SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 15-16
Lars Filipsson
Institutionen för matematik
KTH
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
SF1626 Flervariabelanalys
0
Dagens program
Dubbelintegraler
Variabelsubstitution i dubbelintegraler
Något om generaliserade integraler och medelvärden
(självstudier)
Bokens kapitel 14.1-14.4/15.1-15.4
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Dubbelintegral
1
Beräkna dubbelintegralen:
ZZ
(1 + y ) dxdy
D
där D är triangeln i xy -planet med hörn i punkterna
(0, 0), (0, 1), och (1, 0).
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Dubbelintegraler
2
Dubbelintegralen av f över en axelparallell rektangeln D
definieras via Riemannsummor (se film 10a och Def 1 i kap
15.1)
ZZ
X
f (x, y ) dxdy ≈
f (xjk∗ , yjk∗ ) ∆xj ∆yk
D
j,k
där ≈ ska tolkas som ett gränsvärde.
(För allmänna begränsade områden D sätt f till 0 utanför D och
använd ovanstående för någon axelparallell rektangel som
innehåller D.)
En tolkning av dubbelintegralen är volymen (med tecken) under
funktionsytan.
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Integraler
3
Låt D vara området 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4. Approximera
dubbelintegralen
ZZ
xy 2
dxdy
D 4
med hjälp av en Riemannsumma med fyra termer.
Finns det mer än ett sätt att göra detta? Vad är exakta värdet?
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Integraler
4
Sats: Om f (x, y ) är kontinuerlig på ett slutet begränsat område
D vars rand utgörs av ändligt många kurvor av ändlig längd, så
är f integrerbar på D.
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Enkla egenskaper hos dubbelintegraler
1. Om arean av D är noll så är
RR
D f (x, y ) dA = 0
2. Integration är en linjär operation
3. Triangelolikheten:
RR
D f (x, y ) dA
≤
RR
D |f (x, y )| dA
4. OmRR
D kan delas uppRRi D1 och D2 så är
RR
D f (x, y ) dA =
D1 f (x, y ) dA +
D2 f (x, y ) dA
5. Om f (x, y ) ≤ g(x, y ) så är
6.
RR
D f (x, y ) dA ≤
RR
D g(x, y ) dA
RR
D 1 dA = arean av D
(Förutsatt att f och g är integrerbara över D. Se sid 811/819 i
boken)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
5
Beräkna integraler gm inspektion
Låt D vara enhetscirkeln x 2 + y 2 ≤ 1. Beräkna
ZZ
y dxdy
D
ZZ
(1 + sin x) dxdy
D
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
6
Beräkna dubbelintegraler
7
Konkret exempel på upprepad enkelintegration: Limpans volym
1
0.5
0
− 0.5
−1
0
0
0.5
1
1
y
2
1.5
3
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
x
Beräkna dubbelintegraler
7
Konkret exempel på upprepad enkelintegration: Limpans volym
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Beräkna dubbelintegraler
8
Om D = {(x, y ) : 1 ≤ x ≤ 3 och 2 ≤ y ≤ 4} så är
Z 3
ZZ
(x + xy ) dxdy =
D
Z 4
dx
1
(x + xy ) dy
2
=?
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Beräkna dubbelintegraler
9
Om D = {(x, y ) : 1 ≤ x ≤ 3 och 2 ≤ y ≤ 4} så är
Z 3
ZZ
(x + xy ) dxdy =
D
Z 4
dx
1
Z 3
=
1
(x + xy ) dy
2
[xy + xy 2 /2]42 dx
Z 3
8x dx
=
1
= 32
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Integraler
10
Beräkna dubbelintegralen
ZZ
xy dA
D
om D är triangeln med hörn i (0, 0), (1, 1), (2, 0) (Facit: 1/3)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Beräkna dubbelintegralerna
11
Låt D vara området som ges av olikheterna 0 ≤ y ≤ 1 − x 2 .
Beräkna (finns det symmetrier att utnyttja?):
ZZ
x dxdy
D
och
ZZ
x 2 dxdy
D
(Facit: A. 0. B. 4/15.)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Ett tentaproblem
12
Beräkna genom att byta integrationsordning:
Z 1
Z 1
dx
0
2
ey dy
x
(Facit: (e − 1)/2)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Integraler
13
Beräkna arean av området D som ges av
D = {(x, y ) : x 2 − 1 ≤ y ≤ 1 − x 2 }
(Facit: 8/3)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Integraler
14
Beräkna volymen av den kropp som ligger mellan ytorna
z = 4 − x2
och z = x + y
då |x| ≤ 1 och |y | ≤ 1
(Facit: 44/3)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Dubbelintegraler
15
Variabelsubstitution i dubbelintegraler
ZZ
ZZ
∂(x, y )
dudv
f (x, y ) dxdy =
f (x(u, v ), y (u, v ))
∂(u,
v)
D
E
om x = x(u, v ), y = y (u, v ) är en C 1 bijektiv avbildning av E i
uv -planet på D i xy -planet.
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Exempel
16
Beräkna med hjälp av lämplig substitution
ZZ
(2y − x) dxdy
D
om D ges av olikheterna 0 ≤ x + y ≤ 1 och 2 ≤ 2y − x ≤ 3.
(Facit: 5/6)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Exempel
17
Låt D vara enhetscirkelskivan, x 2 + y 2 ≤ 1. Om vi inför polära
koordinater x = r cos θ och y = r sin θ så får vi:
ZZ
D
(1 − x 2 − y 2 ) dxdy =
Z 2π
Z 1
dθ
0
0
(1 − r 2 )r dr
(Facit: π/2)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Exempel
18
Beräkna med hjälp av polära koordinater
ZZ
x dxdy
D
om D ges av olikheterna x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 4. (Facit: 8/3)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Dagens tentaproblem (2014-10-30)
Låt D ges av olikheterna x ≥ 0 och x 2 + y 2 ≤ 1. Beräkna
integralen
ZZ
q
x2
D
1 − x 2 − y 2 dxdy
(Facit π/15)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
19
Generaliserade dubbelintegraler
20
Generaliserade dubbelintegraler. Typ 1, obegränsat område:
ZZ
e−x dxdy , där D = {(x, y ) : −x ≤ y ≤ x, x ≥ 0}
D
Generaliserade dubbelintegraler. Typ 2, obegränsad funktion
ZZ
1
dxdy , där D = {(x, y ) : 0 ≤ y ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}
2
(x
+
y
)
D
Viktiga begrepp: konvergens, divergens.
Lars Filipsson
(Facit: 2 och ln 2)
SF1626 Flervariabelanalys
Generaliserade dubbelintegraler
Sammanfattning om generaliserade dubbelintegraler: Om
integranden är icke-negativ (eller icke-positiv) räcker det att
göra som i exemplen vi såg tidigare.
Om integranden tar både positiva och negativa värden i
integrationsområdet kan vi inte avgöra om den är konvergent
bara genom itererad enkelintegration. En fullständig
undersökning av sådana integraler ligger utanför vår kurs.
För kontinuerliga funktioner gäller att
ZZ
ZZ
|f (x, y )| dxdy konvergent =⇒
f (x, y ) dxdy konvergent
D
D
och i så fall kan man också räkna ut integralen av f genom
upprepad enkelintegration.
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
21
En viktig integral
22
Denna viktiga envariabelintegral kunde vi inte räkna ut i
envarren, men vi kan räkna ut den nu med hjälp av flervarre!
Z ∞
√
2
e−x dx = π
−∞
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Medelvärde
23
En medelvärdessats för dubbelintegraler. Om f är
kontinuerlig på en sluten, begränsad, sammanhängande
mängd D i xy -planet, så finns en punkt (x0 , y0 ) ∈ D så att
ZZ
f (x, y ) dxdy = f (x0 , y0 ) · (arean av D)
D
Definition av medelvärdet av f över D
ZZ
1
f (x, y ) dxdy
f̄ =
(arean av D) D
Uppgift: beräkna medelvärdet av f (x, y ) = x 2 + y 2
över enhetscirkeln.
(Facit: 1/2)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Tillämpningar av integraler
24
Beräkna volymen av den begränsade kropp som helt innesluts
av ytorna z = 1 − x 2 − y 2 och z = x 2 + y 2 − 1. (Facit: π)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Beräkna massan!
25
Triangeln med hörn i (0, 0), (1, 1) och (2, 0) förses med en
ytbeläggning vars densitet i punkten (x, y ) ges av
ρ(x, y ) = 1 + x kg per kvadratmeter (enheten på axlarna är
meter). Beräkna massan av beläggningen. (Facit: 2 kg)
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
Integraler
26
Läxa till nästa gång:
Uppgifter i gamla/nya upplagan av boken:
nr 15,19, 21 från kap 14.1 /15.1
nr 3,5,15,23 från kap 14.2 /15.2
nr 5, 9, 15, 19, 21 från kap 14.4/15.4
nr 3 från kap 14.3/15.3
Uppgifter i modulhäftet
Se förberedande film
Lars Filipsson
SF1626 Flervariabelanalys
0
