Sistemas de control en aeronaves: Aumento de la
estabilidad
Sistemas de control
Pablo Barreiro Treviño. Ingeniería aeroespacial, Universidad de León.
Ejercicio 1. Aumento de la estabilidad de movimiento longitudinal
En este ejercicio se analizará la respuesta longitudinal de un McDonnell Douglas A-4D
Skyhawk, que vuela a Mach 0,6 a 35.000 pies de altura con un peso de 7973kg, tanto
en lazo abierto como tras la aplicación de un sistema de aumento de la estabilidad
Las funciones de transferencia que relacionan diversas salidas con un pequeño cambio
en el ángulo del timón de profundidad son las siguientes:
donde 𝜂(𝑠) es el ángulo del timón de profundidad, 𝜃(𝑠) es el ángulo de cabeceo, 𝑞(𝑠)
es la velocidad angular de cabeceo, 𝑢(𝑠) es la velocidad del avión y 𝑎𝑧(𝑠) es la
aceleración normal.
Por otra parte, el actuador del timón de profundidad tiene una función de
transferencia
Es interesante estudiar el comportamiento del sistema tanto en
lazo abierto como aplicando un sistema de aumento de la estabilidad. La estructura
más utilizada para este objetivo, que será la que estudiaremos en esta práctica,
realimenta la velocidad angular de cabeceo (pitch damper).
a) Obtener el lugar de las raíces del sistema de aumento de la estabilidad con
Matlab y observar cómo difiere la posición original de los polos en lazo abierto
de su posición en lazo cerrado correspondiente a 𝐾 = −0,3. Identificar los modos
de estabilidad y explicar cómo han cambiado mediante la aplicación del control
realimentado.
En primer lugar, introduciremos las funciones de transferencia de las diferentes
variables, ya que serán necesarias a lo largo de los diferentes apartados.
Una vez introducidas, puesto que la función que va a ser realimentada mediante el
lazo de control en cadena cerrada es la función de la velocidad angular de cabeceo q,
(sistema pitch damper), comprobaremos los cambios en su estabilidad cuando se
implementa con cadena abierta frente a cuando es implementada en cadena cerrada.
Comenzaremos con sus polos y raíces en lazo abierto, para ello, utilizaremos la función
de Matlab pzmap(), introduciendo como argumento el producto de la función de
transferencia del actuador y la función q. Además, está función nos permite visualizar
los ceros y polos de la función de forma gráfica.
Polos detectados en lazo abierto:
-0.007+0.0822i
-0.007-0.0822i
-0.505-2.3i
-0.505+2.3i
-20
Dado que se está analizando la estabilidad longitudinal de la nave, las parejas de polos
complejos conjugados más próximos al eje imaginario
(-0.007+0.0822i y -0.007-0.0822i), son las correspondientes al modo fugoide de
dinámica longitudinal, con una oscilación escasamente amortiguada y de baja
frecuencia.
Las parejas de polos conjugados más alejados del eje imaginario (-0.505-2.3i y
-0.505+2.3i), corresponden al modo de periodo corto, con frecuencias de oscilación
mayores.
Ceros detectados en lazo abierto
-0.359
0
0.0006
Ahora vamos a analizar la respuesta del sistema implementado con lazo de control en
cadena cerrada y como han evolucionado las raíces y polos de la función de
transferencia. Para ello utilizaremos la función rlocus(), que de forma gráfica también,
nos permite visualizar el lugar de las raíces del lazo, representando los diferentes
valores de los polos en función de la ganancia K. Para ello, introducimos como
argumento de la función el producto de la función G(s), (en este caso la función q por
la función del actuador) por la función del sensor H(s) que en este caso es unitario.
Es preciso indicar que se introducirá con un signo menos, dado que la ganancia será de
valor negativo.
Buscando la ganancia de -0.3
Polo -17.1
-1.95-1.91i
-1.95+1.91i
-0.05+0.0766i
-0.05-0.0766i
Como se explicó con anterioridad -1.95-1.91i y-1.95+1.91i son los polos
correspondientes al modo de periodo corto, mientras que -0.05+0.0766i y -0.050.0766i están relacionados al modo fugoide.
Como se puede observar, en ambos casos los polos conjugados están más próximos al
eje real en lazo cerrado, produciéndose un aumento en el coeficiente de
amortiguamiento en el modo de periodo corto (beneficiosos para la estabilidad), y
reduciéndose para el modo fugoide (también es beneficioso al tener una menor
frecuencia de oscilación de la aeronave).
b) Obtener mediante simulink la respuesta de las variables 𝜃(𝑠), 𝑞(𝑠), 𝑢(𝑠) y 𝑎𝑧(𝑠) en lazo
abierto ante una entrada escalón de 0,1 𝑟𝑎𝑑. Dichas respuestas se mostrarán en ejes
diferentes de un mismo scope.
Con la implementación del lazo mediante bloques, podemos obtener la respuesta del sistema
a dicha entrada sin necesidad de realizar operaciones matemáticas.
A continuación, se muestran los bloques implementados en el software de simulink, con una
entrada de 0.1rad en escalón.
La respuesta que obtenemos es la siguiente:
Siendo el orden desde arriba hacia abajo las funciones de transferencia theta, q, u y az.
El modo de periodo corto, se puede apreciar en los primeros tramos de las gráficas de
theta, u y algo en az. Se aprecian con claridad en las oscilaciones descendentes que se
dan al comienzo de la gráfica que son rápidamente amortiguadas.
Por otro lado, el modo de amortiguación fugoide, se aprecia a lo largo del siguiente
tramo de gráfica, en las oscilaciones largas y de baja frecuencia de las cuatro gráficas.
c) Obtener, en el mismo modelo de simulink, la respuesta de dichas variables ante la misma
entrada, aplicando en este caso el esquema de lazo cerrado propuesto con una ganancia
𝐾 = −0,3.
Ahora vamos a observar como son dichas respuestas en lazo de cerrado:
Como se puede observar, el único lazo de realimentación es el resaltado en color azul que
realimenta la salida de la función de la velocidad angular de cabeceo, ya que estamos
utilizando el sistema pitch damper, que realimentando dicho valor sobre la entrada del ángulo
del timón de profundidad, produce un cambio en el resto de funciones, produciendo un
aumento en la estabilidad del movimiento longitudinal.
La respuesta de dichas funciones ante la misma entrada es la siguiente:
Siendo el orden el mismo que en la gráfica anterior.
Se puede observar que las oscilaciones son mucho menores y los valores de sobreoscilación
también se han visto disminuidos al implementar un lazo de control sobre la variable de la
velocidad angular de cabeceo, Produciendo mejoras de estabilidad tanto en periodo corto
como modo fugoide.
Es preciso destacar que la realimentación de dicha variable es la más habitual de cara a la
mejora de estabilidad en el movimiento longitudinal de aeronaves, puesto que con la
realimentación de una única variable conseguimos controlar el resto de variables afectadas
por el valor del ángulo que toma el timón de profundidad.
Ejercicio 2. Aumento de la estabilidad de movimiento lateral-direccional
En este ejercicio se analizará la respuesta lateral-direccional de un Northrop T-38 Talon, que
vuela a Mach 0,8 a nivel del mar con un peso de 4536kg, tanto en lazo abierto como tras la
aplicación de un sistema de aumento de la estabilidad.
Las funciones de transferencia que relacionan diversas salidas con un pequeño cambio en el
ángulo del timón de dirección son las siguientes:
donde 𝜁(𝑠) es el ángulo del timón de dirección, 𝛽(𝑠) es el ángulo de deslizamiento, 𝑟(𝑠) es la
velocidad angular de guiñada, 𝜙(𝑠) es el ángulo de alabeo y 𝑝(𝑠) es la velocidad angular de
alabeo. Por otra parte, el actuador del timón de dirección tiene una función de transferencia
Es interesante estudiar el comportamiento del sistema tanto en lazo abierto como aplicando
un sistema de aumento de la estabilidad. La estructura más utilizada para este objetivo, que
será la que estudiaremos en esta práctica, realimenta la velocidad angular de guiñada (yaw
damper) al timón de dirección con un filtro
a) Obtener el lugar de las raíces del sistema de aumento de la estabilidad con Matlab y
observar cómo difiere la posición original de los polos en lazo abierto de su posición en lazo
cerrado correspondiente a 𝐾=−0,6. Identificar los modos de estabilidad y explicar cómo han
cambiado mediante la aplicación del control realimentado.
En primer lugar, se han introducido las diferentes variables β, r, ϕ y p.
De la misma forma que en el ejercicio 1, calcularemos los polos en cadena abierta con la
función pzmap, manteniendo el signo negativo puesto que la ganancia permanece negativa.
Siendo los polos:
Puesto que estamos ante un sistema de control de la estabilidad lateral direccional, el polo
0.0014 corresponde al modo espiral, la pareja de polos conjugados 0.825-6.14i y 0.825+6.14i,
al modo de balanceo holandés y -4.14 al modo de convergencia en balance.
Posteriormente, analizaremos la respuesta en lazo cerrado con función H(s) la función del flitro
washout. Para ello utilizaremos la siguiente orden:
Obteniendo el siguiente lugar de las raíces:
Buscando la ganancia de 0.6:
Se han obtenido los polos: -7.24-6.82i, -7.24+6.82i, -6.93,-4.29,-1.11 y 0.00137.
Donde 0.00137 corresponde al modo espiral, -6.93,-4.29,-1.11 al modo de convergencia en
balance, y el par de polos complejos conjugados -7.24-6.82i, -7.24+6.82i, al modo de balanceo
holandés. Se puede observar que el modo espiral se ha aproximado más hacia el eje
imaginario, aproximándose así también a la zona estable del semiplano, mientras que han
aparecido nuevos polos de convergencia en balance, todos ellos más alejados del eje
imaginario que el polo obtenido en cadena abierta, algo que es beneficioso para nuestro
sistema.
b) Obtener mediante simulink la respuesta de las variables 𝛽(𝑠), 𝑟(𝑠), 𝜙(𝑠) y 𝑝(𝑠) en lazo
abierto ante un pulso de 2 segundos en el timón de dirección de magnitud 0,1 𝑟𝑎𝑑. Dichas
respuestas se mostrarán en ejes diferentes de un mismo scope.
Implementando los diferentes bloques como se realizó en el ejercicio anterior:
La respuesta obtenida para cada una de las variables (β, r, ϕ y p en orden descendente) es la
siguiente:
c) Obtener, en el mismo modelo de simulink, la respuesta de dichas variables ante la
misma entrada, aplicando en este caso el esquema de lazo cerrado propuesto con una
ganancia 𝐾=−0,6.
Se implementan los bloques como en el apartado anterior, añadiendo el lazo de
realimentación con función de transferencia H(s), la función del filtro washout:
La respuesta obtenida de cada variable ante la entrada, en el mismo orden que el ejercicio
anterior es la siguiente:
Se puede apreciar que las oscilaciones de gran amplitud que se daban al inicio de las gráficas,
presentan mayor amortiguación que en lazo abierto.
En ella se puede apreciar con claridad el modo de convergencia en balance, puesto que se
pueden apreciar oscilaciones iniciales de gran amplitud pero rapidamente amortiguadas, el
modo de balanceo holandés en las oscilaciones de baja amplitud, alta frecuencia y baja
amortiguación, y finalmente el modo espiral, que se puede apreciar con claridad en la
representación de la función ϕ.