CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 10
Mục lục
Draft
Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chủ đề 2: ĐỊNH LÝ THALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chủ đề 3: BIẾN ĐỔI TỶ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chủ đề 4: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chủ đề 5: ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC − CẶP ĐIỂM LIÊN HỢP ĐẲNG GIÁC . . . . . . . . . . 23
Chủ đề 6: PHƯƠNG TÍCH − TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chủ đề 7: TỶ SỐ KÉP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
PHẠM VĨNH MINH
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
CHỦ ĐỀ 1
B I Ế N
Đ Ổ I
G Ó C
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Góc định hướng
Định lý 1
Cho bốn điểm A, B, C và D. Khi đó A, B, C, D đồng viên nếu và chỉ nếu
(AB, AD) = (CB, CD) ̸= 0 (mod π)
B
C
A
D
Định lý 2
A
C
D
B
Draft
d
Cho ba điểm A, B và C. Khi đó A, B, C thẳng hàng nếu và
chỉ nếu
(AB, d) = (AC, d) (mod π)
A
C
B
Định lý 3
A
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Khi đó
1
(AB, AC) = (OB, OC) (mod π)
2
O
B
2
C
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Định lý 4
A
∆
Cho tam giác ABC và ∆ là một đường thẳng đi qua A.
Khi đó,
(∆, AB) = (CA, CB) (mod π)
C
B
Hệ thức Chasles
c
Cho ba đường thẳng a, b, c bất kỳ. Khi đó
b
(a, b) + (b, c) = (a, c) (mod π)
a
2. Đường đối song
Draft
Định nghĩa
A
∆
Cho tam giác ABC có đường thẳng ℓ song song với BC. Gọi
∆ là đường thẳng đối xứng với ℓ qua đường phân giác của
[ Khi đó, ∆ gọi là đường A − đối song trong tam
BAC.
giác ABC.
ℓ
B
C
Tính chất 1
A
Cho tam giác ABC có ∆ là đường A − đối song. Khi đó, ∆
vuông góc với AO.
O
B
3
C
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Tính chất 2
A
E
F
Cho tam giác ABC có đường tròn bất kỳ qua B, C và cắt
CA, AB lần lượt tại E, F . Khi đó, EF là đường A − đối
song trong tam giác ABC.
B
C
Nhận xét. Trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ, có T là giao điểm của BC và tiếp tuyến
tại A của đường tròn Γ. Khi đó,
A
T
C
B
Draft
• AT là đường A − đối song trong tam giác ABC.
• AB là đường T − đối song trong tam giác T AC.
3. Định lý Riem
Định lý Riem
A
Cho hai đường tròn Γ1 và Γ2 cắt nhau tại A, B.
Một đường thẳng qua A cắt Γ1 , Γ2 lần lượt tại C,
D. Một đường thẳng qua B cắt Γ1 , Γ2 lần lượt tại
E, F . Khi đó, CE // DF .
E
D
C
B
F
BÀI TẬP
P1. (Định lý Miquel trong tam giác) Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E và F lần lượt
thuộc BC, CA và AB. Chứng minh rằng các đường tròn (AEF ), (BF D) và (CDE) cùng một đi
qua một điểm.
P2. Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d thay đổi qua B
cắt (O1 ) và (O2 ) lần lượt tại C và D. Gọi P là giao điểm của CO1 và DO2 . Chứng minh rằng P
4
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
luôn thuộc một đường tròn cố định.
P3. Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại A và B. Gọi C là giao điểm của (O2 ) và tiếp
tuyến tại A của (O1 ). Gọi D là giao điểm của (O1 ) và tiếp tuyến tại A của (O2 ). Gọi E là điểm
đối xứng của A qua B. Chứng minh rằng tứ giác ACED nội tiếp.
P4. Cho tam giác ABC nhọn , vẽ đường cao BH (H ∈ AC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm
của AB và AC. Gọi F là điểm đối xứng của H qua EF . Chứng minh rằng BF đi tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
P5. (Định lý Miquel trong tứ giác) Cho tứ giác ABCD. Gọi E là giao điểm của AB và CD,
F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các đường tròn (EAD), (EBC), (F AB) và
(F CD) cùng đi qua một điểm.
P6. (Đường tròn Euler) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác DM EF nội tiếp đường tròn (I) và I là trung điểm của HO.
b) Gọi N , P , X, Y , Z lần lượt là trung điểm của CA, AB, HA, HB, HC. Chứng minh rằng
các điểm D, E, F ; M , N , P ; X, Y , Z cùng thuộc một đường ttròn.
P7. (Đường thẳng Simson) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ. Lấy điểm S bất kỳ nằm
trên Γ. Gọi X, Y , Z lần lượt là hình chiếu của S trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng các điểm
X, Y , Z thẳng hàng.
P8. (Đường thẳng Steiner) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ với H là trực tâm. Gọi
X, Y , Z lần lượt là điểm đối xứng của P qua BC, CA, AB.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHBZ nội tiếp.
Draft
b) Chứng minh rằng các điểm H, X, Y và
Z thẳng hàng.
P9. (Định lý Collings) Cho tam giác ABC có H là trực tâm và nội tiếp đường tròn Γ. Gọi K là
giao điểm của AH và đường tròn Γ.
a) Chứng minh rằng H, K đối xứng nhau qua BC.
b) Gọi d là đường thẳng bất kỳ qua H và d1 , d2 , d3 lần lượt là đường thẳng đối xứng của d
qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng d1 , d2 , d3 đồng quy tại một điểm thuộc đường tròn Γ.
P10. (Định lý Passcal) Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn Γ. Gọi X là giao điểm của
AE và BF , Y là giao điểm của BD và CE, Z là giao điểm của CF và AD. Chứng minh rằng ba
điểm X, Y và Z thẳng hàng.
P11. Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi Z, Y , Z lần lượt là
hình chiếu của A trên BC, CD, DB. Chứng minh rằng tứ giác OXY Z nội tiếp.
P12. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng. Gọi Γ1 là đường tròn bất kỳ qua
A và B, Γ2 là đường tròn bất kỳ qua B và C, Γ3 là đường tròn bất kỳ qua C và D, Γ4 là đường
tròn bất kỳ qua D và A. Chứng minh rằng giao điểm của các đường tròn Γ1 và Γ2 , Γ2 và Γ3 , Γ3
và Γ4 , Γ4 và Γ1 cùng thuộc một đường tròn.
P13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của AC và BD. F là giao
điểm thứ hai của các đường tròn (EAD) và (EBC).
a) Chứng minh rằng tứ giác EF AB nội tiếp.
[ = 90◦ .
b) Chứng minh rằng OEF
P14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi T là giao điểm của tiếp tuyến tại A và B
của (O). Lấy điểm D bất kỳ trên BC. Gọi E là giao điểm thứ hai của DA và (O), F là giao điểm
5
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
thứ hai của DT và đường tròn (T AB). Chứng minh rằng tứ giác OCEF nội tiếp.
P15. Cho tam giác ABC và điểm D nằm trên BC. Gọi E là giao điểm của AC và đường tròn
(ADB), F là giao điểm của AB và đường tròn (ADC). Gọi K là tâm của đường tròn (AEF ).
Chứng minh rằng OK và BC vuông góc nhau.
P16. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau tại O. Gọi P , Q, R và
S lần lượt là đổi đối xứng của O qua AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng tứ giác P QRS nội
tiếp.
P17. Cho tứ giác ABC. Lấy hai điểm M và N lần lượt trên CA và AB sao cho M N song song
BC. Gọi K là điểm đối xứng của M qua AB, L là điếm đối xứng của N qua AC. P là giao điểm
của AB và CK, Q là giao điểm của AC và BL. Chứng minh rằng tứ giác M N P Q nội tiếp.
P18. Cho tam giác ABC với AH là đường cao và M là trung điểm của BC. Gọi K và L lần lượt
[
là hình chiếu của B và C trên đường phân giác của BAC.
a) Chứng minh rằng tứ giác HKM L nội tiếp đường tròn (S).
b) Chứng minh rằng S thuộc đường tròn Euler của tam giác ABC.
P19. Cho tam giác ABC với M nằm trên BC. Gọi P và Q lần lượt tâm các đường tròn (AM B)
và (AM C). L là giao điểm của BP và CQ. K là điểm đối xứng của L qua P Q. Chứng minh rằng
tứ giác M P KQ nội tiếp.
P20. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có I là tâm nội tiếp. Gọi D là giao điểm của
AI và BC, M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường tròn (O). Gọi K, L lần lượt là tâm
của các đường tròn (M DB), (M DC). Gọi J là điểm đối xứng của I qua KL. Chứng minh rằng
[ = 90◦ .
BJC
Draft
P21. Cho hình bình hành ABCD sao cho CA
= CB. Lấy điểm P nằm trên tia đối tia BA. Gọi
Q là giao thứ hai điểm của DP và đường tròn (ACD). R là giao điểm thứ hai của CP và đường
tròn (AP Q). Chứng minh rằng các đường thẳng AQ, BR và CD đồng quy.
P22. Cho tam giác ABC có D là một điểm nằm trên đường tròn Euler. Gọi E là điểm đối xứng
\ = ABC.
[
của B qua D. Chứng minh rằng BEC
P23. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AB và
CD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi K là giao điểm (khác A) của các đường
tròn (ABE) và (ACN ). Chứng minh rằng tứ giác EF M K nội tiếp.
P24. Cho tam giác ABC có hai điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh CA, AB . Trên cách cạnh
BE, CF lấy hai điểm K, L sao cho KL // BC. Trên các đường thẳng EL, F K lấy các điểm M ,
\
[ và AN
\
[ Chứng minh rằng tứ giác KLM N nội tiếp.
N sao cho AM
E = ABC
F = ACB.
P25. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua B, C và cắt CA,
AB lần lượt tại E, F . Gọi L là giao điểm (khác A) của các đường tròn (AEF ) và (O). Chứng
[ = 90◦ .
minh rằng ALK
[ Trên các
P26. Cho tam giác ABC có P là một điểm nằm trên đường phân giác trong của BAC.
[
\
\
cạnh CA, AB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EP
A=P
CB và F[
PA = P
BC. Chứng minh
rằng tứ giác BCEF nội tiếp.
P27. Cho tam giác ABC có P là một điểm nằm trong tam giác sao cho P[
BA = P[
CA. Trên các
[
\
[
\
cạnh CA, AB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EP A = P CB và F P A = P BC. Chứng minh
rằng EF // BC.
P28. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AH là đường cao. Gọi E, F lần lượt là
6
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
hình chiếu của D lên CA, AB. Gọi P , Q là hai giao điểm của EF và đường tròn (O). Gọi D là
giao điểm (khác A) của AH và đường tròn (O). Chứng minh rằng H là tâm nội tiếp của tam giác
DP Q.
P29. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ. Một đường tròn ω qua B, C và cắt CA, AB lần
lượt tại E, F . Một đường tròn qua E, F (khác ω) và cắt đường tròn Γ tại hai điểm K, L. Chứng
\ = ALF
[.
minh rằng AKE
P30. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt
AC và (O) lần lượt tại E, F . Gọi ℓ là đường thẳng qua F vuông góc với BC. Đường thẳng qua A
vuông góc với ℓ cắt ℓ và (O) lần lượt tại G và H. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của GE với F H
và CD. Chứng minh rằng các điểm C, I, F và J cùng thuộc một đường tròn.
P31. (IMO 2019) Cho tam giác ABC. Lấy điểm A1 nằm trên cạnh BC và điểm B1 trên cạnh
AC. Lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên các đoạn AA1 và BB1 sao cho P Q song song với
\
[ Tương tự, lấy điểm Q1 trên
AB. Lấy điểm P1 trên đường thẳng P B1 , sao cho P
P1 C = BAC.
\
[
đường thẳng QA1 sao cho A1 nằm giữa Q và Q1 , và CQ
1 Q = CBA. Chứng minh rằng các điểm
P, Q, P1 , Q1 đồng viên.
P32. (IMO 2018) Cho Γ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn ABC. Các điểm D và E
lần lượt được chọn trên các đoạn thẳng AB và AC sao cho AD = AE. Các đường trung trực của
BD và CE lần lượt cắt các cung nhỏ AB và AC của Γ tại các điểm F và G. Chứng minh rằng
DE và F G song song với nhau.
P33. (IMO 2015) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Ω tâm O. Đường tròn Γ tâm A cắt
đoạn thẳng BC tại các điểm D và E sao cho B, D, E và C đôi một phân biệt và nằm trên đường
thẳng BC theo đúng thứ tự đó. Gọi F và G là các giao điểm của Γ và Ω, sao cho A, F, B, C và G
Draft
nằm trên Ω theo thứ tự đó. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF
và đoạn thẳng AB. Gọi L là giao điểm giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE
và đoạn CA. Giả sử các đường thẳng F K và GL phân biệt và cắt nhau tại điểm X. Chứng minh
rằng X nằm trên đường thẳng AO.
P34. (IMO 2013) Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H, và gọi W là một điểm trên cạnh
BC, nằm giữa B và C. Điểm M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh B và C. Gọi ω1 là
đường tròn ngoại tiếp tam giác BW N , và gọi X là điểm nằm trên ω1 sao cho W X là đường kính
của ω1 . Tương tự, gọi ω2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác CW M , và gọi Y là điểm nằm trên ω2
sao cho W Y là đường kính của ω2 . Chứng minh rằng X, Y và H thẳng hàng.
7
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
CHỦ ĐỀ 2
Đ Ị N H
L Ý
T H A L E S
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định lý 1
A
Cho tam giác ABC và điểm M nằm bất kỳ trên BC. Lấy
điểm N sao cho M N và BC song song nhau. Khi đó
AM
AN
A, C và N thẳng hàng ⇔
=
AB
AC
N
M
B
C
Định lý 2
Cho hình thang ABCD (AB // BC). Trên các đường thẳng
AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N . Khi đó
M ADraftN D
=
AD, BC và M N đồng quy ⇔
MB
NC
A
D
M
B
C
N
Định lý 3
C
A
Cho hai đoạn thẳng AB và CD có E, F lần lượt thuộc
E
các đường thẳng AB, CD. Lấy các điểm X, Y , Z sao cho
XA // Y E // ZB và XC // Y F // ZD. Khi đó,
EA
FC
X, Y , Z thẳng hàng ⇔
=
B
EB
FD
X
F
Y
D
Z
BÀI TẬP
P1. Cho hình thẳng ABCD (AB //CD). Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của
AD và BC. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của AB và CD.
P2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên BC, AD lấy các điểm E, F tương ứng sao cho
AE // CF . Chứng minh rằng BF // DE.
8
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P3. Cho hai tam giác ABC và DEF sao cho AB // DE, BC // EF và CA // F D. Chứng minh
rằng ba đường thẳng AD, BE và CF đồng quy.
P4. Cho tam giác ABC với AD là đường phân giác ngoài và BE, CF là các đường phân giác
trong. Chứng minh rằng ba điểm D, E và F thẳng hàng.
P5. (Định lý Menelaus + Ceva) Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F lần lượt thuộc các
đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng
DB EC F A
·
·
= 1.
DC EA F B
DB EC F A
b) các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy nếu và chỉ nếu
·
·
== −1.
DC EA F B
a) các điểm D, E, F thẳng hàng nếu và chỉ nếu
P6. Cho tam giác ABC có một đường thẳng d cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Lấy điểm
G sao cho tứ giác AF DG là hình bình hành. Đường thẳng qua E song song với AB cắt CG tại
H. Chứng minh rằng EH = BF .
P7. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF . Lấy điểm P bất kỳ trên EF . Gọi X,
Y , Z lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB. Chứng minh rằng P X = P Y + P Z.
P8. Cho hình bình hành ABCD. Lấy hai điểm E và F lần lượt trên AB và AD. Vẽ hình bình
hành AEGF . Chứng minh rằng ba đường thẳng BF , CG và DE đồng quy.
P9. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn ω. Lấy điểm P bất kỳ nằm trong tam giác
ACD. Gọi E là giao điểm của AP và ω, F là giao điểm của BP và CD, G là giao điểm của DP
và BC. Chứng minh rằng F[
EG = 90◦ .
P10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω. Gọi T là giao điểm tiếp tuyến tại B, C của ω.
Một đường tròn qua B, C và cắt CA, AB lầnDraft
lượt tại E, F . Chứng minh rằng AT đi qua trung
điểm của EF .
P11. Cho đường tròn (O) với dây cung BC cố đinh và điểm A di động trên (O). Các đường cao
AD, BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi N là trung điểm của EF . Chứng minh
rằng đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
P12. Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE và CF . Gọi M là trung điểm của EF . N
là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng BN và EF song song nhau.
P13. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
BC, AB. Gọi G là giao điểm của M N và DE. Chứng minh rằng AG đi qua trung điểm của EF .
P14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có J là tâm bàng tiếp đỉnh A. Gọi M là trung
⌢
điểm của BC N là giao điểm của AC và JM . Gọi S là điểm chính giữa BAC. Chứng minh rằng
SN và JC song song nhau.
P15. Cho đường tròn (O) với dây cung BC cố đinh và điểm A di động trên (O). Đường tròn nội
tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với CA, AB tại E, F . Gọi K, L lần lượt là giao điểm của EF
với IB và IC. Gọi M là trung điểm của KL. Chứng minh rằng đường thẳng IN luôn đi qua một
điểm cố định.
P16. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E,
F . Gọi G là giao điểm của ID và EF , M là giao điểm của AG và BC. CHứng minh rằng M là
trung điểm của BC.
P17. Cho tam giác ABC có BC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I) tại D và đường tròn bàng
tiếp (J) tại S. Vẽ đường kính DT của đường tròn (I). Chứng minh rằng ba điểm A, S, T thẳng
hàng.
P18. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại D. Lấy điểm G sao cho
9
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
tứ giác GAID là hình bình hành. Chứng minh rằng GI đi qua trung điểm M của BC.
P19. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với CA, AB lần lượt tại CA, AB.
Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của M lên EF . Gọi N là điểm chính giữa của cung
BAC. Chứng minh rằng ba điểm I, H, N thẳng hàng.
P20. Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại D. Gọi K và L lần lượt
là trực tâm các tam giác IAB và IAC. Chứng minh rằng ba điểm D, K và L thẳng hàng.
P21. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, AB lần lượt tại D, F .
Đường thẳng qua I vuông góc với IB cắt AB tại K. Đường thẳng qua A song song với BC cắt
DF tại L. Chứng minh rằng C, K, L thẳng hàng.
P22. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D.
Gọi ω là đường tròn đường kính AI. Gọi K là giao điểm (khác A) của các đường tròn (O) và ω.
\
a) Chứng minh rằng KD là đường phân giác của BKC.
b) Gọi L là giao điểm (khác I) của ID và đường tròn ω. Chứng minh rằng KO đi qua trung
điểm của DL.
P23. Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn (O), có AG là đường kính. Tiếp tuyến tại G của
đường tròn (O) cắt BC tại T . Gọi M , N lần lượt là giao điểm của T O với CA, AB. Chứng minh
rằng O là trung điểm của M N .
P24. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với các đường cao AD, BE và CF đồng quy
tại H. Gọi T là giao điểm của tiếp tuyến tại B và C của (O). M là trung điểm của BC. Gọi S là
giao điểm của EF và BT .
a) Chứng minh rằng hai tam giác HDF và M ST đồng dạng.
Draft
b) Gọi N là giao điểm của M H và EF . Chứng minh rằng ba điểm D, T và N thẳng hàng.
P25. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với các đường cao AD, BE và CF đồng quy
tại H. Gọi M là trung điểm của BC. N là giao điểm của tia M H và (O). K là điểm đối xứng của
H qua AB. Gọi T là giao điểm của N K và EF .
a) Chứng minh rằng T B tiếp xúc với (O).
b) Gọi L là giao điểm thứ hai của AD và (O). S là giao điểm của tiếp tuyến tại B và C của
(O). Chứng minh rằng ba điểm N , L và S thẳng hàng.
P26. Cho đường tròn (O) cới dây cung BC cố định và điểm A di động trên (O). Gọi M là trung
điểm của BC. Đường tròn đường kính AM cắt đường tròn (O) tại N (khác A) và cắt BC tại D.
Chứng minh rằng đường thẳng N D luôn đi qua một điểm cố định.
P27. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với H là trực tâm. Gọi D là giao điểm của AH
và BC. T là giao điểm của tiếp tuyến tại B và C của (O). S là giao điểm của T D và tiếp tuyến
tại A của (O). Chứng minh rằng SO đi qua trung điểm M của AH.
P28. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh
BC, CA và AB lần lượt tại D, E và F . Gọi K là điểm đối xứng của D qua EF . Chứng minh rằng
các đường thẳng BC, IO và AK đồng quy.
\ cắt AB, AC lần lượt
P29. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Đường phân giác ngoài BHC
tại K, L.
a) Chứng minh rằng AK = AL.
[ cắt HM tại N . Chứng minh
b) Gọi M là trung điểm của BC, đường phân giác của BAC
rằng tứ giác AKN L nội tiếp.
10
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P30. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC. E và F lần lượt
là giao điểm của tiếp tuyến tại A của (O) với các đường thẳng qua I song song AB và AC.
a) Chứng minh rằng BE, CF song song nhau.
b) Gọi M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của (O) với BF và CE. Chứng minh rằng EF ,
M N và BC đồng quy.
P31. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H. Gọi P và Q lần lượt là
giao điểm của tiếp tuyến tại H của đường tròn (HBC) với AB và AC. Gọi S là giao điểm thứ
hai của các đường tròn (AP Q) và (O). T là giao điểm của tiếp tuyến tại A và S của đường tròn
(AP Q). Chứng minh đường thẳng T H đi qua trung điểm M của BC.
P32. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm H sao cho AH ⊥ BC. Gọi E
và F lần lượt là hình chiếu của AC và AB. Gọi G là gaio điểm thứ hai của các đường tròn (AEF )
và (O). Gọi S là giao điểm của AH và EF . T là giao điểm của tiếp tuyến tại A và G của đường
tròn (AEF ). Chứng minh đường thẳng ST đi qua trung điểm M của BC.
P33. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). Điểm D thuộc cạnh BC sao cho
[ Lấy các điểm M và N thuộc (O) sao cho CM // BN // AD. Gọi E và F
AD là phân giác BAC.
lần lượt là giao điểm của M N với AC và AB. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AM và AN .
Chứng minh rằng các đường thẳng EQ, F P và AD đồng quy.
P34. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). Điểm D thuộc cạnh BC sao cho
[ Lấy các điểm M và N thuộc (O) sao cho CM //BN //AD. Gọi E là giao
AD là phân giác BAC.
điểm của AN và đường thẳng qua D song song với AC, F là giao điểm của AM và đường thẳng
qua D song song với AC. Gọi T và S lần lượt là giao điểm của EF với AB và AC. Chứng minh
rằng các đường thẳng N S, M T và AD đồng quy.
Draft
P35. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi M là trung điểm
của BC, D là giao điểm của AH và BC. P và Q là các giao điểm của (A; AD) và (O). G là giao
điểm của AD và P Q, E là giao điểm của AO và BC. Chứng minh rằng các đường thẳng HM ,
GE và OD đồng quy.
P36. Cho tam giác nhọn ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại
[ cắt BC tại K, phân giác của EDF
\ cắt EF tại L.
D, E, F . Phân giác của BIC
a) Chứng minh rằng IK song song với DK.
b) Chứng minh rằng ba điểm A, K, L thẳng hàng.
P37. Cho tam giác ABC có AH là đường cao và đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại
D. Gọi K, L lần lượt là gioa điểm của AH với IB và IC. Gọi T là trực tâm của tam giác IKL.
Chứng minh rằng DT đi qua trung điểm M của AH.
P38. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt
nhau tại T . Gọi M , N lần lượt là các điểm thuộc tia BT , CT sao cho BM = BC = CN . Đường
thẳng M N cắt CA, AB theo thứ tự tại E, F . Gọi P là giao điểm của BE và CT , Q là giao điểm
của CF và BT . Chứng minh rằng AP = AQ.
11
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
CHỦ ĐỀ 3
B I Ế N
Đ Ổ I
T Ỷ
S Ố
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định lý Menelaus
A
Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F lần lượt thuộc
các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó các điểm D, E,
DB EC F A
F thẳng hàng nếu và chỉ nếu
·
·
= 1.
DC EA F B
E
F
B
D
C
Định lý Ceva
A
Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F lần lượt thuộc các
đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó các đường thẳng AD,
DB EC F A
BE, CF đồng nếu và chỉ nếu
·
·
= −1.
Draft
DC EA F
B
F
E
D
B
C
Định lý Ceva-sin
A
Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F bất kỳ. Khi đó các
đường thẳng AD, BE, CF đồng nếu và chỉ nếu
\ sin F[
\ sin EBC
CA
sin DAB
·
·
= 1.
\ sin EBA
[ sin F
\
sin DAC
CB
F
E
B
C
D
Định lý 1
A
Cho tam giác ABC có điểm D thuộc đường thẳng BC.
\ AB
DB
sin DAB
Khi đó
=
·
.
DC
\ AC
sin DAC
B
12
D
C
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Bổ đề cát tuyến
Cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
IA
BA DA
Khi đó
=
·
.
IC
BC DC
B
C
A
A
I
D
C
I
B
D
Định lý 2
P
Q
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ω, gọi P là
gioa điểm của AD và BC. Lấy điểm Q nằm bất kỳ trên
[
sin QP
A
QA QB
·
.
đường tròn ω. Khi đó
=
QD QC
[
Draft
sin QP
C
B
A
D
C
BÀI TẬP
P1. (Định lý Desargues) Cho các tam giác ABC và A′ B ′ C ′ . Gọi X, Y, Z lần lượt là giao điểm
của BC và B ′ C ′ ; CA và C ′ A′ ; AB và A′ B ′ . Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng khi và chỉ khi AA′ ,
BB ′ , CC ′ đồng quy hoặc đôi một song song.
P2. (Định lý Pascal) Cho 6 điểm bất kỳ A, B, C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Gọi
G, H, K theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng (AB, DE), (BC, EF ) và (CA, F E).
Chứng minh ba điểm G, H, K thẳng hàng.
P3. (Định lý Pappus) Cho hai đường thẳng a, b. Trên a lấy các điểm A, B, C; trên b lấy các điểm
X, Y, Z. Gọi M là giao điểm của AX và BY , N là giao điểm của AZ và CX, P là giao điểm của
BZ và CY . Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
P4. (Đường thẳng Gauss - Newton) Cho tam giác ABC và hai điểm D, E lần lượt nằm trên
hai cạnh BC và CA. Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng trung điểm của các
đoạn AD, BE và CF thẳng hàng.
[ và D thuộc BC.
P5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AD là phân giác góc BAC
Lấy M, N trên AB, AC sao cho AM DN là hình bình hành và M N, BC cắt nhau tại S. Chứng
minh SA tiếp xúc (O).
P6. Cho P là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi D, E, F là hình chiếu của P trên
13
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
BC, CA, AB. Gọi X là điểm trên EF sao cho P X ⊥ P A; các điểm Y, Z được xác định tương tự.
Chứng minh rằng các điểm X, Y, Z thẳng hàng.
P7. Cho tam giác ABC với đường tròn (J) bàng tiếp đỉnh A tiếp xúc với BC, CA và AB lần
lượt tại D, E và F . Gọi K là giao điểm của JB và DE, L là giao điểm của JC và DF . M và N
lần lượt là giao điểm của AK và AL với BC. Chứng minh D là trung điểm của M N .
P8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω với các đường cao BE và CF . Lấy điểm P nằm
⌢
trên cung BAC của ω. Gọi K và L lần lượt là giao điểm của P B và CF , P C và BE. Chứng minh
EF chia đôi KL.
P9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω với trực tâm H và phân giác trong AD. Gọi E là
giao điểm của CH và tiếp tuyến tại A của ω. E là giao điểm của DE và AB. Chứng minh HF là
\
phân giác của EHB.
P10. Cho tam giác ABC có AH là đường cao và nội tiếp đường tròn (O). Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của H trên CA, AB. Gọi G là giao điểm của BC và EF . Gọi D là gioa điểm *khác O)
của OH và đường tròn (OBC). Chứng minh rằng GD tiếp xúc với đường tròn (OBC).
\
[ =
P11. Cho tam giác ABC không cân tại A. M là một điểm nằm trong tam giác thỏa AM
B−ACB
\
[
AM C − ABC. Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tam giác AM B và AM C
đi qua một điểm cố định.
P12. Cho tam giác ABC, điểm P bất kỳ nằm trên mặt phẳng chứa tam giác ABC và một đường
thẳng l đi qua P . Gọi A′ , B ′ , C ′ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho P A′ , P B ′ , P C ′ lần
lượt đối xứng với các đường thẳng P A, P B, P C qua l. Chứng minh A′ , B ′ , C ′ thẳng hàng.
P13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
DE, DF lần lượt cắt HC, HB tại Q, R. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại
Draft
P . Chứng minh HP chia đôi QR.
P14. Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I), (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt
tại A1 , B1 , C1 . Gọi A2 là đối xứng của A1 qua B1 C1 . Định nghĩa tương tự B2 , C2 . Gọi A3 , B3 , C3
lần lượt là giao điểm của AA2 và BC; BB2 và CA; CC2 và AB. Chứng minh A3 , B3 , C3 thẳng
hàng.
P15. Đường tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD và tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA lần
lượt tại E, F, G, H. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD và IB, ID, JA, JC lần lượt cắt
EF, GH, HE, F G tại M, N, P, Q.
a) (Định lý Newton) Chứng minh M N, P Q, AC đồng quy và điểm O nằm trên đường thẳng
Gauss-Newton của tứ giác ABCD.
b) Chứng minh AC, BD, HF, EG đồng quy.
c) Chứng minh IJ, M N, P Q đồng quy.
P16.
a) Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt
tại D, E, F . Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy (Điểm Gergonne).
b) Cho tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt
tại D, E, F . Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy (Điểm Nagel).
[ với D trên BC.
P17. Cho tam giác ABC có đường cao AH, AD là phân giác trong góc BAC
Gọi hình chiếu vuông góc của D lên CA, AB là E, F . Chứng minh BE, CF, AH đồng quy.
14
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P18. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có các dây cung AD, BE, CF đồng quy tại I. Tiếp tuyến
tại D, E, F của (O) cắt BC, CA, AB lần lượt tại X, Y , Z. Chứng minh X, Y , Z thẳng hàng.
P19. Cho tam giác ABC với các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi F là giao điểm đối
xứng của C qua D. Gọi K và L lần lượt là giao điểm của HF với AC và DE. G là giao điểm của
AL và BE. Chứng minh AF , KG, CH đồng quy.
P20. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của OD, N là
giao điểm của CN với (O), I là giao điểm của AD và BN . Chứng minh rằng OI, CM và tiếp
tuyến tại D của (O) đồng quy.
P21. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại B của (O) lấy điểm P khác B.
Gọi C la giao điểm của P A với (O), D là điểm đối xứng của C qua O, E là giao điểm của P D với
O. Chứng minh rằng AE, BC và P O đồng quy.
\ và ABC.
[ Lấy G
P22. Tứ giác ABCD nội tiếp (O) và DE, BF là phân giác trong các góc ADC
trên AB và H trên BC sao cho EG//BC và F H //AB. Chứng minh CG, AH và BD đồng quy.
P23. Cho tam giác ABC có cạnh BC dài nhất và lấy E, F trên cạnh BC sao cho CA = CF, BA =
BE. Trên AF, AE lấy N, M sao cho M N // EF và BM, CN cắt nhau tại I. Chứng minh AI là
[
phân giác của BAC.
P24. Cho tam giác ABC. Các điểm A1 , B1 , C1 lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho các
đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.
a) Gọi A2 là điểm đối xứng của A1 qua trung điểm cạnh BC; các điểm B2 , C2 được xác định
tương tự. Chứng minh rằng AA2 , BB2 , CC2 đồng quy.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 cắt BC, CA, AB tại A3 , B3 , C3 . Chứng minh
AA3 , BB3 , CC3 đồng quy.
Draft
P25. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp (I). Các đường thẳng AO, BO, CO
cắt (O) tại điểm thứ hai là D, E, F . ID, IE, IF lần lượt cắt BC, CA, AB tại X, Y, Z. Chứng minh
AX, BY, CZ đồng quy.
P26. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) với BC cố định và A thay đổi trên
cung lớn BC. Các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C lần lượt tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại
D, E, F . Gọi L, M, N lần lượt là giao điểm khác A, B, C của các đường tròn (ABE) và (ACF ),
(BCF ) và (BAD), (CAD) và (CBE).
a) Chứng minh AL luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
b) Gọi K, I, J lần lượt là trung điểm AD, BE, CF . Chứng minh rằng KL, IM, JN đồng quy.
P27. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), một đường tròn (O) qua B, C cắt AB, AC ở F, E và
(AEF ) cắt (O) tại S. Lấy M là trung điểm BC và AM cắt (O) ở D, vẽ dây cung DK của (O)
song song BC, SK, BC cắt nhau tại T . Chứng minh AT, BE, CF đồng quy.
P28. Cho tam giác không vuông, không cân ABC có các đường cao AD, BE, CF và nội tiếp
đường tròn (O). Gọi Ab , Ac lần lượt là điểm đối xứng của B, C qua F , E. Các điểm Bc , Ba , Ca ,
Cb được xác định tương tự. Gọi Aa là giao điểm của EF và Ab Ac . Các điểm Bb , Cc được xác định
tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng DAa , EBb , F Cc đôi một song song.
P29. (Định lý Steinbart) Tam giác ABC ngoại tiếp (I) và D, E, F là các tiếp điểm của (I)
với BC, CA, AB. Lấy X, Y, Z trên các cung nhỏ EF, F D, DE của đường tròn (I). Chứng minh
AX, BY, CZ đồng quy khi và chỉ khi DX, EY, F Z đồng quy.
P30. (Định lý Cevian Nest) Cho tam giác ABC, D, E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
15
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
BC, CA, AB. Trên tam giác DEF , lấy ba điểm X, Y, Z lần lượt nằm trên ba cạnh EF, F D, DE.
Xét 3 bộ đường thẳng (AX, BY, CZ), (AD, BE, CF ) và (DX, EY, F Z). Chứng minh rằng nếu
hai trong ba bộ này gồm các đường đồng quy thì bộ còn lại cũng có tính chất tương tự.
P31. Cho tam giác ABC có một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm A1
và A2 , B1 và B1 , C1 và C1 (theo chiều dương). Chứng minh rằng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy nếu
và chỉ nếu AA2 , BB2 , CC2 đồng quy.
[
P32. (Định lý Jacobi) Cho tam giác ABC, gọi X, Y, Z là ba điểm thỏa mãn Y[
AC = BAZ,
[ = CBX
\ và XCB
\ = ACY
[ . Chứng minh AX, BY, CZ đồng quy.
ZBA
P33. Cho tam giác ABC, đường phân giác ngoài góc A cắt đường thẳng vuông góc với BC kẻ
từ B và C lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng BE, CD và AO đồng quy với O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
P34. (Định lý Kariya) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Gọi A′ , B ′ , C ′ lần
lượt là điểm đối xứng của I qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng AA′ , BB ′ , CC ′ đồng quy.
P35. Cho tam giác ABC, nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Gọi giao điểm của BI và AC là Y , giao
điểm của CI và AB là X. Hai tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại S, IS cắt XY tại Z.
Chứng minh Z là trung điểm XY .
P36. Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Gọi O1 , O2 , O3
lần lượt là tâm các đường tròn (BOC), (CAO), (AOB). Chứng minh rằng AO1 , BO2 , CO3 đồng
quy Điểm Kosnita.
P37. Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF và nội tiếp đường tròn (O). Gọi Ia , Ib , Ic
lần lượt là tâm bàng tiếp ứng với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng các đường thẳng Ia O, Ib F ,
Ic E đồng quy.
Draft
P38. Cho tam nhọn ABC có H là trực tâm và
nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng tồn tại
các điểm D, E, F thỏa mãn DH + DO = EH + EO = F H + F O và AD, BE, CF đồng quy.
P39. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi Ha là hình chiếu của A lên đường
thẳng BC, A′ là điểm đối xứng của A qua O. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A′ lên các đường
thẳng AC, AB. Gọi Oa là tâm của đường tròn (Ha EF ). Các điểm Hb , Ob và Hc , Oc được định
nghĩa tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng Ha Oa , Hb Ob , Hc Oc đồng quy.
P40. Cho tam giác ABC không đều có Ma , Mb , Mc lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Lấy điểm S bất kỳ thuộc đường thẳng Euler của tam giác ABC. Gọi X, Y , Z lần lượt là giao
điểm thứ của SMa , SMb , SMc với đường tròn Euler của tam giác ABC. Chứng minh rằng các
đường thẳng AX, BY , CZ đồng quy.
P41. (VNTST) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và nội tiếp
đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của AH, K là hình chiếu của H trên EF . Lấy các điểm P , Q
lần lượt thuộc các cung nhỏ AB, AC của đường tròn (O) sao cho EF song song với BC. Chứng
minh rằng tiếp tuyến tại E của đường tròn (CQE), tiếp tuyến tại F của đường tròn (BP F ) cắt
nhau trên M K.
16
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
CHỦ ĐỀ 4
T A M
G I Á C
Đ Ồ N G
D Ạ N G
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1
(a) Cho tam giác ABC và một điểm M . Tọa
độ tâm tỷ cự của điểm M đối với tam giác
đó là bộ số thực (x, y, z) sao cho
−−→
−−→
−−→ →
−
xM A + y M B + z M C = 0 ,
với x + y + z = 1.
(b) Hai điểm M và M ′ trong hai tam giác B
ABC và A′ B ′ C ′ gọi là hai điểm tương ứng
đối với hai tam giác đó nếu và chỉ nếu chúng
có cùng tọa độ tâm tỷ cự.
A
C′
M
A′
M′
C
B′
Đồng dạng tương ứng
A
′
′
C′
′
Cho hai tam giác ABC và A B C đồng dạng.
Điểm S trong tam giác ABC và điểm S ′ Draft
trong
′ ′ ′
tam giác A B C là hai điểm tương ứng nếu và
chỉ nếu
B
′ B ′ A′ và SAC
′ A′ C ′
[ = S\
[ = S\
SBA
S
S′
B′
C
Ta ký hiệu △ABC ∪ {S} ∼ △A′ B ′ C ′ ∪ {S ′ }.
A′
Đồng dạng bù
C′
[ + A
Cho hai tam giác ABC và A′ B ′ C ′ sao cho BAC
′ A′ C ′ = 180◦ . Lấy các điểm D và D ′ lần lượt trên các
B\
DB
D′ B ′
đường thẳng BC và B ′ C ′ . Khi đó
= ′ ′ nếu và
DC
DC
chỉ nếu
B
′ B ′ C ′ và ABC
′ A′ C ′
\ = A\
[ = D\
DAC
A′
D
C
D′
B′
17
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Định nghĩa 2
′
′
A
C′
B
C
′
Hai tam giác đồng dạng ABC và A B C gọi là đồng
dạng thuận nếu và chỉ nếu
(AB, AC) = (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π)
S
Ta ký hiệu △ABC
+
△A′ B ′ C ′ .
B′
A′
Đồng dạng quay
T
Cho hai tam giác SAB và SA′ B ′ đồng dạng thuận. Gọi
T là giao điểm của AB và A′ B ′ . Khi đó,
S
(a) △SAB
+
′
S
A′
′
△SA B .
A
(b) Các đường tròn (SAA′ ), (SBB ′ ) đi qua điểm T .
B
B′
Đồng dạng song song + trực giao
Draft
(a) Hai tam giác ABC và A′ B ′ C ′ gọi là đồng dạng song song nếu và chỉ nếu AB//A′ B ′ ,
BC // B ′ C ′ , CA // C ′ A′ .
(b) Hai tam giác ABC và A′ B ′ C ′ gọi là đồng dạng trực giao nếu và chỉ nếu AB ⊥ A′ B ′ ,
BC ⊥ B ′ C ′ , CA ⊥ C ′ A′ .
C′
A
B′
A
C′
A′
B′
A′
B
B
C
C
BÀI TẬP
P1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn với H là trực tâm và M là trung điểm của BC. Gọi
K là giao điểm của tia M H và (O). Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường trung trực của
BC với CA và AB. N là giao điểm của AK và P Q. Chứng minh rằng N là trung điểm của P Q.
P2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
Gọi I là giao điểm thứ hai của AH và (O). K là giao điểm thứ hai của IE và (O). Gọi M là giao
điểm của BK và EF . Chứng minh rằng M là trung điểm của EF .
P3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC. M là trung điểm của BC. Gọi L là giao điểm của tia M H
và (O). G là giao điểm của BC và KL. N là giao điểm của GH và EF . Chứng minh rằng N là
18
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
trung điểm của EF .
a) Chứng minh rằng △AHP
S
P4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có H là trực tâm. Gọi M là
trung điểm của BC. Đường thẳng qua H vuông góc với HM cắt CA, AB lần lượt tại P , Q.
△BM H.
b) Chứng minh rằng H là trung điểm của P Q.
P5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AD là đường kính. Tiếp tuyến tại D của
đường tròn (O) cắt BC tại I. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của IO với AB và AC. Chứng minh
rằng O là trung điểm của EF .
P6. Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh AB. Gọi E là điểm đối xứng của M qua B. Gọi
F là giao điểm của AC và đường tròn (CM E). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC) cắt F M ,
F E lần lượt tại P , Q. Chứng minh rằng A là trung điểm của P Q.
P7. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi
K là giao điểm của AH và EF . Gọi M là trung điểm của HC, N là giao điểm của DM và AC.
a) Chứng minh rằng N K vuông góc với AB.
b) Gọi L là giao điểm KN và BC, I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng AL song song
với BI.
[ = ACF
[.
P8. Cho tam giác ABC. Dựng các tam giác ABE, ACF vuông tại A sao cho ABE
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ EF .
P9. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi
Draft
K là giao điểm của AH và EF . Gọi M là trung điểm của HC, N là giao điểm của DM và AC.
a) Chứng minh rằng N K vuông góc với AB.
b) Gọi L là giao điểm KN và BC, I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng AL song song
với BI.
P10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác ∠BAC cắt trung trực của CA và
AB lần lượt tại E và F . Gọi J là trực tâm tam giác OEF . Chứng minh rằng AJ chia đôi BC.
P11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M , N là trung điểm của CA, AB. Tiếp
tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại P . Đường thẳng qua P song song với AO cắt OM và ON
lần lượt tại E, F . Gọi J là trực tâm tam giác OEF và AJ cắt (O) tại S. Chứng minh rằng AP
chia đôi OJ.
P12. Cho tam giác ABC, với hai điểm E, F bất kỳ trên CA, AB. Gọi O, H và O′ , H ′ lần lượt
là trực tâm và tâm ngoại tiếp tam giác ABC, AEF . Chứng minh rằng △AHH ′ ∼ △AOO′ .
P13. Cho tam giác ABC có đường thẳng Euler cắt CA, AB lần lượt tại E, F . Chứng minh rằng
đường thẳng Euler của tam giác AEF song song với BC.
P14. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF . Gọi P và Q là tâm đường tròn nội
[
tiếp tam giác BDF và tam giác CDE. Chứng minh rằng P Q vuông góc với phân giác BAC.
P15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm nội tiếp và H là trực tâm tam
giác. Gọi M là trung điểm AH, E và F lần lượt là hình chiếu của I trên CA, AB. Chứng minh
rằng đối xứng của M qua EF nằm trên OI.
P16. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn Euler E, AE cắt BC tại K. Gọi P , Q là tâm đường
tròn Euler tam giác AKB, AKC.
19
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
a) Chứng minh rằng KP , KQ lần lượt song song với AC, AB.
b) Chứng minh rằng K, P , Q, E đồng viên.
P17. Cho tam giác ABC với điểm P di động trên đường trung trực của BC. Gọi I và J lần lượt
là tâm nội tiếp các tam giác P AB và P AC. Chứng minh rằng đường tròn (AIJ) luôn đi qua một
điểm cố định.
P18. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD
và BC. Lấy điểm P sao cho tứ giác P ABC là hình bình hành. Gọi Q là giao điểm của AP và EF .
Chứng minh rằng tứ giác DF QP nội tiếp.
P19. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là tâm nội tiếp. Gọi M là giao điểm thứ
hai của AI và (O). J là điểm đối xứng của I qua BC. N là giao điểm thứ hai của M J và (O).
Chứng minh rằng tứ giác OIN M nội tiếp.
P20. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có M là trung điểm BC. Lấy D, E là các điểm chính
giữa các cung BAC và cung BC không chứa A. F là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp của tam
giác ABC với AB và G là giao điểm của AE và BC. N là điểm thuộc đường thẳng EF sao cho
N B ⊥ AB. Chứng minh rằng nếu BN = EM thì DF ⊥ F G.
P21. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm và nội tiếp đường tròn (O). Gọi K là điểm đối
xứng của B qua CH, L là điểm đối xứng của K qua H. Gọi I là tâm của đường tròn (HBC).
Chứng minh rằng OH = IL.
P22. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ω. Một đường tròn (K) đi qua B, C lần lượt
cắt AB và AC tại E và F . Gọi D là giao điểmDraft
của các đường tròn (AEF ) và ω. Chứng minh rằng
◦
\ = 90 .
ADK
P23. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ω. Một đường tròn đi qua B, C và cắt AB và
AC lần lượt tại E và F . Gọi G là giao điểm của BE và CF . Gọi D là giao điểm của các đường
\ = 90◦ .
tròn (AEF ) và ω. Chứng minh rằng ADG
P24. Cho tam giác nhọn ABC có hai điểm M , N lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao
cho BM = CN .
a) Chứng minh rằng đường tròn (AM N ) luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi G là giao điểm của BN và CM . T là giao điểm (khác G) của các đường tròn (GBM )
[
và (GCN ). Chứng minh rằng AT là phân giác của BAC.
P25. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA
và AB lần lượt tại D, E và F . Gọi H là hình chiếu của D trên EF . S là giao điểm của tia IH và
[
đường tròn (O). Chứng minh rằng SD là đường phân giác của BSC.
P26. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω. Lấy điểm D, E, F lần lượt trên BC, CA, AB
sao cho CD = CE và BD = BF . Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của ω. N là giao điểm
thứ hai của M D và ω. Chứng minh rằng tứ giác AN EF nội tiếp.
P27. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω. Lấy điểm D, E, F lần lượt trên BC, CA, AB
sao cho DE = EC và DF = F B. Gọi K là giao điểm thứ hai của ω và đường cao qua A của tam
giác ABC. L là giao điểm thứ hai của KD và ω. Chứng minh rằng tứ giác ALEF nội tiếp.
P28. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Đường thẳng qua H cắt cạnh
AB, AC lần lượt tại P , Q sao cho AP = AQ. Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của
tia M H và đường tròn (O).
20
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
a) Chứng minh rằng tứ giác AN P Q nội tiếp đường tròn Γ.
b) Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường tròn (O). Chứng minh rằng IP , IQ tiếp
xúc với đường tròn Γ.
P29. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Giả sử trên các cạnh
CA, AB lần lượt lấy các điểm P , Q sao cho P B = BC = CQ. Gọi R là giao điểm của BP và
CQ.
a) Chứng minh rằng các tứ giác RHBQ, RHCP nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của tia M H và đường tròn (O). Chứng
minh rằng tứ giác AN QP nội tiếp.
c) Gọi I là tâm của đường tròn (AP Q). Chứng minh rằng ba điểm I, R, H thẳng hàng.
d) Gọi K là tâm của đường tròn (HBC). CHứng minh rằng ba điểm R, H, K thẳng hàng.
P30. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tâm giác OBC. Giả sử
trên các cạnh CA, AB lấy các điểm P , Q sao cho P B = BC = CQ. Gọi I là tâm của đường tròn
(AP Q). Chứng minh rằng KP , KQ tiếp xúc với đường tròn (AP Q).
P31. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Gọi K là tâm của đường
tròn (HBC). Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của tia M H và đường tròn (O). L là
giao điểm của AB và HK. Chứng minh rằng CA tiếp xúc với đường tròn (N AH).
P32. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Gọi M là trung điểm
của BC, N là giao điểm của tia M H và đường tròn (O). Đường trung trực của HN cắt AB, AC
lần lượt tại P , Q.
a) Chứng minh rằng tứ giác AP HQ là hình
bình hành.
Draft
b) Chứng minh rằng tứ giác AN P Q nội tiếp đường tròn Γ.
c) Chứng minh rằng OP , OQ tiếp xúc với đường tròn Γ.
P33. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H. Gọi E và F
lần lượt là giao điểm của AO với HB và HC. Gọi K là giao điểm thứ hai của AB và đường tròn
(OBE), L là giao điểm thứ hai của AC và đường tròn (OCF ).
a) Chứng minh hai tam giác AKO và AHC đồng dạng.
b) Chứng minh KL là đường trung trực của AH.
c) Chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác OKL.
P34. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). lấy điểm S thuộc cnung nhỏ AC của (O).
Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của S lên BC, CA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
\
của AB, KL. Chứng minh rằng SN
M = 90◦ .
P35. Cho tam giác ABC cân tại A có D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AD, F
[
là hình chiếu vuông góc của D lên BE. Chứng minh rằng AF
C = 90◦ .
P36. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của C trên BD. Gọi M và N lần lượt là
\
trung điểm của AB và DH. Chứng minh rằng CN
M = 90◦ .
P37. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
\ = 90◦ .
tại H. Đường thẳng qua H song song với BC cắt EF tại K. Chứng minh rằng ODK
P38. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua A song song với DF cắt BM tại N . Chứng
\ = 90◦ .
minh rằng OEN
21
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P39. Cho đường tròn (O) với dây cung BC cố định và điểm A di động trên (O). ĐƯờng tròn
nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm
chinhws giữa của cung BAC.
\
[I.
a) Chứng minh rằng IM
B = AN
b) Chứng minh rằng đường trung trực của AD luôn đi qua một điểm cố định.
\ cắt AB, BC lần lượt tại M , N .
P40. Cho hình bình hành ABCD có đường phân giác của ADC
Chứng minh rằng tâm của đường tròn (BM N ) nằm trên đường tròn (ABC).
P41. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Một đường tròn (S) qua A,
O và cắt AC, AB lần lượt tại E, F . Gọi T là điểm đối xứng của S qua EF . Chứng minh rằng
T H = T O.
Draft
22
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
CHƯƠNG 5
Đ Ẳ N G
G I Á C
§1. ĐẲNG GIÁC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường đẳng giác
Định nghĩa 1
P ′′
d có Om, On lần lượt là các đường phân
Cho góc xOy
giác trong và phân giác ngoài. Khi đó, đối xứng của điểm
P qua các đường thẳng Om, On nằm trên một đường n
thẳng đi qua O. Ta nói, đường thẳng này đẳng giác với
d
OP qua phân giác của xOy.
O
P′
P
y
x
m
Draft
Chú ý. Ngoài ra, ta còn có một định nghĩa tương đó là, các đường thẳng OP , OQ gọi là đẳng
d nếu và chỉ nếu OP,
\
\
giác trong xOy
Ox = OQ,
Oy.
Tính chất 1
O
d với hai điểm P và Q (khác O). Gọi K và L
Cho góc xOy
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên các đường
d
thẳng Ox và Oy. Khi đó, OP và OQ đẳng giác trong xOy
nếu và chỉ nếu OQ ⊥ KL.
L
K
Q
P
x
y
Tính chất 2
O
L
d Gọi K và L
Cho P và Q là các điểm đẳng giác trong xOy.
lần lượt là điểm đối xứng của điểm P qua các đường thẳng K
d nếu và chỉ
Ox, Oy. Khi đó, OP và OQ đẳng giác trong xOy
nếu QK = QL.
P
x
23
Q
y
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Tính chất 3
O
d Khi đó, hình
Cho P và Q là các điểm đẳng giác trong xOy.
chiếu vuông góc của các điểm P và Q lên các đường thẳng
Ox, Oy cùng thuộc một đường tròn có tâm trùng với trung
điểm của đoạn P Q.
x
I
P
Q
b
Tính chất 4
A
Cho tam giác ABC có hai điểm P và Q nằm trên BC. Khi
[ khi và chỉ khi
đó, AP và AQ đẳng giác trong BAC
2
AB
P B QB
·
=
P C QC
AC
B
2. Điểm đẳng giác
P
Q
C
Draft
Định lý 1
Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ. Khi đó các đường đẳng giác với AP , BP và CP trong
tam giác ABC thì
(1) đồng quy tại Q, nếu P không nằm trên đường tròn (ABC).
(2) song song nhau, nếu P nằm trên đường tròn (ABC).
A
A
P
Q
P
B
B
C
C
Định nghĩa 2
Hai điểm P và Q trong định lý 1 gọi là hai điểm đẳng giác trong tam giác ABC.
Nhận xét. Nếu Q là điểm đẳng giác của P trong tam giác ABC thì P là điểm đẳng giác của Q
trong tam giác ABC. Do đó, ta còn gọi P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác
ABC.
24
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Tính chất 5
A
Cho tam giác ABC có P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác.
Khi đó, hình chiếu vuông góc của các điểm P , Q lên các cạnh
của tam giác ABC cùng nằm trên một đường tròn có tâm
trùng với trung điểm của P Q.
Q
P
B
I
C
BÀI TẬP
P1. Cho tam giác nhọn ABC có P , Q nằm trong góc BAC và thuộc đường trung trục của BC
[ = 180◦ . Chứng minh rằng P[
[
sao cho P[
BA + QCA
AB = QAC.
P2. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, T là giao điểm tiếp tuyến tại B, C của
[
đường tròn (ABC). Chứng minh rằng AM , AT đẳng giác trong BAC.
P3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có M là trung điểm của BC. Gọi T là giao điểm
tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O). Gọi K, L lần lượt là hình chiếu của T lên AB, AC. Vẽ
dây cung AS của (O) sao cho AS // BC, H là hình chiếu của S lên BC. Chứng minh rằng tứ giác
KM HL nội tiếp
P4. Cho hình thoi ABCD có P , Q là các điểm nằm trong các tam giác ACB, ACD sao cho
\
DAB
. Chứng minh rằng APDraft
, CQ song song nhau.
P[
AQ = P[
CQ =
2
P5. Cho tam giác ABC có P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác. Gọi R là điểm đối xứng của Q
qua BC.
[
[
a) Chứng minh rằng AP
B + CP
R = 180◦ .
b) Chứng minh rằng đường đẳng giác của AP trong tam giác P BC và đường thẳng giác của
QA trong tam giác QBC đối xứng nhau qua BC.
P6. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, CF cắt nhau tại H. Gọi M , N lần lượt là trung
\
điểm của BC, AH. K là giao điểm của AM và CN . Chứng minh rằng DF
K = 90◦ .
P7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi P , Q lần
lượt là tâm các đường tròn (AM B), (AM C). N là giao điểm của BQ, CP . Chứng minh rằng
\ = CAN
\.
BAM
P8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Gọi Oa là tâm của đường tròn
(OBC).
a) Chứng minh rằng AOa là đường đối trung của tam giác AHO.
b) Gọi Ob , Oc lần lượt là tâm của các đường tròn (OCA), (OAB). Chứng minh rằng AOa ,
BOb , COc đồng quy tại điểm K (điểm Kosnita).
P9. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Đường tròn (K) qua B, C và cắt CA, AB lần lượt tại
E, F . Gọi G là giao điểm của BE và CF .
a) Chứng minh rằng H, K liên hợp đẳng giác trong tam giác GBC.
b) Lấy điểm D sao cho tứ giác GBDC là hình bình hành. Chứng minh rằng AG, AD đẳng
25
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
[
giác trong BAC.
P10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Trên các cạnh CA, AB lấy
các điểm K, L sao cho tứ giác AKHL là hình bình hành. Chứng minh rằng O, H liên hợp đẳng
giác trong tam giác AKL.
P11. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E,
F . Đường trung bình - đỉnh D của tam giác DEF cắt đường tròn (I) tại hai điểm M , N . Chứng
minh rằng M , N liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC.
P12. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ có M là điểm chính giữa cung BAC. Gọi N là
[ tại hai điểm
trung điểm của BC, đường tròn bất kỳ qua M , N và cắt đường phân giác của BAC
P , Q. Chứng minh rằng P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC.
△F BL và △EP B
S
a) Chứng minh rằng △EAB
S
P13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có P , Q là các điểm liên hợp đẳng giác. Gọi E,
F lần lượt là giao điểm (khác A) của đường tròn (O) với AP , AQ. Gọi K, L lần lượt là giao điểm
của BC với QE, QF .
F BQ.
b) Chứng minh rằng P K, AQ song song nhau.
P14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác. Gọi R
là giao điểm của AP và đường tròn (O), lấy điểm S bất kỳ trên đường tròn (O), T là giao điểm
[
của RS và BC. Chứng minh rằng P[
T B = ASQ.
P15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác. Gọi
K, L lần lượt là tâm của các đường tròn (P BC), (QBC).
\
\ = 180◦ + BAC.
[
a) Chứng minh rằng BP
C + BQC
Draft
[
b) Chứng minh rằng AK, AL đẳng giác trong BAC.
c) Chứng minh rằng OK · OL = R2 .
P16. Cho tam giác nhọn ABC có P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác P , Q. Chứng minh rằng tứ
giác BCP Q nội tiếp nếu và chỉ nếu AP = AQ.
P17. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi E là điểm đối xứng của C qua BD, F là điểm liên hợp
đẳng giác của E trong tam giác ABD. Chứng minh rằng F A = F C.
\ = 90◦ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên CD.
P18. Cho hình bình hành ABCD với CAD
\ = HBD.
\
Giả sử tiếp tuyến của đường tròn (ABD) tại D cắt CC tại K. Chứng minh rằng KBA
P19. Cho hình bình hành ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của CD, AD. Giả sử bên trong
hình bình hành tồn tại điểm K sao cho KM = M A, N K = N C. Gọi E là trung điểm của BK,
\ = CEF
[.
F là điểm đối xứng của K qua trung điểm của AC. Chứng minh rằng AEK
P20. Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF . Trên cạnh BC lấy hai điểm M , N sao cho
BM = CN . Gọi P là giao điểm của BE và đường tròn (BF M ), Q là giao điểm của CE và đường
tròn (CEN ). Gọi R là giao điểm của EQ và F P . Chứng minh rằng AR, EF vuông góc.
P21. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Gọi P ,
Q lần lượt là tâm các đường tròn (ACD), (ABC). Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên BC,
L là hình chiếu vuông góc của Q lên AD. Chứng minh rằng tứ giác M N KL nội tiếp.
[ Gọi S là giao điểm của BP và CQ,
P22. Cho tam giác ABC có AP , AQ đẳng giác trong BAC.
[
T là giao điểm của BQ và CP . Chứng minh rằng AR, AS đẳng giác trong BAC.
S
P23. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Bên ngoài tam giác lấy hai điểm E, F sao cho
[ = AF
[
△ABE △ACF và AEB
C = 90◦ . Chứng minh rằng BF , CE, AH đồng quy.
26
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P24. Cho tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của CA, AB. Lấy hai điểm K, L
lần lượt thuộc BM , CN sao cho KB, CL tiếp xúc với đường tròn (ABC). Chứng minh rằng
\ = CAL.
[
BAK
P25. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CE. Gọi I là giao
điểm (khác A) của các đường tròn (AOD) và (O). Gọi X, Y lần lượt là giao điểm (khác I) của
(O) với IE, IF . Chứng minh rằng XY , BC song song nhau.
P26. Cho tam giác ABC có D, E lần lượt thuộc AB, AC sao cho DE // BC. Đường trung trực
của BD, CE lần lượt cắt cung nhỏ AB, AC của (O) tại M , N . Gọi H là giao điểm của BN và
CM . Chứng minh rằng AH, M N vuông góc nhau.
P27. Cho tam giác ABC có các điểm E, F lần lượt thuộc CA, AB sao cho CE = BF . Gọi
G là giao điểm của BE và CF . Lấy các điểm P , Q lần lượt thuộc GB, GC sao cho BP = GE,
[
CQ = GF . Chứng minh rằng AP , AQ đẳng giác trong BAC.
P28. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, Gọi P , Q là hai giao
điểm của EF và (O). Gọi R là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh rằng H, D liên hợp
đẳng giác trong tam giác P QR.
P29. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với CA, AB lần lượt tại E, F . Gọi
P , Q là hai giao điểm của EF và (O). Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm chính giữa cung
BC của (O). Chứng minh rằng I, M liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC.
P30. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi T là giao điểm tiếp tuyến tại B, C của
[ cắt đường tròn (T ; T B) tại S nằm trong tam giác
đường tròn (O). Đường phân giác của BAC
ABC. Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của S lên CA, AB. Gọi I là giao điểm của OS
[ = 90◦ .
và BC. Chứng minh rằng KIL
Draft
P31. Cho tam giác ABC có P , Q là hai điểm
liên hợp đẳng giác. Gọi K là giao điểm (khác A)
của đường tròn đường kính AP và (O). Gọi L là hình chiếu vuông góc của Q lên BC. Chứng minh
\ = P[
rằng CKL
AB.
P32. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có M là điểm chính giữa cung BAC và P , Q là
hai điểm liên hợp đẳng giác. Gọi I là giao điểm của đoạn QM và đường tròn (P BC). Chứng minh
rằng AM , P I song song nhau.
P33. Cho tam giác ABC có P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác. Gọi R là giao điểm (khác P )
của AP và đường tròn (P BC). Gọi M là giao điểm của BC và QR, N là giao điểm của AM và
P Q. Chứng minh rằng N là trung điểm của P Q.
P34. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác. Gọi R
là giao điểm (khác A) của AP và (O). Một đường thẳng qua Q và cắt đường tròn (O) tại hai điểm
M , N . Gọi K, L lần lượt là giao điểm của BC với RM , RN . Chứng minh rằng tứ giác P KRL
nội tiếp.
P35. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H. Gọi P , Q là hai giao điểm của EF và đường tròn (O). Gọi K là điểm liên hợp đẳng giác
trong tam giác DP Q. Chứng minh rằng KH chia đôi EF .
P36. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với
BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Gọi P , Q là hai giao điểm của EF và đường tròn (O). Gọi J
là điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác DP Q. Chứng minh rằng IJ đi qua điểm chính giữa cung
BAC của đường tròn (O).
27
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
CHƯƠNG 6
P H Ư Ơ N G
T Í C H − T R Ụ C
Đ Ẳ N G P H Ư Ơ N G
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương tích
Định nghĩa
Cho đường tròn (O; R) và điểm P bất kỳ. Khi đó, đại lượng
P O 2 − R2 ,
gọi là phương tích của điểm P đối với đường tròn (O). Ký hiệu: PP/(O) = P O2 − R2 .
Nhận xét. Cho R −→ 0 thì đường tròn (O; R) suy biến thành đường tròn điểm O, khi đó phương
tích của điểm P đối với đường tròn điểm O là PP/O = P O2 .
Tính chất 1
B
A
Cho đường tròn (O) và điểm P bất kỳ. Cát tuyến
qua P cắt (O) tại A và B. Khi đó
PP/(O) = P A · P B.
Draft
O
P
Tính chất 2
A
(a) Cho ba điểm T , B, C thứ tự cùng thuộc một đường
thẳng d và A là một điểm không thuộc d. Khi đó, T A
tiếp xúc với đường tròn ω nếu và chỉ nếu
T A2 = T B · T C
B
T
C
B
(b) Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại P .
Khi đó, tứ giác ABCD nội tiếp nếu và chỉ nếu
A
PA · PB = PC · PD
P
28
D
C
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Tính chất 3
P
Q
Cho đường tròn (O) và hai điểm P , Q. Khi đó,
OP = OQ ⇔ PP/(O) = PQ/(O)
O
Tính chất 4
P
Cho đường tròn (O) với đường kính AB. Lấy điểm P bất kỳ.
Khi đó,
−→ −−→
PP/(O) = P A · P B.
O
A
B
2. Định lý 4 điểm
Draft
Dịnh lý 1
A
D
Cho bốn điểm phân biệt A, B, C và D. Khi đó,
2
2
2
AB ⊥ CD ⇔ AC − AD = BC − BD
C
2
B
3. Trục đẳng phương
Định lý 2
M
Cho hai đường tròn ω1 và ω2 không đồng tâm. Tập
hợp những điểm M thỏa mãn
PM/ω1 = PM/ω2 ,
là một đường thẳng. Đường thẳng này gọi là trục
đẳng phương của hai đường tròn đó.
29
O1
O2
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Tính chất 5
(a) Trục đẳng phương của hai đường tròn, vuông góc với đường thẳng nối tâm của hai
đường tròn đó.
(b) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn (O1 ) và (O2 ), thì đường
thẳng qua M vuông góc với O1 O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn đó.
(c) Nếu hai điểm M , N có cùng phương tích đối với hai đường tròn, thì M N là trục đẳng
phương của hai đường tròn đó.
(d) Nếu ba điểm có cùng phương tích với hai hai đường tròn, thì ba điểm đó thẳng hàng.
4. Tâm đẳng phương
Định lý 3
O1
Cho ba đường tròn (O1 ), (O2 ) và (O3 ) có tâm không
thẳng hàng. Khi đó, trục đẳng phương của các cặp
đường tròn (O1 ) và (O2 ), (O2 ) và (O3 ), (O3 ) và
(O1 ) đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là tâm
đẳng phương của ba đường tròn đó.
O2
O3
Draft
5. Tỷ số phương tích
Định lý
Cho hai đường tròn ω1 , ω2 và số thực k ̸= 1. Tập hợp
ω1
những điểm M thỏa mãn
PM/ω1
= k,
PM/ω2
M
ω2
là một đường tròn đồng trục với hai đường tròn ω1
và ω2 .
BÀI TẬP
P1. (Công thức Euler) Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội
tiếp (I; r). Chứng minh rằng OI 2 = R2 − 2Rr.
P2. Cho điểm T nằm ngoài đường tròn (O). Một đường thẳng quay quanh T và cắt đường tròn
(O) tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng đường tròn (OAB) luôn đi qua một điểm cố định.
P3. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Một đường thẳng quay quanh O cắt đường tròn (O)
tại hai điểm B, C. Gọi D, E lần lượt là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với AB, AC. Chứng
minh rằng đường tròn (ADE) luôn đi qua một điểm cố định.
30
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P4. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d nằm ngoài (O). Lấy điểm A di động trên d. Từ A vẽ
tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O). Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm
cố định.
P5. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong (O). Một đường thẳng qua quanh A và cắt đường
tròn (O) tại hai điểm B, C. Gọi T là giao điểm tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O). Chứng
minh rằng T luôn thuộc một đường thẳng cố định.
P6. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với các đường cao AD, BE và CF đồng
quy tại H. Gọi I là điểm đối xứng của A qua EF . Chứng minh rằng tứ giác OHDI nội tiếp.
P7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M và N lần lượt tâm bàng tiếp ứng
với đỉnh B và C. E là giao điểm của BM và AC, F là giao điểm của CN và AB. K và L là hai
giao điểm của EF và (O). Chứng minh rằng tứ giác M N KL nội tiếp.
P8. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF . Gọi P , Q
là hai giao điểm của EF và đường tròn (O) (P thuộc cung nhỏ AB). M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng tứ giác DM QP nội tiếp.
P9. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các
cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Gọi K, L lần lượt là giao điểm của EF với IB, IC. Gọi
M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng M K = M L.
b) Gọi P , Q là hai giao điểm của EF và đường tròn (O) (P thuộc cung nhỏ AB, Q thuộc
cung nhỏ AC). Chứng minh rằng tứ giác M DP Q nội tiếp.
P10. Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE và CF . Gọi G là giao điểm của BC và EF .
P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua D song song EF với AB và AC. M là trung
Draft
điểm của BC. Chứng minh rằng tứ giác DM QP nội tiếp.
P11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với H là trực tâm và đường phân giác AD. Gọi
M là điểm chính giữa cung BHC. Chứng minh rằng tứ giác AOM D nội tiếp.
P12. Cho tam giác ABC với đường phân giác AD. Gọi T S là tiếp tuyến chung ngoài của các
đường tròn (ADB) và (ADC). Chứng minh rằng tứ giác BCT S nội tiếp.
P13. Cho tam giác ABC với các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của
BC. N là giao điểm của EF và HM . K là hình chiếu của A trên EF . Chứng minh rằng tứ giác
BCN K nội tiếp.
P14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω. Lấy các điểm D, E và F lần lượt trên BC, CA
và AB sao cho tứ giác AEDF là hình bình hành. Gọi M và N là hai giao điểm của EF và ω.
Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (DM N ).
P15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω. Lấy hai điểm P và Q trên BC. Gọi E là giao
điểm của AB và đường thẳng qua P song song với AC, F là giao điểm của AC và đường thẳng
qua Q song song với AB. Gọi M và N là hai giao điểm của EF và ω. Chứng minh rằng tứ giác
P QM N nội tiếp.
P16. Cho bốn điểm A, B, C và D không cùng thuộc một đường tròn và không có ba điểm nào
1
1
1
1
thẳng hàng. Chứng minh rằng
+
+
+
= 0.
PA/(BCD) PB/(CDA) PC/(DAB) PD/(ABC)
P17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và các điểm E, F lần lượt thuộc cạnh AB, AC.
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BE, CF , EF . Chứng minh rằng nếu đường tròn (M N P )
tiếp xúc với EF thì OP = OQ.
P18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), Một đường thẳng d cắt BC, CA, AB lần lượt
31
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
tại D, E, F . Gọi K là giao điểm thứ hai của các đường tròn (AEF ) và (O). Chứng minh rằng DK
tiếp xúc với đường tròn (O) khi và chỉ khi OE = OF .
P19. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi ω1 là đường tròn qua B và tiếp xúc AC
tại A, ω2 là đường tròn qua C và tiếp xúc AB tại A. Một đường thẳng qua A và cắt ω1 , ω2 lần
lượt tại E, F . Chứng minh rằng OE = OF .
P20. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Lấy điểm D bất kỳ trên AM . Gọi E, F lần
lượt là giao điểm thứ hai của các đường tròn (DAB) và (DAC) với các đường thẳng AB, AC.
Chứng minh rằng tâm đường tròn (AEF ) nằm trên đường trung trực của BC.
P21. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có D là điểm chính giữa cung BC. Các đường
thẳng qua D vuông góc OB, OC lần lượt cắt AB, AC tại E, F . Chứng minh rằng OD đi qua tâm
của đường tròn (AEF ).
P22. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Lấy hai điểm E,
F lần lượt thuộc CA, AB thỏa mãn F B = BC = CE. Gọi K là tâm của đường tròn (AEF ).
Chứng minh rằng KI ⊥ BC và IO ⊥ EF .
P23. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm đối xứng của B qua CA, F là
điểm đối xứng của C qua AB. Gọi K là tâm của đường tròn (OBC). Chứng minh rằng, AK vuông
góc với EF .
P24. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF . Gọi P là giao điểm thứ hai của DE
và đường tròn đường kính AC, Q là giao điểm thứ hai của DF và đường tròn đường kính AB. Gọi
N là tâm của đường tròn (DEF ). Chứng minh rằng, AN vuông góc với P Q.
P25. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC . Đường trung trực của AC cắt đường
Draft
trung trực của BM tại P , đường trung trực của
AB cắt đường trung trực của CM tại Q. Chứng
minh rằng AM vuông góc với P Q.
P26. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AQ là đường kính của đường tròn (O). Gọi
D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Lấy M , N , E lần lượt là trung điểm AB, AC, DQ. Lấy
\
điểm P thỏa mãn P\
ME = P
N E = 90◦ . Chứng minh rằng ba điểm A, P , D thẳng hàng.
P27. Cho tam giác ABC. Một đường tròn qua B, C và cắt AC, AB lần lượt tại E, F . Gọi N
là trung điểm EF . X là giao điểm thứ hai của đường tròn (AN E) và AB, Y là giao điểm thứ hai
của đường tròn (AN F ) và AC. Gọi I là tâm của đường tròn (AXY ), Z là giao điểm của EF và
đường thẳng qua A song song với BC. Chứng minh rằng AN vuông góc với IZ.
[
P28. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và P là một điểm bất kỳ trên phân giác BAC.
Gọi E là giao điểm thứ hai của AC và đường tròn (P AB), F là giao điểm thứ hai của AB và
đường tròn (P AC). Chứng minh rằng, OP vuong góc với EF .
P29. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF . Trên BE, CF lần lượt lấy các điểm
P , Q sao cho CP // BQ // AD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Chứng minh rằng,
M N vuong góc với P Q.
P30. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có H là trực tâm và đường cao AD. Lấy điểm
\ = 90◦ . Gọi M là trung điểm của AB. CHứng minh rằng, DM vuông
K trên AB sao cho ODK
góc với HK.
P31. Cho điểm T nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến T A đến (O) (A là tiếp điểm). Gọi M
là trung điểm của T A. Lấy điểm B bất kỳ trên (O). Gọi C là giao điểm của đường thẳng qua O
[ = 90◦ .
vuông góc với BM và đường thẳng qua A vuông góc với T B. Chứng minh rằng ABC
32
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P32. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm P di động trên (O). Gọi Q là giao
điểm của BP và AC. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (ABQ) và (CP Q)
luôn đi qua một điểm cố định.
P33. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của AC và BD, M là
trung điểm của AC, N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (ABM ) và (CDM ). Chứng minh
rằng tứ giác OM EN nội tiếp.
P34. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M , N lần lượt
là giao điểm của BE và DF , CF và DE. K là tâm của đường tròn (HBC). Chứng minh rằng
AK ⊥ M N .
P35. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường phân giác trong BE, CF cắt nhau
tại I. Gọi D là giao điểm của AI và (O), M là trung điểm của OI. Chứng minh rằng DM ⊥ EF .
P36. Cho tam giác ABC. Trên CA, AB lấy P , Q sao cho P Q // BC. Chứng minh rằng A nằm
trên trục đẳng phương của các đường tròn đường kính BP và CQ.
P37. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và E, F là các điểm lần lượt thuộc CA, AB. Chứng
minh rằng H thuộc trục đằng phương của hai đường tròn đường kính BE, CF .
P38. Cho tứ giác ABCD có E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh rằng trực tâm các tam giác EAD, EBC, F AB và F CD cùng thuộc một
đường thẳng.
b) Chứng minh rằng trung điểm của AC, BD và EF thẳng hàng. (đường thẳng Gauss)
P39. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Một đường tròn qua B, C và cắt CA, AB lần lượt
tại E, F . Gọi D là giao điểm của BE và CF , K là trực tâm của tam giác AEF . Chứng minh rằng
ba điểm H, D, K thẳng hàng.
Draft
P40. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F .
Gọi G là hình chiếu của D trên EF .
[
a) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng GD là phân giác của HGI.
[
b) Gọi K là trực tâm tam giác IBC. Chứng minh rằng EF là phân giác của IGK.
P41. Cho tam giác ABC và lấy các điểm E , F di động trên tia đối các tia BA, CA sao cho
BF = CE. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BE và CF . K là trung điểm của M N . H là trực
tâm của tam giác AEF . Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.
\ = ABC
[ = ADC.
\ Chứng minh rằng, D thuộc đường
P42. Cho tứ giác ABCD thỏa mãn DAB
thẳng Euler của tam giác ABD.
P43. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có Γ1 là đường tròn qua A, D và tiếp xúc
với BC tại P ; Γ2 là đường tròn qua B, C và tiếp xúc AD tại Q. Chứng minh rằng trục đẳng của
hai đường tròn Γ1 và Γ2 đi qua trung điểm của P Q.
P44. Cho hình thang ABCD với AB // CD, AB < CD. Gọi E là giao điểm của AC và BD; F
là giao điểm của đường trung trực CD với AB. Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm hai đường tròn (ADF )
và (BCF ). Chứng minh rằng EF và O1 O2 vuông góc nhau.
P45. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có M , N tương ứng là trung điểm của BC, AD. Gọi P , Q
tương ứng là giao điểm thứ hai của đường thẳng CD với các đường tròn (ACM ), (BDN ). Chứng
minh rằng CQ = DP .
P46. Cho tam giác ABC có I là tâm nội tiếp. Gọi K và L lần lượt là trực tâm các tam giác IAB
và IAC. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M nằm trên trục đẳng phương của hai đường
tròn đường kính IK và IL.
33
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P47. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA và
AB lần lượt tại D, E và F . Gọi H là hình chiếu của D trên EF . K là trực tâm tam giác AIH.
Chứng minh rằng K nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I).
P48. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E,
F . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của IE và DF , và DE. M , N lần lượt là trung điểm của BC,
AI. Chứng minh rằng P Q ⊥ M N .
P49. Cho tam giác ABC và lấy điểm D bất kỳ trên BC. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác
ABD tiếp xúc với DB và BA lần lượt tại M và N . Đường tròn nội tiếp (J) của tam giác ADC
tiếp xúc DC và CA lần lượt tại N và Q. Gọi X là giao điểm của M P và N Q. Chứng minh rằng
XD ⊥ IJ.
P50. Cho tam giác ABC và có H là trực tâm. Gọi P , Q lần lượt là điểm đối xứng của H qua
AB và AC. R là giao điểm của P Q và BC. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC.
Chứng minh rằng HR ⊥ AK.
P51. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao BE, CF . Gọi K là điểm
đối xứng của E qua AB, L là điểm đối xứng của F qua AC. M là trung điểm của BC, K là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác M KL. Chứng minh rằng ba điểm A, O, K thẳng hàng.
P52. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại
H. Gọi M là trung điểm của BC, K là giao điểm của AM và OD. Chứng minh rằng K nằm trên
trục đẳng phương của hai đường tròn (DEF ) và (OBC).
P53. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA và AB lần lượt tại D,
E và F . Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và K là trung điểm của AH. Gọi M và N lần lượt
là giao điểm của AH với IB và IC. Chứng minh rằng K nằm trên trục đẳng phương của hai đường
tròn (BF M ) và (CEN ).
Draft
P54. Cho tam giác ABC và D là điểm di động trên BC. Gọi E, F lần lượt là giao điểm thứ hai
của đường tròn (ABD) và AC, đường tròn (ACD) và AB. Chứng minh rằng đường tròn (AEF )
luôn đi qua điểm cố định.
P55. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Trên AB, AC lần lượt lấy hai điểm D, E sao cho
HD = HE. Chứng minh rằng H thuộc trục đẳng phương của đường tròn (B; BE) và (C; CD).
P56. Cho tam giác ABC và các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Trên BE, CF lần lượt lấy
hai điểm X, Y sao cho tứ giác AXHY là hình bình hành. Chứng minh rằng A nằm trên trục đẳng
phương của hai đường tròn (BHY ) và (CHX).
P57. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao BE, CF . Gọi K là trực tâm
của tam giác OBC. Chứng minh rằng K thuộc trục đằng phương của hai đường tròn đường kính
BE, CF .
P58. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung BC không chứa điểm A lấy hai điểm
⌢
D, E sao cho DE //BC và D thuộc cung nhỏ BE. Gọi X là giao điểm của BD và CE. Trên AB,
AC lần lượt lấy hai điểm K, L sao cho OK //AD và OL//AE. Chứng minh rằng X nằm trên trục
đẳng phương của hai đường tròn đường kính BK và CL.
P59. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng qua O vuông góc với AC lần
lượt cắt BC, AB tại M , P . Đường thẳng qua O vuông góc với AB lần lượt cắt BC, AC tại N ,
Q. Chứng minh rằng AO là trục đẳng phương của hai đường tròn (BM P ) và (CN Q).
P60. Cho hai đường tròn (O1 ; R1 ) và (O2 ; R2 ) tiếp xúc trong tại A (R1 > R2 ). Lấy điểm B nằm
trên (O2 ), gọi C là giao điểm của tiếp tuyến tại B của (O2 ) và (O1 ). Chứng minh rằng trục đẳng
phương của (O1 ) và (B, BA) tiếp xúc với (O2 ).
P61. Cho tam giác ABC và P là một điểm nằm trong tam giác đó. Tiếp tuyến tại D của đường
34
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
tròn (DBC) cắt BC tại P . Định nghĩa tương tự cho Q, R. Chứng minh rằng P , Q, R thẳng hàng.
P62. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm
thứ hai của AM và (O). X là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với AO và tiếp tuyến
tại N của (O). Định nghĩa tương tự cho các điểm Y , Z. Chứng minh rằng X, Y , Z thằng hàng.
P63. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D. Gọi
E là điểm đối xứng của B qua D. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AC tại F . Chứng
\ = 90◦ .
minh rằng ODF
P64. Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) có P là tâm vị tự trong. Đường thẳng quay quanh P cắt
(O1 ) và (O2 ) theo thứ tự tại A, B và C, D. Gọi T là giao điểm của tiếp tại A của (O1 ) và tiếp
tuyến tại C của (O2 ). Chứng minh rằng T thuộc một đường thẳng cố định.
P65. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn đường
kính AI cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại T . Chứng
minh rằng T thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I).
P66. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc các cạnh BC,
CA, AB lần lượt tại D, E, F . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và
DE, AC và DF . M , N lần lượt là trung điểm của EQ và F P . Chứng minh rằng OI ⊥ M N .
P67. Cho đường tròn (O) với đường kính AB. Lấy điểm C nằm bất kỳ trên (O). Gọi T là giao
điểm của tiếp tuyến tại A và C của (O). Gọi H là hình chiếu của C trên AB. M là trung điểm của
CH. Chứng minh rằng ba điểm B, T và M thẳng hàng.
P68. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với BC là đường kính và AH là đường cao.
Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (A, AH) đi qua trung điểm của
BC.
⌢
P69. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trònDraft
Γ. Lấy điểm P di động trên trên cung AB không
chứa C, D. Gọi M là giao điểm của P D và AC, N là giao điểm của P C và BD.
a) Chứng minh rằng trục đẳngphương của hai đường tròn (AP M ) và (BP N ) luôn đi qua một
điểm cố định.
b) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng T E đi qua trung điểm của CD.
P70. Cho tam giác ABC có I là tâm nội tiếp và M là trung điểm BC. Gọi ωB và ωC lần lượt là
đường tròn bằng đỉnh B và C của tam giác ABC. Gọi ℓ là đường thẳng qua M song song với AI.
Chứng minh rằng ℓ là trục đẳng phương của hai đường tròn ωB và ωC .
P71. Cho tam giác ABC. Dựng hình chữ nhật BCEF có tâm M bên ngoài tam giác đó. Gọi H,
K lần lượt là trực tâm các tam giác ABE, ACF . Chứng minh rằng AM ⊥ HK.
P72. Cho đường tròn (O; OA), có ℓ là đường thẳng vuông góc với OA và P là một điểm nằm
trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay đổi qua P và cắt (O) tại hai điểm C, D. Gọi E, F lần
lượt là giao điểm của ℓ với AC, AD. Chứng minh rằng tứ giác CDF E nội tiếp đường tròn K và
điểm K luôn thuộc một điểm cố định.
P73. Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) giao nhau tại A và B. Đường tròn (O3 ) cắt các đường tròn
AD EB CF
(O1 ), (O2 ) lần lượt tại D và C, E và F . Chứng minh rằng
·
·
= 1.
DE BC F A
P74. Cho đường tròn (O) có dây cung AB. Lấy điểm P di động trên AB. Gọi ω1 là đường tròn đi
qua P và tiếp xúc với (O) tại A. Gọi ω2 là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với (O) tại B. Chứng
minh rằng trục đẳng phương của ω1 và ω2 luôn đi qua một điểm cố định.
P75. Cho đường tròn (O) với dây cung BC cố định và điểm A di động trên (O). Gọi M là trung
35
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
điểm của BC, N là giao điểm (khác M ) của các đường tròn (AOM ) và (O). Chứng minh rằng
đường thẳng AN luôn đi qua một điểm cố định.
P76. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA và AB lần lượt tại D,
E và F . Gọi M , N , P và Q lần lượt là trung điểm của DB, DC, BF và CE. Gọi X là giao điểm
của M P và N Q. Chứng minh rằng XB = XC.
P77. Cho tam giác ABC, nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp (I) tiếp
xúc CA, AB tại E, F tương ứng. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của IE và OB, IF và OC. Gọi
T là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C. Chứng minh rằng IT và XY vuông góc nhau.
P78. Cho hình bình hành ACBD. Đường tròn (O) đi qua B, C cắt AC tại điểm thứ hai là E.
Đường thẳng qua O vuông góc với AC cắt BC tại F . Gọi G là gioa điểm của AF và đường tròn
(ABC). Chứng minh rằng tứ giác DAEG nội tiếp.
P79. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; M , N lần
lượt là trung điểm của AB, AC. P , Q lần lượt là giao điểm của các tia M H, N H với Γ. R là giao
điểm của M N và P Q. Chứng minh rằng RA tiếp xúc với đường tròn Γ.
P80. Cho tam giác ABC có I là tâm nội tiếp. Một đường tròn qua B, C và cắt IB, IC lần lượt
tại E, F Gọi M , N lần lượt là tâm các đường tròn (ABE), (ACF ). Chứng minh rằng M N , EF
song song nhau.
P81. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với CA, AB lân lượt tại E, F . Gọi
G là giao điểm của BE và CF . Lấy các điểm M , N sao cho BCEM , CBF N là hình bình hành.
Chứng minh rằng GM = GN .
P82. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Γ và ω là đường tròn (khác Γ) qua B, C. Lấy điểm
D di động trên đường tròn Γ. Gọi E là giao điểm của DB và AC, F là giao điểm của DC và AB.
Gọi K, L là hai giao điểm của EF và đường tròn
ω. Chứng minh rằng đường tròn (DKL) luôn đi
Draft
qua một điểm cố định.
36
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
CHỦ ĐỀ 7
T Ỷ
S Ố
K É P
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1. Tỷ số kép
1.1.1. Tỷ số kép trên đường thẳng
Định nghĩa 1
Hàng điểm gồm bốn điểm A, B, C và D thẳng hàng
thì tỷ số kép là
CA DA
(ABC)
=
:
= k,
(ABCD) =
(ABD)
CB DB
A
B
C
D
Tính chất 1
Cho hàng điểm A, B, C và D. Khi đó,
(a) (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA).
(b) (ABCD) + (ACBD) = 1.
(c) Nếu (ABCD) = k nếu A, B, C và k xác định thì tồn tại duy nhất điểm D.
(d) Các bộ giá trị tỷ số kép là k,
1
1
k
1−k
, 1 −Draft
k,
,
,
.
k
1−k 1−k
k
1.1.2. Tỷ số kép trên chùm đường thẳng
Định nghĩa 1
O
Cho chùm đường thẳng a, b, c và d có tâm là O. Một
đường thẳng ∆ không đi qua O cắt a, b, c, d lần
lượt tại A, B, C, D và một đường thẳng ∆′ không
đi qua O theo thứ tự cắt a, b, c tại A′ , B ′ , C ′ . Khi
đó, ∆′ // d nếu và chỉ nếu (ABCD) = (A′ B ′ C ′ ).
∆′
A′
B′
∆
A
B
C
C′
37
D
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Định nghĩa 1
O
D′
Cho chùm đường thẳng a, b, c, d; một đường thẳng
∆ cắt a, b, c, d theo thứ tự tại A, B, C, D và một
đường thẳng ∆′ theo thứ tự cắt a, b, c, d tại A′ ,
B ′ , C ′ , D′ . Khi đó (ABCD) = (A′ B ′ C ′ D′ ).
A′
∆′
B′ C
′
∆
A
C
B
D
Định nghĩa 1
O
Cho chùm đường thẳng a, b, c, d có O tâm; một
đường thẳng ∆ cắt a, b, c, d theo thứ tự tại A, B,
C, D. Khi đó, (ABCD) gọi là tỷ số kép của chùm
(abcd) và ký hiệu O(ABCD).
a
d
c
b
∆
A
Định nghĩa 1
B
C
D
Draft
O
A′
Cho hai hàng điểm O, A, B, C và O, A′ , B ′ , C ′ .
Khi đó AA′ , BB ′ , CC ′ đồng quy nếu và chỉ nếu
(OABC) = (OA′ B ′ C ′ ).
A
B′
B
C′
C
Định nghĩa 1
O
Cho hai chùm đường thẳng O(AB, CO′ ) và
O′ (AB, CO). Khi đó A, B, C thẳng hàng nếu và
chỉ nếu O(O′ ABC) = O′ (OABC).
A
B
O′
1.1.3. Tỷ số kép trên đường tròn
38
C
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Định nghĩa 1
O
Cho chùm đường thẳng O(ABCD). Khi đó
sin(OC, OA) sin(OD, OA)
O(ABCD) =
:
sin(OC, OB) sin(OD, OB)
A
D
B
C
Định nghĩa 1
O
C
Cho đường tròn C với bốn điểm phân biệt A, B, C, D cố định
trên C và điểm O thay đổi trên C. Khi đó O(ABCD) không
đổi.
A
D
C
B
Định nghĩa 1
Draft
O
C
Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D cùng thuộc đường
tròn C và O là điểm bất kỳ trên C. Khi đó (ABCD) gọi
tỷ là số kép của bốn điểm đồng viên A, B, C, D.
A
D
C
B
Định nghĩa 1
A
O
Cho đường thẳng ∆ và đường tròn C đi qua O.
Chùm đường thẳng Ox, Oy, Oz, Ot cắt C tại
A, B, C, D và cắt ∆ tại A′ , B ′ , C ′ , D′ . Khi
đó, (ABCD) = (A′ B ′ C ′ D′ ).
B′
∆
C
C′
A′
D
B
C
39
D′
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
1.2. Phép chiếu xuyên tâm
Định nghĩa 1
O
′
Cho hai đường thẳng phẳng biệt ∆, ∆ và điểm
O bất kỳ không nằm trên ∆, ∆′ . Xét ánh xạ f đi
từ đường thẳng ∆ vào đường thẳng ∆′ , được định
nghĩa như sau: f (X) = X ′ sao cho O, X, X ′ thẳng
hàng. Khi đó f được gọi là phép chiếu xuyên tâm
từ đường thẳng vào đường thẳng. Điểm O được gọi ∆
là tâm chiếu của f .
X′
∆′
X
Định nghĩa 1
Phép chiếu xuyên tâm f và bảo toàn tỷ số kép.
1.3. Tý số kép điều hòa
1.3.1. Hàng điểm điều hòa
Định nghĩa 1
Hàng điểm gồm bốn điểm A, B, C và D gọi là hàng điểm điều hòa nếu và chỉ nếu
CA
DA
(ABCD) = −1 ⇔
=−
.
DB
Draft CB
Định nghĩa 1
Cho hàng điểm gồm bốn điểm A, B, C và D và M là trung điểm của AB. Khi đó các
mệnh đề sau tương đương
(a) (ABCD) = −1
(b)
2
1
1
=
+
(hệ thức Descartes)
AB
AC AD
(c) M A2 = M B 2 = M C · M D (hệ thức Newton)
(d) CD · CI = CA · CB (hệ thức Maclaurin)
Hàng
phân
giác
A
Cho tam giác ABC với AD, AE lần lượt là phân giác
trong và phân giác ngoài. Khi đó (BCED) = −1.
E
40
B
D
C
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
Hàng tứ giác toàn phần
A
E
Cho tam giác ABC có các điểm D., E, F lần
lượt thuộc BC, CA, AB sao cho AD, BE,
CF đồng quy. Gọi G là giao điểm của BC và
EF . Khi đó (BCGD) = −1.
F
G
D
B
C
Hàng tiếp tuyến- cát tuyến
A
Cho đường tròn (O), từ điểm T nằm ngoài
đường tròn vẽ tiếp tuyến T A, T B và cát tuyến
T CD đến (O). Gọi S là giao điểm của AB và
CD. Khi đó (T SCD) = −1.
T
S
C
D
B
1.3.2. Chùm điều hòa
Draft
Định nghĩa 1
Chùm đường thẳng a, b, c, d gọi là chùm điều hòa nếu và chỉ nếu (abcd) = −1.
Định nghĩa 1
Cho chùm a, b, c , d. Khi đó, 2 trong 3 điều kiện
sau tương đương
O
(a) (abcd) = −1.
d
(b) c ⊥ d.
b
a
(c) c và d là phân giác của góc tạo bởi a, b.
c
Định nghĩa 1
d
O
Cho chùm đường thẳng a, b, c, d. Khi đó, các điều
kiện sau là tương đương
(a) (abcd) = −1.
(b) Mọi đường thẳng song song với một đường
bất kỳ của chùm thì định ra trên ba đường thẳng
còn lại hai đoạn thẳng bằng nhau.
41
a
b
c
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
1.3.3. Tứ giác điều hòa
Định nghĩa 1
Bốn điểm phân biệt A, B, C, D nội tiếp đường tròn C gọi là tứ giác điều hòa nếu và chỉ
nếu (ABCD) = −1.
Định nghĩa 1
A
C
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn C. Khi
đó, các điều kiện sau tương đương
(a) Tứ giác ABCD điều hòa.
(b) AB · CD = AD · BC.
(c) Tiếp tuyến tại A, C của C và BD
đồng quy.
B
D
C
(d) Tiếp tuyến tại B, D của C và AC
đồng quy.
BÀI TẬP P1. Trên đường thẳng d thứ tự lấy các điểm A, B, C, D sao cho AB =
BC = CD. Tính (AB, CD).
P2. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại
D, E, F . Gọi M , N lần lượt là giao điểm của Draft
các đường tròn (BEF ) và (CEF ) với BC. Chứng
minh rằng DM = DN .
P3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi T là giao điểm của của tiếp tại A của (O)
và BC. S là giao điểm của tiếp tuyến tại B, C của (O). I là giao điểm của AS và BC. Chứng
minh rằng (T I, BC) = −1.
P4. Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) nằm ngoài nhau. Gọi T , S lần lượt là giao điểm của tiếp
tuyến chung ngoài, chung trong của (O1 ) và (O2 ). Chứng minh rằng (ST, O1 O2 ).
P5. Cho tam giác ABC, trực tâm H và đường cao AD. Trên AD lấy K sao cho ∠BKC = 90◦ .
Gọi M là trung điểm của HK. Đường tròn đường kính AM cắt đường tròn Euler của tam giác
ABC tại X, Y . Chứng minh rằng K, X, Y thẳng hàng.
P6. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của AC và BD. F là giao
điểm của AD và BC. G, H là giao điểm của EF và (O). K, L là giao điểm của EF với AB và
CD. Chứng minh rằng
a) (EF, GH) = −1.
1
1
1
1
+
=
+
.
b)
EG EL
EH EK
P7. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại A cắt BC tại T , H là hình chiếu của A trên
TH
OH
OT , (BT H) cắt (O) tại D khác A, BD cắt OT tại K. Chứng minh rằng
=2
.
TK
OK
P8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Tiếp tuyến tại B, C cắt nhau tại T . AT cắt BC tại
D. Đường tròn qua A, D tiếp tuyến với BC tại D cắt (O) tại E. AE cắt BC tại F . Chứng minh
1
1
1
rằng
=
+
.
FD
F D + EB F D + F C
42
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P9. Cho tam giác ABC, tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC) cắt BC tại T . Một đường tròn
(K) bất kỳ qua B, C cắt CA, AB lần lượt tại E, F . Gọi G là giao điểm của BE và CF . M là
trung điểm của AG. Chứng minh rằng T G ⊥ AK.
P10. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF . Gọi X, Y , Z lần lượt là giao điểm của
F E và BC, F D và CA, DE và AB. Chứng minh rằng X, Y , Z thẳng hàng.
P11. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E,
F . Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của EF , F D, DE. Gọi R, S, T lần lượt là giao điểm của
P M và BC, M N và CA, N P và AB. Chứng minh rằng R, S, T thẳng hàng.
P12. Cho tam giác ABCD nội tiếp (AB không song song CD). M , N lần lượt là trung điểm
của AB, CD. Đường tròn (ABN ) cắt CD tại P , đường tròn (CDM ) cắt AB tại Q. Chứng minh
rằng tứ giác M N P Q nội tiếp.
P13. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF . Hai đường tròn qua A, E tiếp xúc với
BC tại hai điểm P , Q phân biệt. Chứng minh rằng tứ giác AF P Q nội tiếp.
P14. Cho đường tròn (O) với dây BA cố định và điểm A di động trên cung lớn BC. M là trung
điểm BC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. AO, HM cắt EF lần lượt tại P , Q.
Chứng minh rằng đường tròn DP Q luôn đi qua điểm cố định.
P15. Cho tam giác ABC, một đường tròn qua B, C cắt CA, AB tại E, F . EF cắt BC tại P .
BE, CF cắt nhau tại H. AH cắt BC tại D. Đường thẳng qua D và song song với EF cắt CA,
AB tại Q, R. Chứng minh rằng đường tròn (P QR) đi qua trung điểm của BC.
P16. Cho tam giác ABC các đường cao AD, BE, CF . Gọi T là giao điểm của EF và BC.
Chứng minh rằng (AEF ) và (T DE) tiếp xúc nhau.
P17. Cho tam giác ABC các đường cao AD, BE, CF và AD cắt EF tại S. Đường trung trực
Draft
của BC cắt EF tại T . Chứng minh rằng đường
tròn đường kính DS và đường tròn (T BC) tiếp
xúc nhau.
P18. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. AC cắt BD tại E, AD cắt BC tại F . Gọi G, H lần lượt là
trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng EF tiếp xúc với đường tròn (EGH).
P19. Cho tam giác ABC; một đường tròn qua B, C cắt CA, AB lần lượt tại E, F . Gọi K là giao
điểm của (AEF ) và (ABC). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BE, CF . Chứng minh rằng
KA tiếp xúc với (AM N ).
P20. Cho đường tròn (O) và dây BC cố định và điểm A di động trên cung lớn BC. Trong tam
giác ABC lấy điểm P . AP , BP , CP lần lượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F . EF cắt đường tròn
(O) tại P , Q. Chứng minh rằng đường tròn (DP Q) đi qua điểm cố định.
P21. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc các cạnh BC,
CA, AB lần lượt tại D, E, F . Gọi P , Q là giao điểm của EF với đường tròn (O). Gọi M là điểm
chính giữa cung BAC của đường tròn (O). Chứng minh rằng trung điểm IM là tâm đường tròn
(DP Q).
P22. Cho hình thang ABCD với AB//CD. E, F lần lượt trên BC, AD sao cho ∠CBF = ∠DAE.
Gọi K là trung điểm của EF . EF cắt AB, CD lần lượt tại J, I. Chứng minh rằng I ∈ (AKB)
khi và chỉ khi J ∈ (DKC).
P23. Cho hai đường tròn (O) và (J) tiếp xúc nhau sao cho (J) nằm trong (O). Từ một điểm A
trên O) kẻ tiếp tuyến AP đến (J). Đường tròn (A; AP ) cắt (O) tại E, F . Chứng minh rằng EF
tiếp xúc với (J).
P24. Cho tam giác ABC. Trên AB lấy hai điểm D, E bất kỳ. Qua các điểm D, E vẽ các đường
thẳng song song với BC, CA cắt CA, BC tại F , G. F G cắt đường tròn (O) tại P , Q. Chứng
minh rằng tứ giác DEP Q nội tiếp.
43
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P25. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Đường tròn đường kính AH cắt (O) tại K. L là giao điểm của KD và (O). Gọi P , Q là giao điểm
của EF và (O). Vẽ đường kính AG của (O). M , N lần lượt là guao điểm của GP , GQ với BC.
Chứng minh rằng tứ M N GL nội tiếp.
P26. Cho tam giác ABC với tâm ngoại tiếp (O) và P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác trong
tam giác. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của của P , Q trên BC. Gọi K là trung điểm của P Q.
E, F lần lượt là hình chiếu của K trên CA, AB. G, H đối xứng A qua E, F . Đường tròn (GM N )
và (HM N ) lần lượt cắt CA, AB tại S, T . Chứng minh rằng OK ⊥ ST .
P27. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H. Trên đường thẳng qua O lấy điểm P . Q là điểm liên hợp đẳng giác của P trong tam giác ABC.
M , N lần lượt là giao điểm của QB, QC với EF . Chứng minh rằng tứ giác AM HN nội tiếp.
P28. Cho tam giác ABC. P là một điểm bất kỳ không nằm trên các cạnh tam giác ABC. Gọi
D, E, F theo thứ tự là giao điểm của AP và BC, BP và CA, CP và AB. Q, R heo thứ là giao
điểm của EF và BC BC, AD và EF . Chứng minh rằng (AP, RD) = −1.
P29. Cho đường tròn (O). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AB đến
đường tròn (O). Hai đường thẳng thay đổi qua A lần lượt cắt (O) tại E, F và G, H. Gọi K là giao
điểm của EH và F G. Chứng minh rằng B, C và K thẳng hàng.
P30. Cho tứ giác ABCD nội tiếp với AB không song song với CD. M , N lần lượt là trung điểm
của AB, CD. Các đường tròn (CDM ), (ABN ) lần lượt cắt AB, CD tại P , Q. Chứng minh rằng
AC, BD, P Q đồng quy.
P31. Cho tam giác ABC. Các điểm M , N thuộc BC. Các điểm P , Q theo thứ tự thuộc AC,
AB. Gọi O là giao điểm của BP và N Q, L là Draft
giao điểm của CO và M Q, K là giap điểm của BO
và N P . Chứng minh rằng AO, BL, CK.
P32. Cho hai đường thẳng ∆ và ∆′ . Các điểm A, B, C thuộc ∆ và các điểm A′ , B ′ , C ′ thuộc
∆′ . Gọi X, Y , Z lần lượt là giao điểm của BC ′ và B ′ C, CA′ và C ′ A, AB ′ và A′ B. Chứng minh
rằng X, Y , Z thẳng hàng.
Định lý Pappus
P33. Cho hai tam giác ABC và A′ B ′ C ′ . Gọi X, Y , Z lần lượt là giao điểm của BC và B ′ C ′ , CA
và C ′ A′ , AB và A′ B ′ . Chứng minh rằng X, Y , Z thẳng hàng khi và chỉ khi AA′ , BB ′ , CC ′ đồng
quy hoặc đôi một song song.
Định lý Desargues
P34. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Một đường thẳng d đi qua O cắt
AB, BC, CD, DA lần lượt tại M , N , P , Q. Gọi X, Y , Z, T lần lượt là giao điểm của CM và
AN , CP và AQ, DM và BN , DQ và BP . Chứng minh rằng X, Y , Z, T thẳng hàng.
P35. Cho tam giác ABC và điểm P trong tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của
AP và BC, BP và CA, CP và AB. Gọi Q là giao điểm của EF và BC. M , N lần lượt là giao
điểm của F D và BE, DE và CP . Chứng minh rằng Q, M , N thẳng hàng.
P36. Cho tam giác ABC; đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F .
Đường thẳng EF cắt đường thẳng qua A song song với BC tại P và cắt DI tại N . Chứng minh
rằng AN , F D, P C đồng quy.
P37. Cho tam giác ABC với tâm noại tiếp O. Giả sử AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt
tại D, E, F và cắt EF , F D, DE lần lượt tại X, Y , Z. Gọi U , V , W lần lượt là hình chiếu của
của X, Y , Z thứ tự trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng AU , BV , CW .
44
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P38. Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Qua I kẽ các đường thẳng Delta và ∆′ sao
cho ∆ cắt CA, AB lần lượt tại M , P và ∆′ cắt CA AB lầ lượt tại Q, N . Gọi E, F lần lượt là
giao điểm của M N , P Q với BC. Chứng minh rằng I là trung điểm của EF .
P39. Cho tam giác ABC. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm P , Q sao cho BP = −CQ. Đường
thẳng qua P cắt CA, AB tại D, F . Đường thẳng qua Q cắt CA, AB tại F , G. DG, EF cắt BC
tại R, Q. Chứng minh rằng BR = −CS.
P40. Cho tam giác ABC, nội tiếp đường trò (O). Đường tròn (K) tiếp xúc với BA, AC lần lượt
tại M , N và cắt (O) tại P , Q. Lấy các điểm S, T lần lượt thuộc AB, AC sao cho
CN
AT
BM
AS
=
;
=
AB
BM + CN AC
BM + CN
Chứng minh rằng BC, P Q, ST đồng quy.
P41. Cho ba đường thẳng ℓ, ℓ1 , ℓ2 đồng quy tại O. Trên ℓ lấy hai điêm S1 , S2 ; trên ℓ1 lấy ba
điểm phân biệt A1 , B1 , C2 ; trên ℓ2 lấy ba điểm A2 , B2 , C2 . Gọi X, Y , Z lần lượt là giao điểm của
S1 A1 và S2 A2 , S1 B1 và S2 B2 , S1 C1 và S2 C2 . Chứng minh rằng X, Y , Z thẳng hàng khi và chỉ
khi A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy.
P42. Cho tam giác ABC. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm X, Y . Đường thẳng qua X cắt CA,
AB tại D, E tương ứng. Trên đường thẳng AY lấy hai điểm F , G phân biệt. Gọi P là giao điểm
của BN , CM ; Q là giao điểm của DM và EN ; R là gaio điểm của P Q và BC. Chứng minh rằng
(Y A, M N ) = (XR, BC).
P43. Cho tam giác ABC. Trên CA, AB lần lượt lấy các điểm E, F . P là giao điểm của BE và
CF . Trên EF lấy hai điểm phân biệt M , N . Q, R lần lượt là giao điểm của BM và CN , BN và
CM . Chứng minh rằng AR, EF và P Q đồng quy.
P44. Cho hai tam giác ABC và A′ B ′ C ′ thấu Draft
xạ nhau. X, Y , Z lần lượt là giao điểm của BC ′ và
′
′
′
′
′
B C, CA và C A, AB và AB . Chứng minh rằng AX, BY , CZ đồng quy.
P45. Cho tam giác ABCD. Các cạnh đối AB và CD cắt nhau tại E còn AD và BC cắt nhau
tại F . Lấy hai điểm M , N đẳng cự trên EF . S là giao điểm của AM và CN . P , Q theo thứ tự là
giao điểm của BS, DS với EF . Chứng minh rằng M P = N Q.
P46. Cho hình thang ABCD với AB//CD. Trên AD, BC lấy hai điểm P , Q sao cho AB//P Q//CD.
H là hình chiếu của A trên BC. Đường thẳng đối xứng với HP qua BC cắt AC tại S. Chứng
minh rằng đường thẳng RS luôn đi qua điểm cố định khi P , Q thay đổi.
P47. Cho tam giác ABC; đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Trên
EF lấy P , Q sao cho BP // CQ // AD. M , N lần lượt là giao điểm của DP , DQ với (I). Chứng
minh rằng BN , CM , AD đồng quy.
P48. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại P .
AP cắt (O) tại D. Tiếp tuyến tại D cắt P A, AC tại M , N . Chứng minh rằng AM , BN cắt nhau
tại một điểm nằm trên đường tròn (O).
P49. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω. K là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. D,
E, F lần lượt là giao điểm của AK, BK, CK với đường tròn ω. P là một điểm bất kỳ trên BC.
DP cắt ω tại Q. QK cắt BC tại R. P K cắt AR tại S. Chứng minh rằng QS, EF , AD đồng quy.
P50. Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. C là một điểm di động trên AB. D là điểm chính
giữa cung nhỏ AB. P là một điểm bất kỳ trên OD. Qua D vẽ đường thẳng sóng ong P C cắt (O)
tại E. EF là đường kính của (O). DC cắt (O) tại G. F G cắt OD tại Q. Chứng minh rằng Q cố
định.
P51. Cho tam giác ABC; đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại D; K, L lần lượt là tâm
45
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
bàng tiếp ứng với đỉnh B, C của tam giác ABC. M , N lần lượt là giao điểm của ID với CA và
AB. J là giao điểm của N K và M L. Chứng minh rằng IJ ⊥ AD.
P52. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chứng minh rằng AB · CD + AD · BC = AC · BD.
định lý Ptoleme
P53. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp. Gọi X, Y , Z lần lượt là giao điểm của AE và BF , BD
và CE, AD và CF . Chứng minh rằng X, Y , Z thẳng hàng.
định lý Pascal
P54. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. I là trung điểm của AB. Qua I vẽ hai dây cung tùy
ý M N và P Q sao cho M P , N Q cắt AB tại E, F . Khi đó I là trung điểm của EF .
định lý Con bướm cho đường tròn
P55. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên AB lấy hai điểm liên hợp đẳng cự P , Q. Các
dây cung CD, EF của (O) lần lượt qua P , Q. X, Y lần lượt là giao điểm của CF , DE với AB.
Chứng minh rằng X, Y liên hợp đẳng cự trên AB.
định lý Klamkin
P56. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD,
AD và BC. Điểm P nằm bất kỳ trên (O). Q, R lần lượt là giao điểm của P E, P F với (O). Chứng
minh rằng QF và RE cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).
P57. Cho tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O). Hai điểm E, F nằm bất kỳ trên CA, AB. H
là giao điểm của BE, CF . G là giao điểm của DH và (O). X, Y lần lượt là giao điểm của DE,
DF với (O). Chứng minh rằng AG, BC, KJ đồng quy.
P58. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Đường
Draft
thẳng qua I lần lượt cắt (O), AB, CD, (O) tại
P , N , M , P . Chứng minh rằng
1
1
1
1
+
=
+
.
IM
IP
IN
IQ
P59. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy các điểm M , N lần lượt thuộc
CA, AB. E, F lần lượt là giao điểm của BM , CN với (O). S là giao điểm của đường tròn (E, EC)
và BM . T là giao điểm của đường tròn (F ; F B) và CN . Chứng minh rằng BC, M N và T S đồng
quy.
P60. Cho tam giác ABC không vuông và nội tiếp đường tròn (O) . Điểm D di động trên (O)
khác B, C. E, F lần lượt là giao điểm của AD với tiếp tuyến của (O) tại B, C. G là giao điểm
của BF và CE. Chứng minh rằng DG luôn đi qua điểm cố định.
P61. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ tieps tuyến AB, AC và cát tuyến
AM N đến (O). Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AO với (O) và BC. Chứng minh rằng M K là
phân giác của ∠KM N .
P62. Cho tam giác ABC, đường cao AD và trực tâm H. X, Y là giao điểm của đường tròn đường
kính AH và đường tròn bất kỳ qua B, C. K là hình chiếu của D trên XY . Chứng minh rằng KD
là phân giác của ∠BKC.
P63. Cho tam giác ABC; đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E,
F . K là hình chiếu của D trên XY .
a) Chứng minh rằng KD là phân giác của ∠BKC.
b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng KD là phân giác của ∠DKH.
46
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
PC
QB
=
. M , N lần lượt là giao điểm của
PE
QF
HP , HQ với BC. Chứng minh rằng AD, M E, N F đồng quy.
c) Lấy hai điểm P , Q trên CE, BF sao cho
P64. Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ. D, E, F lần lượt là giao điểm của AP và BC, BP và
CA, CP và AB. Q là hình chiếu của D trên EF . Chứng minh rằng QD là phân giác của ∠BQC.
P65. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Lấy điểm P bất kỳ trên AH. E, F lần lượt là giao
điểm của BP , CP với CA, AB. Chứng minh rằng HA là phân giác của ∠EHF .
P66. Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ. E, F lần lượt là giao điểm của BP , CP với CA, AB. D
là giao điểm của AP và EF . Q là hình chiếu của D trên BC. Chứng minh rằng ∠AHE = ∠P HF .
P67. Cho tứ giác ABCD. E, F , G lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và
BD. Gọi H là hình chiếu của G trên EF . Chứng minh rằng ∠AHD = ∠BHC.
P68. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp. D là điểm
chính giữa cung BAC của (O). E, F là giao điểm của DI với BC và (O). Đường thẳng qua E
song song với AI cắt AF tại P . Chứng minh rằng P E là phân giác của ∠BP C.
P69. Cho tam giác ABC với tâm ngoại tiếp (O) và trực tâm H. M là trung điểm của BC. I là
giao điểm của HO và đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Chứng minh rằng IH là phân giác
của ∠M IA.
P70. Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác trong của BAC. Đường thẳng bất kỳ qua D
cắt CA, AB lần lượt tại E, F . G là giao điểm của BE và CF . Chứng minh rằng AG là phân giác
ngoài của ∠BAC.
P71. Cho tam giác ABC, đường cao AH và đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D. M là
trung điểm của AH. N là giao điểm của DM và (I). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam
giác N BC và (I) tiếp xúc nhau.
Draft
P72. Cho đường tròn (O) và dây CD cố định. I là trung điểm của CD, A là một điểm nằm trên
đường tròn, tia đối xứng với tia IA qua đường thẳng CD cắt (O) tại B.
a) Chứng minh đường thẳng AB đi qua một điểm cố định L khi A thay đổi trên đường tròn
(O).
b) Gọi N , P là giao điểm của đường trung trực AB với (O). Q là giao điểm của CN và
DP . Chứng minh rằng Q, N tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp của tam giác CM D.
P73. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn sao cho BD là đường kính. A′ là điểm đối xứng của
A qua BD. CA′ cắt BD tại P . B ′ là đối xứng của B qua AC, DB ′ cắt AC tại Q. Chứng minh
rằng P Q ⊥ AC.
P74. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). J là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh
rằng AC là phác giác của ∠BJD.
P75. Cho tam giác ABC; M , N theo thứ tự là trung điểm của CA, AB. D là giao điểm của
(ABM ) và (ACN ). Trên AD lấy E sao cho AE = 2ED. Chứng minh rằng ∠BED = ∠CED.
P76. Cho tam giác ABC; tiếp tuyến tại A cắt BC tại P . G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt
(ABC) tại F . P G cắt CA, AB tại D, E. Chứng minh rằng AG là phân giác của ∠EF D.
P77. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chính giữa cung BAC, H là trực
tâm tam giác ABC. M H cắt (O) tại N . Một đường thẳng qua O cắt CA, AB tại E, F sao cho
AE = AF . Chứng minh rằng M N là phân giác của ∠EN F .
P78. Cho tứ giác ABDC nội tiếp. Vẽ dây AK sóng song với BC. AD cắt BC tại E. Trên
AD lấy P sao cho AP = 23 AD. Đường tròn (AKP ) cắt CA, AB tại M , N . Chứng minh rằng
∠M EP = ∠N EP .
47
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
P79. Cho hình thang cân ABCD với AB // CD nội tiếp đường tròn (O). M là trung điểm của
BC. E là giao điểm của AE với (O). N là trung điểm của DE. Chứng minh rằng N E là phân giác
của ∠BN C.
P80. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng d qua A cắt CD, DB, BC tại M , N , Q
1
1
1
=
+
.
tương ứng. Chứng minh rằng
AM
AN
AP
P81. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. Một đường thẳng d qua G cắt BC, CA, AB tại D,
1
1
1
+
+
= 0.
E, F tương ứng. Chứng minh rằng
GD GE GF
P82. Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp, J là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với
đỉnh C. M là trung điểm của CA. D là giao điểm của JM và AB. Chứng minh rằng ID và AC
song song.
P83. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B, C của (O) tại T . Đường
thẳng qua T song song AB cắt (O) tại D, E và AC tại D. Chứng minh rằng D là trung điểm của
EF .
P84. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là trung điểm của BC. Đường thẳng đối
xứng AM qua phân giác của ∠BAC cắt (O) tại N . P là giao điểm của N M và (O). Chứng minh
rằng AP // BC.
P85. Cho tam giác ABC nhon, không cân (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Đường phân
giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn (O) tại K (khác A). Lấy P là điểm nằm
trên đường tròn (K; KB) sao cho P nằm trong tam giác ABC và nằm khác phía B so với đường
thẳng AD. Đường thắng P K cắt BC tại L, cắt đường tròn (K; KB) tại Q (khác P ). Đường thắng
Draft
AL cắt đường tròn (O) tại F , đường thẳng KF cắt đường thẳng BC tại T , đường thắng AQ cắt
đường tròn (O) tại R (R và F khác A).
a) Chứng minh rằng KQ2 = KA.KD, ∠KAQ = ∠KQD và P T // KR.
b) Gọi E là giao điểm thứ hai của AP và đường tròn (O). Chứng minh rằng KH đi qua
trung điểm của P T .
Nam Định 21-22
P86. Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H. Lấy O là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm đoạn BC. Gọi K là giao điểm của
M H với AB, L là giao điểm của AO với BH. Chứng minh rằng đường thẳng KL đi qua trung
điểm của đoạn thắng EF .
Phú Thọ 21-22
P87. Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp (I)
tiếp xúc BC tại D. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AT của (O). E là giao
điểm của AI và (O), P là giao điểm của ET và P , F là giao điểm của ED và (O), K là giao điểm
của AF và BC, N là giao điểm của P I và AK, L là giao điểm của EH và (O), J là giao điểm
của F L và BC, tiếp tuyến tại F của (O) cắt BC tại M . Chứng minh rằng M N và AJ song song
nhau.
P88. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt
nhau tại T . Một đường tròn bất kỳ qua B, C lần lượt cắt CA, AB tại E, F . Chứng minh rằng AT
chia đôi EF.
P89. Cho tam giác ABC, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại
Q. Một đường tròn bất kỳ qua B, C cắt CA, AB lần lượt tại E, F ; D là điểm đối xứng của E
48
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
qua A. Chứng minh rằng DF và P O vuông góc nhau.
P90. Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn (O), đường kính DA, tiếp tuyến
tại D của (O) cắt BC tại E. M , N lần lượt là giao điểm của EO với CA và AB. Chứng minh
rằng OM = ON .
P91. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BD tại E. P là
giao điểm của AC và đường tròn ngoại tiếp tam giác OCE. M , N lần lượt là giao điểm của EP
với AB và AD. Chứng minh rằng P M = P N .
P92. Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cắt đường tròn nội tiếp (I) tại X, Y . Các điểm Z,
T thuộc (I) sao cho XZ // Y T // BC. AZ, AT theo thứ tự cắt BC tại P , Q. Chứng minh rằng
BP = CQ.
P93. Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O), kẻ tới (O) các tiếp tuyến SA, SB (A, B thuộc (O)).
Một đường thẳng qua S, cắt (O) tại hai điểm M , N . Đường thẳng qua M , song song với SA theo
thứ tự cắt AB, AN tại E, F . Chứng minh rằng EM = EF .
P94. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên (O) lấy điểm E bất kỳ; K là giao điểm của tiếp
tuyến tại A, E của (O), D là giao điểm của AK và BE. S là giao điểm của tiếp tuyến tại E của
(O) với BK. Q là giao điểm của OS và AE. F là điểm đối xứng của E qua AB. Chứng minh rằng
D, Q, F thẳng hàng.
P95. Cho tam giác giác ABC, đường cao AH. P là điểm bất kỳ trên AD. E, F lần lượt là giao
điểm của BP , CP với CA, AB. Q là giao điểm của HF và BP . M là trung điểm của AH, D là
giao điểm của EM và AB. Chứng minh rằng DQ và BC vuông góc nhau.
P96. Cho tam giác ABC, đường cap AH, M là trung điểm của AH. Đường tròn bàng tiếp (J)
ứng với đỉnh A tiếp xúc BC tại D. I là giao điểm của M D và AI. Chứng minh rằng I là tâm nội
tiếp của tam giác ABC.
Draft
P97. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); T là giao điểm của tiếp tuyến tại B, C của
(O). Một đường tròn qua B, C cắt CA, AB lần lượt tại E, F . D là giao điểm của đường tròn
ngoại tiếp tam giác AEF và (O). G là giao điểm của DE và (O). M , N lần lượt là giao điểm của
BG với AT và AC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BM .
P98. Cho tam giác ABC vuông tại A; D là giao điểm của BC và tiếp tuyến tại A của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. M là trung điểm của AD. E là giao điểm của CM và đường thẳng qua
B song song với AD. Chứng minh rằng AE và BC vuông góc nhau.
P99. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của BC. Lấy điểm P sao cho
AP ⊥ BC và P B ⊥ P C. Q là giao điểm của AO và đường thẳng M P đối xứng qua BC. Chứng
minh rằng AM chia đôi P Q.
P100. Cho tam giác ABC; D là giao điểm của tiếp tuyến tại B, C của (O). AE, AF lần lượt là
phân giác trong và phân giác ngoài của ∠BAC. M , N lần lượt là trung điểm của DE và EF . K
là giao điểm của AD và đường thẳng qua E vuông góc với BC. Chứng minh rằng M , N , K thẳng
hàng.
P101. Cho tam giác ABC, đường phân giác AE, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D. DF
là đường kính của (I). M là trung điểm của BC. Lấy K sao cho AK ⊥ BC và DK // AF . L là
giao điểm của EF và DK. Chứng minh rằng D là trung điểm của KL.
P102. Cho tam giác ABC, đường cao AD. Đường tròn ω đường kính AD cắt CA, AB tại E, F
tương ứng. X, Y là giao điểm của tiếp tuyến của ω tại E, F với BC. P , Q tương ứng là giao điểm
của EB và F C, EY và F X. Chứng minh rằng P Q chia đôi BC.
P103. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tâm nội tiếp I. E, F lần lượt là điểm chính
giữa cung CA, AB. Lấy M , N trên IB, IC sao cho EM // AB, F N // AC. P là giao điểm của
49
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
EF và M N . Chứng minh rằng IP // BC.
P104. Cho tam giác ABC với tâm ngoại tiếp O, trực tâm H, trung tuyến AM . D là giao điểm
của đường thẳng qua H song song OA với BC. E là giao điểm của đường thẳng qua D song song
AM với AH. F là điểm đối xứng của D qua E. Chứng minh rằng AF , BC và đường thẳng Euler
của tam giác ABC đồng quy.
P105. Cho tam giác ABC với tâm ngoại tiếp O, trực tâm H, đường cao AD. E là giao điểm của
AO và BC. I, S, F lần lượt là trung điểm của AE, AH, BC. M , N lần lượt là giao điểm của
đường thẳng qua D song song OH với CA, AB. P , Q lần lượt là giao điểm của DI với CA, AB.
T là giao điểm của M Q với N P . Chứng minh rằng;
a) SF // AE.
b) các điểm D, O, T thẳng hàng.
P106. Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và D, E, F lần lươt là chân đường cao hạ từ các
đỉnh A, B, C. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp ram giác HEF và K, L lần lượt là trung điểm của
BC, EF . Cho HJ cắt lại (I) tại G, GK cắt lại (I) tại L.
a) Chứng minh rằng AL vuông góc với EF .
b) Cho AL cắt EF tại M , IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N , DN cắt
AB, AC lần lượt tại P , Q. Chứng minh rằng P E, QF , AK đồng quy.
VMO 2021
P107. Cho tam giác ABC có điểm P nằm trong tâm giác. D, E, F lần lượt là hình chiếu của P
lên các đường thẳng BC, CA, AB. J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF . X đối xứng A
qua J. Đường thẳng qua D vuông góc DX cắt CA, AB theo thứ tự tại K, L.
a) Gọi H là hình chiếu của A trên KL. Chứng
Draft minh rằng H nằm trên đường tròn ngoại tiếp
am giác DEF .
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng các đường thẳng F K, EL và AM đồng
quy.
Dự tuyển KHTN Hà Nội, 2021
P108. Cho tam giác ABC; đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F .
CF cắt (I) tại P . Chứng minh rằng DP // AB khi và chỉ khi các điểm A, B, E, P đồng viên.
P109. Cho tứ giác ABCD nội tiếp thỏa mãn tồn tại điểm P sao cho ∠P AB = ∠P BC =
∠P CD = ∠P DA. Chứ minh rằng tứ giác ABCD điều hòa.
P110. Cho tam giác ABC; đường tròn nội tiếp tiếp (I) tiếp xúc BC tại D. AD cắt (I) tại E.
Trên AD lấy F sao cho CD = CF . CF cắt BE tại G. Chứng inh rằng F C = F G.
P111. Cho tam giác ABC và trực tâm H. Trên BC lấy P , Q sao cho (BC, P Q) = −1. H1 , H1
lần lượt là hình chiếu của H trên AP , AQ. Chứng minh rằng H1 H1 chia đôi BC.
P112. Cho tứ giác ABCD nội tiếp sao cho phân giác của ∠BAD và ∠BCD cắt nhau trên BD.
Đường thẳng qua C song song với AD cắt đường trung tuyến qua A của tam giác ABD tại P .
Chứng minh rằng tam giác P CD cân.
P113. Cho đường tròn (O) và dây cung BC với phương không đổi. Điểm A thay đổi trên cung
lớn BC. Đường trung tuyến qua A của tam giác ABC cắt (O) tại M khác A. Tiếp tuyến tại B,
C của (O) cắt nhua tại B, C. Chứng minh rằng KM luôn đi qua điểm cố định.
P114. Cho tam giác ABB, M là trung điểm của BC. Đường tròn ω đường kính AD cắt CA, AB
50
Toán Sen Hội quán
Phạm Vĩnh Minh
lần lượt tại D, E. Tiếp tuyến tại D, E của ω tại F . Chứng minh rằng F B = F C.
P115. Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Trên cung BAC lấy điểm D bất
kỳ khác A. E là giao điểm của AD và BC. Phân giác của ∠BDC cắt đường tròn đường kính AE
tại M , N . Chứng minh rằng tứ giác BM CN điều hòa.
P116. Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D và đường cao AH. E là
trung điểm của AH. F là giao điểm của DE và (I). Chứng minh rằng hai đường tròn (I) và (F BC)
tiếp xúc nhau.
P117. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Điểm P nằm bất kỳ trên BC, P ′ là giao
điểm của AP và (O). N là giao điểm của đường tròn ω ngoại tiếp tam giác P P ′ M và (O), Q là
giao điểm của AN và ω. M , N lần lượt là giao điểm của P Q với CA và AB. Chứng minh rằng Q
là trung điểm của M N .
P118. Cho hai đường tròn (O) và (O′ ) cắt nhau tại A, B. Một tiếp tuyến chung của hai đường
tròn tiếp xúc với (O), (O′ ) lần lượt tại P , T . Tiếp tuyến tại P , T của đường tròn (AP T ) cắt nhau
tại S. H là điểm đối xứng của B qua P T . Chứng minh rằng các điểm A, S, H thẳng hàng.
P119. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài (O). Từ P kẻ tiếp tuyến P A, P C và cắt tuyến
P BD đến (O). Điểm T nằm bất kỳ trên AC. Tiếp tuyến tại T của đường tròn (O′ ) ngoại tiếp tam
giác T BD cắt AP , CP tại R, Q. Chứng minh rằng
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác P QR và đường tròn (O′ ) tiếp xúc nhau.
b) Các điểm B, D, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
P120. Cho tam giác ABC; đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E,
F . K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng OK ⊥ AD.
P121. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, BC, CD,
Draft
DA lần lượt tại P , Q, R, S. K là giao điểm của SP và QR. Chứng minh rằng OKperpAC.
P122. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). M là giao điểm của AC và BD. Điểm P
nằm trên BC sao cho OM ⊥ M P . S là giao điểm của DP và (O). Q là điểm đối xứng của D qua
OM . R là giao điểm của phân giác ∠ABC và ∠AQS, L là giao điểm của tiếp tuyến tại B, Q của
(O). Chứng minh rằng A, R, L, S thẳng hàng.
P123. Cho tứ giác ABCD điều (O) và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn qua B, D cắt AC
tại T và đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC tại W . Chứng minh rằng tứ giác T BW D điều hòa
P124. Cho tam giác ABC; đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F .
G là giao điểm của AD và (I). M , N lân fluojtw là giao điểm của GB, GC với (I). Chứng minh
rằng tứ giác GM DN điều hòa.
P125. Cho tam giác ABD; đường tròn nội tiếp (I) với BC tại D. Ib , Ic lần lượt là tâm bàng tiếp
của tâm giác ABC ứng với đỉnh B, C. X, Y lần lượt là giao điểm của DIb , DIc với (I). Chứng
minh rằng BY , CX, AD đồng quy.
51