3-Mustaqil ishi reja: p va np sinflar,np-to`liq masalalar tushunchasi
3-Mustaqil ishi
REJA:
1.P va NP sinflar,NP-to`liq masalalar tushunchasi.
2.Algoritimlarni baholash mezonlari.
3.Vaqt va hajm bo`yicha baholashga misollar.
4.Integrallarni taqribiy hisoblashda Nyuton-Kotes
formulalari.
5.G`oyalari va hatolik tartibi.
6.Integrallarni taqribiy hisoblashda Gauss
formulalari.G`oyasi va hatolik tartibi.
7.Samaradorligi to`plamlarida qisqartma akslantirishlar. Va
ularga amaliy tadbiqlarga misollar.
8.Algebraik va transsedent tenglamalarni taqribiy yechishda
oraliqni teng ikkiga bo`lish va vatarlar usullarini
samaradorlik bo`yicha taqqoslash.
9.Algebraik va transsedent tenglamalarni taqribiy yechishda
vatarlar va Nyuton usullarini samaradorlik bo`yicha
taqqoslash.
Polinom – ba’zi kuchlarga va ularning koeffitsientlariga
ko’tarilgan o’zgaruvchilardan tashkil topgan ibora.
Masalan, ax² + bx + c shaklidagi ikkinchi darajali
ko’paytma.Algoritm vaqt murakkabligi – kirishning
uzunligi funktsiyasi sifatida bajarilishi uchun algoritm olgan
vaqt. Katta O belgi yordamida umumiy ifodalanadi.
Masalan, 2n o’lchamdagi barcha elementlarni birma-bir
bosib chiqarish uchun algoritm yozsak, uning vaqt
murakkabligi O (n) bo’ladi.Polinomial vaqt murakkabligi –
algoritmning vaqt murakkabligi n ^ {O (1)}P =
Deterministik Turing mashinasi tomonidan ko’paytirilgan
vaqt ichida echiladigan muammolar to’plami. NP = noaniq
bo’lmagan polinomik vaqt ichida yechilishi mumkin bo’lgan
echimlar muammolarining to’plami (javob ha yoki yo’q) i.e
ko’p bo’lmagan vaqt ichida noaniqsiz Turing Machine [4]
tomonidan hal qilinishi mumkin.Nondeterministic Turing
Machine (NTM) – dallanadigan mashina. Agar
hisoblashning keyingi bosqichi uchun ko’plab imkoniyatlar
mavjud bo’lsa, ushbu mashina ularning barchasini bir
vaqtning o’zida o’chirib qo’yishi mumkin. NTM-lar O (1)
vaqtda ko’p variantlardan to’g’ri variantni taxmin qilishga
qodir.Npga alternativ ta’rif bu mumkin bo’lgan echim
taqdim etilsa, DTM polinomik vaqt ichida uning to’g’riligini
tekshirishga imkon beradigan qarorlar to’plamidir. Shuni
ta’kidlash kerakki, barcha P muammolar NP ga ham
tegishli, chunki agar muammo DTM tomonidan ko’p
martali hal qilinsa, mumkin bo’lgan echimni tekshirish hal
qilishdan osonroq bo’ladi. Shunday qilib, DTM ham ko’plik
vaqt ichida ham tekshirishi mumkin edi. Shunday qilib,
arzimas, P ⊆ NP i.e P NP ning pastki qismi.Bugungi kunda
mavjud bo’lgan barcha kompyuterlar DTM va NTM
fikrlash tajribalarida ishlatiladigan sof nazariy kompyuter
ekanligini bilish ham muhimdir. Professor Erik Demain
aytganidek [1].”Demak, bu (NTM) ancha kuchli model.
Albatta, bunday ishlaydigan kompyuterlar yo’q, afsuski,
men ko’proq qiziqayapman ”.

Polinom – ba’zi kuchlarga va ularning koeffitsientlariga ko’tarilgan o’zgaruvchilardan
tashkil topgan ibora. Masalan, ax² + bx + c shaklidagi ikkinchi darajali
ko’paytma.Algoritm vaqt murakkabligi – kirishning uzunligi funktsiyasi sifatida
bajarilishi uchun algoritm olgan vaqt. Katta O belgi yordamida umumiy ifodalanadi.
Masalan, 2n o’lchamdagi barcha elementlarni birma-bir bosib chiqarish uchun algoritm
yozsak, uning vaqt murakkabligi O (n) bo’ladi.Polinomial vaqt murakkabligi –
algoritmning vaqt murakkabligi n ^ {O (1)}P = Deterministik Turing mashinasi
tomonidan ko’paytirilgan vaqt ichida echiladigan muammolar to’plami. NP = noaniq
bo’lmagan polinomik vaqt ichida yechilishi mumkin bo’lgan echimlar muammolarining
to’plami (javob ha yoki yo’q) i.e ko’p bo’lmagan vaqt ichida noaniqsiz Turing Machine
[4] tomonidan hal qilinishi mumkin.Nondeterministic Turing Machine (NTM) –
dallanadigan mashina. Agar hisoblashning keyingi bosqichi uchun ko’plab imkoniyatlar
mavjud bo’lsa, ushbu mashina ularning barchasini bir vaqtning o’zida o’chirib qo’yishi
mumkin. NTM-lar O (1) vaqtda ko’p variantlardan to’g’ri variantni taxmin qilishga
qodir.Npga alternativ ta’rif bu mumkin bo’lgan echim taqdim etilsa, DTM polinomik
vaqt ichida uning to’g’riligini tekshirishga imkon beradigan qarorlar to’plamidir. Shuni
ta’kidlash kerakki, barcha P muammolar NP ga ham tegishli, chunki agar muammo DTM
tomonidan ko’p martali hal qilinsa, mumkin bo’lgan echimni tekshirish hal qilishdan
osonroq bo’ladi. Shunday qilib, DTM ham ko’plik vaqt ichida ham tekshirishi mumkin
edi. Shunday qilib, arzimas, P ⊆ NP i.e P NP ning pastki qismi.Bugungi kunda mavjud
bo’lgan barcha kompyuterlar DTM va NTM fikrlash tajribalarida ishlatiladigan sof
nazariy kompyuter ekanligini bilish ham muhimdir. Professor Erik Demain aytganidek
[1].”Demak, bu (NTM) ancha kuchli model. Albatta, bunday ishlaydigan kompyuterlar
yo’q, afsuski, men ko’proq qiziqayapman ”.
NP-qiyin – agar X ∈ NP X-ga tushadigan bo’lsa, X
muammosi kamida Npda hal qilinadi, masalan NP-ning har
bir muammosini hal qilish qiyin (agar P! = NP bo’lsa, unda
X P ga tegishli bo’lmaydi).Reduksiya – A muammoni
kiritishlarni ko’paytma vaqt algoritmidan foydalanib, B
muammosining ekvivalent kirishiga aylantirish jarayoni.
Ekvivalent degani, A va B muammolari kirish va
o’zgartirilgan kirish uchun bir xil javobni (Ha yoki Yo’q)
berishi kerak. A dan B gacha qisqartirish algoritmining
mavjudligi quyidagilarni nazarda tutadi:1. Agar B ∈ P
bo’lsa, u holda A ∈ P (ko’paytmali vaqt ichida A dan B
gacha qisqartirishingiz mumkin va B polinomik vaqt ichida
echishingiz mumkin. Buni birlashtirish A uchun ko’p vaqtli
algoritmni beradi)2. Agar B ∈ NP bo’lsa, unda A ∈ NP3.
Agar A NP-qattiq bo’lsa, B – NP-qattiq. A ko’paytirilgan
vaqt ichida B ga kamayishi mumkin va agar B NP-qiyin
bo’lmasa, u B B NP-NP-qiyin va bu A ∈ NP-NP-qattiq, bu
farazga zid (A-NP-qiyin) degan ma’noni anglatadi.NPto’liqligi – agar X ∈ NP va X bo’lsa, NP-qiyin bo’lsa, X
muammo NP-tugallanadi. 1-qadam – X ∈ NP ni ko’rsatish.
X uchun netereterministik algoritmni toping. Ammo amaliy
usul, agar potentsial echim taqdim etilsa, X uchun
ko’paytmali vaqt tekshiruvini o’tkazishdir.2-qadam – X-ni
ko’rsatish qiyin emas. Ma’lum NP-muammoni X-ga
qisqartirish. Demak, biz ko’rgan 3-rasm orqali X bu NPqiyin ekanligini anglatadi.

NP-qiyin – agar X ∈ NP X-ga tushadigan bo’lsa, X muammosi kamida Npda hal qilinadi,
masalan NP-ning har bir muammosini hal qilish qiyin (agar P! = NP bo’lsa, unda X P ga
tegishli bo’lmaydi).Reduksiya – A muammoni kiritishlarni ko’paytma vaqt algoritmidan
foydalanib, B muammosining ekvivalent kirishiga aylantirish jarayoni. Ekvivalent
degani, A va B muammolari kirish va o’zgartirilgan kirish uchun bir xil javobni (Ha yoki
Yo’q) berishi kerak. A dan B gacha qisqartirish algoritmining mavjudligi quyidagilarni
nazarda tutadi:1. Agar B ∈ P bo’lsa, u holda A ∈ P (ko’paytmali vaqt ichida A dan B
gacha qisqartirishingiz mumkin va B polinomik vaqt ichida echishingiz mumkin. Buni
birlashtirish A uchun ko’p vaqtli algoritmni beradi)2. Agar B ∈ NP bo’lsa, unda A ∈
NP3. Agar A NP-qattiq bo’lsa, B – NP-qattiq. A ko’paytirilgan vaqt ichida B ga
kamayishi mumkin va agar B NP-qiyin bo’lmasa, u B B NP-NP-qiyin va bu A ∈ NP-NPqattiq, bu farazga zid (A-NP-qiyin) degan ma’noni anglatadi.NP-to’liqligi – agar X ∈ NP
va X bo’lsa, NP-qiyin bo’lsa, X muammo NP-tugallanadi. 1-qadam – X ∈ NP ni
ko’rsatish. X uchun netereterministik algoritmni toping. Ammo amaliy usul, agar
potentsial echim taqdim etilsa, X uchun ko’paytmali vaqt tekshiruvini o’tkazishdir.2qadam – X-ni ko’rsatish qiyin emas. Ma’lum NP-muammoni X-ga qisqartirish. Demak,
biz ko’rgan 3-rasm orqali X bu NP-qiyin ekanligini anglatadi.
Algoritmni baholash mezonlari Og’irlikni o’lchashning
yagona mezoni (RVC) algoritmning har bir bosqichi
vaqtning birligida va xotira xujayrasi bitta hajm birligida
(doimiyga aniq) bajarilishini taxmin qiladi. Logarifmik
o’lchov mezoni (LCV) ma’lum bir operatsiya bilan ishlov
berilgan operand hajmini va xotira hujayrasida
saqlanadigan qiymatni hisobga oladi. LCV vaqt
murakkabligi l (O p ) qiymati bilan belgilanadi , bu erda O p
– operandning qiymati. LCV ning sig’im murakkabligi l (M)
qiymati bilan belgilanadi , bu erda M – xotira xujayrasining
kattaligi. Umumiy qiyinchiliklarni baholash xususiyatlari
Endi biz murakkablikni hisoblash uchun eng ko’p
ishlatiladigan ba’zi funktsiyalarni sanab o’tamiz. Vazifalar
murakkablikning ortib boradigan tartibida keltirilgan.
Ushbu ro’yxatdagi funktsiya qanchalik yuqori bo’lsa,
bunday taxminga ega algoritm tezroq bajariladi. 1. C doimiy
2. log (log (N)) 3. log (N) 4. N ^ C, 8. C ^ N, C> 1 9. N!

Algoritmni baholash mezonlari Og’irlikni o’lchashning yagona mezoni (RVC)
algoritmning har bir bosqichi vaqtning birligida va xotira xujayrasi bitta hajm birligida
(doimiyga aniq) bajarilishini taxmin qiladi. Logarifmik o’lchov mezoni (LCV) ma’lum
bir operatsiya bilan ishlov berilgan operand hajmini va xotira hujayrasida saqlanadigan
qiymatni hisobga oladi. LCV vaqt murakkabligi l (O p ) qiymati bilan belgilanadi , bu
erda O p – operandning qiymati. LCV ning sig’im murakkabligi l (M) qiymati bilan
belgilanadi , bu erda M – xotira xujayrasining kattaligi. Umumiy qiyinchiliklarni
baholash xususiyatlari Endi biz murakkablikni hisoblash uchun eng ko’p ishlatiladigan
ba’zi funktsiyalarni sanab o’tamiz. Vazifalar murakkablikning ortib boradigan tartibida
keltirilgan. Ushbu ro’yxatdagi funktsiya qanchalik yuqori bo’lsa, bunday taxminga ega
algoritm tezroq bajariladi. 1. C doimiy 2. log (log (N)) 3. log (N) 4. N ^ C, 8. C ^ N, C> 1
9. N!
Agar murakkablik tenglamasi ushbu funktsiyalarning bir
nechtasini o'z ichiga olgan algoritmning murakkabligini
baholashni istasak, tenglamani jadvalda joylashgan
funktsiyaga kamaytirish mumkin. Masalan, O (log (N) + N!)
= O (N!). Agar algoritm kam miqdordagi ma'lumotlarga
kamdan-kam hollarda chaqirilsa, O (N ^ 2)
murakkabligini maqbul deb hisoblash mumkin, ammo agar
algoritm real vaqtda ishlayotgan bo'lsa, O (N) ishlash har
doim ham etarli bo'lmaydi. Odatda, N * log (N)
murakkablikdagi algoritmlar yaxshi tezlikda ishlaydi. N ^ C
murakkablikdagi algoritmlardan faqat S ning kichik
qiymatlari uchun foydalanish mumkin, ularning tartibi C ^
N va N funktsiyalari bilan belgilanadigan algoritmlarning
hisoblash murakkabligi! juda katta, shuning uchun bunday
algoritmlardan faqat oz miqdordagi ma'lumotlarni qayta
ishlash uchun foydalanish mumkin. Algoritmlarni tahlil
qilish; eng yaxshi, eng yomon va o'rtacha ish vaqti. Bitta
masalani echishning turli xil algoritmlarini ko'rib chiqsak,
ular qancha hisoblash resurslarini (ishlash vaqti, xotira)
talab qilishini tahlil qilish va eng samaralisini tanlash
foydalidir. Albatta, hisoblashning qaysi modelidan
foydalanilganligi to'g'risida kelishib olishimiz kerak.

Agar murakkablik tenglamasi ushbu funktsiyalarning bir nechtasini o'z ichiga olgan
algoritmning murakkabligini baholashni istasak, tenglamani jadvalda joylashgan
funktsiyaga kamaytirish mumkin. Masalan, O (log (N) + N!) = O (N!). Agar algoritm
kam miqdordagi ma'lumotlarga kamdan-kam hollarda chaqirilsa, O (N ^ 2)
murakkabligini maqbul deb hisoblash mumkin, ammo agar algoritm real vaqtda
ishlayotgan bo'lsa, O (N) ishlash har doim ham etarli bo'lmaydi. Odatda, N * log (N)
murakkablikdagi algoritmlar yaxshi tezlikda ishlaydi. N ^ C murakkablikdagi
algoritmlardan faqat S ning kichik qiymatlari uchun foydalanish mumkin, ularning tartibi
C ^ N va N funktsiyalari bilan belgilanadigan algoritmlarning hisoblash murakkabligi!
juda katta, shuning uchun bunday algoritmlardan faqat oz miqdordagi ma'lumotlarni
qayta ishlash uchun foydalanish mumkin. Algoritmlarni tahlil qilish; eng yaxshi, eng
yomon va o'rtacha ish vaqti. Bitta masalani echishning turli xil algoritmlarini ko'rib
chiqsak, ular qancha hisoblash resurslarini (ishlash vaqti, xotira) talab qilishini tahlil
qilish va eng samaralisini tanlash foydalidir. Albatta, hisoblashning qaysi modelidan
foydalanilganligi to'g'risida kelishib olishimiz kerak.
Rasmiy ta’riflardan biri bo’yicha algoritm bu qo’yilgan
masalani yechilishiga olib keluvchi aniq harakatlarning
chekli ketma-ketligidir. Algoritmlarning turli ta’riflari
mavjud. Bu tushunchadan algoritmning quyidagi xossalari
kelib chiqadi:
Rasmiy ta’riflardan biri bo’yicha algoritm bu qo’yilgan
masalani yechilishiga olib keluvchi aniq harakatlarning
chekli ketma-ketligidir. Algoritmlarning turli ta’riflari
mavjud. Bu tushunchadan algoritmning quyidagi xossalari
kelib chiqadi:
Diskretlilik – ya’ni aniqlanayotgan jarayonni qadambaqadam ko’rinishi.
Ommaviylik – algoritm o’xshash masalalar turkumini
yechishi kerak.
Tushunarlilik-algoritmda beriladigan ko’rsatmalar
foydalanuvchiga tushunarli bo’lib, uning talablariga javob
berishi kerak.
Aniqlilik – algoritmda ma’lum tartibda amallarni bajarish
nazarda tutilishi kerak va bajaruvchiga joriy qadam
tugatilishi bilan qaysi qadam keyingi bo’lib bajarilishi aniq
ko’rsatilishi kerak.

Natijaviylik . Har bir algoritm chekli sondagi qadamlardan so’ng albatta natija berishi
shart. Chekli qadamdan so’ng qo’yilgan masala yechimga ega emasligini aniqlash ham
natija hisoblanadi.
Hisoblash masalalarining qo‘yilishi, tadqiq etilishi va
yechilishi. Tadqiqotchini qiziqtirayotgan miqdorlar
qiymatlarini topish yoki ularning matematik modelga
kirgan boshqa parametlar yoki miqdorlar bilan bog‘liqligi
xarakterini ochib berish uchun matematik masala qo‘yiladi,
keyin u yechiladi. Yechiladigan masalalarning asosiy
turlarini qarab chiqaylik, bular: to‘g‘ri masalalar; teskari
masalalar; identifikatsiya masalalari. 1.1-rasm. Burchak
ostida otilgan jismning harakati sxemasi. Buning uchun
dastlab matematik modelga kirgan miqdorlarni shartli
ravishda uch turga artish mumin: x – dastlabki (kiruvchi)
ma’lumotlar; a – model parametrlari; y – izlanayotgan
yechim (chiquvchi ma’lumotlar). Dinamik modellarda
izlanayotgan yechim ko‘pincha t vaqtning y = y(t) funksiyasi
bo‘lib, u juda muhim ahamiyatga ega.

Hisoblash masalalarining qo‘yilishi, tadqiq etilishi va yechilishi. Tadqiqotchini
qiziqtirayotgan miqdorlar qiymatlarini topish yoki ularning matematik modelga kirgan
boshqa parametlar yoki miqdorlar bilan bog‘liqligi xarakterini ochib berish uchun
matematik masala qo‘yiladi, keyin u yechiladi. Yechiladigan masalalarning asosiy
turlarini qarab chiqaylik, bular: to‘g‘ri masalalar; teskari masalalar; identifikatsiya
masalalari. 1.1-rasm. Burchak ostida otilgan jismning harakati sxemasi. Buning uchun
dastlab matematik modelga kirgan miqdorlarni shartli ravishda uch turga artish mumin: x
– dastlabki (kiruvchi) ma’lumotlar; a – model parametrlari; y – izlanayotgan yechim
(chiquvchi ma’lumotlar). Dinamik modellarda izlanayotgan yechim ko‘pincha t vaqtning
y = y(t) funksiyasi bo‘lib, u juda muhim ahamiyatga ega.
Gauss formulasi - aniq integrallarni taqribiy hisoblash
uchun ishlatiladigan formula:+ A2/(x2)+...+AJ(xn)lbunda:
At — koeffitsiyentlar; jc(. — abssissalar (bular maxsus
jadvallarda beriladi). K. Gauss nomi bilan atalgan.
Kundalik hayotimizda uchraydigan ko‘p muhandislik
masalalarini yechishda aniq integrallarni hisoblashga to‘g‘ri
keladi. Faraz qilaylik, ni hisoblash talab etilsin. Bu yerda
f(x) - [a,b] kesmada berilgan uzluksiz funksiya. Bu integralni
hisoblashda quyidagi formula (Nyuton-Leybnis formulasi)
qo'llaniladi:
bu yerda f(x) - boshlang'ich funksiya. Agar boshlang'ich
funktsiya f(x) ni elementar funksiyalar orqali ifodalab
bolmasa yoki integral ostidagi funksiya f(x) jadval
ko'rinishida berilsa, u holda (1) formuladan foydalanish
mumkin emas.Bu holda aniq integralni taqribiy formulalar
orqali hisoblashga to‘g‘ri keladi.Agar [a;b] kesmada f(x)≥0
bo’lsa, u holda a ning qiymati son jihatidan u=f(x)
funksiyani grafigi hamda x = a, x = b, to'g'ri chiziqlar bilan
chegaralangan shakl (figura)ning yuziga teng .Agar [a;b]
kesmada f(x)≤0 bo’lsa,integralning qiymati yuqorida
keltirilgan shaklning teskari ishora bilan olingan yuziga teng
.
Vatarlar usuli va iteratsiya usuli Vatarlar
usulida f(х) funktsiyaning [a;b] kesmaga tutashtiruvchi
vatar utkaziladi. Tenglamaning taqribiy ildizini
topish у=f(х) funktsiyaning birinchi va ikkinchi tartibli
hosilalarining ishoralariga boglik. Agar f |(x) 0 va f ||(x)

Vatarlar usuli va iteratsiya usuli Vatarlar usulida f(х) funktsiyaning [a;b] kesmaga
tutashtiruvchi vatar utkaziladi. Tenglamaning taqribiy ildizini topish у=f(х) funktsiyaning
birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarining ishoralariga boglik. Agar f |(x) 0 va f ||(x)
Algebraik va transsendent tenglamalar haqida tushuncha
Noma’lum qatnashgan tenglikka tenglama deyiladi.
F(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish,
tenglamani yechish deyiladi. Tenglama – bu ikki
funksiyaning qiymatlari f (x, y, …) = g (x, y, ..) ga teng
bo’lganda, argumentlarning qiymatlarini topish
muammosining analitik yozuvidir. Bu funksiyalarga bog’liq
bo’lgan argumentlar odatda noma’lum deb ataladi va
funksiyalar qiymatlari teng bo’lgan noma’lum qiymatlari
yechimlar yoki ildizlar deb ataladi. Algebraik tenglama
quyidagi ko’rinishga ega:
Algebraik va transsendent tenglamalar haqida tushuncha
Noma’lum qatnashgan tenglikka tenglama deyiladi.
F(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish,
tenglamani yechish deyiladi. Tenglama – bu ikki
funksiyaning qiymatlari f (x, y, …) = g (x, y, ..) ga teng
bo’lganda, argumentlarning qiymatlarini topish
muammosining analitik yozuvidir. Bu funksiyalarga bog’liq
bo’lgan argumentlar odatda noma’lum deb ataladi va
funksiyalar qiymatlari teng bo’lgan noma’lum qiymatlari
yechimlar yoki ildizlar deb ataladi. Algebraik tenglama
quyidagi ko’rinishga ega:

P(x1,x2,..xn)=Q(x1,x2,…xn) Bu yerda P va Q – ratsional sonli koeffitsentlar bilan
berilgan ko’phadlar. Chiziqli tenglama – noma’lumning birinchi darajasi qatnashgan
tenglamadir. Chiziqli tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lishi mumkin. Ax+b=0. a,b,
berilgan sonlar. Ko’pgina amaliy hollarda murakkab shaklda berilgan tenglamalarni
algebraik yechish usullari mavjud emas va ularni analitik yechib bo’lmaydi.
1.https://hozir.org/mavzu-p-va-np-sinflarnp-toliq-masalalartushunchasi-reja.html
1.https://hozir.org/mavzu-p-va-np-sinflarnp-toliq-masalalartushunchasi-reja.html
2. http://kompy.info/algoritmlarni-loyihalashv2.html?page=3
3. https://hozir.org/algoritmlarni-vaqt-boyicha-va-hajmiymurakkabligini-baholash-u.html
4. http://elib.buxdu.uz/index.php/pages/joomla/94integrallarni-taqribiy-hisoblashda-kvadratur-formular
5. https://www.researchgate.net/profile/AblakulAbdirashidov/publication/338388067_Computational_metho
ds_Part_1_-_Hisoblash_usullari_1qism_AAbdirashidov/links/5e10932c92851c8364b05f23/Com
putational-methods-Part-1-Hisoblash-usullari-1-qismAAbdirashidov.pdf
6. https://fayllar.org/mavzu-integralni-taqribiy-hisoblashusullari.html
7.
8. https://www.kompy.info/arshi-muandislik-itisodiyotinstituti-axborot-texnologiyalari.html?page=137

9. https://fayllar.org/pars_docs/refs/714/713824/713824.pdf
Foydalangan adabiyotlar
http://fayllar.org