’ = -D-3BC+2B3
WI3
etc.
El primer paso en la deducción de estas relaciones es eliminar a P c .ìel miemtw,
derecho de la ecuación (3.10) mediante el empleo de la ecuación (3.11). La ecuacióh
que se obtiene es una serie de potencias en l/V, que se compara térmir. 10 a térmiqo
con la ecuación (3.11). Esta comparación proporciona las ecuaciones . que relaciy.
nan los dos conjuntos de coeficientes viriales. Las ecuaciones coincl. .lden exactâ.
mente sólo para los dos desarrollos viriales, considerados como sen.~es infinita+.
Para las formas truncadas de las ecuaciones del virial estudiadas en la L sección 3.9,
estas relaciones son sólo aproximadas.
?O
CAPÍTULO 3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Se han propuesto otras ecuaciones de estado para los gases, pero las ecuaciones
del virial son las únicas que tienen una base teórica firme. Los métodos de la me&nica estadística permiten la deducción de las ecuaciones del virial y proporcionan
un significado físico de los coeficientes viriales. Es así como, para el desarrollo en
l/V, el término BIV aparece debido a las interacciones entre pares de moléculas
(véase Sección 3.9); el término C/V2 toma en cuenta la interacción entre tres cuerpos, etc. Puesto que la interacción entre dos cuerpos es mucho más común que las
interacciones entre tres cuerpos, y éstas a su vez son mucho más numerosas que
las interacciones entre cuatro cuerpos, etc., la contribución a 2’ de estos términos
de orden superior disminuye con mucha rapidez.
3.3 El gas ideal
Puesto que los términos BIV, CIV 2, etc. del desarrollo virial [ecuación (3.1 l)] aparecen al tomar en cuenta las interacciones moleculares, los coeficientes viriales B,
C, etc. serán cero si estas interacciones no existen. Con esto, el desarrollo virial se
reduce a
Z=l
0
PV=RT
Para un gas real, las interacciones moleculares eksten y ejercen influencia
sobre el comportamiento observado del gas. A medida que disminuye la presión de
un gas real, a temperatura constante, V aumenta y las contribuciones de los términos B/V, C/V2, etc. disminuyen. Para una presión que tiende a cero, Z tiende a la
unidad, no por algún cambio en los coefícient,es viriales sino porque V SC vuelve
infinito. Por tanto, en el límite, a medida que la presión tiende a cero, la ecuación
de estado toma la misma forma simple que para el caso hipotético donde B = C =
. . = 0; esto es
Z=l
0
PV=RT
De la regla de las fases se sabe que la energía interna de un gas real es una
función de la presión y la temperatura. Esta dependencia con la presión aparece
como resultado de las fuerzas entre las moléculas. Si estas fuerzas no existieran,
entonces no se necesitaría energía alguna para alterar la distancia intermolecular
promedio y, por consiguiente, no se requeriría energía para originar cambios de
volumen y presión en un gas a temperatura constante. Por tanto, se concluye que
en ausencia de interacciones moleculares, la energía interna del gas depende exclusivamente de la temperatura. Estas consideraciones sobre el comportamiento de
un gas hipotético en el que no existen fuerzas moleculares y de un gas real en el
límite, a medida que la presión tiende a cero, conducen a la definición de un gas
ideal como aquel cuyo comportamiento macroscópico está caracterizado por:
1. La ecuación de estado
(3.12)
3.3. El gas ideal
71
V
Figura
3.6:
Cambios de energía interna para un gas ideal.
2. Una energía interna que es función sólo de la temperatura y que, como consecuencia de la ecuación (2.19)) tiene una capacidad calorífica CV que también
depende exclusivamente de la temperatura.
El gas ideal es un modelo de fluido útil debido a que está descrito por ecuaciones
sencillas que pueden emplearse a menudo como buenas aproximaciones para gases
reales. En los cálculos de ingeniería a menudo los gases que están sujetos a presiones de unos cuantos bar pueden considerarse como ideales. Por tanto, el resto de
esta sección está dedicad0 al desarrollo de relaciones termodinámicas para gases
ideales.
El proceso a volumen cons tan te (isocórico)
En la sección 2.10 se desarrollaron las ecuaciones que se aplican a un proceso a
volumen constante y mecánicamente reversible. No se obtiene ninguna simplifícación para el gas ideal. Por tanto,
_ -. .- para un mol
Para un cambio finito,
dU = dQ = CvdT
(3.13)
AU=Q=j&dT
(3.14)
Puesto que la energía interna y la CV de un gas ideal son funciones exclusivamente de la temperatura, para un gas ideal, AU siempre puede calcularse con
s CvdT, sin importar la clase de proceso que provoca el cambio. Lo anterior se
demuestra en la figura 3.6, la cual presenta una gráfica de la energía interna como
función del volumen molar, con la temperatura como parámetro. Puesto que U es
independiente de Va temperatura constante, la gráfica de U contra Va temperatura constante es una línea horizontal. Para temperaturas diferentes, U tiene’valores diferentes, con una línea para cada temperatura. La figura 3.6 muestra dos
CAFflTJLO
72
3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
de estas líneas, una para la temperatura TI y otra para T2, que es mayor que Tl.
La línea punteada que une los puntos a y b representa un proceso a volumen
constante para el que la temperatura aumenta de TI a Tz y el cambio de energía
int&-na es AU = U2 - U1. Este cambio de energía interna está dado por la ecuación
(3.14) como AU = s CvdT. Las líneas punteadas que unen los puntos a y c y los
puntos a y o! representan otros procesos que no ocurren a volumen constante pero
que también van de una temperatura inicial Tl a una final T2. La gráfica muestra
de manera clara que el cambio en U para estos procesos es el mismo que el del
proceso a volumen constante y, por tanto, están dados por la misma ecuación, esto
es, AU = J CvdT. Sin embargo, para estos procesos, AU no es igual a Q debido a
que Q depende no sólo de Tl y T2 sino también de la trayectoria del proceso.
El proceso a presión cons tan te (isobárico)
En la sección 2.10 se desarrollaron las ecuaciones que se aplican a un proceso a
presión constante donde no hay flujo y que es mecánicamente reversible. Para un
mol
dH = dQ = CpdT
(3.15)
AH=Q=jCpdT
(3.16)
Y
Dado que la energía interna de un gas ideal depende sólo de !a temperatura,
la entalpía y Cp dependen únicamente de la temperatura. Lo anterior resulta evidente de la definición H = U + PV, o H = U + RT para. un gas ideal, y de la
ecuación (2.20). Del mismo modo en que AU = S CvdT para cualquier proceso
donde participa un gas ideal, también AH = J CpdT no sólo para procesos a
presión constante sino también para todos los procesos finitos.
Las expresiones para dU y dH junto con la definición de entalpía implican
una relación simple entre Cp y CV para el gas ideal; puesto que
dH=dU+RdT
(gas ideal)
entonces, de las ecuaciones (3.13) y (3.15),
CpdT = CvdT + R dT
Y
(3.17)
..Esta ecuación no implica que Cp y CV sean constantes para un gas ideal, sino que
cambian con la temperatura de modo que su diferencia es igual a la constante R.
r¿F¿cTq
3.3. El gas ideal
El proceso a tempera tura cons tan te (iso térmico)
La energía interna de un gas ideal no puede cambiar en un proceso isotérmiao.
. . _ __. .-. -. Por
tanto, para un mol de gas ideal en cua!quier proceso donde no hay flujo,
dU=dQ+dW=Q
Y
Q=-W
Para un proceso donde no hay flujo, mecánicamente reversible y con P = ..-.-RT/V,_
se tiene de inmediato que
Q=-W=.fPdV=,fRT$
La integración a temperatura constante desde un volumen inicial VI a otro final Vz
da como resultado
Q=-W=RTInV
(3.18)
1
Puesto que P1/P:! = VdV, para el proceso isotérmico, la ecuación (3.18) también
puede escribirse como
Q=-W=RTIn+
(3.19)
2
El proceso adiabático reversible
Un proceso adiabático es aquel donde no existe transferencia de calor entre el
sistema y sus alrededores; esto es, dQ = 0: Por consiguiente, la aplicación de la
primera ley a un mol de gas ideal en un proceso donde no hay flujo y que es mecánicamente reversible da como resultado
dU=dW=-PdV
Puesto que el cambio en la energía interna de cualquier proceso donde participa un
gas ideal está dado por la ecuación (3.13), ésta se convierte en
CvdT = -P dV
Al sustituir RTIV por P y reacomodar los términos, se tiene que
dT
R dV
-=--T
G v
(3.20)
CAF?TVLO 3.
74
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Si se denota el cociente de capacidades caloríficas Cplc~ mediante y, entonces, de
acuerdo con la ecuación (3.17),
C,, + R
Y= ~
C”
0
R =y-l
~
CV
” 11~1 .
(3.21)
La sustitución de la expresión anterior en la ecuación (3.20) da .como
resultado
-.
dT
-=
-(y- l)$
T
Si y es constante,l entonces al integrar
0
/ gp)” 1
(3.22)
Esta ecuación relaciona la temperatura y el volumen para un proceso adiabá.tico
mecánicamente reversible donde participa un gas ideal con capacidades caloríficas
constantes. Pueden obtenerse relaciones análogas entre la temperatura y la presión y entre la presión y el volumen, a partir de la ecuación (3.22) y la ecuación del
gas ideal. J?uesto que PlVl/Tl = PzVdTz, es posible eliminar V,/V~ de la ecuación
(3.22) obteniendo
‘La suposición de que y es constante para un gas ideal equivale a la suposición de que las capacidades caloríficas mismas son constantes. Ésta es la única manera en que el cociente Cp/Cv = y y la
diferencia Cp - CV = R sean ambos constantes. Sin embargo, puesto que tanto Cp como C V aumentan
con la temperatura, su cociente y es menos sensible a la temperatura que las propias capacidades
caloríficas.
3.3. El gas ideal
La comparación de las ecuaciones (3.22) y (3.23) muestra que
PI V,Y = Pz V, = PVr = constante
.,.
(3.24)
El trabajo de un proceso adiabático puede obtenerse de la relación
--.-.dW = dU = CvdT
(3.25)
Si CV es constante, entonces el resultado de la integración es
(3.26)
W=AU=&AT
Pueden obtenerse otras formas de la ecuación (3.26) si se elimina a CV por medio
de la ecuación (3.21):
R A T
RT,--RI:
Y-1
Y-1
W=(&&j’= ----=
Puesto que RT1 = P,Vl y RT2 = P2V2, esta expresión también puede escribirse
como
w=
gG-P,K
Y-l
I-
(3.27)
Las ecuaciones (3.?5), (3.26) y (3.27) son generales para un proceso adiabático,
sea reversible Q no. Sin embargo, lo usual es que no se conozca V2, y que éste sea
eliminado de la ecuación (3.27) mediante la (3.24j; lo que es válido sólo para procesos mecánicamente reversibles. Lo anterior conduce a la expresión
w=
(3.28)
Se obtienen los mismos resultados cuando la relación entre P y V dada por la
ecuación (3.24) se utiliza para la integración de la expresión W = -J P dV.
$s ecuaciones (3.22) a (3.28) son para gases ideales con capacidá-s
caloríficás constantes. Las ecuaciones (3.22), (3.23), (3.24) y (3.88) también re_._.
CAPÍTULO
76
3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
quieren que el proceso sea mecánicamente~^ reversible.
-.----.-, Los procesos que son
$liába’ticos pero nõ mec&iicam’e~ñite reversibT¿k no estan descritos por estas
ecuaciones.
Cuando las ecuaciones (3.22) a (3.28) se aplican a gases reales, con frecucncia proporcionan aproximaciones satisfactorias, siempre y cuando las desviaciones
de la idealidad sean relativamente pequeñas. Para gases monoa.tómicos,
y = 1.67;
el valor aproxim-do de y para gases diatómicos& .4, y 1.3 pa2-a gases pohatomlcos
skcillos, tales como COZ, SOz, NI-13 y CHJ.
El proceso politrópico
Las ecuaciones generales que se aplican a un mol de gas ideal que experimenta un
proceso donde no hay flqjo y que es mecánicamente reversible SOKYT---~-‘
dU = d& + dW
AU=Q+W
dW= -PdV
w = - PdV
I
dU = CvdT
AU =
dH = CpdT
AH =
I
5
(prirncra
ley)
CvdT
&dT
Los valores de Q no pueden determinarse de manera directa, pero se obticnen a partir de la primera ley, donde el trabqjo se calcula co!1 la integrad J PdV. Sin
crnbargo,
la evaluación de esta integral requiere la especificación dc una relación P
contra. V.&;l!m,ente, el proceso politrúpico se define como aqncl donde esta rclación esÍ% dada por
donde K es una constante para cualquier proceso dado. Con esta relación entre P
y V, las ecuaciones (3.22), (3.23) y (3.24) pueden rescribirse rempla-3B-h ypor
6, con lo que la evaluación de s PdVproduce la ecuación (3.28) con y sustit!Jida
por 6 :
w3
RT,
(s-m
6-I
4
[()
(3.29)
-1
1
Por otra parte, para capacidades caloríficas constantes, la solución~~-..Y--de la primera
ley para Q es
(3.30)
3.3. El gas ideal
77
Para valores particulares de 6, las ecuaciones (3.29) y (3~.30) se r&x@n-.s 10s
Gguientes casospara uti g& idèal:
0
Isobárico
1
Isotérmieo
y Adiabático
00
I~ocórico
Las ecuaciones desarrolladas en esta sección se han deducido para procesos
donde no hay flujo, que son mecánicamente reversibles y donde participa un gas
ideal. Sin embargo, las ecuaciones que r$laciona-n funciones de - estado
- - - -sólo-.. son
válidas para.gascq ideales, sin importar el tipo. be proceso. Estas SC aplican- por
igual a procesos reuersibles e irreversibles, con flujo o sin él, debido a que los cambios en las funciones de estado dependen únicamente de los estados inicial y final
del sistema. Por otra parte, -una ecuación para Q o W depcndc del proceso consitlcrado para la deducción de las ecuaciones.
El trabajo--__-de un proceso
.-- - irreversible se calcula con un- procedimiento de dos
pas@ P%mero se determina W para un proceso mecánicamcntc rcvcrsiblc que
&ance-&kismo cambio de estado. Segundo, este resultado SC multiplica o divitlc
pkr una eficiencia para obtener entonces el trabajo real. Si cl proceso produce
trabajo, el valor para el proceso reversible es muy grande y tlcbc multiplicarse por
üñáeficiencia. Si el proceso requiere trabajo, el valor para cl proceso rcvcrsiblc es
hÜi.fiequeño
y debe dividirse entonces por la eficiencia.
._.
Las aplicaciones de los conceptos y ccuacioncs desarrolladas cn esta secci6n
se ilustran con los siguientes ejemplos. En particular, cl c.jemplo 3.3 trata cl trabajo de un proceso irreversible.
Ejemplo 3.2 Sc comprime aire a partir de una contlicii>n inicial tlc 1 bar y 25°C
hasta alcanzar un estado final dc 5 ha.r y 25°C. La comprcsk’m SC hace mdiantc tres
procesos diferentes mecánicamente revcrsit>les:
a)
Calentamiento a volumen constante seguido por cnfriamicnto il presión
constante.
h) Compresión isotérmica.
c)
Compresión adiabática seguida por enfria.miento
a volumen constante.
Para estas condiciones, el aire puede considerarse
como un gas ideal con wpacidadcs
caloríficas constantes, CV = (5/2)R y Cp = (7/2)R.
Calcule el trabajo requerido, el calor transferido y los cambios tic energía intcrna y cntalpía del aire para cada proceso.
SOLUCIÓN En cada caso el sistema a considerar cs un mol de aire, contenido en un
conjunto hipotético pistón/cilin¿ko sin fricci6n. Para R = 8.314 J mal-’ Ic-’
CV = 20.785
y
Cp = 29.099 J mal-’ K-’
CA?@ULO 3.
78
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Las condiciones inicial y final del aire son idénticas a las del ejemplo 2.12. En éste,
se demostró que
y
v, = 0.02479
Vz = 0.004958 m3
a) Esta parte del problema es idéntica a la parte 6) del ejemplo 2.12. Sin embargo, ésta puede resolverse de una manera más simple. La temperatura al término de
la etapa de calentamiento a volumen constante fue calculada en el ejemplo 2.12, y es
de 1 490.75 K. Asimismo, para esta etapa, W = 0, por consiguiente
Q = AU = CV AT = 24 788 J
Por otra parte,
dH = Cp AT = (29.099)(1
490.75 - 298.15) = 34 703 J
Para la segunda etapa a presión constante, la ecuación (3.16) proporciona el siguiente
resultado
Q = AH = Cp AT = (29.099)(298.15 - 1 490.75) = -34 703 J
AU = CV AT = (20.785)(298.15 - 1 490.75) = -24 788 J
Y
W = AU - Q = -24 788 - (-34 703) = 9 915 J
Para toa0
cl proceso,
AU = 2 4 7 8 8 - 2 4 7 8 8 = 0
A H = 34703-34703 = 0
Q = 24 788 - 34 703 = -9 9 1 5 J
W = 9 915 + 0 = 9 915 J
b) Para la compresión isotérmica
de un gas ideal,
AU=AH=O
De la ecuación (3.19),
Q =-W= RTln$ = (8.314)(298.15) lni = -3 990 J
?
c) La compresión adiabática inicial del aire lleva a éste a un volumen final de
0.004958 m3. La temperatura y la presión cn este punto están dados por las ecuaciones
(3.22) y (3.24):
3.3. El gas ideal
79
y-1
= (298.15) (;9$;;;6)” = 567.57 K
Y
Para esta etapa, Q = 0. De aquí que
AU = W = Cr AT = (20.785)(567.57 - 298.15) = 5 600 J
Y
AH = Cp AT = (29.099)(567.57 - 298.15) = 7 840 J
Para la segunda etapa, AV = 0; por tanto,
Q = AU = Cr AT = (20.785)(298.15 - 567.57) = -5 600 ,J
Y
AH = Cp AT = (29.099)(298.15 - 567.57) = -7 840 J
Para todo el proceso,
AU = 5600-5600=0
A H = 7 840 - 7 840 = 0
Q = 0 - 5 600 = -5 600 J
W = 5 600 + 0 = 5 600 J
La figura 3.7 muestra estos procesos esquematizados en un diagrama Z-‘V
Una comparación entre las respuestas de las tres partes de este problema muestra que los cambios de propiedad AU y AH son los mismos, sin importar para cual
trayectoria se calculen. Por otra parte, Q y W dependen de la trayectoria.
El trabajo para cada uno de estos procesos mecánicamente reversibles también
puede calcularse con la expresión W = -s PdV. El valor de esta integral es proporcional al área debajo de la curva del diagrama PVque representa al proceso. Los tatnaños relativos de estas áreas corresponden a los valores numéricos de W.
Ejemplo 3.3 Un gas ideal experimenta la siguiente secuencia de procesos mecanicamente
reversibles:
a)
De un estado inicial de 70°C y 1 bar, se comprima adiabáticamente hasta la
temperatura de 150°C.
80
CAPÍTULO 3.
*piedades volumétricas de los fluidos puros
10
9
8
7
(2)
3,
2
1,
0
I
(1)
I
5
F’igura 3.7:
I
10
I
I
15
20
VX 103/m3
I
25
Diagrama del ejemplo 3.2.
h)
A continuación, el gas se enfría a presión constante desde 150°C hasta
70°C.
c)
Finalmente, el gas se expande isotérmicamente hasta regresar a su estado
original.
Calcule W, Q, AU y AH para cada uno de los tres procesos y para todo el ciclo
completo. Suponga que Cr = (3/2)R y Cp = (5/2)R.
Si estos procesos se llevan a cabo de manera irreversible pero de modo tal que
produzcan exactamente los mismos cambios de estado (esto es, los mismos cambios
en P, T, Uy H), entonces los valores de Q y Wson diferentes. Calcule los valores de Q
y W para una eficiencia del 80 por ciento en cada etapa.
SOLUCIÓN
A partir de la información dada, se tiene que
Cr, = (3/2)(8.314) = 12.471 J mal-’ K-l
y
Cp = (5/2)(8.314) = 20.785 J mal-’ K-l
El ciclo está representado por el diagrama PV de la figura 3.8. Primero se considerara la operación mecánicamente reversible del ciclo y se tomará como base un mol de
gas.
a) Para un gas ideal que experimenta una compresión adiabática,
AU = W = Cr- AT = (12.471)(150 - 70) = 998 J
3.3. El gas ideal
81
70°C
3
b
2
P
1
70°C
I
V
Figura 3.8:
Diagrama del ejemplo
3.3.
AH = Cp AT = (20.785)(150 - 70) = 1 663 J
Y
Q=O
La presión P2 puede obtenerse a partir de la ccuaciún
(3.23)
b) La ecuación (3.16) es aplicable a procesos que se llevan a cabo ir. presi6n
constante:
AH = Q = Cp AT = (20.785)(70 - 150) = -1 663 .J
Por otra parte,
Por la primera ley,
AU = CvAT = (12.471)(70 - 150) = -998 .J
W = AU- Q = -998 - (-1 663) = 665 .J
c) Para gases ideales, AU
y AH son cero en un proceso isotérmico. Puesto que
P3 = P2, la ecuación (3.19) da como resultado
Q = -W = RT In $ = (8.314)(343.15) In y = 1495 .J
1
82
CAPÍ!lUL,O 3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Para todo el proceso
Q = 0 - 1663 + 1495 = -168 J
W = 998 + 665 - 1495 = 168 J
AU = 998 - 998 + 0 = 0
AH = 1 663 - 1663 + 0 = 0
Los cambios en las propiedades A U y AH son ambos cero para todo el ciclo, dado que
los estados inicial y final son idénticos. Nótese también que para el ciclo, Q = -W.
Este resultado se desprende de la primera ley de la termodinámica con AU = 0.
Si se obtienen los mismos cambios de estado mediante procesos irreversibles, los
cambios en las propiedades para las etapas son idénticos a los ya calculados. Sin
embargo, los valores de Q y W son diferentes.
a) Esta etapa no puede ser adiabática. Para una compresión adiabática mecánicamente reversible, W = 998 J. Si la eficiencia del proceso es del 80 por ciento
comparada con esto, entonces
W2EL1248J
0.80
Puesto que AU sigue siendo 998, por la primera ley
Q=AU-W=998-1248=-250J
b) El trabajo para el proceso de enfriamiento mecánicamente reversible es 665
J. Para el proceso irreversible,
WC 665 =831
0.80
J
Q = AU - W = -998 - 831 = -1 829 J
c) Como el trabajo en esta etapa es hecho por el sistema, el trabajo irreversible es
numéricamente menor que el trabajo reversible:
W= (0.80)(-l 495) = -1 196 J
Q=AU-TV=O+1196=1196J
Para todo el ciclo, AU y AH son cle nllevo cero, pero
Q = -250 - 1829 + 1 198 = -883 J
83
3.3. El gas ideal
Y
W = 1248 + 831- 1 196 = 883 J
En la tabla siguiente aparece un resumen de todos estos resultados. Tbdos los valores
están en joules.
Mecánicamente
Etapaa
Etapab
Etapac
AU
AH
998
-998
0
1663
-1663
0
0
0
Ciclo
reversible
Q
W
0
998
-1663
665
1495 - 1 4 9 5
-168
168
Irreversible
AUAH
Q
998
1663
-250
-998 - 1 6 6 3 - 1 8 2 9
0
0
1196
0
0
-883
W
1248
831
-1196
883
El ciclo requiere trabajo y produce una cantidad igual de calor. La característica
más importante de la comparación mostrada en la tabla es que cl trabajo total requerido cuando el ciclo consiste sólo en tres etapas irreversibles es más de cinco veces
mayor que el trabajo total requerido cuando las etapas son mecánicamente reversibles,
aun cuando se suponga que la eficiencia de cada etapa irreversible sea del 80 por
ciento.
Eìjemplo 3.4 Dentro de un cilindro vertical está contenida, por un pistón sin fricción, una masa de 0.4 kg de nitrógeno a 27°C. El peso del pistón hace que la presión
del nitrógeno sea 0.35 bar mayor quesla de la atmósfera que lo rodea, la cual se
encuentra a 1 bar con una temperatura de 27%. Por tanto, el nitrógeno tiene una
presión inicial de 1.35 bar y se encuentra en equilibrio mecánico y térmico con sus
alrededores. Considere ahora la siguiente secuencia de procesos:
u)
El aparato se sumerge en un baño de hielo/agua
equilibrio.
y se permite que entre en
h)
Se aplica lentamente una fuerza variable al pistón de modo que el nitrógeno
se comprima reversiblemente a una temperatura constante de 0°C hasta
que el volumen del gas sea igual a la mitad del que tenía al final de la etapa
a). En ese punto, el pistón se mantiene en su posición mediante seguros.
c)
El aparato se quita del baño de hielo/agua y se deja que entre cn equilibrio
térmico con la atmósfera, cuya temperatura es de 27°C.
d)
Se quitan los seguros y se deja que el aparato regrese al equilibrio total con
sus alrededores.
Dibuje todo el ciclo en un diagrama PVy calcule Q, W, AUt y hHt para el nitrógeno
en cada etapa del ciclo. El nitrógeno puede considerarse como un gas ideal para el
que CV = (5/2)R y Cp = (7/2)R.
Al término del ciclo el nitrógeno regresa a sus condiciones iniciales de
27°C y 1.35 bar. Las etapas que forman el ciclo son
SOLUCIÓN
CAPÍTULO 3.
84
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
P constante
27°C 1.35 bar -
h)
O”C,
v,
CI
O”C,
v3
4
27°C
O”C, 1.35 bar
T constante
O”C,
1’ constante
T4 = T,
V, -
27°C
v, = + v,
V, = V,
27”C, 1.35 bar
a) En esta etapa, representada por la línea horizontal a de la figura 3.9, el nitrógeno
se enfría a presión constante. El proceso es mecánicamente reversible, aun cuando la
transferencia de calor ocurre de manera irreversible como resultado de una diferencia finita de temperaturas. Por tanto, para la masa m de nitrógeno
mR AT
PdV=-mPAV=-----M
Con R = 8.314 J mal-’ K-‘, m = 400 gy la masa molar (peso molecular) M = 28, se
tiene
Iy = _ (400)(3.314)(0
0
28
- 27) = 3 207 J
3
1
t
120.15
I
264.1
0
I
I
200
100
VIcm
Figura 3.9: Diagrama del ejemplo 3 . 4 .
3.3. El gas ideal
85
Qa = mAH, = mCp AT = (400)(7/2)(8.314/28)(0 - 27) = -11 224 J
De la primera ley,
mAU,
= Q, + W, = -11224 + 3 207 = -8 017 J
El cambio en la energía interna también puede evaluarse a partir de la ecuación
(3.14):
m AlJ, = mCv AT = (400)(5/2)(8.314/28)(0 - 27) = -8 017 J
b) En esta etapa el proceso es una compresión isotérmica,
como lo muestra la
curva b de la figura 3.9. A temperatura constante, la energía interna y la entalpía no
cambian:
AUb=AHHa=O
y
bajo
condiciones
de
reversibilidad
Qa = -W, = “‘ln$ =
mecánica,
(400)(8.3;8)(273.15)
1n; = -22 487 J
2
(c) Para este proceso a volumen constante, WC = 0 y, de acuerdo con la ecuación
(3.141,
Qc = m AU, = mCv AT = (400)(5/2)(8.314/28)(27 - 0) = 8 017 J
Además,
m & = mcp AT = (400)(7/2)(8.314/28)(27
- 0) = ll 224 J
d) Las tres primeras etapas del ciclo pueden bosquejarse en un diagrama PV sin
dificultad, debido a que se conocen sus trayectorias. Para la etapa tina1 esto no es
posible ya que el proceso es irreversible. Cuando se quitan los seguros que mantienen
en su lugar al pistón sin fricción, éste se mueve rápidamente hacia arriba y, dada su
propia inercia, va más allá de su posición de equilibrio. Esta expansión inicial es casi
equivalente a un proceso adiabático reversible ya que la turbulencia resultante por el
movimiento del pistón es pequeña y la transferencia de calor es lenta. Las oscilacioncs subsecuentes del pistón, a medida que éste alcanza poco a poco su posición final
de equilibrio, son la causa principal de la irreversibilidad. Este proceso requiere de
un tiempo considerable durante el cual la cantidad de calor transferido es suficiente
para regresar al nitrógeno a su temperatura inicial de 27’C a una presión de 1.35
bar. No es posible especificar la trayectoria exacta de un proceso irreversible. Sin
embargo, las líneas punteadas de la figura 3.9 indican a grandes rasgos la forma que
tiene la trayectoria.
Puesto que el proceso es irreversible, el trabajo hecho no puede obtenerse a
partir de la integral s P dV. Por otra parte, tampoco es posible calcular W a partir de
CAPÍTULO 3.
86
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
la información proporcionada. Durante la expansión inicial del gas, el trabajo es
aproximadamente igual al de una expansión adiabática mecánicamente reversible.
Este trabajo transfiere energía del gas hacia los alrededores, donde éste rechaza la
atmósfera y aumenta la energía potencial del pistón. Si el pistón se mantuviese en la
posición que corresponde al desplazamiento máximo, entonces podría evitarse la mayor
parte de la irreversibilidad, con lo que podría calcularse una buena aproximación del
trabajo mediante las ecuaciones correspondientes a una expansión adiabática
reversible. Sin embargo, tal como ocurre realmente el proceso, la oscilación del pistón provoca turbulencias o agitación tanto en el gas como en la atmósfera, y no hay
manera de saber la magnitud de ninguna de ellas, lo que hace imposible el cálculo de
QoW.
A diferencia del trabajo y el calor, pueden calcularse los cambios de propiedades
del sistema para la etapa d, ya que éstos sólo dependen de los estados inicial y final,
los cuales son conocidos. La energía interna y la entalpía dc un gas ideal son funciones exclnsivas de la temperatura. Por consiguiente, AU y AH son cero debido a que
la temperatura inicial y final es la misma., 27°C. La primera. ley se a.plica a procesos
reversibles e irreversibles, y para la etapa d toma la forma
AUd = Qd + W, = 0
0
Qd = -WI
Aunque no es posible calcular Qd o wd, es evidente que las dos son iguales.
La etapa
d da como resultado un incremento neto en la energía potencial debido a la elevación
del pistón y la atmósfera, y una disminución compensatoria en la energía interna de
la atmósfera circundante.
Ejemplo 3.5 Por una tubería horizontal aislada fluye aire con una rapidez constante. La tubería contiene una válvula parcialmente cerrada. Las condiciones del
aire corriente arriba de la válvula son 20°C y 6 bar, mientras que la presión corriente
abajo es de 3 bar. La línea que deja la válvula. es mucho más grande que la que entra
a ella, de modo tal que el cambio de energía cinética del aire a medida que éste fluye
por la válvula es despreciable. Si el aire se considera como un gas ideal, icuál es la
temperatura del aire corriente abajo a una distancia. dada a partir de la válvula?
SOLUCIÓN
El flujo a través de una válwla parcialmente cerrada se conoce como
un proceso de estrangulación. Puesto que la rapidez de flujo es constante, entonces
puede aplicarse la ecuación (2.9). La línea está aislada, lo que hace que Q sea
pequeña; por otra parte, los cambios en las cncrgías cinética y potencial son despreciables. Puesto que no hay trabajo en la. flecha, ys = 0. Por tanto, la ecuación
(2.9) sc reduce a
AH=0
En consecuencia, para un gas ideal,
‘.>F-
3.4. Aplicación de las ecuaciones del virial
87
de aquí que
El resultado general es que, p~~aun p~oc-p.d~ e,sJ~..~e;ulación, AH = 0 debido a
que usualmente son válidas las suposiciones de que la transferencia de calor y los
cambios en las energías potencial y cinética son despreciables. Si el fluido es un gas
ideal, entonces no ocurre ningún cambio en la temperatura. El proceso de estrangulación es inhere temente irreversible, pero esto no tiene importancia para el cálculo,
esto es, AH = CpdT es siempre válida para un gas ideal sin importar el proceso.
5’
3.4
Aplicación de las ecuaciones del virial
Las dos formas del desarrollo virial dadas por las ecuaciones (3.10) y (3. ll) son
series infinitas. Para propósitos de ingeniería su uso es práctico sólo cuando la
convergencia es muy rápida, esto es, cuando se requieren no más de dos o tres
términos para obtener aproximaciones razonablemente cercanas a los valores de
las series. Esto ocurre para gases yvapores sujetos a presiones bajas o moderadas.
La figura 3.10 muestra una gráfica del factor de compresibilidad para el
metano. En ella, los valores del factor de compresibilidad 2 (tal como se calcula
con la ecuación Z = PV/RT a partir de datos PVT para el metano) se dibujan
contra la presión para varias temperaturas constantes. Las isotermas resultantes
muestran de manera gráfica lo que se pretende representar de manera analítica
con el desarrollo virial en P. Tbdas las isotermas tienen su origen en el valor 2 = 1
para P = 0. Además, a bajas presiones, las isotermas son líneas casi rectas. Por
tanto, la tangente a una isoterma en P = 0 es una buena aproximación de la
isoterma para un intervalo de presión finito. Si se deriva la ecuación (3.10) para
una temperatura dada, entonces se tiene
az
- = B’ + 2C’P + 3D’P2 + . .
dP
a partir de la cual
= B’
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es
Z= 1 +B’P
que es un resultado que también se obtiene al truncar en dos términos la ecuación
(3.10). Como alternativa, también se puede hacer uso de la relación aproximada
B’ = B/RT para expresar la ecuación que corresponde a Z en términos del coeficiente B:
CAPÍTULO 3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
I
400(“F)
.
k 0.8
4
s
a, 0.7
Il
E\i
0.6
0
I
1
1000
I
2 000
1
3 000
P(psia)
Figura 3.10:
Gráfica del factor de compresibilidad para cl metano.
(3.31)
Puesto que la ecuación (3. ll) también puede truncarse en dos términozra
._
su aplicación a presiones bajas,
(3.32)
entonces surge la pregunta sobre cuál ecuación es la que proporciona la mejor
representación de los datos PVT a presiones bajas. La experiencia muestra que la
ecuación (3.31) es al menos tan exacta como la (3.32), y su uso es más conveniente
cn muchas aplicaciones. Por tantos, cuando la ecuación del virial se trunca en dos
términos, se preeere ent&ces. la ecuación (3.3 1) . Esta
ecuación representa-e
__-. - _-....
manera satisfactoria. el comportamiento PVT de muc&vapores a temperat-ÜrZ
subcríticas y hasta presiones cercanas a 15 bar. A temperaturas mayores, la ecuan
resulta apropiada para gases en un intervalo de presión cada vez mayor a m&%da
‘T-T-que la temperatura aumenta. Los valores de B, que es el segundo cõeficiente venal,
dependen de la naturaleza del gas y de la temperatura. Existen valores experimentales de este coeficiente para varios gases. Por otra parte, es posible estimar el
segundo coeficiente del virial cuando no hay datos disponibles, tal como se indica
89
3.4. Aplicación de las ecuaciones del virial
en la sección 3.6. Para presiones más grandes que las del intervalo de aplicabilidad
de la ecuación (3.3 1) y menores de 50 bar, el truncamiento de la ecuación del virial
en tres términos usualmente proporciona resultados excelentes. En este caso, la
ecuación (3. ll), que es el desarrollo en l/V, es mucho mejor que el de la ecuación
(3.10). En consecuencia, cuando la ecuación del virial se trunca en tres términos,
la forma apropiada es
(3.33)
__. . .._- --.-- . ____ -__ -.-.“1
Esta ecuación es explícita en la presión pero cúbica en el volumen. La solución
para V se obtiene de manera sencilla utilizando una calculadora y un esquema
iterativo de cálculo.
Los valores de C, al igual que los de B, dependen del gas y la temperatura.
Sin embargo, se sabe mucho menos sobre los terceros coeficientes viriales que sobre los segundos, si bien en la literatura pueden encontrarse datos para varios
gases. Puesto que rara vez se conocen los coeficientes del virial más allá del tercero
y ya que la expansión del virial que tiene más de tres términos es muy complicada,
es inusual emplear ecuaciones del virial con más de tres términos.
La figura 3.11 ilustra el efecto de la temperatura sobre los coeficientes del
virial B y C del nitrógeno; aunque los valores numéricos son diferentes para otros
gases, las tendencias son similares. La curva de la figura 3.11 sugiere que B aumenta monótonamente con respecto a T; sin embargo, para temperaturas mayores
que las mostradas en la figura, B alcanza un máximo y luego disminuye lentamente. El efecto de T sobre C es más difícil de establecer experimentalmente, pero su
característica principal es clara: C es negativo para temperaturas bajas, pasa por
un máximo a una temperatura cercana a la crítica y luego disminuye lentamente a
medida que T aumenta.
Ejemplo 3.6 Los valores notificados para los coeficientes viriales del vapor de
isopropanol a 200% son
B = -388 cm3 mal-’
C = -26 000cm6
molw2
Calcule Vy 2 para el vapor de isopropanol a 200°C y 10 bar con los métodos siguientes:
a) La ecuación del gas ideal.
b)
Ecuación (3.31).
c) Ecuación (3.33).
La temperatura absoluta es T = 473.15 K, y el valor apropiado de la
constante de los gases es R = 83.14 cm3 bar mal-’ K-l.
SOLUCIÓN
a) Por la ecuación del gas ideal,
CAPÍ!l7JLO 3.
90
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
B/cm3 mo1-’
TIK
Figura 3.11:
Coeficientes del virial B y C del desarrollo en densidad para el nitrógeno.
J.7 - RT _ (83.14)(473.15) = 3 934 ,,3 mal-*
P
10
donde 2 = 1.
h) Al resolver la ecuación (3.3 1) para V, se tiene que
V= F +B=3934-388=3546cm3mol-’
De aquí que
\ /
z= pv=B= 3546 = 0.9014
R T RTIP 3 9 3 4
c) Para facilitar el proceso de iteración, se escribe la ecuación (3.33) como
vi,, = 5(1+{+$)
donde el subíndice i denota el número de iteración. Para la primera iteración, i = 0, y
VI = $q1+:++)
3.5. Ecuaciones cúbicas de estado
Vo es una estimación inicial del volumen molar. Para obtener éste se hace uso
del valor que corresponde al gas ideal, que es
donde
388
v1=3g34 ( ~-~-26ooo
= 3539
3 934 (3 934y 1
La segunda iteración depende de este resultado:
v,= F(l+f+$
de donde
v, = 3 934
388 26000
3 539 (3 539y
1+-----p = 3495
La iteración continúa hasta que la diferencia Vi + 1 - Vi sea insignificante, lo que
conduce después de cinco iteraciones al valor final,
V = 3 488 cm3 mal-’
a partir del cual 2 = 0.8866. En comparación con este resultado, el valor del gas
ideal es 13 por ciento mayor y la ecuación (3.31) proporciona también un valor 1.7
por ciento más grande.
3.5
Ecuaciones cúbicas de estado
Para una descripción exacta del comportamiento PVT de los fluidos sobre intervalos amplios de temperatura y presión, se requiere una ecuación de estado más
completa que la ecuación del virial. lhl ecuación debe tener la generalidad suficiente para aplicarla a líquidos, además de gases y vapores. Aun así, no debe ser tan
compleja como para presentar grandes dificultades numéricas o analíticas en su
aplicación.
Las ecuaciones polinomiales que son cúbicas en el volumen molar ofrecen un
acuerdo entre generalidad y simplicidad apropiado para muchos fines. Las
ecuaciones cúbicas son, de hecho, las ecuaciones más sencillas capaces de representar el comportamiento de líquidos y vapores. La primera ecuación cúbica de
estado práctica fue propuesta por J.D. van der Waals’ en 1873:
p=RT-2V-b
v2
‘Johannes Diderik van der Waals
Nobel de física.
(3.34)
(1837-1923) fue un físico alemán que ganó en 1910 el premio
CAPÍTULO 3.
92
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
P
PS’
P’ (Iíq)
Figura 3.12:
Isotermas dadas por una ecuación cúbica de estado.
En la ecuación anterior, a y b son constantes positivas; cuando son cero, lo que se
obtiene es la ecuación del gas ideal.
Dados los valores de a y b para un fluido en particular, puede calcularse P
como una función de V para varios valores de T. IJa figura 3.12 es un diagrama PV
donde se muestran tres de estas isotermas. La curva sobrepuesta representa los
estados de líquido y vapor saturados. Para la isoterma Tl > Tc, la presión es una
función monótonamente decreciente con un volumen molar creciente. La isoterma
crítica (que es la que está indicada por Tc) contiene el punto de inflexión horizontal
en C característico del punto crítico. Para la isoterma Tz < Tc, la presión disminuye con rapidez en la región líquida con un aumento en V; después de cruzar la línea
de líquido saturado, la curva pasa por un mínimo, aumenta hasta un máximo y
luego disminuye, cruzando la línea de vapor saturado y continuando hacia la región de vapor. Las isotermas experimentales no exhiben esta transición suave de la
región líquida a la de vapor; en su lugar, éstas contienen una línea horizontal
dentro de la región de dos fases donde coexisten el líquido y el vapor saturados en
distintas proporciones a la presión de vapor o saturación. Este comportamiento,
3.5. Ecuaciones cúbicas de estado ’
93
mostrado con líneas punteadas en la figura 3.12, no es analítico, y se acepta como
un comportamiento inevitable y poco realista de las ecuaciones de estado en la
región de dos fases.
En realidad, el comportamiento PV predicho en esta región por ecuaciones
cúbicas de estado apropiadas no es del todo ficticio. Cuando la presión disminuye
en un líquido saturado sin que haya sitios de formación de núcleos de vapor en un
experimento cuidadosamente controlado, la vaporización no se presenta y la fase
líquida persiste sólo a presiones muy por debajo de la presión de vapor. De manera
similar, el aumento de la presión en un vapor saturado en un experimento apropiado, no provocará condensación alguna, y el vapor persistirá únicamente a presiones muy por encima de la presión de vapor. Estos estados de no equilibrio o estados
metaestables para el líquido supercalentado o para el vapor subenfriado están aproximados por aquellas partes de la isoterma PV que se encuentran en la región de dos
fases adyacente a los estados de líquido y vapor saturados.
El desarrollo moderno de las ecuaciones cúbicas de estado comenzó en 1949
con la publicación de la ecuación de RedlichKwong:3
I__
.-....
1 P= $5 Tl12V;+6)
1
(3.35)
Esta ~-ecuación, al igual que otras ecuaciones cúbicas de estado, tiene tres raíces
para el volumen, de las cuales es posible que dos sean complejas. Los valores de V
que tienen un significado físico son siempre reales, positivos y mayores que la
co.nstante
. ^_ -- b. En la figura 3.12 se observa que cuando T > Tc, la solución de Vpara
cualquier valor positivo de P proporciona sólo una raíz positiva real. Cuando T =
T,., esto también es cierto, excepto a la presión crítica, donde existen tres raíces,
todas iguales a V,. Para T < Tc, se tiene únicamente una raíz real positiva cuando
la presión es alta, pero para un intervalo de presiones menores existen tres raíces
reales positivas. En este caso, la raíz intermedia no tiene significado; la raíz más
pequeñaes un líquido o un volumen similar al de un líquido, y la raíz más grande es
un vapor o un volumen parecido a un vapor. Los volúmenes de líquido y vapor
saturados están dados por las raíces más pequeña y más grande cuando P es la
presión de saturación o de vapor.
Aunque es posible resolver la ecuación cúbica de estado de manera explícita,
en la práctica se emplean a menudo procedimientos iterativos.4 Estos procedimientos sólo tienen utilidad cuando convergen en la raíz deseada. No es posible
garantizar de manera completa que esto suceda, pero los esquemas siguientes en
general son eficaces para la ecuación de RedliWKwong.
30tto Redlich y J.N.S. Kwong, CIWWL Rev., vol. 44, pp. 233-244, 1949.
4Estos procedimientos iterativos forman parte de los paquetes de software empleados para hacer
cálculos técnicos. Con MathCad@, por ejemplo, pueden resolverse para V, de manera rutinaria,
ecuaciones tales como la (3.35) sin pensar mucho en la forma en que se hace el cálculo.
CAPÍTlXO
94
3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Volúmenes de vapor
Se multiplica la ecuación (3.35) por (V - b)/P para obtener
V-b = !g-
a(V - b)
T1’2PV(v + b)
(3.36)
Para la iteración, la expresión anterior se escribe como
(3.37)
La ecuación del gas ideal proporciona un valor inicial adecuado, VO = RTIP.
Volúmenes de líquidos
La ecuación (3.35) se pone primero en una forma polinomial estándar:
El esquema de iteración se obtiene cuando esta ecuación se escribe como
ab
PT”’ 1
(3.38)
donde
a
c = b” + bRT - ___P
PT’/’
(3.39)
Como valor inicial tómese Vo = b.
Es evidente que las consta.ntes en una ecuación de estado pueden evaluarse
mediante un ajuste de los datos PVT disponibles. Sin embargo, para ecuaciones
cúbicas de estado sencillas, las estimaciones adecuadas provienen de las constantes críticas Tc y PC. Puesto que la isoterma crítica exhibe una inflexión horizontal
en el punto crítico, entonces pueden imponerse las siguientes condiciones matemáticas:
3.5. Ecuaciones cúbicas de estado
95
donde
el subíndice cr denota el punto crítico. La diferenciación de las ecuaciones
(3.34) o (3.35) proporciona expresiones para ambas derivadas, las cuales pueden
igualarse a cero para P = PC, T = TC y V = V,. Por otra parte, la ecuación de estado
también puede escribirse para las condiciones críticas, obteniéndose tres ecuaciones
en las cinco constantes PC, V,, TC, a y b. De las varias maneras posibles de tratar
estas ecuaciones, la más adecuada es la eliminación de V, para obtener expresiones
que relacionan a a y b con PC y TC. La razón para hacer esto es que usualmente PC
y TC se conocen con más exactitud que V,. Las expresiones que se obtienen son
Ecuación de van der Waals
Ecuación de RedlichlKwong
a = 0.42748R2T,2.5
P,
b = 0.08664RT,
P,
(3.40)
(3.41)
Aunque estas ecuaciones tal vez no proporcionen los mejores valores posibles, ellos
Son razonables y casi siempre pueden determinarse, debido a que a menudo se
conocen las temperaturas y presiones críticas (en contraste con los datos PVl
extensos) o pueden estimarse de manera confiable. En el apéndice B se proporciona una lista de valores para TC y PC.
Desde la introducción de la ecuación de RdliddKwong se han propuesto
varias ecuaciones cúbicas de estado. ‘Mas ellas son casos especiales de la ecuación
cúbica de estado genérica:
RT
WV - 17)
p= V - b (V-b)(V +¿w+e)
(3.42)
En ella b, 8, 6, E y 7 son parámetros que en general dependen ¿le la temperatura y,
para mezclas, de la composición. Aunque la ecuación (3.42) parece muy flexible,
tiene limitaciones inherentes debido a que es cúbica.” La ecuación de RedliddKwong
se abtiene de la ecuación (3.42) con 8 = a/T”‘, 77 = S = b y E = 0. Otras formas
diferentes de la ecuación (3.42) se obtienen si se hacen sustituciones diferentes; el
uso más común de todas ellas tiene que ver con el equilibrio vaporkquiclo (capítulo
13).
5M. M.Abbott,AICL!ZJ.,vol.
19,~~. 596-601, 1973;Arlv. in Chem. Series182,K.C. ChaoyR.1~.
Robinson Jc, eds., pp. 47-70, Am. Chem. Soc., Washington, D:C., 1979.
CAPhL!JLO
96
3.
*piedades
volumétricas de los fluidos puros
Las ecuaciones que tienen una exactitud global mayor son necesariamente
más complejas, como lo ilustra la ecuación de Benedict/Webb/Rubin:
------- ___. ~.~ _
p- R T : B,RT-A,-C,lT2+óRT-CL
V
V2
V3 _
_-._-.-C_
C
+aa+-
V6
(3.43)
V3T2
donde Ao, Bo, Co, a, b, c, cy y y son todas constantes para un fluido dado. Esta
ecuación y sus modificaciones, a pesar de la complejidad que tienen, se emplean en
las industrias del petróleo y del gas natural para hidrocarburos ligeros y algunos
otros gases encontrados comúnmente.
F$emplo 3.7 La presión de vapor del cloruro de metilo a 60°C es de 13.76 bar.
Utilice la ecuación de RedlichKwong
para estimar los volúmenes molares del vapor
y el líquido saturados bajo estas condiciones.
Se calculan los valores de las constantes a y b mediante las ecuaciones
(3.40) y (3.41) con los valores de T, y P, que aparecen en el apéndice B.
SOLUCIÓN
a = (0.42748)(83.14)2(416.3)2’
66.80
= 1.5641 X lo* cm6 bar molm2 K1”
Y
b = (0.08664)(83.14)(416.3)
= 44 891 cm3 mal-l
66.80
Para evaluar el volumen molar del vapor saturado, se sustituyen los valores conocidos en la ecuación (3.37); al hacer esto se tiene que
La iteración comienza con Vi = VO = RT/P = 2 000 cm3 mal-‘, y continúa hasta
converger en el valor
V = 1 713 cm3 mal-’
El resultado experimental
es 1 635.6 cm3 mal-‘.
Para evaluar el volumen molar del líquido saturado, se sustituyen los valores
conocidos en las ecuaciones (3.38) y (3.39); con esto, la expresión resultante es
3.6.
97
Con-elaciones generalizadas para gases
vi+1=
v,” - 2 012.94Vf - 2.79567 x 10’
- 530 390
La iteración comienza con Vi = Vo = b = 45 cm3 mal-‘, y continúa hasta converger
en el valor
V = 71.34 cm3 mal-l
El resultado experimental es 60.37 cm3 mal-‘.
Las raíces de la ecuación de Redlich/Kwong son mucho más fáciles de encontrar con un paquete de software Mathcad@ o Maple@, en los que la iteración es una
parte integral de la rutina de resolución de ecuaciones. Para ello se necesitan valores o cotas iniciales apropiadas para la raíz particular de interés. El programa en
Mathcad@ para la resolución del ejemplo 3.7 aparece en el apéndice D.2.
3.6
Correlaciones generalizadas para gases
Puede obtenerseuna forma alternativa de la ecuación de FkdliWKwong si se
multiplica la ecuación (3.35) por V,RT:
donde
bP
h&= -=’
V ZRTIP ZRT
La eliminación de a y b de estas expresiones mediante las ecuaciones (3.40) y
(3.41) da como resultado
(3.44a)
(3.4413)
donde T,. = T/TcyufK- PIP, reciben el nombre de temperatura y presión reducidas.
Este par de ecuaciones&%CÍnoda para obtetieruna solución iterativa conveniente del factor de compresibilidad-Z, para cualquier gas bajo cualquier condición de
98
CAPf!lULO 3.
Ropiedades volumétricas de los fluidos puros
T,. y P,. Para un valor inicial de 2 = 1
con la ecuación
(3.44b). Con
-Te.h se
.; -”calcula
-..... .._..____-_
__ --.-este valor de Fi, TG&Gión (3.44aJ. proporciona un, nueyo valor,,de Z para
sustituir-____~__
lo en la ecuacióti (3.4413). &&&ocedimietito continúa hasta que la nueva iteración
produzca un cambio
_ en Z_menor que alguna pequeña tolerancia est$i%i&iXe
- ___--.
antemano. El procedimiento no converge para líquidos.
TAA-ecuaciones
de estado que expresan a Z comq.una fun@n de T,y P, se
dice que son generalizadas debido a que pu&den aplicarse ,a todos“..los
,.- .._gases..
_-- Cualquier ecuación de estado-puede ponerse en esi; forma, proporcionando así una
correlación generalizada para las propiedades de los fluidos. Esta correlación tiene
la ventaja de permitir la estimación de valores de las propiedades a partir de información muy limitada. Lo único que se necesita es la temperatura y presión críticas
del fluido. Esto forma la base del teorema de estados correspondientes con dos
parámetros:
lbdos losfluidos, cuando se les compara a la misma temperatura y presión reducidas, tienen aproximadamente el mismo factor de compresibilidad, y todos se desvian del comportamiento del gas ideal de manera
semejan te.
Aunque el empleo de una ecuación basada en el teorema de estados correspondientes con dos parámetros proporciona en general resultados mucho mejores
que la ecuación del gas ideal, siguen existiendo desviaciones importantes con respecto al comportamiento experimental para todos los fluidos, con excepción de los
jluidos simples, como el argón, el kriptón y el xenón. Los resultados mejoran de
manera apreciable si se introduce un tercer parámetro de estados correspondientes que es característico de la estructura molecular; el más popular de estos
parámetros es elfactor acéntrico U, introducido por K. S. Pitzer y colaboradores.6
El factor acéntrico de una especie química pura está definido con respecto a
su presión de vapor. Puesto que el logaritmo de la presión de vapor de un fluido
puro es aproximadamente lineal con respecto al recíproco de la temperatura absoluta, entonces puede escribirse
dlogrt =
d(W)
a
donde CY’ es la presión de vapor reducida, TY es la temperatura reducida ya es la
pendiente de una gráfica del log PT’ contra I/T,.. Nótese que “log” denota un
logaritmo de base 10. Si el teorema de estados correspondientes de dos parámetros
fuese en general válido, la pendiente a sería la misma para todos los fluidos puros,
pero no se ha observado que esto sea verdad; cada fluido tiene su propio valor
característico de a, el cual puede en principio servir como el tercer parámetro de
estados correspondientes. Sin embargo, Pitzer notó que todos los datos de presión
6La descripción conlpleta aparece en KS. Pitzer, Thermodynamics,
HiII, Nueva York, 1995.
3a. ed., apéndice 3, McGraw-
3.6.
Correlaciones generalizadas para gases
99
UT,
0
1.2
1.0
1.4
1.6
-1
1.8
2.0
Pendiente = -2.3
3,
a,
0”
-2 -
(n-octano)
Figura 3.13:
Dependencia aproximada con respecto a la temperatura
de la presión de vapor reducida.
de vapor para los fluidos simples (AI-, Er Xe) se encuentran sobre la misma línea
cuando se hace una gráfica de ellos como log PT1 contra UT, y que la línea pasa
por log pyat = -1 .O en T, = 0.7, como se muestra en la figura 3.13. Los datos para
otros fluidos definen otras líneas cuyas posiciones pueden fijarse, con respecto a la
línea para fluidos simples (FS), por la diferencia:
log PI”’ (SF) - log rt
El factor acéntrico está definido como la diferencia cvaluada en T,. = 0.7:
.,
II-. _ .-_..._ ^,
w = -1.0 - log ( ey, )rr = rJ.7
(3.45)
Por tanto, para cualquier fluido, w puede determinarse a partir de T,, P, y una sola
medición de presión de vapor realizada en T, = 0.7. En el apéndice B aparecen los
valores de w y de las constantes críticas T,, P, y V, para varios fluidos.
La definición de w hace que su valor sea cero para el argón, el kriptón y el
xenón, y los datos experimentales proporcionan factores de compresibilidad para
los tres fluidos que están correlacionados por las mismas curvas cuando Z está
representado como una función de T, y P,.. Lo anterior constituye la premisa básica
del teorema de estados correspondientes con tres parámetros:
Ybdos los fluidos que tienen el mismo valor de w cuando se les compara a
la misma T, y P,, tienen el mismo valor de Z y todos se alejan del comportamiento del gas ideal de manera parecida.
La correlación para Z desarrollada por Pitzer y colaboradores toma la forma
CMti 3.
100
-piedades
volumétricas de los fluidos puros
1.2
1.0
0.8
zo
0.6
0.4
0.2
C
Figura 3.14:
Correlación de Lee/Kesler para 2’ = l@(T,.,P,.).
2 = 20 + dii?
_e----------
(3.46)
&@e Fo y Z1 son funciones de T,. y Pp Cuando
__-_.. -- MO-Q, como es e~..w~pa~&s
fluidos si&ples, 91 segundo término 4esaparccg.y 2’ es entoncesidéntico a 2. Por
tanto, una correlación generalizada para 2 como una función de 57,. y P, basada en
datos para el argón, el kriptón y el xenón, proporciona la relación 2’ = F”( T,, P,.).
Por sí misma, esta relación representa una correlación de estados correspondientes de dos parámetros para.2. Puesto que el segundo término de la ecuación (3.46)
es una corrección relativamente pequeña para esta correlación, su omisión no introduce errores grandes, de modo que puede emplearse una correlación para Z” y
así, obtener con rapidez estimaciones de Z menos precisas que las que se obtienen
a partir de una correlación de tres parámetros.
La ecuación (3.46) es una relación lineal simple entre 2 y o para valores
dados de T,. y P,. La gráfica de los datos experimentales de 2, para fluidos que no
son simples, contra w a T, y Pr constantes, genera líneas que son aproximadamente rectas, y sus pendientes proporcionan valores de Z1 a partir de los cuales puede
construirse la función generalizada Z1 = F1( T,, P,.) .
3.6.
Correlaciones
generalizadas
para
gases
101
De todas las correlaciones generalizadas de tres parámetros disponibles, la
desarrollada por Lee y Kesler7 es la más favorecida. Aunque su desaTollo se basa
en una forma modificada de la ecuación de estado de Benedict/Webb/Rubin,
ésta
toma la forma de tablas que presentan los valores de 2’ y Z1 como funciones de T,
y P,.. Dichas tablas aparecen en el apéndice E, tablas E.l a E.4. La naturaleza de
la correlación esta indicada por la figura 3.14, que es una gráfica de Z” contra P,.
para seis isotermas.
La correlación de Lee/Kesler proporciona resultados confiables para gases
qye sonnõpo!aiTs
0 ligeramente polares; paraelIos,‘los errores no sor;‘~rn~&oresX
2 o 3 por ciento. Cuando se aplica a gases muy polares o asociados, entónces púé&n esperarse errores más grandes. Los gases cuánticos (hidrógeno, helio y neon)
no se ajustan al comportamiento de estados Correspondientes como los fluidos normäiés. Su estudio mediante las correlaciones usuales algunas veces se acomoda
~iiiediante el empleo de constantes críticas eficaces.s
La naturaleza tabular de la correlación generalizada del factor de compresibilidad es una desventaja, pero la complejidad de las funciones 2’ y Z1 impide su
representación exacta mediante ecuaciones sencillas. Sin embargo, puede obtenerse
una expresión analítica aproximada de estas funciones para un intervalo limitado
de presiones. La base para hacer esto es la ecuación (3.31), que es la forma más
simple de ecuación del virial, la cual puede escribirse como
(3.47)
fie así como Pitzer y colaboradores propusieron una segunda correlación, la cual
expresa la cantidad BPdRT, como
BP
C = BO + &
RT,
(3.48)
Al combinar las ecuaciones (3.47) y (3.48) se obtiene
La comparación de esta ecuación con la (3.46) proporciona lo siguiente:
‘B. 1. Lee y M.G. Kesler, ATchE
J., vol. 21, pp. 510-527, 1975.
sJ. M. Prausnits, R. N. Lichtenthaler y E. G. de Azevedo, Molecular !fhennodynamti
Phase Equ&!&rk,
pp. 165-168, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986.
of Fluid-
102
CAPÍ!EJLO 3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
20
0.8
0.7
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
P,
F’igura 3.15: Comparación de correlaciones para 2’. Las líneas rectas representan
la correlación del coeficiente virial; los puntos, la correlación de Lee/Kesler. En
la región que está encima de la línea punteada, las dos correlaciones difieren
en menos de un dos por ciento.
Y
Los segundos coeficientes del virial son funciones únicamente de la temperatura,
mientras que B” y B1 lo son exclusivamente de la temperatura reducida. Estos
coeficientes están bien representados mediante las siguientes ecuaciones:
0.422
B" = 0.083- ____
7y
0.172
B1 = 0.139 - ~
!iy2
(3.50)
(3.51)
La forma más simple de la ecuación del virial tiene validez sólo para presiones bajas y moderadas donde 2 es una función lineal de la presión. La correlación
generalizada para el coeficiente virial es por tanto útil solamente para presiones
reducidas bajas o moderadas, donde Z” y Z1 son aproximadamente funciones li-
9-6.
Correlaciones
generalizadas
para
103
gases
neales de la presión reducida. La figura 3.15 presenta una gráfica que compara la
relación lineal de 2’ con P, tal como está dada por las ecuaciones (3.49) y (3.50),
con los valores de 2’ tomados de la correlación del factor de compresibilidad de
Lee/Kesler. El intervalo de valores. de ..T, y..Pr dentro del cual_las corre!a+ones
difieren en rn- ad aos por ciento, se. encuentran por encima de la iíneapmteäda de la figura. Para temperaturas reducidas mayores que T,. = 3, parece ser que
no hay un límite en la presión. Para valores menores que T, el intervalo de presión
permisible disminuye al reducirse la temperatura. Sin embargo, se alcanza un punto
etiT,.= O.~~donde el intervalo de presión está limitado por la presión de saturación.’
Lo anterior está indicado por el segmento que está en el extremo izquierdo de la
línea punteada. En esta región se desprecian las pequeñas contribuciones de .X1 a
las correlaciones. En vista de la incertidumbre asociada con cualquier correlación
generalizada, las desviaciones en Z” no mayores del aos por ciento resultan ser no
significativas.
La simplicidad relativa de la correlación generalizada del coeficiente virial la
hace bastante recomendable. Por otra parte, las temperaturas y presiones de operación de muchos procesos químicos se encuentran dentro de la región donde la
correlación no se desvía mucho de la del factor de compresibilidad. Al igual que la
correlación generadora, ésta es mucho más exacta para especies no polares y menos exacta para moléculas altamente polares y asociadas.
Ejemplo 3.8
Determine el volumen molar del n butano a 510 K y 25 bar mediante:
a) La ecuación del gas ideal.
6) La correlación generalizada del factor de compresibilidad.
c) La correlación generalizada del coeficiente virial.
SOLUCIÓN
a) por la ecuación del gas ideal,
v = E =
P
@3.14)(510) = 1696.1 cm3 mal-’
25
b) Si se toman los valores de T, y P, del apéndice B, se tiene que
T, = 510 = 1.200
425.1
p, = ^); = 0,659
37.96
Después de interpolar en las tablas E.l y E.2, se llega a
Z” = 0.865
2’ = 0.038
Por tanto, de la ecuación (3.46) con o = 0.200,
2 = 2’ + ~2’ = 0.865 + (0.200)(0.038)
= 0.873
104
CApíTLTu) 3. lhpiedades volumétricas de los fluidos puros
Y
v = E = W’W8314)WJ
= 1 480 7 cm3 mal-l
25
P
Si se toma2 = 2” = 0.865, de acuerdo con la correlación de estados corresponclientes de dos parámetros, entonces V = 1467.1 cm3 mor’, que es uno por ciento menor
que el valor dad0 por la correlación de tres parámetros.
c) Los valores de B” y B’ están dados por las ecuaciones (3.50) y (3.5 1) :
B” = -0.232
B1 = 0.059
De aéuerdo con la ecuación (3.48),
Bp, = B” + oB’ = -0.232 + (0.200)(0.059) = -0.220
RT,
Entonces, por la ecuación (3.47),
2 = 1 + (-0.220) 0659 = 0.879
1.200
a partir de la cual se tiene que V = 1489.1 cm3 mal-‘, que es un valor uno por ciento
mayor que el dado por la correlación del factor de compresibilidad. Por comparación,
el valor experimental es 1480.7.
l$jemplo 3.9 Qué presión se genera cuando se guarda 1 (Ib mol) de metano en un
volumen de 2 (ft)3 a 122(“F)8 Haga los cálculos con:
a) La ecuación del gas ideal.
b) La ecuación de JGdlich/Kwong.
c) Una correlación generalizada.
a) Por la ecuación del gas ideal,
SOLUCIÓN
p _RT _ (0.7302)(122 + 459.67)
= 212.4(atm)
V
2
b) Para la ecuación de Redlich/Kwong,
ecuaciones (3.40) y (3.41):
a
=
(0.42748)(O-7302)4(3431)2~5
45.4
los valores de a y b provienen de las
=
1o g45 4(atm)(ft)6(R)l,2
-I*
3.6.
105
Correlaciones generalizadas para gases
Y
b
=
(O.OS664)(0.7302)(34Sl)
45.4
=
o
4781(ft)z
donde los valores de Tc y P, del apéndice B se han convertido a (R) y (atm) . Después
de sustituir los valores conocidos en la ecuación (3.35), se tiene
p = (0.7302)(581.67)
10 945.4
= 187.5(atm)
2 - 0.4781
- (581.67)“‘(2)(2 + 0.4781)
c) Puesto que en este caso la presión es alta, la elección apropiada es la correlación generalizada del factor de compresibilidad. En ausencia de un valor conocido
para P,, el procedimiento iterativo se basa en la siguiente ecuación:
p = E = 2(0.7302)(581.67)
Dado
= 212.42 ’
que>
45.4P,, esta’ ecuación
2 se convierte en
z =~
45.4P, = 0.2138P,
212.4
0
p,’ z
0.2138
El siguiente paso es proponer un valor inicial para 2, por ejemplo 2 = 1. Con
esto se tiene que P, = 4.68, lo que permite calcular con la ecuación (3.46) un nuevo
valor de 2 a partir de los valores interpolados en las tablas E .3 y E .4, a la temperatura reducida de T,. = 581.67/343.1 = 1.695. Con este nuevo valor de Z se calcula
otro para P,., y el procedimiento continúa hasta que no ocurra ningún cambio significativo de una etapa a otra. El valor final de2 así obtenido es 0.889 para P,. = 4.14.
Éste puede confirmarse por la sustitución en la ecuación (3.46) de los valores de 2’
y.Z’, de las tablas E.3 y E.4, interpolados en P,. = 4.14 y T, = 1.695. Puesto que w
= 0.012, entonces
2 = .2? + 02’ = 0.887 + (0.012)(0.258) = 0.890
Y
p = g = (0.890)(0.7302)(581.67)= 18g O(atm)
V
2
Puesto que el factor acéntrico es pequeño, las correlaciones del factor de compresibilidad de dos y tres parámetros difieren un poco. ‘unto la ecuación de Redlich/
4
106
CAPÍTULO 3. Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Kwong como la correlación generalizada del factor de compresibilidad proporcionan
respuestas muy próximas al valor experimental de 185 (atm). La ecuación del gas
ideal proporciona un resultado que es mayor en un 14.6 por ciento.
Ejemplo 3.10 Un recipiente de 30 000 cm3 contiene una masa de 500 g de amoniaco
gaseoso. El recipiente está sumergido en un baño que tiene una temperatura constante de 65’C. Calcule la presión del gas mediante:
a) La ecuación del gas ideal.
b) La ecuación de Redlich/Kwong.
c) Una correlación generalizada.
SOLUCIÓN
El volumen molar del amoniaco en el recipiente está dado por
,----T,
,.,/--‘\
/ v- V’= V”
n
mlM
donde n es el número de moles, m es la masa de amoniaco en el recipiente que tiene
un volumen total V t y M es la masa molar del amoniaco. Por tanto,
v= 3 0 0 0 0
= 1021.2 cm3 mole1
5OOll7.02
a) Con la ecuación del gas ideal,
p = RT =
V
@3.14)(65 + 273.15) = 27 53 bar
102 1.2
b) Para aplicar la ecuación de FkdlicWwong,
6 con las ecuaciones (3.40) y (3.41):
primero es necesario evaluar a y
a = (0.42748)(83.14)2(405.7)25 = 8 684 x 1o7 bar Cm6 K’”
112.8
Y
b
=
(0.08664)(83.14)(405.7)
112.8
=
25.g1
cm3
donde los valores de T, y P, se toman del apéndice B. Después de sustituir los valores
conocidos en la ecuación (3.36) se tiene
p = (83.14)(338.15)
8.684 x 10’
1021.2 - 25.9 - (338.15)““(102~2)(1021.2
+ 25.9)
= 23.84 bar
3.7.
Correlaciones
generalizadas
para
‘líquidos
107
c) Puesto que la presión reducida es baja ( Y 0.2), se hace uso de la correlación generalizada del coeficiente del virial. Para una temperatura reducida de T,.
= 338.15/405.7 = 0.834, los valores de B” yB1 dados por las ecuaciones (3.50)
y (3.51) son
B” = -0.482
B’ = -0.232
La sustitución de éstos en la ecuación (3.48) con w 4 0.253 proporciona los siguientes resultados
-BP,
W
-0.482 + (0.253)(-0.232) = -0.541
Y
B = -0.541RT,
P,
_ -(0.541)(83.14)(405.7) = -161 8 em3 mol-~
112.8
-
Si se resuelve la ecuación (3.31) para P, entonces se obtiene lo siguiente
p= RT= (83.14)(338*15) = 23.76 bar
V - B 1021.2 + 161.8
En este caso no es necesario hallar una solución iterativa, ya que B no depende de la
presión. El valor de P calculado corresponde a una presión reducida de P,. = 23.76/
112.8 = 0.211 y la figura 3.15 confirma que el empleo de la correlación generalizada
del coeficiente virial es apropiado.
Los datos experimentales indican que la presión es de 23.82 bar para las condiciones dadas. En consecuencia, la ecuación del gas ideal da una respuesta que es casi
15 por ciento mayor, mientras que los otros dos métodos proporcionan respuestas
que tienen un acuerdo sustancial con los datos experimentales, aun cuando el amoniaco
sea una molécula polar.
3.7 Correlaciones generalizadas para líquidos
Aunque los volúmenes molares de los líquidos pueden calcularse por medio de
ecuaciones cúbicas de estado generalizadas, a menudo los resultados no son muy
exactos. Sin embargo, la correlación de Lee/Kesler resulta igual de apropiada tanto para líquidos como para gases. La figura 3.14 ilustra curvas para las dos fases,
y los valores de las tablas E.l a E.4 abarcan a ambas. Sin embargo, nótese de
nuevo que esta correlación es más adecuada para fluidos no polares y ligeramente
polares.
CAFflVLQ 3.
108
0
I.”
1
2
3
Ropiedades
4
5
volumétricas de los fluidos puros
6
7
8
9
10
P,
Figura 3.16:
Correlación generalizada de densidad para líquidos.
Por otra parte, existen ecuaciones generalizadas para la estimación de volúmenes molares de líquidos saturados. La ecuación más simple, propuesta por
Rackett,g es un ejemplo:
v sat = v, z.1 - !G p=
(3.52)
Los únicos datos necesarios son las constantes críticas, las cuales aparecen en el
apéndice B. Lo usual es obtener resultados con una exactitud de uno o dos por
ciento.
Lydersen, Greenkorn y Hougen lo desarrollaron un método general para la
estimación del volumen de los líquidos con base en el principio de estados correspondientes. Este método se aplica a los líquidos del mismo modo en que la correlación del factor de compresibilidad de dos parámetros se aplica a los gases, pero se
basa en una correlación de la densidad reducida como una función de la temperatura y presión reducidas. La densidad reducida está definida como
Pr’ EJ2
P, v
(3.53)
donde pc es la densidad en el punto crítico. La figura 3.16 muestra esta correlación
generalizada. Esta figura puede emplearse de manera directa con la ecuación (3.53)
‘H G Rackett, J. C%em: Eng. Data, val. 15, pp. 514-517, 1970; para un repaso de ecuaciones
disponiblés véase también C. F! Spencer y S. B. Adler, titi., vol. 23, pp. 82-89, 1978.
“A. L. Lydersen, R. A. Greenkorn y 0. k Hougen, “Generalized Thermodynamic Properties of
Pure Liquids”, Univ. W-h, Eng. Expt. Ba. Rept. 4, 1995.
\
3.7.
Correlaciones
generalizadas
para
líquidos
”
109
para determinar los volúmenes de los líquidos si se conoce el valor del volumen
crítico. Un procedimiento mejor es hacer uso de un volumen líquido conocido (estado 1) y emplear la identidad
v2 = vlP,
P,
(3.54)
V2 = volumen requerido
VI = volumen conocido
Pq,Prg = densidades reducidas obtenidas de la figura 3.16
donde
Este método da buenos resultados y requiere únicamente el dato experimental que
está usualmente disponible. La figura 3.16 indica que en la proximidad del punto
crítico, la temperatura y la presión tienen efectos más marcados sobre la densidad
del líquido.
Daubert y colaboradores” han dado correlaciones para las densidades molares
como funciones de la temperatura para muchos líquidos puros.
Ejemplo 3.11
Bara el amoniaco a 310 K, estime la densidad del
a) Líquido saturado.
b) Líquido a 100 bar.
SOLUCIÓN
a) Se aplica la ecuación de Backett a la temperatura reducida,
T, = -?!% = 0.7641
405.7
Con V, = 72.47 y 2, = 0.242 (del apéndice B), se tiene
v oat - v 2” - TV )“.285’
- 0 c
= (72.47)(0.242)(“~235g)o~2857
= 28.33 cm3 mal-’
Este valor es comparable con el experimental, que es de 2 9.14 cm3 mal-’ , y tiene un
error de 2.7 por ciento.
b) Las condiciones reducidas son
T, = 0.764
P, = A!L!- = 0.887
112.8
De la figura 3.16, se tiene que pr = 2.38. Al sustituir este valor junto con V, en la
ecuación (3.53), se tiene
“T E. Daubert, R. E) Danner, H. M. Sibul y C. C. Stebbins, Physical and !f’hermodynamic
of Pum Chemica&: Data Compilatbn, “lbylor & Fhncis, Bristol, PA, existente, 1995.
\
l%qm&s
i*
110
CAPÍTULO 3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
VE IL=% = 3 0 . 4 5 cm3 mal-l
Pr
’
Al comparar este resultado con el valor experimental, 28.6 cm3 mal-‘, se observa que
éste tiene un error de 6.5 por ciento.
Si se comienza con el valor experimental de 29.14 cm3 mal-’ para el líquido
saturado a 310 K, entonces puede emplearse la ecuación (3.54). Para el líquido
saturado a T,. = 0.764, se tiene, de la figura 3.16, que prl = 2.34. Después de
sustituir los valores conocidos en la ecuación (3.54) se tiene que
Vz = VI& = (29.14) E = 28.65 cm3 mal-l
Pr*
(.
1
Este resultado está esencialmente de acuerdo con el valor experimental.
La aplicación directa de la correlación de Lee/Kesler, con los valores de Z” y Z1
interpolados a partir de las tablas E.l y E.2, conduce al valor de 33.87 cm3 mal-l, el
cual tiene un error significativo, sin lugar a dudas debido a la naturaleza altamente
polar del amoniaco.
3.8
Teoría molecular de fluidos
La termodinámica clásica es una ciencia deductiva, en la que las características
generales del comportamiento de un sistema macroscópico se obtienen a partir de
unas cuantas leyes y postulados. Sin embargo, la aplicación práctica de la termodinámica requiere valores para las propiedades de las especies químicas y sus mezclas. Éstas pueden presentarse ya sea como datos numéricos (por ejemplo, las
tablas de vapor de agua) o como ecuaciones de correlación (por ejemplo, la ecuación
de estado PVT y las expresiones para la dependencia de las capacidades caloríficas
del gas ideal en función de la temperatura).
La fuente usual de valores para las propiedades es el experimento. Por ejemplo, la ecuación de estado del gas ideal evolucionó como una proposición sobre el
comportamiento volumétrico observado de los gases a presiones bajas. De manera
similar, la regla del pulgar que afirma que Cp = 29 J mal-’ K-l para los gases
diatómicos a temperaturas normales, está basada en evidencia experimental. Sin
embargo, los experimentos macroscópicos no proporcionan ningún conocimiento
sobre por qué las sustancias exhiben los valores observados de las propiedades. La
base para este conocimiento es un punto de vista microscópico de la materia.
Un dogma central de la física moderna es que la materia es corpuscular. La
búsqueda de las partículas más elementales sigue avanzando, pero para los fines
de la ingeniería puede adoptarse la siguiente imagen: la materia ordinaria está
formada por moléculas, las moléculas constan de átomos y los átomos están formados por un núcleo de partículas con carga positiva (que comprende los neutrones
y protones), rodeado por electrones cargados negativamente. Los átomos y las
3.8. Teon’a molecular de fluidos
111
moléculas que tienen el mismo número de protones y electrones no tienen carga
neta y son neutros.
Las moléculas son pequeñas y ligeras: sus dimensiones lineales típicas son de
lo-lo a lOe8 m, mientras que sus masas son del orden de 1O-27 a 1O-25 kg. De aquí
que el número de moléculas en un sistema macroscópico sea enorme. Por ejemplo,
un mol de materia contiene 6.022 X 1O23 moléculas (número de Avogadro). Debido a estas características -tamaño pequeño, poco peso y abundancia numéricala descripción apropiada del comportamiento a nivel molecular y su extrapolación
a una escala macroscópica requiere de los métodos de la mecánica cuántica y de la
mecánica estadística. En esta sección no se tratan estos temas. En lugar de hacerlo, se presenta material útil para relacionar los conceptos moleculares con las propiedades termodinámicas observadas.
Fuerzas intermoleculares y la función del potencial de par
En la sección 3.3 se mencionó que aunque un gas ideal está caracterizado por la
ausencia de interacciones moleculares, éste tiene cierta energía interna. Esta energía se encuentra asociada con las moléculas individuales y es resultado de su movimiento. Los gases y otros fluidos reales están formados por moléculas que no sólo
tienen la energía de ellas, sino que también comparten energía entre ellas debido a
las fuerzas intermoleculares. Esta energia potencial intermolecular está asociada
con agregados de moléculas y es la forma de energía que refleja la existencia de
tales fuerzas. Es un hecho bien establecido que dos moléculas se atraen entre sí
cuando están muy alejadas, y que se repelen cuando están próximas entre sí. Las
fuerzas intermoleculares, de origen electromagnético, representan interacciones
entre las distribuciones de carga de las moléculas vecinas.
La figura 3.17 es un bosquejo de la energía potencial intermolecular .C! para
un par aislado de moléculas neutras con simetría esférica, para las que U depende
sólo de la distancia entre los centros de las moléculas, es decir, de la separación
intermolecular r. (De manera más general, ,&! es también una función de la orientación relativa de las dos moléculas.) Lafuerza intermolecular F es proporcional a
la derivada de 24 con respecto a r:
dr
Por convención, una F positiva representa una repulsión intermolecular y una F
negativa una atracción intermolecular. De aquí que (véase figura 3.17) las moléculas se repelen entre sí cuando la separación entre ellas es pequeña y se atraen
cuando la separación es mediana o grande.
Una expresión algebraica para lafinción del potencial de par c1 es una de las
herramientas del quehacer del científico o ingeniero molecular. Los métodos de la
mecánica estadística proporcionan una relación entre ésta y las propiedades termodinámicas y de transporte. En la figura 3.17 se muestran valores específicos
para Uy r que es probable que aparezcan en una función del potencial de par como
parámetros que dependen de la especie química.
CAPíTVLO
112
3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
0
F&u.ra
3.17:
Energía potencial intermolecular u para un par de moléculas sin
estructura y neutras. (La figura no está a escala.)
El diámetro internuclear d es una medida de la separación centro-centro para
la que U, y de aquí que también F, se vuelve infinita. Este diámetro no está sujeto
a una determinación precisa, pero tiene el papel de parámetro de modelado en
algunas expresiones para 24. El diámetro de colisión CT se define como la separación
para la cual U = 0. La separación de equilibrio ro es la separación para la que U
alcanza su valor mínimo de -E. En r = ro, la fuerza neta intermolecular es cero. La
cantidad E recibe el nombre de profindidad de pozo. Para una clase particular de
especies químicas (por ejemplo, los gases nobles o los alcanos cíclicos), cada una de
estas cantidades especiales aumenta con el incremento en el tamaño molecular.
Los típicos intervalos de valores para uy E son u = 3 a 8 X lo-lo m y E = 0.1 a 1.0
X 1O-Zo J. Lo común es que ro sea aproximadamente de 10 a 15 por ciento mayor
que (T.
Se han propuesto varias expresiones para U.12 ‘Ibdas son esencialmente empíricas, aunque sus formas funcionales a menudo tienen cierta base teórica. La
más utilizada es lafinción del potencial de par de Lennard-Jones (LJ) 12/6:
U(LJ) = 4~
l(F)” -(:)“i
(3.55)
%wa una compilación de expresiones para uvéase G. C. Maitland, M. Rigby, E. B. Smith y W.
A. \\‘akeham, Inte?molecuZar Fo-rces: !&e+ Origin and Detew&mtion, Apéndice 1, Clarendon Press,
Oxford, 1981.
3.8. Teoría molecular de fluidos
113
lhbla 3.1: Energía potencial biiolccular como función de la separación para el potencial de Lennard/Jones 12/6.
du
0.0000
0.6279
0.7521
0.8797
0.9691
1.0000
1.0267
1.1225
1.8413
2.7133
3.9841
co
U/E
1000
100
10
1
0
-0.5
-1
-0.1
-0.01
-0.001
0
La ecuación (3.55) proporciona representaciones semicuantitativas de las propiedades termodinámicas y de transporte para sustancias no polares que tienen una
estructura molecular relativamente simple. En la ecuación (3.55) se supone que el
término r-l2 representa repulsiones bimoleculares y el término r6 atracciones
bimoleculares. Aunque el término de atracción tiene una justificación teórica importante, la dependencia r-l2 para las repulsiones se escoge de esta manera por
conveniencia matemática. La tabla 3.1 muestra algunos de los valores de la energía potencial adimensional WE como una función de la separación adimensional
rlu, tal como lo indica la ecuación (3.55). Es evidente que los efectos de las fuerzas
intermoleculares son significativos sólo sobre un intervalo modesto de separaciones. Si bien estas fuerzas tienen efecto sobre un intervalo infinito (Uy P tienden a
cero sólo en el límite a medida que r + co), tanto c1 como P para pares moleculares
neutrales son numéricamente despreciables para separaciones mayores que aproximadamente 10 diámetros moleculares.
Contribuciones a la energía potencial íntermolecular13
Ahora se considerarán de manera breve losorígenes de las fuerzas intermoleculares.
En este caso, el concepto esencial es que una molécula es una disttibución de cargas: una colección de núcleos cargados positivamente, rodeados por una nube de
electrones cargados negativamente. Por tanto, las repulsiones intermoleculares para
separaciones suficientemente pequeñas son resultado del traslapamiento de las
nubes de electrones de las moléculas que interactúan entre sí, dando con ello ori13Un estudio extenso de estas contribuciones L?(T) está dado por J. 0. Hirschfelder, C. F! Curtiss
y R. B. Bird, Mobcuhr Theory of Gases and Liquids, pp. 25-30, 209, 983-1020, John Wley and
Sons, Nueva York, 1954.
;14
CAPÍTULO 3. Propiedades volumétricas de los fluidos puros
gen a una repulsión coulómbica. Para separaciones aún más pequeñas, las núcleos
cargados positivamente se “ven” unos a otros, promoviendo de nuevo la repulsión.
Los orígenes de las atracciones intermoleculares son menos obvios. En este
caso existen varios mecanismos que contribuyen a su aparición. Primero, considérese la interacción electrostática de dos distribuciones de carga rígidas A y B. De
acuerdo con la ley de Coulomb, la energía potencial electrostática de interacción
U(e1) es
(3.56)
En esta expresiónqi es la carga de la distribuciónA, mi es la carga de la distribución
B y rij es la separación entre las cargas qi y mi. La cantidad EO es la permitividad
eléctrica del vacio, una constante14 física igual a 8.85419 X 10-l’ C V-l m-l. (La
unidad de carga eléctrica es el coulomb C y la unidad de diferencia de potencial
eléctrico es el volt V) Las sumas se toman sobre todas las cargas contenidas en las
distribuciones.
La ecuación (3.56) es exacta, pero aparece un problema para utilizarla tal y
como está. La aplicación de ella se facilita cuando la separación de carga rg se
remplaza por la separación del centro de masa r de las dos distribuciones. Esto se
hace con técnicas de desarrollo en serie; el resultado se escribe en forma simbólica
como
u(el)= & L!L+&+E)+...)
r2
o ( r
Los coeficientes PI, /3z, Bs,. . . dependen de los detalles de las distribuciones de
carga, así como de la orientación relativa de éstas. Para moléculas neutras, los
coeficientes BI y & son cero. Puesto que el término /33/r3 involucra la orientación
de las distribuciones, las cuales cambian de manera continua, es necesario promediar
todas las orientaciones. Existe un procedimiento de obtención de promedio estadístico (“obtención de promedio de Boltzmann”) que cuando se aplica al término
p3/r3, proporciona la siguiente expresión aproximada para la U(e1) de dos distribuciones rígidas de carga neutra:15
u(el)
= -? p’pE
3 kT(47r~o)2
l
r6
(3.57)
“Esta constante no tiene relación alguna con la profundidad de pozo E de la figura 3.17.
‘“Este resultado solamente es válido para momentos de dipolo modestos. Para una discusión
véase T. M. Reed y K. E. Gubbins, Applied Statistical Mechanics, sec. 5-7, McGraw-Hill, Nueva
York, 1973.
3.8.
Teoría
molecular
de
fluidos
115
La cantidad k es la constante de Boltzmann, igual a 1.381 X 1O-23 J K-l; PA y PB
son los momentos de dipolo permanente de las distribuciones de carga A y B asociados con las moléculas. Esta contribución a la función del potencial de par es cero
sólo cuando uno de los momentos de dipolo permanente es cero.
El procedimiento de obtención de promedio que conduce a la ecuación (3.57)
produce varios resultados importantes:
1. Aun cuando las distribuciones son eléctricamente neutras, existe una atracción neta entre ellas.
2. La dependencia original de re3 de Z+!(el) se convierte, al promediar, en una
dependencia de r6.
3. Th1 como está dado por la ecuación (3.57), el valor de Cl(el) depende de T-l.
De aquí que la magnitud de la interacción del dipolo permanente disminuye
al aumentar la temperatura.
La ecuación (3.57) es el ejemplo más sencillo de un potencial electrostático
directo para dos moléculas neutras; en este caso, el momento de dipolo aparece
como una propiedad física importante. Los momentos de dipolo son medidas de la
separación neta de carga en el interior de una molécula. Para una distribución de
carga neutra con simetría esférica (por ejemplo, un átomo íle argón), el. es cero.
Para una molécula donde la carga + 1q 1está separada de la carga - 1q 1por una
distancia 1, el momento de dipolo es
En esta expresión jo tiene dimensiones de carga X longitud y su unidad SI es el
coulomb (C) . metro (m) . Sin embargo, los valores usualmente se clan a conocer en
debyes (D); 1 D = 3.3357 X lo-“’ C . m. Una molécula que tiene un momento de
dipolo distinto de cero recibe el nombre de polar. El agua (p = 1.9 D), la acetona
(p = 2.9 D) y el acetonitrilo (p = 4.0 D) son moléculas fuertemente polares. El
monóxido de carbono (CL = 0.1 D), el propileno (p = 0.4 D) ye1 tolueno (p = 0.4
D) son ligeramente polares. El dióxido de carbono, el neón, el nitrógeno y el
n-octano son no polares (p = 0).
Los momentos de dipolo estudiados hasta ahora son permanentes, es decir,
propiedades intrínsecas de una molécula. Ihmbién es posible inducir una separación neta de carga en cualquier molécula mediante la aplicación de un campo eléctrico externo. El momento de dipolo inducido, p(ind), creado de esta manera es
aproximadamente proporcional ala intensidad del campo aplicado. Por tanto, para
una molécula A,
E.LA(ind) = a;lE
donde E es la intensidad del campo aplicado y ffA es la polarizabilidad de A. Si la
fuente del campo eléctrico es un dipolo permanente de una molécula vecina B,
entonces la contribución a ¿t! de una interacción dipolo permanente/dipolo inducido es
CAPf!l’ULO
116
3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
si las mokkdas A y B son polares (j& y pl3 # o), entonces la expresión
completa
para la energía potencial de inducción U(ind) eP
(3.58)
La polarizabilidad (Y, al igual que el momento de dipolo permanente p, es una
propiedad intrínseca de una molécula. Las unidades SI de (Y son C m2 V-l, pero lo
usual es dar a conocer los valores para la cantidad 6 = 44~~ en cm3. Las
unidades volumétricas para G sugieren una conexión posible entre la polarizabilidad
y el volumen molecular. Lo común es que â aumente con el volumen molecular: a
grandes rasgos, â = O.O5d, donde (T es el diámetro de colisión molecular. De
aquí que â normalmente se encuentre entre 1 y 25 X 1O-24 cm3.
Hasta el momento se han presentado dos tipos de dipolos (y momentos de
dipolo): permanente e inducido. Los dos pueden racionalizarse y estudiarse con los
métodos de la electrostática clásica, y ambos producen una contribución para U
proporcional a re6. Existe una tercera clase de dipolo, el dipolo instantáneo cuyo
cálculo requiere de los métodos de la mecánica cuántica. Sin embargo, su existencia puede racionalizarse sobre bases semiclásicas. Si se concibe una molécula A
como un núcleo que con electrones girando a su alrededor (esto es, enmovi,miento),
entonces es posible imaginar que la toma de una instantánea mostrará una separación neta instantánea pero temporal de la carga moiecular. Esto queda manifestado como un clip010 instantáneo, el cual induce un dipolo en la molécula adyacente
B. La interacción de los dipolos da como resultado una fuerza de dispersión
intermolecular, con el correspondiente potencial de dispersión U(disp) dd0, para
separaciones grandes, por
(3.59)
En esta expresión, I es el primer potencial de ionización, que es la energía requerida para quitar un electrón de una molécula neutra. La magnitud común de I se
encuentra entre 1 y 4 X lo-l8 J. lbdas las moléculas tienen potenciales de ionización
y polarizabilidades distintos de cero; de aquí que todos los pares de moléculas
experimenten una interacción dispersiva.
El potencial de dispersión U( disp) , al igual que U( el) y U( id), varía como
una función de rm6. Cuando las moléculas A y B son de la misma clase pueden
tomarse estos tres resultados especiales como justificación del término de atrac16Véaéase Reed y Gubbins,
op. cit.
3.8.
Teoría
molecular
de
fluidos
117
ción en rm6 que aparece en las funciones empíricas de potencial intermolecular, tal
como el potencial de Lennard- Jones 12/6, ecuación (3.55). Para moléculas idénticas A y B, j& = PB = p, y las ecuaciones (3.57), (3.58) y (3.59) producen las
expresiones
(3.60)
U(ind) = - s 1
0 f”
(3.61)
U(disp) = - : s $
(3.62)
0
Estas ecuaciones pueden emplearse para estimar las contribuciones de las fuerzas
electrostáticas directas, de inducción y de dispersión al potencial int,ermolecular
para pares de moléculas idénticas. Por tanto, si se escribe
U(larg0 alcance) = - $
entonces
(3.63)
La cantidad CS es una medida de la intensidad de las atracciones intermolccularcs
dc gran alcance. Las contribuciones fraccionarias de los tres mecanismos a las
fuerzas de gran alcance son
f(eU = U(e1) / 2
f(ind) = U(ind) / C
f(disp) = u(disp) / 2
donde
2 = U(e1) + U(ind) + U(disp)
donde las Uestán dadas por las ecuaciones (3.60), (3.61) y (3.62).
118
CAPÍTULO 3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Los valores de CS calculados con la ecuación (3.63) y las contribuciones
fraccionarias hechas a U por las interacciones electrostáticas, de inducción y de
dispersión están resumidas en la tabla 3.2 para 15 sustancias polares, ilustrando
con ello los conceptos desarrollados hasta el momento. También aparecen los valores de p, â e I para cada especie y, en la última columna, el cociente de las contribuciones electrostática directa y de dispersión:
f (4 _ U(eU _ 8 p4
f (disp) U(disp)
9 a21kT
El cociente adimensional f(el)/fldisp) es una medida de la polaridad efectiva de
una especie. Nótese lo siguiente:
1. En todos los casos, la magnitud de la interacción de dispersión es importante, incluso sif(disp) es pequeña. Este tipo de interacciones rara vez pueden
ignorarse.
2. La contribución fraccionaria flind) de las interacciones por inducción es en
general pequeña y nunca mayor de 7 por ciento.
3. Las contribuciones de los dipolos permanentes a temperaturas cercanas a la
temperatura ambiente, a través de U(e1) y Cl(ind), son pequeñas (menores a
5 por ciento del total) para valores de p menores de 1 D. De aquí que sustancias tales como el propileno (CaH6) y el tolueno (CsH&Hs) sean comúnmente clasificadas como no polares, aun cuard0 tienen momentos dipolares significativos.
3.9
Segundo coeficiente vial a partir de funciones de potencial
El volumen molar de un fluido está determinado por el comportamiento de sus
moléculas constituyentes y, por tanto, se encuentra influido por las fuerzas que
actúan entre ellas. Es posible suponer, por ejemplo, que un gas se vuelve más denso
a medida que las fuerzas de atracción entre moléculas son cada vez más fuertes. El
punto de referencia es un gas ideal, para el que las fuerzas intermoleculares son
cero. Por tanto, la naturaleza e intensidad de las fuerzas intermoleculares en un
gas real determinan el alejamiento de su volumen molar del que tiene un gas ideal.
En la ecuación virial dada por la ecuación (3.1 l), el primer término del miembro derecho es uno, y por sí mismo proporciona el valor de Z para un gas ideal. Los
demás términos proporcionan correcciones al valor del gas ideal, y de todos ellos el
más importante es B/V. Al igual que el término de interacción de dos cuerpos, es
evidente que éste se encuentra relacionado con la función del potencial de par estudiada en la sección anterior. Para campos de fuerza intermolecular con simetría
esférica, la mecánica estadística proporciona una expresión exacta que relaciona el
segundo coeficiente virial B con la función del potencial de par U(r):17
17D. A. McQuarrie, Statisticnl
Mechnics, p. 228, Harper and ROW, Nueva York, 1976.
‘lbbla 3.2: Atracciones de largo alcance para moléculas polares a 298 K.
Compuesto
c o
C3JSi
C&iCH3
HI
HBr
CHCl
HCl
(‘&KhO
NH3
HF
H-0
‘&WJ
(CH3)zCO
HCN
CH3CN
p/D &/10-24
0.1
0.4
0.4
0.5
0.8
1.0
1.1
1.2
1.5
1.9
1.9
2.5
2.9
3.2
4.0
2.0
6.0
12.3
5.5
3.6
9.0
2.6
8.7
2.4
0.8
1.5
9.4
6.4
2.6
4.5
cm3
I/lO-ls J
C~/10-~~ J m6
.flel)
f(ind)
f(disp)
f(el)lfldisp)
2.2
1.6
1.4
1.7
1.9
1.8
2.1
1.5
1.6
2.5
2.0
1.5
1.6
2.2
2.0
6.6
43.4
159.3
38.9
19.6
112.8
13.7
91.0
16.2
22.9
25.6
174.4
174.5
186.3
459.5
2.45 x 1O-5
9.55 x 10-4
2.60 x lo4
0.003
0.034
0.014
0.174
0.037
0.506
0.922
0.826
0.363
0.656
0.912
0.903
0.001
0.004
0.003
0.007
0.024
0.016
0.046
0.028
0.067
0.025
0.042
0.067
0.062
0.029
0.031
0.999
0.995
0.997
0.990
0.942
0.970
0.780
0.935
0.427
0.052
0.132
0.570
0.282
0.059
0.066
2.45 x 1O-5
9.60 x 1O-4
2.61 x 1O-4
0.0026
0.0359
0.0148
0.223
0.0394
1.19
17.6
6.26
0.637
2.33
15.2
13.7
CAPÍTULO 3.
120
Propiedades volumétricas de los fluidos pums
U(w)
-d-,
,o-8 E-
Figura
3.18:
Potencial de pozo cuadrado a(pc) para un par de moléculas.
B = -2nNA 0 e-“(TNkT - 1) #)dr
SC
(3.64)
La cantidad NA es el número de Avogadro, yk = RIN, es la constante de Boltzmann.
Por hipótesis, U(r) depende sólo de la separación intermolecular r entre pares de
moléculas. Dada una expresión para la función del potencial de par U(r), la determinación de B( T) se hace evaluando la integral de la ecuación (3.64). Para funciones de potencial realistas (véase figura 3.17), la integración debe hacerse, en general, de manera numérica o mediante el empleo de técnicas de series. Sin embargo,
para las funciones de potencial rectilineas -aquellas en las que U(r) está definido
por una colección de segmentos de línea rectos- pueden obtenerse expresiones
analíticas para B(T) en forma cerrada.
La función de potencial rectilínea realista más sencilla es el potencial de pozo
cuadrado cl(pc), la cual se muestra en la figura 3.18. Esta función consta de cuatro segmentos, los cuales producen las siguientes contribuciones por tramos a U:
U(pc) = cxJ
U(pc) = -E
U(pc) = 0
para
para
para
r<d
dlrll,d
l.d<r
1
’
(3.65)
En este caso d = a, con lo que los diámetros entre núcleos y de colisión son los
mismos; E es la profundidad del pozo y 1 es una constante que define el ancho del
pozo. La comparación de las figuras 3.18 y 3.17 muestra que U(pc) imita muchas
de las características de la energía potencial intermolecular “verdadera”, para la
3.9.
121
Segundo coeficiente virial a partir de funciones de potencial
cual las repulsiones prevalecen para separaciones suficientemente pequeñas, mientras que las atracciones dominan para separaciones intermedias. Para separaciones suficientemente grandes, U se vuelve despreciable.
Con udada por la ecuación (3.65), la evaluación de B con la ecuación (3.64)
es un ejercicio directo de integración. El resultado es
B(pc) = f ~Akd~[l- (Z3 - l)(edk* - l)]
(3.66)
donde el primer término dentro de los paréntesis rectangulares (esto es, 1) proviene de la parte repulsiva del potencial, mientras que los demás provienen de la parte
atractiva. Por consiguiente, la ecuación (3.66) proporciona el siguiente conocimiento sobre el comportamiento del segundo coeficiente virial:
1. El signo y magnitud de B están determinados por las contribuciones relativas de las atracciones y repulsiones.
2. A bajas temperaturas, dominan las atracciones produciendo valores negativos de B. Entre más fuertes sean las atracciones (lo que está determinado
por las magnitudes de E y Z), más negativo es B a T fi,ja.
3. A temperaturas altas, dominan las repulsiones produciendo valores positivos
de B. En el límite (hipotético) de temperatura infinita, B tiende al valor
lím B(pc) = i TIV&~ = 4~,
T-bCC
4.
donde vm es el volumen molecular molar, esto es, el volumen ocupado por un
mol de esferas rígidas de diámetro d.
A la temperatura de Boyle TB, las contribuciones de las atracciones quedan
equilibradas exactamente con las de las repulsiones, por lo que B es cero.
Para el potencial de pozo cuadrado, de acuerdo con la ecuación (3.66),
WPC)
=
De aquí que entre más fuertes sean las atracciones, mayor resulta ser
la temperatura de Boyle.
Aunque la ecuación (3.66) está basada en una función de potencial
intermolecular que en detalle es poco realista, a menudo ofrece un ajuste excelente
de los datos de segundo coeficiente virial. Un ejemplo de esto es el argón, para el
cual se tienen datos confiables para B sobre un intervalo grande de temperatura,
de cerca de 85 hasta 1 000 K.18 La correlación de estos datos mediante la ecuación
lsJ. H. Dymond y E. B. Smith, !Fk.e Virial Coeffkknts of Pure
Clarendon Press, Oxford, 1980.
Guses und Mtitures, pp. l-10,
122
CAPÍTULO 3.
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
-10
B/cm3 mal-’
-2c
-3(
Figura 3.19: Correlación de datos del segundo coeficiente virial para el
argón con el potencial de pozo cuadrado. Los círculos indican datos; la curva
está dada por la ecuación (3.66).
(3.66) se muestra en la figura 3.19 y resulta de los siguientes valores para los
parámetros: dk = 95.2 K, 1 = 1.69 y d = 3.07 X 1OV8 cm. Este éxito empírico
depende al menos en parte de la disponibilidad de tres parámetros ajustables, y no
es más que una validación limitada del potencial de pozo cuadrado. El empleo de
este potencial ilustra mediante un cálculo muy sencillo la forma en que el segundo
coeficiente virial (y de aquí el volumen del gas) puede estar relacionado con los
parámetros moleculares.
Si tales cálculos se llevan a cabo con funciones de potencial más realistas,
esto es, de mayor complejidad, también se obtienen valores para los parámetros
moleculares. Por ejemplo, se han obtenido para muchos gases los valores de uy E
para el potencial de Lennard-Jones [ecuación (3.55)] mediante la regresión de
datos volumétricos experimentales. rg Éstos son una fuente esencial de valores, ya
que la teoría no proporciona los medios para su predicción. Sin embargo, debe
‘%?alores para varias funciones de potencial están dados por R.L. Rowley, Stattitical Mechanics
Property Calculations, Aphdice 5, PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ,
for Thxrmophysical
1994.
123
l?roblemas
recordarse que las funciones de potencial son modelos empíricos y, como tales, sólo
son meras aproximaciones. La deficiencia de un modelo está reflejada por los valores de los parámetros moleculares obtenidos a partir del modelo, y por tanto deben
considerarse como valores eficaces de los mismos. Si se emplean funciones de potencial distintas, entonces se obtienen valores eficaces diferentes.
Puesto que las propiedades de transporte, tales como la viscosidad y la
difusividad, también están relacionadas con las mismas funciones de potencial, los
datos para las propiedades de transporte, en particular la viscosidad, también se
emplean para obtener valores de E y 0: Sin embargo, nótese que cualquier deficiencia en la función de potencial tendrá influencia de muchas maneras en el cálculo de
los valores, y es raro que los mismos parámetros moleculares obtenidos de fuentes
de datos distintas concuerden.
PROBLEMAS
3.1.
Un fluido incompresible está contenido en un cilindro aislado que tiene un pistón sin
fricción. iEs posible transferir energía al fluido en forma de trabajo? iCuál es el
cambio en la energía interna del fluido cuando la presión aumenta de PI a Pz%
3.2.
Exprese la expansividad del volumen y la compresibilidad isotérmica como funciones
de la densidad p y sus derivadas parciales. Para el agua a 50°C y 1 bar, K = 44.18 X
1Om6 bar-‘. iA qué presión debe comprimirse ésta a 5O’C para que su densidad cambie en un uno por ciento? Suponga que K es independiente de P.
3.3.
Para una isoterma, la ecuación de %it para líquidos se escribe como
donde Ves el volumen molar o específico, Vo es el volumen molar hipotético o específico a presión cero yA y B son constantes positivas. Encuentre una expresión para la
compresibilidad isotérmica que sea consistente con esta ecuación.
3.4,
Para el agua líquida la compresibilidad isotérmica está dada por
c
K= ~
V(P + 6)
donde c y b son funciones únicamente de la temperatura. Si se comprime 1 kg de
agua isotérmica y reversiblemente desde 1 hasta 500 bar a 6O”C, icuánto trabajo se
requiere? A 6O”C, b = 2 700 bar y c = 0.125 cm3 g-l.
3.5.
Calcule el trabajo reversible realizado al comprimir 1 ft3 de mercurio a una temperatura constante de 32(“F), desde una presión de 1 (atm) hasta 3 000 (atm). La compresibilidad isotérmica del mercurio a 32(OF) es
K =
3.9
x 1o-6
- 0.1
x lo-‘p
donde las unidades de P son (atm) y las de K (atm)-‘.
CAPÍTULO 3.
124
/Propiedades volumétricas de los fluidos puros
3.6. Cinco kilogramos de tetracloruro dejarbono líquido experimentan un cambio de estado isobárico, mecánicamente reversible, a 1 bar durante el cual la temperatura
varía de O0C a 20°C. Determine Av’, W, Q, hH’ y AlY. Suponga que las siguientes
propiedades del tetracloruro de carbono líquido a 1 bar y 0°C son independientes de
la temperatura: @ = 1.2 X 10m3 K-l, Cp = 0.84 kJ kg-’ K-’ y p = 1 590 kg rnm3.
3.7. Una sustancia para la que K es una constante experimenta un proceso isotérmico y
mecánicamente reversible del estado inicial (Pr, VI) al estado final (Pa, V,), donde V
es el volumen molar.
a)
A partir de la definición de K, demuestre que la trayectoria del proceso está
descrita por
V = A exp(-Kp)
donde A depende sólo de T.
b)
Determine una expresión exacta que proporcione el trabajo isotérmico hecho
sobre un mol de esta sustancia con K constante.
3.3. Un mol de gas ideal con Cp = (7/2)R y Cr = (5/2)R se expande de PI = 8 bar y 1’1 =
600 K hasta P2 = 1 bar siguiendo cada una de las trayectorias siguientes:
a) Volumen constante.
h) Temperatura constante.
c) Adiabáticamente.
Suponiendo reversibilidad mecánica, calcule W, Q, AU y AH para cada proceso. Haga
un bosquejo de cada trayectoria sobre un diagrama PV.
3.9. Un gas ideal, con Cp = (5/2)R y CV = (3/2)R, cambia de P = 1 bar y V,t = 12 m3
hasta P2 = 12 bar y V,l = 1 m3, mediante los siguientes procesos mecánicamente
reversibles:
a) Compresión isotérmica.
b)
Compresión
adiabática
seguida
por
enfriamiento
a
presión
constante.
c)
Compresión
adiabática
seguida
por
enfriamiento
a
volumen
constante.
d)
Calentamiento
tante.
e)
Enfriamiento a presión constante seguido por calentamiento a volumen constante.
a volumen constante seguido por enfriamiento a presión cons-
Calcule Q, W, AU ’ y AH f para cada uno de los procesos y dibuje las trayectorias de
todos los procesos sobre un diagrama PV.
d 3.10. Un tanque rígido no conductor con un volumen de 4 m3 se divide en dos partes no
iguales separadas por una membrana delgada. Un lado de la membrana, que representa 1/3 del tanque, contiene gas nitrógeno a 6 bar y lOO”C, y el otro lado, que
representa 2/3 del tanque, está vacío. La membrana se rompe y el gas llena el tanque.
U)
iCuál es la temperatura final del gas? iCuánto
reversible?
trabajo se hizo? El proceso, ses
125
Problemas
B)
Describa un proceso reversible mediante el cual el gas pueda regresar a su estado inicial. /Cuánto trabajo se hace?
Suponga que el nitrógeno es un gas ideal para el que Cp = (7/2)R y CV = (5/2)R.
3.11. Un gas ideal, inicialmente a 30°C y 100 kPa, experimenta los siguientes procesos
cíclicos en un sistema cerrado:
a)
En un proceso mecánicamente reversible, primero una compresión adiabática a
500 kPa, luego un enfriamiento a una presión constante de 500 kPa hasta 30°C
y, finalmente, una expansión isotérmica hasta su estado original.
b)
El ciclo experimenta los mismos cambios de estado, pero cada etapa es irreversible con una eficiencia del 80 por ciento comparada con la del correspondiente
.
proceso mecánicamente reversible.
Calcule Q, W, AU y AH para cada etapa del proceso y para todo el ciclo. Tome Cp =
(7/2)R y CV = (5/2)R.
3.12. Un metro cúbico de un gas ideal a 600 K y 1000 kPa se expande hasta alcanzar cinco
veces su volumen inicial de la siguiente manera:
a)
Por un proceso isotérmico mecánicamente reversible.
b)
Por un proceso adiabático mecánicamente reversible.
c)
Por un proceso adiabático irreversible en el cual la expansión se hace contra una
presión de frenado de 100 kPa.
Para cada caso calcule la temperatura y la presión finales y el trabajo realizado por
el gas. Cp = 2 1 J mal-’ K-l.
3.13. Un mol de aire, inicialmente a 150°C y 8 bar, experimenta los siguientes cambios
mecánicamente reversibles. El gas se expande isotérmicamente a una presión tal que
cuando éste se enfría hasta 50°C a volumen constante, la presión final es de 3 bar.
Suponga que el aire es un gas ideal para el que Cp = (7/2)R y Cv = (5/2)R. Calcule
W,Q,Auym.
3.14. Un gas ideal fluye en estado estable por un tubo horizontal. No se añade calor y
tampoco se hace trabajo en la flecha. El área de sección transversal del tubo cambia
con la longitud, lo que hace que la velocidad cambie. Deduzca una ecuación que
relacione la temperatura con la velocidad del gas. Si por una sección del tubo circula
nitrógeno a 15O’C a una velocidad de 2.5 m s-l, Icuál es la temperatura en otra
sección del tubo donde la velocidad del flujo es de 50 m s-‘? Cp = (7/2)R.
3.15. Un mol de gas ideal, inicialmente a 30°C y 1 bar, cambia a 130°C y 10 bar mediante
tres procesos diferentes mecánicamente reversibles:
l
l
El gas primero se calienta a volumen constante hasta que su temperatura es
de 130%; a continuación se comprime isotérmicamente hasta que su presión
es de 10 bar.
El gas primero se calienta a. presión constante hasta que su temperatura es de
130°C; después se comprime isotérmicamente hasta 10 bar.
. El gas primero se comprime isotérmicamente hasta 10 bar; luego se calienta a
presión constante hasta 130°C.
CAPÍTULO 3.
126
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
Calcule Q, W, AU y AH en cada caso. Tome Cp = (7/2)R y CV = (5/2)R. Alternativamente, tome Cp = (5/2)R y Cv = (3/2)R.
3.16. Un mol de gas ideal inicialmente a 3O’C y 1 bar experimenta los siguientes cambios
mecánicamente reversibles. Se comprime isotérmicamente hasta un punto tal que
cuando se calienta a volumen constante hasta 120°C su presión final es de 12 bar.
Calcule Q, W, AU y AH para el proceso. Torne Cp = (7/2)R y CV = (5/2)R.
3.17. Un proceso consta de dos etapas: 1) un mol de aire a T = 800 K yP = 4 bar se enfría
a volumen constante hasta T = 350 K. 2) A continuación el aire se calienta a presión
constante hasta que su temperatura llega a 800 K. Si este proceso de dos etapas se
remplaza por una sola expansión isotérmica del aire desde 800 K y 4 bar hasta una
presión final P, icuál es el valor de P que hace que el trabajo de los dos procesos sea
el mismo? Suponga reversibilidad mecánica y considere el aire como un gas ideal con
Cp = (7/2)R y CV = (5/2)R.
3.18. El siguiente es un esquema para encontrar el volumen interno Vg de un cilindro de
gas. El cilindro se llena con un gas a baja presión PI y se conecta mediante una línea
y válvula pequeñas a un tanque de referencia evacuado de volumen conocido Vj . La
válvula se abre y el gas fluye por la línea hacia el tanque de referencia. Después de
que el sistema regresa a su temperatura inicial, un transductor sensible a la presión
proporciona un valor para el cambio de presión AP en el cilindro. Determine el volumen del cilindro Vg a partir de los siguientes datos:
l
l
Vi = 256 cm3.
AP/PI = -0.0639.
3.19. Un cilindro horizontal, no conductor y cerrado, contiene un pistón flotante no conductor y sin fricción, el cual divide al cilindro en dos secciones,A
y B. Las dos secciones contienen masas iguales de aire, inicialmente con las mismas condiciones, Tl =
300 K y PI = 1 (atm). En la sección A se activa un elemento de calentamiento
eléctrico y la temperatura del aire aumenta lentamente: TA en la sección A debido a
la transferencia de calor y TB en la sección B debido a la compresión adiabática
provocada por el movimiento lento del pistón. Considere cl aire como un gas ideal con
Cp = (7/2)R y sea nA el número de moles de aire contenidos en la sección A. Para el
proceso descrito, evalúe uno de los siguientes conjuntos de cantidades:
a)
TA, TB y Q/~A,
si P(fina1) = 1.25 (atm).
b)
TB, &/nA yP(final), si TA = 425 K.
c)
TA, &/nA y P(final), si TB = 325 K.
d)
T,I, TB y P(final), si Q/nA = 3 1rJ mal-‘.
3.20. Deduzca una ecuación para el trabajo hecho por la compresión isotérmica mecánicamente reversible de un mol de gas, clescle una presión inicial PI hasta una presión
final Pr cuando la ecuación de estado es el desarrollo virial [ecuación (3.10)] truncado en
2 = 1 + B’P
Compare la expresión resultante con la ecuación que corresponde al gas ideal.
Problemas
127
3.21. Muestre cómo reducir las ecuaciones (3.29) y (3.30) a expresiones apropiadas para
los cuatro valores particulares de 6 que aparecen después de la ecuación (3.30).
3.22. Los coeficientes viriales para el cloruro de metilo a 100°C son
B = -242.5 cm3 mal-’
C = 25 200 cm6 molF2
Calcule el trabajo hecho por la compresión isotérmica y mecánicamcntc rcvcrsible de
un mol de cloruro de metilo desde 1 hasta 55 bar a 100°C. Base sus cülculos en las
siguientes formas de la ecuación del virial:
U)
2 = 1 + B’P + C’P2
h)
donde
Br=&
y
c, = C - B ”
CRT)’
iPor qué no se obtiene con ambas ecuaciones el mismo resultado?
3.23. Calcule 2 y Vpara el etileno a 25°C y 12 bar con las siguientes ecuaciones:
a)
La ecuación del virial truncada [ecuación (3.33)], con los slguientes
experimentales para los coeficientes viriales:
B = -140 cm3 mal-’
valores
C = 7 200 cm6 mole2
h)
La ecuación virial truncada [ecuación (3.3 1) 1, con un valor tic ís’ obtenido de la
correlación generalizada de Pitzer [ecuación (3.48)].
c)
La ecuación de RedlichXwong, con estimaciones de u y h obtcnitlas mctliante
las ecuaciones (3.40) y (3.41).
3.24. Calcule 2 y V para el etano a 50°C y 15 bar con las siguientes
a)
ecuaciones:
La ecuación del virial truncada [ecuación (3.33)], con los siguientes valores
experimentales para los coeficientes viriales:
B = -156.7 cm3 mal-’
C = 9, 650
I cmö mal-”
b)
La ecuación virial truncada [ecuación (3.3 l)], con un valor tic B obtenido de la
correlación generalizada de Pitzer [ecuación (3.48)].
c)
La ecuación de Redlich/Kwong,
con estimaciones de LL y 1) obtenidas
de las ecuaciones (3.40) y (3.41).
por medio
3.25. Calcule 2 y V para el hexafluoruro de azufre a 75°C y 15 bar con las sikaientes
ecuaciones:
u) La ecuación del virial truncada [ecuación (3.33)], con los siguientes
experimentales para los coeficientes viriales:
B = -194 cm3 mal-’
\
c = 15 300 cmG mal-2
valores
128
CAPÍ!WLO
3. Propiedades volumétricas de los fluidos puros
b)
La ecuación virial truncada [ecuación (3.31)], con un valor de B obtenido de la
correlación generalizada de Pitzer [ecuación (3.48)].
c)
La ecuación de RedliWKwong,
ecuaciones (3.40) y (3.41).
con estimaciones de a y b obtenidas mediante las
Para el hexafluoruro de azufre, T, = 318.7 K, P, = 37.6 bar, V, = 198 cm3 mal-l yo
= 0.286.
3.2 6. Determine 2 y V para el vapor de agua a 250°C y 1 800 kPa de la siguiente manera:
a)
Mediante la ecuación del virial truncada [ecuación (3.33)], con los siguientes
valores experimentales para los coeficientes viriales:
B = -152.5 cm3 mal-l
C = -5 800 cm6 mole2
b)
Con la ecuación virial truncada [ecuación (3.3 l)], con un valor de B obtenido de
la correlación generalizada de Pitzer [ecuación (3.48)].
c)
Mediante las tablas de vapor.
3.27. Con respecto a los desarrollos viriales, ecuaciones (3.10) y (3.1 l), demuestre que
Y
T,P=O
T.p=0
donde p = l/I?
3.28. Cuando la ecuación (3.11) se trunca, de modo que contenga sólo cuatro términos,
describe con exactitud los datos volumétricos para el gas metano a 0°C con
B = -53.4 cm3 mal-’
C = 2 620 cm6 molm2
D = 5 000 cm9 mole3
a)
A partir de esta información dibuje una gráfica de Z contra P para el metano a
O”C, desde 0 hasta 200 bar.
b)
BPara qué presiones las ecuaciones (3.31) y (3.32) proporcionan buenas aproximaciones?
3.29. Calcule el volumen molar del líquido saturado y el volumen molar del vapor saturado
con la ecuación de Redlich/Kwong para una de los siguientes sustancias y compare
los resultados con los valores encontrados mediante el empleo de las correlaciones
generalizadas apropiadas.
a)
Propano a 4OT donde Pt = 13.71 bar.
b)
Propano a 50°C donde pat = 17.16 bar.
CI
Propano a 60°C donde Prat = 21.22 bar.
d)
Propano a 70°C donde Fat = 25.94 bar.
el
n-butano a 100°C donde Pt = 15.41 bar.
Problemas
129
.fl
n-butano a 110°C donde Ft = 18.66 bar.
g)
n-butano a 120°C donde Prat = 22.38 bar.
h)
n-butano a 13O’C donde Prat = 26.59 bar.
i)
Isobutano a 9OT donde Prat = 16.54 bar.
j)
Isobutano a lOOoC donde Fat = 20.03 bar.
k)
Isobutano a 110°C donde Prat = 24.01 bar.
1)
Isobutano a 120°C donde Prat = 28.53 bar.
m) Cloro a 60°C donde Pt = 18.21 bar.
n)
Cloro a 70°C donde Pt = 22.49 bar.
o)
Cloro a 80°C donde Prat = 27.43 bar.
p)
Cloro a 90°C donde Prat = 33.08 bar.
4)
Dióxido de azufre a 80°C donde Pa* = 18.66 bar.
r)
Dióxido de azufre a 90°C donde Pt = 23.31 bar.
s)
Dióxido de azufre a 100°C donde Fat = 28.74 bar.
t)
Dióxido de azufre a 110°C donde Pt = 35.01 bar.
3.30. Estime lo siguiente:
a)
El volumen ocupado por 18 kg de etileno a 55% y 35 bar.
b)
La masa de etileno contenida en un cilindro de 0.25 m3 a 50°C y 115 bar.
3.31. Con una buena aproximación, leuál es el volumen molar del vapor de etanol a 480°C
y 6 000 kPa? dCómo se compara este resultado con el valor que corresponde a un gas
ideal?
3.32. Se utiliza un recipiente de 0.35 m3 para guardar propano líquido a su presión de
vapor. Las consideraciones de seguridad dictan que a una temperatura de 320 K cl
líquido no debe ocupar más del 80 por ciento del volumen total del recipiente. Para
estas condiciones determine la masa de vapor y la masa de líquido dentro del recipiente. A 320 K la presión de vapor del propano es 16.0 bar.
3.33. Un tanque de 30 m3 contiene 14 m3 de n-butano líquido en equilibrio con su vapor a
25’C. Estime la masa del vapor de n-butano contenida en el tanque. La presión de
vapor del n-butano a la temperatura dada es 2.43 bar.
3.34.
Estime:
a)
La masa de etano contenida en un recipiente de 0.15 m3 a 60°C y 14 000 kPa.
b)
La temperatura a la que 40 kg de etano almacenados en un recipiente de 0.15
m3 ejercen una presión de 20 000 kPa.
3.35. iA qué presión debe llenarse un recipiente de 0.15 m3 a 25°C para guardar en 6140
kg de etileno?
3.36. Si se calientan a 400°C 15 kg de Hz0 en un contenedor de 0.4 ms, Iqué presión SC
generará dentro de él?
CAPf!l’ULO 3.
130
Propiedades volumétricas de los fluidos puros
3.37. Un recipiente de 0.35 m3 contiene vapor de etanol a 25°C y 2 200 kPa. Si el recipiente se calienta a 22O”C, Iqué presión se genera dentro de él?
3.38. iCuál es la presión en un contenedor de 0.5 m3 cuando se carga con 10 kg de dióxido
de carbono a 3O”C?
3.39. Se permite que un recipiente rígido, lleno a la mitad de su volumen con nitrógeno
líquido a su temperatura de ebullición normal, se caliente a 25°C. BQué presión se
desarrolla en el recipiente? El volumen molar del nitrógeno líquido a su temperatura
de ebullición normal es 34.7 cm3 mal-‘.
3.40. El volumen específico del isobutano líquido a 300 K y 4 bar es 1.824 cm3 g-l. Estime
el volumen específico a 415 K y 75 bar.
3.41. La densidad del n-pentano líquido es 0.630 g cm-3 a 1fY’C y 1 bar. Estime su densidad a 140°C y 120 bar.
3.42. Estime la densidad del etanol líquido a 180°C y 200 bar.
3.43. Estime el cambio en el volumen de vaporización del amoniaco a 20°C. Para esta
temperatura, la presión de vapor del amoniaco es 857 kPa.
3.44. El siguiente procedimiento permite tomar datosPVT. Una masam de una sustancia
que tiene una masa molar M se introduce en un recipiente, de volumen conocido V t,
que tiene un termostato. Se permite que el sistema llegue al equilibrio y se miden la
presión P y la temperatura T.
a)
Aproximadamente, iqué porcentajes de error pueden permitirse en las variables
medidas (m, M, V ‘, T y P) si el máximo error permisible en el cálculo del factor
de compresibilidad 2 es de -+ 1 por ciento?
b)
Aproximadamente, iqué porcentajes de error pueden permitirse en las variables
medidas si el máximo error permisible en los valores calculados para el segundo
coeficiente virial B es de -+ 1 por ciento? Suponga que 2 - 0.9 y que los valores
de B se calculan mediante la ecuación (3.32).
3.45. Para un gas descrito por la ecuación de Redlich/Kwong
[ecuación (3.3 5)] y para una
temperatura mayor que T,, desarrolle expresiones para las dos pendientes límite,
Las expresiones deberán contener la temperatura T y los parámetros a y/o b de
RedlicWKwong.
Nótese que en el límite cuando P + 0, V + 00, y que en el límite a
medida que P + m, V + b.
3.46. Un mol de LIII gas ideal con capacidades caloríficas constantes experimenta un proceso arbitrario mecánicamente reversible. Demuestre que
AU = yll A(Pli)
3.47. El comportamiento PVT de cierto gas ests descrito por la ecuación de estado
P(V-1))
= RT
Problemas
131
donde b es una constante. Si Cr es constante, demuestre que
a)
ll depende solamente de T.
b) y = constante.
c)
Para un proceso mecánicamente reversible, P( V - b)Y = constante.
3.43. Cierto gas está descrito por la ecuación de estado
P V = R T + b-k P
(
1
En esta expresión b es una constante y 8 sólo depende de T. Para este gas determine
expresiones para la compresibilidad isotérmica K y el coeficiente de presión térmica
(dP/dT),. Las expresiones deben contener sólo a T, P, 8, de/& y constantes.
3.49. Si 140 (ft)3 de gas metano a 60(“F) y l(atm) equivalen a l(ga.l) de gasolina como
combustible para el motor de un automóvil, kuál será el volumen del tanque necesario para guardar el metano a 3 OOO(psia) y 60(“F) en una cantidad equivalente a
lO(ga1) de gasolina?
3.50. El siguiente potencial rectilíneo es una extensión del potencial dc pozo cuadtado
[ecuación (3.65)]:
u=CO
para
rId
U=[
para
Cl<?-5lC.d
u = -E
para
lC~dl?-ll~d
u=o
para
1.dIr
Las cantidades k, 1, ty E son constantes positivas, con Ic < 1. Dibuje una grafica de
este potencial y encuentre una expresión algebraica para el segundo coeficiente virial
B(T). Demuestre que para este modelo, B(T) puede exhibir un mhimr) con respecto
a T.
3.51. La tabla 3.2 se aplica a pares moleculares similares. Prepare una tabla parecida
para todos los pares moleculares ‘no similares comprendidos por las siguientes especies: metano, n-heptano, cloroformo, acetona y acetonitrilo. Discuta. el re@tado.
Datos adicionales a los que aparecen en la tabla 3.2: para el n;etano, /A = 0, CY = 2.6
x 1O-24 cm3, 1 = 2.1 X lo-l8 J. Para el n-hcptano, p = 0, ch
= 13.6 X 1 O-” cm:‘,
1 = 1.7 x lo-l8 J.
CAPíTULO 4
EFECTOS CALORíFICOS
La transferencia de calor es una de las operaciones más comunes de la industria
química. Considérese, por ejemplo, la fabricación del etilenglicol (un agente
anticongelante) mediante la oxidación del etileno a óxido de etileno y su hidratación
subsecuente a glicol. La eficiencia de la reacción de oxidación catalítica es mayor si
se lleva a cabo a temperaturas cercanas a los 250°C. Los reactivos, el etileno y el
aire son, por tanto, calentados hasta esta temperatura antes de entrar en el reactor. Para diseñar el precalentador es necesario saber la cantidad de calor a transferir. Las reacciones de combustión del etileno con el oxígeno en el lecho catalizador
tienden a aumentar la temperatura. Sin embargo, si se retira calor del reactor, la
temperatura no aumenta mucho por encima de 250°C. Las temperaturas mayores
promueven la formación de COa, que es un producto no deseado. El diseño del
reactor requiere el conocimiento de la rapidez con la que se transfiere el calor, y
ésta depende de los efectos caloríficos asociados con las reacciones químicas. El
óxido de etileno se hidrata hasta convertirse en glicol mediante absorción en agua.
En este caso, el desprendimiento de calor no sólo se debe al cambio de fase y al
proceso de disolución, sino también a la reacción de hidratación entre el óxido de
etileno disuelto y el agua. Finalmente el glicol se recupera del agua mediante un
proceso de destilación, esto es, de vaporización y condensación, lo que da como
resultado la separación de una solución en sus componentes.
Este ejemplo sencillo de un proceso de la industria química ilustra todos los
efectos caloríficos más importantes. En contraste con los efectos del calor sensible,
los cuales están caracterizados por cambios de temperatura, los efectos caloríficos
de la reacción química, la transición de fase y la formación y separación de soluciones, están determinados a partir de mediciones experimentales efectuadas a temperatura constante. En este capítulo se aplica la termodinámica para evaluar la
mayor parte de los efectos caloríficos que acompañan a las operaciones físicas y
químicas. Sin embargo, los efectos caloríficos de los procesos de mezclado, los cuales dependen de las propiedades termodinámicas de las mezclas, se estudian en el
capítulo ll.
4.1 Efectos del calor sensible
4.1
133
Efectos del calor sensible
La transferencia de calor a un sistema en el que no existen transiciones de fase,
reacciones químicas y ningún cambio en la composición, hace que la temperatura
del sistema cambie. La finalidad de esta sección es desarrollar relaciones entre la
cantidad de calor transferido al sistema y el cambio de temperatura resultante.
Cuando el sistema es una sustancia homogénea de composición constante, la
regla de las fases indica que el estado del sistema queda establecido oal fijar los
valores de aos propiedades intensivas. Por consiguiente, la energía interna molar 0
específica de una sustancia puede expresarse como unafunción de otras dos variables de estado. Si se seleccionan de manera arbitraria la temperatura y el volumen
molar o específico, entonces puede escribirse
U = U(T, V)
de donde
dU=($dT+($$dV
Como consecuencia de la ecuación (2.19)) la expresión anterior se convierte en
dU=C V dT+
El término final puede hacerse cero bajo dos circunstancias:
1. Para cualquier proceso a volumen constante, sin importar la sustancia.
2. Cada vez que la energía interna sea independiente del volumen, sin importar
el tipo de proceso. Lo anterior es cierto, de manera exacta, para gases ideales
y fluidos incompresibles.
En cualquier caso,
dU = CvdT
Y
AU=
’ C,dT
I T1
(4.1)
Para un proceso a volumen constante mecánicamente reversible, Q = AU, con lo
que la ecuación (3.14) puede escribirse como
Q = AU = sp,i C,dT
De manera similar, la entalpía específica o molar puede expresarse como una
función de la temperatura y la presión:
134
CAPÍ!I’ULO
4. Efectos caloríficos
H = H(T, P)
de aquí que
De acuerdo con la ecuación (2.20), la expresión anterior se convierte en
De nuevo, existen dos circunstancias bajo las cuales el último término puede hacerse cero:
1. Para cualquier proceso a presión constante, sin importar la sustancia.
2. Cada vez que la entalpía de la sustancia sea independiente de la presión, sin
importar el tipo de proceso. Lo anterior es cierto de manera exacta para
gases ideales y aproximadamente cierto para gases a baja presión, sólidos y
líquidos fuera de la región crítica.
En cualquier caso,
dH = CpdT
Y
AH= I9’ C,dT
(4.2)
Por otra parte, Q = AH para procesos mecánicamente reversibles, a presión constante y donde no hay flujo [ecuación (2.18)], así como para la transferencia de
calor en intercambiadores con flujo continuo, donde AEp y AE, son despreciables
y W,y = 0. En cualquier caso
Q=AH= I ’ C,dT
Tl
(4.3)
Sin embargo, en ingeniería la aplicación más usual de esta ecuación es a la transferencia de calor en flujo continuo.
La evaluación de la integral de la ecuación (4.3) requiere el conocimiento de
la forma en que la capacidad calorífica depende de la temperatura. La relación
más común está dada por una ecuación empírica; las aos expresiones más sencillas
que tienen valor práctico son
C
-p =a+/3T+ yT2
R
4.1 Efectos del calor sensible
135
Y
c
2 = a + bT + CT-~
R
donde CY, B, y, a, b y c son constantes características de la sustancia en particular.
Salvo por el último término, estas ecuaciones tienen la misma forma. Por tanto, se
les puede combinar en una sola expresión:
c
2 =A+BT+CT2+DT-2
R
(4.4)
donde C o D son cero, lo que depende de la sustancia considerada. Puesto que el
cociente CdR es adimensional, las unidades de Cp dependen de la elección que se
haga de R.
En el capítulo 6 se demostrará que para los gases, Cp es lacapacidad calorifica
del gas ideal, en lugar de ser la capacidad calorífica real, que se emplea para evaluar propiedades termodinámicas tales como la entalpía. La explicación es que
resulta más conveniente evaluar una propiedad termodinámica en dos etapas: primero se calculan los valores para un estado de gas ideal hipotético, donde se emplean las capacidades caloríficas del gas ideal; segundo, se hace una corrección a
los valores del estado de gas ideal para que reflejen los valores del gas real. Un gas
real se convierte en ideal en el límite cuando P + 0; si se supone que el gas permanece siendo ideal cuando se comprime a presiones finitas, entonces su estado seguirá siendo el de un gas ideal. Los gases que se encuentran en sus estados ideales
tienen propiedades que reflejan su individualidad, al igual que los gases reales.
Por tanto, las capacidades caloríficas del gas ideal (designadas como Cr y 12;)
son diferentes para gases distintos; si bien éstas son funciones de la temperatura,
resultan ser independientes de la presión.
Las capacidades caloríficas del gas ideal aumentan de manera suave al aumentar la temperatura hasta llegar a un límite superior, el cual se alcanza cuando
se excitan completamente todos los modos de movimiento molecular de traslación,
de rotación y de vibración. La figura 4.1 muestra la influencia de la temperatura
sobre Cp’ para el argón, el nitrógeno, el agua y el dióxido de carbono. La dependencia con respecto a la temperatura está expresada analíticamente por ecuaciones
tales como la (4.4), aquí escrita como
9 =A+BT+CT2+DT-2
R
En la tabla C.l del apéndice C, se proporcionan los valores de estos parámetros
para varios gases orgánicos e inorgánicos comunes. En la literatura pueden encontrarse ecuaciones más exactas pero más comp1ejas.l
‘Véase F! A. Aly y L. L. Lee, Fluid Phase Equilibria., vol. 6, pp. 169-179, 1981, así corno su
bibliografía; véase también T. E. Daubert, R. F! Danner, H. M. Sibul y C. C. Stebbins, Physical and
!l7wrmodynamicPrvpertiesofPure Chemicuk: Data Compilation, Taylor & fiancis, Bristol, PA, 1995.
CAPflUL.0 4. Efectos calorticos
136
7
ti
c;
:
i/
R
4
ti
3
Ar
2 ,_
500
1000
1500
2 000
T/K
Figura 4.1:
Capacidades caloríficas de gas ideal del argón, nitrógeno,
aguay dióxido de carbono.
De acuerdo con la ecuación (3.17), la relación que existe entre las dos capacidades caloríficas del gas ideal es:
q- Cf
R
R
-1
(4.5)
Por tanto, es fácil obtener la dependencia de la temperatura de C$/R a partir de la
de @IR.
Los efectos que tiene la temperatura sobre C$ o C$ se obtienen de manera
experimental, a menudo a partir de datos espectroscópicos y del conocimiento de la
estructura molecular mediante métodos de la mecánica estadística. Cuando no se
tienen datos experimentales, se hace uso de métodos de estimación, tal como 10
describen Reid, Prausnitz y Poling.2
2R. C. Reid, J. M. Prausnitz y B. E. Poling, The Pmperties of Gases and Liquids, 4a. ed., cap. 6,
McGraw-X11, Nueva York, 1987.
4.1 Efectos del calor sensible
137
Si bien las capacidades caloríficas de gas ideal son exactamente correctas
para gases reales únicamente a presión cero, éstos rara vez se apartan de manera
significativa del comportamiento ideal a presiones bajas de varios bar, con lo que
f$’ y C$ usualmente representan buenas aproximaciones para las capacidades
caloríficas de los gases reales a presiones bajas.
Ejemplo 4.1 Los parámetros que aparecen en la tabla Cl requieren el uso de
temperaturas Kelvin en la ecuación (4.4). También es posible desarrollar ecuaciones
que tengan la misma forma donde puedan emplearse temperaturas en “C, (R) y (“F) ,
pero entonces los parámetros son diferentes. La capacidad calorífica molar del metano
en el estado de gas ideal está dada como una función de la temperatura, en Kelvin,
por
p = 1.702 + 9.081 X 10-3T- 2.164 X lo-%Y2
R
donde los parámetros se toman de la tabla C.l. Desarrolle una ecuación para @IR
para temperaturas en “C.
SOLUCIÓN
La relación entre las dos escalas de temperatura es
TK = t”C + 273.15
Por consiguiente, como una función de t,
@ _ 1.702 + 9.081 X 10-3(t + 273.15) - 2.164 X 10-6(t + 273.15)2
_-
R
C$ _ 4.021 + 7.899 X 10-3t - 2.164 X lO-6t2
_R
Las mezclas de gases de composición constante pueden tratarse exactamente
de la misma forma que los gases puros. Por definición, un gas ideal es aquel cuyas
moléculas no tienen ninguna influencia entre sí. Esto significa que en una mezcla
cada gas existe de manera independiente, y que sus propiedades no se ven afectadas por la presencia de otras moléculas diferentes. Por tanto, el cálculo de la capacidad calorífica de gas ideal de una mezcla de gases se hace tomando el promedio
molar de las capacidades caloríficas de cada especie. Supóngase que se tiene una
mezcla de 1 mol formada por las especies A, B y C, y sean yA, YB y yc laS fraCCiOneS
molares de estas especies. La capacidad calorífica molar de la mezcla en el estado
de gas ideal está dada por
(4.6)
138
CAPÍ!WLO
4. Efectos caloríficos
donde íy,, c;; y cg son las capacidades caloríficas molares deA, B y C puras en
el estado de gas ideal.
Al igual que con los gases, las capacidades caloríficas de los sólidos y líquidos
pueden encontrarse experimentalmente. Los parámetros para la forma en que C,
depende de la temperatura, tal como están expresados por la ecuación (4.4), aparecen en las tablas C.2 y C.3 del apéndice C para algunos sólidos y líquidos. Las
correlaciones para las capacidades caloríficas de muchos sólidos y líquidos están
dadas por Perry y Green y por Daubert y Danner.3
La evaluación de la integral s CpdT se hace primero sustituyendo Cp y después mediante integración formal. Para los límites de temperatura Te y T, el resultado puede expresarse de manera conveniente como:
donde
Ejemplo 4.2 Calcule el calor necesario para aumentar la temperatura de 1 mol de
metano desde 260°C hasta 600°C en un proceso de flujo que se lleva a cabo a una
presión suficientemente baja como para considerar al metano como un gas ideal.
El resultado requerido se obtiene combinando las ecuaciones (4.3) y
(4.7). Los parámetros para el cálculo de C$/R se obtienen de la tabla C.l; las temperaturas Kelvin son
SOLUCIÓN
T. = 533.15 K
T = 873.15 K
Entonces
873.15
T= ~ = 1.6377
533.15
Q=AH=R
1
Q = (8.314) 1.702 T,(T - 1) + g’081; 1o-3 ~z(z2 - 1) - “‘““3” lo-” zy(T3 - 1)
= 19 778 J
3R. H. Perry y D. Green, Fby’s Chemical Engineers’ Handbook, 7a. ed., sección 2, McGraw-Hill,
Nueva Y&k, 1996; T. E. Daubert et al., op. cit.
4.1 Efectos del calor sensible
139
Dadas To y T, el ejemplo anterior muestra que el cálculo de Q o AH es directo. Lo que resulta menos directo es el cálculo de T, dados TO y Q o AH. En este
caso, puede ser de utilidad un esquema de iteración. Al factorizar (r - 1) de cada
término del miembro derecho de la ecuación (4.7), se tiene que
1
TCPdT = AT, + +(r + 1) + $q3(r2 + z + 1) + $ (z - 1)
5To R
0
Puesto que
7-l =
T-T,
T,
entonces puede escribirse
La cantidad entre paréntesis es (C&IR, donde (C& se define como la capacidad
calorifica
promedio:
(CP>fi
R
_
(4.8)
En consecuencia, la ecuación (4.3) puede escribirse como
AH = (GMT - To)
(4.9)
Los paréntesis angulares que delimitan a Cp indican que éste es un valor promedio; el subíndice “H” denota un valor promedio específico para los cálculos de
entalpía, y distingue esta capacidad calorífica promedio de otra cantidad similar
que será introducida en un capítulo posterior.
La solución de la ecuación (4.9) para T es
T
=
(CP>H
AH i-T
O
(4.10)
Un valor inicial de T (y de aquí que también para r = TdTo) permite la evaluación
de (C~)H mediante la ecuación (4.8). La sustitución de este valor en la ecuación
(4.10) proporciona un nuevo valor de T con el que puede volverse a calcular (C~>)H.
La iteración continúa de esta forma hasta que se alcanza la convergencia para un
valor final de T.
Con frecuencia los cálculos termodinámicos requieren la evaluación de la
integral J (Cp / R)dT. Por tanto, lo que se sugiere, por conveniencia, es tener a la
mano una rutina de computadora para tal fin. La ecuación (4.7) proporciona una
función para evaluar la integral cuyo nombre, para fines computacionales, es
CAPÍTULO 4. Efectos caloríficos
140
ICPH(TO,T;A,B,C,D)
Las cantidades entre paréntesis son las variables To y T, seguidas por los parámetros
A, B, C y D. Cuando se les asignan valores numéricos a estas cantidades, la notación representa entonces un valor de la integral. De acuerdo con lo anterior, para
evaluar el & del ejemplo 4.2, se escribe
8.314*ICPH(533.15,873.15;1.702,9.081E-3,-2.164E-6,0.0)
=19 778 J
En el apéndice D se dan varios programas de computadora para evaluar la
integral. Para aumentar la flexibilidad de estas rutinas, los programas también
evalúan la cantidad adimensional (C&/R, tal como está dada por la ecuación
(4.8), mediante otra función cuyo nombre es, para fines computacionales,
MCPH(TO,T;A,B,C, D)
Un valor numérico específico de esta función es
el cual representa el (C&/R para el metano utilizado en el cálculo del ejemplo 4.2.
Con esto, el resultado que se obtiene con la ecuación (4.9) es
AH = (8.314)(6.9965)(873.15
- 533.15) = 19 778 J
Ejemplo 4.3
BCuál es la temperatura final que se alcanza si se añade una cantidad
de calor de 0.4 X lO’(Btu) a 25(lb mol) de amoniaco, inicialmente a 500(“F), en un
proceso con flujo continuo que se lleva a cabo a una presión aproximada de l(atm)?
SOLUCIóN
Si AH es el cambio de entalpía para l(lb mal), Q = nAH, y
m = g = 0.4x IO6 = 16 OOO(Btu)(lb mal)-’
n
25
La ecuación para la capacidad calorífica requiere que las temperaturas estén en Kelvin;
por tanto, es necesario convertir todas las unidades a las del sistema SI. Puesto que
1 J mal-’ equivale a 0.4299(Btu)(lb
mal)-‘, entonces se divide el resultado anterior
por 0.4299, con lo que se obtiene
AH = 16 000 / 0.4299 = 37 218 J mal-l
Con
T = 500+ 459.67
= 533.15 K
0
1.8
es posible evaluar ( C$ )H/R para cualquier valor de T:
MCPH(533.15,T;3.578,3.02OE-3,0.0,-0.186E+5)
(4
4.2 Energía interna de los gases ideales: punto de vista microscópico
141
La iteración entre (A) y la ecuación (4.10) comienza con un valor T 2 To, con lo que
el valor final es
T=
4.2
1250K
o
1 790(“F)
Energía interna de los gases ideales: punto de vista microscópico
Las propiedades termodinámicas como la energía interna y la entalpía son manifestaciones sobre una escala gruesa de las posiciones, movimientos e interacciones
del sin fin de moléculas que forman un sistema macroscópico. Las aos teorías que
relacionan el comportamiento de las moléculas con las propiedades macroscópicas
son la teoria cinética y lamecánica estadistica.
Estas teorías en conjunto reprcsentan un cuerpo de conocimiento muy grande, más allá de la termodinámica y fuera
de los objetivos de este libro. El propósito de esta sección es indicar dc una forma
elemental la manera en que la energía asociada con cada molécula a0 un gas idcal
se encuentra relacionada con la energía interna macroscópica ad estado ae geas
ideal.
Un postulad0 fundamental de la teoría cuántica es que la energía está
cuantizada, de modo que la energía a escala microscópica aparece en unidades
discretas muy pequeñas. Por tanto, un sistema macroscópico tiene asociado a él
una cantidad enorme de cuantos íle energía, cuya suma es la que determina el nivel
de energía del sistema. La teoría cuántica señala que el conjunto ae niveles tic
energía “permitidos” en un sistema cerrado está determinado por su volumen.
Esto no significa que la energía del sistema pueda fíjarse al confinarlo en un volumen determinado; hacerlo determina únicamente el conjunto discreto de niveles de
energía permitidos para el sistema. Cuando un sistema está aislado (restringido
para intercambiar ya sea masa o energía con sus alrededores), entonces se encuentra en uno de los niveles de energía permitidos para él. Cada nivel de energía de un
sistema tiene asociado cierto número de estados cuánticos. Este número g SC conoce como degeneración del nivel. Aun cuando un sistema aislado se cncucntre en
cierto nivel de energía particular, en realidad toa0 el tiempo recorre toaos los 9
estados cuánticos caracterizados por la misma energía.
Un sistema de volumen dado, en equilibrio con sus alrededores a tcmperatura fija, tiene acceso a un número grande de estados cuánticos. Desde la perspectiva de la termodinámica, el hecho de fijar a T y V establece el estado del sistema,
incluyendo su energía interna. Sin embargo, el equilibrio macroscópico no implica
una situación estática a escala microscópica. El movimiento sin cesar de las moléculas y los choques de éstas con las paredes del recipiente dan como resultado
intercambios de energía con los alrededores, lo que causa fluctuaciones momentáneas en la energía del sistema. Es así como la energía interna clc la termodinámica
resulta ser un promedio del conjunto discreto de niveles ac energía de los estados
cuánticos permitidos. La mecánica estadística proporciona los métodos para obtener el valor promedio apropiado.
El postulado fundamental de la mecánica estadística para un sistema de
volumen dado, en equilibrio con sus alrededores a temperatura f”i.ja, es que la pro-
CAPÍTULO 4. Efectos
142
caloríficos
babilidad de un estado cuántico depende exclusivamente de su energía, y que todos
los estados cuánticos con la misma energía tienen la misma probabilidad. El valor
de la energía interna termodinámica se obtiene como el promedio de las energías
de los estados cuánticos accesibles, cada una ponderada con su probabilidad. La
cantidad de importancia fundamental que se obtiene en este procedimiento es la
JUnción de partición z4
(4.11)
donde Ei es la energía del nivel i, gi es la degeneración del nivel y k es la constante
del Boltzmann. Esta cantidad es una función de estado, a partir de la cual pueden
encontrarse todas las propiedades termodinámicas una vez que ésta se conoce como
una función de T y V. En particular, la energía interna está dada por
(4.12)
Las ecuaciones (4.11) y (4.12) están escritas para la energía total de un
sistema macroscópico. El problema de su aplicación se simplifica mucho tratándose de gases ideales, los cuales (dada la ausencia de interacciones moleculares) no
poseen energía potencial intermolecular. Por tanto, la energía interna de los gases
ideales está asociada con las moléculas individuales y es resultado de la traslación
y rotación de cada molécula como un todo, y de las rotaciones y vibraciones dentro
de la molécula. La energía también está asociada con los electrones y núcleos de
los átomos. Para los gases ideales lo usual es considerar que todas estas formas de
energía pueden tratarse por separado, lo que permite que la función de partición
sea factorizada y escrita como un producto de funciones de partición, cada una de
las cuales está relacionada con una forma particular de la energía molecular. Para
los fines de esta sección, es suficiente considerar la energía cinética de traslación
como separable de las demás contribuciones. Estas otras constituyen la eneryía
intramolecular de una molécula, y dependen de la estructura molecular. Por tanto,
de donde
ln z = ln Graslaci6n + ln %ntramolecular - ln N!
(4.13)
En estas ecuaciones la cantidad N! aparece debido a que en el proceso de suma las
moléculas se consideran como distinguibles entre sí, a pesar de que en realidad son
‘El nombre implica nna suma sobre la división de estados de acuerdo con los niveles de energía, Y
el símbolo proviene de la palabra alemanaZwtancksz~mme,
que significa suma sobre estados. El otro
símbolo de mayor uso es Q, que en este libro se emplea para representar el calor.
4.2
Energía interna de los gases ideales: punto de vista microscópico
143
indistinguibles. La contribución de traslación proviene de la teoría cinética, mientras que las contribuciones intramoleculares se obtienen de la mecánica cuántica
donde los niveles de energía cuantizados se obtienen a partir de mediciones
espectroscópicas apropiadas.
Para un mol de un gas ideal, la ecuación para la función de partición de
traslación es5
z traslación =
donde NA = número de Avogadro
m = masa de la molécula
h = constante de Planck
En forma logarítmica esta expresión se convierte en
ln &raslación
2nmkT
= NAlnV+ :NAlnh2
La sustitución en la ecuación (4.13) da como resultado
2nmkT
lnZ= NAlnV+ :NAln - - ln NA! + ln G,tramolccular
h2
(4.14)
donde ~~intramolecular
está evaluada por ecuaciones de la forma de la (4. ll).
Al derivar la ecuación (4.14) con respecto a la temperatura a V (y NA) constante, se tiene que
de aquí que, al aplicar la ecuación (4.12) al estado de gas ideal
iYi= ;NAkT+kT2
Si se representa el término final por 3(T) y notando que NAk = R, la expresión
anterior puede volver a escribirse como
Vi =;RT + 3(T)
5D. A. McQuarrie, Statistical
Mechunics,
pp. 81-82, Harper& Fbw, Nueva York, 1976.
(4.15)
CAPÍ!lVLO
144
4. Efectos caloríficos
donde R es la constante universal de los gases. Puesto que Hgi = Usi + RT,
Hgi = ; RT + F(T)
De acuerdo con la ecuación (2.20)
(4.16)
Las moléculas de un gas monoatómico ideal no tienen energía de rotación 0
vibración, con lo que el término F(T) de la ecuación (4.16) es cero excepto a altas
temperaturas, donde las contribuciones de la energía electrónica se vuelven importantes. Es por esto que en la figura 4.1 el valor de Cp”/R para el argón es constante
e igual a 512. Para gases diatómicos y poliatómicos, el término F(T) de la ecuación
(4.16) contribuye de manera importante en casi todas las temperaturas de importancia práctica. Esta contribución se vuelve cada vez mayor a medida que la molécula se vuelve más compleja, y crece monótonamente con la temperatura, tal como
lo ponen de manifiesto las curvas de la figura 4.1 para Nz, Hz0 y COZ.
4.3
Calores latentes de sustancias puras
Cuando una sustancia pura en estado sólido se licua 0 se vaporiza a partir de un
estado líquido, a presión constante, no hay ningún cambio en la temperatura; sin
embargo, el proceso requiere la transferencia de una cantidad finita de calor a la
sustancia. Estos efectos caloríficos se conocen como calor latente de fusión y calor
latente de vaporización. De manera similar, existen calores de transición que acompañan al cambio de estado de una sustancia, de sólido a cualquier otro estado; por
ejemplo, el calor absorbido cuando los cristales rómbicos del azufre cambian a una
estructura monoclínica a 95°C y 1 bar, es de 360 J por cada átomo-gramo.
La característica principal de toaos estos procesos es la coexistencia de aos
fwes. De acuerdo con la regla de las fases, un sistema de dos fases formado por
una sola especie es univariante y su estado intensivo está determinado por la especificación de una sola propiedad intensiva. Por tanto, el calor latente que acompalia a un cambio de fase es una función exclusiva de la temperatura, y está relacionado con las demás propiedades del sistema por una ecuación termodinámica exacta:
(4.17)
donde para una especie pura a temperatura T,
A H = calor latente
AY = cambio de volumen que acompafia al cambio de fase
P=t = presión de vapor
4.3
Calores
latentes
de
sustancias
145
puras
La deducción de esta ecuación, conocida como ecuación de Clapeyron, aparece en
el capítulo 6.
Cuando se aplica la ecuación (4.17) a la vaporización de un líquido puro,
dpSat/dT es la pendiente de la curva de presión de vapor contra la curva de tempcratura en la temperatura de interés, AVes la diferencia entre los volúmenes molares
del vapor y el líquido saturados y AH es el calor latente de vaporización. Por tanto,
los valores de AH pueden calcularse a partir de datos de presión de vapor y
volumétricos.
Los calores latentes también pueden medirse calorimétricamente. Existen
valores experimentales para muchas sustancias y temperaturas distintas6 Daubert
y Danner7 proporcionan correlaciones para los calores latentes de muchos compuestos como una función de la temperatura. Aun con todo esto, los datos no
siempre están disponibles para la temperatura de interés y, en muchos casos, los
datos necesarios para aplicar la ecuación (4.17) tampoco se conocen. En este caso
se emplean métodos aproximados para estimar el efecto calorífico que acompaña a
un cambio de fase. Puesto que los calores de vaporización son por mucho los más
importantes desde un punto de vista práctico, son los que han recibido la mayor
atención. Uno de estos procedimientos consiste en emplear el método de la contribución de grupo, conocido como UNIVAP,’
el cual proporciona los valores de AH’”
como una función de la temperatura. Los métodos alternativos sirven a dos propósitos:
1. Predicción del calor de vaporización en el punto de ebullición normal, cs decir
a la presión de una atmósfera estándar, definida como 101 325 Pa.
2. Estimación del calor de vaporización estándar a cualquier temperatura, a
partir del valor conocido que corresponde a una temperatura dada.
Un método útil para la predicción del calor de vaporización en cl punto tlc
ebullición normal es la ecuación propuesta por Riedel:”
AHJT, = l.O92(lnP, - 1.013)
R
0.930 - !&
donde
(4.18)
T, = punto de ebullición normal
AH, = calor latente de vaporización molar a T,
PC = presión crítica, en bar
T+, = presión reducida en T,
‘% Majer y V. Svoboda, IUPAC Chemical Data Series No. 32, Blackwell, Oxford, 1985; R. II.
Perry y D. Green, op. cit., sección 2.
7T. E. Daubert et al., op. cit.
8M. Klüppel, S, Schulz y P Ulbig, Fhid Phse Equilibria,
gL. Riedel, Chem. Ing. Tech., vol. 26, pp. 679-683, 1954.
val. 102, pp. l-15, 1994.
146
CAPÍTULO
4.
Efectos caloríficos
Puesto que AHJT, tiene las dimensiones de la constante de los gases R, las unidades de este cociente dependen de las unidades seleccionadas para R.
La ecuación (4.18) tiene una exactitud sorprendente para una expresión
empírica; los errores rara vez son mayores del cinco por ciento. Si se aplica al
agua, el resultado es
AHJT, = R
1.092(1n220.55 - 1.013) = 13 56R
0.930 - 0.577
1
.
Si se toma R = 8.314 J mal-’ K-l y al punto de ebullición normal del agua como
100°C o 373.15 K. entonces
AH, = (13.56)(8.314)(373.15) = 42 065 J mal-’
El resultado anterior corresponde a 2 334 J g-r, mientras que el valor experimental es 2 257 J 8’; en este caso, el error es de 3.4 por ciento.
Las estimaciones del calor latente de vaporización de un líquido puro a cualquier temperatura a partir de un valor conocido a otra temperatura, pueden hacerse con base en un valor experimental conocido o en uno estimado por la ecuación
(4.18). El método propuesto por Watson ro ha encontrado amplia aceptación:
(4.19)
Esta ecuación es sencilla y confiable, y su empleo se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.4 El calor latente de vaporización del agua a 100°C es 2 257 J g-l.
Estime el calor latente a 300°C.
SOLUCIÓN
Sean
hH1 = calor latente a 100°C = 2 257 J g-’
AHs = calor latente a 300°C
Ty, = 373.151647.1
= 0.577
TV2 = 573.X1647.1 = 0.886
Entonces, por la ecuación (4.19),
= (2 257)(0.270)".38 = 1371 Jg-’
El valor que aparece en las tablas de vapor es de 1 406 J g-l.
4.4
Calor estándar de reacción
Los efectos caloríficos estudiados hasta el momento tienen que ver sólo con procesos físicos. Las reacciones químicas también se acompaíían ya sea por una transloI<.
hf. Watson, Id. Zihg. Cheno., YOI. 35, pp. 398-406, 1943.
4.4 Calor estándar de reacción
147
ferencia de calor o por cambios de temperatura durante el transcurso de la reacción -en algunos casos, por ambos fenómenos-. Estos efectos son manifestaciones de las diferencias en la estruct,ura molecular y, por tanto, de energía de los
productos y los reactivos. Por ejemplo, los reactivos en una reacción de combustión
tienen una energía mayor, debido a su estructura, que la de los productos, y esta
energía debe ser transferida a los alrededores como calor o se verá reflejada en
productos que tienen una temperatura elevada.
Cada una de la gran cantidad de reacciones químicas posibles puede llevarse
a cabo de muchas maneras diferentes, y cada reacción realizada de una manera
particular está acompañada por un efecto calorífico particular. Por tanto, el cálculo de todos los efectos caloríficos posibles para todas las reacciones posibles es
imposible. En lugar de esto, lo que se hace es calcular los efectos caloríficos de
reacciones que se llevan a cabo de diversas formas a partir de datos obtenidos para
reacciones que se realizan de manera estándar. Con esto se reduce a un mínimo la
cantidad de datos necesarios.
La cantidad de calor requerida para una reacción química específica depende
de las temperaturas de los reactivos y productos. Se obtiene una base consistente
para el estudio de los efectos caloríficos de una reacción cuando los productos de la
reacción y los reactivos se encuentran todos a la misma temperatura.
Para ello considérese el método del calorímetro de flujo para medir los calores de combustión de combustibles gaseosos. El combustible se mezcla con aire a
temperatura ambiente y se enciende. La combustión se lleva a cabo en una cámara
rodeada por una camisa de enfriamiento por la que circula agua. Por otra parte,
existe en la camisa una sección en la que los productos de la combustión sc enfrían
hasta llegar a la temperatura de los reactivos. Puesto que el proceso no produce
ningún trabajo de eje, y el calorímetro está construido de modo que los cambios cn
las energías cinética y potencial sean muy pequeños, el balance de energía global,
ecuación (2.9), se reduce a
Q=L\H
Por tanto, el calor & absorbido por el agua es igual al cambio de entalpía provocado por la reacción de combustión y la práctica universal es designar al cambio dc
entalpía de la reacción AH como el calor de reacción.
Para tabular los datos, se define el calor estándar de la reacción
aA+bB+lL+mM
como el cambio de entalpía cuando a moles de A y b moles de B en sus estados
estándares a temperatura T reaccionan para formar 1 moles de L y m moles de II!¡ en
sus estados estándares también a temperatura T. El estado estándar es un estado
particular de una especie a temperatura T bajo condiciones específicas de presión,
composición y estado físico.
Durante muchos años se utilizó como presión de estado estándar una presión
de 1 atmósfera estándar (101 325 Pa), y todos los datos tabulados de ese entonces
corresponden a dicha presión. En la actualidad, cl estándar es 1 bar (10” Pa), pero
CAPÍ!lVLO
148
4. Efectos calorífkos
para los fines de este capítulo, la diferencia tiene consecuencias despreciables. Con
respecto a la composición, los estados estándares empleados en este capítulo son
estados para especies puras. Para los gases, el estado físico es el estado del gas
ideal, y para líquidos y sólidos, el estado real a la presión de estado estándar y a la
temperatura del sistema.
En resumen, los estados estándares empleados en este capítulo son:
1. Gases: Sustancia pura en el estado de gas ideal a 1 bar.
2. Liquidos y sólidos: Líquido o sólido puro a 1 bar.
/
Los valores de las propiedades en el estado estándar están denotados por el símbolo de grado (“). Por ejemplo, 17; es la capacidad calorífica del estado estándar.
Puesto que el estado estándar para los gases es el estado del gas ideal, C$’ es igual
a C$ , con lo que los datos de la tabla C.l se aplican al estado estándar de los gases.
Todas las condiciones para un estado estándar son fijas, con excepción de la temperatura, la cual siempre es la del sistema. Las propiedades del estado estándar
son, por tanto, funciones exclusivas de la temperatura. El estado estándar seleccionado para los gases es hipotético, ya que a 1 bar los gases no son ideales. Sin
embargo, éstos rara vez se desvían mucho de la idealidad y, en la mayor parte de
los casos, las entalpías para el estado de gas real a 1 bar difieren muy poco de las
del estado de gas ideal.
Cuando el calor de reacción está dado para una reacción en particular, éste se
aplica a los coeficientes estequiométricos. Si se duplica cada coeficiente
estequiométrico, entonces sucede lo mismo con el calor de reacción. Por ejemplo, la
reacción de síntesis del amoniaco puede escribirse como
0
+N2 + $Hz + NH3
NS + 3Hz + 2NH3
AH,“,, = -46 110 J
AH& = -92 220 J
El símbolo AH,“,, indica que el calor de reacción es el valor estándar para una
temperatura de 298.15 K (25°C).
4.5
Calor estándar de formación
La tabulación de datos para los calores estándares de reacción de todas las
reacciones posibles es un procedimiento poco práctico. Afortunadamente, el
calor estándar de cualquier reacción puede calcularse si se conocen los calores
estándares de formación de los compuestos que toman parte en la reacción.
Una reacción deformación se define como aquella donde se forma un solo compuesto a partir de sus elementos constituyentes. Por ejemplo, la reacción C +
i 02 + 2H2 + CHsOH es la reacción de formación del metanol. La reacción
Hz0 + SOs + Hz’S04 no es una reacción de formación debido a que ésta no
forma. ácido sulfúrico a partir de sus elementos, sino a partir de otros compuestos. Se sobrentiende que el resultado de las reacciones de formación es 1
4.5 Calor estándar de formación
149
mol del compuesto; por tanto, el calor de formación se basa en 1 mol del compuesto formado.
Los calores de reacción a cualquier temperatura pueden calcularse a partir
de datos de la capacidad calorífica si se conoce el valor del calor de reacción a
cierta temperatura; por tanto, la tabulación de los datos se reduce a la compilación
de calores estándares de formación para una sola temperatura. La elección usual
para esta temperatura es 298.15 K o 25°C. El calor estándar de formación de un
compuesto a esta temperatura está representado por el símbolo ‘A Hf2,,. El
superíndice (“) indica que éste es un valor estándar, el subíndice f señala que éste
es un calor de formación y el 298 es la temperatura absoluta aproximada en kelvin.
En los manuales pueden encontrarse tablas de estos valores para sustancias comunes, pero las recopilaciones.más
extensas disponibles se encuentran en trabajos
especializados. l1 En la tabla C.4 del apéndice C aparece una lista condensada de
estos valores.
Cuando las ecuaciones químicas se combinan por adición, los calores
estándares de reacción también pueden sumarse para obtener el calor estándar
de la reacción resultante. Lo anterior es posible debido a que la entalpía es una
propiedad de estado, y los cambios en ella son independientes de la trayectoria.
En particular, siempre es posible combinar las ecuaciones de formación y los
calores estándares de formación para producir cualquier ecuación deseada (que
no sea en sí misma una ecuación de formación) y determinar el calor estándar
de reacción que la acompaña. Las ecuaciones escritas para este propósito a
menudo incluyen una indicación del estado físico de cada reactivo y producto,
esto es, se ponen las letrasg, 1 os entre paréntesis después de la fórmula química para indicar si éste es un gas, un líquido o un sólido. A primera vista puede
parecer que esto es innecesario puesto que una especie química pura a una
temperatura particular y a una presión de 1 bar usualmente existe en un solo
estado físico. Sin embargo, a menudo se suponen estados ficticios por conveniencia.
Considérese la reacción COZ(g) + Hz(g) + CO(g) + HzO(g) a 25°C. Esta
reacción de desplazamiento del gas de agua es común en la industria química,
aunque se lleve a cabo sólo a temperaturas mayores de 25°C. Sin embargo los
datos utilizados son para 25”C, y el paso inicial en cualquier cálculo de los efectos
caloríficos que tienen que ver con esta reacción es evaluar el calor estándar dc
reacción a 25°C. Puesto que la reacción en realidad se lleva a cabo completamente
en la fase gaseosa a altas temperaturas, la conveniencia dicta que los estados
estándares de todos los productos y reactivos a 25°C se tomen como el estado de
gas ideal a 1 bar, aun cuando el agua en realidad no exista como gas bajo estas
“Por ejemplo, véase TRC Therrnodynamic Tables-Hydrocarbons y TRC Thermodynamic TablesNon-hydrocarbons, serie de publicaciones del Thermodynamics Research Center, Texas A&M Univ.
System, College Station, Texas; “The NBS lhbles of Chemical Thermodynamic Properties”, J.
Data, vol. ll, sup. 2, 1982. Véase también T. E. Daubert et al.,
op. cit. Cuando no se tienen datos, pueden hallarse estimaciones basadas sólo en la estructura
molecular con los métodos de L. Constantinou y R. Gani, Fluid Phuse Equilibria, val. 103, pb. 1 l22, 1995.
Physical and Chemical Refrence
CAPÍ!lTlLO
150
4. Efectos caloríficos
condiciones. De la tabla C.4, los calores de formación de las siguientes reacciones
de formación son
(3s) + 02(g) + CO,(g)
A HfzQ8 = -393 509 J
Et(g):
Puesto que el hidrógeno es un elemento
A HTzg8 = 0
CO(g):
C(s) + ~02c.9)
AHFZgB = -110 525 J
EidXg):
Hz(g) + %(g) + E@(g)
COzb’):
+ CO(g)
AH,;,, = -241 818 J
Las ecuaciones anteriores pueden escribirse de modo que su suma proporcione la
reacción deseada. Lo anterior requiere que la reacción de formación del COs sea
escrita en sentido inverso; el calor de reacción tiene entonces el signo opuesto al del
calor estándar de formación:
+
02(9)
AH&, = 393 509 J
COa
+ C(s)
C(s) +
io2c.d
+ CO(g)
AH& = -110 525 J
H&) +
332C.d
+ H20C.t~)
AH&, = -241 818 J
Coz(g) +
Hz(S)
+ CWI)
+ KJXg)
AH&, = 41 166 J
El significado de este resultado es que la entalpía de 1 mol de CO más 1 mol de
Hz0 es 41.166 J mayor que la entalpía de 1 mol de CO2 más 1 mol de HsO, cuando
cada producto y reactivo se toma como un gas puro a 25°C en el estado de gas ideal
a una presión de 1 bar.
En este ejemplo el calor estándar de formación del Hz0 se conoce a partir de
su estado estándar hipotético como gas a 25°C. Es de esperar que el valor del calor
de formación del agua aparezca en la lista para su estado real como líquido a 1 bar
y 25°C. De hecho, en la tabla C.4 están los valores para ambos estados ya que los
dos se emplean con bastante frecuencia. Lo anterior es cierto para muchos compuestos que normalmente existen como líquidos a 25°C a presión de estado estándar.
Sin embargo, existen casos en los que se da sólo un valor para el estado estándar,
ya sea como líquido o como gas ideal, cuando el que se necesita es del otro estado.
Supóngase que éste fuera el caso para el ejemplo anterior y que únicamente se
conoce el calor estándar de formación del Hz0 líquida. Ahora debe incluirse una
ecuación para el cambio físico que transforma al agua de su estado estándar como
líquido a su estado estándar como gas. El cambio de entalpía para este proceso
físico es la diferencia entre los calores de formación del agua en sus dos estados
estándares:
-241 818 - (-285 830) = 44 012 J
Este valor es aproximadamente el calor latente de vaporización del agua a 25°C.
La secuencia de pasos es la siguiente:
4.6 Calor estándar de combustión
151
fak7) + C(s) + 02(g)
C(s)
+ +02(g)
AH& = 393 509 J
AH,“,, = -110 525 J
+ CO(g)
Hdg) + &W +
AH& = -285 830 J
H2W
+ HA%)
J32W
AH& = 44 012 J
Coa(g) + Hz(g) -+ CO(g) + HzO(g)
AH& = 41 166.J
Es evidente que este resultado concuerda con la respuesta original.
Ejemplo 4.5
Calcule el calor estándar a 25°C para la siguiente reacción:
4HWd + Wd + =MXg) + 2CMg)
SOLUCI Ó N
De la tabla C.4, los calores estándares de formación a 298.15 K son
HCl(g): -92 307 J
La si,auiente
combinación proporciona el resultado deseado:
4HCk) + 2Hídg)
4.6
HzO(g): -241 818 J
2Hdg)
+ 02(g)
4HCUg)
+
+ ‘=12(g)
AH,“,, = (2)(-241 818)
+ 2J32W.d
Ch(g) + =k@(g) +
AH;,, = (4)(92 307)
X-Mg)
AH& = -114 408 J
Calor estándar de combustión
En la realidad sólo pueden efectuarse una cuantas reacciones dejhmación, por
lo que los datos para estas reacciones usualmente deben determinarse de manera
indirecta. Existe una clase de reacción que por sí misma conduce al experimento
y que es la reacción de combustión; por otra parte, muchos de los calores
estándares de formación se obtienen de los calores estándares de combustión,
medidos por calorimetría. La reacción de combustión se define como la reacción,
entre un elemento o compuesto y el oxígeno, para formar ciertos productos especificados de combustión. Para compuestos orgánicos formados sólo por carbono,
hidrógeno y oxígeno, los productos son dióxido de carbono y agua, pero el estado
del agua puede ser vapor o líquido. Los datos siempre se basan en un mol de
sustancia quemada.
Una reacción tal como la formación del n-butano:
4W) + 5H&) + C&fIo(g)
no puede efectuarse en la realidad. Sin embargo, esta ecuación puede obtenerse
combinando las siguientes reacciones de combustión:
152
CAPÍTULO 4. Efectos caloríficos
402(g)
+ 4CCM.9)
AH&, = (4)(-393 509)
5&(g) + 2:02(g)
+ 5H2W.V
AH& = (5)(-285 830)
4C(s) +
4COdg) + 5ELW -+ Cdhdg) + 6&(g)
4C(s) + 5&(g) + GHlo(g)
AH,“,,
= 2 877 396
A H,Q, = -125 790 J
Éste es el valor del calor estándar de formación del n-butano que aparece en la
tabla C.4.
4.7
Dependencia de AH O con respecto a la temperatura
En las secciones anteriores los calores estándares de reacción fueron estudiados
para una temperatura de referencia de 298.15 K. En esta sección se estudia el
cálculo de los calores estándares de reacción a otras temperaturas a partir del
conocimiento del valor que se tiene a la temperatura de referencia.
Para ello, la reacción química general puede escribirse como
hk+ 1~~A2+--+3~A3+
Iv4IA4+
donde los 1vi 1son los coeficientes estequiométricos y las Ai denotan fórmulas
químicas. Las especies en la parte izquierda son los reactivos; las que están en la
parte derecha son los productos. La convención para el signo de vi es la siguiente:
positiva (+) para productos y negativa (-) para reactivos
Los Vi junto con sus signos se conocen como números estequiométricos. Por ejemplo, cuando la reacción de síntesis del amoniaco se escribe como
N2 + 3H2 -k 2NHs
entonces
vN2 = -1
ZQ2=-3
wH3=2
Esta convención del signo permite expresar matemáticamente la definición
del calor estándar de reacción como
(4.20)
donde Hp es la entalpía de la especie i en su estado estándar y la suma se hace
sobre todos los productos y reactivos. La entalpía del estado estándar de un compuesto químico es igual a su calor de formación más las entalpías de estado estándar
de sus elementos constituyentes. Si, de manera arbitraria, se hacen las entalpías
de estado estándar de todos los elementos iguales a cero como base del cálculo,
4.7 Dependencia de AH” con respecto a la temperatura
153
entonces la entalpía de estado estándar de cada compuesto es igual a su calor de
formación. En este caso, g = AR& y la ecuación (4.20) se convierte en
Ar = Cvi A&
(4.21)
donde la sumatoria se hace sobre todos los productos y reactivos. Lo anterior formaliza el procedimiento descrito en la sección previa para el cálculo ae los calores
estándares de otras reacciones a partir de los calores estándares de formación. Si
se aplica a la reacción,
4HCl(g) + 02(g) + =W(g) + ‘JCMg)
entonces la ecuación (4.21) se escribe como
Con los datos de la tabla C.4 para 298.15 K, la expresión anterior se convierte en
AH& = (2)(-241 818) - (4)(-92 307) = -114 408 J
resultado que concuerda con el del ejemplo 4.5.
Para reacciones estándares, los pr0ductos y reactivos siempre se encuentran a la presión de estado estándar de 1 bar. Por tanto, las entalpías dc estado
estándar dependen únicamente de la temperatura y, de acuerdo con la ecuación
(2.24),
donde el subíndice i identifica un producto o reactivo en particular. Después de
multiplicar por vi y hacer la suma sobre todos los productos y reactivos, se tiene
que
CV,dHP
1
= CViC~dT
1
Puesto que vi es una constante, puede ponerse dentro de la diferencial, obteniéndose
de esta manera lo siguiente
xd(v,H:)=
1
dxviH; = &C;LdT
1
L
El término &vi Ho es el calor estándar de reacción, definido por la ecuación (4.20).
De manera similar, el cambio en la capacidad calorífica estándar de la reacción se
define como
CAPÍ!lULO
154
4. Efectos caloríficos
Como resultado de estas definiciones, la ecuación anterior se convierte en
IdAH=‘=AC;dT
1
(4.23)
Esta expresión es la ecuación fundamental que relaciona los calores de reacción
con la temperatura.
Al integrar, se tiene que
donde AW y AH," son los calores de reacción a la temperatura T y a una temperatura de referencia Te, respectivamente. Si la dependencia de la temperatura de
la capacidad calorífica de cada producto y reactivo está dada por la ecuación (4.4),
entonces la integral está dada por el análogo de la ecuación (4.7):
(4.25)
donde T E T/To y
AA = &Ai
con definiciones análogas para AB, AC y ALI.
Se obtiene otra formulación alternativa cuando se define un cambio promedio de capacidad calorífica de reacción en analogía con la ecuación (4.8):
(AG>, _
~--AA+$T,(T+~)++~(T~+?+~)+~
R
(4.26)
0
Con esto, la ecuación (4.24) se convierte en
hH" = AH; + (AG;), (T-Ti)
(4.27)
La ecuación (4.25) proporciona una función para evaluar la integral de
interés que tiene exactamente la misma forma que la dada por la ecuación
(4.7). La primera se obtiene de la otra simplemente remplazando Cp por A 15';
y de A, etc. por AA, etc. Por tanto, el mismo programa de computadora puede
emplearse para evaluar cualquiera de estas integrales. La única diferencia es
el nombre:
4.8 Efectos caloríficos de las reacciones industriales
155
IDCPH(TO,T;DA,DB,DC,DD)
donde “D” denota “A”. Además, para fines computacionales, (AC;)& recibe el
nombre
MDCPH(TO,T;DA,DB,DC,DD)
Ejemplo 4.6
Calcule el calor estándar de la reacción de síntesis del metano1 a 800°C:
CO(g) + 2Hdg) + CHdWg)
SOLUCIÓN Se aplica la ecuación (4.21) para esta reacción a una temperatura de
referencia !I’o = 298.15 K y con el dato de calor de formación que aparece en la tabla
c.4:
AH,” = AH&, = -200 660 - (-110 525) = -90 135 J
La evaluación de los parámetros de la ecuación (4.25) se basa en los siguientes datos,
tomados de la tabla C. 1:
Por
i
Vi
A
lo3 B
106 c
1O-5 D
CH30H
co
HV
1
-1
-2
2.211
3.376
3.249
12.216
0.557
0.422
-3.450
0.000
0.000
0.000
-0.031
0.083
definición,
AA = (1)(2.211) + (-1)(3.376) + (-2)(3.249) = -7.663
Similarmente,
AB = 10.815 X lo-”
AC = -3.450 x lO-‘j
AD = -0.135 x 10”
Por tanto, el valor de la integral de la ecuación (4.25) para T = 1 073.15 K está
representado por
IDCPH(298.15,1
073.15;-7.663,10.815E-3,-3.450E-6,-0.135E+5)
E-1615.5 K
Entonces, de acuerdo con la ecuación (4.24),
AH” = -90 135 + 8.314(-l 615.5) = -103 566 q
4.8
Efectos caloríficos de las reacciones industriales
En las secciones anteriores se ha estudiado el calor estándar de una reacción. Sin
embargo, son muy raras las veces en que las reacciones industriales se llevan a
CAPÍTULO 4. Efectos calorífkos
156
cabo bajo condiciones de estado estándar. Por otra parte, en las reacciones reales
es probable que los reactivos no se encuentren presentes en proporciones
estequiométricas, que la reacción no se lleve a cabo completamente y que la temperatura final sea diferente de la inicial. Asimismo, pueden estar presentes especies
inertes y tal vez ocurran varias reacciones al mismo tiempo. Aun con todo esto, los
cálculos de los efectos caloríficos de las reacciones reales se basan en los mismos
principios y quedan mejor ilustrados con un ejemplo.
Ejemplo 4.7 iCuál es la temperatura máxima que puede alcanzarse por la combustión del metano con un exceso de 20 por ciento de aire? El metano y el aire entran
al quemador a una temperatura de 25°C.
La reacción es
SOLUCIÓN
CH4 + 20s + COZ + 2HzO(g)
para la que
AH;,, = -393 509 + (2)(-241818) - (-74 520) = -802 625 J
Puesto que se busca la temperatura máxima alcanzable (a menudo denominada también temperatura teórica de flama), se supondrá que la reacción de combustión se
lleva a cabo de manera completa y adiabáticamente (& = 0). Con las hipótesis adicionales de que los cambios en las energías cinética y potencial son despreciables y de
que no existe trabajo en la flecha o de eje, el balance completo de energía para todo el
proceso se reduce a AH = 0. Para fines del cálculo de la temperatura final, puede
emplearse cualquier trayectoria conveniente entre los estados inicial y final. La trayectoria seleccionada se indica en el siguiente diagrama.
Productos a 1 bar
/
/Reactivos a 1 bar
-’
y 25°C
1 mol de CH4
2.4 moles de Os
9.03 moles de Ns
AH%,
.Y TAc
1 mol de COZ
2 moles de Hz0
0.4 mol de 02
9.03 moles de Nz
,
Cuando un mol de metano quemado se toma como base de todos los cálculos,
entonces el aire que ingresa proporciona las siguientes cantidades de oxígeno y
nitrógeno:
Moles de Os requeridos = 2.0
Moles en exceso de Os = (0.2)(2.0) = 0.4
Moles de Nz que entran = (2.4)(79/21) = 9.03
4.8 Efectos calorífkos
de las reacciones industriales
157
Los gases que abandonan el quemador contienen 1 mol de COZ, 2 moles de HsO(g),
0.4 moles de Os y 9.03 moles de Ns.
Puesto que el cambio de entalpía debe ser independiente de la trayectoria.,
AH&, + AH; = AH = 0
(Al
donde todas las entalpías se calculan tomando como base 1 mol de CH4 quemado. El
cambio de entalpía de los productos, a medida que éstos son calentados de 298.15 K
a T, está dado por
AH; = (C;),(T- 298.15)
donde se define
(13)
a ( Cg )H como la capacidad calorífica total del tlujo de productos:
En este caso, el procedimiento más simple es sumar las ecuaciones de capacidad
calorífica promedio para los productos, cada una multiplicada por cl número dc moles apropiado. Puesto que C = 0 para cada producto gaseoso (tabla C.l), la ecuación
(4.8) da como resultado
(c;), =&tt<C& =R
1
Los datos de la tabla C. 1 se combinan de la siguiente manera:
A = &Ai = (1)(5.457) + (2)(3.470) + (0.4)(3.639) + (9.03)(3.280)
De manera similar,
= 43.471
B = c&B, = 0.502 x 10-s
D = &Di = -0.645 x 10”
y, por tanto, ( CE )H/R para el flujo de productos está reprcscntado
por
MCPH(298.15,T;43.471,9.502E-3,0.0,-0.645Et5)
Al combinar las ecuaciones (A) y (B) y resolverlas para T, SC ticnc
.
que:
T = 298.15 +!!%
(G>H
Dado que las capacidades caloríficas promedio dependen de T, se evalúa (Cp )I,
para un determinado valor de T > 298.15, y SC sustituye cl resultado en la ccuacion
anterior. Con esto se obtiene un nuevo valor de T para el que ( CE )JI vuelve a cvaluarse. Este procedimiento continúa hasta alcanzar la convergencia en cl valor final,
T=2066K
o
1793°C
CAPÍTULO 4. Efectos caloríficos
158
Ejemplo 4.8 Un método para la fabricación de “gas de síntesis” (principalmente
una mezcla deCO y Hz) es la reformación catalítica del CH4 con vapor de agua a alta
temperatura J presión atmosférica:
CH&)
+
H2Ob)
+ CO(g) +
3&(g)
La única reacción adicional que se presenta con una extensión considerable es la
reacción de desplazamiento del gas de agua:
CO(g) +
H2W.d + CO&) +
Hz(g)
Si los reactivos se alimentan con una relación de 2, esto es, 2 moles de vapor de agua
por 1 mol de CH4, y si se proporciona calor al reactor de modo que los productos
alcancen una temperatura de 1 300 K, entonces el CH4 se convierte completamente
y el flujo de productos contiene 17.4 por ciento de moles de CO. Si se supone que los
reactivos se precalientan a 600 K, calcule el requerimiento de calor para el reactor.
SOLUCIÓN
Los calores estándares de reacción a 25°C para las dos reacciones se
calculan con los datos de la tabla C.4:
CH4@) + H2W-7)
+ CO(s) + 3&(g)
Af?&, = 205 813 J
CO@) + HdXg) + C&(g) + Hz(S)
fiff,“,, = -41 166 J
Estas dos reacciones pueden sumarse para obtener una tercera:
CH4(g) + 2&.O(g) + C%(g) + 4HAg)
AI!& = 164 647 J
Cualquier par de estas tres reacciones constituye un conjunto independiente. La
tercera reacción no es independiente puesto que puede obtenerse mediante una combinación de las otras dos. En este caso, las reacciones con las que más conviene
trabajar son
CH&) + IIzO -) CO(g) + 3JWg)
AH& = 205 813 J
(4
CH4(g) + 2HzOtg)
Af& = 164 647 J
(BI
+ COa(g) + 4Hdg)
Para ello, primero se determina la fracción de conversión de CH4 para cada una de
estas reacciones. Como base para los cálculos, se considerará la alimentación al reactor de un molde CH4 y dos moles de vapor de agua. Si z moles de CH4 reaccionan de
acuerdo con la ecuación (A), entonces en la ecuación (B) reaccionan 1 - z moles.
Sobre esta base, los productos de la reacción son
co:
x
HZ:
coz:
H20:
32 + 4(1-Z) = 4-x
l - x
2-X--2(1-Z) =z
Total:
5 moles de productos
La fracción molar de CO en el flujo de productos es x/5 = 0.174; de aquí que z =
0.870. Por tanto, de acuerdo con la base seleccionada, en la ecuación (A) reaccionan
4.8
Efectos caloríficos de las reacciones industriales
159
0.870 moles de CH4 y en la ecuación (B) lo hacen 0.130 moles. Por otra parte, la
cantidad de cada especie en el flujo de productos es
Moles de CO = z = 0.87
Moles de Hz = 4 -x = 3.13
Moles de COs = 1 -x = 0.13
Moles de HsO = z = 0.87
A continuación se diseña una trayectoria, para fines de cálculo, para ir desde los
reactivos, a 600 K, hasta los productos, a 1300 K. Puesto que se tienen disponibles
datos para los calores estándares de reacción a 25°C la trayectoria más conveniente
es aquella que incluye las reacciones a 25°C (298.15 K). IJO anterior SC muestra de
manera gráfica en el diagrama que aparece más adelante. La línea punteada representa la trayectoria para la cual el cambio de entalpía es AH. Puesto que este cambio
de entalpía es independiente de la trayectoria,
AH = AH; + AH& + AH;
Para el cálculo de AHigg, es necesario tomar en cuenta las reacciones (kl) y (B).
Puesto que en (LI) reaccionan 0.87 moles de CH4 y en (B) lo hacen 0.13 moles,
AZ98 = (0.87)(205 813) + (0.13)(164 647) = 200 460 J
Productos a 1 bar
y 1300 K
/4- 0.87 mol de CO
/
AH,’
/
/’
Reactivos a 1 bar
/
-’
y 600 K
1 mol de CH4
AHI,
2 moles de Hz0
1
3.13 moles de EI2
0.13 mol de COn
0 . 8 7 m o l d e Hz0
1’
AH;
c
AfG,
El cambio de entalpía en los reactivos a medida que éstos son enfriados de 600 K
a 298.15 K, está dado por
AG =(~ni(c”,),)(2s8.15-600~
donde los valores de ( cp )H/R son
CH4:
HsO:
MCPH(298.15,600;1.702,9.08lE-3,-2.164E-6,0.0)
MCPH(298.15,600;3.470,1.45OE-3,0.0,0.12lE+5)
~5.3272
~4.1888
de aquí que
AH; = (8.314)[(1)(5.3272)
+ (2)(4.1888)](298.15
- 600) = -34 390 J
CAPÍ!lULO
160
4. Efectos caloríficos
El cambio de entalpía de los productos a medida que éstos son calentados de 298.15
a 1 300 K, se calcula de manera similar:
AH; =(~.~(c,),)(1300-298.15)
donde los valores de (C; )H/R son
co:
Ha:
coz:
HsO:
MCPH(298.15,1300;3.376,0.557E-3,0.0,-0.03lEt5)
~3.8131
MCPH(298.15,1300;3.249,0.42ZE-3,0.0,
0.0833+5)=36076
MCPH(298.15,1300;5.457,1.0453-3,0.0,-1.157E+5)~5.9935
MCPH(298.15,1300;3.470,1.450E-3,0.0,0.121E+5)~4.6599
de donde
AH; = (8.314)[(0.87)(3.8131)
+ (3.13)(3.6076) + (0.13)(5.9935) + (0.87)(4.6599)]
x (1300 - 298.15) = 161940 J
Por tanto,
AH = -34 390 + 200 460 + 161940 = 328 010 J
El proceso es del tipo de flujo continuo para el que W,, A Z y Au2/2 se suponen
despreciables. En consecuencia,
Q = AH = 328 010 J
Este resultado corresponde a la alimentación de 1 mol de CHa al reactor, como base
del cálculo. El factor de conversión de J mole1 a (Btu)(lb mal)-’ es 0.4299. Por
consiguiente, tomando como base la alimentación de 1 (Ib mol) de CH4 al reactor, se
tiene que
Q = AH = (328 010)(0.4299) = 141 OlO(Btu)
Ejemplo 4.9 Se prende una caldera con un aceite combustible de alto grado (el
cual consiste exclusivamente de hidrocarburos) que tiene un calor estándar de combustión de -43 515 J g-’ a 25°C con COZ(g) y HsO(Z) como productos. La temperatura del combustible y el aire que entran a la cámara de combustión es 25°C. Se
supone que el aire es seco. Los gases de chimenea tienen una temperatura de 300°C
J’ su análisis promedio (base seca) es 11.2 por ciento de COs, 0.4 por ciento de CO,
6.2 por ciento de Os y 82.2 por ciento de Ne. Calcule la fracción del calor de combustión del aceite que se transfiere como calor a la caldera.
SOLUCIÓN
Se toman como base 100 moles de gases de chimenea secos, consistentes
en
N2
11.2 moles
0.4 moles
6.2 moles
82.2 moles
Total
100.0 moles
co2
co
02
161
4.8 Efectos caloríficos de las reacciones industriales
Este análisis, sobre base seca, no toma en cuenta la cantidad de vapor de Hz0
presente en los gases de chimenea. La cantidad de Hz0 formada por la reacción de
combustión se obtiene a partir de un balance de oxígeno. El Os proporcionado por cl
aire representa el 21 por ciento molar del flujo de aire. El restante 79 por ciento es
Ns, el cual pasa por el proceso sin cambio alguno. Por tanto, en 100 moles de gases
de chimenea secos aparecen 82.2 moles de Ns suministrados por el aire, y el Os que
acompaña a este Ns es
Moles de Os que entran en el aire = (82.2)(21/79) = 21.85
Sin embargo,
Moles de Os en los gases de chimenea secos = ll.2 + 0.4/2 + 6.2 = 17.60
La diferencia entre estas cifras se encuentra en los moles de Os que reaccionan para
formar HsO. Por tanto, sobre una base de 100 moles de gases de chimenea secos,
Moles de Hz0 formados = (21.85 - 17.60)(2)
= 8.50
Moles de Hz en el combustible = moles de agua formados = 8.50
La cantidad de C en el combustible está dada por un balance de carbono:
Moles de C en los gases de chimenea = moles de C en cl combustible = ll .2 + 0.4 = ll. 60
Las cantidades de C y HZ juntas dan
Masa de combustible quemado = (8.50)(2) + (11.6)(12) = 156.2 g
Productos a 1 bu
YA/’
/
A H , ’
/
AH;
/
J’ 300°C
11.2 moles de COe
0.4 mol’de CO
8.5 moles de 1120
6.2 moles de O?
82.2 moles <le NS
/
/
Reactivos a 1 bar
y 25°C
-L
156.2 g de combustible
A’%s
21.85 moles de 02
82.2 moles de NZ
Si esta cantidad de combustible se quema completamente hasta convertirse en
COZ(g) y HzO(Z) a 25”C, el calor de combustión es
AH,Q, = (-43 5X)(156.2) = -6 797 040 J
Sin embargo, la reacción real no representa una combustión completa, y cl Hz0 se
forma más como vapor que como líquido. Los 156.2 g de combustible, formados por
ll.6 moles de C y 8.5 moles de He, están representados por la fórmula empírica
CAPÍTULO 4. Efectos caloríficos
162
Clr,sHr~. Si se omiten los 6.2 moles de Os y los 82.2 moles de Ns que entran y salen
del reactor sin cambio alguno, entonces la reacción puede escribirse como
C&H1,(Z) + 1565Os(g) + 11.2CO&) + 0.4CO(g) + 8.5HsO(g)
La ecuación anterior se obtiene sumando las siguientes reacciones, para las que se
conoce el calor de reacción estándar a 25°C:
C1r,sHr7(1)
+ 15.8502(g) +ll.6COc(g) + 8.5HsO(Z)
AH& = -6 797 040 J
8.5H20(Z) +8.5HsO(g)
AH& = (44 012)(8.5)
= 374 102 J
0.4COz(g) +0.4CO(g) + 0.202(g)
AH& = (282 984)(0.4)
= 113 194 J
La suma de estas reacciones da como resultado la reacción real, y la suma de los
valores AH,“,, proporciona el calor de reacción estándar a 25°C:
AH2Q8 = -6 309 740 J
El proceso real que conduce desde los reactivos a 25°C hasta los productos a
300°C está representado por la línea punteada del diagrama que aparece en este
problema. Para calcular el AlY de este proceso, puede emplearse cualquier trayectoria que se considere conveniente. La trayectoria dibujada con línea continua es una
elección lógica, debido a que los cambios de entalpía para estos pasos se calculan con
facilidad y porque ya se ha evaluado AH&.
El cambio de entalpía provocado por el calentamiento desde 25°C hasta 300°C
de los productos de la reacción es
AH; = @<C; jH) (573.15 - 298.15)
donde los valores de (C~,>l?/R
son
de aquí que
AN; = (8.314)([11.2)(5.2352)
+ (6.2)(3.7267)
= 940 660 J
+ (0.4)(3.6005) + (8.5)(4.1725)
+ (82.2)(3.5618)] (573.15 -298.15)
Problemas
163
bH = AH&, + AH; = -6 309 ‘740 + 940 660 = - 5 369 080 J
Puesto que el proceso es de flujo continuo, donde el trabajo de eje y los términos
de energía potencial y cinética en el balance de energía [ecuación (2.9)] son cero o
despreciables, AH = &. Por tanto, & = -5 369.08 kJ, y es la cantidad de calor
transferida a la caldera por cada 100 moles de gases de chimenea secos producidos.
Esto representa
5 369 080
6 7g7 040 (100) = 79.0 p o r ciento
del calor de combustión del combustible.
En los ejemplos anteriores de reacciones que ocurren aproximadamente a
una presión de 1 bar, se ha supuesto tácitamente que los efectos caloríficos de la
reacción son los mismos sin importar si los gases son puros o mezclas, un procedimiento que resulta aceptable si las presiones son bajas. Para reacciones a presiones elevadas, éste tal vez no sea el caso y quizá sea necesario tomar en cuenta los
efectos de la presión y el mezclado sobre el calor de reacción. En este momento
basta decir que dichos efectos son pequeños.
PROBLEMAS
4.1.
iCuánto calor se requiere para calentar 10 moles de SOs desde 200 hasta 1 100°C a
una presión aproximadamente igual a la atmosférica en un intercambiador dc calor
de flujo continuo?
4.2.
iCuál es el calor que se requiere para calentar 12 moles de propano de 250 a 1200°C:
a una presión aproximadamente igual a la atmosférica en un intercambiador dc
calor de flujo continuo?
4.3.
iCuál es la temperatura final de 10 moles de etileno a los que se les añade 800 kJ de
calor en un intercambiador de calor de flujo continuo a una temperatura inicial dc
200°C y una presión aproximadamente igual a la atmosférica?
4.4.
ioQué temperatura final alcanzan 15 moles de l-buteno inicialmente a 260°C si se les
añade la cantidad de 2 500 kJ en un intercambiador de calor de flujo continuo a una
presión aproximadamente igual a la atmosférica?
4.5.
iCuál es la temperatura final de 40 (Ib mol) [ 18.14 kg mol] de etileno inicialmente a
500(“F) [26O”C] si se les añade lO”(Btu) [1.055 X lo6 kJ] en un intercambiador de
calor de flu,jo continuo a una presión aproximadamente igual a la atmosferica?
4.6.
Si 250(ft)3(s)-1 [7.08 m3 s-l] de aire a 122(“F) [5O”C], a una presión aproximadamente igual a la atmosférica, se precalientan para un proceso de combustión hasta
932(“F) [ 5OO”C], icuál es la rapidez de transferencia de calor requerida?
CAP~TVLO
164
4. Efectos caloríficos
4.7.
iCuánto calor se requiere para calentar 10 000 kg [ll.023 (ton)] de CaCOa a presión atmosférica, de 50°C [122(“F)] hasta 880°C [l 616(“F)]?
4.8.
Si la capacidad calorífica de una sustancia está representada de manera correcta por
una ecuación de la forma
&=A+BT+CT’
demuestre que el error resultante, cuando (Cp) H se supone igual a Cp evaluada
media aritmética de las temperaturas inicial y final, es C(T2 - T1)‘/12.
4.9.
en la
Si la capacidad calorífica de una sustancia está representada de manera correcta por
una ecuación de la forma
demuestre que el error resultante, cuando (C~)H se supone igual a Cp evaluada
media aritmética de las temperaturas inicial y final, es
en la
4.10. En la siguiente tabla aparecen los va.lorcs de los calores latentes de vaporización en
J g-’ para varios líquidos puros a 25°C y a. una temperatura T,,, que representa el
punto de ebullición normal (véase en el apéndice B los valores de éste).
AHlv a 25°C
hH’“aT n
366.3
366.1
433.3
412.3
392.5
357.2
336.7
393.9
363.2
358.2
n-pentano
n-hexano
Benceno
lblueno
Ciclohexano
Para una de estas sustancias, calcule:
a)
El valor del calor latente a T,, de acuerdo con la ecuación (4.19), dado el valor a
25°C.
b)
El valor del calor latente a T,, de acuerdo con la ecuación (4.18).
iCuál es el porcentaje en el que estos valores difieren de los que aparecen en la tabla?
4.11. En la siguiente tabla se proporcionan los calores latentes de vaporización en J g-’
para varios líquidos puros a 0°C y a una temperatura T,, que es el punto de ebullición normal (véase en el apéndice B los valores de éstos).
Cloroformo
Metano1
!Ibtraclorometano
AHlv a 0°C
AHLv a Tn
270.9
1 189.5
217.8
246.9
1099.5
194.2
L
165
Problemas
Para una de estas sustancias, calcule:
a)
El valor del calor latente a T, de acuerdo con la ecuación (4.19)) dado el valor a
0°C.
h)
El valor del calor latente a T, de acuerdo con la ecuación (4.18).
iCuál es el porcentaje en el que estos valores difieren de los que aparecen en la tabla?
4.12. La tabla 9.1 contiene una lista de las propiedades termodinámicas del líquido y vapor
saturados del tetraflouroetano. Utilice las presiones de vapor como función de la
temperatura y de los volúmenes de líquido y vapor saturados para calcular el calor
latente de vaporización de acuerdo con la ecuación (4.17) para una de las siguientes
temperaturas, y compare el resultado con el valor calculado a partir de los datos de
entalpía dados en la tabla.
a)
5(“F), b) 30(“F), c) 55(“F), d) 80(“F), e) 105(“F)
4.13. Calcule la capacidad calorífica de una muestra de gas utilizando la siguiente información: la muestra entra en equilibrio en un matraz a 25°C y 12 1.3 kPa. Después se
abre de manera breve una llave de paso, permitiendo que la presión descienda a
101.3 kPa. Con la llave cerrada, se calienta el matraz, regresándolo a 25”C, y se mide
la presión, que resulta ser de 104.0 kPa. Determine Cp en J mal-’ K-’ suponiendo
que el gas es ideal y que la expansión del gas en el matraz es reversible y adiabática.
4.14. Existe un método para la determinación del segundo coeficiente virial de una sustancia gaseosa pura que está basado en la ecuación de Clapeyron y que emplea mediciones del calor latente de vaporización AH”, del volumen molar del líquido saturado
v, y de la presión de vapor pat. Determine R en cm3 mal-’ para la metil etil cetona
(siglas MEK en inglés) a 75”C, a partir de los siguientes datos para esta temperatura:
l
AHzv = 31 600 J mal-’
l
V1 = 96.49 cm3 mal-’
l
In Psat = 48.157543 - 5 622.7/T
- 4.70504 In T
donde Psat está en kPa y T en Kelvin
4.15. Estime el calor estándar de formación del etilbenceno líquido a 25°C.
4.16. La compresión reversible de un mol de gas ideal en un sistema cilindro-pistón da
como resultado un aumento en la presión de 1 bar hasta Pz y un incremento de
temperatura de 400 K hasta 950 K. La trayectoria seguida por el gas durante la
compresión está dada por
PV1.55
= constante
y la capacidad calorífica molar del gas está dada por
Cp/R = 3.85 + 0.57 X lo-"T
[T=K]
Determine el calor transferido durante el proceso y la presión final alcanzada.
4.17. Si el calor de combustión de la urea, (NH2)sCO(s), a 25”C, es 631 660 J mal-’
cuando los productos son COZ(g), HsO(Z) y Na(g), icuál es el wjlor estándar de formación de la urea a 25”C?
l
166
CAPÍmO 4. Efectos caloríficos
4.18. Determine el calor estándar de cada una de las reacciones siguientes a 25°C:
a)
N&) + 3&(g) + 2NHdg)
b)
4NI-Mg)
+ 502(g) + 4Wg) + 6EW)
CI
3N02(g)
+ HzO(Z)
+ 2HN03(Z)
4
Ca&(s)
+ HzO(Z)
+ CzHz(g)
el
2Na(s)
+ 2HzO(g)
+ BNaOH(s)
+ Hz(g)
f1
6Wdg) + 8NHdg)
+ 7Ndg)
+ 12&0k/)
9)
GB&) + +Oz(d + (WEMXg)
h)
GJMd + JUXg) + (WHd2YXg)
9
C&(g) + 2HdXg)
5
CO2W
k)
CHdWg) + &(g)
0
2&@(g) + 302(g)
m)
H2S(g)
n)
Ndg)
0)
CaCO&)
PI
so&‘) + H2W + H2S04(1)
4)
‘AH&) + H2W + ‘XWJW
4
CH&HW) + Hz(g) + GiJWH(g)
SI
CzH.50H(Z)
t)
CzH&H:CHs(g)
u)
C4Hdg) + CH2:CHCH:CH2(g)
VI
CzH&H:CHe(g)
WI
4NHdg)
5)
Wg) + Gd%(g)
Y)
G&.G&W
z)
C(s) + H2W) + Hdg) + CO(g)
+ Coz(g)
+ NO(g)
+ CaO
+ 4&(g)
+ 3&(g) + CH@HW + HdXg)
+ IICHO + HzO(g)
-) =bO(g) + 2SCMg)
+ =k@W + 3&(g) + SO&/)
+ O,(g) + 2NW)
+ CaO + COZ(g)
+ 02(g) + CH3COOH(Z)
+ H;?O(Z)
+ CH2:CHCH:CH2(g)
+ Hz(g)
+ 2H2(g)
+ 2 02(g) + CH2:CHCH:CH2(g)
+ 6NOW
+ 6HdXg)
+ H20(g)
+ 5Ndg)
+ 2HCNg)
+ C&&‘H:CHdg) + Hz(g)
4.19. iCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18a)
a 6OO”C?
4.20. ECuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18b)
a 5OO”CP
4.21. iCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18f)
a 65O”C?
4.22. Euál es el calor estándar de la reacción del problema 4.18i)
a 7OO”C?
4.23. %Cuál
a 590(“F)
[31O”C]?
4.24. eCuál es el calor estándar de la reacción del problema 4.181) a 770(“F)
[41O”C]?
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18~‘)
F’roblemas
167
4.25.
iCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18~1)
a 850 K?
4.26.
BCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18n)
a 1 350 K?
4.27.
BCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.180) a 800”C?
4.28.
iCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18~)
a 45O”C?
4.29.
iCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18t)
a 860(“F) [46O”C]?
4.30.
&Cuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.1%) a 750 K?
4.31.
iCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18~) a 900 K?
4.32. iCuál
es el calor estándar de la reacción del problema 4.18~) a 4OO”CI
4.33.
es el calor estándar de la reacción del problema 4.182) a 375”C?
BCuál
4.34. Zuál es el calor estándar de la reacción del problema 4.18~)
a 1 490(“F) [81O”C]?
4.35. Desarrolle una ecuación general para el calor estándar de reacción como una función
de la temperatura para una de las reacciones dadas en los incisos a), b), e), j), g), h),
3, k), U, m), n), o), 4, t), ~1, ~1, ~1, z), Y) Y 2) del problema 4.18.
4.36.
A partir del metano1 pueden producirse hidrocarburos combustibles
ciones tales como la siguiente, la cual produce 1-hexeno:
mediante
reac-
6CWWg) + C&dg) + 6HzOW
Compare el calor estándar de combustión a 25°C del GCHsOH(g)
con el calor estándar
de combustión a 25°C del CsHrs(g);
en ambos casos, los productos de la reacción son
CR&) Y HzOb).
4.37. Calcule la temperatura de flama teórica cuando el etileno a 25°C SC quema con
4.38.
a)
La cantidad teórica de aire a 25°C.
b)
25 por ciento de exceso de aire a 25°C.
c)
50 por ciento de exceso de aire a 25°C.
d)
100 por ciento de exceso de aire a 25°C.
e)
50 por ciento de exceso de aire a 500°C.
iCuál es el calor estándar de combustión del gas n-pentano a 25°C si los productos
de la combustión son HsO(Z) y COZ(g)?
4.39. En una bomba calorimétrica se quema con oxígeno un aceite combustible ligero, cl
cual tiene una composición química promedio de CrcHrs.
El calor generado medido
es 43 960 J g-’ para la reacción a 25°C. Calcule el calor estándar de combustión del
aceite combustible con HsO(g) y COZ(g) como productos. Note que la reacción en la
bomba ocurre a volumen constante, produce agua líquida y se lleva a cabo de manera
completa.
4.40. Se quema gas metano de manera completa con un 30 por ciento de aire en exceso a
presión atmosférica. Tbnto el metano como el aire entran al horno a 30°C saturados con vapor de agua, y los gases de chimenea abandonan el horno con una temperatura de 1 500°C. A continuación los gases de chimenea pasan por un
intercambiador
de calor, del cual salen a 50°C. Tomando como base un mol de
CAPÍTULO 4. Efectos caloríficos
168
metano, icuánto calor se pierde del horno y cuánto calor se transfiere en el
intercambiador?
4.41. Al reactor de una planta de ácido nítrico entra gas amoniaco con un 30 por ciento
más de aire seco del que se requiere para la conversión completa del amoniaco en
óxido nítrico y vapor de agua. Si los gases entran al reactor a 75°C [ 167(“F)], si la
conversión es del 80 por ciento, si no ocurre ninguna reacción colateral y si el reactor
funciona adiabáticamente, ecuál es la temperatura de los gases que abandonan el
reactor? Suponga que los gases son ideales.
4.42. Una mezcla gaseosa de metano y vapor de agua a presión atmosférica y 500°C se
introduce en un reactor donde ocurren las siguientes reacciones:
CH4 + HZ0 -+ CO + 3Hs
CO + Hz0 + COs + Hz
El flujo de producto abandona el reactor a 850°C con la siguiente composición (fracciones
molares):
yco = 0.0275
yco = 0.1725
yH@ = 0.1725
yH2 = 0.6275
Determine la cantidad de calor añadido al reactor por mol de producto gaseoso.
4.43. Un combustible, con una composición molar de 75 por ciento de metano y 25 por
ciento de etano, entra a un horno con un 80 por ciento de exceso de aire a 30°C. Si se
transfieren como calor 8 X lo5 kJ por kg mol de combustible a los tubos de la caldera, icuál es la temperatura de los gases de chimenea que salen del horno? Suponga
que la combustión del combustible es completa.
4.44. El flujo de gas proveniente de un quemador de azufre tiene una composición de 15
por ciento mol de SOs, 20 por ciento mol de Os y 65 por ciento mol de Ns. El flujo de
gas entra a un convertidor catalítico, a presión atmosférica y con una temperatura
de 400°C donde el 86 por ciento del SOs se oxida a SOa. Tomando como base un mol
del gas que entra al convertidor, icuánto calor debe retirarse del convertidor de modo
que los gases producto lo abandonen a 5OO”CP
4.45. En un proceso de reacción química se introducen gas etileno y vapor de agua a 320°C
ya presión atmosférica, en una mezcla equimolar. El proceso produce etanol de acuerdo
con la reacción
CsHJ(g)
+ HsO(g)
+ CsH50H(Z)
El etanol líquido abandona el proceso a 25°C. iCuál es la transferencia de calor
asociada con todo el proceso por mol de etanol producido?
4.46. Se produce hidrógeno con la reacción
CO(g) + Hd.Xg) -+ CCh + Hz(g)
El flujo que se alimenta al reactor es una mezcla equimolar de monóxido de carbono
y vapor de agua, la cual entra al reactor a presión atmosférica y una temperatura de
125°C. Si el 60 por ciento del Hz0 se convierte en Hg y si el flujo de producto abandona el reactor a 425°C icuánto calor debe transferirse desde el reactor?
4.47. Un secador de fuego directo quema aceite combustible con un poder calorífico neto
de 19 OOO(Btu)(lb,,,)-‘.
[El poder calorífico neto se obtiene cuando los productos de
Problemas
169
combustión son COs y HsO(g).] La composición del aceite es 85 por ciento de
carbono, 12 por ciento de hidrógeno, 2 por ciento de nitrógeno y uno por ciento de
agua en peso. Los gases de chimenea abandonan el secador a 400(“F), y un análisis
parcial muestra que éstos contienen 3 por ciento mol de COs y 11.8 por ciento mol de
CO sobre una ba.se seca. El combustible, el aire y el material a secar entran al secador a 77(“F). Si el aire que entra se encuentra saturado con agua y si se permite una
pérdida del 30 por ciento del poder calorífico neto del aceite (incluyendo el calor
sensible que se lleva el producto seco), icuánta agua se evapora en el secador por
(Ib,) de aceite quemado?
4.48. Una mezcla equimolar de nitrógeno y acetileno ingresa aun reactor de flujo continuo
con una temperatura de 25°C y a presión atmosférica. La única reacción que ocurre
es
Wg) + C2H2 + 2HCN(g)
Los gases producto salen del reactor a 600°C y contienen 24.2 por ciento mol de
HCN. 1Cuánto calor se proporciona al reactor por mol de producto gaseoso?
4.49. Se produce cloro mediante la reacción
4HCl(g) 02(g) + =bO(g) + 2CMg)
La composición del flujo de alimentación al reactor es 60 por ciento mol de HCI,
36 por ciento mol de Os y cuatro por ciento mol de Ns, la cual entra al reactor a
550°C. Si la conversión a HCl es de 75 por ciento y si el proceso es isotérmico,
icuánto calor debe transferirse del reactor por cada mol de la mezcla gaseosa que
entra en él?
4.50. Se elabora un gas que contiene sólo CO y N2 pasando una mezcla de gases de chimenea y aire a través de un lecho de carbón incandescente (suponga que el carbón es
puro). Las dos reacciones que ocurren de manera completa son:
CO2 + c+2co
2c+o2+2co
En un caso particular, el gas de chimenea contiene 12.8 por ciento mol de CO, 3.7 por
ciento mol de COs, 5.4 por ciento mol de Os y 78.1 por ciento mol de Ns. La mezcla
gas de chimenea/aire es tal que los calores de las dos reacciones se cancelan, por lo
que la temperatura del lecho de carbón incandescente es constante. Si esta tcmperatura es de 875”C, si el flujo de alimentación es precalentado
a 875°C y si cl proceso es
adiabático, icuál es la razón molar requerida de gas dc chimenea y aire? Kuál es la
composición del gas producido?
4.51. La composición de un gas combustible es 94 por ciento mol de metano y seis por
ciento mol de nitrógeno. Este gas se quema con un 35 por ciento de exceso de
aire en un calentador continuo de agua. El gas combustible y el aire entran secos
a 77(“F) [25”C]. El agua se calienta con una rapidez de 75(lb,)(s)-’ [34.0 kg
s-l] de 77(“F) [25”C] hasta 203(“F) [95”C]. Los gases de chimenea dejan el
calentador con una temperatura de 410(“F) [ZlO”C]. Del metano que entra al
calentador, el 70 por ciento se quema formando dióxido de carbono y el 30 por
ciento se quema produciendo monóxido de carbono. iCuál es la rapidez de flujo
volumétrico del gas combustible necesaria si no hay pérdidas de calor hacia los
alrededores?
170
CAPÍTULO 4. Efectos caloríficos
4.52. Xe obtiene un proceso para la producción de 1,3 butadieno a partir de la
deshidrogenación catalítica a presión atmosférica del l-buteno, de acuerdo con la
reacción
‘ZW) -) C&dg) + &(g)
Para suprimir las reacciones colaterales, el flujo de alimentación de l-buteno se diluye con vapor de agua en una relación de 10 moles de vapor por un mol de l-buteno.
La reacción se lleva a cabo isotérmicamente
a 525°C y, a esta temperatura, el 33 por
ciento del l-buteno se convierte en 1,3 butadieno. iCuánto
calor se transfiere al
reactor por mol de l-buteno que entra en él?
CAPíTULO 5
SEGUNDA LEY DE LA
TERMODINÁMICA
La termodinámica trata las transformaciones de la energía y sus leyes describen
los límites dentro de los cuales se observa que ocurren dichas transformaciones. La
primera ley establece que la energía se conserva en cualquier proceso y no impone
ninguna restricción con respecto a la dirección en la que ocurre éste. Sin embargo,
la experiencia indica la existencia de esta restricción, cuya formulación completa
los fundamentos de la termodinámica y cuya expresión concisa constituye lasegunda ley.
Las diferencias entre las dos formas de energía, calor y trabajo, proporcionan cierta luz sobre la segunda ley En un balance de energía, el calor y el trabajo
se incluyen como términos aditivos simples, lo que implica que una unidad de calor,
es decir, un joule, equivale a la misma unidad de trabajo. Aunque lo anterior es
válido para el balance de energía, la experiencia muestra que hay diferencias entre
el calor y el trabajo en lo que respecta a la calidad. Esta experiencia se resume en
los siguientes hechos.
El trabajo se transforma rápidamente en otras formas de energía; por ejemplo, en energía potencial al elevar un peso, en energía cinética mediante la aceleración de una masa o en energía eléctrica por el funcionamiento de un generador.
Estos procesos pueden realizarse con una eficiencia en la conversión próxima al
100 por ciento cuando se elimina la fricción, la cual es un proceso disipativo que
transforma el trabajo en calor. De hecho, el trabajo se transforma completamente
en calor, tal y como lo demostraron los experimentos de Joule.
Por otro lado, todos los esfuerzos para diseñar un proceso de conversión continua y completa del calor en trabajo, o energía mecánica o eléctrica, han fallado.
Pese a las mejoras hechas a los aparatos utilizados, la eficiencia en la conversión
no excede del 40 por ciento. Estos valores tan bajos llevan a la conclusión de que el
calor es una forma de energía intrínsecamente menos útil y, por tanto, menos’valiosa que una cantidad igual de trabajo o de energía mecánica o eléctrica.
CAPÍTULO 5.
172
Segunda ley de la termodinámica
Si se profundiza todavía más en la experiencia, se sabe que el flujo de calor
entre dos cuerpos siempre se da del cuerpo más caliente al más frío y nunca en la
dirección opuesta. Este hecho tiene tal importancia que su replanteamiento sirve
como una expresión aceptable de la segunda ley
5.1
Enunciados de la segunda ley
Las observaciones descritas anteriormente son resultado de la restricción impuesta por la segunda ley a las direcciones en las que ocurren los procesos reales. Es
posible formular muchos enunciados que describan esta restricción y que, por tanto, sirvan como enunciados de la segunda ley. Dos de los más comunes son los
siguientes:
1. Ningún equipo puede funcionar de modo tal que su único efecto (cn cl sistema y sus alrededores) sea convertir completamente todo el calor absorbido
por el sistema en trabajo hecho por el sistema.
2. No existe ningún proceso que consista exclusivamente en la transferencia. de
calor de un nivel de temperatura a otro mayor.
El primer enunciado no afirma que el calor no pueda convertirse en trabajo; lo único que el proceso no puede hacer es dejar tanto al sistema como a sus
alrededores sin cambio alguno. Considérese un sistema formado por un gas ideal
contenido en un cilindro con pistón que se expande de manera reversible a temperatura constante. El trabajo producido puede evaluarse con la expresión 1 P
dVy para un gas ideal, AU = 0. Por tanto, de acuerdo con la. primera ley, el calor
absorbido por el gas de sus alrededores es igual al trabajo producido por la expansión reversible del gas. A primera vista lo anterior parece ser una contradicción del primer enunciado, ya que en los alrededores el único resultado es la
conversión completa de calor en trabajo. Sin embargo, el enunciado de la segunda ley requiere que no exista un cambio en el sistema, requisito que no se cumple.
Este proceso está limitado de otra manera, ya que la presión del gas pronto
alcanza la de los alrededores, con lo que la expansión cesa. Por consiguiente, con
este método es imposible la producción continua de trabajo a partir del calor. Si
se restaura el estado original del sistema con la finalidad de cumplir con las
condiciones del primer enunciado, entonces se necesita energía de los alrededores en forma de trabajo para comprimir el gas de regreso a su presión original.
Al mismo tiempo se transfiere energía, como calor, a los alrededores para mantener la temperatura constante. Este proceso en sentido inverso requiere, al menos, la cantidad de trabajo ganada con la expansión, razón por la que no se
produce trabajo neto. Es evidente entonces que el primer enunciado puede expresarse también como:
la. Es imposible que un proceso cíclico convierta completamente el calor absorbido por un sistema en trabajo hecho por el sistema.
5.2 Máquinas térmicas
173
La palabra cblico requiere que el sistema recupere periódicamente su estado
original. En el caso del gas contenido dentro de un cilindro con pistón, el ciclo
completo está formado por la expansión y la compresión al estado original. Si se
repite el proceso, entonces éste se convierte en un proceso cíclico. La restricción a
procesos ciclicos en el enunciado la toma en cuenta la misma limitación introducida por las palabras único efecto del enunciado 1.
La segunda ley no prohíbe la producción de trabajo a partir del calor, pero
coloca un límite sobre la fracción de calor que en cualquier proceso cíclico puede
convertirse en trabajo. La conversión parcial de calor en trabajo es la base de casi
toda la producción comercial de energía.’ El desarrollo de una expresión cuantitativa para la eficiencia de esta conversión es el siguiente paso en el estudio de la
segunda ley
5.2 Máquinas térmicas
El enfoque clásico para la segunda ley se basa en un punto de vista macroscópico
de las propiedades, independiente de cualquier tipo de conocimiento de la estructura de la materia o comportamiento de las moléculas. Este enfoque surgió del estudio de la máquina térmica, que es un dispositivo o máquina que produce trabajo a
partir de calor en un proceso cíclico. Un ejemplo de máquina térmica es la planta
termoeléctrica, donde el fluido de trabajo (vapor) regresa periódicamente a su estado original. En esta planta, el ciclo (en su forma más sencilla) tiene las siguientes etapas:
1. Agua líquida a temperatura cercana a la del medio ambiente se bombea hacia
una caldera a alta presión.
2. La transferencia del calor de un combustible (calor de combustión de un
combustible fósil o calor de una reacción nuclear) de la caldera al agua, convirtiéndola en vapor a alta temperatura a la presión de la caldera.
3. Transferencia de energía, como trabajo de eje, del vapor a los alrededores,
mediante un dispositivo tal como una turbina, en la cual el vapor se expande
hasta la presión y temperatura reducidas.
4. El vapor que queda en la turbina se condensa a temperatura y presión bajas
mediante la transferencia de calor al agua de enfriamiento, completando de
esta, manera el ciclo.
Las características fundamentales de los ciclos de todas las máquinas térmicas son la absorción de calor a altas temperaturas, el rechazo de éste a una temperatura baja y la producción de trabajo. En el estudio teórico de las máquinas térmicas los dos niveles de temperatura que caracterizan su funcionamiento se mantienen mediante reservas térmicas, las cuales pueden imaginarse como cuerpos ca‘Claro está que no se incluyen las energías hidráulica y eóiica.
CAPÍ!lVLO
174
5.
Segunda ley de la termodinámica
paces de absorber o arrojar una cantidad infinita de calor sin cambio alguno en la
temperatura. Durante la operación, el fluido de trabajo de una máquina térmica
absorbe calor 1 QHI de la reserva caliente, produce una cantidad neta de trabajo
1WI , descarta calor 1Qc 1hacia una reserva fría y regresa a su estado inicial. Por
tanto, la primera ley se reduce a
WI = IQHI - IQcl
La eficiencia térmica de una máquina se define como
rl=
trabajo neto de salida
calor de entrada
así que
&l= IQrA-IQcl
IQHI
’ = 1Q.A
0
p&l
‘= ‘- IQ,A
(5.2)
Se utilizan los signos de valor absoluto para hacer las ecuaciones independientes
de las convenciones de signo adoptadas para Q y W. Nótese que para que 7 sea uno
(100 por ciento de eficiencia térmica), 1Qc 1 debe ser cero. Jamás se ha construido
una máquina para lo que esto sea cierto; siempre se envía calor a la reserva fría.
Este resultado de la experiencia en ingeniería es la base para los enunciados 1 y la
de la segunda ley.
Si no es posible que las máquinas térmicas tengan una eficiencia térmica de
100 por ciento, entonces Qqué es lo que determina el límite superior? Ciertamente
es de esperarse que la eficiencia térmica de una máquina térmica dependa del
grado de reversibilidad de la operación. Por otra parte, una máquina térmica que
funcione de una manera completamente reversible es muy especial, y se conoce
como máquina de Camot. Las características de esta máquina ideal fueron descritas por primera vez por N. L. S. Carnot2 en 1824. Las cuatro etapas de las que
consta un ciclo de Camot se llevan a cabo en el orden siguiente:
1. Al inicio el sistema, que se encuentra en equilibrio térmico con una reserva
fría a una temperatura TC, experimenta un proceso adiabático reversible que
hace que su temperatura aumente hasta la de la reserva caliente, que es TH.
2. El sistema mantiene contacto con la reserva caliente a TH, y experimenta un
proceso isotérmico reversible durante el cual el calor 1 QH 1 se absorbe de la
reserva caliente.
2Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832), ingeniero francés.
175
5.2 Máquinas térmicas
Figura 5.1:
Máquina E operando un refrigerador de Carnot C.
3. El sistema pasa por un proceso adiabático reversible en dirección opuesta a
la de la primera etapa, que regresa su temperatura a Tc, esto es, a la de la reserva fría.
4. El sistema se mantiene en contacto con la reserva a Tc y experimenta un
proceso isotérmico reversible en dirección opuesta a la de la etapa 2, que lo
regresa a su estado inicial con desprendimiento de calor ) Qc 1 hacia la reserva fría.
Una máquina de Carnot trabaja entre dos reservas de calor de modo tal que
toda la absorción de calor se hace a la temperatura constante de la reserva caliente
y toda la liberación de calor se lleva a cabo a la temperatura constante de la reserva
fría. Cualquier máquina reversible que trabaje entre dos reservas de calor es una
máquina de Carnot; una máquina que funcione con un ciclo diferente debe necesariamente transferir calor a través de diferencias finitas de temperatura y, por tanto, no puede ser reversible.
Puesto que una máquina de Carnot es reversible, puede trabajar en sentido
inverso; con esto, el ciclo de Carnot se recorre en dirección opuesta y se convierte
en un ciclo de refrigeración para el que las cantidades 1QH 1, 1Qc 1y 1WI son las
mismas que las del ciclo de la máquina, pero en dirección opuesta.
El teorema de Carnet establece que la eficiencia de una máquina térmica que
funciona entre dos reservas de calor dados no puede ser mayor que la de una máquina de Carnot. Th1 máquina absorbe calor 1QH 1de la reserva caliente, produce
176
CAPÍ!lVL,O
5.
Segunda ley de la termodinámica
@F -
Figura
5.2:
Las máquinas de Carnot 1 y 2 constituyen una tercera
máquina de Carnot.
trabajo 1WI y libera ca.lor 1QC 1- 1WI h acia una reserva fría. Supóngase que
existe una máquina E con una eficiencia térmica mayor que la de una máquina de
Carnot que trabaja con las mismas reservas de calor, y que absorbe calor 1Qh 1,
produce trabajo 1WF;I y libera calor 1Q; 1- 1WI. Entonces
IWI > WI
~-
IQLI IQJ
de donde
Supóngase ahora que la máquina E opera la de Carnot en sentido opuesto, como
un refrigerador de Carnot, tal como se muestra en la figura 5.1. Para la combinación máquina/refrigerador,
el calor neto extraído de la reserva fría es
El calor neto proporcionado a la reserva caliente también es 1QHI - 1Q;i 1. Por
tanto, el único resultado de la combinación máquina/refrigerador es la transferencia de calor desde la temperatura TC hacia una mayor TH. Puesto que esto es una
violación al enunciado 2 de la segunda ley, la premisa original de que la máquina E
tiene una eficiencia térmica mayor que la de Carnot es por tanto falsa, con lo que
queda demostrado el teorema de Carnot. El siguiente corolario del teorema de
5.3 Escalas de temperatura termodinámica
177
Carnot puede demostrarse de manera similar: todas las máquinas de Carnot que
funcionan entre reservas de calor con el mismo par de temperaturas, tienen la
misma eficiencia térmica. Estos resultados señalan que la eficiencia térmica de
una máquina de Carnot depende exclusivamente de las temperaturas TH y TC y no
de la sustancia de trabajo de la máquina.
5.3
Escalas de temperatura termodinámica
En la presentación anterior se identificaron los niveles de temperatura mediante la
escala de Kelvin, establecida con termometría de gas ideal. Esto no impide aprovechar la ventaja que ofrece la máquina de Carnot para establecer una escala de temperatura termodinámica que sea en verdad independiente de las propiedades de cualquier sustancia. Sea 8 la temperatura en alguna escala empírica que identifíca los
niveles de temperatura de manera correcta. Considérense ahora dos máquinas dc
Carnot, una funcionando ent,re una reserva de calor con una temperatura 0~ y una
reserva fría con temperatura f3c, y la otra trabajando entre la reserva que está a 0~ y
otra reserva aún más fría a temperatura t&, como se muestra en la fígura 5.2. El
calor emitido por la primera máquina, 1Qc 1, es absorbido por la segunda; por tanto,
al funcionar juntas las dos máquinas constituyen una tercera máquina de Carnot
que absorbe calor 1QH 1de la reserva cuya temperatura es 6, y libera calor 1QF 1a la
reserva que tiene una temperatura 0,. De acuerdo con el teorema de Carnot, la efíciencia térmica de la primera máquina es una función de &I y &:
Al reacomodar esta expresión se tiene que
lQhJ=
IQcl
1
l-#(O,,e,)
=f(eH7
ec)
(5.3)
donde f es una función no conocida.
Para las otras dos máquinas, se aplican ecuaciones que tienen la misma forma funcional:
IQcl
I& =f(ec, ed
F
Y
$f =f(eH, ed
F
Al dividir la segunda de estas ecuaciones por la primera, se obtiene lo siguiente
IQHI
IQcl
.f(eH,@,)
.m7
eF)
CAPÍ!lULO 5.
178
Segunda ley de la termodinámica
La comparación de esta ecuación con la (5.3) muestra que la temperatura arbitraria ep debe cancelarse del cociente que aparece en el miembro derecho, con lo que
se llega a
IQHI = W@H)
(5.4)
IQCI
WC)
donde $I es otra función desconocida.
El miembro derecho de la ecuación (5.4) es el cociente de I,!I evaluada en dos
temperaturas termodinámicas; cada una de las I,!I están relacionadas entre sí del
mismo modo que los valores absolutos de los calores absorbidos y desprendido de
una máquina de Carnot que trabaja entre dos reservas que tengan dichas temperaturas, con independencia de las propiedades de cualquier sustancia. Sin embargo, la ecuación (5.4) todavía deja abierta la selección arbitraria de una temperatura empírica representada por 8; una vez que se hace la elección, entonces es necesario determinar la función +. Si 8 se escoge como la temperatura Kelvin T, entonces la ecuación (5.4) se convierte en
-IQrfI _-W(TH)IQCI w(T,)
5.4
(5.5)
Temperatura termodinámica y la escala de gas ideal
El diagrama PV de la figura 5.3 muestra el ciclo recorrido por un gas ideal que
sirve como fluido de trabajo en una máquina de Carnot. El ciclo consta de cuatro
etapas reversibles:
1. a + b Compresión adiabática hasta que la temperatura aumente desde TC
hasta TH.
2. b + c Expansión isotérmica hasta un punto arbitrario c con absorción de
calor 1QHI .
3. c + d Expansión adiabática hasta que la temperatura disminuya a Tc,
4. d + a Compresión isotérmica hasta el estado inicial con desprendimiento de
calor 1QC 1.
De la ecuación (3.18), para las etapas isotérmicas b + c y d + a,
y
IQHI = RTHlnF
IQol = RTolnF
b
LI
Por consiguiente,
IQd
IQA
TH
-=T,
‘dy/Cb)
WGK)
(5.6)
-
5.4
Temperatura termodinámica y la escala de gas ideal
TH
\
\
\
\
Figura 5.3:
Diagrama PV que muestra el ciclo de Carnot de un gas ideal.
Para un proceso adiabático, la ecuación (3.20) puede escribirse como
C, dT dV
R T=T
Para la etapa a + b, y después de integrar,
De manera similar, para la etapa c + d,
Puesto que los miembros izquierdos de estas d.os ecuaciones son idénticos,
179
180
CAPfl’lZO 5. Segunda ley de la termodinámica
La expresión también puede escribirse como
Con esto, la ecuación (5.6) se convierte en
I
I
(5.7)
I
I
La comparación de este resultado con la ecuación (5.5) proporciona la relación
funcional más simple posible para I,!I, esto es, +!I( 7’) = T. Por tanto, puede concluirse
que la escala de temperatura Kelvin, basada en las propiedades de los gases ideales, es de hecho una escala termodinámica, independiente de las características de
cualquier sustancia particular. Al sustituir la ecuación (5.7) en la (5.2)) se tiene
que
(5.8)
Las ecuaciones (5.7) y (5.8) se conocen como ecuaciones de Carnet. En la
ecuación (5.7) el valor más pequeño posible de 1&C 1es cero; el valor que corresponde a TC es el cero absoluto de temperatura de la escala Kelvin. %l como se
mencionó en la sección 1.4, esto sucede a -273.15%. La ecuación (5.8) muestra
que la eficiencia térmica de una máquina de Carnot puede tender a uno, sólo cuando TH tiende a infinito o TC lo hace hacia cero. Ninguna de estas condiciones es
posible en la tierra; por consiguiente, todas las máquinas térmicas trabajan con
eficiencias menores que la unidad. Las reservas frías disponibles en la naturaleza
son la atmósfera, los lagos y ríos, y los océanos, para los que TC z- 300 K. Las
reservas calientes son objetos tales como los hornos donde la temperatura se mantiene debido a la combustión de combustibles fósiles y a la fisión de elementos
radiactivos de reactores nucleares. Para estas fuentes prácticas de calor, TH E 600
K. Con estos valores,
Éste constituye un límite práctico para la eficiencia térmica de una máquina de
Carnot; las máquinas térmicas reales son irreversibles, y sus eficiencias térmicas
rara vez son mayores que 0.35.
&jemplo 5.1 Una planta termoeléctrica de potencia de 800 000 kW genera vapor
de agua a 585 K y libera calor a un río a 295 K. Si la eficiencia térmica de la planta
es 70 por ciento del máximo valor posible, icuánto calor se transfiere al río?
181
5.5 Entropía
La máxima eficiencia térmica posible está dada por la ecuación (5.8). Si
se toma a TH como la temperatura a la que se genera el vapor y a Tc como la temperatura del río, entonces
SOLUCIÓN
Tm& = 1- g = 0.4957
Entonces la eficiencia térmica real es
77 = (0.7)(0.4957)
Por
= 0.3470
definición,
Si se sustituye 1 QHI por la ecuación (5.1),
IW
‘= Í%+lQcl
expresión que puede resolverse para 1 QC 1:
IQcl = (y) IW
de aquí que
IQcl = &s) (800 000) = 1505 500 kW
0
IQcl = 1505500kJs-’
Esta cantidad de calor aumentaría la temperatura de un río de tamaño moderado en
varios grados Celsius.
5.5
Entropía
La ecuación (5.7) para una máquina de Carnot puede escribirse como
IQJ = IQcl
TH
Tc
Si las cantidades de calor se refieren a la máquina (en lugar de ser las de las
reservas de calor), el valor numérico de 1QH ( es positivo y el de 1Qc 1es negativo.
Por tanto, la ecuación equivalente escrita sin signos de valor absoluto es
182
CAF’ÍTULO 5.
Segunda ley de la termodinámica
Qc
V
Figura 5.4:
Proceso cíclico arbitrario dibujado en un diagrama PV.
QH = -Qc
TH Tc
0
!&+&c =()
T’ T,
(5.9)
Es así que para un ciclo completo de una máquina de Carnot, la suma de las dos
cantidades QlT, asociadas con la absorción y eliminación de calor por el fluido de
trabajo de la máquina, es cero. Puesto que el fluido de trabajo de una máquina
de Carnot regresa periódicamente a su estado inicial, propiedades tales como la
temperatura, la presión y la energía interna regresan a sus valores iniciales aun
cuando ellas cambien de una etapa del ciclo a otra. La característica principal de
una propiedad es que la suma de sus cambios es cero para cualquier ciclo completo. Por santo, la ecuación (5.9) sugiere la existencia de una propiedad cuyos cambios están dados aquí por las cantidades Q/T.
183
5.5 Entropía
Lo anterior puede comprenderse mejor si se estudia un proceso cíclico
reversible como el mostrado por el diagrama PV de la figura 5.4, donde la curva
cerrada representa una trayectoria arbitraria seguida por un fluido arbitrario. A
continuación se divide toda el área delimitada en una serie de curvas adiabáticas
reversibles; puesto que las curvas no pueden intersectarse
(véase problema 5.1),
entonces pueden dibujarse con una cercanía arbitraria entre ellas. La figura muestra unas cuantas de estas curvas como líneas punteadas. El siguiente paso es unir
las curvas adiabáticas adyacentes con dos isotermas cortas reversibles que aproximen la curva del ciclo general lo más que se pueda. Es evidente que la aproximación mejora a medida que el espacio entre las curvas adiabáticas es menor y, si se
hace la separación arbitrariamente pequeña, entonces la aproximación al ciclo original puede hacerse en la medida en que se desee. Cada par de curvas adiabáticas
adyacentes junto con las isotermas que las unen representan un ciclo de Carnot
para el que se aplica la ecuación (5.9).
Cada ciclo tiene su propio par de isotermas TH y TC y las cantidades de calor
QH y QC asociados con él. Esto se indica en la figura 5.4 para un ciclo representativo. Cuando el espacio entre las curvas adiabáticas es muy pequeño, las etapas
isotérmicas son infinitesimales y las cantidades de calor se convierten en d&H y
d&c, con lo que la ecuación (5.9) puede escribirse como
dQ, + dQc = 0
T’
Tc
En esta ecuación, TH y TC son las temperaturas absolutas a las cuales se transfieren las cantidades de calor d&H y d&c hacia o desde el fluido del proceso cíclico. La
integración proporciona la suma de todas las cantidades dQlT para el ciclo completo:
I dQw - o
T
(5.10)
donde el círculo en el signo de la integral significa que la integración se hace sobre
un ciclo completo, y el subíndice “rev” señala que la ecuación es válida sólo para
ciclos reversibles.
Es así como la suma de las cantidades dQreJT es cero para cualquier serie de
procesos reversibles que hagan que un sistema experimente un proceso cíclico. Por
tanto, puede inferirse la existencia de una propiedad del sistema cuyos cambios
diferenciales están dados por estas cantidades. Esta propiedad es la entropia y sus
cambios diferenciales se establecen mediante
dS”= %
(5.11)
donde S’ es la entropía total (más que molar) del sistema. Alternativamente,
(d&,
(5.12)
184
CAPÍTULO 5.
Segunda ley de la termodinámica
V
Figura 5.5:
Par de trayectorias reversibles que unen los estados de equilibrio A y B.
Los puntos A y B del diagrama PV de ia figura 5.5 representan dos estados
de equilibrio de un fluido particular, unidos por dos procesos reversibles arbitrarios a lo largo de las trayectorias ACB y ADB. Al integrar la ecuación (5.11) para
cada trayectoria, se tiene que
Y
donde, de acuerdo con la ecuación (5. lo), las dos integrales deben ser iguales. Por
tanto, se concluye que ASt es independiente de la trayectoria y representa un cambio en la propiedad dado por i$, - Si.
Si el fluido cambia del estado A al estado B mediante un proceso irreversible,
el cambio de entropía debe seguir siendo ASt = SL - Si, pero los experimentos
muestran que este resultado no está dado por J dQ/T evaluada para el propio
proceso irreversible, debido a que el cálculo de los cambios de entropía con esta
integral debe hacerse en general a lo largo de trayectorias reversibles.
Sin embargo, el cambio de entropía de una reserva de calor siempre está dado
por Q/T, donde Q es la cantidad de calor transferido hacia o desde la reserva a
temperatura T, sin importar si la transferencia es reversible o irreversible. La explicación de lo anterior es que el efecto de la transferencia de calor sobre una
reserva de calor es el mismo, sin importar la temperatura de la fuente o destino del
calor.
Cuando un proceso es reversible y adiabático, d&,.,,, = 0; entonces, de acuerdo con la ecuación (5.11), dS’ = 0. Por tanto, la entropía de un sistema es cons-
5.6
Cambios de entropía de un gas ideal
tante
185
durante un proceso adiabático reversible, y se dice entonces que el proceso es
isen trópico.
El estudio de la antropía
siguiente manera:
hecho hasta el momento puede resumirse de la
1. El cambio de entropía de cualquier sistema que experimenta un proceso
reversible se obtiene integrando la ecuación (5.11):
2. Cuando un sistema experimenta un proceso irreversible de un punto de equilibrio a otro, el cambio de entropía del sistema ASt debe ser evaluado con la
aplicación de la ecuación (A) para un proceso reversible elegido arbitrariamente que produzca el mismo cambio de estado que el proceso real. La integración no se realiza sobre la trayectoria irreversible. Puesto que la entropía
es una función de estado, los cambios de entropía de los procesos reversible e
irreversible son los mismos.
3. La entropía es precisamente útil debido a que es una función de estado o
propiedad. Debe su existencia a la segunda ley, a partir de la cual aparece de
la misma manera en que la energía interna aparece de la primera ley
En el caso especial de un proceso mecánicamente reversible (sección 2.9), la
evaluación correcta del cambio de entropía del sistema se hace al aplicar la integral J dQ/T al proceso real, aun cuando la transferencia de calor entre el sistema y
sus alrededores sea irreversible. La explicación es que resulta irrelevante, en lo
que al sistema se refiere, si la diferencia de temperatura que provoca la transferencia de calor es diferencial (lo que hará que el proceso sea reversible) o finita. El
cambio de entropía de un sistema provocado por la transferencia de calor siempre
puede calcularse con la integral s dQlT, sin importar si dicha transferencia es
reversible o irreversible. Sin embargo, cuando un proceso es irreversible debido a
diferencias finitas de otras fuerzas impulsoras, tales como la presión, el cambio de
entropía se debe no sólo a la transferencia de calor, así que para el cálculo de ésta
será necesario proponer un proceso reversible que logre el mismo cambio de estado.
Esta introducción a la entropía a través de una consideración de las máquinas de calor es el enfoque clásico, el cual sigue de manera cercana el desarrollo
histórico del concepto. En la sección 5.9 se considera de manera breve un enfoque
complementario basado en conceptos moleculares y en la mecánica estadística.
5.6
Cambios de entropía de un gas ideal
La primera ley, escrita para un mol o unidad de masa de fluido, es
dU=dQ+dW
CAPÍTULO 5.
186
Segunda ley de la termodinámica
Para un proceso reversible, esta expresión se convierte en
dU = dQrev - P dV
Por la definición de entalpía,
H=U+PV
de aquí que
dH=dU+PdV+VdP
Al sustituir dU,
dH = dQrev-PdV+
PdV+ VdP
0
d&rev = dH-VdP
Para un gas ideal, se hacen las sustituciones dH = C$ dT y V = RT/P;
dividir por T,
entonces, al
dQ
“=pC-RE
T
‘T
P
Como resultado de la ecuación (5.1 l), puede escribirse
0
dS C$ dT
-=
_- - d l n P
R
R T
(5.13)
donde S es la entropía molar de un gas ideal. La integración desde un estado
inicial en condiciones To y Po hasta un estado final con condiciones T y P es
AS
-=
R
(5.14)
Aunque esta ecuación se obtuvo para un proceso reversible, relaciona únicamente
propiedades y es independiente del proceso que provoca el cambio de estado. Por
5.6
187
Cambios de entropía de un gas ideal
tanto, es una ecuación general para el cálculo de los cambios de entropía de un gas
ideal.
Ejemplo 5.2
Para un gas ideal con capacidades caloríficas constantes, que experi-
menta un proceso adiabático reversible (y por tanto, isentrópico), ya se había deducido anteriormente que
(3.23)
Demuestre que esta expresión también puede obtenerse al aplicar la ecuación (5.14)
con AS = 0.
SOLUCIÓN
Puesto que C$
es constante, la ecuación (5.14) puede escribirse como
O=ln$--$ln$
1
1
de donde
(4
Para un gas ideal, la ecuación (3.17) da lo siguiente
Después de dividir por Cc,
esta expresión se convierte en
1= g++=‘+-g
P
P
Y
P
donde y = Cc / CF. Al resolver para RI C$
R
y-l
cp--
y
La expresión anterior transforma la ecuación (A) en la ecuación (3.23).
La ecuación (4.4) para la capacidad calorífica molar C$ , como función de la
temperatura, permite la integración del primer término del miembro derecho de
la ewación (5.14). El resultado puede expresarse de manera conveniente como
CAPÍTULO 5. Segunda ley de la termodinámica
188
donde
Puesto que con frecuencia es necesario evaluar esta integral, en el apéndice D se
incluyen programas de computadora que proporcionan los valores de la función
dada por la ecuación (5.15). Para fines computacionales, el nombre de esta función es
ICPS(TO,T;A,B,C,D)
Los programas de computadora también calculan una capacidad calorífica promedio definida como
(C$>s =
& @dT/T
lnU’/T, 1
(5.16)
En este caso, el subíndice “íY’ denota un valor promedio específico para los cálculos de entropía. Por tanto, la división de la ecuación (5.15) por ln( T/To) o lnr da
como resultado
Para fines computacionales, el nombre de esta función es
MCPS(TO,T;A,B,C,D)
Al resolver la integral de la ecuación 5.16 se tiene que
con lo que la ecuación (5.14) se convierte en
(5.18)
Esta forma de la ecuación para los cambios de entropía de un gas ideal puede ser
útil cuando se requiere hacer cálculos iterativos.
189
5.7 Enunciado matemático de la segunda ley
Ejemplo 5.3 Se tiene gas metano a 550 K y 5 bar. El gas experimenta una expansión adiabática reversible ha.sta una presión de 1 bar. Suponiendo que el metano bajo
estas condiciones se comporta como un gas ideal, bcuál es la temperatura final?
SOLUCIÓN
Para este proceso, AS = 0, y la ecuación (5.18) se convierte en
(C$>,
-In= ln$- = lni = - 1.6094
R
T,
1
Puesto que ( C$)S depende de Tz, la ecuación se reescribe para obtener una solución
iterativa:
-1.6094
ln!iT,
(C:),IR
de aquí que
Tz = Tl exp
(A)
El termino ( Cp)dR está dado por la ecuación (5.17) con las constantes tomadas de
la tabla C.l:
MCPS(550,T2;1.702,9.08lE-3,-2.164E-6,0.0)
Con un valor inicial de T2 c 550, se calcula un valor de ( C$)dR para sustituirlo en
la ecuación (A) . . Con esto se obtiene un nuevo valor de T2 a partir del cual vuelve a
calcularse ( C$)dR, y el proceso continúa hasta que se obtiene la convergencia en el
valor final de T2 = 411.34 K.
5.7
Enunciado matemático de la segunda ley
Considérense dos reservas de calor, una a temperatura TH y la segunda a una
temperatura menor TC. Sea 1 Q 1 la cantidad de calor transferida de la reserva más
caliente a la más fría. El cambio de entropía de la reserva que tiene la temperatura
TH es
mientras que el cambio de entropía de la reserva que está a temperatura Tc es
CAPkWLO 5.
190
Segunda ley de la termodinámica
adiabático
irreversible
V
Figura 5.6:
Ciclo que contiene un proceso adiabático irreversible de A a B.
La suma de estos cambios de entropía es
AStotal
=
AS:, + ASC = -191
T + !Cj
H
TC
0
- T,
AStota, = 191 ( TH
--__
THT,
Puesto que TH > Tc, el cambio de entropía total resultante de este proceso irreversible es positivo. Nótese también que AStotal se vuelve más pequeña a medida que
la diferencia TH - Tc es más pequeña. Cuando TH es sólo infinitesimalmente mayor que Tc:, la transferencia de calor es reversible y AStotal tiende a cero. Por tanto,
para el proceso de transferencia irreversible de calor, AStotal siempre es positivo, y
tiende a cero a medida que el proceso se convierte en reversible.
Considérese ahora un proceso adiabático donde no hay transferencia de calor, En el diagrama PV de la figura 5.6 está representada la expansión adiabática
irreversible de un mol de fluido, desde un estado de equilibrio inicial en el punto A
hasta un estado de equilibrio final en el punto B. Ahora supóngase que el fluido
recupera su estado inicial mediante un proceso reversible. Si el proceso inicial da
como resultado un cambio en la entropía del fluido, entonces debe existir una
transferencia de calor durante el proceso de restauración reversible tal que
5.7 Enunciado matemático de la segunda ley
191
El proceso irreversible original junto con el proceso de restauración reversible constituyen un ciclo para el que AU = 0, y donde el trabajo realizado es
-W = -Wi, - Wpv = Qrev =
IB* dQr,v
Sin embargo, de acuerdo con el enunciado la de la segunda ley, Q,,, no puede
dirigirse hacia el sistema ya que entonces el ciclo sería un proceso donde el calor SC
transforma completamente en trabajo. Por tanto, s dQ,, es negativa, y SC clesprende entonces que Si - 6’; también es negativo; de aquí que Si, > SA. Puesto
que el proceso original irreversible es adiabático ( AS,lr = 0), el cambio en la entropía
total del sistema y sus alrededores como resultado del proceso es AStotal = S:, s; > 0.
Al llegar a este resultado, la hipótesis es que el proceso irreversible original
da como resultado un cambio en la entropía del fluido. Si se supone que el proceso
original no produce cambio de entropía en el fluido, entonces es posible restaurar
el estado original del sistema mediante un proceso adiabático reversible simple.
Este ciclo se lleva a cabo sin transferencia de calor y, por tanto, sin trabajo neto.
De esta manera el sistema recupera su estado original, sin dejar ningún cambio cn
otras partes, y esto a su vez implica que el proceso original es reversible mas que
irreversible.
Es así como se obtiene el mismo resultado para un proceso adiabático como
a cero
para la transferencia directa de calor: AS total siempre es positivo, tendicnclo
como límite cuando el proceso se vuelve reversible. Esta misma conclusión puctlc
demostrarse para cualquier proceso, lo que conduce a la ecuación general:
(5.19)
Éste es el enunciado matemático de la segunda ley, que afirma que cualquier
proceso avanza en una dirección tal que el cambio de entropía total asociado
con él es positivo, donde el valor límite cero lo alcanza sólo un proceso rcvcrsiblc.
Por consiguiente, no es posible tener un proceso para el que la entropía total
disminuya.
Considérese de nuevo una máquina térmica cíclica que toma calor 1QH 1dc
una reserva de calor a temperatura TH, y elimina calor 1Q, 1a otra reserva a
temperatura Tc. Puesto que la máquina opera por ciclos, ésta no cxpcrimcnta
cambios netos en sus propiedades. Por tanto, el cambio de entropía total del proccso es la suma de los cambios de entropía de las reservas de calor:
El trabajo producido por la máquina es
CAPflVLO
192
5. Segunda ley de la termodinámica
WI = IQHI - IQCI
(5.1)
Al eliminar 1&c 1de estas ecuaciones y resolver para 1WI se obtiene lo siguiente
WI = -~cA&otal+ I&HI
La expresión anterior es la ecuación general para el trabajo de una máquina
térmica que funciona entre dos niveles de temperatura. El trabajo de salida
mínimo es cero, y se obtiene cuando la máquina es totalmente ineficiente y el
proceso degenera en una transferencia de calor irreversible y simple entre las
dos reservas de calor. En este caso, la solución para AStotal proporciona la
ecuación obtenida al inicio de esta sección. El trabajo máximo se obtiene cuando la máquina es reversible, en cuyo caso AS total = 0, con lo que la ecuación se
reduce al segundo término del miembro derecho, que es el trabajo de una máquina de Carnot.
Ejemplo 5.4 Una pieza de acero fundido [Cp = 0.5 kJ kg-’ K-l] con un peso de
40 kg y una temperatura de 450°C se templa con 150 kg de aceite [Cp = 2.5 kJ
kg-’ K-l] a 25°C. S’1 no existen pérdidas de calor, %cuál es el cambio de entropía de
(a) el acero fundido, (b) el aceite y (c) de ambos considerados como un todo?
SOLUCIÓN
La temperatura final t del aceite y el acero fundido se obtiene mediante
un balance de energía. Puesto que el cambio de energía del aceite y el acero fundido
juntos debe ser cero,
(40)(0.5)(t - 450) + (150)(2.5)(t
- 25) = 0
La solución es t = 46.52%.
a) Cambio de entropía del acero fundido:
m AS = (40)(0.5) In
b)
273.15 + 46.52
= -16.33 kJ K-’
273.15 + 450
Cambio de entropía del aceite:
AS’ = (150)(2.5) In 273’15 + 4652 = 26.13 kJ K-’
273.15 + 25
c)
Cambio de entropía total:
ASt,,ta, = -16.33 + 26.13 = 9.80 kJ K-’
Nótese que aunque el cambio total de entropía es positivo, la entropía del acero fundido ha disminuido.
5.7 Enunciado matemático de la segunda ley
193
l$jemplo 5.5 Un inventor afirma haber diseñado un proceso que toma únicamente
vapor de agua saturado a 100°C y que, mediante una serie complicada de etapas,
pone a disposición calor de manera continua a una temperatura de 200°C. El inventor afirma además que, por cada kilogramo de vapor de agua que entra en el proeeso,
se liberan 2000 kJ de energía como calor al nivel mayor de temperatura, esto es,
200°C. Pruebe si este proceso es o no posible. Para darle al inventor el beneficio cle la
duda, supóngase gue se tiene una cantidad ilimitada de agua para enfriamiento a
una temperatura de 0°C.
SOLUCIÓN
Para que cualquier proceso sea teóricamente posible, debe cumplir con
los requerimientos impuestos por la primera y segunda leyes de la termodinámica.
No es necesario conocer el mecanismo detallado para determinar si éste es el caso; lo
único que se requiere es el resultado global. Si la afirmación del inventor satisfa.ce las
leyes de la termodinámica, esto significa entonces que la realización del proceso cs al
menos teóricamente posible. La determinación del mecanismo es cuestión de ingcnio. De otro modo, el proceso es imposible y no existe ningún mecanismo que lo
pueda realizar.
En este caso se tiene un proceso continuo que toma vapor de agua saturado y lo
introduce en algún tipo de aparato, con lo que pone a disposición continua calor con
un nivel de temperatura T’ = 200°C. Puesto que se tiene a la mano agua para enfriamiento a una temperatura de T, = O”C, entonces puede hacerse un uso máximo del
vapor por enfriamiento hasta esta temperatura. Por tanto, se supondrá que el va.por
de agua se condensa y enfría hasta 0°C y que se descarga del proceso a esta tcmperatura y a presión atmosférica. Ibdo el calor liberado en esta. operación no puede ponerse a disponibilidad a un nivel de temperatura T’ = 2OO”C, debido a que esto violaría
el enunciado 2 de la segunda ley. Para ello es necesario suponer que el calor QV
también se transfiere al agua de enfriamiento a T, = 0°C. Por otro lado, el proceso
debe satisfacer la primera ley, así que, de acuerdo con la ecuación (2.10):
AH=Q+W,
donde AH es el cambio de entalpía del vapor de agua a medida que éste fluye por cl
aparato y Q es el calor total transferido entre el aparato y sus alrededores. Puesto
que este proceso no hace trabajo en la flecha, Ws = 0. Los alrededores están formados por el agua de enfriamiento, la que actúa como reserva de calor con una tempcratura constante T, = O”C, y una reserva de calor a T’ = 200°C a la cual se transficre calor a razón de 2000 kJ por cada kilogramo de vapor que entra en el aparato. El
diagrama de la figura 5.7 ilustra los resultados globales del proceso.
Los valores de H y AS para el vapor de agua saturado a 100°C y del agua líquida
a 0°C se toman de las tablas de vapor. La transferencia total de calor es
Q = Q’ + Qc = -2 000 + Qc
Con esto, tomando como base 1 kg de vapor de agua, la primera ley se convierte en
AH=O.O-2676.0=-2OOO+Q,
de aquí que
Q,, = -676.0 k3
CAPÍTULO 5.
194
Segunda ley de la termodinámica
Reserva de calor
T' = 200°C
Q'= -2000 kJ
Vapor saturado a 100°C
Agua líquida a 0°C
Aparato
b
HI = 2676.0 kJ kg-’
S1 = 7.3554 kJ kg-’ K-’
Hz = 0.0
s, = 0.0
I
Reserva de calor
T, = 0°C
/
(agua de enfriamiento)
Figura 5.7:
Proceso
descrito
en el ejemplo 5.5.
Ahora es momento de examinar este resultado a la luz de la segunda ley para determinar si AStotal es mayor o menor que cero para el proceso.
Para 1 kg de vapor de agua,
AS = 0.0000 - 7.3554 = -7.3554 kJ K-’
Para la reserva de calor a 2OO”C,
AS’ =
2 000
= 4.2270 kJ K-’
200 + 273.15
Para la reserva de calor proporcionado por el agua de enfriamiento a O”C,
AS’ =
676.0
= 2.4748 kJ K-’
0 + 273.15
Por tanto,
AStota, = -7.3554 + 4.2270 + 2.4748 = -0.6536 kJ K-’
Puesto que este resultado es negativo, entonces se concluye que el proceso descrito es
imposible, puesto que la ecuación (5.19) requiere que AStotal 2 0.
IJO anterior no significa que todos los procesos de esta naturaleza general sean
imposibles, sino finicamente
que el inventor ha exagerado en sus afirmaciones. Por
otra parte, es fácil calcular la cantidad máxima de calor que puede transferirse a la
reserva de calor a 200°C si las demás condiciones se mantienen igual. Este cálculo se
deja como ejercicio para el lector.
5.9 Entropía desde el punto de vista microscópico
5.8
195
Tercera ley de la termodinámica
Las mediciones de capacidades caloríficas a temperaturas muy bajas proporcionan datos para los cálculos, mediante la ecuación (5.11), de los cambios de entropía
hasta temperaturas de 0 K. Cuando estos cálculos se efectúan para diferentes
formas cristalinas de la misma especie química, parece ser que la entropía a 0 K es
la misma para todas las formas. Cuando la forma es no cristalina, por ejemplo,
amorfa o vítrea, los cálculos indican que la entropía de la forma más aleatoria es
mayor que la de la forma cristalina. ‘Mes cálculos, que se encuentran resumidos
en varios trabajos,3 conducen al postulado de que la entropia absoluta es cero para
todas las sustancias cristalinas per$ectas a la temperatura del cero absoluto. Si bien
las ideas esenciales fueron planteadas por Nernst y Planck al inicio del siglo XX,
estudios más recientes a muy bajas temperaturas han aumentado la confianza en
la veracidad de este postulado, que ahora se acepta como la tercera ley
Si la entropía es cero a T = 0 K, entonces la ecuación (5.11) por sí sola
conduce al cálculo de entropías absolutas. Con T = 0 como límite inferior de integración, la entropía absoluta de un gas a temperatura T, con base en datos
calorimétricos, se obtiene al integrar la ecuación (5.11)
Con respecto a esta ecuación,4 se supone que no existen transiciones de estado
sólido y por tanto tampoco calores de transición. Los únicos efectos caloríficos a
temperatura constante son los de fusión a temperatura Tfy de vaporización a T,.
Cuando se presenta una transición de estado sólido, se añade entonces el término
AWTt.
5.9
Entropía desde el punto de vista microscópico
En la sección 4.2 se indicó que la energía interna de un gas ideal reside en las
moléculas individuales que lo forman. Esto no es cierto para la entropía, incluso
para moléculas que no interactúan entre sí. La interpretación microscópica de la
entropía se basa en un concepto totalmente diferente, tal como lo sugiere el siguiente ejemplo.
Supóngase que se tiene un recipiente aislado, dividido en dos volúmenes iguales, que contiene un número de moléculas NA de gas ideal igual al número de
Avogadro en una sección y ninguna molécula en la otra. Cuando se elimina la
división, las moléculas se distribuyen con rapidez y de manera uniforme en todo el
volumen. El proceso es una expansión adiabática que no hace trabajo. Por consiguiente,
3K. S. Pitzer, Thennodynamics, 3a. ed., cap. 6, McGraw-Hill, Nueva York, 1995.
4La evaluación del primer término del miembro derecho no es problema para sustancias cristalinas, dado que CdT permanece finito cuando T + 0.
CAPÍTULO 5.
196
Segunda
ley de la temodinámica
AU=CvAT=O
y la temperatura no cambia. Sin embargo, la presión del gas disminuye a la mitad, y
el cambio de entropía dado por la ecuación (5.18) es
AS=-Rln$ =Rln2
1
Puesto que éste es el cambio de entropía total, es evidente que el proceso es irreversible.
A nivel molecular, nótese primero que el proceso no comienza sino hasta que
se quita la división, y que en ese instante las moléculas ocupan sólo la mitad de
todo el espacio disponible. En este estado inicial momentáneo, las moléculas no se
encuentran distribuidas aleatoriamente en todo el volumen al que tienen acceso,
sino que están agrupadas justamente en la mitad del volumen total. En este sentido, tienen un orden mayor que el del estado final de distribución uniforme a través
de todo el volumen total. Por consiguiente, el estado final puede considerarse como
más aleatorio, o más desordenado, que el estado inicial. La generalización de este
ejemplo conduce a la noción de un desorden creciente (o una estructura decreciente) a nivel molecular que corresponde a un incremento de entropía.
Los medios para expresar el desorden de una manera cuantitativa fueron
desarrollados por L. Boltzmann y J. W Cibbs a través de una cantidad LR, definida
como el número de maneras distintas en que las partículas microscópicas pueden
distribuirse entre los “estados” a los que tienen acceso. Este número está dado por
la fórmula general
n!
(n,!)(n,!)(n,!)...
donden es el número total de partículas, ynl, n2, n3, etc. representan los números de
partículas en los “estados” 1, 2, 3, etc. El término “estado” denota la condición
de las partículas microscópicas, y se usan las comillas para distinguir esta idea de
estado del significado termodinámico usual aplicado a un sistema macroscópico.
Con respecto al ejemplo, existen sólo dos “estados” que representan la ubicación en una mitad u otra del recipiente. El número total de partículas es NA moléculas, e inicialmente todas se encuentran en un solo “estado”. Por consiguiente,
iI=
fil
= NA!
(NA!) = l
Este resultado confirma que al inicio las moléculas pueden distribuirse entre los
dos “estados” a los que tienen acceso de una sola manera. Todas ellas se encuentran en un “estado” dado, esto es, en la mitad del recipiente. Para una determinada condición final de distribución uniforme de las moléculas entre las dos mitades
del recipiente, nl = n2 = NA/2, y
5.9 Entropía desde el punto de vista microscópico
197
Esta expresión da un número muy grande para &, lo que indica que las moléculas
pueden distribuirse por igual entre los dos “estados” de muchas maneras diferentes. Existen muchos más valores posibles para s22, cada uno de los cuales está
asociado con una distribución no uniforme particular de las moléculas entre las
dos mitades del recipiente. El cociente entre una !& particular y la suma de todos
los valores posibles es la probabilidad de dicha distribución particular.
La conexión establecida por Boltzmann entre la entropía S y CI está dada por
la ecuación
S=klnCl
(5.22)
donde k es la constante de Boltzmann, que es igual a RINA. Al integrar entre los
estados 1 y 2, se tiene que
Q
S:, - í31 = k In q
Al sustituir los valores de RI y Ra del ejemplo en 1esta expresión, se tiene que
NA!
s2 - sI = k In [(NJ‘@]2
= k[ln NA! - 2 ln(NA/:!)!]
Puesto que NA es muy grande, puede aprovecharse las ventajas ofrecidas por la
fórmula de Stirling para el logaritmo del factorial de un número grande:
lnX! = X l n X - X
con la que se llega al siguiente resultado
S:!-SI =k NA lnN, -N, -2 J$-ln%-J$
NA = kNA In 2 = R In 2
= kN* In __
11
NJ2
Este valor es el mismo que se obtiene para el cambio de entropía con la fórmula
clásica de la termodinámica para los gases ideales.
Las ecuaciones de la mecánica estadística se deducen mediante la aplicación
de la ecuación (5.21) a un número muy grande de sistemas macroscópicamente
idénticos (un conjunto) que se encuentren en todos sus estados cuánticos permitidos. La entropía S, tal como está dada por la ecuación (5.22), es entonces el valor
promedio estadístico para el conjunto.5 A fin de cuentas, el resultado es una ecuación
para la entropía
5Este desarrollo matemático es largo pero no muy difícil. Una presentación elemental está dada
por H. C. Van Ness, Understanding Thennodynamics, cap. 7, McGraw-Hill, NuevaYork, 1969; Dover,
New York, 1983. Una presentación mucho más amplia se encuentra en D. A. McQuarrie, Statistical
Mechan&, Harper & R o w , N u e v a Y o r k , 1 9 7 6 y e n R . L . R o w l e y , Statistical M e c h a n & f o r
Thermophysical Pmperty Ca.kuZution,s, PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1994.
CAPÍTUL.0
198
‘Ihbla
5.1:
5.
Segunda ley de la termodinámica
Entropías absolutas, estado de gas ideal a 25°C y l(atm).
S@/J mal-’ K-l
Ec. (5.20)
coz
NH3
NOz
CH4
CH&1
Gd36
Ec. (5.24)
213.4
192.5
240.6
186.2
234.3
269.5
213.8
192.9
240.6
186.2
233.5
269.9
(5.23)
donde 2 es la función de partición, dada por la ecuación (4.1 l), y U es la energía
interna, tal como está dada por la ecuación (4.12).
Para un gas ideal, la combinación de las ecuaciones (4.14) y (4.15) con la
(5.23) conduce a lo siguiente
3
2mnkT
F(T)
-kNAln- - k In NA! + In Zintramolecular + i R + 2
h2
T
De acuei-do con la fórmula de Stirling, In NA! = NA In NA -NA; también UNA = R.
Si se hacen estas sustituciones, entonces
S@ =kNAlnV+
3
2nmkT
F(T)
Sgi = R In V + - R In - -R ln NA + R + In Gntramolecular
+ i R + ___
2
h2
T
Después de reacomodar los términos, la expresión anterior puede escribirse como
Sgi = ln[(F,““E] + In Z&.amolecular + y
(5.24)
La ecuación (5.24) para la entropía molar de un gas ideal permite el cálculo
de las entropías absolutas para el estado de gas ideal. Los datos necesarios para la
evaluación de los dos últimos términos del miembro derecho son las distancias y
ángulos de enlace en las moléculas, así como las frecuencias de vibración asociadas
con los distintos enlaces, tal y como se obtienen a partir de datos espectroscópicos.
El procedimiento ha tenido mucho éxito en la evaluación de entropías del ga,s ideal
para moléculas cuyas estructuras atómicas son conocidas.
Las dos ecuaciones, clásica y estadística [ecuaciones (5.20) y (5.24)] proporcionan valores absolutos de entropía. 7% como lo pone en evidencia la tabla 5.1,6
se obtiene un buen acuerdo entre los cálculos estadísticos y los basados en datos
calorimétricos. Resultados como éstos proporcionan una evidencia impresionante
de la validez de la mecánica estadística y la teoría cuántica. En algunos casos los
resultados basados en la ecuación (5.24) se consideran más confiables debido a las
?Ibmada de D. A. McQuarrie, op. cit., p. 138.
hblemas
199
incertidumbres en los datos de capacidad calorífica o en la cristalinidad de la sustancia cerca del cero absoluto. Las entropías absolutas proporcionan buena parte
de los datos base para el cálculo de las conversiones de equilibrio de las reacciones
químicas, tal como se estudia en el capítulo 15.
PROBLEMAS
5.1.
Demuestre que es imposible que dos líneas que representan procesos adiabáticos
reversibles en un diagramaPVse intersecten. (Sugerencia: Suponga que se intersectan
y complete el ciclo con una línea que represente un proceso isotérmico reversible.
Demuestre que el desempeño de este ciclo viola la segunda ley de la termodinámica.)
5.2.
Una máquina de Carnot recibe 250 kJ s-l de calor de una reserva de calor a 525°C y
libera calor a otra reserva que tiene una temperatura de 50°C. iCuál es la potencia
desarrollada por la máquina y el calor liberado?
5.3.
Las siguientes máquinas térmicas producen una potencia de 95 000 kW En cada
caso determine la rapidez con la que se absorbe calor de una reserva caliente y se
libera hacia una reserva fría.
5.4.
a)
Una máquina de Carnot que trabaja entre dos reservas de calor a 750 K y
300 K.
b)
Una máquina real que trabaja entre las mismas reservas de calor pero con una
eficiencia térmica 7l = 0.35.
Una planta de potencia trabaja con una reserva de calor que sirve como fuente a
350°C y con una reserva de calor como vertedero a 30°C. La planta tiene una efícicncia térmica igual al 55 por ciento de la de una máquina de Carnot que trabaja a las
mismas temperaturas.
aI
iCuál es la eficiencia térmica de la planta?
b)
iA qué temperatura debe aumentarse la reserva que sirve como fuente de calor
para incrementar la eficiencia térmica de la planta a 35 por ciento? De nuevo, 77
es igual a 55 por ciento del valor que corresponde a la máquina de Carnot.
5.5.
Se envían por barco tanque cantidades muy grandes de gas natural licuado (GNL).
En el puerto de destino se han tomado las medidas necesarias para vaporizar el
GNL, de modo que pueda ser descargado en las tuberías como gas. El GNL llega en
el barco a la presión atmosférica y 113.7 K, y representa un posible vertedero de
calor que puede emplearse como reserva fría de una máquina térmica. Sc desea
descargar el GNL como vapor con una rapidez de 9 000 m3 s-i, a 25°C y 1.0133 bar.
Suponiendo que se tiene disponible una fuente dc calor a 3O”C, icuál es la máxima
potencia que puede obtenerse y con qué rapidez se transfiere cl calor desde la fuente
de calor? Suponga que el GNL a 25°C y 1.0133 bar SC comporta como un gas ideal
con una masa molar igual a 17. !lhmbién suponga que el GNL sólo se vaporiza y que
absorbe únicamente su calor latente, que es de 512 kJ kg-’ a 113.7 K.
5.6.
Con respecto a 1 kg de agua líquida:
a)
Inicialmente a O”C, el agua se calienta hasta 100°C por contacto con una reserva
de calor a 100°C. QCuál es el cambio de entropía del agua? %Cuál es el cambio de
la reserva? %Cuál es el valor de AS,,,,,?
200
CAPÍTUL.0
5.7.
5.8.
5.9.
5.
Segunda ley de la termodinámica
b)
Inicialmente a O”C, el agua primero se calienta a 50°C por contacto con una
reserva de calor a 5O”C, y luego a 100°C por contacto con una reserva a 100°C.
QCuál es el valor de AS,,i?
c)
Explique cómo calentar el agua de 0°C a 100°C de modo que AStotal sea cero,
Un recipiente rígido con un volumen de 0.06 m3 contiene un gas ideal Cv = (5/2)R a
500 K y 1 bar.
a)
Si se transfieren al gas 15 000 J de calor, determine su cambio de entropía.
b)
Si el recipiente contiene ahora un agitador que gira por un eje de modo que el
trabajo hecho sobre el gas sea de 15 000 J, Icuál es el cambio de entropía del ga,s
si el proceso es adiabático? QCuál es el valor de AStotal? %Cuál es la característica
irreversible de este proceso?
Se calienta un gas ideal, Cp = (7/2)R, en un intercambiador de calor en flujo continuo, desde 70°C [ 158(“F)] hasta 190°C [3’74(‘F)] con otro flujo del mismo gas ideal,
el cual entra a 320°C [SOS(” La rapidez de flujo de los dos flujos de gas es la
misma, y las pérdidas de calor en el intercambiador son despreciables.
a)
Calcule los cambios de entropía molar de los dos flujos de gas, tanto para flujo en
paralelo como para flujo en contracorriente en el intercambiador.
b)
En cada caso, icuál es el valor de AS&,,?
c)
Repita los incisos (a) y (b) para un flujo en contracorriente, si la corriente de
calentamiento entra al intercambiador a 200°C [392(“F)].
Para un gas ideal con capacidades caloríficas constantes, demuestre que
a)
Para un cambio de temperatura de Tl a Tz, el AS del gas es mayor cuando el
cambio ocurre a presión constante que cuando ocurre a volumen constante.
b)
Para un cambio de presión de PI a P2, el signo de AS para un cambio isotérmico
es opuesto al de un cambio a volumen constante.
5.10. Suponga que una corriente de fluido que fluye en estado estable se emplea como fuente
de calor para un conjunto infinito de máquinas de Carnot. Cada máquina absorbe una
cantidad diferencial de calor del fluido, haciendo que la temperatura de éste disminuya
una cantidad diferencial, y cada una de ellas libere una cantidad diferencial de calor a
una reserva de calor cuya temperatura es Tw Como resultado de la operación de las
máquinas de Carnet, la temperatura del fluido disminuye de Tl a T2. En este caso, se
aplica en forma diferencial la ecuación (5.8), donde 7 se define como
donde Q es la transferencia de calor con respecto al fluido que fluye. Demuestre que
el trabajo total de las máquinas de Carnot está dado por
W = Q--T,AS
donde AS y Q se refieren ambas al fluido.
En un caso particular el fluido es un gas ideal, Cp = (7/2)R, para el que Tl = 600 K
y Tz = 400 K. Si Tm = 300 K, icuál es el valor de W en J mal-i? SCuánto calor se
libera a la reserva de calor que tiene la temperatura Tc? 1Cuál es el cambio de entropía
de la reserva de calor? 1Cuál es el valor de AStiti?
Problemas
201
5 . 1 1 Es posible suponer que una máquina térmica que trabaja en el espacio exterior es
equivalent,e a una máquina de Carnot que funciona entre dos reservas a temperaturas TH y Tc. La única manera en que la máquina puede liberar calor es por radiación,
y la rapidez con lo que esto sucede es (aproximadamente j
donde k es una constante yA es el área del radiador. Demuestre TJe, para una potencia de salida Itil y temperatura TH dadas, el área A del radiador es un mínimo
cuando el cociente de temperaturas TC/TH es 0.75.
5.12. Un gas ideal, Cp = (7/2)R y CV = (5/2)R, experimenta un ciclo mecánicamente
reversible formado por las siguientes etapas:
g Una compresión adiabática desde PI, VI, Tl hasta Pa, V,, Tz.
l
l
i
Una expansión isobárica desde Pz,
V,, Tz hasta P3 = Pz, VS, T3.
Una expansión adiabática desde PS, VS,
T3 hasta PJ, V4, Th.
Un proceso a volumen constante desde Pq, V,, Tb hasta PI, VI = VJ, Tl.
Dibuje este ciclo en un diagramaPVy
determine su eficiencia térmica si Tl = 2OO”C,
T2 = 5OO”C, T3 = 1700°C y T4 = 700°C.
5.13.
Se tiene un ciclo reversible realizado por 1 mol de gas ideal para el que Cp = (5/2)R
y C$r = (3/2)R y que consiste en:
l
.
Comenzando con Tl = 700 K y PI = 1.5 bar, el gas se enfría a presión constante hasta T2 = 350 K.
De 350 K y 1.5 bar, el gas se comprime isotérmicamente hasta la presión
p2.
l
iCuál
El gas regresa a su estado original a lo largo de una trayectoria donde el producto PT es constante.
es la eficiencia térmica del ciclo?
5.14. Un mol de gas ideal, Cp = (7/2)R y CV = (5/2)R, se comprime adiabáticamente en
un conjunto pistódcilindro, desde 2 bar y 25°C hasta 7 bar. El proceso es irreversible y requiere 35 por ciento más trabajo que una compresión adiabática reversible a
partir del mismo estado inicial y hasta la misma presión final. BCuál es el cambio de
entropía del gas?
5.15. Se comprime un mol de gas ideal de manera isotérmica pero irreversible a 13O”C,
desde una presión de 2.5 bar hasta 6.5 bar en un arreglo pistón/cilindro.
El trabajo
requerido es 30 por ciento mayor que el de una compresión isotérmica reversible. El
calor transferido desde el gas durante la compresión fluye a una reserva de calor que
tiene una temperatura de 25°C. Calcule los cambios de entropía del gas, la reserva de
calor y AStotal.
5.16. Si se calientan 10 moles de SO2 de 200°C hasta llOO”C, en un proceso de flujo
continuo a una presión aproximadamente igual a la atmosférica, kuál es su cambio
de entropía?
202
CAFWULO
5.17.
5.
Segunda ley de la termodinámica
Si se calientan 2 moles de propano de 250 hasta 12OO”C, en un proceso de flujo continuo
a una presión aproximadamente igual a la atmosférica, Icuál es su cambio de entropía?
5.18. Si se añade una cantidad de calor de 800 kJ a 10 moles de etileno que inicialmente se
encuentran a 2OO”C, en un proceso de flujo continuo a una presión aproximadamente igual a la atmosférica, acuál es su cambio de entropía?
5.19. Si se añaden 2500 kJ de calor a 15 moles de l-buteno inicialmente a 26O”C, en un
proceso de flujo continuo a una presión aproximadamente igual a la atmosférica,
iocuál es su cambio de entropía?
5.20. Si se añaden lO’(Btu) [1.055 X lo6 kJ] de calor a 40(lb mol) [18.14 kg mol] de
etileno inicialmente a 500(“F) [26O”C], en un proceso de flujo continuo a una presión aproximadamente igual a la atmosférica, icuál es su cambio de entropía?
5.21. Un dispositivo sin partes móviles proporciona un flujo continuo de aire de enfriamiento a -25°C y 1 bar. El dispositivo es alimentado por aire comprimido a 25°C y 5
bar. Además del flujo de aire de enfriamiento, del dispositivo sale también un segundo flujo de aire caliente a 75°C y 1 bar. Suponiendo que la operación es adiabática,
%cuál es la relación máxima aire de enfriamiento/aire
caliente que el dispositivo puede producir? Suponga que el aire es un gas ideal para el que Cp = (7/2)R.
5.22. Un inventor ha diseñado un proceso complicado sin flujo en el que el fluido de trabajo es 1 mol de aire. El afirma que los efectos netos del proceso son:
l
Un cambio de estado del aire de 250°C y 3 bar hasta 80°C y 1 bar.
g La producción de 1800 J de trabajo.
.
La transferencia de una cantidad de calor no especificada a una reserva de
calor a 30°C.
Determine si este supuesto desempeño del proceso es consistente con la segunda ley
Suponga que el aire es un gas ideal para el que Cp = (7/2)R.
5.23. Considere el calentamiento de una casa mediante una caldera que sirve como reserva
y fuente de calor a una temperatura alta TF. La casa actúa como una reserva consumidora de calor a temperatura T, y para mantener esta temperatura es necesario
añadir una cantidad de calor I& 1 durante cierto intervalo de tiempo. Claro está que
el calor ]& 1 puede transferirse directamente de la caldera a la casa, que es lo usual.
Sin embargo, existe una tercer reserva de calor, formada por los alrededores a una
temperatura Tu, que puede servir como otra fuente de calor, reduciendo de esta
manera el calor requerido de la caldera. Si Tp = 810 K, T = 295 K, Tu = 265 K y
1 & ] = 1000 kJ, determine la cantidad mínima de calor 1 &p ] que debe extraerse de
la reserva de calor (la caldera) a TF. No hay más fuentes de energía disponibles.
5.24. Considere el acondicionamiento del aire de una casa mediante el empleo de la energía solar. Un experimento en cierta localidad ha demostrado que la radiación solar
permite mantener a 175°C un tanque grande de agua presurizada. Durante un intervalo de tiempo particular, debe extraerse de la casa una cantidad de calor de 1500
kJ para mantener su temperatura en 24”C, cuando la de los alrededores es de 33°C.
Si se considera que el tanque de agua, la casa y los alrededores son reservas de calor,
determine la cantidad mínima de calor que debe extraerse del tanque de agua por
cualquier dispositivo construido para lograr el enfriamiento requerido de la casa. NO
hay más fuentes de energía disponibles.
CAPíTULO 6
PROPIEDADES
TERMODINÁMICAS
DE LOS FLUIDOS
La regla de las fases (sección 2.8) menciona que la especificación de cierto número
de propiedades intensivas de un sistema también fija los valores de las demás propiedades intensivas. Sin embargo, la regla de las fases no proporciona ninguna
información sobre la forma en que pueden calcularse los valores de las demás propiedades.
Los valores numéricos de las propiedades termodinámicas son fundamentales para el cálculo del calor y el trabajo de los procesos industriales. Considérese,
por ejemplo, el requerimiento de trabajo de un compresor diseñado para funcionar
de manera adiabática y aumentar la presión de un gas de PI a Pz. Este trabajo
está dado por la ecuación (2.9), la cual se convierte en
cuando se desprecian cambios pequeños en las energías cinética y potencial. En
consecuencia, el trabajo de eje es simplemente AH, que es la diferencia entre los
valores inicial y final de la entalpía.
El propósito inicial de este capítulo es desarrollar, a partir de las dos primeras leyes, las relaciones entre las propiedades fundamentales, las cuales son el
pilar de la estructura matemática de la termodinámica. De ellas se obtendrán
ecuaciones que permiten el cálculo de los valores de entalpía y entropía a partir de
datos PVT y de capacidad calorífica. Después se estudiarán los diagramas y tablas
mediante los cuales se present.an los valores de las propiedades para hacer un uso
conveniente de ellos. Finalmente, se desarrollan correlaciones generalizadas que
proporcionan estimaciones de los valores de las propiedades en ausencia de información experimental completa.
CAPÍTULO 6.
204
6.1
Propiedades
termodinámicas
de
los
fluidos
Relaciones entre propiedades para fases homogéneas
La primera ley para un sistema cerrado de n moles está dada por la ecuación
(2.12):
d(nU) = dQ + dW
(2.12)
Para el caso especial de un proceso reversible,
d(nU) = dQ,ev
+ dwrev
35 por las ecuaciones (2.13) y (5.12),
dW,, = -Pd(nV)
Y
dQl.,y = T d(nS)
La combinación de estas tres ecuaciones lleva a la siguiente expresión
1 d(n7-7)
= T d(nS) - Pd(nV)
1
(6.1)
U, S y V son los valores molares de la energía interna, la entropía y el volumen.
La deducción de esta ecuación, que combina las dos primeras leyes de la termodinámica, es para el caso especial de un proceso reversible. Sin embargo, contiene únicamente propiedades del sistema. Las propiedades dependen sólo del estado
y no de la clase de proceso que condujo a dicho estado. Por consiguiente, la aplicación de la ecuación (6.1) no está restringida a procesos reversibles. Sin embargo,
no es posible relajar las restricciones impuestas por la naturaleza del sistema. Por
tanto, la ecuación (6.1) se aplica a cualquier proceso en un sistema de masa constante que dé como resultado un cambio diferencial de un estado de equilibrio a
otro. El sistema puede estar formado por una sola fase (un sistema homogéneo) o
por varias (un sistema heterogéneo); puede ser químicamente inerte o puede experimentar una reacción química. Los únicos requisitos son que el sistema sea cerrado y que el cambio ocurra entre estados de equilibrio.
La ecuación (6.1) incluye todas las propiedades termodinámicas primarias
P, V, T, U y S. Las propiedades termodinámicas adicionales aparecen sólo por definsción en relación con estas propiedades primarias. En el capítulo 2 se definió la
entalpía como algo conveniente mediante la ecuación
donde
/ H=lJ-kPV
1
(2.5)
Otras dos propiedades adicionales, también definidas por conveniencia, son laener-
gh de Helmholtz,
pii-zq
i
(6.2)
6.1
Relaciones
entre
propiedades
para
fases
homogéneas
205
y la energia de Gibbs,
1 G=H-TS (
(6.3)
Cada una de estas propiedades definidas conduce directamente a una ecuación
similar a la (6.1).
Después de multiplicar por n, la ecuación (2.5) se convierte en
nH = nU + P(nV)
Al derivar, se obtiene
d(nH) = d(nU) + Pd(nV) + (nV)dP
Cuando d(nU) de la ecuación (6.1) se sustituye, ésta se reduce a
1 d(nH) =
Td(nS) +
(nV)dP (
(6.4)
De manera similar, de la ecuación (6.2),
d(nA) = d(nU) - T d(nS) - (nS)dT
Al eliminar d(nU) por medio de la ecuación (6.1)
d(nA) = -Pd(nV) - (nS)dT
(6.5)
De manera análoga, de las ecuaciones (6.3) y (6.4) se tiene que
[ d(nG) = (nV)dP - (nS)dT [
(6.6)
Las ecuaciones (6.4) a (6.6) están sujetas a los mismos rcyuisit,os que la ecuación
(6.1). Ybdas ellas están escritas para la masa total de cualquier sistema cerratlo.
La aplicación inmediata de estas ecuaciones se hará a 1 mol (o a nna unitlatl
de masa) de un fluido homogéneo de composición constante. Para este caso, la
simplificación de estas expresiones es
(6.7)
dH = TdS + VdP
dA = -PdV-SdT
(6.8)
(6.9)
dG = VdP-SdT
(6.10)
Estas relaciones entre propiedades jkndamentales son ecuaciones de índole general
para un fluido homogéneo de composición constante.
CAPÍTULO 6.
206
Propiedades
termodinámicas
de
los
fluidos
De estas ecuaciones se obtiene otro conjunto mediante la aplicación del criterio de exactitud de una expresión diferencial. Si F = F(x, y), entonces la diferencial total de F se define como
0
dF = Mdx + Ndy
(6.11)
donde
Si se deriva una vez más,
Puesto que el orden de derivación en las segundas derivadas mixtas no tiene importancia, entonces
(“)I = (z9y
(6.12)
Cuando F es una función dex y y, el miembro derecho de la ecuación (6.11) es una
expresión diferencial exacta; como entonces debe satisfacerse la ecuación (6.12),
entonces ésta sirve como criterio de exactitud.
Sc sabe que las propiedades termodinámicas U, H, A y G son funciones de las
variables que aparecen en los miembros derechos de las ecuaciones (6.7) a (6.10);
por tanto, la relación expresada por la ecuación (6.12) para cada una de estas
ecuaciones es:
(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
6.1
Relaciones
entre
propiedades
para
fases
homogéneas
207
Estas expresiones se conocen como ecuaciones de Maxwell.’
Las ecuaciones (6.7) a (6.10) son la base no sólo de la deducción de las
ecuaciones de Maxwell sino también de un número muy grande de otras ecuaciones
que relacionan propiedades termodinámicas. En esta sección se desarrollan unas
cuantas expresiones útiles para evaluar propiedades termodinámicas a partir de
datos experimentales. La deducción de éstas requiere la aplicación de las ecuaciones
(6.8) y (6.16).
Las relaciones más útiles entre propiedades para la entalpía y la entropía de
una fase homogénea se obtienen cuando éstas se expresan como funciones de T y P.
Lo que se necesita saber es la forma en que H y S cambian con la temperatura y la
presión. Esta información está contenida en las derivadas (dH/ól’)p, (dS/X!‘)p, ( ZI/
dP)TY (¿wWT.
Considérense primero las derivadas con respecto a la temperatura. Como
consecuencia de la ecuación (2.20), la cual detine la capacidad calorífica a presión
constante, se tiene
( I
dH
dT
= G
(2.20)
P
Se obtiene otra expresión para esta cantidad si se divide la ecuación (6.8) por dT y
se restringe el resultado a P constante:
(%)p = T(aa!p
C--l
La combinación de esta ecuación con la (2.20) da como resultado
dS
CP
¿?T,=Y
(6.17)
La derivada de la entropía con respecto a la presión SC obtiene directamente
de la ecuación (6.16):
(6.18)
La correspondiente derivada para la entalpía se obtiene al dividir la ecuación (6.8)
por dP y restringirla a T constante:
ta, = T(:I), + li
Como consecuencia de la ecuación (6.18), la expresión anterior SC convierte en
(6.19)
‘En honor de James Clerk Maxwell (1831-1879),
fisico escocés.
208
CAPÍTULO 6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
s son
Puesto que las relaciones fundamentales seleccionadas en este caso para H y
H=H(T,P)
y
S = S(T, P)
se desprende entonces que
dH= (g)p dT+ ($ dP
Y
dS= (g),dT+
($dP
Si en estas dos ecuaciones se sustituyen las derivadas parciales por las ecuaciones
(2.20) y (6.17) a (6.19), se llega alo siguiente
dH=C&T+[V-T(g)]“i.
(6.20)
Y
(6.21)
Éstas son ecuaciones generales que relacionan a la entalpía y la entropía de fluidos
homogéneos de composición constante con la temperatura y la presión.
Los coeficientes de dT y dP en las ecuaciones (6.20) y (6.21) se evalúan a
partir de datos de capacidad calorífica y PVT. Como ejemplo de la aplicación de
estas ecuaciones, nótese que el comportamiento PVT de un fluido en el estado
de gas ideal está expresado por las ecuaciones
Y
Plmi = RT
¿Wi
dTp
R
P
C--l = donde Vi es el volumen molar de un gas ideal a temperatura T y presión P. La
sustitución de estas ecuaciones en las expresiones (6.20) y (6.2 1) las reduce a
dH!Ji = C$ dT
(6.22)
dT -RdP
dssi = C$ T
P
(6.23)
6.1
Relaciones
entre
propiedades
para
fases
209
homogéneas
donde el superíndice “gi” indica un valor de gas ideal. Estas ecuaciones sólo
replantean las expresiones para gases ideales presentadas en las secciones 2.11 y
5.6.
Las ecuaciones (6.18) y (6.19) pueden expresarse en una forma alternativa
con la eliminación de (¿W/dT)p en favor de la expansividad volumétrica /3 mediante
la ecuación (3.2):
=
-pv
(6.24)
Y
= (1 - pT)v
(6.25)
La dependencia de la energía interna con respecto a la presión SC obtiene dcrivando la ecuación U = H - PV:
de aquí que, por las ecuaciones (6.25) y (3.3),
dU = (KP-PT)V
(1
dP. T
(6.26)
donde K es la compresibilidad isotérmica. Las ecuaciones (6.24) a (6.26), las cuales requieren los valores de B y K, usualmente sólo SC aplican a líquidos. Sin embargo, para líquidos no muy próximos al punto crítico, el volumen mismo es pequeño,
al igual que p y K. Es así como bajo muchas condiciones la presión tiene poco
efecto sobre la entropía, la entalpía y la energía interna de los líquidos. En el ejemplo 6.2 se considera el caso especial importante del jhido incompresible (sección
3.1).
Cuando (dV/&!‘)p se remplaza en las ecuaciones (6.20) y (6.21) en favor de la
expansividad volumétrica, entonces estas expresiones se convierten en
dH = CpdT + V( 1 - /3T)dP
(6.27)
dS = Cp$ - BVdP
(6.28)
Y
Puesto que para los líquidos, p y V son funciones débiles de la presión, lo usual es
suponerlas constantes con valores promedio apropiados para la integración de los
términos finales de las ecuaciones (6.27) y (6.28).
210
CAPÍTULO 6.
Bopiedades termodinámicas de los fluidos
Ejemplo 6.1 Determine los cambios de entalpía y entropía del agua líquida para
un cambio de estado de 1 bar y 25°C a 1000 bar y 5O’C. Para ello se tienen disponibles los datos siguientes para el agua.
V’C
P/bar
25
25
50
50
1
1000
1
1000
Cp/J mal-l
K-t
V/cm3 mal-l
p/K-l
18.071
18.012
18.234
18.174
2 5 6 x 1O-6
3 6 6 x 1O-6
4 5 8 x 1O-6
5 6 8 x 10-ô
75.305
iil:;ii
. . . .
Para aplicar las ecuaciones (6.27) y (6.28) al cambio de estado descrito,
primero es necesario integrarlas. Puesto que la entalpía y la entropía son funciones
de estado, la trayectoria de integración es arbitraria; la figura 6.1 muestra la trayectoria más indicada para los datos. Puesto que los datos indican que Cp es una función débil de T y que tanto V como p son funciones débiles de P, resulta. entonces
satisfactorio hacer la integración con promedios aritméticos. Los resultados de la
integración de las ecuaciones (6.27) y (6.28) son
SOLUCIÓN
AH = (CP)(TS - Tl) - OW - (P)Td(Pz -Pd
Y
T, - (P)(v)(f’~ -Pd
AS = (CdlnT,
donde para P = 1 bar
(CP)
75.305+
=
2
75.314
= 75.310 J mal-’ K-’
y para t = 50°C
o?= 18.234+ 2 18.174 = 18.204 cm3 mal-’
(P>
458+ 568
x 1O-6 = 513 x 1O-6 K-’
=
2
Después de sustituir valores numéricos en la ecuación para AH, se tiene
AH = 75.310(323.15
- 298.15)
+ (18.204)[1-(513x 10-G)(323.15)](1000-1)
10 cm3 bar J-’
AH = 1 883 + 1517 = 3 400 J mal-’
De manera similar para AS,
323.15 (513x 10-G)(18.204)(1
000- 1)
A.S = 75.310 In=10 cm3 bar J-’
AS = 6.06 - 0.93 = 5.13 J mal-’ K-l
6.1
Relaciones
entre
propiedades
para
fases
homogéneas
211
01 HI y SI a 1 bar, 25’C
a 1 bar
V(l-j3T)dP
a50'C
I
PVdP
i
0 2 II2ySza
H
1 000 bar ,.50°C ’
1 bar, 50°C
Figura 6.1:
Trayectoria de cálculo del ejemplo 6.1.
Nótese que el efecto de un cambio de presión de Casi 1 000 bar sobre la entalpía y la
entropía del agua líquida es menor que el de un cambio de temperatura de solo 25%.
Ejemplo 6.2
Desarrolle las relaciones entre propiedades a.dccuadas
para el ,fluirLo
incompresible, el cual es un modelo de fluido para el que p y K son cero (véase scccion
3.1). Esta es una idealización empleada con frecuencia en la mecúnica de fluidos.
SOLUCIÓN
Para un fluido incompresible, las ecuaciones (6.27) y (6.28) SC! convier-
ten en
dH = CpdT + VdP
(A)
Por tanto, la entalpía de un fluido incompresible es fkmcii>n tanto de la temperatura
como cle la presión, mientras que la entropía cs una función exclusiva tic la temperatura, independiente de P. De la ecuación (6.26) se observa que la cncrgía. interna
también es una función exclusiva de la temperatura y, por tanto, esta dada por la
ecuación
dU = Cpdl
Al aplicar la ecuación (6.12), el criterio de exactitud, a la ecuacion
tu
(A), se tiene que
Sin embargo, la definición de 0 dada por la ecuación (3.2), indica que la derivada del
miembro derecho es igual a /3V, la cual es cero para un fluido incompresible. Esto
significa que Cp es una función exclusiva de la tempwatura, independiente de P.
CAPÍ!WL.O 6.
212
Propiedades termoa!inámicas
de los fluidos
La relación de Cp con Cy para un fluido incompresible tàmbién es de interés.
Para su deducción se necesita una ecuación para 8, análoga a la (6.28), pero en la
que las variables independientes sean T y V. En este caso, S = S(T, V), y
(0
03 = (g),,dT+($dV
Lo que queda entonces es evaluar las derivadas parciales. La división de la ecuación
(6.7) por dT y la restricción a V constante da como resultado
Sin emba.rgo,
(XJ/óyr), está definida por la ecuación (2.19) como CV. Por tanto,
dS
c,,
aT,,=T
C-1
(EI
La derivada de la entropía con respecto al volumen está dada directamente
ecuación (6.15):
por la
(3, = (3,.
Al aplicar la ecuación (3.4) a un cambio de estado a V constante,
SC
convierte en
Dc acuerdo con las dos últimas ecuaciones,
P
av
,=K
( 1
(G)
Al combinar las ecuaciones (Dj, (E) y (G) se obtiene
dS = $dT + bV
K
Para uu cambio de estado dado, las ecuaciones (6.28) y (H) deben proporcionar
el mismo valor de dS, motivo por el que pueden igualarse. La expresión resultante,
despuk de reacomodar términos, cs
(CP -C)dT=pTVdP+
1’
- dV
Con la r&,ricción a V constante, la expresión anterio+Z se reduce a
6.1
Relaciones
entre
propiedades
para
fases
homogéneas
213
La eliminación de la derivada con ayuda de la ecuación (8’) da como resultado
cp-cv= prv p
0
K
Puesto que p = 0, el miembro derecho de esta ecuación es cero, siempre y cuando el
cociente indeterminado P/K sea finito. Puesto que para fluidos reales este cociente es
finito, una hipótesis contraria para el fluido modelo sería irracional. Es así como la
definición de un fluido incompresible presupone que este cociente es finito, por lo que
puede concluirse que para tal fluido las capacidades caloríficas a volumen y a presión
constantes son idénticas. Por tanto, puede escribirse
cp = CV = c
Las rel.aciones entre propiedades fundamentales para fluidos homogéneos de
composición constante dadas por las enllaciones (6.7) a (6.10) muestran que cada
una de las propiedades termodinámicas U, ti, A y G está relacionada con una par
de variables especiales. En particular, la ecuación (6. lo),
dG= VdP-SdT
(6.10)
expresa la relación funcional
G = G(P, T)
Por tanto, las variables especiales, o canónicas,2 para. la energía de Gibbs son la
temperatura y la presión. Puesto que estas variables se pueden medir y controlar
directamente, la energía de Gibbs resulta ser una propiedad termodinámica de
gran utilidad potencial.
Puede obtenerse una forma alternativa de la ecuación (6. lo), la relación entre propiedades fundamentales, mediante la identidad:
=&dG-CdT
RT2
Al sustituir dG por la ecuación (6.10) y G por la (6.3), se tiene que, después de la
reducción algebraica,
(6.29)
La ventqja de esta ecuación es que todos los términos son adimensionales; por otra
parte, en contraste con la ecuación (6. lo), en el miembro derecho aparece la entalpía
en lugar de la entropía.
Las ecuaciones tales como la (6.10) y la (6.29) son demasiado generales para
su aplicación práctica directa, pero esto puede remediarse fácilmente si se les restringe. Es así como de la ecuación (6.29) se tiene de inmediato que
2En este caso el término canónico significa que las variables se apegan
sencilla J’ clara.
a una regla general que es
CAPÍTULO 6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
214
V
ÚXGIRT)
-=
RT [ Ó’P
1T
H
-=RT
(6.30)
(6.31)
Cuando GIRT se conoce como una función de T y P, los términos V/RT y H/RT se
obtienen por diferenciación. Las demás propiedades están dadas por ecuaciones
que las definen. En particular,
S
H
G
ii-RT R T
Y
U
H
PB
RT-RT R T
Por tanto, cuando se conoce la forma en que GIRT (o G) está relacionada con sus
variables canónicas, T y P, esto es, cuando GIRT = g( T, P), entonces pueden evaluarse todas las demás propiedades termodinámicas mediante operaciones matemáticas sencillas. Por consiguiente, la energía de Gibbs sirve como una función
generadora de las demás propiedades termodinámicas, y representa de manera
implícita información completa de las propiedades.
La relación entre propiedades fundamentales que está más íntimamcnte relacionada con la mecánica estadística es la ecuación (6.9), la cual expresa la diferencial de la energía de Helmholtz como una función de sus variables canónicas T
y v:
íL4
= -PdV-Sdt
(6.9)
En relación con la ecuación (4.11) se recalcó que la función de partición 2 es una
función de estado a partir de la cual pueden encontrarse todas las propiedades
termodinámicas, una vez que ésta se conoce como una función de T y V. La relación
que ésta tiene con la energía de Helmholtz se desprende de la ecuación (5.23):
S=lclnZ+
$
(5.23)
la cual puede escribirse como
U-TS=-~CTI~Z
Si se hace referencia a la ecuación (6.2), ésta muestra que el miembro izquierdo de
la expresión anterior es, por definición, la energía de Helmholtz A. Por tanto,
r2TTziq
(6.32)
6.1
Relaciones entre propiedades para fases homogéneas
215
Esta ecuación proporciona una conexión directa entre la termodinámica y la mgtánica estadística. Puesto que R = kNA, donde NA es el número de Avogadro, la
ecuación ( 6.32) puede expresarse también como
A
E
- 1nZ =
NA
Las ecuaciones (6.29) a (6.31) para la energía de Gibbs tienen Sus contrapartes análogas para la energía de Helmholtz. Éstas son, a partir de las ecuacionâs
(6.9) Y (6.21,
RT=- [ Wt/RT)
av1 T
u
=--$V-KdT
RT2
P
RT=-
(6.35)
(6.34)
WEi)
Las demás propiedades provienen de ecuaciones que las definen:
S
U - AT
RBRT R
H -U+pTr
RT-RT
RT
Nótese que la ecuación (4.12) se desprende de inmediato de las ecuaciones (6.35)
~(6.32).
Por tanto, cuando se conoce la forma en que AIRT (O In Z) está relacionada
con sus variables canónicas, T y V, entonces pueden evaluarse todas las demás
propiedades termodinámicas mediante operaciones matemáticas sencillas. La eneegía de Helmholtz y, por consiguiente, la función de partición sirven como&nciones
generadoras de las demás propiedades termodinámicas, y representan de manera
implícita información completa sobre las propiedades.
Si bien la mecánica estadística es una herramienta poderosa para la estimación de propiedades termodinámicas, su aplicaclon requiere de un número enorme
de cálculos. La simulación molecular, la cual se lleva a cabo mediante computadoras de gran velocidad, es la mejor manera de hacer la conexión entre los estados
microscópicos de la materia y sus propiedades macroscópicas manifiestas. Con las
técnicas de Monte Carlo, la generación de un número muy grande de réplicas microscópicas de un sistema que contiene alrededor de 100 moléculas, sirve para
crear un conjunto a partir del cual pueda deducirse la función de partición de la
ecuación (4. ll) mediante estadísticas apropiadas. La función de energía potericial
intermolecular es la clave para la predicción precisa de las propiedades termodin&
216
CAPÍ!lULO
6. Ropiedades termodinámicas de los fluidos
de los fluidos reales, y ésta es un área de continua investigación. La simulación molecular es un tema extenso que se estudia con detalle en otros textos.3
micas
6.2 Propiedades residuales
Desafortunadamente, no hay ningún método experimental conveniente para determinar los valores numéricos de G o GIRT, y las ecuaciones que se obtienen directamente de la energía de Gibbs tienen un uso p&ctico reducido. Sin embargo, el
concepto de energía de Gibbs como una. función generadora de otras propiedades
termodinámicas conduce a una propiedad muy relacionada, para la cual los valores numéricos se obtienen con facilidad. De esta manera, se define la energía de
Gibbs residual como
GRE G-pi
(6.36)
donde G y G@ son los valores reales y de gas ideal de la energía de Gibbs a las
mismas temperatura y presión. Es posible definir otras propiedades residuales de
una manera análoga. Por ejemplo, el volumen residual es
vREv-vgi
(6.37)
de aquí que
vR=v-RT
P
Puesto que Ir = ZRTIP, el volumen residual y el factor de compresibilidad están
relacionados:
VR = 7 (2 - 1)
De hecho, es posible escribir una definición general para propiedades residuales:
1 MREM-Mgi
1
(6.39)
donde M es el valor molar de cualquier propiedad termodinámica extensiva, esto
es, V, U, H, S o G.
La ecuación (6.29), escrita para el caso especial de un gas ideal, se convierte
en
HY’
= &dp--dT
RT2
3R L Rowley Statistical Mechanics for !Thermophysical
Propetiy Calculdions, PTR Prentice
Hall, Englemood ‘Cliffs, NJ, 1994. Se consideran tanto las simulaciones con el método de Monte
Carlo como la dinámica molecular, las cuales tienen una base diferente.
6.2 Propiedades residuales
217
Si se resta est,a ecuación de la (6.29) se tiene que
(6.40)
Esta relación de propiedades fundamentales para propiedades residuales se aplica
a los fluidos de composición constante. A partir de ella, se obtiene de inmediato
VR
RT=
(6.41)
HR
RT=-
(6.42)
Y
Por otra parte, la ecuación que define la energía de Gibbs, G = H - TS, escrita
para el caso especial de un gas ideal, es G@ = Hgi -Th@; por diferencia,
GR =HR-TSR
a partir de la cual se obtiene la entropía residual:
SR
HR
CR
R=RT R T
(6.43)
En consecuencia, la energía residual de Gibbs sirve como una función
generadora de las demás propiedades residuales y es aquí donde se tiene una conexión directa con el experimento, la cual está dada por la ecuación (6.41), escrita
como
(T constante)
Al integrar desde una presión cero hasta una presión arbitraria P, se tiene que
GR
P pdp
-=
(T constante)
50 RT
RT
donde en el límite inferior se ha hecho GRIRT igual a cero sobre la base de que el
estado a presión cero es un estado de gas ideal. De acuerdo con la ecuación (6.38),
este resultado se convierte en
GR
-=
f op (Z-1)$
RT
(T constante)
(6.44)
Si se deriva la ecuación (6.44) con respecto a la temperatura, y de acuerdo cdn la
ecuación (6.42), se tiene que
CAPÍTULO
218
6.
Propiedades
HR
--=
RT
termodinámicas
de
los
(T constante)
fluidos
(6.45)
Al combinar las ecuaciones (6.44) y (6.45) con la (6.43),
(T
l
constante) (6.46)
I
El factor de compresibilidad está definido como Z = PV/RT; por tanto, los valores
de Z y de (dZ/dT)p provienen de datos PVT experimentales, y las dos integrales de
las ecuaciones (6.44) a (6.46) se evalúan numéricamente o con ayuda de métodos
gráficos. Como alternativa, las dos integrales pueden evaluarse analíticamente
cuando Z se expresa mediante una ecuación de estado. En consecuencia, dados los
datos PVT o una ecuación de estado apropiada, es posible evaluar HR y SR y de
aquí todas las demás propiedades residuales. Esta es la conexión directa con el
experimento que hace que las propiedades residuales sean esenciales para la aplicación práctica de la termodinámica.
La ecuación (6.39), aplicada a la entalpía y la entropía, se escribe como
H=Hgi+HR
y
s = ssi + SR
Por tanto, H y S se obtienen mediante una simple suma a partir de las correspondientes propiedades del gas ideal y residuales. Las expresiones generales para H@
y Sgi se obtienen por integración de las ecuaciones (6.22) y (6.23) a partir de un
estado de gas ideal con condiciones de referencia To y PO hasta el estado de gas
ideal a T y P:4
Hgi = Ho’ + jTrC; dT
Y
La sustitución en las ecuaciones anteriores da como resultado
H = H$ + fT;C$dT+HR
(6.47)
4Las propiedades termodinámicas para compuestos orgánicos en el estado de gas ideal están
dadas por M. EIenkel, G. J. Kabo, K. N. Marsh, G. N. Roganov y R. C. Wilhoit, !l?w-modynamics of
Oqwzic Compounds in t& Gas Stute, Thermodynamics Fíesearch Center, Texas A&M Univ. S@em,
College Station, Texas, 1994.
6.2 Propiedades residuales
219
Y
Recuérdese (secciones 4.1 y 5.6) que para fines de cálculo, las integrales de las
ecuaciones (6.47) y (6.48) están representados por
R*ICPH(TO,T;A,B,C,D,)
y
R*ICPS (TO, T;A, B, C, D)
Las ecuaciones (6.47) y (6.48) pueden expresarse alternativamente para incluir
las capacidades caloríficas promedio introducidas en las secciones 4.1 y 5.6:
H= H,” + (Cp”)H(T-T,,)
+ HR
(6.49)
Y
* S = SoyI + (C$),ln-g
-RI+ + SR
0
0
donde HR y SR están dadas por las ecuaciones (6.45) y (6.46). De nuevo, para
fines computacionales, las capacidades caloríficas promedio están representadas
por
R*MCPH(TO,T;A,B,C,D)
.
y
R*MCPS
(TO,T;A,B,C,D)
Puesto que las ecuaciones de la termodinámica que se obtienen de la primera y segunda leyes no permiten el cálculo de valores absolutos de entalpía y
entropía, y puesto que todo lo que se requiere en la práctica son valores relativos,
las condiciones en el estado de referencia TO y Po se eligen por conveniencia, y los
valores que se asignan a Hf y S,f son arbitrarios. Los únicos datos que se
necesitan para aplicar las ecuaciones (6.49) y (6.50) son las capacidades caloríficas de gas ideal y datos PVT. Una vez que se conocen V, H y S para condiciones de T y P dadas, las demás propiedades termodinámicas se desprenden de las
ecuaciones que las definen.
Ahora resulta evidente el valor que tienen las ecuaciones para gases ideales.
Ellas son importantes porque proporcionan una base conveniente para el cálculo
de las propiedades de los gases reales. Aunque las ecuaciones (6.45) y (6.46) tal
como están escritas se aplican únicamente a gases, los propiedades residuales también tienen validez para los líquidos. Sin embargo, la ventaja de las ecuaciones
(6.47) y (6.48) al aplicarlas a los gases es que HR y SR, que son los términos que
contienen todos los cálculos complejos, son residuales generalmente muy pequeíios. Ellos tienen el papel de factores de corrección para los términos mayores, Hgi
y Sgi. Para los líquidos esta ventaja se pierde en gran medida, debido a que HR y SR
deben incluir los cambios grandes en la entalpía y la entropía por efecto de la
220
CAPÍ!lULO 6.
Propiedades termodinámicas de los fluidos
‘hbla 6.1:
Fhtores de compresibilidad 2 para el isobutano.
P/bar
340 K
350 K
360 K
370 K
380 K
0.1
0.5
2
4
6
8
10
12
14
15.41
0.99700
0.98745
0.95895
0.92422
0.99719
0.98830
0.96206
0.93069
0.89816
0.86218
0.82117
0.77310
. . . . .
. . . . .
0.99737
0.98907
0.96483
0.93635
0.90734
0.99753
0.98977
0.96730
0.99767
0.99040
0.96953
0.94574
0.92223
0.89743
0.88742
0.84575
0.79659
. . . . ..
. . . . ..
0.94132
0.91529
0.88745
0.85695
0.82315
0.78531
0.87586
0.84077
0.80103
0.75506
0.71727
0.87061
0.84134
0.80923
vaporización. Los cambios en las propiedades de los líquidos usualmente se calculan por integración de las ecuaciones (6.27) y (6.28), tal como se ilustró en el
ejemplo 6.1.
Ejemplo 6.3 Calcule la entalpía y entropía del vapor saturado de isobutano a 360
K a partir de la siguiente información:
1.
La tabla 6.1 contiene datos del factor de compresibilidad (valores de 2)
para el vapor de isobutano.
2 . La presión de vapor de isobutano a 360 K es 15.41 bar.
3. Haga H,y’ = 18 115.0 J mal-’ y Sg” = 295.976 J mal-’ K-’ para el estado
de referencia de gas ideal a 300 K y 1 bar. [Estos valores están de acuerdo
con los adoptados por R. D. Goodwin y W M. Ha,ynes, Nat. Bur. Stand.
(U.S.), ‘lkch. Note 1051, 1982.1
4 . La capacidad ca.lorífka de ga.s ideal del vapor de isobutano en cl rango de
temperatura de interés está dada por
@IR = 1.7765 +33.037
x 10-3T
(TlK)
SOLUCIÓN El cálculo de HR y SR a. 360 Ky 15.41 bar, mediante la aplica.ción de las
ecuaciones (6.45) y (6.46), requiere la evaluación de dos integrales:
(Z - 1) $
Para hacer la integración gráfica se necesitan gráficas sencillas de (dZ/dT)p/P y
(2 - l)/P contra P. Los valores de (2 - l)/P se calculan directamente a partir de los
datos sobre el factor de compresibilidad a 360 K. La cantidad (%Z/¿G!‘)p/P requiere la
evaluación de la derivada parcial (dZ/&“)p, dada por la pendiente de una gráfica de Z
contra Ta presión constante. Para este fin, se elaboran gráficas por separado de
Zcontra T para cada presión a la cual se conoce el valor del factor de compresibilidad, y para cada curva se determina una pendiente a 360 K (por ejemplo, por cons-
221
6.2 Propiedades residuales
trucción de una línea tangente a 360 K). La tabla 6.2 contiene los datos para construir las gráficas requeridas.
!hbla 6.2:
Valores de los integrandos requeridos en el ejemplo 6.3.
P/bar
[ (%Z/dT)p/P] X 104/K1 bar-’
0
0.1
0.5
2
4
6
8
10
12
14
15.41
(1.780)
1.700
1.514
1.293
1.290
1.395
1.560
1.777
2.073
2.432
(2.720)
Los valores entre paréntesis se obtienen por cxtrapolacicín.
[-(2 - l)/P]
X lO’/bar-’
(2.590)
2.470
2.186
1.759
1.591
1.544
1.552
1.592
1 .658 1
1.750
(1.835)
Los valores de las dos integrales son
Y
[(Z-l)% = -0.2596
Por consiguiente, de acuerdo con la ecuación (6.45),
HR
~ = - (360)(26.37 x 10-4) = - 0.9493
RT
y, por la ecuación (6.46),
SR- = -0.9493 - (-0.2596) = -0.6897
R
Para R = 8.314 J mal-’ K-‘,
HR = (-0.9493)(8.314)(360) = -2 841.3 J mal-’
Y
SR = (-0.6897)(&.314) = -5.734 J mal-’ K-’
Los valores de las integrales de las ecuaciones (6.47) y (6.48) son
CAPÍTULO 6.
222
Bopiedades
termodinámicas de los fluidos
8.314*ICPH(300,360;1.7765,33.037E-3,0.0,0.0)
=6324.8Jmol-1
8.314*ICPS(300,360;1.7765,33.037E-3,0.0,0.0)
=19.1'74Jn&K-'
Y
Al sustituir los valores numéricos en las ecuaciones (6.47) y (ô.48), se tiene que
H = 18 115.0 + 6 324.8 - 2 841.3 = 21 598.5 J mal-’
Y
S = 295.976 + 19.174 - 8.314 In 15.41- 5.734 = 286.676 J mal-’ K-l
Si bien los cálculos se han realizado para un solo estado, pueden evaluarse las
entalpías y entropías para cualquier número de estados si se tienen disponibles los
datos adecuados. Después de haber completado un conjunto de cálculos, no hay yn
compromiso irrevocable con respecto a los valores inicialmente asignados a H,f’ y
8:. La escala de valores para la entalpía o la entropía puede recorrerse mediante la
adición de una constante a todos los valores. De esta manera pueden darse valores
arbitrarios a H y S para algún estado particular, de modo que se tengan escalas
convenientes para un propósito u otro. Un corrimiento en la escala no afecta las
diferencias entre los valores de las propiedad.
El cálculo exacto de las propiedades termodinámicas para la construcción de
una tabla o diagrama es una tarea muy exigente, rara vez requerida de un ingeniero. Sin embargo, los ingenieros hacen un uso práctico de las propiedades termodinámicas, y la comprensión de los métodos empleados para calcularlas conduce a la
apreciación de cierta incertidumbre asociada con los valores de una propiedad. La
inexactitud se debe principalmente a dos causas. Primera, los datos experimentales son difíciles de medir y están sujetos a error. Por otra parte, a menudo son
incompletos y se extienden por interpolación y extrapolación. Segunda, aun cuando se tengan disponibles datos PVT confiables, se pierde exactitud cada vez que se
necesita de un proceso de diferenciación en el cálculo de las propiedades. Lo anterior lleva al hecho de que se requieren datos muy exactos para producir valores de
entalpía y entropía adecuados para cálculos en ingeniería.
6.3
Sist’emas
de dos fases
El diagrama PT de la figura 3.1 muestra curvas que representan las fronteras de
fase de una sustancia pura. Cada vez que se cruza una de estas curvas ocurre una
transición de fase a temperatura y presión constantes, y como resultado de ésta los
valores molares o específicos de las propiedades termodinámicas extensivas cambian de manera abrupta. Es así como el volumen molar o específico de un líquido
saturado es muy diferente del que tiene como vapor saturado a la misma T y P. Lo
anterior también es cierto para la energía interna, la entalpía y la entropía. La
excepción es la energía de Gibbs molar o específica, la que para una sustancia pura
6.3 Sistemas de dos fases
223
no cambia durante una transición de fase tal como la fusión, la vaporización o la
sublimación. Considérese un líquido puro en equilibrio con su vapor, contenido en
un conjunto pistónlcilindro a una temperatura T y la correspondiente presión de
vapor P sat. Cuando se evapora una cantidad diferencial de líquido a temperatura y
presión constantes, la aplicación de la ecuación (6.6) al proceso se reduce a d(nG)
= 0. Puesto que el número de moles n es constante, dG = 0, y esto requiere que la
energía de Gibbs molar (o específica) del vapor sea idéntica a la del líquido. DC
manera más general, para dos fases (Y y /I de una especie pura que coexisten en
equilibrio,
Ga = @
(6.51)
donde G* y Gfl son las energías molares de Gibbs de cada fase.
La ecuación de Clapeyron, introducida en la sección 4.3, se desprende de esta
igualdad. Si la temperatura de un sistema de dos fases cambia, entonces la presión
también debe hacerlo de acuerdo con la relación entre la presión de vapor y la
temperatura, si se desea que las dos fases sigan coexistiendo en equilibrio. Puesto
que la ecuación (6.51) es válida para este cambio, se tiene
dG” = dGp
Después de sustituir las expresiones para dGa y dGp dadas por la ecuación (6. lo),
se llega a
FdPSat-SadT = ?+dPSat-SPdT
la que, después de reacomodarla, se convierte en
dP””
SB - S”
AS=p
-=
VP
_
va
=
__
dT
AI’“@
El cambio de entropía ASap y el cambio de volumen AV”P representan los cambios
que se presentan cuando una cantidad unitaria de una especie química pura se
transfiere de una fase cy a otra fi a la temperatura y presión de equilibrio. La
integración de la ecuación (6.8) para este cambio proporciona el calor latente de
transición de fase:
Por tanto, AS”p = AfWIT, y su sustitución en la expresión anterior conduce a lo
siguiente
dPmt
AHaB
--=
TAVap
dT
(6.52)
CAPfTULO 6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
224
que es la ecuación de Clapeyron. Para el caso particularmente importante de una
transición de fase de líquido 1 a vapor v, esta ecuación se escribe como
(pat
&pu
dT
TAV”
(6.53)
Ejemplo 6.4 Para la vaporización a bajas presiones, pueden introducirse aproximaciones razonables en la ecuación (6.53) si se supone que la fase de vapor se encuentra en el estado de gas ideal y que el volumen molar del líquido es despreciable
comparado con el volumen molar del vapor. Xómo afectan estas suposiciones a la
ecuación de Clapeyron?
SOLUCIÓN
Las hipótesis pueden expresarse por
Con esto la ecuación (6.53) se convierte en
dP”’
AHlv
--=
dT
RT’/P”’
0
dPmt/Pmt A
H’”
=dT/T2
R
0
&lv =-RdlnP”“’
d(l/T)
Esta ecuación aproximada, conocida como ecuación de Clausius/Clapeyron,
relaciona directamente el calor latente de vaporización con la curva de presión de vapor.
Específicamente, la ecuación muestra que @ es proporcional a la pendiente de
una gráfica de In Psat contra l/T. Los datos experimentales para muchas sustancias
indican que tales gráficas producen líneas que casi son rectas. De acuerdo con la
ecuación de ClausiusNlapeyron,
esto implica que AHlv es casi constante, virtualmente independiente de T. Esto no es cierto, ya que AH’” disminuye en forma monótona al aumentar la temperatura desde el punto triple hasta el punto crítico, donde
se vuelve cero. Las hipótesis sobre las que se basa la ecuación de Clausius/Clapeyron
tienen validez aproximada sólo a presiones bajas.
La ecuación de Clapeyron es una relación termodinámica exacta que proporciona una conexión importante entre las propiedades de fases diferentes. Cuando
se aplica al cálculo de calores latentes de vaporización, su uso presupone un conocimiento de la relación presión de vapor contra temperatura. Puesto que la termodinámica no impone ningún modelo de comportamiento material, ya sea en general 0 para especies particulares, tales relaciones son empíricas. !M como se notó en
el ejemplo 6.4, una gráfica de In Fat contra 1/T en general proporciona una línea
casi recta, esto es,
6.3
Sistemas
de
dos
fases
ln psat = ,4 _ $
(6.54)
donde A y B son constantes pa.ra una especie dada. Esta ecuación proporciona una
aproximación gruesa de la relación de la presión de vapor para todo el intervalo de
temperatura, desde el punto triple hasta el punto crítico. Asimismo, brinda una
base excelente para la interpolación entre valores con un espaciamiento ra.zonable
entre ellos.
La ecuación de Antoine, que es más satisfactoria para uso general, tiene la
forma
B
ln psat = A _ ~
T+C
(6.55)
Una de las ventajas principales de esta ecuación es que los valores de las constantes A, B y C pueden obtenerse con facilidad para un número grande de especies
químicas.” Cada conjunto de constantes es válido para un intervalo específico de
temperakura,
y no debe emplearse fuera de él.
La representación exacta de los datos de la presión de vapor sobre un intcrvalo grande de temperatura requiere de una ecuación de mayor comple,jidad. La
ecuación de Wa.gner es una de las mejores disponibles en la actualidad; expresa la
presión reducida de vapor como una función de la temperatura reducida:
ln p~t = Az + Bz’.~ + CT” + Dz’
r
1-r
(6.56)
donde
7=1-T,
yA, B, C yD son constantes. Los valores de las constantes ya sea para esta ecuación
o para la (6.55), están dadas por Reed, Prausnitz y Poling para muchas especics.6
Cuando un sistema consiste en fases de líquido y vapor saturados que coexisten en equilibrio, el valor total de cualquier propiedad extensiva del sistema de dos
fases es la suma de las propiedades totales de las fases. Para el volumen esta
relación es
nv = nlvl + nV”
donde V es el volumen del sistema tomando un mol como referencia, y el número
total de moles es n = nL + n”. Después de dividir por n,
v= xv1 + XV”
donde & y xv representan las fracciones del sistema total, que son líquido y vapor,
respectivamente. Puesto que & = 1 -Z,
5S. Ohe, ComputerAided Data Bookof KzporPressure, Data Book Publishing Co., Ibkio, 1976; T.
Boublik, Y FEied y E. Hala, The V¿xpor Pressures ofPure Substances, Elsevier, Amsterdam, 1984.
6R.C. Reid, J. M. Prausnitz y B. E. Poling, m Properties of Gases and Liguids, 4a. ed., Ap. A,
McGraw-Hill, 1987.
CAF’mO 6.
226
Propiedades termodinzímicas
de los fluidos
v= (1-?)V~ + YV
En esta ecuación las propiedades V, Vz y Vu pueden ser ya sea valores molares o de
unidad de masa. La fracción masa 0 molar del sistema que es vapor xv se conoce
como calidad. Pueden escribirse ecuaciones análogas para las otras propiedades
termodinámicas extensivas. Todas estas relaciones pueden resumirse con la ecuación
M = (1 -xV)MZ + xvw
(6.57)
donde M representa a V, U, H, S, etcétera.
6.4 Diagramas termodinAmicos
Un diagrama termodinámico representa la temperatura, la presión, el volumen, la
entalpía y la entropía de una sustancia en una sola gráfica. (Algunas veces no se
incluyen datos para todas estas variables, pero el término se conserva.) Los
diagramas más comunes son: temperatudentropía,
presiórdentalpía (usualmente 1nP contra H) y entalpíajentropía (también conocido como diagrama de Mollier).
Las designaciones se refieren a las variables seleccionadas para las coordenadas.
Si bien es posible tener otros diagramas, éstos se usan muy rara vez.
Las figuras 6.2 a 6.4 muestran las características generales de los tres
diagramas más comunes. Estas figuras están basadas en datos para el agua, pero
1
Línea del punto triple
Sólido/Vapor
S
F’igura
6.2: Diagrama TS.
227
6.4 Diagramas termodinámicos
/
“x constante
Línea del punto triple
Sólido/Vapor
H
Figura 6.3: Diagrama PH.
t
Sobrecalentamiento
cozt.te
_ _
Línea del punto triple
*
S
Figura 6.4:
Diagrama de Mollier
228
CAFÍTVLO
6.
Propiedades temodimímicas
de los fluidos
.oos
,08P
.09P
,OPP
,OZP
,OOP
,08E
,09c
,OH
,OZI
,OOE
,082
,09z
,OPZ
,ozz is
,ooz y
,081 2
,091 2
,OPl &
,OZl g
#%l g
109
.OP
oz
8 Z-
E
@ir
OPlg;r
g!;:
OPZ-
(Iz!sd)
‘q!sa.~
6.5 Tablas de propiedades termodinámicas
229
su carácter general es el mismo para todas las sustancias. Los estados de dos
fases, los cuales caen sobre líneas en el diagramaR! de la figura 3.1, residen sobre
áreas de estos diagramas y el punto triple de la figura 3.1 se convierte en una línea.
Cuando en la región líquido/vapor se muestran líneas de calidad constante, los
valores de las propiedades para las mezclas de dos fases se leen directamente del
diagrama. El punto crítico está identificado por la letra C, y la curva continua que
pasa por él representa los estados del líquido saturado (a la izquierda de C) y de
vapor saturado (a la derecha de C). El diagrama de Mollier (figura 6.4)’ usualmente no incluye datos de volumen. En la región de vapor o gas, aparecen líneas de
temperatura constante y de sob~ecalenta~miento
constante. La palabra sobrecalentamiento es un término que se utiliza para designar la diferencia entre la temperatura real y la temperatura de saturación, ambas a la misma presión.
Los diagramas termodinámicos incluidos en este libro son el diagrama PH
de la figura 6.5 para el metano, el diagrama de Mollier de la cubierta interna
trasera del libro para el vapor de agua y el diagrama PH de la figura 9.3 para el
tetrafluoroetano.
Los diagramas termodinámicos resultan convenientes para trazar las trayectorias de varios procesos. Por ejemplo, considérese la operación de la caldera de
una planta de vapor para la generación de potencia. El estado inicial es agua líquida a una temperatura menor a la de su punto de ebullición; el estado final es vapor
en la región de sobrecalentamiento. A medida que el agua entra a la caldera y es
calentada, su temperatura aumenta a presión constante (línea I-2 de las figuras
6.2 y 6.3) hasta que se alcanza la saturación. Del punto 2 al 3, el agua se vaporiza
y la temperatura permanece constante durante el proceso. A medida que se añade
más calor, el vapor se sobrecalienta a lo largo de la línea 3-4. En un diagrama de
presión/entalpía (figura 6.3) todo el proceso está representado por una línea horizontal, la cual corresponde a la presión de la caldera. Puesto que la compresibilidad de un líquido es pequeña a temperaturas muy por debajo de Tc, las propiedades de los líquidos cambian con mucha lentitud con respecto a la presión. Por
tanto, en un diagrama 7% (figura 6.2), las líneas de presión constante en la región
líquida se encuentran muy próximas entre sí, y la línea 1-2 casi coincide con la
curva de líquido saturado.
Un proceso adiabático reversible es isentrópico y, por tanto, está representado sobre un diagrama 7’8 por una línea vertical. De aquí que la trayectoria seguida
por el fluido en turbinas y compresores adiabáticos reversibles sea simplemente
una línea vertical que parte de la presión inicial y llega a la presión final. Lo anterior también es cierto en los diagramas HS o de Mollier.
6.5
Tablas de propiedades termodinámicas
\
&n muchos casos las propiedades termodinámicas aparecen notificadas en tablas.
La ventaja es que, en general, los da.tos pueden presentarse con mayor exactitud
que en los diagramas, pero a cambio de esto se introduce la necesidad de interpolar.
En el apéndice F aparecen las tablas termodinámicas, tanto en unidades SI
como inglesas, para vapor de agua saturado desde el punto normal de congelación
230
CAPÍTULO 6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
hasta el punto crítico y para vapor sobrecalentado sobre un intervalo grande de
presión. Los valores están dados en intervalos suficientemente cercanos, de modo
que la interpolación lineal sea satisfactoria. La primera tabla para cada sistema de
unidades presenta las propiedades de equilibrio del líquido y vapor saturados a
incrementos pares de la temperatura. A la entalpía y entropía se les asignan de
manera arbitraria valores de cero para el estado de líquido saturado en el punto
triple. La segunda tabla es para la región gaseosa y proporciona las propiedades
del vapor sobrecalentado a temperaturas mayores que la temperatura de saturación
para una presión dada. El volumen, la energía interna, la entalpía y la entropía se
tabulan como funciones de la presión a varias temperaturas. Las tablas de vapor
son la compilación más completa de las propiedades de un material. Sin embargo,
se tienen disponibles tablas para otras sustancias7
Ejemplo 6.5 Se tiene vapor de agua sobrecalentado, originalmente a presión y
temperatura PI y Tl. El vapor se expande a través de una tobera a una presión P2. Si
se supone que el proceso es reversible y adiabático, y que se alcanza el equilibrio,
determine el estado del vapor en la salida de la tobera para las siguientes condiciones:
a)
PI = 1000 kPa, ti = 260°C y P2 = 200 kPa.
b)
PI = 150(psia),
ti = 500(“F) y PZ = 30(psia).
Puesto que el proceso es reversible y adiabático, el cambio en la entropía
del vapor es cero.
SOLUCIÓN
a) El estado inicial del vapor es el siguiente (los datos fueron tomados de las
tablas de vapor SI):
tl = 260°C
PI = 1000 kPa
H1 = 2 965.2 kJ kg-’
S1 = 6.9680 kJ kg-’ K-i
Para el estado final,
P2 = 200 kPa
S2 = S1 = 6.9680 kJ kg-’ K-i
Puesto que la entropía del vapor saturado a 200 kPa es mayor que Ss, el estado final
se encuentra en la región de dos fases. En este caso, la ecuación (6.57) aplicada a la
entropía se convierte en
s = (1 - Z”)SZ + ZVS”
7R. H. Perry y D. Green, Bry’s Chemical Engineers’ Handbook, 7a. ed., Sec. 2, McGraw-Hill,
Nueva York, 1996, proporcionan datos para muchas sustancias químicas comunes. Véase tambien
N. B. Vargaftik, Handbook ofPhysical Properfies ofliquids and Gases, 2a. ed., Hemisphere Publishing
Corp., W shington, DC, 1975. Los datos para refrigerantes aparecen en ASHRALC Handbook:
Fundame
tals, Ameritan Society of Heating, Refrigerating, and AirConditioning Engineers, Inc.,
Atlanta, 1 9 3 .
%
6.6
Correlaciones generalizadas de propiedades para gases
231
de aquí que
6.9680 = 1.5301(1 -Z) + 7.1268xU
donde 1.5301 y 7.1268 son las entropías del líquido y vapor saturados a 200 kPa. Al
resolver, se obtiene
xv = 0.9716
Tomando una unidad de masa como base, la mezcla tiene un 97.16 por ciento de
vapor y 2.84 por ciento de líquido, y su entalpía se obtiene mediante la aplicación
de la ecuación (6.57):
H = (0.0284)(504.7)
+ (0.9716)(2
706.7) = 2 644.2 kJ kg-’
b) El estado inicial del vapor es el siguiente (datos tomados de las tablas de
vapor en unidades inglesas):
tl = 500(“F)
PI = 150(psia)
HI = 1 274.3(Btu)(lb,)-’
SI = 1.6602(Btu)(lb,)-l(R)-’
En el estado final,
P2 = 30(psia)
& = SI = 1.6602(Btu)(lb,)-l(R)-’
Puesto que la entropía del vapor saturado a 30(psia) es mayor que HZ, el estado final
se encuentra en la región de dos fases. La ecuación (6.57) aplicada a la entropía se
escribe como
s = (1 - Z)Sl + xUSU
por lo que
1.6602 = 0.3682(1 -x’) + 1.699xV
donde 0.3682 y 1.6995 son las entropías del líquido yvapor saturados a 30(psia). Al
resolver, se tiene que
xv = 0.9705
Si se toma como base una unidad de masa, la mezcla tiene un 97.05 por ciento de
vapor y 2.95 por ciento de líquido, y su entalpía se obtiene a partir de otra aplicación
de la ecuación (6.57):
H = (0.0295)(218.9)
6.6
+ (0.9705)(1
164.1) = 1 136,2(Btu)(lb,)-’
Correlaciones generalizadas de propiedades para gases
De las dos clases de datos necesarios para la evaluación de las 1. opiedades termodinámicas, capacidades caloríficas y datos PVT, los últimos son1, 9s que faltan’ con
mayor frecuencia. Afortunadamente, los métodos generalizados @esarrollados en
232
CAPÍTULO 6.
Propiedades
termodinámicas
de
los
fluidos
la sección 3.6 para el factor de compresibilidad también pueden aplicarse a las
propiedades residuales.
Las ecuaciones (6.45) y (6.46) pueden ponerse en forma generalizada mediante la sustitución de las relaciones
P = PcPr
T = T,T,
dP = P,dP,.
dT = T,dT,
Las ecuaciones resultantes son
-=-
(6.58)
Y
(6.59)
Los términos que aparecen en los miembros derechos de estas ecuaciones
dependen únicamente del límite superior P,. de las integrales y de la temperatura
reducida en la que se evalúan éstas. Por tanto, los valores de HR/RTc y SR/R puede
determinarse de una vez por todas a cualquier temperatura y presión reducidas a
partir de datos generalizados sobre el factor de compresibilidad.
La correlación para Z está basada en la ecuación (3.46):
z = zo + coz’
Al derivar, se tiene que
Después de sustituir Z y (dZ/dT,)p,.
siguiente
en las ecuaciones (6.58) y (6.59) se obtiene lo
-=Y
Las pri.meras integrales de los miembros derechos de estas dos ecuaciones pueden
evaluarse numérica o gráficamente para varios valores de T,. y l”,,- a partir de los
6.6
233
Correlaciones generalizadas de propiedades para gases
datos para Z” dados en las tablas E .l y E .3, mientras que las integrales que están
multiplicadas por w en cada ecuación pueden evaluarse de manera similar a partir
de los datos correspondientes a Z1 dados en las tablas E.2 y E.4. Como alternativa, su evaluación
puede hacerse con base en una ecuación de estado; Lee y Kesler
emplearon este medio para extender su correlación generalizada para las propiedades
residuales.
Si los primeros términos de los miembros derechos de las ecuaciones anteriores (incluyendo el signo menos), son representados por (HR)‘/RTc y (SR)o/R, y si
los términos que están precedidos por w, junto con los si,qos negativos que les
anteceden, son representados por (HR) ‘/RT, y (SR) ‘/R, entonces puede escribirse
HR _ P”)O +JH”)
RT,
RT,
RT,
(6.60)
Y
(6.61)
Los valores calculados de las cantidades ( HR)‘/RTc, (HR) ‘/RT,, ( SR)o/R y (BR) l/R,
tal como fueron determinados por Lee y Kesler, están dados en las tablas E.5 a
E.12 como funciones de T, y P,.. Estos valores, junto con las ecuaciones (6.60) y
(6.61), permiten la estimación de entalpías y entropías residuales sobre la base del
principio de estados correspondientes para tres parámetros, tal como fue desarrollado por Lee y Kesler (sección 3.6). La naturaleza de estas correlaciones está
indicada en la figura 6.6, la cual presenta una gráfica de (HR)‘/RTc contra P, para
seis isotermas.
El uso exclusivo de las tablas E.5 y E.6 para (HR)‘/RTc y las tablas E.9 y
E.10 para (SR)‘/R, proporciona correlaciones de dos parámetros para estados correspondientes, las que permiten obtener con rapidez estimaciones burdas de las
propiedades residuales.
Los fluidos para los cuales la energía potencial intramolecular IY(Y) está dada
por la ecuación de Lennard- Jones (sección 3.8) se dice que son (como una clase)
conformes. De manera más general, una clase de fluidos, para los que A!(r) tiene la
misma forma funcional, es conforme. Una propiedad de los fluidos conformes es
que éstos obedecen al teorema de dos parámetros de los estados correspondientes,
tal como está enunciado en la sección 3.6. Es así como es posible distinguir clases
diferentes de fluidos conformes mediante las distintas formas funcionales de Cl(r),
las cuales obedecen a diferentes correlaciones de estados correspondientes. Por
tanto, la finalidad del factor acéntrico en las correlaciones tipo Pitzer (como en las
Lee/Kesler) es diferenciar clases de fluidos conformes no polares, principalmente
sobre la base de una asimetría molecular. Estas clases entonces satisfacen al teorema de tres parámetros de estados correspondientes. Existe un conjunto extendido
de correlaciones de Lee/Kesler8 que incorpora un cuarto parámetro para caracte‘R. L. Rowley, Statistical Mechanics for Thermophysical
ll, PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1994.
Property Cakulutions, Sec. ll.5 5 Ap.
CAPÍ!lULO
234
6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
-5
-4
-3
(HR)o
RT,
-2
-1
0
w0.05
P,
Figura 6.6:
Correlación de Lee/Kesler
para (HR)‘/RT,
como una función de T,. y P,..
rizar clases de fluidos conformes polares. Es así como existe una colección incluso
más grande de clases conformes de fluidos que cumplen el teorema de estados
correspondientes de cuatro parámetros.
Al igual que con la correlación generalizada del factor de compresibilidad, la
complejidad de las funciones (HR)o/RTC, (@)l/RT,, (S’)‘/R y (SR)l/R impide su
representación general mediante ecuaciones sencillas. Sin embargo, las correlaciones para Z basadas en los coeficientes viriales generalizados y válidas a presiones bajas, pueden extenderse a las propiedades residuales. La ecuación que relaciona a 2 con las funciones B” y B1 se dedujo en la sección 3.6 a partir de las
ecuaciones (3.47) Y (3.48):
Z=l+BO$+wB’$
ï
1
De esta expresión, se tiene que
Después de sustituir estas expresiones en las ecuaciones (6.58) y (6.59), se obtiene lo siguiente
6.6
Correlaciones
generalizadas
de
propiedades
para
gases
235
Y
SR
-=R
Puesto que B” y B1 son funciones exclusivas de la temperatura, la integración a
temperatura constante da como resultado
(6.62)
Y
SR
-=R
(6.63)
La dependencia de B” y B1 de la temperatura reducida está dada por las
ecuaciones (3.50) y (3.51). Si se derivan estas ecuaciones, entonces se obtienen
expresiones para dB’/dT, y dB’ldT,. Por tanto, las cuatro ecuaciones necesarias
para la aplicación de las ecuaciones (6.62) y (6.63) son
BO = 0.083 _ 0.422
T,‘.”
(3.50)
dB” - 0.675dT, - Ty
(6.64)
(3.51)
dB’
0.722
---=-dT,
q”
(6.65)
La figura 3.15, la cual está dibujada específicamente para la correlación del factor
de compresibilidad, también se emplea como guía para la confiabilidad de las correlaciones de las propiedades residuales basadas en los segundos coeficientes del
virial generalizados. Sin embargo, todas las correlaciones de propiedad residual
son menos precisas que las correlaciones del factor de compresibilidad sobre las
que se basan y son, por tanto, menos confiables para moléculas fuertemente polares y asociadas.
Las correlaciones generalizadas para HR y SR, junto con las capacidades
caloríficas del gas ideal, permiten el cálculo mediante las ecuaciones (6.47) y
(6.48) de valores de entalpía y entropía para gases a cualquier temperatura y presión. Para un cambio del estado 1 al 2, se escribe la ecuación (6.47) para los dos
estados:
236
CAPÍ!lTJL,O
6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
H 2 = Hg” +
0
H1=Hg’+
0
El cambio de entalpía del proceso, AH = Hz - HI, está dado por la diferencia
entre estas dos ecuaciones:
A H = I;C$dT+
Hf-H;
(6.66)
De manera similar, de acuerdo con la ecuación (6.48) para la entropía, se tiene que
&j’= [l(J$
$ -Rln$+St-SF
(6.67)
1
De nuevo, estas ecuaciones pueden escribirse en forma alternativa como:
AH = ( C; )H(T2 - Tl) + H,” - H,R
(6.68)
Y
(6.69)
G,
P2
(real)
Figura 6.7:
Trayectoria de cálculo para los cambios de propiedad AH y AS.
6.6
Correlaciones generalizadas de propiedades para gases
237
Ya se han dado nombres tanto a las funciones computacionales útiles en la
evaluación de las integrales de las ecuaciones (6.66) y (6.67) como a las capacidades caloríficas promedio de las ecuaciones (6.68) y (6.69), así que se hará lo mismo
para las funciones útiles en la evaluación de HR y SR. La ecuación (6.62) en combinación con las ecuaciones (3.50), (6.64), (3.51) y (6.65) proporciona una función para la evaluación de HR/RTC, a la que, para fines computacionales, se le
asignará el nombre
HRB(TR,PR,OMEGA)
Por tanto, un valor numérico de HR está representado por
R*TC*HRB(TR,PR,OMEGA)
De manera similar, las ecuaciones (6.63) a (6.65) proporcionan una función para
evaluar SR/R, cuyo nombre es
SRB(TR,PR,OMEGA)
En consecuencia, un valor numérico de SR está representado por
R*SRB(TR,PR,OMEGA)
En el apéndice D se encuentran los programas de computadora que evalúan estas
funciones.
Los términos de los miembros derechos de las ecuaciones (6.66) a (6.69) se
asocian con facilidad con etapas de una trayectoria de cálculo, que va del estado
inicial al estado final de un sistema. Por tanto, en la figura 6.7, la trayectoria real
del estado 1 al estado 2 (línea punteada) está remplazada por una trayectoria de
cálculo de tres etapas. La etapa 1 + 19% representa un proceso hipotético que
transforma un gas real en uno ideal a Tl y PI. Los cambios de entalpía y entropía
para este proceso son
H,g-HI=-H,R
En la etapa 1” + 2 gi , los cambios ocurren en el estado de gas ideal de (Tl, PI) a
(Tz, Pz). Para este proceso,
(6.70)
CAPÍTULO 6.
238
Propiedades
termodinámicas
de
los
fluidos
Y
(6.71)
Finalmente, la etapa 2gi + 2 es otro proceso hipotético que transforma al gas ideal
de nuevo en un gas real a Tz y Pz. En este caso,
Y
sg - sf = g
Las ecuaciones (6.66) y (6.67) son el resultado de la suma de los cambios de entalpía
y entropía de las tres etapas.
Ejemplo 6.6 Estime V, U, H y S para el vapor de l-buteno a 200°C y 70 bar, si H
y S se hacen igual a cero para el líquido saturado a 0°C. Suponga que los únicos
datos que se tienen son
T, = 420.0 K
T,= 266.9 K
PC = 40.43 bar
w = 0.191
(punto normal de ebullición)
c$/R = 1.967 + 31.630 x 10-3T- 9.837 x 10-6Ts
(T/K)
El volumen del vapor de l-buteno a 200°C y 70 bar se calcula directamente con la ecuación V = ZRTIP, donde Z está dado por la ecuación (3.46) con los
valores de Z” y Z1 interpolados en las tablas E.3 y E.4. Para las condiciones reducidas,
SOLUCIÓN
T, =
200 +
273.15 = 1.127
420.0
p,= 70 = 1.731
40.43
se encuentra que
Z = Z” + wZ’ = 0.485 + (0.191)(0.142)
= 0.512
(0.512)(83.14)(473.15)=
mol-l
de aquí que
v
=
287.8
Cm3
70
Para H y S se emplea una trayectoria de cálculo similar a la de la figura 6.7, que
parte de un estado inicial de l-buteno líquido saturado a O”C, donde H y S son cero,
aun estado final de interés. En este caso se requiere una etapa inicial de vaporización,
con lo que se tiene la trayectoria de cálculo de cuatro etapas de la figura 6.8. Las
etapas son
6.6
Correlaciones
generalizadas
de
propiedades
para
Estado de referencia:
Buteno líquido
saturado a
2 7 3 . 1 5 K, 1.2771 bar f
239
gases
1
‘\ \ AH
r
(4
Estado final del
buteno a
t 473.15 K, 70 bar
AS’”
Vapor saturado
de buteno a
273.15 K, 1.2771 bar
Buteno en el estado
de gas ideal a
273.15 K, 1.2771 bar
Cc)
F’igura 6.8:
a)
b)
c)
d)
( Buteno en el estado
de gas ideal a
473.15 K, 70 bar
Trayectoria de cálculo del ejemplo 6.5.
Vaporización a Tl y PI = Pt.
Transición al estado de gas ideal en (Tl, PI).
Cambio a (Tz, Pz) en el estado de gas ideal.
Transición al estado final real en (Tz, Pz).
Etapa a): Vaporización del l-buteno líquido saturado a 0°C. Es necesario estimar
la presión de vapor ya que ésta no se especifica. Un método para hacerlo se basa cn la
ecuación (6.54):
lnP’=A-$
Se conocen dos puntos sobre la curva presión de vapor: el punto normal de ebullición,
para el que Pt = 1.0133 bar a 266.9 K, y el punto crítico, para el que Psat = 40.43
bar a 420.0 K. Para estos dos puntos,
B
266.9
In 1.0133 = A - __
Y
B
In 40.43 = A - ~
420.0
La solución simultánea de estas dos ecuaciones da
A = 10.1260
y
B 2’2 699.11
CAPflWLO 6.
240
F!ropiedades
termodinámicas de los fluidos
Para OoC o 273.15 K, se tiene que Psat = 1.2771 bar. Este resultado se emplea en las
etapas b) y c). En este caso se necesita una estimación del calor latente de vaporización.
La ecuación (4.18) proporciona este valor en el punto normal de ebullición, donde
T,, = 266.91420.0 = 0.636:
Ec= l.O92(ln P, - 1.013)
RE
0.930-
!qm
l.O92(ln 40.43 - 1.013) = g g7g
=
0.930 - 0.636
’
de donde
AH: = (9.979)(8.314)(266.9)
= 22 137 J mal-’
La ecuación (4.19) ahora proporciona el calor latente a 273.15 K, donde T, = 273.151
420.0 = 0.650:
0
AHLv = (0.350/0.364)“,38(22
137) = 21 810 J mal-’
Y
AS”’ = m/T = 21 8101273.15 = 79.84 J mal-’ K-l
Etapa b): Transformación del vapor saturado de l-buteno en un gas ideal en las
condiciones iniciales (Tl, PI). Puesto que la presión es relativamente baja, los valores
de HR y SR se estiman mediante las ecuaciones (6.62) y (6.63). Las condiciones
reducidas son
T, = 0.650
y
P, = 0.0316
El procedimiento computacional está representado por
HRB(0.650,0.0316,0.191)
= -0.0985
SRB(0.650,0.0316,0.191)
= -0.1063
de donde
H: = (-0.0985)(8.314)(420.0) = -344 J mal-’
8,” = (-0.1063)(8.314) = -0.88 J mal-’ K-l
‘la1 como se indica en la figura 6.8, los cambios de propiedad para esta etapa son
-HP y - SR , debido a que el cambio es de estado de gas real al estado de gas ideal.
Etapa c): Cambios en el estado de gas ideal desde (273.15 K, 1.2771 bar) hasta
(473.15 K, 70 bar). En este caso, @ y AS” están dados por las ecuaciones (6.70)
y (6.71), para las que se tiene (secciones 4.1 y 5.6)
6.6
241
Correlaciones generalizadas de propiedades para gases
8.314*1CpH(273.15,473.15;1.967,31.630E-3,-9.8373-6,0.0)
~20564Jmol-
Y
8.314*ICPS(273.15,473.15;1.967,31.630E-3,-9.837E-6,0.0)
E 55.474 J mal-’ K-l
Por tanto, los resultados que se obtienen con las ecuaciones (6.70) y (6.71) son
&@ = 20 564 J mole1
Y
70
1.2771
h.@ = 55.474 - 8.314 In - = 22 18 J mole* K-’
Etapa cl): Transformación del l-buteno del estado de gas ideal al estado de gas real
a T2 y Pz. Las condiciones reducidas finales son
T,. = 1.127
y
P, = 1.731
Ala presión de esta etapa, que es mayor, H: y S: se obtienen mediante las ecuaciones
(6.60) y (6.61), junto con la correlación de Lee/Kesler. Con los valores interpolados
de las tablas E.7, E.8, E.ll y E.12 a T,. = 1.127 yP, = 1.731, losvalores obtenidos
por medio de estas ecuaciones son
H2 - -2.294 + (0.191)(-0.713) = -2.294
RT,
Y
82
R
- -1.566 + (0.191)(-0.726) = -1.705
de donde
H: = (-2.294)(8.314)(420.0) = -8 010 J mal-’
8.f = (-1.705)(8.314) = -14.18 J mole1 K-’
Las sumas de los cambios de entalpía y entropía para las cuatro etapas dan los
cambios totales para el proceso que conduce del estado inicial de referencia (donde H
y S se han hecho iguales a cero) al estado final:
H = AH = 21810 - (-344) + 20 564 - 8 010 = 34 708 J mal-’
Y
S = AS = 79.84 - (-0.88) + 22.18 - Ml.8 = 88.72 J mal-’ K-’
242
CAPflVLO 6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
La energía interna es
j‘J = HePV = 34 708 _
(70)(287’8)
10 cm3 bar J-’
= 32 693 J mal-l
Estos resultados concuerdan mucho más con los valores experimentales que los del
supuesto caso del vapor de l-buteno considerado como un gas ideal.
PROBLEMAS
6.1.
Partiendo de la ecuación (6.8), demuestre que las isobaras en la región de vapor de
un diagrama de Mollier (HAS’) deben tener una pendiente y curvatura positivas.
6.2.
Utilice el hecho de que la ecuación (6.20) es una expresión diferencial exacta para
demostrar que
bCuá1
es el resultado de aplicar esta ecuación a un gas ideal?
6.3.
Estime los cambios de entalpía y entropía cuando el amoniaco líquido a 270 K se
comprime desde su presión de saturación de 381 kPa hasta 1200 kPa. Para el
amoniaco líquido saturado a 270 K, v = 1.551 X lOe3 m3 kg-’ y p = 2.095 X
1O-3 K-‘.
6.4.
El isobutano líquido es estrangulado por una válvula desde un estado inicial de 360 K
y 4 000 kPa hasta una presión final de 2 000 kPa. Estime el cambio de temperatura
y el cambio de entropía del isobutano. El calor específico del isobutano líquido a 360
K es 2.78 J g-’ “C-‘. Las estimaciones de V y /3 pueden encontrarse mediante la
ecuación (3.52).
6.5.
Se llena un recipiente rígido con agua líquida a 25°C y 1 bar. Si se añade calor al
agua hasta que su temperatura llega a 5O”C, icuál es la presión desarrollada? El
valor promedio de p entre 25 y 50°C es 36.2 X 1O-5 K-l. El valor de K a 1 bar y 50°C
es 4.42 X 10T5 bar-’ y puede suponerse independiente de P. El volumen específico del
agua líquida a 25T es 1.0030 cm3 g-‘.
6.6.
Estime el cambio de entropía en la vaporización del benceno a 5O’C.
vapor del benceno está dada por la ecuación:
In pt/kPa = 13.8858 -
6.7.
La presión de
2 788.51
tp c + 220.79
a)
Utilice la ecuación (6.53) con un valor estimado de AV “‘.
71)
Utilice la ecuación de Clausius/Clapeyron
del ejemplo 6.4.
Un flujo de gas propano se licua parcialmente mediante estrangulamiento, desde
200 bar y 370 K hasta 1 bar. iQué fracción del gas se licua en este proceso? La
presión de vapor del propano está dada por la ecuación (6.56) con parámetros: A =
-6.72219, B = 1.33236, C = -2.13868, D = -1.3855>.
Problemas
243
6.8.
El estado de l(lb,) de vapor de agua cambia de vapor saturado a 20(psia)
a vapor
sobrecalentado a 50(psia) y 1 OOO(‘F). Xuáles son los cambios de entalpía y entropía
del vapor? QCuáles serían los cambios de entalpía y entropía si el vapor de agua fuese
un gas ideal?
6.9.
El agua líquida muy pura puede subenfriarse a presión atmosférica hasta temperaturas muy por debajo de 0°C. Suponga que 1 kg de agua ha sido enfriado como un
líquido hasta -6°C. Ahora se añade un pequeño cristal de hielo (de masa despreciable) como “semilla” al líquido subenfriado. Si los cambios subsecuentes ocurren
adiabáticamente a presión atmosférica, 8qué fracción del sistema se congela y cuál es
su temperatura final? iPCuá1 es el valor de AS total para el proceso y cuál es su característica irreversible? El calor latente de fusión del agua a 0°C es 333.4 J g-’ y el calor
específico del agua líquida subenfriada es 4.226 J g-’ “C-l.
6.10. Un sistema de dos fases de agua líquida y vapor de agua que se encuentra en equilibrio a 8 000 kPa contiene volúmenes iguales de líquido y vapor. Si el volumen total Vt
= 0.15 m3, &cuál es el valor de la entalpía total ti y de la entropía total S’?
6.11. Un recipiente contiene 1 kg de Hz0 que existe como vapor y líquido en equilibrio a
1 000 kPa. Si el vapor ocupa 70 por ciento del volumen del recipiente, determine H y
S para 1 kg de HzO.
6.12. Un recipiente a presión contiene agua líquida y vapor de agua en el equilibrio a
350( “F). La masa total del líquido y el vapor es 3 (Ib,). Si el volumen de vapor es 50
veces el del líquido, icuál es la entalpía total del contenido del recipiente?
6.13. El vapor húmedo a 230% tiene una densidad de 0.025 g cm-3. Determine z, H y S.
6.14. Un recipiente con un volumen de 0.15 m3 contiene vapor de agua saturado a 15O”C,
el cual se enfría hasta 3O’C. Determine el volumen y la masa final del agua Ziquidu
en el recipiente.
6.15. Se expande vapor húmedo a 1 100 kPa a entalpía constante (al igual que en un
proceso de estrangulamiento) hasta llegar a 101.33 kPa, donde su temperatura es de
105°C. aCuál es la calidad del vapor en su estado inicial?
6.16. Se expande vapor a 2 100 kPa y 260% a entalpía constante (al igual que en un
proceso de estrangulamiento) hasta 125 kPa. iCuál es la temperatura del vapor en
su estado final y cuál es su cambio de entropía? Si el vapor de agua fuese un gas
ideal, /cuál sería su temperatura final y su cambio de entropía?
6.17. Se tiene vapor en un estado inicial de 300 (psia) y 500(“F) que se expande a entalpía
constante (al igual que en un proceso de estrangulamiento) hasta 20(psia).BCuál
es
la temperatura del vapor en su estado final y cuál es su cambio de entropía? Si el
vapor de agua fuese un gas ideal, Acuál sería su temperatura final y su cambio de
entropía?
6.18. Se tiene vapor sobrecalentado que se expande isentrópicamente desde 500 kPa y
300°C hasta 50 kPa. iCuál es su entalpía final?
6.19. Un recipiente rígido contiene 0.014 m3 de vapor de agua saturado en equilibrio con
0.021 m3 de agua líquida saturada a 100°C. Se transfiere calor al recipiente hasta
que desaparece una fase, quedando entonces sólo una de ellas. iQué fase (líquido o
vapor) es la que permanece y cuál es su temperatura y presión? iCuánto
calor se
transfiere en el proceso?
CAPÍTULO 6. Propiedades temodinámicas de los fluidos
244
6.20. ECuál es la fracción molar de vapor de agua en el aire que se satura con agua a 25°C
y 101.33 kPa? QA 50°C y 101.33 kPa?
6.21.
Lin recipiente con una capacidad de 0.25 m3 se llena con vapor de agua saturado a
1 500 kPa. Si el recipiente se enfría hasta que el 25 por ciento del vapor se condensa,
icuánto calor se transfiere y cuál es la presión final?
6.22. Un recipiente con una capacidad de 2 m3 contiene 0.02 m3 de agua líquida y 1.98 m3
de vapor de agua a 101.33 kPa. bCuánto calor debe añadirse al contenido del recipiente para que se evapore toda el agua líquida?
6.23. Un recipiente rígido de 0.4 m3 se llena con vapor a 800 kPa y 35O’C.
debe transferirse del vapor para llevar su temperatura a 2OO”C?
6.24. Un dispositivo pistón/cilindro
2o0°c.
%Cuánto
calor
contiene un kilogramo de vapor de agua a 800 kPa y
a)
Si el vapor experimenta una expansión isotérmica y mecánicamente reversible
hasta alcanzar 150 kPa, icuánto calor debe absorber?
b)
Si el vapor experimenta una expansión adiabática reversible hasta 150 kPa, icuál
es su temperatura final y cuánto trabajo realiza?
6.25. Se tiene vapor de agua a 2 000 kPa con una humedad del 6 por ciento. El vapor se
calienta a presión constante hasta 575°C. %Cuánto calor se requiere por kilogramo?
6.26. Se tiene vapor de agua a 2 700 kPa con una calidad de 0.90. El vapor experimenta
una expansión adiabática reversible, en un proceso donde no hay flujo, hasta 400
kPa. Luego se añade calor a volumen constante hasta que se convierte en vapor
saturado. Determine Q y W para el proceso.
6.27. Un conjunto pistón/cilindro
contiene cuatro kilogramos de vapor de agua a 400 kPa
y 175°C. El vapor experimenta una compresión isotérmica y mecánicamente reversible
hasta alcanzar tal presión final como para quedar saturado. Determine Q y W del
proceso.
6.28. Un dispositivo pistón/cilindro
contiene un kilogramo de agua a 25°C y 1 bar. El agua
se comprime mediante un proceso isotérmico y mecánicamente reversible hasta una
presión de 1 500 bar. Determine Q, W, AU, AH y AS dados p = 250 x 10m6 K-’ y K
= 45 X lo-” bar-‘.
6.29. Un dispositivo pistón/cilindro
trabaja en un ciclo con vapor de agua como fluido de
trabajo y ejecuta las siguientes etapas:
l
l
l
iCuál
El vapor a 550 kPa y 2OOT
presión de 800 kPa.
se calienta a volumen constante hasta alcanzar una
A continuación el vapor se expande, reversible y adiabáticamente, hasta la temperatura inicial de 2OO’C.
Finalmente, el vapor se comprime mediante un proceso isotérmico y mecánicamente reversible, hasta llegar a la presión inicial de 550 kPa.
es la eficiencia térmica del ciclo?
6.30. Un dispositivo pistón/cilindro
trabaja en un ciclo con vapor como fluido de trabajo y
lleva a cabo las etapas siguientes:
245
Problemas
l
l
l
El vapor saturado a 300(psia) se calienta a presión constante hasta 900(“F).
A continuación el vapor se expande, adiabática y reversiblemente, hasta la temperatura inicial, que es de 417.35(“F).
Finalmente, el vapor se comprime mediante un proceso isotérmico mecánicamente reversible hasta llegar al estado inicial.
Kuál es la eficiencia térmica del ciclo?
6.31. En una turbina se expande vapor de agua de manera adiabática y reversible. El
vapor entra a la turbina a 4 000 kPa y 4OO’C.
a)
APara qué presión de descarga el chorro de salida de la turbina es vapor saturado?
b)
aPara qué presión de descarga el chorro de salida es vapor húmedo con una
calidad de 0.95?
6.32. Una turbina de vapor, que funciona reversible y adiabáticamente, toma vapor
sobrecalentado a 2 000 kPa y lo descarga a 50 kPa.
a)
iCuál es el sobrecalentamiento mínimo necesario para que no exista humedad
en la salida?
b)
iCuál es la potencia de salida de la turbina si ésta trabaja bajo estas condiciones
y la rapidez de flujo de vapor es de 5 kg s-‘1
6.33. La prueba de operación de una turbina de vapor produce los siguientes resultados.
Cuando se alimenta vapor a la turbina a 1350 kPa y 375T, la salida de la turbina a
10 kPa es vapor saturado. Si se supone que la operación es adiabática y que los
cambios en las energías cinética y potencial son despreciables, determine la eficiencia de la turbina, esto es, el cociente del trabajo real efectuado por la turbina y el
trabajo de una turbina que trabaja isentrópicamente a partir de las mismas condiciones iniciales hasta la misma presión de salida.
6.34. Una. turbina de vapor funciona adiabáticamente con una rapidez de flujo de vapor de
25 kg s-l. El vapor es alimentado a 1 300 kPa y 4OO”C, y se descarga a 40 kPa y
100°C. Determine la potencia de salida de la turbina y la eficiencia de su operación
en comparación con la de una turbina que trabaja de manera reversible y adiabática
a partir de las mismas condiciones iniciales hasta la misma presión final.
6.35. Sean r’ y Pzsat los valores de la presión de vapor de saturación de un líquido puro
a las temperaturas absolutas 7’1 y T2. Justifique la siguiente fórmula de interpolación
para la estimación de la presión de vapor pat a un temperatura intermedia T:
In pat = In eat + T,(T- T,llnP,“’
T(T,-T,)
ewt
6.36. Suponiendo que la ecuación (6.54) es válida, deduzca la.fbfórmula de Edmister para la
estimación del factor acéntrico:
e
WC-3 __
logP,- 1
7( 1-e1
donde 8 = T,$T,, T, es el punto normal de ebullición y PC está en (atm).
CAPÍ!lULO
246
6. Propiedades termodinámicas de los fluidos
6.37. A partir de datos de tablas de vapor, estime los valores de las propiedades residuales
VR, HR y SR para el vapor a 225’C y 1 600 kPa, y compárelos con los obtenidos
mediante una correlación generalizada adecuada.
6.38. A partir de los datos contenidos en las tablas de vapor:
a)
Determine valores numéricos de G’ y G’ para el líquido y vapor saturados a
1 000 kPa. 8Estos valores deben ser iguales?
6)
Determine los valores numéricos de AH”/T y AS’” a 1 000 kPa. Estos valores,
%deben ser iguales?
c)
Encuentre los valores numéricos de VR, HR y SR para el vapor saturado a 1000
kPa.
d)
Estime un valor para dPat/dT a 1 000 kPa y aplique la ecuación de Clapeyron
para evaluar ASI” a 1 000 kPa. BEn qué medida concuerda este resultado con el
que aparece en las tablas de vapor?
Aplique las correlaciones generalizadas apropiadas para la evaluación de p, HR y SR
para el vapor saturado a 1 000 kPa. &En qué medida se comparan estos resultados
con los obtenidos en c) P
6.39. A partir de los datos de las tablas de vapor:
a)
Determine valores numéricos de G’ y G” para el líquido y vapor saturados a 150
(psia). Estos valores, ideben ser los mismos?
b)
Determine valores numéricos de @/T y A#”
ben ser iguales?
c)
Encuentre valores numéricos de VR, HR y SR para el vapor saturado a
150(psia).
d)
Estime un valor de dP”?dT a 150(psia)
y aplique la ecuación de Clapeyron para
evaluar AfP a lfjO(psia).
iEn qué medida concuerda este resultado con el valor
que aparece en las tablas de vapor?
a 150(psia).
Estos valores, ide-
Aplique las correlaciones generalizadas apropiadas para la evaluación de l@, HR y SR
del vapor saturado a 150(psia).
iEn qué medida se comparan estos resultados con los
obtenidos en c)?
6.40. Estime VR, HR y SR para el 1,3-butadieno a 500 Ky 21 bar mediante las correlaciones generalizadas que considere apropiadas.
6.41. Estime VR, HR ySR para el dióxido de carbono a 400 Ky 200 bar mediante el empleo
de las correlaciones generalizadas que considere apropiadas.
6.42. Estime T@, HR y SR para el dióxido de azufre a 450 K y 35 bar mediante el empleo de
las correlaciones generalizadas que considere apropiadas.
6.43. Se tiene vapor que experimenta un cambio desde un estado inicial a 45OT y 3 000
kPa hasta uno final de 140°C y 235 kPa. Determine hH y AS:
a)
A partir de los datos de las tablas de vapor.
6)
Mediante las ecuaciones para un gas ideal.
c)
Mediante
correlaciones
generalizadas
apropiadas.
247
Problemas
6.44. Se tiene gas propano a 1 bar y 35°C. El gas se comprime hasta llevarlo a un estado
final de 135 bar y 195°C. Estime el volumen molar del propano en el estado final y
los cambios de entalpía y entropía del proceso. En su estado inicial, el propano puede
suponerse como un gas ideal.
6.45. Se tiene propano a 70°C y 101.33 kPa. El propano se comprime isotérmicamente
hasta una presión de 1 500 kPa. Estime, para el proceso, AH y AS mediante el
empleo de correlaciones generalizadas apropiadas.
6.46. Estime el volumen molar, la entalpía y la entropía del 1,3-butadieno como vapor
saturado y como líquido saturado a 380 K. La entalpía y la entropía se hacen igual a
cero para el estado de gas ideal a 101.33 kPa y 0°C. La presión de vapor del 1,3butadieno a 380 K es 1919.4 kPa.
6.47. Estime el volumen molar, la entalpía y la entropía del n-butano como vapor saturado
y como líquido saturado a 370 K. La entropía y la entalpía se hacen igual a cero para
el estado de gas ideal a 101.33 kPa y 273.15 K. La presión de vapor del n-butano a
370 K es 1 435 kPa.
6.48. Cinco moles de cloruro de calcio se combinan con 10 moles de agua líquida en un
recipiente cerrado y rígido, de alta presión, con una capacidad de 750 cm’. El acetileno
gaseoso se produce mediante la reacción
Ca&(s) + 2HzO(Z) + CzHg(g) + Ca(O
Las condiciones iniciales son 25% y 1 bar, y la reacción es completa. Para una temperatura final de 125”C, determine:
a) La presión final.
b) El calor transferido.
A 125”C, el volumen molar del Ca( es 33.0 cm3 mal-‘. Ignore el efecto de cualquier gas presente al inicio en el tanque.
6.49. Se estrangula gas propileno a 127°C y 38 bar en un proceso de flujo en estado estable
hasta alcanzar 1 bar, donde el gas puede suponerse como ideal. Estime la temperatura final del propileno y su cambio de entropía.
6.50. Se estrangula gas propano a 22 bar y 423 K en un proceso de flujo en estado estable
hasta alcanzar una presión de 1 bar. Estime el cambio de entropía del propano provocado por este proceso. En su estado final, el propano puede suponerse como un gas
ideal.
6.51. Se comprime isotérmicamente gas propano a 100°C desde una presión inicial de 1
bar hasta una presión final de 10 bar. Estime AH y AS.
6.52. Se comprime gas de sulfuro de hidrógeno desde un estado inicial de 400 K y 5 bar
hasta un estado final de 600 K y 25 bar. Estime AH y AS.
6.53. Se expande dióxido de carbono a entalpía constante (al igual que en un proceso de
estrangulamiento) desde 1 600 kPa y 45°C hasta 101.33 kPa. Estime AS del proceso.
6.54. Un flujo de gas de etileno a 250°C y 3 800 kPa se expande isentrópicamente en una
turbina hasta 120 kPa. Determine la temperatura del gas expandido y el trabajo
producido si las propiedades del etileno se calculan por
CAPÍTULO 6.
248
Propiedades termodinámicas de los fluidos
CL)
Ecuaciones de un gas ideal.
71)
Correlaciones generalizadas apropiadas.
6.55. Un flujo de etano gaseoso a 22O’C y 30 bar se expande isentrópicamente en una
turbina hasta 2.6 bar. Determine la temperatura del gas expandido y el trabajo producido si las propiedades del etano se calculan por
a)
Ecuaciones de un gas ideal.
b) Correlaciones generalizadas apropiadas.
6.56. Estime la temperatura final y el trabajo requerido cuando se comprime isentrópicamente 1 mol de n-butano en un proceso de flujo estable desde 1 bar y 50°C
hasta 7.8 bar.
CAPíTULO 7
TERMODINÁMICA DE
PROCESOS DE FLUJO
La mayor parte del equipo empleado en las industrias químicas, del petróleo y
otras relacionadas, está diseñado para el movimiento de fluidos, razón por la que
la comprensión del flujo de fluidos es esencial para el ingeniero químico. La disciplina que tiene que ver con esto es la mecánica de fluidos,’ la cual se basa en las
leyes de conservación de la masa, el principio del momento lineal (segunda ley de
Newton) y las dos primeras leyes de la termodinámica.
La aplicación de la termodinámica a los procesos de flujo también se basa en
la conservación de la masa y en ias dos primeras leyes. La adición del principio del
momento lineal hace que la mecánica de fluidos sea un campo de estudio muy
extenso. La distinción entre problemas termodinámicos y problemas de mecánica de
jluidos depende de la necesidad de hacer uso de este principio. Los problemas cuyas soluciones dependen exclusivamente de la conservación de la masa y de las
leyes de la termodinámica suelen dejarse fuera del estudio de la mecánica de fluidos y se estudian en los cursos de termodinámica. La mecánica de fluidos trata
entonces con un espectro muy amplio de problemas que requieren de la aplicación
del principio del momento. Esta división es arbitraria, pero es tradicional y conveniente.
La aplicación práctica de la termodinámica a los procesos de flujo se hace
usualmente a cantidades finitas de fluido que experimentan cambios de estado
finitos. Considérese por ejemplo el flujo de gas por una tubería. Si se conocen los
estados y las propiedades termodinámicas del gas que entra y deja la tubería,
‘La mecánica de fluidos se estudia como una parte integral de los procesos de transporte por R.
B. Bird, TV. E. Stewart y E. N. Lightfoot, Dansport Phenmena, John Wlley, Nueva York, 1960; por
C. 0. Bennett y J. E. Myers en Mmntum, Ife&, and &..ss %n$r, 2a. ed., McGraw-Hill, Nueva
York, 1982; por R. W. Fahien en Funda~entals of !&ansport Phenomena, McGraw-Hill, Nueva York,
1984; y por D. E. Rosner en TVanqort Pmcesse.~ M chemically Zikucting Systems, Butterwtihs,
Boston, 1986.
CAPÍTULO 7.
250
Texmoohfimica
de procesos de flujo
entonces la aplicación de la primera ley establece la magnitud del intercambio de
energía con los alrededores de la tubería. El mecanismo del proceso, los detalles del
flujo y la trayectoria de estado, seguida realmente por el fluido entre la entrada y
la salida, no son importantes en este cálculo. Por otro lado, si sólo se tiene un
conocimiento incompleto del estado inicial o final del gas, entonces se necesitara
información más detallada sobre el proceso antes de realizar cualquier cálculo. Por
ejemplo, es posible que la presión de salida del gas no esté especificada. En este
caso debe aplicarse el principio del momento de la mecánica de fluidos, y éste requiere una expresión empírica o teórica para el esfuerzo cortante en la pared de la
tubería.
En la sección 7.1 se presentan las ecuaciones termodinámicas fundamentales que, en general, se aplican a las procesos de flujo. En las siguientes secciones se
aplican estas ecuaciones a procesos específicos.
7.1 Ecuaciones de balance
Para cualquier cantidad contable susceptible de ser transportada, puede escribirse
un esquema matemático de contabilidad conocido como ecuación de balance. Es
así como pueden desarrollarse ecuaciones de balance monetarias, para seres humanos o miembros de otras especies y, siendo más específicos, para la masa, la
energía y la entropía. Sin embargo, no se escriben ecuaciones de balance para
propiedades tales como la temperatura, la presión, la densidad, la tensión superficial y la viscosidad, las cuales son cantidades no contables. Aunque la conservación
de la masa y la energía son principios bien establecidos, las cantidades contables
no necesariamente se conservan. Los dólares, por ejemplo, se imprimen y se queman; los seres humanos nacen y mueren; y cualquier proceso irreversible genera
entropía. Por tanto, lo primero es desarrollar la ecuación general de balance y
después tratar su aplicación a las cantidades que se conservan, como un caso especial.
El concepto clave para el desarrollo de ecuaciones de balance es el de un
volumen de control, esto es, un volumen arbitrario dentro del espacio tridimensional
identificado para su análisis. Este volumen está encerrado por una superficie de
control, la cual puede o no asociarse con superficies materiales. El volumen de
control puede ser cerrado o abierto para el transporte de materia; puede expandirse o contraerse; y, en el caso más general, puede moverse o girar en el espacio. El
contenido del volumen de control constituye el sistema, y la parte local del universo
que interactúa con el sistema es la que forma los alrededores.
Considérese el volumen de control finito mostrado esquemáticamente en la
figura 7.1, cuyo centro de masas es estacionario. Esto significa que la energía
cinética o potencial del volumen no cambia. Con respecto a este volumen de control, nótense las siguientes posibilidades para la cantidad contable X:
1. Cantidades deX entran y dejan el volumen de control por transporte a través
de la superficie de control. Sea XT la rapidez instantánea neta de transporte
deXhx.wia el volumen de control. En este caso, la convención es que el trans-
7.1 Ecuaciones de balance
251
Superficie
Figura 7.1:
Diagrama esquemático de un volumen de control.
porte hacia el volumen de control se considera como positivo, mientras que el
transporte de salida es negativo. El transporte constituye el modo de
interacción entre el sistema y sus alrededores, y es en la superficie de control
donde puede hacerse la identificación esencial,
J? T( sistema) = - X T( alrededores)
(7.1)
2. Dentro del volumen de control se crean y destruyen cantidades deX. Sea 2,~
la rapidez instantánea neta con la que se genera X dentro del volumen de
control. La convención implícita en este caso es que la creación deX es positiva, mientras que la destrucción es negativa.
3. Dependiendo del transporte y la generación, la cantidad dexdentro del volumen de control puede cambiar con el tiempo. Por consiguiente, se representa
con dX,ddt la rapidez instantánea de cambio de X dentro del volumen de
control, donde el subíndice “vc” denota volumen de control.
El planteamiento del balance para la cantidad X es simplemente
cambio de X con
respecto al tiempo
dentro del volumen
La ecuación de balance equivalente es
(7.2)
CApíTuLO 7.
252
Termodinámica de procesos de flujo
Esta ecuación es la forma de rapidez general de la ecuación de balance, aplicable
en cualquier instante. Los dos términos del miembro izquierdo son identificados
como términos de “generación” y “transporte”; el término del miembro derecho es
el término de “acumulación”. Cada uno de ellos puede cambiar con el tiempo.
Una forma alternativa de la ecuación (7.2), que resulta conveniente en algunas aplicaciones, es una ecuación diferencial de balance, obtenida al multiplicar la
ecuación (7.2) por dt:
(7.3)
donde
(7.4a)
(7.4b)
La ecuación integral de balance se desprende inmediatamente de la ecuación
(7.3) al integrar del tiempo tl al tz:
pGz=-q
(7.5)
donde
(7.6a)
(7.6b)
Ax,, = s,:” % dt = X,,(t,) -X,,,(t,)
En la sección 2.4 se indicó, con respecto a los balances de energía, que existe
una diferencia de clase entre los términos de los miembros izquierdo y derecho.
Aquí también la notación indica que los términos de transporte y generación del
miembro izquierdo son diferentes en naturaleza a los términos de acumulación
del miembro derecho. Lo más obvio, los términos de transporte y generación reflejan causas, mientras que los términos de acumulación representan efectos.
Las cantidades XT y XG son las rapideces
del proceso; cuando se integran con
respecto al tiempo, éstas producen las cantidades de X transportadas hacia o generadas dentro del volumen de control [ecuaciones (7.6a) y (7.6b)]. La derivada
dXJdt es una rapidez de acumulación; cuando ésta se integra con respecto al
tiempo, proporciona el cambio en la cantidad X dentro del volumen de control
[ecuación (7.6c)]. De nuevo, el operador de diferencia “A” denota un cambio; hx
es el cambio enX. Su uso con los términos de transporte y generación es completamente inapropiado, debido a que éstos representan cantidades y no cambios.
7.1 Ecuaciones de balance
253
Figura 7.2:
Volumen de control con una entrada y una salida.
La conservación de la masa y la energía son dos de las grandes generalizaciones de la ciencia. Con respecto a la ecuación de balance, cuando se aplica el p$ncipio de conservación a la cantidad X, entonces el término de generación XG es
necesariamente cero. Por otra parte, la conservación también implica que no puede ocurrir ninguna generación deXen los alrededores. Esta observación junto con
la ecuación (7.1), conduce a la conclusión de que la cantidad total de X debe ser
constante. Por tanto, cuando la ley de conservación se aplica a la cantidadX, puede escribirse
(7.7)
donde Xtotal es la cantidad de X tanto en el sistema como en los alrededores.
Los procesos de flujo de interés para los ingenieros químicos usualmente
permiten la identificación de casi toda la superficie de control con superficies materiales reales. Sólo en las entradas y salidas es donde la superficie de control está
sujeta a una posición arbitraria, y la práctica universal en este caso en colocarla
perpendicularmente a la dirección de flujo. Esto permite la imposición de dos
idealizaciones que facilitan la aplicación práctica de las ecuaciones de balance:
1. Se supone que el flujo es unidireccional en cualquier sección transversal de
un conducto donde se asignan o evalúan las propiedades termodinámicas,
cinéticas y dinámicas, esto es, en las entradas y salidas del equipo bajo consideración.
2. En una sección transversal se supone que estas propiedades no cambian en
una dirección perpendicular a la dirección de flujo. Por tanto, propiedades
tales como la velocidad, la temperatura y la densidad, ya sea asignadas o
CAPÍTVL.0
254
7.
Tezmodinám.ica
de procesos de flujo
evaluadas para la sección transversal, tienen valores que representan promedios apropiados sobre la sección transversal.
Estas idealizaciones tienen una naturaleza pragmática, y para muchos fines
prácticos introducen un error despreciable. La figura 7.2 muestra un ejemplo de
un volumen de control con una entrada y una salida. El perfil de velocidad real
mostrado en la salida es equivalente al perfil de velocidad uniforme señalado a la
derecha, el cual proporciona el mismo flujo de masa (idealización 2). En lo que
sigue se aplica la ecuación de balance a la masa, la energía y la entropía con respecto a un volumen de control del tipo mostrado en la figura 7.2.
Balance de masa
Puesto que la masa se conserva, -?Q = 0, y la ecuación (7.2) se escribe como
.
dm,,
mT- d t
donde ‘k&T es el transporte neto de masa hacia el volumen de control por corrientes
que fluyen hacia dentro y hacia fuera de las entradas y salidas. Por conveniencia
en la aplicación, esta ecuación se rescribe como
pGzq
(7.8)
donde el símbolo A denota la diferencia entre los flujos de salida y entrada, y el
subíndice “cf” indica que el término se aplica a todos las corrientes que fluyen.
Puesto que la rapidez de flujo de masa de cada corriente está dada por
ria = rapidez de fkjn de masa = puA
donde p es la densidad promedio del fluido, u es su velocidad promedio y A es el
área de sección transversal de la entrada o salida del dueto. Entonces, la ecuación
(7.8) puede escribirse como
(7.9)
En esta forma la ecuación de balance de masa a menudo recibe el nombre de ecuación
de continuidad.
El proceso de flujo caracterizado como de estado estable es un caso especial
para el que las condiciones dentro del volumen de control no cambian con el tiempo. En este caso el volumen de control contiene una masa constante de fluido, y el
término de acumulación de la ecuación (7.9) es cero. De aquí que ésta se reduzca a
A(&),f = 0
(7.10)
255
7.1 Ecuaciones de balance
El término “estado estable” no implica que las rapideces de flujo sean constantes,
sino sólo que el flujo de masa que entra sea igual al que sale.
Cuando existe una sola entrada y una sola salida, como en la f’igura 7.2, la
rapidez de flujo de masa riz es la misma para ambas corrientes, y la ecuación
(7.10) se convierte en
/32w?442
- PlUlAl
= 0
0
Ga = constante = p2~4+4~ = pIulAI
Puesto que el volumen específico es el recíproco de la densidad,
(7.11)
Esta forma de la ecuación de continuidad encuentra un uso frecuente.
Balance de energía
En el capítulo 2 se aplicó la primera ley de la termodinámica a sistemas cerrados
(procesos sin flujo) y a procesos de flujo continuo, estado estable y un solo flujo
con el fin de obtener ecuaciones específicas de conservación de energía para estas
aplicaciones importantes. En este caso, la finalidad es presentar ecuaciones de
mayor generalidad escritas para sistemas abiertos representados por volúmenes
de control. Puesto que la energía se conserva, X, es cero, y se omite de la ecuación
(7.2).
El término de transporte se subdivide para reflejar los diversos modos mediante los cuales la energía puede cruzar la superficie de control. Las corrientes
que fluyen contribuyen al término de transporte en virtud de sus energías interna,
potencial y cinética. Al tomar como base una unidad de masa, cada corriente tiene
una energía total U + + u2 + zg, donde u es la velocidad promedio de la corriente,
x es su elevación, con respecto al nivel dato, y g es la aceleración local de la gravedad. Es así como cada corriente transporta energía con una rapidez (U + i u2 +
zg) riz.
La energía también se transporta a través de la superficie de control como
calor Q y como trabajo, el cual puede ser de varias formas. Considérese primero el
trabajo asociado con el movimiento de las corrientes de flujo hacia y fuera del
volumen de control en las entradas y salidas. El fluido en cualquier entrada o
salida tiene un conjunto de propiedades promedio, P, V, U, H, etc. Ahora imagine
que existe una masa unitaria de fluido con estas propiedades en un conducto adyacente a la entrada o salida, como se muestra en la entrada de la figura 7.2. Esta
masa unitaria de fluido es empujada hacia el volumen de control por un fluido
adicional, en este caso representado por un pistón, elcual ejerce una presión cons-
CApíTuLO
256
7.
Termodinámica de procesos de flujo
tante P. El trabajo hecho por este pistón al empujar la masa unitaria hacia el
volumen de control es PV, y la rapidez con la que se hace trabajo es (PV)rk Puesto
que A denota la diferencia entre las cantidades de salida y entrada, el trabajo neto
hecho sobre el sistema cuando se toman en cuenta todas las secciones de entrada y
salida es -A[ (PV)vh],f.
Otra forma de trabajo es el trabajo de eje indicado en la figura 7.2 por la
rapidez W,. Además, el trabajo puede estar asociado con la expansión o contracción del volumen de control, y también puede existir trabajo por agitación. Tbdas
estas formas de trabajo están incluidas en un término de rapidez representado por
W. Por tanto, el término de transporte de la ecuación (7.2) puede escribirse como
XT=
& + J@-A[(PV)r42],f-A[(U+ $u”+zg)tilCf
Puesto que U + PV = H, la expresión anterior puede expresarse de manera más
conveniente como
XT=
& + ti--A[(H+
+u2+zg)liz],f
(7.12)
El término de acumulación es simplemente la rapidez de cambio con respecto
al tiempo de la energía interna total dentro del volumen de control, d(mCJ),,/dt.
En
combinación con la ecuación (7.2), estas relaciones conducen a la ecuación de balance de energía:
d(mU),
dt
+ A [ ( H + +u2+zg)ti],f=
& + ti
(7.13)
Aunque la ecuación (7.13) es un balance de energía con una generalidad razonable, tiene limitaciones inherentes. En particular, refleja la premisa original de que
el centro de masa del volumen de control (figura 7.1) es estacionario. Esto significa que pueden omitirse términos para los cambios de la energía cinética y potencial
del fluido en el volumen de control. La ecuación (7.13) es adecuada para casi todas
las operaciones de interés para los ingenieros químicos2 Para muchas aplicaciones
(cuando no para todas) los cambios en las energías cinética y potencial en las
corrientes de fluido son también despreciables, con lo que la ecuación 7.13 se simplifica a
d(mU),,
dt
+ A(Hti),f
= & + ti
(7.14)
Esta ecuación puede aplicarse auna gran cantidad de procesos con una naturaleza
transitoria, tal como lo ilustran los ejemplos siguientes:
20tro balance de energía de uso muy común es el balance de energia mecánica, del cual la ecuación
de Bernoulli es un caso especial. En este libro no se considera esta ecuación debido a que su deducción apropiada depende del principio del momento de la mecánica de fluidos. Véase R. B. Bird,
Chem. Eng. Edu., val. 27, pp. 102-109, 1993.
257
7.1 Ecuaciones de balance
Ejemplo 7.1 Considérese el llenado de un tanque vacío con un gas que proviene de
una línea de presión constante. QCuál es la relación entre la entalpía del gas en la
línea de entrada y la energía interna del gas dentro del tanque? Desprecie la transferencia de calor entre el gas y el tanque. Si el gas es ideal y tiene capacidades caloríficas
constantes, iqué relación existe entre la temperatura del gas en el tanque y la de la
línea de entrada?
Si el tanque se escoge como el volumen de control, éste tiene entonces
una apertura que sirve como entrada, ya que el gas fluye hacia el tanque. Puesto que
no hay trabajo de expansión, de agitación o de eje, W = 0. A falta de cualquier información específica, se supondrá que los cambios de energía cinética y potencial son
despreciables. Entonces, la ecuación (7.14) se convierte en
SOLUCI Ó N
donde la prima (‘) identifica a la corriente de entrada y el signo menos se requiere
debido a que ésta es una corriente de entrada. El balance de masa es simplemente
dt
Al combinar las dos ecuaciones de balance, se tiene que
d(mUtanque
-H! dm,,,, = o
dt
dt
Si se multiplica por dt y se integra con respecto al tiempo (notando que H’ es constante), entonces
A(mU)ta - H’ Amanque = 0
de donde
mzU2
- mlU1 = H’(ma - ml)
Puesto que la masa inicial dentro del tanque es cero, ml = 0, y la expresión anterior
se reduce a
U, = H’
(4
resultado que muestra que, en ausencia de transferencia de calor, la energía del gas
contenido dentro del tanque al final del proceso es igual a la entalpía del gas añadido.
Si el gas es ideal,
H’ = U’ + P’V’ = U’ + RT’
entonces la ecuación (A) se convierte en
U, - U’ = RT’
CAPÍTULO 7.
258
TexmooYnhica de procesos de flujo
Para una capacidad calorífica constante,
U, - U’ = Cv(T2 - T’)
de donde
CdT, - T’) = RT’
0
-T, -z T’ - Rc
T’
CV
-C,-CV
- CV
Si CplCr se hace igual a y, entonces la expresión anterior se reduce a
T2 = y T’
lo que indica que la temperatura final es independiente de la cantidad de gas introducida al tanque. Este resultado está fuertemente condicionado por la estipulación
inicial de que la transferencia de calor entre el gas y el tanque es despreciable.
Ejemplo 7.2 Un tanque de 1.5 m3 contiene 500 kg de agua líquida en equilibrio
con vapor de agua puro, el cual ocupa el resto del tanque. La temperatura y la presión son 100°C y 101,33 kPa. Por una línea de agua auna temperatura constante de
70°C y con una presión constante un poco mayor que 101.33 kPa se purgan 750 kg
del líquido hacia el tanque. Si como resultado del proceso la temperatura y presión
del tanque no cambian, icuánta energía debe transferirse al tanque como calor?
SOLUCIÓN Se escoge al tanque como volumen de control. Al igual que en el ejemplo
7.1, no hay trabajo y de nuevo se supone que los efectos de las energías cinética y
potencial son despreciables. Por tanto, la ecuación (7.14) se escribe como
donde la prima denota el estado de la corriente de entrada. El balance de masa,
puede combinarse con el balance de energía para obtener
d(dJ),,,,,e _ Hj dm~nque = 0
dt
dt
Si se multiplica por dt y se integra con respecto al tiempo (con H’ constante), se
tiene que
7.1 Ecuaciones de balance
259
La definición de entalpía puede aplicarse a todo el contenido del tanque. Al hacerlo,
se tiene que
Puesto que el volumen total del tanque, mV, y la presión son constantes, A(PmQngUe
= 0. Por tanto,
Q = A(mH)ta - H’Awnqu, = (mzH2 - mlHdtanque - H’Amtanque
donde Amtansue representa los 750 kg de agua que se sangran al tanque, y los subíndices
1 y 2 se refieren a las condiciones en el tanque al inicio y final del proceso. Al final del
proceso el tanque sigue conteniendo líquido y vapor saturados en el equilibrio, a
lOOoC y 101.33 kPa. De aquí quemlHt ym2H2 consistan cada uno en dos términos,
uno para la fase líquida y otro para la fase de vapor.
La solución numérica utiliza las siguientes entalpías tomadas de las tablas dc
vapor:
H’ = 293.0 kJ kg-‘; líquido saturado a 70°C
H’tique
H”tanque
= 419.1 kJ kg-‘; líquido saturado a 100°C
= 2 676.0 kJ kg-‘; vapor saturado a 100°C
El volumen de vapor inicial en el tanque es 1.5 m3 menos cl volumen ocupado por los
500 kg de agua líquida. Por tanto,
” _ 1.5- (500)(0.001044)
m, 1.673
= 0.772 kg
donde 0.001044 y 1.673 m3 kg-r son los volúmenes específicos de líquido y vapor
saturados a lOOoC, tomados de las tablas de vapor. Entonces,
(mlHdtanque = 4 H: + m;H,” = 500(419.1) + 0.772(2 676.0)
= 211 616 kJ
Al finalizar el proceso, las masas de líquido y vapor están determinadas por la
conservación de la masa y por el hecho de que el volumen del tanque sigue siendo 1.5
m3. Como resultado, pueden escribirse dos ecuaciones:
m2 = 500 + 0.772 + 750 = rnl + mi
1.5 = 1.673ml + 0.001044m~
de donde
rn: = 1250.65 kg
m2 ” = 0.116 kg
Entonces, puesto que Hi = H: y NJ = H: ,
CAPÍTULO 7.
260
(mzff2
) tanque = 1250.65(419.1)
TemooYinámica
de procesos de flujo
+ 0.116(2 676.0) = 524 458 kJ
Finalmente, al sustituir los valores de (mlH&,nque y (mfis)tanque
Q, se tiene entonces que
en la ecuación de
Q = 524 458 - 211616 - 750(293.0) = 93 092 kJ
Ejemplo 7.3 Se calienta agua en un calentador eléctrico aislado que contiene 190
kg de agua líquida a 60°C. En ese momento, se pierde la energía eléctrica. Si el agua
se saca del tanque del calentador con una velocidad estable riz = 0.2 kg s-l, icuánto
tiempo debe transcurrir para que la temperatura del agua en el tanque descienda de
60 a 35’C? Suponga que entra agua fría al tanque a 10°C y que las pérdidas de calor
del tanque son despreciables. El agua puede considerarse como un líquido
incompresible.
SOLUCIÓN
En este caso, Q = l@ = 0. Además se supondrá que el contenido del
tanque se mezcla perfectamente; esto implica que las propiedades del agua que sale
del tanque son las mismas que tiene en el tanque. Con una rapidez de flujo de masa
hacia el tanque igual al que sale de él, mVc es constante; por otra parte, las diferencias entre las energías cinética y potencial entre la entrada y la salida pueden despreciarse. Por tanto, la ecuación (7.14) se escribe como
au
.
rnz + m(H-HI) = 0
donde las cantidades sin subíndices se refieren al contenido del tanque y HI es la
entalpía específica del agua que entra al tanque. Para un líquido incompresible con
capacidad calorífica constante C (véase ejemplo 6.2),
H-HI = C(T- Tl)
La ecuación (A) entonces se convierte, después de reacomodarla, en
La integración, desde t = 0 (donde T = To) hasta un tiempo arbitrario t, da como
resultado
(B)
Al sustituir valores numéricos en la ecuación (B), se tiene que, para las condiciones
de este problema,
= 658.5 s
Por tanto, se necesitan alrededor de ll minutos para que la temperatura del agua en
el tanque descienda de 60 a 35°C.
7.1 Ecuaciones de balance
261
Balances de energía para procesos de flujo en estado estaMe
Los procesos de flujo para los que el término de acumulación de la ecuación (7.2),
oX,Jdt, es cero se dice que ocurren en estado estable. ‘Ihl como se dijo con respecto
al balance de masa, esto significa que la masa del sistema dentro del volumen de
control es constante; también significa que no ocurren cambios con el tiempo en las
propiedades del fluido dentro del volumen de control y tampoco en las entradas o
salidas de éste. Bajo estas circunstancias no es posible la expansión del volumen de
control y el único trabajo del proceso es entonces trabajo de eje. Para tales procesos el balance de energía general, ecuación (7.13), se convierte en
A[(H+ +u2+zg)rjzlCf=
0 + eS
(7.15)
Si bien el término “estado estable” no implica “flujo continuo”,3 la aplicación usual
de esta ecuación es a procesos de flujo continuo en estado estable, debido a que
este tipo de procesos representan la norma en la industria de procesos químicos.
Se obtiene una especialización adicional cuando existe una entrada y una
salida en el volumen de control. En este caso, se aplica a ambas corrientes la misma rapidez de flujo de masa, riz. Por tanto, la ecuación (7.15) se reduce a
A(H + + u2 + zg)riz = 0 + ti,
(7.16)
donde el subíndice “cf” se ha omitido en este caso sencillo y A denota el cambio
desde la entrada hasta la salida. La división por riz da como resultado
&
Te
ril
m
A(H+ ;u2+zg) = -+- = 0 + ti,
/an+
(7.17)
que constituye un replanteamiento de la ecuación (2.9a). En esta ecuación, cada
término se basa en una unidad de masa del fluido que fluye a través del volumen de
control.
Los términos de energía cinética de los diversos balances de energía desarrollados hasta el momento incluyen la velocidad u, que es la velocidad global promedio definida por la ecuación u = 4pA. Los fluidos que circulan por las tuberías
exhiben un perfil de velocidad, como el que se muestra en la figura 7.2, que aumenta desde cero en la pared (condición de no deslizamiento) hasta un máximo en el
3Un ejemplo de los procesos de estado estable que no es de flujo continuo es un calentado de agua
en el que las variaciones en la rapidez de flujo están compensadas de manera exaota por cambios en
la rapidez con la que se transfiere el calor, de modo que las temperaturas permanecen constantes.
CAPÍTULO 7.
262
Termoo!inámica
de procesos de flujo
centro de la tubería. La energía cinética del fluido en una tubería depende del
perfil de velocidad real. Para el caso donde el flujo es laminar, el perfil de velocidad
es parabólico y la integración a través de la tubería muestra que el término de
energía cinética debe ser uz. En un flujo turbulento completamente desarrollado,
que es el caso más común en la práctica, la velocidad a través de la parte mayor del
tubo no está muy lejos de ser uniforme, y la expresión u2/2, tal como se emplea en
las ecuaciones de energía, es casi correcta.
En todas las ecuaciones presentadas hasta el momento, se supone que la
unidad de energía es el joule, de acuerdo con el sistema SI de unidades. Para el
sistema inglés de unidades, los términos de energía potencial y cinética, cada vez
que éstos aparecen, requieren la división por la constante dimensional g, (véanse
secciones 1.3 y 1.8). Sin embargo, en muchas aplicaciones, se omiten los términos
de energía potencial y cinética, debido a que la magnitud de éstos es despreciable
comparada con la de los demás términos, con excepción de aplicaciones a toberas,
dispositivos de medición, túneles de viento y estaciones de energía hidroeléctrica.
Balance de entropía
Si se escribe para la entropía, la ecuación (7.2) se convierte en
La entropía se transporta a través de la superficie de control de dos maneras:
1. Transporte por medio de transferencia de calor. Si el calor fluye con una
rapidez oj a través de una parte de la superficie de control a una temperatura Ts,j, la rapidez resultante en el transporte de entropía es (!j/Ts,j. La
sumatoria de estos términos proporciona entonces la rapidez neta de transporte de entropía hacia el volumen de control por este mecanismo:
8
cj Tw,j
2. Transporte por corrientes de flujo. Cada corriente lleva con ella entropía para
la cual la rapidez de transporte es Sriz. La rapidez neta de transporte hacia el
volumen de control por este mecanismo es entonces
Por tanto, el término de transporte de entropía es
7.1 Ecuaciones de balance
263
El término de acumulación es la rapidez de cambio con respecto al tiempo de la
entropía total del fluido contenido dentro del volumen de control, d(mS)Jdt. Por
consiguiente, el balance de entropía puede escribirse como
(7.18)
De acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, el término de generación de
entropía es cero para procesos reversibles y positivo para procesos irreversibles; en
consecuencia, ,$J 2 0. Un aumento de entropía refleja las irreversibilidades dentro
del volumen de control, esto es, las irreversibilidades internas.
La dificultad con la ecuación (7.18) es que rara vez es posible identificar la
temperatura T,,j a la cual la rapidez de calor Qj cruza la superficie de control. En
lugar de esto, lo que se conoce son las temperaturas de los alrededores con los
cuales interactúa el volumen de control. Por tanto, sea T,-,j la temperatura de los
alrededores asociada con la rapidez de calor dj y escríbase la identidad matemática
Con esto, la ecuación 7.18 puede escribirse ahora como
donde
por definición
Esta cantidad se identifica como un término adicional de generación de entropía
debido a que refleja las irreversibilidades que ocurren en los alrededores como
resultado de la transferencia de calor a través de diferencias finitas de temperatura (sección 5.7); éstas son irreversibilidades térmicas externas. N&ese que cuando
264
CAPÍTULO 7.
Termodinámica
de procesos de flujo
T, > T,Q el calor se transfiere de los alrededores al volumen de control. En este
caso, tanto la diferencia de temperaturas como la rapidez de calor asociada con
ella, son positivas. Cuando T,Q > T,j entonces, tanto la diferencia de temperaturas como la rapidez de transferencia de calor, son negativas. Por tanto, todos los
términos del miembro derecho de la ecuación anterior son positivos, y Så es necesariamente positivo para la transferencia de calor a través de diferencias finitas de
temperatura, sin importar la dirección.
Las dos cantidades & y SG toman en cuenta los incrementos de entropía en
el volumen de control y en los alrededores, respectivamente. Juntas representan la
rapidez total de generación de entropía como resultado de las irreversibilidades de
cualquier proceso, y pueden combinarse en un solo término:
Con esto, la ecuación de balance de entropía puede ahora escribirse como
(1
(7.19)
Puesto que la segunda ley requiere que el término de generación de entropía
& tota, sea cero o positivo, su omisión permite que el balance de entropía pueda
esCribirse como la desigualdad:
El caso límite de la igualdad se aplica aun proceso que escompletamente reversible,
lo que implica que:
1. El proceso es internamente reversible dentro del volumen de control.
2. La transferencia de calor externo hacia el volumen de control es reversible.
El segundo punto significa ya sea que los alrededores incluyen reservas de calor a
temperaturas Ts,j o que se interponen máquinas de Carnot entre la superficie de
control a temperatura Ts,j y las reservas de calor de los alrededores a temperaturas Trj.
Para un proceso de flujo en estado estable, la masa y la entropía del fluido en
el volumen de control son constantes, y d(mS),,/dt es cero. Con esto, la ecuación
(7.19) se convierte en
7.1 Ecuaciones de balance
265
Si además existe sólo una entrada y una salida, entonces ria es la misma para
ambas corrientes y, después de dividir por +n ,
AS =
Q-
c”+
j EJ
1
~G,total
(7.21)
En esta expresión, cada término está basado en una cantidad unitaria de fluido
que fluye a través del volumen de control.
Ejemplo 7.4 Con referencia al ejemplo 5.5, determine la cantidadm&:ima de calor
que puede transferirse a la reserva a una temperatura de 200%.
SOLUCIÓN
El problema se plantea con el lenguaje introducido en esta sección, pero
se conserva la notación del ejemplo 5.5. El balance de energía de la ecuación (7.17)
se escribe como
Q' + Q, = AH
(4
De manera similar, el balance de entropía de la ecuación (7.21) es
El calor máximo rechazado hacia la reserva caliente ocurre cuando el proceso es
completamente reversible, en cuyo caso So,total = 0. Entonces, de acuerdo con la
última ecuación,
W
Si se combinan las ecuaciones (A) y (B) se resuelve para Q’, entonces
(0
En el ejemplo 5.5 se obtuvieron los valores numéricos para AH y AS:
AH = -2 676.0 kJ kg-’
AS = -7.3554 kJ kg-’ K-l
Con T, = 273.15 K y T’ = 473.15 K, la ecuación (C) da como resultado
Q’ =
=$ (-2 676.0 + 273.15 x 7.3554) = -1 577.7 kJ kg-’
El valor correspondiente de Qw se obtiene mediante la ecuación (4):
CAPÍ!lVLO 7.
266
Terraodinámica
de procesos de flujo
?i = 3 mol s-1
T = 400 K
TiA =
1 mol s-1
TA =
600 K
-
Volumen
de
control
tii3 = 2 mol s-l
- TB =450 K
I
Figura 7.3:
Proceso descrito en el ejemplo 7.5.
Qc = AH-Q’ = -2 676.0 + 1577.7 = -1098.3 kJ kg-’
El valor de Q’ = -1577.7 kJ kg-’ es más pequeño en magnitud que el de -2 000 kJ
kg-’ aseverado por el inventor en el ejemplo 5.5. Tal como se sùgiere en ese ejemplo, la aseveración del inventor implica una rapidez negativa de generación de
entropía.
Ejemplo 7.5 En un proceso de flujo en estado estable, se mezclan continuamente
1 mol s-l de aire a 600 K y 1 atm con 2 mol s-l de aire a 450 K y 1 atm. La corriente
de producto está a 400 K y 1 atm. La figura 7.3 muestra una representación esquemática del proceso. Determine la rapidez con la que se transfiere el calor y la rapidez
de generación de entropía del proceso. Suponga que el aire es un gas ideal con Cp =
(7/2)R, que la temperatura de los alrededores es 300 K y que los cambios de energía
cinética y potencial son despreciables.
SOLUCI6N
De acuerdo con la ecuación (7.15), al remplazar h con ti,
d = AH- ‘I~AHA-
~BHB
= AA(H-HA) + ABW-HB)
= .i~~cp(T- T A) + T~BCP(T--
TB)
= 1 x 3 x 8.314 x (400 - 600) + 2 x ; x 8.314 X (400 - 450)
=-8 729.7 J s-’
Pór la ecuación (7.20), y de nuevo al remplazar ti con ti,
7.1 Ecuaciones de balance
267
Volumen de control
l
1
Figura 7.4:
-
t
-
-
2
Identificación del volumen de control del ejemplo 7.6.
= ~A(~J-SA) + fi~(f?-SB)- $$
LI
=IX z X8.314Xlng + 2 X
i X8.314Xlns(-“,‘,“,““)
=-ll.7986 - 6.8547 + 29.0990 = 10.4457 J K-’
La rapidez de generación de entropía es positiva, como debe serlo para un proceso
real.
Ejemplo 7.6 Considere el flujo irreversible, adiabático y en estado estable de un
fluido incompresible en una tubería horizontal que tiene una área de sección transversal constante. Demuestre que:
a)
La velocidad es constante.
b)
La temperatura aumenta en la dirección del flujo.
c)
La presión disminuye en la dirección del flujo.
SOLUCIÓN
a) La figura 7.4 identifica el volumen de control de interés. De acuerdo
con la ecuación de continuidad, ecuación (7.11),
268
CAPÍTULO
7.
Termodinámica de procesos de flujo
Sin embargo, AZ = Al (área de la sección transversal constante) y V, = VI (fluido
incompresible). De aquí que u:! = ~1.
b) Por el balance de entropía, ecuación (7.20),
Áktota,
= ritc32
- X1)
Para un líquido incompresible con una capacidad calorífica C, el cambio de entropía
está dado por la ecuación (B) del ejemplo 6.2:
Por tanto,
Pero ,$JG,~~~~ es positiva (el flujo es irreversible) y de aquí que, de acuerdo con la
última ecuación, T2 > Tl, la temperatura aumente en la dirección del flujo.
c) lbl como se demostró en a), u2 = UI, y por tanto el balance de energía, ecuación
(7.15), se reduce para las condiciones especificadas a
Hz-H1 = 0
Para un líquido incompresible, el cambio de entalpía está dado por la ecuación (A)
del ejemplo 6.2:
HZ-HI = 6CdT + V(P2-PI)
En
consecuencia,
V(P2 -P1) = -
CdT
Th1 como se demostró en b), T2 > Tl, así que de acuerdo con la última ecuación, P2
< PI, y la presión disminuye en la dirección del flujo.
La repetición de este ejemplo es instructiv? para el caso donde el flujo es
adiabático yreversible.
En este caso, u2 = u1 pero &,bhl = 0. El balance de entropía
entonces muestra que T2 = Tl, en cuyo caso el balance de energía da como resultado
P2 = PI. Por tanto, puede concluirse que el aumento de temperatura en b) y la
disminución de presión en c) se originan por las irreversibilidades de flujo, en particular por las que están asociadas con la fricción del fluido.
269
7.2 Flujo en duetos de fluidos compresibles
7.2
Flujo en duetos
de fluidos compresibles
Problemas tales como determinar el tamaño de las tuberías y la forma de las toberas
requieren de la aplicación del principio del momento de la mecánica de fluidos,4 y
por tanto no pertenecen al campo de la termodinámica. Sin embargo, la termodinámica proporciona ecuaciones que relacionan los cambios que ocurren en la presión, la velocidad, el área de la sección transversal, la entalpía, la entropía y el
volumen específico de una corriente que fluye. En esta sección se considera el flujo
en una dimensión, en estado estable y adiabático de un fluido compresible en ausencia de trabajo de eje y de cambios en la energía potencial. Primero se deducen
las ecuaciones termodinámicas pertinentes y después se aplican al flujo en tubcrías y toberas.
El balance de energía apropiado es la ecuación (7.17). Con Q, W, y AZ todos
iguales a cero, ésta se reduce a
Au
AHs2=o
la que en forma diferencial se convierte en
dH=-udu
(7.22)
lhmbién puede aplicarse la ecuación de continuidad, ecuación (7.11). Puesto que
riz. es constante, su forma diferencial es
d(zd/V = 0
0
dV
du dA =
_---0
v
u
A
(7.23)
La relación de propiedad fundamental adecuada a una unidad de masa de
fluido es la ecuación (6.8):
dH = TdS + VdP
(6.8)
Además, puede considerarse el volumen específico del fluido como una función de
su entropía y presión: V = V(S, P). Entonces,
dV= (g)T + (g)sdP
4Véase W. L. McCabe, J. C. Smith y P Harriott, Unit Operations of Chemica Engineering, 5a.
ed., Sec. 2, McGraw-Hill, Nueva York, 1993; R. H. Perry y D. Green, Aq’s Ch.emicaZ Engineers’
Handbook, 7a. ed., sec. 5, McGraw-Hill, Nueva York, 1996.
CAPÍTULO 7.
270
Termodinámica de procesos de flujo
Esta ecuación puede escribirse de una manera más conveniente como sigue. Primero, se escribe la identidad matemática
Si se sustituyen las dos derivadas parciales del miembro derecho por las ecuaciones
(3.2) y (6.17), entonces
C-1
dV
as,
=pvT
cp
donde B es la expansividad del volumen. La ecuación deducida en física para la
velocidad del sonido c en un fluido es
c2=-J7‘2
dP
( aV 1 s
Por consiguiente,
av
ap
s 2
(-1 =-VZ
Si se sustituyen ahora las dos derivadas parciales de la ecuación por dV, se tiene
entonces
dV
PT
-=
cdS- 1,
V
P
c2
(7.24)
Las ecuaciones (7.22), (7.23), (6.8) y (7.24) soncuatro expresiones que relacionan seis diferenciales -dH, du, dy dA, dS y dP. Por tanto, se considerarán a dS
y a dA como dos variables independientes y se desarrollarán ecuaciones que expresen las demás variables en función de estas dos.
Primero, se combinan las ecuaciones (7.22) y (6.8):
TdS + VdP = -u du
0
- d u- = +(TdS + VdP)
U
(7.25)
7.2 Flujo en duetos
271
de fluidos compresibles
Si se sustituyen esta ecuación y la (7.24) en la (7.23), se obtiene, después de
reacomodar términos,
TdS- $dA = 0
(7.26)
donde M es el número Mach, definido como el cociente de la velocidad del fluido en
el dueto y la velocidad del sonido en el fluido, u/c. La ecuación (7.26) relaciona dP
con dS y dA.
Las ecuaciones (7.25) y (7.26) pueden combinarse para eliminar a VdP, con
lo que se obtiene lo siguiente, después de reacomodar términos,
udu-
(7.27)
Esta ecuación relaciona du con dS y ti. Si se combina con la ecuación (7.22), ésta
entonces relaciona a dH con dS y OTA, y si se combina con la (7.23), relaciona a dV
con las mismas variables independientes.
Las diferenciales en las ecuaciones anteriores representan cambios en el fluido a medida que éste recorre una longitud diferencial de su trayectoria. Si esta
longitud es dx, entonces cada una de las ecuaciones de flujo puede dividirse por dx.
Con esto, las ecuaciones (7.26) y (7.27) se convierten entonces en
V(l-M’)z + T
(7.28)
du
u - - T
dx
Se desprende entonces, de la segunda ley, que para el flujo adiabático las
irreversibilidades debidas a la fricción del fluido provocan que la entropía aumente en la dirección del flujo, con el valor límite de la rapidez de incremento
CAFfTlZO 7.
272
Termodinámica de procesos de flujo
igual a cero cuando el flujo tiende a la reversibilidad. En general, entonces, se
tiene que
Flujo en tuberías
Considérese un fluido compresible en flujo adiabático en estado estable en una
tubería horizontal que tiene una área de sección transversal constante. Para este
caso, dA/dx = 0 y las ecuaciones (7.28) y (7.29) se reducen a
dP =-T
cik
v
Y
du
u- = T
dx
Para flujo subsónico, M” < 1, y todas las cantidades de los miembros derechos de
estas ecuaciones son positivas; como resultado se tiene entonces
-<o
dx
Y
g>o
Por tanto, la presión disminuye y la velocidad aumenta en la dirección del flujo.
Sin embargo, la velocidad no puede aumentar indefinidamente. Si la velocidad
fuese mayor que la del sonido, entonces las desigualdades anteriores se invertirían.
Tal transición no es posible en una tubería que tiene una área de sección transversal constante. Para flujo subsónico, la velocidad máxima de flujo que puede obtenerse
en una tubería que tiene una área de sección transversal constante es la velocidad
del sonido, y este valor se alcanza en la salida de la tubería. En este punto, dS/dx
alcanza su valor límite de cero. Dada una presión de descarga suficientemente
baja como para que el flujo se vuelva sónico, el aumento en el tamaño de la tubería
7.2 Flujo en duetos de fluidos compresibles
273
no altera este resultado; la rapidez del flujo de masa disminuye de modo que siga
obteniéndose la velocidad sónica en la salida de la tubería aumentada.
Las ecuaciones para el flujo en tuberías indican que cuando el flujo es supersónico la presión aumenta y la velocidad disminuye en la dirección del flujo. Sin
embargo, tal régimen de flujo es inestable, y cuando entra una corriente supersónica a una tubería con una sección transversal constante, entonces sucede un impacto de compresión, cuyo resultado es un aumento abrupto y finito de la presión y
una disminución en la velocidad hasta un valor subsónico.
Toberas
Las limitaciones observadas para el flujo en tuberías no se extienden a toberas
diseñadas de manera apropiada, las cuales provocan el intercambio de energía
interna y cinética de un fluido como resultado de un cambio en el área de la sección
transversal disponible para el flujo. La relación entre la longitud de la tobera y el
área de la sección transversal no es susceptible al análisis termodinámico, sino que
es un problema de la mecánica de fluidos. En una tobera diseñada de manera
apropiada, el área cambia con la longitud de modo que el flujo se haga casi sin
fricción. En el límite de flujo reversible, la rapidez con la que aumenta la entropía
tiende a cero con lo que dS/dx = 0. En este caso, las ecuaciones (7.28) y (7.29) se
convierten en
du
- =-dx
Las características del flujo dependen de si éste es subsónico (M < 1) o supersónico (M > 1). La tabla 7.1 resume varios casos.
En consecuencia, para el flujo subsónico en una tobera convergente, la velocidad aumenta y la presión disminuye a medida que el área de la sección transversal disminuye. La velocidad máxima del fluido que puede obtenerse es la del sonido, la cual se alcanza en la garganta. Un aumento adicional de velocidad y una
disminución en la presión requerirían un aumento en el área de la sección transversal, esto es, una sección divergente. Como consecuencia de lo anterior, puede
emplearse una tobera subsónica convergente para proporcionar una rapidez de
flujo constante a una región de presión variable. Supóngase que un fluido
compresible entra a una tobera convergente con una presión PI y se descarga de la
tobera a una cámara de presión variable Pz. A medida que esta presión descarga se
disminuye por debajo de PI, la rapidez de flujo y la velocidad aumentan. Finalmen-
274
CAPÍTULO 7.
‘hbla 7.1:
Carmterístiw de flujo para una tobera.
Subsónico: M < 1
Convewente
CL4
ii
-
dP
ii
du
z
Termodinámica de procesos de flujo
+
Divergente
SuDersónico: M > 1
Convergente Divergente
+
-
+
+
+
-
-
+
te, el cociente de presión P2/P1 alcanza un valor crítico para el cual la velocidad en
la garganta es sónica. Una reducción adicional en P2 no tiene efecto sobre las
condiciones en la tobera. El flujo permanece constante, y la velocidad en la garganta es sónica, sin importar el valor de P2/P1, siempre y cuando éste sea menor que el
valor crítico. Para el vapor de agua, el valor crítico de este cociente es aproximadamente 0.55 a temperaturas y presiones moderadas.
F’igura
7.5: Tobera convergente/divergente.
Las velocidades supersónicas se obtienen con facilidad en la sección divergente de una tobera convergenteldivergente y disecada de manera apropiada (figura 7.5). Cuando se alcanza la velocidad sónica en la garganta, una disminución
adicional en la presión requiere un aumento en el área de la sección transversal, lo
que constituye una sección divergente en la que la velocidad continúa aumentando.
La transición ocurre en la garganta, donde dA/& = 0. El ejemplo 7.7 ilustra
numéricamente las relaciones entre la velocidad, el área y la presión en una tobera
convergenteldivergente.
La velocidad del sonido se obtiene en la garganta de una tobera convergente/
divergente sólo cuando la presión en la garganta es lo suficientemente baja como
para alcanzar el valor crítico de P2/P1. Si la caída de presión disponible en la tobera
es insuficiente para hacer que la velocidad se vuelva sónica, entonces la sección
divergente de la tobera actúa como un difusor. Esto es, después de llegar a la
7.2 Flujo en duetos
de fluidos compresibles
275
garganta, la presión aumenta y la velocidad disminuye, siendo éste el comportamiento convencional del flujo subsónico en secciones divergentes.
Si el fluido se comporta como un gas ideal, entonces la relación entre la velocidad y la presión en una tobera isentrópica puede expresarse analíticamente. La
combinación de las ecuaciones (6.8) y (7.22) para flujo isentrópico da como resultado
u du = -VdP
Cuando un gas ideal con capacidades caloríficas constantes experimenta una expansión isentrópica, la ecuación (3.24) proporciona una relación entre P y V: PVr
= constante. Después de eliminar V de la ecuación anterior e integrar,
u; -uf = - 2
(7.30)
donde las condiciones en la entrada de la tobera están indicadas por el subíndice 1.
La ecuación (7.30) puede resolverse para la relación de presión P‘JP, a la cual se
alcanza la velocidad del sonido. Recuérdese que la ecuación para la velocidad del
sonido es:
c2=-$7‘2
dP
( dV 1 s
La diferenciación de la relación PVr = constante con respecto a Va entropía constante, da como resultado
Si se sustituye esta derivada en la ecuación para la velocidad del sonido y se aplica
el resultado a la sección que va corriente abajo, se tiene que
c2 = yP2V2
Con este valor para ui en la ecuación (7.30) y con u1 = 0, la solución para el
cociente de presión en la garganta es
2= _ _ 2_ _
e
( Y+l 1
P
Y/(Y
-1)
(7.31)
276
CAPÍTUL,O 7.
Termodinámica de procesos de flujo
Ejemplo 7.7 Una tobera de alta velocidad está diseñada para trabajar con vapor
de agua a 700 kPa y 300%. En la entrada de la tobera, la velocidad es 30 m s-l.
Calcule los valores del cocienteA/Al (donde Al es el área de la sección transversal de
la entrada de la tobera) para las secciones donde la presión es 600, 500,400,300 y
200 kPa. Suponga que la tobera trabaja isentrópicamente.
SOLUCIÓN
Los cocientes de área requeridos están dados por la ecuación (7.11):
La velocidad u se obtiene a partir de la forma integrada de la ecuación (7.22)
u2 = u21 -2w-ffl)
Con unidades para la velocidad de m s-l, u2 tiene unidades de m2 s-~. Las unidades
de J kg-’ para H son consistentes con éstas,5 debido a que 1 J = 1 kg m2 sw2, de aquí
que 1 J kg-’ = 1 m2 s-~.
De las tablas de vapor, se tienen los siguientes valores iniciales para la entropía,
la entalpía y el volumen específico:
81 = 7.2997 kJ kg-’ K-’
HI = 3 059.8 x lo3 J kg-’
VI = 371.39 cm3 g-’
Por tanto,
30
v
(
1
371.39
u
A,= __ -
(Al
u2 = 900 - 2(H - 3 059.8 x 103)
W
A
Y
Puesto que el proceso de expansión es isentrópico, S = SI, y de las tablas de
vapor a 600 kPa,
S = 7.2997 kJ kg-’ K-’
H = 3 020.4 x lo3 J kg-’
V = 418.25 cm3 g-l
De la ecuación (B),
‘Cuando las unidades de u son (ft)(s)-‘, H en (Btu)(lb,&’ debe multiplicarse por 778.16(ft
Ibf)(Btu)-’ y por la constante dimensional gc = 32.174 (lb,)(ft)(lb&‘(s)“.
277
7.2 Flujo en duetos de fluidos compresibles
u = 282.3 m s-l
y por la ecuación (A),
$=(&)(.y) = 0.120
Los demás cocientes de áreas para las otras presiones se evalúan de la misma manera y los resultados se resumen en la tabla siguiente. La presión en la garganta de la
tobera es aproximadamente 380 kPa. Es evidente que a presiones más bajas, la
tobera es divergente.
P/kPa
V/cm3
700
600
500
400
300
200
371.39
418.25
481.26
571.23
711.93
970.04
g-l u/m s-l
A/Al
30
282.3
411.2
523.0
633.0
752.2
1.0
0.120
0.095
0.088
0.091
0.104
Ejemplo 7.8 Considere de nuevo la tobera del ejemplo 7.7 y suponga ahora que el
vapor de agua se comporta como un gas ideal. Calcule:
a)
El cociente crítico de presiones y la velocidad en la garganta.
71)
La presión de descarga si se necesita un número Mach de 2.0 en la salida de
la tobera.
SOLUCIÓN
a) El cociente de calores específicos para el vapor de agua es aproximadamente 1.3. Al sustituir éste en la ecuación (7.31),
P
2
.-AL=
1.3
+ 11
(
P,
1.3/(1 3-1)
= 0.55
La velocidad en la garganta, que es igual a la del sonido, puede obtenerse con la
ecuación (7.30). Cuando las unidades de P1 son Pa (1 Pa = 1 kg m-l s?) y de VI son
m3 kg-‘, las del producto P,Vl son m2 s-‘, que son unidades de velocidad al cuadrado.
Para el vapor como gas ideal,
RT
(8.314)(573.15)
P,Vl = 1 x 10” =
M
18.015
x 10m3
La sustitución en la ecuación (7.30) da como resultado
= 264 511 m2 se2
CAPÍTULO 7.
278
2
~gargaanta
= (30)2 +
Termoo!inámica
de procesos de flujo
(yy; [l _ (()55)(1.3
-1)/1.3]
= 900 + 295 422 = 296 322
Ugarganta = 544.4 m s-l
Estos resultados concuerdan con los valores obtenidos en el ejemplo 7.7, dado que el
vapor bajo estas condiciones se aproxima mucho al gas ideal.
b) Para un número Mach de 2.0 (basado en la velocidad del sonido en la garganta de la tobera), la velocidad de descarga es 1 079.4 m s-l. La sustitución de este
valor en la ecuación (7.30) permite el cálculo del cociente de presión:
(1 079.4)s = (30)2 = (2)(1.;):~~;511)
0
P
(1 3s1),1 3
P,
= 0.492
Entonces,
Pz = (0.0463)(700)
= 32.4 kPa
Procesos de estrangulamiento
Cuando un fluido fluye a través de un estrechamiento, tal como un orificio, una
válvula parcialmente cerrada o una obstrucción porosa, sin ningún cambio apreciable en la energía cinética, el resultado principal del proceso es una caída de
presión en el fluido. Este proceso de estrangulamiento no produce trabajo de eje y
da como resultado un cambio despreciable en su elevación. En ausencia de transferencia de calor, la ecuación (7.17) se reduce a
AH=0
0
Hz = HI
Por tanto, el proceso ocurre a entalpía constante.
279
7.2 Flujo en duetos de fluidos compresibles
Puesto que la entalpía de un gas ideal depende sólo de la temperatura, entonces el proceso de estrangulamiento no cambia la temperatura de un gas ideal. Para
muchos gases reales a condiciones de presión y temperatura moderadas, una reducción en la presión a entalpía constante da como resultado una disminución en
la temperatura. Por ejemplo, si el vapor de agua a 1000 kPa y 300°C se estrangula hasta 101.325 kPa (presión atmosférica),
Hz = H1 = 3 052.1 kJ kg-’
La interpolación en las tablas de vapor para esta entalpía y a una presión de
101.325 kPa indica una temperatura corriente abajo de 288.8OC. La temperatura
ha disminuido, pero el efecto es pequeño. El siguiente ejemplo ilustra el uso de
correlaciones generalizadas en los cálculos de un proceso de estrangulamiento.
Ejemplo 7.9 Se estrangula gas propano a 20 bar y 400 K en un proceso de flujo
estable hasta 1 bar. Estime la temperatura final del propano y su cambio de entropía.
Las propiedades del propano pueden obtenerse a partir de correlaciones generalizadas apropiadas.
SOLUCIÓN La aplicación de la ecuación (6.68) a este proceso de entalpía constante
da como resultado
A H = (@)&T2-Tl)
+ H,” - H,R = 0
Si se supone gue el propano en su estado final a 1 bar es un gas ideal, entonces H,”
= 0 y, de la ecuación anterior,
T2 = 5 + TI
(CP>lf
(4
Para el propano,
TC = 369.8 K
PC = 42.48 bar
w = 0.152
Por tanto, para el estado inicial,
TV1 = 400 = 1.082
369.8
Pr1 = 20 = 0.471
42.48
Bajo estas condiciones, la correlación generalizada basada en los segundos coefícientes viriales es satisfactoria (véase figura 3.15), y el procedimiento computacional de
las ecuaciones (3.50), (6.64), (3.51) y (6.65) está representado por (sección 6.6)
HRB(1.082,0.471,0.152)
de aquí gue
=-0.452
280
CAPÍTULO 7.
HF = (8.314)(369.8)(-0.452)
Termodinámica de procesos de flujo
= -1 390 J mal-l
La única cantidad que falta por evaluar en la ecuación (A) es (C$ )H. Si se
toman de la tabla C. 1 los datos para el propano, entonces
c: = 1.213 + 28.785 x 10-3T- 8.824 x 10-6p
R
Para un cálculo inicial, supóngase que ( cp’ )H tiene aproximadamente el valor de
C$ a la temperatura inicial de 400 K. Con esto se obtiene el valor
( C$ )H = 94.07 J mal-’ K-l
Con esto, la ecuación (A) proporciona ahora lo siguiente
-1390
T2 = ~ + 400 = 385.2 K
94.07
Es evidente.que el cambio de temperatura es pequeño, con lo que puede volverse a
evaluar ( Cj? )H para obtener una aproximación excelente mediante el cálculo de C$’
para una temperatura igual al promedio aritmético,
T ma =
400 + 385.2 = 3g2 6 K
2
Con esto se obtiene
(C$ )H = 92.73 J mal-’ K-’
y el recálculo de Tz con la ecuación (A) proporciona el valor final:
T2 = 385.0 K
El cambio de entropía del propano está dado por la ecuación (6.69), la cual se
convierte en este caso en
AS = (C$),ln$ -Rlng - flp
1
1
Puesto que el cambio de temperatura es tan pequeño, puede tomarse
( C$ ),y = ( C$ )H = 92.73 J mal-’ K-’
El cálculo de 8: con la ecuación (6.63) da como resultado
8,” = -2.437 J mal-’ K-’
7.2 Flujo en duetos de fluidos compresibles
281
Entonces,
AS = 92.73 In=
4 0 0 - 8.314 In -2, + 2.437 = 23.80 J mal-’ K-I
El valor positivo refleja la irreversibilidad del proceso de estrangulamiento.
Cuando se estrangula vapor húmedo hasta una presión suficientemente baja,
el líquido se evapora y el vapor se sobrecalienta. Por tanto, si se estrangula vapor
húmedo a 1000 kPa (twt = 179.88”C) con una calidad de 0.96 hasta 101.325 kPa,
H2 = HI = (0.04)(762.6) + (0.96)(2 776.2) = 2 695.7 kJ kg-’
El vapor con esta entalpía a 101.325 kPa tiene una temperatura de 109.8”C y está
sobrecalentado (Pt = lOOoC). En este caso, la considerable caída de temperatura
es resultado de la evaporación del líquido. Si se estrangula un líquido saturado
hasta una presión más baja, parte del líquido se vaporiza o evapora súbitamente,
produciendo una mezcla de líquido y vapor saturados a la presión más baja. Por
tanto, si se evapora súbitamente agua líquida saturada a 1000 kPa (Pt = 179.88”C)
hasta 101.325 kPa (tsat = lOOoC),
H2 = HI = 762.6 kJ kg-l
A 101.325 kPa la calidad de la corriente resultante se obtiene con la ecuación
(6.57):
762.6 = (1 -x)(419.1) + x(2 676.0)
= 419.1 + ~(2 676.0 - 419.1)
De aquí que,
x = 0.152
Figura 7.6:
Flujo de estado estable a través de una turbina o expansor.
282
CAPÍTULO 7.
Termodinámica de procesos de flujo
Por tanto, el 15.2 por ciento del líquido original se vaporiza en el proceso. De
nuevo, la gran caída de temperatura se debe a la vaporización del líquido.
Los procesos de estrangulamiento encuentran aplicación frecuente en la refrigeración (capítulo 9).
7.3 Turbinas (expansores)
La expansión de un gas en una tobera para producir una corriente de alta velocidad es un proceso que convierte energía interna en energía cinética. Esta energía
cinética puede a su vez convertirse en trabajo de eje cuando el flujo pega en los
álabes de una flecha giratoria. Es así como una turbina (o expansor) está formada
por un conjunto alterno de toberas y álabes giratorios a través de los cuales fluye
vapor o gas en un proceso de expansión de estado estable, cuyo efecto global es la
conversión eficiente de la energía interna de una corriente de alta presión en trabajo de eje. Cuando el vapor de agua proporciona la fuerza motriz, como sucede en
una planta de energía, el dispositivo se conoce como turbina; cuando se utiliza gas
a alta presión como fluido de trabajo, como puede ser el amoniaco o el etileno en
una planta química o petroquímica, el dispositivo se conoce a menudo como expansor.
En cualquier caso, el proceso se muestra en la figura 7.6.
Las ecuaciones (7.16) y (7.17) constituyen relaciones de energía apropiadas.
Sin embargo, puede omitirse el término de energía potencial, debido a que el cambio en la elevación es pequeño. Por otra parte, en cualquier turbina diseñada de
manera apropiada, la transferencia de calor es despreciable y las tuberías de entrada y salida tienen un tamaño tal que las velocidades del fluido son casi iguales.
Por tanto, las ecuaciones (7.16) y (7.17) se reducen a
tis = rhAH
S
F’igura
7.7:
Proceso de expansión adiabática en una turbina o expansor.
(7.32)
283
7.3 Turbinas (expansores)
Y
w, = AH
(7.33)
Normalmente, se conocen las condiciones en la entrada TI y Pr y la presión
de descarga P2. Por tanto, en la ecuación (7.33) sólo se conoce a HI, quedando Hz
y W, como incógnitas. La ecuación de energía por sí sola no permite la realización
de cálculos. Sin embargo, si el fluido en la turbina experimenta un proceso de
expansión que seareversible
y también adiabático, entonces el proceso es isentrópico,
y Ss = Sr. Esta segunda ecuación permite determinar el estado final del fluido y,
por tanto, aHs. Para este caso especial, puede evaluarse a W, mediante la ecuación
(7.33), escrita como
W, = (isentrópico) = (AH)s
(7.34)
El trabajo de eje dado por la ecuación (7.34) es numéricamente el máximo
que puede obtenerse de una turbina adiabática con condiciones de entrada y presión de descarga dadas. Las turbinas reales producen menos trabajo debido a que
el proceso de expansión real es irreversible. Por tanto, se define la eficiencia de una
turbina como
7’
w,
W, (isentrópico)
donde W, es el trabajo de eje real. De acuerdo con las ecuaciones (7.33) y (7.34)
AH
77= am,
(7.35)
Los valores de T.I para turbinas o expansores diseñados de manera apropiada usualmente se encuentran entre 0.7 y 0.8.
La figura 7.7 muestra un diagrama HS en el cual se comparan el proceso de
expansión real en una turbina y el proceso reversible para las mismas condiciones
de entrada y presión de descarga. La trayectoria reversible es una línea vertical de
entropía constante que va del punto 1 donde la presión de entrada es PI al punto
2’, donde la presión P2 es la de descarga. La línea que representa el proceso irreversible real comienza también en el punto 1, pero está dirigida hacia abajo y a la
derecha, en la dirección en la cual aumenta la entropía. Puesto que el proceso es
adiabático, las irreversibilidades provocan un aumento en la entropía del fluido. El
proceso termina en el punto 2, sobre la isobara para P2. Entre más irreversible sea
el proceso, este punto se encontrará más a la derecha de la isobara para P2, y la
eficiencia q del proceso será menor.
Ejemplo 7.10 Una turbina de vapor de agua con una capacidad de 56 400 kW
trabaja con vapor. Las condiciones de entrada del vapor son 8 600 kPa y 5OO”C, y la
CAPÍTULO 7.
284
Termodinámica de procesos de flujo
descarga se hace en un condensador a una presión de 10 kPa. Si se supone que la
eficiencia de la turbina es 0.75, determine el estado del vapor en el punto de descarga
y la rapidez de flujo de masa del vapor.
SOLUCIÓN Para las condiciones de entrada de 8 600 kPa y 500°C, los siguientes
valores se obtienen de las tablas de vapor:
H1 = 3 391.6 kJ kg-l
S1 = 6.6858 kJ kg-’ K-’
Si la expansión a 10 kPa es isentrópica, entonces
8; = S1 = 6.6858
El vapor con esta entropía a 10 kPa es húmedo, con lo que se aplica la ecuación
(6.57) con M = S:
s = (1 - s”)Sl + YS” = sE + T?(S” - Sl)
Entonces
6.6858 = 0.6493 + ~;(8.1511- 0.6493)
Y
X2’ = 0.8047
Ésta es la calidad (fracción de vapor) del flujo de descarga en el punto 2’. La entalpía
Hz’ también está dada por la ecuación (6.57), escrita como
H=HL+x”(W-HL)
En
consecuencia,
H; = 191.8 + 0.8047(2 584.8 - 191.8) = 2 117.4 kJ kg-’
Y
(LU& = H; -HI = 2 117.4 - 3 391.6 = -1274.2 kJ kg-’
De acuerdo con la ecuación (7.35),
se tiene entonces
AH = Ti = (0.75)(-l 274.2) = -955.6 kJ kg-’
de aquí que
Hz = HI + AH = 3 391.6 - 955.6 = 2 436.0 kJ kg-’
285
7.3 Turbinas (expansores)
Por tanto, el vapor en el estado final también es húmedo, y su calidad se encuentra
con la ecuación:
2 436.0 = 191.8 + ~(2 584.8 - 191.8)
cuya solución es
x2 = 0.9378
Finalmente,
S2 = 0.6493 f (0.9378)(8.1511- 0.6493) = 7.6846 kJ kg-’ K-’
Este valor puede compararse con el valor inicial de Sr = 6.6858.
La rapidez de flujo del vapor se encuentra con la ecuación (7.32). Para - w,
56 400 kW o 56 400 kJ s-l, se tiene
=
-56 400 = liz (2 436.0 - 3 391.6)
Y
rix = 59.02 kgs-’
El ejemplo 7.10 fue resuelto con ayuda de las tablas de vapor. Cuando no se
tiene a la mano un conjunto comparable de tablas para el fluido en cuestión, entonces pueden emplearse las correlaciones generalizadas de la sección 6.6 en conjunción con las ecuaciones (6.68) y (6.69), como se ilustra en el siguiente ejemplo.
IQemplo 7.11 Un flujo de gas etileno a 300°C y 45 bar se expande adiabáticamente
en una turbina hasta 2 bar. Calcule el trabajo isentrópico producido. Determine las
propiedades del etileno por:
a) Ecuaciones para un gas ideal.
b)
Correlaciones generalizadas apropiadas.
Los cambios de entalpía y entropía del proceso están dados por las
ecuaciones (6.68) y (6.69):
SOLUCIÓN
AH=(C$)H(T2-~1)
+ H; - HF
(6.68)
Y
A S = (C:)sln$ -Rln$ + Sp - Sf
1
(6.69)
1
Como valores dados, se tiene PI = 45 bar, P2 = 2 bapy Tl = 300 + 273.15 = 573.15.
286
CAPÍTULO 7.
Temodinámica de procesos de flujo
a) Si se supone al etileno como gas ideal, entonces todas las propiedades residuales
son cero, y las ecuaciones anteriores se reducen a
A H = (C;)H(T2-TJ
Y
AS = (Cc)sln$ -Rln$
1
1
Para un proceso isentrópico, AS = 0, y la última ecuación se convierte en
(CP>,
R
ln$ = ln$ = In; = -3.1135
1
1
-3.1135
In Tc = ~ + In 573.15
(C$ ),lR
Entonces
T2 = exp
IJa ecuación (5.17) PrOpOrCiOna
computacionales está representada
-3.1135
(CF),lR
+ 6.3511
una expresión para (cF)dR,
por
(-4)
la Cual para fines
MCPS(573.15,T2;1.424,14.394E-3,-4.392E-6,0.0)
donde las constantes para el etileno provienen de la tabla C.l. La temperatura Tz se
encuentra de manera conveniente por iteración. Para ello se propone un valor inicial
para el cálculo de ( Cr)dR. Con esto, la ecuación (A) proporciona entonces un nuevo
valor de Tz a partir del cual se vuelve a calcular ( Cc)dR, y el procedimiento continúa
hasta que se obtiene la convergencia en el valor final:
T2 = 370.8 K
Entonces
W,(isentrópico)
= (AH)8
= ( CF)H(T~ - Tl)
El valor de ( CF)H/R está dado por la ecuación (4.8); para fines de cálculo se tiene
MCPH(573.15,370.8;1.424,14.394E-3,-4.392E-6‘0.0)
= 7.224
287
7.3 Turbinas (expansores)
de aquí que
W,(isentrópico))
= (7.224)(8.314)(370.8
- 573.15) = -12 153 J mal-’
b) Para el etileno,
Tc = 282.3 K
PC = 50.4 bar
w = 0.087
En el estado inicial,
573.15 = 2 . 0 3 0
TTl = ~
282.3
p ,.’ = 45 = 0 ’ 893
50.4
De acuerdo con la figura 3.15, las correlaciones generalizadas basadas en los segundos coeficientes viriales deben resultar en este caso satisfactorias. Los procedimientos computacionales de las ecuaciones (3.50), (3.51) y (6.62) a (6.65) están representados por
HRB(2.030,0.893,0.087) = -0.234
Y
SRB(2.030,0.893,0.087) = -0.097
Entonces
HP = (-0.234)(8.314)(282.3) = -549 J mal-’
Y
í5’: = (-0.097)(8.314) = -0.806 J mal-’ K-l
Con la finalidad de obtener una estimación inicial de S,” , se supondrá que T2 =
370.8 K, que es el valor determinado en el inciso a). Entonces
T, = 370.8 = 1.314
282.3
P, = & = 0.040
de donde
SRB(1.314,0.040,0.087) =-0.0139
Y
Sc = (-0.0139)(8.314) = -0.116 J mal-’ K-’
Si el proceso de expansión es isentrópico, la ecuación (6.69) da como resultado
CApfTuLO
7.
Termodinámica de procesos de flujo
0 = (cg)&l~ - 8.314 1,; - 0.116 + 0.806
573.15
a partir de la cual
-26.576
T
ln2=573.15
(CC>,
+6.3511
Si se sigue un proceso de iteración idéntico al del inciso a), se obtiene entonces el
resultado
T2 = 365.8 K
Para calcular de nuevo 82, se tiene ahora que
TQ = 1.296
P, = 0.040
de aquí que
SRB(1.296,0.040,0.087) = -0.0144
Y
8: = (-0.0144)(8.314) = -0.120 J mal-’ K-’
Este resultado representa un cambio tan pequeño a partir del valor inicial que es
innecesario volver a recalcular Tz. Por consiguiente, se evalúa H,” en las condiciones reducidas ya establecidas,
HRB(1.296,0.040,0.087)
~-0.0262
Y
H,” = (-0.0262)(8.314)(282.3) = -61 J mal-’
De la ecuación (6.68),
(AH)8 = (C$)&365.8 - 573.15) - 61 + 549
Al evaluar (Cr), como en el inciso a) con Tz = 365.8 K, se obtiene
289
7.4 Fkocesos de compresión
Figura 7.8:
Proceso de compresión de estado estable.
(Cr), = 59.843 J mal-’ K-l
de donde
(AH)8 = -11920 J mal-’
Y
W,(isentrópico)
= (AZ-I)8
= -11 920 J mal-’
7.4 Procesos de compresión
Del mismo modo que los procesos de expansión dan como resultado disminuciones
de presión en el fluido que fluye, los procesos de compresión provocan aumentos en
la presión. Los compresores, las bombas, los ventiladores y las bombas de vacío
son dispositivos diseñados para este propósito. Estos son importantes para el transporte de fluidos, fluidización de partículas sólidas y para aumentar la presión de
los fluidos para reacción o procesamientos, etc. En esta sección el interés no se
centra en el diseño de estos dispositivos, sino en la especificación de los requerimientos de energía para la compresión en estado estable de fluidos, desde una
presión dada hasta otra más grande.
Compresores
La compresión de gases puede lograrse en equipos que tienen aspas giratorias
(como una turbina que funciona en reversa) o en cilindros con pistones reciprocantes.
El equipo giratorio se emplea para flujos de altovolumen, donde la presión de
CAPflTXO 7.
290
F’igura 7.9:
Termodimímica
de procesos de flujo
Proceso de compresión adiabática.
descarga no es demasiado alta. Para presiones altas, se requieren compresores
reciprocantes.
Las ecuaciones de energía son independientes del tipo de equipo; por otra
parte, éstas son las mismas que las de las turbinas y expansores, debido a que
también se supone que los cambios en las energías cinética y potencial son despreciables. Por tanto, las ecuaciones (7.32) a (7.34) se aplican a la compresión
adiabática, un proceso representado por la figura 7.8.
En un proceso de compresión, el trabajo isentrópico, tal como está dado por
la ecuación (7.34), es el trabajo de eje w&r&ao requerido para comprimir el gas
desde un estado inicial hasta otro final con una presión de descarga dada. Por
consiguiente, la eficiencia de un compresor se define como
VS W, (isentrópico)
w,
De acuerdo con las ecuaciones (7.33) y (7.34),
dada por
la eficiencia también está
(7.36)
Usualmente las eficiencias de los compresores se encuentran entre 0.7 y 0.8. En la
figura 7.9 se muestra un proceso de compresión sobre un diagrama HS. La trayectoria vertical que va del punto 1 al 2 ’ representa el proceso de compresión isentrópico
de Pr a Pe. El proceso de compresión real sigue una trayectoria que va del punto 1
291
7.4 Procesos de compresión
hacia arriba y a la derecha en la dirección en la que aumenta la entropía, terminando en el punto 2 sobre la isobara que corresponde a Pz.
Ejemplo 7.12 Vapor de agua saturado a 100 kPa (tsat = 99.63%) se comprime
adiabáticamente hasta 300 kPa. Si la eficiencia del compresor es 0.75, incuál es el
trabajo requerido y cuáles son las propiedades del flujo de descarga?
SOLUCIÓN
Para el vapor saturado a 100 kPa,
íf& = 7.3598 kJ kg-l K-’
HI = 2 675.4 kJ kg-’
Para la compresión isentrópica hasta 300 kPa,
í3; = S1 = 7.3598 kJ kg-’ K-l
Por interpolación en las tablas de vapor sobrecalentado a 300 kPa, se tiene que cl
vapor con esta entropía tiene una entalpía de
H: = 2 888.8 kJ kg-’
Por tanto,
(AH)s = 2 888.8 - 2 675.4 = 213.4 kJ kg-’
De acuerdo con la ecuación (7.36),
m= i!!!%=213.4
71
0.75
=284,,5kJkg-’
de aquí que
Hz = HI + AH = 2 675.4 + 284.5 = 2 959.9 kJ kg-’
De nuevo por interpolación, se encuentra que el vapor sobrecalentado con esta entalpía
tiene las propiedades adicionales:
Tz = 246.1”C
EJ2 = 7.5019 kJ kg-’ K-’
Por otra parte, de acuerdo con la ecuación (7.33), el trabajo requerido es
W, = AH = 284.5 kJ kg-’
La aplicación directa de las ecuaciones (7.32) a (7.34) presupone la disponibilidad de tablas de datos o de un diagrama termodinámico equivalente para el
fluido que se comprime. Cuando esta información no se tiene disponible, entonces
pueden emplearse las correlaciones generalizadas de la sección 6.6 en conjunción
CAPfTlZO 7.
292
Termodinámica de procesos de flujo
con las ecuaciones (6.68) y (6.69), del mismo modo que el ilustrado en el ejemplo
7.11 para un proceso de expansión.
La suposición de gases ideales conduce a ecuaciones de relativa simplicidad.
De acuerdo con la ecuación (5.18), para un gas ideal
AZ = (Cp)Sln$ -R In+
1
(5.18)
1
donde por simplicidad se ha omitido de la capacidad calorífica promedio la notación de superíndice “gi.” Si la compresión es isentrópica, AS = 0, entonces esta
ecuación se convierte en
RI(G)s
(7.37)
donde Ti es la temperatura que resulta cuando la compresión desde Tl y PI hasta
P2, es isentrópica y donde ( C$ )S es la capacidad calorífica promedio para el intervalo de temperatura de TI a Tl .
El cambio de entalpía para una compresión isentrópica está dado por la
ecuación (4.9), la cual se escribe como
GWs = (cl, hd T2 - TI)
De acuerdo con la ecuación (7.34), se tiene entonces
W,(isentrópico)
= (Cl, )ff( T,’ - TI)
(7.38)
Este resultado puede combinarse con la eficiencia del compresor para obtener
w = W,(isentrópico)
s
17
(7.39)
La temperatura de descarga real T2, que es resultado de la compresión, también se
obtiene mediante la ecuación (4.9), la cual ahora se escribe como
Aff = GhdT2 - TI)
de aquí que
7’2
AH
= Tl + (cp>,
(7.40)
7.4 Procesos de compresión
293
donde,
por la ecuación (7.33), AH = W,. En este caso, (C~)H es la capacidad
calorífica promedio para el intervalo de temperatura de Tl a Tz.
Para el caso especial de un gas ideal con capacidades caloríficas constantes,
(C’p)H =
(CPh =
(c:,h =
CP
Por tanto, las ecuaciones (7.37) y (7.38) se convierten en
RICP
Y
WJisentrópico) = Cp( T,’ - TI)
La combinación de estas ecuaciones da como resultado6
K) 1
RICp
W,(isentrópico) = CpT1
5
-1
(7.41)
1
Para gases monoatómicos, tales como el argón y el helio, R/Cp = 2/5 = 0.4.
Para gases diatómicos, tales como el oxígeno, el nitrógeno y el aire a temperaturas
moderadas, un valor aproximado es RICp = 217 = 0.2857. Para gases de mayor
complejidad molecular, la capacidad calorífica de gas ideal depende mucho de la
temperatura y la ecuación (7.41) es menos apropiada. Puede demostrarse con facilidad que la hipótesis de capacidades caloríficas constantes también conduce al
resultado
‘jPuesto que para un gas ideal R = Cp - C V, entonces puede escribirse
R -=C,-CV y - l
-=
CP
G
Y
Por consiguiente, una forma alternativa de la ecuación (7.41) es
W,(isentrópico)
= EL[p)I11)11 -q
Aunque esta forma es una de las más comunes, la ecuación (7.41) es más sencilla y fácil de aplicar.
CAPÍTULO 7.
294
Termodinámica de procesos de flujo
Ejemplo 7.13 Si se comprime metano (el cual se supone como gas ideal)
adiabáticamente desde 20% y 140 kPa hasta 560 kPa, estime el requerimiento de
trabajo y la temperatura de descarga del metano. La eficiencia del compresor es
0.75.
SOLUCIÓN, La aplicación de la ecuación (7.37) requiere la evaluación del exponente
R/( CL ),+ Esta puede hacerse mediante la ecuación (5.17), la cual para el presente
cálculo puede representarse por
MCPS(293.15,T2;1.702,9.081E-3,-2.164E-6,O.O)
donde las constantes para el metano se tomaron de la tabla C. 1. Se escoge un valor
de 1; un poco mayor que la temperatura inicial Tl = 293.15 K. La evaluación de
( C; >S /R proporciona entonces un valor para el exponente de la ecuación (7.37). Con
P2/P1 = 560/140 = 4.0 y Tl = 293.15 K, se calcula Ti. El procedimiento se repite
hasta que ya no se tienen cambios significativos en el valor de 72. Este proceso da
como resultado
12
=
397.37
K
y
(cb)s = 4.5574
R
Para las mismas Tl y c, se evalúa a ( C:, )H/R con la ecuación (4.9):
MCPH(293.15,397.37;1.702,9.081E-3,-2.164E-6,O.O)
= 4.5774
de donde
( C~)H = (4.5774)(8.314)
= 38.056 J mal-’ K*
Entonces, por la ecuación (7.38),
W,(isentrópico)
= (38.056)(397.37
- 293.15) = 3 966.2 J mal-’
El trabajo real se obtiene de la ecuación (7.39) como
w = 3966.2
= 5 288.3 J mal-’
s
0.75
La aplicación de la ecuación (7.40) para el cálculo de T2 da como resultado
5 288.3
Tz = 293.15 + ~
(CP>ff
Puesto que (C~)H depende de Tz, de nuevo se vuelve a iterar. Con 12 como valor
inicial, los resultados que se obtienen son:
T2 = 428.65 K
o
t2 = 155.5"C
Y
(C& = 39.027 J mal-’ K-i
295
7.4 F!rocesos de compresión
Bombas
El movimiento de líquidos usualmente se hace mediante bombas, las que en general son equipo giratorio. Las mismas ecuaciones se aplican tanto abombas como a
compresores adiabáticos. Por tanto, las ecuaciones (7.32) a (7.34) y (7.36) son
válidas. Sin embargo, la aplicación de la ecuación (7.33) para el cálculo de W, =
AH requiere valores de la entalpía de líquidos comprimidos, y éstos muy rara vez
se tienen a la mano. La relación entre propiedades fundamentales, ecuación (6.8),
proporciona una alternativa. Para un proceso isentrópico,
dH = VdP
(S constante)
Al combinar esta expresión con la ecuación (7.34), se tiene que
W,(isentrópico) = (AH)8 = 5:VdP
La hipótesis usual para los líquidos (en condiciones muy lejanas del punto crítico)
es que Ves independiente de P. Entonces, después de integrar,
W,(isentrópico) = (AH)8 = V(P2 -PI)
(7.43)
‘lkmbién tienen utilidad las siguientes ecuaciones del capítulo 6:
dH = Cp dT + V( 1 - BT)dP
(6.27)
d,S’= Cp$ -pVdP
(6.28)
Y
donde la expansividad del volumen, p, está definida por la ecuación (3.2). Puesto
que los cambios de temperatura en el fluido bombeado son muy pequeños y dado
que las propiedades de los líquidos son insensibles a la presión (de nuevo en condiciones no cercanas al punto crítico), estas ecuaciones usualmente se integran suponiendo que Cp, Vy /3 son constantes, con valores iguales a los iniciales. En consecuencia, una buena aproximación es
AH = CpAT + V(l - PT)AP
(7.44)
AS = Cpm+ -pVAP
(7.45)
Y
1
296
CAPÍTULO 7.
F’igura
7.10:
Termodinámica de procesos de flujo
Eyector de una sola etapa.
Ejemplo 7.14 Auna bomba adiabática entra agua a 45T y 10 kPa, y se descarga
con una presión de 8 600 kPa. Suponga que la eficiencia de la bomba es 0.75. Calcule
el trabajo de la bomba, el cambio de temperatura del aguay el cambio de entropía del
agua.
SOLUCIÓN
Se tienen disponibles las siguientes propiedades para el agua líquida
saturada a 45’C (318.15 K):
V = 1010 cm3 kg-’
/3 = 425 x 1O-6 K-’
Cp = 4.178 kJ kg-l K-l
Por la ecuación (7.43),
W,(isentrópico)
= (AH)8 = (1 010)(8 600 - 10) = 8.676 X 10” kPa cm3 kg-’
Puesto que 1 kJ = lo6 kPa cm3,
W,(isentrópico)
= (AH)8 = 8.676 kJ kg-l
Por la ecuación (7.36),
&f = @k?k 8.676 = 11.57 kJ kg-l
0.75
77
Puesto que W, = AH,
W, = ll.57 kJ kg-l
El cambio de temperatura del agua durante el bombeo se obtiene mediante la
ecuación (7.44):
297
Problemas
ll.57 = 4.178AT + 1 OlO[l - (425 x 1O-6)(318.15)] F
La solución para AT es
AT = 0.97K
o
0.97T
El cambio de entropía del agua está dado por la ecuación (7.45):
AX = 4.178 In% - (425 x lo-‘j)(l 010) F = 0.0090 kJ kg-’ K-’
318.15
Eyectores
Los eyectores retiran gases o vapores de un espacio evacuado y los comprimen
para descargarlos a una presión mayor. Cuando se permite el mezclado de gases o
vapores con el fluido impulsor, en general los eyectores tienen costos primarios y de
mantenimiento más bajos que los de otros tipos de bombas de vacío. làl como lo
ilustra la figura 7.10, un eyector está formado por una tobera interna convergente-divergente, a través de la cual se alimenta el fluido impulsor (usualmente vapor
de agua), y por una tobera externa más grande a través de la cual pasan tanto los
gases o vapores extraídos y el fluido impulsor. El momento del fluido que sale a
gran velocidad de la tobera se transfiere parcialmente a los gases o vapores extraídos y la velocidad de la mezcla es, por tanto, menor que la del fluido impulsor que
abandona la tobera más pequeña. Esta nunca es mayor que la velocidad del sonido
y, por tanto, la tobera más grande actúa como un di,fùsor convergenteldivergente
en el que la presión aumenta y la velocidad disminuye, pasando por la velocidad del
sonido en la garganta. Aunque se aplican las ecuaciones usuales de energías para
las toberas, el proceso de mezclado es complejo y como consecuencia de esto el
diseño del eyector es en gran medida empírico.
PROBLEMAS
7.1.
Dos calderas, ambas trabajando a 200(psia), descargan cantidades iguales de vapor
en la misma corriente principal. El vapor de la primera caldera está sobrecalentado
a 420(“F), mientras que el de la segunda es húmedo con una calidad del 96 por
ciento. Suponga que el mezclado es adiabático y que los cambios en las energías
cinética y potencial son despreciables. iCuál es la condición de equilibrio después del
mezclado y cuál es el valor de So,total por cada (lbm) de vapor descargado?
7.2.
Dos tanques no conductores de capacidad calorífica despreciable y de igual volumen
contienen inicialmente cantidades iguales del mismo gas ideal, con las mismas condiciones de T y P. El tanque A descarga a la atmósfera a través de una turbina
pequeña en la cual el gas se expande isentrópicamente; el tanque B descarga a la
CAPfTULO 7.
298
Temodinámica de procesos de flujo
atmósfera a través de una obstrucción porosa. Los dos dispositivos trabajan hasta
que la descarga cesa.
a)
Cuando la descarga cesa, Ila temperatura del tanque A es menor, igual o mayor
que la temperatura del tanque C?
b)
Cuando las presiones en ambos tanques han descendido a la mitad de la presión
inicial, la temperatura del gas que se descarga por la turbina %es menor, igual o
mayor que la temperatura del gas que se descarga por la obstrucción porosa?
c)
Durante el proceso de descarga; la temperatura del gas que deja la turbina ies
menor, igual o mayor que la temperatura del gas que abandona al tanquerl en el
mismo instante?
d)
Durante el proceso de descarga, la temperatura del gas que abandona la obstrucción porosa Qes menor, igual o mayor que la temperatura del gas que sale del
tanque B en el mismo instante?
e)
Cuando la descarga cesa, la masa del gas que queda en el tanque A %es menor,
igual o mayor que la masa del gas que queda en el tanque B%
7.3.
Un tanque rígido con una capacidad de 80(ft)3 contiene 4 180(lb,) de agua líquida
saturada a 430(‘F). Esta cantidad de líquido casi llena el tanque, y el volumen que
queda en él está ocupado por vapor saturado. Puesto que se desea un poco más de
espacio para el vapor en el tanque, se abre la válvula que tiene éste en su parte
superior, y el vapor saturado se ventea a la atmósfera hasta que la temperatura del
tanque disminuye a 420(‘F). Si no hay transferencia de calor al contenido del tanque, determine la masa de vapor venteada a la atmósfera.
7.4.
Se almacena nitrógeno líquido en tanques de metal de 0.5 m3, completamente aislados. Considere el proceso de llenado de un tanque evacuado, inicialmente a 295 K. El
tanque está conectado a una línea que contiene nitrógeno líquido en su punto normal
de ebullición, que es de 77.3 K, y a una presión de varios bar. Bajo esta condición, su
entalpía es -120.8 kJ kg-‘. Cuando se abre la válvula de la línea, el nitrógeno que
fluye primero hacia el tanque se evapora mientras se enfría el tanque. Si el tanque
tiene una masa de 30 kg y la capacidad calorífica del metal es 0.43 kJ kg-’ K-l, 8qué
masa de nitrógeno debe fluir hacia el tanque sólo para enfriarlo a una temperatura
tal que el nitrógeno líquido comience a acumularse en el tanque? Suponga que el
nitrógeno y el tanque siempre se encuentran a la misma temperatura. Las propiedades del vapor de nitrógeno saturado para varias temperaturas son:
7.5.
í7-K
PIbar
v”/m3 kg-’
H”lkJ kg-’
80
85
90
95
100
105
110
1.396
2.287
3.600
5.398
7.775
10.83
14.67
0.1640
0.1017
0.06628
0.04487
0.03126
0.02223
0.01598
78.9
82.3
85.0
86.8
87.7
87.4
85.6
Un tanque con una capacidad de 50 m3 contiene vapor de agua a 4 500 kPa y 400%.
El vapor se ventea del tanque a través de una válvula de alivio a la atmósfera hasta
Problemas
299
que la presión del tanque cae a 3 500 kPa. Si el proceso de venteo es adiabático,
estime la temperatura final del vapor dentro del tanque y la masa de vapor ventilada.
7.6.
Un tanque con un volumen de 0.1 m3 [3.53(ft)3] contiene aire a 25OC [77(OF)] y
101.33 kPa [14.7(psia)]. El tanque está conectado a una línea de aire comprimido
que alimenta aire a condiciones constantes de 45°C [113(OF)] y 1 500 kPa
[217. G(psia)]. Una de las válvulas de la línea se fractura de modo que el aire fluye
lentamente hacia el tanque hasta que la presión en éste es igual a la de la línea. Si el
proceso ocurre con lentitud suficiente para que la temperatura del tanque permanezca en 25°C [77(“F)], Acuánto calor se pierde del tanque? Suponga que el aire es
un gas ideal para el que Cp = (7/2)R y CV = (5/2)R.
7.7.
Se emplea un pequeño compresor adiabático de aire para bombear aire hacia un
tanque aislado que tiene una capacidad de 20 m3 [706.3(ft)3]. Al inicio, el tanque
contiene aire a 25°C [77(‘F)] y 101.33 kPa [l(atm)], que son exactamente las condiciones del aire que entra al compresor. El proceso de bombeo continúa hasta que la
presión en el tanque alcanza 1 000 kPa [ 9.87(atm)]. Si el proceso es adiabático y la
compresión isentrópica, icuál es el trabajo de eje hecho por el compresor? Suponga
que el aire es un gas ideal para el que Cp = (7l2)R y CV = (5/2)R.
7.8.
Un tanque con una capacidad de 4 m3 contiene 1500 kg de agua líquida a 250°C en
equilibrio con su vapor, el cual ocupa el resto del tanque. Se bombean 1 000 kg de
agua a 50% al tanque. iCuánto calor debe añadirse durante este proceso para que la
temperatura del tanque no cambie?
7.9.
En una línea de alimentación se tiene gas a T y P constantes. La línea está conectada, a través de una válvula, a un tanque cerrado que contiene el mismo gas pero a
una presión menor. La válvula se abre para permitir el flujo de gas hacia el tanque y
luego se cierra otra vez.
a)
Desarrolle una ecuación general que relacione nt y ns, que son los moles (o
masas) de gas en el tanque al inicio y fin del proceso, con las propiedades Ur y
Us, que constituyen la energía interna del gas en el tanque al inicio y fin del
proceso; H’, la entalpía del gas en la línea de alimentación, con Q, el calor transferido al material en el tanque durante el proceso.
b)
Reduzca la ecuación general a su forma más simple para el caso especial de un
gas ideal con capacidades caloríficas constantes.
Reduzca de nuevo la ecuación del inciso b) para el caso donde nl = 0.
Reduzca la ecuación del inciso c) para el caso en el que, además, Q = 0.
Considerando al nitrógeno como un gas ideal para el que Cp = (7/2)R, aplique
la ecuación apropiada al caso en que fluye una alimentación estable de nitrógeno
a 25% y 3 bar hacia un tanque evacuado de 4 m3 de volumen, y calcule los moles
de nitrógeno que fluyen hacia el tanque para igualar las presiones para dos
casos:
1. Si se supone que no fluye calor del gas hacia el tanque o a través de las
paredes del tanque.
2. El tanque pesa 400 kg y está perfectamente aislado, tiene una temperatura
inicial de 25”C, un calor específico de 0.46 kJ kg-’ K-l y es calentado por el
gas de modo que su temperatura siempre es igual a la del gas en cl tanque.
300
CAPÍTULO 7.
Termodinámica de procesos de flujo
7.10. Desarrolle ecuaciones que puedan resolverse para dar la temperatura final del gas
que queda en un tanque después de que éste ha sido sangrado desde una presión
inicial PI hasta una final Pz. Las cantidades conocidas son la temperatura inicial, el
volumen del tanque, la capacidad calorífica del gas, la capacidad calorífica total del
tanque contenedor, PI yP2. Suponga que la temperatura del tanque siempre es la del
gas que queda en él, y que el tanque se encuentra perfectamente aislado.
7.11. Un tanque bien aislado con un volumen de 50 m3 contiene inicialmente 16 000 kg de
agua distribuidos entre las fases líquida y de vapor a 25%. El tanque admite vapor
saturado a 1 500 kPa hasta que su presión aumenta hasta 800 kPa. BCuál es la masa
de vapor que se añadió al tanque?
7.12. Un tanque evacuado y aislado con un volumen de 1.75 m3 está conectado a una línea
que contiene vapor de agua a 400 kPa y 24O’C. El vapor fluye hacia el tanque hasta
que la presión en éste alcanza 400 kPa. Si se supone que no hay flujo de calor del
vapor hacia el tanque, dibuje gráficas que muestren la masa de vapor en el tanque y
su temperatura como una función de la presión en el tanque.
7.13. Un tanque con un volumen de 2 m3 inicialmente contiene una mezcla de vapor y
agua líquida saturados a 3 000 kPa. De la masa total, 10 por ciento es vapor. Se
purga del tanque agua líquida saturada a través de una válvula hasta que la masa
total del tanque es un 40 por ciento de la masa total inicial. Si durante el proceso la
temperatura del contenido del tanque se mantiene constante, bcuánto calor se transfiere?
7.14. Se forma un chorro de agua, a 85’C, que fluye con una rapidez de 5 kg s-l mezclando
agua a 24°C con vapor saturado a 400 kPa. Si la operación es adiabática, %con qué
rapidez deben alimentarse el vapor y el agua al mezclador?
7.15. En un enfriador se rocía agua líquida a 3 100 kPa y 5OT sobre un flujo de vapor
sobrecalentado a 3 000 kPa y 375’C, en una cantidad tal que del enfriador fluye un
solo flujo de vapor saturado a 2 900 kPa con una rapidez de 15 kg s-l. Si se supone
que la operación es adiabática, icuál es la rapidez de flujo de masa del agua? iCuál es
la &o,total del proceso? QCuál es la característica irreversible del proceso?
7.16. Se tiene un flujo de vapor sobrecalentado a 700 kPa y 280°C que fluye con una
rapidez de 50 kg s-l. El vapor se mezcla con agua líquida a 4OT para producir vapor
a 700 kPa y 2OO’C. Si se supone que la operación es adiabática, %con qué rapidez
debe alimentarse el agua al mezclador? QCuál es la ~~~~~~~~ del proceso? N.I!uál es la
característica irreversible del proceso?
7.17. Una corriente de aire a 12 bar y 900 K se mezcla con otra corriente de aire a 2 bar y
400 K que tiene una rapidez de flujo 2.5 veces mayor. Si este proceso se llevara a
cabo de manera reversible y adiabática, hcuál sería la temperatura y presión de la
corriente de aire resultante? Suponga que el aire es un gas ideal para el que Cp =
W)R.
7.18. Una corriente de gas nitrógeno caliente, a 750(“F) y presión atmosférica, fluye por
una caldera de calor residual con una rapidez de 4O(lb,)(s)-r y transfiere calor al
agua de la caldera que se encuentra a l(atm). El agua se alimenta a la caldera como
líquido saturado a l(atm), y deja la caldera como vapor sobrecalentado a l(atm) y
300(“F). Si el nitrógeno se enfría a 325(“F) y se pierde calor hacia los alrededores a
razón de GO(Btu) por cada (Ib,) de vapor generado, ecuál es la rapidez con la que se
genera el vapor? Si la temperatura de los alrededores es 7O(‘F), icuál es la ,$~,bbr del
301
Problemas
proceso? Suponga que el nitrógeno se comporta como un gas ideal para el que Cp =
(7/2)R.
7.19. Una corriente de gas nitrógeno a 400% y presión atmosférica fluye hacia una
caldera de calor residual con una rapidez de 20 kg s-l y transfiere calor al agua
hirviendo, la cual tiene una presión de 101.33 kPa. El agua que se alimenta a la
caldera es líquido saturado a 101.33 kPa y sale como vapor sobrecalentado a 101.33
kPa y 15O’C. Si el nitrógeno se enfría hasta 170°C y si se pierde calor hacia los
alrededores a razón de 80 kJ por cada kilogramo de vapor generado, icon qué
rapidez se genera el vapor? Si la temperatura de los alrededores es 25”C, Icuál es
la ,$~,~,bl del proceso? Suponga que el nitrógeno se comporta como gas ideal para el
que Cp = (7/2)R.
7.20. Se expande aire adiabáticamente a través de una tobera a partir de una velocidad
inicial despreciable hasta una velocidad final de 325 m s-l. iCuál es la caída de
temperatura del aire si se supone que éste es un gas ideal para el que Cp = (7/2)R?
7.21. Se tiene una corriente de vapor de agua que entra en una tobera a 800 kPa y 280%
con una velocidad despreciable y se descarga con una presión de 525 kPa. Si se
supone que el vapor experimenta en la tobera una expansión isentrópica, icuál es la
velocidad de salida y el área de la sección transversal en la salida de la tobera para
una rapidez de flujo de 0.75 kg s’?
7.22. Se tiene una corriente de vapor que entra en una tobera convergente a 800 kPa y
280°C con una velocidad despreciable. Si la expansión es isentrópica, icuál es la
presión mínima que puede alcanzarse en la tobera y cuál es el área de la sección
transversal en la garganta de la tobera a esta presión para una rapidez de flujo de
0.75 kg s-l?
7.23. Un gas entra en una tobera convergente, con una presión PI y una velocidad despreciable, se expande isentrópicamente y se descarga en una cámara con una presión
P2. Dibuje gráficas que muestren la velocidad en la garganta y la rapidez de flujo de
masa como funciones de la relación de presiones P2/P1.
7.24. Para una tobera convergente/divergente
con una velocidad de entrada despreciable
en la cual la expansión es isentrópica, dibuje gráficas de la rapidez de flujo de masa
liz , la velocidad u y el cociente de áreasA/Ar contra el cociente de presiones PIPI. En
este caso, A es el área de la sección transversal de la tobera en el punto de ésta donde
la presión es P. El subíndice 1 denota la entrada de la tobera.
7.25. Un gas ideal con capacidades caloríficas constantes entra a una tobera convergente/
divergente con una velocidad despreciable. Si éste se expande isentrópicamente dentro de la tobera, demuestre que la velocidad en la garganta está dada por
donde Tl es la temperatura del gas que entra a la tobera, M es la masa molar y R es
la constante molar de los gases.
7.26. Se expande vapor de manera isentrópica en una tobera convergente/divergente
desde
1 400 kPa, con 325°C y velocidad despreciable como las condicioneslen la entrada de
la tobera, hasta una presión de descarga de 140 kPa. El área de la sección transver-
CAPÍTULO 7.
302
TermooYnámica
de procesos de flujo
sal en la garganta es 6 cm’. Determine la rapidez con la que fluye la masa del vapor,
así como el estado de éste en la salida de la tobera.
7.27. En una tobera se expande adiabáticamente vapor de agua a partir de las condiciones
iniciales 130(psia),
420(“F) y una velocidad de 23O(ft)(s)-1
hasta una presión de
descarga de 35(psia),
donde la velocidad del vapor es 2 5OO(ft)(s)-r.
1Cuál es el estado del vapor en la salida de la tobera y cuál es la ~~~~~~~ del proceso?
7.28. De una tobera adiabática se descarga aire a 15T con una velocidad de 580 m s-r.
bCuá1 es la temperatura en la entrada de la tobera si la velocidad de entrada es
despreciable? Suponga que el aire se comporta como un gas ideal para el que Cp =
(7/2)R.
7.29. Una turbina de vapor trabaja adiabáticamente con un nivel de potencia de 3 500 kW
El vapor entra a la turbina a 2 400 kPa y 5OO’C y sale de ella como vapor saturado a
20 kPa. QCuál es la velocidad del vapor a través de la turbina y cuál la eficiencia de
ésta?
7.30. Una turbina funciona adiabáticamente con vapor sobrecalentado que entra con una
temperatura y presión, Tl y Pr, respectivamente, y una rapidez de flujo de masa ti.
La presión de salida es Pz y la eficiencia de la turbina es 7. Para uno de los siguientes
conjuntos de condiciones de operación, determine la potencia de salida de la turbina,
así como la entalpía y entropía del vapor de salida.
a)
Tl = 450°C,
PI = 8 000 kPa, ti = 80 kg s-l, Pz = 30 kPa, n = 0.80.
b)
Tl = 550°C, Pr = 9 000 kPa, ria = 90 kg s-l, Pz = 20 kPa, n = 0.77.
c)
Tl = 600°C, PI = 8 600 kPa, lit = 70 kg s-l, P2 = 10 kPa, 7 = 0.82.
d)
Tl = 4OO”C, PI = 7 000 kPa, h = 65 kg s-l, P2 = 50 kPa, ~7 = 0.75.
e)
Tl = 200°C,
fi
Tl = 900(‘F), PI = 1 200(psia),
P2 = 2(psia),
77 = 0.80.
g)
Tl = 800(“F), P1 = 1 OOO(psia), Gz = lOO(lb,)(s)-‘, P2 = 4(psia),
n = 0.75.
PI = 1400 kPa, ti = 50 kg s-l, P2 = 200 kPa, n = 0.75.
ti = 150(lbm)(s)-1,
7.31. La rapidez del vapor para una turbina de salida variable está controlada por una
válvula de estrangulamiento en la línea de entrada. El vapor se alimenta a la válvula
de estrangulamiento a 1 700 kPa y 225’C.
Durante una prueba, la presión en la
entrada de la turbina es 1 000 kPa, la del vapor de salida es 10 kPa con una calidad
de 0.95, la rapidez de flujo del vapor es 0.5 kg s-l y la potencia de salida de la turbina
es 180 kW.
UI
Kuáles son las pérdidas de calor en la turbina?
h)
QCuál será la potencia de salida si el vapor alimentado a la válvula de estrangulamiento se expandiese isentrópicamente hasta la presión final?
7.32. Se comprime adiabáticamente vapor saturado a 125 kPa en un compresor centrífugo hasta alcanzar una presión de 700 kPa con un rapidez de 2.5 kg s-l. La eficiencia
del compresor es 78 por ciento. &Cuál es el requerimiento de potencia del compresor
y qué valor tienen la entalpía y la entropía del vapor en su estado final?
7.33. La entrada a un expansor adiabático es dióxido de carbono gaseoso a 8 bar y 400°C.
El gas se descarga a 1 bar. Si la eficiencia de la turbina es 0.75, Acuál es la tempera-
Problemas
303
tura de descarga y cuál es el trabajo de salida por mol de COs?
estas condiciones el CO:! se comporta como un gas ideal.
Suponga que bajo
7.34. Se expande isentrópicamente gas nitrógeno, inicialmente a 8.5 bar, hasta una presión
de 1 bar y 150%. Si se supone que el nitrógeno es un gas ideal, calcule la temperatura
inicial y el trabajo producido por mol de nitrógeno.
7.35. Los productos de la combustión de un quemador entran auna turbina de gas a 10 ba.r
y 95O’C y se descargan a 1.5 bar. La turbina funciona adiabáticamente con una
eficiencia de 77 por ciento. Suponga que los productos de la combustión se comportan como una mezcla de gas ideal con una capacidad calorífica de 32 J mal-’ K-’
iCuál es el trabajo de salida de la turbina por mol de gas y cuál es la temperatura de
los gases que se descargan de la turbina?
7.36. Un expansor funciona adiabáticamente con nitrógeno. Las condiciones en la entrada
son Tl y PI, con una rapidez de flujo molar ti. La presión de salida es Pz .y la efíciencia del expansor es 77. Estime la potencia de salida del expansor y la temperatura de
la corriente de salida para uno de los siguientes conjuntos de condiciones de operación.
7.37.
a)
Tl = 48O”C, PI = 6 bar, ti = 200 mol s-l, Pz = 1 bar, 77 = 0.80.
b)
TI = 400°C, PI = 5 bar, ti = 150 mol s-l, Pz = 1 bar, ~7 = 0.75.
c)
TI = 5OO”C, PI = 7 bar, n = 175 mol s-l, Pz = 1 bar, ~7 = 0.78.
d)
TI = 450°C, PI = 8 bar, ti = 100 mol s-l, P2 = 2 bar, ~7 = 0.85.
e)
Tl = 900(“F), PI = 95(psia),
Un
compresor
funciona
ti = 05(lb mal)(s)-‘, P2 = 15(psia),
adiabáticamente
con
aire
cuyas
condiciones
de
~7 = 0.80.
entrada
son
TI y PI, con una rapidez de flujo molar ti. La presión de descarga es Pa y la eficien-
cia del compresor es T,I. Estime el requerimiento de potencia del compresor y la temperatura de la corriente de descarga para uno de los siguientes conjuntos de condiciones de operación.
a)
Tl = 25”C, PI = 101.33 kPa, ti = 100 mol s-l, Pz = 375 kPa, ~7 = 0.75.
b)
Tl = BO”C, PI = 375 kPa, ti = 100 mol s-l, Pz = 1000 kPa, ~7 = 0.70.
c)
Tl = 3O”C, PI = 100 kPa, ti = 150 mol s-r, Pz = 500 kPa, ~7 = 0.80.
d)
Tl = lOO”C, PI = 500 kPa, A = 50 mol s-l, Pz = 1300 kPa, ~7 = 0.75.
e)
Tl = SO( PI = 14.7(psia),
n = 0.5(lb
mal)(s)-‘, Pz = 55(psia),
7.1 = 0.75.
fl
TI = 150(“F), PI = 55(psia),
ti = 0.5(lb
mal)(s)-‘, P2 = 135(psia),
~7 = 0.70.
7.38. En una turbina se expande adiabáticamente isobutano desde 5 000 kPa y 250°C
hasta 500 kPa, con una rapidez de 0.7 kg mol s- l. Si la eficiencia de la turbina CS
0.80, icuál es la potencia de salida de la turbina y cuál la temperatura del isobutano
que sale de la turbina?
7.39. Se comprime gas amoniaco, desde 21°C y 200 kPa hasta 1 000 kPa, en un compresor
adiabático con una eficiencia de 0.82. Estime la temperatura final, el trabajo requerido y el cambio de entropía del amoniaco.
304
CAPfTlXO 7.
Termodinámica de procesos de flujo
7.40. Se comprime adiabáticamente propileno desde 11.5 bar y 30°C hasta 18 bar, a una
rapidez de 1 kg mol s-l. Si la eficiencia del compresor es 0.8, icuál debe ser el requerimiento de potencia del compresor y cuál es la temperatura de descarga del propileno?
7.41. Se comprime adiabáticamente metano en la estación de bombeo de una tubería desde
3 500 kPa y 35% hasta 5 500 kPa, a una rapidez de 1.5 kg mol s-l. Si la eficiencia
del compresor es 0.78, icuál debe ser el requerimiento de potencia del compresor y
cuál es la temperatura de descarga del metano?
7.42. Una bomba funciona adiabáticamente con agua líquida. Las condiciones de entrada
son Tl, PI y una rapidez de flujo de masa ria. La presión de descarga es P2 y la
eficiencia de la bomba es 77. Para uno de los siguientes conjuntos de condiciones de
operación, determine la potencia de la bomba y la temperatura del agua descargada
por ésta.
a)
Tl = 25’T, PI = 100 kPa, via = 20 kg s-l, P2 = 2 000 kPa, 7 = 0.75, p =
257.2 x 1O-6 K-l.
b)
Tl = 90°C, PI = 200 kPa, riz = 30 kg s-l, Pz = 5 000 kPa, TJ = 0.70, p =
696.2 x 1O-6 K-l.
c)
Tl = 6O”C, PI = 20 kPa, Ga = 15 kgs-‘, PS = 5 000 kPa, 77 = 0.75, p = 523.1
x 1O-6 K-l.
d)
Tl = 7O(OF), PI = l(atm), ti = 5O(lb,)(s)-l, P2 = 20(atm), r) = 0.70, p =
217.3 x 1O-6 K-l.
e)
Tl = 200(“F), PI = 15(psia), ?iz = 80(lb,)(s)-‘, P2 = 1 500(psia), ~7 = 0.75,
B = 714.3 x 1O-6 K-l.
CAPíTULO 8
PRODUCCION DE ENERGíA A
PARTIR DE CALOR
Con excepción de la energía nuclear, el Sol es la fuente de toda la energía mecánica
utilizada por el hombre. La proporción total a la cual la energía proveniente del
Sol llega a la Tierra es impresionante, pero la proporción a la cual cae sobre un
metro cuadrado de superficie es pequeña. La dificultad radica en concentrar la
energía recogida sobre una gran área de modo que su utilización sea práctica en la
producción de algún trabajo; la investigación en este campo continúa. Aunque no
se utiliza ampliamente para la generación de energía a gran escala, la radiación
solar encuentra aplicación para el calentamiento directo del agua, para la generación de temperaturas elevadas en aplicaciones metalúrgicas (hornos solares) y para
la evaporación del agua en la producción de sal.
La energía cinética asociada con el movimiento de masas de aire se ha utilizado en cierto grado para la producción de trabajo (molinos de viento), en especial
en las zonas rurales. Son problemas dentro de este campo las variaciones e incertidumbres en la velocidad del viento, y la necesidad de equipo de gran tamaño para
producir cantidades significativas de trabajo.
Se puede concebir que la energía potencial de las mareas pueda ser explotada. Se han hecho intentos en esta dirección a gran escala en partes del mundo en
donde las mareas son especialmente altas. Sin embargo, la producción total de
energía proveniente de esta fuente parece no ser significativa en comparación con
la demanda mundial.
Con mucho, las fuentes más importantes de energía son la energía química
(molecular) de los combustibles y la energía nuclear. Una generación significativa
de energía también resulta por la conversión de la energía potencial del agua en
trabajo, un proceso que en principio se puede realizar con una eficiencia del 100
por ciento. Por otro lado, todos los métodos usados hasta hoy en la producción y
utilización a gran escala de la energía molecular o nuclear se basan en el desprendimiento de calor y en la conversión posterior de parte del calor en trabajo utiliza-
CAPfTlJLO
306
8.
Ffroducción
de energía a partir de calor
ble. A pesar de las mejoras en el diseño de equipo, la eficiencia de la conversión es
relativamente baja (son poco comunes valores superiores al 35 por ciento), una
consecuencia de la segunda ley. Cuando es posible convertir la energía de los combustibles en trabajo sin la generación intermedia de calor, se mejora considerablemente la eficiencia de conversión. El dispositivo usual para la conversión directa
de energía química en energía eléctrica es la celda electrolítica. Se han hecho progresos en el desarrollo de celdas que operan con hidrógeno y combustibles carbónicos, por ejemplo el gas natural o el carbón bituminoso. %des celdas de combustible
ya están en uso para un suministro modesto de los requerimientos de energía con
fines especiales. La eficiencia de estas celdas va del 55 al 85 por ciento, aproximadamente el doble del valor obtenido mediante el proceso convencional de convertir
primero la energía química en calor.
En una planta convencional de energía, la energía molecular del combustible
se libera por un proceso de combustión. La función del dispositivo de producción
de trabajo consiste en convertir parte del calor de combustión en energía mecánica. En una planta de energía nuclear, el proceso de fisión o de fusión libera la
energía del núcleo del átomo como calor, y entonces este calor es convertido parcialmente en trabajo. Así, el análisis termodinámico de las máquinas térmicas,
como se presenta en este capítulo, se aplica igualmente bien a las plantas de energía convencionales (combustibles fósiles) y a las nucleares.
La planta de energía de vapor es una máquina térmica a gran escala en la
cual el fluido de trabajo (H20) se encuentra fluyendo continuamente, en estado
uniforme, sucesivamente a través de una bomba, una caldera, una turbina y un
condensador en un proceso cíclico. El fluido de trabajo está separado de la fuente
de calor y el calor es transferido a través de los límites físicos. En una planta de
combustión de carbón, los gases de combustión están separados del vapor por las
paredes de la tubería de la caldera.
La máquina de combustión interna es otra forma de máquina térmica, en
donde se logran temperaturas elevadas por medio de la conversión directa de la
energía química de un combustible en energía interna dentro del dispositivo productor de trabajo. Ejemplos de este tipo son el motor de Otto y la turbina de gas.l
Para ilustrar el cálculo de las eficiencias térmicas, se analizarán en este capítulo varios ciclos de máquinas térmicas comunes.
8.1
La planta de energía de vapor
El ciclo de la máquina de Carnot, descrito en el capítulo 5, opera reversiblemente y
consiste en dos etapas isotérmicas conectadas mediante dos etapas adiabáticas.
En la etapa isotérmica a temperatura más elevada, TH, el calor 1 QH 1 es absorbido
por el fluido de trabajo de la máquina, mientras que en la etapa isotérmica a temperatura más baja, TC, el calor 1Qc 1 es desechado por el fluido. El trabajo produ‘Los detalles de las plantas de energía de vapor y de las máquinas de combustión interna se
pueden encontrar en E. B. Woodruff, H. B. Lammers y T. S. Lammers, Steam Plant Operution, 6a.
ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1992; y C. F. lhylor, ! l % e Znternal Combustion Engine in !Pheory and
Anctice: Themnodymmics, Fluid Flow, F@$wmance, MIT Press, Boston, 1984.
8.1
307
La planta de energía de vapor
cido es IWI = IQHI - I&cl, Y 1 a eflciencia
térmica de la máquina de Carnot
[ecuación (5.8)] es
G
-PI-yQ,I l-r,
Claramente, q aumenta a medida que se incrementa TH y decrece TC. Aunque las
eficiencias de las máquinas térmicas prácticas son disminuidas por las irreversibilidades, también es verdad que sus eficiencias se incrementan cuando aumenta
la temperatura promedio a la cual el calor es absorbido y cuando disminuye la
temperatura promedio a la cual el calor es expulsado.
En la figura 8.1 se muestra un proceso de flujo continuo en estado estable
simple, en el cual el vapor que es generado en una caldera se expande en una
turbina adiabática para producir trabajo. La descarga de la corriente de la turbina
pasa a un condensador, del cual es bombeada adiabáticamente de regreso a la
caldera. La energía producida por la turbina es mucho mayor que Ia requerida por
la bomba, y el egreso neto de energía es igual a la diferencia entre la velocidad de
ingreso de calor en la caldera I& 1y la velocidad de expulsión de calor en el
condensador 1oC 1.
QH
4
Condensador *
J
3
QC
F’igura
8.1:
Planta de energía de vapor simple.
Boducción
CAPÍTULO 8.
308
de energía a partir de calor
s
F’igura
8.2:
Ciclo de Carnot en un diagrama TS.
Los cambios de propiedades del fluido a medida que fluye a través de las
piezas individuales del equipo se pueden mostrar como líneas en un diagrama TS,
como se ilustra en la figura 8.2. La secuencia de líneas representa un ciclo. Además, el ciclo particular que se muestra es un ciclo de Carnet. En esta idealización,
la etapa 1 + 2 es la absorción isotérmica de calor a TH, y se representa por una
línea horizontal en el diagrama TS. Este proceso de vaporización también se efectúa a presión constante y produce una corriente de vapor saturado a partir de agua
líquida saturada. La etapa 2 + 3 es una expansión adiabática, reversible, de vapor
saturado hasta una presión a la cual Ft = Tc. Este proceso de expansión isentrópica
está representado por una línea vertical en el diagrama TS y produce un vapor
húmedo. La etapa 3 + 4 es el desprendimiento isotérmico de calor a la temperatura Tc, y está representado por una línea horizontal en el diagrama TS; es un
proceso de condensación, pero es incompleto. La etapa 4 + 1 lleva el ciclo de
nuevo a su origen, produciendo agua líquida saturada en el punto 1; es un proceso
de compresión isentrópica representado por una línea vertical en el diagrama TS.
La eficiencia térmica de este ciclo es la de la máquina de Carnot, dada por la
ecuación (5.8). Como ciclo reversible, puede servir como estándar de comparación
para las plantas verdaderas de energía de vapor. No obstante, existen severas difícultades prácticas en la operación del equipo que pretende realizar las etapas 2 + 3
y 4 + 1. Las turbinas que reciben el vapor saturado producen una emisión con
alto contenido líquido, lo cual causa graves problemas de corrosión.’ Aún más
difícil es el diseño de una bomba que recibe una mezcla de líquido y vapor (punto 4)
y descarga un líquido saturado (punto 1). Por estas razones, un modelo de ciclo
alternativo se toma como estándar, al menos para las plantas de energía que queman combustibles fósiles; éste se llama ciclo de Rankine, y difiere del ciclo de la
figura 8.2 en dos aspectos principales. Primero, la etapa de calentamiento 1 -+ 2
‘A pesar de esto, las plantas de energía nuclear del presente generan vapor saturado y operan con
turbinas diseñadas para expulsar líquido en varias etapas de expansión.
309
8.1 La planta de energía de vapor
T
s
Figura 8.3:
Ciclo de Rankine.
se lleva a cabo más allá de la vaporización para producir vapor sobrecalentado y,
segundo, la etapa de enfriamiento 3 + 4 lleva a cabo una condensación completa,
produciendo líquido saturado para ser bombeado a la caldera. Por consiguiente, el
ciclo de Rankine consiste en las cuatro etapas mostradas por la figura 8.3 y descritas a continuación:
1+2
2-+3
3-+4
4+1
Un proceso de calentamiento a presión constante en una caldera. La etapa queda a lo largo de una isobara (la presión de la caldera), y consiste en
tres secciones: calentamiento de agua líquida subenfriada hasta su temperatura de saturación, vaporización a temperatura y presión constantes
y sobrecalentamiento del vapor a una temperatura definidamente superior a su temperatura de saturación.
Expansión (isentrópica) reversible y adiabática de vapor en una turbina
hasta la presión del condensador. La etapa cruza normalmente la curva
de saturación, produciendo una descarga húmeda. Sin embargo, el
sobrecalentamiento logrado en la etapa 1+ 2 corre la línea vertical sufícientemente lejos a la derecha en la figura 8.3 como para que el contenido
en humedad no sea demasiado grande.
Un proceso a presión y a temperatura constantes en un condensador para
producir líquido saturado en el punto 4.
Bombeo (isentrópico) reversible y adiabático del líquido saturado a la presión de la caldera, produciendo líquido subenfriado. La línea vertical (cuya
longitud está exagerada en la figura 8.3) es muy corta, debido a que el
aumento de temperatura asociado con la compresión de un líquido es pequeño.
Las plantas de energía se pueden construir para que operen en un ciclo que
parte del ciclo de Rankine solamente debido a las irreversibilidades de las etapas
310
CAPÍTULO 8. Producción de energía a partir de calor
S
Figura 8.4:
Ciclo práctico simple de energía.
que producen trabajo y que requieren trabajo. En la figura 8.4 se muestran los
efectos de estas irreversibilidades en las etapas 2 + 3 y 4 + 1. Las líneas ya no
son verticales, sino que tienden a ser en la dirección de la entropía creciente. Normalmente, la descarga de la turbina es aún húmeda, pero mientras el contenido en
humedad sea menor de aproximadamente el 10 por ciento, los problemas de corrosión
no son serios. Puede presentarse un ligero enfriamiento del condensado en el
condensador, pero el efecto carece de consecuencias.
La caldera sirve para transferir calor de un combustible que se quema hacia
el ciclo, y el condensador transfiere el calor del ciclo hacia el ambiente. Si se desprecian los cambios en las energías cinética y potencial, se reducen las relaciones
de energía, ecuaciones (7.16) y (7.17)) en cualquier caso a
fj=rizAH
(8.1)
Q=AH
(8.2)
Y
LOS cálculos de la turbina y la bomba se tratan con detalle en el capítulo 7.
Ejemplo 8.1 El vapor generado en una planta de energía a una presión de 8 600
kPa y a una temperatura de 500°C se alimenta a una turbina. La descarga de la
turbina entra al condensador a 10 kPa,
que bombea entonces a la caldera.
a)
b)
en donde es condensada a líquido saturado,
Determínese la eficiencia térmica de un ciclo de Rankine que opera en estas
condiciones.
Determínese la eficiencia térmica de un ciclo práctico que opera en estas
condiciones si la eficiencia de la turbina y la eficiencia de la bomba son
ambas de 0.75.
311
8.1 La planta de energía de vapor
c)
Si la producción del ciclo de energía de la parte b) es 80 000 kW; Qcuál es la
velocidad del vapor y cuáles son las velocidades de transferencia de calor en
la caldera y en el condensador?
a) La turbina opera bajo las mismas condiciones que la turbina del ejemplo
7.10, en donde se encuentra que
SOLUCIÓN
(AE& = -1 274.2 kJ kg-’
Así
W, (isentrópico) = (hH)s = -1 274 kJ kg-l
Además, la entalpía al final de la expansión isentrópica (Hk en el ejemplo 7.10) es
H; = 2 117.4 kJ kg-’
La entalpía del líquido saturado a 10 kPa (y tsat = 45.83”C)
es
H4 = 191.8 kJ kg-’
Así, por la ecuación (8.2) aplicada al condensador,
Q(condensador) = H4 - H i = 191.8 - 2 117.4 = -1 925.6 kJ kg-’
en donde el signo menos significa que el calor fluye hacia fuera del sistema.
La bomba opera prácticamente bajo las condiciones de la bomba del ejemplo
7.14, en donde
W,(isentrópico)
= (AH)8
= 8.7 kJ kg-’
Así,
H1 = H4 + (AH)s = 191.8 + 8.7 = 200.5 kJ kg-’
La entalpía del vapor sobrecalentado a 8 600 kPa y 500°C es
H2 = 3 391.6 kJ kg-’
Por la ecuación (8.2) aplicada a la caldera
Q(caldera) = Hz - H1 = 3 391.6 - 200.5 = 3 191.1 kJ kg-’
El trabajo neto del ciclo de Rankine es la suma del trabajo de la turbina y el trabajo
de la bomba:
W,(Rankine)
= -1 274.2 + 8.7 = -1 265.5 kJ kg-’
Este resultado desde luego también es dado por
312
CAPÍ!lUL,O
W,(Rankine)
8. Producción de energía a partir de calor
= -Q(caldera)
- Q(condensador)
= -3 191.1 + 1 925.6 = - 1 265.5 kJ kg-l
La eficiencia térmica del ciclo es
r)=
IF(Rankine) 1__ 1265.5
3 191.1
Q( caldera)
o.3g66
b) Si la eficiencia de la turbina es 0.75, entonces del ejemplo 7.10 se tiene que
W,(turbina) = &I = -955.6 kJ kg-’
Y
H3 = Hz + AH = 3 391.6 - 955.6 = 2 436.0 kJ kg-l
Para el condensador,
Q(condensador) = H4 - H3 = 191.8 - 2 436.0 = -2 244.2 kJ kg-’
Por el ejemplo 7.14, para la bomba,
W,(bomba) = AH = 11.6 kJ kg-l
Por consiguiente, el trabajo neto de ciclo es
tis (neto) = -955.6 + 11.6 = -944.0 kJ kg-’
Y
HI = H4 + AH = 191.8 + ll.6 = 203.4 kJ kg-l
Entonces
Q(caldera) = HZ- HI = 3 391.6 - 203.4 = 3 188.2 kJ kg-l
Así, la eficiencia térmica del ciclo es
IFbeto)
1
g44.0
=---
=
o
’ = Q(caldera) 3 188.2
.
2961
lo cual se puede comparar con el resultado de la parte a).
c)Para una producción de potencia de 80 000 kW, se tiene
yU, (neto) = lizW$(neto)
0
m
_
T/i/‘,(neW _
W, (neto)
- 80 000 kJ s-’
= 84.75 kg s-l
- 944.0 kJ kg-’
313
8.1 La planta de energía de vapor
Entonces, por la ecuación (8.1) ,
o(caldera) = (84.75)(3 188.2) = 270.2 X lo3 kJ s-l
Q(condensador)
= (84.75)(-2 244.2) = -190.2 X lo3 kJ sy
Nótese que
G (caldera) + 0 (condensador) = - @, (neto)
La eficiencia térmica de un ciclo de energía de vapor se incrementa cuando se
elevan la presión y, por tanto, la temperatura de vaporización de la caldera. Otro
factor de aumento es el sobrecalentamiento en la caldera. Así, presiones y temperaturas elevadas en la caldera favorecen las altas eficiencias. No obstante, estas
mismas condiciones incrementan la inversión de capital en la planta, porque requieren tanto construcción más pesada como materiales de construcción más caros. Además, estos costos se elevan aún más rápidamente a medida que se impongan condiciones más severas. Así, en la práctica las plantas de energía raramente
operan a presiones muy superiores a 10 000 kPa y a temperaturas por arriba de
600°C. La eficiencia térmica de una planta de energía aumenta a medida que la
presión y, por tanto, la temperatura en el condensador se reducen. Sin embargo,
la temperatura de condensación debe ser superior a la temperatura del medio de
enfriamiento, que usualmente es agua, y esto está controlado por las condiciones
locales de clima y de geografía. Las plantas de energía operan universalmente con
la presión del condensador tan baja como sea práctico.
Las plantas de energía más modernas operan con una modificación del ciclo
de Rankine que incorpora calentadores del agua de alimentación. El agua proveniente del condensador, en lugar de ser bombeada directamente de regreso a la
caldera, primero se calienta por vapor extraído de la turbina. Esto se hace normalmente en diferentes etapas, con vapor tomado de la turbina a varios estados intermedios de expansión. En la figura 8.5 se muestra una disposición con cuatro calentadores del agua de alimentación. Las condiciones de operación indicadas en
esta figura y descritas en los párrafos siguientes son típicas y son la base para los
cálculos ilustrativos del ejemplo 8.2
Las condiciones de generación de vapor en la caldera son las mismas que en
el ejemplo 8.1: 8 600 kPa y 500°C. La presión de la descarga de la turbina, 10 kPa,
también es la misma. La temperatura de saturación del vapor de salida es, por
consiguiente, 45.83%. Permitiendo un ligero enfriamiento del condensado, se fija
la temperatura del agua líquida del condensador a 45°C. La bomba del agua de
alimentación que opera bajo exactamente las mismas condiciones que la bomba del
ejemplo 7.14, causa un aumento de temperatura de aproximadamente l”C, haciendo que la temperatura del agua de alimentación que entra a la serie de calentadores sea igual a 46°C.
CAPÍTULO8.
314
dt
Ca,dera
( P= 8,600 kPa
Producción de energía a partir de calor
=
500°j
P=2900kPa
P = 375 kPa
P=lO kPa
P = 87.69 kPa
226°C
Calentadores del agua de alimentación
Figura 8.5:
Planta de energía de vapor con calentamiento del agua de alimentación.
La temperatura de saturación del vapor a la presión de la caldera de 8 600
kPa es 300.06”C, y la temperatura a la cual se puede elevar el agua de alimentación en los calentadores es ciertamente menor. Esta temperatura es un diseño
variable, la cual es fijada finalmente por consideraciones económicas. No obstante,
se debe escoger un valor antes de que pueda hacerse cualquier cálculo termodinamico. Por lo tanto, se ha especificado arbitrariamente la temperatura de 226°C
para la corriente de agua de alimentación que entra a la caldera. También se ha
especificado que cada uno de los cuatro calentadores del agua de alimentación
alcancen el mismo incremento de temperatura. Así, el aumento total de temperatura de 226 - 46 = 180°C se divide entre cuatro incrementos de 45°C. Ello establece todas las temperaturas intermedias del agua de alimentación a los valores
mostrados en la figura 8.5.
El vapor suministrado a un calentador del agua de alimentación debe estar a
una presión suficientemente elevada para que su temperatura de saturación sea
más alta que la temperatura de la corriente del agua de alimentación que sale del
calentador. Se ha presupuesto aquí una diferencia mínima de temperatura para la
transferencia de calor de no menos de 5”C, y se han escogido las presiones del
vapor extraído de tal manera que los valores de pat mostrados en cada calentador
del agua de alimentación sean al menos 5°C mayores que la temperatura de salida
de la corriente de agua de alimentación. El condensador de cada calentador del
agua de alimentación se lanza a través de una válvula de estrangulamiento al calentador que tiene la siguiente presión más baja, y el condensado que se recolecta
en el calentador final de la serie se lanza dentro del condensador. Así, todo el con-
315
8.1 La planta de energía de vapor
densado regresa del condensador a la caldera por la vía de los calentadores del
agua de alimentación.
El propósito de calentar de esta forma el agua de alimentación es elevar la
temperatura promedio a la cual el calor se añade a la caldera. Esto eleva la eficiencia térmica de la planta, la cual se dice que opera bajo un ciclo de regeneración.
Ejemplo 8.2 Determínese la eficiencia térmica de la planta de energía mostrada en
la figura 8.5, suponiendo que las eficiencias de la turbina y la bomba soh de 0.75. Si
la producción de energía es 80 000 kW icuál es la velocidad del vapor de la caldera y
las de transferencia de calor en la caldera y en el condensador?
Los cálculos iniciales se hacen sobre la base de 1 kg de vapor que entra
a la turbina proveniente de la caldera. La turbina está dividida en cinco secciones,
como se indica en la figura 8.5. Debido a que el vapor es extraído al final de cada
sección, la velocidad de flujo en la turbina decrece de una sección a la siguiente. Las
cantidades de vapor extraídas desde las primeras cuatro secciones se determinan por
balances de energía.
SOLUCIÓN
Para ello, se necesita la entalpía de las corrientes de agua de alimentación comprimida. El efecto de la presión a temperatura constante sobre un líquido está dado
por la ecuación (7.44), escrita como
AH = V(1 - PT)AP
(T
constante)
Para el agua líquida saturada a 226°C (499.15 K), en las tablas de vapor se encuentra:
Ft = 2 598.2 kPa
H = 971.5 kJ kg-l
V = 1201 cm3 kg-l
Además, a esta temperatura
/3 = 1.582 X 1O-3 K-l
Así, para un cambio de presión que va desde la presión de saturación hasta 8 600
kPa,
AH = 1 201[1- (1.528 x 10-3)(499.15)]
(8600;o; 5g8’2)
= 1.5 kJ kg-l
Y
H = H(1íq. sat.) + AH = 971.5 + 1.5 = 973.0 kJ kg-l
Cálculos similares dan como resultado las entalpías del agua de alimentación a otras
temperaturas. ‘Ibdos los valores pertinentes se dan en la siguiente tabla.
vc
226
181
136
91
46
H/kJ kg-’ para agua a
tyP= 8600kPa
973.0
771.3
577.4
387.5
200.0
CAPÍTULO 8.
316
Producción de energía a partir de calor
Considérese la primera sección de la turbina y el primer calentador del agua
de alimentación, como se muestra en la figura 8.6. La. entalpía y la entropía del
vapor que entra a la turbina se encuentran en las tablas para vapor sobrecalentado.
La consideración de la expansión isentrópica del vapor en la sección 1 de la turbina a
2 900 kPa, lleva al resultado
(AH)s
= -320.5 kJ kg-l
Si se considera que la eficiencia de la turbina es independiente de la presión a la cual
el vapor se expande, entonces la ecuación (7.35) da
AH = Ti = (0.75)(-320.5) = -240.4 kJ kg-l
Por la ecuación (7.33))
W,(I) = AH = -240.4 kJ
Además, la entalpía del vapor descargado de esta sección de la turbina es
H = 3 391.6 - 240.4 = 3 151.2 kJ kg-’
Un balance de energía del calentador del agua de alimentación requiere la aplicación de la ecuación (7.15). Despreciando los cambios de energía cinética y potencial, y notando que 0 = -ti, = 0, se tiene
A(r;zH),f = 0
sobrecalentado
de la caldera
P=8600kPa
t = 5OOT
H = 3 391.6
S = 6.6858
) W,(I)
CI-m)k
v
1 kgdeaguar
líquida
P=8600 kPa
t = 226°C
H = 973.0
mk
AA,
w Vapor alimentado a
la sección II
P=2900kPa
H = 3 151.2
t = 363.65T
1 kgdeagoa
S = 6.8150
líquida
P=8600 kPa
m kg de condensado
Líquido saturado a
2 900 kPa
Pt = 231.97”C
H = 999.5
Figura 8.6:
Sección 1 de la turbina y del primer calentador del agua de alimentación.
Entalpía en kJ kg-‘; entropía en kJ kg-’ K-l.
8.1
317
La planta de energía de vapor
Esta ecuación da expresión matemática al requerimiento de que el cambio de entalpía
total para el proceso sea cero. Así, sobre la base de 1 kg de vapor que entra a la
turbina (véase la figura 8.6),
m(999.5 - 3 151.2) + (1)(973.0 - 771.3) = 0
de donde
m = 0.09374 kg
y
1 -m = 0.90626 kg
Sobre la base de 1 kg de vapor que entra a la turbina, 1 - m es la masa de vapor que
fluye dentro de la sección II de la turbina.
La sección II de la turbina y el segundo calentador del agua de alimentación se
muestran en la figura 8.7. Al hacer los mismos cálculos que para la sección 1, se supone que cada kilogramo de vapor que deja la sección II se expande desde su estado a Za
entrada de la turbina hasta la salida de la sección II con una eficiencia de 0.75,
comparada con la expansión isentrópica. La entalpía del vapor que deja la sección II
encontrada en esta forma, es
H = 2 987.8 kJ kg-’
0.90626 kg de vapor
de la sección 1
H = 3 151.2
I
(0.90626 - m) kg
m k
) %por alimentado a
la sección III
P= 1150 kPa
H = 2 987.8
1 kg de agua 4
H= 771.3
0.09374 kg
de condensado
H = 999.5
w
:
1 kg de agua
H= 577.4
(0.09374 + m) kg
de condensado
Líquido saturado a
1 150 kPa
Pt = 186.05”C
H = 789.9
Figura 8.7: Sección II de la turbina y del segundo calentador del a.gua de
alimentación. Entalpía en kJ kg-‘; entropía en kJ kg-’ K-‘.
CAPÍTULO 8.
318
Producción de energía a partir de calor
Entonces, sobre la base de 1 kg de vapor que entra a la turbina,
W,(H)
= (2 987.8 - 3 151.2)(0.90626) = -148.08 kJ
Un balance de energía sobre el calentador del agua de alimentaci-ón
(figura 8.7) da
(0.09374 + m)(789.9) - (0.09374)(999.5) -m(2 987.8) + (1)(771.3 - 577.4) = 0
de donde
m = 0.07971 kg
Nótese que el estrangulamiento del vapor condensado no cambia su entalpía.
Estos resultados y los de cálculos similares para las secciones restantes de la
turbina se enlistan en la tabla siguiente:
H/kJ kg-’
a la salida
de la sección
para la
sección
t/T a la
salida de
la sección
Sec. 1
See. II
Sec. III
Xec. I V
3 151.2
2 987.8
2 827.4
2 651.3
-240.40
-148.08
-132.65
-133.32
363.65
272.48
183.84
96.00
Scc. V
2 435.9
-149.59
45.83
W&J
Estado
vapor sobrecalentado
vapor sobrecalentado
vapor sobrecalentado
vapor húmedo
x = 0.9919
vapor húmedo
x = 0.9378
mlkg de
vapor
extraído
0.09374
0.07928
0.06993
0.06257
De estos resultados, se tiene
CW, = -804.0 kJ
y
Cm = 0.3055 kg
Así, por cada kilogramo de vapor que entra a la turbina, el trabajo producido es
804.0 kJ, y se extraen 0.3055 kg de vapor de la turbina por los calentadores del agua
de alimentación. El trabajo requerido por la bomba es exactamente el trabajo calculado para la bomba en el ejemplo 7.14, esto es, 11.6 kJ. Por consiguiente, el trabajo
neto del ciclo es
T/V,(neto)
= -804.0 + 11.6 = -792.4 kJ
sobre la base de 1 kg de vapor generado en la caldera. Sobre la misma base, el calor
anadido en la caldera es
Q(caldera)
= AH = 3 391.6 - 973.0 = 2 418.6 kJ
Por consiguiente, la eficiencia térmica del ciclo es
792.4 = o . 3276
IVy(neto) 1=’ = Q(caldera) 2 418.6
8.2 Motores de combustión interna
319
Ésta es una gran mejoría sobre el valor de 0.2961 encontrado en el ejemplo 8.1.
Dado que @ (neto) = -80 000 kJ s-l
h=m= - 80 000 = 100.96 kg s-’
W, (neto)
- 792.4
Ésta es la velocidad del vapor a la turbina, y con ella se puede calcular la velocidad dc
transferencia de calor en la caldera.
&(caldera) = litAH = (100.96)(2
es
418.6) = 244.2 X 10” kJ s-’
La velocidad de transferencia de calor al agua de enfriamiento en el condensador
&)(condensador) = - @caldera) - *,(neto)
= -244.2 x 10’ - (-80.0 x 10”)
= - 164.2 x lOS kJ s-’
Aunque la velocidad de generación de vapor es más elevada que la encontrada en el
ejemplo 8.1, las velocidades de transferencia de calor en la caldera .y cl condensador
son apreciablemente menores, porque sus funciones se toman parcialmente sobre los
calentadores del agua de alimentación.
8.2
Motores de combustión interna
En una planta de energía de vapor, éste es un medio inerte al cual se lc transfiere
calor de un combustible que se quema o de un reactor nuclear. Por consiguicntc,
se
caracteriza por grandes superficies de transferencia de calor: 1) para la absorción
de calor por el vapor a una temperatura elevada en la caldera y 2) para la cxpulsión de calor del vapor a una temperatura relativamente bqja en cl condensador.
La desventaja es que cuando el calor debe ser transferido a través de paredes
(como a través de las paredes metálicas de los tubos de la caldera), la capacidad de
las paredes para soportar temperaturas y presiones elevadas impone un límite a la
temperatura de la absorción de calor. Por otro lado, en un motor de combustií>n
interna, se quema un combustible dentro del mismo motor, y los productos de la
combustión sirven como el medio de trabajo, actuando por ejemplo sobre un pistí>n
en un cilindro. Las temperaturas altas son internas, y así no comprenden supcrfícies para la transferencia de calor.
La quema de un combustible dentro del motor de combustión interna complica el análisis termodinámico. Además, el combustible y el aire fluyen uniformcmente dentro de un motor de combustión interna y los productos de combustión
fluyen uniformemente fuera de él; no hay medio de trabajo que experimente un
proceso cíclico, como lo hace el vapor en una planta de energía de vapor. Sin cmhar-
CAPÍ!lVLO
320
8. Producción de energía a pt-til- de calor
Volumen
F’igura
8.8:
Ciclo del motor de Otto de combustión interna.
go, para hacer un análisis simple, imagínense los motores cíclicos con aire como el
fluido de trabajo, que son equivalentes en comportamiento a los motores reales de
combustión interna. Además, la etapa de combustión es remplazada por la adición
al aire de una cantidad equivalente de calor. En cada una de las secciones siguientes, se presenta primero una descripción cualitativa de un motor de combustión
interna. El análisis cuantitativo se hace entonces de un ciclo ideal en el cual el aire,
tratado como un gas ideal con capacidades caloríficas constantes, es el medio de
trabajo.
8.3
El motor de Otto
Debido a su uso en automóviles, el motor de combustión interna más común es el
motor de Otto. Su ciclo consiste en cuatro carreras de un pistón, y empieza con una
carrera de entrada a presión prácticamente constante, durante el cual un pistón
que se mueve hacia afuera acarrea una mezcla de combustible/aire dentro de un
cilindro. Esto se representa por la línea 0 + 1 en la figura 8.8. Durante la segunda
carrera (1 + 2 + 3), todas las válvulas están cerradas, y la mezcla de combustible/aire es comprimida, aproximadamente en forma adiabática, a lo largo de la
línea 1 -+ 2; la mezcla entonces se pone en ignición y ocurre la combustión tan
rápidamente que el volumen permanece casi constante, mientras que la presión se
eleva a lo largo de la línea 2 + 3. Es durante la tercera carrera (3 + 4 + 1) que
se produce el trabajo. Los productos de combustión de temperatura y presión elevadas se exFanden, aproximadamente en forma adiabática, a lo largo de la línea
3 + 4; la válvula de emisión se abre entonces, y la presión cae rápidamente a VOlumen aproximadamente constante a lo largo de la línea 4 + 1. Durante la cuarta
321
8.3 El motor de Otto
Volumen
Figura 8.9:
Ciclo de Otto de aire estándar.
carrera o emisión (línea 1+ 0), el pistón empuja los gases restantes de la combustión (excepto para el contenido del volumen del espacio libre) fuera del cilindro. El
volumen que se ve en la gráfica de la figura 8.8 es el volumen total de gas contenido
en el motor entre el pistón y la cabeza del cilindro.
El efecto dc aumentar la relación de compresión, definida como la relación de
los volúmenes al inicio y al final de la carrera de compresión, es incrementar la
eficiencia del motor, es decir, aumentar el trabajo producido por unidad de cantidad de combustible. Se demostrará lo anterior para un ciclo idealizado, llamado
ciclo de aire estándar, mostrado en la figura 8.9, el cual consta de dos etapas
adiabáticas y dos de volumen constante, y comprende un ciclo de máquina térmica
para el cual el aire es el fluido de trabajo. En la etapa DA, se absorbe calor sufíciente por el aire a volumen constante para aumentar su temperatura y presión a
los valores resultantes de la combustión en un motor real de Otto. Entonces el aire
se expande adiabática y reversiblemente (etapaAB), se enfría a volumen constante
(etapa BC) y finalmente es comprimido adiabática y reversiblemente al estado
inicial en D.
La eficiencia térmica r) del ciclo de aire estándar que se muestra en la figura
8.9 es simplemente
r)=
- K(neto) = QDA + QBC
QD A
QD A
Para 1 mol de aire con capacidades caloríficas constantes,
(8.3)
322
CAPÍTULO 8.
QDA
Rvducción de energía a partir de calor
= CV(TA-TD)
QBC = Cv(Tc - TB)
Al sustituir estas expresiones en la ecuación (8.3) se obtiene
rl = ‘%T, - T’) - ‘XT, - Tc)
GG’L - TD)
0
T, - G
7)=1-T-T
A
(8.4)
D
La eficiencia térmica también se relaciona en una forma simple con la relación de compresión r = v&D. Se remplaza cada temperatura en la ecuación (8.4)
por un grupo apropiado PVIR, de acuerdo con la ecuación del gas ideal. Así,
PBVB
PBV,
TB= ----=p
R
R
‘AvA
‘AvD
TAc --=-
R
R
‘DvD
TD = __
R
Sustituir en la ecuación (8.4) lleva a
(8.5)
Para las dos etapas adiabáticas, reversibles, se tiene que PVr = constante. De
donde
PAV,y = PBVJ
PrV, = p,v;
(dad0 que V, = y, y V, = v,)
8.4 El motor Diesel
323
Estas expresiones se combinan para eliminar los volúmenes:
También
Estas ecuaciones transforman la ecuación (8.5) como sigue:
0
(8.6)
Esta ecuación muestra que la eficiencia térmica aumenta rápidamente con respecto a la relación de compresión r a bajos valores de r, pero más lentamente a relaciones de compresión elevada. Esto concuerda con los resultados de pruebas reales en
motores de Otto.
8.4 El motor Diesel
El motor Diesel difiere del motor de Otto principalmente en que la temperatura al
final de la compresión es suficientemente elevada para que la combustión se inicie
espontáneamente. Esta temperatura más alta se debe a una mayor relación de
compresión que conduce a la etapa de compresión a una presión más elevada. El
combustible no es inyectado hasta el final de la etapa de compresión, sino que se
añade con suficiente lentitud para que el proceso de combustión se efectúe aproximadamente a presión constante.
Para la misma relación de compresión, el motor de Otto tiene una eficiencia
más alta que el motor Diesel. No obstante, la preignición limita la relación de
compresión que se puede obtener en el rnotor de Otto. Por consiguiente, el motor
Diesel opera a superiores relaciones de compresión y, en consecuencia, a eficiencias
mayores.
CAPÍ!l’VLO
324
8. F!t-aducción de energía a partir de calor
Ejemplo 8.3 Hágase un esquema del ciclo Diesel de aire estándar sobre un diagrama
PV, y hágase la derivación de una ecuación que dé la eficiencia térmica de este ciclo
cn relación con la relación de compresión r (relación de volúmenes al inicio y al final
de la etapa de compresión) y la relación de expansión r, (relación de los volúmenes al
terminar y al iniciarse la etapa de expansión).
El ciclo Diesel de aire estándar es el mismo que el ciclo de aire estándar
de Otto, excepto que la etapa de absorción de calor (correspondiente al proceso de
combustión en el motor real) es a presión constante, como se indica por la línea DA
en la. figura 8.10.
SOLUCIÓN
Sobre la base de un mol de aire, considerado como un gas ideal con capacidades
caloríficas constantes, el calor absorbido en el ciclo es
QDA = CP(TA-TD)
El calor expulsado en la etapa BC es
QBC = Cv(Tc- TB)
Por un balance de energía, -W, = QDA + QBC, y la eficiencia térmica está dada por
(4
Para una expansión reversible adiabática (etapa AB)
adiabática (etapa CD), se aplica la ecuación (3.22)
y
una
TAV.,y-’ = TBV;-l
Y
T Vr-’ = T VT-1
D
Figura 8.10:
D
c c
Ciclo de Diesel de aire estándar.
compresión
reversible
325
8.5 La planta de energía de turbina de gas
Por definición, la relación de compresión es r = V~JVD; además la relación de expansión se define como r, = VDA. Así,
Y-1
TB = TA ’
0 re
(B)
l y-1
Tc = TD ~
0
r
(0
Al sustituir las ecuaciones (B) y (C)en la ecuación (LI) se obtiene
T,(l/r,)y-l - T,(lh)r-l
TA - T’
1
(0
!lbmbién se tiene que PA = PD, y a partir de la ecuación del gas ideal,
PDVD = RTD
PAVA = RTA
Y
Además, VC = VB, y entonces se puede escribir
Esta relación se combina con la ecuación (D) para dar
77 = 1 _ J (Vre)y-l
Y [
o bien
- (relr)(l/r)y-’
1 - rJr
1
(3.7)
8.5
La planta de energía de turbina de gas
Los motores de Otto y Diesel ejemplifican el uso directo de la energía de los gases
a temperatura y a presión elevadas que actúan sobre un pistón dentro de un cilindro; no hay transferencia de calor con el requerimiento de una fuente externa: NO
obstante, las turbinas son más eficientes que los motores reciprocantes, y las ven-
CAPÍTULO 8.
326
l?raducción
de energía a partir de calor
Compresora
Aire
--A
-m Trabajo
B
L
I
F’igura
8.11:
Cámara de
combustión
,I_
-c Combustible
Planta de energía de turbina de gas.
tajas de la combustión interna se combinan con las de la turbina en un motor de
turbina de gas.
La turbina de gas es impulsada por gases a temperatura elevada provenientes de un espacio de combustión, como se indica en la figura 8.11. El aire que entra
es comprimido (sobrecargado) a una presión de varios bars antes de la combustión. La compresora centrífuga opera sobre la misma flecha que la turbina, y parte
del trabajo de la turbina sirve para impulsar la compresora. La unidad que se
muestra en la figura 8.11 es una planta de energía completa, como son los motores
de Otto y Diesel. La turbina de gas es sólo una parte y realiza la misma función
que la turbina de vapor en una planta de energía de vapor (figura 8.1).
Mientras mayor sea la temperatura de los gases de combustión que entran a
la turbina, mayor será la eficiencia de la unidad, es decir, mayor será el trabajo
producido por unidad de combustible que se quema. La temperatura limitante se
determina por la resistencia de las aspas metálicas de la turbina, y es mucho menor que la temperatura teórica de flama (sección 4.8) del combustible. Se debe
suministrar un exceso suficiente de aire para conservar la temperatura de combust,ión en un nivel seguro.
En la figura 8.12 se presenta un diagrama PV que muestra la idealización del
ciclo de la turbina de gas (basado en el aire, llamado el ciclo de Brayton). La etapa
de compresión AB está representada por la trayect,oria reversible (isentrópica) y
adiabática en la cual la presión se incrementa de PA (presión atmosférica) aPB. El
proceso de combustión es remplazado por la adición a presión constante de una
cantidad de calor &Bc. El trabajo es producido en la turbina como resultado de la
expansión isentrópica del aire a la presión Po. Como los gases calientes de la turbina son emitidos a la atmósfera, Po = PA. La eficiencia térmica del ciclo está dada
por
8.5 La planta de energía de turbina de gas
327
rl=
- W,(neto)
Q BC
= - W, - W,
QB C
(8.8)
en donde
cada cantidad de energía se basa en 1 mol de aire.
El trabajo hecho al pasar el aire a través del compresor está dado por la
ecuación (7.33) y para el aire como un gas ideal con capacidades caloríficas constantes,
W, = HB -HA = Cp(TB - TA)
Similarmente, para los procesos de combustión en la turbina,
QBC = CP(TC - TB)
WCD = CP(TD- Tc)
Al sustituir estas ecuaciones en la ecuación (8.8) y al simplificar, se tiene
T! - T’
9=1-T-T
c B
(8.9)
Dado que los procesos AB y CD son isentrópicos, las temperaturas y presiones se
relacionan como sigue [ecuación (3.23)] :
(8.10)
Y
(8.11)
Con estas ecuaciones se pueden eliminar TA y TD para dar
(Y -NY
(8.12)
Ejemplo
8.4 Una planta de energía de turbina de gas con una relación de compresión P,lp, = 6 opera con aire que entra al compresor a 25°C. Si la temperatura
máxima permisible de la turbina es 76O”C, determine:
328
CAPÍTULO 8.
B
Producción de energía a partir de calor
c
P
Q!l
A
D
V, volumen específico
Figura 8.12:
a)
b)
La eficiencia 77 del cielo reversible del gas ideal para estas condiciones, si
y = 1.4.
La eficiencia térmica de la planta de energía para las condiciones dadas si
el compresor y la turbina operan adiabáticamente pero en forma irreversible con eficiencias rlc = 0.83 y vt = 0.86.
SOLUCIÓN
ideal:
Ciclo ideal para una planta de energía de turbina de gas.
a) La sustitución directa en la ecuación (8.12) da la eficiencia del ciclo
v = 1 - (1/@.4- 1Y1.4 = 1 _ 0.3)
= 0.40
6) La irreversibilidad en el compresor y la turbina reducen grandemente la eficiencia térmica de la planta de energía, porque el trabajo neto es la diferencia entre
el trabajo requerido por el compresor y el trabajo producido por la turbina. La temperatura del aire que entra al compresor, TA, y la temperatura del aire que entra en
la turbina, la máxima especificada para TC, son las mismas que para el ciclo ideal.
Sin embargo, la temperatura después de la compresión irreversible en el compresor,
TB, es superior que la temperatura después de la compresión isentrópica, Ti , y la
temperatura después de la expansión irreversible en la turbina, TD, es más alta que
la temperatura después de la expansión isentrópica, TL.
El trabajo requerido por el compresor es
W(comp)
= Cp( TB - TA)
(Al
Alternativamente, esto se puede encontrar a partir del trabajo isentrópico:
W(comp)
=
C,(G - TA )
17,
(B)
Similarmente, el trabajo producido por la turbina es
W(turb)
= Cp(T, - Tc) = Cp~t(T~ - TC)
(0
8.5 La planta de energía de turbina de gas
329
y el calor absorbido en el sitio de la combustión es
Q = CdTc- TB)
(DI
Estas ecuaciones se combinan para dar la eficiencia térmica de la planta de energía:
77=
- W( comp) - W( turb)
Q
=
-[(TA - ~‘4Y%l+ Iltcc - TAI
Tc - Ts
Al combinar las ecuaciones (A) y (B) y utilizar el resultado para eliminar TB de
esta ecuación se obtiene, después de una simplificación,
-(T;/T, -l)+ qtqc(TclTa - T;IT,)
77=
q,(Tc/TA - 1) - (TAITA - 1)
(EI
La relación de temperaturas Ti /TA se asocia con la relación de presiones por medio
de la ecuación (8.10). La relación Tc/TA depende de las condiciones dadas. En vista de
la ecuación (8.1 l), la relación TL /TA se puede escribir
Al sustituir estas expresiones en la ecuación (E) se tiene
77 = w’c:(T,/T,)(l- Va)- (01 - 1)
v,WT, - 1) - (a - 1)
(8.13)
en donde
(yE
( pL3 1
(Y - 1YY
PA
Se puede demostrar a partir de la ecuación (8.13) que la eficiencia térmica de la
pla.nta de turbina de gas aumenta a medida que la temperatura del aire que entra a
la turbina, (Tc), aumenta, y también a medida que las eficiencias del compresor y la
turbina vC y qt aumentan.
Los valores que se dan para la eficiencia son
77t=O.86
y
Tc = 0.83
Otros datos dados proporcionan
XT- 760 + 273.15 = 3 47
T*
25 + 273.15
’
330
CAPÍ!lVLO
8. Producción de energía a partir de calor
Y
<y = (c)0.4-1j11.4 = 1.67
Al sustituir estas cantidades en la ecuación (8.13)) se obtiene
77 = (0.86)(0.83)(3.47)(1lA.67) - (1.67 - 1) _ o.235
(0.83)(3.47 - 1) - (1.67 - 1)
Este análisis demuestra que, aun con el compresor y una turbina de eficiencia más
bien elevadas, la eficiencia térmica (23 5 por ciento) se reduce considerablemente del
valor de 40 por ciento para el ciclo ideal.
8.6
Motores a chorro; motores de cohete
En los ciclos de energía considerados hasta ahora, el gas a temperatura y presión
elevadas se expande en una turbina (planta de energía de vapor, turbina de gas) o
en los cilindros de un motor de Otto o Diesel con pistones reciprocant,es. En cualquier caso, se puede disponer de la energía por medio de una flecha de rotación.
Otro dispositivo para expandir los gases calientes es una tobera. Aquí, se puede
disponer de la energía como energía cinética en el chorro de gases de emisión que
salen de la tobera. Toda la planta de energía, que consiste en un dispositivo de
compresión y una cámara de combustión, así como de una tobera, se conoce como
motor a chorro. Dado que la energía cinética de los gases emitidos es directamente
asequible para la propulsión del motor y sus aditamentos, los motores a chorro son
usados comúnmente para dar energía a las naves aéreas. Existen varios tipos de
motores de propulsión a chorro, basados en formas diferentes de llevar a cabo los
procesos de compresión y expansión. Como el aire que choca con el motor tiene
energía cinética (con respecto al motor), su presión se puede incrementar en un
difusor.
El turborreactor ilustrado en la figura 8.13 toma ventaja de un difusor para
reducir el trabajo de compresión. El compresor de flujo axial completa el trabajo
de compresión, y entonces se inyecta el combustible y se quema en la cámara de
eombust,ión.
Los gases calientes, que son producto de la combustión, pasan primero a través de una turbina en donde la expansión proporciona justamente la energía suficiente para impulsar al compresor. El resto de la expansión a la presión de
emisión es llevada a cabo en la tobera. Aquí, la velocidad de los gases con respecto
al motor se incrementa a un nivel superior al del aire que entra. Este aumento en
la velocidad da un empuje (fuerza) sobre el motor hacia adelante. Si los procesos
de compresión y expansión son adiabáticos y reversibles, el ciclo del turborreactor
es idéntico al ciclo de la planta de energía de turbina de gas ideal mostrado en la
figura 8. ll. Las únicas diferencias son que, físicamente, las etapas de compresión
y expansión se llevan a cabo en dispositivos de tipos diferentes.
Un motor de cohete difiere de un motor a chorro en que el agente oxidante es
llevado con el motor. En lugar de depender del aire circundante para quemar el
331
8.6 Motores a chorro: motores de cohete
Cámara de combustión
- Gases de
.,
, emExm
Difusor
Combustible
Figura 8.13:
lbbera
Planta de energía de turborreactor.
combustible, el cohete es de autocontención. Esto significa que el cohete puede
operar en un vacío como el del espacio exterior. De hecho, el desempeño es mejor en
un vacío porque no se requiere ningún empuje para compensar las fuerzas de fricción.
En los cohetes que queman combustibles líquidos, el agente oxidante (por
ejemplo, oxígeno líquido) es bombeado desde los tanques hacia la cámara de combustión. Simultáneamente, se bombea el combustible (por ejemplo, queroseno)
dentro de la cámara y se quema. La combustión tiene lugar a una elevada presión
constante, y produce gases a altas temperaturas que son expandidos en una tobera,
como se indica en la figura 8.14.
En los cohetes que queman combustibles sólidos el combustible (polímeros
orgánicos) y un oxidante (por ejemplo, perclorato de amonio) están contenidos
juntos en una matriz sólida. y almacenados en el extremo anterior de la cámara de
combustión.
En un cohete ideal, las etapas de combustión y expansión son las mismas que
las de un motor a chorro ideal (figura 8.12). Un cohete de combustible sólido no
requiere trabajo de compresión yen un cohete de combustible líquido la energía de
compresión es pequeña, dado que el combustible y el oxidante se bombean como
líquidos.
Cámara de combustión
/
-
Figura 8.14:
Motor de cohete de combustible líquido.
Gases de
..,
emmon
CAPÍTULO 8.
332
Producción de energía a partir de calor
PROBLEMAS
8.1.
En la figura 8.1 se muestra el ciclo básico para una planta de energía de vapor.
Suponga que la turbina opera adiabáticamente con vapor de agua que entra a 6 800
kPa y 550°C y que el vapor de emisión entra al condensador a 50°C con una calidad
de 0.96. Agua líquida saturada deja el condensador y es bombeada a la caldera,
Despreciando el trabajo de la bomba y los cambios de energía cinética y potencial,
determínese la eficiencia térmica del ciclo y la eficiencia de la turbina.
8.2.
Una planta de energía de vapor opera con el ciclo de la figura 8.4. Para uno de los
conjuntos de condiciones de operación siguientes, determínese la velocidad del vapor,
las velocidades de transferencia de calor tanto en la caldera como en el condensador
y la eficiencia térmica de la planta.
a)
PI = Pz = 10 000 kPa; Tz = 600°C; PS = PJ = 10 kPa; v(turbina) = 0.80;
v(bomba) = 0.75; producción de energía = 80 000 kW
b)
PI = Pz = 7 000 kPa; T2 = 550°C; PS = P4 = 20 kPa; q(turbina)
r](bomba)
= 0.75; producción de energía = 100 000 kW.
= 0.75;
c)
PI = Pz = 8 500 kPa; Tz = 600°C; P3 = Pb = 10 kPa; q(turbina)
r](bomba)
= 0.80; producción de energía = 70 000 kW
= 0.80;
d)
PI = Pz = 6 500 kPa; Tz = 525°C; P3 = Pt = 101.33 kPa; g(turbina) = 0.78;
T(bomba) = 0.75; producción de energía = 50 000 kW
e)
PI = Pz = 950(psia);
T2 = 1 OOO(“F); P3 = P4 = 14.7(psia);
0.78; T(bomba)
= 0.75; producción de energía = 50 000 kW
fl
PI = Pz = 1450(psia); T2 = 1 lOO( P3 = P4 = l(psia); v(turbina) = 0.80;
q(bomba)
= 0.75; producción de energía = 80 000 kW
v(turbina) =
8.3.
El vapor entra a la turbina de una planta de energía que opera con un ciclo de
Rankine (figura 8.3) a 3 300 kPa, y las emisiones salen a 50 kPa. Para demostrar el
efecto del sobrecalentamiento sobre el desempeño del ciclo, calcule la eficiencia térmica del ciclo y la calidad del vapor emitido de la turbina para temperaturas de
vapor, a la entrada de la turbina, de 450, 550 y 650°C.
8.4.
El vapor entra a la turbina de una planta de energía que opera con un ciclo de
Rankine (figura 8.3) a 6OO”C, y las emisiones salen a 30 kPa. Para demostrar el
efecto de la presión en la caldera sobre el desempeño del ciclo, calcule la eficiencia
térmica y la calidad del vapor emitido de la turbina para presiones en la caldera de
5 000,7 500 y 10 000 kPa.
8.5.
Una planta de energía de vapor emplea dos turbinas adiabáticas en serie. El vapor de
agua entra a la primera turbina a 650°C y 7 000 kPa y se descarga de la segunda
turbina a 20 kPa. El sistema está diseñado para una salida de energía igual para las
dos turbinas, con base en una eficiencia de turbina del 78 % para cada una. Determine la temperatura y la presión del vapor en su estado intermedio entre las dos
turbinas. iCuál es la eficiencia general de las dos turbinas juntas con respecto a la
expansión isentrópica del vapor del estado inicial al final?
8.6.
Una planta de energía de vapor opera con un ciclo regenerativo, como el ilustrado en
la figura 8.5, e incluye sólo un calentador del agua de alimentación. El vapor entra a la
turbina a 4 500 kPa y 500°C y las emisiones salen a 20 kPa. El vapor para el calen-
.
Problemas
333
tador del agua de alimentación es extraído de la turbina a 350 kPa, y al condensar
incrementa la temperatura del agua de alimentación a unos 6°C de su temperatura
de condensación a 350 kPa. Si las eficiencias de la turbina y la bomba son en ambos
casos de 0.78, &xuY es la eficiencia térmica del ciclo y qué fracción del vapor que
entra a la turbina es extraída para el calentador del agua de enfriamiento?
8.7.
Una planta de energía de vapor que opera con un cielo regenerativo, como el ilustrado en la figura 8.5, incluye sólo un calentador del agua de alimentación. El vapor de
sgua entra a la turbina a 650(psia) y 900(“F) y las emisiones salen a l(psia). El
vapor para el calentador del agua de alimentación es extraído de la turbina a 50(psia),
y al condensar eleva la temperatura del agua de alimentación unos ll(“F) de su
temperatura de condensación a 50(psia). Si las eficiencias de la turbina y de la
bomba son en ambos casos de 0.78, icuál es la eficiencia térmica del ciclo y qué
fracción del vapor que entra a la turbina es extraída para el calentador del agua de
alimentación?
8.8.
Una planta de energía de vapor que opera con un ciclo regenerativo, como el ilustrado en la figura 3.5, incluye dos calentadores del agua de alimentación. El vapor de
agua entra ala turbina a 6 500 kPa y 600°C y las emisiones salen a 20 kPa. El vapor
para los calentadores del agua de alimentación se extrae de la turbina a presiones
tales que el agua de alimentación es calentada hasta 190°C en dos incrementos iguales de la temperatura, con 5°C de aproximación a la temperatura de condensación
del vapor en cada calentador del agua de alimentación. Si las eficiencias de la turbina y de la bomba son en ambos casos de 0.80, ieuál es la eficiencia térmica del ciclo
y qué fracción del vapor que entra a la turbina se extrae para cada calentador del
agua de alimentación?
8.9.
Una planta de energía que opera sobre el calor recuperado de los gases de emisión de
motores de combustión interna utiliza isobutano como el medio de trabajo en un
ciclo de Rankine modificado, en el cual el nivel superior de presión está por arriba de
la presión crítica del isobutano. Así, el isobutano no experimenta un cambio de fase
a medida que absorbe calor antes de su entrada a la turbina. El vapor de isobutano
es calentado, a 4 800 kPa hasta 260°C y entra a la turbina como un fluido supercrítico
en estas condiciones. La expansión isentrópica en la turbina produce un vapor
sobrecalentado a 450 kPa, el cual es enfriado y condensado a presión constante. El
líquido saturado resultante entra a la bomba para ser regresado al calentador. Si la
producción de energía del ciclo de Rankine modificado es 1000 kW, ieuál es la velocidad de flujo del isobutano, las velocidades de transferencia de calor tanto en el
calentador como en el condensador y la eficiencia térmica del ciclo? La presión de
vapor del isobutano está dada por
ln P/kPa = 14.57100 -
2 606.775
t/“C + 274.068
8.10. Una planta de energía que opera con calor de una fuente geotérmica usa isobutano
como el medio de trabajo en un ciclo de Rankine (figura 8.3). El isobutano es calentado a 3 400 kPa (una presión justamente un poco abajo de su presión crítica) hasta
una temperatura de 14O”C, condiciones a las cuales entra a la turbina. La expansión
isentrópica en la turbina produce un vapor húmedo a 35”C, el cual es condensado a
un líquido saturado y bombeado al calentador/caldera.
Si la velocidad de flujo del
isobutano es 75 kg s-l, Icuál es la producción de energía del ciclo de Rankine, y
334
CAl’Í!lVLO
8. Producción de energía a partir de calor
cuáles son las velocidades de transferencia de calor en el calentadorjcaldera
condensador? BCuál es la eficiencia térmica del ciclo?
y el
Repita estos cálculos para un ciclo en el cual la turbina y la bomba tienen una eficiencia de 80% cada una.
La presión de vapor del isobutano se da en el problema anterior.
8.11. Para comparación de los ciclos del motor de Diesel y de Otto:
a)
Demuéstrese que la eficiencia térmica del ciclo de Diesel de aire estándar se
puede expresar como
77’1-
1
I-l c-1
0
r
r(rc - 1)
en donde r es la relación de compresión y r, es la relación de corte, definida como
r, = VA/VD. (Véase la figura 8.10.)
b)
Demuéstrese que para la misma relación de compresión, la eficiencia térmica
del motor de Otto de aire estándar es mayor que la eficiencia térmica del ciclo de
Diesel de aire estándar. (Consejo: Demuéstrese que la fracción que multiplica
( l/r) 7 - ’ en la ecuación anterior para q es mayor que la unidad por expansión de
r,’ en una serie de ‘lhylor con el resto tomado como la primera derivada.)
c)
Si y = 1.4, Icómo se compara la eficiencia térmica de un ciclo de Otto de aire
estándar con una relación de compresión de 8, con la eficiencia térmica de un
ciclo de Diesel de aire estándar con la misma relación de compresión y una
relación de corte de 2? iCómo cambia la comparación si la relación de corte es de
3?
8.12. Un ciclo de Diesel de aire estándar absorbe 1 500 J mal-’ de calor (etapaDA de la
figura 8.10, la cual simula combustión). La presión y la temperatura al inicio de
la etapa de compresión son 1 bar y 20°C y la presión al final de la etapa de compresión es 4 bar. Suponiendo que el aire sea un gas ideal para el cual Cp = (7/2)R y CV
= (5/2)R, Icuáles son la relación de compresión y la relación de expansión del
ciclo?
8.13. Calcule la eficiencia para un ciclo de turbina de gas con aire estándar (ciclo de Brayton), que opera con una relación de presión de 3. Repita para relaciones de presión de
5, 7 y 9. Tbme y = 1.35.
8.14. Un ciclo de turbina de gas con aire estándar se modifica por instalación de un
intercambiador de calor regenerativo para transferir energía del aire que sale de la
turbina al aire que sale del compresor. En un intercambiador óptimo a contracorriente, la temperatura del aire que sale del compresor es elevada a la del punto D
en la figura 8.12, y la temperatura del gas que sa.le de la turbina es abatida hasta
el punto B de la figura 8.12. Demuestre que la eficiencia térmica del ciclo está
dada por
( 1
n=1+ g
A
c
(Y -WY
Problemas
8.15. Considere un ciclo de aire estándar para la planta de energía de turborreactor mostrada en la figura 8.13. La temperatura y la presión del aire que entra al compresor
son 1 bar y 30°C. La relación de presión en el compresor cs 6.5, y la temperatura en
la entrada de la turbina es 1 100°C. Si la expansión en la tobera es isentrópica y las
emisiones de la tobera están a 1 bar, kuál es la presión en la entrada de la tobera
(descarga de la turbina) y cuál es la velocidad del aire que sale de la tobera?
CAPíTULO 9
REFRIGERACI6N
Y LICUEFACCIÓN
La refrigeración se conoce mejor por su utilización en el acondicionamiento del
aire de edificios y en el tratamiento, transportación y conservación de alimentos y
bebidas. También encuentra uso industrial a gran escala, por ejemplo, en la fabricación de hielo y la deshidratación de gases. Las aplicaciones en la industria del
petróleo incluyen la purificación de aceites lubricantes, las reacciones a bajas temperaturas y la separación de hidrocarburos volátiles. Un proceso estrechamente
relacionado es la licuefacción de los gases, que tiene aplicaciones comerciales importantes.
El objetivo de este capítulo es presentar un análisis termodinámico de los
procesos de refrigeración y licuefacción. No obstante, los detalles del diseño del
equipo se dejan para libros especializados.’
La palabra refrigeración significa mantenimiento de una temperatura inferior a la del ambiente. Esto requiere absorción continua de calor aun bajo nivel de
temperatura, a menudo logrado por evaporación de un líquido en un proceso de
flujo continuo en estado uniforme. El vapor que se forma puede regresar a su
estado líquido original para su revaporación en alguna de dos formas, siendo la
más común la compresión y condensación del mismo. Alternativamente, puede ser
absorbido por un líquido de volatilidad baja, del cual es evaporado posteriormente
a presión más elevada. Antes de tratar estos ciclos prácticos de refrigeración, se
considerará al refrigerador de Carnot, el cual proporciona un parámetro de comparación.
‘ASHRAE Handbook: Refrieration, 1994; Fundamentals, 1993; HlAC Systems and Equipat,
1992; HKACApplications,
1991; Ameritan Society of Heating, Retigerating, and Air-Conditioning
Engineers, Inc., Atlanta; Shan K. Wang, Handbook ofAir Conditioning and Refrigeration, McGrawHill, Nueva York, 1993.
9.1 El refrigerador
9.1
337
de Carnet
El refrigerador de Carnot
En un proceso de refrigeración continua, el calor absorbido a una temperatura
baja es desechado ininterrumpidamente hacia el ambiente, que se encuentra a una
temperatura más elevada. En esencia, un ciclo de refrigeración es un ciclo invertido de una máquina térmica. El calor es transferido de un nivel bajo de temperatura a uno más alto; de acuerdo con la segunda ley, esto requiere una fuente externa
de energía. El refrigerador ideal, como una máquina térmica ideal (sección 5.2),
opera en un ciclo de Carnet, que en este caso consiste en dos etapas isotérmicas, en
las cuales el calor 1&C 1es absorbido a la temperatura más baja TC y el calor 1QH 1
es desechado a la temperatura más elevada TH, y en dos etapas adiabáticas. El
ciclo requiere la adición del trabajo neto W al sistema. Como AU del fluido de
trabajo es cero para el ciclo, la primera ley da
w= IQHI - IQCI
La medida usual de la efectividad de un refrigerador se llama coeficiente de
desempeño, que se define como
Cll=
calor absorbido a la temperatura más baja
trabajo neto
Así,
(J!a
W
La división de la ecuación (9.1) por 1&c 1da
Pero de acuerdo con la ecuación (5.7),
de donde
W Tii 1= TL - T,
Li=‘,T,
(9.2)
338
CAPÍTULO
9.
Refrigeración
y
licuefacción
3
/í4\
4
T
2
1
s
a)
m
3
3’
4
T
estrangulamiento
2
1
s
b’igura 9.1:
b)
Ciclos de refrigeración de compresión de vapor.
y la ecuación (9.2) se convierte en
0=
Tc
TH - T,
(9.3)
Esta ecuación se aplica solamente a un refrigerador que está operando en un ciclo
de Carnot, y da el valor máximo posible de w para cualquier refrigerador que esté
operando entre los valores TH y TC. Además, muestra con claridad que el efecto de
refrigeración por unidad de trabajo disminuye a medida que decrece la temperatura Tc de absorción de calor y a medida que aumenta la temperatura TH de expulsión de calor. Para la refrigeración a un nivel de temperatura de 5°C y a una temperatura ambiente de 3O”C, el valor de w para un refrigerador de Carnot es
0=
5 + 273.15
(30 + 273.15) - (5 + 273.15)
= 11.13
339
9.2 Ciclo de compresión de vapor
9.2
Ciclo de compresión de vapor
Un líquido que se está evaporando a presión constante proporciona un medio para
la absorción de calor a temperatura constante. En forma semejante, la condensación
del vapor, después de la compresión a una presión más elevada, proporciona lo
necesario para la expulsión del calor a temperatura constante. El líquido del
condensador es regresado a su estado original por un proceso de expansión. Esto
se puede llevar a cabo en una turbina de la cual se obtiene trabajo. Cuando la
compresión y la expansión son isentrópicas, esta secuencia de procesos constituye
el ciclo de la figura 9. la, el cual es equivalente al ciclo de Carnot, salvo que el vapor
sobrecalentado proveniente del compresor (punto 3 en la figura 9.la) se debe enfriar a su temperatura de saturación antes de que empiece la condensación.
Sobre la base de una unidad de masa de fluido, el calor absorbido en el
evaporador es
Esta ecuación proviene de la (7.17) cuando se desprecian los cambios pequeños en
energía potencial y cinética. En forma similar, el calor expulsado en cl condensador
es
IQHI =Hs-H4
Por la ecuación (9.1),
W =
(H3-H4)-(Hz-HI)
y por la ecuación (9.2), el coeficiente de desempeño es
W=
Hz - H,
(Hs -H,)-(K-H,)
(9.4)
Este proceso requiere una turbina o expansor que opere sobre una mezcla de
dos fases líquido/vapor. Una máquina tal es impráctica para unidades pequeñas.
Por consiguiente, el ciclo de la figura 9. la se utiliza sólo para instalaciones grandes. Más comúnmente, la expansión se obtiene por estrahgulamiento
del líquido
del condensador por medio de una válvula parcialmente abierta. La caída de prcsión en este proceso irreversible es el resultado de la fricción del fluido en la válvula. En unidades pequeñas, por ejemplo en los refrigeradores y en los acondicionadores de aire domésticos, la sencillez y el menor costo de la válvula dc estrangulamiento compensa el ahorro posible de energía por medio de una turbina. Como SC
muestra en la sección 7.2, el proceso de estrangulamiento ocurre a entalpía constante.
El ciclo de compresión del vapor que incluye una válvula a través de la cual SC
efectúa la expansión se muestra en la figura 9.lb, en donde la línea 4 + 1 reprc-
340
CAPÍ!lULO
9. Refrigeración y licuefacción
senta el proceso de estrangulamiento a entalpía constante. La línea 2 + 3, que
representa un proceso real de compresión, se inclina en la dirección de la entropía
creciente, reflejando la irreversibilidad inherente en el proceso. La línea punteada
2 + 3’ es la trayectoria de la compresión isentrópica (véase la figura 7.9). Para
este ciclo, el coeficiente de desempeño es
(9.5)
El diseño del evaporador, compresor, condensador y equipo auxiliar requiere
conocimiento de la velocidad de circulación del refrigerante, ria . Esto es determinado por el calor absorbido en el evaporado? mediante la ecuación
* -
IQCI
m - H, -HI
(9.6)
El ciclo de compresión de vapor de la figura 9.lb se muestra en un diagrama
PH en la figura 9.2. Estos diagramas son utilizados más comúnmente que los
diagramas TS en la descripción de los procesos de refrigeración, porque muestran
directamente las entalpías requeridas. Aunque los procesos de evaporación y
condensación se representan por medio de trayectorias de presión constante, ocurren pequeñas caídas de presión debido a la fricción del fluido.
9.3
Comparación de ciclos de refrigeración
Para valores dados de Tc y TH, el mayor valor posible de o se obtiene mediante el
ciclo de refrigeración de Carnot. El ciclo de compresión de vapor con compresión y
expansión reversibles se aproxima a éste límite superior. Un ciclo de compresión de
vapor, con expansión en una válvula de estrangulamiento, tiene un valor ligeramente menor, que se reduce aún más cuando la compresión no es isentrópica. El
ejemplo siguiente proporciona una indicación de los valores típicos para los coeficientes de desempeño.
IQemplo 9.1 Un espacio refrigerado se mantiene a lO(“F), y se dispone de agua de
enfriamiento a 70(“F). El evaporador y el condensador tienen el tamaño suficiente
como para obtener una diferencia mínima de temperatura de lO(“F) para la transferencia de calor en cada uno. La capacidad de refrigeración es 120 000 (Btu)(hr)-‘.
2En Estados Unidos el equipo de refrigeración es evaluado en toneladas
de n$rigerac~; una
tonelada de refrigeración se define como la absorción de calor a la velocidad de 12 000 @tu) u
ll 376 kJ por hora. Esto corresponde aproximadamente a la velocidad de remoción del calor requerida para congelar 1 (tonelada) de agua, inicialmente a 32(“F), por día.
9.3
Comparación de ciclos de refrigeración
s constante
In P
H
F’igura 9.2:
Ciclo de refrigeración de compresión de vapor sobre un diagrama PH.
El refrigerante es tetrafluoroetano (HF’C-134a),
9.1 yen la figura 9.3.
para el cual se dan datos en la tabla
a) iCuál es el valor de o para un refrigerador de Carnot?
b)
c)
Calcular o y h para el ciclo de compresión de vapor de la figura 9.h
Calcular o y rE, para el ciclo de compresión de vapor de la figura 9.lb si la
eficiencia del compresor es 0.80.
SOLUCIÓN
a) Mediante la ecuación (9.3), para un refrigerador de Carnot,
CO=
0 + 459.67
(80 + 459.67) - (0 + 459.67)
= 5.75
b) Dado que HFC-134a es el refrigerante, las entalpías para los estados 1,2,3,
y 4 de la figura 9.la se leen en la tabla 9.1 y en la figura 9.3. De la entrada en la
tabla 9.1, a lo-10 = O(“F), vemos que HFC-134a se vaporiza en el evaporador a una
presión de 2 1.162 (psia). Sus propiedades como vapor saturado en estas condiciones
son
H2 = 103.015(Btu)(lb,)-1
SZ = 0.22525(Btu)(lbJ1(R)-’
CAPITULO
342
Tabla 9.1:
9.
Refrigeración
y
licuefacción
Propiedades termodimímiw de tetrakoroetauo saturado?
Volumen
(pie)3(lb,)-1
Entalpía
(Btu)(lb,)-'
vu
H1
IP
Entropía
(Btu)(lb,)-l(R)-l
t("F)
P(psia)
v
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
7.429
8.577
9.862
ll.297
12.895
14.667
16.626
18.787
21.162
23.767
26.617
29.726
33.110
36.785
40.768
45.075
49.724
54.732
60.116
65.895
72.087
78.712
85.787
93.333
101.37
109.92
119.00
128.63
138.83
149.63
161.05
173.11
185.84
199.25
213.38
0.01132
0.01139
0.01145
0.01152
0.01158
0.01165
0.01172
0.01180
0.01187
0.01194
5.782
0.000
5.053
1.489
4.432
2.984
3.901
4.484
3.445
5.991
3.052
7.505
2.712
9.026
2.416 10.554
2.159 12.090
1.934 13.634
97.050 0.00000
97.804 0.00352
98.556 0.00701
99.306 0.01048
100.054 0.01392
100.799 0.01733
101.542 0.02073
102.280 0.02409
103.015 0.02744
10.745 0.03077
0.01202
0.01210
0.01218
0.01226
0.01235
0.01243
0.01252
0.01262
0.01271
0.01281
0.01291
0.01301
0.01312
0.01323
0.01335
0.01347
0.01359
0.01372
0.01386
0.01400
0.01415
0.01430
0.01447
0.01464
0.01482
1.736 15.187
1.563 16.748
1.410 18.318
1.275 19.897
1.155 21.486
1.048 23.085
0.953 24.694
0.868 26.314
0.792 27.944
0.724 29.586
0.663 31.239
0.608 32.905
0.558 ( 34.583
0.512 36.274
0.472 87.978
0.434 39.697
0.400 41.430
0.369 43.179
0.341 44.943
0.315 46.725
0.292 48.524
0.270 50.343
0.250 52.181
0.231 54.040
0.214 55.923
104.471
105.192
105.907
106.617
107.320
135
140
150
160
170
228.25
243.88
277.57
314.69
355.51
0.01502
0.01522
0.01567
0.01620
0.01683
0.198 57.830
0.184 59.764
0.157 63.722
0.134 67.823
0.114 72.106
SZ
0.03408
0.03737
0.04065
0.04391
0.04715
108.016 0.05018
108.705 0.05359
109.386 0.05679
110.058 0.05998
110.722 0.06316
111.376 0.06633
112.019 0.06949
112.652 0.07264
113.272 0.07578
113.880 0.07892
114.475 0.08205
115.055 0.08518
115.619 0.08830
116.166 0.09142
116.694 0.09454
117.203 0.09766
117.690 0.10078
118.153 0.10391
118.591 0.10704
119.000 0.11018
119.377 0.11333
119.720 0.11650
120.284 0.12288
120.650 0.12938
120.753 0.13603
R
0.23125
0.23032
0.22945
0.22863
0.22786
0.22714
0.22647
0.22584
0.22525
0.22470
0.22418
0.22370
0.22325
0.22283
0.22244
0.22207
0.22172
0.22140
0.22110
0.22081
0.22054
0.22028
0.22003
0.21979
0.21957
0.21934
0.21912
0.21890
0.21868
0.21845
0.21822
0.21797
0.21772
0.21744
0.21715
0.21683
0.21648
0.21566
0.21463
0.21329
t Adaptado con autorización de ASHRAE Handbook:
Fundamentals,
pp. 17-29, Ameritan Society
Heating, Refrigerating,
an Air-Conditioning
Engineers, he., Atlanta, 1983.
of
9.3 Comparación de ciclos de refrigeración
343
CDÍTULO 9. Refrigeraación
344
y licuefacción
De la entrada a 70 + 10 = SO en la tabla 9.1, se encuentra que el HFC-134a se
condensa a 101.37(psia); sus propiedades como líquido saturado en estas condiciones son
H4 = 37.978(Btu)(lb,)-l
S4 = 0.07892(Btu)(lbJ1(R)-’
Dado que Sr = Ss = 0.22525, la entalpía a partir de la figura 9.3, a esta entropía
ya una presión de 101.37(psia) es aproximadamente
Hs = 117(Btu)(lb,)-’
El estado 1 es una mezcla de dos fases a la cual se aplica la ecuación (6.57). La
descripción de esta entropía es
8 = (1 -x)xl+ xXV
en donde x es la calidad (fracción masa de la mezcla que es vapor). Como SI = S4 =
0.07892, esto se convierte en
0.07892 = (1 -x)(0.02744) + x(0.22525)
La solución para x nos da
x = 0.2602
Similarmente,
H1= (1 -x)HI + x2?
= (0.7398)(12.090)
+ (0.2602)(103.015) = 35.75(Btu)(lbJ1 ’
La evaluación del coeficiente de desempeño por medio de la ecuación (9.4) da
0=
103.015 - 35.75
= 5.72
(117 - 37.978) - (103.015 - 35.75)
De acuerdo con la ecuación (9.6), la velocidad de circulación de HFC-134a es
rE,=
120 000
= 1 784(lb,)(hr)-’
103.015 - 35.75
c) Para la etapa de expansión del ciclo mostrado en la figura 9.lb,
HI = H4 = 37.978(Btu)(lb,)-’
Para la etapa de compresión,
(&)s = (H3 -H& = 117 - 103.015 = 13.98(Btu)(lbJ1
9.4 Selección del refkigerante
345
Mediante la ecuación (7.36) para la eficiencia de un compresor de 0.80.
m = H3 -Hz = k!!% = 13.98 = 17.48(Btu)(lb,)-l
0.80
77
El coeficiente de desempeño ahora se encuentra a partir de la ecuación (9.5):
103.015 - 37.978 = 3 72
H,-H, =
17.48
o= K-H,
La velocidad de circulación de HF’C-134a es
&=
120 000
= 1 845(lb,)(hr)-r
103.015 - 37.978
Los resultados se resumen como sigue:
Ciclo
a) Carnot
b) Figura 9.la
c) Figura 9.lb
0
riz (lb,)(hr)-’
5.75
5.72
3.72
1784
1845
9.4 Selección del refrigerante
Como se demuestra en la sección 5.2, la eficiencia de una máquina térmica de
Carnot es independiente del medio de trabajo del motor. De modo similar, el coeficiente de desempeño de un refrigerador de Carnot es independiente del refrigerante.
No obstante, las irreversibilidades inherentes al ciclo de compresión de vapor causan que el coeficiente de desempeño de los refrigeradores prácticos dependa en
algún grado del refrigerante. A pesar de ello, características tales como toxicidad,
flamabilidad, costo, propiedades de corrosión y presión de vapor en relación con la
temperatura son de mayor importancia en la elección del refrigerante. Para que el
aire no pueda entrar al sistema de refrigeración, la presión de vapor del refrigerante,
a la temperatura del evaporador, debe ser mayor que la presión atmosférica. Por
otro lado, la presión de vapor en la temperatura del condensador no debe ser excesivamente elevada debido al costo inicial y a los gastos de operación del equipo a
presión elevada. Estos dos requerimientos limitan la elección del refrigerante a
relativamente pocos fluidos. La selección final depende entonces de las otras características que se han mencionado.
El amoniaco, el cloruro de metilo, el dióxido de carbono, el propano y otros
hidrocarburos pueden servir como refrigerantes. Los hidrocarburos halogenados
CAPÍ!lULO
346
9. Reft-igeración y licuefacción
llegaron a ser refrigerantes de uso común en los años treinta. Los más utilizados
fueron los clorofluorocarbonos completamente halogenados, CClsF (triclorofluorometano o CFC-11)3 y CClsFs (diclorodifluorometano o CFC-12). Estas son
moléculas muy estables que persisten en la atmósfera por cientos de años, ocasionando la destrucción del ozono, por lo que actualmente casi han dejado de producirse. Los sustitutos son ciertos hidroclorofluorocarbonos, no completamente
halogenados, que ocasionan un agotamiento del ozono relativamente ligero, así
como los hidrofluorocarbonos, que no contienen cloro y no dañan el ozono. Como
ejemplos podemos dar los siguientes: CHClsCFs (diclorotrifluoroetano o HCFC123), CFsCHsF (tetrafluoroetano o HFC-134a) y CHFsCFs (pentafluoroetano o
HFC-125). En la figura 9.3 se muestra un diagrama de presión/entalpía para el
tetrafluoroetano (HFC-134a). En la tabla 9.1 se proporcionan datos de saturación
t
r
IQHI
1
I
Condensador a TH
Intercambiador
Ciclo 1
-W,(l)
Evaporador a 7’~
4
IQCI
Figura 9.4:
Sistema de refrigeración en cascada de dos etapas.
3La designación abreviada corresponde a la nomenclatura de la Ameritan Society of Heating,
Refrigerating, and Air-Conditioning
Engineers.
9.5
Refrigeración
por
absorción
347
para este mismo refrigerante. Hay tablas y diagramas para una variedad de
refrigerantes que son fácilmente obtenibles.4
Límites colocados sobre las presiones de operación del evaporador y
condensador de un sistema de refrigeración también limitan la diferencia de temperatura, TH - TC, sobre la cual puede operar un ciclo sencillo de compresión de
vapor. Con TH fijada por la temperatura del ambiente, un límite menor se coloca
sobre el nivel de temperatura de refrigeración. Esto puede lograrse mediante la
operación de dos o más ciclos de refrigeración empleando distintos refrigerantes
en cascada. En la figura 9.4 se muestra una cascada de dos etapas.
Aquí, los dos ciclos operan de modo tal que el calor absorbido, en el
intercambiador,
por el refrigerante del ciclo de temperatura mayor (ciclo 2) sirve
para condensar el refrigerante en el ciclo de temperatura menor (ciclo 1). De esta
manera, se escogen los dos refrigerantes para que cada ciclo opere a presiones
razonables dependiendo de los niveles de temperatura requeridos. Por ejemplo,
suponga las siguientes temperaturas de operación (figura 9.4):
TH = 86(“F)
T; = O(“F)
Tfi
= lO(“F)
Tc = -5O(“F)
Si en el ciclo 2 el refrigerante es tetrafluoroetano (HFC-134a), entonces las presiones de entrada y descarga para el compresor son aproximadamente 2 1 (psia) y
112(psia), respectivamente, y la relación de presiones es aproximadamente 5.3. Si
el refrigerante en el ciclo 1 es propileno, estas presiones son aproximadamente 16
y 58 (psia), y la relación de presiones es aproximadamente 3.6. Todos estos son
valores razonables. Por otro lado, para un ciclo sencillo que opere entre -50 y
86(“F) con HFC-134a como refrigerante, la presión de entrada al condensador es
aproximadamente 5.6(psia), es decir, se encuentra muy por abajo de la presión
atmosférica. Más aún, para una presión de descarga de aproximadamente 112 (psia),
la relación de presión es 20, valor demasiado elevado para un compresor de una
sola etapa.
9.5 Refrigeración por absorción
En la refrigeración por compresión de vapor, el trabajo de la compresión a menudo
es proporcionado por un motor eléctrico, pero la fuente de energía eléctrica para el
motor con probabilidad es una máquina térmica (planta central de energía) que se
utiliza para impulsar un generador. Así, el trabajo para la refrigeración proviene,
finalmente, del calor a un nivel de temperatura elevado, lo que sugiere el uso direc4ASHRAE Handbook: Fundamentals, Cap. 17, 1989; R.H. Perry y D. Green, Fkry’s Chemical
Engineers’ Handbook, 7a. ed., Sec. 2,1996. Se dan amplios datos para el amoniaco en L. Haar y J.
S. Gallagher, J. Phys. Chem. hk$ Data, vol. 7, pp. 635-792, 1978.
CAl?ÍTTJL,O
348
9. Rekigeración
y licuefacción
to del calor como la fuente de energía para la refrigeración. La máquina de reffigeración por absorción se basa en esta idea.
El trabajo requerido por un refrigerador de Carnot que absorbe calor a una
temperatura Tc y expulsa calor a la temperatura del ambiente circundante, designada aquí T,y, es, de acuerdo con las ecuaciones (9.2) y (9.3)
en donde 1Qc 1es el calor absorbido. Si se dispone de una fuente de calor a una
temperatura superior a la del ambiente, digamos T H, entonces el trabajo se puede
obtener de una máquina de Carnot que opere entre esta temperatura y la temperatura del ambiente TN. El calor que se requiere 1QH 1 para la producción de trabajo
1 WI se encuentra a partir de la ecuación (5.8):
de donde
IQHI = IWl&
H
S
La sustitución de 1 Wl nos da
IQHI = IQcl T yT y
H
s
(9.7)
c
El valor de 1QH I/ 1Qc 1dado por esta ecuación es desde luego un mínimo, porque el
ciclo de Carnot no se puede lograr en la práctica.
En la figura 9.5 se muestra un diagrama esquemático para un típico refrigerador por absorción. La diferencia importante entre un refrigerador por compresión de vapor y uno por absorción radica en el diferente medio empleado para la
compresión. La sección de la unidad de absorción a la derecha de la línea punteada
de la figura 9.5 es la misma que en un refrigerador de compresión de vapor, pero la
sección a la izquierda logra la compresión mediante ciertas cantidades a una máquina térmica. El refrigerante, como vapor proveniente del evaporador, es absorbido en un disolvente líquido relativamente no volátil a la presión del evaporador y a
una temperatura relativamente baj,a. El calor desprendido en el proceso se expele
al ambiente a la temperatura T,y. Este es el nivel más bajo de temperatura de la
máquina térmica. La solución líquida proveniente del absorbedor, que contiene
349
9.5 Refrigeración por absorción
ll
I
1 QH 1 Calor añadido
de la fuente a TH
I
i i
1 I
1 l
I
1 Regenerador
Calor desechado al
l
l
I 3
7 Condensador
I
I
I
I
l
I
4
7
Intercambiador
de calor
w
I
,
Absorbedor
I
I
I
2
Evaporador
II&]
Bomba
1
i
Figura 9.5:
Calor absorbido para
refrigeracihn a Tc
Calor desechado al
ambiente a Ts
Diagrama esquemático de una unidad de refrigeración por absorción.
una concentración relativamente elevada de refrigerante, pasa a una bomba, la
cual eleva la presión del líquido a la del condensador. El calor de la fuente de
temperatura más alta a TH es transferido a la solución líquida comprimida, elevando su temperatura y evaporando el refrigerante del disolvente. El vapor pasa
del generador al condensador, y el disolvente, que ahora contiene una conccntración relativamente baja de refrigerante, regresa al absorbedor. El intcrcambiador
de calor conserva la energía y también ajusta las temperaturas de la corriente a
valores apropiados. El vapor de agua a baja presión es la fuente usual dc calor
para el regenerador.
El sistema de refrigeración por absorción más comtin opera con agua como
refrigerante y una solución de bromuro de litio como absorbente.
Obviamcntc, este
sistema está limitado a temperaturas de refrigeración que se encuentran por arriba del punto de congelación del agua. Este sistema es tratado con detalle por l’crry
y Green.5 Para temperaturas más bajas, cl sistema opera con amoniaco como
refrigerante y agua como disolvente.
Como ejemplo, se puede tener refrigeración a un nivel de temperatura tic
-lO”C(Tc = 263.15 K) y una fuente de calor de vapor de agua que SC condensa a
presión atmosférica (TH = 373.15 K). Para una temperatura ambiental de 3O”C( T,,
se encuentra mcdiantc la
= 303.15 K), el mínimo valor posible de I&H\/~&c/
ecuación (9.7):
5R. H. Perry y D. Green, op. cit., sec. ll.
CAPÍTULO
350
IQHI
---=
IQcl
9.
Refrigeración
373.15
)( 303.15 - 263.15
373.15 - 303.15
263.15
y
licuefacción
Para un refrigerador por absorción real, el valor podría ser del orden de tres veces
este resultado.
9.6 Bomba de calor
La bomba de calor, una máquina térmica invertida, es un dispositivo para el
calentamiento de casas y edificios comerciales durante el invierno y enfriamiento
durante el verano. En invierno opera de modo tal que absorbe calor del ambiente y
lo expulsa hacia el edificio. El refrigerante es evaporado en serpentines colocados
bajo tierra o en el aire exterior, y el vapor es comprimido para su condensación
mediante aire o agua, usados para calentar el edificio, a temperaturas sobre el
nivel de calentamiento requerido. El costo de operación de la instalación corresponde al costo de energía eléctrica necesaria para que trabaje el compresor. Si la
unidad tiene un coeficiente de desempeño, 1 QC I/w = 4, el calor disponible para
calentar la casa 1 QH 1es igual a cinco veces el consumo de energía del compresor.
Cualquier ventaja económica de la bomba de calor como dispositivo de calentamiento
depende del costo de la electricidad, en comparación con el costo de combustibles
tales como petróleo y gas natural.
La bomba de calor sirve también para el acondicionamiento de aire en verano. El flujo del refrigerante es simplemente invertido, y el calor se absorbe del
edificio y se expulsa a través de los serpentines subterráneos o hacia el aire exterior.
Ejemplo 9.2 Una casa tiene un requerimiento de calentamiento en invierno de 30
kJ s-l y un requerimiento de enfriamiento en verano de 60 kJ s-l. Considere la
instalación de una bomba de calor para mantener la temperatura de la casa a 20°C
en invierno y a 25°C en verano. Esto requiere la circulación del refrigerante a través
de los serpentines intercambiadores interiores, a 30°C en invierno y 5°C en verano.
Los serpentines bajo tierra proporcionafi
la fuente de calor en invierno y sepultan el
calor en verano . Para una temperatura del suelo de 15°C a lo largo del año, las
características de transferencia de calor de los serpentines necesitan temperaturas
del refrigerante de 10°C en invierno y de 25°C en verano. iCuáles son los requerimientos mínimos de energía para el calentamiento en invierno y el enfriamiento en
verano?
SOLUCIÓN
Los requerimientos mínimos de energía son proporcionados por una
bomba calorífica de Carnot. Para el calentamiento en invierno, los serpentines cle la
casa SC encuentran en el nivel superior de temperatura, TH, y se sabe que 1&H 1= 30
kJ s-l. Si se aplica la ecuación (5.7), se obtiene
351
9.7 Procesos de licuefacción
Éste es el calor absorbido por los serpentines del suelo. Mediante la ecuación (9.1),
ahora se sabe que
W= IQH1 - IQcl = 30-28.02 = 1.98kJs-l
Así, el requerimiento de energía es 1.98 kW.
Para el enfriamiento en verano, 1&C 1= 60 kJ s-l, y los serpentines de la casa SC
encuentran en el nivel inferior de temperatura TC. Combinando las ecuaciones (9.2)
y (9.3) y resolviendo para W, se obtiene
de donde
W= 60(5:213:5)
= 4.31kJs-’
Por consiguiente, el requerimiento de energía es 4.31 kW.
9.7 Procesos de licuefacción
Los gases licuados son de uso común para una diversidad de propósitos. Por ejemplo, el propano líquido en cilindros sirve como un combustible doméstico; el oxígeno líquido es llevado en los cohetes; el gas natural es licuado para el transporte
marítimo y el nitrógeno líquido se utiliza para refrigeración a baja temperatura.
Además, mezclas de gases (por ejemplo, el aire) son licuadas para la separación de
sus especies componentes por fraccionamiento.
La licuefacción se obtiene cuando un gas se enfría a una temperatura en la
región de dos fases, lo que puede lograrse de varias maneras:
1. Por intercambio de calor a presión constante .
2. Por expansión en una turbina, a partir de la cual se obtiene trabajo.
3. Por un proceso de estrangulamiento.
El primer método requiere un pozo de calor a una temperatura inferior a
aquella a la cual se enfría el gas, siendo éste el método usado más comunmentc
para preenfriar un gas antes de su licuefacción por alguno de los otros dos métodos. Se requiere un refrigerador externo para que el gas adquiera una temperatura
inferior a la del ambiente.
Los tres métodos están ilustrados en la figura 9.6. El proceso a presión constante (1) se aproxima a la región de dos fases (y a la licuefacción) para una caída
dada en la temperatura. El proceso de estrangulamiento (3) no da como resultado
CAPÍTULO
352
9. Refrigeración
y licuefacción
s
F’igura 9.6:
Procesos de enfriamiento sobre un diagrama Th’.
la licuefacción, a menos que, para el proceso de entalpía constante, el estado inicial
tenga una presión lo suficientemente elevada y una temperatura lo suficientemente baja como para cortar dentro de la región de dos fases. Esto no ocurre cuando el
estado inicial está en A. Si el estado inicial está en A’ , en donde la temperatura es
la misma, pero la presión es mayor que en A, entonces la expansión isentálpica
mediante el proceso (3’) da como resultado la formación de líquido. El cambio de
estado desde A hastad’ se obtiene con mayor facilidad por compresión del gas a la
presión final enB, seguida de enfriamiento a presión constante enA’. La licuefacción
por expansión isentrópica a lo largo del proceso (2) se puede lograr a presiones
menores (para una temperatura dada) que por estrangulamiento. Por ejemplo, la
continuación del proceso (2) del estado inicial A finalmente da como resultado la
licuefacción.
El proceso de estrangulamiento (3) es el empleado comúnmente en plantas
comerciales de licuefacción a pequeña escala. La temperatura del gas, desde luego,
debe disminuir durante la expansión. Esto es en realidad lo que sucede con la
mayor parte de los gases en las condiciones usuales de temperatura y de presión.
Las excepciones son el hidrógeno y el helio, los cuales aumentan su temperatura
después del estrangulamiento, a menos que la temperatura inicial sea inferior a
100 K para el hidrógeno y a 20 K para el helio, aproximadamente. La licuefacción
de estos gases por estrangulamiento requiere una reducción inicial de la temperatura a valores menores mediante el método 1 o 2.
Como ya se ha mencionado, la temperatura debe ser lo suficientemente baja
y la presión lo suficientemente alta antes del estrangulamiento para que, por la vía
de entalpía constante se corte en la región de dos fases. Por ejemplo, para el aire6,
un diagrama TS muestra que a la presión de lOO(atm), la temperatura debe ser
menor que 305(R) para que pueda ocurrir cualquier licuefacción a lo largo de la
“R. H. Perrv* .v D. Green, op. cit., sec. 2.
9.7 Procesos de licuefacción
353
Figura 9.7:
Proceso de licuefacción de Ihde.
trayectoria de entalpía constante. En otras palabras, si el aire SC comprime a
lOO(atm) y es enfriado por debajo de 305(R), puede ser licuado parcialmente por
estrangulamiento. La forma más económica para enfriar el aire es por intercambio
de calor a contracorriente con la porción no licuada del aire proveniente del proceso de expansión.
Esta clase de sistema simple de licuefacción, conocido como cl proceso Linde,
se muestra en la figura 9.7. Después de la compresión, el gas es prcenfriado :L
temperatura ambiente. Incluso puede ser posteriormente enfriado por refrigeración. Mientras más baja sea la temperatura del gas que entra a la válvula de estrangulamiento, mayor será la fracción de gas que sea licuada. Por ejemplo, si se
evapora un refrigerante en el preenfriador a -4O(“F), se obtiene una temperatura
inferior dentro de la válvula a la que se hubiera obtenido si el agua a 70(“F) fuera
el medio de enfriamiento.
Bajo condiciones de estado estable, un balance de energía [ecuación (7.15)]
alrededor del separador, la válvula y el enfriador, dan A(tiH),f = 0, 0
El,+ + Hs( 1 - z) = Hs
(9.8)
en donde las entalpías están, para una unidad de masa ac fluido, en las posiciones
indicadas en la figura 9.7. El conocimiento de las entalpías permite solucionar la
ecuación (9.8) para z, la,fracción del gas que se ha licuado.
El diagrama de flujo para el proceso Claude, que se muestra cn la figura 9.8,
es el mismo que para el proceso de Linde, excepto queuna máquina de cxpansiím 0
354
CAPfTULO
9. Refrigeración y licuefacción
Enfriador
Máquina de
expansión
Líquido
F’igura 9.8:
Proceso de licuefacción de Claude.
turbina remplaza a la válvula de estrangulamiento. El balance de energía se convierte en
Hg + Hs(l-z) - W, = H3
(9.9)
en donde W, es el trabajo de la máquina de expansión sobre la base de una masa
unitaria de fluido que entra al enfriador en el punto 3. Si la máquina opera
adiabáticamente, el trabajo está dado por la ecuación (7.33), la cual se convierte
entonces en
w, =
W5
-
H4)
(9.10)
Las ecuaciones (9.8) a (9.10) suponen que dentro del aparato no hay filtración de calor, proveniente del ambiente. Esto nunca puede ser exactamente cierto,
y la filtración de calor puede ser significativa cuando las temperaturas son muy
bajas, aun con equipo bien aislado.
I$jemplo 9.3 El gas natural, que se supondrá por ahora ser metano puro, es licuado
en un proceso simple de Linde (figura 9.7). La compresión es a 60 bar y el
preenfriamiento es a 300 K. El separador se mantiene a una presión de 1 bar, y el
gas no licuado a esta presión deja el enfriador a 295 K. %Qué fracción del gas es
licuado en el proceso, y cuál es la temperatura del gas a presión elevada que entra a
la válvula de estrangulamiento?
Problemas
SOLUCIÓN
Los datos para el metano se dan en Perry y Grecn.’ De la tabla de
propiedades para metano sobrecalentado,
H3 = 1140.0 kJ kg-’
(a 300 K y 60 bar)
H8 = 1188.9 kJ kg-’
(a 295 K y 1 bar)
Por interpolación en la tabla de propiedades para el líquido y el vapor saturados, se
encuentra para una presión de 1 bar que
!Ft = 111.45K
H6 = 285.4 kJ kg-’
H7 = 796.9 kJ kg-’
(líquido saturado)
(vapor saturado)
La solución de la ecuación (9.8) para z da
z= H,-H,
1188.9 - 1140.0 = o,0541
H8-Hs = 1188.9 - 285.4
’
Así, el 5.41% del gas que entra a la válvula de estrangulamiento emerge como
líquido.
La temperatura del gas en el punto 4 se encuentra a partir de su entalpía, la
cual se calcula por un balance de energía alrededor del enfriador:
(l)(Hq-Ha)
+ (l-z)(Hs--H7) = 0
La solución para H4 y la sustitución de los valores conocidos da
H4 = 1 140.0 - (0.9459)(1
188.9 - 796.9) = 769.2 kJ kg-l
La interpolación en las tablas para el metano sobrecalentado a 60 bar proporciona la
temperatura del gas que entra a la válvula de estrangulamiento a 206.5 K.
PROBLEMAS
9.1. Una máquina de Carnot está acoplada a un refrigerador de Carnot dc modo que todo
el trabajo producido por la máquina se utiliza en el refrigerador para la extracción
del calor desde un depósito de calor a O”C, a la velocidad de 35 kJ s-‘. La fuente de
energía para la máquina de Carnot es un dep6sito dc calor a 250°C. Si ambos dispositivos desechan calor al ambiente a 25”C, Icuánto calor absorbe la máquina de su
depósito-fuente de calor?
Si el coeficiente real de desempeño del refrigerador es w = 0.6 WC~,.,,~~ y si la cfíciencia térmica de la máquina es r/ = 0.6 vcarnot, icuánto calor absorbe la máquina de su
depósito-fuente de calor?
‘R. H. Perry y D. Green, op. cit., sec. 2.
CAPÍTULO
356
9.
Refrigeración
y
licuefacción
9.2. Un sistema de refrigeración requiere 1.5 kW de energía para una velocidad de refrigeración de 4 kJ s-l.
al
ioCuá1
es el coeficiente de desempeño?
h)
iCuánto calor es desechado en el condensador?
c)
Si el rechazo de calor es a 4O”C, icuál es la menor temperatura que posiblemente
puede mantener el sistema?
9.3. Un sistema convencional de refrigeración por compresión de vapor opera en el ciclo
de la figura 9.lb. El refrigerante es tetrafluoroetano (tabla 9.1, figura 9.3). Para
uno de los conjuntos siguientes de condiciones de operación, determine la velocidad
de circulación del refrigerante, la velocidad de transferencia de calor en el condensador,
el requerimiento de energía, el coeficiente de desempeño del ciclo y el coeficiente de
desempeño de un ciclo de refrigeración de Carnot que opere entre los mismos niveles
de temperatura.
a)
Evaporación t = 30(“F); condensación t = 80(“F); v(compresor) = 0.79; velocidad de refrigeración = 600( Btu) (s)-’
b)
Evaporación t = 20(“F); condensación t = 80(“F); q(compresor) = 0.78; velocidad de refrigeración = 500( Btu) (s)-’ .
c)
Evaporación t = lO(“F); condensación t = 80(“F); q(compresor) = 0.77; velocidad de refrigeración = 400(Btu) (s)-’
d)
Evaporación t = O(“F); condensación t = 80(“F); v(compresor) = 0.76; velocidad de refrigeración = 300(Btu)(s)-‘.
e)
Evaporaciónt = -lO(“F); condensaciónt
= 80(“F); q(compresor) = 0.75; velocidad de refrigeración = 200(Btu) (s)-l.
9.4. Un sistema convencional de refrigeración por compresión de vapor opera en el ciclo
de la figura 9.N. El refrigerante es agua. Dados la evaporación t = 4”C, la
condensación t = 34”C, q(compresor) = 0.76 y la velocidad de refrigeración =
1 200 kJ s-l, determine la velocidad de circulación del refrigerante, la velocidad de
transferencia de calor en el condensador, el requerimiento de energía, el coeficiente
de desempeño del ciclo y el coeficiente de desempeño de un ciclo de refrigeración de
Carnot que opera entre los mismo niveles de temperatura.
9.5. Un refrigerador con tetrafluoroetano (tabla 9.1, figura 9.3) como refrigerante, opera
con una temperatura de evaporación de -15(“F) y una temperatura de condensación
de SO( El refrigerante líquido saturado del condensador fluye a través de una
valvula de expansión al evaporador, del cual emerge como vapor saturado.
a)
Para una velocidad de enfriamiento de 5(Btu)(s)-‘, bcuál es la velocidad de circulación del refrigerante?
II)
iEn cuanto se debe reducir la velocidad de circulación si la válvula de estrangulamiento se remplazara por una turbina en la cual el refrigerante se expandiera
isentrópicamente?
c)
Suponga que el ciclo de a) se modifica por la inclusión de un intercambiador de
calor a contracorriente entre el condensador y la válvula de estrangulamiento,
en el cual el calor es transferido al vapor que regresa del evaporador. Si el líquido
Pddemas
357
del condensador entra al intercambiador a 80(“F) y si el vapor del evaporador
entra al intercambiador a -15(“F) y 10 deja a 70(“F), icuál es la velocidad de
circulación del refrigerante?
d)
Para cada uno de a), b) y c), determine el coeficiente de desempeño para la
compresión isentrópica del vapor.
9.6. Un sistema de refrigeración por compresión de vapor es convencional excepto por el
hecho de la instalación necesaria de un intercambiador de calor a contracorriente
para subenfriar el líquido del condensador por intercambio de calor con la corriente
de vapor del evaporador. La diferencia mínima de temperatura para la transferencia
de calor es lO(“F). El refrigerante es tetrafluoroetano (tabla 9.1, figura 9.3), la
evaporación es a 20(“F) y la condensación a BO(“F). La carga de calor cn el evaporador
es 2 OOO(Btu)(s)-1
. Si la eficiencia del compresor es 75 %, iocuál es el requerimiento
de energía?
1Cómo se puede comparar este resultado con la energía requerida por el compresor si
el sistema opera sin el intercambiador de calor? Compare las velocidades de circulación del amoniaco para los dos casos.
9.7. Considere el ciclo de refrigeración por compresión de vapor de la figura 9.lh con
tetrafluoroetano como refrigerante (tabla 9.1, figura 9.3). Si la temperatura de evaporación es lO(“F), demuestre el efecto de la temperatura de condensación sobre cl
coeficiente de desempeño haciendo los cálculos para las temperaturas de condensación
de 60, 80, y lOO(
a)
Suponga
una
compresión
isentrópica
del
vapor.
b)
Suponga una eficiencia del compresor de 75 s.
9.8. Se usa una bomba de calor para calentar una casa en invierno y enfriarla en verano.
Durante el invierno, el aire del exterior sirve como una fuente de calor abaja tempcratura; durante el verano, actúa como un pozo de calor a temperatura alta. La velocidad de transferencia de calor a través de las paredes y el techo de la casa es 0.75
kJ s-l por cada “C de diferencia de temperatura entre el interior y cl exterior de la
casa, en verano e invierno. El motor de la bomba de calor está calibrado a 1.5 kW
Determine la temperatura exterior mínima para la cual la temperatura de la casa se
puede mantener a 20°C durante el invierno y la temperatura exterior máxima para la
cual la casa se puede mantener a 25°C durante el verano.
9.9. El aire seco es suministrado por un compresor y el sistema de preenfriamiento al
enfriador de un sistema de Linde de aire líquido (figura 9.7), a 180 bar y 300 K. El
aire a presión baja deja el enfriador auna temperatura 6°C inferior a la temperatura
del aire que entra a presión alta. El separador opera a 1 bar, y el producto es líquido
saturado a esta presión. iCuál es la fracción máxima del aire que entra al enfriador
y que puede ser licuado? Las propiedades termodinámicas del aire se dan en R. H.
Perry y D. Green, Fwty’s Chxrnical Engineers’ Handbook, 7a. ed., Sec. 2, McGraw@ll, Nueva York, 1996.
9.10. vuelva a trabajar sobre el problema anterior para aire que entra a 200 bar y CS
pR@nfriado
a 240 K por refrigeración externa.
anuncio en un periódico rural para una unidad de una vaquería que
friador de leche con un calentador de agua. Desde luego la leche debe
358
CApíTuLO
9. Refrigeración y licuefacción
ser refrigerada, y se requiere agua caliente para fines de lavado. El establo está
equipado con un refrigerador eléctrico convencional enfriado por aire y un calentador de agua de resistencia eléctrica. Se dice que la nueva unidad proporciona tanto la
refrigeración necesaria como el agua caliente que se requiere, a un costo de electricidad aproximadamente igual al del funcionamiento del refrigerador en la instalación
usual. Para valorar esta afirmación, compare dos unidades de refrigeración: la unidad que se anuncia toma 50 OOO(Btu)(h)-’ del enfriador de leche a 30(“F) y desecha
calor a través de un condensador a 150(“F) para elevar la temperatura del agua de
56 a 146(“F). La unidad convencional toma la misma cantidad de calor del mismo
enfriador de leche a 30(“F) y desecha calor a través de un condensador enfriado por
aire a 120(“F); además, la misma cantidad de agua es calentada eléctricamente de
56 a 146(“F). Estime los requerimientos totales de energía para los dos casos, asumiendo que el trabajo real en ambos es 50% mayor que el requerido por los refrigeradores de Carnot que operan a las temperaturas dadas.
CAPíTULO 10
TERMODINÁMICA
DE SOLUCIONES:
TEORIA
En el capítulo 6 se habló de las propiedades termodinámicas de fluidos de composición constante. Sin embargo, muchas de las aplicaciones de la termodinámica a
la ingeniería química se hacen a los sistemas en donde gases o líquidos de componentes múltiples experimentan cambios en su composición como resultado de procesos de mezcla o de separación, por la transferencia de especies de una fase a la
otra o por alguna reacción química. Las propiedades de tales sistemas dependen
de la composición, así como de la temperatura y la presión.
Por consiguiente, la primera tarea en este capítulo es desarrollar una relación de propiedades fundamentales para las soluciones homogéneas de composición
variable. Entonces se introduce una nueva clase de propiedades termodinámicas
conocidas como propiedades parciales. La definición matemática de estas magnitudes les da todas las características de las propiedades de las especies individuales, tal como existen en solución. Por ejemplo, en una solución líquida de etanol y
agua se habla del volumen molar parcial del etanol y del volumen molar parcial del
agua en la solución, y sus valores son diferentes, en general, de los volúmenes
molares de etanol puro y de agua pura a la misma temperatura y presión.
Una propiedad parcial, de importancia fundamental debido a su aplicación
en equilibrios de fase y de reacción química, es el potencial químico. ‘Ihmbién son
útiles las relaciones de las propiedades válidas para mezclas de gases ideales, las
cuales conducen al desarrollo de los conceptos de fugacidad y de solución ideal.
Por último, se presenta un tratamiento general de una clase de propiedades
de solución, conocidas como propiedades en exceso. La energía de Gibbs en exceso
y una propiedad relacionada con ella, el coeficiente de actividad, tienen interés
particular en el equilibrio vaporilíquido.
360
10.1
CAPÍTULO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
Relación de propiedades fundamentales
La ecuación (6.6) expresa la relación básica que asocia la energía de Gibbs con la
temperatura y la presión en cualquier sistema cerrado:
d(nG) = (nV.MP - (nS)dT
(6.6)
Se aplica esta ecuación al caso de un fluid0 en una sola fase que no experimenta
ninguna reacción química. Este sistema cerrado es, entonces, de composición constante, y se puede escribir de inmediato que
[
ó’(nG)
dP
1
=nV
y
T.n
[
a(nG)
__
dT
1
=43
P,?,
en donde el subíndice n indica que el número de moles de todas las especies químicas se mantiene constante.
Ahora se puede tratar el caso más general de un sistema abierto de una sola
fase que puede intercambiar materia con el ambiente que lo rodea. La energía
total de Gibbs nG es aún una función de T y P. Dado que el material puede ser
tomado de o añadido al sistema, ahora nG es también una función del número de
moles de las especies químicas existentes. Así
nG = g(e z nl, n2, . . . , ni, . . . )
en donde las ni son el número de moles de las especies. El diferencial total de nG es
d(nG) = [FIT,?y + [F],. dT + F[““‘l,,,,,, dni
en donde la suma se da sobre todas las especies existentes, y el subíndice nj indica
que toaos los números de moles, excepto el iésimo, se mantienen constantes. Como
se muestra arriba, se puede remplazar las dos primeras derivadas parciales por
CnV) Y -(nfO:
La derivada de nG con respecto al número de moles de las especies i tiene una
significación especial, y se le dan su símbolo y nombre propios. Así, se define el
potencial qwímico de la especie i en la mezcla como
[ dn,1 PsTsnj
~ -= a(nG)
(10.1)
10.2 Potencial químico como criterio para el equilibrio de fases
361
Expresada en términos de b, la ecuación general para d(nG) es
I
I
d(nG) = (nV)dP - (nS)dT + c b dni
2
(10.2)
La ecuación (10.2) es la relación de propiedades fundamentales para los sistemas de fluidos de una sola fase, de masa y composición constante o variable; es la
ecuación fundamental sobre la cual se construye la estructura de la termodinámica de las soluciones. Se puede escribir para el caso especial de un mol de solución,
en cuyo caso n = 1 y las ni se remplazan por las fracciones mol Xi:
dG = VdP-SdT + C pidxi
(10.3)
Por consiguiente,
G=G(T,P,xl,x2 ,...> xi >...)
una expresión que exhibe las relaciones funcionales de la energía molar de Gibbs
con sus variables canónicas, T, P y {xi}. La ecuación (6.10) es un caso especial de
la ecuación (10.3), aplicable a una solución de composición constante. Aunque las
ni de la ecuación (10.2) son todas ellas variables independientes, esto no es cierto
para las xi en la ecuación (10.3), porque su suma debe ser la unidad: Zixi = 1.
Esto evita ciertas operaciones matemáticas que dependen de la independencia de
las variables. A pesar de ello, la ecuación (10.3) significa que
s=- dG
( dT 1 P.z
(10.4)
Y que
(10.5)
Otras propiedades de la solución se encuentran en las definiciones; la entalpía, por
ejemplo, a partir de H = G + TS. Así se puede ver nuevamente que siempre que la
energía de Gibbs se exprese como una función de sus variables canónicas, juega el
papel de una función generadora, proporcionando los medios para el cálculo de
todas las otras propiedades termodinámicas mediante operaciones matemáticas
sencillas (diferenciación y álgebra elemental).
10.2
Potencial químico como criterio para el equilibrio de fases
Considere un sistema cerrado que consiste en dos fases en equilibrio. Dentro de
este sistema cewado cada una de las fases individuales es un sistema abierto, libre
CAPÍTULO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
362
para transferir masa al otro. La ecuación (10.2) se puede escribir, por consiguiente, para cada fase:
d(nG)* = (nI’)” dP - (TzS)~ dT + cp:d$
d(nG)fi = (nV)pdP- (nS)PdT + cpfdnf
en donde los subíndices cx y B identifican las fases. Al escribir estas expresiones se
ha supuesto que, en el equilibrio, T y P son uniformes a través de todo el sistema.
El cambio en la energía total de Gibbs del sistema de dos fases es la suma de estas
ecuaciones. Cuando cada propiedad del sistema total se expresa por una ecuación
de la forma
nM = (nM)”
esta suma está dada por
d(nG) = (nV)dP- (nS)dT +
Dado que el sistema de dos fases está cerrado, la ecuación (6.6) también debe ser
válida. La comparación de las dos ecuaciones muestra que en el equilibrio
Los cambios dr$ y dnf son el resultado de la transferencia de masa entre las
fases, y la conservación de la masa requiere que
dng = -dnf
Por
consiguiente,
Dado que las dr$’ son independientes y arbitrarias, la única forma en la que el
lado izquierdo de esta ecuación puede, en general, ser cero, es que cada uno de los
términos entre paréntesis, separadamente, sea cero. Es decir,
p,? =pf
(i = 1, 2, . . . , N)
10.3 R-opiedades
parciales
363
en donde N es el número de especies existentes en el sistema. Aunque aquí no se
da, una derivación más comprensible muestra (como se había supuesto) que T y P
deben ser las mismas para las dos fases en equilibrio.
Considerando sucesivamente pares de fases, se puede generalizar fácilmente
para más de dos fases la igualdad de los potenciales químicos; el resultado para 7~
fases es
(i = 1, 2, . . . , N)
p,? = p; =. . . = ps?
(10.6)
Así, múltiples fases a la misma T y P están en equilibrio cuando el potencial químico de cada especie es el mismo en todas las fases.
La aplicación de la ecuación (10.6) a problemas específicos de equilibrio de
fases (capítulos 11-14) requiere el uso de modelos del comportamiento de soluciones, los cuales proporcionan expresiones para G o para las b como funciones de la
temperatura, la presión y la composición. Las más simples de éstas, la mezcla de
gases ideales y la solución ideal, se tratan en las secciones 10.4 y 10.8 de este
capítulo.
10.3 Propiedades parciales
La definición del potencial químico mediante la ecuación (10.1) como la derivada
de nG con respecto al número de moles, sugiere que tales derivadas pueden ser de
uso particular en la termodinámica de las soluciones. Así, se escribe
Mi= a(nM)
___
-[ 1
8%
(10.7)
pT
I .n,
Esta ecuación define la propiedad molar parcial Mi de las especies1 en solución,
en donde Mi puede representar la energía interna molar parcial Ui, la entalpía
molar parcial Hi, la entropía molar parcial Si, la energía de Gibbs molar parcial
Gi, etc. Es unafinción de respuesta que representa el cambio de la propiedad total
nM debido a la adición, a T y P constantes, de una cantidad diferencial de especies
i a una cantidad finita de solución.
La comparación de la ecuación (10.1) con la ecuación (10.7) escrita para la
energía de Gibbs, muestra que el potencial químico y la energía de Gibbs molar
parcial son idénticas: o sea,
k = G;
Ejemplo 10.1
(10.8)
Por definición, el volumen molar parcial es
a(nV)
v,G L-1
-ch, PTnIl,
-
iQué interpretación física se puede dar a esta ecuación?
(4
CAPflUL.0 10. Tennodiná.mica
364
de soluciones: teoría
SOLUCIÓN
Considere un vaso abierto que contiene una mezcla equimolar de alcohol
y agua. La mezcla ocupa un volumen total nV a la temperatura ambiente T y a la
presión atmosférica P. Ahora añada a esta solución una gota de agua pura, también
a T y P, que contenga An,, moles y mezcle bien en la solución, dejando un tiempo
suficiente para el intercambio de calor de modo que el contenido del vaso regrese a la
temperatura inicial. iCuál es el cambio de volumen de la solución en el vaso? Se
puede suponer que el volumen se incrementa en una cantidad igual al volumen añadido de agua, o sea V2,,An,,, donde V,, es el volumen molar del agua pura a T y P. Si
esto fuera cierto, se tendría
Sin embargo, experimentalmente se encuentra que el valor real de A(nV) es ligeramente menor que el dado por esta ecuación. Evidentemente, el volumen molar efectiwo del agua añadida en la solución es menor que el volumen molar del agua pura a las
mismas T y P. Si se designa el volumen molar efectivo en solución por V,, , se puede
escribir
A(nV) = FU An,,
(BI
v = A(nV)
IU
An,
(0
o bien
Si este volumen molar efectivo puede representar las propiedades de las especies
i en la solución equimolar original, se debe basar sobre datos para una solución de esta
composición. No obstante, en el proceso descrito, se agrega una gota finita de agua a
la solución equimolar, ocasionando un cambio pequeño pero finito en la composición.
Sin embargo, se debe considerar el caso límite para el cual An,, + 0. Entonces, la
ecuación (C) se convierte en
A(nV) d(nV)
VW = p, c = ~
Lu
dn,
Dado que T, P y n, (número de moles de alcohol) son constantes, esta ecuación se
escribe más apropiadamente como
La comparación con la ecuación (A) muestra que el volumen molar efectivo F0 es el
volumen molar parcial v, del agua en solución, esto es, el grado de cambio del volumen total de la solución con n,, a T, P y n, constantes. La ecuación (B), escrita para
la adición de dn,, moles de agua a la solución, se convierte entonces en
d(fiV)
= F<dn,,
CD)
365
10.3 *piedades parciales
Cuando VW se considera la propiedad molar del agua como existe en la solución, el
cambio de volumen total d(nV) es meramente esta propiedad molar multiplicada por
el número adicionado de moles de agua.
Si se añaden dn, moles de agua a un volumen de agua pura, entonces es razonable esperar que el cambio de volumen del sistema esté dado por
d(nV) = V,dn,
(EI
en donde VW es el volumen molar-del agua pura a T y P. La comparación de las
ecuaciones (D) y (E) indica que VW = VW cuando la “solución” es agua pura.
La definición de una propiedad molar parcial, ecuación (10.7), proporciona
el medio para calcular las propiedades parciales a partir de los datos de propiedades de la solución. En esta definición está implícita otra ecuación igualmente importante, que permite lo inverso, esto es, el cálculo de las propiedades de la solución a partir del conocimiento de las propiedades parciales. La derivación de esta
ecuación parte de la observación de que las propiedades termodinámicas de una
fase homogénea son funciones de la temperatura, la presión y el número de moles
de las especies individuales comprendidas en la fase. Por consiguiente, para una
propiedad termodinámica M se puede escribir’
nM = M(T, P,nl, n2, . . .,ni, . . .)
La diferencial total de nM es
en donde el subíndice n indica que todos los números de mol se mantienen constantes, y el subíndice nj, que todos los números de mol, con excepción de ni, se mantienen constantes. Debido a que las dos primeras derivadas parciales a la derecha se
han evaluado a n constante y debido a que la derivada parcial del último término
está dada por la ecuación (10.7), esta ecuación se puede escribir
d(nM) = n (g)TzdP+n
($$)p,zdT+
C@;dni
(10.9)
en donde el subíndice x indica diferenciación a una composición constante.
Dado que ni = x%-n,
dni =xidn + n&i
‘La sola funcionalidad no hace que un conjunto de variables sean variables canónk. Solamente
hay variables canónicas para 0.
366
CAPÍTUL,O 10. Termoahámica
de soluciones: teoría
Sustituyendo dni por esta expresión y sustituyendo d(nM) por la identidad
d(nM) =ndM + Mdn
se escribe la ecuación (10.9) como
Cuando los términos que contienen a n se reúnen y se separan de los que contienen
a dn, esta ecuación se convierte en
Para su aplicación, se tiene la libertad de escoger un sistema de cualquier dimensión, como se representa por n, y escoger cualquier variación en esa magnitud,
como se representa por dn. Así, n y dn son independientes y arbitrarias. La única
forma para que el lado izquierdo de esta ecuación pueda ser cero, en general, es
que cada término entre paréntesis sea cero. Por consiguiente, se tiene
(10.10)
Y
(10.11)
La multiplicación de la ecuación (10.11) por n da la expresión alternativa
ppiq
(10.12)
La ecuación (lO.lQ) es, de hecho, justamente un caso especial de la ecuación (10.9),
obtenida ajustandon = 1, lo cual también hace queni = xi. Las ecuaciones (10.11)
y (10.12), por otro lado, son nuevas y vitales. Conocidas como relaciones de actividad o adicimabilidad,
permiten el cálculo de propiedades de una mezcla a partir
de las propiedades parciales, jugando un papel opuesto al de la ecuación (10.7), la
cual proporciona lo necesario para el cálculo de las propiedades parciales a partir
de las propiedades de una mezcla.
10.3 Propiedades parciales
367
Una ecuación más importante, proviene directamente de las ecuaciones
(10.10) y (10.11). Dado que la ecuación (10.11) es una expresión general paraM,
la diferenciación proporciona una expresión general para dM:
La comparación de esta ecuación con la ecuación (10. lo), otra ecuación general
para dM, da la ecuación de GibbsDuhem?
(g)TzdP + (s)p,:T-
CXi d@i = 0
I
(10.13)
I
Esta ecuación se debe satisfacer para todos los cambios en P, T y las Mi, causados
por los cambios de estado en una fase homogénea. Para el importante caso especial
de cambios a T y P constantes, se simplifica a
Icx; dii& = 01
(T y P constantes)
(10.14)
La ecuación (10.11) implica-que una propiedad molar de solución es dada
como la suma de sus partes y que Mi es la propiedad molar de la especie i, tal como
existe en solución. Esta es una interpetación
apropiada siempre que se comprenda que la ecuación de definición para Mi, ecuación (10.7), es una fórmula de desglose
que asigna arbitrariamente a cada especie i una parte de la propiedad de la mezcla, sujeta a las restricciones de la ecuación ( 10.11).3
Los constituyentes de una solución están, de hecho, entremezclados íntimamente, y debido a las interacciones moleculares no pueden tener sus particulares
propiedades. A pesar de ello, las propiedades molares parciales, según han sido
definidas por la ecuación (10.7), tienen todas las características de las propiedades de las especies individuales, tal como existen en la solución. Así, para todos los
objetivos prácticos se pueden asignar como valores de propiedad a las especies
individuales.
Las propiedades de las soluciones representadas por el símbolo M pueden
estar sobre una base de masa unitaria así como sobre la base de un mol. Las
ecuaciones que relacionan las propiedades de la solución son las mismas en forma
para cualquier base; sólo se remplazan las varias n que representan moles por las
m que representan masas, y se habla de propiedades espec@%xxs parciales más que
de propiedades molares parciales. A fin de acomodarse a cualquiera de los dos
casos, generalmente se habla sólo de propiedades parciales.
2Pierre-Maurice-Marie
Duhem (1861-1916), físico francés.
30tras ecuaciones desglosantes, las cuales hacen asignaciones diferentes de la propiedad de la
mezcla, son posibles y son igualmente válidas.
CAPfTVLO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
368
Dado que aquí tienen interés principal las propiedades de las soluciones, se
representan las propiedades molares (o por unidad de masa) de la solución por el
símbolo M. Las propiedades parciales se indican por una sobrebarrason un
subíndice para identificar a la especie; el símbolo es, por consiguiente, Mi. Además, se necesita un símbolo para las propiedades de las especies individuales como
existen en el esfado pum a la T y la P de la solución. Estas propiedades molares (o
por unidad de masa) se identifican solamente con un subíndice y el símbolo es Mi.
En resumen, las tres clases de propiedades utilizadas en la termodinámica de una
solución se identifican por el simbolismo siguiente:
Propiedades de la solución
Propiedades parciales
Propiedades de especies puras
M,
Mi,
Mi,
por ejemplo: U, H,S, Q
por ejemplo: 7Ji, H, Si, Gi
por ejemplo: U, Hi, S, Gi
Las ecuaciones para las propiedades parciales siempre se pueden derivar de
una ecuación para la propiedad de la solución como una función de la composición,
por aplicación directa de la ecuación (10.7). Para los sistemas binarios, sin embargo, un procedimiento alterno puede ser más conveniente. Escrita para una solución binaria, la relación de adicionabilidad, la ecuación (lO.ll), se convierte en
-
M = xIMI + xzM,
(4
dM=xldM, + M,dq+x2dM, + &dxz
(B)
de donde
Cuando se sabe que M es una función de x1 a T y P constantes, la forma apropiada
de la ecuación de Gibbs/Duhem es la ecuación (10.14), expresada aquí como
xldM, +xzd-%i2 = 0
((-2
Dado que x1 + 22 = 1, se deduce que dx:1 = -dxs. Eliminando dx2 en favor de dxl,
en la ecuación (B) y combinando el resultado con la ecuación (C), se tiene
dM = M,dxl- M,dxl
0
Eliminando %, de las ecuaciones (A) y (D), y resolviendo para %,, se obtiene
10.3 Propiedades parciales
369
T v P constantes
Figura 10.1:
Construcción gráfica del ejemplo 10.2.
(10.15)
En una forma semejante, la eliminación de @ y la resolución para M, da
jj =&zdM
2
(10.16)
lti
Así, para sistemas binarios, las propiedades parciales se calculan fácilmente en
forma directa a partir de una expresión para. la propiedad de solución como función de composición a T y P constantes. Las ecuaciones correspondientes para
sistemas multicomponentes son mucho más complejas, y se dan con detalle por
Ván Ness y Abbott.4
~;II$CI 10.2
. .
Describa una interpretación gráfica de las ecuaciones (10.15) y
SOLUCIÓN
En la figura 10.1 se presenta una gráfica representativa de M contraxl
para un sistema binario. Los valores de la derivada dM/dxl se dan por las pendientes
de las líneas trazadas tangentes a la curva de M contra x1. Una de esas líneas trazadas tangente a un valor en particular de x1 se muestra en la figura 10.1. SUS
intercepciones con las fronteras de la figura, a x1 = 1 y x1 = 0, se identifican como
4H C. Van Ness y M. M. Abbott, Classical !l%ermodynamics of Nonelectrolyte Solutims: With
Appl&tti to Phuse Equilibriu, pp. 46-54, McGraw-Hill, Nueva York, 1982.
CAPfTVL.0 10. Termoo!imhica
370
de soluciones: teoría
T y P constantes
M
M”,2
M2 ’
0
1
x1
F’igura
10.2:
Valores de dilución al infinito
de propiedades parciales.
II e 12. Como es evidente en la figura, se pueden escribir dos expresiones equivalentes
para la pendiente de esta línea:
dM
M - I ,
-=
2, - 0
ti,
CJM
11-12
-=
1-o
(-%
Y
-1-I
1
2
Resolviendo la primera ecuación para Iz y la segunda para II (con la eliminación de
Iz), se tiene
I=&x!!!
2
%lx,
Il = M + (1-x1)$
1
y
La comparación de estas expresiones con las ecuaciones (10.15) y (10.16) muestra
que
II = M,
Y
I2 = M,
Así, la intercepción de la tangente da directamente los valores de las dos propiedades
parciales. Estas intercepciones desde luego se corren a medida que el punto de
tangencia se mueve a lo largo de la curva, y los valores limitantes se indican por las
construcciones que se muestran en la figura 10.2. La tangente trazada a x1 = 0
(especie pura 2) da M, = M2, consistente con la conclusión a la que se llegó en el
ejemplo lO.lsonsiderando la propiedad parcial de una especie pura. La intercepción
opuesta, da M, = M,“> la propiedad parcial de la especie 1 cuando está presente a
una dilución infinita (x1 = 0). Un comentario similar se aplica a la tangente dibuja-
371
10.3 Bopiedades parciales
da en 51 = 1 (especie pura 1). En este caso, M, = MI y M, = M,“, puesto que la
especie 2 está presente a dilución infinita (xi = 1,x2 = 0).
Ejemplo 10.3 En un laboratorio surge la necesidad de preparar 2 000 cm3 de un
anticongelante que consiste en una solución al 30 por ciento mol de metano1 en agua.
&Qué volúmenes de metano1 puro y de agua pura a 25°C se deben mezclar para
formar 2 000 cm3 de anticongelante, también a 25”C? Los volúmenes molares parciales para el metano1 y el agua en una solución de metano1 a 30 por ciento mol a
25°C son:
Metanoh 1):
F = 38.632 cm3 mal-’
Agua(2):
F2 = 17.765 cm3 mal-’
Para las especies puras a 25°C:
Metanol(1):
AguaC%
SOLUCIÓN
VI = 40.727 cm3 mal-’
Vz = 18.068 cm3 mal-’
La ecuación (10.11) escrita para el volumen de una solución binaria es
v = x1 v, +
x2
v,
Se conocen todas las cantidades a la derecha, y se calcula el volumen molar de la
solución anticongelante:
V = (0.3)(38.632) + (0.7)(17.765) = 24.025 cm3 mal-’
El volumen total de la solución que se requiere es
Vt=nV=2000cm3
Así, el número total requerido de moles es
n = - = =
=
83.246
mal
V 24.025
De éstas, el 30 por ciento es metano1 y el 70 por ciento es agua:
nl = (0.3)(83.246) = 24.974 mol
n2 = (0.7)(83.246) = 58.272 mol
El volumen de cada especie pura es V’ = niVi, así
V,’ = (24.974)(40.727) = 1017 cm3
l$’ = (58.272)(18.068) = 1053 cm3
Los valores de c, c y V para la solución binaria de metano1 (1) agua (2) a
25°C se han puesto en una gráfica en la figura 10.3 como funciones de ~1. La línea
372
CAPf!FlJL.O 10. Termodinámica de soluciones: teoría
trazada tangente a la curva V Entra x1, a x1 = 0.3 ilustra el prqcedimiento por el
cual se-obtienen los valores de V, y V, . Nótese gue la curva para VI se hace horizontal (dY,/o?q = 0) axl = 1 y que la curva para V, se hace horizontal axr = 0 o axs
= 1. Este es un requerimiento de la ecuación ( 10.14), la ecuación de Gibbs/Duhem,
la cual se convierte en
x1 dvI + x2 dv2 = 0
La división de esta ecuación por dxl y su reacomodamiento da
Este resultado muestra que las pendientes dv&xr y dvz/&l deben ser de signos
opuestos. Cuando x1 = 1, xi= 0 y dV&Ix1 = 0, dado que &VJdq permanece finita.
Cuando x1 = 0, x2 = 1 y dV,/dxl = 0. Las curvas para V, y V, de la figura 10.3
parecen ser horizontales en ambos extremos; ésta es una peculiaridad del sistema
considerado.
Para una solución ideal, tratada con detalle en la sección 10.8, los volúmenes
molares parciales de las especies en solución son iguales a los volúmenes molares de
las especies a las mismas T y P. En este caso, la relación de adicionabilidad se convierte en
v”d = XIV1 + xzv2
lo cual implica una relación lineal entre l@ y x1:
P = (V, - V2)Xl + v,
Cuando el sistema metanoyagua se considera como solución Ideal, la relación V contraxl está representada por la línea recta punteada. que se muestra en la figura 10.3,
la cual conecta los volúmenes de las especies puras (VI a x1 = 1 y V2 a x1 = 0). Para
el problema específico aquí planteado. el uso de VI y V2 en lugar de las propiedades
parciales produce
v: = 983
Vi = 1017 cm3
Ambos valores son aproximadamente 3.4 por ciento menores.
IQemplo 10.4 La entalpía de un sistema líquido binario de las especies 1 y 2 a T y
P fijas está representada por la ecuación
H = 400x1 + 600~2 i- X1X2(40X1 i- 20x2)
en donde H está en J mal-‘. Determine las expresiones para FI y g, como fzúnciones de x1, los valores numéricos para las entalpías de las especies puras, HI y H2, Y
los valores numéricos para las entalpías parciales a dilución infinita Hf y H,s
SOLUCIÓN
Sustituyendo 2s por 1 -x1 en la ecuación dada para H, se tiene
373
10.3 Propiedades parciales
VI= 40.727 \
7
0
E 303
s
25 -
Vn=18.068
-
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x1
F@% 10.3: Volúmenes molares para metanol(l)/agua(2)
a 25°C y l(atm).
H = 600 - 180x1 - 20x;
(4
de donde
Mediante la ecuación (10.15),
La sustitución para H y dH/dxI
da
H, = 600 - 180x1 -20x; - 180~ - 602:x2
Sustituyendo 22 por 1 -x1 y simplificando, se obtiene
H, = 420 - 60x; + 40x;
En forma semejante, de la ecuación (10.16)
WV
CAPÍTULO
374
10.
Temodinámica
de
soluciones:
teoría
de donde
H, = 600 - 180x1
-20x; + 180x1 + 60x,3
0 bien
H, = 600 + 40x;
(0
Podría igualmente haberse empezado con la ecuación para H. Con dH/dxl, una
derivada total, 5s no es constante. Dado quexs = 1 -x1, oIx&rr = -1. La diferenciación de la ecuación dada para H da, por consiguiente,
dH = 400 - 600 + X1X2(40 - 20) + (40x1 + 2022)(-x1 + 22)
~
%
Cuando 22 se remplaza por 1 -x1, esto se reduce a la expresión obtenida con anterioridad.
Resulta un valor numérico para HI cuando se sustituye x1 = 1 ya sea en la
ecuación (A) o (B). Ambas ecuaciones producen HI = 400 J mal-‘. De modo similar
se encuentra H2 ya sea de la ecuación (A) o (C) cuando x1 = 0. El resultado es H2 =
600 J mal-‘. Los valores de dilución infinita Hf y HSm se encuentran de las ecuaciones
(B) y (C) cuando x1 = 0 en la ecuación (B) y x1 = 1 en la ecuación (C). Los resultados son
H,”
=
420
y
H,” = 640 J mal-’
Ahora se muestra cómo las propiedades pargiales están relacionadas una con
la otra. Dado que por la ecuación (10.8) el, = Gi, se puede escribir la ecuación
(10.2) como
d(nG) = (nV)dP - (nS)dT + c¿$ dni
t
(10.17)
La aplicación del criterio de exactitud, ecuación (6.12), a esta ecuación, da la relación de Maxwell,
(6.16)
más las dos ecuaciones adicionales
10.3 Ropiedades
375
parciales
Y
(ip)T,n = -[%y j,,.,
en donde el subíndice n indica constancia de todas las ni y, por consiguiente, de la
composición, y el subíndice nj indica que todos los números de mol con excepción
del iésimo se mantienen constantes. En vista de la ecuación (10.7), estas dos últimas ecuaciones se escriben más sencillamente como
(
ac,
dT
1
=-g
(10.18)
P,z
Y
(10.19)
Estas ecuaciones permiten el cálculo del efecto de la temperatura y la presión
sobre la energía parcial de Gibbs (o potencial químico). Son propiedades parciales
análogas de las ecuaciones (10.4) y (10.5). Más ahn, para cualquier ecuación que
proporciona una relación lineal entre las propiedades termodinámicas de una solución de composición constante, existe una ecuación que conecta las propiedades
parciales correspondientes de cada especie en la solución. Se demostrará esto mediante el ejemplo.
Considere la ecuación que define la entalpía,
H=U+PV
Para n moles,
nH = nU + P(nV)
La diferenciación con respecto a ni a T, P y nj constantes, produce
[%gp,T,“j = [%gT,n, + p[F]p,T,NJ
De la ecuación (10.7), se convierte en
Hi = U, + Pv,
(2.5)
CAPI?l?ILO
376
10. Tezmodinámica
de soluciones: teoría
la cual es la propiedad parcial análoga a la ecuación (2.5).
En una solución de composición constante, Gi es una función de P y T. Por
consiguiente, se puede escribir
Como resultado de las ecuaciones (10.18) y (10.19),
esto se convierte en
dGi = CdP- S,dT
la cual se puede comparar con la ecuación (6.10). Estos ejemplos ilustran el paralelismo que existe entre ecuaciones para una solución de composición constante y
las ecuaciones correspondientes para las propiedades parciales de las especies en
solución. Por consiguiente, por analogía, se pueden escribir sencillamente muchas
ecuaciones que relacionan las propiedades parciales.
10.4
Mezclas de gases ideales
Si n moles de una mezcla de gases ideales ocupan un volumen total Vt a la temperatura T, la presión es
nRT
V’
p= __
Si los ni moles de la especie i en esta mezcla ocupan el mismo volumen total a la
misma temperatura, la presión es
Pi =
n,RT
VL
Dividiendo la última ecuación por la primera, se tiene
Pi-n, _
z
P n
0
pi=xp
(i = 1, 2, . . .) N)
(10.20)
en donde xi es la fracción mol de la especie i en la mezcla de gases ideales, y pi se
conoce como la presión parcial de la especie i. La suma de las presiones parciales
según la de la ecuación (10.20) es igual a la presión total.
10.4 Mezclas de gases ideales
377
Un gas ideal (sección 3.3) es un gas modelo compuesto de moléculas imaginarias de volumen cero que no interactúan. Cada especie química en una mezcla de
gases ideales tiene, por consiguiente, sus propias propiedades particulares, sin ser
influenciados por la presencia de otras especies. Esta es la base para la siguiente
definición del teorema de Gibbs:
Una propiedad molar parcial (diferente a su volumen) de una especie
constituyente en una mezcla de gases ideales es igual a la propiedad molar
correspondiente de la especie como un gas puro a la temperatura de la
mezcla, pero a una presión igual a su presión parcial en la mezcla.
Esto se expresa matemáticamente, para la propiedad parcial genérica M,“, por la
ecuación
Mi” (T, P) = Mi” (T, pi)
(10.21)
en donde el superíndice gi indica una propiedad de gas ideal, y @igi f Viti.
Dado que la entalpía de un gas ideal es independiente de la presión
Hi” (T, pi) = Hf (T, P)
de donde
iT,B (T, P) = Hi” (T, P)
0 más sencillamente,
H,“”
= H,pi
(10.22)
en donde H,? es el valor de la especie pura a la T y P de la mezcla. La aplicación de
la relación de adicionabilidad, ecuación ( 10. ll), produce
(10.23)
Ecuaciones análogas se aplican para U@ y otras propiedades que son independientes de la presión. [Véase la ecuación (4.6) para C$.]
Cuando la ecuación (10.23) se escribe
la diferencia a la izquierda es el cambio de entalpía asociado con un proceso en el
cual cantidades apropiadas de las especies puras a T y P se mezclan para formar
un mol de la mezcla a las mismas T y P. Para los gases ideales, este cambio de
entalpía de la mezcla (sección 11.13) es cero.
CAPÍTULO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
378
La entropía de un gas ideal depende de la presión, y de acuerdo con la ecuación
(6.23),
(T constante)
dS,a” =-RdlnP
La integración desde pi hasta P da
s,ai (T, P) - í3,” (T, pi) = -RIno
Pi
=-Rln$
z
=Rlnq
de donde
Sf (T, pi) = S,gi (T, P) -R lnxi
Sustituyendo este resultado en la ecuación (10.21) escrita para la entropía,
resulta
&@(T,P) = S~(T,P)-RInxi
0 simplemente,
s: = S,gi -RInxi
(10.24)
en donde S,? es el valor de la especie pura a las T y P de la mezcla. Por la relación
de aclicionabilidad,
xiS,? - Rxxiln xi
I
(10.25)
Cuando esta ecuación se reacomoda como
Sgi- ~xiS~ = Rzxiln$
1
>
z
se tiene a la izquierda el cambio de entropia de la mezcla para gases ideales. Dado
que llxi > 1, esta cantidad siempre es positiva, de acuerdo con la segunda ley.
Inherentemente, el proceso de mezclado es irreversible y para la mezcla íle gases
ideales a T y P constantes no se acompaña de transferencia de calor [ecuación
(10.23)].
Para la energía de Cibbs de una mezcla de gases ideales, G@ = Hsi - T@; la
relación paralela para las propiedades parciales es
10.4 Mezclas de gases ideales
379
En combinación con las ecuaciones (10.22) y (10.24), esto se convierte en
GT.= H,a’-TS,a”
+ RTlnxi
0
~7 =Gpi =Gf + RTlnq
(10.26)
Por eliminación de GT de esta ecuación resulta una expresión alternativa
para el potencial químico. Como resultado de la ecuación (6.10), se puede escribir para la especie pura i
dG,“”
= qs”dP
(T constante)
0
dG,a”
= FdP=RTdlnP
(T constante)
La integración da
G,Bi = l?i(T) + RT In P
(10.27)
en donde ri( T), la constante de integración a T constante, es una función sólo de la
temperatura.5 La ecuación (10.26) por consiguiente se puede escribir
pGzq
(10.28)
La aplicación de la relación de aditividad o adicionabilidad, ecuación (10. ll ), produce una expresión para la energía de Gibbs de una mezcla de gases ideales
Ggi = xqTi(T)
I
+ RTcxi 1nxiP
I
(10.29)
Estas ecuaciones, notables por su simplicidad, representan una descripción completa del comportamiento del gas ideal.
‘Una evidente ambigüedad dimensional se desprende de la ecuación (10.27) y de ecuaciones
análogas en que P tiene unidades, mientras In P debe ser adimensional. Esta dificultad es más
aparente que real, porque la energía de Gibbs siempre se expresa en una escala relativa, siendo
desconocidos los valores absolutos. Así, en una aplicación sólo aparecen c&ferencius en la energía de
Gibbs, llevando a las rekzciones de cantidades con unidades de presión en el argumento del logaritmo.
El único requerimiento es que se mantenga la consistencia de las unidades de presión.
380
10.5
CAPi!l’L?LO
10. Temoofinámica
de soluciones: teoría
Fugacidad y coeficiente de fugacidad para una especie pura
Como es evidente de la ecuación (10.6), el potencial químico ~-r, es fundamental
para la formulación de criterios para el equilibrio de fases. Esto es verdad también
para el equilibrio de reacciones químicas. No obstante, el potencial químico exhibe
ciertas características desafortunadas, las cuales mitigan su uso en la solución de
problemas prácticos. La energía de Gibbs, y por tanto b, se define en relación con
la energía interna y la entropía, ambas cantidades primitivas para las cuales se
desconocen sus valores absolutos. Como resultado, no tenemos valores absolutos
inequívocos para el potencial químico. Más aún, la ecuación (10.28) muestra que
para una mezcla de gases ideales, b se aproxima al infinito negativo cuando P o xi
se aproximan a cero. Esta observación no está limitada a los gases ideales, sino que
es verdadera para cualquier gas. En tanto que las características no impiden el uso
de potenciales químicos, la aplicación de los criterios de equilibrio se facilita por la
introducción de la JUgacidad,
una magnitud que toma el lugar de b, pero la cual
no presenta sus características menos deseables.
El origen del concepto de fugacidad reside en la ecuación (10.27), una ecuación
válida solamente para las especies puras i en el estado de gas ideal. Para un fluido
real, se escribe una ecuación análoga:
Gi = ri(T) + RT lnfi
en la que la presión P es remplazada por una propiedad nueva fi, que tiene unidades de presión. Esta ecuación sirve como’ definición parcial de fi, que se llama
jkgacidad6 de la especie pura i.
Al restar la ecuación (10.27) de la ecuación (10.30), escritas ambas para las
mismas temperatura y presión, se obtiene
G.z
G? = RTlnt
P
De acuerdo con la definición de la ecuación (6.39), Gi - Gf es la enen&a residual
de Gibbs, G,? La relación adimensional fJP es una nueva propiedad denominada
coefkiente defigacidad y se le da el símbolo &. Así,
ICfl
(10.31)
de donde
‘Introducido por Gilbert Newton Lewi (1875-1946), ñsico-químico americano quien tambih
desarrolló los conceptos de la propiedad parcial y la solución ideal.
10.5 Fugacidad y coeficiente de fugacidad para una especie pura
381
Ahora se puede completar la definición de fugacidad estableciendo que la fugacidad
del estado de gas ideal de la especie pura i es igual a su presión:
Así, para el caso especial de un gas ideal, G,! = 0, & = 1 y la ecuación (10.27) se
recobra de la ecuación (10.30).
La identificación de In & con G,f/RT mediante la ecuación (10.31) permite
que la ecuación (6.44) se reescriba como
-1 ( T constante)
Los coeficientes de fugacidad (y en consecuencia las fugacidades) para las especies
puras se evalúan por esta ecuación a partir de los datos PVT o a partir de una
ecuación de estado. Por ejemplo, cuando el factor de compresibilidad está da& por
la ecuación (3.31), se tiene
&-l=
B..P
L
RT
en donde el segundo coeficiente filial Bii es una función de la temperatura sólo
para una especie pura. La sustitución en la ecuación (10.34) da
In $i = -$+ [opdP
(T constante)
de donde
La ecuación (10.30), que define la fugacidad de la.especie pura i, se puede
escribir para las especies i como un vapor saturado
Gt” = Ti(T) + RT In J1”
(10.36)
y para las especies i como un líquido saturado a la misma temperatura
Gf = Ti(T) + RTlnJI:’
(10.37)
CAPÍTUL.0
382
10. Termoo!inámica
de soluciones: teoría
Por diferencia,
una ecuación que es aplicable al cambio de estado de líquido saturado a vapor
saturado, ambos a la temperatura T y a la presión de vapor eSa! De acuerdo con la
ecuación (6.51), GI - G,” = 0; por consiguiente,
en donde fi”” indica el valor tanto para el líquido saturado como para el vapor
saturado. El coeficiente de fugacidad correspondiente es
(10.39)
de donde
Dado que las fases coexistentes de líquido y vapor saturados están en equilibrio, la
igualdad de las fugacidades expresadas por las ecuaciones (10.38) y (10.40) es un
criterio del equilibrio vaporllíquido para las especies puras.
Debido a la igualdad de las fugacidades del líquido y el vapor saturados, el
cálculo de la fugacidad para la especie i como un líquido comprimido se hace en dos
etapas. Primero, se calcula el coeficiente de fugacidad del vapor saturado c&” =
4~” mediante una forma integrada de la ecuación (10.34), evaluado para P =
pl’“t Entonces, por medio de las ecuaciones (10.38) y (10.39)
La segunda etapa es la evaluación del cambio de la fugacidad del líquido con un
incremento en la presión por arriba de cat. La ecuación requerida se desprende
directamente de la ecuación (10.30) en combinación con la ecuación (6.10). Para
el cambio isotérmico del estado de líquido saturado a líquido comprimido a la presión P, la ecuación (6.10) se puede integrar para dar
En seguida, la ecuación (10.30) se duplica: para Gi y para G,%“. La resta proporciona una segunda expresión para Gi - G”“:
10.5
383
Fugacidad y coeficiente de fugacidad para una especie pura
Al igualar las dos expresiones para Gi - G,Yt resulta
Dado que Vi, el volumen molar de la fase líquida, es una función muy débil de P a
temperatura muy por abajo de Tc, una aproximación excelente se obtiene con frecuencia cuando la evaluación de la integral se basa en la consideración de que Vi es
constante al valor del líquido saturado, Vi”.
lnf, = v,“(P - ly)
RT
fi”
Al sustituir fi”” = #,?Piwt y resolver para fi, se obtiene
(10.41)
El exponencial se conoce como el factor de Poynting.7
l$jemplo 10.5 Para el Hz0 a una temperatura de 300°C y para presiones hasta de
10 000 kPa (100 bar), trace una gráfica con los valores defi y +i calculados a partir
de los datos de las tablas de vapor contra P.
SOLUCIÓN
La ecuación (10.30) se puede escribir para un estado de referencia a
presión baja (que se designa como *) a la temperatura T:
@ = Ti(T) + RTlnf
Al restar esta ecuación de la ecuación (10.30) misma, que representa el estado a la
presión P pero a la misma temperatura T, después de reacomodarla se obtiene
lnfi = ‘((& @)
f
RT
’
Dado que por definición, Gi = Hi - TL!$ y I‘$ = fl - Tf$, la ecuación SC C0nViCI-k
en
‘John Henry Poynting
(1852-1914), físico británico.
384
CAPÍTULO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
Si la presión del estado de referencia P* es suficientemente baja como para que el
fluido se aproxime mucho a un gas ideal, entonces f = P*, y
La presión más baja para la cual se dan los datos a 300°C en las tablas de vapor
es 1 kPa, y se puede presumir que en estas condiciones
el vapor es, con f’ines prácticos, un gas ideal. Los datos para este estado proporcionan los siguientes valores de
referencia:
P* = 1 kPa
fl = 3 076.8 J g-l
$ = 10.3450 J g-l K-’
La ecuación (A) puede aplicarse ahora a los estados de vapor sobrecalentado a 300°C
para diversos valores de P, a partir de 1 kPa hasta la presión de saturación de
8 592.7 kPa. Por ejemplo, a P = 4 000 kPa y 300°C
Hi = 2 962.0 J g-l
Si = 6.3642 J g-l K-l
Estos valores se deben multiplicar por la masa molar del agua (18.015) para ponerlos sobre una base molar y poderlos sustituir en la ecuación (A):
1
lnf,
P* = 18’015
8.314 2 g62’o
573.15
- 3 07”’ - (6.3642- loJ@jO) = 8.1917
y&/P* = 3 611.0. D a d o que P * = 1 kPa,fi = 3 611.0 kPa. Así, e l coeficiente de
fugacidad a 4 000 kPa está dado por
+.2 = -= ___
3611.0 = 0.9028
P
4 000
Cálculos similares a otras presiones llevan a los valores que se expresan en la gráfica
de la figura 10.4, a presiones que alcancen la de saturación, 8 592.7 kPa, donde Am”
= 6 738.9 kPa y #p’ = 0.7843. De acuerdo con las ecuaciones (10.38) y (10.40), los
valores de saturación no varían por condensación.
Valores de J;- y +i para agua líquida a presiones más elevadas se encuentran
mediante la aplicación de la ecuación (10.41). Si se toma y’ igual al volumen molar
del agua líquida saturada a 3OO”C, se obtiene
q = (1.403)(18.015) = 25.28 cm3 mal-’
10.5
385
Fugacidad y coeficiente de fugacidad para una especie pura
6 -
5 -
3.8
- et
4 -
3.7
4%
3 -
0.6
2-
psxt
l-
0
Figura 10.4:
I
2
I
1
4
6
P x 10e3/kPa
Bbgacidad
I
8
I
1
y coeficiente de fugacidad del vapor de agua a 300°C.
Para una presión de 10 000 kPa, la ecuación (10.41)
fi = 6 738.9 exp 25.28(10 000 - 8 592.7) = 6 78g 4 kPa
(8 314)(573.15)
Entonces, el coeficiente de fugacidad para el agua líquida en estas condiciones es
cpi =fi/P = 6 789.4/10 000 = 0.6789
Estos cálculos permiten completar la figura 10.4, en donde las líneas continuas
muestran cómo varían fi y & con respecto a la presión.
CAPÍTUL.0
386
10. Temodinámica de soluciones: teol-ía
Al incrementarse la presión la curva para& se desvía cada vez más del comportamiento de gas ideal, el cual se muestra por la línea punteada, fi = P. A 4” hay
una ruptura marcada, y entonces la curva se eleva muy lentamente al incrementarse
la presión. Así, la fugacidad del agua líquida a 300°C es una función débil de la
presión. Este comportamiento es característico de los líquidos a temperaturas muy
por abajo de la temperatura crítica. El coeficiente de fugacidad & decrece rápidamente desde su valor de unidad a la presión cero, a medida que la presión aumenta.
Su rápido decrecimiento en la región líquida es una consecuencia de la (casi) constancia de la fugacidad misma.
10.6
Fugacidad y coeficiente de fugacidad para especies en solución
La definición de la fugacidad de una especie en solución es paralela a la definición
de fugacidad de una especie pura. Simplemente se escribe para la especie i en una
mezcla de gases reales o en una solución de líquidos una ecuación análoga a la
expresión de gas ideal, ecuación (10.28):
k = l?i( T) + RT In i
(10.42)
A
en donde fi es la fugacidad de la especie i en solución, remplazando el producto
xiP. Dado que no es una propiedad parcial, se identifica mediante un acento circunflejo en lugar de una sobrebarra.
Una aplicación directa de esta definición indica su utilidad potencial. En la
sección 10.2 se encuentra que el potencial químico proporciona un criterio para el
equilibrio de fases de acuerdo con la ecuación
p*? =pf
=...=pL;
(i = 1, 2, . . . ) Iv)
(10.6)
Como todas las fases en equilibrio están a la misma temperatura, una alternativa
y un criterio igualmente general se deduce inmediatamente a partir de la ecuación
(10.42):
Ik=jf =...= j$ 1 (i=1,2 )..., N)
(10.43)
Así, las fases múltiples a las mismas T yP están en equilibrio cuando la fugacidad
de cada especie constituyente es la misma en todas las fases. Este criterio de equilibrio es el que a menudo aplican los ingenieros químicos para resolver los problemas de equilibrio de fases.
F’ara el caso específico de un equilibrio vaporllíquido de multicomponentes, la
ecuación (10.43) se convierte en
& =j$
(i = 1, 2, . . . > N>
(10.44)
La ecuación ( 10.3 8) resulta un caso especial cuando esta relación se aplica al equilibrio vaporkquido de la especie pura i.
10.6
Fugacidad
y coeficiente de fugacidad para especies en solución
387
De acuerdo con la definición de la energía residual de Gibbs que se da en la
ecuación (6.36) junto con la ecuación (10.‘7), la definición de una propiedad parcial proporciona una ecuación definitoria para la energía parcial residual de Gibbs.
Así, después de multiplicar por n, la ecuación (6.36) se convierte en
nGR = nG - rdPi
Esta ecuación se aplica a n moles de mezcla. Su diferenciación en relación con ni a
I: P y nj constantes da
Al referirse ala ecuación (10.7), se puede apreciar que cada término tiene la forma
de una propiedad molar parcial. Así:
(10.45)
una ecuación que define la enevh residual parcial de Gibbs, ¿?,*.
Si se resta la ecuación (10.28) de la ecuación (10.42), ambas escritas para
las mismas temperatura y presión, se tiene
Este resultado se puede combinar con la ecuación (10.45) y con la identidad IS, G
c,, obteniendo
(10.46)
en donde, por definición,
J.=it
L-l
XiP
(10.47)
La relación adimensional Ji se denomina coeficiente de fugacidad de la especie i en
solución.
La ecuación (10.46) es la análoga de la ecuación (10.31), la cual r$aciona a
C#J~ con GR. Para un gas ideal, I!?~* es necesariamente cero; por lo tanto, $1’ = 1, y
jy = XiP
(10.48)
388
CAE!!0 10. Tezmodinthica de soluciones: teoría
Así, la fugacidad de la especie i en una mezcla de gases ideales es igual a su presión
parcial.
La definición de una propiedad residual está dada en la ecuación (6.39)
MRzM-MMgi
(6.39)
donde M es el valor molar (o de masa unitaria) de la propiedad termodinámica de
un fluido y M@ es el valor que la propiedad tendría si el fluido fuese un gas ideal de
la misma composición a las mismas T y P. De esto se desprende inmediatamente
[véase el desarrollo de la ecuación (10.45)]
Estas ecuaciones son la base para la extensión de la relación de las propiedades
fundamentales, dada por la ecuación (10.2), a las propiedades residuales.
Para ello, primero se desarrolla una forma alterna de la ecuación (10.2) justamente como se hizo en la sección 6.1, en donde la relación de las propiedades
fundamentales se restringió a fases de composición constante. Haciendo uso de la
misma identidad matemática:
=&d(nG) - *dT
RT’
La sustitución parad(nG) por la ecuación (10.2) y para G por la ecuación (6.3) da,
después de la reducción algebraica,
(10.50)
Nótese con respecto a esta ecuación que todos los términos tienen las unidades de
moles; más aún, en contraste con la ecuación (10.2), aparece la entalpía con preferencia a la entropía en el lado derecho. La ecuación (10.50) es una relación general
que expresa GIRT como una función de todas sus variables canónicas, T P y los
números de moles. Además, reduce a la ecuación (6.29) para el caso especial de
1 mol de una fase con composición constante. Las ecuaciones (6.30) y (6.31) surgen de cualquier ecuación y las ecuaciones para las otras propiedades termodinámicas provienen de las ecuaciones definitorias apropiadas. Si se reconoce a GIRT
como una función de sus variables canónicas, se pueden evaluar todas las otras
propiedades termodinámicas y, por consiguiente, tener una completa e implícita
información de propiedades. Sin embargo, no se puede explotar directamente esta
característica y en la práctica se trata con las propiedades relacionadas, por ejemplo, la energía residual de Gibbs.
Dado que la ecuación (10.50) es general, se puede escribir para el caso especial de un gas ideal:
I.
20.6 Fugacidad y coeficiente de fugacidad para especies en solución
389
dp- FdT
nHF
+ cgdni
Contemplando las ecuaciones (6.39) y (10.49),
ecuación (10.50) para dar
esta ecuación se puede restar de la
dp- FdT
nHR
+ cgdni
(10.51)
La ecuación (10.51) es la relaciónJicndamenta1
de las propiedades residuales. Su
derivación a partir de la ecuación (10.2) es paralela a la derivación que llevó de la
ecuación (6.10) a la ecuación (6.40) en el capítulo 6. En efecto, las ecuaciones
(6.10) y (6.40) son casos especiales de las ecuaciones (10.2) y (10.51), válidas
para un mol de fluido de composición constante. Se obtiene una forma alterna de
la ecuación ( 10.5 1) introduciendo el coeficiente de fugacidad dado por la ecuación
(10.46):
dp- FdT
nHR
+ ClnJ,dni
I
(10.52)
Ecuaciones tan generales como las ecuaciones (10.51) y (10.52) son útiles
para la aplicación práctica sólo en sus formas restringidas. La división de las
ecuaciones (10.51) y (10.52) por dP y la restricción a T y composición constantes
lleva a
[ 1
VR
a(GRIRT)
RT=
dP
(10.53)
Tz
En forma similar, la división por dT y la restricción a P y composición constantes
da
[ 1
HR
--= -T a(GR/RT)
RT
aT
(10.54)
P,z
Estas ecuaciones son redefiniciones de las ecuaciones (6.41) y (6.42), de donde la
restricción de las derivadas a composición constante se muestra en forma explícita. Además, llevan a las ecuaciones (6.44), (6.45) y (6.46) para el cálculo de las
propiedades residuales a partir de datos volumétricos. Más aún, la ecuación (10.53)
lleva a la (10.34), de la cual los coeficientes de fugacidad se calculan a partir de
1
CAF@ULO
390
10.
Termodinámica
de
soluciones:
teoría
datos volumétricos. Es a través de las propiedades residuales como esta clase de
información experimental entra a la aplicación práctica de la termodinámica.
Además, a partir de la ecuación (10.52), se tiene
1nJi = [ “‘n~~T’],,,
(10.55)
Esta ecuación demuestra que In Ji es una propiedad parcial con respecto a GR/RT.
Las análogas de las ecuaciones (10.53) y (10.54) para propiedades parciales son,
por consiguiente,
(10.56)
Y
(10.57)
Dado que los valores de In& son propiedades parciales en relación con
la relación de aclicionabilidad, ecuación (10. ll), aquí toma la forma
GR/RT,
GR
-=
RT
Xiln *”
c
rn.1
i
(10.58)
Más aún, los valores de In & se deben conformar a la ecuación de Gibbs/Duhem,
como un caso especial de la ecuación (10.14) se tiene
lTxidln& = 01
(T y P constantes)
y
(10.59)
Ejemplo 10.6 Desarrolle una ecuación general para calcular los valores de In 6, a
partir de datos del factor de compresibilidad.
SOLUCIÓN Paran moles de una mezcla de composición constante, la ecuación (6.44)
se convierte en
10.7
Correlaciones generalizadas para el coeficiente de fugacidad
391
La diferenciación con respecto a ni a T, P y nj constantes, de acuerdo con la ecuación
(10.55)
proporciona
Dado que a(nZ)/&x, = %< y que &/¿hi = 1, ésta se reduce a
(10.60)
en donde la integración se da a temperatura y composición constantes. Esta ecuación
es la análoga de la propiedad parcial de la ecuación (10.34) y permite el cálculo de los
valores de bi a partir de datos de PVT.
10.7
Correlaciones generalizadas para el coeficiente de fugacidad
Los métodos generalizados que se desarrollaron en la sección 3.6 para el factor de
compresibilidad 2 y en la sección 6.6 para la entalpía y la entropía residuales
de gases puros aquí se aplican al coeficiente de fugacidad. La ecuación (10.34) se
pone en forma generalizada por sustitución de las relaciones,
P=PZr
dP = P,dP,
Por lo tanto,
donde la integración es a T,. constante. La sustitución por Zi mediante la ecuación
(3.46) da
en donde por simplicidad se hace caso omiso del subíndice i. Esta ecuación se
puede escribir en forma alterna como
In 4 = In 4O + 0 In 4l
en .donde
(10.62)
392
C!ÍTVLO 10. Termodinámica de soluciones: teolía
Y
Las integrales en estas ecuaciones se pueden evaluar numérica o gráficamente
para varios valores de T, y P, a partir de los datos para 2’ y Z1 dados en las tablas
E.l a la E.4. Otro método, que es el adoptado por Lee y Kesler para extender su
correlación a los coeficientes de fugacidad, se basa en una ecuación de estado.
Como la ecuación (10.62) también se puede escribir como
se tiene la opción de presentar las correlaciones para +” y # con preferencia a sus
logaritmos. Esta es la elección que aquí se hizo y las tablas E. 13 a la E. 16 presentan los valores para estas magnitudes derivados de la correlación de Lee/Kesler
como funciones de T,. y P, proporcionando así una correlación generalizada de tres
parámetros para los coeficientes de fugacidad. Se pueden utilizar las tablas E. 13 y
E.15 para 4” sólo como correlación de dos parámetros, la cual no incorpora el
refinamiento introducido por el factor acéntrico.
Ejemplo 10.7 Estime a partir de la ecuación (10.63) un valor para la fugacidad del
vapor del l-buteno a 200°C y 70 bar.
Éstas son las mismas condiciones dadas en el ejemplo 6.6, en donde se
encuentra que
SOLUCIÓN
T, = 1.127
P, = 1.731
w = 0.191
Por interpolación en las tablas E.15 y E. 16 a estas condiciones
+‘=
0.627
y
@ = 1.096
La ecuación (10.63) da entonces
4 = (0.627)(1.096)“,1g1
= 0.638
Y
f= 4P = (0.638)(70) = 44.7 bar
Una correlación generalizada útil para In 4 resulta cuando es válida la forma
más sencilla de la ecuación virial. Las ecuaciones (3.47) y (3.48) se combinan para
dar
z - 1 = $c+ WBl)
r
10.7
393
Correlaciones generalizadas para el coeficiente de fugacidad
Al sustituir en la ecuación (10.61) y hacer la integración, se tiene
In 4 = $ (B” + wB1)
v
o bien
c$= exp $(B” +wBl)
[ r
1
(10.64)
Esta ecuación, usada conjuntamente con las ecuaciones (3 50) y (3.5 1) proporciona valores confiables de 4 para cualquier gas no polar o ligeramente polar cuando
se aplica a condiciones en donde Z es aproximadamente lineal con respecto a la
presión. De nuevo sirve la figura 3.15 como guía para su aplicación adecuada.
Así como en la sección 6.6 se dio nombre a las funciones utilizadas para
evaluar HR y SR por la correlación generalizada del coeficiente virial, también se
da nombre a la función que se emplea para evaluar 4. La ecuación (10.64) en
combinación con las ecuaciones (3.50) y (3.51) proporcionan esta función, que
para propósitos computacionales se denomina
PHIB(TR,PR,OMEGA)
La función indica los valores numéricos de 4. Los programas de computadora
representativos para su evaluación se dan en el apéndice D. Como ilustración, en el
ejemplo 6.6, paso (b), se tiene
PH1B(0.650,0.0316,0.191)
EO.
La correlación generalizada justamente descrita es solamente para gases
puros. En el resto de esta sección se demostrará cómo la ecuación tiAria se puede
generalizar para permitir el cálculo de los coeficientes de fugacidad 4, de las especies en las mezclas de gases.
La ecuación virial para una mezcla de gases se escribe exactamente como si
se tratara de especies puras:
z=1+Bp
RT
(3.31)
El segundo coeficiente virial de la mezcla, B, es una función de la temperatura y la
composición. Su dependencia de la composición exacta está dada por mecánica
estadística, y esto hace que la ecuación virial tenga preeminencia entre la ecuaciones
de estado en donde es aplicable, por ejemplo, a gases a presiones bajas y moderadas. La ecuación que da esta dependencia de la composición es
CAPfTUL,O
394
10. Termoohúnica
IB =
T,TYiYjBii
de soluciones: teoría
(10.65)
1
en donde y representa la fracción mol en una mezcla de gases. Los índices i y j
identifican las especies y ambos son válidos para todas las especies existentes en
la mezcla. El coeficiente virial B, caracteriza una interacción bimolecular entre la
molécula i y la molécula j y por consiguiente Bi = Bjie Las adiciones son válidas
para todas las interacciones bimoleculares posibles.
Para una mezcla binaria, i = 1, 2 y j = 1, 2; el desarrollo de la ecuación
(10.65) da entonces
B = YIYIBII + y1y2B12
+
~2~821
+
y2y&22
0
B = ~311 + 2~1~812
+ yiB22
Han aparecido dos tipos de coeficientes viriales: B11 y B22, para los cuales los
subíndices sucesivos son los mismos, y B12, para el cual los dos subíndices son
diferentes. El primer tipo representa el coeficiente virial para una especie pura; el
segundo es una propiedad de la mezcla, conocido como unwejkiente cruzado. Ambos,
sólo son funciones de la temperatura.
La ecuación (10.66) permite encontrar expresiones para In& y In& para
una mezcla binaria de gases que obedece a la ecuación (3.3 1) , la forma más sencilla de la ecuación virial. Escrita para n moles de una mezcla de gases, la ecuación
(3.31) se convierte en
nBP
nZ=n+ __
RT
La diferenciación con respecto a nl da
[1
=l; p d(nB)
P,T,n2
RT
dnl
T,nz
La sustitución para gI en la ecuación (10.60) da como resultado
en donde la integración es elemental, porque B no es una función de la presión.
‘Ibdo lo que queda es la evaluación de la derivada.
Correlaciones
generalizadas para el coeficiente de fugacidad
395
El segundo coeficiente virial dado por la ecuación (10.66) se puede escribir
B = YlU -Y2P11 + 2YlYzB12 + YaU -YM22
= Ylh - YlY2Bll + 2YlY2&2 + Y2B22 - YlY2B22
o bien
B = Ylh + Y2B22 + y1y2612
en donde
012 = 2B12 - BI1 - B22
Y dado que yi = n&a,
nB = nIB + nzB22
nln,
+ __
612
n
La diferenciación da
[YI,,.; = B11 + (~-~)np4r
= Bu + (1
-ydy2$2
= Bu + ~3312
Por consiguiente,
+ ~3312)
(10.67)
In& = $ (BE + y3h2)
(10.68)
In& = &, (BU
y en forma similar,
Las ecuaciones (10.67) y (10.68) se extienden fácilmente para su aplicación a
mezclas de multicomponentes; la ecuación general es8
(10.69)
*H C Van Ness y M. M. Abbott, C’lassical !l’hermodynamti of Nonelectrolyte
pp, 135-140,
McGraw-Hill, Nueva York, 1982.
AppZ&at& to Phme Equilibria,
Solutkms:
With
CApíTuzO
396
10. Termodinámica de soluciones: teoría
en donde los ídices ficticios i y j son válidos para todas las especies, y
aa c ZB;k-Bii-Bti
6, E 2B,-Bii-B,
con &i = 0, 8, = 0, etc., y & = Si,, etc.
Los valores de los coeficientes de virial para especies puras, BE, Bii, etc. se
pueden determinar a partir de la correlación generalizada representada por las
ecuaciones (3.48), (3.50) y (3.51). Los coeficientes cruzados Bik, B.g, etc., se encuentran a partir del desarrollo de la misma correlación. Para este propósito, la
ecuación (3.48) se puede reescribir en la forma más general9
B, = $ (B” + wijB1)
w
(10.70)
en donde B” y B’ son las mismas funciones de T,. como se dan por las ecuaciones
(3.50) y (3.51). Las reglas de combinación propuestas por Prausnitz para el cálcu-
+wj
oj
wzj’
=
(10.71)
2
Tcti = (TciTd)v2(l
4,)
(10.72)
Y
(10.73)
en
donde
(10.74)
Y
(10.75)
gJ. M. Prausnitz, R. N. Lichtenthaler y E. G. de Azevedo, Molecular Thxrmodynamics
Phase EquiZibriu, 2a. ed., pp. 132 y 162, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986.
of F’hid-
10.7
Correlaciones generalizadas para el coeficiente de fugacidad
397
En la ecuación (10.72), kv es un parámetro empírico y específico de interacción
para un par molecular i-j. Cuando i = j y para especies químicas similares, k, = 0.
De otra manera, es un número positivo pequeño evaluado a partir de los datos
mínimos de PVT y en ausencia de datos se considera igual a cero.
Cuando i = j, todas las ecuaciones se reducen a los valores apropiados para
una especie pura. Cuando i # j, estas ecuaciones definen un conjunto de parámetros
de interacción que no tienen significación física. Se da la temperatura reducida
para cada par $ mediante Tei = TIT,,.
Para una mezcla, los valores de B, de la ecuación (10.70) sustituidos en la
ecuación (10.65) dan el segundo coeficiente virial de la mezcla, B, y al remplazarlo
en la ecuación (10.69) [ecuacior;es (10.67) y (10.68) para una mezcla binaria] nos
proporcionan los valores de ln $J~.
La virtud primaria de la correlación generalizada para los segundos coeficientes viriales presentados se da aquí en forma sencilla; en la literatura se encuentran correlaciones más exactas, pero más comp1ejas.l’
Ejemplo 10.8 Estimar 4, y 4, mediante las ecuaciones (10.67) y (10.68) para
una mezcla equimolar de metil etil cetona (l)/tolueno (2), a 50°C y 25 kPa. Ajuste
todas las k, = 0.
Los datos requeridos son los siguientes:
SOLUCIÓN
ij
T,& PcG /bar
ll
22
12
535.5
591.8
563.0
41.5
41.1
41.3
VCG/cm3 mal-’
-G,
og
267.
316.
291.
0.249
0.264
0.256
0.323
0.262
0.293
en donde los valores del último renglón han sido calculados a partir de las ecuaciones
(10.71) a la (10.75). Los valores de T,+j, junto con B”, B1 y B, calculados para cada
par q de acuerdo con las ecuaciones (3.50), (3.51) y (10.70), son:
Al
calcular &s
ij
Ttij
B”
B1
ll
22
12
0.603
0.546
0.574
-0.865
-1.028
-0.943
-1.300
-2.045
-1.632
B&m3
mal-’
-1387.
-1860.
-1611.
de acuerdo con su definición, se obtiene
OI2 = 2B12 - BI1 - Bz2 = (2)(-l 611) + 1 387 + 1 860 = 25 cm’ mal-’
loC. Tsonopoulos, AZCZ& J., vol. 20, pp. 263-272, 1974, vol. 21, pp. 827-829, 1975, vol. 24, pp.
1112-1115, 1978; C. Tsonopoulos,Adv.
Zn Chemistry Series 182, pp. 143-162, 1979; J. G. Hayden y
J. P O’Connell, Znd. Eng. Chem. Proc. Ds. Dev., vol. 14, pp. 209-216, 1975; D. W. McCann y R. R
Danner, Ibid., vol. 23, pp. 529-533, 1984; J. A. Abusleme y J. H. Vera, AZChE J., vol. 35, pp. 481489, 1989.
CAPÍTULO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
398
Las ecuaciones (10.67) y (10.68) dan entonces
A
25
P
In& = ~ (&I + Y312)
RT
In& = &
P22
+
yP12)
=
(8 314)(323.X)
L-1 387 + (0.5)2(25)]
= -0.0128
25
[-1 860 + (0.5)2(25)] = -0.0172
= (8 314)(323.15)
de donde
& = 0.987
y
& = 0.983
Estos resultados son representativos de los valores obtenidos para las fases de vapor
a condiciones típicas de equilibrio vaporilíquido a presión baja.
10.8 La solución ideal
El gas ideal es un modelo útil del comportamiento de los gases y sirve como estándar
con el cual se puede comparar el comportamiento de un gas real. Esto se formaliza
mediante la introducción de las propiedades residuales. Otro modelo útil es lasolución ideal, que sirve como estándar con el cual se puede comparar el comportamiento de una solución real. En la sección siguiente se verá cómo se formaliza esto
al introducir las propiedades en cm-so.
La ecuación (10.26) caracteriza el comportamiento de una especie constituyente de una mezcla de gases ideales:
I?.@t =G,? + RTlnx.z
(10.26)
Esta ecuación adquiere una nueva dimensión si se remplaza Gyi, la energía de
Gibbs de las especies puras i en el estado de gas ideal, por Gi, la energía de Gibbs
de las especies puras i como realmente existen en la mezcla a T y P y en el mismo
estado físico (gas, líquido o sólido real) que el de la mezcla. Entonces se puede
aplicar a las especies en soluciones reales, tanto líquidas como sólidas, así como
gases. Por consiguiente, se define una solución ideal como una para la cual
C;” =Gi + RTlnx<
(10.76)
donde el superíndice id denota una propiedad de solución ideal.
7bdas las otras propiedades termodinámicas para una solución ideal se obtienen de esta ecuación. Así, cuando se diferencia la ecuación (10.76) con respecto
a la temperatura a presión y composición constantes y combinamos con la ecuación
(10.18) escrita para una solución ideal, se obtiene
399
10.8 La solución ideal
De acuerdo con la ecuación (10.4), (&‘JdT)p
vierte en
es simplemente -Si, y ésta se con-
(Sp.
(10.77)
De modo similar, como resultado de la ecuación (10.19),
y por la ecuación (10.5)
pq
Dado que HF = Giti + TgF,
producen
(10.78)
lassustitucionesporlasecuaciones (10.76) y (10.77)
Hy = Gi + RTlnxi + TSi-RTlnxi
0
1~~
=H,I
(10.79)
La relación de adicionabilidad, ecuación (10. ll), aplicada al caso especial de
una solución ideal, se escribe
La aplicación a las ecuaciones (10.76) a (10.79) da
(10.80)
(10.81)
(10.82)
(10.83)
CAPfTULO 10. Temodinámica de soluciones: teoría
400
De la ecuación (10.76) se obtiene una sencilla ecuación para la fugacidad de
una especie en una solución ideal. Escrita para el caso especial de las especies i
en una solución ideal, la ecuación (10.42) se convierte en
Cuando ésta y la ecuación (10.30) se combinan con la ecuación (10.76), se elimina
ri( 7’) y la expresión resultante se reduce a
Esta ecuación, que se conoce como la regla de Lewis/Randall, se aplica a cada
especie en una solución ideal a todas las condiciones de temperatura, presión y
composición. Además, muestra que la fugacidad de cada especie en una solución
ideal es proporcional a su fracción mol; la constante de proporcionalidad es la
fugacidad de la especie i pura en el mismo estado físico que la solución y a las
mismas T y P. La división de ambos lados de la ecuación (10.84) por Pxi y la
sustitución de Jiti por ?/xip [ecuación (10.47)] y de & porfi/P [ecuación (10.32)]
da una forma alterna:
Así, el coeficiente de fugacidad de la especie i en una solución ideal es igual al
coeficiente de fugacidad de la especie i pura en el mismo estado físico que la solución y a las mismas T y P.
El comportamiento de la solución ideal es con frecuencia aproximado al de
las soluciones que comprenden moléculas no muy diferentes en tamaño y de la
misma naturaleza química. Así, una mezcla de isómeros, por ejemplo orto-, meta- y
para-xileno, se conforma de manera parecida al comportamiento de una solución
ideal. Así también las mezclas de miembros adyacentes de series homólogas, como
por ejemplo n-hexanoln-heptano, etanol/propanol y benceno/tolueno. Otros ejemplos son acetonajacetonitrilo
y acetonitrilo/nitrometano.
10.9 Propiedades en exceso
La energía residual de Gibbs y el coeficiente de fugacidad están relacionados directamente con los datos PVT experimentales según las ecuaciones (6.44), (10.34) y
(10.60). Donde esos datos pueden ser correlacionados adecuadamente mediante
ecuaciones de estado, las propiedades residuales proporcionan ventajosamente información de las propiedades termodinámicas. En efecto, si fuera posible el tratamiento conveniente de todos los fluidos por medio de ecuaciones de estado, las
relaciones de las propiedades termodinámicas ya presentadas podrían ser suficientes. No obstante, las soluciones liquidas se tratan preferentemente mediante
las propiedades que miden sus desviaciones, no desde el comportamiento de un gas
10.9 pi-opiedades
en exceso
401
ideal, sino del comportamiento de una solución ideal. Así, el formalismo matemático de las propiedades en exceso es análogo al de las propiedades residuales.
Si M representa el valor molar (o de la masa unitaria) de cualquier propiedad
termodinámica extensiva (por ejemplo, y U, H, 8, G, etc.), entonces una propiedad en exceso ME se define como la diferencia entre el valor real de la propiedad de
una solución y el valor que tendría como solución ideal a la misma temperatura,
presión y composición. Así,
MEGM-.@d
(10.86)
Esta definición es análoga a la definición de una propiedad residual, dada por la
ecuación (6.39). Sin embargo, las propiedades en exceso no tienen significado alguno para las especies puras, mientras que las propiedades residuales existen tanto para especies puras como para mezclas. Además, se tiene una ecuación análoga
a la (10.49), esto es, la relación de propiedad parcial,
en donde ME es una propiedad parcial en exceso. La relación fundamental de la
propiedad en exceso se deriva exactamente de la misma forma que la relación fundamental de la propiedad residual y lleva a resultados análogos. La ecuación (lOJO),
escrita para el caso especial de una solución ideal, se resta de la ecuación (10.50)
misma, dando
(10.88)
Ésta es la relaciónfindamenta2 de la propiedad en exceso, análoga a la ecuación
(10.51), la relación fundamental para la propiedad residual.
La energía de Gibbs en exceso es de interés particular. La ecuación (10.42) se
puede escribir como
¿?, = ri(T) + RT In i
De acuerdo con la ecuación (10.84) para una solución ideal, se convierte en
t?jF = Ti(T) + RT In zif
Por diferencia,
La diferencia a la izquierda es la energía parcial de Gibbs en exceso, G,“; la relación adimensional f</xJi que aparece al lado derecho se denomina coejiciente de
activida,d de la especie i en solución, y se le da el símbolo yi. Así, por definición,
CAPÍTULO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
402
(10.89)
Y
mG,E
(10.90)
La comparacjón con la ecuación (10.46) muestra que la ecuación ($0.90) relaciona a yi con GiE exactamente como la ecuación (10.46) relaciona a C#J; con aiR. Para
una solución ideal, GiE = 0 y, en consecuencia, yi = 1.
Al introducir el coeficiente de actividad a través de la ecuación (10.90), se
obtiene una forma alterna de la ecuación (10.88):
De nuevo, la generalidad de estas ecuaciones impide su aplicación práctica
directa. Preferentemente, se utilizan formas restringidas, las cuales se escriben
para su inspección:
VE
RT=
HE
RT=-
[
d(GEIRT)
dP
T
1,
(10.92)
Tz
d(GEIRT)
[
dT
(10.93)
1 P.z
así como
I
I
lv = [ “‘n~~T’]p,T,.,
(10.94)
La última relación demuestra que In yi es una propiedad parcial con respecto a GE/
RT. Las análogas de las ecuaciones (10.92) y (10.93) para propiedades parciales
son:
(10.95)
Y
403
10.9 Propiedades en exceso
H<E
p.z = RT2
(10.96)
Como lnyi es una propiedad parcial con respecto a GEIRT, se pueden escribir
las formas siguientes de las ecuaciones de adicionabilidad y de Gibbs/Duhem:
pi
(10.97)
Y
ICsidlnyi=O (
(T y P constantes)
(10.98)
Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones (10.53) a la (10.59). Mientras la
relación fundamental de las propiedades residuales deriva su utilidad a partir de
su relación directa con los datos PVT experimentales y las ecuaciones de estado, la
formulación de la propiedad en exceso es útil debido a que VE, HE y 3/i son todas
ellas accesibles experimentalmente. Los coeficientes de actividad se encuentran a
partir de los datos del equilibrio vaporkquido, y los valores de VE y HE provienen
de experimentos de mezclado, tópicos que se tratan en el capítulo siguiente.
Las ecuaciones (10.92) y (10.93) permiten el cálculo directo de los efectos de
la presión y la temperatura sobre la energía de Gibbs en exceso. Por ejemplo, una
mezcla equimolar de benceno y ciclohexano a 25°C y 1 bar tiene un volumen en
exceso de aproximadamente 0.65 cm3 mal-’ y una entalpía en exceso de aproximadamente 800 J mal-l. Así, en estas condiciones,
= 2.62 X 10p5 bar-’
Y
- 800
= (8.314)(298.15)2
= -1.08, x 1O-3 K-l
La observación más interesante acerca de estos resultados es que SC requiere un
cambio de presión de más de 40 bar para tener un efecto sobre la energía de Gjbbs
en exceso, equivalente al ocasionado por un cambio en la temperatura de 1 K. Esta
es la razón por la cual para los líquidos a presiones bajas el efecto de la presión
sobre la energía de Gibbs en exceso (y por consiguiente sobre los coeficientes da
actividad) a menudo no se toma en consideración.
CAF’fl7JZO 10.
404
Termodinámica de soluciones: teoría
Como la relación de propiedad fundamental de la ecuación (10.50) proporciona una información completa de una propiedad a partir de la ecuación de estado canónica que expresa GfRT como una función de T, P y la composición, así la
relación fundamental de propiedad residual, ecuación (10.51) o (10.52), proporcionan información completa de la propiedad residual a partir de una ecuación de
estado PVT, de los datos PVT o de las correlaciones PVT generalizadas. Sin embargo, para una información completa de la propiedad, se necesita la adición, a los
datos PVT, de las capacidades caloríficas de estado gaseoso ideal de las especies
comprendidas en el sistema.
Dada una ecuación para GEIRT como una función de sus variables canónicas, T, P y composición, la relación fundamental de propiedad en exceso, ecuación
(10.88) o (10.91), proporciona información completa de la propiedad enexceso. No
obstante, esta formulación representa una información sobre la propiedad en exceso menos completa que la formulación de propiedad residual, porque no dice nada
acerca de las propiedades de las especies químicas puras const,ituyentes.
10.10
Enlace de hidrógeno y complejación por transferencia de carga
El potencial intermolecular está dominado en las pequefias separaciones por las
repulsiones y en las grandes separaciones por atracciones que varían aproximadamente como rw6 (sección 3.8). Estas interacciones se den0mina.n “físicas” porque
sus orígenes se explican sobre la suposición de que las especies que interactúan
conservan sus identidades. Para algunos sist,emas, operan primariamente en separaciones intermedias otra clase de interacciones llamadas “cuasiquímicas”
por ejemplo, a T x ro (véase la figura 3.17). Como el nombre lo sugiere, las fuerzas
cuasiquímicas se manifiestan como fuertes interacciones de atracción en las cuales
las especies que participa.n se combinan para formar nuevas entidades químicas.
Abajo se describen dos clases importantes de interacciones cuasiquímicas: el enlace de hidrógeno y la complejación por transferencia de carga.
Para una explicación del enlace de hidrógeno, es indispensable el concepto de
electronegatividad. De acuerdo con la teoría de enlace de valencia, los átomos que
se combinan para formar una molécula comparten electrones. Si los átomos enlazados son idénticos (por ejemplo, los átomos de Ci en una molécula de Clz), los
electrones enlazantes son compartidos igualment,e
entre los átomos. Sin embargo,
‘Jhbla 10.1:
methlicos.
Electronegatividad de Pauling xp para algunos elementos no
Elemento
XP
Elemento
XP
E
N
Cl
Br
4.0 3.5
3.0
3.0
2.8
C1
S
Se
H
2.5 2.5
2.5
2.4
2.1
10.10
Enlace de hidrógeno y complejación por transferencia de carga
405
si los átomos son diferentes (por ejemplo, los átomos de H y Cl del HCl), los electrones compartidos son atraídos generalmente más fuertemente por uno de los
átomos (el Cl en el caso del HCl), y este átomo se dice que es más elechvnegativo
que el otro. Así, la electronegatividad es una medida de la capacidad relatñva de un
átomo en una molécula para atraer electrones hacia él.
La noción de electronegatividad fue introducida en 1932 por Pauling,” .el
primero de varios en proponer una escala cuantitativa para su expresión. Basada
en gran parte sobre datos termoquímicos, la electronegatividad de Pauling xp supone valores entre aproximadamente 0.7 y 4.0 para aquellos elementos que se sabe
participan en la formación de compuestos. Los elementos metálicos tiene-n valores
menores que 2.0, aproximadamente; los no metales, valores aproximadamente
mayores que 2.0. En la tabla 10.1 se presentan las electronegatividades de Pauling
para diez elementos no metálicos. De éstos, el flúor es el más electronegativo (xp
= 4.0) y el hidrógeno el menos electronegativo (xp = 2.1).
Un enlace de hidrógeno intermolecular se forma entre una molécula donadora
de hidrógeno (se representa convencionalmente como A-H) y un sitio receptor rico
en electrones (identificado convencionalmente por la letra B). La entidad A es un
átomo (posiblemente unido a otros átomos), el cual es más electronegativo que el
hidrógeno. El sitio B receptor de hidrógeno puede ser un átomo más electronegativo
que el hidrógeno; el sitio puede ser también un enlace doble o triple, o puede ser un
anillo hidrocarbonado aromático. El complejo que tiene un enlace de hidrógeno se
representa convencionalmente como A-H . . . B, en donde los tres puntos indican el
enlace de hidrógeno.
Entre los ejemplos de fuertes donadores de hidrógeno se incluyen el fluoruro
de hidrógeno (HF), el agua (HOH) , el peróxido de hidrógeno (HOOH) , los alcoholes (ROH), los ácidos carboxílicos (RCOOH), el amoniaco (HzNH), las aminas
primarias (RNHs) y las aminas secundarias (F&HN).
En cada una de estas moléculas, uno o más átomos de hidrógeno están unidos a un átomo de un elemento
altamente electronegativo (F, 0 o N; véase la tabla 10.1). Los ácidos halogenados,
HCl, HBr y HI, también son donadores de hidrógeno, como lo son.algunas pocas
especies que contienen el enlace C-H. Sin embargo, la diferencia en electronegatividad entre el carbono y el hidrógeno no es grande (tabla lO.l), y la capacidad
del H en C-H para actuar como donador de hidrógeno parece posible sólo cuando
el átomo mismo de carbono está unido a átomos altamente electronegativos o a
sitios ricos en electrones. Ejemplos verificados de donadores C-H de hidrógeno
incluyen el cloroformo (ClaCH), diclorometano (Cl&Hs) y cianuro de hidrógeno (NCH).
Los elementos altamente electronegativos F 0 y N, sirven como sitios atómicos receptores de hidrógeno. Por tanto, HF HOH, HOOH, ROH, RCOOH, HsNH,
RsNH y NCH son receptores de hidrógeno. Pero también lo son los aldehídos
(ROCH), las cetonas (ROCR), los éteres (ROR)), los ésteres (ROCOR) y las aminas
terciarias (RaN), especies que no tienen hidrógenos activos.
El fenómeno del enlace de hidrógeno se puede racionalizar fácilmente. El H
en una especie donadora A-H es deficiente en electrones debido a la mayor
“Linus Pauling (1901-1944), químicc americano laureado dos veces con el Premio Nobel.
406
CAPÍTULO 10. Temodinámica de soluciones: teoría
!&bla 10.2: Interacciones de enlaces de hidrógeno entre pares de especies (D
= donadora de H no asociatiw, 3l= receptora de H no asociativa; AD = especie asociativa)
231)
m)
Am)
No enlace de H
!q2) . . . A( 1)
D(2) . . . AD( 1)
xql) . . A!ql)
D(l) . . A(2)
No enlace de H
AB(l) . . A(2)
AD(l) . RD(1)
ql). . .3w2)
AD(2). . . xq2)
A!D(Z) . . A(l)
Aq2) . A!q2)
A!D(l) . . . AD(2)
SD(a) . . . A!ql)
xql) . . . Rql)
A!D((a) . . . AD(2)
electronegatividad de A. Por ello, el H es atraído al sitio receptor B rico en electrones. Desafortunadamente, este cuadro electrostático tan simple no es capaz de
explicar cuantitativamente algunas características importantes del enlace de hidrógeno. l2 Como resultado, una contribución algebraica generalmente no se puede
adscribir a la función del potencial intermolecular U(r) para las interacciones del
enlace de hidrógeno. A pesar de ello, se pueden indicar, por ejemplo, las clases de
pares intermoleculares para las cuales las interacciones de enlace de hidrógeno son
importantes. La conveniencia sugiere la división de interacciones de enlace de hidrógeno en dos clases: asociación y solvatación.
La asociación es una interacción atractiva entre moléculas de la misma clase.
En el contexto del enlace de hidrógeno, una especie que se asocia debe tener ambos, un hidrógeno activo y un sitio receptor de hidrógeno. Los ejemplos incluyen el
agua (el 0 es un sitio receptor), el amoniaco (con N como sitio receptor), los alcoholes, las aminas primarias y secundarias y los ácidos carboxílicos. El enlace de
hidrógeno por asociación se refleja con frecuencia en forma por demás dramática
en las propiedades (por ejemplo, los puntos de ebullición, los calores de vaporización
y las viscosidades) de las especies puras.
La solvatación es una interacción atractiva entre especies moleculares diferentes. Con respecto al enlace de hidrógeno, la solvatación ocurre entre una especie
que es un donador de hidrógeno y otra que es un receptor de hidrógeno. En la
solvatación “pura”, ninguna de las especies se asocia; un ejemplo es el sistema
acetona/cloroformo, en el cual el cloroformo es (sólo) un donador de hidrógeno y la
acetona (sólo) un receptor de hidrógeno. Sin embargo, la solvatación puede ocurrir
entre dos asociadores (por ejemplo, etanol y agua), entre un asociador y un donador
de hidrógeno (por ejemplo, etanol y cloroformo) y entre un asociador y un receptor
de hidrógeno (por ejemplo, etanol y acetona).
En la tabla 10.2 se sugieren los tipos de interacciones de enlace de hidrógeno
que pueden ocurrir entre moléculas de varias clases. Aquí 21 indica una especie
‘qéase por ejemplo, J. E. Huheey, Inorganic
Nueva York, 1983.
Ckemistq,
3a. ed., pp. 268-272, Harper & Row,
10.11
Comportamiento de las propiedades en exceso de mezclas líquidas
407
donadora de hidrógeno no asociativa (por ejemplo, ClsCH o BraCH), a es una
especie receptora de hidrógeno no asociativa [por ejemplo, (CH&&0 o (CsH&O]
y XD es una especie que se puede asociar por enlaces de hidrógeno [por ejemplo,
CHsOH o (CsH5)sNHl. Las mezclas que contienen dos diferentes especies
asociativas ofrecen una variedad más rica de oportunidades para el enlace de hidrógeno. Por ejemplo, en una mezcla binaria de amoniaco (1) y agua (‘2)) los dímeros
por enlaces de hidrógeno se pueden formar de cuatro maneras, dos por solvatación
y dos por asociación:
H
H
N-H * . -0
H
H
H
HO-H . . * NH
H
H
H
N-H . . * NH
H
H
H
HO-H * * . 0
H
Existe una evidencia experimental indudable para las interacciones
cuasiquímicas entre ciertos compuestos polares no donadores de hidrógeno (por
ejemplo, la piridina, las cetonas y los aldehídos) y los hidrocarburos aromáticos
(por ejemplo, el benceno). En estos casos, los compuestos polares no tienen hidrógenos activos y, por tanto, la interacción no puede ser enlace de hidrógeno. A pesar
de ello, parece formarse un complejo. Mulliken13 dio el nombre decomplejo
donadorreceptor de electrón a éstas y a otras entidades; más comúnmente reciben el nombre
de complejos de transferencia de carga. La explicación apropiada de la complejación
por transferencia de carga requiere el uso de conceptos de la teoría de orbitales
moleculares, lo cual sería imposible de desarrollar aquí. Adicionalmente, debido a
la aparente casi ubicuidad del fenómeno de transferencia de carga y a las fuerzas
ampliamente variables de las interacciones, con frecuencia es difícil predecir el
momento en el que sus contribuciones a las fuerzas intermoleculares serán significativas. Mulliken y Person (loe. cit.) ofrecen una guía, pero la mayor parte de los
ingenieros deben considerar la complejación por transferencia de carga como una
explicación auxiliar, más que como un ejercicio de predicción. Su papel es más
claro para las clases de sistemas que se mencionaron al principio de este párrafo.
10.11
Comportamiento de las propiedades en exceso de mezclas líquidas
Las peculiaridades del comportamiento de la mezcla líquida son reveladas más
dramáticamente en las propiedades en exceso. Aquellas de interés primario son GE (o
GE/RT) junto con HE y SE, las cuales están relacionadas con la derivada de GE con
respecto a la temperatura. Como se sugiere en la sección 10.9, las propiedades
líquidas a temperaturas normales no son influidas radicalmente por la presión.
13R S. Mulliken y W B. Person, Molecular Complexa: A Lech-e and Reprint
Interscience, Nueva York, 1969.
Volume, Wiley-
.._-
408
CAPfTVLO
.^--.~“‘v~ -4-m. T-a”z~
í---T
10. Termodinámica
de
soluciones:
teoría
0
3 500
fi
3
HE
7
0
Ei
TSE
-1”ooo
GE
TSE
GE
c
HE
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0
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GE
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~
0
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1
4
0
- 500
0
TSE
21
4
1
c
0
E
c,
0
-1000
HE
TSE
H
9
x1
i
f)
Figura 10.5: Propiedades en exceso a 50°C para seis sistemas líquidos binarios:
a) cloroformo( lYwheptano(2); b) acetona( l)/metanol(2); e) acetona( l)/eloroformo(2);
d) etanol(l)/wheptano(2); e) etanol(l)/cloroformo(2);f) etanol(l)/agua(2).
La energía de Gibbs en exceso se desprende de experimentos a través de la
reducción de datos de equilibrio vaporllíquido, y HE se determina por experimentos de mezclado (véase el capítulo ll.). La entropía en exceso no se mide direct,amente, sino que se encuentra a partir de la ecuación general
GE =HE-TfjE
(10.99)
la cual proviene de las ecuaciones (6.3) y (10.86), de la definición de G y de la
definición de una propiedad en exceso.
En la figura 10.5 se ilustra la dependencia de la composición de GE, HE y
TSE para seis mezclas líquidas binarias a 50°C y a una presión aproximada a la
atmosférica. Por consistencia con la ecuación (10.99), se traza una gráfica del
producto TSE, más que de la SE misma. Aunque los sistemas exhiben una diversidad de comportamiento, se deben notar las características comunes siguientes:
1. Todas las propiedades en exceso se convierten en cero a medida que las especies se aproximan a la pureza.
2. Aunque GE contra x1 es de forma aproximadamente parabólica, ambas HE y
TSE presentan dependencias individualistas de la composición.
3. Cuando una propiedad en exceso ME tiene un solo signo (como lo hace GE en
los seis casos), el valor extremo de ME (máximo o mínimo) se da con frecuencia cerca de la composición equimolar.
10.11
Comportamiento de las propiedades en exceso de mezclas líquidas
409
La característica 1 es una consecuencia de la definición, ecuación (10.86); a medida que cualquier x1 se aproxime a la unidad, M y i@ se aproximan ambas a Mi, la
propiedad correspondiente de i pura. Las características 2 y 3 son generalizaciones que se basan en la observación y, por tanto, admiten excepciones (por ejemplo,
nótese el comportamiento de HE para el sistema etanol/agua).
Como se sugiere en la figura 10.5, las principales propiedades en exceso (GE,
HE y SE) pueden exhibir una diversidad de combinaciones de signos. Los signos y
las magnitudes relativas de estas cantidades son útiles para los propósitos cualitativos de la ingeniería, así como para dilucidar los fenómenos moleculares que son
la base del comportamiento observado de la solución. Abbott et a1.14 han organizado datos de GEIHEISE para aproximadamente 400 mezclas líquidas binarias en un
esquema visual que permite la identificación de patrones, tendencias y normas de
comportamiento con respecto al tipo de mezcla. A continuación, se describe la base
del esquema y se presentan algunas pocas generalizaciones importantes que surgen del examen de datos representativos.
Las propiedades en exceso para las mezclas líquidas dependen principalmente de la temperatura y la composición y, por consiguiente, la comparación de datos
para mezclas diferentes se hace mejor a T yxfijas. Dado que muchos datos de ME
se obtienen a temperaturas cercanas a la ambiente, se escoge la T a 298.15 K
(25°C). Como antes se anotó, los valores extremos de ME ocurren con frecuencia
cerca de la composición equimolar; por ello se fija $1 = x2 = 0.5.
La división de la ecuación ( 10.9 9) por RT la pone en una forma adimensional:
GE _--HE
SE
RT-RT
R
(10.100)
Las seis combinaciones posibles de signo para las tres propiedades en exceso se
enumeran en la ta.bla 10.3. Cada combinación define una región en el diagrama de
GE/RT contra HEIRT que se muestra en forma de bosquejo como la figura 10.6.
Qbla 10.3:
Definición de regiones en el diagrama de @/RT contra HE/RT.
Región
Signo GE
1
II
III
Iv
v
VI
+
+
+
-
Signo HE Signo SE
+
+
+
+
+
+
14M. M. Abbott, J. P O’Connell y ‘lkventy Rensselaer Students, Ckm. Eng. Educ., vol. 28, pp. 1%
23 y 77,1994.
410
CAPÍTULO 10. Temodinámica de soluciones: teoría
GE
iz
SE
-=
R
II
III
Domina la
entropía
/
’
1
Domina la
entalpía
/
VI
Domina la
entropía
F’igura 10.6:
Diagrama de GE/RT contra HE/RT
en forma de bosquejo.
A lo largo de la línea diagonal en la figura 10.6, SE = 0. En las regiones a la
derecha de la diagonal (V, VI y 1)) SE es positiva; para las regiones a la izquierda de
la diagonal (II, III y IV), SE es negativa. Las líneas SE de no cero constante son
paralelas a la diagonal.
Al modelar y racionalizar el comportamiento de GE es conveniente poder enfocar la atención sobre las contribuciones entálpicm (energéticas) y entrópicas,
una separación sugerida en las ecuaciones (10.99) y (10.100). De acuerdo con
estas ecuaciones, GE puede ser positiva o negativa si HE y SE tienen el mismo
signo. Si HE y SE son positivas y si GE también es positiva, entonces HE > TSE y
“domina la entalpía”, si HE y SE son positivas y GE es negativa, entonces TSE >
HE y “domina la entropía”. Se aplican razonamientos similares cuando ambas HE
y SE son negativas, llevando a la identificación de las regiones 1 y IV sobre el
diagrama de GEIRT contra HEIRT como regiones de dominio de la entalpia, y
de las regiones III y VI como regiones de dominio de la entropia. Las nociones de
dominio de la entalpía y de entropía pueden servir de ayuda para la explicación
de los orígenes moleculares del comportamiento observado en las propiedades de la
mezcla.
Abbott et al. clasifican las mezclas binarias orgánicas y acuosas/orgánicas
mediante un esquema simple basado en los conceptos de enlaces de hidrógeno (véase
la sección 10.10). Una especie pura se coloca en la categoría de no polar (“NP”,
por ejemplo, el benceno, el tetraclornro de carbono o el n-heptano); polar pero no
asociativa (“NA?‘, por ejemplo, acetona, cloroformo o éter dietílico); o bien polar y
10. ll
Comportamiento de las propiedades en exceso de mezclas líquidas
411
CE
RT
III
VI
Figura 10.7: Propiedades en exceso equimolares para 135 mezclas binarias a 298.15 K.
Leyenda: 0 mezclas NP/NP, 0 mezclas NA/NP; mezclas A AS/NP; las mezclas A AS/
NA y ASIA& 0 mezclas de solvatación NA/NA.
asociativa (“AS”, por ejemplo, ácido acético, etanol o agua). Con estas categorías
de las especies puras, existen entonces seis tipos de mezclas binarias: NP/NP (por
ejemplo, bencenoln-heptano, figura 10.5d), NA/NA (por ejemplo, acetona/cloroformo, figura 10.5c), AS/NA (por ejemplo, etanolkloroformo, figura 10.5e) y AS/
AS (por ejemplo, etanol/agua, figura 10.5f).
La figura 10.7 es una gráfica de los datos de GEIRT contra HE/RT para 135
mezclas binarias diferentes, a 298 K, con sistemas que se distinguen de acuerdo
con el esquema de clasificación NP/NA/AS. Por claridad, se omiten los datos para
los cuales las tres principales propiedades en exceso son muy pequeñas. A primera
vista la figura parece caótica, pero al estudiarla emergen patrones importantes. Se
enlistan primero algunos pocos; cuando se dan estadísticas, se aplican al conjunto
completo de datos analizados por Abbott et al.
1. Aproximadamente el 85% de todas las mezclas exhiben GE positiva o HE
positiva (regiones 1, II, III y VI); aproximadamente 73% tienen GE positiva
y HE positiva (regiones 1 y II). Así, las @ y HE positivas son las “normas”.
2. Aproximadamente 60% de toda las mezclas caen en las regiones 1 y Iv; con
sólo alrededor de 15% en las regiones III y VI. Así, es más probable que la
412
CAPÍTiXO
10.
Termodinámica
de
soluciones:
teoría
entalpía sea la que domine, más que la entropía, el comportamiento de la
solución.
3. Las mezclas NP/NP (los círculos abiertos en la figura 10.7) tienden a concentrarse en las regiones 1 y VI. Para tales mezclas, HE y SE son normalmente positivas. Cuando GE es positiva (dominio de la entalpía), GE/RT raramente excede a 0.2. Si GE es negativa (dominio de la entropía), GE/RT raramente es menor de -0.2.
4. Las mezclas NA/NP (los círculos llenos) caen a menudo en la región 1, con
incursiones significativas ocasionales en la región II. Así, GE y HE son positivas, como normalmente es SE. Ambas GE y HE pueden ser grandes.
5. Las mezclas AS/NP (los triángulos abiertos) ocupan invariablemente las regiones 1 o II, con el comportamiento de la región II (SE negativa) favorecido
cuando la especie polar es un asociador muy fuerte, por ejemplo un alcohol o
un ácido carboxílico. En el último caso, GE puede ser extremadamente grande debido a los efectos de las HE positiva y SE negativa [véase la ecuación
(10.99)].
6. Las mezclas que contienen dos especies polares presentan una diversidad de
comportamientos. Posiblemente la clase más fácil para ponerlos en una categoria es la solvatación pura, en la cual una especie es un donador de hidrógeno, no asociativo, y la otra es un receptor de hidrógeno, no asociativo. Aquí, a
menos que una de las especies tenga una polaridad extremadamente elevada
(por ejemplo, el acetonitrilo), el comportamiento de la región IV obtiene: GE,
HE y SE son todas negativas (dominio de la entalpía). Los ejemplos están
representados por los cuadrados abiertos en la figura 10.7. Para 1a.s mezclas
AS/NA y AS/AS (los triángulos llenos en la figura 10.7), se dispone de una
variedad de posibilidades de enlaces de hidrógeno (véase la tabla 10.2), y es
imposible hacer fácilmente algunas generalizaciones. Sin embargo, es de notar que éstos son tipos de mezclas con representación significativa en la región III: aquí, ambas HE y SE son negativas, pero domina la entropía..
PROBLEMAS
10.1. BCuál es el cambio en la entropía cuando 0.7 m3 de COZ y 0.3 m3 de N2, cada uno a
1 bar y 25”C, se combinan para formar una mezcla gaseosa homogénea en las mismas condiciones? Considérelos gases ideales.
10.2. Un recipiente, dividido en dos partes mediante una separación, contiene 4 moles de
gas nitrógeno a 75°C y 30 bar de un lado y 2.5 moles de gas argón a 130°C y 20 bar
en el otro. Si se elimina la separación y los gases se mezclan adiabática y completamente, &cuál es el cambio en la entropía? Considere al nitrógeno un gas ideal con CV
= (572)R y al argón un gas ideal con CV = (3/2)R.
10.3. Una corriente de nitrógeno que fluye a la velocidad de 2 kg s-’ y otra corriente de
hidrógeno gue fluye a la velocidad de 0.5 kg ss1 se mezclan adiabáticamentc en un
413
Problemas
proceso de flujo uniforme. Si se considera que los gases son ideales, &cuál es la velocidad de aumento de la entropía como resultado del proceso?
10.4. Demuestre que la “masa molar parcial” de una especie en solución es igual a su masa
molar (peso molecular).
10.5. Demuestre que una propiedadespec@ca
parcial de una especie en solución se obtiene
por división de la propiedadmolar parcial entre la masa molar (peso molecular) de la
especie.
10.6. Si la densidad molar de una mezcla binaria está dada por la expresión empírica
p = ao + apJ1 + a2z;
encuentre las expresiones correspondientes para VI y fZ.
10.7. A partir de los datos siguientes del factor de compresibilidad para COs a 15O”C,
prepare gráficas de la fugacidad y el coeficiente de fugacidad del CO;? contra P para
presiones hasta de 500 bar. Compare las curvas que resultan con las encontradas a
partir de la correlación generalizada que se representa por la ecuación ( 10.64).
P/bar
z
Pibar
z
10
0.985
100
0.869
20
0.970
200
0.765
40
0.942
300
0.762
60
0.913
400
0.824
80
0.885
500
0.910
10.8. Para SO2 a 600 K y 300 bar, determine una buena estimación de la fugacidad y de
GR/RT.
10.9. Estime la fugacidad del isobutileno como un gas:
o) A 280°C y 20 bar.
b)
A 280°C y 100 bar.
10.10. Estime la fugacidad del ciclopentano a 110°C y 275 bar. A llO”C, la presión de vapor
del ciclopentano es 5.267 bar.
10.11. Estime la fugacidad del l-buteno líquido a 120°C y 34 bar. A 120°C la presión del
vapor del l-buteno es 25.83 bar.
10.12. A partir de los datos en las tablas de vapor, determine una buena estimación dejrsa’
para agua líquida a 150°C y 150 bar, donde f sat es la fugacidad del líquido saturado
a 150°C.
10.13. El vapor de agua a 9 000 kPa y 400°C experimenta un cambio isotérmico de estado
hasta una presión de 300 kPa. Determine la relación de la fugacidad entre el estado final y el estado inicial.
CAPfl’ULO 10. Termodinámica de soluciones: teoría
414
10.14. El vapor de agua a 1000 (psia) y 800 (“F) experimenta un cambio isotérmico de estado hasta una presión de 50 (psia). Determine la relación de la fugacidad entre el
estado final y el estado inicial.
10.15. Estime la fugacidad deln-pentano líquido a la temperatura de su punto de ebullición
normal y 200 bar.
10.16. Estime la fugacidad del isobutileno líquido a la temperatura de su punto de ebullición
normal y 300 bar.
10.17. Estime la fugacidad del l-buteno líquido a la temperatura de su punto de ebullición
normal y 150 bar.
10.18. Prepare gráficas de f contra P y de 4 contra P para el cloroformo a 2OO”C, para el
intervalo de presión de 0 a 40 bar. A 2OO”C, la presión de vapor del cloroformo es
22.27 bar. Suponga que la ecuación (10.64) es válida para la fase de vapor y que el
volumen molar del líquido saturado se da mediante la ecuación (3.52).
10.19. Prepare gráficas de f contra P y de 4 contra P para el isobutano a 4O”C, para el
intervalo de presión de 0 a 10 bar. A 40°C la presión de vapor del isobutano es 5.28
bar. Suponga que la ecuación (10.64) es válida para la fase de vapor y que el volumen
molar del líquido saturado está dado por la ecuación (3.52).
10.20. La humedad, relativa a la cantidad de humedad en el aire atmosférico, está dada por
ecuaciones derivadas de la ley del gas ideal.
a)
La humedad absoluta Hse define como la masa de vapor de agua en una unidad
de masa de aire seco. Demuestre que está dada por
en donde Mrepresenta
una masa molar ypnso es la presión parcial del vapor de
a w % 0 sea, pH20 = YH@.
b)
La humedad de saturación fiat se define como el valor de H cuando el aire está
en equilibrio con un gran cuerpo de agua pura. Demuestre que está dada por
en donde PC; es la presión de vapor del agua a la temperatura ambiente.
c)
El porcentaje de humedad se define como la relación entre Yfy su valor de
saturación, expresada como un porcentaje. Por otro lado, la humedad relativa se
define como la relación entre la presión parcial del vapor de agua en aire y su
presión de vapor, expresada como un porcentaje. iCuál es la relación entre estas
dos cantidades?
10.21. Para una solución líquida binaria en particular, a T y P constantes, las entalpías
molares de mezclas se representan por la ecuación
Roblemas
415
en donde CL~ y bi son constantes. Dado que la ecuación tiene la forma de la ecuación
(lO.ll), puede ser que
H, = al + blzl
H, = a2 + 2~~2
Y
Derive expresiones para H, y H, y demuestre si esto es válido.
10.22. Suponga que la ecuación siguiente es válida para una solución líquida binaria a T y P
constantes:
en donde A y B son constantes para una T y una P dadas. Como la ecuación tiene la
forma de la ecuación (10.97), puede ser que
y1 = 1
x, + x2A
Y
-Y2=
l
x2 + x,B
Derive las expresiones para 71 y ys demostrando si esto es cierto.
10.23. Se han reportado las expresiones siguientes para los coefícientes
de actividad dc las
especies 1 y 2 en una mezcla líquida binaria a T y P dadas:
In-y, = xi (0.273 + 0.096x1)
lnys = Z: (0.273 -0.096x2)
a)
Determine la expresión implicada para GE/RT.
b)
Genere expresiones para lnyl y lnys a partir del resultado de a).
c)
Compare los resultados de b) con las expresiones reportadas para lnyr y lnyz.
Explique cualquier discrepancia. BES posible que sean correctas las cxprcsioncs
reportadas?
10.24. Para el sistema etileno (l)/propileno (2) como un gas, estime m, .i, 4, y & a t =
15O”C, P = 30 bar y y1 = 0.35:
a)
Por medio de la aplicación de las ecuaciones (10.67) y (10.68).
b)
Suponiendo que la mezcla es una solución ideal.
10.25. Qn-aAel sistema metano (l)/etano (2)/propano (3), como .un gas, estime ,i, .tA, ji,
$,, 4, y 4, a t = lOO”C, P = 35 bar, y1 = 0.21 y ys = 0.43:
a)
Aplicando la ecuación (10.69).
b)
Suponiendo que la mezcla es una solución ideal.
10.26. Con referencia al ejemplo 10.4,
a)
Aplique la ecuación (10.7) a la ecuación (A) para vcrifícar las ecuaciones (B) y
(Ch
CAPfTUL.0
416
10. Termodinámica de soluciones: teol-ía
7))
Demuestre que las ecuaciones (B) y (C) , cuando se combinan de acuerdo con la
ecuación (10. ll), regeneran a la ecuación (A) .
C)
Demuestre que las ecuaciones (B) y (C) satisfacen la ecuación ( 10.14), conocida
como ecuación de Gibbs/Duhem.
4
Demuestre que a T y P constantes,
(dH,/dxl),, = 1 = (dH,/dh),, = o = 0
el
Con los valores para H, H, y H, , calculados a partir de las ecuaciones (A) , (B)
y (C) trace una gráfica contra x1. Marque los puntos HI, Hz, H,” y H,” y
demuestre sus valores.
10.27. El volumen molar ( cm3 mal-‘) de una mezcla líquida binaria a T y P está dada por
v = 120x1
+ 70x2 + (1521 + &2)21X2
Para la T y P dadas,
al Encuentre expresiones para los volúmenes molares parciales de las especies 1 y
2.
b)
Demuestre que cuando estas expresiones se combinan de acuerdo con la ecuación
( 10. ll), se recupera la ecuación dada para V.
C)
Demuestre que estas expresiones satisfacen la ecuación (10.14),
Gibbs/Duhem.
la ecuación de
4 Demuestre que (d~/dz&, = 1 = (dV&h&, = 0 = 0.
el ‘IYace una gráfica contra x1 con los valores de V, c y E calculados a partir de
la ecuación dada para Vy por las ecuaciones desarrolladas en a). Identifique los
puntos VI, Vz, Vi- y vZm, y demuestre sus valores.
10.28. La energía de Gibbs en exceso de una mezcla líquida binaria a T y P está dada por
GE/RT = (-2.6x1- 1.8x2)x1x2
Para T y P dadas,
a)
Encuentre expresiones para In y1 y para In -yz.
b)
Demuestre que cuando estas expresiones se combinan de acuerdo con la ecuación
(10.97), la ecuación dada para GE/RT se recupera.
c)
Demuestre que estas expresiones satisfacen la ecuación (10.98),
Gibbs/Duhem.
d)
Demuestre que (d lny&k&l = 1 = (d lny&k&, = 0 = 0.
e)
Trace una gráfica contra x1 con los valores de @/RT, lnyl y lny2 calculados a
partir de la ecuación dada para GE/RT y por las ecuaciones desarrolladas en a).
Identifique los puntos In rf y In ~2, y demuestre sus valores.
la ecuación de
10.29. Para una solución ternaria a T y P constantes, la dependencia de la propiedad molar
ATT en función de la composición está dada por
iv = XlMl + x$l!& + x3& + x1x2x!;csc
417
Boblemas
en donde MI, Mz y M3 son los valores de M para las especies 1,2 y 3 puras, ys es un
parámetro independiente de la composición. Determine una expresión para M, aplicando la ecuación (10.7).
10.30. Si para una solución binaria se parte de una expresión para M( o MR o ME) comoJna
fu_nciónde 21 J_si se aglican&s ecuaciones (10.15) y (10.16) para encontrar M, y
M, (o MF y M,” o MF y M,” ) y entonces se combinan de acuerdo con la ecuación
(lO.ll), la expresin inigal para M se regenera. Por otro lado, si se empieza con
expresiones para M, y M, y se combinan de acuerdo con la ecuación (10.11) y se
aplican entonces las_ecuaciones (10.15) y (10.16), se regeneran las expresiones iniciales para M, y M, si y sólo si las expresiones iniciales para estas magnitudes
satisfacen una condición específica. %Cuál es esa condición?
10.31.
Una presión pi de componente puro para la especie i en una mezcla de gases se puede
definir como la presión que ejercería la especie i si ella sola ocupara el volumen de la
mezcla. Así,
en donde yi es la fracción mol de la especie i en la mezcla de gases y Ves el volumen
molar de la mezcla de gases. Note que pi según se ha definido no es una presión
parcial yQ excepto para un gas ideal. La “ley” de Dalton de las presiones aditivas
establece que la presión total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de
las presiones de los componentes puros de las especies que la constituyen: P = Z;pi.
Demuestre que la “ley” de Dalton implica que 2 = & y&, en donde Zi es el
factor de compresibilidad de la especie i pura evaluado a la temperatura de la
mezcla, pero a la presión del componente puro.
b) Demuestre que la “ley” de Dalton implica que Ji = +i, donde +i es el coeficiente
de fugacidad de la especie i pura evaluado a la temperatura de la mezcla, pero a
la presión del componente puro.
C)
QCuál es la consideración de que la “ley” de Dalton es la misma y cuál es diferente de la consideración de una solución ideal?
4 Vuelva a trabajar en el ejemplo 10.8 con la consideración de que la “ley” de
Dalton es aplicable.
el
Vuelva a trabajar en el ejemplo 10.8 con la consideración de que la solución es
una solución ideal.
10.32. Las formas similares de las definiciones de ME y MR sugieren que las propiedades en
exceso y las propiedades residuales deben estar relacionadas en una forma sencilla:
a) Demuestre que
ME = MR- &M;
b)
A partir de este resultado demuestre que
CAPÍTVLO 10. Termodinámica
418
c)
de soluciones: teoría
Aplique esto para la energía de Gibbs, y demuestre que el resultado lleva a
10.33.
La numerología ingenua sugiere que debería haber 23 = 8 combinaciones posibles de
signo para GE, HE y SE. La tabla 10.3 muestra sólo seis. ipPor qué?
10.34.
bQué signos espera observar para GE, HE y SE para soluciones líquidas equimolares
de los pares siguientes de especies a 298 K? Explique sus respuestas.
a)
b)
CI
4
el
f)
9)
h)
AcetonsIciclohexano
Acetonajdiclorometano
Anilina/ciclohexano
Benceno/disulfuro
de carbono
Benceno/n-hexano
Cloroformo/l,4-dioxano
Cloroformo/n-hexano
Etano&-nonano
CAPíTULO 11
TERMODINÁMICA DE
SOLUCIONES: APLICACIONES
Todas las ecuaciones fundamentales y las definiciones necesarias de la termodinámica de soluciones se han dado en el capítulo anterior. En este capítulo, se examinará lo que puede aprenderse a través de la experimentación. Primero, se considerarán las mediciones de datos de equilibrio vaporllíquido (EVL), cuyo uso primario se encuentra en el capítulo siguiente. Segundo, se tratarán experimentos de
mezclado, los cuales proporcionan datos para cambios de propiedades en el mezclado. En particular, las aplicaciones prácticas de los cambios de entalpía en el
mezclado, denominadas calor de mezclado, se presentan en detalle en la sección
11.4.
11.1
Propiedades de fase líquida a partir de datos EVL
Fugacidad
En la figura 11.1 se presenta un vaso en el cual coexisten una mezcla de vapor y
una solución líquida en equilibrio vaporllíquido. La temperatura T y la presión P
son uniformes en todo el vaso y se pueden medir con los instrumentos apropiados.
Se pueden extraer muestras de las fases de vapor y de líquido para su análisis, y
esto proporciona valores experimentales para las fracciones mol en el vapor {yi) y
las fracciohes mol en el líquido {xi}. Para las especies i en la mezcla de vapor, la
ecuación (10.47) se escribe
CAPfl’VLO
420
F’igura
11.1:
11.
Termodinámica
de
soluciones:
aplicaciones
Representación esquemática de EVL.
Para el equilibrio vaporkquido, la ecuación (10.44) requiere que
cada especie. Por consiguiente,
=
para
Pueden calcularse los valores de & con la ecuación (10.60), pero para el EVL a
presión baja (hasta al menos 1 bar), las fases de vapor se aproximan usualmente a
los gases ideales, para los cuales I#J~ = 1. Esta consideración introduce un pequeño
error, y reduce la ecuación precedente a
Así, la fugacidad de las especies i en la fase líquida está dada con una buena aproximación, por la presión parcial de las especies i en la fase de vapor. En el límite, en
donde xi 5 yi = 1, la presión total es igual a la presión de vapor de las especies i
puras, y f,’ = f,” = p,““.
En la tabla 11.1, las tres primeras columnas contienen un conjunto de datos
experimentales de P-XI-yl para el sistema metil etil cetona(l)/tolueno(2) a 50°C.’
Los valores de las fugacidades en la fase líquida se encuentra a partir de
i
=
YlP
Y
sz = Y7P
‘M. Díaz Peña, A. Crespo Colín y A. Compostizo, J. Chmn.
1978.
Thermodyn.,
val. 10, pp. 337-341,
11.1
Propiedades de fase líquida a partir de datos EVL
'Ihbla 11.1:
421
Datos de EVLpara metil etil cetona(l)holueno(2)a 50%
P/kPa
12.3O(p2')
15.51
18.61
21.63
24.01
25.92
27.96
30.12
31.75
34.15
36.09(p,"")
x1
Yl
0.0000
0.0895
0.1981
0.3193
0.4232
0.5119
0.6096
0.7135
0.7934
0.9102
1.0000
0.0000
0.2716
0.4565
0.5934
0.6815
0.7440
0.8050
0.8639
0.9048
0.9590
1.0000
=Ylp
i
0.000
4.212
8.496
12.835
16.363
19.284
22.508
26.021
28.727
32.750
36.090
x
=y2p
12.300
ll.298
10.114
8.795
7.697
6.636
5.542
4.099
3.023
1.400
0.000
n
1.304
1.188
1.114
1.071
1.044
1.023
1.010
1.003
0.997
1.000
Y2
1.000
1.009
1.026
1.050
1.078
1.105
1.135
1.163
1.189
1.268
en donde se ha eliminado el superíndice 1 por simplicidad. Estos valores se muestran en las columnas 4 y 5 de la tabla 11.1, y con ellos se ha trazado la gráfica de
la figura ll.2 en forma de líneas continuas. Las líneas rect,as punteadas representan la ecuación ( 10.84), la regla de Lewis/Randall,
que expresa la dependencia con
respecto a la composición de las fugacidades de los constituyentes de una solución
ideal:
~ = Xifi
(10.84)
La figura 11.2, derivada a partir de un conjunto específico de datos, ilustra
las características generales de las relaciones de fi y f, contra x1 para una solución líquida binaria a T coFsta$e. Aunque P en el equilibrio varía con la composición, su influencia sobre fi y fi es despreciable y una gráfica a T y P constantes
se vería ipal. Así, en la figura ll.3 puede verse un diagrama esquemático de la
relación fi contra xi para las especies i(i = 1,2) en una solución binaria a T y P
constantes.
Coeficiente cfe acfividad
La línea punteada inferior en la figura 11.3 representa de nuevo la regla de Lewis/
Randall, característica del comportamiento de una solución ideal. Además, proporciona el modelo más sencillo posible para la dependencia de fi , con respecto a
la composición, representando un estándar con el cual se puede comparar el comportamiento real. En realidad, el coeficiente de actividad formaliza esta comparación:
CAPh’ULO
422
11.
Termodinámica
de
soluciones:
aplicaciones
0
21
Figura
11.2:
figacidades para metil etil cetona( l)/tolueno(2)
punteada representa la regla de Lewis/Randall.
a 50°C. La línea
Así, el coeficiente de actividad de una especie en solución es simplemente la relación de su fugacidad real con el valor dad0 por la regla de Lewis/Randal~, a las
mismas T, P y composición. Para fines de cálculo sustituimos para ambas fi y 2
y así, obtener
3/i
-
Yip
xifi
=
Yip
xi Pist
(i = 1,2, . . . >hq
(11.1)
Esta simple ecuación es adecuada para los actuales propósitos, permitiendo calcular fácilmente los coeficientes de actividad a partir de datos experimentales de
EVL a presión baja. Los valores encontrados por esta ecuación se dan en las dos
últimas columnas de la tabla 11.1.
En la figura ll .3 se observa que la línea sólida que representa la dependencia
de la composición real de fi se convierte en una tangente a la línea de Lewis/
Randa11 a xi = 1. Esto es una consecuencia de la ecuación de GibbsDuhem, como
11.1
423
Bopiedades de fase líquida a partir de datos EVL
f;
!lj P constantes
/
Ley de Henry
0
F’igura 11.3:
k
xi
1
Dependencia con respecto a la composición de la fugacidad para las
especies i en una solución binaria.
se demostrará a continuación. !&mbién puede observarse que en el otro límite, j,
,.
se convierte en cero axi = 0. Así, la relación fi/x~ es indeterminada en este límite,
y la aplicación de la regla de 1’Hôpital da
(11.2)
Esta ecuación define laconstante ki de Henry, la pendiente limitante de la curva ji
contra xi a xi = 0. Como se muestra en la figura 11.3, ésta es lapendiente de una
línea trazada tangente a la curva, axi = 0. Así, la ley de Henry, f, = x&, se aplica
en el límite a medida que xi -+ 0, y debe ser de validez aproximada para valores
pequeños de xi.
La ley de Henry se relaciona con la regla de Lewis/Randall
por medio de la
ecuación de Gibbs/Duhem.
Al escribir la ecuación (10.14) para una solución binaria
y remplazar M por G, notando que dp+ = dt!?¡, se obtiene
xldpl + x2dp2 = 0
(T y P constantes)
CAPÍTULO ll. Texmoo!inámica
424
A partir de la ecuación (10.42),
de soluciones: aplicaciones
por diferenciación a T constante,
db=RTdIn
i
de donde
x1 d In sI + 22 d In ?I = 0
Por división entre dxl, se convierte en
xldlni
hl
+
x
2
dld _
o
(T, P constantes)
(11.3)
ti1
y la sustitución de -dx2 por dxl en el segundo término produce
En forma equivalente,
En el límite a medida que x1+ 1 y x2 + 0,
Dado que jI = fo cuando x1 = 1, esto se puede escribir como
De acuerdo con la ecuación (11.2), el numerador y el denominador del lado derecho de esta ecuación son iguales; por consiguiente, se rehice a
(11.4)
11.1 A-opiedades
425
de fase líquida a partir de datos EVL
Esta ecuación es la expresión exacta de la regla de Lewis/Randall y se aplica
a soluciones verdaderas. .Además, muestra que la ecuación (10.84) se -hace válida
en el límite a medida que x1+ 1 y que es aproximadamente correcta para valores
de x1 cerca de la unidad. De esta derivación podemos llegar a la conclusión de que
cuando la ley de Henry es válida para una especie en una solución binaria, la regla
de Lewk/Randall es válida para las otras especies.
En la ecuación (10.89), puede verse yi = ji/x&; que ‘yi = 1 siempre que la
regla de Lewis/Randall
sea válida; este resultado por consiguiente se obtiene para
xi = 1. Más aún, la diferenciación a T y P constantes de la ecuación definitoria
para yi produce
En el límite a medida que x1 + 1, ji + fi, y esto se convierte en
Sin embargo, la ecuación (11.4) muestra que los términos encerrados en el paréntesis rectangular se cancelan; por consiguiente,
0
Así, otra consecuencia de la ecuación de Gibbs/Duhem es que cada curva -yi contra
xi se aproxima a la unidad con una pendiente cero a xi = 1. Esto se ve en la figura
ll.4 en donde los valores de y1 y y2 de la tabla 11.1 se han puesto en la gráfica
contra XI.
La figura ll.3 se traza para una especie que muestra. desviaciones positivas
de la idealidad en el sentido de la regla de LewidRandall. Las desviaciones negativas de 8.la idealidad son menos comunes, pero también se observan. En este caso, la
curva fi contra xi queda abajo de la línea de LewidRandall. En la figura ll.5 se
muestra la dependencia con respecto a la composición de la fugacidad de la acetona
en dos soluciones binarias diferentes, a 50°C. Cuando la segunda especie es metanol,
la acetona presenta desviaciones positivas de la idealidad, mientras que cuando es
cloroformo, la acetona presenta desviaciones negativas de la idealidad. La fuga.eidad
de la acetona purafaeetona es, desde luego, la misma sin importar la identidad de la
segunda especie. Sin embargo, las constantes de Henry, representadas por las pendientes de las aos líneas punteadas, son muy diferentes para los aos casos.
CAPÍTULO 11. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
426
1.:
1.:
1.
1.
F’igura 11.4:
10
Coeficientes de actividad para metil etil cetona( l)/tolueno(2)
como una función de la composición.
a 50°C
Energía de Gibbs en exceso
En las tres primeras columnas de la tabla 11.2 se repiten los datos de la tabla ll. 1
sobre P-xr-yl para el sistema de metil etil cetona(l)/tolueno(2). Los puntos que
corresponden a estos datos se muestran también como círculos en la figura 11.6.
En las columnas 4 y 5 se enlistan valores para In 71 y In ‘ys, los cuales se muestran
por los cuadrados y los triángulos abiertos de la figura 11.7. Los valores se han
combinado de acuerdo con la ecuación (10.97), escrita para un sistema binario
como:
(11.5)
Los valores de GE/RT así calculados se dividen por ~1x2 para proporcionar, en
adición, valores de GE/xlx&T; en las columnas 6 y 7 de la tabla ll .2 se enlistan los
dos conjuntos de números que aparecen como círculos negros en la figura 11.7.
11.1
Propiedades de fase líquida a partir de datos EVL
427
En metano1
En cloroformo
0
Figura 11.5:
Dependencia con respecto a la composición de la fugacidad de acetona en
dos soluciones líquidas binarias a 50°C.
Las cuatro funciones termodinámicas para las cuales tenemos valores experimentales, In ~1, In y2, GE/RT y GElxlx&T, son propiedades de la fase líquida. En
la figura 11.7 se muestra cómo varía cada una con la composición para un sistema
binario en particular, a la temperatura especificada. Esta figura es característica
de sistemas para los cuales
Yi>l
Y
In yi 2 0
(i = 1,2)
En este caso, la fase líquida muestra desviaciones positivas del comportamiento de
solución ideal. Esto se ve también en la figura 11.6, en donde los puntos de los
datos para P-XI quedan todos ellos arriba de la línea recta punkada, la cual representa el comportamiento de una solución ideal.2
Debido a que el coeficiente de actividad de una especie en solución se convierte en la unidad a medida que la especie se convierte en pura, cada In yi(i = 1,2)
‘Una relación lineal P-q es una consecuencia de la ley de Raoult (sección 12.5).
428
CAPÍTULO
!lhbla 11.2:
ll.
Termodinámica de soluciones: aplicaciones
Datos de EVL para metil etil cetona(l)/toheno(2) a XPC
P/kP¿l
X1
12.3O(p2)
15.51
18.61
21.63
24.01
25.92
27.96
30.12
31.75
34.15
36.09(P)
Yl
0.0000
0.0000
0.0895
0.2716
0.4565
0.1981
0.3193
0.4232
0.5119
0.6096
0.7135
0.7934
0.9102
1.0000
0.5934
0.6815
0.7440
0.8050
0.8639
0.9048
0.9590
1.0000
lnyl
0.266
0.172
0.108
0.069
0.043
0.023
0.010
0.003
-0.003
lny2
GE/RT
0.000
0.000
0.032
0.054
0.068
0.072
0.071
0.063
0.051
0.038
0.019
0.000
0.009
0.025
0.049
0.075
0.100
0.127
0.151
0.173
0.237
0.000
GE/xlx&T
0.389
0.342
0.312
0.297
0.283
0.267
0.248
0.234
0.227
tiende a cero a medida que xi + 1. Esto es evidente en la figura 11.7. En el otro
límite, en donde xi + 0 y la especie i se convierte en infinitamente diluida, In yi se
aproxima a algún límite finito, lo cual se indica por In y ,?.
En el límite a medida quexI+ 0, la energía de Gibbs en exceso adimensional,
GEIRT, según se ve en la ecuación (11.5) se convierte en
lím JC!T = (0) lny” + (l)(O) = 0
zl+ORT
El mismo resultado se obtiene para x2 + 0(x1 + 1). El valor de GEIRT (y de GE)
tiende a cero, por consiguiente, tanto a x1 = 0 como a x1 = 1.
La magnitud de GE/xa&T se hace indeterminada tanto para x1 = 0 como
para x1 = 1 porque en ambos límites GE es cero, como lo es el producto 21x2. Así,
para x1 + 0, tenemos mediante la regla de 1’Hôpital
GEIRT
GE
lím 4GE/RT)
lím ___ = ‘íFo- =
~1-10 x,x2RT
x1
21 +o
(4
f%
La derivada de miembro final se encuentra por la diferenciación de la ecuación
(11.5) con respecto a x1:
d(GE/RT)
dx,
=
xdIny
1 - + In yr + x2- -In y2
dx,
dx,
(B)
El signo menos que precede al ultimo término proviene de dxddxl = -1, una consecuencia de la ecuación x1 + x2 = 1. La ecuación ( 10.98), de GibbsIDuhem,
se
puede escribir para un sistema binario y dividir por dx1 para dar
11.1
429
Propiedades de fase líquida a partir de datos EVL
0
0.4
0.2
0.6
0.8
.O
ZlYl
Figura 11.6:
x
Datos de Pxy a 50°C para metil etil cetona(l)/tolueno(2).
alnY
+x
dlny,
dx,
’
dx,
1
-
=()
(I: P constantes)
(11.6)
Aunque el conjunto de datos tratado aquí está a T constante, la presión varía
y no debe aplicarse estrictamente la ecuación (ll .6). Sin embargo, como se dcmostró en la sección 10.9, los coeficientes de actividad para las fases líquidas a presión
baja son casi independientes de P, y al utilizar esta ecuación se introduce un pequeñísimo error que es despreciable. Por ello, combinamos la ecuación (11.6) con la
ecuación (B) :
d(GEIRT)
ti1
= lnfi
YZ
En el límite a medida que x1 + 0(x2 + l), ésta se convierte en
‘írro
d(GEIRT)
Qk
= !í?o In IL = In y:
YZ
CAPÍTULO 11. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
430
0.4
In??
0.3
0.2
0.1
0
F’igura 11.7:
0.2
0.4
0.6
0.8
.\
u
3
Propiedades de fase líquida para metil etil cetona( l)/tolueno(2)
partir de datos de ET&
a 50°C a
y por la ecuación (A),
GE
lím ---=lny,”
“1 +O q%RT
Similarmente, a medida que x1+ 1(x2 + 0),
GE
lím ---=lnYP
zl” q%RT
Así, los valores limitantes de GElxlx2RT son iguales a los límites de dilución infinita de In y1 y In ys. Este resultado se ilustra en la figura 11.7.
La ecuación (11.6), o de GibbaDuhem, tiene influencia posterior sobre la
naturaleza de la figura 11.7. Reescrita como
dlny, _ % dIny
hl
~1 dx,
muestra la relación directa que se requiere entre las pendientes de las curvas trazadas a través de los puntos de los datos para In yr y In ys. Cualitativamente,
11.1
Propiedades de fase líquida a partir de datos EVL
431
observamos que para cada composición, la pendiente de la curva In yt es de signo
opuesto a la pendiente de la curva de In yz. Además, cuando 2s + 0 (y x1 + l), la
pendiente de la curva In y1 es cero. Similarmente, cuando x1 + 0, la pendiente de
la curva In ys es cero. Así, para cada In y&i = 1,2) la curva se hace horizontal a
x; = 1.
Reducción de datos
De los conjuntos de puntos que se muestran en la figura 11.7, aquellos para GE/
xlx&T se conforman más de cerca a una relación matemática simple. Así puede
dibujarse una línea recta como una aproximación razonable de este conjunto de
puntos, y darse una expresión matemática a esta relación lineal mediante la ecuación
GE
=
A2lXl
+
A12x2
(11.7a)
xs&!’
en donde A2l y Al2 son constantes en cualquier aplicación particular. Alternativamente,
GE
RT
=
6421x1 +
A12x2kw2
(11.7h)
Las expresiones para In yr y In ys se derivan de la ecuación (ll .7b) aplicando
la ecuación (10.94). Dado que esto requiere la diferenciación de nGE/RT con rcspecto a un número de moles, se multiplica la ecuación (ll. 76) por n y se convierte
todas las fracciones mol a números de mol. Así, en el lado derecho se remplaza x1
por nl/(nr + ns) yxs por n2/(nr + n2). Como n = nl + n2, esto da
nGE
~ = &m + Al2nd
RT
n1 T?
(n, + n21z
Al diferenciar con respecto a nl de acuerdo con la ecuación (10.94), se obticnc
In y1 =
[ “‘nd”T’]p,T,n2
= n2 (Azlnl + A,,n,)
1
(n, + nz)’ - (n, Y,)‘) + (n~l.?z12)z]
La reconversión de las ni a las xi da
CAPÍTULO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
432
ln 71 = ~2[@213a + AlaaH - 2x1) + A21211
Una reducción posterior, notando que x:2 = 1 - x1, lleva a
ln yl = GP12 + X421 -A12hl
(ll.&)
En forma similar, la diferenciación de la ecuación (11.7b) con respecto a n2 da
ln 72 = &421 + X412 -A21b21
(ll.%)
Éstas son las ecuaciones de Margules y representan un modelo empírico de comportamiento de soluciones usado comúnmente. Para las condiciones limitantes a
dilución infinita, demuestran que cuando x1 = 0, In y: = ,412, y cuando x2 = 0,
InY,” = &. Para el sistema considerado aquí de la metil etil cetona/tolueno, las
curvas de la figura ll .7 para GEIRT, In 71 y In y2 representan las ecuaciones (ll .7b),
(11.8a)y(11.8b)
conA 12 = 0.372 yA = 0.198. Estos sonvalores de los interceptos
51x1= Oyx 1 = 1 de la línea recta dibujada para representar los puntos de los
datos de GElxlx&T.
Lo que se obtuvo es la reducción de un conjunto de datos de EVL a una
ecuación matemática sencilla para la energía de Gibbs en exceso adimensional,
-;+ = (0.198x1
+ 0.372x&1x2
la cual almacena en forma concisa la información del conjunto de datos. Más aún,
con las ecuaciones de Margules para In 71 y In 72, fácilmente puede construirse
una correlación del conjunto de datos original P-x1-yl.
La ecuación (11.1) se puede reacomodar y escribir para las especies 1 y 2 de
un sistema binario como
YlP = ~1%~~’
y
Y2P = x23/2 Pz""
La adición da
(11.9)
de donde
/
3hlas Rfargdes (1856-19W, mteorólogo
y físico austriaco.
(11.10)
11.1
fiopiedades de fase líquida a partir de datos EVL
‘&bla 11.3:
P/kPa
15.79(Iy)
17.51
18.15
19.30
19.89
21.37
24.95
29.82
34.80
42.10
60.38
65.39
69.36(Pt)
433
Datos de EVIJ para cloroformo(l)/l,4dioxano(2) a 50°C
x1
Yl
ln 71
0.0000
0.0932
0.1248
0.1757
0.2000
0.2626
0.3615
0.7450
0.5555
0.6718
0.8780
0.9398
1.0000
0.0000
0.1794
0.2383
0.3302
0.3691
0.4628
0.6184
0.7552
0.8378
0.9137
0.9860
0.9945
1.0000
-0.722
-0.694
-0.648
-0.636
-0.611
-0.486
-0.380
-0.279
-0.192
-0.023
-0.002
0.000
ln ~2
GEIRT
GElxlx&YT
0.000
0.004
-0.000
-0.007
-0.007
-0.014
-0.057
-0.127
-0.218
-0.355
-0.824
-0.972
0.000
-0.064
-0.086
-0.120
-0.133
-0.171
-0.212
-0.248
-0.252
-0.245
-0.120
-0.061
0.000
-0.758
-0.790
-0.825
-0.828
-0.882
-0.919
-0.992
-1.019
-1.113
-1.124
-&.074
Al encontrar los valores de y1 y y2 a partir de las ecuaciones (11.8) con Al2 y
Aal como se determinaron para el sistema. de metil etil cetona( l)/tolueno(2) y tomando PIa” y P,“” como los valores experimentales, calculamos P y y1 por medio
de las ecuaciones (11.9) y (11.10) para varios valores de $1. Los resultados se
muestran mediante las líneas con$inuas de la figura 11.6, que representan las
relaciones calculadas P-XI y P-yl. Estas proporcionan claramente una correlación
adecuada de los puntos de datos experimentales.
En la tabla 11. .3 se da un segundo conjunt.0 de datos de P-x1-y 1 para cloroformo( l)/l, 4-dioxano(2) a 50”C,4 junto con valores de las funciones termodinámicas
pertinentes. En las figuras 11.8 y ll.9 se exhiben los puntos de todos los valores
determinados experimentalmente. Este sistema muestra desviaciones negativas de
la idealidad de la solución; dado que y1 y 72 son menores que la unidad, los valores
de In ~1, In y2, GEIRT y GE/xlx2/RT
son negativos. Más aún, los puntos de datos de
P-x1 de la figura ll.8 quedan todos abajo de la línea punteada que representa la
relación de la solución ideal. De nuevo los puntos de datos de GElxlx&T se relacionan razonablemente bien por la ecuación (11.7a), y las ecuaciones de Margules
[ecuación (11.8)] nuevamente son aplicables aquí conAl = -0.72 yA = -1.27.
Los valores de GE/RT, In ~1, In y2, P y y1 calculados con las ecuaciones (11.7b),
(11.8a), (ll.@), (11.9) y (11.10) proporcionan las curvas que se muestran para
estas magnitudes en las figuras ll. 8 y ll .9. Nuevamente, los datos cxperimentales encontrados para P-x1-yl se correlacionan adecuadamente.
Aunque las correlaciones proporcionadas por las ecuaciones de Margules
para
los dos conjuntos de datos de EVL que se han presentado son satisfactorias, no
son perfectas. Las dos razones posibles son, primero, que las ecuaciones de Margules
no son precisamente adecuadas para el conjunto de datos; segundo, que los datos
mismos de P-XI-yl son sistemáticamente erróneos ya que no se conforman a 10s
requerimientos de la ecuación de Gibbs/Duhem.
4M. L. McGlashan y R. F! Rastogi, !&um. EELmduy Soc., vol. 54, p. 496, 1958.
CAPÍTULO 11. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
434
0
1
I
I
I
I
0.2
0.4
0.6
0.8
XI> Yl
Figura 11.8:
Datos de Px~ a 50°C para cloroformo(1)/1,4-dioxano(2).
Al aplicar las ecuaciones de Margules
se ha considerado que las desviaciones
de los puntos experimentales para GElxa8T a partir de las líneas rectas dibujadas para representarlas, son resultado de un error al azar de los datos. En efecto,
las líneas rectas de un diagrama proporcionan excelentes correlaciones de todos
los puntos de datos, con excepción de unos pocos. Solamente hacia los bordes de un
diagrama existen desviaciones significativas, y éstas han sido descontadas, porque
los grados de error se amplían rápidamente a medida que se acercan a los bordes
del diagrama. En los límites a medida que x1 + 0 y x1 + 1, GE/x1x2RT se hace
indeterminada; experimentalmente, esto significa que los valores están sujetos a
un error ilimitado y no son medibles. No obstante, no puede negarse la posibilidad
de que la correlación se pudiera mejorar en los puntos de GE/x1x2RT
representados
mediante una curva apropiada. Encontrar la correlación que represente mejor los
datos es un procedimiento de ensayo y error.
La ecuación de Gibbs/Duhem impone una restricción sobre los coeficientes
de actividad que puede no ser satisfecha por los valores experimentales que contienen algún error sistemático. Si éste es el caso, los valores experimentales de In y1 y
ln y~ utilizados para calcular GEIRT mediante la ecuación ( ll .5), la cual no depende de la ecuación de Gibbs/Duhem,
no concordarán con valores de In y1 y In y2
11.1
l?ropiedades
de fase líquida a partir de datos EKL
435
0I
-0. 2
-0. 4 i
-0.
1nYF
-0
-1
-1
Figura 11.9:
Propiedades de fase líquida a partir de datos de EYL a 50°C para
cloroformo( 1)/1,4-dioxano(2).
calculados más tarde con ecuaciones derivadas de la ecuación (10.94), la cual
contiene implícitamente a la ecuación de Gibbs/Duhem.
En este caso, no existe
una ecuación de correlación que represente precisamente los datos originales de
P-XI-y1.
Se dice que tales datos soninconsistentes con la ecuación de Gibbs/Duhem
y, por tanto, son necesariamente incorrectos.
Ahora el propósito es desarrollar una prueba sencilla para la consistencia,
con respecto a la ecuación de Gibbs/Duhem,
de un conjunto de datos de P-XI-yl.
Aplicada a una fase líquida binaria a temperatura y presión constantes, la ecuación
(10.91) se convierte en
= In -yr dril + In y2 dn2
Esta ecuación se puede aplicar a una fase líquida a T constante pero a P variable,
porque las propiedades de la fase líquida son insensibles a la presión. Si n = 1, dn 1
= dxr y dns = dxs = -&r. La ecuación precedente se puede escribir entonces
CAPÍ!lVLO
436
‘Ihbla 11.4:
ll.
Termodinámica
de
soluciones:
Datos de EVL para dietil cet.ona(l)/n-hexano(Z)
P/kPa
x1
90.15(&=t)
91.78
88.01
81.67
78.89
76.82
73.39
66.45
62.95
57.70
50.16
45.70
29.00(Ey)
Yl
0.000 0.000
0.063 0.049
0.248 0.131
0.372 0.182
0.443 0.215
0.508 0.248
0.561 0.268
0.640 0.316
0.702 0.368
0.763 0.412
0.834 0.490
0.874 0.570
1.000 1.000
aplicaciones
a 65°C
1nY;
0.901
0.472
0.321
0.278
0.257
0.190
0.123
0.129
0.072
0.016
0.027
0.000
0.000
0.033
0.121
0.166
0.210
0.264
0.306
0.337
0.393
0.462
0.536
0.548
1.481
1.114
0.955
0.972
1.043
0.977
0.869
0.993
0.909
0.740
0.844
4GEIRT) = ln fi
%
YZ
(4
La ecuación (A) se aplica a los valores derivados de las propiedades, por ejemplo,
los dados por una correlación, tal como se representa por las ecuaciones de Margules,
ecuaciones (11.7) y (11.8). Para los valores experimentales correspondientes, escribimos la ecuación (11.5) como
=x1 lny: + 52 lnyz
en donde los asteriscos identifican los valores experimentales. Ambas y: y yl se
calcularon a partir de los datos de P-XI-y1 mediante ia ecuación (ll. 1). La diferenciación da
d(G”IRT)
dx,
*
dlny:
=x17-+lny:
1
dln y;
+L, - - Iny,*
dx,
o bien
d(GE/RT) * &F+ ~ dInY: ; ~ dlny,*
dq
%
ti
YZ
La ecuación (B) se resta de la ecuación (A) para dar
(B)
11.1
B-opiedades
437
de fase líquida a partir de datos EVL
d( GEIRT)
&
_ d(GE/RT) * ‘&&
ti
Y2
Y2
Las diferencias entre términos semejantes representan cantidades residuales entre los valores derivados y los experimentales. Cuando se representan estos residuales
mediante 6, esta ecuación toma la forma
dG(GE/RT)
dx,
Si un conjunto de datos se reduce para ha,cer que los residuales en GE/RT se dispersen cerca de cero, entonces la derivada dS(GEIRT)ldx,
es efectivamente cero, y
la ecuación precedente se convierte en
dln y:
¿3ln- =x1------ +x dlnd
ti
2h
Y2
El lado derecho de esta ecuación es exactamente la cantidad que la ecuación (11.6),
la ecuación de GibbsDuhem, requiere ser cero para los datos consistentes. El
residual a la izquierda es, en consecuencia, una medida directa de las desviaciones
de la ecuación de GibbsDuhem. El grado en el cual los valores de este residual
fallen en-dispersarse cerca de cero mide la desviación de los datos de la consistencia respecto a esta ecuación.”
Ejemplo 11.1
Reduzca el conjunto de datos de EVL para dietil cetona(l)/nhexano(2) a 65”C, reportado por Maripuri y Ratcliff,’
y dado en las tres primeras
columnas de la tabla 11.4.
SOLUCIÓN Los valores medidos de P, ~1 y y1 aparecen en las tres primeras columnas de la tabla 1.1.4. Las columnas restantes presentan los valores experimentales,
In yi, In yz y ( GE/xlx&T)*, calculados a partir de los datos mediante las ecuaciones
(11.1) y (11.5). Todos los valores se muestran como puntos en las figuras 11.10 y
11. ll. El objetivo aquí es encontrar una ecuación para GE/RT que proporcione una
correlación adecuada de los datos. Los puntos de datos de la figura ll. ll para (GE/
xlxaT)* muestran dispersión, pero son adecuados para definir una línea recta,
dibujada aquí a simple vista y representada por la ecuación
GE
~ = 0.70x1 + 1.3522
x,x,RT
‘Esta prueba y otros aspectos de la reducción de datos de EVL se tratan en forma completa por
H. C. Van Ness, J. Chem. Thernaodyn., vol. 27, pp. 113-134, 1995; Pure &AppZ. Chem., val. 67, pp.
859-872, 1995.
‘% C. Maripuri y G. A. Ratcliff,
J. AppZ. Ckn. Biotechnol.,
vol. 22, pp. 899-903, 1972.
CApíTuLO 11. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
438
80 -
70 PfkPa
60-
50 -
40-
30 0
I
I
I
I
0.2
0.4
0.6
0.8
21)
Figura 11.10:
Yl
Correlaciones de datos de EVL para dietil cetona(
l)/whexano(2) a
65°C.
Ésta es la ecuación (11.7a), conAs = 0.70 yAre = 1.35. Los valores de In 71 y ln ys
a los valores dados de x1, oh-hados de esta ecuación, se han calculado mediante las
ecuaciones (ll. 8) , y los valores derivados de P y yr a los mismos valores de 21 provienen de las ecuaciones (11.9) y (11.10). Estos resultados se han pasado a la gráfica
como líneas sólidas en las figuras ll. 10 y 11. ll y es claro que no representan una
buena correlación de los datos.
La dificultad es que los datos no sonconsistentes con la ecuación de GibbsJDuhem.
Esto es, el conjunto de valores experimentales, In yi y In y;, que se muestra en la
tabla ll.4 no está de acuerdo con la ecuación (11.6). No obstante, los valores de In
yr y In ys derivados de la correlación obedecen necesariamente a esta ecuación; en
consecuencia, los dos conjuntos de valores posiblemente no pueden concordar, y la
correlación resultante no puede proporcionar una representación precisa del conjunto completo de datos de P-x~-Y~.
La aplicación de la prueba para consistencia representada por la ecuación ( 11.11)
requiere el clculo de los residuales S(GE/RT) y 61n( yI/y2), cuyos valores se grafkaron
contra 21 en la figura 11.12. Los residuales S(@/RT) se distribuyen ellos mismos
11.1
439
Propiedades de fase líquida a partir de datos EVL
0
Figura 11.11:
Propiedades de fase líquida para datos de EVL para dietil cetona(l)/nhexano(2) a 65°C.
cerca de cero,7 como se requiere por la prueba, pero los residuales 6 ln( yl/yz), los
cuales muestran el grado en que los datos fallan para satisfacer la ecuación de Gibbs/
Duhem, claramente no lo hacen. Los valores absolutos promedio de este residual
menores que 0.03 indican datos con un grado elevado de consistencia; los valores
absolutos promedio de menos de 0.10 son probablemente aceptables. El conjunto de
datos considerado aquí muestra una desviación absoluta promedio de aproximadamente 0.15 y, por consiguiente, contiene un error significativo. Aunque no se puede
tener la certeza de dónde está el error, usualmente los valores de y1 son los más
sospechosos.
El método justamente descrito produce una correlación que es innecesariamente divergente de los valores experimentales. Una alternativa es procesar justamente
7
cuales minimizan la suma
usado aquí para encontrar una correlación para GE/RT puede, sin
rocedimiento de regresión que determine los valores de Azl y A12, los
cuadrados de los residuales G(Gs/RT)
440
CNPÍ!lVLO
11. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
0
0.2 -
0
0.1 4%)
0
0
0
0
0
/
*
0
l -
0
0
0.
0
61$ /
0
0
0
OO
0
0
0
Figura 11.12:
0
0.5
Prueba de consistencia de los datos para dietil cetona( l)/n-hexano(2)
65°C.
a
los datos de P-XI; esto es posible porque el conjunto de datos P-zl-yr incluye más
información de la necesaria. El procedimiento requiere de una computadora, pero en
principio es bastante sencillo. Asumiendo que la ecuación de Margules es apropiada
para los datos, solamente se buscan, por medio de la ecuación (11.9), los valores de
los parámetros Ars y A21 que proporcionan las presiones que están lo más cerca
posible de los valores medidos. El método es aplicable, a pesar de la ecuación asumida que correlaciona, y se conoce como el método de Barhcer.8 Aplicada al presente
conjunto de datos, resulta en los parámetros
kt21 = 0.596
y
Al2 = 1.153
El uso de estos parámetros en las ecuaciones (11.7a), (11.8), (11.9) y (11.10) produce los resultados descritos por las líneas punteadas de las figuras ll. 10 y 11.11.
La correlación no puede ser precisa, pero claramente proporciona una mejor representación general de los datos experimentales P-XI-yt.
ll .2
Modelos para la energía de Gibbs en exceso
En general, GEIRT es una función de T, P y la composición, pero pa.ra líquidos a
presiones bajas y moderadas es una función muy débil de P. Por consiguiente, la
‘5. A. Barker, Austral. J. Chem., vol. 6, pp. 207-210, 1953.
11.2 Modelos para la energía de Gibbs en exceso
441
dependencia con respecto a la presión de los coeficientes & actividad se desprecia
usualmente. Así, tenemos para datos a T constante
GE
(T constzante)
La ecuación de Margules, ecuación (11.7), es un ejemplo de esta funcionalidad.
Otras ecuaciones también son de uso común para la correlación de los coeficientes de actividad. Para los sistemas binarios, la func$5n con frecuencia más
convenientemente representada por una ecuación es GElxlx&T, y un procedimiento es expresar esta función como una serie de pot,encias ex x1:
GE
w$T
=a+bxl+cx,2
+.*-
(T consta.nte)
Dado que 52 = 1 -x1 para un sistema binario de especies 1 y 2, x1 se puede tomar
como la única variable independiente. Una serie de potencias equivalente con ciertas ventajas se conoce como la expansión de Redlich/Kist~r.g
GE
~ = B +c(xl-x2)
wST
+0(x1-22)2+...
En su aplicación son apropiados diferentes truncamientos de esta serie. Para
cada expresión particular que represente a @/xlx&T, de la aplicación de la ecuación
(10.94) resultan expresiones específicas para In yl y In 72. Así, cuandoB = C = D
= . . . = 0, GE/RT = 0, In 71 = 0 y In 3/2 = 0. En este caso, y1 = y2 = 1, y la
solución es ideal.
SiC=D=*..=O,entonces
GE
x,%RT
~ =B
en donde B es una constante para una temperatura dada. Las ecuaciones correspondientes para In y1 y In 35 son
In y1 = Bs
(11.12a)
In y2 = Bx:
(11.12b)
Y
‘0. Redlich, A. T. Kister y C. E. ‘lbrnquist, Chem. Eng. Praga Symp. Sel: No. 2, vol. 48, pp. 49-61,
1952.
CAPÍTULO 11. Termoo?.inámica
442
de soluciones: aplicaciones
La naturaleza simétrica de estas relaciones es evidente. Los valores de dilución al
infinito de los coeficientes de actividad se dan por In yf = In y; = B.
Si D = . . . = 0, entonces
GE
~ =B+C(Q--x2)=B+C(2q-1)
x,x&!’
y en este caso, GE/xa$T es lineal en ~1, y recuperamos la ecuación de Margules
por las sustituciones B f C = Azl y B - C = Alz.
Otra ecuación bien conocida se obtiene cuando escribimos la expresión recíproca xlx2RT/GE
como una función lineal de x1:
___ = B’ + C’(xI -x2) = B’ + C’(2xl - 1)
GE/RT
También se puede escribir
xix-2
GEIRT
= B’(sI + x2) + C’(q -x2) = (B’ + C’)q + (B’ - C’)xz
Ahora dejemos que B’ + C’ + = VAi, y B’ - C’ = l/A{,. Entonces,
o bien
(11.13)
LOS coeficientes de actividad implicados por esta ecuación están dados por
(11.14)
lnyz = A&(l+ E)-’
:2
(11.15)
11.2 Modelos para la energía de Gibbs en exceso
443
Éstas se conocen como las ecuaciones de van Laarlo Cuando x1 = 0, In rl = A;,;
cuando 22 = 0, In y; = 4,.
La expansión de Redlich/Kister, las ecuaciones de Margules y las ecuaciones
de van Laar son todas ellas casos especiales de un tratamiento muy general con
base en las funciones racionales, por ejemplo sobre ecuaciones para GE dadas
por relaciones de polinomios. Estas se presentan en detalle por Van Ness y
Abbott.” Además, proporcionan una gran flexibilidad para ajustar los datos de
EVL a sistemas binarios. A pesar de ello, tienen escasa fundamentación teórica
y como resultado no hay una base racional para su extensión a sistemas de
multicomponentes. Más aún, no incorporan una dependencia explícita de la temperatura para los parámetros, aunque ésta se puede proveer sobre una base ad
hoc.
Los desarrollos teóricos modernos en la termodinámica molecular del comportamiento de soluciones líquidas están basados sobre el concepto de composición
local. Dentro de las soluciones líquidas, las composiciones locales diferentes de la
composición general de las mezclas, se presume que explican el orden de rango
corto y las orientaciones moleculares no aleatorias que resultan de las diferencias
en el tamaño molecular y en las fuerzas intermoleculares. El concepto fue introducido por G. M. Wilson en 1964 con la publicación de un modelo de comportamiento
de solución conocido desde entonces como la ecuación de Wilson.r2 El éxito de esta
ecuación en la correlación de los datos de EVL aceleró el desarrollo de modelos
alternativos de composición local, el más notable de ellos la ecuación NRTL (NonRandom-Two-Liquid) de Renon y Prausnitz13 y la ecuación UNIQUAC (UNIversal
QUAsi-Chemical)
de Abrams y Prausnitz. l4 Un desarrollo significativo posterior,
basadoen la ecuación UNIQUAC, es el método UNIFAC,15 en el cual los coeficientes de actividad se calculan a partir de las contribuciones de los diversos grupos
que configuran las moléculas de una solución.
La ecuación de Wilson, como las ecuaciones de Margules y van Laar, contiene justamente dos parámetros para un sistema binario (An? y Aal), y se
escribe
GE
~ = -x1 ln(xr + x2Rls) -x2 ln(x2 + x1&)
RT
‘OJohannes
(11.16)
Jacobus van Laar (1860-1938), físico químico holandés.
“H C. Van Ness y M. M. Abbott, Clussical Thermodynamics of Nonelectrolyte Solutions: With
Applickons to Phase Equilibria, Sec. 5-7, McGraw-Hill, Nueva York, 1982.
lzG. M. Wilson, J. Am. Chem. Soc., val. 86, pp. 127-130, 1964.
13H. Renon y J. M. Prausnitz, AIChE J., vol. 14, pp. 135-144, 1968.
14D. S. Abrams y J. M. Prausnitz, AIChE J., vol. 21, pp. 116-128, 1975.
‘5UNIQUAC F’unctional-group Activity Coefficients, propuesta por Aa. fiedenslund, R. L. Jones
y J. M. Prausnitz, AIChE J., vol. 21, pp. 1086-1099, 1975; en la monografía se da un tratamiento
detallado: Aa. Fredenslund, J. Gmehlingy F! Rasmussen, V¿zpor-Liquid Equilibrium Using UNIFAC,
Elsevier, Amsterdam, 1977.
CAPÍTULO 11. Temodinámica de soluciones: aplicaciones
444
In y1 = -ln(zl + 22A12) + 22
In y2 = - ln(x2 + zlA21) -x1
(
(
z :IA
1
2
Al2
x1
*21
12
x2 + x1*21
1
A21
-
+ 4412
-
x2 + x1*21
(11.17)
(11.18)
1
Para una dilución infinita, estas ecuaciones se convierten en
lny,” = -In Al2 + 1 - A2l
Y
lny,” = -In A21 + 1 - Al2
Nótese que 1112 y AZ, siempre deben ser números positivos.
La ecuación NRTL contiene tres parámetros para un sistema binario y se
puede escribir
G"
x+zRT
_
G21~21
+
~1 + xh’21
G,,G
x-z
(11.19)
+ x,G,
Iny’=
~[~21(~~~~G21~+,i*,2,2]
InY’=
x+12(xl~~2,,)‘+~xl~~;21)2]
(11.20)
(11.21)
Aquí
GE = exp(-~nd
(721
= ew(-am)
Y
b
712 = g
b
721= g
donde (Y, b12 y b21, parámetros específicos para un par de especies particular, son
independientes de la temperatura y la composición. Los valores de dilución infinita
de los coeficientes de actividad están dados por las ecuaciones
445
11.3 Cambios de propiedades en el mezclado
lnyl =
In y;
c?l +
m =P(-a.T12)
= 7 1 2 + 7 2 1 exp(-aT21)
La ecuación UNIQUAC y el método UNIFAC son modelos de mayor complejidad y se tratan en el apéndice G.
Los modelos de composición local tienen flexibilidad limitada para el ajuste
de los datos, pero son adecuados para la mayor parte de los fines de la ingeniería.
Más aún, implícitamente son generalizables a sistemas de multicomponentes, sin
la introducción de cualesquiera parámetros más allá de los requeridos para describir los sistemas binarios constituyentes. Por ejemplo, la ecuación de Wilson se
puede escribir para sist,emas de multicomponentes como
RT = - Cziln
1
CXjAij
(11.22)
.i
Y
In 3/i = 1 - In
c
j
Xjhi - c XkfL
k c XjAkj
j
(11.23)
en donde &j = 1 par i = j, etc. Tbdos los índices en estas ecuaciones se refieren a
la misma especie y todas las adiciones son para todas las especies. Para cada par 21
hay dos parámetros debido a que h, # Ay. Por ejemplo, en un sistema ternario,
los tres pares posibles g están asociados con los parámetros A12, A21; AI~, ASI;
A23, 432.
La dependencia con respecto a la temperatura de los parámetros está dada
por
(11.24)
en donde Vj y Vi son los volúmenes molares a la temperatura T de los líquidos puros
j e i, ya, es una constante independiente de la composición y la temperatura. Así,
la ecuación de Wilson, como todos los modelos de composición local, se ha construido dentro de una dependencia aproximada con respecto a la temperatura para los
parámetros. Además, todos los parámetros se encuentran a partir de datos para
sistemas binarios (en contraste con los de multicomponentes). Esto hace que la
determinación de parámetros para los modelos de composición local sea una tarea
de proporciones manejables.
ll .3
Cambios de propiedades en el mezclado
Las ecuaciones (10.80) a (10.83) son expresiones para las propiedades de solucio?aes ideales. Cada una se puede combinar con la ecuación defínitoria para una propiedad en exceso, ecuación (10.86), para clar
446
CAF’~O
ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
lnxi
(11.25)
sE = s- Cxi&‘i + Rxqlnxi
I
<
(11.26)
VE = V- CXiV~
(11.27)
GE = G- CXiGi-RTCX;
,
(11.28)
HE = H- CXiHi
I
En cada una de estas ecuaciones aparece a la derecha de los signos iguales una
diferencia que se expresa en general como M - X&Mi. A esta propiedad la llamamos un cambio de propiedad del mezclado y se le da el símbolo AM. Así, por definición.
AM=M-CX~M,
I
en donde M es una propiedad molar (o de masa unitaria) de una solución y las Mi
son propiedades molares (o de masa unitaria) de las especies puras, todas a las
mismas T y P. Las ecuaciones (11.25) a la (11.28) ahora se rescriben
lnxi
(11.30)
SE = AS + Rxx;lnxi
(11.31)
GE = AG-RTCXi
(11.32)
(11.33)
IHE=AEI
en donde AG, AS, AB y AH son el cambio de la energía de Gibbs del mezclado, el
cambio de entropía del mezclado, el cambio de volumen del mezclado y el cambio de
entalpía del mezclado. Para una solución ideal, cada propiedad en exceso es cero, y
para este caso especial las ecuaciones (11.30) a (11.33) se convierten en
AGuz = RT C Xi In ~i
(11.34)
lnxi
(11.35)
L\&‘d
= -RCXi
I
11.3
447
Cambios de propiedades en el mezclado
División
Figura 11.13:
Diagrama esquemático de procesos experimentales de mezclado.
Av”=O
(11.36)
(11.37)
Estas ecuaciones son justamente redefiniciones de las ecuaciones (10.80) a la
(10.83).
Las ecuaciones (11.30) a (11.33) muestran que las propiedades en exceso y
los cambios de propiedades del mezclado se calculan fácilmente una a partir de la
otra. Aunque, históricamente, los cambios de propiedad del mezclado se introdujeron primero, debido a su relación directa con las experimentaciones, son las propiedades en exceso las que se fijan más fácilmente a la estructura teórica de la
termodinámica de soluciones. Los cambios de propiedad del mezclado de mayor
interés, debido a su posibilidad directa de medición, son AV y AH, y estas dos
propiedades son idénticas a las propiedades en exceso correspondientes.
En la figura 11.13 se representa esquemáticamente un proceso de mezclado
experimental para un sistema binario. Las dos especies puras, ambas a T y P,
están inicialmente separadas por una división que, si se retira, permite el mezclado. A medida que ocurre el mezclado, la expansión o contracción del sistema es
acompañada de un movimiento del pistón, de modo que la presión es constante.
Además, se añade o se extrae calor para mantener una temperatura constante.
Cuando el mezclado es completo, el cambio de volumen total del sistema (medido
por el desplazamiento del pistón d) es
Av’ = (nr + ns)V- nlV, - neV2
Dado que el proceso se efectúa a presión constante, la transferencia de calor total
& es igual al cambio de entalpía total del sistema:
CAPÍTULO 11. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
Q = A@ = (nl+ na)H-nlH1-nfiz
La división de estas ecuaciones entre nl + n2 da
AV”
Y
AH=H-xzlH1-xflS=
Q
~
nl + n2
Así, el cambio de volumen del mezclado AVy el cambio de entalpia del mezclado AH
se encuentran a partir de las cantidades medidas AVt y Q. Debido a su asociación
con Q, AH usualmente se llama calor de mezclado.
En la figura 11.14, se muestran calores experimentales de mezclado, AH (o
entalpías en exceso HE) para el sistema etanol/agua
como una función de la composición para varias temperaturas entre 30 y 110°C. En esta figura se ilustra
mucha de la variedad de comportamiento encontrado para los datos de HE = AH
y VE = AVpara los sistemas líquidos binarios. Tales datos se representan a menudo por ecuaciones similares a las utilizadas para los datos de GE, en particular
mediante la expansión de RedlWKister.
B$emplo ll.2 La entalpía en exceso (calor de mezclado) para una mezcla líquida
de las especies 1 y 2 a T y P fijas, se representa por la ecuación
HE = Z$f&(40~1 + 2022)
en donde HE está en J mal-‘. Determine expresiones para HIE y H,” como funciones de ~1.
Las propiedades parciales se encuentran mediante la aplicación de las
ecuaciones (10.15) y (10.16) con M = HE. Así,
SOLUCIÓN
dHE
H; =HE + (l-x1)-ti,
(Al
Y
(BI
La eliminación de x2 en favor de x1 en la ecuación dada para HE nos da
HE = 20x1 - 20x;
(0
4 4 9
11.3 Cambios de propiedades en el mezclado
80( )-
0
-40
-8( )O -
=EtOH
0
Figura 11.14:
1
Entalpías en exceso para etanol/agua.
de donde
dHE
~ =20-60x:
d.?
La sustitución de las ecuaciones (C) y (D) en la ecuación (A) lleva a
HF = 20 - 60x: + 40x;
(DI
450
CAPÍTULO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
Similarmente, por medio de las ecuaciones (B), (C) y (D),
Estas ecuaciones contienen mucho de la misma información que las ecuaciones del
ejemplo 10.4. Dado que el último término de la ecuación para H en la definición del
ejemplo 10.4 es idéntico a la expresión dada aquí para HE, se puede escribir
H = 400x1 + 600x2 + HE
Claramente, HI = 400 J mal-’ rH2 = 600 J mal-‘. Las propiedades parciales del
ejemplo 10.4 se relacionan con HI” y g,” por medio de las ecuaciones
H, = Hf + H;” = r;il +H1= i-?; +400
Y
ff, = H; + H,” = H; +H2= a: +600
Estas dos ecuaciones provienen de la combinación de la ecuación (10.79) con la
ecuación (10.87).
Los volúmenes en exceso (cambios de volumen del mezclado) para el sistema
metanol( l)/agua(:!) a 25°C se pueden calcular a partir de los datos volumétricos
de la figura 10.3. La ecuación (10.87) se especializa para
De acuerdo con la ecuación (10.78), F,” = Vi. Por consiguiente,
v,”
=v,-Vl
y
v,“=v,-v2
La ecuación (lO.ll), escrita para el volumen en exceso de un sistema binario, se
convierte en
Los resultados se presentan en la figura ll. 15. Los valores de la figura para x1 =
0.3 provienen del ejemplo 10.3. Así,
GE = 38.632 - 40.727 = -2.095 cm3 mal-r
v2” = 17.765 - 18.068 = -0.303 cm3 mal-’
11.3
451
Cambios de propiedades en el mezclado
-3.a
-2.5
c -2.0
j
E”
Q; -1.5
-1.a
- . _ _ _ _ __ _
-0.841
-0.:
-0.30:
Figura
/
__ _ __ _
/
l -5
11.15:
0
Volúmenes en exceso para metanol(l)/agna(Z)
a 25°C.
Y
VE = (0.3)(-2.095) + (0.7)(-0.303) = -0.841 cm3 mal-l
La línea tangente dibujada a ~1 = 0.3 ilustra la determinación de los volúmenes
parciales en exceso por el método de las intercesiones de la tangente. Mientras que
los valores de Ven la figura 10.3 caen entre 18.068 y 40.727 cm3 mal-‘, los valores
de VE = AVvan de cero, a x1 = 0 y a x1 = 1, hasta un valor de aproximadamente
-1 cm3 mal-l, a una fracción mol de alrededor de 0.5. Las curvas que muestran
cE y VZE son casi simétricas para el sistema metanolkgua, pero esto no significa
que lo sean para todos los sistemas.
En la figura ll. 16 se ilustra la dependencia con respecto a la composición dc
AG, AH y TAS para seis sistemas líquidos binarios a 50°C y aproximadamente a
la presión atmosférica. Las cantidades relacionadas, GE, HE y TSE se han mostrado para los mismos sistemas en la figura 10.5. Como con las propiedades en exceso, los cambios de propiedades del mezclado presentan comportamientos diferen;
tes, pero de nuevo todos los sistemas tienen ciertas características comunes:
CAPÍ~O
2 00
452
cõ
E
‘)
11.
Termodinámica
1
0
-i
0
E
-
-1000
-1
(4
soluciones:
I
2
1000
de
aplicaciones
TAS
õ
0
E
r)
-1000
AH
(el
(f)
Figura 11.16: Cambios de propiedades de mezclado a 50°C para seis sistemas líquidos
binarios: a) cloroformo(l)/n-heptano(2);
b) acetona(l)/metanol(2);
c) acetona(l)/
cloroformo(2);
d) etanol(l)/+heptano(2); e) etanol(l)/cloroformo(2);~ etanol(l)/
agua@).
1. Todo AM para una especie pura es cero.
2. El cambio de energía de Gibbs del mezclado, AG, siempre es negativo.
3. El cambio de entropía del mezclado, AS, es positivo.
La característica 1 proviene de la ecuación (11.29). La característica 2 es una
consecuencia del requerimiento que pide que la energía de Gibbs sea mínima para
los estados de equilibrio a T y P especificadas (sección 14.1). La característica 3
refleja el hecho de que los cambios negativos de entropía del mezclado son inusuales;
esto no es una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, la cual solamente prohíbe los cambios negativos de entropía del mezclado para sistemas aislados de sus ambientes. Definido para condiciones de T y P constantes, AS se observa negativo para ciertas clases especiales de mezclas, ninguna de las cuales se ha
representado en la figura 11.6.
Ejemplo ll.3 Los cambios de propiedad del mezclado y las propiedades en exceso
están interrelacionados. Demostrar cómo se generan las fieras 10.5 y 10.6 a partir
de los datos correlacionados para ti(z) y GE(z).
SOLUCIÓN
Para la @ura 11.16, AH(z) proviene del ajuste de la curva de los datos calorimétricos y para la fipra 10.5, GE(x) se encuentra de la reducción de los
11.4 Efectos caloríficos en los procesos de mezclado
datos isotérmicas
ecuación (11.33),
453
de EVL por el método de Barker (ver el ejemplo 11.1). De la
HE = AH
y, por medio de la ecuación (10.99),
sE
= HE - GE
T
Estas ecuaciones permiten que se complete la figura 10.5. Los cambios de propiedad
del mezclado AG y AS provienen de GE y SE al aplicar las ecuaciones (11.30) y
(11.31):
AS = SE-Rxx, lnzi
Éstas permiten que se complete la figura ll. 16.
ll .4
Efectos caloríficos en los procesos de mezclado
El calor del mezclado, definido de acuerdo con la ecuación (11.29), es
AH = H -&Hi
(11.38)
Esta ecuación da el cambio de entalpía cuando las especies puras se mezclan a T y
P constantes para formar una mol (o una unidad de masa) de solución. Es más
común disponer de datos para sistemas binarios, para los cuales la ecuación (ll .38)
se resuelve para H, convirtiéndose en
H = xlH1 + xfiz + AH
(11.39)
Esta ecuación es útil para calcular las entalpías de las mezclas binarias a partir de
datos de entalpía para las especies 1 y 2 puras y a partir de los calores de mezclado. Este tratamiento está restringido a los sistemas binarios.
Los datos disponibles para calores de mezclado se refieren usualmente a un
número muy limitado de temperaturas. Si se conocen las capacidades caloríficas
de las especies puras y de la mezcla, se calculan los calores de mezclado para otras
temperaturas por un método análogo al cálculo de los calores estándar de reacción
a temperaturas elevadas a partir del valor a 25°C.
Los calores de mezclado son similares en muchos aspectos a los calores de
reacción. Cuando ocurre una reacción química, la energía de los productos es dife-
454
CAPÍTULO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
rente de la energía de los reactantes a las mismas T y P debido al reacomodamiento
químico de los átomos constituyentes. Cuando se forma una mezcla, ocurre un
cambio similar de energía a causa de que son distintas las interacciones entre los
campos de fuerzas de las moléculas semejantes y diferentes. Estos cambios de
energía son generalmente mucho menores que los asociados con los enlaces químicos; así, los calores de mezclado son generalmente mucho menores que los calores
de reacción.
Cuando se disuelven sólidos o gases en líquidos, el efecto calorífico se llama
calor de disolución, y tiene como base la disolución de 1 mal de soluto. Si tomamos
la especie 1 como el soluto, entonces ~1 expresa los moles de soluto por mol de
solución. Dado que AH es el efecto calorífico por mol de solución, AH/xl es el
efecto calorífico por mol de soluto. Así,
en donde hH es el calor de disolución sobre la base de un mol de soluto.
Los procesos de disolución son representados convenientemente por las
ecuaciones de cambiofisico análogas a las ecuaciones de reacción química. Así, si 1
mol de Lic1 se disuelve en 12 moles de H20, el proceso se representa como
LiCl(s) + 12HzO(Z)
+ LiCl(12HzO)
La designación LiCl( 12H20) significa que el producto es una solución de 1 mol de
Lic1 en 12 moles& HzO. El cambio de entalpía que acompaña a este proceso a
25°C y 1 bar es AH = -33 614 J. Esto es, una solución de 1 mol de Lic1 en 12
moles de Hz0 tiene una entalpía de 33 614 J menos que la de 1 mol de LiCl(s) puro
y 12 moles de HzO(Z) pura. Las ecuaciones para los cambios físicos como éste, se
combinan fácilmente con las ecuaciones para reacciones químicas. Esto se ilustra
en el ejemplo siguiente.
Ejemplo ll.4
Calcular el calor de formación de Lic1 en 12 moles de Hz0 a 25°C.
El proceso implicado por la definición del problema es el resultado de la
formación, a partir de sus elementos constituyentes, de 1 mol de Lic1 en solución en
12 moles de H20. La ecuación que represe’nta este proceso se obtiene en la forma
siguiente:
SOLUCIÓN
Li + +Ciz + LiCl(s)
AH;,, = -408 610 J
LiCl(s) + 12HzO(Z) + LiCl(12HzO)
AH298 = -33 614 J
Li + ;Clg + 12H20(1) + LiCl(12HzO)
AH;,, = -442 224 J
La primera reacción describe un cambio químico que da como resultado la formación
de LiCl(s) a partir de sus elementos, y el cambio de entalpía que acompaña a esta
11.4 Efectos calorífTcos
en los procesos de mezclado
455
reacción es el calor estándar de formación de LiCl(s) a 25°C. La segunda reacción
representa el cambio ñsico que da como resultado la disolución de 1 mol de LiCl(s) en
12 moles de HsO(Z). El cambio de entalpía que acompaña a esta reacción es un calor
de disolución. El cambio de entalpía de -442 224 J para el proceso general se conoce
como el calor de formación de Lic1 en 12 moles de HsO. Esta cifra no incluye el calor
de formación del HsO.
Con frecuencia no se dan informes directos de los calores de disolución y se
deben derivar a partir de los calores de formación por medio del cálculo inverso al
que hemos ilustrado. Los datos dados por el Bureau of Standards16 para los calores de formación de 1 mol de Lic1 son
LiCl(s)
LiCl*HsO(s)
LiC1.2HsO(s)
LiCl*SHsO(s)
Lic1 en 3 moles de Hz0
Lic1 en 5 moles de Hz0
Lic1 en 8 moles de Hz0
Lic1 en 10 moles de Hz0
Lic1 en 12 moles de Hz0
Lic1 en 15 moles de Hz0
408 610 J
-712 580 J
-1012 650 J
-1311300 J
429 366 J
-436 805 J
-440 529 J
441 579 J
442 224 J
442 835 J
A partir de estos datos se calculan fácilmente los calores de disolución. Tómese el caso de la disolución de 1 mol de Lic1 en 5 moles de HsO. La reacción que
representa este proceso se obtiene como sigue:
Li + $1~ + 5HsO(Z) + LiCl(5HsO)
LiCl(s)
AH;,, = -436 805 J
+ L i + +Cls
AH;,, = 408 610 J
LiCl(s) + 5HsO(Z) + LiCl(5HsO)
~3~~~ = -28 195 J
Este cálculo se puede llevar a cabo para cada cantidad de HsO para la cual se
dan los datos. LosEultados se representan entonces convenientemente en forma
de una gráfica de AH, el calor de disolución por mol de soluto, contra ñ, los moles
de disolvente por mol de soluto. La variable de composición, ñ = n2/n1 se relaciona con x1:
ñ = dnl+n2)-1-~
xl(nl + nz)
x1
““The NBS lhbles of Chemical Thermodynamic Properties”, J, Phys.
supl. 2, pp. 2-291 y 2-292, 1982.
Chn. Rej Data, val. ll,
456
cApíTUL0 11. Temodinhnica de soluciones: aplicaciones
457
11.4 Efectos caloríficos en los procesos de mezclado
de donde
Por consiguiente, tenemos las relatines siguientes entre fi, el calor de mezclado
con base en 1 mol de solución, y AH, el calor de disolución con base en 1 mol de
soluto:
En la figura 11.17 se muestra la gráfica de Á?? contra ñ para LiCl(s) y HCl(g)
disueltos en agua a 25°C. Los datos en esta forma se aplican fácilmente a la resolución de problemas prácticos.
Ejemplo 11.5 Un evaporador de simple efecto que opera a la presión atmosférica
concentra una solución de LiCl, del 15% (en peso) al 40%. La solución que se alimenta entra al evaporador a la velocidad de 2 kg s-l a 25°C. El punto normal de
ebullición de una solución de Lic1 al 40% es aproximadamente 132”C, y su calor
específico se estima en 2.72 kJ kg-’ OC-l. QCuál es la velocidad de transferencia de
calor en el evaporador?
Los 2 kg de solución de Lic1 al 15% que entran al evaporador cada
segundo consisten en 0.30 kg de Lic1 y 1.70 kg de HzO. Un balance de material
muestra que 1.25 kg de Hz0 se evaporan y que se producen 0.75 kg de solución de
Lic1 al 40%. El proceso se indica esquemáticamente en la figura ll. 18.
SOLUCIÓN
Alimentación a 25%
2 kg Lic1 al 15%
F&ura 11.18:
Proceso del ejemplo 11.5.
CAPÍTULO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
458
Alimentación de 2 kg a 25’C
que contienen 0.30 kg de Lic1
y 1.70 kg de Hz0
-----__
t
mentación en espe-
AH:
- 4 kg de Hz0 a 25°C
1.25 kg de Hz0 a 25°C
0.30 kg de Lic1
a 25°C
0.45 kg de Hz0 a 25°C
------__
v
Mezclado de 0.45 kg’ de
agua con 0.30 kg de
Lic1 para formar una
solución al 40% a 25°C
-
t
AH;
- 4 0.75 kg de LiCI al 40% a 25°C
0.75 kg de solución de Lic1
al 40% a 132°C
F’igura 11.19:
1.25 kg de vapor sobrecalentado
a 132°C y 1 atm
Diagrama esquemático para el proceso del ejemplo 11.5.
El balance de energía para este proceso de flujo resulta en AHt = Q, en donde
AI? es la entalpía total de la corriente del producto menos la entalpía total de la
corriente de alimentación. Así, el problema se reduce a encontrar hHf a partir de los
datos de los que se dispone. Debido a que la entalpía es una función de estado, la
trayectoria utilizada para calcular hH” es inmaterial y se puede seleccionar como
dicte la conveniencia y sin referencia a la trayectoria real seguida en el evaporador.
Los datos de los que disponemos son los calores de disolución de Lic1 en Hz0 a 25°C
(figura ll. 17), y la trayectoria del cálculo que se muestra en la figura 11.19 nos
permite su uso directo.
Los cambios de entalpía para las etapas individuales que se presentan en la
figura ll. 19 deben sumarse para dar el cambio total de entalpía:
M=AH:+-AH,+AH,‘+AH;
Los cambios individuales de entalpía se determinan en la forma siguiente:
459
11.4 Efectos caloríficos en los procesos de mezclado
AH:: Esta etapa comprende la separación de 2 kg de una solución de Lic1 al
15% en sus constituyentes puros, a 25°C. Este es un proceso de “desmezclado” y el
efecto calorífico es el mismo que en el correspondiente proceso de mezclado, pero es
de signo opuesto. Para 2 kg de solución de Lic1 al 15%, los moles de materia que
entran son
(0.3)(1000)
42.39
= 7.077 mol Lic1
Y
(1.70) (i 000)
= 94.366 mol HsO
18.015
Así, la solución contiene 13.3 moles de Hz0 por mol de LiCl. De la figura ll. 17, el
calor de disolución por mol de Lic1 para ñ = 13.33 es -33 800 J. Para el
“desmezclado” de 2 kg de solución,
AH: = (+33 800)(7.077)
= 239 250 J
AH,: Esta etapa da como resultado la mezcla de 0.45 kg de agua con 0.30 kg de
Lic1 para formar una solución al 40%, a 25°C. Esta solución se hace a partir de
0.30 kg o
7.077 mol de Lic1
0.45 kg o
24.979 molde HsO
Y
Así, la solución final contiene 3.53 moles de HsO por mol de LiCl. De acuerdo con la
figura 11.17, el calor de disolución por mol de Lic1 a este valor de ñ es de -23 260 J.
Por consiguiente,
AH, = (-23 260)(7.077)
= -164 630 J
AH,: Para esta etapa se calientan 0.75 kg de solución de Lic1 al 40%, desde 25
hasta 132°C. Dado que AH: = m&AT,
AH; = (0.75)(2.72)(132
- 25) = 218.28 kJ
0
AH; = 218 280 J
AH:: En esta etapa el agua líquida se vaporiza y calienta a 132°C. El cambio de
entalpía se obtiene a partir de las tablas de vapor:
AH:, = (1.25)(2 740.3 - 104.8) = 3 294.4 kJ
0
AH; = 3 294 400 J
460
CAPÍTULO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
Sumando los cambios individuales de entalpía, se obtiene
A H = AH; +AH,‘+AH; +AH;
= 239 250 - 164 630 + 218 280 + 3 294 400
= 3 587 300 J
Por consiguiente, la velocidad de transferencia de calor requerida es de 3 587.3
kJ s-l.
El método más conveniente para la representación de los datos de entalpía
para soluciones binarias es mediante los diagramas de entalpialconcentración (Hx).
Estos diagramas son gráficas de la entalpía como una función de ia composición
(fracción mol o fracción masa de una especie), con la temperatura como parámetro.
La presión es una constante y usualmente es 1 atmósfera. En la figura 11.20 se
muestra un diagrama parcial para el sistema H20SO&&O.
Los valores de entalpía están basados en un mol o unidad de masa de solución, y la ecuación (11.39) es aplicable directamente. Los valores de H para la
solución dependen no solamente de los calores de mezclado, sino también de las
entalpías HI y Hz de las especies puras. Una vez que éstos son conocidos para unas
T y P dadas, se fija H para todas las soluciones a las mismas T y P, porque AH
tiene un valor único, medible, para cada composición. Dado que las entalpías absolutas se desconocen, se escogen puntos arbitrarios como cero para las entalpías de
las especies puras. Así, la base de un diagrama de entalpíajconcentración es HI =
0 para algún estado especificado de la especie 1, y Hz = 0 para algún estado
especificado de la especie 2. No se necesita escoger la misma temperatura para
estos estados de ambas especies. En el caso del diagrama H&!,O&I20 mostrado
en la figura 11.20, HI = 0 para Hz0 líquida pura en el punto t.riple [ z 32(“F)], y
Hz = 0 para HzS04 líquido puro a 25°C [77(“F)]. En este caso, la isoterma 32(“F)
termina en H = 0 en el extremo del diagrama. que representa el Hz0 líquida pura,
y la isoterma 77(“F) termina en H = 0 en el otro extremo del diagrama que representa al HzS04 líquido puro.
La ventaja de tomar H = 0 para el agua líquida pura en su punto triple es
que ésta es la base de las tablas de valor. Los valores de entalpía a partir de las
tablas de vapor se pueden usar entonces en conjunción con valores tomados del
diagrama de entalpía/concentración. Si hubieran algunas otras bases para el
diagrama, se podría aplicar una corrección a los valores de las tablas de vapor para
ponerlos sobre la misma base que el diagrama.
Para una solución ideal, las isotermas en el diagrama de entalpía/coneentración son líneas rectas que conectan la entalpía de la especie pura 2, axl = 0, con la
entalpía de la especie pura 1, a x1 = 1. Esto se deduce inmediatamente de la
ecuación (10.83),
Hid = xlH1 + (1 -i1)H2 = xl(H1 -Hz) + H2
y se ilustra para una sola isoterma en la figura 11.21 por la línea punteada. La
curva continua muestra cómo la isoterma podría aparecer para una solución ver-
461
11.4 Efectos calorífkos en los procesos de mezclado
-60
0
10
20
30
40
50
60
% peso HzS04
70
80
90
100
F’igura 11.20: Diagrama Hx para H~SOJ/H~O. (Tomado de los datos de WI D. RQSS,
Ch.em. Eng. Prog., vol. 48, pp. 314 y 315, 1952. Con autorización.)
dadera. También se muestra una línea tangente a partir de la cual se pueden determinar las entalpías parciales de acuerdo con las ecuaciones ( 10.15) y ( 10.16). La
comparación de la ecuación (10.83) con la ecuación (11.39) muestra que AH = H
- Hid; esto es, AH es la distancia vertical entre la curva y la línea punteada de la
figura 11.21. Aquí, la isoterma verdadera queda debajo de la isoterma de la solución ideal, y AH es negativa en todo sitio. Esto significa que siempre que se moz-
CAPÍTULO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
462
l
0
zl, fracción mal o de masa del
componente 1 en solución
t
2 puro
Figura 11.21:
t
1 puro
Construcciones gráficas sobre un diagrama de Hx.
clan especies puras a una temperatura dada para formar una solución a la misma
temperatura, hay liberación de calor. Se dice que ese sistema es exotérmico. El
sistema HsS04H20 es un ejemplo. Un sistema endotémico es uno en el cual los
calores de disolución son positivos; en este caso hay absorción de calor para conservar constante la temperatura. Un ejemplo es el sistema metanol/benceno.
Una característica de un diagrama de entalpía/concentración que lo hace
particularmente útil es la facilidad con la cual se pueden resolver los problemas
que comprenden mezclado adiabático. Esto es el resultado del hecho de que el
mezclado adiabático se puede representar por una línea recta sobre el diagrama de
Hx. Más precisamente, el punto en el cual el diagrama íle Hx representa una solución formada por la mezcla adiabática de otras dos soluciones debe quedar sobre la
línea recta que conecta los puntos que representan a las dos soluciones iniciales.
Esto se puede demostrar en la forma siguiente.
Sean los superíndices a y b los que identifiquen las dos soluciones binarias
iniciales, las cuales consisten enria ynb moles, respectivamente. Sea el superíndice
c el que identifique la solución final que se obtiene por la mezcla simple de las
soluciones a y b en un proceso adiabático. Este proceso puede ser un mezclado por
lotes a presión constante o de un proceso de flujo uniforme que no involucre trabajo de eje ni un cambio en la energía potencial o cinética. En cualquier caso,
11.4
Efectos calorticos
463
en los procesos de mezclado
AHt=&=O
Por consiguiente, para el cambio general en estado se puede escribir
(na + nb)HC = naHa + nb@
Además, un balance de material para la especie 1 da
(na + n")xi = na$ + nb 2,"
Estas dos ecuaciones se pueden escribir
na(HC -Ha) = -nb(Hc - @)
Y
na(x~ - 4) = -nb(x,” - x:,“)
La división de la primera ecuación entre la segunda da
HC-Hb
H”-H”
g-g.; = x; - x;
(4
Ahora se demostrará que los tres puntos, c, a y b, representados por (He, xf), (Ha,
$‘) y (Hb, 4) quedan a lo largo de una línea recta sobre un diagrama de Hx. La
ecuación general para una línea recta en estas coordenadas es
H = mzl + k
(BI
Considerando que esta línea pasa a través de los puntos a y b, puede escribirse
Ha = mxf + k
(0
Hb=mxF+k
(0
Y
Al restar primero la ecuación (c) y después la ecuación (D) de la ecuación (B), da
H-Ha = m(xl- $‘)
Y
H-Hb = m(xl- x,“)
Dividiendo la primera de éstas entre la segunda, se obtiene
CAPfTVL.0
11.
Termodinámica
de
soluciones:
aplicaciones
11.4 Efectos calorficos en los procesos de mezclado
465
H-H”
x, - xi
H-Hb =% -4
0 bien
H - H ” = H-Hb
x1 - xl”
x1 - x;
Cualquier punto con las coordenadas (H, XI) que satisfaga esta ecuación queda
sobre la línea recta que conecta los puntos a y b. La ecuación (A) muestra claramente que el punto (H’, zi ) satisface este requerimiento.
El uso de diagramas de entalpíahoncentración
se ilustra en los ejemplos siguientes para el sistema NaOHB&O; en la figura 11.22, se presenta un diagrama
Hx.
Ejemplo
ll.6 Un evaporador de simple efecto concentra 10 000 (lb,)(hr)-’ de una
solución acuosa de NaOH del 10% (en peso) al 50%. La solución que se alimenta
entra a 70(“F). El evaporador opera a una presión absoluta de 3 (in Hg), y bajo
estas condiciones el punto de ebullición de una solución de NaOH al 50% es 190(“F).
%Cuál es la velocidad de transferencia de calor en el evaporador?
Sobre la base de 10 000 (Ib,) de NaOH al 10% alimentada al evaporador,
SOLUCIÓN
un balance de material muestra que la corriente de producto consiste en 8 000 (Ib,)
de vapor sobrecalentado a 3(in Hg) y 190(“F), y 2 000 (Ib,) de NaOII al 50$ a
190(“F). El proceso se indica esquemáticamente en la fígura 11.23. El balance de
energía para este proceso de flujo es
En este caso hHt se determina fácilmente a partir de los valores de entalpía tomados
del diagrama Hx de la figura ll.22 y de las tablas de vapor:
Entalpía de vapor sobrecalentado a 3(in Hg) y 190(“F) = 1 146 (Btu)(lb,)-’
Entalpía de solución de NaOH al 10% a 70(“F) = 34 (Btu)(lb,J’a
Entalpía de solución de NaOH al 50% a 190(‘F) = 215 (Btu)(lb,)-’
F’igura
11.23:
Q
Diagrama esquemático para cl proceso del ejemplo 11.6.
CApfTLnO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
466
Así,
Q = L\Ht = (8 000)(1146) + (2 000)(215)- (10 000)(34)
= 9 260 OOO(Btu)(hr)-l
Una comparación de este ejemplo con el ejemplo ll 5 muestra la simplificación
introducida por el uso de un diagrama de entalpíajeoneentración.
Ejemplo 11.7 Una solución acuosa de NaOH al 10% a 70(“F) se mezcla con una
solución acuosa de NaOH al 70% a 200(“F) para formar una solución que contiene
40% de NaOH.
a)
b)
Si la mezcla se hace adiabáticamente, icuál es la temperatura final de la
solución?
Si la temperatura final se lleva a 70(“F), kuánto calor se debe eliminar
durante el proceso?
a) La línea recta dibujada en la figura ll.22 que conecta los puntos que
representan las dos soluciones iniciales debe contener el punto que representa la
solución final obtenida por la mezcla adiabática. La solución particular representada por un punto sobre esta línea a una concentración de 40% de NaOH tiene una
entalpía de 192 (Btu)(lb,)-r. Además, la isoterma para 220(“F) pasa a través de
este punto. Así, la temperatura final, obtenida gráficamente, es 220(“F).
b) El proceso general no se puede representar por una sola línea recta sobre la
figura 11.22. No obstante, debe seleccionarse cualquier trayectoria conveniente para
calcular AH del proceso y de aquí Q, dado que el balance de energía da Q = AH. Así,
se puede considerar que el proceso ocurre en dos etapas: mezclado adiabático, seguido de un enfriamiento simple de la solución resultante hasta la temperatura final.
La primera etapa se considera en la parte a) y da como resultado una solución a
220(“F) con una entalpía de 192 (Btu)(lb,)-‘. Cuando esta solución se enfría a
‘70(“F), la entalpía que resulta a partir de la figura ll.22 es 70 (Btu)(lb,)-r. Por
consiguiente,
SOLUCIÓN
Q = AH = 70 - 192 = -122(Btu)(lb,)-’
Así, se desprenden 122 (Btu) por cada libra de masa de la solución formada.
Ejemplo 11.8 Determinar la entalpía de NaOH sólido a 68(“F) sobre la base usada para el diagrama de entalpíajconcentración
de NaOH/HsO de la figura 11.22.
Las isotermas sobre un diagramaHx para un sistema como el de NaOH/
PIsO terminan en puntos donde se alcanza el límite de solubilidad del sólido en agua.
Así, las isotermas de la figura 11.22 no se extienden a una fracción masa que representa al NaOH puro. iCómo se selecciona, entonces, la base del diagrama con respecto a NaOH? En el caso del agua, la base es Hnso = 0 para el agua líquida a
32 (“F) , consistente con la base de las tablas de vapor. Para NaOH, la base es HNaoH
= 0 para NaOH en una solución diluida infinitamente a 68(“F).
SOLUCIÓN
Esto significa que la entalpía específica parcial de NaOH a dilución infinita (o
sea axN,,on + 0) se ajusta arbitrariamente igual a cero a 68(“F). La interpretación
gráfica es que el diagrama se ha construido en tal forma que una tangente dibujada
ll .4 Efectos caloríficos en los procesos de mezclado
467
a la isoterma a 68(“F), a X&OH = 0, intersecta la ordenada X&OH = 1 (no se muestra) en una entalpía de cero. La selección de H&, como cero a 68(“F) fija
automáticamente los valores de la entalpía de NaOH en todos los otros estados.
En particular, la entalpía de NaOH sólido a 68(“F) se puede calcular para la
base seleccionada. Si 1 (Ib,) de NaOH sólido a 68(“F) se disuelve en una cantidad
infinita de agua a 68(“F), y si la temperatura se mantiene constante por extracción
del calor de disolución, el resultado es una solución diluida infinitamente a 68(“F).
Como el agua es pura en los estados inicial y final, su entalpía no cambia. El calor de
disolución a 68(“F) es, por consiguiente,
No obstante, Eca,, = 0 a 68(“F). Por consiguiente,
%%OH =
-HN&H
~6wF)1
La entalpía de NaOH sólido a 68 (“F) , H&OH, es por consipiente ipal a.1 ncgativo del calor de disolución de NaOH en una cantidad infinita de agua a 68(“F). Un
valor de la literatura,17 para este calor de disolución a 25°C sobre la base de 1 mol de
NaOH, es
Á-GGO” = -10 637(cal)
[25x]
Si la diferencia en temperatura entre 25°C [77(“F)] y 68(“F) se desprecia, la entalpía
del NaOH sólido a 68(“F) es
-
HN~OH
= -m:ao,
-(-lo 637)(1.8)
= ~~ = 478,7(Btu)(lb,)-’
40.00
Este valor representa la entalpía del NaOH sólido a 68(“F) sobre la misma base que
se seleccionó para el diagrama de entalpíajconcentración
para NaOH/H20 de la fígura 11.22.
Ejemplo ll.9 NaOH sólido a 70(“F) se mezcla con HsO a 70(“F) para producir
una solución que contiene 45% de NaOH a 70(“F). iCuánto calor se debe transferir
por libra de masa de la solución formada?
Sobre la base de l(lb,) de solución al 45% de NaOH, se deben disolver
0.45 (Ib,) de NaOH sólido en 0.55 (Ib,) de HzO. El balance de energía es AH = Q.
La entalpía de Hz0 a 70(“F) se debe tomar de las tablas de vapor, o se puede leer en
la figura ll.22 a51 = 0. En cualquier caso, HQO = 38 (Btu)(lb,,)-‘. La entalpía de
NaOH al 45% a 70(“F) se lee en la figura 11.22 como H = 93 (Btu)(lb,,)-‘. Se
asume que la entalpía del NaOH sólido a 70(“F) es prácticamente la misma que el
SOLUCIÓN
17M W. Chase, Jr., et al., “JMm Thermochemical ‘Ihbles”, 3a. ed., JI’hys.
14, sllpl. 1, p. 1243, 1985.
Chem.
Ref Data, ~701.
468
CAPÍTULO ll. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
valor calculado en el ejemplo precedente para 68(“F); HN~OH
Por consiguiente,
& = AlY = (1)(93) - (0.55)(38) - (0.45)(4’78.7)
= 478.7 (Btu)(lbJl.
= -143(Btu)
Así, se desprenden 143 (Btu) por cada libra de masa de solución formada.
ll .5
Bases moleculares para el comportamiento de las mezclas
Las relaciones entre las propiedades en exceso y los cambios de propiedades del
mezclado (sección 11.3) facilitan la explicación de los fenómenos moleculares que
dan lugar al comportamiento que se observa de las propiedades en exceso. Una
conexión indispensable es proporcionada por la ecuación (ll. 33), la que asegura la
identidad de HE y de AH. Así, podemos enfocar el proceso de mezclado (y de éste,
AH) para explicar el comportamiento de HE.
El signo y la magnitud de AH reflejan aproximadamente las diferencias en
las fuerzas de las atracciones intermoleculares entre pares de especies diferentes,
por un lado, y pares de especies iguales por el otro. En el proceso estándar de
mezclado (sección 11.3) las interacciones entre las especies iguales son interrumpidas, mientras que las interacciones entre especies diferentes son promovidas. Si
las atracciones diferentes son más de%iks que el promedio de aquéllas entre especies de la misma clase, entonces en el proceso de mezclado se requiere más energía
para romper las atracciones similares de la que es disponible por medio de la formación de atracciones diferentes. En este caso, AH (= HE) es positivo, o sea, el
proceso de mezclado es endotérmico. Si las atracciones distintas son más fuertes,
entonces AH es negativo y el proceso de mezclado es exotérmico.
En las secciones 3.8 y 10.10 se identifican las interacciones intermoleculares
atractivas de cuatro clases: dispersión, inducción, electrostáticas directas y
cuasiquímicas. A continuación, presentamos una lista que resume los puntos importantes:
1. De las cuatro interacciones atractivas, siempre existe la fuerza de dispersión,
la que domina cuando las moléculas que interactúan son no polares o ligeramente polares. (VW la tabla 3.2 y la explicación que la acompaña.)
2. La fuerza de inducción requiere que al menos una de las especies que
interactúan sea polar. Con frecuencia es la más débil de las fuerzas “físicas”
atractivas intermoleculares (tabla 3.2).
3. Para las moléculas neutras, la más sencilla y normalmente la mayor fuerza
electrostática directa es la que opera entre dos dipolos permanentes. Esta
fuerza puede dominar las interacciones “físicas” atractivas si las moléculas
tienen una elevada polaridad efectiva, o sea, si son pequeñas y tienen dipolos
permanentes grandes.
4. Las fuerzas cuasiquímicas, cuando existen, pueden ser las de mayor energía
de las cuatro interacciones atractivas. Sin embargo, su existencia-requiere de
ll .5 Bases moleculares para
el comportamiento de las mezclas
469
una estructura química especial de las moléculas interactuantes. El enlace de
hidrógeno es la interacción más importante de este tipo, aun cuando la formación de complejos por transferencia de carga puede jugar un papel relevante en algunas clases de sistemas.
Con estas nociones en mente, se ofrecen algunas racionalizaciones de los signos y magnitudes que se observan de HE ( = AH) para mezclas líquidas binarias de
las clases que se han explicado en la sección 10.11.
HE de mezclas NPINP
Aquí, las fuerzas de dispersión usualmente son las únicas fuerzas intermoleculares
atractivas significativas. Así, HE refleja los efectos energéticos asociados con la
ruptura de las interacciones de dispersión entre especies semejantes, así como la
promoción simultánea de interacción por dispersión entre especies diferentes. La
teoría molecularrs sugiere que las fuerzas de dispersión entre especies diferentes
son más débiles que el promedio de las fuerzas de dispersión entre especies semejantes. (Esta es la base molecular de la regla elemental de química “lo semejante
prefiere a lo semejante”.) Aquí, entonces, uno espera que HE sea positiva. Esto es
lo que se observa usualmente para mezclas NP/NP (figura 10.7).
HE de mezclas NNNP
Para mezclas de esta clase, las interacciones entre moléculas de especies semejantes son de diferente naturaleza para las dos especies. En particular, dos moléculas
de especies polares experimentan una interacción electrostática directa y una
interacción de inducción (usualmente débil), además de la usual interacción de
dispersión; aquí, las fuerzas de atracción son de mayor energía que las observadas
para especies no polares de tamaño y geometría semejantes. Por otro lado, la
interacción entre especies diferentes comprende solamente las fuerzas de dispersión y las (débiles) de inducción. Se espera, por consiguiente, que HE sea positivo,
sólo un poco mayor que para otras mezclas NP/NP similares. En promedio, los
experimentos corroboran esto (figura 10.7).
HE de mezclas ASINP
Como para las mezclas NPINP y NAINP, se espera que HE sea positivo; esto es lo
que se muestra en la figura 10.7. No obstante, con frecuencia se observa que HE
sólo es de magnitud modesta, con frecuencia menor que HE para otras mezclas
NA/NP similares. La razón para esto es la energía inusual de las interacciones
semejantes para las especies polares asociativas. Aquí, los complejos con enlaces
lsVer, p. ej., J. M. Prausnitz, R. N. Lichtenthaler y E. G. de Azevedo, Molecular !lRermodinamics
2a. ed., Sec. 4.4, Prentice-Hall, Englewood, N. J. 1986.
of Fluid-Phase Equilibria,
CAPÍTUL,O
470
ll.
Termodinámica
de
soluciones:
aplicaciones
de hidrógeno para las especies polares pueden persistir aún en soluciones más bien
diluidas, mitigando así los valores positivos que de otro modo serían muy elevados
del HE que se espera a partir de simples argumentos de rupturafpromoción.
HE de mezclas de NA/NA
de solvatación
Estas mezclas son las principales ocupantes de la Región IV de la figura 10.7.
Dado que ninguna de las especies se asocia por enlaces de hidrógeno, las atracciones entre especies iguales son resultado de interacciones de dispersión, inducción y
dipolo/dipolo. Las mismas clases de interacciones se obtienen para moléculas diferentes, pero además hay la sobreposición de una fuerte atracción debida a la formación de complejos de solvatación con enlaces de hidrógeno. El efecto neto es un
valor para HE; el sistema es exotérmico.
HE de mezclas AS/NA y ASIAS
Ocurren toaos los cuatro tipos de interacciones atractivas entre especies no iguales, y al menos una de ellas para las especies puras. Así, el signo y la magnitud de
HE reflejan un equilibrio entre los efectos competitivos de interacciones dipolo/
dipolo, asociación y solvatación. La predicción cualitativa del comportamiento
entálpico es difícil, excepto por analogía. En la figura 10.7 se sugiere la diversidad
de comportamientos observados para tales mezclas.
La entropía en exceso se relaciona con AS a través de las ecuaciones (11.3 1)
y (11.35). Así,
(11.40)
en donde
ASid = -R c xi In xi
<
(11.35)
Una solución ideal es una que comprende moléculas de tamaño y forma idénticos,
y para las cuales las fuerzas intermoleculares son las mismas para toaos los pares
de moléculas, sean iguales o diferentes. Para tales soluciones hipotéticas, el cambio de entropía del mezclado, dado por la ecuación (11.35), siempre es positivo.
En una mezcla verdadera, las moléculas de especies diferentes tienen tamaños y/o formas diferentes, y las energías intrínsecas de las interacciones moleculares
son diferentes para pares moleculares diferentes. Como resultado, AS para una
mezcla verdadera puede ser mayor o menor que Asid, y de acuerdo con la ecuación
(11.40), SE puede ser positivo o negativo. A fín de racionalizar el comportamiento
de SE, encontramos conveniente considerar por separado los efectos de tamaño/
forma por un lado y los efectos eh-ucturales por otro. (La palabra “estructura” se
refiere al orden seguido a nivel molecular por las fuerzas intermoleculares.)
11.5 Bases moleculares para el comportamiento de las medas
471
Los efectos de formdtamaño dan como resultado un AS mayor que ASid, de
donde vemos que proporcionan una contribución positiva a SE. Prausnitz et a1.lg
explican los papeles relativos de tamaño y forma, y dan referencias de la literatura
relevante. Si se consideran únicamente los efectos de tamaño, laecuación de FloryHuggins íla un límite superior aproximado a esta contribución SE
en
donde
las @i son las fracciones aparentes de volumen,
ai =xivi
c xjvj
y las Vi son los volúmenes molares de las especies puras.
Las contribuciones estructurales a AS (y de aquí, a SE) reflejan principalmente las energías relativas de las atracciones intermoleculares en competencia.
Considérese la mezcla de especies polares no asociativas (p. ej., acetona) con una
especie no polar (p. ej., n-hexano). Energéticamente, el resultado neto del proceso
de mezclado se determina principalmente por la energía asociada con la ruptura de
las interacciones dipolddipolo, como se explicó antes respecto al HE para las mezclas NA/NP Con respecto a la entropía, éste es un proceso de ruptura de estructura
en donde los agregados moleculares promovidos por una fuerte interacción dipolo/
clip010 se rompen en el mezclado.
Considere mejor la mezcla de aos especies polares no asociativas, una es un
donador de hidrógeno y la otra es un receptor de hidrógeno (p. ej., cloroformo/
acetona, figura 10.5~). Energéticamente, el resultado neto del proceso de mezclaa0 es determinado principalmente por la energía asociada con la formación de un
complejo de solvatación, como se discutió anteriormente con respecto a HE en el
proceso de solvatación de mezclas NAINA. Este es un proceso de formación de
estructura, en donde los agregados moleculares promovidosseforman por una fuerte
interacción cuasiquímica en el mezclado.
La ruptura de estructura implica una contribución positiva a SE( AS > Asid),
mientras que la formación de estructura, una contribución negativa a SE(AS <
Asid). Cuando se usan en conjunción con argumentos de tamaño/forma, estas
simples nociones ayudan a explicar los signos para SE que se observan. Como un
ejemplo, consideremos de nuevo las mezclas líquidas binarias de las clases explicadas en la sección 10.11.
lgJ. M. Prausnitz, R. N. Lichtenthaler y E. G. de Azevedo, op. cit., sección 7.4.
CAPÍ!lUL,O
472
11. Termodinámica de soluciones: aplicaciones
SE de mezclas NP/NP
En ausencia de efectos significativos de tamaño/forma, SE es usualmente positivo, debido a la debilidad relativa de las atracciones intermoleculares entre no
semejantes y semejantes. Así, la ruptura de estructura en el mezclado es un
efecto más fuerte que la formación de estructura. Sin embargo, las contribuciones de la entalpía a GE dominan con frecuencia, y se obtiene el comportamiento
de la Región 1. Para mezclas de especies de tamaño significativamente diferente
(p. ej., n-hexanoln-hexadecano), las contribuciones positivas de tamaño/forma
pueden reforzar los efectos estructurales, produciendo valores de SE sufícientemente grandes para que domine la entropía; entonces @ es negativa y se observa el comportamiento de la Región VI.
SE de mezclas NA/NP
Como ya lo anotamos, el proceso de mezclado comprende aquí principalmente la
ruptura de estructura (contribuciones positivas a SE). Los efectos de tamañolforma pueden tener una influencia en aumento para producir una SE sustancialmente
positiva. Sin embargo, con frecuencia HE es también grande, y la entalpía domina
usualmente (Región 1).
SE de mezclas ASINP
El mezclado promueve nominalmente una interrupción de la ruptura de estructura de los complejos con enlaces de hidrógeno de las especies asociativas. No obstante, la persistencia de estos complejos en la solución, aun a diluciones elevadas,
puede reducir grandemente esta contribución positiva a SE, originando valores
negativos de SE en gran parte dentro del rango de composición. Este efecto se
observa para mezcla de asociadores fuertes (p. ej., alcoholes y ácidos carboxílicos)
con hidrocarburos. Un ejemplo es el sistema etanol/n-heptano de la figura 10.5d,
la cual muestra el comportamiento de la Región II.
SE de mezclas NA/NA
de solvatación
Como se anotó en una explicación anterior, ésta es una situación predominantemente de formación de estructura, y SE es negativo. No obstante, HE también es
negativo (y grande), de donde usualmente la entalpía domina, haciendo que GE sea
negativo (Región IV).
SE de mezclas AS/NA y ASIAS
Las complejidades explicadas con respecto a HE también se aplican a SE; los efectos
de ruptura de estructura y de formación da estructura compiten para proporcionar
una variedad de combinaciones de signos y un intervalo de magnitudes para SE.
473
Problemas
PROBLEMAS
11.1. Las ecuaciones análogas a las ecuaciones (10.15) y (10.16) se aplican para las
propiedades en exceso. Dado que In yi es una propiedad parcial con respecto a
@/RT, estas ecuaciones análogas se pueden escribir para In yr y In y2 en un
sistema binario.
a)
Escriba estas ecuaciones y aphquelas a la ecuación (11.13) para demostrar que
también se obtienen las ecuaciones (ll. 14) y ( ll. 15).
b)
El procedimiento alternativo es la aplicación de la ecuación (10.94). Procediendo del modo que nos llevó a las ecuaciones (ll .8), demuestre que las ecuaciones
(11.14) y (11.15) se reproducen nuevamente.
11.2. El siguiente es un conjunto de datos de EVL para el sistema metanol(l)/agua(2) a
333.15 K (sacados de K. Kurihara, et al., J. Chem. Eng. Data, vol. 40, pp. 679-684,
1995):
PikPa
ZI
yl
Plkpa
XI
Yl
19.953 0.0000 0.0000
60.614 0.5282 0.8085
39.223 0.1686 0.5714
63.998 0.6044 0.8383
42.984 0.2167 0.6268
67.924 0.6804 0.8733
48.852 0.3039 0.6943
70.229 0.7255 0.8922
52.784 0.3681 0.7345
72.832 0.7776 0.9141
56.652 0.4461 0.7742
84.562 1.0000 1.0000
a)
Fundamentando los cálculos en la ecuación (1 l.l), encuentre valores de los
parámetros para la ecuación de Margules que proporcionen el mejor ajuste
de GE/RT a los datos, y prepare un diagrama Pxy en el que se comparen los
puntos experimentales con las curvas determinadas a partir de la correlación.
b)
Repita a) para la ecuación de van Laar.
CI
Repita a) para la ecuación de Wilson.
4
Utilizando el método de Barker, encuentre los valores de los parámetros para la
ecuación de Margules que proporcionen el mejor ajuste de los datos de P-XI.
Prepare un diagrama que muestre los residuales SP y 6yr en la gráfica contra
x1.
e)
Repita d) para la ecuación de van Laar.
.fJ
Repita d) para la ecuación de Wilson.
11.3. El siguiente es un conjunto de datos de EVL
a 55°C (sacado de D. C. Reshwater
179-183, 1967):
para el sistema acetona( l)/metanol(Z)
y K. A. Pike, J. Chm. Eng. Data, vol. 12, pp.
CAPh7JLO
474
P/kPa
x1
ll.
Termodinámica
Yl
de
P/kPa
soluciones:
aplicaciones
x1
68.728 0.0000 0.0000
Yl
97.646 0.5052 0.5644
72.278 0.0287 0.0647
98.462 0.5432 0.6174
75.279 0.0570 0.1295
99.811 0.6332 0.6772
77.524 0.0858 0.1848
99.950 0.6605 0.6926
78.951 0.1046 0.2190
100.278 0.6945 0.7124
82.528 0.1452 0.2694
100.467 0.7327 0.7383
86.762 0.2173 0.3633
100.999 0.7752 0.7729
90.088 0.2787 0.4184
101.059 0.7922 0.7876
93.206 0.3579 0.4779
99.877 0.9080 0.8959
95.017 0.4050 0.5135
99.799 0.9448 0.9336
96.365 0.4480 0.5512
96.885 1.0000 1.0000
a)
Con base en la ecuación (11.1) haga los cálculos para encontrar valores de los
parámetros para la ecuación de Margules que den el mejor ajuste de @lRT a los
datos, y prepare un diagrama Pxy que haga una comparación de los puntos
experimentales con las curvas determinadas a partir de esa correlación.
b)
Repita a) para la ecuación de van Laar.
c)
Repita a) para la ecuación de Wilson.
d)
Usando el método de Barker, encuentre los valores de los parámetros para la
ecuación de Margules que den el mejor ajuste de los datos P-XI. Prepare un
diagrama en el que se muestren los residuales 6P y 6yr en la gráfica contra x1.
e)
Repita d) para la ecuación de van Laar.
fi
Repita d) para la ecuación de Wilson.
11.4. El siguiente es un conjunto de datos de coeficientes de actividad para un sistema
líquido binario tal como se determina a partir de los datos de EVL:
x1
Yl
Y2
x1
-Yl
Y2
0.0523
1.202 1.002
0.5637
1.120
1.102
0.1299
1.307 1.004
0.6469
1.076
1.170
0.2233
1.295 ‘1.006
0.7832
1.032
1.298
0.2764
1.228 1.024
0.8576
1.016
1.393
0.3482
1.234 1.022
0.9388
1.001
1.600
0.4187
1.180 1.049
9.9813
1.003
1.404
0.5001
1.129 1.092
Problemas
475
La inspección de estos valores experimentales sugiere que presentan ruido, pero la
cuestión es saber si son consistentes y, por consiguiente, posiblemente que en promedio sean correctos.
a)
Encuentre valores experimentales para GE/RT y trace una gráfica de ellos junto
con los valores experimentales de In 71 y In ‘ys en una sola gráfica.
b)
Desarrolle una correlación válida para la dependencia con respecto a la composición de @lRT y muestre líneas en la gráfica de la parte a) que representen esta
correlación para las tres cantidades grafícadas ahí.
c)
Aplique la prueba de consistencia descrita en el ejemplo 11.1 a estos datos, y
llegue a una conclusión con respecto a esta prueba.
11.5. Los datos de EVL para el metilter-butil éter(l)/diclorometano(2) a 308.15 K (tomado de F! A. Mato, C. Berro y A. Péneloux, J. Chem.
1991) son como sigue:
PlkPa
x1
yl
P/kPa
Eng. Data, vol. 36, pp. 259-262,
51
Yl
85.265 0.0000 0.0000
59.651 0.5036 0.3686
83.402 0.0330 0.0141
56.833 0.5749 0.4564
82.202 0.0579 0.0253
53.689 0.6736 0.5882
80.481 0.0924 0.0416
51.620 0.7676 0.7176
76.719 0.1665 0.0804
50.455 0.8476 0.8238
72.422 0.2482 0.1314
49.926 0.9093 0.9002
68.005 0.3322 0.1975
49.720 0.9529 0.9502
65.096 0.3880 0.2457
49.624 1.0000 1.0000
Los datos están bien correlacionados por la ecuación de Margules
[una extensión de la ecuación (11.7)]:
de tres parámetros
En esta ecuación están implicadas las expresiones
In x = x~[Al;! + 2(& -AE - C)xl + 3Cxf]
In -ys = xf[Asr + 2(A12 -Azl - C)ZZ + 3Cx~]
a)
Base sus cálculos en la ecuación (ll. 1) y encuentre los valores de los parámetros
A12, A21 y C que den el mejor ajuste a los datos de GE/RT.
b)
Prepare una gráfica de In yr, In ys y GE/xlx&T contra x1 demostrando la correlación y los valores experimentales.
CAPÍ!K?LO
476
11.
Termodinámica
de
soluciones:
aplicaciones
c)
Prepare un diagrama Pxy (ver figura 11.10) en donde se comparen los datos
experimentales con la correlación determinada en a) .
d)
Prepare un diagrama de la prueba de consistencia como el de la figura 11.12.
e)
Usando el método de Barker, encuentre los valores para los parámetros Als, ABI
y C que den el mejor ajuste de los datos de P-XI. Prepare un diagrama que
muestre los residuales 6P y Syl en la gráfica contra xi.
11.6. A continuación están los datos de EVL para el sistema acetonitrilo( l)/benceno(2) a
45°C (tomado de 1. Brown y F! Smith, Austral J. Chem., vol. 8, p. 62, 1955):
fe&
x1
Yl
P/kPa
x1
Yl
29.819 0.0000 0.0000
36.978 0.5458 0.5098
31.957 0.0455 0.1056
36.778 0.5946 0.5375
33.553 0.0940 0.1818
35.792 0.7206 0.6157
35.285 0.1829 0.2783
34.372 0.8145 0.6913
36.457 0.2909 0.3607
32.331 0.8972 0.7869
36.996 0.3980 0.4274
30.038 0.9573 0.8916
37.068 0.5069 0.4885
27.778 1.0000 1.0000
Los datos están bien correlacionados por la ecuación de Margules
(ver el problema ll. 5).
de tres parámetros
a)
Base sus cálculos en la ecuación ( ll. 1) y encuentre los valores de los parámetros
A12, Az1 y C que proporcionen el mejor ajuste de GE/RT a los datos.
b)
Prepare una gráfica de In yi, In ys y @lxlx&T
la correlación como los valores experimentales.
c)
Prepare un diagrama Pxy (ver la figura 11.10) en el que se comparen los datos
experimentales con la correlación determinada en a) .
d)
Prepare un diagrama de prueba de consistencia como el de la figura ll. 12.
e)
Usando el método de Barker, encuentre los valores de los parámetros Ais, Azl y
C que den el mejor ajuste de los datos P-XI. Prepare un diagrama que muestre
los residuales SP y Syl en una gráfica contra xi.
11.7. Si la ecuación (11.1) es válida para EVL isotérmicas
tre que
contra xi que demuestre tanto
en un sistema binario, demues-
11.8. A 25°C y presión atmosférica los volúmenes en exceso de mezclas líquidas binarias
de las especies 1 y 2 se dan por la ecuación
Problemas
477
en donde Vestá en cm3 mal-l. En estas cond&ioneA, VI = 110 y Vz = 90 cm3 mal-l.
Determine los volúmenes molares parciales V, y V, en una mezcla que contenga 40
mol % de la especie 1 a las condiciones dadas.
11.9. Los volúmenes en exceso (cm3 mal-‘) para el sistema etanol(l)/metil butil éter(2) a
25” se dan por la ecuación
p = z1x2[-1.026
+ 0.220(x1
- ~$1
Dado que VI = 58.63 y Vz = 118.46 cm3 mal-‘, Poqué volumen de la mezcla se forma
cuando se mezclan 750 cm3 de la especie pura 1 con 1 500 cm3 de la especie 2 a
25”C? %Cuál podría ser el volumen si se formara una solución ideal?
11.10.
Si se mezcla isotérmicamente Lic1 .2HzO(s) y HzO(Z) a 25°C para formar una solución que contenga 10 moles de agua por cada mol de LiCl, icuál es el efecto calorífico
por mol de solución?
11.11.
Si una solución líquida de HCl en agua que contiene 1 mol de HCl y 4.5 moles de
H20, absorbe 1 mol adicional de HCl(g) a temperatura constante de 25°C icuál es el
efecto
calorífico?
11.12. QCuál
es el efecto calorífico cuando 20 kg de LiCl(s) se añaden a 125 kg de una
solución acuosa que contiene 10% en peso de Lic1 en un proceso isotérmico a 25”C?
11.13. Una masa de 12 kg s-l de Cu(NO& . 6HzO junto con 15 kg s-l de agua, ambos a
25”C, se alimentan a un tanque en el que se efectúa la mezcla. La solución que resulta pasa a través de un intercambiador de calor que ajusta su temperatura a 25°C.
BCuál es la velocidad de transferencia de calor en el intercambiador?
l
Para Cu(NO&, AHof29s = -302.9 kJ
l
Para Cu(NO& 6Hz0,
l
AH>298
= -2 110.8 kJ
El calor de disolución de 1 mol de Cu(NO& en agua a 25°C es -47.84 kJ, indcpendientemente de ñ para valores de interés aquí.
11.14. Una solución líquida de LiCI en agua a 25°C contiene 1 mol de Lic1 y 7 moles de
agua. Si se disuelve isotérmicamente 1 mol de Lic1 .3HeO en esta solución, icuál cs
el efecto calorífico?
11.15. Se requiere producir una solución acuosa de Lic1 mezclando Lic1 . 2H20(s)
con
agua. La mezcla ocurre adiabáticamente y sin cambio en la temperatura a 25°C.
Determine la fracción mol de Lic1 en la solución final.
11.16. Los datos del Bureau of-Standards
(J. Phys. Chem. Rt$ Data, val. ll, supl. 2,
1982) incluyen los siguientes calores de formación para 1 mol de Cacle en agua a
25’C:
CaC en 10 moles de Hz0
-862.74 kJ
CaC en 15 moles de Hz0
-867.85 kJ
CaC en 20 moles de Hz0
-870.06 kJ
CaC en 25 moles de Hz0
-871.07 kJ
CaC en 50 moles de Hz0
-872.91 kJ
CAPÍ!l’LEO
478
11.
Termodinámica
de
soluciones:
CaCls en 100 moles de Hz0
-873.82 kJ
CaCls en 300 moles de HsO
-874.79 kJ
CaCls en 500 moles de HsO
-875.13 kJ
CaCls en 1000 moles de Hz0
-875.54 kJ
aplicaciones
A partir de estos datos prepare una gráfica de @, el calor de disolución a 25°C de
CaCls en agua, contra Z, la relación molar de agua a CaCls.
11.17. Una solución líquida contiene 1 mol de CaCls en 25 moles de agua. Utilizando los
datos del problema precedente, determine el efecto calorífico cuando se disuelve
isotérmicamente 1 mol adicional de CaCls en esta solución.
11.18.
El CaCls . 6HsO sólido y el agua líquida a 25°C se mezclan adiabáticamente en un
proceso continuo para formar una salmuera de 15% en peso de CaCls. Usando los
datos del problema ll. 16, determine la temperatura de la solución de salmuera formada. El calor específico de una solución acuosa de CaCls al 15% y a 25°C es 3.28 kJ
kg-’ “C-l.
11.19. Considere una gráfica de Á@ el calor de disolución con base en un mol de soluto
(especie 1) contra ñ, los moles de disolvente por mol de soluto, a T y P constantes.
En la figura 11.17 hay un ejemplo de una gráfica semejante, excepto que la gráfica
considerada tiene una escala lineal con preferencia a una logarítmica a lo largo de las
abscisas. Dibuje una tangente a la curva acontra ñ que intercepte a la ordenada
en el punto 1.
a)
Pruebe que la pendiente de la tangente a un punto en particular es igual a la
entalpía parcial en exceso del disolvente en una solución con la composición
representada por ñ; o sea, pruebe que
b)
Pruebe que la intercepción 1 es igual a la entalpía parcial en exceso del soluto en
la misma solución; o sea, pruebe que
I= E,”
11.20.
Suponga que AH para un sistema en particular, soluto( l)/disolvente(2),
ta por la ecuación
A H = w2b42151 + Al2XZ)
se represen(4
Relacione el comportamiento de una gráfica de @contra ñ, con las características
cle esta ecuación. Específicamente escriba la ecuación (A) en la forma de a( ñ) y
entonces demuestre que
a)
h)
!;,$B=o
-
lím LW = Ala
l¡+m
R-oblemas
479
11.21. Si el calor de mezclado a la temperatura to es AHo y si el calor de mezclado de la
misma solución a la temperatura t es AH, demuestre que los dos calores de mezclado
están relacionados por
AH=AHo+
‘AC&
Ir,
en donde ACp es el cambio de capacidad calorífica de mezclado, definido por la ecuación
(11.29).
11.22. BCuál es el efecto calorífico cuando 150(lb,) de HsS04 se mezclan con 350 (Ib,) de
una solución acuosa, que contiene 2570 en peso de HsS04, en un proceso isotérmico
a lOO(
11.23.
Bara una solución acuosa al 50% en peso de HsS04 a 140(“F), icuál es la entalpía en
exceso HE en (Btu)(lbJll
11.24. Una masa de 400 (Ib,) de solución al 35% en peso de NaOH, a 130(“F),
con 175 (1bJ de solución al 10% en peso, a 200(“F).
11.25.
a)
iCuál es el efecto calorífico si la temperatura final es 80(“F)?
b)
Si el mezclado es adiabático, Icuál es la temperatura final?
se mezcla
Un evaporador de simple efecto concentra una solución acuosa del 20% en peso de
HsS04 al 70%. La velocidad de alimentación es 25 (Ib,)(s)-’ y la temperatura de
alimentación es 80(“F). El evaporador se mantiene a una presión absoluta de 1.5
(psia), presión a la cual el punto de ebullición de la solución de HzS04 al 7070 es
2 17(“F). iCuál es la velocidad de transferencia de calor en el evaporador?
11.26. iQué temperatura resulta cuando se disuelve adiabáticamente suficiente NaOH(s) a
68(“F) en una solución acuosa al 10% en peso de NaOH, originalmente a BO(“F),
para llevar la concentración hasta 350/0?
11.27. ICuál es el efecto calorífico cuando suficiente SO&) a 25°C se hace reaccionar con
Hz0 a 25°C para dar una solución al 50% en peso de HzS04 a 6O”C?
11.28. Una masa de 140 (Ib,) de solución, al 15% en peso de HsSOd, en agua a 160(“F) se
mezcla ala presión atmosférica con 230 (Ib,) de HsSOd, al 80% en peso a lOO(
Durante el proceso, una cantidad de calor de 20 000 (Btu) se transfiere del sistema.
Determine la temperatura de la solución producto.
11.29. Un tanque aislado, abierto a la atmósfera, contiene 1 500 (Ib,) de ácido sulfúrico al
40% en peso a 60(“F). Se calienta a 180(“F) por inyección de vapor de agua
sobresaturado a 1 (atm), el cual se condensa completamente en el proceso. icuánto
vapor se requiere y cuál es la concentración final de HeS04 en el tanque?
11.30.
Se estrangula a 1 (atm) vapor saturado a 40 (psia) y se mezcla adiabáticamente con
(y se condensa por) ácido sulfúrico al 45% en peso a 80(“F), en un proceso de flujo
que eleva la temperatura del ácido a 160(“F). Xuánto vapor se requiere para cada
libra de masa del ácido que entra y cuál es la concentración del ácido caliente?
11.31. Un lote de solución de NaOH, al 40% en peso, en agua a la presión atmosférica y
80(“F) se calienta en un tanque aislado por inyección de vapor de agua vivo que sale
de una válvula de una línea que contiene vapor saturado a 35 (psia). El proceso sc
CAF’ÍTLEO
480
11.
Termodinámica
de
soluciones:
aplicaciones
detiene cuando la solución de NaOH alcanza una concentración de 38% en peso. iA
qué temperatura ocurre esto?
11.32.
Para una solución acuosa al 35% en peso de HsS04 a lOO( icuál es el calor de
mezclado W en (Btu)(lb,)-‘?
11.33. Si HsS04 líquido puro a 80(“F) se añade adiabáticamente a agua líquida pura a
80(“F) para formar una solución al 40% en peso, icuál es la temperatura final de la
solución?
11.34. Una solución líquida que contiene 2 (Ib mol) de HsSO4 y 15 (Ib mol) de Hz0 a
lOO absorbe 1 (Ib mol) de SOs( también a lOO( formando una solución
más concentrada de ácido sulfúrico. Si el proceso ocurre isotérmicamente, determine
el calor transferido.
11.35.
Determine el calor de mezclado AH de ácido sulfirico en aguay las entalpías parciales específicas de HsSO4 y Hz0 para una solución que contenga 65% en peso de
HsSO4 a 77(“F).
11.36. Se propone enfriar una corriente de solución al 75% en peso de ácido sulfúrico a
140(“F) diluyéndolo con agua enfriada a 40(“F). Determine la cantidad de agua que
se debe agregar a 1 (Ib,) de ácido al 75% antes de que ocurra realmente el enfriamiento por abajo de 140(“F).
11.37.
11.38.
Los líquidos siguientes, todos ellos a la presión atmosférica y 120(“F), se mezclan:
25 (Ib,) de agua pura, 40 (Ib,) de ácido sulfúrico puro y 75 (lbm) de ácido sulfúrico
al 25% en peso.
a)
%Cuánto
calor se libera si el mezclado es isotérmico a 120(“F)?
b)
El proceso de mezclado se lleva a cabo en dos etapas: primero, se mezclan el
ácido sulfúrico puro y la solución al 25%, y se extrae el calor total de la parte a);
segundo, se añade adiabáticamente el agua pura. %Cuál es la temperatura de la
solución intermedia formada en la primera etapa?
Una gran cantidad de solución acuosa muy diluida de NaOH se neutraliza por adición de la cantidad estequiométrica de una solución acuosa de HCl al 10% mol. Estime el efecto calorífico por mol be NaOH neutralizado si el tanque se mantiene a 25°C
y 1 (atm) y la reacción de neutralización se lleva a cabo hasta que sea completa.
Datos:
. Para NaCl, !ím a = 3.88 kJ mole1
ll+*
l
11.39.
Para NaOH, lím m = -44.50 kJ mal-’
fi-+-
Una gran cantidad de solución acuosa muy diluida de HCl se neutraliza por adición
de la cantidad estequiométrica de solución acuosa de NaOH al 10% mol. Estime el
efecto calorífico por mol de HCl neutralizado si el tanque se mantiene a 25°C y 1
(atm) y la reacción de neutralización se lleva a cabo hasta que sea completa.
l
Para NaCl, !ím
ll-10 Á% = 3.88 kJ mal-’
481
Problemas
11.48.
El calor de mezclado (o calor de disolución) es negativo para los sistemas representadosenlasfiguras 11.17,11.20y11.22. Ofrezcaunaexplicaciónmoleculardeporqué
sucede esto.
11.41. Enlistados abajo están los datos de entalpía en exceso a 25°C para dos series de
mezclas líquidas binarias equimolares. Explique por qué la mezcla que contiene benceno
es el “más alejado” en cada serie.
Serie
Mezcla
HE/J mole1
A
CH&12 l benceno
-18
/
1 188
B
ciclohexano
/ n-hexano
1311
acetona / benceno
144
/
1574
ciclohexano
f n-hexano
1555
CAPíTULO
12
EVL A PRESIONES BAJAS
Y MODERADAS
Varios procesos industriales importantes, por ejemplo, destilación, absorción y extracción, ponen en contacto a dos fases entre las que, cuando no están en equilibrio, se efectúa una transferencia de masa. La velocidad de transferencia de cada
especie depende de la separación del sistema respecto al equilibrio. El tratamiento
cuantitativo de la velocidad de transferencia de masa requiere el conocimiento de
los estados de equilibrio (T, P y composición) del sistema.
En la mayor parte de los procesos industriales, las fases que coexisten son
vapor y líquido, aunque también se han encontrado sistemas líquido/líquido, vaporlsólido y líquido/sólido. En este capítulo se presenta una explicación cualitativa
general del comportamiento de la fase vapor/líquido (sección 12.3) y se describen
los cálculos de temperaturas, presiones y composiciones de las fases para sistemas
en equilibrio vaporllíquido a un rango de presión baja a moderada (sección 12.4) .l
Además, se dan exposiciones comprensibles sobre punto de rocío, punto de burbuja
y cálculos de evaporación instantánea P, T.
12.1 Naturaleza del equilibrio
El equilibrio es una condición estática en la cual no ocurren cambios con respecto
al tiempo en las propiedades macroscópicas de un sistema. Esto implica un equilibrio de todos los potenciales que pueden causar algún cambio. En la práctica de la
ingeniería, la suposición del equilibrio está justificada cuando lleva a resultados de
‘Para el EVL a presiones elevadas, vea el capítulo 13.
12.2 Regla de las fases. Teorema de Lhhem
483
una exactitud satisfactoria. Por ejemplo, en el rehervidor de una columna de destilación, el equilibrio entre las fases líquida y de vapor se supone comúnmente. Para
velocidades finitas de vaporización, esto es una aproximación, pero no introduce
ningún error significativo dentro de los cálculos de ingeniería.
Si un sistema que contiene cantidades fijas de especies químicas y que consiste en fases líquida y de vapor, en contacto íntimo, está aislado completamente,
entonces con el tiempo no hay ninguna tendencia para que ocurra algún cambio
dentro del sistema. La temperatura, la presión y la composición de las fases alcanzan valores fínales en los cuales permanecen fijas. El sistema está en equilibrio. A
pesar de ello, a nivel microscópico, las condiciones no son estáticas. Las moléculas
que corresponden a una fase en un instante dado no son las mismas moléculas en
esa fase un tiempo después. Las moléculas con velocidades suficientemente elevadas, que están cerca del límite entre las fases, superan las fuerzas de la superficie
y pasan a la otra fase. A pesar de ello, la velocidad promedio de paso de moléculas
es la misma en ambas direcciones y, por consiguiente, no hay transferencia de
materia entre las fases.
12.2
Regla de las fases. Teorema de Duhem
La regla de las fases para sistemas que no reaccionan, presentada sin alguna prueba en la sección 2.8, es el resultado de la aplicación de una regla de álgebra. El
número de variables en la regla de las fases que se debe espeafícar arbitrar&mente
con el objetivo de fijar el estado intensivo de un sistema en equilibrio,iIámadas
los
grados de libertad F, es la diferencia entre el número total de variables de la regla
de las fases y el número de ecuaciones independientes que se pueden escribir conectando estas variables.
El estado intensivo de un sistema PVT que contiene N especies químicas y 7~
fases en equilibrio, se caracteriza por la temperatura T, la presión P y las fracciones mal’ N - 1 para cada fase. Estas son las variables de la regla de las fases, y su
número es 2 + (N - l)(r). Las masas de las fases no son variables de la regla de
las fases porque no tienen influencia en el estado intensivo del sistema.
Las ecuaciones del equilibrio de fases que se pueden escribir conectando las
variables de la regla de las fases, se dan mediante las ecuaciones (10.6) o (10.43):
p,? =pp =...=p”
(i = 1,2, . . . >N)
k =fis =...=k
(i = 1,2, . . . > N)
(10.43)
Las ecuaciones (10.6) y (10.43) contienen (7~ - l)(N) ecuaciones independientes
del equilibrio de fases. Son ecuaciones que conectan las variables de la regla de las
fases, porque los potenciales químicos y las fugacidades son funciones de la temperatura, la presión y la composición. La diferencia entre el número de variables de
2Sóio N - 1 fracciones mol se requieren porque SiZi = 1
CAPÍTULO 12.
484
EVL a presiones bajas y moderadas
la regla de las fases y el número de ecuaciones que las conectan conforma los grados de libertad:
F = 2 + (N- l)(v) - (T- l)(N)
Esto se reduce a la ecuación (2.11) :
p=Gzq
(2.11)
En la sección 2.8 se explican las aplicaciones de la regla de las fases.
El teorema de Duhem es otra regla, similar a la regla de las fases, pero menos
celebrada. Se aplica a sistemas cerrados para los cuales tanto el estado extensivo
como el estado intensivo del sistema están fijos. El estado de un sistema tal se dice
que está determinado completamente y se caracteriza no sólo por las 2 + (N - 1)~
variables intensivas de la regla de las fases, sino también por las Tvariables extensivas representadas por las masas (o número de mol) de las fases. Así, el número
total de variables es
Si el sistema está cerrado y formado a partir de cantidades específicas de las especies químicas presentes, entonces se puede escribir una ecuación del balance de
materia para cada una de las especies químicas N. Estas, añadidas a las (T - l)N
ecuaciones de equilibrio de fases, proporcionan un número total de ecuaciones independientes iguales a
(T-l)N+N=
7rN
Por consiguiente, la diferencia entre el número de variables y el número de ecuaciones
es
2+Nrr-rrN=2
Sobre la base de este resultado, el teorema de Duhem se define como sigue:
Para cualquier sistema cerrado formado inicialmente por masas dadas de
especies quimicas prescritas, el estado de equilibrio está detew&ado completamente cuando cualesquiera dos variables independientes se han fijado.
Las dos variables independientes sujetas a especificación en general pueden ser
intensivas o extensivas. Sin embargo, el número de variables intensivas independientes está dado por la regla de las fases. Así, cuando F = 1, al menos una de las
dos variables debe ser extensiva, y cuando F = 0, ambas deben ser extensivas.
12.3 EVL: Comportamiento cualitativo
El equilibrio vapor/líquido (EVL) se refiere a los sistemas en los cuales una sola
fase líquida está en equilibrio con su vapor. Esta explicación cualitativa sólo se
12.3
EVL:
Comportamiento
485
cualitativo
ti 12.1:
Diagrama PTxy
para un equilibrio vapor/líquido.
limita a la consideración de sistemas que comprenden dos especies químicas, porque los sistemas de mayor complejidad no se pueden representar gráficamente en
forma adecuada.
Cuando N = 2, la regla de las fases se convierte en F = 4 - T. Debido a que
debe haber al menos una fase ( IT = 1), el número máximo de variables de la regla
de las fases que debe ser especificado para fijar el estado intensivo del sistema es
tres: digamos < T y una f&c&m mol (o masa). Por consiguiente, todos los estados
de equilibrio del sistema pueden ser representados en un espacio tridimensional de
composiciónP-T.
Dentro de este espacio, los estados depares de fases coexistiendo
en equilibrio (P = 4 - 2 = 2) defíner, superficies. En la figura 12.1 se presenta un
diagrama tridimensional esquemático que ilustra estas superficies para el EVL.
Esta figura muestra esquemáticamente las superficies de composición, P-T
que representan los estados de equilibrio de vapor saturado y líquido saturado
Para un sistekna binario. La superficie inferior se refiere a los estados de vapor
CAPÍTULO 12.
466
EVL a presiones bajas y moderadas
- Líquido saturado (línea de burbuja’
- - - - Vapor saturado (línea de rocío)
F’igura
12.2:
Diagrama Pxy para tres temperaturas.
saturado, superficie P-T-yl. La superficie superior representa los estados de líquido saturado, superficie P-T-XI. Estas superficies se intersectan a lo largo de las
líneas UBHC1 y KAC2, que representan las curvas de presión de vapor contra T
para las especies puras 1 y 2. Además, las superficies inferior y superior forman
una superficie redondeada continua a través de la parte superior del diagrama
entre CI y C2, los puntos críticos de las especies puras 1 y 2; los puntos críticos de
las diversas mezclas de las dos especies quedan a lo largo de la línea sobre el borde
redondeado de la superficie que se encuentra entre CI y 15’2. Este lugar crítico se
define por los puntos a los cuales las fases líquida y de vapor en equilibrio se hacen
idénticas. Más tarde se da una explicación de la región crítica.
La región que queda arriba de la superficie superior de la figura 12.1 es la
región del líquido subenfriado, mientras que la que queda abajo de la superficie
inferior es la región del vapor sobrecalentado. El espacio interior entre las dos
superficies es la región de coexistencia de ambas fases líquida y de vapor. Si se
empieza con un líquido en P y se reduce la presión a temperatura y composición
constantes a lo largo de la línea vertical FG, aparece la primera burbuja de vapor
en el punto L, el cual queda sobre la superficie superior. Así, L es un punto de
burbuja y la superficie superior es la superficie del punto de burbuja. El estado de
la burbuja de vapor en equilibrio con el líquido en L se debe representar mediante
un punto sobre la superficie inferior a la temperatura y presión de L. Este punto
está indicado por la letra V. La línea VL es un ejemplo de una ldnea de vinculación,
la cual conecta los puntos que representan las fases en equilibrio.
487
12.3 EV45 Comportamiento cualitativo
$
c
- Liquido saturado (linea de burbuja)
- - - -- Vapor saturado (línea de rocío)
1
U
x13
F’igura
12.3:
Yl
Diagrama Txy para tres presiones.
A medida que la presión se reduce posteriormente a lo largo de la línea FG,
más y más líquido se vaporiza hasta que en W el proceso es completo. Así W queda
sobre la superficie inferior y representa un estado de vapor saturado que contiene
la composición de la mezcla. Dado que W es el punto al cual las últimas gotas de
líquido (rocío) desaparecen, es un punto de rodo, y la superficie inferior es la superficie del punto de rocío. La reducción continuada de la presión sólo lleva a la
región de vapor sobrecalentado.
Debido a la complejidad de la figura 12.1, las características detalladas del
EVL binario a menudo se ilustran mediante gráficas de dos dimensiones que exhiben lo que se puede observar en varios planos que cortan el diagrama tridimensional.
Los tres planos principales, cada uno perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, se ilustran en la figura 12.1. Así, un plano vertical perpendicular al eje de la
temperatura está delineado como ALBDEA. Las líneas en este plano representan
un diagrama de fase P-xl-yl a T constante, del cual ya hemos visto varios ejemplos
en las figuras 11.6,ll.a y 11.10. Si las líneas clevarios de esos planos se proyectan
sobre un solo plano paralelo, se obtiene un diagrama semejante a la figura 12.2
que muestra gráficas P-xl-yl para tres diferentes temperaturas. Aquella para Ta
representa la sección de la figura 12.1 indicada por ALBDEA. Las líneas horizontales son líneas de vinculación que conectan las composiciones de las fases en equilibrio. La temperatura Tb queda entre las temperaturas críticas de dos especies
puras identificadas por CI y C2 en la figura 12.1, y la temperatura Td se encuentra
por arriba de ambas temperaturas críticas. Las curvas para estas dos temperaturas, por consiguiente, no se extienden del todo a través del diagrama. Sin embargo,
la primera pasa a través de un punto crítico de la mezcla y la segunda a través de
aos de esos puntos. Los tres puntos críticos están indicados por la letra C. Cada
uno es un punto tangente en el cual una línea horizontal toca la curva. Esto se debe
a que todas las líneas de vinculación que conectan fases en equilibrio son horizon-
CAPÍ!lVLO
488
I
c,
12.
/-
1’
a presiones bajas y moderadas
EViL
\ Sitio crítico
’
//
//
//
//
/ \
\
’
\
/
/
1’
/’
/
/ ‘I
/
/
/ ’ I c1
P
3
/
B
/1’
/
/
/
/
/
/
/
/
K
/
/’
/
’
0’
/
’
/
/
/
/
’
/’
/
1
/ ’ -0
/
- Líquido saturado (línea de burbuja)
A
- - - Vapor saturado (línea de rocío)
F’igura 12.4:
Diagrama PT para varias composiciones.
tales, y la línea de vinculación que conecta fases idénticas (la definición de un
punto crítico) debe, por consiguiente, ser la última que corte el diagrama.
Un plano horizontal que pasa a través de la figura 12.1 perpendicular al eje
de las P es identificado por HIJKLH. Vistas desde arriba, las líneas sobre este
plano representan un diagrama T-xl-yl. Cuando las líneas para varias presiones se
proyectan sobre un plano paralelo, el diagrama resultante aparece como en la figura 12.3. Esta figura es análoga a la de la figura 12.2, excepto que representa
Valores para tres presiones constantes, Pa Pb y Pd.
Es posible representar en una gráfica la fracción mol de vapor yr contra la
fracción mol líquida x1 para las condiciones de temperatura constante de la figura
12.2 o para las condiciones de presión constante de la figura 12.3. Ejemplos de
esos diagramas de x1-yl se muestran después.
El tercer plano identificado en la figura 12.1 es el vertical perpendicular al
eje de la composición e indicado por MNQRSLM. Cuando se proyecta sobre un
plano paralelo, las líneas de los diversos planos presentan un diagrama como el que
se muestra en la figura 12.4. Este es el diagrama P-T; las líneas UC1 y KC, son
curvas de presión de vapor para las especies puras, identificadas por las mismas
letras que en la figura 12.1. Cada rizo interior representa el comportamiento P-T
del líquido saturado y del vapor saturado para una mezcla de composiciónfija;
los
diferentes rizos son para composiciones diferentes. Claramente, la relación P-T
12.3 EVL: Comportamiento cualitativo
489
Sitio crítico
l
/-----
Figura 12.5:
Porción de un diagrama PT en la región crítica.
para un líquido saturado es diferente de la de un vapor saturado de la misma
composición. Esto contrasta con el comportamiento de una especie pura, para la
cual coinciden las líneas de burbuja y de rocío. En los puntos A y B de la figura
12.4 se intersectan las líneas de líquido y vapor saturados. En esos puntos, un
líquido saturado de una composición y un vapor saturado de otra composición
tienen las mismas T y P y, por consiguiente, las dos fases están en equilibrio. Las
líneas de vinculación que conectan los puntos coincidentes en A y B son perpendiculares al plano P-T, como se ilustra por la línea de vinculación, VL, en la figura
12.1.
El punto crítico de una mezcla binaria ocurre en donde el extremo de un rizo
en la figura 12.4 es tangente a la curva de envoltura. Dicho de otra forma, la curva
de envoltura es el sitio crítico. Lo anterior se puede verificar considerando dos
rizos cercanamente adyacentes y observando lo que sucede en el punto de intersección a medida que su separación se hace infinitesimal. En la figura 12.4 se ilustra
que la ubicación del punto crítico en el extremo del rizo varía de una composición a
otra. Para una especie pura, el punto crítico es la temperatura más elevada y la
presión mayor a las cuales pueden coexistir las fases de vapor y de líquido, pero
esto generalmente no sucede para una mezcla. Por lo tanto, bajo ciertas condiciones, y como consecuencia de una reducción de la presión, puede ocurrir un proceso
de condensación.
Considere la sección ampliada del extremo de un solo rizo P-T, mostrado en la
figura 12.5. El punto crítico está en C. Los puntos de presión máxima y de tempe-
CAF’mO 12. EVL a presiones bajas y moderadas
490
400
200
0
Figura 12.6:
I
I/
100
A
I
I/I/I
200
400
300
‘hnperatura (‘F)
500
600
700
Diagrama PT para etanoln-heptano. (Reproducido con permiso de E H .
Barr-David, AIChE J., vol. 2, pp. 426-427, 1956.)
ratura máxima se identifican como Mp y MT. Las curvas punteadas de la figura
12.5 indican la fracción, del sistema general, que es líquida en una mezcla de dos
fases de líquido y vapor. A la izquierda del punto crítico C, una reducción en la
presión a lo largo de una línea, por ejemplo la BD, se acompaña, como era de
esperarse, por una vaporización de líquido que va del punto de burbuja al punto de
rocío. Sin embargo, si la condición original corresponde al punto P, esto es, un
estado de vapor saturado, ocurre la licuefacción debido a que la presión se reduce
y se alcanza un máximo en G, después de lo cual tiene lugar la vaporización hasta
alcanzar el punto de rocío en H. Este fenómeno se llama condensación retrógrada y
es de importancia considerable en la operación de ciertos pozos profundos de gas
natural en donde la presión y la temperatura en la formación subterránea son
aproximadamente las condiciones representadas por el punto P. Si se mantiene la
presión en la boca del pozo a un valor cerca del punto G, se obtiene una licuefacción
considerable de la corriente del producto junto con una separación parcial de las
especies más pesadas de la mezcla. Dentro de la formación subterránea misma, la
presión tiende a caer a medida que se agota el suministro de gas. Si no se evita,
esto lleva a la formación de una fase líquida y una reducción consiguiente en la
producción del pozo. Por ello la represurización es una práctica común, es decir, el
12.3 EVL: Comportamiento cualitativo
491
0.80
0
0.20
0.40
0.60
0.80
1.0
x, fracción mol de etano en el líquido
F’igura 12.7:
Diagrama xy para etanoln-heptano. (Reproducido con permiso de F. H.
Barr-David, AíCL?Z J., vol. 2, pp. 426-427, 1956.)
gas empobrecido (o sea el gas del cual se han eliminado las especies más pesadas)
se regresa a la reserva subterránea para mantener una presión elevada.
En la figura 12.6 se presenta un diagrama P-T para el sistema etano(l)/
heptano( 2)) y en la figura 12.7 aparece un diagrama yl-xl para varias presiones en
el mismo sistema. De acuerdo con la convención, se grafican, como y1 y x1, las
fracciones mol de las especies más volátiles en la mezcla. Las concentraciones
máximas y mínimas de las especies más volátiles, obtenibles por destilación a una
presión dada, se indican por los puntos de intersección, de la curva yl-x1 apropiada, con la diagonal, pues, en estos puntos, el vapor y el líquido tienen la misma
composición. Estos son, de hecho, los puntos críticos de la mezcla, a menos que y1
= x1 = 0 o que y1 = x1 = 1. El puntoA de la figura 12.7 representa la composición
de las fases de vapor y líquido a la presión máxima a la cual las fases pueden
coexistir en el sistema etanolheptano. La composición es aproximadamente 77 por
ciento mol de etano y la presión es aproximadamente 1 263 (psia). El punto correspondiente en la figura 12.6 se identifica como M. Barr-David3 ha preparado
un conjunto completo de diagramas de fase consistentes para este sistema.
El diagrama P-T de la figura 12.6 es el típico para las mezclas de sustancias
no polares, tales como los hidrocarburos. Un ejemplo de un diagrama para un
3B H Barr-David, MChE J., vol. 2, p. 426, 1956.
CAF’Í!KJL,O 12. EVL
492
a presiones bajas y moderadas
800
600
500
240
250
260
270
Temperatura ("C)
280
290
Figura 12.8: Diagrama PT para metanol/benceno.
(Reproducido de Chem. Eng. Sci.,
vol. 19, J. M. Skaates y W; B. Kay, “The phase relations of binary systems that form
azeotropes”,
pp. 431-444, copyright 1964, con permiso de Elsevier Science Ltd.
Pergamon Imprint, The Boulevard, Langford Lane, Kidlington OX5 lGB, R.U.)
sistema elevadamente no ideal, metanol( l)/benceno(2) se muestra en la figura 12.8.
La naturaleza de las curvas en esta figura sugiere lo difícil que puede ser predecir
el comportamiento de fase, particularmente para especies tan disímiles como el
metano1 y el benceno.
Aunque el EVL en la región crítica es de importancia considerable en las
industrias del petróleo y del gas natural, el procesamiento de la mayor parte de las
sustancias químicas se lleva a cabo a presiones mucho más bajas. Es raro que los
sistemas de interés se conformen al comportamiento de una solución ideal, y el
comportamiento de las fases se clasifica convenientemente de acuerdo con el signo
y la magnitud de las desviaciones del comportamiento de la solución ideal. Además
de los ejemplos que se han mostrado en el capítulo ll se presentan aquí los datos
para cuatro sistemas que representan los tipos comunes de comportamiento.
En la figura 12.9a se presentan datos para el sistema tetrahidrofurano(l)/
tetracloruro de carbona(2) a 30°C. Aquí, la curva P-XI, o de punto de burbuja, en
un diagrama P-x1-yl queda por abajo de una relación lineal P-XI y, por lo tanto, el
sistema exhibe desviaciones negativas del comportamiento de una solución ideal.
Cuando las desviaciones se hacen suficientemente grandes en relación con la diferencia entre las presiones de vapor de dos especies puras, la curva P, exhibe un
493
12.3 EVL: Comportamiento cualitativo
mínimo, como se ilustra en la figura 12.9b para el sistema cloroformo(l)/
tetrabidrofurano(2) a 30°C. Esta figura muestra que la curva P-y1 también tiene
un mínimo en el mismo punto. Así, en este punto en donde x1 = yl, las curvas de
punto de rocío y de punto de burbuja son tangentes a la misma línea horizontal.
Un líquido en ebullición de esta composición produce un vapor de exactamente la
misma composición y el líquido, por consiguiente, no cambia de composición a
200
180l55
E
E
c
160,-
I
l-
0
0.5
XI> Yl
4
1.0
0.5
213 Yl
b)
800 -
600 D
E
E
ì¿'
0
I
0.5
x19 Yl
4
1.0
x1r
Yl
4
F’igura 12.9: Diagramas Pxy a T constante. a) ‘&trahidrofurano(
l)/tetracloruro
de
carbona(2) a 30°C; b) cloroformo( l)/tetrahidrofurano(2)
a 30%; c) furano( l)/
tetracloruro de carbona(2) a 30°C; d) etanol( l)/tolueno(2) a 65°C. Líneas punteadas:
relación Px para soluciones líquidas ideales.
CAPf!lVLO
494
12.
EVL
a presiones bajas y moderadas
medida que se evapora. No es posible, por destilación, la separación de esa solución
a ebullición constante. El término axeótropo se utiliza para describir este estado.
Los datos para furano( l)/tetracloruro de earbono(2) a 30°C que se muestran
en la figura 12.9~ proporcionan un ejemplo de un sistema para el cual la curva
P-XI presenta pequeñas desviaciones positivas de la linealidad. El sistema etanol(l)/
tolueno(2) es uno para el cual las desviaciones positivas son lo suficientemente
grandes como para llevar a un máxGmo en la curva P-XI, como se muestra, para
65”C, en la figura 12.9d. De la misma manera que un mínimo en la curva P-XI
representa un azeótropo, lo hace un máximo. Así, hay dos azeótropos, uno a presión mínima y otro a presión máxima. En cualquier caso, las fases de vapor y
líquido en el estado azeotrópico son de composición idéntica.
A nivel molecular, las desviaciones negativas apreciables de la idealidad de la
solución en la fase líquida reflejan atracciones intermoleculares más enérgicas entre los pares de moléculas diferentes que entre los de moléculas iguales (sección
ll 5). Inversamente, las desviaciones positivas apreciables son el resultado de las
soluciones en las cuales las fuerzas intermoleculares entre moléculas iguales son
más fuertes que entre las diferentes. En este último caso, las fuerzas entre moléculas iguales son tan fuertes como para evitar la miscibilidad completa, y el sistema
forma entonces dos fases líquidas separadas para composiciones de rango amplio.
Los sistemas de miscibilidad limitada se consideran en el capítulo 14.
Dado que el proceso de destilación se lleva a cabo con mayor frecuencia a
presión constante que a temperatura constante, los diagramas de datos t-x1-yl, a
P constante, son de interés práctico. Los cuatro de esos diagramas, que corresponden a los mostrados en la figura 12.9, se presentan en la figura 12.10 para la
presión atmosférica. Note que las curvas de punto de rocío (t-yl) quedan arriba de
las curvas de punto de burbuja (t-x1). Además, el azeótropo a presión mínima de la
figura 12.9b aparece como azeótropo a la temperatura máxima (o ebullición máxima) en la figura 12.10b. Hay una correspondencia análoga entre las figuras 12.9d
y 12.10d. Los diagramas yl-x1 a P constante para los mismos cuatro sistemas se
muestran en la figura 12. ll. El punto en el que una curva cruza la línea diagonal
del diagrama representa un azeótropo, para un punto tal y1 = x1.
12.4 Formulación gama/fi
de EVL
Para especies i en una mezcla de vapor, la ecuación (10.47) se escribe
y para especies i en la solución líquida, la ecuación (10.89) se convierte en
De acuerdo con la ecuación (10.44) estas dos expresiones deben ser iguales, por lo
cual
12.4 Formulación gama/fi
de EVL
495
Yi&P = XiY&
(i = 1,2, . . . >N)
Los superíndices v y 1 no se usan aquí debido a la suposición de que Ji se refiera a
la fase vapor y que 3/i yfi sean las propiedades de la fase líquida. Sustituyendo para
fi en la ecuación (10.41), se obtiene,
Azeótropo
70
0
V
ù
65
65
600
0.5
250+.o
0
x1> Yl
Il> Yl
4
4
F’igura 12.10: Diagramas txy a 1 (atm). a) !lktrahidrofurano(
l)/tetracloruro
de
carbona(2);
b) cloroformo( l)/tetrahidrofurano(2);
c) furano( l)/tetracloruro
de carbono(2); d) etanol(l)/tolueno(2).
CAPÍ!lVLO
496
12.
EVL a presiones bajas y moderadas
1.0
P constante = 1 (ah)
#
0.8
0.6
Yl
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x1
F’igura 12.11: Diagramas yx de equilibrio a 1 (atm). u) Tetrahidrofurano(l)/
tetracloruro de carbona(2); b) cloroformo( l)/tetrahidrofnrano(2);
C) furano( l)/
tetracloruro de carbono( 2); d) etanol( l)/tolueno( 2).
y&P = xi yie:at
(i = 1,2, . . . ) N) 1
(12.1)
en donde
Dado que el factor de Poynting (representado por el exponencial) a presiones de
bajas a moderadas difiere de la unidad solamente por poca.s milésimas, su omisión
introduce un error que resulta despreciable, y esta ecuación se simplifica en
(12.2)
12.4 Formulación gamdfi de EVL
497
La aplicación sistemática de las ecuaciones (12.1) y (12.2) depende de la disponibilidad de las correlaciones de datos de los cuales se pueden obtener valores para
p,““, <Pi y 3/i*
Las presiones de vapor de las especies puras se calculan con frecuencia a
partir de ecuaciones que dan rt como funciones de la temperatura. Se emplea
más comúnmente la ecuación de Antoine, ecuación (6.55)) la cual se puede rescribir
para especies i como
(12.3)
La restricción a presiones relativamente bajas permite el cálculo de los coeficientes de fugacidad en la ecuación (12.2) a partir de su forma más simple de la
ecuación virial de estado, la expansión de dos términos en P [ecuación (3.31)]. En
este caso, la expresión para c,$~ , el coeficiente de fugacidad para las especies i en
solución, se deriva de la ecuación (10.69):
(12.4)
con Sii = 0, Sjj = 0, etc., y 8, = Sji, etc. Los valores de los coeficientes virialcs
vienen de una correlación generalizada, por ejemplo, la representada por las
ecuaciones (10.70) a la (10.75).
El coeficiente de fugacidad para i pura como un vapor saturado, @‘“, se obtiene de la ecuación (12.4) con todos los conjuntos Sji y 8, iguales a cero:
(12.5)
Este resultado proviene también de la ecuación (10.35).
La combinación de las ecuaciones (12.2), (12.4) y (12.5) da
B,¡(P - rt) + + PC ~yjyk(2¿&, - 6,)
k
@‘i = exp
R3T
(12.6)
Para un sistema binario compuesto de las especies 1 y 2, esto se convierte en
CA@WLO 12.
498
al = exp
EVL
a presiones bajas y moderadas
B,,(P - Ey) + Py,cY,,
RT
(12.7)
Y
(12.8)
Los coeficientes de actividad [ yi en la ecuación (12. l)] se evalúan a partir de
modelos para GE como se explicó en la sección 11.2. Así, para datos a T constante,
se supone la disponibilidad de una correlación que dé
GE
--=
&h,~2, . . . ,Gd
RT
12.5
(T constante)
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja
Aunque son posibles los problemas de EVL con otras combinaciones de variables,
las de interés para la ingeniería a menudo son los cálculos del punto de rocío y del
punto de burbuja. Existen cuatro clases:
P BURBUJA:
P ROCÍO:
T BURBUJA:
T ROCÍO:
Calcular {yi} y P, dadas {xi} y T
Calcular {xi} y P, dadas {yi} y T
Calcular {yi} y T, dadas {xi} y P
Calcular {xi} y T, dadas {yi} y P
De este modo, se especifican ya sea T o P y la composición de la fase líquida o bien,
la de la fase de vapor, fijando 1 + (N - 1) o N variables de la regla de las fases,
exactamente el número de grados de libertad P para el equilibrio vapor/líquido.
Todos estos cálculos requieren esquemas iterativos debido a la compleja
funcionalidad implícita de las ecuaciones (12.1) y (12.2). En particular, se tienen
las siguientes relaciones funcionales para EVL a bajas presiones:
@i = ~'(T,P,yl,yz,...,y~-1)
Yi = Y(T,xI,xz,. . . ,w-1)
pyt = .fU”)
Por ejemplo, cuando se resuelve para {yJ y P, no se cuenta con valores necesarios
para el cálculo de las Qi, y cuando se resuelve para {xi} y T, no se pueden evaluar
ni las P,““” ni las yi. Los procedimientos iterativos simples, descritos en los párrafos siguientes, permiten una resolución eficiente de cada uno de los cuatros tipos
de problemas.
12.5
499
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja
En todos los casos, la ecuación (12.1) proporciona la base de los cálculos.
Esta ecuación, válida para cada una de las especies i en un sistema dc
multicomponentes, se puede escribir como
yi
xiYi?t
= QiP
(12.9)
0 como
(12.10)
Dado que &yi = 1 ycixi = 1, también se tiene
o bien
(12.11)
Y
Yi*’
l= c
i y,4”
o bien
P=
1
c yiaiIyt~t
(12.12)
P BURBUJA. El esquema de iteración para este cálculo simple y directo del
punto de burbuja se muestra en la figura 12.12. Para llevarlo a cabo, con referencia a un programa de computadora se leen y se almacenan los valores dados de T y
{xi}, junto con todas las constantes que se requieren en la evaluación de las Pimt, yi
y mi. Dado. que {yi} no se da, aún no se pueden determinar los valores para las @i,
y cada una se ajusta a la unidad. Los valores para {c:at} se encuentran a partir de
la ecuación de Antoine [ecuación (12.3)] y los valores de {yi} provienen de una
correlación del coeficiente de actividad. Las ecuaciones (12.11) y (12.9) se resuelven ahora para P y {yi}. Los valores de @pi de la ecuación ( 12.6) permiten volver a
CAPÍTULO 12.
500
EVL a presiones bajas y moderadas
P BURBUJA
Ajuste todas las @, = 1.0.
Evalúe {y}, {yi).
Calcule P con la ec. (12.11).
Calcule {y;} con la ec. (12.9).
A
Evalúe { Qi}.
No
ImprimaP,
CalculeP con la ec. (12.11).
{yi)
F’igura 12.12: Diagrama de bloques para el cálculo de P BURBUJA.
calcular a P mediante la ecuación (12. ll). La iteración lleva a valores fínales para
py {Yi).
P ROCÍO. Este esquema para el cálculo se muestra en la figura 12.13. Se
leen y almacenan T y {yi} junto con las constantes apropiadas. Dado que no se
pueden calcular ni las @pi ni las yi, todos los valores de cada una se ajustan a la
unidad. Los valores de {PFt} se encuentran a partir de la ecuación de Antoine, y
las ecuaciones (12.12) y (12.10) se resuelven entonces para P y {xi}. La evaluación de { yi} permite recalcular P mediante la ecuación (12.12). Con esta estimación más bien buena de P, se puede evaluar {@i} e ingresarla en un rizo interno de
iteración que converge en los valores de {xii) y {yi}. Volver a calcular posteriormente a P por medio de la ecuación (12.12), lleva al rizo exterior de iteración que
establece el valor final de P. Dado que las xi calculadas dentro del rizo interior no
están constreñidas para sumarlas a la unidad, cada valor se divide por medio de
r&xi:
Xi
Xi = c Xi
Esto produce un conjunto de valores de xi normalizados, los cuales se suman a la
unidad. En realidad, el rizo interior se puede omitir. Se incluye simplemente para
hacer más efíciente
el procedimiento de cálculo.
12.5
Cálculos de punto
de rocío y de punto de burbuja
501
P ROCíO
Lea T, {yi}, constantes.
Ajuste toda @,= 1.0, toda y, = 1.0
Evalúe { <“” }
Calcule P con la ec. (12.12).
Calcule (2,) con la ec. (12.10).
Evalúe {-yi}.
Calcule P con la ec. (12.12).
1
Calcule {z;) con la ee. (12.10).
Calcule P con la ec. (12.12).
Figura 12.13:
Diagrama de bloques para el cálculo de P ROCÍO.
En los cálculos del P BURBUJA y del P ROCÍO, inicialmente se conoce la
temperatura y esto permite el cálculo inmediato de las cantidades clave PI”‘; Éste
no es el caso para los dos procedimientos restantes, T BURBUJA y T ROCIO, en
donde no se sabe y debe calcula.rse la temperatura. Aunque las presiones de vapor
individuales PF’ son funciones fnertes de la temperatura, las relaciones de presión
de vapor son funciones débiles de T y los cálculos se facilitan mucho por la introducción de estas relaciones. Por consiguiente, se multiplican los lados derechos de
las ecuaciones (12.11) y (12.12) por PT’ (fuera de la suma) y se dividen por Pyt
(dentro de la suma). La solución para las Pyt fuera de la suma da entonces
CAPÍTlXO
502
12.
EVL
a presiones bajas y moderadas
T BURBUJA
LeaP, {xi), constantes. Ajuste todas las @, = 1.0.
Calcule {T,““‘) con la ec. (12.16). Calcule T = &ziT,““‘.
Evalúe @“}, {-y$). Identifique la especiej.
Calcule P,‘“’ con ec. (12.13). Calcule T con ec. (12.15).
Evalúe {p;sac}.
Calcule {y,) con la ec. (12.9).
Evalúe {W, {-yJ.
Calcule P,‘“’ con ec. (12.13).
Calcule T con ec. (12.15).
lNo
Figura
12.14:
Diagrama de bloques para el cálculo de T BURBUJA.
pyt =
P
c (z,y,/@,) vy-vEjat)
,:,,tzpCYi@i
E”
Yi ( tsat 1
i
(12.13)
(12.14)
En estas ecuaciones las sumas se hacen sobre todas las especies incluyendo laj, la
cual es una especie seleccionada arbitrariamente del conjunto {i}. La temperatura
correspondiente a la presión de vapor Pyt se encuentra a partir de una ecuación
apropiada dando la presión de vapor como una función de T. La ecuación (12.39)
resuelta para T es
T =
Bj
Aj - In qmt
- Cj
125
Cálculos de punto de rocio y de punto de burbuja
503
en donde Aj, Bj y Cj son las constantes de Antoine para la especie j. A fin de eneontrar una temperatura inicial para comenzar un proceso iterativo, se necesitan va@res de las temperaturas de saturación de las especies puras rat, a la presión P.
Estas también están dadas por la ecuación de Antoine escrita como
yyt =
Bi
A,-1nP
- ci
(12.16)
T BURBUJA. En la figura 12.14 se muestra el esquema iterativo para este
cálculo del punto de burbuja. Los valores dados de P y {xi}, junto con las constantes apropiadas, se leen y guardan. En ausencia de valores íle T y íle yi, los valores
de todas las @i se ajustan a la unidad. La iteración es controlada por T y para una
estimación inicial, se establece
T = &yt
(12.17)
en donde las yt se encuentran a partir de la ecuación (12.16). Con este valor
inicial de T, se encuentran valores para { PjSat) a partir de las ecuaciones de Antoine
y los valores de { yi}, a partir de la correlación del coeficiente de actividad. Identimediante la ecuación (12.13), y se encuentra un
ficada la especie j, se calcula
nuevo valor de T a partir de la ecuación (12.15). Inmediatamente se revalúa Pisa”,
y se calculan las yi mediante la ecuación (12.9). Ahora se pueden encontrar valores
para ambas {mi} y {yi}, permitiendo volver a calcular, de la ecuación (12.13), un
valor revisado de Pjmt, mientras que, por otro lad0, se encuentra, de la ecuación
( 12.15), una mejor estimación de T. La iteración lleva entonces a valores fínales de
T y {yi)T ROCÍO. El esquema para este cálculo del punto de rocío se presenta en la
figura 12.15. Dado que no se conocen ni los valores de xi ni la temperatura, todos
los valores tanto de @i como de ‘yi se ajustan a la unidad. De nuevo la iteración se
controla por T y aquí se encuentra un valor inicial mediante
pj~t
T = c yi T,=’
(12.18)
Con este valor de T, se determina {r’}, a partir de las ecuaciones de Antoine.
Todas las cantidades en el lado derecho íle la ecuación (12.14) están fijadas ahora;
se identifica la especie j y se resuelve para Pjwt, para obtener un nuevo valor de T
mediante la ecuación (12.15). Inmediatamente revalúa -@“}, lo cual, junto con
{@i} permite el cálculo de las xi por medio de la ecuación (12.10). Esto permite
recalcular EJt por medio de la ecuación (12.14) y T mediante la ecuación ( 12.15).
Con esta estimación, más bien buena, de T, se evalúa nuevamente {yt} y {mi}, y
se introduce un rizo interior de iteración que converge en los valores de {Xi} y { yi}.
Volver a calcular posteriormente Pjm” y T lleva, entonces, al rizo exterior íle iteración
que produce un valor final de T. Como en el procedimiento para P ROCÍO, las xi
504
CAPÍTULO 12.
EVL
a presiones bajas y moderadas
calculadas dentro del rizo interior no están constreñidas a sumarse a la unidad, y
cada valor es dividido por & xi:
Este conjunto de valores de xi normalizados no se suma a la unidad. De nuevo, el
rizo interno se incluye simplemente para hacer más eficiente el procedimiento de
cálculo.
Ley de Raoulf
Cuando la ecuación (12.1) se aplica al equilibrio vapor/líquido, para el cual se
atribuye el modelo de gas ideal a la fase de vapor y el modelo de solución ideal a la
fase líquida, se obtiene una expresiónAmuy sencilla para el ECZ. Para los gases
ideales, los coeficientes de fugacidad #+ y $kat son la unidad, y la ecuación (12.2)
se convierte en @i = 1. Para las soluciones ideales, los coeficientes de actividad 3/i
también son la unidad. Por lo tanto, la ecuación (12.1) se reduce a
Yip = Xip.“’t
(i = 1,2, . . . > N)
(12.19)
una ecuación que expresa laley de h?aoult.4 Ésta es la ecuación más sencilla posible
para EVL y, como tal, falla para proporcionar una representación realista del comportamiento verdadero para la mayor parte de los sistemas. A pesar de ello, es útil
para presentar los cálculos de EVL en su forma menos compleja, como es evidente
en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 12.1 El sistema binario acetonitrilo(l)/nitrometano(2)
se conforma bien
a la ley de Raoult. Las presiones de vapor para las especies puras se dan mediante las
siguientes ecuaciones de Antoine:
2 945.47
lnP,““/kPa = 14.2724 - ~~
tP C + 224.00
In e=‘/kPa = 14.2043 a)
b)
2 972.64
t/” c + 209.00
Prepare una gráfica que muestre P contrazl y P contra y1 para una temperatura de 75°C.
Prepare una gráfica que muestre t contra 21 y t contra yr para una presión
de 70 kPa.
41+ancois Marie Raoult (1830-1901), químico francés.
12.5
505
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja
T ROCÍO
Lea P, {y,), constantes. Ajuste toda @g = 1.0, todas las -yi = 1.0.
Calcule {rsat} con la ec. (12.16). Calcule T = z,y,T,“‘.
Evalúe {e-‘). Identifique la especiej.
Calcule P,““’ con la ec. (12.14). Calcule T on la ec. (12.15).
Evalúe {elq-‘),
{@i). Calcule (4) con la ec. (12.10).
Evalúe {-yc). Calcule P,‘“’
con la ec. (12.14), T con la ec. (12.15)
Evalúe {PT’},
{@i}.
Calcule (2,) con la ec. (12.10).
Normalice los valores de x,.
4
Evalúe {yi}.
1Imprima T, (zJ.1
Figura
12.15:
Diagrama de bloques para el cálculo de T ROCíO.
a) Se requieren cálculos para P BURBUJA, y la ecuación (12.11) en
este caso se reduce a
SOLUCIÓN
P = 21 <=, + x2 Pi%’
Cuando 1 - x1 se sustituye por x2, ésta se convierte en
P = P*=’ + (T - L?*’ )x1
(4
CAPÍ!IULO
506
12.
EVL a presiones bajas y moderadas
Así, una gráfica de P contraxl es una línea recta que conecta Pzmt, axl = 0, con eat
a x1 = 1. A 75°C las presiones de vapor calculadas a partir de las ecuaciones dadas
son
emt
= 83.21 y
emt = 41.98 kPa
Desde luego, se puede calcular P para un solo valor de x1. Por ejemplo, cuando x1 =
0.6
P = 41.98 + (83.21- 41.98)(0.6)
= 66.72 kPa
El valor correspondiente de y1 se encuentra entonces a partir de la ecuación (12.19):
y1
-
“‘7
-
KW83.21)
66.72
=
o
7483
’
Estos resultados significan que a 75°C una mezcla líquida de 60 porciento mol de
acetonitrilo y 40 porciento mol de nitrometano está en equilibrio con un vapor que
contiene 74.83 porciento mol de acetonitrilo, auna presión de 66.72 kPa. Los resultados de los cálculos para 75°C a varios valores de x1 se tabulan como sigue:
x1
Yl
0.0 0.0
0.2 0.3313
0.4 0.5692
0.6 0.7483
0.8 0.8880
1.0 1.0
Plkpa
41.98
50.23
58.47
66.72
74.96
83.21
Estos mismos resultados se muestran por medio del diagrama P-q-y1 de la figura
12.16.
Esta figura es un diagrama de fases en el cual la línea identificada como P-x1
representa estados de líquido saturado; la región de líquido subenfriado queda por
arriba de esta línea. La curva identificada como P-y1 representa estados de vapor
saturado; la región del vapor sobrecalentado queda por abajo de la curva P-yl. Los
puntos que quedan entre las líneas del líquido saturado y del vapor saturado están en
la región de dos fases, en donde el líquido saturado y el vapor saturado coexisten en
equilibrio. Las líneas P-XI y P-y1 se encuentran en los bordes del diagrama, en donde
el líquido y el vapor saturados de las especies puras coexisten a las presiones de vapor
p,“’ y p2’ .
Se puede ilustrar la naturaleza del comportamiento de las fases en este sistema
binario (dos especies constituyentes) siguiendo el curso de un proceso a temperatura
constante sobre el diagrama P-x1-yl. Imagínese una mezcla líquida subenfriada con
60 porciento mol de acetonitrilo y 40 porciento mol de nitrometano, existentes en un
12.5
Cálculos de punto de rocío Y de Punto de burbuja
1 0 o-
507
t= 75T
- Pï,at= 83.21
O-
O-
P2""=
41.98- L
4 O-
P-Y,
Vapor
sobrecalentado
2
OO
I
0.2
I
0.4
I
0.6
x17
F’igura
12.16:
l
0.8
.O
Yl
Diagrama Pxy para acetonitrilo(l)/nitrometano(2) a 75°C como se da
por la ley de Raoult.
ensamble pistónlcilindro
a 75°C. Su estado se representa por el punto a en la figura
12.16. La presión es reducida con suficiente lentitud para mantener el sistema en
equilibrio a 75°C. Dado que el sistema está cerrado, la composición general permanece constante durante el proceso, y los estados del sistema como un todo caen sobre
la línea vertical que desciende del punto a. Cuando la presión decrece al estado representado por el punto b, el sistema es líquido saturado sobre el borde de vaporización.
Un minuto después, la disminución de la presión se acompaña de la aparición de una
burbuja de vapor, representada por el punto 71’. Los dos puntos b y b’ juntos representan el estado de equilibrio axr = 0.6, P = 66.72 kPa y yr = 0.7483, para el cual
se han ilustrado los cálculos. El punto b es un punto de burbuja y la línea P-XI es el
sitio de los puntos de burbuja.
Al reducirse después la presión, la cantidad de vapor se incrementa y decrece la
cantidad de líquido, con los estados de las dos fases siguiendo trayectorias b’c y be’,
respectivamente. La línea punteada de b a c representa los estados generales del
sistema de dos fases. Finalmente, al aproximarse al punto c, la fase líquida, rcpresentada por el punto c’, casi ha desaparecido, quedando sólo gotas diminutas (rocío).
Por consiguiente, el punto c es un punto de rocío, y la línea P-y1 es cl sitio de los
puntos de rocío. Una vez que el rocío se ha evaporado, sólo permanece vapor saturado en el punto c, y una reducción posterior en la presión lleva a vapor sobrecalentado
en el punto d.
CAPÍTULO
508
1.2.
EVTL a presiones bajas y moderadas
La composición del vapor en el punto c es yi = 0.6, pero la composición del
líquido en el punto c’ y la presión deben leerse en la gráfica o calcularse. Este es un
cálculo de P ROCIO, y la ecuación (12.12) produce
Para y1 = 0.6 y t = 75”C,
P =
1
0.6/83.21+
= 59.74 kPa
0.4l41.98
Mediante la ecuación ( 12.19))
Y~P
(WW.74)
--=
x1=
=
83.21
fy
o
4308
’
Ésta es la composición de la fase líquida en el punto c’.
b) Cuando la presión P se ha fijado, la temperatura varía conjuntamente con x1
y ~1. Para una presión dada, el intervalo de temperaturas está limitado por las temperaturas de saturación t” y t:“, temperaturas a las cuales las especies puras ejercen presiones de vapor iguales a P. Para el sistema actual, estas temperaturas se
calculan a partir de las ecuaciones de Antoine, con P,“, = P = 70 kPa:
t;” = 69.84
y
t;’ = 8958°C
Con el fin de preparar un diagrama t-x1-y1, el procedimiento más sencillo es seleccionar valores de t, entre t;“’ y t;‘, calcular P,“’ y P2=“, para estas temperaturas, y
evaluar x1 mediante la ecuación (A):
P-p,“’
xl = p,“’ _ p2’
Por ejemplo, a 78”C,
Pt
1 = 91.76
P2=’ = 46.84 kPa
Y
de donde
70 - 46.84
x1 = 91.76 - 46.84
= 0.5156
Mediante la ecuación (12.19),
Yl
=
c= (0.5156)(91.76)
P
70
= o.675g
12.5
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja
509
PC
Yl
x1
0.0
89.58(t:‘)
0.1424 0.2401 86
0.3184 0.4742 82
0.5156 0.6759 78
0.0
0.7378
0.8484
74
1.0
1.0
69.84(t;‘)
Los resultados de estos cálculos y de otros similares para P = 70 kPa se dan en la
tabla anterior. La figura 12.17 es el diagrama t-x1-yl que muestra estos resultados.
Sobre este diagrama de fases, dibujado para una presión constante de 70 kPa, la
curva t-y1 representa estados de vapor saturado, con estados de vapor sobrecalentado
que quedan arriba de ella. La curva t-x1 representa estados de líquido saturado, con
estados de líquido subenfriado que quedan abajo de ella. La región de dos fases se
ubica entre estas curvas.
Con respecto a la figura 12.17, se describe el curso de un proceso de cal’entamiento
a presión constante que lleva desde un estado de líquido subenfriado, en el punto a,
P=70 kPa
tpt= 89.58 --%
Vapor
sobrecalentado
85
80
75
70
65
Líquido
subenfriado
0.2
- tl”” = 69.84
0.4
0.6
0.8
1.0
213 Yl
F’igwa 12.17:
Diagrama txy para acetonitrilo( l)/nitromctano(:!) a 70 kPa como SC da
por la ley de Raoult.
CAPh’LJLO
510
12.
EVL
a presiones bajas y moderadas
hasta un estado de vapor sobrecalentado en el punto d. La trayectoria que se muestra en la figura es para una composición constante de 60 porciento mol de acetonitrilo.
Como resultado del calentamiento, la temperatura del líquido aumenta del punto a
al punto b, en donde aparece la primera burbuja de vapor. De este modo, el punto b
es un punto de burbuja y la curva t-x1 es el sitio de los puntos de burbuja.
Sabemos que 51 = 0.6 y P = 70 kF’a; por consiguiente, t es determinada por un
cálculo de T BURBUJA, el cual requiere iteración. La ecuación (12.13) se escribe
entonces
en donde CY = P,“/Pzat. Al restar In Pzmt de In P+ como lo dan las ecuaciones de
Antoine, se tiene
2 945.47
In <Y = 0.0681-
2 972.64
t + 224.00 + t + 209.00
(0
La iteración se da como sigue:
1.
2.
Seleccione un valor de (Y para alguna t intermedia y calcule PzSt
la ecuación (B).
Calcule t de la ecuación de Antoine para la especie 2:
t=
3.
4.
2 972.64
14.2043 - In eat
mediante
- 209.00
Determine un nuevo valor de (Y mediante la ecuación (C) y un nuevo valor
de e-t por medio de la ecuación (B).
Regrese a la etapa 2 e itere hasta la convergencia.
El resultado es t = 76.42”C, la temperatura de los puntosb y b’ . A esta temperatura,
p,“’ = 87.17 kPa, y mediante la ecuación (12.19), se encuentra la composición del
punto b’:
y1
- “y
- WW.17)
= o.7472
70
La vaporización de una mezcla a presión constante, a diferencia de la vaporización
de una especie pura, no ocurre en general a temperatura constante. Al continuar el
proceso de calentamiento más allá del punto b, la temperatura se eleva, la cantidad
de vapor aumenta y la cantidad de líquido disminuye. Durante este proceso, las
composiciones de la fase de vapor y líquido cambian, como lo indican las trayectorias
b’c y bc’, hasta que se alcanza el punto de rocío en el punto c, en donde desaparecen
las últimas gotitas de líquido. La curva t-y1 es el sitio de 10s puntos de rocío.
12.5
511
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja
La composición del vapor en el punto c es y = 0.6; dado que también se conoce
la presión (P = 70 kpa), se pueden efectuar 10s cálculos de T ROCIO. La ecuación
(12.14) se convierte aquí en
p,” =
P(Yl + Yz4
El procedimiento de iteración es como antes, excepto que se basa en 8%’ el lugar de
en E~,Y
t=
2 945.47
-224.00
14.2724- InP,“’
Aquí, el resultado es t = 79.58”C, la temperatura en los puntos c y c’. Con p,“’ =
96.53 kPa, mediante la ecuación (12.19) se encuentra que la composición en el punto c’ es
x1=
Y,P (O.W70)
____ = o . 4351
yt
96.53
-=
Así, la temperatura se eleva desde 76.42 hasta 79.58”C, durante la etapa de
vaporización, del punto b al punto c. El calentamiento continuado simplemente
sobrecalienta el vapor hasta el punto d.
Ley de Raoulf modificada
Para presiones de bajas a moderadas, se obtiene una ecuación mucho más realista
para EVL cuando la ecuación (12.1) se simplifica justamente mediante la suposición del modelo de gas ideal para la fase de vapor, estableciendo así las @‘i = 1.0
por medio de la ecuación (12.2). Cuando se hace esta suposición, la ecuación (12.1)
se reduce a
yiP = Xiiyipisat
(i=1,2,...,NI
(12.20)
Esta ecuación proporciona una ley de Raoult modificada, y se utiliza para la reducción de los datos, como es el caso de la ecuación (11.1) en la sección 11.1. Los
cálculos para punto de burbuja y punto de rocío con ella, desde luego, se hacen algo
más sencillos que los mostrados por las figuras 12.12 a la 12.15. Más aún, cl
cálculo de P BURBUJA produce resultados finales en una sola etapa, sin necesidad de iteración.
Ejemplo 12.2 Para el sistema 2-propanol(l)/agua(2), los valores siguientes
parámetros son recomendados para la ecuación de Wilson:
al2 = 437.98
~21 = 1 238.00 cal mal-’
V, = 76.92
V2 = 18.07 cm3 mal-l
de
512
CAPÍTULO 12.
EVL a presiones bajas y moderadas
Ademá.s, se tienen las siguientes ecuaciones de Antoine:
lneat = 16.6780 -
3 640.20
T - 53.54
lnPat2 = 16.2887 -
3 816.44
T - 46.13
en donde T está en kelvins y la presión de vapor está en kPa. Suponiendo la validez de
la ecuación (12 X0), se calcula:
a)
P y {yi} para T = 353.15 K yxl= 0.25.
b)
P y {xi}, para T = 353.15 K y y1 = 0.60.
c)
T y {yi}, para P = 101.33 kPa yxl = 0.85.
d)
T y {xi}, para P = 101.33 kPa y y1 = 0.40.
e)
p8”, la presión azeotrópica, y x;
= 353.15 K.
= yp, la composición azeotrópica, para T
Dado que se ha supuesto la validez de la ecuación (12.20), @i = 1.0 en
este problema. Esto, junto con el hecho de que se está considerando un sistema
binario, hace que la resolución sea lo suficientemente sencilla como para que las
etapas se puedan explicar al hacer los cálculos.
SOLUCIÓN
a) Un cálculo de P BURBUJA. Para T = 353.15, las ecuaciones de Antoine
dan las siguientes presiones de vapor:
Pt
1 = 92.59
PT’ = 47.38 kPa
Los coeficientes de actividad dados por la ecuación de Wilson se calculan mediante
las ecuaciones (11.17) y (11.18). Primero se encuentran los valores de Ar2 y hzl
mediante la ecuación (11.24). Así,
18.07
-437.98
v,exp __
-aI2 = ~
Al2 = R
T
7
6
.
9
2
exp
(1.987)(353.15)
v,
= 0.1258
-1238.00
RT 18.07 exp (1.987)(353.15)
= 0.7292
Y
Al sustituir los valores conocidos en las ecuaciones (11.17) y (ll. 18), se tiene:
lnyl = -ln(0.25 f 0.75 X 0.1258)
0.1258
0.7292
+ 0.75 0.25 + 0.75 x 0.1258 - 0.75 + 0.25 x 0.7292
12.5
Cblculos
513
de punto de rocío y de punto de burbuja
o bien
In-y1 = 1.0661 + 0.‘75(-0.4168)
= 0.7535
Y
lnyz = -ln(0.75 + 0.25 X 0.7292) - 0.25(-0.4168) = 0.1743
de d0ndf.3
y1 = 2.1244
‘yz = 1.1904
De acuerdo con la ecuación (12.11), con todas las @,i =l.O,
P = (0.25)(2.1244)(92.59)
+ (0.75)(1.1904)(47.38) = 91.47 kPa
De la ecuación (12.20), escrita como yi = xi yi P yt /P, se obtiene
y1 = 0.538
y2 = 0.462
b) Cálculo de un P ROCÍO. Sin cambiar la T de la parte a), los valores de y,
r, Al2 y h2l son los mismos que ya se han calculado. No obstante, aquí se clcsconoce la composición de la fase líquida. Para iniciar los cálculos, se toma la fase Iíquida como una solución ideal y se ajustan todas las yi = 1.0. Entonces, la ecuación
(12.12) se convierte en
A partir de este valor, se encuentra P = 67.01 kPa. La ecuación (12.20),
como x1 = ylP@t, da
x1 =
escrita
(0.6)(67.01) = o 434
92.59
.
de donde x2 = 1 - XI = 0.566. Los valores resultantes de -yl y M, calculados por
medio de las ecuaciones (11.17) y (11.18), son
y1 = 1.4277
y2 = 1.4558
En seguida se utilizan estos valores iniciales de los coefícicntes de a&+Jad para
volver a calcular P, escribiendo la ecuación (12.12) como
El resultado es P = 96.73 kF%. Al volver a calcularxl
se obtiene
mediante la ecuación (12.10),
CAPTO 12. EKL a presiones bajas y moderadas
514
x1 = 5 = WWW.73)
(1.4277)(92.59)
1 1
= 0.439
yxs = 0.561. Ahora las ecuaciones (11.17) y (11.18) proporcionan nuevosvalores
de los coeficientes de actividad:
yl = 1.4167
y2 = 1.4646
La iteración dentro del rizo interior de la figura ( 12.13) lleva a los valores
x1 = 0.449
-yl = 1.3957
y2 = 1.4821
y por medio de la ecuación (12.12), P = 96.72 kPa. Como las @pi se han fijado a la
unidad, no se requiere iteración posterior y se han encontrado los valores finales:
P = 96.72 kPa
x1 = 0.449
x2 = 0.551
c) Cálculo de T BURBUJA. La aplicación de la ecuación ( 12.16), con las constantes de Antoine que se han dado y P = 101.33 kPa, llevan a los valores
ly’ = 355.39
za’ = 373.15 K
Un valor inicial para T se deduce entonces de la ecuación (12.17):
T = (0.85)(355.39) + (0.15)(373.15)
= 358.05 K
Los valores de P “’ a esta temperatura se evalúan mediante las ecuaciones dadas de
Antoine:
Pmt
1 = 112.60
ea’ = 57.60 kPa
Los coeficientes de actividad a esta temperatura vienen de las ecuaciones de Wilson,
con Als y As, proporcionados por la ecuación (11.24):
Al2 = 0.1269
AsI = 0.7471
Entonces, las ecuaciones (11.17) y (11.18) producen
y1 = 1.0197
y2 = 2.5265
La sustitución de los valores dentro de la ecuación (12.13), con i = 1 y cada @i = 1,
da
p,“’ =
101.33
(0.85)(1.0197) + (0.15)(2.5265)(57.60/112.60)
= 95.54 kPa
La temperatura vuelta a calcular por medio de la ecuación (12.15) es T = 353.92 K. La
secuencia de cálculos se repite ahora para esta temperatura, dando como resultado
12.5
Ctilculos de punto de rocío y de punto de burbuja
P”
2 = 48.73 kPa
Al2 = 0.1260
y1 = 1.0203
3/2 = 2.5624
p,” = 95.24 kPa
A,, = 0.7321
T = 353.85 K
El cambio en T es pequeño y una iteración adicional lleva a un cambio no significativo en los valores. Por consiguiente, se calcula y1 mediante la ecuación (12.20):
Yl
=
w 1 E”’
-=
P
(0.85)(1.0203)(95.24)
(101.33)
= o 815
.
Así, para resultados finales se tiene
T = 353.85 K
y1 = 0.815
y2 = 0.185
d) Cálculo de T ROCÍO. Dado que P = 101.33 kPF,.las temperaturas de
saturación son las mismas que en la parte c), pero la T mlcial está dada por la
ecuación (12.18):
T = (0.40)(355.39) + (0.60)(373.15) = 366.05 K
Los valores P y” a esta temperatura, encontrados a partir de las ecuaciones de
Antoine, son
y = 152.89
e-’ = 78.19 kPa
Paraj=l,yconyi=Q>i= 1.0, se encuentra un valor inicial de p,“” por medio de
la ecuación (12.14):
p,“’ = 101.33[0.40+ 0.6O(Ej] = 159.41 kPa
Al escribir la ecuación (12.15) para la especie 1, se obtiene la nueva estimación de T
= 367.17 K. A esta temperatura, Pz@ = 81.54 kPa y Al2 y A21, de acuerdo con la
ecuación ( ll .24), son
Al2 = 0.1289
h2l = 0.7801
La aplicación de la ecuación de Wilson para la evaluación de los coeficientes de actividad requiere el conocimiento de la composición de la fase líquida. Por consiguiente,
se calcula 21 a partir de la ecuación (12.20):
yx:! = 0.746. Las ecuaciones (11.17) y (11.18) dan entonces
‘~1 = 2.0276
75 = 1.1902
CAPÍ!l’ULO
516
12.
EVL a presiones bajas y moderadas
Ahora se vuelve a calcular PFt mediante la ecuación (12.14) :
= 119.86 kPa
La temperatura, vuelta a evaluar por medio de la ecuación (12.15),
K. A esta temperatura,
ca” = 61.31 kPa
Al2 = 0.1273
es T = 359.65
ll21 = 0.7529
Estos valores permanecen fijos mientras las iteraciones del rizo interior de la figura
12.15 se llevan a cabo. Los cálculos de 21 por medio de la ecuación (12.20) dan
(0.40)(101.33) = o 167
’
x1 = (2.02’76)(119.86)
yxs = 0.833. Mediante las ecuaciones (11.17) y (11.18),
y1 = 2.8103
72 = 1.0999
La ecuación (12.20) da valores nuevos de 51 y x2, los cuales a su vez son normalizados, y 3/1y -y2 se calculan de nuevo por medio de las ecuaciones (11.17) y (11.18). Se
repite el proceso hasta que los valores de 71 y yz no cambien apreciablemente en las
iteraciones sucesivas. Los resultados de este procedimiento son
x1 = 0.0658
yl = 5.1369
‘y2 = 1.0203
Dejando el rizo interior, se calcula 4,’ por medio de la ecuación (12.14):
= 124.38 kPa
La ecuación (12.15), escrita para la especie 1, produce T = 360.61 K. A esta temperatura,
e=’ = 63.62 kPa
AI2 = 0.1275
A,, = 0.7563
Si regresamos al rizo interior, una iteración para x1, yr y “/z da como resultado los
valores
x1 =
0.0639
y1 = 5.0999
y2 = 1.0205
Ahora regresamos al rizo exterior que ;IO produce algún cambio significativo en estos
resultados. Así, se ve que
T = 360.61 K
x1 = 0.0639
z2 = 0.9361
12.5
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja
517
e) Primero se determina si existe o no algún azeótropo a la temperatura dada.
Este cálculo se facilita por la definición de una magnitud que se denominavolatilidad
relativa
(12.21)
Esta cantidad es igual a la unidad en un azeótropo. Mediante la ecu&ión (11.20)
Por consiguiente,
(12.22)
Cuando 21 = 0,~ = 1 y 71 = rl, y cuando x1 = 1, ‘yl = 1 y -yo = y;. Por lo tanto,
en estos límites (~12 está dada por
Estos valores se calculan con facilidad a partir de la información dada. Si al@no de ellos es menor que 1 y el otro es mayor que 1, entonces existe un azeótropo,
porque (~12 es una función continua de x1 y debe pasar a través del valor de 1.0 para
alguna composición intermedia.
Los valores de cm’ y e=‘, y los valores de Al2 y AZ, para la ecuación de Wilson
se dan en la parte a) para la temperatura que aquí nos interesa. Las expresiones
para los coeficientes de actividad a dilución al infinito aparecen después de las
ecuaciones (11.17) y (11.18). Por ello,
lny; = -In Al2 + 1 -AZ, = -In 0.1258 + 1 - 0.7292 = 2.3439
lny,” = -In A2l + 1 - Al2 = -In 0.7292 + 1 - 0.1258 = 1.1900
Y
Y1 m = 10.422
Los valores limitantes de (~12
(W2Ll
y; = 3.287
son
= 0 =
(10.422)W.W
47.38
=
20,37
CAPÍTlJL.0 12.
518
(w2L1=
1
=
EVL a presiones bajas y moderadas
92.59
(3.287)(47.38)
=
0.595
A partir de estos resultados, se concluye que debe existir un azeótropo.
Para al2 = 1, la ecuación (12.22) se convierte en
Pmr
47.38
Yl” =2== 0.5117
F
p,” 92.59
La diferencia entre las ecuaciones (ll. 18) y ( ll. 17), las ecuaciones de Wilsongara
y2 y 71, da la expresión general
Así, la composición azeotrópica es el valor de s,(con 22 = 1 - ~1) para la cual esta
ecuación se satisface cuando
In- = In 0.5117 = -0.6700
Y2
AI2 = 0.1258
A,, = 0.7292
La resolución por ensayo da como resultado xp = 0.7173. Para este valor de 21, se
encuentra por medio de la ecuación (11.17) que Y,” = 1.0787. Con x,” = yp , la
ecuación (12.20) se convierte en
PB” = yl”p,“’ = (1.0787)(92.59)
Por lo tanto,
PB” = 99.83 kPa
x; = y;” = 0.7173
Los cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja se hacen fácilmente con
los programas de software, por ejemplo, Mathcad@ y Maple@, en los cuales la
iteración es una parte integral de una rutina para resolver ecuaciones. Los programas de Mathcad para la resolución del ejemplo 12.2 se dan en el apéndice D-2.
Los cálculos para sistemas con multicomponentes que se hacen sin consideraciones de simplificación se llevan a cabo con facilidad en una forma semejante en
una computadora. En la tabla 12.1 se presentan los resultados para el sistema
n-hexano(l)/etanol(2)/metilciclopentano(3)/benceno(4)
de un cálculo de T BUR
12.5
519
Cálculos de punto de rocío y de punto de burbuja
BUJA completo. La presión P dada es l(atm), y las fracciones mol de la fase
líquida dadas, xi, se enlistan en la segunda columna de la tabla 12.1. Los parámetros
para las ecuaciones de Antoine5 [T en kelvins, P en (atm)], suministrados como
datos a ingresar, son
Al = 9.2033
&=12.2786
A3 = 9.1690
A4 = 9.2675
BI=2 697.55 CI=-48.78
Bz=3 803.98 Cz=-41.68
Bs=2 731.00 Cs= -47.11
Bq=2 788.51 Cq=-52.36
Además, se proporcionan los coeficientes viriales siguientes6 (en cm3 mal-l):
Bll= -1 360.1 Blz=-657.0
BIS=-1274.2
Bz2 = -1 174.7 Bz3 = -621.8
Bz4=-589.7
Bs3 =-1 191.9 B34 =-1 137.9
B44 = -1 086.9
B14= -1218.8
Finalmente, la información de ingreso incluye parámetros para el método UNIFAC
(apéndice G). Los valores calculados de T y de las fracciones mol yi de la fase de
vapor se comparan favorablemente con los valores experimentales.7
‘Ihmbién
enlistados en la tabla 12.1 se encuentran los valores finales calculados de PTt, @i
Y Yi.
Los cálculos de T BURBUJA, para los cuales los resultados se dan en la
tabla 12.1, son para una presión de 1 (atm), a la cual las fases de vapor con frecuencia se asumen como gases ideales y para la que @i es la unidad para cada
especie. En efecto, estos valores quedan aquí entre 0.98 y 1.00. Esto ilustra el
hecho de que a presiones de 1 bar y menores, la consideración de los gases ideales
introduce con frecuencia un pequeño error. Por otro lado, la suposición adicional
de la idealidad de la fase líquida (ri = l), sólo se justifica con poca frecuencia.
Nótese que yi para el etanol, en la tabla 12.1, es mayor a 8.
Los valores de los parámetros para las ecuaciones de Margules, van Laar,
Wilson, NRTL y UNIQUAC, se dan para muchos pares binarios por Gmehling
et al.* en una recopilación que resume los datos de EVL publicados en el mundo
para presiones bajas a moderadas. Estos valores se basan en la reducción de los
datos experimentales por medio de la aplicación de la ecuación (12.20). Por otro
lado, la reducción de datos para la determinación de parámetros en el método
UNIFAC (apéndice G) no incluye la suposición del gas ideal y se lleva a cabo
mediante la ecuación (12.1).
5R. C. Reid, J. M. Prausnitz y T. K. Sherwood, !l%e Pwperties of Gases and Liquids, 3a. ed., Ap. A,
McGraw-Hill, Nueva York, 1977.
‘Tomado de la correlación de J. G. Hayden y J. l? O’Connell, Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev., VO].
14, pp. 209-216, 1975.
7J. E. Sinor y J. H. Weber, J. Ches. Eng. Data, vol. 5, pp. 243-247, 1960.
8J. Gmehling, U. Onken y W. Arlt, Rzpor-Liquid Equilibrium Data Colkction,
Series, vol. 1, Partes 1-8, DECHEMA, l+ankfurt/Main,
1977-1990.
Chemistry Data
520
CAPÍ!lVLO
12.
EVL a presiones bajas y moderadas
‘Ihbla 12.1: Resultados de los cálculos de T BURBUJA a 1 (atm) para el
sistema Ir-Hexano/Ehnol/Metilciclopentano(MCP)/enceno
Especie k
12.6
Xi
yi(calc)
ydexp)
rt /( atm)
@i
n-Hexano( 1)
Etanol( 2)
MCP( 3)
Benceno( 4)
0.162
0.068
0.656
0.114
0.139
0.279
0.500
0.082
0.140
0.274
0.503
0.083
0.797
0.498
0.725
0.547
0.993
0.999
0.990
0.983
T(calculada)
= 334.82 K
T(exp) = 334.85 K
Yi
1.073
8.241
1.042
1.289
Iteraciones = 4
Cálculos de evaporación instantánea
Una aplicación importante del EVL es el cálculo de evaporación instantánea. El
nombre se originó por el hecho de que un líquido, a una presión igual o mayor que
su presión en el punto de burbuja “se evapora instantáneamente” o se evapora
parcialmente cuando la presión se reduce por abajo de la presión del punto de
burbuja, produciendo un sistema de dos fases de vapor y líquido en equilibrio. Aquí
consideramos sólo la evaporación instantánea e T, la cual se refiere a cualquier
cálculo de las cantidades y composiciones de las fases de vapor y de líquido que
conforman el sistema de dos fases en equilibrio, a T, P y composicióngeneral conocidas. Esto plantea un problema conocido,a determinar sobre la base del teorema
de Duhem, porque dos variables independientes (T y P) se especifican para un
sistema de composición general fija, esto es, un sistema formado a partir de masas
dadas de especies químicas no reactivas.
Considérese un sistema que contiene un mol de especie química no reaccionante
con la composición general representada por el conjunto de fracciones mol {Zi}.
Sean L’ los moles de líquido con las fracciones mol {zi}, y sean Y los moles de
vapor, con las fracciones mol {yi}. Las ecuaciones de balance de material son
Zj = Xj13 + yi V
(i = 1,2, . . .> N)
Si es escoge eliminar L? de estas ecuaciones, se tiene
Zi =Xi(l- V) + YiV
(i = 1,2, . . . >iv)
(12.23)
Una medida conveniente de la tendencia de una especie química dada a la
partición de sí misma, preferencialmente entre las fases líquida y de vapor, es la
relación de equilibrio Ki, definida como
(12.24)
12.6
Cálculos
de
evaporación
instantánea
521
A menudo, esta magnitud se llama sencillamente valor K. Aunque no aporta nada
a nuestro conocimiento termodinámico del EVL, sirve como medida de la “ligereza” de una especie constituyente, esto es, de su tendencia a concentrarse en la fase
de vapor. Cuando Ki es mayor a la unidad, la especie i se concentra en la fase de
vapor; cuando es menor, se concentra en la fase líquida y se considera como un
constituyente “pesado”. Además, el uso de los valores K significa una conveniencia
en el cálculo, lo que permite la eliminación de un conjunto de fracciones mal, {yi}
o {xii), en favor del otro.
Así, en la ecuación (12.23) se sustituye xi = yi/Ki, y se resuelve para yi:
ZiKi
(i = 1,2, . . . > IV)
yi = 1 + V(K, - 1)
(12.25)
Dado que xi = YJKi, una ecuación alernativa es
zi
(i = 1,2, . . . >Iv)
xi = 1+ V(K, - 1)
Como ambos conjuntr,s de fracciones mol deben sumar la unidad, Cixi = Ciyi = 1.
Así, si se suma la ecuación (12.25) para todas las especies y se resta la unidad de
esta suma, la diferencia PY debe ser cero; esto es,
(12.27)
i 1+ V(K, - 1)
Un tratamiento similar de la ecuación (12.26) produce la diferencia Fz, la cual
también debe ser cero:
E3, = c
”
i 1 + V(K, - 1)
-l=O
La solución al problema de evaporación instantánea E: T se obtiene cuando se
encuentra que un valor de V hace que la función FY o la Fz sean igual a cero. No
obstante, una función más conveniente para usarla en un procedimiento de solución general9 es la diferencia FY - Fz = F:
zi(Ki - 1)
0
F=c
i 1+ V( Ki - 1 ) =
(12.29)
‘H. H. Rachford, Jr. y J. D. Rice, J. Petral. Tec/wzoZ., val. 4 (lo), sección 1, p. 19, y sección 2, p.
3, octubre, 1952.
CAPflVL.0 12.
522
1 r-l Calcule P BURBUJA
1
1
1
i
COXI
EVL
a presiones bajas y moderadas
(Xi} = {si}.
I
I
I
d
No
-
-
Estime {yi), {W, l’.
I
Evalúe {Ki) por la ec. (12.32).
Evalúe Fy WWpor
las ecs. (12.29) y (12.30).
Encuentre Vpor el método de Newton.
Evalúe {y} por la ec. (12.26) y {yi) por yi = Ki G.
Evalúe {r;}, {Q;}.
Figura
12.18:
Diagrama de bloques para un cálculo de evaporación instantánea E: l!
La ventaja de esta función se evidencia a partir de su derivada:
z,(lq - 1)”
dF
z=- c
i [l+ V(Ki - l)]”
(12.30)
Dado que dF/d V siempre es negativo, la relación F contra Ves monotónica, y esto
hace que el método de Newton (apéndice H) sea un procedimiento de iteración
rápidamente convergente, muy adecuado para la resolución de V. La ecuación (H.l)
para la iteración enésima se convierte aquí en
F
+
(
1
$$ AV=O
(12.31)
12.6
Cálculos
de
evaporación
instantánea
523
endondeAV= V,+I-V~,J’Y(W~V) se encuentran por medio de las ecuaciones
(12.29) y (12.30). En estas ecuaciones, los valores K provienen de la ecuación
(12.1)
escrita como
Ki = J&
= Yi<”
Xi
QiP
(i = 1, 2, . . . >hq
(12.32)
en donde ~~ está dada por la ecuación (12.2). Los valores K contienen toda la
información termodinámica, y se relacionan en una forma compleja con T P, {yi}
y {xi}. Como se está resolviendo para {yi} y {zi}, el cálculo de la evaporación
instantánea e T requiere inevitablemente iteración.
Un esquema general para la resolución se muestra en el diagrama de bloque
de la figura 12.18. La información dada es leída y almacenada. Como no se conoce
con anterioridad si el sistema a las T, P y composición establecidas es, en efecto,
una mezcla de líquido saturado y vapor saturado, y no totalmente líquid0 0 totalmente vapor, se hacen cálculos preliminares para establecer la naturaleza del sistema. A las T y composición general dadas, el sistema existe como un vapor
sobrecalentado si su presión es menor que la presión del punto de rocío Pmío. Por
otro lado, existe como un líquido subenfriado si su presión es mayor que la presión
del punto de burbuja Pbu&,uja. Sólo para presiones entre P,í, y Pb"&ja el sistema
es una mezcla en equilibrio de vapor y líquido. Por consiguiente, se determina Pmío
mediante un cálculo de P ROCIO (figura 12.13), a la T dada y para {yi} = {zi}, y
P burbuja mediante un cálculo de P BURBUJA (figura 12.12), a la T dada y para
{xi} = {zi}. El cálculo de evaporación instantánea c T se realiza sólo si la presión
dda, P, queda entre Pm& y Pburb"ja; Si éste es el caso, entonces se utilizan los
resultados de los cálculos de P RPCIO y P BURBUJA preliminares para tener
estimaciones iniciales de {yi), {$i) y y Para el punto de rocío, V = 1, y se han
calculado los valores de Procío, x,roeío Y q$,rocío; para el punto ae hrbuja, V = 0, y se
han calculado los valores de Pburbyja, Yi,burbuja y #i,burbuja. El procedimiento más
sencillo es la interpolación entre los valores del punto de rocío y el punto de burbuja en relación con la posición de P entre Pro& y Pbu&uja:
Yi
- Yzpxío
Yi,burbuja
- Yi,mío
V-l
p - ~ro,í,
o-1 = Pburbuja - P&,
v =
O
Phorbuja
- P
pbwbuj, - p-wí<,
Con estos valores iniciales de las 3/i y las & los valores iniciales de Ki se
pueden calcular con la ecuación (12.32). Se puede disponer de los valores de PF’
y 4”’ a partir de los cálculos preliminares de P ROCIO y P BURBUJA. Las
CAPÍTULO 12.
524
EVL
a presiones bajas y moderadas
ecuaciones (12.29) y (12.30) proporcionan ahora los valores de F y dF/dVpara el
método de Newton, como se representa mediante la ecuación (12.31). La aplicación repetida de esta ecuación lleva al valor de Vpara el cual se satisface la ecuación
(12.29) por las actuales estimaciones de las Ki. Los cálculos restantes sirven para
dar nuevas estimaciones de 3/i y @i a partir de las cuales se vuelve a evaluar Ki.
Esta secuencia de etapas (una iteración externa) se repite hasta que no haya cambio significativo en los resultados de una iteración a la siguiente. Después de la
primera iteración externa, los valores de V y (dF/dV) utilizados para iniciar el
método de Newton (una iteración interna) son los valores calculados más recientemente. Una vez que se ha establecido un valor de V, se calculan los valores de xi por
la ecuación (12.26) y los valores de yi se dan mediante yi = K&. La naturaleza de
estos cálculos se ilustra bien por medio del ejemplo siguiente, en donde la ley de
Raoult da las relaciones de EVL.
Ejemplo 12.3 El sistema acetona(l)/acetonitrilo(2)/nitrometano(3),
a 80°C y 110
kPa, tiene la composición general21 = 0.45,~ = 0.35, ~3 = 0.20. Suponiendo que la
ley de Raoult es apropiada para este sistema, determine 1, V, {xi} y {yi}.
SOLUCIÓN
Las presiones de vapor de las especies puras a 80°C son
p,“” = 195.75
ea” = 97.84
PSat = 50.32 kPa
Primero, se hacen los cálculos de P BURBUJA con {zi} = {xi} para determinar
Cuando se aplica la ley de Raouìt, la ecuación (12.11) se convierte en
P burbuja.
Numéricamente,
Pbu&uja
= (0.45)(195.75)
+ (0.35)(97.84)
+ (0.20)(50.32)
= 132.40 kPa
Segundo, se hace un cálculo de P ROCÍO con {si} = {yi} para determinar Pmcío.
Para la ley de Raoult, la ecuación (12.12) se escribe
P rlxío =
1
YJP,“’ + yJE2’ + y,/E3’
Al sustituir los valores numéricos, se tiene
P rocío = 101.52 kPa
Como la presión que se da queda entre
y Pìocío, el sistema está en la región de
dos fases y, por lo tanto, se procede al cálculo de evaporación instantánea.
Pburbuja
Debido a que se aplica la ley de Raoult, aquí la ecuación (12.32) se convierte en
Ki = cat /P, de donde
525
12.6 Ctihlos de evaporación instantánea
K = 195.75
___ = 1.7795
1
110
En forma similar,
Kz = 0.8895
y
K3 = 0.4575
La sustitución de valores conocidos en la ecuación (12.27) da
(0.45)(1.7795) + (0.35)(0.8895) + (0.20)(0.4575) = 1
1 + 0.7795v
1- 0.1105v
1 - 0.5425V
(4
La resolución para V, por ensayo, produce
V = 0.7364 mol
de donde
L’= l - V = 0.2636mol
Queda claro en la ecuación (12.25) que cada término al lado izquierdo de la ecuación
(A) es un valor de y+ Por consiguiente, se encuentra que yr = 0.5087, yz = 0.3389
y y3 = 0.1524. Entonces, a partir de la ecuación (12.24),
0.5087
Yl = 0.2859
x1 = z= 1.7795
De modo similar,
x2 = 0.3810
y
x3 = 0.3331
Obviamente, &yi = &xi = 1. El procedimiento de este ejemplo es válido, sin importar el número de especies que estén presentes.
Los cálculos de evaporación instantánea para los sistemas de multicomponentes, hechos sin las consideraciones de simplificación inherentes a la ley de Raoult,
se llevan a cabo con facilidad en una computadora, como se explica en la figura
12.18. La tabla 12.2 muestra los resultados de un cálculo de evaporación instantánea E: T completo para el sistema n-hexano( l)/etanol(2)/metilciclopentano(3)/
benceno( 4). Éste es el mismo sistema para el cual se presentó el cálculo de T BUR
BU JA (tabla 12. l), y aquí se utilizan las mismas correlaciones y valores de los
parámetros. Las P y T dadas son 1 (atm) y 334.15 K. Las fracciones mol generales para el sistema {zi} se enlistan en la tabla junto con los valores calculados de
las fracciones mol de la fase líquida y de la fase de vapor, así como los valores K. La
fracción molar del sistema que es vapor se encuentra aquí como V = 0.8166.
526
CAPÍTULO 12.
EVL.
a presiones bajas y moderadas
%bla 12.2: Resultados de un calculo de evaporación instantanea E: T, a 1
(atm) yo 334.15 K, para n-Hexano/Etanol/Metilciclopentano(MCP)/eno
Especies(i)
n-Hexano( 1)
Etanol@)
MCP(3)
Benceno( 4)
P = l(atm)
zi
0.250
0.400
0.200
0.150
Xi
0.160
0.569
0.129
0.142
yi
0.270
0.362
0.216
0.152
Ki
1.694
0.636
1.668
1.070
T = 334.15 K Y= 0.8166
12.7 Sistemas soluto(l)/disolvente(2)
El método gama& para cálculos de EVL, como se presenta en la sección 12.4,
presupone el conocimiento de la presión de vapor de cada una de las especies a la
temperatura de interés. Aquí se consideran sistemas binarios para los cuales la
especie 1, designada el soluto, es inestable a la temperatura del sistema o es
superctitica, esto es, la temperatura del sistema excede su temperatura crítica. Por
consiguiente, su presión de vapor no se puede medir, y su fugacidad fr, como líquido puro a la temperatura del sistema, no se puede calcular por medio de la ecuación
(10.41).
Aunque las ecuaciones (12.1) y (12.2) se pueden aplicar ala especie 2, designada el disolvente, no son aplicables al soluto y se requiere de un método alternativo. En la figura 12.19 se presenta una gráfica típica de la fugacidad de la fase
líquida del soluto, jI contra su fracción mol x1 a temperatura constante. Esta
figura difiere de la figura ll.3 en que la curva que representa sI no se extiende
todo el camino hastaxr = 1. Así, la posición defr, la fugacidad de la fase líquida de
la especie pura 1, no se ha establecido, y la línea que representa la regla de Lewis/
Banda11 no se puede dibujar. La línea tangente al origen, que representa la ley de
Henry (sección 1 1 . 1 ), proporciona información alternativa. Recuérdese que la pendiente de la línea tangente es la constante de Henry, definida por la ecuación (11.2).
Así,
(12.33)
La constante de Henry es una función fuertemente dependiente de la temperatura, pero sólo depende débilmente de la presión. A pesar de ello, nótese que la definición de kr es para la temperatura Ta la presión de EVL, paraxI+ 0, es decir, la
presión del vapor del disolvente puro PT’.
El coeficiente de actividad del soluto a dilución infinita es
12.7 Sistemas S0luto(l&¿&Olven~(2)
527
En vista de la ecuación (12.33), se convierte en y: = kllfi, o
en donde y; representa el valor de dilución al infinito del coeficiente de actividad
del soluto. Como ambas kl y yl son evaluadas a P,““‘, esta presión también SC
aplica afi. No obstante, el efecto de P sobre la fugacidad de una fase líquida, dada
por un factor de Poynting, es muy pequeñ?, y ptra fines prácticos a menudo se
puede despreciar. Debido a que para EVL fl = ff = fi, el coeficiente de actividad del soluto está dado por
Así,
(12.35)
Para el disolvente, esta ecuación toma el lugar de las ecuaciones (12.1) y (12.2).
Al aplicarla a un cálculo de P BURBUJA para un sistema binario, esta
ecuación se escribe como
Figura 12.19:
Gráfica de la fugacidad del soluto f, contra x1.
CAPfTVLO
528
12.
EI?45 a presiones bajas y moderadas
y1 = %(YlhTNl
$9
(12.36)
Para el disolvente, la especie 2, la ecuación (12.9) se convierte en
4YJY
y2
=
(12.37)
$P
Dado que y1 + y2 = 1
(12.38)
Nótese que la misma correlación que se proporciona para la evaluación de yi también permite la evaluación de y;.
Como ejemplo sencillo, considere un sistema para el cual
GE
- = BqQ?
RT
& = 1.0
a3 = 1.0
Entonces, por las ecuaciones (X12),
Yl = exp
Pd)
Y2 = exp VW)
Y
Yl Oo
= exp
(BI
y
(xlylm) = eq [B($ - 111
La ecuación (12.38) se convierte en
P = xlklexp [B($ - l)] + x2Pzmt exp [B$]
y por la ecuación (12.36), se tiene
Por comparación, si la presión del vapor de la especie 1 fuera conocida, la
formulación resultante podría ser
P = xlrt exp [Bg] + x2Ppt exp [Bxf]
529
Rvblenps
La única diferencia en los datos que se ingresan para las dos formulaciones es que
la constante de Henry se requiere, para la especie 1, en el primer caso, en tanto que
la presión de vapor de la especie 1 aparece en la última.
Queda el problema de encontrar la constante de Henry a partir de los datos
disponibles de EVL. Para el equilibrio,
La división por x1 da
La constante de Henry se define como el límite, a medida quexI + 0, de la relación
a la izquierda; por consiguiente,
El valor limitante de yl/xl se puede encontrar graficando yl/xl contra x1 y
extrapolando a cero.
PROBLEMAS
Las soluciones de algunos de los problemas de este capítulo requieren que se conozcan las presiones de vapor, como función de la temperatura, para las especies que
constituyen los sistemas en ET%. La tabla que se presenta enlista los valores que son
parámetros para la ecuación de Antoine,
lnPWa=A-
Acetato de metilo
Acetona
Acetonitrilo
Agua
Benceno
Clorobenceno
’
t/“c+c
A
B
C
14.4015
14.3916
14.7258
16.2620
13.8594
13.9926
2 739.17
2 795.82
3 271.24
3 799.89
2 773.78
3 295.12
223.12
230.00
241.85
226.35
220.07
217.55
CAPÍlTJL,O 12.
530
1-Clorobutano
1,4-Dioxano
Etanol
Etilbenceno
n-Heptano
Metano1
n-Pentano
l-Propano1
Tolueno
EVL a presiones bajas y mc@eradas
A
B
c
13.9600
16.2620
16.6758
14.0045
13.8587
16.5938
13.8183
16.0692
14.0098
2 826.26
3 799.89
3 674.49
3 279.47
2 991.32
3 644.30
2 477.07
3 448.66
3 103.01
224.10
226.35
226.45
213.20
216.64
239.76
233.21
204.09
219.79
12.1. Suponiendo que la ley de Baoult sea válida, prepare un diagrama Pxy para una
temperatura de 90°C y un diagrama txy para una presión de 90 kPa, para uno de los
siguientes sistemas:
a)
Benceno( 1 )/etilbenceno( 2).
b) 1-Clorobutano( l)/clorobenceno(2).
12.2. Suponiendo que la ley de Raoult se aplica al sistema n-pentano(
l)/n-heptano(2),
a)
iCuáles son los valores de ~1 y yr a t = 55°C y P = *(PI=’ + Pzwt)? Para estas
condiciones, grafique la fracción del sistema que es vapor V contra composición
general zr.
b)
Para t = 55°C yzl = 0.5, trace una gráfica de e x1 y yr contra V.
12.3. Trabaje el problema 12.2 para uno de los siguientes:
a)
t = 65°C; b) t = 75°C; c) t = 85°C; d) t = 95°C.
12.4. Una mezcla líquida de ciclohexano( l)/fenol(2), para la cual x1 = 0.6, está en equilibrio con su vapor a 144°C. Determine la presión P en equilibrio y la composición yr
del vapor a partir de la información siguiente:
l
GEIRT = A(T) x1x2.
l
A 144”C, p,“’ = 75.20 y e*’ = 31.66 kPa.
l
El sistema forma un azeótropo a 144°C para el cual x1” = y:” = 0.294.
12.5. Un sistema binario de las especies 1 y 2 consiste en fases de vapor y de líquido en
equilibrio a la temperatura II La fracción mol general de la especie 1 en el sistema es
zr = 0.65. Ala temperatura T,
l
cm’ = 32.27 kPa.
l
e=’ = 73.14 kPa.
l
GE/RT = 0.67 x1x2.
Suponiendo la validez de la ecuación (12.20),
U)
ESobre qué intervalo de presiones el sistema puede existir como dos fases, a las T
yzr dadas?
1))
Para una fracción mal de la fase líquida x1 = 0.75, icuál es la presión P y qué
fracción molar V del sistema es vapor?
531
Problemas
c)
Muestre si el sistema exhibe, o no, un azeótropo.
12.6. Para el sistema etanoato de etilo(l)/+heptano(2) a 343.15 K,
l
p;“” = 79.8 kPa.
l
eat = 40.5 kPa.
9 @IRT = 0.95 x1x2.
Suponiendo la validez de la ecuación (12.20),
a)
Haga un cálculo de P BURBUJA para T = 343.15 K, ir = 0.05.
b)
Haga un cálculo P ROCÍO para T = 343.15 K, yr = 0.(05.
c)
ioCuá1 es la composición del azeótropo y la presión a T =: 343.15
d)
Vuelva a trabajar a), pero suponga que la ley de Henry e:,s valida para Ib especie
1, y suponga la regla de Lewis/Randall para la especie 2:.
K?
12.7. Un sistema binario de las especies 1 y 2 consiste en fases dbe vapor y de líyuido en
equilibrio a la temperatura T, para la cual
l
4-t = 1.24 bar.
l
emt = 0.89 bar.
l
GE/RT = 1.8 ~1x2.
Suponiendo la validez de la ecuación (12.20),
U)
bPara qué intervalo de valores de la fracción mol genero& z1, puede eistir este
sistema de dos fases con una fracción mol Zíquida x1 = o. 65?
b)
iCuál es la presión P y la fracción mol del vapor yi, dentro de este intirvalo?
C)
iCuáles son la presión y la composición del azeótropo a Ia temperaturb T?
12.8. La energía de Gibbs en exceso para el sistema cloroformo( l),,/etanol(2),
bien representada por la ecuación de Margules, escrita aquí como:
a 5õ”C, está
GE/RT = (1.42~~ + 0.59x2)x1x2
Las presiones de vapor del cloroformo y el etanol a 55” son
l
p,“” = 82.37 kPa.
. Pzw’ = 37.31 kPa.
a)
Suponiendo la validez de la ecuación (12.20), haga cálculos para p-RIJRBU
a 55°C para las fracciones mol de la fase líquida de 0.26, 0.50 y 0.75.
b)
Por comparación, repita los cálculos utilizando las ecu aciones (12.1) y (12.2)
con coeficientes viriales:
l
Br1 = -963 cm3mol-‘.
. B22 = -1 523 cm3 mal-‘.
. Br2 = 52 cm3 mal-‘.
JA
532
CAPÍ~LO
EVL a presiones bajas y moderadas
1%
12.9. Para el sistema acetona(l)/metaaol(2),
una mezcla de vapor, para la cualzl = 0.75 y
22 = 0.25, es enfriada a la temperatura T en la región de dos fases y fluye en una
cámara de separación a una pres $11 de 1 bar. Si la composición del producto líquido
debe serzl = 0.50, hcuál es elvalorque se requiere de T, y cuál es el valor deyl? Para
las mezclas líquidas de este sistema a una buena aproximación
@fRT = 0.64xp2
12.10. La siguiente es una regla de dedazo: Para un sistema binario en EVL a baja presión,
la fracción mol y1 de la fase de vapor en equilibrio, correspondiente a una mezcla
líquida equimolar, es aproximadamente
en donde 4” es la presión de vapor de una especie pura. Claramente, esta ecuación
es válida si se aplica la ley de &,oult. Pruebe que también es válida para el EVL
descrito por la ecuación (12.20) cuando @/RT = AxIx2.
Los problemas 12.10-12.21 siguientes requierenvalores de parámetro para la ecuación
de Wilson o NRTL, para los coeficientes de actividad en la fase líquida. La tabla
siguiente da valores de parámetros para ambas ecuaciones. Los parámetros u12, u21,
bl2 y h21 tienen unidades de cal rnol-l, y VI y V2 tienen unidades de cm3 mal-l. Los
valores son los recomendados por Gmehling et al. tipor-Liquid EquiMwium
Data
Colkction, Chmistry Data Ser&, vol. 1, partes la, Ib, 2c y 2e, DECHEMA,
Fkaukfurt/Main,
1981-1988.
K
Sistema
v2
Acetona( 1)
74.05
AguaC3
18.07
Metanol( 1)
40.73
AguaC3
18.07
1-Propanol( 1)
75.14
Agud2)
18.07
Agua(l)
18.07
í,4-Dioxano
85.71
Metanol( 1)
40.73
Acetonitrilo( 2)
66.30
Acetona( 1)
74.05
Metanol( 2)
40.73
Acetato de metilo(l) 79.84
Metanol(2)
40.73
Metanol( 1)
40.73
Benceno( 2)
89.41
Etanol( 1)
58.68
Tblueno(2)
106.85
Ecuación de Wilson
Ecuación NRTL
al2
a21
h2
b21
a
291.27
1448.01
631.05
1 197.41
0.5343
107.38
469.55
-253.88
845.21
0.2994
775.48
1351.90
500.40
1636.57
0.5081
1 696.98
-219.39
715.96
548.90
0.2920
504.31
196.75
343.70
314.59
0.2981
-161.88
583.11
184.70
222.64
0.3084
-31.19
813.18
381.46
346.54
0.2965
1 734.42
183.04
730.09
1 175.41
0.4743
1 556.45
210.52
713.57
1 147.86
0.5292
533
Problemas
12.11. Para uno de los sistemas binarios enlistados en la tabla anterior, basándose en la
ecuación de Wilson, haga los cálculos siguientes:
a)
P BURBUJA: t = 6O”C, cc1 = 0.3.
b)
P ROCÍO: t = 6O”C, y1 = 0.3.
c)
Evaporación instantáneae T: t = 6O”C, P = %(Pburbuja
d)
Si existe un azeótropo a t = 6O”C, encuentre PB” y x,Bz = y;“.
+ Pro&, z1 = 0.3.
12.12. Trabaje el problema anterior para la ecuación NRTL.
12.13. Para uno de los sistemas binarios enlistados en la tabla anterior, basándose en la
ecuación de Wilson, haga los cálculos siguientes:
a)
T BURBUJA: P = 101.33 kPa, q = 0.3.
b)
T ROCÍO: P = 101.33 kPa, y1 = 0.3.
c)
Evaporación instantánea E: Z! P = 101.33 kPa, T = i (Tburb+, + T,,), z1 =
0.3.
d)
Si existe un azeótropo a P = 101.33 kPa,
encuentre Ta” y xp = y;“.
12.14. Trabaje el problema precedente para la ecuación NRTL.
12.15.
Para uno de los sistemas binarios enlistados en la tabla precedente, basándose en la
ecuación de Wilson, prepare un diagrama Pxy para t = 60°C.
12.16.
Para uno de los sistemas binarios enlistados en la tabla precedente, basándose en la
ecuación de Wilson, prepare un diagrama txy para P = 101.33 kPa.
12.17.
Para uno de los sistemas binarios enlistados en la tabla precedente, basándose en la
ecuación NRTL, prepare un diagrama Pxy para t = 60°C.
12.18.
Para uno de los sistemas binarios enlistados en la tabla precedente, basándose en la
ecuación NRTL, prepare un diagrama tq para P = 101.33 kPa.
12.19.
Para el sistema acetona(l)/metanol(2)/agua(3), basándose en la ecuación de Wrlson,
haga los cálculos siguientes:
a)
P BURBUJA: t = 65”C, x1 = 0.3, x2 = 0.4.
b)
P ROCÍO: t = 65”C, y1 = 0.3, y2 = 0.4.
c)
Evaporación instantáneae
0.4.
!l! t = 65”C, P = $(Pburbuja
+ Pro&, 21 = 0.3,~~ =
12.20.
Trabaje el problema anterior para la ecuación NRTL.
12.21.
Para el sistema acetona(l)/metanol(2)/agua(3), basándose en la ecuación de Wilson,
haga los cálculos siguientes:
a)
T BURBUJA: P = 101.33 kPa, 21 = 0.3,~~ = 0.4.
b)
T ROCÍO: P = 101.33 kPa, y1 = 0.3, ys = 0.4.
c)
12.22.
Evaporación instantánea < !F P = 101.33 kPa, T = $(Tburbuja
0.3,zs = 0.2.
Trabaje el problema anterior para la ecuación NRTL.
+ Troeío), z1 =
534
CAPfl’lJL.0
12.
EVL a presiones bajas y moderadas
12.23. Para un sistema binario, la energía de Gibbs en exceso de la fase líquida está dada por
una ecuación de la forma GEIRT = Ax1x2, en donde A es una función sólo de la
temperatura. Asumiendo la validez de la ecuación (12.20), demuestre que
a)
La volatilidad relativa de la especie 1 a la especie 2, a dilución infinita de la
especie 1, está dada por
b)
La constante de Henry para la especie 1 está dada por
kl = p,“” (exp 4
c)
A toda temperatura para la cual existe un azeótropo, la composición azeotrópica
x,” y la presión azeotrópica Paz se relacionan por
$=l+
ln( P” /p,“” ) “’
[ ln(P”le%“) 1
12.24. La energía de Gibbs en exceso, para los sistemas binarios que consisten en líquidos
no muy disímiles en naturaleza química, está representada con una aproximación
razonable por la ecuación
en dondeA es sólo una función de la temperatura. Para tales sistemas, con frecuencia
se observa que la relación de las presiones de vapor de las especies puras es casi
constante en un intervalo considerable de temperatura. Permita que esta relación
sea r y determine el intervalo de valores de A? expresados como función de r, para los
cuales no puede existir un azeótropo. Suponga que la fase de vapor es un gas ideal.
12.25.
Una solución binaria concentrada que contiene principalmente la especie 2 (pero x2
# 1) está en equilibrio con una fase de vapor que contiene ambas especies 1 y 2. La
presión de este sistema de dos fases es 1 bar; la temperatura es 25°C. Iniciando con
la ecuación ( 10.44), determine a partir de los datos siguientes una buena estimación
d-1~~~.
Kl = 200 bar
&-’ = 0.10 bar
Defina y justifique todas las suposiciones.
12.26. Un sistema formado por metano(l) y un aceite ligero(2) a 200 K y 30 bar consiste en
una fase de vapor que contiene 95 porciento mol de metano y una fase líquida que
contiene aceite y metano disuelto. La fugacidad del metano está dada por la ley de
Henry y, a la temperatura de interés, la constante de Henry es kl = 200 bar. Estableciendo cualesquiera suposiciones, estime la fracción mol en equilibrio de metano
en la fase líquida. El segundo coeficiente virial del metano puro a 200 K es -105 cm3
mal-’ .
12.27.
Suponga que los tres últimos puntos de datos (incluyendo el valor de p,“’ ) de la tabla
ll. 1 no se pueden medir. A pesar de ello, se requiere una correlación basada en los
restantes puntos de datos. Suponiendo la validez de la ecuación (12.20), la (12.38) se
puede escribir como
535
Boblemas
p = a(r1lrl”
h + x2y2r
La reducción de datos se puede basar en el método de Barker, por ejemplo, minimizando la suma de los cuadrados de los residuales entre los valores experimentales de
P y los valores predichos por esta ecuación (vea el ejemplo 11.1). Suponga que los
coeficientes de actividad se pueden representar adecuadamente por la ecuación de
Margules.
a)
Demuestre que ln( rr/rT ) = x,” [AQ + 2(Azl -A12)21] - A12.
b)
Encuentre un valor para la constante de Henry kl.
c)
Determine valores para los parámetros Al2 y A21 por el método de Barker.
d)
Encuentre valores para Syr para los puntos de datos.
iCómo se puede hacer la regresión para minimizar la suma de los cuadrados de los
residuales a GE/RT, incluyendo así los valores yr en el proceso de reducción de datos?
12.28. Suponga que los primeros tres puntos de datos (incluyendo el valor de eS”) de la
tabla ll. 1 no se pueden medir. A pesar de ello, se requiere una correlación basada en
los restantes puntos de datos. Suponiendo la validez de la ecuación (12.20), la ecuación
(12.38) se puede escribir
p = XlYlp,“’ + X2(Y?/Y32
La reducción de datos se puede basar en el método de Barker, es decir, minimizando
la suma de cuadrados de los residuales entre los valores experimentales de P y los
valores predichos por esta ecuación (véase el ejemplo 11.1). Suponga que los coeficientes de actividad se pueden representar adecuadamente por la ecuación de
Margules.
a)
Demuestre que ln(-y&;) = xt[A21 + 2(A12 -Adx2] -An.
b)
Encuentre el valor para la constante de Henry k2.
c)
Determine valores para los parámetros Al2 y A2l por el método de Barker.
d)
Encuentre valores para 6yr para los puntos de datos.
BCómo se puede hacer la regresión para minimizar la suma de cuadrados de los
residuales a GE/RT, incluyendo así los valores yr en el proceso de reducción de datos?
12.29. Trabaje el problema 12.27 con el conjunto de datos de la tabla 11.3.
12.30. Trabaje el problema 12.28 con el conjunto de datos de la tabla 11.3.
CAPíTULO
13
PROPIEDADES
TERMODINÁMICAS Y EVL
A PARTIR DE LAS ECUACIONES
DE ESTADO
Como se explicó en el capítulo 3, las ecuaciones de estado proporcionan descripciones concisas del comportamiento PVT de los fluidos puros. La única ecuación de
estado que se ha utilizado extensamente es la ecuación virial de dos términos
Z=l+E
RT
adecuada para gases a presiones hasta de varios bars. En forma reducida, para
gases puros, esta ecuación lleva a las correlaciones generalizadas para Z [ecuaciones
(3.47) y(3.48)],HR
[ecuación (6.62)],sR [ecuación (6.63)] y$ [ecuación (10.64)].
Cuando se amplía a mezclas de gases, produce una expresión general para
$i [ecuación (12.4)], la cual es útil para cálculos de EVL a bajas presiones.
En este capítulo, se presenta primero un tratamiento general de los cálculos
de las propiedades termodinámicas de los fluidos y de las mezclas de fluidos a
partir de las ecuaciones de estado. Entonces se describe la utilización de una ecuación
de estado para cálculos de EVL. El método gam&i para EVL (capítulo 12) encuentra uso principalmente donde las presiones no pasan de pocos bars. Una
ecuación de estado, aplicada a las fases líquida y de vapor, proporciona un método
alternativo, válido para presiones elevadas.
13.1 Ropiedades de los fluidos a partir de las ecuaciones viriales de estado
13.1
537
Propiedades de los fluidos a partir de las ecuaciones viales de estado
Las ecuaciones de estado escritas para mezclas de fluid0s son exactamente las
mismas que las ecuaciones de estado presentadas, para fluidos puros, en las secciones 3.4 y 3.5. La información adicional necesaria para la aplicación a mezclas
es la dependencia en función de la composición de los parámetros. Para las
ecuaciones viriales, que se aplican sólo a los gases, esta dependencia está dada por
ecuaciones exactas provenientes de la mecánica estadística. La expresión para B,
el segundo coeficiente virial, es
(10.65)
B = C CYiYjB,
t j
Como se indica en la sección 10.7, se dispone de métodos generalizados para la
evaluación de las B,. Para una mezcla binaria, la ecuación (10.65) se reduce a
B =
y?h +
2~1y2&2 +
~322
(10.66)
El tercer coeficiente virial C se expresa como
c = 7 C CYiYjYkCzJk
j
(13.1 j
k
en donde las C con los mismos subíndices son iguales, sin importar el orden. Para
una mezcla binaria, la ecuación (13.1) se convierte
c = y~~lll + 3yfydh2
+ 3ylyiClz2
+ y;c222
(13.2)
Aquí, CII1 y íY222 son los terceros coeficientes viriales para las especies puras 1 y 2,
mientras que Cll2 y Cl22 son coeficientes c~zad0s. Las correlaciones generales
que se han publicado para los terceros coeficientes viriales’ se basan en datos experimentales muy limitados. Consistentes con las reglas de mezclado de las ecuaciones
(10.65) y (13.1), las derivadas de la temperatura de B y de C se dan exactamente
Por
dB
-=
dT iC j Cyiyj
dB,
dT
(13.3)
‘R. de Santis y B. Grande, AZChE J., val. 25, pp. 931-938, 1979; H. Orbey y J. H. Vera, ibid.,
vol. 29, pp. 107-113, 1983.
CAPflVLO 13.
Propiedades termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones de estado
Y
(13.4)
Como se explicó en las secciones 10.6 y 10.7, las propiedades residuales se calculan
fácilmente a partir de ecuaciones de estado. Según la ecuación (6.44), aplicable a
los fluidos de composición constante,
CR
p
(2 - l)$
RT= I0
(T, IC constantes)
(13.5)
Cuando el factor de compresibilidad está dado por la ecuación virial de dos términos,
Z-l=Bp
RT
(3.31)
La ecuación (13.5) da entonces
CR
BP
RT=RT
(13.6)
De acuerdo con la ecuación (10.54),
o bien
(13.7)
La sustitución de las ecuaciones (13.6) y (13.7) dentro de la ecuación (6.43) da
SR
P dB
-=--R
R dT
(13.8)
La evaluación de las entalpías y entropías residuales mediante las ecuaciones (13.7)
y ( 13.8) es clara para los valores dados de T, P y de composición, siempre y cuando
13.1
Propiedades de los fluidos a partir de las ecuaciones viriales de estado
539
se tengan los datos suficientes para evaluar B y dBldT por medio de las ecuaciones
(10.65) y (13.3). El intervalo de aplicabilidad de estas ecuaciones es el mismo que
para la ecuación (3.31), como se explicó en la sección 3.4.
Los valores que se requieren de B, en la ecuación (10.65) se pueden determinar a partir de la correlación generalizada para los segundos coeficientes viriales,
de acuerdo con la ecuación
B, = F (B” + qB1)
(10.70)
w
en dondeB”yB1 se dan por medio de las ecuaciones (3.50) y (3.51), yoti, Tc0 yPcg
se desprenden de las reglas de combinación de las ecuaciones (10.71) a la (10.75).
Al diferenciar la ecuación (10.70), se obtiene como resultado una ecuación para
dBijldT, con la cual se determinan los valores requeridos en la ecuación (13.3):
o bien
dB, _ R dB”
dT - p,, ( dTtij
(13.9)
en donde Ttij = T/Thj. Las derivadasdBO/dT,j y dBl/dTej se dan como funciones de
la temperatura reducida mediante las ecuaciones (6.64) y (6.65).
Eijemplo 13.1 Estimar vHR y SR para una mezcla equimolar de metil etil cetona( 1)
y tolueno(2) a 50°C y 25 kF’a.
SOLUCIÓN
Los datos que se requieren se dan en el ejemplo 10.8, junto con los
valores calculados de las Bi+ Además, se necesitan los valores de dBJdT. Supóngase
en la ecuación (10.72) que todas las k, = 0. Los valores de Tej junto con dBO/dTnj,
dB’/dTej y dBijldT, calculados para cada par de ij por medio de las ecuaciones (6.64),
(6.65) y (13.9), son como sigue:
ij
Ttij
dBO/dTej
dB’/dThj
dB,jd T
cm3 mole1 K-’
ll
22
12
0.603
0.546
0.574
2.515
3.255
2.858
10.020
16.793
12.948
ll.643
15.315
13.391
Con valores de B, calculados en el ejemplo 10.8 y valores de dBiddT
las ecuaciones (10.66) y (13.3) dan
calculados aquí,
540
CApíTLnO 13. A-opiedades
termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones de estado
B = (0.5)‘(-1 387) -t (2)(0.5)(0.5)(-l 611) + (0.5)‘(-1 860)
= -1 617 cm3 mal-l
dB/dT
= (0.5)‘(11.643) + (2)(0.5)(0.5)(13.391) + (0.5)2(15.315)
= 13.435 cm3 mole1 K-l
La sustitución de estos valores en las ecuaciones (3.31), (13.7) y (13.8) dan para
T = 323.15 KyP = 25 kF’a:
2 = 1 + =BP
- 1 +
RT
(
(-1617)(25)
0
8
g&jo
314)(323.15) ’
g=gp-g)=&(~-13.435)
=-0.05545
SR
P dB
-z---z
R dT s (13.435) = -0.04040
R
A partir de estos valores, se encuentra
v = z = (0.9850)(8
P
314N323.15)
25
= 1o5 850 ,m3 mol-l
HR = (-0.05545)(8.314)(323.15) = -149.0 J mal-l
SR = (-0.04040)(8.314) = -0.3359 J mal-’ K-’
Dado que la ecuación (3.31) expresa Z como una función de P y T, las operaciones matemáticas de las ecuaciones (13.5) y (10.54) se llevan a cabo fácilmente.
Sin embargo, cuando la ecuación de estado expresa Z como una función de V y T,
como es el caso más frecuente, las ecuaciones (13.5) y (10.54) son inapropiadas y
se deben transformar de modo que sea V, con preferencia a P, la variable independiente. Esto se logra mediante la aplicación de la ecuación general PV = ZRT. La
diferenciación a T constante da
PdV+VdP=RTdZ
(T constante)
la cual se puede escribir como
dP
dZ
dV
-=--P
z
v
La sustitución en la ecuación (13.5) lleva a
(T constante)
13.1
Ropiedades de los fluidos a partir de las ecuaciones viriales de estado
541
J02 (2 - 1)$
GR =Z-l-lnZ- ”
RT
(13.10)
La ecuación correspondiente para HR se deduce a partir de la ecuación (6.40) la
cual, de acuerdo con la ecuación (6.38), se puede escribir
=(&l)%~dT
P
RT’
Por división entre dT, restricción a V constante y reacomodo, ésta cambia a
La diferenciación de P = ZRTIVproporciona la primera derivada a la derecha, y la
diferenciación de la ecuación (13.10) proporciona la segunda. La sustitución conduce a
HR
~ =z-I+T~($),?
RT
1
(13.11)
La entropía residual se encuentra a partir de la ecuación (6.43).
Cuando se da Z por la ecuación virial de tres términos,
Z-l= B+C
v v2
(3.33)
Las ecuaciones (13.10) y (13.11) se convierten en
GR 33 (3/2)c
RT
V
V2
-lnz
(13.12)
(13.13)
La aplicación de estas ecuaciones, útiles para gases a presiones moderadas,
requieren los valores de todas las B,, C,, y sus derivadas con respecto a la temperatura para sustituirlas en las ecuaciones (10.65), (13.1), (13.3) y (13.4).
542
13.2
CAPÍTULO 13. Propiedades termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones de estado
Propiedades de los fluidos a partir de ecuaciones cúbicas de estado
Como se explicó en la sección 3.5 y se ilustró por la figura 3.12, las ecuaciones de
estado que son cúbicas en volúmenes molares pueden describir el comportamiento
de ambas fases líquida y de vapor de los fluidos puros.
La aplicación de estas ecuaciones a las mezclas requieren que los parámetros
de la ecuación de estado se expresen como funciones de la composición. No hay una
teoría exacta semejante a la de las ecuaciones viriales que prescriba esta dependencia de la composición, la cual de preferencia se impone por reglus de mezclado
empíricas. Para la ecuación de Fkdlich/Kwong,
p2!?La
v - b T1’2v(V + b)
(3.35)
las reglas de mezclado que se han encontrado con uso frecuente son:
(13.14)
con Uij = aji, y
b = c y,b,
(13.15)
Las a, son de dos tipos: los parámetros para especies puras (subíndices iguales) y
los parámetros de interacción (subíndices diferentes). Las bi son parámetros para
las especies puras.
Un procedimiento para la evaluación de los parámetros es una generalización de las ecuaciones (3.40) y (3.41):
aij =
0.42748R21$’
eij
(13.16)
Y
bi =
O.O8664R!&
pti
(13.17)
en donde las ecuaciones (10.72) a la (10.75) sirven para el cálculo de las Tcq y las
Pcij-
VIRT
La multiplicación de la ecuación de Redlich/Kwong
lleva a su expresión en forma alternativa:
[ecuación (3.3~5)]
por
543
13.3 Propiedades de los fluidos a partir de las correlaciones del tipo Pitzer
(13.18)
De modo equivalente,
(13.19)
en donde
hs&!?-
(13.20)
ZRT
Las ecuaciones ( 13.10) y ( 13. ll), en combinación con la ecuación ( 13.19), llevan a
GR
~ =Z-l-ln(l-h)Z-
RT
ln(1 + h)
(13.21)
Y
(13.22)
Una vez que se han determinado a y b para las mezclas mediante las ecuaciones
(13.14) a la (13.17), entonces, para T y P dadas, se encuentran 2, G’/RT y H’IRT
por medio de las ecuaciones (13.18) a la (13.22), y S’/R mediante la ecuación
(6.43). El procedimiento requiere la resolución inicial de las ecuaciones (13.18) y
(13.20), con frecuencia mediante un esquema iterativo, como SC ha tlcscrito en
conexión con la ecuación (3.44) para una fase de gas o vapor.
13.3
Propiedades de los fluidos a partir de las correlaciones del tipo Pitzer
Las correla.ciones
generalizadas del tipo Pitzer proporcionan una alternativa en
cuanto al uso de una ecuación cubica de estado para cl cálculo de las propictlatlcs
termodinámicas. No obstante, no existe base teórica para una extensión general tlc
estas correlaciones a las mezclas. A pesar de ello, 2, como SC da por
2 = z” + wz’
(3.46)
544
cmfmo 13.
*piedades
temodinámicas y EL5 a partir de las ecuaciones de estado
depende de T,., P, y w, y a menudo se obtienen resultados aproximados con
parámetros críticos para la mezcla y una regla lineal simple de mezclado para el
factor acéntrico. Dado que rara vez se conocen los valores de las propiedades críticas reales TC y PC para las mezclas, se hace uso de los pseudoparámetros T,, y P,,,
determinados de nuevo por una regla lineal sencilla de mezclado. Así, por definición,
Tpc = ct yi Tci
(13.23)
‘PC = C Yi’Ci
(13.24)
W= c Yi%
(13.25)
i
La temperatura y la presión pseudorreducidas, que remplazan la TV y Pr, están
determinadas por
Tpr = $
(13.26)
Ppl. = $
(13.27)
w
w
Así, para una mezcla a Tpr y PP,. dadas se puede determinar un valor de Z por
medio de la ecuación (3.46) y las tablas E.l-E.4, un valor de HRIRTpc mediante la
ecuación (6.60) y las tablas E.5-E.8 y, finalmente, uno de SR/R por medio de la
ecuación (6.61) y de las tablas E.9-E.12.
Ejemplo 13.2 Estime y HR y SR para una mezcla equimolar de dióxido de carbono( 1) y propano(2) a 450 K y 140 bar mediante:
a)
b)
La ecuación de Redlich/Kwong.
Las correlaciones de Lee/Kesler.
a) Los datos requeridos se dan como sigue:
SOLUCIÓN
9j
T,ij/K
P,/bar
ll
22
12
304.2
73.83
42.48
54.62
369.8
335.4
Vdj/cm3
mole*
94.0
200.0
140.4
zcij
6&j
0.274
0.276
0.275
0.224
0.152
0.188
545
13.3 Propiedades de los fluidos a partir de las correlaciones del tipo l?itzer
en donde los valores de la última hilera se calculan mediante las ecuaciones ( 10.7 1)
a la (10.75) con lc12 = 0. La sustitución de los valores _apropiados
en las ecuaciones
_
(13.iS) y (í3.17)-d,:
ij
u z j /bar cm6 KV2 molF2
bi /cm3 mal-l
ll
22
12
64.595 x lo6
182.923 x lo6
111.453 x 106
29.68
62.71
Los parámetros a y b para la mezcla se dan por medio de las ecuaciones 13.14) y
(13.15):
a = yfa11 + 2~1~2~12 + da22
= (0.5)2(64.595
x 106) + (2)(0.5)(0.5)(111.453 x lo6
+ (0.5)2(182.923
x 106)
a = 117.61 X lo6 bar cm6 Kn2 mole2
b = ylbl + y2b2 = (0.5)(29.68)
+ (0.5)(62.71)
b = 46.195 cm3 mal-’
La magnitud adimensional albRT1.5 se evalúa como
117.61 x lo6
i% = (46.195)(83.14)(450)‘.’
= 3.2079
En forma similar,
bP
WlW(l40)
=
---
o
RT - (83.41)(450)
.
17286
Por lo tanto, la ecuación (13.18) se convierte en
+L!Ll-h
y la ecuación (13.20) da
h = 0.17286
z
La resolución para Z y h produce
Z = 0.6918
y
h = 0.2499
546
íX@lVL0 13. Propiedades termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones de estado
Por consiguiente, el volumen molar es
v _ ZRT
_ @.69W@3.14)@50) = 184 g cmr,
mal-l
140
P
De acuerdo con la ecuación (13.21),
GR
__ = 0.6918 - 1 - ln[(0.7501)(0.6918)]
RT
- 3.2079 1N 1.2499 = -0.3678
Por medio de la ecuación (13.22),
HR
- = 0.6918 - 1 - (1.5)(3.2079)
RT
1N 1.2499 = -1.382
de donde
HR = (-1.382)(8.314)(450) = -5 170 J mal-’
Según la ecuación (6.43),
SR
HR
GR
-z----z
-1.382 + 0.368 = -1.014
R
RT
RT
de donde
SR = (-1.014)(8.314) = -8.43 J mal-l K-’
b) Las constantes pseudocríticas se encuentran mediante las ecuaciones (13.23)
y (13.24):
TF = y1Tcll + yzTc22 = (0.5)(304.2) + (0.5)(369.8) = 337.0 K
Y
PpC = ylPCll + y2pe2~ = (0.5)(73.83)
Por
+ (0.5)(42.48)
= 58.15 bar
consiguiente,
TPr = = = 1.335
337.0
y
PP? = 140 = 2.41
58.15
Los valores deZ” yZ1, a partir de las tablas E.2 y E.4, a estas condiciones reducidas
son:
Z” = 0.682
y
2’ = 0.205
13.4 Eks prtir de ecuaciones
547
cúbicas de estado
Con w dada por
w = ylo + y2w2 = (0.5)(0.224)
se aplica la ecuación (3.46):
+ (0.5)(0.152)
= 0.188
’
2 = Z” + wZ1 = 0.682 + (0.188)(0.205)
= 0.721
de lo cual,
Ir = E = (0.721)(83.14)(450)
P
140
= 192.7 cm3 mal-’
Similarmente, a partir de las tablas E .6 y E .8,
= -1.77
La sustitución en la ecuación (6.60) da
HR
~ = -1.77 + (0.188)(-0.15) = -1.80
ET,
de donde
HR = (8.314)(337.0)(-1.80) = -5 040 J mal-’
Mediante las tablas E. 10 y E. 12 y la ecuación (6.61),
SR
- = -0.98 + (0.188)(-0.28) = -1.03
R
de donde
SR = (8.314)(-1.03) = -8.59 J mal-’ K-’
1 3 . 4 EVLqw a partir de ecuaciones cúbicas de estado
En la sección 10.6 se demostró que las fases a las mismas T y P están en equilibrio
cuando la fugacidad de cada especie es la misma en todas las fases. Para EVL, este
requerimiento se escribe
j$fil
(i = 1,2, . . . > iv)
(10.44)
548
CAPÍ!lWL,O 13.
Bopiedades
kmoo!inámicas
y EVL a partir de las ecuaciones de estado
Una forma alternativa de la ecuación (10.44) es el resultado de la introducción del
coeficiente de fugacidad, como se define mediante la ecuación (10.47):
0 sea,
?J& = L&
(i = 1,2, . . . ) 4
(13.28)
Para el caso especial de las especies puras i, se convierte en
(13.29)
una relación ya expresada por medio de la ecuación (10.40).
Presiones de vapor para una especie pura
Considérese la primera aplicación de la ecuación (13.29) a una ecuación de estado
para el cálculo de la presión de vapor de saturación o de equilibrio de la especie
pura i a temperatura T dada.
Como se explicó en la sección 3.5 con respecto a las ecuaciones cúbicas de
estado para especies puras, una isoterma subcrítica en un diagrama PV que presenta una transición suave de la región líquida a la de vapor se muestra por la
curva identificada Tz < T, en la figura 3.12. Tácitamente se ha supuesto en esta
explicación un conocimiento independiente de la presión de vapor en equilibrio a
esta temperatura. En efecto, este valor está implícito en la ecuación de estado. Se
reproduce en la figura 13.1 la isoterma subcrítica de la figura 3.12, sin alguna
indicación de la localización de la presión en equilibrio PF’. No obstante, queda
claramente entre las presiones P’ y P” que se muestran en la figura.
El criterio de equilibrio expresado por la ecuación (13.29) se puede escribir
ln#j -ln#J = 0
(13.30)
El coeficiente de fugacidad de un líquido o un vapor puro es una función tanto de
su temperatura como de su presión. Para un líquido o vaporsaturado, la presión en
equilibrio es Pia*. Por lo tanto, la ecuación (13.30) expresa implícitamente la relación funcional,
g(T,
o bien
4”“) = 0
13.4
549
EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado
V
l!$gura 13.1:
Isoterma para T C TC en un diagrama PV para un fluido puro.
Si la isoterma de la figura 13.1 se representa por una ecuación cúbica de
estado, entonces sus raíces para una P específica entre P’ y P” incluyen tanto el
volumen de líquido semejante sobre la rama ab de la isoterma como el volumen de
vapor semejante sobre la rama qr, representados, por ejemplo, por los puntos M y
W. Además, una ecuación de estado para especies puras i implica una expresión
para In &. Por ejemplo, la ecuación (13.21) escrita para i puras, y combinada con
la ecuación (10.31), produce
In +i = Zi - 1 - ln( 1 - hi)Zi -
ln(1 + hi)
en donde
Los valores para In 4: y In $y pueden, por consiguiente, calcularse correspondiendo a los puntos M y W. Si estos valores satisfacen la ecuación (13.30), entonces P
= Pi”“, y los puntos M y W representan los estados de líquido saturado y vapor
550
CAPÍTULO
13.
Propiedades termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones de estado
saturado a la temperatura T. Si no se satisface la ecuación (13.30), debe encontrarse el valor de P que la satisfaga, ya sea por ensayo o por un esquema adecuado
de iteración.
EVL a partir de ecuaciones de estado
La aplicación de la ecuación (13.28) para la determinación del EVL de la mezcla
es, en principio, la misma que para el cálculo de EVL de especies puras, pero es
mucho más difícil. Dado que 4: es una función de z P y {yi}, y 6: es una función
de T P y {xi}, la ecuación (13.28) representa N relaciones complejas entre las 2N
variables T, P (N - 1) de las yi y (N - 1) de lasxi. Así, la especificación de N de estas
variables permite la resolución de las N variables restantes. Estos son los cálculos
para P BURBUJA, P ROCÍO, T BURBUJA y T ROCÍO (sección 12.5).
Los valores de & y 4: se encuentran fácilmente a partir de las ecuaciones
de estado. La ecuación (10.60) es una ecuación general para el cálculo de In& a
partir de las ecuaciones que expresan Z como una función de T y P. Sin embargo,
las ecuaciones cúbicas de estado y de orden superior llevan a expresiones para Z
como funciones de T y V. La derivación de una ecuación en la cual la variable
independiente es V, en lugar de P, empieza con la ecuación (10.52)) la cual se puede
escribir:
d
nHRRT2 dT + c In& dni
z
La división por dni y la restricción a T nV y nj (j f i) constantes lleva a
Pero P = (nZ)RT/nV
y, por consiguiente,
La combinación de las dos últimas ecuaciones da
13.4
EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado
551
Cuando la primera derivada al lado derecho se encuentra a partir de la ecuación
(13. lo), esta ecuación se reduce a
(13.31)
en donde la derivada y In Z se evalúan mediante una ecuación de estado.
La ecuación de estado original de Redlich/Kwong, como se da por la ecuación
(3.35), rara vez es satisfactoria para el cálculo de EVL. Dos ecuaciones cúbicas
ampliamente utilizadas que se han desarrollado específicamente para este propósito son la ecuación de Soave/Fkdlich/Kwong (SRI@ y la ecuación de Peng/Robinson
(PR)3. Ambas son casos especiales de la expresión siguiente, escrita para la especie pura i:
(13.32)
en donde
(13.33)
(13.34)
y E, u, & y& son constantes específicas de la ecuación. Para la ecuación de Soave/
Redlich/Kwong:
a(T,.i; oi) = [l + (0.480 + 1.574 ui - 0.176 02) (1 - T;“)]’
(13.35)
Para la ecuación de PengfRobinson:
a(T,.i; oi) = [l+ (0.37464 + 1.542260, - 0.2699%;) (1 - TV;“)]’ (13.36)
Escrita para una mezcla, la ecuación (13.32) se convierte en
2G. Soave, Chm. hg. Sci., v o l . 2 7 , p p . 1197-1203,
1972.
3D. Y. Pengy D. B. Robinson, Ind. Eng. Chem. Fundarn.,
vol. 15, pp. 59-64, 1976.
552
CAF’ÍTUL,O
13.
Propiedades termodinámicas y EVL
a partir de las ecuaciones de estado
4W
z=vV - b RT(V + sb)(V + ob)
(13.37)
en donde a y b son valores de la mezcla relacionados con CQ y bi por las reglas de
mezclado. La ecuación (13.31), aplicada la ecuación (13.37), lleva
lnJ$ = +(Z-l)-ln (V - b)Z +~(l+%-~)ln~~
v
(13.38)
en donde üi y bi son “parámetros parciales” para la especie i, definida por
(13.39)
Y
(13.40)
Estas ecuaciones no dependen de las reglas particulares de mezclado adoptadas
por la dependencia con respecto a la composición a: a y b. La resolución de la
ecuación (13.38), para el coeficiente de fugacidad mi a T y P dadas, requiere la
solución previa de la ecuación (13.37) para V, de la cual se encuentra Z = PV/RT.
Para la especie pura i, la ecuación (13.38) se reduce a
In C#Ji = Zi - 1 - In
(vi - bi)Zi + a,L!+RT ln v + obi
E-CT
y +&b,
vi
(13.41)
Debido 51 lo inadecuado de las reglas empíricas de mezclado, como las dadas
por las ecuaciones ( 13.14) y ( 13.15), el mktodo de la ecuación de estado para EVL
estuvo mucho tiempo limitado a sistemas que presentan desviaciones, modestas y
bien comportadas, del comportamiento de solución ideal en la fase líquida, por
ejemplo, a sistemas que contienen hidrocarburos y líquidos criogénicos. Sin embargo, la introducción por Wang y Sarder* de una nueva clase de reglas de mezclado con bases teóricas para ecuaciones cúbicas de estado ha expandido grandemente sus aplicaciones útiles.
4D. S. H. Wongy S. 1. Sandler,
31, pp. 2033-2039, 1992.
AZChE J., vol. 38, pp. 6’71-680,1992; Znd. Eng. Ches. Res., vol.
13.4
EVL. a partir de ecuaciones cúbicas de estado
553
La primera de las reglas de mezclado de Wong/Sandler relaciona la diferencia en las cantidades de mezcla b y a/RT a las diferencias correspondientes (identificadas por los subíndices) para la especie pura:
(13.42)
en donde
E,, = ; b, -s+ 71, - f$ (l-k,,)
Los parámetros de interacción binaria kPp se determinan por los pares pq (p f q),
a partir de datos experimentales. Nótese que kPcpp = k, y kPP = k, = 0. Dado que
la cantidad del lado izquierdo de la ecuación (13.42) representa el segundo coeficiente virial, como lo predice la ecuación (13.37), la base de la ecuación (13.42)
está en la ecuación (10.65), la cual expresa la dependencia cuadrática del segundo
coeficiente virial de la mezcla sobre la fracción mol.
La segunda regla de mezclado de Wonghandler
relaciona las proporciones
de a/RT a b:
a
-=1-D
bRT
en donde
Drl+ GE c
_ _
-
CRT
a
p xp,RT
(13.45)
La cantidad GEIRT está dada por una correlación apropiada para la energía de
Gibbs en exceso de la fase líquida, y se evalúa en la composición de la mezcla, sin
importar si la mezcla es un líquido 0 un vapor. La constante c es específica para la
ecuación de estado.
La eliminación de a de la ecuación (13.42), mediante la ecuación (13.44),
proporciona una expresión para b:
b = ‘=c ~xpGL
D
P
(13.46)
P
Como Epq de la forma en que está dada por la ecuación (13.43) es una función de
I: b también depende de T. Sin embargo, en el límite para la especie pura i, la
ecuación (13.46) da bi, la cual es independiente de T. El resultado neto es que b
para las mezclas es una función muy débil de T, El parámetro de mezcla a se
deduce a partir de la ecuación (13.44):
554
CApíTuLO
13.
hpiedades tezmodiuámicas
y EVL a partir de las ecuaciones de estado
a = bRT(1 -D)
(13.47)
Ahora, las ecuaciones (13.39) y (13.40) se pueden aplicar para la evaluación
de los parámetros parciales Zi y 5 :
(13.48)
Y
(13.49)
Los coeficientes de fugacidad para la especie purai están dados por la ecuación
(13.41), la cual se puede aplicar separadamente a la fase líquida y a la fase de
vapor para dar los valores de la especie pura bf y &‘. Para EVL de una especie
pura [ecuación (13.29)], estas dos cantidades son iguales. Dados los parámetros
ai y bi, la presión P en la ecuación (13.32) que hace iguales a estos dos valores es
cmt, la presión de vapor en equilibrio de la especie pura i, como predice la ecuación
de estado.
Las correlaciones para a(Te; ui) dadas por las ecuaciones (13.35) y (13.36)
se diseñan para proporcionar los valores de oi que den las presiones de vapor de la
especie pura, las cuales en promedio están razonablemente de acuerdo con los experimentos. No obstante, se dispone de correlaciones confiables para pisat como
función de la temperatura para muchas especies puras. Así, cuando se conoce cmt
para una temperatura dada, se debe evaluar oi de modo que la ecuación de estado
pueda predecir correctamente este valor conocido. El procedimiento es escribir la
ecuación (13.41) para cada una de las fases, combinando las dos ecuaciones de
acuerdo con la ecuación (13.29) escrita
La expresión que resulta se puede resolver para ai:
ai =
V! -b.
bjRT(E - 0) In- -t 2; - 27;
( y - ijj
1
ln (vi’ + ab,)(Vi” + dIi)
(vy + &bj)(ViZ’ + dIi)
(13.50)
en donde 27: = PiSatVi”/RT y 2: = PytV//RT. Los valores de Viu y Vi” provienen
de la resolución de la ecuación (13.32) para cada fase, con P = eSa’ a la temperatura T. Como se requiere un valor de ai para estos cálculos, se pone en práctica un
procedimiento iterativo con un valor inicial para oi a partir de la correlación apropiada para (Y( T,+; ui).
13.4 EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado
555
Los parámetros de interacción binaria kPq se evalúan a partir de las correlaciones de GE de la fase líquida para las pq binarias. El procedimiento más satisfactorio es aplicar, a dilución infinita, la relación entre el coeficiente de actividad de la
fase líquida y sus coeficientes subyacentes de fugacidad,5 y,? = #T/&. El reacomodo
de la forma logarítmica produce
ln$; = In ym + In&
(13.51)
en donde In y*? viene de la correlación GE y In &i está dado por 1s ecuación (13.4’),
escrita para la fase líquida. La ecuación ( 13.5 1) proporciona un valor para In $m,
el cual, cuando se utiliza con la ecuación (13.38), lleva finalmente a los valores
para kPq, como se muestra a continuación.
Para un sistema binario compuesto de las especiesp yq, las ecuaciones (13.38),
(13.49) y (13.51) se pueden escribir para la especie p a dilución infinita. Las tres
ecuaciones que resultan se pueden combinar entonces para dar
b _ lnyp + ln4, - M,
2
2, - 1
4 -
(13.52)
en donde
M
P
,-lnwb*)%+ &&-+;:i;
1
(13.53)
v,
Mediante la ecuación (13.48) escrita para la especiep a dilución infinita en unapq
binaria,
-CV
b -P
2E
PP
1
1%
4
C
:
aP
b,RT
(13.54)
Ahora se igualan las ecuaciones (13.52) y (13.54) , y se elimina E,, por la ecuación
(13.43). Se remplaza lc,, por kp, el valor a dilución infinita a xP + 0, y se resuelve
para lcp:
lny,”
kp=l-
+ln&d&
2, - 1
l+lny,“_a,
c
b,RT
(13.55)
b,-&+h,-&
‘Dividiendo la ecuación (10.47) por la ecuación (10.32) y comparando el resultado con la ecuación
(10.89) obtenemos ‘yi = $i/&.
556
~~PLJLLI 13.
hopiedades termodinámicas
y EVL a partir de las ecuaciones de estado
en donde 14 & se deduce de la ecuación (13.41). Toaos los valores en la ecuación
(13.55) son para la fase líquida a P = PY . La ecuación análoga para lc,, el valor
de dilución al infinito de kpq a Xi + 0, se escribe
(13.56)
en donde IMn está dado por una ecuación análoga a la ecuación (13.53), pero con
subíndices invertidos. Todos los valores de la ecuación (13.56) son para la fase
líquida a P = ppat .
Una ventaja de este procedimiento es que I$, y k, se encuentran directamente
a partir de los parámetros a r, a8 b, y b,, de la especie pura. Además, los valores
requeridos de ln y; y de ln y,” se pueden encontrar a partir de datos experimentales para el sistema binario pq, independientemente de la expresión de correlación
utilizada para GE.
Una segunda ventaja es que el procedimiento, aplicado para dilución infinit,a
de cada sspecie, proporciona dos valores de knc,, a partir de los cuales se puede
generar una función dependiente de la composición. Una relación lineal sencilla ha
probado ser satisfactoria:
(13.57)
Los dos valores Ic, y k, usualmente no son muy diferentes, y Jcpq no es fuertemente
dependiente de la composición. A pesar de ello, la dependencia cuadrática de b ta/RT) sobre la composición, indicada por la ecuación (13.42), no se conserva exactamente. Dado que esta cantidad no es en verdad un segundo coeficiente virial,
sino sólo un valor predicho por una ecuación cúbica de estado, no se requiere una
estricta dependencia cuadrática. Además, la Fcpq dependiente de la composición
lleva a mejores resultados que el uso de un valor constante.
Las constantes específicas de la ecuación para las ecuaciones SRK y PR se
dan en la tabla siguiente:
Ecuación SRK
Ecuación PR
&
0
-0.414214
f-c
0.42748 1
0.08664
0.69315
2.414214 0.457235
0.077796
0.62323
ab
c
‘-Tl!
13.4
EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado
r
557
Lea T, {zi), pará-
metros para ecuación
Imprima
GE y EOS, estima-
p, {Yi).
A
ciones de P, {y;).
sí
Evalúe {& 1,
{!k>, {KJ.
Calcule {fh)
y Eh.
4 Ajuste P
Calcule todas
x4
” = SKiq
1
F’igura 13.2:
Diagrama de bloques para el cálculo de P BURBUJA.
Dados los términos medios para calcular los valores de Ji, los esquemas de
cálculo se planean con facilidad para la resolución de los problemas de EVL. La
ecuación (13.28) se escribe con frecuencia como
yi = Kixi
(13.58)
en donde Ki, el valor K, está dado por
K.-6;
2
tjj
(13.59)
Dado que T$i yi = 1, se puede escribir como un resultado de la ecuación ( 13.5 8) que
c Kixi = 1
(13.60)
Así, para los cálculos de punto de burbuja, en donde se conocen las xi, el problema
es encontrar el conjunto de valores K que satisfaga la ecuación (13.60).
Alternativamente, la ecuación (13.58) se puede escribir xi = yJKi. Como
&xi = 1, se deduce que
Yi -1
-c
i Ki
(13.61)
13.4
559
EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado
posición conocida de D en la fase liquida mediante la ecuación (13.45), de b y de a
por las ecuaciones (13.46) y (13.47), de {bi} y de {&} por las ecuaciones (13.48) y
(13.49). Estos cálculos se repiten para {$;} aplicando las mismas ecuaciones en la
composición de la fase de vapor. En estos cálculos se determina el volumen V de la
mezcla a partir de la ecuación de estado, la ecuación (13.37), aplicada a la fase
apropiada a una composición , temperatura T y presión P dadas. Los valores para
{&} provienen ahora de la ecuación (13.59). Estos permiten el cálculo de {K&;
de acuerdo con la ecuación (13.60), este conjunto debe ser idéntico a {yi}. No
obstante, no se ha impuesto la restricción & yi = 1, y es posible que &&ri # 1.
Por consiguiente, se normalizan los valores de yi:
Yi =
Kixi
c
Kixi
y esto asegura que el conjunto de las yi usadas en cálculos posteriores sumen la
unidad.
Este nuevo conjunto de las yi se emplea para volver a evaluar {$;}, {Ki},
{Kixi} y, de aquí, Xi Kixi. Si el valor de Ci Kixi ha cambiado, se calculan de nuevo
las yi y se repite la secuencia de cálculos. La iteración lleva a un valor estable de
& Kixi, y entonces cabe preguntarse si ZZi Kixi es la unidad. Si no, entonces el valor
de P se ajusta de acuerdo con algún esquema racional. Cuando Ci Kixi > 1, P es
demasiado baja; cuando I& Kqi < 1, P es demasiado alta. El procedimiento iterativo
entero se repite entonces con una nueva presión P. Los últimos valores calculados
de yi se emplean como la estimación inicial de {yi}.
En la literatura, se dispone de una vasta colección de datos de propiedades en
exceso de la fase líquida para sistemas binarios a temperaturas de 30°C y algo
mayores. El uso efectivo de estos datos para extender a las correlaciones de GE a
temperaturas más altas es crítico para el procedimiento que se ha considerado.
Las relaciones clave se dan en la ecuación (10.93),
(e Z, constantes)
y la análoga de la ecuación (2.24) para las propiedades en exceso,
dHE = C,E dT
(e x constantes)
La integración de la primera de estas ecuaciones, de To a T, da
(13.62)
560
CAPfTUL,O
13. Propiedades termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones de estado
De modo similar, la segunda ecuación se puede integrar de Tl a T:
HE= H f +
(13.63)
Además, se puede escribir
La integración de Tz a T produce
Combinar esta ecuación con las ecuaciones (13.62) y (13.63) lleva a
(13.64)
en donde
Esta ecuación general utiliza los datos de la energía de Gibbs en exceso a la temperatura To, los datos de la entalpía en exceso (calor de mezclado) a Tl y los datos de
la capacidad calorífica en exceso a T2.
La evaluación de la integral I requiere información con respecto a la dependencia de la temperatura de Cp. Debido a la escasez relativa respecto a los datos
de la capacidad calorífica en exceso, la consideración usual es que esta propiedad
es constante, independientemente de T. En este caso, la integral I es cero, y mientras más cercanas a T sean TO y Tl, será menor la influencia de esta consideración.
Cuando no se dispone de información con respecto a Cp, y se saben los datos de
561
13.4 EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado
entalpía en exceso sólo a una temperatura, se puede suponer que la capacidad
calorífica en exceso es cero. En este caso, solamente se retienen los dos primeros
términos del lado derecho de la ecuación (13.64) y a medida que T aumenta, se
hacen imprecisos con mayor rapidez.
Nuestro interés principal en la ecuación (13.64) es su aplicación a los sistemas binarios a dilución infinita de una de las especies que los constituyen. Con este
Dropósito, se divide la ecuación (13.64) por el producto ZIIC~. Para Cp independiente de’T(y así con 1 = 0), se convierte entonces
Como se muestra en la sección ll. 1,
La ecuación precedente aplicada a dilución infinita de la especie i puede, por consiguiente, escribirse
El sistema binario etanol( l)/agua(2) sirve como ilustración específica, con la
ecuación de Peng/Robinson como la ecuación de estado. Con una temperatura base
TO de 363.15 K (9O”C), los datos de EVL de Pemberton y Mash’ proporcionan
valores a dilución infida de los coeficientes de actividad
(lny,“)To
= 1.7720
y
(lny,“)To
= 0.9042
6R. C. Pemberton y C. J. Mash, Znt. Data Series, Ser. B, vol. 1, p. 66, 1978.
562
CAPÍTULO 13.
Bopiedades
termodinámicas y EVL
a
partir de las ecuaciones de estado
La correlación de los datos de entalpía en exceso de J. A. Larkin7 a Tl = 383.15
produce los valores
=
-0.0598
= 0.6735
y
Las correlaciones de la entalpía en exceso para el intervalo de temperatura de 50 a
110°C lleva a valores a dilución infinita de CpE/xrx&, los cuales son aproximadamente constantes e iguales a
=
13.8
= 7.2
y
Estos datos permiten la aplicación directa de la ecuación (13.65) para estimar
lny,” ylny,” paraT > 363.15 K. Las ecuacionesdevanLaar
[ecuaciones (11.13),
(11.14)y(11.15)]
estánbienadecuadasaestesistema, ylosparámetrosparaesta
ecuación están dados como
Ai
=lny,”
y
4, = 1nYP
Los datos disponibles permiten la predicción del EVL a 363.15 K y a temperaturas superiores, 473.15 y 523.15 K, para las cuales los datos medidos de EVL
son dados por Barr-David y Dodge.s Las presiones de vapor de la especie pura a
363.15 K son los valores medidos y reportados con el conjunto de datos de Pemberton
y Mash. Los datos de Barr-David y Dodge no incluyen estos valores, pero para el
agua a 473.15 y 523.15 K y para el etanol a 473.15 K se pueden calcular a partir
de correlaciones confiables. A 523.15 K el etanol es supercrítico y el parámetro ai
se determina a partir de una correlación generalizada alternativa para CY( T,+ Oi).’
Además, no se puede esperar que la extrapolación de los datos de propiedad en
exceso en la región supercrítica produzca valores razonables. Se obtienen mejores
resultados cuando se supone que los parámetros A12, A21, kl y ks permanezcan
constantes a los valores usados para la temperatura más baja, en donde ambas
especies son subcríticas. Los parámetros calculados y las desviaciones de la raíz
cuadrada media (RCM) entre los valores calculados, y los experimentales para P y
yi, se muestran en la tabla 13.1.
‘Como se ha reportado enHe& of Mixing Data CoUection,
1, pp. 457-459, DECHEMA, fiankfurt/hfain, 1984.
Chemistry Data Series, vol. III, parte
sE H. Barr-David y B. F! Dodge, J. Ch.em. Eng. Data, vol. 4, pp. 107-121, 1959.
gR. Stqjek y J. H. Vera, Canadian
J. Chem.
Eng., vol. 64, pp. 323-333, 1986.
563
13.4 EVL a partir de ecuaciones cúbicas de estado
60
50
40
ii
i
a,
30
20
10
oi
0
0.2
0.4
0.6
(
0
x1r Yl
Figura 13.3:
Diagrama Pxy para etanol( l)/agua(2). Las líneas representan los valores
predichos; los puntos son valores experimentales.
‘Ibbla 13.1 Resultados de EVTJ para etanol(l)/agua(2)
T/K
42
41
kl
k2
RCM%‘oSP
RCMSyr
363.15
473.15
523.15
1.7720
1.5204
1.5204
0.9052
0.6001
0.6001
0.2317
0.2158
0.2158
0.2936
0.1799
0.1799
0.38
2.17
1.36
0.007
0.008
El pequeño valor de RCM % SP que se muestra para T = 363.15 K (90°C)
indica la capacidad de la ecuación de van Laar para adecuarse a GE, así como la
564
CAPÍ!l’L?L,O 13. Propiedades termodinámicas y EVL a partir de las ecuaciones de estado
capacidad del método de ecuación de estado para reproducir los datos. Los resultados de la RCM a 473.15 K (200°C) indican la calidad de las predicciones basadas sólo en datos de la presión de vapor para la especie pura yen datos de la mezcla
a 90°C. Una extrapolación basada sobre los mismos datos a 523.15 K (250°C)
produce resultados comparables. Puede esperarse que las extrapolaciones a temperaturas aún más elevadas se conviertan progresivamente en menos exactas. La
calidad de la predicción para 200 y 250°C se indica en el diagrama Pxy de la figura
13.3.
EVL a partir de correlaciones de valor K
Debido a la funcionalidad compleja de los valores K, los cálculos del EVL requieren, en general, procedimientos iterativos adecuados sólo para una resolución en
computadora (sección 12.6). No obstante, en el caso de mezclas de hidrocarburos
ligeros, en las cuales los campos de fuerza molecular son relativamente poco complicados, se puede suponer como una aproximación razonable que ambas fases,
líquida y de vapor, son soluciones ideales. La ecuación (10.85) muestra que Jiti =
&, y la suposición de las soluciones ideales reduce la ecuación (13.28) a
La fugacidad fi” (T, P) está dada por la ecuación (10.41), la cual se convierte aquí
en
en donde V,” es el volumen molar de la especie pura i como un líquido saturado.
Así, el valor K está dado por
K, = ~.?#I”~(T, r”“) exp v,“(P - emt)
z
RT
W”U’, PI
(13.66)
El gran atractivo de la ecuación (13.66) es que contiene solamente propiedades de la especie pura y, por consiguiente, expresa valores K como funciones de T y
P, independientes de las composiciones de las fases líquida y de vapor. Además, se
pueden evaluar 4”’ y #” a partir de las ecuaciones de estado para la especie pura
o a partir de correlaciones generalizadas. Esto permite que los valores K para los
hidrocarburos ligeros sean calculados y corr