UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
ICEx-Departamento de Matemática
Exercı́cios de EDB - 2021/1
Professora: Aniura Milanés
SEMANA 1
Exercı́cio 1.
Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada
equação linear é ou não homogênea.
3
(a) x2 ∂yxx
u + y 2 ∂y2 u − log(1 + y 2 )u = 0;
(b) ∂x u + u3 = 1;
4
(c) u∂yyxx
u + ex ∂x u = y;
(d) u∂x2 u + ∂y2 u − u = 0;
(e) ∂x2 u + ∂t u = 3u;
Exercı́cio 2.
Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.
(a) u(x, y) = x + y, ∂x2 u + ∂y2 u = 0;
(b) u(x, t) = x2 + 2t, ∂x2 u = ∂t u;
(c) u(x, y) = sen(x) cosh(y)1 , ∂x2 u + ∂y2 u = 0;
(d) u(x, y) = sen(x − ct), ∂t2 u − c2 ∂x2 u = 0, onde c é uma constante;
(e) u(x, y) = f (x) + g(y),
∂2u
= 0, onde f e g são funções arbitrárias;
∂y∂x
(f) u(x, y) = f (x + y) + g(x − y), ∂x2 u − ∂y2 u = 0, onde f e g são funções arbitrárias.
Exercı́cio 3.
Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir
(a) ∂x u = 3x2 + y 2 ,
3
(b) ∂zyx
u = 1,
u = u(x, y),
u = u(x, y, z),
Exercı́cio 4.
Verifique que as funções u1 (x, y) = y, u2 (x, y) = 2xy, u3 (x, y) = x3 − 3xy 2 , u4 (x, y) = ex sen y são soluções
da equação de Laplace bidimensional ∂x2 u + ∂y2 u = 0. Construa quatro novas soluções desta equação usando
o Princı́pio de Superposição.
Exercı́cio 5.
(a) Verifique que as funções u(x, t) = x e v(x, t) = x2 + 2t satisfazem a equação do calor.
(b) Como você poderia construir infinitas soluções dessa equação usando as soluções acima?
Exercı́cio 6.
Escreva a forma geral das EDPs lineares de segunda ordem com função incógnita u = u(x, y). Quando a
equação será homogênea? Por que você acha que eu não escrevi ela nas notas de aula?
1
cosh(y) =
ey + e−y
2
2
Exercı́cio 7.
Verifique que para cada n ∈ N, a função
nπ 2
un (x, t) = e−( L ) kt sen
nπ x
L
satisfaz a equação do calor ∂t u = k∂x2 u.
Exercı́cio 8.
Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer
as funções X e T para obtermos soluções fatoradas da forma u(x, t) = X(x)T (t).
(a) ∂t u = ∂x2 u − 3∂x u.
(c) ∂t u = k∂x4 u.
(b) ∂x2 u + ∂y2 u = 0.
(d) ∂t2 u = c2 ∂x2 u,
c > 0.
Exercı́cio 9.
Determine a solução do problema
ED ∂t u = 2∂x2 u, 0 < x < 3, t > 0;
CF u(0, t) = 0 u(3, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ 3.
nos casos
(a) f (x) = 4 sen
2πx 3
− sen
5πx (c) f (x) = −9 cos
3
(d) f (x) = 3 cos
(b) f (x) = 5 sen(4πx) + 2 sen(10πx)
π
(2x + 3)
6
8πx
sin(5πx)
3
+
8πx
π
π
− 3 cos
−
+
2
3
2
Exercı́cio 10.
O aluno X acha que entendeu o princı́pio de superposição e faz o seguinte raciocı́nio:
Como v(x, y) = x é solução da equação de Laplace bidimensional, então w(x, y) = xv(x, y) = x2 também é.
Mas a aluna Y substitui a função w na equação e obtém o seguinte.
∂x2 w = 2, ∂y2 w = 0 ⇒ ∂x2 w + ∂x2 w = 2.
w não é solução da equação!! Qual é o erro no raciocı́nio de X?
F Exercı́cio 11.
Considere a equação
∂x u∂y u − u (∂x u + ∂y u) + u2 = 0.
(a) Esta EDP é não linear. Explique por quê.
(b) Verifique que as funções u1 (x, y) = ex e u2 (x, y) = ey são soluções desta equação.
(c) Verifique que para constantes arbitrárias c1 e c2 , as funções c1 u1 e c2 u2 também são soluções da equação.
(d) Comprove que u = u1 +u2 não é solução da equação. Sugestão: Verifique que ∂x u∂y u−u (∂x u + ∂y u)+
u2 = (∂x u − u) (∂y u − u)
(e) Prove que u = c1 u1 + c2 u2 será solução somente se c1 = 0 ou c2 = 0.
3
SEMANA 2
Exercı́cio 12.
Verifique que a única função da forma X(x) = c1 + c2 x satisfazendo X(0) = X(L) = 0 é a função nula,
calculando os coeficientes c1 e c2 e concluindo que eles devem ser nulos.
Exercı́cio 13.
Sem usar a fórmula obtida nas notas de aula, determine todas as soluções fatoradas da equação do calor
∂t u = 2∂x2 u que se anulam quando x = 0 e quando x = 3.
Exercı́cio 14.
O problema a seguir
ED ∂t u = ∂x2 u, 0 < x < 1, t > 0;
CF ∂x u(0, t) = 0 ∂x u(1, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ 1.
descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas
termicamente.
(a) Se u(x, t) = X(x)T (t) for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima,
qual é o problema de fronteira que a função X deve satisfazer?
(b) Para quais valores de λ esse problema tem solução? Determine essas soluções.
(c) Obtenha as soluções fatoradas que você precisaria usar para resolver esse problema usando o método de
separação de variáveis.
Exercı́cio 15.
Determine a série de Fourier das funções a seguir.
(a) f (x) = x,
(e) f (x) = x3 ,
−L ≤ x ≤ L;
(b) f (x) = 3x + 1,
−L ≤ x ≤ L;
(f) f (x) = x3 − L2 x,
−L ≤ x ≤ L;
−L ≤ x ≤ L;
(c) f (x) = |x|, estendida de forma 2L-periódica;
(g) f (x) = x cos(πx/L),
(d) f (x) = x2 ,
(h) f (x) = ex ,
−L ≤ x ≤ L;
−L ≤ x ≤ L.
−L ≤ x ≤ L.
Exercı́cio 16.
Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].
1, |x| ≤ π2 ;
1, 21 π < x ≤ π;
(a) f (x) =
(c) f (x) =
;
0, caso contrário.
0, caso contrário.
1, 12 π < |x| ≤ π;
(b) f (x) =
0, caso contrário.
Exercı́cio 17.
Verdadeiro ou falso? Justifique
(a) A série de Fourier da função 2f (x) é obtida multiplicando cada termo na série de Fourier de f (x) por 2.
(b) Os coeficientes de Fourier de f (x) + g(x) se calculam somando os coeficientes correspondentes de f (x) e
de g(x).
4
(c) Os coeficientes de Fourier de f (x) · g(x) se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de f (x)
e g(x).
Exercı́cio 18.
Verifique as igualdades
Z L
nπ mπ x cos
x dx = 0,
L
L
−L
Z L
mπ nπ x cos
x dx = 0,
cos
L
L
−L
Z L
nπ mπ sen
x sen
x dx = 0,
L
L
−L
sen
n = 1, 2, . . . , m = 0, 1, 2, . . . ;
(1)
n = 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . , n 6= m;
(2)
n = 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . , n 6= m
(3)
e
Z L
nπ x dx = L;
L
−L
Z L
nπ x dx = L.
sen2
L
−L
cos2
(4)
(5)
utilizando as identidades trigonométricas a seguir
1 + cos(2α)
2
1
−
cos(2α)
sen2 (α) =
2
sen(α + β) + sen(α − β)
sen(α) cos(β) =
2
cos(α − β) − cos(α + β)
sen(α) sen(β) =
2
cos(α + β) + cos(α − β)
cos(α) cos(β) =
.
2
cos2 (α) =
Exercı́cio 19.
Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
(a) f (x) = sen(x) − cos(15x),
(b) f (x) = sen3 (x),
−π ≤ x ≤ π;
−π ≤ x ≤ π;
(c) f (x) = cos(πx) sen(πx),
−1 ≤ x ≤ 1;
(d) f (x) = sen(x)[sen(x) + cos(x)]2 ,
−π ≤ x ≤ π;
Sugestão : Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
N
nπ nπ i
a0 X h
p(x) =
+
an cos
x + bn sen
x ?
2
L
L
n=1
Utilize as fórmulas da questão anterior.
5
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
SEMANA 3
Teorema de convergência das séries de Fourier
Exercı́cio 20.
Para todas as funções cujas séries de Fourier você calculou nos exercı́cios 14 (a), (c) e (h) e 15 (a), (b) e (c) ,
(a) Explique por que estas funções satisfazem as hipóteses do teorema de convergência das séries de Fourier
estudado nesta semana.
(b) Em quais pontos x do intervalo [−L, L] vale que f (x) = Sf (x)?
(c) Esboce o gráfico de Sf (x) no intervalo [−3L, 3L].
Exercı́cio 21.
Considere a igualdade
∞
π
2 X [(−1)n − 1]
+
cos nx = |x|.
2 π
n2
n=1
Para quais valores de x ela é válida? Por quê?
Série de Fourier de funções pares e ı́mpares
Exercı́cio 22.
As funções abaixo são pares, ı́mpares ou nenhuma das duas coisas?
(a) f (x) = x6
(d) f (x) =
1
x
(b) f (x) = ex
(e) f (x) =
1
1 + x2
(c) f (x) = x2 − 11x3
(f) f (x) = x cos x
Exercı́cio 23.
Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo [−π, π], obtenha sua série de Fourier e esboce seu
gráfico no intervalo [−3π, 3π].
1, 0 ≤ x ≤ π;
1 − |x|, |x| < 1;
(a) f (x) =
(b) f (x) =
−1, −π ≤ x < 0.
0,
1 ≤ |x| ≤ π.
Exercı́cio 24.
Assumindo que f e f 0 estão definidas em [−L, L], verifique que f 0 é ı́mpar se f é par e viceversa.
Exercı́cio 25.
Prove a proposição 3.1 descrevendo as propriedades das funções pares e ı́mpares.
Série de Fourier de senos e de cossenos
Exercı́cio 26.
Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da
Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo [−3L, 3L].
6
(a) f (x) = cos(x),
(b) f (x) = x,
0 ≤ x ≤ L.
(c) f (x) = x2 ,
0 ≤ x ≤ L.
(d) f (x) = x(L − x),
(e) f (x) = x3 , 0 ≤ x ≤ L.
x,
0 ≤ x ≤ L/2;
(f) f (x) =
L − x, L/2 < x ≤ L.
, 0 ≤ x ≤ L/2;
sen πx
L
(g) f (x) =
0,
L/2 < x ≤ L.
0 ≤ x ≤ π.
0 ≤ x ≤ L.
Exercı́cio 27.
Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da
Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo [−3L, 3L].
1, 0 ≤ x ≤ h;
(a) f (x) = sen(x), 0 ≤ x ≤ π.
(f) f (x) =
,
0, h < x ≤ π.
(b) f (x) = x, 0 ≤ x ≤ L.
com h ∈ (0, π).
(c) f (x) = x2 ,
0 ≤ x ≤ L.
(d) f (x) = x(L − x),
(e) f (x) = x3 ,
0 ≤ x ≤ L.
(g) f (x) =
0 ≤ x ≤ L.
cos
πx
L
0,
, 0 ≤ x ≤ L/2;
L/2 < x ≤ L.
Exercı́cio 28.
Suponha que f é uma função contı́nua com derivada contı́nua por partes.
(a) Se f : [−L, L] → R, sob quais condições f (x) coincide com sua série de Fourier para todo x satisfazendo
−L ≤ x ≤ L?
(b) Se f : [0, L] → R, sob quais condições f (x) coincide com sua série de Fourier em senos para todo x
satisfazendo 0 ≤ x ≤ L?
(c) Se f : [0, L] → R, sob quais condições f (x) coincide com sua série de Fourier em cossenos para todo x
satisfazendo 0 ≤ x ≤ L?
7
SEMANA 4
Condução do calor na barra
Exercı́cio 29.
Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40 cm cujas extremidades são mantidas à
temperatura de 00 C para todo t > 0.
Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição inicial
de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique.
Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1.
(a) u(x, 0) = 50, 0 ≤ x ≤ 40.

 0, 0 ≤ x < 10;
50, 10 ≤ x ≤ 30 .
(b) u(x, 0) =

0, 30 < x ≤ 40.
(c) u(x, 0) = x,
(d) u(x, 0) =
0 ≤ x ≤ 40.
x,
0 ≤ x < 20;
.
40 − x, 20 ≤ x ≤ 40.
F Exercı́cio 30.
Considere o problema
ED ∂t u − ∂x2 u − hu = 0, 0 < x < π, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = x(π − x), 0 ≤ x ≤ π.
onde h é uma constante real.
(a) Encontre a solução deste problema.
(b) A condição inicial é satisfeita?
(c) Determine para quais valores de h existe lim u(x, t) quando t → ∞, para todo x ∈ [0, π].
Barra com extremidades isoladas
Exercı́cio 31.
Resolva o problema
ED ∂t u = 3∂x2 u, 0 ≤ x ≤ 3, t ≥ 0;
CF ∂x u(0, t) = 0, ∂x u(3, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ 3
nos casos seguintes:
1
(a) f (x) = − 4 cos
3
√
2π
5π
x + 2 cos
x .
3
3
(b) f (x) = −13 cos (πx) + 25 cos(2πx)
2 2π
(c) f (x) = − sen
x .
3
8
Exercı́cio 32.
2
Verifique que todas as soluções fatoradas da equação do calor da forma u(x, t) = e−α kt [c1 eαx + c2 e−αx ] que
satisfazem as condições de fronteira que representam extremidades isoladas devem ser nulas.
Exercı́cio 33.
Uma barra metálica de comprimento L = 1 com constante de difusividade térmica k = 1 é isolada termicamente, incluindo seus extremos. Suponha que a distribuição inicial de temperatura é u(x, 0) = f (x)
onde

0 ≤ x ≤ 41 ,
 1,
−4x + 2, 14 ≤ x ≤ 34 ,
f (x) =

3
−1,
4 ≤ x ≤ 1.
Escreva a expressão da temperatura no instante t.
Barra com um extremo isolado e o outro com temperatura nula
Exercı́cio 34.
Considere a equação diferencial ordinária
X 00 (x) − λX(x) = 0.
Determine os valores de λ ∈ R para os quais existem soluções não nulas desta equação que satisfazem as
condições de fronteira abaixo. Obtenha também a expressão destas soluções. Considere L > 0.
(a) X 0 (0) = 0, X(L) = 0.
(b) X(0) = 0, X 0 (L) = 0.
Exercı́cio 35.
(a) Utilize o item (b) do exercı́cio anterior para determinar todas as soluções fatoradas não nulas da equação
do calor satisfazendo as condições de fronteira para o problema
ED ∂t u = k∂x2 u, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0, ∂x u(L, t) = 0 t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L.
(b) Descreva uma interpretação fı́sica possı́vel para o problema acima.
(c) Resolva o problema se f (x) =
N
X
n=0
(n + 1/2)π
x para algum inteiro N ≥ 0.
dn sen
L
(d) Você conseguiria resolver o problema se f (x) =
∞
X
n=0
(n + 1/2)π
dn sen
x ?
L
Condições de fronteira não homogêneas
Exercı́cio 36.
Determine a solução do problema de condução do calor
ED ∂t u = 3∂x2 u, 0 < x < 40, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(40, t) = −40, t > 0;
CI u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 40.
A solução obtida satisfaz a condição inicial?
9
Exercı́cio 37.
Determine a solução estacionária do problema de condução do calor
ED ∂t u = ∂x2 u − ∂x u, 0 < x < 1, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, t > 0;
CI u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ 1.
Exercı́cio 38.
Determine a solução do problema
ED ∂t u = 3∂x2 u, 0 < x < π, t > 0;
CF ∂x u(0, t) = 4, ∂x u(π, t) = 4, t > 0;
CI u(x, 0) = sen(4x), 0 ≤ x ≤ π.
Exercı́cio 39.
Determine a solução de
ED ∂t u = 2∂x2 u, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 1, ∂x u(1, t) = 1 t ≥ 0;
3π
CI u(x, 0) = x + sen( x) + 1, 0 ≤ x ≤ 1.
2
Sugestão: Determine a solução estacionária deste problema e utilize o exercı́cio 35 (a).
Exercı́cio 40.
Resolva o problema
ED ∂t u = k∂x2 u, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = d, ∂x u(L, t) = c t ≥ 0;
CI u(x, 0) = cx + d, 0 ≤ x ≤ L
onde c e d são constantes dadas.
Exercı́cio 41.
Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com
lı́quidos a temperaturas ge (t) e gd (t), respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possı́vel
deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades
q(0, t) = −K∂x u(0, t) = −h[u(0, t) − ge (t)],
q(L, t) = −K∂x u(L, t) = h[u(L, t) − gd (t)],
onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade têrmica do material da barra e o
coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o lı́quido e os extremos da barra.
Suponha que ge e gd são nulas, ou seja, ambos os lı́quidos estão sendo mantidos a temperatura zero.
(a) Escreva o problema de valor inicial com condições de fronteira para a equação do calor que corresponda
com a situação fı́sica descrita acima.
(b) Determine que condições de fronteira deve satisfazer X(x) para que uma solução fatorada u(x, t) =
X(x)T (t) da equação do calor satisfaça as condições de fronteira apresentadas acima.
(c) Qual seria a meior dificuldade para resolver o problema em (a)?
(d) Determine a solução estacionária do problema que você escreveu em (a).
10
SEMANA 6
Exercı́cio 42.
Resolva o problema
∂t2 u = c2 ∂x2 u,
u(0, t) = 0,
0 ≤ x ≤ L, t > 0;
u(L, t) = 0;
u(x, 0) = f (x) ∂t u(x, 0) = g(x).
nos casos seguintes:
π 4π (a) f (x) = 3 sen
x − sen
x , g(x) = 0.
L
L
2π 1
x .
(b) f (x) = 0, g(x) = sen
2
L
4π 2π π 1
x − sen
x , g(x) = sen
x .
(c) f (x) = 3 sen
L
L
2
L
π (d) f (x) = sen3
x , g(x) = 0.
L
π π (e) f (x) = 0, g(x) = sen
x cos2
x .
L
L
π π π x , g(x) = sen
x cos2
x .
(f) f (x) = sen3
L
L
L
Exercı́cio 43.
Resolva o problema
∂t2 u = c2 ∂x2 u,
u(0, t) = 0,
0 ≤ x ≤ L, t > 0;
u(L, t) = 0,
u(x, 0) = f (x)
t ≥ 0;
∂t u(x, 0) = g(x),
0 ≤ x ≤ L.
nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitudes dos dois primeiros harmônicos que
aparecem na solução.
(a) f (x) = x(L − x),
(b) f (x) = 0,
(c) f (x) = sen
g(x) = 0.
g(x) = x cos x, L =
πx L
,
π
.
2
g(x) = x(L − x).

1
0, 
0 ≤ x ≤ 3;


 1
1
x−
, 31 ≤ x ≤ 23 ;
(d) L = 1, g(x) = 2, f (x) =
30
3



2
 1 (1 − x),
3 ≤ x ≤ 1.
30

0 ≤ x ≤ 14 ;
 4x,
1
3
1,
(e) L = 1, g(x) = 1, f (x) =
4 ≤ x ≤ 4;

4(1 − x), 34 ≤ x ≤ 1.
11
Exercı́cio 44.
No problema da corda dedilhada com posição inicial f , verifique que
L
u x, t +
= −u(L − x, t).
c
Isto mostra que posição inicial da corda é reproducida, primeiro como uma imagem espelhada invertida no
L
L
2L
instante
(e nos múltiplos ı́mpares de ) e, depois na sua forma original no instante
(e nos múltiplos
c
c
c
L
pares de ).
c
Exercı́cio 45.
Verifique que quando a corda é dedilhada na metade de seu comprimento, a razão entre as amplitudes de dois
harmônicos “consecutivos” satisfaz
2
R2j+1
2
= 1−
.
R2j−1
2j + 1
R3
1
= . Ou seja, neste caso a amplitude do primeiro harmônico é nove vezes maior que a do
R1
9
próximo harmônico que é escutado quando dedilhamos a corda (o terceiro).
Por exemplo,
Exercı́cio 46.
Na teoria musical, uma oitava corresponde a dobrar a frequência das ondas sonoras. No meu piano, a corda
do Dó central tem comprimento de 0.7 metros, enquanto a corda uma oitava mais aguda mede 0.6 metros.
Assumindo que as duas cordas tenham a mesma densidade, quanto mais apertada deverá estar a corda mais
curta para estar afinada?
Exercı́cio 47.
Quanto mais longa deveria ser uma corda de um piano para fazer o mesmo som se ela foi apertada duas vezes
mais forte?
Exercı́cio 48.
Utilize a representação do n-ésimo harmônico na forma
nπc
nπ un (x, t) = Rn cos
t − αn sen
x
L
L
e a identidade
sen(α) cos(β) =
sen(α + β) + sen(α − β)
2
para determinar uma função F tal que
nπ
nπ
(x − ct) + αn + F
(x + ct) − αn .
un (x, t) = F
L
L
Desta forma, representamos un como uma onda estacionária produzida pela interferência de duas ondas com
a mesma frequência, amplitude e comprimento de onda viajando em direções opostas.
12
SEMANA 7
Exercı́cio 49.
(a) Verifique que para qualquer valor de λ, a função u(x, t) = cos(λct) sen(λx) satisfaz a equação da onda
unidimensional ∂t2 u = ∂x2 u.
1
(b) Utilize a identidade cos β sen α = [sen(α + β) + sen(α − β)] para escrever u como superposição de ondas
2
viajando à esquerda e à direita com velocidade c.
(c) Qual é a relação da fórmula que você obteve com a fórmula na solução geral?
Exercı́cio 50.
Determine as soluções de
∂t2 u = c2 ∂x2 u,
u(x, 0) = f (x),
−∞ < x < ∞, t > 0;
∂t u(x, 0) = g(x),
nos casos seguintes,
(a) f (x) = x2 ,
g(x) = x.
2
(b) f (x) = e−x ,
2
g(x) = 2cxe−x .
(c) f (x) = 0,
g(x) = 1.
(d) f (x) = 1,
g(x) = 0.
(e) f (x) = sen x,
(f) f (x) = 0,
g(x) = c cos x.
g(x) = sen2 x.
Exercı́cio 51.
Resolva o exercı́cio 46 da semana passada usando a fórmula de d’Alembert.
F Exercı́cio 52.
Suponha que f : R → R é uma função com duas derivadas contı́nuas e que g : R → R tem uma derivada
contı́nua e que ambas são funções de perı́odo 2L. Prove que se
Z L
g(x)dx = 0,
−L
então para cada x ∈ R, u(x, ·) é uma função periódica com perı́odo
2L
.
c
F Exercı́cio 53.
Suponha que as funções f : R → R e g : R → R são pares. Prove que a função u dada pela fórmula de
d’Alembert define uma função que é par em relação a x para todo t fixado.
Prove também que se f e g forem ambas ı́mpares, u(·, t) será ı́mpar para todo t fixado.
Ou seja, na fórmula de d’Alembert, dados iniciais pares (ı́mpares) produzem soluções pares (ı́mpares) em cada
instante de tempo.
F Exercı́cio 54.
Demonstre que se as funções f : R → R e g : R → R têm perı́odo 2L, então a função u dada pela fórmula
de d’Alembert define uma função que é 2L-periódica em relação a x para todo t fixado.
13
SEMANA 8
Exercı́cio 55.
(a) Verifique que todas as funções u que sejam polinômios de x e y de primeira ordem satisfazem a equação
de Laplace. (ou seja, são funções harmônicas)
(b) Verifique que qualquer função da forma U (x, y) = c0 + c1 x + c2 y + c3 xy satisfaz a equação de Laplace.
Aqui c0 , c1 , c2 e c3 são constantes arbitrárias.
(c) Determine condicões sobre as constantes a, b e c para que o polinômio homogêneo de segunda ordem
u(x, y) = ax2 + bxy + cy 2 satisfaça a equação de Laplace.
Exercı́cio 56.
Sejam ul e u2 funções harmônicas (i.e., soluções da equação de Laplace).
(a) Prove que c1 u1 + c2 u2 também é uma função harmônica para quaisquer c1 , c2 ∈ R.
(b) Se u é harmônica, prove que xu(x, y) é harmônica se e somente se u(x, y) = ay + b, para a e b constantes.
(c) Dê um exemplo de duas funções harmônicas cujo produto não seja uma função harmônica.
Exercı́cio 57.
Escreva o problema de Dirichlet para a equação de Laplace satisfeito pela função u(x, y) = −1 + xy no
quadrado unitário [0, 1]2 .
Exercı́cio 58.
Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R = (0, 1) × (0, 2)
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
u(x, 0) = sen(πx), u(x, 2) = 3 sen(4πx) − 2 sen(6πx),
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
0 ≤ x ≤ 1;
u(x, 0) = 3 sen(4πx) − 2 sen(6πx), u(x, 2) = sen(πx),
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
0 ≤ x ≤ 1;
u(x, 0) = 0,
u(0, y) = 0,
(
u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
3πy u(0, y) = − sen
, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
2
u(x, 0) = 0,
u(0, y) = 0,
u(x, 0) = sen(πx),
u(0, y) = sen(πy),
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
u(x, 2) = x(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1;
u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
u(x, 0) = 0,
u(x, 2) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
u(1, y) = y(2 − y), 0 ≤ y ≤ 2.
u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(1, y) = sen(πy), 0 ≤ y ≤ 2.
14
Exercı́cios Adicionais para esta semana
Exercı́cio 59.
Determine todas as funções harmônicas na forma produto, ou seja, da forma u(x, y) = X(x)Y (y).
Tente arranjar os termos de forma a obter para X a equação X 00 (x) = λX(x) para que você possa utilizar as
soluções já obtidas em semanas anteriores.
Exercı́cio 60.
A versão não homogênea da equação de Laplace é chamada de equação de Poisson
∂x2 u + ∂y2 u = h(x, y),
nomeada assim em homenagem a Siméon-Denis Poisson, que foi aluno de Laplace. Se u representa a temperatura estacionária de uma membrana, a função h corresponde a fontes de calor. Quando u representa a
posição de uma membrana, h corresponde a uma força externa.
(a) Determine a solução do problema ∂x2 u + ∂y2 u = 1 para x2 + y 2 < 1 e u(x, y) = 0 para x2 + y 2 = 1.
Sugestão: A solução é um polinômio muito simples.
(b) A solução pode ser interpretada como a posição no equilı́brio de um tambor circular sujeito a uma força
gravitacional constante. Interprete o gráfico da solução obtida.
Figura 1: Gráfico da solução
Exercı́cio 61.
Usando a interpretação de distribuição de temperatura estacionária, descreva as diferenças entre o significado
fı́sico dos problemas homogêneos de Dirichlet e de Neumann para a equação de Laplace.
Exercı́cio 62.
Considere o problema
∂x2 u+∂y2 u = 0,
0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = 2 cos(7πx) − 4,
∂x u(0, y) = 0,
u(x, 1) = 5 cos(πx),
∂x u(1, y) = 0,
0 ≤ x ≤ 1;
0 ≤ y ≤ 1.
Se interpretarmos a solução u como a temperatura estacionária de uma placa quadrada, as condições de
fronteira dadas correspondem à situação em que as bordas laterais da placa foram isoladas e nas bordas
superior e inferior a temperatura é uma função dada.
15
(a) Decomponha o problema em dois para os quais você possa obter a solução usando o método de separação
de variáveis.
(b) Resolva um destes problemas.
(c) Resolva agora o outro aproveitando as soluções fatoradas que você achou no item anterior.
(d) Utilize o Princı́pio de Superposição para obter a solução do problema original.
Exercı́cio 63.
Neste exercı́cio você irá determinar a solução do problema
∂x2 u+∂y2 u = 0,
0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = −1 + x + 2 sen(5πx),
u(0, y) = −1 − y,
u(x, 1) = 2(x − 1),
u(1, y) = 3 sen(2πy),
0 ≤ x ≤ 1;
0 ≤ y ≤ 1.
(a) Verifique que neste caso não podemos aplicar diretamente a proposição 8.1 das notas de aula pois a solução
não vale zero nos vértices do retângulo.
(b) Encontre uma função da forma U (x, y) = c0 + c1 x + c2 y + c3 xy tal que U (0, 0) = u(0, 0), U (1, 0) =
u(1, 0), U (0, 1) = u(0, 1) e U (1, 1) = u(1, 1). Perceba que você deve apenas calcular as constantes.
(c) Chame de v à nova função incógnita v(x, y) = u(x, y) − U (x, y). Escreva o problema de Dirichlet que v
satisfaz e resolva este problema.
(d) Escreva a expressão para u.
16
SEMANA 9
Em todos os exercı́cios a seguir, você deverá exprimir a solução em coordenadas cartesianas caso as condições
de fronteira estejam dadas nessas coordenadas. Nos outros casos, a solução pode ser dada em coordenadas
polares.
Será bastante útil lembrar das identidades trigonométricas
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ
1 1
cos2 θ = + cos 2θ.
2 2
Exercı́cio 64.
Considere um anel centrado na origem, de raios interior e exterior Rint = 1 e Rext = 2. Determine a função
que satisfaz a equação de Laplace nesse anel e que coincide nas circunferências interior e exterior com as
funções g e f , respectivamente em cada um dos casos a seguir.
(a) F (θ) = a sen(3θ)
G(θ) = b sen(3θ), com a e b constantes.
(b) F (θ) = −2 + 6 cos(4θ) − 25 sen(7θ)
G(θ) = 0.
(c) f (x, y) = a,
(d) f (x, y) =
g(x, y) = b, com a e b constantes.
x2
,
x2 + y 2
g(x, y) =
xy
x2 + y 2
.
Exercı́cio 65.
Determine a função que satisfaz a equação de Laplace no cı́rculo de raio R = 2 e que coincide na circunferência
com a função dada em cada um dos casos a seguir.
(a) f (x, y) = a com a constante.
(b) F (θ) = −2 + 6 cos(4θ) − 25 sen(7θ) .
(c) F (θ) = θ2 .
(d) f (x, y) =
x2
.
x2 + y 2
Exercı́cios Adicionais
Exercı́cio 66.
Verifique que uma função que satisfaça a equação de Laplace no anel Rint < r < Rext e que seja da forma
U (r, θ) = h(θ) deve ser constante.
Exercı́cio 67.
Verifique que as soluções fatoradas Un (r, θ) da equação de Laplace
1
1
Urr + Ur + 2 Uθθ = 0, satisfazendo a condição de periodicidade U (r, θ) = U (r, θ + 2π) que são limitadas
r
r
fora do cı́rculo com centro na origem de coordenadas e com raio R podem ser obtidas fazendo α0 = 0,
an = 0, bn = 0, n ≥ 1 nas expressões das soluções fatoradas (9.11) e (9.12) das notas de aula.
17
Exercı́cio 68.
Utilizando o exercı́cio anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função
harmônica fora do cı́rculo {r ≤ 2}, que é limitada e que coincide com a função F dada sobre a circunferência
r = 2.
(a) F (θ) = a, com a constante.
(b) F (θ) = 1 + 2 cos θ + cos(2θ).
(c) F (θ) = cos2 θ.
(d) F (θ) = θ2 .
18
SEMANA 11
Exercı́cio 69.
Determine a forma complexa das séries de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].
(a) f (x) = sen x. Sugestão: Escreva sen x usando exponenciais com expoente imaginário.
(b) f (x) = sen3 x. Sugestão: Use a sugestão anterior e a fórmula de (a + b)3 .
(c) f (x) = x.
(d) f (x) = ex cos x. Sugestão: Escreva cos x usando exponenciais com expoente imaginário.
Exercı́cio 70.
(a) Verifique que f : [−L, L] → R é par se e somente se ck ∈ R, para todo k ∈ Z.
(b) Verifique que f : [−L, L] → R é ı́mpar se e somente se a parte real de ck for zero, para todo k ∈ Z.
Exercı́cio 71.
(
1,
Seja f (x) =
0,
a ≤ x ≤ b;
x < a ou x > b.
(a) Calcule a transformada de Fourier de f .
(b) Qual relação deve haver entre a e b para que a parte imaginária de fˆ(ω) valha zero para qualquer valor
de ω?
Exercı́cio 72.
Suponha que definimos a transformada de Fourier pela expressão
Z ∞
f (x)e−iωx dx.
∞
Qual será neste caso a fórmula para a transformada de Fourier inversa?
19
SEMANA 12
Exercı́cio 73.
Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala
de aula.
(
2
(a) e−(x+4) .
e−2x , x ≥ 0;
(c)
e3x , x < 0..
(
(
x, |x| < 1
e−x sen x, x > 0;
(b)
(d)
0, |x| ≥ 1.
0, x ≤ 0.
Exercı́cio 74.
Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista
em sala de aula.
2
(a) e−ω .
(
e−ω sen ω, ω ≥ 0;
(b)
0, ω < 0..
(c) e−|ω| .
(
1, α < ω < β; ;
(d)
0, caso contrário.
20
SEMANA 13
21