Ch.3
Hình thức luận
Formalism
1
Quantum Mechanics
Wave functions
Operators
State of a system is represented
by its wave function
Observables is represented by
operators
Vectors and Operators
act on vectors
⇒ Linear Algebra
2
1
Hilbert space
• Wave functions live in Hilbert space!
• Hilbert space = {square-integrable functions }
• square-integrable functions 𝑓 𝑥 :
𝑏
න 𝑓(𝑥) 2 𝑑𝑥 < ∞ .
𝑎
𝑓 𝑥 : vector in Hilbert space .
3
Hilbert space – Dirac notation
Ket: |𝛼 ۧ =
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
Bra: 𝑎 = |𝛼ۦ1∗
𝑎2∗ … 𝑎𝑛∗
𝐴Ԧ ∙ 𝐵 → = ۧ 𝛽|𝛼ۦන 𝛼 𝑥 ∗ 𝛽 𝑥 𝑑𝑥
4
2
Hilbert space
≡ ۧ𝑔|𝑓ۦන 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Tích trong/ Inner product)
Schwarz inequality:
𝑏
𝑏
𝑏
න 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ≤
න 𝑓(𝑥) 2 𝑑𝑥 න 𝑔(𝑥) 2 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
; ∗ۧ𝑔|𝑓ۦ = ۧ𝑓|𝑔ۦ
𝑏
= ۧ𝑓|𝑓ۦන 𝑓 𝑥
2 𝑑𝑥
𝑎
→ ۧ𝑓|𝑓ۦis real & non-negative; is zero only when 𝑓(𝑥) = 0.
5
Hilbert space
𝑄
𝐴Ԧ → |𝛼 ۧ
𝐵 → |𝛽 ۧ
𝛼ۧ
|𝛽ۧ = 𝑄|
𝐴Ԧ ∙ 𝐵 → = ۧ 𝛽|𝛼ۦන 𝛼 𝑥 ∗ 𝛽 𝑥 𝑑𝑥
Ket: |𝛼 ۧ =
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
Bra: 𝑎 = |𝛼ۦ1∗
𝑎2∗ … 𝑎𝑛∗
6
3
Linear Vector Spaces
7
Vector space [review]
𝐴Ԧ
𝐵
𝑄
translation
𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ
8
4
Vector space
𝐵
𝐴Ԧ
𝑄
Rotation (90)
𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ
9
Vector space
𝐵
𝐴Ԧ
𝑄
translation
+ rotation (90)
𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ
10
5
Vector space
𝐵
𝐴Ԧ
𝑄
𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ
11
Vector space
𝐵
𝐴Ԧ
𝑄
𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ
12
6
Vector space
𝐵
𝐴Ԧ
𝑄
𝐵 = 𝑄 𝐴Ԧ
13
Vector space
𝐴Ԧ
𝑎2
𝑖Ԧ2
𝑎1
𝑖Ԧ1
𝑎1
2D: 𝐴Ԧ ≡ 𝑎
2
𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ1 = 1
𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ2 = 0
→ 𝑖Ԧ𝑚 ∙ 𝑖Ԧ𝑛 = 𝛿𝑚𝑛
𝑎1
3D: 𝐴Ԧ ≡ 𝑎2
𝑎3
𝐴Ԧ =
𝑛D: 𝐴Ԧ ≡
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
𝑛
𝑚=1
𝑎𝑚 𝑖Ԧ𝑚
14
7
Vector space
𝑎2
𝐴Ԧ
𝑖Ԧ2
𝑎1
𝐴Ԧ
𝑎2′
𝑎1′
𝑖Ԧ1′
𝑖Ԧ1
𝑎1′ = 𝑖Ԧ1′ ∙ 𝐴Ԧ
𝑎2′ = 𝑖Ԧ2′ ∙ 𝐴Ԧ
𝑎1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝐴Ԧ
𝑎2 = 𝑖Ԧ2 ∙ 𝐴Ԧ
One vector 𝐴Ԧ , but represented in different basis systems
𝑖Ԧ1 , 𝑖Ԧ2 , {Ԧ𝑖1′ , 𝑖Ԧ2′ },...
15
Vector space
𝐴Ԧ
𝐴Ԧ
Hilbert space
|𝛼 ۧ
𝐵
|𝛽 ۧ
𝑄
𝐵
= 𝑄 𝐴Ԧ
Scalar product
𝑎1
𝑎2
𝐴Ԧ ≡
⋮
𝑎𝑛
𝐴Ԧ ∙ 𝐵
𝛼ۧ
|𝛽 ۧ = 𝑄|
∗
Inner product ≡ ۧ 𝛽|𝛼ۦන 𝛼 𝑥 𝛽 𝑥 𝑑𝑥
𝑎1
𝑎2
Ket: |𝛼 ۧ =
⋮
𝑎𝑛
Bra: 𝑎 = |𝛼ۦ1∗
𝑎2∗
… 𝑎𝑛∗
16
8
Hilbert space
|𝛼 ۧ =
𝛼ۧ
|𝛽ۧ = 𝑄|
|𝛽 ۧ =
|𝛽 ۧ
𝑄
|𝛼 ۧ
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
𝑄
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
=
𝑞11
𝑞12
…
𝑞21
⋮
𝑞𝑛1
𝑞22
⋮
𝑞𝑛2
… 𝑞2𝑛
⋮
⋱
… 𝑞𝑛𝑛
𝑞1𝑛
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
17
Vector space
Hilbert space
• Normalized: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑚 ۧ = 1 ;
• Orthogonal: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = 0 , 𝑚 ≠ 𝑛
• Orthogonal & normalized ≡ orthonormal:
ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = 𝛿𝑚𝑛 ;
• Complete: 𝑓 𝑥 = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥
(any vector 𝑓 𝑥 can be expressed as a linear
combination of 𝑓𝑛 ). |𝑓ۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 |𝑓𝑛 ۧ
• The coefficients 𝑐𝑛 = = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 ∗𝑛𝑓 ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ
(projection of |𝑓ۧ onto basis vector |𝑓𝑛 ۧ)
𝐴Ԧ
𝑎2
𝑖Ԧ2
𝑎1
𝑖Ԧ1
𝑎1
𝐴Ԧ ≡ 𝑎
2
𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ1 = 1
𝑖Ԧ1 ∙ 𝑖Ԧ2 = 0
𝑖Ԧ𝑚 ∙ 𝑖Ԧ𝑛 = 𝛿𝑚𝑛
𝑛
𝐴Ԧ =
𝑚=1
𝑎𝑚 𝑖Ԧ𝑚
𝑎1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝐴Ԧ
𝑎2 = 𝑖Ԧ2 ∙ 𝐴Ԧ
18
9
Observables 𝑄
≡ ۧ 𝛽|𝛼ۦන 𝛼 𝑥 ∗ 𝛽 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 = ൻΨ|𝑄Ψ
ൿ
𝑄 = නΨ ∗ 𝑄Ψ
𝑄 ∈ 𝑅
𝑄 = 𝑄 ∗
ൿ=ൻ𝑄Ψ|
Ψۧ
ൻΨ|𝑄Ψ
⇒ Operators representing observables have the very special feature
that
ൿ = ൻ𝑄𝑓|
𝑓ۧ ∀ 𝑓(𝑥) .
ൻ𝑓|𝑄𝑓
Such operators are called Hermitian operators.
ൿ = ൻ𝑄𝑓|
𝑔ۧ ∀ 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥)
ൻ𝑓|𝑄𝑔
19
Observables
(Đại lượng vật lý)
Observables are represented by Hermitian operators 𝑄 ,
ൿ = ൻ𝑄𝑓|
𝑓ۧ ∀ 𝑓(𝑥)
ൻ𝑓|𝑄𝑓
20
10
Problem
1. Is the momentum operator hermitian?
2. Show that the sum of two hermitian operators is hermitian.
3. Suppose 𝑄 is hermitian. 𝛼 is a complex number. Under
hermitian?
what condition on 𝛼 is 𝛼𝑄
4. When is the product of two hermitian operators hermitian?
5. Show that the position operator (𝑥ො = 𝑥 ) and the Hamiltonian
are hermitian.
21
• Proof: 𝑝Ƹ is a hermitian operator
ℏ 𝑑
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑖 𝑑𝑥
∗
ℏ ∗ +∞ ℏ
𝑑
= 𝑓 𝑔ቚ − න
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑖
𝑖
𝑑𝑥
−∞
∗
ℏ 𝑑
∗
=න
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑝𝑓
Ƹ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = |𝑓𝑝ۦ
Ƹ 𝑔ۧ
𝑖 𝑑𝑥
𝑔𝑝|𝑓ۦ
Ƹ ۧ = න𝑓 𝑥 ∗
• → 𝑝Ƹ hermitian
22
11
Observables
Toán tử liên hiệp hermit của 1 toán tử 𝑄 là toán tử 𝑄 + sao cho
The hermitian conjugate (or adjoint) of an operator 𝑄 is an operator 𝑄 +
such that
ൿ = ൻ𝑄 + 𝑓|𝑔ۧ for all 𝑓 and 𝑔
ൻ𝑓|𝑄𝑔
24
Observables
Trạng thái xác định/ Determinate States
• 𝜎 2 = (∆𝑗)2 , with ∆𝑗 = 𝑗 − 𝑗
• 𝜎 2 = (𝑗 − 𝑗 )2
• 𝜎 2 = (𝑗 − 𝑗 )2 = 𝑗 2 − 2𝑗 𝑗 + 𝑗 2 = 𝑗 2 − 2 𝑗 𝑗 + 𝑗 2 = 𝑗 2 − 𝑗 2 = 𝑗 2 − 𝑗 2
𝑗 → 𝑄 . 𝑄 ≡𝑞
• QM: Observable 𝑄
𝑄
. 𝑗 → 𝑄,
• → 𝜎 2 = (𝑄 − 𝑄 )2 = (𝑄 − 𝑞)2
𝑑𝑥
• 𝑄 ≡ 𝑄 ≡ 𝑞 ≡ Ψ ∗ 𝑄Ψ
𝑑𝑥 = ൻΨ|𝑄Ψ
ൿ
• 𝑄 = Ψ ∗ 𝑄Ψ
26
12
Observables
Trạng thái xác định/ Determinate States
𝑑𝑥
• 𝑄 ≡ 𝑄 ≡ 𝑞 ≡ Ψ ∗ 𝑄Ψ
𝑑𝑥 = ൻΨ|𝑄Ψ
ൿ
• 𝑄 = Ψ ∗ 𝑄Ψ
• Applying the above formulas to the operator(𝑄 − 𝑞)2 we get
(𝜎 2 =) (𝑄 − 𝑞)2 = ൻΨ|(𝑄 − 𝑞)2 Ψൿ
= ൻΨ| 𝑄 − 𝑞 𝑄 − 𝑞 Ψൿ = ൻΨ|(𝑄 − 𝑞)((𝑄 − 𝑞)Ψ)ൿ
• For (𝑄 − 𝑞) is also a hermitian operator
ൻΨ|(𝑄 − 𝑞)((𝑄 − 𝑞)Ψ)ൿ = ൻ(𝑄 − 𝑞)Ψ| 𝑄 − 𝑞 Ψൿ
= 𝜎2 .
27
Observables
Determinate States
• If every measurement of Q is certain to return the same value (call it q)
then the standard deviation of Q , (𝑄 − 𝑞)2 , must be zero:
(𝑄 − 𝑞)Ψ 𝑄 − 𝑞 Ψ = 0.
• This is an inner product of the function (𝑄 − 𝑞)Ψ with itself.
• The inner product is zero only when 𝑄 − 𝑞 Ψ = 0
• Or
𝚿 = 𝒒𝚿
𝑸
28
13
Observables
Determinate States
= 𝑞𝛹
𝑄𝛹
• This is the eigenvalue equation for the operator 𝑄.
𝛹 is eigenfunction of 𝑄 , and 𝑞 is the corresponding eigenvalue.
• Determinate states of 𝑄 are eigenfunctions of 𝑄.
• Measurement of 𝑄 on such a state is certain to yield the eigenvalue, 𝑞.
• The collection of all the eigenvalues of an operator is called its
spectrum.
• If two (or more) linearly independent eigenfunctions share the same
eigenvalue the spectrum is said to be degenerate.
29
Hilbert space – Probabilistic interpretation
Physical meaning of the scalar product (inner product) 𝑓 𝑔 :
• The Euclidean space: 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 represents the projection of 𝐵 on 𝐴Ԧ
The Hilbert space: 𝑓 𝑔 represents the projection of |𝑔ۧ onto |𝑓ۧ .
• Born’s probabilistic interpretation (in the case of normalized states):
𝑓 𝑔 represents the probability amplitude that the system’s state |𝑔ۧ
will, after a measurement is performed on the system, be found to be in
another state |𝑓ۧ.
•
𝒇 𝒈 𝟐 = probability of finding a particle in state |𝒇ۧ
when it was previously in state |𝒈ۧ.
31
14
Prob.
• A particle (at 𝑡 = 0) is in the ground state of the harmonic
oscillator with frequency 𝜔, and the spring constant suddenly
quadruples, so the frequency ω′ = 2𝜔, without initially changing
the wave function.
Calculate the probability of finding the particle in the ground state
in the new potential energy.
In the above problem, you can replace the potential of the harmonic oscillator with an infinite square potential
well... Set up the problem and solve it!
33
• |𝑖ۧ ∶ 𝜓0 (𝑥) =
𝑚𝜔 1/4 −𝑚𝜔𝑥 2
𝑒 2ℏ
𝜋ℏ
[the ground state of the harmonic oscillator with frequency 𝜔]
• |𝑓ۧ ∶ 𝜓′0 (𝑥) =
𝑚2𝜔 1/4 −𝑚2𝜔𝑥 2
𝑒 2ℏ
𝜋ℏ
[the ground state of the harmonic oscillator with frequency 2𝜔]
• The probability of finding the particle in the state 𝜓′0 (𝑥) is
2
𝑓𝑖
𝟐
= ൻ 𝜓′0 | 𝜓0 ۧ
2
= න 𝜓′0 (𝑥) 𝜓0 (𝑥)𝑑𝑥
= …
𝑓 𝑔 2 = probability of finding a particle in state |𝑓ۧ when it was previously in state |𝑔ۧ.
34
15
Remarks
• |𝑓ۧ (|𝑔ۦi.e., the product of a ket with a bra) is a linear operator in Dirac’s
notation.
|𝑓ۧ |𝑔ۦis applied to a ket |𝑘 ۧ ⇒ another ket: |𝑓ۧ 𝑔 𝑘 = 𝑔 𝑘 |𝑓ۧ
and 𝑸|𝑔ۦ
• Products of the type |𝑓ۧ𝑸
(an operator stands on the right of a
ket or on the left of a bra) are forbidden. They are not operators, or kets,
or bras; they have no mathematical or physical meanings!
• If |𝑓ۧ and |𝑔ۧ belong to the same vector (Hilbert) space, products of the
type |𝑓ۧ|𝑔ۧ and |𝑔ۦ|𝑓ۦare forbidden. They are nonsensical, since
they are neither kets nor bras.
• If |𝑓ۧ and |𝑔ۧ belong to the different vector spaces, the product |𝑓ۧ|𝑔ۧ,
written as |𝑓ۧ ⊗ |𝑔ۧ , represents a tensor product of |𝑓ۧ and |𝑔ۧ.
37
Hilbert space
• Orthogonal & normalized ≡ orthonormal:
ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = 𝛿𝑚𝑛
• Complete: 𝑓 𝑥 = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 or |𝑓ۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 |𝑓𝑛 ۧ
• The completeness, or closure, relation for |𝑓𝑛 ۧ can be expressed by
∞
|𝑓𝑛 ۧൻ𝑓𝑛 ห = 𝐼መ ≡ 1
𝑛=1
∗
• The coefficients 𝑐𝑛 = 𝑥 𝑓 𝑥 𝑛𝑓
𝑑𝑥 = ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ
• 𝑓ۧ = 1 𝑓ۧ = σ𝑛|𝑓𝑛 ۧൻ𝑓𝑛 ห 𝑓ۧ = σ𝑛|𝑓𝑛 ۧൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ = σ𝑛|𝑓𝑛 ۧ𝑐𝑛 = σ𝑛 𝑐𝑛 |𝑓𝑛 ۧ
38
16
Expectation Values
𝑑𝑥 = ൻΨ|𝑄Ψ
ൿ = Ψ 𝑄 Ψ
• 𝑄 = Ψ∗ 𝑄Ψ
• 𝑄 = 𝑓 𝑄 𝑓 = |𝑓ۦσ𝑚|𝑓𝑚 ۧൻ𝑓𝑚 ห 𝑄 σ𝑛|𝑓𝑛 ۧൻ𝑓𝑛 ห |𝑓ۧ
• 𝑄 = σ𝑚𝑛𝑄 𝑚𝑓 ۧ 𝑚𝑓|𝑓ۦ 𝑓𝑛 ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ
• 𝑐𝑛 = = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 ∗𝑛𝑓 ൻ𝑓𝑛 |𝑓 ۧ , 𝑓𝑚 𝑄 𝑓𝑛 = 𝑞𝑛 𝛿𝑚𝑛
• ⇒ 𝑄 = σ𝑛 𝑞𝑛 ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ
2
= σ𝑛 𝑞𝑛 𝑐𝑛 2 = σ𝑛 𝑞𝑛 𝑃𝑛
2
• 𝑃𝑛 = ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ : the probability of finding the value 𝑞𝑛 after
measuring the observable 𝑄.
39
Trạng thái riêng của toán tử hermit
Hệ cơ sở rời rạc / Phổ (năng lượng) rời rạc
= 𝑞𝑓, q ∈ 𝑅
• Các trị riêng (của các hàm riêng) là thực: 𝑄𝑓
• Các hàm riêng trực giao
• Các hàm riêng (của đại lượng quan sát) thì đầy đủ
[Xin xem thêm mục 3.3.1, trang 101 sách Griffiths]
41
17
Trạng thái riêng của toán tử hermit
Hệ cơ sở rời rạc / Phổ (năng lượng) rời rạc
• {|𝑓𝑛 ۧ}:
𝑓𝑛 ۧ = 𝐸𝑛 |𝑓𝑛 ۧ
• 𝐻|
Viết cách
khác
• {|𝑛ۧ}:
|𝑛ۧ = 𝐸𝑛 |𝑛ۧ
•𝐻
{|𝑓𝑛 ۧ}
Trực chuẩn: ൻ𝑓𝑚 |𝑓𝑛 ۧ = 𝛿𝑚𝑛 ;
Đầy đủ: 𝑓 𝑥 = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 hoặc |𝑓ۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 |𝑓𝑛 ۧ
(vector bất kỳ 𝑓 𝑥 đều có thể biểu diễn qua hệ cơ sở 𝑓𝑛 )
𝑐𝑛 = = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 ∗𝑛𝑓 ൻ𝑓𝑛 |𝑓ۧ
42
Trạng thái riêng của toán tử hermit
Hệ cơ sở liên tục / Phổ liên tục: Xét toán tử động lượng
[Xem 3.3.2 sách Griffiths] (Xin xem ví dụ 3.2)
Hệ cơ sở {|𝑝ۧ} (hoặc {𝑓𝑝 𝑥 }) ứng với toán tử động lượng được cho bởi:
𝑝Ƹ |𝑝ۧ = 𝑝|𝑝ۧ hoặc ෝ𝑝𝑓𝑝 𝑥 = 𝑝𝑓𝑝 𝑥 (∗)
với 𝑝Ƹ =
ℏ 𝑑
𝑖 𝑑𝑥
PT (*) (tức là
, 𝑝 là trị riêng của toán tử này, tức là giá trị động lượng. Giải
ℏ 𝑑
= 𝑝𝑓𝑝 𝑥 ), được hệ các hàm riêng (hệ cơ sở)
𝑖𝑝𝑥
𝑖𝑝𝑥
1
|𝑝ۧ ≡ 𝑓𝑝 𝑥 = 𝐴𝑒 ℏ =
𝑒 ℏ
2𝜋ℏ
𝐴 được xác định bởi điều kiện chuẩn hoá:
𝑓 𝑥
𝑖 𝑑𝑥 𝑝
∞
𝑝′ 𝑝 ≡ න 𝑓𝑝∗′ 𝑥 𝑓𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛿(𝑝 − 𝑝′ )
−∞
43
18
Trạng thái riêng của toán tử hermit
Hệ cơ sở liên tục / Phổ liên tục: Xét toán tử động lượng
𝑝 liên tục nên tổng được thay bằng tích phân trong tính đầy đủ (đầy đủ:
𝑓(𝑥) = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 ): Một hàm sóng (vector) bất kỳ đều được biểu diễn qua
hệ cơ sở {𝑓𝑝 𝑥 }
∞
∞
𝑖𝑝𝑥
1
𝑓 𝑥 ≡ න 𝑐 𝑝 𝑓𝑝 𝑥 𝑑𝑝 =
න 𝑐(𝑝) 𝑒 ℏ 𝑑𝑝
2𝜋ℏ −∞
−∞
với 𝑐(𝑝) = 𝑓𝑝 𝑓 .
Đặt Φ 𝑝 = 𝑐(𝑝). Một cách tổng quát, hàm sóng phụ thuộc thời gian
→ Thay 𝑓 𝑥 thành Ψ 𝑥, 𝑡 và Φ 𝑝 thành Φ 𝑝, 𝑡 .
Ψ 𝑥, 𝑡 =
1
∞
න 𝑐 𝑝, 𝑡
2𝜋ℏ −∞
∞
𝑖𝑝𝑥
ℏ
𝑒 𝑑𝑝 ≡ න Φ 𝑝, 𝑡
−∞
𝑖𝑝𝑥
𝑒 ℏ 𝑑𝑝
44
Trạng thái riêng của toán tử hermit
Hệ cơ sở liên tục / Phổ liên tục: Xét toán tử toạ độ
[Xem 3.3.3 sách Griffiths] (Xin xem ví dụ 3.3)
Hệ cơ sở {|𝑥 ۧ} (hoặc {𝑔𝑦 𝑥 }) ứng với toán tử toạ độ 𝑥ො được cho bởi:
𝑥ො|𝑥 ۧ = 𝑦|𝑥 ۧ hoặc 𝑥𝑔
ො 𝑦 𝑥 = 𝑦𝑔𝑦 𝑥 (∗)
𝑥ො = 𝑥 (toán tử này chỉ là nhân 𝑥 vào vector |𝑥 ۧ) , 𝑦 (một số cố định) là trị
riêng của toán tử 𝑥,
ො tức là giá trị vị trí. Giải phương trình *, được hệ các hàm
riêng (hệ cơ sở)
|𝑥 ۧ ≡ 𝑔𝑦 𝑥 = 𝐴𝛿 𝑥 − 𝑦
𝐴 được xác định bởi đk chuẩn hoá:
∞
𝑥′ 𝑥 ≡ −∞ 𝑔𝑦∗ ′ 𝑥 𝑔𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴 2 𝛿(𝑦 − 𝑦 ′ ) . Chọn 𝐴 = 1
45
19
Trạng thái riêng của toán tử hermit
Hệ cơ sở liên tục / Phổ liên tục: Xét toán tử toạ độ
[Xem 3.3.3 sách Griffiths] (Xin xem ví dụ 3.3)
𝑦 liên tục nên tổng được thay bằng tích phân trong tính đầy đủ
(𝑓(𝑥) = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥 ): Một hàm sóng (vector) bất kỳ đều được biểu diễn qua
hệ cơ sở {𝑔𝑦 𝑥 }
∞
∞
𝑓 𝑥 ≡ න 𝑐 𝑦 𝑔𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = න 𝑐 𝑦 𝛿 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐(𝑥)
−∞
−∞
𝑐 𝑦 = 𝑔𝑦 𝑓 = 𝑓(𝑦)
∞
∞
Ψ 𝑥, 𝑡 = න 𝑐 𝑦, 𝑡 𝑔𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = න 𝑐 𝑦, 𝑡 𝛿 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐(𝑥, 𝑡)
−∞
−∞
Như vậy, 𝑐 𝑥, 𝑡 chính là hàm sóng theo toạ độ và thời gian Ψ 𝑥, 𝑡 !
46
Không gian Hilbert – Giải thích thống kê
Hệ cơ sở rời rạc / Phổ rời rạc (năng lượng)
• Ψ(𝑥) = σ𝑛 𝑐𝑛 𝑓𝑛 𝑥
• ۦΨ|Ψۧ = σ𝑛 𝑐𝑛 2 = 1
• 𝑐𝑛 = 𝑥 ∗𝑛𝑓 Ψ 𝑥 𝑑𝑥 = ൻ𝑓𝑛 |Ψۧ
𝑛 = 𝑞𝑛 𝑓𝑛 → 𝑄 = ۦΨ|𝑄Ψ
ൿ = σ𝑛 𝑞𝑛 𝑐𝑛 2
• 𝑄𝑓
•
𝑐𝑛 2 = ൻ𝑓𝑛 |Ψۧ
2
= Xác suất khi đo 𝑄 thu được 𝑞𝑛
• Nếu 𝑄 là năng lượng: 𝑐𝑛 2 là xác suất thu được giá trị 𝐸𝑛 khi đo 𝐸
47
20
Không gian Hilbert – Giải thích thống kê
Hệ cơ sở liên tục / Phổ liên tục: Toán tử động lượng
𝑐 𝑝 = 𝑓𝑝 Ψ = න 𝑓𝑝∗ 𝑥 Ψ 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 =
1
2𝜋ℏ
+∞
𝑖𝑝𝑥
න 𝑒 − ℏ Ψ 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥
−∞
𝑐(𝑝) 2 𝑑𝑝: Xác suất đo động lượng thì thu được 𝑝 trong
khoảng 𝑝, 𝑝 + 𝑑𝑝 .
𝑐(𝑝) là đại lượng quan trọng và được ký hiệu Φ(𝑝, 𝑡).
48
Không gian Hilbert – Giải thích thống kê
Φ(𝑝, 𝑡) =
+∞
1
2𝜋ℏ
න 𝑒 −𝑖𝑝𝑥/ℏ Ψ 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥
[3.54]
−∞
Φ(𝑝, 𝑡) chính là phép biến đổi Fourier của hàm sóng không gian toạ độ
Ψ 𝑥, 𝑡 . Vì vậy 𝛷(𝑝, 𝑡) có ý nghĩa là hàm sóng không gian động lượng (the
momentum space wave function). 𝛷(𝑝, 𝑡) còn được gọi là hàm sóng trong
biểu diễn động lượng.
Φ(𝑝, 𝑡) 2 𝑑𝑝: xác suất để phép đo động lượng cho 𝑝 trong khoảng 𝑝, 𝑝 + 𝑑𝑝
Ψ(𝑥, 𝑡) (position space wave function) là phép biến đổi Fourier ngược của
hàm sóng không gian động lượng (momentum space wave function):
+∞
1
[3.55]
Ψ (𝑥, 𝑡) =
න 𝑒 𝑖𝑝𝑥/ℏ Φ 𝑝, 𝑡 𝑑𝑝
2𝜋ℏ
−∞
49
21
𝐴Ԧ
𝑎2
𝐴Ԧ
𝑎2′
𝑖Ԧ2
𝑎1
𝑖Ԧ1
𝑖Ԧ1′
𝑎1′
𝑎1 = 𝑖Ԧ1 ∙ 𝐴Ԧ
𝑎1′ = 𝑖Ԧ1′ ∙ 𝐴Ԧ
𝑎2 = 𝑖Ԧ2 ∙ 𝐴Ԧ
𝑎2′ = 𝑖Ԧ2′ ∙ 𝐴Ԧ
Hệ vật lý: Trạng thái của hệ được biểu diễn bởi một vector |𝑆(𝑡)ۧ
Vector |𝑆(𝑡)ۧ của hệ cũng có thể được biểu diễn trong những hệ cơ sở
khác nhau, tựa như vector 𝐴Ԧ trong các cơ sở 𝑖Ԧ1 , 𝑖Ԧ2 , {Ԧ𝑖1′ , 𝑖Ԧ2′ },... khác nhau.
50
Biểu diễn trạng thái |S(𝑡)ۧ trong các hệ cơ sở
|𝑆(𝑡)ۧ
{|𝑥 ۧ}:
𝑥ො|𝑥 ۧ = 𝑥|𝑥 ۧ
Ψ 𝑥, 𝑡 = ۧ)𝑡(𝑆|𝑥ۦ
Biến đổi Fourier
{|𝑝ۧ}:
𝑝Ƹ |𝑝ۧ = 𝑝|𝑝ۧ
{|𝑛ۧ}:
|𝑛ۧ = 𝐸𝑛 |𝑛ۧ
𝐻
Φ 𝑝, 𝑡 = ۧ)𝑡(𝑆|𝑝ۦ
𝑐𝑛 = ۧ)𝑡(𝑆|𝑛ۦ
52
22
Bài tập
• Xin đọc và trình bày lại một cách thật chi tiết ví dụ 3.4 (trang 108
sách của Griffiths)
• Bài tập 3.9 (sách Griffiths)
• Bài tập 3.10 (sách Griffiths)
• Bài tập 3.12 (sách Griffiths)
• Bài tập 3.27 (sách Griffiths)
• Bài tập 3.30 (sách Griffiths)
53
Nguyên lý bất định
• Xét hai đại lượng có thể khảo sát A và B.
• Toán tử tương ứng là 𝐴መ và 𝐵
• Tìm 𝜎𝐴2 𝜎𝐵2
54
23
CM Nguyên lý bất định
𝜎𝐴2 =
𝐴መ − 𝐴
2
= Ψ 𝐴መ − 𝐴
= ൻΨ|൫𝐴መ − 𝐴 )(𝐴መ − 𝐴 )Ψൿ
2
Ψ
ൿ = ൻ𝑄𝑓|
𝑔ۧ
ൻ𝑓|𝑄𝑔
= ർ൫𝐴መ − 𝐴 )Ψ| 𝐴መ − 𝐴 Ψൿ = 𝑓 𝑓 ,
𝑓 ≡ 𝐴መ − 𝐴 Ψ
𝜎𝐵2 =
𝐵 − 𝐵
2
= (𝐵 − 𝐵 )Ψ 𝐵 − 𝐵 Ψ = 𝑔 𝑔
𝑔 ≡ 𝐵 − 𝐵 Ψ
55
CM Nguyên lý bất định
𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 = 𝑓 𝑓 𝑔 𝑔 ≥ 𝑓 𝑔 2 (BĐT Schwarz)
2
1
𝑧 2 = Re z 2 + Im(z) 2 ≥ Im z 2 =
(𝑧 − 𝑧 ∗ )
2𝑖
𝑧= 𝑓𝑔
2
1
𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 ≥
(𝑓𝑔 − 𝑔𝑓)
2𝑖
2
𝜎𝐵2 = 𝐵 − 𝐵
= ർ൫𝐵 − 𝐵 )Ψ| 𝐵 − 𝐵 Ψൿ = 𝑔 𝑔
𝑔 = 𝐵 − 𝐵 Ψ
56
24
CM Nguyên lý bất định
𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 = 𝑓 𝑓 𝑔 𝑔 ≥ 𝑓 𝑔 2
𝑏
𝑏
𝑏
𝑓𝑓 𝑔𝑔 ≥ 𝑓𝑔 2
න 𝑓(𝑥) 2 𝑑𝑥 න 𝑔(𝑥) 2 𝑑𝑥 ≥ න 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
2
1
2
2
2
2
𝑧 = Re z + Im(z) ≥ Im z =
(𝑧 − 𝑧 ∗ )
2𝑖
𝑧= 𝑓𝑔
2
1
𝑓 ≡ 𝐴መ − 𝐴 Ψ
𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 ≥
(𝑓𝑔 − 𝑔𝑓)
2𝑖
𝑔 ≡ 𝐵 − 𝐵 Ψ
𝑓 𝑔 = 𝐴መ 𝐵 − 𝐴 𝐵
𝑔 𝑓 = 𝐵 𝐴መ − 𝐴 𝐵
መ 𝐵
𝑓 𝑔 − 𝑔 𝑓 = 𝐴መ 𝐵 − 𝐵 𝐴መ = 𝐴መ 𝐵 − 𝐵 𝐴መ = 𝐴,
57
CM Nguyên lý bất định
1
𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 ≥
(𝑓𝑔 − 𝑔𝑓)
2𝑖
መ 𝐵
𝑓 𝑔 − 𝑔 𝑓 = 𝐴,
1
መ 𝐵
𝜎𝐴2 𝜎𝐵2 ≥
𝐴,
2𝑖
[𝑥,𝑝]=𝑖ℏ
𝜎𝑥 𝜎𝑝 ≥
ℏ
2
2
2
1
𝜎𝑥2 𝜎𝑝2 ≥
𝑥,
ො 𝑝ො
2𝑖
2
𝑖ℏ
=
2𝑖
2
ℏ
=
2
2
58
25
Toán tử
|𝛼 ۧ =
𝑄
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
𝛼ۧ
|𝛽ۧ = 𝑄|
|𝛽 ۧ =
|𝛽 ۧ
𝑄
|𝛼 ۧ
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
=
𝑞11
𝑞12
…
𝑞21
⋮
𝑞𝑛1
𝑞22
⋮
𝑞𝑛2
… 𝑞2𝑛
⋮
⋱
… 𝑞𝑛𝑛
𝑞1𝑛
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
59
|𝛼 ۧ =
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
|𝛽 ۧ =
𝛼ۧ
|𝛽 ۧ = 𝑄|
|𝛼 ۧ = 𝑎𝑛 |𝑒𝑛 ۧ , 𝑎𝑛 = ൻ𝑒𝑛 |𝛼 ۧ
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
|𝛽 ۧ = 𝑏𝑛 |𝑒𝑛 ۧ , 𝑏𝑛 = ൻ𝑒𝑛 |𝛽 ۧ
𝑏𝑛 |𝑒𝑛 ۧ = 𝑎𝑛 𝑄 |𝑒𝑛 ۧ
𝑏𝑛 ൻ𝑒𝑚 |𝑒𝑛 ൿ = 𝑎𝑛 ൻ𝑒𝑚 |𝑄 |𝑒𝑛 ۧ
⇒ 𝑏𝑚 = 𝑎𝑛 ൻ𝑒𝑚 |𝑄 |𝑒𝑛 ۧ = 𝑎𝑛 𝑄𝑚𝑛
𝑄𝑚𝑛 ≡ ൻ𝑒𝑚 |𝑄 |𝑒𝑛 ۧ
60
26
0
