Mavzu: P va NP sinflari. NP to’liq masala tushunchasi.
Reja:
1.
P va NP sinflar muammosi.
2.
Muammo NP-tugaganligini isbotlash
3.
NP to’liq masala tushunchasi
P va NP muammosi
Har bir informatika talabasi P va NP muammolari haqida eshitishi kerak. Aytish
mumkinki, bu kompyuter fanidagi eng mashhur echimsiz muammo. Clay
Matematika Instituti tomonidan tanlangan 7 ming yillik mukofot muammosidan biri,
birinchi to'g'ri echim uchun 1 million dollar mukofotni olib yurish va hozir ham
ochiq. P = NP muammosini isbotlash yoki echish informatika, matematika,
kriptografiya, AI, multimedia ishlov berish, iqtisodiyot va boshqa sohalarda chuqur
ta'sir ko'rsatishi mumkin. Ushbu muammo noaniq tarzda aytilishi mumkin
"Kompyuter tomonidan tezda tekshirilishi mumkin bo'lgan har qanday muammoni
kompyuter ham tezda hal qiladimi?".
Garchi bu masalaning mavjudligi 1950-yillarda Jon Nesh va Kurt Godel tomonidan
muhokama qilingan bo'lsa-da, ushbu muammoni 1971 yilda Stefan Kuk o'zining
mashhur "Teoremalarni tayyorlash protseduralarining murakkabligi" nomli
maqolasida rasmiy ravishda kiritgan. Rasmiy bayonotga va muammoni
tushuntirishga sho'ng'ishdan oldin, avval mavzu bilan bog'liq ba'zi ta'riflarni ko'rib
chiqamiz.
Tegishli atamalar va ta'riflar: 

Yuqoridagi noaniq bayonotda ishlatiladigan kompyuter so'zi Deterministik
Turing Machine (DTM) ga tegishli. Oddiy so'z bilan aytganda, bu faqat bitta
keying bosqichga o'tishni tanlashi mumkin bo'lgan mashina. Dallanmagan
mashina [3]. Har bir mavjud kompyuter shunday ishlaydi.
Polinom - ba'zi kuchlarga va ularning koeffitsientlariga ko'tarilgan
o'zgaruvchilardan tashkil topgan ibora. Masalan, ax² + bx + c shaklidagi
ikkinchi darajali ko'paytma.

Algoritm vaqt murakkabligi - kirishning uzunligi funktsiyasi sifatida
bajarilishi uchun algoritm olgan vaqt. Katta O belgi yordamida umumiy
ifodalanadi. Masalan, 2n o'lchamdagi barcha elementlarni birma-bir bosib
chiqarish uchun algoritm yozsak, uning vaqt murakkabligi O (n) bo'ladi.

Polinomial vaqt murakkabligi - algoritmning vaqt murakkabligi n ^ {O (1)}

P = Deterministik Turing mashinasi tomonidan ko'paytirilgan vaqt ichida
echiladigan muammolar to'plami.

NP = noaniq bo'lmagan polinomik vaqt ichida yechilishi mumkin bo'lgan
echimlar muammolarining to'plami (javob ha yoki yo'q) i.e ko'p bo'lmagan
vaqt ichida noaniqsiz Turing Machine [4] tomonidan hal qilinishi mumkin.

Nondeterministic Turing Machine (NTM) - dallanadigan mashina. Agar
hisoblashning keyingi bosqichi uchun ko'plab imkoniyatlar mavjud bo'lsa,
ushbu mashina ularning barchasini bir vaqtning o'zida o'chirib qo'yishi
mumkin. NTM-lar O (1) vaqtda ko'p variantlardan to'g'ri variantni taxmin
qilishga qodir.
NPga alternativ ta'rif bu mumkin bo'lgan echim taqdim etilsa, DTM polinomik vaqt
ichida uning to'g'riligini tekshirishga imkon beradigan qarorlar to'plamidir. Shuni
ta'kidlash kerakki, barcha P muammolar NP ga ham tegishli, chunki agar muammo
DTM tomonidan ko'p martali hal qilinsa, mumkin bo'lgan echimni tekshirish hal
qilishdan osonroq bo'ladi. Shunday qilib, DTM ham ko'plik vaqt ichida ham
tekshirishi mumkin edi. Shunday qilib, arzimas, P ⊆ NP i.e P NP ning pastki qismi.
Bugungi kunda mavjud bo'lgan barcha kompyuterlar DTM va NTM fikrlash
tajribalarida ishlatiladigan sof nazariy kompyuter ekanligini bilish ham muhimdir.
Professor Erik Demain aytganidek [1].
"Demak, bu (NTM) ancha kuchli model. Albatta, bunday ishlaydigan kompyuterlar
yo'q, afsuski, men ko'proq qiziqayapman ”.
Ko'proq atamalar va ta'riflar: 
NP-qiyin - agar X ∈ NP X-ga tushadigan bo'lsa, X muammosi kamida NPda
hal qilinadi, masalan NP-ning har bir muammosini hal qilish qiyin (agar P! =
NP bo'lsa, unda X P ga tegishli bo'lmaydi).

Reduksiya - A muammoni kiritishlarni ko'paytma vaqt algoritmidan
foydalanib, B muammosining ekvivalent kirishiga aylantirish jarayoni.
Ekvivalent degani, A va B muammolari kirish va o'zgartirilgan kirish uchun
bir xil javobni (Ha yoki Yo'q) berishi kerak. A dan B gacha qisqartirish
algoritmining mavjudligi quyidagilarni nazarda tutadi:
1. Agar B ∈ P bo'lsa, u holda A ∈ P (ko'paytmali vaqt ichida A dan B gacha
qisqartirishingiz mumkin va B polinomik vaqt ichida echishingiz mumkin. Buni
birlashtirish A uchun ko'p vaqtli algoritmni beradi)
2. Agar B ∈ NP bo'lsa, unda A ∈ NP
3. Agar A NP-qattiq bo'lsa, B - NP-qattiq. A ko'paytirilgan vaqt ichida B ga
kamayishi mumkin va agar B NP-qiyin bo'lmasa, u B B NP-NP-qiyin va bu A ∈ NPNP-qattiq, bu farazga zid (A-NP-qiyin) degan ma'noni anglatadi.

NP-to'liqligi - agar X ∈ NP va X bo'lsa, NP-qiyin bo'lsa, X muammo NPtugallanadi.
Muammo NP-tugaganligini isbotlash
Muammoning to'liqligini isbotlash 2 bosqichni o'z ichiga oladi. Avval biz muammo
NPga tegishli ekanligini ko'rsatishimiz kerak va keyin biz buni NP-qiyinligini
ko'rsatishimiz kerak. Bosqichlarni quyidagicha izohlash mumkin:
1-qadam - X ∈ NP ni ko'rsatish. X uchun netereterministik algoritmni toping. Ammo
amaliy usul, agar potentsial echim taqdim etilsa, X uchun ko'paytmali vaqt
tekshiruvini o'tkazishdir.
2-qadam - X-ni ko'rsatish qiyin emas. Ma'lum NP-muammoni X-ga qisqartirish.
Demak, biz ko'rgan 3-rasm orqali X bu NP-qiyin ekanligini anglatadi.
Bu
masala
qisqa
P
va
NP
murakkab
sinfi
tengmi?
P-sinfi deb kompyuter “tezda”(“Birzumda”) yechimi mumkin bo’lgan masalalar
majmuiga aytiladi. Bunga arifmetik amallarning asosi (negizi) ro’yhatlarni saralash,
jadval
bo’yicha
ma’lumotlarni
izlash
kiradi.
NP-sinfiga javobning to’g’riligini tezda tekshirish mumkin bo’lgan masala kiradi.
Masalan: faraz qilaylik sizda qiymati 2,3,5,6 va 7 so’mlik tangalardan bittadan bor
va siz narxi 21 so’m bo’lgan harid uchun qaytimsiz to’lashni hoxlamoqdasiz.
Ulardan yig’indisi 21 so’m bo’lgan tangalarni yig’ib olish mumkinmi?
Bu masalaga javob olish uchun har hil variantni tanlash lozim, agar masala
yechimini yo’qligini isbotlasmoqchi bo’lsak, umuman olganda barcha bo’lishi
mumkin bo’lgan variantlardni tanlash lozim. Agar tangalar sonini bir necha usulda
ko’paytirsak yechish mutlaqo nomuvofiq ko’rinishda bo’ladi. Bunda natijani oson
tekshirish uchun shunchaki barcha “ming yillik masalasi” ning mohiyati
quyidagicha (bunday) ifodalanadi (ta’riflanadi): P va NP sinflari tengmi? Agar
masala yecvhimining to’g’riligini tekshirish oson bo’lsa, masalani o’zini yechish
ham
oson
bo’lishi
mumkinmi?
Ko’pchilik mutaxassislar javobning yo’qligi (salbiy)ga amindirlar, lekin buni
hozircha hech kim isbotlay olgani yo’q agar P=NP bo’lib qolsa, unda insoniyatni
kriptografiyaga (sirli belgi va ishoralar bilan yozish tizimi) keskin burilish ko’taradi.
NP-to’liqlik masalasi
Amaliy nuqtai nazardan qiziq bo‘lgan vazifalarning aksariyati, polinomial'
(polinomial' vaqt mobaynida ishlovchi) algoritmlar. Ya'ni, n uzunlikdagi kirishda
algoritmning ishlash vaqti doimiy k (kirish uzunligidan mustaqil) uchun O(nk) dan
oshmaydi. Har bir masalada ushbu xususiyatni qondiradigan yechim algoritmi
mavjud emas. Ba'zi masalalarni umuman biron bir algoritm yordamida hal qilib
bo‘lmaydi. Bunday masalaning klassik misoli bu “to‘xtash muammosi” (berilgan
dastur berilgan kirishda to‘xtashini bilish). Bundan tashqari, ularni hal qiladigan
algoritm mavjud bo‘lgan masalalar mavjud, har qanday bunday algoritm uzoq vaqt
ishlaydi – uning ishlash vaqti har qanday fiksirlangan k soni uchun O(nk) bo‘la
olmadi.
Agar biz amaliy algoritmlar va faqat nazariy qiziqish algoritmlari o‘rtasida qo‘pol,
ammo rasmiy chegara chizishni istasak, unda ko‘plikli vaqt ichida ishlaydigan
algoritmlar sinfi birinchi o‘rinda turadi. NP -to‘liq deb nomlangan masalalar sinfini
ko‘rib chiqamiz. Ushbu masalalar uchun hech qanday polinomial' algoritmlar
topilmagan, ammo bunday algoritmlar mavjud emasligi isbotlanmadi. NP bilan
bog‘liq muammolarni o‘rganish “P = NP” deb nomlangan savol bilan bog‘liq. Bu
savol 1971 yilda berilgan va hozirda hisoblash nazariyasida eng qiyin masalalardan
biri hisoblanadi.
Nima uchun dasturchi NP – tugallangan masalalar haqida bilishi kerak? Agar biron
bir NP – to‘liqlik uchun uning to‘liqligini isbotlash mumkin bo‘lsa, uni deyarli hal
qilib bo‘lmaydi deb hisoblash uchun asos bor. Bunday holda, uni aniq hal qiladigan
tezkor algoritmni qidirishni davom ettirishdan ko‘ra, taxminiy algoritmni tuzishga
vaqt sarflash yaxshiroqdir.
Polinom vaqti. Abstrakt masalalar
Yuqorida aytib o‘tilganidek, ko‘p jihatdan hal qilinadigan (polinomial) masalalar
konsepsiyasi amalda yechilishi mumkin bo‘lgan masalalar g‘oyasini
takomillashtirish hisoblanadi. Ushbu kelishuvni nima tushuntiradi? Birinchidan,
amalda ishlatiladigan ko‘paytirilgan algoritmlar, odatda juda tez ishlaydi.
Ikkinchidan, polinomial algoritmlar sinfini ko‘rib chiqish, bu sinfning hajmi ma'lum
bir hisoblash modelini tanlashdan deyarli mustaqil bo‘lishidir. Masalan, tasodifiy
tasodifiy kirish mashinasida (RAM) ko‘paytirilgan vaqt ichida yechilishi mumkin
bo‘lgan masalalar sinfi T'yuring mashinalarida polinomal yechiladigan masalalar
sinfiga to‘g‘ri keladi. Sinf parallel hisoblash modeli uchun bir xil
bo‘ladi, prosessorlar soni, kirish uzunligi polinomi bilan cheklangan. Uchinchidan,
polinomal yechiladigan masalalar sinfi tabiiy yopiqlik xususiyatlariga ega. Masalan,
ikkita algoritmning tarkibikompozisiyasi ham polinomial vaqtli ishlaydi. Buning
sababi, ko‘pxadlarning yig‘indisi, ko‘paytmasi va kompozisiyasi ko‘pxadrdir.
Quyida hisoblash masalasining abstrakt modelini keltirilgan. Buni abstrakt masala
deb nomlaymiz, Q – ikkita to‘plam elementlari orasidagi ixtiyoriy binar munosabat:
I – shartlar to‘plami va S – yechimlar to‘plami. Masalan, G=(V,E) yo‘naltirilmagan
grafning berilgan ikkita uchlari orasidagi eng qisqa yo‘lni topish masalasida, shart
(element I) uch element, graf va ikkita qirradan iborat va yechim (S element) – bu
grafda kerakli yo‘lni tashkil etuvchi vertikallarning ketma-ketligi.
NP to‘liqligi nazariyasida faqat hal qilish masalalari ko‘rib chiqiladi – muayyan
savolga “ha” yoki “yo‘q” deb javob berish kerak bo‘lgan masalalar. Rasman, I
to‘plam shartlarini {0,1} to‘plamga to‘g‘ri keladigan funksiya sifatida ko‘rib
chiqilishi mumkin. Masalan, G=(V,E) grafdagi eng qisqa yo‘lni topish masalasi
bilan berilgan G=(V,E) graf yordamida ikkita tugun u, v∈V va natural k butun sonlar
u va v tugunlari orasida undan katta bo‘lmagan hamda G grafda yo‘l bor yoki
yo‘qligi masalasini yeching.
Optimallashtirish bilan bog‘liq masalalar bu – muayyan miqdordagi qiymatni
maksimal darajada oshirish yoki minimallashtirish kerak bo‘lgan masalalardi. NP –
to‘liqlik haqida savol berishdan oldin bunday masalalar, ularni hal qilish
masalalariga aylantirilishi kerak. Shunday qilib, masalan, grafdagi eng qisqa yo‘lni
topish masalasida optimallashtirish masalasini yechish masalasidan ruxsat berish
masalasiga o‘tdik va yo‘l uzunligiga cheklov qo‘shdik. Agar transformasiyadan
keyin NP – to‘liq masalasi yuzaga kelsa, unda asl muammoning qiyinligi ham
belgilanadi. Ma'lumotlar taqdimoti
Kirish ma'lumotlarini (ya'ni I to‘plamning elementi) algoritmga kiritishdan oldin
ularning qanday qilib “kompyuterga qulay” tarzda taqdim etilishi to‘g‘risida kelishib
olish kerak. Dastlabki ma'lumotlar bitlar ketma-ketligi bilan kodlangan deb qabul
qilamiz. Formal aytganda, S to‘plamining elementlarini ifodalash bu S dan e ni bitli
satrlar to‘plamlariga tushishidir. Masalan, (0, 1, 2, 3,...) – butun sonlarni, odatda (0,
1, 10, 11, 100, ...) – bitli satrlar bilan ifodalanadi.
Taqdim qilingan ma'lumotlarni joylashtirb, mavhum masalani satrli ma'lumotga
aylantiramiz, bu satirli ma'lumot uchun kirish ma'lumotlari, masalaning dastlabki
ma'lumotlarini aks ettiruvchi bitli satir bo‘ladi. Kirish ma'lumotlari (bitli satr) n –
uzunlikda bo‘lganida, algoritmning ishlash vaqti O(T(n)) – bo‘lsa, algoritm satirli
masalani O(T(n)) vaqtda yechadi desak bo‘ladi. Agar k konstanta va O(T(n)) vaqt
ichida bu masalani yechadigan algoritm mavjud bo‘lsa, satirli masala polinomial'
deb ataladi. Murakkablik P sinfi – bu barcha satirli masalalar bo‘lib, polonomia' vaqt
ichida yechilishi mumkin, ya'ni, O(nk) vaqt ichida yechilishi mumkin, bu yerda k
kirishga bog‘liq bo‘lmaydi.
Polinomial abstrakt masalasining konsepsiyasini aniqlashni istagan holda, biz turli
xil ma'lumotlarni taqdim etish mumkinligiga duch kelamiz.
Xar bir taqdim qilingan e to‘plam uchun, I kirishlari bo‘lgan Q abstrakt masalaning
satirli masalasini olamiz.
Biroq, amalda (asosi 1 bo‘lgan raqamli tizim kabi “qimmat” vakillik usullarini
istisno qilsak), tabiiy vakillik usullari odatda ekvivalentdir, chunki ularni bir-biriga
ko‘p jihatdan aylantirish mumkin. A polinomial algoritmi mavjud
bo‘lsa, f:{0,1}*→{0,1}* funksiyasi polinimial vaqt ichida hisoblab chiqiladi, u har
qanday x∈ {0,1}* uchun f(x) natijani beradi.
Ixtiyoriy abstrakt masala uchun I to‘plami sharitlarini ko‘rib chiqamiz. I
to‘plamning е1 va е2 elementlari polinomial' bog‘langan deyiladi, agar polinomial'
vaqtda hisoblash mumkin bo‘lgan ikkita f12(e1(i)) = e2(i) va f21(e2(i))
= e1(i), i ∈ I funsiyalar mavjud bo‘lsa. Bunday hollarda, polinomial' bog‘langan
ikkita elementdan qaysi birini tanlash muhim emas.
P, NP, NP-complete (NP-to‘liklik masalalari) sinflar orasidagi munosabatlar, NPhard (NP-murakkab masalalar), P≠NP va P=NP bo‘lgan xollarda.
NP- tuliklik masalasi — algoritmlar nazariyasida NP – sinfdagi «ha» yoki «yo‘k»
javobli masalani shu sinfdagi boshka masalaga polinomial' vakt oralgida
moslashtirish mumkin (yani, boshlangich ma'lumotlar xajmiga boglanganlik
darajasi ma'lum polinimdan katta bulmagan amallar yordamida bajariladi).
Shunday qilib, NP -to‘liq masalalar, ma'lum ma'noda, NP sinfidagi “tipik” masalalar
to‘plamini shakllantiradi: agar ularning ba'zilari uchun "tezkor" yechim algoritmi
topilsa, NP sinfidagi har qanday boshqa masalani xuddi shu tarzda hal qilish
mumkin.
Formal' ta'rif
Alifbo deganda har qanday cheklangan belgilar to‘plami tushuniladi (masalan, {0,
1} yoki {a, b, c}). Ixtiyoriy ∑ alifbosidan tuzilgan barcha so‘zlar to‘plami (yozilgan
satirlar, ushbu alifboning belgilaridan tashkil topadi) ∑* bilan belgilanadi.
∑ alfavit yordamida yaratilgan ixtiyoriy L tili bu ∑^* to‘plamning L to‘plam ostisi,
ya'ni L⸦∑^*.
L uchun tanib olish vazifasi berilgan so‘z L tiliga tegishli yoki yo‘qligini aniqlashdir.
∑ alifbo ustida va - ikkita til bo‘lsin. tiliga (Karp bo‘yicha) L2 tiliga qisqartirish
deyiladi, agar funksiyasi mavjud bo‘lsa, bu funksiyani polinomial' vaqt bilan
hisoblash mumkin bo‘lsa, quyidagi xususiyatga yega: : x ∈ L1, , agar va faqat agar .
Karp bo‘yicha qisqartirish L1≤pL2 bilan belgilanadi.
Agar NP-dan biron bir til unga qisqartirilsa, tili NP-to‘liq deb nomlanadi. Til NPmukammal deb nomlanadi, agar u NP-qiyin bo‘lsa va shu bilan birga o‘zi NP sinfida
bo‘lsa.
A masala B masalasiga qisqartirilganligi, A masala B masalasidan ko‘ra
“murakkabroq” ekanligini anglatadi (chunki agar biz B masalani yechilishi, A
masalanini ham yechilishini bildiradi). Shunday qilib, NP bilan bog‘liq
qiyinchiliklar sinfga NP bilan bog‘liq masalalar va ular uchun "ancha qiyin" bo‘lgan
masalalar kiradi (ya'ni NP bilan bog‘liq masalalarni kamaytirish mumkin bo‘lgan
masalalar). NP sinf NP to‘liq masalalarni va ulardan "osonroq" bo‘lgan masalalarni
o‘z ichiga oladi (ya'ni, NP-to‘liq masalalarga qisqartirishgan masalalar).
Ta'rifdan shunday xulosa kelib chiqadiki, agar NP-to‘liq masalasi polinomial' vaqtda
hal qiladigan algoritm topilsa, unda barcha NP-to‘liq masalalar P sinfga
joylashtiriladi, ya'ni ular polinomial' vaqtda yechiladi.
NP-to‘liqlik masalasining kuchlilik tomoni
Agar masalaning qisim masalalari mavjud bo‘lsa u kuchli NP-to‘liq masala deyiladi,
bunda: Masalaning raqamli parametrlari mavjud bo‘lmasa (ya'ni, bu masalada
uchraydigan kattaliklarning maksimal' qiymati polinom uzunligi bilan yuqoridan
chegaralangan).
Masalaning raqamli parametrlari mavjud bo‘lmasa (ya'ni, bu masalada uchraydigan
kattaliklarning maksimal' qiymati polinom uzunligi bilan yuqoridan chegaralangan).
NP-to‘liqlik masala.
Bunday vazifalar sinfi NPCS deb nomlanadi. Agar P ≠ NP gipotezasi to‘g‘ri bo‘lsa,
unda NPCS masalasi uchun soxtaopolinomial algoritm mavjud emas.
NP-to‘liqlik masalaga misollar
Bul' formulalari bajarilishi masalasi
"Dog‘lar" n × n o‘lchamining eng qisqa yechimi
Kommivoyajyora masalasi
Shteyner muammosi
Grafani bo‘yash masalasi
Soxa (yuza) qoplamasi masalasi
To‘plamni qoplash masalasi
Tanlash masalasi
To‘plamning mustaqilligi masalasi
Saper (o‘yin)
Tetris