MSA01 - ALJABAR LINIER
(Ruang Vektor Euclid)
Marshellino, S.Mat., M.Si. (2025)
l2198@lecturer.ubm.ac.id
VEKTOR
Definisi 1 (Vektor dan Skalar)
Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar/nilai dan arah, sedangkan
skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai nilai saja.
Vektor 2 dimensi dan 3 dimensi dapat direpresentasikan dengan menggunakan garis panah. Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah
menentukan besarnya. Secara matematika ini dikenal sebagai vektor geometris.
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
1 / 26
Vektor secara umum dinotasikan menggunakan huruf kecil tebal, atau huruf
kecil dengan tanda panah di atasnya.
v, ⃗v
−→
Vektor v dengan titik awal A dan titik akhir B dapat dituliskan sebagai AB.
Dua vektor dikatakan ekuivalen jika panjang dan arah yang sama.
Ruang vektor merupakan tempat vektor didefinisikan atau disebut juga ruang Euclid
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
2 / 26
Operasi Vektor Geometris
1. Penjumlahan Vektor
Aturan Jajar Genjang:
Penjumlahan dengan Translasi:
Aturan Segitiga:
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
3 / 26
2. Pengurangan Vektor
3. Perkalian Vektor dengan Skalar
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
4 / 26
Definisi 2 (Vektor dalam Sistem Koordinat)
Misalkan v ∈ Rn , v dapat dinyatakan dalam bentuk
kartesius v =
 koordinat

v
 1
 .. 
.
(v1 , · · · , vn ) atau dapat ditulis dalam bentk matriks 
 . 
vn
v1 , · · · , vn merupakan komponen-komponen dari v dan vektor v dapat
dikatakan vektor posisi dari titik (v1 , · · · , vn ).
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
5 / 26
Operasi dasar pada vektor: Jika u, v ∈ Rn , c merupakan skalar, maka
1. u + v = (u1 , · · · , un ) + (v1 , · · · , vn ) = (u! + v1 , · · · , un + vn )
2. u − v = (u1 , · · · , un ) − (v1 , · · · , vn ) = (u! − v1 , · · · , un − vn )
3. cu = c.(u1 , · · · , un ) = (cu1 , · · · , cun )
Jika suatu vektor dimulai dari titik A(a1 , · · · , an ) dan diakhiri titik B(b1 , · · · , bn ),
maka
−→
AB = (b1 − a1 , · · · , bn − an )
Contoh 1
Jika v = (1, −3, 2) dan w = (4, 2, 1), maka tentukan:
1. v + w
2. 2v
3. 2v − w
Contoh 2
−−→
Tentukan vektor v = P1 P2 , dengan P1 (2, −1, 4) dan P2 (7, 5, −8).
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
6 / 26
Sifat-sifat vektor: Jika u, v, w ∈ Rn , c, d merupakan skalar, maka
1. u + v = v + u
(sifat komutatif)
2. (u + v) + w = u + (v + w) (sifat asosiatif)
3. u + 0 = 0 + u = u
(adanya elemen netral, yaitu vektor nol)
4. u + (−u) = 0
(setiap vektor memiliki invers)
5. c(u + v) = cu + cv
6. c(du) = (cd)u
7. (c + d)u = cu + du
8. 1u = u
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
7 / 26
Definisi 3 (Kombinasi Linier)
Misalkan w merupakan vektor di Rn . Vektor w dikstakan kombinasi linier
dari vektor-vektor v1 , · · · , vr di Rn , jika dapat dinyatakan sebagai
w = k1 v1 + · · · + kr vr
dengan k1 , · · · , kr adalah skalar yang disebut sebagai koefisien kombinasi
linier.
Contoh 3
Misalkan vektor di R3 , yaitu u = (1, 2, −1) dan v = (6, 4, 2). Tentukan apakah
w1 = (9, 2, 7) dan w2 = (4, −1, 8) merupakan kombinasi linier dari u dan v.
Penyelesaian:
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Vektor
8 / 26
NORM & JARAK
Definisi 4 (Norm)
Panjang dari suatu vektor atau biasa disebut norm vektor v dituliskan sebagai ∥v∥. Jika vektor di Rn , v = (v1 , · · · , vn ), maka
q
∥v∥ = v12 + · · · + vn2
Contoh 4
Tentukan norm dari vektor-vektor berikut
1. v = (6, −2, 3)
−−→
2. vektor P1 P2 , jika P1 (2, −1, −5) dan P2 (4, −3, 1)
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Norm & Jarak
9 / 26
Definisi 5 (Vektor Satuan)
Vektor satuan adalah suatu vektor yang memiliki norm 1 satuan. Vektor satuan dari vektor tak nol v di Rn , didefinisikan sebagai
uv =
1
v
∥v∥
Contoh 5
Tentukan vektor satuan dari vektor di R3 , yaitu v = (−3, 2, 1).
Penyelesaian:
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Norm & Jarak
10 / 26
Vektor satuan standar
Pada sistem koordinat di R2 atau R3 , vektor satuan yang searah dengan
sumbu positif disebut vektor satuan standar.
Di R2 vektor satuan standar dinotasikan oleh i = (1, 0) dan j = (0, 1).
Di R3 vektor satuan standar dinotasikan oleh i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan
k = (0, 0, 1).
Di Rn vektor satuan standar dinotasikan oleh
e1 = (1, 0, · · · , 0, 0), e2 = (0, 1, · · · , 0, 0), · · · , dan en = (0, 0, · · · , 0, 1).
Jadi, setiap vektor di Rn , v = (v1 , · · · , vn ) dapat dituliskan sebagai kombinasi
linier dari vektor satuan standar,
v = v1 e1 + · · · + vn en .
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Norm & Jarak
11 / 26
Definisi 6 (Jarak)
Jika u = (u1 , · · · , un ) dan v = (v1 , · · · , vn ) merupakan vektor di Rn , maka
jarak kedua vektor tersebut didefinisikan sebagai
q
d(u, v) = ∥u − v∥ = (u1 − v1 )2 + · · · + (un − vn )2
Contoh 6
Tentukan jarak u = (0, 2, 1, 3, 7) dengan v = (3, 4, 1, −2, 0).
Penyelesaian:
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Norm & Jarak
12 / 26
HASIL KALI TITIK / DOT PRODUCT
Definisi 7 (Hasil Kali Titik)
Jika u dan v merupakan vektor tak nol di Rn , dan θ merupakan sudut yang
dibentuk oleh u dan v, maka hasil kali titik u dan v adalah
u • v = ∥u∥∥v∥ cos θ
Jika θ =
π
= 90◦ , maka u dan v saling tegak lurus atau saling orthogonal.
2
Hasil kali titik juga dapat ditentukan menggunakan elemen vektor.
Misalkan u = (u1 , · · · , un ) dan v = (v1 , · · · , vn ), maka
u•v=
n
X
ui vi = u1 v1 + · · · + un vn
i=1
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Hasil Kali Titik
13 / 26
Contoh 7
Tentukan u • v!
1. u = (0, 0, 1), v = (0, 2, 2), dengan sudut 45◦
2. u = (−1, 3, 5, 7) dan v = (−3, −4, 1, 0)
Penyelesaian:
Contoh 8
Tentukan sudut antara vektor u = (2, −1, 1) dan v = (1, 1, 2).
Penyelesaian:
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Hasil Kali Titik
14 / 26
Sifat-sifat hasil kali titik: Jika u, v, w ∈ Rn , c merupakan skalar, maka
1. u • v = v • u
(simetris)
2. u • (v ± w) = u • v ± u • w
(distributif)
3. c.(u • v) = (cu) • v = u • (cv)
(homogenitas)
4. u • u ≥ 0 dan u • u = 0 jhj u = 0
(kepositifan)
5. 0 • v = v • 0 = 0
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Hasil Kali Titik
15 / 26
Teorema 1
Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di Rn . Kondisi di bawah ini berlaku
(i) u • u = ∥u∥2 dan ∥u∥ = (u • u)1/2
(ii) Jika u dan v vektor tak nol, dan θ adalah sudut antara kedua vektor,
maka
θ adalah sudut lancip, jika dan hanya jika u • v > 0
θ adalah sudut tumpul, jika dan hanya jika u • v < 0
▶ θ adalah siku-siku, jika dan hanya jika u • v = 0
▶
▶
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Hasil Kali Titik
16 / 26
HASIL KALI SILANG
Definisi 8 (Hasil Kali Silang)
Jika u = (u1 , u2 , u3 ) dan v = (v1 , v2 , v3 ) merupakan vektor tak nol di R3 , maka
hasil kali silang u dan v adalah
i j k
u × v = u1 u2 u3
v1 v2 v3
Contoh 9
Jika u = (1, 2, −2) dan v = (3, 0, 1) merupakan vektor di R3 . Tentukan u × v.
Penyelesaian:
i j k
u × v = 1 2 −2
3 0 1
Marshellino, S.Mat., M.Si.
=
2 −2
1 −2
1 2
i−
j+
k
0 1
3 1
3 0
= 2i − 7j − 6k
Ruang
Kali Silang
= Vektor
(2,Euclid
−7,/ Hasil
−6)
17 / 26
Sifat-sifat hasil kali silang:
Jika u, v, w ∈ R3 , c merupakan skalar, maka
1. u × v = −(v × u)
2. u × (v + w) = (u × v) + (u × w)
3. c.(u × v) = (cu) × v = u × (cv)
4. 0 × u = u × 0 = 0
5. u × u = 0
Hubungan hasil kali silang dengan hasil kali titik:
Jika u, v, w ∈ R3 , maka
u • (u × v) = 0
v • (u × v) = 0
∥u × v∥2 = ∥u∥2 ∥v∥2 − (u • v)2
u × (v × w) = (u • w)v − (u • v)w
(u × v) × w = (u • w)v − (v • w)u
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Hasil Kali Silang
18 / 26
ORTOGONAL & ORTONORMAL
Definisi 9 (Ortogonal)
Dua vektor tak nol di Rn , u dan v, dikatakan saling ortogonal/tegak lurus,
jika u • v = 0.
Dan disepakati bahwa, vektor nol di Rn ortogonal terhadap semua vektor di
Rn .
Himpunan vektor di Rn disebut himpunan ortogonal jika setiap vektor di
himpunan tersebut saling ortogonal.
Himpunan ortogonal vektor-vektor satuan dinamakan himpunan ortonormal.
Contoh 10
1. Tunjukkan bahwa u = (−2, 3, 1, 4) dan v = (1, 2, 0, −1) ortogonal di R4 .
2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor satuan standar di R3 saling ortogonal.
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Ortogonal
19 / 26
VEKTOR NORMAL
Definisi 10 (Vektor Normal)
Vektor normal / Normal adalah vektor yang tegak lurus dengan sebuat garis
atau sebuah bidang.
−−→
Artinya n • P0 P = 0.
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Ortogonal
20 / 26
Contoh 11
Tentukan titik P0 yang dilalui dan vektor normal n dari persamaan berikut.
1. 7(x − 1) + 2(y + 3) = 0.
2. 2(x − 3) − 5(y − 6) + 7z = 0
Contoh 12
Carilah persamaan bidang yang melalui titik P (2, 6, 1) dan tegak lurus dengan normal n = (1, 4, 2).
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Ortogonal
21 / 26
Bentuk umum persamaan garis dengan normal n = (a, b) adalah
ax + by + c = 0
Bentuk umum persamaan bidang dengan normal n = (a, b, c) adalah
ax + by + cz + d = 0
Contoh 13
Carilah persamaan bidang yang melalui titik (3, 2, 1), (2, 1, −1), dan (−1, 3, 2).
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Ortogonal
22 / 26
PROYEKSI VEKTOR
Teorema 2 (Teorema Proyeksi)
Jila u dan a adalah dua vektor di Rn dan v ̸= 0, maka u dapat dinyatakan
sebagai u = w1 + w2 , dengan w1 adalah perkalian skalar dari a dan w2
ortogonal terhadap a.
Note: w1 adalah proyeksi u pada a / komponen u pada a dan w2 adalah
komponen u yang ortogonal dengan a.
Definisi 11 (Proyeksi Ortogonal)
Proyeksi ortogonal u pada vektor a dapat ditentukan sebagai
proja u =
Marshellino, S.Mat., M.Si.
u•a
a
∥a∥2
Ruang Vektor Euclid / Proyeksi
23 / 26
Contoh 14
Misalkan u = (2, −1, 3) dan a = (4, −1, 2). Tentukan proyeksi ortogonal u
pada a.
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Proyeksi
24 / 26
PROYEKSI SKALAR
Definisi 12 (Proyeksi Skalar)
Proyeksi skalar merupakan norm atau panjang dari proyeksi vektor u pada
a, yang didefinisikan sebagai
∥proja u∥ =
|u • a|
∥a∥
Contoh 15
Misalkan u = (0, 2, −1, 3, 7) dan v = (3, 4, 1, −2, 0). Tentukan proyeksi ortogonal u pada v dan panjangnya.
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Proyeksi
25 / 26
Contoh 16
Tentukan proyeksi ortogonal dari vektor satuan standar di R2 pada sembarang garis L yang membentuk sudut θ terhadap sumbu-x.
Marshellino, S.Mat., M.Si.
Ruang Vektor Euclid / Proyeksi
26 / 26