Page 1 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chapter 2. Geophysical data processing
2.1 Introduction
2.2 Digitization of geophysical data
2.3 Spectral analysis
2.4 Waveform processing (convolution, deconvolution, correlation)
2.5 Digital filtering (frequency filters, inverse filters)
2.6 Imaging and modelling
References
- Kearey, P., Brooks, M., and Hill, I., 2002. An introduction to Geophysical Exploration:
Blackwell Publishing.
- Brigham, E. O., 1988. The fast Fourier transform and its applications: Prentice-Hall
International Editions.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 2 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.1 Introduction
1. 대부분의 물리탐사 자료는 시간에 대한 함수 또는 거리에 대한 함수이며, 이를 분석하기
위해 주파수(frequency)와 공간파수(wavenumber) 개념을 도입한다. 주파수와 공간파수의 정
의는 무엇인가?
주파수는 시간에 따른 신호 변화 속도를 나타내는 물리량 쉽게 말해, 어떤 신호가 1초 동안
몇 번 진동하는지를 의미하며, 단위는 헤르츠(Hz)입니다. 주파수는 신호의 주기와도 관련이
있으며, 주기 T가 클수록 진동 속도는 느려지고, 주파수 f는 작아집니다. 이 관계는 f=1/T 로
표현됩니다. 주파수 영역에서의 신호 분석은 시간 영역에서 명확히 드러나지 않던 진동 성분
을 분리하고 정량화할 수 있게 해주며, 푸리에 변환(Fourier Transform)을 이용합니다.
공간파수는 거리(공간)에 따른 신호의 반복 정도를 나타내는 개념입니다. 즉, 일정한 거리 안
에 파동이 몇 번 반복되는지를 나타내며, 단위는 보통 m−1입니다. 파동의 파장 λ 와 밀접한
관계가 있으며, k=2π/λ 로 정의됩니다. 거리에 따라 변화하는 신호를 공간파수 영역으로 변환
하면, 특정 공간 주기를 가지는 신호 성분들을 분리할 수 있어, 복잡한 지층 구조나 이상대
(anomaly)의 식별에 유용합니다.
2.2 Digitization of geophysical data
2. 물리탐사에서 얻는 자료는 대부분 digital로 저장되며, 이러한 디지털 값의 신뢰도는 진폭
의 정확도와 샘플링 간격에 따라 좌우된다. Digitizing system의 신뢰도를 표현하는 두 요소
sampling precision (dynamic range)와 sampling frequency에 대해 설명하시오.
Sampling Precision/Dynamic Range: 샘플 함수에서 가장 높은 진폭과 가장 낮은 진폭의 비를
나타내는 표현으로, 넓을수록 아날로그에 있는 waveform의 진폭 변화가 디지털 변환 시 온
전하게 변환된다. 이는 데시벨(dB)로 표현된다. 수식은 다음과 같다. 20log10(Amax/min)
Sampling Frequency: 단위 시간 또는 단위 거리 당 샘플링 포인트를 얼마나 자주 갖는지, 즉
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 3 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
신호를 얼마나 자주 측정하는지를 나타내는 척도이다. 즉, 1초에 몇 번 신호를 측정하고 디
지털로 변환하는지를 나타내며, 단위는 헤르츠(Hz)이다. 디지털 샘플링은 필연적으로 아날
로그 신호의 연속적인 함수값들을 변환하는 과정에서 소실하게 되는데, 따라서 frequency of
sampling이 highest frequency component in the sample보다 훨씬 크다면 유실이 거의 없다.
3. Nyquist frequency와 aliasing의 개념에 대해 설명하시오(Fig. 2.3 참조). Nyquist frequency (𝑓𝑁 ),
sampling frequency 𝑓𝑠 ), 시간영역에서의 sampling 간격(t) 들의 관계를 설명하시오. 고주파
수 성분이 저주파수 대역으로 folding 되는 현상이 왜 일어나는지 설명해 보시오. Antialias
filter는 무엇인가?
*수식
1
𝑓𝑁 = 1/(2t), 𝑓𝑁 = 2 ∗ 𝑓𝑠 , t=sampling interval인 관계를 갖는다.
Nyquist Frequency: 샘플링한 주파수가 보존되는 영역의 경계를 의미하는 것으로 sampling
frequency의 1/2 수준이다. 예로 들어, sampling frequency가 500 Hz라면 Nyquist Frequency
는 250 Hz이고 Nyquist Interval은 0부터 250Hz까지이다.
Aliasing: 고주파수 성분의 실제 값이 반영되지 못하고 Nyquist Interval 범위 내의 값으로 대응
되는 왜곡 현상이다.
[참고자료 이해: aliasing 정리버전 page 3]: 중요한 레슨런은 sample function의 sampling
frequency에 따라 보고자 하는 waveform이 온전히 표현되지 못할 수도 있다는 것.
1. 시간 영역에서의 곱셈은 주파수 영역에서의 convolution으로 바뀐다.
2. 연속함수 1개와 sampling function 1개를 통해 convolution을 진행하고 있는데, 이때 연
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 4 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
속함수의 최대 주파수와 샘플 함수의 주파수의 관계에서 샘플 함수의 sampling rate T
에 따라 연속함수의 waveform이 온전히 반영되지 못하게 되는 현상 발생
3. 즉 연속함수의 최대 주파수 f와 Nyquist Frequency 1/2T의 대소관계에 따라 큰 고주파
수 성분들이 folded되어 저 주파수 쪽에서 나타나게 된다.
Folding 현상의 이유: 보존되는 주파수 영역의 한계를 결정짓는 Nyquist Frequency로 인해
Aliasing이라는 왜곡 현상이 발생한다. 이는 Nyquist Frequency보다 큰 주파수 영역을 반영하
기 위해 sampling frequency를 Nyquist Interval 범위 내의 값으로 대응시키려는 과정에서 발생
한다.
Antialias Filter: 함수가 Nyquist Frequency 이상의 frequency를 포함하지 않는 경우에는
digitalization 이전에 antialias filter를 사용하는데, 이는 low-pass frequency filter로 함수에서 필
요하지 않은 Nyquist Frequency 이상의 영역을 제거하는 작업이다.
2.3 Spectral analysis
4. Periodic wave와 transient wave의 차이 및 Fourier analysis에서 이들의 표현은 어떻게 달라
지는지 Figs. 2.5, 2.6, 2.7을 참조하여 설명하시오.
차이: 주기적 반복성 여부로 구분할 수 있으며 Periodic Wave는 주기를 갖는 반면 Transient
Wave는 짧은 시간 존재하고 사라진다.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 5 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Fourier Analysis에서 각 wave의 표현:
Periodic Wave의 경우, 주기를 갖기 때문에 어떤 waveform이더라도 Fourier analysis에서 주파
수가 1/T(주기)의 Harmonics로 구성되어있는 사인파(또는 코사인파)로 분해할 수 있다. 이때
1/T는 fundamental frequency라고 한다.
또한 2가지 방식으로 표현할 수 있는데, time domain에서는 시간에 따른 wave amplitude를 나
타내는 함수로 표현할 수 있으며 frequency domain에서는 주파수에 따른 amplitude와 phase
를 나타내는 함수로 표현할 수 있다. 개별적 성분으로 표현할 수 있기에 Line spectra 형태를
보인다.(fig 2.6)
Transient Wave의 경우, 반복되지 않기 때문에 무한히 긴 주기를 갖는 것으로 해석할 수 있다.
따라서 Periodic Wave와 달리, 무한히 작은 fundamental frequnecy(1/T  0)을 갖는 것으로 볼
수 있으며 이에 따라 선형적인 스펙트럼을 제공하는 periodic waveform과 달리 연속적인 진폭
과 위상 정보를 제공한다. (fig 2.7)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 6 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Fourier transform의 정의를 쓰고 Fig. 2.8을 참조하여 그 특징을 설명하시오.
Fourier Transform 정의: 시간 영역에서의 정보를 주파수 영역의 정보로 표현하는 변환 작업으
로, 진폭과 위상 정보가 그 변환 대상이다. 이는 신호를 여러 주파수 성분으로 쪼개기 위함이
며, 이를 통해 분석 대상에 대한 세부적인 정보(주파수 세기, 위상 정렬)를 파악할 수 있으므
로 지질 구조와 신호에 대한 더 높은 이해도로 이어진다.
Fourier Transform 수식:
1. G(f) = A(f)ei∮(f) (time function g(t), amplitude A(f), phase ∮(f), frequency function G(f))
2.
Fourier Transform 특징:
0. Fourier Pair: 푸리에 변환을 거친 시간 영역에서의 함수와 주파수 영역에서의 함수는
서로 1대1 대응이다.
1. Time pulse와 frequency bandwidth 간의 반비례 관계: 시간 영역에서 순간적인 변화는
여러 주파수 성분의 합성이 필요한 반면, 시간 영역에서 오랫동안 유지되는 변화는
소수의 주파수(좁은 대역)으로도 설명가능하기에 bandwidth가 좁아지는 것임.
2. Spike Function:
주파수 모든 영역에서 일정한 진폭을 갖고 있으며, 이는 spike
function이 모든 주파수로 구성됨을 보인다.
3. DC bias: 0의 주파수 성분 1개로 구성되어 있음을 보인다.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 7 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.4 Waveform processing
2.4.1 Convolution
6. Convolution의 정의와 계산 방법을 설명하시오.
Convolution 정의: Convolution은 신호가 필터를 통과하며 waveform의 형태가 어떻게 바뀌는
지 보여주는 수학적 연산이다. 3가지 요소가 Convolution을 구성하는데, input signal-impulse
response-filtered output이 그것이다. 이처럼 Impulse response는 중간에서 transfer function의
기능을 하게 되는데 이는 필터 자체의 특성을 보여주기 위해 spike를 가했을 때 출력값을 바
탕으로 하는데, 이는 모든 transient waveform이 여러 개의 spike function으로 이루어진 것으로
해석할 수 있기 때문이기에 spike function의 진폭과 위상 정보를 필터 효과에 대응할 수 있는
것이다.
Convolution 계산방법:
1. Time inversion: Folding
2. Progressive sliding past
3. Summation of the cross-multiplication products over the overlapping parts of the two
functions
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 8 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. 주파수 영역에서 convolution이 어떻게 표현되는지 유도하시오.
시간 영역에서 convolution은 주파수 영역에서 진폭과 위상 정보에 대한 곱셈(multiplying)을
통해 진행할 수 있다.
2.4.2. Deconvolution
8. Deconvolution 즉 inverse filtering에 대해 설명하시오.
Deconvolution의 핵심은 필터링된 결과로부터 input signal을 복원하는 것이다. 즉, 확보한
filtered output과 인지하고 있는 impulse response를 바탕으로 input을 역추적하는 과정을 의미
한다. 여기서 impulse response는 Earth Filter를 의미하게 된다.
이를 위해서는 output에 deconvolution factor를 convolution하는 것이 필요한데, 이것이
impulse response와 convolute되면 spike function이 되고, spike function과의 convolution은 1이
되어야 한다는 관계 역시 파악할 수 있다.
Spike Function은 항등원 역할을 하게 되며, 신호를 바꾸지 않는다. 역함수를 찾는 과정에서
사용하게 된다.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 9 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Deconvolution 특징: 일반적으로 input waveform과 impulse response of the Earth filter를 모른다
는 점이 주요하게 작용하며, 따라서 deconvolution operate가 통계적 기법을 통해 모델링 되어
야 한다.
2.4.3. Correlation
9. Cross-correlation은 어떤 경우에 사용되는지 설명하고 그 정의를 쓰시오.
Cross-Correlation의 정의: 한 신호를 일정 시간만큼 이동시키면서, 다른 신호와 **얼마나 닮았
는지(유사한 패턴을 갖는지)**를 측정하는 함수이다. 두 digital waveform 간의 시차를 의미하
는 lag value에 따라 cross multiplication한 값으로 정의된다. Convolution과 비슷하나, folding하
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 10 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
는 과정이 없다는 것이 차이점이다.
Cross-Correlation의 용도:
1. 두 waveform간의 유사성 측정:
zero lag에서 갖는 값의 크기에 따라 두 파형 간의
유사도를 측정할 수 있으며 lag값이 커질수록 점차 감소하는 경향을 갖는다.
2. Noise 속에 있는 약한 신호를 감지: 알고 싶은 신호를 표현한 signal function과의
correlation은 그와 equivalent한 부분을 같은 위상에서 표현할 것이다. 그래서 signal
position을 파악할 수 있게 된다.
3. Vibroseis: Vibroseis는 "Vibration + Seismic"의 합성어로, 지면에 진동을 줘서 탄성파를
발생시키는 인위적 탐사 소스  탐사 후 수신된 신호에서 원래의 sweep 성분을 제
거하고 반사파만 남기기 위해 Cross-correlation을 활용함!
10. 주파수영역에서 cross-correlation의 표현을 쓰시오.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 11 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
주파수 영역에서는 진폭 스펙트럼의 곱과 위상 스펙트럼의 차가 시간 영역에서 crosscorrelation과 수학적으로 동일하다.
11. Auto-correlation에 대해 설명하시오.
Correlation의 특별한 경우로, 한 waveform이 그 자체와 cross-correlated한 경우이다. Zero lag
position에 대해 대칭적이기 때문에, ∮(f) = ∮(-f)로 표현가능하다.
Periopdic waveform에 대한 autocorrelation은 마찬가지로 주기성을 띄며 transient waveform은
시간 지연이 커질수록 값이 작아진다. 그리고 이러한 특징은 geophysical data processing에서
숨은 주기성을 확인하는데 사용된다.
또한 multiple reflections 제거하는 역할을 하기도 하는데, 여러 번 반사되어 다시 올라온 신호
(multiple reflections)가 side lobe처럼 식별이 되어 반복되는 패턴처럼 보이게 된다. 이러한 다
중 반사가 주기적인 패턴처럼 등장하므로, 그 위치와 주기를 파악해서 없앨 수 있다.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 12 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.5 Digital filtering
12. Coherent noise, random noise, signal-to-noise ratio에 대해 정의하시오.
Coherent Noise: 지질탐사로 인해 발생한 waveform으로 관심대상은 아니나, 일관적으로 나타
난다. 노이즈의 특성을 분석함으로써 필터링 할 수 있다.
Random Noise: 통계적으로 random한 noise를 지칭하며, 반복을 통해 제거할 수 있다.
Signal-to-noise ratio: SNR은 waveform의 정보력을 향상시키기 위해 special processing이 필요
한지 판단할 때 사용하는 지표이다. 이때 Digital Filtering을 사용하는데, frequency filter와
inverse(deconvolution0 filter가 있다.
13. Frequency filter에는 어떤 것들이 있는지 설명하시오.
Frequency Filter는 input waveform의 특정 주파수 성분들을 제거하기 위한 것이며 주파수 영
역 및 양상에 따라 LP(low-pass), HP(high-pass), BP(band-pass), BR(band-reject)로 나뉜다.
기본적으로 signal과 noise의 waveform이 각각 다른 주파수적 특징을 갖고 이에 따라 분리가
능할 때 활용한다.
14. Frequency filter를 디자인할 때 주의해야 할 점에 대해 설명하시오.
1. 사다리꼴로 ramped cut-off 진행하여 filtering 진행, 이는 시간영역에서 waveform이 무
한히 길어지는 것을 방지하기 위함.
2. 시간 영역에서 zero pahse filters를 통해 digital frequency filtering 과정에서 파형의 위
상 스펙트럼 변동을 주의해야 함. 이 과정에서 주파수마다 위상이 다르게 바뀔 수 있
어, 원래 신호의 모양이 일그러지거나 왜곡될 수 있음
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 13 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.6 Imaging and modelling
15. Imaging, inversion, modeling이 어떻게 다른지 설명하시오.
Imaging은 지구물리적 신호를 시각적화하는 과정으로 정량적 해석의 한계가 있다.
Inversion은 관측된 데이터를 바탕으로 그 데이터를 만든 지하의 물성(velocity, density 등)을
거꾸로 추정해내는 과정, 지하매질의 물성을 추정하기도 한다.
Modeling은 데이터 취득 이전 가상의 모델을 설정하는 과정이다. 관측 데이터와 비교하여 모
델을 조정하는데, Inversion은 결과로부터 모델을 추정한다면 modeling은 모델로부터 결과를
예측한다는 차이가 있다.
 Imaging은 구조를 보여주지만 Inversion은 물리적 특성을 보여준다. 이 차이를 비교
하는 것이 핵심이다.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 14 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
추가 헷갈리는 내용 clarify
1. The extent to which the digital values faithfully represent the original waveform will depend
on the accuracy of the amplitude measurement and the intervals between measured
samples
2. Sampling frequencoyo is the number of sampling points in unit time or unit distance.
3. Periodic waveform can be expressed in the frequecy domain, expressing the amplitude
and phase of its constituent sine waves as a function of frequency.
4. Line Spectra: **Line spectra (선 스펙트럼)**는 주기적인 신호를 주파수 영역으로 표현
할 때 나타나는 불연속적인 (discrete) 스펙트럼, 푸리에 급수는 여러 개의 정해진 주
파수 성분(예: 기본 주파수, 그 정수배들)으로 이루어, 각각의 주파수 성분이 **하나의
"선(line)"**으로 주파수 축 위에 표시되기 때문에 **"line spectra"**라고 부르는 거야.
A.
Transient waveforms continuous amplitude and phase spectra due to infinitesimally
small fundamental frequency
5. Zero phase spectra: 모든 주파수 성분(사인파 또는 코사인파)의 위상이 0이라는 뜻이
야. 즉, 파형을 구성하는 **모든 주파수 성분이 시간 t = 0에서 동시에 정렬(in phase)**
되어 있다는 것! 해당 신호는 완전 대칭적인 모양을 가지게 돼 (예: Gaussian, spike
등) → 그리고 시간 0을 중심으로 대칭이 되는 경우가 많아.
A.
위상: 위상(Phase)은 파형이 시간 축에서 어디쯤 위치하고 있는지를 나타내는
정보야. 위상은 시간상으로 "얼마나 앞서거나 뒤져 있는가"**를 의미하는 거야.
위상 스펙트럼: 그 주파수 성분들이 언제 시작하는가
B.
대칭의 이유: 각 사인파가 시간 0을 기준으로 위상 차 없이 정렬되어 있다면, →
이 사인파들의 합성 결과도 시간 0을 기준으로 좌우 대칭적인 형태가 돼.
6. The shorther a time pulse the wider is its frequency bandwidth and in the limiting case a
spike pulse has an infinity bandwidth
A.
이는 가장 댜양한 모든 주파수를 갖는 것이 유리한데, 특정 순간에 측정해야 가
능. 일정 시간 동안 측정하면 모두 상쇄가 되어서 주파수 0인 단일 성분으로 이
어짐.
B.
순간적인 변화는 여러 주파수 성분의 합성이 필요해. 사인파 하나로는 “툭” 튀
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University
Page 15 of 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
는 걸 만들 수 없어 → 여러 주파수가 동시에 작용해야 만들어짐
C.
신호가 천천히, 오랫동안 유지된다면? → 푸리에 변환 시 **주파수 하나(좁은 대
역)**로도 설명 가능 → 즉, bandwidth가 좁아짐
7. The effect of a filter may be categorized by its impulse response,
which is defined as the output of the filter when the input is a spike function
A.
모든 신호는 작은 임펄스들의 합으로 표현될 수 있어.
→ 따라서 임펄스 응답만 알고 있으면 임의의 입력이 들어올 때 필터가 어떻게
반응할지를 전부 계산할 수 있어.
8. As with analogue filtering,digital frequency filter ing generally alters the phase spectrum of
the waveform and this effect may be undesirable. However, zero phase f ilters can be
designed that facilitate digital filtering with out altering the phase spectrum of the filtered
signal.
A.
디지털 필터는 보통 주파수 대역을 잘라내거나 통과시키는 역할
B.
이 과정에서 주파수마다 위상이 다르게 바뀔 수 있어, 원래 신호의 모양이 일그
러지거나 왜곡될 수 있음
9. A special case of correlation is that in which a wave form is cross-correlated with itself, to
give the autocorre lation function fxx(t).This function is symmetrical about a zero lag
position
A.
그저 대칭함수의 표현, lag를 x 값으로 하는 해당 함수의 경우 0에 대해 대칭일
테니 그저 그렇게 표현하는 것임.
10. complex conjugate
A.
켤레 복소수
11. Frequency Filter 그래프 자료 해석
A.
Filter 설계 시 유의점
B.
사다리꼴(trapezoidal) 형태의 필터는 주파수 영역에서 **transition band (전이 구
간)**이 존재하는 필터
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seismic Exploration
Seoul National University