Nematullayev Abduvohid
Mustaqil ish
Mavzu: Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechish usullarini
yaqinlashish tezligi bo’yicha baholash.
REJA
1. Algebraik va transcendent tenglamalar haqida tushuncha
2. Tenglamalarni yechishning oraliqni ikkiga bo’lish usuli
3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Kalit so’zlar: tenglama, algebraic tenglama, transsendent, ildizlarini ajratish,
grafik usul, iteratsiya, yaqinlashuvchi jarayon, iteratsiya usuli
I.
Algebraik va transsendent tenglamalar haqida tushuncha
Noma’lum qatnashgan tenglikka tenglama deyiladi.
f(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish, tenglamani yechish
deyiladi.
Tenglama - bu ikki funksiyaning qiymatlari f (x, y, ...) = g (x, y, ..) ga teng
bo'lganda, argumentlarning qiymatlarini topish muammosining analitik yozuvidir.
Bu funksiyalarga bog'liq bo'lgan argumentlar odatda noma'lum deb ataladi va
funksiyalar qiymatlari teng bo'lgan noma'lum qiymatlari yechimlar yoki ildizlar deb
ataladi.
Algebraik tenglama quyidagi ko’rinishga ega:
P(x1,x2,..xn)=Q(x1,x2,…xn)
Bu yerda P va Q – ratsional sonli koeffitsentlar bilan berilgan ko’phadlar.
Chiziqli tenglama – noma’lumning birinchi darajasi qatnashgan tenglamadir.
Chiziqli tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lishi mumkin. ax+b=0. a,b, berilgan sonlar.
Ko’pgina amaliy hollarda murakkab shaklda berilgan tenglamalarni algebraik
yechish usullari mavjud emas va ularni analitik yechib bo’lmaydi. Transendent
tenglamalar uchun aniq yechim bir necha xususiy holatda bo'lishi mumkin.
Agar tenglamalarni yechishda aniq yechim topilmasa taqribiy usullar
qo’llaniladi. Masalan, takrorlanadigan yondashuvlar usullari bilan taqribiy yechimni
olish mumkin.
Amaliyotda, ba’zi masalalarda
f(x)=0
ko‘rinishdagi bir noma’lumli chiziqsiz tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi. Agar
f(x) funksiya ko’phadlardan iborat bo’lsa, u algebraik, agar tenglama trigonometric,
algebraic va logarifmik ko’rinishlarda bo’lsa, transcendent tenglamalar deyiladi.
Bunda f(x) [a,b] oraliqda aniqlangan funksiya bo‘lib, f(t)=0 bo‘lsa, x=t ni
tenglamaning yechimi-ildizi deyiladi. Tenglamaning aniq yechimini topish qiyin
bo‘lgan hollarda uning taqribiy yechimini topishga to‘g‘ri keladi, bu ikki bosqichga
bo‘linadi.
1) Yechimni ajratish(yakkalash), ya’ni yagona yechim yotgan intervalni
aniqlash;
2) Taqribiy yechimni topilgan intervalda berilgan aniqlikda topish.
Tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni aniqlash uchun quyidagi
teoremadan foydalaniladi.
1-teorema . Aytaylik,
1) f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega
bo‘lsin;
2) f(a).f(b)<0, ya’ni f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega
bo‘lsin;
3) fґ(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin.
U holda, tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi.
Hozirgi paytda chiziqsiz tenglamalarni yechish uchun oldingi o’ringa sonli-taqribiy
usullar chiqib oldi. Bu usullar o’zlarining umumlashgani, tenglamani yetarli aniqlikda
yecha olishi bilan ajralib turadi. Shuning uchun chiziqsiz tenglamalarni yechishning
sonli-taqribiy usullari uchun dastur ta’minotlarini yaratilishi muhim va aktual masala
hisoblanadi.
Chiziqsiz tenglamalardan na’munalar:
1.
2.
3.
4.
x3-3x2 +7x-6=0
x2 -sin x =0
ln |7x|-cos 6x=0
e2x-x=0
Chiziqsiz tenglamalarni sonli-taqribiy usullar bilan yechishni tashkil qilish uchun
tenglamaning nechta yechimi mavjud ekanligi yoki umuman yechimi yo’qligi haqida
ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak. Bundan tashqari, tenglamaning yagona yechimi
yotgan oraliqni ham aniqlashga to’g’ri keladi. Buning uchun berilgan tenglamani
yechishning grafik usulidan foydalanamiz.
Bizga quyidagi umumiy holda yozilgan chiziqsiz tenglama berilgan bo’lsin:
f(x)=0
(1)
Tenglamaning y=f(x) funksiyasini grafigini OXY dekart koordinatalar sistemasida
ko’ramiz.
Funksiya grafigining OX o’qini kesib o’tgan xyechim nuqtasi tenglamaning
qidirilayotgan yechimi hisoblanadi. Yechim joylashgan oraliqni funksiyani ishorasini
almashtirish shartidan foydalanib aniqlash mumkin:
f(a) f(b)<0
Shunday qilib, tenglamaning yechimi yotgan oraliq va uning qiymati haqida yetarli ma’lumotga
ega bo’ldik.
Yuqorida eslatganimizdek chiziqsiz tenglamalarni ularni qaysi tipga tegishliligiga qarab
yechimni analitik, ya’ni formula ko’rinishda aniqlash mumkin. Lekin, ko’pincha chiziqsiz tenglamani
analitik yechimlarini formulalar yordamida aniqlash imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ixtiyoriy
chiziqsiz tenglamani yechishning EHMdan foydalanishga mo’ljallangan sonli-taqribiy usullariga
e’tibor kuchayib bormokda.
Bu usullar jumlasiga quyidagilarni kiritish mumkin:
• oddiy ketma-ketlik (iterasiya);
• oraliqni teng ikkiga bo’lish;
• urinmalar (Nyuton);
• vatarlar (xord) va boshqalar
Sanab o’tilgan usullardan oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usuli to’g’ri tanlangan oraliqlarda
ko’tilgan natijalarni uzoqroq vaqt sarflab bo’lsa ham aniqlab beradi. Urinmalar va oddiy ketma-ketlik
usullari esa mos ravishda to’g’ri tanlangan boshlang’ich qiymat va |(x)|<<1 shartda o’ta tezlik bilan
taqribiy yechimni zarur aniqlikda topish imkoniyatini yaratadi.
2. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi
Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi)
taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo’yicha
tashkil qilamiz:
• 1. Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
• 2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a) f(c)<0 shartidan foydalanib
aniqlaymiz.
• 3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni yana
teng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda tenglamaning
taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab
qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz
3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=𝜓(x) ko‘rinishdagi
tenglamaga keltiramiz.
2-teorema. Aytaylik,
1) 𝜓 (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;
2) 𝜓 (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda  𝜓 (x)q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= 𝜓 (x) tenglamaning yagona x=t yechimi
mavjud va bu yechim
tn= 𝜓 (tn-1). t0  a; b
formulalar bilan aniqlanadi
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama uchun
yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida
ko‘rish mumkin.
Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t0 qiymat [a,b]
oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, ti – ni yechimning
i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan,
grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a).f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz.
3)Tenglamani x =  (x) ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b]
da  ' ( x) mavjudligini tekshiramiz va q = max  ' ( x) ni topamiz.
x   a; b 
4) Agar q<1 bo‘lsa, xn =  ( xn−1 ) ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x0
uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  xn- xn-1 < shart bajarilguncha davom
ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun xn ni olamiz.
Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x3-20x+3=0
tenglamani [0,1] intervalda 10-4 aniqlikda toping.
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan 𝑥 = 𝜓(𝑥) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga
o’tkazib olamiz.
1) 𝑥 = 𝑥 + (5𝑥 3 − 20𝑥 + 3) bunda 𝜓1 (𝑥) = 5𝑥 3 − 19𝑥 + 3
3
2) 𝑥 = √
3) 𝑥 =
20𝑥−3
5
5𝑥 3 +3
20
bunda,
bunda,
3
𝜓2 (𝑥) = √
𝜓3 (𝑥)=
20𝑥−3
5
5𝑥 3 +3
20
𝜓(𝑥) funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning
uchun,
|ψ′ (x)| < 1
shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x0 nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x0=0.5;
𝜓1′ (𝑥) = 15𝑥 2 − 19
2
4 20𝑥 − 3 −3
′ (𝑥)
𝜓2
= (
) ;
3
5
3
𝜓3′ (𝑥) = 𝑥 2
4
Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz
|𝜓1′ (𝑥0 )| > 1
– uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
{ ′
|𝜓2 (𝑥0 )| > 1
|𝜓3′ (𝑥0 )| < 1 – yaqinlashuvchi iteratsion jarayon
Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat 𝜓3 (𝑥) funksiya yaqinlashuvchi ekan.
1) 𝑥1 =
5𝑥0 3 +3
2) 𝑥2 =
20
5𝑥1 3 +3
20
ni hisoblaymiz va |𝑥1 − 𝑥0 | < 𝜀 shartni tekshiramiz. 𝜀 = 0.0001.
|𝑥2 − 𝑥1 | < 𝜀
Bu jarayonni |𝑥1 − 𝑥0 | < 𝜀 shart bajarilguncha davom ettiramiz.
4. Vatarlar usuli
Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini
tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x1 va  ga mos
nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x1] yoki [x1, b] olinsa, avvalgi [a, b]
kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga
yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu
jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin
bo’ladi.
Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini  aniqlikda hisoblash uchun x0 boshlang’ich
yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi
va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm)
yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x0=b, qolgan hollarda x0=a qilib olish kerak (1-b
va 1-c rasmlar).
a)
c)
b)
d)
1-rasm.
Birinchi x0=a bo’lgan holda x=b qo’zg’almas nuqta bo’ladi va
ildizga keyingi yaqinlashishlar
𝑓(𝑥 )(𝑏−𝑥 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑏𝑛)−𝑓(𝑎)𝑛
(3)
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0, 1, 2, … yaqinlashish
tartibi, xn-n – tartibli yaqinlashish.
Ikkinchi, x0=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar
𝑓(𝑎)(𝑥𝑛 −𝑎)
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
(4)
)−𝑓(𝑎)
𝑓(𝑥𝑛
formula bilan hisoblanadi.
Yaqinlashish jarayoni |xn-xn-1|≤ shart bajarilguncha davom etadi.
Bunda 𝑥0 =b
Urinmalar (Nyuton) usuli
Bu usul qo’llanilganda tenglamaning ajralgan [a,b] ildiziga boshlang’ich
yaqinlashish x0 tanlab olinadi va ketma-ket yaqinlashishlar
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − ′
, 𝑛 = 0, 1, 2, …
𝑓 (𝑥𝑛 )
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n yaqinlashishlar tartib soni, xn – ildizga n –
yaqinlashish.
Boshlang’ich, ya’ni nolinchi yaqinlashish f(a) f’"(a)>0 shartni bajaradigan qilib
olinadi. Agar shart bajarilsa x0=a, aksincha x0=b qilib olinadi.
Urinmalar usuli bilan tenglama ildizlarini aniqlash ikki bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda x0 tanlab olinadi. Buning uchun f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli
hosilasi topiladi va uning x=a nuqtadagi qiymati hisoblanadi hamda yuqoridagi
shartga asosan x0 tanlab olinadi.
Ikkinchi bosqichda f(x), f(x) qiymatlarini hisoblash uchun funksiyalar tuziladi, x0, 
qiymatlari EHMga kiritiladi va dastur yordamida hisoblashlar bajariladi.