Devoir de Contrôle N : 2
Lycée de Mateur
Prof:Mme Rafiaa
Épreuve :
Mathématiques
Durée :2 heures
4ème année
Économie et gestion 2
Année scolaire : 2024-2025
Exercice N°1 :(6 points)
La courbe (ζ) représentée ci-dessous, dans un repère orthonormé (O,⃗i, ⃗j), est la représentation graphique
d’une fonction f définie et dérivable sur I =]0; +∞[. On note f ′ la fonction dérivée de f sur I.
La droite D d’équation x = 0 est une asymptote
verticale à la courbe (ζ).
La courbe (ζ) admet au voisinage de +∞ une
branche parabolique de direction (O,⃗i).
La tangente T à la courbe (ζ) admet au point
A(1; 1).
1) En utilisant le graphique :
f (x)
a) Déterminer lim+ f (x), lim f (x) et lim
x→+∞
x→+∞ x
x→0
′
b) f (1) et f (1).
c) Déterminer une équation de la tangente T.
2) Pour tout x ∈]0, +∞[, on pose : f (x) = a + b ln x.
a) Calculer f ′ (x).
b) En utilisant 1) b), montrer que f (x) = 1 − ln x.
c) Déterminer le signe de f (x).
Exercice N°2 :(6 points)
Dans une école, les élèves peuvent choisir entre deux clubs :le club de Théâtre et le club de Musique.
On sait que :
55% des élèves s’inscrivent au club de Théâtre, les autres choisissent le club de Musique.
Parmi les élèves du club de Théâtre, 30% participent à un Concours régional.
Parmi les élèves du club de Musique, 50% participent à ce Concours.
On choisit un élève au hasard et on note les évènement suivants :
M : « l’élève choisir club de Musique »
C : « l’élève participe au Concours »
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1) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre .
2)
a) Montrer que P (M ∩ C) = 0, 225
Ä ä
b) Déterminer P C .
3) Calculer la probabilité qu’un élève choisi au hasard participe au concours.
4) Sachant qu’un élève participe au concours, quelle est la probabilité qu’il soit inscrit au club de
Musique ? (arrondi à 10−3 )
Exercice N°3 :(8 points)
I / On donne ci-contre le tableau de variation
de la fonction g définie sur ]0, +∞[ par : g(x) = x2 − 1 + ln x.
1) Calculer g(1).
2) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
ln x
x
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,⃗i, ⃗j).
II / On considère la fonction f définie sur ]0, +∞[ par : f (x) = x − 1 −
1)
a) Montrer que lim+ f (x) = +∞. Interpréter ce résultat.
x→0
b) Montrer que lim f (x) = +∞.
x→+∞
2)
a) Montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[, on a : f ′ (x) =
g(x)
.
x2
b) Dresser le tableau de variation de f .
3)
a) Montrer que la droite ∆ d’équation y = x − 1 est une asymptote à la courbe (C).
b) Étudier la position relative de la courbe (C) par rapport à ∆.
c) Tracer ∆ et (C).
1
4) Soit h la fonction définie sur ]0, +∞[ par : h(x) = (ln x)2 .
2
ln x
a) Montrer que pour tout x ∈]0, +∞[, on a : h′ (x) =
.
x
b) En déduire la primitive F de f sur ]0, +∞[ qui s’annule en 1.
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