Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Một hợp đồng bảo hiểm hoàn trả chi phí nha khoa, ký hiệu là X, với mức lợi ích tối đa là 250. Hàm mật độ xác suất cho X được cho bởi: ® ce−0.004x , x ≥ 0 f (x) = 0, khác 61 trong đó c là một hằng số. Tính toán giá trị trung vị của lợi ích cho hợp đồng bảo hiểm này. Lời giải. Ta có Z ∞ 1= Z ∞ f (x) dx = −∞ ce−0.004x dx 0 Do đó, c = 250. Gọi m là trung vị của lợi ích trên, ta được Z m Z m 250e−0.004x dx = 0.5 f (x) dx = 0.5 ⇔ P(x ≤ m) = 0.5 ⇔ −∞ −0.004m ⇔ −e 0 + 1 = 0.5 Giải phương trình trên ta được, m ≈ 173. Thời gian đến khi một linh kiện trong thiết bị điện tử gặp trục trặc có phân phối mũ với trung vị là bốn giờ. Tính xác suất rằng linh kiện này sẽ hoạt động mà không gặp trục trặc ít nhất trong năm giờ. (A) 0.07 (B) 0.29 (C) 0.38 (D) 0.42 (E) 0.57 62 Draft Lời giải. Thời gian X có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất: f (x) = λe−λx , x≥0 Trung vị m = 4 giờ, nên: P(X ≤ 4) = 1 − e−λ·4 = 0.5 =⇒ λ = ln(2) ≈ 0.17325 4 Xác suất linh kiện hoạt động ít nhất 5 giờ: P(X ≥ 5) = 1 − P(X < 5) = 1 − (1 − e−λ·5 ) = e−λ·5 ≈ 0.42 Vậy xác suất là khoảng 0.42. Một công ty bảo hiểm bán một hợp đồng bảo hiểm ô tô bảo hiểm cho các tổn thất phát sinh từ một người được bảo hiểm, có áp dụng mức khấu trừ là 100. Các tổn thất phát sinh theo phân phối mũ với giá trị kỳ vọng là 300. Tính toán phân vị thứ 95 của các tổn thất vượt quá mức khấu trừ. (A) 600 (B) 700 (C) 800 (D) 900 (E) 1000 63 Lời giải. Tổn thất X có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất: f (x) = λe−λx , x ≥ 0 Giá trị kỳ vọng E(X) = 300, nên: 1 1 E(X) = = 300 =⇒ λ = λ 300 1 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Tổn thất vượt quá mức khấu trừ là Y = X − 100 cũng có phân phối mũ với cùng λ, do tính "không nhớ" (memoryless). Phân vị thứ 95 của Y thỏa: ln(0.05) ≈ 899 P(Y ≤ y) = 1 − e−λy = 0.95 =⇒ e−λy = 0.05 =⇒ y = − λ Vậy phân vị thứ 95 của các tổn thất vượt quá mức khấu trừ là khoảng 899. Mức độ yêu cầu bồi thường cho thiệt hại do gió đối với các ngôi nhà được bảo hiểm là các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau với hàm mật độ như sau: 3, x>1 f (x) = x4 0, khác 64 Trong đó x là số tiền bồi thường tính bằng hàng nghìn đô la. Giả sử sẽ có 3 yêu cầu bồi thường như vậy được đưa ra. Tính giá trị kỳ vọng của yêu cầu bồi thường lớn nhất trong ba yêu cầu. (A) 2025 (B) 2700 (C) 3232 (D) 3375 (E) 4500 Lời giải. Hàm phân phối tích lũy F (x) = P(X ≤ x): Z x 1 3 dt = 1 − 3 , x > 1 F (x) = 4 x 1 t Gọi Y là yêu cầu bồi thường lớn nhất trong 3 yêu cầu độc lập. Hàm phân phối của Y là: ã Å 1 3 3 FY (y) = P(Y ≤ y) = [FDraft (y)] = 1 − 3 , y > 1 y Hàm mật độ của Y : Å ã d 9 1 2 fY (y) = FY (y) = 4 1 − 3 , y > 1 dy y y Giá trị kỳ vọng E(Y ): Z ∞ Å Z ∞ ã 1 1 2 yfY (y) dy = 9 E(Y ) = 1− 3 dy ≈ 2.025 y3 y 1 1 Vậy giá trị kỳ vọng của yêu cầu bồi thường lớn nhất là 2025 đô. Một tổ chức từ thiện nhận được 2025 đóng góp. Các đóng góp này được giả định là độc lập với nhau và phân phối đồng nhất với giá trị kỳ vọng là 3125 và độ lệch chuẩn là 250. Tính toán phần trăm thứ 90 gần đúng cho phân phối của tổng số đóng góp nhận được. (A) 6,328,000 (B) 6,338,000 (C) 6,343,000 (D) (E) 6,977,000 6,784,000 65 Lời giải. Gọi Xi là đóng góp thứ i, có phân phối đều với E(Xi ) = 3125 và σXi = 250. Tổng số đóng góp S = X1 + · · · + X2025 cũng là phân với đều, với: √ E(S) = 2025 · 3125 = 6328125, σS = 2025 · 250 ≈ 11250 2 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Theo định lý giới hạn trung tâm, S xấp xỉ phân phối chuẩn. Phần trăm thứ 90 thỏa: ã Å S − E(S) ≤ z = 0.9 =⇒ z = 1.28, P90 = E(S) + 1.28 · σS ≈ 6342525 P σS Vậy phần trăm thứ 90 gần đúng cho tổng số đóng góp là 6, 343, 000. Các yêu cầu bồi thường theo hợp đồng bảo hiểm ô tô tuân theo phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng là 19,400 và độ lệch chuẩn là 5,000. Tính xác suất rằng giá trị trung bình của 25 yêu cầu bồi thường được chọn ngẫu nhiên vượt quá 20,000. (A) 0.01 (B) 0.15 (C) 0.27 (D) 0.33 (E) 0.45 66 Lời giải Gọi Xi là yêu cầu bồi thường thứ i, với Xi ∼ N (19, 400, 5, 0002 ). Giá trị trung bình của 25 yêu cầu bồi thường là: X1 + X2 + · · · + X25 X= . 25 Vì các Xi độc lập và tuân theo phân phối chuẩn, nên X cũng tuân theo phân phối chuẩn, với 5, 000 σ 5, 000 = = 1, 000. E(X) = µ = 19, 400, σX = √ = √ 5 n 25 Ta có Ç P(X > 20, 000) = P X − µ(X) σX å 20, 000Draft − 19, 400 = P(Z > 0.6) = 1 − P(0.6) = 0.27 > 1, 000 Vậy xác suất để giá trị trung bình của 25 yêu cầu bồi thường vượt quá 20,000 đô la là khoảng: 27%. Một công ty bảo hiểm phát hành 1250 hợp đồng bảo hiểm chăm sóc mắt. Số lượng yêu cầu bồi thường do một người tham gia bảo hiểm gửi lên trong một năm là một biến ngẫu nhiên Poisson với giá trị kỳ vọng là 2. Giả sử rằng số lượng yêu cầu bồi thường của các người tham gia bảo hiểm khác nhau là độc lập. Tính xác suất gần đúng rằng tổng số yêu cầu bồi thường trong một năm nằm trong khoảng từ 2450 đến 2600. (A) 0.68 (B) 0.82 (C) 0.87 (D) 0.95 (E) 1.00 67 Lời giải Gọi Xi là số lượng yêu cầu bồi thường của người tham gia bảo hiểm thứ i (i = 1, 2, . . . , 1250), với Xi ∼ Poisson(2). Tổng số yêu cầu bồi thường trong một năm là: S = X1 + X2 + · · · + X1250 . Vì các Xi độc lập và tuân theo phân phối Poisson, tổng S cũng tuân theo phân phối Poisson, với » √ √ E(S) = 1250 · 2 = 2500, σS = Var(S) = 1250 · 2 = 2500 = 50. 3 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Do n = 1250 lớn, ta xấp xỉ S ∼ N (2500, 502 ). Ta cần tính Å ã S − µ(S) 2450 − 2500 2600 − 2500 P(2450 ≤ S ≤ 2600) = P ≤ ≤ 50 σS 50 = P(−1 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−1) = 0.815 Vậy xác suất gần đúng rằng tổng số yêu cầu bồi thường trong một năm nằm trong khoảng từ 2450 đến 2600 là khoảnghoặc 82%. Một công ty sản xuất một loại bóng đèn với tuổi thọ được phân phối theo phân phối chuẩn, có giá trị kỳ vọng là 3 tháng và phương sai là 1. Một người tiêu dùng mua một số bóng đèn với ý định thay thế chúng liên tục khi chúng cháy. Các bóng đèn có tuổi thọ độc lập với nhau. Tính số lượng bóng đèn tối thiểu cần mua sao cho việc sử dụng bóng đèn cung cấp ánh sáng trong ít nhất 40 tháng với xác suất ít nhất là 0.9772. (A) 14 (B) 16 (C) 20 (D) 40 (E) 55 68 Lời giải Gọi Xi là tuổi thọ của bóng đèn thứ i, với Xi ∼ N (3, 1). Tổng tuổi thọ của n bóng đèn là: Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . Vì các Xi độc lập và tuân theo phân phối chuẩn, Sn cũng tuân theo phân phối chuẩn, với Draft » √ √ E(Sn ) = n · 3 = 3n, σSn = Var(Sn ) = n · 1 = n. Ta có Sn − µ(Sn ) 40 − 3n P(Sn ≥ 40) = P ≥ √ σSn n Å ã Å ã 40 − 3n =P Z≥ √ . n Theo giải thiết, ta có P(Z ≥ −2) = 0.9772, do đó 40 − 3n √ ≤ −2. n Giải bất phương trình trên được được n ≥ 16. Vậy số lượng bóng đèn tối thiểu cần mua là 16. Gọi X và Y là số giờ mà một người được chọn ngẫu nhiên xem phim và các sự kiện thể thao, tương ứng, trong khoảng thời gian ba tháng. Thông tin sau được biết về X và Y : 69 E(X) = 50, E(Y ) = 20, V ar(X) = 50, V ar(Y ) = 30, Cov(X, Y ) = 10. Tổng số giờ mà các cá nhân khác nhau xem phim và các sự kiện thể thao trong ba tháng là độc lập với nhau. Một trăm người được chọn ngẫu nhiên và quan sát trong ba tháng này. Gọi T là tổng số giờ mà một trăm người này xem phim hoặc sự kiện thể thao trong khoảng thời gian ba tháng. Tính xấp xỉ giá trị của P [T < 7100]. (A) 0.62 (B) 0.84 (C) 0.87 (D) 0.92 (E) 0.97 4 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Lời giải Gọi Xi và Yi là số giờ xem phim và sự kiện thể thao của người thứ i (i = 1, 2, . . . , 100), với Xi ∼ (50, 50) và Yi ∼ (20, 30), và Cov(Xi , Yi ) = 10. Tổng số giờ của người thứ i là Zi = Xi + Yi . Tổng số giờ của 100 người là: T = Z1 + Z2 + · · · + Z100 . Vì các Zi độc lập với nhau, ta có: E(Zi ) = E(Xi ) + E(Yi ) = 70, V ar(Zi ) = V ar(Xi ) + V ar(Yi ) + 2Cov(Xi , Yi ) = 100. Do đó, E(T ) = 100 · 70 = 7000, σT = » √ Var(T ) = 100 · 100 = 100. Ta có: T − µ(T ) 7100 − 7000 < P(T < 7100) = P σT 100 Å ã = P(Z < 1) ≈ 0.8413 Vậy giá trị xấp xỉ của P(T < 7100) là 0.84. Tổng số tiền yêu cầu bồi thường cho một chính sách bảo hiểm sức khỏe theo phân bố có hàm mật độ: 70 1 − x e 1000 , x > 0. 1000 Mức phí bảo hiểm cho chính sách được đặt ở mức tổng số tiền yêu cầu ước tính cộng thêm 100. Nếu 100 chính Draft sách được bán ra, hãy tính toán xác suất xấp xỉ mà công ty bảo hiểm sẽ có các yêu cầu vượt quá số phí đã thu. (A) 0.001 (B) 0.159 (C) 0.333 (D) 0.407 (E) 0.460 f (x) = Lời giải Gọi Xi làÅsố tiền ã yêu cầu bồi thường của chính sách thứ i (i = 1, 2, . . . , 100), với 1 , do đó Xi ∼ Exp 100 … » 1 1 E(Xi ) = = 1000, σXi = Var(Xi ) = = 1000. λ λ2 Mức phí bảo hiểm cho một chính sách là E(Xi ) + 100 = 1100. Tổng phí thu được từ 100 chính sách: P = 100 · 1100 = 110000. Tổng số tiền yêu cầu bồi thường là: S = X1 + X2 + · · · + X100 . Vì các Xi độc lập, ta có: E(S) = 100 · 1000 = 100000, σS = » √ √ Var(S) = 100 · 1000000 = 1000 10. 5 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Ta có: ã Å ã S − µ(S) 110000 − 100000 10 √ > =P Z> √ P(S > 110000) = P σS 1000 10 10 √ = P(Z > 10) = 1 − P(3.16) ≈ 0.0008 Å Vậy xác suất xấp xỉ mà công ty bảo hiểm có các yêu cầu vượt quá số phí đã thu là khoảng 0.001. Một thành phố vừa mới tuyển thêm 100 nữ cảnh sát vào lực lượng của mình. Thành phố sẽ cung cấp một khoản lương hưu cho mỗi nhân viên mới nào ở lại lực lượng cho đến khi về hưu. Ngoài ra, nếu nhân viên mới nào đã kết hôn tại thời điểm nghỉ hưu, một khoản lương hưu thứ hai sẽ được cung cấp cho chồng của cô ấy. Một nhà định giá tư vấn đưa ra các giả thuyết sau: 71 (i) Mỗi nhân viên mới có xác suất 0.4 để ở lại lực lượng cảnh sát cho đến khi nghỉ hưu. (ii) Giả sử rằng một nhân viên mới đến nghỉ hưu với lực lượng cảnh sát, xác suất cô ấy không kết hôn tại thời điểm nghỉ hưu là 0.25. (iii) Các sự kiện khác nhau của các nhân viên mới đến nghỉ hưu và các sự kiện khác nhau của các nhân viên mới kết hôn tại thời điểm nghỉ hưu là các sự kiện độc lập hoàn toàn. Tính xác suất rằng thành phố sẽ cung cấp tối đa 90 khoản lương hưu cho 100 nhân viên mới và chồng của họ. (A) 0.60 (B) 0.67 (C) 0.75 (D) 0.93 (E) 0.99 Draft Lời giải Gọi Xi là số lương hưu cho nữ cảnh sát thứ i ở lại đến khi nghỉ hưu, với Xi ∼ Bernoulli(0.8). Gọi Yi là số lương hưu cho chồng của nữ cảnh sát thứ i, với P(Yi = 1) = 0.8·0.6 = 0.48. Tổng số lương hưu là: S = (X1 + Y1 ) + (X2 + Y2 ) + · · · + (X100 + Y100 ). Vì các Xi và Yi độc lập, do đó: E(Xi + Yi ) = E(Xi ) + E(Yi ) = 0.8 + 0.48 = 1.28, V ar(Xi + Yi ) = V ar(Xi ) + V ar(Yi ) = 0.8 · 0.2 + 0.48 · 0.52 = 0.16 + 0.2496 = 0.4096. Thế nên, E(S) = 100 · 1.28 = 128, σS = » √ √ Var(S) = 100 · 0.4096 = 40.96 ≈ 6.4. Suy ra ã S − µ(S) 120 − 128 P(S > 120) = P > σS 6.4 = P(Z > −1.25) = 1 − P(−1.25) ≈ 0.894. Å Theo bảng phân phối chuẩn tắc, P(Z ≤ −1.25) = 0.1056, nên: P(Z > −1.25) = 1 − 0.1056 = 0.8944. 6 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Vậy xác suất xấp xỉ tổng số lương hưu vượt quá 120 là khoảng 0.8944. Trong một phân tích dữ liệu y tế, độ tuổi của các đối tượng đã được làm tròn đến bội số gần nhất của 5 năm. Sự khác biệt giữa độ tuổi thực tế và độ tuổi được làm tròn được giả định phân bố đều trên khoảng từ -2.5 đến 2.5 năm. Dữ liệu y tế dựa trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 48 người. Tính xác suất xấp xỉ rằng giá trị trung bình của các độ tuổi đã được làm tròn nằm trong khoảng 0.25 năm so với giá trị trung bình của các độ tuổi thực. (A) 0.14 (B) 0.38 (C) 0.57 (D) 0.77 (E) 0.88 72 Lời giải Gọi Xi là độ tuổi thực tế của người thứ i và Yi là độ tuổi được làm tròn, với độ lệch Di = Yi − Xi ∼ U (−2.5, 2.5). Giá trị trung bình của 48 độ tuổi thực tế là X1 + · · · + X48 X= 48 và giá trị trung bình của các độ tuổi làm tròn là Y1 + · · · + Y48 Y = 48 Ta có: (X1 + D1 ) + · · · + (X48 + D48 ) D1 + · · · + D48 Y = = X + D, với D = . 48 48 Vì Di ∼ U (−2.5, 2.5), suy ra Draft −2.5 + 2.5 (2.5 − (−2.5))2 52 25 E(Di ) = = 0, V ar(Di ) = = = . 2 12 12 12 Do đó, … … » 5 V ar(Di ) 25 25 = = = ≈ 0.2083. E(D) = 0, σD = Var(D) = 48 12 · 48 576 24 Do n = 48 lớn, D ∼ N (0, (0.2083)2 ), vì thế Ç å |D − µ(D) | 0.25 = P(|Z| ≤ 1.2) = 2 · 0.8849 − 1 = 0.7698.. P(|D| ≤ 0.25) = P ≤ σD 0.2083 Vậy xác suất xấp xỉ là 0.77. 7 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Thời gian chờ cho yêu cầu đầu tiên từ một tài xế tốt và thời gian chờ cho yêu cầu đầu tiên từ một tài xế xấu là độc lập và tuân theo phân phối mũ với các mức trung bình lần lượt là 6 năm và 3 năm. Tính xác suất rằng yêu cầu đầu tiên từ một tài xế tốt sẽ được nộp trong vòng 3 năm và yêu cầu đầu tiên từ một tài xế xấu sẽ được nộp trong vòng 2 năm. 1 1 − e−2/3 − e−1/2 + e−7/6 (A) 18 1 −7/6 e (B) 18 73 (C) 1 − e−2/3 − e−1/2 + e−7/6 (D) 1 − e−2/3 − e−1/2 + e7/3 1 1 1 (E) 1 − e−2/3 − e−1/2 + e−7/6 3 6 18 Lời giải Å ã 1 Gọi X là thời gian chờ cho yêu cầu đầu tiên từ tài xế tốt, với X ∼ Exp , ta được 6 1 P(X ≤ 3) = 1 − e−λ1 ·3 = 1 − e− 2 Å ã 1 , ta được Gọi Y là thời gian chờ cho yêu cầu đầu tiên từ tài xế xấu, với X ∼ Exp 3 Draft 2 P(Y ≤ 2) = 1 − e−λ2 ·2 = 1 − e− 3 Vì X và Y độc lập, nên P(X ≤ 3 và Y ≤ 2) = P(X ≤ 3) · P(Y ≤ 2) = 1 − e−2/3 − e−1/2 + e−7/6 Vậy xác suất là khoảng 0.1914. Một nhà điều hành tour có một chiếc xe buýt có thể chứa 20 khách du lịch. Người điều hành biết rằng khách du lịch có thể không xuất hiện, vì vậy ông bán 21 vé. Xác suất rằng một khách du lịch sẽ không xuất hiện là 0.02, độc lập với tất cả các khách du lịch khác. Mỗi vé có giá 50 và không hoàn lại nếu khách du lịch không xuất hiện. Nếu một khách du lịch xuất hiện và không có chỗ ngồi nào còn trống, người điều hành tour phải trả 100 (chi phí vé + 50 tiền phạt) cho khách du lịch. Tính toán doanh thu kỳ vọng của nhà điều hành tour. (A) 955 (B) 962 (C) 967 (D) 976 (E) 985 74 Lời giải Gọi Xi là khách du lịch thứ i xuất hiện , với Xi ∼ Bernoulli(0.98), i = 1, 2, . . . , 21. Tổng số khách xuất hiện là: S = X1 + X2 + · · · + X21 . 8 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Vì các Xi độc lập, S ∼ Binomial(21, 0.98), với: E(S) = 21 · 0.98 = 20.58. Doanh thu R phụ thuộc vào S: - Tổng tiền thu từ vé: 21 · 50 = 1050. - Nếu S ≤ 20, không có phạt, R = 1050. - Nếu S = 21, có 1 khách không có chỗ, phạt 100, R = 1050 − 100 = 950. Xác suất: Ç å 21 P(S = k) = (0.98)k (0.02)21−k . k Do đó, Ç å 21 P(S ≤ 20) = 1 − P(S = 21) = 1 − 0.9821 0.020 ≈ 0.343 21 Doanh thu kỳ vọng: E(R) = P(S ≤ 20) · 1050 + P(S = 21) · 950 = 0.343 · 1050 + 0.657 · 950 ≈ 984.3. Vậy doanh thu kỳ vọng là khoảng 985. Một chính sách bảo hiểm chi trả một tổng số lợi ích y tế bao gồm hai phần cho mỗi yêu cầu. Gọi X là phần lợi ích được trả cho bác sĩ phẫu thuật và Y là phần được trả cho bệnh viện. Phương sai của X là 5000, phương sai của Y là 10,000, và phương sai của tổng lợi ích, X + Y , là 17,000. Do chi phí y tế tăng lên, công ty phát hành chính sách quyết định tăng X lên một khoản cố định là 100 cho mỗi yêu cầu và tăng Y lênDraft 10% cho mỗi yêu cầu. Tính toán phương sai của tổng lợi ích sau khi các điều chỉnh này đã được thực hiện. (A) 18,200 (B) 18,800 (C) 19,300 (D) 19,520 (E) 20,670 75 Lời giải Gọi X là phần lợi ích trả cho bác sĩ phẫu thuật và Y là phần trả cho bệnh viện, với V ar(X) = 5000, V ar(Y ) = 10000, và V ar(X + Y ) = 17000, suy ra V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ) ⇒ Cov(X, Y ) = 1000. Sau điều chỉnh, phần lợi ích mới là: - X ′ = X + 100, - Y ′ = 1.1Y . Tổng lợi ích mới là S ′ = X ′ + Y ′ = (X + 100) + 1.1Y . Phương sai của S ′ : V ar(S ′ ) = V ar(X + 100 + 1.1Y ). và, V ar(X + 100) = V ar(X) = 5000, V ar(1.1Y ) = (1.1)2 V ar(Y ) = 1.21 · 10000 = 12100, Cov(X + 100, 1.1Y ) = 1.1 · Cov(X, Y ) = 1.1 · 1000 = 1100. Do đó: V ar(S ′ ) = V ar(X + 100) + V ar(1.1Y ) + 2Cov(X + 100, 1.1Y ) = 5000 + 12100 + 2 · 1100 = 19300. Vậy phương sai của tổng lợi ích sau điều chỉnh là 19300. 9 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Một đại lý ô tô bán 0, 1, hoặc 2 xe sang trong một ngày. Khi bán xe, người bán cũng cố gắng thuyết phục khách hàng mua một bảo hành mở rộng cho xe. Gọi X là số lượng xe sang bán được trong một ngày nhất định, và Y là số lượng bảo hành mở rộng đã bán. 76 1 6 1 P [X = 1, Y = 0] = 12 1 P [X = 1, Y = 1] = 6 1 P [X = 2, Y = 0] = 12 1 P [X = 2, Y = 1] = 3 1 P [X = 2, Y = 2] = 6 P [X = 0, Y = 0] = Tính toán phương sai của X. (A) 0.47 (B) 0.58 (C) 0.83 (D) 1.42 (E) 2.58 Lời giải Draftmột ngày. Để tính V ar(X), ta cần E(X) Gọi X là số lượng xe sang bán được trong 2 và E(X ). Phân phối biên của X: 1 P(X = 0) = P(X = 0, Y = 0) = , 6 1 1 1 2 3 1 P(X = 1) = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1) = + = + = = , 12 6 12 12 12 4 1 1 1 1 4 2 7 P(X = 2) = P(X = 2, Y = 0)+P(X = 2, Y = 1)+P(X = 2, Y = 2) = + + = + + = . 12 3 6 12 12 12 12 Tính E(X): 1 1 7 1 14 1 7 3 14 17 E(X) = 0 · + 1 · + 2 · =0+ + = + = + = . 6 4 12 4 12 4 6 12 12 12 2 Tính E(X ): 1 1 7 1 7 1 28 3 28 31 =0+ +4· = + = + = . E(X 2 ) = 02 · + 12 · + 22 · 6 4 12 4 12 4 12 12 12 12 Phương sai: Å ã2 31 17 31 289 31 · 12 289 372 289 83 2 2 V ar(X) = E(X )−[E(X)] = − = − = − = − = ≈ 0.576. 12 12 12 144 12 · 12 144 144 144 144 Vậy phương sai của X là 0.58. 10 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Lợi nhuận cho một sản phẩm mới được cho bởi Z = 3X − Y − 5. X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập với V ar(X) = 1 và V ar(Y ) = 2. Tính toán V ar(Z). (A) 1 (B) 5 (C) 7 (D) 11 (E) 16 77 Lời giải Gọi Z = 3X−Y −5, với X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, V ar(X) = 1, V ar(Y ) = 2. Ta tính phương sai của Z: V ar(Z) = V ar(3X − Y − 5) = V ar(3X − Y ). Do X và Y độc lập: V ar(3X − Y ) = V ar(3X) + V ar(−Y ), V ar(3X) = 32 · V ar(X) = 9 · 1 = 9, V ar(−Y ) = (−1)2 · V ar(Y ) = 1 · 2 = 2. Vậy: V ar(Z) = 9 + 2 = 11. Phương sai của Z là 11. Một công ty có hai máy phát điện điện. Thời gian cho đến khi hỏng cho mỗi máy phát điện tuân theo phân phối mũ với giá trị trung bình là 10. Công ty sẽ bắt đầu sử dụng máy phát điệnDraft thứ hai ngay sau khi máy phát điện đầu tiên hỏng. Tính toán phương sai của tổng thời gian mà các máy phát điện sản xuất điện. (A) 10 (B) 20 (C) 50 (D) 100 (E) 200 78 Lời giải Gọi X1 là thời gian cho đến khi hỏng của máy phát điện thứ nhất và X2 là thời gian 1 . Tổng thời cho đến khi hỏng của máy phát điện thứ hai, với X1 , X2 ∼ Exp(λ), λ = 10 gian sản xuất điện là: S = X 1 + X2 . Vì X1 và X2 độc lập và tuân theo phân phối mũ, ta có: 1 1 E(Xi ) = = 10, V ar(Xi ) = 2 = 102 = 100, λ λ Phương sai của S: i = 1, 2. V ar(S) = V ar(X1 + X2 ) = V ar(X1 ) + V ar(X2 ) = 100 + 100 = 200. Vậy phương sai của tổng thời gian là 200. 11 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Tại một khu vực đô thị nhỏ, các thiệt hại hàng năm do bão, hỏa hoạn và trộm cắp được cho là các biến ngẫu nhiên phân phối mũ độc lập, với các giá trị trung bình lần lượt là 1.0, 1.5, và 2.4. Tính xác suất rằng giá trị lớn nhất trong số các thiệt hại này vượt quá 3. (A) 0.002 (B) 0.050 (C) 0.159 (D) 0.287 (E) 0.414 79 Lời giải Gọi X1 , X2 , X3 lần lượt là thiệt hại do bão, hỏa hoạn, trộm cắp, với X1 ∼ Exp(λ1 ), 1 1 1 5 λ1 = 1.0 = 1; X2 ∼ Exp(λ2 ), λ2 = 1.5 = 23 ; X3 ∼ Exp(λ3 ), λ3 = 2.4 = 12 . Gọi M = max(X1 , X2 , X3 ). Ta cần P(M > 3) = 1 − P(M ≤ 3). Vì X1 , X2 , X3 độc lập: P(M ≤ 3) = P(X1 ≤ 3) · P(X2 ≤ 3) · P(X3 ≤ 3). Tính từng xác suất: P(X1 ≤ 3) = 1 − e−λ1 ·3 = 1 − e−1·3 = 1 − e−3 ≈ 0.9502, 2 P(X2 ≤ 3) = 1 − e−λ2 ·3 = 1 − e− 3 ·3 = 1 − e−2 ≈ 0.8647, 5 5 P(X3 ≤ 3) = 1 − e−λ3 ·3 = 1 − e− 12 ·3 = 1 − e− 4 ≈ 0.7135. Vậy: P(M ≤ 3) = 0.9502 · 0.8647 · 0.7135 ≈ 0.5863, P(M > 3) = 1Draft − 0.5863 = 0.4137. Xác suất giá trị lớn nhất vượt quá 3 là khoảng 0.4137. Gọi X là kích thước của một yêu cầu phẫu thuật và Y là kích thước của yêu cầu bệnh viện liên quan. Một nhà toán học đang sử dụng một mô hình trong đó: 80 E(X) = 5, E(X 2 ) = 27.4, E(Y ) = 7, E(Y 2 ) = 51.4, V ar(X + Y ) = 8. Gọi C1 = X + Y là kích thước của tổng các yêu cầu trước khi áp dụng một khoản phụ thu 20% trên phần yêu cầu bệnh viện, và gọi C2 là kích thước của tổng các yêu cầu sau khi áp dụng khoản phụ thu đó. Tính toán Cov(C1 , C2 ). (A) 8.80 (B) 9.60 (C) 9.76 (D) 11.52 (E) 12.32 12 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Lời giải Gọi X là kích thước yêu cầu phẫu thuật và Y là kích thước yêu cầu bệnh viện. Ta có: V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 27.4 − 52 = 27.4 − 25 = 2.4, V ar(Y ) = E(Y 2 ) − [E(Y )]2 = 51.4 − 72 = 51.4 − 49 = 2.4. Với C1 = X + Y và V ar(C1 ) = V ar(X + Y ) = 8: V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ), 8 = 2.4 + 2.4 + 2Cov(X, Y ) ⇒ 8 = 4.8 + 2Cov(X, Y ) ⇒ 2Cov(X, Y ) = 3.2 ⇒ Cov(X, Y ) = 1.6. Sau phụ thu 20% trên Y , C2 = X + 1.2Y . Ta tính Cov(C1 , C2 ): C1 = X + Y, C2 = X + 1.2Y, Cov(C1 , C2 ) = Cov(X + Y, X + 1.2Y ). Do tính chất tuyến tính của hiệp phương sai: Cov(X + Y, X + 1.2Y ) = Cov(X, X) + Cov(X, 1.2Y ) + Cov(Y, X) + Cov(Y, 1.2Y ), = V ar(X) + 1.2Cov(X, Y ) + Cov(Y, X) + 1.2Cov(Y, Y ), = V ar(X) + 1.2Cov(X, Y ) + Cov(X, Y ) + 1.2V ar(Y ), = 2.4 + 1.2 · 1.6 + 1.6 + 1.2 · 2.4 = 2.4 + 1.92 + 1.6 + 2.88 = 8.8. Vậy Cov(C1 , C2 ) = 8.8. Hai hợp đồng bảo hiểm nhân thọ, mỗi hợp đồng có quyền lợi tử vong là Draft 10,000 và một khoản phí một lần là 500, được bán cho một cặp vợ chồng, mỗi người một hợp đồng. Các hợp đồng sẽ hết hạn vào cuối năm thứ mười. Xác suất mà chỉ có vợ sống ít nhất mười năm là 0.025, xác suất mà chỉ có chồng sống ít nhất mười năm là 0.01, và xác suất mà cả hai đều sống ít nhất mười năm là 0.96. Tính toán tổng kỳ vọng của khoản phí vượt quá yêu cầu, với điều kiện là chồng sống ít nhất mười năm. (A) 350 (B) 385 (C) 397 (D) 870 (E) 897 81 Lời giải Gọi W là biến chỉ thị vợ sống ít nhất 10 năm (W = 1 nếu sống, W = 0 nếu không), và H là biến chỉ thị chồng sống ít nhất 10 năm (H = 1 nếu sống, H = 0 nếu không). Tổng phí là 500 + 500 = 1000. Tổng yêu cầu C phụ thuộc vào W và H: - Nếu W = 1, H = 1: C = 0, - Nếu W = 0, H = 1: C = 10000, - Nếu W = 1, H = 0: C = 10000, Nếu W = 0, H = 0: C = 20000. Xác suất đã cho: P(W = 1, H = 0) = 0.025, P(W = 0, H = 1) = 0.01, P(W = 1, H = 1) = 0.96, P(W = 0, H = 0) = 1 − 0.025 − 0.01 − 0.96 = 0.005. Xác suất chồng sống ít nhất 10 năm: P(H = 1) = P(W = 1, H = 1) + P(W = 0, H = 1) = 0.96 + 0.01 = 0.97. 13 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Tổng phí vượt quá yêu cầu là R = 1000 − C. Ta tính E(R|H = 1): - Nếu W = 1, H = 1: R = 1000 − 0 = 1000, - Nếu W = 0, H = 1: R = 1000 − 10000 = −9000. Xác suất có điều kiện: P(W = 1|H = 1) = 0.96 P(W = 1, H = 1) = ≈ 0.9897, P(H = 1) 0.97 P(W = 0|H = 1) = P(W = 0, H = 1) 0.01 = ≈ 0.0103. P(H = 1) 0.97 Kỳ vọng: E(R|H = 1) = P(W = 1|H = 1) · 1000 + P(W = 0|H = 1) · (−9000), = 0.9897 · 1000 + 0.0103 · (−9000) ≈ 989.7 − 92.7 = 897. Vậy tổng kỳ vọng của khoản phí vượt quá yêu cầu là 897. Một bài kiểm tra chẩn đoán sự hiện diện của một bệnh có hai kết quả có thể: 1 cho bệnh hiện diện và 0 cho bệnh không hiện diện. Gọi X là trạng thái bệnh (0 hoặc 1) của một bệnh nhân, và Y là kết quả của bài kiểm tra chẩn đoán. Hàm xác suất chung của X và Y được cho bởi: 82 Tính toán V ar(Y |X = 1). (A) 0.13 (B) 0.15 P [X = 0, Y = 0] = 0.800 P [X = 1, Y = 0] = 0.050 P [X = 0, Y = 1] = 0.025 P [X = 1, Y = 1] = 0.125 Draft (C) 0.20 (D) 0.51 (E) 0.71 Lời giải Trước tiên, ta tính kỳ vọng có điều kiện của Y khi biết X = 1: X yP (Y = y|X = 1). E[Y |X = 1] = y Từ bảng xác suất chung, ta tính xác suất có điều kiện: P (X = 1, Y = 0) 0.050 0.050 2 P (Y = 0|X = 1) = = = = . P (X = 1) 0.050 + 0.125 0.175 7 P (Y = 1|X = 1) = P (X = 1, Y = 1) 0.125 5 = = . P (X = 1) 0.175 7 Khi đó, E[Y |X = 1] = 0 · 5 5 2 +1· = . 7 7 7 Tiếp theo, ta tính E[Y 2 |X = 1]: X 2 5 5 E[Y 2 |X = 1] = y 2 P (Y = y|X = 1) = 02 · + 12 · = . 7 7 7 y Do đó, phương sai có điều kiện của Y khi biết X = 1 là: Å ã2 5 5 Var(Y |X = 1) = E[Y |X = 1] − (E[Y |X = 1]) = − . 7 7 2 2 14 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Tính toán: 5 25 35 25 10 − = − = . 7 49 49 49 49 Vậy: Var(Y |X = 1) = 10 ≈ 0.204. 49 Một nhà toán học xác định rằng số lượng lốc xoáy hàng năm ở các quận P và Q có phân phối chung như sau: Tính toán phương sai có điều kiện của số lượng lốc xoáy hàng năm ở quận Q, với điều kiện là không có lốc xoáy nào ở quận P. (A) 0.51 (B) 0.84 (C) 0.88 (D) 0.99 (E) 1.76 83 Lời giải Gọi X là số lượng lốc xoáy ở quận P , Y là số lượng lốc xoáy ở quận Q. Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ) được cho như sau: X=0 X=1 X=2 Y =0 0.12 0.13 0.05 Y =1 0.06 0.15 0.15 Y =2 0.05 0.12 0.10 Y =3 0.02 0.03 0.02 Yêu cầu: Tính phương sai có điều kiện của Y khi X = 0, tức là Var(Y | X = 0). Draft Ta có Xác suất biên của X = 0: P (X = 0) = 0.12 + 0.06 + 0.05 + 0.02 = 0.25. Phân phối có điều kiện của Y khi X = 0: P (X = 0, Y = y) P (Y = y | X = 0) = . P (X = 0) Ta có: 0.12 P (Y = 0 | X = 0) = = 0.48, 0.25 0.06 P (Y = 1 | X = 0) = = 0.24, 0.25 0.05 P (Y = 2 | X = 0) = = 0.20, 0.25 0.02 P (Y = 3 | X = 0) = = 0.08. 0.25 Cho nên 3 X E(Y | X = 0) = y · P (Y = y | X = 0) = 0 · 0.48 + 1 · 0.24 + 2 · 0.20 + 3 · 0.08 = 0.88. y=0 Suy ra 2 E(Y | X = 0) = 3 X y 2 · P (Y = y | X = 0) = 0 · 0.48 + 1 · 0.24 + 4 · 0.20 + 9 · 0.08 = 1.76. y=0 Vì thế Var(Y | X = 0) = E(Y 2 | X = 0) − [E(Y | X = 0)]2 = 1.76 − (0.88)2 = 0.9856. 15 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Phương sai có điều kiện của số lượng lốc xoáy ở quận Q khi không có lốc xoáy ở quận P là 0.985 . Bạn được cung cấp thông tin sau về N , số lượng yêu cầu hàng năm của một người được bảo hiểm được chọn ngẫu nhiên: 84 1 P (N = 0) = , 2 1 P (N = 1) = , 3 1 P (N > 1) = . 6 Gọi S là tổng số tiền yêu cầu hàng năm của một người được bảo hiểm. Khi N = 1, S phân phối theo kiểu mũ với trung bình là 5. Khi N > 1, S phân phối theo kiểu mũ với trung bình là 8. Tính toán P (4 < S < 8). (A) 0.04 (B) 0.08 (C) 0.12 (D) 0.24 (E) 0.25 Lời giải Gọi S là tổng số tiền yêu cầu bồi thường hàng năm. Ta có: P (S ∈ (4, 8)) = P (S ∈ (4, 8)|N = 0)P (N = 0) + P (S ∈ (4, 8)|N = 1)P (N = 1) Draft + P (S ∈ (4, 8)|N > 1)P (N > 1). Với N = 0, hiển nhiên P (S ∈ (4, 8)|N = 0) = 0. Với N = 1, S có phân phối mũ với trung bình 5 (tức λ = 51 ): P (S ∈ (4, 8)|N = 1) = e−4/5 − e−8/5 ≈ 0.4493 − 0.2019 = 0.2474. Với N > 1, S có phân phối mũ với trung bình 8 (tức λ = 18 ): P (S ∈ (4, 8)|N > 1) = e−4/8 − e−8/8 ≈ 0.6065 − 0.3679 = 0.2386. Thay vào công thức xác suất toàn phần: 1 1 1 P (4 < S < 8) = 0 × + 0.2474 × + 0.2386 × ≈ 0.1239. 2 3 6 Vậy xác suất cần tìm là: 0.123. 16 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Theo một hợp đồng bảo hiểm, tối đa năm yêu cầu có thể được nộp mỗi năm bởi một người được bảo hiểm. Gọi p(n) là xác suất mà một người được bảo hiểm nộp n yêu cầu trong một năm nhất định, trong đó n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Một nhà toán học đưa ra các quan sát sau: 85 (i) p(n) ≥ p(n + 1) cho n = 0, 1, 2, 3, 4. (ii) Sự khác biệt giữa p(n) và p(n + 1) là giống nhau cho n = 0, 1, 2, 3, 4. (iii) Chính xác 40% người được bảo hiểm nộp ít hơn hai yêu cầu trong một năm nhất định. Tính toán xác suất mà một người được bảo hiểm ngẫu nhiên nộp hơn ba yêu cầu trong một năm. (A) 0.14 (B) 0.16 (C) 0.27 (D) 0.29 (E) 0.33 Lời giải Gọi p(n) là xác suất nộp n yêu cầu (n = 0, 1, 2, 3, 4, 5). Từ giả thiết: (i) p(n) ≥ p(n + 1) với n = 0, 1, 2, 3, 4 (ii) p(n) − p(n + 1) = d (hằng số) với n = 0, 1, 2, 3, 4 Draft (iii) p(0) + p(1) = 0.4 Đặt p(0) = a. Theo (ii), ta có: p(0) = a p(1) = a − d p(2) = a − 2d p(3) = a − 3d p(4) = a − 4d p(5) = a − 5d Từ (iii): a + (a − d) = 0.4 ⇒ 2a − d = 0.4 (1) Tổng xác suất bằng 1: 5 X p(n) = 6a − 15d = 1 (2) n=0 Giải hệ (1) và (2): ® 2a − d = 0.4 6a − 15d = 1 ® ⇒ d = 2a − 0.4 6a − 15(2a − 0.4) = 1 6a − 30a + 6 = 1 ⇒ −24a = −5 ⇒ a = d=2· 5 5 2 1 − 0.4 = − = 24 12 5 60 17 5 24 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm Vậy xác suất cần tìm: P (n > 3) = p(4) + p(5) = (a − 4d) + (a − 5d) = 2a − 9d 5 1 5 3 25 9 16 4 =2· −9· = − = − = = 24 60 12 20 60 60 60 15 Vậy xác suất để một người được bảo hiểm ngẫu nhiên nộp hơn ba yêu cầu trong một năm là 0.27 The amounts of automobile losses reported to an insurance company are mutually independent, and each loss is uniformly distributed between 0 and 20,000. The company covers each such loss subject to a deductible of 5,000. Calculate the probability that the total payout on 200 reported losses is between 1,000,000 and 1,200,000. (A) 0.0803 (B) 0.1051 (C) 0.1799 (D) 0.8201 (E) 0.8575 86 Lời giải Gọi Xi là khoản tiền bồi thường cho tổn thất thứ i (i = 1, 2, . . . , 200). Mỗi Xi có phân phối đều trên khoảng [0, 20000]. Với mức khấu trừ 5000, khoản thanh toán thực tế cho mỗi tổn thất là: Yi = max(0, Xi − 5000). Hàm mật độ xác suất của Xi : ® fXi (x) = 1 nếu 0 ≤ x ≤ 20000, 20000 Draft 0 ngược lại. Kỳ vọng của Yi : Z 20000 (x − 5000) · E[Yi ] = 5000 1 dx = 5625. 20000 Phương sai của Yi : E[Yi2 ] = Z 20000 (x − 5000)2 · 5000 1 dx = 56250000. 20000 Var(Yi ) = E[Yi2 ] − (E[Yi ])2 = 56250000 − 56252 24609375. P Tổng thanh toán S = 200 i=1 Yi có: E[S] = 200 × 5625 = 1, 125, 000, Var(S) = 200 × 24609375 = 4, 921, 875, 000, p σS = 4, 921, 875, 000 ≈ 70, 156.25. Áp dụng định lý giới hạn trung tâm, S có phân phối xấp xỉ chuẩn N (1, 125, 000, 70, 156.252 ). Chuẩn hóa về phân phối chuẩn tắc Z: Å ã 1, 000, 000 − 1, 125, 000 1, 200, 000 − 1, 125, 000 P (1, 000, 000 < S < 1, 200, 000) = P <Z< 70, 156.25 70, 156.25 = P (−1.782 < Z < 1.068) ≈ 0.8577 − 0.0375 = 0.8202. 18 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm An insurance agent offers his clients auto insurance, homeowners insurance and renters insurance. The purchase of homeowners insurance and the purchase of renters insurance are mutually exclusive. The profile of the agent’s clients is as follows: i) 17% of the clients have none of these three products. ii) 64% of the clients have auto insurance. iii) Twice as many of the clients have homeowners insurance as have renters insurance. iv) 35% of the clients have two of these three products. v) 11% of the clients have homeowners insurance, but not auto insurance. Calculate the percentage of the agent’s clients that have both auto and renters insurance. 87 Lời giải Gọi: • A là sự kiện khách hàng có bảo hiểm ô tô • H là sự kiện khách hàng có bảo hiểm nhà • R là sự kiện khách hàng có bảo hiểm thuê nhà Theo đề bài: (i) P (Ac ∩ H c ∩ Rc ) = 17% Draft (ii) P (A) = 64% (iii) P (H) = 2P (R) (iv) P (đúng 2 sản phẩm) = 35% (v) P (Ac ∩ H) = 11% Ta có: 1 − P (Ac ∩ H c ∩ Rc ) = P (A ∪ H ∪ R) = 83% P (A ∪ H ∪ R) = P (A) + P (H) + P (R) − P (A ∩ H) − P (A ∩ R) − P (H ∩ R) = 64% + 2x + x − P (A ∩ H) − P (A ∩ R) − 0 (vì H và R xung khắc) Từ (v): P (Ac ∩ H) = P (H) − P (A ∩ H) = 11% ⇒ P (A ∩ H) = 2x − 11% Xác suất có đúng 2 sản phẩm: P (A ∩ H) + P (A ∩ R) = 35% (2x − 11%) + P (A ∩ R) = 35% ⇒ P (A ∩ R) = 46% − 2x Thay vào phương trình đầu: 83% = 64% + 3x − (2x − 11%) − (46% − 2x) ⇒ x = 18% Vậy tỷ lệ khách hàng có cả bảo hiểm ô tô và bảo hiểm thuê nhà: P (A ∩ R) = 46% − 2 × 18% 19 = 10% Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm 88 Lời giải Hàm phân phối tích lũy của chi phí y tế: ® 1 − e−x/100 F (x) = 0 nếu x > 0, ngược lại. Xét cơ chế bồi thường: • Khấu trừ 20 (không bồi thường nếu chi phí 20) • Bồi thường 100% cho chi phí từ 20 đến 120 • Bồi thường 50% cho chi phí > 120 Gọi R là số tiền bồi thường. Ta cần tính G(115) = P (R ≤ 115|R > 0). 1. Tính P (R ≤ 115) Các trường hợp: a) Nếu X ≤ 20: R = 0 Draft b) Nếu 20 < X ≤ 120: R = X − 20 c) Nếu X > 120: R = 100 + 0.5(X − 120) = 0.5X + 40 Xét R ≤ 115: • Trường hợp 2: X − 20 ≤ 115 ⇒ X ≤ 135 • Trường hợp 3: 0.5X + 40 ≤ 115 ⇒ X ≤ 150 Nhưng do trường hợp 2 chỉ áp dụng khi X ≤ 120, ta có: P (R ≤ 115) = P (X ≤ 20) + P (20 < X ≤ 135) = F (20) + [F (135) − F (20)] = F (135) Tuy nhiên, cần xét chính xác hơn: • 0 ≤ R ≤ 100: X từ 20 đến 120 • 100 < R ≤ 115: X từ 120 đến 150 Vậy: P (R ≤ 115) = P (X ≤ 20) + P (20 < X ≤ 120) + P (120 < X ≤ 150) = F (150) 2. Tính P (R > 0) P (R > 0) = 1 − P (R = 0) = 1 − F (20) = e−20/100 = e−0.2 20 Phạm Vĩnh Minh Xác suất cho bảo hiểm 3. Tính G(115) G(115) = 1 − e−150/100 P (R ≤ 115) 1 − e−1.5 = = = e0.2 (1 − e−1.5 ) −0.2 −0.2 P (R > 0) e e Tính toán số: e−1.5 ≈ 0.2231 e0.2 ≈ 1.2214, G(115) ≈ 1.2214 × (1 − 0.2231) ≈ 1.2214 × 0.7769 ≈ 0.9487 89 Lời giải Cho biến ngẫu nhiên N1 và N2 lần lượt biểu thị số lượng khiếu nại trong tháng 4 và tháng 5. Hàm xác suất đồng thời được cho bởi: ® 3 n1 e−1 p(n1 , n2 ) = 4 · n1 ! 1 n2 −n1 1 4 (n2 −n1 )! với n1 = 1, 2, 3, . . . và n2 = n1 , n1 + 1, n1 + 2, . . . ngược lại 0 1. Tìm phân phối có điều kiện P (N2 |N1 = 2) Draft Với N1 = 2, hàm xác suất đồng thời trở thành: Å ã2 −1 Å ãn2 −2 1 3 e 1 p(2, n2 ) = · 4 2! 4 (n2 − 2)! với n2 = 2, 3, 4, . . . Xác suất biên P (N1 = 2): ∞ ∞ Å ã X 9 e−1 X 1 k 1 9 9 P (N1 = 2) = p(2, n2 ) = = e−1 e1/4 = e−3/4 16 2 k=0 4 k! 32 32 n =2 2 Phân phối có điều kiện: 9 −1 e p(2, n2 ) 32 = P (N2 = n2 |N1 = 2) = P (N1 = 2) 1 n2 −2 1 4 (n2 −2)! 9 −3/4 e 32 = e−1/4 (1/4)n2 −2 (n2 − 2)! Đặt m = n2 − 2: −1/4 (1/4) P (N2 = m + 2|N1 = 2) = e m! m với m = 0, 1, 2, . . . 2. Tính kỳ vọng có điều kiện Nhận thấy m có phân phối Poisson với tham số λ = 14 : 1 E[m] = 4 Do đó: 1 9 E[N2 |N1 = 2] = E[m + 2] = E[m] + 2 = + 2 = = 2.25 4 4 21
0
You can add this document to your study collection(s)
Sign in Available only to authorized usersYou can add this document to your saved list
Sign in Available only to authorized users(For complaints, use another form )