Tugas 3 Sistem Kontrol Lanjut
Nama: Rizal Maulani
NRP: 6022242009
Mata Kuliah: Sistem Kontrol Lanjut (B)
HW-3 (Lebaran) Fungsi Lyapunov:
Lakukan analisis stabilitas Lyapunov pada plant nonlinear yang diambil.
Jawab:
Plant nonlinear yang dipilih adalah dinamika UAV flying-wing. Dinamika ini mendeskripsikan
hubungan antara laju pesawat melewati udara 𝑉𝑎 dan angle-of-attack 𝛼 dari pesawat. Persamaan
didapatkan dari artikel Xin, Hongbo et.al. (2024).
Berikut persamaan dinamikanya.
𝑉𝑎̇ =
𝛼̇ =
1
(−𝐷 − 𝑚𝑔 sin(𝜃𝑐 − 𝛼) + 𝑇𝑐 cos 𝛼 )
𝑚
1
(−𝐿 + 𝑚𝑔 cos(𝜃𝑐 − 𝛼) − 𝑇𝑐 sin 𝛼)
𝑚𝑉𝑎
1
𝐷 = 𝜌𝑉𝑎2 𝑆𝐶𝐷
2
𝐿=
1 2
𝜌𝑉 𝑆𝐶
2 𝑎 𝐿
Dengan variable-variabel:
𝛼 = Angle-of-Attack
𝜃𝑐 = Pitch angle
𝑉𝑎 = Aircraft speed
𝐶𝐷 = Coefficient of drag
𝜌 = 1.204 𝑘𝑔/𝑚3 Density of air
𝑆 = Platform area of the wing
𝑚 = mass of the aircraft
𝐶𝐿 = Coefficient of lift
𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 gravitational acceleration
𝑇𝑐 = 10𝑁 Thrust
Nilai parameter:
𝜃𝑐 = 30𝑜
𝑆𝐶𝐿 = 0.9
𝑆𝐶𝐷 = 0.05
𝑇𝑐 = 10 𝑁
𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2
𝑚 = 5 𝑘𝑔
Fungsi Lyapunov yang dipakai adalah
𝑉(𝑉𝑎 , 𝛼) = 𝑉𝑎2 + 𝛼 2
Dengan derivative
𝑉̇ (𝑉𝑎 , 𝛼) = 2𝑉𝑎 𝑉𝑎̇ + 2𝛼𝛼̇
1
𝑉̇ (𝑉𝑎 , 𝛼) = 2𝑉𝑎 ( (−𝐷 − 𝑚𝑔 sin(𝜃𝑐 − 𝛼) + 𝑇𝑐 cos 𝛼 ))
𝑚
+ 2𝛼 (
1
(−𝐿 + 𝑚𝑔 cos(𝜃𝑐 − 𝛼) − 𝑇𝑐 sin 𝛼))
𝑚𝑉𝑎
Menggunakan bantuan Matlab, didapatkan grafik surface dan contour untuk membantu analisis
stabilitas sistem. Sistem dievaluasi pada asumsi kondisi kerja pesawat yaitu
1 𝑚/𝑠 < 𝑉𝑎 < 200 𝑚/𝑠
0 𝑟𝑎𝑑 < 𝛼 < 1.5 𝑟𝑎𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 0𝑜 < 𝛼 < 90𝑜
Adanya batas bawah sebesar 1 𝑚/𝑠 pada laju pesawat untuk menghindari error komputasi saat
1
𝑉𝑎 = 0 pada salah satu persamaan dinamika yaitu 𝛼̇ = 𝑚𝑉 (−𝐿 + 𝑚𝑔 cos(𝜃𝑐 − 𝛼) − 𝑇𝑐 sin 𝛼).
𝑎
Dalam kondisi ini, dapat dipastikan pesawat sudah tidak stabil dan jatuh karena memilki laju 0.
Berikut kode yang dipakai untuk menghasilkan grafik:
clear all
syms x1 x2 Lyap(x1,x2)
m=5;
g=9.8;
thec=0.5236; %in rad
Tc=10;
SCL=0.9;
SCD=0.05;
interval=[1 200 0 deg2rad(90)];
F = [( -(0.5*1.204*x1^2*SCD) -m*g*sin(thec-x2) +Tc*cos(x2) )/m; 1/(m*x1) *( -((0.5*1.204*x1^2*SCL))
+m*g*cos(thec-x2) -Tc*sin(x2) )]
Lyap(x1,x2)=x1^2+x2^2;
Lyapdiff=2*x1*F(1)+2*x2*F(2);
% eq1=1<x1<50;
% eq2=0<x2<deg2rad(90);
%
% S=solve([Lyapdiff eq1 eq2],[x1 x2])
figure(1)
fsurf(Lyap,interval)
title("Lyapunov Function $V(V_a,\alpha)={V_a}^2+{\alpha}^2$", 'Interpreter','latex')
xlabel("Speed V_a (m/s)"); ylabel("Angle of Attack \alpha (rad)")
colorbar;ax=gca;
ax.CLim
figure(2)
fsurf(Lyapdiff,interval)
title("Lyapunov Derivative Function $\dot{V}(V_a,\alpha)=2V_a\dot{V_a}+2\alpha \dot{\alpha}$",
'Interpreter','latex')
xlabel("Speed V_a (m/s)"); ylabel("Angle of Attack \alpha (rad)")
colorbar
ax=gca;
figure(3)
fcontour(Lyapdiff,interval,'Fill','on','LevelList',[0])
title("Lyapunov Derivative Contour", 'Interpreter','latex')
subtitle("Blue is the area of $\dot{V}(V_a,\alpha) < 0$", 'Interpreter','latex');
xlabel("Speed V_a (m/s)"); ylabel("Angle of Attack \alpha (rad)")
Berikut hasil grafik dari Matlab:
Grafik Fungsi Lyapunov
Dalam grafik Lyapunov, terlihat bahwa fungsi Lyapunov yang diambil telah memenuhi sifat positif
definit dimana nilai saat 𝑉(𝑉𝑎 = 0, 𝛼 = 0) = 0 dan untuk 𝑉𝑎 dan 𝛼 lainnya nilai 𝑉(𝑉𝑎 , 𝛼) > 0.
Grafik Derivatif Lyapunov
Pada kedua grafik di atas diperlihatkan grafik surface dan contour dari derivatif fungsi Lyapunov.
Terlihat dari grafik contour bahwa area biru menunjukkan area dimana nilai 𝑉̇ (𝑉𝑎 , 𝛼) lebih kecil
dari nol. Berdasarkan teori stabilitas Lyapunov, sebuah sistem stabil apabila 𝑉(𝑥) bersifat positif
definit dan 𝑉̇ (𝑥) bersifat definit negatif. Namun melihat pada grafik contour, sistem hanya stabil
pada area berwarna biru dimana 𝑉̇ (𝑉𝑎 , 𝛼) kurang dari nol dan bersifat definit negatif. Hal ini
menunjukkan bahwa sistem hanya bersifat stabil pada kondisi (𝑉𝑎 , 𝛼) yang berada dalam area biru
dan tidak stabil pada kondisi (𝑉𝑎 , 𝛼) yang berada di area kuning.
Untuk interpretasi grafik secara nyata pada dinamika pesawat, area kuning adalah area dimana
pesawat memiliki angle of attack yang besar tetapi laju pesawat tidak cukup. Hal ini
mengakibatkan kondisi bernama stall yaitu terjadinya separasi aliran udara pada sayap yang
mengakibatkan pesawat kehilangan daya angkat dan mulai jatuh.
Referensi:
Xin, Hongbo, Chen, Qingyang, Zhu, Bingjie, Wang, Peng, Wang, Yujie, Lu, Yafei, Hou,
Zhongxi, Longitudinal Attitude Control and Stability Analysis for a Low Aspect Ratio Flying
Wing UAV at High Angle of Attack, International Journal of Aerospace Engineering, 2024,
6336361, 23 pages, 2024. https://doi.org/10.1155/2024/6336361