EFICIECIA
RELACIÓN DE EJERCICIOS
I
1. Demostrar las siguientes propiedades:
I
b. n ∈O(n ) si 0 ≤ r ≤ k.
I
a. ∀k>0, k·f(n) ∈ O(f(n)).
r
k
c. O(nk) ⊂ O(nk+1)
I
d. ∀b>1, k≥0, nk∈O(bn).
I
e. ∀b>1, k>0, logb n∈O(nk).
I
I
g. Si f(n)∈O(g(n)), entonces f(n)+g(n)∈O(g(n)).
I
f. Si f(n)∈O(g(n)) y h(n)∈O(g(n)), entonces f(n)+h(n)∈O(g(n)).
I
i.I Transitividad: Si f(n)∈O(g(n)) y g(n)∈O(h(n)), entonces f(n)∈O(h(n)).
h. Reflexividad: f(n)∈O(f(n)).
de la suma:
Ij. Regla
Si T1(n) es O(f(n)) y T2(n) es O(g(n)),
entonces T1(n) + T2(n) es O(max{f(n),g(n)}).
I
k. Regla del producto:
Si T1(n) es O(f(n)) y T2(n) es O(g(n)),
entonces T1(n) · T2(n) es O(f(n)·g(n)).
2. Expresar, en notación O(·), el orden que tendría un algoritmo cuyo tiempo de
I ejecución fuera f(n):
  = 
  = 


  =  + 1000
    
   
  = 


  ≤ 100
  > 100
  =  − 1
  = √ − 1
  = log!
  = !
C/ Periodista Daniel Saucedo Aranda s/n, ETSIIT, Universidad de Granada, 18071 Granada Tlf: +34.958.244019 Fax: +34.958.243317
3. Usando la notación O(·), obtener el tiempo de ejecución de las siguientes
funciones:
1: void ejemplo1 (int n)
2: {
3:
int i, j, k;
4:
5:
for (i = 0; i < n; i++)
6:
for (j = 0; j < n; j++)
7:
{
8:
C[i][j] = 0;
9:
for (k = 0; k < n; k++)
10:
C[i][j] += A[j][k] * B[k][j];
11:
}
12: }
1: long ejemplo2 (int n)
2: {
3:
int i, j, k;
4:
long total = 0;
5:
6:
for (i = 1; i < n; i++)
7:
for (j = i+1; j <= n; j++)
8:
for (k = 1; k <= j; k++)
9:
total += k*i;
10:
11:
return total;
12: }
1: void ejemplo3 (int n)
2: {
3:
int i, j, x=0, y=0;
4:
5:
for (i = 1; i <= n; i++)
6:
if (i % 2 == 1)
7:
{
8:
for (j = i; j <= n; j++)
9:
x++;
10:
for (j = 0; j < i; j++)
11:
y++;
12:
}
13: }
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
int ejemplo4 (int n)
{
if (n <= 1)
return 1;
else
return (ejemplo4(n - 1) + ejemplo4(n - 1));
}
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
int ejemplo5 (int n)
{
if (n == 1)
return n;
else
return (ejemplo5(n/2) + 1);
}
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4. Resolver las siguientes recurrencias:
a.  = 
0
  = 0 
ne homogénea
2 − 1 + 1   
b.  = 
0
2 − 1 + 
  = 0 
  
no homogénea
c.  = 
0
1
 − 1 +  − 2
d.  = 
0
  = 0
1
  = 1 
3 − 1 + 4 − 2   
e.  = 
0
  = 0
1
  = 1 
5 − 1 − 8 − 2 + 4 − 3   
f.  = 
0
36
5 − 1 + 6 − 2 + 4 · 3
g.  = 2 − 1 + 3


j.  = 4  + 

k.  = 4  + 
  = 0
  = 1 
  
no homogénea
no homogénea
no homogénea
no homogénea

l.  = 2  +  log 
no homogénea
m.  = 
1
2√ + log 
n.  = 
1
2√ + log log 
  = 2
  ≥ 4
no homogénea
1
 +  log 
  = 1

  ≥ 2
no homogénea
o.  = 5 

ne homogénea
no homogénea
h.  = 2 − 1 +  + 2
i.  = 2  + log 
  = 0
  = 1 
  
  = 2
  ≥ 4
no homogénea
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p.  = √√ + ,  ≥ 4

q.  =     ,  > 1, 1 = 6



r.  =    ·    ,  ≥ 4, 1 = 1, 2 = 4
5. El tiempo de ejecución de un algoritmo A viene descrito por la recurrencia
T(n) = 7T(n/2) + n2
Otro algoritmo B tiene un tiempo de ejecución dado por
T'(n) = aT'(n/4) + n2
¿Cuál es el mayor valor de la constante a que hace al algoritmo B
asintóticamente más eficiente que A?
6. Resuelva la siguiente recurrencia:
con a ≥ 1, b ≥ 2 y k ≥ 0.

 =    + 

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queremos
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