Departamento de Ingeniería mecánica y
Mecatrónica, Facultad de Ingeniería, Bogotá
Funciones
Julián Ricardo Rodriguez Suesca
Estudiante: Ingeniería Mecánica
Departamento de Ingeniería mecánica y
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Función
Una función es una relación matemática que
toma números en un conjunto S conocido
como el dominio de la función y los lleva a otro
conjunto D llamado rango de la función
cumpliendo que a cada elemento del dominio
le corresponde un único elemento en el rango
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Ejemplo
Esta función toma los valores que le
ingresemos y nos devuelve su valor elevado al
cuadrado, su dominio son todos los reales y su
rango son los reales positivos
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Concepto clave
Derivada: Es la pendiente de la grafica de una
función en un punto determinado.
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Constante
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Propiedades
•
Su derivada es 0 porque su pendiente es 0 (por cada
unidad que avanzo en de x me muevo 0 en y)
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Recta
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Propiedades
• Su ecuación es un polinomio de grado uno.
• Su pendiente es siempre constante.
• Debido a que la derivada por definición es la pendiente
de la recta tangente a la función y en este caso la
derivada es constante nos indica como se menciono
anteriormente que su pendiente es constante.
• Su dominio es el conjunto de los reales R y su rango
también.
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Ejercicios 1.1
Determine el dominio y el rango de las siguientes funciones:
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Ejercicios 1.2
Determine la ecuación de la recta que une los dos puntos
dados:
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Ejercicio 1.3.1
En el estudio de la electricidad y magnetismo se llega a la
conclusión de que la diferencia de potencial es directamente
proporcional a la corriente con una constante de
proporcionalidad llamada resistencia. Si tenemos una
resistencia la cual sabemos que su valor es de 220 ohmios
encuentre la ecuación de la función que rige este
comportamiento y encuentre el valor del voltaje cuando la la
corriente tiene un valor de 1 amperio
Nota: Recuerde que cuando el valor de la corriente es 0 el
voltaje también será 0, por lo tanto tiene un punto por donde
pasa la función.
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Ejercicio 1.3.2
En el estudio de los materiales es muy común encontrar la
grafica esfuerzo deformación de un material, esta grafica en
muchos casos tienen un comportamiento lineal cuya
pendiente se conoce como modulo de elasticidad, si sabemos
que el modulo de elasticidad para un material es de 100MPa,
determine la ecuación de la función y determine el valor del
esfuerzo cuando la deformación tiene un valor de 0,5.
Nota: Recuerde que cuando el valor del esfuerzo es 0 el valor
de la deformación será 0, por lo tanto tiene un punto por
donde pasa la función.
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Secciones Cónicas
Son las curvas resultantes de la intersección de un plano con un cono
(Un cono se ve en la figura, lo que normalmente se define como cono
es realmente solo medio cono)
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Circunferencia
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Propiedades
• Su relación se puede dividir en dos funciones, la que se
obtiene con la parte positiva de la raíz (parte superior de
la circunferencia) y la que se obtiene con la parte
negativa de la raíz (parte inferior de la circunferencia).
• Su foco es el centro.
• Las componentes h y k de la relación nos definen el
centro de la circunferencia.
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Ejemplo 2.1
Determinar el centro y el radio de la circunferencia
definida por la siguiente relación.
Solución.
Primero debemos simplificar la expresión para poder ver
claramente el centro y el radio de la circunferencia.
Multiplicando por dos a ambos lados de la expresión se
obtiene:
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Ejemplo 2.1
Si observamos detalladamente el numerador observamos
que se tiene un trinomio cuadrado perfecto así que lo
podemos simplificar.
Ya podemos ver claramente la expresión de la
circunferencia, para hallar el centro hallamos los valores
para los cuales las expresiones elevadas al cuadrado den 0,
para este caso x=-1 e y=0, esta es la coordenada del centro
de la circunferencia con radio 4.
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Propiedades
• Su relación se puede dividir en dos funciones, la que se
obtiene con la parte positiva de la raíz (parte superior de
la circunferencia) y la que se obtiene con la parte
negativa de la raíz (parte inferior de la circunferencia).
• Su foco es el centro.
• Las componentes h y k de la relación nos definen el
centro de la circunferencia.
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Ejemplo 2.2
Defina si los siguientes puntos se encuentran fuera, dentro
o sobre la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.
Solución.
Debido a que nos preguntan por una región debemos
plantear una desigualdad que será la siguiente.
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Ejemplo 2.2
La desigualdad nos definen el área dentro de la
circunferencia incluyendo su borde, por lo tanto si
reemplazamos los valores de los puntos en la desigualdad y
esta se cumple entonces el punto estará dentro del circulo,
si se cumple estrictamente el punto estará sobre la
circunferencia y si no se cumple el punto estará fuera de la
circunferencia. La imagen muestra la circunferencia y los
puntos propuestos.
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Ejercicios 2.1
2.1.1. Describa la ecuación de la circunferencia que tiene
como centro el punto (1,1) y que pasa por el punto (2,2)
2.1.2 Describa la ecuación de la circunferencia que tiene como
centro el punto (0,0) y que pasa por el punto (0,3)
2.1.3 Defina si los puntos (1,2), (2,1), (0,3) y (2,3) están dentro,
fuera o sobres las circunferencias de los puntos 2.1.1. y 2.1.2.
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Ejercicios 2.2
Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene como
centro (2,3) y diámetro 6 posteriormente encuentre la
ecuación de la recta que une el centro de la circunferencia con
el origen del plano coordenado, esta recta divide al plano en
dos partes, la parte por encima de la recta y la parte debajo de
la recta determine si el punto (1,4) se encuentra en la parte de
encima o de abajo y si se encuentra dentro o fuera de la
circunferencia.
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Elipse
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Propiedades
• Su relación se puede dividir en dos funciones al igual que
la circunferencia, la que se obtiene con la parte positiva
de la raíz (parte superior de la circunferencia) y la que se
obtiene con la parte negativa de la raíz (parte inferior de
la circunferencia).
• Tiene dos focos y ninguno de los dos es el centro.
• Las componentes h y k de la relación nos definen el
centro de la circunferencia.
• Los valores de a y b definen los extremos de la elipse.
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Ejercicios 3.1
2.1.1. Describa la ecuación de la elipse que tiene como centro
el punto (1,1) y que su longitud mayor tiene un valor de 6 y
esta orientada en el eje x y su longitud menor tiene un valor
de 4 y esta orientada en el eje y.
2.1.2 Investigue que es un foco en las funciones, las
características de los focos de la elipse y encuentre una
ecuación para hallar estos en una elipse.