Appunti di
Matematica Finanziaria
Joseph Andria (joseph.andria@unipa.it) - LATEX
Indice
1 Capitalizzazione ed attualizzazione
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Valore temporale della moneta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Modelli finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Interessi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Interessi composti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Interessi anticipati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Rendite frazionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ammortamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
8
8
16
21
25
30
32
2 Il mercato obbligazionario
2.1 Le ipotesi caratteristiche del mercato . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Titoli indicizzati a tassi d’interesse . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 I titoli di Stato italiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Il coupon stripping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
45
46
49
57
63
3 Contratti a termine e struttura per scadenza dei tassi
3.1 Contratti a termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tassi impliciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Intensità di rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Struttura per scadenza dei tassi di interesse . . . . . . . . . .
3.5 Metodi di stima della struttura per scadenza . . . . . . . . . .
64
64
69
71
72
76
4 Immunizzazione finanziaria
4.1 Il rischio di tasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 La Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 L’immunizzazione finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
84
95
2
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
Esempio di una Operazione Finanziaria. . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione del modello ad interessi semplici. . . . . . .
Tassi nominali annui lordi applicati ai buoni fruttiferi postali
della serie ’A9’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Coefficienti per la determinazione del montante lordo e netto
dei buoni fruttiferi postali della serie ’A9’. . . . . . . . . . . .
1.5 Andamento di M (t + τ ) e di I(t, t + τ ) in capitalizzazione
semplice per differenti valori del tasso. . . . . . . . . . . . . .
1.6 Andamento di C(t) in capitalizzazione semplice per differenti
valori del tasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Quotazioni BOT. Fonte: Il Sole24Ore del 11/03/04. . . . . . . .
1.8 Rappresentazione del modello ad interessi composti. . . . . . .
1.9 Scindibilità di una legge finanziaria. . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Esempio di cambiale finanziaria. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Proposte di finanziamento per un importo di 10,000.00. . . .
1.12 Piano di ammortamento a rata costante per un finanziamento
di 10,000.00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Piano di ammortamento a rata costante anticipata per un
finanziamento di 10,000.00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Composizione della rata nell’ammortamento francese. . . . . .
1.15 Composizione della rata nell’ammortamento italiano. . . . . .
1.16 Piano di ammortamento a quota capitale costante per un finanziamento di 10,000.00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Quotazioni dei titoli di Stato all’MTS. Fonte: Il Sole24Ore del
11/03/04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione di uno zero coupon bond indicizzato unitario.
Flusso di cassa equivalente a quello garantito da uno zcbi
unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione di una cedola indicizzata unitaria. . . . . . .
Flusso di cassa equivalente ad una cedola indicizzata unitaria.
Asta BOT semestrale con scadenza il 30/04/2004. . . . . . . .
3
6
9
10
11
12
13
15
17
21
23
37
39
40
41
42
42
44
51
52
52
53
54
2.7
2.8
2.9
Rappresentazione di un titolo a tasso variabile. . . . . . . . . . 55
Elenco degli Specialisti in Titoli di Stato al 1 ottobre 2003. . . 58
Titoli ammessi al coupon stripping al 05.04.04. Fonte: MEF. . 63
3.1
3.2
3.3
3.4
Rappresentazione di un’operazione di investimento a termine.
Quotazioni FRAs. Fonte: Il Sole24Ore. . . . . . . . . . . . . .
Relazione tassi spot e forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva dei tassi spot osservata al 15.03.04. . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
Var.% prezzo BTP espresso in funzione della var.% dello YTM. 83
Approssimazione della variazione di V (y) col suo differenziale. 86
Andamento del valore attuale netto del portafoglio di cui all’es.(23) per variazioni della struttura dei tassi di differente
ampiezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4
65
69
77
80
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Joseph Andria °
Capitolo 1
Capitalizzazione ed
attualizzazione
1.1
Introduzione
[...] L’agenzia Standard&Poor’s, che aveva assegnato un rating ufficiale a
Parmalat, non attribuiva rischi particolari ai bond del gruppo di Collecchio
sino al 9 dicembre, quando ha tolto la società dal livello considerato appropriato per un investimento non speculativo, l’investment grade. Nei
dieci giorni successivi le obbligazioni Parmalat sono state declassate da
S&P di tredici livelli (da BBB- a D), sino al voto assegnato alle società
insolventi, il default, deciso proprio il 19 dicembre, quando Bank of America
annunciò l’inesistenza del conto Bonlat. [...] 1
Le righe introduttive, estrapolate da un giornale non certo a carattere finanziario, dimostrano come certe parole (vedasi quelle in neretto) siano entrate a far parte, ora più che mai, del nostro linguaggio corrente, costringendo
in tal guisa anche i non addetti ad interessarsi ad argomenti e tematiche fino
a qualche tempo fa esclusivi solo degli studiosi del settore.
Il caso Parmalat, come quello Cirio e dei titoli di stato argentini, ha portato
alla ribalta, tra le altre cose, il problema del risparmio mal gestito sia personalmente (ad. es. col trading-on-line) che per conto terzi.
Sebbene l’intento che si è voluto perseguire scrivendo tali pagine non sia
quello di ’certificare’ alcuna forma di investimento, si è ritenuto opportuno
fornire agli studenti quel bagaglio minimo di conoscenza finanziaria che, consapevolmente o meno, coinvolge chiunque nel vivere quotidiano.
Molteplici, infatti, sono le operazioni finanziarie 2 che ci riguardano diretta1
2
Fonte: Corriere della Sera, 22 gennaio 2004.
Operazioni di scambio tra somme di denaro disponibili in epoche diverse.
5
1.2. Valore temporale della moneta
mente nella vita di tutti i giorni. Si pensi al deposito di denaro su c/c
bancario, all’acquisto di BOT, BTP3 etc., per i quali l’esborso iniziale di
denaro (capitale investito) può essere remunerato, ad esempio, mediante un
flusso di pagamenti, definiti cedole, che possono essere fissati come una percentuale costante del capitale, oppure determinati in riferimento a qualche
altro indicatore di mercato; all’acquisto di un titolo azionario, per il
quale i flussi che remunerano l’esborso iniziale di capitale sono rappresentati da dividendi determinati di anno in anno in funzione della profittabilità
dell’impresa e della politica di accantonamento del capitale decisa dal Cda
dell’impresa stessa; all’acquisto di un immobile, per il cui finanziamento
si contrae un mutuo a rata fissa o variabile.
1.2
Valore temporale della moneta
Si fissino sull’asse dei tempi gli importi C (t) ed M (s) e, rifacendoci alla
definizione di o.f., si ipotizzi che un soggetto sia disposto a cedere in t il
capitale C (t) in cambio del capitale M (s) (riscuotibile al tempo s).
−C(t)
M (s)
-
t
s
Figura 1.1: Esempio di una Operazione Finanziaria.
Coerentemente a quanto sopra rappresentato, chiameremo questa operazione
come operazione finanziaria di investimento: investendo in t C (t) si ottiene
dopo un periodo pari a s − t la somma M (s); la differenza
I(t, s) = M (s) − C(t)
(1.1)
prende il nome di interesse e rappresenta la remunerazione del capitale impiegato C (t).
La remunerazione (o il costo) per ogni unità di capitale prende il nome di
tasso periodale d’interesse con periodo s − t e si indica con i(t, s):
i(t, s) =
3
I(t, s)
M (s) − C(t)
=
.
C(t)
C(t)
(1.2)
BOT: Buoni Ordinari del Tesoro, BTP: Buoni del Tesoro Poliennali.
6
c
Joseph Andria °
1.2. Valore temporale della moneta
Ogni volta che si dà a prestito del denaro per averlo in restituzione dopo un
certo periodo di tempo, oppure si acquista un titolo per trarne guadagni per
poi rivenderlo successivamente, oppure si effettua un versamento su un conto
corrente bancario, ci si trova di fronte a un’operazione di questo tipo.
L’operazione rappresentata in fig.1.1, invertendo i segni relativi agli importi monetari, descrive, altresı̀, la posizione del soggetto che s’indebita per la
somma C(t) in t che si impegna a rimborsare, trascorso un tempo s − t,
versando la somma M (s).
Trattasi, evidentemente, di un’operazione finanziaria di finanziamento: indebitandosi in t per un importo pari a C (t) ci si fa carico del suo rimborso in
s per la somma M (s); la differenza (1.1) rappresenta, nell’ottica del debitore,
il costo del capitale preso in prestito.
Le precedenti considerazioni consentono di dare una prima formulazione empirica del principio di equivalenza finanziaria, secondo cui ¿è equivalente incassare (pagare) una somma oggi oppure incassarla (pagarla) in un momento
successivo purché ci sia l’incasso (il pagamento) aggiuntivo degli interessi per
tale differimentoÀ.
Se indichiamo con r(t, s) il numero di unità di capitale che possono essere
ottenute nell’istante s investendo una unità di capitale all’istante t e se si
suppone che, per i soggetti coinvolti in tale operazione, l’utilità marginale
del denaro sia costante 4 , varrà l’ovvia relazione:
M (s) = C(t)r(t, s),
(1.3)
da cui si ricava:
r(t, s) =
M (s)
,
C(t)
(1.4)
che permette di definire r(t, s) come fattore di capitalizzazione (o fattore
montante), in quanto fornisce il montante prodotto tra t ed s per ogni unità
monetaria di capitale investito C(t).
Dalla (1.3) è possibile anche trovare la risposta alla domanda: qual è la
somma che bisogna impiegare in t per acquistare il diritto a riscuotere M (s)
dopo un tempo s − t?
C(t) =
1
M (s),
r(t, s)
(1.5)
da cui, ponendo v(t, s) = 1/r(t, s), si ottengono:
4
E quindi vale la condizione di proporzionalità o di indipendenza dall’importo.
7
c
Joseph Andria °
1.3. Modelli finanziari
C(t) = v(t, s)M (s),
v(t, s) =
C(t)
.
M (s)
(1.6)
(1.7)
Allora v(t, s) rappresenta il prezzo corrente nell’istante t per ottenere la consegna con certezza di una unità di capitale nell’istante s 5 .
Inoltre, la (1.6) permette di definire v(t, s) come fattore di attualizzazione
(o di sconto), in quanto fornisce il valore attuale all’epoca t per ogni unità
monetaria di capitale dovuto M (s).
È lecito attendersi che ad un maggiore dilazionamento del debito corrisponda
una più alta ricompensa per il creditore (e cioè, maggiori interessi) ovvero,
che ad una contrazione del tempo di impiego del capitale corrisponda un
montante via via minore.
Un ragionamento analogo può esser fatto anche per il tasso. Infatti, a parità
di ogni altra condizione, si avrà un montante maggiore (oppure, un valore
attuale minore per la condizione di reciprocità tra fattore montante e di sconto) in corrispondenza di un tasso maggiore.
Sia r(t, s) che v(t, s) sono dunque funzioni di variabili reali e, a seconda
del tipo di “legge” che intercorre tra quest’ultime ed i fattori sopra citati,
danno origine a differenti modelli finanziari di capitalizzazione e di attualizzazione 6 .
Tra questi, quelli fondamentali di cui ci occuperemo nelle pagine seguenti
sono:
• il modello ad interessi semplici ;
• il modello ad interessi composti ;
• il modello ad interessi anticipati.
1.3
Modelli finanziari
1.3.1
Interessi semplici
Il sistema più semplice per il calcolo dell’interesse su un prestito di importo
C(t) e durata s−t è quello fondato sulla proporzionalità dell’interesse I(t, s)7
5
v(t, s)r(t, s) = 1.
Più usualmente chiamati regimi finanziari.
7
Interessi maturati nel periodo s − t.
6
8
c
Joseph Andria °
1.3.1. Interessi semplici
sia al capitale che alla durata dell’operazione, ovvero:
I(t, s) = C(t)i(s − t).
(1.8)
La (1.8) definisce la modalità con cui si formano gli interessi nel modello
in questione. Più precisamente, si ipotizzi di contrarre in t un debito di
ammontare C(t) e di fissare la data di scadenza del prestito in t + 1 (fig.1.2).
Gli interessi maturati risulterebbero, dunque, pari a C(t)i. Si supponga ora,
che il pagamento della somma dovuta avvenga al tempo t + 2. Gli interessi,
in questo caso, ammonterebbero a 2C(t)i. In t + 3 gli interessi risulteranno
3C(t)i e cosı̀ via. Come già detto, quindi, gli interessi sono proporzionali
alla durata dell’operazione e non concorrono in alcuna maniera a produrre
ulteriori interessi.
C(t)
−C(t)
−C(t)
−C(t)
...
−C(t)i
−2C(t)i
−3C(t)i
...
-
t
t+1
t+2
t+3
...
Figura 1.2: Rappresentazione del modello ad interessi semplici.
Esempio 1. Si consideri un buono fruttifero postale emesso dalla Cassa
Depositi e Prestiti (CDP) s.p.a.8 . L’operazione finanziaria sottostante l’acquisto del buono coincide per molti aspetti con quella rappresentata in fig.1.1:
a fronte di una somma investita (prezzo di emissione 9 ) si ottiene alla scadenza del buono (che coincide col ventesimo anno successivo alla data di
sottoscrizione) il rimborso del capitale con gli interessi maturati durante il
periodo di immobilizzo del capitale stesso. La particolarità consiste nella possibilità concessa al titolare del buono di richiederne il rimborso anticipato con
8
Le attività e i servizi di interesse economico gestiti dalla CDP sono riconducibili a tre
grandi aree: ricevere depositi pubblici e, nei casi previsti o regolati da leggi, da privati;
concedere finanziamenti allo Stato, finanziare e sostenere gli investimenti degli enti pubblici; gestire risorse per conto dello Stato o di altre Pubbliche Amministrazioni. (Fonte:
http://www.cassaddpp.it/Index.html)
9
Il prezzo di emissione è fissato alla pari, ossia corrisponde al 100% del valore nominale
sottoscritto.
9
c
Joseph Andria °
1.3.1. Interessi semplici
diritto alla restituzione del capitale e degli interessi spettanti 10 . Nelle figg.1.3
e 1.4 sono indicati, rispettivamente, i tassi nominali annui lordi ed i coefficienti (fattori di capitalizzazione) per il calcolo del montante lordo e netto 11
dovuto alla scadenza di ogni bimestre.
Come si vede, gli interessi iniziano a comparire soltanto a conclusione del
primo anno, in cui a fronte di una unità di capitale investito si incassano
0.02 unità (lorde) in conto interesse.
All’interno di ciascun anno gli interessi seguono una legge lineare, infatti,
dalla (1.10) si ottengono i coefficienti:
1 .02 + 1 , 02 × 0 .02 × 1 /6 = 1 .0234
1 .02 + 1 , 02 × 0 .02 × 2 /6 = 1 .0268
1 .02 + 1 , 02 × 0 .02 × 3 /6 = 1 .0302
1 .02 + 1 , 02 × 0 .02 × 4 /6 = 1 .0336
1 .02 + 1 , 02 × 0 .02 × 5 /6 = 1 .037
1 .02 + 1 , 02 × 0 .02 × 6 /6 = 1 .0404
Figura 1.3: Tassi nominali annui lordi applicati ai buoni fruttiferi postali
della serie ’A9’.
10
In particolare, non vengono corrisposti interessi per i buoni rimborsati prima che sia
trascorso un anno dalla sottoscrizione.
11
Agli interessi è applicata l’imposta sostitutiva delle imposte sui redditi nella misura
del 12.50%.
10
c
Joseph Andria °
1.3.1. Interessi semplici
Figura 1.4: Coefficienti per la determinazione del montante lordo e netto dei
buoni fruttiferi postali della serie ’A9’.
Il fattore montante r(t, s) risulta dalla (1.4):
r(τ ) =
C(t) + C(t)i(s − t)
= 1 + i(τ ),
C(t)
(1.9)
con τ = s − t. Quindi r(τ ) è una funzione lineare di τ , con pendenza (coefficiente angolare) pari ad i ed intercetta r(0) = 1.
Un modello di questo tipo implica che, fissato il parametro i (tasso d’interesse annuale, mensile, giornaliero, etc.), il fattore montante per intervalli
di tempo diversi si ottiene moltiplicando il tasso d’interesse per l’ampiezza
dell’intervallo di tempo s − t. Si osservi che s − t deve essere espresso nella
stessa unità temporale con cui è stato assegnato il tasso d’interesse i.
Dalla (1.2) è possibile ottenere il valore futuro M (s) di un capitale C(t) per
un periodo pari a τ = s − t:
M (t + τ ) = C(t)[1 + iτ ].
11
(1.10)
c
Joseph Andria °
1.3.1. Interessi semplici
30
) [
(t,s
25
]
6%
i=
M
) [i
%]
= 5
,s
M(t
%]
= 4
) [i
,s
M(t
M(t,s) [I(t,s)]
20
) [i
%]
=6
s
I(t,
15
) [i
I(t,s
%]
=5
]
) [i
I(t,s
= 4%
10 C(t)
5
0
0
5
10
15
20
25
30
s−t
Figura 1.5: Andamento di M (t+τ ) e di I(t, t+τ ) in capitalizzazione semplice
per differenti valori del tasso.
Se si indica con n l’unità di misura temporale del tasso d’interesse (espressa
nella stessa unità di misura di s − t) si ha che:
·
¸
s−t
M (t + τ ) = C(t) 1 + i
.
(1.11)
n
In generale, è naturale scegliere l’anno come periodo di riferimento, e calcolare
dunque l’interesse su base annua.
Inoltre, dalla (1.10) si ricava:
C(t) = M (t + τ )
1
,
1 + iτ
(1.12)
per cui il fattore di sconto nel modello ad interessi semplici risulta uguale a:
v(τ ) =
1
,
1 + iτ
12
(1.13)
c
Joseph Andria °
1.3.1. Interessi semplici
12
10
M(s)
C(t)
8
6
4
i=3%
i=5%
2
i=7%
0
0
5
10
15
s−t
20
25
30
Figura 1.6: Andamento di C(t) in capitalizzazione semplice per differenti
valori del tasso.
Esempio 2. Si considerino i due BOT quotati al MOT aventi codice rispettivamente IT0003607964 ed IT0003544175, scandenti il primo il 30.07.04
ed il secondo il 15.10.04.
I tassi periodali di rendimento (lordi) sono ottenuti dalla (1.2):
100 − 99 .225
= 0 .00781 (0 .781 %),
99 .225
100 − 98 .841
i (0 , 217 ) =
= 0 .01172 (1 .172 %),
98 .841
i (0 , 140 ) =
mentre quelli su base annua sono12 :
12
Nel modello ad interessi semplici, la condizione di linearità degli interessi rispetto al
tempo consente di ottenere gli interessi per intervalli di tempo inferiori ad un anno come
frazione di quelli annuali: i(t, s) = i s−t
n , secondo quanto verrà chiarito parlando dei tassi
equivalenti.
13
c
Joseph Andria °
1.3.1. Interessi semplici
365
= 0 .0204 (2 .04 %),
140
365
i (0 , 217 )/365 = 0 .01172
= 0 .0197 (1 .97 %).
217
i (0 , 140 )/365 = 0 .00781
È possibile inoltre ottenere i tassi annui di rendimento lordi su base 360
convertendo direttamente quelli su base 365. Infatti, per la definizione di
tassi equivalenti (cfr. pagina seguente) deve essere:
1 + i/365
τ
τ
= 1 + i/360
,
365
360
ossia:
i/360 = i/365
360
.
365
Quindi:
360
= 0 .0201 (2 .01 %),
365
360
i (0 , 217 )/360 = 0 .0197
= 0 .0194 (1 .94 %).
365
i (0 , 140 )/360 = 0 .0204
Al fine di calcolare i rendimenti netti bisogna sommare al prezzo lordo il valore dell’imposta sostitutiva risultante dalla corrispondente colonna. Infatti,
il regime fiscale di questi titoli prevede un prelievo alla fonte nella misura del
12 .50 % sulla differenza tra il valore di rimborso ed il prezzo medio di aggiudicazione (disaggio di emissione). L’acquirente originario della emissione
paga il prezzo risultante dalla procedura d’asta più l’importo che corrisponde
all’imposta, affrancando eventuali futuri acquirenti da ogni obbligo fiscale.
Qualora il titolo venga venduto il prezzo di vendita tiene conto dell’imposta
pagata originariamente garantendo cosı̀ a ciascun detentore pro-tempore del
titolo il pagamento di un’imposta direttamente proporzionale alla lunghezza
del periodo di detenzione.
I rendimenti netti, espressi nelle due basi, sono dunque:
i ∗ (0 , 140 )/365 =
100 − (99 .225 + 0 .09577 ) 365
= 0 .0178 (1 .78 %),
99 .225 + 0 .09577
140
i ∗ (0 , 217 )/365 =
100 − (98 .841 + 0 .16119 ) 365
= 0 .0170 (1 .70 %),
98 .841 + 0 .16119
217
14
c
Joseph Andria °
1.3.1. Interessi semplici
360
= 0 .0176 (1 .76 %),
365
360
i ∗ (0 , 217 )/360 = 0 .0170
= 0 .0168 (1 .68 %).
365
i ∗ (0 , 140 )/360 = 0 .0178
Figura 1.7: Quotazioni BOT. Fonte: Il Sole24Ore del 11/03/04.
Al fine di poter confrontare due o più operazioni con tassi riferiti a periodi
diversi, occorre convertire i tassi medesimi nella stessa unità di tempo.
Per l’operazione di conversione ci si rifà alla definizione di tassi equivalenti secondo la quale esiste equivalenza (finanziaria) tra due tassi, ik e is ,
allorquando questi applicati ad uno stesso capitale impiegato per lo stesso periodo di tempo (τ ) producono lo stesso montante (o lo stesso valore attuale,
o lo stesso interesse).
Dalla definizione segue che:
1 + ik kτ = 1 + is sτ,
15
(1.14)
c
Joseph Andria °
1.3.2. Interessi composti
da cui,
s
ik = is .
k
(1.15)
Se si esprime dunque con i2 il tasso semestrale, l’equivalente tasso bimestrale,
nel modello ad interessi semplici, risulta uguale a i6 = i2 /3, quello trimestrale i4 = i2 /2, quello annuo i = 2i2 , etc..
La semplicità con cui è possibile convertire un tasso periodale in un diverso
tasso periodale ad esso equivalente deriva dalla particolare forma funzionale
(lineare) con cui, in tale modello, maturano gli interessi. Tale semplicità,
come si vedrà, viene meno nei due successivi modelli finanziari.
1.3.2
Interessi composti
Si consideri un contratto che prevede il rimborso del debito C(t) dopo un periodo da t (data di contrazione del debito), oppure dopo due periodi, . . . , e che,
differentemente dal modello precedente, l’interesse sia calcolato aggiungendo
per ogni periodo trascorso una maggiorazione uguale ad una percentuale del
debito accumulato all’inizio del periodo precedente13 .
In particolare, se C(t) è il debito contratto al tempo t, trascorso un determinato periodo gli interessi saranno calcolati, ovviamente, sul capitale iniziale
C(t); per cui:
in t + 1 :
” t+2:
” t+3:
” t+n:
M (t + 1) = −C(t) − C(t)i = −C(t)(1 + i)
M (t + 2) = −C(t)(1 + i) − C(t)(1 + i)i = −C(t)(1 + i)(1 + i) =
= −C(t)(1 + i)2
M (t + 3) = −C(t)(1 + i)2 − C(t)(1 + i)2 i = −C(t)(1 + i)2 (1 + i) =
= −C(t)(1 + i)3
M (t + n) = −C(t)(1 + i)n−1 − C(t)(1 + i)n−1 i =
= −C(t)(1 + i)n−1 (1 + i) = −C(t)(1 + i)n
Si noti come i montanti ottenuti siano maggiorati rispetto ai corrispondenti
montanti nel modello ad interessi semplici per effetto della capitalizzazione
degli interessi : gli interessi maturati si trasformano in capitale per produrre
13
Ovvero, gli interessi non vengono più calcolati sempre in proporzione al valore del
debito iniziale C(t).
16
c
Joseph Andria °
1.3.2. Interessi composti
C(t)
−C(t)(1 + i)
−C(t)(1 + i)2
−C(t)(1 + i)3 . . .
-
t
t+1
t+2
t+3
...
Figura 1.8: Rappresentazione del modello ad interessi composti.
a loro volta interessi.
In t + 2, ad esempio, il montante è pari a:
C(t)(1 + i) + C(t)(1 + i)i =
C(t) + 2C(t)i
|
{z
}
+C(t)i2 ,
(1.16)
montante in cap. semplice
e comprende un addendo pari al montante calcolato nel modello ad interessi
semplici più gli interessi maturati in t + 1 e capitalizzati di un periodo.
Esempio 3. Si supponga che a seguito di un finanziamento (a due anni)
ottenuto oggi per un importo di 25,000 ci vengano proposte, al fine del suo
rimborso, due differenti modalità contrattuali:
• rimborso globale di capitale ed interessi al tasso annuo composto del
6%;
• rimborso globale di capitale ed interessi al tasso annuo semplice del 6%.
Quale delle due alternative ci converrà scegliere?
Ovviamente la seconda. Infatti, per la prima alternativa dovremmo rimborsare un ammontare pari a:
25 , 000 (1 + 0 .06 )2 = 28 , 090 ,
mentre, per la seconda:
25 , 000 (1 + 0 .06 × 2 ) = 28 , 000 .
Si noti che la differenza tra i due importi (90 ) corrisponde al secondo
addendo della (1.16); infatti:
25 , 000 × 0 .06 2 = 90 .
17
c
Joseph Andria °
1.3.2. Interessi composti
Ci si potrebbe chiedere, a questo punto, quale debba essere il tasso previsto
per la seconda modalità di rimborso affinché le due alternative risultino indifferenti tra loro.
Applicando la definizione di tassi equivalenti, si ottiene:
25 , 000 (1 + 0 .06 )2 = 25 , 000 (1 + is × 2 ),
ossia, is = 6 .18 %, (che è, ovviamente, maggiore del precedente).
Se n = s − t, si ottiene:
M (s) = C(t)(1 + i)s−t ,
(1.17)
che definisce il montante in s di un capitale C(t) disponibile in t, secondo il
modello degli interessi composti.
Il fattore montante risulta quindi:
r(t, s) = (1 + i)s−t ,
(1.18)
mentre il fattore di sconto vale:
v(t, s) =
1
= (1 + i)−(s−t) .
(1 + i)s−t
(1.19)
In tale modello, com’è facile intuire, l’equivalenza finanziaria tra due tassi,
ik e is , è ottenuta in modo meno immediato rispetto al modello ad interessi semplici. In quest’ultimo, infatti, la condizione di proporzionalità che
caratterizza la formazione degli interessi consente di trovare il tasso periodale (ad es. semestrale, quadrimestrale, bimestrale, etc.) come frazione del
tasso annuo. Per il modello ad interessi composti, invece, i due tassi risultano
equivalenti se:
(1 + ik )kτ = (1 + is )sτ ;
(1.20)
ik = (1 + is )s/k − 1.
(1.21)
da cui:
Nella fattispecie, quindi, il prodotto del tasso periodale per il numero di periodi (per es. i2 × 2) non coincide col tasso annuo effettivo equivalente al tasso
periodale (semestrale) assegnato, e, proprio per tale ragione, prende il nome
18
c
Joseph Andria °
1.3.2. Interessi composti
di tasso nominale. È interessante osservare che il tasso nominale è sempre
numericamente minore (o al più uguale14 ) al tasso effettivo e questo spiega
l’interesse di poter enunciare un tasso nominale invece di un tasso effettivo
quando, ad esempio, si dichiarano le condizioni d’un finanziamento.
In generale, il tasso annuo nominale convertibile k volte l’anno, jk , altro non
è che il prodotto tra il tasso periodale ik ed il numero di periodi, k, contenuti
nell’anno, ossia:
jk = kik .
(1.22)
Esso ha quindi la natura di tasso annuo di interesse semplice e, giacchè non
tiene conto della capitalizzazione periodica degli interessi, differisce, nel modello in questione, dal tasso annuo effettivo.
Dalla (1.21) e dalla (1.22), per s = 1 (1 anno), si ottiene:
£
¤
jk = k (1 + i)1/k − 1 ,
(1.23)
con la quale si definisce il tasso annuo nominale convertibile k volte l’anno
nel modello ad interessi composti.
Si consideri ora la stessa operazione finanziaria rappresentata dalla (1.8),
supponendo questa volta che i periodi di capitalizzazione abbiano tutti durata infinitesima. In generale, se si indica con k la periodicità con cui gli
interessi vengono capitalizzati, ciò matematicamente vuol dire far tendere k
ad infinito.
La domanda che ci si pone è la seguente: qual è il tasso nominale jk in
corrispondenza di una capitalizzazione continua o, meglio, istantanea degli
interessi?
£
¤
(1 + i)1/k − 1
lim jk = lim k (1 + i)1/k − 1 = lim
= ln(1 + i)
k→∞
k→∞
1/k→0
1/k
(1.24)
dove, per il calcolo del limite, si è utilizzata la regola di L’Hôpital. Dalla
(1.24) è possibile definire una nuova grandezza finanziaria:
δ = ln(1 + i)
(1.25)
nota come intensità istantanea d’interesse, che corrisponde quindi al tasso
nominale annuo a capitalizzazione continua.
14
Questo caso si ha solo nel modello ad interessi semplici in cui il tasso nominale ed
effettivo coincidono.
19
c
Joseph Andria °
1.3.2. Interessi composti
Da quanto ottenuto, è possibile riscrivere la (1.17) nel seguente modo:
M (s) = C(t)eδ(s−t) ,
(1.26)
la quale definisce il modello esponenziale di capitalizzazione degli interessi.
Una diversa parametrizzazione del modello esponenziale si ottiene ponendo
p = (1 + i)−1 = e−δ .
(1.27)
dove p rappresenta il fattore di attualizzazione per periodi di lunghezza unitari, ovvero il fattore di sconto uniperiodale.
Sostituendo nella (1.17) si ottiene:
M (s) = C(t)p−(s−t) .
(1.28)
Il valore attuale è dato, invece, da:
C(t) = M (s)p(s−t) .
(1.29)
Un aspetto fondamentale del suddetto modello è rappresentato dalla scindibilità, ossia, la proprietà di una legge finanziaria 15 di essere indifferente alle
interruzioni.
In generale, si dirà che una legge è scindibile (secondo una legge di capitalizzazione) se il prodotto di un investimento unitario dopo un certo periodo di
tempo, s − t, non muta se ad una qualsiasi data intermedia, m, si disinveste
il montante fino a quel punto maturato e lo si reinveste immediatamente,
ovvero:
r(t, s) = r(t, m)r(m, s).
(1.30)
Naturalmente le leggi finanziarie del modello ad interessi composti sono
scindibili; infatti:
(1 + i)m−t (1 + i)s−m = (1 + i)m−t+s−m = (1 + i)s−t .
(1.31)
Di seguito si dimostra che il modello ad interessi semplici non gode di tale
proprietà; infatti:
[1 + i(m − t)][1 + i(s − m)] =
= [1 + i(s − t)] + i2 (m − t)(s − m) 6= [1 + i(s − t)].
15
Sia essa di capitalizzazione o di sconto.
20
c
Joseph Andria °
1.3.3. Interessi anticipati
r(t, s)
1
r(t, m)
r(t, m)r(m, s)
-
t
m
s
Figura 1.9: Scindibilità di una legge finanziaria.
Pertanto, il modello ad interessi semplici non soltanto non è indifferente alle
interruzioni ma, anzi, se ne avvantaggia16 proprio perché grazie ad esse si
rendono disponibili gli interessi i(m − t) che diversamente sarebbero rimasti
infruttiferi.
1.3.3
Interessi anticipati
Si ipotizzi che in data odierna una società di import/export abbia finanziato
l’acquisto di una partita di merce mediante l’emissione di cambiale, con scadenza a tre mesi e per un valore facciale di 100,000 17 .
Qualora si volesse anticipare la data di riscossione dell’importo dovuto, a
quanto ammonterebbe la somma che verrebbe corrisposta?
È lecito ritenere che la persona o l’impresa, generalmente una banca (trattario, drawee) a nome della quale la società di import/export (traente, drawer ) ha emesso la cambiale, trattenga un compenso (in via anticipata) tanto
maggiore quanto più ci si allontana dalla data prefissata di scadenza del titolo.
Qualora si ipotizzi, quindi, una proporzionalità diretta tra il compenso trattenuto e la differenza tra la data di scadenza e quella di estinzione, il modello
risultante è di tipo lineare, ovvero:
D(t, s) = M (s)d(s − t),
(1.32)
dove D(t, s) rappresenta lo sconto sul capitale M (s) per effetto dell’anticipazione, mentre d prende il nome di tasso di sconto e rappresenta la remunerazione o il costo, a seconda del punto di vista, per ogni unità di capitale
16
Legge iperscindibile.
Possono emettere cambiali finanziarie le società e gli enti con titoli negoziati in un
mercato regolamentato e le società che presentino utili di bilancio negli ultimi tre esercizi.
17
21
c
Joseph Andria °
1.3.3. Interessi anticipati
anticipato.
La somma che verrà liquidita (somma scontata) eguaglia, quindi, la differenza tra il valore facciale del titolo e lo sconto, ossia:
C(t) = M (s) − D(t, s),
(1.33)
C(t) = M (s)[1 − d(s − t)].
(1.34)
e, per la (1.32), risulta:
Pertanto, ritornando all’esempio di inizio paragrafo, la cifra che verrà corrisposta è pari a 98,500 (100, 000 − 1, 500).
Il fattore di sconto v(t, s), in tale modello, risulta dunque cosı̀ definito:
v(τ ) = 1 − dτ,
(1.35)
con τ = s − t, mentre, per la reciprocità tra fattore montante e di sconto,
dalla (1.35) si ottiene:
r(τ ) =
1
1
=
.
v(τ )
1 − dτ
(1.36)
Dalla (1.32) è possibile definire il tasso di sconto d(t, s) come:
d(t, s) =
D(t, s)
C(t)
=1−
= 1 − v(t, s),
M (s)
M (s)
(1.37)
e rappresenta lo sconto calcolato su ogni unità di capitale dovuto o scadente
in s per effetto dell’anticipazione da s a t. Esso, per tale motivo, prende il
nome di tasso effettivo di sconto relativo al periodo che va da s a t.
Infine, è possibile ottenere, con semplici passaggi algebrici, la relazione che
intercorre tra il tasso di sconto e quello d’interesse; ossia:
d(t, s) =
i(t, s)
,
1 + i(t, s)
i(t, s) =
d(t, s)
.
1 − d(t, s)
(1.38)
Si consideri, ora, la seguente operazione: nel periodo (t, s), una banca anticipa in t una unità di capitale dovuto in m (t < m < s) reimpiegando
la somma che ottiene a scadenza in una nuova operazione di durata s − m.
22
c
Joseph Andria °
1.3.3. Interessi anticipati
Figura 1.10: Esempio di cambiale finanziaria.
Pertanto, la somma che la banca ottiene in s è pari a:
1
1
1 − d(m − t) 1 − d(s − m)
1
=
.
[1 − d(s − t)] + d2 (m − t)(s − m)
M 0 (s) =
(1.39)
Qualora in (t, s) la banca avesse scelto di effettuare un’unica operazione di
sconto di durata s − t, anticipando quindi in t una unità di capitale dovuto
in s, avrebbe realizzato a scadenza un montante di importo
M 00 (s) =
1
> (1.39).
[1 − d(s − t)]
Si deduce, pertanto, che nel periodo (t, s), minore è il numero delle operazioni
effettuate dalla banca, e quindi più lunghe sono le operazioni di sconto delle
singole cambiali, maggiore è la convenienza che ne trae la banca medesima18 .
Esempio 4. Si consideri un Treasury Bill (T-bill) a 90 giorni quotato a
99.38. I T-bill sono titoli senza cedola (zero coupon bond) emessi dal Dipartimento del Tesoro americano al fine di finanziare il debito pubblico. Si tratta
di titoli di ”puro sconto” in quanto la loro quotazione avviene deducendo dal
valore facciale di quest’ultimi gli interessi opportunamente calcolati. Il rendimento è dunque garantito dalla differenza tra il valore nominale del titolo
18
La legge sottostante è quindi iposcindibile.
23
c
Joseph Andria °
1.3.3. Interessi anticipati
(pagato alla data di scadenza o, maturity date) ed il suo valore scontato. Per
tale ragione il tasso di rendimento sottostante è un tasso di sconto (espresso
su base 360).
Il tasso di sconto (discount rate) garantito dal T-bill, calcolato dalla (1.37),
è pari a:
d (0 , 90 )/360 =
100 − 99 .38 360
= 0 .0248 (2 .48 %)
100
90
Se al MOT è quotato un BOT anch’esso a 90 giorni con prezzo d’asta pari
a 99.493, quali dei due titoli garantisce un rendimento maggiore?
Il tasso di rendimento del BOT in questione (si tratta di un tasso d’interesse)
risulta pari a:
i (0 , 90 )/360 =
100 − 99 .493 360
= 0 .0204 (2 .04 %)
99 .493
90
Poichè il tasso del BOT è un tasso di interesse mentre quello del T-bill è un
tasso di sconto, è chiaro che non può essere fatto un loro confronto diretto.....
A tal fine occorre convertire il tasso di sconto nel suo equivalente tasso
d’interesse, o viceversa. Per cui, dalla (1.38):
T −bill
i(0
,90 )/360 =
0 .0248
d
τ =
90 = 0 .025 (2 .5 %)
1 − d 360
1 − 0 .0248 360
Si noti che il tasso d’interesse per il T-bill poteva essere ottenuto anche nel
seguente modo:
T −bill
i(0
,90 )/360 =
100 − 99 .38 360
= 0 .025 .
99 .38
90
Ovvero, equivalentemente,
BOT
d(0
,90 )/360 =
BOT
d(0
,90 )/360 =
100 − 99 .493 360
= 0 .0203 ,
100
90
0 .0204
i
τ =
90 = 0 .0203 .
1 + i 360
1 + 0 .0204 360
24
c
Joseph Andria °
1.4. Rendite
Il rendimento del T-bill risulta, dunque, maggiore di quello del Bot di circa
46bp (basis points 19 ).
1.4
Rendite
Nell’accezione più comune una rendita è una successione, limitata o illimitata, di importi positivi periodici detti rate o termini della rendita. Tuttavia,
con operazione di rendita si intende una qualsiasi operazione di scambio di
una rendita con un pagamento unico, C, effettuato in data precedente, ossia
non successivo al pagamento della prima rata. Ci si riferisce, pertanto, ad una
operazione consistente nel flusso R = {R1 , R2 , . . . , Rn } delle rate completato
con un importo di segno opposto, esigibile in un istante non successivo al
pagamento della prima rata.
Esempi particolari di rendita sono rappresentati dalle pensioni integrative in
cui il contraente, previa costituzione del capitale C mediante il versamento
periodico di rate costanti o variabili, beneficia di una rendita complementare
che si aggiunge a quella erogata dal sistema previdenziale pubblico.
Anche la locazione di un immobile rappresenta un esempio di rendita in cui
il locatore, a fronte di un esborso monetario consistente nell’acquisto dell’immobile, riceve periodicamente dal locatario importi di denaro denominati
canoni di locazione.
In generale, indicato con t = {t0 , t1 , t2 , . . . , tn } lo scadenzario relativo ad una
generica operazione di rendita, si parla di rendita anticipata qualora il versamento della prima rata avvenga all’inizio di ciascun periodo di riferimento,
posticipata nel caso in cui questo avvenga alla fine del suddetto periodo. Inoltre, la rendita si dice immediata se i versamenti hanno inizio a partire dal
primo periodo, differita nel caso contrario.
Si consideri una rendita periodica (con periodo unitario, ad es. 1 mese, 1 anno etc.) con importi tutti costanti, Rs = R, sullo scadenzario {0, 1, 2, . . . , n}.
Si ha cioè: Rs = R, ts = s, s = 1, 2, . . . , n.
Il valore attuale della suddetta rendita (immediata, posticipata, di durata
n), conformemente alla legge esponenziale con tasso periodale di interesse
costante i, è ottenuto dalla relazione:
V (0) =
n
X
−s
Rs (1 + i)
=
s=1
19
n
X
s=1
s
Rs v = R
n
X
vs.
(1.40)
s=1
1 basis point = .01 %.
25
c
Joseph Andria °
1.4. Rendite
L’ultima sommatoria che figura nella (1.40) corrisponde alla somma di n termini in progressione geometrica, con ragione v e primo termine Rv. Si ha,
quindi:
V (0) = Rv
1 − vn
.
1−v
(1.41)
Se si indica con
an i =
1 − vn
1 − (1 + i)−n
=v
,
i
1−v
(1.42)
il valore attuale di una rendita immediata posticipata di durata n con rate
unitarie, la (1.41) può essere riscritta nel seguente modo:
V (0) = Ran i .
(1.43)
Inoltre, se si esprime il valore attuale della rendita unitaria nella forma
an i = (1 − v n )/i si ottiene la relazione:
ian i + v n = 1,
(1.44)
in base alla quale la somma del valore attuale di una rendita con n rate di
importo i e del valore attuale di una unità di capitale pagabile dopo n periodi
ha valore unitario. Tenendo presente, come è stato già detto, che i fornisce il
valore numerico degli interessi forniti dall’investimento di una unità di capitale per un periodo unitario, si può dare una interessante interpretazione
della (1.44): risulta infatti equo versare una unità di capitale al tempo zero
per ritirare l’interesse i per n periodi, alla fine di ciascun periodo, e l’importo
unitario alla fine dell’n-mo periodo. Più generalmente, la (1.44) evidenzia un
concetto finanziario comune a tutte le operazioni di rendita: è equivalente,
rispetto ad una prefissata legge, pagare un importo ad una data oppure ad
un’altra, purché nel frattempo si corrispondano i relativi interessi.
Si consideri ora il caso in cui gli n versamenti avvengano non più alla fine
di ciascun periodo bensı̀ all’inizio. Si ha quindi: Rs = R, ts = s − 1,
s = 1, 2, . . . , n. Trattasi, per quanto già detto, di una rendita immediata,
anticipata, di durata n, il cui valore attuale è dato da:
V (0) =
n
X
Rs (1 + i)−(s−1) =
s=1
n
X
s=1
26
n
Rs v s−1 =
RX s
v .
v s=1
(1.45)
c
Joseph Andria °
1.4. Rendite
Pertanto, per la (1.42), si ha:
V (0) =
R
1 − vn
an i = R
.
v
1−v
(1.46)
od anche, utilizzando la notazione än i = an i /v:
V (0) = Rän i .
(1.47)
Se si esprime il valore della rendita unitaria anticipata nella forma än i =
(1 − v n )/d, si ottiene la relazione:
dän i + v n = 1,
(1.48)
per la quale vale la stessa interpretazione della (1.44), purchè si considerino
gli interessi pagati anticipatamente, ovvero all’inizio dell’anno cui competono.
Ricordando che gli interessi forniti investendo una unità di capitale per un
periodo di tempo unitario e pagati anticipatamente sono dati proprio da d,
la (1.48) evidenzia, ancora una volta, il principio per il quale è equo differire
la restituzione di un debito purché si paghino nelle date intermedie i relativi
interessi (in questo caso anticipati).
È possibile anche trovare il montante, V (n),di una rendita immediata posticipata od anticipata. Infatti, nel caso in cui i versamenti periodici servano a
costituire un capitale che verrà utilizzato ad un’epoca futura (p.es. un fondo
pensione, un’assicurazione sulla vita, etc.), è necessario determinare il valore
futuro delle rate versate periodicamente.
In particolare, nell’ipotesi che Rs = R, ts = s, s = 1, 2, . . . , n, si ottiene:
V (n) =
n
X
n−s
Rs (1 + i)
n
= R(1 + i)
n
X
(1 + i)−s
(1.49)
s=1
s=1
che, per la (1.41), diventa:
V (n) = R(1 + i)n v
= R
1 − (1 + i)−n
1 − vn
= R(1 + i)n
1−v
i
(1 + i)n − 1
= Rsn i ,
i
(1.50)
avendo indicato con sn i = [(1 + i)n − 1]/i il montante di una rendita unitaria,
immediata, posticipata di n termini.
Se la rendita è anticipata, il suo montante è dato da:
27
c
Joseph Andria °
1.4. Rendite
V (n) =
n
X
n−(s−1)
Rs (1 + i)
n+1
= R(1 + i)
n
X
(1 + i)−s ,
(1.51)
s=1
s=1
da cui:
V (n) = R(1 + i)n+1 v
1 − vn
=
1−v
−n
n 1 − (1 + i)
= R(1 + i)
= R
d
=
(1 + i)n − 1
= Rs̈n i ,
d
(1.52)
avendo indicato con s̈n i il montante di una rendita unitaria, immediata, anticipata di n termini.
Una rendita perpetua posticipata altro non è che una rendita posticipata la
cui durata è infinita, ossia una rendita di infiniti termini. Il suo valore attuale, quindi, è definito come:
V (0) = lim R
n→∞
n
X
s=1
s
v =R
∞
X
vs.
(1.53)
s=1
La convergenza della serie geometrica della (1.53) è garantita dall’essere il
fattore di sconto v un numero positivo minore di 1. Si ha, pertanto:
V (0) = R
1
v
=R .
1−v
i
(1.54)
Facendo riferimento a rate unitarie, si può anche scrivere:
1
a∞ i = lim an i = ,
n→∞
i
(1.55)
da cui si ottiene la stessa interpretazione sopraddetta: è equo rimandare
indefinitamente il rimborso del prestito di una unità di capitale purchè si
paghi per sempre, alla fine di ogni periodo, un interesse uguale ad i.
Nel caso, invece, di rendita perpetua anticipata, si ha:
V (0) = lim R
n→∞
n
X
v
s−1
= R(1 + i)
∞
X
vs,
(1.56)
s=1
s=1
28
c
Joseph Andria °
1.4. Rendite
che, per la (1.54), diventa:
1
V (0) = R .
d
(1.57)
In termini di rate unitarie si ha, dunque, la seguente relazione:
ä∞ i = lim än i =
n→∞
1
1
lim an i = ,
v n→∞
d
(1.58)
che ha la solita interpretazione. La (1.58) può anche essere riscritta sotto la
seguente forma:
ä∞ i =
1
1
1
lim an i = (1 + i) = + 1 = a∞ i + 1,
v n→∞
i
i
(1.59)
da cui si evince che una rendita perpetua anticipata unitaria vale quanto
la corrispondente rendita posticipata più una unità di capitale, ossia più il
valore della prima rata (unitaria) con scadenza in zero.
In generale, è sempre possibile ottenere direttamente il valore attuale di una
rendita a rate costanti anticipata, capitalizzando di un periodo il valore attuale della corrispondete rendita posticipata, ossia:
än i = an i (1 + i).
(1.60)
È anche possibile, invero, ottenere il valore attuale della suddetta rendita anticipata di n termini unitari come il valore attuale di una rendita posticipata
unitaria di n − 1 termini più la rata con scadenza in zero:
än i = an−1 i + 1.
(1.61)
Nel caso di rendite con data di inizio differita di m periodi rispetto al tempo
zero il calcolo del valore attuale, secondo una legge esponenziale assegnata, si
effettua semplicemente scontando per la lunghezza del periodo di differimento il valore attuale della corrispondente rendita immediata. Formalmente,
anzi, si possono considerare le rendite immediate come un caso particolare,
con m = 0, di rendite differite.
Se la rendita è temporanea differita posticipata, cioè Rs = R, ts = m + s,
s = 1, 2, . . . , n, il suo valore attuale è dato da:
V (0) =
m+n
X
s=m+1
s
Rv = R
n
X
s=1
29
v
m+s
= Rv
m
n
X
vs,
(1.62)
s=1
c
Joseph Andria °
1.4.1. Rendite frazionate
da cui si ottiene:
V (0) = Rv m an i .
(1.63)
Introducendo il simbolo m an i = v m an i , la (1.63) si può anche scrivere:
V (0) = R m an i .
(1.64)
m an i = am+n i − am i
(1.65)
La relazione,
esprime in termini formali il fatto intuitivo che una rendita di durata n differita di m periodi, equivale ad una rendita immediata di durata m + n privata
delle prime m rate.
Se la rendita è perpetua differita e posticipata, il suo valore attuale è ottenuto,
ancora una volta, scontando di m periodi il valore attuale della corrispondente rendita immediata; per cui:
1
V (0) = Rv m .
i
(1.66)
In maniera del tutto analoga a quanto fin qui visto, è possibile ottenere il
valore attuale di una rendita temporanea differita anticipata:
V (0) = Rv m
1 − vn
= Rv m än i ,
1−v
(1.67)
da cui, ponendo m än i = v m än i , si ottiene:
V (0) = R m än i .
(1.68)
Infine, il valore attuale di una rendita perpetua differita anticipata è dato da:
1
V (0) = Rv m .
d
1.4.1
(1.69)
Rendite frazionate
Si consideri il caso in cui la periodicità con cui vengono effettuati i versamenti
delle rate della rendita sia inferiore (ad es. semestrale, trimestrale, mensile
etc.) all’unità di periodo finora considerata (ad es. l’anno).
In questo caso si parla di rendite frazionate per le quali continuano a valere
30
c
Joseph Andria °
1.4.1. Rendite frazionate
le considerazioni finora dette seppur con qualche ulteriore precisazione.
In generale, se i versamenti delle rate R(k) vengono effettuati con periodicità
1/k (ossia, ad ogni k-esimo di periodo unitario, ad es. di anno), il valore
attuale sarà dato dalla relazione:
V (0) =
kn
X
(k) s/k
R v
=R
s=1
(k)
kn
X
(v 0 )s ,
(1.70)
s=1
dove v 0 = v 1/k (per l’equivalenza tra fattori di sconto v = (v 0 )k ) rappresenta
il fattore di sconto per 1/k di periodo unitario equivalente al fattore di sconto
v per periodo unitario.
Poiché i kn termini della sommatoria nella (1.70) risultano in progressione
geometrica di primo termine e ragione uguale a v 0 , allora è possibile riscrivere
la (1.70) nella seguente forma:
V (0) = R(k) v 0
0 kn
1 − (v 0 )kn
(k) 1 − (v )
=
R
= R(k) akn ik .
0
1−v
ik
(1.71)
In alternativa, dato che è:
1 − (v 0 )kn
1 − vn
1 − vn i
akn ik =
=
=
ik
ik
i ik
(1.72)
e, ricordando che jk = kik , la (1.71) può essere espressa anche nel seguente
modo:
V (0) = kR(k)
i
a .
jk n i
(1.73)
Di quest’ultima relazione è possibile fornire un’interessante interpretazione
finanziaria: kR(k) i/jk rappresenta il montante delle k rate R(k) versate all’interno di ciascun periodo unitario. Infatti:
V (1) = R
(k)
k−1
X
(1 + i)s/k ,
(1.74)
s=0
in cui i k termini sono in progressione geometrica di ragione (1 + i)1/k con
primo termine uguale ad 1; per cui:
V (1) = R(k)
1 − (1 + i)
i
i
= R(k) = kR(k) .
1/k
1 − (1 + i)
ik
jk
31
(1.75)
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Quindi, il valore attuale della rendita frazionata ottenuto dalla (1.73), secondo la (1.75), corrisponde alla somma dei valori attuali delle rate relative
alla equivalente rendita ”intera” essendo, ciascuna di esse, il montante delle
k rate R(k) .
1.5
Ammortamenti
In senso strettamente terminologico, si parla di una operazione di rendita
in senso proprio se si fa riferimento alla parte che effettua l’operazione di
investimento, pagando S per ricevere in un secondo momento le rate della
rendita.
Dal punto di vista della controparte si tratta, più precisamente, di una operazione di rimborso, o ammortamento, di un debito S, contratto al tempo
zero, mediante il versamento di una rendita.
Si consideri una operazione di scambio cosı̀ strutturata:
x̄/t̄ = {x0 , x1 , . . . , xn }/{0, t1 , . . . , tn },
con x0 = S e xs = −Rs , ts = s per s = 1, 2, . . . , n, in cui si incassa subito la
somma S e si pagano successivamente le rate Rs .
Secondo una legge esponenziale, il montante dell’operazione a ciascuna data
di pagamento, somma dei montanti di tutte le somme pagate fino a quella
data, è:
Ms =
s
X
xj (1 + i)s−j
j=0
s
= S(1 + i) −
s
X
Rj (1 + i)s−j ,
s = 0, 1, . . . , n.
j=1
Il corrispondente valore residuo dell’operazione, valore scontato delle somme
future, è dato da:
Vs = −
n
X
Rj (1 + i)−(j−s) ,
s = 0, 1, . . . , n.
j=s+1
Se risulta soddisfatta la condizione:
S=
n
X
Rj (1 + i)−j ,
(1.76)
j=1
32
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
nota come condizione di chiusura iniziale, l’operazione è equa al tasso i e sarà,
per ogni s, Ms +Vs = 0. Il montante Ms rappresenta, quindi, il debito residuo
all’istante s (da qui in poi Ds ), cioè il debito che resta ancora da estinguere
a quella data: non assume mai valori negativi e si annulla solamente alla
scadenza n.
Un modo alternativo di ottenere il debito residuo in s, essendo Ms = −Vs ,
consiste nel calcolare la somma delle rate non ancora versate (da s + 1 ad n)
scontate fino al tempo s:
Ds = S(1 + i)s −
s−1
X
Rj (1 + i)s−j − Rs
j=1
"
s−1
= (1 + i) S(1 + i)
−
s−1
X
s−j−1
Rj (1 + i)
j=1
#
− Rs .
Si noti che il termine racchiuso tra parentesi quadre altro non è che il debito
residuo all’istante s − 1, per cui si ha:
Ds = (1 + i)Ds−1 − Rs ,
s = 1, . . . , n,
(1.77)
essendo D0 = S. La (1.77) descrive l’evoluzione del montante (e cioè del debito residuo) e ne evidenzia le variazioni dovute all’accumularsi degli interessi
ed al pagamento delle rate.
Dalla (1.77) si ottiene:
Rs = Ds−1 − Ds + iDs−1 ,
s = 1, . . . , n.
(1.78)
Ogni rata risulta cosı̀ scomposta in una quota capitale:
Cs = Ds−1 − Ds
(1.79)
Is = iDs−1 .
(1.80)
ed in una quota interesse:
Se il rimborso della somma S avviene mediante il versamento di una rendita anticipata (ts = s − 1 per s = 1, 2, . . . , n), la (1.77) si presenta sotto la
seguente forma:
Ds = (Ds−1 − Rs )(1 + i),
33
s = 1, . . . , n,
(1.81)
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
da cui, ricordando che v = 1 − d, si ottiene:
vDs = Ds−1 − Rs
(1 − d)Ds = Ds−1 − Rs ,
s = 1, . . . , n,
per cui la rata risulta cosı̀ scomposta:
Rs = Ds−1 − Ds + dDs ,
s = 1, . . . , n.
(1.82)
La quota interesse, dunque, è ora calcolata in base al tasso di interesse anticipato d. Si noti, inoltre, che l’ultima quota interesse, essendo gli interessi
pagati anticipatamente, è nulla, pertanto l’ultima rata risulta interamente
destinata all’estinzione del debito.
In una operazione di ammortamento, quindi, ogni termine può considerarsi
costituito da una quota destinata all’estinzione del debito (quella capitale)
e da una quota destinata al pagamento degli interessi dovuti per il prolungamento di un ulteriore periodo della situazione di indebitamento (quella
interesse):
Rs = Cs + Is .
Se si calcola la somma di tutte le quote capitale si ottiene:
n
X
j=1
Cj =
n
X
(Dj−1 − Dj )
j=1
= D0 − D1 + D1 − D2 + D2 − D3 + . . .
+Dn−2 − Dn−1 + Dn−1 − Dn
= D0 − Dn ,
dato che tutti i valori del debito residuo negli istanti intermedi si cancellano
reciprocamente. Poichè D0 = S e Dn = 0, si ha:
n
X
Cj = S
(1.83)
j=1
che equivale a richiedere che la somma di tutte le quote capitale coincida
esattamente con il debito da rimborsare (condizione di chiusura elementare).
L’ammortamento consistente nell’estinzione del debito S mediante il versamento di una rendita costante prende il nome di ammortamento francese o
34
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
progressivo.
Di quest’ultimo è possibile ottenere la rata ricorrendo alla condizione di
chiusura iniziale. Infatti per la (1.76) deve essere:
S=
n
X
R(1 + i)−j = Ran i ,
j=1
da cui:
R=
S
.
an i
(1.84)
Dalle (1.79) e (1.77) si ottiene:
Cs+1 = Ds − Ds+1 = (1 + i)Ds−1 − R − (1 + i)Ds + R
= (1 + i)(Ds−1 − Ds ) = (1 + i)Cs .
Le quote capitale della rendita a rata costante risultano, pertanto, in progressione geometrica di ragione (1+i) = v −1 . In particolare, il primo termine
è pari a:
C1 = D0 − D1 = S − S(1 + i) + R = S(1 − 1 − i) + R
= R − iS = R − iRan i = R − R(1 − v n ) = R(1 − 1 + v n )
= Rv n ,
pertanto, l’s-esima quota capitale è espressa da:
Cs = Rv n−s+1 ,
s = 1, 2, . . . , n.
(1.85)
Naturalmente, per le quote interesse si avrà:
Is = R − Cs = R − Rv n−s+1
= R(1 − v n−s+1 ), s = 1, 2, . . . , n.
(1.86)
Le quote capitale risultano in progressione geometrica anche nel caso in cui
le rate vengano versate anticipatamente; infatti:
Cs+1 = Ds − Ds+1 = (Ds−1 − R)(1 + i) − (Ds − R)(1 + i)
= (1 + i)(Ds−1 − R − Ds + R) = (1 + i)(Ds−1 − Ds )
= (1 + i)Cs .
35
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Il primo termine è pari a Rv n−1 , per cui l’s-esima quota capitale è data da:
Cs = Rv n−s ,
s = 1, 2, . . . , n,
(1.87)
e l’s-esima quota interesse risulta:
Is = R − Cs = R(1 − v n−s ),
s = 1, 2, . . . , n.
(1.88)
Si evince che l’ultima quota interesse, In , è nulla, in accordo con quanto già
indicato dalla (1.82).
ts = s
0
1
2
3
..
.
Rs
S/an i
S/an i
S/an i
..
.
Cs
Rv n
Rv n−1
Rv n−2
..
.
Is
R(1 − v n )
R(1 − v n−1 )
R(1 − v n−2 )
..
.
Dts
S = Ran i
Ran−1 i
Ran−2 i
Ran−3 i
..
.
n−1
n
S/an i
S/an i
Rv 2
Rv
R(1 − v 2 )
R(1 − v)
Ra1 i = Rv
0
Tabella 1.1: Piano di ammortamento a rata costante.
ts = s − 1
0
1
2
..
.
Rs
S/än i
S/än i
S/än i
..
.
Cs
Rv n−1
Rv n−2
Rv n−3
..
.
Is
R(1 − v n−1 )
R(1 − v n−2 )
R(1 − v n−3 )
..
.
Dts
S = Rän i
Rän−1 i
Rän−2 i
..
.
n−1
n
S/än i
−
Rv n−n = R
−
0
−
Rä1 i = R
0
Tabella 1.2: Piano di ammortamento a rata costante anticipata.
36
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Esempio 5. Di seguito sono riportate alcune righe tratte dal foglio informativo sui prestiti personali (aggiornato all’01-01-2004) pubblicato dalla Banca
del Fucino S.p.A. di Roma 20 :
- ”Con il contratto di prestito personale, una somma viene erogata dalla banca al cliente, che si impegna a restituirla secondo un piano di
ammortamento di regola a tasso fisso ed a rate costanti concordate. Il
finanziamento può essere assistito da garanzie e ha una durata massima di 60 mesi. L’erogazione del finanziamento è effettuata mediante
accredito sul conto collegato che, oltre ad essere utilizzato per le normali
operazioni bancarie, servirà per il pagamento delle rate.”
- ”Tra i principali rischi vi è l’impossibilità di beneficiare delle eventuali
fluttuazioni dei tassi al ribasso, in quanto il prestito è a tasso fisso.”
La tipologia di ammortamento previsto è a rata costante, ossia francese.
La tabella che segue illustra le caratteristiche relative a piani di ammortamento di diversa durata per un prestito di ammontare pari a 10,000.00.
Figura 1.11: Proposte di finanziamento per un importo di
10,000.00.
Il TAN (Tasso Annuo Nominale) è il tasso di interesse (espresso in percentuale e su base annua) che, applicato all’importo del finanziamento, consente di determinare la quota di interessi che il debitore deve corrispondere
alla Banca.
Pertanto, essendo il TAN un tasso nominale, è sufficiente dividerlo per 12
al fine di determinare il tasso mensile effettivo:
i12 =
20
j12
0 .09
=
= 0 .0075 .
12
12
http://www.bancafucino.it.
37
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Per determinare le rate mensili, corrispondenti alle diverse durate dei piani
di rimborso proposti dalla banca, si ricorre alla condizione di chiusura iniziale, ossia alla (1.84):
R24 =
S
akn ik
=
10 , 000 .00
=
a24 i12
R36 =
10 , 000 .00
=
a36 0 .0075
318 .00
R48 =
10 , 000 .00
=
a48 0 .0075
248 .85
R60 =
10 , 000 .00
=
a60 0 .0075
207 .58
456 .85
In fig.1.12 è riportato il piano di ammortamento relativo al finanziamento
a 24 mesi. Le colonne riportate indicano, rispettivamente, la rata, la quota
capitale, la quota interessi ed il debito residuo. Per la sua compilazione, in
corrispondenza di ogni scadenza, si è dapprima calcolato il debito residuo
come valore attuale delle rate ancora da versare (arrotondando il risultato
a due cifre decimali), si è quindi ottenuta la quota di capitale mediante la
(1.79) ed, infine, la quota di interesse come differenza tra la rata e la quota
di capitale.
Si noti che la somma delle quote capitale coincide con l’ammontare dell’importo finanziato, essendo pertanto soddisfatta la condizione di chiusura elementare espressa dalla (1.83).
Inoltre, si osserva che l’ultima quota capitale coincide col debito residuo
relativo alla scadenza precedente. È, infatti:
Cn = Dn−1 − Dn ,
ma, essendo Dn = 0, segue che: Cn = Dn−1 .
Infine, l’ISC, ovvero l’Indicatore Sintetico di Costo, costituisce un indicatore
sintetico del costo del mutuo, espresso sotto forma di tasso annuo effettivo
globale (TAEG), e quindi tiene conto sia dell’onere degli interessi, sia del
fatto che i pagamenti si effettuano più volte in un anno, sia di eventuali
38
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Figura 1.12: Piano di ammortamento a rata costante per un finanziamento
di 10,000.00.
voci di spesa, tra le quali vanno citate le spese di istruttoria e le spese di
riscossione dei rimborsi e dell’incasso delle rate.
Un’altra tipologia di ammortamento molto diffusa è quella a quota di capitale costante anche detta ammortamento italiano o uniforme.
Dalla (1.83) si ottiene la quota capitale:
C=
S
.
n
(1.89)
Poichè il debito residuo dopo s periodi è uguale ad debito iniziale S = D0
39
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Figura 1.13: Piano di ammortamento a rata costante anticipata per un
finanziamento di 10,000.00.
diminuito delle s quote capitale fino ad allora versate, si ha:
Ds = S − sC = S(1 −
s
),
n
s = 1, 2, . . . , n.
(1.90)
Dalla (1.80) si ottiene la quota interesse dovuta alla scadenza s:
Is = iDs−1 = iS(1 −
s−1
),
n
s = 1, 2, . . . , n.
(1.91)
L’s-ma rata, infine, è ottenuta come somma tra la quota capitale e la corrispondente quota interesse, cioè:
40
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Figura 1.14: Composizione della rata nell’ammortamento francese.
Rs =
S
s−1
+ iS(1 −
),
n
n
= S
1 + i(n − s + 1)
,
n
s = 1, 2, . . . , n.
(1.92)
Raccogliendo i termini indipendenti da s, la (1.92) si può anche scrivere:
Rs = S
i
1 + i(n + 1)
− S s,
n
n
s = 1, 2, . . . , n;
(1.93)
le rate risultano dunque in progressione aritmetica (decrescente) con ragione
−Si/n e primo termine S(1/n + i).
ts = s
0
1
2
..
.
n−1
n
Rs
Cs
−
−
S/n(1 + in)
S/n
S/n[1 + i(n − 1)] S/n
..
..
.
.
S/n(1 + i2)
S/n
S/n(1 + i)
S/n
Is
−
inC
i(n − 1)C
..
.
Dts
S = nC
(n − 1)C
(n − 2)C
..
.
i2C
iC
C
0
Tabella 1.3: Piano di ammortamento a quota capitale costante.
41
c
Joseph Andria °
1.5. Ammortamenti
Figura 1.15: Composizione della rata nell’ammortamento italiano.
Figura 1.16: Piano di ammortamento a quota capitale costante per un
finanziamento di 10,000.00.
42
c
Joseph Andria °
Capitolo 2
Il mercato obbligazionario
Il problema di cui ci si occuperà nel seguente capitolo riguarda la determinazione di prezzo di un titolo obbligazionario. Si tratta, invero, di esplicitare
il legame intercorrente tra la sopraddetta grandezza con quanto fin qui visto
a proposito del valore di un’operazione finanziaria ricavato da una prefissata
legge di equivalenza finanziaria.
Più precisamente, essendo un titolo obbligazionario un contratto attraverso
il quale due parti si impegnano a scambiarsi importi monetari in date diverse, esso costituisce un tipico esempio di operazione finanziaria per la cui
valutazione non si può, dunque, prescindere dai concetti espressi nel capitolo
precedente.
Un aspetto rilevante che riguarda i titoli finanziari e, pertanto, anche i titoli
obbligazionari, è la loro trasferibilità, ossia la possibilità da parte del detentore del titolo di cederlo ad un nuovo investitore indipendentemente dalla
volontà dell’emittente, il quale dunque risulterà debitore nei confronti del
nuovo possessore.
Ciò consente l’esistenza di un mercato obbligazionario in cui avvengono i
trasferimenti e si formano i prezzi di scambio. Più precisamente, il mercato
cui si fa riferimento è il mercato secondario essendo, quello primario, il mercato in cui l’ente emittente stabilisce in via anticipata quale sia la propria
controparte ai fini del collocamento dei titoli.
Ad esempio, relativamente ai titoli di Stato italiani esiste un mercato primario
regolamentato cui possono partecipare gli investitori istituzionali in qualità
di investitori all’ingrosso (MTS ) ed un mercato al dettaglio (MOT ), anch’esso regolamentato, cui hanno accesso gli investitori privati. A tal riguardo,
basti pensare che il taglio minimo per le operazioni di compravendita di BTP
all’MTS è fissato nella misura di 2.5 milioni di euro, mentre al MOT, per gli
stessi titoli, il taglio minimo è di 1,000 euro. Di seguito sono riportate le
quotazioni dei titoli di stato all’MTS, mentre le quotazioni dei BOT relative
43
al mercato MOT sono state riportate in fig.(1.7).
Figura 2.1: Quotazioni dei titoli di Stato all’MTS. Fonte: Il Sole24Ore del
11/03/04
44
c
Joseph Andria °
2.1. Le ipotesi caratteristiche del mercato
2.1
Le ipotesi caratteristiche del mercato
In quanto segue si farà riferimento ad un mercato obbligazionario ”idealizzato”, ossia ad un mercato per il quale varranno le seguenti ipotesi:
- non vi sono costi di transazione, né imposizioni fiscali ;
- i titoli sono infinitamente divisibili, ossia non vi sono limitazioni sulle
quantità minime e massime dei titoli trattati;
- sono consentite le vendite allo scoperto (short sales), ossia è sempre
possibile vendere titoli che non si possiedono;
- il rischio di insolvenza (default risk ) è nullo, ossia esiste la certezza che
il debitore onorerà i contratti di compravendita stipulati.
Tutti questi punti sintetizzano l’ipotesi di non frizionalità del mercato. Si
assume, inoltre, che il mercato sia competitivo ovvero che i suoi agenti siano:
- massimizzatori di profitto, ossia tra due quantità monetarie preferiranno sempre, a parità di ogni altra condizione, quella di importo
maggiore;
- price taker, non hanno cioé la possibilità di influenzare il prezzo dei
titoli con le loro operazioni di compravendita.
Un’ultima, ma non per questo meno importate, ipotesi che riguarda il mercato è l’assenza di arbitraggi. A tal riguardo, si consideri un’operazione
finanziaria cosı̀ strutturata:
x̄/t̄ = {x0 , x1 , . . . , xn }/{t, t1 , . . . , tn },
dove è stato indicato con x̄ il vettore degli importi e con t̄ quello dei tempi,
essendo t l’istante corrente con t ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn .
L’operazione sopra descritta rappresenta un arbitraggio se il flusso x̄ non
contiene importi di segno opposto, ossia se garantisce (ad una delle due parti
contraenti) un flusso di importi certamente non negativi con almeno un importo strettamente positivo (si incassa almeno una volta senza pagare mai).
Se si assume che −x0 rappresenti l’esborso monetario in t per l’acquisto del
flusso x1 , x2 , . . . , xn , diremo che l’arbitraggio è di tipo A se, a fronte di un
esborso nullo o negativo, corrisponde un flusso di importi tutti non negativi
con almeno un importo strettamente positivo, ossia:
−x0 ≤ 0 xs ≥ 0, s = 1, 2, . . . , n,
45
∃j : xj > 0.
(2.1)
c
Joseph Andria °
2.2. Teoremi fondamentali
Si dirà, invece, che l’arbitraggio è di tipo B se, a fronte di un esborso strettamente negativo, corrisponde un flusso di importi tutti non negativi:
−x0 < 0 xs ≥ 0, s = 1, 2, . . . , n.
(2.2)
Assumendo che il mercato sia caratterizzato dall’assenza di arbitraggi, si
richiede l’impossibilità da parte dei soggetti che vi operano di realizzare
profitti senza che ciò comporti alcuna assunzione di rischio.
2.2
Teoremi fondamentali
Si supponga di osservare in t (istante corrente) un titolo a cedola nulla (zcb)
che rimborsi in s, s ≥ t, un euro. Il prezzo in t di detto titolo con scadenza
in s è dato da:
v(t, s),
t ≤ s.
(2.3)
Per evitare arbitraggi non rischiosi devono valere le seguenti condizioni:
v(t, s) > 0,
v(s, s) = 1,
t ≤ s,
(2.4)
(2.5)
mentre, al fine di garantire la positività dei tassi d’interesse, deve essere:
v(t, s) < 1,
t < s,
(2.6)
proprietà nota col nome di postulato di impazienza.
Si supponga ora che sul mercato siano trattati in t due zcb con scadenze
rispettivamente in s0 e s00 , con t ≤ s0 < s00 e che sia possibile negoziare il
titolo con scadenza in s00 anche al tempo s0 .
TEOREMA DI DECRESCENZA RISPETTO ALLA SCADENZA. Per evitare
arbitraggi non rischiosi deve sussistere la disuguaglianza:
v(t, s0 ) > v(t, s00 ),
t ≤ s0 < s00 .
(2.7)
Se cosı̀ non fosse, ovvero se valesse la relazione v(t, s0 ) ≤ v(t, s00 ), si potrebbe,
infatti, mettere in atto la seguente strategia di compravendita:
- acquistare in t al prezzo v(t, s0 ) il titolo con scadenza in s0 ,
46
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Joseph Andria °
2.2. Teoremi fondamentali
- vendere allo scoperto in t al prezzo di v(t, s00 ) il titolo con scadenza in s00 ,
- acquistare in s0 al prezzo di v(s0 , s00 ) il titolo che scade in s00 ,
dando luogo alla seguente tabella di payoff :
t
−v(t, s0 )
v(t, s00 )
0
s0
1
0
−v(s0 , s00 )
s00
0
−1
1
v(t, s00 ) − v(t, s0 ) ≥ 0
1 − v(s0 , s00 ) > 0
0
L’operazione di arbitraggio posta in atto è di tipo A essendo la differenza in t, per
l’ipotesi assunta, certamente non negativa, mentre vi è in s0 , per il postulato di
impazienza, un importo strettamente positivo, e nullo in s00 .
In realtà il mercato non opera in risposta a proprietà sancite da teoremi come quello
sopra descritto. Ciò che accadrebbe nel mercato (trascurando quindi l’aspetto
puramente teorico), qualora gli agenti si accorgessero della possibilità di effettuare
un arbitraggio del tipo di quello sopra descritto, consisterebbe in una rincorsa
all’acquisto del titolo con scadenza in s01 (che ne farebbe lievitare il prezzo) e
contemporaneamente in una vendita allo scoperto del titolo con scadenza in s00
con una conseguente diminuzione del suo prezzo. Il mercato si assesterebbe su una
posizione di equilibrio soltanto quando v(t, s0 ) > v(t, s00 ).
Si consideri ora uno zcb non più unitario, ovvero un titolo a cedola nulla che
rimborsa in s un importo pari a xs . Si indichi con B(t, xs ) il valore in t (istante
corrente) di detto titolo con t ≤ s.
Si supponga, inoltre, che in t siano trattati zcb unitari anch’essi con scadenza in s.
Per l’ipotesi di infinita divisibilità dei titoli è possibile costruire in t un portafoglio
composto dai sopradetti zcb unitari che paghi in s la somma xs , il cui costo, poiché
gli agenti sono price taker, sarà pari a xs v(t, s).
TEOREMA DI INDIPENDENZA DALL’IMPORTO. Per evitare arbitraggi non
rischiosi deve sussistere l’uguaglianza:
B(t, xs ) = xs v(t, s).
(2.8)
Pertanto, il prezzo in t del titolo a cedola nulla con valore di rimborso xs e scadenza
in s deve essere uguale al prezzo in t del portafoglio contenente xs unità dello zcb
unitario con uguale scadenza.
1
Poiché tutti gli agenti condividono la stessa informazione.
47
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Joseph Andria °
2.2. Teoremi fondamentali
Si noti che il suddetto teorema è stato già precedentemente presentato seppure
sotto altra veste (si veda a pag. 6 la nota n.4).
La relazione (2.8) è facilmente dimostrabile. Si supponga, per esempio, che valga
la disuguaglianza B(t, xs ) > xs v(t, s). In questo caso sarebbe possibile realizzare
un arbitraggio non rischioso effettuando le seguenti operazioni:
- vendita allo scoperto in t del titolo a cedola nulla non unitario;
- acquisto in t di xs unità dello zcb unitario.
La tabella di payoff che ne segue risulterebbe, quindi, cosı̀ definita:
t
B(t, xs )
−xs v(t, s)
s
−xs
xs
B(t, xs ) − xs v(t, s) > 0
0
da cui si evince che l’arbitraggio posto in essere è di tipo B. Invertendo il verso della disuguaglianza, si ottiene lo stesso risultato vendendo allo scoperto in t, questa
volta, xs unità dello zcb unitario ed acquistando sempre in t al prezzo di B(t, xs )
lo zcb non unitario.
Se il titolo obbligazionario è un cbb, ossia un coupon bearing bond, esso pagherà un
flusso di importi (cedole), xj (con j = 1, 2, . . . , n), scadenzati secondo un prefissato
intervallo temporale, t1 , t2 , . . . , tn (t1 ≤ t2 ≤, . . . , ≤ tn ), più il valore di rimborso,
xn , alla data di scadenza. Sia V (t) il prezzo di detto titolo all’istante corrente t.
Se in t sono presenti sul mercato anche n zcb con scadenza rispettivamente in
t1 , t2 , . . . , tn , risulta possibile costruire (sempre per l’ipotesi di infinita divisibilità
dei titoli) un portafoglio di zcb che paghi ai tempi sopradetti esattamente gli importi x1 , x2 , . . . , xn . Il costo per la costituzione in t di tale portafoglio è, pertanto,
ottenuto dalla:
n
X
xj v(t, tj ).
j=1
Giacché sia il cbb che il portafoglio di zcb garantiscono lo stesso flusso di pagamenti
in corrispondenza delle stesse scadenze, per il principio di arbitraggio deve aversi
l’uguaglianza dei rispettivi prezzi.
TEOREMA DI LINEARITÀ DEL PREZZO. Per evitare arbitraggi non rischiosi
deve essere:
48
c
Joseph Andria °
2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
V (t) =
n
X
xj v(t, tj ).
(2.9)
j=1
P
Infatti, se fosse, per esempio, V (t) < nj=1 xj v(t, tj ) si delinerebbe un’opportunità
di arbitraggio perseguibile mediante la seguente strategia:
- vendita allo scoperto in t di xj (j = 1, 2, . . . , n) unità degli zcb scadenti,
rispettivamente, in t1 , t2 , . . . , tn ;
- acquisto in t del cbb.
t
x1 v(t, t1 )
x2 v(t, t2 )
..
.
t1
−x1
0
..
.
t2
0
−x2
..
.
...
...
...
..
.
tn
0
0
..
.
xn v(t, tn )
−V (t)
0
x1
0
x2
...
...
−xn
xn
0
0
...
0
Pn
j=1 xj v(t, tj ) − V (t) > 0
Dalla tabella di payoff si evince che il tipo di arbitraggio che si realizzerebbe
sarebbe
di tipo B. Si lascia allo studente dimostrare che anche la relazione V (t) >
Pn
x
v(t,
tj ) non può valere, se non violando l’ipotesi assunta di non arbitraggio.
j
j=1
2.3
Titoli indicizzati a tassi d’interesse
I titoli cui si è finora fatto riferimento prendono il nome di titoli a tasso fisso ossia
titoli con flussi monetari di importo noto ex ante, cioè al momento del loro acquisto
sul mercato (ad es. il BTP).
A fianco di questi ultimi sono nati, oramai da parecchi anni, i cosiddetti titoli a
tasso variabile ovvero quei contratti obbligazionari che pagano degli importi il cui
ammontare dipende da un prestabilito parametro di indicizzazione, che corrisponde
ad un tasso d’interesse (da cui il nome di contratti indicizzati ). Pertanto, differentemente dai titoli a tasso fisso, essi pagano degli importi che sono aleatori alla data
di stipula del contratto e diventano noti soltanto in corrispondenza di date future.
Tuttavia, il meccanismo di indicizzazione, ovvero la regola che determina l’entità
del pagamento, è noto al momento di acquisto del titolo. Un tipico esempio di
titoli a tasso variabile è rappresentato dai Certificati di Credito del Tesoro (CCT),
di cui si parlerà più avanti.
49
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Joseph Andria °
2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
In quanto segue si farà riferimento ad un’indicizzazione puntuale e sincrona: puntuale poiché il tasso (parametro di indicizzazione) è letto ad una singola data
(puntualmente), sincrona in quanto il pagamento dell’importo indicizzato avviene
alla fine del periodo cui si riferisce il parametro di indicizzazione (ossia non vi sono
”lag” temporali).
Si fissino in t, T , s (t < T < s) le date corrispondenti, rispettivamente, all’istante
corrente, alla data di rilevazione del parametro di indicizzazione, i(T, s), ed a quella in cui avviene il pagamento dell’importo indicizzato, x∗s . Risulta ovvio, quindi,
che il periodo di indicizzazione coincide con l’intervallo [T, s] e che l’entità della
somma disponibile in s sarà nota soltanto all’epoca T , ossia soltanto dopo che si
sarà rilevato il parametro di indicizzazione di riferimento.
Si consideri un zcb indicizzato unitario (da qui in poi zcbi ) ovvero uno zcb di valore
facciale unitario che prevede in s la corresponsione del capitale rivalutato secondo
il tasso variabile i(T, s). Esso pagherà in s la somma:
x∗s = 1/v(T, s) = 1 + i(T, s).
(2.10)
Avendo indicato con V (t, x∗s ) il valore in t del sopradetto titolo, vale il seguente
TEOREMA DI VALUTAZIONE DELLO ZCBI . Per evitare arbitraggi non rischiosi deve essere:
V (t, x∗s ) = v(t, T ).
(2.11)
Ossia, il valore dello zcbi unitario che scade in s e paga l’importo indicizzato riferito al periodo [T, s] (T ≤ s), ad ogni data t < T è uguale al valore dello zcb unitario
che ha scadenza in T .
Si noti che il seguente teorema, per la proprietà di indipendenza dall’importo,
vale anche nel caso di uno zcbi non unitario ovvero con valore facciale generico
C, purché si consideri uno zcb di pari valore nominale. In questo caso, varrebbe,
infatti, la seguente relazione:
V (t, Cx∗s ) = Cv(t, T ) = CV (t, x∗s ).
(2.12)
Per la dimostrazione del suddetto teorema si procede in maniera del tutto analoga
a quanto fin qui visto per i precedenti teoremi, ossia si procede per assurdo avvalendosi della condizione di non arbitraggio.
Pertanto, se si ipotizza V (t, x∗s ) > v(t, T ) è possibile effettuare le seguenti operazioni conducenti ad un arbitraggio non rischioso:
- vendita allo scoperto in t dello zcbi unitario;
- acquisto in t dello zcb unitario con scadenza in T .
50
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2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
- acquisto in T di 1/v(T, s) unità dello zcb che ha scadenza in s. (Ciò è
possibile per l’ipotesi di infinita divisibilità dei titoli).
t
V (t, x∗s )
−v(t, T )
0
T
0
1
1
− v(T,s)
v(T, s)
s
−1/v(T, s)
0
1/v(T, s)
V (t, x∗s ) − v(t, T ) > 0
0
0
Si viene a realizzare dunque un arbitraggio non rischioso di tipo B.
Si lascia come esercizio allo studente di dimostrare il caso in cui V (t, x∗s ) < v(t, T ).
Si sarebbe potuto pervenire allo stesso risultato espresso dalla (2.11) anche per
altra via. Infatti, il valore in t dello zcbi è dato dalla:
V (t, x∗s ) = x∗s v(t, s) =
1
v(t, s).
v(T, s)
(2.13)
Utilizzando una legge di sconto esponenziale, essendo questa scindibile, la (2.13)
equivale alla:
V (t, x∗s ) = x∗s v(T, s)v(t, T )
1
v(T, s)v(t, T )
=
v(T, s)
= v(t, T ).
Si vede dunque come la scindibilità presenti uno stretto legame, del quale si
discuterà più dettagliatamente più avanti, con la condizione di non arbitraggio.
x∗s = 1 + i(T, s)
−V (t, x∗s )
-
t
T
s
Figura 2.2: Rappresentazione di uno zero coupon bond indicizzato unitario.
51
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2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
−v(t, T )
1
-
t
T
s
Figura 2.3: Flusso di cassa equivalente a quello garantito da uno zcbi
unitario.
Si chiama cedola indicizzata unitaria, c∗s , l’importo
c∗s = x∗s − 1 = i(T, s),
(2.14)
aleatorio in t e che diverrà noto soltanto in T . Il valore in t della sopradetta cedola
è ottenuto dalla
V (t, c∗s ) = c∗s v(t, s)
= (x∗s − 1)v(t, s)
= x∗s v(t, s) − v(t, s)
= v(t, T ) − v(t, s).
(2.15)
Pertanto, la cedola indicizzata unitaria equivale ad una coppia di importi unitari,
di segno opposto, di cui il primo (di segno positivo) collocato temporalmente in
T ed il secondo (di segno negativo) in s. Ciò significa che l’importo ottenuto in s
investendo in t in una cedola indicizzata unitaria può essere ”replicato” finanziariamente in t mediante l’acquisto di uno zcb unitario con scadenza in T e la vendita
allo scoperto (sempre in t) dello zcb unitario con scadenza in s.
Si noti, inoltre, che il teorema di decrescenza rispetto alla scadenza assicura che il
valore della cedola indicizzata, espresso dalla (2.15), risulti certamente positivo.
c∗s = i(T, s)
−V (t, c∗s )
-
t
T
s
Figura 2.4: Rappresentazione di una cedola indicizzata unitaria.
52
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Joseph Andria °
2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
1
v(t, s) − v(t, T )
−1
-
t
T
s
Figura 2.5: Flusso di cassa equivalente ad una cedola indicizzata unitaria.
In alcuni casi all’importo della cedola indicizzata viene aggiunto un margine,
spread, noto al momento di stipulazione del contratto ed indicato generalmente
in forma percentuale del valore facciale del titolo indicizzato. In questo caso la
cedola si presenta come cedola indicizzata con spread. In presenza di spread, il
valore in t della cedola risulterà pari a:
V (t, c∗s + σ) = (x∗s − 1 + σ)v(t, s)
= x∗s v(t, s) − v(t, s) + σv(t, s)
= v(t, T ) + (σ − 1)v(t, s).
(2.16)
Esempio 6. Si consideri il CCT quotato al MOT con codice ISIN IT0001224275
con scadenza l’1-5-05 e spread pari a 15 basis points 2 . Il titolo paga cedole variabili
(posticipate) semestrali indicizzate ai BOT semestrali in data 1/05 e 1/11. Per
ottenere il valore della cedola in corso occorre, dunque, riferirsi al rendimento del
BOT semestrale la cui asta precede di almeno sei mesi la data di pagamento della
cedola. In fig.(2.6) è riportato il risultato dell’asta relativa al BOT semestrale che
ha avuto luogo nei giorni del 28-29 ottobre 2003.
Il rendimento semplice lordo (su base annua) del BOT è pari a:
100 − 98 .954 360
= 0 .02091 (2 .091 %)
98 .954
182
Il rendimento semestrale risulta, dunque:
0 .02091 /2 = 0 .010455 (1 .0455 %),
per cui aggiungendo lo spread ed arrotondando il risultato, come da contratto, ai
cinque centesimi più prossimi, si ottiene il valore della cedola che sarà pagata dal
2
Fonte: Il Sole24Ore dell’11.03.04.
53
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Joseph Andria °
2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
Figura 2.6: Asta BOT semestrale con scadenza il 30/04/2004.
CCT in data 1/05/04, ossia:
0 .010455 + 0 .0015 = 0 .011955 (1.20%)
I CCT, come detto, rappresentano un tipico esempio di titoli a tasso variabile (in
anglosassone floating rate notes), ossia titoli le cui cedole, differentemente dai titoli
a tasso fisso (ad es. il BTP), sono indicizzate (generalmente con l’aggiunta di uno
spread) ad un tasso a breve.
54
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Joseph Andria °
2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
Si consideri, per primo, il caso di un TTV con spread nullo le cui cedole sono
indicizzate in modo puntuale e sincrono (TTV perfettamente indicizzato). Sia
t = {t0 , t1 , . . . , tn } lo scadenzario relativo al suddetto titolo e C il suo valore facciale. La data t0 corrisponde alla data di emissione del titolo, mentre in corrispondenza di ogni data intermedia ts (s = 1, 2, . . . , n − 1) è previsto il pagamento della
cedola indicizzata al tasso variabile rilevato in corrispondenza della data di pagamento della cedola precedente (per s = 1 della data di emissione) e con periodo di
indicizzazione l’intervallo [ts−1 , ts ]. In tn , ossia alla data di scadenza del titolo, è
previsto il rimborso del valore facciale C più il pagamento dell’ultima cedola.
t0
Cc∗1
Cc∗2
Cc∗3
...
Cc∗n−1
C + Cc∗n
-
t1
t2
t3
...
tn−1
tn
Figura 2.7: Rappresentazione di un titolo a tasso variabile.
Si fissi in t, con t < t0 , la data di valutazione del suddetto titolo. In questo caso
è evidente che nessuna delle cedole pagate dal titolo risulta già nota, pertanto il
valore del TTV si ottiene dalla:
∗
n
X
Cc∗s v(t, ts ) + Cv(t, tn ),
(2.17)
C[v(t, ts−1 ) − v(t, ts )] + Cv(t, tn ).
(2.18)
V (t) =
s=1
che per la (2.15) equivale alla:
∗
V (t) =
n
X
s=1
Sviluppando la sommatoria si ottiene:
∗
V (t) = C[v(t, t0 ) − v(t, t1 ) + v(t, t1 ) − v(t, t2 ) + . . . +
+ . . . + v(t, tn−1 ) − v(t, tn )] + Cv(t, tn )
= Cv(t, t0 ) − Cv(t, tn ) + Cv(t, tn )
= Cv(t, t0 ).
(2.19)
Pertanto, il TTV perfettamente indicizzato, valutato prima dell’emissione, è equivalente ad uno zcb di valore facciale C con scadenza coincidente con la data di
55
c
Joseph Andria °
2.3. Titoli indicizzati a tassi d’interesse
emissione del TTV.
Se t0 < t < t1 , ossia la data di valutazione segue la data di emissione, il procedimento di calcolo del prezzo del TTV ricalca quanto fin qui visto con la particolarità,
questa volta, che la prima cedola risulta già nota. Pertanto:
∗
V (t) = Cc1 v(t, t1 ) +
n
X
Cc∗s v(t, ts ) + Cv(t, tn ),
(2.20)
s=2
da cui si ottiene:
∗
V (t) = Cc1 v(t, t1 ) + C[v(t, t1 ) − v(t, tn )] + Cv(t, tn )
= C(1 + c1 )v(t, t1 ).
(2.21)
Quindi il valore di un TTV dopo l’emissione e prima della scadenza della prima
cedola equivale al valore di uno zcb con valore facciale pari a C(1 + c1 ) pagato alla
data di pagamento della prima cedola del TTV.
Infine, nel caso in cui t = t0 , ossia la data di valutazione coincide con quella di
emissione del titolo, poichè la prima cedola risulta uguale a Cc1 = Ci(t0 , t1 ) =
Ci(t, t1 ), il valore del TTV sarà pari a:
∗
V (t) = C(1 + c1 )v(t, t1 ) = C[1 + i(t, t1 )]v(t, t1 ) = C,
(2.22)
da cui si deduce che il TTV perfettamente indicizzato quota alla pari all’emissione.
Ciò rappresenta un’importante caratteristica dei TTV. Nel caso, infatti, dei titoli
a tasso fisso, quali per esempio i BTP, il prezzo risente delle variazioni subite dai
tassi d’interesse durante il periodo di vita del titolo. Più precisamente, se i tassi
d’interesse salgono, un titolo che offre una cedola inferiore a quella ottenibile sul
mercato varrà necessariamente di meno e, quindi, il titolo sarà quotato sotto la
pari (viceversa nel caso contrario).
Nel caso di un TTV, giacché ogni cedola è indicizzata, questo corrisponderà l’interesse in linea con il vigente livello dei tassi, per cui il differimento del debito da
t0 a tn risulta completamente compensato dal pagamento delle cedole indicizzate
ed il mercato non ha motivo di quotare il titolo sopra o sotto la pari.
Più in generale, se t = ts sarà cs+1 = i(ts , ts+1 ) = i(t, ts+1 ), per cui:
∗
V (t) = C(1 + cs+1 )v(t, ts+1 )
= C[1 + i(t, ts+1 )]v(t, ts+1 ) = Cr(t, ts+1 )v(t, ts+1 )
= C.
(2.23)
Pertanto il TTV perfettamente indicizzato quota alla pari ad ogni data di stacco cedola. Vale quindi, anche in questo caso, quanto detto precedentemente: le
56
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Joseph Andria °
2.4. I titoli di Stato italiani
cedole indicizzate del TTV poichè corrispondono interessi ”equi” secondo il mercato garantiscono una ”giusta” remunerazione per il detentore del titolo, il cui
prezzo non risente, dunque, di eventuali fluttuazioni dei tassi.
Se il TTV paga per ogni cedola indicizzata anche un margine (spread), il valore
della s-ma cedola risulta di importo pari a Is = C(c∗s + σ). Per la valutazione
del suddetto titolo si procede decomponendo il titolo medesimo nella somma di
un TTV perfettamente indicizzato (ossia senza spread) e di un flusso di pagamenti costanti pari a Cσ, corrisposti evidentemente agli stessi tempi in cui vengono
staccate le cedole.
Si ha, quindi:

n
X


v(t, ts )
Cv(t, t0 ) + Cσ




s=1


n

X



C
+
Cσ
v(t, ts )




s=1


n

X


 (C + I1 )v(t, t1 ) + Cσ
v(t, ts )




s=2
∗
n
X
V (t) =

v(t, ts )
C
+
Cσ




s=2


n

X



(C
+
I
)v(t,
t
)
+
Cσ
v(t, ts )
2
2




s=3


..



.




C + Cσv(t, tn )


(C + In )v(t, tn )
2.4
t < t0
t = t0
t 0 < t < t1
(2.24)
t = t1
t 1 < t < t2
..
.
t = tn−1
tn−1 < t < tn .
I titoli di Stato italiani
I principali titoli di Stato emessi regolarmente per disposizione del Ministero dell’Economia e delle Finanze e disponibili sia agli investitori privati che istituzionali
sono:
- Buoni Ordinari del Tesoro (BOT);
- Certificati del Tesoro Zero Coupon (CTZ);
- Buoni del Tesoro Poliennali (BTP);
- Certificati di Credito del Tesoro (CCT).
Tutte le emissioni sono annunciate ufficialmente tramite un decreto legge pubblicato sulla Gazzetta Ufficiale in cui vengono illustrate le caratteristiche dei titoli e
57
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Joseph Andria °
2.4. I titoli di Stato italiani
le modalità di emissione.
Il collocamento dei titoli avviene mediante aste periodiche cui possono partecipare
gli intermediari finanziari che soddisfano le condizioni stabilite dalla legislazione
italiana (operatori abilitati ).
Anche se alle aste possono partecipare diversi intermediari, l’aggiudicazione dei
titoli è prevalentemente concentrata tra gli Specialisti in Titoli di Stato italiani,
che, mediamente, si aggiudicano il 60-70% dell’ammontare nominale totale dei
titoli di Stato emessi in ogni asta3 .
Figura 2.8: Elenco degli Specialisti in Titoli di Stato al 1 ottobre 2003.
Le aste si svolgono presso la Banca d’Italia alla presenza di un funzionario della
Banca medesima e di un funzionario del MEF in qualità di rappresentante del
Ministro.
Ogni operatore abilitato invia le proprie domande per via telematica utilizzando
la Rete Nazionale Interbancaria e può presentarne fino ad un massimo di tre per
ogni titolo offerto entro le ore 11.00 del giorno d’asta.
Le tipologie di aste utilizzate dal Tesoro sono:
- l’asta competitiva senza prezzo base per i BOT;
- l’asta marginale senza prezzo base per i titoli a medio-lungo termine (BTP,
CCT, CTZ).
Rimandando ad altra trattazione l’approfondimento sulla tipologia delle due aste,
si ritiene sufficiente sapere che mentre nell’asta competitiva ogni richiesta rimane
aggiudicataria al prezzo proposto, ossia ogni domanda accolta viene regolata al
3
Fonte: Ministero dell’Economia e delle Finanze (MEF) - Dipartimento del Tesoro.
58
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Joseph Andria °
2.4. I titoli di Stato italiani
prezzo richiesto, nell’asta marginale i richiedenti rimangono aggiudicatari tutti allo stesso prezzo, detto prezzo marginale.
Le domande inoltrate vengono posizionate secondo un ordine decrescente rispetto
al prezzo dichiarato. Vengono soddisfatte in primo luogo quelle cui corrispondono
i prezzi più alti e poi via via le altre fino al completo esaurimento della quantità offerta. Al fine di evitare domande speculative viene calcolato un prezzo di
esclusione al di sotto del quale le domande di sottoscrizione non sono prese in
considerazione.
In quanto segue vengono presentate le caratteristiche principali di ciascuno dei
titoli sopra menzionati.
BOT
I Buoni Ordinari del Tesoro sono titoli a breve termine emessi con scadenze uguali
o inferiori all’anno (3, 6, 12 mesi) e sono quotati sia al mercato telematico delle
obbligazioni e dei titoli di Stato (MOT) per quantitativi limitati (lotti da 1,000
euro o multipli) sia al mercato telematico a pronti dei titoli di Stato (MTS) per
scambi non inferiori a 2.5 milioni di euro.
La remunerazione consiste interamente nello scarto di emissione (capital gain) dato
dalla differenza tra il valore nominale del titolo ed il prezzo pagato. Gli interessi
percepiti sono, dunque, da considerarsi anticipati, pertanto la ritenuta fiscale è
applicata, nella misura del 12.50%, al momento della sottoscrizione.
La periodicità di emissione è mensile e, più precisamente, vengono emessi BOT
trimestrali ed annuali ogni metà mese e BOT semestrali ogni fine mese.
Gli interessi iniziano a decorrere dopo tre giorni dalla data in cui si è svolta l’asta
per il mercato primario e dopo due per il mercato secondario (giorni di valuta).
Grazie alla caratteristica di essere titoli zero-coupon, i BOT presentano indubbi
vantaggi in termini di gestione poiché l’esborso finanziario richiesto per questo tipo
di investimento risulta essere inferiore al valore nominale di rimborso ed inoltre non
esiste l’esigenza di reinvestire i flussi percepiti periodicamente a titolo di interessi.
CTZ
I Certificati del Tesoro Zero coupon sono emessi per una durata massima di 2 anni.
Come per i BOT, sono ammessi alla quotazione sia al MOT (lotti da 1,000 euro o
multipli) che all’MTS (lotto minimo da 2.5 milioni di euro) e la remunerazione è
interamente determinata dallo scarto di emissione.
Le loro aste si svolgono mensilmente in coincidenza con quelle dei BOT e la convenzione adottata per il computo degli interessi è [act/365]. La data di regolamento
è fissata in tre giorni di valuta sia sul mercato primario che su quello secondario.
Infine, i CTZ si differenziano dai BOT in quanto la ritenuta del 12.50% non viene
applicata anticipatamente ma soltanto alla scadenza del titolo, per cui pagano un
59
c
Joseph Andria °
2.4. I titoli di Stato italiani
valore di rimborso inferiore al loro valore nominale.
Esempio 7. Dal Sole24Ore dell’11.03.04 il CTZ con codice ISIN IT0003331979
e con scadenza il 30.06.04 è quotato a 99.423. I giorni a scadenza del titolo sono
107 (valuta del 15.03.04). Il rendimento semplice lordo del titolo è pari a:
100 − 99 .423 365
= 0 .019796939 (1 .98 %)
99 .423
107
L’imposta sostitutiva per il suddetto titolo risulta pari a 0.80554, pertanto il prezzo
netto di acquisto è dato da: 99.423-0.80554=98.61746. Il prezzo netto di rimborso
è ottenuto, invece, come differenza tra il valore di rimborso e l’imposta calcolata
sul disaggio di emissione, ossia:
100 − (100 − 92 .41 )0 .125 = 99 .05125
dove 92.41 è il prezzo di aggiudicazione del titolo risultato dall’asta tenutasi il 2526 giugno 2002.
Il rendimento netto è, dunque, pari a:
99 .05125 − 98 .61746 365
= 0 .015004959 (1 .50 %).
98 .61746
107
BTP
I Buoni del Tesoro Poliennali sono titoli a medio-lungo termine con una cedola fissa
pagata semestralmente ed emessi con scadenze di 3, 5, 10 e 30 anni. Per i BTP,
essendo duplice la fonte di remunerazione (in conto capitale come capital gain e
in conto interessi per effetto delle cedole), è previsto un prelievo fiscale applicato
nella misura del 12.50% sia alle cedole che allo scarto d’emissione.
Nel caso in cui il titolo venga acquistato ad un’epoca intermedia tra due date di
stacco della cedola l’acquirente dovrà corrispondere gli interessi fino ad allora maturati (dietimi d’interesse o rateo), in quanto spettanti al detentore del titolo. Il
prezzo, o corso, del titolo al netto della sopradetta componente è detto corso secco
(clean price), mentre il prezzo effettivo da corrispondere al venditore, ottenuto
sommando al corso secco il rateo, prende il nome di corso tel-quel (dirty price). Il
rateo è ottenuto moltiplicando la cedola in corso per la frazione calcolata rapportando all’intero intervallo fra due cedole, ts − ts−1 , la parte che va dalla data di
60
c
Joseph Andria °
2.4. I titoli di Stato italiani
ultimo pagamento, ts−1 , a quella in cui la quotazione si riferisce, t, cioè:
Rateo = c
t − ts−1
.
ts − ts−1
(2.25)
La convenzione adottata per il calcolo dei dietimi, in occasione di emissione di
tranche successive e di negoziazione sul mercato secondario, è del tipo [Act/Act].
Esempio 8. Il BTP con codice ISIN IT0003271019, con prezzo pari a 107.490
(corso secco) e con scadenza il 15.10.2007, paga semestralmente una cedola annuale
del 5% il 15/04 ed il 15/10. Nel Sole24Ore dell’11.03.04, per tale titolo, è riportato
il rateo, espresso in forma percentuale del valore facciale, di ammontare pari al
2.07650% (giorno di valuta 15.03.04).
Nel semestre 15.10.03-15.04.04 vi sono 183 giorni, mentre il periodo che va dalla
data di godimento (15.10.03) alla data di valutazione (15.03.04) comprende 152
giorni. Pertanto, il rateo risulta:
R(t) = 0 .025
152
= 0 .0207650 (2 .07650 %),
183
dove 0.025 = 0.05/2. Per ottenere il prezzo tel-quel basterà, dunque, sommare al
corso secco del titolo il rateo sopra calcolato, ossia:
Ptq = Ps + R(t) = 107 .490 + 2 .07650 = 109 .5665 .
BTP i
Il BTP indicizzato all’inflazione europea, emesso con scadenze di 5 e 10 anni, è
un titolo di Stato che fornisce all’investitore una protezione contro l’aumento del
livello dei prezzi; sia il capitale rimborsato a scadenza sia le cedole pagate semestralmente sono, infatti, rivalutati sulla base dell’inflazione dell’area Euro, misurata
dall’Indice Armonizzato dei prezzi al Consumo (IAPC) con esclusione del Tabacco.
Grazie al meccanismo di indicizzazione utilizzato, alla scadenza è riconosciuto al
detentore il recupero della perdita del potere di acquisto realizzatasi nel corso della
vita del titolo. In ogni caso il BTP i garantisce la restituzione del valore nominale
sottoscritto: anche nel caso in cui si verifichi, nel periodo di vita del titolo, una
riduzione dei prezzi, l’ammontare rimborsato a scadenza non è mai inferiore al
valore nominale (100).
Le cedole pagate al sottoscrittore sono di importo variabile, ma garantiscono un
61
c
Joseph Andria °
2.4. I titoli di Stato italiani
rendimento costante in termini reali, ovvero in termini di potere di acquisto. L’ammontare di ciascuna cedola, infatti, è calcolato moltiplicando il tasso di interesse fisso, stabilito all’emissione, per il capitale sottoscritto rivalutato sulla base
dell’inflazione verificatasi tra la data di godimento e la data di pagamento della
cedola.
CCT
I Certificati di Credito del Tesoro sono titoli a tasso variabile con la durata di 7
anni. Analogamente agli altri titoli di Stato, i CCT sono quotati sia al MOT (lotto
minimo 1,000 euro) che all’MTS per scambi non inferiori a 2.5 milioni di euro.
La remunerazione è garantita dal pagamento di interessi corrisposti con cedole
posticipate semestrali indicizzate al rendimento dei BOT semestrali oltre che dallo
scarto di emissione. Alle cedole è aggiunto un margine fissato, a partire dal CCT
1-11-1996/03, nella misura di 15 punti base. Ai fini del calcolo della cedola si considera il rendimento lordo semplice annuo registrato sui BOT a sei mesi nell’ultima
asta che precede il godimento della cedola. Al sopradetto rendimento, moltiplicato
per 0,5, si somma lo spread ed il risultato cosı̀ ottenuto, come da contratto, viene
arrotondato ai cinque centesimi più vicini.
Come per i BTP, ai fini del calcolo del rateo per le negoziazioni sul mercato secondario e per il pagamento dei dietimi in occasione delle emissioni di tranche
successive, viene adottata la convenzione [Act/Act].
Esempio 9. Relativamente al CCT di cui all’esempio 6, si calcoli il rateo d’interesse alla data 11.03.04 (giorno di valuta 15.03.04).
Il periodo intermedio tra le due date di godimento, 1.11.03-1.05.04, è di 182 giorni,
mentre i giorni trascorsi dall’ultima data di stacco della cedola al 15.03.04 sono
135. Pertanto, il rateo si ottiene da:
R(t) = 0 .0120
135
= 0 .0089011 (0 .89011 %).
182
Poiché il corso del titolo al netto del rateo (corso secco) è pari a 100.400, il prezzo
tel-quel risulta uguale a:
Ptq = 0 .0089011 + 1 .00400 = 1 .0129011 (101 .29011 %).
62
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Joseph Andria °
2.5. Il coupon stripping
2.5
Il coupon stripping
Il coupon stripping, istituito in Italia nel luglio del 1998, consiste nell’operazione
di separazione delle componenti cedolari dal valore di rimborso di un titolo.
Col termine mantello ci si riferisce al valore di rimborso del titolo privato delle
componenti cedolari, mentre gli strips sono le componenti cedolari separate dal
sopradetto valore di rimborso. Mediante l’operazione di ricostituzione di un titolo,
ossia l’operazione di riunione col mantello delle cedole, è possibile ottenere nuovi
titoli giacché esse possono provenire anche da titoli diversi da quello originario (se
ammessi allo stripping).
Ad esempio, se si considera un BTP che paga n cedole semestrali ed il valore facciale
alla scadenza, da esso si possono ricavare al più n + 1 titoli del tipo zero coupon,
potendo scegliere se acquistare una o diverse cedole pagate dal titolo compreso il
suo valore di rimborso.
Uno dei vantaggi derivanti dall’operazione di stripping consiste nel poter creare
titoli con scadenze in date diverse da quelle previste per i titoli in circolazione a
condizione che a quelle date corrisponda il pagamento della cedola di un titolo in
vita ammesso allo stripping.
Figura 2.9: Titoli ammessi al coupon stripping al 05.04.04. Fonte: MEF.
63
c
Joseph Andria °
Capitolo 3
Contratti a termine e struttura
per scadenza dei tassi
3.1
Contratti a termine
Si supponga che al tempo t due individui si accordino di scambiarsi una determinata somma disponibile al tempo T con una somma di ammontare unitario
disponibile al tempo s, con t ≤ T ≤ s. Ciò che caratterizza tale operazione, rispetto a quella descritta in fig.(1.1), consiste nel fatto che il periodo di scambio degli
importi concordati in t ha inizio ad un istante T successivo alla data di stipula del
contratto. In t non è, quindi, previsto alcun esborso di denaro ed essa rappresenta
semplicemente la data in cui si definisce l’accordo tra le parti.
Operazioni finanziarie di tale specie prendono il nome di contratti a termine (o
forward ) distinguendosi, pertanto, dalle operazioni fin qui viste note in letteratura
col nome di contratti a pronti (o spot).
La somma pattuita in t e da versare in T al fine di ricevere in s l’importo unitario
è definita col nome di prezzo a termine e viene denotata con:
v(t, T, s),
t ≤ T ≤ s.
(3.1)
In termini formali, in un contratto a termine il soggetto che assume la posizione
di creditore (long position) stipula alla data t per il periodo [T, s] la seguente operazione di investimento a termine:
{0, −v(t, T, s), 1}/{t, T, s},
mentre, la parte debitrice sottoscrive, per le stesse date, l’operazione di finanziamento a termine cosı̀ strutturata:
{0, v(t, T, s), −1}/{t, T, s}.
64
3.1. Contratti a termine
−v(t, T, s)
1
-
t
T
s
Figura 3.1: Rappresentazione di un’operazione di investimento a termine.
Si noti che in un’operazione a termine, differentemente da un contratto indicizzato,
gli importi scambiati sono noti alle parti contraenti già a partire dalla data di sottoscrizione del contratto e, pertanto, non sussiste alcuna condizione di aleatorietà.
Naturalmente, cosı̀ come si è detto per la funzione v(t, s) relativamente alle proprietà che essa deve soddisfare, espresse dalle (2.4), (2.5) e (2.7), anche per la funzione
v(t, T, s), affinché finanziariamente abbia significato, valgono analoghe considerazioni, ossia:
v(t, T, s) > 0,
t ≤ T ≤ s,
(3.2)
v(t, s, s) = 1,
t ≤ s.
(3.3)
Inoltre, devono essere soddisfatte le seguenti proprietà di monotonia:
v(t, T, s0 ) > v(t, T, s00 ),
0
00
v(t, T , s) < v(t, T , s),
t ≤ T ≤ s0 < s00 ,
0
00
t ≤ T < T ≤ s,
(3.4)
(3.5)
di cui, la prima assicura che la funzione v(t, T, s) sia strettamente decrescente
rispetto alla scadenza del periodo di scambio, mentre la seconda ne assicura la
crescenza rispetto al suo inizio.
Almeno da un punto di vista formale, è lecito considerare un contratto a pronti
come caso particolare di un contratto a termine in cui T = t, ossia ipotizzando che
l’istante T coincida con la data di stipula del contratto. Per cui:
v(t, t, s) = v(t, s),
t ≤ s.
(3.6)
Per la valutazione di un contratto a termine ci si rifà al seguente
TEOREMA DEI PREZZI IMPLICITI. Per evitare arbitraggi non rischiosi deve
valere l’uguaglianza:
v(t, T, s) =
v(t, s)
,
v(t, T )
t ≤ T ≤ s,
(3.7)
infatti, se fosse v(t, T )v(t, T, s) > v(t, s) si potrebbe mettere in atto, al tempo t, la
seguente strategia di compravendita:
65
c
Joseph Andria °
3.1. Contratti a termine
- acquistare a pronti al prezzo v(t, s) il titolo a cedola nulla unitario con
scadenza s;
- vendere allo scoperto v(t, T, s) unità del titolo a cedola nulla unitario con
scadenza T ;
- vendere allo scoperto (a termine), per consegna in T , il titolo a cedola nulla
unitario con scadenza s,
da cui risulta la seguente tabella di payoff :
t
−v(t, s)
v(t, T, s)v(t, T )
0
T
0
−v(t, T, s)
v(t, T, s)
s
1
0
−1
v(t, T, s)v(t, T ) − v(t, s) > 0
0
0
ossia, si realizzerebbe un arbitraggio di tipo B. È evidente inoltre che, invertendo
il verso della disuguaglianza, si ricadrebbe in un caso analogo al precedente.
Esempio 10. Si supponga che al tempo t = 0 si osservino sul mercato i seguenti
prezzi: v(0, 0.75) = 0.97, v(0, 1) = 0.95, v(0, 0.75, 1) = 0.99. Si nota subito che la
relazione (3.7) risulta violata in quanto v(0, 0.75)v(0, 0.75, 1) = 0.9603 > 0.95. Per
quanto già detto, è possibile realizzare un arbitraggio non rischioso la cui strategia
è sintetizzata nella seguente tabella di payoff:
0
−0.95
0.9603
0
0.75
0
−0.99
0.99
1
1
0
−1
0.0103
0
0
Pertanto, se la somma impiegata per attuare la suddetta strategia è di 100,000, il
profitto realizzato in t senza alcuna assunzione di rischio ammonterebbe a 1,030.
In realtà, l’unico prezzo a termine che non consentirebbe la realizzazione di un
profitto privo di rischio, ossia che risulti ”coerente” rispetto ai prezzi a pronti
osservati, è v(0, 0.75, 1) = 0.979381443.
66
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Joseph Andria °
3.1. Contratti a termine
Si noti che tutte le proprità definite per la funzione v(t, T, s) risultano soddisfatte
dalla (3.7). Infatti, la positività della funzione, (3.2), è garantita dalla (2.4),
mentre la (3.3) è ovviamente verificata. Inoltre, le proprietà di monotonia, (3.4)
e (3.5), sono soddisfatte per il teorema di decrescenza dei prezzi a pronti rispetto
alla scadenza, (2.7), infatti:
v(t, s0 )
v(t, s00 )
>
,
v(t, T )
v(t, T )
s0 < s00 ,
v(t, s)
v(t, s)
<
,
0
v(t, T )
v(t, T 00 )
T 0 < T 00 .
Un’ultima considerazione riguarda la proprietà di scindibilità. A tal riguardo, si è
già detto che una legge (di sconto) per la quale vale la relazione:
v(t, s) = v(T, s)v(t, T )
gode della suddetta proprietà. Dalla (3.7) si ricava:
v(t, s) = v(t, T, s)v(t, T )
(3.8)
la quale, pur essendo apparentemente simile alla precedente, ha un significato ben
diverso. Esse, infatti, coincidono soltanto nel caso in cui
v(t, T, s) = v(T, s),
(3.9)
ossia quando il prezzo a termine fissato in t per consegna in T e scadenza in s
risulta uguale al futuro prezzo a pronti per operazioni di durata s − T . Invero,
questa ipotesi nella realtà trova raramente applicazione risultando, quindi, pressocché sempre contraddetta.
Inoltre, è bene sottolineare che la proprietà di scindibilità presuppone che al tempo
t si conoscano con certezza i futuri prezzi a pronti, ovvero che si fissino in t una
volta e per tutte i prezzi dei contratti a pronti stipulati in date future. Ipotesi,
come la precedente, di natura puramente teorica.
Un tipico esempio di contratto a termine è rappresentato dal FRA, Forward Rate
Agreement. Un FRA è un contratto over-the-counter 1 mediante il quale due agenti
si accordano in t fissando un tasso di interesse, detto tasso FRA, con decorrenza
da una data futura T e periodo di riferimento τ = s−T , da applicare ad un prestito
o deposito di ammontare (nozionale) e valuta prestabiliti.
A fronte di questa operazione, l’acquirente del contratto si impegna a pagare alla
sua controparte il differenziale di interessi, se positivo, tra il tasso FRA concordato
1
Si tratta di contratti stipulati al di fuori di mercati organizzati e regolamentati.
67
c
Joseph Andria °
3.1. Contratti a termine
ed il valore di un parametro di riferimento, il fixing (solitamente un tasso interbancario2 ), rilevato sul mercato due giorni lavorativi prima (data del fixing o fixing
date) dell’inizio del periodo contrattuale T (data di regolamento). La controparte,
viceversa, si impegna a corrispondere il sopradetto differenziale nel caso in cui la
differenza tra il FRA ed il fixing risulti di segno negativo.
La data in cui ha termine il periodo contrattuale, s, rappresenta la data di scadenza
(o maturity date) ed in essa in realtà non si scambia nulla in quanto il pagamento
del differenziale viene di prassi anticipato alla data di regolamento.
Quindi, se si indica con Φ(t, T, s) la somma liquidata in T per effetto del contratto
FRA siglato tra le parti in t con scadenza s, essa è espressa da:
Φ(t, T, s) =
C[FRAT ×s − l(T, s)]τ /n
,
[1 + l(T, s)τ /n]
(3.10)
dove C è il nozionale impiegato nell’operazione ed l(T, s) il fixing.
In fig.(3.2) sono riportate le quotazioni dei FRAs (per differenti valute) distinte in
prezzo denaro (bid price) e prezzo lettera (asked price). Il prezzo denaro rappresenta la miglior proposta di acquisto disponibile sul mercato e, quindi, è il miglior
prezzo al quale è possibile vendere, mentre il prezzo lettera rappresenta la miglior
proposta di vendita disponibile sul mercato e quindi rappresenta il miglior prezzo
al quale è possibile acquistare.
Nella colonna delle scadenze la prima cifra indica i mesi che mancano al fixing e
la seconda quelli che mancano alla scadenza del contratto, cosı̀ 3 × 6 indica che la
data del fixing è tra tre mesi e che la scadenza del contratto è tra sei mesi a partire
da oggi.
Esempio 11. In data odierna (14.07.04) la Swiss Delice Ltd, per far fronte a delle
spese da sostenere nel breve periodo, decide di ricorrere tra sei mesi ad un finanziamento a sei mesi per un importo pari ad 3,000,000. Il tesoriere della società,
temendo un rialzo dei tassi, ritiene opportuno realizzare una copertura (hedging)
della posizione debitoria entrando in un contratto FRA. Il fixing è rappresentato
dal tasso Euribor a sei mesi che, alla data corrente, quota a 2.087%, mentre i tassi
FRAs rilevati alla medesima data sono elencati in fig.(3.2).
Nell’ipotesi che alla data del fixing (14.01.05) il tasso Euribor a sei mesi rilevato
sia pari al 2.1%, la società pagherà alla sua controparte il seguente differenziale
d’interessi:
Φ(0 , 6 , 12 ) =
3 , 000 , 000 (0 .0213 − 0 .021 )181 /365
= 441 .70 .
(1 + 0 .021 × 181 /365 )
2
Solitamente è rappresentato dall’Euribor a 3 o 6 mesi, o dal Libor se la divisa
dell’operazione è diversa dall’Euro.
68
c
Joseph Andria °
3.2. Tassi impliciti
Figura 3.2: Quotazioni FRAs. Fonte: Il Sole24Ore.
Inoltre, in data 14.07.05, al fine di estinguere il debito contratto sei mesi prima,
dovrà versare la somma di 3,031,241.096 (3,000,000[1+0.021× 181/365]).
In definitiva, quindi, la società, decidendo di proteggersi da un movimento avverso dei tassi, sostiene un costo complessivo pari al 2.13% che scende al 2.1% in
assenza di copertura.
Si ipotizzi ora che il tasso euribor rilevato al 14.01 sia del 2.18%. Se si realizza uno
scenario di questo tipo la società beneficierà, alla medesima data, della somma:
Φ(0 , 6 , 12 ) =
3 , 000 , 000 (0 .0218 − 0 .0213 )181 /365
= 735 .88 ,
(1 + 0 .0218 × 181 /365 )
e, il 14.07.05, dovrà provvedere a versare 3,032,431.233 (3,000,000[1+0.0218×
181/365]) a seguito della somma finanziata.
In questo caso la società, grazie alla copertura realizzata, sostiene un costo del
2.13% che, in sua assenza, sarebbe stato del 2.18%.
Si noti, in definitiva, che sottoscrivendo il FRA la società ha bloccato oggi il tasso
al quale si finanziarà tra sei mesi (2.13%) neutralizzando in tal guisa qualunque
variazione futura dei tassi d’interesse ad essa avversa.
3.2
Tassi impliciti
Si è già detto che l’importo da versare in T e concordato in t per riscuotere in s
un’unità di capitale rappresenta il prezzo a termine v(t, T, s), con t ≤ T ≤ s. Il
tasso d’interesse a termine implicito nella suddetta operazione a termine si ottiene
69
c
Joseph Andria °
3.2. Tassi impliciti
dalla relazione:
v(t, T, s)[1 + i(t, T, s)]s−T = 1
ossia,
·
¸1/(s−T )
1
− 1.
i(t, T, s) =
v(t, T, s)
(3.11)
Se in t sono trattati zcb unitari con scadenza rispettivamente in T ed s, il tasso a
termine risulta implicitamente definito dalla (3.7); infatti:
[1 + i(t, T, s)]−(s−T ) =
[1 + i(t, s)]−(s−t)
,
[1 + i(t, T )]−(T −t)
(3.12)
(
)1/(s−T )
(3.13)
da cui si ottiene:
i(t, T, s) =
[1 + i(t, s)](s−t)
[1 + i(t, T )](T −t)
− 1.
Esempio 12. Relativamente all’esempio 10, il tasso a termine i(0,0.75,1) per la
(3.11) risulta uguale a:
·
¸1 /0 .25
1
i (0 , 0 .75 , 1 ) =
− 1 = 0 .087 ,
v (0 , 0 .75 , 1 )
(8 .7 %).
I tassi spot i(0, 0.75) ed i(0, 1) si ricavano dalle relazioni:
v (0 , 0 .75 )[1 + i (0 , 0 .75 )]0 .75 = 1
v (0 , 1 )[1 + i (0 , 1 )] = 1
per cui:
i (0 , 0 .75 ) = (1 /0 .97 )1 /0 .75 − 1 = 0 .0414
i (0 , 1 ) = (1 /0 .95 ) − 1 = 0 .0526
(4 .14 %)
(5 .26 %).
Pertanto, per la (3.13) si ottiene:
·
1 .0526
i (0 , 0 .75 , 1 ) =
1 .0414 0 .75
¸1 /0 .25
70
− 1 = 0 .087
(8 .7 %).
c
Joseph Andria °
3.3. Intensità di rendimento
Dalla (3.13), con semplici passaggi algebrici, si ricava inoltre la relazione tra tassi
a pronti e tassi a termine su cui si ritornerà più avanti:
s−T
1 + i(t, T, s) =
T −t
[1 + i(t, s)] s−T + s−T
T −t
[1 + i(t, T )] s−T
·
¸ T −t
1 + i(t, s) s−T
.
= [1 + i(t, s)]
1 + i(t, T )
3.3
(3.14)
Intensità di rendimento
Fissata una legge di attualizzazione v(t, s), la funzione:
h(t, s) = −
1
ln v(t, s)
s−t
(3.15)
viene chiamata intensità di rendimento. Si noti che nel caso di legge di sconto
esponenziale la (3.15) coincide con l’intensità istantanea d’interesse δ. È infatti:
h(t, s) = −
1
ln e−δ(s−t) = δ
s−t
(3.16)
e pertanto h(t, s) = h.
Relativamente ad un contratto a termine, il rendimento a scadenza è ottenuto dalla relazione:
h(t, T, s) = −
1
ln v(t, T, s).
s−T
(3.17)
e, poichè v(t, T, s) = [1 + i(t, T, s)]−(s−T ) , la (3.17) risulta equivalente a:
h(t, T, s) = −
1
ln[1 + i(t, T, s)]−(s−T ) =
s−T
= ln[1 + i(t, T, s)].
(3.18)
La (3.12) può quindi essere espressa anche nella seguente forma:
e−h(t,T,s)(s−T ) =
e−h(t,s)(s−t)
,
e−h(t,T )(T −t)
(3.19)
da cui si ottiene:
h(t, T, s) =
h(t, s)(s − t) − h(t, T )(T − t)
.
s−T
71
(3.20)
c
Joseph Andria °
3.4. Struttura per scadenza dei tassi di interesse
Se si esplicita la (3.20) rispetto ad h(t, s), si ottiene:
h(t, s) =
h(t, T )(T − t) + h(t, T, s)(s − T )
,
s−t
(3.21)
che definisce l’intesità di rendimento a scadenza del periodo [t, s] come media
aritmetica ponderata delle intensità di rendimento a pronti h(t, T ) ed a termine
h(t, T, s).
3.4
Struttura per scadenza dei tassi di interesse
Si supponga di osservare in t i prezzi di n zcb unitari con scadenza rispettivamente
in t1 , t2 , t3 , . . . , tn , con t = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ . . . ≤ tn . L’insieme:
{v(t, ts ), s = 1, 2, 3, . . . , n}
(3.22)
rappresenta la struttura dei prezzi a pronti al tempo t. Poiché da ciascun prezzo
spot v(t, ts ) è possibile risalire al corrispondente tasso spot i(t, ts ), dalla (3.22) si
ottiene la struttura dei tassi a pronti :
dove:
{i(t, ts ), s = 1, 2, 3, . . . , n},
(3.23)
¸1/(ts −t)
1
− 1.
i(t, ts ) =
v(t, ts )
(3.24)
·
Analogamente, la struttura delle intensità di rendimento a pronti è definita dall’insieme:
{h(t, ts ), s = 1, 2, 3, . . . , n},
(3.25)
1
ln v(t, ts ).
ts − t
(3.26)
con:
h(t, ts ) = −
Poichè, come detto, il mercato si compone anche dei contratti forward oltre che di
quelli spot, è possibile definire lo stesso tipo di strutture delle precedenti facendo
riferimento, nella fattispecie, al generico prezzo a termine v(t, ts−1 , ts ). Per cui:
{v(t, ts−1 , ts ), s = 1, 2, 3, . . . , n}
72
(3.27)
c
Joseph Andria °
3.4. Struttura per scadenza dei tassi di interesse
rappresenta la struttura dei prezzi a termine, dove:
v(t, ts−1 , ts ) =
v(t, ts )
,
v(t, ts−1 )
(3.28)
mentre l’insieme
{i(t, ts−1 , ts ), s = 1, 2, 3, . . . , n}
(3.29)
definisce la struttura dei tassi a termine. La (3.14) diviene pertanto:
·
1 + i(t, ts )
[1 + i(t, ts−1 , ts )] = [1 + i(t, ts )]
1 + i(t, ts−1 )
¸ ts−1 −t
ts −ts−1
,
(3.30)
da cui si evince che se i(t, ts ) > i(t, ts−1 ), ossia se la struttura dei tassi spot è
crescente, poiché il termine tra parentesi quadre risulterebbe maggiore di uno,
segue che [1 + i(t, ts−1 , ts )] > [1 + i(t, ts )]. Viceversa nel caso contrario. Nel caso
in cui i(t, ts ) = i(t, ts−1 ) (struttura piatta, anche detta flat yield curve) sarebbe
i(t, ts−1 , ts ) = i(t, ts ).
Una considerazione del tutto analoga alla precedente vale anche per le intensità di
rendimento a scadenza. Infatti:
h(t, ts−1 , ts ) = h(t, ts ) +
(ts−1 − t)[h(t, ts ) − h(t, ts−1 )]
,
ts − ts−1
(3.31)
ovvero, se h(t, ts ) > h(t, ts−1 ) segue che h(t, ts−1 , ts ) > h(t, ts ) e viceversa.
È possibile, inoltre, ottenere il tasso spot i(t, ts ) dai tassi forward relativi ai sottoperiodi contigui compresi nell’intervallo [t, ts ], ossia i(t, tj−1 , tj ) con j = 1, 2, . . . , s.
Infatti:
r(t, t1 ) = r(t, t)r(t, t, t1 )
r(t, t2 ) = r(t, t1 )r(t, t1 , t2 ) = r(t, t, t1 )r(t, t1 , t2 )
r(t, t3 ) = r(t, t2 )r(t, t2 , t3 ) = r(t, t, t1 )r(t, t1 , t2 )r(t, t2 , t3 )
..
..
..
.
.
.
r(t, ts ) = r(t, ts−1 )r(t, ts−1 , ts ) = r(t, t, t1 )r(t, t1 , t2 )r(t, t2 , t3 ) . . . r(t, ts−1 , ts ),
da cui si ottiene:
i(t, ts ) =

s
Y

[1 + i(t, tj−1 , tj )]tj −tj−1
j=1
73
1/(ts −t)

− 1.
(3.32)

c
Joseph Andria °
3.4. Struttura per scadenza dei tassi di interesse
Infine, la struttura dei tassi di parità è rappresentata dall’insieme:
{cp (t, ts ), s = 1, 2, 3, . . . , n},
dove:
cp (t, ts ) :
s
X
(3.33)
cp Cv(t, tj ) + Cv(t, ts ) = C,
(3.34)
j=1
ovvero:
1 − v(t, ts )
.
cp (t, ts ) = Ps
j=1 v(t, tj )
(3.35)
Essa è quindi l’insieme dei tassi cedolari relativi ad n cbb con scadenza rispettivamente in t1 , t2 , t3 , . . . , tn , in corrispondenza dei quali ciascun titolo quota alla
pari.
Esempio 13. In data 12.03.04 sono noti i seguenti prezzi a pronti:
ts
15.04.04
30.04.04
14.05.04
31.05.04
15.06.04
30.06.04
15.07.04
30.07.04
16.08.04
31.08.04
15.09.04
15.10.04
15.11.04
15.12.04
14.01.05
15.02.05
ts − t (gg)
34
49
63
80
95
110
125
140
157
172
187
217
248
278
308
340
ts − t (365) v(t, ts )
0.093150685 99.814
0.134246575 99.731
0.172602740 99.657
0.219178082 99.567
0.260273973 99.493
0.301369863 99.404
0.342465753 99.328
0.383561644 99.225
0.430136986 99.139
0.471232877 99.075
0.512328767 99.007
0.594520548 98.841
0.679452055 98.673
0.761643836 98.505
0.843835616 98.351
0.931506849 98.170
Tabella 3.1: Prezzi spot osservati in data 12.03.04.
74
c
Joseph Andria °
3.4. Struttura per scadenza dei tassi di interesse
I tassi spot sono ricavati dalla relazione (3.24), per cui, ad esempio:
µ
¶1 /0 .26027
1
i (0 , 95 ) =
− 1 = 0 .01972
0 .99493
¶1 /0 .34247
µ
1
− 1 = 0 .01988
i (0 , 125 ) =
0 .99328
µ
¶1 /0 .43014
1
i (0 , 157 ) =
− 1 = 0 .02030
0 .99139
Le corrispondenti intensità di rendimento valgono:
1
ln 0 .99493 = 0 .01953 (anni −1 )
0 .26027
1
ln 0 .99328 = 0 .01969 (anni −1 )
h(0 , 125 ) = −
0 .34247
1
ln 0 .99139 = 0 .02010 (anni−1 )
h(0 , 157 ) = −
0 .43014
h(0 , 95 ) = −
Per calcolare i prezzi a termine si ricorre alla (3.28). Ad esempio:
v (0 , 125 )
= 0 .99834
v (0 , 95 )
v (0 , 157 )
v (0 , 95 , 157 ) =
= 0 .99644
v (0 , 95 )
v (0 , 248 )
= 0 .99176 ,
v (0 , 95 , 248 ) =
v (0 , 95 )
v (0 , 95 , 125 ) =
da cui risulta confermata la (3.4). Facendo variare la data di inizio del periodo di
scambio si ottiene, ad esempio:
v (0 , 308 )
= 0 .98852
v (0 , 95 )
v (0 , 308 )
v (0 , 125 , 308 ) =
= 0 .99016
v (0 , 125 )
v (0 , 308 )
v (0 , 172 , 308 ) =
= 0 .99269 ,
v (0 , 172 )
v (0 , 95 , 308 ) =
confermando, in questo caso, la (3.5).
I tassi a termine sono facilmente ricavabili dai corrispondenti prezzi a termine,
75
c
Joseph Andria °
3.5. Metodi di stima della struttura per scadenza
per cui:
·
¸1 /0 .08220
1
− 1 = 0 .02042
i (0 , 95 , 125 ) =
v (0 , 95 , 125 )
·
¸1 /0 .16987
1
i (0 , 95 , 157 ) =
− 1 = 0 .02122
v (0 , 95 , 157 )
¸1 /0 .41918
·
1
i (0 , 95 , 248 ) =
− 1 = 0 .01993 .
v (0 , 95 , 248 )
Le intensità a termine sono ricavate dalla (3.17) od anche dalla (3.18), pertanto,
si ha ad esempio:
1
ln v (0 , 95 , 125 ) = 0 .02021 (anni −1 )
0 .08220
1
ln v (0 , 95 , 157 ) = 0 .02099 (anni −1 )
h(0 , 95 , 157 ) = −
0 .16987
1
h(0 , 95 , 248 ) = −
ln v (0 , 95 , 248 ) = 0 .01974 (anni −1 ).
0 .41918
h(0 , 95 , 125 ) = −
Un’ultima considerazione riguarda la relazione che intercorre tra i tassi spot e quelli
forward espressa dalla (3.32). Si può ottenere, ad esempio, il tasso spot i(0, 80)
nel seguente modo:
i (0 , 80 ) = [r (0 , 0 , 34 )r (0 , 34 , 49 )r (0 , 49 , 63 )r (0 , 63 , 80 )]365 /80 − 1 = 0 .019996 ,
il cui risultato coincide con quello ricavato dalla (3.24). Infatti:
¸365 /80
1
i (0 , 80 ) =
− 1 = 0 .019996 .
v (0 , 80 )
·
3.5
Metodi di stima della struttura per scadenza
Fin qui si è visto come ricavare i tassi spot per diverse scadenze dai prezzi di
titoli a cedola nulla, ossia zero coupon bonds. La domanda che ci si pone ora è
la seguente: come fare ad ottenere i tassi spot per scadenze superiori a quelle cui
corrispondono i titoli sopracitati? In altre parole: come fare ad ottenere il tasso
spot a cinque anni se non esiste sul mercato uno zcb che abbia una maturity cosı̀
lontana nel tempo? In realtà, sebbene esistano titoli obbligazionari che possiedono
una siffatta longevità (cbb), non è possibile ricavare direttamente dai loro prezzi
76
c
Joseph Andria °
3.5. Metodi di stima della struttura per scadenza
Figura 3.3: Relazione tassi spot e forward.
i tassi richiesti in quanto, dipendendo il loro rendimento anche dal guadagno in
conto interesse, essi, contrariamente agli zcb, rappresentano dei titoli impuri.
Esempio 14. Si consideri un BTP con scadenza a tre anni che quota in data
odierna a 98.20. Si supponga, inoltre, che la cedola pagata dal titolo sia di ammontare pari al: (a) 4.00%, (b) 5.00%, (c) 3.00%.
periodo
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ytm
flussi
c = 4.00% c = 5.00% c = 3.00%
2.00
2.50
1.50
2.00
2.50
1.50
2.00
2.50
1.50
2.00
2.50
1.50
2.00
2.50
1.50
102.00
102.50
101.50
4.70%
5.74%
3.67%
77
c
Joseph Andria °
3.5. Metodi di stima della struttura per scadenza
Come si nota il rendimento a scadenza (yield to maturity) del BTP, nei tre casi,
risulta differente pur mantenendo inalterato il prezzo di acquisto del titolo. La
componente cedolare riveste infatti un ruolo fondamentale ai fini del computo della
sopradetta grandezza.
Uno dei metodi più semplici attraverso il quale è possibile ottenere i tassi spot per
scadenze superiori a quelle previste per i zcb è il bootstrap.
Si supponga di conoscere alla data attuale, t, i tassi spot relativi ai primi k periodi dello scadenzario equintervallato {t + j, j = 1, 2, 3, . . . , k, k + 1, k + 2, . . . , n}.
Ciò significa che sono noti i prezzi spot di k zcb con scadenza, rispettivamente,
in {t + 1, t + 2, t + 3, . . . , t + k}. Il prezzo corrente di un cbb con valore facciale
unitario e scadenza in t + k + 1, per il teorema della linearità del prezzo, è ottenuto
dalla relazione:
V (t, t + k + 1) = ct+k+1
k
X
v(t, t + j) + (1 + ct+k+1 )v(t, t + k + 1),
j=1
da cui, essendo V (t) noto in quanto rilevato sul mercato, si ricava il prezzo spot
v(t, t + k + 1). Una volta noto il tasso spot per operazioni di ampiezza [t, t + k + 1],
è possibile passare al tempo successivo t + k + 2. Reimpostando l’equazione di cui
sopra si ottiene il prezzo spot v(t, t + k + 2) e cosı̀ via fino a coprire tutti i periodi
dello scadenzario. Pertanto, in generale, risulta:
v(t, t + k + 1) =
V (t, t + k + 1) − ct+k+1
Pk
j=1 v(t, t + j)
1 + ct+k+1
,
da cui:
i(t, t + k + 1) =
(
1 + ct+k+1
P
V (t, t + k + 1) − ct+k+1 kj=1 v(t, t + j)
)1/(k+1)
− 1.
(3.36)
L’aver ipotizzato uno scadenzario equintervallato non ha rappresentato, nella fattispecie, una scelta volta a semplificare la trattazione in questione, bensı̀ una condizione necessaria per l’applicazione del metodo bootstrap.
Inoltre, ai fini del suo utilizzo per le applicazioni concrete, occorre correggere i
dati di partenza per effetto della asincronia delle scadenze. A tal fine, una tecnica largamente utilizzata dagli operatori del mercato è quella dell’interpolazione
lineare. Si consideri il caso in cui alla data corrente t siano noti i prezzi di k zcb
con scadenza in t1 , t2 , . . . , tk e che la scadenza del primo titolo con cedola cada in
un tempo successivo a tk . Si supponga che le cedole pagate dal sopradetto titolo
presentino tempi diversi da quelli per i quali sono noti i fattori di sconto v(t, tj ),
78
c
Joseph Andria °
3.5. Metodi di stima della struttura per scadenza
con j = 1, 2, . . . , k, ossia vengano pagate secondo lo scadenzario f1 , f2 , . . . , fk con
t < f1 < t1 , t1 < f2 < t2 etc.. Il fattore di sconto generico v(t, fj ) si ottiene
per interpolazione utilizzando il fattore noto immediatamente precedente e quello
immediatamente successivo. Pertanto:
v(t, fj ) = v(t, tj−1 ) + [v(t, tj ) − v(t, tj−1 )]
fj − tj−1
.
tj − tj−1
(3.37)
Per gli importi pagati successivamente a tk si procede in maniera del tutto analoga
a quanto fin qui detto, con l’unica differenza però che il fattore di sconto immediatamente successivo a quello interpolato non risulta ancora noto e quindi v(t, fj ) è
espresso in funzione di questo.
Infine, dalla relazione:
V (t, fk+1 ) = ck+1
k
X
v(t, fj ) + (1 + ck+1 )v(t, fk+1 ),
(3.38)
j=1
giacché v(t, fk+1 ) è espresso in funzione di v(t, tk+1 ), si risolve rispetto a questo
ultimo.
Esempio 15. Si supponga che al tempo t = 0 si osservino i seguenti prezzi spot:
v(0, 0.5) = 99.039, v(0, 1) = 98.046 e che siano inoltre quotati due BTP con prezzi
rispettivamente pari a V (0, 1.5) = 102.020 e V (0, 2) = 104.820 e con cedole del
3.50% e 4.75%.
I tassi spot i(0, 1.5) e i(0,2) sono ricavati dalla (3.36), pertanto:
i (0 , 1 .5 ) =
·
¸1 /1 .5
1 + 0 .035 /2
− 1 = 0 .02139 ,
1 .02020 − 0 .035 /2 (0 .99039 + 0 .98046 )
quindi :
v (0 , 1 .5 ) = [1 + i (0 , 1 .5 )]−1 .5 = 0 , 96875 .
i (0 , 2 ) =
·
¸1 /2
1 + 0 .0475 /2
− 1 = 0 .02292 ,
1 .04820 − 0 .0475 /2 (0 .99039 + 0 .98046 + 0 , 96875 )
dunque:
v (0 , 2 ) = [1 + i (0 , 2 )]−2 = 0 , 95569 .
79
c
Joseph Andria °
3.5. Metodi di stima della struttura per scadenza
0.055
0.05
0.045
Tassi
0.04
0.035
Tassi spot
Curva interpolante
0.03
0.025
0.02
0.015
0
5
10
15
20
25
30
35
Anni
Figura 3.4: Curva dei tassi spot osservata al 15.03.04.
Per il calcolo dei tassi spot si è utilizzata la funzione ZBTPRICE contenuta nel
toolbox finanziario di Matlab, mentre per la funzione interpolante si è scelto un
polinomio di terzo ordine del tipo:
ŷ(τ ) = ατ 3 + βτ 2 + γτ + θ.
(3.39)
I parametri, ricavati risolvendo il problema di minimizzazione (metodo dei minimi
quadrati)
N
1 X
[y(τj ) − ŷ(τj )]2 ,
(3.40)
min
α,β,γ,θ N
j=1
sono: α = 7.8034e-007, β = −9.2357e-005, γ = 0.0031924, θ = 0.018031.
80
c
Joseph Andria °
Capitolo 4
Immunizzazione finanziaria
4.1
Il rischio di tasso
Si è già detto che il prezzo corrente di mercato di un titolo obbligazionario eguaglia
la somma dei flussi da esso garantiti ciascuno dei quali scontato al corrispondente
tasso spot. Alla luce di ciò, risulta ovvio che una variazione dei tassi, sia essa
di segno positivo che negativo, produce una inevitabile variazione del prezzo del
titolo. Più precisamente, un aumento dei tassi ne determina una riduzione di
valore mentre una loro diminuzione un incremento. Sussiste quindi una relazione
inversa tra la variazione di prezzo di un titolo e la variazione dei tassi che trova
piena giustificazione, da un punto di vista matematico, nel fatto che il prezzo del
titolo è ottenuto come somma di valori attuali.
In realtà ciò che accade in un mercato competitivo a seguito di una variazione
dei tassi può essere sintetizzato nelle seguenti considerazioni. Si supponga che un
titolo con cedola pari all’8% possieda un rendimento a scadenza di pari valore. Ciò
implica che il titolo quoti alla data corrente alla pari. Se si verifica un aumento dei
tassi è chiaro che nessun operatore acquisterà alla pari il suddetto titolo, in quanto
esso garantirebbe un rendimento inferiore a quanto ritenuto equo dal mercato. Il
suo prezzo dovrà quindi diminuire fintantocché il rendimento si riallinea ai nuovi
livelli di mercato. Un discorso analogo al precedente varrebbe qualora si verificasse
una diminuzione dei tassi.
Esempio 16. Si supponga che al tempo t = 0 si osservino i seguenti tassi spot:
i(0, 0.5) = 1.95%, i(0, 1) = 1.99%, i(0, 1.5) = 2.14%, i(0, 2) = 2.29%, e che sia
quotato sul mercato un BTP con cedola del 4% e con scadenza tra due anni. Il
prezzo del BTP è ottenuto dalla relazione:
V (0 ) = 0 .02v (0 , 0 .5 ) + 0 .02v (0 , 1 ) + 0 .02v (0 , 1 .5 ) + 1 .02v (0 , 2 )
= 0 .01981 + 0 .01961 + 0 .01937 + 0 .97484 = 1 .03363 .
81
4.1. Il rischio di tasso
Se, trascorso un tempo ∆t → 0, si verifica uno shift (additivo) della curva dei tassi
spot pari a +20bp, i nuovi tassi spot osservati sul mercato saranno: i(0+ , 0.5) =
2.15%, i(0+ , 1) = 2.19%, i(0+ , 1.5) = 2.34%, i(0+ , 2) = 2.49%, ed il prezzo del
BTP risulterà uguale a:
V (0 + ) = 0 .02v (0 + , 0 .5 ) + 0 .02v (0 + , 1 ) + 0 .02v (0 + , 1 .5 ) + 1 .02v (0 + , 2 )
= 0 .01979 + 0 .01957 + 0 .01932 + 0 .97104 = 1 .02972 .
A seguito della sopradetta variazione dei tassi il prezzo del BTP subisce quindi una
variazione percentuale pari allo 0 .378 %:
∆V (0 + ) =
1 .03363 − 1 .02972
× 100 = 0 .378 %,
1 .03363
pertanto, a fronte di un investimento nel BTP per un valore di 1,000,000 si
incorrerebbe in una perdita di ammontare pari a 3,780.00.
In generale, dunque, se si considera in t un titolo che garantisce un flusso di importi {x1 , x2 , . . . , xn } secondo lo scadenzario {t1 , t2 , . . . , tn }, la sua quotazione, per
il teorema della linearità del prezzo, sarà:
V (t) =
n
X
xj v(t, tj ) =
j=1
n
X
xj [1 + i(t, tj )]−(tj −t) .
(4.1)
j=1
Il prezzo del titolo è dunque una funzione di n + 1 variabili rappresentate dagli
n tassi spot i(t, tj ) più la variabile tempo t. Pertanto, se si vuole perseguire una
strategia di copertura (hedging) del titolo in esame, è necessario neutralizzare tutti
gli n fattori di rischio che ne determinano le fluttuazioni di prezzo.
La complicazione suesposta, che consiste nell’individuazione di un hedge dal rischio
di tasso in uno spazio ad n dimensioni, è risolta mediante l’introduzione di un singolo fattore di rischio, il rendimento a scadenza (yield to maturity), che funge da
”proxy” per l’insieme degli n tassi spot.
Alla luce di ciò ed indicando con y(t, tn ) la sopradetta grandezza, la (4.1) viene
riscritta nel seguente modo:
V (t) =
n
X
xj [1 + y(t, tn )]−(tj −t) .
(4.2)
j=1
Per la (4.2) il rendimento a scadenza è, dunque, quell’unico tasso in corrispondenza
del quale la somma degli importi xj , ciascuno dei quali scontato per il proprio
periodo di competenza, eguaglia il prezzo del titolo V (t).
Si noti che nel definire lo ytm mediante la (4.2) si è implicitamente ipotizzato
82
c
Joseph Andria °
4.1. Il rischio di tasso
che il titolo venga mantenuto fino alla sua data di scadenza e che i pagamenti
intermedi vengano reinvestiti tutti allo stesso tasso y(t, tn ). Quest’ultima ipotesi,
in particolare, rappresenta una semplificazione della realtà in quanto lo ytm altro
non è che una media dell’intera struttura dei tassi osservata al tempo t, della quale,
pertanto, fornisce una rappresentazione ”perfetta” soltanto nel caso in cui essa sia
piatta ossia i(t, tj ) = i(t, tj+1 ), j = 1, 2, . . . , n.
5
maturity = 5 anni;
coupon = 12%
maturity = 5 anni;
coupon = 4%
maturity = 10 anni;
coupon = 4%
4
Var.% prezzo
3
2
1
0
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Var.% ytm
Figura 4.1: Var.% prezzo BTP espresso in funzione della var.% dello YTM.
In fig.(4.1) è rappresentata la variazione percentuale del prezzo di un BTP rispetto
alla variazione percentuale del rendimento a scadenza. Si noti come prima cosa che
un aumento dello ytm produce una variazione (con segno negativo) del prezzo, di
entità inferiore rispetto a quella osservata (con segno positivo) per una diminuzione
dello ytm di pari magnitudo.
Inoltre, a parità di scadenza (maturity) del titolo, la variazione di prezzo è tanto
minore quanto maggiore è l’ammontare della cedola. Infine, i titoli a più lunga
scadenza (long-term bonds) presentano una rischiosità maggiore dei titoli a breve
(short-term bonds).
83
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
4.2
La Duration
Col termine di durata media finanziaria (duration) di un flusso {x1 , x2 , . . . , xn } e
scadenzario {t1 , t2 , . . . , tn }, introdotto per la prima volta nel 1938 da Macaulay,
si definisce il rapporto:
Pn
−(tj −t)
j=1 (tj − t)xj [1 + y(t, tn )]
D(t, x) =
,
(4.3)
Pn
−(tj −t)
j=1 xj [1 + y(t, tn )]
che consiste in una media dei tempi (tj − t) ponderata con pesi pari ai valori
scontati percentuali degli importi esigibili ai medesimi tempi. Rappresentando lo
scadenzario sull’asse orientato, si può, dunque, pensare alla duration come baricentro (momento primo) della distribuzione normalizzata degli importi xj valutati in t.
t
t1
t2
t3
t
t1
t2
t3
t4
t
t1
t2
t3
t4
t
t1
t2
t3
t4
84
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
Se invece di considerare un unico flusso si vuole conoscere la duration di m flussi del
tipo x1 = {x11 , x12 , . . . , x1n }, x2 = {x21 , x22 , . . . , x2n },. . . , xm = {xm1 , xm2 , . . . , xmn }
con scadenzario {t1 , t2 , . . . , tn }, è possibile definire la duration del portafoglio
di composizione φ = {φ1 , φ2 , . . . , φm } come:
D(t, Π) =
m
X
j=1
φj
V (t, xj )
D(t, xj ),
V (t, Π)
(4.4)
ossia, come la media aritmetica ponderata delle duration dei titoli componenti il
portafoglio con pesi pari ai prezzi dei medesimi titoli rapportati all’intero valore
del portafoglio.
Nel paragrafo precedente si è detto come variazioni della curva dei tassi spot
provochino fluttuazioni del prezzo di un titolo obbligazionario. Se si considera
un titolo che paga il flusso di importi xj relativi allo scadenzario {t1 , t2 , . . . , tn }, la
variazione assoluta del suo prezzo per effetto di una variazione infinitesima dello
ytm è fornita dalla:
0
∆V (y) = V (y + ∆y) − V (y) = V (y)∆y + o(∆y),
(4.5)
dove:
0
V (y) = −
n
X
j=1
(tj − t)xj
,
[1 + y(t, tn )]tj −t+1
(4.6)
è nota in letteratura col termine di $duration (dollar duration) e o(y), essendo un
infinitesimo di ordine superiore rispetto a y, rappresenta un termine trascurabile.
La (4.5) può dunque approssimarsi nel seguente modo:
∆V (y) ≈ dV (y) = $duration(V (y))∆y.
(4.7)
Si noti, osservando la fig.(4.2), che per variazioni via via più piccole della variabile
indipendente l’errore che si commette approssimando la curva alla retta diviene
sempre più ridotto; pertanto, per variazioni infinitesime della y la (4.5) può sostituirsi con la (4.7) senza con ciò commettere un errore rilevante.
Dividendo la (4.7) per V (y) si ottiene, per quanto detto, una approssimazione della
variazione relativa del valore del portafoglio:
dV (y)
V 0 (y)
=
∆y = −MD(V (y))∆y,
V (y)
V (y)
dove:
MD(V (y)) = −
85
V 0 (y)
V (y)
(4.8)
(4.9)
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
V (y)
•
∆V (y)
• dV (y)
V (y + ∆y)
y
y + ∆y
Figura 4.2: Approssimazione della variazione di V (y) col suo differenziale.
è nota col nome di duration modificata (modified duration) del portafoglio V (y).
Dalla $duration e dalla duration modificata è possibile, quindi, ricavare le variazioni, rispettivamente, assolute e relative del valore del portafoglio in corrispondenza di fluttuazioni di piccola entità dello ytm:
∆V (y) ≈ C × $duration × ∆y
∆V (y)
≈ −MD × ∆y,
V (y)
(4.10)
(4.11)
dove C è il valore facciale del portafoglio.
Esempio 17. Si consideri in data 15.03.04 il BTP con scadenza il 15.03.06 e
cedola pari al 4.75% quotato a 104.808. Relativamente al suddetto titolo si vuole
conoscere la modified duration (MD) sapendo che il rendimento a scadenza risulta
uguale a y(0 , 2 ) = 2 .29 %.
Si osservi innanzitutto che lo ytm garantisce l’uguaglianza tra la somma degli importi pagati dal titolo scontati tutti al medesimo tasso (2 .29 %) ed il prezzo corrente
di mercato del titolo:
86
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
tj
15.09.04
15.03.05
15.09.05
15.03.06
tj − t
0.50
1.00
1.50
2.00
xj
0.02375
0.02375
0.02375
1.02375
vy (t, tj )
0.98865
0.97761
0.96652
0.95573
xj vy (t, tj )
0.02348
0.02322
0.02295
0.97843
1.04808
essendo vy (t, tj ) il fattore di sconto per il periodo [t, tj ] calcolato al tasso y.
Se si indica con:
pj =
xj vy (t, tj )
V (y)
è possibile esprimere la (4.9) nel seguente modo:
n
1 X
(tj − t)pj .
MD =
1 +y
j =1
Pertanto:
tj − t
0.50
1.00
1.50
2.00
pj
0.022403
0.022155
0.021897
0.933545
1.000000
(tj − t)pj
0.0112015
0.022155
0.0328455
1.86709
1.933292
da cui si ricava la duration modificata:
MD(V (y)) =
1 .933292
= 1 .89
1 + 0 .0229
Come utilizzare questo dato? Esso, per quanto detto, rappresenta una misura della
volatilità del titolo, ossia la sua reattività ad una variazione subita della curva
dei tassi. Tramite esso risulta possibile, pertanto, stimare la variazione (relativa)
del prezzo del titolo per effetto di uno spostamento della curva sopradetta.
Si consideri, a titolo esemplificativo, che sia previsto uno shift parallelo della yield
curve pari a -10bp. A seguito di ciò ed in base alla (4.11) il prezzo del titolo
subirebbe una variazione (di segno positivo) pari allo 0.189%. Infatti, il nuovo
prezzo, in accordo con la (4.2), risulta pari a 105.006, per cui:
1 .05006 − 1 .04808
× 100 = 0 .189 %.
1 .04808
È bene ricordare, ad ogni modo, che la MD fornisce un risultato tanto più significativo quanto più piccola è la variazione di tasso presa in esame. Se infatti si
87
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
considera uno shift di +100bp la variazione reale di prezzo sarebbe dell’1.86% contro l’1.89% indicato dalla MD. Viceversa, in corrispondenza di uno shift di -100bp
si avrebbe una variazione reale pari all’1.92% rimanendo invariato, evidentemente,
l’1.89% della MD (questa volta, però, con segno positivo).
Ciò dimostra non solo quanto detto in termini di approssimazione della MD, ma
anche il fatto che per variazioni dei tassi di segno positivo essa tende a sovrastimare la variazione subita dal prezzo rispetto a quella reale, mentre la sottostima
per variazioni di segno opposto (si veda la fig(4.2)).
Si noti inoltre che è confermato quanto visto in fig.(4.1), ossia che ad uno shift
dei tassi verso il basso corrisponde una variazione di prezzo di ampiezza maggiore
rispetto a quella prodotta da uno shift di pari magnitudo ma di segno opposto.
Definito il concetto di duration risulta abbastanza agevole, ed allo stesso tempo intuitivo, comprendere come si effettua la copertura dal rischio di tasso di un
portafoglio obbligazionario. Più precisamente, se, come si è detto, la duration
misura l’incidenza che ha uno spostamento della curva tassi sulla variazione di valore del portafoglio, assumendo una posizione di segno contrario di pari rischiosità
si ottiene l’effetto di controbilanciare l’eventuale perdita (o guadagno) in cui si
incorrerebbe.
Se si indica il prezzo del portafoglio per il quale si effettua la strategia di hedging
con V (y) di valore facciale pari a C e ytm y e si indica inoltre con Ch il valore
facciale dell’attività di copertura avente ytm yh e prezzo V h (yh ), la strategia di
hedging consiste nel costruire un portafoglio Π che comprenda il portafoglio iniziale più un certo ammontare di valore facciale dello strumento di copertura:
Π = CV (y) + φCh V h (yh ),
(4.12)
tale che risulti, a seguito di shifts paralleli della yield curve (∆y = ∆yh ):
∆Π = 0.
(4.13)
La (4.13), per la (4.7), può cosı̀ riscriversi:
0
0
∆Π ≈ [CV (y) + φCh V h (yh )]∆y = 0,
(4.14)
C$D(V (y)) = −φCh $D(V h (yh ))
(4.15)
CV (y)MD(V (y)) = −φCh V h (yh )MD(V h (yh ))
(4.16)
da cui si ottiene:
od anche
88
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
per cui, infine, si ricava:
φ=−
C$D(V (y))
CV (y)MD(V (y))
=−
.
Ch $D(V h (yh ))
Ch V h (yh )MD(V h (yh ))
(4.17)
Tale grandezza, anche chiamata rapporto di copertura (hedge ratio), rappresenta
il numero di unità dell’attività di copertura in cui investire al fine di effettuare
l’hedging del portafoglio V (y). Essa, pertanto, nell’ipotesi in cui C = Ch risulta
pari al rapporto tra le dollar duration del portafoglio che si vuole coprire e dell’attività utilizzata per la copertura, il tutto preceduto dal segno meno.
Nell’ipotesi in cui y = yh , ossia di yield curve piatta, è possibile ottenere l’hedge
ratio ricorrendo alla duration di Macaulay D:
Pn
t−tj
j=1 (tj − t)xj (1 + y)
,
(4.18)
D(V (y)) = −(1 + y)MD =
V (y)
per cui la (4.17) diviene:
φ=−
CV (y)D(V (y))
.
Ch V h (y)D(V h (y))
(4.19)
Esempio 18. Si supponga di possedere al tempo t = 15.03.04 un portafoglio contenente il BTP con scadenza l’1.03.05 e cedola del 4%. Il corso secco del titolo a
quella data risulta uguale a 101.900. Il rateo, com’è noto, si ottiene dalla relazione:
4 .00 /2
14
= 0 .15217 ,
184
pertanto, il prezzo tel-quel del titolo è dato dalla:
101 .900 + 0 .15217 = 102 .05217 .
Lo ytm lordo è uguale al 2.0057246%, infatti:
tj
1.09.04
1.03.05
tj − t(gg)
170
351
tj − t(anni)
0.465753425
0.961643836
xj
0.02
1.02
vy (t, tj )
0.990793363
0.981084149
xj vy (t, tj )
0.0198159
1.0007058
1.0205217
L’imposta sostitutiva è pari a 0.07170 per cui il prezzo netto risulta uguale a
101.98047 (102.05217-0.07170).
89
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
Tenendo conto dell’imposta del 12.25% applicata sia alle cedole che al disaggio d’emissione (valore di rimborso-prezzo di aggiudicazione all’emissione = 100-99.38)
si ottiene lo ytm netto di importo pari all’1.4839239%.
tj
1.09.04
1.03.05
tj − t(gg)
170
351
tj − t(anni)
0.465753425
0.961643836
xj
0.0175
1.016725
vy (t, tj )
0.993162833
0.985934635
xj vy (t, tj )
0.0173803
1.0024244
1.0198047
La duration e la modified duration del titolo sono rispettivamente:
tj − t
0.465753425
0.961643836
MD =
pj
0.017042773
0.982957227
1
(tj − t)pj
0.00793773
0.94525476
0.95319249
0 .95319249
= 0.94.
1 .014839239
Si supponga di aver assunto, relativamente al titolo in esame, una posizione lunga
(long position) e di volersi coprire da un’eventuale rialzo dei tassi assumendo una
posizione corta (short position) sul BTP, che ha scadenza il 15.05.05, il cui prezzo
è pari a 102.810 e che paga una cedola del 4.50%. Il rateo d’interesse è pari a:
4 .50 /2
121
= 1 .49588 ,
182
da cui, il prezzo tel-quel:
102 .810 + 1 .49588 = 104 .30588 .
Il rendimento lordo del titolo è del 2.0610479%, infatti:
tj
15.05.04
15.11.04
15.05.05
tj − t(gg)
61
245
426
tj − t(anni)
0.167123288
0.671232877
1.167123288
xj
0.0225
0.0225
1.0225
vy (t, tj )
0.996596331
0.986399541
0.9764708
xj vy (t, tj )
0.0224234
0.022194
0.9984414
1.0430588
Il rendimento netto, considerando l’imposta del 12.50% ed il prezzo all’emissione
pari a 99.96, è dell’1.5037981%:
90
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
tj
15.05.04
15.11.04
15.05.05
tj − t(gg)
61
245
426
tj − t(anni)
0.167123288
0.671232877
1.167123288
xj
0.0196875
0.0196875
1.0196375
vy (t, tj )
0.997508621
0.990031179
0.982730341
xj vy (t, tj )
0.0196385
0.0194912
1.0020287
1.0411584
l’imposta sostitutiva risulta, infatti, pari a 0.19004 (104.30588-104.11584).
Per quanto concerne la duration e la modified duration, si ha:
tj − t
0.167123288
0.671232877
1.167123288
MDh =
pj
0.018862164
0.018720686
0,96241715
1
(tj − t)pj
0.00315231
0.01256594
1.12325947
1.13897772
1 .13897772
= 1.12.
1 .015037981
Una volta ottenuti i dati di cui sopra, è possibile calcolare l’hedge ratio come
φ=−
1 .0198047 × 0 .94
= −0.82.
1 .0411584 × 1 .12
Ciò significa che al fine di effettuare un hedging soddisfacente del 100% del titolo
posseduto occorre assumere una posizione corta sul titolo di copertura per un ammontare pari all’82% del suo valore facciale.
Questo risultato, in particolare, dipende dalla più alta volatilità dell’hedging bond
rispetto a quella osservata per il titolo in portafoglio, pertanto un hedge ratio pari
all’unità implicherebbe un’eccessiva copertura del titolo, ovvero risulterebbe overhedged.
Si supponga ora che in t+ , con
t + = lim (t + ∆t),
∆t→0
si verifichi uno shift parallelo della curva dei tassi pari a +50bp.
I nuovi prezzi dei due titoli, in corrispondenza dei tassi post-shift, rispettivamente
1 .98 % e 2 .00 %, risulterebbero pari a 101.50756 (hedged bond) e 103.53918 (hedging bond). Relativamente al primo titolo si realizzerebbe una perdita pari a 0.4729
(101.5075-101.9804) per 100 euro di valore facciale.
Se si fosse assunta in t una posizione short sul secondo titolo per un ammontare
pari al 100% del suo valore facciale, ossia, se la strategia di hedging fosse stata
perseguita tenendo conto di un hedge ratio pari ad 1, il guadagno realizzato in
91
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
t+ sarebbe pari a 0.57666 (104.11584-103.53918) che, in accordo a quanto già
detto sopra, risulterebbe ben più grande della perdita subita (overhedging). In
realtà il guadagno realizzato, per un hedge ratio pari a 0.82, è proprio 0.4729
(0.82×0.57666), risultando cosı̀ perfettamente coperta la perdita relativa al titolo
posseduto.
Infine, è importante sottolineare che una volta verificatosi lo shift si impone al
gestore del portafoglio di rivedere la composizione dello stesso (ricalibratura),
modificandosi, per via dello spostamento subito della curva dei tassi, l’hedge ratio
relativo al tempo precedente.
Se si introduce nella (4.5) il termine di secondo grado, ossia se si considera l’espansione in serie di Taylor di secondo ordine, si ottiene:
1 00
0
∆V (y) = V (y)∆y + V (y)(∆y)2 + o((∆y)2 ),
2
(4.20)
1
∆V (y) ≈ $D(V (y))dy + $C(V (y))(dy)2 .
2
(4.21)
da cui:
Dividendo ambo i membri della (4.21) per V (y) si ottiene una approssimazione
della variazione relativa del valore del portafoglio:
∆V (y)
1
≈ MD(V (y))dy + RC(V (y))(dy)2 ,
2
V (y)
(4.22)
00
avendo indicato con RC(V (y)) la convessità relativa del portafoglio V e con V (y):
" n
X
1
00
V (y) =
(tj − t)2 xj (1 + y)−(tj −t) +
2
(1 + y)
j=1
#
n
X
+
(tj − t)xj (1 + y)−(tj −t) .
(4.23)
j=1
Indicando con:
D
(2)
(t, x) =
Pn
2
−(tj −t)
j=1 (tj − t) xj [1 + y(t, tn )]
Pn
−(tj −t)
j=1 xj [1 + y(t, tn )]
92
(4.24)
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
la duration di secondo ordine (momento secondo), è possibile esprimere la convessità relativa nella seguente forma:
00
i
h
V (y)
1
(2)
D
(t,
x)
+
D(t,
x)
=
(1 + y)2
V (y)
(4.25)
con:
D
(2)
(t, Π) =
m
X
j=1
∆y
∆V /V
-10bp 0.005307810
-20bp 0.010650852
-50bp 0.026894100
-100bp 0.054696669
-150bp 0.083443532
-200bp 0.113172122
φj
V (t, xj ) (2)
D (t, xj )
V (t, Π)
≈ MD
0.005290284
0.010580568
0.026451421
0.052902841
0.079354262
0.105805682
(4.26)
≈ MD+RC
0.005307702
0.010650241
0.026886874
0.054644655
0.083273344
0.112772939
Tabella 4.1: Approssimazione di ∆V /V con l’espansione in serie di Taylor di
primo e secondo ordine.
Nella tabella (4.1) sono riportate le variazioni relative, reali ed approssimate, del
prezzo di un titolo obbligazionario per differenti variazioni dello ytm. Si noti
la maggiore accuratezza del risultato espresso dalla (4.22) rispetto alla (4.11) ed
inoltre come peggiori la bontà dell’approssimazione all’aumentare della variazione
subita dallo ytm.
Se nella strategia di hedging si tiene conto anche del termine di secondo ordine,
ossia se l’obiettivo che si vuole perseguire è quello di individuare un portafoglio che
sia contemporaneamente protetto sia in termini di $duration che di $convexity,
risultando due le condizioni poste, è necessario introdurre una seconda variabile,
φ1 , che, similmente a φ, rappresenta la quantità ottimale da detenere o da vendere
allo scoperto del titolo che ha valore V h1 (yh1 ).
Mantenendo l’ipotesi di shift paralleli della yield curve (∆y = ∆yh = ∆yh1 ), la
strategia di hedging da attuare si ottiene risolvendo il sistema:
(
0
0
0
φCh V h (yh ) + φ1 Ch1 V h1 (yh1 ) = −CV (y)
,
(4.27)
00
00
00
φCh V h (yh ) + φ1 Ch1 V h1 (yh1 ) = −CV (y)
da cui:
93
c
Joseph Andria °
4.2. La Duration
½
φCh $D(V h (yh )) + φ1 Ch1 $D(V h1 (yh1 )) = −C$D(V (y))
,
φCh $C(V h (yh )) + φ1 Ch1 $C(V h1 (yh1 )) = −C$C(V (y))
(4.28)
φCh V h (yh )MD(V h ) + φ1 Ch1 V h1 (yh1 )MD(V h1 ) = −CV (y)MD(V )
.
φCh V h (yh )RC(V h ) + φ1 Ch1 V h1 (yh1 )RC(V h1 ) = −CV (y)RC(V )
(4.29)
od anche:
½
Esempio 19. In data 15.03.04 sono quotati al MOT i BTP IT0003611156,
IT0001448619, IT0003190912 dalle seguenti caratteristiche:
cod.
scad.
prezzo
cedola
yield
MD
IT0003611156
IT0001448619
IT0003190912
15.01.2007
01.11.2010
01.02.2012
100.97
113.35
108.74
2.75
5.50
5.00
2.20
2.90
3.21
2.69
5.56
6.57
Si supponga di investire in ciascuno dei tre titoli per un valore facciale rispettivamente pari ad euro 3,000, 4,000, 6,000. Il costo per la costituzione del portafoglio
è dunque pari alla somma dei singoli esborsi per ognuno dei suoi titoli componenti,
ossia:
V (Π) = 3 , 029 .1 + 4 , 534 + 6 , 524 .40 = 14 , 087 .50 .
La modified duration del portafoglio si ottiene, com’è noto, dalla media ponderata
delle modified duration dei titoli in esso contenuti, ovvero:
MDj
2.69
5.56
6.57
Cj V j
3,029.1
4,534
6,524.40
pj
0.215020408
0.321845608
0.463133984
pj × MDj
0.578404898
1.789461579
3.042790275
14,087.50
1
5.410656752
Pertanto la modified duration del portafoglio risulta pari a 5.41. Ciò significa che
in corrispondenza di uno shift parallelo della yield curve di 1 punto base il valore
del portafoglio subisce una variazione pari allo 0.0541%.
È evidente, inoltre, che variando la composizione del portafoglio la sua duration
varierà coerentemente alle nuove percentuali di composizione. Supponendo, infatti,
di acquistare 1,000 euro di valore facciale dei primi due titoli ed 11,000 del terzo
(quello a più alta volatilità), la modified duration del portafoglio sarebbe pari a
6.21, ovviamente più alta rispetto a quella osservata nel caso precedente.
94
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Joseph Andria °
4.3. L’immunizzazione finanziaria
4.3
L’immunizzazione finanziaria
Qualunque operazione di intermediazione finanziaria presuppone una oculata gestione del rischio di tasso. In generale, il ruolo dell’intermediario consiste, infatti,
nell’emettere passività (liability) a breve termine e prestare, al contempo, capitale
(asset) a lungo termine. Un esempio su tutti è rappresentato dagli istituti bancari,
i quali, a fronte di operazioni di raccolta (depositi ), effettuano impieghi in attività
a lungo termine (mutui ).
Siffatte operazioni risultano esposte, ovviamente, al rischio legato alla variazione
dei tassi d’interesse a seguito della quale possono verificarsi ingenti perdite per la
società di intermediazione.
In tale contesto trovano applicazione le tecniche note col nome di immunizzazione finanziaria, atte ad eliminare, o almeno ridurre, l’esposizione dell’intermediario a movimenti avversi della curva dei tassi. L’obbiettivo perseguito mediante l’utilizzo delle suddette tecniche consiste dunque nel garantire la copertura
di un flusso di passività con un flusso di importi a credito generato da impieghi di
capitale di differente tipologia (cashflow creation).
In realtà, l’obbiettivo suesposto non si discosta di molto da quello fin qui visto in
termini di target di rendimento per un gestore che investe in titoli obbligazionari.
Esempio 20. Si supponga che in data odierna, 15.03.04, sia noto che al 31.08.05
giunge a scadenza una nostra passività di ammontare pari ad 100,000. Alla stessa data, è quotato al MOT il CTZ IT0003531727 con maturity il 31.08.05, valore
di listino pari a 96.982 e yield del 2.12%. Pertanto, a fronte di un esborso di
0.96982 unità di euro si incasserà a scadenza un euro. Investendo, quindi, nel
titolo per un valore facciale pari ad 100,000, al costo di 96,982, il 31.08.05 si
otterrà esattamente quanto necessario al fine di coprire la passività suddetta.
L’assenza di cedole da reinvestire insieme alla non necessità di vendere il titolo
(smobilizzo) prima che lo stesso giunga a scadenza, implica che sia il rischio di
reinvestimento che il rischio di tasso risultino nulli, consentendo di ottenere un
rendimento annuo risk-free del 2.12%. D’altro canto, in termini di duration, la
liability ed il CTZ si trovano in una condizione di equilibrio perfetto possedendo
duration di pari valore lungo tutto il periodo di tempo preso in esame.
Mantenendo invariata la data corrente, il 15.03.04, si consideri ora il caso in cui il
flusso di passività sia cosı̀ rappresentato: L = {250, 000; 100, 000; 175, 000; 200, 000}
secondo lo scadenzario t = {108; 473; 838; 1, 203} (giorni). Ciò significa che le
liabilities alle quali si dovrà far fronte in futuro sono cosı̀ strutturate:
maturity
01.07.04
01.07.05
01.07.06
01.07.07
95
Lj
250,000
100,000
175,000
200,000
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4.3. L’immunizzazione finanziaria
Al MOT, alla stessa data, sono quotati quattro BTP dalle seguenti caratteristiche:
maturity
01.07.04
01.07.05
01.07.06
01.07.07
Vj
1.01645
1.04366
1.15919
1.14062
cj
0.045
0.0475
0.0875
0.0675
I titoli in esame rappresentano quindi potenziali impieghi in cui investire al fine di
replicare il flusso di passività L. In particolare, il quarto BTP paga alla scadenza
il valore di rimborso più l’ultima cedola; pertanto, per ottenere 200,000 euro in
data 1.07.07 occorre investire nel titolo per un valore facciale pari a:
x4 × 1 .03375 = 200 , 000
x4 = 200 , 000 /1 .03375 = 193 , 470
Il flusso pagato dal titolo, investendo per il suddetto ammontare di valore facciale,
risulta il seguente:
01.07.04
6,530
01.07.05
6,530
01.07.06
6,530
01.07.07
200,000
Relativamente al terzo BTP occorrerà investire per un valore facciale tale da coprire l’importo 175,000-6,530, per cui:
x3 × 1 .04375 = 168 , 470
x3 = 168 , 470 /1 .04375 = 161 , 408 ,
da cui il flusso complessivo
01.07.04
6,530
7,062
01.07.05
6,530
7,062
01.07.06
6,530
168,470
01.07.07
200,000
13,592
13,592
175,000
200,000
Un ragionamento analogo al precedente porta a concludere che l’ammontare di valore facciale in cui investire nel secondo titolo risulta dato da
x2 × 1 .02375 = 86 , 408
x2 = 86 , 408 /1 .02375 = 84 , 403 ,
da cui il flusso:
01.07.04
6,530
7,062
2,005
01.07.05
6,530
7,062
86,408
01.07.06
6,530
168,470
01.07.07
200,000
15,597
100,000
175,000
200,000
96
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Joseph Andria °
4.3. L’immunizzazione finanziaria
Infine, nel primo BTP si investirà per un valore facciale pari a:
x1 × 1 .0225 = 234 , 403
x1 = 234 , 403 /1 .0225 = 229 , 245 ,
dando luogo al flusso totale:
01.07.04
6,530
7,062
2,005
234,403
01.07.05
6,530
7,062
86,408
01.07.06
6,530
168,470
01.07.07
200,000
250,000
100,000
175,000
200,000
che, com’è ovvio, copre perfettamente le passività da dover estinguere.
Anche in questo caso, come per il precedente, sia il rischio di reinvestimento che
quello di tasso risultano entrambi nulli, dal momento che le cedole non vengono
reimpiegate ed i titoli sono mantenuti fino alla loro naturale scadenza.
Da un punto di vista matematico il problema suesposto (dedication) è risolto
mediante il seguente sistema di equazioni lineari:
1 .0225x1 + 0 .02375x2 + 0 .04375x3 + 0 .03375x4
= 250 , 000
1 .02375x2 + 0 .04375x3 + 0 .03375x4
= 100 , 000
1 .04375x3 + 0 .03375x4
= 175 , 000
1 .03375x4
= 200 , 000
da cui si ricavano i valori xj . Il costo del portafoglio di copertura risulta, pertanto,
uguale a:
V (0 , Π ) = 229 , 245 × 1 .01645 + 84 , 403 × 1 , 04366 +
+ 161 , 408 × 1 .15919 + 193 , 470 × 1 .14062 = 728 , 882 ,
ed il rendimento annuo risk-free garantito dal portafoglio è pari al 2.5214%.
Mediante la suddetta strategia di copertura si gunge ad una condizione di matching
perfetto tra i flussi di investimento e quelli di indebitamento, garantendo quindi
in ogni istante uno stato di solvibilità immune dai possibili movimenti della yield
curve. È bene precisare, però, che tale tipo di hedging (perfetto), nella maggior
parte dei casi, risulta irrealizzabile, giacché quasi mai i titoli negoziati sul mercato
possiedono maturities che coincidono esattamente con quelle delle liabilities da coprire. ”L’immunizzazione finanziaria è definita (in riferimento al matching) come
un metodo che consenta di rendere le due distribuzioni temporali delle poste di
attivo e passivo quanto più possibile simili e perciò ugualmente vulnerabili rispetto
ad una perturbazione aleatoria della struttura dei tassi d’interesse” 1 .
1
In ”La teoria dell’immunizzazione finanziaria”, De Felice-Moriconi.
97
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Joseph Andria °
4.3. L’immunizzazione finanziaria
Nell’ambito della teoria dell’immunizzazione finanziaria un contributo di estrema
importanza è fornito dal teorema di Fisher e Weil [1971]. Sia t l’istante corrente, L > 0 una liability da estinguere al tempo H > t ed A un flusso di cassa,
con scadenze t1 , t2 , . . . , tn (t < t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn ), a copertura del singolo impegno
L, tale che risulti soddisfatto il vincolo di bilancio:
A(t) = Lv(t, H).
(4.30)
Nell’ipotesi che in t+ si verifichi uno shift additivo (di ampiezza aleatoria) della
struttura dei tassi, il valore post-shift del flusso A risulterà non minore del valore
post-shift di L, ossia:
A(t+ ) ≥ Lv(t+ , H),
(4.31)
se e solo se la duration di A, calcolata in t, coincide con quella di L (e cioè con la
sua maturity), ovvero:
D(t, A) = H − t.
(4.32)
Alla luce del teorema suesposto, si supponga di voler selezionare in t un portafoglio
a copertura dell’importo L composto da due titoli a capitalizzazione integrale
aventi valore facciale unitario e scadenze, rispettivamente, in t1 e t2 (t1 < H < t2 ).
In questo caso le condizioni (4.30)-(4.32) sono espresse dalle:
φ1 v(t, t1 ) + φ2 v(t, t2 ) = Lv(t, H)
(4.33)
φ1 v(t, t1 )(t1 − t) + φ2 v(t, t2 )(t2 − t) = (H − t)Lv(t, H),
(4.34)
rappresentabili anche nella seguente forma matriciale:
¸
¸ ·
·
¸·
1
v(t, t1 )
v(t, t2 )
φ1
=
Lv(t, H).
(H − t)
φ2
v(t, t1 )(t1 − t) v(t, t2 )(t2 − t)
(4.35)
Il sistema (4.35) dà luogo alle soluzioni:
φ1 = L
v(t, H)(t2 − H)
v(t, t1 )(t2 − t1 )
(4.36)
v(t, H)(H − t1 )
φ2 = L
v(t, t2 )(t2 − t1 )
Esempio 21. Si supponga che fra H =1 anno da oggi giunga a scadenza una nostra
liability di ammontare pari ad 10,000,000. Al MOT sono quotati un BOT ed un
CTZ con prezzi, rispettivamente, v (0 , 340 ) = 0 .98170 e v (0 , 410 ) = 0 .97767 . Se
98
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4.3. L’immunizzazione finanziaria
il tasso spot i (0 , 365 ) risulta uguale a 0 .020137515 , il sistema (4.35), per ogni
euro di nominale da immunizzare, coincide col seguente:
φ1 × 0 .98170 + φ2 × 0 .97767 = 0 .98026
φ1 × 0 .98170 × 340 + φ2 × 0 .97767 × 410 = 365 × 0 .98026 ,
da cui si ottengono i valori: φ1 = 0 .6419142 , φ2 = 0 .3580890 . Ciò significa che,
per immunizzare 10,000,000 di passività, occorre acquistare 6,419,142 di valore
facciale del BOT e 3,580,890 del CTZ; quindi, il valore del portafoglio costituito
risulta:
6 , 419 , 142 × 0 .98170 + 3 , 580 , 890 × 0 .97767 = 9 , 802 , 600 .
Se in 0+ si ipotizza che si verifica uno shift additivo pari a +15bp, i nuovi prezzi
spot osservati sono: v (0 + , 340 ) = 0 .98036 , v (0 + , 410 ) = 0 .97606 e v (0 + , 365 ) =
0.97882. Pertanto, il flusso di attività ha valore A(0 + ) = 9 , 788 , 234 , mentre, la
liability L=9,788,200, da cui:
A(0 + ) − L(0 + ) = 34 .
Considerando, invece, uno shift negativo di pari magnitudo, i prezzi spot in 0 +
risultano: v (0 + , 340 ) = 0 .98305 , v (0 + , 410 ) = 0 .97929 e v (0 + , 365 ) = 0.98170.
Quindi:
A(0 + ) − L(0 + ) = 9 , 817 , 067 − 9 , 817 , 000 = 67 .
Si noti, infine, che l’aver assicurato la copertura della liability equivale ad aver
garantito al portafoglio di valore iniziale 9,802,600 e su un orizzonte di attività
pari ad un anno un rendimento minimo uguale a:
10 , 000 , 000 − 9 , 802 , 600
= 0 .02014 (2.014%).
9 , 802 , 600
Il teorema di Fisher e Weil riguarda, come detto, la copertura di flusso di passività
costituito da un singolo esborso ed esigibile ad un tempo futuro od anche, equivalentemente, la selezione di un portafoglio titoli, con flusso di cassa deterministico,
il cui reddito risulta immunizzato rispetto a shift additivi della struttura dei tassi.
Una naturale estensione del teorema concerne la ricerca delle condizioni per cui
il valore netto di due generici flussi di attività e passività, ossia composti da più
impieghi e più esborsi, risulti immunizzato lungo tutto l’orizzonte di investimento.
A tal uopo, innanzitutto va verificato se, anche in questo caso, la (4.30) (vincolo di
bilancio) e la (4.32) (condizione di duration) continuino a rappresentare condizioni
sufficienti ai fini dell’immunizzazione.
99
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Joseph Andria °
4.3. L’immunizzazione finanziaria
Esempio 22. Sia t = 0 l’istante di valutazione ed L = {10 , 000 , 000 ; 50 , 000 } il
flusso degli impegni da onorare, rispettivamente, tra 365 e 730 giorni da oggi. Per
la copertura del flusso L si ricorre ai medesimi titoli di cui all’esempio precedente,
ossia a titoli di puro sconto rappresentati da un BOT a 340 gg. ed un CTZ a 410
gg. dalla scadenza. Il tasso spot a due anni è pari al 2.2919551% da cui si ricava
facilmente il prezzo spot v (0 , 730 ) = 0 .95569 .
Dalle (4.30) (4.32) si ottengono i valori:
φ1 = −15 , 832 , 404
φ2 = 30 , 811 , 748 .
Si noti che il portafoglio di copertura selezionato non risulta immunizzato da innalzamenti paralleli della curva dei tassi e ciò è vero qualunque sia l’ampiezza dello
shift presa in esame. Infatti, in corrispondenza di una variazione della struttura
pari a +15bp, si ottiene:
A(0 + ) − L(0 + ) = 14 , 552 , 643 − 14 , 552 , 674 = −31 .
In questo caso non soltanto la (4.31) non è verificata ma il valore netto degli
impieghi e degli esborsi risulta tanto più negativo quanto maggiore è lo spostamento
verso l’alto della curva.
Da ciò si conclude che le condizioni fissate nel teorema di Fisher e Weil non
sono sufficienti a garantire l’immunizzazione nel caso in cui il flusso di passività
contenga più di un esborso.
Dall’esempio (22) si evince che le condizioni atte a garantire l’immunizzazione di
un generico flusso di attività e di passività da shift additivi della curva dei tassi
non coincidono con quelle stabilite dal teorema di Fisher e Weil. Piuttosto, ci si
riferisce alle condizioni esposte nel teorema di Redington che, per quanto detto,
può considerarsi un’estensione del precedente.
Sia t l’istante corrente e siano L = {L1 , L2 , . . . , Ln } ed A = {A1 , A2 , . . . , An } due
flussi, di passività ed attività, ad elementi non negativi, con scadenze t1 , t2 , . . . , tn
(t < t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn ) e con A a copertura degli impegni L tale che risulti
soddisfatto il vincolo di bilancio:
A(t) = L(t).
(4.37)
Nell’ipotesi che in t+ si verifichi uno shift additivo di ampiezza aleatoria infinitesima della struttura dei tassi, il valore post-shift del flusso A risulterà non minore
del valore post-shift di L, ossia:
A(t+ ) ≥ L(t+ ),
100
(4.38)
c
Joseph Andria °
4.3. L’immunizzazione finanziaria
se e solo se la duration di A, calcolata in t, coincide con quella di L, ovvero:
D(t, A) = D(t, L)
(4.39)
e se il momento di secondo ordine di A è non minore del momento di secondo
ordine di L:
D
(2)
(t, A) ≥ D
(2)
(t, L).
(4.40)
Si noti che, differentemente dal teorema di Fisher e Weil, il teorema in questione
garantisce la condizione di immunizzazione del portafoglio netto soltanto nel caso
di shift additivi infinitesimi della struttura dei tassi e, pertanto, non può considerarsi, propriamente, come un’estensione del primo che vale anche per shift di
ampiezza finita.
È agevole, a questo punto, rileggere il risultato ottenuto nell’esempio (22) alla luce
del teorema suesposto. Calcolando, infatti, la convessità del flusso delle attività e
(2)
(2)
quella delle passività si ottiene il seguente risultato: D (0, A) = 1.68 <D (0, L) =
1.98, per cui i flussi, essendo contraddetta la (4.40) e, quindi, non soddisfacendo
la terza condizione del teorema di Redington, non risultano immunizzati.
Esempio 23. Sia t = 0 l’istante di valutazione ed L = {10 , 000 , 000 ; 50 , 000 } il
flusso delle passività con maturities, rispettivamente, a 365 e 410 giorni da oggi.
Si verifichi che il flusso degli impieghi composto da 6,419,142 di valore facciale del
BOT a 340 gg. e da 8,580,890 di valore facciale del CTZ a 410 gg. rappresenti
una copertura immunizzata relativamente ad uno shift parallelo della curva dei
tassi spot.
A tal fine occorre verificare se le condizioni poste dal teorema di Redington risultano
soddisfatte o meno. Per cui:
A(0 ) = 6 , 419 , 142 × 0 .98170 + 8 , 580 , 890 × 0 .97767 = 14 , 690 , 950
L(0 ) = 10 , 000 , 000 × 0 .98026 + 50 , 000 × 0 .97767 = 14 , 690 , 950 .
Quindi la (4.37), ossia il vincolo di bilancio, è soddisfatta. Le duration dei due
flussi sono pari, rispettivamente, a:
D(0 , A) = 1 .041023
D(0 , L) = 1 .041023 ,
per cui si evince che anche la condizione (4.39) risulta soddisfatta. Per quanto
concerne, invece, le condizioni di second’ordine si ha:
D
(2 )
(0 , A) = 1 .092739
D
101
(2 )
(0 , L) = 1 .087105
c
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4.3. L’immunizzazione finanziaria
(2 )
(2 )
ed essendo D (0 , A) > D (0 , L), si conclude che il portafoglio selezionato costituisce una copertura immunizzata del flusso L. Se, infatti, in 0 + si verifica
uno shift additivo della struttura dei tassi pari a 20bp, il valore netto post-shift del
portafoglio risulta:
A(0 + ) − L(0 + ) = 6 , 419 , 142 × 0 .977238582 + 8 , 580 , 890 × 0 .972316125 +
−10 , 000 , 000 × 0 .975478885 − 50 , 000 × 0 .972316125 =
= 14 , 616 , 371 − 14 , 616 , 369 = 0 .18 .
Inoltre, il valore attuale netto del portafoglio in 0 + risulta maggiore di zero qualunque
sia l’ampiezza dello shift della curva dei tassi (si veda fig.(4.3)), per cui, la condizione di immunizzazione, nella fattispecie, vale non soltanto localmente.
VN (0+ )
∆i(0+ )
Figura 4.3: Andamento del valore attuale netto del portafoglio di cui all’es.(23) per variazioni della struttura dei tassi di differente
ampiezza.
102
c
Joseph Andria °