Regressão Descontinuada
Inferência Causal (MI628A)
Marília Rocha
Thiago Paulichen
Tiago Amorim
IMECC - Unicamp
25 de Junho de 2024
Inferência Causal (MI628A)
Regressão Descontinuada
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A Regressão Descontinuada (Regression Discontinuity Design - RDD) é utilizada quando a atribuição do tratamento depende deterministicamente de uma covariável. Quando essa atribuição
é exata, o processo de seleção é totalmente conhecido e pode ser modelado para produzir uma
inferência causal não-viesada.
Adaptado de: Waiting for Life to Arrive
T HOMAS D C OOK
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Sumário
Histórico
Linha do Tempo
Dificuldades e Ressurgimento
Regressão Descontinuada
Sharp RD
Fuzzy RD
Estimadores Locais
Teste de Densidade de McCrary
Exemplos
Toy Problem
Medicare
Pacotes disponíveis
Referências
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Linha do Tempo
Primeira publicação
em Estatística (Rubin)
Primeira publicação
(Thistlethwaite e
Campbell)
Reinvenção e
prova formal
(Goldberger)
Ampliação das
aplicações
(Trochim)
Apresentado como
novo método
(Finkelstein et.al)
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Grupo de Estudos
Universidade Northwestern
(Pré-teste, Fuzzy, não paramétrico)
Ressurgimento do interesse
(Política e micro-economia)
Levantamento de Cook [2008]
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Dificuldades e Ressurgimento
Impasses:
• Preconceito da comunidade estatística por
um tema desenvolvido pelas ciências sociais;
• Desenvolvimento inicial restrito ao grupo
da Northwestern;
• Papers usavam diferentes termos para
RDD.
Razões para o ressurgimento:
• Desenvolvimento por economistas renoFonte: Cunningham [2021]
mados em diversas instituições;
• Nova gama de aplicações.
Maiores detalhes em Cook [2008].
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Descontinuidade Sharp e Fuzzy
Sharp: a atribuição de tratamento segue uma
regra determinista:

1 se x ≥ c
i
Zi =
0 c.c.
Fuzzy: a probabilidade de atribuição de tratamento é descontínua em um ponto de corte
conhecido:

g (x ) se x ≥ c
1 i
i
P(Zi = 1 | xi ) =
g (x ) c.c.
0
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Fonte: Cunningham [2021]
i
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Descontinuidade Sharp e Fuzzy
Sharp: a atribuição de tratamento segue uma
Exemplos:
regra determinista:

1 se x ≥ c
i
Zi =
0 c.c.
S Droga administrada a pacientes com uma
taxa acima de certo limite.
S Aulas de recuperação obrigatória para alunos com média abaixo de certo valor.
Fuzzy: a probabilidade de atribuição de tratamento é descontínua em um ponto de corte
conhecido:
F Programa da saúde suplementar oferecido
à famílias que se enquadram em determinado critério de renda.

g (x ) se x ≥ c
1 i
i
P(Zi = 1 | xi ) =
g (x ) c.c.
0
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i
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Descontinuidade Sharp e Fuzzy
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Sharp RD
Tratamento é determinado como Zi = I[Xi ≥ c], onde Xi é a variável de atribuição e c é o ponto
de corte.
Suposições:
(A1) E(Yi (0) | Xi ) é contínuo em Xi = c;
(A2) E(Yi (1) | Xi ) é contínua em Xi = c;
(A3) E(Yi (1) − Yi (0) | Xi ) é contínua em Xi = c;
Um design RD foca no ponto de corte na estimação do efeito causal:
τc := E(τi | Xi = c) = E(Yi (1) − Yi (0) | Xi = c),
e considera principalmente amostras localmente próximas ao ponto de corte.
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Sharp RD
Dado ε > 0 e as suposições (A1), (A2) e (A3), podemos tomar os limites laterais ao longo do
ponto de corte c, obtendo:
E(Yi (1) | Xi = c) = lim E(Yi (1) | Xi = c + ε)
ε→0
= lim E(Yi (1) | Zi = 1, Xi = c + ε)
ε→0
= lim E(Yi | Xi = c + ε).
ε→0
Similarmente:
E(Yi (0) | Xi = c) = lim E(Yi | Xi = c − ε).
ε→0
Dessa forma temos que:
τc = lim E(Yi | Xi = c + ε) − E(Yi | Xi = c − ε) .
ε→0
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Fuzzy RD
A probabilidade condicional do tratamento P(Zi = 1 | Xi ), não pula de 0 para 1 no ponto de corte.
P(Zi = 1 | Xi ) é descontínua em c e o tamanho dessa descontinuidade está entre 0 e 1.
Suposição adicional:
(A4) Yi (0), Yi (1) ⊥ Zi | Xi (ignorabilidade).
Com isso, para um ε > 0 dado, temos:
E(Yi | Xi = c + ε) − E(Yi | Xi = c − ε)
= E(Yi (0) + Zi τi | Xi = c + ε) − E(Yi (0) + Zi τi | Xi = c − ε)
(A4) = E(Yi (0) | Xi = c + ε) + E(Zi | Xi = c + ε)E(τi | Xi = c + ε) − E(Yi (0) | Xi = c − ε)
− E(Zi | Xi = c − ε)E(τi | Xi = c − ε).
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Fuzzy RD
Fazendo o limite ε → 0, segue que:
lim E(Yi | Xi = c + ε) − E(Yi | Xi = c − ε) =
ε→0
lim E(Zi | Xi = c + ε) − E(Zi | Xi = c − ε) τc
ε→0
isto é:
E(Yi | Xi = c + ε) − E(Yi | Xi = c − ε)
τc = lim
.
ε→0 E(Zi | Xi = c + ε) − E(Zi | Xi = c − ε)
Observe que o caso Sharp pode ser visto como um caso particular do Fuzzy, uma vez que neste
caso:
lim E(Zi | Xi = c + ε) − E(Zi | Xi = c − ε) = 1.
ε→0
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Estimadores Locais
Estimador local não-paramétrico:
P
τ̂c =
P
Xi −c
Xi −c
Y
K
Y
K
i
i
i:c≤Xi <c+h
i:c−h<Xi <c
h
h
− P
,
P
Xi −c
Xi −c
K
K
i:c≤Xi <c+h
i:c−h<Xi <c
h
h
onde K (u) é um kernel com
R1
−1
K (u) du = 1. É viesado em O(h).
Estimador local linear (Sharp RD):
τ̂c = β̂0+ − β̂0−
onde β̂0+ e β̂0− vem do ajuste de Yi por mínimos quadrados:
P
P
+
+
2
min
e min i:c−h<Xi <c (Yi − β0− − βx− (Xi − c))2 .
i:c≤Xi <c+h (Yi − β0 − βx (Xi − c))
+
β
β−
Viés com regressão é em geral O(h2 ).
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Estimadores Locais
Estimador local linear (Fuzzy RD):
É preciso tomar cuidado para não confundir
β̂ + − β̂0−
τ̂y
= 0+
τ̂c =
τ̂z
α̂0 − α̂0−
descontinuidade com não-linearidade!
onde β̂0+ e β̂0− seguem fórmula para descontinuidade sharp e α̂0+ e α̂0− vem do ajuste de Zi
por mínimos quadrados:
P
+
+
2
min
i:c≤Xi <c+h (Zi − α0 − αx (Xi − c))
+
α
P
−
−
2
min
i:c−h<Xi <c (Zi − α0 − αx (Xi − c)) .
−
α
Imbens and Lemieux [2008] sugerem fortemente fazer regressão.
É sugerido usar h ∝ N −δ , com 1/5 < δ < 2/5.
Fonte: Cunningham [2021]
h ótimo estimado com validação cruzada.
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Estimador da Variância
Distribuição assintótica:
√
Nh(τ̂ − τ ) → N
τy2
τy
1
0, 2 Vτy + 4 Vτz − 2 3 Cτy τz
τz
τz
τz
!
.
Um estimador pluggin é estimar os termos da equação acima.
4
(σ̂y2+ + σ̂y2− )
f̂x (c)
4
V̂τz = f̂ (c)
(σ̂z2+ + σ̂z2− )
x
• V̂τy =
•
•
•
4
(Ĉyz + + Ĉyz − )
Ĉτy τz = f̂ (c)
x
Nh+ +Nh−
f̂x (x) = 2Nh
• σ̂y2+ = N1
P
2
• σ̂z2+ = N1
P
2
i:c≤Xi <c+h (Yi − Ŷ (Xi ))
h+
h+
• Ĉyz + = N1
h+
i:c≤Xi <c+h (Zi − Ẑ (Xi ))
P
i:c≤Xi <c+h (Yi − Ŷ (Xi ))(Zi − Ẑ (Xi ))
Os termos negativos tem somatório em {i : c − h < Xi < c}, e usam Nh− .
Pode-se substituir pelo estimador robusto de um TSLS para RD Fuzzy e de OLS para RD Sharp.
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Teste de Densidade de McCrary
O teste de densidade de McCrary [2008] ajuda a avaliar a validade dos dados.
Avaliação envolve o uso de polinômios locais para estimar densidade.
Fonte: Cunningham [2021]
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Toy Problem
Função geradora dos dados:
Avaliação da densidade de pontos.
Yi = 50 − Xi + 0.02Xi2 + 10 I(Xi > 0) + N (0, 5)
Não foi encontrado código pronto em Python
para cálculo da densidade local.
Em R: rddensity.
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Toy Problem
Largura da banda sugerida: h equivalente a
Otimização feita com validação cruzada com
20 a 40% dos pontos de cada lado.
50% dos de cada lado.
1 X
CV (h) =
(Yi − Yˆh (Xi ))2
N
i
∗
h = argmin CV (h)
h
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Toy Problem
Estimador não-paramétrico local: retângulo
em [c-h,c+h].
PN
i=1 Yi I(c ≤ Xi < c + h)
τ̂c = P
N
i=1 I(c ≤ Xi < c + h)
PN
i=1 Yi I(c − h < Xi < c)
.
− P
N
i=1 I(c − h < Xi < c)
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Toy Problem
Para utilizar mínimos quadrados é construída uma aproximação conjunta dos dois lados:
X
min
(Yi − β0 − βx+ (Xi − c)I(c ≤ Xi < c + h) − βx− (Xi − c)I(c − h < Xi < c) − βτ Zi )2
β
i:c−h<Xi <c+h
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Medicare
Objetivo: Avaliar o impacto do plano de saúde na utilização de cuidados médicos. (Card et al.
[2008])
Limitações: Heterogeneidade de cobertura, viés de seleção - oferta e procura dependem da
saúde inicial, confundindo comparações observacionais.
Solução: Abordagem de regressão descontinuada para comparar o estado de saúde entre pessoas imediatamente antes e imediatamente após os 65 anos de idade (elegibilidade para o programa Medicare):
• Mudanças no número de consultas médicas recentes e nas internações hospitalares;
• Efeitos em diferentes subgrupos;
• Quantificar até que ponto o início da elegibilidade ao Medicare reduz ou aumenta as dispari-
dades no uso de diferentes tipos de serviços.
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Medicare: Definição do modelo
Modelo:
yija = Xija α + fj (α; β) +
X
k k
Cija
γ + uija
k
• yija : uso de cuidados de saúde para o indivíduo i no grupo socioeconômico j na idade a;
• Xija : conjunto de covariáveis (por exemplo, gênero e região);
• fj (α; β): função suavizada representando o perfil de idade do resultado y para o grupo j;
k
• Cija
: características da cobertura de seguro mantida pelo indivíduo;
• uija : componente de erro não observado.
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Medicare: Definição do modelo
Problema na estimação (Cobertura do seguro é endógena): a elegibilidade ao programa está
associada a uma redução das diferenças de cobertura entre os grupos demográficos, mas há
um aumento nessas diferenças quando olhamos para coberturas com mais benefícios.
Figura: Cobertura por qualquer seguro e por duas ou mais apólices, por idade e grupo demográfico.
Fonte: Card et al. [2008]
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Medicare: Definição do modelo
1
(qualquer coberSolução: Definir um modelo de probabilidade para as variáveis indicadoras Cija
2
(plano com maior cobertura e com mais benefícios):
tura) e Cija
1
1
Cija
= Xija βj1 + gj1 (a) + Da πj1 + νija
,
2
2
Cija
= Xija βj2 + gj2 (a) + Da πj2 + νija
,
onde βj1 e βj2 são coeficientes dos grupos socioeconômicos, gj1 (a) e gj2 (a) são perfis de idade
destes grupos, e Da uma indicadora para ter 65 anos ou mais. Supondo que os perfis sejam
contínuos aos 65 anos, qualquer descontinuidade em y pode ser atribuída a descontinuidades
no seguro.
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Medicare: Resultados
Outras mudanças aos 65 anos (aposentadoria):
• A continuidade exige que todos os
outros fatores que possam afetar o
resultado tenham mudanças suaves aos 65 anos.
• Todos os perfis possuem compor-
tamento suave aos 65 anos em relação à empregabilidade.
Fonte: Card et al. [2008]
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Medicare: Resultados
Tabela: Medidas de acesso aos cuidados de saúde pouco antes dos 65 anos e descontinuidade estimadas.
Fonte: Card et al. [2008]
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Medicare: Resultados
Mudanças no acesso e utilização de cuidados médicos:
• 7% das pessoas relataram atrasar os cuidados e 5% relataram não receber cuidados, com
taxas mais elevadas para as minorias com menor escolaridade e hispânicos. As estimativas
implicam redução aos 65 anos em ambas as medidas;
• Os grupos com menor escolaridade e minoritários têm menor probabilidade de ter uma con-
sulta de rotina, mas são mais propensos a ter passado por um período hospitalar;
• As estimativas sugerem que o limiar dos 65 anos está associado a um aumento nas consultas
médicas de rotina, com ganhos maiores para os grupos com taxas mais baixas antes dos 65;
• No geral, há um aumento grande nas taxas de hospitalização aos 65 anos (da ordem dos
10%), mas os ganhos são maiores para os brancos com melhor escolaridade do que para
outros grupos.
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Pacotes - Linguagem R
• rddtools
• rdd
• rdrobust
• rddensity
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Referências (1)
Joshua D Angrist and Jörn-Steffen Pischke. Mostly harmless econometrics: An empiricist’s
companion. Princeton university press, 2009.
David Card, Carlos Dobkin, and Nicole Maestas. The impact of nearly universal insurance
coverage on health care utilization: evidence from medicare. American Economic Review, 98
(5):2242–2258, 2008.
Thomas D Cook. “waiting for life to arrive”: a history of the regression-discontinuity design in
psychology, statistics and economics. Journal of Econometrics, 142(2):636–654, 2008.
Scott Cunningham. Causal inference: The mixtape. Yale university press, 2021. URL
https://mixtape.scunning.com/06-regression_discontinuity. Acessado:
18/06/2024.
Michael O Finkelstein, Bruce Levin, and Herbert Robbins. Clinical and prophylactic trials with
assured new treatment for those at greater risk: I. a design proposal. American Journal of
Public Health, 86(5):691–695, 1996.
Arthur S Goldberger. Selection bias in evaluating treatment effects: Some formal illustrations.
Manuscrito não publicado, 1972a.
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Referências (2)
Arthur S Goldberger. Selection bias in evaluating treatment effects: the case of interaction.
Manuscrito não publicado, 1972b.
Guido W Imbens and Thomas Lemieux. Regression discontinuity designs: A guide to practice.
Journal of econometrics, 142(2):615–635, 2008.
David S Lee and Thomas Lemieux. Regression discontinuity designs in economics. Journal of
economic literature, 48(2):281–355, 2010.
Justin McCrary. Manipulation of the running variable in the regression discontinuity design: A
density test. Journal of econometrics, 142(2):698–714, 2008.
Donald B Rubin. Assignment to treatment group on the basis of a covariate. Journal of
educational Statistics, 2(1):1–26, 1977.
Donald L Thistlethwaite and Donald T Campbell. Regression-discontinuity analysis: An
alternative to the ex post facto experiment. Journal of Educational psychology, 51(6):309,
1960.
William MK Trochim. Research design for program evaluation: The regression-discontinuity
approach, volume 6. SAGE Publications, Incorporated, 1984.
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