ENSA Tétouan
GC2
Année universitaire 2019-2020
Module: Calcul des structures - Elément de module: Méthode des éléments finis
Contrôle continu 1 (durée 1h45mn)
Exercice 1: (10 pts)
La poutre représentée sur la figure 1 est encastrée à ses deux extrémités: sections 1 et 3.
y
F
I
4I
2L
1
Figure 1
x
C
L
2
3
La section 2 est soumise à une force (0,F, 0) et à un couple (0,0,C) avec C = FL .
Soit E le module de Young du matériau élastique constituant la poutre. Le moment d’inertie d’une
section droite suivant Gz est égal à I entre les sections 1 et 2, et à 4I entre les sections 2 et 3.
1.1 En utilisant la méthode standard des éléments finis adaptée aux poutres avec des éléments à
deux nœuds et fonctions d’interpolation cubiques (voir formulaire), déterminer en fonction de L, F,
E et I le déplacement transversal v 2 et la rotation θ2 au nœud 2.
1.2 Calculer les réactions et les moments d’encastrement aux nœuds 1 et 3.
Exercice 2: (10 pts)
On considère le domaine plan Ω défini sur la figure 2 où Γ1 ∪Γ 2 =Γ =∂Ω et Γ1 ∩Γ 2 =∅ . Ce
domaine est discrétisé par des éléments à géométrie triangulaire conformément à la figure 3 où les
numérotations des nœuds et des éléments sont également indiquées.
y
y
Γ2
Γ2
2
Γ1
1
0
4
Γ2
1
2
8
7
5
5
3
1
6
4
1
x
6
2
2
3
x
Γ1
Figure 2
Figure 3
Calculer par la méthode des éléments finis standard, à base d’une interpolation élémentaire linéaire
sur des éléments triangulaires TR3, la solution aux nœuds 5, 6 et 8 du problème suivant:
du
∆u = 0 ; u Γ1 = −1;
=0
dn Γ2
1
Rappel :
A/ On considère une poutre 2D à deux nœuds i et j dont la direction de la fibre moyenne orientée de
i vers j fait l’angle α avec l’axe des X du repère global. On considère la méthode standard des
éléments finis avec des éléments à deux nœuds et des fonctions d’interpolation cubiques
(classiques). En numérotant les degrés de liberté selon l’ordre suivant: u i ,vi , θi ,u j ,v j , θ j où u est le
déplacement longitudinal, v le déplacement transversal, θ la rotation de la section, la matrice de
rigidité élémentaire est donnée par:
EA 2 12EI 2
L c + L3 s
EA cs − 12EI cs
L
L3
6EI
− 2 s
[K ] = EA L 12EI
−
c2 − 3 s2
L
L
− EA cs + 12EI cs
L
L3
6EI
− 2 s
L
EA
12EI
cs − 3 cs
L
L
EA 2 12EI 2
s + 3 c
L
L
6EI
c
L2
EA
12EI
−
cs + 3 cs
L
L
EA 2 12EI 2
−
s − 3 c
L
L
6EI
c
L2
−
6EI
2
L
6EI
s
c
L2
4EI
L
6EI
s
L2
6EI
− 2 c
L
2EI
L
EA 2 12EI 2
c − 3 s
L
L
EA
12EI
−
cs + 3 cs
L
L
6EI
s
L2
EA 2 12EI 2
c + 3 s
L
L
EA
12EI
cs − 3 cs
L
L
6EI
s
L2
−
EA
12EI
cs + 3 cs
L
L
EA 2 12EI 2
−
s − 3 c
L
L
6EI
− 2 c
L
EA
12EI
cs − 3 cs
L
L
EA 2 12EI 2
s + 3 c
L
L
6EI
− 2 c
L
−
6EI
s
L2
6EI
c
L2
2EI
L
6EI
s
L2
6EI
− 2 c
L
4EI
L
−
avec c = cos α et s = sin α .
B/ Pour le problème ∆u = 0 sur Ω ⊂ 2 et pour des éléments linéaires TR3, les termes de la
1
1
matrice élémentaire sont donnés par: K iie = cotg ( α j ) + cotg ( α m ) , K ije = − cotg ( α m ) .
2
2
2
0
