TRƯỜNG KINH DOANH
KHOA TÀI CHÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG 10
MÔN: KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO
GIẢNG VIÊN
: PGS.TS. PHÙNG ĐỨC NAM
LỚP
: FNC05
MLHP
: 25D1FIN50501004
KHÓA
: K48
DANH SÁCH THÀNH VIÊN:
1. Một nhà nghiên cứu đang cố gắng hình thành một mô hình kinh tế lượng để giải thích các
chuyển động hàng ngày của lợi nhuận cổ phiếu. Một đồng nghiệp gợi ý rằng cô ấy có thể muốn
xem liệu dữ liệu của mình có bị ảnh hưởng bởi tính thời vụ hàng ngày hay không.
(a) Làm thế nào cô ấy có thể làm điều này?
Nhà nghiên cứu có thể sử dụng mô hình hồi quy kinh tế lượng để kiểm tra xem dữ liệu có bị ảnh
hưởng bởi tính thời vụ hay không. Cụ thể, cô ấy có thể thêm các biến giả (dummy variables) đại diện
cho các ngày trong tuần hoặc tháng trong năm vào mô hình hồi quy của mình. Những biến giả này giúp
cô kiểm tra xem có sự thay đổi đáng kể về lợi nhuận vào các thời điểm cụ thể hay không. Nếu các biến
giả có hệ số hồi quy khác 0 một cách có ý nghĩa thống kê, điều này có thể chứng minh rằng có yếu tố
thời vụ ảnh hưởng đến dữ liệu.
(b) Nhà nghiên cứu ước tính một mô hình với người phụ thuộc biến đổi như lợi nhuận hàng ngày
trên một cổ phiếu nhất định được giao dịch trên thị trường chứng khoán Luân Đôn, và các biến
kinh tế vĩ mô và tỷ lệ kế toán khác nhau dưới dạng các biến độc lập. Cô cố gắng ước tính mô hình
này, cùng với năm biến giả hàng ngày (một biến cho mỗi ngày trong tuần) và một thuật ngữ không
đổi, sử dụng gói phần mềm kinh tế lượng. Gói sau đó nói với cô ấy rằng nó không thể ước tính các
thông số của mô hình. Giải thích những gì có thể đã xảy ra, và làm thế nào cô ấy có thể sửa chữa
nó.
Vấn đề có thể bắt nguồn từ đa cộng tuyến hoàn hảo. Nhà nghiên cứu đã bao gồm năm biến giả (một
cho mỗi ngày) và một hằng số. Vì mỗi ngày trong tuần được đại diện bởi một biến giả, việc thêm tất cả
năm biến giả cùng với hằng số sẽ dẫn đến sự phụ thuộc tuyến tính (tổng của các biến giả bằng 1, điều
này hoàn toàn dự đoán được hằng số). Để khắc phục vấn đề này, nhà nghiên cứu nên loại bỏ một biến
giả (ví dụ, D❑5tđể tránh đa cộng tuyến. Hạng mục bị loại bỏ sẽ đóng vai trò là nhóm tham chiếu, và các
hệ số của các biến giả còn lại sẽ được diễn giải so với nhóm tham chiếu đó.
(c) Một đồng nghiệp ước tính thay vì mô hình sau đây cho lợi nhuận tài sản, rt như sau (với các lỗi
tiêu chuẩn trong ngoặc đơn)
Mô hình được ước tính bằng cách sử dụng 500 quan sát. Có bằng chứng quan trọng nào về bất kỳ
'hiệu ứng ngày nào trong tuần' sau khi cho phép tác động của các biến khác không?
(d)
Phân biệt giữa các biến giả chặn và biến giả độ dốc, đưa ra một ví dụ về từng
biến.
 Biến giả chặn (dummy intercept variable): Thể hiện tác động cố định của một nhóm đối tượng
đến biến phụ thuộc. Ví dụ, trong mô hình trên, các biến giả ngày trong tuần như D1, D2, D3 đại diện
cho các ngày cụ thể và tác động đến giá trị trung bình của lợi nhuận.
 Biến giả độ dốc (dummy slope variable): Thể hiện sự thay đổi độ dốc của quan hệ giữa biến độc lập
và biến phụ thuộc khi biến giả thay đổi. Ví dụ, nếu lợi nhuận vào các ngày trong tuần không chỉ thay đổi
về giá trị trung bình mà còn về tốc độ thay đổi, ta cần thêm biến giả độ dốc để mô hình hóa sự thay đổi
này.
(e)
Một nhà nghiên cứu tài chính cho rằng nhiều nhà đầu tư cân bằng lại danh
mục đầu tư của họ vào cuối mỗi năm tài chính để nhận ra khoản lỗ và do đó
giảm nghĩa vụ thuế. Phát triển một quy trình để kiểm tra xem hành vi này có
thể có ảnh hưởng đến lợi nhuận vốn chủ sở hữu hay không.
Nhà nghiên cứu có thể kiểm tra tác động của việc đa dạng hóa danh mục đầu tư bằng cách sử dụng mô
hình hồi quy nhiều biến, trong đó biến phụ thuộc là lợi nhuận của cổ phiếu và các biến độc lập bao
gồm các yếu tố kinh tế vĩ mô, tỷ suất sinh lời kỳ vọng, và các biến giả thể hiện chiến lược đầu tư của nhà
đầu tư (ví dụ như biến giả cho nhà đầu tư có danh mục đa dạng hoặc không đa dạng).
Sau đó, tiến hành kiểm tra các hệ số hồi quy để xác định xem có tác động đáng kể của việc đa dạng hóa
danh mục đến lợi nhuận cổ phiếu hay không.
2. (a) Mô hình chuyển mạch là gì? Mô tả ngắn gọn và phân biệt giữa các mô
hình tự hồi quy ngưỡng và mô hình chuyển mạch Markov. Làm thế nào bạn sẽ quyết định lớp nào
trong hai lớp mô hình phù hợp hơn cho một ứng dụng cụ thể?
Mô hình chuyển đổi (switching model) là một loại mô hình kinh tế lượng hoặc chuỗi thời gian cho phép
thay đổi các tham số của mô hình dựa trên trạng thái của hệ thống. Những mô hình này có thể nắm bắt
được các hành vi khác nhau của dữ liệu trong các chế độ hoặc trạng thái khác nhau. Việc chuyển đổi
giữa các trạng thái này có thể xảy ra dựa trên tiêu chí quan sát được (như trong mô hình TAR Threshold Autoregressive Models) hoặc tiêu chí không quan sát được (như trong mô hình Markov
Switching Models).
● Mô hình tự hồi quy ngưỡng (TAR): Trong các mô hình này, việc chuyển đổi giữa các chế độ xảy ra
khi một biến quan sát được vượt qua các ngưỡng nhất định.
Mô hình được chia thành các phân đoạn dựa trên các ngưỡng này, và các phương trình hồi quy tự hồi
quy khác nhau được áp dụng trong mỗi chế độ.
● Mô hình chuyển đổi Markov (MSM): Trong MSM, việc chuyển đổi giữa các chế độ được điều khiển
bởi một biến trạng thái không quan sát được theo quy trình Markov. Việc chuyển đổi giữa các chế độ là
xác suất và được dựa trên ma trận chuyển đổi, điều khiển khả năng chuyển đổi từ một chế độ này sang
chế độ khác.
 Phân biệt:
 SETAR dựa trên ngưỡng cụ thể và chế độ thay đổi khi vượt qua ngưỡng này.
 Mô hình chuyển mạch Markov dựa trên xác suất chuyển tiếp giữa các chế độ, không phụ thuộc vào
một ngưỡng cố định.
 Cách quyết định mô hình phù hợp:
 Nếu bạn cho rằng sự thay đổi chế độ trong dữ liệu dựa trên sự thay đổi đột ngột khi vượt ngưỡng (ví
dụ, mức giá hoặc lãi suất cụ thể), mô hình SETAR sẽ phù hợp hơn.
 Nếu quá trình thay đổi chế độ có tính ngẫu nhiên và không xác định theo ngưỡng cụ thể, mô hình
chuyển mạch Markov có thể phù hợp hơn.
(b) Mô tả các thuật ngữ sau khi chúng được sử dụng trong bối cảnh mô hình
chuyển đổi Markov
(i) Tính chất Markov: Điều này chỉ đến ý tưởng rằng xác suất di chuyển đến một trạng thái tương lai
chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại, chứ không phải vào lịch sử trước đó. Nói cách khác, tương lai là
độc lập với quá khứ nếu biết được hiện tại.
(ii) Ma trận chuyển đổi: Trong mô hình chuyển đổi Markov, ma trận chuyển đổi mô tả xác suất chuyển
từ một trạng thái (hoặc chế độ) sang trạng thái khác. Mỗi phần tử P❑ij trong ma trận biểu diễn xác suất
chuyển từ trạng thái i sang trạng tháij. Các hàng của ma trận có tổng bằng 1, phản ánh thực tế rằng quá
trình phải chuyển sang một trạng thái nào đó.
(c) Mô hình SETAR là gì? Thảo luận về các vấn đề liên quan đến việc ước tính
một mô hình như vậy
Mô hình Tự hồi quy ngưỡng tự kích thích (SETAR) là một loại cụ thể của mô hình TAR, trong đó
việc chuyển đổi chế độ được xác định bởi giá trị của biến phụ thuộc (thay vì biến ngoại sinh). Trong mô
hình SETAR, khi biến phụ thuộc vượt qua một số ngưỡng nhất định, mô hình sẽ chuyển đổi giữa các
phương trình hồi quy tự hồi quy khác nhau.
Các vấn đề ước tính:
 Chọn ngưỡng: Việc xác định ngưỡng tối ưu là một thách thức, vì ngưỡng này phải được xác định sao
cho phù hợp với sự thay đổi trong dữ liệu.
 Số độ trễ: Cần quyết định số độ trễ phù hợp trong từng chế độ.
 Độ phức tạp: Mô hình có thể trở nên phức tạp nếu có nhiều chế độ và độ trễ khác nhau.
 Tính ổn định: Cần đảm bảo rằng mô hình không dẫn đến các kết quả không ổn định khi vượt qua
ngưỡng.
(d) Các vấn đề nào có thể phát sinh nếu các tiêu chí thông tin chuẩn được trình bày trong Chương
6 được áp dụng để xác định thứ tự của từng phương trình trong mô hình TAR? Làm thế nào để
các tiêu chí sửa đổi phù hợp khắc phục vấn đề này?
Vấn đề: Các tiêu chí thông tin chuẩn như AIC hoặc BIC khi được áp dụng trong mô hình TAR
(Threshold Autoregressive) có thể không chính xác trong việc xác định số độ trễ tối ưu trong mỗi
phương trình do sự khác biệt giữa các chế độ. Tiêu chí này thường không xem xét đến sự thay đổi
ngưỡng và có thể dẫn đến việc chọn số độ trễ không phù hợp.
Sửa đổi: Để khắc phục vấn đề này, các tiêu chí sửa đổi như AIC hoặc BIC điều chỉnh có thể được sử
dụng, bao gồm thêm các thông tin về số chế độ và ngưỡng trong mô hình. Các tiêu chí này xem xét đến
sự phức tạp của các mô hình ngưỡng và giúp xác định cấu trúc mô hình phù hợp hơn.
(e) Một nhà nghiên cứu đưa ra một lý do mà nhiều nghiên cứu thực nghiệm cho
thấy PPP không giữ được là sự tồn tại của chi phí giao dịch và các cứng nhắc khác trong thị
trường hàng hóa. Mô tả một quy trình mô hình ngưỡng có thể được sử dụng để đánh giá đề xuất
này trong bối cảnh của một hàng hóa duy nhất.
Một quy trình mô hình ngưỡng để đánh giá chi phí giao dịch có thể được thiết lập như sau:
1. Xác định biến ngưỡng: Chi phí giao dịch có thể đóng vai trò là biến ngưỡng.
Khi biến giá của hàng hóa vượt qua một ngưỡng nào đó, chi phí giao dịch sẽ tác động mạnh đến giá.
2. Thiết lập mô hình SETAR: Thiết lập một mô hình SETAR với hai chế độ:
o Chế độ 1: Khi giá của hàng hóa nằm dưới ngưỡng chi phí giao dịch, có thể không có tác động lớn.
o Chế độ 2: Khi giá vượt ngưỡng, chi phí giao dịch bắt đầu ảnh hưởng mạnh.
3. Ước lượng: Ước lượng các tham số của mô hình để kiểm tra xem ngưỡng chi phí giao dịch có tác
động đến sự thay đổi trong cấu trúc giá hay không.
(f) Một nhà nghiên cứu ước tính một mô hình SETAR với một ngưỡng và ba
độ trễ trong cả hai chế độ sử dụng khả năng tối đa. Sau đó, ông ước tính mô hình AR (3) tuyến
tính theo khả năng tối đa và tiến hành sử dụng thử nghiệm tỷ lệ khả năng để xác định xem mô
hình ngưỡng phi tuyến tính có cần thiết hay không. Giải thích lỗ hổng trong phương pháp này.
Khi ước tính mô hình SETAR với một ngưỡng và sau đó kiểm định với mô hình AR(3) tuyến tính bằng
kiểm định tỷ lệ khả năng, có một vấn đề cơ bản: ngưỡng không xác định dưới giả thuyết gốc (null
hypothesis) trong kiểm định. Điều này có nghĩa là mô hình SETAR phi tuyến tính không đơn thuần chỉ
là một sự mở rộng của mô hình AR tuyến tính. Ngưỡng là một tham số có điều kiện, và việc so sánh các
mô hình này có thể dẫn đến kết quả không tin cậy do tính chất của các mô hình ngưỡng.
(g) "Các mô hình ngưỡng phức tạp hơn các mô hình tự hồi quy tuyến tính. Do
đó, trước đây nên đưa ra dự báo chính xác hơn vì chúng nên nắm bắt các tính năng phù hợp hơn
của dữ liệu. Thảo luận.
Lập luận: Các mô hình ngưỡng phức tạp hơn vì chúng nắm bắt được các sự thay đổi chế độ và tính phi
tuyến tính trong dữ liệu. Điều này có thể giúp mô hình mô phỏng tốt hơn các quá trình kinh tế có sự thay
đổi không đồng đều, dẫn đến các dự báo chính xác hơn trong những trường hợp dữ liệu có tính ngưỡng
hoặc chuyển chế độ.
Tuy nhiên, việc phức tạp hóa mô hình không luôn đảm bảo dự báo chính xác hơn. Mô hình ngưỡng có
thể dễ dẫn đến quá khớp (overfitting) nếu không được kiểm soát tốt, đặc biệt khi dữ liệu có ít sự thay
đổi giữa các chế độ. Ngoài ra, nếu dữ liệu không thực sự có tính ngưỡng, mô hình tuyến tính có thể đưa
ra dự báo tốt hơn do ít tham số và đơn giản hơn.
Tóm lại, việc sử dụng mô hình ngưỡng hay tuyến tính phụ thuộc vào cấu trúc của dữ liệu. Nếu dữ liệu
có sự chuyển chế độ rõ ràng, mô hình ngưỡng có thể phù hợp hơn; nếu không, mô hình tuyến tính sẽ
đơn giản và hiệu quả hơn.
3. Một nhà nghiên cứu cho rằng động lực biến động của một tập hợp
lợi nhuận vốn chủ sở hữu hàng ngày là khác nhau
• vào thứ Hai so với các ngày khác trong tuần
• Nếu biến động lợi nhuận của ngày hôm trước lớn hơn 0,1% so với
khi biến động lợi nhuận của ngày hôm trước nhỏ hơn 0,1%.
Mô tả các mô hình có thể được sử dụng để nắm bắt các tính năng được báo cáo này của dữ liệu.
Để mô hình hóa các đặc điểm biến động được báo cáo của lợi nhuận vốn chủ sở hữu, nhà nghiên cứu có
thể sử dụng các mô hình phi tuyến hoặc mô hình có điều kiện. Hai mô hình phù hợp để nắm bắt sự khác
biệt về động lực biến động giữa các ngày và dựa trên ngưỡng là:
1. Mô hình tự hồi quy ngưỡng (Threshold Autoregressive - TAR hoặc SETAR)
Mô hình TAR, hay cụ thể là SETAR (Self-Exciting Threshold Autoregressive), có thể được sử dụng để
nắm bắt sự khác biệt về động lực biến động dựa trên một ngưỡng nhất định (ở đây là 0,1%). Mô hình
SETAR cho phép chia dữ liệu thành các chế độ khác nhau dựa trên giá trị của một biến, ví dụ:
 Biến ngưỡng: Sử dụng biến động lợi nhuận của ngày hôm trước làm biến ngưỡng.
 Chế độ 1: Khi biến động lợi nhuận của ngày hôm trước lớn hơn 0,1%, mô hình sẽ có một tập hợp
tham số riêng để mô tả động lực của lợi nhuận.
 Chế độ 2: Khi biến động lợi nhuận của ngày hôm trước nhỏ hơn hoặc bằng 0,1%, mô hình sẽ sử dụng
một tập hợp tham số khác.
Điều này cho phép mô hình hóa các thay đổi đột ngột trong động lực của lợi nhuận dựa trên các điều
kiện về quá khứ.
2. Mô hình GARCH có điều kiện (GARCH with Conditional Switching)
Nhà nghiên cứu có thể sử dụng mô hình GARCH có điều kiện với biến giả (Dummy GARCH) để
nắm bắt sự khác biệt giữa các ngày trong tuần, đặc biệt là vào thứ Hai.
 Biến giả ngày trong tuần: Tạo một biến giả cho thứ Hai và thêm nó vào mô hình GARCH để kiểm tra
sự khác biệt về động lực biến động giữa thứ Hai và các ngày khác. Biến giả này sẽ thay đổi hệ số
phương sai có điều kiện của mô hình vào ngày thứ Hai.
 Ngưỡng biến động: Mô hình GARCH có thể được mở rộng bằng cách thêm các biến giả ngưỡng. Ở
đây, có thể thêm một biến giả phụ thuộc vào ngưỡng 0,1% cho biến động lợi nhuận của ngày hôm trước.
Khi biến động lợi nhuận ngày hôm trước lớn hơn 0,1%, tham số của mô hình GARCH sẽ khác, và khi
biến động nhỏ hơn hoặc bằng 0,1%, các tham số sẽ thay đổi.
3. Mô hình chuyển mạch Markov (Markov Switching Model)
Mô hình chuyển mạch Markov cũng có thể được sử dụng để mô hình hóa sự thay đổi chế độ dựa trên
biến động lợi nhuận của ngày hôm trước và thứ trong tuần. Trong mô hình này, quá trình chuyển đổi
giữa các chế độ dựa trên một quy trình Markov ngẫu nhiên
Mô hình có thể có hai chế độ:
o Chế độ 1: Khi biến động lợi nhuận của ngày hôm trước lớn hơn 0,1%.
o Chế độ 2: Khi biến động nhỏ hơn hoặc bằng 0,1%.
 Xác suất chuyển đổi giữa các chế độ có thể phụ thuộc vào ngày thứ trong tuần, đặc biệt là thứ Hai.
Điều này cho phép nắm bắt sự thay đổi giữa các trạng thái biến động dựa trên các yếu tố ngẫu nhiên và
không chỉ dựa vào ngưỡng cố định. Tổng kết:
 Mô hình TAR hoặc SETAR thích hợp khi sự thay đổi trong động lực biến động được định nghĩa rõ
ràng bởi một ngưỡng (như 0,1%).
 Mô hình GARCH có điều kiện sử dụng biến giả để nắm bắt sự khác biệt giữa các ngày và biến động
dựa trên ngưỡng.
 Mô hình chuyển mạch Markov phù hợp khi muốn nắm bắt sự thay đổi chế độ ngẫu nhiên và không
dựa trên ngưỡng cố định.
Việc chọn mô hình nào phụ thuộc vào bản chất của dữ liệu và mục tiêu của nhà nghiên cứu trong việc
phân tích các yếu tố gây biến động.
4. (a) Giải thích mối liên hệ giữa các mô hình không gian trạng thái và bộ lọc Kalman
Mô hình không gian trạng thái (State-Space Model): Mô hình không gian trạng thái cung cấp một
khung để mô hình hóa các hệ thống thay đổi theo thời gian. Các mô hình này thường được sử dụng để
mô tả các quá trình thay đổi theo thời gian hoặc động lực học. Một mô hình không gian trạng thái
thường bao gồm hai phương trình:
Phương trình trạng thái: Mô tả sự phát triển của trạng thái ẩn (không quan sát được) theo thời gian.
Phương trình quan sát: Liên kết trạng thái không quan sát được với dữ liệu quan sát được
Bộ lọc Kalman: Là một thuật toán ước tính biến trạng thái ẩn xtxt từ chuỗi thời gian quan sát yt dựa trên
mô hình không gian trạng thái. Bộ lọc Kalman sử dụng các công thức đệ quy để ước tính biến trạng thái
tại mỗi thời điểm, với sự tối ưu hóa theo tiêu chí ước lượng bình phương nhỏ nhất.
Mối liên hệ: Bộ lọc Kalman được thiết kế để sử dụng cho các mô hình không gian trạng thái tuyến tính,
trong đó trạng thái và nhiễu đều phân phối chuẩn. Nó giúp ước tính trạng thái ẩn một cách tối ưu bằng
cách kết hợp các thông tin từ mô hình trạng thái và dữ liệu đo lường.
(b)
Sự khác biệt giữa bộ lọc Kalman và bộ lọc Kalman mượt mà hơn là gì?
 Bộ lọc Kalman: Ước tính biến trạng thái tại thời điểm hiện tại tt chỉ dựa trên dữ liệu quan sát đến
thời điểm đó. Do đó, nó được gọi là "ước tính trực tuyến" (online estimate). Kết quả của bộ lọc Kalman
là ước tính dần dần cập nhật tại mỗi bước thời gian.
 Bộ lọc Kalman mượt mà hơn (Kalman Smoother): Ước tính trạng thái tại một thời điểm quá khứ
không chỉ dựa trên dữ liệu đến thời điểm đó, mà còn dựa trên tất cả các dữ liệu tương lai có sẵn sau thời
điểm đó. Bộ lọc Kalman mượt hơn thực hiện "ước tính ngoại tuyến" (offline estimate), giúp cải thiện độ
chính xác của ước tính so với bộ lọc Kalman thông thường. Khác biệt chính:
 Bộ lọc Kalman xử lý dữ liệu tuần tự và chỉ dựa trên dữ liệu hiện tại và quá khứ.
 Bộ lọc Kalman mượt hơn sử dụng cả dữ liệu hiện tại và tương lai để cải thiện độ chính xác của ước
tính cho toàn bộ chuỗi thời gian.
(c) Trong bối cảnh của một mô hình không gian trạng thái, làm thế nào chúng ta có thể xác định
liệu việc cho phép các tham số thay đổi theo thời gian có cần thiết hay không?
Trong mô hình không gian trạng thái, việc cho phép các tham số thay đổi theo thời gian có thể được
kiểm tra bằng cách kiểm tra xem liệu dữ liệu có dấu hiệu của các động lực thay đổi theo thời gian hay
không. Một số kỹ thuật có thể giúp đánh giá điều này bao gồm:
Kiểm tra Tỷ lệ Khả năng (Likelihood Ratio Test): So sánh độ phù hợp của hai mô hình — một với
tham số cố định và một với tham số thay đổi theo thời gian. Nếu mô hình với tham số thay đổi theo thời
gian cải thiện đáng kể khả năng tối đa, điều đó cho thấy sự cần thiết của việc thay đổi theo thời gian.
Tiêu chí Thông tin: So sánh Tiêu chí Thông tin Akaike (AIC) hoặc Tiêu chí Thông tin Bayes (BIC)
giữa các mô hình với và không có tham số thay đổi theo thời gian. Nếu giá trị trong mô hình thay đổi
theo thời gian thấp hơn, điều đó chỉ ra rằng mô hình này phù hợp hơn.
Kiểm tra Ổn định của Tham số: Các kiểm tra như kiểm tra Chow hoặc kiểm tra CUSUM có thể
được sử dụng để phát hiện sự đứt gãy cấu trúc hoặc thay đổi trong các tham số theo thời gian, cho thấy
cần thiết phải cho phép các tham số thay đổi.
Kiểm tra Phần dư: Nếu phần dư từ một mô hình tham số cố định có dấu hiệu tự tương quan hoặc
phương sai sai khác, điều đó có thể gợi ý cần thiết cho tham số thay đổi theo thời gian.
(d) Giả sử rằng chúng ta muốn ước tính một mô hình kiểu CAPM cho hiệu suất của nhà quản lý
quỹ trong đó cả alpha của Jensen và phiên bản beta thị trường thay đổi theo thời gian. Sử dụng
các phương trình, mô tả mô hình mà chúng ta sẽ ước tính
Trong trường hợp muốn ước tính mô hình CAPM với alpha của Jensen và beta thị trường thay đổi theo
thời gian, mô hình không gian trạng thái có thể được viết như sau:
Phương trình đo lường (CAPM)
r¿=αt+βt rmt+ε Trong đó:
r¿: là lợi nhuận của quỹ tại thời điểm t
r mt: là lợi nhuận của thị trường tại thời điểm t
α t: là alpha của Jensen tại thời điểm t, thay đổi theo thời gian βt: là bât thị trường tại thời điểm t, thay
dổi theo thời gian ε : là nhiễu
Phương trình trạng thái cho alpha:
α t=αt -1+va , t
Phương trình trạng thái cho beta
βt=βt -1+vb , t
Bộ lọc Kalman sẽ được sử dụng để ước tính giá trị thay đổi theo thời gian của alpha và beta dựa trên dữ
liệu quan sát lợi nhuận của quỹ và lợi nhuận thị trường.
(e) Nếu bộ lọc Kalman được thực hiện bằng cách sử dụng một tập hợp các công thức đệ quy, tại
sao vẫn cần phải sử dụng ước tính khả năng tối đa?
Bộ lọc Kalman sử dụng các công thức đệ quy để ước tính biến trạng thái dựa trên dữ liệu hiện tại. Tuy
nhiên, các tham số của mô hình không gian trạng thái (như FF, HH, và các phương sai σ2) cần được
ước tính từ dữ liệu.
Để ước tính các tham số này, ta sử dụng phương pháp ước tính khả năng tối đa (Maximum
Likelihood Estimation - MLE). Phương pháp này tìm các giá trị của tham số sao cho xác suất quan sát
dữ liệu thực tế là lớn nhất. Bộ lọc Kalman cung cấp một công cụ tính toán giá trị của hàm khả năng
(likelihood function), nhưng phương pháp MLE sẽ tối ưu hóa giá trị này để tìm các tham số tốt nhất.
Do đó, dù bộ lọc Kalman có tính chất đệ quy, MLE vẫn cần thiết để ước lượng các tham số của mô hình
và đảm bảo rằng mô hình phù hợp với dữ liệu quan sát.