MSA07 - Aljabar Linier
(Sistem Persamaan Linier dan Matriks)
MARSHELLINO, S.MAT., M.SI.2024
(
)
Pengantar
Sistem
Persamaan
Linear
Sistem Persamaan Linier
Secara umum persamaan linier dengan 𝑛 variabel 𝑥1 , …,
𝑥𝑛 , dapat ditulis sebagai
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
(1)
dengan 𝑎1 , …, 𝑎𝑛 , 𝑏 kontansta dan semua nilai 𝑎𝑖 tidak
bernilai nol.
Jika 𝑏 = 0 , maka persamaan (1) disebut sebagai
persamaan linier homogen 𝒏 dinemsi.
Contoh:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐,
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑,
𝑎, 𝑏 ≠ 0.
𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0.
Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier
dalam variabel 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 disebut sebagai sistem
persamaan
linier
(SPL).linier 𝑚
Bentuk umum
sistem
persamaan dari 𝑛
variabel 𝑥1 ,…,𝑥𝑛 ditulis dalam bentuk (SPL-(𝑚, 𝑛))
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
(2)
⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Ketika 𝑏i = 0, maka (2) disebut SPL homogen.
Solusi dari sistem (2) adalah 𝑥1 = 𝑠1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑠𝑛 yang
dapat ditulis (𝑠1 , … , 𝑠𝑛 ) yang disebut pasangan berurut 𝒏
Setiap SPL memiliki nol, satu, atau tak hingga
banyaknya solusi, tidak ada kemungkinan yang lain.
Suatu sistem yang memiliki solusi disebut konsisten.
SPL Dua Variabel
Bentuk umum:
SPL Tiga Variabel
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = c1Bentuk umum:
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦
= c2 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧
= 𝑑1
= 𝑑2
= 𝑑3
Eliminasi
Gauss
Matriks Augmented
Suatu SPL-(𝑚, 𝑛) berikut
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛
= 𝑏1
= 𝑏2
⋮
= 𝑏𝑚
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
dapat ditulis dalam bentuk 𝐴𝐱 = 𝐛
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
⋯
⋯
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
.
⋮
𝑏𝑚
Atau dapat ditulis dalam bentuk
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2
𝐴𝒃 =
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
yang disebut sebagai matriks augmented (matriks yang
diperluas).
Matriks Eselon
Suatu matriks memiliki bentuk
jika memenuhi sifat berikut:
eselon
baris
tereduksi,
1.Jika sebuah baris tidak terdiri sepenuhnya dari nol,
maka angka pertama yang tidak nol dalam baris tersebut
adalah 1, yang disebut sebagai 1 utama.
2.Jika ada baris-baris yang terdiri sepenuhnya nol, maka
diletakkan di bagian bawah matriks.
3.Dalam dua baris berturut-turut yang tidak terdiri
sepenuhnya dari nol, 1 utama di baris bawah muncul lebih
ke kanan daripada 1 utama di baris atas.
4.Setiap kolom yang berisi 1 utama memiliki nol di semua
tempat lain dalam kolom tersebut.
Jika
hanya
memenuhi
1-3
suatu
matriks
memiliki
bentuk
Ilustrasi matriks eselon baris
1
0
0
0
∗ ∗
1 ∗
0 1
0 0
0
0
0
0
0
∗
∗
∗
1
1
0
0
0
0
∗
1
0
0
0
1 ∗ ∗ ∗
0 1 ∗ ∗
0 0 1 ∗
0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 1 ∗ ∗
0 0 0 0 0
1
0
0
0
∗
∗
∗
∗
1
∗ ∗
0 ∗
0 1
0 0
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
0
Ilustrasi matriks eselon baris tereduksi
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
∗
∗
∗
0
0
0 ∗
0 ∗
1 ∗
0 0
0 ∗ ∗
0 ∗ ∗
0 ∗ ∗
1 ∗ ∗
0 0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
∗
0
0
0
∗
∗
∗
∗
∗
0
0
1
0
∗
∗
∗
0
Contoh:
1
0
0
0 0
1 0
0 1
1 4
0 1
0 0
4
7
−1
−3 7
6 2
1 5
1
0
0
0 0
1 0
0 1
1 1
0 1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
1 2
0 1
0 0
0
1
0
0
1
3
0
0
6 0
−1 0
0 1
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Oleh karena setiap baris dari matriks augmented
(𝐴|𝒃)
bersesuaian dengan persamaan pada SPL,
terdapat tiga operasi dasar yang dapat digunakan
untuk operasi baris pada matriks 𝐴 𝒃 , yaitu:
1.Mengalikan baris dengan konstanta tak nol.
2.Menukar dua baris.
3.Menambah suatu baris dengan perkalian konstan baris
Operasi
di atas disebut operasi baris elementer (OBE)
lainnya.
pada matriks.
Penyelesaian dari SPL dapat lebih mudah diperoleh
ketika matriks (𝐴|𝒃) diubah menjadi matriks eselon
baris tereduksi, menggunnakan (OBE)
Berikut adalah contoh sebagai ilustrasi OBE untuk
merubah ke dalam bentuk matriks eselon baris/eselon
baris
0 tereduksi.
0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
Step 1: Cari
kolom
pertama
yang
elemennya
tidak
semuanya
bernilai
nol.0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
Step 2: Tukar
baris
pertama dengan baris lain
(jika
perlu),
untuk
meletakkan elemen tak nol
dari 2step
1 6ke12 baris
4
−10
28
𝐵1 ⟷𝐵2
pertama.
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1
Step 4: Kalikan
baris
pertama
dengan
suatu
bilangan
tertentu
dan
jumlahkan ke baris lainnya
Step 3: Jika elemen pada
sehingga semua elemen di
baris
pertama
tidak
bawah 1 angka
1 6 utama
2
−5
3
14
𝐵
=𝐵
−2𝐵
bernilai 1 misalnya 𝑎 , 3 3 1
menjadi0 nol.
0 −2 0
7
12
maka bagi baris tersebut
0 0 5 0 −17 −29
dengan
𝑎.
1
6 14
𝐵1 =2𝐵1 1 2 −5 3
Step 5: Tutup dan abaikan
0 0 −2 0 7 12
baris pertama dan ulangi
2 4 −5 6 −5 −1
step
1
danseterusnya
hingga
diperoleh
bentuk
matriks eselon baris.
2
0
2
4 −10
0 −2
4 −5
6
0
6
12 28
7 12
−5 −1
1 2
0 0
0 0
1
𝐵2 =−2𝐵2
1
0
0
𝐵3 =
𝐵3 −5𝐵2
1 2
0 0
0 0
−5 3
−2 0
5 0
2 −5
0 1
0 5
3
0
0
−5 3
1 0
0 0
6
14
7
12
−17 −29
6
14
−7/2 −6
−17 −29
6
−7/2
1/2
1
0
0
𝐵3 =2𝐵3
2 −5
0 1
0 0
1 2
0 0
0 0
3
0
0
−5 3
1 0
0 0
6
14
−7/2 −6
1/2
1
6
−7/2
1
14
−6
2
14
−6
1
Langkah 1-5 disebut
sebagai proses
Eliminasi Gauss.
1 2 −5 3
6
14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0
1
2
Step 6: Lakukan Langkah 4, sehingga elemen di atas 1
utama bernilai nol, diperoleh matriks eselon baris
tereduksi.
𝐵2 =𝐵2 +(7/2)𝐵3
1 2 0 3 0 7
1
2
−5
3
0
2
𝐵
=𝐵
+5𝐵
1
1
2
𝐵1 =𝐵1 −6𝐵3
0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 1 2
Langkah 1-6 disebut
sebagai proses Eliminasi
Gauss-Jordan.
Contoh:
Diberikan SPL-(3,3) berikut
1𝑥1 + 1𝑥2 + 2𝑥3 = 9
2𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 1
3𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 = 0
Jawab:
Matriks
augmentednya
adalah
1 1 2 9
2 4 −3 1
𝐵2 =𝐵2 −2𝐵1
3 16 −5
09
1
2
𝐵3 =𝐵3 −3𝐵1
0 2 −7 −17
0 3 −11 −27
1
𝐵2 = 𝐵2
2
𝐵3 =𝐵3 −3𝐵2
𝐵3 =−2𝐵3
1 1
2
9
0 1 −7/2 −17/2
0 3 −11 −27
1 1
2
9
0 1 −7/2 −17/2
0 0 −1/2 −3/2
1
0
0
𝐵2 =𝐵2 +(7/2)𝐵3
𝐵1 =𝐵1 −2𝐵3
1
2
9
1 −7/2 −17/2
0
1
3
1
0
0
1 03
1 02
0 13
1 1 03
0 1 02
0 0 13
𝐵1 =𝐵1 −𝐵2 1 0 0 1
0 1 02
0 0 13
Jadi solusi dari SPL adalah 𝑥1 = −4 , 𝑥2 = 7 , dan
= 3.
𝑥3
Contoh tersebut memiliki penyelesaian tunggal.
Perhatikan contoh hasil matriks eselon tereduksi
berikut:
1 0 00
Dari baris terakhir diperoleh 0𝑥1 + 0𝑥2
0 1 20
+ 0𝑥3 = 1.
0 0 01
(SPL tersebut tidak konsisten, artinya
ada solusi)
1 0 3 −1 tidak
Dari baris
terakhir diperoleh 0𝑥1 + 0𝑥2
0 1 −4 2
+ 0𝑥3 = 0 , jadi dapat diabaikan. Karena
0 0 0 0
elemen 1 utama pada kolom ketiga
bernilai
nol,
maka
𝑥3
merupakan
variabel bebas. Misalkan 𝑥3 = 𝑠 , maka
dari
persamaan
pertama
dan
kedua
diperoleh 𝑥1 = −1 − 3𝑠, 𝑥2 = 2 + 4𝑠.
(SPL memiliki tak hingga solusi)
1 −5
0 0
0 0
14
00
00
Dari dua baris terakhir diperoleh 0𝑥1
+ 0𝑥2 + 0𝑥3 = 0 , jadi dapat diabaikan.
Karena kolom kedua dan ketiga tidak
memiliki 1 utama, maka 𝑥2 , 𝑥3 merupakan
variabel bebas. Misalkan 𝑥2 = 𝑠 , 𝑥3 = 𝑡 ,
maka dari persamaan pertama diperoleh
𝑥1 = 4 + 5𝑠 − 𝑡.
(SPL memiliki tak hingga solusi)
Contoh:
Diberikan SPL-(4,6) berikut
1𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 10𝑥4 + 2𝑥5 + 01𝑥4
2𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 − 12𝑥4 + 4𝑥5 − 13𝑥6
0𝑥4 + 0𝑥4 + 5𝑥3 + 10𝑥4 + 0𝑥4 + 15𝑥6
2𝑥1 + 6𝑥2 + +𝑥4 + 18𝑥4 + 4𝑥5 + 18𝑥6
Jawab: Matriks augmentednya
adalah
1 3 −2 0 2 0 0
2 6 −5 −2 4 −3 −1
0 0 5 10 0 15 5
2 6 0
8 4 18 6
= 0
= −1
= 5
= 6
1
2
0
2
3 −2
6 −5
0 5
6 0
0
−2
10
8
1
0
0
0
3 −2
0 1
0 5
0 4
0
2
10
8
2
0
0
0
0 0
3 1
15 5
18 6
1
0
0
0
3 −2
0 1
0 0
0 0
0
2
0
0
2
0
0
0
00
31
62
00
𝐵2 =−𝐵2
𝐵3 ↔𝐵4
2
4
0
4
0 0
−3 −1
15 5
18 6
𝐵2 =𝐵2 −2𝐵1
𝐵4 =𝐵4 −2𝐵1
1
0
0
0
𝐵3 =𝐵3 −5𝐵2
𝐵4 =𝐵4 −4𝐵2
1
𝐵3 = 𝐵3
6
1
0
0
0
3
0
0
0
−2
−1
5
4
0
−2
10
8
2 0 0
0 −3 −1
0 15 5
0 18 6
1
0
0
0
3
0
0
0
−2
1
0
0
0
2
0
0
2
0
0
0
3 −2
0 1
0 0
0 0
0
2
0
0
2
0
0
0
0 0
3 1
1 1/3
0 0
00
31
00
62
3 −2 0 2 0 0
0 1 2 0 3 1
0 0 0 0 1 1/3
0 0 0 0 0 0
1 3 −2 0 2 0 0
𝐵2 =𝐵2 −3𝐵3 0 0
1 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1/3
0 0 0 0 0 0 0
1
0
0
0
𝐵1 =𝐵1 +2𝐵2
1
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
0
4
2
0
0
2
0
0
0
0 0
0 0
1 1/3
0 0
Dari baris terakhir diperoleh 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 0, jadi
dapat diabaikan. Karena kolom kedua, keempat, dan
kelima tidak memiliki 1 utama, maka 𝑥2 , 𝑥4 dan 𝑥5
merupakan variabel bebas. Misalkan 𝑥2 = 𝑟, 𝑥4 = 𝑠, dan
𝑥5 = 𝑡 maka dari persamaan pertama, kedua, dan ketiga
1
diperoleh 𝑥1 = −3𝑟 − 4𝑠 − 2𝑡, 𝑥3 = −2𝑠, dan 𝑥6 = .
3
(SPL memiliki tak hingga solusi)
Contoh:
Diberikan SPL-(4,6) homogen berikut
1𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 10𝑥4 + 2𝑥5 + 01𝑥4
2𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 − 12𝑥4 + 4𝑥5 − 13𝑥6
−𝑥4 + 0𝑥4 + 5𝑥3 + 10𝑥4 + 0𝑥4 + 15𝑥6
2𝑥1 + 6𝑥2 + +𝑥4 + 18𝑥4 + 4𝑥5 + 18𝑥6
=
=
=
=
Jawab: Matriks augmentednya adalah
1 3 −2 0
2 6 −5 −2
0 0 5 10
2 6 0
8
2 0 0
4 −3 0
0 15 0
4 18 0
0
0
0
0
Oleh karena kolom terakhir bernilai nol semua, maka
tidak mempengaruhi OBE yang dilakukan sebelumnya,
sehingga diperoleh matriks eselon baris tereduksi
1 3 0 4 2 00
0 0 1 2 0 00
0 0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 00
Diperoleh solusi 𝑥1 = −3𝑟 − 4𝑠 − 2𝑡 , 𝑥2 = 𝑟 , 𝑥3 = −2𝑠 , 𝑥4
= 𝑠, 𝑥5 = 𝑡, dan 𝑥6 = 0.
(Ketika 𝑟 = 𝑠 = 𝑡 = 0 , maka diperoleh semua nilai 𝑥1
= ⋯ = 𝑥6 = 0, yang disebut solusi trivial)
SPL homogen pasti memiliki minimal 1 solusi,
yaitu solusi trivial.
Matriks dan
Operasi
Matriks
Matriks
Matriks
adalah
sekumpulan
bilangan
yang
disusun
Secara
baris
Bentukdan kolom.
umum
dari
matriks 𝐴𝑚×𝑛
adalah
matriks
yang
terdiri
dari 𝑚
baris dan 𝑛
kolom sebagai Berikut
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Contoh matriks khusus:
 Matriks
baris
dan
matriks kolom.
 Matriks persegi
 Matriks diagonal
 Matriks segitiga (atas
dan bawah)
 Matriks simetri
 Matriks nol
 Matriks identitas
Operasi Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks
Syarat kedua matriks harus berukuran sama.
𝐴 ± 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗
± 𝑏𝑖𝑗
= 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
Perkalian matriks dengan skalar
𝑘𝐴 = 𝑘 𝑎𝑖𝑗
= 𝑘𝑎𝑖𝑗
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
Perkalian matriks dengan matriks
Syarat jumlah kolom matriks pertama
dengan jumlah baris matriks kedua.
𝐴𝐵 = 𝑎𝑖𝑗
𝑏𝑖𝑗
= 𝑐𝑖𝑗
dengan 𝑐𝑖𝑗 =
𝑝
𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 .
𝑚×𝑝
𝑝×𝑛
𝑚×𝑛
harus
sama
Transpose ( 𝐴T ): diperoleh dari menukar elemenelemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya.
Trace:
Syarat harus matriks persegi.
Menjumlahkan semua elemen pada diagonal utama.
𝑛
𝑡𝑟 𝐴 =
𝑎𝑖𝑖 = 𝑎11 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛
𝑖=1
Determinan
Determinan
Determinan
Suatu determinan matriks (persegi berukuran 𝒏 × 𝒏 )
dinotasikan sebagai
𝐴 = det(𝐴)
yang memetakan elemen-elemen pada matriks 𝐴 ke suatu
bilangan real.
Ada bebesapa cara untuk menentukan |𝐴|, yaitu
1. Ekspansi kofaktor
2. OBE
Menggunakan Ekspansi Kofaktor
Minor dan Kofaktor
Misalkan 𝐴 matriks persegi 𝑛 × 𝑛.
Minor dari elemen 𝑎𝑖𝑗
dinotasikan dengan 𝑀𝑖𝑗
merupakan
determinan
submatriks
yang
tersisa
setelah baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dihilangkan.
Kofaktor dari elemen 𝑎𝑖𝑗
dinotasikan dengan 𝐾𝑖𝑗
merupakan nilai −1 𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗
𝐾11 ⋯ 𝐾1𝑛
⋮
⋱
⋮ .
𝐾𝑜𝑓 𝐴 =
𝐾𝑛1 ⋯ 𝐾𝑛𝑛
3
2
Contoh: Tentukan matriks kofaktor dari𝐴 = −2 −4
5
4
Jawab:
0
3 .
−2
𝐾11 = −1 1+1 𝑀11
−4 3
=
= −4
4 −2
𝐾21 = −1 2+1 𝑀21
2 0
=−
=4
4 −2
𝐾31 = −1 3+1 𝑀31
2 0
=
=6
−4 3
𝐾12 = −1 1+2 𝑀12
−2 3
=−
= 11
5 −2
𝐾22 = −1 2+2 𝑀22
3 0
=
= −6
5 −2
𝐾32 = −1 3+2 𝑀32
3 0
=−
= −9
−2 3
𝐾13 = −1 1+3 𝑀13
−2 −4
=
= 12
5
4
𝐾23 = −1 2+3 𝑀13
3 2
=−
= −2
5 4
𝐾33 = −1 3+3 𝑀33
3
2
=
= −8
−2 −4
−4
Jadi matriks kofaktornya
adalah
𝐾𝑜𝑓(𝐴)
= 4
6
11
−6
−9
12
−2 .
−8
Matriks 2 × 2:
𝑎 𝑏
𝐴=
𝑐 𝑑
𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐.
Matriks 3 × 3:
𝑎 𝑏 𝑐
𝐴= 𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
𝐴 = 𝑎𝐾11 + 𝑏𝐾12 + 𝑐𝐾13 = 𝑎𝑀11 − 𝑏𝑀12 + 𝑐𝑀13 .
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋱
⋮
𝐴= ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐾𝑖1 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐾𝑖𝑛 = −1 𝑖+1 𝑎𝑖1 𝑀𝑖1 + ⋯ + −1 𝑖+𝑛 𝑎𝑖𝑛 𝑀𝑖𝑛 .
(ekspansi sepanjang baris ke-𝑖)
𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐾1𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐾𝑛𝑗 = −1 1+𝑗 𝑎1𝑗 𝑀1𝑗 + ⋯ + −1 𝑛+𝑗 𝑎𝑛𝑗 𝑀𝑛𝑗 .
(ekspansi sepanjang kolom ke-𝑗)
Matriks 𝑛 × 𝑛:
3
2
0
Contoh: Tentukan determinan matriks 𝐴 = −2 −4 3 .
5
4 −2
Jawab: Tentukan baris/kolom yang ingin digunakan untuk ekspansi,
misalkan baris ke-1
3
2
0
det 𝐴 = −2 −4 3
5
4 −2
= −1 1+1 (3)𝑀11 + −1 1+2 (2)𝑀12 + −1 1+3 (0)𝑀13
= 3𝑀11 − 2𝑀12 + 0
−2 3
−4 3
=3
−2
+0
5 −2
4 −2
= 3 −4 − 2 −11 + 0 = 10
1 0
3 1
𝐴
=
Contoh: Tentukan determinan matriks
1 0
2 0
Jawab:
1 0 −1
det 𝐴 = (1) 1 −2 1
 Pilih kolom ke-2
2 0
1
 Pilih kolom ke-2
1
det 𝐴 = (1)(−2)
2
0 −1
2
2
.
−2 1
0
1
−1
1
= 1 −2 1 − −2
= −6
Determinan dari matriks segitiga dan
matriks diagonal sama dengan perkalian
elemen-elemen pada diagonal utama.
3
0
0
Contoh:Tentukan determinan matriks
𝐴 = −2 −4 0 .
3
0
0
5
4 −2
Jawab:
det 𝐴 = −2 −4 0
5
4 −2
= −1 1+1 (3)𝑀11 + −1 1+2 (0)𝑀12 + −1 1+3 (0)𝑀13
= 3𝑀11 + 0 + 0
−4 0
=3
+0+0
4 −2
= 3 −4 (−2) − (0)(−4) = 3 −4 −2 = 24
Menggunakan Reduksi Baris (OBE)
Sifat-sifat Determinan.
berukuran
𝑛
×
𝑛.
1. Jika ada minimal satu
Misalkan
baris/kolom
𝐴
matriks
bernilai
nol
semua, maka 𝐴 = 0.
2. Jika ada minimal dua baris/kolom yang saling
berkelipatan, maka 𝐴 = 0.
3. 𝐴𝑇 = 𝐴 .
4. Misalkan 𝐵
adalah matriks yang elemen pada
baris/kolom ke-𝑘 sama dengan 𝑐 kali baris/kolom ke𝑘 matriks 𝐴, maka 𝐵 = 𝑐|𝐴|.
5. Jika dua baris/kolom yang berdekatan ditukar maka
determinannya sama dengan −|𝐴|.
6. Jika baris/kolom ke-𝑘1 ditambah 𝑐 kali baris ke-𝑘2 ,
maka determinan tetap.
3
2
Contoh: Tentukan determinan matriks 𝐴 = −2 −4
5
4
Jawab:
3
2
0
det 𝐴 = −2 −4 3
5
4 −2
3
1
0
= (2) −2 −2 3
5
2 −2
−2 −2 3
(𝐵1 ⟷ 𝐵2 ) = −(2) 3
1
0
5
2 −2
0
3 .
−2
11/2 1 0
3
(𝐵1 = 𝐵1 + 𝐵3 ) = −(2)
3
1 0
2
5
2 −2
5/2 0 0
(𝐵1 = 𝐵1 − 𝐵2 ) = −(2) 3
1 0
5
2 −2
5
=− 2
1 −2 = 10
2
Contoh:
Hitung determinan dari matriks𝐴 =
Jawab:
1
3
det 𝐴 =
1
2
1
(𝐵2 = 𝐵2 − 3𝐵1 )
0
(𝐵3 = 𝐵3 − 𝐵1 )
=
0
(𝐵4 = 𝐵4 − 2𝐵1 )
0
= −6
1
3
1
2
0
1
0
0
0 0 −1
1 2
2
0 −2 1
0 0
1
0 0 −1
1 2
5
0 −2 2
0 0
3
0 −1
2
2
.
−2 1
0
1
Matriks segitiga atas
Invers Matriks
Invers Matriks
Invers matriks dinotasikan sebagai 𝐴−1 yang dapat
ditentukan menggunakan formula
1
−1
𝐴 =
𝑎𝑑𝑗 𝐴 .
𝐴
dengan 𝑎𝑑𝑗(𝐴)
merupakan matriks adjoint, yang
dirumuskan sebagai transpose dari matriks kofaktor,
yaitu
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = [𝐾𝑜𝑓(𝐴)]T .
Suatu matriks memiliki invers jika 𝐴 ≠ 0.
3
2
Contoh: Tentukan invers matriks𝐴 = −2 −4
5
4
Jawab:
Determinan 𝐴  det 𝐴 = 10.
Matriks adjoint 𝐴 
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐾𝑜𝑓(𝐴) T
−4 11 12 T
=
4 −6 −2
6 −9 −8
−4 4
6
= 11 −6 −9 .
12 −2 −8
0
3 .
−2
Invers 𝐴 
1
−1
𝐴 =
𝑎𝑑𝑗(𝐴)
det 𝐴
−4 4
6
1
=
11 −6 −9
10
12 −2 −8
−2/5
2/5
= 11/10 −3/5
6/5
−1/5
3/5
−9/10 .
−4/5
Menentukan invers dari suatu matriks dapat juga
menggunakan
metode
OBE
yang
diterapkan
pada
augmented
matriks (𝐴|𝐼).
Ketika 𝐴 mempunyai
invers, maka hasil dari OBE nya
adalah 𝐼 𝐴−1 .
3
2
0
Contoh:Tentukan invers matriks
𝐴 = −2 −4 3 .
5
4 −2
Jawab:
3
−2
5
𝐵1 =
𝐵2 =𝐵2 +2𝐵1
𝐵3 =𝐵3 −5𝐵1
2
0 1 0 0
−4 3 0 1 0
4 −2 0 0 1
1
𝐵
3 1
1 2/3 0 1/3 0
−2 −4
3 0
1
5
4
−2 0
0
0
0
1
𝐵2 = −
3
𝐵
8 2
1 2/3
0 1/3 0
0 −8/3 3 2/3 1
0 2/3 −2 −5/3 0
0
0
1
1 2/3
0
1/3
0
0
0
1
−9/8 −1/4 −3/8 0
0 2/3
−2 −5/3
0
1
1
0
0
2/3
0
1/3
0
0
1
−9/8 −1/4 −3/8 0
2/3
−2 −5/3
0
1
2
𝐵3 =𝐵3 −
𝐵
3 2
4
𝐵3 = − 𝐵3
5
𝐵2 =𝐵2 +
9
𝐵
8 3
𝐵1 =𝐵1 −
1 2/3
0
1/3
0
0
0
1
−9/8 −1/4 −3/8 0
0
0
−5/4 −3/2 1/4 1
1/3
0
0
1 2/3
0
0
0
1
−9/8 −1/4 −3/8
6/5 −1/5 −4/5
0
0
1
0
0
1 2/3 0 1/3
0
1
0 11/10 −3/5 −9/10
−1/5 −4/5
0
0
1 6/5
2
𝐵
3 2
1 0
0 1
0 0
2/5
3/5
0 −2/5
0 11/10 −3/5 −9/10
−1/5 −4/5
1 6/5
Jadi invers matriks
𝐴 adalah
−2/5
2/5
3/5
𝐴−1 = 11/10 −3/5 −9/10
6/5
−1/5 −4/5