Rekursiv wird die Folge wie folgt beschrieben: s0 = 1, sn+1 = sn + xn+1 .
n+1
n+1
1
= 1−x
− x1−x . Daraus folgt:
Die explizite Darstellung der Reihe: sn = 1−x
1−x
∞
X
Analysis 1/2
xn =
n=0
emax
Die Reihe
1
,
1−x
∀x ∈ [−1; 1]
P∞
n=0 an heisst absolut konvergent, falls
P∞
n=0 |an | konvergiert.
Potenzreihen
HS13/FS14
Potenzreihen haben die Form
P (x) =
Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen N (oder auch
N0 ) in die Reellen Zahlen.
Der Konv.bereich ist ein (halb-)offenes Intervall mit Zentrum x0 , Konvergenzradius ρ.
Konvergenzradius:
Falls verschwindende Koeffizienten (ak = 0) auftreten, Formel
an
1 √
ρ = lim
von Cauchy-Hadamard: ρ =
n→∞ an+1
limn→∞ sup n |an |
rekursiv: Das n-te Glied der Folge an wird mit Hilfe des vorangegangenen Gliedes
(oder mehrerer) berechnet.
Taylorsche Polynom, Taylorreihe
Das n-te Glied der Folge an wird durch den Index n ermittelt.
(strikt) monoton wachsend:
- Undendliche Reihe, Polynom undendlicher Ordnung
- x0 Entwicklungspunkt, Koeffizienten ak ∈ R/C
- Konvergiert absolut ∀x ∈ Konvergenzbereich
an (x − x0 )n
n=0
Folgen und Reihen
explizit:
∞
X
Mit Hilfe des Ansatzes von Taylor können Funktionen approximiert werden.
Die Taylorreihe:
Das Taylorsche Polynom:
an+1 >= an (bzw. an+1 > an ), ∀n.
(strikt) monoton fallend: an+1 <= an (bzw. an+1 < an ), ∀n.
Pn (x) =
beschränkt: Das Bild der Folge ist in einem endlich breiten, waagrechten Parallelstreifen enthalten.
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
P (x) =
∞
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
Taylorsche Formel:
Für eine stetige, (n + 1)-mal differentierbare Funktion gibt es ein ζ ∈ (x0 , x), s.d. gilt:
Ist die Folge beschränkt und monoton wachsend oder fallend, so konvergiert die Folge
gegen einen Grenzwert. Eine Folge, für welche das n-te Glied aus der Summe aller (n − i)
vorangegangenen Glieder einer Folge besteht, nennt man Reihe.
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
Grenzwertsätze:
limn→∞ (an ± bn ) = limn→∞ an ± limn→∞ bn limn→∞ (an · bn ) = limn→∞ an · limn→∞ bn
limn→∞ c · an = c · limn→∞ an
limn→∞ (an /bn ) = limn→∞ an / limn→∞ bn
k!
(x − x0 )k +
f (n+1) (ζ)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
Funktionen & Kurven
Definition: Eine Funktion oder Abbildung von der Menge A in die Menge B,
f : A → B, ist eine Vorschrift, dei für jedes Element in x ∈ A ein Element f (x) ∈ B
festlegt, f : x → f (x).
Geometrische Folge und geometrische Reihe
Eine Folge der Form a0 = a, a1 = aq, a2 = aq 2 , . . . , an = aq n heisst geometrische Folge,
wobei a das Anfangsglied und q Faktor genannt werden.
Funktionen können verschieden dargestellt werden:
Parameterisiert:
Explizit:
t → (x(t), y(t))
y = f (x)
|q| > 1: |an+1 | = |an q| = |an ||q| > |an | Folge nicht beschränkt, nicht konvergent.
|q| < 1: |an+1 | = |an q| = |an ||q| < |an | Folge konvergiert gegen 0.
Gleichung:
0 = F (x, y)
Grenzwerte, Stetigkeit, Asymptoten
Linker Grenzwert in x = ξ: limx→ξ− f (x) = a (Annähereung von x anξ von ”links”)
Rechter Grenzwert in x = ξ: limx→ξ+ f (x) = b (Annähereung von x anξ von ”rechts”)
Geometrische Reihe:
Folge der Form s0 = 1, s1 = 1 + x, s2 = 1 + x + x2 , . . . , sn = 1 + x + . . . + xn .
1
Stetigkeit: Eine Funktion f : x → f (x) sei auf dem Intervall (a, b), a < ξ < b definiert. Falls limx→x+ f (x) = f (ξ) = limx→x− f (x), so heisst f stetig im Punkt ξ. Gilt
dies ∀x im Definitionsbereich, so heisst f stetig schlechthin.
gibt es (mindestens) ein ξ, x1 < ξ < x2 , mit
f 0 (ξ) · (x2 − x1 ) = f (x2 ) − f (x1 ).
Anschaulich: An der Stelle x = ξ entstpricht die Steigung der Funktion f (x) derjenigen
der Geraden, welche durch die Punkte (x1 , f (x1 )) und (x2 , f (x2 )) verläuft.
Grenzwerte (insbesondere bei gebrochen rationalen Funktionen) können z.B. mittels
Faktorisieren, Kürzen, Quadratisch ergänzen, Dividieren durch höchste Potenz, Substituieren, Polynomdivision und der Regel von Bernoulli-Hôpital errechnet werden.
Daraus folgt der Satz von Rolle:
Es sei f : x → f (x) eine differenzierbare Funktion mit f (x1 ) = 0 = f (x2 ), x1 < x2 . Dann
gibt es mindestens ein ξ, x1 < ξ < x2 , mit f 0 (ξ) = 0.
Gibt es für eine Funktion f (x) eine andere Fkt. g(x) 6= f (x), s.d. limx→∞ (f (x)−g(x)) = 0
(und limx→∞ (f (n) (x) − g (n) (x)) = 0) gilt, heisst g Asymptote von f .
Regel von Bernoulli-Hôpital
Es seien f (x) und g(x) zwei in [a, b] definierte differenzierbare Funktionen mit f (a) =
0 = g(a). Dann gilt
f 0 (x)
f (x)
= lim+ 0
, g 0 (x) 6= 0.
lim+
x→a g (x)
x→a g(x)
Dabei müssen sowohl f (x), als auch g(x) beide nach 0 oder ∞ streben!
Seien f und g zwei Funktionen. f ist von kleinerer Grössenordnung als g, falls
(x)
limx→∞ fg(x)
= 0 gilt. → f (x) = o(g(x)) für x → ∞, ”o” Landau-Symbol
Beispiele: - xk = o(ex ) für x → ∞, - log x = o(xk ) für x → ∞, k > 0
Zwischenwertsatz für stetige Funktionen
Es sei f : x → f (x) eine auf [a, b] stetige Funktion. Es sei m irgendein Wert zwischen
f (a) und f (b). Dann gibt es (mindestens) ein ξ mit f (ξ) = m.
Liniarisieren, Fehlerrechnung
Funktion: Lineare Ersatzfunktion:
x → f (x) x → f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
Der Graph der Lin. Ersatzfunktion von f in x0 ist die Tangente an den Graphen von
f im Punkt (x0 , f (x0 )). Sie ist in der Nähe von x0 eine gute Aproximation der Funktion f .
Inverse Funktion
Idee: Eine Funktion f : x → f (x) soll so umgeformt werden, dass die Variable
gewechselt wird. Der Funktionswert wird zum Argument, das Argument zum Wert:
y : x → y(x) → x : y → x(y).
Die Inverse einer Funktion f (x): f −1 (x) (Anschaulich: Spiegelung von f an der ersten
Winkelhalbierenden.) → f ◦ f −1 (x) = f −1 ◦ f (x) ≡ x.
Dazu muss f aber injektiv sein!
Nun sei ϕ(x) = f (x) − (f 0 (x0 )∆x + f (x0 )) mit ∆x = x − x0 . Dann muss gelten:
lim
∆x→0
Differentialrechnung
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
df
(x0 ) = lim
,
∆x→0
dx
∆x
Differential :
Vorgehen:
1. Die Funktion, deren Extrema zu bestimmen sein, ermitteln: f : x → f (x)
2. Funktion ableiten und gleich 0 setzen: f 0 (x) = 0
3. Gleichung nach Variable auflösen (ergibt mögl. mehrere Werte): xi = . . .
→ An diesen Stellen befindet sich ein Extremum!
∆f = f (x + ∆x) − f (x)
df
Die Ableitung/Derivierte einer Funktion f ist dann gegeben durch x → f 0 (x) = dx
(x).
Sie beschreibt den Verlauf der Steigung in jedem Punkt des Graphen von f .
Es gelten folgende Ableitungsregeln:
d
Addition/Subtraktion: dx
(f (x) ± g(x))
d
Multiplikation mit Faktor:
dx (c · f (x))
d
Produktregel :
· g(x))
dx (f (x)
Kettenregel :
Ableitung der Inversen:
(ϕ(x) geht stärker gegen 0 als ∆x.)
Extremalaufgaben
Differentialquotient:
Quotientenregel :
ϕ(x)
=0
∆x
f (x)
d
dx g(x)
d(f ◦g)
dx (x)
df −1
dx (x)
=
=
=
=
=
=
Minima oder Maxima?
- f 00 (x0 ) < 0 → Maximum
- f 00 (x0 ) > 0 → Minimum
- f 00 (x0 ) = 0 → Sattelpunkt
Es gibt Fälle, wo auch die zweite Ableitung über die Natur des Extremums
keine Auskunft gibt!
df
dg
dx (x) ± dx (x)
df
c · dx (x), c ∈ R
df
dg
dx (x) · g(x) + f (x) · dx (x)
df
dg
dx (x)·g(x)−f (x)· dx (x)
g 2 (x)
df
dg
dg (g(x)) · dx (x)
1
f 0 (f −1 (x))
Globale Extrema
4. Die errechneten Werte xi kommen auf
eine ”Kandidatenliste”.
5. Randpunkte des Intervalls ebenfalls auf
Liste setzen.
6. Zur Ermittlung der glob. Minimal- und
Maximalstelle Funktionswerte vergleichen!
Krümmung, Normale
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Gegeben sei die stetige, mind. zweimal diff’bare Funktion f : x → f (x).
f 00 (x0 ) > 0: Die Kurve von f ist konvex (nach ”links” gekrümmt).
Es sei f : x → f (x) eine im Intervall [x1 , x2 ] definierte differenzierbare Funktion. Dann
2
Rb
Rb
Cf (x)dx = C a f (x)dx, C ∈ R
Ra
Ra
f (x)dx = − b f (x)dx →
f (x)dx = 0
a
a
Rb
Rc
Rc
f (x)dx + b f (x)dx = a f (x)dx
Ra b
Rb
| a f (x)dx| ≤ a |f (x)|dx
Diese Regeln (ausser 3 und 5) gelten sowohl für bestimmte, als auch für unbestimmte
(ohne Integrationsgrenzen) Integrale.
f 00 (x0 ) < 0: Die Kurve von f ist konkav (nach ”rechts” gekrümmt).
Ändert bei x0 das Vorzeichen von f 00 , so befindet sich an dieser Stelle ein Wendepunkt
des Graphen. Allgemein besitzt eine Stelle mit f 00 (x0 ) = 0 keine Krümmung.
Rab
Die Krümmung einer Kurve K ist gegeben durch
t → (x(t), y(t)) :
k(t) =
ÿ ẋ − ẏẍ
(ẋ2 + ẏ 2 )3/2
,
x → y(x) :
k(x) =
y 0 (x)
.
(1 + y 0 (x)2 )3/2
Methode der partiellen Integration
Diese Methode Integrale zu lösen ist eine Umkehreung der Produktregel für Ableitungen.
Z
Z
u0 vdx = uv − uv 0 dx, u : x → u(x), v : x → v(x)
Der Krümmungskreis von K im Punkt P ist derjenige Kreis, der in P die gleiche
Tangentensteigung und die gleiche Krümmung wie K hat.
Der Radius des Krümmungskreises ist dann gegeben durch |1/k|.
Der Trick dabei ist, den Integranten des zu lösenden Integrals in das Produkt einer Funktion u(x) und einer
bereits abgeleiteten Funktion v 0 (x) aufzuteilen.
R anderen,
2
Beispiel: I = sin (x)dx
→ Ru0 (x) = sin(x), u(x) = − cos(x),R v(x) = sin(x), v 0 (x) = cos(x)
R
→
sin2 (x)dx = − sin(x) cos(x) + cos2 (x)dx = − sin(x) cos(x) + x − sin2 (x)dx
Daraus folgt: I = 12 (x − sin(x) cos(x)) + C
Die Normale ist diejenige Gerade, welche eine Kurve im Punkt (x(t), y(t)) senkrecht
schneidet. Sie ist gegeben durch ~n(t) = ~r(t) + s(−ẏ(t), ẋ(t)). Der Normaleneinheitsvektor m(t)
~
zu K in P ist m(t)
~
= (−ẏ(t), ẋ(t)) · √ 2 1 2 .
ẋ (t)+ẏ (t)
Der Mittelpunkt M0 des Krümmungskreises zur Zeit t ist somit gegeben durch
~ 0 = ~z(t) = ~r(t) + 1 m(t).
OM
~
k(t)
Methode der Substitution
Indem der Integrant des zu lösenden Integrals durch eine Substitution ersetzt wird, können
viele Integrale vereinfacht werden. Dabei muss eine neue Variable verwendet werden.
Vorgehen:
1. Passender Term imintegranten substituieren.
2. Integrationsvariable anpassen.
3. Integrationsgrenzen
anpassen (bei bestimmten Integralen).
R √ π2
Beispiel: I = 0
x sin(x2 )dx
R √π
1. Substitution: x2 = u
I = 0√ 2 x sin(u)dx
R π
d(x2 )
2. du
I = 0 2 12 sin(u)du
dx = dx = 2x, also: du = 2xdx
Rπ
p 2
3. Grenzen: u1 = 02 = 0, u2 = π2 = π2 I = 02 12 sin(u)du
Z π
1 2
1
1
I=
sin(u)du = − cos(π/2) + cos(0) = −0 + 1 = 1
2 0
2
2
Durchläuft man K, so beschreibt M0 die Kurve ~z(t), welche Evolute von K heisst.
Integralrechnung
Das Riemann’sche Integral:
Z b
f (x)dx = lim
a
n→∞
n
X
f (ξk )∆xk
k=1
f (x) Integrant, x Integrationsvariable, a untere, b obere Integrationsgrenze.
Das Riemann’sche Integral berechnet die Fläche unter der Funktion f (x) bis zur x-Achse
im Intervall [a, b]!
Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
Mittelwertsatz der Integralrechnung:
Rb
Rb
Es existiert ein ξ ∈ [a, b], mit (b−a)f (ξ) = a f (x)dx, da m(b−a) ≤ a f (x)dx ≤ M (b−a).
Hauptsatz
der Infinitesimalrechnung:
Rx
d
f
(t)dt
=
f (x)
dx a
Eine Funktion F (x) mit F 0 (x) = f (x) heisst Stammfunktion von f : x → f (x). Verschiedene Stammfunktionen der selben Funktion f : x → f (x) unterscheiden sich lediglich
durch eine additive
R b Konstante.
Desweiteren gilt: a f (t)dt = F (b) − F (a).
Bemerkung: Diese Methode funktioniert auch in die ”umgekehrte Richtung”, d.h. die
Integrationsvariable wird durch einen scheinbar komplizierteren Term substituiert, mit
der Absicht, dass sich der Integrant z.B. durch eine trigonometrische Identität vereinfacht.
Flächenberechnung
Z b
I=
a
Integrieren
Z tb
f (x)dx,
~r : t → (x(t), y(t)) → I =
f (t)ẋ(t)dt,
ẋ > 0
ta
Ein Integral berechnet die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse im gegebenen
Intervall. Dabei sind Flächenstücke oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ.
Rechenregeln:
Rb
Rb
Rb
(f (x) + g(x))dx = a f (x)dx + a g(x)dx
a
Sektorfläche
3
Eine Sektorfläche wird durch einen Kurvenabschnitt und den beiden
Vektoren vom Ursprung zu den Enden des Abschnitts eingeschlossen.
tRB
K : t → (x(t), y(t))
IS = 12 x(t)ẏ(t) − y(t)ẋ(t) dt
IS = 12
ϕ
R2
(ρ(ϕ))2 dϕ
Rb
tA
K : t → ((x(t), y(t), z(t))
sB
A =
K : x → ((x, f (x))
sB
A =
tRB
~r(t)|dt
|˙
tRB
sB
A =
a
G(x)dx
Rd
,
yH(y)dy
ys = Rc d
H(y)dy
c
Z b
mit
1 + (f 0 (x))2 dx
ϕ
RB p
(ρ(ϕ))2 + (ρ̇(ϕ))2 dϕ
a
H(y)dy = Totalkraft
c
Z b
ρ(x) = Dichteverteilung,
ρ(x)G(x)dx = Totalkraft
a
Θξ =
n
X
mi ((x1 )2i + (x2 )2i ) =
X
d2 m d ,
ξ : Drehachse (x3 )
i=1
Trägheitsmomente des Bereiches B ∈ R2 :
Z b
Θy = ρ
x2 G(x)dx
a
|~r˙ (t)| ≡ 1
Z d
G(x)dx =
Ein (diskretes) System bestehend aus Massenpunkten (x1 , y1 , z1 ), . . . , (xm , ym , zm ) der
Masse m1 , m2 , . . . , mm wird mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse rotiert.
2
))ω 2 und Das
Die kinetische Energie T ist dabei 21 (m1 (x21 + y12 ) + . . . + mm (x2m + ym
2
Trägheitsmoment Θz um die z-Achse definiert als m1 (x21 + y12 ) + . . . + mm (x2m + ym
).
ϕA
Nach Bogenlänge parameterisiert:
(ρ(ϕ))2 + (ρ̇(ϕ))2 dϕ
Trägheitsmoment
~r(t)|dt
|˙
xA
K : ϕ → (ρ(ϕ) cos(ϕ), ρ(ϕ) sin(ϕ))
ϕ
RB p
Der Schwerpunkt kann so auch für Bereiche B ∈ R3 ermittelt werden.
tA
x
RB p
xG(x)dx
Rb
xρ(x)G(x)dx
,
xs = Ra b
ρ(x)G(x)dx
a
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 + (ż(t))2 dt =
tA
1 + (f 0 (x))2 dx
Falls B keine hom. Massenverteilung aufweist, wirkt sich das auf den Schwerpunkt aus:
tA
tRB p
a
xs = R b
Bogenlänge
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt =
x
RB p
Flächenmittelpunkt: Kraftmittelpunkt der Gravitationskräfte, die auf den homogen
mit Massendichte 1 belegten Bereich B ∈ R2 wirken.
tA
tRB p
~r(t)|dt
|˙
tA
Physikalische Anwendungen
Schwerpunkt, Flächenmittelpunkt
p
y(t) (ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt
sB
A =
tRB
ϕA
xA
K : t → ((x(t), y(t))
sB
A =
K : ϕ → (ρ(ϕ) cos(ϕ), ρ(ϕ) sin(ϕ))
ϕ1
Die Kurve K wird um die x-Achse rotiert. Der so entstandene Rotationskörper hat den
Oberflächeninhalt
x
p
RB
K : x → (x, f (x))
O = 2π f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
tRB
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 + (ż(t))2 dt =
xA
Oberflächenberechnung von Rotationskörpern
O = 2π
sB
A =
K : x → ((x, f (x))
Das Integral wird positiv, falls die Sektorfläche links der Kurve liegt, das Integral wird
negativ, falls die Sektorfläche rechts der Kurve liegt. ”Schlaufen” (von der Kurve eingeschlossene Flächenstücke) müssen entsprechend gewichtet werden!
K : t → (x(t), y(t))
tRB p
tA
tA
K : ϕ → (x(ϕ), y(ϕ)) = (ρ(ϕ) cos(ϕ), ρ(ϕ) sin(ϕ))
sB
A =
K : t → ((x(t), y(t), z(t))
(Tangentenvektor hat ∀ Punkte Länge 1.)
Z d
Θx = ρ
y 2 H(y)dy
c
ρ = 1: Flächenträgheitsmomente von B ρ = 1: Flächenträgheitsmomente von B
um die y-Achse.
um die x-Achse.
Trägheitsmoment Θx des von f (x), x
∈
[a, b] bei der Rotation um
die x-Achse erzeugten (homogenen) Rotationskörper bezüglich seiner Achse:
Volumenberechnung
J=
Mithilfe von Integralrechnung können auch Volumen berechnet werden. Da Integrale Summen sind, lassen sich auch
π
(f (x))4
2
→
Θx =
Uneigentliche Integrale
4
1
πρ
2
Z b
a
(f (x))4 dx
J: Allg. Polares
Flächenträgheitsmoment
Gradient: ∇f (~r0 ) = grad f (x0 , y0 , z0 ) = (fx (x0 , y0 , z0 ), fy (x0 , y0 , z0 ), fz (x0 , y0 , z0 ))
(Analog für Fkt. mit 2 oder mehr als 3 Variablen.)
Uneigentliche Integrale 1. Gattung:
→ Das Integrationsintervall ist zwar endlich, aber der Integrand ist nur auf dem einseitig
offenen Intervall, z.B. (a, b], stetig.
Z b
Z b
a
f (x)dx = lim+
ξ→a
f (x)dx
→ Die Richtung des Gradienten gibt die Richtung der grössten Richtungsableitung
von f in ~r0 an; die Länge des Gradienten ist gleich der grössten Richtungsableitung von
f in ~r0 .
→ Der Gradient steht orthogonal auf der Niveaumenge von f , die durch den Punkt ~r0
geht.
Das uneigentliche Integral existiert (konvergiert),
wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
ξ
Uneigentliche Integrale 2. Gattung:
→ Das Integrationsintervall ist unendlich, z.B. [a, ∞).
Z ∞
Z ξ
f (x)dx = lim
a
ξ→∞
f (x)dx
Liniarisieren, Fehlerrechnung
Das uneigentliche Integral existiert (konvergiert),
wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
Funktion:
f (x, y)
f (x, y, z)
a
Funktionen & Kurven mehrerer Variablen
Funktionen von 2 Variablen
Form
f : (x, y) → f (x, y)
Def.bereich
D(f ) = A ∈ R × R
{(x, y, z)|(x, y) ∈ D(f ), z =
Graph
f (x, y)}
Niveaulinie (in (x, y)-Ebene)
Niveaumengen
f (x, y) = C zum Niveau C.
Funktionen von 3 Variablen
f : (x, y, z) → f (x, y, z)
D(f ) = A ∈ R × R × R
Lineare Ersatzfunktion:
f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
f (x0 , y0 , z0 ) + fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 )
Nun sei ϕ(∆x, ∆y) = f (x + ∆x, y + ∆y) − (f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )∆ + fy (x0 , y0 )∆y)
(bzw. ϕ(∆x, ∆y, ∆z) = f (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − (f (x0 , y0 , z0 ) + fx (x0 , y0 , z0 )∆x +
fy (x0 , y0 , z0 )∆y + fz (x0 , y0 , z0 )∆z)). Dann muss gelten:
Nicht mehr darstellbar.
Niveaufläche (im 3D-Raum)
f (x, y, z) = C zum Niveau C.
lim
∆x,∆y→0
Natürlich können Funktionen von beliebig vielen Variablen abghängen.
Differentialrechnung
Partielle Ableitungen
f (x, y):
f (x, y, z):
ϕ(∆x, ∆y)
p
=0
∆x2 + ∆y 2
bzw.
lim
∆x,∆y,∆z→0
ϕ(∆x, ∆y, ∆z)
p
=0
∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2
Totales Differential:
∂f
∂f
∂x (x, y) = fx (x, y)
∂y (x, y) = fy (x, y)
∂f
∂f
∂x (x, y, z) = fx (x, y, z)
∂y (x, y, z) = fy (x, y, z)
∆f = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x0 , y0 )
ZZ
f (x, y) dF = lim
B
n
X
f (xi , yi )∆Fi
Doppelintegral
i=1
Volumen unter der Funktion f (x, y) bis zur (x, y)-Ebene im D(f ):
ZZ
Z β Z δ(x)
Z δ Z β(y)
V =
f (x, y) dF =
f (x, y) dydx =
f (x, y) dxdy
Verallgemeinerte Kettenregel
B
df
(x(t), y(t)) = fx (x(t), y(t))ẋ(t) + fy (x(t), y(t))ẏ(t)
dt
bzw. ∆f = f (x + ∆x, y + ∆y, ∆z) − f (x0 , y0 , z0 )
Integralrechnung
Gebietsintegral
∂f
∂z (x, y, z) = fz (x, y, z)
Satz von Schwarz: fxy = fyx oder auch fxyz = fzxy
Integrabilitätsbedingungen: Gilt für zwei Funktionen ϕ, ψ die Gleichung ϕx = ψy ,
so gibt es eine Funktion f mit den Eigenschaften fy = ϕ und fx = ψ.
Extremalstellen: Ist (x0 , y0 ) eine Extremalstelle von f , so ist
- (x0 , y0 ) ein Punkt des Randes von D(f ),
- oder fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0
→
L(~r0 ) = f (~r0 ) + gradf (~r0 ) · (~r − ~r0 ) (Tangente/Tangentialebene)
Vektorschreibweise:
α
γ(x)
γ
α(y)
Schwerpunkt des homogen mit Masse belegten Flächenstücks B:
ZZ
ZZ
ZZ
1
1
xs =
x dF ys =
y dF F =
1 dF
F
F
B
B
B
(Analog mit 3 Variablen)
df
(~r(t)) = grad f (~r(t)) · ~r˙ (t)
dt
Oberflächeninhalt des über einem Bereich B liegenden Graphen einer Funktion f (x, y):
ZZ q
ZZ p
O=
(fx (x, y))2 + (fy (x, y))2 + 1 dx dy =
|grad f (x, y)| + 1 dx dy
Richtungsableitung, Gradient
Es seien f (~r(t)), ~r(0) ein Punkt in D(f ) und der Einheitsvektor ~e ∈ D(f ).
Richtungsableitung vonf in (~r(0)) in Richtung ~e: D~e f (~r(0)) = ~e · grad f (~r(0))
B
5
B
Durch ein im Bereich B definiertes VektorUnter einem Skalarfeld versteht man eifeld wird jedem Punkt von B ein Vektor
ne reellwertige, auf einem räumlichen Bezugeordnet.
reich B definierte Funktion f , welche jedem


Punkt von B eine reelle Zahl zuordnet.
v1 (x, y, z)
~v : (x, y, z) → ~v (x, y, z) = v2 (x, y, z)
f : (x, y, z) → f (x, y, z)
v3 (x, y, z)
Volumenintegral
ZZZ
f (x, y, z) dV = lim
B
n
X
f (xi , yi , zi )∆Vi
i=1
Masse eines Körpers B mit der
Dichte ρ(x, y, z):
ZZZ
M=
ρ(x, y, z) dV
Trägheitsmoment eines Körpers W mit Dichte
ρ(x, y, z) und Abstand d(x, y, z) zur Achse:
ZZZ
Θ=
ρd2 dV
Stationär (autonom): Skalar-/ Vektorfeld ist zeitunabhängig, sonst instationär.
Homogenes Vektorfeld: Feldvektor ist in allen Punkten konstant.
Ist im Bereich B ein Vf. ~v (x, y, z) gegeben, so heisst eine in B verlaufende Kurve K
eine Feldlinie von ~v , wenn in jedem ihrer Punkte der zu diesem Punkt gehörige Feldvektor tangential zu K ist.
W
B
Koordinatentransformation in Integralen
(x, y)-Koordinatensystem transformieren in ein (u, v)-Koordinatensystem.
→ x = x(u, v), y = y(u, v) u = u(x, y), v = v(x, y)
Koordinatenlinien:
u → (x(u, v0 )), y(u, v0 )) = ~r(u, v0 ) v → (x(u0 , v)), y(u0 , v)) = ~r(u0 , v)
Jacobimatrix, -Determinante:
∂(x, y)
x
= u
yu
∂(u, v)

xu
∂(x, y, z)
=  yu
∂(u, v, w)
zu
xv
yv
zv
xv
yv

xw
yw 
zw
det
∂(x, y)
x
= det u
yu
∂(u, v)
xv
yv

xu
∂(x, y, z)
= det  yu
det
∂(u, v, w)
zu
Flächen in Parameterdarstellung
Ein Flächenstück S im Raum kann nebst einer Funktion von zwei Variablen oder einer
Gleichung g(x, y, z) = 0 auch durch eine Parameterdarstellung beschrieben werden:
(u, v) → ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
der Normaleneinheitsvektor ~n zum Flächenstück im Punkt (u0 , v0 ) ist dann gegeben
durch
~ru (u0 , v0 ) × ~rv (u0 , v0 )
~n(u0 , v0 ) = ±
.
|~ru (u0 , v0 ) × ~rv (u0 , v0 )|
xv
yv
zv

xw
yw 
zw
Oberflächenberechnung
Ist ein Flächenstück S parameterisiert (z.B. Oberfläche eines Körpers im Raum) mit Parameterbereich B, so kann dessen Oberflächeninhalt wie folgt berechnet werden:
ZZ
O=
|~ru (u0 , v0 ) × ~rv (u0 , v0 )| du dv.
Viele Integral-Probleme sind einfacher zu lösen, wenn man das gegebene Koordinatensystem umtransformiert. Dabei muss das Infinitesimalelement durch den Verzerrungsfaktor (z.B. Flächenverzerrungsfaktor) angepasst werden:
x
dF = det u
yu
Kartesische Koordinaten:
dF = dx dy
dV = dx dy dz
xv
yv
du dv,

xu
dV = det  yu
zu
Zylindrische Koordinaten:
dF = r dr dϕ
dV = r dr dϕ dz
xv
yv
zv
B
Differentialoperatoren der Vektoranalysis
Der Gradient

xw
yw  du dv dw
zw
Der Gradient ordnet einem Skalarfeld ein Vektorfeld zu.
∂f
∂f
∂f
grad f (x, y, z) =
(x, y, z),
(x, y, z),
(x, y, z)
∂x
∂y
∂z
Sphärische Koordinaten:
dV = r2 sin θ dr dϕ dθ
(θ ∈ [0; π])
Die Divergenz
Die Divergenz ordnet einem Vektorfeld ein Skalarfeld zu.
Integrale mit Parameter
Rb
Rb
d
d
Φ(x) = dx
f (t, x) dt = a fx (t, x) dt
f (t, x) dt → dx
a
a
R v(x)
R v(x)
d
Ψ(x) = u(x) f (t, x) dt → dx
Ψ(x) = f (v(x), x)v 0 (x)−f (u(x), x)u0 (x)+ u(x) fx (t, x) dt
· Φ(x) =
·
Rb
div ~v (x, y, z) =
∂v1
∂v2
∂v3
(x, y, z) +
(x, y, z) +
(x, y, z)
∂x
∂y
∂z
Die Rotation
Vektoranalysis
Die Rotation ordnet einem Vektorfeld wiederum ein Vektorfeld zu.
6
rot ~v (x, y, z) =
∂v3
∂v2 ∂v1
∂v3 ∂v2
∂v1
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
Die Arbeit eines Vf. ~v längs des geschlossenen Randweges ∂S ist gleich dem Flussvon rot
~v in Richtung ~n (~n: Normalenvektor von S) durch das Flächenstück S.
Z
ZZ
~v · d~r =
rot ~v · ~n dO
→ rot ~v = (0, 0, 0) ⇒ A = 0
= ∇ × ~v (x, y, z)
rot ~v (x0 , y0 , z0 ) gibt die Richtung und Stärke der ”Wirbelung” von ~v an. deshalb heisst
rot ~v Wirbelstärke von ~v (rot ~v (x0 , y0 , z0 ) weist einen Wirbel (rot ~v (x0 , y0 , z0 ) auf).
→ rot ~v (x, y, z) = (0, 0, 0) ≡ ~v wirbelfrei (z.B. jedes Gradientenfeld!)
Anwendung: Bei einem Geschwindigkeitsfeld ist die Rotation ein Mass für die Winkelgeschwindigkeit der Rotation.
∂S
S
Potentialfelder
Ein Vektorfeld ~v (x, y, z) heisst konservativ, wenn für alle P, Q ∈ D(~v ) gilt, dass die Arbeit von ~v längs allen Wegen von P nach Q gleich ist. ≡ Für alle geschlossenen Wege
W verschwindet die Arbeit von ~v längs W .
Das Vf. ~v ist genau dann konservativ, wenn es ein Potentialfeld ist, d.h. ∃ Funktion
f mit ~v = grad f . f hesiit dann Potential. Die Arbeit von ~v von P nach Q ist dann
gegeben durch
Z
Z
AP Q =
~v · d~r =
grad f · d~r = f (xQ , yQ , zQ ) − f (xP , yP , zP )
Der Fluss
Gegeben sei ein im Bereich D(~v ) definiertes Vektorfeld, welches das Geschwindigkeitsfeld
von Materie (z.B. Flüssigkeit) darstellt, und ein in D(~v ) liegendes Flächenstück S mit
Normalenrichting ~n.
Der Fluss Φ des Vf. ~v durch S in Richtung ~n ist dann gegeben durch die Menge Materie,
welche pro Zeiteinheit durch S in Richtung ~n hindurchströmt.
ZZ
Φ=
~v · ~n dO
S
ZZ
Φ=±
~v (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · (~ru (u, v) × ~rv (u, v)) du dv
W
W
Niveauflächen von Potentialen heissen auch Potentialflächen.
Komplexe Zahlen
B
Eine komplexe Zahl ∈ C wird durch die Form
Der Divergenzsatz (Satz von Gauss)
z = a + ib,
Der Fluss des Vektorfeldes ~v von innen nach aussen durch die berandene Fläche ∂B vom
(endlichen) räumlichen Bereich B ist gleich dem Volumenintegral der Divergenz von ~v
über dem Bereich B.
ZZ
ZZZ
Φ=
~v · ~n dO =
div ~v dV
∂B
B
Die Arbeit
Komplexe Zahlen lassen sich in der 2-dimensionalen komplexen Zahlenebene: veranschaulichen. Die horizontale Koordinatenachse bezeichnet man mit reelle Achse und die
vertikale Koordinatenachse mit imaginäre Achse. Einfachheitshalber führt man dafür die
Polarkoordinaten ein:
p
ρ = a2 + b2 (Betrag |z| von z)
(
arctan(b/a)
für a > 0
ϕ=
(Argument arg z von z)
arctan(b/a) + π für a < 0
Gegeben sein ein Kraftfeld, ein stetig differentierbares Vf. ~v (x, y, z), und ein ganz in
D(~v ) verlaufenden Weg W , eine mit einem Durchlaufsinn versehene Kurve mit Anfangspunkt P und Endpunkt Q. Das Kraftfeld verrichtet mechanische Arbeit (im Falle eines
Strömungsfeldes: Zirkulation, im Falle des elektrischen Feldes: (elektrische) Spannung)
an einem sich längs des Weges W von P nach Q bewegenden Punktes.
Z
Z tP
~v (x(t), y(t), z(t)) · ~r˙ (t) dt
A=
~v · d~r =
W
→
−W
~v · d~r =
R
tQ
R
W
i2 = −1
dargestellt, wobei a dem Realteil < und b den Imaginärteil = von z entsprechen.
Die Konjugierte einer komplexen Zahl ist gegeben durch z̄ = a − ib.
Die Rechenoperationen mit komplexen Zahlen genügen den fundamentalen Rechengesetzen wie bei reellen Zahlen.
Rechnen mit komplexen Zahlen und deren Konjugierten:
a = 12 (z + z̄)
z + z 0 = z̄ + z¯0
1
b = 2i
(z + z̄)
z · z 0 = z̄ · z¯0
a
b
1
1
1
1
=
−
i
=
z̄
z
a2 +b2
a2 +b2
|z|2
z = z̄
2
¯
|z|
=
z
· z̄
z̄ = z
Gegeben sein nun ein Punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ D(~v ).
- div ~v (x0 , y0 , z0 ) > 0:
P0 erhält pro Volumeneinheit ein positiver Fluss
(”Materie wird erzeugt”). → Quelle des Vf. ~v .
- div ~v (x0 , y0 , z0 ) < 0:
P0 erhält pro Vol.einh. ein negativer Fluss (”Materie
verschwindet”). → Senke/negative Quelle des Vf. ~v .
- div ~v = 0 ∀P ∈ D(~v ): → ~v ist quellenfrei.
R
Imaginäre Einheit i:
~v · (−d~r) = − W ~v · d~r
→
R
W1 +W2
~v · d~r =
R
W1
Dadurch lässt sich eine komplexe Zahl durch die Polardarstellung beschreiben:
R
~v · d~r + W2 ~v · d~r
z = |z| · (cos ϕ + i sin ϕ) = |z| · eiϕ
Der Satz von Stokes
7
z̄ = |z| · (cos ϕ − i sin ϕ) = |z| · e−iϕ
Daraus ergeben sich die Euler’schen Formeln
cos ϕ =
2. Konstante C aus urspr. Gleichung ermitteln und in Ableitung einsetzen.
1
. Integration liefert y.
3. in der DGL y 0 mit − y10 vertauschen. → y 0 = − f (x,y)
1 iϕ
(e + e−iϕ ),
2
sin ϕ =
1 iϕ
(e + e−iϕ ),
2
sin ϕ =
Enveloppen, Singuläre Lösungen, Clairaut’sche DGL
1 iϕ
(e − e−iϕ )
2i
Unter einer Enveloppe (Umüllenden, singuläre Lösung der DGL) der Schar verstehen
wir eine Kurve K, welche in jedem ihrer Punkte eine Kurve der Schar berührt. Jedoch
besitzt nicht jede Schar eine Enveloppe! Vorgehen:
und die Formeln von Moivre
cos(nϕ) =
1 iϕ
(e − e−iϕ ).
2i
Durch Elimination des Scharparameters C aus dem Gleichungssystem ergibt sich die singuläre Lösung als Funktion y
in Abhängigkeit von x.
F (x, y, C) = 0
FC (x, y, C) = 0
Funktionen mit Komplexe Zahlen
Bsp:
Funktionen können nebst reellen Zahlen auch auf komplexen Zahlen definiert sein und
diese in die komplexe Zahlenmenge abbilden.
Typ 1:
Typ 2:
(x/a)2 − y + a = 0
−2x2 /a3 + 1 = 0
ϕ : R 7→ C
ψ : C 7→ C
Differentialgleichungen
0
Enveloppe der Parabellschar y = (x/a)2 + a:
⇒
y=
(Frühling 1999, dreist. Prüfung)
x 23
2
1
2
+ 23 x3 = 3
x 23
2
DGL hörerer Ordnung
0
n
Eine Gleichung der Form F (x, y, y , y , ..., y ) = 0 nennt man Differentialgleichung n-ten
Grades.
Die Ordnung einer DGL entspricht der höchsten in ihr enthaltenen Ableitung.
Die allgemeine Lösung einer DGL n-ter Ordnung ist eine n-parametrige Kurvenschar.
Ausserdem gibt es zu gegebenen x0 , y0 , y00 , . . . , y0n−1 genau eine eindeutig bestimmte
Lösungsfunktion.
DGL 1. Ordnung
Separierbare DGL
Inhomogene lineare DGL:
DGL der Form
Lineare DGL
g(x)
y 0 = h(y)
ist separierbar.
Z
Z
h(y)dy = g(x)dx →
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + . . . + p0 (x)y = q(x)
Homogene lineare DGL:
y=H
−1
(G(x) + K)
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + . . . + p0 (x)y = 0
Die allgemeine Lösung einer DGL setzt sich aus der Lösung der zugehörigen homogenen
DGL und einer partikulären Lösung der DGL zusammen: y = yh + y0
Lineare DGL
Inhom. lineare DGL:
y 0 + p(x)y = q(x)
Hom. lineare DGL: (separierbar)
y 0 + p(x)y = 0
Leicht lösbare lineare DGL
(a) Hom. lin. DGL mit konst. Koeffizienten
Die allgemeine Lösung einer DGL setzt sich aus der Lösung der zugehörigen homogenen
DGL und einer partikulären Lösung der DGL zusammen y = yh + y0
DGL :
Niveaulinien, exakte DGL, Orthogonaltrajektorien
y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0
Charakterist. Polynom (Ansatz y = eαx ):
Gegeben sei die Funktion g(x, y) von zwei Variablen. Die Niveaulinien dieser Funktion
werden durch die Schar g(x, y) = C (C ∈ R) dargestellt. Durch Ableiten beider Seiten
entsteht die DGL gx (x, y) + gy (x, y)y 0 = 0.
Eine DGL der Form ϕ(x, y) + ψ(x, y)y 0 = 0 heisst exakt, falls die Integrabilitätsbedingung
ϕy (x, y) = ψx (x, y) erfüllt ist.
αn + an−1 αn−1 + . . . + a1 α + a0 = 0
1. n verschiedene reelle Nullstellen:
y1 = C1 eλ1 x ,
y2 = C2 eλ2 x ,
...,
yn = Cn eλn x
2. λ eine k-fache reelle Nullstelle:
Orthogonaltrajektorien sind Kurven, welche alle Kurven einer char senkrecht schneiden.Vorgehen: 1. Kurvenschar y = f (x, C) auf beiden Seiten nach x ableiten.
y1 = C1 eλx ,
8
y2 = C2 xeλx ,
...,
yk = Ck xk−1 eλx
DGL: y 00 (x) = p0 (x)y 0 (x)+p1 (x)y(x)+q(x) DGLhom : yh0 (x)0 = p0 (x)yh0 (x)+p1 (x)yh (x)
Hom. Lsg. (enthält Parameter γ1 , γ2 ): yh (x) = γ1 y1 (x) + γ2 y2 (x)
→ Ansatz: y0 (x) = γ1 (x)y1 (x) + γ2 (x)y2 (x)
3. λ, λ̄ = a ± ib eine Paar kompl. konj. k-facher NS:
y1 = C1 eax cos(bx)
y2 = C2 xeax cos(bx)
...
yk = Ck xk−1 eax cos(bx)
y˜1 = C˜1 eax sin(bx)
y˜2 = C˜2 xeax sin(bx)
...
y˜k = C˜k xk−1 eax sin(bx)
Annahmen:
1.
(b) Hom. Eulersche DGL
DGL :
y
(n)
y00 = γ1 y10 + γ2 y20
(xn y (n) + an−1 xn−1 y (n−1) + . . . + a1 xy 0 + a0 y = 0)
Man löse also folgendes Gleichungssystem nach γ10 (x), γ20 (x) auf:
Indexpolynom (Ansatz y = xα ):
α(α − 1) . . . (α − n + 1) + an−1 α(α − 1) . . . (α − n + 2) + . . . + a0 = 0
γ10 y1 + γ20 y2 = 0
γ10 y10 + γ20 y20 = q(x)
1. n verschiedene reelle Nullstellen:
y2 = C2 xλ2 ,
...,
yn = Cn xλn
Durch
Intergation
ergeben
q · y2
y10 y2 − y1 y20
→
γ10 =
sich
γ1 (x),
γ2 (x)
γ20 =
q · y1
y10 y2 − y1 y20
und
somit
auch
Ansatz der rechten Seite
2. λ eine k-fache reelle Nullstelle:
y1 = C1 xλ , y2 = C2 xλ ,
→ γ10 y1 + γ20 y2 = 0
2. y000 = γ10 y10 + γ1 y100 + γ20 y20 + γ2 y200
DGL: γ10 y10 + γ1 y100 + γ20 y20 + γ2 y200 = p1 (x)(γ1 y10 + γ2 y20 ) + p1 (x)(γ1 y1 + γ2 y2 ) + q(x)
Lsg. der hom. DGL → = 0 → γ10 y10 + γ20 y20 = q(x)
a1
a0
an−1 (n−1)
y
+ . . . + n−1 y 0 + n y = 0
+
x
x
x
y1 = C1 xλ1 ,
(y0 , y1 , y2 , γ1 , γ2 abhängig von x)
...,
yk = Ck (log x)k−1 xλ
DGL :
y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = q(x)
3. λ, λ̄ = a ± ib eine Paar kompl. konj. k-facher NS:
y1 = C1 xax cos(b log x)
y2 = C2 (log x)xax cos(b log x)
...
yk = Ck (log x)k−1 xax cos(b log x)
(Nur selten auf lineare DGL mit nicht-konstanten Koeffizienten anwendbar!)
y˜1 = C˜1 xax sin(b log x)
y˜2 = C˜2 (log x)xax sin(b log x)
...
y˜k = C˜k (log x)k−1 xax sin(b log x)
Störfunktion q(x)
Pn (x) (Polynomfkt. n-ten Grades)
Für (a) & (b) gilt:
yh = y1 + y2 + . . . + yn
Verfahren von Lagrange (Variation der Konstanten)
Cecx
Verfahren für DGL 1. Ordnung
DGL: y 0 = p(x)y(x) + q(x)
DGLhom : yh0 (x) = p(x)yh (x) yh : hom. Lsg. (enthält Parameter γ)
→ Ansatz partikuläre Lösung y0 : y0 (x) = γ(x)yh (x)
y00 (x) = γ 0 (x)yh (x) + γ(x)yh0 (x) ≡ p(x)γ(x)yh (x) + q(x) → γ 0 (x) = yq(x)
h (x)
Durch Intergation ergibt sichγ(x) und somit auch y0 (x).
Lösungsansatz für yp
yp = Qn (x), a0 6= 0
yp = xk · Qn (x), a0 = a1 = . . . = ak−1 = 0
c ist keine Lösung des char. Pol.:
c 6= λn 6= λn+1 : yp = Aecx
c ist einfach Lösung des char. Pol.:
c = λn 6= λn+1 : yp = Axecx
c ist r-fache Lösung des char. Pol.:
c = λn = λn+1 : yp = Axr ecx
C1 sin(βx) oder C2 cos(βx) oder
Kombination
Verfahren für DGL höherer Ordnung
(Anhand von DGL 2. Ordnung)
9
iβ ist keine Lösung des char. Pol.:
iβ 6= λn : yp = A sin(βx) + B cos(βx)
iβ ist r-fache Lösung des char. Pol.:
iβ = λn : yp = xr (A sin(βx) + B cos(βx))
y0 (x).
Systeme von DGL
Satbilitätsverhalten
y10 = f1 (x, y1 , y2 , . . . , ym )
System ist autonom, falls die
Funktionsvariable nicht explizit
auftritt.
y20 = f2 (x, y1 , y2 , . . . , ym )
...
stabiles GGW: bei kleiner Auslenkung kehrt System wieder in GGW-Lage zurück (Kugel
im Tal)
0
= fm (x, y1 , y2 , . . . , ym )
ym
Vektorfeld:
ẋ
ẏ

= f1 (x, y) 
= f (x, y) 
(ẋ(t), ẏ(t))

→
v(x, y) = 
2
fx (x, y)
fy (x, y)


instabiles GGW: Körper momentan in GGW, bei kleiner Auslenkung wird er aber nicht
in diese zurückkehren (Kugel auf Bergspitze)
(x(t), y(t)) = Param.darst.
einer Feldlinie des Vf.
(Bewegung eines Teilchens
im Strömungsfeld).
Bei Systemen höherer Ordnung zuerst lineare Approximation (TAYLOR) im GGW-Punkt
(a, b):
(x, y) → f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
= Tangentialvektor an Feldlinie. (Geschw.vektor eines Teilchens im
Dies führt auf ein lineares System y 0 = Ay
!
→ EW λi von A betrachten (det(A − λ1) = 0)
Untersuchung für t → ∞)
Strömungsfeld)
∀P (x0 , y0 ), ∃ (x(t), y(t)) (Lösungskurve des DGL mit x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0 ).
→ Trajektorie: Kurve, mit Durchlaufrichtung.
→ Phasenporträt: Schar aller Trajektorien.
→ Gleichgewichtspunkt: Punkt mit x(t) = t0 , y(t) = y0
λ1 , λ2 ∈ R :
Lineare autonome DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten
ẋ1 = a11 x1 + a12 x2 + b1
→



ẋ1 (t)
a
 , A =  11
~x˙ = 
ẋ2 (t)
a21
λ1 , λ2 ∈ C


 
x1 (t)
b
 , ~x = 
 , ~b =  1 
a22
x2 (t)
b2
a12
1.1
(sobald Lösung von DGL bekannt,
λ1 ≤ λ2 < 0 → asymptotisch stabil
1.2
λ1 < 0 < λ2 → instabil
1.3
0 < λ1 ≤ λ2 → instabil
2.1
λ1 , λ2 rein imaginär: λ1 = ib, λ2 = ib → stabil
2.2
λ1 , λ2 kompl. konj. mit <(λ) > 0 :
~x˙ = A~x + ~b
ẋ2 = a21 x1 + a22 x2 + b2
Homogenes System: ~x˙ = A~x,
Sind y1 , y2 Lösungen eines DGL- Systems. Falls y1 = b1 und
y2 = b2 konstant sind, befindet sich an dieser Stelle ein Gleichgewichtspunkt des Systems.
ẏ1 = f1 (y1 , y2 )
ẏ2 = f2 (y1 , y2 )

λ1 = a + ib, λ2 = a − ib, a > 0 → instabil
2.3
λ1 , λ2 kompl. konj. mit <(λ) < 0 :
λ1 = a + ib, λ2 = a − ib, a < 0 → asymptotisch stabil
~b = ~0
Lösen von DGL-Systemen
Lösungsvariante a) (aus der Linearen Algebra)
~x˙ = A~x + ~b (I)
Ist nun ~v EV von A zum EW λ, so ist t → ~x(t) = eλt~v die
Lösung von (H) mit dem Anfagnswert ~x(0) = ~v .
~x˙ = A~x
(H)
Um (H) zu lösen, bestimmt man die Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume von A.
~x(t) = eλ1 t · ~v1 + ~x(t) = eλ2 t · ~v2 + . . .
Lösungsvariante b) (Eliminationsverfahren)
10