APUNTES DE ESTUDIO
Carlos Andaluz Zúñiga
Carlos Andaluz Zúñiga
Aritmética / Ricardo Siu Koochoy / Carlos Andaluz Zúñiga
Álgebra
Álgebra
65
APUNTES DE ESTUDIO
Ricardo Siu Koochoy
Ricardo Siu Koochoy
65
Álgebra
Serie: Apuntes de Estudio n°
Nº 65
42
Ricardo Siu Koochoy
Carlos Andaluz Zúñiga
Álgebra
©
Universidad del Pacífico
Centro de Investigación
Avenida Salaverry 2020
Lima 11, Perú
Álgebra
Ricardo Siu Koochoy
Carlos Andaluz Zúñiga
1ª edición: abril 2007, febrero 2011, agosto 2012, agosto 2013
Diseño de la carátula: Icono Comunicadores
ISBN: 978-9972-57-112-1 972-57-066-5
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2013-11920
BUP-CENDI
Siu K., Ricardo
Álgebra / Ricardo Siu K. ; Carlos Andaluz Z. – Lima :
Centro de Investigación de la Universidad del Pacífico, 2013. –
(Apuntes de Estudio ; 65)
/ÁLGEBRA / ECUACIONES / LOGARITMOS /
512
(CDU)
Miembro de la Asociación Peruana de Editoriales Universitarias y de Escuelas
Superiores (Apesu) y miembro de la Asociación de Editoriales Universitarias
de América Latina y el Caribe (Eulac).
El Centro de Investigación de la Universidad del Pacífico no se solidariza
necesariamente con el contenido de los trabajos que publica. Prohibida la
reproducción total o parcial de este texto por cualquier medio sin permiso de la
Universidad del Pacífico.
Derechos reservados conforme a Ley.
Índice
Prólogo
..........................................................................................................11
I. Conceptos fundamentales del Álgebra .......................................................13
1. Potencias y raíces......................................................................................13
2. Propiedades de potencias y raíces.............................................................14
3. Expresiones algebraicas. Polinomios........................................................20
4. Grados de las expresiones algebraicas .....................................................21
5. Polinomios especiales ..............................................................................21
6. Productos notables ...................................................................................22
7. División algebraica ..................................................................................25
8. Regla de Ruffini .......................................................................................26
9. Teorema del Resto.....................................................................................29
10. Cocientes notables....................................................................................31
11. Factorización.............................................................................................34
12. Operaciones con fracciones algebraicas...................................................38
13. Descomposición de una fracción algebraica en fracciones parciales.............39
14. Racionalización. Factor de racionalización..............................................43
Ejercicios resueltos...............................................................................................45
Ejercicios propuestos............................................................................................96
II. Ecuaciones ..................................................................................................107
1. Ecuación..................................................................................................107
1.1. Clasificación de las ecuaciones.......................................................107
1.2. Principios fundamentales para resolver ecuaciones.......................108
2. Ecuación de primer grado con una incógnita.......................................... 111
3. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales....................111
3.1. Igualación....................................................................................... 111
3.2. Sustitución......................................................................................112
3.3. Reducción.......................................................................................112
4. Ecuación de segundo grado con una incógnita.......................................114
4.1. Deducción de las soluciones de la ecuación cuadrática.................115
4.2. Discusión de las raíces....................................................................115
4.3. Propiedades de las raíces................................................................116
4.4. Reconstrucción de una ecuación de segundo grado.......................117
5. Sistemas de ecuaciones cuadráticas........................................................118
Ejercicios resueltos.............................................................................................118
Ejercicios propuestos..........................................................................................326
III. Desigualdades e inecuaciones ....................................................................347
1. Desigualdades.........................................................................................347
1.1. El eje real........................................................................................347
1.2. Propiedades de las desigualdades...................................................348
2. Intervalos.................................................................................................350
2.1. Clasificación de los intervalos........................................................350
2.2. Operaciones con intervalos.............................................................351
3. Inecuaciones lineales con una incógnita.................................................352
4. Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita....................353
5. Método de los puntos críticos (o de las zonas).......................................357
5.1. Inecuaciones cuadráticas................................................................359
5.2. Inecuaciones de grado superior......................................................360
5.3. Inecuaciones racionales..................................................................362
6. Valor absoluto de un número..................................................................363
6.1. Propiedades del valor absoluto.......................................................363
6.2. Inecuaciones con valor absoluto.....................................................364
7. Método de las zonas aplicado a valores absolutos..................................365
Ejercicios resueltos.............................................................................................368
Ejercicios propuestos..........................................................................................441
IV. Progresiones aritméticas y geométricas ...................................................449
1. Progresiones aritméticas.........................................................................449
1.1. Cálculo del último término.............................................................449
1.2. Propiedad fundamental...................................................................450
1.3. Término central...............................................................................450
1.4. Suma de los n primeros términos..................................................451
2. Progresiones geométricas........................................................................452
2.1. Cálculo del último término de una progresión geométrica.............452
2.2. Propiedad fundamental...................................................................453
2.3. Término central de una progresión geométrica..............................453
2.4. Suma de los n primeros términos...................................................454
3. Progresiones geométricas decrecientes e ilimitadas...............................455
Ejercicios resueltos.............................................................................................456
Ejercicios propuestos..........................................................................................486
V. Logaritmos ..................................................................................................493
1. Definición de logaritmo..........................................................................493
2. Propiedades de los logaritmos................................................................494
3. Cologaritmo de un número.....................................................................498
4. Antilogaritmo de un número...................................................................499
5. Ecuaciones logarítmicas..........................................................................500
6. Ecuaciones exponenciales.......................................................................501
7. Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales............................502
Ejercicios resueltos.............................................................................................503
Ejercicios propuestos..........................................................................................558
Prácticas y exámenes de Fundamentos de Matemáticas ..............................571
Ejercicios propuestos de Razonamiento Matemático ...................................589
Amenidades ......................................................................................................595
Prólogo
El presente Apuntes de Estudio trata temas del programa del curso Fundamentos
de Matemáticas que actualmente se imparte en la Universidad del Pacífico.
Álgebra ha sido escrito a partir de las clases dictadas en esta universidad por los
profesores Ricardo Siu Koochoy, con más de 30 años de experiencia docente, y
Carlos Andaluz Zúñiga, con más de 10 años de experiencia docente.
Este libro fue concebido de manera que pueda ser utilizado como texto básico
o como texto complementario, y ha sido nuestro objetivo que sea de máximo
provecho para los alumnos que tengan el deseo de aprender Álgebra.
Como texto básico, el alumno encontrará conceptos que el profesor podrá
profundizar durante las clases y, como texto complementario, hallará ejercicios
y problemas en los cuales se aplican los conceptos teóricos. Cabe resaltar que
una característica de este libro es que muchos de los ejercicios y problemas han
sido resueltos de dos o más formas, de modo que el alumno aprenda a analizarlos
desde diversas perspectivas.
Debemos dejar constancia de que, si en la explicación de los temas tratados
se ha sacrificado el rigor matemático, ha sido con la finalidad de facilitar su
comprensión. Por la misma razón didáctica, se incluye una serie de ejemplos,
ejercicios y problemas resueltos y propuestos, muchos de los cuales corresponden
a prácticas calificadas y exámenes del curso Fundamentos de Matemáticas, que
ayudarán a entender y afianzar la teoría.
Como suele ser usual en los manuales de matemática, muchos ejercicios y
problemas abrevan de una larga tradición, algunos son clásicos, otros ejemplares;
todos, creemos, útiles. Nuestra compilación de 720 ejercicios y problemas busca
constituir un conjunto apropiado para asegurar una formación suficiente en los
fundamentos del Álgebra.
En la última sección del libro han sido incluidos problemas de prácticas
calificadas y exámenes tomados en la Universidad del Pacífico en los ciclos 20060 y 2006-1, así como ejercicios de razonamiento matemático y amenidades.
Los autores
Conceptos fundamentales del Álgebra
13
I
Conceptos fundamentales
del Álgebra
1.
Potencias y raíces
Las cuatro operaciones fundamentales son suma, resta, multiplicación
(producto) y división (cociente). A partir de la multiplicación se define la
quinta operación aritmética llamada potenciación, la cual permite
 a en la forma a n . Esto es,
representar al producto a  a  a 
n veces
a = aaa
n
a
n veces
A a n se le conoce como “potencia enésima de a ”, siendo sus
elementos:
Exponente
Potencia:
an
Base
La sexta operación aritmética es la radicación, definida como la
operación inversa de la potenciación. Esto es:
Conceptos fundamentales del Álgebra
14
an = b  a = n b ,
lo que significa que n b es aquel número que multiplicado por sí mismo
n veces equivale a b.
A n b se le conoce como la “raíz enésima de b ”, siendo sus elementos:
Signo radical
Índice
Radical:
n
b
Cantidad subradical
2.
Propiedades de potencias y raíces
Señalaremos las propiedades más importantes relativas a las potencias y
a las raíces.
P1) Producto de potencias de igual base.
am  an = am+ n
Demostración
am  an = a  a  a 
aaaa
m veces
am  an = a  a  a 
aaaa
( m + n ) veces
am  an = am+n
P2) Cociente de potencias de igual base.
am
= am−n
an
a
n veces
( a  0)
a
Conceptos fundamentales del Álgebra
15
Demostración
Consideremos el caso m  n :
m − n veces
n veces
a
aa
=
an a  a 
aaa
a
m
a
n veces
m − n veces
am
= aa
an
am
= am−n
n
a
a
P3) Potencia con exponente 0.
( a  0)
a0 = 1
Demostración
am
= am−m = a0
am
Como la división de un número, distinto de cero, entre sí mismo es 1,
am
= 1  a0 = 1.
am
P4) Potencia con exponente negativo.
a−n =
1
an
( a  0)
Conceptos fundamentales del Álgebra
16
Demostración
a − n = a0− n
a0
an
1
a−n = n
a
( P2 )
a−n =
( P3)
P5) Potencia de un producto.
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
( a  b ) = a n  bn
n
Demostración
(a  b) = (a  b)  (a  b)  (a  b) 
n
 (a b)
n veces
(a  b) = a  a  a 
n
n veces
 a b b b 
b
n veces
( a  b ) = a n  bn
n
P6) Potencia de un cociente.
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
n
an
a
=
 
bn
b
(b  0)
Se demuestra análogamente a P5).
Observación
O1) Debemos notar que la potencia de una suma no es igual a la suma de
las potencias. Esto es:
( a + b)  an + bn
n
( salvo a = 0  b = 0)
Conceptos fundamentales del Álgebra
17
Por ejemplo:
( a + b ) = a 2 + 2ab + b2  a 2 + b2
2
( a + b ) = a 2 + 0 + b2  2ab = 0  a = 0  b = 0
2
P7) Potencia de potencia
(a ) = a
m
Demostración
n
mn
(a ) = (a ) (a ) (a ) 
m
n
m
m
m
( )
 am
n veces
(a ) = a
(a ) = a
m
m
n
n
n sumandos
m+m+m+
+m
mn
Observaciones
( )  a , ya que el exponente de a en el primer
O2) Por lo general a m
n
mn
caso es m  n y en el segundo, mn .
Así pues:
(2 ) = 2 = 2
3
2
32
6
2
23 = 29
O3) Nótese que las expresiones ( −2) y −24 son diferentes, porque en
4
el primer caso, el exponente 4 afecta también al signo negativo
( −2) = ( −1) ( 2) = 16, no así en el segundo caso −24 = −16. La
4
4
4
confusión surge a menudo porque no se identifica a la base: en el primer
caso la base es − 2 y en el segundo, 2.
Conceptos fundamentales del Álgebra
18
P8) Conversión de un radical en una potencia.
1
n
b = bn
Demostración
Sea
n
(1)
b = bx
Elevando ambos miembros a la enésima potencia:
( b ) = (b )
n
n
x
n
b1 = b xn
De ( 2 ) en (1) :
1 = xn
1
x=
n
( 2)
1
n
b = bn
P9) Potencia con exponente fraccionario.
m
b n = n bm
Demostración
m
bn = b
m
m
1
n
( )
1
b n = bm n
m
b n = n bm
P10) Raíz de un producto.
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces.
Conceptos fundamentales del Álgebra
19
n
ab = n a n b
Demostración
n
ab = ( ab )
n
ab = ( a )
n
ab = n a n b
1n
1n
(b )
1n
P11) Raíz de un cociente.
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.
n
a na
=
b nb
(b  0)
Se demuestra análogamente a P10).
P12) Raíz de raíz.
m n
a = mn a
Demostración
m n
a = m a1 n
m n
a = a1 n
( )
1m
m n
a = a1 mn
m n
a = mn a
P13) Potencia de raíz.
( a) = a
m
n
m
n
Conceptos fundamentales del Álgebra
20
Demostración
( a) = a  a  a 
m
n
m
m
m a
m
n veces
n veces
( a) = aaa
( a) = a
m
m
3.
n
n
m
m
a
n
Expresiones algebraicas. Polinomios
Las expresiones algebraicas son los números y letras relacionados por las
operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Ejemplos:
3x 2 − 2 x + 5
5a 2 b3c − 10a 4 b 2 c3 + 20b 4
2m−4 n1 3 + 5m− 2 5 n3
4ax3 y 2 + 3bxy 4 − 2cy 5
Las expresiones anteriores reciben el nombre de polinomios pues están
formadas por monomios. Así pues el polinomio 3x 2 − 2 x + 5 tiene tres
monomios: 3 x 2 , −2 x, 5.
Los elementos de todo monomio son
Parte literal
Signo
+3x 2
Coeficiente
Conceptos fundamentales del Álgebra
21
Como la única variable es x, se dice que el polinomio mencionado “es
un polinomio P de x ”, lo que se escribe P ( x ) .
En el caso del polinomio 4ax3 y 2 + 3bxy 4 − 2cy 5 , se tienen tres
coeficiente
monomios, siendo uno de ellos
4a
x3 y 2 . Se acostumbra emplear
parte literal
( a, b, c ) para representar a las constantes y las
últimas letras ( x, y, z ) para las variables. Por ello:
las primeras letras
P ( x, y ) = 4ax 3 y 2 + 3bxy 4 − 2cy 5
4.
Grados de las expresiones algebraicas
Grado relativo
El grado relativo a una determinada variable es el mayor exponente que
afecta a dicha variable.
En P ( x, y, z ) = 4 x 4 y 2 − 3x 2 yz 3 + 5 x 3 yz 4 , se tiene:
GR( x ) = 4
GR( y ) = 2
GR( z ) = 4
Grado absoluto de un monomio
Es la suma de los grados relativos a todas las variables.
En Q ( m, n ) = 2a 3 m6 n 2 , se tiene:
GA(Q ) = 6 + 2
( 2a es el coeficiente )
3
GA(Q ) = 8
Grado absoluto de un polinomio
Es el mayor de los grados absolutos de los monomios.
Conceptos fundamentales del Álgebra
22
1
2
3
En R ( u, v, w) = u 3v 2 w + u 2 v 4 w2 + u 4 vw2 , se tiene como grado
2
3
4
absoluto de los monomios 3 + 2 + 1 = 6, 2 + 4 + 2 = 8 y 4 + 1 + 2 = 7,
respectivamente, de donde:
GA( R ) = 8
5.
Polinomios especiales
Se pueden citar los siguientes:
a)
Polinomio ordenado con respecto a una variable
P ( x, y, z ) = 2 x3 y 2 z + 3 x 2 y 3 z 2 − 4 y 2 z 4 está ordenado en forma
descendente respecto de x y, a la vez, ascendentemente respecto de
z.
b) Polinomio completo
Q ( m, n ) = 5m 4 n + 3m3 n − 2m 2 n3 + 4mn 4 − 2
es
un
polinomio
completo con respecto a m , pero incompleto con respecto a n
puesto que falta el término n 2 .
c)
Polinomio homogéneo es aquel cuyos monomios tienen el mismo
grado absoluto
R ( x, y, z ) = 2 x 4 y 2 − 3xy 3 z 2 + 4 y 5 z es un polinomio homogéneo de
grado 6 ( 4 + 2 = 1+ 3 + 2 = 5 +1 ).
d) Polinomios idénticos
Si los polinomios ( 2a + b ) x + ( a − b ) y 7 x + 2 son idénticos:
( 2a + b ) x + ( a − b )  7 x + 2
se debe cumplir que:
a=3
 2a + b = 7


b =1
 a −b = 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
e)
23
Polinomios idénticamente nulos
El polinomio P ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e es idénticamente nulo
si a = b = c = d = e = 0.
6.
Productos notables
Reciben este nombre aquellos productos cuyo resultado se conoce de
antemano (sin necesidad de efectuar la multiplicación). Entre los más
útiles destacan:
a)
Cuadrado de un binomio
( a + b) = a2 + 2ab + b2
2
(Trinomio cuadrado perfecto )
De lo que se deduce
( a − b ) = a + ( −b )
2
2
( a − b ) = a 2 + 2a ( −b ) + ( −b )
2
( a − b ) = a 2 − 2ab + b2
( Trinomio cuadrado perfecto )
2
2
A partir de ellos se obtienen las llamadas Identidades de Legendre:
( a + b ) + ( a − b ) = 2 ( a 2 + b2 )
2
2
( a + b ) − ( a − b ) = 4ab
2
2
b) Cubo de un binomio
( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
3
( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3
3
A veces es conveniente escribirlas como:
( a + b ) = a3 + b3 + 3ab ( a + b )
3
( a − b ) = a3 − b3 − 3ab ( a − b )
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
c)
24
Producto de una suma por una diferencia
( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
( Diferencia de cuadrados )
d) Producto de un binomio por un trinomio
( a + b ) a 2 − ab + b2 = a3 + b3
(Suma de cubos )
(
)
( a − b ) ( a + ab + b ) = a − b
2
e)
2
3
( Diferencia de cubos )
3
Cuadrado de un trinomio
( a + b + c ) =  a + ( b + c ) 
2
2
( a + b + c ) = a 2 + 2a ( b + c ) + ( b + c )
2
( a + b + c ) = a 2 + 2ab + 2ac + b 2 + 2bc + c 2
2
( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
2
2
En el caso de signo negativo, como por ejemplo
( a + b − c ) = a + b + ( −c )
2
2
( a + b − c ) = a 2 + b2 + ( −c ) + 2ab + 2a ( −c ) + 2b ( −c )
2
( a + b − c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2ab − 2ac − 2bc
2
2
Si hubiese dos signos negativos:
( a − b − c ) = a + ( −b ) + ( −c )
2
2
( a − b − c ) = a 2 + ( −b ) + ( −c ) + 2a ( −b ) + 2a ( −c ) + 2 ( −b )( −c )
2
( a − b − c ) = a 2 + b2 + c 2 − 2ab − 2ac + 2bc
2
f)
2
2
Cubo de un trinomio
( a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
25
A veces conviene expresarlo como
( a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)( a + c )(b + c )
3
g) Producto de dos binomios con término común
( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab
h) Identidades de Lagrange
(
h1) a2 + b2
)( x + y ) = ( ax + by ) + ( ay − bx )
2
2
2
2
Demostración
( a + b )( x + y ) = a ( x + y ) + b ( x + y )
( a + b )( x + y ) = a x + a y + b x + b y
( a + b )( x + y ) = a x + 2abxy + b y + a y − 2abxy + b x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( a + b )( x + y ) = ( ax + by ) + ( ay − bx )
2
2
2
2
2
2
2
h2)
a 2 + b2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 =
(
)(
)
( ax + by + cz ) + ( ay − bx ) + ( az − cx ) + (bz − cy )
2
7.
2
2
2
División algebraica
Dados el dividendo ( D ) y el divisor ( d ) , se trata de hallar el cociente
( q ) y el residuo o resto ( r ) .
Si el residuo es 0, la división es exacta:
18
0
3
6
18 = 3 ( 6 )
D
0
d
q
D = dq
Conceptos fundamentales del Álgebra
26
Si el residuo es diferente de 0, la división es inexacta:
27
3
4
6
D
r
27 = 4 ( 6 ) + 3
d
q
D = dq + r
En general:
D = dq + r
o, si dividimos entre d :
D
r
= q+
d
d
Consideremos ahora la división
P ( x)
Q ( x)
de los polinomios:
P ( x ) = 6 x3 + 5 x 2 + 2
Q ( x ) = 3x 2 + 4 x + 2
En toda división de polinomios se cumple que:
i) El grado del cociente es la diferencia de los grados del dividendo y
del divisor.
ii) El grado máximo del residuo es uno menos que el grado del divisor.
En la división
P ( x)
Q ( x)
el grado del cociente será 3 − 2 = 1, y el residuo
tendrá como máximo el grado 2 −1 = 1.
Conceptos fundamentales del Álgebra
27
Así pues:
6x3
+
5x 2
−6x
−
2
−
4x
2
−
+
4x
4x
3
−
+
8x
+
3x
3x 2
3x 2
2x
2
+
2
+
2
4
+
4x
−
1
+
2
Por lo tanto:
q ( x ) = 2x −1
( grado 1)
( grado 0 )
r=4
8.
Regla de Ruffini
Permite obtener el cociente y el residuo de la división algebraica de un
polinomio P ( x ) entre otro polinomio Q ( x ) de la forma ax + b.
i) Asumamos que a = 1
P ( x ) = 2 x3 − 3x 2 + 4 x − 5
Q ( x ) = 1 x − 2  ax + b  a = 1
a
Cálculos
x−2 = 0  x = 2
coeficientes del dividendo
2
2

2
−3
+
22
1
4
+
1 2
−5
+
6
62
7
acoeficientes del cociente
residuo
Conceptos fundamentales del Álgebra
28
El cociente será q ( x ) = 2 x 2 + 1x + 6, y el residuo, r = 7.
ii) Asumamos que a  1
P ( x ) = 6 x 3 − 3x 2 − 6 x + 8
Q ( x ) = 2 x + 3  ax + b  a = 2
Cálculos
2x+3 = 0  x = −
a
3
2
coeficientes del dividendo
−
3
2
6
−3
−6
+8

6
+
 3
6 − 
 2
− 12
+
 3
−12   − 
 2
12
+
 3
12   − 
 2
acoeficientes del cociente
−10
residuo
Para encontrar los coeficientes del cociente, se debe dividir los
coeficientes obtenidos entre el valor de a ( a = 2 ) . Es decir:
q ( x) =
6 2 12
12
x − x + = 3x 2 − 6 x + 6
2
2
2
En cambio, el residuo es
r = −10
Conceptos fundamentales del Álgebra
29
Caso especial
Si el divisor Q ( x ) tiene la forma Q ( x ) = ax n + b y el dividendo
contiene únicamente potencias de x n , es posible emplear el método
de Ruffini.
En
P ( x ) = 12 x16 − 8x12 + 6 x 4 − 2
Q ( x ) = 3x 4 − 2
efectuemos el cambio de variable x 4 = y, de modo que:
P ( y ) = 12 y 4 − 8 y3 + 6 y − 2
Q ( y ) = 3 y − 2  ay + b  a = 3
Cálculos
3y − 2 = 0  y =
2
3
coeficientes del dividendo
2
3
12
−8
0
6
−2

12
8
0
0
0
0
6
4
2
3coeficientes del cociente
Tendríamos que
q ( y ) = 4 y 3 + 2  q ( x ) = 4 x12 + 2
r=2
residuo
Conceptos fundamentales del Álgebra
9.
30
Teorema del Resto
Tiene por finalidad obtener el resto de la división de un polinomio P ( x )
entre un divisor binómico de la forma ax + b.
P ( x)
b
El resto de la división
es P ( − b a ) , en donde − es el valor de
ax + b
a
x que resulta de igualar ax + b a cero.
Demostración
De la página P13 se tiene
D = dq + r
En este caso:
P ( x ) = ( ax + b ) q ( x ) + r
Si reemplazamos x por −
( r es de grado cero )
b
:
a
 b   b   b
P  −  = a  −  + b q  −  + r
 a   a   a
 b
P−  = 0+ r
 a
 b
P−  = r
 a
El residuo buscado será P ( − b a ) .
Se puede emplear la regla de Ruffini para calcular P ( − b a ) . Por
ejemplo, si P ( x ) = Ax3 + Bx 2 + Cx + D, el valor de P ( − b a ) se
obtendrá:
Conceptos fundamentales del Álgebra
ax + b = 0  x = −
−
b
a
31
b
a
A
B
C
D

 b
A − 
 a
 b
 b
A −  + B  − 
 a
 a
2
 b
 b
 b
A −  + B  −  + C  − 
 a
 a
 a
A
 b
A −  + B
 a
 b
 b
A −  + B  −  + C
 a
 a
2
3
3
2
2
 b
 b
 b
A −  + B  −  + C  −  + D
 a
 a
 a
 b
P − 
 a
Ejemplo
Calcular el valor de m si 16 x4 + 8mx3 + 4 x2 + 2mx + m es divisible por
2x −1.
Si son divisibles, el residuo de la división
16 x 4 + 8mx3 + 4 x 2 + 2mx + m
2x −1
1
es cero. A partir de 2 x − 1 = 0  x = , al aplicar el teorema del resto
2
se deduce que P (1 2 ) = 0.
Podemos calcular P (1 2 ) de dos formas
Forma 1:
P ( x ) = 16 x 4 + 8mx3 + 4 x 2 + 2mx + m
4
3
2
1
1
1
1
1
P   = 16   + 8m   + 4   + 2m   + m
2
2
2
 2
 2
1
P   = 1+ m +1+ m + m
2
1
P   = 3m + 2
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
32
Forma 2:
1
2
16
8m
4
2m
m

8
4m+ 4
2m+ 4
2m+ 2
16
8m + 8
4m+ 8
4m+ 4
3m + 2
1
P 
2
2
1
Como P   = 0  3m + 2 = 0  m = − .
3
2
10. Cocientes notables
Como en los productos notables, se llaman cocientes notables a aquellas
divisiones exactas en las cuales se puede anticipar el cociente (sin
necesidad de efectuar la división). Se distinguen tres casos:
Caso 1:
P ( x)
Q ( x)
=
xn − an
x−a
La división es exacta porque
x − a = 0  x = a  P ( a ) = an − an = 0 = r
El cociente se obtiene por la regla de Ruffini:
n+1 términos
a
1
0
0
0
−a n

a
a2
a n −1
an
1
a
a2
a n −1
0
Conceptos fundamentales del Álgebra
33
De donde
q ( x ) = 1x n −1 + ax n − 2 + a 2 x n −3 +
( n términos )
+ a n −1
Caso 2:
P ( x)
Q ( x)
=
xn − an
,
x+a
si n es par
La división es exacta porque
x + a = 0  x = −a  P ( −a ) = ( −a ) − an
n
Si n es par: P ( −a ) = ( −a ) − an = an − an = 0.
n
Según la regla de Ruffini:
n+1 términos
−a
1
0
0
0
−a n

−a
a2
−a n −1
an
1
−a
a2
−a n −1
0
Es decir
q ( x ) = 1x n −1 − ax n − 2 + a 2 x n −3 +
− a n −1
( n términos )
Caso 3:
P ( x)
Q ( x)
=
xn + an
,
x+a
si n es impar
Conceptos fundamentales del Álgebra
34
La división es exacta porque
x + a = 0  x = −a  P ( −a ) = ( −a ) + an
n
Si n es impar: P ( −a ) = ( −a ) + an = −an + an = 0.
n
Apliquemos la regla de Ruffini:
n+1 términos
−a
1
0
0
0
+an

−a
a2
a n −1
−a n
1
−a
a2
a n −1
0
Luego:
q ( x ) = 1x n −1 − ax n − 2 + a 2 x n −3 +
+ a n −1
( n términos )
Se deja al lector la demostración de que los siguientes cocientes no
son notables:
xn − an
,
x+a
xn + an
,
x+a
xn + an
x−a
si n es impar
si n es par
Ejemplo:
Calculemos el número de términos del desarrollo de
Conceptos fundamentales del Álgebra
35
x2 3 x − y 4 y3
3
x−4 y
Reescribamos el cociente
( ) ( ) = m −n
7
x1 3 − y1 4
x7 3 − y 7 4
=
x1 3 − y1 4
x1 3 − y1 4
7
7
7
m−n
El cociente es notable (Caso 1) y su desarrollo tendrá siete términos.
11. Factorización
El término “factor” se menciona, por ejemplo, en la propiedad: “El orden
de los factores no altera el producto”. Así pues:
3 5 = 5 3 = 15
De donde, 3 y 5 son factores de 15.
Factorizar el número 15 es escribirlo como el producto de dos o más
factores primos:
15 = 3 5
En consecuencia, factorizar un polinomio es expresarlo como un
producto indicado de dos o más factores primos racionales y enteros.
Métodos de factorización
a)
Factor común monomio
Factorizar P = 10 x3 y 2 − 5 x 2 y 4 + 20 x 4 y 5 .
El máximo común divisor de los términos es el monomio
5x 2 y 2
(
P = 5x 2 y 2 2 x − y 2 + 4 x 2 y 3
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
36
El resultado contiene seis factores en total:
5, x, x, y, y, 2 x − y 2 + 4 x 2 y 3
b) Factor común polinomio
Factorizar Q = 6m 2 n 2 ( m + 2n ) − 4m3 n ( m + 2n ) .
El máximo común divisor de los sumandos es el polinomio
2m 2 n ( m + 2n )
Q = 2m 2 n ( m + 2n ) 3n − 2m 
c)
Agrupación de términos
Factorizar R = ac + ad + bc + bd.
Agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos.
R = ( ac + ad ) + ( bc + bd )
R = a (c + d ) + b (c + d )
R = ( a + b )( c + d )
d) Diferencia de cuadrados
Factorizar P = 25 x 4 y 6 − 36m8 n 2 .
Se emplea la identidad a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
(
P = 5x2 y3
(
) − ( 6m n )
2
4
a2
2
b2
)(
P = 5 x y + 6m n 5 x 2 y 3 − 6m 4 n
e)
2
3
4
Trinomio cuadrado perfecto
Factorizar Q = m4 − 6m2 n3 + 9n6
Se utiliza la identidad a2 − 2ab + b2 = ( a − b)
2
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
37
Q = m 4 − 6m 2 n 3 + 9n 6
( ) − 2 ( m )( 3n ) + ( 3n )
2
Q = m2
2
a2
a
(
Q = m2 − 3n3
f)
3
)
3
b
2
b2
2
Suma o diferencia de cubos
Factorizar R = 8c3d 6 − 27e9
(
Se utiliza la identidad a3 − b3 = ( a − b ) a2 + ab + b2
)
R = 8c3 d 6 − 27e9
(
R = 2cd 2
) − ( 3e )
3
3
a3
(
3
b3
R = 2cd − 3e
2
3
)( 4c d + 6cd e + 9e )
2
4
2 3
6
Factorizar S = 8c3 d 6 + 27e9
(
Se utiliza la identidad a3 + b3 = ( a + b ) a2 − ab + b2
R = 8c d + 27e
3
6
(
R = 2cd 2
(
) + ( 3e )
3
3
a3
)
9
3
b3
R = 2cd + 3e
2
3
)( 4c d − 6cd e + 9e )
2
4
2 3
6
g) Aspa simple
Permite factorizar trinomios de la forma ax2n + bx n + c
Factorizar P = x 2 + 1x − 6
(a)
(b)
(a) : +
(b ) : −

Los factores de P son de la forma  x + ? 
 x − ? 
 ( a )  ( a )(b ) 
Conceptos fundamentales del Álgebra
38
Los números que faltan colocar deberán sumar 1 y dar como
producto −6.
P = ( x + 3)( x − 2 )
Factorizar Q = 8 x 2 − 2 x − 15
(a)
(b)
Los factores de Q
son de la forma
( 4 x )( 2 x )
ó
(8x )( x ) . Los signos que faltan colocar son (−a ) y ( a+)(b ) .
Finalmente
Q = ( 4 x + 5)( 2 x − 3)
h) Divisores binómicos
Se emplea cuando el polinomio por factorizar contiene factores
binómicos de la forma ax + b. Debe recordarse que si ax + b es
un factor de P ( x ) , entonces P ( − b a ) = 0 y recíprocamente, si
P ( − b a ) = 0, entonces ( ax + b ) es un factor de P ( x ) y −b a
se llama “cero de P ( x ) ”
Dado P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 +
+ a2 x 2 + a1 x + a0 , para poder
factorizarlo habrá que encontrar ceros del polinomio (están
entre los divisores de a0 y los números formados al dividir los
divisores de a0 entre los divisores de a n ). Cada cero
encontrado corresponde a un factor binómico.
Factorizar R = 2 x4 + 3x3 − 20 x2 − 27 x + 18
Divisores de a0 = +18 :  1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de an = 2 :  1, 2
Posibles ceros de P ( x ) :
1, 2, 3, 6, 9, 18
1 3 9
= 1, 2, 3, 6, 9, 18, , ,
1, 2
2 2 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
39
Búsqueda de factores (dividir por el método de Ruffini)
−2
3
2
3
−20
−27
18

2
−4
−1
2
−18
36
9
−18
0

2
6
5
15
−3
−9
0
Luego:
 ( x + 2 ) es factor
 ( x − 3) es factor
(
R = ( x + 2 )( x − 3) 2 x 2 + 5 x − 3
)
R = ( x + 2 )( x − 3)( 2 x − 1)( x + 3)
R = 2 ( x − 1 2 )( x + 2 )( x + 3)( x − 3)
12. Operaciones con fracciones algebraicas
Cuando se efectúan operaciones con números, el orden que se sigue es:
Primero: sumas y restas
Segundo: multiplicaciones y divisiones
Ese mismo orden se debe seguir cuando se efectúan operaciones con
fracciones algebraicas, debiéndose tener en cuenta que antes de sumar o
restar conviene simplificar cada uno de los sumandos y antes de
multiplicar o dividir conviene factorizar cada uno de los términos.
Ejemplo
Conceptos fundamentales del Álgebra
40
 2a + b
2a 2 + 2ab
3b 2a 2 b + 3b 3   2a − b 
P=
+ 2
−
−


 a − b a + 2ab + b 2 a a a 2 − b 2   a 2 + ab 


(
)
 2a + b
2a 2 + 2ab
3b 2a 2 b + 3b 3   a 2 + ab 
P=
+ 2
−
−


 a − b a + 2ab + b 2 a a a 2 − b 2   2a − b 


(
)
 2a + b 2a ( a + b ) 3b 2a 2 b + 3b3   a 2 + ab 

P=
+
− −

2
a a a 2 − b 2   2a − b 
 a −b
a
+
b
(
)


(
)
 2a + b
2a 3b 2a 2 b + 3b 3   a 2 + ab 
P=
+
− −


 a − b a + b a a a 2 − b 2   2a − b 


(
)
(
) (
)
 ( 2a + b ) a ( a + b ) + 2a ( a − b ) − 3b a 2 − b 2 − 2a 2 b + 3b3   a 2 + ab 

P=


  2a − b 
a a 2 − b2


2
(
)
 2a 3 + 2a 2 b + a 2 b + ab 2 + 2a 3 − 2a 2 b − 3a 2 b + 3b 3 − 2a 2 b − 3b 3   a 2 + ab 

P=

2
2

  2a − b 
a
a
−
b


(
 4a 3 − 4a 2 b + ab 2   a 2 + ab 

P=

 a a 2 − b2
  2a − b 


(
(
)
)
 a 4a 2 − 4ab + b 2   a 2 + ab 

P=


  2a − b 
a a 2 − b 2


(
)
a (a + b)
( 2a − b )

( a + b )( a − b ) 2a − b
a ( 2a − b )
2
P=
P=
a −b
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
41
13. Descomposición de una fracción algebraica en fracciones parciales
Según el acápite anterior,
3
−2 3 ( x − 1) − 2 ( x + 2 )
+
=
x + 2 x −1
( x + 2 )( x − 1)
3
−2
x−7
+
=
x + 2 x − 1 x2 + x − 2
De lo que se trata ahora es de descomponer la fracción algebraica
x−7
, vale decir, expresarla como la suma de las fracciones
x2 + x − 2
3
−2
y
, a las cuales se les denomina fracciones parciales.
x +1
x+2
P ( x)
El requisito para poder descomponer
en fracciones parciales
Q ( x)
es que la fracción dada sea propia (grado del numerador menor que
el grado del denominador). En el caso de una fracción impropia, se
deberá efectuar la división y expresarla como:
P ( x)
Q ( x)
polinomio
= q ( x) +
r ( x)
Q ( x)
fracción propia
Ejemplo
Descomponer en fracciones parciales
P ( x)
Q ( x)
=
3x3 + 4 x 2 − 4 x − 9
x2 + x − 2
Dividimos
3
−3
4
−4
−3
6
1
−1
2
−1
1
−9
−9
2
−7
1
3
1
1
−2
Conceptos fundamentales del Álgebra
42
De donde q ( x ) = 3x + 1, r ( x ) = x − 7,
P ( x)
=
Q ( x)
P ( x)
3x3 + 4 x 2 − 4 x − 9
x2 + x − 2
= 3x + 1 +
Q ( x)
x−7
x2 + x − 2
( )
El siguiente paso es descomponer Q ( x ) en factores lineales
( ax + b ) y en factores cuadráticos ( ax2 + bx + c ) con discriminante
 = b2 − 4ac  0. Así pues:
x 2 + x − 2 = ( x + 2 )( x − 1)
Por cada factor lineal repetido n veces ( ax + b ) , corresponderá la
n
suma de n fracciones parciales:
A1
( ax + b )
1
+
A2
( ax + b )
2
+
+
An
( ax + b )
,
n
Si n = 1, solamente corresponderá la fracción parcial
Por cada factor cuadrático repetido n veces
A1
.
ax + b
( ax + bx + c ) ,
n
2
corresponderá la suma de n fracciones parciales:
B1 x + C1
B2 x + C2
+
+
2
ax + bx + c ax 2 + bx + c 2
(
)
+
Bn x + Cn
( ax + bx + c )
2
Si n = 1, solamente corresponderá la fracción parcial
n
,
B1 x + C1
.
ax2 + bx + c
Conceptos fundamentales del Álgebra
43
En el ejemplo, se han obtenido dos factores lineales: x + 2 (con
n = 1 ) y x −1 (con n = 1 ), por ello:
x−7
( x + 2 )( x − 1)
De donde:
Es decir:
=
A
B
+
x + 2 x −1
A ( x − 1) + B ( x + 2 )
x−7
=
( x + 2 )( x − 1)
( x + 2 )( x − 1)
x − 7  A ( x − 1) + B ( x + 2 )
Para calcular A y B existen dos métodos:
Método I
Como los polinomios x − 7 y A ( x − 1) + B ( x + 2 ) son idénticos,
tienen el mismo valor numérico para cualquier valor particular que
se asigne a su variable:
Si x = 1:
1 − 7 = A (1 − 1) + B (1 + 2 )  − 6 = 3B  B = −2
Si x = −2 :
−2 − 7 = A ( −2 − 1) + B ( −2 + 2 )  − 9 = −3 A  A = 3
Método II
Como los polinomios x − 7 y A ( x − 1) + B ( x + 2 ) son idénticos, los
coeficientes de sus términos semejantes son iguales, entonces:
Conceptos fundamentales del Álgebra
44
x − 7  A ( x − 1) + B ( x + 2 )
x − 7  Ax − A + Bx + 2B
x − 7  ( A + B ) x + ( − A + 2B )
Igualamos los coeficientes de los términos respectivos
 1= A+ B
 A = 3, B = −2

−7 = − A + 2 B
Reemplazando finalmente en ( )
P ( x)
Q ( x)
= 3x + 1 +
x−7
x2 + x − 2
3x3 + 4 x 2 − 4 x − 9
3
2
= 3x + 1 +
−
2
x + 2 x −1
x + x−2
14. Racionalización. Factor de racionalización
Racionalizar el denominador de una fracción algebraica es expresarla
como otra fracción equivalente cuyo denominador sea racional. Por
4x y
4x
.
ejemplo, racionalizar
es expresarla como
y
y
Es decir, dado
P ( x)
Q ( x)
conviene multiplicar ambos términos de la
fracción por FR ( x ) (factor de racionalización):
que
Q ( x )  FR ( x )
racionalización
sea
variará
una
de
acuerdo
distinguiéndose tres casos usuales:
Caso 1
Q ( x ) sólo contiene monomios.
expresión
con
P ( x ) FR ( x )

de modo
Q ( x ) FR ( x )
racional.
la
El factor
forma
de
de
Q ( x),
Conceptos fundamentales del Álgebra
Racionalizar
El FR será
P ( x)
Q ( x)
=
45
3a 3b 2 c
4 a 3 b 4 c5
a 3 b 2 4 c 3 porque al multiplicarlo por Q ( x ) se obtiene la
expresión racional 4abc 2 .
Entonces:
P ( x)
Q ( x)
=
3a3b2 c
4 a 3 b 4 c5

a 3 b 2 4 c3
a 3 b 2 4 c3
=
3a7 2b8 3c7 4
4abc2
Caso 2
Q ( x ) contiene alguno de los binomios a  b y el FR será a
Racionalizar
P ( x)
Q ( x)
=
b.
12
3− 5
El FR será 3 + 5 porque al multiplicarlo por Q ( x ) se obtiene la
expresión racional 32 −
P ( x)
Q ( x)
=
12

( 5) = 4 :
2
3+ 5
3− 5 3+ 5
=
(
12 3 + 5
32 −
( 5)
) = 12 (3 + 5 ) = 3 3 + 5
( )
4
2
Caso 3
Q ( x ) contiene alguno de los binomios a  3 b y el FR será el
trinomio a 2
a 3 b + 3 b 2 porque:
(a + b )(a − a b + b ) = a + b
(a − b )(a + a b + b ) = a − b
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
Racionalizar
P ( x)
Q ( x)
P ( x)
Q ( x)
P ( x)
Q ( x)
P ( x)
Q ( x)
P ( x)
Q ( x)
=
=
=
46
(
3
x−3 y
(
4 x2 − y 4
x − 3 y2
3
)
4 x2 − y 4
=
(
4 x2 − y 4
2
)  x + xy + y
3
3
2
2
3
3
4
x 2 + 3 xy 2 + 3 y 4
) ( x + xy + y )
3
2
2
3
4
3
x − y2
(
4 x − y2
)( x + y ) ( x + xy + y )
3
2
2
2
3
x − y2
(
= 4 x + y2
) ( x + xy + y )
3
2
3
2
3
4
3
4
Conceptos fundamentales del Álgebra
47
Ejercicios resueltos
5n + 5n +1 + 5n + 2
.
5n − 2
1. Simplificar E =
Forma 1
E=
5n − 2 ( 52 + 53 + 54 )
5n − 2
Forma 2
E=
= 25 + 125 + 625 = 775
5n + 2 ( 5−2 + 5−1 + 1)
5n − 2
 1 1 
E = 625  + + 1
 25 5 
= 54 ( 5−2 + 5−1 + 1)
 31 
E = 625  
 25 
E = 775
Forma 3
5n
5n +1 5n + 2
+
+
= 52 + 53 + 54
5n − 2 5n − 2 5n − 2
E = 775
E=
Forma 4
Si se pudiese asumir que el resultado es constante para cualquier n, por
ejemplo para n = 0, se debería obtener el resultado
50 + 51 + 52 31
=
1
5−2
25
E = 775
E=
2. Calcular E = mn
m+1
1−n
+ nm
si se sabe que mn =
1
y nm = −2.
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
48
Encontremos n m +1
nm+1 = nm  n = −2n
Entonces
m
n m+1
=m
−2 n
( )
= m
n
−2
1
= 
3
−2
=
1
=9
19
De otro lado
m1− n =
3
1− n
m1
m
3
=
= 3m  n m = n3m = n m = ( −2 ) = −8
n
13
m
( )
De donde
E = 9 −8 =1
−3−1
3. Simplificar 168
−2−1
− 0.25−4 .
Piden calcular D = M − S.
−3−1
M = 168
1
1
−
−1
−3−1
1
1
1
1
 8−3 = 8 3 = 1 = 3 =
 168 = 16 2 = 16 = 4
3
8 2
83
M =4
3−1 =
1
S = 
4
−4−2
−1
1
−
−1
1
1
1 1
1
2 =
 4−2 = 4 2 = 1 =
=
  
2
2
4
4
42
S =2
−1
−4−2
−1
−
1
1
 1  2  4 2
=  =  = 4 =2
4
1
Conceptos fundamentales del Álgebra
49
D = M −S = 4−2 = 2
4. Si se sabe que
n
−1
−(8 n)
2 4 8 16n = 512, calcular A = 625−16
3
.
Forma 1
Escribamos
n
n
2 4 8 16 n = 29
3
2  22 3  23 6  24 n 12 = 29
n
2 1 n
1+ + +
2 3 2 3 = 29
n
2
13 + 2 n
6
= 29
13 + 2 n
2 6 n = 29
De donde
13 + 2n
=9
6n
13 + 2n = 54 n
52n = 13
n=
13 1
=
52 4
Entonces
−(8 n )−1
A = 625−16
−( 2)−1
= 625−16
−1
2
−1
−1
= 625−16 = 625 16 = 625 4 =
1
4
4
5
=
1
5
Conceptos fundamentales del Álgebra
Forma 2
Del dato:
23  4 8 16n = 29
n 3
n 3
n 3
n 3
25 8 16n = 29
210  8 16n = 29
213 16n = 29
n 3
226 16n = 29
n 3
226 n  24 n = 29
12 n
226 + 4 n = 29
26 + 4 n
2 12 n = 29
26 + 4n
1
= 9  26 + 4n = 108n  104n = 26  n =
12n
4
1
Igual que antes, A = .
5
Forma 3
Del dato:
n
2 4 8 16 n = 29
3
Elevemos ambos miembros de la ecuación a la potencia n :
2 4 8 16n = 29 n
3
3
4 8 16n = 29 n−1
50
Conceptos fundamentales del Álgebra
51
Elevemos ambos miembros de la ecuación al cubo:
4 8 16 n = 2 27 n −3
8 16 n = 2 27 n −5
Elevemos ambos miembros de la ecuación al cuadrado:
8 16n = 254 n −10
16n = 254 n −13
Al elevar nuevamente al cuadrado resulta:
16n = 2108n − 26
24 n = 2108n − 26
De donde
108n − 26 = 4n
104n = 26
n=
1
4
1
Finalmente A = .
5
5. Si a 2 + b2 + c2 = 2, calcular
E = ( a + b + c ) − 4 ( ab + ac + bc ) ( a + b + c ) − ( ab + ac + bc )


4
2
Tenemos que
( a + b + c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2 ( ab + ac + bc )
2
2
( a + b + c ) = 2 + 2 ( ab + ac + bc )
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
52
Cambiemos de variables
a+b+c = P

2
  P = 2 + 2Q
ab + ac + bc = Q 
( )
La expresión E toma la forma
E = P 4 − 4Q  P 2 − Q 
E = P 4 − 4 P 2 Q + 4Q 2
(
E = P 2 − 2Q
)
( )
2
De ( ) P 2 − 2Q = 2, en (  )
E = ( 2) = 4
2
6. Si
x2 + 2 y 2 = a + b
2 xy = a − b,
a)
encontrar el valor de E( x , y ) = x 4 + 4 y 4 , si se conoce que ab = 12.
b) encontrar en términos de a y b el valor de
F( x, y ) = ( x2 + 2 y 2 ) − 8x3 y3 .
3
a)
Conceptos fundamentales del Álgebra
53
E = x4 + 4 y 4
E = ( x2 + 2 y 2 ) − 4x2 y2
2
E = ( x 2 + 2 y 2 ) − ( 2 xy )
2
E = (a + b) − (a − b)
2
2
2
E = ( a + b ) + ( a − b )   ( a + b ) − ( a − b ) 
E =  2a    2b 
E = 4ab
E = 4 (12 ) = 48
b)
F( x , y ) = ( x 2 + 2 y 2 ) − 8 x3 y 3
3
F( x , y ) = ( x 2 + 2 y 2 ) − ( 2 xy )
3
3
F( x , y ) = ( a + b ) − ( a − b )
3
3
F( x , y ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 − ( a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 )
F( x , y ) = 6a 2 b + 2b3
7. Si la suma de los cuadrados de cuatro números más el doble producto del
tercero por el cuarto más el doble producto de los otros dos, es igual al doble
producto de la suma de los dos primeros y la suma de los otros dos, encontrar
el cociente del doble de la suma de los dos primeros y el triple de la suma de
los otros dos.
Sean x, y, z  u los cuatro números, entonces se tendrá que:
Conceptos fundamentales del Álgebra
54
x 2 + y 2 + z 2 + u 2 + 2 ( zu ) + 2 ( xy ) = 2 ( x + y )( z + u )
x 2 + 2 xy + y 2 + z 2 + 2 zu + u 2 = 2 ( x + y )( z + u )
( z + u )2
( x + y )2
( x + y ) − 2 ( x + y )( z + u ) + ( z + u ) = 0
2
2
( x + y ) − ( z + u )  = 0
x + y − (z + u) = 0
2
x+ y = z +u
Como se pide
2( x + y)
3( z + u )
, el resultado es
2( x + y)
2
= .
3( x + y ) 3
8. La suma de tres números es igual a la constante 2m y la suma de los
productos de estos tres números, tomados de 2 en 2, es m2 . Si el valor de la
expresión formada por la diferencia de la suma de los cuadrados de la suma
de cada número con m y la suma de los tres números es igual a 40, hallar el
valor entero de m.
Sean x, y  z los tres números, entonces:
 x+ y+z
= 2m

xy
+
xz
+
yz
=
m2


2
2
2
 ( x + m ) + ( y + m ) + ( z + m ) − ( x + y + z ) = 40
De (1) elevemos al cuadrado
x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + xz + yz ) = 4m 2
De ( 2 )
x 2 + y 2 + z 2 + 2m 2 = 4m 2
( 4)
x 2 + y 2 + z 2 = 2m 2
Desarrollemos ( 3 )
( x + m ) + ( y + m ) + ( z + m ) − ( x + y + z ) = 40
2
x + y 2 + z 2 + 2m ( x + y + z ) + 3m2 − ( x + y + z ) = 40
2
2
2
(1)
( 2)
( 3)
Conceptos fundamentales del Álgebra
55
De (1) y ( 4 )
x 2 + y 2 + z 2 + 2m ( x + y + z ) + 3m 2 − ( x + y + z ) = 40
2 m2
2m
2m
2m + 4m + 3m − 2m − 40 = 0
2
2
2
9m 2 − 2m − 40 = 0
( 9m − 20 )( m + 2 ) = 0
De donde m =
Como m 
0
ó m = −2.
9
 m = −2.
9. Si x − x−1 = 1, encontrar x12 + x −12 .
Forma 1
Como
2
x−
1
1
1
1

= 1   x −  = 12  x 2 − 2 + 2 = 1  x 2 + 2 = 3
x
x
x
x


(1)
Entonces
2
x2 +
1
1 
1
1

= 3   x 2 + 2  = 32  x 4 + 2 + 4 = 9  x 4 + 4 = 7
2
x
x 
x
x

( 2)
De ( 2 )
2
1
1 
1
1

x + 4 = 7   x 4 + 4  = 7 2  x8 + 2 + 8 = 49  x8 + 8 = 47
x
x
x
x


4
( 3)
Conceptos fundamentales del Álgebra
56
De lo anterior deducimos que
 4 1  8 1 
 x + 4  x + 8  = 7 ( 47 )
x 
x 

1
1
x12 + 4 + x 4 + 12 = 329
x
x
1
1 

x12 + 12 = 329 −  x 4 + 4 
x
x 

7
1
x12 + 12 = 322
x
Forma 2
(
)
Sabemos que a3 + b3 = ( a + b) a2 − ab + b2 , entonces
( x ) + ( x ) = ( x + x ) ( x ) − x x + ( x ) 
x + x = ( x + x )( x − 1 + x )
4 3
12
−4 3
4
−4
−12
4
−4
4 2
4
−4 2
−4
−8
8
x12 + x −12 = ( 7 )( 47 − 1) = 322
Forma 3
Sabemos que
(x + x ) = x + 2+ x
−6 2
6
12
 x12 + x −12 = ( x6 + x−6 ) − 2
2
−12
(1)
Además
( x + x )( x + x ) = x + x + x + x
x + x = ( x + x )( x + x ) − ( x + x )
2
−2
−4
4
6
−6
−6
6
2
−2
−2
2
4
−4
2
−2
( 2)
Conceptos fundamentales del Álgebra
57
De ( 2 ) y de los resultados obtenidos en la primera forma de solución
x 6 + x −6 = ( 3)( 7 ) − ( 3) = 18
De (1) y del resultado anterior
x12 + x−12 = 182 − 2 = 324 − 2 = 322
10. Si x +
1
1
= 3, encontrar el valor de E = x7 − 7 .
x
x
Forma 1
Calculemos
1 1
 4 1  3 1 
7
 x + 4  x − 3  = x − x + − 7
x x
x
x



1  
1

=  x7 − 7  −  x − 
x
x  

E
1 
1  
1

E =  x 4 + 4   x3 − 3  +  x − 
x
x 
x  

( )
Como
2
x+
1
1
1
1

= 3   x +  = 32  x 2 + 2 + 2 = 9  x 2 + 2 = 7
x
x
x
x

(1)
Entonces
2
x2 +
1
1 
1
1

= 7   x 2 + 2  = 7 2  x 4 + 2 + 4 = 49  x 4 + 4 = 47
x2
x
x
x


( 2)
Conceptos fundamentales del Álgebra
58
Además
2
1
1  2 1 
1

2
x−  = x −2+ 2 = x + 2 −2 = 7−2 = 5  x− = 5
x
x
x
x




( 3)
De manera que
x3 −
1 
1 
1 
=  x −  x 2 + 1 + 2  = 5 ( 7 + 1) = 8 5
x 
x3 
x 
( 4)
Si sustituimos ( 2 ) , ( 3 ) y ( 4 ) en ( ) , obtenemos
( )
E = 47 8 5 + 5 = 377 5
Forma 2
Encontremos
1 1
 4 1  3 1 
7
 x − 4  x + 3  = x + x − − 7
x x
x
x



1  
1

=  x7 − 7  +  x − 
x
x  

E
1 
1  
1

E =  x 4 − 4   x3 + 3  −  x − 
x
x 
x  

( )
Como
3
1
1
1 1
1
 1
x + = 3   x +  = 33  x3 + 3 + 3x   x +  = 27  x3 + 3 = 18
x
x
x
x
x
x

3
(1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
59
Además

1
1

2
2
2
x+  = x +2+ 2 = 3  x + 2 = 7
x
x
x


2
2
1
1
1

2
x−  = x −2+ 2 = 7−2 = 5  x− = 5
x
x
x

(2)
Entonces
1 
1
 4 1   2 1 
 x − 4  =  x + 2  x +  x − 
x
x
x
x

 


 4 1 
( 3)
 x − 4  = 7 ( 3) 5 = 21 5
x 

( )
Si reemplazamos (1) , ( 2 ) y ( 3 ) en (  )
E = 21 5  (18 ) − 5
E = 377 5
Forma 3
Hallemos
1
1 1
 6 1 
7
5
 x − 6  x +  = x + x − 5 − 7
x
x 
x
x

1  7 1   5 1 
 6 1 
 x − 6  x +  =  x − 7  +  x − 5 
x 
x 
x  
x 

1
 6 1 
 5 1 
 x − 6  x +  = E +  x − 5 
x
x
x 




1 
1 
1

E =  x 6 − 6  x +  −  x 5 − 5 
x 
x 
x 

( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
60
Se sabe que
 6 1   3 1  3 1 
 x − 6  =  x + 3  x − 3 
x  
x 
x 

Por lo encontrado en (1) y ( 2 ) (Forma 2)
( )
 6 1
 x − 6  = 18 8 5 = 144 5
x 

(1)
Además
1
 5 1   3 1  2 1  
 x − 5  =  x + 3  x − 2  +  x − 
x
x  
x 
x  

1 
1 
1
 5 1   3 1 
 x − 5  =  x + 3  x +  x −  +  x − 
x
x
x
x
x

 


 
 5 1 
 x − 5  = 18 ( 3) 5 + 5
x 

( )
 5 1 
 x − 5  = 55 5
x 

( 2)
Si reemplazamos (1) y ( 2 ) en (  )
E = 144 5 ( 3) − 55 5
E = 377 5
11. La suma de dos números reales es 5 y la suma de sus potencias cuartas,
97. Encontrar la diferencia de dichos números.
Forma 1
Sean los números x e y :
Conceptos fundamentales del Álgebra
61
 x+ y
 4
4
 x +y
=5
= 97
Sabemos que los coeficientes del desarrollo de
( x + y)
4
aparecen en el
triángulo de Pascal,
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Es decir:
( x + y ) = x 4 + 4 x3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
4
( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy ( x 2 + y 2 ) + 6 x 2 y 2
4
( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy ( ( x + y ) − 2 xy ) + 6 ( xy )
4
2
2
Reemplacemos valores
( 5) = 97 + 4 xy ( ( 5) − 2 xy ) + 6 ( xy )
4
2
2
625 = 97 + 100 ( xy ) − 8 ( xy ) + 6 ( xy )
2
2
2 ( xy ) − 100 ( xy ) + 528 = 0
2
( xy ) − 50 ( xy ) + 264 = 0
2
 xy = 44
 xy = 6
( xy − 44 )( xy − 6 ) = 0  
Si xy = 44 
Si
xy = 6 
x + y = 5  t 2 − 5t + 44 = 0  t 
( discriminante  0 )
x + y = 5  t 2 − 5t + 6 = 0  ( t − 3)( t − 2 ) = 0  t  2, 3
Conceptos fundamentales del Álgebra
62
De donde
x1 = 3  y1 = 2
x2 = 2  y2 = 3
La diferencia pedida es 3 − 2 = 1 ó 2 − 3 = −1.
Forma 2
Datos
 x+ y
 4
4
 x +y
=5
= 97
Se pide E = x − y
Tenemos
E2 = ( x − y)
2
E 2 = x 2 − 2 xy + y 2
E 2 = ( x + y ) − 4 xy
2
E 2 = 25 − 4 xy  xy =
25 − E 2
4
( )
Además
x+ y =5
x + y + 2 xy = 25
2
2
x 2 + y 2 = 25 − 2 xy
x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 = 625 − 100 xy + 4 x 2 y 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
63
x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 + 100 xy = 625
97 − 2 ( xy ) + 100 ( xy ) = 625
2
2 ( xy ) − 100 ( xy ) + 528 = 0
2
( xy ) − 50 ( xy ) + 264 = 0
2
( )
( ) en (  )
2
 25 − E 2 
 25 − E 2 
−
50



 + 264 = 0
 4 
 4 
( 25 − E ) − 200 ( 25 − E ) + 16  264 = 0
2 2
2
625 − 50 E 2 + E 4 − 5000 + 200 E 2 + 4224 = 0
E 4 + 150 E 2 − 151 = 0

2

2
( E − 1)( E + 151) = 0   EE == 1−151
2
2
Como E es real, E = 1.
(
)
12. Si el polinomio P( x) = a2 − b2 x3 + 2b ( a − b ) x2 + 4abx + b ( 2b − a ) es
divisible entre Q( x) = ( a + b ) x + (b − a ) , verificar que a2 + b2 = ab.
Forma 1
Si P( x ) es divisible entre Q( x ) , se puede escribir P( x ) = Q( x ) q( x ) , siendo q( x ) el
cociente de la división.
Como P( x ) = Q( x ) q( x ) se cumple para cualquier x y Q( x) = ( a + b) x + (b − a )
se anula para x =
de x.
a −b
, entonces P( x ) también se debe anular para ese valor
a+b
Conceptos fundamentales del Álgebra
64
Es decir, P a − b  = 0.


 a +b 
Reemplacemos en el dato:
3
2
 a −b 
 a −b 
 a −b 
P a −b  = a 2 − b 2 
 + 2b ( a − b ) 
 + 4ab 
 + b ( 2b − a )
a
+
b
a
+
b






 a +b
 a +b 
(
)
 a −b 
 a −b 
 a −b 
0 = a 2 − b2 
 + 2b ( a − b ) 
 + 4ab 
 + b ( 2b − a )
 a+b
 a+b
 a +b
(
3
)
2
0=
(a − b)
( a − b ) 4ab ( a − b )
+ 2b
+
+ b ( 2b − a )
2
2
a+b
(a + b)
(a + b)
0=
a −b 
3
2
a − b ) + 2b ( a − b ) + 4ab ( a + b )  + b ( 2b − a )
2 (

(a + b)
4
0=
0=
0=
a −b
(a + b)
2
 a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 + 2a 2 b − 4ab 2 + 2b3 + 4a 2 b + 4ab 2  + b ( 2b − a )
2
 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3  + b ( 2b − a )
a −b
(a + b)
3
a −b
( a + b ) + b ( 2b − a )
3
(a + b)
0 = ( a − b )( a + b ) + b ( 2b − a )
2
0 = a 2 − b 2 + 2b 2 − ab
a 2 + b2 = ab
Forma 2
De acuerdo con la regla de Ruffini
Q( x ) = ( a + b ) x + b − a = 0  x =
a −b
a+b
Conceptos fundamentales del Álgebra
a −b
a+b
65
a 2 − b2
2b ( a − b )
4ab
2b2 − ab

( a − b)
2
( a − b)
a 2 − b2
a 2 − b2
a 2 − b2
( a + b)
2
R
2
R = 2b 2 − ab + a 2 − b 2 = 0  a 2 + b 2 = ab
13. Factorizar E = 28x9 y 5 − 35x7 y 7 + 7 x5 y 9 .
E = 7 x5 y 5 ( 4 x 4 − 5 x 2 y 2 + y 4 )
E = 7 x 5 y 5 ( 4 x 2 − y 2 )( x 2 − y 2 )
E = 7 x 5 y 5 ( 2 x − y )( 2 x + y )( x − y )( x + y )
(
14. Factorizar E = 4 x 2 y 2 − x 2 + y 2 − z 2
).
2
E = ( 2 xy ) − ( x 2 + y 2 − z 2 )
2
2
E =  2 xy + ( x 2 + y 2 − z 2 )   2 xy − ( x 2 + y 2 − z 2 ) 
E = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − z 2   z 2 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) 
2
2
E = ( x + y ) − z 2   z 2 − ( x − y ) 



E = ( x + y + z )( x + y − z )( z + x − y )( z − x + y )
15. Factorizar 16 x6 y 5 − 54 x3 y 5 − 16 x 6 y 3 + 54 x3 y 3 .
Forma 1
Factor común monomio: x3 y3 16x3 y 2 − 54 y 2 −16x3 + 54
(
)
(
)
Agrupación de términos: x3 y3 16 x3 y 2 − 1 − 54 y 2 − 1 
Conceptos fundamentales del Álgebra
(
66
)(
)
Factor común polinomio: x3 y3  y 2 − 1 16 x3 − 54 
(
Diferencia de cubos: 2x y ( y + 1)( y −1)( 2x − 3) ( 4x + 6x + 9)
)
Diferencia de cuadrados y factor común: 2 x3 y3 ( y + 1)( y − 1) 8x3 − 27 
3
3
2
Forma 2
(
)
(
)
Agrupación de términos: 16x6 y3 y 2 −1 − 54x3 y3 y 2 −1
3
Factor común monomio y polinomio: 2x y
Diferencia de cuadrados y de cubos:
2x3 y3 ( y + 1)( y −1)( 2x − 3) 4x2 + 6x + 9
(
3
( y −1)(8x − 27)
2
3
)
Forma 3
(
)
(
Agrupación de términos: 2x3 y5 8x3 − 27 − 2x3 y3 8x3 − 27
(
)(
)
)
Factor común monomio y polinomio: 2x y 8x − 27 y −1
3
Diferencia de cuadrados y de cubos:
2x3 y3 ( y + 1)( y −1)( 2x − 3) 4x2 + 6x + 9
(
3
3
2
)
16. Factorizar E = a2 + b2 − 4c2 + 2ab + a + b − 2c.
Forma 1
Reordenemos el polinomio
E = a 2 + 2ab + b 2 − 4c 2 + ( a + b − 2c )
E = ( a + b ) − 4c 2 + ( a + b − 2c )
2
(1)
E = ( a + b ) + 2c  ( a + b ) − 2c  + ( a + b − 2c )
E = ( a + b − 2c )( a + b + 2c + 1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
67
Forma 2
De (1)
E = ( a + b) − 4c2 + ( a + b − 2c )
2
O mejor aún
E = ( a + b ) + ( a + b ) − 4c 2 − 2c
2
E = ( a + b ) + ( a + b ) − 2c ( 2c + 1)
2
Factoricemos por el método del aspa simple
E = ( a + b ) +
 ( a + b ) − 
E = ( a + b ) + ( 2c + 1) ( a + b ) − 2c 
17. Si a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 = 25, encontrar el valor de la expresión:
E = ( a + b + c + d + e) + ( a − b + c − d + e ) + 2 ( a + c − e ) + 2 (b − d ) − 8ac
2
2
2
2
Forma 1
Agrupemos convenientemente
E = ( a + c + e ) + ( b + d )  + ( a + c + e ) − ( b + d )  + 2 ( a + c − e ) + 2 ( b − d ) − 8ac
2
2
2
2
2
2
E = 2 ( a + c + e ) + ( b + d )  + 2 ( a + c − e ) + 2 ( b − d ) − 8ac


E = 2  a 2 + c 2 + e 2 + 2ac + 2ae + 2ce + b 2 + 2bd + d 2  +
2  a 2 + c 2 + e 2 + 2ac − 2ae − 2ce  + 2 b 2 − 2bd + d 2  − 8ac
E = 4  a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 
E = 4  25
E = 100
2
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
68
Forma 2
Sea x = a + c + e, y = b + d , entonces:
E = ( x + y ) + ( x − y ) + 2 ( x − 2e ) + 2 ( y − 2d ) − 8ac
2
2
2
2
E = 2 ( x 2 + y 2 ) + 2 ( x 2 − 4ex + 4e 2 ) + 2 ( y 2 − 4dy + 4d 2 ) − 8ac
E = 4 x 2 + 4 y 2 + 8e ( e − x ) + 8d ( d − y ) − 8ac
E = 4 x 2 + 4 y 2 + 8e e − ( a + c + e )  + 8d  d − ( b + d )  − 8ac
E = 4 x 2 + 4 y 2 − 8ae − 8ce − 8bd − 8ac


E = 4  x 2 + y 2 − 2ae − 2ce − 2bd − 2ac 




2
2
E = 4 ( a + c + e ) + ( b + d ) − 2ae − 2ce − 2bd − 2ac 




E = 4  a 2 + c 2 + e 2 + 2ac + 2ae + 2ce + b 2 + d 2 + 2bd − 2ae − 2ce − 2bd − 2ac 
E = 4  a 2 + c 2 + e 2 + b 2 + d 2 
E = 4  25
E = 100
18. Factorizar x3 y 3 + ax 2 y 2 + bx 2 y 2 + cx 2 y 2 + abxy + acxy + bcxy + abc.
Forma 1
Separemos los cuatro términos que contienen a "c " de los otros
Conceptos fundamentales del Álgebra
69
= x 3 y 3 + ax 2 y 2 + bx 2 y 2 + abxy + cx 2 y 2 + acxy + bcxy + abc
= xy ( x 2 y 2 + axy + bxy + ab ) + c ( x 2 y 2 + axy + bxy + ab )
= ( x 2 y 2 + axy + bxy + ab ) ( xy + c )
=  xy ( xy + a ) + b ( xy + a )  ( xy + c )
= ( xy + a )( xy + b )( xy + c )
Forma 2
Agrupemos por parejas formadas por un monomio que contiene a "a " y por
otro que no contiene a "a "
= x3 y 3 + ax 2 y 2 + bx 2 y 2 + abxy + cx 2 y 2 + acxy + bcxy + abc
= x 2 y 2 ( xy + a ) + bxy ( xy + a ) + cxy ( xy + a ) + bc ( xy + a )
= ( xy + a ) ( x 2 y 2 + bxy + cxy + bc )
= ( xy + a )  xy ( xy + b ) + c ( xy + b ) 
= ( xy + a )( xy + b )( xy + c )
(
) (
2
)(
) (
)
2
19. Factorizar x6 − 2 x3 + 1 − x9 − 1 x3 − 1 + 3 x3 − 1 .
2
2
= ( x3 − 1)  − ( x3 − 1)( x 6 + x3 + 1)( x3 − 1) + 3 ( x3 − 1)


2
= ( x3 − 1) − ( x3 − 1) ( x 6 + x3 + 1) + 3 ( x3 − 1)
4
2
= ( x3 − 1) ( x3 − 1) − ( x 6 + x3 + 1) + 3


2
2
= ( x3 − 1)  x 6 − 2 x3 + 1 − x 6 − x 3 − 1 + 3
2
= ( x3 − 1) ( −3x3 + 3)
2
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
70
= −3 ( x 3 − 1) ( x 3 − 1)
2
= −3 ( x 3 − 1)
3
= −3 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
3
3
= 3 ( −1) ( x − 1)  ( x 2 + x + 1)


3
3
= 3 ( −1)( x − 1)  ( x 2 + x + 1)
3
= 3 (1 − x ) ( x 2 + x + 1)
3
(
20. Factorizar m2 m2 + 3n2
3
3
3
) − n ( n + 3m ) .
2
2
2
2 2
Forma 1
Desarrollemos la expresión
= m 2 ( m 4 + 6 m 2 n 2 + 9 n 4 ) − n 2 ( n 4 + 6m 2 n 2 + 9m 4 )
= m 6 + 6m 4 n 2 + 9m 2 n 4 − n 6 − 6m 2 n 4 − 9m 4 n 2
= m 6 − n 6 + 6m 4 n 2 − 6m 2 n 4 + 9m 2 n 4 − 9m 4 n 2
= ( m 2 − n 2 )( m 4 + m 2 n 2 + n 4 ) + 6m 2 n 2 ( m 2 − n 2 ) + 9m 2 n 2 ( n 2 − m 2 )
= ( m 2 − n 2 )( m 4 + m 2 n 2 + n 4 + 6m 2 n 2 − 9m 2 n 2 )
= ( m 2 − n 2 )( m 4 − 2m 2 n 2 + n 4 )
= ( m 2 − n 2 )( m 2 − n 2 )
= ( m2 − n2 )
3
= (m + n) (m − n)
3
Forma 2
Por diferencia de cuadrados
3
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
71
=  m ( m2 + 3n 2 ) − n ( n 2 + 3m2 )
2
2
=  m ( m2 + 3n 2 ) + n ( n 2 + 3m2 ) m ( m 2 + 3n 2 ) − n ( n 2 + 3m 2 )
=  m3 + 3m2 n + 3mn 2 + n3   m3 − 3m 2 n + 3mn 2 − n3 
= (m + n) (m − n)
3
3
21. Factorizar ( x + y + z )( xy + xz + yz ) − xyz.
Desarrollemos la expresión:
= x 2 y + x 2 z + xyz + xy 2 + xyz + y 2 z + xyz + xz 2 + yz 2 − xyz
(1)
( 2)
(1)
( 3)
( 4)
( 4)
( 3)
( 2)
= x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + xyz + xyz
= x 2 y + x 2 z + xy 2 + xyz + xz 2 + xyz + y 2 z + yz 2
= x 2 ( y + z ) + xy ( y + z ) + xz ( y + z ) + yz ( y + z )
= ( y + z ) ( x 2 + xy + xz + yz )
= ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y ) 
= ( y + z )( x + y )( x + z )
22. Factorizar E = x ( x + c )( x + 2c )( x + 3c ) − 24c 4 .
Forma 1
Ordenemos el polinomio así
E = x ( x + 3c )( x + c )( x + 2c ) − 24c 4
E = ( x 2 + 3cx )( x 2 + 3cx + 2c 2 ) − 24c 4
E = ( x 2 + 3cx ) + 2c 2 ( x 2 + 3cx ) − 24c 4
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
72
Factoricemos según el método del aspa simple
E = ( x 2 + 3cx ) +
 ( x 2 + 3cx ) −



E =  x 2 + 3cx + 6c 2   x 2 + 3cx − 4c 2 
O mejor aún
E =  x2 + 3cx + 6c2   x + 4c x − c
Forma 2
Efectuemos las operaciones indicadas
E = ( x 2 + cx )( x 2 + 5cx + 6c 2 ) − 24c 4
E = x 4 + 5cx3 + 6c 2 x 2 + cx3 + 5c 2 x 2 + 6c3 x − 24c 4
E = x 4 + 6cx3 + 11c 2 x 2 + 6c3 x − 24c 4
(
)
2
Completemos cuadrados x4 + 6cx3 = x2 + 3cx − 9c2 x2
E = ( x 2 + 3cx ) − 9c 2 x 2 + 11c 2 x 2 + 6c3 x − 24c 4
2
E = ( x 2 + 3cx ) + 2c 2 x 2 + 6c3 x − 24c 4
2
E = ( x 2 + 3cx ) + 2c 2 ( x 2 + 3cx ) − 24c 4
2
Si hacemos x 2 + 3cx = y
E = y 2 + 2c 2 y − 24c 4
E = ( y + 6c 2 )( y − 4c 2 )
E = ( x 2 + 3cx + 6c 2 )( x 2 + 3cx − 4c 2 )
E = ( x 2 + 3cx + 6c 2 ) ( x + 4c )( x − c )
Conceptos fundamentales del Álgebra
73
Forma 3
Al efectuar las operaciones indicadas se obtiene
E = x4 + 6cx3 + 11c2 x2 + 6c3 x − 24c4
Apliquemos el método de Ruffini con los divisores del término independiente
−24c4 :  c,  2c,  3c,  4c,  6c,
(
)
c
−4c
1
6c
11c 2
6c3
−24c 4

1
c
7c2
18c3
7c
18c 2
24c3
24c3
0

1
−4c
3c
−12c
6c2
−24c
0
2
 ( x − c ) es factor
3
 ( x + 4c ) es factor
El cociente es 1x 2 + 3cx + 6c 2 , de donde finalmente obtenemos
E = ( x − c )( x + 4c ) ( x2 + 3cx + 6c2 )
23. Factorizar E = 4x5 + 4x4 − 29x3 −11x2 + 52x − 20.
Divisores del término independiente ( −20 ) :
a =  1,  2,  4,  5,  10,  20
Divisores del coeficiente del término de mayor grado ( 4 ) :
b =  1,  2,  4
Debemos probar con los valores de a (enteros) y los de
a
(fraccionarios)
b
Conceptos fundamentales del Álgebra
1
2
12
74
4
4
-29
-11
52
-20

4
4
8
-21
-32
20
8
-21
-32
20
0

4
8
16
32
11
22
-10
-20
0

4
2
9
10
18
20
0
 ( x − 1) es factor
 ( x − 2 ) es factor
 ( x − 1 2 ) es factor
1

E = ( x − 1)( x − 2 )  x −   4 x 2 + 18 x + 20 
2

 2x −1 
E = ( x − 1)( x − 2 ) 
  2 ( 2 x + 5 )( x + 2 ) 
 2 
E = ( x − 1)( x − 2 )( 2 x − 1)( 2 x + 5 )( x + 2 )
n5 − 5n3 + 4n
es divisible entre 24 para
n+2
todo número n que pertenezca a los enteros.
24. Demostrar que la expresión E =
Forma 1
n ( n 2 − 4 )( n 2 − 1)
=
. Al simplificar se
n+2
n+2
obtiene E = n ( n − 2 )( n − 1)( n + 1) = ( n − 2 )( n − 1) n ( n + 1) , que corresponde
Escribamos
E=
n ( n 4 − 5n 2 + 4 )
al producto de cuatro números consecutivos. En todo grupo de cuatro
números consecutivos, uno de ellos debe ser múltiplo de 2; otro, múltiplo de
3 y otro de ellos, múltiplo de 4, entonces E = 2 3 4 = 24.
Forma 2
a)
Asumamos que n es un número par: n = 2k , k  . Reemplazándolo:
Conceptos fundamentales del Álgebra
75
( 2k ) − 5 ( 2k ) + 4 ( 2k )
5
E=
3
2k + 2
4
2

( 2k ) ( 2k ) − 5 ( 2k ) + 4 
E=
2k + 2
4
k 16k − 20k 2 + 4 
E= 
k +1
4
4k  4k − 5k 2 + 1
E=
k +1
E=
E=
(
)(
)
4k 4k 2 − 1 k 2 − 1
k +1
4k ( 2k + 1)( 2k − 1)( k + 1)( k − 1)
k +1
E = 4k ( 2k + 1)( 2k − 1)( k − 1)
E = 2 ( 2k )( 2k + 1)( 2k − 1)( k − 1)
E = ( 2k )( 2k + 1)( 2k − 1)( 2 )( k − 1)
E = ( 2k )( 2k + 1)( 2k − 1)( 2k − 2 )
E = ( 2k − 2 )( 2k − 1)( 2k )( 2k + 1) ,
que es el producto de cuatro números consecutivos y se aplica el mismo
razonamiento anterior.
b) Completemos la demostración asumiendo que n es un número impar:
n = 2k + 1, k  ,
Conceptos fundamentales del Álgebra
c)
E=
(
n n 4 − 5n 2 + 4
76
)
n+2
4
2
( 2k + 1) ( 2k + 1) − 5 ( 2k + 1) + 4 
E=
( 2k + 1) + 2
E=
E=
E=


( 2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k + 1) − 5 + 4
2
2
2k + 3


( 2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k + 1) − 4 − 1 + 4
2
2
2k + 3

( 2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k + 1) − 4  + 4 − ( 2k + 1)
2
2
2

2k + 3
( 2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k + 1) − 2  ( 2k + 1) + 2  + 2 − ( 2k + 1) 2 + ( 2k + 1)
2
E=
2k + 3
( 2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k − 1)( 2k + 3) + (1 − 2k )( 2k + 3)
2
E=
2k + 3


E = ( 2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k − 1) + (1 − 2k )
2


E = ( 2k + 1)( 2k − 1) ( 2k + 1) − 1
2
E = ( 2k + 1)( 2k − 1)( 2k + 2 )( 2k )
E = ( 2k − 1)( 2k )( 2k + 1)( 2k + 2 )
25. Si a + b + c = 0, calcular el valor de k para que se cumpla:
E = ( a − b) + (b − c ) + (c − a ) = k ( a − b )( a + 2b )( 2a + b )
3
3
3
Forma 1
Dado que
(a − b)
figura en los dos miembros, conviene factorizar
(b − c ) + ( c − a ) para que aparezca ( a − b ) como factor común.
3
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
77
Suma de cubos:
( b − c ) + ( c − a ) = ( b − c ) + ( c − a ) (b − c ) − (b − c )( c − a ) + ( c − a ) 
3
3
2
2
= b − a  b 2 − 2bc + c 2 − bc + ab + c 2 − ac + c 2 − 2ac + a 2 
= ( b − a ) ( b 2 + 3c 2 + a 2 − 3bc − 3ac + ab )
Entonces:
E = ( a − b ) + ( b − a ) ( b 2 + 3c 2 + a 2 − 3bc − 3ac + ab )
3
2
E = ( a − b ) ( a − b ) − ( b 2 + 3c 2 + a 2 − 3bc − 3ac + ab ) 


E = ( a − b )  a 2 − 2ab + b 2 − ( b 2 + 3c 2 + a 2 − 3bc − 3ac + ab ) 
E = ( a − b )  −3ab − 3c 2 + 3bc + 3ac 
E = 3 ( a − b ) bc − ab + ac − c 2 
E = 3 ( a − b )  −b ( a − c ) + c ( a − c ) 
E = 3 ( a − b )( a − c )( c − b )
(1)
De la condición
a + b + c = 0  c = −a − b
( 2)
Reemplacemos ( 2 ) en (1)
E = 3 ( a − b ) ( a − ( −a − b ) ) ( −a − b − b )
E = −3 ( a − b )( 2a + b )( a + 2b )
De donde deducimos que k = −3.
Forma 2
Expresemos el primer miembro de la expresión dada en términos de a y b,
según
Conceptos fundamentales del Álgebra
78
c = −a − b
E = ( a − b ) + b − ( −a − b )  + ( −a − b ) − a 
3
3
E = ( a − b ) + ( a + 2b ) + ( −2a − b )
3
3
E = ( a − b ) + ( a + 2b ) − ( 2a + b )
3
3
3
3
3
3
2
2
E = ( a − b ) + ( a + 2b ) − ( 2a + b )   ( a + 2b ) + ( a + 2b )( 2a + b ) + ( 2a + b ) 


E = ( a − b ) +  −a + b    a 2 + 4ab + 4b 2 + 2a 2 + 5ab + 2b 2 + 4a 2 + 4ab + b 2 
3
E = ( a − b ) − ( a − b ) ( 7a 2 + 13ab + 7b 2 )
3
2
E = ( a − b ) ( a − b ) − ( 7a 2 + 13ab + 7b 2 ) 


2
2
E = ( a − b )  −6a − 15ab − 6b 
E = −3 ( a − b ) ( 2a 2 + 5ab + 2b 2 )
E = −3 ( a − b )( 2a + b )( a + 2b )
De donde se concluye que k = −3.
Forma 3
Desarrollemos el primer miembro de la expresión dada
E = ( a − b ) + (b − c ) + (c − a )
3
3
3
E = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 + b3 − 3b 2 c + 3bc 2 − c 3 + c 3 − 3ac 2 + 3a 2 c − a 3
E = −3  a 2 b − ab 2 + b 2 c − bc 2 + ac 2 − a 2 c 
E = −3  ab ( a − b ) + b 2 c − a 2 c − bc 2 + ac 2 
E = −3  ab ( a − b ) − c ( a 2 − b 2 ) + c 2 ( a − b ) 
Conceptos fundamentales del Álgebra
79
E = −3 ( a − b )  ab − c ( a + b ) + c 2 
E = −3 ( a − b ) c 2 − ( a + b ) c + ab 
E = −3 ( a − b )( c − a )( c − b )
E = −3 ( a − b )( −a − b − a )( − a − b − b )
E = −3 ( a − b )( −2a − b )( −a − 2b )
E = −3 ( a − b )( 2a + b )( a + 2b )
En consecuencia
k = −3
26. Comprobar que la siguiente expresión es independiente de los valores de
ay b:
E=
4ab + 2b2 − 12a2
(
3 a −b
2
2
)
+
b − 2a
7a
+
b − a 3( a + b)
Se tiene
E=
E=
E=
4ab + 2b 2 − 12a 2 2a − b
7a
+
+
3 ( a − b )( a + b )
a − b 3( a + b)
4ab + 2b 2 − 12a 2 + 3 ( 2a − b )( a + b ) + 7a ( a − b )
3 ( a + b )( a − b )
4ab + 2b − 12a + 6a 2 + 3ab − 3b 2 + 7a 2 − 7ab
3 ( a + b )( a − b )
2
2
E=
E=
a 2 − b2
(
3 a 2 − b2
1
3
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
80
1
para todo valor de a y b con la condición de que
3
a 2 − b 2  0, es decir, siempre que a  b.
1 1 x 
 + − (a + b + x)
a b ab 
.
27. Simplificar E = 
1
1
2
x2
+
+
−
a 2 b 2 ab a 2 b 2
La expresión valdrá
Forma 1
a+b− x
(a + b + x)
= 2 ab 2
b + a + 2ab − x 2
a 2b2
ab ( a + b ) − x  ( a + b ) + x 
=  2
a + 2ab + b 2 − x 2
ab ( a + b ) − x  ( a + b ) + x 
= 
2
( a + b ) − x2
ab ( a + b ) − x 2 

= 
2
( a + b) − x2
2
= ab
Forma 2
Multipliquemos el numerador y el denominador de la fracción E por a 2b 2
=
=
ab ( a + b − x )( a + b + x )
b 2 + a 2 + 2ab − x 2
ab ( a + b ) − x  ( a + b ) + x 
a 2 + b 2 + 2ab − x 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
81
ab ( a + b ) − x 2 

= 2 2
a + b + 2ab − x 2
ab  a 2 + b 2 + 2ab − x 2 
= 2
a + b 2 + 2ab − x 2
= ab
2

xy
x− y   4
1 

28. Simplificar 
+
− 2
.
3
3
2 
3
3
 ( x − y ) ( x + y ) x + y   x + y x − y 
=
xy + ( x − y )( x − y )
( x − y)( x + y )
3
3

4 ( x − y ) −1
x2 − y 2
x 2 − xy + y 2
=
( x − y )( x + y ) ( x − xy + y )
=
1
4x − 4 y −1
2
2

( x + y )( x − y )
4x − 4 y −1
a 5 − a 3b 2
3
3
a 4 − b4
a 2 + ab

.
29. Simplificar 4 a 3+ b 2 2  2
a −b
a − 2a b + a b a − 2ab + b 2
a 2 − ab + b 2
a3 ( a 2 − b2 )
=
( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( a + b )( a − b ) a − b


2
a (a + b)
a 2 ( a 2 − 2ab + b 2 )
(a − b)
a 2 − ab + b 2
a ( a + b )( a − b ) ( a + b ) ( a + b )( a − b ) a − b
=


2
2
a (a + b)
( a + b )( a − b )
(a − b)
2
=
a 2 + b2
a −b
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
30. Simplificar
( a + b )(b − 1)
( a − b )(b − 1)
1
2
+
− 2
+
.
2
2
2
( a − b ) ( a + b ) a + b b − a ( a + b ) ( a 2 + b2 )
( a + b )( b − 1)
( a − b )( b − 1)
1
2
+
− 2
+
2
2
2
a
+
b
b
−
a
(a − b) (a + b )
( a + b ) ( a 2 + b2 )
( a + b )( b − 1)
( a − b )( b − 1)
1
2
E=
+
+ 2
+
2
2
2
( a − b ) ( a + b ) a + b a − b ( a + b ) ( a 2 + b2 )
( a + b )( b − 1)
( a − b )( b − 1)
1
2
E=
+
+
+
2
2
( a − b ) ( a + b ) a + b ( a − b )( a + b ) ( a + b ) ( a 2 + b 2 )
E=
Agrupemos la primera fracción con la última y la segunda con la tercera
E=
( a + b )( b − 1)
( a − b )( b − 1)
1
2
+
+
+
2
2
2
2
a
+
b
a
−
b
(
)( a + b )
(a − b) (a + b ) (a + b) (a + b )
E=
b −1  a + b a − b 
1 
2 
+
+
1+
2
2 


a + b  a − b a + b  a + b  a − b 
E=
2
2
b −1  ( a + b) + ( a − b) 
1 a −b + 2

+
a 2 + b 2  ( a − b )( a + b )  a + b  a − b 
2
2
b −1  2 ( a + b ) 
a −b+ 2

+
E= 2
2
a + b  ( a − b )( a + b )  ( a + b )( a − b )


2 ( b − 1)
a −b+ 2
E=
+
a
−
b
a
+
b
a
+
(
)(
) ( b )( a − b )
E=
2b − 2 + a − b + 2
( a + b )( a − b )
E=
b+a
a
+
( b )( a − b )
E=
1
a −b
82
Conceptos fundamentales del Álgebra
31. Si
83
bd + ad c
1 1 1 1
.
+ + = , hallar el valor de E = 2
a b c d
( ad − ac ) b
Escribamos E de la forma siguiente
E=2
d (a + b) c
(1)
a (d − c) b
Como la expresión contiene a “ a + b ” y a “ d − c ”, convendrá escribir el dato
de la siguiente forma
1 1 1 1
+ = −
a b d c
a+b c−d
=
ab
cd
De donde
a + b ab
=
c − d cd
( 2)
( 2 ) en (1)
d  ab  c
2abcd
E = 2 −  = −
= −2
a  cd  b
abcd
32.
x−z
z2
+
= 1,
z − y ( x + y )( z − y )
Si
2
 z−x  x+ y  z− y
E =
 +
 +
 .
 2 y   2z   2x 
2
2
hallar
el
valor
de
Conceptos fundamentales del Álgebra
84
De la condición se deduce que
x−z
z2
+
=1
z − y ( x + y )( z − y )
( x − z )( x + y ) + z 2 = ( x + y )( z − y )
x 2 + xy − xz − yz + z 2 = xz − xy + yz − y 2
x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy − 2 xz − 2 yz = 0
(x + y − z) = 0
2
z − x = y

x + y − z = 0  x + y = z
z − y = x

(1)
( 2)
( 3)
Reemplacemos (1) , ( 2 ) y ( 3 ) en E
2
 z−x  x+ y  z− y
E =
 +
 +

 2 y   2z   2x 
2
2
 y   z   x 
E =   +  + 
 2 y   2z   2x 
3
E=
4
33.
Si
a, b y c
están
1
1
1
1
+
+
+
= 0,
b+c b−c b−a b+a
c+a c+a
+
.
a+b b+c
2
2
relacionados
calcular
el
2
por
valor
de
la
igualdad
la
expresión
Conceptos fundamentales del Álgebra
85
Del dato
1
1
1
1
+
=−
−
b+c b−c
b−a b+a
b − c + b + c −b − a − b + a
=
b2 − c2
b2 − a 2
2b
−2b
=
b2 − c2 b2 − a 2
(
b2 − c2 = − b2 − a 2
)
b 2 − c 2 = −b 2 + a 2
( )
2b 2 = a 2 + c 2
La expresión que se debe calcular es
c+a c+a
E=
+
a+b b+c
1 
 1
E = (c + a) 
+

a +b b + c
 b+c+a+b 
E = (c + a) 

 ( a + b )( b + c ) 
 a + 2b + c 
E = (c + a) 

 ( a + b )( b + c ) 
E=
E=
ac + 2bc + c 2 + a 2 + 2ab + ac
ab + ac + b 2 + bc
(
2ac + 2bc + 2ab + a 2 + c 2
ac + bc + ab + b
)
( )
2
( ) en (  )
E=
E=
(
2b2
2ac + 2bc + 2ab + a + c 2
(
2
ac + bc + ab + b
2 ac + bc + ab + b 2
ac + bc + ab + b
2
2
)=2
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
86
34. Calcular el valor de la expresión
E=
b −a b + x a −b a + x

+

b− x b+a a− x a+b
si se conoce que 2 x−1 = a−1 + b−1.
Del dato deducimos que
2 1 1
= +

x a b
Forma 1
2 b+a
=
x
ab
 x=
2ab
a +b
E=
1  ( b − a )( b + x ) ( b − a )( a + x ) 
−


a+b 
b−x
a−x

E=
b − a b + x a + x 
−
a + b  b − x a − x 
E=
b − a  ( b + x )( a − x ) − ( a + x )( b − x ) 


a + b 
( b − x )( a − x )

2
2
b − a  ab − bx + ax − x − ( ab − ax + bx − x ) 


E=
a+b 
( b − x )( a − x )


E=
b − a  2x ( a − b) 


a + b  ( b − x )( a − x ) 
Escribamos el resultado anterior como
( a − b) 

x


a + b  ( x − b )( x − a ) 
2
E = −2 
Reemplacemos el valor de x
Conceptos fundamentales del Álgebra
87


2ab

a+b

E = −2 
a + b   2ab
 2ab

−
b
−
a


  a + b
 a + b


( a − b ) 
2
Multipliquemos el numerador y el denominador de la fracción entre corchetes
por ( a + b ) , lo que equivale a multiplicar el numerador por dicha expresión
2
y cada uno de los dos factores del denominador por ( a + b ) :
(a − b) 

2ab ( a + b )


a + b   2ab − b ( a + b )   2ab − a ( a + b )  
2
E = −2 
( a − b ) 
2
E = −2 
1


 ( ab − b 2 )( ab − a 2 ) 
2ab
(a − b) 

2ab


1
 b ( a − b ) a ( b − a ) 
2
(a − b)
E = −4 
( a − b )( b − a )
2
E = −2 
(a − b)
=4
( a − b )( a − b )
2
E = 4
Forma 2
Si partimos de
E=
b − a b + x a + x 
−
a + b  b − x a − x 
De la condición tendremos que
Conceptos fundamentales del Álgebra
88
2ab
2ab 

b+
a+
b−a 
a
+
b
a
+b 
E=
−


a + b  b − 2ab a − 2ab 
a+b
a+b 

Multipliquemos por ( a + b ) el numerador y el denominador de cada una de
las dos fracciones que se restan y que están entre los corchetes
E=
b − a  b ( a + b ) + 2ab a ( a + b ) + 2 ab 
−


a + b  b ( a + b ) − 2ab a ( a + b ) − 2 ab 
b − a  3a + b 3b + a 
−
a + b  b − a
a − b 
1
E=
3a + b + 3b + a 
a+b
1
E=
 4 ( a + b )  = 4
a+b 
E=
Forma 3
Del dato deducimos que
2 1 1
= +
x a b

x=
2ab
a+b
 a+b =
2ab
x
 a a+b
 x = 2b
 
 b = a+b
 x
2a
Si partimos de
E=
b − a b + x a + x 
−
a + b  b − x a − x 
Dividamos entre x el numerador y el denominador de cada una de las dos
fracciones que se restan y que están entre los corchetes
a 
b
+1
+1
b−a  x
x 
E=
−


a + b  b − 1 a − 1
x 
x
Conceptos fundamentales del Álgebra
89
Reemplacemos las expresiones obtenidas de la condición
a +b 
a+b
+1
+ 1
b − a  2a
E=
− 2b
 a+b
a + b 
a+b 
−1
−1
2b
 2a

Multipliquemos por 2a el numerador y el denominador de la primera
fracción que aparece entre corchetes y por 2b el numerador y el denominador
de la segunda fracción
b − a  a + b + 2a a + b + 2b 
−
a + b  a + b − 2a a + b − 2b 
b − a  3a + b a + 3b 
E=
−
a + b  b − a
a − b 
1
E=
3a + b + a + 3b 
a+b
1
E=
 4(a + b) = 4
a+b
E=
35. Descomponer en fracciones parciales
x 3 − 16
x ( x − 2)
3
.
Forma 1
Se sabe que
x 3 − 16
x ( x − 2)
x 3 − 16
x ( x − 2)
3
=
A
B
C
D
+
+
+
2
x x − 2 ( x − 2 ) ( x − 2 )3
A ( x − 2 ) + Bx ( x − 2 ) + Cx ( x − 2 ) + Dx
3
=
3
2
x ( x − 2)
3
Es decir
x3 −16 = A( x − 2) + Bx ( x − 2) + Cx ( x − 2) + Dx
3
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
90
Si x = 0  −16 = A( −2)  A = 2
3
Si x = 2  8 −16 = 0 + 0 + 0 + 2D  D = −4
Si x = 1  1 −16 = A( −1) + B (1)( −1) + C (1)( −1) + D (1)
3
2
Si x = −1  − 1 −16 = A( −3) + B ( −1)( −3) + C ( −1)( −3) + D ( −1)
3
2
Se llega a
−15 = − A + B − C + D  − 15 = −2 + B − C − 4  B − C = −9
(1)
−17 = −27 A − 9 B + 3C − D  − 17 = −54 − 9 B + 3C + 4  3B − C = −11
De ( 2 ) − (1) resulta
2B = −2  B = −1  C = 8
La respuesta es
2
1
8
4
−
+
−
2
x x − 2 ( x − 2 ) ( x − 2 )3
Forma 2
A partir de
A ( x − 2 ) + Bx ( x − 2 ) + Cx ( x − 2 ) + Dx
3
x3 − 16
x ( x − 2)
3
=
2
x ( x − 2)
3
Se tiene que
x3 −16 = A( x3 − 6x2 + 12x − 8) + B ( x3 − 4x2 + 4x ) + C ( x2 − 2x ) + Dx
(2)
Conceptos fundamentales del Álgebra
91
Coeficientes de
x3 : 1 = A + B
(1)
( 2)
x 2 : 0 = −6 A − 4 B + C
( 3)
x : 0 = 12 A + 4 B − 2C + D
1
TI : − 16 = −8 A  A = 2  De (1) B = −1  De (2) C = 8  De (3) D = −4
Entonces
2
1
8
4
−
+
−
2
x x − 2 ( x − 2 ) ( x − 2 )3
2 x3 + x 2 + 2m2 x − m2
.
x 4 − m4
36. Descomponer en fracciones parciales
Escribamos
2 x3 + x2 + 2m2 x − m2
( x + m)( x − m) ( x + m )
2
2
=
A
B
Cx + D
+
+ 2
x + m x − m x + m2
Entonces
(
)
(
)
(
2x3 + x2 + 2m2 x − m2 = A( x − m) x2 + m2 + B ( x + m) x2 + m2 + (Cx + D) x2 − m2
Si x = m :
(
)
(
)
2m3 + m2 + 2m2 ( m ) − m2 = B ( m + m ) m2 + m2
4m = 4m B
3
3
B =1
Si x = − m :
−2m3 + m2 − 2m3 − m2 = A ( −m − m ) m2 + m2
−4m = −4m A
3
A =1
3
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
92
Si x = 0 :
( )
( )
(
− m 2 = 1( − m ) m 2 + 1( m ) m 2 + ( D ) − m 2
)
−m = −m D
2
2
D =1
Al igualar los coeficientes de x3 :
2 = A+ B +C
C = 2 −1−1
C =0
De donde la descomposición es:
1
1
1
+
+ 2
x + m x − m x + m2
( a + b ) ab .
( x − a )( x + b )
2
37. Descomponer en fracciones parciales
2
2
2
2
2
Apliquemos el método de los coeficientes
( a + b ) ab
A
B
Cx + D
=
+
+
( x + a )( x − a ) ( x + b ) x + a x − a x + b
2
2
2
=
(
)
2
2
(
)
2
A ( x − a ) x 2 + b2 + B ( x + a ) x 2 + b 2 + ( Cx + D )( x + a )( x − a )
( x + a )( x − a ) ( x + b2 )
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
93
De donde:
( a + b ) ab = A ( x − ax + b x − ab ) + B ( x + ax + b x + ab ) + C ( x − a x ) +
+ D(x − a )
( a + b ) ab = ( A + B + C ) x + ( −aA + aB + D ) x + (b A + b B − a C ) x +
+ ( −ab A + ab B − a D )
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
( )
Coeficiente de x3 : 0 = A + B + C
( )
Coeficiente de x 2 : 0 = − Aa + Ba + D
( )
Coeficiente de x1 : 0 = Ab 2 + Bb 2 − Ca 2
(
)
Término Independiente: a2 + b2 ab = − Aab2 + Bab2 − Da2
De ( ) A + B = C
(
)
En (  ) 0 = ( A + B) b2 − Ca2 = Cb2 − Ca2 = C b2 − a2  C = 0
En ( ) A + B = 0  B = − A
En (  ) 0 = − Aa − Aa + D  D = 2 Aa
En ( )
( a + b ) ab = − Aab − Aab − 2 Aa ( a )
( a + b ) ab = −2 Aa ( a + b )
2
2
2
2
2
2
2
A=−
2
2
b
b
 B = − A =  D = 2 Aa = −ab
2
2
( )
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
94
−b
b
ab
+
− 2
2 ( x + a ) 2 ( x − a ) x + b2
La descomposición es
38. Descomponer en fracciones parciales
E=
(
)
2 ( a + b ) x3 − 2a 2 + 3b x 2 + 2b ( 3a + b ) x − 3a 2 b
x − ax + bx 2 − abx
4
3
.
Factoricemos el denominador
x 4 − ax3 + bx 2 − abx = x  x3 − ax 2 + bx − ab 
= x  x 2 ( x − a ) + b ( x − a ) 
(
= x ( x − a ) x2 + b
)
Entonces
E=
E=
A
B
Cx + D
+
+ 2
x x−a x +b
(
)
(
)
A ( x − a ) x 2 + b + Bx x 2 + b + ( Cx + D ) x ( x − a )
(
x ( x − a) x + b
2
)
Se debe cumplir que
(
)
2 ( a + b ) x3 − 2a 2 + 3b x 2 + 2b ( 3a + b ) x − 3a 2b =
(
)
(
)
= A ( x − a ) x 2 + b + Bx x 2 + b + ( Cx + D ) x ( x − a )
Conceptos fundamentales del Álgebra
95
x = 0  −3a 2 b = A ( − a ) b  A = 3a
(
)
( )
(
)
2a b + 2ab
= Ba ( a + b )
2ab ( a + b ) = Ba ( a + b )
x = a  2 ( a + b ) a − 2a + 3b a + 2b ( 3a + b ) a − 3a 2b = Ba a 2 + b
3
2
2
3
2
2
2
2
B
= 2b
Además, el coeficiente de x 3 , que es 2 ( a + b ) , debe coincidir con el de x 3
en el desarrollo del segundo miembro de la expresión ( ) . Es decir:
2 ( a + b) = A + B + C
3a
2b
2 ( a + b ) = 3a + 2b + C
C = −a
Por último, si x = −a entonces
(
) (
)
2 ( a + b ) −a 3 − 2a 2 + 3b a 2 + 2b ( 3a + b )( −a ) − 3a 2b =
(
)
(
) (
)
= 3a ( −2a ) a 2 + b + 2b ( −a ) a 2 + b + a 2 + D ( −a )( −2a )
−2a 4 − 2a3b − 2a 4 − 3a 2 b − 6a 2b − 2ab 2 − 3a 2b =
= −6a 4 − 6a 2 b − 2a 3b − 2ab 2 + 2a 4 + 2a 2 D
− 6 a 2 b = 2a 2 D
D=
La descomposición es
3a
2b
− ax − 3b
+
+ 2
x x−a
x +b
3a
2b
ax + 3b
+
−
x x − a x2 + b
−6a 2 b
= −3b
2a 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
96
x3 + n
A B
C
D
= + +
+
, en donde A = B + C + D, hallar la
x4 − 4x2 x x2 x + 2 x − 2
constante “ n ”.
Forma 1
39. Si
Efectuemos las operaciones
Ax ( x + 2 )( x − 2 ) + B ( x + 2 )( x − 2 ) + Cx 2 ( x − 2 ) + Dx 2 ( x + 2 )
x3 + n
=
x4 − 4x2
x 2 ( x + 2 )( x − 2 )
Entonces
x3 + n = Ax ( x2 − 4) + B ( x2 − 4) + Cx2 ( x − 2) + Dx2 ( x + 2)
n +8
16
(1)
8−n
16
( 2)
n −n
=
−4 4
( 3)
Si x = 2  8 + n = A ( 0 ) + B ( 0 ) + C ( 0 ) + D ( 4 )( 4 )  D =
Si
x = −2  − 8 + n = A ( 0 ) + B ( 0 ) + C ( 4 )( −4 ) + D ( 0 )  C =
Si x = 0  0 + n = A ( 0 ) + B ( −4) + C ( 0 ) + D ( 0 )  B =
Si x = 1 
1 + n = −3 A − 3B − C + 3D
1 + n = −3 ( B + C + D ) − 3B − C + 3D
( según la condición dada )
1 + n = −6 B − 4C
 −n   8 − n 
1 + n = −6   − 4 

 4   16 
4 + 4n = 6n − 8 + n
n=4
( de ( 2 ) y ( 3) )
Conceptos fundamentales del Álgebra
97
Forma 2
De (1)
x3 + n = Ax ( x 2 − 4 ) + B ( x 2 − 4 ) + Cx 2 ( x − 2 ) + Dx 2 ( x + 2 )
x3 + n = x3 ( A + C + D ) +
De donde
1= A+C + D
8−n 8+n
+
16
16
1 = A +1
1= A+
A=0
Reemplacemos en el dato:
A = B+C + D
n 8−n 8+n
0=− +
+
4 16
16
0 = −4 n + 8 − n + 8 + n
4n = 16
n=4
Forma 3
Si A = B + C + D :
x3 + n
B+C + D B
C
D
=
+ 2+
+
x
x+2 x−2
x − 4 x2
x
4
Como tenemos cuatro incógnitas ( A, B, C y n ) , demos cuatro valores
diferentes a x para formar un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro
incógnitas:
Conceptos fundamentales del Álgebra
1+ n
−3
−1 + n
x = −1 
−3
27 + n
x=3 
81 − 36
−27 + n
x = −3 
81 − 36
x =1

=
=
=
=
98
B+C + D
1
B+C + D
−1
B+C + D
3
B+C + D
−3
B
1
B
1
B
9
B
9
+
+
+
+
C
3
C
+
1
C
+
5
C
+
−1
+
+
+
+
+
D
−1
D
−3
D
1
D
−5
De ( ) + (  )
−2n
4C 4D
= 2B +
−
 − 2n = 6B + 4 ( C − D )
3
3
3
De (  ) + ( )
2n 2B 4C 4D
=
−
+
 2n = 10B − 36 ( C − D )
45 9
5
5
De las dos últimas ecuaciones
C−D =
−2n − 6B 10B − 2n
=
4
36
entonces
−18n − 54 B = 10 B − 2n
16n = −64 B
B=−
De ( )
n
4
( )
( )
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
99
1 n
4C
1 n
n 4C
− − =2B+
 − − =− +
 − 2 − 2n = −3n + 8C
3 3
3
3 3
2 3
n
−
4
n−2
 C=
8
De (  )
1 n
D
− = −D −
 1 − n = −3 D − D  1 − n = − 4 D
3 3
3
n −1
 D=
4
De (  )
27 + n B + C + D B C D
=
+ + +
45
3
9 5 1
27 + n = 15 ( B + C + D ) + 5B + 9C + 45D
27 + n = 20 B + 24C + 60 D
 n
n−2
 n −1 
27 + n = 20  −  + 24 
 + 60 

 4
 8 
 4 
27 + n = −5n + 3n − 6 + 15n − 15
48 = 12n
n=4
40. Descomponer la fracción
x
en fracciones parciales con el
x+2+x
cambio de variable x + 2 = z3 y expresar el resultado en términos de z.
3
Sustituyamos x = z 3 − 2 en la fracción donde
z3 − 2
3
z3 + z3 − 2
=
z3 − 2
z3 + z − 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
100
Como la fracción obtenida es impropia, debemos efectuar previamente la
división indicada
z3 − 2
z3 + z − 2 − z
z
=
= 1− 3
3
3
z + z−2
z + z−2
z + z−2
Factoricemos el denominador de la fracción propia obtenida
1
1
0
1
-2

1
1
1
2
1
2
0
(
z3 + z − 2 = ( z −1) z 2 + z + 2
)
Entonces
z
A
Bz + C
=
+
z3 + z − 2 z − 1 z 2 + z + 2
(
)
z = A z 2 + z + 2 + ( Bz + C )( z − 1)
Si z = 1  1 = A ( 4) + 0  A =
1
4
Si z = 0  0 = A ( 2) + C ( −1)  C = 2 A =
Coeficiente de z 2 :
0 = A+ B  B = −
1
4
1
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
101
Entonces
1
1
− z+
z
14
4
2
=
+
z3 + z − 2 z −1 z 2 + z + 2
1
−z + 2
=
+
4 ( z − 1) 4 z 2 + z + 2
(
)
De donde
z3 − 2
1
z−2
= 1−
+
2
4
z
−
1
z + z−2
( ) 4 z +z+2
(
2
)
Ejercicios propuestos
ab n
.
41. Simplificar n −1 n
ab
R.: b n ab
42. Calcular el valor de m de modo tal que el monomio
tercer grado.
R.: 22
(
43. Resolver a x −1
)
x+4
(
= a x−2
)
x +3
.
R.: − 1
44. ¿Qué valor toma x en m2 x m5+2 x = x m17 ?
R.: 3
a am−2
3
am+2
sea de
Conceptos fundamentales del Álgebra
45. Calcular x2 − 3x + 2, si x −3 x
102
− 0,5
= 0,125.
R.: 6
2
.
2
46. Calcular 4 x si x 2 x =
R.: 0,5
47. Calcular el valor numérico de E = x x
xx
, para x = 2.
R.: 2
, calcular el valor de E 2 − 5E + 4.
48. Si E = 13 + 6 + 6 + 6 +
R.: 0
49. Simplificar 3x  5
R.: ( 3x )
1
1
( 3x )
3
4
1
5 3
( 3x )
1
( 3x )
7
( 3x )
9
.
−1 24
50. Encontrar
3 m−2 4
n
a b
tiene grado absoluto 5 y grado
, si se sabe que
5 n −1 m
m
a b
relativo 4 con respecto a " a ".
R.: −
176
15
51. Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo siguiente
mx p + 7 y 2 p + 3 + q x 2 p +17 y 25 + x m y q
5
R.: 51
2
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
103
52. Dados los polinomios:
P ( x, y ) = x m +3 y n −5 + 2 x m +1 y n − x m − 4 y n
2
2
2
Q ( x, y ) = x 2 m y n −12 − 3x 2 m +1 y n − 20 + x 2 m + 6 y n ,
2
2
2
si el polinomio P ( x, y ) es de grado 19 respecto a " x " y el grado del
polinomio Q ( x, y ) respecto a " x " es 11 unidades menor que su grado
respecto a " y ", hallar el grado absoluto de P.
R.: 22
53. ¿Cuántos términos tiene el polinomio completo y ordenado en forma
?
ascendente: P ( x ) = ax a − 6 + ( a − 1) x a −5 + ( a − 2 ) x a − 4 +
R.: 6
54. Si ax3 + bx2 + cx + d  ( x + 2) ( x + 3) ( x −1) , calcular a + b + c + d.
2
3
R.: 0
55. Determinar el grado de homogeneidad de un polinomio completo de dos
variables cuya suma de grados es 90.
R.: 9
56. Simplificar 7 x + x 2 − y14  7 x − x 2 − y14 .
R.: y 2
57. Simplificar
(
S = 3 a +b + 3 a −b
R.: 2a
) ( (a + b) − a − b + (a − b) )
3
2
3
2
2
3
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
58. Si a + b + c = 0, calcular E =
104
a 2 b2 c 2
+ + .
bc ac ab
R.: 3
59. Efectuar P = ( x + y + z ) − ( x − y + z ) − 6 y ( x + z ) − y 2  .


3
3
2
R.: 8y 3
60. Si el polinomio P ( x ) = x 3 + 2 x 2 + ax + b se divide entre x −1, el resto
es 2 y si se divide entre x − 2 el resto es 18. Encontrar los valores de a
y b.
R.: a = 3, b = −4.
61. P ( x ) es un polinomio entero en x que dividido entre el producto
( x + 1)( x − 1)( x + 3) deja como resto x2 + 2x − 3. Calcular los restos que
dejará al dividirlo separadamente entre x2 − 1 y x + 3.
R.: 2x − 2 y 0
62. P ( x ) es un polinomio entero en x que dividido entre el producto
( x + 4x − 5)( x − 9) da como resto 3x − 5x − 8. Calcular los restos
2
3
2
que se obtendrían al dividir separadamente P ( x ) entre x −1, x + 3, x − 3
y x + 5.
R.: −10, − 74, 58, − 358
63. Los restos de la división de un polinomio entero en x entre los
binomios x + 1, x −1 y x − 2, son 5, -1 y -1, respectivamente.
(
)
Encontrar el resto de la división entre x2 −1 ( x − 2) .
R.: x 2 − 3x + 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
105
( x − 3) + ( x − 2 ) − 1
.
( x − 3)( x − 2)
2n
64. Calcular el resto de la división
n
R.: 0
( x + x + 3) − ( x + x + 5 ) − 2 x − 2 x + 8 .
65. Calcular el resto de dividir
21
2
17
2
2
x2 + x + 4
R.: 14
66. Simplificar
x 2 n −1 + x 2 n − 2 + x 2 n −3 +
x n −1 + x n − 2 + x n −3 +
+ x2 + x + 1
.
+ x2 + x + 1
R.: xn + 1
67. Encontrar la relación que debe cumplirse entre los valores de a y b, de
tal manera que la expresión
xa +b y ab − y a +b + ab
3
3
( xy ) − y a +b
2
ab
2
sea un cociente notable.
R.: ab = 1
68. Determinar la suma de los factores de x 9 − y 4 .
R.: 2x 4.5
(
)
(
)
(
)
69. Un factor de x3 z − y2 + y3 x − z 2 + z3 y − x2 + xyz ( xyz − 1) es
i) x − z
x− y
ii) x − z
2
iii) x − z
2
iv) x − y 2
v)
R.: iii)
70. El número de factores no repetidos de x4 + 2 x3 − 2 x − 1 es
i) 4
ii) 3
iii) 2
iv) 1
v) 0
Conceptos fundamentales del Álgebra
106
R.: iii)
71. Encontrar el factor de mayor grado al factorizar a5 − 9a3 + a2 − 9.
R.: a2 − a + 1
72. Encontrar la suma de factores de a 4 + 2a2 + 9.
R.: 2a2 + 6
73. ¿Cuántos factores se obtienen al factorizar a 4 + a 2 + 1?
R.: 2
74. Encontrar el número de factores de x3 y 2 + y 3 z 2 − x3 z 2 − y 5 .
R.: 4
75. Factorizar x 4 + y 4 + 3x 2 y 2 + 2 x3 y + 2 xy 3 .
(
R.: x2 + y 2 + xy
)
2
76. No es factor de la expresión x5 − x4 − 13x3 + 13x2 + 36x − 36
i) x −1
ii) x + 1
iii) x + 3
iv) x − 3
x+2
v)
R.: ii)
77. Sumar los factores de 6 x 2 + 3xy − 3 y 2 + 19 x + 13 y + 10.
R.: 5x + 2 y + 7
78. Factorizar x4 + 5x3 + 13x2 + 16 x + 10 y dar la suma de sus factores.
R.: 2 x2 + 5x + 7
Conceptos fundamentales del Álgebra
107
79. Encontrar el factor de mayor grado de 6 x3 + 14 x2 − 8.
R.: 3x 2 + 4 x − 4
80. Encontrar la suma de los factores de menor grado al factorizar
( x + x − 2) + 5x + 5x −10
2
2
2
R.: 2x +1
81. ¿Cuántos factores diferentes tiene la expresión x4 + 4 x3 + 6 x2 + 4 x + 1?
R.: 1
82. Factorizar x5 + x + 1 y encontrar la suma de sus factores.
R.: x3 + x + 2
83. Factorizar 8x6 − 12 x5 − 46 x4 + 39x3 − 79x2 + 126x + 90 = 0.
(
)
R.: ( 2x + 1)( 2x − 3)( 2x + 5)( x − 3) x2 + 2 = 0
84. Factorizar 25x4 − 45x3 − 476 x2 + 396 x − 80.
R.: (5x − 2) ( x + 4)( x − 5)
2
85. Simplificar S =
R.:
1
2
1
− 2
− 2
.
x − 5 x − 8x + 15 x − 5x + 6
1
x−2
86. Simplificar
a 2 + b 2 − c 2 + 2ab
.
a 2 + c 2 − b2 + 2ac
Conceptos fundamentales del Álgebra
R.:
108
a+b−c
a −b+c
2
 x y  2  x y  2 
 x  2  y  2 
  +  +  −   − 4   −   
 y x   y x  
 y   x  
.
87. Simplificar E = 
2
2
  x 3  y 3    x  3  y 3 
  +    −   −   
 y   x    y   x  
R.: 4
88. Simplificar S =
x 4 − ( x − 1)
2
( x + 1) − x
2
2
+
2
(
) + x ( x − 1) − 1 .
x2 − x2 − 1
2
x 2 ( x + 1) − 1
2
2
2
x 4 − ( x + 1)
R.: 1
89. Efectuar
a3
b3
c3
+
+
.
( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b )
R.: a + b + c
−1
−1
−1
−1
−1
90. Simplificar ( x + 1) − ( x − 1)   ( x + 1) + ( x − 1)  .

 

R.: −
1
x
(
)
 1 − a2 + x2 
1 −
.

91. Calcular
−1
2ax

1 − ( a + x ) 

1+ (a + x)
R.:
a3
2a − 2
−1
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
1− x +
92. Simplificar
1+
1
1+ x .
1 − x2
1− x
R.:
93. Si
1
109
10 x 2 − 6 x − 22
A
B
C

+
+
, calcular A + B + C.
3
2
x − 2 x − 5x + 6 x − 1 x + 2 x − 3
R.: 10
2 x2 + 5x − 3
es
x3 + x 2 − x − 1
−1
−2
iii)
iv)
x −1
x −1
94. Una de las fracciones parciales de
1
x −1
3
x −1
i)
ii)
2
x −1
R.: i)
95. Descomponer
3x3 − x 2 + 5
y sumar los numeradores resultantes.
x4 − x2 − 2
R.: 3x −1
96. Hallar A + 2B − C si
x 2 + 3x + 1
(
x x + x−2
2
)

A
B
C
+
+
.
x x −1 x + 2
R.: 3
97. Encontrar la raíz cuadrada de 2 x − 1 − 2 x 2 − x − 6.
R.:
x + 2 − x −3
v)
Conceptos fundamentales del Álgebra
110
98. Encontrar el valor de E = 2 + 2 2 +
R.:
3 +1
99. Racionalizar E = 3
10
18 − 3 12 + 2
R.: 2 + 3 12
100. Racionalizar 6
1
9+ 6+6 4
6
R.: 6 81 − 6 54 + 6 24 − 6 16
.
.
+2 2+2 2+2 4+2 3 .
Conceptos fundamentales del Álgebra
111
II
Ecuaciones
1.
Ecuación
Es una igualdad condicional que se cumple para determinado(s) valor(es)
de una(s) incógnitas. Resolver una ecuación en
consiste en encontrar
dicho(s) valor(es) real(es).
2 = 2, es una igualdad absoluta dado que se cumple siempre.
4 x − 2 = 2 , es una ecuación que se cumple solo para x = 1.
primer
miembro
segundo
miembro
1.1. Clasificación de las ecuaciones
1.1.1.
Según el grado
3x2 − 4 x + 5 = 0 es de segundo grado.
1.1.2.
Según los coeficientes
2 x3 − x2 + 4 = 0 es de coeficientes numéricos.
ax4 − bx3 + cx − d = 0 es de coeficientes literales.
1.1.3.
Según las soluciones
a)
Compatibles
Si admiten por lo menos una solución y pueden ser:
Conceptos fundamentales del Álgebra
112
-
Determinadas, si admiten un número finito de soluciones.
3x2 + 5x − 2 = 0 tiene dos soluciones x1 = −2 y x2 = 1 3.
-
Indeterminadas, si admiten un número infinito de
soluciones. 3x 2 + 5 x = x ( 3x + 5 ) tiene como solución a
cualquier valor real de x.
b) Incompatibles
Si no admiten solución, por ejemplo: 3x2 − 2 = 3x2 + 2.
1.2. Principios fundamentales para resolver ecuaciones
i)
Si a ambos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo
número, las soluciones de la ecuación resultante son las mismas que
las de la ecuación original.
2 x = 8 → x1 = 4
2 x + 4 = 12 → x1 = 4
ii) Si a ambos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por
un mismo número (diferente de cero), las soluciones no varían.
100 x 2 + 300 x = 0 → x1 = 0 y x2 = −3
x 2 + 3 x = 0 → x1 = 0 y x2 = −3
iii) Si a ambos miembros de una ecuación se les multiplica por una
misma expresión que contiene a la incógnita, se pueden introducir
soluciones (extrañas).
a)
x = 2 → x1 = 2
Multipliquemos ambos miembros por x −1:
( x − 1) x = ( x − 1) 2
( x − 1) x − 2 ( x − 1) = 0
( x − 1)( x − 2 ) = 0 → x1 = 2 y x2 = 1 (extraña)
La solución extraña se obtiene de igualar a cero el factor x −1, por
el cual se multiplicó ambos miembros de la ecuación original.
Conceptos fundamentales del Álgebra
113
b)
x = 4 → x1 = 4
Multipliquemos ambos miembros por x − 4 :
( x − 4) x = ( x − 4) 4
( x − 4) x − 4 ( x − 4) = 0
( x − 4 )( x − 4 ) = 0 → x1 = x2 = 4
c)
x = 2 → x1 = 2
Multipliquemos ambos miembros por x 2 + 1:
( x + 1) x = ( x + 1) 2
( x + 1) x − 2 ( x + 1) = 0
( x + 1) ( x − 2) = 0 → x = 2
2
2
2
2
2
1
No se introdujeron soluciones extrañas reales porque el factor
x 2 + 1, por el cual se multiplicó ambos miembros de la ecuación
original no es igual a cero para ningún valor real de x.
iv) Si a ambos miembros de una ecuación se les divide entre una
expresión que contiene a la incógnita, se pueden eliminar
soluciones.
a)
x 2 = 4 x → x1 = 4 y x2 = 0
Dividamos entre x ambos miembros de la ecuación:
x = 4 → x1 = 4 ( se eliminó la solución x2 = 0 )
La solución eliminada corresponde a la que se obtiene al igualar a
cero el factor x, que fue cancelado.
Conceptos fundamentales del Álgebra
b)
114
x ( x − 2 ) = 2 ( x − 2 ) → x1 = x2 = 2
Dividamos entre x − 2 ambos miembros de la ecuación:
x = 2 → x1 = 2
La solución eliminada corresponde a la que se obtiene al igualar a
cero el factor x, que fue cancelado.
c)
( x +1) x = ( x +1) 2 → x = 2
2
2
1
Dividamos entre x2 + 1 ambos miembros de la ecuación:
x = 2 → x1 = 2
No se eliminó ninguna solución real porque el factor x 2 + 1, por el
cual se dividió ambos miembros de la ecuación original, no es igual
a cero para ningún valor real de x.
v) Si a ambos miembros de una ecuación se les eleva a una misma
potencia par, se pueden introducir soluciones (extrañas).
a)
x = −5 → x1 = −5
Elevemos al cuadrado ambos miembros de la ecuación
x2 = ( −5) = 25 → x1 = −5 y x2 = 5 ( extraña )
2
b)
x 2 = 25 → x1 = −5 y x2 = 5
Elevemos al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Conceptos fundamentales del Álgebra
115
( x ) = ( 25) = 625
2
2
2
x 4 − 625 = 0
( x + 25)( x − 25) = 0
( x + 25) ( x + 5)( x − 5) = 0 → x = −5 y x = 5
2
2
2
1
2.
2
Ecuación de primer grado con una incógnita
Es aquella que se puede reducir a la forma ax + b = 0
( a  0 ) una vez
aplicados los principios fundamentales anteriormente referidos. A toda
ecuación de primer grado se le denomina ecuación lineal.
La solución de ax + b = 0 es x = − b a.
Ejemplo:
2 3x − 2 ( 4 − 3x )  = 5 ( x + 2 )
2 3x − 8 + 6 x  = 5 x + 10
2 9 x − 8 = 5 x + 10
18 x − 16 = 5 x + 10
18 x − 5 x = 16 + 10
13x = 26
x=2
3.
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Son aquellos conjuntos de ecuaciones con dos o más incógnitas que se
cumplen simultáneamente para los mismos valores de las incógnitas.
 2x − 3y = 3

 3x + 4 y = 13
Las dos ecuaciones se satisfacen para x = 3 e y = 1.
Conceptos fundamentales del Álgebra
116
3.1. Igualación
Se despeja la misma incógnita de las ecuaciones y se igualan las
expresiones obtenidas
2x − 3

 2 x − 3 y = 3 → y = 3

 3 x + 4 y = 13 → y = 13 − 3 x

4
Entonces:
2 x − 3 13 − 3 x
=
3
4
8 x − 12 = 39 − 9 x
17 x = 51
x = 3  y =1
3.2. Sustitución
Se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones para
reemplazarla en la(s) otra(s).
De 2 x − 3 y = 3 → y =
2x − 3
3
En 3x + 4 y = 13:
 2x − 3 
3x + 4 
 = 13
 3 
9 x + 8 x − 12 = 39
17 x = 51
x = 3  y =1
3.3.
Reducción
ax + b y = c → se multiplica por e


•

dx + e y = f → se multiplica por b


•
Conceptos fundamentales del Álgebra
117
 aex + bey = ce

 dbx + eby = fb
Restándolas
aex − bdx = ce − bf
De donde:
x=
ce − bf
af − cd
 y=
ae − bd
ae − bd
Ejemplo:
Resolver
 2x − 3y = 4

 6 x − 9 y = 12
Si multiplicamos la primera ecuación por 3, se obtiene
6x − 9 y = 12.
Al coincidir con la segunda ecuación, se dice que una es redundante
de la otra. El sistema de dos ecuaciones es compatible indeterminado
ya que se redujo a una ecuación: 6x − 9 y = 12, que se cumple para
un número infinito de soluciones: ( 5, 2 ) , ( 8, 4 ) , (11, 6 ) , etc.
Ejemplo
Resolver
 2x − 3y = 4

 6 x − 9 y = 13
Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y mantenemos la
segunda
Conceptos fundamentales del Álgebra
118
 6 x − 9 y = 12

 6 x − 9 y = 13
Restándolas
0 = −1
( absurdo )
El sistema es incompatible.
Resolver
 2 x − y + 3z = 5

3x + 2 y − 2 z = 4

 4 x − 3 y + 3z = 11
(1)
( 2)
( 3)
Conviene eliminar la incógnita y dado que su coeficiente en la
ecuación (1) es −1:
2EC (1) :
4 x − 2 y + 6 z = 10
EC ( 2 ) :
3x + 2 y − 2 z = 4
7 x + 4z = 14
-3EC (1) :
−6 x + 3 y − 9 z = −15
EC ( 3) :
4 x − 3 y + 3z = 11
−2 x − 6 z = − 4
3EC ( 4 ) :
21x + 12 z = 42
2EC ( 5 ) :
−4 x − 12 z = − 8
17x = 34
( 4)
(5)
(6)
Conceptos fundamentales del Álgebra
119
De EC ( 6 ) :
x=2
En EC ( 4 ) :
z =0
En EC (1) :
y = −1
El sistema es compatible determinado y tiene una solución (terna):
( 2, − 1, 0 )
4.
Ecuación de segundo grado con una incógnita
Es aquella que se puede expresar de la forma:
( a  0)
ax 2 + bx + c = 0
A toda ecuación de segundo grado se le denomina ecuación cuadrática.
4.1. Deducción de las soluciones de la ecuación cuadrática
Dividamos ambos miembros de la ecuación
ax 2 + bx + c = 0
entre a (  0 ) :
x2 +
2
b
c
x+ =0
a
a
2
 b 
 b  c b
x2 + 2   x +   + − 2 = 0
 2a 
 2a  a 4a
Conceptos fundamentales del Álgebra
120
b  4ac − b 2

=0
x+  +
2a 
4a 2

2
b 
b 2 − 4ac

x+  =
2a 
4a 2

2
x+
b
b 2 − 4ac
=
2a
2a
Finalmente:
x=
−b  b 2 − 4ac
2a
4.2. Discusión de las raíces
Las dos raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 son
x1 =
−b − b 2 − 4ac
2a
y x2 =
−b + b 2 − 4ac
2a
A la expresión b2 − 4ac se le denomina discriminante:
 = b2 − 4ac
De donde:
x1 =
−b − 
2a
y x2 =
−b + 
2a
La naturaleza de las raíces dependerá del signo del discriminante:
i)
ii)
iii)
Si   0, las raíces serán números reales y diferentes.
Si  = 0, las raíces serán números reales e iguales.
Si   0, las raíces serán números complejos conjugados (Los
números a + bi y a − bi, a , b ,
llaman complejos conjugados).
i 2 = −1, se
Conceptos fundamentales del Álgebra
121
4.3. Propiedades de las raíces
i)
Suma de las raíces
−b −  −b + 
+
2a
2a
−2b
S = x1 + x2 =
2a
b
S = x1 + x2 = −
a
S = x1 + x2 =
ii) Producto de las raíces
 −b −    −b +  
P = x1  x2 = 
  

 2a   2a 
( −b ) − (  )
2
P = x1  x2 =
2
4a 2
b −
P = x1  x2 =
4a 2
2
P = x1  x2 =
4ac
P = x1  x2 = 2
4a
c
P = x1  x2 =
a
iii) Diferencia de las raíces
Si x1  x2 :
(
b 2 − b 2 − 4ac
4a
2
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
122
D = x2 − x1 =
−b +  −b − 
−
2a
2a
D = x2 − x1 =
2 
2a
D = x2 − x1 =

a
4.4. Reconstrucción de una ecuación de segundo grado.
Sea ax 2 + bx + c = 0 la ecuación pedida que admite por raíces a x1 y x2 .
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre a :
x2 +
b
c
x+ =0
a
a
De acuerdo con el acápite anterior
x2 − Sx + P = 0
Ejemplo
Si las raíces de la ecuación son x1 = 1 + 2 y x2 = 1 − 2, entonces:
( ) ( )
P = (1 + 2 )  (1 − 2 ) = 1 − 2 = −1
S = 1+ 2 + 1− 2 = 2
La ecuación pedida será
x2 − 2 x − 1 = 0
o, en general:
kx 2 − 2kx − k = 0
5.
Sistemas de ecuaciones cuadráticas
( k  0)
Conceptos fundamentales del Álgebra
123
Resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas consiste en hallar un
conjunto de valores de las incógnitas tal que las ecuaciones se
satisfagan simultáneamente.
Ejemplo
 3 ( x + 2 )2 + ( y + 2 ) = 8

2
 ( x − 1) − 2 ( y + 2 ) = 6
(1)
( 2)
Empleemos el método de sustitución
De ( 2 )
( x − 1) − 6
2
y+2=
2
En (1)
3( x + 2) +
2
( x − 1) − 6
2
2
=8
Efectuando operaciones se obtiene:
7 x 2 + 22 x + 3 = 0
1
213

 x1 = −  y1 = −
7
x
+
1
x
+
3
=
0

(
)(
)
7
49

 x2 = −3  y2 = 3
Ejercicios resueltos
101. Clasificar la siguiente ecuación
x
2 7 − 2x
− =
2 x − 4 3 3x − 6
Restricciones:
Conceptos fundamentales del Álgebra
124
2x − 4  0  x  2
3x − 6  0  x  2
Multipliquemos por 6 ( x − 2 )
x
2
7 − 2x
− =
2 ( x − 2) 3 3( x − 2)
3x − 4 ( x − 2 ) = 2 ( 7 − 2 x )
3 x − 4 x + 8 = 14 − 4 x
3x = 6
x=2
Sin embargo, x no puede tomar el valor 2. La ecuación es incompatible.
102. Clasificar la siguiente ecuación
2
1
x −8
+
= 2
x + 2 3− x x − x −6
Restricciones
x  −2, 3
Tenemos
2
1
x −8
+
=
x + 2 3 − x ( x − 3)( x + 2 )
Por ( x − 3)( x + 2 )
2 ( x − 3) − ( x + 2 ) = x − 8
2x − 6 − x − 2 = x − 8
x −8 = x −8
Que se verifica para todo valor real de x, de manera que considerando las
restricciones, las raíces de la ecuación son x  − −2, 3 .
La ecuación es compatible indeterminada.
Conceptos fundamentales del Álgebra
125
103. Resolver la siguiente ecuación
1
1+
=
1
1+
1+
38
23
1
1+
1
x
Forma 1
Simplifiquemos
1+
1
1
1+
x
= 1+
1
x
2x +1
= 1+
=
x +1
x +1 x +1
x
Entonces
1
1+
1
1+
1+
1
= 1+
1+
1
1+
1
x
1
2x + 1
x +1
= 1+
1
1
2 x + 1 5x + 3
= 1+
= 1+
=
x +1
3x + 2
3x + 2 3x + 2
1+
2x + 1
2x + 1
De donde
5 x + 3 38
=
3 x + 2 23
115 x + 69 = 114 x + 76
x=7
Forma 2
Si
Conceptos fundamentales del Álgebra
126
1
1+
1
1+
1+
1
15
1
=
23 23 15
=
23
8
= 1+
15
15
=
8
1
=
15 15 8
1
1+
1+
1
x
1
1
1+
1+
1
x
1
1
1+
1+
1+
=
1
x
1
1+
38
15
= 1+
23
23
1
1+
1+
=
1
x
1
15
7
=
= 1+
1 8
8
1+
x
1
7
1
= =
1 8 87
1+
x
1 8
1
1+ = = 1+
x 7
7
x=7
104. Resolver
x −a x −b x −c
1 1 1
+
+
= 2 + + 
bc
ac
ab
a b c
Multipliquemos ambos miembros por abc :
Conceptos fundamentales del Álgebra
127
a ( x − a ) + b ( x − b ) + c ( x − c ) = 2 ( bc + ac + ab )
ax − a 2 + bx − b 2 + cx − c 2 = 2bc + 2ac + 2ab
( a + b + c ) x = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
2
(a + b + c) x = (a + b + c)
x = a+b+c
105. Resolver para x :
m x−m n  x−n

+ 
 =1
n  x  m x 
Multipliquemos los dos miembros por mnx
m 2 ( x − m ) + n 2 ( x − n ) = mnx
m 2 x − m3 + n 2 x − n3 = mnx
m 2 x + n 2 x − mnx = m3 + n3
(
)
x m 2 − mn + n 2 = m3 + n3
x = m+n
106. Resolver
x − 2a + 3b
x
x + 28a − 42b x + 6a − 9b
+
=
+
x + 4a − 6b x − 4a + 6b
x + 4a − 6b
x − 4a + 6b
Sea 2a − 3b = p, entonces:
x− p
x
x + 14 p x + 3 p
+
=
+
x + 2p x −2p x + 2p x −2p
Al multiplicar ambos miembros por ( x + 2 p )( x − 2 p ) :
Conceptos fundamentales del Álgebra
( x − p )( x − 2 p ) + x ( x + 2 p ) = ( x + 14 p )( x − 2 p ) + ( x + 3 p )( x + 2 p )
x 2 − 3 px + 2 p 2 + x 2 + 2 px = x 2 + 12 px − 28 p 2 + x 2 + 5 px + 6 p 2
18 px = 24 p 2
24 p 2
18 p
4
x= p
3
4
x = ( 2a − 3b )
3
8
x = a − 4b
3
x=
107. Resolver
x3 + mx 2 + nx + p x 2 + mx + n
= 2
x3 + ax 2 + bx + p
x + ax + b
Forma 1
Cambiemos de variable
x 2 + mx + n = R
x 2 + ax + b = S
Entonces
128
Conceptos fundamentales del Álgebra
129
(
) = x + mx + n
x + ax + b
x ( x + ax + b ) + p
x x 2 + mx + n + p
2
2
2
xR + p R
=
xS + p S
xRS + pS = xRS + pR
pS = pR
S=R
x + ax + b = x 2 + mx + n
2
ax − mx = n − b
( a − m) x = n − b
x=
n−b
a−m
Forma 2
Multipliquemos el numerador y el denominador del segundo miembro por
x:
x3 + mx 2 + nx + p x3 + mx 2 + nx
= 3
x3 + ax 2 + bx + p
x + ax 2 + bx
Permutemos
x3 + mx 2 + nx + p x3 + ax 2 + bx + p
=
x3 + mx 2 + nx
x3 + ax 2 + bx
3
2
3
x + mx + nx
p
x + ax 2 + bx
p
+
=
+ 3
3
2
3
2
3
2
x + mx + nx x + mx + nx x + ax + bx x + ax 2 + bx
p
p
1+ 3
= 1+ 3
2
x + mx + nx
x + ax 2 + bx
De donde:
Conceptos fundamentales del Álgebra
130
x3 + mx 2 + nx = x 3 + ax 2 + bx
x 2 + mx + n = x 2 + ax + b
(a − m) x = n − b
x=
n−b
a−m
108. Resolver para x
x −1
1− x
=
+2
x + a −b x −a +b
y dar como respuesta x − ( a + b ) .
2
Forma 1
x −1
1− x
−
=2
x+ a −b x −a +b


1
1
+
( x − 1) 
=2
 x + ( a − b ) x − ( a − b ) 
x − (a − b) + x + (a − b)
=2
( x − 1) 
2
x2 − ( a − b )
( x − 1)  2
2x
x − (a − b)
2
=2
x ( x − 1) = x 2 − ( a − b )
2
x2 − x = x2 − ( a − b )
2
x = (a − b)
Entonces x − ( a + b) = ( a − b ) − ( a + b ) = −4ab.
2
2
2
Forma 2
x −1
1− x
=
+2
x + (a − b) x − (a − b)
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
131
Multipliquemos ambos miembros por x2 − ( a − b ) :
2
( x − 1)  x − ( a − b ) = (1 − x )  x + ( a − b ) + 2 x 2 − 2 ( a − b )
( x − 1)  x − ( a − b ) + x + ( a − b ) = 2 x 2 − 2 ( a − b )
2
2
( x − 1)  2 x  = 2  x 2 − ( a − b ) 
2
x ( x − 1) = x 2 − ( a − b )
2
Expresión idéntica a la obtenida en la forma 1.
Entonces:
x = ( a − b)  x − ( a + b) = ( a − b) − ( a + b ) = ( 2a )( −2b ) = −4ab
2
2
2
2
109. Resolver para x :
x + a x −b x −a x +b
+
=
+
a −b a +b a +b b −a
Forma 1
Transponiendo términos
Conceptos fundamentales del Álgebra
132
x + a x +b x −a x −b
−
=
−
a −b b−a a +b a +b
x + a x +b x −a x −b
+
=
−
a −b a −b a +b a +b
2x + a + b b − a
=
a −b
a+b
( 2 x + a + b )( a + b ) = ( a − b )( b − a )
2ax + 2bx + a 2 + ab + ab + b 2 = ab − a 2 − b 2 + ab
(
2ax + 2bx = −2 a 2 + b 2
)
(a + b) x = − (a + b )
2
x=−
2
a 2 + b2
a+b
Forma 2
Multipliquemos los dos miembros por a 2 − b2 :
x + a x −b x −a x +b
+
=
+
a −b a +b a +b b−a
( a + b )( x + a ) + ( a − b )( x − b ) = ( a − b )( x − a ) − ( a + b )( x + b )
( a + b )( x + a ) + ( a + b )( x + b ) = ( a − b )( x − a ) − ( a − b )( x − b )
( a + b )( 2 x + a + b ) = ( a − b )( x − a − x + b )
2
2 x ( a + b ) + ( a + b ) = ( a − b )( b − a )
2
2
2x ( a + b) = − ( a + b) − (a − b)
2
2
2 x ( a + b ) = − ( a + b ) + ( a − b ) 


x=−
x=−
(
2 a 2 + b2
2 (a + b)
a 2 + b2
a+b
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
133
110. Resolver para x
2
2
( a + x )( a − b ) ( a − x )( a + b ) ( x − a ) ( a − 6ab + b )
+
a+b
=
a −b
a 2 − b2
Forma 1
Efectuemos las operaciones
( a + x )( a − b ) + ( a − x )( a + b ) ( x − a ) ( a − 6ab + b )
=
a 2 − b2
( a + b )( a − b )
2
2
2
2
Igualamos los numeradores
( a + x ) ( a2 − 2ab + b2 ) + ( a − x ) ( a2 + 2ab + b2 ) = ( x − a ) (a2 − 6ab + b2 )
a3 − 2a 2b + ab 2 + a 2 x − 2abx + b 2 x + a 3 + 2a 2b + ab 2 − a 2 x − 2abx − b 2 x =
a 2 x − 6abx + b 2 x − a3 + 6a 2b − ab 2
a 2 x − 2abx + b2 x = 3a3 − 6a 2b + 3ab2
(
)
(
x a 2 − 2ab + b2 = 3a a 2 − 2ab + b2
x = 3a
Forma 2
Multipliquemos ambos miembros por a 2 − b2
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
134
( a + x )( a − b ) + ( a − x )( a + b ) = ( x − a ) ( a 2 − 6ab + b 2 )
2
2
( a + x )( a − b ) = ( x − a ) ( a 2 − 6ab + b 2 ) − ( a − x )( a + b )
2
( a + x )( a − b ) = ( x − a ) ( a 2 − 6ab + b 2 ) + ( x − a )( a + b )
2
2
2
( a + x )( a − b ) = ( x − a ) ( a 2 − 6ab + b 2 ) + ( a 2 + 2ab + b 2 )
2
( a + x )( a − b ) = ( x − a )  2a 2 − 4ab + 2b 2 
2
( a + x )( a − b ) = ( x − a )  2 ( a − b ) 
2
2
a + x = 2 x − 2a
x = 3a
111. Resolver para x :
2
a 3 − 1 a ( x − 1) + a − x
=
3
2
a + 1 a ( x − 1) − a + x
( a  0, − 1, 1)
Forma 1
Aplicamos la siguiente propiedad de las proporciones geométricas
P R
P+Q R+S
=

=
Q S
Q−P S −R
Conceptos fundamentales del Álgebra
135
( a − 1) + ( a + 1) = a ( x − 1) + a − x + a ( x − 1) − a + x
( a + 1) − ( a − 1) a ( x − 1) − a + x − a ( x − 1) + a − x 
3
3
3
3
2
2
2
2a 3 2a ( x − 1)
=
2
−2a 2 + 2 x
a ( x − 1)
a3 =
x − a2
x −1
a2 =
x − a2
2
4
a x − a = x −1
(
2
( a  0)
)
x a2 −1 = a4 −1
a4 −1
a2 −1
x = a2 + 1
x=
( a  1)
Forma 2
Escribamos
a3 − 1 a3 + 1 − 2
2
=
= 1− 3
a3 + 1
a3 + 1
a +1
De otro lado
a ( x − 1) + a 2 − x
a ( x − 1) − a 2 + x
=
a ( x − 1) − a 2 + x + 2a 2 − 2 x
= 1+
a ( x − 1) − a 2 + x
2a 2 − 2 x
a ( x − 1) − a 2 + x
Al igualar las expresiones obtenidas
1−
2
2a 2 − 2 x
= 1+
a +1
a ( x − 1) − a 2 + x
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
−
−
1
( a + 1) ( a − a + 1)
2
1
( a + 1) ( a 2 − a + 1)
−
136
=
a2 − x
ax − a − a 2 + x
=
a2 − x
a ( x − a) + ( x − a)
=
a2 − x
( x − a )( a + 1)
1
a2 − x
=
( a  −1)
a − a +1 x − a
− x + a = a 4 − a 3 + a 2 − a 2 x + ax − x
2
a ( a − 1) x = a 3 ( a − 1) + a ( a − 1)
(
)
a ( a − 1) x = a ( a − 1) a 2 + 1
x = a +1
2
( a  0, 1)
Forma 3
Factoricemos las expresiones
2
a 3 − 1 a ( x − 1) + a − x
=
a 3 + 1 a ( x − 1) − a 2 + x
( a − 1) ( a 2 + a + 1) ax − a + a 2 − x
=
( a + 1) ( a 2 − a + 1) ax − a − a 2 + x
( a − 1) ( a 2 + a + 1) a ( x + a ) − ( x + a )
=
( a + 1) ( a 2 − a + 1) a ( x − a ) + ( x − a )
( a − 1) ( a 2 + a + 1) ( x + a )( a − 1)
=
( a + 1) ( a 2 − a + 1) ( x − a )( a + 1)
a2 + a + 1 x + a
=
a2 − a + 1 x − a
a 2 − a + 1 + 2 a x − a + 2a
=
x−a
a2 − a + 1
( a  1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
1+
137
2a
2a
= 1+
x−a
a − a +1
2a
2a
=
a2 − a + 1 x − a
1
1
=
2
a − a +1 x − a
x − a = a2 − a + 1
2
( a  0)
x = a2 + 1
112. Resolver
x + x − 4a
x − x − 4a
=a
Forma 1
x + x − 4 a = a x − a x − 4a
x − 4 a + a x − 4a = a x − x
x − 4a (1 + a ) = x ( a − 1)
Al elevar al cuadrado
( x − 4a )(1 + a ) = x ( a − 1)
2
x − 4a  a − 1 
=

x
1+ a 
2
4a  a − 1 
=

x 1+ a 
2
1−
( )
2
( )
( )
4a
 a −1 
= 1− 

x
1+ a 
4a
x=
2
 a −1 
1− 

1+ a 
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
x=
x=
138
4a
(1 + a ) − ( a − 1)
2
(1 + a )
2
4a (1 + a )
2
2
4a
x = (1 + a )
2
Forma 2
A partir de ( ) :
( x − 4a ) (1 + 2a + a 2 ) = x ( a 2 − 2a + 1)
x + 2ax + a 2 x − 4a − 8a 2 − 4a 3 = a 2 x − 2ax + x
4ax = 4a 3 + 8a 2 + 4a
x = a 2 + 2a + 1
x = ( a + 1)
2
Forma 3
Por propiedad de proporciones
x + x − 4a
x − x − 4a
x + x − 4a +  x − x − 4a 
x − x − 4a −  x + x − 4a 
2 x
−2 x − 4a
−
Al elevar al cuadrado:
x
x − 4a
=
a
1
=
a +1
1− a
=
a +1
1− a
=
a +1
1− a
Conceptos fundamentales del Álgebra
139
x
 a +1
=

x − 4a  1 − a 
2
x − 4a  1 − a 
=

x
 a +1
2
4a  1 − a 
1−
=

x  a +1
2
4a  a − 1 
=

x  a +1
2
1−
Este último resultado coincide con ( )  x = (1 + a ) .
2
Forma 4
Reescribamos la expresión
Conceptos fundamentales del Álgebra
140
x + x − 4a
x − x − 4a
x − x − 4a + 2 x − 4a
x − x − 4a
1+
2 x − 4a
x − x − 4a
2 x − 4a
x − x − 4a
x − x − 4a
2 x − 4a
x
2 x − 4a
−
x − 4a
2 x − 4a
x
2 x − 4a
x
2 x − 4a
x
x − 4a
=a
=a
=a
= a −1
=
1
a −1
=
1
a −1
=
1
1
+
a −1 2
=
2 + a −1
2 ( a − 1)
=
a +1
a −1
Al elevar al cuadrado
x
 a +1
=

x − 4a  a − 1 
2
x − 4a  a − 1 
=

x
 a +1
2
Este resultado coincide con (  )  x = (1 + a ) .
2
113. Un profesor desea premiar a sus alumnos con vales. Si quisiera entregar
5 vales a cada uno, le faltarían 3 vales. Si le diera 4 vales a cada uno, le
sobrarían 7 vales. Encuentre el número de vales que posee el profesor.
Conceptos fundamentales del Álgebra
141
Forma 1
Sea x el número de alumnos.
En el primer caso el profesor repartiría 5x − 3 vales y en el segundo caso,
4x + 7. Como ambos números son iguales:
5x − 3 = 4 x + 7
x = 10
Por lo tanto, el profesor posee 5 (10 ) − 3 = 47 vales.
Forma 2
En un caso, reparte 4 vales a cada uno y le sobran 7 vales.
Si decidiera repartir 5 vales a cada alumno, es decir 1 vale adicional por
alumno, debería “juntar” los 7 vales sobrantes con los 3 vales que no posee.
Es decir, debería tener 7 + 3 = 10 vales adicionales, de donde se deduce que
son 10 1 = 10 alumnos.
El número de vales que posee el profesor es 4 10 + 7 = 47 vales.
114. En la capilla de una escuela los alumnos están agrupados en bancas de 9
asientos. Si se les ubica en bancas de 8 asientos, ocuparán 2 bancas más.
¿Cuántos alumnos están presentes?
Forma 1
Sea x el número de bancas de 9 asientos ocupadas por los alumnos.
El total de alumnos será 9x.
Si las bancas fueran de 8 asientos, ocuparían x + 2 bancas.
El total de alumnos será 8 ( x + 2 ) .
Entonces:
9x = 8 ( x + 2)
9 x = 8 x + 16
x = 16
Conceptos fundamentales del Álgebra
142
Por lo tanto, el número de alumnos es 9 (16 ) = 144.
Forma 2
Asumamos que los alumnos están sentados en bancas de 9 asientos cada una.
Si se debieran sentar en bancas de 8 asientos, habría que pedirle a un alumno
de cada banca que se reagrupe en las dos bancas de 8 asientos. Esos
2 8 = 16 asientos corresponderán a 16 alumnos excedentes de las bancas de
9 asientos. Entonces hubo 16 filas de 9 bancas ocupadas inicialmente.
Por lo tanto, son 16  9 = 144 alumnos.
115. Alberto dictó 35 horas de clase más que Beatriz y 50 horas más que
César. Si ellos recibieron 15, 16 y 12 pesos por hora, respectivamente,
¿cuánto recibió Alberto en total si entre los tres recibieron 2,925 pesos?
Forma 1
A partir del siguiente cuadro:
Alberto
Beatriz
César
Nº de horas
x + 35
x
x −15
Pago por hora
15
16
12
Tenemos
15 ( x + 35 ) + 16 ( x ) + 12 ( x − 15 ) = 2,925
15 x + 525 + 16 x + 12 x − 180 = 2,925
43x = 2,580
x = 60
Alberto
trabajó
60 + 35 = 95
95 (15 ) = 1, 425 pesos.
Forma 2
horas
a
15 pesos hora
y
recibió
Conceptos fundamentales del Álgebra
143
Supongamos que César trabaja 0 horas, Alberto trabaja 50 horas y Beatriz, 15
horas.
En total recibirían 0 12 + 50 15 +1516 = 0 + 750 + 240 = 990 pesos.
Como recibieron 2,925 pesos, hay una diferencia total de
DT = 2,925 − 990 = 1,935 pesos.
Por cada hora adicional que trabaje César, Alberto y Beatriz trabajarán una
hora adicional cada uno.
Por cada hora adicional que trabaja cada uno de ellos, recibirían
DU = 12 +15 +16 = 43 pesos adicionales.
De donde, el número de horas adicionales que trabajará cada uno de ellos
DT 1,935
será
=
= 45 horas.
DU
43
Alberto trabajó 50 + 45 = 95 horas a 15 pesos hora y recibió
95 (15 ) = 1, 425 pesos.
116. Una persona compra 10 docenas de libros y recibe uno de regalo por
cada 2 docenas que compra. Vende las 2 5 partes de ellos ganando la tercera
parte del costo en cada libro y luego vende el resto perdiendo la tercera parte
del costo en cada libro. Si al final de la venta tiene una pérdida neta de S/.70,
¿cuánto cuesta cada libro?
Compró 10 docenas que equivalen a 120 libros.
Recibe
10
= 5 libros adicionales de regalo.
2
En total, recibió 120 + 5 = 125 libros.
Vende
2
125 = 50 libros.
5
Si C es el costo del libro, vende cada uno en C +
Recaudación 1: 50 
4C 200C
=
.
3
3
C 4
= C.
3 3
Conceptos fundamentales del Álgebra
144
Vende el resto, 125 − 50 = 75 libros a C −
Recaudación 2: 75 
C 2C
cada uno.
=
3
3
2C
= 50C.
3
Inversión o costo total: 120C.
Utilidad: Recaudación 1 + Recaudación 2 − Costo = −70
200C
+ 50C − 120C = −70
3
200C + 150C − 360C = −210
10C = 210
C = 21
Cada libro costó 21 soles.
117. Leonor es 5 años mayor de lo que dice ser. Ella dice que es 12 años más
joven que su esposo. Su esposo, hombre veraz, dice que ella tenía tres cuartos
de la edad de él cuando se casaron hace 20 años. ¿Qué edades tienen?
Forma 1
Edad actual de Leonor (según ella): x −12
Edad actual verdadera de Leonor: ( x − 12 ) + 5 = x − 7
Hace 20 años, edad del esposo: x − 20
Hace 20 años, edad de Leonor: ( x − 7 ) − 20
Entonces:
3
( x − 20 )
4
x = 48
x − 27 =
Conceptos fundamentales del Álgebra
145
El tiene 48 años y Leonor, 41 años.
Forma 2
Hace 20 años, el esposo de Leonor tenía 4k años y Leonor, 3k años.
Actualmente, el esposo tiene 4k + 20 años y Leonor, 3k + 20 años.
La diferencia verdadera de edades es 12 − 5 = 7 años.
Entonces:
4k + 20 = 3k + 20 + 7
k =7
Las edades actuales son 4k + 20 = 28 + 20 = 48 años, el esposo y Leonor,
3k + 20 = 21 + 20 = 41 años.
118. Tres hermanos tienen 6, 20 y 30 años. ¿Dentro de cuántos años la suma
de las edades de los dos más jóvenes será igual a la edad del mayor?
Forma 1
Las edades de los hermanos dentro de x años serán 6 + x, 20 + x y 30 + x.
Se debe cumplir que
( 6 + x ) + ( 20 + x ) = ( 30 + x )
26 + 2 x = 30 + x
x=4
Dentro de 4 años.
Forma 2
La suma de las edades de los dos hermanos más jóvenes es 26 y el mayor
tiene 30 años. Como se diferencian en 30 − 26 = 4 años y cada año que
transcurra la suma de las edades de los dos más jóvenes aumenta en
1 + 1 = 2 años y la edad del mayor aumenta en 1 año, entonces la diferencia se
acorta en 2 − 1 = 1 año. Por lo tanto, deben transcurrir 4 1 = 4 años.
Conceptos fundamentales del Álgebra
146
119. Un envase de cerveza y su etiqueta cuestan 30 pesos. ¿Cuánto cuesta el
envase y cuánto la etiqueta si aquel cuesta 22 pesos más que esta?
Forma 1
Sea x el costo del envase y 30 − x, el costo de la etiqueta.
Según el dato:
x − ( 30 − x ) = 22
2 x − 30 = 22
2 x = 52
x = 26
De manera que el envase cuesta 26 pesos y la etiqueta, 4 pesos.
Forma 2
Supongamos que tanto el envase como la etiqueta cuestan 30 2 = 15 pesos.
Para que el costo total se mantenga en 30 pesos, por cada peso de más que
cuesta el envase, la etiqueta deberá costar un peso menos. De este modo, por
cada peso que se aumente y que se disminuya la diferencia entre los costos
será de 2 pesos.
Si se pretende que la diferencia entre los costos sea 22 pesos, habrá que variar
los costos supuestos en 22 2 = 11 pesos.
Entonces:
costo del envase
= 15 + 11 = 26 pesos
costo de la etiqueta = 15 − 11 = 4 pesos
Forma 3
Para que se cumpla que el envase cueste 22 pesos más que la etiqueta,
asumamos que el envase cuesta 22 pesos y la etiqueta, 0 pesos.
Como la suma supuesta es 22 + 0 = 22 pesos y debiera ser 30 pesos, habrá
que aumentar conjuntamente los costos en 30 − 22 = 8 pesos.
Para que la diferencia entre los costos se mantenga, habrá que aumentar los
costos, tanto del envase como el de la etiqueta en 8 2 = 4 pesos.
Según ello:
Conceptos fundamentales del Álgebra
147
costo del envase
= 22 + 4 = 26 pesos
costo de la etiqueta = 0 + 4 = 4 pesos
120. Dos negociantes de vinos ingresan por la frontera portando uno de ellos
64 botellas de vino y el otro, 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar
los derechos de aduana, el primero paga con 5 botellas de vino y S/.40 más, y
el otro, con 2 botellas de vino y recibe S/.40 de vuelto. ¿A cómo deberán
vender cada botella de vino para ganar un 20%?
Sea C el costo de cada botella antes de la frontera.
El que introdujo 64 botellas, entregó 5C + 40 soles como derecho de aduana.
El que ingresó 20 botellas, dio 2C − 40 soles como derecho de aduana.
Por cada botella, el derecho de aduana fue:
5C + 40 2C − 40
=
64
20
De donde:
100C + 800 = 128C − 2,560
28C = 3,360
C = 120 soles
En total, el costo de cada botella más los derechos de aduana por botella fue
5C + 40
640
C+
= 120 +
= 130 soles.
64
64
Si desean ganar el 20%, deberán vender cada botella en 1.2 130 = 156 soles.
121. La promoción de cierta empresa consiste en que por la compra de n
docenas de cuadernos, se regalan r unidades. Si la docena cuesta a soles y
se vende cada artículo en b soles, ¿cuántas docenas se compraron si se ganó
c soles en total?
Conceptos fundamentales del Álgebra
148
Sea x el número de docenas de cuadernos comprados.
Para calcular el número u de unidades obtenidas de regalo:
n docenas ---------- r unidades
x docenas ---------- u unidades
De donde u =
rx
unidades.
n
El total de cuadernos recibidos es 12 x +
rx
unidades.
n
rx 

Ingreso: b 12 x +  .
n

Costo: a ( x ) .
rx 

Utilidad: C = b 12 x +  − ax.
n

Entonces:
C = 12bx +
brx
− ax
n
C
br
12b + − a
n
Cn
x=
.
12bn + br − an
x=
122. Un padre de familia repartió 3,900 pesos entre sus tres hijos. Si el
primero recibió el triple de lo que recibió el segundo, y este la mitad de lo
que le correspondió al tercero, hallar lo que recibió cada uno de ellos.
Forma 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
149
Sea x pesos lo que recibió el primer hijo, x 3 pesos lo que recibió el
segundo y 2 x 3 pesos lo que recibió el tercero.
Según el enunciado:
x 2x
x+ +
= 3,900
3 3
2 x = 3,900
x = 1,950
Entonces, el primero recibió 1,950 pesos, el segundo, x 3 = 650 pesos y el
tercero, 2 x 3 = 1,300 pesos.
Forma 2
Asumamos que el segundo hijo recibe 10 pesos.
El primer hijo habrá recibido 310 = 30 pesos y el tercero, 2 10 = 20
pesos.
Como 30 +10 + 20 = 60 pesos, por cada 60 pesos que se hayan repartido, el
1
1
1
primero recibió  60, el segundo recibió  60 y el tercero,  60 :
2
6
3
Cuota del primer hijo
=
Cuota del segundo hijo =
Cuota del tercer hijo
=
1
 3,900 = 1,950
2
1
 3,900 = 650
6
1
 3,900 = 1,300
3
123. A nació 6 años antes que B. En 1970, la suma de las edades era la cuarta
parte de la suma de las edades en 1985. ¿En qué año será el doble de la
correspondiente a 1985?
Forma 1
Según los datos, A tiene 6 años más que B.
Sean x + 6 y x las edades de A y B, respectivamente, en el año 1970.
Cuando transcurran 15 años (en 1985) sus edades serán x + 6 +15 = x + 21, y
x + 15.
De acuerdo con el enunciado del problema:
Conceptos fundamentales del Álgebra
150
1
( x + 21) + ( x + 15 ) 
4
4 ( 2 x + 6 ) = 2 x + 36
( x + 6) + x =
8 x + 24 = 2 x + 36
6 x = 12
x=2
En 1970, A tenía 2 + 6 = 8 años y B, 2 años.
En 1985, A tenía 8 +15 = 23 años y B, 2 +15 = 17 años.
Si deben transcurrir t años para que la suma de las edades sea el doble de la
correspondiente a 1985, tendremos:
( 23 + t ) + (17 + t ) = 2  23 + 17
40 + 2t = 2  40
40 + 2t = 80
2t = 40
t = 20
El año solicitado será 1985 + 20 = 2005.
Forma 2
A es 6 años mayor que B.
Al transcurrir 15 años para ambos (1985 − 1970 ) , 2 15 = 30 años equivaldrá
al triple ( 4 − 1) de la suma de las edades que tenían en el año 1970. Significa
que en el año 1970, las edades sumaban 30 3 = 10 años. Como A es 6 años
mayor que B, 10 − 6 = 4 equivale al doble de la edad de B en 1970. B tenía 2
años y A, 8 años en 1970. En 1985, A tendrá 23 años y B, 17 años. Sus
edades suman 40 años. Para que en un futuro sus edades sumen 40  2 = 80
años, deberán transcurrir 40 2 = 20 años para cada uno. Será en el año
1985 + 20 = 2005.
Conceptos fundamentales del Álgebra
151
124. Un transportista pidió 12 dólares por el transporte de 7 m3 de piedra y
otro, 9 dólares por 5 m3 . Resultando caros y desiguales los precios, se les
ofreció un aumento igual para los dos en el importe total y en los volúmenes
de piedra, siendo el número de dólares aumentados igual al de m3
aumentados. Aceptada la condición, cada transportista cobró la misma
cantidad por m3 . ¿Qué cantidad fue esta?
Sea x tanto el aumento en el importe como el aumento en la cantidad de
piedras de cada transportista.
Entonces, lo que cobraron por cada m3 de piedra fue
12 + x
9+ x
y
.
7+ x
5+ x
De donde
12 + x 9 + x
=
7+ x 5+ x
60 + 17 x + x 2 = 63 + 16 x + x 2
x=3
Cada transportista cobró
12 + 3
dólares
= 1.5
.
7+3
m3
125. Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año
gastó 300 soles y aumentó a lo que quedaba un sexto de este resto. Al año
siguiente ganó 500 soles y perdió un sexto de la cantidad acumulada. El
tercer año ganó 600 soles, más un cuarto de lo acumulado. Si el capital
resultante es 2,000 soles, ¿cuál fue el capital inicial?
Forma 1
Sea x el capital inicial expresado en soles.
El primer año terminó con
Conceptos fundamentales del Álgebra
152
( x − 300) + ( x − 300) = 1 +  ( x − 300 ) = ( x − 300 ) =
1
6

1
6
7
6
7
x − 350
6
El segundo año terminó con
 1  7
 57
 35
x + 125
1 −  x − 350 + 500  =  x + 150  =
 6  6
 66
 36
El tercer año terminó con
 1  35
 5  35

1 +  x + 125 + 600  =  x + 725 
 4  36
 4  36

De donde
5  35

 x + 725  = 2, 000
4  36

35
x + 725 = 1, 600
36
35
x = 875
36
36  875
x=
35
x = 900 soles
Forma 2
Si el tercer año terminó con 2,000 soles, habiendo agregado
1
a lo que le
4
5
q1  q1 = 1,600.
4
Entonces, antes de haber ganado 600 soles tenía q2 = 1,600 − 600 = 1,000
soles.
quedaba ( q1 ) : 2,000  
Conceptos fundamentales del Álgebra
Si terminó el segundo año con 1,000 soles, habiendo perdido
153
1
de lo que
6
5
q3  q3 = 1, 200.
6
Entonces, antes de haber ganado 500 soles tenía q4 = 1, 200 − 500 = 700
soles.
1
Si terminó el primer año con 700 soles, habiendo aumentado
a lo que le
6
7
quedaba ( q5 ) : 700 = q5  q5 = 600.
6
Antes de haber gastado 300 soles, tuvo un capital inicial de
C = 600 + 300 = 900 soles.
tenía ( q3 ) ; 1, 000  
Forma 3
Sea x3 la cantidad con la que empezó el tercer año:
5
( x3 + 600 )
4
x3 = 1, 000
2, 000 =
Sea x2 la cantidad con la que empezó el segundo año:
5
( x2 + 500 )
6
x2 = 700
1,000 =
Sea x1 la cantidad inicial:
7
( x1 − 300 )
6
x1 = 900 soles
700 =
126. Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año
gastó 1,000 soles y aumentó a lo que le quedaba un tercio de este resto. El
Conceptos fundamentales del Álgebra
154
segundo y tercer años repitió estas operaciones. Si el capital resultante es el
doble del inicial, ¿cuál fue este?
Forma 1
Sea C soles el capital inicial
Al gastar S/.1,000, le quedó C −1,000 soles.
4
( C − 1,000 ) .
3
Si estas operaciones se repiten dos veces más, le quedará:
Al aumentar C −1000 en su tercera parte, le quedó
4 4 4
 4  4  4C 7, 000 


−
− 1, 000 
  ( C − 1, 000 ) − 1, 000  − 1, 000  =  

3 3 3
3 

 3 3  3

=
4 16C 28, 000

−
− 1, 000 

3 9
9

4 16C 37, 000 
−


3 9
9 
64C 148, 000
=
−
27
27
=
De acuerdo con el enunciado:
64C 148, 000
−
= 2C
27
27
64C − 148, 000 = 54C
10C = 148, 000
C = 14,800
Forma 2
Sea 2C el capital resultante.
En el tercer año, antes de aumentar el resto en su tercera parte, tenía
x 4
3  4x 
3
3C
porque x + = x    = x.
( 2C ) =
3 3
4 3 
4
2
3C
En el tercer año, antes de gastar S/.1,000 tenía
+ 1, 000.
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
155
Si se repitieron estas operaciones en el segundo y en el primer año, tuvo al
comienzo:
3  3  3C

3  9C


+ 1, 000 + 1, 000  + 1, 000 = 
+ 750 + 1, 000  + 1, 000
 
4 4  2
4 8



3  9C

+ 1, 750  + 1, 000

4 8

27C 9, 250
=
+
32
4
=
Según el enunciado:
27C 9, 250
+
=C
32
4
Por 32:
27C + 74, 000 = 32C
5C = 74, 000
C = 14,800
127. Un tonel contiene agua y alcohol con una concentración de 90%. Otro
tonel contiene agua y alcohol con una concentración de 80%. Se sacan ciertas
cantidades de cada tonel de modo que se obtienen 50 litros de agua y alcohol
con una concentración de 84%. ¿Cuántos litros se sacaron del primer tonel?
Forma 1
Sea x litros la cantidad que se sacó del tonel I.
Como la concentración de alcohol es de 90%, saldrán 0.9x litros de alcohol.
Para conseguir 50 litros de mezcla, debemos sacar 50 − x litros del tonel II.
Conceptos fundamentales del Álgebra
156
Como la concentración de alcohol es de 80%, contendrá 0.8 ( 50 − x ) litros de
alcohol.
Si la mezcla es de 50 litros y la concentración es de 84%, contendrá
0.84  50 = 42 litros de alcohol.
Entonces:
0.9 x + 0.8 ( 50 − x ) = 42
0.1x = 42 − 40
x = 20 litros
Forma 2
Las cantidades que se deberán retirar de los toneles I y II serán las siguientes
(considérese que deben ser 0.84 ( 50 ) = 42 litros de alcohol y 50 − 42 = 8
litros de agua en total)
(1)
Agua
( 9 ) Alcohol
( I)
x litros
(1)
9x litros
( 4 ) Alcohol
Agua
8 − x litros
4 (8 − x ) litros
( II )
En ( I )
90% =
En ( II )
9
alcohol
=
 9 partes de alcohol + 1 parte de agua
10 alcohol + agua
Conceptos fundamentales del Álgebra
80% =
157
8 4
alcohol
= =
 4 partes de alcohol + 1 parte de agua
10 5 alcohol + agua
Como debe haber 42 litros de alcohol en la mezcla
9 x + 4 ( 8 − x ) = 42
5 x = 10
x=2
Del tonel I se deberán retirar x + 9x = 10x litros en total. Es decir
10 ( 2 ) = 20 litros.
Forma 3
Si se quieren 42 litros de alcohol en la mezcla, deberán retirarse las siguientes
cantidades de los toneles I y II:
Agua
x 9 litros
Alcohol
x litros
( I)
Para obtener 8 litros de agua en la mezcla:
Agua
42 − x
litros
4
Alcohol
42 − x litros
( II )
Conceptos fundamentales del Álgebra
158
x 42 − x
+
=8
9
4
 x 42 − x 
36  +
 = 36 ( 8 )
4 
9
4 x + 378 − 9 x = 288
5 x = 90
x = 18
Del tonel I se deberán retirar x +
x 10
10
= x litros en total. O sea,
(18) = 20
9 9
9
litros.
Forma 4
Concentración:
II: 80
Dif. = 4
84
Dif. = 6
I: 90
Del tonel II se deberán retirar 6x litros y del tonel I, 4x litros.
Entonces:
6 x + 4 x = 50
10 x = 50
x=5
Del tonel I se deberán retirar 4 ( 5 ) = 20 litros.
128. ¿Cuántos litros de agua debo añadir a 60 litros de una mezcla de agua y
alcohol al 60% para que la concentración de alcohol se reduzca al 40%?
Conceptos fundamentales del Álgebra
159
Forma 1
La mezcla original contiene 60 litros, de los cuales 60% 60 = 36 litros son
de alcohol.
Si se añaden x litros de agua a la mezcla original, se mantendrán los 36 litros
de alcohol en una mezcla final de 60 + x litros en total.
Si la concentración debe ser del 40%:
36
= 0.4
60 + x
36 = 24 + 0.4 x
0.4 x = 12
x = 30 litros
Forma 2
Inicialmente, en 60 litros de mezcla se tienen 36 litros de alcohol.
Si se agregan x litros de agua, el alcohol se diluye, la capacidad total será
60 + x litros y la concentración disminuye a 40%. Los 36 litros de alcohol
constituirán el 40% de la capacidad final. Es decir:
36 litros < > 40% de la capacidad final
T litros < > 100% de la capacidad final
Entonces T = 90 litros. Esto significa que debieron añadirse
x = T − 60 = 90 − 60 = 30 litros de agua
129. En una familia, el padre gana 120 pesos por hora y la madre recibe 110
pesos por hora. Al cabo de 25 días de trabajo, el padre recibió 14,500 pesos
más que la madre, dado que laboró 4 horas más por día que ella. Determinar
cuántas horas trabajó en total el padre.
Forma 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
160
Sea x el número de horas al día que trabaja el padre y x − 4, la madre.
Al cabo de 25 días, el padre ganará 25 (120x ) y la madre, 25 110 ( x − 4) .
De donde:
25 (120 x ) − 25 (110 )( x − 4 ) = 14,500
3, 000 x − 2, 750 x + 11, 000 = 14,500
250 x = 3,500
x = 14
El padre trabajó en total 25 (14 ) = 350 horas.
Forma 2
Calculemos cuánto más recibió el padre que la madre por cada día trabajado:
14,500  25 = 580 pesos.
Esa diferencia se explica porque el padre trabajó 4 horas más por día que la
madre y porque percibe 10 pesos más por hora que ella. Si le disminuimos a
los 580 pesos el importe de 4 horas de trabajo del padre ( 4 120 = 480
pesos), obtendríamos 580 − 480 = 100 pesos que corresponden a
100 10 = 10 horas de trabajo comunes del padre y de la madre.
Por lo tanto, el padre trabajó 10 + 4 = 14 horas al día, y 2514 = 350 horas
en total.
130. La velocidad de grabación en formato VHS de cierta videograbadora es
variable y el tiempo máximo de grabación de la cinta T-120 es 2 horas (SP),
4 horas (LP) o 6 horas (EP). Si los modos EP y SP serán utilizados para
grabar íntegramente una película de 2 horas 40 minutos de duración en una
cinta completa, ¿cuánto tiempo después de iniciada la película debe hacerse
el cambio de EP a SP?
Forma 1
En una hora de grabación en el modo EP se puede grabar 1/6 de la cinta y en
el modo SP, 1/2 cinta, puesto que los tiempos máximos de grabación son 6 y
2 horas, respectivamente.
Conceptos fundamentales del Álgebra
161
Consideremos que de las 2 horas 40 minutos o 2 23 horas se graban t horas
en el modo EP y ( 2 23 − t ) horas en el modo SP. Entonces:
1
1
t   + ( 2 23 − t )   = 1
6
2
Por 6:
t + ( 8 − 3t ) = 6
2t = 2
t =1
Se debe pasar a SP al cabo de 1 hora de grabación en EP.
Forma 2
Asumamos que las 2 horas 40 minutos de grabación se realizaron en el modo
EP. Como cada hora de grabación en este modo se avanza la sexta parte de la
1
cinta, en las 2 horas 40 minutos se habrá avanzado 2 23  de la cinta, es
6
8 1 8 4
decir  = = de la cinta. Faltaría grabarse 5 9 de la cinta. Como por
3 6 18 9
cada hora de grabación en el modo SP se avanza la mitad de la cinta, si se
1 1 1
grabase en este modo en lugar del modo EP la cinta avanzaría − =
2 6 3
más.
El número de horas de grabación en el modo SP se calcula dividiendo lo que
falta grabarse en la cinta entre lo que avanza adicionalmente cada hora:
# horas en el modo SP =
59 5
= = 1 hora 40
13 3
Entonces, el número de horas en el modo EP será
2 h 40 − 1 h 40 = 1 hora
Conceptos fundamentales del Álgebra
162
131. La oferta semanal de cierta fábrica consiste en obsequiar un pantalón por
cada docena que le compren y una camisa por cada 8 camisas que le
compren. Un comerciante pagó S/.52,896 y llevó en total 734 pantalones y
848 camisas. Determinar los precios unitarios si se sabe que el del pantalón
excede en S/.40 al de la camisa.
Forma 1
Sabemos que por cada 12 pantalones pagados, recibe 13 pantalones.
Como 734 = 13  56 + 6, recibió 56 pantalones de regalo y pagó solamente
por 734 − 56 = 678 pantalones.
Además, por cada 8 camisas pagadas, recibe 9 camisas.
Como 848 = 9  94 + 2, recibió 94 camisas de regalo y pagó solamente por
848 − 94 = 754 camisas.
Si x es el precio de cada camisa y x + 40, el de cada pantalón, tendremos:
754 ( x ) + 678 ( x + 40 ) = 52,896
754 x + 678 x + 27,120 = 52,896
1, 432 x = 25, 776
x = 18
Por lo tanto, cada camisa costó S/.18 y cada pantalón, S/.58.
Forma 2
Se pagó S/.52,896 por 754 camisas y por 678 pantalones.
Como cada pantalón costó S/.40 más que cada camisa, consideremos que se
rebaje el precio de cada pantalón en S/.40 para que cueste igual que una
camisa. El monto total pagado disminuiría en 678  40 = 27,120 soles, es
decir habría pagado 52,896 − 27,120 = 25,776 soles por 754 + 678 = 1, 432
prendas al precio de una camisa, cada una.
Entonces, cada camisa costó 25,776 1, 432 = 18 soles, y cada pantalón, 58
soles.
132. Se cuenta con 96 cajas de vino de 1, 2 y 4 litros. El número de litros de
vino contenido en las cajas de 2 litros es el mismo que el contenido en las
cajas de 4 litros. Averiguar si el número de litros de vino contenido en las
Conceptos fundamentales del Álgebra
163
cajas de 1 litro excede a la tercera parte de los 156 litros que corresponde a la
capacidad total.
Forma 1
Si el número de litros contenido en las cajas de 2 litros es el mismo que el
contenido en las cajas de 4 litros, se deduce que hay doble número de cajas
de 2 litros que de 4 litros.
Consideremos:
Capacidad por caja (litros)
1
2
4
Número de cajas
96 − 3x
2x
x
96
La capacidad total será:
1( 96 − 3x ) + 2 ( 2 x ) + 4 x = 156
96 − 3x + 4 x + 4 x = 156
5 x = 60
x = 12
Habrá 96 − 3 (12 ) = 60 cajas de 1 litro con capacidad total de 60 litros que sí
exceden a
1
(156) = 52 litros.
3
Forma 2
Consideremos dos presentaciones de cajas de vino:
Presentación
A
B
Contenido
1 caja  1 litro = 1 lt.
1 caja  4 litros + 2 cajas  2 litros = 8
lts.
Total de
cajas
1
1+ 2 = 3
La presentación B asegura que haya doble número de cajas de 2 litros que de
4 litros.
Conceptos fundamentales del Álgebra
164
Si suponemos que los 156 litros corresponden a la presentación A, tendremos
156 cajas de 1 litro. Sin embargo, el número de cajas debiera ser 96 y habrá
una diferencia total DT = 156 − 96 = 60 cajas que debería disminuirse. Para
mantener la capacidad total, debemos cambiar 8 presentaciones A por 1
presentación B. El número de cajas disminuiría en DU = ( 8 1) − (1 3) = 5
cajas por cada cambio que se haga de 8 presentaciones A por una
presentación B.
Entonces, el número de cambios que debería hacerse es DT DU = 60 5 = 12.
Habrá 156 − (12  8) = 60 cajas de vino de la presentación de 1 litro con
capacidad total de 60 litros que sí exceden a lo dado.
Forma 3
A partir del cuadro
Presentación
A
B
Contenido
1 caja  1 litro = 1 lt.
1 caja  4 litros + 2 cajas  2 litros = 8
lts.
Total de
cajas
1
1+ 2 = 3
Asumamos que las 96 cajas son de la presentación B, habría 96 3 = 32
presentaciones B con un total de 32  8 = 256 litros que exceden a la
capacidad total de 156 litros en DT = 256 −156 = 100 litros.
Para que no varíe el total de cajas, cambiemos una presentación B por 3
presentaciones A. El número de litros que disminuirá será
(1 8) − ( 3 1) = 5 litros. Entonces, el número de cambios que deberá hacerse
será DT DU = 100 5 = 20. Como en cada cambio aparecen 3 presentaciones
A, habrá 20  3 = 60 cajas de vino en la presentación de 1 litro con capacidad
1
total de 60 litros que sí exceden a 156 = 52 litros.
3
133. Un tonel de 200 litros de capacidad está lleno de vino A de 14 pesos el
litro y otro tonel contiene 120 litros de vino B de 12 pesos el litro. ¿Cuántos
litros deberán intercambiarse para que la diferencia en los precios de ambos
toneles sea 1,200 pesos?
Conceptos fundamentales del Álgebra
165
Forma 1
Consideremos
A
200 lt
14 pesos lt
B
120 lt
12 pesos lt
Sea x el número de litros de vino que se deberá intercambiar. Entonces
tendremos:
x lt B
x lt A
( 200 − x ) lt A
(120 − x ) lt B
El importe del primer tonel será:
= ( 200 − x )14 + ( x )12
= 2,800 − 14 x + 12 x
= 2,800 − 2 x
El importe del segundo tonel será:
= (120 − x )12 + ( x )14
= 1, 440 − 12 x + 14 x
= 1, 440 + 2 x
De donde:
2,800 − 2 x − (1, 440 + 2 x ) = 1, 200
4 x = 160
x = 40 litros
Conceptos fundamentales del Álgebra
166
Forma 2
A partir de
A
200 lt
14 pesos lt
B
120 lt
12 pesos lt
La diferencia entre los importes es 200 (14 ) − 120 (12 ) = 1,360 pesos. Como
debiera ser solamente de 1,200 pesos, hay una diferencia total de
DT = 1,360 −1, 200 = 160 pesos.
Por cada litro que se intercambie, el importe del primer tonel disminuirá en
14 − 12 = 2 pesos y el del segundo aumentará en 14 − 12 = 2 pesos. Se
producirá una diferencia unitaria de DU = 2 − ( −2 ) = 4 pesos.
De donde, el número de litros de vino que se deberá intercambiar será
DT 160
=
= 40 litros.
DU
4
134. Se adquirieron 50 paquetes promocionales de un cantante consistentes
en 5 CD y 2 DVD o 3 CD y 4 DVD. Si la diferencia entre el número de CD y
el de DVD es 78, ¿cuántos DVD se adquirieron?
Forma 1
Sean x y 50 − x los números de paquetes promocionales de 5 CD + 2 DVD y
de 3 CD + 4 DVD, respectivamente.
El total de CD será 5 x + 3 ( 50 − x ) = 2 x + 150 y el de DVD,
2 x + 4 ( 50 − x ) = 200 − 2 x.
Como difieren en 78, tendremos:
( 2 x + 150 ) − ( 200 − 2 x ) = 78
4 x = 128
x = 32
El total de DVD comprados será 200 − 2 ( 32 ) = 136.
Conceptos fundamentales del Álgebra
167
Forma 2
Supongamos que los 50 paquetes promocionales consisten en 5 CD y 2 DVD,
cada uno. Como en cada paquete hay 3 CD más que DVD, en total habrá
3 50 = 150 CD más que DVD.
Como la diferencia real es solamente de 78, habrá que disminuirla en
DT = 150 − 78 = 72.
Para ello, habrá que intercambiar paquetes de 5 CD + 2 DVD por paquetes de
3 CD + 4 DVD.
En los primeros paquetes hay 3 CD más que DVD y en los segundos, 1 CD
menos que DVD. Entonces en cada cambio, la diferencia entre CD y DVD
disminuye en DU = 3 − ( −1) = 4.
El total de cambios será DT DU = 72 4 = 18, con lo cual el número de los
primeros paquetes será 50 −18 = 32 y el de los segundos, 18.
El total de DVD comprados será ( 32  2 ) + (18  4 ) = 136.
135. Un padre de familia propone entregarle 240 pesos de propina a su hijo
por resolver 20 problemas o 480 pesos por resolver 35 problemas. ¿Cuántos
problemas resolvió el hijo si recibió 336 pesos?
Forma 1
Sea C la cantidad fija que el padre entrega al hijo por resolver problemas y
sea P la cantidad adicional que le entrega por cada problema que resuelva.
Entonces:
 240 = C + 20 P

 480 = C + 35P
Restándolas:
240 = 15 P
P = 16  C = 240 − 20 (16 ) = −80
Si x es el número de problemas que resuelve, el hijo recibirá −80 +16x.
Como el hijo recibió 336 pesos:
Conceptos fundamentales del Álgebra
168
336 = −80 + 16 x
16 x = 416
x = 26 problemas
Forma 2
Comparemos las dos situaciones presentadas.
Por 20 problemas resueltos recibe 240 pesos.
Por 35 problemas resueltos recibe 480 pesos.
Se desprende que por 35 − 20 = 15 problemas resueltos adicionales, recibe
480 − 240 = 240 pesos más. De donde, por cada problema resuelto adicional
recibirá 240 15 = 16 pesos más.
Si restamos 336 − 240 = 96 pesos más recibirá por resolver 96 16 = 6
problemas adicionales a los 20 ya resueltos.
Entonces, el hijo resolvió 20 + 6 = 26 problemas.
136. 7,500 soles fueron colocados a una tasa de interés desconocida y 2,500
soles, a una tasa de interés mayor en 2 puntos porcentuales. La suma de los
intereses anuales es 500 soles. ¿A qué tasa fue colocada la segunda suma de
dinero?
Forma 1
Sean i% e ( i + 2 ) % las tasas anuales de interés a las que fueron colocados
S/.7,500 y S/.2,500, respectivamente.
El interés anual total será:
7,500i 2,500 ( i + 2 )
+
= 500
100
100
75i + 25 ( i + 2 ) = 500
75i + 25i + 50 = 500
100i = 450
i = 4.5
La segunda suma de dinero fue colocada al ( 4.5 + 2 ) % = 6.5% anual.
Forma 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
169
Supongamos que S/7,500 fueron colocados al 2% anual y S/.2,500, al
( 2 + 2 ) % = 4% anual.
El interés anual total supuesto será:
2
4
 7,500 +
 2,500
100
100
= 150 + 100
=
= 250 soles
La diferencia entre el interés real y el supuesto será:
DT = 500 − 250 = 250 soles
Por cada punto porcentual (1% ) en que se incrementen las tasas supuestas
del 2% y 4%, el interés anual aumentará en:
DU =
1
1
 7,500 +
 2,500 = 100 soles
100
100
Entonces, las tasas supuestas deberán aumentar en:
DT 250
=
= 2.5 puntos porcentuales
DU 100
De donde, la segunda
4% + 2.5% = 6.5% anual.
suma
de
dinero
fue
colocada
al
137. Se compraron 444 libros de aritmética, geometría y lenguaje por $8,658.
Si los precios unitarios fueron $22, $18 y $15, respectivamente, y por cada 3
libros de aritmética se compraron 2 libros de geometría, ¿cuántos libros de
lenguaje se compraron?
Forma 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
170
Sean 3k y 2k los números de libros comprados de aritmética y geometría,
respectivamente. De lenguaje debieron comprarse 444 − ( 3k + 2k ) = 444 − 5k
libros.
El gasto total fue:
3k ( 22 ) + 2k (18 ) + ( 444 − 5k )(15 ) = 8, 658
66k + 36k + 6, 660 − 75k = 8, 658
27k = 1,998
k = 74
El número de libros de lenguaje comprados fue
444 − 5 ( 74 ) = 444 − 370 = 74.
Forma 2
Consideremos libros de lenguaje a $15 cada uno y paquetes de libros (A – G)
formados por 3 de aritmética y 2 de geometría, a un precio de
3 22 + 2 18 = 102 soles cada paquete.
Tendremos
Materia
L
A–G
Total
Nº de libros
1
5
444
Precio ($)
15
102
8,658
Supongamos 444 libros de L y 0 libros de A – G.
El importe total supuesto sería 444 15 = $6,660.
Existe una diferencia total en el importe total de DT = 8,658 − 6,660 = 1,998
dólares.
Si cambiamos 5 libros de L por un paquete de A – G, el número total de
libros no se alterará pero el importe aumentará en DU = 102 − ( 5 15 ) = 27
dólares.
El número de cambios que deberá efectuarse será:
DT 1,998
=
= 74
DU
27
Conceptos fundamentales del Álgebra
171
Por lo tanto, el número de libros de lenguaje comprados será
444 − ( 5  74 ) = 74.
138. Un ferrocarril recorre 280 kilómetros con 275 pasajeros. Se cobró
4942,000 pesos en total y el precio por boleto y por kilómetro es 100 pesos
en primera clase, 75 pesos en segunda y 55 pesos en tercera. Si por cada 7
pasajeros en segunda, viajan 18 en tercera, encontrar el número de pasajeros
en cada clase.
Forma 1
Sean 7 x, 18x y 275 − 25x, las cantidades de pasajeros en segunda, tercera y
primera clase, respectivamente.
La recaudación por kilómetro recorrido será
( 275 − 25 x )100 + 7 x ( 75 ) + 18 x (55 ) = 27,500 − 2,500 x + 525 x + 990 x
= 27,500 − 985 x
La recaudación total por los 280 kilómetros recorridos será
280 ( 27,500 − 985 x ) = 4942, 000
27,500 − 985 x = 17, 600
985 x = 9,850
x = 10
Entonces viajaron 275 − 25 (10 ) = 25 pasajeros en primera clase, 7 (10 ) = 70
en segunda y 18 (10 ) = 180 en tercera.
Forma 2
Calculamos la recaudación por kilómetro recorrido:
4942,000
pesos
= 17,650
280
km
Asumamos que por cada 7 pasajeros en segunda y por cada 18 pasajeros en
tercera, viajan x pasajeros en primera. La recaudación supuesta por
kilómetro recorrido será:
Conceptos fundamentales del Álgebra
172
x pasajeros 100 pesos
7 pasajeros  75 pesos
18 pasajeros  55 pesos
x + 25 pasajeros
=
=
=
100x
525
990
100x +1515 pesos
Deberán ser iguales la razón de pasajeros y la razón de recaudación:
x + 25 100 x + 1515
=
275
17, 650
Es decir:
706 ( x + 25) = 11(100 x + 1515 )
706 x + 17650 = 1100 x + 16665
394 x = 985
x = 2.5
Por cada 2.5 pasajeros en primera clase, hay 7 pasajeros en segunda clase y
18 pasajeros en tercera clase.
275
275
Número de veces =
=
= 10
2.5 + 7 + 18 27.5
Entonces viajaron 25 pasajeros en primera clase, 70 pasajeros en segunda y
180 pasajeros en tercera.
Forma 3
4942,000
= 17,650 pesos.
280
Consideremos grupos A, formados por 7 pasajeros de segunda clase y 18
pasajeros de tercera clase: 25 personas que pagan 7 ( 75) + 18 ( 55 ) = 1515
Recaudación por kilómetro recorrido:
pesos por kilómetro recorrido.
275
= 11 grupos A.
25
Los 11 grupos A pagarían un total de 111,515 = 16,665 pesos.
Habría que cubrir una diferencia de 17,650 −16,665 = 985 pesos = DT.
Si deben viajar 275 personas, consideremos
Conceptos fundamentales del Álgebra
173
Si cambiamos 1 grupo A de 25 personas por 25 personas de primera clase, se
recaudaría DU = ( 25 100 ) − 1,515 = 985 pesos más en cada cambio. El
DT 985
=
= 1.
DU 985
Significa que viajan 25 personas en primera y 11 −1 = 10 grupos A, es decir
10  7 = 70 personas en segunda y 10 18 = 180 personas en tercera clase.
número de cambios necesarios sería
139. Tres socios aportan capitales para un negocio, y obtienen al final del
mismo 6,400, 9,600 y 11,200 dólares, respectivamente, por concepto de
utilidades. Si el primero hubiera aportado 20,000 dólares más y el tercero,
10,000 dólares menos, la utilidad se hubiera incrementado en 800 dólares y
de esta manera, al tercero le hubieran correspondido 2,400 dólares más de
utilidad que al primero. Encontrar los capitales aportados inicialmente.
Forma 1
Las utilidades de 6,400, 9,600 y 11,200 dólares (suma = 27,200) equivalen a
4 1,600, 6 1,600 y 7 1,600. Esto significa que los aportes respectivos
están en la relación de 4, 6 y 7, respectivamente.
Analicemos dos situaciones de reparto proporcional:
U = 27, 200
4C
6C
7C
U = 27, 200 + 800
U = 28, 000
4C + 20,000
6C
7C −10,000
Conceptos fundamentales del Álgebra
174
En este segundo caso:
( 7C − 10, 000 ) k − ( 4C + 20, 000 ) k = 2, 400,
donde
k=
28, 000
( 4C + 20, 000 ) + 6C + ( 7C − 10, 000 )
k=
28, 000
17C + 10, 000
Es decir,
( 7C − 10, 000 − 4C − 20, 000 ) k = 2, 400
( 3C − 30, 000 ) k = 2, 400
k=
2, 400
3C − 30, 000
Igualándolos
28, 000
2, 400
=
17C + 10, 000 3C − 30, 000
70
6
=
17C + 10, 000 3C − 30, 000
102C + 60, 000 = 210C − 2100, 000
108C = 2160, 000
C = 20, 000
Los capitales aportados inicialmente serán 4 ( 20, 000 ) ,
7 ( 20, 000 ) , es decir, 80,000, 120,000 y 140,000 dólares.
6 ( 20, 000 ) y
Conceptos fundamentales del Álgebra
175
Forma 2
En la primera situación
→ U1 = 6, 400 

→ U 2 = 9, 600   U Total = 27, 200
C3 → U 3 = 11, 200 
CTotal = C1 + C2 + C3
C1
C2
En la segunda situación
C1 + 20, 000 → U1 = 6, 400 + U1 

C2
→ U 2 = 9, 600 + U 2   U Total = 27, 200 + 800
C3 − 10, 000 → U 3 = 11, 200 + U 3 
CTotal = C1 + C2 + C3 + 10, 000
Comparemos las dos situaciones: un aumento de 10,000 dólares en el capital
invertido supone un aumento de 800 dólares en la utilidad total, esto significa
que se obtienen 800 dólares de utilidad por cada 10,000 dólares aportados.
De la primera situación:
U! = 6, 400

U 2 = 9, 600

U 3 = 11, 200

6, 400
10, 000 = 80, 000
800
9, 600
C2 =
10, 000 = 120, 000
800
11, 200
C3 =
10, 000 = 140, 000
800
C1 =
Se comprueba que el tercer socio recibe 2,400 dólares más que el primero:
28,000
100,000
120,000
130,000
Conceptos fundamentales del Álgebra
176
U = (130, 000 − 100, 000 ) 
U = 30, 000 
28, 000
350, 000
1
125
U = 2, 400
Forma 3
Asumamos que en la segunda situación el reparto de utilidades es como sigue
28,000
Entonces:
U:
U1
9,600
U1 + 2, 400
28, 000 = U1 + 9, 600 + U1 + 2, 400
2U1 = 16, 000
U1 = 8, 000
De donde:
28,000
C:
C1

U : 8, 000
C2

9, 600
C3

10, 400
La utilidad del primer socio aumenta de 6,400 a 8,000 ante un aumento de
C 20, 000
dólar de capital
20,000 en el capital, entonces
y la
=
= 12.5
U
1, 600
dólar de utilidad
utilidad del segundo socio no varía al no haber aumento de capital.
Conceptos fundamentales del Álgebra
177
La utilidad del tercer socio disminuye de 11,200 a 10,400 dólares ante una
disminución de
10,000 dólares en el capital, entonces
C −10,000
dólar de capital
=
= 12.5
.
U
−800
dólar de utilidad
Entonces:
U! = 6, 400

C1 = 6, 400 12.5
= 80, 000
U 2 = 9, 600

C2 = 9, 600 12.5
= 120, 000
U 3 = 11, 200

C3 = 11, 200 12.5 = 140, 000
140. Un asunto fue sometido a la votación de 1,000 personas y se perdió. En
una segunda votación, se ganó el caso al cambiar de opinión 300 personas
por una diferencia de votos igual al 250% del número de votos que se
opusieron. Si en ambas votaciones el 10% del total de votantes se abstuvo,
¿en qué razón se encuentra la mayoría de la segunda votación a la de la
primera? (resolverlo con una incógnita)
Forma 1
Asumamos que solamente cambian de opinión algunos de los que habían
votado por el “no” en la primera votación, es decir que todos los que habían
votado por el “sí” en la primera votación mantuvieron su decisión inicial.
Consideremos
Sí
No
Abstención
1ª votación
900 − x
x
100
1,000
2ª votación
900 − x + 300
x − 300
100
1,000
La diferencia en el número de votos en la segunda votación es:
900 − x + 300 −  x − 300 = 1,500 − 2 x
Según el enunciado:
Conceptos fundamentales del Álgebra
178
1,500 − 2 x = 2.5 ( x − 300 )
4.5 x = 2, 250
x = 500
Entonces:
Sí
No
Abstención
1ª votación
400
500
100
1,000
2ª votación
700
200
100
1,000
Relación de mayorías: 700 500 = 7 5.
Forma 2
En la segunda votación, la diferencia de los votos por el sí y los votos por el
no fue 2.5 veces el número de los votos por el no ( x ) , entonces:
# votos sí − # votos no = 2.5  # votos no
x
x
# votos sí − x = 2.5 x
# votos sí = 3.5 x
Luego:
Sí
No
Abstención
1ª votación
3.5x − 300
x + 300
100
1,000
De donde:
3.5 x + x = 900
4.5 x = 900
x = 200
# votos sí en la 2ª votación: 3.5 ( 200 ) = 700
2ª votación
3.5x
x
100
1,000
Conceptos fundamentales del Álgebra
179
# votos no en la 1ª votación: 200 + 300 = 500
Por lo tanto, la relación pedida es 700 500 = 7 5.
141. Las edades de dos hermanos son a y b años ( a  b ) . ¿Dentro de
cuántos años se cumplirá que la suma de b veces la edad del mayor con a
veces la edad del menor será ( a + b ) veces la suma de las edades que tenían
hace ( a − b ) años?
Sea x los años que deben transcurrir para que se cumpla el enunciado:
Mayor
Menor
Presente
a
b
Futuro
a+x
b+ x
Por otro lado, como hace ( a − b ) años, cada hermano tenía ( a − b ) años
menos, la suma de sus edades hace ( a − b ) años fue a + b − 2 ( a − b ) .
Entonces:
b ( a + x ) + a ( b + x ) = ( a + b ) ( a + b ) − 2 ( a − b ) 
ab + bx + ab + ax = ( a + b )( 3b − a )
x ( a + b ) + 2ab = 3ab − a 2 + 3b 2 − ab
x ( a + b ) = 3b 2 − a 2
x=
3b 2 − a 2
a+b
142. Alberto tiene hoy cuatro veces los años que tenía Bernardo cuando él
tenía 13 años. Si Bernardo tiene hoy 22 años, ¿dentro de cuántos años la edad
del mayor será a la del menor como 10 es a 9?
Forma 1
Alberto
Bernardo
Antes
13
x
Hoy
4x
22
Conceptos fundamentales del Álgebra
180
Han transcurrido 4x −13 ó 22 − x años
4 x − 13 = 22 − x
5 x = 35
x=7
Las edades actuales de Alberto y Bernardo son 28 y 22 años,
respectivamente.
Si transcurriesen y años, se debería cumplir que
28 + y 10
=
22 + y 9
252 + 9 y = 220 + 10 y
y = 32 años
Forma 2
Alberto
Bernardo
Antes
13
x
Hoy
4x
22
La diferencia de edades entre Alberto y Bernardo es 13 − x ó 4x − 22.
Es decir
13 − x = 4 x − 22
5 x = 35
x=7
Las edades actuales de Alberto y Bernardo son 28 y 22 años,
respectivamente.
La diferencia de sus edades será 28 − 22 = 6 años en todo momento.
Sus edades futuras serán z y z − 6 y se requiere que
Conceptos fundamentales del Álgebra
181
z
10
=
z−6 9
10 z − 60 = 9 z
z = 60
Alberto deberá tener 60 años, es decir deberán transcurrir 60 − 28 = 32 años.
Forma 3
Según la Forma 2, Alberto tiene 28 años y Bernardo, 22 años. Es decir, los
separan 6 años de edad. Si se quiere que las edades estén en la relación de 10
a 9:
Si Alberto tuviese 10 años y Bernardo, 9, la diferencia sería de 1 año. Como
la diferencia de sus edades es 6 años, entonces Alberto deberá tener
6 10 = 60 años.
Es decir, deberán transcurrir 60 − 28 = 32 años.
143. Hace a años la edad de Alberto era el doble de la edad de Blas. ¿Dentro
de cuántos años la razón de las edades será de 7 a 6, si la suma de las edades
es a la diferencia como 7 es a 1?
Forma 1
Si hace a años, la edad de Alberto era 2x años, la edad de Blas era x años.
Actualmente tendrán 2x + a y x + a años, respectivamente. Adicionalmente
se cumple que:
( 2x + a ) + ( x + a ) 7
=
( 2x + a ) − ( x + a ) 1
3 x + 2a 7
=
x
1
7 x = 3 x + 2a
4 x = 2a
x=
a
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
182
Dentro de k años tendrán 2x + a + k y x + a + k años y se deberá cumplir
que:
2x + a + k 7
=
x+a+k
6
Reemplacemos x =
a
:
2
a
2  + a + k
7
2
=
6
a
 +a+k
2
 
2a + k
7
=
1.5a + k 6
10.5a + 7 k = 12a + 6k
k = 1.5a
Deberán transcurrir 1.5a años.
Forma 2
Elaboremos la siguiente tabla, considerando que las edades futuras (dentro de
x años) serán 7k y 6k.
Alberto
Blas
Hace a años
7k − x − a
6k − x − a
Hoy
7k − x
6k − x
Se pide encontrar x en función de a. Del dato:
Dentro de x años
7k
6k
Conceptos fundamentales del Álgebra
183
( 7 k − x ) + ( 6k − x ) 7
=
( 7 k − x ) − ( 6k − x ) 1
13k − 2 x 7
=
k
1
13k − 2 x = 7k
6k = 2 x
k=
Hace a años, Alberto tenía 7k − x − a =
x
3
7x
4x
− x−a =
− a años, mientras
3
3
 x
que Blas tenía 6k − x − a = 6   − x − a = x − a años.
3
Del dato:
4x
− a = 2( x − a)
3
4 x − 3a = 6 x − 6a
2 x = 3a
x = 1.5a
Forma 3
Sean x e y las edades actuales de Alberto y Blas, respectivamente. Según el
dato:
x+ y 7
=
x− y 1
7x − 7 y = x + y
6x = 8 y
y=
3
x
4
Conceptos fundamentales del Álgebra
184
Alberto
Hace a años
x−a
Hoy
x
Blas
3
x−a
4
3
x
4
Dentro de x años
x+k
3
x+k
4
Se pide encontrar el valor de k en función de a.
Del dato:
3

x − a = 2 x − a 
4


4 x − 4 a = 6 x − 8a
2 x = 4a
x = 2a
( )
Además:
x+k
7
=
3
x+k 6
4
21
6 x + 6k =
x + 7k
4
3
k = x ( )
4
( ) en (  )
3
( 2a )
4
k = 1.5a
k=
144. Si un hombre tuviese 27 años menos, el tiempo que hubiera
permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiera
permanecido despierto si es que tuviese 27 años más. Si en el transcurso de
su vida duerme en promedio 8 horas diarias, ¿cuántos años lleva durmiendo?
Conceptos fundamentales del Álgebra
185
Forma 1
Si duerme 8 horas diarias, duerme
8 1
2
del
= del día y está despierto
24 3
3
día.
Sea x la edad (en años) actual del hombre.
x − 27 : edad hace 27 años.
1
(x − 27) : número de años que hubiese permanecido dormido.
3
x + 27 : edad dentro de 27 años.
2
(x + 27) : años que hubiera permanecido despierto.
3
Entonces:
1
1 2
( x − 27 ) =  ( x + 27 )
3
5 3

por 15:
5 ( x − 27 ) = 2 ( x + 27 )
5 x − 135 = 2 x + 54
3x = 189
x = 63 años
Lleva durmiendo
Forma 2
1
(63) = 21 años.
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
186
Consideremos que el hombre tiene 27 años menos (pasado). Asumamos que
ha estado durmiendo un total de k años. Su edad será 3k ya que la tercera
parte del día la pasa durmiendo.
Pasado
0
27 años
Presente
27 años
3k + 27
3k
Futuro
3k + 54
Según el enunciado del problema, cuando el hombre tenga 27 años más
(futuro), habrá estado despierto 5k años. Como está despierto el doble del
5k
tiempo que duerme, habrá dormido
= 2.5k años. Entonces habrá
2
dormido:
Pasado
0
54 años
Futuro
k años
2.5k años
En esos 54 años habrá dormido
1
 54 = 18 años. Quiere decir que
3
2.5k − k = 18
1.5k = 18
k = 12
Su edad actual será 3 (12 ) + 27 = 63 años y habrá dormido
1
 63 = 21 años.
3
145. Un peatón parte de A con dirección a B con una velocidad de 5 km/h.
Después de recorrer 4 km es alcanzado por un auto que partió de A con un
retraso de 28. Luego de que el peatón ha recorrido 6 km más, encuentra por
Conceptos fundamentales del Álgebra
187
segunda vez al auto que regresaba de B, en donde había descansado 20.
¿Qué distancia separa ambas ciudades?
Tenemos:
4 km
A
5 km/h →
C
6 km
D
B
El peatón emplea:
AC
4 km
=
= 0.8 horas = 48
v
5 km/h
CD
6 km
tCD =
=
= 1.2 horas = 72
v
5 km/h
tAC =
Además
A 4 km C
v km/h →
6 km
D
B
El auto emplea t AC − 28 = 48 − 28 = 20 en recorrer 4 km, entonces:
vauto =
e 4 km
4 km
=
=
= 12 km/h
1
t
20
hora
3
tCD =
CD
6 km
1
=
= hora = 30
vauto 12 km/h 2
El auto emplea
El auto emplea 72 − 20 = 52 en recorrer CD + DB + BD, es decir
52 − 30 = 22 en recorrer dos veces el tramo BD. El tramo BD lo recorre en
11, es decir:
Conceptos fundamentales del Álgebra
188
BD = vauto  11
km 11

horas
h 60
BD = 2.2 km
BD = 12
Finalmente, la distancia que separa A de B será:
AB = AC + CD + DB
AB = 4 + 6 + 2.2
AB = 12.2 km
146. Se puede recorrer un camino en 6 horas con una cierta velocidad y
podría ser recorrido en 2 horas menos si la velocidad aumentara en 2 km/h.
Encontrar la longitud del camino.
Forma 1
Sea e km la longitud del camino.
Si la velocidad es v km hora , se hará el recorrido en 6 horas. Entonces,
e = v ( 6).
Si la velocidad aumenta a v + 2 km hora , se requerirá de un tiempo
6 − 2 = 4 horas. De donde e = ( v + 2 )( 4 ) .
Igualemos e :
6v = 4 ( v + 2 )
6v = 4v + 8
2v = 8
v = 4 km hora
Finalmente, la longitud del camino será e = 4 ( 6 ) = 24 km.
Forma 2
Tenemos
A
6 horas
B
4 horas
B
v km hora
A
Conceptos fundamentales del Álgebra
189
En el primer caso, podemos averiguar dónde se encontraba el móvil a las 4
horas de recorrido.
A
4 horas
C 2 horas
B e = vt
CB = v ( 2 ) = 2v
v km hora
A
B
4 horas
Comparemos ambas situaciones a las 4 horas de recorrido; en el segundo
caso avanzó
distancia
hora mayor CB que corresponde a 4 horas de recorrido
(v + 2una
) km
a 2 km hora mayor, esto es 8 km. Por lo tanto:
CB = 2v = 8  v = 4km hora
Finalmente, la longitud AB será ( 4 + 2 ) 4 = 24 km.
147. El galón de gasolina cuesta 2,100 y 2,800 pesos en las ciudades A y B,
distantes 490 km entre sí. Si el transporte de un galón de gasolina, desde A o
B, por una distancia de 700 km cuesta el valor de un galón de gasolina en el
punto de embarque respectivo, ¿cuán distante de B estará la ciudad en la que
el galón de gasolina costará igual ya sea que proceda de A o de B?
Forma 1
Consideramos:
A
2,100 pesos galón
490 km
B
2,800 pesos galón
El costo de transporte de un galón de gasolina desde A es 2,100 pesos por
trasladarlo 700 km. El costo unitario será 2,100 700 = 3pesos km.
Conceptos fundamentales del Álgebra
En el caso del transporte
2,800 700 = 4pesos km.
Entonces:
A
190
desde
( 490 − x ) km
B,
C
el
costo
x km
3 pesos km
unitario
será
B
4 pesos km
El costo total de un galón de gasolina en la ciudad C si se le traslada desde A
será 2,100 + 3 ( 490 − x ) = 3,570 − 3x pesos.
El costo total de un galón de gasolina en la ciudad C si se le traslada desde B
será 2,800 + 4x pesos.
Igualemos ambos costos:
3,570 − 3x = 2,800 + 4 x
7 x = 770
x = 110 km
Forma 2
A partir de
A
2,100 pesos galón
3pesos km
490 km
B
2,800 pesos galón
4 pesos km
El costo de un galón de gasolina en B, adquirido en B, es 2,800 pesos.
Si compráramos un galón de gasolina en A y lo trasladáramos hasta B, el
costo total sería 2,100 + 3 ( 490 ) = 3,570 pesos.
La diferencia en los costos sería DT = 3,570 − 2,800 = 770 pesos.
Por cada kilómetro que se retrocede desde B, un galón de gasolina costará 3
pesos menos y el otro costará 4 pesos más.
La diferencia unitaria será DU = 3 + 4 = 7 pesos.
De donde el número de kilómetros que habrá que retroceder desde B será
DT 770
=
= 110.
DU
7
Conceptos fundamentales del Álgebra
191
148. Dos móviles parten simultáneamente, y en el mismo sentido, de dos
ciudades separadas cierta distancia y se encuentran al cabo de tres horas. Sin
embargo, podrían encontrarse 1.5 horas antes y 90 km antes en caso de que
uno de ellos redujera su velocidad a la mitad. Encontrar las velocidades de
ambos móviles.
Forma 1
Consideremos:
i) los móviles se encuentran en C al cabo de 3 horas
A
vA →
C
B
vB →
ii) Para que se encuentren en C al cabo de 1.5 horas, el móvil B deberá
disminuir su velocidad.
A
vA →
De i) AC = vA ( 3)
B
vB
2
C
→
De ii) AC = AC + CC = vA (1.5 ) + 90
Entonces:
3vA = 1.5vA + 90
1.5vA = 90
vA = 60 km/h
Asimismo:
90 km
C
Conceptos fundamentales del Álgebra
192
BC = 3vB = BC + CC
v 
3v B = 1.5  B  + 90
 2 
3vB = 0.75vB + 90
2.25vB = 90
vB = 40 km/h
Forma 2
Si el encuentro en el segundo caso se produjo 1.5 horas antes y 90 km antes,
significa que el móvil A, que no modificó su velocidad, recorrió 90 km en 1.5
horas en el primer caso. De donde:
90 km
1.5 hora
vA = 60 km/h
vA =
En cuanto al móvil B:
B
vB →
B
vB
2
C
3 horas
1.5 horas
C
90 km
C
→
Averigüemos cuánto deja de recorrer por disminuir su velocidad a la mitad y
por recorrer menor tiempo e igualémoslo a 90 km.
Si BC = 4k , y solamente recorre la mitad de las 3 horas, recorre 2k y deja
de recorrer 2k. Además, si recorría 2k a cierta velocidad, cuando reduzca la
velocidad a la mitad, dejará de recorrer k. En total, los 90 km no recorridos
equivalen a 2k + k = 3k. De ahí, 3k = 90  k = 30.
Conceptos fundamentales del Álgebra
Finalmente, vB =
193
BC 4k 4 ( 30 )
=
=
= 40 km/h.
t
3
3
149. Si un ciclista va a 10 kilómetros por hora, llega a su destino a las 3 de la
tarde. Si fuera a 15 kilómetros por hora, llegaría a la 1 p.m.
a) ¿a qué hora salió el ciclista?
b) ¿qué velocidad deberá llevar para llegar a las 2 p.m.?
Forma 1
Tenemos que el espacio recorrido es el mismo en ambos casos. Supongamos
que si va a 10 km/h demora t horas en llegar a su destino: e = 10t. Entonces,
si va a 15 km/h demorará 2 horas menos, es decir t − 2 horas: e = 15 ( t − 2 ) .
Igualémoslos:
10t = 15 ( t − 2 )
10t = 15t − 30
5t = 30
t =6
Si demoró 6 horas y llegó a las 3 p.m., entonces salió a las 9 a.m. Por otro
lado, debe recorrer e = 10t = 10 ( 6 ) = 60 km y si pretende llegar a las 2 p.m.,
demoraría 5 horas y su velocidad deberá ser v = e t = 60 km 5 horas = 12
km/h.
Forma 2
Consideremos las siguientes gráficas:
Primer caso:
Móvil A
10 km/h →
F
3 p.m.
Segundo caso:
Móvil B
15 km/h →
F
1 p.m.
Conceptos fundamentales del Álgebra
194
Si en el primer caso el móvil A va a 10 km/h y llega a F a las 3 p.m., a la 1
p.m. se encontrará a 2 10 = 20 km de F:
Móvil A
F
F
O
10 km/h →
1 p.m.
3 p.m.
e = 10 ( 2 ) = 20 km
Comparémoslo con el segundo caso:
Móvil B
O
15 km/h →
F
1 p.m.
A la 1 p.m., el móvil B avanzó 20 km más que lo que avanzó el móvil A. Ello
debido a que la velocidad del móvil B es 5 km/h más que la velocidad de B.
Podemos averiguar el tiempo transcurrido desde que el móvil B salió de O y
le aventajó 20 km al móvil A: t = 20 5 = 4 horas.
Entonces, si el móvil B llegó a la 1 p.m. y demoró 4 horas, habrá salido a las
9 a.m.
Por otro lado, analicemos el caso del móvil C que deberá llegar a las 2 p.m. a
su destino:
Móvil A
O
9 a.m.
10 km/h →
Móvil C
O
9 a.m.
F
F
2 p.m.
3 p.m.
e = 10 (1) = 10 km
F
2 p.m.
v→
A las 2 p.m., el móvil C aventajó 10 km al móvil A al cabo de 5 horas porque
salió a las 9 a.m.
Por lo tanto, la diferencia de velocidades entre los móviles C y A es
10 km 5 horas = 2 km/h, y se deduce que la velocidad del móvil C es
vC = vA + 2 = 10 + 2 = 12 km/h.
Conceptos fundamentales del Álgebra
195
150. Juana lleva una ventaja de 220 metros a Juan. Calcular cuántos metros
recorrerá Juan para alcanzarla si se sabe que en un minuto da 3 pasos
mientras que Juana da 4 y que Juan le descuenta 30 cm por cada 50 cm que
avanza ella en cada paso.
Forma 1
Del último dato deducimos que la longitud del paso de Juana es 50 cm y la de
Juan, 50 + 30 = 80 cm
En un minuto, Juan avanza 3 80 = 240 cm y Juana, 4  50 = 200 cm
Sea t el tiempo en minutos que deberá transcurrir para que Juan alcance a
Juana. Juan habrá recorrido 240t cm y Juana, 200t cm.
Para que Juan recupere los 220 m = 22,000 cm que Juana le aventaja:
240t = 200t + 22, 000
40t = 22, 000
t = 550
Entonces, Juan deberá recorrer 240 ( 550 ) cm = 1,320 m.
Forma 2
En cada paso, Juan le descuenta 30 cm a Juana.
En cada minuto, Juan da 3 pasos y le descontará 3 30 = 90 cm a Juana, pero
como ella da 4 pasos (1 paso más) de 50 cm de longitud, el descuento
efectivo será 90 − 50 = 40 cm.
Para que Juan recupere la ventaja de 220 metros, deberán transcurrir
t=
220 m
= 550
0.40 m minuto
Como la longitud del paso de Juan es 80 cm, el espacio recorrido por Juan
será 550  ( 3  0.80 ) = 1,320 m.
151. Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. La
liebre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 saltos avanza tanto
como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar a la
liebre?
Conceptos fundamentales del Álgebra
196
Forma 1
Del último dato se deduce que las longitudes de los saltos del perro y de la
liebre están en relación inversa de 5 a 8. Es decir, consideremos que en cada
salto el perro avanza 8x y la liebre, 5x.
En cada unidad de tiempo, el perro da 3 saltos y avanza 3 ( 8 x ) = 24 x ; en
cambio, la liebre da 4 saltos y avanza 4 ( 5 x ) = 20 x.
A partir de:
,
60SL
P
L
E
asumamos que transcurren t unidades de tiempo para que el perro alcance a
la liebre en el punto E.
El espacio recorrido por el perro será PE = t ( 24 x ) y el espacio recorrido por
la liebre será LE = t ( 20 x ) .
Del gráfico:
PE = PL + LE
t ( 24 x ) = 60SL + t ( 20 x )
Como cada salto de liebre SL mide 5x, tendremos:
24tx = 60 ( 5 x ) + 20tx
4tx = 300 x
t = 75 unidades de tiempo
De donde, el número de saltos que deberá dar el perro será 3t = 3 ( 75) = 225
saltos.
Forma 2
Sabemos que el perro avanza en 5 saltos lo mismo que la liebre en 8 saltos.
Por lo tanto, el salto del perro equivale a 8 5 = 1.6 veces el salto de la liebre
= 1.6SL .
Conceptos fundamentales del Álgebra
197
Por otro lado, cuando el perro da 3 saltos avanza 31.6 = 4.8 veces el salto
de la liebre = 4.8SL , mientras que la liebre da 4 saltos = 4SL y de este modo
el perro recorta la ventaja en 4.8SL − 4SL = 0.8SL .
Si queremos averiguar cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar a la
liebre, que lo aventaja 60SL , podemos establecer una regla de tres:
→ se acerca 0.8SL
El perro da 3 saltos
El perro dará x saltos → se acercará 60SL
De donde:
x=
3 ( 60SL )
0.8SL
x = 225 saltos
152. Alberto recorre una trayectoria circular en 40. Raúl la recorre en
sentido contrario y se encuentra con Alberto cada 15. ¿En qué tiempo
recorre Raúl una vuelta?
Forma 1
Sean v A y v R las velocidades de Alberto y Raúl, respectivamente y e, la
longitud de la trayectoria circular.
vA
vR
40
vA
15
•E
Deducimos que
e = v A ( 40 )
e = v A (15 ) + vR (15 )
Conceptos fundamentales del Álgebra
198
De donde
40v A = 15v A + 15vR
25v A = 15vR
5
vR = v A
3
El tiempo que demorará Raúl en recorrer la vuelta será
t=
e
vR
40v A
5
vA
3
t = 24
t=
Forma 2
Dividamos el trayecto circular en 8 partes, de modo que Alberto lo recorre en
40 a razón de 1 división cada 5.
•
•
vA
•
40
•
•
• 8 divisiones
•
•
Si cada 15 se encuentra con Raúl, Alberto habrá avanzado 15 5 = 3
divisiones para el encuentro.
vR
•
vA
•
15
•
5 divisiones
•
•
•
•
3 divisiones
•
E
Conceptos fundamentales del Álgebra
199
Deducimos que Raúl recorrió 5 divisiones en 15 a razón de 15 5 = 3 por
división. El recorrido completo de 8 divisiones le tomará a Raúl 8  3 = 24.
153. Dos personas que se hallan separadas 960 metros salen simultáneamente
en dirección de la otra y se encuentran a 384 metros de uno de los extremos.
Si la que tiene mayor velocidad saliera 4 antes, el encuentro se produciría
justo en la mitad del camino. Encontrar las velocidades.
Forma 1
Consideremos las dos situaciones siguientes:
A
384 metros C
576 metros
B
v1 →
 v2
t1
t1
e = 384 = v1t1
e = 576 = v2t1
Dividámoslas:
v1t1 384
=
v2 t1 576
v1 2
=
v2 3
De donde:
v1 = 2k
v2 = 3k
Conceptos fundamentales del Álgebra
A
480 metros
200
C
480 metros
B
v1 = 2k
v2 = 3k
t+4
t
e = 480 = 2k ( t + 4 )
e = 480 = 3k ( t )
De donde:
3kt = 2k ( t + 4 )
3kt = 2kt + 8k
kt = 8k
t = 8
Entonces
480 = 3k ( 8 )
480 = 24k
k = 20
Finalmente
v1 = 2 ( 20 ) = 40 m minuto
v2 = 3 ( 20 ) = 60 m minuto
Forma 2
En el primer caso, R y S recorren distintas distancias en el mismo tiempo.
A
R→
384 metros C
576 metros
B
S
Conceptos fundamentales del Álgebra
201
Las distancias recorridas por R y S están en la relación de 384 576 = 2 3.
Las velocidades de R y S deberán estar en la misma relación 2 3.
En el segundo caso, analicemos las distancias recorridas por R y S después de
transcurridos los 4 iniciales. Es decir R se encuentra en A y S en B.
4 antes
A
C
A
B
R→
480 metros  S
Si se encuentran en el punto medio del camino:
960
2
CB = 480 metros
CB =
Entonces
AC 2
=
CB 3
AC 2
=
480 3
AC=320 metros
Significa que R recorrió AA = 480 − 320 = 160 metros en 4.
160 metros
La velocidad de R será
= 40metros minuto y la de S será
4
3
( 40) = 60metros minuto.
2
154. Resolver el sistema:
4

 x + y

 y+ 4

x
Forma 1
= 1
= 25
Conceptos fundamentales del Álgebra
De x +
4
= 1  xy + 4 = y
y
202
( )
4
= 25  xy + 4 = 25x
x
De ( ) y (  ) y = 25x
De y +
( )
En ( )
x ( 25 x ) + 4 = 25 x
25 x 2 − 25 x + 4 = 0
 x = 1 5  y1 = 5
( 5 x − 1)( 5 x − 4 ) = 0   1
 x2 = 4 5  y2 = 20
Forma 2
Multipliquemos miembro a miembro las ecuaciones dadas
x+
4
= 1
y
4
= 25
x
16
xy + 4 + 4 +
= 25
xy
16
xy − 17 +
=0
xy
y+
Por xy :
( xy ) − 17 ( xy ) + 16 = 0
2
 xy = 1
 xy = 16
( xy − 1)( xy − 16 ) = 0  
Si xy = 1 
1
= x, en ( ) :
y
Conceptos fundamentales del Álgebra
x+
4
= 1  x + 4 x = 1  5 x = 1  x1 = 1 5 
y
y1 = 5
1 x
= , en ( ) :
y 16
Si xy = 16 
x+
203
4
4x
5x
=1  x +
=1 
= 1  x2 = 4 5 
y
16
4
y2 = 20
Forma 3
De x +
4
4
= 1  x = 1−
y
y
De y +
4
1 25 − y
4
= 25  =
 x=
x
x
4
25 − y
( )
( )
Igualándolos:
1−
4
4
=
y 25 − y
Por y ( 25 − y ) :
y ( 25 − y ) − 4 ( 25 − y ) = 4 y
25 y − y 2 − 100 + 4 y = 4 y
y 2 − 25 y + 100 = 0
4 1

 x1 = 1 − =
 y1 = 5
5 5
( y − 5)( y − 20 ) = 0  
 y = 20  x = 1 − 4 = 4
2
 2
20 5
155. Resolver en términos de a y b :
Conceptos fundamentales del Álgebra
204
y
 x
2
 ab − b 2 = 1 − a

 x + y = a + ab 2
 b a
(1)
( 2)
Forma 1
De la primera ecuación (por ab2 )
(
bx − ay = ab2 1 − a2
)
De la segunda ecuación (por ab )
(
ax + by = ab a + ab2
)
( 3)
( 4)
2
3 2

 bx − ay = ab − a b

2
2 3

 ax + by = a b + a b
De ( 3 ) por b , más ( 4 ) por a :
( a + b ) x = ab + a b
ab ( a + b )
x=
2
2
3
3
2
a 2 + b2
x = ab
En (1)
ab y
−
= 1 − a2
ab b 2
y
= a2
b2
y = a 2b2
Forma 2
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
205
y
 x
2
 ab − b 2 = 1 − a

 x + y = a + ab 2
 b a
De
(1)
( 2)
1
por ( 2 ) , menos (1) :
a
y
y
+
= b2 + a 2
a 2 b2
 a 2 + b2 
2
2
 2 2  y = a +b
 ab 
y = a 2b2
En (1) :
x a 2b2
− 2 = 1 − a2
ab b
x
− a2 = 1 − a
ab
x
=1
ab
x = ab
156. Resolver en términos de a y b :
ab

a+b−

x
a+b
=

y a − b + ab


a −b

3
x
+
y
=
64
a

( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
206
Forma 1
De ( ) :
( a + b ) − ab
ab
a+b−
x
a 2 + ab + b 2 a − b
a+b =
a+b
=
=

2
2
2
y a − b + ab
( a − b ) + ab a − ab + b a + b
a −b
a −b
2
x a 3 − b3
=
y a 3 + b3
x=
a 3 − b3
y
a 3 + b3
( )
En (  )
a 3 − b3
y + y = 64a 3
3
3
a +b
( a − b ) y + ( a + b ) y = 64a ( a + b )
2a y = 64a ( a + b )
y = 32 ( a + b )
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
En (  )
a 3 − b3 
32 a3 + b3 

a 3 + b3 
(
x = 32 ( a − b )
x=
3
3
Forma 2
ab
a+b−
x
a
+b
=
y a − b + ab
a −b
)
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
207
Por propiedad de proporciones:
ab 
ab 
+ a − b +
a+b 
a − b 
ab 
ab 
a −b+
− a+b−
a − b 
a + b 
ab
ab
2a −
+
x+ y
a +b a −b
=
y − x −2b + ab + ab
a −b a +b
x+ y
=
y−x
a+b−
(
(
)
)
2
2
x + y 2a a − b − ab ( a − b ) + ab ( a + b )
=
y − x −2b a 2 − b 2 + ab ( a + b ) + ab ( a − b )
x + y 2a 3
=
y − x 2b3
Al reemplazar x + y = 64a3
( )
64a3 a3
=
 y − x = 64b3
y − x b3
( )
Al sumar ( ) y (  )
2 y = 64a 3 + 64b3
y = 32a 3 + 32b3  x = 32a 3 − 32b3
Forma 3
De la forma 1
x a 3 − b3
=
y a 3 + b3
Por propiedad de proporciones
Conceptos fundamentales del Álgebra
208
(
x + y a −b + a +b
=
y
a 3 + b3
3
3
3
3
)
Reemplazando x + y = 64a 3 :
64a 3
2a 3
= 3
y
a + b3
32
1
= 3
y a + b3
(
y = 32 a 3 + b3
)
De donde
(
x = 64a3 − 32a3 + 32b3
x = 32a3 − 32b3
157. Resolver el sistema
 xy
 ay + bx = a

 xz
=a

 az + cx
 yz
 bz + cy = a

Forma 1
Invirtamos las fracciones
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
 ay + bx 1
 xy = a

 az + cx 1
=

a
 xz
 bz + cy 1
 yz = a

209



a b 1
+ =
x y a
a c 1
+ =
x z a
b c 1
+ =
y z a
Cambiemos de variables
P=
1
,
x
Q=
1
,
y
R=
1
z
Entonces
= 1a
 aP + bQ

cR = 1 a
 aP +

bQ + cR = 1 a

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones
3
2 ( aP + bQ + cR ) =
( )
a
( ) en ( )
1 3

2  aP +  =
a a

1
3
aP + =
a 2a
1
aP =
2a
1
P= 2
2a
1
1
=
x 2a 2
x = 2a 2
( )
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
210
En ( )
1
 1 
a  2  + bQ =
a
2
a


1
1
+ bQ =
2a
a
1
bQ =
2a
1
Q=
2ab
1
1
=
y 2ab
y = 2ab
En (  )
1
 1 
a  2  + cR =
a
 2a 
1
1
+ cR =
2a
a
1
2a
1
R=
2ac
1
1
=
z 2ac
z = 2ac
cR =
Forma 2
A partir del sistema dado:
Conceptos fundamentales del Álgebra
211
abx
x − a2
acx
a 2 z + acx = xz  z =
x − a2
( )
a 2 y + abx = xy  y =
( )
Si reemplazamos en:
abz + acy = yz
Obtenemos:
 acx 
 abx   abx  acx 
ab 
+ ac 
=
2 
2 
2 
2 
 x−a 
 x − a   x − a  x − a 
Entre a2bc :
x
x
x2
+
=
2
x − a2 x − a2
x − a2
(
(
Por x − a 2
)
):
2
(
) (
)
x x − a2 + x x − a2 = x2
x − a x + x − a x = x2
2
2
2
2
x 2 = 2a 2 x
Como x  0, y  0, z  0 :
x = 2a2
En ( )
y=
En (  )
(
ab 2a 2
) = 2a b = 2ab
2a 2 − a 2
3
a2
Conceptos fundamentales del Álgebra
z=
(
ac 2a 2
212
) = 2a c = 2ac
2a 2 − a 2
3
a2
158. Resolver el sistema en términos de a , b y c.
( x + y ) − ( a + b ) = ( a + b )( x − a )( y − b )
( x + z ) − ( a + c ) = ( a + c )( x − a )( z − c )
( y + z ) − ( b + c ) = ( b + c )( y − b )( z − c )
Reescribamos el primer miembro de cada ecuación
( x − a ) + ( y − b ) = ( a + b )( x − a )( y − b )
( x − a ) + ( z − c ) = ( a + c )( x − a )( z − c )
( y − b ) + ( z − c ) = ( b + c )( y − b )( z − c )
Al dividir la primera ecuación entre ( x − a )( y − b ) :
1
1
+
= a+b
y −b x −a
( )
Análogamente, al dividir la segunda ecuación entre ( x − a )( z − c ) :
1
1
+
= a+c
z −c x−a
( )
Y la tercera entre ( y − b )( z − c ) :
1
1
+
=b+c
z −c y −b
Al sumar miembro a miembro ( ) , (  ) y (  ) :
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
213
2
2
2
1
1
1
+
+
= 2a + 2b + 2c 
+
+
= a+b+c
x −a y −b z −c
x −a y −b z −c
b + c por ( )
De donde:
1
=a
x−a
1
x−a =
a
x =a+
1
a
Análogamente, se obtiene
1
b
1
z =c+
c
y =b+
159. La suma de dos números es c y el producto de los mismos es d 2 . Si la
suma de los cubos de dichos números es al producto de la suma por el
producto de los mismos como 1 es a 3, encontrar el valor de c d .
Sean x e y los números.
 x+ y =c

2
 xy = d
Además:
Conceptos fundamentales del Álgebra
214
x3 + y 3
1
=
x
+
y
xy
(
)( ) 3
( x + y ) − 3xy ( x + y ) 1
=
3
( x + y )( xy )
3
c 3 − 3cd 2 1
=
3
cd 2
c 3 3cd 2 1
−
=
3
cd 2 cd 2
2
1
c
  −3 =
3
d 
2
 c  10
  =
3
d 
c
10
30
=
=
d
3
3
160. El precio de cada bolígrafo es b soles y el de cada cuaderno, c soles. Si
se adquieren bolígrafos y cuadernos por p soles, y se cumple que b y c
están en la misma relación que los números de bolígrafos y cuadernos,
respectivamente, ¿cuántos bolígrafos se adquirieron en términos de
b, c y p ?
Sean x e y el número de bolígrafos y de cuadernos, respectivamente, que se
adquirieron. Entonces:
bx + cy = p
( )
Además
x b
=
y c
De (  )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
215
y=
c
x
b
En ( )
c 
bx + c  x  = p
b 
 c2 
x b +  = p
b

p
c2
b+
b
pb
x= 2
b + c2
x=
Forma 2
Si se adquirieron x bolígrafos e y cuadernos
bx + cy = p
Por otro lado
x b
= =k
y c
Entonces
 x  b 
    = ( k )( k )
 y  c 
bx k 2
=
cy 1
Por propiedad de proporciones
Conceptos fundamentales del Álgebra
216
bx + cy k 2 + 1
= 2
bx
k
Reemplacemos
p k 2 +1
= 2
bx
k
De donde
x=
1 pk 2
b k 2 +1
Reemplacemos k
2
b
p
1  c 
1 pb 2
x=
=
b  b 2
b b2 + c2
+
1
 
c
pb
x= 2
b + c2
161. Un asunto fue sometido a la votación de 600 personas y se perdió.
Habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue
ganado el caso por el doble de votos por el que había sido perdido y la
mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas
cambiaron de opinión?
Forma 1
Votación
Primera
Segunda
Donde y  x. Entonces
Número de personas
Sí
No
y
x
2z
z
Conceptos fundamentales del Álgebra
217
2 z + z = 600
z = 200
En la segunda votación 2 ( 200 ) = 400 personas votaron por el sí y 200 por el
no.
Según los datos
400 8
=
y
7
y = 350
Cambiaron de opinión 350 − 200 = 150 personas.
Forma 2
Asumamos que en la segunda votación fueron 8k personas las que votaron
8k
por el sí y
= 4k las que votaron por el no. Según los datos, en la primera
2
votación fueron 7k personas las que votaron por el no. Cambiaron de
opinión 7k − 4k = 3k personas (pasaron del no al sí). Entonces
8k + 4k = 600
k = 50
Cambiaron de opinión 3k = 3 ( 50 ) = 150 personas.
162. Álvaro y Diego juntan sus propinas para comprarse un tambor y les
sobra S/.600. Si Álvaro quisiera comprarlo solo, le faltarían S/.800. Si Diego
quisiera comprarlo solo, le faltaría una cantidad igual a la que tiene. ¿Cuánto
cuesta el tambor?
Forma 1
Sean x e y las propinas (soles) de Álvaro y Diego, respectivamente, y T el
costo del tambor. De acuerdo con los datos del problema:
Conceptos fundamentales del Álgebra
218
( )
( )
( )
x + y = T + 600
x = T − 800
y =T − y
De (  )
2y = T
T
y=
2
( )
(  ) y ( ) en ( ) :
T − 800 +
T
= T + 600
2
T
= 1, 400
2
T = 2,800 soles
El tambor cuesta S/.2,800.
Forma 2
Consideremos el siguiente gráfico:
600
Diego
800
Álvaro
Tambor
Conceptos fundamentales del Álgebra
219
Diego tendrá 800 + 600 = 1,400 soles. Como para comprar el tambor le falta
una cantidad igual a la que tiene, aquel costará 1,400 +1,400 = 2,800 soles.
163. Tenía cierta cantidad de dinero y por la mañana gasté la tercera parte de
lo que no gasté. Por la tarde no gasté el doble de lo que gasté. Por la noche no
gasté los 2 5 de lo que gasté. ¿Qué fracción de lo que tuve gasté en total?
Sea 4x la cantidad inicial de dinero. De acuerdo con los datos del problema:
No gasté
Quedó
4x − x = 3x
3x
3x − x = 2x
2x
2x − y
2y 5
Si después de la tarde quedó 2x y en la noche gastó y, queda 2x − y que
equivale a lo que no gastó:
Mañana
Tarde
Noche
Gasté
x
x
y
2
y
5
10 x − 5 y = 2 y
2x − y =
y=
En total gastó:
fracción
10
x
7
x + x + y = 2x + y = 2x +
10
24
x=
x, que representa la
7
7
24 x 7 24 6
=
= de lo que inicialmente tuvo.
4x
28 7
164. Compré cierto número de libros a 6 por 7 pesos y otro número igual a 17
por 19 pesos. Los vendí todos a 3 por 4 pesos, gané 117 pesos. ¿Cuántos
libros compré en total?
Forma 1
Sean x grupos de 6 libros e y grupos de 17 libros comprados. El costo total
será 7 x + 19 y pesos y el número total de libros será 6x + 17 y.
Conceptos fundamentales del Álgebra
220
Si todos los libros son vendidos a 3 por 4 pesos, el precio de venta unitario
4 pesos 4 pesos
4
será
y la recaudación total será ( 6 x + 17 y ) pesos.
=
3 libros 3 libro
3
Si la utilidad fue 117 pesos, tendremos:
( 6 x + 17 y )
4
− ( 7 x + 19 y ) = 117
3
Por 3
24 x + 68 y − 21x − 57 y = 351
3x + 11y = 351
( )
Como el número de libros en cada grupo es el mismo, se cumplirá que:
6 x = 17 y
( )
De ( )
6 x + 22 y = 702
( )
(  ) en ( ) :
17 y + 22 y = 702
39 y = 702
y = 18  x = 51
El número total de libros comprados será 6 ( 51) + 17 (18 ) = 612.
Forma 2
Tenemos:
 6 libros A cuestan 7 pesos

 17 libros B cuestan 19 pesos
Conceptos fundamentales del Álgebra
221
O mejor, (por 17 y por 6):
 102 libros A cuestan 119 pesos

 102 libros B cuestan 114 pesos
Es decir, 204 libros cuestan 233 pesos en total.
Si se venden 3 libros por 4 pesos, la recaudación en los 204 libros será
4
204  = 272 pesos.
3
En cada 204 libros negociados, se gana 272 − 233 = 39 pesos.
Como se quiere ganar 117 pesos, se deberán negociar 117 39 = 3 grupos de
204 libros. Es decir, se compraron 3 204 = 612 libros.
165. El consumo de café es el 20% del consumo de té. Si se consumiera a%
más de té y b% más de café, el aumento del consumo total sería 7c%, pero
si se consumiera b% más de té y a% más de café, el aumento sería 3c%.
Determine la relación a b .
Forma 1
Sea 5x el consumo de té y x, el consumo de café.
De acuerdo con los datos tendríamos:
100 + a
100 + b
100 + 7c 
(5x ) +
( x ) = 
 (5x + x )
100
100
 100 
a 
b 
7c 



1 +
 ( 5 x ) + 1 +
 x = 1 +
 (6x)
 100 
 100 
 100 
5ax
bx
42cx
5x +
+x+
= 6x +
100
100
100
Por 100:
5ax + bx = 42cx
5a + b = 42c
Asimismo:
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
222
100 + b
100 + a
100 + 3c 
(5x ) +
( x ) = 
 (5x + x )
100
100
 100 
b 
a 
3c 



1 +
 ( 5 x ) + 1 +
 ( x ) = 1 +
 (6x)
100
100
100






5bx
ax
18cx
5x +
+x+
= 6c +
100
100
100
Por 100:
5bx + ax = 18cx
5b + a = 18c
( )
De ( ) :
c=
5a + b
42
c=
5b + a
18
De (  ) :
Igualemos:
5a + b 5b + a
=
42
18
3 ( 5a + b ) = 7 ( 5b + a )
15a + 3b = 35b + 7 a
8a = 32b
a 32
=
b 8
a
=4
b
Forma 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
223
Sea 5x el consumo de té y x, el consumo de café, con un consumo total de
6x.
En el primer caso, el aumento de 5x en a% equivale a considerar un
aumento de x en 5a%, mientras que el aumento de 6x en 7c% significa
un aumento de x en 6 ( 7c% ) = 42c%.
Por lo tanto, al aumentar x en 5a% (té) y x en b% (café), x aumentará en
42c% (té y café):
5a% + b% = 42c%
5a + b = 42c
(  )
En el segundo caso, el aumento de 5x en b% implica un aumento de x en
5b%, mientras que el aumento de 6x en 3c% corresponde a un aumento de
x en 6 ( 3c% ) = 18c%.
Entonces, al aumentar x en 5b% (té) y x en a% (café), x aumentará en
18c% (té y café):
5b% + a% = 18c%
5b + a = 18c
(  )
(  ) + (   ) :
6a + 6b = 60c
Por 0.7 :
4.2a + 4.2b = 42c
De (  ) y (   ) :
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
224
5a + b = 4.2a + 4.2b
0.8a = 3.2b
a 3.2
=
b 0.8
a
=4
b
166. Un fabricante elabora tres tipos de productos, A, B y C. Las utilidades
que obtiene por cada unidad vendida de A, B y C, son $1, $2 y $3,
respectivamente. Los costos fijos ascienden a $17,000 por año y los costos de
fabricación de cada unidad de A, B y C, son $4, $5 y $7, respectivamente.
Para el siguiente año se deberá fabricar y vender un total de 11,000 unidades
de los tres productos y se deberá obtener una utilidad total del 31.25%. Si los
costos totales deben ser $80,000, ¿cuántas unidades del producto A se deben
fabricar el próximo año?
Sean x, y, z , las cantidades que se deben producir de los productos A, B y
C, respectivamente.
La utilidad total será 31.25%  80,000 = 25,000 dólares, entonces:
x + y + z = 11, 000
1x + 2 y + 3z = 25, 000
( )
( )
4 x + 5 y + 7 z + 17, 000 = 80, 000  4 x + 5 y + 7 z = 63, 000
( ) + (  ) :
2x + 3 y + 4z = 36,000  3 y + 4z = 36,000 − 2x
( ) + (  ) :
5x + 6 y + 8z = 74,000  6 y + 8z = 74,000 − 5x
Entonces:
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
225
74, 000 − 5 x = 2 ( 36, 000 − 2 x )
74, 000 − 5 x = 72, 000 − 4 x
x = 2, 000
167. Se compran 3 lotes de sillas por un total de $5,880. El precio de cada
silla en el primer lote es $2 más que en el segundo y $4 menos que en el
tercero. En el primer lote hay 6 sillas más que en el segundo y 5 menos que
en el tercero. Si en el primer lote se gasta $300 más que en el segundo,
encontrar las cantidades de sillas en cada lote y el precio unitario respectivo.
Sean x e y, el precio de cada silla (dólares) y la cantidad de sillas en el
primer lote, respectivamente.
De acuerdo con el enunciado, elaboremos la siguiente tabla:
Lote
1
2
3
Precio unitario
(dólares)
x
x−2
x+4
Cantidad de sillas
y
y −6
y +5
Como el gasto en el lote 1 es igual al gasto en el lote 2 más 300 dólares:
xy = ( x − 2 )( y − 6 ) + 300
xy = xy − 6 x − 2 y + 312
6 x + 2 y = 312
3x + y = 156
y = 156 − 3x
( )
Como el gasto total es 5,880 dólares:
xy + ( x − 2 )( y − 6 ) + ( x + 4 )( y + 5) = 5,880
3xy − x + 2 y + 32 = 5,880
3xy − x + 2 y = 5,848
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
226
De ( ) en (  ) :
3 x (156 − 3 x ) − x + 2 (156 − 3 x ) = 5,848
468 x − 9 x 2 − x + 312 − 6 x = 5,848
9 x 2 − 461x + 5,536 = 0
x=
461  4612 − 4 ( 9 )( 5,536 )
2 (9)
461  115
18
 y = 60
 32
x=
 19.22  y = 98.34 
x=
x = 32 e y = 60
La respuesta es:
Lote
1
2
3
Precio unitario
(dólares)
32
30
36
Cantidad de sillas
60
54
65
168. En vista del incumplimiento de un agente vendedor, dos comerciantes de
maletines deciden ir a comprar directamente al mayorista, llevando suficiente
dinero para comprar 50 y 30 maletines, respectivamente. En el mayorista se
dan con la sorpresa de que por la compra por docenas existe un significativo
descuento, con lo cual el primero compra 5 docenas y le sobra 90 soles, en
cambio el segundo compra 4 docenas, pero debe abonar además 108 soles. Si
anteriormente su ganancia era del 15%, se pide calcular cuál será la ganancia
de cada comerciante al vender todo lo comprado al precio fijado
anteriormente.
Forma 1
Sea x el costo de cada maletín si lo adquieren del agente vendedor e y, el
costo de cada maletín si lo adquieren del mayorista.
Conceptos fundamentales del Álgebra
227
El primer comerciante debió llevar 50x soles para pagarle al agente
vendedor; en cambio, si quisiera comprar directamente del mayorista debiera
llevar 60 y soles. Como se ahorraría 90 soles:
50 x − 60 y = 90
5x − 6 y = 9
( )
El segundo comerciante debió llevar 30x soles para pagarle al agente
vendedor; en cambio si quisiera comprar directamente del mayorista debiera
llevar 48y soles y 108 soles más, es decir:
48 y = 30 x + 108
30 x − 48 y = −108
5 x − 8 y = −18
( )
De ( ) − (  ) :
2 y = 27
y = 13.5  x = 18
Si la ganancia es el 15% del costo, entonces el precio de venta es
1.15 18 = 20.7 soles. La ganancia real por cada maletín será
20.7 −13.5 = 7.2 soles. Los comerciantes ganarán 60  7.2 = 432 soles y
48 7.2 = 345.6 soles.
Forma 2
Sea C el costo de cada maletín, si es adquirido del mayorista y  el ahorro
en cada maletín.
Primer comerciante
50
50
10
Conceptos fundamentales del Álgebra
228
En la compra de los 50 primeros maletines ahorra 50. Esta cantidad servirá
para comprar 10 maletines adicionales del mayorista 10C y aún así sobrarán
90 soles, entonces:
50 = 10C + 90
Segundo comerciante
30
30
18
En la compra de los 30 primeros maletines ahorra 30. Esta cantidad servirá
para comprar 18 maletines adicionales del mayorista 18C si se abonase 108
soles más, entonces:
30 +108 = 18C
50 = 10C + 90




30 + 108 = 18C
( )
( )
0.6 ( ) :
30 = 6C + 54
Al igualar 30 :
6C + 54 = 18C − 108
12C = 162
C = 13.5   = 4.5
El costo inicial era C +  = 13.5 + 4.5 = 18 soles. El precio de venta,
1.15 18 = 20.7 soles. La ganancia en cada maletín, 20.7 −13.5 = 7.2 soles.
Los comerciantes ganarán 60  7.2 = 432 y 48 7.2 = 345.6 soles.
Conceptos fundamentales del Álgebra
229
169. Si aumentan el precio de los libros en S/.4, dejaría de adquirir 4. Si a
continuación me prestaran S/.80, adquiriría tantos libros como al principio.
¿Cuál es la suma de dinero con la que cuento para comprar libros?
Forma 1
Sean x, el precio original de cada libro, y, el número de libros adquiridos
inicialmente y, xy, la suma de dinero con la que se cuenta.
Entonces, el nuevo precio de cada libro es x + 4 y la nueva cantidad de libros
adquiridos, y − 4. De donde:
xy = ( x + 4 )( y − 4 )
(1)
Además, al nuevo precio por libro x + 4, el número de libros adquiridos con
80 soles más es y, entonces:
( x + 4 ) y = xy + 80
y = 20
( 2)
De ( 2 ) en (1)
20 x = ( x + 4 )(16 )
x = 16
Se tenía xy = 16 ( 20 ) = 320 soles al inicio.
Forma 2
Sea S , la suma inicial de dinero en soles, x, el precio inicial de cada libro,
S
entonces
es el número de libros adquiridos, x + 4 es el precio aumentado
x
S
de cada libro y
es el número de libros adquiridos al nuevo precio.
x+4
Entonces:
Conceptos fundamentales del Álgebra
S
S
= −4
x+4 x
Si me prestan 80 soles, tendría S + 80 soles y
230
(1)
S + 80
sería el número de
x+4
libros adquiridos con el préstamo. Por lo tanto:
S + 80 S
=
x+4
x
( 2)
Que equivale a:
S
80
S
+
=
x+4 x+4 x
( 3)
De ( 3 ) − (1)
80
=4
x+4
x = 16
De donde
S
S
= −4
20 16
4 S = 5S − 320
S = 320 soles
Forma 3
Al precio unitario de p soles adquiero x libros.
Al precio unitario de p + 4 soles adquiero x − 4 libros.
Al precio unitario de p + 4 soles, con 80 soles adquiero 4 libros.
Conceptos fundamentales del Álgebra
231
Entonces al precio unitario de p + 4 soles, con 20 soles adquiero 1 libro,
luego 1 libro cuesta 20 − 4 = 16 soles.
Al aumentar el precio por libro de 16 a 20 soles, dejo de adquirir 4 libros que
costaban 4 16 = 64 soles en total.
Esta suma equivale a lo que gastaría adicionalmente al adquirir x libros que
cuestan 4 soles más cada uno. Entonces
64 = 4 x
x = 16
Es el número de libros que adquirí con el precio aumentado, por lo tanto
compré 16 + 4 = 20 libros inicialmente, entonces inicialmente tenía
S = 20 16 = 320 soles
170. Un estante de libros tiene capacidad para 50 libros de economía, 20 de
contabilidad y 20 de administración, o para 40 de economía, 40 de
contabilidad y 12 de administración, o para 20 de economía, 30 de
contabilidad y 26 de administración. ¿Cuántos libros de economía entrarían
en el estante?
Sean E, C  A, los anchos de cada libro de economía, contabilidad y
administración, respectivamente.
El ancho L del estante es
50 E + 20C + 20 A = L
40 E + 40C + 12 A = L
20 E + 30C + 26 A = L
(1)
( 2)
( 3)
Entonces, de (1) y ( 2 ) :
50 E + 20C + 20 A = 40 E + 40C + 12 A
10 E + 8 A = 20C
( 4)
Conceptos fundamentales del Álgebra
232
De ( 2 ) y ( 3 ) :
40 E + 40C + 12 A = 20 E + 30C + 26 A
20 E + 10C = 14 A
(5)
10 E + 5C = 7 A
De ( 4 ) − ( 5 )
8 A − 5C = 20C − 7 A
15 A = 25C
C=
3
A
5
(6)
De ( 4 ) + 4  ( 5 ) :
10 E + 8 A + 4 (10 E + 5C ) = 20C + 4 ( 7 A )
50 E + 8 A + 20C = 20C + 28 A
50 E = 20 A
A=
5
E
2
(7)
De ( 7 ) en ( 6 ) :
3 5  3
C =  E = E
5 2  2
(8)
De ( 7 ) y ( 8 ) en (1) :
L = 50 E + 20C + 20 A
3 
5 
L = 50 E + 20  E  + 20  E 
2 
2 
L = 50 E + 30 E + 50 E
L = 130 E
Conceptos fundamentales del Álgebra
233
Por lo tanto, caben 130 libros de economía.
171. Cuatro hombres y una mujer realizan un trabajo que exige esfuerzo
físico en 24 días. Si se aumentaran un hombre y una mujer, el mismo trabajo
lo realizarían en 18 días. ¿En cuántos días harán el trabajo los cuatro hombres
solos?
Forma 1
Sean x e y, el número de días que tardaría un hombre y una mujer,
respectivamente, en concluir el trabajo.
1
1
En un día, un hombre avanzaría
de la obra y una mujer,
de la obra.
y
x
1 1
4 hombres y 1 mujer avanzarían 4   + 1  de la obra en 1 día.
 x  y
1
Como ellos demoran 24 días, en un día avanzarán
de la obra.
24
Entonces:
4 1 1
+ =
x y 24
( )
5 2 1
+ =
x y 18
( )
Además:
2 ( ) − (  ) :
3 1 1
= −
x 12 18
3 3− 2
=
x
36
3 1
=
x 36
x = 108 días
Conceptos fundamentales del Álgebra
234
 1  1
Los 4 hombres avanzarían 4 
de la obra en 1 día; por lo tanto,
=
 108  27
demorarían 27 días en concluir el trabajo.
Forma 2
Sea la eficiencia de la mujer como k y la del hombre como 1.
Trabajadores
4k + 1(1)
Tiempo
24
5k + 2 (1)
18
Como el tiempo que requieren para realizar la obra varía en forma
inversamente proporcional al número de trabajadores:
4k + 1 18
=
5k + 2 24
96k + 24 = 90k + 36
6k = 12
k=2
Entonces, el tiempo que demorarían los cuatro hombres sería t :
4 ( 2) + 1
4 ( 2)
=
t
24
8t = 9  24
t = 27 días
Forma 3
1
4
=
18 72
1
3
En 1 día, 4 hombres y 1 mujer avanzan
=
24 72
Por comparación (diferencia) de ( ) y (  ) :
En 1 día, 5 hombres y 2 mujeres avanzan
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
En 1 día, 1 hombre y 1 mujer avanzan
235
1
72
( )
Por comparación (diferencia) de (  ) y (  ) :
2
1
=
72 36
En 1 día, 3 hombres avanzan
En 1 día, 1 hombre avanza
1 1 
1
 =
3  36  108
En 1 día, 4 hombres avanzan
4
1
=
108 27
Por lo tanto, 4 hombres harán la obra en 27 días.
Forma 4
Asumimos que la obra consiste en remover 144 m3 de tierra (144 es el MCM
de 24 = 23  3 y de 18 = 2  32 )
144
= 6 m3 al día.
24
144
5 hombres y 2 mujeres removerían
= 8 m3 al día.
18
4 hombres y 1 mujer removerían
Por comparación (diferencia):
1 hombre y 1 mujer removerían 2 m 3 al día.
Por comparación (diferencia):
3 hombres removerían 4 m 3 al día.
1 hombre removería
4 3
m al día.
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
4 hombres removerían
236
16 3
m al día.
3
Por lo tanto, 4 hombres harían la obra en
144 432
=
= 27 días.
16 3 16
172. Dos carpinteros A y B pueden completar un pedido de sillas trabajando
juntos durante 15 días. Si A trabaja solo durante 11 días, B terminaría el
pedido (también solo) en 18 días. Si B trabajara solo durante 12 días, ¿en qué
tiempo completaría A el pedido de sillas?
Forma 1
Sean x e y los números de días que requieren A y B, respectivamente, para
completar el pedido si trabajasen solos.
1
1
En cada día, A haría
del pedido y B, .
y
x
Si en 15 días, A y B trabajando juntos completan el pedido:
1 1 1
+ =
x y 15
( )
Si A trabajara solo durante 11 días y B trabajara solo durante 18 días:
1
1
11  + 18   = 1
x
 
 y
De ( )
1 1 1
= −
y 15 x
En (  )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
237
1
 1 1
11  + 18  −  = 1
x
 15 x 
11 18
18
− = 1−
x x
15
7
3
− =−
x
15
7 1
=
x 5
x = 35 días
Entonces
1 1 1
= −
y 15 35
1 7−3
=
y 105
1
4
=
y 105
105
y=
días
4
 4  16
Si B trabajara solo durante 12 días, avanzaría 12 
del pedido.
=
 105  35
16 19
Faltaría por hacerse 1 − =
del pedido.
35 35
19 35
1
= 19
Como A avanza
del pedido en cada día, requerirá trabajar
1 35
35
días.
Forma 2
Comparemos las situaciones siguientes:
A en 15 días + B en 15 días  1 pedido
A en 11 días + B en 18 días  1 pedido
Conceptos fundamentales del Álgebra
238
De donde, lo que A avanza en 15 −11 = 4 días, B lo realiza en 18 −15 = 3
días.
A en 15 días + B en 15 días  1 pedido
A en (15+4 ) días + B en (15-3) días  1 pedido
Es decir, si B trabajara solo durante 12 días, A tendría que trabajar
15 + 4 = 19 días para completar el pedido.
173. Un padre y un hijo pintan una cerca en 2 92 días. En la semana siguiente
pintaron otra cerca igual, trabajando primero el padre solo durante 3 días y
continuando el hijo, también solo, durante 1 14 días. ¿Cuánto tardará cada uno
en pintar dicha cerca?
Forma 1
Si el padre y el hijo demoran x e y días en pintar la cerca, en cada día
avanzarán
1
1
y
de la cerca, respectivamente.
y
x
Como juntos la terminan de pintar en 2 92 =
20
días, en cada día avanzarán
9
1
9
=
de la cerca.
20 9 20
Entonces:
1 1 9
+ =
x y 20
1 9 1
=
−
y 20 x
Además:
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
239
1
1
3   + 1 14   = 1
x
 
 y
3 5
+
=1
x 4y
( )
De ( ) en (  ) :
3 5 9 1
+  −  =1
x 4  20 x 
3 9 5
+ −
=1
x 16 4 x
Por 16x :
48 + 9 x − 20 = 16 x
7 x = 28
x=4 
El padre demorará 4 días y el hijo, 5 días.
Forma 2
Al comparar:
A:
P
H
20
días
9
20
días
9
y B:
3 días
P
H
5
días
4
1 9 1 1
=
− =
y 20 4 5
Conceptos fundamentales del Álgebra
240
20 7
días más en el segundo caso
=
9 9
20 5 35
mientras que el hijo trabajó
días menos en B que en A.
− =
9 4 36
7 28
Ello significa que lo que avanza el padre en =
días equivale a lo que
9 36
35
avanza el hijo en
días.
36
Si x días demora el padre en pintar la cerca e y días demora el hijo, se
tendrá que:
se concluye que el padre trabajó 3 −
x
y
=
28 36 35 36
x
y
=
28 35
x 4
=
y 5
Como
1 1 9
+ = , al multiplicar por x :
x y 20
x 9
=
x
y 20
4 9
1+ =
x
5 20
9 9
=
x
5 20
x = 4 días  y = 5 días
1+
174. Entre tres personas pueden hacer una obra en 96 17 horas. Si la más
lenta trabaja sola durante 4 horas, las dos restantes tendrían que trabajar
juntas durante 6 horas para concluir la obra. Si la más rápida trabaja sola
Conceptos fundamentales del Álgebra
241
durante 3 horas, las dos restantes tendrían que trabajar juntas durante 8 horas
para concluir la obra. ¿Cuánto tarda cada persona trabajando sola para hacer
dicha obra?
Sean x, y, z, el número de horas que tardan A, B y C en hacer la obra,
respectivamente.
Si x  y  z, entonces A es quien trabaja más lento y C, quien trabaja más
rápido.
Si juntas demoran 96 17, entonces en una hora avanzarán 17 96 de la obra.
En una hora A avanza
1
1
1
de la obra; B,
y C, .
y
x
z
Entonces:
1 1 1 17
+ + =
x y z 96
( )
Además, de acuerdo con los datos:
1 1 1
4  + 6  + 6  = 1
 x  y  z
( )
1  1 1
8   + 8   + 3  = 1
 x  y  z
( )
y
Cambiemos de variables:
1
1
1
= p,
= q, = r
x
y
z
El sistema será:
Conceptos fundamentales del Álgebra
242
17

p+q+r =

96

 4 p + 6q + 6r = 1

 8 p + 8q + 3r = 1

( )
( )
( )
De (  ) :
q+r =
1− 4 p
6
( )
En ( ) :
17
96
1 − 4 p 17
p+
=
6
96
96 p + 16 (1 − 4 p ) = 17
p + (q + r ) =
96 p + 16 − 64 p = 17
32 p = 1
p=
1 1
=  x = 32 horas
32 x
De (  ) :
p+q =
En ( ) :
1 − 3r
8
Conceptos fundamentales del Álgebra
243
17
96
1 − 3r
17
+r =
8
96
12 (1 − 3r ) + 96r = 17
( p + q) + r =
12 − 36r + 96r = 17
60r = 5
1 1
r=
=  z = 12 horas
12 z
En ( ) :
1
1 17
+q+ =
32
12 96
Por 96:
3 + 96q + 8 = 17
96q = 6
q=
1 1
=  y = 16 horas
16 y
175. Se compraron 7 cajas de disquetes A y 4 cajas de disquetes B por $564.
¿Cuánto cuesta cada caja de disquetes B si se sabe que se ahorraría $62 si se
intercambiasen los números de cajas, y se cobrase $10 más en cada caja de
disquetes B y $15 menos en cada caja de disquetes A?
Forma 1
Sean x e y los precios de una caja de disquetes A y B, respectivamente. De
acuerdo con el enunciado tendremos:
7 x + 4 y = 564


4 ( x − 15 ) + 7 ( y + 10 ) = 564 − 62
Es decir:
Conceptos fundamentales del Álgebra
244
 7 x + 4 y = 564

 4 x + 7 y = 492
De donde:
 28 x + 16 y = 2256

 28 x + 49 y = 3444
Restándolas:
33x = 1188
x = 36
Cada caja de disquetes B costaría $36.
Forma 2
Tenemos las dos situaciones siguientes
 7A y 4B cuestan $564

 4A y 7B se ahorran $62
En donde:
A = A − 15
B = B + 10
en las que no es posible compararlas porque los precios han variado de una
situación a la otra.
Si en la segunda situación, el precio de cada una de las 4 cajas de disquetes A
no se hubiese rebajado en $15, el ahorro sería menor y de solamente
62 − 4 15 = 2 dólares. Si además, el precio de cada una de las 7 cajas de
disquetes B no se hubiese aumentado en $10, el ahorro sería mayor y
ascendería a 2 + 7 10 = 72 dólares.
Significa que:
Conceptos fundamentales del Álgebra
245

 7A y 4B cuestan 564


 4A y 7B cuestan 564 − 72 = 492
(i )
( ii )
Considerando que en la segunda situación se mantienen los precios de la
primera situación.
Comparémoslas:
3 cajas de disquetes B cuestan $72 menos que 3 cajas de disquetes A.
1 caja de disquetes B cuesta $24 menos que 1 caja de disquetes A.
1 caja de disquetes A cuesta $24 más que 1 caja de disquetes B.
Si en la situación ( i ) disminuyéramos el precio de cada una de las 7 cajas de
disquetes A en $24, el precio de cada una de las 7 + 4 = 11 cajas de disquetes
sería el correspondiente al precio de cada caja de disquetes B.
Esto es:
11 cajas de disquetes B costarían 564 − ( 7  24 ) dólares
11 cajas de disquetes B costarían 396 dólares
1 caja de disquetes B costaría 36 dólares
176. 5180 jóvenes asistieron a un concierto de rock y se observó que por cada
4 chicas que fueron a platea, había 1 chico en platea, y que por cada 2 chicos
que fueron a mezanine, había 5 chicas en mezanine. Si ellos pagan $10 y $8
en mezanine y platea, respectivamente, y ellas pagaron $8 y $6, ¿cuántas
chicas más que chicos fueron al concierto si se sabe que la recaudación total
fue $39,840?
Forma 1
De los datos del problema, podemos asumir lo siguiente:
Mezanine
Platea
Nº de chicos
2x
1y
Nº de chicas
5x
4y
Total 5,180 jóvenes.
Precio de entrada ($)
Chicos
Chicas
Conceptos fundamentales del Álgebra
Mezanine
Platea
246
10
8
8
6
Total $39,840.
Entonces:
2 x + 5 x + 1 y + 4 y = 5,180


 2 x (10 ) + 5 x ( 8 ) + 1 y (8 ) + 4 y ( 6 ) = 39,840
Es decir:
 7 x + 5 y = 5,180

 60 x + 32 y = 39,840
Despejemos x :
5,180 − 5 y
7
39,840 − 32 y
x=
60
310,800 − 300 y = 278,880 − 224 y
x=
76 y = 31,920
y = 420  x = 440
La diferencia entre el número de chicas y chicos que asistió al concierto será:
D = ( 5 x + 4 y ) − ( 2 x + 1y )
D = 3x + 3 y = 3 ( x + y )
D = 3 ( 440 + 420 ) = 2,580 jóvenes
Forma 2
Consideremos un grupo de 7 jóvenes que va a mezanine, formado por 2
chicos y 5 chicas: grupo M paga ( 2 10 ) + ( 5  8 ) = 60 dólares. Asimismo, un
grupo de 5 jóvenes que va a platea, formado por 1 chico y 4 chicas: grupo P
paga (1 8) + ( 4  6 ) = 32 dólares.
Conceptos fundamentales del Álgebra
247
Supongamos que los 5,180 jóvenes corresponden a 5,180 7 = 740 grupos M,
los cuales pagarían 740  60 = $44, 400 en total.
Como hay una diferencia entre los montos real y supuesto de
DT = 44,400 − 39,840 = 4,560 dólares, habrá que disminuir este monto
cambiando 5 grupos M por 7 grupos P (35 jóvenes en cada grupo).
Por cada cambio de los señalados, dejan de pagar
DU = ( 5  60 ) − ( 7  32 ) = $76
De donde el número de cambios que deberá hacerse será
DT 4,560
=
= 60
DU
76
Entonces, el número de grupos M será 740 − ( 5  60 ) = 440 y el de grupos P,
7  60 = 420.
El número de chicas será
( 440  5) + ( 420  4 ) = 3,880 y el de chicos,
( 440  2 ) + ( 420 1) = 1,300.
La diferencia solicitada será 3,880 −1,300 = 2,580.
177. El stock de tarjetas telefónicas en un local comercial es 1,200, repartidas
en paquetes de decenas, docenas y quincenas, que cuestan 23, 29 y 32 pesos
cada paquete, respectivamente. ¿Cuántos paquetes son de doce tarjetas si el
importe total es 2,736 pesos y se sabe que es igual el número de tarjetas
contenidas en todos los paquetes de quince que el número de tarjetas
contenidas en todos los paquetes de doce?
Forma 1
Del último dato se deduce que el número de paquetes de 15 tarjetas puede
considerarse como 12x y el número de paquetes de 12 tarjetas puede
asumirse como 15 x, (en ambos casos contendrían 15 (12 x ) = 12 (15 x ) = 180 x
tarjetas).
Entonces:
Conceptos fundamentales del Álgebra
248
Tarjetas
paquete
Nº de paquetes
Nº de tarjetas
10
12
15
z
15x
12x
y
180x
180x
1,200
A
B
C
 pesos 
Precio 

 paquete 
23
29
32
Se desprende que:
y = 1, 200 − 180 x − 180 x
y = 1, 200 − 360 x tarjetas
y = 10 z
y
z=
10
1, 200 − 360 x
z=
10
z = 120 − 36 x paquetes
Calculemos el importe total:
23 (120 − 36 x ) + 29 (15 x ) + 32 (12 x ) = 2, 760 − 828 x + 435 x + 384 x
= 2, 760 − 9 x pesos
De donde:
2, 760 − 9 x = 2, 736
9 x = 24
24
x=
9
8
x=
3
El número de paquetes de 12 tarjetas cada uno será 15 x = 15 ( 8 3) = 40.
Forma 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
249
Consideremos que se tienen paquetes A de 10 tarjetas telefónicas cada uno y
paquetes D formados por 4 de 15 tarjetas y 5 de 12 tarjetas (el total de tarjetas
en paquetes de 15 y 12 tarjetas es el mismo: 4 15 = 512 = 60 ).
Entonces:
Tarjetas
paquete
A
D
10
60 + 60 = 120
 pesos 
Precio 

 paquete 
23
( 4  32 ) + ( 5  29 ) = 273
1,200 tarjetas
2,736 pesos
1, 200
= 120 paquetes A. El importe total sería
10
120  23 = 2,760 pesos. Sin embargo, hay una diferencia (exceso)
DT = 2,760 − 2,736 = 24 pesos.
Supongamos que se tienen
Si cambiamos 12 paquetes A que contienen 12 10 = 120 tarjetas por 1
paquete D que también contiene 120 tarjetas, el precio disminuirá en
DU = (12  23) − (1 273) = 3pesos cambio. El número de cambios será
DT 24
=
= 8.
DU 3
Por lo tanto, serán 8 paquetes D que contendrán a 8 5 = 40 paquetes de 12
tarjetas cada uno.
178. Se adquirieron 170 libros de aritmética, economía y geografía. ¿De qué
materia se compraron más libros si los paquetes A, B y C contienen las
cantidades de libros que figuran en el cuadro adjunto y se sabe que hay doble
número de paquetes de A que de C y que el número de libros de aritmética
excede en uno a los de economía?
Materia
A
B
C
Conceptos fundamentales del Álgebra
250
Aritmética
Economía
Geografía
3
3
2
3
4
3
4
2
3
Forma 1
Sean 2x, y  z, las cantidades de paquetes A, B y C, respectivamente.
En cada paquete A hay 3 + 3 + 2 = 8 libros; en cada paquete B, 10 libros y en
cada paquete C, 9 libros.
Como hay 170 libros en total:
8 ( 2 x ) + 10 ( y ) + 9 ( x ) = 170
25 x + 10 y = 170
( )
El número de libros de aritmética es 3 ( 2 x ) + 3 ( y ) + 4 ( x ) = 10 x + 3 y.
El número de libros de economía es 3 ( 2 x ) + 4 ( y ) + 2 ( x ) = 8 x + 4 y.
5 x + 2 y = 34
Como hay 1 libro más de aritmética que de economía:
10 x + 3 y − (8 x + 4 y ) = 1
2x − y = 1
y = 2x −1
( )
De (  ) en ( ) :
5 x + 2 ( 2 x − 1) = 34
9 x = 36
x=4  y=7
Son 8 paquetes A, 7 paquetes B y 4 paquetes C.
El número de libros de cada materia es
Materia
Aritmética
Número de libros
8 ( 3) + 7 ( 3) + 4 ( 4 ) = 61
Economía
8 ( 3) + 7 ( 4 ) + 4 ( 2 ) = 60
Geografía
8 ( 2 ) + 7 ( 3) + 4 ( 3) = 49
Conceptos fundamentales del Álgebra
251
De aritmética se adquirieron más libros.
Forma 2
Agrupemos dos paquetes A con un paquete C para formar paquetes D. El
número de libros de cada materia en los paquetes D y B será:
Materia
Aritmética
D
2 ( 3) + 1( 4 ) = 10
B
3
Economía
2 ( 3 ) + 1( 2 ) = 8
4
Geografía
2 ( 2 ) + 1( 3) = 7
3
25
10
Número de libros
Supongamos que los 170 libros corresponden a 170 10 = 17 paquetes B.
Calculemos cuántos libros serán de aritmética y cuántos de economía:
Aritmética
Economía
Diferencia
Número de libros
17  3 = 51
17  4 = 68
arit. − econ. = −17
Como la diferencia arit. − econ. debe ser +1, habrá que compensar dicha
diferencia en 1 − ( −17 ) = 18 libros. Habrá que cambiar 5 paquetes B por 2
paquetes D, es decir 510 = 50 libros del paquete B por 2  25 = 50 libros
del paquete D.
Analicemos cuántos libros más de aritmética que de economía habrá en cada
cambio de los descritos anteriormente:
Aritmética
Economía
Arit. − Econ.
5 paquetes B
5 3 = 15
5  4 = 20
-5
2 paquetes D
2 10 = 20
2 8 = 16
4
En cada cambio de los descritos, habrá 4 − ( −5 ) = 9 libros más de aritmética
que de economía.
Entonces, el número de cambios que habrá que efectuar será 18 9 = 2.
De donde:
Conceptos fundamentales del Álgebra
252
 Número de paquetes A = 2  4 = 8
Número de paquetes D: 2  2 = 4  
 Número de paquetes C = 1 4 = 4
Número de paquetes B: 17 − 2 ( 5) = 7
Serán 8A, 7B y 4C como antes y 61 de aritmética, 60 de economía y 49 de
geografía, por lo tanto de aritmética se compraron más libros.
179. Cierta compañía de alquiler de videos los ha clasificado en películas
cómicas, dramáticas y de suspenso. En total tiene 588 títulos distintos de
películas repartidos entre sus cuatro locales. El número de títulos de películas
de cada tipo, en cada uno de sus locales, está en relación a los números
indicados en el cuadro adjunto.
Tipo
Cómica
Dramática
Suspenso
A
3
2
4
Local
B C
4 5
4 3
5 3
D
4
5
2
Si se sabe que:
B tiene 18 películas dramáticas más que A.
D tiene 31 películas dramáticas más que C.
A y B tienen juntos 6 películas menos que C y D, también
juntos.
¿Cuántos títulos de películas dramáticas hay en cada sucursal?
Forma 1
Supongamos que el número de películas de cada tipo en cada uno de los
locales es como sigue:
Tipo
A
B
Local
C
D
Conceptos fundamentales del Álgebra
Cómica
Dramática
Suspenso
Total por local
253
3x
2x
4x
9x
4y
4y
5y
13y
5z
3z
3z
11z
4u
5u
2u
11u
Formamos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas a partir de los datos del
problema:
 9 x + 13 y + 11z + 11u = 588
( )

4 y − 2 x = 18
( )


5u − 3 z = 31
( )


9 x + 13 y + 6 = 11z + 11u
( )

( ) + (  ) :
18 x + 26 y + 6 = 588
9 x + 13 y = 291
( )
De (  ) :
y=
En (  ) :
9+ x
2
13
( 9 + x ) = 291
2
18 x + 117 + 13 x = 582
9x +
31x = 465
x = 15  y = 12
En (  ) :
9 (15) + 13 (12 ) + 6 = 11z + 11u
297 = 11z + 11u
z + u = 27
z = 27 − u
En (  ) :
Conceptos fundamentales del Álgebra
254
5u − 3 ( 27 − u ) = 31
8u = 31 + 81
8u = 112
u = 14  z = 13
El número de películas dramáticas en cada local será:
A : 2 x = 2 (15 ) = 30
B : 4 y = 4 (12 ) = 48
C : 3z = 3 (13) = 39
D : 5u = 5 (14 ) = 70
Forma 2
Si el número total de películas es 588 y hay 6 más en C y D que en A y B, se
tendrá:
588 6
C y D 
+ = 297 películas
2
2
588 6
A y B 
− = 291 películas
2
2
El número de películas de cada tipo por lote en los locales C y D es:
Tipo
Cómica
Dramática
Suspenso
Total
C
5
3
3
11
D
4
5
2
11
Supongamos que hay 297 11 = 27 lotes D y 0 lotes C. Habrá 27  5 = 135
películas dramáticas más en D que en C. Como la diferencia debe ser 31,
habrá una diferencia total de 135 − 31 = 104.
Si cambiamos un lote D por un lote C (ambos tienen el mismo número de
películas por lote), la diferencia unitaria será 3 − ( −5 ) = 8 películas. De
donde, debiéramos hacer 104 8 = 13 cambios. Por lo tanto, se tendrá:
Conceptos fundamentales del Álgebra
255
C  13 lotes  13  3 = 39 películas dramáticas
D  27 − 13 = 14 lotes  14  5 = 70 películas dramáticas
Asimismo, entre A y B hay 291 películas y la distribución por lote es:
Tipo
Cómica
Dramática
Suspenso
Total
A
3
2
4
9
291
5
13
22
B
4
4
5
13
Dividamos
Entonces se tiene 22 lotes B + 5 unidades.
Mejor consideremos 21 lotes B + (13 + 5) unidades, que equivalen a 21 lotes
B + 2 lotes A.
Dramáticas B: 21 4 = 84, A: 2  2 = 4, luego la diferencia supuesta es 80,
pero la diferencia real es 18, entonces la diferencia total es 80 −18 = 62.
Para que no se altere el número total de películas repartidas entre los locales
A y B, cambiemos 9 lotes B por 13 lotes A. El número de películas
dramáticas variará de:
A: aparecerán 13  2 = 26

  DU = 26 − ( −36 ) = 62
B: desaparecerán 9  4 = 36 
El número de cambios de los descritos que habrá que hacer será:
DT 62
=
= 1  añadamos 13 lotes A y quitemos 9 lotes B
DU 62
Entonces, el número de lotes será:
A : 2 + 13 = 15 lotes  15  2 = 30 películas dramáticas
B: 21 − 9 = 12 lotes  12  4 = 48 películas dramáticas
Conceptos fundamentales del Álgebra
256
180. Resolver para x :
3 x ( x − 2a )
x + a x + 2b
+
= 2
x − 2a x − b
x − ( 2a + b ) x + 2ab
Factoricemos el denominador del segundo miembro:
x + a x + 2b
3x 2 − 6ax
+
=
x − 2a x − b
( x − 2a )( x − b )
Restricciones
x  2a, b
Multipliquemos ambos miembros por ( x − 2a )( x − b ) :
( x + a )( x − b ) + ( x + 2b )( x − 2a ) = 3x 2 − 6ax
x 2 + ax − bx − ab + x 2 − 2ax + 2bx − 4ab = 3 x 2 − 6ax
0 = x 2 − 5ax − bx + 5ab
0 = x ( x − 5a ) − b ( x − 5a )
 x=b
0 = ( x − b )( x − 5a )  
 x = 5a
De las restricciones, se deduce que la única raíz es x = 5a.
181. Resolver
m
m+n
n
=
−
mx − 1 ( m + n ) x − 1 nx − 1
Forma 1
Transponemos términos
Conceptos fundamentales del Álgebra
257
m
n
m+n
+
=
mx − 1 nx − 1 ( m + n ) x − 1
m ( nx − 1) + n ( mx − 1)
( mx − 1)( nx − 1)
=
m+n
(m + n) x −1
mnx − m + mnx − n
m+n
=
mx
−
1
nx
−
1
m
+
(
)(
) ( n) x −1
 2mnx − ( m + n )  ( m + n ) x − 1 = ( m + n )( mx − 1)( nx − 1)
2
2mn ( m + n ) x 2 − ( m + n ) + 2mn  x + ( m + n ) = ( m + n ) mnx 2 − ( m + n ) x + 1


mn ( m + n ) x 2 − 2mnx = 0
 x = 0, ó

mnx ( m + n ) x − 2  = 0  
2
 x = m + n
Forma 2
Transponemos términos
m
n
m+n
+
=
mx − 1 nx − 1 ( m + n ) x − 1
mnx − m + mnx − n
m+n
=
mx
−
1
nx
−
1
m
+
(
)(
) ( n) x −1
2mnx − m − n
m+n
=
( mx − 1)( nx − 1) ( m + n ) x − 1
Invirtamos las fracciones:
( mx − 1)( nx − 1) ( m + n ) x − 1
=
2mnx − m − n
m+n
mnx 2 − mx − nx + 1 ( m + n ) x − 1
=
2mnx − m − n
m+n
Sumemos y restemos mnx2 en el numerador de la primera fracción:
Conceptos fundamentales del Álgebra
258
2mnx 2 − mx − nx + 1 − mnx 2 ( m + n ) x − 1
=
2mnx − m − n
m+n
2
2
(m + n) x 1
2mnx − mx − nx
1 − mnx
+
=
−
2mnx − m − n
2mnx − m − n
m+n
m+n
2
1 − mnx
1
x+
= x−
2mnx − m − n
m+n
De donde:
( m + n ) (1 − mnx 2 ) = − ( 2mnx − m − n )
m + n − mnx 2 ( m + n ) + 2mnx − m − n = 0
 x = 0, ó

mn ( m + n ) x = 2mnx  
2
 x = m + n
2
182. Resolver
1
1 1
1
− = −
x− p p q x−q
Efectuemos las operaciones
p − ( x − p)
p ( x − p)
=
( x − q) − q
q ( x − q)
2p − x
x − 2q
=
2
px − p
qx − q 2
2 pqx − 2 pq 2 − qx 2 + q 2 x = px 2 − 2 pqx − p 2 x + 2 p 2 q
( p + q ) x 2 + ( − p 2 − q 2 − 4 pq ) x + ( 2 pq 2 + 2 p 2 q ) = 0
( p + q ) x 2 − ( p 2 + 4 pq + q 2 ) x + 2 pq ( p + q ) = 0
2 pq

ó
 x=
p+q
( p + q ) x − 2 pq   x − ( p + q )  = 0  
 x = p+q

Conceptos fundamentales del Álgebra
259
p − ( x − p)
p ( x − p)
=
( x − q − q)
q ( x − q)
2p − x
x − 2q
=
2
px − x
qx − q 2
2 pqx − 2 pq 2 − qx 2 + q 2 x = px 2 − 2 pqx − p 2 x + 2 p 2 q
( p + q ) x 2 + ( − p 2 − q 2 − 4 pq ) x + ( 2 pq 2 + 2 p 2 q ) = 0
( p + q ) x 2 − ( p 2 + 4 pq + q 2 ) x + 2 pq ( p + q ) = 0
2 pq

ó
 x=
p+q
( p + q ) x − 2 pq   x − ( p + q )  = 0  
 x = p+q

183. Resolver para x la siguiente ecuación:
(1− a ) ( x + a) − 2a (1− x ) = 0
2
2
Forma 1
Efectuemos las operaciones:
x + a − a 2 x − a3 − 2a + 2ax 2 = 0
(
) (
)
2ax 2 + 1 − a 2 x − a3 + a = 0
Apliquemos la fórmula general de las raíces de la ecuación de segundo grado:
Conceptos fundamentales del Álgebra
x=
(
260
) (1 − a ) − 4 ( 2a ) ( −a − a )
− 1 − a2 
2
2
3
2 ( 2a )
x=
−1 + a 2  1 − 2a 2 + a 4 + 8a 4 + 8a 2
4a
x=
−1 + a 2  9a 4 + 6a 2 + 1
4a
x=
(
)
−1 + a 2  3a 2 + 1
4a
De donde:
−1 + a 2 + 3a 2 + 1 4a 2
=
=a
4a
4a
−1 + a 2 − 3a 2 − 1 −2a 2 − 2
a2 + 1
x2 =
=
=−
4a
4a
2a
x1 =
Forma 2
Factoricemos por el método del aspa simple
2ax 2
(
)
(a + a) = 0
+ 1 − a2 x −

3
(
( 2ax )( x )

Escribamos
(
)
2ax + a2 + 1  ( x − a ) = 0


Se comprueba que el término en x es:
(
)
2a ( −a ) + a2 + 1 = 1 − a2
Entonces:
)
−a a 2 + 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
(
261
−a 2 − 1
2a
x−a = 0 → x = a
)
2ax + a 2 + 1 = 0 → x =
184. Resolver la ecuación
x 2 + 3x 2 −
4x 1 2  2x + 5 
− = 
+5
3 3 3 3 
y encontrar el valor entero de x.
Forma 1
Multipliquemos la ecuación dada por 3 (al radical ingresa como 9):
3x 2 + 27 x 2 − 12 x − 3 = 2
( 2 x + 5)
3
4 x 55
2
2
3x + 3 9 x − 4 x − 1 =
+
3
3
4 x 55
3x 2 −
− + 3 9x2 − 4x − 1 = 0
3
3
(
)
(
)
Efectuemos un cambio de variable:
4x 1 2
− =t
3 3
9 x 2 − 4 x − 1 = 3t 2
3x 2 −
Reescribamos la ecuación como:
3x 2 −
(
)
4 x 1 54
− − + 3 9x2 − 4x − 1 = 0
3 3 3
t2
3t
2
( )
t 2 − 18 + 3 3t 2 = 0
t 2 + 3t − 18 = 0
+ 15
Conceptos fundamentales del Álgebra
262
 t = −6
 t =3
( t + 6 )( t − 3) = 0  
Si t = −6
9 x 2 − 4 x − 1 = 108
9 x 2 − 4 x − 109 = 0
 = b 2 − 4ac = 16 + 3,924
 = 3,940
Como  no es cuadrado perfecto, las raíces no podrán ser enteras.
Si t = 3
9 x 2 − 4 x − 1 = 27
9 x 2 − 4 x − 28 = 0
 x = −14 9
 x=2
( 9 x + 14 )( x − 2 ) = 0  
La raíz entera es 2.
Forma 2
3x 2 −
A partir de la ecuación
(
)
4 x 55
− = − 3 9 x2 − 4 x − 1 , elevemos al
3 3
cuadrado ambos miembros:
9 x4 +
16 x 2 3, 025
220 x 

2
+
+ 2  −4 x3 − 55 x 2 +
 = 3 9x − 4x −1
9
9
9 

(
)
Por 9:
81x 4 + 16 x 2 + 3, 025 − 72 x 3 − 990 x 2 + 440 x = 243x 2 − 108x − 27
81x 4 − 72 x 3 − 1, 217 x 2 + 548 x + 3, 052 = 0
Según el método de Ruffini:
81
-72
-1,217
548
3,052
Conceptos fundamentales del Álgebra
2

81
263
162
180
-2,074
-3,052
90
-1,037
-1,526
0
La única raíz entera es 2.
185. Resolver la siguiente ecuación
2 x −1 + x 1− x −1

=3
x − 2 x −1 x −1 +1
Restricciones
x −1  0
 x 1
x − 2 x − 1  0  x  2 x − 1  x 2  4 ( x − 1)  x 2 − 4 x + 4  0

x −1 +1  0
( x − 2)  0  x  2
2
 x 1
Efectuemos las operaciones
( 2 x − 1 + x )(1 − x − 1) = 3 ( x − 2 x − 1 )( x − 1 + 1)
2 x − 1 − 2 ( x − 1) + x − x x − 1 = 3  x x − 1 + x − 2 ( x − 1) − 2 x − 1 
2 x − 1 − 2 ( x − 1) + x − x x − 1 = 3x x − 1 + 3 x − 6 ( x − 1) − 6 x − 1
8 x −1 − 4x x −1 = 4 − 2x
4 x −1 ( 2 − x) = 2 (2 − x)
Dividamos entre 2 − x que es diferente de cero, pues x  2 :
4 x −1 = 2
x −1 =
1
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
264
1
4
5
x= ,
4
x −1 =
que cumple con todas las restricciones.
186. Encontrar la suma de las raíces de la siguiente ecuación
x +5 − x −3 = x + 2
Forma 1
Restricciones:
x + 5  0  x  −5 

x−3  0  x  3   x  3
x + 2  0  x  −2 
Además x + 5  x − 3  5  −3, que siempre se cumple.
Elevemos ambos miembros al cuadrado:
x +5−2 x+5 x−3 + x−3 = x+ 2
x = 2 x+5 x−3
Nuevamente al cuadrado:
x 2 = 4 ( x + 5 )( x − 3)
x 2 = 4 x 2 + 8 x − 60
3x 2 + 8 x − 60 = 0
 x = 10 3
 x = −6
( 3x − 10 )( x + 6 ) = 0  
Conceptos fundamentales del Álgebra
265
Solamente cumple la restricción x  3 la solución x = 10 3.
La suma de las raíces es 10 3.
Forma 2
Sea x − 3 = a 2  x + 5 = a 2 + 8 
x + 2 = a 2 + 5.
De donde:
a2 + 8 − a2 = a2 + 5
Al cuadrado
a2 + 8 − 2 a2 a2 + 8 + a2 = a2 + 5
a2 + 3 = 2 a2 a2 + 8
Nuevamente al cuadrado:
(
a 4 + 6a 2 + 9 = 4a 2 a 2 + 8
)
a 4 + 6a 2 + 9 = 4a 4 + 32a 2
3a 4 + 26a 2 − 9 = 0
(
 2 1
a =
3a 2 − 1 a 2 + 9 = 0  
3
 a 2 = −9  a 

)(
)
Entonces:
x = a2 + 3
1
+3
3
10
x=
(única raíz)
3
x=
Conceptos fundamentales del Álgebra
266
187. Resolver
4x −1 − 2x + 3 = 1
Restricciones
4x −1  0
 x 1 4


2x + 3  0
 x  −3 2   x  2

4x −1  2x + 3  x  2

Elevemos ambos miembros al cuadrado
4 x − 1 − 2 ( 4 x − 1)( 2 x + 3) + 2 x + 3 = 1
2 ( 4 x − 1)( 2 x + 3) = 6 x + 1
Nuevamente al cuadrado
4 ( 4 x − 1)( 2 x + 3) = ( 6 x + 1)
2
32 x 2 + 40 x − 12 = 36 x 2 + 12 x + 1
4 x 2 − 28 x + 13 = 0
 x = 13 2 ó
 x =1 2
( 2 x − 13)( 2 x − 1) = 0  
De acuerdo con las restricciones
x=
13
2
Forma 2
4x −1 = 1 + 2x + 3
Al cuadrado
4x −1 = 1 + 2 2x + 3 + 2x + 3
2 2x + 3 = 2x − 5
Conceptos fundamentales del Álgebra
267
Al cuadrado
4 ( 2 x + 3) = ( 2 x − 5 )
2
8 x + 12 = 4 x 2 − 20 x + 25
4 x 2 − 28 x + 13 = 0  x = 13 2
Forma 3
Sea 2 x + 3 = a 2  x =
a2 − 3
2
Reemplacemos en la ecuación original
 a2 − 3 
2
4
 −1 − a = 1
2


2a 2 − 7 = 1 + a
Al cuadrado
2a 2 − 7 = 1 + 2a + a 2
a 2 − 2a − 8 = 0

 a=4 
( a − 4 )( a + 2 ) = 0  

 a = −2 
Solamente cumple x =
42 − 3 13
=
2
2
x=
( −2 ) − 3
2
x=
2
=
1
2
13
.
2
188. Si r y s son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c, encontrar en
términos de r y s las raíces de la siguiente ecuación:
ax 2 + ( b − 4a ) x + ( 4a − 2b + c ) = 0
Las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 son r y s :
Conceptos fundamentales del Álgebra
r, s =
268
−b  b 2 − 4ac
2a
Las raíces de la ecuación ax 2 + ( b − 4a ) x + ( 4a − 2b + c ) = 0 son p y q :
p, q =
− ( b − 4a ) 
( b − 4a ) − 4a ( 4a − 2b + c )
2
2a
p, q =
−b + 4a  b − 8ab + 16a 2 − 16a 2 + 8ab − 4ac
2a
p, q =
−b + 4a  b 2 − 4ac
2a
2
−b  b 2 − 4ac 4a
+
2a
2a
p, q = r , s + 2
p, q =
Es decir:
p = r+2
q = s+2
6 x − 18 − x 2
= 2m tiene dos raíces iguales, encontrar la
x +1
suma de las posibles raíces.
189. Si la ecuación
Forma 1
Efectuemos operaciones y ordenemos el polinomio resultante:
6 x − 18 − x 2 = 2mx + 2m
x 2 + ( 2m − 6 ) x + ( 2m + 18 ) = 0
Si las dos raíces son iguales, el discriminante debe ser nulo:
Conceptos fundamentales del Álgebra
269
( 2m − 6 ) − 4 (1)( 2m + 18 ) = 0
2
4m 2 − 24m + 36 − 8m − 72 = 0
4m 2 − 32m − 36 = 0
m 2 − 8m − 9 = 0
 m=9
 m = −1
( m − 9 )( m + 1) = 0  
Si m = 9 :
x 2 + 12 x + 36 = 0
( x + 6) = 0
2
x = −6 ( doble )
S1 = −12
Si m = −1:
x 2 − 8 x + 16 = 0
( x − 4) = 0
2
x = 4 ( doble )
S2 = 8
De donde:
ST = −12 + 8
ST = −4
Forma 2
Si las raíces son iguales a r , la ecuación será:
Conceptos fundamentales del Álgebra
270
( x − r )( x − r ) = 0
2
(x − r) = 0
x 2 − 2rx + r 2
=0
Trinomio cuadrado perfecto
Entonces x 2 + 2 ( m − 3) x + ( 2m + 18 ) debe ser un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 2 ( m − 3) x + ( 2m + 18) =  x + ( m − 3)
2
Igualemos los términos independientes:
2m + 18 = ( m − 3)
2
m 2 − 8m − 9 = 0
 m=9
 m = −1
( m − 9 )( m + 1) = 0  
Como antes:
S = −12 ó 8
ST = −12 + 8
ST = −4
190. Si una de las raíces de la ecuación x 4 + ( 5 − 3n ) x 2 + 9 ( n + 1) = 0 es 2,
hallar el valor de n y las otras raíces de dicha ecuación.
Forma 1
Reemplacemos x = 2 en la ecuación dada para encontrar el valor de n :
16 + ( 5 − 3n ) 4 + 9 ( n + 1) = 0
16 + 20 − 12n + 9n + 9 = 0
3n = 45
n = 15
Conceptos fundamentales del Álgebra
271
La ecuación por resolver será:
x 4 + ( 5 − 45 ) x 2 + 9 (15 + 1) = 0
x 4 − 40 x 2 + 144 = 0
 x 2 = 4  x = 2
( x − 4 )( x − 36 ) = 0   x = 36  x = 6
2
2

2
Forma 2
Si P ( x ) = x 4 + ( 5 − 3n ) x 2 + 9 ( n + 1) y P ( 2 ) = 0, apliquemos el método de
Ruffini con x = 2 :
2
1
0
5 − 3n
0
9n + 9

2
2
4
18 − 6n
18 − 6n
36 −12n
45 − 3n
1
9 − 3n
Como x = 2 es una raíz:
45 − 3n = 0
n = 15
El cociente de P ( x )  ( x − 2 ) es:
1x3 + 2 x 2 + ( 9 − 3n ) x + (18 − 6n ) = 0
Reemplacemos n = 15:
x3 + 2 x2 − 36 x − 72 = 0
-2
1
2
-36
-72

-2
0
72
Conceptos fundamentales del Álgebra
1
272
0
-36
0
 x = −2
( x + 2 ) x − 36 = 0   x = −6
 x= 6

Las raíces serán: 2, − 2, 6, − 6.
(
)
2
Forma 3
Como la ecuación es bicuadrada, al aceptar a x = 2 como raíz, aceptará
P ( x)
también
a
entonces
será
divisible
entre
x = −2,
( x + 2 )( x − 2 ) = x 2 − 4
1x 4
+ ( 5 − 3n ) x 2
− x4
+4x 2
+ ( 9n + 9 )
x2 − 4
x 2 + ( 9 − 3n )
( 9 − 3n ) x 2
− ( 9 − 3n ) x 2
+ ( 9n + 9 )
+4 ( 9 − 3n )
45 − 3n
De donde:
45 − 3n = 0
n = 15
P ( x ) se podrá escribir como P ( x ) =  x2 − 4  x2 + (9 − 3n ) = 0, es decir:
Conceptos fundamentales del Álgebra
273
x 2 + ( 9 − 45) = 0
x 2 − 36 = 0
 x = −6
 x= 6
( x + 6 )( x − 6 ) = 0  
Las raíces serán 2, − 2, 6, − 6.
191. Si una de las raíces de la ecuación nx ( 2 x + 5 ) = x ( x − 1) + 3 es -3,
determinar la otra raíz.
Forma 1
Como x = −3 cumple con la ecuación dada:
n ( −3)( −6 + 5 ) = −3 ( −4 ) + 3
3n = 15
n=5
La ecuación será:
5 x ( 2 x + 5 ) = x ( x − 1) + 3
10 x 2 + 25 x = x 2 − x + 3
9 x 2 + 26 x − 3 = 0
Por el método de Ruffini, como x + 3 es factor:
-3
De donde:
9
26
-3

9
-27
3
-1
0
Conceptos fundamentales del Álgebra
274
9x −1 = 0
1
x=
9
Forma 2
La ecuación dada se puede escribir como:
2nx 2 + 5nx = x 2 − x + 3
( 2n − 1) x 2 + ( 5n + 1) x − 3 = 0
Sean r y −3 las dos raíces, por propiedad de las raíces:
S = r −3 =
− ( 5n + 1)
2n − 1
−3
P = r ( −3 ) =
2n − 1
De (  ) :
r=
1
2n − 1
En ( ) :
1
−5n − 1
−3 =
2n − 1
2n − 1
Por 2n −1:
1 − 3 ( 2n − 1) = −5n − 1
n=5
La otra raíz será
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
275
r=
1
2 ( 5) − 1
r=
1
9
Forma 3
Si las raíces de ( 2n − 1) x 2 + ( 5n + 1) x − 3 = 0 son −3 y r , la ecuación se
podrá
obtener
también
como
( x + 3)( x − r ) = 0,
es
decir
x + ( 3 − r ) x − 3r = 0.
2
Deberá cumplirse que haya proporcionalidad entre los coeficientes
respectivos:
2 n − 1 5 n + 1 −3
=
=
1
3 − r −3r
5n + 1 1
2n − 1 =
=
3− r r
Entonces:

 2nr − r = 1


 5nr + r = 3 − r  5nr = 3 − 2r
De (  ) :
nr =
En ( ) :
3 − 2r
5
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
276
 3 − 2r 
2
−r =1
 5 
6 − 4 r − 5r = 5
9r = 1
r=
192.
Dadas
las
ecuaciones
1
9
x 2 − ( b − 1) x − 2 = 0
cuadráticas
y
( a − 1) x 2 − 2 x − 40 = 0, resolver la ecuación ( a − 1)( b − 1) x 2 + x − 1 = 0 si se
conoce que la menor raíz de la primera ecuación es tres unidades mayor que
la menor raíz de la segunda ecuación y que la mayor raíz de la primera
ecuación es tres unidades menor que la mayor raíz de la segunda ecuación.
(No deberá emplear propiedades de las raíces).
Forma 1
Sean r y s las raíces de la primera ecuación ( r  s )
r=
s=
b −1+
( b − 1) + 8
2
2
b −1−
( b − 1) + 8
=
2
2
=
b − 1 + 1
2
b − 1 − 1
2
Las raíces de la segunda ecuación serán r + 3 y s − 3
r +3=
s −3 =
2 + 4 − 4 ( a − 1)( −40 )
2 ( a − 1)
2 − 4 − 4 ( a − 1)( −40 )
2 ( a − 1)
Reemplacemos r y s en las últimas ecuaciones:
=
=
( r + 3  s − 3)
2 + 2
2 ( a − 1)
2 − 2
2 ( a − 1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
277
2 + 2
b −1+ 
+3=
2
2 ( a − 1)
2 − 2
b −1− 
−3 =
2
2 ( a − 1)
Sumemos miembro a miembro:
b −1 b −1
2
2
+
=
+
2
2
2 ( a − 1) 2 ( a − 1)
b −1 =
2
a −1
De donde
( a − 1)( b − 1) = 2
La ecuación por resolver será:
2x2 + x − 1 = 0
 x =1 2
 x = −1
( 2 x − 1)( x + 1) = 0  
Forma 2
Si r y s son raíces de la primera ecuación, tendremos:
r 2 − ( b − 1) r − 2 = 0
s − ( b − 1) s − 2 = 0
2
( )
( )
Como r + 3 y s − 3 cumplen con la segunda ecuación, tendremos:
( a − 1)( r + 3) − 2 ( r + 3) − 40 = 0
2
( a − 1)( s − 3) − 2 ( s − 3) − 40 = 0
2
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
278
( ) − (  ) :
r 2 − s 2 − ( b − 1) r + ( b − 1) s = 0
( r + s )( r − s ) − ( b − 1)( r − s ) = 0
( r − s ) ( r + s ) − ( b − 1) = 0
Como r  s  r − s  0, entonces de la ecuación anterior resulta:
r + s = b −1
( )
(  ) − ( ) :
( a − 1) ( r + 3) − ( s − 3)  − 2 ( r + 3) − ( s − 3) = 0
2
2
( a − 1)  r + s  r − s + 6 − 2 r − s + 6 = 0
 r − s + 6 ( a − 1)( r + s ) − 2 = 0
Como r + 3  s − 3  r − s + 6  0  ( a − 1)( r + s ) = 2
( )
( ) en ( ) :
( a − 1)( b − 1) = 2
La ecuación por resolver será 2 x 2 + x − 1 = 0, con raíces 1 2 ó −1.
Forma 3
Factoricemos x 2 − ( b − 1) x − 2 por el método del aspa simple:
i)
ii)
( x − 2 )( x + 1) = x 2 − x − 2
( x + 2 )( x − 1) = x 2 + x − 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
279
Comparemos con la ecuación dada
i)
ii)
b − 1 = 1  b = 2, con raíces − 1 y 2.
b − 1 = −1  b = 0, con raíces − 2 y 1.
De acuerdo con el enunciado del problema, las raíces de la segunda ecuación
serían:
i)
ii)
−1 − 3 y 2 + 3  − 4 y 5
−2 − 3 y 1 + 3  − 5 y 4
La segunda ecuación sería:
i)
ii)
( x + 4 )( x − 5) = x 2 − x − 20 = 2 x 2 − 2 x − 40
( x + 5 )( x − 4 ) = x 2 + x − 20 = 2 x 2 + 2 x − 40
Solo 2 x 2 − 2 x − 40 corresponde a la ecuación dada ( a − 1) x 2 − 2 x − 40 = 0,
de donde a − 1 = 2 y b − 1 = 1.
La ecuación por resolver ( a − 1)( b − 1) x 2 + x − 1 = 0 será
2 (1) x 2 + x − 1 = 0
( 2 x − 1)( x + 1) = 0
Sus raíces serán − 1 ó 1 2.
193. Determinar los valores de a y b de tal manera que las ecuaciones:
( a + 4 ) x2 + ( a − 3) x + 2a = −1
( b − 7 ) x2 + ( b + 7 ) x + b = −3
tengan las mismas raíces.
Conceptos fundamentales del Álgebra
280
Forma 1
Para que las ecuaciones
a1 x 2 + a2 x + a3 = 0
b1 x 2 + b2 x + b3 = 0
tengan las mismas raíces se requiere que haya proporcionalidad entre los
coeficientes respectivos. Esto debido a que las ecuaciones dadas se pueden
escribir como:
a1 ( x − r1 )( x − r2 ) = 0
b1 ( x − r1 )( x − r2 ) = 0
Es decir:
(
)
b (x − r x − r x + rr ) = 0
a1 x 2 − r1 x − r2 x + r1r2 = 0
2
1
1
2
1 2
o lo que es lo mismo:
a1 x 2 − a1 ( r1 + r2 ) x + a1r1r2 = 0
b1 x 2 − b1 ( r1 + r2 ) x + b1r1r2 = 0
y se cumple que
a1 −a1 ( r1 + r2 ) a1r1r2 a1
=
=
=
b1 −b1 ( r1 + r2 ) b1r1r2 b1
En el caso presente:
 ( a + 4 ) x 2 + ( a − 3) x + ( 2a + 1) = 0


2

 ( b − 7 ) x + ( b + 7 ) x + ( b + 3) = 0
a + 4 a − 3 2a + 1
=
=
b−7 b+7 b+3
Conceptos fundamentales del Álgebra
281
De donde:
 ( a + 4 )( b + 7 ) = ( a − 3)( b − 7 )  ab + 7a + 4b + 28 = ab − 7 a − 3b + 21

 ( a − 3)( b + 3) = ( 2a + 1)( b + 7 )  ab + 3a − 3b − 9 = 2ab + 14a + b + 7
14a + 7b = −7  2a + b = −1  b = −1 − 2a

( )

( )
 ab + 11a + 4b = −16
( ) en (  ) :
a ( −1 − 2a ) + 11a + 4 ( −1 − 2a ) = −16
−a − 2a 2 + 11a − 4 − 8a = −16
2a 2 − 2a − 12 = 0
a2 − a − 6 = 0
 a = 3  b = −1 − 6 = − 7
 a = −2  b = −1 + 4 = 3
( a − 3)( a + 2 ) = 0  
Forma 2
Para resolver el sistema siguiente, podemos igualar a una constante k :
a + 4 a − 3 2a + 1
=
=
=k
b−7 b+7 b+3
Entonces:
 a + 4 = k (b − 7 )

 a − 3 = k (b + 7 )

 2a + 1 = k ( b + 3 )
De (1) − ( 2 ) :
(1)
( 2)
( 3)
Conceptos fundamentales del Álgebra
282
7 = k (b − 7 − b − 7 )
7 = k ( −14 )
k = −1 2
( 3) − 2 ( 2 ) :
1 + 6 = k ( b + 3 − 2b − 14 )
1
( −b − 11)
2
−14 = −b − 11
7=−
En (1) :
b=3
a+4=−
1
(3 − 7 )
2
a+4=2
a = −2
194. Si p y q son las raíces de x2 + bx + 1 = 0 y r y s son las raíces de
x 2 + cx + 1 = 0, demostrar que
( p − r )( q − r )( p + s )( q + s ) = c 2 − b2
Forma 1
De x 2 + bx + 1 = 0  p + q = −b 
pq = 1
De x + cx + 1 = 0  r + s = −c  rs = 1
2
Efectuemos operaciones en el primer miembro:
Conceptos fundamentales del Álgebra
283
=  pq − r ( p + q ) + r 2   pq + s ( p + q ) + s 2 
= 1 − r ( −b ) + r 2  1 + s ( −b ) + s 2 
= 1 + br + r 2  1 − bs + s 2 
= 1 − bs + s 2 + br − b 2 rs + brs 2 + r 2 − bsr 2 + r 2 s 2
= 1 + r 2 + s 2 + ( rs ) + br − bs + bs ( rs ) − br ( rs ) − b 2 ( rs )
2
Reemplacemos valores:
2
= 1 + r 2 + s 2 + (1) + br − bs + bs (1) − br (1) − b 2 (1)
= r 2 + s 2 + 2 − b2
= ( r + s ) − 2 ( rs ) + 2 − b 2
2
= ( −c ) − 2 (1) + 2 − b 2
2
= c 2 − 2 + 2 − b2
= c 2 − b2
Forma 2
Como p y q son las raíces de x 2 + bx + 1 = 0, tendremos:
p 2 + bp + 1 = 0
q 2 + bq + 1 = 0
De donde:
p 2 + bp = q 2 + bq
p2 − q2 = b ( q − p )
( p + q )( p − q ) = −b ( p − q )
p + q = −b
Además:
r 2 + cr + 1 = 0
s + cs + 1 = 0
2
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
284
Asimismo:
r + s = −c
Por propiedades de raíces:
pq = 1
rs = 1
Efectuemos operaciones en el primer miembro:
=  pq − r ( p + q ) + r 2   pq + s ( p + q ) + s 2 
= 1 − r ( −b ) + r 2  1 + s ( −b ) + s 2 
= 1 + r 2 + br  1 + s 2 − bs 
( )
De ( ) 1 + r 2 = −cr
De (  ) 1 + s 2 = −cs
En (  ) :
=  −cr + br  −cs − bs 
= −r ( c − b )( − s )( c + b )
(
= rs c 2 − b 2
(
= 1 c2 − b2
= c −b
2
2
)
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
285
III
Desigualdades e inecuaciones
1.
Desigualdades
Son relaciones de orden que establecen que un número es mayor o
menor que otro.
Ejemplo
74
74
−2  − 1
−4  − 4
Al igual que las igualdades, las desigualdades se cumplen siempre.
En cambio, cuando una desigualdad se cumple solamente para
determinado(s) valor(es) de la incógnita, se le denomina inecuación.
Ejemplo
7  4 + 3x
−2  −1 + 5x
1.1.
El eje real
Es una recta en la que se asocia cada uno de sus puntos con un
número real. Se le considera la representación gráfica de los números
reales.
−e
−3

2
−2
−1
0
1
2
3
4
Conceptos fundamentales del Álgebra
Si a  b 
manera:
286
 a  b, se les puede representar de la siguiente
a
b
1.2.
Propiedades de las desigualdades
i)
Si a  b  a + c  b + c.
c
b
c
b+c
a
a+c
( si c  0 )
Ejemplo
Las edades de Alberto y de Beatriz son 18 y 15 años,
respectivamente (18  15 ) . Al cabo de 6 años, sus edades serán 24 y
21 ( 24  21) .
ii) Si a  b  b  c  a  c.
c
b
a
Ejemplo
Si la edad del abuelo es mayor que la edad del padre y la del padre,
mayor que la del hijo, entonces el abuelo es mayor que el hijo.
iii) Si a  b  c  0  ac  bc.
Demostración
Conceptos fundamentales del Álgebra
287
a  b  a −b  0
(+)
c 0
(+)
Multiplicándolos:
(a − b) c  0
ac − bc  0
ac  bc
iv) Si a  b  c  0  ac  bc.
Demostración
a  b  a −b  0
(+)
c 0
( −)
Multiplicándolos:
(a − b) c  0
ac − bc  0
ac  bc
v) Si a  b  0  c  d  0  ac  bd .
Demostración
por c

de ii)
a  b  0  ac  bc 
ac

bc

bc

bd
 ac  bd

por b
c  d  0  bc  bd 

vi) Si a  b  0  n 
 a n  bn .
Conceptos fundamentales del Álgebra
288
Demostración
ab0 
a  b  0 
 n veces

a  b  0 
De v)
a n  bn
vii) Si a  b  0 
1 1
 .
a b
Demostración
ab
1
(que es
ab
Multipliquemos ambos miembros de la desigualdad por
positivo)
1
1
( a )  (b )
ab
ab
1 1

b a
2.
Intervalos
Son conjuntos de números que cumplen determinada(s) relación(es)
de orden y se les representa gráficamente con ayuda del eje real.
Ejemplo
A = x 
2  x  5
2
2.1.
Clasificación de los intervalos
5
Conceptos fundamentales del Álgebra
289
Pueden ser:
i) Cerrados, cuando contienen a sus extremos.
Ejemplo:
 −1, 4
−1
4
ii) Abiertos, cuando no contienen a ningún extremo.
Ejemplo:
−1, 4
−1
4
iii) Semiabiertos, cuando contienen solamente a un extremo.
Ejemplo:
 −1, 4
−1
4
Otros ejemplos:
 −1, 
−1
2.2.
−,  =
Operaciones con intervalos
Dado que los intervalos son conjuntos, es posible efectuar
operaciones con intervalos. A saber:
i) Unión: se trata de reunir los elementos de los intervalos dados.
Ejemplo:
A
−3
0
B
−1
2
A B
−3
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
290
ii) Intersección: se trata de encontrar los elementos comunes de los
intervalos dados.
Ejemplo:
A
−3
0
B
−1
2
A B
−1
0
iii) Diferencia: en A − B se trata de encontrar los elementos de A
que no pertenecen a B, o, dicho de otra forma, los elementos
que solamente pertenecen a A.
Ejemplo:
A
−3
0
B
−1
2
A− B
−3
3.
−1
Inecuaciones lineales con una incógnita
Son aquellas que se pueden convertir a la forma ax + b  0 ó
ax + b  0, después de aplicadas las propiedades de las
desigualdades anteriormente explicadas en el acápite 1.2. (ii, iii y iv).
Conceptos fundamentales del Álgebra
291
b
La solución de ax + b  0 (por ejemplo) es x  − .
a
Ejemplo:
Resolver 5 x + 3 (1 − x )  9 − x.
5 x + 3 (1 − x )  9 − x
5 x + 3 − 3x  9 − x
2x + 3  9 − x
3x  6
Por la propiedad iii)
6
3
x  2 ó x   − , 2 
x
Ejemplo:
Resolver ax − b ( a − x )  b ( x + 1) , si se conoce que a  0  b.
ax − ab + bx  bx + b
ax  ab + b
Como a  0 :
ab + b
a
b
 b 
x b+
ó x  b + ,  
a
 a 
x
4.
Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita
La forma general de las inecuaciones cuadráticas es
Conceptos fundamentales del Álgebra
292
ax 2 + bx + c  0,
ax 2 + bx + c  0,
ax 2 + bx + c  0,
ax 2 + bx + c  0
i)
Cuando   0 : Se factoriza el trinomio
Ejemplo:
Resolver x2 − 2 x − 15  0.
x2 − 2 x − 15  0
( x − 5)( x + 3)  0
( x − 5  0  x + 3  0)  ( x − 5  0  x + 3  0)
( x  5  x  −3)  ( x  5  x  −3)
( x  5)  ( x  −3)
La respuesta es x  −, − 3  5, 
ii) Cuando  = 0 : Se factoriza el trinomio y se debe tener en
cuenta que el cuadrado de un número real es siempre positivo o
cero.
Ejemplo:
Resolver x 2 − 6 x + 9  0.
x2 − 6 x + 9  0
( x − 3)  0
2
(+) ó 0
Conceptos fundamentales del Álgebra
293
x puede tomar cualquier valor excepto 3, ya que (3 − 3)  0.
2
− 3
 x
Ejemplo:
Resolver x 2 + 4 x + 4  0.
x2 + 4 x + 4  0
( x + 2)  0
2
(+) ó 0
La única posibilidad es x + 2 = 0, ya que ( x + 2 )  0.
2
(+) ó 0
 x = −2
iii) Cuando   0 : En vista de que no es posible factorizar el
trinomio, se puede aplicar cualquiera de los dos métodos
siguientes:
a)
Completar cuadrados
Ejemplo:
Resolver x2 − 10 x + 28  0.
x 2 − 10 x + 28  0
( x − 5) + 3  0
2
(+) ó 0
(+)
Como el primer miembro resulta positivo para todo valor real de
x y se pide hallar los valores de x para los que el primer
miembro es positivo, el conjunto solución es:
x
Conceptos fundamentales del Álgebra
294
Ejemplo:
Resolver x2 + 6 x + 13  0.
x 2 + 6 x + 13  0
( x + 3) + 4  0
2
(+) ó 0
(+)
Como el primer miembro resulta positivo para todo valor real de
x y se pide hallar los valores de x para los que el primer
miembro es negativo o cero, el conjunto solución es:
x 
b) Aplicar el siguiente teorema:
El trinomio ax 2 + bx + c, cuyo discriminante es negativo,
será siempre:
positivo si a  0.
negativo si a  0.
Demostración
Reescribamos el trinomio de la siguiente manera:
b
c

ax 2 + bx + c = a  x 2 + x + 
a
a

2

b  c b2 
ax 2 + bx + c = a  x +

 + −
2a  a 4a 2 


b  4ac − b 
ax 2 + bx + c = a  x +

 +
2a 
4a 2 

2
2


2

b  b 2 − 4ac 
ax + bx + c = a  x +

 −
2a 
4a 2 



2
Conceptos fundamentales del Álgebra
295
En cuanto a signos:

( − ) 
ax 2 + bx + c = a ( + ) ó 0 −

( + ) 



ax 2 + bx + c = a ( + ) ó 0 − ( − ) 






ax 2 + bx + c = a ( + ) ó 0 + ( + ) 




2
ax + bx + c = a ( + ) 
De donde se deduce que el trinomio tendrá el mismo signo que a.
Por ello:
Si a  0  ax 2 + bx + c  0 x  .
Si a  0  ax 2 + bx + c  0 x  .
Ejemplo:
Resolver x2 − 10 x + 28  0.
Como  = 102 − 4 (1)( 28 ) = −12  0 y a = 1  0, según el teorema,
x 2 − 10 x + 28  0 x  .
 x
Ejemplo:
Resolver − x2 − 6 x − 13  0.
 = ( −6) − 4 ( −1)( −13) = −16  0 y a = −1  0. Según el teorema,
2
− x 2 − 6 x − 13  0 x  . Como se pide hallar los valores de x
para los que el trinomio − x2 − 6 x − 13 es positivo o cero:
Conceptos fundamentales del Álgebra
296
 x 
Nota:
Se debe tener en cuenta que las inecuaciones cuadráticas también se
podrán resolver con el método de los puntos críticos (o de las zonas)
que se detallará a continuación.
5.
Método de los puntos críticos (o de las zonas)
Empecemos a explicar el método con una inecuación de primer
grado (muy sencilla de resolver):
x  2 → su solución evidente es 2, 
1er. paso: Convertir al segundo miembro en 0 y factorizar el otro
miembro de la forma a ( x  b ) .
1( x − 2 )  0
2º paso: Marcar en el eje real el opuesto de −2, es decir, 2 (punto
crítico) y se consiguen así dos zonas, I y II.
II
I
2
Si se escoge un x cualquiera en la zona I
II
I
2
x
Se cumplirá que x  2  x − 2  0.
En cambio, si se escoge un x cualquiera en la zona II
II
x
I
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
297
Se tendrá que x  2  x − 2  0.
En resumen
II
( −)
I
2
(+)
( − ) indica que x − 2 es negativo para todo x  2. (Si x está a la
izquierda de 2, ocurrirá que x − 2  0. )
( + ) indica que x − 2 es positivo para todo x  2. (Si x está a la
derecha de 2, ocurrirá que x − 2  0. )
3er. paso: Determinar qué zona cumple con el enunciado.
II
( −)
I
2
(+)
Como el enunciado es x − 2  0, la solución parcial será la zona I.
4º paso: Analizar si se incluyen a los puntos críticos en la solución
final. Basta con reemplazar el punto crítico en el enunciado para
averiguar si lo cumple.
Si se reemplaza x = 2 en el enunciado
x−2  0
resulta
2−2  0
00
lo cual es falso y por lo tanto 2 no pertenece al conjunto solución.
Respuesta final: x  2 ó x  2,  .
Una vez que se han entendido los cuatro pasos del método expuesto,
es posible aplicarlo a las inecuaciones cuadráticas, de grado superior
y racionales, como detallaremos en los ejemplos siguientes.
Conceptos fundamentales del Álgebra
5.1.
298
Inecuaciones cuadráticas
Resolver x2 − 2 x − 15  0.
1º Factorizar
( x − 5)( x + 3)  0
2º Ubicar 5 y −3 en el eje real
III
x −5  0
II
−3
x −5  0
I
5
x −5  0
x+3 0
x+3  0
x+3  0
III
II
I
( − )( − )
(+)
−3
( − )( + )
(−)
5
( + )( + )
(+)
3º Como se pretende que ( x − 5 )( x + 3) sea mayor o igual que cero,
nos quedamos con las zonas marcadas con ( + ) (Zonas I y III).
x  −, − 3  5, 
4º Si reemplazamos x = 5 ó x = −3 en el enunciado
x2 − 2 x − 15  0
se obtiene
00
lo cual es cierto, entonces se debe incluir a 5 y −3 en la solución.
Por lo tanto el conjunto solución es x  −, − 3  5,  .
Conceptos fundamentales del Álgebra
5.2.
299
Inecuaciones de grado superior
Ejemplo:
Resolver x3 − 4 x2 − 5x  0.
1º
x ( x + 1)( x − 5)  0
2º
( −)
(+)
( −)
−1
3º
(+)
0
5
x ( x + 1)( x − 5)  ( −)
x ( x + 1)( x − 5)  ( + )
x ( x + 1)( x − 5)  ( −)
x ( x + 1)( x − 5)  ( + )
−
−
+
+
−
−
( −)
+
−
+
(+)
−
+
( −)
−1
(+)
0
5
4º Ningún valor crítico es parte de la solución, luego:
x  −, − 1  0, 5
Ejemplo:
(
)(
+
)
Resolver ( 2x − 3) x2 + 12x + 36 − x2 + 2x − 7 ( x + 5)  0.
3
2

2  x −  ( x + 6 ) ( − x 2 + 2 x − 7 ) ( x + 5)  0
2

Conceptos fundamentales del Álgebra
300
Analicemos los factores:
( x + 6) es positivo o cero. Si es positivo puede ser eliminado
2
por no alterar el signo de la expresión; si es cero, la expresión
se anula y como 0  0 es falso, −6 no es parte de la solución.
− x2 + 2 x − 7 es negativo, porque   0 y a = −1  0, entonces
el trinomio puede ser eliminado cambiándole de signo a la
expresión
Luego, la inecuación se puede expresar como:
3

2  x −  ( x + 5)  0
2

III
pero x  −6
II
(+)
( −)
−5
I
(+)
3
2
El conjunto solución es:
x  −, − 5  3 2,  − −6
5.3.
Inecuaciones racionales
Ejemplo:
( 4 x − 8) ( − x 2 ) ( x + 2 )
 0.
Resolver
( x2 + x + 1) ( x − 8)
3
( −) ó 0
4 ( x − 2) ( − x2 ) ( x + 2)
3
3
( x + x + 1) ( x − 8)
2
(+)
0
Conceptos fundamentales del Álgebra
301
El factor − x2 puede ser eliminado cambiando de signo a la expresión
y teniendo en cuenta que si x = 0, la inecuación se cumple:
( x − 2) ( x + 2)
0
( x − 8)

(+)
( −)
3
( −)
−2
2
x=0
(+)
8
El valor x = 8 no cumple con la inecuación dada ya que hace 0 al
denominador.
Luego, el conjunto solución es
x  −, − 2  0   2, 8
6.
Valor absoluto de un número
Si a  , el valor absoluto de a se denota a y se define como:
 a cuando a  0
a =
−a cuando a  0
Ejemplos:
8 = 8 porque 8  0.
−5 = − ( −5 ) = 5 porque −5  0.
−x2 + 4x − 6 = − ( −x2 + 4x − 6) = x2 − 4x + 6 porque − x2 + 4 x − 6 es
siempre menor que cero (   0 y a = −1  0 ).
2 x + 5, cuando 2 x + 5  0

2x + 5 = 
− ( 2 x + 5 ) , cuando 2 x + 5  0
Conceptos fundamentales del Álgebra
302
De los ejemplos precedentes se desprende que el valor absoluto es
siempre positivo o cero.
6.1.
Propiedades del valor absoluto
P1
a 0
a 
P2
a =0  a=0
P3
a = −a
P4
ab = a b
P5
a
a
=
b
b
P6
a = a2
P7
x  a  −a  x  a
P8
x  a  x  −a  x  a siempre que a  0.
(b  0)
2
siempre que a  0.
Ejemplos:
7 = −7
2 x ( x + 4) = 2 x x + 4
− x + 5 = ( − x + 5)
2
2
x − 4  5  − 5  x − 4  5  −1  x  9
2 x + 1  3  2 x + 1  −3

2x + 1  3
x  −2

x 1
Ejemplo:
El conjunto solución de 2 x + 3  −2 es x
miembro es siempre positivo o cero (por ser
Ejemplo:
)
porque el primer
Conceptos fundamentales del Álgebra
303
El conjunto solución de x − 2  −1 es x  porque el primer
miembro es siempre positivo o cero y el segundo, negativo y se pide
( + )  ( − ) que es falso.
Nota:
En general a + b  a + b . La afirmación es cierta si a y b son de
igual signo:
3+5 = 3 + 5 = 8
5 − 1  5 + −1
4
6.2.
6
Inecuaciones con valor absoluto
Si se tiene un solo valor absoluto se pueden utilizar las propiedades
referidas anteriormente o aplicar el método de las zonas que se
describirá posteriormente.
Ejemplo:
Resolver 2 x + 8  3x + 2.
a) Si 3x + 2  0  − 3x − 2  2 x + 8  3x + 2
x  −2 3

−3 x − 10  2 x  3 x − 6
x  −2 3

x  −2 3

 −10  5 x  6  x 
 −2  x  6  x 

x6
x   6, 
( )
x  −2 3
b) Si 3 x + 2  0  2 x + 8  3 x + 2
( −)
x 
Uniendo ( ) con (  ) :
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
304
x   6, 
Ejemplo:
Resolver 3x + 4  x + 2.
a) Si x + 2  0  3x + 4  x + 2
3 x + 4  − x − 2

 x  −1  x  − 3 2 
x   −2, − 3 2   −1, 
( )
x  −2 
b) Si x + 2  0  3x + 4  x + 2
( −)
x  
x  −, − 2
( )
x  −2 
Uniendo ( ) con (  ) :
x  −, − 3 2   −1, 
7.
Método de las zonas aplicado a valores absolutos
La idea es averiguar el signo de las expresiones que están afectadas
del valor absoluto para poder escribirlas sin dicho valor absoluto.
Para ello es recomendable factorizar dichas expresiones en la forma
a ( x + b )( x − c )
y tener en cuenta el segundo paso del método de
los puntos críticos (hemos supuesto −b  c ).
III
x−c  0
II
−b
x+b  0
Ejemplo:
Resolver 3x + 4  x + 2.
x−c  0
x+b  0
I
c
x−c  0
x+b  0
Conceptos fundamentales del Álgebra
305
3 x+
4
 x+2
3
II
4


 x +  0
3


Zona I
I
−
4  x + 4  0


3

3 
x  − 4 3  3 ( x + 4 3)  x + 2
x  −4 3 
x  −1
 x   −1, 
( )
Zona II
x  − 4 3  3 ( − x − 4 3)  x + 2
x  −4 3 
x  −3 2
 x  −, − 3 2
( )
Como CS = CS  CS :
x  −, − 3 2   −1, 
Ejemplo:
Resolver 3 2 x + 1 − 3x − 6  2.
6 x +1 2 − 3 x − 2  2
III
II
−
Zona I
1
2
I
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
306
x  2  6 ( x + 1 2) − 3( x − 2)  2
x2 
x  −7 3
 x   2, 
( )
Zona II
−1 2  x  2  6 ( x + 1 2 ) − 3 ( − x + 2 )  2
−1 2  x  2 
 x  5 9, 2
Zona III
x5 9
( )
x  −1 2  6 ( − x − 1 2 ) − 3 ( − x + 2 )  2
x  −1 2 
x  − 11 3
 x  −, − 11 3
( )
Como CS = CS  CS  CS :
x  −, − 11 3  5 9, 
Ejercicios resueltos
321. Si se cumple que −7  x  −2, ¿entre qué valores varía
330
?
4− x
Conceptos fundamentales del Álgebra
307
Forma 1
A partir de −7  x  −2, obtenemos:
7  −x  2
11  4 − x  6
Como tanto 11, 4 − x, y 6 son positivos:
1
1
1


11 4 − x 6
Por 330
30 
330
 55
4− x
Forma 2
Dividamos
330
− 328
2
+ 82x
+ 82x
4− x
82
330
2 + 82 x
= 82 +
4− x
4− x
Si −7  x  −2, entonces:
−574  82 x  −164
−572  2 + 82 x  −162
Si −7  x  −2, entonces:
7  −x  2
11  4 − x  6
Conceptos fundamentales del Álgebra
308
Averigüemos en qué intervalo se encuentra
•
−572 
N
N 2 + 82 x
=
.
D
4− x
•
 −162
•
6 
D
•
 11
N
−162
será con N máx y Dmín
= −27 (extremo excluido).
6
D
−572
N
El menor valor de
será con N mín y Dmáx
= −52 (extremo incluido).
11
D
Por lo tanto
El mayor valor de
2 + 82 x
 −27
4− x
2 + 82 x
30  82 +
 55
4− x
330
30 
 55
4− x
−52 
322. Resolver
2 x + 5 2 x − 2 3x + 2
+

−1
2
3
8
Multipliquemos ambos miembros por 24:
12 ( 2 x + 5) + 8 ( 2 x − 2 )  3 ( 3x + 2 ) − 24
24 x + 60 + 16 x − 16  9 x + 6 − 24
31x  −62
Como 31  0:
x  −2
Conceptos fundamentales del Álgebra
309
x   − , − 2.
323. Encontrar en términos de a el conjunto solución de
( 3a − 1)( x + 1)

3
3ax + ( 3a − 2 )
2
+
8
x + 9a 2
12
Forma 1
Multipliquemos ambos miembros por 24:
(
)
24ax + 24a − 8 x − 8  9ax + 3 ( 9a − 12a + 4 ) + 2 x + 18a
8 ( 3a − 1)( x + 1)  3 3ax + ( 3a − 2 )  + 2 x + 9a 2


2
2
15ax − 10 x  45a 2 − 60a + 20
Entre 5:
( 3a − 2 ) x  9a 2 − 12a + 4
2
( 3a − 2 ) x  ( 3a − 2 )
Si 3a − 2  0  x 
Si 3a − 2  0  x 
( 3a − 2 )
2
 x  3a − 2.
3a − 2
( 3a − 2 )
2
 x  3a − 2.
3a − 2
Si 3a − 2 = 0  0 x  0  x .
Forma 2
A partir de (3a − 2) x  (3a − 2)
2
( 3a − 2 ) x − ( 3a − 2 )  0
( 3a − 2 )  x − ( 3a − 2 )  0
2
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
310
Si 3a − 2  0  x − ( 3a − 2 )  0  x  3a − 2.
Si 3a − 2  0  x − ( 3a − 2 )  0  x  3a − 2.
Si 3a − 2 = 0  0  x − 0  0  x  .
324. Si A es el conjunto solución de a ( x + 2b )  2a ( a + b ) y B, el conjunto
solución de bx − b2  ax − a 2 , encontrar A  B si b  0  a.
Resolvamos:
ax + 2ab  2a 2 + 2ab
a x  2a 2
+
x  2a
De donde:
A =  − , 2a 
De otro lado:
bx − b 2  ax − a 2
(b − a ) x  b2 − a 2
Si b  a  b − a  0, entonces:
( b − a ) x  b2 − a 2
( −)
x b+a
Es decir,
B =  b + a, 
Comparemos 2a con b + a :
b  a  b + a  a + a  b + a  2a
De donde:
A
B
b+a
2a
Conceptos fundamentales del Álgebra
311
A  B =  b + a, 2a 
325. Hallar un número entero y positivo si se sabe que la tercera parte del que
le precede, disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte
del que le sigue, aumentada en una decena, es menor que 29.
Sea x el número pedido.
Se deberá cumplir que
1
 3 ( x − 1) − 10  14 

 1 ( x + 1) + 10  29 
 4
x − 1  3 (14 + 10 )

x  73
x + 1  4 ( 29 − 10 ) 
x  75
El único número entero y positivo que cumple ambas condiciones es 74.
326. Si a  1, resolver para x :
3x − 2
 4x + 5
1− a
Forma 1
Tenemos
3x − 2
− 4x − 5  0
1− a
3 x − 2 − 4 x − 5 + 4ax + 5a
0
1− a
Conceptos fundamentales del Álgebra
312
( 4a − 1) x + ( 5a − 7 )
0
1− a
5a − 7 
( 4a − 1)  x +
4a − 1 

0
1− a
Del dato:
a  1  4a  4  4 a − 1  3  0
a  1  0  1− a
De donde:
5a − 7 
4a − 1 

0
(−)
( + )  x +
x+
5a − 7
0
4a − 1
Entonces
x
7 − 5a
4a − 1
 7 − 5a 
x
, .
 4a − 1 
Forma 2
A partir de
3x − 2
 4 x + 5, como a  1  0  1 − a.
1− a
Al ser negativo el denominador, si multiplicamos ambos miembros de la
inecuación por 1 − a, el sentido de la inecuación cambiará. Entonces:
Conceptos fundamentales del Álgebra
313
3 x − 2  (1 − a )( 4 x + 5 )
3 x − 2  4 x + 5 − 4ax − 5a
4ax − x  7 − 5a
( 4a − 1) x  7 − 5a
Como a  1  4a  4  4a −1  3  4a −1  0.
Dividamos entre 4a −1:
x
7 − 5a
4a − 1
 7 − 5a 
x
, .
 4a − 1 
327. Resolver para x :
−1 
px + q
1
qx − p
si p  q  0.
Encontremos la solución de
px + q
qx − p
px + q
0
+1
qx − p
px + q + qx − p
0
qx − p
−1 
Conceptos fundamentales del Álgebra
314

0
( p + q) x +


p
q x − 
q


0
(−)  x +

q− p

p+q

(−)  x −

p−q
x−
p+q
0
p
x−
q
Ubiquemos a
q− p
p + q 
p

q
p−q
p
con respecto a . Tenemos que:
p+q
q
2 (−)
( −)
p − q p + q − 2q
2q
=
= 1−
= 1−
= 1−
= 1− (+)
p+q
p+q
p+q
−
+
−
( ) ( )
(−)
Entonces
p−q
 1.
p+q
De otro lado como p  q  0, al dividir entre q resulta
p
 1  0.
q
Entonces:
(+)
p−q
p+q
Resolvamos ahora:
(+)
−
p
q
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
315
px + q
1
qx − p
px + q
−1  0
qx − p
px + q − qx + p
0
qx − p
( p − q) x + (q + p)
qx − p

( p − q) x +

p+q

p−q

p
q x − 
q


0
0
Como p  q  0  p − q  0 :

p+q

p−q
(−)  x +


p
(−)  x − 
q

0

p+q
x−

q
− p

0

p
x− 
q

Ubiquemos
a
p+q
q− p
p  q  0  0  q − p,
con
respecto
entonces
el
p
:
q
a
signo
sabemos
que
p+q
q− p
es
de
( −) + (−) (−)
(−)
p
=
= ( − ) y el signo de
= ( + ) . De donde:
es
+
+
q
( )
( )
(−)
+
+
( −)
p+q
q− p
p
q
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
316
Finalmente, la solución es ( )  (  ) .
Debemos
ubicar
p+q
q− p
con
respecto
a
p−q
:
p+q
como
p+q
p+q
0 
0
q− p
p−q
de lo cual se deduce que
p−q
 0. Entonces:
p+q
( )
p+q
q− p
p−q
p+q
( )
p
q
 p+q p−q
 x
,

 q− p p+q
328. Una compañía importó cierta cantidad de televisores. De estos, vende la
tercera parte más 10 televisores y luego vende la mitad de los que le
quedaban más 10 televisores, quedándole por vender más de 11 televisores.
Si hubiese vendido primero la mitad más 10 televisores y luego la tercera
parte de los que le quedaban más 10 televisores, le hubiese quedado por
vender menos de 10 televisores. ¿Cuántos televisores importó?
Sea x el número de televisores importados.
Del primer caso, le quedaría por vender:
Conceptos fundamentales del Álgebra
317
1  2x

− 10  − 10  11
2  3

2x
− 10  (11 + 10 ) 2
3
2x
 42 + 10
3
3 ( 52 )
x
2
x  78
( )
Del segundo caso, le quedaría por vender:
2 1

x − 10  − 10  10

3 2

3 (10 + 10 )
1
x − 10 
2
2
1
x  30 + 10
2
x  80
( )
De ( ) y (  ) :
x = 79
329. Resolver
4x + 8  4x + 5  3x + 6
La inecuación doble se resolverá intersecando la soluciones de
4x + 8  4x + 5 y 4x + 5  3x + 6. Sin embargo, de la primera se deduce que
8  5, lo cual es falso siempre. Por lo tanto, ningún valor real de x cumplirá
con la primera inecuación, siendo la solución de la inecuación doble x .
330. Resolver
Conceptos fundamentales del Álgebra
318
3x + 6  4x + 5  6x −1
Equivale a resolver:
3x + 6  4 x + 5  4 x + 5  6 x − 1
De donde
1 x

6  2x
x 1

x3
x3
x   3,  .
331. Si la inecuación x + a2  ax + 1  x + a3 se satisface para un único valor
de x, encontrar a ( a  1) y dicha solución única.
Resolvamos
x + a 2  ax + 1
x (1 − a )  1 − a 2
x (1 − a )  (1 − a )(1 + a )
Como a  1  0  1 − a.
Dividamos entre 1− a :
x  1+ a
( )
Resolvamos
ax + 1  x + a 3
1 − a 3  x − ax
(1 − a ) (1 + a + a 2 )  x (1 − a )
Dividamos entre 1− a :
1 + a + a2  x
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
319
De ( ) y (  ) :
1 + a + a2  x  1 + a
Si hay solución única:
1 + a + a2 = 1 + a
a2 = 0
a=0
La única solución será:
x = 1+ a
x =1
332. Resolver
( x + 1)( x − 2 )( x + 3)  x3 − 10
Desarrollemos el primer miembro:
x 2 − x − 2 ( x + 3)  x3 − 10
(
)
x3 + 2 x 2 − 5 x − 6  x3 − 10
2 x2 − 5x + 4  0
5
x2 − x + 2  0
2
Completemos cuadrados:
2
5  15

x−  − +2 0
4  16

2
5
7

x−   −
4
16

Como el primer miembro es positivo o cero, nunca se cumplirá que sea
menor que − 7 16,
Conceptos fundamentales del Álgebra
320
 x 
333. La agencia central de un banco atiende 36,000 operaciones bancarias al
mes. Un cajero automático atiende 120 operaciones por día y está disponible
los 30 días del mes; en cambio, un empleado atiende 30 operaciones por día y
labora 20 días al mes. El costo mensual de un cajero es $600 y un empleado
gana $500 al mes. Si se desea que el costo mensual total del servicio de
atención a los clientes se encuentre entre $10,800 y $15,600, ¿cuántos cajeros
se deben instalar y cuántos empleados se deben contratar?
Sean x e y el número de cajeros automáticos y de empleados por contratar.
Los cajeros y los empleados deberán atender al mes 36,000 operaciones
bancarias en total:
120 ( 30 ) x + 30 ( 20 ) y = 36, 000
Entre 600
6 x + y = 60
y = 600 − 6 x
( )
El costo mensual total del servicio será:
10,800  600x + 500 y  15,600
Entre 100:
108  6 x + 5 y  156
Reemplacemos ( )
108  6 x + 5 ( 60 − 6 x )  156
108  300 − 24 x  156
−108  24 x − 300  −156
192  24 x  144
8 x6
Conceptos fundamentales del Álgebra
321
De donde:
 x = 7 cajeros automáticos

 y = 18 empleados
334. Determinar los valores de a para los cuales la inecuación cuadrática
( a − 2 ) x 2 + ( 2a − 1) x + 8  0 tiene como solución a todos los reales.
Se deberán cumplir dos condiciones:
a−2  0    0
De la primera condición
a2
Y de la segunda
( 2a − 1) − 4 ( a − 2 ) 8  0
2
4a 2 − 36a + 65  0
( 2a − 13)( 2a − 5 )  0
4 ( a − 6.5 )( a − 2.5 )  0
( −)
+
2.5
+
a
6.5
Intersecando con a  2 resulta:
a   2.5, 6.5 
Por
último,
deberá
analizarse
qué
sucede
si
a − 2 = 0  a = 2  0 x 2 + 3x + 8  0. Como no se cumple para todo
x   a no puede valer 2.
Conceptos fundamentales del Álgebra
335.
¿Para
2
2
(
k se cumple que la inecuación
3k − k x + ( 2k − 9) x + 2k − 5  0 tiene como conjunto solución a
)
qué
valores
(
x   3 7 , 1 2 ?
de
322
2
)
Forma 1
Partamos de la solución de la inecuación y reconstruyámosla:
( −)
+
37
+
12
3 
1

 x −  x −   0
7
2


( 7 x − 3)( 2 x − 1)  0
14 x 2 − 13 x + 3  0
Comparémosla con
(3k − k ) x + ( 2k − 9) x + ( 2k − 5)  0 y concluyamos
2
2
2
que para que ambas tengan la misma solución, sus coeficientes
correspondientes deben ser proporcionales.
3k 2 − k 2k − 9 2k 2 − 5
=
=
14
−13
3
De la ecuación de la izquierda
Conceptos fundamentales del Álgebra
323
−39k 2 + 13k = 28k − 126
39k 2 + 15k − 126 = 0
13k 2 + 5k − 42 = 0
 k = 21 13
 k = −2
(13k − 21)( k + 2 ) = 0  
( )
De la ecuación de la derecha
−26k 2 + 65 = 6k − 27
26k 2 + 6k − 92 = 0
13k 2 + 3k − 46 = 0
 k = 23 13
 k = −2
(13k − 23)( k + 2 ) = 0  
( )
De ( ) y (  )
k = −2
Forma 2
Resolvamos la ecuación
(3k − k ) x + ( 2k − 9) x + ( 2k − 5) = 0
2
x=
x=
x=
− ( 2k − 9 ) 
2
2
( 2k − 9 ) − 4 ( 3k 2 − k )( 2k 2 − 5 )
2
(
2 3k 2 − k
)
−2k + 9  4k 2 − 36k + 81 − 24k 4 + 8k 3 + 60k 2 − 20k
(
2 3k 2 − k
)
−2k + 9  −24k 4 + 8k 3 + 64k 2 − 56k + 81
(
2 3k 2 − k
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
324

−2k + 9 +   
−2k + 9 −  
x −
 x −
0
2

2 3k − k  
2 3k 2 − k 



(
)
(
)
( −)
+
+
−2k + 9 − 
−2k + 9 + 
2 3k − k
2 3k 2 − k
(
2
)
(
Comparemos con
( −)
+
+
12
37
Entonces
 −2 k + 9 −  3
=

2
7
 2 3k − k

 −2 k + 9 +  1
 2 3k 2 − k = 2

De ( ) :
(
)
( )
(
)
( )
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
325
(
−14k + 63 − 7  = 6 3k 2 − k
)
7  = −18k 2 − 8k + 63
(
49 = −18k 2 − 8k + 63
(
)
2
)
49 −24k 4 + 8k 3 + 64k 2 − 56k + 81 = 324k 4 + 64k 2 + 3969 + 288k 3 − 2268k 2 − 1008k
1500k − 104k − 5340k + 1736k = 0
4
3
2
375k 4 − 26k 3 − 1335k 2 + 434k = 0
(
)
k 375k 3 − 26k 2 − 1335k + 434 = 0
-2
13
375
-26
-1335
434

375
-750
1552
-434
-776
217
0

375
125
-217
-651
0

375
217 125
 ( k + 2 ) es factor
 ( k − 1 3) es factor
651
 ( k − 217 125 ) es factor
0
1
217
ó
.
3
125
Averigüemos cuál de los valores de k que satisfacen ( ) cumplen también
 k puede ser 0, − 2,
con (  ) :
−2k + 9 + 
(
2 3k − k
2
)
1
= .
2
Restricción 3k − k = k ( 3k − 1)  0  k  0, 1 3.
2
Probemos solamente con k = −2 ó 217 125 :
k = −2   = 1 
−2 ( −2) + 9 + 1
2 (12 + 2 )
=
14 1
= , sí cumple
28 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
k=
326
−2 (1.736) + 9 + 0.54 6.262
217
 1.736   = 0.54 
=
= 0.428, no cumple
125
2 ( 9.048 − 1.736)
14.61
De donde:
k = −2
336. Resolver para x :
ax2 + x − a2 x − a  0
Tenemos que
ax2 + (1 − a2 ) x − a  0
Factoricemos
( ax + 1)( x − a )  0
1

a  x + ( x − a)  0
a

Caso i)
1

Si a  0  ( + )  x +  ( x − a )  0
a

( −)
+
−1 a
 1 
x   − , a
 a 
Caso ii)
+
a
Conceptos fundamentales del Álgebra
327
1

Si a  0  ( − )  x +  ( x − a )  0
a

1
Como a  0  −  0
a
( −)
( −)
+
a
−1 a
 1 
x   − , a   − ,  
 a 
Caso iii)
Si a = 0, reemplacemos en la inecuación original:
0 x2 + x − 0 − 0  0
x0
x   − , 0
337. Resolver para x :
x − a x2 + a2

x + a x2 − a2
Tenemos:
Conceptos fundamentales del Álgebra
328
x − a x2 + a2
−
0
x + a x2 − a2
( x − a ) − ( x2 + a2 )
0
( x + a )( x − a )
2
−2ax
( x + a )( x − a )
0
Por −1:
2ax
0
( x + a )( x − a )
Analicemos 3 casos:
i) Si a  0 :
( + )( x − 0 )
0
( x + a )( x − a )
( −)
+
( −)
+
−a
a
0
x   − a, 0   a, 
ii) Si a  0 :
( − )( x − 0 )
0
( x + a )( x − a )
(+)
(+)
−
a
0
−
−a
Conceptos fundamentales del Álgebra
329
x   − , a   0, − a
iii) Si a = 0 :
2 ( 0 )( x − 0 )
( x + 0 )( x − 0 )
0
0
0
x2
Se cumple para:
x
− 0
338. ¿Qué valores de x no cumplen con
x−a
x

x
x+a
( a  0) ?
Tenemos:
x−a
x
−
0
x
x+a
x2 − a2 − x2
0
x ( x + a)
−a 2
0
( x − 0 )( x + a )
Como a2  0 :
( −)
 0  ( x − 0 )( x + a )  0
( x − 0 )( x + a )
Como a  0  − a  0 :
(+)
(+)
−
0
−a
Conceptos fundamentales del Álgebra
330
Los valores de x que no cumplen con la inecuación dada son x   0, − a .
339. Encontrar el conjunto de posibles valores de k para que la inecuación
x2 + 2 x − 3
 k − 1, se cumpla para todo x real.
x2 + 2 x + 3
Analicemos el signo del trinomio 1x2 + 2 x + 3 :
a = 1  0   = ( 2) − 4 (1)(3) = −12  0  x2 + 2x + 3  0 x 
2
Multipliquemos ambos miembros por x 2 + 2 x + 3, sin cambiar el signo:
(
x 2 + 2 x − 3  ( k − 1) x 2 + 2 x + 3
)
x + 2 x − 3  kx + 2kx + 3k − x − 2 x − 3
2
2
2
( k − 2 ) x + ( 2k − 4 ) x + ( 3k )  0
2
Para que la solución sea x  , deben cumplirse dos condiciones:
k −2  0
y
0
k2 
( 2k − 4 ) − 4 ( 3k )( k − 2 )  0
k2 
k2 
−8k 2 + 8k + 16  0
−8 ( k − 2 )( k + 1)  0
2
( −)

−1
2
De la intersección de ambas, resulta:
k 2
340. Dada la ecuación cuadrática en x :
( −)
+
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
331
( a − 1) x 2 − ( 3a − 2 ) x + 2a = 0,
encontrar los valores de a tal que esta ecuación tenga dos raíces reales
diferentes cuya suma sea no menor que 1.
Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes es porque su discriminante es
positivo:
( 3a − 2 ) − 4 ( a − 1)( 2a )  0
2
9a 2 − 12a + 4 − 8a 2 + 8a  0
a 2 − 4a + 4  0
( a − 2)  0
2
a
− 2
Además:
S=
3a − 2
a −1
3a − 2
1
a −1
3a − 2
−1  0
a −1
3a − 2 − a + 1
0
a −1
2a − 1
0
a −1
1

2 a − 
2

0
a −1
(+)
(+)
−
12
1
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
332
a   − , 1 2   1, 
( )
De ( ) y (  ) :
a   − , 1 2   1,  − 2
341. Determinar los valores de a para los cuales la inecuación cuadrática
( a − 2 ) x 2 + ( 2a − 1) x + 8  0 se cumple para todos los valores reales de x.
Para que el trinomio ( a − 2 ) x 2 + ( 2a − 1) x + 8 sea siempre mayor que cero,
deben cumplirse dos condiciones:
( 2a − 1) − 4 ( a − 2 )(8 )  0
a−2  0 
2
a2

4a 2 − 36a + 65  0
a2

( 2a − 5 )( 2a − 13)  0
a2

5 
13 

4 a −  a −   0
2 
2


2
( −)
+
52
+
13 2
De donde
a   5 2, 13 2
342. Encontrar el conjunto de valores de k para que la desigualdad
x2 + 2 x − 3
 k − 1 se cumpla para todo x  .
x2 + 2 x + 3
Conceptos fundamentales del Álgebra
333
El trinomio x2 + 2 x + 3 se puede escribir como ( x + 1) + 2 que es siempre
2
positivo para todo x  .
Multipliquemos ambos miembros por x 2 + 2 x + 3 :
(
x 2 + 2 x − 3  ( k − 1) x 2 + 2 x + 3
)
x + 2 x − 3  kx + 2kx + 3k − x − 2 x − 3
2
2
2
0  ( k − 2 ) x 2 + ( 2k − 4 ) x + 3k
En principio, para que dicho trinomio sea positivo para todo x 
cumplirse dos condiciones:
i)
k −2  0  k  2
ii)
( 2k − 4) − 4 ( k − 2)(3k )  0
2
De ii)
( 2k − 4 ) − 4 ( k − 2 )( 3k )  0
2
2
2 ( k − 2 ) − 4 ( k − 2 )( 3k )  0
4 ( k − 2 ) ( k − 2 ) − 3k   0
2
4 ( k − 2 )( −2k − 2 )  0
−8 ( k − 2 )( k + 1)  0
8 ( k − 2 )( k + 1)  0
(+)
(+)
−
−1
2
Intersequemos las dos condiciones:
k   2,  
k
deben
Conceptos fundamentales del Álgebra
334
Faltaría analizar qué sucede cuando el trinomio de segundo grado se
convierte en un polinomio de primer grado:
Si k − 2 = 0  k = 2.
Reemplacémoslo en la inecuación original
x2 + 2x − 3
 2 −1
x2 + 2x + 3
(+)
x + 2x − 3  x2 + 2x + 3
06
2
Sí se cumple para k = 2.
Finalmente
k   2,    2
 k   2,  
343. Dada la ecuación cuadrática en x :
( a − 1) x 2 − ( 3a − 2 ) x + 2a = 0,
hallar los valores de a tal que la ecuación tenga 2 raíces reales diferentes y
cuya suma sea 1 o más.
Forma 1
Si la ecuación debe tener dos raíces, debe ser cuadrática, entonces
a − 1  0  a  1.
El discriminante de la ecuación debe ser mayor que 0 para que las dos raíces
sean reales y diferentes:
Conceptos fundamentales del Álgebra
335
 − ( 3a − 2 )  − 4 ( a − 1)( 2a )  0
9a 2 − 12a + 4 − 8a 2 + 8a  0
2
a 2 − 4a + 4  0
( a − 2)  0
2
a
Por otro lado, la suma de las raíces
− 2
3a − 2
debe ser mayor o igual que 1:
a −1
3a − 2
1
a −1
3a − 2
−1  0
a −1
3a − 2 − a + 1
0
a −1
2a − 1
0
a −1
2 ( a −1 2)
0
a −1
(+)
(+)
−
12
1
Intersequemos las tres respuestas
a   − , 1 2   1,  − 2
Forma 2
Apliquemos la fórmula de las raíces de la ecuación de segundo grado:
Conceptos fundamentales del Álgebra
x=
3a − 2 
336
( 3a − 2 ) − 4 ( a − 1)( 2a )
2 ( a − 1)
2
Se requiere que
( )
a −1  0  a  1
Además,
 = (3a − 2) − 4 ( a −1)( 2a )  0  ( a − 2)  0  a 
2
2
− 2
( )
Por último
( a − 2 ) 3a − 2 − ( a − 2 )
+
1
2 ( a − 1)
2 ( a − 1)
3a − 2 +
2
2
6a − 4
1
2 ( a − 1)
3a − 2
1
a −1
Igual que antes,
a   − , 1 2   1, 
( )
La respuesta final será la intersección de ( ) , (  ) y (  )
a   − , 1 2   1,  − 2
344. El número de unidades vendidas q de cierto artículo, cuando su precio
unitario es p dólares, está dado por p = 600 − 5q. El costo de producir q
unidades del mismo artículo es C = 8,000 + 75q dólares. ¿Cuántas unidades
de este artículo se deberán producir y vender de modo que la utilidad mensual
sea por lo menos 5,500 dólares?
Conceptos fundamentales del Álgebra
337
Tenemos que:
U = I −C
U = pq − C
Reemplacemos
U = ( 600 − 5q ) q − ( 8, 000 + 75q )
U = −5q 2 + 525q − 8, 000
Como se debe cumplir que U  5,500 :
−5q 2 + 525q − 8, 000  5,500
5q 2 − 525q + 13,500  0
q 2 − 105q + 2, 700  0
( q − 45)( q − 60 )  0
+
+
( −)
45
60
 q   45, 60
345. El precio de venta de un artículo está dado por p = 200 − 3q dólares, en
donde q es el número de artículos vendidos. El costo de producir estos q
artículos es C = ( 650 + 5q ) dólares. ¿Cuántas unidades de este artículo se
deben producir y vender de manera que la utilidad no sea menor que 2,500
dólares?
Se tiene que
U = I −C
U = pq − C
Al reemplazar
Conceptos fundamentales del Álgebra
338
U = ( 200 − 3q ) q − ( 650 + 5q )
U = 200q − 3q 2 − 650 − 5q
U = −3q 2 + 195q − 650 dólares
Entonces:
−3q 2 + 195q − 650  2,500
3q 2 − 195q + 3,150  0
q 2 − 65q + 1, 050  0
( q − 30 )( q − 35)  0
( −)
+
30
+
35
De donde
q   30, 35
346. La utilidad que se obtiene al producir y vender mesas en una empresa
x2
está dada por U = − + 40 x, en donde x representa el número de meses y
10
U está dada en soles. Si se desea obtener una utilidad de por lo menos 3,000
soles, ¿entre qué valores debe estar comprendido el número de mesas
producidas y vendidas?
Tenemos que:
Conceptos fundamentales del Álgebra
339
x2
+ 40 x  3, 000
10
x 2 − 400 x + 30, 000  0
−
( x − 100 )( x − 300 )  0
( −)
+
100
+
300
 x   100, 300
El número de mesas producidas y vendidas debe estar comprendido entre 100
y 300, ambos inclusive.
347. Cuando se plantan 100 árboles de naranja en una hectárea, cada árbol
produce 180 naranjas al año. Sin embargo, por cada 2 árboles adicionales que
se plantan, la producción por árbol decrecerá en 3 naranjas. Si las naranjas se
venden a un precio promedio de S/.0.15 la unidad y el costo de
mantenimiento por árbol es de S/.8 al año, determinar entre qué valores debe
estar la producción anual de naranjas por árbol para que la utilidad por
hectárea sea mayor que S/.1,400 y menor que S/.1,740.
Forma 1
Sea x el número de veces en el que el número inicial de 100 árboles
plantados se incrementa en 2 árboles.
El número de árboles plantados será 100 + 2x.
x será también el número de veces en el que la producción inicial de
naranjas al año por árbol decrece en 3 naranjas.
El número de naranjas producidas al año por árbol será 180 − 3x.
De donde, la producción total anual de naranjas será (100 + 2 x )(180 − 3 x ) .
La utilidad por hectárea será:
U = I −C
U = (100 + 2 x )(180 − 3x )  0.15 − 8 (100 + 2 x )
Conceptos fundamentales del Álgebra
340
U = (100 + 2 x )( 27 − 0.45 x − 8 )
U = (100 + 2 x )(19 − 0.45 x )
U = 1,900 − 45 x + 38 x − 0.9 x 2
U = −0.9 x 2 − 7 x + 1,900
Entonces:
4, 400  −0.9 x 2 − 7 x + 1,900  1, 740
De la inecuación de la izquierda:
0.9 x 2 + 7 x − 500  0
9 x 2 + 70 x − 5, 000  0
( 9 x + 250 )( x − 20 )  0
9 ( x + 250 9 )( x − 20 )  0
( −)
+
−
+
20
250
9
 x   − 250 9, 20
( )
De la inecuación de la derecha:
0.9 x 2 + 7 x − 160  0
9 x 2 + 70 x − 1, 600  0
( 9 x + 160 )( x − 10 )  0
9 ( x + 160 9 )( x − 10 )  0
(+)
−
(+)
−
160
9
10
Conceptos fundamentales del Álgebra
 x   − , − 160 9   10, 
341
( )
De ( ) y (  ) , como x  0 :
10  x  20
El número de naranjas al año por árbol es 180 − 3x, entonces:
−30  −3x  −60
150  180 − 3x  120
Forma 2
Sea x el número de naranjas producidas al año por árbol.
La disminución de la producción respecto de las 180 iniciales será 180 − x,
en donde x  180.
El número de veces en que se disminuyó la producción en 3 naranjas por
180 − x
árbol será
, que coincidirá con el número de veces en que se aumentó
3
el número de árboles plantados en 2 árboles a partir de los 100 iniciales.
 180 − x 
Entonces, el número de árboles plantados será 100 + 2 
.
 3 
La producción total anual de naranjas será:

 180 − x  
= 100 + 2 
 ( x )
 3 

2x 

= 100 + 120 −  x
3

2x 

=  220 −  x
3

De donde:
Conceptos fundamentales del Álgebra
342
2x 
2x 


1, 400   220 −  x ( 0.15 ) − 8 220 −   1, 740
3
3


2x 

1, 400  220 −  ( 0.15 x − 8 )  1, 740
3

1, 400  33 x − 1, 760 − 0.10 x 2 +
1, 400  −0.1x 2 +
16 x
 1, 740
3
115 x
− 1, 760  1, 740
3
Por 30:
42, 000  −3x 2 + 1,150 x − 52,800  52, 200
De la inecuación de la izquierda:
3x 2 − 1,150 x + 94,800  0
( 3x − 790 )( x − 120 )  0
3 ( x − 790 3)( x − 120 )  0
( −)
+
+
790
 263.3
3
120
 x   120, 790 3
( )
De la inecuación de la derecha:
3x 2 − 1,150 x + 105, 000  0
( 3x − 700 )( x − 150 )  0
3 ( x − 700 3)( x − 150 )  0
(+)
−
150
(+)
700
 233,3
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
343
 x   − , 150   700 3, 
( )
De ( ) y (  ) , como x  180 :
120  x  150
348. Resolver
( x − 7 )( 46 − 2 x )( x + 11)  0
Factoricemos el − 2 del segundo factor:
−2 ( x − 7 )( x − 23)( x + 11)  0
( −)
+
( −)
+
− 11
7
23
De donde:
x   − 11, 7    23, 
349. Resolver
(3x − 5x + 4)( x + 4x − 21)( x − 2x − 4)  0
2
2
2
e indicar cuántos valores enteros admite la solución.
Conceptos fundamentales del Álgebra
344
Analicemos cada factor por separado:
i) 3x 2 − 5 x + 4
 = ( −5) − 4 (3)( 4) = −23  0  a = 3  0  3x2 − 5x + 4  0 x  .
2
ii) x 2 + 4 x − 21 = ( x + 7 )( x − 3)
(
)
(
)
iii) x 2 − 2 x − 4 =  x − 1 + 5   x − 1 − 5 



Entonces:
( + )( x + 7 )( x − 3)  x − (1 + 5 )  x − (1 − 5 )  0
( −)
+
( −)
+
−7
1− 5
Los valores enteros
x = −7, − 6, − 5, − 4,
−3, − 2, 3.
Hay 7 valores enteros.
que
+
1+ 5
3
cumplen
con
la
inecuación
350. Resolver
( x − 5x − 6x)( x − 2x + x)( x − x − 2x )  0
3
2
3
2
3
2
Factoricemos los tres factores:
(
)
(
)
(
)
 x x2 − 5x − 6   x x2 − 2 x + 1   x x2 − x − 2   0




x3 ( x − 6 )( x + 1)( x − 1) ( x − 2 )( x + 1)  0
2
x3 ( x − 6 )( x + 1) ( x − 1) ( x − 2 )  0
2
En el eje real:
2
son
Conceptos fundamentales del Álgebra
( −)
( −)
−1
345
+
0
( −)
+
1
+
6
2
De donde:
x   − , 0   2, 6  1
351. Resolver:
( 7 − x )( 2 x − 5 )
0
( x + 4 )( x − 3)
Escribamos:
 
5 
 − ( x − 7 )   2  x −  
2 
 
0
x
+
4
x
−
3
(
)(
)
5

−2 ( x − 7 )  x − 
2

0
x
+
4
x
−
3
(
)(
)
Entre −2:
( x − 7 )  x −
5

2
0
( x + 4 )( x − 3)

(+)
(+)
−
−4
52
(+)
−
3
7
Conceptos fundamentales del Álgebra
346
De donde:
x   − , − 4  5 2 , 3   7, 
352. Resolver
x −1 x + 1

x+2 x+3
Forma 1
Trasponemos términos:
x −1 x +1
−
0
x+2 x+3
(
x 2 + 2 x − 3 − x 2 + 3x + 2
( x + 2 )( x + 3)
− ( x + 5)
0
( x + 2 )( x + 3)
( −)
+
−5
)0
( −)
+
−3
−2
 x   − 5, − 3   − 2, 
Forma 2
Analicemos 4 casos:
i)
x+20 
x+3 0

( x − 1)( x + 3)  ( x + 1)( x + 2 )
x  −2

x  −3

x 2 + 2 x − 3  x 2 + 3x + 2
x  −2

x  −3

x  −5
 x   − 2, 
ii)
Conceptos fundamentales del Álgebra
347
x+20 
x+3 0

( x − 1)( x + 3)  ( x + 1)( x + 2 )
x  −2
x  −3

x  −5

 x   − 5, − 3
iii)
x+20 
x+3 0 
( x − 1)( x + 3)  ( x + 1)( x + 2 )
x  −2

x  −3 
 x 
x  −5
x+20 
x+3 0 
( x − 1)( x + 3)  ( x + 1)( x + 2 )
iv)
x  −2

x  −3 
x  −5
 x 
Obtenemos la solución uniendo las cuatro soluciones parciales:
x   − 5, − 3   − 2, 
353. Resolver
x + 3 1− x

x+4 x+2
Pasemos al primer miembro:
(
x + 3 1− x
−
0
x+4 x+2
x 2 + 5 x + 6 − − x 2 − 3x + 4
( x + 4 )( x + 2 )
)0
2 x2 + 8x + 2
0
( x + 4 )( x + 2 )
x2 + 4 x + 1
0
( x + 4 )( x + 2 )
Factoricemos x 2 + 4 x + 1:
Conceptos fundamentales del Álgebra
348
x 2 + 4 x + 1 = ( x − r )( x − s ) , donde: r , s =
−4  16 − 4
= −2  3
2 (1)
Entonces:
(
)
(
)
 x − −2 + 3   x − −2 − 3 


 0
( x + 4 )( x + 2 )
( −)
+
−2 − 3
−4
( −)
+
−2
+
−2 + 3
 x   − 4, − 2 − 3    − 2, − 2 + 3 
354. Resolver
x−2 x+2

x −1 x + 1
Forma 1
Analicemos cuatro casos
i)
x −1  0 
x +1  0

( x − 2 )( x + 1)  ( x + 2 )( x − 1)
x 1

x  −1

x2 − x − 2  x2 + x − 2
x 1

x  −1

x0
 x   1, 
ii)
Conceptos fundamentales del Álgebra
349
x −1  0 
x +1  0
x 1
x  −1 
 x 

( x − 2 )( x + 1)  ( x + 2 )( x − 1)

x0
iii)
x −1  0 
x 1

x +1  0

( x − 2 )( x + 1)  ( x + 2 )( x − 1)
x  −1

x0
 x   − 1, 0
iv)
x −1  0 
x +1  0
x 1
x  −1 
 x 

( x − 2 )( x + 1)  ( x + 2 )( x − 1)

x0
El conjunto solución de la inecuación será x   − 1, 0   1,  .
Forma 2
Pasemos todo al primer miembro
x−2 x+2
−
0
x −1 x +1
( x − 2 )( x + 1) − ( x + 2 )( x − 1)
0
( x − 1)( x + 1)
(
x2 − x − 2 − x2 + x − 2
)0
( x − 1)( x + 1)
−2 ( x − 0 )
0
( x − 1)( x + 1)
( −)
+
−1
( −)
+
0
1
Conceptos fundamentales del Álgebra
350
De donde:
x   − 1, 0   1, 
355. Resolver la inecuación:
x+2
1
+
1
x + 1 x −1
Efectuemos las operaciones después de transponer términos al primer
miembro:
x+2
1
+
−1  0
x +1 x −1
( x + 2 )( x − 1) + ( x + 1) − ( x 2 − 1)
0
( x + 1)( x − 1)
x2 + x − 2 + x + 1 − x2 + 1
0
( x + 1)( x − 1)
2 ( x − 0)
( x + 1)( x − 1)
(+)
−
−1
0
(+)
−
0
 x   − 1, 0   1, 
356. Resolver
5 − 2 x − x2
 −1
x +1
1
Conceptos fundamentales del Álgebra
351
Forma 1
Escribamos:
5 − 2 x − x2
+1  0
x +1
5 − 2 x − x2 + x + 1
0
x +1
− x2 − x + 6
0
x +1
(
− x2 + x − 6
)0
x +1
− ( x + 3)( x − 2 )
x +1
0
En el eje real:
(+)
(+)
−
−3
−
−1
2
De donde:
x   − , − 3   − 1, 2
Forma 2
Consideremos dos casos:
i) Si x + 1  0  5 − 2 x − x 2  −1( x + 1)
x  −1 
0  x + x−6
x  −1 
( x + 3)( x − 2 )  0

−1
( no cambia el signo )
2
( −)
+
−3
+
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
352
 x   − 1, 2
ii) Si x + 1  0  5 − 2 x − x 2  −1( x + 1)
( cambia el signo )
x  −1 
0  x2 + x − 6
x  −1 
( x + 3)( x − 2 )  0

−1
(+)
(+)
−
−3
2
 x   − , − 3
Finalmente:
x   − , − 3   − 1, 2
357. Resolver para x :
2a − b
2a − b 2a + b
2a + b
x+

x+
a −b
a+b
a+b
a −b
si se conoce que a  b  0.
Forma 1
Multipliquemos ambos miembros por ( a + b )( a − b ) , teniendo en cuenta que
 a0
 a+b  0

b0
a  b  a −b  0
Conceptos fundamentales del Álgebra
353
Como ( a + b )( a − b )  ( a + b )( a − b )  0, el sentido de la inecuación no
−
−
cambia:
( 2a − b )( a + b ) x + ( 2a − b )( a − b )  ( 2a + b )( a − b ) x + ( 2a + b )( a + b )
( 2a + ab − b ) x − ( 2a − ab − b ) x  ( 2a + 3ab + b ) − ( 2a − 3ab + b )
2
2
2
2
2
2
2
2
2 a b x  6ab
− −
Entre ab :
2x  6
x3
Forma 2
Escribámoslo:
( a − b) + a
x+
( a + b ) + a − 2b ( a + b ) + a

x+
( a − b ) + a + 2b
a −b
a+b
a+b
a −b
a 
a 

 a − 2b  
 a + 2b 
1 + a − b  x + 1 + a + b   1 + a + b  x + 1 + a − b 



 



a 
 a
 a + 2b a − 2b 
a −b − a +b x   a −b − a +b 




Como a  b  0  a 2  b 2  0  a 2 − b 2  0.
Multipliquemos ambos miembros por a 2 − b2 (no cambia de sentido)
 a ( a + b ) − a ( a − b )  x  ( a + 2b )( a + b ) − ( a − 2b )( a − b ) 
(
2abx  a 2 + 3ab + 2b 2 − a 2 − 3ab + 2b 2
2abx  6ab
Entre ab que es positivo:
2x  6
x3
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
354
358. ¿Qué relación deberán cumplir a y b, entre sí, para que la solución de
b
a
x+b
x−a
la inecuación

( a  b  0) sea  − , 0   ,   ?
a
b
bx − a ax + b

 

Forma 1
x+b
x−a
−
0
bx − a ax + b
(
ax 2 + abx + bx + b 2 − bx 2 − abx − ax + a 2
)0
( bx − a )( ax + b )
( a − b ) x 2 + ( 2ab + a + b ) x + ( b 2 − a 2 )
a 
b

b x − a x + 
b
a

 
Hay que ubicar a
0
a
b
y − .
b
a
(−)
(+)
−
b
a
a
b
Se pretende que la solución sea:
−
b
a
0
a
b
Habrá que ver la forma de ubicar al x = 0 (un solo valor).
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
355
Sin embargo, si el numerador fuese de segundo grado deberían ubicarse dos
valores.
De donde, el numerador debe ser de primer grado.
Es decir, a − b = 0  a = b.
La expresión quedaría así:
(+)
(
)
0 x + 2a + 2a x + 0
2
2
a 
b

ab  x −  x + 
b 
a

(+)
−
−
(+)
−
0
b
a
0
a
b
que coincide con el dato.
 a=b
Forma 2
Reconstruyamos la inecuación a partir de la solución dada:
(+)
−
−
b
a
(+)
−
0
k ( x − 0)
0
b 
a

 x +  x − 
a 
b

a
b
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
356
siendo k  0 para que se cumpla con la solución dada.
Comparando ( ) con (  ) :
a −b = 0  a = b
k = 2ab + a + b
b − a 2 = 0  a = b
2
(1)
( 2)
( 3)
De (1) y ( 3 ) :
a=b
faltando por comprobar que k es mayor que cero:
k = 2a ( a ) + a + a
k = 2a 2 + 2a
De donde k  0 porque a  0.
359. Resolver
( x − ab ) ( x 2 − b2 x + bx − b3 )
0
3
x ( x + a)
2
si se conoce que −1  b  0  a  1.
Factoricemos el numerador:
( x − ab ) ( x + b ) ( x − b2 )
0
3
( x − 0 )( x + a )
2
Como ( x − ab) es de signo positivo o 0:
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
357
( + )( x + b ) ( x − b2 )
0
3
( x − 0)( x + a )

 ab 
porque x = ab cumple con la inecuación dada.
Ubiquemos los puntos −b, b 2 , 0  − a a partir del dato:
−1  b  0  a  1
i) Por −1:
( )
1  −b  0  −a  −1



ii) Por b, que es negativo:
( )
−b  b2  0  ab  b



De ( ) y (  ) se deduce que:
−a
−b
b2
0
Luego:
(+)
(+)
−
−a
0
(+)
−
b2
−b
Falta averiguar dónde se encuentra x = ab. Del dato −1  b  0, al
multiplicar por a resulta −a  ab  0, entonces ab se encuentra fuera de los
intervalos hallados.
Entonces:
x   − , − a   0, b2    − b,  ab
360. Resolver en
:
Conceptos fundamentales del Álgebra
i)
358
2 x + 8 = 12
ii) 2 x + 8 = 3 x + 2
iii) 3x − 1 = x + 3
i) La expresión contenida en el valor absoluto puede ser 12 ó -12. Es decir:
2 x + 8 = 12
x=2


2 x + 8 = −12
x = −10
 x  2, − 10
ii) Si 2 x + 8 = 3x + 2, se requiere que 3x + 2 sea positivo o cero:
3x + 2  0
x−
2
3
( )
Además:
2 x + 8 = 3x + 2
x=6


2 x + 8 = −3x − 2
x = −2
 x  −2, 6
( )
De ( )  (  ) :
x=6
iii) Para que 3x − 1 = x + 3 , las cantidades contenidas en los valores
absolutos deben ser iguales entre sí o variar solamente en el signo, es decir:
3x − 1 = x + 3

3x − 1 = − ( x + 3)
x=2

x=−
 x  2, −1 2
1
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
359
361. Resolver la ecuación:
x + 2 + x −1 = 9
Forma 1
Consideremos cuatro casos:
i)
x + 2  0  x −1  0 
x  −2

ii)
x −1  0
x  −2

x 1
 x 
x+20 
x −1  0
x  −2

x 1
 x 
x+20 
x −1  0
x  −2
x 1

 x = −5
iii)
x=4
( x + 2 ) + ( − x + 1) = 9

3 = 9 ( falso )
x+20 

( − x − 2 ) + ( x − 1) = 9

− 3 = 9 ( falso )

iv)

( x + 2 ) + ( x − 1) = 9
x 1

 x=4

( − x − 2 ) + ( − x + 1) = 9
De lo anterior:
x  4, − 5
Forma 2
x = −5
Conceptos fundamentales del Álgebra
360
Apliquemos el método de los puntos críticos
III
II
−2
Zona I:
I
1
x  1  ( x + 2 ) + ( x − 1) = 9
x  1  x = 4  x  4
Zona II:
( )
1  x  −2  ( x + 2 ) + ( − x + 1) = 9
1  x  −2  3 = 9 ( falso )  x   
Zona III:
( )
−2  x  ( − x − 2 ) + ( − x + 1) = 9
−2  x  x = −5  x  −5
Finalmente:
x  ( )  (  )  (  )
x  4, − 5
362. Resolver la ecuación:
2x2 + 3x + 2 = 3 2x + 3
Factoricemos 2 x2 + 3x :
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
361
x ( 2 x + 3) + 2 = 3 2 x + 3
x 2x + 3 + 2 = 3 2x + 3
2 x−0 x+
3
3
+2=6 x+
2
2
Según el método de las zonas:
III
Zona I
II
x 
 x 
−3 2
I
0
 x
3
3


x  0  2( x) x +  + 2 = 6 x + 
2
2



2
x  0  2 x + 3x + 2 = 6 x + 9
x  0  2 x 2 − 3x − 7 = 0

3 + 65 
3 − 65 
x  0  2  x −
x−

=0

4 
4 

 3 − 65 3 + 65 
x0  
,

4 
 4
 3 + 65 
 x

 4 
Zona II
3
3


0  x  − 3 2  2(−x) x +  + 2 = 6 x + 
2
2


0  x  − 3 2  2 x2 + 9 x + 7 = 0
0  x  −3 2 
( 2 x + 7 )( x + 1) = 0
 7

0  x  − 3 2  x  − , − 1
 2

 x  −1
Conceptos fundamentales del Álgebra
362
Zona III:
3
3


− 3 2  x  2(−x) −x −  + 2 = 6 −x − 
2
2


− 3 2  x  2 x 2 + 9 x + 11 = 0
−3 2  x  x 
(   0)
 x 
Unamos las tres soluciones:
 3 + 65

x
, − 1
 4

363. Resolver
2 x + 8  3x + 2
Forma 1
Según la definición de valor absoluto:
a)
2x + 8  0

2 x + 8  3x + 2
x  −4

6 x
 x6
b)
2x + 8  0

−2 x − 8  3x + 2
x  −4

−2  x
 x 
De donde a)  b) :
x   6, 
Conceptos fundamentales del Álgebra
363
Forma 2
Por
propiedad
del
valor
3x + 2  0  − 3x − 2  2x + 8  3x + 2 :
x  −2 3 
−10  5 x
x  −2 3 
−2  x
absoluto,


6 x
6 x
 x   6, 
Forma 3
De acuerdo con el método de las zonas:
2 x + 8  3x + 2
2 x + 4  3x + 2
II
I
x 
 x
−4

2 ( − x − 4 )  3x + 2

2 ( x + 4 )  3x + 2
−2  x
6 x
Zona I: x  6
Zona II: x 
Unamos ambas soluciones:
x   6, 
364. Resolver
3x + 4  x + 2
si
Conceptos fundamentales del Álgebra
364
Forma 1
Por la definición:
a)
3x + 4  0

3x + 4  x + 2
x  −4 3

x  −1
 x  −1
b)
3x + 4  0
x  −4 3

−3x − 4  x + 2

−3 2  x
 x  −3 2
Finalmente de a)  b) :
x   − , − 3 2   − 1, 
Forma 2
Según propiedad
a)
b)
Si
Si
x+20

3x + 4 
x  −2

x
x+20
x  −2
( )
 x  −2

3x + 4  x + 2

 x  −1



( )
3x + 4  − x − 2
x  −3 2 
( )
( )
−2
−
3
2
−1
Conceptos fundamentales del Álgebra
365
 x   − 2, − 3 2   − 1, 
Unamos las soluciones de los casos a) y b):
x   − , − 3 2   − 1, 
Forma 3
Empleemos el método de los puntos críticos:
3x + 4  x + 2
3 x+4 3  x+2
II
I
x 
−4 3

3 ( − x − 4 3)  x + 2
 x

3 ( x + 4 3)  x + 2
−3 2  x
x  −1
Zona I: x  −1
Zona II: x  − 3 2
De donde:
x   − , − 3 2   − 1, 
365. Resolver
2x + 3 + 2  3 2x + 3
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
366
Por propiedad del valor absoluto, tenemos que a = a2 .
2
Entonces
( 2 x + 3) + 2  3 ( 2 ) x + 3 2
2
4 x 2 + 12 x + 11  6 x + 3 2
Analicemos dos casos:
a)
Si
x+3 2  0

4 x 2 + 12 x + 11  6 ( x + 3 2 )
x  −3 2

4 x2 + 6 x + 2  0
x  −3 2

2 x 2 + 3x + 1  0
x  −3 2

2 ( x + 1 2 )( x + 1)  0
( )
( )
( )
( )
−
−1
3
2
−
1
2
 x   − 1, − 0.5
b)
Si
x+3 2  0

4 x 2 + 12 x + 11  6 ( − x − 3 2 )
x  −3 2

4 x 2 + 18 x + 20  0
x  −3 2

2 x 2 + 9 x + 10  0
x  −3 2

2 ( x + 5 2 )( x + 2 )  0
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
367
( )
−
( )
−2
5
2
−
3
2
 x   − 5 2, − 2
La solución será la unión de a) y b):
x   − 2.5, − 2   − 1, − 0.5
366. Resolver
x − 4 − x −1  1
Empleemos el método de las zonas
III
II
1
Zona I:
Zona II:
Si
Si
I
4
x4

x4

 x 
( x − 4 ) − ( x − 1)  1
−3  1 ( falso )
4  x 1

( − x + 4 ) − ( x − 1)  1
4  x 1

 2  x 1
2x
Conceptos fundamentales del Álgebra
Zona III:
Si
1 x

1 x

 1 x
368
( − x + 4 ) − ( − x + 1)  1
3  1 ( verdadero )
La solución será la unión de las soluciones parciales:
x   − , 2
367. Resolver
x +1 + 2 x − 2  8
Empleemos el método de las zonas
III
Zona I:
II
−1
x2
x2
I
2

( x + 1) + 2 ( x − 2 )  8

x  11 3
 x   2, 11 3
Zona II:
2  x  −1

( x + 1) + 2 ( − x + 2 )  8
2  x  −1

x  −3
 x   − 1, 2
Zona III:
−1  x

( − x − 1) + 2 ( − x + 2 )  8
−1  x

x  −5 3
 x   − 5 3, − 1
Zona I  Zona II  Zona III:
x   − 5 3, 11 3
Conceptos fundamentales del Álgebra
369
368. Resolver
x2 + 2x + 3 + x2 − 3x  6
Analicemos el trinomio x 2 + 2 x + 3 :
 = ( 2 ) − 4 (1)( 3) = −8
2
a =1 0
Según el teorema, x 2 + 2 x + 3  0
x  .
De donde:
x 2 + 2 x + 3 + x ( x − 3)  6
x2 + 2 x − 3 + x x − 3  0
Por el método de las zonas:
III
II
0
Zona I:
x3
x3
x3
x3
−1
I
3

x 2 + 2 x − 3 + x ( x − 3)  0

2x2 − x − 3  0
( 2 x − 3)( x + 1)  0
2 ( x − 3 2 )( x + 1)  0


3
2
 x 
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
Zona II:
370
3 x 0
 x 2 + 2 x − 3 + x ( − x + 3)  0
3 x 0

x3 5
 x   0, 3 5
Zona III:
0 x

x 2 + 2 x − 3 + ( − x )( − x + 3)  0
0 x

2 x2 − x − 3  0
( igual que Zona I )
0
3
2
−1
 x   − 1, 0
De la unión de los tres conjuntos solución:
 x   − 1, 3 5
369. Resolver
x2 − 4 x + 3 + x2 − 1  6
si se sabe que x  2.
A partir del dato:
x  2  x2  4  x2 − 1  3  0  x2 − 1 = x2 − 1
Entonces:
( x − 1)( x − 3) + x2 − 1  6
x − 1 x − 3 + x2 − 7  0
III
II
1
I
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
371
Zona I:
x3

( x − 1)( x − 3) + x 2 − 7  0
x3
x3


2x2 − 4x − 4  0
x2 − 2x − 2  0
x3
 x − 1− 3  x − 1+ 3   0



(
1− 3
)
(
1+ 3
)
3
 x 
Zona II:
Considerando el dato x  2, solamente escogeremos
3 x  2

( x − 1)( − x + 3) + x 2 − 7  0
3 x  2

− x2 + 4x − 3 + x2 − 7  0
3 x  2

4 x  10
3 x  2

x5 2
2
5
2
 x   2, 5 2
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
372
De Zona I  Zona II:
x   2, 2.5
370. Resolver
x2 + x − 6 + 1  x + 3 + x − 2
Tenemos que:
x + 3 x − 2 +1  x + 3 + x − 2
III
II
I
−3
Zona I:
2
x2

( x + 3)( x − 2 ) + 1  x + 3 + x − 2
x2

x2 + x − 6 + 1  2 x + 1
x2

x2 − x − 6  0
x2

( x − 3)( x + 2 )  0
−2
2
 x   2, 3
Zona II:
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
373
2  x  −3

( x + 3)( − x + 2 ) + 1  x + 3 − x + 2
2  x  −3

− x2 − x + 6 + 1  5
2  x  −3

x2 + x − 2  0
2  x  −3

( x + 2 )( x − 1)  0
−3
−2
1
2
 x   − 3, − 2   1, 2
Zona III:
−3  x

( − x − 3)( − x + 2 ) + 1  − x − 3 − x + 2
−3  x

x 2 + x − 6 + 1  −2 x − 1
−3  x

x 2 + 3x − 4  0
−3  x

( x + 4 )( x − 1)  0
−4
−3
 x   − 4, − 3
Finalmente:
x   − 4, − 2   1, 3
371. Resolver
x3 − 2x + 3  x + 3
1
Conceptos fundamentales del Álgebra
374
Para que se cumpla la inecuación, el segundo miembro x + 3 debe ser mayor
o igual que cero porque el primer miembro siempre es mayor o igual que
cero:
x+3 0
( )
x  −3
( a  0) :
Según la propiedad x  a  − a  x  a
− x − 3  x3 − 2 x + 3  x + 3
Del lado izquierdo:
0  x3 − x + 6
(
0  ( x + 2) x2 − 2 x + 3
)
  0, a = 1  0
0  ( x + 2 )( + )
( )
−2  x
Del lado derecho:
x3 − 3x  0
(
)
x x2 − 3  0
(
)(
)
x x+ 3 x− 3 0
( −)
( −)
+
− 3
+
0
3
( )
x   − , − 3    0, 3 
( )  (  )  ( ) :
−3
−2
− 3
0
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
375
 x   − 2, − 3    0, 3 
372. Resolver
2 x − 1 + x2 + 9  x − 2 + x2 + 9
Analicemos:
x2 + 9  0 x 
 x2 + 9 = x2 + 9
Del primer miembro, 2 x − 1 , x 2 y 9 son siempre positivos, entonces se
anulan las barras del valor absoluto.
Del segundo miembro, x − 2 , x 2 y 1 son siempre positivos, entonces se
anulan las barras del valor absoluto.
Luego resulta
2 x − 1 + x2 + 9  x − 2 + x2 + 9
2 x −1  x − 2
Elevemos al cuadrado
2
4 x −1  x − 2
2
4 ( x − 1)  ( x − 2 )
2
2
4 x2 − 8x + 4  x2 − 4 x + 4
3x 2 − 4 x  0
3 x ( x − 4 3)  0
( −)
+
0
+
4
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
376
La inecuación se cumple para x   0, 4 3.
373. Resolver
x2 + 2 x + 3 + x 2 − 1  6
Forma 1
El trinomio x2 + 2 x + 3 es positivo para todo x 
porque a = 1  0 y
 = 2 − 4 ( 3) = −8  0.
2
2
Además,
x + 2x + 3 = ( x + 1) + 2
2
x  .
Entonces:
x2 + 2 x + 3 = x2 + 2 x + 3
Tendremos que:
x2 + 2 x + 3 + x2 − 1  6
Analicemos los casos a) y b):
a) Si x 2 − 1  0
( a1 )  x 2 + 2 x + 3 + x 2 − 1  6 ( a2 )
x2 − 1  0
( a1 )
( x − 1)( x + 1)  0
(+)
(+)
−
−1
1
es
positivo
Conceptos fundamentales del Álgebra
377
( a2 )
x2 + 2 x + 3 + x2 − 1  6
2 x2 + 2 x − 4  0
x2 + x − 2  0
( x + 2 )( x − 1)  0
( −)
+
+
−2
1
CSa = CSa1  CSa2
CSa =  − 2, − 1
b) Si x2 −1  0
(b1 )  x2 + 2x + 3 − ( x2 −1)  6 (b2 )
x2 − 1  0
( b1 )
( −)
+
+
−1
1
(
)
x2 + 2 x + 3 − x2 − 1  6
( b2 )
2x  2
x 1
CSb = CSb1  CSb2
CSb =  − 1, 1
El conjunto solución se obtiene uniendo CS a con CSb :
x   − 2, 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
378
Forma 2
A partir de x2 + 2x + 3 + x2 −1  6, tenemos:
x2 + 2 x + 3 + x − 1 x + 1  6
Zona III
x

Zona II

-1
Zona I

x
1

x
Zona I
x  1  x 2 + 2 x + 3 + ( x + 1)( x − 1)  6
x 1 
2x2 + 2x − 4  0
x 1 
2 ( x + 2 )( x − 1)  0
x 1

( −)
+
−2
+
1
CS1 = 
Zona II
−1  x  1  x 2 + 2 x + 3 + ( x + 1)( − x + 1)  6
−1  x  1 
2x + 4  6
−1  x  1 
x 1
CS2 =  − 1, 1
Zona III
Conceptos fundamentales del Álgebra
379
x  −1
 x 2 + 2 x + 3 + ( − x − 1)( − x + 1)  6
x  −1
x  −1


2x2 + 2x − 4  0
2 ( x + 2 )( x − 1)  0
 − , − 1 
 − 2, 1
CS3 =  − 2, − 1
Encontremos el conjunto solución CS :
CS = CS1  CS2  CS3
CS =    − 1, 1   − 2, − 1
CS =  − 2, 1
374. Resolver
4 x − x2 − 5
x −1
0
si se sabe que x es positivo.
Escribámoslo:
x (4 − x) − 5
x −1
=
x 4− x −5
x −1
=
x x −4 −5
x −1
Como x  0  x = x
x x −4 −5
x −1
0
Además
Caso (1)

 x − 4, x − 4  0
x−4 = 

4 − x, x − 4  0
(1)
( 2)
Conceptos fundamentales del Álgebra
380
x0 
x4

x0 
x4

x ( x − 4) − 5
0
x −1
x2 − 4x − 5
0
x −1
+ porque x  0
x0 
x4

x0 
x4

x4
( x − 5) ( x + 1)
x −1
0
x−5
0
x −1
(+)

1
0
(+)
−
5
De donde x   5,  
Caso ( 2 )
x0

x4 
x0

x4 
x ( − x + 4) − 5
0
x −1
− x2 + 4 x − 5
0
x −1
Como el discriminante de − x2 + 4 x − 5 es negativo
( −4 ) y el primer
coeficiente es negativo ( −1) , el trinomio será siempre negativo. Entonces:
x0

x4

x0

x4

De donde x   0, 1
La respuesta final será x   0, 1   5,  .
( −)
0
x −1
x −1  0
Conceptos fundamentales del Álgebra
381
375. Resolver
4 x − x2 − 5
x −4
0
Como 4x − x2 = x2 − 4x , escribamos:
x2 − 4 x − 5
x −4
x x −4 −5
x −4
III
0
0
II
I
0
4
Zona I:
x4

x4

x4

x ( x − 4) − 5
0
x−4
x2 − 4x − 5
0
x−4
( x − 5 )( x + 1)
0
x−4
(+)
−
−1
4
 x   5, 
Zona II:
(+)
−
5
Conceptos fundamentales del Álgebra
382
4 x0

4 x0

x ( − x + 4) − 5
0
x−4
− x2 + 4 x − 5
0
x−4
Como − x2 + 4 x − 5 tiene   0 y a = −1  0, el trinomio será siempre
negativo:
4 x0

4 x0

( −)
0
x−4
x4
 x   0, 4
Zona III:
0 x

0 x

0 x

( − x )( − x + 4 ) − 5
0
−x − 4
x2 − 4 x − 5
0
− ( x + 4)
( x − 5 )( x + 1)
0
− ( x + 4)
La solución de la inecuación de la derecha es
(+)
(+)
−
−4
−1
−
5
Como se debe cumplir que x  0 :
x   − , − 4   − 1, 0
De la unión de las tres zonas:
x   − , − 4   − 1, 4   5, 
Conceptos fundamentales del Álgebra
383
Ejercicios propuestos
376. Dados A =  −4, 4  8 y B = 0, 6 − 1 , encontrar cuántos números
enteros pertenecen a B − A.
R.: 3
377. Si x  −7, − 3 , ¿en qué intervalo se encuentra
−1
?
2x − 5
R.: 1 19, 1 11
378. Resolver
R.: x 
2 x 2 − 3x 4 x 2 + 2 x − 5

.
4
8
5
8
379. ¿Cuál es el mayor valor entero de x que cumple con la inecuación
2 x − 1 3x − 2 2 x + 1 2
+

+ ?
5
6
2
3
R.: −18
380. Resolver
R.: x 
x
7 − 2x 2
−
 .
2 x − 4 3x − 6 3
− 2
381. Encontrar x en
R.: x 
ax − b b − 2ax 3
+
 , si a  0  b.
a
b
b
3a + b2 − ab
ab − 2a 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
382. Si m 
R.: x 
384
3
x − m 3x + 2m 5x + 4m
pero m  0, resolver
+

.
m
m
4
m2
5m2 − 2m
3 − 4m
383. El doble de un número es menor que el exceso de 40 sobre el triple del
número y el quíntuplo del número no es menor que 28 unidades más que
el mismo. Determinar dicho número.
R.: x   7, 8
384. Encontrar el mayor valor entero de x que cumple con
2x − 5  x + 3  3x − 7
R.: 7
385. ¿Qué número entero excede a su raíz en más de 7 pero en menos de 8?
R: 11
386. Si se sabe que la suma de 4n + 2 números consecutivos es menor que la
suma de los 2n +1 siguientes, calcular el mayor número considerado si
es el más grande posible.
R.: 7n + 2
387. Encontrar la relación entre a y b para que el conjunto solución del
siguiente sistema tenga solución única
 2x − a  a + 4

 4 − 3 x  13 − 3b
R.: a + 5 = b
388. ¿Cuántos números cumplen con las siguientes inecuaciones a la vez?
Conceptos fundamentales del Álgebra
385

 ( x − 1)( x + 2 )  ( x + 4 )( x − 2 )


 ( x + 1)( x + 3)  ( x + 4 )( x − 3)
R.: 10
389. Resolver
6  3 2x 3 2x 3
4
R.: 8  x  18
390. Resolver
 2
 x − 1  1

 3 3
 x + 2
R.: −2, − 1
391. Calcular la suma de todos los valores enteros de n tal que la solución
del sistema
 nx − y = 5

 2 x + 3ny = 7
satisfaga la condición x  0 
R.: 1
y  0.
392. Una playa de estacionamiento tiene capacidad para 60 coches
estacionados en ella. Si el número de coches estacionados se redujera a
la sexta parte, se ocuparía menos de la décima parte de la capacidad del
estacionamiento; pero, si se tratara de duplicar el número de coches
estacionados, más de 8 coches no alcanzarían cupo. ¿Cuántos espacios
están ocupados?
Conceptos fundamentales del Álgebra
386
R.: 35
393. ¿Cuántos números enteros cumplen con x2 − 4 x + 6  0?
R.: 0
394. Encontrar la suma de los números enteros que cumplen con
x2 + 2 x − 35  0.
R.: − 11
395. ¿Qué signo tiene la expresión −ax 2 − a 2 x 2 − ax − a
( a  0) ?
R.: Positivo si a  0, negativo si a  0
396. Calcular el menor valor de m que satisface −9 x 2 + 4 x  m − 7, para
todo valor real de x.
R.: 67 9
397. Resolver para x :
3x m x 2
+ −
 0.
4 2 2m
R.:
Si
m  0  x  − m 2, 2m ,
si
m  0  x  −, 2m  − m 2, 
398. Resolver para x :
x + a x2 + a2
si a  0.

x − a x2 − a2
R.: Si a = 0  x 
− 0 , si a  0  x  a, 0  −a, 
399. Encontrar el conjunto de valores de a que hacen que la ecuación
siguiente en la variable x tenga soluciones positivas
ax + 2 = a 2 + 5x + a
Conceptos fundamentales del Álgebra
387
R.: a  −2, 1  5, 
400. Determinar m de manera que la raíz de la ecuación
4 2m − 1
sea
=
x x+m
mayor que 2.
R.: 5 2, 
401. Encontrar el conjunto de posibles valores de r para que la inecuación
rx 2 − 2 x − 3
 r − 2 se cumpla para todo x  .
x2 + 2 x + 3
R.: r  −5, 1
402. La utilidad que se obtiene al producir y vender x cocinas en una
4
compañía está dada por U = − x2 + 80 x − 1, 200 dólares. ¿Cuántas
25
cocinas se deberán producir y vender para que la utilidad esté entre
$5,200 y $7,200?
R.: x  100, 150  350, 400
403. Resolver x3 − 3x2 + 4  0.
R.: −, − 1
404. Hallar el conjunto solución de x4 + 8x3 + 22 x2 + 24 x + 9  0.
R.: x 
− −1, − 3
405. Hallar el conjunto solución de
R.: −, − 1   2,  − 3
( 2 − x )( x + 1)
 0.
2
( x − 3)
Conceptos fundamentales del Álgebra
406. Resolver
388
x −1
 2.
x +1
R.:  −3, − 1
407. Hallar la suma de los valores enteros de x que verifican la inecuación
3x + 2
4x − 7
+2
x −5
x −5
R.: 9
408. Resolver
300
200
e indicar su complemento.

3x + 4 2 x + 1
R.:  − 4 3, − 1 2
1
1
1
+
=
( a  b  0, c  0) , encontrar la
x −a x −b x −c
condición que debe cumplirse para que tenga dos raíces reales
diferentes.
409. Dada la ecuación
R.: c  a  c  b
410. Si a  0  b  −a, resolver
a
b
a 2 + b2
−

bx + a b − ax ( bx + a )( b − ax )
R.: x   −1, b a  − a b , 
411. Calcular la suma de los valores enteros de
x − 2 − 3  0.
R.: 54
x
que satisfacen
Conceptos fundamentales del Álgebra
389
412. Resolver 2 x − 3  2 − x .
R.: 5 3, 2 
413. Encontrar la suma de las raíces de la ecuación 3x − 1 − 1 = x + 2 .
R.: 3 2
414. Encontrar la suma de las raíces de la ecuación 3x + 6 = 4 + x + 2 .
R.: − 4
415. Resolver 3x2 − 4x = 5x −1 e indicar la suma de todas sus soluciones
reales.
R.: 8 3
416. Resolver 3x + 4  3x + 2.
R.: 
417. Resolver x − a − 2 x + a  3a si a  0.
R.:
418. Resolver
2x −1
 2.
3− x
R.: −, 7 4 
419. Resolver 3x − 2 − 5  1 e indicar el menor valor entero.
R.: − 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
420. Resolver
2 ( x + 2 ) − x 2 + 3x
R.: x  −, − 1
x +1
390
 2− x+3 .
Conceptos fundamentales del Álgebra
391
IV
Progresiones aritméticas y
geométricas
1.
Progresiones aritméticas
Son sucesiones de números en las cuales cada uno de ellos se obtiene
sumándole al anterior una cantidad constante llamada razón aritmética
( r ) . La progresión es creciente si r  0 y decreciente si r  0.
Ejemplo:
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 es una progresión aritmética de razón
r = 8 − 3 = 5.
1.1.
Cálculo del último término de una progresión aritmética
Sean
a : primer término de la progresión aritmética
r : razón aritmética
u : último término
n : número de términos
Los términos de la progresión aritmética serán
Conceptos fundamentales del Álgebra
392
a , a + r , a + 2r , a + 3r ,
,u
1
n
2
3
4
en donde "u " es el n − ésimo término. Por simple inspección, se
desprende que:
u = a + ( n − 1) r
1.2.
Propiedad fundamental
En toda progresión aritmética, la suma de cualquier par de términos
equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los
términos extremos. Ello debido a que:
a + u = ( a + r ) + ( u − r ) = ( a + 2r ) + ( u − 2r ) =
1
n
2
( n −1)
3
( n − 2 )
Ejemplo:
En la progresión aritmética 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, se observa que
3 + 33 = 8 + 28 = 13 + 23 = 18 +18.
1.3.
Término central de una progresión aritmética
Si el número de términos de la progresión es impar, existirá el término
central ( tc ) y será igual a la semisuma de los extremos (media
aritmética de los términos extremos):
tc =
a+u
2
Ejemplo:
En la progresión aritmética 3, 8, 13, (18 ) , 23, 28, 33, el número de
términos es impar n = 7, entonces hay término central y como a = 3
y u = 33:
3 + 33
tc =
2
tc = 18
Conceptos fundamentales del Álgebra
1.4.
393
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
Sea la progresión aritmética:
a, a + r, a + 2r,
, a + ( n − 3) r , a + ( n − 2 ) r , a + ( n − 1) r
u −2r
u −r
u
o mejor:
a, a + r, a + 2r,
, u − 2r, u − r, u
Se pide la suma S que se puede escribir
S = a + u + ( a + r ) + ( u − r ) + ( a + 2r ) + (u − 2r ) +
a +u
a +u
a +u
Como el número de términos es n, el número de parejas será n 2; de
donde:
n
S = (a + u) 
2
a+u
S=
n
2
Ejemplo:
Sea la progresión aritmética siguiente _, _, 3, 7, _, _,
Encontrar la suma de los 100 primeros términos.
Se tiene que:
3 = a + 2r 
  r = 4, a = −5
7 = a + 3r 
luego:
.
Conceptos fundamentales del Álgebra
S100 =
S100 =
394
a+u
100
2
a +  a + 99r 
100
2
2a + 99r
S100 =
100
2
2 ( −5 ) + 99 ( 4 )
S100 =
100
2
S100 = 19,300
2.
Progresiones geométricas
Son sucesiones de números en las cuales cada uno de ellos se obtiene
multiplicando al anterior por una cantidad constante llamada razón
geométrica ( q ) .
Si el primer término es positivo, la progresión geométrica será:
- creciente si q  1
- decreciente si 1  q  0
- oscilante si q  0
Ejemplo:
3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica de razón q =
2.1.
Cálculo del último término de una progresión geométrica
Sean
a : primer término de la progresión geométrica
q : razón geométrica
u : último término
n : número de términos
Los términos de la progresión geométrica serán
6
= 2.
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
395
a , aq , aq 2 , aq 3 ,
,u
1
n
2
3
4
Por simple observación, se tiene que:
u = aq n −1
2.2.
Propiedad fundamental
En toda progresión geométrica, el producto de cualquier par de
términos equidistantes de los extremos es constante e igual al producto
de los términos extremos. Ello debido a que:
a  ( aq n −1 ) = ( aq )  ( aq n − 2 ) = ( aq 2 ) + ( aq n −3 ) =
1
n
2
( n −1)
3
( n − 2 )
Ejemplo:
En la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, 48, 96, se observa que
3 96 = 6  48 = 12  24.
2.3.
Término central de una progresión geométrica
Si el número de términos de la progresión es impar, existirá el término
central ( tc ) y será igual a la raíz cuadrada del producto de los
extremos (media geométrica de los términos extremos):
tc = au
Ejemplo:
En la progresión geométrica 6, 12, ( 24 ) , 48, 96, el número de
términos es impar n = 5, entonces hay término central y como a = 6
y u = 96:
tc = 6  96
tc = 24
Conceptos fundamentales del Álgebra
2.4.
396
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
Sea la progresión geométrica:
a, aq, aq 2 ,
, aq n − 2 , aq n −1
S = a + aq + aq 2 +
+ aq n − 2 + aq n −1
(1)
qS = aq + aq 2 + aq3 +
+ aq n −1 + aq n
( 2)
Se pide:
(1) por q :
De ( 2 ) − (1) :
Sq − S = aq n − a
S ( q − 1) = a ( q n − 1)
S = a
qn −1
q −1
Ejemplo:
Sea
la
progresión
geométrica
siguiente
_, 108, _, _, _, 4 3, _,
. Averiguar el número de términos que
7
tiene si se sabe que la suma de todos ellos es 485 .
9
Se sabe que:
108 = aq1 
aq5 4 3
1
1


=
 q4 =
 q = , a = 324
4
5 
aq
108
81
3
= aq 
3

1
1
1
Al resolver q 4 =
se toma la solución q = y no q = − porque la
81
3
3
progresión geométrica dada es decreciente.
Conceptos fundamentales del Álgebra
397
Además:
S = a
qn −1
q −1
n
1
  −1
7
3
485 = 324   
1
9
−1
3
n
1
  −1
4,372
3
= 324   
2
9
−
3
De donde:
n
1
1
  =
3
2,187
 
n
1 1
  = 
3 3
n=7
3.
7
Progresión geométrica decreciente e ilimitada
Consideremos la progresión geométrica siguiente
16, 8, 4, 2,
1 1 1
, , ,
2 4 8
Como se nota, la razón es q =
8 1
=  1 y el número de términos
16 2
tiende a infinito.
Si se trata de averiguar el límite de la suma de todos sus términos o la
suma límite:
Conceptos fundamentales del Álgebra
398
1 1 1
SL = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + + + +
2 4 8
se puede deducir una fórmula a partir de:
S = a
qn −1
,
q −1
en donde 0  q  1 y n → . Si 0  q  1 y n → , entonces q n
tiende a 0. Por ejemplo si q =
1
, se observa que:
2
5
1 
1

  =
32 
2
6

1 
n
1

1
  =

2
64

 
  → 0 cuando n → 
2

7
1 
1
,
  =
 2  128 


De donde:
0 −1
q −1
a
SL =
1− q
SL = a 
En el ejemplo anterior:
SL =
16
= 32
1 −1 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
399
Ejercicios resueltos
421. La suma de los siete primeros términos de una progresión aritmética es
49 y la suma de los 20 primeros, 400. ¿Cuántos términos de dicha progresión
se deben tomar para que la suma de estos términos sea igual a 729?
Forma 1
Se sabe que:
a + ( a + 6r )
 7 = ( a + 3r )  7 = 49  a + 3r = 7
(1)
2
a + ( a + 19r )
S20 =
 20 = ( a + 9.5r )  20 = 400  a + 9.5r = 20
2
S7 =
(2)
Al resolver el sistema, obtenemos:
r=2
a =1
Como Sn =
a +  a + ( n − 1) r 
2
 n, se debe cumplir que:
a +  a + ( n − 1) r 
2
1 + 1 + ( n − 1) 2 
 n = 729
 n = 729
2
1 + ( n − 1)   n = 729
n 2 = 729
n = 27
422. La suma de los a primeros términos de una progresión aritmética de
razón 3 es 112. Calcular el término central, siendo a el primer término.
Tenemos que:
Conceptos fundamentales del Álgebra
400
a, a + 3, a + 6,
, ta
a términos
a + ta
a
2
224 =  a + a + ( a − 1) 3 a
112 =
224 = ( 5a − 3) a
5a − 3a − 224 = 0
2
( 5a + 32 )( a − 7 ) = 0
De donde a = 7.
El término central será:
a+u
2
a + t7
tc =
2
7 + 7 + ( 7 − 1) 3
tc =
2
7 + 25
tc =
2
tc = 16
tc =
423. La suma de los seis términos centrales de una progresión aritmética
creciente de 16 términos es 141 y el producto de los extremos es 46.
Encontrar el lugar que ocupa el número 34.
Tenemos la progresión aritmética siguiente:
t1 ,
, t6 , t7 ,
, t10 , t11 ,
S =141
Se tiene que:
, t16
Conceptos fundamentales del Álgebra
401
t6 + t11

6
 141 =
2

 t1  t16 = 46

Es decir:

141( 2 )
= ( a + 5r ) + ( a + 10r )

6

a  ( a + 15r ) = 46

O sea:

 2a + 15r = 47
 2

 a + 15ar = 46
( )
( )
De (  ) :
r=
46 − a 2
15a
En ( ) :
 46 − a 2 
2a + 15 
 = 47
 15a 
Por 15a :
30a 2 + 690 − 15a 2 = 705a
15a 2 − 705a + 690 = 0
a 2 − 47a + 46 = 0
 a = 46
 a =1
( a − 46 )( a − 1) = 0  
Conceptos fundamentales del Álgebra
Si a = 46  r =
Si a = 1  r =
46 − 462
0
15 ( 46 )
402
( descartada )
46 − 12
= 3.
15 (1)
Finalmente:
34 = a + ( n − 1) r
34 = 1 + ( n − 1) 3
n − 1 = 11
n = 12
El número 34 ocupa el duodécimo lugar.
424. En una progresión aritmética creciente de 18 términos, la suma de sus
términos es 549 y el producto del primero por el último es 280. Encontrar la
razón.
Se tiene a,
, t18 .
a + t18

18
 549 =
2

 a  t18 = 280

De donde:

549 ( 2 )
= 61
 a + t18 =
18


a  t18 = 280

Formemos la ecuación de segundo grado:
Conceptos fundamentales del Álgebra
403
x 2 − 61x + 280 = 0
 a=5
 a = 56
( x − 5 )( x − 56 ) = 0  
Si a = 5  t18 = 56.
Si a = 56  t18 = 5 ( descartada por ser creciente la progresión )
Entonces:
t18 = 56  5 + (18 − 1) r = 56  r = 3
425. Los tres primeros términos de una progresión aritmética suman −6 y los
tres últimos, 234. Averiguar el número total de términos si la suma global es
912.
Forma 1
Sea la progresión aritmética siguiente:
a, b, c,
, x, y, z
De los datos:
a+b+c = −6 
x + y + z = 234 
( a + c ) + b = − 6 
( x + z ) + y = 234 
( )
Por propiedad:
a+c
=b 
2
x+z
=y 
2

a + c = 2b 


x + z = 2y 

( )
(  ) en ( ) :
2b + b = −6

2 y + y = 234 
b = −2  a = −2 − r
y = 78  z = 78 + r
Conceptos fundamentales del Álgebra
404
La suma:
a+z
n
2
1824 =  −2 − r + 78 + r   n
912 =
1824 = 76 n
n = 24
Forma 2
Sea la progresión aritmética siguiente:
a, a + r , a + 2r ,
, a + ( n − 3) r , a + ( n − 2 ) r , a + ( n − 1) r
n términos
Según el enunciado:
a + ( a + r ) + ( a + 2r ) = − 6




a + ( n − 3) r + a + ( n − 2 ) r + a + ( n − 1) r = 234
3a + 3r = − 6  a + r = −2




3a + ( 3n − 6 ) r = 234  a + ( n − 2 ) r = 78
De (1) + ( 2 ) :
2a + ( n − 1) r = 76
( )
Además:
912 =
a + a + ( n − 1) r
n
2
1824 =  2a + ( n − 1) r  n
( )
(1)
( 2)
Conceptos fundamentales del Álgebra
405
( ) en (  ) :
1824 =  76 n
n = 24
426. Dada la progresión aritmética
( x + 1) , ( 2 x ) , ( 4 x − 5) ,
términos debo sumar para obtener 75?
Encontremos la razón de la progresión aritmética:
r = ( 2 x ) − ( x + 1) = x − 1


  x −1 = 2x − 5  x = 4
r = ( 4 x − 5) − ( 2 x ) = 2 x − 5 

Luego la progresión aritmética es 4 + 1 = 5, 2 ( 4 ) = 8, 4 ( 4 ) − 5 = 11,
El término enésimo será:
tn = 5 + ( n − 1) 3
tn = 3n + 2
La suma será:
75 =
5 + ( 3n + 2 )
2
n
Por 2:
150 = 5n + 3n2 + 2n
3n2 + 7n − 150 = 0
( 3n + 25)( n − 6 ) = 0
Como n :
n=6
¿cuántos
Conceptos fundamentales del Álgebra
406
427. El primer término de una progresión aritmética es 0.02, la razón, 0.01, y
el término central es igual al cuadrado de la suma de todos los términos.
Calcular el número de ellos.
Tenemos que:
a = 0.02
r = 0.01
tc =
a+u
= S2
2
Entonces:
a+u
= S2
2
a+u  a+u 
=
n
2
 2

2
a+u  a+u 
2
=
 n
2
 2 
a+u 2
1=
n
2
2 = ( a + u )  n2
2
2 = 0.02 + 0.02 + ( n − 1) 0.01 n 2
2 = 0.03n 2 + 0.01n3
Entonces:
0.01n3 + 0.03n2 − 2 = 0
Por 100:
n3 + 3n2 − 200 = 0
Por Ruffini:
Conceptos fundamentales del Álgebra
5
407
1
3
0
-200

1
5
40
200
8
40
0
 n=5
428. En una progresión aritmética de 4n términos, cuyo primer término es 6
y la razón, 5, la suma de los 2n últimos términos es 508. Hallar n.
Tenemos que la progresión aritmética es:
6, 11, 16,
, t2 n +1 ,
2 n términos
, t4 n
2 n términos
Encontremos:
t2 n +1 = 6 + ( 2n + 1 − 1) 5 = 6 + 10n
t4 n = 6 + ( 4n − 1) 5 = 1 + 20n
Entonces, como S =
a1 + an
n:
2
t2 n +1 + t4 n
 ( 2n ) = 508
2
6 + 10n + 1 + 20n n = 508
30n 2 + 7 n − 508 = 0
( 30n + 127 )( n − 4 ) = 0
Como n :
n=4
Conceptos fundamentales del Álgebra
408
429. En una progresión aritmética de 3n términos, la suma de los n últimos
términos es 525. Si el primer y segundo términos son 9 y 17,
respectivamente, determinar n.
Tenemos:
9, 17, 25,
t2 n , t2 n +1 ,
2 n términos
, t3n
n términos
Del dato:
t
+t
525 = 2 n +1 3n  n
2
(1)
t2 n +1 = 9 + ( 2n + 1 − 1) r
t2 n +1 = 9 + ( 2n ) 8
t2 n +1 = 9 + 16n
( 2)
t3n = 9 + ( 3n − 1) r
t3n = 9 + ( 3n − 1) 8
t3n = 1 + 24n
( 3)
Reemplacemos ( 3 ) y ( 2 ) en (1) :
9 + 16n + 1 + 24n
n
2
525 = ( 5 + 20n ) n
525 =
20n 2 + 5n − 525 = 0
4n 2 + n − 105 = 0
( 4n + 21)( n − 5 ) = 0
De donde:
n=5
430. En la siguiente progresión aritmética
Conceptos fundamentales del Álgebra
3,
409
, 30,
, x
el número de términos comprendidos entre 3 y 30 es el mismo que entre 30 y
x. Si la suma de todos los términos es 570, hallar el decimoquinto término de
dicha progresión.
Forma 1
Sea n el número de términos comprendidos entre 3 y 30:
3,
, 30,
n
n+2
, x
n
2n +3
30 sería el término que ocupa el lugar n + 2 :
30 = 3 + ( n + 2 − 1) r
r=
27
n +1
(1)
Además, 570 sería la suma de los 2n + 3 primeros términos:
570 =
3 + 3 + ( 2n + 3 − 1) r 
2
570 = 3 + ( n + 1) r  ( 2n + 3)
( 2n + 3 )
( 2)
De (1) en ( 2 ) :

 27  
570 = 3 + ( n + 1) 
  ( 2n + 3 )
 n + 1 

570 = 3 + 27  ( 2n + 3)
19 = 2n + 3
n=8
Conceptos fundamentales del Álgebra
410
En (1) :
r=
27
=3
8 +1
De donde:
t15 = 3 + (15 − 1) 3
t15 = 45
Forma 2
Formemos dos progresiones aritméticas con igual número de términos:
3,
, 30
30,
, x
n términos
Se tiene que:
30 = 3 + ( n − 1) r  ( n − 1) r = 27
x = 30 + ( n − 1) r  ( n − 1) r = x − 30
De (1) y ( 2 )
x − 30 = 27
x = 57
Además:
n + n −1 términos
570 =
3 + 57
( 2n − 1)
2
el término 30
se repite
2n − 1 = 19
n = 10
(1)
( 2)
Conceptos fundamentales del Álgebra
411
En (1) :
30 = 3 + (10 − 1) r
r =3
Finalmente:
t15 = 3 + (15 − 1) 3
t15 = 45
Forma 3
A partir de:
3,
, 30
30,
, x
n términos
Se tiene que:
30 = 3 + ( n − 1) r  ( n − 1) r = 27
x = 30 + ( n − 1) r  ( n − 1) r = x − 30
(1)
( 2)
De (1) y ( 2 )
x − 30 = 27
x = 57
Además:
3 + 30
30 + x
( n) +
( n ) − 30
2
2
63 + x
600 =
(n)
2
1, 200
n=
63 + x
570 =
30 se repite en
las dos
progresiones
Conceptos fundamentales del Álgebra
412
De donde:
1, 200
63 + 57
1, 200
n=
120
n = 10
n=
Entonces:
30 = 3 + (10 − 1) r
r =3
Por lo tanto:
t15 = 3 + (15 − 1) 3
t15 = 45
431. En una progresión aritmética la suma de los p primeros términos es q
y la suma de los q primeros términos es p. Determinar la razón.
Sea la progresión aritmética:
a, a + r, a + 2r,
De los datos:
a + tp

p
 S1 = q =
2

 S = p = a + tq  q
 2
2
Es decir:
Conceptos fundamentales del Álgebra
413
 2q =  a + a + ( p − 1) r  p

 2 p =  a + a + ( q − 1) r  q
Despejemos 2a de ambas ecuaciones:
2q

 2a = p − ( p − 1) r


 2a = 2 p − ( q − 1) r
q

Igualemos
2q
2p
− ( p − 1) r =
− ( q − 1) r
p
q
2 p 2q
−
( q − 1) − ( p − 1)  r =
q
p
(q − p) r =
r=
2 p 2 − 2q 2
pq
(
2 p2 − q2
)
( q − p ) pq
2( p + q)
r=−
pq
432. José compra un auto de manera que en la primera cuota paga S/.180 y en
cada cuota paga S/.10 más que en la anterior. ¿Cuántas cuotas pagó si en total
el auto le costó S/.12,780?
De acuerdo con el enunciado:
a = 180
r = 10
S = 12,780
Conceptos fundamentales del Álgebra
414
Entonces:
 a+u 
12, 780 = 
n
 2 
25,560 = 180 + 180 + ( n − 1)10   n
25,560 = 350n + 10n 2
n 2 + 35n − 2,556 = 0
( n + 71)( n − 36 ) = 0
De donde
n = 36 cuotas
433. Si en una progresión geométrica se cumple que el quinto y el octavo
b
términos son
y 16b, respectivamente, hallar el decimotercer término en
4
función de b.
Se tiene que:
b
4
t8 = 16b
t5 =
Como
t8 = t5  q  q  q
t8 = t5  q 3
b 3
q
4
q 3 = 64
16b =
q=4
Entonces el término t13 será:
Conceptos fundamentales del Álgebra
415
t13 = t8  q 5
t13 = 16b  ( 4 )
5
t13 = 16,384b
434. La suma de los términos que ocupan los lugares impares de una
progresión geométrica de 6 términos es 182 y la suma de los que ocupan los
lugares pares es 546. Encontrar la razón.
Forma 1
Sea la progresión geométrica siguiente:
a, aq, aq 2 , aq 3 , aq 4 , aq 5
Se tiene que:
a + aq 2 + aq 4 = 182
aq + aq + aq = 546
3
5
( )
( )
(  ) entre ( ):
(
) = 546
a (1 + q + q ) 182
aq 1 + q 2 + q 4
2
4
q=3
Forma 2
Sea la progresión geométrica siguiente:
a, b, c, d , e, f
Se sabe que:
Conceptos fundamentales del Álgebra
416
b = qa
d = qc
f = qe
Sumándolas:
b + d + f = q ( a + c + e)
546 = q (182 )
q=3
435. Cuatro números forman una progresión geométrica decreciente. Si la
suma de sus extremos es 140 y la suma de los términos centrales es 60,
encontrar el último término.
Sea la progresión geométrica siguiente:
a, aq, aq 2 , aq3
Se sabe que:
( )
aq + aq = a ( q + q ) = 60
a + aq 3 = a 1 + q 3 = 140
2
2
Dividámoslas:
1 + q 3 140
=
60
q + q2
1 + q3 7
=
q + q2 3
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
417
3 + 3q 3 = 7 q + 7 q 2
(
)
3 ( q − q + 1) = 7 q
3 q 3 + 1 = 7 q ( q + 1)
2
3q 2 − 10q + 3 = 0
 q =1 3
 q=3
( 3q − 1)( q − 3) = 0  
Como la progresión es decreciente ( q  1) :
q=
1
3
En ( ) :
1 1
a  +  = 60
3 9
4
a   = 60
9
a = 135
3
 1  135
= 5.
El último término será aq3 = 135   =
27
3
436. Hallar cuatro números si se sabe que los tres primeros están en
progresión geométrica y los tres últimos, en progresión aritmética de razón 6,
siendo el primer número igual al cuarto.
Forma 1
Sean a, aq, aq 2 , a, los elementos de la sucesión.
De acuerdo con la propiedad del término central, los elementos de la sucesión
que forman una progresión aritmética, cumplen:
Conceptos fundamentales del Álgebra
418
aq 2 + aq 2 = aq + a
2aq 2 = aq + a
Como a  0 :
2q 2 = q + 1
2q 2 − q − 1 = 0
 q = −1 2
 q =1
( 2q + 1)( q − 1) = 0  
Además:
aq 2 − aq = 6
(
)
a q2 − 1 = 6
Si q = −1 2  a (1 4 + 1 2 ) = 6  a = 6 ( 3 4 ) = 8.
Si q = 1  los tres primeros términos de la progresión geométrica serían
a, a, a, lo cual no corresponde a la restricción del enunciado.
Con lo cual, los elementos serán: 8, − 4, 2, 8.
Forma 2
Sean a, a − 12, a − 6, a, los elementos de la serie.
De acuerdo con la propiedad del término central de la progresión geométrica:
( a − 12 ) = a ( a − 6 )
2
a 2 − 24a + 144 = a 2 − 6a
18a = 144
a =8
Los elementos serán: 8, − 4, 2, 8.
Conceptos fundamentales del Álgebra
419
437. En un juego de azar una persona apuesta la primera vez un dólar y se
propone triplicar la apuesta anterior cada vez que el éxito no le favorezca.
Cuando tiene éxito, gana una cantidad igual a su apuesta. En su novena
apuesta obtiene por primera vez un éxito y luego se retira. Si ingresó al
casino con $10,000, ¿con cuánto se retiró?
La primera vez pierde 1 dólar, la segunda pierde 3 dólares, en la tercera
pierde 32 = 9 dólares y así sucesivamente hasta su octava apuesta en la que
pierde 37 dólares.
La pérdida acumulada en las 8 primeras apuestas es:
1 + 3 + 32 +
38 − 1
3 −1
= 3, 280
+ 37 = 1
Su novena apuesta es de 38 dólares y gana una suma igual.
Se
retiró
del
casino
10, 000 − 3, 280 + 38 = 10, 000 − 3, 280 + 6,561 = 13, 281 dólares.
con
438. Varios socios forman una empresa y al cabo de cierto tiempo se reparten
S/.8´190,000 de utilidad. Si se sabe que cada socio aportó un capital
equivalente al cuádruplo del aportado por el anterior y que la diferencia entre
las ganancias del segundo y primer socios fue S/.18,000, encontrar el número
de socios.
Si los aportes de capital forman una progresión geométrica de razón 4, las
utilidades formarán otra progresión geométrica de razón 4.
Sean las utilidades ( q = 4 ) :
a, 4a, 16a,
Del enunciado se tiene que:
4a − a = 3a  3a = 18,000  a = 6,000
Luego:
Conceptos fundamentales del Álgebra
420
8´190, 000 = a 
qn −1
q −1
8´190, 000 = 6, 000 
4n − 1
4 −1
4n − 1 = 4, 095
4n = 4, 096
4 n = 46
n=6
439. En cada caso hallar la suma de todos los términos:
a) 243, 81, 27, , 1 3
b) 243, 81, 27,
a) En la progresión geométrica limitada:
a = 243
q=
81 1
=
243 3
u=
1
1
1
= aq n −1  = 243  
3
3
3
La suma pedida será:
n −1

1
1
1
1
= n −1  6 = n −1  n = 7
729 3
3
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
421
S = a
qn −1
q −1
7
1
  −1
3
S = 243   
1
  −1
3
1
−1
2187
S = 243 
2
−
3
243 1 − 2187 
S=
−2 ( 729 )
S=
243 ( 2186 )
2 ( 729 )
2186
6
S = 364.33
S=
b) En la progresión geométrica decreciente ilimitada:
a
1− q
243
S=
1
1−
3
243
S=
2
3
S = 364.50
440. Los dos primeros términos de una progresión geométrica decreciente e
infinita suman 6 y cada término es igual a 4 veces la suma de todos los
términos que le siguen. Calcular la suma de los términos de la progresión.
S=
Sea la progresión:
Conceptos fundamentales del Álgebra
422
a, aq, aq 2 , aq3
S
Se tiene que:
a + aq = 6
a (1 + q ) = 6
( )
De otro lado:
a = 4S
aq
1− q
4q
1=
1− q
1 − q = 4q
1
q=
5
a=4
En ( ) :
 1
a 1 +  = 6
 5
6
a=6
5
a=5
De donde, la suma pedida será:
S=
a
5
5 25
=
= =
1− q 1− 1 4
4
5 5
441. La suma de tres términos que están en progresión aritmética es 21. Si a
estos números se les suma 2, 3 y 9, respectivamente, los nuevos números
Conceptos fundamentales del Álgebra
423
forman una progresión geométrica. Encontrar el octavo término de esta si la
progresión aritmética es creciente.
Sea la progresión aritmética:
7 − r, 7, 7 + r
La progresión geométrica será:
7 − r + 2, 7 + 3, 7 + r + 9
9 − r , 10, 16 + r
Por propiedad de la progresión geométrica:
102 = ( 9 − r )(16 + r )
100 = 144 + 9r − 16r − r 2
r 2 + 7r − 44 = 0
 r = −11
 r=4
( r + 11)( r − 4 ) = 0  
Como la progresión aritmética es creciente: r = 4.
La progresión geométrica será:
9 − 4, 10, 16 + 4,
5, 10, 20,
 q=2
Entonces:
t8 = aq8−1
t8 = 5 ( 2 )
7
t8 = 640
442. En una progresión geométrica decreciente prolongada indefinidamente,
cada término es igual a la suma de todos los términos que le siguen
multiplicada por el doble de la razón. Encontrar el sexto término si se sabe
Conceptos fundamentales del Álgebra
424
que la suma de los seis primeros términos de dicha progresión geométrica es
31.5.
Se tiene que:
a, aq, aq 2 , aq 3
S = aq
1− q
a = S  ( 2q )
a=
aq
 ( 2q )
1− q
1 − q = 2q 2
2q 2 + q − 1 = 0
 q =1 2
 q = −1
( 2q − 1)( q + 1) = 0  
Como la progresión es decreciente: q = 1 2.
Además:
6
1
  −1
2
31.5 = a  
1
−1
2
1 − 64
31.5 = a 
32 − 64
63
31.5 =
a
32
a = 16
El sexto término será:
Conceptos fundamentales del Álgebra
425
t6 = aq 6 −1
1
t6 = 16  
2
1
t6 =
2
5
443. Una progresión geométrica decreciente de términos racionales positivos
243
tiene por suma de sus infinitos términos a
. Si el tercer y cuarto términos
8
suman 7.5, ¿cuánto suman el tercer y sexto términos?
Se sabe que S =
a
, de donde:
1− q
243
a
=
8
1− q
243
a=
(1 − q )
8
( )
Además:
t3 + t4 = 7.5
aq + aq3 = 7.5
2
(
)
a q 2 + q 3 = 7.5
a=
De ( ) y (  ) :
7.5
q 2 + q3
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
426
243
7.5
(1 − q ) = 2 3
8
q +q
(
)
243 ( q + q − q − q ) = 60
243 ( q − q ) = 60
81( q − q ) = 20
243 (1 − q ) q 2 + q 3 = 60
2
3
3
4
2
4
2
4
81q 4 − 81q 2 + 20 = 0
(
2
 2 4
 q = 9  q =  3
9q 2 − 4 9q 2 − 5 = 0  
 q2 = 5  q =  5

9
3
)(
)
Como la progresión tiene términos racionales positivos:
q=
2
3
En ( ) :
a=
243  2 
1 − 
8  3
243  1 
 
8 3
81
a=
8
a=
La suma pedida será:
Conceptos fundamentales del Álgebra
427
S = t3 + t6
S = aq 2 + aq 5
(
S = aq 2 1 + q 3
)
S=
2
3
81  2    2  
   1 +   
8  3    3  
S=
81 4 35
 
8 9 27
S=
35
6
6
7
7
8
444. Se forma la tabla siguiente:
1
2
3
4
3
4
5
4
5
6
9
10
Demostrar que la suma de los términos de cada fila es el cuadrado de un
número impar.
Sea n el primer número de cada fila. Averigüemos cuántos términos hay en
cada fila.
n =1
1 término
1 = 2 (1) − 1
n=2
3 términos
3 = 2 ( 2) −1
n=3
5 términos
5 = 2 ( 3) − 1
n=4
7 términos
7 = 2 ( 4) −1
Se desprende que el número de términos en la fila que empieza con n es
2n −1.
Analicemos la enésima fila y nos daremos cuenta de que los términos forman
una progresión aritmética de primer término " n" y de razón 1:
Conceptos fundamentales del Álgebra
n
n +1
428
n+2
u
( 2 n −1) términos
Para calcular la suma de los ( 2 n − 1) términos de la progresión:
a+u
 ( número de términos )
2
a+u
S=
 nT
2
u = a + ( nT − 1) r
S=
Entonces:
u = n + ( 2n − 1) − 1 (1)
u = 3n − 2
De donde:
n + ( 3n − 2 )
 ( 2n − 1)
2
S = ( 2n − 1)  ( 2n − 1)
S=
S = ( 2n − 1)
2
Se ha demostrado que la suma de los términos de la enésima fila es el
cuadrado del número impar 2n −1.
445. Encontrar la suma siguiente si se sabe que el número de cifras del último
sumando es n :
S = 1 + 11 + 111 +
111
1
" n " cifras
Escribamos los sumandos de la serie de la siguiente forma:
Conceptos fundamentales del Álgebra
429


1=1

11 = 1 + 10


111 = 1 + 10 + 100



 11
1 = 1 + 10 + 100 +
 " n " cifras
+ 10n −1
Se nota que los sumandos de los segundos miembros forman una progresión
geométrica de primer término a = 1 y de razón q = 10.
Empleando la fórmula:
S = a
qn − 1
q −1
( )
se tiene que:

101 − 1
1
=
1


9

2

10 − 1
11 = 1 

9

3

10 − 1
111 = 1 

9



10n − 1
 11
1 = 1

9
 " n " cifras

La suma pedida será:
Conceptos fundamentales del Álgebra
S=
430
101 − 1 102 − 1 103 − 1
+
+
+
9
9
9
10n − 1
9
" n " sumandos
(
) (
)
(
)
1
S = (10 − 1) + 102 − 1 + 103 − 1 +
+ 10n − 1 

9

1
S =  10 + 102 + 103 +
10n − (1 + 1 + 1 +
+ 1) 
9

" n " sumandos


Con ayuda de la fórmula ( ) , se puede escribir:
(
)
S=
1  10n − 1 
− n
10 
9
10 − 1

S=
1 10n +1 − 10 
− n

9
9

Conceptos fundamentales del Álgebra
431
Ejercicios propuestos
446. La suma de los cuatro primeros términos de una progresión aritmética es
20 y la razón es 6. ¿Cuál es el primer término?
R.: − 4
447. La suma de los 15 términos de los que consta una progresión aritmética
es 360. Encontrar el término central.
R.: 24
448. La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es
5n + 2n2 . Encontrar el término de lugar 10.
R.: 43
449. La suma de los cinco términos de una progresión aritmética creciente es
−5 y la suma de sus cuadrados es 45. Calcular el segundo término.
R.: −3
450. ¿Cuántos términos se deben sumar en la progresión aritmética, cuyos
términos cuarto y noveno son 16 y 31, respectivamente, para que el
resultado sea 282?
R.: 12
451. En una progresión aritmética, la razón y el número de términos son
iguales. La suma de los términos es 156 y la diferencia de los extremos
es 30. Calcular el primer término.
R.: 11
452. Sea 3n2 + n la suma de los n primeros términos de una progresión
aritmética. Encontrar la suma de los términos segundo y quinto.
R.: 38
Conceptos fundamentales del Álgebra
432
453. En una progresión aritmética cuyo primer término es 10 y su último
término es 100, el número de términos comprendidos entre 10 y 76 es el
triple de los comprendidos entre 76 y 100. Encontrar la suma de los
términos de dicha progresión.
R.: 1,705
454. Calcular el primer término de una progresión aritmética si se conoce que
el tercer y sexto términos suman 57 y que el quinto con el décimo suman
99.
R.: 4
455. La suma del quinto y noveno términos de una progresión aritmética es
10 y la suma de los cuadrados de los términos cuarto y séptimo es 41.
Encontrar el número de términos de la progresión aritmética si se sabe
que su razón es un número entero y que el término central es dos
unidades menor que la tercera parte del último término aumentado en 1.
R.: 15
456. El término de lugar p de una progresión aritmética es q y el término de
lugar q es p. Encontrar el término de lugar p + q.
R.: 0
457. Si los términos de lugares p, q y r de una progresión aritmética son
a , b y c, respectivamente, calcular
E = (q − r ) a + (r − p)b + ( p − q)c
R.: 0
1
1
1
y
son términos consecutivos de una
,
b+c a+c
a+b
a2 + c2
progresión aritmética, calcular
.
b2
R.: 2
458. Si los números
459. El segundo término de una progresión geométrica es 32 y el décimo,
1 8. Encontrar el séptimo término.
R.: 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
433
460. Encontrar el noveno término de una progresión aritmética de " x "
términos en la que su primer y último términos son x2 − 3x − 110 y
x 2 + 11x − 124, respectivamente.
R.: ( x − 1)( x − 2 )
461. Los dos primeros términos de una progresión aritmética están en
relación 3 a 7. ¿En qué relación estarán los dos últimos términos si la
progresión tiene " n" términos?
4n − 5
R.:
4n − 1
462. La suma de los " n" primeros términos de una progresión aritmética es
bn2 + cn. Encontrar la suma de los " m " últimos términos de dicha
progresión.
R.: m ( 2bn + c − mb )
463. Encontrar el número de términos de una progresión geométrica cuyo
primer término es 7 y el último, 567, siendo 847 la suma de todos los
términos.
R.: 5
464. Tres números enteros positivos están en progresión geométrica y su
suma es 63. Si la suma de sus inversas es 7 16, encontrar el producto de
los tres números.
R.: 1,728
465. Hallar el lugar que ocupa el mayor de los dos términos consecutivos de
9
1
la progresión geométrica siguiente
, 2 ,
, si se sabe que sus
16
4
raíces cuadradas difieren en 48.
R.: Octavo lugar
Conceptos fundamentales del Álgebra
434
466. Un individuo gastó el lunes cierta cantidad, el martes gastó la mitad, el
miércoles gastó la mitad de lo que gastó el martes y así sucesivamente
hasta el sábado de la misma semana. ¿Cuánto gastó el jueves si en total
gastó S/.25,200?
R.: S/.1,600
467. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 − 3x + A = 0 y x3 y x4 , las de
x2 − 12 x + B = 0. Si se sabe que los números x1 , x2 , x3 y x4 (en ese
orden) forman una progresión geométrica creciente, hallar A3 + B.
R.: 40
468. El término de lugar p de una progresión geométrica es s y el término
de lugar s es p. Encontrar la razón.
R.: p − s s p
469. Tres números positivos forman una progresión geométrica creciente de
tal forma que la suma de los cuadrados del primero y del tercero es 153.
Si al segundo se le aumenta 1 y al tercero se le resta 1, se forma una
progresión aritmética. Encontrar los números que forman la progresión
geométrica.
R.: 3, 6, 12
470. La suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética es 4
veces la suma de los 5 primeros términos. Al sumarle 1 al primer
término de esta progresión aritmética, restarle 1 al segundo término y
sumarle 1 al tercer término, resultan tres números que están en
progresión aritmética.
a) Calcular el séptimo término de esta progresión aritmética
b) Calcular la suma de los 6 primeros términos de la progresión
geométrica.
R.: a) 39, b) 252
471. Calcular el sexto término de la siguiente progresión 15, 16.5, 18.15.
.
Conceptos fundamentales del Álgebra
435
R.: 24.15765
472. Calcule el término de lugar k en una progresión geométrica en la cual el
5º y 10º términos son 2 y 64, respectivamente.
R.: 2k − 4
473. Encontrar la suma de los términos de
1 2 1 2
+ + + +
7 72 73 74
.
R.: 3 16
474. De una progresión geométrica de infinitos términos se sabe que la suma
de los términos 3º, 4º y 5º es 76 9; además, si a dicha progresión
geométrica se le quitan los dos primeros términos, la suma límite
resultante es 12. Hallar la suma límite de todos los términos de los
lugares impares de dicha progresión geométrica.
R.: 81 5
475. Se tiene un triángulo equilátero de lado L. Se unen sus puntos medios,
resultando un segundo triángulo; se vuelven a unir los puntos medios de
los lados de este segundo triángulo, y así sucesivamente. Hallar la suma
de los perímetros de todos los triángulos formados.
R.: 6L
476. Se deja caer una pelota desde una altura de 90 metros y rebota hasta la
tercera parte de la altura desde la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia
recorrió la pelota hasta quedar en reposo?
R.: 180 metros
477. La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es dos
veces la suma de sus n primeros términos. Encontrar la razón.
R.: n 1 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
436
478. El límite de la suma de los términos de una progresión geométrica
decreciente de infinitos términos es 9 y el segundo término, 2. Calcular
el primer término.
R.: 3
479. Si la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
decreciente es m veces la suma de sus n primeros términos, encontrar
la razón.
m −1
R.: q = n
m
480. En una progresión geométrica de n términos, se conoce la suma S de
los n −1 primeros términos y la suma P de los n −1 últimos. Calcular
el primer término.
P−S
R.:
n −1
P
  −1
S
Conceptos fundamentales del Álgebra
437
V
Logaritmos
1.
Definición de logaritmo
El logaritmo de un número
(N )
en cierta base
(b )
es el
EXPONENTE al que hay que elevar la base para reproducir el
número.
Es decir:
logb N = x  b x = N
Ejemplo:
log5 125 = 3 porque 53 = 125
log 4
1
1
= −2 porque 4-2 =
16
16
Ejemplo:
Calcular log 3 9 5 27.
Si log3 9 5 27 = x, entonces se cumple que
Conceptos fundamentales del Álgebra
438
3x = 9 5 27
3x = 32  33 5
3x = 313 5
x=
13
5
Consideremos que:
N 0
b  0 y b  1 porque log1 N no existe
Obviamente:
log b b = 1
log b 1 = 0
Los sistemas de logaritmos más usados son:
2.
-
Logaritmos decimales (base 10): log10 N o log N .
-
Logaritmos naturales (base e = 2,7182
LN
): loge N o ln N o
Propiedades de los logaritmos
P1. blogb N = N
Demostración
A partir de
logb N = x  b x = n, reemplacemos x : b x = blogb N = N .
P2. logb M + logb N = logb ( MN )
Demostración
Sean:
Conceptos fundamentales del Álgebra
439
log b M = x  b x = M
log b N = y  b y = N
Si multiplicamos
bx  b y = M  N
b x + y = MN
Por definición de logaritmos:
log b ( MN ) = x + y
log b ( MN ) = log b M + log b N
P3. logb M n = n logb M
Demostración


log b M n = log b  M  M 
M 


n veces


n
log b M = log b M + log b M +
+ log b M
n veces
log b M = n logb M
n
P4. logb n M =
1
logb M
n
Demostración
Usar la propiedad anterior
M 
P5. logb M − logb N = logb  
N
Demostración
Sean:
Conceptos fundamentales del Álgebra
440
log b M = x  b x = M
log b N = y  b y = N
Si dividimos
bx M
=
N
by
M
bx− y =
N
Por definición de logaritmos:
M 
log b   = x − y
N
M 
log b   = log b M − log b N
N
P6. logbn M =
1
logb M
n
Demostración
Sea log bn M = x, entonces se cumple que:
( b ) = M  b = M  nx = log M  x = 1n log M
n x
nx
b
log bn M =
1
log b M
n
P7. log bn M n = log b M
Demostración
b
Conceptos fundamentales del Álgebra
441
A partir de P3. y P5.:
n
logbn M n = n logbn M = logb M = logb M
n
P8. Cambio de base de logaritmos
log b M =
log c M
log c b
Demostración
Sea logb M = x, entonces se cumple que
bx = M
Tomemos logaritmos en base c :
log c b x = log c M
x log c b = log c M
x=
log c M
log c b
log b M =
log c M
log c b
P9. logb M  log M b = 1
Demostración
Cambiemos de base al primer término:
log M M
 log M b = log M M = 1
log M b
P10. Regla de la cadena
logb c  logc d  log d e 
log p q = logb q
Conceptos fundamentales del Álgebra
442
Demostración
Se comprueba si se cambian todos los logaritmos a base 10.
log c log d log e



log b log c log d
log q log q
=
= logb q
log p log b
Notas:
En general
N1. logb ( M + N )  logb M + logb N
N2. logb ( M − N )  log b M − log b N
N3.
log b M
 logb M − logb N
logb N
N4.
logb M M

logb N
N
N5. logbn M = ( logb M )
n
N6. logb M n  logbn M
N7. logbp M n  n logbp M
N8. log ( log N )  log 2 N
Ejemplo:
Resolver log3x 2 − 5 ( log x 2) = log42 16 − 8log x 2.
2
Escribamos:
( logx 2) − 5(logx 2) + 8 (logx 2) − 4 = 0
3
2
Sea A = log x 2, entonces:
A3 − 5 A2 + 8 A − 4 = 0
( A − 1)( A − 2) = 0
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
443
De donde:
A =1  x = 2
A=2  x= 2
3.
Cologaritmo de un número
Por definición cologb N = logb
con reemplazar “co” por “ − ”.
1
= − logb N . Por comodidad, bastará
N
Ejemplo:
colog101000 = − log10 1000 = −3.
4.
Antilogaritmo de un número
La operación del antilogaritmo es la operación inversa del logaritmo,
así como suma con resta, multiplicación con división, etc.
Suma Resta
Multiplicación División
Logaritmo Antilogaritmo
 N +x−x = N
Nx

=N
x
 antilog b ( log b N ) = N
ó log b ( antilog b N ) = N
( )
( )
Esto último se comprobará con la definición siguiente:
antilog b N = b N
Por simplicidad, bastará con eliminar la palabra antilog, es decir:
Comprobemos ( ) :
antilog b N = bN
antilog b ( log b N ) = b logb N = N
( por P1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
444
Comprobemos (  ) :
logb ( antilogb N ) = logb (bN ) = N
( por definición de logaritmos)
Ejemplo:
Calcular E = antilog16 ( colog 4 256 ) .
Método 1
E = antilog16 ( − log 4 4 4 )
E = antilog16 ( −4 )
E = 16−4 =
1
1
=
164 216
Método 2
E = 16colog4 256
E = ( 42 )
− log 4 256
E = ( 42 ) = 4−8 =
−4
1
1
= 16
8
4
2
Método 3
Si
E = antilog16 ( colog 4 256 )
E = antilog16 ( -4 )
Tomemos log16 :
Conceptos fundamentales del Álgebra
445
log16 E = log16 antilog16 ( −4 ) 
log16 E = −4
( por  )
−4
E = 16
1
E = 16
2
5.
Ecuaciones logarítmicas
Son aquellas en las cuales la incógnita está afectada de logaritmos.
Será necesario emplear las propiedades de los logaritmos.
Ejemplo:
Resolver log32 x 2 = 36.
( 2log3 x ) = 36
2
log32 x = 9
log3 x = 3  x = 33 ó x = 3−3
6.
Ecuaciones exponenciales
Son aquellas en las cuales la incógnita aparece como exponente.
Normalmente conviene tomar logaritmos a la expresión.
Ejemplo:
Resolver 46 x = log 4 6.
6 x log 4 4 = log 4 log 4 6
1
x = log 4  log 4 6
6
Ejemplo:
Resolver log52
x
− log52 5 x = −4.
5
Método 1
Según las propiedades de logaritmos:
( log5 x − log5 5) − ( log5 5 + log5 x ) = −4
2
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
446
Sea log5 x = A :
( A − 1) − (1 + A) = −4
2
2
−4 A = −4
A = 1  log5 x = 1  x = 5
Método 2
Por diferencia de cuadrados:
x
x



 log5 + log5 5 x  log 5 − log 5 5 x  = −4
5
5



Por propiedades
x
x 5


log5 5 ( 5 x )  log5 5 x  = −4



1

log 5 x 2  log 5  = −4
25


log5 x 2   −2 = −4
log5 x 2 = 2
x 2 = 25  x = 5
x x
Como en el enunciado aparece log ,
debe ser positivo, entonces
5 5
x  −5 :
 x=5
7.
Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Son conjuntos de dos o más ecuaciones en las cuales las variables
figuran afectadas de logaritmos y/o aparecen como exponentes.
Conceptos fundamentales del Álgebra
447
Ejemplo:
Resolver
 x 2 = 1 + 6log 4 y

 2
x
2 x +1

 y = y2 + 2
Restricción y  0.
De la segunda ecuación:
y 2 − 2 x  y − 21  22 x = 0
y 2 − 2x  y − 2 ( 2x ) = 0
2
 y = −2 x
 y + 2 x   y − 2 ( 2 x )  = 0  
x
x +1


 y = 2 ( 2 ) = 2
Por la restricción y  0, no se debe admitir como solución y = −2 x ya
que 2 x es siempre positivo.
Reemplacemos y = 2 x +1 en la primera ecuación:
x 2 = 1 + 6 log 4 2 x +1
6
x 2 = 1 + log 2 2 x +1
2
2
x = 1 + 3 ( x + 1)
x 2 − 3x − 4 = 0
 x = 4  y = 32
 x = −1  y = 1
( x − 4 )( x + 1) = 0  
Ejercicios resueltos
481. Si x = 10 3, calcular
Conceptos fundamentales del Álgebra
448
4
log3 3 x2 

log x  3log9 x + 4log2 x + 6 6 


Encontramos por separado:
log 2 x 4
4
3log9 x = 3
3
( )
4log2 x = 22
6
log3
3
6
1
= 32
log 2 x
2
= 3log3 x = x 2
2
= 22 log2 x = 2log2 x = x 2
x2
= 6log6 x = x 2
(
)
Entonces:
log3 x 4
2
( )
log x x 2 + x 2 + x 2 = log x 3 x 2
E
E = log x 3 + log x x 2
E = log x 3 + 2
Reemplacemos x = 3 :
10
E = log x 3 + 2
E = log10 3 3 + 2
1
log 3 3 + 2
1 10
E = 10 + 2
E=
E = 12
482. Emplear únicamente la definición de logaritmo para demostrar:
 m   log a 
logbnc m =    c 
 c   logc b 
n
A partir del segundo miembro, sean:
n
Conceptos fundamentales del Álgebra
449
x
m
y
c log c b = y  log c b =
c
m log c a = x  log c a =
( )
( )
n
x
Deberemos demostrar que el primer miembro es   .
 y
Según la definición de logaritmo, de ( ) :
a = c x m  c = am x
De (  ) :
b = c y c  c = bc y
Entonces:
a m x = bc y
a m = b cx y
( )
a m = bc
x y
Por definición de logaritmo:
log bc a m =
x
y
n
x
 log bc a m  =  
 y
n
483. Calcular el valor de
 2 log 2 8 − antilog 3 2 
E = antilog 

 log 5 75 + colog 5 3 
Conceptos fundamentales del Álgebra
450
Simplifiquemos el numerador:
N = 2 log 2 8 − antilog 3 2
N = log 2 82 − 32
N = log 21 2 82 − 9
( ) −9
N = 2 log 2 23
2
N = 2 ( 6) − 9
N =3
El denominador:
D = log5 75 + colog 5 3
D = log5 75 − log 5 3
 75 
D = log5  
 3 
D = log5 25
D=2
Entonces:
3
E = antilog  
2
32
E = 10
E = 1, 000
484. Calcular el valor de:
colog4 antilog8 log2 antilog0.5 colog0.2 625
Empecemos por el último término:
Conceptos fundamentales del Álgebra
451
colog 0.2 625 = − log 5−1 54 = −
4
log5 5 = 4
−1
4
1
1
antilog 0.5 4 = 0.54 =   =
2
16
 
1
−4
log 2
= log 2 2 = −4
16
( ) =2
antilog8 ( −4 ) = 8−4 = 23
−4
colog 4 2−12 = − log 22 2−12 = −
−12
( −12)
2
log 2 2 = 6
485. Resolver antilog2 log x 16 = x, y obtener colog r1 r2 siendo r1 y r2 las
raíces obtenidas.
Forma 1
A partir de antilog2 log x 16 = x, y según la definición de antilogaritmo
tendremos:
2log x 16 = x
( log x 16 )( log x 2 ) = log x x
( 4 log x 2 )( log x 2 ) = 1
( log x 2 ) =
2
log x 2 = 
1
4
 x −1 2 = 2  x = 2−2  x1 = 1 4
1
  12
2
2
 x = 2  x = 2  x2 = 4
Se pide:
colog 4 4−1 = − log 4 4−1 = 1,
Forma 2
Sea
ó colog1 4 4 = − log 4−1 4 = 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
452
( )
log x 16 = p  x p = 16
Entonces
antilog 2 log x 16 = x
antilog 2 p = x
Tomemos log2 :
log 2 antilog 2 p  = log 2 x
p = log 2 x
( )
2p = x
De ( ) :
p log x = log16
De (  ) :
p log 2 = log x
Dividamos:
p log x log 24
=
p log 2 log x
log x 4log 2
=
log 2 log x
De donde:
( log x ) = 4 ( log 2 )
2
log x = 2 log 2
log x = log 22
O sea:
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
453
 x1 = 22 = 4


−2

 x2 = 2 = 1 4
De manera que r1 y r2 toman los valores 4 ó 1 4.
Piden el valor de:
colog 4 4−1 = − log 4 4−1 = 1,
486. Si
ó colog1 4 4 = − log 4−1 4 = 1
(
)
2 − logn 1 − n2
m n
− = mn, calcular
.
n m
logn m
Forma 1
Del dato:
m2 − n2
= mn
mn
m2 − n2 = m2 n2
m2 − m2 n2 = n2
(
)
m2 1 − n2 = n2
1 − n2 =
Reemplacemos en la expresión pedida:
n2
m2
Conceptos fundamentales del Álgebra
454
 n2 
2 − log n  2  2 − 2 log n  n 
m  =
m
log n m
log n m
=
=
2 − 2  log n n − log n m 
log n m
2 − 2 + 2 log n m
log n m
=2
Forma 2
Reescribamos la expresión pedida:
(
log n n − log n 1 − n
2
2
log n m
)=
n2
1 − n2
log n m
log n
Por cambio de base:
n2
2
1 − n 2 = log n
m
log n m
1 − n2
log n
Del dato se obtiene:
(
)
m2 1 − n2 = n2
Entonces:
(
m2 1 − n2
log m
1− n
2
) = log m
m
=2
487. Hallar el valor de
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
455
log 32 35
log 3 5  log 3 7
log5 175 + log 7 245 −
Forma 1
Factoricemos los números
(
)
(
E = log 5 5  7 + log 7 5  7
2
2
)
 log 3 ( 5  7 ) 
−
log 3 5  log 3 7
2
log3 5 + log3 7
E = ( 2 + log 5 7 ) + ( log 7 5 + 2 ) −
2
log 3 5  log 3 7
E = 4 + log 5 7 + log 7 5 −
log 5 + 2 log 3 5  log 3 7 + log 32 7
log 3 5  log 3 7
E = 4 + log 5 7 + log 7 5 −
log 3 5
log 3 7
−2−
log 3 7
log 3 5
2
3
E = 4 + log 5 7 + log 7 5 − log 7 5 − 2 − log 5 7
E=2
Forma 2
Convirtamos a base 3:
E=
(
log3 52  7
) + log (5  7 ) − log (5  7 )
log3 5
Sea log3 5 = A  log3 7 = B :
2
3
log3 7
log3 5  log3 7
2 A + B A + 2B ( A + B )
+
−
A
B
AB
B A
A2 + 2 AB + B 2
E = 2+ + +2−
A B
AB
B A
A
B
E = 2+ + +2− −2−
A B
B
A
E=2
2
E=
2
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
488. Si P = log8
456
98 + 128 + 162
18
10 
5
y log5
Q
6
78,125
de Q.
Simplifiquemos los radicales:
7 2 +8 2 +9 2
P = log8
10 (18 5 )
24 2
P = log8
36
P = log8 4 2
P = log 23 25 2
52
3
5
P=
6
P=
Entonces:
log 5
log 5
Q
6
78,125
Q
625, 000
6
8
=
5
6
=
5
6
Según la definición de logaritmos:
Q
625, 000
6
8
Elevemos a la sexta:
= 55 6
= P, encontrar el valor
Conceptos fundamentales del Álgebra
457
Q6
= 55
625, 000 8
8Q 6
= 55
57  23
Q 6 = 512
Q = 52
Q = 25
489. Si
(
)
(
log a = log2 x2 y5 ,
log b = log4 x8 y6
) y 3log b + log a = 28,
encontrar xy.
Tenemos que:
( )
1
log b = log ( x y ) = log ( x y ) = log ( x y ) = log ( x y ) = log ( x y )
2
log a = log 2 x 2 y 5
8
4
6
8
6
8
22
6
2
8
2
6 12
4
3
2
Como ambos están expresados en la misma base, reemplacemos en el dato
3log b + log a = 28 :
( )
( )
log ( x y ) + log ( x y ) = 28
log ( x y ) = 28
3log 2 x 4 y 3 + log 2 x 2 y 5 = 28
12
9
2
2
5
2
14 14
2
Por definición de logaritmos:
Conceptos fundamentales del Álgebra
458
x14 y14 = 228
( xy )
14
( )
= 22
14
xy = 22
xy = 4
490. Si log 2 = p, resolver en términos de p la siguiente ecuación
(
)
(
5 2 x +5 = 32 5x +1
2
)
Forma 1
Tomemos logaritmos decimales a ambos miembros:
(
)
log5 + x2 + 5 log 2 = 5log 2 + ( x +1) log5
Si log 2 = p  log5 = log
10
= 1 − log 2 = 1 − p.
2
Reemplacemos:
(
)
1 − p + x 2 + 5 p = 5 p + ( x + 1)(1 − p )
1 − p + px + 5 p = 5 p + x − px + 1 − p
2
px 2 = x − px
 x1 = 0

x ( px − 1 + p ) = 0  
1− p
 px − 1 + p = 0  x2 = p

Forma 2
Expresemos en potencias de 2 y de 5:
5  2 x + 5 = 25  5 x +1
2
2
2 x = 5x
Conceptos fundamentales del Álgebra
459
Tomando logaritmos decimales:
x 2 log 2 = x log 5
x 2 log 2 = x (1 − log 2 )
Dividamos entre x ( x = 0 forma parte del conjunto solución ) :
x log 2 = 1 − log 2
1 − log 2
log 2
1− p
x1 =
p
x1 =
Además x2 = 0.
491. Si 2logb c = 3logb 8 y log 2 c = 3a, encontrar log6 32 en términos de a.
Forma 1
Se sabe que
log 6 32 =
log 2 32
5log 2 2
5
=
=
log 2 6 log 2 2 + log 2 3 1 + log 2 3
( )
De 2logb c = 3logb 8 se deduce que:
( logb c ) ( log2 2) = ( logb 8) ( log2 3)
1
Entonces:
log 2 3 =
En ( ) :
logb c
1
1
= log8 c = log 23 c = log 2 c = ( 3a ) = a
logb 8
3
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
460
log6 32 =
5
1+ a
Forma 2
Se conoce que
log6 32 =
log 32
5log 2
5
5
=
=
=
log 6 log 2 + log 3 1 + log 3 1 + log 2 3
log 2
( )
De log 2 c = 3a  c = 23a
Remplacemos en la condición dada inicialmente:
3a
2logb 2 = 3logb 8
( log 2 ) ( log 2 ) = ( log 8 ) ( log 3)
3a
b
2
b
2
3a log b 2 (1) = ( 3log b 2 ) ( log 2 3 )
De donde:
log 2 3 =
3a log b 2
3log b 2
log 2 3 = a
En ( ) :
log6 32 =
5
1+ a
Forma 3
Se tiene que
log 6 32 =
log3 32
5log3 2
5log 3 2
=
=
log3 6 log3 2 + log3 3 log3 2 + 1
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
461
Escribamos:
log 2 c
3
3
2logb c = 2 log2 b = 3logb 2 = 3log 2 b
Entonces:
2log2 c = 33
Es decir:
23a = 33
(2 ) = 3
a
3
3
2a = 3
1
Si 2a = 3  2 = 31 a  log3 2 = .
a
En (  ) :
1
5 
a
log 6 32 =  
1
+1
a
5
log 6 32 =
1+ a
492. Si a, b y c están en progresión geométrica, hallar x en:
1
1
1
+
−
=0
log a N log c N log b x N
Forma 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
Según ( log N a )( log a N ) = 1 
462
1
= log N a, se tiene:
log a N
log N a + log N c − log N b x = 0
log N ( ac ) = log N b x
ac = b x
Del dato:
a b
=  ac = b2
b c
De donde:
b x = b2  x = 2
Forma 2
Según el dato, a, b y c forman una progresión geométrica, entonces b = ar
y c = ar 2 .
Reemplacemos:
1
1
1
+
=
log a N log ar 2 N log ar x N
( )
Cambiemos a base N :
1
1
1
+
=
log N N
log N N
log N N
x
log N a log N ar 2
log N ( ar )
( )
log a + log ( ar ) = log ( ar )
log ( a r ) = x log ( ar )
x
2
N
N
N
2 2
N
N
Conceptos fundamentales del Álgebra
463
2log N ( ar ) = x log N ( ar )
x=2
493. El cologaritmo de 3 en cierta base es mayor en 2 3 que el cologaritmo
de 81 en una base que es el triple de la primera. Encontrar todos los posibles
valores que puede tomar dicha base.
De acuerdo con el enunciado:
2
+ colog 3 B 81
3
2
− log B 3 = − log 3 B 81
3
colog B 3 =
Cambiemos a base 3:
− log3 3 2
log 3 34
= −
log 3 B 3 log 3 ( 3B )
−1
2
4
= −
log3 B 3 1 + log 3 B
Es decir:
−3 (1 + log3 B ) = 2 log3 B (1 + log3 B ) − 4 ( 3log 3 B )
−3 − 3log3 B = 2 log3 B + 2 log32 B − 12 log3 B
2 log32 B − 7 log3 B + 3 = 0
 log3 B = 1 2  B1 = 31 2 = 3
( 2 log3 B − 1)( log3 B − 3) = 0  
 log3 B = 3
 B2 = 33 = 27
)
(
494. Resolver la siguiente inecuación

(
x 2 + colog 5 2  ( antilog 2−1 2 2 ) Ln e4  x  colog e2 5 e2 5 e 2


)
Conceptos fundamentales del Álgebra
464
Calculemos:
(
(
)
x 2 + colog 5 2  ( antilog 2−1 2 2 ) Ln e4 x  colog e2 5 e2 5 e2
( 2−1 2 )
2
4
− log 2 5 e12 5
e
2−1
−6
Entonces:
x 2 + colog 21 5  2−1  4  x  −6
x 2 − ( log 21 5 ) x  −6
x2 −
1
x  −6
15
x2 − 5x + 6  0
( x − 2 )( x − 3)  0
( −)
+
+
3
2
De donde
x   2, 3
495. Resolver la ecuación:
log 2 x = log x 2
Se tiene que:
log2 x = ( log x )
2
Entonces:
 log x2 = 2log x
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
465
( log x ) = 2 log x
2
( log x ) − 2 log x = 0
2
 log x = 0  x1 = 1
( log x )( log x − 2 ) = 0  
2
 log x = 2  x2 = 10 = 100
Se cumple para
x  1, 100
496. Resolver
(
log 4 x 4 − 17
) =2
log 2 2 x 2 − 10
Condiciones:
x 4 − 17  0
( x + 17 )( x − 17 )  0
2
2

2 x 2 − 10  0

2 x 2 − 10  1

x2  5

x 2  11 2

x2  5

x 2  11 2
x 2  17
Escribamos:
(
)
1
log ( x − 17 ) = log ( 2 x − 10 )
2
log 4 x 4 − 17 = 2 log 2 2 x 2 − 10
4
2
2
2
log 2 x 4 − 17
) = log ( 2 x − 10 )
(
12
2
2
De donde:
( x −17 ) = 2x −10
4
12
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
466
Elevemos al cuadrado:
(
x 4 − 17 = 2 x 2 − 10
)
2
x 4 − 17 = 4 x 4 − 40 x 2 + 100
3x 4 − 40 x 2 + 117 = 0
 x 2 = 13 3
( 3x − 13)( x − 9 ) = 0   x = 9
2
2

2
Solamente x 2 = 9 cumple con las condiciones.
 x = 3
497. Si log2 x + log4 x + log8 x = 11, hallar el valor de b si además se cumple
que:
antilog 2 cologb log8 x =
2
2
De la ecuación:
log 2 x + log 22 x + log 23 x = 11
1
1
log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11
2
3
11
log 2 x = 11
6
log 2 x = 6
x = 26
x = 64
Reemplacemos en el dato:
Conceptos fundamentales del Álgebra
467
antilog 2 colog b log8 64 =
2
2
2
antilog 2 colog b 2 = 2−1 2
Por definición de antilogaritmo:
2cologb 2 = 2−1 2
2 − logb 2 = 2 −1 2
1
2
12
b =2
log b 2 =
b = 22
b=4
498. Resolver
log3−1 ( x −1) = 2 + log3 ( x −1)
−1
Escribamos así:
1
= 2 − log 3 ( x − 1)
log3 ( x − 1)
Efectuemos un cambio de base
log 3 ( x − 1) = A
Entonces:
1
= 2− A
A
Conceptos fundamentales del Álgebra
468
Por A :
1 = 2 A − A2
A2 − 2 A + 1 = 0
( A − 1) = 0  A = 1  log3 ( x − 1) = 1  x − 1 = 31
De donde:
x −1 = 3
x=4
499. Resolver
log 2 (100 x ) + log 2 (10 x ) + log x 2 = 15
Apliquemos propiedades de logaritmos:
log (100 x )  + log (10 x )  +  2 log x  = 15
2
2
log100 + log x  + log10 + log x  + 2 log x = 15
2
2
 2 + log x  + 1 + log x  + 2 log x = 15
2
2
4 + 4 log x + log 2 x + 1 + 2 log x + log 2 x + 2 log x = 15
2 log 2 x + 8log x − 10 = 0
log 2 x + 4 log x − 5 = 0
 log x = −5  x1 = 10−5
( log x + 5)( log x − 1) = 0  
 log x = 1
500. Resolver para x :
1
log a ( ax )  log x ( ax ) = log a2  
a
 x2 = 101
Conceptos fundamentales del Álgebra
469
Forma 1
Simplifiquemos la expresión dada:
log a ( ax ) = log a a + log a x = 1 + log a x
log x ( ax ) = log x a + log x x = log x a + 1 =
1
+1
log a x
1
1
1 1
log a2   = log a a −1 = ( −1) = −
2
2
a 2
Si cambiamos de variable, loga x = A, tendremos:
(1 + A) 
1 
1
+ 1 = −
2
A 
1
1
+1+1+ A = −
A
2
Por 2 A :
2 + 4 A + 2 A2 = − A
2 A2 + 5 A + 2 = 0
 A = −1 2
 A = −2
( 2 A + 1)( A + 2 ) = 0  
De donde:
−1 2

 log a x = −1 2  x1 = a = 1 a

−2
2

 log a x = −2  x2 = a = 1 a
Forma 2
Cambiemos los logaritmos a base 10:
Conceptos fundamentales del Álgebra
470
log ( ax ) log ( ax ) −1

= log a a
log a
log x
2
log ( ax ) log ( ax )
1

=−
log a
log x
2
−2 log 2 ( ax ) = log a  log x
−2 ( log a + log x ) = log a  log x
2
(
)
−2 log 2 a + 2 log a  log x + log 2 x = log a  log x
2 log x + 5log a  log x + 2 log a = 0
2
2
log a

 log x = log a −1 2
 log x = −
2
( 2 log x + log a )( log x + 2 log a ) = 0  
 log x = −2 log a  log x = log a −2

De donde finalmente:
1

 x1 = a

x = 1
 2 a 2
501. Al resolver xlog3 x = 81 se obtienen dos raíces, x1 y x2 , siendo x1  x2 .
Calcular el valor de colog x2 x1 .
Forma 1
A partir del dato xlog3 x = 81 tomemos logaritmos en base 3:
log 3 x  log 3 x = log3 81
( log3 x ) = 4
2
 x1 = 32 = 9
log 3 x = 2  
−2
 x2 = 3 = 1 9
Conceptos fundamentales del Álgebra
Se pide colog1 9 9 = − log3−2 32 =
471
−2
log3 3 = 1.
−2
Forma 2
Tomemos logaritmos en base 81:
( log 3 x )( log81 x ) = 1
log 3 x =
1
log 81 x
log 3 x = log x 81
Igualémoslos a B :
log3 x = B 
x = 3B
log x 81 = B  81 = x
B
( ) en (  ) :
( )
81 = 3B
81 = 3B
B
2
De donde:
34 = 3B
2
B2 = 4
B = 2
En ( ) :
x1 = 32

x2 = 3−2
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
Se pide − log3−2 32 =
− ( 2)
−2
472
log3 3 = 1.
502. Resolver
3log 2 10 x + 2 log 2x 10 = 10 + 6 log x
Convirtamos a base 10:
2
 log10 
2
3  log10 x  + 2 
 = 10 + 6 log x
 log x 
2
 1 
3 log10 + log x  + 2 
 = 10 + 6 log x
 log x 
2
Si log x = A :
2
2
1
3 (1 + A ) + 2   = 10 + 6 A
 A
2
3 1 + 2 A + A2 + 2 = 10 + 6 A
A
(
)
Por A2 :
3 A2 + 6 A3 + 3 A4 + 2 = 10 A2 + 6 A3
3 A4 − 7 A2 + 2 = 0
 A2 = 1 3  A =  1
( 3 A − 1)( A − 2 ) = 0  
2
2
 A = 2
2
 A= 2
De donde:
x = 10 3 3 , 10− 3 3 , 10 2 , 10− 2
503. Encontrar el producto de las raíces de la ecuación
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
473
81log x 3 = 27 x
Forma 1
Tomemos logaritmos en base x a ambos miembros:
log x 3  log x 81 = log x 27 + log x x
log x 3  4 log x 3 = 3log x 3 + 1
4 ( log x 3) − 3log x 3 − 1 = 0
2
 log x 3 = −1 4  x −1 4 = 3  x1 = 3−4
( 4 log x 3 + 1)( log x 3 − 1) = 0  
 log x 3 = 1
El producto de las raíces será 3−4  3 = 3−3 =
 x2 = 3
1
.
27
Forma 2
Si tomamos logaritmos en base 3:
log x 3  log3 81 = log3 27 + log 3 x
1
( 4 ) = 3 + log3 x
log3 x
Por log3 x :
4 = 3log3 x + ( log3 x )
2
( log3 x ) + 3log3 x − 4 = 0
2
 log3 x = −4  x1 = 3−4
( log3 x + 4 )( log3 x − 1) = 0  

 log3 x = 1
El producto de las raíces será 3−4  3 = 3−3 =
1
.
27
 x2 = 3
Conceptos fundamentales del Álgebra
474
504. Encuentre el producto de las raíces de la siguiente ecuación:
colog x ( ax )  colog a x = 1 − colog x a
Forma 1
Escribamos:
(
− log x ( ax )   − log a x  = 1 − − log x a1 2
)
( log x ( ax ) ) ( log a x ) = 1 + 2 log x a
1
Por la regla de la cadena:
1
log a ( ax ) = 1 + log x a
2
1
log a a + log a x = 1 +
2 log a x
1 + log a x = 1 +
log a x =
( log a x ) =
2
1
2 log a x
1
2 log a x
1
2
log a x = 
1
2
=
 x1 = a − 2 2
2
 
2 2
2
 x2 = a
El producto de las raíces de la ecuación será a 2 2  a − 2 2 = a 0 = 1.
Forma 2
A partir de:
Conceptos fundamentales del Álgebra
475
( log x ( ax ) ) ( log a x ) = 1 + 2 log x a
1

1 
1
 = 1 + log x a
log
a
2
x


( log x a + log x x ) 

1 
1
 = 1 + log x a
log
a
2
x


( log x a + 1) 
1+
1
1
= 1 + log x a
log x a
2
De donde:
( log x a ) = 2
2
log x a =  2
a = x 2
O sea:
 x1 = a1 2

−1 2
 x2 = a
El producto de las raíces será a1 2  a −1 2 = a 0 = 1.
505. Resolver
 x
4log32 x − 4log 22 x − log 2   = 0
2
Efectuemos un cambio de variable log2 x = A.
Escribamos:
Conceptos fundamentales del Álgebra
476
4 ( log 2 x ) − 4 ( log 2 x ) − ( log 2 x − log 2 2 ) = 0
3
2
4 A3 − 4 A2 − A + 1 = 0
4 A2 ( A − 1) − ( A − 1) = 0
( 4 A − 1) ( A − 1) = 0
2
( 2 A + 1)( 2 A − 1)( A − 1) = 0
De donde:
1 1
A=− ,
ó 1
2 2
Es decir:
1 1
log2 x = − ,
ó 1
2 2
Por último:
x = 2−1 2 , 21 2 ó 2
506. Resolver log a x loga x − log a x5 + 4 = 0.
Se sabe que:
loga xloga x = ( loga x )( loga x ) = ( loga x )
2
Entonces:
( log a x ) − 5 ( log a x ) + 4 = 0
2
 log a x = 4  x1 = a 4
( log a x − 4 )( log a x − 1) = 0  
 log a x = 1  x2 = a
Conceptos fundamentales del Álgebra
477
507. Si x1 , x2 y x3 son las raíces de la ecuación x3−log2 x −log 2 x = 1, siendo
2
2
x 
x1  x2  x3 , calcular colog x3 antilog x1 log x3  2  .
 32 
Resolvamos
x3−log2 x −log2 x = 1
2
2
Se admiten dos posibilidades:
i)
base 1
x =1
ii)
exponente cero
3 − log 22 x − log 2 x 2 = 0
log 22 x + 2 log 2 x − 3 = 0
 log 2 x = −3  x = 2−3 = 1 8
( log 2 x + 3)( log 2 x − 1) = 0  
 log 2 x = 1
Entonces:
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1 8
Se pide:
 x=2
Conceptos fundamentales del Álgebra
478
 1 
colog1 8 antilog 2 log1 8   = − log 2−3 antilog 2 log 2−3 2−5
 32 
−1
 −5

=
log 2 antilog 2  log 2 2 
−3
 −3

1
5
= log 2 antilog 2  
3
3
53
1 5
= 
3 3
5
=
9
508. Encontrar la suma de las raíces de la siguiente ecuación:
(
(
log5 x 2 − 8
)
log x2 − 8  log ( 2 − x ) =
)
log5 ( 2 − x )
Forma 1
Según la fórmula del cambio de base:
(
log5 x2 − 8
) = log
log5 ( 2 − x )
2− x
( x − 8)
2
Es decir:
(
)
(
(
)
log x 2 − 8
log x 2 − 8  log ( 2 − x ) = log 2 − x x 2 − 8
log x 2 − 8  log ( 2 − x ) =
(
)
Dividamos entre log x2 − 8 :
(
)
log ( 2 − x )
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
log ( 2 − x ) =
479
1
log ( 2 − x )
log ( 2 − x )  = 1
log ( 2 − x ) = 1
2
 x1 = 2 − 10 = −8
2 − x = 101  
−1
 x2 = 2 − 10 = 19 10 = 1.9
Debemos descartar x2 = 1.9 porque no cumple la condición x 2 − 8  0.
Analicemos:
(
)
log x 2 − 8 = 0
x2 − 8 = 1
 x3 = −3
x2 = 9  
 x4 = 3
Debemos descartar x4 = 3 porque no cumple la condición 2 − x  0.
Las únicas raíces de la ecuación son −3 y − 8 y su suma es −11.
509. Si a es una constante positiva ( a  1) , resolver para x :
log x a  log x a a 2 = log a 2 x a
Forma 1
Cambiemos a base x :
Conceptos fundamentales del Álgebra
log x a 
480
2 log x a
log x a
=
log x ( x a ) log x a 2 x
log x a 
( )
2 log x a
log x a
=
1 − log x a 2 log x a + 1
Sea log x a = A  x A = a, como a  1  A  0
2A
A
=
1− A 2A +1
2 A2
A
=
1− A 2A +1
2A
1
=
1− A 2A +1
4 A2 + 2 A = 1 − A
A
4 A2 + 3 A − 1 = 0
 A = 1 4  x1 4 = a  x1 = a 4
( 4 A − 1)( A + 1) = 0  
−1
 A = −1  x = a  x2 = 1 a
Forma 2
Cambiemos a base a :
log a a 2 log a a
1

=
log a x log a x − 1 log a a 2 x
( )
1
2
1

=
log a x log a x − 1 2 + log a x
Sea log a x = B  a B = x
Conceptos fundamentales del Álgebra
481
2
1
=
B ( B − 1) 2 + B
B2 − B = 4 + 2B
B 2 − 3B − 4 = 0
 B = 4  x1 = a 4
( B − 4 )( B + 1) = 0  
 B = −1  x2 = a
−1
=1 a
Forma 3
Cambiemos a base 10:
log a 2log a
log a

=
log x
 x  log a 2 x
log  
a
( )
Como a  1  log a  0 y se puede simplificar log a :
2 log a
1
=
log x ( log x − log a ) 2 log a + log x
log 2 x − log a log x = 4 log 2 a + 2 log a log x
log 2 x − 3log a log x − 4 log 2 a = 0
 log x = 4 log a = log a 4  x1 = a 4
( log x − 4 log a )( log x + log a ) = 0  
 log x = − log a = log a
510. Resolver:
a ( loga x )
 loglog

ax
x
log 2 ( 2 x ) − log1 2  a
− 28 = 8




Forma 1
Tenemos que:
−1
 x2 = a −1
Conceptos fundamentales del Álgebra
log
log x
a( a ) =
482
log x ( log a x )
log x a
log x x
log x a
log x
a
= log x ( log a x )
Entonces:
log x (loga x)
log2 ( 2 x ) − log2−1 a x
− 28 = 8


Por propiedad B log B N = N  x
log 2 ( 2 x ) −
log x ( log a x )
= log a x
1
log  a log a x − 28 = 8
( −1) 2 
log 2 ( 2 x ) + log 2  x − 28 = 8
log 2  2 x ( x − 28 )  = 8
2 x ( x − 28 ) = 28
x ( x − 28 ) = 27
x 2 − 28 x − 128 = 0
 x = −4 ( descartado porque 2 x  0 )
( x − 32 )( x + 4 ) = 0   1
 x2 = 32 (solución)
Forma 2
A partir de:
log 2 ( 2 x ) − log 2−1  x − 28 = 8
log 2 ( 2 x ) + log 2 ( x − 28 ) = log 2 28
log 2  2 x ( x − 28 )  = log 2 28
Tomemos antilogaritmos en base 2:
Conceptos fundamentales del Álgebra
483
2 x ( x − 28 ) = 256
2 x 2 − 56 x − 256 = 0
x 2 − 28 x − 128 = 0
-4
32
1
-28
-128

1
-4
128
-32
0

1
32
0
 ( x + 4 ) es factor
 ( x − 32 ) es factor
Como x  0  x = 32.
Forma 3
Sea log a x = c  x = a c .
Entonces
a
x
loga ( log a x )
loga x
=a
x
loga c
c
(a )
=a
c
log a c
c
= aa
loga c
= ac = x
De donde:
log 2 ( 2 x ) − log1 2 ( x − 28 ) = 8
A base x :
Conceptos fundamentales del Álgebra
log x ( 2 x )
log x 2
−
484
log x ( x − 28 )
log x (1 2 )
=8
log x 2 + 1 log x ( x − 28 )
−
=8
log x 2
0 − log x 2
log x 2 + 1 + log x ( x − 28 )
log x 2
=8
log x 2 + 1 + log x ( x − 28 ) = 8log x 2
log x 2 + 1 + log x ( x − 28 ) = log x 28


28
1 = log x 

 2 ( x − 28 ) 
De donde:
27
= x1
x − 28
x ( x − 28 ) = 27
x 2 − 28 x − 128 = 0
Como antes:
x = 32
511. El cuadrado del logaritmo de un número en base 2 es mayor en 3
unidades que el logaritmo de la mitad del número dado, en base 2. Encontrar
todos los posibles valores que puede tomar el número dado.
Según el enunciado tenemos:
Conceptos fundamentales del Álgebra
485
N
log 22 N = log 2   + 3
2
( log 2 N ) = log 2 N − log 2 2 + 3
2
( log 2 N ) − log 2 N − 2 = 0
2
 log 2 N = 2  N1 = 4
 log 2 N = −1  N 2 = 1 2
( log 2 N − 2 )( log 2 N + 1) = 0  
512. Encontrar la suma de las raíces de la ecuación:
log x + 14 + log x + 7 = log 3 + 2 log 2
Restricciones:
x + 14  0 
x + 7  0  x  −14 
x  −7  x   − 7, 
Por propiedad de logaritmos:
log  x + 14  x + 7  = log 3 + log 22
(
log  x + 14  x + 7  = log 3  22
)
x + 14  x + 7 = 12
Elevemos al cuadrado:
( x + 14 )( x + 7 ) = 144
x 2 + 21x − 46 = 0
 x = −23
 x2 = 2
( x + 23)( x − 2 ) = 0   1
De ( )  (  ) , solamente cumple x = 2.
La suma de las raíces será 2.
( )
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
486
513. Dar como respuesta log y x al resolver el sistema:

 log x − log y = 2

3

log x − log y = 3
Restemos ambas ecuaciones:
( log x − log y ) − ( log x − log 3 y ) = 2 − 3
1
− log y + log y = −1
3
2
− log y = −1
3
3
log y =
2
y = 103 2
En la primera ecuación:
log x − log103 2 = 2
3
=2
2
7
log x =
2
x = 107 2
log x −
Calculemos
log103 2 107 2 =
72
7
log10 10 =
32
3
514. Resolver
 log x y − log y x = 2 23

 log 2 x + log 2 y = 4
Conceptos fundamentales del Álgebra
487
Forma 1
De la segunda ecuación
log 2 x + log 2 y = 4
log 2 ( xy ) = 4
xy = 24
xy = 16
( )
De la primera ecuación:
log x y −
1
8
=
log x y 3
Por 3log x y :
3log 2x y − 3 = 8log x y
3log 2x y − 8log xy − 3 = 0
 log x y = −1 3  y = x −1 3
(3log x y + 1)( log x y − 3) = 0  

 log x y = 3
 y = x3
( )
Reemplacemos (  ) en ( ) :
a)
(
)
Si y = x−1 3  x x−1 3 = x2 3 = 16  x1 = 163 2 = 64, y1 = 64−1 3 = 1 4
( )
b) Si y = x3  x x3 = x4 = 16  x2 = 2, y2 = 23 = 8
Forma 2
En la primera ecuación, convirtamos a base 2:
log 2 y log 2 x 8
−
=
log 2 x log 2 y 3
Conceptos fundamentales del Álgebra
488
Sea log2 y = A  log2 x = B.
El sistema será:
 A B 8
 − =
 B A 3
 A+ B = 4

( )
( )
De ( )
A2 − B 2 8
=
AB
3
( A + B )( A − B ) 8
=
AB
3
( )
(  ) en ( ) :
4( A − B)
8
=
AB
3
3 ( A − B ) = 2 AB
3 A − 3B = 2 AB
3B
A=
( )
3 − 2B
De (  ) y ( ) :
3B
= 4−B
3 − 2B
3B = 12 − 8 B − 3B + 2 B 2
2 B 2 − 14 B + 12 = 0
B2 − 7B + 6 = 0
 B =1  A = 3
 B = 6  A = −2
( B − 1)( B − 6 ) = 0  
Conceptos fundamentales del Álgebra
489
De donde:
1
3

 log 2 x = 1  x1 = 2 = 2, log 2 y = 3  y1 = 2 = 8

6
−2

 log 2 x = 6  x2 = 2 = 64, log 2 y = −2  y2 = 2 = 1 4
515. Resolver para valores enteros de x e y :
9

2
2
 log x y + log y x = 2 + log 2 y
x


4
2
x + y = 32

Forma 1
Sea log x y = p :
log y x =
=
1
log x y
1
p
Reemplacemos en la primera ecuación:
p2 +
1
9
= 2+ 2
2
p
p
Por p 2 :
p4 + 1 = 2 p2 + 9
p4 − 2 p2 − 8 = 0
(
p2 − 4
)(
 p 2 = 4  p = 2
p2 + 2 = 0   2
 p = −2  p 
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
490
Es decir:
log x y = 2
y = x 2
Reemplacemos en la segunda ecuación:
x 4 + y 2 = 32
Si y = x 2 , entonces:
( ) = 32
2
x4 + x2
x 4 + x 4 = 32
x 4 = 16
x = 2
Se descarta el valor −2, ya que log ( −2 )  .
Si y = x −2 , entonces:
( ) = 32
x 4 + x −2
x4 +
2
1
= 32
x4
Por x 4 :
x8 + 1 = 32 x 4
x8 − 32 x 4 + 1 = 0
32  1020
2
x 4 = 16  255  x 
x4 =
Conceptos fundamentales del Álgebra
491
Las soluciones enteras serán:
x = 2, y = 4
516. Resolver el sistema:
3log y = 6 log x = 2 log z


y x
 log x y
=z

−1
 log x y
(
(
)
)
Forma 1
De la primera ecuación:
3log y = 6 log x
log y 3 = log x 6
y = x2
En la segunda ecuación:
(
2
log x x x 2 x
(
−1 2
log x x
)=z
)
(
z log x = log x x + 2 x
2
(
)
z = x2 + 2x
( )
)
z log x = x 2 + 2 x log x
Como log x  0 :
Además:
Conceptos fundamentales del Álgebra
492
6 log x = 2 log z
log x 6 = log z 2
( )
z = x3
(  ) en ( ) :
x3 = x 2 + 2 x
x3 − x 2 − 2 x = 0
(
)
x x2 − x − 2 = 0
 x1 = 0

x ( x − 2 )( x + 1) = 0   x2 = 2
 x = −1
 3
Como x  0 :
x = 2  y = 22 = 4  z = 4 + 4 = 8
Forma 2
Expresemos log x  log y en términos de log z :
log z
3
2 log z
3log y = 2 log z  log y =
3
6 log x = 2 log z  log x =
( )
De la segunda ecuación:
(
)
(
log x y y x = z  log x −1 y
)
y log x + x log y = z ( log y − log x )
( ) en (  ) :
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
493
y log z 2 x log z
 2log z log z 
+
= z
−

3
3
3 
 3
y log z 2 x log z z log z
+
=
3
3
3
Por
3
:
log z
y + 2x = z
( )
De la primera ecuación:
log x 6 = log z 2  x 6 = z 2  x = z1 3
log y 3 = log z 2  y 3 = z 2  y = z 2 3
En (  ) :
z 2 3 + 2 z1 3 = z
z − z 2 3 − 2 z1 3 = 0
(
)
z1 3 z 2 3 − z 1 3 − 2 = 0
 z1 3 = 0  z1 = 0

z1 3 z1 3 − 2 z1 3 + 1 = 0   z1 3 = 2  z 2 = 8
 13
 z = −1  z3 = −1
Para que exista log z en , se debe cumplir que z  0, − 1:
(
)(
)
 z =8
En ( ) :
Conceptos fundamentales del Álgebra
494
log 8
1
 log x = log 8  log x = log 81 3  log x = log 2  x = 2
3
3
2 log 8
2
log y =
 log y = log 8  log y = log 82 3  log y = log 4  y = 4
3
3
log x =
517. El cuadrado del logaritmo del producto de dos números en cierta base
a ( a  1) excede en 48 al cuadrado del logaritmo del cociente de dichos
números en la misma base. Además, el logaritmo de uno de ellos es el triple
del logaritmo del otro, disminuido en 5 (base a ). Determinar los números.
Forma 1

2
2 x
 log a ( xy ) − 48 = log a  

 y

log a x = 3log a y − 5

De la segunda ecuación:
log a x = 3log a y − log a a 5
log a x = log a y 3 − log a a 5
 y3 
log a x = log a  5 
a 
3
y
x= 5
a
Reemplacemos en la primera ecuación:
Conceptos fundamentales del Álgebra
495
 y4 
 y2 
log 2a  5  − 48 = log 2a  5 
a 
a 
 y4 
 y2 
log 2a  5  − log 2a  5  = 48
a 
a 

 y4 
 y 2  
 y4 
 y 2 
log a  5  + log a  5   log a  5  − log a  5   = 48

a 
 a   
a 
 a  
 4 log a y − 5 + 2 log a y − 5 4 log a y − 5 − 2 log a y + 5 = 48
6 log a y − 10 2 log a y  = 48
6 log 2a y − 10 log a y − 24 = 0
3log 2a y − 5log a y − 12 = 0
 log a y = − 4 3
 log a y = 3
( 3log a y + 4 )( log a y − 3) = 0  
De donde:
−4 3

 x1 = a −1
 y1 = a

3
 x2 = a 4

 y2 = a
Forma 2
De la primera ecuación:
x
log 2a ( xy ) − log 2a   = 48
 y

 x  
 x 
log a ( xy ) + log a     log a ( xy ) − log a    = 48
 y  
 y 

log a x 2   log a y 2  = 48



 2 log a x  2 log a y  = 48
( )
( )
log a x  log a y = 24
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
496
De la segunda ecuación:
log a x = 3log a y − 5
( )
De (  ) en ( ) :
( 3log a y − 5 )( log a y ) = 12
3log 2a y − 5log a y − 12 = 0
Igual que antes:
 y1 = a − 4 3  x1 = a −1


3
 x2 = a 4

 y2 = a
518. Resolver
log 2
log 5

= (5 y )
 ( 2x)

5log x = 2log y


Forma 1
Tomemos logaritmos decimales a ambas ecuaciones:

 ( log 2 )( log 2 x ) = ( log 5)( log 5 y )


 ( log x )( log 5) = ( log y )( log 2 )

 ( log 2 )( log 2 + log x ) = ( log 5)( log 5 + log y )

( log x )( log 5) = ( log y )( log 2)


Cambiemos de variables log x = X , log y = Y , log 2 = D, log5 = C.
Conceptos fundamentales del Álgebra
497
Entonces:
(  ) en ( ) :
 D ( D + X ) = C (C + Y )


XC
XC = YD  Y =


D
( )
( )
XC 

D(D + X ) = C C +

D 

Por D :
D3 + D 2 X = C 2 D + C 2 X
(
)
X ( D − C ) = D (C − D )
X D 2 − C 2 = C 2 D − D3
2
2
2
X = −D
Entonces:
log x = − log 2
log x = log 2−1
x=
1
2
Como
Y=
Y=
XC
D
( −D ) C
D
Y = −C
Entonces:
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
498
log y = − log 5
log y = log 5−1
y=
1
5
Forma 2
A partir de la segunda ecuación
y sabiendo que 2 = 5
log5 2
5log x = 2log y
, tenemos que:
(
5log x = 5log5 2
)
log y
5log x = 5log5 2log y
log x = log 5 2  log y
log 2
 log y
log 5
log x log y
=
log 2 log 5
log x =
( )
log 2 x = log 5 y
De la primera ecuación:
( 2x )
log 2
Elevemos a la
= (5 y )
log5
1
:
log 2
log 2
log 5
( 2 x ) log 2 = ( 5 y ) log 2
log 5
2x = (5 y )
2
Tomemos logaritmos en base 2:
Conceptos fundamentales del Álgebra
499
log 2 2 + log 2 x = log 2 5 ( log 2 5 + log 2 y )
1 + log 2 x = log 22 5 + log 2 5  log 2 y
( ) en (  ) :
1 + log 5 y = log 22 5 + log 2 5  log 2 y
1+
log 2 y
= log 22 5 + log 2 5  log 2 y
log 2 5
Por log 2 5 :
log 2 5 + log 2 y = log 32 5 + log 22 5  log 2 y
log 2 y =
log 2 y =
log 32 5 − log 2 5
1 − log 22 5
(
)
log 2 5 log 22 5 − 1
1 − log 5
2
2
log 2 y = − log 2 5
O sea:
log 2 y = − log 2 5
log 2 y = log 2
y=
1
5
1
5
En ( ) :
log 2 x = log5
log 2 x = −1
1
5
( )
Conceptos fundamentales del Álgebra
500
x = 2−1
1
2
x=
519. Resolver el sistema:

2
2 x
 log ( xy ) − log   = 8

 y

2log x = 4log y

Forma 1
De la primera ecuación:
2
  x 
2
log ( xy )  − log    = 8
  y 
log x + log y  − log x − log y  = 8
2
2
4 log x log y = 8
log x log y = 2
De la segunda ecuación del sistema:
2log x = 4log y
( )
2log x = 22
log y
2log x = 22 log y
log x = 2 log y
De (1) y ( 2 ) :
( 2)
(1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
501
 x = 100
  1
 y1 = 10
 x = 1 100
log x = −2  log y = −1   2
 y2 = 1 10
log x = 2
 log y = 1
Forma 2
De la primera ecuación del sistema, factoricemos usando diferencia de
cuadrados:

 x  
 x 
log ( xy ) + log    log ( xy ) − log    = 8
 y  
 y 

 2 log x  2 log y  = 8
log x log y = 2
(1)
De la segunda ecuación del sistema, tomando logaritmos en base 10:
(
)
(
log 2log x = log 4log y
)
log x log 2 = log y log 22
log x log 2 = 2 log y log 2
( 2)
log x = 2 log y
Igual que antes.
Forma 3
De la segunda ecuación del sistema:
2log x = 4log y
( )
2log x = 22
log y
2log x = 22 log y
2log x = 2log y
x = y2
2
( 2)
Conceptos fundamentales del Álgebra
502
Reemplacemos en la primera ecuación del sistema:
 y2 
log 2 y 2 y − log 2   = 8
 y 
(
)
( )
log 2 y 3 − log 2 ( y ) = 8
( 3log y ) − log 2 y = 8
2
8log 2 y = 8
 y1 = 10  x1 = 100

log y = 1  
1
1
 y2 = 10  x2 = 100
520. Resolver el sistema de ecuaciones
 a 2 x + a 2 y = 2b


a x+ y = c
( a  0)


Para que el sistema tenga solución, ¿qué condiciones deben cumplir b y c ?
Forma 1
Dado que a x + y es siempre positivo (para a  0 ), se deduce de la segunda
ecuación que c  0.
Efectuemos dos cambios de variable:
ax = u
ay = v
Entonces:
 u 2 + v 2 = 2b  ( u + v )2 − 2uv = 2b


uv = c
( 2)


De ( 2 ) en (1) :
(u + v ) = 2b + 2uv = 2 (b + c )
2
(1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
503
Además:
(u − v ) = u2 − 2uv + v2 = 2b − 2c = 2 (b − c )
2
Como los valores de u y v (potencias de a ) son positivos:
u + v = + 2 (b + c )
( )
2
Por otro lado, (u − v ) es positivo, entonces 2 ( b − c )  0  b  c.
De donde:
u − v =  2 (b − c )
( )
Caso 1:
 u + v = 2 (b + c ) = 2 b + c


 u − v = 2 ( b − c ) = 2 b − c
De la semisuma y de la semidiferencia:
2
b + c + b − c 
2 
2
v1 =
b + c − b − c 
2 
u1 =
Caso 2:
 u + v = 2 (b + c ) = 2 b + c


 u − v = − 2 ( b − c ) = − 2 b − c
Análogamente:
Conceptos fundamentales del Álgebra
504
2
b + c − b − c 
2 
2
v2 =
b + c + b − c 
2 
u2 =
Se requiere que b + c  0 y b − c  0. Como se obtuvo que c  0 y b  c,
basta que b  c  0  b  0 para que se satisfagan los requerimientos
señalados.
Las soluciones del sistema serán:
Caso 1: x1 = loga u1
 y1 = loga v1
 y2 = log a v2
Caso 2: x2 = log a u2
Forma 2
De la segunda ecuación:
c
ax
x
y
Como a y a son positivos, se requiere que c  0.
En la primera ecuación:
2
 c 
a 2 x +  x  = 2b
a 
ax  a y = c  a y =
a 4 x − 2ba 2 x + c 2 = 0
De donde:
2b 
( 2b ) − 4 (1) ( c 2 )
2
a
2x
=
a
2x
= b b −c
2
2
2
(1)
Como a 2 x es positivo, se requiere que b sea positivo ya que b2 − c 2  b.
Además, b 2 − c 2  0  ( b + c )( b − c )  0. Como b y c son positivos
entonces ( + )( b − c )  0  b  c.
De (1) :
a x = + b  b2 − c 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
505
Se descarta el signo ( − ) porque a x  0.
Aplicando la fórmula de los radicales dobles siguiente:
 P+R
P−R
P+ Q = 
+

2
2 

siendo R = P2 − Q , se tiene que:
Caso 1:
Si
a x = + b + b2 − c2

2
2
2
b − b2 − b2 − c2
 b+ b − b −c
a = 
+
2
2


(
x
)
 b+c
b−c 
ax =  
+

2 
 2
Como a x  0 :
 b+c
b−c 
ax = 
+

2 
 2
ax =
Caso 2:
Si
2
b + c + b − c 
2 
(
) 



Conceptos fundamentales del Álgebra
506
a x = + b − b2 − c 2

2
2
2
b − b2 − b2 − c2
 b+ b − b −c
a = 
−
2
2


(
x
)
(
) 



 b+c
b−c 
ax =  
−

2 
 2
Como a x debe ser positivo y
b+c b−c
porque b  0, c  0,

2
2
 b+c
b−c 
ax = 
−

2 
 2
ax =
2
b + c − b − c 
2 
El análisis mostrado conduce a los mismos resultados que los obtenidos de la
Forma 1. Es decir:
2
x1 = log a
b + c + b − c 
2 
y1 = log a
x2 = log a
y2 = log a
Es decir, b  0, c  0  b  c.
2
b + c − b − c 
2 
2
b + c − b − c 
2 
2
b + c + b − c 
2 
Conceptos fundamentales del Álgebra
507
Ejercicios propuestos
n
521. Si log mn m = 4, encontrar el valor de E = log mn 3
m
.
R.: −17 6
522. Si loga b = 3 y logb c = 4, encontrar logabc ( ab)
logc abc
.
R.: 1 3
1 1
+ = 1, demostrar que
a b
i) log ( a + b ) = log a + log b
523. Si
ii) log a = log
b
b −1
524. Hallar el valor de x en antilog x antilog 4 2 antilog 2 3 = 81.
R.: 3
3
525. Dado log ab
a
b
= 5, calcular logab a.
R.: 6.60
526. Demostrar que la relación entre los logaritmos de dos números en
cualquier base es la misma.
1
1
527. Si x = e1− L z y y = e1− L x , encontrar z en términos de y.
1
R.: z = e1− L y
528. Encontrar log6 16 si log 3 12 3 = a.
Conceptos fundamentales del Álgebra
R.:
508
4(2 − a)
a+3
529. Encontrar K si se sabe que
 + K = 1 + K 
 = log12 18
 = log 24 54
R.: 5
530. Si ( log a N )( logb N − log c N ) = ( log c N )( log a N − log b N ) , calcular
log b2 ( ac ) .
R.: 1
531. Evaluar K si se conoce que
(
)
7
log5 3 + 2 2 − 4log5
16
( 2 + 1) = K log ( 2 −1)
R.: 25 8
532. Calcular x en 2log3 x = xlog3 2 .
R.: x  0
533. Calcular log 25 24 si log6 15 = a y log12 18 = b.
R.:
b−5
2 ( 2b − ab − a − 1)
534. Si log 0.224 = a y log125 = b, hallar log 7.
R.: a +
5b
−2
3
5
Conceptos fundamentales del Álgebra
509
535. Simplificar 4log3 6 − 6log3 4.
R.: 0
536. Si logb N = h y logb a = k , determinar log ab2 N .
R.:
h
k +2
537. Calcular E = 811−log9 2 + 7− log7 4.
R.: 20.5
538. Los logaritmos de tres números en bases 8, 4 y 2, respectivamente,
forman una progresión aritmética. Si el segundo número es igual al
cuadrado del primero e igual al doble del tercero, hallar dichos números.
R.: 8, 64 y 32
539. Si m = x log y
m+n
L

 2  .
 n = y log x , calcular E =
log m + log n
R.: 0.217
540. Si log 2 = 0.301, determinar log 25 200.
R.: 1.645
541. ¿Cuántas cifras tiene el producto
215  321
si
log 2 = 0.301
log 3 = 0.477?
R.: 15
542. Si log 2 = 0.301 y log 3 = 0.477, encontrar x en 3x+ 2 = 135.
R.: 2.465
y
Conceptos fundamentales del Álgebra
(
510
)
543. Resolver log5 xlog5 x = 4 e indicar la menor raíz.
R.: 0.04
544. Resolver log 7 ( x − 2 ) + log 7 ( x − 5 ) = 2 log 7 2.
R.: 6
545. Resolver log3 ( 5 x − 1) + colog3 ( 3x − 5) = 2.
R.: 2
546. Resolver log 7 x + 4 + log 2 x + 3 = 1 + log1.5.
R.: 3
547. Resolver log3 x + log1 3 x + log 3 x + log9 x = 10.
R.: 81
548. Encontrar el producto de las raíces de la ecuación
R.: 5
549. Resolver
( x)
3
(
log x x 2 + 2
)
= 2 log 3 27.
R.: 5
550. Calcular

3x = y
y

en  2
x

 x + 3 ( 3 − log3 y ) = 0
R.: 243
551. Resolver
log x 3 x
x = 3.
log5 x + 5
= 6.
log x 5 + 1
Conceptos fundamentales del Álgebra
511
R.: 31.618 y 3−0.618
552. Resolver log 0.5 x x 2 − 14log16 x x3 + 40log 4 x x = 0.
1
R.:
553. Si
2
, 1y4
1 − 2log( xy ) y
1 + 2log( x y ) y
= 4, hallar el valor de log ( xy )
x
+ log ( x y ) xy.
y
R.:  5 2
554. Resolver log ( x − 1) + log ( x − 3) = 3log 2.
R.: 5
555. Resolver 2log ( 3x − 4 ) + log (10 x − 4 ) = 2log ( 5 x − 2 ) .
R.: 2
556. Formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean las mismas que las de
( 4x )
2
log4 x
= 64
R.: 8x2 − 33x + 4 = 0.
557. Resolver log x + 1 + log x + 5 = log ( antilog 2 4 − 1) .
R.: 1.359 y −7.359
558. Resolver log3 x = log9 ( 4 x + 15) + log 49 7.
R.: 15
Conceptos fundamentales del Álgebra
512
1
+ log x 3 = 0 y dar la
9
log x1 + log x2 , siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación.
log10 x 27 + log x 10
559. Resolver
suma
de
único
en
R.: 5 2
560. Resolver log8 8x−2 = 3 ( log8 x ) .
2
R.: 1 8 y 2
2
561. Resolver log 2 x    log 22 x + log 24 x = 1.
 x
R.: 2
562. ¿Para
qué
valor
de
m,
x
toma
un
valor
( L m + 1) x − 2 x L m + L m − 3 = 0?
2
R.: 1 e y e − 3 2
563. En la ecuación x 2 − 2 x + log n = 0, ¿para qué valores de m existen i)
soluciones reales, ii) soluciones positivas y iii) soluciones de distinto
signo?
R.: i) m  10, ii) 1  m  10, iii) 0  m  1
564. Resolver e x + 3e− x = 4.
R.: 0, L3
(
) 5 − 22e .
565. Resolver e x 1 − 2.5e x =
R.: L2.5
566. Resolver e4 x − 13e2 x + 36 = 0.
3x
Conceptos fundamentales del Álgebra
513
R.: L 2, L3
567. Resolver 6e5 x + 2 − 7 e8 x + 4 + e3 x + 2 = 0.
R.: 0, − L6
(
568. Resolver 188− 4 x = 54 2
)
3x −2
.
R.: 22 17
569. Resolver 3loga x + 3xloga 3 = 2.
R.: 2− log3 a
( x) = x .
x
570. Resolver
x
R.: 1 ó 4
571. Se tiene la ecuación e2 x + ( m − 3) e x + (1 − 2m ) = 0,
a) ¿Para qué valores de m existen 2 soluciones reales?
b) ¿Qué valor de m hace que x = L2.5?
R.: a) m  1 2, b) m = 1 2
572. Dada la ecuación ( m − 1) e x + me − x = 2m, ¿entre qué límites de m se
obtiene una solución real?
R.: 0  m  1
573. Resolver
4x+4 + 1
= 8.
2x+2
R.: −4 ( doble )
Conceptos fundamentales del Álgebra
514
574. Resolver x loga y + y loga x = 2 x3 .
+
R.: Si x = 1  y 
, si x  0 pero x  1  y = a3
x
575. Resolver 7 x  8 x + 2 = 14 si log 2 7 = a.
R.: 1 ó −2 −
2
a


log3 2

576. Resolver log x 
 log3 log x 
2


(
)
log3 x
+ 1 = 0.
R.: 16
577. Resolver alogb x + a
logb
1
x
= 2.
R.: x = 1, x  0 si a = 1
578. Hallar log xy x 3 y 2 si log y xy  log x xy = log b2 (1 b ) .
R.: 1 ó 4
579. Encontrar la suma de los valores de x que cumplen con
log x 3  log81 x 3 = − log x−3 x
R.: 30
580. Dar la suma de todas las soluciones de log x 2  log x 32 2 = log x−4
R.: 8
2.
Conceptos fundamentales del Álgebra
515
2
log x 10
= −2 log x.
2 log x 10
5log x −
581. Resolver la ecuación
R.: 10−4 3
582. Resolver 2log ( log x ) = log ( 7 − 2log x ) − log 5 e indicar la suma de los
posibles valores de x.
R.: 10
583. Resolver el siguiente sistema

log a x y = 2 y 2


y
1
=
log a xa + 2log a2
a 2

R.: x = a1− 4 a  y = a 2 a
584. Resolver
x+ y



  3 2 3 32 3 2 3 32
= 6 6 6


 



y +1
 x −1  3 3

3
3 32
3
=
2
32
2






R.: x =
log 3
log 2
, y=
log 3 − log 2
log 3 − log 2
585. Resolver
y



Conceptos fundamentales del Álgebra
516

1

log 2 z =  log  ( log y )

x


log y x + log z y + log x z + 4 = 0

log 3 x = log 3 y + 5


R.: ( 81, 1 3, 9 ó 1 9 )
586. Encontrar las raíces reales del sistema
 x 2 = 1 + 3log 2 y

 2
x
2 x +1

 y = 2 y+2
R.: x = 4, y = 32 ó x = −1, y = 1
587. Resolver
 x x+ y = yn

 x+ y
2n
n

 y =x y
( x, y, n  0)
e indicar el valor de x.
R.: x =
−1 + 1 + 8n
2
588. Resolver
 x3 − y 3 = 117


e
 log x = L log y
e

R.: x = 5, y = 2
589. Resolver
Conceptos fundamentales del Álgebra
517
 log x3 − L y 4 = 1

 2 2
5

log x + L y = 46
R.: x = 1, 000, y = e2 ó x = 10− 63 16 , y = e− 205 64
590. Resolver
  x 2  y 2
   −   = 2,500
 2  2
 log 1, 000 = log x + y
(
)
x− y

R.: x = 505, y = 495 ó x = 505, y = −495
591. Resolver

 log3 ( log 2 y ) = 1 + log 3 ( log 2 x )

log9 x = 2 − log3 y


R.: x = 3, y = 27
592. Resolver
(
)
(
 log 9 x 2 + 2 = 2 − log 81 y 2 + 9


2
 log 4 ( x + y ) = log 2 ( x − y )
R.: x = 5, y = 0
593. Resolver
1

 ( log12 x ) ( log 2 ( xy ) ) = log 2

x

3log
3 x

log 3 ( x + y ) =

log 2 x
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
518
R.: x = 6, y = 2 ó x = 2, y = 6
594. Resolver

xe3 = ee − L y



L x + 3L ( L y ) = 0
R.: x = e−3 , y = ee
595. Resolver
log5 x + 3log3 y = 7
x y = 512
R.: x = 125, y = 4 ó x = 625, y = 3
596. Resolver
 y = 100 x
 y
x
x = y
R.: x = 1001 99 , y = 100100 99
597. Resolver
 x2 3 y1 3 − x1 3 y 2 3 = 2


e3 y = antiL x


R.: x = 9, y = 1 3
598. Determinar xy en
Conceptos fundamentales del Álgebra
519
x x+ y = 2



x

( x + y )  3 = 216
R.: 15
599. Resolver
2

 log 2 ay a + log 2 x a  log ax a  log1 a 2 x = 0

log 2 x − log a y  log 2 a = log 2 (1 a )


R.: x = 2, y = 2a
600. Resolver el sistema
 ( nx )log n = ( my )log y

log x
= nlog y
 m
log3 n
R.: x = 10
log 2 m
, y = 10
log2 n
log m
ó x=
1
1
, y=
n
m
Conceptos fundamentales del Álgebra
520
Prácticas y exámenes de Fundamentos de Matemáticas
Verano 2006
Práctica Calificada No. 2
601.
Tres socios aportan $60,000, $70,000 y $90,000 para un negocio que
durará 8 años. Luego de 5 años el primer socio retira $20,000, un año
más tarde el segundo retira cierta cantidad y faltando un año el tercero
retira $30,000. Finalizado el negocio la diferencia entre lo que recibe
el tercero y el primero representa 1/2 de lo que recibe el segundo.
Hallar cuánto aportó el segundo los dos años finales.
602.
Si
n
2n
2
n
1+ 2 + 3 +
603.
3
22 n
n
4
n
23n ... 2n
+n=
n+ 2
n ( n + 1)
2
= 228n ( n radicales), hallar n. Nota:
.
Dados los polinomios :
P ( x, y ) = m x a + 2 y a +b + b x 2 a y b +1 + a x a +b y a + 2
Q ( x, y ) = a x a +b y m −1 − b x a +b y m + m x a +b y m +1
hallar P + Q si se sabe que:
el grado absoluto de P es 16
el grado absoluto de Q es 11
el grado relativo de Q respecto a x es 8.
604.
El polinomio P ( x ) = x 4 + x3 + a x 2 + b x + c es divisible por ( x − 2 ) ,
al dividirlo por ( x − 1) ó ( x + 2 ) da el mismo residuo y al dividirlo
por ( x − 3) da 80 de resto, hallar a, b y c.
1
1
1
= 47, hallar el valor de x3 + 3 − x 2 − 2 .
x4
x
x
605.
Si x 4 +
606.
Calcular el cociente de dividir:
(2 x + 1)8 − 1
.
4 x( x + 1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
521
Respuestas:
601.
602.
603.
$60,000
7
8 x8 y8 + 2 x12 y 3 + 2 x8 y 3 − 2 x8 y 2 + 6 x8 y
604.
605.
a = −1, b = 1, c = −22
11 ó −25
606.
( 4x + 4x + 1) + ( 4x + 4x + 1) + 4x + 4x + 2
3
2
2
2
2
Práctica Calificada No. 3
(
)
2
607.
Factorizar a 2 − c2 − 1 − 4 c 2 .
608.
Simplificar
609.
Simplificar:
a 2 + b 2 − 7 a − 7 b + 2 a b − 18 a − b + 3 6 ( a + 2b )
+
+ 2
.
a −b
a − b2
( a + b )( a + b + 2 )
2
  x 2 − 1 x 2 − 4 2  x 2 − 1 x 2 − 4 2 
  x 2 − 1 2  x 2 − 4 2 


E = 
+
+
−
−
4
 

 −
 
x −1   x + 2
x −1  
  x + 2
  x + 2   x − 1  

610.
Descomponer en fracciones parciales
611.
Simplificar
612.
Resolver:
a + 2b + 2 a + b
a + 2b − 2 a + b
+
6 x2 − 4
.
x − 3 x2 − 4
4
a + 2b − 2 a + b
a + 2b + 2 a + b
.
2
Conceptos fundamentales del Álgebra
a)
b)
522
a x − b b x − a a x2 + b x2 + 2 a b − 4 a 2 b2
+
=
x+a
x+b
x2 + a x + b x + a b
n
x+3 + n x−3
n
x+3 − n x−3
=3
Respuestas:
( a + c − 1)( a − c + 1)( a − c − 1)( a + c + 1)
607.
2 ( a 2 + 12b − b 2 )
608.
a 2 − b2
16 ( x + 1) ( x − 2)
2
609.
2
−1
1
2
+
+ 2
x + 2 x − 2 x +1
6 ( a + b)
610.
611.
b−a
(
) ( 2 −1)
a) −a − b − 2ab b) 3 2n + 1
612.
n
Práctica Calificada No. 4
613.
La ecuación cuadrática a x 2 + ( 5 a − 45) x + 15a + 30 = 0 tiene raíces
iguales, a  0, hallar r 2 + s 2 , si r y s son las raíces de la ecuación
x 2 + ( a + 1) x − 7 = 0.
614.
a)
b)
7 x − 3 2 x + 5 5 x 2 + 6 x + 14
+
= 2
.
x+4
x −3
x + x − 12
Si la menor de las raíces de la ecuación 15x2 + 7 x − 2 = 0
también es solución de la ecuación
a2 + a + 1 x2 + ( a + 1) x + a = 0, hallar el valor de a.
Resolver
(
)
Conceptos fundamentales del Álgebra
523
615.
Si un editor fija el precio de un libro en $20, deberán venderse 20,000
ejemplares. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas
disminuirán en 500 ejemplares. ¿Cuál debe ser el precio del libro para
que el ingreso bruto por ventas sea de $432,000?
616.
Si A es el conjunto solución de − x + 3 
conjunto solución de
enteros hay en A  B.
617.
x
x
x
− 4  − 1  + 2, hallar cuántos valores
3
9
9
Resolver para x, la inecuación:
a
2ab
b
a 2 + b2
x+

x+
,
a+b
a −b a +b
a −b
618.
x
x
− 3  − + 12 y B es el
2
3
0ab
Para ejecutar un proyecto de inversión una empresa necesita $100,000.
Una parte C puede ser suministrada por los accionistas ( C es el
capital propio) y el resto D debe ser aportado por el banco ( D es la
deuda). Si la relación deuda/capital ( D C ) debe estar entre 1 3 y
2 3, ¿entre qué valores debe estar el capital propio?
Respuestas:
613.
614.
615.
616.
617.
30
a) 5 4 b) 1 4 ó − 2
$24 ó $36
15
 a + b, 
618.
60, 000, 75, 000
Práctica Calificada No. 5
619.
Hallar el menor valor entero que puede tomar k para que la
2x + 2
inecuación −k  2
 k se cumpla para todo valor real de x.
x + x +1
Conceptos fundamentales del Álgebra
620.
524
Para la venta de cierto artículo la relación entre precio ( p ) y cantidad
−3q
+ 90. Si el costo de producir q artículos
20
está dado por C = 30q + 700, determinar para qué cantidades la
utilidad es superior a 5,060.
( q ) está dada por p =
621.
Un vendedor de maquinaria industrial recibe una comisión de $50 por
cada máquina vendida. Cuando el número de máquinas por mes es
mayor que 25, su comisión para todas las máquinas vendidas aumenta
en $5 por cada máquina vendida que exceda a 25. Determinar entre
qué valores debe estar el número de máquinas vendidas para que su
comisión total esté entre $1,820 y $3,780.
622.
Resolver:
a) x3 − 6x2 + 3x + 10  0
( x + 2 ) ( 3x − 8 )  0
2
b)
( x − 2) ( x + 1)
2
2bx − a ( b − a ) x
b

+
,
x +1
x +1
x +1
2
623.
Resolver para
x:
si se sabe que
0  b  a.
624.
Resolver para x :
x−
1
3
7
+ x−
 .
4
2
2
Respuestas:
619.
620.
621.
622.
623.
3
160, 240
28, 36
a) −, − 1   2, 5
a + b

 b − a , − 1  1, 


b) −, − 1  0, 8 3 − 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
624.
525
 − 7 8, 21 8
Práctica Calificada No. 6
625.
a) El logaritmo de un número en base 3 aumentado en el logaritmo
del triple del mismo número en la misma base es 3. Hallar dicho
número.
b) Hallar la base en la cual el logaritmo de 4/25 es una unidad mayor
que el logaritmo de 125/8 en una base recíproca de la anterior.
626.
Si log 2 = m y log3 = n, hallar en términos de m y n :
a)
1
log 48 2
b)
log 60 15
627.
Hallar un número tal que el logaritmo de 3 en base igual a la raíz
cuadrada de dicho número, aumentado en el logaritmo de 3 en base
igual al cuadrado de dicho número, da como resultado 1 aumentado en
el logaritmo del cubo de dicho número en base igual al cuadrado del
recíproco del número.
628.
Resolver
log 2 x log2 x log 2 ( 2 x ) 53
+
= , sabiendo que x es un número
 x  log 2 ( 4 x ) 10
log 2  
2
entero.
629.
 e16 y = x ln x

Resolver el sistema 
5.
 y + ln x =

4
630.
 x2 + 4 x − 4 y + 8 = 0
Resolver el sistema 
.
 x−2 y +8 = 0
2
Respuestas:
3
Conceptos fundamentales del Álgebra
526
625.
a) 3
b) 5 2
626.
a) 4 +
n
m
627.
628.
629.
1 243
8
e−5 , 25 4 ,
630.
( 2, 5) y ( −4, 2 )
(
b)
1− m + n
m + n +1
) (e, 1 4)
Examen Parcial
631.
Una persona coloca S/.9,600 en un banco A que le paga una tasa de
interés simple del 18% anual, después de un determinado tiempo retira
su capital e intereses y lo coloca en otro banco B que le paga una tasa
de interés simple del 24% anual. Después de 10 meses en el banco B,
observa que ha ganado S/.710.4 más que si lo hubiese dejado en el
banco A. ¿Qué tiempo estuvo su capital en el banco A?
632.
Tres personas aportan $60,000, $40,000 y $30,000 para un negocio
que durará 4 años. Después de cierto tiempo de iniciado el negocio, el
primer socio retira $10,000, un año más tarde el segundo aumenta su
capital en $10,000 y el tercero aumenta su capital también en $10,000.
Si al repartir las utilidades la suma de lo que reciben el primero y el
tercero es el doble de lo que recibe el segundo, hallar luego de qué
tiempo el primero retiró los $10,000.
633.
x 4 − ( x + 1)
Si
E=
P=
1
.
1 1
−
2 E
x3 − 1
2


x − x ) − 1 2 x  ( x + 1) − x 
(
−
−
,
2
2
x3 + 1
2
2
x6 − 1
2
2
hallar
Conceptos fundamentales del Álgebra
527
634.
Un padre reparte su herencia entre sus hijos de la manera siguiente: al
primero le da $20,000 y la sexta parte del resto, al segundo le da
$40,000 y la sexta parte del resto, al tercero le da $60,000 y la sexta
parte del resto y así sucesivamente. Al final encuentra que cada uno de
ellos ha recibido la misma cantidad. Hallar el valor de la herencia y el
número de hijos.
635.
Resolver en términos de a :
a x + y + z = a2 + 5 a
x + a y + z = 2 a2 + 4 a
x + y + a z = 3 a2 + 3 a
636.
Una compañía aérea tiene en sus aviones tres tipos de pasajes: primera
clase, segunda clase y tercera clase. En la siguiente tabla se muestran
los precios de los pasajes para una de sus rutas y el peso que cada
pasajero puede llevar en su equipaje:
Precio del pasaje ($)
Peso (kg)
Primera clase
2400
48
Segunda clase
1200
32
Tercera clase
800
24
Si un avión de esta compañía aérea lleva 300 pasajeros, un peso de
8,880 kg y recaudó $336,000, ¿cuántos pasajeros viajan en cada clase?
Respuestas:
631.
632.
633.
634.
635.
636.
Examen Final
8 meses
1.5 años
2 x
$500,000; 5 hijos
x = a, y = 2a, z = 3a
30, 120 y 150
Conceptos fundamentales del Álgebra
637.
528
En una empresa la relación entre el precio de venta p y la cantidad
q
+ 80. El costo de producir q
3
unidades es C = 12 q + 1280. Encontrar qué cantidad obtiene la misma
utilidad que al vender 84 unidades más.
vendida q de un artículo es p = −
638.
Resolver:
x − 2 x +1
+
 2.
x + 2 x −1
639.
a) Resolver: a b x 2 + a 2 x − b2 x − a b  0,
a  b  0.
b) ¿Para qué valores de b la inecuación: a x 2 + a b x + b3  0 tiene
como conjunto solución x ?
2
640.
Resolver la ecuación:
( log 2 3)( log3 x ) + log x 8 = 5log5 3 − log16 2
641.
3
3
6
Si e125 y = x8ln x −37 ln x , hallar x cuando y = .
5
642.
En una progresión geométrica el segundo y quinto términos son
2
m, respectivamente. Hallar la razón y calcular:
9
a)
la suma de los 6 primeros términos
b)
la suma de los infinitos términos de la progresión.
y
Respuestas:
637.
638.
60
x  −2, 1  4, 
639.
a) x  −, − a b   b a , 
640.
641.
642.
4
8 y4
2 2
e
a) 3.079 m
b) 3.375 m
b) b  1 2, 
3
m
4
Conceptos fundamentales del Álgebra
529
Año 2006 – I
Práctica Calificada No. 2
643.
 8− 3 
6
 49  ( 343 )

.
Reducir: 
3
492
1
a)
2a
b) Simplificar:
x2 a + 4 b
4a
a
x3 a − b
x8 a + 4 b
.
644.
Una herencia se reparte en forma directamente proporcional a las
edades de cuatro herederos. Si la repartición se hubiese hecho tres
años antes a cada uno le habría tocado S/.5,100, S/.7,140, S/.8,160 y
S/.10,200. ¿Cuánto le tocó al menor si en el momento de repartir la
herencia las edades sumaban 132?
645.
Tres socios han ganado en un negocio $24,000. El primero contribuyó
con $25,000, el segundo con $40,000 y el tercero con $20,000, siendo
los tiempos de imposición del segundo y el tercero 6 y 8 meses,
respectivamente. Si el primero ganó $6,000, ¿cuál es el tiempo que
estuvo el primero en dicho negocio?
646.
Si el polinomio:
p x12 y a z 2 b + m x3 m +8 y13 z 3 p + 2 ( m + p ) x15 y11 z13
es homogéneo, calcular la suma de los coeficientes.
647.
Simplificar E = x 2 − y 2 , si se conoce que:
1
1


x =  ( a b −1 ) 2 + ( a −1 b ) 2 


1
1
− 

y =  ( a b −1 ) 2 − ( a b −1 ) 2 


Resolverlo de dos formas distintas.
Conceptos fundamentales del Álgebra
648.
El polinomio:
530
P ( x ) = a x 4 + x3 − a x 2 + b x + c
es divisible por ( x + 1) y deja residuo 42 al dividirlo por ( x − 2 ) . Si
los restos de la división de P ( x ) entre ( x − 3) y ( x + 3) suman 296,
hallar los valores de a, b y c.
Respuestas:
643.
644.
645.
646.
647.
648.
a) 343 b) x 2
S/.5,331.81
5 meses y 10 días.
18
4
a = 2, b = 3, c = 4
Práctica Calificada No. 3
649.
Factorizar el polinomio P ( x ) = x 4 + m x 2 + n x + p, si se sabe que
tiene como factor a ( x − 1) .
3
650.
4
x −3  2x + 2 .
Simplificar:
2
3 x − 15
x−4−
x−3
651.
Descomponer en fracciones parciales:
652.
Si se cumple que:
x+2+
a
.
b
a 2 + b2 + 2 a b
a 2 + b2 − 2 a b
− 9 x 2 − 7 x − 34
.
x 4 − x 2 − 12
+
a 2 + b2 − 2 a b
a 2 + b2 + 2 a b
= 8. Hallar
Conceptos fundamentales del Álgebra
531
2 p ( x − q x + p x)
px+q
px−q
+
=
.
2
x+ p−q x− p+q
x2 − ( p − q )
2
653.
Resolver para x :
654.
La promoción de cierta empresa consiste en que por la compra de dos
docenas de lápices, se regalan tres lápices. Si la docena cuesta 8.5
soles y se vende cada lápiz en 1.2 soles, ¿cuántas docenas se
compraron si se ganó 61.60 soles en total?
Respuestas:
649.
650.
( x −1) ( x + 3)
3
652.
1.5
2
3
x +1
−
+ 2
x+2 x−2 x +3
3ó13
653.
654.
−q p
ocho docenas.
651.
Práctica Calificada No. 4
655.
Resolver:
(a + b ) x − a b y = a
2
2
3
( a − b ) x + ( a + b ) y = a 2 + b2
656.
Si aumenta el precio de los libros en $5, dejaría de adquirir 5. Si a
continuación me prestaran $120, adquiriría tantos libros como al
principio. ¿Cuál es la suma de dinero con la que cuento para comprar
libros?
657.
Si b es positivo, formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean la
mayor raíz de la ecuación x 2 + b x + a 2 = 2 a x + a b y la menor raíz de
la ecuación x 2 = b x.
Conceptos fundamentales del Álgebra
532
658.
La ecuación 2 x 2 − k x + 3 = 0 tiene por raíces a r1 y r2 . Encontrar el
valor de k para que el producto de una de las raíces disminuida en el
doble del cuadrado de la inversa de la otra raíz y la otra disminuida en
el doble del cuadrado de la inversa de la primera sea nulo. Además,
resolver la ecuación resultante.
659.
Una agencia de viajes vendería 40 pasajes a $72 cada uno. Sin
embargo, por cada $5 que aumente el pasaje, venderá 2 pasajes
menos. Si recauda $2,944, ¿cuántos pasajeros viajarán?
660.
Resolver el sistema:
3 ( x − 2 ) + 2 ( y − 3) = 29
2
2
4 ( x + 1) + 5 ( y − 3) = 149
2
2
Respuestas:
655.
656.
657.
658.
659.
660.
x = a, y = b
$456
x2 − ax = 0
k = 59 12  x1 = 4 3, x2 = 9 8
32
( 5, 4 ) y (5, 2 )
Práctica Calificada No. 5
661.
Hallar el conjunto solución de la inecuación :
2
m x + ( m − 2)
x + m2 ( m − 1)( x + 1)
+

8
12
3
en términos de m.
662.
Un inversionista coloca los 2 5 de su capital en un banco y luego la
mitad de lo que le queda más $8,000 en la bolsa de valores,
quedándole más de $16,540. Si inicialmente hubiera colocado la
tercera parte de su capital más $2,000 en el banco y luego la mitad del
resto en la bolsa de valores le hubiera quedado menos de $22,200.
Conceptos fundamentales del Álgebra
533
¿Cuánto tenía inicialmente si dicha cantidad expresada en miles es
entera?
663.
Resolver:
x 2 − 2 x  2 x + 5  − 4 x + 29
e indicar cuántos valores enteros admite la solución.
664.
Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones :
a)
a2 + b2 x2 + 2 ab x + a2  0
(
b)
665.
)
8a2 x2 + 10b2  ( 2a x + b ) −16 abx
2
Para cierto producto cuando se producen q unidades el costo es
C = 4 q + 120 y la relación entre el precio ( p ) y el número de
q
unidades es p = − + 30. Determinar :
5
a)
Si q   40,80  , ¿entre qué valores está el costo?
b)
666.
Si la utilidad debe ser mayor a $480, ¿entre qué valores estará
q?
Resolver: 1 +
b 4 a 2 − b2
b

, donde 0  a  .
x x2 − b x
2
Respuestas:
 Si m  2  x  −, m − 2

661.
 Si m  2  x   m − 2, 
 Si m = 2  x 

662.
$82,000, $83,000 ó $84,000
x   −1, 4 ; 5
663.
b) x = − 3b 2a
664.
a) x
665.
a) 280, 440
666.
−, − 2a   0, 2a   b, a
Práctica Calificada No. 6
b) 30, 100
Conceptos fundamentales del Álgebra
667.
534
Un fabricante puede producir radios a un costo de $10 cada uno y
estima que si son vendidos a x dólares la unidad, los usuarios
comprarán aproximadamente ( 80 − x ) radios cada mes. ¿Cuántos
radios deberá producir y vender cada mes para que la utilidad no sea
inferior a $1,200 mensuales?
2 x + 1 − x − 3  x − 2.
668.
Resolver:
669.
El cuadrado del logaritmo en base 3 del triple de un número excede en
uno al logaritmo en la misma base de dicho número. Calcular el
logaritmo en base 3 9 de tal número.
670.
Dados: 4 5a − 25 2b = 0 y log 2 = p.
671.
( )
( )
a)
Encontrar a ( log 5 ) en función de b y p.
b)
Calcular el valor de b si se conoce que a ( log 5) = log 200.
A partir de e−2ln x = xln y , encontrar los valores de z y u en :
log53 z = − x 4
log 4 u 2 = log e−4 y 2
Respuestas:
668.
30, 40
 −1, 0
669.
0 ó −3 2
670.
a) 2 − 4 p + bp
671.
z = 1 5, u = 2
667.
b) 5
Conceptos fundamentales del Álgebra
535
Examen Parcial
672.
Se coloca un capital al 5% anual. Luego de 10 meses se coloca otro
capital igual al doble del anterior al 6% anual. Si la suma de los
intereses representa los 7/15 del primer capital, ¿qué tiempo estuvo
colocado cada capital?
673.
Se adquieren N discos a determinado valor unitario. Las 2/5 partes se
venden ganando el 2.5% en cada uno y la décima parte se vende
perdiendo el 10% en cada uno. ¿Cuánto debe ganarse en cada uno de
los restantes para obtener una utilidad total del 10%?
674.
a 2 + 3 a + b2 + 3 b + 2 a b = 40 y ab = 3.5,
Si
sabiendo que a + b  0 y a  b.
675.
Descomponer en fracciones parciales:
− 9 x2 + 9 x + 2
3
x − 3 x 2 + 4 x − 12
calcular a3 − b3 ,
676.
a)
b)
677.
Resolver para x :
2x−a
a−2x
=
+4
x +b−c x −b +c
Si b y c son enteros, indique tres valores de a tal que x
resulte un cuadrado perfecto.
En una elección en la que había tres candidatos A, B y C, se emitieron
en total 15,000 votos. Si A obtuvo 60 votos más que B, y 220 votos
más que C, ¿cuántos votos obtuvo el ganador, si el número de votos
blancos y nulos fue la sexta parte del total de votos?
Respuestas:
672.
673.
674.
40 meses
20%
43 11 2
Conceptos fundamentales del Álgebra
675.
−4 5 x + 6
−
x − 3 x2 + 4
676.
a) 2 ( b − c ) a
677.
4,260 votos
2
536
b) 2, 1 2 y 1 8
Examen Final
678.
Dada la ecuación y = x3 − 5 x + 2, resolver el sistema de ecuaciones
que forma respectivamente con:
a) 7 x = y + 14
b) 7 x + 18 = y
679.
Resolver:
a) x2 + 2 x + 5
(
)( x + 2 x −15)  0
b) ( 4 x + 12 x + 9 )( x + 3 x −10)  0
2
2
2
x + a x2 + a2

.
x − a x2 − a2
680.
Resolver para x :
681.
Al resolver ln 2a x + 36ln 2x a = 13, se obtienen 4 soluciones: x1 , x2 , x3
y x4 , tal que x1  x2  x3  x4 . Calcular log x1 x3 + log x2 x4 .
682.
Sabiendo que log3 = m y log 2 = n, hallar A − B en términos de m
−1
6.
y n, siendo A = log 6 18, B = log 60
683.
El primer término de una progresión aritmética es 25 y la razón de una
progresión geométrica es 1 2. Si los términos cuarto y octavo de la
primera progresión coinciden, respectivamente, con los términos
cuarto y sexto de la segunda, determinar en cuánto excede la suma de
los cinco primeros términos de la progresión geométrica a la suma de
los diez primeros términos de la progresión aritmética.
Conceptos fundamentales del Álgebra
Respuestas:
678.
a) ( 2, 0 ) , ( −4, − 42 ) y ( 2, 0 )
b) ( −2, 4 ) , ( 4, 46 ) y ( −2, 4 )
679.
a) x   −5, 3 b) x  −, − 5  − 3 2   2, 
Si a  0  −, − a  0, a ,
680.
Si a  0  a, 0  −a,  ,
Si a = 0 
681.
682.
683.
−13 6
m −1
m+n
133
− 0
537
Conceptos fundamentales del Álgebra
538
Ejercicios propuestos de razonamiento matemático
684.
En una canasta entran x manzanas o y peras. ¿Cuántas parejas de
manzanas y peras entran en la canasta?
xy
R.:
x+ y
685.
A y B distan 200 km. De A parte un vehículo a 120 km/h y 2 horas
más tarde parte de B otro a 100 km/h. ¿A qué distancia de A se
encuentran si se dirigen el uno hacia el otro?
R.: No se encuentran
686.
El promedio de y números es x. Si dejamos de considerar dos
números que suman a , ¿cuál será el nuevo promedio?
xy − a
R.:
y−2
687.
Una botella y su corcho valen 150 pesos, costando la botella 100 pesos
más que el corcho. ¿Cuánto vale este?
R.: 25 pesos
688.
Si a un número se le añade la suma de sus cifras se obtiene 8,799.
Calcular la suma de dichas cifras.
R.: 30
689.
Dos ruedas de una bicicleta, de radios R y r , recorren un espacio de
45 metros. Si la suma del número de vueltas de ambas ruedas es
15 r , hallar la relación r R.
R.:
690.
2 − 3
3
Sea 0  x  1. Indicar el menor número de entre los siguientes: x 2 ,
1 x , 1 x 2 , x, x −1.
R.: x −1
Conceptos fundamentales del Álgebra
691.
692.
539
Se mezclaron 200 litros de vino de 5 soles el litro con 30 litros de vino
de mayor precio y su obtuvo una mezcla con un precio medio de
S/.6.50 por litro. ¿Cuál es el costo en soles por litro del vino de mayor
precio?
R.: S/.16.50
Se venden 12 litros de leche adulterada con un peso de 12.42 kg neto.
Si la densidad de la leche pura es 1.04, ¿cuánta agua se empleó en la
adulteración?
R.: 1.5 litros
693.
Con una misma suma de dinero se pueden adquirir 24 aviones y 36
barcos o 36 aviones y 12 barcos. ¿Cuántos aviones se podrán adquirir
con dicha suma de dinero?
R.: 42
694.
Si se tiene una solución de 40 litros al 25% de alcohol, ¿cuántos litros
de agua habrá que añadir para rebajarla al 20%?
R.: 10 litros
695.
Un comerciante puso en exhibición algunos vestidos con el precio
original marcado. Fijó un aviso que señalaba: “Rebajamos el precio en
su quinta parte”. Encontrar la relación entre el costo y el precio
original si se sabe que el costo era las 3 4 partes del precio de venta.
R.: 3 5
696.
El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. Cada hora, el nivel
de agua desciende la mitad de la altura, más un metro. Determinar la
profundidad del pozo.
R.: 14 metros
697.
Dentro de 8 años, la edad de Pedro será la que Juan tiene ahora.
Dentro de 15 años, Pedro tendrá los 4 5 de la edad que entonces
tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro cuando
Juan tenía el doble de la edad de Pedro?
R.: 24 años
698.
¿Cuál será la inversa del doble de la inversa del promedio de las
inversas de dos cantidades tales como m y n ?
Conceptos fundamentales del Álgebra
R.:
699.
700.
540
m+n
4mn
Dos caños pueden llenar un tanque de 24 litros en 5 y en 6 horas,
respectivamente, cada uno funcionando individualmente, mientras que
un desagüe puede vaciar completamente el tanque en 10 horas. Si el
tanque está vacío y se abren los caños y el desagüe y se cierran
apenas se llena el tanque, ¿cuántos litros se fueron por el desagüe?
R.: 9 litros
Si un jugador pierde un tercio de su dinero en su primer juego, vuelve
a apostar y pierde los 3 5 de lo que queda y en una tercera apuesta
pierde los 4 7 del resto, ¿qué fracción del dinero que tenía
inicialmente le ha quedado?
R.: 4 35
701.
Un comerciante compra naranjas a 3 por 10 pesos e igual número a 5
por 20 pesos. ¿A cuánto las debe vender para que no le quede
ninguna?
R.: 3 por 11 pesos
702.
Se compran dos varillas metálicas, una a N soles el metro, y otra, que
tiene N metros más, a M soles el metro. Si por ambos retazos se
pagó lo mismo, ¿cuántos metros se compraron en total?
N (N + M )
R.:
N −M
703.
La suma de dos números es a y su producto, b. Encontrar la suma de
las inversas de dichos números.
R.: a b
704.
Para que la ecuación
1+ x N +1
sea verdadera cuando N es
=
1− x
N
positivo, se debe cumplir que x sea:
i) x  1 ii) x  0
iii) x  0
iv) x
v) 0  x  1
R.: v)
Conceptos fundamentales del Álgebra
705.
541
Si a una cantidad le añado el y %, obtendré el x%. ¿Cuánto se
obtendrá si le añado el 2 y%?
R.: ( 2 x − 100 ) %
706.
Juan tiene a años, que es el séxtuplo de la edad que tenía Roberto
cuando Juan tenía la tercera parte de la edad que tiene Roberto.
Encontrar la edad de este.
R.: 7a 8 años
707.
Encontrar el mínimo valor de 9 x 2 − 12 x + 9.
R.: 5
708.
Si la utilidad que se obtiene al vender en S soles lo que costó C
C
soles es , calcular la utilidad en función de S y n.
n
S
R.:
n +1
709.
Dos velas de iguales alturas se encienden a la vez, y se consumen en 4
y 3 horas, respectivamente. Si se supone que se consumen a velocidad
uniforme, ¿al cabo de cuántas horas de encendidas, la relación de las
alturas será 2?
R.: 2 horas y 24 minutos
710.
Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de
ellos y 115 al otro, se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
R.: 40
711.
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma
relación que 5, 3 y 16, respectivamente. Encontrar la suma de los
números.
R.: 20
712.
Cecilia tiene 5q + 1 monedas de 25 centavos y Susana, q + 5 monedas
de las mismas. ¿Cuál es la diferencia de dinero que tienen en monedas
de 20 centavos?
R.: 5 ( q − 1)
Conceptos fundamentales del Álgebra
542
1
horas (estando
m
inicialmente vacío el tanque). ¿En qué tiempo lo llenarán las dos
llaves juntas?
m
R.: 2
m +1
713.
Una llave llena un tanque en m horas y otra, en
714.
Si el precio de un artículo se aumenta en un porcentaje p, entonces el
porcentaje de disminución de las ventas no debe exceder a d para
obtener el mismo ingreso. Calcular el valor de d .
p
R.:
1+ p
715.
Un frutero compra 100 kilos de manzanas, una parte a S/.40 el kilo y
el resto a S/.50 el kilo. Las vende a S/.46 el kilo y gana S/.60.
¿Cuántos kilos compró a S/.40 el kilo?
R.: 46
716.
Si el precio de un libro disminuye en $1,000, se podrían adquirir 3
libros más con un mismo monto. ¿Cuál es ese monto si se adquirieron
24 libros con tal descuento?
R.: $168,000
717.
Si vendo a 70 pesos cada manzana, gano 120 pesos en el negocio, pero
si las vendiera a 50 pesos cada una, perdería 60 pesos. ¿Cuántas
manzanas deseo vender?
R.: 9
718.
Demostrar que la diferencia de los cuadrados de dos números impares
consecutivos es un múltiplo de 8.
719.
Hace p años, A tenía c años, mientras que dentro de q años, B
tendrá d años. ¿Cuánto sumarán la edad de B cuando A duplique su
edad actual y la de A cuando B triplique su edad actual?
R.: 2c + 2 p + 3d − 3q
Conceptos fundamentales del Álgebra
720.
543
Un reloj da las tres. Mientras suenan las campanadas pasan 3
segundos. ¿Cuánto tiempo será necesario para que este reloj dé las
nueve?
R.: 12 segundos
Conceptos fundamentales del Álgebra
544
Amenidades
A)
En el esquema siguiente, tachar seis cifras de modo tal que los
números que queden sumen 20.
111
777
999
B)
Emplee cuatro cifras 4 y los signos de las operaciones fundamentales
para expresar los números 1, 2, 3, .... , 10.
C)
Utilice cinco cifras 9 para expresar el número 10 con ayuda de las
operaciones aritméticas. Encuentre cinco soluciones.
D)
¿Qué cifra le gusta más o cuál es su cifra preferida?
Pregúntele a un compañero qué cifra (1, 2, 3, ... , 9 ) le gusta más.
Supongamos que sea x. Pídale que multiplique el número 12’345,679
por ( 9x ) y verá lo que sucede. Por ejemplo, si le gusta la cifra 5,
pídale que multiplique 12’345,679 por 45.
E)
¿Cómo adivinar la cifra tachada?
Solicítele a un amigo que piense un número cualquiera de varias cifras
y que haga lo siguiente:
- que escriba el número pensado,
- que cambie el orden de las cifras,
- que reste ambos números,
- que tache una de las cifras de la resta (que no sea cero),
- y que le diga las demás cifras en cualquier orden.
Usted le podrá decir cuál es la cifra tachada.
F)
¿Cómo adivinar el número de hermanos y hermanas?
Pídale a un compañero que haga lo siguiente:
- que añada 3 al número de hermanos que tiene,
- que multiplique por 5 el número obtenido,
- que sume 35 al producto,
- que multiplique por 2 la suma,
- que al resultado le añada el número de hermanas,
Conceptos fundamentales del Álgebra
545
- y que le diga el resultado final.
Usted le podrá indicar el número de hermanos y hermanas que tiene.
G)
¿Cómo adivinar el día y el mes de nacimiento?
Propóngale a un amigo que escriba en una hoja de papel el día en que
nació y que efectúe las operaciones siguientes:
- que duplique el número escrito,
- que multiplique por 10 lo obtenido,
- que le sume 80 al producto,
- que multiplique por 5 la suma,
- que le añada el número del mes en que nació,
- y que le diga la suma final.
Usted le podrá señalar la fecha en que nació.
Respuestas
A)
Se deben tachar 6 cifras de
modo que queden las 3
siguientes:
−1 1
−−−
−−9
B)
44
44
4 4
2= +
4 4
4+4+4
3=
4
1=
4 = ( 4 − 4 )  4 + 4 
5=
C)
( 4  4) + 4
4
6 = 4+
4+4
4
44
−4
4
4 
8 = 4 +   4
4 
4
9 = 4+4+
4
44 − 4
10 =
4
7=
Conceptos fundamentales del Álgebra
546
99
+9
99
9 9 
10 = +   9 
9 9 
99 9
10 =
−
9 9
10 =
99
9

10 =  9 + 
9

10 = 9 + 999 −9
D)
Tenga presente que 12345,679  9 = 111 111,111. En el caso que se
escoja la cifra 5, deberá multiplicarse por 9  5 = 45, esto es:
45  12345, 679 = 5  ( 9  12345, 679 )
= 5  (111 111,111)
= 555555,555
E)
Sea abcd el número escogido. De acuerdo con los criterios de
divisibilidad y los restos potenciales:
abcd = 1000a + 100b + 20c + d
o 
o  o 
abcd =  9+ 1 a +  9+ 1 b +  9+ 1 c + d



 

o
o
o
abcd = 9+ a + 9+ b + 9+ c + d
o
abcd = 9+ ( a + b + c + d )
Si cambia el orden de las cifras, tendrá por ejemplo bdca
o
bdca = 9+ ( b + d + c + a )
Restándolos:
Conceptos fundamentales del Álgebra
547
o
o
abcd − bdca = 9+ a + b + c + d − 9− b − c − d − a
o
=9
Como la resta debe ser múltiplo de 9, a las tres cifras que su amigo le
dirá, usted podrá averiguar la cifra tachada buscando que las cuatro
cifras sumen un múltiplo de 9.
Por ejemplo:
N = 8, 629
N  = 6,982
N − N  = 1, 647
Si su amigo le dijera 1, 7 y 6, entonces:
o
1+ 7 + 6 + x = 9
o
14 + x = 9
14 + x = 18
La cifra tachada sería
x=4
F)
Si el número de hermanas no es mayor que 9, deberá hacer lo
siguiente:
- restarle 100 al resultado final que le dirá su compañero,
- el número de hermanas es la cifra de las unidades,
- restarle a continuación dicha cifra de unidades,
- divida la resta obtenida entre 10 y tendrá el número de hermanos.
Por ejemplo: 4 hermanos y 3 hermanas.
Conceptos fundamentales del Álgebra
548
4+3= 7
7  5 = 35
35 + 35 = 70
70  2 = 140
140 + 3 = 143
Si su compañero le indica 143,
143 −100 = 43
3 unidades  3 hermanas.
43 − 3 = 40
40
= 4 hermanos
10
Explicación:
Sean a hermanos y b hermanas
5 ( a + 3) + 35  2 + b = 5a + 15 + 35  2 + b
= 10a + 100 + b
= 100 + 10a + b
Restándole 100:
10a + b = ab
Son b hermanas y a hermanos.
G)
Si desea adivinar el día y el mes del nacimiento de su amigo, al
número que él le dirá:
- réstele 400,
- las dos últimas cifras del resultado corresponderán al mes del
nacimiento y
- la(s) que está(n) delante de ellas indicarán el día del nacimiento.
Conceptos fundamentales del Álgebra
549
Estamos seguros de que el lector podrá efectuar la demostración del
caso.
Por ejemplo: 20 de mayo
Día: 20, mes: 5
20  2 = 40
40  10 = 400
400 + 80 = 480
480  5 = 2, 400
2, 400 + 5 = 2, 405
Si su amigo le indica 2,405, réstele 400:
día
2, 405 − 400 = 20 05
mes
Por lo tanto la fecha de nacimiento es el 20 de mayo.
Apuntes de estudio
1. Portocarrero Suárez, Felipe, Cómo hacer un trabajo de investigación, 3a.
ed., Lima: CIUP, 1990.
2. Miyashiro Miyashiro, Isabel, Casos en administración de organizaciones
que operan en el Perú, tomo I, 3a. ed., Lima: CIUP, 1991.
3. Miyashiro Miyashiro, Isabel, Casos en administración de organizaciones
que operan en el Perú, tomo II, 3a. ed., Lima: CIUP, 1991.
4. Injoque Espinoza, Javier, WordPerfect 5.1. Fundamentos y orientaciones
prácticas, 2a. ed., Lima: CIUP, 1992.
5. Miyashiro Miyashiro, Isabel, Casos en administración de organizaciones
que operan en el Perú, tomo III, Lima: CIUP, 1991.
6. Gatti Murriel, Carlos y Jorge Wiesse Rebagliati, Elementos de gramática
española, 3a. ed. corregida, Lima: Universidad del Pacífico, 2003.
7. Gatti Murriel, Carlos y Jorge Wiesse Rebagliati, Técnicas de lectura y re­
dacción. Lenguaje científico y académico, 3a. ed. aumentada y nuevamente
corregida, Lima: Universidad del Pacífico, 2003.
8. Mayorga, David y Patricia Araujo, Casos de política de la empresa, Lima:
CIUP, 1992.
9. Miyashiro Miyashiro, Isabel (comp.), Casos en administración de organiza­
ciones que operan en el Perú, tomo IV, Lima: CIUP, 1992.
10. Pipoli de Butrón, Gina (comp.), Casos de mercadotecnia aplicados a la
realidad peruana, Lima: CIUP, 1992.
11. Miyashiro Miyashiro, Isabel (comp.), Casos en administración de organiza­
ciones que operan en el Perú, tomo V, Lima: CIUP, 1993.
12. Rivero, Eduardo, Contabilidad I, 2a. ed. corregida, Lima: Universidad del
Pacífico, 2000.
13. Altamirano, Jesús, Lotus 2.4. Conceptos y consejos prácticos, Lima: Universidad del Pacífico, 1993.
14. Schwalb, María Matilde y Carlos Herrera, Colección de casos de merca­
dotec­nia, Lima: CIUP, 1993.
15. Chong, Esteban y otros, Teoría y práctica de la contabilidad intermedia,
Lima: CIUP, 1994.
16. Wong, David, Finanzas en el Perú: un enfoque de liquidez, rentabilidad y
riesgo, 2a. ed., Lima: CIUP, 1995.
17. Mayorga, David y Patricia Araujo, La importancia de la mercadotecnia
estratégica: el caso de la empresa peruana, Lima: CIUP, 1994.
18. Aliaga Valdez, Carlos, Manual de matemática financiera: texto, problemas
y casos, 4a. ed. corregida, Lima: Universidad del Pacífico, 1999.
19. Ánge­les, Julio; Jorge Ru­bio; Yván Soto y Jorge Toma, Procesamiento esta­
dístico de datos con Minitab y Har­vard Grap­hics, Lima: Universidad del
Pacífico, 1995.
20. Schwalb, María Matilde y Carlos Herrera, Casos peruanos de mercadotecnia,
Lima: CIUP, 1995.
21. Miyashiro Miyashiro, Isabel (comp.), Casos en administración de organiza­
ciones que operan en el Perú, tomo VI, Lima: CIUP, 1995.
22. Vento Ortiz, Alfredo, Finanzas aplicadas, 6a. ed., Lima: CIUP, 2004.
23. Mayorga, David y Patricia Araujo, Casos peruanos de negocios internacio­
nales, Lima: CIUP, 1995.
24. Muñoz, José Luis, Análisis e interpretación de estados financieros ajustados
por inflación, Lima: CIUP, 1995.
25. Pipoli de Butrón, Gina (comp.), Casos de mercadotecnia aplicados a la
realidad peruana, tomo II, Lima: CIUP, 1996.
26. Beltrán, Arlette y Hanny Cueva, Ejercicios de evaluación privada de pro­
yectos, 3a. ed., Lima: CIUP, 2000.
27. Aliaga Valdez, Carlos, Aplicaciones prácticas de matemática financiera:
603 problemas resueltos, 1a. ed. corregida, Lima: Universidad del Pacífico,
1998.
28. Miyashiro Miyashiro, Isabel (comp.), Casos en administración de organiza­
ciones que operan en el Perú, tomo VII, Lima: CIUP, 1996.
29. Mayorga, David y Patricia Araujo, Casos sobre la mercadotecnia estratégica
de la empresa peruana, Lima: CIUP, 1997.
30. Miyashiro Miyashiro, Isabel (comp.), Casos en administración de organiza­
ciones que operan en el Perú, tomo VIII, Lima: CIUP, 1997.
31. Seinfeld, Janice y otros, Introducción a la economía de los recursos naturales
y del medio ambiente, Lima: 2a. ed., CIUP, 1999.
32. Miyashiro Miyashiro, Isabel (comp.), Casos en administración de organiza­
ciones que operan en el Perú, tomo IX, Lima: CIUP, 1998.
33. Bonifaz, José Luis y Ruy Lama C., Optimización dinámica y teoría econó­
mica, 1a. ed. corregida, Lima: CIUP, 2002.
34. Franco Concha, Pedro, Planes de negocios: una metodología alternativa,
Lima: CIUP, 1999.
35. Miyashiro Miyashiro, Isabel (comp.), Casos en administración de organiza­
ciones que operan en el Perú, tomo X, Lima: CIUP, 1999.
36. Schuldt, Jürgen, Dolarización oficial de la economía: un debate en once
actos, Lima: CIUP, 1999.
37. Schwalb, María Matilde y Juan Carlos Casafranca, Casos ganadores de los
Premios MAX/EFFIE, Lima: CIUP, 2000.
38. Medina, Oswaldo, El achoramiento: una interpretación sociológica, Lima:
CIUP, 2000.
39. Espejo Reese, Ricardo, Ética y empresas: el caso de la banca peruana, 2a.
ed. corregida y aumentada, Lima: CIUP, 2003.
40. Malca, Óscar, Comercio electrónico, Lima: Universidad del Pacífico, 2001.
41. Lescano, Lucio, La disciplina del servicio, 2a. ed. corregida y aumentada,
Lima: CIUP, 2003.
42. Schwalb, María Matilde; Patricia Araujo y David Mayorga, Casos ganado­
res de los Premios Effie 1999, Lima: Universidad del Pacífico-AFP Integra,
2001.
43. Urrunaga, Roberto; Tami Hiraoka y Antonio Risso, Fundamentos de eco­
nomía pública, Lima: CIUP, 2001.
44. Bonifaz, José Luis y Diego Winkelried, Matemáticas para la economía
dinámica, 1a. ed. corregida, Lima: CIUP, 2003.
45. Miyashiro, Isabel (compiladora), Casos de administración general en or­
ganizaciones que operan en el Perú, tomo XI, Lima: CIUP, 2001.
46. Pipoli de Butrón, Gina, Casos de mercadotecnia aplicados a la realidad
peruana, tomo II, Lima: CIUP, 2002.
47. Malca, Óscar, Comercio internacional, 2a. ed., Lima: CIUP, 2004.
48. Schwalb, María Matilde; Patricia Araujo y David Mayorga, Casos ganadores
de los Premios Effie 2000, Lima: Universidad del Pacífico-Alicorp, 2002.
49. Mayorga, David; María Matilde Schwalb y Patricia Araujo, Casos ganadores
de los Premios Effie 2001, Lima: Universidad del Pacífico-Alicorp, 2002.
50. Miyashiro, Isabel (compiladora), Casos de administración general en or­
ganizaciones que operan en el Perú, tomo XII, Lima: CIUP, 2002.
51. Miyashiro, Isabel (compiladora), Casos peruanos de comportamiento orga­
nizacional, tomo I, Lima: CIUP, 2003.
52. Siu K., Ricardo y Carlos Andaluz Z., Cálculo diferencial: teoría y aplica­
ciones, Lima: CIUP, 2003.
53. Schwalb, María Matilde; Claudia Ortega y Emilio García (editores), Casos
de responsabilidad social, Lima: CIUP, 2003.
54. Araujo, Patricia; David Mayorga y María Matilde Schwalb, Casos ganadores
de los Premios Effie 2002, Lima: Universidad del Pacífico, 2003.
55. Mayorga, David; Patricia Araujo y María Matilde Schwalb, Casos ganadores
de los Premios Effie 2003, Lima: Universidad del Pacífico - Interbank, 2004.
56. Malca, Oscar, Perfiles de productos con potencial agroexportador, Lima:
CIUP, 2004.
57. Miyashiro, Isabel, Empresa y gerencia en Asia: el caso de la República
Popular China,, Lima: CIUP, 2004.
58. Schwalb, María Matilde y Emilio García (editores), Buenas prácticas pe­
ruanas de responsabilidad social empresarial, Lima: CIUP, 2004.
59. Cortez, Rafael y Luis Rosales, 340 ejercicios de Microeconomía, Lima:
CIUP, 2005.
60.
Seinfeld, Janice, Análisis económico de la salud, Lima: CIUP, 2005.
61. Yamada, Gustavo y Patricia Pérez, Evaluación de impacto de proyectos de
desarrollo en el Perú, Lima: CIUP, 2005.
62. Alva, Edgar, Fundamentos de Contabilidad. Un enfoque de diálogo con un
lenguaje claro, Lima: CIUP, 2005.
63. Schwalb, María Matilde; Emilio García y Virginia Soldevilla (eds.), Buenas
prácticas peruanas de responsabilidad social empresarial. Colección 2005,
Lima: CIUP, 2006.
64. Toma Inafuko, Jorge y Jorge Luis Rubio Donet, Estadística aplicada. Primera parte,
Lima: CIUP, 2007.
65. Siu Koochoy, Ricardo y Carlos Andaluz Zúñiga, Álgebra, Lima: CIUP, 2007.
66. Yamada, Gustavo y Juan Chacaltana, Generación de empleo en el Perú:
seis casos recientes de éxito, Lima: CIUP, 2007.
67. Urrunaga, Roberto y José Luis Bonifaz (eds.), Estudios de caso sobre re­
gulación en infraestructura y servicios públicos en el Perú, Lima: CIUP,
2008.
68. Schuldt, Jürgen, Modelos macroeconómicos computarizados (una introduc­
ción), Lima: CIUP, 2008.
69. Toma Inafuko, Jorge y Jorge Luis Rubio Donet, Estadística aplicada. Se­
gunda parte, Lima: CIUP, 2008.
70. Del Castillo, Elsa y Gustavo Yamada, Responsabilidad social y buen clima
laboral: una fórmula ganadora, Lima: CIUP, 2008.
71. Beltrán, Arlette; Juan Francisco Castro y Gustavo Yamada, Hacia un pro­
grama de crédito de largo plazo para la educación superior en el Perú,
Lima: CIUP, 2008.
72. Schwalb, María Matilde (editora), Experiencias exitosas de responsabilidad
social empresarial, Lima: Universidad del Pacífico, 2010.
73. Siu Koochoy, Ricardo y Carlos Andaluz Zúñiga, Aritmética, Lima: Universidad del Pacífico, 2011.
74. Siu Koochoy, Ricardo y Carlos Andaluz Zúñiga, Cálculo diferencial de
funciones con varias variables, Lima: Universidad del Pacífico, 2012.
75. Yamada, Gustavo; Juan F. Castro y Roberto Asmat, Inversión en educación
e ingresos laborales, Lima: Universidad del Pacífico, 2013.
Se terminó de imprimir en los talleres gráficos de
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Agosto 2013 Lima - Perú
Aritmética / Ricardo Siu Koochoy / Carlos Andaluz Zúñiga
APUNTES DE ESTUDIO
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