Многокутник — це проста замкнута ламана.
Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, ланки
ламаної — сторонами многокутника.
Діагоналі многокутника — це відрізки, що з'єднують несусідні
вершини многокутника.
n-кутник— це многокутник з n вершинами.
Розрізняють:
Плоский
многокутник —
скінченна частина
площини, обмежена
многокутником
Опуклий многокутник многокутник, що
лежить в одній
півплощині щодо будьякій прямої, яка містить
його сторону.
Многокутник, усі вершини якого лежать на колі, називається
вписаним у це коло, а коло – описаним навколо цього
многокутника.
Многокутник, усі сторони якого дотикаються до кола,
називається описаним навколо цього кола, а коло – вписаним у
цей многокутник.
Правильний многокутник —
це опуклий многокутник, у якого всі
сторони і всі кути рівні.
Навколо нього можна описати
коло. В нього також можна
вписати коло. Центри
вписаного і описаного кіл
збігаються.
Обчислення кута правильного n-кутника:
𝒏−𝟐
𝜶=
∗ 𝟏𝟖𝟎°
𝒏
Площа правильного n-кутника:
𝒏 𝟐
𝑹
𝟐
𝒏
𝑺 = 𝒓𝒂𝒏
𝟐
𝟏
𝑺 = 𝑷𝒓
𝟐
𝑺 = 𝒑𝒓
𝑺=
Радіус описаного кола:
𝒂𝒏
𝑹=
𝟏𝟖𝟎°
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒏
Радіус вписаного кола:
𝒂𝒏
𝒓=
де 𝒏 – кількість кутів многокутника ;
𝟏𝟖𝟎°
𝟐 𝒕𝒈 𝒏
𝑹 – радіус описаного кола;
𝟏𝟖𝟎°
𝒓 – радіус вписаного кола;
𝒓 = 𝑹 𝒄𝒐𝒔
𝒏
𝒂𝒏 - сторона многокутника;
Сторона правильного n-кутника:
𝑷 – периметр многокутника;
𝟏𝟖𝟎°
𝟏𝟖𝟎°
𝒂𝒏 = 𝟐𝑹 𝒔𝒊𝒏
= 𝟐𝒓 𝒕𝒈
𝒏
𝒏
𝒑 – півпериметр многокутника.
Для правильного трикутника:
𝒂𝟑 = 𝑹 𝟑
Для правильного чотирикутника:
𝒂𝟒 = 𝑹 𝟐
Для правильного шестикутника:
𝒂𝟔 = 𝑹
Відрізок, що сполучає дві несусідні вершини многокутника,
називають діагоналлю многокутника.
З кожної вершини n-кутника
виходить (n-3) діагоналі. Всіх
вершин n, а кожна діагональ
повторюється 2 рази. Тому всього
діагоналей у n-кутнику буде
𝒏 𝒏−𝟑
𝟐
Внутрішній кут опуклого многокутника при даній вершині —
це кут між його сторонами, що сходяться в цій вершині.
Будь-який кут опуклого многокутника менший за 180°.
Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n – 2) .
Зовнішній кут опуклого многокутника —
кут, суміжний внутрішньому куту многокутника при даній
вершині.
Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, узятих по одному при
кожній вершині, за будь-якого n дорівнює 360°.
Задача № 1
B
A
Дано: O – центр кола мал. 1.
4
1
Довести: AD || BC; AD = BC.
O
3
2
D
Мал. 1
C
Доведення: OA = OB = OC = OD = R
∠ AOD = ∠ COB (як вертикальні кути);
△ AOD = △ COB (за двома сторонами і кутом
між ними);
AD = BC (як відповідні сторони рівних
трикутників);
∠1=∠2
як відповідні кути рівних трникутників
∠3=∠4
⇒ AD || BC
∠ 1 і ∠ 2 як внутрішні різносторонні
∠ 3 і ∠ 4 як внутрішні різносторонні
Задача № 2
Дано: O – центр кола мал. 2, AB = BC.
O
C
B
A
Мал. 2
Довести:∠ 1 = ∠ 2.
Доведення:
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶
⇒△ AOB = △BOC(за
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶
трьома сторонами);
Отже, ∠ AOB =∠BOC.
Задача № 3
Дано: ∠ CAD = 60°, 𝑂1 𝐵 = 𝑟 = 5 см.
C
Знайти:𝑂2 𝐶 − 𝑅
B
A
𝑂2
𝑂1
D
Розв’язання:
△𝐴𝐵𝑂1 - прямокутний (∠ 𝐴𝐵𝑂1 = 90°);
∠𝐵𝐴𝑂1 =30°;
𝐴𝑂1 =2 𝑂1 𝐵= 2r = 2*5 = 10 (см);
𝑂2 С ||𝑂1 𝐵;
△𝐴𝐵𝑂1 ∼ △𝐴𝐶𝑂2 (за двома кутами);
𝑂2 𝐶
𝐴𝑂2
=
;
𝑂 𝐵
𝐴𝑂
1
1
𝑂2 𝐶 𝐴𝑂1 +𝑂1 𝐸+𝑂2 𝐸
=
;
𝑟
𝐴𝑂1
𝑂2 𝐶 2𝑟+𝑟+𝑂2 𝐶
= 2𝑟 ;
𝑟
𝑂2 𝐶 = 3r=3*5=15 (см).
Задача за готовим малюнком
8
Знайти площу зафарбованої частини.
𝑆ч = 𝑆кв − 𝑆кр
8
𝑆кв = 82 = 64 (см2 )
8
2
𝑆кр = 𝜋𝑅2 , де R = = 4 см
𝑆кр = 16 𝜋(см2 )
𝑆ч = 64 - 16 𝜋(см2 )
Задача за готовим малюнком
C
Дано: ∠ ABC = 63°.
Знайти: ∠ AOB
B
a
63°
A
O
Розв’язання:
1. ОВ – радіус, проведений у точку дотику.
∠ СВО = 90° (за означенням дотичної).
2.∠ АВО = 90° - 63° = 27° (за аксіомою вимірювання
кутів).
3. ∠ АВО = ∠ ВАО = 27° (як кути при основі
рівнобедреного трикутника АОВ).
4. ∠ АОВ= 180° - 27°*2=180° - 54° = 126° (За
теоремою про суму кутів трикутника)
1. Діаметр кола, радіус якого 2,7 см дорівнює …
2. Довжина кола, діаметр якого 7 см дорівнює …
3. Площа круга, діаметр якого 8 см дорівнює …
4. Вписаний кут, що спирається на дугу 60°, дорівнює …
5. Площа сектора, обмеженого радіусами 5 см і дугою 60°, дорівнює …
6. Кут правильного восьмикутника дорівнює …
7. Площа описаного дванадцятикутника зі стороною 2 см навколо кола
з радіусом r=5 см, дорівнює …
8. Сторона шестикутника вписаного в коло з радіусом 8 см дорівнює…
1. Діаметр кола, радіус якого 2,7 см дорівнює d = 5,4 см
2. Довжина кола, діаметр якого 7 см дорівнює
l = 7𝝅см
3. Площа круга, діаметр якого 8 см дорівнює S = 𝟏𝟔𝝅см 𝟐
4. Вписаний кут, що спирається на дугу 60°, дорівнює 𝜶 = 30°
5. Площа сектора, обмеженого радіусами 5 см і дугою 60°,
дорівнює S =
6.
𝝅∗𝟐𝟓∗𝟔𝟎
𝟐𝟓𝝅
=
= 𝟒, 𝟐𝟓𝝅
𝟑𝟔𝟎
𝟔
𝟏𝟖𝟎 (𝟖 − 𝟐) 𝟏𝟖𝟎 ∗ 𝟔
=
= 𝟏𝟑𝟓°
Кут правильного восьмикутника дорівнює
𝟖
𝟖
7. Площа описаного дванадцятикутника зі стороною 2 см
навколо кола з радіусом r=5 см, дорівнює
S = 12*5 = 60 см 𝟐
8. Сторона шестикутника вписаного в коло з радіусом 8 см
дорівнює a = R = 6 см