Reja:
1 Matritsalar va ular ustida amallar.
2 Matritsalarni ko’paytirish, teskari matritsani
topish.
3 Matritsaning rangi.
Matritsalar va ular ustida amallar
𝑚 × 𝑛 dona 𝑎𝑖𝑗 (𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛) elementlardan tuzilgan to’g’ri burchakli jadval
matritsa deyiladi va
𝑎11 𝑎12
𝑎13
..
.
𝑎1𝑛𝑎11 𝑎12 𝑎13 . . .
𝑎1𝑛
..
𝐴 =𝑎.21. .𝑎.22. .𝑎.23. ... ..
𝑎.2.𝑛.
𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
𝑎𝑛3 . . .
..𝑎.2.𝑛.yoki
𝑎𝑛𝑛𝑎𝑛1
𝐴 =𝑎.21. . 𝑎.22. .𝑎.23. . .. ..
𝑎𝑛2
𝑎𝑛3 . . . 𝑎𝑛𝑛
ko’rinishda yoziladi. Matritsaning elementlari ikkita indesklar bilan belgilanadi.
Elementning birinchi 𝑖 indeksi satr nomini, ikkinchi 𝑗 indeks esa ustunning nomerini
bildiradi. Matritsaning 𝑎𝑖𝑗 elementi 𝑖 − satr va 𝑗 − ustun kesishgan joyda joylashgan.
Matritsalar odatda katta lotin harflari bilan belgilanadi:
𝐴, 𝐵, 𝐶, . . .
Agar matritsa 𝑚 ta satr va 𝑛 ta ustunga ega bo’lsa, u holda ta’rifga binoan, bu matritsa
𝑚 × 𝑛 o’lchovga ega bo’ladi. Zaruriyat bo’lganida matritsani 𝐴𝑚×𝑛 ko’rinishda ham
belgilaymiz. Agar matritsaning 𝑎𝑖𝑗 elementlari sonlar bo’lsa, bunday matritsa sonli
matritsa deyiladi; agar matritsaning 𝑎𝑖𝑗 elementlari funksiyalar bo’lsa, bunday
matritsa funksional matritsa deyiladi; 𝑎𝑖𝑗 elementlar vektorlar bo’lganda esa, vektor
matritsa deyiladi va hokazo.
Agar 𝐴 va 𝐵 matritsalarning mos 𝑎𝑖𝑗 va 𝑏𝑖𝑗 elementlari bir-biriga teng, ya`ni
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 bo’lsa, bunday 𝐴 va 𝐵 matritsalar teng matritsalar deyiladi. Faqat bir xil
o’lchovli matritsalargina bir-biriga teng bo’lishi mumkin. Har xil o’lchovli
matritsalarning bir-biriga teng bo’lishi yoki teng emasligi tushunchalari kiritilmagan.
Satrlarining soni ustunlarining soniga teng bo’lgan (𝑚 = 𝑛) matritsalar kvadrat
matritsalar deyiladi. Agar 𝑖 = 1 bo’lsa, u holda satr-matritsaga ega bo’lamiz; agar
𝑗 = 1 bo’lsa, biz ustun-matritsaga ega bo’lamiz. Ular mos ravishda satr-vektor va
ustun-vektor ham deb ataladi.
Matritsalar ustidagi asosiy amallarni o’rganamiz.
Matritsalarni qo’shish va ayirish.
Bu amallarni faqat bir xil o’lchovli matritsalar ustida bajarish mumkin. 𝐴 va 𝐵
matritsalarning yig’indisi (ayirmasi) 𝐴 + 𝐵 (𝐴 − 𝐵) bilan belgilanadi. 𝐴 va 𝐵
matritsalarning 𝐴 + 𝐵 (𝐴 − 𝐵) yig’indisi (ayirmasi) deb shunday 𝐶 matritsaga
aytiladiki, 𝐶 matritsaning elementlari 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗 dan iboratdir, bu yerda 𝑎𝑖𝑗 va
𝑏𝑖𝑗 - mos ravishda 𝐴 va 𝐵 matritsalarning elementlari.
Matritsani songa ko’paytirish.
𝐴 matritsani 𝜆 songa ko’paytmasi 𝜆𝐴 bilan belgilanadi.
𝐴 matritsaning 𝜆 songa 𝜆𝐴 ko’paytmasi deb shunday 𝐵 matritsaga aytiladiki, 𝐵
matritsaning elementlari 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 dan iboratdir, bu yerda 𝑎𝑖𝑗 – 𝐴 matritsaning
elementlari. 𝐴 matritsani 𝜆 songa ko’paytirganda hosil bo’ladigan 𝐵 matritsa 𝐴
matritsa bilan bir xil o’lchovli bo’ladi. Hullas, matritsani biror songa
ko’paytirish uchun bu matritsaning har bir elementini shu songa ko’paytirib
chiqish kerak.
Matritsalarni ko’paytirish.
𝐴𝑚×𝑛 va 𝐵𝑛×𝑝 matritsalarning ko’paytmasi deb shunday 𝐶𝑚×𝑝 = 𝐴 ⋅ 𝐵 (sodda qilib,
𝐴𝐵) matritsaga aytiladiki, bu 𝐶 matritsaning elementlari
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖3𝑏3𝑗+. . . +𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 𝑎𝑖𝑗 va 𝑏𝑖𝑗 - mos ravishda 𝐴 va 𝐵 matritsalarning
elementlari. Bundan ko’rinadiki, 𝐴 va 𝐵 matritsalarning ko’paytmasi ma’noga ega
bo’lishi uchun 𝐴 matritsaning ustunlari soni 𝐵 matritsaning satrlari soniga teng
bo’lishi zarur. Hosil bo’lgan 𝐴𝐵 ko’paytmaning satrlari soni 𝐴 matritsaning satrlari
soniga, ustunlari soni esa 𝐵 matritsaning ustunlari soniga teng.
𝐴𝐵 ko’paytmaning mavjudligidan 𝐵𝐴 ko’paytmaning mavjudligi kelib chiqmaydi.
𝐴𝐵 va 𝐵𝐴 ko’paytmalar mavjud bo’lgan taqdirda ham, odatda (ko’p hollarda), 𝐴𝐵 va
𝐵𝐴 ko’paytmalar bir-biriga teng bo’lmaydi: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Agar 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 bo’lsa, u holda
𝐴 va 𝐵 matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi (kommutativ) matritsalar deyiladi.
Ma’lumki, har doim 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 tenglik o’rinli.
𝐵𝐶 =
11
,
𝑛 − tartibli kvadrat matritsa berilgan bo’lsin:
Teskari matritsa
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝐴
=𝑎.21. .𝑎.22. ... .. ..
𝑎𝑛1
𝑎.2.𝑛.
𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛
Agar 𝐴 matritsaning determinanti noldan farqli
𝑎11
𝑑𝑒𝑡 𝐴 =𝑎.21. .
𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑎.22. . .. ..
.. 𝑎.2.𝑛.≠ 0 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛
bo’lsa, 𝐴 matritsa aynimagan matritsa deyiladi. Agar 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 bo’lsa, 𝐴 matritsa
aynigan matritsa deyiladi.
𝐴 matritsaga teskari matritsa 𝐴−1 ko’rinishda belgilanadi. Teskari matritsa
tushunchasi faqat aynimagan kvadrat matritsalarga taalluqlidir. Ushbu
1 0 ... 0
0 1 ... 0
𝐸=
...... ......
0 0 ... 1
kvadrat matritsa birlik matritsa deyiladi.
Ushbu
𝑎11 𝑎21 . . . 𝑎𝑛1
𝐴𝑇
=𝑎.12. .𝑎.22. ... .. ..
𝑎.𝑛2. .
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 . . . 𝑎𝑛𝑛
kvadrat matritsa 𝐴 matritsaga nisbatan transponirlangan matritsa deyiladi.
Aynimagan 𝐴 matritsa berilgan bo’lsin. Agar
𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐸
bo’lsa, 𝐴−1 matritsa 𝐴 matritsaga teskari matritsa deyiladi. 𝐴 matritsaga teskari
𝐴−1 matritsani topish formulasi:
𝐴−1
1
𝑑𝑒𝑡 𝐴
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
=𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2, . .
. . .. . .. . .
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
.
bu yerda 𝐴𝑖𝑗 − berilgan 𝐴 matritsaga nisbatan transponirlangan 𝐴𝑇 matritsaning
algebraik to’ldiruvchilari
Matritsaning
rangi
Matritsaning
Teskari matritsa
rangi
Matritsaning rangi tushunchasini kiritamiz. 𝐴 matritsada 𝑘 ta satrlar va 𝑘 ta usunlarni
ajratamiz, bu yerda 𝑘 soni 𝑚 va 𝑛 sonlarining kichigidan ham kichik yoki teng (𝑘 ≤
𝑚𝑖𝑛 𝑚, 𝑛 ). Ajratib olingan 𝑘 ta satrlar va 𝑘 ta usunlarning kesishmasida turgan
elementlardan tuzilgan 𝑘 −tartibli determinant matritsadan yaralgan minor yoki
determinant deyiladi. 𝐴 matritsadan yaralgan determinantlar ichidan noldan
farqlilarini ajratib olamiz. Ana shu noldan farqli determinantlar tartibining eng kattasi
𝑨 matritsaning rangi deyiladi
(𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 deb belgilanadi).
Agar 𝐴 matritsadan yaralgan 𝑘 −tartibli determinantlarning hammasi nolga teng bo’lsa,
u holda 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 < 𝑘 bo’ladi.
Teorema 1. Quyidagi elementar (oddiy) almashtirishlar bajarilganda matritsaning
rangi o’zgarmaydi:
Matritsaning rangi
1. Ixtiyoriy ikkita parallel qatorlarning o’rinlari almashtirilganda;
2. Qatorning har bir elementini bir xil 𝜆 ≠ 0 songa ko’paytirilganda;
3. Qatorning elementlariga ixtiyoriy boshqa qatorning mos elementlarini bir xil songa
ko’paytirib qo’shganda.
Agar biror matritsa boshqa matritsadan elementar almashtirishlar yordamida hosil
qilinsa, bunday matritsalar ekvivalent matritsalar deyiladi. 𝐴 va 𝐵 matritsalarning
ekvivalentligi 𝐴 ∼ 𝐵 deb belgilanadi.
Tartibi berilgan matritsaning rangiga teng bo’lgan noldan farqli har qanday minor
matritsaning bazis minori deyiladi.
Matritsaning rangini topish usullari
Birlar va nollar usuli.
Elementar almashtirishlar yordamida har qanday matritsani shunday ko’rinishga
keltirish mumkinki, bunda matritsaning har bir qatori faqat nollardan yoki faqat
nollardan va bitta birdan iborat bo’ladi. Hosil bo’lgan matritsa dastlabki matritsaga
ekvivalent bo’lganligi uchun oxirida qolgan birlarning soni dastlabki matritsaning
rangi bo’ladi.
Shu tarzda birinchi satrda yana nollarni hosil qilamiz:
0
0 1 0
0
2
−1 0 −4 −5
𝐴 ∼.
−1 −1 0 −3 −2
4
1 0 2
−1
Endi oxirgi matritsaning to’rtinchi satrini ikkinchi va uchinchi satrlar bilan qo’shamiz,
buning natijasida ikkinchi ustunda yana ikkita nollar paydo bo’ladi, shundan so’ng
to’rtinchi satr va ikkinchi ustunning kesishmasida bir hosil bo’ladi, to’rtinchi satrning
qolgan hamma joyida nollarni hosil qilamiz.
Bu elementar almashtirishlar natijasida topamiz:
0
0
1
0
00 0
6 0
1
0
0
−2
00
−60
3
0
−1
−33
0
0 1 0
0 0 0
𝐴 ∼∼∼.
0 0 −1
0
00
0
0
0
0
−30
0
0
1
0
0
1
0
0
00
1
0
0
00
1
0
0
0
Uchta birlarga ega bo’ldik. Shunday qilib, 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 3.
Bazis minor tuzamiz. Birlar qaysi satr va ustunda turganligiga e’tibor qaratamiz. Faqat
nollarning o’zidan iborat bo’lgan satrlar va ustunlardagi elementlar bazis minorda
qatnashmaydi, demak, ikkinchi satr, birinchi va beshinchi ustunlardagi elementlar
bazis minorda qatnashmaydi.
Dastlabki
1
2
1 2 3 −1
−1 0 −4 −5
−1
6
−1
3
𝐴=
0
4
−3
8
−2
−3
matritsada ikkinchi satr, birinchi va beshinchi ustunlarni o’chiramiz:
1
−1
3
Mana shu minor bazis minor bo’ladi.
2 3
0 −3≠ 0.
4 8
Hoshiya minorlar usuli
𝑘 −tartibli 𝑀𝑘 minor berilgan bo’lsin. 𝑀𝑘 minorni o’z ichiga olgan (𝑘 + 1) − tartibli 𝑀𝑘+1
minor 𝑀𝑘 minorni hoshiyalovchi (o’rab turuvchi) minor, yoki, qisqa qilib, hoshiya
minor deyiladi.
Agar 𝐴 matritsada 𝑀𝑘 ≠ 0 bo’lib, uning barcha hoshiyalovchi minorlari 𝑀𝑘+1 = 0
bo’lsa, u holda 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑘
bo’ladi.
Misol 3. Matritsaning rangini toping:
1 −3 5 4
−6
𝐴 =2
4 3.
3 −9 3 2
Yechish. Ixtiyoriy bitta ikkinchi tartibli minorni hisoblaymiz:
𝑀2 =≠
−3 5
0. −6
4
𝑀2 minorning hoshiya minorlari ikkita:
𝑀3 =2
−6
4= 0,
1 −3
5−3 5 4
𝑀3∗ =−6 4 3= 0.
01
3 −9
3−9
3 2
Hoshiya minorlarning ikkalasi ham nolga teng. Shuning uchun 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 =
2.
Hindistonda paydo bo’lgan shaxmat o’yini ham sehrli kvadratdir.
02
03
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
Claudio Canuto, Anta Tabacco. Mathematical
Analysis I, (II). Springer-Verlag, Italia, Milan, 2008
(2015).
Б.А.Худаяров Математика. I-қисм. Чизиқли алгебра ва
аналитик геометрия. Тошкент, “Фан ва технология”, 2018. -284 с.
Б.А.Худаяров “Математикадан мисол ва масалалар тўплами” Тошкент
“Ўзбекистон” 2018 йил. 304 б.
E`TIBORINGIZ
UCHUN RAHMAT!