Renta Variable
Segundo bimestre 2025
Gabriel Valenzuela Osses
Modelo de Markowitz y sus limitaciones
Gabriel Valenzuela Osses
Renta Variable Segundo bimestre 2025
El proceso de inversión
Elementos del proceso de inversión:
Planificación: Establecer todos los elementos necesarios para
la toma de decisiones (datos sobre los clientes y los mercados
de capitales).
Ejecución: Detalles sobre la asignación óptima de activos y la
selección de valores.
Retroalimentación: Adaptación a los cambios en las
expectativas y objetivos, ası́ como a los cambios en la
composición de la cartera.
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El proceso de inversión
Figura: Proceso de inversión - CFA Institute
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El proceso de inversión
1
Planificación
a. Identificar y especificar los objetivos y restricciones del inversor
b. Crear la Declaración de Polı́tica de Inversión (IPS)
c. Formar expectativas del mercado de capitales
d. Crear la asignación estratégica de activos (pesos mı́nimos y
máximos por clase)
2
Ejecución: Construcción y revisión del portafolio
a. Asignación de activos (incluyendo táctica) y optimización del
portafolio (combinando activos para cumplir con los objetivos
de riesgo y retorno)
b. Selección de activos
c. Implementación y ejecución
3
Retroalimentación
a. Monitoreo (factores económicos, del inversor, e insumos del
mercado)
b. Rebalanceo
c. Evaluación del desempeño
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Identificar y especificar los objetivos y restricciones del
inversor
Los gestores de inversiones deben evaluar el nivel de riesgo
que los inversionistas pueden tolerar en la búsqueda de
mayores rendimientos.
Determinación de polı́ticas de inversión:
Objetivos
Retorno requerido
Restricciones
Liquidez
Tolerancia al
riesgo
Horizonte de
inversión
Regulaciones
Impuestos
Necesidades
únicas
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Polı́ticas
Asignación de
activos
Diversificación
Posicionamiento
de riesgo
Posicionamiento
fiscal
Generación de
ingresos
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Identificar y especificar los objetivos y restricciones del
inversor
Los objetivos y la tolerancia al riesgo difieren según el tipo de
inversor:
Tipo de inversor
Individuos y fideicomisos
personales
Requerimiento de
retorno
Ciclo de vida (educación,
hijos, jubilación)
Fondos mutuos
Fondos de pensiones
Variable
Tasa actuarial asumida
Endowments
Determinado por las
necesidades de ingresos
actuales y la necesidad
de crecimiento de
activos para mantener el
valor real
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Tolerancia al riesgo
Ciclo de vida (los
jóvenes son más
tolerantes al riesgo)
Variable
Depende de la
proximidad de los pagos
Generalmente
conservador
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Identificar y especificar los objetivos y restricciones del
inversor
Los objetivos y la tolerancia al riesgo difieren según el tipo de
inversor:
Tipo de inversor
Compañı́as de seguros
de vida
Compañı́as de seguros
generales
Bancos
Requerimiento de
retorno
Debe superar la tasa de
dinero nuevo por un
margen suficiente para
cubrir gastos y objetivos
de beneficio; también
son importantes las
tasas actuariales
Sin mı́nimo
Tolerancia al riesgo
Margen de interés
Variable
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Conservador
Conservador
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Declaración de Polı́tica de Inversión (IPS)
El IPS (Investment Policy Statement) es un documento que
especifica:
1
Breve descripción del cliente
2
Propósito de establecer polı́ticas y pautas
3
Deberes y responsabilidades de inversión de las partes
involucradas
4
Declaración de objetivos, metas y restricciones de inversión
5
Cronograma para la revisión del rendimiento de la inversión y
del IPS
6
Medidas de rendimiento y benchmarks
7
Consideraciones en el desarrollo de la asignación estratégica
de activos
8
Estrategias de inversión y estilos de inversión
9
Pautas para rebalanceo
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Asignación de activos
Decisión de cuánto invertir en cada categorı́a de activos
principales:
Especificar clases de activos (acciones, ETF, bonos, etc.)
Especificar expectativas del mercado de capitales
(“condiciones de mercado”)
Derivar la frontera eficiente del portafolio
Encontrar la combinación óptima de activos
Gestionar impuestos
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Repaso pregrado: Teoria de Portfolios
La teorı́a financiera moderna nace con el trabajo de Harry
Markowitz (1952), quien recibió el premio Nobel de Economı́a
en 1990.
Markowitz propuso un modelo de selección de activos que
depende de dos variables: el retorno esperado (un bien) y la
desviación estándar de los retornos (futuros), como medida de
riesgo (un mal).
En otras palabras, la rentabilidad que se espera lograr va
asociada con la cantidad de riesgo que se está dispuesto a
aceptar.
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Algunos supuestos
Un supuesto básico para la teorı́a de portfolios: “La
distribución de los retornos esperados, tanto de un activo
individual como de una cartera (o portafolio) de activos, es
normal.”
La gran ventaja de la normal es que se puede describir
totalmente por los dos primeros momentos: La Esperanza y
Varianza o Desviación Estándar.
Esto nos permite trabajar con:
La esperanza para el caso del retorno esperado E (r ).
La varianza (σ 2 o desviación estándar σ del E (r ) para el caso
del riesgo.
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Relación riesgo-retorno
De acuerdo a Markowitz...
Retorno = E (ri )
Riesgo = σi (ó σi2 )
Relación riesgo-retorno
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Teorı́a de Portfolios
¿Qué pasa si invierto al mismo tiempo en más de un activo?
Definición:
Porfolio: Conjunto de activos. Generalmente 2 o más activos.
Lo que determina un portfolio son los pesos de cada activo
dentro del portfolio.
pi · qi
wi = PN
j=1 pj · qj
Donde
wi = Peso del activo i en portfolio P
qi = Unidad del activo i en el portfolio P
pi = Precio (actual) del activo i
N
P= Número de activos en el portfolio
wi = 1
Dado que el precio es actual ⇒ rebalancear portfolio
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El modelo de Markowitz con dos activos
Para esta clase vamos a asumir que hay sólo dos activos: A y
B.
Estos activos siguen una distribución normal.
¿Cuál es el retorno esperado de un portfolio compuesto por A
y B?
Si wA define el peso del activo A en el portfolio, mientras que
wB hace lo mismo para el activo B (donde wB = 1 − wA ),
entonces:
r˜P
= wA r˜A + wB r˜B
⇒ E (rP ) = wA E (rA ) + wB E (rB )
Es decir, el retorno esperado de un portfolio es la suma
ponderada de los retornos esperados de sus componentes.
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Varianza de un portfolio de 2 activos
Retorno esperado es simple de determinar (promedio
ponderado).
Sin embargo, varianza es otra historia...
Var (rP ) = E E (rP − E (rP ))2
= E E (wA r˜A + wB r˜B − {wA E (rA ) + wB E (rB )})2
= wA2 E (r˜A − E (rA ))2 + wB2 E (r˜B − E (rB ))2
+2wA wB E [(r˜A − E (rA ))(r˜B − E (rB ))]
= wA2 σA2 + wB2 σB2 + 2wA wB E [(r˜A − E (rA ))(r˜B − E (rB ))]
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Coeficiente de correlación
E [(r˜A − E (rA ))(r˜B − E (rB ))] se define en estadı́stica como la
covarianza entre A y B (σA,B )
Covarianza es un parámetro cuyo vecindario está entre
(−∞, +∞).
⇒ Difı́cil de comprender.
Sin embargo, hay otro parámetro estadı́stico que es más útil
para nuestro modelo ⇒ Correlación
ρA,B =
σA,B
σA σB
donde ρA,B es el coeficiente de correlación.
ρA,B ∈ [−1, +1]
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Entonces:
Var (rP ) = wA2 σA2 + wB2 σB2 + 2wA wB σA σB ρA,B
El valor de ρA,B será crucial para disminuir o aumentar la
varianza.
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Ejemplo
Suponga que ha predicho los siguientes retornos para las acciones
C y T en tres posibles escenarios futuros de la economı́a:
Estado
Boom
Normal
Recesión
Prob.
0,3
0,5
?
C
7%
15 %
12 %
T
25 %
20 %
1%
1
¿Cuál es la probabilidad de recesión?
2
¿Cuál es el retorno esperado de C y T ?
3
¿Cuál es la varianza y desviación estándar de C ?
4
¿Cuál es el riesgo y retorno de un portfolio compuesto por un
55 % de C y y 45 % de T? Asuma que la correlación entre
ambos es de -0,25.
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Portfolio de Mı́nima Varianza
El portfolio de mı́nima varianza es el portfolio compuesto por los activos
riesgosos que tiene la desviación estándar menor, o sea, el portfolio con
menor riesgo.
Sin embargo, no necesariamente un inversionista preferirá invertir en un
portfolio de mı́nima varianza.
Todo depende de las preferencias de los individuos.
Por lo tanto, mientras más averso al riesgo sea el individuo, el
portfolio que preferirá este individuo estará más cerca del portfolio
de mı́nima varianza.
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Modelo de Markowitz con N activos
En el caso de un portfolio de N activos, el retorno esperado
del portfolio sigue siendo la suma ponderada de los activos
que forman el portfolio:
E (rP ) =
N
X
wi · E (ri ) = W′ E(r)
i=1
Donde:
E (rP ): Retorno esperado portfolio de N activos.
wi : Peso del activo i en el portfolio P.
E (ri ): Retorno esperado del activo i.
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La varianza de un portafolio de N activos es:
σP2 =
N X
N
X
wi wj σi,j = W′ ΣW
i=1 j=1
Donde:
wi , wj , W: Peso del activo i (j) en el portafolio P
σP2 : Varianza portafolio P
σi,j : Covarianza entre los activos i y j
Σ: Matriz varianza-covarianza
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Frontera Eficiente
Elegir activos como 1, 2, o 3, es ineficiente.
Sin embargo, cualquier combinación lineal de riesgo-retorno
de distintos activos que conformen un portfolio puede
disminuir el riego.
Todos los puntos que están en la curva entre X y MV se
encuentran en la frontera eficiente.
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Definición
Formalmente, la frontera eficiente es el conjunto de puntos que:
i. para un nivel dado de varianza, maximiza el retorno esperado
alcanzable; o
ii. para un nivel dado de retorno esperado, minimiza la varianza.
En otras palabras, para determinar la frontera eficiente se
debe buscar la varianza mı́nima (dado un retorno esperado), o
alternativamente, el retorno esperado máximo (dada una
varianza).
Esta búsqueda se puede realizar mediante un proceso de
prueba y error, o mediante la solución del problema de
maximización planteado anteriormente.
Ver ejemplo Excel.
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Frontera eficiente con la inclusión de activo libre de riesgo
El equilibrio de Markowitz que acabamos de ver, asume la
elección frente a activos riesgosos.
Esto quiere decir que cada combinación de portfolios
eficientes (pertenecientes a las combinaciones factibles) están
compuestos por activos con riesgo (por ejemplo, acciones).
¿Cómo cambia el análisis si los inversionistas pueden combinar
una inversión riesgosa con una inversión en un instrumento sin
riesgo o libre de riesgo (ej: Treasury Bonds)?.
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El valor esperado de este portfolio serı́a:
E (rP ) = wf rf + wc E (rc )
Donde
wf es el peso del activo libre de riesgo
rf es el retorno del activo libre de riesgo (cierto) (por qué?)
wc es el peso del activo riesgoso
E (rc ) es el retorno del activo riesgoso
Ahora, la varianza de un activo libre de riesgo es igual a cero,
por ende...
Var (rP ) = wc2 σc2
Entonces...
σP = w c σc
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Haciendo algunas transformaciones matemáticas llegamos a:
E (rP ) = rf +
σP
[E (rc ) − rf ]
σc
Esta relación se llama Lı́nea de Asignación de Capitales
(CAL en inglés)
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Frontera eficiente para todos los activos
Considere ahora que E (rc ) es determinado por un portfolio de
activos riesgosos (en vez de sólo 1 activo riesgoso).
El portfolio óptimo vendrı́a dado por los portfolios que están
en la frontera eficiente:
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Puntos como A y B pertenecen a la frontera eficiente, pero no
son óptimos.
Punto P (tangente) es el óptimo:
El punto P se denomina Portfolio Óptimo, cuyo retorno es
E (rp ) y varianza σp2 .
La lı́nea azul se denomina la lı́nea de mercado de capitales
(LMC)
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Modelo de Markowitz en la práctica
PREFERENCIAS
Una representación matemática comúnmente utilizada del
modelo de H. Markowitz es:
A 2
σ
2 P,T
en donde A > 0 mide la aversión al riesgo del inversionista,
y T > 0 es el horizonte de inversión.
E [U] = E [RP,T ] −
El valor de “A” puede ser inferido a partir de un ejercicio de
“preferencias declaradas” (por medio de una encuesta), o
bien, de uno de “preferencias reveladas” (cotejando con la
verdadera cartera del inversionista).
Otro elemento relevante es la definición de la moneda base
(por ej., CLP, UF, USD, etc.) y el horizonte de inversión del
cliente.
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Figura:
https://www.cmfchile.cl/educa/621/w3article-750.html
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Modelo de Markowitz en la práctica
OPORTUNIDADES DE INVERSIÓN
Las oportunidades de inversión en
el modelo de H. Markowitz son
puntos en el plano (desv.
estándar, retorno esperado). Sin
embargo, tanto la desviación
estándar, y todavı́a más, el valor
esperado de los retornos son
calculados con error.
El problema del error de
estimación es notoriamente más
agudo en el caso del retorno
esperado.
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Cartera de inversión óptima
w∗ =
µ − rf
= wM ⇒ Solución de Merton
Aσ 2
Esta fórmula resume gran parte del quehacer de la industria
que gira alrededor de las inversiones financieras.
El término µ − rf es el premio por riesgo del activo riesgoso,
ya que corresponde al exceso de retorno esperado que ofrece
el activo riesgoso, por encima del retorno ofrecido por el
activo libre de riesgo.
A partir de la fórmula podemos deducir que:
Un inversionista deberı́a aumentar el % invertido en el activo
riesgoso, si (ceteris paribus) aumenta el premio por riesgo
Un inversionista deberı́a reducir el % invertido en el activo
riesgoso si (ceteris paribus) aumenta su aversión al riesgo
(A > 0), o aumenta la varianza (o desv. estándar o
volatilidad) del activo riesgoso (σ 2 ).
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Crı́ticas a la Teorı́a Moderna de Portfolio (TMP)
1
La cartera óptima es
MUY sensible a los
parámetros, lo que hace
que se maximicen los
errores
2
La varianza NO es una
buena medida de riesgo
3
Deja FUERA
consideraciones relevantes
para los inversionistas
(contextos y decisiones
dinámicas)
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