COLEGIO BUTISTA
” REVERENDO JOSE ERNESTO CHICAS”
TITULO DEL TRABJO
” MULTIPLICACIÓN DE RAICES CUADRADAS”
TRABAJO DE INVESTIGACION FINAL
NOVENO GRADO
ZACATECOLUCA
1
Indicé
Tabla de contenido
▪
introducción................................................................................................................... 3
▪
OBJETIVO GENERALES .............................................................................................. 4
▪
OBJETIVOS ESPECIFICOS .......................................................................................... 4
▪
MARCO TEORICO (TEORIA) ........................................................................................ 5
▪
CONCLUSIÓN .............................................................................................................. 13
▪
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................ 14
1.
ANEXOS ....................................................................................................................... 15
2
▪
introducción
La multiplicación de raíces cuadradas es un concepto importante en matemáticas
que se utiliza para calcular el producto de dos o más números que están
representados como raíces cuadradas. Este tema es una extensión natural de la
aritmética básica y es fundamental en diversos campos, incluyendo la geometría, la
trigonometría, y el álgebra. En esta conversación, exploraremos cómo realizar
operaciones de multiplicación con raíces cuadradas, las propiedades que rigen
estas operaciones y algunos ejemplos prácticos para comprender mejor este
concepto matemático. ¡Comencemos! ¿En qué aspecto específico de la
multiplicación de raíces cuadradas te gustaría profundizar?
3
▪
OBJETIVO GENERALES
El objetivo general de la multiplicación de raíces cuadradas es encontrar el
producto de dos o más números que están representados en forma de raíces
cuadradas. Esto implica simplificar las raíces cuadradas, multiplicar los valores
numéricos y simplificar aún más si es posible. La multiplicación de raíces
cuadradas es una operación matemática fundamental que se utiliza en diversas
aplicaciones, como la resolución de problemas de geometría, física y álgebra.
▪
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Comprender el concepto de multiplicación de raíces cuadradas y cómo se
relaciona con la aritmética básica.
2. Aprender a simplificar raíces cuadradas antes de multiplicarlas para obtener
resultados más simples y precisos.
3. Aplicar la multiplicación de raíces cuadradas en la resolución de problemas
prácticos en geometría, trigonometría u otras áreas de las matemáticas.
4. Practicar el uso de propiedades algebraicas, como la propiedad distributiva, al
multiplicar expresiones con raíces cuadradas.
5. Familiarizarse con casos especiales, como la multiplicación de raíces cuadradas
con números racionales o irracionales, y desarrollar habilidades para manejarlos
con confianza.
4
▪
MARCO TEORICO (TEORIA)
Multiplicación de radicales: siempre que el índice de las raíces sea el mismo,
puedes multiplicar raíces con diferentes números dentro de la raíz. Para esto,
simplemente debes combinarlos en una raíz y multiplicar los números dentro de
ella. Si los radicales son raíces de distinto orden también pueden multiplicarse.
Para multiplicar dos raíces cuadradas juntas, simplemente multiplicas los valores
dentro de las raíces y luego simplificas si es posible. Por ejemplo, si quieres
multiplicar √4 por √9, lo haces de la siguiente manera:
√4 ∗ √9 = √(4 ∗ 9) = √36 = 6
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, √4 ∗ √9 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 6.
La raíz cuadrada de un número que, cuando se multiplica por si mismo, resulta en
el número original.
Las raíces cuadradas principales siempre son positivas y la raíz cuadrada de 0 es
0. Sólo puedes tener la raíz cuadrada de valores mayores o iguales a 0. La raíz
cuadrada de un cuadrado perfecto será un entero. Otras raíces cuadradas pueden
simplificarse identificando factores que son cuadrados perfectos y encontrando su
raíz cuadrada. Las raíces cuadradas pueden aproximarse usando prueba y error o
una calculadora.
5
Seguramente has trabajado con raíces de plantas y árboles en un jardín, ¿pero
sabías que también hay raíces en las matemáticas?
Sí, las raíces existen en las matemáticas. La raíz más común es la raíz cuadrada.
Veamos lo que son las raíces, cómo se relacionan con los exponentes y cómo
puedes calcular la raíz de un número.
Para entender mejor las raíces cuadradas, vamos a repasar algunos datos sobre
los exponentes. Veamos la tabla siguiente.
Exponente
Nombre
“Tres al cuadrado”
“Tres a la segunda potencia”
“Cuatro a la quinta potencia”
“Cuatro a la quinta”
“x cúbica”
“x a la tercera potencia”
“x a la tercera”
“x a la potencia n”
“x a la n”
Forma Expandida
Puedes pensar en los números exponenciales como una “multiplicación repetida.”
Del mismo modo que dividir es la inversa de multiplicar, la inversa de elevar a un
número a una potencia es obtener la raíz de ese número. La raíz más común (y la
que vamos a estudiar) es la llamada raíz cuadrada. Cuando tratas de encontrar la
raíz cuadrada de un número (digamos, 25), estás tratando de encontrar un número
que multiplicado por sí mismo crea el número original. En el caso de 25, puedes
encontrar que 5 • 5 = 25, entonces 5 es la raíz cuadrada.
6
El símbolo para la raíz cuadrada se llama símbolo radical y es:
expresión
. La
se lee como “la raíz cuadrada de veinticinco” o “el radical del
veinticinco.” El número que se escribe debajo del símbolo radical se
llama radicando. Observa la siguiente tabla.
Radical
Nombre
“Raíz cuadrada de treinta y seis”
“Radical de treinta y seis”
“Raíz cuadrada de cien”
“Radical de cien”
“Raíz cuadrada de dos cientos
veinticinco”
“Radical de dos cientos veinticinco”
Observa de nuevo
Forma Simplificada
. Te darás cuenta que hay otro valor que, cuando se
multiplica por sí mismo, también resulta en 25. Ese es el número −5.
Por definición, el símbolo de la raíz cuadrada siempre significa la raíz positiva,
llamada la raíz principal. Entonces, si bien 5 • 5 y −5 • −5 son iguales a 25, sólo 5
es la raíz cuadrada. También debes saber que el cero es especial porque sólo
tiene una raíz cuadrada: él mismo (como 0 • 0 = 0).
Si conoces la raíz cuadrada principal también puedes encontrar su opuesto.
(Recuerda que cualquier número sumado a su opuesto es igual a 0. Entonces, por
ejemplo,
.) En la tabla siguiente, observa que si bien
raíz principal,
te dará el opuesto. Por ejemplo,
principal, 6 y
es igual al opuesto, −6.
7
te dará la
es igual a la raíz
Radical
Raíz Principal
Radical Opuesto
Raíz Opuesta
Y ahí está, poner un signo negativo enfrente del radical tiene el efecto de convertir
una raíz principal en su opuesto (el negativo de la raíz cuadrada del radicando).
Ahora que ya recordamos los exponentes y ya conocemos el concepto de raíz
cuadrada. ¿De qué nos sirve entender uno y el otro?
Los exponentes y las raíces están conectados, como las raíces se pueden
expresar como exponentes fraccionales. Por ahora, veamos la conexión entre el
exponente “ ” y las raíces cuadradas; a continuación, veremos otros exponentes
fraccionales y otras raíces. La raíz cuadrada de un número puede representarse
usando un símbolo radical o elevando el número a la potencia
. Esto se ilustra
en la tabla siguiente.
Forma
Exponencial
Forma de
Raíz
Raíz de un
Cuadrado
Simplificación
5
4
10
El cuadrado de 4 es 16 porque 4 veces 4 es igual a 16. Recuerda de tu
experiencia con los exponentes que también puedes escribirlo como
8
.
Piensa de esta manera, puedes saber que la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 • 3
= 9. De manera similar, la raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5 • 5 = 25 y la raíz
cuadrada de
es x porque
. Por ejemplo,
. (Normalmente
verás este tipo de notación, donde tomas la raíz cuadrada de un número al
cuadrado, cuando simplificas, multiplicas y divides radicales.)
Ejemplo
Problema
Simplificar.
Determina qué
número multiplicado
por sí mismo tiene
un producto de 144.
12 La raíz cuadrada de
144 es 12.
Respuesta
Ejemplo
Problema
Simplificar.
El símbolo radical
actúa como un signo
de agrupación.
El negativo significa
que tomamos el
opuesto del valor
después de
simplificar el radical.
−(9) La raíz cuadrada de
81 es 9. Entonces,
tomamos el opuesto
de 9.
Respuesta
9
Observa que algo pasó en el último paso de este ejemplo: la
expresión
se reescribió como
y luego
. Separaste
los factores en grupos idénticos, los multiplicaste y llegaste a un número al
cuadrado.
Muchas veces, es más fácil identificar pares de factores después de que hayas
pasado por el proceso de factorizar el radical original. Por ejemplo, veamos de
nuevo
pares
. ¿Cuántos pares
puedes ver? ¿Y cuántos
? Si pudieras de alguna forma identificar números elevados al
cuadrado más pequeños debajo del radical en lugar de recombinar todos los
factores (como hiciste cuando encontraste que
),
podrías simplificar los radicales más rápido.
Es aquí donde ayuda pensar en las raíces como exponentes fraccionales.
Recuerda la Regla de un Producto Elevado a una Potencia de cuando
estudiaste exponentes. Esta regla dice que el producto de dos o más números
distintos de cero elevados a una potencia es igual al producto de cada número
elevado a la misma potencia. En términos matemáticos, se escribe (ab)x = ax • bx.
Entonces, por ejemplo, puedes usar la regla para
reescribir
como
.
Ahora en lugar de usar el exponente 2, usemos el exponente
distribuye de la misma forma.
10
. El exponente se
Y como sabes que elevar un número a la potencia
es lo mismo que encontrar
su raíz cuadrada, puedes también escribirlo así:
Veamos, puedes pensar en cualquier número dentro del radical como el producto
de factores separados, cada uno con su propio radical. Usar esta idea nos ayuda a
identificar números cuadrados más pequeños, lo que normalmente nos lleva a
simplificar radicales más rápido.
Regla de un Producto Elevado a una Potencia
o a veces llamado
Regla de la Raíz Cuadrada de un Producto
Para cualesquiera números a y b,
Por ejemplo:
.
y
Esta regla es importante porque nos ayuda a pensar en un radical como el
producto de múltiples radicales. Si puedes identificar los cuadrados perfectos
dentro del radical, como con
, puedes reescribir la expresión
como el producto de múltiples cuadrados perfectos:
nuevo el
usando esta idea nueva.
11
. Veamos de
▪
METODO DE INVESTIGACIÓN
1. Definición del Problema de Investigación Comienza por definir claramente el
problema o pregunta de investigación. En este caso, podría ser: "¿Cómo se realiza
la multiplicación de raíces cuadradas y cuáles son las propiedades asociadas?"
2. Revisión de la Literatura: Investiga y recopila información existente sobre el
tema. Esto puede incluir libros de matemáticas, artículos académicos y recursos
en línea confiables. Esta revisión te ayudará a comprender el contexto y las
teorías existentes.
3. Selección de Metodología Elige la metodología de investigación adecuada.
Dado que este es un tema matemático, podrías optar por un enfoque cuantitativo,
utilizando ejemplos numéricos y fórmulas.
4. Diseño de la Investigación Diseña tus experimentos o ejemplos. Puedes crear
problemas de multiplicación de raíces cuadradas con diferentes niveles de
dificultad para ilustrar conceptos clave.
5. Recopilación de Datos: Lleva a cabo tus experimentos o ejemplos y registra los
resultados. Asegúrate de seguir un método consistente y preciso.
Recuerda citar todas las fuentes que utilices en tu investigación y seguir las
convenciones matemáticas adecuadas al presentar fórmulas y cálculos. La clave
para una investigación exitosa es la planificación cuidadosa y la precisión en la
recopilación y el análisis de datos.
12
▪
CONCLUSIÓN
La multiplicación de raíces cuadradas es un concepto matemático fundamental
que implica la combinación de dos números bajo una raíz cuadrada. Después de
investigar este tema, podemos llegar a las siguientes conclusiones:
1. *Propiedad Fundamental*: La multiplicación de raíces cuadradas se basa en la
propiedad fundamental de que la raíz cuadrada de un producto es igual al
producto de las raíces cuadradas individuales. Es decir, √(a * b) = √a * √b.
2. *Simplificación*: Cuando los números bajo las raíces cuadradas son cuadrados
perfectos, la multiplicación se puede simplificar para obtener un valor entero. Por
ejemplo, √4 * √9 = 4 * 3 = 12.
3. *Raíces no Cuadradas Perfectas*: Cuando los números bajo las raíces no son
cuadrados perfectos, la multiplicación se mantiene en forma radical, y a menudo
no se puede simplificar más.
4. *Aplicaciones*: La multiplicación de raíces cuadradas se aplica en una variedad
de campos, como la geometría, la física y la ingeniería, donde se encuentran
cantidades que involucran áreas, volúmenes y magnitudes que requieren cálculos
precisos.
5. *Importancia en la Resolución de Problemas*: Entender cómo multiplicar raíces
cuadradas es esencial para resolver problemas matemáticos y científicos que
involucran magnitudes desconocidas o medidas.
En resumen, la multiplicación de raíces cuadradas es una habilidad matemática
esencial que se basa en propiedades fundamentales de las raíces cuadradas.
Esta operación se utiliza en una variedad.
13
▪
BIBLIOGRAFIA
Marco teorico : 1644842445wpdm_LT9°.pdf - Mined
https://www.mined.gob.sv/wp-content/uploads/download-managerfiles/1644842445wpdm_LT9%C2%B0.pdf
14
1. ANEXOS
EJERCICIOS
1) Calcular el área del siguiente rectángulo √3 cm de área √7 de base:
𝛥 = 𝑏𝑥ℎ
𝛥 = √7𝐶𝑚 𝑥 √3𝑐𝑚
𝛥√21𝑐𝑚2
√3 cm
√7𝑐𝑚
2) Resuelve las siguientes multiplicaciones de raíz
a) (−√2) 𝑥 √8
= −(√2𝑥√8)
b) ( - √5 ) 𝑥(− √3)
=(√5 × √3) = √15
= (√16)
=−4
15
3) Realizar Las Siguientes multiplicación de raíces cuadradas.
a) √5𝑥√7
b)√2𝑥√8
c)(−√3) × √7
= √35
= √16 = 4
= - √21
4) realizar las siguientes multiplicaciones de raíces cuadradas.
a) √2𝑥√5
b)(−√5)𝑥√6
=√2𝑥5 = √10
= - √5 × 6 = −√30
c){−√14𝑥(−√3)
d) ( -(−√7)𝑥√10
= √14x3=√42
= −√7 × 10 = −√70
16