LAPORAN PRAKTIKUM
PERTEMUAN II
MODEL SURVIVAL
Oleh
Nama
: Cristine Angelina Panjaitan
NPM
: F1A021047
Dosen Pengampu : Siska Yosmar, S.Si., M.Sc
Asisten Praktikum : 1. Elisabeth Evelin Karuna, S.Stat
2. Dion Raja Kusumah
(F1A021051)
LABORATORIUM MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BENGKULU
2024
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena
atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Laporan
Praktikum Pengantar Matematika Aktuaria yang berjudul “Model Survival” sesuai
dengan waktu yang telah ditetapkan.
Pada kesempatan ini penulis juga mengucapkan terimakasih kepada yang
terhormat:
1.
Siska Yosmar, S.Si., M.Sc selaku Dosen Pengampu
2.
Elisabeth Evelin Karuna, S.Stat selaku Asisten Pratikum
3.
Dion Raja Kusumah selaku Asisten Praktikum
4.
Terakhir kepada keluarga yang selalu mendukung dan mendoakan serta
kepada sahabat dan teman yang senantiasa membantu dan memberikan
dukungan kepada penulis.
Penulis juga menyadari bahwa laporan praktikum ini masih jauh dari kata
sempurna dan masih banyak kekurangan dan kesalahan yang terdapat dalam
laporan ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik serta saran yang dapat
membangun penulis menjadi lebih baik lagi dimasa mendatang untuk membuat
laporan selanjutnya. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih, semoga
laporan praktikum ini dapat memberikan pembelajaran yang baik dan menambah
wawasan serta memberi manfaat bagi pembaca.
Bengkulu, 26 April 2024
Cristine Angelina Panjaitan
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ii
DAFTAR ISI ......................................................................................................... iii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ iv
DAFTAR TABEL ..................................................................................................v
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ vi
BAB I PENDAHULUAN .......................................................................................1
1.1 Latar Belakang ........................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah...................................................................................1
1.3 Batasan Masalah .....................................................................................2
1.4 Tujuan Penelitian ....................................................................................2
1.5 Manfaat Penelitian ..................................................................................2
1.6 Sistematika Penulisan .............................................................................3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA............................................................................4
2.1 Model Survival .........................................................................................4
2.2 Fungsi Survival ........................................................................................4
2.3 Harapan Hidup Lengkap .......................................................................5
2.4 Tabel Mortalita........................................................................................6
2.5 Hukum Mortalita ....................................................................................7
BAB III METODE PENELITIAN .......................................................................8
3.1 Jenis Penelitian dan Sumber Data .........................................................8
3.2 Variabel Penelitian ..................................................................................8
3.3 Analisis Data ............................................................................................8
3.4 Flowchart................................................................................................10
3.4.1 Peluang hidup dan meninggal .....................................................10
3.4.2 Harapan hidup lengkap ...............................................................11
3.4.3 Tabel mortalita .............................................................................12
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................13
4.1 Hasil Batasan Masalah 1 ......................................................................13
4.2 Hasil Batasan Masalah 2 ......................................................................13
4.3 Hasil Batasan Masalah 3 ......................................................................14
4.4 Hasil Batasan Masalah 4 ......................................................................15
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...............................................................17
5.1 Kesimpulan ............................................................................................17
5.2 Saran ......................................................................................................18
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................19
LAMPIRAN ..........................................................................................................20
iii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Flowchart peluang hidup dan meninggal ...........................................10
Gambar 3.2 Flowchart harapan hidup lengkap ......................................................11
Gambar 3.3 Flowchart tabel mortalita ...................................................................12
iv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Tabel mortalita .........................................................................................7
Tabel 4.1 Life table ................................................................................................15
v
DAFTAR L AMPIRAN
Lampiran 1. Script batasan masalah 1....................................................................20
Lampiran 2. Script batasan masalah 2....................................................................20
Lampiran 3. Script batasan masalah 3....................................................................20
Lampiran 4. Script batasan masalah 4....................................................................21
Lampiran 5. Hasil batasan masalah 1 .....................................................................21
Lampiran 6. Hasil batasan masalah 2 .....................................................................21
Lampiran 7. Hasil batasan masalah 3 .....................................................................22
Lampiran 8. Hasil batasan masalah 4 .....................................................................22
vi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Model survival merupakan alat penting dalam matematika aktuaria untuk
mempelajari durasi hidup individu atau entitas lainnya. Model ini digunakan
dalam berbagai aplikasi, termasuk asuransi jiwa. Dalam aktuaria model survival
digunakan untuk menghitung premi asuransi jiwa dan cadangan aktuaria,
merancang program pensiun dan menghitung manfaat pensiun serta kewajiban
aktuaria, menganalisis kegagalan komponen dan sistem dalam bidang keandalan
serta mempelajari kelangsungan hidup pasien dan efektivitas perawatan dalam
bidang kesehatan. Model survival diperkenalkan dalam pengantar matematika
aktuaria setelah konsep dasar probabilitas (Wiyoto, Ruhiyat & Sumarno, 2021).
Dalam pengantar model survival meliputi fungsi survival di mana pada
probabilitas bahwa individu atau entitas akan bertahan hidup sampai waktu
tertentu. Tabel Mortalitas di mana ini merupakan tabel yang menunjukkan
probabilitas kematian pada berbagai usia. Model survival adalah alat yang ampuh
untuk menganalisis data kelangsungan hidup. Pemahaman tentang model ini
sangat penting bagi aktuaris dan profesional lainnya yang bekerja di bidang
keuangan, asuransi, dan kesehatan. Contoh aplikasi model survival yaitu asuransi
jiwa, di mana model survival digunakan untuk menghitung premi asuransi jiwa
berdasarkan usia, jenis kelamin, dan faktor risiko lainnya (Helmi, 2022).
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, masalah yang dapat disimpulkan adalah
bagaimana
mahasiswa
dapat
mendefinisikan
mengaplikasikannya dengan menggunakan program R?
1
fungsi
survival
dan
1.3
1.
Batasan Masalah
Diketahui
nilai-nilai
𝑥3
12
𝑠(𝑥) = 𝑒 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 100.
Berapakah
peluang
seseorang berusia 25 tahun meninggal hingga 50 tahun kemudian.
2.
3.
𝑥
Jika 𝑠(𝑥) = 1 − 100 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 100, hitunglah:
a.
17𝑝19
b.
15𝑝36
c.
15|13𝑝36
Hitunglah harapan hidup (25) sampai dengan 30 tahun yang akan datang
𝑥
1
2
serta variansi sisa usia, jika 𝑠(𝑥) = (1 − 100) dan
a.
0 ≤ 𝑥 ≤ 100
b.
𝑥 = 0,1,2,3, ⋯ ,100
𝑥
4.
Jika 𝑠(𝑥) = 1 − 100, 𝑥 = 0,1,2,3, ⋯ ,100, buatlah life table 𝑙0 = 10000.
1.4
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan yang dapar disimpulkan adalah
mahasiswa dapat mendefinisikan fungsi survival dan mengaplikasikannya dengan
menggunakan program R.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
a.
Bagi peneliti, memberikan manfaat untuk memperdalam pemahaman
tentang konsep-konsep yang digunakan dalam mengetahui model survival.
b.
Bagi mahasiswa dan pihak lain, hasil penelitian ini diharapkan dapat
menambah ilmu pengetahuan khususnya mengenai model survival pada
pengantar matematika aktuaria.
2
1.6
Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan berisi tentang garis-garis besar isi setiap bab pada
laporan praktikum. Memiliki tujuan untuk memudahkan dalam mengetahui
pemabahasan di setiap bab nya. Untuk sistematika penulisannya adalah sebagai
berikut:
BAB I
PENDAHULUAN
Bab ini terdiri dari latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian,
batasan masalah, manfaat penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini memuat lanadasan teori yang berisi tentang teori yang bertujuan
untuk mendukung pemahaman secara teoritis dalam penelitian ini.
BAB III METODE PENELITIAN
Bab ini memuat tentang metode penelitian yang dilakukan selama proses
penelitian diantaranya jenis penelitian, variabel penelitian dan analisis data
mengenai langkah kerja.
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini memuat tentang hasil dari penelitian yang dilakukan, lalu
menampakkan lebih lanjut pemabahasan mengenai hasil yang diperoleh.
BAB V PENUTUP
Bab ini memuat tentang kesimpulandan saran. Kesimpulan dapat berupa
rumusan masalah yang merupakan sebab akibat dari penelitian ini serta hasil yang
diperoleh dari penelitian ini. Sedangkan, saran memuat tentang solusi dan titik
terang untuk mengatasi masalah yang ada.
DAFTAR PUSTAKA
3
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Model Survival
Suatu model survival secara sederhana merupakan suatu distribusi peluang
untuk tipe variabel acak tertentu. Misalkan 𝑋 menotasikan variabel acak kontinu
untuk usia seseorang pada saat mengalami kematian. Diasumsikan bahwa
seseorang lahir pada usia 0, jadi domain dari variabel acak 𝑋 adalah 𝑋 > 0.
Variabel acak 𝑋 disebut variabel acak usia kematian. Misalkan 𝑇 menotasikan
variabel acak kontinu untuk panjang waktu dari usia 0 sampai terjadinya kematian.
Variabel acak 𝑇 disebut variabel acak sisa usia. Jika kematian terjadi tepat saat
usia 𝑥, maka jelas bahwa 𝑋 = 𝑥 dan 𝑇 = 𝑥 (Bua, 2022).
Model survival dapat didefinisikan sebagai suatu distribusi probabilitas
untuk variabel random tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu
produk atau bahkan jiwa. Sebagai contoh, ketika kita mengoperasikan lemari
pendingin dalam temperatur yang tetap terjaga dalam kondisi maksimal,
kemudian bila kita misalkan 𝑡 = 10 merupakan waktu dimulainya pengoperasian
lemari pendingin, berapakah probabiltas lemari pendingin tersebut akan tetap
berada dalam kondisi tersebut pada waktu 𝑡 > 0?. Nilai probabilitas inilah yang
kemudian kitaa definisikan sebagai model survival dan disimbolkan dengan
𝑠(𝑡)(Yosmar, 2024).
2.2
Fungsi Survival
Fungsi survival 𝑠(𝑥) dapat didefinisikan sebagai peluang yang menyatakan
bahwa seseorang akan bertahan hidup mencapai usia 𝑥, yaitu:
𝑠(𝑥) = Pr(𝑋 > 𝑥) = 1 − 𝐹𝑋 (𝑥),
4
𝑥≥0
(2.1)
Dengan fungsi survival, peluang seseorang yang berusia 𝑥 tahun akan meninggal
pada usia antara 𝑥 dan 𝑧 dimana 𝑧 > 𝑥 dapat dituliskan sebagai berikut:
Pr(𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑧|𝑋 > 𝑥) =
𝑃(𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑧)
𝑃(𝑋 > 𝑥)
=
𝐹𝑋 (𝑧) − 𝐹𝑋 (𝑥)
1 − 𝐹𝑋 (𝑥)
=
𝐹𝑋 (𝑧) − 𝐹𝑋 (𝑥)
𝑠(𝑥)
=
𝑠(𝑥) − 𝑠(𝑧)
𝑠(𝑥)
(2.2)
Apabila kita definisikan (𝑥) sebagai usia seseorang saat mengikuti produk
asuransi jiwa, sisa usia dari (𝑥), yaitu 𝑋 − 𝑥 dinotasikan dengan 𝑇(𝑥). Notasi
inilah yang selanjutnya akan digunakan dalam pernyataan-pernyataan berikut ini:
𝑡𝑝𝑥 = 1 − 𝑡𝑞𝑥 =
𝑡𝑞𝑥 = 1 − 𝑡𝑝𝑥 = 1 −
𝑠(𝑥 + 𝑡)
𝑠(𝑥)
𝑠(𝑥 + 𝑡) 𝑠(𝑥) − 𝑠(𝑥 + 𝑡)
=
𝑠(𝑥)
𝑠(𝑥)
(2.3)
(2.4)
𝑡𝑞𝑥 diartikan sebagai peluang untuk seseorang yang berusia (𝑥) akan meninggal
sebelum mencapai usia (𝑥 + 𝑡), sedangkan 𝑡𝑝𝑥 menyatakan peluang seseorang
berusia (𝑥) akan bertahan hidup mencapai usia (𝑥 + 𝑡). Selanjunya, untuk orang
yang berusia (𝑥) dan hidup sampai 𝑡 tahun kemudian, peluang (𝑥) akan
meninggal 𝜇 tahun kemudian, atau dengan kata lain meninggal pada usia antara
(𝑥 + 𝑡) dan (𝑥 + 𝑡 + 𝑢), yaitu (Yosmar, 2024):
𝑡|𝑢𝑞𝑥 = 𝑃𝑟(𝑡 < 𝑇(𝑥) ≤ 𝑡 + 𝑢) = 𝑡𝑝𝑥 ∙ 𝑢𝑞𝑥+𝑡
2.3
(2.5)
Harapan Hidup Lengkap
Rata-rata lama hidup yang dapat dicapai disebut harapan hidup atau harapan
5
hidup lengkap (complete expectation of life) yang dinotasikan dengan 𝑒𝑥0 . Harapan
hidup lengkap merupakan nilai harapan seumur hidup dari variabel random
kontinu sisa usia 𝑇(𝑥) . Untuk yang berjangka 𝑛 -tahun, nilai harapan hidup
lengkapnya adalah (Yosmar, 2024):
𝑛
0
𝑒𝑥:𝑛 = 𝐸[𝑇(𝑥)] = ∫ 𝑡𝑝𝑥 𝑑𝑡
0
(2.10)
Harapan hidup usia bulat merupakan nilai harapan dari variabel random
diskret 𝐾(𝑥), maka:
∞
(2.11)
0
𝑒𝑥:𝑛
= 𝐸[𝐾(𝑥)] = ∑ 𝑘 𝑃𝑥
𝑘=1
2.4
Tabel Mortalitas
Mortalitas adalah ukuran jumlah kematian (secara umum atau karena
penyebab tertentu) dalam populasi tertentu dalam skala untuk ukuran populasi per
unit waktu. Data yang digunakan dalam penelitian didasari oleh tingkat kelahiran
dan kematian dalam bentuk tabel kehidupan. Mortalitas sering juga disebut
dengan fungsi Hazard (Hazard Funtion). Fungsi ini didefinisikan sebagai
kelajuan suatu individu untuk mengalami peristiwa pada interval waktu 𝑥 sampai
(𝑥 + ∆𝑥) apabila diketahui individu tersebut belum mengalami peristiwa sampai
dengan waktu 𝑥 (Maulana, 2019).
Alat
yang
tepat
dan
mudah
digunakan
untuk
memperhitungkan
kemungkinan mati dan hidupnya seseorang dalam jangka waktu tertentu adalah
suatu daftar yang memuat kehidupan dan kematian kelompok orang-orang
tersebut yang kita namakan sebagai tabel mortalita. Data pada tabel mortalita
diperoleh berdasarkan hubungan:
𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1
6
(2.12)
Dengan 𝑑𝑥 menyatakan banyaknya orang berumur 𝑥 tahun yang meninggal
sebelum mencapai usia (𝑥 + 1) tahun, dan 𝑙𝑥 menyatakan banyaknya orang yang
berumur 𝑥 tahun. Hubungan fungsi survival dengan tabel mortalita dapat
dituliskan dengan (Yosmar, 2024):
𝑛𝑝𝑥 =
𝑛𝑞𝑥 = 1 −
2.5
𝑠(𝑥 + 𝑡) 𝑙𝑥+𝑛
=
𝑠(𝑥)
𝑙𝑥
(2.13)
𝑠(𝑥 + 𝑡)
𝑙𝑥+𝑛
=1−
𝑠(𝑥)
𝑙𝑥
(2.14)
Hukum Mortalita
Fungsi-fungsi aktuaria dapat dihitung dengan menggunakan tabel mortalita
dan pendekatan hukum mortalita. Pendekatan dengan hukum mortalita digunakan
karena hasil dari pendekatan tersebut berbentuk kontinu, sehingga praktis dalam
penggunannya. Dari pendekatan hukum mortalita tersebut dapat dikaji fenomenafenomena yang terjadi pada suatu populasi. Terdapat beberapa hukum mortalita
yang terkenal seperti De Moivre, Gompertz, Makeham, dan Weibull. Hukum
mortalita tersebut dapat ditampilkan dalam pada tabel berikut (Yosmar, 2024):
Tabel 2.1 Hukum mortalita
Penemu
𝜇𝑥
𝑠(𝑥)
De
𝑥
(𝜔 − 𝑥)−1
1−
Moivre
𝜔
(1729)
𝐵
Gompertz
𝑒𝑥𝑝 [−
(𝐶 𝑥 − 1)]
𝐵𝐶 𝑥
log(𝐶)
(1825)
𝐵
Mahekam
𝑒𝑥𝑝 [−𝐴𝑥 −
(𝐶 𝑥 − 1)]
𝐴 + 𝐵𝐶 𝑥
log(𝐶)
(1860)
𝑘𝑥 𝑛+1
Weibull
𝑘𝑥 𝑛
𝑒𝑥𝑝 [−
]
(1939)
𝑛+1
7
Batasan-batasan
0≤𝑥<𝜔
𝑏 > 0, 𝐶 > 1,
𝑋≥0
𝐵 > 0, 𝐴 ≥ −𝐵,
𝐶 > 1, 𝑋 ≥ 0
𝑘 > 0, 𝑛 > 1,
𝑥≥0
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1
Jenis Penelitian dan Sumber Data
Jenis penelitian yang digunakan dalam praktikum ini adalah penelitian
kuantitatif. Penelitian kuantitatif bertujuan untuk meneliti sebuah hipotesis dengan
cara mengumpulkan data yang bisa diukur dengan menggunakan ilmu statistik,
matematika, dan komputasi. Data yang digunakan dalam penelitian ini bersumber
dari
asisten
praktikum
pengantar
matematika
aktuaria
FMIPA
Universitas Bengkulu.
3.2
Variabel Penelitian
Adapun variabel penelitian yang digunakan dalam model survival adalah
𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑎𝑔𝑒, 𝑡, 𝑛, 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎, dan 𝑙0 .
3.3
Analisis Data
Adapun langkah kerja yang digunakan untuk menentukan hasil pada model
survival adalah sebagai berikut:
1.
Buka aplikasi RStudio pada dekstop.
2.
Kemudian pada halaman utama RStudio, pada menu file klik new file →
Rscript untuk membuat program baru.
3.
Definisikan fungsi dengan parameter (𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑎𝑔𝑒, 𝑡) di mana 𝑒𝑥𝑝𝑟 adalah
fungsi survival, 𝑎𝑔𝑒 adalah umur atau 𝑥 dan 𝑡 adalah jangka waktu. Untuk
menghitung peluang hidup dan meninggal seseorang yang berusia (𝑥) pada
jangka waktu (𝑡) digunakan sintaks 𝑠𝑥𝑡 < −𝑒𝑣𝑎𝑙({𝑥 = 𝑎𝑔𝑒 + 𝑡; 𝑒𝑥𝑝𝑟})
dan 𝑠𝑥 < −𝑒𝑣𝑎𝑙({𝑥 = 𝑎𝑔𝑒; 𝑒𝑥𝑝𝑟}) dengan 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 < −(𝑠𝑥 − 𝑠𝑥𝑡)/𝑠𝑥.
8
Kemudian untuk mencari hasilnya panggil fungsi yang telah didefinisikan
dan masukkan nilai parameternya.
4.
Pada perhitungan harapan hidup lengkap digunakan parameter 𝑎𝑔𝑒 dan 𝑛, di
mana 𝑛 adalah jangka waktu. Dalam kasus kontinu untuk mencari nilai
ekspetasi kontinu digunakan rumus 𝑠(𝑥 + 𝑡)/𝑠(𝑥). Kemudian untuk output
nilai ekspetasi kontinu digunakan perintah 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑒, sedangkan output
ekspetasi kontinu yang dikuadratkan digunakan perintah 2 ∗ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑒 .
Nilai variansi dapat dicari dengan mengurangkan hasil output ekspetasi
kontinu dengan hasil output nilai ekspetasi kontinu yang dikuadratkan. Pada
kasus diskret dilakukan hal yang sama, di mana untuk mencari output nilai
ekspetasi diskret digunakan perintah 𝑠𝑢𝑚.
5.
Dalam melakukan perhitungan pada tabel mortalita didefinisikan fungsi
dengan parameter (𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎, 𝑙0 ), di mana 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 adalah batas usia
maksimum dan 𝑙0 adalah radiks.
6.
Setelah memasukkan perintah run program, maka hasilnya dapat dilihat
pada console R.
9
3.4
Flowchart
3.4.1 Peluang hidup dan meninggal
Mulai
Definisikan Fungsi
(𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑎𝑔𝑒, 𝑡)
Hitung 𝑠𝑥𝑡 dan 𝑠𝑥
Pilih
Operasi
Peluang Meninggal
( 𝑡𝑞𝑥 )
Peluang Hidup
( 𝑡𝑝𝑥 )
Hitung Output
Hitung Output
(𝑠𝑥 − 𝑠𝑥𝑡)/𝑠𝑥
1−
𝑠𝑥 − 𝑠𝑥𝑡
𝑠𝑥
Output
Selesai
Gambar 3.1 Flowchart peluang hidup dan meninggal
10
3.4.2 Harapan hidup lengkap
Mulai
Definisikan Fungsi
(𝑎𝑔𝑒, 𝑛)
Inisialisasi Fungsi
Inisialisasi Fungsi
𝑒𝑥𝑝. 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 & 𝑒𝑥𝑝2. 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
𝑒𝑥𝑝. 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡 & 𝑒𝑥𝑝2. 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡
Hitung Output
Hitung Output
𝑒𝑥𝑝. 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 , 𝑒𝑥𝑝2. 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
𝑒𝑥𝑝. 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡 , 𝑒𝑥𝑝2. 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡 &
& 𝑣𝑎𝑟. 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
𝑣𝑎𝑟. 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡
Output
Selesai
Gambar 3.2 Flowchart harapan hidup lengkap
11
3.4.3 Tabel mortalita
Mulai
Definisikan
(𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎, 𝑙0 )
Cari
𝑎𝑔𝑒, 𝑠𝑥, 𝑙𝑥 , 𝑑𝑥 ,
dan 𝑛
Hitung 𝑑𝑥 , 𝑝𝑥 , dan 𝑞𝑥
Buat Tabel pada data
frame
Print Tabel
Selesai
Gambar 3.3 Flowchart tabel mortalita
12
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Hasil Batasan Masalah 1
Hasil dari batasan masalah 1 yang diperoleh menggunakan program R
adalah 0,6666667. Pada batasan masalah 1, diminta untuk menghitung peluang
seseorang berusia 25 tahun meninggal hingga 50 tahun kemudian dan diberikan
𝑥
fungsi 𝑠(𝑥) = 1 − 100 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 100. Definisikan fungsi pada program dengan
script 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑎𝑔𝑒, 𝑡) dan buat nama fungsi sebagai 𝑎 .
Selanjutnya
definisikan 𝑠𝑥𝑡 dan 𝑠𝑥, lalu hitung output dengan rumus 𝑠𝑥 − 𝑠𝑥𝑡/𝑠𝑥. Kemudian
definisikan fungsi survival dengan script 𝑒𝑥𝑝𝑟 < −(𝑠(𝑥)) dimana 𝑠(𝑥) adalah
fungsi survival yang diketahui. Panggil fungsi yang telah dibuat di awal dan
masukkan nilai 𝑎𝑔𝑒 = 25 dan 𝑡 = 50 . Script dapat dilihat pada lampiran 1.
Sehingga setelah di run diperoleh hasil bahwa peluang seseorang yang berusia 25
tahun meninggal hingga 50 tahun kemudian atau 50𝑞25 adalah sebesar 0.6666667.
Hasil batasan masalah 1 dapat dilihat pada lampiran 5.
4.2
Hasil Batasan Masalah 2
Hasil dari batasan masalah 2 yang diperoleh menggunakan program R pada
17𝑝19 adalah 0.7901235, pada 15𝑝36 adalah 0.234375 dan pada 15|13𝑝36 adalah
0.203125. Pada batasan masalah 2 diminta untuk menghitung peluang hidup,
meninggal dan peluang meninggal tertunda. Untuk menghitung peluang
meninggal seseorang berusia (𝑥) dapat menggunakan script seperti batasan
masalah 1. Definisikan fungsi untuk batasan masalah 2 yaitu 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑒2 <
−𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑎𝑔𝑒, 𝑡).
seseorang
berusia
(𝑥)
Pada bagian a, untuk mencari peluang hidup
dapat
menggunakan
13
script
1 − 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑒2 <
−𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑎𝑔𝑒, 𝑡) dan masukkan 𝑎𝑔𝑒 = 19 dan 𝑡 = 17. Sehingga setelah
di run diperoleh bahwa peluang seseorang yang berusia 19 tahun akan bertahan
hidup mencapai 36 tahun atau 17𝑝19 adalah sebesar 0.7901235. Pada bagian b,
dilakukan hal yang sama seperti batasan masalah 1 dan masukkan 𝑎𝑔𝑒 = 36 dan
𝑡 = 15. Sehingga setelah di run diperoleh hasil bahwa peluang seseorang yang
berusia 36 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 51 tahun atau 15𝑞36
adalah sebesar 0.234375. Selanjutnya pada bagian c, pertama akan dihitung 15𝑝36
dan
13𝑞36+15 .
Sehingga diperoleh hasil dengan mengalikan hasil 15𝑝36 dan
13𝑞36+15 . Setelah di run diperoleh hasil bahwa peluang seseorang yang berusia 36
tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 51 tahun tertunda 13 atau 15|13𝑞36
adalah sebesar 0.203125. Hasil batasan masalah 3 dapat dilihat pada lampiran 6.
4.3
Hasil Batasan Masalah 3
Hasil dari batasan masalah 3 yang diperoleh menggunakan program R
adalah:
a.
b.
Untuk variabel random kontinu 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 diperoleh:
1)
Nilai ekspektasi kontinu = 22.28121
2)
Nilai (ekspektasi^2) kontinu = 596.4994
3)
Nilai variansi kontinu = 100.047
Untuk variabel random diskret 𝑥 = 0,1,2,3, ⋯ ,100 diperoleh:
1)
Nilai ekspektasi diskret = 11.02007
2)
Nilai (ekspektasi^2) diskret = 589.8141
3)
Nilai variansi kontinu = 468.3722
Pada batasan masalah 3 diminta untuk menghitung harapan hidup seseorang
berusia 25 tahun sampai dengan 30 tahun yang akan datang serta variansi sisa usia,
14
𝑥
1
2
jika 𝑠(𝑥) = (1 − 100) . Pada bagian a, untuk kasus kontinu definisikan nama
fungsi sebagai 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑒12 < −𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑎𝑔𝑒, 𝑛). Kemudian masukkan fungsi
untuk menghitung 𝐸[𝑇(𝑥)] dan 𝐸[𝑇(𝑥)2 ]. Selanjutnya untuk menghitung output
𝐸[𝑇(𝑥)] gunakan perintah 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑒 sedangkan untuk output 𝐸[𝑇(𝑥)2 ] gunakan
perintah 2 ∗ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑒. Output variansi kontinu diperoleh dengan mengurangkan
𝐸[𝑇(𝑥)2 ] − 𝐸[𝑇(𝑥)]2 . Masukkan nilai 𝑎𝑔𝑒 = 25 dan 𝑛 = 30 pada fungsi yang
telah didefinisikan di awal. Sehingga diperoleh nilai ekspektasi kontinu sebesar
22.28121, nilai (ekspektasi^2) kontinu sebesar 596.4994 dan nilai variansi
kontinu sebesar 100.047. Pada bagian b, untuk kasus diskret dilakukan hal yang
sama seperti pada bagian a, akan tetapi dalam perhitungan output 𝐸[𝐾(𝑥)] dan
𝐸[𝐾(𝑥)2 ] digunakan perintah 𝑠𝑢𝑚. Sehingga diperoleh nilai ekspektasi diskret
sebesar 11.02007, nilai (ekspektasi^2) diskret sebesar 589.8141 dan nilai
variansi diskret sebesar 468.3722. Hasil batasan masalah 3 dapat dilihat pada
lampiran 7
4.4
Hasil Batasan Masalah 4
Hasil dari batasan masalah 4 yang diperoleh menggunakan program R
adalah:
Tabel 4.1 Life table
1.
2.
3.
⋯
98.
99.
100.
age
0
1
2
⋯
97
98
99
𝑞𝑥
0.1
0.05
0.04
⋯
0.34
0.5
< 𝑁𝐴 >
𝑝𝑥
0.9
0.95
0.96
⋯
0.66
0.5
< 𝑁𝐴 >
𝑙𝑥
10000
9000
8585.79
⋯
151.14
100.51
50.13
15
𝑑𝑥
1000
414.21
317.84
⋯
50.64
50.38
< 𝑁𝐴 >
𝑠𝑥
1
0.9
0.86
⋯
0.02
0.01
0.01
𝑒𝑥
1.86
1.92
1.93
⋯
0.91
0.5
0
Pada batasan masalah 4 diminta untuk membuat life table 𝑙0 = 10000, jika
𝑥
𝑠(𝑥) = 1 − 100 , 𝑥 = 0,1,2,3, ⋯ ,100. Definiskan fungsi dengan script pada
program R yaitu 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑒02 < −𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑒𝑥𝑝𝑟, 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎, 𝑙0). Umur atau age
didefinisikan dengan 𝑎𝑔𝑒 < −0: 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 artinya umur dari 0 sampai batas usia
maksimum. Evaluasi ekspreksi 𝑒𝑥𝑝𝑟 untuk setiap nilai dalam vektor 𝑎𝑔𝑒, hasil
evaluasi disimpan dalam vektor 𝑠𝑥. Perkalian radiks (𝑙0 ) dengan 𝑠𝑥 didefinisikan
sebagai 𝑙𝑥 . Menginisialisasi vektor 𝑑𝑥 , 𝑝𝑥 , 𝑞𝑥 sebagai kosong untuk menyimpan
nilai-nilai tabel kejadian probabilitas hidup, dan probabilitas meninggal. Lakukan
iterasi dari 1 hingga jumlah umur (𝑛) untuk menghitung nila- nilai tabel kejadian
probabilitas hidup, dan probabilitas meninggal. Inisialisasi vektor 𝑥 sebagai vektor
numerik kosong yang akan digunakan untuk menyimpan nilai harapan hidup.
Kemudian lakukan iterasi untuk menghitung nilai harapan hidup (𝑒𝑥) pada setiap
umur. Buat 𝑑𝑎𝑡𝑎. 𝑓𝑟𝑎𝑚𝑒 untuk menggabungkan semua nilai-nilai yang telah
dihitung ke dalam sebuah data frame tabel untuk ditampilkan. Berikan perintah
agar hasil keluaran mencetak hasil tabel dengan 3 angka di belakang koma.
Selanjutnya ekspreksikan fungsi survival yang telah diketahui dan masukkan nilai
𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 = 99 dan 𝑙𝑜 = 10000. Sehingga diperoleh hasil pada lampiran 8.
16
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Untuk dapat mendefinisikan fungsi survival dan mengaplikasikannya
dengan menggunakan program R. Terlebih dahulu pahami model survival dimana
bertujuan untuk menguraikan secara jelas tentang konsep fungsi survival, harapan
hidup lengkap, tabel mortalita dan hukum mortalita dalam konteks matematika
aktuaria. Hal ini akan mencakup penjelasan tentang definisi formal, notasi, dan
interpretasi dalam menggambarkan probabilitas suatu individu atau objek
bertahan hidup hingga waktu tertentu. Pada hasil batasan masalah 1, berdasarkan
𝑥
𝑠(𝑥) = 1 − 100 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 diperoleh peluang seseorang berusia 25 tahun
meninggal hingga 50 tahun kemudian atau 50𝑞25 sebesar 0.6666667 . Pada
𝑥
batasan masalah 2 berdasarkan 𝑠(𝑥) = 1 − 100 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 diperoleh 17𝑝19 =
0.7901235, 15𝑞36 = 0.234375 dan 15|13𝑞36 = 0.203125. Pada batasan masalah
𝑥
1
2
3 berdasarkan 𝑠(𝑥) = (1 − 100) diperoleh harapan hidup dan variansi ( 25 )
sampai dengan 30 tahun yang akan datang untuk variabel random kontinu 0 ≤
𝑥 ≤ 100 yaitu nilai ekspektasi kontinu 𝐸[𝑇(𝑥)] = 22.28121, nilai ekspektasi^2
kontinu 𝐸[𝑇(𝑥)2 ] = 596.4994 dan nilai variansi kontinu = 100.047. Sedangkan
untuk variabel random diskret 𝑥 = 0,1,2,3, ⋯ ,100 yaitu nilai ekspektasi diskret
𝐸[𝐾(𝑥)] = 11.02007, nilai ekspektasi^2 diskret 𝐸[𝐾(𝑥)2 ] = 589.8141 dan nilai
variansi diskret = 468.3722. Pada batasan masalah 4 berdasarkan 𝑠(𝑥) = 1 −
𝑥
100
, 𝑥 = 0,1,2,3, ⋯ ,100 diperoleh life table dengan 𝑙0 = 10000 seperti pada
lampirab 8.
17
5.2
Saran
Dengan adanya laporan praktikum ini, sebagaimana yang dibuat oleh
sipenulis untuk menyelesaikan hasil laporan mengenai Model Survival. Untuk itu
harapan penulis terhadap pembaca untuk dapat memaklumi serta memberikan
kritikan dan saran untuk penyempurnaan laporan ini dan untuk laporan
selanjutnya, maka dari itu penulis akan terus berusaha untuk menambah informasi
yang lebih banyak lagi dalam pembuatan laporan berikutnya.
18
DAFTAR PUSTAKA
Bua, F. T. 2022. Formulasi Hukum Mortalitas Mahekam Dan Aplikasinya Dalam
Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Dwiguna Model Stokastik Cox-IngersollRoss. Makassar: Universitas Hasanuddin.
Helmi, S. F. 2022. Estimasi Parameter Model Survival Distribusi Eksponensial
Data Tersensor Dengan Metode Maksimum Likelihood Dan Bayesian Self.
Lampung: Universitas Lampung.
Maulana, A. 2019. Peramalan Harapan Hidup Menggunakan Model Shifting
Logistic Bongaarts. Tangerang Selatan: UIN Syarif Hidayatullah.
Wiyoto, B. N. A., Ruhiyat & Sumarno, H. 2021. Competing Risk Analysis Bagi
Pasien Pneumonia Di Suatu Rumah Sakit. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Yosmar, S. 2024. Modul Praktikum Pengantar Matematika Keuangan. Bengkulu:
Universitas Bengkulu.
19
LAMPIRAN
Lampiran 1. Script batasan masalah 1
Lampiran 2. Script batasan masalah 2
Lampiran 3. Script batasan masalah 3
20
Lampiran 4. Script batasan masalah 4
Lampiran 5. Hasil batasan masalah 1
Lampiran 6. Hasil batasan masalah 2
.
21
Lampiran 7. Hasil batasan masalah 3
Lampiran 8. Hasil batasan masalah 4
.
22