Yu nus A. Çengel
Afshin J. Ghajar
ENGENHARIA
BEER. JOHNSTON .IR. &COllNWEL Mecãmca vetonal para engenheiros Dinâmica, 9 ed
YUNuS A ~[NGEL
AF"HIN 1 i l1 ~
BEER. JOHNSTON JI., MAZUREK & EISENBERG - Mecanica vetonal para engenheiros Estáttca, g ed
Umve151ty o/ Nevado.
Reno
Oklahoma Stote
Univmity, 5tíllwoter
BEER. JOlfNSTON JR., DEWOlF & MAZUREI - Mecãmca dos materiais. 5ed
BlANK & TARQUIN Engenharia economKa, 6.ed
Adaptado por
U
MfH~
Ut11Vt~ty
o/GaZJantep
8UDYNAS & NISllETT Elementos de máquinas de Sh1gley PrOJeto de engenhilna mecân ca 8 ed
ÇEN6El & BOLES Termod1nam1ca sed
(ENGEL & CIMBALA Mecânica dos fluidos
CHAPRA &CANAlE · Métodos numéncos para engenharia. s ed
DYM, UTILE, ORWIN &SPJUT - Introdução à engenharia: Uma abordagem baseada em projeto. Jed
GIESECKE &COLS Comumcaçào grafica moderna
•&RAY, COSTANZO &PLESHA · Mecânica vetorial para engenheiros. Dinâmica
HART, D. H. - Eletrômca de potência
HSU, HWEI - Sinais e sistemas, 2 ed (Coleção Schaum)
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares, 2 ed
l&T, UAN6 &6ll8ERT - Fundamentos da analise estrutural. J.ed
Transferência de
Calor e Massa
UMA ABORDAGEM PRÁTICA
4ª Edição
com Unidades no Sistema Internacional
MAUllNO & BATES · Eletrõmca 7ed (Vo ume 1 e 2)
NAIM &JOSEPH Circuitos elétncos. 4-ed {Colec;ào Schaum)
NAVIO!, W. Probab hdade e estat1Shca para oencias exatas
NORTON, R. CmemátJCa e dinâmica dos mecamsmos
NORTON. R. Pro1eto de máquinas Uma abordagem integrada. 2 ed
Tradução
Fátima A. M. Lino
M:is1cr cm planejamen10 ciergéüco do
Departamenlo de Engenharia Térmica ' de Fluidoo; da Unicamp
•Pl.ESHA, 6IAY & COSTANZO - Mecãmca vetonal para engenheiros Estat1ca
itlZZONI, 6. fundamentos de Engenhana Eletnca
ROSA, E. F. - Escoamento mult1fás1co 1sotérm1co: Modelos de mulllflu1dJs e de mistura
Revisão técnica
Kamal A. R. lsmail
Professor titular do
Ocparmniento de Engenharia Térmica e de Fluidoo da Unicamp
SMITH & HASHEMI - Fundamentos de engenhana e c1ênoa dos materiais, s ed
WHITE. F.M. Mecámca dos fluidos, 6.ed
••
AMGH Editora Ltda.
•l.Mos em p1odu1Jo no momento da mp1essáo desta obra. ma~ que muito
em~ tSt.11.!o ~d ~~ão dos leitores em 1ngua portugueQ
2012
Obro originalmeme publicada sob o 1ítulo
Heat a11d Ma.r.r Tro1ufer: Fu11dw11e1110/s 011d App/ications. 41/t Editio11
ISBN 0073398128 / 9780073398129
Origrnal cdi1ion copyright C 2011. The McGrnw-Hill Companies, lnc.. New York. New York 10020. Ali rights rescrvcd.
Capa: lt1m Vollmer
Gerente Editorial CESA: Arysi11ha Jacques Affonso
Coordem1dorn edi1orial: Vivio11e R. Nepam11ceno
Revi,ão de provas: Eugênia Pessalli
Leitura final e liberação: Wlll'tJ Ávila
Projc10 e cdi1ornçilo: Tecltbooks
Reservados todo• os direuos de publicação, em língua portuguesa, à
AMGH EDITORA LTDA.. uma parceria entre GRUPO A EDUCAÇÃO S.A. e McGRAW-lllLL EDUCATION
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Fone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070
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SAC 0800 703-3444 - www.grupoa.com.br
IMPRESSO NO BRASIL
PRINTED IN BRAZll
é professor emérito de engenharia mecânica da Universiiy
of Nevada, Reno. Ele recebeu seu 8.S. em engenharia mecânica pela Istambul
Technical Universiiy e seus M.S. e Ph.D.. lambém em engenharia mecânica, pela
North Carolina State University. Suas áreas de interesse são energias renováveis,
eficiência energé1ica, polí1ica; energéticas, aumento de transferência de calor e
educação em engenharia. Ele atuou como diretor do Ceniro de Avaliação Industrial
(lAC) na Universi1y ofNcvada, Reno, de 1996 a 2000. Levou equipes de cstudan1es de engenharia a diversas inst1tlt1ções de fabricação no None de Nevada e na
Califórnia para reali1ar nvnliaçõcs indus1riais e preparnr relatórios sobre conservação tle energia, minim ização de resíduos e aumcnlo da produtividade. Também
1rnbalhou como consullor parn diversas organizações privadas governamentais.
Çengel é autor ou coautor dos livros Tlwrmodpwmics: A11 E11gi11eeri11g A11prnac/1 (7. ed., 2011), F1111dame111als afT!termal-F/uid Scie11ces (3. ed., 2008). /111roduC1ion to Tltermody11amic.r and Near Tra11.<fer (2. ed., 2008), Fluids Meclumics:
F1mda111e111al.r a11d Applicarion.r (2. ed.. 2010) e Esse111ials of F/uids Mechanics:
F111u/amen1als and Applicariom (2008), todos publicados pela McGraw-Hill. Alguns de seus livros foram rrndu1idos para os idiomas chinês, japonês, coreano,
tailandês, espanhol, ponuguês, 1urco, italiano, grego e francês.
Çengel recebeu vários prêmios de destaque conferidos a educadores, e também o ASEE Meriam/Wiley de melhor autor (Di>tinguishcd Author Award), em
1992 e em 2000. Ele é engenheiro profissional rcgis1rndo no Es1ado de Nevada e
é também membro da American Society of Mechanical Engineers (ASME) e da
American Socieiy for Engineering Education (ASEE).
é professor regente e diretor de pós-graduação na School
ofMechanical and Acrospacc Engincering at Oklahoma Sta1e University, Stillwatcr, Estados Unidos e professor honorário da Xi'an Jiaotong University. Xi'an,
China. Ele recebeu seus B.S., M.S. e Ph.D., todos em engenharia mecânica. na
Oklahoma Statc University. Sua especialidade é transferência de calor e mecânica
dos fluidos, experimental e computacional. Ghajar fez contribuições significativas
para o campo das ciências térmicas por meio de seus trabalhos experimentais,
empíricos e numéricos em 1rnnsferência de ca lor e estrntificação, sis1emas de armazenamenlo de calor sensível, 1rnnsfcrência de calor para flu idos não newtoniano-', transferência de calor na região de 1ransiçilo e transferência de calor sem
ebulição em escoamento bi fásico. Sua pesquisa atual sobre transferência de calor
em escoamen10 bifásico, gerenciamento lérmico de mini e rnicrossistemas e transferência de calor por convecção mista e queda ele pressão na região de transição
tem sido um Summer Research Fellow ai Wrighl Pauerson AFB (Daylon, Ohio) e
Dow Chemical Company (Frecport, Texas). Ele e seus colegas de trabalho publicaram mais de 150 ar1igos revisados de pesquisas. Ghajar ministrou, como convidado, pales1ras nas maiores conferencias e ins1i1uições técnicas, e recebeu vários
prêmios na College of Engineering at Oklahoma State por seu excelente uabalho
em ensino, pesquisa e aconselhament0. Ghajar é membro da American Society of
ljM
Os aut()(eS
Mechanical Engineers (ASME). editor da Séne de Transferancin de Calor da CRC
Press/Taylor &: Francis e editor-chefe da revista internacional sobre engenharia
de transferência de calor, dirigida a engenheiros e especialistas da :lrca, publicada
por Taylor e Francis.
-- ·-----· ··--.ti.. ·-A transferência de calor e ma...sa é uma ciência básica que trata da taxa de transferência de energia térmica. Tem uma ampla área de aplicações, que vai desde sistemas biológicos a aparelhos domésticos comuns, e<lifTcios residenciais e comerciais, processos industriais. disposilivos eletrônicos e processamento de alimentos.
Para estudá-la é necessário ter uma base adequada em cálculo e física. É também
desejável a conclu~ão do~ cur>us de termodinfunicu, mecânica dus fluidos e equações diferenciais antes de estudar a tra nsferêncin de calor. No entanto, conceitos
relevantes sobre esses tópicos são apresentados e revisados quando necessário.
O J T VO
Este livro é destinado a estudantes de gracluaçiio em engenharia, sendo também
uma excelente referência para engenheiros que já aluam no mercado profissional.
Os objetivos deste livro silo:
Abordar os f1rincff1iOs básico.r de lnln;ferência de calor.
Apresentar dil'ersos exenrfJ/os do mundo real, para mostrar aos esrudantes
como a transferência de calor é aplicada na prática da engenharia.
Desenvolver uma conrpreensllo intuili>'a da transferência de calor, enfa1i:l.ando
a física e os argumentos físicos.
Esperamos que este livro. por meio das cuidadosas explicações dos conceitos e do
uso de numerosos exemplos práucos e figuras, auxilie os estudantes a desenvolver
as habilidades necessária.s para a.çsociar o conhecimento à confiança, a fim de aplicar adequadamente esse conhecimento.
Na prática da engenharia, a compreensão dos mecanismos de transferêocin
de calor está se tornando cada vez mais importante, já que a transferência de
calor desempenha um papel fundomen1al na concepção dos veículos, usinas de
energia, geladeiras, aparelho' eletrôn ico;,, prédios e pontes. entre outros. Mesmo
um cozinheiro precisa ter uma compreensão intuitiva do mecanismo de transferência de calor para cozinhar os alimentos de forma adequada, ajusiando a taxa de
transferência de calor. Podemos n~o es1ar cientes disso, mas usamos os princípios
de transferência ele calor quando buscamos o conforto térmico: isolamos nossos
corpos ao colocar casacos pesudos no inverno e minimizamos o ganho de calor
por radiação pe1·manecendo cm lugures à sombra no verão. Podemos acelerar o
resfriamento de alimentos qucnte.1, soprando-os. ou muntê-los aquecidos, cobrindo-os e, assim, minimizando a área de supcl1'ície exposta. Ou seja, já usamos a
transferência de calor em nossa rotina, quer tenhamos percebido, quer não.
Prefácio
Prefácio
ABORDAGEM GERAL
Este livro aborda temas-padrão de transferência de ca or com ênfase na física e
em aplicações do mundo real. Esta abordagem~ voltada li intuição dos csrudantes,
permitindo que aprendam o assunto de maneira agradável.
A me1odologia que contribuiu para a grande popularidade das edições anteriores permaneceu inalterada nesta edição. Ou i.eja, o nosso objetivo tem sido oferecer um livro de engenharia que:
Comunique-se diretamente com o mciocfnoo dos fuuros engenheiros de fonna
simples e precisa.
Direcione os estudantes a um entendimento claro e finne sobreº' prittcfpios
básicos de transferência de calor.
Problemas para Exame de Fundamentos
(
t
1
Para preparar os estudru1tes para o Exame de Fundamentos de Engenharia (cujo
resultado 1oma-o;c mai; 1mpon<1111e com base em cri1érios ABET 2000) e para facilitar os tes1es. cerca de 250 fllVblemas de nuílllplo escolho estão incluídos também
no final de cada capí1ulo desta edição. P:ira fácil reconhecimento, estão colocados
com tírulo "Problemas para exame de fundamentos de engenharia (FE)". Esses
problemas são destmados a verificar a compreensão dos fundamenoos e para ajudar os leitores a evi1ar armadilllas comuns. A~ '>Oluçóe> des= problemas. também
identificados neste livro como EES (Engoneenng Equalion Solver), es1ão disponíveis aos professores para facilimr a u1ili1ação e/ou modificação.
Encoraje o pensamento criatil'o e o desenvolvimento de uma compreett.<ilo
mais profunda e de um semido intuitil'O sobre lran\lerência de calor.
ro a e
Seja lido por est udan1es com imere.vse e e11111sit1S11m, cm vez de ser utilizado
apenas como ajuda para resolver problema>.
Em vinude do rápido avanço das 1écn icus de fabricação, é cada vez maior o uso de
d i,positivos e componen1es 111iniaturi1,ados. Na <1plicação de 1rocadores de calor
em mininiura, células de combusrível, bombas, compressores, turbinas, sensores
ou vasos sanguíneos aniliciais, é essencial uma boa compreensão do escoame nto
de fluidos em microcsc•la de cunnis e lllbos. A 1ransfcrência de calor em microcscala é apresentada corno "Tópico de i111cresse especia l" no Cap. 6. Esta edição
amplia" abordagem da cobertura de mini e micrombos no Cap. 8.
Um esforço especial foi feito para a trair a curiosidade muural dos cstudan1es e
aj udá-los a explorar as várias facelas do excitante assumo da 1ransfcrência de calor.
A resposta entusiasmada q ue recebemos dos usuários das edições nn1criorcs, desde
pequenas faculdades até grandes universidades do munco lodo, indica que nossos
objetivos fora m ampla me nte alcançados. Acrcdi1umos que a melhor mancil'a de
aprender é pela prálica. Ponanto, um esforço especia l foi fci10 cm todo o livro para
reforçar o material apresentado anteriormcn1e.
Antjgamente, os e ngenheiros passavam " maior parle de seu 1cmpo substituindo os valores nas fórmulas para obter resultados numérico'. No entanm, manipulações de fórmulas e processamentos numérico' 111,'<>ra eslilo sendo deixados
principalmente para os computadores. Hoje, os engenheiros precisam ler uma
compreensão clara e firme sobre os princfpíos lxís1rns para que possam emender
mesmo os problemas mais complexos, formulá-los e in1crpretar os resultados. Um
esforço consciente é feito para enfatizar esses princípios básicos e. ao mesmo tempo, proporcionar aos esrudames uma perspectiva de como as ferramentas computacionais são utilizadas na prática da engenharia.
O OADES r--A principal alteração nes1a quana edição é a n1ualização de vário' 1rabalhos artísticos, antes traçados em linhas agora trocados por figuras realistas 1ridimensionais,
além da incorporação de cerca de 300 novos problemas. Toda; as carac1erfs1icas
populares das edições aoleriores foram mantidas, e no,as forum adicionadas. O
corpo principal de todos os capítulos, a organização do 1ex10 e as tabelas e gr.íficos
do Apêndice permanecem na maior pane inalterados. Cada capfltllo agora conoém.
pelo menos, um novo exemplo de problema resolvido, : uma parle significativa
do.~ problemas ex istentes foi modificada. B.~ia edição lambém apresenta pequenas
biografias de pessoas q ue fize111m conu'ibuições signilica1iva' para o desenvolvimento da transferência de calo r e massa.
e
lU
sr 11tul
1J
on I e n 1
Os caphulos "Resfriamento de equipamentos elelrônicos" (Cap. 15), "Aquecimento e resfriamento de edifícios" (Cap. 16) e "Refrigeração e congelamento de
alimentos" (Cap. 17) estão disponívci; para download com uma abordagem detalhada desses tópicos, no sile www.grupoo.com.br.
Q
Além das aheraçõcs já mencionada;., pequenas alterações foram feilas no corpo
principal do 1e~10. Quas: 300 novo> problemas foram acrescentados, e muitos deles foram revistos. As nudanças no1áveis de vários capítulos es1ão resumidas a
seguir par.i aqueles que esião familiarizados com a edição anterior.
No Cap. 3, a abordagem wbre 1ran,ferência de calor em superfícies aletadas
foi ampliada para dar lratamenlo mai'> rigoroso.
No Cap. 5, um novo programa amigável de usuário SS-T-CONDUCT (Condução de Calor Tran.iente e em Regi me) desenvolvido por Ghajar e colaboradores foi introdULido com demons1ração de seu uso. O programa está disponível
no site do livro, e pode ser usado para resolver ou para verificar as soluções
de muitos dos problemas unidimen\ ionuis de condução de calor com geração
unifom1e de energia em geometrias remngulore,.
• No Cap. 8, uma nova subseçlio, "Queda de pressão na região de lransição em
mini e microlubos", foi odicionada. Al6m disso, o ''Tópico de interesse especial" foi excluído.
• No Cap. 9. a seção "Convecçno natural e íorçadu combinadas" foi eslendida.
r o
CO'i!U :>r
O novo coautor Afsbin Ghajar trouxe para o livro seus mJi1os anos de expcriênci<1
em ensino, pesquisa e prática de transferência de calor.
No Cap. 1O, o ..Tópico de interesse especial" foi allcmdo pata '1'ronsferência
de calor em escoamento bi ídsico sem ebuliçfto".
Mf:
:+
Prelácio
Prefácio
FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM
de FE, que está se tomando cada vez mais importante, com base nos critérios
da ABET 2000.
~
Os autores acrediram que a ênfase no ensino da graduaçDo deve permanecer no
desenvolvimento do senso de mecanismosfrsicos s11b1aa11te> e no domínio da resolução de problemas práticos que um engenheiro deverá enfrentar no mundo real.
Esse.< problemas são resolvidos usando o programa EES, e soluções
<W completa.< junto com csrudos paramétricos estão incluídas no CD.
r.'l-XI Os problemas são compreensíveis na natureza e devem ser resolvidos cm
li::íil um computador, de preferência 111tlizando o programa EES que acompanha este livro.
Uma mente observadora não deverá ler dificuldade cm compreender as ciências
de engenharia. Afinal. os princípios das ciências da engenharia oâo baseados nas
nossas t!Xperiências e cm obser»l1ç&s experimemafa tio c:otitliano. O processo de
cozimen10. por exemplo, i um excelente exemplo pam demonstrarº' princípioo
básicos da transferência de calor.
ten
n ~r
temas de interesse e para comunicar suas descobertas de maneira profissional.
Vários problema> relacionados com cccmomia e com segurança foram incorporados para melhorar a consciência de .~gurança c custo nos estudantes de engenharia. As respostas para problemas selecionados s5o listados imediatamente após o
problema para conveniência dos estudantes.
l.i
A arte é uma ferramen ta de aprendiz.agem importante que ajuda os cs1udantes a
"obter a imagem". Esta q unrta edição con1~m mais figuras e ilustrações do q ue
qualquer outro livro dessa categoria.
er
JJ 11 o de 111r ncJi 11
L1 10·
Cada capítulo começa com uma visão gemi do ma1erial u ser abordado e a seção
específica Objetivos de aprendizagem. Um resumo é incluído no final de cada capítulo. permitindo uma rápida revisão de conceitos bá1icos e importantes relações.
S1stemat1ca de procedimento das soluçoes
L Cada capítulo contém vário, exemplo> trobalhados que esclarecem o conteúdo e
ilustram o USQ dos princípios básico.<.. Uma interface i11t1111fra e uma abordagem
sistemática são usadas na solução dos exemplos, mantendo um esttlo informal de
conversação. Inicialmente o problema i definido. e a seguir >ilo identificados os
objetivos. Os pressupostos são, então, declarados.junto com suas ju>llficativas. As
propriedades necessárias para resolver cada problema sào listadas scpar.i<lamente,
se apropriado. Essa abordagem é também u'>ada de fonna con>1stente na' ;aluções
apresentadas no Manual de soluções para o professor.
1..JI 1n.... o
Prablemas tle projttos 11 t 11saios. elaborados para incentivar os esmdantes a
fazer julgamen1os de engenharia, cooduLi-los à exploração independente de
m
Os problemas ao final de cada capítulo estão agrupados em temas e;,pecíficos, para
facilitar sua seleção tanto por professores quanto por e~tudantes. Cada grupo de
problemas apresenta:
• Perguntas co11ceito, indicadas por "C", pam verificar o nível de compreensão
dos estudantes sobre os conceitos básicos.
Proble11u1s para revisão. são mais abrangcn1c' e nílo dircrnmente ligados a
q ualquer seção específica de u m capítulo. Em alguns casos, eles ex igem a
revisão do conteúdo aprendido nos capítulos anteriores.
Problemas para Exame de F1111tla111e11tos tle E11ge11haria, clur:omeote marcados e destinados a verificar a comprccn;,ilo dos fundamentos. Os estudantes
são estimulados a evitar a< armadilha'> comun\ e são preparado;, para o faame
Top1cos de intere e espec1 1
A maioria dos capflulos contém, uo final, uma seção opcional chamada de "Tópico
de inte resse e;,1x:cia l", n:i qual aplicações interessantes de 1ransferê nc ia de calor
são d iscutidas, como Cmiforto rémrico no Cap. 1; Eq11ações diferenciais. no Cap.
2; Transferência de calar mrovéj de /Htretles e tetos, no Cap. 3; e Transferência de
caloratravéuleja11e/as, no Cap. 9.
dl
es d conver!\ãO
Os. fatores de conversão mai~ u1ili1_.ados e n~ com.1an1c.~ físicas estão listados nas
páginas finais do livro pam referencia.
om nc
Ja
Uma lista dos principais símbolo~. sub'>Critos e sobrescritos utilizados no livro é
apresentada n~ págin~ iniciais, parn fácil referência.
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Os suplcmemos a seguir eMão d1sp0nfveis no sue www.grup0a.com.br para ~
professores que adotarem este livro.
anual de so u :oe Cem n lê )
O Manual de soluções oferece soluções digitalizadas dos problemas, uma por
página, com explicações detalhadas ao final de cada capítulo.
Slides em PowerPoint (em inale.> e português)
Apresentação do texto de lodo.< os cupftulos. em PowerPo int, estão d isponíveis
para uso em sala de aula. l lá 1 am~m cm PowerPoint uma biblio1eca das imagens
utilizadas em todo o livro.
M I
l
•••EDlllM(_ Prefácio
Recursos do estudante em CD (EES)
Cada texto novo vem acompanhado do Recurso do Estudante cm CD que contém
o programa da versão acadêmica limitada de EES (Enginecring Equnlion Solver)
com o roteiro das soluções para os problemas selecionados no hvro.
Desenvolvido por Klein Sanford e William Beckman, da Univcrsiiy of Wisconsin-Madisoo, esse programa combina a capacidade de resolução de equação e
dados de propriedades de engenharia. O EES pode fa.rer ottmw1çilo, análise paraméuica e rcgres.~o linear e não linear, e fornece resultados traçados com qualidade de publicação. Termodinâmica e propriedades de transporte do ar, água e
muitos outros fluidos são incluídos, e o EES permite ao u;uário inserir dados de
propriedades ou relações funcionais. Esse programa requer menos tempo do que
uma calculadora para a entrada de dndos. permitindo mais tempo para pensar criticamente sobre a modelagem e a resolução de problemas de engenharin. Procure os
ícones EES oa seção "Problemas" uo final de cada capítulo.
o
INTRODUÇÃO E CONCEITOS BÃSICOS
'
l
AGRADECIMENTOS
blemas e os inamcros comentários e vatiosns sugc;tõcs construtivas, críticas e elogios dos seguintes avaliadores e revisores:
LJ,iivers;ry of Michigtm·Dearbnm
Ayodeji Demuren,
Old Domi11io11 Unil-·usíty
Hamid Hadim,
Stn·1ms Jnstilut~ ofnchnology
PI
63
ll01
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE
Gostaríamos de reconhecer com apreço a contribuição feita às novas seções e pro·
John Chcmg,
r
EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO OE CALOR
135
CAP 1 UI O 4
CONDUÇÃO DE CALOR TRANSIENTE
225
~ P 1 I l 1 O '>
MÉTODOS NUMÉRICOS EM CONDUÇÃO DE CALOR
Feng Lai,
295
Unívto~íty o/ Oklnlroma
T l i1 O
Yoav Peles,
R~11sstlatr Pnlyrtchnic: /nsr11111~
Mnni1Sujumnong.
Khon Kntn U11tw!r:dty, Thailand
FUNDAMENTOS DE CONVECÇÃO
373
l'I
CONVECÇÃO FORÇADA EXTERNA 417
Mehmet Kanoglu,
Unfrusityo/Gaziant~p. T11rkey
CONVECÇÃO FORÇADA INTERNA 465
Suas sugestões têm ajudado muito a melhorar a qualidade deste li\ ro.
Agradecimentos especiais para Clement C. Tang, da University Statc Oklahoma, por sua ajuda no desenvolvimento de novos problemas para esta edição.
Também goStaríamos de agradecer aos nossos estudantes e professores de
todo o mundo, que nos forneceram os fudbacks e as perspectivas dos estudantes e dos usuários. FmaJmcnte, gostaríamos de expressar nossos agradecimento•
a nossas esposas e filhos pela contínua paciência, apoio e compreensão durante a
preparação desta quarta edição.
CONVECÇÃONATURAL 5 19
l 1
"
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TROCADORES DE CALOR 629
C'\PI
Yunus A. Çena:el
Afshin J, Ghaiar
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EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 581
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FUNDAMENTOS DE RADIAÇÃO TÉRMICA 683
't\l l llJIO I \
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TRANSFERtNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO
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TRANSFERr NCIA DE MASSA 795
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TABELAS E GRÁFICOS DE PROPRIEDADES (UNIDADES NO SI) 865
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Área de supcrflcie. m1
Área 1rnnsversal. m!
Número de Biot
Taxa de concentração molar. kmoVm'
Calor C\pccffico. kJ/kg·K
TOJ<a de ca1>3cidade térmica, W/K
Coeliciente de urra" º
Coeficiente de atrno
Otlor e'1iecífico a pressão constante, kJ/k11· K
0 1lorespccflico a volume con"ante, k.l/kg·K
Coeficiente de desempenho
Diâme11·0. m
Coeficiente de difusno
DiA111c1ro hidráulico, m
Energia especffocn total. kJ/kg
Taxa de geraçno de cnlo1, W/m'
erfc
Punção de erro complementar
t:
Enetgia total, kJ
Taxa 10U1l de geniçno de calor. W
E:..,
E•
E.A
f
f,
Fluxo emissivo de corpo negro
Fluxo emissivo e~pec11-ul de corpo negro
Fator de atrito
Punção de radiaçlo de corpo negro
I
Porçn, N
Pon;a a1TI1Stc. N
Patorde forma
Número de Fourier
Acekrac;ão gnv11acion1l, m/$1
Rodioção incidente, W/m'
Número de Grnshof
Coeficiente de 1ran,fcrência de calor por coavec;..-ção.
W/m1·K
Entalpia específica, 11 + Pv, U/kg
Coodut6nc1a de contatu ttrmico. W/m'·K
Calor latente de vapomaçilo. kJ/kg
Calor lutcnte de ÍU<.~o. kJ/ka
Corrente clé1rica, A
Função modificada de Be>>cl du primeiro tipo
Intensidade de radinção, W/m1
j
Fluxo de rntL\Síl difu"iivo, kg/s·m2
J
k
k4
K
L
Rndiosidnclc. W/m1: função de Bc,,,.I
Condutividade ténnicn. Wlm·K
F
Fo
F,.F,-.;
Fo
g
G
Gr
h
h
h,
h1,
h.r
l
Condutividade t~rmicH cfc1ivu, W/m·K
PunçITo modificadn de Bessel do ~eguntlo tipo
Comprimento, espessurn dn meauJe de uma parede
,;,min
N
/\n'U
Número de unidndetii de transferência
Nu
Número de Nusseh
Perímetro. m
Pressão, kPa.
Pressno ele vapor. kPa
Número de Prnndtl
M
p
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P,
Pr
q
Q
Q
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R
R. r"
R
R,
R1
R.
Resistência 1érmicu de contalO, m2 . K/\V
Fator de incrustação
Constante universal dos gases, kJ/kmol·K
Valor-R
Valor R de isolamento
Número de Rayleigh
Número de Reynolds
fator de fonna de condução
Número de Schmidt
Número de Sherwood
Número de Stan1on
Coeficiente de somb<camcnto
Gravidade específica
Coeficiente de ganho de calor wlar
Tempo,s
Espessura. m
Temperatura. "C ou K
s
Se
Sh
St
se
SG
SHGC
1
T
r.
T,
T.
T,,.
T,
li
U, V
u
V
V
V
li
L.
Carnc1c:rllliticu uu comprimento con·i,e.idl''I. m
V
L,
Comprimento dn cn1radn hidrodinftmici1. m
Comprimemo da emrada 1érmica, m
Massa, kg
Média uri1mt:1ica
Fluxo de calor, W/ m2
Transferência de calor luta!, kJ
Taxa de ir::msfcrêncin de cnlor. kW
Raio crítico de isolamemo
Constante de gás. kJ I kg· K
Raio. m
Resistência 1é1mica. K / \V
Ro
Re
plona, m
L,
m
mo
Mínimo
Taxa de fluxo de massa. kgts
Massa molar, kg/ kmol
Número de moles. kmol
'''""'
Tcmpcrnrura b11/k (Temperatura média da mal.isa do
lluido). 'C
Temperatura de filme ou película "C
Ternpem.tura média~~ ou K
Tcmpcnuura de s.aturaçllo, ºC
Temperatura da superfície, "C ou K
Energia específica interna, kJ/kg
Componentes x e y da velocidade
Coeficiente global de 1n1nsfen!ncia de cnlor. Wlm'· K
Volume especifico, m' lkg
Tensão, V
Volume 1oml, mJ
Va1...ào, taxa de íluxo de volume, m'Is
Velocidade. mi~
Velocidade médh1, m/s
Fração da massa
'"IV
Potê.nci:i, kW
y
Fração molar
Nomenclatura
Letrai are a·
O<
A~ort1vidadc
a
fJ
D1fus1vidadc ténnica. m'I•
Abso111v1dade solar
Coeficiente de CApans.to volumétrica. J/K
6
6,
Espessum da camada hmilc 1tnnica. m
O<,
óP
óT..
"
s•
TJ......
Espc~sura da camada lnnilc. m
Queda de pressão. Pa
Dofcn:nça mc!dia Jogaríunica de 1cmpemtum
Em1ssivodadc: ou deli\ idade de trocador de calor ou
de aleta
Rugosidade. m
Eficiência da alcta
equiv
csc
Equivalente
esq
Esquerda
Evaporação
Excesso
Externo
Liquido <aturado: filme (película)
Flutuoção
Flmdo
Forçado
Fresco
Ganho
Gerado. gcniç3o
Componente número i
evap
exc
cxl
f
nu
nui
for
r~
gan
gcr
T),.
Eticiencia 1c!m11ca
o
Energia 10tnl de Auido <.\coando, kJlkg
Vi>eosidllde dmilmica. kg/m sou N·slm'
Vhco..\idude cmemática p.Jp. m1/s
Frcquênciu. 11~
Densidade, k&fm 1
Cons1nnte de Stefan-Boil7munn
Tcn,no no1mnl. Nlm 1
Tc n~ilo "upc.rfü:ial, N/m
Tensilo de ch.alhomcnto, N/111~
Trunsmisslvlduclc, número de Fourier
Tensão de cisalhamento da parede. Nlm'
Umidade rclmivn
,,,liq
Tcmpcl"'Jluru atlimcnsional
opcr
µ
"
,,
u
u,
u,
T
T
w
Umidade cspecrfoca ou absolu10,
kg de H,Olkg de nr seco
p
T
Permc.1bihdade
Solubilidade
Subscritos
I
2
i
abs
atm
b
cir
comb
cond
conden
conv
CV
Longe de uma super1Jc1e: condições de
cscoamcmo livre
1nicial ou e.tado de entrada
Final ou estado de '4fda
Inicial, ou condições de recintos fechados
Ab<orvido
Atm<»fc!nca
Mistura
Contorno
Superílc1cs ao redor
Combinado
ConduçGo
Condens:ldn
Convecç3o
Volume de cootrole
dif
dir
•f
olem
ele•
ernit
Direita
Efetivo
t!lemen10
Elétrico
emp
cnt
Empuxo
t!n1rada
Difu,llo
Emilindo
Escoamento
inc
lnciden1e
incid, solnr l ncídência solar
inf
Inferior
lnterno
int
inv
Invólucro
Isolamento
isol
med
Líquido
Mistura
Máximo
Médio
mel
Mcwbólico
nat
Narurnl
Saídn ou condiçõe' externas
Operativo
Pclícuhl
Perda
Pessoa
Pressão, consmnte
Radiaçlo
rnax
o
pel
per
pcss
prcs. con~t
rad
n:
ref
sat
scmMnf
Me10 scmi-infin110
sis
Sisrerna
Superior
Telhado
Térmico
Term6mc1ro
Transmirido
Transferido
Vapor de água
s
sai
sup
telh
ter
1erm
tr
cransf
EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR 63
Areas de aphcaçllo da transferência de cal0<
Contexto histórico 3
1-
"
Transferênci<1 de calor permanente versus trans1ente 65
Transferência de calor mult1d1mens1onal 66
Geração de calor 68
nlo 1r,.1
2
Modelagem na engenharia 5
1-
li 1
J l 1l
1o
11 !
Balanço de energia para sistemas fechados (massa
constantel 12
Balanço de energia para sistemas de escoamento em
regime permanente 12
Balanço de energia em superllcoes 13
vert
Vertical
vest
Vestuário
vol. const
Volume constnntc
de
1-6
Sobrescmo
17
lm
1 Condição de cont0<no de temperarura espec1hcada 80
2 Condição de contamo de fluxo de calor
especificado 80
Caso especial: contorno isolado 81
OUtrocaso espec1at sometria térmica 81
3 Condição de contorno de convecçãO 82
4 Condição de contorno de rad1açllo 84
5 Condição de contorno da interface 85
6 Condições de contorno generalizadas 85
Con,ccç o 25
1 -8
Radta o
1-9
Mccam m
27
calor 30
1r
CoOfdenadas retangulares 75
CoOfdenadas collndricas 77
Coordenadas esféncas 77
CondUllVldade ténn1ca 19
Dilus1Vidade térmica 22
17
de e lor
1
2
e nduç o
2-
na
1-
Programas computac1onals de engenhana 37
Eng1neering Equat1on Solver (EES) 38
Observação sobre algarismos sognil1cat1vos 39
7,
. (ponto superior) Quanlidade por unidude de tempo
-cbarrn superior) Quuntidnde por unidade de mol
lor
l 11 1. , d r 1 1
u111L11m n it111II
Equação de condução de calor em uma extensa parede
plana 69
Equação de condução de calor em um cilindro longo 71
Equação de condução de calor em uma esfera 72
EquaçãO de condução de calor unidimensional
combinada 73
Calor específico de gas, liquido e sólido
Transferência de energia 9
Raio crítico
Rencuda
Rencudo
Supcr1Tcie
Saída
Saturada(o)
n:f
INTRODUÇÃO E CONCEITOS BÃSICOS
26
G r.I\~O de cal r cm
99
2 7
Co11du11v1d.1de kmitca van
1 Á (/)
106
dt 111
( uo/ortn t umro 40
do 1 orura 47
/()<.}
R umo
114
Re erénc
e su
' blemo
115
de I lt r
11
''"'
Sumário
Sumário
4-4
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE
Escoamento interno versus externo 378
Escoamento cornP<essfvel >'efSUS lncompressfvel 378
Escoamento laminar VCtSUS turbulento 379
Escoamento natural (ou não lorçado) vtYSus lorçado 379
Escoamento permanente >'t'ISUS tranS1ente 379
ü<:oamentos um, b1 e tt1d1mensronat 380
Conduç o d calor l 11 tcnt
256
mul11d1men 1ona1
135
' n '
6-'
1 ,
11
Ciiindros e esferas multlcamadas
o
3 5
J
3-6
l 1U1hk1 11c1ad c;illll
1U
UIWt 1
,t1..1 da•
!
11
< fcrns
1s.
JMr l 11 desupc1t/c1c'
5-
,,
)
1111 111il 1• .1ll
dik• nuti
5-3
l:OllVCL' l
2CJ'J
e, ndu ao d calll1 [JC1 " 11 nte
6-8
l.1· cq11 1\'
eh n1111,
6-9
l'
8-3
I~
Il i
' 1
(q, ~constante) 473
(
Perfil de temperatura• número de Nussett 481
Fluxo de calor constante na superllc1e 481
Temperatura constante na superfície 482
Escoamento laminar em tubos não circulares 483
404
Escoamento laminar em desenvolvimento na reg1lo de
entrada 484
Problema de condução lransientc unidimensional
ad1mens1onal1zado 233
Soluções analll1cas e Bfáhcas apro•imadas 238
4-
11
p
H 11
1
11
L l
o!Jdi
7
r\1 n lo t ll 111 1ll. t.. llU,
(' \
tXhTIH l
1
f
1
Ili 11 ) 1
1
1 l
011
Número de Nusscll 376
Regiões de escoamento VISCOSO WNSUS n3o VISCOSO 378
, l
h
IJ\
t
JffiL:llhJ
18
7-2
p '0.1111.-11111 p.11 J, lo
Coeliciente de atrito 422
1,,-, pla~llS pl,111as
f L 1,1 IL.I
'1 tubo
488
Superfícies rugosas 490
Escoamento turbulento em desenvolvimento
na região de entrada 491
Escoamento turbulento em tubos não circulares 49l
Escoamento em tubos anulares 492
Melhoramento da transferência de calor 492
7(J/JÍU tÍt.'111/t'lt.'.\
"'' '"'
t H'fHtult!lllO ,/e /IW111\t1o
rm 11d111~
Arrasto de atrito e de press.!o 4 t8
Transferência de calor 420
FUNDAMENTOS DE CONVECÇÃO 373
11 111110
Contato de dois sólidos scm11nfm1tos 253
1
CONVECÇÃO FORÇADA EXTERNA 417
1 1 11 1 t 111'1c11tc cm grandes
'""'
partd ~ pl.111,1 , I in l i c11'11dm e csf~ras com
l J ' 110':'11 ( p 1 · ii1i~
477
11ubo
\t.. l l
Queda de P<essllo 479
8-.J
4-2
R, E 10 d1 <:l i
(1, ~constante) 474
324
C11térios para a anâltse de sistemas aglomerados 227
Observações sobre a transferência de calor em sistemas
aglomerados 229
4 h11
Temperatura constante na s.uperfic1e
401
llm1taçlo de AI 326
Condução de calor tranS1ente b1d1mens1onal 335
Programa interativo SS·T·CONDUCT 340
CONDUÇÃO DE CALOR TRANSIENTE 225
fnlr< <hl \ Ili
Fluxo de calor cons1ante na supertrc1e
tra11 ferênc1a de e lnr
Condução de calor transrente em uma parede plana
Critério de estab1hdade para o ~todo explicito'
1-1
l conv cç.co e
6-11 Anato ta entre qu n11d. d de mov1m 1110 e
•u ode
O
Comp11mentos de entrada 471
6-10 1onn s func1ona1s dos cocfic1entes de atnto e
ele co11vec~ o 400
li\
1T L
ü<:oamento laminar e turbulento cm tubos 468
11111.11 1
Equação da energia 397
pcnn.
n
8·
sanclhança 399
Nós do conto<no 314
Contor"°' Irregulares 318
r
lol u1;1
l
CONVECÇÃOFORÇAOAINTERNA 465
~81.:
r
pl.J•, pi 111.1
1 n
386
Equação da continuidade 389
Equações da quantidade de movimento 389
Equaçao da conservação da energia 391
" ln ·1L "" l 11111,1ql,1set111a~ JCS
e
447
Dc11vaçoe d.1 equaçne~ u1le1<'11c1.us tle
6-7
Condições de contorno 304
Tratando os nós do contomo isolado como nós Internos,
conc.,to de Imagem espelhada 306
(
Queda do P<essâo 442
384
1 ar e turbulento
11
1l
alor e quanuclad de
111uv1111cn10 cm e coa111c11to 1111bule1110
Ili 1 r
179
dowbreh 11 o de
Número de Reynolds 385
96
L1m1taçõcs 297
Modelagem adequada 297
Flexibilidade 298
Complicações 298
5 Natureza humana 298
l fllJ
IC'
3
li
r
6-5
1
2
3
4
Equação da aleta 164
Ellclõncla da aleta 169
EficAcla da ateia 171
Comprimento adequado de aleta 174
comun
l
t56
UI
7
Número de Prandtl 384
MÉTODOS NUMÉRICOS EM CONDUÇÃO DE
CALOR 295
1crn11ca l'i 1
1(
Efeito da rugosldade superl1c1at 432
Coeficiente de transferência de calor 434
OICD
146
nernhzad.is de re 1 t nc1:i
ndn cem
30
Tensão de c1salhamento na parede 382
3-2
3-3
7-
s-:
Conceito de 1es1stênc1a ténnica 137
Rede de res1stênc1a térmrca 139
ParedeS planas multicamadas 141
Redes
Coehciente de transferência de calor 423
Placa plana com comprimento inicial nlo aquecido 425
Fluxo de calor uniforme 426
42 1
Re...-,.umo
~
Rrtetênc1as e•
Prcl•lemas ~
Iões d 1 1lura
OJ7
li)]
,.
Sumário
Sumário
CONVECÇÃO NATURAL 519
o natural 520
9-2
l:.qu o d movm ntu e numero d
Gr h• f 5
Numero de Grashof 525
1D-3 Ebuhç o em
1 ti pdfcululcntro Je 111bo
honzont 1s (dO
lvpuo tle 11lft"lt'SS1 f'\/J( Clill
/rt11ufr1Fm"' ti t ulm rm ''" ow11t1110 /n/11\11 o ttllt
,/111/111"' li/2
(r, -
l
h
11111 11
1
d• i
(
Condut1v1dade térmica efe!lva 539
Espaços fechados retangulares ho11<onta1s 539
Espaços fechados retangulares inclinados 540
Espaços fechados retaneulares verticais 541
C1hndros concêntricos 541
Esferas concêntricas 542
Convecçlo natural e radiação combmadas 542
Con e
639
641
Trocadores de calor contracorrente 643
Trocadores de calor de mu1t1passes e escoamento cruzado:
uso do fator de correção 644
EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 581
10-
111
h
1)
l 11
Jll
·11
t h
l
~
J
582
..
Ebulição em regime e curva de ebulição 584
Ebullção por convecção natural (até o ponto A na curva de
ebulição> 584
Ebulição nuclcada (entre os pontos A e C> 585
Ebulição de transição (entre os pontos C e lJi 587
( bullçllo de pellcula (além do ponto lJi 587
Correlações de transferência de calor em regime de
ebulição em piscina 588
Ebulição nucleada 588
Fluxo de calor mAx1mo 589
6 7
Propnedades de radiaçl!o de meio part.c1pan1e 765
EmíssMdade e absortlVldade de gases e m1Sturas de
gases 766
694
70()
12 5 1 '
Em1ss1v1dade 7DO
Absortividadc, rellet1vldade e transm1Ss1v1dade 704
Lei de Kuchhoff 707
Efeito estufa 708
12 6
R"'''"~"1u .1111u1 1, "' 1,. "'l.ir
IH!
11-5
11
1 '
ll
'li
1 o
lrn
1
l
<>51
11
Taxa de transferência de calor 662
Custo 662
Potência de bombeamento 662
Dimensão e peso 663
Tipo 663
Materiais 663
Outras considerações 663
lJ
14-3
1 Base mãss1ca 799
2 Base molar 800
Caso especial: mJsturas de gases 1dea1s 801
Lei de Fici< da d1fusl!oo meio estacoonilrio composto por
duas espécies 80 J
.,
35
Retaçao de reciprocidade 736
Regra da adoçl!o 739
Regra da superposlÇJO 741
Regra da 51metr1a 74 2
Fatores de forma entre superflc1es 1nf1nitamente longas:
método das linhas cruzadas 744
13-3 Tnm• fcrên 1a de e 1lor
negras 746
1
Temperatura 798
Conduçâo 798
Geraçao de calor 798
Convecção 799
ra 7 l
de fator d<
795
14-2 Analogra e1111e 11a11sfcr 11c1a d calor r d
/J
\
)
TRANSFER[NCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 731
l
2
3
4
LO
\
TRANSFER~NCIA DE MASSA
708
Já1•1t o 1/r lntrrrnt' eçp <w/
13-2
Fator de 111crustaçl!o 635
11-4 Método da d1ferenç:i de t mpc tunt média
1
nle
ro
Ãngulo sólido 694
Intensidade da radiação emitida 695
Rad1açao 1nc1dente 697
Radiosidade 697
Grandezas espectraos 69 7
Re mo 7 D
Refertnc
Prol>
e lor 633
11-3 Anáhsc de tmcadorc de calor
1
1 do corpo n
11-2 Coefk1 nte loh 1 d tr. n i rc111;1 de
H2
1
685
12-4 lntcns1dadc ctn d1 ~ o
'"'ª 618
o
547
13
e. nlw de .a/(}r' ''"' lllrtll 'de J"" !tl!l
TROCADORES DE CALOR 629
o n tu 1e lor
12-3 Rlld1 ç
10-7 Co11dc11s.1çao cm •utas () 11
Reslriamenlo por convecção natural de superflcies aletadas
constante! 534
Resfriamento por convecção natural de PC Is verticais
(qs • constante> 535
Vazão mAsslca através do espaço entre as placas 536
9-
598
10-6 (.
nlctud:i e
' "I
12-2 R d1 ç o 1 muca
o
Regimes de escoamento 600
Correlações de transferência de calor para condensaçik> de
película 600
Efeito da velocidade do vapor 606
Presença de ii'S05 não conden~IS em
condensadores 606
Placas vert1ca1s ( T, • constante) 527
Placas ~1ca1s (q, constante) 527
Cilindros verticais 529
Placas inclinadas 529
Placas ho11zonta1s 530
C1l1ndros homontals e esferas 530
9-
Eferto da radiação sobre as medoções de temperatura 762
d pcltculn 598
10
13-5 F..~udus de rad1 ç o e efeitos da
FUNDAMENTOS DE RADIAÇÃO TÉRMICA 683
596
1o-4 Tnm fcrcnc1a de calor por tond n
526
g.
oam nto
L
:>
Fluxo de calor mlnomo 59 l
Ebuhçl!o de pellcuta 591
Aumento da transferência de calor em ebu!IÇl!o em
piscina 592
)
o
14-5 Difu ode m
p;irede 810
li
Rad1os1dade 748
Transferência liquida de calor por radiação para ou a partír
de uma superflcie 749
Transferência liquida de calor por radiação entre duas
superllcles qua1scuer 750
Métodos para solução de p<ablemas de radlaçllo 751
Transferência de calor por radiação cm recintos de duas
superfícies 752
Transferência de calor por radiação em recintos de três
superflc1es 754
pcnnancnl atrav
d u1
14-6 M1graç o de vapor de. ua em
cd1ficaçoe
upcrfic1c
13-4 lransferência d calor por r <11 ç o upc1 f1c1es
e ntomo 805
14-<t
R14
14-7 D1lu od ma atr n 1 ntc
14
11 u
1 t 1
li '
1118
li
Caso especial: mistura de gases a pressão e temperatura
constantes 824
Difusão de vapor através de gás estacionário: escoamento
de Stefan 825
Contradifusão equlmolar 827
14 9
Analogia entre coeficientes de at11to, transferência de calor
e transferência de mas.a 835
Caso especial: Pr - Se - l (analogia de Reynolds) 836
l
••
Sumário
caso geral, Pr ._. Se .,. 1 (analogia de
TABELA A-8
Propriedades de diversos materiais 877
Ch11ton-COlbum) 836
L1m1taçlo da analogia entre con11ecção de calor e de
TABELA A
Propriedades da água saturada 878
TABELA A
Propriedades do refrigerante-134a
sa1urndo 879
TABELA A-
Propriedades da amônia saturada 880
TABELA A- 2
Propriedade> do prop.1no sarurado 881
TABELA A-
Propriedades dos líquidos 882
TABELA A-
Propriedades dos melais líquidos 883
TABELA A
Propriedades do ar n 1 alm de
pressão 884
massa 837
Relações para convecçJo de massa 838
14
nc1a
dei 1 ura 848
TABELAS E GRÃFICOS DE PROPRIEDADES
(UNIDADES NO SI) 865
TABELA A-
Massa molar, constante de gás e calor
específico de gás ideal de algumas
subs1fü1cias 866
Propriedades dos gases a 1 atm de
pressão 885
TABELA A- 17
Propriedades do almosíera em allimdes
elevadas 887
TABELA A
Propriedades nos ponlos de ebulição ede
co11gelame1110 867
TABELA A 18
Emissividudcs nas superfícies 888
TABELA A 19
TA15ElA A 1
Propriedades dos metais sólidos 868
Propriedades de radiação solar dos
materiais 890
TABELA A
Propriedades de sólidos não metálicos 871
"IGURA A- ()
TABELA A
Propriedades dos materiais de
construção 872
Diagrama de Moody do fator de atrito
para escoamento completamcn1e
desenvolvido em tubos circu lares 891
TABELA A-ló
Propriedades de maleriais isolantes 874
TABELA~
Propriedades dos alimentos comuns 875
T B A
ÍNDICE
893
•
l
Introdução e
Conceitos Básicos
1
•••••••
ciência da tennodmâmica trata da quantidadt' de calor transferido quando
um sistema passa por um processo de estado de equilJbrio para outro, sem
fazer nenhuma referência •obre q11a1110 temp<J C>se processo demora. Mas,
em engenharia, estamos mais frequcn1emente interessados na iaxa de transferência
de calor, que é o tema da ciência da 11·1111.1fe1t11cia de calor.
Começamos este capítu lo com a revisfio dos conceitos fundamentais da termodinâmica, que são os princípios Msico' da lransfcrência de calor. Primeiro,
abordamos a rclnçiio do calor com outras form;is de energia e fazemos uma revis.lo
sobre balanço de energia. Em seguida, a1>rcsen1amos os três mecanismos básicos
de transferência de calor, condução, convecção e radiação, e discutimos o conceito de condutividade térmica. Co11d11ç1io é a 1rnnsferênci" de energi3 resullantc da
in1ernção de par1ícuht~ de maior energia de u1m1 subslfincia com partículas adjacentes de menor energia. Co1wecçlfo é o modo de transferência de calor entre uma
superfície sólida e um líquido ou gá$ adjacc111e que e~tá em movimento, e esse
processo envolveº' efeitos combinados de condução e movimento do fluido. Radiação é a energia emitida pela 111a1éria cm forma de ondas elelromagoéticas {ou
fótons). como resultado das mudanças nas configurações eletrônicas de átomos
ou moléculas. Concluímo$ cs1e capitulo com uma discussão sobre transferência
simultânea de calor.
Ao término deste capítulo, você será
capaz de:
Compreender como a termodinamica
ea transferência de calor estão
relacionadas.
Distinguir a energia térmica de
outras formas de energia e a
lransferência de calor deoutras
formas de transferência de energia.
Fazer balanços gerais de energia e
balanços de energia em superffcies.
Enlend er os mecanismos básicos da
transferência de calor (condução,
convecção e radiação térmica), a lei
de Fourier da condução de calor, a
lei de Newton do resfriamento ea lei
de Stef.an-Boltzmann da radiação.
Identificar os mecanismos de
transferência de calor que ocorrem
de forma simultânea na prática.
Conscientizar-se dos custos
associado às perdas de caloi
Solucionar os vános problemas de
transferência de calor encontrados
na prática.
Transferência
N~
- "
támM.:a
forma de energia que pode ser trmuferida de um sist~ma parti out1v em co1ueq11ê11ciC1 da difenmça de temperotura entre eles. A ci~ncia que e'tuda a.• 1axas de
lsolttmcoto
1érmico
A.
Gernlmcntc. cstomos
ln1cressados cm stibel"qual e! o 1empo
neces~ário ix1rn o cafl! quente que está no
interior de unut garrufn 1érmicn resfriar até
certa tempcruturn. Esso infonnaçãu nàu
pôde sei· dctenmnadn snmen1c por meio d:.i
anáhsc 1ennod1nfimica.
Ambiente
rno
20
e
C,alor
Fluxo de calor nn direçilo da
1empcratum decrescente.
transferência do calor é chamada transícrêncin de calor.
Por que precisamos fazer um estudo de1alhado sobre 1ransfcrência de calor >e
é possível determinar a quantidade de calor 1ram,fcrido para qualquer sistema. cm
qualquer processo. utilizando apena• a análise 1crmodinãmica? A termodinâmica
está focada na quantidade 1ransferida de calor quando um •is1e111a passa de um estado de equilíbrio para ouIro, sem fornecer informações sobre o 1e111110 de duraç<io
do processo. A anfilise 1crmodinâmica apenas nos informa quanlo de calor deve ser
transferido para reali1;ir determinada mudança no eMado 1ermodinâmico, de forma
a saiisFazer o princípio da conservação da energia.
Na prática, estamos mais preocupado• com n luxa de 1n1nsfcrência do calor
(calor transferido por unidade de tempo) do que com sua quantidade propriamente dita. Por exemplo, podemos de1cnninur a quan1idnde transferida de calor
do café quenlc no interior de uma garrafa 1é11nica parn que ele resfrie de 90 ºC
para 80 ºC utilizando apenas a análise 1ermodinâmica. No enrnn10, um 1ípico
usuário ou fabrican1e de garrafa térmica pode csinr muito mais in1cressado em
saberquoma rempo o café demora para resfriar a1é 80 º C. e uma análbc 1ennodinâmica não pode responder a essa queslllo. A dc1emunação dai. taxa.• de transferência de calor ou de um sis1ema e. con•equen1emen1e, o 1empo de aquecimenlo
ou resfriamenlo e a variação de lemperatura são os objeuvos da tro11sferê11cia de
calor(Fig. 1-1).
A termodinãmica 1r.1balha com cstadM 1ermodínãmicos cm equilíbno e transformações de um esiado de equilíbrio para outro. A tram,fcrência de calor. por sua
vel. rrabalha com sislemas que não estão em equilíbno 1ém11co. pois são fenômenos de 11ão equilíbrio termodiniim1co. Dessa fom1a, o cs1udo da transferência de
calor não pode ser baseado apenas nos princípios dn termodinâmica. As leis da
1ennodinãmica estabelecem o ambicme de m1balho na ciência da tran•ferência de
calor. A primeira lei eslabelcce que a rnxa de energia lmnsferida para um ,istema
deve ser igual à taxa de cre.,cimenio de sua energia. A se11111ula /~i estabelece que o
calor deve ser tmnsferido na direção da menor tempermura (Fig. 1- 2). 1' o mesmo
que um carro estacionado cm uma descida. que deve 'e mover na direção de declive quando os freios são liberados. füse processo é 1ambém análogo ao da correme
elétrica que Oui na direção dn queda de tensão clé1rica Oll uo do fluido que escoa na
direção de queda da pressão toml.
A eiúgência básica para a ocorrência da 1ra11sfcrCncia de calor é a presença da
diferença de 1e111pera111ra, pois nilo 1>ode acon1eccr u1111sferê11cia líquida de calor
entre dois corpos que es1ão na mesma 1cmperu1t1ra. A diferença de 1empcratura é
a força motriz da transferência de calor, ussim como a difer•ll('ll dt pote11ci11/ elétrico é a força molriz da corrente elé1ricn, e a diferença de pre;são. a força motri1
para o escoamento de fluido>. A rnxa de ca lor 1ran;fcrido cm dadu direção depende
da magnirude do gradiente de te111pera111ro (diferença de 1emperatura por unidade
de comprimenlo ou taxa de variação da 1empera1t1r.1) na mesma direção. Quanto
maior o gradiente de temperalura, maior a taxa de 1ransferência de calor.
Introdução e Conceitos Básicos
.,
~,
Por experiência, sabemos que, o;e deixannos uma laia de bebida gelada em lemperatum ambien1e. ela esquemará; da mesma forma, o;e deixarmos uma laia de bebida
quente oa geladeira, ela resfriará. Isso acon1cce por causa da transferência de e11ergia do meio quente para o meio fno. A 1ransferêncm de energia é sempre do meio
de maior 1empera1ura para o de menor tempenotura, e cso;c proce\SO cessa quando
os dois meios atingem a mesma tempera1ura
Em 1ermodinãmica. esludamos que a energia exi'llC cm diferentes fom1as.
Nes1e capílulo. esiamos interes.-ado' principalmente no calor. delirudo como li
Gam t.
l.a
Capítulo 1
de Calor eMassa -----------------------------
A transferência de calor" frcquentemenlc encontrada em sis1emas de engenharia
e em outros aspectos da vida, e nilo precisamos ir mui10 longe para ver algumas
áreas de aplicação. Na verdade, nllo prcciS11mos ir a lugar nenhum. O corpo humano está constanlememe rejeitando calor para o ambiente, e nosso conforto
está diretamente ligado à taxa cm que essa rejeição ocorre. Tentamos controlar
essa taxa de transferência de calor adequando no>>a' roupa> às condições do
ambienle.
Muitos utensílios domtSlicos sllo projetados. totalmen1e ou em parte, com
base nos princípios de transferência de calor. Alguns exemplos incluem fogões elétricos e a gás, aquecedores e ar-condicionados, geladeiras e freez~rs, aquecedores
de água, ferros de passar e, mé me>mo, computndorcs, TVs e DVDs. Casas energeticamente eficiente> s11o projctndll\ pard minimizar a perda de calor no inverno
e o ganho de calor no verllo. A lransfcrênciu de calor representa importante papel
no projeto de muitos outros dispositivos. como radiadores de caiTo, coleiores de
energia solar, diversos componc111es de usinas elé1ricas e até naves espaciais (Fig.
J-3). A melhor espessuni de isolamento térmico para paredes e telhados. canos de
água quente, va1>0r ou aquecedores de :\gua é dclermioada com base na annlise da
transferência de calor e das considcraçõc• econômicas.
e~
ni tu r !
O calor sempre foi percebido como algo que produz uma sensação de aquecimen10, mas ninguém poderia imaginar que sua na1ureza fosse um dos primeiro• conceitos en1endidos pela humanidade. Apenas na me1ade do século XIX, alcançamos
O corpo hum:ino
(ti 'W>t. 121/Pboto D1sc.)
S11ltmti cJe ar cood1doru1do
(CI Thc McGniw-Hdl Coml""'ic>.
Sistemas de aquecimcmo
(C Com>1ock RF.)
lncJJ11l Br•atcn. photographcr.)
Equipam~mo~ clctrônicm
(CI Alamy RF.)
ce Biud X/Jupioer tmn~<> RF.)
Usinas de po1~11cia
(CI Yol. 57/Phooo Dioc.)
(CI Puochsoock RI'.)
Alguma• 4reas de •plicaçno da 1rnn;ferênci• de calor.
Sistemas de rcfrigcmçr10
(Cl Thc McGraw-lliU
Companies.. lncJJill
Braa1en, phomgraphe.J~)
--
Capítulo l
Transferência de Calor e Massa
0 verdadeiro entendimento fisico sobre a nnture1,a do calor, graças no desenvol-
No mlcio do século XIX, o
calor roi concebido como um tipo de fluido
invisível. denominado t'Ofdrit'O. que ílufa
do corpo mnis qucnle ixm1 o mais frio.
vimento da teoria cinética, que entende as moléculas como pequenas bolas em
movimento que têm, ponanto, energia cinética. O calor é, então, definido como
a energia associada ao movimento aleatório de átomos e moléculas. Embora o
conceito de que, o calor é a manife.•tação do movimento no nível molecular (denominada/orça virai) tenha surgido no stculo XVOl e início do XIX, es.'3 visão, que
prevaleceu até meados do século X1X, foi baseada na teoria do calórico, proposta
em 1789 pelo químico francês Antoine Lavoisier ( 1743-1794). fusa teoria defendia que o calor era um úpo de substância semelhante no Ou ido denominado calórico, que era sem massa, incolor, inodoro, insípido e capaz de Ouir de um corpo para
outro (Fig. 1-4). Quando o calórico era adicic~ndo num corpo. sua temperatura
aumentava, e, quando removido, sua temperatura diminuía. Quando um corpo não
pudesse conter mais nenhum calórico. assim como quando um copo com água não
pode dissolver mais nenhuma quantidade de sal ou açúcar, di1ia-se que o corpo
estava saturado de calórico. Essa interprernção deu origem às expressões /fquido
saturCldo e vapor sawrado, usadas até hoje.
A teoria do calórico foi criticuda logo após sua introdução. Ela sustentava
que o calor era uma substância que não podia ser criada ou de•trulda. Contudo,
já se sabia que o calor podia ser gerado indefinidamente ao esfregarmos as màos
ou dois pedaços de madeira. Em 1798, o americano 13enjamin Thompson, conde
de Rumford ( 1753- l S 14), mostrou cm seus 1rabalhos que o calor pode ser gerado
continuamente por meio da fricção. A validade da teoria do calórico foi também
contestada por muitos outros. Todavia, foram os experimento~ cuidadosamente
realizados pelo inglês James P. Joule (Fig. 1-5) e publicados em 1843 que [malmente convenceram os céticos de que o calor não era. afinal, uma substância. pondo fim à teoria do calórico. Embora essa teoria tenha sido totalmente abandonada
na metade do século XIX, contribuiu enormemente para o desenvolvimento da
termodinâmica e da transferência de calor.
Equipamentos de transferência de calor. como trocadores de calor, caldeiras, condensadores, radiadores. aquecedores, fomos. refngeradores e coletores de energia
solar. são projetados principalmente com base na análise de transferência de calor.
Os problemas de transferência de calor encontrados na prática podem ser separados em dois grupos: ( 1) de avoliaçâo e (2) de dimerisio11ame1110. Os problemas de
avaliação lidam com a determinação da taxa de transferência de calor para um sistema existente com diferença de temperatura específica. Os problemas de dimensionamento tratam da determinação do tamanho do sistema de forma o transferir
calor em dada taxa para uma diferença de temperatura específica.
Sistemas ou processos de engenharia podem ser estudados de forma experimental (testando e tomando medidas) ou analfrica (por meio do cálculo ou da
análise matemáúca). A abordagem experime111nl oferece a vantagem de trabalhar
com o sistema físico real, e a quantidade desejada é determinada por medição
dentro dos limites dos e1Tos experimentais. No entonto, essa abordagem é cara,
demorada e frequentemente impraticável. Além disso. o sistema em estudo pode
nem mesmo existir. Por exemplo, todo o sistema de aquecimento e encanamento
de um prédio deve ser dimensionado ames de o prédio ser construído, com base
lntroduçao e Conceitos Bâs1cos
- --"'--"''--
nas especificações dadas. A abordagem analítica (incluindo a abordagem numérica) tem a vantagem de ser rápida e barata. no entanto os resultados obúdos
estilo sujeitos ao aceno das condições assumidw., das aproximações e das idealizações feitas na análise. Nos c;,1udos de engenhana, com frequência, um bom
compromissso é rcdu1ir as escolhas pela análise e depois verificar o resultado
experimentalmente.
As descrições da maioria dos problemas científicos envolvem equações que descrevem as relações entre algumas variáveis tmponantes. Normalmente. o menor
incremento nas variáveis leva a descrições mais gerai;, e precisas. Na situação limite de mudanças infinitesimais ou diferenciais nas variáveis, obtemos equações
diferenciais que proporcionam fom1ulnções ma1em:lticas precisas para leis e princípios fisicos, representando us taxas de variação nu forma de derivadas. Assim,
equações diferenciais são usadns para investigar uma ampla variedade de problemas na ciência e na engenharia (Fig. 1- 6). Entretanto, na prática, muitos problemas encontrados podem ser resolvidos sem u necessidade de recorrer a equações
diferenciais e suas complicações a<~ociadas.
O estudo ele dado fenômeno llsico envolve dois passos rundamcntais. No primeiro, identificam-se todas as variáveis que influenciam o fenômeno, fazem-se
considerações e aproximações razoáveis e esluda-sc a interdependência dessas
variáveis. As leis e os princípios fTsicos rclevnn1es são identificados, e os problemas. formulados matematicamente. A equação em si torna-se muito instrutiva,
uma vez que mostra o grau de dependência de algumas variáveis em relação às
outras e a imponâncin relativa dos vários termos. No segundo passo. o problema
matemático é resolvido por meio de uma abordagem apropriada. e os resultados
são interpretados.
Muitos processos que parecem ocorrer na natureza de modo aleatório e sem
nenhuma ordem são, na verdade, regidos por algumas óbvias ou não tão óbvias leis
lisicas. Independentemente de notannos ou oiio essas leis. elas estarão lá. governando consistentemente o que parece ser evento• comuns. A maioria delas é bem
def1Dida e compreendida pelos cientistas. lo;so possibilita prever o componamento
de um evento antes de ele acontecer de fato ou estudar vários aspectos de um
evento matematicamente sem recorrer a caro. e demorados experimentos. ~ onde
o poder da análise matemática re.<idc. Muitos resultados precisos de problemas
práticos e significativos podem ser obtidos relativamente com pouco esforço usando um modelo matemático apropriado e rcalbta. A preparação desses modelos
requer um conhecimento adequado do fenômeno natural envolvido e das leis fisicas peninemes, bem como bom senso de julgamento. Um modelo não realístico,
obviamente, dará resultados imprecisos e inaceitáveis.
Um analista trabalhando em um p1'0blema de engenharia. frequentemente,
encontra-se em situação em que deve escolher entre um modelo preciso, porém,
com.plexo, e um modelo simples, mas não tão preciso. A escolha cena depende
da situação que se tem em mãos. A escolha certn ~. normalmente, o modelo mais
simples que fornece resultados adequados. Por exemplo. o processo de cozi ohar
bniatas ou assar um pedaço de carne em forno pode ser estudado analiticamente
de modo simples, modelando a batata ou o assado como uma esfera sólida que
'ICU~A t
O físico britAnico James
Prcscott .Joule ( 1818-1889) nasceu cm
Salford. Lancashi1'e, lnglaicrra, Joule
é mais conhecido por seu trabnlho
sobre a conver!<iilO de energia elé1ricn e
mecânica em calor e pela primcim lei da
termodinãm1ca. A unidade de energia. o
joule (J). fo1 nomeada cm sun homenagem.
Segundo a lei de Joule de aquecimento
elétrico, a tan de produção de calor
em um fio condmor é prupon::ional
ao produto da rc<istfncia do fio e ao
quadrado da corrente elttrica Por meio
de seus experimentos, Joule dcmonMm11
a equivalência mcclnica de calor, ou
seja. a conversão de energia mecânica
em quantidade equivalente de energia
térmica, que estabelece fundamcntaçllo
para a conservação do princípio de energia.
Joule e Wilham Thomwn (nt•LS 1alde
lorde Kelvin) dcscobnram a queda de
temperatura de uma $Ubsrtlncia duranlc
a livre expansão, renõmeno conhecido
como efeito Joule·Thomson. que fonnu
a fundamentação do funcionamento dn
refrigeração de comprcs;ão de vapor
comum e de sistcmns de or condicionado.
(A/P Emilio Segl'e Vi.tua/ Arq11fra.)
Capítulo 1
Transferência de Calor e Massa
Problema fr1ico
ldenllÍICOI
varn1i..·cn
1mpostan1cs
ASiium1r
~·
aproximações
Aplicar
rat°'ve11
kt,fükró
relevantes
Uma equaçãu d1fere.nci1J
Impor
condições
Utilu..ar tknicas
in1c11ai"I e de
<le•oluc;ão
contorno
lklequndas
Solução do problentn
1 11 A 1 ii::
Modelagem mntem:í1ica de
problemas flsicos.
contém as propriedades da água (Fig. 1 7). O modelo é bem simples, mas os
resultados obtidos são suficientemente precisos para a maioria dos propósitos
práticos. Quero exemplo é quando analisamos a perda de calor de um prédio de
forma a escolher o tamanho ceno do aquecedor. determinando a perda de calor
para as piores condições previstas e selecionando um aquecedor que proverá
energia suficiente para compensar tais perdas de calor. Frequentemente. tendemos a escolher um íomo maior nos antecipando a alguma expansão íutura
ou apenas adotando um fator de segurança. Nessse caso. uma anál1~e bastante
simples é suficiente.
Quando escolhemos um equipamento de transferência de calor. é importante
considerar as reais condições de funcionamento. Por exemplo. quando adquirimos
um trocador de calor que usará água pe•ada, devemos considerar que, ao longo
do tempo. ocorrerá algum depósito de cálcio nas superfícies de transíerência de
calor, causando encrustamento e uma consequente queda gradual no desempenho.
O trocador de calor deve ser escolhido com base cm sua adversa condição de funcionamento. e não nas condições do rrcx:ador novo.
Elaborar modelos precisos mas complexos normalmente não é uma tarefo tão
difícil. No entanto, tais modelos serão im1teis para um unalistu se forem muito dlffceis e consumirem muilo tempo para serem resolvidos. No mínimo, o modelo deve
refletir as características essenciais <lo problema ITsico que representa. Existem
muitos problemas significativos no mundo real que podem ser analisados por meio
de modelos simples. Todavia, devemos sempre ter em mente que os resultados obtidos por meio de uma análise são tão precisos quanto permitam as hipóteses assumidas na sÍJJlplificação do problema. Logo, a solução obtida não deve ser aplicada
a situações que não correspondem às hipótese> adotadas originalmente.
Uma solução que não é tornlmente consistente com o ob>crvado na natureza
do problema indica que o modelo matemático utilizado é muito grosseiro. Nesse
caso, um modelo mais realista pode ser elaborndo com a eliminação de uma ou
mais das hipótese.' questionáveis. Isso resultará em um problema matS complexo
e, ponanto, mais dificil de resolver. A''im. qualquer solução do problema deve ser
inteipretada no contexto de sua formulação.
e LOtl [ (j' ·-r - F'"'
e-Real
Forno
11S C
Águo
-
Ideal
FI IRA 7 A modelugem é uma
1xxlerosa ferrnmenla de cngenhnria que
Comece urna bon idcin do fenômeno, de
modo simples, com nlguma imprecisão.
Existem várias formas de energia. como tümica. mecânica, cinética, potencial, ei<!Lrica, magnética. química e nuclear, e a soma delas con,titui a energia total E (ou
e por unidade de massa) de um sistema. As formas de energia relacionadas com a
estrut:urn molecular de um sistema e com o grau de atividade molecular são chamadas de energia micro.<cópica. A soma de todas as formas microscópicas de energia
é denominada energia interna U do sistema (ou 11 por unidade de massa).
No Sistema Internacional (Sl), a u nidadc de energia é ojo11le (J) ou q11ilojoule ( 1 kJ = J.000 J). No sistema inglês, a unidttde de energia é o British tltermal
uni/ (Btu), definida como a energia necessária para elevar a temperatura cm 1 ºF
de J Jbm de água a 60 ºF. As magninodes de 1 kJ e 1 Btu silo praticamente as
mesmas ( J Bill = 1,055056 kJ). Ou1ru unidade de energia bem conhecida é a
caloria ( J cal = 4, 1868 J), definida como a energia necessária parn aumentar a
temperatura em 1 ºC de 1 g de água a 14,5 ºC.
A energia interna pode ser entendida como a somn dns energias cinética e potencial das moléculas. A pane da energia interna a<sociada com a energia cinética
das moléculas é denominada energin scnslvcl ou calor senslvel. A velocidade
média e o grau de atividade das moléculas são proporcionais à temperatura. A$SÍJJ1,
Introdução e Conceitos Básicos
em alta• te111peraruras. as moléculas iam energia cinética alra, e, consequentemente. o sistema apresenta alta energia interna.
A energia interna é também associada com as forças intermoleculares entre as
moléculas de um sistema. Essas íorças ligam as moléculas umas às outras e, como
pn:visto. são mais fone.' em sólidos e mai> fracas em gases. Se energia suficiente
for adicionada lls moléculas de um \Ólido ou líquido. ela romperá essas forças moleculares e transformará o sistema cm gás. Tui processo é denominado mudança de
fos~. e. por causa dessa energia adicionada. o sistema na rase gasosa tem um nível
de energia ontcma maior que na rase sólida ou líquida. A energia interna associada
com a fase de um sistema é chamada de energia latente ou calor latente_
Essas mudanças podem ocorrer sem alteração na composição química do sistema. A maioria dos problemas de transferência de calor se enquadm nessa categoria, de forma que n~o é necessário prestar mençiio nas forças de ligação dos átomos
nas moléculas. A energia imcrna ossociadu às ligações dos átomos na molécula é
denominada ener gia química ou de ligação, enquanto a energia interna associada
com as ligações dentro do núcleo de um átomo é denominada energia nuclear. As
energias química e nucleur silo absorvidas ou liberadas duraate reações químicas
ou nucleares, respectivamente.
Na análise de sistema< que envolvem íl uxo de íluiclos. frequentemente encontramos a combinação dos propriedodcs rr e Pv. Por questão de simplicidade e conveniência, essa combi nação é delinida como cntalpia /1, isto é, h 11 +FV, onde
fV representa a energia de escoamento do fluido (também denominada trabalho
d~ bombeamento), que é a energia necessária para impulsionar um íluido e manter
o escoamen10. Na análise da energia de íluidos escoando, é conveniente tratar a
energia de escoamento como parle da energia do fluido e representar a energia
microscópica do fluido escoando pela en1alpia lo (Fig. 1-8).
Aoidoem
nwv1menro
Fluido cm
Eocrgin •
l'Cj>OUSO
/1
=
l
A e11e11:i11 imtrnt1 11
representa a energia micro:-.cópicu de um
fluido em repouso, cnqunn10 n entalpia Ir
represeota a energia microM:-õpicu de um
íluido em movimenro.
a o es
Lembn:-se de que o gás ideal 6 definido como um gás que obedece à seguinte
relação:
onde Pé a pressão ab<olutn; v, o volume específico; T. a temperatura termodinâmica ou absoluta; p, a densidade; e R. a constante universal dos gases. Tem-se
observado experimentalmente que essa relação para os gases ideais n:presenta uma
boa aproximação do comportamento das variáveis de estado P-v-T para gases reais
com bauas densidades. Em baixas pressões e altas temperaturas, a densidade de
um gás decresce, e este se compona como um gás ideal. No intervalo de interesse
prático. muitos gases familiares. como ar, nitrogênio, oxigênio, hidrogênio, hélio.
argônio, neônio e criptônio. e até ga<es mui' pesados, como o dióxido de carbono,
podem ser tratados como gases ideais com erro desprezível (frequentemente menor que 1%). Gases densos como vapor de água cm usinas térmicas de potência
e vapor de fluido rcfrigerunle nos refrigeradores não podem, todavia, ser sempre
tratados como gases ideais, uma vez que eles nonnalmcnte estilo em um estado
próximo da saruraç11o.
Lembre-se de que o calor es11cclnco é definido corno a energia necessária
para aumemar a temperatura ttm mn grau de uma w1idt1de de massa de dada substância (Fig. 1-9). Em gera l, essa cncrgiu depende de como o processo é executado. Normalmente, estamos interef.sados cm dois tipos de calor específico: calor
específico a volume con~tante c0 e calor especifico a pressilo constante c,. O calor
,,. .. 1 ka
t.T
1 "C
Calor C's:pccffico • .5 kJlkg· K
....
H J
Calor específico~ n energia
necessária para elevar a 1empenuum em
um gr.m de uma unidnde de massa de uma
subsoância por meio de processo especifico.
capitulo l
Transferência de Calor e Massa
AI
/\r
m • 1 ka
111 •
lk.g
300 ~ 301 K
1.000-+ 1.001 K
0.718kJ
0.855 kJ
O calor c>pcc(fico de uma
substâncía muda com a temperatura.
especifico a volume constante e. pode ser entendido como a energia necessária
para elevar a Lemperalura em um grau de unidade de massa de dada substância.
manlendo seu volume conslanle. A energia neces~ária paro fazer o mc.,mo. porém
com a pressão constanle, é justamente o calor específico a pressão constante e,.
O calor específico a pressão constante c,t maior que c.,. uma veL que, em um processo isobárico, ocorre uma expansão. e a energia para esse lrnbalho de expansão
também deve ser fornecida ao sistema. Para gases ideais. CS'>CS dois calores específicos estão relacionados por meio de: c, ~ c. + R.
A unidade comumenLe utilizada para calor especifico t kJ/kg ·ºC ou kJ/kg · K.
Note que essas duas unidades são idênticos. uma vcL que .õ.T(ºC) .õ.T(K). ou
seja, a variação na temperarurn de l ºC t equivalente à variação de 1 K. Altm
disso:
1 l<Jlkg·ºC ~ 1 Jlg·º C • 1 kl/kg·K • 1 Jlg·K
O calor específico de uma substância depende, em geral, de duas propriedades
i ndependenles, como temperatura e pressão. No entanto, para um gds ideal, o calor
específico depende apenas da temperawra (Fig. 1- 10). Em buixas pressões, Lodos
os gases reais se aproximam do comportamento de gil• ideal, logo seus calores
específicos dependem apenas da tempcralunt.
As variações diferenciais na energia interna 11 e entnlpin h de urn gás ideal
podem ser expressas em calores e~pecíficos, como:
t/11 ~ c,dT
e
(1- 2)
As variações finitas na energia interna e enlalpia para um gás ideal duranle um processo podem ser expressas, aproximadamente, u~ando valores do calor específico
para a temperatura média, ou seja:
ou
--
J )
e
Os vnlores de e,,, e c,de
subsrGncins íncompressíveis são iguais e
representados por e.
T
.Õ.11
l)
(l 3)
li 4)
onde m é a massa do sistema.
Uma substância cujo volume especifico (ou densidade) nllo varia com a temperatura ou pressão é denominada subslGncia Incompressível. Como o volume
específico dos sólidos e líquidos permanece pra1icamente cons1aote durante um
processo, eles podem ser aproximados como ; ubsLiincias incompressíveis sem
muita perda de precisão.
Os valores dos calores específicos, tanto pressão como volume cons1ante. são
iguais para substâncias incompressíveis (Fig. 1-11). Dessa forma, para líquidos
e sólidos, os subscritos em e. e e,, podem ser suprimidos e representados por um
único símbolo, c. Isto é, e, a e."" e. Esse resultado mmbém pode ser deduzido da
definição física de calor específico a volume constante e calor específico a pressão
constanLe. Calores especílicos de vários gases líquidos e sólidos são fornecidos no
Apêndice.
Os calores específicos de substâncias incompressívcis dependem apenas da
temperatura. Assim, a variação da energia inLerna de •ólidos e líquidos pode ser
ex pressa por:
J)
(l-5)
-
Introdução e Conceitos Básicos
onde e_, é o calor específico mtdio calculado no intervalo de temperatura considerado. Nore que a variação de energia interna de sistemas que permanecem,
durante o processo, em uma única fase (líquido. sólido ou gasoso) pode ser facilmente delerrninada pela utili1;1ção de calores c.pecíficos mtdios.
Energia pode ser lr.ln~ferida de ou para uma massa por meio de dois mecanismos:
tro11sfuê11cia de calor Q e trabalho W. A tran;ferência de energia é considerada
transferência de calor quando a força motriz. t a diferença de tempernrura. Caso
contrário, a 1ransferência de cnergm é trabalho. Um pistão subindo, um eixo girando e um fio elétrico ntrnvessando li> fronteira> do sislema são todos associados
com trocas do tipo 1rnb~lho. Trabalho por 1111idade de tempo é chamado de potência e representado por W . A unidade de potência t W (walt) ou hp (1 hp = 746 W).
Motores de au1omóveis e ntrbinas hidráulicas a vapor e a gás produzem 1r.1balho.
e compressores, bombas e misturadores consomem traba lho. Note que a energia
do sistema decresce com trnbalho realizado e aumenta com trabalho efetuado nele.
Em nosso co1idiano. frequenteme111e íozemos menção às formas sensível e
latente de energia interna como calor e folu111os sobre a quantidade de calor dos
corpos (Fig. 1- 12). Bn1rcrn1110, cm 1crmodinâmica, essas formas de energia são
usualmente denominodas ener gia térmica, para prevenir qualquer confusão com
transferí!ncia de calnr.
O tenuo ct1/or e as expressões ussociadns, como }111xu de calor, calor recebido, calor rejeitado, calor absorvido, gcmlio dt calor, perda de calor, calor armazenado, geração de calor, aquecimento elétrico, color lo1e11Je, calor cmp6reo
efonu de calor, são comumcnte utili7ados. e a tentativa de substituir a palavra
calor nessas expressões por energia témtico 1evc apenas um linúudo sucesso. Tais
expressões estâo profundamente enrairodns em nosso vocabulário e são utilizadas
Lanto por pessoas comuns quanlo por cientistas, sem causar nenhum mal-entendido. Por exemplo, a expressão calor corp6reo (ou de um corpo) é entendida como
a e11e'8ia témtica comida no corpo. Da mesma forma, a expressão fluxo de calor
t entendida como a mmsfeiincia de mergia tlnmca. e não como o fluxo de uma
substância do Lipo fluido chamado calor, embora esta última interpretação incorreta, fundamentada na teoria do calórico, seja a origem da frase. O calor transferido para um sistema também é frequentemente referido como calor recebido, e o
transferido para fora do sistema é denominado calor rejeitado.
Adotando a prá1ica corrente, iremos referir energia térmica como calor e a
transferência de energia térmica como transfeli11cio de calor. A quantidade de calor transferido durante de1erminado processo t representada por Q. A quantidade
de calor transferido por unidade de 1empo é denominada taxa de transferência de
calor e representada por Q. O ponto acima da letra significa derivada temporal ou
"por unidade de tempo". A taxa de transferência de calor QLern como unidade Jls
que é equivalente a W.
.
Quando a taxa de trans ferência de calor Q é conhecida, a quantidade loLal de
calor transferido Q, em dado in1crvalo de 1cmpo flt, pode ser de1crminada por
Q•
.,
l
Qt/1
(J)
(1- 6)
desde qu.e a dependência de Qcom o Lempo seja conhecida. Para o caso especial
em que Q é constnme, essa equaçno •e reduz a:
(1 7)
Trun... rcttnc1a
de calor
Líquido
80'C
25-C
A!<. fornu1o;, sensível e
latente dn energia interna poclcm ser
transferidas como resultado do cliícrcnçu
de tempcmtura e sno tlenominadns ('ti/orou
energia rhmlca.
Capítulo 1
Translerênc1a de Calor e Massa
A taxa de transferência de calor por unidade de área normal à direção da transferência de calor é denominada nuxo de calor, e o nuxo de calor médio é dado por
}f-·:
l--2m
(FiJ?. 1-13)
w
(e} Fluxo de calor é definido corno o calor transferido por umdades de tempo e de
área. ou tau de 1ransfcrencia de calor por unidade de área. Assim. o !lu•o méjio de
calor nM~ ca.~. é
a... a...
(1-8)
t1... =--~--
we>2
A
onde A é 3 área de transferência de calor. A unidade de nuxo de calor no sistema
inglês é Btulh·pé2. Note que o nuxo de calor pode variar com o tempo, assim como
a posição na superfície.
Introdução e Conceitos Básicos
O
51,4 w
.,,.(0,1 m)'
636 \\/m1
Noce que o ílu•o de calor pode variar com a posição na supcrfbe. O
•wor oblido é o ílu•o de calor !Md10 sobre toda superficie da esfeno.
Q 24W - JW/m1
A
6m'
Fluxo de calor é o calor
1ransícrido por 11nitladt 1/t lt!mpo e por
1111idodt de drto, e é igual a ti = Q/A,
admitindo-se Quniforme nu área A.
r ..
Aquecimento de uma esfera de cobre
L
Uma esfera de cobre de 10 cm de dinmetro deve ser aquecida de 100 ºC att a temperatura mécüa de 150 ºCem 30 minutos (Fig. 1-14), Admitindo que os valores
médios da densidade e do calor c<pccffico da esfcrn sno P 8.950 kglm' e e, =
0,395 kJ/kg·ºC, respcctivnmenle, determine: (cr) a quantidade 101al do culor transferido para a esfera de cobre, (b) a taxa mtdi!l do calo1· 1run;ferido pa1·n a esfera e
(e) o (luxo médio de calor.
uma esfera de cobre deve ser aquecido de 100 •e para 150 ºC. Octe1·-
r
minar a tran!->íerência total de cnlor. a m.xa médhl de 1rnnsrere.ncin de calor e o íluxo
A primeira lei d a termodinâmica, também conhecida como principio da conservação de e nergia, estabelece que a energia não pode ser criada nem destrnlda durome 1m1 processo: pode apenas rmrdardeforma. Assim, Ioda quantidade de energia
deve ser computada durante um processo. O princípio da conservação de energia (ou
balanço de energia) para qualquer •istema sofrendo q1wlq11er processo pode ser expresso da seguinte maneira: A variaç17o liquida (1u1111en10 011 di111i11uiçãn) na energia
rotai de 11111 si.1re11w durante 11111 processo é ig11al li diferença e111re a energia rotai
recebida e a energia rornl rrjeitadn pelo .<i.!lema d111w11e o pmcesso. Isto é,
médio de calor.
Assumir vaJorcs constantes dns: propricdodes do cobre paro a 1emperuOs valores médios da den"dnde e do calor e>peeffico do cobre >ão p
= 8.950 kg/m' e
0,395 kJ/kg.oc. rcspee11varncn1e.
e,.
E.<quema para o
Exemplo 1-1.
Energia total )
na entrada
( dosiMtma
tura média.
(a) A quantidade de calor transferido para a esfera de cobre t simplesmente
8 variação da energia interna e pode ser determinada por
Energia transferida para o sistema • Aumento de energia do sistema
(
Bncrg.iu 1otul) ( Mudança de )
na salda do = energia 101al
~icaema
Note que a energia pode ser transferida para ou do sistema por meio de cG!or, trabalho efluxo de massa, e que a energia total de um sistema simples e compressível
é a soma das energias interna. c111ética e potencial, e o balanço d e energia para
qualquer sistema sofrendo qualquer processo pode ser expresso como:
Q = !>.U = mc_,(T1 - T,)
m = pV = ~pD' = i<8.950l:g/m1XO,1 m>3 -
( 1-9)
no sistema
(1-10)
4.686 kg
ou na forma d e taxas, como
{W)
(1 11)
Substituindo,
Q = (4.686 kg)(0,395 kJ/kg·ºC)(lSO - IOO)ºC •
Ocssa forma, é necessário transferir 92.6 kJ de c:alor paro a esfera de cobre pora
aquecê-ln de 100 ºC para 150 ºC.
(b) A taxa de transferência de calor geralmente varia com o tempo duranteº. pmcesso. Bntrc.tanto, podemos determinar a tnxn mid1't1 de trnnsícrêncrn de calor dw1dtndo
• quantidade de calor transferido pelo intervalo de tempo correspondente. Logo.
Q.
"""
=g=~=00514kJ/s - ,,q ,~
111
1.800 s
'
t.,
6 '
Energia é uma propriedade, e o valor de uma propriedade não varia, a menos que o
estado do sistema mude. Dessa forma. a variação da energia de um sistema será nula
(llEw, = O) se o estado do sistema não mudar durante o processo, isto é, se for um processo em regime permanente. O balanço de energia. nesse caso, se reduz a (Fig. 1-15)
Calor
Trabalho
M3SS3
Calor
Sistema em
regí1ne
pemH1nen1c
Trnbilllw
Mm•
,,,,',,
(1-121
FJrURA t 15 Em processos de regime
permanente, a taxa de energia 1ran~fcri da
que enLra em un\ sis1ema ~ igual à taxn de
energia que sai dele.
t•
Capítulo 1
Transferência de Calor e Massa
Na ausência de efeitos significativos de ele1ricidade. magoei ismo. movimento. gravidade e 1ensão superficial (isto é, para sisrcmas comprcssívcis simples e
esracionários), a variação da energia total de um s1s1ema durante um processo é
simplesmente a mudança na energia imema. l~ro é, !!.E- = !J.U__.
Na análise de transferência de calor, normalme111e csramos inte~dos apenas nas formas de energia que podem ser tran~fcridas como resultado de uma diferença de temperarura, isto é, calor ou energia rénnica. Nesses casos, é conveniente
escrever um ba lanço de calo r e representar as conversões de energia nuclear, química, mecânica e elétrica em energia térmica. como calor gerodo. O balanço de
energia pode, nesse caso, ser escrito assim:
.__
-
..
-·-
(J
(1 13)
Balanço de energia para sistemas
'e hados (m :.J on t1nte>
C..lor e~pedfico
Maru
r:v
m
Tempcra1ura
m1clal - T1
Tcmpcr111ura
fin•l T2
FICUR ª
Na austncia de trabalho,
a llllriação na quantidade de energia de
um sistema fechado t igual l quantidade
liquida de calor U1111sferido.
Um sistema fechado é um sistema de massa con;lt111le. Na pr-:.tica, d energia total E
da maioria dos sisremas consiste em energia interno U. especia lmenre no caso dos
s istemas estacionários, uma vez que eles não sofrem nenhuma mudança em sua
velocidade ou e levação durante o processo. A relação pura o balanço de e nergia,
nesses casos, se reduz a:
Sistema estadoná,·io fechado:
E,., - E.., - !!.U - mc.,!J.T
(J)
(1-14)
onde expressamos a variação da energia interna em massa m, do calor específico
a volume conslante e. e a variação da temperatura !!. T do sistema. Quando oconre
apenas transferência de calor no sistema sem a ocorrtncia de trabalho por meio
de suas fronteiras, a relação para o balanço de energia se reduL :uoda mais a (Fig.
1-16)
onde Q é a quantidade liquida de transferência de calor para ou do sistema. fasa é
a forma de balanço de energia que usaremos com maior frequência quando tratarmos de sistemas de massa fixa.
em um processo em regime pem1aoen1e, deve ser igual à quantidade de energia
que sai do sistema.
A quanridade de massa que nui por meio de uma seção transversal de um
dbpositivo, por unidade de tempo. é denominada vazão mássica e represenrada
por ti1. Um nuido pode escoar para denrro ou para fora do volume de controle, por
meio de dutos ou tubulaçõe.s. A va.tão má>s1ca do fluido que escoa em um duto é
proporcional à área de seção tranwersal A, do duto. à densidade p e à velocidade V do fluido. A vazão más.~ica por meio de uma área diferencial dA, pode ser
expressa como l;ii1 = p V• dA,. onde v. é o componente da velocidade nonmal a
dAr A vazão m:bsica por meio de toda seção transversal é obuda pela integração
sobre A,.
O escoamento de um íluido em um duto pode frequentemente ser considerado 11nidi111e11sio11a/, isto é, as propriedades podem variar em uma única direção
(direção do escoamento). Como re;,ullado, todas as propriedades são considerndas
uniformes em qualquer seçilo normal li direção do escoamento e são tratadas como
valores médios de mis111ra para toda seção transversal. Para uma aproximação un idimensional do escoamen10. n Vt\7.ão rnóssica de um fluido escoando em um duto
pode ser expressa por (Fig. 1 17).
,,,
p\'\
(li' •/ 1
(1 - 16)
A, - "'v'/4
V
para um duto
Nt • p VA,
circ:utnr
FIGURA 1 17 A vn1.ilo mássico de um
tluido em uma sccrl\o 1ranwcnml e! iguul
ao produto da densidade do fluido, à
\'elOCic.Jadc médiH elo nuiclo Cl\ área de
seção trnnsversal.
onde pé a densidade do fluido; V. a velocidade média na direçao do escoamento;
e A, , a área da seção do duto.
O volume do nuido que escoa por meio de um duto por unidade de tempo é
denominado vazão volu métrica \Í e expresso como
(m Is)
(1 - 17)
N<>1e que a vazão mássica de um nu ido em um duto permanece constante durante
o escoamento permanente. o que não é o caso para a vazão volumétrica, a menos
que a densidade do nuido permaneça constante.
Para sistemas com c.o;coamento em regime permanente com entrada e saída, a
vazão má.•sica que entra no volume de controle deve ser igual à vazão mássica que
sai, ou seja, m.,. = ,;._. = lir. Quando a.\ variações na energia cinética e potencial
forem desprezíveis, o que normalmente ocorre. e não houver incidência de trabalho. o balanço de energia para cs;.e escoamento em regime permanente se reduzirá
a (Fig. 1- 18).
Balanço de energia para sistemas de
e .coamen
11
Um grande mlmero de equipamentos de engenharia, como aquecedores de água
e radiadores de automóveis, envolve nuxo de massa para dentro e para fora do
sistema e são modelados utilizando o conceito de vol11me de co111role. A maioria
dos volumes de controle é estudada sob condições de operações estacionárias. A
expressão regime permanente sig,nifica i11vadd11cia no tempo, em um determinado
ponto. O contrário de regime permanente é 1mmie111e. O termo u11ifor111e implica
; 11variância com a posição ao longo de uma superfície ou região em dado instanre.
fases significado~ são consistentes com as suas utilizações cotidianas (namorada
fixa, distribuição uniforme, ele.). A quantidade total de energia de um volume de
controle durante um processo com escoamemo em regime permanece constante
(Ecv = constante). lsro é, a variação da energia IOtal do volume de,controle em
tais processos é nula (!J.Ec;v = O). Assim, a quantidade de energia que entra em um
volume de controle, em todas as formas (calor, trabalho, transferência de massa),
ME
Introdução e Conce11os Básicos
llll)
(1 18)
onde Qé a taxa líquida de calor trnn,ferido para dentro ou fora do volume de
controle. Essa é o represen1nçilo parn o balanço de energia que usaremos frequentemente para sistemas com escoamento em regime permanente.
6 1 nço de energia em superf1cies
Como mencionado no início do capítulo, o calor é transferido por mecanismos de
condução, convecção e rndiaçno, o qu e allero, mui tas ve,es, os veículos de transferência de um meio para outro. Por exemplo, o calor conduzido para s uperfície
exrema da parede de uma casa no inverno sofre convecção para o ar frio externo
e nquanto irradia para o ambiente frio. Nesse> ca., os, é necessário observar astrocas de energia na superticie. com aplicação do princípio da conservação da energia
ua superticie.
.. __
t
1
•
1
T,
.....:.... ,.
1
1
1
1
!;...,
T,
11H:,l.T2 - T1J
ACURA 1 a Sob condições de regime
permanente, a 1axa líquida de energia
transferida paro um fluido em volume
de controle é igual à taxa de aumento da
energia do íluido que e...coa por meio do
volwne de conrrole.
Capitulo 1
Transferência de Calor e Massa
.---- ---..,,
Partde
conduçlo
Q,
Uma superficie não contém volume nem massa, porlllnto não contém energia. Assim, uma superCície pode ser visualizada como um sistema fictício cuja
quanlidade de energia permanece constante duran1e um proc:esso {como sistema
es1J1Cionário ou escoamento em regime permanente). Então, o balanço de energia
na superfície pode ser expresso por.
l : ~Supcrlicie
:~
dccontrole
!v
a)
::
<22
,,,,,,
,,: : rodoaçlo
-··! ~
Essa relação é válida para ambas as condições, permanente e transiente, e o balanço de energia na superficie não envolve gera~o de calor, uma vei que superfTcies
,,: : con~çlo
,,
,,
não apresentam volu me. O balanço de energia na supcrflcíe externa da parede na
Pig. 1-19, por exemplo, pode ser expresso como
r UI 1 19 Trocas de energia na
(1
supcrficic externa da parede de urna casa.
onde Q é a condução por meio da parede até a superflcíe; O , a convecção a partir
da superfície para o ar externo; e (J , a radiação líquida da superfície parn o ambiente adjacente.
Quando as direções das trocas são desconhecidas, iodas as trocas de energia podem ser assumidas como dirigidas para a superfície, e, assim. o balanço de
energia na superfície pode ser expresso como ~E,,,, = O. Observe q ue as trocas no
sentido oposto resullarão em valores negativos, balanceando, assim, a equação.
Perda de calor em dutos de aquecimento, em um porão
EXEMPL
Um trecho de 5 m de comprimento de sistema de aquecimento de ar passa por um espaço não aquecido em um porão (Fig. 1 -21). A seção transversal do duto ictangular
mede 20 cm X 25 cm. Ar quente entra no duto a 100 kPa e 60 •e. com velocidade
média de S mi•. A temperatura do ar no duto cai para S4 •e. como resultado da perda
de calor para o espaço frio do porão. Dctemune a taxa de perda de calor do ar no
du10 pafll o porão frio sob condições de regime pennanente. Dctennine também o
cusio dessa perda de calor por hora, uma vez que a casa~ aquecida por uma fornalha
de gás natuml cuja eíiciencia é de 8()'1,, cm uma região onde o custo do gás natural é
de uss 1.(10/thcnn (l 1hcnn • IOS.SOOlcJ).
A rempernturo do ar no duto de aquecimento da casa diminui como
resullado da perda de calor para o es~o frio do poriio. Determinar a taxa de perda
de calor do ar quente e o custo correspondente.
1 Existem condições de operação cm regime permanente. 2 O ar
pode ser considerado um gás ideal com propriedades constantes em temperatura
a.mbiente.
O cnlo,. específico com pressão constante do ar para temperanira mé·
dia de (54 + 60)/2 - S1 •e é de 1.007 lcJ/kg·K (Tab. A- 15).
Tomamos o trecho do sis1cmo de aquecimento dentro do porão como um
si!ltemo com escoamento em regime pcrmancn1e. A ta.xa de perda de calor do ar no
duto pode ser determinada por:
Chopa do aço
ino:ud'YCl
AIS! 3(M
Q - rirc,flT
ri.O ., Resfriamento de chapas de aço Inoxidável
/- v -+
r..
1
300K
IA
Esquema para o
Exemplo 1-2.
Uma chapa conlfnua de aço inoxidável AISI 304 cm aquecimerno t transponada
l anis
com velocidade cons1ante de l cm/s para dentro de uma clmara. para i,er resfriada
(Fig. l- 20). O aço inoxidável da chapa tem S mm de espessura e 2 m de largura. A
chapa entra na câmara e sai dela a SOO K e 300 K. rcspcc1ivamcntc. Dctenninc a taxa
de perda de calor da chapa de aço no interior da clmara.
onde rh 6 a vazão mássica~ e â T. a queda de cemperatura. A densidade d.o ar nas
condições de entrada ~:
IOOkPa - - - = 1 046k rn'
(0,287 k.Pa •m'lkg · K){60 + 273)K
'
g/
P = _E_ _ _ _
RT
Dctenninar a 1ua de perda de calor transnutida a panrr de uma chapa
de aço inoxidável dcnuo de uma cimara.
1 Existem condições de opcraçllo constante. 2 A folha de aço inoxidá-
vel 1em propriedades constantes. 3 A• ahemçõcs em energia cuM!uca e potencial são
desprezíveis-
• O calor específico a p<05são constante do aço inoxidável AlSI 304 na
temperatura média (SOO+ 300)12 = 400 K ~SIS Jlkg·K. A densid<adedo aço inoxidável AISI 304 ~ 7.900 kg/m' (Tab. A-3).
A arca de seção tranSVCl'Sll do du10 é:
A, - (0,20 m){0,2.5 m) ~ 0.05 m2
Logo. a valâo m~ssíca de ar no 1ntcnor do duto e a tua de perda de calor são:
m = pVA, - (1,046 kg!m'){S m/s){0.05 m1) = 0,2615 kg/s
A massa da chapa de aço inoxidável transponada entra na câmara e sai dela
a uma taxa de
m =pVwt
= (7. 900kg/m1)(0,01 m/s)(2 m)(0,005 m)
= 0,79 kg/•
Q,..,. - riic,(1°w. - T.,,)
= (0,2615 kg/s)( l,007 kJ/kg·ºC)(60 - 54)°C
= 1 IJI
A taxa de perda de calor da chapa de aço inoxidável nn cGrnara pode ser determinada
como
(tonllnua)
Q-
= riic,(T,,. - T.,,)
= (0.79 kg/s)(SIS J/kg·K)(SOO - 300)K • 81.370 Jls
= E .4
A chapa de aço inoxidável a ser transponada dentro e fora da câmara ~
tratada como volume de controle.
Introdução e Conceitos Básicos
Esquema para o
Exemplo 1-3.
,.
Capftulo 1 • Introdução e Conceitos Básicos
Transferência de Calor e Massa
Dado o euSIO de uss 0.075/kWh, o CUSIO IOtll dessa energia t:
(con1ü111açâo)
ou 5.688 l<Jlh. O cus10 para o proprietári<> dessa perda de cidor é:
Custo de energia - (Quantidade de cnergia)(Custo uni!Ario de energia)
1
= (4.666
(Taxa de perda de calor)
(Cus10 unnáno da energia de ent...W.)
Cus10 da perda de calor
kJXUSS0,075/kWh)(3.ix,~)
Eficiência da fornalha
~ (5.688 kJ/hXUSS 1.W1henn)( 1 lhcnn )
0,80
105.500 kJ
(b) A quanudode de energia 1n1nsferid.1 para o ar com pressão cons1an1e é a variação
oa eotalpia:
,I
t::.......--= AH,.= mc,AT
D1
"' A perda de calor pelo dum de aqucc1mcn10 no porto cu<ta para o proprietário da casa 10,8 centavos de dólar por horn Admi1indo que o aquecedor fun·
cione 2.000 t}oras durante a 1ernparada de nquccimento, o cuMo n.ounl da perda de
calor é de US$ 216. A maior pane desse dinheiro poderia ser economitada isolando
o duto de aquecimento nas áreas não aquecidas.
- (648 kgXl.007 kJ/kg·ºC)(20 - JO)ºC
Dado o cus10 de USS 0,075/kWh, o cuslO lula! dessa energia é:
Cus10 de energia = (Quon1idade de cnergia)(Cuslo uni1ário de energia)
= (6.525 kJ)(USS0,0751kWh)v ~~)
6
-
EXEMPLO 1-4 Aquecimento elétrico de uma casa em altitude elevada
FI URA 1 22
Exemplo 1-4
Esquema para o
Considere uma casa que tem um piso com 11rcn de 200 m1 e altura m~din de 3 m a
uma eleva<;:io de 1.500 m. onde 11 '"º"no n1mo,réricu é de 84.6 k.Pa (Fig. 1-22).
Inicialmente. a casa está a uma 1empcrJltura uniforme de 10 ºC. Então. liga-se o
aquecedor elérrico até o ar no in1crior da Cnl\a atingir n lcmpernturu méJiH de 20 ºC.
De.Lernúnc a quan1idade de energia trnn"i.feridn paro o ar, admilindo que (a) ;, casa
é bem vedada e o ar do interior nt\o escapa para forn duranle o processo de aquccimcn10, e (b) alguma quan1idadc de ar escopa pelas rendas quando o ar aquecido no
interior da casa expande-se com prcs~o com~1antc. Detenmnc tambéin o custo do
aquccimen10 para cada caso, considerando que o cuslo da ele11·1c1dade na região 6 de
durante o proces.<o de aquecimen10. Assim, a segunda abordagem é usada na prática.
E.'8a abordagem conservadora supen:s1ima um pouco a quantidade de energia usad.1.
que alguma quantidade de or escapa pelas fendas antes de ser aquecida a 20 ºC.
i'
.
·--- ·-·
.,c.uç~O
S•
1 O ar pode ser 1ra1ado como um gás ideal com proprieJades constanles. 2 A perda de calor durante o processo de aquecuncnlo t desprczlvel. 3 O volume
ocupado pela mobília e por ouuos 11cns no in1erior d• casa é despre.tfvel
.,.,...,.., Os calores c;-pecíficos do ar na 1empera1urn média de ( 1O + 20)12 =
15 ºC são e,= 1,007 kJ/kg·K e e.= e, - R • 0,720 kJ/kg·K (Thbs. A 1 eA-15).
p
O volume e a mas~ do ar no interior dn casa sl'io:
V= (Área de poso)(Ahum) - (200 m'XJ m) ~ 600 m
1
(84,6 k:.Pa)(600 m3)
_ PV _
RT- (0,287 kPa·m'lkg· K)(IO + 273)K
m -
=648 k
g
(a) A quantidade de energia iransferido pnra o ar cm procc~so a volume conslnale é
simplesmente a variação da eneryia imc:rnn:
Tmt -
r.&J = AE,1~1eM11
EcmYOl.comtlllllC
= .1iU~ = mcv..:1.T
= (648 kg)(0,720 kJlkg·ºC)(20
H
IO)ºC
0. 1
O custo é de 10 cenwvos nn primeiro caso e 14 centavos no segundo,
para aquecer o ar do interior dn casa de 10 ºC para 20 ºC. A segunda resposta é mais
realista. uma vez que toda a casfl tem fendas, especialmente no contorno de portas
e janelas, nlém de a pressão no i ntcrinr dcl1.1 permanecer essencialmente constante
uss 0.075/kWb.
O ar no interior da casa t aquecido por um aquecedor elétrico. A quantidade e o custo da eneqüa transferida para o ar dc\'Cm ~r dctcnmnados para os
casos de pressão e volume COOSIDnlCS.
'
Na Seção 1-1, defmimos calor como a íonna de energia que pode ser transferida
de um sistema para outro corno rcsulcado da diferença de temperatura. A análise
tennodinãmica 1.rata da quantidade de calor transíerido quando um sistema passa
de um es1ado de equillbrio prua ou1ro. A ciSncia que se preocupa com a de1enninação das w.xos de transíerências de energia é a transferlncia de calor. A transferência de energia, como calor, ocorre do meio de mruor temperatura para o de menor
lemperatura e cessa quando os dois meios atingem a mesma tempera1ura_
O calor pode ser trnnsíerido de três diferentes modos: condução, convecção
e radiação. Todos os modos de transferência de calor exigem a existência da diferença de temperarura e lodos ocorrem da maior para a menor temperatura. A
seguir, apresenlamos uma breve descrição de cada modo. Um estudo detalhado
des;es modos de transícrêncin é apresentado nos capítulos seguintes.
roNDU ÃO
Condução é a transferência de energia das parlfcu las mais energéticas de uma
substância para panículas vizinhas adjacentes menos energéticas, como resullado
da interaçlio entre elas. A condução pode ocorrer em sólidos, lfquidos ou gases.
l:W_
Transferência de Calor e Massa
Capítulo l
1nlrodução e Conceitos Básicos
Em líquidos e gnses, a condução deve-se tis colisões e dífiwies das moléculas
Custo da perda de calor através de um telhado
em seus movimentos aleatórios. Nos sólidos, ela acontece por causa da combinação
"~li
Condução de calor amwés
de uma grande parede plano de espessura
ál e área A.
das vibraç&s das moldculas em rede, e a energia é transponada por elétrons livres.
Uma lata com bebida gelada em um ambiente quente, por exemplo, normalmente
aquece até a temperatura do ambiente, como resultado da transferência de calor do
ambiente para a bebida por meio da condução témtica pelo alumínio da lata.
A taxa de condução de calor por um meio depende da geometria, da espess11·
ra, do tipo de material e da diferença de temperatura a que o meio está submetido.
Quando envolvemos um tanque de água quente com lã de vidro (material isolante
térmico), reduzimos sua ta'\a de perda de calor. Quanto maior for o isolamento,
menor será a perda de calor. Um tanque de água quente perde calur a uma taxa
m'tior quando a temperatura do ambiente em que se encontra é reduzida. Além
disso, quanto maio1· for o tanque, maior será a área superficial, logo, maior será a
tliXa de perda de calor.
Considere a condução de calor em regime pennanente através de uma grande
parede plana de espessura tu = L e área A. como mostra a Fig. 1- 23. A diferença
de temperatura através da parede é ô.T = T2 - T1. Experimentos têm mostrado que
a taxa de transferência de calor Qatravé~ da parede dobra quando a diferença de
temperanira ô.Tou a área A norma.! em direção da transferênciu de calor é dobrada,
mas é reduzida d metade quando a espessura da parede L é dobrada. Assim, co11clulmos que a tax" de conduçào de calor através de uma camada plana é propor·
ctonal à diferença de temperatura através da camada e à área de transferência de
calar. mas inversamente proporcimwl à espessura da camada. Ou seja.
(Área)(Diferença de temperatura)
Espessunl
Taxa de condução de calor oc
A • 1m1
lm
As superflcies interna e externa do telhado plano de concreto de uma
c~a aquecida por sistema el~trico são rnaniiru., cm dadas tempernrunu durante a noi-
te. Determinar o calor perdido através do 1elhndo, bem como o custo correspondente.
1 Sistenrn em regime permanente dut".lntc toda a noite, uma vez que as
1emperaturas das superflcies do lelhado pennancccm constantes nos valores detenninados. 2 As propriedades do 1elhado são admilidas como consllmlC.\.
A condulividadc ténnica do telhado é*= 0,8 W/m·K.
(a) Considerando que n transf~ncia de calor pelo telhado ocorre por condução e sua án:a é A - 6 m X 8 m = 48 rn 1, n uua de transferência de calor pcrma·
ncnle por meio do telhado é:
.
T, - T1
Q = kA - L-
( 15
4)ºC
= (0.8 KX48 m2) ~ = 1.690 W
1.69 kW
(b) A quantidade de calor perdido através do telhado duran1e o petlodo de 10 horas
e ~u correspondente custo são:
=Q ô.t =( 1,69 kW)(IO h) = 16,9 kWh
Custo - (Quantidade de encrgia)(Custo unitário da energia)
T
. . . . . (/ - 4.010 w
e eJ(terna do telhado. medidas em uma nonc. silo 15 ºC e 4 ºC, respectivamente,
durante um período de 10 horas. Determine (a) a taxa de perda de calor através do
1clhado naquela noite e (b) o custo dessa perda de calor parn o prnpric1~no. considerando que o custo da eletricidade é de USS 0,08/kWh.
Q
ou
. .-
O telhado de uma casa com aquecimento elélrico tem 6 m de compnmcnto, 8 m de
largura e 0,25 m de espessura e é feito de uma camada plana de concreto cuja condu11vi<l.1de térmica d k ~ 0.8 Wlm.K (Fig. 1-27). As tempernturu• das faces interna
r.
= (16,9kWhXUS$0.08/kWb)=
li 211
onde a constante de proporcionalidade k é a condutividade lérmlca do material,
que é a medida dt1 capocitlode do materi11/ de ,·011duzir calor (f'ig. 1-24). No caso·
-limite de tu-+ O, o Eq. l -21 se reduz~ forma diferencial
1
- 1 25 Jean Baptiste Joseph
Founcr ( 1768-1830). motemállco e flsico,
nasceu cm Auxcrrc, Fmnça. Ele é mais
conhecido por seu trnbalho na série infini1a
de runções trigonométricas que levam seu
nnmc e pelo desenvolvimento da teoria
matemát.ica de condução calor. Fourier
estabeleceu a cquaç3o diferencial pan:1al
que rege a difusão de calor. resolvendo
isso pelo uso da séne de R>uner. A
tran.sfonnada de Fourier, o número de
f<)uricr e a lei de Founer sobre condução
de calor foram nomeados cm sun honra..
Crcdita·sc também a ele a dc:..-.coberlu do
fen!11neno do efeito estufa em 1824.
( FotQ do Museu /kutsch~1. )
Naquela noue, o custo para o proprietário da casa n:ferente à perda de
calor através do telhado foi de USS 1,35. O total da conta de aquecimento deverá ser
muito maior, uma vez que perdas de calor ntrll\lés das paredes não foram considera~
da\ nos cálculos.
(l 221
(a)Cobrc (k=401 W/mK)
30ºC
r
1 o•c
Q-1.480W
A= lm 2
lm
4 A tua de condução de
calor por meio de um sólido é dircwnemc
proporcional à sua conduliv1dade ténnica.
que é denominada lei de Fourier da co nduçiio térmica, em referência a J. Fourier
(Fig. 1-25). que a expressou pela primeira vez em seu livro sobre transferência de
calor, em 1822. Aqui, 1frldx é o gradiente de temperatura, que é a inclinação da
curva no gráfico T-x (ta.xa de variação de Tcom relação a x) na coordenada x. Are·
lação acima indica que a 1axa de condução de calor em dada direção é proporcional
ao gradiente de temperatura na mesma direção. O calor é conduzido no sentido da
temperatura decrescente, e o gradiente de temperatura toma-se negativo quando a
temperatura decresce com o aumento de x. O si11al negativo na Eq. 1-22 assegurn
que a transferência de calor no sentido positivo dex seja uma quantidade positivo.
A área de transferência de calor A é sempre 11omwl à direção da transferfü1cia
de calor. Para a perda de calor em uma parede de 5 m de comprimenlo, 3 m de altu·
rae 25 cm dee~pessurn, por exemplo, a área de transferência de calor é A = 15 m'.
Observe que a espessura da parede não tem efeito sobre A (Fig. 1- 26).
Vimos que diferentes materiais armazenam calor de modo distinto e definimos a
propriedade calor específico e, como medida da capacidade do material de armazenar energia térmica. Por exemplo, c, 4, 18 kJ/kg· K para a água e e,= 0,45
kJ/kg·ºC para o ferro em temperatura ambienle, o que indica que a água pode
armazenar quase JO vetes mais energia do que o ferro por unidade de massa. Da
mesma forma. a condutividade térmica /e é a medida da capacidade de um material
conduzir calor. Por exemplo. k = 0.607 W/m· K para a água e /e 80.2 W/m·K
para o ferro em lemperatura ambiente, o que significa que o ferro conduz calor 100
WlCS mais rápido do que a água. Logo, dizemos que a água é um 1>0bre condutor
de calor em relação ao ferro, cntretan10 a água é um excelenle meio pura armazenar energia ténnica.
Q
A Eq. 1-21 para a t3ila de transferên<:ia de calor por condução sob condições
pém1anentes também pode ser visualizada como uma equação que define a con·
Na análise de condução de
calor. A representa a área nonnal à direção
da transferência de calor
Capitulo 1
Transferência de Calor e Massa_ _ _ _ _ _ _ __
1 ;u 41
Esquema para o
Exemplo 1 5.
Condutividade térmica de alguns
materiais em temperatura ambiente
Material
Diamante
Prata
Cobre
Ouro
f\lumln10
Ferro
Mercilno (1)
k, Wlm .K
2.300
429
401
317
237
80,2
8,!>4
0,78
Vidro
0,72
lÍJOlo
0,607
Aiuarn
0,37
Polo humana
O,l7
Madeira (carvalho)
O,l52
Hélio (g)
0,13
Borracha macia
0,043
Fibra de llldll)
0,026
At (g)
0,026
Uretano, ospuma r~
dutibilidade térmica. Assim, a conduUvid ude t~rmica de um material pode ser
definida como a taxa de tran.<ferência de calor por mtio de uma unidade de comprinumto de um maJerial por unidade de drea por unidade de diferença de temperatura. A condutividade térmica de um material é a medida da capacidade de o material conduzir calor. Um alto valor de condutividade indica que o material é bom
condutor de calor, enquanto um valor baixo indica que o material é mau condutor
de calor ou isolante. As condutividades térmicas de alguns materiais comuns em
temperatura ambiente são dadas na Tab. 1-1. A condutividade térmica do cobre,
em temperatura ambiente ék .. 401 W/m·K. o que indica que uma parede de cobre
1
de 1 m de espessura deverá conduzir calor a uma taxa de401 W por m de área por
K de diferença de temperatura através da parede. Note que materiais como cobre e
prata são bons condutores elétricos e mmbém bons condutores de calor. com altos
valores de condutividade térmica. Materiais como borracha, madeira e isopor são
maus condutores de calor, logo têm valores menores de conduuvidade.
Uma camada de material de espessura e área conhecidas pode ser aquecida em
um dos lados por um aquecedor de resistência e létrica de comportamento conhecido. Se a outra face do aquecedor for apropriadamen1c isolada, todo o calor liberado pela resistência será transferido para o material como um todo, cuja condutividade deve ser determinadu. Assim, medindo a temperatura das duas s uperflcies
do material q uando a transferência de calo r em regime permanente é atingida e
substituindo na Eq. 1-21 juntamente com outras quantidades conhecidas, obtemos
a condutividade térmica (Fig. 1-28).
A condutividade térmica dos materiai s varia ao longo de ampla faixa, como
mostra a Fig. 1- 29. A condutividade térmica de gases como o ar pode variar por
um fator de 10' em relação aos metais puros, como o cobre. Observe que cristais
puros e metais têm os maiores valores de condutividade térmica, enquanto gases e
materiais isolantes têm os menores.
A temperatura é uma medida da energia cinética de particu las como moléculas
ou átomos de uma subs1ância. Em líquidos ou gases, a energia cinética das moléculas é devida aos movimentos translacional aleatório, rotacional e vibraciooal.
Quando duas moléculas detentoras de energias cinéticas distintas colidem, parte
da energia cinética da partícula mais energética (maior temperatura) é transferida
para a menos energética (menor temperatura), de modo semelhante à colisão de
duas bolas elásticas de mesma massa, mas com velocidadc.s diíerentes, quando
parte da energia cinética da mais veloz é transferida para a outra menos veloz.
Quanto maior a temperatura. mais rápido é o movimento das moléculas e maior o
número de colisões; assim, melhor é a transíerência de calor.
A teoria cinética dos gases prediz. e os experimentos confirmam, que a condutividade térmica dos gases é proporcional à raiz quadrada da temperatura termodinlimica Te inversamente proporcional à miz qua1/ratlt1 tia massa molar M.
Porcanto, para um gás específico (M fixo), a condutividade térmica aumenta com
o aumento da temperatura e, em temperatura fixa, diminui com o aumento de M.
Por exemplo, a uma temperatura fixa de 1.000 K, a condutividade térmica do hélio
(M = 4) é 0,343 W/m· K e a do ar (M = 29) é 0,0667 W/m· K, que é muito menor
do que a do hélio.
na pressno de 1 atm estilo listadas na
As condutividades térmicas de
l 'ab. A- 16. Todavia, tais valores 1ambém podem ser Lltilizados cm outras pressões,
uma vez que a condutividade térmica dos gases é i11depe11de11te d11 pressão em um
grande intervalo de pressões e ncontradas na prática.
O mecanismo da condução do calor em um liquido é complicado por causa
da maior proximidade das moléculas, que permite um forte campo de força inter-
Introdução e Conceitos Básicos
molecular. As condutividades ténnicas de líquidos normalmente estão no intervalo
entre os valores de sólidos e gases. Em geral, a condutividade térmica de uma
substância é maior na fa\.C sólida e menor oa gasosa. Diferentemente dos gases, a
condutividade térmica da maioria dos 1Jqu1dos decresce com o aumento da temperatura. sendo a água uma notável exceção. Como os gases. a condutividade 1émtica
dos líquidos decresce com o aumenio da massa molar. Metais líquidos como o
mercúrio e o sódio t!m alto valor de condutividade e são bastante adequados para
0 uso em aplicações nas quais a alta 1axa de transferência de calor para líquido é
desejada, como em usinas nucleares.
Nos .<61itlos, a condução de calor é devida a dois efeitos: ondas de vibração
de rttle motivadas pelos movimentos vibrncionais das moléculas arranjadas em
posições relativamente fixas, de forma periódica. cons•ituindo redes; e energia
transportada por meio do movimemo livre tios elétrons presentes nos sólidos
(Fig. l -30). A condutividade térmica de sól idos é obtida pela soma do componente de rede e do componente eletrônico. A condutividade térmica relativamente alia de metais puros se deve principalmente ao componente e letrônico. O
componente da rede da condutividade té rm ica depende fortemente de como as
moléculas silo arranjadas. Por exemplo, o diamante, que é um sólido cristalino
altamcn1e ordenado, tem o maior valor conhecido de condutividade ténnica em
temperatura ambiente.
Diferenlemente dos meinis. que são bons condutores de calor e eletricidade.
sólidos cristalinos como o diamante e semicondutores como o silJcio são bons
100
__
Up•
_.,.,..
............
f-- - - - - - - - - - - - - - - 1 t..p.dc
.......
a....
H1drog.i!nHJ
D.1
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Á•
8"""'
Di6xido1lc
carbono
O.OI
1
'--------------------------_J
RA 1 2J
arub1eme.
Faixn de concJuti\lidudc 1c!m1ica de djversos materiais em temperatura
Aquoccdor
elétrico
k - -l-
il(T1 - T,)
Q
Arrnnjo cxpcnmcn1nl
simples parn detenninar a condutividade
térmica de um material.
Transferência de Calor e Massa
º'"
oi' '\
• CollSÕCi
moleculares
.,,,, '\ J
.,..:,
· Dú~
molecular
l
-1. .
Liquido
• Cob.00
• Dtfusio
molecular
eltlronit
Sólido
• v.brações de rede
• Fluxo de clétrOM
livreJi
FIG~ 1A 1 ~'J
Mecanismos de condução
de colorem difereo1cs fases de uma
substílncin,
A condutividade térmica de uma toga
é normalmente muito menor que as
condutividades térmicas de cada metal
dos quais ela 6 composta
k, W/m·K,
Metal puro ou hga
Cobro
Niquei
Constantan (55% Cu, 45% Ni)
Coble
Alumínio
Bronze cometelal
(90% Cu. 10% AI)
a300K
4 01
91
23
401
237
52
condutores de calor, mas pobres condutores de ele1ricidade. Como resultado, tais
materiais encontram uma ampla aplicaçilo na indústria eletrônica. Apesar de seu
alto custo, diamantes são utilizados como dissipadores de calor de dispositivos elelrÕniw~ sensíveis, por causa de sua excelente condutividade ténruca. Óleo e juntas
de silício são comumcnte utilizados na montagem de componentes eletrônicos•
uma vez. que ambos apresentam bom contato térmico e bom isolamento elétrico.
Metais puros têm conduúvidades ténnicas elevndas, e até poderíamos pensar
que ligas metálicas também deveriam ter alta~ condutovidades. Seria de esperar
que uma liga feita de dois metais com condu11v1dndes térmicas k 1e k, úvesse con·
duúvidade k ent.re k 1e k2 • Mas esse não é o caso. A condutividade témúca de uma
liga de dois metais é normalmen1e muito menor do que a de cada metal, como
mostrado na Tab. 1-2. Mesmo pequenas quantidades de moléculas estranhas em
metais puros, que são bons condutores, podem prejudicar seriamente a transferência de calor no me1al. Por exemplo, a condutividade ténnic<1 de aço contendo apenas 1% de cromo é de 62 W/m· K, enquanto as condutividades térmicas do ferro e
do cromo são de 83 e 95 W/m· K, respectivamente.
As condutividades térmicas dos materiais variam com a temperaturn (Tab.
J-3). A variação da condutividade térmica ao longo de certos intervalos de temperatura é insignificanlc para alguns ma1eri11is, mas significa1iva puro outros, como
mostrado na Fig. l-31. As condulividadcs térmicas de ce11os sóüdos exibetn um
aumento drástico para temperaturas 1>r6x.imas de zero absoluto, quando eles se
tomam sólidos s11perc:om/11tores. Por exemplo, u condutividade do cobre atinge
um valor máximo de cerca de 20.000 W/m·K a 20 K, que é cerca de 50 vezes a
condutividade em temperatura ambiente. As condutividades térmicas e outras propriedades térmicas de vários materiais silo indicadas nas Thbs. A-3 a A-17.
Os valores de condutividade térmica apresentados nas Tabs. A-3 a A- 10 são
apropriados quando as dimensões físicas do material em con~ideração são relativamente grandes. Em algumas áreas emergentes de tecnologia. como a microeletrônica, as dimensões físicas estão na ordem de micro ou nanômetros. Para essas
aplicações, dimensões físicas pequenas muito provavelmente influenciam o valor
da conduúvidade térmica nos estados sólido e liquido. Nes.as situaçôeb. com a diminuição das dimensões físicas, a média da distância líquida percorrida pelos vetores de energia nonnalmente dimonui, e isso reduz o valor da condutividade térmica.
A dependência da condutividade térmica sobre a temperatura resulta em complexidade considerável na análise da condução. Por isw, ~ prática comum avaliar
a condutividade térmica k na temperowra midia e tratá.la como uma constante
nos cálculos.
Na análise da transferência de calor. um material é geralmente considerado
isotrópico, is10 é, com propriedades uniformes em todas as direções. Essa hipótese
é realista para a maioria dos materiais, exceto aqueles que apresentam caracterís·
ticas estruturais diferentes em direções diferentes, tais como materiais compostos
de laminados e madeira. A condutividade térmica da madeira oormal em direção 11
fibra, por exemplo, é diferente da paralela cm direçüo à libra.
-
Capít~nlfoduçao e Conceitos Bils1cos
t0.000
Sólido<
A conduti111dade térmica dos materiais
varia com a temperatura
Uquidm
Da amantes
Gase>
T1poll1
-........: Tipo llb
Tipo!
k,W/m·K
AlumínK>
Piuina
--
Vidro p1rocer6m.co
-------
O.t
-------------=-~=-=-=-=--
--
Feno
10
•
--
--
Água
O produto pc,. frequentemente encontrado na análise da 1ransferência de calor, é
chamado capacidade térmica de um material. Tunto o calor específico e, quanto
a capacidade 1é11nica pc, representam a capucidade de am1azename1110 de calor de
um material. Entretanto, e, representa isso por unidade de massa, enquanto pc"'
por 1midade de volume, como pode ser notado a partir de suas unidades J/kg· K e
Jlm'· K, respectivamente.
Alumlnio
100
200
300
400
600
800
482
413
401
393
379
366
302
237
237
240
231
218
Hélio
Tc1raclorc10 de cnrbon<>
Vnpor de ~gua
··..·:· .....
Argônio
800
t.000
1.200
l.400
T.K
Variaçao da condu1ividade 1~11Tiica de vários sólidos. lfquidos e gases com
a 1empcra1Ura~
Outra propriedade de um material que aparece na análise da condução de calor
transiente é a difusivida de térmica, que representa a \•elocidade com que o calor
se difunde por meio de um material e é definida como
..
-·-------·"'· 1
(m I)
Note que a condutividade térmica k representa como um material conduz bem
o calor, e a capacidade térmica pc, representa quanta energia um material pode
armazenar por unidade de volume. Por isso, a difusividade térmica de um material
pode ser entendida como a rnzão entre o calor co11duüdo por meio do material e
o calor annazenado por unidade de volume. Um material com alta condutividade
térmica ou baixa capacidade térmica terá obviamente grande difusividade térmica.
Quanto maior for a difusividadc térmica, meis rapidamente será a propagação de
calor no meio. Um pequeno valor de difusividade térmica indica que a maior parte
do..calor é absorvida pelo material e uma pequenll quantidade de calor é conduzida
nchnnoe.
D1fusividade termica
Coble
Óxido de alumínio
Quartto cluro fundido
O,Ol ~-----200
400
600
T, K
As difusividades té1-micas de algw1s materiais comuns a 20 ºC são apresentadas na Tab. 1-4. Note que a difusividade térmica varia de a = 0, 14 x JO- • m'ls
para água a Ct = 149 X 10 • 1112/s para prata, uma diferença de mais de mil vezes.
Observe também que as difusividadcs témlicas da carne bovina e da água são as
mesmas. Isso não é surpreende111e, uma vez que a carne, os vegetais e as frutas
frescas são constiluídos principalmente de 1'gua e. portanto, têm as mesmas propnedades térmicas dela.
OifuSlvidade térmica de aleuns matc11a1s
em temperatura ambiente
Matenal
ª• ml'Js
Prata
Cobre
149 X 10'
127 X 10 1
113x10- •
Ouro
Alumlnm
97,5 X 10 ''
Ferro
22.8 X 10 '
Mercúrio (t)
Mármore
Gelo
4,7 X 10 '
1,2 X 10- 6
l,2 X 10-•
0,75 X 10-•
0.52 X 10'
0,52 X 10 6
0,34 X 10 6
0,23 X 10 1
0,14 X 10 O
0,14 X 10-•
0,13 X 10 1
Concreto
Tijolo
Solo denso (seco)
Vidro
Lã de vidro
Água (t)
Bife
Madeira (carvalho)
Capítulo 1
Transferência de Calor e Massa
"
L
}a,
l 1
Aparelho para medira
condutividode Lérmica de material usando
duns omosirns idênticas e nque<:edor com
rcsisU!ncin fina (Exemplo 1- 6).
Conversão entre unidades no SI e Inglesas
Medição da condutividade térmica de um material
Uma maneira comum de medir a condutividade 1~ica de um material ~ faier um
sanduíche de um aquecedor elétnco entre a. duas amostras 1dênucas do maten•I,
como moslnldo na Fig. 1-32. A espessura da rcsis1!ncia do aquecedor. mclumdo
sua cobenura, fei1a de bomlcha de silicone fina. nonnalmcme é mfcnor a O.S mm.
Um fluido de resfriamento c1ttulantc, como jgua da lonnctra. mantém as cxtn:midades expos1as das amosln\S a uma temperatum constante. As superflc1cs laterais das
amosuas são bem isoladas para garantir que a 1ransfcrência de calor por meio das
amostras seja unidimensional. Dois 1ennop:ues ~lo cmbutide>l em cada amostra a
uma distância L enlre eles, e um termõmelro d1fcrcnc1al mede a queda de lcmperatura 11T ao longo de cada uma. Quando as condições operac1ona1~ estáveis são alcançadas, a taxa lotai de transftrência de calor, por meio de ambas as •mostras. roma-se
igual à energia elétrica consumida pelo aquecedor.
Em certo experimento, sllo usadas amostl'll5 cilíndricas de S cm de difimetro
e 10 cm de comprimcnio. Dois 1cnnoparcs são colocados cm cada uma com 3 cm
de espaçamenlo. Após o período inicial de transição, observa-se que o aquecedor
e."'
Um engenheiro que
1rabelhando na análise da transferência de calor de um
cddlc10 construido com UJOIOS preciso saber da condut1v1dadc lérmica do tijolo cm
unidades inglesas. No entanto, o único valor que ele cnconlt'OU em seus manuais foi
o.n Wlm·"C. que est' cm umdades no SI. Para dificultllr ainda mais. o engenheiro
não tem o fator de conversão due1a entre os dois sis1cmas de unidade de condutividade térmica. Voe:! pode •Judá-lo?
A 'iluaçlo que esse engenheiro es1• enfrentando não é única. e 1 maioria dos engenheiros cnconl"·SC, muitas vezes, cm sítuação idêntica. É preciso ler
mujto cuidado durante a conversão de unidades para não cair em armadilhas comuns
e evitar erros dispendiosos. Embora a conversão de unidades seja um proces.;o simples, exige maior atenção e raciocínio cuidadoso.
Os fatores de conversão para W em sno simples e constam cm tabelas de
conversão
1W w 3.4121481u/h
1 111 - 3.2808 pés
elélrico consorne 0.4 A cm 110 V, e os dois termômetros diferenciais medem uma
diferença de temperatura de 15 •e. De1ennine 11 condu1ividadc 1énnica da amosua.
ílLUt '\O
Introdução e Conceitos Básicos
Dterminar a condutividade lérmica de um mutcl'inl po.rn gamaür a con-
dução de calor unidimensional, por meio da mediçllo dn tcmpcnuura, quundo as
condições oper<1cionais forem es1ávcis.
,.
t Existem condições operacionais estáveis, então ns leituras de temperatura não mudam com o tempo. 2 As perdas de calor f)Or meio das superfícies laterc1.is do aparelho são insignificantes, uma vez que essns Jo.upcrffcies são bem isohtdas
e, portan10. 1odn o calor gerado pelo aquecedor 6 conduzido por meio das amos1ras.
3 O aparelho 1cm simetria ténnica_
Todavia, a conversllo de 'C em ' I' n~o 6 tão simples e pode ser uma fonle :le erro
se nllo formos cuidadosos. lmcdiainmcrue pensamos em substituir •e por {ºF 32)/1,8,já que T(ºC) • IT(ºf') - 32)11,8. Mas Isso está errado, pois o 'C n" Lnidade
W/rn·ºC representa a mudança dt 1empe,.<11Ura por ºC. Como i1 mudança de l ºC na
temperatura corresponde n 1,8 'P, o fmor de conversão adequado é
1 ' C • 1.8 'F
Substituindo, obremos
1 W/m·ºC -crtfo~ ~ ~\~.F)
2
A energia elétrica consumida pela resistência do aquecedor e convertida
cm calor é
5
- 0,5778 Btu/lqJé.•p
o.n
Wlm·"C
- 0,42 B1ulh ·~·'I'
que é o fator de conversão desejado. Por isso. a conduuvidade ténnica do tij>lo cm
unidades inglcsas é
IV, ~ V/ - (l IOVX0.4A) - 44 W
~-
A taxa de fluxo de calor por meio de cada 1mosua 6
0,72 W/m·ºC
~ 0,72 X {0,5778 Btulli·pé ·ºF)
Q - ~ IÍI, - 4X (44 W) - 22 W
cntio, •penas metade do calor gerado ílui por meio de coda amoctra por causa d.A
simetria.. Lendo a mesma diferença de 1empentlura ao lonao da mesma distância em
cada amostra, também se conftrma que o aparelho tem simetria ttnn1ca. A Arca de
transferência de calor é a área perpendicular à direção dessa transferência, que é a
área da seção uansvcrsal do cilindro, neste caso
! .,,{)' = ! '11'(0,05 m)' = 0.001963 m1
Observando que a tempernrurn diminui 15 ºC "º longo de 3 cm no sentido do Du>o
Nole que o valor da cnnduuvidadc 1mn.1ca de. um material em n1.idades
inglesas é cerca da metade que em onidodes no SI (Fig. 1- 33). Observe ~m que
o rcsuhodo foi arredondado para dois al&arismos significativos (o mesmo 1ómero
que no "YalOf original), uma vez que expressar o resullado com mais algarismos sig-
nificativos {como 0.4160 cm vez de 0.42) unplicaria falsamcnle um valo.- mais exato
do que o originnl.
A=
por0.S778.
de caJor, a condutividade l6rmicn dn amostra pode ser detemunndn
.
11T
Q = kA T
4
Q /..
(22 W)(0,03 m)
k =A t>T = (0,001963 m2)(15 ºC) •
\
""°' 1"'
K
n
Talvez você esteja se pe1·gu111nndo se realmerllc preci8"mos ulilizar duas
a.mostras no aparelho, uma vez que ns medições na scgundt' amostra não fornecem
nenhuma informação adicional. Parece que poderíamos substituir a segunda amostra
por um isolamento. Na verdade, nllo precisamos da segunda amostra, no entanto ela
nos permite verificar a temperatura medidu nn primeiro n1nos1ra fornecendo uma
sjmetria ténnica, o que reduz o erro expelimenrnl.
O valor da conduuvidadc
ténnica em unidades inglesa.~ é obtido pclB
multiplicação do valor em unidades no SI
7 CONV CÇÃO
Convecção é o modo de 1ransfcrêncin de energia entre a superfície sólida e a líquida ou gás adjacente, que está em movimento e que e nvolve os efeitos combinados
de co11d11çiJo e de movimento de 11111 fluido. Q uanto mais rápido for o movimento
do fluido, maior será a transferência de calor por convecção. Na ausência de qualquer movimento da massa de fluido, a transferência de calor entre a superfície
sólida e o fluido adjacente se dá por pura condução. A presença de movimento
da massa de fluido aumen1a a 1ransícrência de calor entre e les, mas isso também
d ificulta a detenninação das 1axas de transferência de calor.
Transferência de Calor e Massa
T.
Transfe~ncía de calor
de uma supcrfTcie quen1e para o ar por
convecçilo.
Corwecç!lo
forçadn
Convecçoo
113ll11'31
Ar
Capítulo 1
Considere o resfriamento de um bloco quente por ar frio \Oprando sobre sua
superficie superior (Fig. 1-34). O calor é primeiro 1rnnsfcrido para a camada de
ar adjacente ao bloco por condução. Esse calor é, então, transportado para longe
da superficie por convecção, isto é, pelos efeitos combinados de condução dentro
do ar causados por movimento aleatório das moléculas do ar e por movimento da
ma'53 ou macroscópico do ar, que remove o ar aquecido próximo à ~upcrflcie e o
substitui por ar mais frio.
A convecção é chamada convecção forçada -;e o íluido é forçado a fluir sobre a
superffcie por meios externos, como ven1ilador, bomba ou vemo. Em contrapartida, a
convecção é chamada convecção natural (ou livrt) se o movimento do fluido é causado por forças de flutuação induzidas por diferenças de densidade, decorrentes da
variação da temperatura no fluido (Fig. 1-35). Por exemplo. na ausência da ventoinha, a transferência de calor da supcrficie de um bloco qucnle (Fig. 1-34) se dá por
convecção natural, uma vez que qualquer movimento no ar, nesse caso. será devido
à subida do ar mais quente (e, portanto, mais leve) próximo da supcrllcie e à descida
do ar mais frio (e, portamo, mais pesado) para preencher o seu lugar. A transferência
de calor entre o bloco e o ar ao seu redor será por conduçilo ~e a di ferença entre a
temperatura do ar e do bloco não for grande o i.uficicnte para vencer a resislência
para o movimento do ar e, portanlo, para iniciar as correntes de convecção natural.
Processos de transferência de calor que envolvem 111udm1ça defnse de íluido
são igualmente considerados convecção por causu do movimento ele fluido induzido ao longo do processo, como subida de bolha~ de vapor durante u ebulição ou
queda de gotfculas de líquido duranie a condensação.
Apesar da complexidade, observa-se que a 1axa de tran:ijel'iincia de calo,. por
convecção é proporcional à diferença de temperatura, sendo convenientemente expressa pela lei de Newton do resfriamento como (Fig. 1-36)
( 1- 24)
Resfriamento de um ovo
quenle por convecção forçada e naiuml.
Valores tlpi<:os do coeficiente de
transferência de calor por convecção
Tipo de convecção
h, Wlm'·K
Convecção livre de
2-25
gases
Convecção livre de
llQu1dos
Convecção forçada de
lO·l.000
25-250
gases
Convecção forçada de
llQuidos
Ebulição e
condensação
onde h é o coeficiente de transfer€1tcia de calor porcom•ecçlfo cm W/m'- K, A, é a
área da superfTcie por meio da qual a transferência de calor por convecção ocorre,
T, é a temperatura da superficie, e Too é a temperatura do fluido suficientemente
longe da superficie. Note que, na superficic. a temperatura do fluido é igual à temperatura da superfície sólida.
O coeficiente de transferência de calor por convecção h não é uma propriedade
do fluido. Trata-se de um parâmetro determinado experimentalmente, cujo valor
depende de todas as variáveis que influenciam a convecção, como geometria da
superfície, natureza do movimento do fluido, propnedades do fluido e velocidade
da massa de fluido. Valores típicos de li são apresentados na Tab. 1-5.
Algumas pessoas não consideram a convecção um mecanismo fundamental de
transferência de calor, uma vez que 6 essencial a condução de cnlor na presença do
movimento de fluido. Todavia, ainda temos de nomear esse fenômeno combinado, a
menos que estejamos dispostos a cominuar nos referindo a ele corno "condução com
movimento de fluido". Assim, é mais prático reconhecer n convecção como um mecanismo sepanido de transferência de calor, apesar dos ill'gumentos comrários válidos.
50-20.000
2.500-100.000
EXEMPLO 1 -8 Como medir o coeficiente de transferência de calor por
convecção
Um fio elêtrico de 2 m de comprimenlo e 0,3 cm de di6mc1ro se cslcndc por um•
sala a J5 •e, como mostrado na Fig. 1-37. Calor é gerado no fio como re>uliado do
aquecimeo.10 da resistência. A medida do lempcro.tura na superfície do fio é J52 •e.
•loiij••
Introdução e Conceitos Básicos _ _J. .
em funcionamcmo cs1ávcl Além disso. as medidas da quedo de leosâo e da corrente
elé1rica amivés do fio smo 60 V e 1,5 A, rcspc<:tivamente. Ignorando qualquer transferência de calor por radiação, determine o coeficiente de transfereocia de calor por
convecção para a tmnSf~nc1a de calor enltt a supcrfic1c externa do fio e o ar na
sala.
Dc1errrunar o coeficiente de 1ransfe~oci1 de calor por convecção da
troca de calor de um fio aquecido eletricamente pan1 o ar pela medição da 1empera-
rura quando condições operacionais cso4>'C1S são 11ingid3>.
1 Condições opcrac1onau e.i4vc1s c>UStem. uma vez que as lei1uras de
temperatura não mudam com o lempo. 2 /\ transfe~ncia de calor por radiação é
desprezada.
Quando as condições opcracionoi• cs1ávcis são alcançadas, a taxa de perda
de calor do fio é igual à taxa de geração de calor no fio, como resuhado do aquecimento da resistência, Isto~.
Q~ E,,_ = VI • (60 V)( 1.5 A) ~ 90 W
A áren superficial do fio é
nasceu em Lini:;olnshire, lnglrttcrrn. é
A, - wD/... = 'lt(0,003 m)(2 m) ~ 0,01885 m1
A lei de Newton do resfriamento para n trt1nsferêncin de calor por convecção é expressa como
Ó- a ltA,(T, - T.)
Ignorando qualquer 1ransferencia de calor por radiação e. assim, assumindo que todas as perdas de calor a panir do fio devem ocorrer por convecção, o coeficiente de
transferência de calor por convecção é dc1erminndo como
h =
1 14
O mn1cmá1ico, físico e
astrônomo lsauc Newton ( 1642-1727)
Q....,
90W
A,(.T, -T.)
(0,01885 m-,)(15-2- 15_)_º_
C
4,9W/m K
No1e que a simples configuraç!o dc>crila acima pode ser utili1,.ado pan1
determinar os coeficientes m.Wios de lnlnsfcitncia de calor para uma YilrÍedade de
supcrficies no ar. Além d15'IO, a transfCianc1a de calor por radiação pode ser eliminada mantendo as supcrflcics vi1inhas na tempcnuura do fio.
considerado um dos maiores cien 1istíl~
e rnatemá1icos da his1órin. Sua!S
contribuições para a mntemd.1ica incluem
o desenvolvi rncnto do teorema b inomial
do cálculo diferencial e integ111l. Segundo
relatos, Newton concebeu a idein da
lei da gravidade pela obscrvaç3o da
queda de uma maçll, cm 1665. Por causa
das três leis fundamentai' que levam
seu nome, descri1as cm Philosoplllat
Natura/is Pn"11cip;a Matlrt'marica, Ncw1on
~ conhecido como o pai da mcclnica
clássica. Mostrou que cada um• das três
leis de Kepler sobre o movimento 00.
planetas e das es1rclas pode"'" derivoda
da única lei da gravidade. Crcdota-liC
também a ele a descoberta cb natureza
composta de luz bronca e da >Cparaçlo
de cores difcn:nres por um prism:t
A lei de resfriamcnro que rege a tua
de transferência de calor n partir de
uma superffcie quente paro um nuido
Radiação é a energia emitida pela matéria sob a forma de ondas eletromagnéticas
(ouf6tons) como resultado das mudanças nas configurações eletrônicas de átomos
ou moléculas. Ao contrário da condução e da convecçilo, a 1ransferência de calor
por radiação não exige a presença de um meio inlcrveniente. De fato, a transferência de calor por radiação é mais rápida (na velocidade da luz) e não sofre atenuação no vácuo. Essa é a forma como a encrgin do Sol utinge a Terra_
Em estudos de lransfcrência de calor, esinmos interessados em rndiação térmica, que é a íorma de radiação emit idu pelos corpos por caus" de sua temperalura. Ela difere de ou1ras formas de radiação clelromagnética, como raios X, raios
gama, micro-ondas e ondas de rádio e televisão, que não e~1 ão relacionadas com a
temperaiura. Todos os corpos a uma 1empcratura superior ao zero absoluto emitem
radiação lénnica.
A radiação é um fen1Jme110 •'Ol11111étrico, e todos os sólidos, Jfquidos e gases
emitem, absorvem ou transmitem radiação cm difcre111es graus. No entan10, a radiação é geralmente considerada umfen1Jme110 .wperfi<:ial para os sólidos opacos à
circ:undante mais frio d Ulmbém alribufdn
s Newton.
(0 Pi..J.tal I ag~ Fotostock RF.)
(152°C
li
14-- -- - - 6 0 v - -- - ->l
Esquema pnrn o
Exemplo J-8
Capítulo 1
Introdução e Conceitos Básicos
Transferência de C;.::ac.loc.rc.ec.M
_ ac.
ssa
=-----------
Q-- - ~
- l.4S2Wlm2
A n1cbaçiio de corpo
radiação térmica, como metais, madeira e rochas. uma vez que a radiação emitida
pelas regiões do interior desses materiais não pode nunca chegar à superfície, e
a radiação incidente sobre esses corpos normalmente é absorvida por alguns ml·
crons a partir da superfície.
A taxa máxima de radiação que pode ser emitida de uma super{lcie na temperatura teonodioâmica T, (em K ou R) é dada pela lei de Sleían-Boltzmann da
radiação térmica como
negro representa a quanlldad• mdxima
d• rrJd1açtJo qu• pod• su •n1111do por
l i "lc;.\
uma su~rflc•t tm uma dtttmiinoda
onde u =o 5.670 X ler' W/m'· K' é a con.rtallle de Stefan-Boltuna11n. A superfície
ideali:zada que emite radiação a essa taxa máxima é chamada de corlHJ negro, e
a radiação emitida por um corpo negro é denominada radiação de corpo negro
(Fig. 1-38). Aquela emitida por todas as superfícies reais é menor do que a emitida
por um corpo negro com mesma temperatura, expressa como
umperaruro.
Emissividades de alauns materiais a
o
300 K
Material
Alumfnlo em tolhas
l\lumlnlo anodltado
Cobre polido
Ouro polido
Prata pellda
Aço Inoxidável polido
Emiss1v1dade
Pintura preta
0,98
Pintura branca
Papel branco
Pavimento aslilhco
0,90
0,92-0,97
TIJOio vermelho
0,93-0,96
Pele humana
0,95
Madeira
0,82-0.92
0,93-0,96
Temo
0,07
0,82
0,03
0,03
0,02
0,17
0,85-0.93
0,96
0,92-0,96
Aeu•
Vegetaçao
a,..
FI~ UI A 1
n Ab;orçno da radiação
incidente sobre umn supcríície opaca de
absortividade a.
I~
l
intervém na radiação, a 1axa líquida de transferência de calor por radiação entre
essas duas superflcies é dada por (Fig. 1-40)
Nesse caso específico, emissividade e áJ'Cll da •uperflcic envolvente não cêm nenhum efeito sobre a transferência de calor liquida por radiação.
A transferência de radiaç~o de calor de ou para uma superfície cercada de
gás, como o ar, ocorre parale/a111e111e por condução (ou convecção. se houver um
movimento da ma•sa de gás) cmre a superfície e o gás. Assim, a transferência total
de calor é delerminada pela adição das contribuições de ambos os mecanismos de
transferência de calor. Por simplicidade e conveniência. isso é muitas vezes feito
por meio da definição de um coelicienle combinado de transferência de calor
"""""'.- que inclui t~nt? os efei1os da radiação quanco os da convecção. Então, a
taxa total de transferencm de calor a partir de ou para uma superfície por convecção e por radiação é expressa como
Superfk1es
vJz.intwem
Ta
Ó..i - <a
A,rr: - -r,,)
Transferência de calor por
radiação entre uma •uperflcic e superffcics
vizinhas.
(1-'"'
onde e é a emissividade da superffcie. A propriedade emissividade, cujo valor está
na faixa de O :s e :s l, é a medlda de quanto uma superfície aproxima-se do comportamento de tun corpo negro, para o qua1 s =- 1. As emissividades de algumas
superfícies são apresentadas na Tab. 1- 6.
Outra propriedade importante da radiação de uma superffcic é sua nbsor tividade a, que é a fração de energia de radiação incidenlc sobre a supertlcie que a
absorve. Assim como a emissividade, seu valor está na faixa Os a s !. Um corpo
negro absorve toda a radiação incidente sobre ele. Isto é, um corpo negro é um
perfeito absorvedor (a=- 1) e um perfeito emissor.
Em geral, tanto e quanto a de uma superfície dependem da temperatura e
do comprimento de onda da radiação. A lei de Kirchhorr do estado da radiação
indica que a emissividade e a absorcividade de uma superfície a uma determinada
temperatura e comprimento de onda são iguais. Em muitas aplicações práticas,
a temperatura superficial e a temperatura da fonte de radiação incidente são da
mesma mdem de grandeza, e a absonividade média de uma superfície é igual à sua
emissividade média. Em uma superfície, a taxa de absorção de radiação é determinada a partir de (Fig. 1-39).
onde Q~..,.,. é a taxa de radiação incidente na superfície e a a absortividade da
superfície. Para superfícies opacas (niio transparentes), a porção da radiação incidente não absorvida pela superfície é refle1ida de volta.
A diferença entre as taxas de rad iação emitida pela superfície e de radiação
absorvida é a transferência de calor líquida por radiação. Se a taxa de absorção de
radiação é maior do que a taxa de emissão da radiaçno. a superfície está gm1ha11do energia por radiação. Caso con1rárío. a superffcic está perde11do energia por
radiação. Em geral, a determinação d a rnxa líquida de transferência de calor por
radiação entre duas superfícies é uma qucs1no complicada, uma vez que depende
das propriedades das superffcies, das orientações de uma em relação às outras e da
interação no meio entre as superfícies com radiaçllo.
Quando uma superfície de em issividade e e área superficial A1 a uma temperatura termodinâmica T, é completamente delimiwda por supertlcie maior (ou preta)
a uma temperatora termodinâmica T.,, separadas por um glls (como o ar) que não
L
Q,
1_
~
(T
T)
IW)
(1 29)
r Hr" ri
Note que o coeficiente de transferência de calor combinado é essencialmente um
coeficiente de craosferllncin de calor por convecção modificado para incluir os
efeitos da radiação.
Em geral, a radiação é signi licaciva em relação à condução ou à convecção
natural, mas insignificante em relação à convecção forçada. Assim, em aplicações
de co~vccçlio fo_rçada, a radiação é geralmente ignorada, sobretudo quando as superfícies envolvidas tem emissividade baixa e temperatura baixa a moderada.
Efeito da radiação no conforto térmico
Sala
Scn1ir "'frio" no inverno e ''calor.. no verão ~ uma eJ;pe.riêocia comum em nossas
casas. mesmo quando o tcnnost.a10 é man1ido na mesma posição. Isso ocorre por
causa do chomado "efeito radiação", resultante das trocas de calor por radioção entre
o nosso corpo e as •uperffci~ das paredes e do 1e10.
Considere_ u~ pessoa cm pé cm lllN sala mantida a 22 ºC durante todo o 1empo.
~ supen:=1es 1~1enore.s de parede.$, povlmencos e tetos estilo em uma temper.uura média_de 1o e no inverno c 2S "Ç no veriio. Determine • taxa de lransfetência de calor por
rad1~ão enl~ essa pessoa e aJ ~uperflcic.~ ao seu redor, se a área e a 1emperalura média
das supcrflc1es expostM da pessoa são 1,4 m2 e 30 ºC. respeclivameme (Fig. 1-41).
Determinar as iaxas de transferência de calor por radiação entre uma
pessoa e as superfícies ao seu redor, para teonpcraturas especificas no verão e no
mvemo.
·,
F1
Exemplo 1-9.
l Existem condições operacionais estáveis. 2 A 1ransferência de calor
po~ co.nvec_ção nilo é considerada. 3 A pessoa é completamente cercada pelas super-
fícies 1nter1ores da sala. 4 Os arredores sno ~upcrllcics com tempcrntura uniforme.
A emissividade da pessoa és - 0.95 (Tllb. 1-6).
(cominua)
Esqucmu para o
Capítulo 1 • lntroduçao e Concellos Bâs1cos
Transferência de Calor e Massa= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Por último, a transferência de calor por meio do 1·l1c110 só ocorre por radiação,
já que a condução ou a convecção exigem a pre!.ença de um meio material.
(rontinooroo)
As iaxas liquidas de 11·11n<fcrencia de calor por radiação do corpo para paredes. teto e piso que o rodeiam no vcrlo e no in,•emo são
Q..., ...... =wA,(I't - T~.._)
= (0,95)(5,67 X 10- • W/m2·K·)(J ,4 m')
X ((30 + 273)' - (10 + 273)') K•
1
CXE
Perda de calor de uma pessoa
Ar
Considere uma pessoa cm pé cm uma sala a 20 ºC. Detcnnine a taxa total de uansfcrincia de calordes\a pc<soa cons1denmdo que a superf!cie exposta e a ternperarura
média da superflc1e da pessoa $110 1,6 m' e 29 ºC. n:spcctivamcnte. O coeficiente de
transferência de calor porconvecç!l<>é de 6 W/m'· K (Fig. 1-43).
20-C
da..Ja
e
Q..s.-..,= &UA,(T:- T.1,.- )
= (0,95)(5,67 X 10 -• W/m2 ·K•){l,4 m')
X [(30 + 273)' - (25 + 273)') K•
Note que te mos de usar 1em/)era111rt1s tem1ndh1ltmicas (011 uja, em ter
mos abso/wos) cm cálculos de rndinçno. Observe rnrnbtm que o 1axa de perda de
calor por radiação da pessoa é quase qua1ro vezes maior no inverno do que no verão,
o que explica o "frio'' c1ue sentimos no inverno. mesmo qullndo o tcnnostato é mana
tido na mesma posição.
1- 9
r1
....
Sólodo
r,
""""º
1 moclo
Conduçlo
T1
........
Gb
r,
Rad10<;lo
2 modos
Coo~uçlooo
convecção
T1
Vkuo
Rodioçao
[1
1 modo
Embora exis1am três
fl URA 1 4
mecanismos de trnnsl'citncin de calor,
um meio pode envolver apçnai dois deles
simul1ancnmente.
MECANISMOS SIMULTÃNEOS DE TRANSFERENCIA
DE CALOR
Mencionamos que há três mecanismos de transferência de calor, mas nem todos
podem existir simultaneamente em um meio. Por exemplo, a transferência de calor
é apenas por condução em sdlido.< opacos, mas por condução e radiação em sdlidos semi1ronspare11tes. Assim, um sólido pode envolver condução e radiação, mas
não convecção. No entanto, um sólido pode apresentar transferência de calor por
convecção e/ou a radiação em suas superflcies expostas a um fluido ou a outr.IS superlicies. Por exemplo, a superficie ex1ema de um pedaço de rocha fria inl aquecer
em um ambiente quen1e como resultado do calor ganho por convecção (a partir
do ar) e por radiação (do Sol ou das superfTcie~ quente!> ao redor). Mas as partes
interiores da rocha iriio aquecer à medida que o calor é transferido por condução
para a região interior da rocha.
Em um fluido em repouso (sem movimento de massa do fluido). n transferência de calor ocorre por condução e, possivelmente, por radiação. Em um fluido
escoa11do, ela ocorre por convecção e radiação. Na ausência de radiação, a transferência de calor por meio de um fluido ocorre por condução ou convecção, o que
dependerá ela presença de qualquer movimenio de massa do fluido. A convecção
pode ser vista como uma cond ução combinocla com escoamento do fluido. e a condução em fluido pode ser vista como um caso especial de convecção. na ausência
de qualquer movimento do fluido (fig. 1-42).
Assitn, quando se tratar de 1ransfe1·ência de calor por 111eio de um fluido, 1emos
condução ou convecção, mas não ambas. Além disso, os gases são praticamente
transparentes à radiação, com exceção de alguns gases conhecidos por absorver for1emen1e a radiação em determinados comprimen1os de onda. O ozônio, por exemplo,
absorve fonemente a radiação ultravioleta. En1retan10, na maioria dos casos, um gás
entre duas superfícies sólidas não interfere na radiação e atua de modo eficaz como
um vácuo. Por sua vez, os Uquidos são. em geral, fones absorvedores de radiação.
e-_
•
Detemünar o valor 101al da taxa de LnnsfcrSnc1a de calor por convccçao e ~d1ação de uma pessoa para o ar umb1cn1c e supcrlTcies com uma 1emperatura
espec1ficada.
1 Bxi~tcm condições openieiona1s estacionárias. 2 A pessoa está completamente cercada pela;. superfícies mtcma.s du salta. 3 As supertlcies circundantes
estão nn mcsmn temperoturn do ar no quano. 4 A condução de calor através dQS pés
para o piso é dcsprc1ada.
A emissividnde do pessoa és• 0,95 (Tab. 1-6).
_ /
A trnnsferêncin de calor entre n pessoa e o nr no quarto se dá por convecçao (em ve1.. de condução), umn ve1 que o ar nn proximidade da pele ou das roupa.li
aquece e sobe como rcsuhndo do 1rnnsfe1·ência de calor do corpo, iniciando as oorren1es de c~1wecçAo nnturnl. O \lnlor determinndo e,,;pcrimcnralmcnte para a taxa de
rra~sferêncrn de calor por convccçno. ne>Se caso, t 6 w por unidade de superlTcie
(m ) por unida~e de diferença de ternperaturo (em K ou ºC) entre a pessoa e o ar
longe dela. Assun, a taxa de transfcrencia de calor por CQnvecção da pessoa para 0
ar na sala é
Ó- - M, (T, - T)
- (6 W/m2·KXl.6 m2X29
- 86.4 w
20) ºC
A pessoa tambtm perde calor por radiação para as superlTcies das paredes envolvcn1es. Tomamos a tenipera1un1 das supcrlTcies de paredes. teto e piso igual à temperatura do ar. nesse caso. pela simphc1dadc. ma> reconhecemos que esse não precisa
~r o caso. Essas soperflcies podem estar em temperatura maior ou menor do que
• temperatura m~d1a do ar amb1en1c. o que dependcnl da> condições externas e da
<Slnuura das paredes. Considerando que o ar não interfere na radiação e que a pessoa
é comple1amcnte envolvida pela> superlTciC> vizinhas. a taxa liquida de transferindo
de calor por radiaç3o da pessoa para paredes. teto e piso t
Ó...i - euA, (T: Tt.)
• (0,95)(5,67 X 10- • Wlm' ·K')(l.6 ni')
X [(29 + 273)' - (20 + 273)') K'
~
81,7 W
Note q~e temos de usnr 1empcr1uums ttrmodin/Jmica.; nos cálculos da radiação.
A.lém dissu, ntenie para o mio de que usamos o valor da emissividade para a pele e
8~ r~upns na tcmpemturu ambiente. umn vc1. c1
uc a cmiMivh.ladc não deve se alterar
s1gmficativan~ente parn uma temperaturo pouco superior.
Em seguida, n 1axa total de crnnsf'e!'ência de calor a partir do corpo é delermina·
e.la pela nd1çlio dcsrns duas qunntl.dadcs:
Q...., - Q..... + Q.,., = (86.4 + 8 1,7)W ;; ! í8W
(cominua)
ri UR 1
Trnnsfcrêncin de cnlor dn
pessoa descrirn no Bxemplo 1- 10.
Capítulo 1 • Introdução e Conceitos Básicos
Transferência de Calor e Massa
300 K
300 K
200 K
200 K
(C'Otl'tinuaçõo)
A tnmsfer!ncia de calor seria muho maior se 3 pessoa não estivesse vestida, já que a temperalura da supcrficic exposta seria maior. Assim. uma função imponantc do vestuário ~ SCJVir cmno barreim con111 a 1ransrcrenct1 de calor.
Nesse cãlculo, a tnmsferincia de calor por conduçlo atravü dos ~ para o
chão, que nonnalmentc é muito pequena,~ negligenciada. A 1t1nsfcrêocia de calor
na pele pelo suor, principal meio de transferência de calor cm ambientes quentes,
não foi considerada aqw.
AMm disso. as unidades W/m1 •º C e W/m' · K para o coclic1cntc de transferência
de calor são equ.ivalenles e podem ser lroc:tdtt.5 entre s1
lan
lcm
(a) Espaço de 1r
T•300Kb JT •200K
2
1
Q
/,. • 1 cm
s• I
1 10 1
1- 11.
Esqucmn para o Exemplo
(b)V6cuo
(d) Sup<risol"1DCllto
(e) lsolamemo
Difcrenlei. maneiras de reduzir a 1ransferência de c.a.lor emre duas placas isoténnicas e suas
Transferência de calor entre duas placas i sotérmicas
Considere a rransferência de calor permanente entre duns grandes pintas pa.ralelas
com tcmpernturas constantes T1 = 300 K e 7'2 " 200 K. que esHlo separadas de l =
l cm, como mostrado na Fig. 1-44. Considere que as superficies são co1pos negros
(emissividade s=- 1) e determine a rnxa de transferência de color e.ntrc as placas por
unidade de área, assumindo que o espaço entre ns placas é (a) preenchido com ar
atmosférico, (b) evacuado. (e) cheio com isolamento de poliuret:mo e (d) preenchido
com superisolamenlo de condu1ividnde túmica 11pnrcn1c de 0,00002 W/m·K.
.AO
o valor miai da taxo de irnnsferência de culor entre duas grandes placas
paralelas: a uma temperaLUra e.~peciticadn deve ser determinado para quutro casos
diferenle.s.
1 Exi.st·em condições operacionais estáveis. 2 Não CÃiste.m correntes: de
convecção natural no ar entre as placas. 3 As superficie• são negros. ponanto s= 1.
A condutividade t<!nnica na temperatura média de 250 K é k = 0,0219
W/m·K para o ar(Tab. A-15). 0,026 W/m·K para o 1solamen10 de poliuretano (1àb.
A--0) e 0.00002 W/m· K para o superiwlamento.
(a) As taxas de transferência de calor por conduçiio e radiação enlrc as
placas através da camada de ar são
.
T - T2
(300 - 200)K
Q.,.. = kA -1L - = (0,0219 W/m·K)(I m') O,õiÕi
= 219 W
eficiências.
através dos espaços vaUos do ma1erial isolante. A taxa de transferência de calor por
meio do isolamento de poliurc1ano ~
.
.
T, - T,
(JOO - 200)K
l - - (0,026 W/m·K)( 1 m')
O,OI m
=
Q,..,, = Q,..,, - kA -
W
Note que a trnnsferêncio de calor atrnvés do mnterial poliurclanu ~ menor do que
oqucla através do ar, dc1crminnda em (a), upcs;ir de a condutividade 1érmica do isolamento ser mais elevndn do que o do nr. Lsso ocorre porque o isolamento bloqueia a
rad1ação enquanto o ar a transmite.
(d) As camadas de superisolomcnto impedem qualquer transferência direia de calor
por radiação cnlTe as placa.s. No entanto, a transfer&cia de calor por radiação entre
as folhas. de superisolamenlo OCOrTC, e• condulividade ténnica aparente do superisolamcn10 leva em conta esse efeito. Portanlo.
Q
"""'
= kA T, - T1 = (000002 W/ ·KXI ' ) (300 - 200)K
l
·
m
m
0,01 m
1
q~ é 1.845 do calor tra11>ferido por meio do v4cuo. Os resultados desse exemplo
soo rcsunudos na Fia. 1~5 para col°"'· los em perspectiva.
O
Este exemplo demonstra a efic~1a dos supcnsolamentos e expljca por que
eles são isolamcruos escolhidos em aplicaç6es crfücas, apesardcscuclcvadocusto.
e
Q,.. = ro-A(Ti- T1)
= (1)(5,67 X 10-1 W/m1 ·K')(l m2)((300 K)' - (200 K)'J = 369 W
Portanto,
ª""" Q_, +
=
Q,,. - 2 19 +369 -
A taxa de transferência de calor, na realidade, será maior por causn das correntes de
convecção natural, que são suscetíveis de ocorrer no espaço de ar entre as placas.
(b) Se o espaço de ar entre as placas for evacuado, nfio haver~ condução ou convecção, portanto a Unica íonna de mmsforê1~cia de calor entre ns placas ser<'i por radiação. Ponanto,
Q...1=ó ... (e) Um material sólido opaco colocado entre duas placas bloqueia a transferência de
calor por radiação direta entre as placus. Além disso, a condutividade lérmica de uin
material isolante con1abili7.a a transferência de calor por radiação que pode ocorrer
fXEMPLO 1-
Transferência de calor em fornos convencional e de
micro-ondas
O coz.uncnto rápido e eficiente dos fomos de micro-ondas fez deles um dos prin·
copais aparelhos nas coiinho' modernas (Fig. 1-46). Discu1a os mecanismos de
tr~nsfed!ncia de calor associados com o cozimento de um frango cm um forno de
rn~cro-onda1<1 e um forno convencional e explique por que cozinhar em um forno de
micro-ondas é mais eficiente,
.
Alimcn1os são cor.idos em fomos de micro-ondas absorvendo a energia
~ns rnd1ações. elc1rom~gné11cas geradas pelo 1ubo de micro-ondas, chamado de mag-
füon. A radiação em11ldn pelo magné1ro11 nllo é radiação térmica, já que sua emissão ~ão ocorre por cnusa da tempenuurn do 1ubo, mas pela conversão de enetgia
clétnca cm radiação elctromagné1iCI1 cm detenninado comprimento de onda. O compnmento de onda da radiação de micro-ondas ~ r•fl•tida por supcrllcies metálicas,
(conrinua)
FIGUR 1
Um frango sendo cozido
em um íomOo de micro-ondas
(Exemplo 1- 12).
Capitulo l
Transferência de calor e Massa
Introdução e Conceitos Básicos
Resolvendo para T, e >ubsllluindo, • 1empemtura dn superflcie da placa pode ser
delenninada
(con1inuoçôo)
rronsmitida por panelas de vidro. ccrfinúca ou plástico. obson·ida e convertida em
energia interna por attmcntO<; (cm especial mulo!<:ul.,, <lc água. o~úcar e gorduras).
T,=T.+ai/-- =2S C+0,6X(700W/m')
No forno de micro-ondas, a rodiação que atinge o frango é absorvida pela pele do
frango e pelas panes externas. Como resuhado. a temperatura do frango próxima da
pele alJlT1C11ta. O calor é. então. c:onduudo em d1ieçlo às partes ldtemas do frango
a partir de suas partes externas. Evidentemente. uma pane do calor absorvido pela
superfície extema do frongo sera perdida por C:Oll>'tc(60 para o ar dentro do forno.
No forno con•encional, o ar pnmciramcn1e é aquecido à tcmperatufll desejada
pelo aquecimento elétrico ou gás. Esse preaque<:imen10 pode durar vtnos minutos.
O calor é. então, transkrido do ar para a pele do frango por """""cção natural em
h_.
SOW!m'-K
.. e
Note que as perdas de calor impedem que a temperatura da placa aamcn1e acima de 33.4 "C. Além disso. o cocfic1cntc combinado de lransfcrencia de calor
contab11iu os cfe11os da radiação e do convccçoo. ponanto ~multo convcmenle para
a ulllização nos cálculo' de tran~fe!tncta de calor quando o seu valor t cooltecido
com preci~o razoável.
fomos mais velhos ou por convecçt1o forçt1da cm fomos de convecção mms novos,
que utilizam venloinha. O movimento do ar cm romos de convecção aumenta o
coeficiente de transferência de calor por COO\ICCÇftO, diminuindo o tempo de coz.imenco. O calor é co11cluzido no fr11ngo de foro parn dentro, corno cm fomos de
micro-ondas.
Fomos de micro-ondas subs1irnem o len10 processo de transfcre.ncia de calor
por convecção em fomos convencionais pela tronsfer!ncrn. in~lnn1anca de calc1r por
radiação. Como resuhndo, fornos de micro..ondas rrunsfcrcm a energia parn os ali-
mentos na sua plena capacidade desde o momcnlo em que são ligo.dos. Assim, eles
cozinham mais rápido enquanto con~omem menos energia.
o
~'
o •0.6
Aquecimento de uma placa por enerKia solar
Uma fina placa metálica é isolada nn pur1e 1raseira e exposta 11 rad1açilo •olar na
supcrffcie fronlal (Fig. 1-47). A superfície exposia da placa tem absor1ividade de
0.6 paro radiação solar Considerando que a radiação solar incide sobre a placa a
uma 1axade 700 W/m1 e a tempcra1unt do ar nas vi1inhanças é de 25 ºC. dctcnrune a
temperatura da superffcie da placa quando• perda de calor pot convecção e radiação
iguala-se à energia solar absorvida pela placa Assuma o coefic1cn1e combinado de
iransferência de calor por convecção e radiação de 50 W/m>. K.
O verso de uma placa plana de metal é isolado. e a parte da [rente é
exposta à radiação solar. Dctem11nar a 1empen1tunt na superficie da placa quando
ela se. c.stabiliza.
1 Existem condiçõe< opcraciona1' estbe1s. 2 A transfertncia de calor
por meio do lado isolado da chapa é desprc1.ada. 3 O coeficiente de transferência de
calor se mantém constante.
Esquema para o
Exemplo 1 13.
A absortividade solar da placa t "'' 0.6.
A absonivídade da chapa é 0,6. assim 60'll> dn radiação solar mcidente s<>brc a chapa é absorvida continuamente. Como rcsuhndo. a 1emperaturo da placa sobe
e a di ferença de temperatura entre a placa e os arredores auincnlB. O aumento na di·
ferença de 1empcrarura fo1 c<>m que oumente a 1axn de perda de calor da plac11 para o
meio. Em algum momenlo. a taxa de perda de calor n partir da placa se iguala à taxa
de absorção de energia solnr e a lemperaturn da placa não muda mais. A tcmperaturd
da placa, quando a operação es1ável c.<lá esiabelcci<la. é delcrminnda a pnr1ir de
Cl
J .
O p1imciro passo do nprenditado cm q ualquer ciência é entender seus fundamentos
e ganhar bom conhecimento. O próximo passo é dominar os fundamentos testando
esses conhecimentos, o que é feito por meio da re.~olução de problemas significativos do mundo real. Resolver tais problemas, especialmente aqueles complicados.
exige uma abordagem sistemática. Ao usar a abordagem cio tipo passo a passo,
um engenheiro poclc reduzir n solução de um problema complicado para solução
de uma série de problemas simples (Fig. 1-48). Quando você esrá resolvendo um
problema, recomendamos que use os passos segui ntes, que o ajudarão a evitar algumas annadilhas comuns a;sociadas ~ resolução de problemas.
i" o
~
Descreva sucintamente o problema e li;tc a> principais informações dadas e as
quantidades que devem ser encontradas. Isso é para ter certeza de que você entendeu o problema e os obje1ivos antes de tentar resolvê-lo.
p
Desenhe um esboço realista do si;tcma fí\ico envolvido e enumere nele as informações relevantes. O esboço nilo tem de ser algo elaborado. mas deve lembrar o
sistema e mostrar as principais caracterls11cas. Indique quaisquer inter.ições de
energia e massa com o meio envolvente. Listar as informações dadas sobre o esboço ajuda a ver todo o problema de uma \Ó •e1_
'l;L -
Estabeleça as suposições e aproximações adequadas a fim de simplificar o problema ~e forma a possibilitar a obtençiio da solução. Justifique as suposiçõ>..s quesh?~nve1s. Assuma valores raLoávci\ para quantidades que faltam e que sã~ necel>sanas. Por exemplo. na ausência de dado; específicos para pressão atmosférica,
pode-se considerar 1 atm. No en1an10, devc-~e notar, n:1 análise, que a pressão
atmosférica diminui com aumento da altitude. Por exemplo, ela cai para 0.83 atm
em Denver (altitude 1.610 rn) (Fig. 1-49).
RA --'
Uma abordagem passo a
passo pode simplificar ba-.tantc n solução
de problema.
,.
Transferência de Calor e M:::as::sa:::___ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
.~
Dado Ttmpe:r.tlura do ar cm Denver
Otttrmloar l)ew;idade do ar
Informo~ qu• íalla. Pn:s<ào
atm<Kf~nca
Suposlçio 1 1 U<M P - 1 otm
(ln>PfOl'l'iado lgnoni o efeito
da al111uJc. Vai cau>ar um e:rro
mn10tque I~~)
Suposição 1 2 U<•r P - 0,83 otm
(Apropri11dn. lgnora apena5 efeito~
mcnr«i. 4.:0lllO clima)
FIGURA 1 49 Quando resolvemos um
problernn de engcnhnria, as suposições
devem ser rnzo~veis e jusLi!i.cáveis.
O- rcM1l1ados obtidos a
partir de uma an.thsc de engenharia devem
ser venficados para ver sc ~ raz00veis.
FIGURA 1 ~ 1 LimpcLa e organização são
altamente valoritadas pelo~ emprega.dores.
e •.
Aplique iodas as leis e princípios básicos físicos relevan1es (como conservação
de energia) e reduni-os à sua fonna mais •imples. u1iliando as suposições feitas.
No en1aoro, primeiro deve-se iden1i!icar claramen1e a regiiio para a qual ~ aplicada
uma lei fTsica.
o '5.
Detennioe as propriedades desconhecidas necessárias para resolver o problema
usando relações de propriedades ou tabelas. Lis1e a~ propriedades separadamente
e indique sua fonte. se for o caso.
a :.o 6: c
lo
Substitua as quantidades conhecida• nas relações simplilicadas e realize os cálculos para deteaninar as incógnitas. Presie ntençilo especialmente nas unidades e nos
cancelamentos de unidades, lembre-se de que umn quantidade dimensional sem
unidade não tem sentido. Além disso, ni\o dê a falsa impressão de alta precisão copiando todos os dígitos da calculadora. Arredonde os resultados para u01 número
apropriado de algarismos significativos.
Passo 7: raciocínio, verific· çao e d1 r:u .:.JO
Certifique-se de que os resultados obLidos são ruzoáveis e intuitivos e verifique
a validade das suposições quesiionáveis. Repila os c(llculos que resultaram em
valores absurdos. Por exemplo, o isolamento de um aquecedor de :lgua que utiliza
US$ 80 de gás natural por ano nilo po<le resullar em uma economia de US$ 200
por ano (Fig. 1- 50).
Além disso, ponlue o significado dos resullados e discuta as suas implica·
ções. Estabeleça as conclusões que possam ser cx1rafdas dos resultados, bem como
quaisquer recomendações que possam ser feitas com base neles. Eofalitc as limitações sob as quais os resultados são aplicáveis e lenha precaução com quaisquer
eveo111ais mal-entendidos e com ulili.t.ações dos resultados em situações em que
as suposições não se aplicam. Por exemplo, se você de1ennmar que envolvendo
um aquecedor de água com isolamento de USS 20 inl redurn o custo da energia
em USS 30/ano. indique que o isolamento irá pagar a si próprio a panir da energia
poupada em menos de um ano. No en1an10, indique também que a análise não
considera os custos da mão de obra e que esse senl o caso somenie se você mesmo
instalar o isolamento.
Tenha em men1e que as soluções que você apresentar a seus instrutores e
qualquer análise de engenharia apreseniada a outras pessoas são formas de comunicação. Por conseguinte, esmero, organiwçllo, integralidade e aparência visual
são de extrema imponância para uma máxima elicácia (Fig 1-51). Além disso,
esmero também serve como boa ferramenla de veri!icaçiln, uma veL que é muito
fácil deteciar erros e incoerências nos trabalhos esmerados. Descuidos e etapas
puladas para poupar tempo acabam, muitas vezes, cus1ando mais tempo e ansiedade desnecessária.
A abordagem aqui descrita é u1iliuida nos exemplos de problemas resolvidos
sem declarar explicitamente cada e1ap<1, bem como no "Manual de soluções" deste
livro. Em certos problemas, alguns dos passos podem não ser aplicáveis ou necessários. No entanto, nilo podemos deixar de enfalizar a impo11Rocia da abordagem
lógica e ordenada para resolução de problemas. A maior parte das dificuldades
Capítulo 1 • lntroduçao e Conceitos Básicos
encon1radas na rcsoluçfo de um problema não !.e deve à falta de conhecimento,
mas sim à falla de organização. Ado1e essas e1apas na resolução de problemas ai.é
que possa desenvolver uma abordagem própria. que funcione melhor para você.
11r
e
Você pode estar se perguntando por que eslamos prestes a realiar um estudo aprofundado sobre os fundamenio• de ou1ra eiencia da engenharia. Afinal de contas,
quase todos esses problemas podem ser resolvidos por meio de um dos vários
programas computacionais sofisticado• disponíveis no mercado. Esses programas
compu1acionais não só fornecem os resulrndos numéricos desejados, mas 1ambém
os resultados em gnl!icos coloridos para apresentações impressionantes. É impensável praticar engenharia hoje ;em utili.lar alguns desses programas. Esse enorme
poder computacional, disponível para nós com o t0<1ue de um botào, é simultaneamente uma bênção e umn maldiçno. Elecenamente pennite que engenheiros resolvam problemas de maneira fácil e rápida, mas abre também a porta para abusos e
desinformação. Nas mãos de pessoas mal inslruídas. esses programas compu1acionais são tão perigosos qut11110 poderosas annas solisticadas nas mãos de soldados
mal treinados.
Pensar que uma pessoa que u1ilil11os lll'Ogramas compulacionais de engenha·
ria sem a devida formnçi\o fundameninl pode pra1icar engenharia é como pensar
que um indivíduo que sabe utilizar uma chave inglesa possa 1rabalhar como mecânico de carros. Se fosse verdade que os estudanles de engenhruia não precisam
de Iodas as di•ciplinas que cursam porque praticamente tudo pode ser feiio por
compu!adores de forma rápida e fdcil, então seria igualmente verdade que os empregadores não precisariam mais de engenheiros com al1os salários, uma vez que
qualquer pessoa que saiba usar um programa de processamento de texto pode tam·
bém aprender a utili7.ar os programa;, computacionais. No entanto, as es1a11sticas
mostram que a necessidade de engenheiros es1á cm franca expansão e não em
declínio, apesar da disponibilidade desses poderosos programas compu!acionais.
Devemos sempre lembrar que os programas computacionais disponíveis são
ferramentas que 1êm significado apenas nas mãos daqueles que sabem usá-los.
Um excclenle programa de edição de 1cx1os não transforma ninguém em um bom
e.criior. mas cenamente toma o 1rabalho de um bom escritor muilo mais fácil e
mais produiivo (Fig. 1-52). Calculadoras de mão não eliminam a necessidade de
ensinar nossas criança• a somar ou subtrair, e os sofi.iicados programas computacionrus de medicina nl!o 1omaram o lugar das eseolru. de formação médica Nem
programas compu1aeionais de engenharia irão substituir o ensino tradicional de
engenharia. Eles simple;rnente ir.1o provocar uma mudança de ênfase nos cursos,
A
Um cxeelen1e proi:rnmn de
da matemática para a física. Ou .reja, mais 1cmpo sení usado na sala de aula disediçào de textos não tr.rn.,íorma nínguém
cuundo os aspectos físicos dos problemas em mais detalhes e menos 1cmpo será
em um bom escritor. simplc~mcntc fü7 um
gasto com os procedimentos de solução.
bom escritor se tornar um escritor melhor e
Todas essas maravilhosas e poderosas ferramentas disponíveis atualmente mais eficiente.
colocam uma carga extra sobreº' engenheiros de hoje. Eles ainda devem ter co- (0 \VI. 80/PliotolJi.w.)
nhcc1111cn10 aprofundudo dos fundamen1os e desenvolver a "percepção" dos fe.
nomenos tisicas, ser capazes de coloet1r os dados em umu perspectiva adequada e
fazer bons julgamentos de engcnha ria como seus antecessores. No emaoto, devem
l:W
Capítulo 1
Transferência de Calor e:....M
.;.:a.:.s.:.
sa= - - - - -- - faz.ê-lo muito melhor e muito mais rápido, por cauSll das podero;as ferramentas
disponíveis. No pas>ado, os engenheiros faziam o> cálculos manualmente e utilizavam réguas de cálculo e, mais iarde, calculadoras de mão e computadores. Hoje,
contam com programa_s computacionais. Em radio do acesso fácil a essa potência, e pela possibilidade de um simples mal-.:ntendido ou má mterpreiação causar
grandes prejuízos. toma-se imponante, mais do que nunca. ter sólida formação nos
fundamentos da engenharia. Neste livro, fazemo' um esforço extra para colocar a
ênfase no desenvolvimento de uma compreensão mtu111va e flsica dos fenômenos
narurais, e não em detalhes matemállcos sobre procedimentos de solução.
Oi
eeri g E uat 11
lv
(
O EES é um programa que resolve si•tcmas lineares e não lineares de equações diferenciais ou algébricas numericamente. Ele tem umll grande biblioteca própria de
funções termofisicas e matemáticas, o que permite ao usuário incluir dados de propriedades adicionais. Ao contrário de alguns programas computacionais, o EES não
resolve problemas de engenharia, mas apenas as equações fornecidas pelo usuário.
Por isso, o usuário deve entender o problema e formulá-lo aplicando quaisquer leis
físicas e relações relcvanles. O EES economiza 1cmpo e esforços consideráveis,
para que o usuário resolva, de maneira sim1>lcs. as equações matemáticos resultantes. Isso possibilita abordar problemas signilicativos de engenharia não adequados
para serem calculados à mão e realizar estudos paramétricos de forma rápida e
conveniente. O EES é um programa muito poderoso, ainda que intuitivo e muito
fácil de usar, como mostra o Exemplo 1- 14. O uso e as capacidades do EES são
explicados no Apêndice 3, no site www.grupoa.com.br.
e
Resolução de um sistema de equações com o EES
A diferença de dois números é 4, e a soma dos seus quadrados t igual à sua soma
mais 20. Detennine e.ses dois número<.
:l Soluuon
.
l!l::JCI
As relações são dadas pela diferença e pela soma dos quadrados de
dois números. Derenninar esses números.
ComeÇ3mos o programa Bl:S com um clique duplo no seu kone. Abra um
novo arquivo e digite na tela cm branco o scgurn1e
x- y• 4
x•2 + y•2 - x t y + 20
que é a expressão matemática exata da afirmação do problema com x e)', que representam os números desconhecidos. A solução p:uu esse sistema. de duas equações
não lineares com duas incógnitos é obtida por um llmco cbquc sobre o símbolo "calculadora'', na barrJ de tarefas. Obtemos (Fig. 1- 53)
ôU1 • 1 •
lmngcns da leln EES para
x • 5ey = I
o Exemplo 1- 14.
Disc11•
Note que tudo que fi7,cmos foi formular o p1·oblcn1a como seria no papel, e o
BES cuidou de todos os detalhes dn holuçfto m:ucnu1tica. Observe também que u equação pode ser linear ou niío linenr e pode ser insc1ida em qual<1ucr ordem co1n incógnilns
em ambos os lados. Programas nmigdvels de solução de cqunções como o BES permitem que o usuário possa concentrnMi.C na fisic:i do problema &em se preocupar com as
compla idades m:uemática."l associadM à soluçlk> do si~1emn de equações rcsultrm1e.
li
lntrodu~ão e Conceitos Bâs1cos
1
Nos cálculos de engenharia, as informações fornecidas são conhecidas com ceno
número de algarismos ~ignificativo~. geralmente três dígitos. Consequentemente.
os resultado~ obtidos niio podem ser exato\ com mais algarismos significativos.
Rela1ar resultados com mais algarismos significativos implica uma precisão maior
do que a exis1ente, o que deve ser evitado.
Por exemplo, considere um recipiente com 3.75 L de gasolina cuja densidade
é de 0,845 kg/L e lente determinar sua massa. Provavelmente. o primeiro pensamento que vem à sua mente é multiplicar o volume pela densidade para obter
3.16875 kg para a massa, o que implica falsamente que a massa t detenninada com
uma precisão de seis algarismos significativos. Na realidade. a massa não pode ser
mais prcciSll do que com três algarismos significativos, uma vez que 1an10 o volume quanto a densidade são precisos apenas com três. Porta11to, o resuliado deve ser
arredondado e a mas<a deve 1>er comunicada como 3.17 kg, em vez de ser aquela
que aparece na tel~ da calcu ladora. O resultado 3, 16875 kg seria cotTeto apenas se
o volume e a densidade fossem 3.75000 L e 0,845000 kg/L, respectivamente. O
valor 3,75L indica que estamos bastanle confiantes de que o volume é preciso dentro de± O.OI L, visto que não pode ser 3,74 ou 3,76 L. No entanto, o volume pode
ser 3,746. 3.?50, 3,753, etc., umn vc1 que tO<los são a1·rcdonclndos para 3,75 L (Fig.
1-54). B111a1s adequado manter lodos os dígito.1 durante os cálculos intermediários
e fazer o arredondamenlo na elapa final, uma vez que é isso que um computador
normal mente faz.
Na resolução de problemas, as1umiremos que us informações devem ser
dadas com precisão de pelo menos três algarismos significativos. Portanto, se
o comprimento de um tubo t dado como sendo 40 m, vamos supor que se trata
de 40.0 m, a fim de justificar u utiliiação de três algarismos significativos nos
resultados finais. Você deve também ter em mente que todos os valores determinados experimentalmente estão sujeitos a erros de medição e que esses erros são
refleudos nos resultados obtidos. Por exemplo. se a densidade de uma subs1ância
tem mceneza de 2%, a ma\1a determinada usando esse valor de densidade terá
1ambém 1ncencza de 2%.
Você também deve c.1tar ciente de que por vcLCS introduzimos deliberadamente pequenos erros a fim de evitar os problemas da busca de dados mais precisos.
Por exemplo, quando hdamos com água líquida. usamos apenas o valor de densidade de 1.000 kglm', que é o valor da dcn<idade da água pura a O ºC. Usando esse
valor em 75 ºC, haverá um erro de 2.5%. já que a densidade nessa temperarura é
1
de 975 kglm Os sais minerais e as impurezas na água introduzem novos erros
Send~ esse o caso, você não deve hesitar em arredondar os resultados finais p~
um numero ra_zoável de algarismos significativos. Além disso. ter um pequeno
percentual de mceneza nos resultados de análise de engenharia normalmente é a
regra, nào exceção.
Quand~ se escrevem os resultados interm~dios em um cálculo, é aconselhável
manler vários dígitos "extros" para cvitur erros de arredondamento no entanto o
re\ultJdo final deve ·ser escno
·1 com numero
,
de díguos
· s1.gn1
. fica11vos
. ' levados em
consi<lcraç'm
tanl bé m dcvc 1embrar que ccrlo número de algarismos signjti. .
.
' · Você
.
c,111vo, de
. tlt ac1o nuo
- 1rnp
. 11ca,
· necessarinmente, o mesmo número
. precisão no resL
deª1gansmos
. . de. precisão
· e rn gera1· Erros cm uma das leituras podem, por exemp10· rcdullr significativamente n ncurácia global do resultado, talvez até tomando
O:tdo: Volume: V • 3.7S L
Dens1d:idc. p • O.ll4S kg/L
(3 algansmos s1p1fk:al1vos)
Tamlltm. 3,7S X 0.114~ ~ l.1687S
Encontrar: Mas:s:t: m ~ pV • 3.1687.S ka
Arrendondando para J olgarlsmos
si~niticnti\'O:S: "' :
3, 17 kg
L
• 1 -4 Um resultudo com mais
algarismos significativos do que os dados
fomecidru. implica uma falsa ideia de nuu~
precisão.
Capítulo 1 • lntroduçao e Conceitos Básicos
Transferência de Calor e Massa
o último algarismo significativo sem sentido. reduzindo o número global de dígitos confiáveis por um. Valores determrnados experimentalmente estão sujeitos a
erros de medição. os quais são reíletidos nos resultados obtidos.
TÕPICO DE INTERESSE ESPECIAL*
Co11fo ·ta I ·r1111co
Ao contrário de animais como a raposa ou o urso, que já nascem com muitos
pelos. os seres humanos vêm a este mundo com pouca proteção contra as duras condições a mbientais (Fig. 1- 55). Por isso, podemos dizer que n procuro
pelo conforto térmico remonta ao inicio da história da humanidade. Acredita-se q ue os primeiros seres humanos viviam em cavernas que proporcionavam não só abrigo, mas também proteção dos condições térmicas extremas.
Provavelmente, a primeira forma de sistema de uquecimento utilizado foi o
fogo aberto, seguido de lareiras com utilização de chaminé de arejamento dos
gases de combustão. O conceito de aquecimento ce111ral remonta ao tempo
dos romanos, que aqueciam as casas utilizando técnicas de construção de
piso duplo. cuja fumaça do fogo passava pela abertura entre as duas camadas
de piso. Os romanos também foram os primeiros a usar janelas tra1L<pare11tes
feitas de mica ou vidro para manter fora o vento e a chuva e pennilir a entrada
da 1112.. Madeira e carvão foram as principais fontes de energia para aquecimento; óleo e velas foram ucilizados para iluminação. As ruínas das casas
voltadas para o Sul indicam que o valor de aq11ecli11e11to solar foi reconhecido
A mruona dos animais
\'em a este mundo com oolamcnto próprio.
mas o ser humano vem com uma pele
delicada
(0 Crro1<1Pu11rhS1vck HF.)
cedo na história.
A expressão ar condiciona do é nom1almcntc utilizada no scncido restrico
como resfriamento, mas, no sentido mais amplo, significa condicionar o ar
para o nível desejado por meio de aquecimento, resfriamento, umidilicação,
deswoidilicação, limpeza e desodori~çllo. A finalidade do sistema de ar condicionado de um edifício é proporcionar conforto ténmco completo para seus
ocupantes. Por isso, remos de compreender os aspeccos térmico; do corpo
humano, a fim de conceber um sist.e ma cfica7 de ar condicionado.
Os blocos de construção dos organismos vivos são as células, que lembram
roinifábricas que exercem diversas funções necessárias para a sobrevivência
dos organismos. O corpo humano contém cerca de 100 trilhõe.s de células com
diâmetro médio de 0,01 mm. Em uma típica célula, milhares de reações químicas ocorrem a cada seg\mdo, durante o qual algumas moléculas são quebrndas
e energia é liberada, e algumas novas moléculas são formadas. A alividndc química de elevado nível nas células humanas que mantém a tempera tura corpo·
* Esta seção pode ser ignorada sem perda de con1inuidade.
raJ em temperatura de 37,0 ºC durance o desempenho das funções corporais é
chamada metabolismo . Em termos simples. o metabolismo refere-se à queima
de alimentos como carboidrat0s, gordura e proteínas. Em geral, o come6do de
energia mecabolizável dos alimentos é expresso por nutricionistas em calorias.
Uma caloria é equivalente a 1 Cal • 1 kcal • 4.1868 kJ.
A caxa de metabolismo cm estado de repouso é chamada taxa metabólica bo.ml. que é a caxa de metabolismo necessária para manter o corpo realizando as funções corporais ncces.~árias. como respirdção e circulação sanguínea no nível zero de ocividodc externa. A taxa metabólica cambém pode
ser interprecada como a laxo de consumo de energia paro corpo. Para um
homem médio (30 anos, 70 kg, 1,73 m de altura, 1,8 m' de superfície), a taxa
metabólica ba sal é de 84 W. Isto é, o corpo converte a energia qufmica dos
alimentos (ou da gordura corporal se a pessoa não tiver se alimentado) em
calor a uma taxa de 84 J/s, que depois é dissipada para o meio envolvente.
A caxa metabólica aumenta com o 11fvel de atividade, podendo exceder JO
vezes a raxa metabólica basal quando alguém esc:I fazendo exercício extenuante. Isco é, duas pessoas fazendo exercício pesado em uma sala podem
fornecer mais energia para a sala que um aquecedor com resistência de l kW
{Fig. 1-56). Um homem médio gero calor a uma taxa de 108 W ao ler, escrever, d igiwr ou ouvir uma palestra em uma sala de aula na posição sentada.
O valor máxim o da taxa metabólica de um homem médio é de 1.250 W com
20 anos e de 730 W com 70 anos. As taxas correspondentes para mulheres
são inferiores em cerca de 30%. As taxas mciabólicas máximas de ar letas
profissionais podem ultrapassar 2.000 W.
As taxas metabólicas durante várias atividades por unidade de superfície
co_rporal silo apresentadas na Tab. 1-7. A área de super rícic de um corpo nu
foi dada por D. Dubois em 1916como
(m')
(1-30)
onde m é a massa do corpo cm kg, eh. a altura em m. O \"estuário aumenta a
superfície da pessoa cm até cerca de 50%. As taxas m-bólicas dadas na tabela'ª? suficientemente precisas para a maioria dos fins, mas há uma incerteza
considerável em níveis elevados de atividade. Valores mais precisos podem ser
determinados pela medição da taxa respira1óna do co11s11mo de oxigênio, que
vana de cerca de 0,25 Umin paro um homem médio descansando a mais de
2 Umin_ durance trabalho pesado. A totalidade da energia liberada durante 0
metabolismo pode ser assumida como sendo ct1/or liberado (na forma sensível
ou lalente), uma vez que o trabalho mecânico externo realizado pelos mlisculo~ é muno peq ueno. Além disso, o trabalho realizado durante a maior parte de
utovodades. como caminhar ou andar de bicicleta, acaba sendo convertido em
calor por meio da fricção.
. O conforto do corpo humano depende principalmente de três fatores ambientais. temperntura, umidade relativa e movimento do ar. A temperatura
é o ma .is .importante rnd 1'ce de conforto. Extensa pesquisa tem
do
. ambiente
.
sido feita em seres humanos para determ inar a "zon a de conforto té rmico"
..
t,2U/s
1 kJh
NA
Duns pe><o.1s dançando
rnpidamenle liberam ma.h: calor pum u1m1
sala do que um aquecedor com resi\rêncin
de t kW.
Capitulo l
Transferência de Calor e M·~a'.:ssa:::'..-----------------------------
Taxas metabóhcas durante várias
at1v1dades (de ASHRAE, Handbook of
fundamentais, cap. 8, Tab. 4)
Atividade
W/m2
Em repouso,
Dormindo
Reclinado
SentadO e quieto
Em pê e relaxado
40
45
60
70
Andando (no plano),
2 mph 10,89 m/s)
3 mph 11,34 m/sl
4 mph (1,79 m/s)
115
150
220
Atividade de escrilôrlo,
Lendo sentado
Escrevendo
D1g1lando
Arquivando sentado
ArQulvando em ~
Andando
Empacotando
55
60
65
70
80
100
120
Dor1gondo/pl lotando,
Carro
Avião, rol1na
Veiculo pesadO
6().115
70
185
Diversas atividades ocupacionais·
Cozinhando
95-115
115-140
Limpando a casa
Trabalhos com miquonas'
Leve
Pesado
Manipulando ca1us de
ll5·140
235
235
5011&
Trabalho com ~e
p1caretzi
Diversas atividades de lazer:
Dançando, social
Exercícios
'Jfn1s, simples
Basquete
Lutando, competindo
235 280
140-255
175-235
2 10 270
290-440
410-505
•M1,1lt1pl1car por l,8 ml 1>3ra obter a taxa meta·
ból1c1 pnro um homem médio.
e identificar as condições em que o corpo se sente confo1tável Cm um ambiente. Tem-se observado que a maioria das pessoas ves1idas normalmente,
descansando ou fazendo trabalhos leves, sc111e-se confortável na tmrperatura
operacional (aproximadameo1e, a tempcramra média do ar e das superffcies
circundantes) no intervalo de 23 ºC a 27 ºC (Fig. 1-57). Para pessoas despidas, esse intervalo é de 29 ºC a 31 ºC. A umidade relauva do ar também tem
efeito considerável sobre o conforto, uma ve.t que é a medida relativa da capacidade do ar para absorver umidade e, portanto, afeta a quan1idade de calor
que o corpo pode dissipar por evaporação. Uma alta umidade relativa diminui
0 calor rejeitado por evaporaçiío, especialmente para temperaturas elevadas,
enquanto uma baixa umidade rela1iva o aumenta. O nível desejável de umi·
dade rela1i1•a es1á na ampla foixa de 30 a 70%, com 50% sendo o nível mais
desejável. A maiona das pessoas nessas condições não sente nem quente nem
frio, e o corpo não precisa ativar nenhum dos mecanismos de defesa para manter a temperatura corporal normal (Fig. 1-58).
Outro fa1or de grande iJJíluência sobre o conforto térmico é a velocidude
excessiva do ar ou cor rente de ar, que provoca resfriamento local indesejável no corpo humano. A con-ente de ar é identir.cada por muitos pessoas como
0 fator mais irritante em locais de trabalho, automóveis e aviões. Experimentar
o desconfo110 causado por correnlc de ar é mais comum entre pessoas que
vestem roupas leves e realizam trabalho sedenulrio, e menos comum entre
pessoas com elevados nlveis de atividade. A velocidade do ar deve ser mantida
abaixo de 9 m/min no inverno e 15 m/min no verão, para minimizar o desconforto pela correnle de ar, especialmente quando o ar está frio. Um baixo nível
de movimen10 do ar é desejável, pois elimina o ar quente e úmido que fica em
torno do corpo e o substitui por ar fresco. Por isso. o movimento do ar deve
ser forte o suficiente para remover o calor e a umidade da proximidade do
corpo, mas fraco o bastante para passar despercebido. O movimento do ar com
alta velocidade provoca 1ambém desconfono ao ar hvre. Por exemplo, cm um
ambiente a lO ºC com ''ento de 48 km/h, uma pessoa sente tanto frio como em
um ambienle a-7 ºC com vento de 3 km/h, por causa do efctlO de resfriamento do ar em movimen10 (fator de sensíb1tidade 1énn1ca).
Um sistema de confono deve proporcionar condiçÕf.'s unifomies ao longo de todo o espaço de vivência para evitar desconforto causado pela não
uniformidade, como corremes de ar, radiação tinrrico assimilrica, pisos
quentes ou frios e estratificação vertical da temperatura. A rad iação térmica assimétr ica é causada por superflcie.r frias de grandes janelas, paredes
não isoladas ou produ1os frios e também por superfTt'les querrtes de painéis
de aquecimento radiante a gás ou elétricos cm paredes ou leto, aquecimento
solar de paredes de alvenaria ou 1e1os e máquinas quentes. Radiação assimé·
lrica provoca desconforto, expondo diferentes lados do corpo para superfícies em diferentes temperaturas e, portanto, diferentes perdas ou ganhos de
calor por radiação. Uma pessoa cujo lodo esquerdo é exposto a uma janela
fria, por exemplo, vai sentir como se o calor estivesse sendo drenado daquele lado do seu corpo (Fig. 1- 59). Poro o conforto térmico, a assimetria da
1emperatura radian1e não deve ulirapassar 5 ºC no sentido vcn ical e 10 'C
no sentido horizontal. O efeito desagradável da as,imetria da radiação pode
ser minimizado pelo dimensionamen10 e pela instalação corretos de painéis
de aquecimenlo. utilizando janelas de vidraça dupla e colocando isolamento
generoso nas paredes e no teto.
O conUllO drrcto com a superfície de um piso Crio ou quente lambém causa desconfono localiz.ado nos pés. A 1emperatura do piso depende do modo
como é co1utroido (diretame111e sobre o solo ou em cuna de um ambiente
aquecido. feito de madeira ou conereio. de isolamento, etc.), e do revestimen·
10• como lonas, carpetes, tapeies e linóleo. Uma temperalura do piso de 23 a
~5 •e é confortável para a maioria das pessoas. A assimetria do piso perde o
seu <ign1ficado para as pessoas calçadas. Uma maneira eficaz e econômica de
elevar a tempera1ura do piso é utilizar aquccimen10 por painéis radiantes, em
vez de elevar a tempcra1urn do termos1a10. Outrn condição não uniforme que
provoca de,;confor10 é a est ratificação da temperatura na sala que eJ<pôe a
cabeçil e os pés a diferen1cs temperaturas. Para o conforto térmico, a diferença
de 1empera1ura entre o~ níveis da cabeça e dos pés não deve exceder 3 ºC. Esse
efeito pode ser minimizado por ven1iladores.
Deve-se no1nr que nenhum ambiente 1érmico vai agradar a todos. Não
importa o que fazemos, algumas pessoas podem expressar algum desconforto_
A 7,ona de conforto ténnico é baseada na taxa de 90% de acei1ação. Isto é, um
ambiente será considerado confortável se apenas 10% das pessoas estiverem
insa1isfei1n~ com ele. O metabolismo dim inui um pouco com a idade. mas
isso nilo tem nenhum efeito na zona do conforto. Investigações indicam que
nilo existe diferença sensível entre ambientes pt-eferidos pot idosos e jovens.
As experiências moslram lambém que os loomcrrs e as mulheres preferem praticamente o mesmo ambien1e. A laxo de metabolismo da mulher é um pouco
menor, mas isso é compensado pela temperatura da sua pele e por perdas por
evaporação ligeiramente menores. Além disso, não há nenhuma variação significativa na iona de confono de uma parte do mundo para outra e de inverno
para verão. Portnn10, as mesmas condições de confono térmico podem ser
ulilizadas no m1111do todo, cm qualquer época do ano. Além disso. as pessoas
n.io podem uc/1ma1ar-se de forma a preferir condições de conforto diferentes.
Em um ambiente frio. a taxa de perda de calor do corpo pode exceder
a laxa de geração de calor melabólico. O calor específico médio do corpo
humano é de 3,49 kJ/kg·ºC, ponanto cada 1 ºC de queda da 1empcratura do
corpo corresponde a um déficn de 244 kJ no conieúdo de calor do corpo de
um homem médio de 70 kg. Uma queda de 0.5 ºC na temperatura corpórea
provoca desconfono perceptível, mas aceitável. Uma queda de 2,6 ºC cau"' exiremo desconforto. Uma pessoa que está dormindo acorda quando sua
temperatura corpó"'a cai cm 1,3 •e (normalmente aparece como uma queda
de 0,5 ºC dentro do corpo e de 3 ºC na superfície da pele). A queda da temperatura corporal abaixo de 35 ºC pode danificar o mecanismo de regulação da
temperatura corporal. ao passo que uma queda abaixo de 28 ºC pode ser fa111l.
Há relato' de que pessoas scden1árins sentem-se confortáveis quando atemperai11i.1 da pele é de 33,3°C, sentem/rio desconfortdvel a 3 lºC tremem de/rio
10T e sentem frio extremo a 29ºC. Pessoas que realizam tr~balhos pesados
relataram que se sentem con footáveis cm 1empera1uras muito infe11ores, o que
revela que o nível de atividade afeta o desempenho e conforto humanos. As
C~lrernidndes do corpo, como mõos e pés. são mais facilmente afe1adas pelo
iroo. e suas temperaturas são o melhor indicador de conforto e desempenho.
ª
Introdução e Conceitos Básicos
"C
~0~~20;;:....~~-=Zl;:.....~~-..<:lO
Sedrnúno
~ umwtadc relativa
V ,,; 30 pn por
m1ou10 (O. IS mi>)
Ve>tu.lno
po..00
o64
.~__,68.,,.._......,,~2~-,~6~-8~0~-8~4~
ºI'
Tempe1·1uurn operacionJI
Limi1e l>Uperior occiul~el
Ótimo
L1mi1e 111fcrior aceitável
Fll URA 1 c;7 Efci 10 do vc.,111drio
na lemperatura ambiente considenu.hl
confonável (1cio•0,155 ml·ºC/W
0,880 pé'-ºIF· h/Btu).
(De/ISHRA~ S101Jdort! JJ, 19/J/ 1
23 ·e
Umidade rclaliva • 50'll
Ambiente 1crm1camente
confortável.
Transferência de Calor e M::a:ssa
::= = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Uma mão com a pele na 1emperatura de 20 ºC é percebida como desconfortavelmeme fria, a 15 ºC passa a ser extremamente fria, e a 5 ºC, dolorosamente
fria. Trab2lho útil podt- .,., ,...,11i7,1tln ('ICl:l• mlln. <em dificuldade. desde que a
temperatura da pele dos dedos pennaneça superior a 16 ºC (ASHRAE, Hana
A primeira linha de defesa do organismo contra perda eii:ccssiva de calor
em um ambiente frio é a redurão da rem(H!roturo da pele: a taxa de perda de
calor da pele se reduz pela constrição das veias e pela diminuição do fluJto
sanguíneo para a pele. Essa medida reduz a 1cmperatura dos tecidos subjacentes à pele, mas mantém a temperatura corporal interna. A próii:1ma medida
preventiva é o aumento da taxa de geroçllo merabd/ica de calor no corpo por
/Temores, salvo se a pessoa fizer isso voluntnriamente aumentando o seu nível
de atividade ou colocando roupas adicionais. Os tremores começam lentamente em pequenos grupos musculares e podem dobrar a taxa metabólica de produção de calor do corpo na sua fase inicial. No caso extremo de tremores por
iodo o corpo, a 1axa de produção de calor pode chegar a seis vezes o nível do
descanso (Fig. 1-60). Se essa medida lambém se revelar insuficiente, a temperatura corporal interna começará a cair. Pa1tcs do corpo mais disumtes do
centro, como mãos e pés, estão em grande perigo de dano lecidual.
Em ambientes quentes, a taxa de 1>erda de calor do corpo pode cair abaixo da taxa metabólica de geração de calor. Dessa vez, o corpo a1iva os mecanismos opostos. Primeiro, o organismo aumcnaa o fluxo sanguíneo. e, assim,
0 transpone de calor para a pele foz com que a temperatura da pele e dos
tecidos subjacentes suba e se aproxime da temperatura corporal interna. Sob
condições extremas de calor, o rirmo cardíaco pode chegar a 1&O balimentos
por minuto, de modo a manter um fornecimento udequado de sangue para o
cérebro e para a pele. Para taxas maio1'CS de batimento do coração. sua eficiência volumétrica cai por causa do curto espaço de tempo entre as batidas para
encher o coração com sangue, e o fornecimento de sangue para a pele e para o
cérebro, que é mais importante, diminui. Isso faz a pessoa desmaiar em consequência da aausrâo do calor. A desidratação toma o problema mais grave. O
mesmo acontece quando uma pessoa que trabalha exauslivamen1e por muito
tempo para de repente. Nesse caso, o sangue que está mundando a pele tem
nienlar:I Uma pessoa pode tolerar um aumento de temperatura de 1,4 ºC sem
maior desconfono, mas pode entrar em colapso quando a temperatura subir
2.8 ºC A< pessoas sen1em-se lentas e sua eficiência diminui considcravelmcnte quando a temperatura corporal intema sobe acima de 39 ºC. Uma temperatura interna superior a 41 ºC pode causar danos nas proteínas hipotalãmicas,
resultando em cessação da sudorcsc, aumento da produção de calor por tremores e acidente vascular cerf!brol irreversível com risco de mone. A monc pode
ocorrer em temperaturas acima de 43 •e.
Uma superfTcie na temperatura de 46 ºC provoca dor oa pele. Por isso, o
contato direto com um bloco de metnl nessa temperatura ou superior é doloroso. No entanto, umn pessoa pode ficar em uma sala a 100 ºC por até 30 mio
sem nenhum dano ou dor na pele, por causa da resist~ncia convectiva da superfície da pele e do resfriamento por evaporação. Podemos até mesmo colocaras mãos cm um forno a 200 ºC durante um cuno tempo sem nos queimar.
Outro fator que afe1a o conforto térmico, n saúde e a produtividade é a
ventilação. Ar externo fresco pode ser fornecido n um editTcio 11at11ra/1,,enre,
ouforçadame111e, por um sistema de ventilnção mecânica. No primeiro caso,
que é a nonna em edifícios residenciais, n ventilaçllo necessária é forr.ecida
por injiltraçilo />or meio de frestas e vaw111e11ros no espaço habitado e pela
abertura das janelas e 1>ortas. A venlilnçilo adicional necessária em banheiros
e cozinhas é fomecida por ventiladores ou exaustores de ar. Com esse tipo de
ventilação sem controle, o suprimen10 de nr fresco será demasiado elevado
com desperdício de energia ou mui10 baixo, o que poderá comprometer a qualidade do ar interior. Porém, u pratica atual para ediflcios residenciais não eslá
suscetível a mudar, já que n1lo há um clamor público sobre o desperdício de
energia ou a qual idade do ar. Portanto, é dificil justificar o custo e a com?lexidade dos sistemas de ventilação mecânica.
Si~temas de ventilação mecânica fai;em parte de qualquer sistema de aquecimento e ar condicionado em ediftcios comtrr:iais, fornecendo a quantidade
necessána de ar fresco e distribuindo-o de modo unifonne ao longo do ed_ffcio.
Não se trata de uma mfonnação surpreendente, dado que muitas salas em grandes ediffc1os comerciais nllo têm janelas e, ponanto. dependem de ventilação
mccãnoca. Mesmo as salas com janelas es1llo na mesma situação, uma vez que
dlt1culdade de regressar ao coraçn.o, umu \IC:.(. "lue u:. 111ú~u1u~ 1nais relaxados
e..'tas, na maior pa..lc dos ..:t.lifi\;iU\, ~nu hc::nm:licamente fec:hadas e na.o pndem
s.al~\Jt!:
não conseguem mandar o sangue de volta, e, portanto, há menos sangue disponível para ser bombeado para o cérebro.
A próxima linha de defesa consiste em liberar água pelas glândulas de
suor e recorrer à refrigeraçllo por evaporoçtio, a menos que a pessoa elimine
algumas roupas e reduza o nível de atividade (Fig. 1 61). O corpo poderá
manter sua temperatura interna a 37 ºC indefinidamente nesse modo de resfriamento evaporativo, mesmo em ambienles com temperaturas mais elevadas
(tão elevadas como 200 ºC durante 1cs1es militares de resistência), se a pessoa
beber líquidos em abundância para reconstituir suas reservas de água e o ar
ambiente estiver suficientemente seco para permitir que o suor evapore em
vez de escorrer pela pele. Se essa medida se revelar insuficiente, o org•rnismo
começará a absorver o calor metnbólico, e a temperatura corporal interna au-
ser abertas. Não ~ uma boa ideia superclirnensionar o sistema de ventilação
apenas para estar do "lado seguro", uma vez que retirar o ar aquecido OJ resfriado do mlerior causa desperdício de energia. Não se deve redui:ir a taxa de
ventilação abaiJto do mínimo eii:igido para conservar energia a fim de que a
qualidade do ar interior seja mantida no nível exigido. Os requisitos mínimos
de ventilação de nr fresco estilo listados na Thb. 1-&. Os valores são ba1tados
no controle das enussões de C01 e de outros con1ami nan1es, com margem de
segurança adequada por pessoa de pelo menos 7 ,5 Us de ar fresco.
Outra função do sistema de ventilação mccnnica é a Umpcza do ar por
filtragem, quando ele enlra no edifício. Vários tipos de filtros estão disponíveis
para esse fim, cm função das necessidades de limpeza e da perda de pressão
admissível.
conferência e
book o/fundamentais, Cap. &).
Superfícies frias causam
excessiva pcrdu de calor do corpo por
rndioçlio e. portonto. desconforto nesse
Indo do corpo.
A taxa de ecração
metnbóhca de calor. em um clama frio.
pode Chegar 1 seis ve~ o nível ele repouso
durante tremores no corpo todo.
Capiwlo 1 • Introdução e Conceitos Básicos
11.i
~ 1 Em omb1cn1cs quentes,
um corpo pode dissipar grande quantidade
de calor meoabólico por sudorese. umn
vez que o suor nbsorve o cnlor do corpo e
evapora.
Requisitos mlnomos de ar fresco nos ed1flc1os
(De ASHRAE, Standard 62, 1989)
RequlSllO
(por pessoal
Apl1caç3o
Salas de aula,
bibliotecas e
Us
pé•tm1n
8
15
10
20
13
25
supermercados
Restauranles,
escntônos
Quartos de
hospital
Quartos de hotel
Salas de
fumantes
Lo1as de
vareJo
Ed1ftcios
resldenc1a1s
15
30
(por quarto)
(por quarto)
30
60
1,0-1,5
0,2-0,3
(por pé')
(por m'>
0,35 mudança de ar por
hora, mas não Inferior a
7,5 lJs (ou 15 pé'imln) por
pessoa
Capítulo 1 • Introdução e Conceitos Bãs1cos::....__JM•il'f.m•I
Nc.11;tc capítulo, os concci10~ básicos de 1raosfcrência de calor são
introduzidos e di~cutidos. A cié!ncia da rumodinbmica tr.un da
quantidade de calor 11nn1iíel'ido qunndo um sistema muda. em um
processo, de um estado de equilfbrio porn outro. enquanto a ciência
di.l transferência dt! l'alor traia c..la tnxn de transferência de calor, que
é a principal área de interesse nn concepç!lo e na avaliação da transferência de calor em equipamentos. A soma de toda.~ as formas de
energia de um sistema 1., chamada de t'ntrgia total, o que inclui as
energias in1ema, ci~tica e potencial. A tntrgia imtma representa
a energia molecular de um ~ic;tcma e é coruti1u(da pelas formas sensível. latente, química e nuclear. A~ formas sensível e la1en1e da
energia interna podem ser 1ransíeridas de um meio para o outro
como =ultado da diferença de temperotura e são referidas como
c:olor ou entrgia tlnnica. AMim, a lrtm:ifrrincia dt calor é a trOCa
das formas sensível e lareme de energHl interna cnLre dois meio!I.
como resuhado da diferença de 1cmpeni1ura. A quantidade de calor
lransfcrido por unidade de tempo é denominada taxa de 1ronsferê11CÍll de calor, rcpre:-.cntadn por Q
. A tMW de trnnsferênda de c:alor
por unidade de área é c:humudo dej111\0 de colo'; q.
Um sistema de massa fixa é chumado de slslemafechodo. e um
sistema que envolve tronsfcrê:ncia de mrl~~a por meio da sua f ronleira é denominado sisttma abtrtô ou \'Oiumt de controlt!. A primtiro
/~ida ttnnodindmica OU O ba/an\(> dt tntrgia para qualquer SiSlC·
ma submetido a qualquer processo pode ser expressa como
E,.-E,.• 6E,.
Quando um sistema fechado cslocionário envolve openas transferência de calor e não aprescn11 1ntcroçõcs de lr.lbalbo por meio da
sua fronteira. o balanço de energia se reduz a
Q • mr11 6T
onde Q é a quantidade lf4uidn de calor iransfcrido • parlir de ou
par-.1 o sistema. Quru1dn o culor é 1ra11sfcl'ido a uma taxa constante
Q. a quantidade de calor transferido duran1e um inLervalo de tempo
t.t pode ser determinsda u partir de Q = Qti.t.
Sob condições pem1ancn1e,_, e na ausência de quaisquer intcra·
ções de trabalho, a ron>ervnção de energia pora um volume de COO·
trole com uma entrada e uma saída, com mudanças insignifteantes
nas energias cinética e po1cncial, pode ser expressa como
Q • mc,ti.T
onde,;, ~ pVA, é a vazllo mássicn, e Q é a taxa líquida de transfcrênciu de calor para dentro ou paro fora do controle de volume.
O calor pode ser lrnnsferido de três diferentes modos: conduçlío, convecçl!o e radinçl!o. Cn11tl11ç/Jo é u lrunsferêncin de calor das
Amcrican Society of llca1ing, Refrigeration, and Air-Condition ing Engincers. Hm1tlbook o/ F1111tlamt111als. Allnnta.
ASllRAE. 1993.
Y. A. Çcngel nnd R. H. Turner. F11ntlame111al.t o/Tbermal Flnid Scie11ce.•. 3rd ed. New York: McGrnw-Hill, 2007.
partículas mais c11érgicas de uma substância para as menos enérgi·
cas adjacentes. como resultado das internçõc:s entre as panículo'\. É
expressu pela lei dn co11t/11çüo de calor de Fo11dtr como
Q_. = -kA!!I
dx
Y. A. Çeagel and M. A. Boles. Tlrtr,,,oJyrramic's-An &rgint·
uingApproach. 7thed. NcwYork: McGraw-lltll, 2011.
Robert J. Ribando. lletll Tralffftr Tools. Ncw York: McGraw· Hill, 2002.
onde k ~a cond111fridad~ 1i1111ica do malerial em W/m·K, A ~a drta
no1mal cm direção da transferência de calor, e dT/tb. é o grotlienr.
de wn1>erorura. A magnitude da taxa de condução de calor, por
meio de uma camada plana de espessura l. é dada por
d e
Como M equ~1;ões diferenciais surgem no ei.1udo de um
problcn1<1 fl<ico'
t
onde Ll.Té o diferença de lcmperatura por meio da camada.
Com·tt:çllo é o modo de transferência de calor entre uma su·
perflcie sólida e o líquido ou gás adjacente que está em movunento
e envolve os efeitos combinados de condução e de rnovimento do
fluido. A taxa de transíe:rência de calor po1· convecçnn é expressa
pela lei de Newtuu tio resji-iame1110 como
Q,... = hA, ( T, - T.)
onde h é o CM/icitnu de lransft!Tincia dt calor p<>t com-ttÇ8o e.m
Wlm'· K. A, é a drro da su~rflcie por meio da qual a tnan>fcrência
de calor por convecção se realiza, T, é a tem~rorura da SUJ"'tficie,
e TW' ~a ltm~roluro dofluido suficienlcmcnce longe da supe.rficic.
Rod1aç60 é a energia emitida pela matéria sob forma de ondas
clc1romngné1icas (ou fótons), como resultado das mudanças nas
configuraçõc~ c leLrÕnicas de átomos ou molc!culas. A 1axa mhi·
mn de mcJiação que pode ser emi1ida a partir de uma supe11Tcie cm
1empermura tennodinâmica T, é dada pela lti dt Sttfm1-Bolt<.mamr
coir\ocim111.1nu.-= o-A,,~.ondeu=5.67 x 1o·M w1mi· K.. daco11s·
flll/fe de S1efrm..Bnlrv 11a11n.
Quondo umn .superfície de emissividade e de área A, em temperatura T. é completamente delimitada por uma superfície muito
maior (ou prc1a). cm temperatura T,.separado por um gás (como o
ar) que nllo mten.·ém com a radiação, a la>a líquida de tran;fcrência
de calor por rodmção entre essas duas supc:rlicics é dada por
O que é força motriz pam (o) lransfcrencin de calor, (b)
flurn de cor~n1e clé1rica e (e) cscoamenlo de fluido'/
JI O que é 1coria do calórico? Quando e por que cio loi
abandonada'/
l -1<
Como os problemas de análise na trnnsferêncin de calor di-
ferem Jos problemas de dimeastooament.o?
1 ~
Qual~ a diferença cnLre a abordagem analítica e a cxperi
mental da tro.nsfer!ncin de caJor? Discuta as vantagens e ~vama·
gens de cada abonlagcm.
Qual é a imponância da modelagem cm engenharia?
Como 00 preparados os modelos matemáticos parn os processos
de engenharia•
Quando se modela um processo de engenharia, qual ~o escolha certa entre um modelo simples. mas grosseiro. e um complc·
xo. mas prc:ciso? O modelo complexo é necessariameme a melhor
escolha, uma vez que t! mais preciso?
8.m urn e.lia quente de verão. um eslUdante ligu o ventiª
lador qu110do deixo o qunno pela manhã. Quando ele retornn à
noilc, o qua110 cstnrá mais quente ou mllis frio que os quartos
v11inhos? Por quê'/ Assuma que todas as po11as e janelas foram
man1idas fechadas.
1 xt
Con•idcrc doi> quartos idênticos, um com refrigerador e
outro >em. Se iodas as portas e janelas estão fechadas, o quarto com
refrigerador pode esqueniar ou esfriar mais do que outro? Por q~?
Nc""' caso. a emissividade (e) e a área das supertTcics envolvente> nno 1!m nenhum efeito sobre a 1mnsfcrêncio de calor líquida
por radiação.
A tnxo em que a superfície absorve radiação é determinada a
partir de ân1n ~ aâ,oc, onde Ó1. : é a taxn em que n rndiução incide
sobre a supel'frcic, e a, a absortividade da superfície.
• Problcmn 1den1mc:tdos com "'C. são conce1ruais, e os es1udanrcs slo 1ncen1i~ 1 rc:)ponôt: le>i. Problemas com o ícooc ~devem ser rcwlvuJos
Uiando EES, e as soluçõt:~ com pielas. JUBlaTOc:ntc com estudos parnmttn·
cor., e~1ào mcloídas no CO que acompanha esle Jivm. Problcmn'i com o
kont' •~no de Mturc1a global e devem ~er resolvídos no compuiador, de
prclerEncín u~ancJo o 1nog.rnma BES, que !lcompanhll cs1e livro.
O que é flu>o de cal-Or'! Como ele está relacionado com a
taxa de transfctê11eia de calor?
Quais silo os mecanismos de tronsfcrência de energia para
um si.stem3 rechado? Como d1s1inguir tron~fcréncia de calor de outms formas de transferência de energia?
~ (
Como calor. energia imcrna e cncrgin térmica. estão relacionados enlrc si?
1. < Um gás ideal é aquecido de 50 ºC a 80 º C (a) a volume
constante e (b) a pressão constante. Parn qual cnso a energia necessária será maior? Por quê?
Um resis1or cilíndrico em uma placa de circuito dissipa
1.2 W de potência. O resIStor tem 2 cm de comprimento e um diâmetro de 0.4 cm. Supoodo uma mmsfcrencia de calor urufonne de todas
as supc:rlicies, detenninc (a) a quanttdade de .,.lor que esse resislor
dissipa dunune um pc:riodo de 24 hon", (b) o nuxo de calor e (e) a
fração de calor disfilpado a partir das superf"JC1es do topo e do fundo.
Considere uma casa com um esp.1ço de 200 m' e alrura média de 3 m no nível do mar, onde a prc»ão atmosférica padrão é
101,3 k.Pa. Inicialmente. a caso está numa temper.uura uniforme de
10 ºC. Agora. o aquecedor elétrico é ligodo :ué aquecer o ar e a temperatura na casa subir parn um vulor médio ele 22 ºC. Detenrune a
quantidade de calor que é absorvido pelo :ir a~sumincloQ escape de ar
pelas frestas quando o ar aquecido na casa C:itp;!ndc-sc com a prc.'isiío
constante. Além disso, determine o custo dcs~ calor, considerando
que o custo unitário da eletricidade nn área é de USS0.075/kWh.
Um ferro de 800 W é deixado n1 1ábua de pa<Sar com sua
base exposta ao ar. Ccn:a de 85'-'> do .,.lor gcmdo no ferro é dissipado por meio de sua base, cuja superfTc1e é de 150 cm'. Os restan·
tcs 15'-'> são dissipados por meio de outro\ ;upc:rfícics. Assumindo a
lrUflSferêncin de calor da superfTcic poro ser urufonne, determine (a)
a quantidade de calor do ferro que "'d1s>ip.1 dur:1nlc um período de
2 boms. em kWb, (b) o !luxo de color na supcrfTcic da base de ferro,
cm W/m'. e (e) o custo 101al da energin elétrica consumida durante o
período de 2 horas. As.s:um;t que o custo uniu1rio de energia elétrica
é de USS 0,07/kWh.
Transferência de Calor e Massa
Capítulo 1 • lntroduç3o e Conce1los Básicos
------
1 7 Uma placa de cll'Cllito de 15 cm X 20 cm abriga, em sua su·
pcrfTcic. 120 chips lógicos, estreitamenle c.spaçados, cada um dissi·
pando 0.12 W. Considerando que a transfedncia de calor a partir da
superfTcie de balJlo da placa é desprezada. determine (a) a quantidade
de calor que'-'-"" placa de c1TCuilo dissipa dur.inte um período de 10
horas. cm kWb, e (b) o ílW<O de calor oa wpcrllcie dela. em W/m'.
1Considere umo lâmpada incandc>cenlc de 150 W. O filamento da lãmpada tem 5 cm de comprimento e diâmetro de 0,5
mm. O diâmetro do bulbo de vidro da limpada é de 8 cm. De1ermi·
ne o ílW<o de calor cm Wtm' (a) na 'upcrfTcic do filamento e (b) na
supcrffcic de vidro ela limpada e (e) calcule quanto inl cu'1•r por
ano para manter a JuL acesa 8 h/dia. lodos os dias. com um custo
unitário de cletnc1dadc de USS 0.08fkWh.
._
de 4,18 kJ/kg·K e desprezando qualquer perd• de calor do bule,
determine qu::uuo 1cmpo vai demorar para a 'gua ser aquecida.
Tz ~ SO°C
P1
tOOkPa
'>"~-' ~'' • U <
W,~900W
flGURA PI 27
Os dutos de um sislcma de aquecimento tio ar passam por
uma área não aquecida. Como resultado dn.< perda' de calor. a
temperatura do ar no duco diminui em 3 ºC. Considerando que
a vazão mássica do as é 90 kg/mm, determine a raxa de perda de
calor do ar para o ambiente frio.
FIGURA PI 23
Uma sal• é nquccida por um aquecedor de rc>istência.
Quando ns perdn.s de cnlor da snln. em um dia de inverno. chegam
a 9.000 kJ/h, observa-se que a 1cmpc.rmura do ar na sola se mantém
constante. embom o aquecedor funcione conlínuamente. DetemUne
a potência do nqueccdor em kW.
flGURA PI 20
FIGURA P 1-17
Uma bolo de alurn!mo de 15 cm de diâmetro deve ser
aquecida de 80 'C até a 1emperatura média de 200 'C. Tomando a
denddadc e o calor e.<pecllico médios do aluoúnio nessa gama de
1cmpcraturu como sendo p - 2.700 kglm' e c, = 0,90 kJ/kg·K.
rcspeclivameote, determine 1 quanudade de energia que precisa ser
trnn•fcrida pano a bola de alumínio.
A infilt.raçio de ar fno cm uma casa quente durante o Inverno. poc meio elas frc>UlS cm tomo de portas, janelas e outras
abenuras. é uma clas pnncipats fontes de perda de energia. uma vez
que o ar frio que cntr.1 precisa ser aquecido até a tempenu.ura ambiente. A mfillraçllo é muitas ve= expressa em TAH (nucas de ar
pochora). UmnTAH de 2 indica que todo o nrdacasaésubstíruído
duas vezes a cada hora pelo ar [rio de fora.
Considere uma caso aquecida ele1ricamcnte com área de piso
de 150 m'. altura média de 3 m, localizada a 1.000 m de altitude
onde a pre.<sllo a1mosférica padriio é 89.6 kPa. A ca"1 é mantida
a uma 1empcrn1urn de 22 ºC, e as perdas por infiltrações são estimadas em 0,7 TAH. Pariindo do princípio de que a pressão e a
1emperntun1 na ca:-ia pennanecem constantes, determine as perdas
de energin da cnsa decorrentes da ínfiJtração por um dia quando a
1empcrn1ura m~din do ar externo é de 5 ºC. Além disso, determiJle
o custo cln perda de energia nesse dia. considerando que o custo
unitário de eletricidade nessa área é de US$ 0,082/kWh.
I< p. '" ~'). kW /di , US 1 , lld••
1 '1 A água 6 aquecida em um tubo isolado de diâmetro constante por um aquecedor de rcsistlncia eltlrica de 5 kW. Considerando que a água entra no nquecedor pc.nnanentementc a 15 ºC e
sai a 60 'C, detennine a vazão mássica da 6gua.
flGURA P 1 ·"
Uma sala de 4 m X 5 m X 6 m deve ser aquecida por um
aquecedor de rcs1sr!ncia. ~ dc;cjável que o aquecedor seja capaz
de elevar a 1cmpernmrn do ar nn sala de 7 •e para 25 ºC cm 15
minutos. Supondo que não haJa perdas de calor da sala e que a
presscro atmosférico seja de 100 kPn, dctcmúnc a potência necessária do aquecedor. Suponha um calor específico constante oa temperatura nmbiente.
fie,, 1
, li kW
1 2l
Em estudo l!quido. 1.2 kg de :lgua, inicialmente a 15 •e,
deve ser aquecido u 95 ºC cm um bule equipado com um elemento
de nquecirnen1oclé1rico de 1.200 W, O bule de 0.5 kg tem calor médio específico de 0,7 kJ/k»·K. Tomando o calor especffico da água
Um quarto de 5 m X 6 nl X 8 ili é aquecido por um aquecedor de resis1êncin elétrica colocado c1n um duto curto. lnicialmenle.
o quarto csiá a 15 'C. e a prcs"110 aunosférica local é de 98 kPa. o
quano está perdendo calor parn fora a uma taxa de 200 kJ/DUD. Um
venlilador de 300 W circula con1inuomente o ar por meio do duto
e do aquecedor elétrico com val.lo mássica média de 50 kg/min. O
duto pode ser assu1nido como adiabático, e nllo M vaameoto do nr
para dentro ou fora do quano. Con•iderando que ,:;o necessános
18 minutos para que o ar do quano chcauc l tcmpcr-dtura média
de 25 ºC, detcnnine (a) a porencia do aquecedor elétrico e (b) 0
aumenro de 1cmpcrarura do ar cada vez que passa pelo aquecedor.
1
Uma casa lem si,1ema de aquecimento ellfnco que consiste
em um venlJlador de 300 W e uma resistência clétnca de aquccimemo. ms1aJados em um duto. O ar CSCOà permanentemente por
meio do duto a uma raxa de 0.6 kg/s com aumento de temperatura
de 5 •e. A taxa de perda de calor do ar no du10 é es11mada cm 250
W Detcrmmc a porência da rcsi~tencia elétnca do aquecimento.
Um secador de cabelo é basicamente um duto no qual algu·
mas .camadas de resi>1encias elétricas são colocadas. Um pequeno
ventilador puxa o ar e força~ a fluir ao longo do~ rcs1s1ores. onde
é aquecido. O ar entra no secador de cobtlo de 900 W a 100. kPa e
25 ºC e deixa-o a 50 'C. A área 1rnnsversal na sa!da do secador de
cabelo é 60 cm'. Desprezando a potência consumida pelo ventilador e as perdns de cnlor por meio dns paredes do &ecador de cabelo
determine (a) 0: va7.ão volumétrica de nr na entrada e (b) a velocida~
dedoarnusafda.
J r'.(
li!
l
Ili
Arentrn no duro de um si~tema de aroond1cionado a 100 kPa
e 10 ºC com vazão volumérrica de 15m'/min. O diâmetro do duto é
de 24 cm, e o calor é Lra11sfcrido paro o nr no duto n partir do meio
exiemo a uma taxa de 2 kW. Determine (a) a velocidade do nr no
entrada do duto e (b) a temperatura do ar nu saída
f,,
!al l
mlrur () l f,'>,
Uma sala de aula que normalmente conlém 50 pcsw1t~ deve
~er equipada com ume unidade de ar-condicionndo de janela de S
kW de capacidade de refrigcraçfo. Potle-se nssunur que uma pessoa
em repouso dissipa calor a uma taxa de 360 kJlh. Ex.,1em 10 lfünpadas elétricas na sala, cada uma com a potência de 100 W. A uua de
transferência de calor para a sala de aula através das paredes e das
janelas é estimada em 12.000 kJ/h. Considerando que o ar da sala
deve ser mantido a uina temperatura constante de 21 ºC. de1ennioe
o número necessário de unidades de ar-<:<>ndicionado de janela.
Me
Qual é o melhor condutor de calor. praia ou di•mantc'/
Defina condutividade térnúca e explique seu :significado
na 1ransfcrência de calor.
Quais são os mecanismos de transfcrtncia de calor?
Como são distinguidos uns dos oucros?
Qual é o mecanismo físico d• condução de calor cm um
sólido. um líquido e um gá.<?
Considere a crnnsfcrência de calor 1t1111vé~ de uma pan:dc
sem janelas de uma casa em um din de inverno. Discuta 0) parãmc..
tros que afetnrn a taJCa de condução de calor pelo parede.
Escreva as expressões para as leis IJsicas que regem cndo
modo de tmnsferência de calor e identifique as v3rid.veis envolvidas
cm cada relação.
1
Como a condução de calor difere da convccçilo7
Transferência de Calor_e_ M_a_s_s a_ _ _ __
Alguma parte da energia do Sol alcança a Temi por conduçJo ou cu1wecçlio7
Como a convecção forçada difere da convecção natural?
Defina cm1sS1V1dade e ab5oruvidadc. Qual é a lei de Kirchhoff da radiação?
O que é um corpo negro? Como os corpos reais diferem
dos corpos negros?
1
Com base na unidade W/m·K, pode-se definir a condu-
Em uma usina de po1~nc1a. tubos de transponc de vapor superaquecido slo mu11u comuns. Vapor superaquecido escoa a uma
taxa de0,3 kg/s dentrodotubodeS cm ded1imetroe IOmdecomprimcnto. tubo está localiwdo. 20 no 1e1nperatum de superfTcie unifonne de 100 °C. Con~ideraodo que a queda de 1empcra111n1
entre a entrada e salda do tubo é 30ºC e o calorcspccffico do vapor
é 2.190 J/kg·K, detennonc o coeficiente de transferência de calor
como resultooo da COO\'CCÇào entre a >uperfTcoc do tubo e arredores.
o
Ar. 20'C
tividade témúca de um material como a tax.a de 1ransferência de
calor por meio do material por unidade de espessura por diferença
de unidade de tempemtura7 Explique.
r, - 1 o o • c \
D • 5cm
Va~ -()
supc:n1<1uec:1do
O.Jkg/<
1,
Considere a perda de calor através de duas paredes de
urna casa cm noite de mvemo. As paredes são idênticas, exceto que
uma delns tem janela de vidro hennclicamente fechada. Por meio
de qual 1>:1redc "casa vai perder mais calor? Explique.
1 4 «
c
lor de isolomcntos cm reloçiio à condutividade ténnica aparente e
l
~=1-+
l
R .i;.
temperaturas de cada amostra apresentaram uma queda de 82 •e na
superficie interna P""' 74 "C na supcrfic1e externa. Octcmune a con·
duhvidadc témúca do material na temperatura média do expenmeoto.
função da espessura deste, na f11xa de O, I cm a 1.0 cm. Discuta os
Me<Mot~de:uu ~ ~,.,..
t
?li ...J.-
rcsuhado'.
1-57 Uma panela de olumln10 cuia conduuvidadc ténmc.a é 237
W/m·K tem fundo plano de IS cm de d1lmctro e 0,4 cm de cspes'""'· o calor é transferido cm regime pennanentc pam cbuhr1 4gua
por meio do fundo da panela a uma taxo de 1.400 W. Se a superfície
ontem• do fundo da panelo está a IOS ºC. detenninc a temperatura
da superficie externa do fundo da r•nela.
·~'
Fon1e
•••
•
( --1
_,
lsolamcn10
bolarnenco
j+-- o,.s cm
A que~
de re$islincia.
flGURA Pl-110
l-61 Re pita o Prob. 1--00 parn um consumo de energia e lótrica
de20W.
Um(lCOITCnte clé1ricn de 5 A pa~~a ntmvés um rcsis1or que 1em
1-62 Um medidor de fluxo de calor fixndo nn superfície interna
da porta de uma geladeira de 3 cn1 de espessura Indica fluxo de
calor de 32 W/m 2 por meio da pori a. As 1empe1111uras das superff·
cies interna e externa da porta s.ão 7 "C e 1S ºC, respectivamente.
Dctennine a condutividade ténnica média da pona da gclodeim,
l.400W
calor por conveocçno.
' 0.1
FIGURA PI
1 As superfície~ interna e externa de uma parede de tijolos de
4 m x 7 me 30 cm de espe"um são mantidas em temperaturas de
26 •e e 8 •e. rcspcctivnmentc. A condutividade ténnica da parede
é 0.69Wm.K. Dctcnninc a taxo de trnnsferêncl3 ele calor por meio
da parede, cm W
Parede
deh.J"IO
A parede nonc de uma casa aquecida clc1ricamcntc tem 6
1-
m de compnmenlo, 3 m de altura e 0.3 m de espessura e é cons-
•e.
truida com tijolos cuja condutividade térmica é k - 0.72 W/m.
Em urna no11c de 1n\lemo. as temperaturas interna e externa da pa·
rede são medidas cm 1omo de 17 ºC e -4 ºC. rc....o;pectivamenre,
por um período de 8 h. De1cnn1nc (a) a 1ax1 de perda ele c.alor por
meio da parede naquela noite e(/>) o custo da perda ele calor para
o propnelIDo da e.asa, considerando que o custo da eletricidade é
de
0.0711cWh.
l!m um experimento, do utilizadas dll.ll amo&tras ciUndricas
1dênhcas de 4 cm de dillmctro e 7 cm de compnmcnto (Fig. 1-32).
DolS tcrmopares em cada amostra, colocados na d1stânc1a de 3 cm
1cnn.1nc ~ua condutividade 1~nruca.
8'C
26•c
JOcm
entre eles. são lidos por um tennõmctro diferencial. Após os 1ranS1entes inoc1rus, a potência elétnca absorvida é de 0,6 A a 110 V, e
ambos os tennõmctros diferenciais mostram uma d1fercnça de rcm·
pera1ura de 8
Determine a condutividade ténnica da amostra.
•e.
Resrxr.
FIGURAP1 54
As superfícies interna e cXlernn de uma janela de vidro de
0,5 cm de c~pcssu ra e 6ren de 2 m X 2 m no inverno têm 1O ºC e
3 "C. respcc1ivnmcnte. Considcnrndo que n condutividade térmica
r/J 1 ~
•c.
Coru.idere uma pessoa cm pé cm uma sala mantida a 20
As superficies internas de paredes, piso• e teto da casa estavam a
uma temperatura média de 12
no inverno e 23
no vcrlio. De·
tcnnfoc as 1axas de transferência de calor por radiação entre essa
pessoa e as superfície.~ cm seu entorno no verão e no inverno. con·
siderando que a área de superficic exposta. a emissividade e a tem
peratura média da superfície exposta da pessoa são 1.6 m 1• 0,9S e
32 ºC, respectivamente.
l
uss
A> duas \upcrflcies de uma placa de 2 cm de espessura são
manlld3S a O ºC e 80 ºC, respcc11vamente. Se for avaliado que o
calor é tmnsferido por meio da placa a uma t;ua ele 500 Wlm'. dc-
efeito de radiaç5o.
!m1 Reconsidere o Prob. 1-55. Usando o EES (ou outro
"'1iii! programa), tmcc a perda de calor através do .,drocm
1en.sãn medida de 6 V. O rc.,b~tor ~ cilJndrico, com 2,5 cm de diâmetro
e 15 cm de comprimento, e tem 1empern1u1'9 unifonne de 90 ºC. enquanto n tempcnllurn do ombienlc é 20" e. Assumindo que a troca de
calor por rndiaçllo é desr1-ciívcl. delcnnlne o coeficiente de troca de
supenor a k 1 ou entre k 1e k1?
1cnninc o 1empcrniuru da placu de Hlumínio. Desconsidere qualquer
R
FIGURA P1-52
1~9C Considere uma liga de doos metais cujas conduúvidades
ténnicas são k1 e k, A conduhvidade térmica da Ioga é inferior a k1,
Quatro trnru.iMorcs de polência. cada um dissipando 12 W.
sura do vidrO fosse 1 cm?
Duranle um expcrimenm, foram urilizada.s duas amos1ra~ de 10 cm X
IOcm deáreac0,5 cm de espessura. Ao a11ng1ro regime pcnnancn1c.
observou-se que o consumo do aquecedor elétrico é de 2S W, e as
Tuit - T,,. • 30°C
não em rclaçSo à conduuv1dade ténrnca comum?
silo montado. sobre uma plnca ruia de nlumlnio vertical de 22 cm
X 22 cm. O calor acrado pelos transistores deve ser dissipado por
nmbas as fuces dn p laca para o ar a 25 •e, que é soprado ao longo
dn pluca por um ventilador. A totalidade da p laca pode ser assumida
como c1unse isotérmica. e a superíície CXJX>Sla do transisto r pode
ser 1ornndo como sua área de base. Considerando que o coeficiente
2
médio de trnnsfcrem:ia de calor por convecção é 25 W/rn ·ºC, de·
d o vidro é 0.78 W/m·K, detcnninc •perda de calor 1travésdo vidro
longo de um períndo de S h. Qual seria a sua rc.po>ta se a espes-
80
IOm
Considere duíls cas:.l\ idên1ica~. exceto que as paredes são
coni;1ruídns utilil.undo tijolos cm uma. casa e madeir.a oa outrn. Se
u' paredes de 1ijolos du casa silo duns vezes mais espessas, que casa
terfl mn1or eficiência cnergé1lca1
i t ( ' Considere: duas paredes idênticas em uma casa. e;r;:ce10
que uma I! fciHt de madeírn de 1Ocm de espessura, enquanto a ouLra
é feitn de tijolo> de 25 cm de espessura. Por meio de qual parede o
ca!\a vai perder mtus calor no inverno?
1 ••
Como a condutividade ténnica de gases e líquidos varia
com n 1cmpcrn1ura'?
7( Por que a condutividade ténnica do superisolamento é
algumas nrdens de arandeza maiis baixa do que a condutividade
1~m1ica do i\Olame.nto comum?
Por que ca11Cteri.L001o<. n capacidade de condução de ca-
1
-
Capitulo 1 • lntroduçao e Conceitos Básicos
1 ,. ~
Uma técnica de medir u cundutividnde ll!rmicn de material é mon1or um sandu(chc de um aquecedor elélrico entre duas
amoMras re1angulares idênticas do motcriol e isolar fortemente os
~uairo Indas externos, como mos1mdo na Fig. P L-60. Termopnres
msralados nas supcrffcies interna e ex1erna dns amostras indk~un
as ternpera1urt1s.
•c
•e
r.5'11 Reconsidere o Prob. 1-63. Usando EES (ou outro
l!s:iíil programa). lJ1ICC a taxa de rransfcri!nc1a de calor por
radiação no inverno. em função da temperatura da supcrflcie interna da sala. na faixa de 8 a 18 ºC. Discula os resulll'tdO~
Para efei1os de transferência de calor. um homem cm ~
pode oer modelado como um cilindro venical de 30 cm de d1âmc1ro
e 170 cm de altura com as superfícies .superior e inferior isoladas
e com a superfície lateral na temperatura mc!dlB de 34 "C. Pnta um
coeficiente de trnnsferência de calor por convecção de 8 W/m1· K.
detennine a taxa de perda de calor por convecção desse homem no
ambiente a 18 ºC. 1<
'
')5 W
1-<
Ar quente a 80 ºC é soprado ao longo de umn supe1'ffcie pia·
na de 2 m x 4 m. o 30 ºC. Consid erando que o coeficiente médio
de u·ansferência de calor por convecção é 55 W/m1· K, determine u
tax.a de transferência de calor do ar para a p laca. cm kW.
R•,.
"· 2 kW
Capítulo l • Introdução e Conceitos B~sicos
Transferência de Cal~or~e:_::M~a~ssa=----------• 7 ~ Reconsidere o Prob. 1-66. Usando EES (ou outro
Kiii'il pt0&1'3ma). 1racc a 1axa de transferência de calor em
funçlO do coeficicnlc de IJ'aDSferincia de calor na faixa de 20 W/
m" K • 100 W /m'- K D1scu1a os resuhados.
A superlTcie ex.tema de uma nave espacial no espaço 1cm
emiss1V1dade de 0.8 e absort1vidade solar de 0.3. Considerando que
a radiaçlo !IOlar U1C1dc sobre a nave cspaclal a uma taxa de 950 W/
m' . delcrm1ne o temperatura da superfície da na'" espacial quando
a radiaçllo emnida for igual à energia solar absorvida.
O calor gerado no circuilo de um chip de silício (k = 130
W/m· K) t condul.Ído para o substralo de cerâmica no qual é fixado.
O chip 1cm 6 mm X 6 mm e 0,5 mm de espessura e dissipa 5 W
de potêncin. Ignorando qualquer transferência de calor por meio
dns superfícies lnlerais de 0.5 mm de allura, de1crmme a diferença
de rempernturn enlrc a.s superílcies dianteira e traseira do chip em
regime permanente.
1 1
~ Reconsidere o Prob. 1- 72. Usando EES (ou outro
ts:;;ii programa), trace a 1axa cm que o gelo derrete em
fuoçãO da cspcs•ura do recipien1e na faixa de 0.1 a 1.0 cm. D1scu1a
os resultados.
1
Os vidros interno e ••temo de uma janela de vidro duplo de
área 1.2 m x 1.2 m eSlão a 1S e 9 ºC. respecuvamente. Se o espaçamento de 6 mm entre os vidros cstll precncludo com or estagnanle,
determine a tua de transrerencia de calor através da janela.
Um unnsistor com ahura de 0.4 cm e 0.6 cm de dilmetm é
montado sobre uma placa de CU'CUÍIO. O tran>1>1or é resfnado com
ar Ouindo sobre ele com coeficiente mtdio de transfcrencia de calor
de 30 W/m'·K. Considerando que a temperatura do art de 55 ' Ce
o valor da temperuturn da superfTcie do uansis•or não excede 70 ºC,
determine a quanridade de cnergm que esse 1ransistor pode dissipar
de forma segura. Desconsidere qualquer iransfcrência de calor da
ftr.URA Pl-a2
FIGURA Pl- 77
1 71 Reconsidere o Prob. 1 77 para oxi~Snio líquido, que tem
1emperaturn de ebulição de - 183 ºC, calor de vnpori>.nção de 2 13
kJ/kgedensidndede 1. 140 kg/m'em pressi!ode l alm.
bnse do trnnsistor.
1 79
Tnm•"l°'
l
J
de po1ln<ia 0.6 cm
Fll oURA PI 19
-
1ro c~tcmo e 0.4 cm de cspc..~sura contém uma mis1ura de água e
gelo a O•e. Considerando que a temperatura da superfície externa
é de S 'C. dclenninc a taxa aproximada de perda de calor da esfera
cm kW e a taxa cm que o gelo derrete no recipiente. O calor de
fusão da :lguu é de 333,7 kJ/kg.
lo-o.• c:m ....j
FIGURA Pl- 75
r.51 Reconsidere o Prob. 1- 75. Usando EES (ou ouuo
lii:íiiii prognimo). trace a potência que o trans1Slor pode d1s<1par com segurança cm função da tempenitura mruma da superfície na faixa de 60 1 90 ºC. Discuta os resultados.
-•
A 1emperatura de ebuhçlO do rutrogênio cm pressão a1mos-
férica no nível do mar (1 a1m) t - 196 ºC. Por isso, o nitrogênio
é comumentc usado cm es1Udos cient{(icos em baixa temperatura,
j4 que a temperoturu do nitroganio líquido cm tanque aberto para
nlmosfcra se mant~m conslGnlC em - 196 ºC ;:U~ acabar o nitrogênio líquido no tanque. Qualquer lrnnsfertncia de calor do tanque
resul1ará na evnpomção de nurogenio liquido, que tem calor de vaporiznçiío de 198 kJ/kg e densidade de 810 kglm' a 1 aun.
Considere um tunquc esférico de 4 m de diâmetro. inicialmen-
0,2cm
FIGURA Pl-72
Reconsidere o Prob. 1-77. Usando EES (ou ouiro
~ prognmrn), trace a 1:0;11 de evopomçíl.o de nitrogênio
Uquido em funçüo díl tcmpcrnturu do ar um biente n:.t faixa de OºC a
40 ºC. Discuta os resullndos.
1__,,o Considere umn pessoa com superfície expoSla de 1.7 m',
emissividade de 0.5 e 1empern1Ura superficial de 32 •e. De1ennine
a 1axa de perda de calor por radiaçno do JlC'"°" cm um• grande sala
eom paredes com 1empcra1ura de (a) 300 K e (b) 280 K.
~. 1
1 O Uma res1s1ência eltuica de aquecimenlo de 800 W eom 40
cm de eompnmcnto, 0.5 cm de dtiimetro e 120 ºC de 1emperalura superficial está unersa cm 75 kg de água. inicialmenle a 20 ºC. Detccmtne cm quan10 tempo esse aquecedor eleva a temperatura da água
1 80 •e. Altm disso, detemunc os eoefic1eotes de transíetêneia de
calor por corMcçllo no mfc10 e no final do processo de aquecimento.
1
Um tubo de 6gua quenlc de 5 cm de diilmetro cx1ccno e IO
m de comprimcn10 1 80 ºC .,.t4 peidcndo calor para o ar e.'." t'.'"'o
de S "C por convccçio na1ural. com coeficiente de transfereoc1a de
calor de 25 Wlm' · K. Dctermme a 1axa de perda de calor do tubo
por convecção na1ural. "
1 ' Um recipien1e esférico e oco de ferro com 20 cm de diâme-
T,S70°C
~
1e cheio com nitrogênio líquido a 1 aun e - 196 •e. O tanque é exposto ao ar ambiente n 20 ºC com um coeficiente de transferência
de calor de 2.5 W/ni'·K. A 1empcra1Um do ianque esférico de casca
fina é quase n mcsmu do nilrogênío 110 interior. Ignorando qualquer
troca de calor por radiaçfto, de1ermioe n 1axa de evapornçi!o do nitrogênio líquido no 1anque como resullado da 1ransfel'Encia de calor
do ar ainbicn1e.
)
Uma placa de circui10 com 0.3 cm de espessura. 12 cm de
altura e 18 cm de comprimen10 abnga cm um lado 80 chips lógicos
pouco espaçados, cada um dissipa 0.06 W A placa cstd impregnada com recheio de cobre e 1em condutividade ttnnica efetiva
de 16 W/m·K. Todo o calor &•rado nos clripsé conduzido atravts
do placa de circui10 e dissipado do 'eno dei•~ o ar ambiente.
Detccmine a d1fcreoça de 1empera1ura cnin: o.\ dois Ilido< da placa
1
decircuuo.
Um engenheiro que está trabalhando na análise da 1rnnsferência de calor de. uma casa usa unidndes inglesas e nec~~lfo ~ubcr
do coeficiente de trnnsferêncHl de calor por convecção da superfície
externa da casa. Entretanto. o tíníco valor que ele encon1m no seu
manual é 22 Wlm'·K, que está em unidades no SI. O engenticiro n5o
tein o facor de conversão dire10 entre os dois sistemas de unidade para
o coeficiente de transferência de c:ilc)r por convccçl'1o. Usi:mdo os íuto-
res de conversão entre W e Btu/h, me pés, nlém de ºC e 0 r, expresse o
coeficiente de transferência de calor por convecção cm B1u/h·pé1.'I'.
R 1 ta 3,~7 E u/h
r
1 ~4 Água a O •e libera 333,7 kJ/kg de calor no virar gelo (p e
920 kg!m'} a O •e. Uma aeronave voando sob condições aunosféricas de fonnação de gelo (O cc) man1ém um cocficicn1c de transferência de calor de 150 W/m1 · K entre o are a ,;uperf'Tcic das as.as. Em
que temperatura as asas devem ser mantida~ para cvilar a formação
de gelo em sua superfície a uma taxa 1 mmlmin ou menos?
Um fio elélrico de 2.1 m de comprirnen10 e 0.2 cm de dil·
metro é csiendido cm uma sala mantido a 20 ºC. O calor é gerado
no üo como resultado do aqucc1men10 resisuvo. e a temperatura da
superffci" do fio é medida em regime pennancn1e a 180 •c. Altm
disso, a queda de tensão e a corrente elé1rica por meio do fio \ão
110 V e 3 A. respecttvamcntc. Despre1.ando qualquer 1ransfcrencia
de calor por radiação. de1emúoe o coeficiente de transfcrencia de
calor por convecção para transferência de calor cnlre a superficic
externa do fio e o ar da sala.
-li.. Considere uma caixa ele1r6nica selado de 20 cm de altura.
eom área da base de 50 cm X 50 cm, colocada cm uma câmara de
vácuo. A emissividade dn superfic1c cx1ema da caix.a é de 0.95. Os
componcn1es eletrônicos nn cnixa dissipam o 10101 de 100 W de
potência. A 1cmperatura da superfície ex.remo do. cnixa não pode
exceder 55 ºC. Determine a tempera1urn na qual as super!Tcies ao
redor devem .\er mantidas se n cahrn for rcsfriodn apcm1s por radiação. Assuma que a transferêncin de calor dn superfície inferior da
caixa pnra o sup011c seja insignifican1e.
Sala
20•c
(180ºC
\ : Aquecedor de rt'iiMêncln elétrico
FIGURA P1 °5
,.
1-86
Transferência de Calor e Massa
Capit u lo 1 • Introdução e Conceitos B~sicos
o
rl5\'I Reconsidere o Prob. 1-85. Usando o EES (ou outro
~ programa), trace o coeficiente de transferência de calor por convecção em função da temperatura da Sl1pe.rffcie do fio na
fai.xa de 100 a 300 ºC. Discuta os resultados.
/44 ' C
QI
1- 87C Todos os três modos de transferência de calor podem
ocorrer simultaneamente (em paralelo) em um mejo?
um ventilador. Explique como um venlilador nos deixa mais refrescados no verão. Explique também por que. algumas pessoas usam
ventilador de teto lambém no inverno.
1- 91
Considere uma pessoa em pé em uma sala a 18 ºC. Dete rmine a taxa total de transferência de calor dessa pessoa. considera.ado que a sua área de superfície exposta e a temperatura. da pele
são de 1,7 m1 e 32 ºC, respectivamente. e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 5 W/m2 • K. Considere a emissividade da pele e das roupas igual a 0,9, e assuma que a temper<ltura
da superffcie interior da sala 6 a mesma do ar.
•
8 "" Ü,8
,,ar,40 ºC
l-88C Pode um meio envolver (a) condução e convecçgo. (b)
condução e radiação ou (e) convecção e radiação simullancamente?
Dê exemplos para as respostas ••afirma1ivas".
l-90C Muitas vezes, para nos refrescarmos no verão, utilizamos
=
1
e~ a ~ 0.70
T
T,,1 • 1.OtX> K
FIGURA Pt-100
1 94 Uma bola esf~rica de S cm de diãmelfo, cuja superfície é
mantida a uma temperatura de 75 ºC, está suspensa no meio de uma
sala a 20 ºC. Considerando que o coeficiente de transferência de
calor por convecção é de 85 \V/m1 .K e a emissividade da superfície
é de 0,8, detem1inc a taxa total de tran.sferência de calor da bola.
1- 95
~ Um ferro de passar de 800 W é deixado sobre a 1ábua
~ de passar com sua bnse exposta ao ar a uma tempera~
cura de 20 ºC. O coeficiente de transferência de calor por convecção emre a superffcie da base e o ar circunda.me é 35 de W/ml·K.
Considerando que a base lem emissividade de 0,6 e área de 0,02 1111 ,
determine a temperatura d.a base do ferro.
Respost, 601 ºC
w·c
=
1- 93 As superfícies interna e exlerna de uma parede de espessura de 25 crn no verão estão a 27 e 44 ºC, respecâvamenle.
A superfície externa da parede Lroca calor por radiação com as
superffcies vizinhas a 40 º C e rambém por convecção com o ar
ambiente a 40 º C com coeficiente de lrnnsferêncin. de calor por
convecç:.io de 8 W/m2 • K. A radiação i::;olar incide na superfície à
rnxa de 150 W/mi. Se a e01issividadc e a absonividade da su_perffcie externa são iguais a 0 ,8 1 determ ine a condutividade térmica
efetiva da parede.
_L
--
FIGURA Pl- 93
Resposta. 248 W
1- 92 Considere: a transferência de calor entre duas grandes placas
paralelas com tempera1uras consiantes T1 290 K e T2
150 K.
O espaçamento entre elas é L = 2 cm. Con.sidenmdo que as supe1'fícies são negras (emissivjdade e = 1). dctennine a taxa de transferência de calor enlre as placas pOr unidade de área de superfície e
assuma que o espaçamenm entre as placas é (a) preenchido com ar
atmosférico, (b) evacuado, (e) preenchido com isolamento de fibra
de vidro e (d) preenchido com um superisolamcnto de condulivida·
de lérmica aparente de0,00015 W/m·K.
\ '·~
150Wlm'
27ºC
Mecanismos simultâneos de transferência de calor
l-89C A temperatura interna do corpo bumnno de uma pesso<i
saudável se mantém const<1nte a 37 º C. enquanto a Lemperaturn e
a umidade do ambiente mudam com o tempo. Discuta os mecanismos de transferência de calor entre o corpo humano e o ambiente
tamo no verão como no invemo e explique como uma pessoa pode
manter-se mais fria no verão e mais quente no inverno.
Sandt1fche
de silício
FIGURA Pt - 95
1 97 Í~ O telh•do de uma casa tem laje de concreto de 22 cm
\@t>' deespcssum(k = 2 W/m·K), 15 meorosde largura e20
m de comprimento. A cmi,,sividade da superflcie ex.terna do telhado
é de 0,9, e ocoeficicme de [ransferência de calor por convecção dessa
superticic é estimado em 15 W/m2• K. A ~uperf!cie interna do 1elhado
é manlida a 15 e>C. Em uma noite clara de inverno. o ar ambiente está
a JO ºC. enquanto a temperaturn noturna do céu, para troca de calor
por radiação, é 255 K. Considerando as lransferênciris de calor por
rod.ioção e convecção, determine a tempernrura da superticie ex.terna
e a taxa de ll'rulSferência de calor meio do telhado.
Se a casa é aquecida por um forno queimando gás natural com
eficiência de 85% ao custo unitário do gás naoural de US$ 1.20/
lherm (1 therm = 105,500 kJ de conteúdo encrgélico), de1errnine
o dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, por um período de 14 horas.
1 9H Considere um coletor solar de placa plana colocado horizon·
talmenLe sobre orelhado plano de uma casa. O coJe toI' mede 1,5 m de
largura e 4.5 m de comprimemo, e a tempernrura média da superficie
exposw do coleto!' é 38 C>C. A emissividade dti superfície exposta
do colelor é 0,9. Determine a ta.a de perda de calor do colelor por
convecção e radiação, dura.me um d.ia calmo, quando a remperatura
do ar ombienre é 20 ºC e a temperatura efetiva do céu, para troca por
radiação, é 1O ºC. Considere o coeficiente de transferência de calor
por convecção da superfície exposta igual a 15 W/m2 ·ºC.
600 ºC, enquanto as superífcies circundantes do forno es1ão a uma
1emperalura uniforme de 750 00C. Considerando que a emissividade
da placa de aço é 0,4, e o coefic iente transferência de calor pOr
convecção é JOW/m1.K. de1em1inc a temperatura da placa de aço
inoxidável.
Re p oh 716 C
l 100 O t ratamento térmico é comum no processamento de ma1eriais semicondutores. Um sandufche de silício de 200 mm de diâ·
metro e espessura de 725 µ.m esrá sendo tratado termicamentc em
uma cãmara de vácuo por aquecedor de infravennelho. As paredes
em torno da cl1mara 1êm 1ernpera1ura uniforme de 310 K. O aquecedor infravermelho fornece íluxo de radiação incide nl.e de 200
kW/m2 na superfície superior do S•mduíche, e a emissividade e a
absortividadc dn superfície do sandnfche são 0.70. Usando um pirômetro, a lemperntura da superfície inferior do sanduíche é 1.000 K.
Assumindo que não há troca de radiação entre a superfície inferior
do sanduíche e arredores, dete rmine <l tcmpcraturn da superfície
superior do sandufcbe. (Nula: O pirômerro é um dispositivo que
intercepta e mede a 1.t.diaçâo ténnica sem conta10. E..~se disp0si1ivo
6 usado para de1e1minar a temperatura d:} superfície de um objeto.)
Técnicas de solução de problemas e EES
1-101<..: Qual é o valor dos pacotes de program<1s computacionais
de engenharia em (a) ensino e (b) prática de engenharia?
1- Htl
1- 96 Um reservatório e.,férico de aço inoxidável de 3 m de diâmetro interno e l cm de espc.~sura é utilizado para armazenar uma
mistura de água e gelo a O ºC. O reservar6rlo escá ao ar livre a 25 ºC.
As.sumindo que todo o tanque de aço está a O ºC e, assim, a resistência ténnica do reservatório é desprc:7.fvel, determine (a) taxa de
transferência de calor para a mi~turn de água e gelo no reservntório,
e (b) a quantidade de gelo a O' C que derrete durante um período de
24 hora.s. O calor de fuS<lo da água em pressão a1mosférica é hu =
333,7 kJ/kg. A emis~ividade da superfície externa do reservatório é
de 0,75, e o c0cficicnlc de transferência de calor por convecç.ão da
supcrffcieexternaé de 30 W/m2.K. Assuma que a 1enipera1ura média
das supetfícies no entorno para troca por radiação é igual a 15 '>C.
~ Utilize o EES para determinar a raiz real positiva da
ri:iíii seguinte equaç.iio:
T«u = 1o•c
3.S.r' - IOx0 J - 3x = - 4
1- lfl.l
!i'.5\1 Com o EES, resolva o seguinle sisicma de duas
~ equações com duas incógnitas:
x3 - y2 = 10,5
3xy + y = 4.6
FIGURA Pt-98
1- 104
~ Com o EES, resolva o seguinte sistema de três
~ equações com Lrês incógnitas:
Rt!5po,;las; (a) 23, l kW (b) 5.9RO k!
Uma placa de aço inoxidável AISI 304 eSlá passando pelo
proc."CSSo de recoz.imemo térmico em um forno aquecido cletricamcmc. O ar ambiente dentro do forno está rn.1 temperatura de
2r - y+z=5
3x' + 2y = z + 2
xy+2z=8
- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Ca
-"'p"í'..:
tu"'l..:
o..:l..:•_ ;l.n.:..tr
.: .o.:..:
.:dução e Conceitos Básicos
Translerênc1a de Cal..::
o.:..
r .::
e..:.M.:..a:.:s::sa
=------~ Com o EES, resolva o seguinle sistema de três
Proh
ISiiil equações com três incógni1as:
Um ferro de solda tem ponta cilíndrica de 2,S mm de díâmet:r0 e 20 mm de comprimen10. Com o lcmpo e ou~. a ponta oxidou e sua emissividade ficou em 0.80. Assumindo que o coeficiente
m~io de transferência de calor por con"-ec:ção sobre a ponla de
solda do ferro é 25 Wlm1 K e a temperatura do ar circundante está
em tomo de 20 °C. determine a pothcia ~a para manter a
ponta a 400 •c.
x'y-z=l,5
x-Jy'U+.iz- -2
X+ 1- Z = 4,2
~ Usando a rabeia paramétrica e as caracteósticas gnlfi-
lii:iiiii cas do EES. dclcrminc os quadrados dos ni!maos de 1
a 100 em incrementes de 10 em fonna de labela e Ir.la: os resultados.
da superficic ex.Lema da cobenura por convecção e radiação com
coeficiente de transferência de calor por convecção de 10 W/m1· K
e temperatura ambiente de IS ºC. Detennine a fraçllo de calor per·
d1do da cobertura de vidro por radiação.
10 e
Ar. 20-C
íl
1
111
1
O que ~ mctabollimo? Qual é o intervalo da ta.ta meu·
"' A taxa de perda de calor por meio da unidade de ~upcrficic
de uma janela por unidade de diferença de temperatura e111te as partes interna e externa é chamada de fator U. O valor do fator U<KCila
de 1.25 Wlm'·K (ou 0.22 Brulh·pé'·ºF) para janelas cheiu de argônio ou paint!is quádruplos a 6,25 Wlm'·K (ou 1,1 Btu/h·pé1·ºF)
para janelas com único painel e quadro de alunúnto. Dctem1inc o
intervalo para a taxa de perda de calor atravts da janela de 1.2 m
X 1,8 m em uma casa mantida a 20 ºC quando a 1empera1ura do ar
extemoéde-8 •e.
bólica para um homem m~dio? Por que estamos interts.sados na
taxa mernbólic.11 dos ocupantes de um cdillcio quando lidamos com
aquecimento e ar condicionado?
< Por que o taxo metabólica das mulheres é, em geral. menor do que n d<» homens? Em 1empcrulura ambien1e, qual é o efeito
do ves1uár10 paru que uma pessoa possa se sentir confortável'!
1 10'1(' O que t radinçilo 1érrnica assiméirica7 Como ela causa
dcs<.:onforto térmico nos ocupm1tcs de uma saln?
1 11111 Como (a) correntes de ar e (b) pisos com superfícies
fria\ causam desconforto aos ocupantes de urna sala?
1 lt O que é estratificação? Ela pode ocorrer em locais com
tetos altos ou buixos? De que fom1a ela pode causar desconfono
ténnico aos ocup•mes de uma sala? Como a estratificação pede ser
impedida7
l 11 « Por que é necessário venlllar edilTcios? Qual é o efeito
de "en1ilaçlo sobre o co11.sumo de energia para o aquecimen10 ao
inverno e para o rcl.Íriamenlo no verão? É wna boa ideia manter o
ventilador do banhcU'O ligado todo o tempo? Explique.
Considere uma casa cm AIJ311ta, Gcóigia, mantida a 22 •c
com irea de janela tOlal de 20 m'. As janelas são do tipo painel
duplo com molduras de modcora e separadores de metal com fator
Ude 2,S Wlm'·K (ver Prob. 1-122 para a definição do fator II). A
temperatura médoa do onvemo de Atlanta é 11,3 •e. Determine a
taxa média de perda de calor atravé> du janelas no inverno.
Um fio de resistlncia elétrica de 70 cm de comprimento e
de 2 mm de diAmctro submem> na água é uúlizado para detenninar, CÃpcnmentalmentc. o coefic1cn1e de transferência de calor de
ebulição da água a 1 aun A temperatura do no é 120 •c quando um
medidor de po1encin indica que a energia elétrica consumida é 4, l
kW. Usando lei de Newton do resfriamento, determine o coeficien-
te de 1mnsferência <lc calor de ebulição.
ftr.uqAPf 117
flGURHI
15
1 1u, É snbido que o vento ftti com que o ur frio seja sentido
mais frío. resultnnte da sensação de resfrinmento causada pelo aumento do coeficiente de 1ransfer!ncia de calor por convecção com
o aumento da velocidade do ar. O efeito da scnsaçôo de resfriainemo cau!.adn pelo vento é normalmente expresso em função da
temperatura de 1V!sfriamenro p•lo
(WCf - Wi11d Chi// Temperaiurt), que é a temperatura npareote semida pela pele exposta.
Por exemplo, para temperatura do ar eÃlemo de O•c, a tempera·
cura de resfriamento pelo vento é -S •c a ventos de 20 km/h e
- 9 ºC a ••entos de 60 km/h. Ou seJ•· uma pessoa exposta a uma
temperatura de OºC de ar movendo-se • 20 km/h sentiri tanto frio
quanto uma pcs..;;oa exposta• · S •e no ar calmo (ar em movimento a -S lonlh).
Para fins de 1ransfer!nc11 de calor. um homem em pé pode ser
modelado como cilindro vertical de 30 cm de dtimctro e 170 cm
de comprimento com amba> as supetffcies do topo e do fundo iS<>1adas e superfície lateral na temperatura média de 34 c. Para um
coeficiente de 1nmsfer!nc1a de calor por convecção de IS W/m1 ·K,
determine a taxa de perda de calor por convecção desse homem
ainda no ar parado a 20 ºC. Qual seria •ua resposta se o coeficiente de trnnsferfncia de calor por convecçilo aumentasse paro 30 W/
''""º
m1· K~ como rcsuhado do vento? Nesse caso, qual '- a lcmperarura
de resfriamento pelo vento?
1
lf w 6 .,., l l
1 11
Uma placa nna me1dlica é ísoloda no superITcie traseira
e exposaa à radiação solar na supeoíície frontal. A superlTcic exposta da placa tem nbso11ividnde de 0.7 para a radiação solar. Se
a radiaçllo solnr incide sobre a placa a umn iaxa de 550 W/m2 e a
1empera1urn do nr circundante é 10 ºC. de1ermine a temperatura
da superfície da placro quando n perdo de calor por convecção se
iguala à energia solar absorvida pelo placa. Considere o coeficiente
2
de transferênciit de cnlor por convecçfto como 25 W/m ·K e ignore
FIGURA PI 114
qualquer perda de calor por radi11çllo.
1 118 Uma saln de 4 m X 5 m x 6 m é nquecida por uma tonelada
( 1.000 kg) de água contida em um tanque colocndo na sala. A sala
perde calor para a parte exrernn n umn UIXíl média de 10.000 kJ/h,
A sala permanece na 1empernturu inicinl e consiante de 20 ºC e
100 kPa o tempo todo. Considernndo que n água quente satisfaz as
exigências de aquecimento desse espaço para o período de 24 bora.s, delerminc a lempcraturn mínima da água quando esta é tral.ida
para a sala Considere calor c~pccífico cons1an1e para o ar e a água,
na. 1emperarura ambiente
.4
e
1 119 Considere um forno cúbico de 3 m X 3 m X 3 m cujas
superffcies superior e lateral se aproximam bastante de superfícies
negra> em temperatura de 1.200 K. A supcrfTcic da base tem emissividade e = 0.4. manuda a 800 K. Detcnnlne a taxa líquida de
umsferência de calor por radu1ção para a base a partir da superfTcie
$Upcrior e das superficics laterais.
R posta
l-120 Válvulas de motor (e, - 440 J/kg·K e p = 7.840 kglm')
estão sendo aquecidas a partir de 4-0 C até 800 •c. cm S minutos, na seção de 1nuamen10 ttfmoco de uma fábrica de válvulas.
As válvulas 1lm o tronco colrndnco com diâmetro de 8 mm e 10
cm de compnmento. Supomos que a cabeça e o tronco da válvula
ienbam a mesma área de supeoíície, com massa total de 0,0788 kg.
Para uma válvula. delermine (a) quan1idade de calor 1ransfericlo,
(b) 1a. . módia de transferência de calor, (e) Ouxo médio de calor e
(á) número de válvula• que podem ser !ratadas 1crmicamen1e, por
dia. se a seção de aquecimento térmico só comportar 2S válvulas
para 10 horas diárias.
Considere um colcior solnr de plnca plnnn colocado no
leltmdo de uma casa. As ccmpcrn1uras das supe1·tlcies intcrnu e
externa da coberlurn de vidro sao 33 e 31 ºC, rcspcc1ivomcn1e. A
cobcrturu de vidro tem superfície de 2,5 m1, 0,6 t:m de espessura
e condutividade 1érmica de 0,7 W/on- K. O calor é perdido a partir
FIGURJ
l..J
~
1-1
Reconsidere o Prob. 1- 122. Usando EES (ou outro
ii::iil programa). trace a taxa de perda de calor por meio
da janela como uma função do fator U. Discuta os resultados
Um aquecedor elétrico com supcrlrcie total de 0,25 m1 e
emissividade de 0,75 está em uma sala onde a temperatura do ar é
de 20 "C e as paredes estilo a 1OºC. Quando o aquecedor consome
500 W de potência cl~tnca, sua superfície tem temperatura constante de 120 •c. Dctennine a temperatura da supcrfícocdo aquc:ccdor quando este consome 700 W. Resolvo o problema (a) supondo
a radiação desprezada e (b) considerando a radiação. Com base nos
seus resultados, comente a hipótese considerada na pane (a).
•-IV,
T_h
()
1
7
r,
FIGURA Pl - 124
Q...,
A.<
~)
º""
r.
-
Transferência de~C~a~lo'.'...r=e~M'.!!a~s:;::sa::__________________
Capitulo 1 • Introdução e Conceitos Básicos
Um• bebida engarrafada fria (m - 2.5 kg, e, - 4.200 li
•e é deixada sobre a mesa cm uma sala. A temperatura
édia da bebido aumenta paro 1S ºCem 30 minutos. A taxa média
: rransfclincia de calor para a bebida é
1 131
~ ·k) 8 5
8
FIGURA PI 125
1 l
Um ringue de patinação está localizado cm um edifício
onde o nr está a r. ~ 20 ºC e as paredes estão a T......,, = 25 º C.
O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o gelo
e o'" circunda111e é h ~ lO Wlm'·K. A emissividade do gelo é
6 • 0,95. O calor Intente de fusão do gelo é li,, e 333,7 kJ/kg, e suo
dcnsidudc é 920 kglm'. (a) Calcule a carga do sistema de refrigemçl1o necessária paro mnntcr o gelou T, = O ºC crn um ringue de
gelo de 12 m X 40 m. (b) Quanto temPo levaria para derreter 3 mm
de gelo da superfície do ringue, caso não seja fornecido resfriamento para a superfície e considerand()..() isolado no fundo?
1 I ó A superfície de um bloco de motor mede 0,95 m'. gera potencia de SO kW e tem eficiência liquida de 35%. O bloco do motor
opera dentro do compar1ilncnto a 157 ºC, e o coeficiente médio de
transferência de calor por convecção é 50 Wlm'.ºK. Considerando
que a transferência de calor se dá apenas por convecção, determine
1 temperatura da superflcic do bloco do motor.
l
Problemas oara exame de fundamentos de em:enharia
, Considere dois materiais d1rcrentcs, A e B. A razão das
condutividades térmicas é k;I k• • 13. • ra1..'lo entre as densidades
é p;fp, = 0,04S. e a ralllo de calor específico é c~;lc,.. a = 16,9. A
razão de difusividndes térmicos a,/a, é
(t1) 4, 882
(b) 17,1
(e) 0.06
(d) 0,1
{<) 0,o3
1 1.11 Um aquecedor de resistência elétric<t de 2 kW é mantido
ligado em uma sala por 50 minulOS. A quantiduclc de energia trans·
ferida para n snln pelo aquwedor é
(a) 2 kJ
(b) 100 kJ
(e) 6.000 kJ
(á) 7.200 kJ
(•) 12.000 kJ
Um bloco de ferro cõblco e quente de 16 cm X 16 cm X
16 cm é resfriado 1 uma taxa média de 80 W. O Oui<o de calor é
n1
(a) 195 W/m2
(b) 521 Wlm'
(e) 3.125 Wlm'
(d) 7.IOOW/m1 (t) 19.SOOW/m2
Um aquecedor de resistineia elétrica de 2 kW submerso
em 30 kg de água é manudo ligado por 10 rrunutos. Durante o processo, perdem-se SOO kJ de calor a parlir do 6gua O aumento da
temperatura da 6gua é
(FI
(a) 5.6 •e
1Qual equação abauo é utilizada para determinar o flWlo
de calor por conduçio?
(d 42,5 °C
•
Ovos com a m:uso de 0, l 5 k& por ovo e calor especifico
de 3,32 kJ/kg·ºC são refrigerados a partir de 32 •e até JO ºC a uma
tua de 200 ovos por minuto. A tua de remoção de calor a partir
dos ovos é
(e) 17kW
(a) 7,3 kW
(b) 53 kW
(d) euT'
Qual equação abaixo é utiliuida para determinar o flUllo
de calor por convecção?
(a) - kA'!I.
(b) -kgrad T
(e) h(T2 - Tt)
(d) el1T'
dx
.
.
(•) Nenhuma das alternauvas anteriores
1 J Qual equnçGo abaixo é utililada para determinar o fluxo
de calor emitido por rndioção térmica n partir de uma superllcie?
(a) - kA'!I.
(b) - kgrad T
(e) h(T,-T1)
dx
.
(•) Nenhum• das alternativas anteriores
(b) 29 W
(d) 88 w
(t) 122 w
(<) 58 \V
t-1
Águ• enlnl cm um tubo a 20 ºC a uma taxa de 0.50 kgls e
é aquecido a 60 ºC. A tua de transferência de calor para a tgua é
Rcfnacrador
(a) -kA'!I.
(b) -kgrad T
(e) h(T2- T1)
dx
(t) Nenhuma das alternatiV11S anteriores
(a} 23 W
4
(d) El1T
(d) 23,3
(b) 9.6 •e
(cJ 13,6 •e
•c
(d) 438 kW
(t) 37kW
Bolas de aço a 140 ºC com calor cspecílicode O,SO kJ/kg·ºC
são mergulhadas cm banho de óleo a uma temperatura média de 85 ºC
à ba..,. de 35 bolas por minuto. Se a massa médin de bolas de aço é
1,2 kg, a 1axa de trnnsfer~ncia de calor a partir de bolas para o óleo é
l
(a) 33 kJ/s
(b) 1.980 kJ/s
(á) 30 kJ/s
(e)
19 kJls
(e) 49 kJ/s
(a) 20 kW
(b) 42 kW
(d) 126 kW
(t) 334 kW
(e) 84 kW
1 IJ
Ar entn1 em um tubo de 12 m de comprimento, 7 cm de
diâmetro, a 50 ºC a uma taxn de 0,06 kg/s. O ar é resfriado l tai<a
média de 400 Wlm' de superfície do tubo. A temperatun do ar na
saída do tubo é
(a) 4.3 ºC
(b) 17 ,5 •e
(e) 32.S •e
(áJ 43.4
•e
«> 45,8 •e
1 1.19 O calor é perdido peiinanememente através de umn janela
de vidro de 2 m X 3 m, 0,5 cm de c"pcssum e condu1ividnde ténni~
ca de 0,7 W/m·K. As tempenuurns d315 superfícies intema e externa
do vidro são de 12 ºC e 9 ºC. A to•n de percln de calor Por condução
através do vidro é
(b) S.040W
(e) J7.600W
(a) 420W
(d) 1.256
w
(t) 2.S20W
m de comprimento, 3 m de altura, 0.35 m de espessura e condutividade 1érm1ca efetiva de 0,7 W/m·l{_ Con;iderando que as tcmperarura~ da.< superlTcies interna e externa da porede são de 1S ºC e
6 •e. a taxo de perda de calor por meto da parede é
(a) 486W
(b) (IJW
(e) l 134 W
(•) 2.085 w
1 141 Condução de calor ptrmaJlente ocorre 11111~ de uma panede de 9 m X 3 me espessura de 0.3 m. à ta.a de 1,2 k\V. Considerando que as temperaturas da.• supcrffc1es 1ntcma e externa da paicde são de 1S °C e 7 °C, a condutividade témuca efetiva da parede é
(a) 0,61 W/m·K
(b) 0,83 \V/m·K
(d) 2.2 Wlm·K
(t) 5.l Wlm·K
(e) 1,7 Wlm·K
Calor é perdido atn1vés de uma parede de tijolos (k • 0.72
W/m·K), com 4 m de compnmcnto, 3 m de largura e 25 cm de espessura, à ta.a de SOO W. Considerando que a superfície interna da
parede está a 22 ºC, a temperatura no centro do parede é
(a) O•e
(b) 7,5 •e
(á) 14,8 ºC
(e) 22 ºC
(a) 41
•e
(b) 54 °C
(d) 76
•e
(•> 82 •e
(e) 67
•e
Um fio de resistência elétrica de 40 cm de comprimento e
0.4 cm de diâmetro submerso na água é uuhLado pono detcrmmur o
coeficiente de transferência de calor por convecçllo no água durante
a ebulição cm pn:ssl!o de 1 mm. A temperaturo da •upc.rlTcie do fio
é l 14 ºC, quando um medidor de potência indica o consumo de
energia elétrica de 7 ,6 k\V. O coeficiente de transícré!ncia de culor é
(t1) 108 kW/m1·K
(b) 13,3 kW/m2·K
(e) 68,1 kW/m'·K
(á) 0,76 kWlm'·K
(e) 256 kWlm'·K
1 l
Mais de 90% da energia dissipada por uma lftmpada incandescente acontece na forma de calor e nl!o de lu<. Qual 6 a temper:uura de um filamento <le wngstênio fechado no vácuo cm uma
lâmpada incandescente de 100 W com área de superfície CXiJOSta de
2,03 cm2 ? A emissividade do tungstênio a altas tcmpern1urus d cer..
ca de 0.35. Note que a lâmpada consome 100 W de energia elétrica,
que é totalmente dü.sipada por radiação.
O A parede oeste de uma cosa aquecido eletricnmente tem 9
(d) 972 w
cada um gerando calor à ta.a de 0.12 W e lnlnsferindo--0 por convecção e radiação par.i o meio cnvol\'cntc a 40 ºC. A tmnsfcdncu1
de calor da supcrtkie oposta é desprezada. Considerando que o
coeficiente de transferência de calor combinado de oon\'ecçiio eradiação na supcrlicie da placa é de 22 Wlm'· K. a 1cmperaturo média
da superflcic dos chips é
(e) 11.0 •e
Uma placa de circuito de 10 cm de nhur<l e 20 cm de largura abriga em SUH supe1iícíe 100 chlp.r. cstrcitnmcnte espaçados.
(a) l.870K
(b) 2.230 K
(d) 3.120K
(e) 2.980 K
(e) 2.640 K
Proces.o;os comerciais de rcvcsllmcnto de superfície mui1as
vezes utilizam limpadas de infravermelho para agiliUtr a cun1 do
revestimento. Um revestimento de Teílon• (k r 0,45 W/m·K) de
l mm de espessura é aplicado na superlTcic de 4 m X 4 m 11$ando
esse processo. Uma vez que o revestimen10 atínge o regime per·
manente. as temperatura.Ili: de suas dua, superficic.s do de 50 °C e
45 ºC Que tua mínima de energia deve ser fornecida continuamente para a lu7 infravennelha?
(a) 36kW
(b) 40kW
(d) 48 kW
(•) 52kW
(e) 44 kW
Umprismaretangularde IOcm x 12cm X 14cmfeitode
madeira (p = 721 kglm'. e, ~ l ,26 kJ/kg · K) é resfriado de 100 •e
até a temperorura da sala de 20 ºC, cm 54 minutos. O coeficiente de
lrnnsfcrência de calor aproximado durnnce esse processo~
(a) 0.47 W/m'·K
(b) 5,5 Wlm'·K
(á) 11 Wlm'·K
(e) 17.830W/m1·K
(e) 8 W/m2·K
1-148 Uma bola preta de 25 cm de diRmetro a 130 ºC t >uspcnsa
no ar e perde calor para o ar a 25 •e por convecção com coeficiente
de transferência de calor de 12 Wlm' ·K e por radiaçno parn as su-
l
'ft•W
pu(ioes ~torno de IS "C. O nJot total ds u.xs de n nsferêocia
dt cakir a pnrtir da bola preca é
(o)217W
(b)247W
W,I 465 w
(t') ?.36S
(c)251 W
w
Cma supetfkie preca dit 3 1
n» • 1..0 °C ei.d. pe:tdeodo C*ior
pata o !lt drc:ooda.c • 35 "'C por oonwoçkt com oocfiç1ente de
uanúe:rê:nc:ta cfeça)li,rdc 16 Whrl·K e par radilçiopt1!3 !lúpttf""icics:
cin:UOO.n1c11 a IS -C. O valot r.ocitl d.a tau de pt:tda de calor da
1 I .&
supedkiel.
(o) S. IOS \V
(b) 'l.9-SO W
(e) 3.779 W
Cd) s.s19w
C<l s.<>sow
15
A c;tbcça de wna pessc. podt- 5a" i:oosiduada como 11111a
~él'.2 de 2S cr.. dt diâmcuo a 3S ºC. cora cmis.1i\'idade de 0,9S. O
calor i petdjdo a parur d a a.bcçl pen. o 111 a 2S °C por OOD\'l.'C(to
oom ooeíicieme ót' 1r.lf13ferf:nda de qlc;c- 6e 11 W /m.I, K e por tadJ,:aÇlb> pa,ra 11.1; supaficit:s circuodanu!I a 10 "'C. Ignorando o pe:s..
coço. derttmloe a tua total das perdas de calor 11 partir d• c:abcça.
(o) 22 W
(b) 27 \\•
(d) 172W
(e) 249W
(e) 49 w
1 151 Vm f.o de tts.isthlcia eli6tica de 25 att de co.lprimeo&o e
0.4 cm de dilmetro '- \tSlldo para ddlttl'lliaar cxpcrimenlalmcnst: o
co::fítientc de pn$.f"ctinda de caJor por c.on't'CC:Çio no ar a 25 °C.
A temp:r31Uta na supcrfkic do f.o é de 230 °C. quando o COOllUl.00
dt energls déuic.a ê J80 V.' Considerando que a perda 6c çalór pQf
r.tiaçio do fio é óO w. o cocnc.ente de U'atlSfcrtnc:rn de calor pof
ÇOll\'ec:ÇÍIO é
(b) 280 Wlm'·K
(o) 186 WJm1·K
(<) 585 V.'lni·K
(") 373 W/m'·K
(") 620 W/nr·K
1 •~- Unu1 a.Is' aqoocida po. aquectdc)r dc ttS:ISlo!:aclackiaica
de J.2 k:W. cujos flOI têm W.OCoo de -4 mmc comprimctlto ~:aJ de
3.4 m.. O ar na 51.lac:sl~ •13-C, esu;as s:upcdioes int«D&S. a 17CC.
O eocf.c1eat~ ck ians.fttfnaa ck c.11lor por e~ da wperficie
dos f.os é 8 W/m1• K. Coos.idenu:.to qoc as tu.ti de uusfcri:oc&a de
~ dos fio! para a $ala pw col'l'YCCçâo e por radJIÇÜO siO 1,&\Ws. a
1cmpen1un da $uperfTdc do fio '(do) 3.53&
- - -- - -- - - - - - - - -- - - -----'C.=póbl
=lo 1 • Introdução e Concertos Básac06
Transferência de Calor e Mas,sa
oe
Clll 9S •e
(b) 1.m oe
(e.·> 1.m-c
lt) 25 'C
Uma penOll em pE cm v:ma sala. pm:le C41l0c p0ra o am·
btcnlc da sala. p<w C(ln'li'"eçk>· e para as $upa1Tc.t:!I ao redor. por
1 1:1'
radiltÇIO. 'Tà.tuo o w da sal• quamo as supc16cies ao «dor" estio u
20 °-C. A .sçcdicic eitpoSlll d;i pcsso11 é l.S ml. com tcmperamra
m6dia de 32 'te e cmisMvtdade. de ().90. Cooside;rando q11e t i tuu
de ttaM(erlfteia. de calor da ptSSOa por conYeCÇSO e n diaç.ão P<>
l.gvais.. ocodkic:nte combimdo de ttwu;fcrtncia de calor ê
C•l o.ooswlm'·K
(b) J,OWlm'·K
(e) S.S Wtmr·K
(<) 8.J Wlm'·K
(~) 10,9 Who'·K
-1 <
O cs:toamcnw de ar- sobre wn aurolnÓ"cl pel'\XllTCOdo
una rodovia ao i:rúcio da tarüe t:$U.bt~ urn cutf.c:tenae &Jõbal
6e cr,1n$lqêoc:111 de calor-de li W/m:·K. A cabiDC de puqgci-tail dt:w ãumm6\1t.I ap6e 9 m~ de. superfide pm o movunen-
'°do llT ambiertle. Sm 1,1m d ia_ quando ti wnpet:U:Ut:l atnbteiue
for l l °C. qtWuo de ~f.riamento o sistem.1 de ar oondicioo.ado
deverá suprir para ma.Iler a tetnpcr.th1ra de 20 ºC na abn:ui (k
(\\'CT - fl'lnd Clffll TtarJH:nm111t). dctl<*'inada inJi«" de ~~YJ·
llU'O 4' rajrlantt:mo pt;lo wnto (WCn - W'ind CJtiJI Tt!~rot11.~
1N/a). é wnJi tcm~ra equivalente do ar igual l: tem1>enuun do
w n«:es.skia para produzir o d'cito de resfriatnento Cf1' çoodiçõcs
e11ron. Um ttl:1t6tn) & 2CX).1 P:>bre. tcmperwura de rcsfri.amea10
pdo "Wento. publiç:ado pelo U.S. Natior1al Weatbcr SCR'~ iodK3
o wcn em tuUdadl!s: ~llicas como
p!lSRgl:.ln.>S?
(a) 670 W
(bl 1.284 W
(d) 2.565 \Y
k) 3.2JOW
(e) 2.106 W
1:·
Em 111t1a 110i cccl~ e abna. ociu paicc.ie i.eir um cx:wpo ne~
SJ'()COrn ~1nperaruraequl\talenu- de 250 K. Qual é a u:mperann do
• quando um campo de mort1ngo11 e:sJ.rb :s O"C e coogcl:L,. se o coe
ficieole ~ rraosrertocsa de c.11or eom. as plaolas eo wé 6 Wlm'· K
por causa de unui ln-e bri.sa. e as plaotms têm c11UAMdodc de 0.9?
!•> 14"C (bl 7 "C C<l J"C (dl O"C (<) l"C
n5trus dlt ~1ttos • eJ
• -tu~
-f
Escreva um cusaio que exphq-ue o (uoe;aoumc:ato de fomOf
de. mil::r~ e o molh'O por que cotlti.Mm mu110 mais ~ndo cto
que
co.wene.<1~. Discuta se fomos elétricos OOP\"t:OCÍOOais
ou ck roic:ro-oodu ooasomt'tu mu" eneqia el~tAc:i pua 11 roc;ma
tan::Ca
-u· Usaodo i:cfonnaçõts da famra dos eq,mp&mc:nlOtSde 1quecimc:n10 par41 o mês trais rno do ll,llO pa:u:do, esaune li l:U.:1 1n&ti:a
de: pe:tda de calor de sua casa. pata esse periodo. Em s~ anil~
considctc a ooom'boiçio das ÍOOlC$ iri11cmow de: cnlor. Ç0010 pes~ lul!Oi e aparelhos. ldctuifique as principaU fOftteS de perda
de ca:lot da soa casa e proponha íormas de melhor• a eficiénci.a
...rgWQ.
'°"'°'
-J
°" 5 kmJ!t). A llipoi:ébca t.nnp<r«'11"1 de 1-rlfrla.roua pdo wn10
Reallu: 1m1a c~prttbcla para detttmil'lar o coefióentc
combinado de trllnSfertrlc'- de çaJor enu-c (!mi• limpeda inc;illldesc:cntc,. ;11 ambtcntc e $U~ld c1ratlM!antcS. lltili1.-do 1111\A ll1npada de 60 w. Vcd prccisani de um tcnnômetto (tipo to:mopar).
qoe pode ser comprado em lop <k femtl'lmtas. além de cob de
metal, b:trha.Ju e dgua para o c4kulo da sopcrfkic" da limpada.
Primeiro. meça a wnperamra do • Da saJa e. cm .seg1.1ià. cole •
pol'lla do fi<> do lt'QnOpar no \ tdm da llmp:ida. Attl'lda 1t. lut. e M·
pcrc aré a Jciun da tcmpmit1n eau.bili:z;ar-.se, A lehwa dia 1em~
mim~ vi IGIJ11X'lllhlrn 41 JUp;rfie1e d.:l l!Mpada. ~1 pmido que
10'.lb da ~oc:1a DOl'llU1111 da llml*f.a' COll'ló'Cllidl cm Juz. e tn.nsmitidl por meio do 'Vidro. cakuk o c:iodic1ca1e de tnmsíc:rência de
caJOr dll ki de N°l!'Aumdc;i tt$t'namt:1110.
-1
É sabido que. .-a mtU'la 1emperarura do ar lh-re, ama
pes50a é n:sfrilcbl ~ uma &nll mais nt.pKt. em coi~ de "~n+
to do q~ ~l11 cuod.içãn calmas. por cau.-;a dos altos coefie~tes
de cransfcrtnci.a de calor por COO\-.:OCÇio as.so;iados .o ar do \"CO·
k). A eitpret!do u-mll('ÕP ck resjrt.OMmJn pdo n:n10 '- u$fl(l:a: para
relac.on:u a tna de perda de calor das pessoas sob COlldiçt.cs de
\'Cnto a uma tiemper<1twa cqui'\ôlkutc do :ir cm c::1Jmu oond.çõ.::s
(~il ve:l()dcbdedoVeoaôOI! 'r't'locid:adedcandatdel m.pb
0
\VCTC("C) = 13.1 2 + o..611$T
ll.37V'-'"- 0.396STV"ª
oodre T é a tc:mpc::rauwa do ar em "'C e V~ a '-dQL'idatk do vento
cm lr:;mJb Dll d~o de 10 m. Essa rcl.açio 1:.ode ser- e~presga cm
unidade$ tng1csu como
WCTI ("'F} - 3$.74 t-0.6215T- J.S.7St-"'16 + 0.427S'f\IL"
Oodc Te ~ tcmpcranma do ar cm -.=-e V t. .a. vdocdad.ie do ff-tlto
em mph a :u péi1 de elevaçio. Além diuo. pttpatt u.ttia tabe.t.. para
WCTI para tic:mpcr.aiwas do..- 'lilf'iando dt 10 a -60 ºC e '<'tl<>cadadcs do ..--ema '1:11'1anclo de l Oa 80 k:rnr'h. F.,.a comctlÚOOS. liObtt a
maphudt! do cJe11tt rcsfnao1e do \urt.O e o perigo&.- ci011ge:lame11ro..
Eq uação de Condução
de Calor
•••••••
1n111Sfcrência de calor tem dif'f!çilo e magnitudl!. A taxa de condução de calor nn direção espcc(fica é proporcional ao gradiellll! dl! tl!mperatura, que é
a variação da temperatura com distância na mesma direção. A condução de
calor em um meio é, em geral, tridimen;ional, dependente do tempo e da tempe·
ratura do meio, que v11r!a com posição e com tempo, T = T (x, )\ i:. t). A condução
de calor em um meio é considerada permanente quando a temperatura não varia
com tempo, não permanente ou transiente quando varia. A condução de calor em
um meio é considerada 1111ídi111ensio11al quando a condução é significativa em d imensão única e desprez.ível nas outras duas, bidimensional quando a condução na
terceira d imensão é despretívcl e 1ridí111e11siom1I quando u condução em todas as
dimensões é significativa.
Começamos este capítulo com a descrição da condução de calor multidimensional permanente e nilo permanente. llm seguida, derivamos a equação diferencial
A
uJl:.1
AD término deste capítulo, você será
capaz de:
•
Compreender a
mullidimensionalidade e a
dependência do tempo na
transferência de calor, bem como
as condições em que um problema
de transferência de calor pode
ser aproximado como sendo
unidimensional.
Obter a equação diferencial de
condução de calor em vários
que rege a condução de calor em uma extensa parede plana, um cilindro longo e
sistemas de coordenadas
urna esfera, para generalizarmos os rcsulllldos nos casos tridimensionais em coordenadas retangulares, cilíndricas e esf~ricas. Apresentamos urna discussão sobre
as condições de contorno e alguns problemas sobre condução de calor e suas soluções. Finalmente, consideramos o problema de condução de calor com condutividade térmica \'ariá,,el.
e simphf1cá-la para ocaso
unidimensional permanente.
Este capítulo abo<da os aspectos teóricos e matemáticos da condução de calor
e pode ser tratado de forma seletiva. se desejado, sem causar significativa perda de
continuidade. Os aspectos mais práticos da condução de calor são abonlados nos
dois capítulos seguintes.
•
Identificar as condições térmicas
em superflctes eexpressá-las
matematicamente como condições
iniciais e de contorno.
•
Resolver problemas de conduçJo
de calor unidimensional eobter as
distribuições de temperatura em um
meio, assim como o fluxo de calor
•
Analisar a condução de calor
unidimensional em sóhdos que
envolvem geração de calor.
•
Avaliar a condução de calor em
sólidos cuja condutividade térmica
depende da temperatura.
Capítulo 2 • Equaç:!o de Condução de Calor
Transferência de CalOI' e Massa
Magruluôe da
temperatura no
ponto A
dottÇão)
{(sem
S0 C !IOW/m1
A cransfcrência de calor
1cm dorcçfto e ma&ni1udc, ponan10 é uma
grandeza w-1onal.
Meio-+-~
0
q11cn1~ ~
Q- - soow
Meio
Meto
frio
quente
ot--+.,-l--x
1t
Direção d• 1ruosferência
de calor (pos11iva na direção positiva e
negauva na direção ncgahva).
2- 1 INTRODUÇÃO
No Cap. 1, sobre condução de calor, foi definida a uansferência de energia térmica das partículas mais energéricas do meio para as partfculas adjacenres menos
energéticas. Afirmou-se que a condução pode ocorrer em líquidos, gases e sólidos,
desde que não haja movimenro da massa.
Embora a uansferência de calor e a temperarura estejam intimamente relacionadas, ambas têm narureza diferenre. Ao conrráno da 1empera1ura, a rransferência
de calor tem direção e magnirude, ponanto é uma grandeza vetorial (Fig. 2- 1).
Logo, para descrevermos a rransferêncin de calor em um ponlo, devemos especificar tanto sua direção quanto sua magnirudc. Por exemplo, dizer que a temperarura
na superfície interna de uma parede é 18 ºC é suficienre para descrever a temperarura naquele ponlo. Mas dizer apenas que o íluxo de calor naquela superffcie é 50
W/ m2 nos leva imediatamenle à pergunra: "Em qual direção?". A resposra poderia
ser para denrro (indicando ganho de calor) ou para fora (indicando perda de calor).
Para evitar esse tipo de pergunia, podemo; lrabalhar com sis1emas de coordenadas e indicá-los com sinais positivos ou negativos. A convenção geralmente
aceiia é a de que transferência de calor na direção positiva do eixo é positiva, sendo
negativa na direção oposia. Portan10, urna grandeza positiva indica transferência
de calor na direção positiva, e uma grandC?ll ncgativ11, 1rnnsferência de calor na
direção negaliva (Fig. 2-2).
A força motriz de qualquer forma de transferência de calor é a diferença de
temperatura, e, quan10 maior essa diferença. maior a iaxa de trunsferência de calor.
Alguns problemas de transferência de calor encon1rados na engenharia exigem a
determinação da distribuição de temperatura (variação da temperatura) ao longo
do meio para calcular alguns valores de inceresse, como taxa local de transferência de calor, expansão térmica e estresse lénnico em alguns pontos críticos. em
determinados momentos. A especificação da 1empera1ura em um ponto do meio
requer primeiro a especificação da localização daquele ponto no espaço. Isso pode
ser feito escolhendo um sis1ema de coordenadas adequado, como os sistemas de
coordenadas retangulares, cilíndricas ou ~.efiricas. o que dependerá da geometria
envolvida e do ponlo de referência (origem) conveniente.
A posição de um pon10 é especificada como (x. y. z) em coordenadas re1aogulares, como (r, <f>, d em cilíndricas e como (r. <f>, 8) cm esféricas (Fig. 2-3). A temperatura em um ponto (x, y, z) no 1empo t em coordenadas retangulares é expressa
como T{x, y, z, t). O melhor sistema de coordenadas para determinada geometria é
o que mais bem descreve as superfícies da geometria. Por exemplo, um paralelepípedo é descrito em coordenadas retangulares. uma vez que cada superffcie pode
ser descrita por um valor constante em uma das coordenadas x, y ou z. O sistema
de coordenadas cilíndricas é o mais adequado para um cilindro, já que sua superffc ie la1eral pode ser descrita por um valor cons1an1e do raio. Do mesmo modo, a
superfície ex1erna de um objeto esférico pode ser mais bem descrita por um valor
constance de raio no sistema de coordenadas esíéricas. Para um objelo de formato
arbitrário, sugere-se utilizar o sis1ema de coordenada.~ rernngu lares, uma vez que é
mais fácil lidar com distâncias do que com ângulos.
A teoria descrita anteriormente é também usada pura identificar as variáveis
envolvidas em problema de transferência de calor. Por exemplo, T(x, y, z, 1) indica
que a 1emperanu·a depende das variáveis espaciais .1, y e z. bem como do tempo.
{e) Coordenadas c:sllricas
rr
A
As várias distAncias e os ângulos envolvidos na descrição da posição de um
ponto em diferentes sistc1nrts de coordcnntlus.
Por sua vez, T(x) indica que a lemperoturn varia apenas na direçãoxe não depende
do tempo nem das duas coordenadas espaciais rcs1ao1es.
Tempo • 2 PM
Tempo
5 PM
Transf •rencia de c~lor pe m, nente l'ersu .. trans1ente
Os problemas de transferência de calor são frequeotemenle classificados como
permanentes (ou em regime penna11e111e) ou tronsientcs (ou não pem1011entes). O
1ermo permaneme implica que nllo ltd ••ariação em nenhum ponto oo meio ao longo do tempo, enquan10 trat1sie111e implica variaçtlo ao longo do tempo ou depe11dê11cia do tempo. Portanlo, a 1empera1ura (ou Auxo de calor) manlém-se inalterada
ao longo do 1empo duranre a 1ransferência de calor permanente através do meio,
embora ambas as quan1idndes possam variar de uma po~ição para outra (Fig. 2-4).
Por exemplo. a transferência de calor a1ravés das paredes de uma casa é pennanenIC quando as condições internas e cx1crnas do local permanecem cons1antes por
várias horas. Mas, mesmo nesse caso, as temperaturas nas superfícies inrema e exlerna da parede serão diferenles. a menos que as 1empera1uras deocro e fora da casa
sejam as mesmas. O resfriamcnlo de uma maçã na geladeira, por sua vez, é urna
transfe~ocia de calor cransientc. já que a 1cmpera1ura cm qualquer ponto da maçã
varia com o tempo duran1e o resfnamento. Durante a transferência de calor transiente, a 1empera1ura normalmente varia com o 1empo e com a posição. No C350
especffico de variação apenas com o 1empo e não com a posição. a remperarura do
meio varia 11nifon11emente com o tempo, e esses sistemas de transferência de ca·
lor são denominados sistemas aglomerados. Um pequeno objeto meUílico, como
uma junção de termopar ou um fino fio de cobre, por exemplo, pode ser analisado
como um sis1erna aglomerado duran1e o processo de aquecimen10 ou resfriamen10.
Embora a maioria dos problcmns de transferência de calor encontrados na
prálica tenha natureza tra11sie111e, geralmente presumem-se algumas condições de
regime permanente para analisá-los, lendo em visla que processos pern1anentes,
além de serem mais fáceis de analisar, fornecem boas respostas para nossas questões. Por exemplo, a lransferência de calor através das paredes e do 1e10 em uma
típica casa nunca é permanente, considernndo que as condições ex1ernas, como
(a) Permanente
,,~ r.t2·~ ~~
+-- ~ +-+
Q,•Q,
Condução de calor
transien1e e pennancn1e em uma parede
plana.
Capítulo 2
Transferência de Calor e Massa
iemperatura, velocidade e direção do vcn10, posição do Sol. entre outraS, es1ão
em constante mudança. As condições iniemas da casa também são inconstantes.
Portanto, é quase impossível realizar uma análise precisa da transferência de calor
em uma casa. Mas será que realmente precisamos de uma análise tão profunda da
transferência de calor? Se a finalidade da análise da transferência de calor de uma
casa é determinar o tamanho apropriado do aquecedor, o que normalmente é o
caso, precisamos saber a taxa mifximll de perda de calor da casa, que é determinada
considerando a perda de calor da casa sob as piorrs condições por longo período
de tempo, ou seja, durante uma operação ptm101m11e sob as piores condições.
Assim, podemos obter a resposta para nossa questão analisando o problema da
transferência de calor como um sistema cm condições permanentes. Se o aquecedor for grande o suficiente para manter a casa aquecida sob as condições mais
exigentes, será grande o suficiente para qualquer circunstância. Essa abordagem é
uma prática comum na engenharia.
Transferência de calor mult1dimen ion
Os problemas de transferência de calor podem também ser classificados como
u11idimensio11ais, bidime11sio11ais ou tridi111e11sio11ais, dependendo da magnitude
relativa das taxas de transferência de calor em diferenies direções e do nível de
exa1idão desejada. No caso mais geral, a transferência de calor no meio é tridi·
mensio11ai. Ou seja, a temperatura varia ao longo de todas as três direções principais no meio durante o processo de 1ransfer6ncia de calor. Gera lmente, nesse caso,
tanto a distribuição da temperatura ao longo do meio em um determinado momento quanto a taxa de transferência de calor em qualquer posição podem ser descritas
pelo conjunto de três coordenadas como x, y e z no sistema de coordenadas retan·
gulares (ou cartesianas); r, </>e z no sistema de coordenadas cilíndricas; e r, </>e 8
no sistema de coordenadas esféricas (ou polares). A distribuição da temperatura,
nesse caso, é expressa como T(x, y, z. 1), T(r, </>. z. t) e T(r. <f>, O, t) nos respectivos
sistemas de coordenadas.
A temperarura em um meio, cm alguns casos, vana principalmente em duas
direções primárias, com variação desprezível de temperatura na terceira direção
{portanto. a rransferência de calor naquela direção). Nesse caso. o problema da
transferência de calor é classilicado como bidimcnslooal. Por exemplo, a distri·
ooição permanente de temperatura em barra longa de seção transversal retangular
poderá ser expressa como T(x, y) se a variação da temperatura no eiÃo z (ao longo
da barra) for desprezível e não houver variação com o tempo (Fig. 2-5).
Um problema de transferência de calor será considerado unidimensional se a
Q,
X
Transferência de calor
bidimensional c1n uma longa bana
rei angular
No Cap. 1. foi mencionado que a taxa de condução de calor em um meio
em determinada direção (por exemplo, na direção x) é proporcional à diferença
de tempcrarura ao longo do meio e à área normal na direção da trnnsferêocia de
calor. ma< 1nver;amcnte proporcional 11 distância naquela direção. Essa relação
foi expressa na forma diferencial peta lei da cooduçao de calor de Fourier para
condução de calor unidimen~ional como
Q
Oircçllo principal
da 1ransfcrência
de calor
FlGURA • 6
A 1ransfcrência de calor pela
janela de uma ca.'8 pode ser considerada
unidimensional.
T
inclmaçlio: < O
~.,
Q> O
(2- 1)
(W)
onde J; é a w11d111iv1dadt rlm1ica do material. medida pela capacidade do matenal de conduzir calor, e tfT/dx o gradieme de temperatura, que é a inclinação da
curva de temperatura no gráfico T-.< (Fig. 2-7). A condutividade térmica do matenal em geral varia com a temperatura. Entretanto. resultados suficientemente
precisos podem ser obtidos usando um valor constante para conduúvidade térmica e uma temperatura mltlia.
O calor é conduzido no sentido dn diminuição da temperatura, portanto o gradiente de temperatura é negativo quando o calor é conduzido na direção positiva
do eixo.\. O sinal negativo na Eq. 2- 1 assegura que a transferência de calor na
direção positiva de x seja vnlor 110sitivo.
Para obter uma rclaçno geral para a lei de condução de calor de Fourier, con<iderc um meio em que a distribuiçiio de culor seju tridimensional. A Fig. 2- 8
mostra uma superfície isotérmica nesse meio. O vetor do fluxo de calor no ponto P,
nessa superfície, deve ser perpendicular il superfície e apontar no sentido em que a
1emperatura desce. Se 11 é a normal da su1lCrffcic isotérmica no ponro P, a taxa de
condução de calor, nesse ponto, pode ser expressa pela lei de Fourier como
O grndienic de tcmpcn11um
áf/dr é simplesmente a inclinação da c.:urva
da tempcrmurn em um diagrnma T·.\.
1~-2)
Em coordenada.< rerangulares, o vetor de condução de calor pode ser expresso por
seus componentes corno
i., - (2,i + (2,j' + Q, Í
(2-3)
J.
onde i'. e f são os vetores unitári<>'> eQ,. Q,eQ, sâoas magoitudes das taxas de
trnnsferência de calor nas direções das coordenadas x. y e z. que podem ser deter·
minadas pela lei de Fourier como
Q
temperatura no meio vtlfinr apenas em dnica direção t o calor for tran~ferido na
mesma direção, sendo variação de temperawra e transferência de calor nas outras direções desprezível ou zero. Por exemplo, a transferência de calor através do vidro de
uma janela pode ser considerada unidimcn<ional. Essa transferência ocorre predominanteo1ente em uma direção (direção normal à superfície do vidro), sendo desprezível a transferência de calor nas outras direções (de um lado para o outro do vidro e
de cima para baixo) (Fig. 2- 6). Do mesmo modo, a transferência de calor através de
uma tubulação de água quente pode ser considerada unidimensional, já que a transferência de calor pela tubulação ocorre predominantemente na direção radial da água
quente para o meio, enquanto a transferência de calor ao longo da tubulação e da
circunferência da seção transversal (direções z- e <f>) é desprezível. A transferência
de calor para um ovo colocado em água fervente também é praticamente uoidimeasional por causa da simetria do problema: o calor trnnsfcrido para o ovo. nesse caso,
é na direção radial, ou seja, ao longo de retas passando pelo centl'o do ovo.
Equaç~o de Condu;ão de Calor
T
Q
.tA
T
(2-41
onde A., A,eA,sllo áreas de condução de calor normais para a direção das coordenadas x. ye z. respectivamente (Fig. 2-11).
A maiorin dos materiais usados cm engenharia é isorrópica. tendo as mesmas
propriedades em to•fo• as direções. Para esses materiais, não é necessário se preocupar com a direçao da variação das propriedades. Porém, para materiais tmisotró/>•rn.i, como fibras e materiais compostos, as propriedades podem variar de acordo
~0111 ~ireção. Por exemplo, nlguma~ das propriedades da madeira mudam quando
se con"dern a direção paralela ou normal ~s suas fibras. Nesses casos. é necessário
expre"ar ª condutiv idade térmica como o quantidade tensorial para considerar
ª varinçào com a direção. O lratamcn to desses tópicos avançados está além do
e'copo deste livro, por isso assumiremos que a condutividade tém1ica do material
independe da direção considerada.
ª
O vc1or da transferência
de calor~ sempre normal à supc1fícic
iso1érmica e pode ser decomposto em seu>
componentes co-no qu.alqucr outro ve1or.
Capítulo 2
Transferência de Calor e Massa
Equação de Condução de Calor
S<eador de cabelo
l O calor t gerado nas
bobinas de aquecimento de um fogão
el~1rico corno resultado da conversão de
energia clétricn em calor.
Sol
Rodiaçlo
$Oltr
q,
f.acrgia solar
Água
abs<lrvlcbpcla
igua
<,.lx) = q~ .,<x>
A abson;ão cb radiação
solar pela água pode ser tratada corno
geraç!o de calor.
A condução de calor arravés de um meio pode envolver conversão de energia mecânica, elétrica, nuclear ou química em calor (ou energia térmica). No estudo da
condução de calor, esses processos de conversão são caracterizados como geração
de calor (ou energia lêrmica).
Por exemplo. a temperatura de um fio aumenta rapidamente quando há passagem de correnlt elélrica. resuhanre da conversllo de energia el~lrica em calor a
uroa taxa de f'R, onde/ é a corrente e Ré a resistência elétrica do fio (Fig. 2- 9).
A dissipação segura e eficaz de calor dos locais de geração de calor (circuitos
eletrônicos) é tema de estudo do re.ifriamemo elet~nico. que é uma das áreas de
aplicação moderna da transferência de calor.
Do mesmo modo. uma grande quantidade de calor é gerada nos reatores nucleares como resuJtado de fissõcs nucleares que servem de fonte de calor para
usinas nucleares. A desintegração natural dos elementos radioativos oos resíduos
nucleares ou em outros materiais radioativos também resulta na geração ele calor.
o calor gerado pelo Sol, resultado da fusllo do hidrogênio em hélio, faz dele um
grande reator nuclear que fornece calor para a Terra.
O lltra fonte geradora de calor para um meio é a reaçilo q ufrnica exotérmica. A
reação química, portanto, serve como fonte de calor para o me i<J. Entretanto, no
caso das reações endoténuicas. o calor é absorvido e nllo liberado durante a reação. Assim, a reação química funciona como ll l11 dissivador de u1/or. Nesse caso,
a geração de calor tem valor negativo.
Convém modelar a absorção de radiaç~o. como a energia >olar ou os raios
gama. como uma geração de calor, quando e.1ses raios penetram profundamente
no corpo enquanto são absorvidos de forma gradual. Por exemplo, a absorção de
energia solar em grande.1 volumes de água pode ser lr:ltada como geração de calor
na água com taxa igual à da absorção. que varia com a profundidade (Fig. 2-10).
Entretanto, a absorção de energia solar em um corpo opaco ocorre dentro de alguns micrômetros da superfície, e a energia solar que peneira no corpo pode ser
tratada como flUJto de calor especificado na superfTcie.
Note que a geração de calor é um fenbmeno volumétrico, ou seja. ocorre
por todo um corpo ou meio. Portanto, a taxa de calor gerado no corpo é geralmente especificada por unidade d~ volume, representada por
cuja unidade
e,.,.
éW/m3 •
A ta~a de calor gerado em um meio pode variar com o tempo e com a posição
dentro do meio. Quando a variação da geração de calor com a posição é conhecida.
a taxa total de calor gerado no meio, de volume V, pode ser dctenninada por
(2 5)
l.200W
Geração de calor em um secador de cabelo
CXC PLD
o fio da resistência de um secador de cabelo de 1.200W tem 80 cm de comprimento
e diâmetro D ~ 0,3 cm (Fig. 2 11). Detenn1nc a taxa de geração de calor no fio por
unidade de volume, em W/cm'. e o Ou•o de calor na superffcic CJ<tema do fio como
resultado da geração de calor.
SO
A potência consunuda pelo fio da rcsmência é dada. Determinar age-
ração e o nuxo de calor.
Esquema para u
Exemplo 2-1.
O calor~ gerado umfonncmcntc no fio da resistência_
S
O secador de cabelo de 1.200 W converte energia cl~trica cm calor na resistencia elétrica a Ulll4 taxa de 1.200 W, portanto a taxa de calor gerado no fio da
resistência é 1gunl à potência consumida pelo aquecedor do secador. Logo, a taJta de
calor gerado no fio por unidade de volume é determinada dividindo a tua total de
calor gerado pelo volume do no.
Ê,_
t,..
é - --=
~~
"'
Vn.
(1rD 1/4)1..
l.200W
11'(0.3 cm)114](80 cm)
12 \\/mr'
Do mesmo modo, o fluxo de calor nu ~uperffcie externa do fio como resultado do
calor gcl'8do é detel'minndo dividindo a taxa total de calor gerado pela área da superfície do tio,
,
E1cr
Q. = Ano
Íi1cr
1 200 W
=1rDl • n(0.3 ~m)(80 cm) - 1 9 W/rni,
Note que• geraç~o de calor é CJ<pressa por unidade de volume em W/
cm'. enquanto o íluxo de caloL é expresso por unidade de área em W/cm'.
2-2 EQUAÇAO DE CONDUÇÃO DE CALOR
-
.,
Considere a condução de calor atravél. de uma e><tensa parede plana. como o muro
de uma casa, o vidro de uma janela grande, a chapa metálica de uma passadeira de
ferro. a tubulação de vapor feita cm ferro fundido, um elemento ciUndrico de combustível nuclear, um fio de resistência elétrica. a superfície de um recipiente esférico ou uma esfera de metal temperada ou resfriada. A condução de calor nessas e
em muitas outros geometrias pode o;er aproximada como unic/ime11siona/, já que a
condução de calor nessas geometrias é predominantemente em uma direção, sendo
desprezível nas outras. A seguir. desenvolveremos a equação de condução de calor
unidimensional para coordenadas retangulares. cilfndricas e esféricas.
No caso específico de geração de calor uniforme, como o caso do aquecimento de
llm corpo de material homogêneo por resistência e létrica, a relação na Eq. 2-5 reduz-se a ES<, = é,.. V, onde éS<, é a taxa de geração de calor constan te por unidade
Equação de conduçao de calor em
de volume.
Considere um elemento fino de espessura l!.x em uma e~tcnsa parede plana, como
niostrado na Fig. 2-12. Assuma que a densidade da pru·ede é p, seu calor específico
L1 3
A, = A,..,
A
1
f 1
ConduçDo de calor
unídimensional através de um elemento de
volume em uma extensa pMede planu.
Capitulo 2
Transferência de Calor e Massa
-----é e e a área da parede nonnal em direção da 1ransícrência de calor é A. O balanço
de energia do elemenlo fino duranle um pequeno inlcrvalo de lempo 6J pode ser
d 7
pe
ti! R
o
Equação de Condução de Calor
C2-t51
0)
expresso como
Tux~
~•\JQ)
.k
Taxa de ) (Taxa de condução) (
de
)
( 1'JAa li<> vw
condução de - de calor cm x + +
&el:IÇliOde dedo •
da c~drgia
ó.x
ca1or nlro
conll a no
( calor em x
clcmenlo
clemcnlo
1'
(2 16)
d
o
R ""
12 17)
ou
.
.
.
t:.e-
Q,-Q, • ..,+ e.,...... = -t:.
- ,-
(2-61
Porém, a alleração da qunnlidade de energia do clcmenlO e a taxa de calor gerado
denlro do elemento podem ser expressas como
!J.E,km = E, + ., - E, = me(T, + ., - T,) • pcA tu(T, 1 . , - T,)
(2-7)
(2-8)
SubsLituindo na Eq. 2-6, obtemos
.
.
Q, - Q,
+., + t..,,Aâ.r - pcAt:.x -T, -• Al-T,
- r- 6
(2- 9)
Dividindo por AIU, !"esulla em
_ 1 Q,+., - Q, + t
A
t:.x
.,.
= T, , ., - T,
pc
t:.r
Note que substituímos as derivadas parciais por derivadas ordinárias no caso da
condução de calor unidimensional permanente, já que as derivadas parciais e a~
ordinárias da funçfio são iguais quando a função depende da variável [T = T(x),
nesse caso].
Equ. ção d
on ur
.ilor n 1 1 cili
(2-10)
Tuxa de )
( Taxa de )
( Taxa de )
( Taxa
variação)
condução
de - condução de + condução de =
dade
energia
( calor cm r
calor em r
calor den1ro
contida no
+ l:i.r
No limile, como t:..x -t Oe t:.1 -t O, temo<
(2-11)
.
lim Q, •
°'t:.x- Q, =ilQ
- .!.. { kA!!.)
ax
ilx
ax
elemento
.
.
t:.e_
Q,- Q, • ., +e.,..... = -!J.
-,(2-12)
Condução de calor
unidimensional em um elemento de
volume de cilindro longo.
(2-18)
A variação na quanlidade de energia do elemento e a taxa de geração de calor em
seu interior podem ser expressas como
!J.e,k.,=
Como a área A é constante para a superfTcie plana, a equação de condução de calor
E,,..,- e,= mc(T,+.., -T,)-pcA!J.rl.T,+.,- T,)
(2-19)
tronsiente unidimensionaJ pode ser escrita como
OenaJ, un1d11ncn.\1onal
Sem
Reaime
gcr..çiu petmanentc
o
do elemento
ou
pois. pela definição de derivada e pela lei de condução de calor de Fourier,
......
OI
Considere agora urna cairn1da fi nu de espessura /l,.r de urn cilindro longo, como
mostrado na Fig. 2-14. Assuma que a densidade do cilindro é p, o calor específico
é e e seu comprimento é l. A á rea do cilindro 1Hlrmal na direção da transferência
de calor, em qualquer ponto, é A = 21TrL, onde ré o l'llio nessa posição. Note que
a área A de lransforênciu de calor depende de r nesse caso e, assim, varia com a
posição. O balanço de energia durante um pequeno intervalo de tempo /1,.1 nessa
fina camada cilíndrica pode ser expresso como
o
l"!.+ ~./'~.J..Jf
111' 7k 77,
PcrmollCnlc. unldirncnsionid:
(2- 20)
A condutividade térmica k do mate1ial, em geral. depende da temperatura T (porta nto, de x), por isso não pode ser excluída da derivada. Entretanto, na maior pane
das aplicações práticas, podemos assumir que a condutividade térmica permanece
consta111e no valor médio. Nesse caso, a Eq. 2-13 é reduzida para
(
Simpliricação da equação
de conduçno de c.nlol' unidimensional
em uma parede plana para o ca~o de
condu1ividadc cons1an1e para condução
pemrnnente sem gcraçio de calor.
(2 13)
jtl_
( 11du1111d dn n
nduti' 1tJnd t onrl 111t
1 t
1, I
Jt
(2 141
onde a propriedade cr = k/pr é a d iruslvldnd e térmica do material e representa
quão rápido o calor se propaga a1ravés de le. Sob condições específicas, a Eq. 2-14
reduz-se à seguinte fonna (Fig. 2-13):
Substituindo na Eq. 2 18, obtemos
Q
r -
Q 14,.+ ê uAâr =pcAll.r-T,.,., - T,
- -,.
1
61
(2-21)
=
onde A
2m"l. Você pode ser tentado 11 ex pressar a área no centro do elemento usando mio médin como A = 2'1T (r + t:.r12)l. Entretanto, não há vantagem
em. •dotar tal abordagem, já que, posteriormente, faremos uma análise tomando
o hm1te como Ar~
. .
. ..
~ • e, assim, o termo Ar12 será eh mrnado. Agora d1v1drndo a
equaçfio acima por Afir, obtemos
•
o
·
_ 1 Q, + 6r A
t:.r
Q,
+ ~.., = pc
T, + d.t - T,
- õ.-1 -
(2-221
Capítulo 2
Transferência de Calor e Massa
que, no caso de condutividade térmica constante, pode ser reduzida para
Tomando o limite com l!.r ~ Oe l!.t ~ O, obtemos
1a (
*r~J º
ª0
- - k A - + i =pcar
A ar
ar r
a1
(o) l'orma pronta para •n•egro
,d'r • .rr • O
dl
dr
(2- 23)
onde novamente a propriedade a - klpc é a difusividadc térmica do material. Sob
condiçõeS específicas, essa equação pode ser reduzida para as seguintes formas:
pois, pela definição da derivada e pela lei de condução de calor de Fourier.
(b) l'orma aliernat1.-• equ1valcn1c
lim Q,• ., - Q,
"'~º
õ.r
=aQ = l. (-kA rE)
ar
ar
Equação de Condução de Calor
(2- 24)
ar
Observando que a área de transferência de calor. nesse caso, é A = 2'Trrl, a equação da condução de calor transiente unidimensional no cilindro toma-se
12-33
l2~)
Duas formas equivalentes
da equação diferencial para condução de
calor pcrmanenlc unidimensional em um
cilindro sem geração de calor.
o
Para o caso de condutividade térmica constante, a equação anterior é reduzida para
o nde, novamente, a propriedade ex = klpc é a difusividude térmica do material.
Sob condições específicas. a Eq. 2-26 pode ser reduzida para as seguintes formas
(Fig. 2-15):
12-271
onde novamente substituímos as derivadas parciais por derivadas ordinárias no
caso de condução de calor permunente unidimensional.
Equaçao de conduçao de calor
u •
O exame das equações de cond ução de calor tronsiente unidimensional para parede plana e geometrias cilíndrica e esférica mostra que as três equações podem ser
escritas de forma compacta como
12 28)
12-35)
12 29
Observe que novamente substituímos as derivadas parciais por derivadas ordinárias na condução de calor permanente unidimensional, já que as derivadas parciais
e ordinárias de urna função são idênticas quando a função depende apenas de uma
llnica variável [T = T(r), nesse caso].
Considere agora uma esfera de densidade p, calor específico e e raio externo R.
A área da esfera normal na direção da rronsferência de calor, em qualquer posição, é A = 41Tr', onde ré o valor do roio e m determinada posição. Observe que a
área A de rransferência de calor depende der nesse caso também, variando com
a posição. Considerando uma fina camada esférica de espessura õ.r e repetindo a
abordagem descrita acima 1>ara um cilindro usando A = 4-.rr'em vez de A = 2'TrrL,
a equação de condução de calor transiente unidimensional para uma esfera pode
ser descrita por (Fig. 2-16)
Condução de calor
unidimensional au-avts dç um elemento de
volume cm esfera.
r
com n = Opara parede plana, 11 - 1 para cilindro e n = 2 para esfera. No caso da
parede plana, costuma-se substituir a variável r por x. A equação pode ser simplificada quando não há geração de calor ou para o caso permanente. como descrito
anteriormente.
EXE
Condução de calor através do fundo de uma panela
Considere um::i pancln de nço colocodo crn um foaão elétrico para cozinhar macarrão
(Fig. 2- 17). O rundo da p.ineln lem 0,4 cm d« espei.sura e 18 cm de diâmetro. Uma
boca tio fogão elé1rico consome 800 W de po1êncía durante o cozimento, e 80% do
calor gerado é •rnn.sfcrido uniformemente pnra a panela. Assumindo que a condutividade térmica seja consrnntc, dctcnnine a equação diferem::iaJ que descreve a variação
da temperatura no fundo da pnncln durnnte umn operação em regime permanente.
Uma panela de aço é colocada cm um fogão cl<!trico. Determinar a
equação diferencial cio vnriaçílo de temperatura no rundo da panela.
.
O fundo do panela pode ser aproximudo como uma parede plana infinita
fKllS ele ttm uma área grnnde em relnçllo à sun espessura. O fluxo de calor é
800W
aplicad~
no_fundo da panela uniformemente, e as condições na superfície interna também são
,
. de calor pelo fundo da panela seja
duniformes· Logo•esperamos que a trans1crência
3 superfície mfcrior em direção no topo, podendo, assim, .aproximar a transferência
(co"'inua)
Esquema pnra o
Exemplo 2-2.
Capítulo 2 • Equação de Condução de Calor
Transferência de Calor e Massa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -
Resfriamento de uma esfera de metal quente no ar
(continuaç&>)
de calor como sendo unidimcns1onal. Adotando a direção nonnal à supcrficic infe·
riorda panela como sendo eixo x. leremos
T(.r) duran1e a opcra<;Jioem regune
Uma esftra me14hca de raro Ré aquecida cm um forno até a tcmpc:ratura de 300 ºC e
retirada pan re•friar em temperatura ambiente T. ; 25 ºC por conYttção e radiação
(Fig. 2-19). Sabe-se que a conduuvidade 1énnica do material que compõe a esfera
varia hneannenle com a temperalura. Considerando que a esfera é resfriada uniformemente em ioda \uperlTcie externa. obtcoba 1 equação diferencial que descreve a
variação da 1empera1ura <Ili esfera durante o resfriamento.
r-
pennanc:ote. já que a 1empera1ura, nesse Cll>O. depende apenas de x.
A condunvidadc 1énn1ca pode <er con•idcrada cons1ante, e náo há geração de
calor 00 meio (intenor do fundo da panela). Portanto, a equação diferencial que rege
3 variação de 1emperatura no fundo da panela, nc.,,. caso. é simplc•menle a Eq. 2-17.
SOLUÇ
Uma esfera me!Altca aquecida é deutada em temperatura ambiente para
ser resfriada Dc1enn1nar a equação diferencial para a variação de temperaiura no
111terior da esfera
que é a equação de condução de calor un1d1mcns1onal cm c~nadas retangularu
sob condições de condu1ividade 1énnica consrnmc, sem geraçao de calor.
A esfera encon1ra~sc inicialmente numa temperatura uniforme e é resfriada
Observe que as condições na superficic do meio n5.o innucnciam a equação diferencial.
2
unifomtemtnle ao longo de todn a s-upcrfTcic externa. Além disso, a temperatura cm
qualquer pan10 dn esfera muda com o lcmpo duranle o resfriamemo. Logo, é um pro-
blema de condução de calor tronsicnte unidimensional. com temperatura na esfera
variando com n dts1üncia rndial r •com o tempo 1, ou seja. T = T (r, 1).
Como a condutivi dlldc t6nnicn ~ vnridvel e ollo há geração de calor na esfera, a
equação diferencinl parn varíaçno de 1empen11ura, nesse caso, pode ser ob1ida a partir
da Eq. 2-30, considerando que o tenno do geração de calor é igual a zero. Assim,
oblcmos
Condução de calor em um aquecedor
A resistência de um aquecedor de 2 k\V usado paro for·ver ~gua é um fio corn condutividade 1énnica k = 15 W/rnoK, difime1ro D • 0.4cm ecmnpri111e1110 L. = 50cm
(Fig. 2- 18). Supando que a varinçllo da condulividnde 1érmica do fio em fonç~o da
1empera1ura é desprezível. obtenha a equaçno diferencial que descreve a vanaçuo de
1 a
temper:uura no fio durante untn operoçBo em regime permanente.
Esquema para o
Exemplo 2-3.
(r A I)
81
'"'
que é a equaç~o de conduçAo de cnlo1· 1rnnsientc u11idianensional em coordenadas esfén<ll< sob condições de condu1ividade 1énnica variável e ausência de geração de calor.
Aquecedor
de res.istinc1a.
Esquema para o
Exemplo 2--4.
Considerando o fio da resis1enci• de n~uccedor de água, dctenninar a
equação diferencial para o variação de 1cmperarura no fio.
u
Observe novamente que as condições na superfície externa da esfera não
influenciam a equação diferencial.
o fio pode ser tratado como um cilindro longo. pois seu comprimenlo é
mais de 100 vezes o diâmetro. Além disso. como o calor é gerado uoifonnemcnte
no fio e as condições na superlTcie eXlema dele slo umformci.. é ..azojvel esperar
que a iempc:ratura no fio varie apenas na direção radial r. Assnn. a IJ'allSferênci~ de
calor deve ser unidimensional. Enlão 1emos: T • T(r) duranl< a operação em regnnc
pennaneate, já que a temperatura. nesse caso. depende apena< de r.
.
A 18u de geração de calor no fio por unidade de volume pode ser dclenmnada
ap:lillrdC
2.000W
~ 0.318 X IO'W/m'
[1r(0,004 m)'/4)(0.5 m)
Observe que, como a condulividade térmica é constanle. a equaçAo difereocial que
rege a variação de temperatura no fio é simplesmcnle &). 2-27,
2- 3 EC'"
1s
Nole novamente que ns condições nn superílcic do fio nüo influenciam
a equação diferencial.
[
Na última seção, consideramos a condução de calor unidimensional e assumimos
que a condução de calor cm outraS direções era despreLível. Na prática. a maior
parte dos problemas de transícrênc1a de calor encontrados pode ser aproximada
para unidimensional, e a maior parte dos problemas 1ra1ados neste livro é desse
upo. Entre1an10, esse não é sempre o caso. Algumas vezes, é necessário considerar
a transferência de calor em várias direções. Dizemos, então, que a condução de calor é mul1idimensio11a/ e, nesrn ;eção, desenvolveremos a equação diferencial que
rege tais casos para coordenadas relnngularcs, cilíndricas e esféricas.
Coo d r
que é a equação de condução de calor unidímcn~ional permanente em coordenadas
cilíndricas para o caso de condu1ividnde ténnica consrnn1c.
---
1 •
f; 3r
JI e·
Considere um pequeno e lemenlo retangular de comprimento i'..t , largura /'J.y e almra À<, como mostrado na Fig. 2- 20. Assuma que a densidade do corpo é p e seu
calor específico é e. Nesse exemplo, o balanço de energia durnnte um pequeno
intervalo de tempo /'J.1 pode ser expresso como
(
Taxa de condução) (
decalorcmx,
-
yez
Thxa de conduçilo
de cnlorem
J + tu. y + ti.y
ez+ti.z
+
)
Taxa de )
( Taxa de )
geração de = variaç~o da
calor denlrO
energia do
( do elemento
elemento
fl URA ?· •o Conduç«o de cnlor
lridimen.sional através de uin e lemento de
volume rerangular.
Transferência de Calor e!M~a~s~sa".----------------------------
Capítulo 2
ou
i1
.
.
.
;,
.
/J.EQ, + Q, + Q, - Q•• ,., - Q, ••, - ~ .... +E,..- - __Á_I_
+ il T + il'7 + •..
"' a
t
Observando que o volume do elemento é v..... = /J.x /J.y /J.4, a mudança na quantidade de energia do elemento e a taxa de geraçllo de calor dentro dele podem ser
expressas como
t8Tt
tk
mg
i..,...... = i,..v,,_ ~ i,,..t:.xt:.yt:.t
T,+A, - T,
Q, + Q, + Q, - Q,.,., - Q, .., - Q, • .,+ ~..,tut:.yõ.z - pctut:.ytJ.i - -6-1 -
t:.y/J.z
tu
Q, ••, - Q,
1
t:.y
t:.xõ.y
t:.xt:.z
Q,,., - Q, +~
Õ.z
=
iu
T,+AJ - T,
(2-37)
pc--t:.-,-
Observando que as áreas de transferência de calor no elemellto para condução de
calor nas direções x, y e z são A, = /J.yt:.z. A, • t:.xt:.z e A, = t:.xt:.y. respeclivamente, tomando o limite como tu, /J.y, /J.z e /!J-+ O. temos
1
.!!..(tª
ai <'Ir
1
[kº ) t t
Jt ilv"l' ilv. Jt
pc
T
•
t
Q,.,.,- Q, t:.z
·
l
1
I;
1
-~E.
a>r + atr o
ª"'
FIGUqA -
=
Equações de condução de
calor tridimcnsionnis são rcdu1idas para o
caso unidimensional quando a tcmpcniturn
Coordr nao
varia <ipcnns cm uma direção.
A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas pode ser obtida
do balanço de energia de um elemento de volume em coordenadas cilíndricas,
como mostl'!ldO na Fig. 2-22, seguindo os mesmos passos descritos anteriormente.
A equaçõo também pode ser ob1ida diretamente da Eq. 2-38 usando as seguintes
relações enlre as coordenadas de um ponto nos sistemas de coordenadas retangulares e cilíndricas para fazer a conversão entre os sistemas de coordenada:
x
rcos </>,
y=rsen<J>
e
.l
<=z
Após longas manipulações, obtemos
i!T
P<" ili
e
_l_.!{-tt:.Yt:.i~)
_..!(k~)
az
az az
aQ, - t:.yó.z ax - ó.yAz ax
,,
o
(2--0)
12-43
Fll
lim 1 Q,.., - Q, - _ , _ aQ, - _1_.!(-1:6.xt:.z~) = _.!{k~)
.,.... o t:.zAz
t:.y
- t:.xó.z ay t:.xAz ay
ay
ay ay
"'~º t:.x/J.y
a
Ili 1 J IC
(2-38)
da definição de derivada e da lei de condução de calor de Fourier,
~o /J.y/J.z
... -o
+ (2-41)
.
Dividindo por iU /J.y /J.i., obtemos
Q,.., - Q,
1 ar
Observe que, para o caso específico de transferência de calor unidimensional na
direção x. as derivadas que são funções de y e l são eliminadas e as equações acima
se reduzem a equações para parede plana calculadas na seção anterior (Fig. 2-21 ).
Subsliruindo na Eq. 2-36, obtemos
1
'T
"
M,._ =E, • ..,- E,= mc(T, • ..,-T,) • pc/J.xt:.y64T1 +..,- TJ
.
(2-40)
(2-36)
a
.
0
Equação de Condução de Calor
.;A 2
'1
Elcmcmo de volume
diferencial cm coordenadas cilrndricas.
de
A equação geral da condução de calor em coordenadas esféricas pode ser obtida
a partir do balanço de energia cm um elemento de volume em coordenadas esféricas, como mostrado na Fig. 2-23, segumdo os mesmos passos descritos acima.
Ela pode também ser obtida diretamente da Eq. 2- 38 usando as seguintes relações
entre as coordenadas de um pon10 nos sistemas de coordenadas retangulares e esféricas para fazer a conversão entre os sistemas de coordenadas:
Q,."' -Q, __l_aQ, _ _l_ .!( kt:.xA ~)=-.!(k~)
Az
- t:.xAy ilz Azt:.y ai
Y az
az az
z=rcos<f>sen9.
y-nen</>senu
z = cos 9
Novamente, após extensas manipulações, obtemos
A Eq. 2- 38 é a equação geral de condução de calor paro coordenadas retangulares.
No caso de condulividade tü mica constante, ela é reduzida para
r
il /
r 1r 1•
+- 1
I <!/'
J
r
kr
' )
+
d
r &cn O 1irf>
dT
(k ••!>/) 1 r scn1 11 rll/'(••cnffr1r)+;
' ,.. ili
e li
"
(2 39)
(2-44)
onde a propriedade " = k/pc é novamente a difusividade térmica do material. A
Eq. 2- 39 é conhecida como a equação de Fourier-Diot. Sob condições específicas, ela é reduzida para as seguintes formas:
Obter soluções analí1icas para essas equações diferenciais requer o conhecimento de técnicas de solução de equações diferenciais parciais, que estào além do
escopo deste livro. Limitaremos nossa atenção para casos unidimensionais pennanen1es que resultam em equuções diferenciais ordinárias.
d\
r1~·'
a~
A
l
,,,
,.
FIGURA 2-23 Elemento de volume
di ferencial em coordenadas csfél'icos.
ansferência de Calor
::....::e..:M:::a=s=sa
=--- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1
P<nl•
•
de calor
1-,
Lln&ot• 1 )(XJ"C
mctJltCO 1
T. =20"C
1
e
Condução de calor em um cilindro curto
Um pequeno lingote metálico de fonnato cilJndrico de raio R e altura h ~ aquecido
em um fOnlO até a tempenuura de 300 "C, reunido e deuodo p8la resfriar em tempe·
ratura ambiente r. = 20 •e por convecção e radiação. Considerando que o lrngote é
resfriado uruformcmen1e em ioda 'ºª superflcie externa e a Yllriação da condutividade térmica do ma1crial em função da temperatura é desprcllvcl, dctcmúoe a equação
diferencial que descreve a variação de temperatura do lingOle durante o processo de
resfriamento.
~u J
Um pequeno lingOlc c11lndnco é resfnado em tcmpera1ura. ambiente.
Dctenninar a equação diferencial parn a variação de temperatura.
lu IRA •
Esquema poJlJ o
Exemplo 2- S.
• O lingote mostrado na Fig 2-24 cncontra·sc inicialmente a uma temperatura wüfonnc e resfriado uniformemente a partir das superficies superior e iníerior
na direção do eixo'· bem como a partir da supcrflcic lnternl na direção radial r.
Além disso, a tempcraiura cm qualquer pon10 do lingote varia com o tempo durante
o resfriamen10. Portanto, tratn·SC de um problema de condução de calor trnnsiente
bidimcnsionnl 1 com a tempero.lura dentro cJo lingolc variando de acordo com adistância radial r, axial z e 1emp0 t, ou sejn, T • T(r. z. r).
A condutividade té1mica é constnnle, e não há gcrl\ção de calor no üngole. Portanto, a equação diferencial que rege a val'iaçlio de temperatura no lingote é obtida
a partir da Eq. 2-43, considerando iguais a zero o termo de gernç5o de calor e as
derivadas em função de </>.Assim, ob1emos
i
l
( ')
1T
No caso de condutivid3de térmica consum1c, a cquaçlio é reduz.ida a
H.(,2I)
+ a'T ~ .!.21'
ar ar ai'
ª'
r
a
que é a equação desejada.
O!
Observe que as condições m1cia1> e de contorno não milucnciam a equação diferencial.
2-4
As equações de condução de calor descrilas aoteriormeme foram desenvolvidas
usando o balanço de energia do elemento diferencial dentro do meio e pennaneceram as mesmas independentemente das comliçõ~s tlrmicas nas superfícies
desse meio. Isso significa que as equações diferenciais não incorporam nenhuma
informação relacionada às condições na superílcie, como temperatura ou fluxo
de calor especificado. Já sabemos que o fluxo de calor e a distribuição de temperatura em um meio dependem das condições nas superfícies e que n descrição do
problema de transferência de calor em uon meio não está completa sem a descrição
total das condições térmicas nas superílcies das rronteiras do meio. As expressões
matemáticas das condições térmicas nas fromciras são chamadas de condições de
contorno.
Do ponto de vista matemático, resolver uma equação diferencial é essencialmente um processo de remoç<io de derivadas ou um processo de inregração. Por
isso. a solução da equação diferencial geralmente envolve constantes arbitrárias
-
Capitulo 2
Equação de Condução de Calor
(Fig. 2-25). Para obter uma soluç~o ~nica para um problema, é necessário especificar mais do que a equação diferencial que o rege. Precisamos especificar
E.quafd<> d1/n~ncwl:
algumas condições (como valor e.la função ou sua derivada para algum valor devariável independente) de modo que, forçando a solução para satisfazer as condições
d.t
Sol11çdo 1~ral:
em pantos específicos, 'ICjam obtidos valores únicos para constantes arbitrárias
'l'{xl C,x + c,
e. portanto, uma solução 1ínica. Entretanto, como não há lugar para acrescentar
informações ou condições adicionais na equação diferencial, devemos fornecê-las
Coosunte< atbt1rtnu
<;eparadamente, na fonna de condições iniciais ou de contorno.
AJ.iuma-s solu~s upufjimf
Considere a variação de temperatura de uma parede de tijolos de uma casa
T(x) • 2.r + ~
durante o 1memo. A temperatura cm qualquer ponto da parede depende, entre ou'/'{-') - - x + t2
tros fatores, das condições nas duas superfícies da parede, como temperatura do ar
TM - - 3
dentro da casa, velocidade e direção do vcoro. além da incidência de energia solar
'/'{.T) • 6,2.r
na superfície externa. Ou seja, a distribuição de temperatura no meio depende das
condições nas fronteiras, bem como do mecanismo de transferência de calor dentro do meio. Para descrever complcinmemc o problema de transferência de calor,
duas condições de conromo devem ser fornecidas para a1da direçüo do sistema de
" A soluçno gemi de
coordenadas na qual a transferência de calor é significativa (Fig. 2-26). Portanto, equação diferencial típica envolve
precisamos especificar d1111s condições de contorno para problemas unidiniensio- constantes arbitrárias e, ponnmo, fornece
nais, q11atro para problemas bidime1usionais e seis para problemas tridimensionais. infinitas soluções.
No caso da parede de uma casa, por exemplo, é necessário cspeciricar as condi9ões
em dois locais da parede (superfícies interna e externa). A transferência de calor,
nesse caso, é unidimensional. Entretunlo. cm um paralelepípedo. será necessário
Al~um" soluçõ« de
especificar seis condições de contorno (uma condição em cada face) quando a
d'r . o
(Í.\
transferência de calor nas lrês dimensões for relevante.
O argumento ffsico apresentado acima é consistente com a natureza matemática do problema, uma vez que a equação de condução de calor é de segunda ordem
(isto é, envolve derivadas de segunda ordem com relação às variáveis espaciais)
em toda. as direções nas quais a condução de calor é relevante, e a solução geral 50°C
da equação linear de segunda ordem envolve duas constantes arbitrárias para cada
A dnoca <Oluçlo que
direção. Isto é, o número de condições de contorno que precisam ser especificadas
o
L , samfu u cond•çõelo
cm uma direção é igual à ordem da equação diferencial na mesma direção.
T(O) • 50 °C
Retomando o exemplo da parede de tijolos discutida anterionnente, a tempee T(L) • 15 °C.
ratura em qualquer ponto da parede cm de1enrunado momento depende também
Para descrever
da condição da parede no início do processo de condução de calor. Essa condição,
completamente o problema de
gcr•lmente especificada no tempo t
O. é chamada condição inicial, que é a transfcr!ncia de calor, duas condições de
c.pre!.Sào matemática paro a distribuição inicial de temperatura do meio. Observe conromo devem ser fornecidas para cada
que é necessária apenas uma condição inicial para um problema de condução de direção do sistema de coordenndas. onde a
calor, independentemente de sua dimensão. A equação de condução é de primeira 1tansferêncin de calor é significativa
ordem no tempo (envolve derivada de primeira ordem da temperatura em função
do tempo).
. Em coordenadas retangulares, a condição inicial pode ser especificada da segurnte forma geral:
4 -o
p
T(x, y. z, 0) - /(.x, y, z)
(2-45)
nnde ª função /(.x, y, z) rcprescnlll a distribuição de temperatura através do meio
no tempo 1 = O. Quando o meio está inicia lmente a uma temperatura uniforme
a condição inicial na Eq. 2-45 pode ser expressa como T(x y z O) = T. Note qu;
sob condições permanentes. a equação de conduçllo de cal~r ;,ã~ envol~~ nenhum~
derivada de tempo
• é nccessáno
.
. especificar
.
- .m1c1al.
..
· , portanto nuo
nenhuma cond1.çao
·r'
Transferência de Calor e Massa
A equação de condução de calor~ de primeira ordem em relação ~o '.empo.
Logo. a condição inicial não pode envolver nenhuma denvada (sendo lurutada à
temperatura especificada). Entretan10. a equação de condução de calor~ de segunda ordem em relação às coordenadas espaciais. portan10 a condição de con1orno
pode envolver derivadas de primeira ordem nas froniciras, bem como valores especificados de temperatura. As condições de coniomo de modo geral encontradas na
prática são: temperatura tspecijicada,fluxo de calor t.rpecijicado e condições de
contorno de convecção e radiação.
Concliçao ele contor o cl
e 1p r
1 d
si
ada
A temperatura da superfície exposla geralmen1e pode ser medida d~ maneira s_im·
pies e direta. Uma das fonnas mais fáceis de especificar a~ condições t~r~1cas
·~ ·e
T(l. t)
70'C
da superfície é especificar sua temperatura. Para trnnsferência de calor unidimensional através de uma parede plana de espessura L, por exemplo. as condições de
contorno de temperatura especificada podem ser expressas como (Fig. 2-27)
T(O. t) ª 1~ •e
1lL, t) • 70 'C
flGURA? 27 Condições de contorno
de lcmpcraturn especificada em ambas as
superffcics de uma parede plnna.
4
• • -k
Cooduçlo
!!}~·
FIGURA 2 ·28
11
condução
b
::t"or
Condições de contorno de
!luxo de calor especificado em ambas as
supcrflcíes de uma placa plana.
1,
IV ll
1
Capitulo 2
Equação de Condução de Calor
Observe que o fluxo de calor na superffcie em x = L está no sentido negativo
do eixo x e, portan10, corresponde a -50 W lm'. A direção das setas do fluxo de
calor em x == L na Fig. 2-28. nesse caso, oeria invertida.
e so
Algumas superfícies slio comumenie isoladas na prá1ica, a fim de minimizar a
perda (ou o ganho) de calor. O isolamento reduz a transferência de calor, mas não a
elimina 101almente, a não ser que a espessura do material isolante seja infinita. Entretan10, a transfer!ncia de calor por uma superfície adequadamente isolada pode
ser considerada nula, já que o isolamento adequado reduz a transferência de calor
na superfTcie para níveis desprezíveis. Portanto, a superfície bem isolada pode ser
modelada como superfTcie com fluxo de calor nulo. Então, a condição de contorno
para a supcrfTcie perfeitamente isolada (em x = O, por exemplo) pode ser expressa
como (Fig. 2- 29)
A
(2·-46)
iJ7 o t)
1
O
e
ul\0, 1)
o
(2-49)
t~ta~I
~'C
T(r,1)
º'~
mo.r>~o
ti>
T(L. 1) • 60 'C
FIGURA 29 Placa plana com
condjções de contorno de isolamento e de
1emperarurn espccifocadn.
onde r, e T1 silo as temperaturas especificadas nas superfícies em x = O ex= L.
respectivamente. As temperaturas especi ficadas podem ser cons1an1es, como ocorre em condução de calor permanente, ou variar com o tempo.
2
de calor
Fluxo
/10. 1
-
Ou seja, em uma supe1ffcie isolada. a primeira derivada da. temperatura em relação à varidvel espllcia/ (grodie11te de temperatura) 11a direçcio nornw/ à superflcie isoltida é zero. Isso significa que a função de tempera1ura deve ser perpen-
dicular à superfície isolada. já que o declínio da temperatura na superfície deve
ser zero.
Condição de con orno de fluxo d calo espec1 icado
Quando há informações suficiemes sobre in1erações de energia na superfície, ~
dem-se determinar a taxa de transferência de calor e também o fluxo de calor q
(taxa de transferência de calor por unidade de área da superfície, W/m') na superficie. Essa informação pode ser usada como uma das condições de contorno. O fluxo de calor no sentido positivo da direção x em qualquer ponto do meio. incluindo
as fronteiras, pode ser expresso pela lei de Fourier da condução de calor como
q-
(W/m')
ll
(2-47)
Então a condição de contorno na fron1eira t obtida igualando o fluxo de calor a
-k(iJT/iJx) na fronteira. O sinal do fluxo de calor especificado t de1enninado por
inspeção: positivo, se o fluxo de calor está no sentido posi1ivo do eixo da c_oordenada, e negativo, se está no senlido oposto. Observe que t extremamente tmportante manter o sinal correto do fluxo de calor especificado. Um sinal incorrelo
implica inversão de sentido da transfelincia de calor. fazendo com que um ganho
de calor seja interpretado como perda (Fig. 2-28).
Para uma placa de espessura L sujeita a um fluxo de calor de 50 W/m'em ambos os lados, por exemplo, as condições de contorno de fluxo de calor especificado
podem ser expressas como
- k iJT(t, I) = -50
ilx
(2-48)
Outro
~o e p
i I· ime n
m1 a
Alguns problemas de transferência de calor têm simetria térmica em consequência
da simetria imposta pelas condições ténnicas. Por exemplo, as duas superffcies de
uma grande placa quen1e de espessura l suspensa vcrticalmenle no ar estão sujeilas às mesmas condições ttnnicas. Logo, a distribuição de temperatura na metade
da placa é a mesma para a ou1ra metade. Ou seja, esse problema de transferência
de calor lem simetria 1érmica em relação ao plano central cm x = /Jl. Além disso,
o fluxo de calor em qualquer ponto da placa está no sentido da superfície mais próxima, e não há fluxo de calor ao longo do plano central. Portanto, o plano cenual
pode ser víslo como uma superfície isolada, e a condição ténnica, nesse plano de
sunetria. pode ser expressa como (Fig. 2- 30)
(.t- Plano cen1ral
Distnbuiçao de
1cmpen.1Ura
himctnacm
o
rcl~Joao
(2-501
que se assemelha à condição de contorno de isolamento ou defluxo de calor nulo.
Esse resultado também pode ser deduzido a partir de um gráfico de distribuição de
1emperatura com a máxima (inclinação zero) no plano central.
No caso de objetos cilíndricos (ou esféricos) que tenham simetria térmica em
relação ao eixo ce111ral (ou 1>0nto médio), a condição de contorno de simetria térmica requer que a pdmeira derivada da temperatura em função de r (variável radial) seja 1..ero no eixo central (ou ponto médio).
plaoocentral)
o+-~-+~~-+-.-..
l
2
L
X
aT(Ll2. /) - o
õx
FIGURA 2 30 Condição de co111orno de
simetrin rérmfon no plano cemrnl de urna
placa plana.
Transferência de Calor e Massa
Capitulo 2
f
f 1P O ..; Condição de contorno de fluxo de calor
Considere uma panela de alumínio usada para cozmhar um ensopado de carne em um
fogão elénico. O fundo da panela lem espessura de L - 0.3 cm e d11lmctro D 2 20 cm.
A boca do foglo elétrico coru.omc 800 W de potência duranlc o C07.lmcnto, e 90% do
calor gerado~ transferido para a panela. Durante a opcraçlo em regime pennaneote.
a temperatura da superfície mtcma da panela~ de 110 •e. Expresse as condições de
contorno para o fundo da panela durante esse processo de conmcnto.
O Uma panela de alumfnio ~ usada cm um fogão eltmco. Determinar as
condições de contorno para o íundo da panela
A transferência de calor pelo fundo da panela ocorre da supcrffcie infe-
rior em direção ao topo e pode ser aproximada como unidunensional. Tomamos
a direção normal às superfícies do fundo da panela como eixo x, sendo a origem
na superfície externa, como mostrado nn Fig. 2- 3 1. En1ão. podemos ttprescn1ar as
superfícies externa e interna do fundo da panela por x • Oex - l, rc.spcct.avamcnte.
Durante a operação cm regime permanente, a temperatura dependerá apenas de x,
portanto T = T (x).
A condição de contorno na superfície externa do fundo da panela em x = Opode
ser aproximada como um íluxo de calorespeciíicado.jA que 90% dos 800 W (isto~.
720 W) são transferidos para n paneln nessa superfície. Portan10,
f•GUI A ~ 31 Esquema para o
Exemplo 2-6.
•
li 01
,, ,
q
onde
t/o
= Taxa de transfcrfncia de calor = 0,720 kW • 22 9 kW/m2
Área intema da superfície
,,.(0.1 m)'
'
A temperatura na superffcie interna do fundo da panela~ de 110 ºC. assim a condição de contorno pode ser expressa como:
oode L = 0,003 m.
D .e~... Note que pode ser nccessmo fozer algumas aproximações para determinar as condições de contorno.
3
Con ição Je co
d
nv e
A convecpo é provavelmente a condição de contorno mais comumente encontrada na prática. A maioria das superflcics nas quais ocorre transferência de calor está
ei:posta a um meio a uma temperatura especificada. A condição de contorno de
convecção é baseada no balanço de energitt "" superffcit, expresso como:
Condução d~ calor ) (Convecçno d~ calor)
na superfície em
=
nu supcrflc1c na
( direçilo selecionada
mesma dii'eção
Equação de Condução de Calor
Para 01113 transferência de calor unidimensional no eixo x em uma na placa de
espessura L, as condições de contorno de convecção. em ambas as superfícies,
podem ser expressa.~ como:
Convecção
i
Conduçlo
h,(T., - l"(O, 1)1
h1
1)
12 5111
-k .Jl"(O, t)
~·
T.,
n. 1)
-k~lo_I) - h 11"(1..1) - T ·I
~·
1r nr n
T 1
;~
Cond"'ilo Convccçlo
h,
e
l
b
~
..
I? ~Ih
onde h, e Ir, são o coeficientes de transferência de calor por convecção e T~ 1 e T,,z
s:lo as temperaturas nos meios vizinhos, nos dois lados da placa, como mostrado
na Fig. 2- 32.
Ao desenvolvermos as Eqs. 2- 5 1 para as condições de contorno de convecção,
adoramos o sen1ido da traMferência de calor como um sentido positivo do eixo x
em amba.• as superfícies. Entrctonto, essas expressões são igualmente aplicáveis
quando a transferência de calor estiver no Renlido conlrário a uma ou a duas superfícies. Inverter o sentido da transferência de calor na superfície simplesmente
inverte os sinais de t1111bos os termos de condução e convecção da superfície. Isso
equivale a multiplicar uma equação por - 1, o que não altera a igualdade (Fig.
2-33). Conseguir adotar um sentido como u da Lrnnsferência de calor é, sem dú-
Condições de contorno de
convecção sobre duns superfície• de uma
p:mde plana.
vida, um alívio, já que muitas vezes nao sabemos a Lemperatura da superfície, não
sendo possível determinar antecipadamente o sentido da 1ransferência de calor na
;uperfície. Esse argumento também é válido para ouLras condições de contorno.
co1110 radiação e condições combinadas. discutidas brevemente.
Observe que a superflcie tem espessura .ero, então não tem massa e não pode
arma?enar nenhuma energia. Logo, todo o calor líquido que entra na superfície
por um lado deve deixá-la pelo outro. A condição de contorno de convecção simplesmente indica que o calor continua a íluir de um corpo para o meio à sua volta
na mesma taxa e muda de condução paro convecção na superfície (ou vice-versa,
no senndo oposto). Isso é análogo às pessoas que viajam de ônibus em temi e são
transferida.• para navios quando chegam à costa. Se não for permitido aos passa·
ge1ros passear pela costa. então a 1axa na qual eles devem descer do ônibus terá de
ser igual à taxa na qual eles sobem no navio. Podemos chamar isso de princípio de
conservação de "pessoas".
Note ainda que as temperaturas T(O, 1) e T(/.,, 1) das superflcies não são conhecidas (se fossem conhecida~. poderiamos si rnplesmente usá-las como condição de
contorno de temperatura especificada, sem nos preocuparmos com convecção).
Porém, a temperatura da superfície pode ser determinada por meio da solução T(x,
t), oblida com a substituição do valor de x dn superílcic oa solução.
Condições de contorno de convecção e isolamento
Vnpor flui ntravés dn 1ubulaçno, como mostrado na Fig. 2-34, a uma 1cmpera1ura
média der. = 200 ºC. Os rnios interno e exlerno da tubulnçl'io medem ,-1 = 8 cm e
r2 = 8,5 cm, respcc1ivnmen1e e a superfície externa da t ubulação é bern i~olada.
Considerando que o coeficicn1e de Lra.nsfcrência de calor por convecção na superlIcie interna é h • 6S W/m1• K. expresse ti(! condições de contorno nas superfícies intcma e externa da tubulação duran1e os períodos transicntcs.
1
t CondL>Çllo
Convecção
'·'~~~~'
~,(l"(O, r) - T.,I t '71~· r)
00-~~~~-+L~+
,
A d1rcçllo assumida da
transferêncu:i de calor cm um contorno não
tem efeito sobre a exprcssGo da condição
decootomo.
Transferência de Calor e -'
M:.:a.:.
ssa
:..:...._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
(ctn11inuaçi10)
Considerando o nuxo de VRpor atravts de uma lubulação isolada, de·
tenninar as coodições de contorno nas superfictcs interna e externa da 1ubulaçio.
Durante os períodos tn1n.,icntcs iniciais, a transíetfncia de calor atra~ da
tubulação pn:dornina na di~ão nidtal e pode ser aproximada coroo un1d1rnensional,
com temperatura V'ariando na distância 111dial rccoin tempo'· ou seja. T= T(r, 1).
A transferência de calor entre o vapor e a supcrffcic rntcma da tubulação ocorre
por com-ecção. Tomando o sentido da transferência de calor como um sentido posi·
tivo da direção r. a condição de contorno, nessa supcrfic1e, pode se.r c1':pressa como
Esquema para o
Exemplo 2-7.
Podemos considerar que a perda de calor pcln supcrffcic externa da tubulação é des·
prezível por causa de ~u isolamcnlo, portanto a condição de contomo pode ser ex-
pressa como
Capitulo 2 • Equação de Condução de Calor
da transíerência de calor para cviiar complicações associndus à não linearidade do
problema. E.•se é justamen1e o caso quando a tran>ferência de calor ocorre predomi·
oanteroente por convecção, com a radiação tendo um papel menos significativo.
Material
A
M:ucn.Al
8
5
Alguns corpos são consl ituídos por diversas camadas de materiais diferentes, e a
solução de um problema de 1ransíerência de calor em um meio, nesse caso, exige a
solução do problema de transferência de calor em cada camada. Isso. por sua vez.
exige a especificação das condições de con1omo em cada imetface.
As condições de coniorno cm uma interface são baseadas nos seguintes requisitos: ( 1) dois corpos em contalo devem ter a mesma temperatura na área de
co ntato e (2) a interface (que é uma superfície) não pode armazenar energia, e,
assun. ofl1cro de calor nos dois lados da interface deve ser o mesma. As condições
de con1omo na interface de dois corpos A e Bem perfeilo contato emx = x0 podem
ser expressas como (Fig. 2- 36)
-t, .IT,(. ... t) _ -t/Ttf.-'rl)
8~
iJx
l,
F u 1 Jí- Condições de con1omo
na interface de dois corpos em períei10
conr:Ho.
o
(2-53)
Observe que o gradieme ele temperoturn deve ser aro na superflcie ex'
terna da tubúlação, em qualquer instnnrc.
e
(2-54)
Em alguns ca•os, como os encontr3dos em aplicações espaciais e criogênicas, a
superffcic em que ocorre a transferência de calor é envolta por uma região de vá·
cuo, ou seja, não há r.rocn de calor por convecçilo entre a superflcie e o meio vizi·
nho. Em tais casos. a radiação passa a ser o único mecanismo de transferência de
calor entre a superffcie considerada e a região ao seu redor. Fazendo um balanço de
energia, a condição de con1omo por radiaçilo na superflcic pode ser expressa como
Condução de calor na) ( 1'roca de radiação)
na superfície na
superffcie em direção •
selecionada
mesma direção
(
onde k, e k• são as condutividades lérmicas das camadas A e B, respectivamente.
Um caso cm que ocorre contaio imperfeito en1re dois corpos resulta na resistência
tém1ica de coniaio, assunto que será abordado no próximo capítulo.
s e
Oi
li
1"
Até agora, consideramos superflcics sujeitas a apenas um modo de transferência de
calor, como íluxo de calor especificado, convecção ou radiação. Porém, em geral,
a transferência de calor em uma superflcic pode envolver os ties modos simultaneamente. Nesse caso, a condição de coniomo pode ser novamente obtida através
do balanço de energia da superflcic, expresso como:
Para uma transferência de calor unidimensional na direção x em uma placa de es·
pessura L, as condições de contorno de radiação, cm ambas as superfícies, podem
ser expressas como (Fig. 2-35)
l
Pua•supcrficicem )
IOd
t
nvvf
" , , .ctadecalor)
[ o pruttr do pcrfic1c
cm tock"" os modos
(2~51
Isso é ilustrado nos Exemplü!ô 2-8 e 2- 9.
TI
t
1
12 ~2a)
e
k
Condições de contorno de
rndinç!lo cm ambai. as superilcics de uma
parede plana.
/(L, t)
r(T(/
n'
• 1
onde e 1 e e 2 são emissividades das su1>erfícies, <r - 5,67 X 1O 8 W/ m' · K' é a
constante de S1efan-Boltzmann, e T,,., 1 e T,1,, 2 são as temperaturas médias das
superfícies que envolvem os dois lados da placa, respectivamente. Note q ue as
temperaturas nos cálculos da radiação devem ser expressas cm K (nunca em ºC).
A condição de contorno de radiação q11e envolve a quarta polência da temperatura é, portanto, 11ão linear. Como resultado, a aplicação dessa condição de frontei·
ra resulta na potência de coeficientes desconhecidos. tomando difícil determiná-los.
Dessa foana, é tentador ignorar as trocas por radiação na superfTcic durante análise
EXE!r
L
Condições de convecção e radiação combinadas
Uma C.)fcm rnc1:'ilico de mio r,,é nquecidn cm um fomo a1é alcançar a temperalura de
3~ ºC, sendo cnll.io retirada do forno e colocada paro. resfrinr em temperatura ambiente (T : 27 ªC), como mostra a Fig. 2 -37. A condutividade térmica do material
que compõe a esforn é k • 14,4 W/m·K, e o coeficiente médio de iransferência de
calor por convecção na supcrilcic externa dn esfera é li : 25 W/m" K. Além disso n
:miliisi;i~ade dn supcrffcic externo da csíern ~ ,; == 0,6. e a temperatura m~dia d~
upcrf1c1es ao redor é Tm ~ 290 K. Assumindo que a esfera é resfriada uniforme·
menie a panir de Ioda sua superfície externa, expresse a.s condições inicial e de con1orno para o processo de resfriamento.
FIGURA 2-37
(continuo)
Exemplo2---1!.
Esquema parn o
•
Capítulo 2
(COlllllUIOÇÚO)
Con<iderando o resfriamento da esfera metálica aquccid4, dctenrunar
as condições inicial e de concomo.
lnicialmcnle, a esfera encon1ra-se a uma tcrnperaturo uniforme, sendo un.ifom1emente resfriada a partir de: toda superfície cxlema. Logo, tl'ata-sc de um problema de transferência de cnlor transiente unidimensional. já que n temperatura no
interior da esfera varia com a dist5nci.a radial ,. e o tempo'· ou seja, T • T (r. 1).
Considerando o tempo r • O corno o momento em que a esfera~ retirada do romo. a
condição inicial pode ser e~rita como
O problema tem simctna em relação ao centro {r = 0), pois as 1sotermas são esferas
concêntricas e não M calor atravessando no centro. Assim. a condição de contorno.
nesse ponto, pode ser expressa como
Equação de Conduçllo~d~e~Ca~lo'.'..r_ _M.ii:f•W•
A
Tomamos a direção normal às superffci°' da pan:de como wto x. com origcni no supcrffc1e inlcma. como moS!rado na Fig. 2-38. Como a transferência de
calor pelo parede é unídimensiooal e permanente, a temperatura depende apenas de
•1, ou sejn, T ,. T(x).
A condição de contorno na superflcie in1ema da parede em x - O é uma úpica
condiçilo de convecção, já que não há racliação ou nuxo de calor envolvido. Tomando 0 sentido do 1r1.111.5.fcrência de calor como o sentido positivo da direção x, a condic;J\o de contomo na superfície interna pode ser expressa como
A condição de contorno na superllcie eucma cm x - Oé uma condição geral
que envolve condução. convccçio. radiação e fluxo de calor. Tomando novamente o
~nudo da 1r•nsfc:Rncia de calor como o sen1ido pos111vo da direçãox. a condição de
roniomo na ~upcrflcie ""tema pode ser expressa como
T
O calor conduzido para a superllcie externa da esfera é dissipndo no meio por convecção e radiação. Tomando o sentido da transferência de calor como sendo positivo
der. a condição de contorno da supcrff.cie externa pode ser escritn como
17
I
,
Tudos os valores referenciados nas relações acima s1o conhecidos, com
exceção das 1empera1uras e de suas derivadas em r = O e '·· AJém disso. o lermo
reforenic à radiaçilo nonnalmcntc é ignorado por simplicidade, eo coeficien1e de convecção t ahcrado para levar cm conta a contribuição da radiação. Nesse caso. o coeficienrc de convccçilo h passa a ser o coeficiente de transfcn:ncia de calorcomb1noda.
< 'E
O
:J Convecção, radiação e fluxo de calor combinados
Considere a parede sul de espessura L = 0.2 m de umo ca.•a. A superfície cxlcma
da parede é expos!a à radiação >Olar com absortividade a = O,S para energia solar.
O interior da casa~ mantido em temperatura T..1= 20 ºC. cnquamo a lemperdtura
do meio externo é der., S ºC. O céu. o solo e as superficics das es1ru1uras ao
redor do local podem ser modelados como superfície com tcmpera1ura cfe1iva de
T.,. = 2SS K que troca radiação com a superfície externa d4 parede. A troca de radiação entre a superfície in1ema da parede e o teto, o piso e outras paredes da casa t
despreií\'d. Os coeficientes de 1111Dsfmoçiª de calor por convecção nas supctfíc1es
interna e externa da parede s1o h 1 = 6 W/m'-K eh,= 2S W/m1·K. respcct1Y11mcntc.
A condutividade 1trmica do material que compõe a parede é k = 0,7 W/m·K, e a
emissividade da superfície externa é &1 = 0,9. Considerando que a 1rnnsfen:ncia de
calor pela parede é unidimensional e permanente. expresse as condições de conlomo
nas supcrffcies mtemn e externa da parede.
OL ,,
Considerando n parede de uma casa sujeita à radiação solar, determinar
as condições de contol'no para ns superífcics interna e externa.
onde qwi.u 1 o íluJ!.o de energia solar incidente.
To1nanc.lo o sentido oposto para transfer~ncia de cnlor, o resu ltado encon·
trndo seria o mesmo. porém mul!iplicado por - 1. Todos os valo!'cs nas relações são
conhecidos. com e)(.ceção das lemperaturas e de suas: derivadns na.s duas fronteiras.
No1e que um problema de transferência de calor pode envolver tipos diferente> de condições de cootomo em diferentes superflcies. Por exemplo, uma placa
pode csiar ~ujeita a umjlwro de calor em uma superfície enquanto perde ou ganha calor por co11vecção na outra. Além disso, as duas condições de contorno na
dueção podem estar especificadas na mesma fronteira, sem nenhuma condição
imposla na ou1ra. Por exemplo. especificar a temperatura e o íluxo de calor de uma
placa de espessura L em x = O resultará em uma soluçno ónica paro a distribuição
permanente unidimensional da temperatura, incluindo o valor da temperatura na
superfície em x .. L. Embora não seja necessário, não há nada de errado em especiflcar mais de duas condições de contorno na direção específica. desde que não
haja contradição. As condições extras podem ser usadas pn.ra verificar se os resultados encon1rados estão corretos.
2 -5 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONDUÇÃO DE CALOR
li
.....
..
. .... _
-·
..
-
Até agora. derivamos as equações diferenciais para condução de calor em vários
sistemas de coordenadas e discutimos as possíveis condições de contorno. Um
problema de condução de calor pode ser formulado por meio da especificação da
equação diferencial e do conjunto de condições de contorno aplicáveis à situação.
Nes1a seção, resolveremos uma grande variedade de problemas de condução
de calor em geomerrias retangulares, cilínd1·icas e esféricas. Limitaremos nossa
menção a problemas que resuliem em equaçf)es diferenciais ordinárias, como pro-
U A
Esquema parJ o
Exemplo 2-9.
Capítulo 2 • Equação de Condução de Calor
Transferência de Calor e Massa - - - - - - -
Pmbklna de transfatnc11 de calor
i
FonTiu.laf;IO matemática
(cquoçlo dir...ncial
e CO<ldJÇOc> de contorno)
i
So1..,1o g<nl de equaçlo c!Jícn:oml
i
Aphcaçlo das condlÇ<les de contorno
i
Soluçlo do p<oblema
F ;URA 2 39 PaS<os básicos envolvidos
nn soluçno de problemas de uansferêncin
dcc.ulor.
blcmas de condução de cnlor permaneme e unidimen.;ional. Assumiremos que a
condutividade tlrmica será constatttt, embora consideremos a condutividade variável mais adiante neste capítulo. Se voe! ainda não aprendeu equações diferenciais, não se preocupe. Para resolver problemas de condução de calor pennanente
e unidimensional, você precisará apenas da imtgração simples.
O procedimento para resolver problemas de condução de calor pode ser resumido assim: ( 1) fomwlar o problema obtendo a equação diferencial aplicável
em sua fonna mais simples, e.'pecificando a~ condições de contorno, (2) obter a
solução geral da equação diferencial e (3) aplicar as co11d1ções dt co111omo e determinar as constantes arbitrárias da solução geral (Fig. 2-39). O procedimento é
demonstrado a seguir com eJ<emplos.
C EM"'LO 2- O Condução de calor em uma parede plana
Considere uma grande parede plana de espes<uni l - 0.2 m. condutividade ténnica
k = 1,2 W/m·k e área A = 15 m'. Os dois lados da parede s5o mantidos atemperaturas constantes de T1- 120 ºC e T2 • SO •e. respccLivamcntc, como rnos1rndo
na Fig. 2-40. Delennine (a) a variação de tempernturn oa parede e o valor dn lemperatura em x = O, 1 me (b) a rnxa de condução de calor pelo pnrede sob condições
~------~
Integrando mais uma ve.1., obtemos
Equaçdo difc-rrrrcial:
nx> c,x + e,
w
que é a solução geral da equação diferencial (Fig. 2-41 ). A solução geral, ne.sse caso,
as..emelha-<e l íórmula geral de uma reta com mel inação C1 cujo valor cm x = O é
c,. J...,nãoésurpcsa.já que aseguodadenvada representa a vanaçãoda inclinação
de uma função, e uma segunda denvllda zero indica que a inclinação permanece
conSLantr Portanto, qualquu mo é uma solução para essa equação diferencial
A solução geral contém duas COOSl8nles dcscoohecidas C 1e C,. sendo necessárias duas equaçclc> para determiná-las e oblcr a solução específica. Essas equações
são obudas forçando a solução geral a Mitisíaa:r ~ condições de t:ontomo especificadas. A aplicação de cada condiçllo resulta em uma equação, por isso t preciso
e:;pccificar dun~ condições paro determinar as constantes C 1 e C 2 •
Quando a condiç5o de contomo ~ aplicada a uma equação, toda.s as ocorrêndos dos Wlfufrei.r dtptndtfltts ~ mdt~11dtmts ~ di:rivados são s11bstituldas ~los
~·alort.r eJptciftctulo.f Logo. apenas as constante.\ arbitrárias siio desconhecidas nas
equações re!\ultan1es
A primeira condiçrlo de contorno pode ser intcrpre-ladu como a substituição de
todns 01 x por uro t T (x) /JOI' T1, na .roJ11ç8n gemi, como mostrado na (Fig. 2-42),
7T,O) ~ C1 x o + e,
~-o
lnttgrondo;
:- •e.
lnt~1rando ltOWltntmt
Ttr)
/
Solução
gero!
e,.. e,
\/
Constan1e.
ubhr4nas
Obtendo a solução gernl da
equaç.ão diferencial de segunda ordem por
inrcgrnçílo.
_, e, = r,
permanentes.
SOLUÇÃO As 1empera1urns das superfície> de umn parede plana são dadas. Determinar a variação de 1emperaturo e a taxa de tronsfe1·encitt de calor.
Parede
plani.
s
1 A conduçlio de calor é pcrmanen1c. 2 A condução de calor é unidi·
mensional, já que as superficics consideradas na parede ~Do exten,as em relação à
espessura. e as condições 1énnicas em ambos os lados <lio umfonnes. 3 A condutividade térmica é cons1an1c. 4 Niio há geração de calor.
A segunda cond1ção de contomo pode ser interprernda como a substituição de todos
º·''por/, e (,r) /)()r T,, "'' •Ol11çl10 gcrnl. Ou seja.
r
T(l)
Su
T,
T,
CiL +
Crmdiçllo ele contorno:
e, _, r, - CiL + T, --+ e -~-~
L
7\0) • Ti
1 -
Soluçllo geral:
n.1 - c..- +e,
Substituindo C 1 e C2 na solução geral. obtemos
Apliamdn a conJiçlJo dr collfomo:
T(x) - C,x + C1
Acondu1ividade1t!nnicaék • 1,2 W/m·K.
L~X
0 ~-----4--
(a) Tomando a direçno nonnal à superflcie da pan!de pela direção x, a
equação diferencial para esse problema pode ser expressa como
•
Esquema para o
d 2T
di' • O
Exemplo 2-10.
com as condições de contorno
t
que ~ a solução desejada. uma vez. que sabsía1. não apenas a equação diferencial
como as duas condições de contorno especificadas. Ou seja, diferenciar a Eq. 2-56
em função de x duas vcLCJ resulta cm tf'11dr', que i a equação diferencial dada, e
sub>nruir ' : O e r ~ l na Eq 2-56 resulla cm T (0) = T, e T (l) = T,, respectivamente, que são as condições e>peciflcadas nas fronteiras.
Sub!j,lltumdo a informação romcc1da, o valor da temperatura em X = O, 1 m.
~
t
o
Ti
Sld>stitu1ndo:
(T' - e, x o+
e,~
e, - r
1
Nlo pOdc conter r ou T(x) apó<
• apl1cação da condiçlo de contorno.
ICIDOS
r
·e
so•c
T(OJ - 1 - 120
1T.L)-T, ~
A equação diferencial é linear e de segunda ordem; uma rápido in.peção revela que
há apenas um termo envolvendo derivada• e nenhum 1enno envolvendo a função
desconhecida T como fator. Logo, a equação pode •cr resolvida por integração dire-
TIO.I m) -
!!Lc
dx
1
onde C1 éa consrante arbilrárla. Note que n ordem da derivada diminuiu como resultado da in1egração. Por verificação, tomando n derivada do equação, obtemos a
equação diferencial original. Tal equação aindn não é a solução desejada. já que
ainda envolve uma derivada.
• m
02
(0,1 m) + 120 •e=
(b) A taxa de condução de calor em qualquer ponto da parede é determinada pela
lei de Fourier
kA !![ • - kAC, • - kA T, - T1 = kA Ti - r,
dx
/,
/..
ta. Observando que a integração redut uma vc1 a ordem da derivada. a solução geral
do equação diferencial acima pode ser obtida por meio de dun< simples integrações
sucessivas. cndn uma introduzindo umn constunte de integruçtio.
lnlegrando a equação difcrencinl uma vez cm runçi\o de x, temos
120)ºC
(SO
(2-57)
O'""" numérico da lnxn de conduçao de calor através da parede é detcnninado
!iub\litu1ntlo os valores dltdos
Q -kA Ti - Ti= ( 1 2 W/ ·K)( IS
l
'
'"
i
m)
( 120 - SO)ºC -
0,2 m
-
lOO'V
•
Observe que, sob regime pennanenle, n taxa de condução de calor através da parede plana é cons1a111e.
Quando se aplica n
condição de contorno à solução gtral em
um ponto específico, todas as oco~ncias
das variáveis dependentes e independentes
devem ser subs1i1uldas por seus respectivos
valores especificado' naquele pon10.
Capítulo 2
Transferência de Calor e Massa
.i...= =--
Equação de Con_d_u-'ç'-ã_
o_d_e_C_a...;
lo_;r_ _
l 5ºC
EXEMPLO
11 Parede com várias condições de contorno
Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma cx1ensa
parede de espessura L e condmividadc ténuica constante k, sem geraçfio de calor.
Obtenha expressões para a variação da temperaLura no interior da parede para os
seguintes pares de condições de contorno (Fig. 2-43):
dTl.0)
2
e
T(O) = T0 = 1s ·e
(b) -k tfTl.O) = 4 0 = 40 W/cm2
dx
e
- k dT(l) = 4t
dx
(e) -k dT(O) = tio= 40 W/cm'
e
-k ~l) = <h = cj0= 40 Wlcm'
(a) -k /IX= 40 = 40 W/cm
dx
.ioW/cm'
Pllítdt:
Parede
Parede
phina
planll
plana
T(x)
T(.<)
ot----L+--.,
o o-~~~~_..._~~
l
= - 25 W/cm2
L
(b)
(n)
FIGURA 2
·'
(e)
Esquema para o Exemplo 2-11.
S UC
Considerando uma condução de calor unidimensional pennancnrc em
uma parede grande, delerminar a variação de temperatura para diferentes conjuntos
de condições de contorno.
Ai /is• Trata-se de um problema de condução de calor unidimensi611al pennanenle .
com conduüvidadc térmica constante, sem geração de calor no meio. A equação de
condução de calor, ne.'ise caso, pode ser expressa como (Eq. 2-17):
d 2T
dx' =o
fundamental da equac;ão diferencial linear ordin(lfia garante que existe uma solução
ónica quando ambas as condiçê'>es são especificadas no mesmo ponto. Po1ém. não há
tol garantia quando duas condições são especificadas em fron teiras difetentes, como
veremos adjantc.
(b) Ncste<::aso, nuxos de calor diferentes são especificados nas duas fronteiras. Com
a aphcação dlli. condições de contorno. obtemos
dT(O)
-k/IX = tio --> -kC, =tio --> e,= - tio
k
cuja solução geral foi determinada no exemplo anterior por integração d ireta
T(x) = C,x +
e,
onde C1 e C.2 são duas constantes arbitrá.rias de incegmção. As soluções específicas
para cada par de condições de contorno são de1em1inadas a seguir.
(a} Neste caso, ambas .as condições de contorno são cspeciticada.s na mesma fron·
teim em .t = O, e não há nenhuma condiçlio de contorno especificada para outrn
rromeira em x = L. Observando que
Como <lo *- 4L e a constanle C 1aão pode ter dois valores diferences ao mesmo tempo.
" Isso não é surpresa. pois o calor é fornecido de nmbos os
J11dos e há a expectativa de que a temperatura da parede pennaneça estável (não varie
com o tempo). o que é impossível.
(e) N7sse caso. os mesmos valores de fluxo de calor são especificados nas duas
fron1em1s. Com a aplicação das coadições de concorno. obtemos
-k dT(dxO) = q·. --+
com a aplicação dM condições de contorno, obtemos
40
-kC, = 40 --> e, = -T
-k~l) = <io --> - kC, =</o --> C =
1
7~0) = To
--+ T0 = e, x o + e, -->
e, = To
Pazendo a substiluição, a solução específica nesse caso é
4
Portant.o. ambas as coadições resultam no mesmo valor para a constame C 1, mas não
detemunam o vaJor para C2 . Fazendo a substituição. a solução especffica é
/{1)
Ponantot as duas condições de contorno podem ser especificadas na mestna fron·
teira, nll.o sendo necessário especificá-las en1 locais d iferentes. De fato, o teorema
40W/cm~
25W/cm1
que não é a solução \nUca, já que e, é arbitrário.
(cQ11ti1111a)
Capitulo 2
Transferência de Calor e Massa-;__ __ _ _ __ ___________
T'(x) - 0
Sol"fllog•rofT(.t) • C,.. + C,
(ol Solorao ,;,,,,•.
U"(O) •
.;.I
7"'(0) • T, T(.t) - -
. + T,
lr
A última solução representa um conjun10 de reias com inclinação -<iofk.
Fisicamente, esse problema corresponde li cxpectaliva de que a uua de calor fornecida pela parede cm x = OSCJ• igual à taxa de calor retirada pelo outro lodo cm x L. Porém, isso é coosequ!ncia de a condução de calor pela parede ser permanente e
a i;egunda condição de contorno niio acrescentar nenhuma informação nova. Logo,
não é surpresa que exista mais de uma solução para o problema. Os lrfs casos ch.scuúdos são resumidos na Fig. 2-44.
(b)S.m1<>/Uf<fo:
- 1:7''(!.) •
- .tr(O) - kT'(L) •
i/J T(.t) • Nonc
i/,\
Fluxo de calor
CC'>~l\'8S
<i.
f
Arbilf"ário
H;URA J
Um p1·oblema de valor
de conlo1·no pode ter uma llnica solução,
infinitos soluções ou nenhuma.
Placa da bo.se
JOOcm'
Considere que n placa da base de um ferro de passar de 1.200 W tenba espessura L =
0,5 c[ll, área da base A= 300 cm' ccondu1ividade 1érmica k - 15 W/m ·K. A superflcie interna da p laca é submetida a um íluxo de calor uniforme gerodo pela resistên-
7'(.r) - C,x+ C1
dT(O)
-kdX • 4o -+ - kC, =tio -+
(a)
dT(L)
k dX • /r[T(L)
20 ºC) por convecção, como moslrudo nn Fig. 2-45. Considerando que o cocficienle
de transferência de calor por convecção 6 li s BO Wlm'- K e desprezando a perda de
calor per radiação, obtenha a expressão para n variaçno do 1empera1urn n• placa do
Sub>lltuindo C 1 • -
A condutividode t6'ntica tk • 15 W/m·K.
kC1 • h[(C1L + C:i) - 7'.]
-)
h
k
Sub>lllulndo agora C, e C1 na soluçno geral (n), ob1emos
T
(b)
que é a solução para a vanação de temperatura da placa. As 1emper.11uras nas su1Xrficie~ interna e cx1cm1 da placa ~ detenninadas .subs1i1uindo .x = O e .x = l,
r<>p<clJV3mC'.ntc, na relação (b):
T(O) = T. +
4~~ + i)
1
- 20"C + (40.000 W/m')( O,OOS m + - -- - ' =
ISW/m·K 80Wim'·KJ
A superfície externa do placa es16 •ujeita à condição de convecçiio. Tomando a direção normal à superficie da parede como eixo x com origem na superfície interna_ a
equação diferencial para esse problema pode ser expressa como (Fig. 2-46)
T(L) - T. + 4 (o+ _hl)- 20 •e+ 40.000 Wlm' =
"\
80 Wlm'-K
d 1T
dx1 =o
- k '''dxl) • h[T(L) - 7'.]
T.]
•
Qo • 1.200 W • 40000W/ t
4o = A""
O,OJml
.
m
com as seguintes condições de contorno
T.
D
J
:o ('
Ob.,crve que a 1emperatura na superfície inlerna da placa é de 13 ºC,
~a1or que na superfície cx1cma quonclo as condições de operação permanente são
~111n~1drr.... No1e também que essa 1málise da trnnsíerêncin de calor nos permite calculai ns tcmpel'aturns em superfícies que nl\o podemos nem mesmo alcançar. Esse
e~empl.o demonstra como c.s condições de contorno de convecção e de fluxo de calor
nphcada' em problemns de transferência de calor.
'ºº
-k ~ • h(1lL) - T,J
O>t------4--+
L
Condições de con1omo nn
base de um ferro de p.'ISsnr, disculidas no
EJ<emplo 2-12.
C1 = T: 1 <io t 'Ío L
A supcrfic1e interna da placa da base csti SUJCita 1 um íluxo de calor uniforme a uma wa de
A
Esquema para o
Exemplo 2 12.
tio
k
qJk e resolvendo paro C1, ob1emos
Considerando a p laca da base de um ferro de passar, deternúnar a variação de temperanJra na plnca e a 1empcrn1ura em cada h:Upcrfícic.
1 A 1.nmsfcr!ncia de calor é permanente, não há variação com o tempo.
2 A transferência de calor~ unidimensional, a 1lrca da superfície da base é extensa
cm relação à sua espessura e as condições térmicas cm ambos os lados são uniformes. 3 A condutividade tümica é constanie. 4 Não há geração de calor no meio. S A
transferência de calor p<>r radiação é despredvel. 6 A parte superior do ferro~ bem
isolada. de forma que lodo o calor gerado pela rcsi$l!ncia ~transferido para a base
através da supcrffcie interna.
C1 = -
Ob'"rvando que áT!dt • C 1e T (L) • C 1L + C1. a aplicação da segunda condição
de coniomo rcsulla em
cia interna, enquanto a. superfície ex tema perde culor para o meio (tempe.rtttura T. =
base do ferro e avalie as temperatur::'s nns superlTcics imerna e ex:tema.
h
ti. • -k ~O>
Conduçlo
Condução de calor na base de um ferro de passar
qJ T(x) • - k X+ C,
Conduçlo
1
dT
"-' = C1
onde C 1e C1 são conJ1an1cs 1rb11ririas. Aphcando a pnmcira condição de contorno,
- tr(O) • i/o\
(e) MJ/tlplns .rol•çll<s:
Plà<:I d• bote
A soluç!o geral da equaçlo difcrenc1al é obtida por meio de duas integrações su·
(continuaçlfo)
Eq11nç60 d1/tr~ntl'ol:
Equação de Condução de Calor
Capítulo 2
Transferência de Calor e Ma=ssa=-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Condução de calor em uma parede exposta ao Sol
Pucd<plana
Condu.;Jo
T,
,
a
Espaço
O+-----+-L--.,
Esquema para o
Exemplo 2 13.
Considere uma exicnsa parede plana de e~pe.sura L = 0.06 m e conduúvidade
térmica k = 1,2 W /m · K no espaço. A parede esul cobcna por uulcios de porcelana
branca de emissividades = 0,85 e absonavadade .olar a = 0,26, como mostrado
na Fig. 2-47.A superficie interna da parede é mantida a T, = 300Ko1empo lodo,
enquanto a superffcie ex1cma é exposia à radiação solar com tau de ancidêncaa de
q...., = 800 W/m'. A superficie externa também perde calor por radiação para o
espaço ao redor a O K. Dclerminc a lempcnuura da supcrflcie e.terna da parede e a
1axa de transfCJ!ncia de calor a1ravés dela quando alcança condições permanenles
de operação. Qual scrfa sua resposta se não hou\c.Sse rndiaçiio solar 1ncidmdo na
superfície?
71l)
Vollando um pouco. reprcsen1arcmos a lcmpcrnturn da superficic externa por
enHU de T(/, ) C,L + T1. A nplicaçlo da segunda condição de con1omo
r,
~sulr.acm
-k .n:.L) • eaT(L)' - aq... -+
-kC, - =Tt - <>ti-
Resolvendo para C,. ob1cmos
e , . aq_..cuTt
k
(b)
Sub>uru1ndo C, e C, na solução ecml (a). ob1emos
Uma parede plana no espaço é oubme11da a uma tempernlura específica
de um lado e à radiação solnr do outro. Octemunnr a 1emperatura da superfície exter·
na e a ta,;::1. de transferência de calor.
l A transferêncin de culor é permnncntc, n!'lo vnritt com o tempo. 2 A
tr.msferência de calor é uaidimcns ionnl, n parede~ extemm en1 relação à ~ua espessura e as condições térmicas em ambos os lndos s!\o uniformes. J A condutividade
térnúca é cons~1n1e. 4 Não há geração de cnlo1·.
A condu1ividade 1énnicn é k "' 1,2 W/m·K.
ri
a4.,..- tuTt
k
x+ r,
(cl
que< a soluçilo para u varinçilo de 1empera1ura desconhecida da superfície externa da
parede r, _E:m .X - L. temo~
T1 '"
<>4... - euTt
- - k - - l +-T1
(d)
que é a relação implfcirn pnrn o 1empcrátura dn superfície externa TL. Sub.'itiluindo
Tornando a direçi'lo nonnal ri superfície da parede corno eixo x com origem
aa superfície interna. 11 equação diferencial para esse problema pode ser expressa
os valores, obtcrno!<I
como
TL - -
0,26 X (800 W/m2 ) - 0,&S X (S,67 X 10 1 W/m2· K4 ) Tf
1.2 W/m·K
- - - (0,06 m) + 300 K
TL • 310,4 -
com as seguintes condições de con1omo
T(O) • T1 • 300 K
0,240975( 1~)'
TL =
O. A solução geral da cquoç3o diferencial é côtada por meio de duas
integrações sucessfvas
T<.r> - c,x + e,
(ai
T(x) •
~Wlm'l
O,S.SX(S,67X 1o·•w1m'·K')(292.7Kl'
l,2W/m K
.r
+ 300K
oblemos
T(O) =
e, x o + e, -. e, ~ r,
que pode ser simplificada para
T(x)
Observando que dT/d.r = C1e T(L) • C1L + C, "' C,L + T1• a aplicação da segunda
condição de con1omo resultn em
clT(L)
-k (í;"" = e<rT(L)' - a4....,
-+ - kC1 ~ cu(C,L + T 1)' - aq.,..
Embora C1sejn a tlníca incógnita nessn equação. nno podemos obter urna expressflo
explfciia para ela. A equnçiio não é linear, por1nn10 nno podemos obter uma expressão explícita para a dis1ríbuiç~o de tempera1urn. Por es:,c motivo, cvítamos onálises
de comportamentos: não lineares como aqueles a~sociados b. radiação.
r,
(4) Rrp11a a ~tapa {J) ati COllR'lmra
cottwrglnotJ paro a prttnlkJ du,jntlo
A.t ptóximas Ut>l'Of&S rrsu/tom ~m
T, 292.6K
T1. • 292,7 K
T, -292.7 K
Portanao,asoloçlotT, • 292,7 K.
O rHUltado 1ndtpcndc do v1Jor inicial
( 121.SK/m).r+ 300 K
Observe que a tcmpern1ura da superfTcie e,1uerna resultou em um valor menor que
a tempcm1u1 a dn superfície inlcma, e, ponanto. a 1rnn.sfert!ncia de calor aLravés da
parede e\lá cm direção exlcma. apesnr da nb;orçiio de radiação solar pela superfície
c:ul.!ma. Conhecendo as temperaturas de nmbas as superfícies (interna e externa) da
parede, n taxa ele condução de calor lllr'tivés dn pnrede pode sei' detenninada a parlir de
q - k T, - TL • ( I 2 W/ ·K) (300 - 292,7) K
L
T, " 290.2 K
(3) Agora substitua o wllor rnrontmdo
dr no lado dlrr110 da rquD{'do , obtmho
T, • 293.1 K
Conhecendo• 1empera1ura da ~uperfícac exlema e sabendo que ela deve pennancccr constante :w>b condições pennancole~. 1 d1stribu1ção de temperatura na paraJc
pode ser de1cnmnnda sub$111uindo o valor de TL acama na Eq. (e):
onde C1 e C2 são constantes arb1trári~. Aplicando a pruneira condição de contorno.
r, • 310.4 - o.24091s(Jt)'
(2) Suponha 11111 wJ/o,. poro T1 , (f>Ot'
r.umv/o, JOO K) r subs11111a 110 Indo
d1"ito do rqufJ(lio
Essa equação pode ser resolvida por um dos di"""°" mélódos cxisicntcs para asolução de equações não lanea.re> (ou por 1cnta11va e erro), resullando em (Fig. 2-48)
dT(L)
-k---;;- = ea[T{L)' - r:.,...J - at/,...
(1) Reordr11t' 11 rqimrl1oa \'Ull'1'ol~·ftl11:
A equação esui na forma adequada, poh
o Indo esquerdo contém apenas r,.
que pode ser simplificada paro
onde r_
Equação de Conduçao de Calor
'
m
0,06 m
(continua)
.,
Um mé1odo simples de
resolver a equaçno não linear é reordená-la
de modo n manter a lncógnico isolada do
lado esquerdo. enquan10 todo o re.~10 lica
do lado direi10, e renliznr várias i1ernções.
começando com uma e1<1timntiva inícinl, de
modo a fazer o resultado convergir para o
valor.
capítulo 2
Transferência de Calor e Mass::..ª-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Equação de Condução de Calor
que fonnam um SoSlema com duas equações e duas incógnitas, C1e C 1• Resolvendo
(CQnllnUOfào)
No caso da ausência de incidbc1a de rnd1açlo s.olar. 1 1empera1urn da
supcrf!cie externa, detenninada a panar da Eq. (d) com q,... - O. t r. =
.É
interessame observar que a 1nc1dtncia de Cnc'iia &0lar na superllcie call.la aumemo
da 1cmperaturn em cerca de 8 K apena• quando 1 superflcoc miemo da pa=le t mantida a 300K.
o sisrem&. ob1emos
C_T2 -T1
1
ln(r,lr1)
T1 -T1
C2 - To - ln(r,lr,) ln ro
e
su1>s111uindo na Eq. (a) e rconlcnando"""' lermos, lemos que a variação de 1empe·
ramra no rubo é
(2-58)
Perda de calor em uma tubulação de vapor
Considen:. uma tubulação de comprimento l .:a 20 m, raio interno r 1 - 6 cm. rmo
externo r, = 8 cm e condu1ividadc Lfonica k = 20 W/m·k, como mo$trndo na Fig.
2-49. As superfícies interna e externa dn tubulação s3o mantidas a tempera1uras médias = 150
e T2 = 60 ºC. rcspec1ivamen1e. Ob1enha" relação geral para a
distribuição de temperatura no mtcnor dn tubulação sob condições permanentes e
r,
A iaxa de perda de calor do vapor é simplcsmenle a taxa 10!al de condução de calor
pela mbulação, de1erminada pela lei de Fouric:r
•e
.
dT
C,
T1 -T,
Q"'""'•: - kA dr~ -k(21TrL) 7 - -27TkLC1 = 21TkL ln(r,lr,)
(2- 59)
determine a taxa de perda de calor do vnpor pelo tubo.
Uma mbulaçilo de vopor está sujei la a 1empera1uras especificadas em
O valor numérico da 1axa de conduçno de cuLor pela tubulação é calculado substi·
luindo os v11lores dados
suas superfícies. Determinar a vnríação de lempcrnlllnl e o tnxa de lransferêncin de
.
(1 SO - 60)ºC
Q = 2'1T(20 W/m·K)(20 m) ln(0,08/0,0ó)
calor.
1 Ili
Esquema para o
Exemplo 2-14.
J A transfer!ncio de calor 6 permn11ente. n5o varia com o lempo. 2 A
trnnsferência de calor é unidimensional. Há >imetria 1énnica em relação ao eixo cen1ral e não há variação na direção axial. Logo. T - T(r). 3 A condutividade ténnica é
cons1an1e. 4 Não há geração de calor.
!6kW
Note que a taxa toial de lransferência. de calor atravé.~ da tubulação é
comrnnte, mas o fluxo de calor 4 - Q/(21P'rl) não, pois ele varia na direção da trans-
ferência de calor e diminui com o numento do raio.
A condutividade térmica é k • 20W/m·K.
AJr.
A fonnulação ma1emática para o problema pode ser e>prc>~ como
!!..(rt!I)-o
dr dr
EKE
com as seguintes condições de con1omo
EqllOÇ<lo do/tmic1al;
f,(r#,}o
T(r,) - r, - l'°-C
T(r,) T2 - 60 -C
lniegrando a equa~ diferencial em funçlo der, temos
ln1t1rrmdo:
,!!!.. e,
rff,. e,
Dividindo por r (r <!<O):
!!:.S
dr
r
'ftr)
e, lnr+ e,
onde e, é a constan1e arbi1rária. Agora dividimos ambos os lados da equação por r
para colocá-la em uma forma pron1amcn1e m1egnlvel
tJI.S
dr
r
e, ln r + e,
(a)
Aplicando agorn ambas as condições de contorno, substiluindo todas as ocorrências
der e 71r) na Eq. (a) pelos valores especificados nos íro11teiras, obtemos
11:u 4 ?. O Passos básicos eavolvidos
na solução da equaç!lo de conduçio de
calor unidimensional permWlcnte. em
coordenadas cilíndricas.
T(r,) • T 1 ->
T(r,) =
C, ln r 1 + C,
SOL
Um contêincr esférico es1á sujei10 1 temperaturas especificadas em
T1
r, .... e, ln '• + e, - r,
&quemaparuo
~uas superfícies. Determinar a variação de temperatura e a truta de transferência de
Exemplo 2- 15.
calor.
1 A trnnsfer!ncia de calor é: permanente, não varia com o tempo. 2 A
transíerêocía de calor é unidimensional, há sime1rin térmica em relação ao cencro e.
omm, T ~ T (r). 3 A condu1ividode 1érmicn é consia111c. 4 Niio há geração de calor.
lnlegrando novamen1e em função de r. temos (Fi&. 2-50)
T(r) -
Condução de calor através de uma casca esférica
caJor
clr
lmtgrr.mdo now.rmtntt:
2
Considere um cont!incr esfénco de nlÍO mtemo r 1 = 8 cm.111Ío externo r, = 10 cm
e condutividade 1énnica k = 45 W/m·K. como mostra a Fig. 2-51. AJ; superficies
interna e externa do contliner sJo manodas a tcmpe.ratura.s constantes T 1 = 200 ºC
e T, - 80 ºC. rcspcc11vamente. como rcsuhado de algumas reações qulm.icas que
ocorrem cm seu on1enor Obtenha a rclaçio geral para a dis1nb1uçâo de temperatura
no 101crior da casca sob condições permanentes e detennine a taxa de perda de
A condutividade 1éomica é k - 45 W/m·K.
A formulnçílo mo1emá1ica porn o problemn pode seo· expressa como
.!!.
(r• t!I)
• O
dr
dr
(C<>ntlnrta)
- - - - -- - - - - - - - - - - -- - - ---=C:.:::a!:..
pí:.:::tu:.;l.o:....::
2_.::
E.:!.:
quação de Con<luçao de Calor
Transferência de Calor e Massa
2-6
( ('OllntJUOÇÓO)
com as condições de contorno
r, -
200 •e
'T(r,) = T2 ~ 80 º C
'T(r,) -
lntcgr.tndo a equação diferencial em função der. tcmoo
, 2!!!
ª Ct
dr
onde e,~ uma constante arbitrária. Agora. div1d1mos ambos oo lados da equação por
r' para colocá-la em uma forma pronlllmcnte tntcgrável,
tJT
C1
dr - 73
.
e'° -
Integrando novamente em função der, temos
C1
'T(r) - - 7 +C2
(a)
Aplicando agora ambas as comliçõcs de contorno, subslituindc> iodas as ocorrências
de r e T(r) oa relação acimll pelos valore$ especificmlos nt\S fronteiras. obtemos
'T(r1) ~ T1
-+
C1
r,
+ e, - T,
'T(r,)- T1
que formam um sistema com dua• equaçõc• e duas incógnitas. C1e C,. Resolvendo
o sistema. obtemos
C 1 = -~(T
1 - T'
r - r
V
2
1
e
Subsútuindo na Eq. (a), cncon1ramoo a vanaçlo de temperatura dentro da casca esférica
(2-60)
A taxa de pcnla de calor do cont~íncr ~ simplesmente a taxa tot•I de condução de
calor através da parede, detenmnada pela lei de Fourier
áf
c
r 1 - r,
Q.- = -kA dr = -k(4'11'r2) ; ;1 - - 4'11'kC1 • 4'11'kr1r2 r, - , 1
' •
q,
27 1
~ • 4,.(0.08
· kW 1 • 337 kWtm'
m)
A1
27 • 1 kW • 216 kW/m
' . !?:A, • 4?T(0.
10 1
1
q,
nl)
f r. LI 4
Durante a condução de
calor unidimensional pcnmmente em um
recipíenie esférico (ou cilfndrico), a taxa
total de 1ran•ferência de calor permanece
cons1an1c, mas o íluxo de calor diminuí
com o t1Umcnto do raio.
(2-61)
o valor numérico da !lixa de condução de calor atnwts da parede ~calculado substituindo os valores dados
.
Reações
qufmiCl.S
Muillls aplicações prá1icas de transfctincia clc calor envolvem a conversão de alguma
fonnll de ene1gia em energia 1lm1ico no meio. Dizemos que esses meios envolvem
guação de calor interna, que se manifes1a com um aumento clc temperatura. Alguns
e.templos de geração de C31or são fios d' "sistência, "ações qulmicas exoiénnicas
em sólido e rrações 11uclearrs cm pastilhas de combuslivcl nuclear, que convertem
energia elétrica, química e nuclear cm C3lor, respeclivamente (Fig. 2-53). A absorção
de radiação por um volume de um meio semitranspareo1c como a água também pode
ser considerada geração de calor no meio, como explicado an1eriormente.
A geraçilo de calor normalmente é upreua por unidade de volume do meio,
representada por4'..,..cuja unidade é W/m'. Por exemplo, o calor gerado em um fio
eléuico de raio extemo r. c comprimen10 l pode ser expresso como
(200
80) •e
Q = 47r(45 W/m·K)(0,08 m)(0,10 m) (O. IO _O.OS) m
É,_,..,.,..
hasOe
buSllYCI
leu
A geração de calor cm
sólidos é prática comum.
J2 R,
--v;;:--- • 1rr(J2l
1
)
(W/m
(2~2)
onde J é a corrente elélrica e R. é n resislência elétrica do fio.
A temperatura no meio a11111e111a durante a geração de calor como resultado
da absorção do ca lor gerado durante o 1icríodo transiente inicial. À medida que a
1emperatura do meio aumenta, a 1ransferl!ncia de ca.lor do meio para seus arredores
também aumenla. O processo co111inua a1é que as condições de operação perma·
nentes sejam alcançadas e a taxn ele geração de calor se iguale à taxa de transferência de calor pam os arredores. Uma vcl estabelecida a operação permanente, a
temperalura do meio se manlém constante em q ualquer ponto.
A temperatura mdxima T..., em um sólido que envolve geração de calor uniforme ocorre no ponlo mais distllnle da superfície externa quando esta é mantida
em temperatura constanle T,. Por exemplo, a temperatura máxima ocorre no plano
central de uma parede plana, no eixo ctntral de um cilindro longo e no centro de
uma esfera. A distribuição de tcmpera1ura no sólido, nesses casos, é simétrica em
relação ao eixo da simetria.
Os valores de maior intcrcssc cm um meio onde há geração de calor são a temperatura da supcrficie T, e a tcmpcra1ura máxima T..... que ocorrem em operação
ptmUJnenu. Desenvolvemos as expressões a seguir para essas duns grandezas nas
geomelri~s mais comuns pam o caso de geração de calor unifom1" (4',... = conslante) no meio.
Considere um meio sólido com área da superficie A,. volume V e condutividade 1érmica constante /e, onde o calor é gerado a uma 1axa constante de é.., por
unidade de volume. O calor é transferido do sólido para o meio vi~inho de temperatura T. e coeficicn1e de 1ransíerência de calor constan1e h. Todas as superficies
do sólido silo mantidas a Ulila temperatura únic.a T,. Sob condições permanentes, o
balanço de energia para esse sólido pode ser expresso como (Fig. 2-54)
(1ron;;"~1~a tle)-
, 1 li\\
calor do sólido
{Taxa de
geraç~ia
de\
\ calar do sólido J
h. r.
(2~3)
No1e que a taxa 1ornl de transferência de calor mnwés da casca esférica é
constnnle, mas o Ouxo de calor q = Q/4111' nüo. pois ele vnría na dire~ão da transfe·
A
FIGURA ' 'i4 Em condições
permane111es, ~oda o calor gerado no sólido
ou
rência de calor e diminui con1 o aumento do raio. co1no mostra a Fig. 2- 52.
(W)
(2-64)
deve ser liberado através da ;upcrffcie
externa.
Transferência de Calor e Massa
Desprezando a radiação (ou incorporando-a ao coeficiente de transferência de calor h), a taxa de transferência de calor pode ser expressa pela lei como do resfriamento de Newton
Q "' hA,(T, - T.)
-
Capitulo~<!_uação de Condução de Calor
Essa abOrdagcm pode também ser usada para determinar o aumento mdximo de
temperatura na parede plana de espessura 2L e em esfera sólida de raio r~ com os
seguintes resultados:
;
(W)
L
(2-731
2A
Combinando as Eqs. 2-64 e 2-65 e resolvendo para a temperatura da superfície
T~temos
AT.
e r
12-741
l2-66)
=
=
Para uma extensa parede plana de espessura 2L (A,
2A_., e V 21A......,J
com ambos os lados mantidos na mesma temperatura T., um longo cilindro sólido
de raio r.(A, 27rr0 L e V="'' ' 0 L) e uma esfera sólida de raio r0 (A, = 4rrr '.e
A temperatura máxima no centro pode ser determinada a partir da Eq. 2- 72, adicionando o aumento máximo de temperatura à temperatura da superfície do sólido.
=
V= Sir,,;), a Eq. 2-66 se reduz a
' · purcdept.a
T. +
(2-87)
(,_1,.
1,"""""
(2-68)
2h
+ 1 '•
~
fl IR~
J O calor conduzido por uma
casca cilíndrica de raio ré igual ao calor
gerado dentro dela.
ção de calor no sólido.
Reconsidere a transfe~ncia de calor em um longo cilindro sólido que gera
calor. Já mencionamos que, sob condições pem1anentes, todo o calor gerado dentro do meio é conduzido pela supcrflcie externa do cilindro. Considere agora um
cilindro imaginário de raio r dentro do primeiro cilindro (Fig. 2-55). Novamentc,
o calor gerado dentro desse cilindro interno deve ser igual ao calor conduzido pela
sua superficie ex.tema. Pela lei de condução de calor de Fourier,
1
1
:r -r_
fL_r.
1
Integrando a partir der = Oonde T(O)
..,.
T.
Geração de calor
'
1
1
1
1
,..-
'º
Línha
de simetria
1 JRA 2
A temperatura máxima em
um sólido simétrico com geração de calor
uniforme ocorre no seu centro.
Detcrmlnur a temperatura no centro de um aquecedor submerso em água.
n
1 A transferência de calor é permunenle, não varia com o tempo. 2
A transfer!ncin de calo1· ~ unidimensional. Há simetria témúca em relação ao eixo
ceniral e não há variação nn direção axial. 3 A conduúvldade térmica é constanle. 4 A geração de calor no aquecedor é uniforme.
Esquema para o
s A condutividade térmica ék - 15 W/m·K.
A
s O aqu.cedOr de 2 kW converte energia elétrica cm calor a uma tua de 2
kW O calor gerado por unidade de volume do lio 1.
f:,,.
É,,.
2.000W
i,,. ª v.. - nr1L - 1r(0,002m)'(O,S m)
0,3 18 X tr?Wim'
A temperatura no centro do lio é, então, determinada a parur da Eq. 2- 71
dT
1
1
1
OLU
(2-70)
-k(27rrL) dr= i,.(7rr' L) -+ dT
0
T.
'!!;- i.,. V,
A resistência de:: um aquecedor de 2 kW usndo para ferver água é um fio com coo·
dutividadc térmica k = I S W/m·K, diâmetro D - 4 mm e comprimento L. - 0,5
m (Fig, 2-57). ~onsidernndo que a leinpern.tura da superficie externa do fio é Til=
105 ºC, deternune a temperatura no centro.
sendo A,= 27rrL e V,= .,.,.JL cm qualquer posição r. Substituindo essas expressões na Eq. 2-70 e separando as variáveis, obtemos:
1
1
T,
(2-69)
Observe que o aumento na temperatura T,da superfície ocorre por causa da gera-
-kA,
Temperatura do eixo central de um aquecedor
EXEMF
e,,..l
h
4k
i,.
= -ll rdr
= T0 até r = r onde T(r
0
'
. = •e+ (0,318 X 10' Wlm'X0.002 m)' _
To - T, + ~
105
0)
-
4 X (15 W/m·ºC)
..6 'C
D
T,, obtemos
Observe que a diferença de temperatura entre o centro e a supctflcie do
aquecedor é de 21 •e. Além disso. as unidades de condutividade t6mica W/m·ºC e
W/m· K sao cquivalen1cs.
<~ 71)
onde T0 é a temperatura no eixo central do cilindro, que é temperatura mdxima,
e f'>.Tmu é a diferença entre as temperaturas do eixo central e da superffcie do cilindro, que é o aumerato máximo de temperatura a partir da superfície. Uma vez
calculada l'>.T""" a temperatura do eixo central pode ser facilmente determinada a
partir de (Fig. 2-56)
(2· 72)
D_esenvolvemos essas relações usando a abordagem intuitiva do balanço de e11ergw Entretanto, poderíamos ter obtido as mesmns relações desenvolvendo e re-
<olvendo as equações diferencit1í.1 apropriadas, como mostra.remos nos Exemplos
2. 17 e 2-18.
Exemplo2-16.
Transferência de Calor e Massa _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Variação de temperatura em um aquecedor
108 'C
Capítulo 2
1 geração de calor é constante e 1 rniegral da derivada de uma íunçlio é a própria
Um aquecedor fonnado por um fio rcsistor longo e homogenco de raio r. - 0.5 cm e
condutividade térmica k = 13.5 W/m ·ºC é usado pari feiver água cm pres.<ão aunosíérica pela passagem de com:nte elttrica. como mostn1 a Fig. 2 58. O calor t gerado
função. Isto é, 1 integração remove a dem'ida. Neste ponto, é con\oeniente aplicar a segunda condição de contorno, já que ela. est' relacionada à pnmeira derivada da temperatura. substilUlndo todas as OCO<lfnciu de rc dTftlr na Eq. (a) por zero. Assim. temos
áfT.0)
uniformemente no fio como resuhado do aquecimento devido • rcs1st!ncia. a uma
o
'
'
r.
....1
raxa de e = 4,3 x 107 Wlm'. Considerando que 1 tcmpcnuura da supcrllcie externa
do fio vaÍe T, = 108 •e, obrcnha a relaçlo pani a d1stnbu1ção da cempcratura e detcnnioe a temperatura no eixo central do fio sob condições de operação permanente.
~
1
U
llsquema para o
Exemplo 2- 17.
J A transfcrtncia de calor e! permanente, n~o varia com o lempo. 2
A transferência de calor é unidimensional, há 11imctria térmica em relação ao ei.xo
cenlnll e não bá variação na direção axial. 3 A condutividade térmica é constante. 4
A geração de calor 110 aquecedor é uniforme.
p1 pri f;,
An tli
Logo. C, é cancelada. Dividindo a Eq. (o) por r para que ela fique em uma forma
prontamcnlc in1cgrávcl,
Acondutividode ténnicuék- 13,SW/m·ºC.
dT ..
dr
... e,
Integrando novamente cm relaçl!o ar, obtemos
T(r) - - 4k r 1 +
A equação diíerencial que l'ege a vuriuçno de tempcraturn no fio é a Eq.
!i.(r<.!!.)
é.., - o
r dr dr
k
AI",
T, • - 4 k r;+ C2
Esta é uma equação diferencial linear de segundn ordem. ponanlo • >Olução geral
contém duas constantes arbitrorins. Para detennmar essl.\S constantes, é necessário
especificar duas condições de contorno. que podem ser
T(r.) - T, • 108 •e
•.., r,
e1 = T, ~ 4k
2
IT
=0
1'{0)
A primeira condição de contorno afinna que a temperatura da superfície externa do
fio é 108
A segunda condição de contorno é a 51mctna cm relação ao eixo ccoual
e aftrma que a 1empera1ura mú.tmn no fio cstJ no eixo central. Portanto, a inclinação
da curva de temperatura cm r ~ Odeve ser zero (Fig. 2- 59). Af duas condições completam a formulação matemática do problema
•e.
r 1
(CI
que é a solução desejada para a distnbuiçlio de temperatura oo fio em função der.
A 1empera1ura no eixo central (r • 0) é obtida substuumdo r na Eq. (e) por zero e
subsuruindo os valores conhccidO!i:'.
e
tlr
-1
Substituindo csso reloçno de e, na Ec1. (b) e reordenando os termos. temos
1
d7Wl
dr
(bl
Aplicando agora a primeira condiçno de conlorno e substiluindo todas as ocorrências
de r Po"'oe T por T,. obtemos
2- 27,
~ -o
...
o x l i f - - 2k x o + c1 ..... c1 = o
Esse problema de trnnsfcrtncia de calor é •im1lar ao problema des-
.,
crito no Exemplo 2-16, mas agora precisamo. obcer a relação para a variação da
cempcratura no fio cm função de r. Equações d1íercoc1ai> são apropriadas para°""
finalidade.
!
Equação de Conduçao de Calor
=
_
i., ,_
~1 Wlm'
T, + 4k r.
108 "C + 4 X (l 3.5 Wfm·"C) (0.005 m)2 -
lll e
O
A temperatura do euto C'Cnlr.ll é 20 "C acima da 1cmpcratura na superfície
exrema do fio. Observe que a cxprcssllo acima para a temperatura do eixo central é idêntica à Eq. 2-71, que foi obtida u<ando o balanço de enoigia cm um ""lume de controle.
Embora não seja óbvio à primeira vista, a equação diferencial está cm uma
forma que pode ser resolvida por incegrnçllo du'Cta Mult1plicnndo ambos os lados da
cql13.ção Porre rearranjando seus tem10s, obtemos
i.(r!!r)-é,..k
dr tlr
r
FIGURA J9 Simetria 1énnica no eixo
central de um fio no qunl há geração
uniforme de calor.
Condução de calor em um meio de duas camadas
Considere que a res151~ncin de um aqtJC(..-edor d um fio longo de raio r 1 ;;;;; 0,2 cm e COn·
du1tvidade ténnica *fio • 15 W/m·K no qual ocorre gcrução uniforme de calor colllQ
resultado do aquecimen10 a uma taxn c onstante stt, • 50 W/cmJ (Fig. 2-60). O fio é
envoho por uma comadn de ce.rfimicn de 0.S cm de c.spcs.surn cuja condutividade térmica
1.2 W/m · K. Considcmndo que a medida da temperatura da supertlcie externa da camada de ecrã.mica é T, • 45 ºC. determine as temperaturas no centro do fio da
rcM~1~nc1a e no inte1fnce entre o fio e a camada de ccrfünica sob condições pem1anentes.
é•.-..,
Integrando em relação a r. te111os
áf
EXEMPL
é,,, rl
r;;; • - T"'i i e,
(a)
(continua)
f ,u A 2 O Esquema para o
Excm pio 2'-18.
ll•f
Capítulo 2 • Equação de Condução de Calor
--'--:;,,:,;,,:,;-
--ílílliC.....-
Transferência de Calor e Massa
Rcsolvend? para T,e•r ubstituindo os valores dados:, a temperatura na interface pode
ser determmada
\
(co11rin11a('âO)
SOLUÇÃO Determinar as temperaturas no centro e na interface de um fio de resistência revestido por uma camada de cerãmica.
e~r~ 1 r 2
T, = ~lnr; + T,
Sup i:1çD 1 A transferência de calor t permanente. não vária com o ten1po. 2 A
transferência de calor é unidimensional, pois esse problema de transferência de calor
em duas camadas apresenta simetria ern relação ao ei;c;o central e niío envolve variação
na direção axial. Logo. T = T(r ). 3 A condutividade térmica é constante. 4 A geração
(50 X tb• W/m1)(0,002 m)' 0 007
2(1,2 Wlm·K)
ln 0:002~ + 45 ° C = 1 94 •r
Conhecendo a tempe~aturn na interface, a temperatura no eixo central (r = 0) é obti~
da sub<tituindo os valores conhecidos na Eq. (a),
de calor no fio~ uniforme.
Pro,;ried.211 ~ As condutividades térmicas do fio e da camada de cerâmica são k,'io =
15 W/m·K e~r1mi~a;::;: 1,2 W/m·K, respectivamente.
3
Troo (O) = T, + é,., ri = 149.4ºC + (50 X 10" W/m )(0,002 m)'
4k.,
4 X (15 W/m· K)
Ana/1
Representando a temperatura desconhecida da interface por T, o problema
de transferência de calor pode ser descrito como
(r dr ) k
r dr
11- áI'r~ + é"' = O
~i,1
e
Logo, a lemperatura no eixo central é ligeiramente maior que na interface.
~'
' ' Este exemplo demonstra como problemas de condução de calor unidimensional pennane.nte em m.eios compostos podem ser resolvidos. Outra fonna de resolver
o problema sena delennmar o fluxo de calor na interface dividindo o calor wtal gerado
no fio pela. área da superfTcie e usar o valor encontrado como condição de contorno de
fluxo de cal~r especificado. tanto para o fio quanto para a camada de cerâmica. Desse
modo, os dois p1'0blemas são decompostos e podem ser resolvidos separadamemc.
com
Tr., (r1) = T1
dTr., (O)
--=O
dr
O problema foi resolvido no Exemplo 2-17, e a solução, como vimos, é
(a)
EXEMPLO 2-M Condução de calor em uma parede plana com
geração de calor
_n
Observe que a camada de cerâmica não envolve nenhuma geração de calor e a
temperatura da superfície ex.lerna foi especificada. O problema de condução de calor
nessa camada pode ser e;'(presso por
ÇOLUÇAO Uma parede plana é submetida à geração de calor uniforme. Determinar a ex.pressão para a variação de temperatura da parede para r 1 > r2 e T i = T2•
áf="""')
-o
dr
dr
-d ( r -
Um: extensa parede plana de
de espessura é submelida a uma geração de calor
um onnc (Fig. 2-61). Detenmne a expressão para a variação de temperatura na parede se (a) T1 > T1 e (b) T1 = T,_
-- -
'.uµ
1 A condução de calor é consranre. 2 A condução de calor é unidimen
s1onal. 3 A condutividade térmica é constante. 4 A geração de calor é unifonne. -
com
Começamos com a equação geral de condução de calor para coordenadas
retangulares.
T=1m;,.(r1) = T1
T.,.....,, (r,) = T, = 45 ·e
~(ki!t\
iJT) + e,,.
. -_pc a;
iJT
ax a-;) + ~(J!!-)
ay ay + ~(
àz k'a;_
F..sse problema foi resolvido no Exemplo 2- 15, e a solução, como vimos. é
ln(r/r1)
T.,.-, (r) = ln(r,lr,) (T, - T1) + T1
(b)
urmzamos a primeira condição da interface ao igualarmos as temperatur.as do fio e
da camada de cerâmica a T1 na interface em r e r 1• A temperatura da interface T1 é
determinada pela segunda condição da interface, a qual diz. que o fluxo de calor no
fio e na camada de cerâmica em r = r 1 deve ser o mesmo:
1
1
I'
'
1
i;
plana
Parede
1
1
1
1
- L
~L
X
•r,URA 2 61 Esquema para o
Exemplo 2-19.
Para co~dução de calor constante unidimensional e condutividade ténnica constante
a equaçao geral de condução de calor é simplificada para
'
J'T e,,.
dx'+k=O
~~~:~a;:~:uas vezes, temos a solução geral para equação diferencial de segunda
t)
'•"''
T, - T1 (
--> -2= - kcedmK:" Jn(ri/r1) T;'
(con1inr1a)
Transferência de Calo~r~e:cM::!as=sa~-----------------------------
-
Equação de Condução de Calor
Capítulo 2
conrn pant redulil' o erro. Em i;ernl, con,idemr a varinção da condutividade térmica
com J temperatura complica a análi'iC. Entretanto, cm casos simples unidirnensio-
(c:ontinuaç&J)
(a} Para o caso de condições de contorno assuntuicas T1 > T,. aplicando as con<li-
çõeo de contorno, temos
r
x= -L:
1
nai>. as relações de tran,fcrência de calnr podem M:r nbtidas de fonna simples.
Quando a variação tia condut1vidadc tém11ca com a temperatura k(7) é conhecida. o v:ilor médio da condu11vidade térmica no mlervalo de temperatura entre
e r p<>de ser obtido a p.1nir de
'
2
(2 75)
x= L:
Note que, nesse problema, o sistema de coordenadas I! colocado no meio do parede
plana,(x ; O}, onde x à direita da linha do centro I! considerada positiva, e, à csquer·
da. negativa. Na antili se de problemas de parede plana com geroção de calor, essa
observação é normalmente adornda n fim de obter o melhor efeito de geração de
calor no perfil da temperatura. Rcsohendo paro constantes C 1 e C,. temos
e
Substituindo as expressões C1 e C2 nu solução ;eral, a varinção da tempcrawra na
füsa relação é b11-'iCada na exigência de <1uc a taxa de trnnsferéncia de calor
atrmés dn mei.o com condutividade témlica média constante k,.,.seja igual à tIDta
de transferência de calor através do mesmo rueio com condutividade variável k(7).
Observe que. em caso de condutividade térmica constante k(7) = k, a Eq. 2-75 é
redulltla para k•.,. - k, como e;,pcrudo.
As~im. no cnso de tondutivic.ladc l<frmicu varhtvel. a taxa de transferência de
calor pemiancnte atn1vés de uma parede plana e urna camada cilíndrica ou esférica
pode ser cletenninacla substituindo a condutividade térmica constante k das Eqs.
2-57, 2-59e 2-61 pclaexpr~ssilo (ou valor) k,,...,da Eq. 2-75:
parede I!
fl t)
~ l.. (
~
T
1
<•l
(b} Para o caso das condições de contorno si~tricns, substituindo T, = T, da equa-
ção acima, temos
T(t)
Q' tOO
E
i so
!1
20
~
10
~
Aço ino~Milvcl.
AISt 304
Ôxidode
alumínio
Pnoccrlmic•
......_
,,
A Eq. (a) mostn que a variação da temperatura na parede para o caso de
condições de contorno assi~tncas com T1 > T2 não t sunl!tnca e a temperatura má·
xiroa ocorre à esquerda da Unha do a:ntro. Note que na Eq. (a} a temperatura se reduz
à solução do Exemplo ~IO(Eq, 2--56) paraconduç3odecalorem parede pl•nascm
geração de color •travl!s de~.. = O e realiza a transformação de coordenadas apropriadas. No caso de cond1çõeS de contorno si~tneas (T1 = Ti), a Eq. (b) mostra que
a variação da temperatura na parede ê si~trica e a temperatura mix1ma oeorre n•
linha do centro. Isso i comparável com os resultados apresentados no El<cmplo 2- 16
para a variação de temperatura cm um aquecedor de rcsisteocia cilíndnco.
J
300 500 t .000 2.000 4.000
Temperaturn (K)
flGURI 2 ô ? Variação da condutividade
ttrmica de alguns sólidos com a
1empenuura.
º-
1,
1
l
11t_, / T,
ln(r,/r1 )
..
T
2l k\I
11l
ln r{r1)
r
4 r1r { 1
)úf
l( l)á1'
l(7)dT
(2-76)
(2 17l
(2 78)
.A \•anaçãn da condutividade térmica de um material com a temperarura em
um interv~lo .de temperaturas de intcrc'-\C gemlrnente pode ser aproximada como
uma funçao linear. expressa como
k(T) - ko( 1 + {JT)
(2- 79)
Pattde pl>na
onde fJ é~ c_<>eliciente de lcmpertlfuru da condutividade térmica. O valor mldio
da condut1V1dadc térmica no rntcrvnlo de tcmpcratum de T a T pode ser determi~o a~w•
'
'
k(7) • t,,(t +/J7)
/l > O
T,
'J-/
QuarlZo fundido
1100
(0)
Q,,......,....
r
(2-80)
Como visto no Cap. I, a condutividade térmica de um material em geral varia com
a temperatura (Fig. 2-Q2). Entretanto, essa vnriação é pequena para muitos mate·
riais utilizados na prática e pode ser desprezada. Nesses casos, podemos usar um
valor méd io para a condutividade térmica e n tratamos como constante, do mesmo
modo q ue fizemos até agora. Essa prática é comum wmbérn pnra outras propriedades dependentes da temperatura, como densidade e calor específico.
Quando a variação da condutividade térmica com a tempemtura em um interva·
to de temperalUras específicas for muito grande, será necessário levar a variação em
/l • O
- --1
T,
/l < O
Ob~erve que a co11d111ivídade térmic" mé(/i(I, nesse caso. é igual à condutividade térmica do material cm 1e111perar11ra médill.
I' Mencionomos anreriormcmc que u temperatura em uma parede plana varia
incanne'.ite cl urunte a conduçno de calor unidimensional 1>ermane11 te q uando a
condutividade térmica é constnntc. Entretanto. e.<sa aliimação nãn é verdadeira
quando a condutividade 1érmica varia com a temperatura, mesmo linearmente
como 1110,rra u Fig. 2-63.
'
o
1 L '\
L
Variaçno da 1emp~ra111n\
cm uma purcdc plnna dur;intc n conduçílo
de cnlor unidimen~ional pcnnnncnte
parn os casos de condtuividnde térmicn
cnnslanle e vari:ívcl.
Capitulo 2
Transferência de Calor~e:_;M~as~s~ª---------------------------[M.1) • 1:.,(1 + /J7)
Parede
plana
r
~o
"0 Variação da temperatura de uma parede com k( T)
Considere uma placa de bronze com 2 m de nllum, 0,7 m de largura e 0.1 m de espe>sura. Um dos lado> da ploca é mantido a uma 1cmperatura cooSl•Ole de 600 K,
enquanto o 001ro lado i munlido a 400 K. como""'-''"' a Pig. 2-65. Podemos as.'11mor que a condulividade ténnica da ploca de broo.ie •aria linearmcnle nessa faixa de
iemperarurascornk (7) • ko(I + /J7).cmqucko- 38W/m·Ke/J = 9.21X10 'K
-1 [)e...prcu.ndo os cfc1t~ n:a.s borda.\ e assumimlo que a 1ransferência de calor é unidomen<ional e pennancnlc. de1erminc a laxa de condução de calor alnl~ da placa.
uLU O Uma parede com condu1iv1dade 1énnica vari4vel é <ubmelida a 1cmperaturas especificadas cm ambos os lados. De1cnnU1ar a variação da tempero.lura e a
SOLUÇ
taxa de ttansferência de calor.
S o
1 A 1ransferênc1a de color ~ unidimensional e permnncn1c. 2 A condu11vidadc 1ém11ca vann linearmente. 3 Não há geração de calor.
1
T,
T,
o+---+-L,...-•x
1
Exemplo 2-20.
Esquema para o
Condução de calor através de uma parede com k(n
EXEMPLO
Considere uma parede plana de espessura /.CUJO condu11vidade 1énnica vana lmeannente em um in1crvalo especificado de 1cmpcn11uras com k (1) = ko(I + (J1), em
que ko• /J são constantes. A supcrl!cie da parede em x : Ol mantida a uma temperatura constante T .enquanto a supcrficie emx • ld mantida a uma temperatura !2~
como moslnl a l'ig. 2-ó4. Considerando que a 1ransfetenc1a de calor é umdimens10nal e permanente, oblenha a relação para (a) n 1ua de 1ransfer!ncia de calor atra~
da parede e (b) a dislribuiçlio de 1empera1ura T (x) na parede.
'"
1 A transferência de calor t un1d11nens1onlll e pennaneote. 2 A condu·
tividndc ténnica varia Linearmcn1e. 3 Não há geraçfto de calor.
Proprr
A condu1ividade 1érmica é k (7) - k,J. I + (31).
•n /is~ (a) A iaxa de 1ransfer~ncin de calor através da parede pode ser determinada
""
A condutividade 1énnicu H (7)
=k 1 + (J1).
0(
A
A <:ondutividndc tém1icn médio do nicio, nesse caso, é simplesmente ovaJorcncontrado para a lempcrntum média e pode M:r determinada n partir de
1
1
;....,. - k(T,..,J ~ k~ 1 + f3 ' ; ')
r, - r,
Q - k... A-L-
T
onde A é a área da parede em que ocorre a conduç~o de calor e
,, (
11 +
k""" = k(T-) • ~l + ( J -2-
T,)
é a condulividadc térmica médio (Eq. 2-80).
(b) Para de1cnninar a distribuição de 1cmpera1ura na parede, uuLiumos a lei de condução de calor de Fourier, expressa por
(38W/m·Ki[11(9.21X10- •K- ')(600 \
4
00)K]
• 55,5Wlm·K
A»im, n lnxa de eonduçllo de calor por meio do pioca pode ;er detcnninada a panir
da Eq 2-76
"l.!-k_,A-Lr, -r,
.
dT
Q - -k(T)Ad.(
= (55,5 W/m·KX2 m x 0,7 m)
onde a wa de condução do transferi!ncia de calor Qe a á.rea A são constantes. Separando as variáveis e in1egrando de x • O onde T (0) = T1até x onde T (x} = T,
(600 - 400)K
O.J m
=
5 ~\V
s'
D
O mesmo rcsuhado poderia ser obtido substoruindo k (1) oa segunda par"' da Eq. 2-76 e reahr.ando as mlegrac;~ indicadas
obtemos
• - -A 1T
J.í' Qdr
T, k(1)dT
Substituindo k (1) = ko(I + (J1) e realizando as integrações, ob1emos
(>
Substituindo a expressllo de Qda parte (a) e rearranjando os lermos, 1emos
que é a equação q11atlrdtica dn 1crnpernturu desconhecida T. ULilizando. a íórmula
quadrálica, a distribuição de temperntum T (x) no parede pode ser determinada
nx)
;l '
J
/1'
2l
/li:,, I !I'
I ) 1 I' + {l 1,
01.c 'lo O sinal correio do 1ermo com n rmz quadrnda ( + ou - ) ~ delenninado a
partir da exigência de que a 1empcratura. em qualquer ponto no meio, deve permanecer entre T 1e T1. Esse resuhudo ex plicn por que a distribuição de tcmpemtura cm
uma parede plana não~ mais uma relO. qunndo a condutividade Lérmica varin com a
temperatura.
~
Como mencionamos no Cap. I, n descrição da maior parte dos problemas
cien1ílicos envolve relações qtie dizem respeito o mudanças entre variáveischave. Nonnalmente, quanlo menor for o incremento escolhido nas variüveis a serem alternda•. mais geral e precisa será a descrição. No caso-limite de mudanças inlinitcsimuis o u d iferenciais nas variáveis, obtemos
equaç()es diferenciais que fornecem formu lações mntemáücas precisas paro
lei; e princípios flsicos, represcnrnndo ns taxas de mudanças como derivada,. Consequen1emen1c, as cq11ações diferenciais silo usadas para investigar
' E.ta i;cçilo pode ser ignorada sem perda de cominuidade.
M!.~7)~•1,,(1 + /JTI
bronte
T1 =600
~L~
Uma placa com condu11vidadc vanávcl cslá suje11a a 1cmpcra1uras cspccilicOOM em a.mbcx os lodos. Oetcnnínar a taxo de lnlfl5Ícrincia de calor_
a partir de
.
Equação de Condução de Calor
T • 400K
Q
Esquento para o
Exemplo 2-21
Capítulo 2
Transferência de Calor e Ma_ssa
::..;__ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - uma extensa variedade de problemas cm ciêncius e engenharias. incluindo a
da ele r. Note que o primeira derivada da função representa a i11di11açàa ou a
transferência de calor.
Equações diferenciais surgem quando lei.< e priru:frJitJS ftsico.f relevantes
são aplicados a um problema. considerando mudança.' mfinilcsimais 11as variáveis de interesse. Ponanto, para obter a equação d1fcrenc1al em um problema específico. é necessário ter um conhccimen10 adequado da natureza do
problema e das variáveis envolvidas. das ;uposiçoo e s1mpblicaçõc~ apropriadas que se podem fazer. das leis !Tsicas aphc:\vc1s e do; pnncípios envolvidos.
111w dt mriaçua da função com a variável independente, enquanto a segunda
derivilda representa a w.w dt l'llriaç11a da i11c/i11açào da função com a variável
além de uma análise cuidadoo;a.
Uma equação, cm geral, pode envolver uma ou mais variáveis. Como o
nome diL. uma variável é uma grnndeza que pode assumir diverso> valores
dumnte o esrudo, enquan10 uma constante é uma grandeLa cujo valor é fixo.
Constantes normnlmente s~o expres~as pelas primeiras letras do alfabeto,
como a. b. e e d. enquanto as variáveis silo expressas pelas últimas letras.
como 1, x. )'e z. Uma variável c ujo valor pode 'er alterado arbitrariamente é
chamada variável independente (ou argumento), enquanto uma variável cujo
vnlor depende do valor de o utras variáveis e nilo pode ser alterado independentemente é denominada variável d e1>cndcnte (ou função).
A variável dependente y que de1>ende dn vnriável x é normal mente denotada por y(x) para uma maior c lnrew. Entrel<lnto, essa no1açilo torna-se inconveniente e incômoda quando y é repelido vó.rias vezes na mesma expressão. Parn
esses casos. é desejável denotar y(x) simple"nenlc como y qunnuo está claro
que y é função de x. Essa abreviação na notação melhora a aparência e a legibilidade das equações. O valor de y para um valor lixo a é denotado por .i{a).
A d e rivada de uma função y(x) em um ponto é equivalente à inclinação
da reta tangente ao gráfico naquele ponto, deli nida como (Fig. 2-66)
,
1
---------
,_____.,
_ _ _J
1 .l.x 1
1
1
'
1
'
Linhl tangente t
1
'
'
'
A dcnvada da função em
um ponto represcnia o inchnação da reto
langentc à funçilo noquele ponto.
d)(X)
.
Ó)'
y (x) = - - = hm dx
41 -+0Ô\"
.
=
lun
~-+ O
)'(X + ÓX) - )\X)
(2-81)
fl.x
Aqui /it representa uma (pequena) varinção na variável independente ~ e é
chamado de incremento de x. A variação correspondente na função y é denominada incremento de)' denotada por Ó.\'- Ponnnto. a dcmada da runção pode
ser vis1a como a razão entre o incremento óy da funçào e o tocremento tu da
variável independente. para valores muito pequenos de tu. Note que óy e,
consequentemente. y'(x) são 1,cro se a função .1' não varia com x.
A maioria dos problemas encontrados na prática envolve valore; que variam com o tempo 1, e suas primeiras derivadas em relação ao tempo representam a taxa de variação de.«es valores cm função do tempo. Por exemplo, se
N(t) denota a população de uma colônia de bac1érins em detçnninado instante
t, então a derivada primeira N' dN/dt representa a taxa de variação da população, ou seja. quanto a população cresce ou diminui por u11idade de tempo.
A derivada da prime1111 derivada da função y é chamada ;egwufo derivada
de y, denotada por y" o u tflyldK. Em geral, a derivada da derivada de ordem
(11 - 1) de y é chamada e11ési111a dc1·ivacla de y e denotada por yt•l ou d'yld!/'.
Aqui, 11 é um número inteiro positivo e recebe o nome de oirlem da derivada. A
ordem " não deve ser confundida com o grau da derivada. Por exemplo./" é a
derivada de terceira ordem de y, mas (y') 1 é o Lca·ceirn grau da primeira deriva-
Equaç~o de Condução de Calor
1ndependenlc.
Quando a função .l ' depende de duas ou mais variáveis independentes
como 1 e I pode ser intcrc\~ntc examinar sua dependência em relação a
apena' uma das variáveis. l•so pode ser feno tomando a derivada da função
apcn.as em relação li variável de wieresse. enquanto as outras variáveis são
mantidas constantes. Tais denvadas são chmnad;c. de derivadas parciais. As
primeiras denvadas parciais da função y(x. 1) em relação a x e 1 são definidas
como (Fig. 2- 67)
lim >{• + tu. t) - )'(.\, 1)
Õ)
ã\= ib 'º
(2-82)
Õ .l
lim y(x. 1 + tJ.1) - y(x, 1)
~•
Representação grnfica dn
derivado porciol rl:}rl.1.
ª' ª' ...º
(2-83)
ili
Note qt1e. quando desejamos encon1rar rJy/ilr. trotamos 1como constame e d iferencinmos y em rclaçno a ,1. Da mesma forma. q uando desejamos encontrar
ay/ill. tratamos.\ como constante e diferenciamos y e m relação a 1.
A integraçiio 1>ode sei· vi'>tu como o procc..so inverso da diferenciação.
A mtegração é nonnalmcnte usada para resolver equações diferenciais. já que
o processo de solução de equações diferenciais consiste essencialmente em
remover derivadas da equação. A difercnciuçiio é o processo de encomrnr y'(x)
quando a função y(x) é dada, enquanto a integração é o processo de encontrar
a função .1{1) quando suu derivada y'(.1) é conhecida. A integral dessa derivada
é expre'sa como
f
y' (x)d.t •
f
dy - )~X) + C
(2-84)
) '(.1)d1 = ~ve a integral da derivada de uma função é a própria função (mais a
constante. e claro). Na Eq. 2-8-1. 1 é a variável de antegrnção e é a constante
arbitrária. denominada constante de integração.
A derivada de )~.1) + C é y'(x), niio importando o valor de C. Portanto,
dua'. fonções que diferem pela constante têm a mesma derivada. e sempre
ad1c1onnmos n con.stante durante a integração para recuperar a constante
~rdada_durante a diferenciação. A integral da Eq. 2-84 é chamada de integral
tndelimda. uma VCL que o valor da constante arbitrária C não é definido. o
processo descrito pode .~r estendido pnra derivadas de ordens mais altas (Fig.
2-68). Por exemplo,
e
e
f
/ d) -1+ C
/1'dt-)•+C
/y'11r - 1• + e
/ j"d.\
y'(x)dt "' y'(x) 1 e
l +e
/,'"'''"' ,i· " +e
(2-85)
1"n pode ser provado definindo umo nova variável u(x) y'(x), diferenciando ~1 pana obter u'(x) = y"(x) e aplicando a Eq. 2-84. Portanto a ordem da
<lcnvada diminui umu vez a cadu inlegrução.
'
JRA
Algunu.i' ilucgruh.
im.ldinidas que envolvem derivadas.
Transferência de Calor e Massa _ _ _ _ _ _ __
e
(a) Equaçlo nio linear.
3(y•)J - 4JY 1 + ,:·
- Ó'C'J
Ou1 1·a~
funçõe•
nJQhnc~
(b) &1uoçã0 linear:
3.•'Y' - 4.<y' .. •
b,
~ 6 .<'
Equnçiio diferencinl (li)
não lineor e (b) linear. Para verificar u
linearidade da equação. examinamos
apenas a variável dcpenden1c.
...
A equoção diferencial que envolve opcnas derivadas ordinárias é denominada
equação diferencial ordinária, e a equação diferencial que envolve derivadas
parciais é chamada de equação diferencial parcial. Problemas que envolvem
apenas uma variável independente rcsullam em equações diferenciais ordiná
rias, cnquaolo problemas que envol vem duas ou mais variáveis independentes
resultam em equações diferenciais parciais. Uma equação diferencial podeenvol ver várias derivadas de diferentes ordens da função desconhecida. A ordem
da equação diferencial é a ordem da derivada de ordem mais alta ela equação.
Por exemplo. a ordem de y"' + (y"J' = 7x' é 3, já que a equação ni!o contém
derivadas de quarta ordem ou maior.
Você deve lembrar-se da álgebra, cm que o equação 3x - 5 = O é muito
mais fücil de resolver do que a equ:içlloA" + 3x - 5 = O, pois a primeira equação é linear. enquan10 a segunda é não linear. Isso vale também para equações
diferenciais. Portanto. ames de começarmos a resolver a equação dífercncinl,
devemos verificar sua linearidade. Urna equação diferencial será considerada
linear se a variável dependente e todas as derivadas forem de primeiro grau
e seus coeficientes dependerem apenas da variável independente. Em outra.~
palavras. uma equação difcrencíal será línear se puder ser escrita sem envolver
( 1) nenhuma potência da variável dependente ou de suas derivadas, como/ ou
(y')', (2) nenhum produto ela variável dc:pendente ou de suas derivadas. como
yy' ou y' f", e (3) nenhuma outm função não linear da variável dependente,
como scn y ou e'. Se alguma dessas condições for aplicável à equação, então
ela sem não línear (Fig. 2-69).
A equação diferencial Linear. e111reianto, pode conter: ( l) potências ou
funções não lineures da variável independente, como x' ou cos x; e (2) produtos da variável dependente (ou sua~ derivadas) e de funções da variável independente, como .r'y', ry e e- 1• f'. Uma equação diferencial linear ele ordem n
pode ser expressa na forma mais gero! como
y» + f,(x)y• - 1>+ · · · + k 1(x)y' + J.(x)y =R(x)
(a) Com coeficltnlt.r co11stmlft1:
y• ..... 6y'
2y = .J.t! 11
V
Cons11n1e
(b)
C"'" cotft~itnlu ~wndw11 ·
" -··
Equação diferencial com
((1) coclicieo1cs constnnlcs e (b) variáveis.
(2-86)
Uma equação diferencial que não pode ser colocnda nessa forma é nl'lo linear.
Uma equação díferencial linear em y é di1a homogênea se R(x) - O. Caso
contrário, a equação é não homogênea, ísto é, cada lermo na cquaçiio linear
homogêneà contém uma variável dependente ou uma de suas derivadas depois
que a equação estiver livre de qu:iisquer fatores comuns. O termo R(x) é chamado de remio ncin homogi11eo.
Equações diferenciais são ta mbém classificadas quanto à natureza dos
coeficientes da variável dependente e de suas derivadas. Uma equação dife·
rendai tern coeficientes constantes se os cocfic1eotes de todos os termos que
envolvem a varíável dependente o u suas derivadas são constantes. Se um dos
lermos contendo a variável dependeme ou alguma de sua~ derivadas envolver
a variável independente como coeficiente mesmo depois de cancelar os fatores
comuns, então a equação terá coeficientes variáveís (Fig. 2- 70). Equações
diferenciais com coeficientes constantes são mais fáceis de resolver que as
com coefic1cn1es variáveis.
e
So
Resolver uma equação diferencíal pode ser 11ío simples quanto executar uma
ou mais 1n1egruções. No entanto, equações simples de ser resolvidas geralmente são exceções à regra. Não existe apenas um método geral de solução
aphclivel a iodas as equações diferenciais. Existem diferentes técnicas de solução. cada uma aplicável a classes díferen1es de equações di ferenciais. A lguma' vezes, a solução da equação diferencial requer o uso de dois ou maís
rnélodos. bem como engenho e maestria dos métodos. Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas apenas utilizando truques ilJleligentes, enquanto
outra' não podem ser resolvidas de forma anaUtica.
Na álgebra, normalmente buscamos valores discretos que satisfaçam uma
equação algébrica comoxl - 1x + 10 =O. Quando lidamos com equações diferenc1rus, porém, buscamos funções que satisfaçam a equação em um intervalo e,pecífico. Por exemplo, a equação algébrica:?- - 1x + IO = Oé satisfeíta
por upenas dois valores: 2 e 5. No entanto, a equação diferencial y' - 1y = o
é <atisfeita pela função e" para qua lquer valor de x (Fig. 2-71 ).
Con,idcte a equação algébrica r' - 6x' + l lx - 6 = O. Obviamente, x 1satisfaz essa equaçiio e, portamo, ~ uma solução. mas não a única. Podemos
provar por substituição direta quex e 2 ex = 3 também satisfazem n equação
e. ª"""·também fazem parte do conjunto das soluções da equação. Como n~o
há nenhuma 1lutra solução para a equação, dizemos que o conjunto 1, 2. e 3
formo n soluçilo completa dessa equação algébrica.
A mesma linha de raciocínio pode ser aplicada às equações diferenciais.
Tip1camen1e, equações diferenciais tam múltiplas soluções que contem, pelo
menos: uma constante arbitrária. Qualquer função que satisfaça a equação díferenc1al cm um mtcrvalo é chamada de solução da equação diferencíal naquele intervalo. Uma solução que envolve uma ou mais constanles arbitrárias
representa a família de funções que satísfaz a equação diferencial, chamada de
solução geral da equação. Não é surpresa que uma equação di ferencial possa
ler mais de uma solução geral. A solução geral é normalmente referida como
solução geral ou solução completa se toda solução da equação pode ser obtida
dela como caso especial. Uma solução que pode ser obtida a partir da solução
geral assummdo valores paniculares para as constantes é denominada solução
CSptt1fica.
_ Você deve se recordar da álgebra que um número é uma solução da equaçao algébnca se ele satisfaz a equação. Por exemplo, 2 t solução da equação
r' 8 =O. porque a substítuição dex pelo valor2 resulta cm zero. Da mesma
forma•e funç'o
• da equação diferencial se satisfaz a equação difeª é so1uçao
rcnl'l,ll. ou Seja, a função solução resulta em identidade quando é substituída
na ctJUaçã~ d1fe~ncíal. Por exemplo, podemos mostrar por substituição direta
que .1 funçao 3e é a solução para y • - 4y O (Fig. 2- 72).
il
(•) Equarno alglbrlca:
/-7y - 10=0
Soluçi!o. y = 2 • , = 5
(b) Eq•mrllo dif~n,,cltil:
o
)" - 1y 1
Solução:, - , •
r
01fcrcntcmcntc das
soluções dos equações algébricas, que são
valores dis<:relos, as soluções das equações
diferenciais nonnalmente são funções.
Função:/
:i.-h
Equaçfia d/futncia/: Y' - 4y = O
Dedvodtu def"
f' • -6<· L
f" • t2e" L
Substituindo cm t' - 4y • ()o
t" - 1["'º
Jo
12e -1'-4)(),
o- o
f1
4
2
Verificando que uma
dada função é 50luçâo de uma equação
diferencial .
-
Transferência de Calor e Massa _ _ _ _ _ _ _ _ __
Ncc-;1c capilu1o. estudamos a equação de condução de calor e suas
onde t 1 e T2 ~o as. 1empcra1ura\ e~pccificada' nas ~uperficies cm
50luçOO. A condução de calor em um meio é considerada ixrmo11en-
r=Oe.t
1~ quando a te1npcn1un não nn~ «..'Om o tempo e não pemw11tmt Oú
tra1mtmt qu.mdo 'aria. A condução de calor em u:m meio é unidimnnim1ol quando a c..-onduç!io 1. si.gnific.aU'\-a cm apenas uma dimen\lo e dc:'J)retfvcl nas outras duas dunensões rc~tantes. bidi111t11sional
quando a condução na 1crce1ra dimensão é desprezível e 1ridimt1uio11ttl quando é !r.11nificaiava cm todas as dimensões. Na análi)C da
lr&RC";ferêncin de calor. a con,·crsâo de energia elétrica. química ou
nuclenr cm calor (ou energia ténn1ca) é (•aroctcrizada como gemçõo
dt ctrlur.
A equaç110 de condução de calor pode ser derivada realizando
e,.,
1 iJT
1 a ( ar) + é..,
1 aT
1 a ( 2 i!T) ~ '•"
1 i!T
ai' +T=ããi
riir ''dr
,--, ãr r d/.
T=ããi
T=ããí
onde o - k/pt· é n tlifusfridm/e 1innic.a do mateiia.l.
A <olução de um problem" de condução de calor depende das
condiçõe~ nas supcrfícu:.1oi e das; expressões malemática!t para as
condições 1émüca..' nas fronteiras. chamada.'t de co1ulições de contomn. A >0lução para o; problemas de condução de calor 1ransien1e
depende da condiçlo do meio oo começo do processo de conduç-.io
de calor. Tal condição. normahnenle especificada no 1empo t = O.
é chamada de ,·uttdiçlio micilll. que ~ a expressão matemática para
a d1,uibuição imcial de lcmper.atura do meio. A descrição matem411ca completa de um problema de condução de calor requer a
05pecificação de duL• cond1çõe' de contorno para cada dimensão:
conduçilo relevan1c de calor e condição inicial. quando o problema
é 1ransientc. As condtç~ de contorno mais comuns sãO 1~m~ratu­
re1 t.'lptc ifirt1da,fl1uo tlt! c·olnr t:s~cifict1do. c01Wecçüo e radiaçtio.
Uma 'uperflc1c de fronte1111. cm geral. pode envolver lluxo de calor
especificado. convecção e rndiaçâo ao mesmo tempo.
Pnn:i tran!,IC~ndn de calor unidimensional pern:mne.nle :uravés
de umn plac:.i de espes)ura L. vii.rios tipos de condição de contorno
nas supcrfTcic., em .\ = Oe JC = l podem ser expressos corno
Temptrt1t11m especffit·a:
T(O) '" T,
T(l) = T1
no intervalo de temperaturas entre T 1 e T 1 pode ser detcnnfoado a
partir de
r,-,._ • T.+ i,.l
il
k.,,= T, - T,
r
k(T')dT
i,,_r.
F/um dt calm espt'<i/ico:
T,.- -T. +-y;tfl'{l)
k tfl'{O> _ <}o
dl
i ..r.
r,..,.., - r.+Jil
- k{iX-<h
onde 4o e tit são os flux<K de c~lor específico' nas superfíci~ cm
.r = Ocx L.
onde h é o coeficiente de 1ransfertnc1a de calor por cooveççilo. o
Assim. a taxa de uansfcrência de calor pcnnanen1c alta\"é..~ de uma
parede plana e de uma camada cilíndrica ou "5íérica pode ser ex·
pressa como
·
T, -T, A(''
Q,.....,._
= k,..A - l - = I Jr, k(1)ál'
aumento máximo de tempera1ura en1rc a superfície e a seçi<> central
do meio é dado por
/solamtmo uu ,fúUttrill tlrmito ·
tfl'{l) - o
t{flO) = O
<Ir
''"
equnçito de condução de calor 1111idímcnsfooal nos sistema.'ii de coordenados rctnngulJ res. cilíndricas e esféricas para o caso de co11du11vidadc 1énnicn constante é expressa como
ii2 T
unidade de volume no meio vi1inho a uma tempera1ura T_pode
~expressa como
L.
o bnlnnço de energia cm um elemento de volume djfercncial. A
Capitulo 2 • Equação de Condução de Calor
c
A variação da condutividade térmica coin a 1empern1urn em um
materiaJ pode ser frcq uenlemcnte aproximada corn umo funç!lo li·
near expressa como
áf(L)
- k dX - h2[T(l) - T.,J
onde /i 1e 11 2'\fio o~ cocílclemes ele trnnsferênciu de cnlor 1X'.lr convecção, e T 1e T ~ sno rt~ 1empcn11urn.s do meio ao redor dos doh.
Qunndo a variaçfio dn condulividadc 1érmica com a tempernlura k(1) é conhecida, o valor médio da condu1ividadc térmico
lados Jn placa.
k(T) = k0(1 + (JT)
onde f3 é denominado coeficiente de lt!mpert11w·c11/a co11d111ividade
t~nnica.
Radiação:
e/TIO)
,
k l b - c,u[T"' 1 - T(O)'J
e
tfl'{l)
- k (ii"",. t,<TIT(L)" - T~~ 2 I
W. E. Roycc and R. C. Diprima. Eftmtntaf')• D1jferemial
E:q11ations t Boundary \l'llut Probftnu. 4. ed. Ncw York: John
l. S. S. Kulaleladze. Fundamtntal• of H.ar Trtms/tr. New York:
Acadcmic Press, 1963.
Wiley & Sons, 1986.
onde e 1ee 1 são a s cm1ss1v1dadc~ da\ ~uperflc1cs de fronteira. u -=
5,67 X 10- 1 \V/rn' ·K' t a con,1a111e de S1cfan-Rolwnann e Tm_1e
T..•., são as 1empcra1uros mtdias do> arredores d:1> •upcrtkies dos
dois lados da ploca. N0< cálcul0< de rnd1ação. ª'temperaturas de·
vem cMar cm K oo R
/nurfnct de tltnf corpo3 A t 8 tm ~rftllu contato em _r :. xa-·
T, (rol • T• (xo)
onde k, e k. s!lo as condu11vidndC.\ 1trmicu> dasc<1mada.' A e 8.
A geração de calor é expressa pnr mridtule de volumt do
meio, rcpre~cnrndu por ttt,. cujn unidade é W/ml. Sob condições
pcnnnnen1es. n tcmpernmn1 r~ dn superfície de umn parede plana
de espessura 2l, um cilindro de rnio externo r,, e uma esíera de
rf1io 14, nos qun1s há geração de calor u rnxa constante êl!~rpor
l-IC Para saber o 1amonho do compressor de uma geladeira
nova, devc·se de1crminar a'ª"" de transferência de calor da coz.tnha
para o ar dentro do espaço reírigerado n1rnvél de pllredes, portas e
panes supen or e inferior da geladeira. Em sua anJ1.li.sc. você trataria
• Problcmes 1dentilicados com 11C'' 1Jo conccnu11s. e os cstudanlcs s.ão incentivados a rc::spoode-los, Problemas com o fcooe 4 devem ser resolvido$
usando EBS, e as soluções completas. junlamenre com estudo:i. pani.mélri·
co~. C:\tólo mclurda~ no CD que :icompnnha este livro. Problemas com o
konC' • ~:io de nmurez.a glotml e deYem ser resolYldos no c:ompuu1.d0t. de
i>•dcrtncin u!'lando o programa BES. que acom1>anlm este l ivro.
isso como um problema. transhório ou como um cs1ado cs1ac1onár10
de lnlnsíerência de calor? Além di'50, você considera a cransfcr!ncia de calor 1.1nidimen..\ionaJ ou multidimensional? Explique.
Como a trnnsíerincia de calor transicn1c difere da irnnsferência de calor permanente? Como a trnn.sfcrência de calor unidimensional difere da transferência de calor b1d1mensiono.I?
~-Jí
Para determinar o lamanhn do elemento de nquecimenro
de um forno novo, é preciso determinar a 1nxa de perda de cstlor
através de paredes, portas e dns pnrtc..'i supcríor e in(crior do forno.
Em sua análise, você considera que esse problema é de trun ~fe­
rência de calor cm reg.ime perma11cnte ou lransicntc? Além dis.so.
Transferência de Calor e Massa
: ;__ _ _ __
você consideraria a Lra.nsfcrtncia de calor como unidimensional ou
multidimensional? Explique.
' C Coosidere uma bat01a (an:edondada) assada no fonio. Voce
rnodelana a transferência de calor pan a batata corno uni, bi ou
tr1dimens1onal? A 1rnnsferência de calor é permanente ou trans1cn·
1e1 Que sistema de coordenadas você uli.liz.ariu para analisar esse
problema de transferência de calor e onde definiria a origem do
si~tema? Justifique.
Considere um ovo sendo cozido cm uma panela com águn
fervente. Você modelaria a transferência de calor para o ovo como
uni, bi ou tridimensional? A 1ra11s ferência de calor é permanente ou
1ransiente9 Que sistema de coordenadas você utilizaria para anati•nr esse problema de mmsfcrência de calor e onde definuia a ori·
gem do sls1cma? Justifique.
Consid= uma salsicha sendo cozida cm uma panela com
água fervente. Você modclnrfo. a uan,fcrência de calor para a sal·
sicba corno uni, bi ou tridimensional? A transferência de calor 6
permanente ou unnsiente? Que sistema de coordenadas você utili~
znria pnra analisar esse problema de lrunsferência de calor e onde
deflniria ci origem do sistema? Justifique.
l.....?ll A p..·u11r do balcmço de energia em um clcrncn10 de volume
n:iangular. derive •equação de conduçfto de calor unidimensional
mumenlc para u.ma parede plana com condutividade rénnica coos·
rnnte e sem geração de calor.
Medidores de fluxo de caloc utilizam um dispositivo sensf.
vel conhecido como tcnnopilha para medir a diferença de tempera~
mra através de uma fina película condutora de calor feito de kapton
(k - 0,345 W/m·K). Considerando que a termopilha pode detectar
diferenças de remperatura de 0,1 ºC ou mais e a espessura da pe·
llcula é de 2 mm, qual é o fluxo de calor mínimo que o medidor
consegue detectar?
A p.ortir do balanço de energia cm um clcmenio de volume
de casca c11índrica, derive • equação de conduç!lo de calor unid1·
rncnsional pcr111anen1e para um longo cilindro com condu1ividade
itnruca constante, oo qual o calor é gerado a uma taxa ; ,,.
P
Um vetor de fluxo de calor cm um ponto P na superlTclc
isotérmico de um meio é necessariamente perpendieulnr à superfi·
cic nesse ponto? Ju~tifiquc.
1
Sob o ponto de vista de transferência de calor. qual é a
diferenço cnrre materiais isolrópicos e anisotrópicos7
11
O que é geração de calor em um sóUdo? Dê exemplos.
A geração de calor tnrnbém é chamada de aeraçlo de
energia ou geração de energia térmica. O que essas expressões representam para vaca?
t-1 ]( Considere uma lnta de refrigerante gelada deixada sobre
uma mesa. vaca modelaria a transferencia de calor para a lata como
!K
Considere um meto CUJ• equação de condução de calor na
formn mais simples é
(d) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?
Considere um meio cuja equação de condução de calor na
forma mais simples 6
a(kr-ar)
+ -a(kar)
- +.. -o
ar ª' ª'
.,
-1 -
r ar
FIGURA
(a) A transferência de calor é pcnnancntc ou 1111n•iente?
21
(b) A Jransfcrência de calor é uni, bi ou tndtmensional?
l Z2 A partir do balanço de energia cm um elemento de volume
de ca1;ca eslérica, derive a equação de conduçno de calor unidimcn~ional 1nrnsieo1e para uma esfera com condu1ividade ttrmica
com1an1e e ..cm genção de calor.
o
J--------
(e) Há geraçfio de calor no meio?
(d) A condu1iv1dade lénmca do meio é constante ou variável?
Considere um meio cuja equação de condução de calor na
forma mais simples é
... 2t.
1 ('*dT)
. -o
"dr +•.,.
d
rd;
Piscina
solar
(a) A transfc1ência de calor é permanente ou transicnte?
' 7L Considere o processo de preparo de uma cnrne assada no
forno. Vocl. consideraria o problema de transferência de calor como
permanente ou transientc? Uni. bi ou tridimensional? JustiJique.
'ªºª
(ti) A condutividade 1érmica do meio é constante ou variável']
(e) Há geraçilode calor no mc107
' J kW
Em um tanque solar, a absoo;ão de energia solar pode ser
modelada como geração de calor aproximada por iJtJ ... ia e-•.
onde é0 é a taxa de absorção de calor na superllcie superior por
unidade de volume e b é a constante. Obtenha a relação da taxa
101al de geração de calor na camada de 4&ua da área de superlTcicA
e espessura /., no topo do tanque.
f 'UHA P: C
(b) A 1tansferência de calor é unj, bi ou tridimensional?
(e) Há geração de calor no meio?
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
Um reator nuclear geni cal0< unifonne em bastões cilíodri·
éos de urânio com d1ametro de S cm a uma taxn de 2 X l<!Wlm'.
Considerando que o comprimento dos bastões é 1 m, determine a
taxa de calor gerado cm cada bastão.
Água fcrvenle
(a) A transferência de calor é permanente ou cransiente?
(a) A transferência de calor é pennanente ou uans1ente?
"'t· 17 JW/11
Re io<f,l
Equação de Condução de C~
_ ____
Capitulo 2
uni, bi ou 1.ridimensional? A 1ronsfcrêncin de calor é permanente ou
u·ans1cnte? Que sis1ema de coordenadas você utiliZMia para anali·
snr esse problema de transferência de calor e onde de.fimna a Ofl.
gem do sistema? Justifique.
Sal1M.:ha
1 HC Considere a perda de <.:alor de um tanque cilíndrico de 200
L com
quen1e para o meio circuadanlc. Você consideraria o
problema de transferência de cal0< corno pennanente ou transientc?
Uni, bi ou lrídirncnsional? Justifique.
-
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
FIGURA P2- 16
R r
(e) !lá geroçilo de calor no meio?
(d) A condutividade t~mtica do meio é coostaotc ou variá,·cl?
Considere uma placa de aço inoxidável de 3 cm de cspe-'<SU·
ra onde se produz calor uniforme a uma taxa de S X lo'Wlm'. AJ.
sumindo que a placa perde calor dos dois lados. determine o íluxo
de calor na superffcic da placa dur.mtc uma operação permanente.
k
r
En ;11
l-27 Considere um meio cuja equação de condução de calor na
fonna mais simples é
flGUR4 P2 22
k~.
10
Escreva, na forma mais simples, a equação de condução
de calor unidimensional tran.sicnte para uina parede plana com con·
dutividade térmica constante e geração de calor e indique o que
cada variável represenla.
e Escreva a equação de condução de calor unidimensional
transientc para um c1 lmdro extenso com conduuvid:lde térmJca cons·
tantc e geração de calor e indique o que cndn variável representa.
2 1 1 Considere um tneio cuja equação de condução de calor na
form. m•i• simples é
(a) A transferência de calor é pennanen1e ou transicnle'!
(b) A trarufcrencia de calor é um, bi ou tndimensiooal?
(e) Hil gcrnçno de calor no meio?
(d) A condutividade ténnica do meio é constante ou variável'/
Capítulo 2
Transferência de Calor e Massa
Equação de Condução de Calor
---------~
Con>idere o meio cuja equação de condução de calor na
forma mai• 'imples é
d 2T
(a) A transferência de calor é pcnnnnente ou transoente?
(b) A transfcrtncia de calor é uni. b1 ou 1rid1niensional?
(e) Há geração de calor no meio?
dT
r-+--o
dr1 dr
(d) A conduuv1cbdc ténruca do meio é constante ou variável?
(a) A transfertoc1• de calor é permanente ou transicnte?
1;onmçoes m1c1a1 e oe conwrno.
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridime05ional?
Formul
(e) 114 gel'llÇGO de calor no meio?
O que é condoçlo de contorno? Quantas condições de
contorno são necessárias especificar para o problema de condução
de calor bidimensional?
O que é condição inicial? Quantas condições llllciais são
necessárias especificar para o problema de condução de calor bidimensional?
O que é condição de contorno de sinietria térmica? Como
podemos expressá-la ma1cma1icamente?
(d) A condutividade ténmca do meio é constante ou variável?
A partir do balanço de energia do elemento de volume. deri·
ve a equação de condução de calor bidimensional transicnte em c<>ordenndns retangulares para T(x. y. t). com condutividade ténnica
constante e sem geração de calor.
li A partir do bnlnnço de energia do elemento de volume em
forma de nnel, derive a equação de condução de calor bidimensi<>nul pcnnnncnte em coordenadas cilíndricas para T(r, z), com con·
dul lvidndc térmica constnnte e sem geração de calor.
~--"
Corno podemos exprts~nr mn1cmaticamente a condição
de con101110 na superfície isolada'/
' .17l O perfil de tempernturn no meio deve ser perpendicular à
superfície isolada. Gsrn afinnaçno é ve1·dndciru? Justifique.
\KC
Por que tcntumos evitar condições de contorno de radia-
ção cm análises de tronsferencin de calor?
2
FIGURA ?
O
A partir do balanço de energia do elemento de volume em
forma de disco, deri•1' a equação de condução de calor unidimen·
sional transicnte para T(t. r) no cilindro de diâmetro D com a super·
flcie lateral isolada. para o caso de condutividade térmica constante
com geração de calor.
_LI
Considere uma poneln de alumínio usadn para cozinhar um
ensopado no fogilo elétrico. A seção inferior da panela lem espes·
sura /, - 0.25 cm e diâmetro D = 18 cm. Uma boca do fogão con·
some 900 W de potência durnnte seu uso. e 90% do calor gerado é
transferido uniformemente pora a panela. Ourante a operação per·
mancnte, a temperatura da superflcie interna da panela é de 108 •e.
A~sumindo a transfer!ncia de calor unidimensional e conduuvidade térmica dependente da temperatura, expresse a formulação
matcm,tica (equação diferencial e condições de contorno) desse
problema de condução de calor durante a operação permanente.
Não resolva.
Considere um contf:tner dÍÚJCO de raio tntcrno r 1• raio CJC.1cmo r2 e condutividade térmica k. Expresse a condição de contorno na superficie 1ntema do coac~mer para condução unidimcns10nal pennanente nos seguintC> casos: (a) temperatura especificada
de 50 •c. (b) Ouxo de calorespec1ficado de 45 W/m2em direção ao
ccnno e (e) con~ecção para o meio em temperatura T. com coeficiente de ltlll\Sferencia de calor lo.
l-4 Calor é gerado em um fio exlcnso de raio r,, a uma taxa
constante de;,.. por unidade de volume. O fio cotá cobeno por uma
camada isolante de plá>uco. Expresse a condição de contorno de
nuxo de calor na interface cm termos de calor gerado.
2
... Considere um duto ex1cmo de raio interno r 1• raio externo
r, e conduuvidade térmica k. A •uperflcie externa do duto está sul"''ª à convecção com o meio a uona temperatura T.e coeficiente de
1111nsfe~nda de calor h, mas é desconhecida a do~ão da transfe·
ri:ncia de calor Expresse a condição de contorno de convccç:ío na
,uperflc1e externa do duto.
?-43 Considere uma casca esfl!rica de raio interno r 1• raio cx
terno r2• condutividade 1érmica k e emjssividn.de e. A superfície
eltema da cnsea está sujeito à radiação para as superflcics ao redor
que estão a umo temperatura T..., ma• u direção dn transferência de
calor é de.sconhec1do. Expresse n condição de contorno de radiação
na superfície extemn da casca.
1 . Um cont€iner é formado por duas c11mndas esféricas A e
IJ em perfeito contato. Considerando que o rnio da interface é '•·
expresse os condições de contorno nn interface.
9
.. -4; Considere umn pnncla de aço usndn pnm fe1ver água em um
fogi!o elétrico. A seção inferior dn pnncln 1cm cspe•suru l - 0,3
cm e diâmetro D • 20 cm. Umn bocn do fogão consome 1.250 W
de potência durante seu uso, e 85% do calor gerado 6 tmnsferido
unifonncmente para a pnncln. A trnnsfc1·ência de calor do superfície superior do fundo da paneln para a água ocorre por convecção,
com coeficiente de transferência de calor h Cons1dernndo que a
condutividade t6rmica é consuinte e a tru.nsfe~ocia de calor é uni·
d1men>1onal. expresse a fonnuloçl!o mo1emá1ica (equaçl!o diferencial e condições de contorno) desse problema de condução de calor
durante operação pe1111anen1e. Não rcsol va o problema.
.!-ª..
,1
ar
L
ttf
o
. A resis1ência de um aquecedor de 2 kW é um fio cuja condutov1dade té1111ica é k - 18 W/m·K. raio
0.1~ cm e compri·
mentt) L - 40 cm. Considerando que a condut ividudc térmica é
COlhtan1e_ e n 1rnnsíe1·ência de cnlor é unidimensiono.l, expresse a
fonnulnçno mntemática (equaçno diferencial e condições de conlorno) <lc'>e problema de condução de calor durante opcraç5o pcrnumente. Não resolva o problema.
r,-
(r•fr)
+ __ a
!fr
ar
ª"'' ª'
r
2
1_
sen' IJ
1
7' _
a
FIGURA P2--40
h,
,,,
T.,
r.,
Uma esfera metálica de raio '• é aquceida cm um forno a
uma temperarura Tv retirada e colocada em um grande ranque de
água a uma temperatura T. para resfriar por convecção. com coeficicn1e médio de transferência de calor por convecçllo h. ConsoderandQ uma conduúvidade ténn.ica constante e uma. transferência de
calor unidimensional transiente~ expresse a formulação matemáuca
(equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.
1
l \l Considere um meio cuja equação de condução de calor na
forma mais simples é
Pnrede
FIGURA P~
Pan<ladc oço
FIGURA P2-"15
FIGURA P2 31
7 Considere a parede leste de uma casa com espessura /.. A
superffcie externa da parede troca calor por convecção e por radia·
ção. O inlcriorda casa é man1ido a uma 1cmpcra1ura T. 1• enquanto
o meio exlemo pennanecc a uma tcmpenstura T 2. O céu. o solo
e as supedfcies das estruturas ao redor- do local podem ser modc·
lados como superficies a uma temperarura cfcuva T,.. para 1roca
por radiação com a superfície cxtema. A radiação rrocada entre
a superfície interna da parede e as superflctes de outras paredes,
piso e 1eto é desprezível. Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa da parede são
h 1e h2• rcspeclivamenle. A condurividade 1érmíca do material que
constirui a parede é k. e a emissividade da superfície cxtc:ma d e2•
Considerando que a transferência de calor através du parede como
unidimensional e pcrmnnente, expresse a formulnção matemática
(equação diferencial e condições de contorno) desse problcmn de
condução de calor. Não resolva o problema.
Uma esfera metálica de raio r.~ aquecida cm um forno a uma
temperatura r,, retirada e colocada para resfriar a umn temperatura
ambience Tfl;por convecção e rndiaçilo. A emi~ividade da superfl'cie
ex1erna da esfera 6 e. e a tempemturn das supcrfícici; ao redor~ Td,•
O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é li.
Considerando uma coadutividade térmica variável e uma trnnsfcrên
eia de calor unidimensional transienrc, expresse a formulação nintc·
mática (equação diferencial e condições inicial e ele contorno) desse
problema de condução de calor. Não resolva o problema.
a condução de calor unidimensional pcrmancnuc A afirmação con·
tinua vcnladein1 quando a parede petdc calor por radiação em suas
supcrficic•1
2 <; (
Considere um baslão sólido de fonnato cilfnddco cuj as
d• base
tes, enquanlo a superlTcie lateral é pcrfcitnmeole isolada. Não M
T.
Podemos afirmar que. sob condições permanentes, a 1emperatura
na parede é uniforme (a mesma cm lodos os pontos)'/ Jus1ifique.
flGUR P2-49
., O Água flui em um tubo a uma temperatura média. T.;
00 ºC- Os nuos interno e externo do 1ubo medem r1= 6 cm e r2 =
6.5 cm. respectivamcnlc. A ~uperffcic externa do lubo está envolta
por um fino uquecedor elélric:o que consome 400 W por melro de
comprimenlo do tubo. A superfície cxpos1a do aqucccdo1· é Conemente isolada. de modo que lodo o calor gerado é tra1isfcrido parn
o tubo. O calor é lransfcrido da super!lcie interna do 1ub<> para à
água por convecção cotn coeficíenlc de transferência de calor h -=
5~
Fomos de b31clada aque<:1dos eletricamente sã<i comumentc
utilizados na indús1ria de tratamento térmico. Considere a Crente
de um fomo feita de placu de aço de 20 mm de espcssuru e condutividade 1énnlca de 25 W/m·K. O fomo eslá si1uado em uma área
com temperatura do ar em tomo de 20 ºC e coeficiente m6Jjo de
transferancia de calor por convecção de 10 W/m' ·K. Consieleiando
que a superfície in1crna da parte fron1al do forno é iiiUbmetida a
um fluxo de calor uniforme de S kW/m2 e a supcrf!cie externa tem
emissividade de 0.30, dclerminc a1empcratura da superflcie interna
da Crente do forno.
85 Wlm'· K. CorWdcrando uma condutividade 1únUcaconslante e
dindo 90 ºC.
Considere uma ex1ensa parede plana de espessura l = 0,4 m.
cond111ividade lérmica k = 1.8 W/m·K e área da supe1fície li = 30
m· O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura con~lan·
te T1- 90 ºC. enquanto o lado direito perde calor por eon»ccção para
o ar tunb1ente a T. - 2S ºC com coeficiente de transferência de calor
li - 24 W/m1 ·K. Considerando uma condtuividade 1énnicn constnnle
e 1u!lnc11 de gcrnçlo de calor na parede. (a) uprcssc a equação dif.,.
reooal e&> condições de con1orno para condução de calor unidimcn" º""I permanente atravc!s da parede, (b) ob1enha a expressão p:ira a
~
lf
problema de condução de calor no tubo duran1c operação penna·
nenle. Não resolva o problema.
Considere um bastão s:óLido de fonuato d líndrict>, coinprimcnto de 0, 15 m e diSmeuo de O.OS m. As superfícies superior e
IOferior do bas1ão silo manudas a temperaluras constanlcs ele 20 ºC
e 95 ~e. respectivamente, enquanto a .superfície lntcr:i1 é perfeirnmcntc i~olada. Dc1cnnine a taxa de trnnsferência de calor através
do 1ia_,1ao de (a) cobre.!= 380 W/m·K, (b) aço,! • 18 W/m·K e
C<J gran110. k = 1,2 W/m·K.
2 'i9
do forno
Ar,20ciC
1
h= IOW/m ·K
e= O.JO
k=25 W/m·I<
2
L
1 ~ Reconsidere o Prob. 2-59. Usando EBS (ou ouuo
11:3 programa). lrace a taxa de transfcdncia de calor
como função da condutividade térmica do bastão no inlervalo de 1
W/m· K n 400W/m·K. Discu1n os resuhndos.
T,
FIGURA P2-5~
FIGURA P2 JO
Solução de problema' de condução de çalor
unidimensional perm. 1ente
51 C Considere um bastiiO sólido de formalO cilíndrico cuja SU·
pc.rficie lateral émilntidn a uma tcmpcrawra constante. enquanto as
exU'emidadcs da superfície são perfeitamente i~oladas. A conduti'V1dade cénnica do material que constitui o baSllo é constante. e não
há geração de calor. Podemos afirmar que a temperatura na direção
radial no interior do bastão nã<> varia durante n condução de calor
permanen1c1 Justifique.
•2
A 1cmperarura em uma parede plana com conduuvidade
ténnica constante e sem geração de calor 'Varia lmcarmc:nte durante
-S
Considere uma extenu parede plana de espessura L •
0.3 m. condutividade térmica k - 2,5 W/m· K e área da superfTcic
A = 12 m'. O Indo esquerdo da parede em x = O es1á sujeilo a
um fluxo de calor líquido de q0 = 700 W/m1• e sua lemperarum ~ T 1 .... 80 ºC. Considerando que a condutívidade lérmica é
Considere a placa da base ele um fe1TO de passar de 800 W,
espessura l = 0,6 cm. área da base A - 160 cm' e condutividade
térmica k = 60 W/m·I<. A superfície in1erno da placa cst~ sujei1n a
um fluxo de calor uniforme gerndo pela resis1ência do fen·o. Quando
alcança coochçõcs de operação permanentes. a tcmpenuura da superfic1e ex1cma da placa mede 112 "C. Desconsiderando qualquer perda
de calo• através dn seção superior do ferro. (t1) expresse a equaçno
difticnc1al e as condições de contorno para condução de calor unid1Jn< 0 •on•I permanen1c atm~ da placa, (b) obtenha a relação para
constante e não hd geração de calor nn parede, (a) expresse a
ª \ao.içâo da temperatura na placa da base do ferro resolvendo a
equação diferencial e as condições de contorno para condução de
calor unidimensional pennanenle através da parede, (b) obtenha
equação diferencial e (e) avalie a temperatura da superfTcie in1cma.
a relação para a variação de rempcratura na parede rewlvendo a
equação diferencial e (e) avalie n temperatura na su1>e1'flcie direi~
ta da parede em x
f
·~
' -
=L
Repita o Prob. 2-ól iuando um feno de 1.200 W.
Repita o Prob. 2-56 p.ira um fluxo de calor de 1.050 Wlm'
e umn 1c111perarurn da superfície esquerda dt.t parede em x = O me-
matemática (equação di ferencial e condiçõe.."i de conmmo) desse
F~nte
FIGURAP2-61
FIGURA P2..S6
varinção da tempcralura na parede resolvendo o equaçno diferencial e
(e) l'•he a iaxa de transfcdncia de calor anvés da parede.
""
uma transfer~ncia de calor unidimensional, expresse a formulação
O+---+l-- •.r
0+--- +1.-- •x
geração de calor. Podemos afirmnr que a temperatura ao longo do
eixo do bastão varia 1inearme.n1e durance a condução de calor pcrm311Cnte? Por quê?
2 -54( Considere a condução de calor unidimensional a1ravc!s
de uma exicnsa parede plana sem geração de calor. pc1 feitamcn1e
1.olada de um lado e sujeita à convecção e l radiaçlo do ouuo.
112ºC
Placa
T,
CJtt~midadcs são rm.ntidas a temperaturas constantes mas diferen-
• b.I
~ Reconsidere o Prob. 2-61. Usando a relação obtida
~ para a variação da temperalura na placa da ba>e do
ferro. tmcc a temperatura como função da dis1ânc1a x no intervalo de x ~ Oa x - l e discuta os rcsullados. U•e EES (ou oulro
programa).
Considere um tubo de comprimento L. rato interno r 1• raio
cxlcmo r2 e condu1ividade 1énnica k p0r onde passa 4gua rcfngcra·
da. A tigua ílui pelo tubo n umu temperoturn T1. e o coeJicicntc de
transferência de calor na supcrllcie inlerna é h. Considerando que
o 1ubo é bem isolado na supcrf!cie externa, (a) expresse a equaçilo diferencial e as condições de contorno para condução de calor
unidiruensionnl permanenic através do tubo e (b) obtenha a relação para a variaçlo da lemper.itura no 1ubo resolvendo a equoçâo
diferencial.
Um lubo cm umn fábrica transporta vapor superaquecido a
uma 1axa de fluxo de massa de 0.3 kg/s. O tubo 1cm 10 m de comprimcn10. 5 cm de diámclro in1emo e espessura da parede de 6 mm e
condutividade térmica de 17 Wfm· K, com tempcracura uniforme na
supcrClcic inlcma de 120 ºC. A queda de tempem1ura entre a entroda
e. mela do tubo é de 7 ·e. e o calor específico em pressão constante
do vapor é 2.190 J/kg·"C. Considerando que a lcmperatura do ar na
fúbrica é de 25
dctcnninc o coeficien1e de tran.<fcrência de calor
•e.
coino resultado da convecção entre a superfície e.x1ema do lubo e o
ar no entorno.
T(r1) = t 20 -C
Ar,25•C
Vapor
superaquecido
OJ kafs
·I
FIGURA P2-ô5
_ _ _ __ __ .::Cop=íl=":;;'•:..:.2_•_E::;,quaçio de COnduçao de c,,~lo~•-_JIEfffEJM•
d
J..71
Na produçJo ~•NNrlna de petróko (l Jfit MU.1ral. o 1>C·
tr61oo Uqujdo ck1•• o l)OÇO «>i" l«t1p-ta11.1,.. de 10 "C e ellC09
no muo cttCUnd111tc 11iibmwt1"t0 com 1ctnpcnih1r-. de S -C. ô.>roo
rc.;ullado da cllfrttftÇI de CCfllpCHl\IRI ~mi o poço e o me10 til·
cu~e "1»bl•uao. o eonhoet1MtUo de
de calm l
~tal,..,. Ullpc!dlll O bloq«tO pnMQtdu pda ~
dt htdmo dt p. e de ~ Con•idt!re um okoduto •ubaYnao
COflll dilmttto iNMIO de 0.S n\. ~.&Mlf'I dl pwcdt: de 1 mnl
ti9do pw1O1~ 6t pecr6ko liquido• UIDI ~
lnid1a • 70 '"C. e cocfctmle mid.o do
de
por ~ u wpertktt- lllW'ftlt do okiod•to atuMdo cm
R«oiittdcte o Prob. 2.-69. Usando a ttlação obctd;1
lill pua a \·anaiç&o da cnupcrattll'll oo C'OOtbocr. 1nce a
1nnpcnl\llaoomo lllllÇio do raio roo mlcn·llo der= r 1 a,r = r 1 c
dl'°""lll' ot miuJ~ U• EJi.S (CIU CJUb'O proarama).
trwurcrenc..
Gm;Jo Ih! e.ator •"' ...IW.
l 11('
... ,.kn de I ' * ~ prodiludo.- CIOlll OmeMm .-coai e 10
_...~ Qus~wd~MWaluem.seu
...,.,,crt.-ui caaor
_.1 .... ..n
7K 0"°'4-loO.calo<'Dt..,_..._
J(
V.tcno*_ .......
paaan. - ti.:...,..... a.ao taub». ttSdlloci:a qDC o
...... O--•••.uO. .......,..._... _ _ . , _
....._.111_··-
1SOWIM'·K..O--..a~.....,._kml~
dc S '"C. e o eotfcimle ""6ll0 de 1ru.fctt111.:1a df: alor- pur ce»YU:Çio U nperfk.c Oltma do~ 4 Clb-'o C:ln 1.50 W/
"'~ t:: Coullkrucloq1111:o~~COlll&Mdodt__.CIOll*
coftdutt'l'iitbdc:eb'n.-defíOW/m K,1111111••~·~
çio de c.~kw oait• (•) 1*tr •
de 1empcnh,.. ne ~do
mm""'•
"..-.ç'°
oleodl.to, (b) . .
1empe.,.1ura 4il \1tpcrf'k1c U.tmta do
okodwto, (<) obctt a Clrir-IO IM&~ F• 1..1:.\a de pero. de
calor do petróleo l~1.11Jo no oleoduto e (d) ckcrtmuw o ft1u.o de
Cil!Of llCl'1"'' d.a i.uptrlldc a.t«M •k> oltOOulo
Alnt11tn111t tufl!Ntlno
(1f\.1H1dM!1t, $ "C
~ • uow1.r K
• 2'0W/r11 K
-
..........
lh1\lldo . . .
10•c
k-60Wlt11K
ri URAP2 8b
C<1tuidc1-o umn tubul~llo de vupot tle 001ttp(imento L = 9
m, raio in1cmo r, • 5 c.n. nM> c111cmo
6 cu1 e conduovad11de
,
'1
r, •
1•'°
cttmicak • 11.S W/m·~. O \'11.lKlf nul
lllboa orna tettlpt.1111\1·
ni m&ha de ISO l'C. e o eocOcitnlC! m6dt0 de 1n1n~ftter1c111 ôe! calor
por c;on~ •~ •upcrflde ln1crn1 •A • 10 Wtm' -C, Con.s1do1u;Jo 4tJe • 1t:mpc...iur1 m6clla na "*PC'l'fkjC. cx\cn)ll da blbul•çiO
1. T1 80'C.(o)o.~1 CCIW(lodlftftl'Cllal e ll«lnd~ ÔC!
c:oaltllll'\O 1*11 tondu('lo ik c:alOf v•~aJ perri'anoMe 111..a.
\'ÓI da 1ubulacto. (b) toblC":•"'-i 1 rt"lt(Jo ,,..... a van.açioda ICIQPU>
''" no Ilibo tttol~ndo a CllllAaçlo ddoaclAI e (C') awhe •um fk
puda decab" . . . . . . . . . . . da 1ut:u&lçlo
c~oe. ~. Qb' tuUfonot cm ... cilindro e
JWJllA •
""n.io
J..QI Um co.cbaer cdi!rico de mo meerno ' • - l
uuno
, , - 2.1 me coQcrvidade témuc:a .l e JO WllD·K e prttllChklO
cm ~ (na a o-e.. o cocrl:incr palu ç;ab pOr ~do ..
'°redor a wm 1t:nrpera:wn r. , ._ ?S •e, tom ~e dt .,.,.,,,
fcrtnda de aloJ Ir - 18 Wtm'·K. Coosidtrwtruque • armpciutn
• 11upctfiete inicma do comiincr é ck O•e, (o) UpttUe 1 cquaçto
difcrmc:ial e u tood~ôcs de: ronromo para a conJuçilo ~ c11JOI' unl-dimt:n~aonal pcnnllllt'Jde otraYts down1l1t1et. (b) obfcnhoa a rtll&Çlo
i:*l'll •variação dn tcmpef21W11 do comi!inc:r rcsol~ndo t e~w~no
clüc~l:il ~ (e) ava!k a ts:ta de ganho de cal« d:t igiaa fria,
Em uma b~alaçiio de ~~Sllt»CRIOde 1limca1os, urn t;11n
tfüler esJCnto (lc ctic> i1\ll!100 r 1 = 40 cm. rai-o eitte.mo I) • 41 cm
e ç(lndu1lvidlldc tinmc. t =- t ,5 W/m· K é usado para arm11r.cu11r
da,ua qucmc e mant.a..Ja a 100 ºC. P11ra i1>so, 111uperfTcie eJ1.1t:m11 do
rontéiuer l <:twolm por um uquec::edor clécrioo de 800 W e i110llld11
"tc.mperutor<l dP s~1perrrdc in1emP do conteiner" n!lnlém icnl·
JfC próJtimi1de 120 ºC. Cons:idttnudo q~ IO'I> do culor gcru.Jo no
t1juc1,.-edor t perdido oo iwhunento, (a) exprcsl>t • equ:açlll dl(O>o
n:ncial e ai cood~ões de contorno pura tOOdl.lÇiô de. c11lor un1dimcn,iooal permanente .lb'i1vé$ (lo coollilW'r, (b) ob1cnh111t n:l11ç:IQ
pllnl 11 varillÇl'ic> da 1entper.ttuta oo oon1Cinct ~l~ndo a ~quaçllo
dl.Ítrt:1M:u1I e k) avalie. lCmpc:nltU'11 da ~ITcie CXCC'rM do ~onlf•
ttr. J>eccmuoe Wnbém .a quanrldade de Água • J(li) "C que OlllOQl)t;
poderá fonteCff coosuiniemcme se recdiel ta,ua fna a 20 °C.
tJ
• IAM de calor pcnWo't
J
oi(.
e~ o 111.tu«-lllldlO ••lfonw. wna pha tal um
uil'ocflte a uma k:mpcralun ~. É poafrd qoc: pane- do oa.lor prado Ili 11\d-.k e~1uadl da pl.M;a W)ll d&wpiflb peJ;a ~
(ICÓll'ttt.I,. JU3hÍh:lk
7J
A Je:NÇlo IJe ak>r cm 11.m aólido ~iota a primeira lei da
tcrmoJm~Jllk•. ~lt.le •filll'l:i. que• c:nnJJa n.io pode ser cn:id;I Qu
' l•tt.rutda'' Ju~11fü1~
('onudc~ 1.1m11 cxtc:MI placa de LatJo de 5 cm de espessura
tA
111 W/rn 1(.) n11 qu11J t.flfor t genido u.iuformtmcnle n uma
1
IP\D de: l "C IO,\V/m Um lado d.a plac1t 6 isoláldo, cnqua1uo o
Ql~l\I é CApol(O • um ambtcntc 11 'ZS "'C com <:oefidcnle de trnttsfe.·
tflld11 de calor lle 411 W/m 1·K. liKpflq1r, quau p<mt()J da p~ t«o
11..~ wn1per1t11r11 ~~ima e mfnl.ma edctcnul.nc 11ws vaJ0t~.
... •
Unlll biatn de rombostívcl nuclear dllndric• de 1 nn de:
diJmeuu ~ inserida cm um tubo CIOrlctnlnOO de 1 cm de t.11lmcuo.
onde •
d: resfriamctlto CIOOl 1.'111 lqllo amilar mire • bwra de
combusú"cl (e= JOW/m·K) t: ol\lboconcfnlnco 0.liQt é fCPIJO
unifonncmtale na bln'a a \ltna tua de jC) MWlll'I' 0 cotf.ctC"n
'gu•
~de IRMf~a ck- n)Or p'lll' ~Jn - M..-fw.... 4'@ hoM
CODCf::auico é 1000 Wlra'· K Cont1dtnedo qw 1 k"mpen.CUra da
wpc::dJcic do tubo COl(:fatneo t 40 "C. dtterncw • laqptrl&WI
.-..""'o...n.- é-""'-•,.,_...
J*adder'ml-- a~ d& wpoffde da Mm dt ~·
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r f D,t ,,,
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1'
Ápa de rlriF"Çi\Q
~~
ílGURA P2 11
~-79 Um s1t6ll1"' dê: t:Ofnunte~Çll(l e•f.!rioo com lJ m dt d:i~·
metro csl~ Qlbilandu ~redor dn Terra A 11,1pctftdó e111cl'1u1 do
s:attblt tem soiu.lv1d:Mle de 0,7.5 e ab11ot'lt'o'ld11de K(llA1 de 0.10.
eoquwllO a 1'adiação &0lnr Incide M>brc n cs-p11Ç()n11vo o um11 1a1111
de J,OOCI W/rl 1. Con.sidc1..ndo que o 1111téll1c d feito J e m111c1111I
com oond11thidado cétmica lnl!:dla de S W/m·K o a 1cmpcra1urn
no pooto micio t O ºC, dcicnnmc • 1•1111 de ttt":rm;-llo ele c11lor e 11
temperawra m.wperficie do 111uél.ite.
T.
º'! - --1-l --
4
R
1 IBO W
6
'1
n
Rt«~:u,1dc:~ o Prob. 2-76. Us.aodo EES (ou ouuo
1i:3 JllOl'aml). a.naltle OdQIOÕO COCÍJCICllk de craosfe-
rf!M la de calor na kmpnu.w'b Mhifl'la e mlamaa da placa \'anc
li~ ilclll'llrllese.ci1dcc:ab•20w1ar·K. tCOW/wl·K.
lra..'( • Mnpcnl1M1111 tnU111U1 e: llWIUU como f\lnçio do ooc:fi.
ara Jt .,.,..-Cllt9al de calote d.Jalla os resuludosahldaa.
'""
,t a :J()W/m·K
. . . . ......
...
- - - - - - - - - - -C.
=p:.:
ftu=t.:.
• .::
2_• Equaç.IO de Condução de Calor
T11Mf1rtrci1 de Cllor • Miissa
:..• A tt~1.-tnciJi dr Lm a.q...dor de 2 kW usado p111~ íer\'Cf
iJ;u11 # um no com wndull,·ldtdc •én'n 1ca k - 20 w/m· K. diimdtO
D • 4 mm e comfl'1meftlO L • 0.9 m. Co1niclcnt.'*' Cl'llC • tcm·
pcnu.n dai .upertT, w «''leit'nll do fio dl 1'QJJlbKu' T, 230 "C.
na p1.u e (ç) obtenha as rcJaçõcs pata as tcmpcm1ufU de amb.9
as .suptrllclC$ e: o atuociuo inix:imo de t.empet-amn M pl11C8 por
...--dos.
_,,,,
l l(I"'(."
J m 1un .c1w111ucle1r, o combusdvt.I tem a forma de barras
i !Jndn\:.I~ ..sr 1uint0 oom 1 Clll de di.lmetroque $io rrsfrilll.bs t::ll·
..,.anl('Jlk' 1)1" .,.,.. Cak>t ~ et:rldo u111ícwrncmcn.1c a.as barris(!
• ~Y." Whn Kl 1 tUlll l.IU de• >< IO'W/m', Coosiderudoque a
k'mp1 , 1ur• da •Uf!Cdlnt a.1mia dai bain• 6 220 'Ç, dttmtiJOC a
ddrmune • 1C'lllpC'QI 1,1r1 llO ccnuo
o
w"'f'l"l''us• 11111;CP1todublnu
-
r.
•
11GURAl'2 l i
o
a
~o"°"' ?-91. Uuodo a l'Cb(.to obca.Ja
~ ,...~-~-c:stcn.tnoc•ICftto
pcrauaconiofvn;iodo r1110r11101fllM"aiodt,. - Otll' - ,.,. Trk-it
~l ICtlllpCflllR 90CamQ da csknano ~dl coaducí•
~tinnicano~dc IOW/ro·ta~Wlln·t ~­
)-a.J Um. loego 6o de rcs.1sahlcil ~ raio r,,• 0.6 cm
t coodutinl.ID: támiel t = 15.2 W/m:K csti w:llldo uudo pars
llllllU '2-IO
J •1 CotmJcrc um c).ICr'IW) tóhdo ele tomi.10c1luôiico com raio
'" - 4 cm e CMdu1J•I~ thl'lllCI t • " Wln•· K.
4 gerndo
ut11fanncinCllk noc1hod'o 111mia vu.11 dei,. • Jj Wkm,, A •11pcr·
fTc1c &ntfr11 ~ \:I hndro 1. 1ni.1tbd1 • u.ma bl:mptlTIWn coo<ct.a1)1C T, 80 •e. A vun~lo da ccrnpcr1Ntll no cilindro' d.ldll por
e•
t,.':[1 - ('"]
"'i"J + r,
fCC'l'Cf" Jau.a. e:m pressio ac,,-.rfflca pc~ passatcm ela comn
1e diuica.. CaJor i ,erado 110 f10 11n.1r~ como ttiu!tado
do aqucán:wmo da rcs~a a uma tau :k 16,4 Wkm 1 O CJ·
ICM' &'Cftldo é tnnsf-endó pata a tgu• • l 00 'C por coavec(40. e: o
coe:fiçienU' 1l't6iio de cransJcrinc.a de cal« é b • 3.200 W/M.'·K
Ô)sl3.!Junodo uma trans:rem.:ia declllor~e w1.1dinie:1uiaoaL (o) e:Aptc$.$e a ~ISSÇlo d:ifert:nCi..al e M :ond1çic)c11 de conromo
pvi1 coodu~ de calor atr:av6 do fio. (b) Qb~oha a relação p:ltl •
vari.lçlo de ~n1ptm:Wta no fio.1uoh't:lldo a tquaçllo diíctt:..:i.tll, e
(e) dctttmine a ttmpcrutu~ nll linha <:mlntil de)
r.o.
7'1> • k
si<.
l 1
r
P
A rua.,lif.11e1i. de u;m 91pCCcdor clél1ko de J lW é um 6o
Jc l('f) 111C)uJ;~I de 6 ll'I de: C'(lll'lpnmcotO e 0,2 cm \lie <4ilmetro
f'l,I Wlm·K) A 1~st~nc:i.aopc:111noambtt:nle a 20 ºCcom
\otl111;1tnle •k lhln$ÍC1ê.nd' der çlllur Oc l 7S W/ml• K r,;1 s11pedicie
n•~m.. l)cl1.".11tt.1t11: 11 tc.mpc•:rtiura na 1upc:rl.f6ie- do no 'u) usaodo a
1'111\.bl 1pltt1h·d e (b) lbi:mvlvmdo e R$0lvmdo • otti.;ição dlfo..
m'lflfll lllkllUllJt. li
1t
4 :.J t:;
(A
... 9.l Um ecp:cedor e:~ AJI ruuelnda' ar. l\o ClldlO e
bomogEaeo de ruo'~ - $ nn ' e$al;IO para aq~ o ar Ot uma
W pd2 pb.1'lgotl de corttak cltmca ., fio Calot t .-ndo 110
fiou:o.i:foonemcia• um1tuade5 x &O' V.'lllt'comoraul~da
rtSlSllOCJ:t qut' • cOfl'ttlte: Cl'ICOllD'IL Conswkl':ando que a tt"mpet.,.
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11:3 1)11ta a w11i1Çlo 1lfl lt1111>Ctnlur-. oo dhodro. trlliCe 11
1e:1npe111iura como hwç,o <IO 1•lo I' no 1m.rrv11.lo der ... O• r == r., e
discuta 011 rc.1Mlt11dot. V.e: IWS (OO outro programa).
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11~~1 11l\1i;rlM1o(• • IOW/m·"C). Dctcrm1oeadift:1l."nçode 1cmper.it11rt1wlrot u cl.co t:it.111011 e 11 i1upc:rfkie: du 110.
Cmn btse ncu• rcl•çlll. dclcrn1!n~ (tJ) .lit • coodw;no de '-. .10t t
pcnna.ncnlfl ~1 1 111M1et1~. (11) loC Pcooduçlo d uni. bl (M,11rldinien~lc>11SI, e (t) o vakir d() tlu-.o de c11lo1 11.a tuperCkk latem.Ido dlln·
' ("ooc.ldcre nm11 t:Ãlcnu placa de bpt1111un1 L e coodu
h"ld:adc. 1tlnnta Ir "11 qiul eaJor I i«rado uruformtmcnlc 11 w1111
de 1..,. Ulll dol lkOI d• l'IM:8 c.,IJ i..,111Jo.. CllQtAllllO o oulrO
~~d b.pofl!O 1 um llflhll!"n.IC de •cmficfllhlfl T. 0001 COC:ÍIC'ieole dt
11111,fctfocia 4Je c•iot • · (4r) U.pttue • equaçio ddc~•al eu
cot'lf.IJÇÕM de comomo ,.,. cooctuçlo de cal<W unidtrnet1t.ioMI pcrtnlftMIC IUnrYft dl p~.. (bl drkrnune • ~·..-..çiO d.a cempcrann
., C'Oll-lidrtte Jl'M'llle pbca • • *'.Uiw. .. 3 ctn de
npcuurafl • '' 1 \\'/N IC.)l:*le:uloré . . .muf~ca
11AS1 la1a t,k ~ ~ lf/W/m 1. Araboe Gf lôldot da pi~ es.tio n;pc.:$05
'\O "(. com eoc:íkM:Dk dt ttu,Jnfocu de cakw de
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l"lllllr• oo cu.o cenual 00 fio C()fM fuoçio .ti ,ieraçll) de calor i,.
oo .at.e:rVllodc 10 Wltt.o) a IOOWkm)e durou°' raulo1ck.'l1., Uie
EES (Olll oUUO progt:Mnl)
t"liM(IO~I• JIUI n1.111ctl11,l 1Wli01livo qllC gera c.ak>r. WUI w.a COOS·
l.11ntó(._,,., ~X IO'WJrn .01:41kJrgc!Wloédt"-"i~constM·
knit'fltc ,_.,o •mbl<'nlc A •upcrfktc eiucnt.t da ~feta é nwuida
• Ulll.& IC'IJ!f'tl llfUl t UUI (lll•me fk J 1() ~. C a 01..1ndtrtivtcadc tCJmiça
dl nfr1• é t
I '.\ Wfm·K.. Coni.ldtnaodo ~uc a hllil,fufneaa de
c•k>i l u111,11mcn.•onll.I e J'ICnll.lnwk:, (•) expm.sc a ~Jo difc.
tc-hc.ilal f • ' C~IÇÕl:I de C'OaLOmO ru1111 coiduçio dt u.IOI" ll.lne\ot'"'
J.a c,rua, CbJ oNenh1 a rcl1Çlo PI"' a vanaçAo da tmp:nwta raa
blc-1• rt:~wttdo • Oll'AIÇIO difetene'1.al e (d dekmJ;llll(' a tempo.
1•1 ... nou ..1odat.te:ra.
1
J.-lfl
Conskkre uma utens. p11T!dc ph1n11 Jc comprimento I
0,05 m, A tmperfTcie da pnrede c.111 .i • O~ iM>lada.. e1>q1,1111110 o
superfJ'cie cm .r = L 6 m.anlida 11 u:ma ttmpcranm1 de 30 -C. A cort-dulividadc tC:muca (t:a partdie d t - 30 Wlm K. e o 1.'11\°lf ~ icraJo •
11mataudoi..-=i;; u...whn',oodce.• lx l(fWJm' Consldé-rando que• lmlli'Cftoc111 dl' ca.Jnr ~ unidimt11tlon11I e ~mual'll:'fllt,.
(n) cxpe~ • equaçlio diíemidal eu c.andl(ON de C<lonlorno p1t1
a eooduçlo de c:aklf 111w.ú d1 J'I~ (b) ob1cnh1 a ttllçlo f'lll •
vmaçiodl leruperl!Uf'll u ~ ttillol\'e:ndolfq\JIÇIO d1ftrtnttoal
~ (t-)dttttmiftc •~d• wpcrlfcic mllldl da pattdC'
li
Capítulo 2 • Equaçao ele Cond~ de Celat
~ Rocon~ldc.w o Prol>. 2-94 U~11ndo 1 ttlaç6o fmncd·
d• ,,.,,. o c•b" ft"IÔO 011 IMil'odt. IJ'llCC • a-~aç.Ao de
ii'1
u.lw como"'""'° da d"1Jnc.11 x no mtcr.alo de l - o• ' - L e
dbtuta ot l'CAI ltli.k'I (ibUJol. UK l:.l:.S (1""' wuo progao..)
l--911( A kmper-.tin de llm& ,.. ... pllM dwmlc condluçáo dt
caloi urucbmcndcmal prtll'IAlliMk vm'll h~ qwmdo a cm-duuvtdldo K':mlJC& f ~C'. &~ COll'lf>Ol\llntalo a;ai fMDlfdo
se• c:ondulhld.tc lirmo ~•• lamlrmcQleooPI • ~un"
1--t1C Atmdutiv. . ~•umniao.c.pacnLf~
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ftdk Ull plltdt pia.. a.,. coocMrYict.dit ctnaa ,.... 1-.
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~mába. o•rO~.,., dk\llot.datnlP~
·-'"'(o)_(.,,..........
caaua.me T1• enquanto• 3uper(ide t:m.,. =- L é man11d11. • um11empenirura r ,. Cooiiidénwdõque a mmi;íc:rfnaa tk ea10t' é unMliml'll
1t0oaJ pcnnatimte.. obu:nhl a ~Jaçio l'l6fl a 1&U de uaM.Jerlr1C11
de eaklr lln\Ú ~ pa1Cdc..
JComtde:te uma c:asc. cilíftdnea & rompri.miemo l., n.o
i11tmi0 ,., e raio atemo r, o.t,P conddlh."idldc té.rmic:a vana h!W'.tl
fDCIJle
1:necrvalo ~de~ ctlil'll .l(1) = V.1 +
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~. uam:fut.ia dc.c:.aloré ..~ ~otiemba
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-.i •O•.....,.
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10l
()laall.•~pomi.axada.~"'ldl?Qualia
4Jft~ dl~ dcrh·llllali. ~e OFdlDÚYl7
111 (
Quml t • •tC'fHÇJI ftlltt aiau e ordem& dennda"
COMidctC. (~j(A.,) CMa ~·parcial 'fl&..
~ . - , conJ,lj;õa CNa ÓIQ'fac&. parti&I ~ \g..a i. dcriftda
IIlt
Jo:CC:l'P'l!l\111Ji11
J l llK
'1&UR.A P2-IDJ
c1dn com um ftl.1llO clt cal<lf 11n.ifotn1c nll 1upcrík 1e inJcnor. A pasU·
otder 1 "C. <.:o"~idc:rntido Qt.tt 11~upetlíc:le ~u1>er1oc da 1ul«llhll de
.dlk:í.c> ti'•~ nu tCJlll)(!l'll\1111 uni rrn' de 6(() K. l'eCet1ni1~ o m~x.i 1110
pcrmilldodenuxodtc111ol' Ht 11 f 1 1 1n W 11
:
e Uma ~ao cklc:Rkuil podceriWllwcr mais de ..... w iüvd t~f p pocit~\'CI' mll"ck Uml v-Q\'ddcpeo-
~dere wn pequeno abjtto de mcW .aquoetdO dOJ IMll·
sa •e cô:.-cspccifico e qiw: inictalmrflte cá a uma ~.. ""
T,. O ob,tdo f mfnadc) e:tn srnt>Knte: • uuw1 kmpenirun T. por
c.atwc:tçiO. com cotftdtnu de traMfetfad.a de aOOt Ir A te:ft\pe
,.... do obJCCO de mccal wna wufonntmaMc dun.Mt o ~flll·
memo. ~.. o baboQo de~ dct ohjeN ck fftf'lal e dtt'IW
a fqaçlO difctcllci.al Q1k desc:m<e a ~Jo cll ~da
afmi com o lltalpo.1tl) A-.;s.tJIM Q1k • ~ lb'mlQ 4
~e que do W gctlÇàO de t.aikw no ot,eto. NJo ~o
prd>lcom.
1l4C CorDll • ............ ''" ttbrionxta COM. ~Ol§:io7
11 ( ~I 1. • d.1fcn:.,.:a ciatrc cqoaçlO aJt&rica e equação
dJ'cms..wl'
J. 11.C ()l.ial 1. • J..(~1~.a entre "lWÇ*> dl{m:oc1a.I ordmina e
1qua.. ao J1fcntK1al i:i-ttiaP
111f Como 11. ordcrn de uma equaçio dafercodal pode SoCr
Uiníl 1)11Sllth11. de t.ilkki com CIJWHUl'1' ~ 9" µ.m' .qm:·
a difettilet de U!Olllt111hllit na t \f1cu ur1 du p&ihlh:a olo pode ~K·
1'7
f\ll' 1.1u~ frrqucntc1ncote Uta.lllOi supos.lçoes pa.i'a ""mpb
6c.i n pntt'"° de dc~io de equllÇ(>cf d.ifcrcndai!'?
10ll O"ur t ~·ard\'t.l'tQ)mo~ a vwúivd dcpM·
.,._da t~lt: cm um problet:M1
'ª
de ''llnlÇliO de 1t:1npe:ra1uts oo rer.101, A Jt• ·~lo ~ c:alo1 do tt1J1v
dt rcptt1te: aumct1rou ou dimilwiu 1 9 M wJm' de •ua COIWliçlo de
opcraçio pcnoanc11tc1
1 K: C:..ukrcafuor;io/ú)cs-.dcnvalaJlds..Adenftda
1
Qt•~ • C(lndul1v~ ttrmica <k1 naeto vv111r 111111:.it·
me1ue com • icn1pcrar1J11, po<k1t1C" afirmar q11e a çut1d1.1uvWack
térmica milbll. 'ctd Hmprc cqufvtlcnllC ao votor da cond\lbY1dadc
t'm tcmprr11uni 1°'J.11"'
Cn •
es dlfeteacfai
. . . . . . wt tlNllÇJo de r 1
tct'l.'lpCBGln Vii ~· Ct.illlpOIUJl'Cn41) luwat cm lll1um dc»CS
_...,., J~(tqJC.
IM de 1llíC1c> 1ie1'tl uma oond"llv1J11d" l'rmka q~ van,a com 11 lcm
pu&tunl t pode M:tt':.oprt'°"à COfflO k
(c1 1 bT+ c.'f'} W/tn·K.
ooden • 4J7, b • 1.29 ec • 0,0 0111 l._111 evitut • ckfonnaçllo.
..
-"1"'1
(c)"C""""""'
~•~lo 4' calof Ulllda~ e pn-.
9Ctllc C'fll • • ~ fllana. -. ct.l1n.bú UCI:'*> e em ur• a.fe..
r-. ~ cOGduta~ thnca ~. Klll gct*j.iOdcuklr A
J
1111
T6p e.o 1.siwc1.a rnl
2 HM C.OIU.idere. urna clUC:'l ~sfbka de raio 1n1emo r, e l'aiot--.:·
cerno ,.1cuj11coodutivid3de1érmiÇ11 ,·aria liuieatmenic oo intc:r..,.lo
e~pecfllcodt lC:ml)'ral\ln11;, CQm k(n =- ktl.l +fj7)1 onde1:11 ~ {J s.iio
du~s t:00'$•11n1es e$pCC'lficadas. A 11upcrJ1de inte1na da CAliCa t m1w
1ida a uma 1empera.1ura coos111111e 'f1, enquan10 n .i11pcrfk10 e\1cr11a
t manlida 11 uma 1en1pct&turn Considernm1o que a l11'1Jl1fe:rtnd1
de ea1or é unidimcnUonaJ e penn:uie111e, obtenha 11 n:Juçll11 pirn (a)
a lalla de tnl.USJ'e~1 1éi11 de calor através d~ c•~a e (h) a distnbuiçJlo
de 1c111{'ént1ura T(r) na casca.
: I&" COll!Ídefe u:ma paaea de l .S m de allun, 0,6 m de lugun
e O. IS m dt t$p~ura. Um lado da plnca á 1nantido a uma ltm
perat\1!8 constante de 500 te. cnq1.1anto o outro Ilido 6 rn11t1hdo a
uma tempcratUTn ck lSO K. Podemos ui;umir que a roadutivMl•ôt
1trm1ea da placa \•aria linearmcnle ~ it11crvalo de 1tn1pmi1u.111,
como.t<n ~ 44(1 + $1). oadeko=- J& Wlm K e {1- &,7 x 10 4
K ·' lltipre:uftdo os tfcttos de borda e nw.mmdo que 1 wan~rt­
r&acia deca1or sqo 11~ e pcnnanallle.. ddennine a tau
de conduçiO de eah atr11\Ú da pi.:..
kw
r,.
l
do--·
~ Rcooosida-eol'<ob.1->0S
u...ooru1... ou"•
~ ~). b'XC. t n l de~ de calor- .......
....,. placa ..... fuoçloda _
...
placa
_,~dc400 K a700 K.. Ouaua~
Como d1~tingu1r 1. cqunç4o difcreod.al 1~nc111 d.ti não
llne<JJ"
J 11.,.. C'o"'o rtçOnl'l«Cf uma equaç.l\o d1ferern;.111l linc.-,. hQm(tftl'IN'I ~ vm uc:m1)1(> e c11.phquc pcw- que da ~ Lmc11t e bomog~nea.
l lUC. C'Qmo 111 ClJUlllÇí>U thfcn:.11(:1111' l:(lfl) 1:ocfK:tw1~ cons·
tolttct dJ(CJetn d.u Cc>m cocllclcmt!I va1 1.ú~lll? Ol uni ocmpJo de
~11Ja Upo
? 1 u Quol opo de cquriçJo d1feo11~:ndail pode !ICf re!õalvido por
1nkp.çAl) dut:taY
l l'll C'0t!'ldt:1t. 111111• equuçio diferencial 1incar e bomogêt'lea
tfo IC11tt1rA tin.ltm. QuunlH C011.•tu1110 arlnt,,.tla5. hll.\'Ci:i na 11oluç.iio
ttnil'I
RIYtlJo dos '
l-1
Considere uma CXICltWI blln• ttu1n1u1.at dc comprimcnio"
nn c1xq x e l.ii:rvur:i b no t1xo y que 1nu::íaln~n• ~ e-IA a mn11 1tm1'.lt
rawa uniforme T,. /u sup«ffcics d~ barra c-rn " Oc y O oitno
ooladas. e11<1u~mo hif pcmJ;a de ~a.lor .,11~ ou1rni1 duil.1 ~upctf(c1c:11 PQr
ootwceç:io pata o melo ao ttdor 11 uma ccn1pcnm.1ra I . oom coofi.
dente de uansferê1'.lci11de calor h. A"mml11do q111e a condudvldMJc
11.mlica á M1u111.111~ a 1 rt1n~fe11! 11ei11 de c•lur ~ bil'.linl(n~lonil 11'11\·
.sicnre e não M gcraç!lodc calar, upt'tlSC n. fo1mul ~&o ma1c11141lct1
(eq\1ação d 1rc:r1;:ndal c condiçl}.t-11 inid ~I ~dr. comomo) deuo JlfO•
blema de c:o1)Cfl)Çllo de calor. Na.o roolv11 4) p1 nh~ma
b
•
r.
,
IU 1.:.111 Mflll U.boca. o I'' ~"º de< cndlm:c1meoto porres~
hi.lJ \dito 1:'11\IKO 4 u111 •tedo PI.-. IJ'llar os robovatos de: ~feia Je
...o(c • '-flOJ'ka•K. k • (J()Wlm•tc,p =- 7.900k.glm')de25 mm
dr ~-.l1nr1ro i)qlo.f de lqU(d~ a uma 1empe rãl ura prca:ni., Q5.
rai..l'l'c'nta. de: eaJmiic de aiçn Mo ta.fmdoe.. OctttmUW: a tau de
pndl J.- ,..,.... ("OftNdcl..to~. CU.de Rlduiiiodetemperatuf l • lllflllNfliue do f'C'IUICalo dt ufCI» ftH dado •nsi.aace durante
mr....,...ot"' Kh
<~~ 4lllC •• ttaaor csf.énco de 5 a11 de~ cm
"PI''""'°*
~----·--o­
JWCai• fc:.-tMdc ltt') •• - ~.fMlk• = &SO"'Ce•: S X
IO' klm' O"*'*' 1. r~ • ~ éúm e - 200 Jl\g·-C. k =<O\\,., •-P• 9000.,....·
.. ~ Jr: n:pttlec JOf dtí-.to ÇJg910 9 MWhn'. dcunniat- a tua
e-.,..._.. • ....,
T,
h
'
•
..
FlõUU'2 126
.. -i. Cmsii:b:r om cili?ldro nano do mor. e altw1 H. no qual
bigcniçlo de calor• oma ma couutt ele;_. Cakw'' pmWo•
~ alladnca ( 1 9 , - ,.., por OOlrtUÇlo para o lllttO., l'IÔ(W•
uott ~ T.. com cocfinn.llC de tnndttfftna. • calor- A.
A ~ tlllfenor ckt cih-.lro CM Z • 0 neá ttobd&, ~
a s.~ sopMor" na l - li Hd l•Jttü ..... nu.J.o dr cakit
..arormc ti. As.1unla.Jo cp: • colldulmdlck eMriKa i ~
e a ~a dt f2lor i t-bfl'WMIOnal .,.,.....,_., <l:~ 1
fonmbçlo llUkmúica (tqU(*) dtfcttnrAI e~- ta11;.., e
Capihtlo 2
Transú1~nc11 d• c.101 e Mas.sa
de C()lltomo) dc-;,e J"'Ublt.rl\a ck cond~ de CIJor. Nlk1 reJOlv• ()
............
J. 1
O ttrhaJo de umaCMAt fe~dc llicdieroncmo4.k: 25 cm
dt eipttil.lr-. l 111 dl lafsuta e 10 m de cumi•o1ncoto (k • 1.9 W/
m·~. A em11&1\<tdüc dai ~k.:I& ui.cm. do tclbldo t 0.8. to
«id".etitate de tt'lftd~.. de CIW pai" QWl\«Çlo OC$P supr.rti'c.c ~ cai.nwdo 9111\ l l W/N·-C 1:1111 11n.a lltlllle clln dt 1n\1CIJIO. o
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coquanro.
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c;ooctuçao de calor anvé:J d() wbo. (b) Qb(cab11 • ~ação pm a va·
™"t"fll>da ~ ootubo 1'CSCh'endoa~u:açtodifercnd1I e(t)
obltnM • ~1açã0 para a tc::mpc'Qh" na ,.,upedk:ic exu:ma do Ilibo
A tttl.'lptn(lft de c:buliçio do llltn:lfbtio 10 •f\."C"I dó •llr'
t.oco.
(p'C$.SIO auaodérica de 1 atmJ t -196 "'C.
o 11~ f
~cm ~cic:llU1kos a blius ~ji Q11C' a trm
J"'tt*ln do DJ~ líquido CD U111 WlqGe abmo pc:mallCCC•
d COIUUalt' CM -196 "'C mqMlllO houft:f Dioogàuo liq"ado 110
1-1& Qulqutt ~ u calor pwa o t.-.quc remlta n.
~dt (*1e dQ suog&;. lfqluOO. cp kM calor de wrpon.
uçlodc: 19'~t~ck810ttfin'• l ...
~ WD taDC)9C nfãlCOde piftdc"~
'• • 2 m. tllO cx~r1 2.1 me~ 9in'ruicaCOlllMa_. .t 12 Wlm·K. 0 ~ cdillicMlmeolt c:hrio de atUoCé'alo
l"IOJo• l 1P1e -196-C~oaoatamaa~ . .
bialie T.. 20 -e. com coc:f1ctcntt- dt' uusrmaci. ck cakw li •
JS Wl'fW·K. A ~cb suxr:fk:ie iMnD11 do wiqur afmt0
penaanocc praucammtt ~à xmpua(Wa do 111uog~ mi HV
1t11alor. ;\~·n•fllllJdo ql.lC' a U'&llld'c~111=1:i. dr calar~ un.1d1nwn~tOl\&I
e pcnnant'ntt. (4) CXJWCSK • «,IUÇ;IO difcttncial e as cond!Ç6el
lk t.'Otltomo para cooduçjo dt: ~lor atnvés 00 t.U"I\~. (b> obtt-Ma
=
fUt..,..
=
a tel*Çlo pana no31Ç5o ~ ttmpcriu1:1ra do tanque ret0he• •
tqU~io dtfttt11Cial e (d dctcnn;ne a 1-'Xll de n-aporw;ftó do nJtr0g6n.io liquido ao uoque CQIDO ITSllhado dll 1111n,ferincl!i de c11Jor
dlt ar ambicot.c.
r"
Conskktt 1.ma 1u"'11oçto Je vaipJr de com.primento l.. nuo
lnccmo "•· 1t11o tll te-no •)e condu11Y-ldadc 1~nmca e(.111.'Ü:mte ~ Vll(IOr
•""ui
Rui dtntrn dQ mbQ
tc1111>c1•1un rntt'.h11 T" com coelicie1ue de
1111n1rertneladc cultl 1)()1C(ll\'\lcc:çnv ir1• A tupcrlíc1e~ii.·n111. da. ll•bu
lnçloe'1d. elil"-'"'' • cOl'!Yt:~Ro
o&r 11mb1ci1tr • 11m11 tcmpeniurs
10, co11l cocl1clcn1cck lfflíl ~(c1ench1 <lo eulor li.,. A11u1tmlllo q11c •
co1w:h1ç.lo de c11k)1 1rnw~t1 ck> u~bo 4 unWhn«13ion.11 6 pttmllllctlte.
'""lli
t~leflll da r-1* c:m 1' - l. (UJ•emimvtdadc ~e= 0.7, uoc:a
.,,. P"' «'"wcç.to oom u a.mb.cateem U'ftlpttalllttl T.. 111
2S t<C•
com c«fltlencc ril&IW> de trao1feitftci.t de calor h = J• Wtm1·K.
~1 Cf'IJnô P"' 1-.di.aç6o OClllt •11 ~e$ ao Jtdor, que ~ CIJCOll·
,
ex1cma da camad• pliscia perde calcir por conv:icçlo p11n 1) aram
btmtc: a um~ tetrtperatura T.. • 2S "C. tom ~(1c-lc111c n~d.n 1Je
....,,.. 1 umatr:mpcr'lllw• ~
tn1ru1ícrEnciadecalorcombfoadoh- J4Whn' K A'-umlnJQum1
trlll!Íerê:rx.-P Oe c.lor t111idu,,en1~ e permucntr, dc-tcnntne at
r.ttnptnlll!'lS no ccouo do fio de rt:dllhlc-Ja e 1.a catn.da dt ultt:'I
1
fcc fio e p&isoco.
r.= 290 K.Altmdüill. a it:mpr·
.i1.1rs ;. Mipctfkte u~ mede T1 • •S -C: Aatilmmdo que a
QWJl.lon.- iteca.1«'- 11~ll!We~ (4) up~
a equr.io d;t~I e u OODdiçtc. de~ p.-a cxiado;lo
Jt okJf lltR'à dl plK.a.. (b) obkllw a ttbçio f-3 1cmpcn1an
da ...,..nc11: oflefM da pllia rndvcadD a ccpMÇlo difctaicW e
(() .n?io 1 ............ dli wpaficx ,..,.. dl psak CAI .a- = 0
ca..
lllft kn'O ct. l~W ~ dcaaOO tobrc . . .
de,_..
blfl: u.poau m •...._e a 26 ti(: A placa• bote d!>
tmo . . ftflCIMd L - O..S cm. ka • bMc A = l.50 cm'~ aio-~-.a. tin11ica A • IS Wh9 K, A aupcrfk~ ~da plica,
ndmjab • ... ~odt1:alot ...,,_ &badopdo~do
fcrru A 14"fk11t ClLCU.. dil pUt.• ~ck> Jcno. atja cmis.sniiM>J.i t 1 • 0.1. prfde calor por cor~ para o ar amblc:nee a,xn
corli..lftl•t '*"lio de lnn.t.íafoc:ilidc calor AI
lO W/m1 ·K . bcftl
coulO put radl"'J<iO p!lla .,, •upufkxs IO redQr • una bemper.wra
!l'JifJi.a 1,11 • 29S K.. Oc:•ptaiwlo •wtlquct pt"tda de calor aua\'6
J.& p.rw: ~pcnor do lcrro. (o) u~ ., equ.,00 dlím:ncial e as
"">nJ•\'11t1 tk t:(}nl&ltn&> pu1i cood111;i0 de e1b unidutltf111.on:d ptr•
fl\l~ll&e alll'tâ d11 p!M;a, (b) obtedlit 1 rda-;:lo paru a temperantra
éOl9 •
·-
=
d.1 •Vp«h1.:1n •Atf:mil. ~placa 1.:..1.Jw:ndu 1a ~'li!> d1ícrenc:111I e
(t') l'tllli.s a 1c111pcnduna. dl 1upcrlTc.e c.ucm1.
111 Repi1:1 o Prob. 2-130 pam 01dJ1.~11.lo líquido, q~ l~m tem·
peratur.a de. eOOJtçlo de - 183 lt('. ..:olordc vaporitllÇ!l<> de 113 kJ/
ks e densidade de 1.14C) k.i/m'• I atm
l J. Cooliilkrc umi1 eit1ensap11tede pl11na de C!iprssum l • 0,4
me oondvlJ\'idilik lénnica k. &,4 Wlln•K. N11o há acesso 1111 lfl(lo
inltfl)Q d.a p:irede em x o. pcx i$SO as coodtÇôc' tt.'1111it:ai nl!li1m
w?'Ji-O'eie skt dc11tonhccidilli. f.'IUflanlO. &abe·Sé que a 111perffcJc
=
Lquaçao de Condução de Calor
C..:Oos~ uma casca c11n1dnca de ccmpnmctlto 1..
.,IO
mtcrn<> r, e r.aao ex l~rna r,(;ura coN.!u11vtd11dc t~nuc:. van11 IKl in
tttvalo espodfico de temper.t1u11J1 rom 1(7) .., .l J. I t- ~-,.). OCklo .to
e /J são duas QQlll1C1111tc:1 ~·fk•d~.(. A tupl'rflcic i1ucm11 d.& c...,;11
é rtUntid;i a uma 1cmpcraruni 00Mian1c T,.tnqu.111110 a •111>errtc.e
cx1cma é mnntid;ai a um 't:lflpn11tum T1• Auumindo que a muttfc·
rine111 de caMr t unid11ilet1J11onal e pc:1nu!'le111e oh1e11ha • rtlfl\:IO
para a tu.a de transfcrfncia de calot mnil/6 dn <UC-11.
- ~
Em 1,1m rc11h1r nuclClr, ul1>r t ic:nid(' tm umn ~ITll de
combusdvel cl lfndrica de u11ln io de 1cm de d lft rneuo • t.ln~ll ta;ca diO
=
•
4 x IO'W/m'. l)rc1erminc 11 di(e1~11ç11dci 1 cr111>er.111111 e111re o «Miro
e a supttJide da. ba1Y"a de combusd~cL
T.
r.
o
D
)
•r.
o1-~;,
.--·
Rrp1ta o Prob 2-IJJ para ~mrcrro de 1..500 w.
C't 1'1t..1dc.tt: "ID &q'*Odot' CU}I ~nçi.I é, U.J11i fio longo
dr,...,'•• O.Jane OODduU\o1dack lhm.ca I,. • lS Wfm·K. no
1 J4
1
1
q""1 uc.101 # JC1adoun1formcmcdcavmaw:adct.,. =.C.S W/
,_..do IQUt!CI~ . . . . . . n:a:~ do fie). o
flonú Cl9ruito POI!
e....s. depl.iMico de Q,4 an dt" ~­
ª -......,_ °""""" u,,._ - 1.IW/m·K.A"'l"'fiac
t• l•dQ
11n11
P2-.32
~umaa1ensapamlcde~(4 • O,T1WI
m• K) de 20
dt ~ta .Qljdta l ro!h~Al em ambM. ot la·
dos. com T. 1 22 -Cclr 1 • 8W/m1 ·Koo1.00 lnttmOt T.. t •
°"
=
8 "Ce4-- 12 Wlm1•K ao \adob.ltt'll0.,~""'1JndoqtM1a~­
trvii:bdt tlmica é~. . . ~ c.k! calor' COll rachl(iO
dcsprcz.Ml.(o)o:pra.wN~da~c:a~•
CIOdlnlO J**.~dc cab-tmid~I pr1.--- _ .
Trensfet!ncia de Calor e Mas.a
(e) De:1ermine m il\lJt.08 de calor du .wpcrfic.es q,<- t) e t/.(f.),
~1 da p11redt. (h) obltnlla • ttlaçio p1111 a \'anaçio d1 lell'IJlltlWUta
1'111 .,,... . l'Clil))\'t'lldo. C'Q'llllÇlodlftrcntYI o (t') l\'al~ IM LCmJ"Cl'lo·
(d) QtLa1 é, rd.-ç&o eouc ~' nuxo~ • to.~dt gel'IÇAo de
rulti A111 wptrlfc1a lmemii • o.1e.N1 dt pMtdc.
J-ll' ~uma Li#billaiçto do 4Jua de oompnmemo L - 17
"tal()"'*"'°' r 1 • IS '1JI. r.lo ulcftO ,_. • 10 °"e condliluvll.b
dr aérft'lU t • 14. W/d•K ~·toe cakll" urufcftllCIDCl!te ilO tubo
por rnCJO dr •Ili ~dHtioodr 25 kW Af •pcd'kits .......
ea:llemildaf\lhjla(lo~an T, • 60"Cc T1• *>-C~~
calor e• ttomeUia da. pattdc't
J _ Em uma laje oompida de taigvn W (P dltt'(lodo flur;o
de calor.X) e~ Z. oçortt t'Oftduçio dt ~ utudimtt'll1111ru.I
~lL A coodutMdadt têmuç.a da laje v111a c:Of9 1 kmpc-nNts. k = l
+ 1). a.* Ti a ~tn tem li..'), e ...,. f W/m.) e T" (cm Kl skt dua~.M~et11.a:•O
- ............. __
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no ldler'tCW do lllbo _. comd~ ~ • ..,......_ • tmt-
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i-1• Uma pln:dc ri- de~ L
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• "era.._
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ex= tV•T.eT.. ~·MOSUCqrM"Oftw.odcakr
~.-bMlo•ecnçlo•uklr•~·---·~
• lrlWJ.r f..11bC•~••c....-~.uatae . . ~
dor de_,-utli dt1cn1.J~I que tcn Allao de Qbq_. - 16 tW/
m? O llÕI> ..-.o cM ,.,ate - ' •• eolllllO eOftl " " " ft'lt ~
nnin 1. • 40 "C' Um tmllOP'I',. ~--da pucde toa cue'IUIO
roma.,.... rrwi:.11 T, 90-C.
A1bn cLsso. ~o fktto de caJct f*'I 'r - l.QOO K. T• • 600
te. Tw= 400K.i* =- 1X10-Wlme: W• lOan..
Cakw i gmdo ..af~ a mm u:u • 4,2 X lflWITI/
cm 11• ~ (t • 45 W/m·Kl com 24 cm <k ddmcuo. A cakta 4
{n) DctcntllnC o c0tfio; M"flk dt corMCÇkt cnft 1 parede e a 'eva.
l.200Whn'·K. Oco::nniac -~~aoocobOtl'lll supaf"IQC
(b) \t(lf;IJt que • ddlni:-. 1Çà() pttnYncntc de Wtnpcnt\llf't tem
rorm1 TI;s) - n.:r' fo b-1' t e e deWrnuM OI valoro e•
IUUd;l(l!M dt: a. b • e' A oriSdfl ele: ... ' lnott~ 1'14 figuta.
(e) DCh!t'l'íllno. poi1lic;4Q e o ..tc. dll tcmpc~Ul'I mblm.- DO
Jlllttdc Ea111 p<14!.i;lo (X11tll $0' cnçon1111d11 sem coohccttO!f,
valof'Cl ck " • b o r. •rcm111 Hbtll00 qur. T(x) 6 uma função
<l\•l!Cl1állica'? JU'(l!ftque
T,
1-
ttpob 11 '8."3 tóaaO"C"°"1 codiciakdt irlll'ISEc~3 de caklrdt
... ..rer..
J.-1.t.t (b....es de cuus1ão de wn• r&bt'1ca euão tendo upclid~
pelo dlalni.né de exá.llSliõ de 10 tn de nJtur.. 1 m de di!metro fl
it:mo. 10 çm dt espcsswa W parede e cond1.1tivldade b6n11Lc11 dr: 40
Wfm•K. 09 pscs dccx:wsi!lo slo •~~mydos a uioa lH.11 de 1,2
kS111. eDqu1111to •queda de tcoiperarura cRtre n e1nmdl e 11atda 00
~ n1 c:hn1t1inf!6de lO *<:.e o calor es.pccffaco e a pres~ao COll1
wn1t: dos gues de exaustdo é 1 600 J/kg·K hm um de1e1111t"odl)
dia, a supcrCTdt ex1em11 dat:llominé ésujclta • racli.açll> no t rca eh~
cut1diln1e a 27 "C e cor1vecçlo no tU arn.bieBle a 17 <'C, com c:o!.!ft•
e1e111e médw de 1ral\s.fcré'oclu dó calor por to1wecç.Ao de8 W/tn,•K.
A rudjaÇ:iO solar iociden1e $Obre 11 supetlkle C'Jllcms dfl ch.nmh1~
é de 150 Wfmt. e a e.missivid* e obiõortJ\•idíide 1alot dn ~upet•
fide cxtem;i do. ambas. (),9. Assumiridn o 1ra1ufc~n<:it1 de 011lot
unWhnens.ional em reaiine, (a) obtl"ll.ha a .,..m1çlin de ttmpttfthHl
na parede da cbamlné e (b) del.ttmine a Ci:nl(ld'lltura da '11petfl'c11:
intcrM da chaminé.
;.. «'lj1J11Ç;10 ck (.'OJMll,l\ill dt calor de um nlt1o
"ª fOl'l'l'la
11M11• ..1n1Jih'' t; d,liJll por
(b) -.t
t
lllllipt •• ,)\lo tllUlfl'dl
o • ., IC'Pl ÍUflllllllO ulíh*K:o
j6>) A"*""º...., ~do me••e~c
c1) A n.Jc1àku dr cais• ...m'C"' dd _.., t pmnamk'.
1J> ,..,~~..,.calor"°~-
1 U 1 Urna ~ 1UM de et;pcuura 2L ~ mm e coodull·
\<td* ettmJca conMantr • - 8 Wlm•K F" caJorvmfonnemet51C
a um.
de 1., Sob ~ pcrrnumte1. a ~bulÇIO de
·~"' plftldl tMI. ft'Jf'ft'll T(.r) - • - lu',Clfllk• - 80-C
e b 2 l ( lft "C'Jan', ~ t ffll lllCibOl. A onreni dl coordenada K
nl('(lftll"l-tt no .,..o mldio da pllak
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,sgperfii..~ » ndur•• lnl!ptnllat• r_ 1~ ....................... ~
IC~absoiulD:S.l St r.~ l llrl'!lp('nOftdl MllK'flk• C'Ucr•
u.. a roadiça> dt C'09IOnO,. Mlpttftne cumu ib fortYJhi pode
fMO.,...e:.,.••
ser CllpR.'Ssa como
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A(Y, - T..) + eufT: - r:.1
-lrf!'I
11(1 1 - T..)- wft; - r..,1
1f1 <•1• \C' c;akir u"'ft"""'1tlCtlte cm u:m m11tcrial niidioari'vo
J.- l Jl'll JIU ,,fflK" COltl IO Cltl ~ d1J1mcirtt e t'.0tidul1YidMk '6Pli\l lk' ?, Wh11 K 11 um• t.uo de IS W/cm• Considcraitdo que •
h:'T!t1'U•1h1111 IJ11 r.upttlk1c do m•len11J i 120 "C. a tcmpeni.lun oo
\"I: 111111 !Ji) m..lt-11.àl i.lw :ulft opcr~·llo lk• tnooenti! '
(oi -k
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1,J 1 A '111111.hulvnlmk 1énnki1 dr.t 1t1do ' 1.vn~tál'llc ()li ,.Jin,\'éJ't
~ 1... 1 Umap;ittdt plant1 d.., ejpeuura L c-s.iâ •u,ciln 1 OOtl\'\'t.\'ACI
cm amba." airupNfidc!i com 1cm1>cn11un1ambkontc T 1(' C(l(lklcn·
te de 1:ransferfncia de i:al<Jf 11 1na i.vperlicie lntem11 o v11lorci 7'.1 ~
111 com:i;pon1.t:nlei;
supi!flíéM" é:\lér11.:i 11\lllllf!dO o ;.mhclô J!O"ll•
tivQ \'.lc x Ol.)Jtll) liC.iJo o ...emido Ja i.uperfrdé :t1'llc:nu1 1)111 • • t~ lema.
a e:c:pre$S5ücf11re1a p.ua • cood1çao de conromo ele con~ç;o i
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lrku kJnia- *O\ n i • lW.naro.
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f11u<t • ukJr .. 'Ul'OlkK' ckl ~ 4mlllU' ... ~.10
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1o;u1"1tTli'c:1e l")'.~na., a ooBdiçllO de comomo 1\11 !iiUrcrf"ICte c:11c1Y1a d11
ro) -.t
lf) A ~11.1çtu dJfC'Jt:t11.Jal dll rnricWç.ào de' <'.ior' boc.-ou nào
1rrm P
.ft l 1n" 1W1<,.j~ rlMJ R perde cal~ lk fonrtaOOh.."bmkc 1.1n1
f lCl!ltA
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"' () ll'ICIU t llli•* pl11n11_ dhndro ou eU~1'11
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(•) Oaal' a &IX& vrvi•lllétncll ct.ecnçA!>deakw~.,,T
protJlaaas p1t1 111 t d1 lumbMnln Ili eopnh.aria (Fl)
h,(T,,. - T..:!>)
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~=à.:fT.. -T..J)
((") ~1dl$alr.ttul1\·b.nlOIOl'b
- - - - - _ __ _ _ _ _..:Cap=ft:::":o'º 2 • E.9_uação ele Conduç.ao Oe Calor
Tran,fer6nc11 de Célo1 e Ma5$1
). l ' l Con..idetC a C()fld1,U;Jo dti C:lllor imid1mt"nl1C_ml( pcntl~
le ·-~vi• de llfN:
llb1nL de Ulnl C•ICf. c.i)J~I~ e de Uml
C'llllta cd6'ea, dit ~pcjllllfl Ul:UÍOf'IN. wtn propl~ IC11Dl.'IR·
ll(:M; C01t.J..mc,, ICll'I ~ dt C11Ctll.I t~nmt•. A gcomc'ln.1 IM
q~I otcJITCri \·ari.;lo de IC1flPC:Jli1Ur. ..a d11f'\lo da tranúcftnç&a
de calor llllCU' tini
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que 11 upeuurn d• pQl e<kl d 0.75 m. !I dllcrtllÇll de t~npc:rat\1ra
cmrc llf " 'l1C1tlcic11 Interna cH!,lc:ni• da 1)111'0lk d
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llíu'Ode plaNI de I' cm de «~11ura tio 4() ttç e 28 "C. rdp0Cliv111Tttn1c. A v.pn:ulO r11ra vtsla~'lo unldlmon.wonnl e pttmancnle: da
1en,pt.1.ah1ta n• p11R!de'
(o) 11;') • 2&. H(l
(b) n•l - - o40x + 2ll
e.-) 11 ... 1 40.l + 21
Ct') Tl.t) 40rt - IO
Ccc1 ~ c:alOI uniforme.~" i.tm t1N1terial ,.aiUMtYO de fur.
maio a.fblCO com l cm dr chl11-.nro a vm. ta.u de U Wktn'. O
calor i dbaalplda , ... o mc10 ao ndor a lS "C. com «ididcntc de
IJUlfoNcii dtcalor'dt 120Whn1·K..A lempcnlW'I. ~
~
... _....
_
_.._,
dx
fl
(e) -k ;j; = h(T- T.l -
(<) SI C
•,q,
(J) /l(T - T.) • •,q,
1 <J Água quen.1e flui por um 1uho de PVC (k = 0,09'2 W/m·K)
~jo dll1ncuo tn1eroo mede leme otx1c:mo. '2,5 c::m A 1e:mpc:n:uu
ta daMipcrfkie intcmti do dll)O~ SO•C, C 11 lcmpe:riltUl'a IW llU(X'rfl
0
ele CJ1tetn:1 d 20 ºC. A taxa de: uan.s:Jen?:ndi dec:nlor por unid:1100 de
çonq,,,.ime1~10do L11bot
(a) 11.7W/m
(b) 89.SW/m
(d) 112 \Vim
fe) 168 Wtm
(t) 9ll,0Wlm
A oondia1ividadc 1c!mdc. dC! um t;ólldo depende d11 1>11.t
lempu::itura como k = oT + I>. onde a o b são OOfl~ilBlc1-. A tem·
péilltUl'I n.1 camad& ~ c,k:i;sie sólido à mcdid~ que condu.7 c:IJ01
d dada por
(o)oT+b-s+C2
{h) Q1'+b=C.x'+ C:
fc) oT> + bT = Ci1 + C1
(ti) oT' +bT=C1~+ C,
(~) Nenbwm1 d.as altM'l*tivu ~
(.llT a O
*
.. Orim como lrit'C) do~c ti.ubmctidol 11 tt.açlo
............-<Dqlll!l................... -s-çiodc
Cll.... pode eslrAlpf OS griiOS OU .JJ mesmo p:rv 1idàd"°' 1iC do
for.........,.~OllgQ(k • 0.SWho·K)é..,..
a:udo oo solo (dcti\"UDtflle romo ~ ~)cm c:a·
...-Sdt s •de~ o.,. n-c cmrac:m~coma
l -16'
,...... ~ . . flfOff'MNI de ~'llmfllllldor ll'llmlll\'O
16 pn cablu a 'IP• de: uua.íd&i.1adc calor• o"~
b' da~ e. ~)q!ICr fl'O'lllO dt ... ,.,..,. ,,...~io
dtcalor ••0 .....-iiMal ptnaWftlC tm •ma e-=-. t1l1fldnta ........
J*'I ~ ~&IÇIO dt 1co1pawm1 nci«••dda. Omo de
(Ol iNt • O 1<1 roda'• O
tlO~f.ead:n.
cu.a. a w.2 d.e c~a de calar e o "Dlw da ltfllp:tltwn: cro
1'4 Orra te fÜl'f uod'ormemco1e cm .... bura sólida de .e
era Jc lltlm<'U'O t 11 cm de coqit1JnMt10 ct • ~4 Wlnt<K), As
trf'llf"''"'"u "°"'ºººe M superlk.c dit. blnll Wo210c 45
"'f'W"b-.amrt1tf' A 1au dt l:'ft'llÇ<Jo dr dlk.1f na bum é
•e.
(t') 126W
oprogrua pn ct9C'J~ dlfft'lnllo dr~ dt«*WI
1-lfl EK1toa11D~d<<ompo-111m1n~'*'"'
c.n 1111•'•o <~• -~ • 1
fb> 760W
-
0
cab'~t~drc:oa1omodr:~ t:Wlt'9llt
~ ((llÔÇ)ú. ~·~toclic c:ondll;to plr2 llCa
{f) 1 02QW
(~) Ncafwmtl d.11 u.ltetftllU\'8S &ntC'flCJfe$
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ft"I 76 '('";
'") fi'17W
(b)-t!!!:=/l(T-T.)
(o) -.t d; - a.4.
A nnll(fftO ISfl i.cmpcrotun cm um;1 partde planai d«a·
mhud;i. pvr T(tJ '1' + lJ. onde_. ld n1. e
Con.11der11ndo
que a 1cmpcrntur11 na 6*1petl'lde d 38 *C. 11 c,1,ess1ar11 dll pitttde ~
lbl )< 'C
wpntliCleali.aMcaCQIU~'e!f"iv" ....... ~€
dc: dll t~ f
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U• Ouxo de c:alor :sol• f~illlcide ~•maca.Içada~
COCllduti~ ltnma t. llbsoro'W'idlck tol•
t ciotficttnk de
~ <k'ca.kw porcotrWltçio
otdKldopo1-.wo
dt' c.lftÇfO :i. pera o c6t e dc:s:prtLAtldo a uoai de nd1~ com. •
supttfk:ies eo fedor, a a;indJÇiO dt coocuno c:Orrtca ptn a 111ptrff-
(a) 'ltf)-l(L- t)T
(')'
• ....,,-.flol uitn..iir, 6 t metbdo • panir do solo e L 1. ~
J...CSJ C~cuma1:ucm1.,..-.,._.de~L.coo-­
n-..
Escl"C'la um tt1salo w>b1t a ,er-l'tÇIO lic c:alt111 c-ir1 "'9t.lôr1
dt combasdvcl l'IUClear ObltJ1ha t11f0f1IUl(ÕCS ..obre a Cllt'n..-0 dl
qunt1cbdc de c.aikv iuacta.. • \'anaç:IO n• l"fl'Çin dr c:akw com •
pogçiodos baslÕel e• ~lo da radaaçlocm11k.la j\Clo 11lt:t0 da:
r.-r. - 1 - 1.-
(itJ NCllhuwi dl~ ahtr1*1'+'• •~
M'+'.cb* ltnNca t e Ara da tllpedk.e A A tuperfttc ocpc:rda
da . . . - ~· c'f'C*& _, • ...,__ a llttllpCIUln T _com cotftamW de l~fcrmt1.1 dt okw A, cequDIO a ...,crfltK dif\"1111
i ltobda. A vw~Jo da ~m• .. pwcdr ,_. ~ào de
~~,_.pnçiodecalorl.
Probl
JJ.,nl'l.i•-.Jode 1cn1f!Cn11Ul'I dcau\l dc_-._q 011m111b é dada por
T- T,
(•) r..k ....... <•> C'AKAI gJlfMh.:. (d CMCI t"d"Mc:a
(.t> 1bdn
"''"'"' IC' w1)Cfitll dea.M ('amadi de trigo oom" = 3 W/m'·K. A
qualquer ..gw do IDDI> pen «llldllçto de e.aluir pcnNIMS!• Wl!iJI
memioul cm uma
cdénc1 pan qu;tkiutt cocnblJUolAo dlii
~dr COCIU'lr'ftO dt ~mptnlUt'I hpt"i.:ltil!;• cio nu\O.
c.lor cspttillado e de COll'VCOÇlo Ex«utc o proaruu. para ~•o
CtlqJIUdUti. dafl!ttl'ltü dll! conJ.çi)eoli de cua1,...., c~p«• fiClldls
°'"
co ndução de Calor
Pe rmanente
•
N
Wlue da tn1ulcrfnaai de calor. muitas YCZCS cswnos irltcn-ssados na
tu.• de uau~eifnda dt calor atra\ú do meio sob cx.diç&s e 1e.11ptn·
1.ns !!oupcr{K&ao JlC"l*lClllO. ()j, problemas podem ser rcsohidos íacil·
sncl'llt ~ eM'\•lw-r cquaçio dJercacaal. por mcao da mrrodoção do ronc'i10 M
rrJutlncln ''"'"º'de runu aVklga.,.. probkmas de circu-ho elétrico. Ne..\.~
C2'd., rc.u"'º'"' 1Cnrut• ~pOnde: à miscêocia dt1rica. a cliftrtoça de <ecn--
pc-rattM• coot'pondc l tcaWo e a wa de transfertocaa de calor connpoodc A
1;.orrtritc cklrK4
{o~.JIOOI Clle 4.!11phulo com~ ronduçõo df' calor unu:linwnsumol ~ntl(t•
"'"''em rar~dt- plan:1. cm <lhn.Lro e cm nJcra. e suas reLlçõcs dc:sem10Jvlc.:l;u par.\
frl/Tt/lf•JU• ttnnlrul. ~11•vhc1c11 IV'!"', la111llém, 1cli.i;:Uc:':I J;1,~i~11~ia 1611uo.•..i
pua «m1.hc;6o de 1.:01,\>tÇÇão e r.Wt.3Çt\o ruJS fromeitu. Aplicaremos esse conceito
rillil r1ohkm.11 de conduçiu de calur cm m1ilt1plas c-umodm· de paredes planas e
trc'"l'lf'll M'I ullndrica$ e e'llénca...ir; e gcncruli1.aremo'i: esse mesmo conceito para
~1, 1em~1' tltl~ tnvol,•en1a1rnn11ft!rê11ci:i de c:ilorem duas oo 1rês climen$ÕeS. Discu11rtmo1i 1a.111bém li rt~iJtt1r1~1a t(rmlc:u tft CóflUllO eu c:a<jidcnJt glob<rl dt 1n11u
Í"''"d" IÍt• Có"1r e dt,-.cn\·olvcnmo~ rcla~·l"ic:~ para o ra1u criltco de 1solamcn10 de
c:d1Nli'n e ele cdc111. Por úl1imo,nbordnrcm(l.' {l lr:tnsfer~llCia de cnlor pemu1ncme
cm .)11/Jrij(f'lf'.\' tJ!tl(tl/f1v o alg111n11s goomcuia~ complell.3!1 <;ornumeine enco1urad:lS
'"' fl1lill(!<1 j1Q1 111010 do uso dcfi1101~s dcfol"ma de c:1111durão.
lllJrnVOS
.. .....
,,. ........." "'' "·
UJ>Ol.
cam~oa.......
• ttsrStflcia
atna.ca t suas
l1t111açcese~uu
""' .......ll•Cll 11..........
,,.,_.,., llfll<os clt cllfldoçio""
.....
pmbltmn de COf'lduçae
• ResoNtt
perm.a.nente en'iO veltdo ltomftria-s
rtta11au1:ires, c1llodr1eu CKJ
esré11eas.
uma comprten slo
• Desenvolver
Intuitiva sobre a tes:istblcia tkmlca
de oootalo e as ci'cunsUne1as tem
que ela pode ser slgnllicat1va.
aplicações em Que
• ldcn11flcar
o 1sotamento po6t realmelltt
a111n1mta1a111rnsfmftncl1 de cHlllf
Analisar supertlcies aleladas 11
avahar como as 1!1eias au1nent1m
a transferência de calor de 101m1
eficiente eeficaz.
pio~lemn
• Resol.,.r
niulhd1mens1on1111rill<i0s de
conduçlo de e1lo ulll1un<10 falores
de form1
_ _ _ _ _ _ _ __:1:4p::"".í:!:tu~
lo 3
,
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)"(."
Scp:t11.1Kio ~ \1Arlivci1; na cquaçto 1uucfi0f e iu1t~o de x =O. onde 7{0)
• T1• •a /,,. C)nde 7'L) • T2, ot:aLc:mos
J - 1 CONDUÇAO OE CALOR PERMANENTE EM PAREDES
P AN/IS
li "'C l "'C
}"("
"(
1 '("
A t..-iukrt..:&11 diil' t.:•klif
•1111..-6. da pal'l'dc il urid.1mcnst..>1wil qu.mdo
• "'11ptn11nu dl ~.k 'llrÍll t!m 4n1..:11
~1..çto.
Considere • cooduçio de c;a;lor pennaoente aira\~S bs paredõ da c1u dtm1.11le
UJJl d&a de ln\'CfUO. Sabemos que() cMot-é continu.iu)t;ntC perd;® fW3 foni llJ'iJl\•éç
da parede- Sentimos. pO< intu.l(.iO. que a tnmsfettoc a de calor atra\'6. cb pucde
acon&cee no~ ntHJtW à M>I <:uperficic e que n3ooeotte cransferênc.a 'igtufa.
,..__. .. , t'm uutras duo;õcs CFtg. 3--1).
Recórde que a trans(cmtcia de cakw em tttta dl'tÇ5o ooom em ~11
do1rad1nt1t dt lt'lft(Kf'Glt1m nn.Y d~ Não eu!CC wnbuma 1nnúcrfne11 de
caklr n1 dUcçiO em que nlo hajl muda.bça na temper.rura. ~ted~cb ~lu·
n c:m drios locatS da wpcrlKie intcm:a ou extemi cbpamleronfimwiO ~ • w·
pctfkte: da puNc t qu:nc 1sotlmtim~ lSIO 1,, as 1empcn1wi:s u parte l1e ~ims ~ dt
beii;o da wpc:rficle da psedc91$$im como o:a:s n:ttcn:idadcs ds:rri11 e esquerda. l.Jô
\(Ua.<oC 9$ "'°'mas Portaoto. nJo bi mtâdcr@'nc.a de c:akir aunés da J18ftC MJptriof"
s-- • 1afmor da pamJe:.. ou da esquerda para• dinua.. mas erjStt a considtrivel
d1ím::n.;.• de acmpcrutllt'a entre M supcrfic:ICS in4ema e ~.lk.°'t'M d:t pattde. port:mto
bdi tn.osfcrtncia dt c.-alor stgnifieariw no seotido da mperfkic inlefna piU'D c:r.1cm1
A pcq1.ttna ~pe..uura da ~n:de fa.t com que o gradit'mc de te:cnpcr.uum nc:"'..a
d1rcçi0 •P ~de. Além di.,.so. se as tempcratur~ co ::ir 1nlemo e c.ucmo da ca~a
pr_nnaneccm consutmeit, cnliiv • u-~o$fc:t'êncla de c:.alor atr(l~ d:a p1u-.?dt> ~ ,..,,.
pode~ modcladJ como ptrmon.tm~ e "mdim<Mitnat. A temperalura d~ p~.
ne»e ca.w. depende de única direção {por exemplo, Jjteç!Q :r) e pOde ~r cllpr.e'-\il
como nr>
Note que~· 1.ransfcréocin de <:nJ01 é a úmca inte.11ç3o de energia cnvol...ad::l nc:i
~caso, e que não hA gernç5o de calor. Assim, o bol11nço dt' tt1trgia ix11a n p:ircdc
pode 5('.rcJtpC'l'-"!10 i.:omo
0
1~~11 1.le trrutsfcrê1\Cit11
(Taxa de trtlu.)íe.rêocâ)
1).1n:Jc
p:if(:de
(
clcc11J0tparodc11lf(ldn -
dc caklrp;-.1-:t ío111dl
•
ª"' -
decn«gh1imema
da p(wecle
áP.,_.
!. .
...
Q~....,,_.dk• -
Concerto de
L'
J
A:AdT
-1,
''"ª
A F,q J-) pon coodw;io de calo< Alr•vts de pot<dc: plana pode..,. =rganazada
e<>mo
w
onde
~a r(JIJtfnc:io tlrmlc.a di1parcdcc:onlra ~1 conduç-Jo de calor, ou simplcllmente re·
(Taxa de v;irinçfto)
ou
.
.
Q..,, -
(3- 1)
dl
fl'lt~ntl11 <le condu\'ffo dll parede.. Nol c que a resis1ência 1érrnic<1 dó meio depemk
Jll lftOmettur e da!l /JIW>rle~/udf~' t~n11ica.r do meio.
611 A lirc,í#t~ncin
d
1 1érmica pode ser expressa comu R,......,. = ó.Ttfl
~4,_.u,,que
, ra7 O • c:c.nc uçlk> potencial L\ r 1>ara a C01Tcsponde1ue taxa d~ lnlnsférênda
Q.,.,l,_N,
h.11 eq u~l\O 1>1trn lnmsfcr~DCia de calo!' é andloga para relação de jlu.xo de
c-urrrmt' tlltdca I, Cltp!'CS5.il cumJ
Mas dE,._.ld1 - () par-.i operação pennanemt!. uma vv que nfü) há nenhuma
mudança na lcmperatura da parede co1n o tempo. cm qualquer p0n10 Pcwun10, a
U•JC• de transfc-tência de cak>r para demro d.a. paredede,·c ser 1~031 A wxa de Ctailli.·
rcrên<.ia de calor pmi fora dela. Em ()U1f3S palavras.. a la.xlJ dt 1m11sft'rl,rcfo d,
rolor011m;l~ da partd~ tÍLlY Mr(Y)ll.uanu. Q._..._,..... = con~an1e.
Com1idcrc 1 parede plana de tspessvri L e cc:GdUlivicbde ~nnica mêd1i k
As du.u wpcrftCleli d.a pai'edc são maniida!I< a temper31UtaS consca.ntci T1 e T1.
Pan conduç-iO de calor Ul'!idimensional pennanenLe acn\.'ês d& pattdc. ICmõlS 7l •).
F.nliO. a lo de Fountt pon cooduçio de calor oa pomlc podt >« .._,.como
.
n
0--=-Mh
oaJc
Fl:UU.W ~~ilopem• ' t
•ddlriboçlo. lt.......... , . . .
pbtla te cM . . . . .mi
a'"'ª
Conduçlo de Cilor Pefmamn1e
r, .
,.
~
J
•
!~•Aio.o• ~dttnc:•
FIWU 3-3 A....,. C11trt OI ~OJ
& ~ Wrnc:ei e C'tctnca
ó--·• ma""
""""""' c-1açõe> ~l<S é lmho,..,, (Fig. 3-2~
" "
v~v-=-v
(W)
de tnn>feitn<•• de....,.. poc e<>aduçà>
porcd<
A *> COM&antcs. A~im. ãI/d.-.; = constante. o qa: sipif!C"3 que a /tmf"'rTJllltn
(lfru•'J tia pamk wria l1MOnM1tU conr ..t. Isto i.. l drstribliçioda ltmptrarura na
• T,
0.1
..,...'·
•.
f ..
Capituk> 3 • Conduçr.o de C&lor Petmanento
"
r.
!l.
,,!
"N>MIV'•
-
• T.
- 1
t. 1 rrr.fistlncia 1énm'ro da superffctc de C(M)Ytt.'Çâoooo1ra o calor, ou lilmpteil'l\Cfttc,
a eublfocia dt ron\ttfio da "Superficte (fig l-4). NUllc QUiie; quando o cod1ocuP! de con...ecçio de 1r.m.sra~• de calor é mnnu gtanck (h--tx.). a rcs...:tl.1~11
de ~~ torna·~ md4 e T~ -=- T.. Isto i. a $~rfic1e não oJ~rff~ qt1111lqw1
~JUlinckl d cvmttróo e. assam. rdo tOl\'lll mais le:n10 o~"° de 1ran~fttêt1C1a
dn cal<W"- E1st 'ttua(in e abon.bd:J. m. pri1iea. cm 'uperfiaõ tm que OC'UClt'm
cblhçio e~ Qbsen"C também que• saperik1t: mo 1em de Kr plaina.
A 6q ~ da rcsrSl~ocaa. de Cúd\uçio 1 \;Üid3 para s11perftcao de Cf112kfutt
ronna. dc:We que o~ de lt = conKiMHe e unifOf'l'l'llt sc:p l'llellÍ~l.
Qundo• poutd< ·-porps.os tfráosdo ,...;w,-ooquc.....,. í~
11é q:Ota podem $CC \igP1f'icab'Y05, de'lo·mOO. portanto. S('f ~denldM A tua
de tran-..ft:rêftcia. de calor por radiaçio cntrt a supcrf'fltie de cmab11rt<bdc 'e fm
A,.. na tcmpcrahara T, e m supcrftcteS ao redor na 1empenuurn média T,.., pode ~'
''Pro.w romv
T
T
r.
w..
w
T,
'--- r~
1
r.,-r.,
f)• · - ... · - . •_,
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v, -
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1
• 1
é a 1't'.ds1bu:ia r~n11ict1 da supcrffc1c C()l)lra a rad1aço\e> ou a mlstf.nch:t dt nidil•·
\"J"iCl, C
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qul;lnlo T\. dc-l'cm cslur tm K na a\'àli~!M> de h,..J· A deliniç!lo dn coefidcn1a de
Jrnn.!>feiênda de calo•' por radiaç~ nos permite cxpressat :i r:ulinç.1.0 con\'cnien·
1c111enlt' de manc1ta aniiluga à con\'ecção. na di(erença de tem1>enuura ~"hl\ Ir,...
Jepcndc forlcU'ltlllC da te mperatura. enqwmto li-geralmente nlin,
Uma !oU.l>ertic1eCXPQtila au w·circundmite t O\'nlvc ('Onvecçio e radi:içi:'lo litmul·
1otneamcn1~; a t.ran'1"erência de calor total n:t superíícic é detem1jAad:i por adição
(ou ..ubtrai;io. se ror no <>en11do opóStO) dos componentes~ 1adiaçJo e dicoovtt:·
çio. As rc..,istências à com·OC('.ão e à radJ.açiO ~paralelas en1:n= si, romo mo.\lrado
SLil F11- 3- 5. e podem ca_U)il' alguma complicação ná 1ede de f't\l"1-lloc1as tê~ ..
Quando TNI • T., o efeho da radJ.açiO pode ser de\idamcnlt contahdslado, ,uh,..·
1i1u1ndoh Rol rr:Jaçãoda ~l)Cd dccm\1«Çlo
~-,...-­
por amwc.\"loC ~Jo 1111 -.pnfk:&
.. a
Agur11, con11dcrc a 1111rurc.renc1.1 de calor un1dimcnsiooal pcnnancnte através de
'9Jn::I ran:dc pl;ma de tSJlCMl.I'ª L. 4rea A e coodutiv:idOOe létmica ktxpo$1a à con~
'<c<sfo t1111u11bo!I oa l.:idos para Ouidos nas temperaturas T..,1e T,.1 com rocficien·
le$ de 1r1n5fertncia de calor h 1 e h2, respectivainente, como mosltado na fig. J--6.
Con~idcrlndo T-l < T.1• o ~·u.naçio de temperatura será oomo mo.c;trado na figura.
Not.c que n1empuauua varia Unea.nue.me na parede e se aproxima de ronua assin·
IÓOC.P de
e.,~ IK16 Ouidot. h medida que nQS afastamos dn parede.
Sob condlçõc.s pcrmant1\lts, temos
r.,
d o c;oencJenle de transícf"tUtia de cúlOI' por rí4ditt(âO. Úbllt!M cpic litn(O 1~
A
V
'làxa de crmtluçtio )
(
rl~ 4-"fJftJr através da
parede
(3-13)
qae podem ~ reoiipnaudos como
(J- 121
oaJt • .... i o codkit:ntt" de tramfr:rtnda dt calor combiudo. ~ no
r...... IOcla>., complnçlles associodas rom nld~
Cap 1.
°"""
"'"''"..ia.
.......
34 Rcdl. ~ tMauai dt iram:fetfoeaa. Calor atn~ clt u~ p3ttde ,w.a lli.bmrtida.
(OOWOfkl c:an ~ Of lildol e a anaJoa,.a t:l&ica.
Rede de
(Wlm'· K)
·-
•,,
I
'
1
T,
o-ti
onc)c:
H
"
T
(3-141
.......
mw
_ _ _ _ _ _ __ ..:C.
::!:
pi:l•
::::lo:.:3:...:• Condução de Calor Pe1m1nentt
Uma vu que a 18.X• de calor es.1á calculada., a E.q 3-l4 pôde ser usada (Mia
dctenninat as tempe•aturas in1cnncdt.ás'iu. Ad1ciooando os m.1meradures e ~no­
m111lidores desc00cno• (Fig. 3-7)
wmk:a. m•• mmando • 11uperfk:i.c ew que u lewptniu.tra ~tá par'* ser del:erminada
C('lmO um do. tt'md1WJ de superfkte. Por o:emplo. uma vc7 determinado e vaiar
ICtnl)l!flhiJ'I supcrflci•I T1 pode 'iC:t detenninada a partir de
de
iJ,'
Q T. 1 - 11
...•,
~
:~:
• ,
~,
J
•
-
...
l
'JW
O.li
"'*-
que a 6ftt de L-ansícrfocia de calor A é constaalt pua parede plana. e t ma
de tramfct!PO.a de calor tua\Ú da parede scparaodo cbi mei~ i 11ual à d1fereoç-.a de tcmptta:n:IU (T• • - T,.i) dividida pela rtstslência tinna ioul anrc m
me.o '4oce wnbéa qoc as~ l6mic2s cstiCt toa JI~ e • Ma!Uinc.ia ril'
mtca cqwvalcnk ~ «tcmuad:a pela simples adição das rcs:ucbw:ias mdn·ido11J..
dl me~ forma qu:: rdist&lctaS ctécricas OOQC(:Qd;ts cm shie. Entao. a
~titncl aind.a. se apatca. Resumindo, a 111.Xa tk mmsf'-rlncia tk <nk>r
,,11rr dua.J sw~rfícrts i iJtual i) áif~rmça dlt ttrrtptruluro thvulula ~liJ rrsu1l11ci4
1lrmJc" 10wl tnlrt 'ssas dJltU su~rfic•"·
()uua obe.tt'vaçioquc pode §el' feita em rcb;5o à Eq 3-IS é que 11 ~entre
a que<b de le-mpcra.ura e a resistência térmica atravâ de quaJquer camada i oon~·
tante. cnt.10 a queda de temperatura alt'avés de qualquer camada i proporctoml à
resbtêncfa térmica :la ciUllada. Quanto msior for a rnistêocia. maior .sel'li • q~11
4tc 1empcrutul"3. De fato, a equação Q= õ.11R pode ser reorgnniutda como
•rmlos.••
f>ttmall'"''
R_. 1
T.1 - T,
[3-20)
u;;;A"
a
Paredes ptan
flii• prMtca. m.i1l&l 'ttzt:I mconnmos paredes planas que COOStSlem em titias
canwdD de maecn.u dlftm11t:1. O conceato de res;Sl!ncia s6nnic:a aincb ~ser
uuJu.do pP ddcnruau a &U• dre trln$Íe:rfflcia de catar pcnnsnente ab'B\"'ês ~
ui partdtt ""'1fPOlltlS- Como você já deve ra adn-mbado. wo ~ fei10 sioples~
mcooe
que• m...Cn<,. de ~10 de cada pomle é IAA. $0odo
hpd» em Mói: e usando • a.ulogja c.wxa, ou seja. dividindo a di/''"fª tk
k"'I'«'°'"'º cntn dua.~ 'liUpcrffoc:s cm ccmpentu.n.s coohecidb pda "su•llfCÍll
1t11al cntn: ela.
(~tdcl'C Uml plltôe pl.lJ>a que C()llSistl' ~duas aumd3s (como parede de
llJ•)"" com uma a.o:iada de lwl.amen&o). A t.u.a de transferioaa de calor~
nenfc alrlv~s dcua cam•.i• COn•~la de duas pattdes pode set ex.pressa como
IF11 . .l ~I
-.,>ado
",,..;(ª
T.
,.
'
13-21)
1 11'
indicn que a q11eda dll tempef'tl11tro nll<Wés de qualquer camada t i3ual b. 1"Xtl d,.
t1Y.1"'-'erft1da de cfdm· "eze." a re.vistê11ci(l tén11;c:a dessa camada (fig. 3-8). Rocot·
de que i"Sº tambémé verdade pàl'a fl queda de. 1ens§o 111nwés da rt'$iS.têncin el~tric~
qut111do a co1Tcn1e dé1nca é constante.
_
_
Às ve:z.c~. é oonvcnie1uc expressar a tran'ift:rênc1a de calor n1m\•é11 do meio de
muncira nmUog~ à lei de Newton do resfriamemo como
r... .
I .<AI
WJ
13 111
13 2%)
J'D1oJc a
r.,. ---
"'"" 2
1,
onde ué o COt:Rcieote gl~bal de transferência de talor com a 11nidade \\'lm · K.
O coc!kieot.e globll de traas.fcrênc1a de ca)Qr t geralmente usado cm c1Uculo11 de
tran~fertnd 11. de calor associada (:()li\ troeadorcs de caklr (Clp. 11). Ta1obtm é uia•
do nos c'k:uios de u.nsfcrência de calor a1.t11vés das janelas (Cap. 9), comumen1e
referido como faiCY'U. A comparação das Eqs. l--15 t-3--18 rc\·ela que
1
·- 'l ·- l'·"-' .
r • • -4INI
J'C/'fl
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l) "CJW
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...................
111ôU1ll:J.
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-~Winna.
,~.
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A
"
C3 18)
fOr1MCo. para a midade de úea. o ooc:6eieete gklbll de.1ransfe~a de cak>r é
1gUal ao 1M-uw dl> total da resi:s:cência tétnllca.
s... que o1o precisamo> coobec:er os i=peniuras da supcrlkie da pattdt
poniaval1..-suaUDU1deinasfem.:iadecalocpermanm1t. Todooque~
..ber ,jo COCÍIC...... de ttallSfer@ocill de caJoc pO<~ O .....,.......... do
llwdo.,. ambOS JoS 1 -da porcde. A
da -tfki< da pmde po<I<
ter ddtrmloada. ,omode$aito anltriormente. wlizando o conceito de ~asa!naa
,...,,.,.mo
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> • Redr• ~~pera~dccalor...ade~dl'l'Ddal
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Capítuto 3 • Condução de Calor Permentnte
Transfe16ncl1 OI C.lor e Ma~sa
·-1
. _. ._
.--..,_ r,
T~
Os sub5érllOS l e 2 nas relaçõe.i; de~ anteriOC'CSi tndUm a primeira e a iirgund•
cam.ada, rcspecriva.merite. Também podcliamos obtu ~se iuuhado ~guindo o
mttodo 1' \itilb.ado para<> caso de camada única. pelo f1t10 de que a 1axa de t.rfln•·
... à
T,
.
fetf_ncLa de calor pcnna.nen.le Qatra'w'és do meio mutueaiuada é OOl\stantc. pOJUln·
to. ~'e scr 1 mesma a.s.ravés de. cada canuda. Em relação à rede de ~~tlnc1a1
léntUCU. percebe-# que as mi51êne:i.U esi.io mi sbV. ~im. a ttrutl."1t;fJ rbWti·
ca to1al ~ ~te. a soma an1ntlri<:d das diferentes f'C$istbldas ténnte11 no
camuiho de 1tansJ~a de calor.
Es..-.c resultado para o caso de dwu tt,llftt1t/as ~ arúlogo ao ca$O de c~Jntada .m;.
co. e"cdO qundo a tnUfl.ncia adiri>tW é~ pua NllltJda OthnOft411
·-· ·-·
.·-
'~
r,
Es.5C ruul&d> pode ser esac:ndido para patedcs pluas que coosisarm cm t'tls o.
MOU ~. corn uma resurtncia atTICiolMJ pa:ra cada CQlnllda adK1()11f(llUma vu conllttidô o valor de Q. a wnpenmn. superf10al T1 de nkx db·
aJOll<(idg cm qualqoet supcdkie ou mledaoc j poôc-detcrmla>ds a ponõr de
.
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P'.n11tWT, ó • ~_:7-
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Plltt tc"*Trâ • lf_ , t ~-•
P-ac:wT ó• r,- .!..
1'.-lj
AO At dual• wpcrflclt:a da pattdc. 'lio manúdas .r:m tempttaruru cspcdfi·
1.ILI••· /4. 1•u ik pcrdli Je calor aua~ da ptdt dcYe ser dtttsminada.
J A trand'crê:nd• tJc calor •tn1.."'8 da paredt ~~uma vct qrJe
p llrtl J"tft'IMU ftl NpCSfklC pcmtllllOOrm «in~ _. ~'al(lres espeatbdo&.. l A
~·draJoi-é\llud1fl1C0....... qu1lqlicr~~fiabYOde ~
cxnR,. dlft'\lo 1'*'1» Plf1I frQ.. 3 A COIJl.tub'idM ~ éaJlaiUIDIC.
A aiftlMl\tldade lá:mic.a é A =- 0.9 W/m·K...
Olblitn"Mll'IO. . • w-icmiaa decab-lh\<Úda parede/ pcw-ooedoçioc
1Wta•,_ok t: A• ) • X S • • U m 1.a m.adeausfctbciackcab'pcnne._. .. ...;.. dl plfCllk- pc* ta deoe:numda • f*tu'"da Eq. l--l <UDO
(} • AA T,~ T1 -.(0.9W'-'=>ClSm2){l~~-C =
_
,..._ .................. ....i........i.a1or_ ..........
~r ~uaodo~sodt~Wnna.
Q-~
R-
oode T, i. a temperatura coMtcida no kxal i e R.,,. , 1 é a resis.tlacaa 1ém:uca toul
r.,
cnlt2 os &ocais i ej. Poru.c.mplo. quando as rempmituras do nwdo
e r.l t"tSo
c.h$pónÍVcis para o çaso de duas camadas mostrado M Ftg. l 9 e Q~calculado a
parur cL1 Eq. J-2 1. a tcmpetatura da interface T1 entre duas paredes pôde ter dtttr·
01m
(0.9 Wlm•'CJ(IS m') • 0.="ÇIW
minada a partu de (Fig. 3-10)
A IC' À\"llla(aoctaccmpc(l,IUltl
d11 M111Cffkie" d11 uucrrnr.e qu11ondó r.., t
T~ dO dadu" Ó4 \'.l lC\llido.
·
T.t-T1
Q•~.1+R,....-.1
n
(3-241
A queda da temperaturu através da ca.mada é fncihneo1e deterffunad:t a pari Ir da
Eq. 3-17 1nultiplicando Qpela rc:si.stencia 1ónniça dn camada .
O conceilo de resistência térmica é arnpltuncnte ulili1...ado ne pl'álic11. Bíác11
(lc ciornprcendcr iutuiti\'amente e tem provado ser unua feri·a1»en1n podé1'01U1 p1ua
a ~oh.ção de uma vasta gama de !Proble mas de rrans.feréncin de C.álor. Contu.do.
~U3 uilliZlllÇ-i<> é limitada aos s15lt.illaS c m que a tllll de m.m~felincia de ca10I Q ~
mantém consrw1te, isto é. sistemas que envol\•em transíerência de enJor /Jt.'rtt'lnnt'rt•
te, sem gtt<tção de calor (oomo rcsisiêocia de aquecimt-l\lO ou rcaçõe11 quimic.11•>
•
( 16
2) "C
Q = 0.02222 "CJW
õJOW
U.te 6 o mc11mo r6uh.ado obtido antcriotm('.nte. Note que a cooduçio Oe
tc-mpcnuuru cspccif.cadu nas superflciea- ~
•t• dccc:nn1J1~. de ronna dJre1a e simpk11. ~m utiJixar-se o oooocito de m istêoci.11
tt'nn1co Nu C•ll•••IO. o conceito de rcs:i.stklda térmil'116 uma rcrramenca valiosa f:lll
111oblcm•• 11c trt.'"lctf:1Kli.11 de calor moit complell.Oi, como YOOa verll i>e» cxcmplOOI
~11.11 11111W~ da fMlu:dc plana com
• ,r.11ir AW'm dluo. os unidade\ \Vhn·•c e W/m·K para conduúvidadt ttrmic:a sAo
'-'IUl\·•lt-ntc• e, poria1110. 1:1erruuL~\"eil.. Es:u: 6 também o caso de "Cc. K par~ dffc:r<o·
1'• JI! 1rmprnMura.
ckntrO d() meio.
CXCMPLO
Pt.rda de calor através de uma parede
QJuaiJttc uma parede dr 3 m de ai.luta. S m de larpn e 0.3 m de n;pessura e COI!
dubv~ 1iénmca t = o._9 W/m· K CFti· ~11). Em um ~i.nado di-. •• ~
......._.da& IU~ m1etna e- wema da paro6e do 16 e 2 -C. tt:1~1~atDC111C
OcK:on1.1111t a tua de pcnt.t dt calor s.n\ob da pucdt oeue d!L
Perda de calor atra11ís de uma janela de painel único
CufllidrJt wo1 ,.neta de vtdro de 0,8 m de altura, 1,S m dlC Jargvn, 8 mm de~
... e '"-' ~idade 1ém1e11 ! = 0..78 W/m· K. ~cnnine • w.. de tnn5fcttoaa dr
,..a,. ~n1e • lnvQ dCMa ,.oe)I de vidro e a tcmp:::ratun; dl ~ inla"ld
,_ ,
,., u '-'•• «'HI Qlk • ull mA mubdl • 20 -e., enquoto 1 tempcnbnl cxtema '
•tF"
_ ______________.:C::•!::
pitu
:::::l•:.:l:....:• Cond~ de Celor Petmanente
lllJDL _ .!l!!r1Mfertncl1 de Calor e Massa
(('Ollr;-rdv)
- 10 "C. (;on!.lderc os coeftC.c:oies de mmferêneia de calor JObre •t> cupcrffcic~ m
temi t: ttlrml da )Ulc-ll ~a Ir,
10 Wfrrl'·K e .\J = 40WlmJ·I(. que indocm
°'
det10I da J'ldjlÇic).
-._.
'SOlll
IO'C
._ • ..,w1rK
A,• IOW/W K
O Coni;;idttc a pcrcb de calor atmú dl JMtla de vidro [)daml'*' a
w.a dt tnru!tltaciadt- cab" ca\1lfs; dapnela. t: • I~ ~td&l dl wper•
~· t A U111Utchaatkc:dor~dl jlilw:b 4- pemuairmt:. 11t -.pcn
wdM.~ pua
• COmalllC$ OOl ~c:sp:c:rf · lA uwfe-
~·--da pomle
6....
...
""'"""""'.,.......~ r.........
de- 9allpC:nhld c:UsW ~ u.cin:çio "*'111- 1**fon.. J A oottdWridldt em.o.
A-idú1!11111<.tt-o.11wim·K.
..,,._, •.
'·· · - t
T
- ~12
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T
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Ef<io<mop..,.o
Eooo.,.-.......,,...-...-dajon<lade•.i.o•...._ao
,....,. YJPSflçielS ir. pode ttt milb bem tr.uldo pda utlh.taçlo do cx.tt.-0 de fdtl..
ltnC:ia irmuea. dcscnbiwldo a ttdc- de rmsci:nclas thaticu. comO lnOW"ldo M ~li
~12. CJbKmlndo qoe a *1:a d:lJ3nebi
= 0,8 m X 1.5 m =- 1.2 m~. ai mu1l:o-
'A
Perda de calor através de uma janela de painel duplo
[A!MPLD
m dr altura, l .S m de brJun oompost.1
par ..t...• pl.c#de"Yidro(A • 0,78 Wlm·K)dc 4 mmdt~ra,..sqwadaa por
ctr-i.º dt-. 011r•ado Ct • 0.026 Wlm· K) de -10 mm de larpaa. Otrbn•une 1
<"*~ ull'llJo'll'lr:LI de p11nd duplotk Y
J&nda
Ido• .k t1•1ertnaa de caJor- pc:nnaente ~ de$U
de paJõd duplo e a
~_, cM • lililpaffae aalcrnl oodiaemque •sala~ a 20 ~cnquamo •
.......... t_slC'l'OIÍOf-10«(:.~os~dc~dtcalor
("°' ~ -*""-.. ~ MlkrDI CAtcml da JIOCla
JOW/rrl·K
e t, • 40 "- '9/ I(.. . . -1um a. dab damliaçio.,
e
S
ÇÃO
c-. ....
à1 A
-
I
(10 W/m1 ·KXL.2 m"')
~.l
·-'-=
Ir.,/\
* ._1•••·
~ b Jw.~~.como~naFi1.>- J3.~
\fllC' a •ca dl )it.Mla l novamente A = 0.8 m X l.S m • 1.2 m'. as ~u:tl:ftc1u
IOJl•1•iu.llt do avilo4adu a partir de $1M11 definiçõe:I
-'-1
Ir,
A ( 10 WfrrtJ· K)(l.2 m1) • 0,08333 "C/W
•0 08l33.C/W
'
Jt
•lt,• R....,.-~ •
i,A
H1 • R. •.C.,,"
n
I
•().02ú0l3'C/W
(40Wlm'-·K)(l.1m2)
R.
R,..,, = R_, + k.., + k,_.. • ô.01!'.!33 +0.00855 +0,020Kl
11••.i-l(,-,1 1 H.,,..., 1 +R. 1 Rn1..,2 + R,...,l
0.41)2 "CIW
1 n«•l'I. a 111,11 de tNLntfc1tncla de cnJor permaotmt auavés da janela se 1oma
n.·r... ·1 .. , _L20 - (- IO)}"C=
w:
Cofttaoccndu a tau de trans:ferhlda de e1tor, a tcmperatun1d11 i.:uperftde intcma da
Jmd• de vidro peide a dece:munada a partir de:
T,-T..1- ÓR-1
= :io'C -<266WX0.08JJ3'C/W)
pcrlbln aupr1ficial é~ indestji\'d.1"U ~qoe pl'O'l'(lta a forml(lo de
-·-ti"'*-
.- tcbre. sopafitJe Ul!etU do vtdJo . . . .
R..,.
-
0,4332 "'C/\V
;t,J V
lfll~ ~ cc11;• de" Jo ~Jt!Klo obtido oo c.xcmplo 1..n1e:nor. h;50 CJ1plica ii 1)C)pll.la:ii.·
it.Jit d•' J&fKlall de pkmcl d1Jplo e 11é lnplo em clun&S trios.. A rcdvç:i(I ~st.iea da
tau dt 1rui11k1blcla de calor. nci.le caso. é õevida à pude te115lênda témuca da
c:11"*4I de a1 CJlll'T Of vidros,
A lr •uperatwa da wpedJc;lc illlCf'lll da )llXlL DC5lc c:uo. &ed
1 • T-i
lliwmff J>\Ju .... a ....,.,........ da supa{ig< àltlftll da JINb de >idro e
... 2.l -C. anbora • tcmp:ftWa do a oa ata stjl IDIMlda a 20 "'C_ &si buu ~
-+
•O.llm"'C/W
• 0.08333 + 0.00427 + 0.3205 + 0.00417 + 0,02083
• T., - 1"., [20-(-IO))'C
\\
Q-~- 0,1127"CIW - ~•
IDr$MO.
OOJm
10.Cl'Ui Wln•·KJ(l.2.,,)
0.004'2'7-c/W
1
1
R{-.1•1r, A ,. (4fJWJm'K)(l,2m~) • 0,02083~W
fl.t1llo, 111au de ln1m1ferêt1eU. decalOf pent1a.nente atnivts da jllllela é
-.o. Oll. -
0004m
(0,78 W/m·K)(l.2 m')
CJMi:r'lul'ltJu lllte A)'. IJb re~t~e.t1cl~ c:Jtio cm Jdoe.. a l"CllJ~l.êoç111 IQC11I ~
= 0,t 1'21 '"C/W
-
;-tadepaoad~Duamiuuomde­
f.Mt e:~' llJtnbço• antimor. CACdO pdo tMOdt q. a peda ec:m.
.idrO • l Dl'I de apawra l 1&1bstttl.Ada f*: dóis ~ tcpandCI& com espaço de
10 IUI
pn:e.-hldo a:1m • «~ Portanlo. a ftCk de rt$1Utr.cia
...-. dalr ptrtblcru c:m•oh~ dU&s n:st.Mhnas de ~ .&::.onai's a:ims-
R· • ~-~OOS__m_=O,OORSSUW
'""' kA (0.78 Wtm· KXl.2 m'l
R,cR
como•. -
tfllC.••cab~da,_a.ea~da~irlrttM.
c.u iodmdllld são aftliadas 1 pwtlC(,k JU:l.1. dtfiniçõe.'J C(WnO
R,-11_ 1 =_L=
:OO"C
-
QR- 1 = 20~ -(69.lWXO.olOJJ'"C'JW) = 1
lflr f ~wlmc:alc ..U .._.do que e. - 2.2 "'C obôdos ao acaplo __.
""' ......... a J-la de ....... duplo . . - f i c á ...i.;..ia. A jllda de puno!
dlllplo ......W. mluzd O pMo dr: calor DO talo~ auira.. ftdmid.05CUUOf de•
11'Ull 3-13 E.qucma . . . .
Eumplol-3.
1 CF
.,.
=••: .....------
Tramltrtoc.. de C.lor-=...=•:.:M=..
lllldl!A é 11 l.1~• nparemc d4 inccr:faoe (1111 nlt!ma que a ftt:a t:rJn:.\'crsal das b.'llf:lS)
e j,'(jlll!_la:r é a d1ícrençn eftliva de 1empcriuora na im~rface. A q1111n1idndc h#. f li•e
.~ ooeúcu~rllt> de traosfe:1~nc1a de caJor por coov~io. t eh.amada
"°
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('Oftdutinda &&mica dt contato e e: ~.prn.s.a como
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Dlwibul(:6odt~
tamfWI• '
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(ci) Coal&hl l~lco Ideal (p«lcalo)
4 Dlilnbu.çlodc ~e JlfttlM. 4t fluxo dt calar to kiato de d!>ti pllel)
$6IJdu ~ u•coom. aourrapa;noc.odc-~pcfatoe ...,afutO.
3 2 RESISTtNCIA TtRMICA DE CONTATO
nu seJ.a. a rf'llllêuciJ 1êrmi1.:1l de t"Untato é o i11VCTMJ drt condul!lnern tém1ICA de
e iat1t l'11. N11rrnat.1oc11tc:, • coodutãocia l~rm.ica de 001110.10 é teJ)onada na Jitcra1ura..
o~rto de l"CSISll.ntla ttrmica de ~mo $Cf'\;~ pan explQr nx:lhm"o efn·
1 1d;a 1t1tcd11..:t '!Ob~ a (f)n:.,ferfncia de alor. Note que k~ repttSCnla a rmsri'nc-iJ
1~rn11c• de COlllMO P'.JI' •midtul« de dretJ. /\ ~istê11ci;i ténui.ea p.1m toda interface~
t•l•1Jd1 di\•1dnido-(C R,. pela .diea de in1erf11ee apare.11 t A
A rc-:;r~h'nci• thinica de: COOl310 pode wr dttmmnada •panar da Eq. J-28.
nwd1~,c" \!Uni~ de 1cmrcrarora na mrcrf-=c e cb._.kl•ndo-a pdo nuxo de c3Jor
'4'h cond1ç0t.~. pcnnanenles O vall'>r dJ reisi.stênci1t térmica de cont3(0 dei>erk:lc
,IJI ru~osld(ldf sutwtftcml e d:ts Pf'0/1rlé'dJJdet do ritalt'rinl, bem C'Qmo da lt'm·
Na~de.....tuçãodcalor110M!>dtm_de_. ~-coo
,,,,,,.·.ua, daptfuiiklna jrM.nfacce dn upa dejltddo ~a. uite:rfatt A
lMO pe.rfcíu)" na interface de duas camnd~!I e. p0t't1mo. nenhuma quala de lem·
pcr11.tura na hucríace. Sc-rifl e~\C. o caso qutmdo as supe.-fkics cstn.o pc:.rfci1amen1c
e prodUJ'Jndo contato perf'c110 ein cada pooto. Na re1lidade. mesmo superllcic•
i ltl.l.-...ão IC".fta·w. mais romplcu quando u placa~ \lo ápertadas C'OiU panfu~
'**
pllloasque_. bsas aoo olboom-cllm·,.-Nposquudoaoalisado.
sob microscópio. como mo6trfido n3 Vis >- 14. com inúmeros ptc~ e w.t.es. Oll
St!jl. • supcrrtcic d nrkr<>3COJJ(r(ltfttn1e ru,osa, nitO importil <JU.~Q li\1& •lXlttntc ser
Quaado duu dessas wpcrlJclcs são prcuionadaJ urna contra a outra, os pico.
fonDNP bom com.o material, crw os vab (Qr'l'Dam \'llios prceochidos com w
Corno rcSuJUldo, a intcrl~ cont6m ir1ilmem lacun.a.r dt or de lam.inhos ,"af"iadol.
que n.tncioru1m como Uol1mw1110.em vin uJcda bn1xa coudutividack u~nniCll do iu
A.)tilm. a. interf.ce oferece at1uma resis;tenci• à tr.anliÍê.J~nc1a de calor. e essa ruiíi·
tlncaa por uaodadc d e - i chlmada l'ftlstinda llnnka de-lllo. R,. O vi
lorde:~ ê derermmado experunermll~Cci usando uma mo.1ta..gem •• milar iqur.&a
moi;ltiw.ta ntl Fia. 3~ 1 5 e, como es:pcrndo. elUste grnnde d1spen.ão dos dados, em
vinude da diftculdade de caracterizar as wpcrCkies.
Cmsicler<•
de calor ....... dcduu ........ mcúli<>>
versai A, pre$,Klll~ uma contra a oocra. A uansfttfnci.a de ca.Jor a&nvá da it11erfa
ce des'Sa! doa11 b.inas é a som11i da lransrc.rencia de calOf a11'1l\ú d0& /}Ofl'fOJ de c0111aro
16/ido e dss lacw1a.s ~ 'rc111 em que. não h4 contato e pode ser expn::~ como
....r..euaa
de-.,.....
011 rebites, lfma ve1. que 11 prcs~o da í111e.1raioe, ne11;!ie caso, nOO d u11ifocroc. A~·
1111ilê~1a 1~rnt1U1 de coorn10, ncs~ ca1'0, c1mbém depc-:nde d3 cspc.'llii~Ura da c:ha~.
Jo IMO do parafwo e do lam&Abo da Ulnl de conta.lo. A resistlncil. téonia de
COllll.IO di1rt1•un (IOcn a diJninulfÕO do nqw1dodt-Mn #llpl'~ e rom o mtntt>nW
'''' 1'1"~S<1Q d1J lmtrf<u:e, como csperodo A maioria t(IOs valores de rcsntt:nc-ia ti!r·
1n1to de cort11Uo dctcnninado" experimentalmente C.'lliil4 enire O,OOOOOS e O.OOOS
m KJW (COttT~te à fa.iu de condulloc:ia lénnlca de contato de 2.000 1
lOOOOOWhn· K).
Qu..ndo <ln:ihsamos ll ll'Vln:sfctênc1:1 de ca.Jor em 1.11n meio compo..to por dua11
ou ma.ui camrM.la!i. a primeiro coisa que jlr'C(isam06 ~bor é se a rc~hL&ncia t~nnlea
d( C:Otll.lilO ê Htlrifll'Oli\'4. OU nio. ~ l'a:pOOdtt 1 ~SI (IUbllu cornpatal)do
PHUdt <li rtt1stlnc1.1 tirma. d:u camadas COfn CJ11. vaJoRs Clllc~ dai
l'l'li.ltooa re11mci. de co01.1to. PQf"cxemplo. a ~isitnc1a térmicQ da canudll.de
'" lcnal isulanic cou.l 1cm de cspesimm pur unidade do 11uperfíc1c 6
L
l
p.251
Olf.Ull.\ 15 Mos1tagcm ell.pe1'imcnln1
rlpca pen dcumunaçlo da rcs:iubicia
.,,,,_ ... ._...
(~hcntd. }
Tlm.bém pode ~r cxprcs~a c:m fonna l'\n.lllog.n à lei de Newton do 1"C.Sfriruncn10.
como
R . ..._
0.01 m
0,04 W/m·K
='.t· · J.86 W/m• K ª 0.000026 "'
0.01m
1
·K/W
mw
Capituto 3 • Conduç&o de Calor PermMtnte
tai5, mas pode ser ignorada para conduro:rcs de calor pObres, ooino u;olamcn10,
1tnn~. ISSI() oio t s.urpree:ndenle. uma \l'U lue materiais 1solan.1e11 cnn1>t!.IC1D
pnncipalrocnte de espaços de ar. tal como a prépri& interface~
A ruisl.êocia tárnia de contato pOdt ser :nioim1:tada por meio da aplicaçlo
de wn Uqwdo tcm'ticat:nc&le coodutor, chamado past4 úrmica. como óleo de ''
lklo. sobre as wpcrffc.es an~ que sejam ptt;S>1on•dss uma contra & OUU1 hS04
comwnentc feno quando fixamos: componmld ekD'Õll.i<:O$., como 1nnsu.KR' de
poClnci.L cm disupadore>- A rcu5'!ncia lérmica dc con1a10 1.mhém po.io
tcr reduuda por meio da $Ubs:omiçio do• Da 1nu:rfaoie por um mdlttlf' c:ondw«,
moo ps hébo.., 1..c1ros&no.coofomx . - -.. 1\b. 3-1.
Oldra maneira. de mmimiul' a resisk-~a « ooalalO t 1nsenr uma follto tMtd
JKO MIM'.111. como esianlllo. praia. cobn::. túqlJtl ou atumin.o. ai1tt • duaJ suptrli.
clCS- &.lodos cxpcruueo•ais mostram que a ~a tbmica de C0111ato pOdc,.
r<dUnda par um fa10<dc Mé7,-.00Da folba met'1>cl oa mtaf- Port
m.U.HDll crermdadc. as chapas de:\'Cm ser mllltD finas. O efei10 de re-t-e.llmtnQ
metá.hcos oa condutlõcia té.nnica de coo1ato pata vãnas supcrfkia mct&:l~ •
lllll.A J · I
Condut&nw t(rrnlca dt cootato l)ltl
C)tKtt de llvf'l'lnlO com ddtrentM
tluidol N •nt•1ICI pera f~
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woerfc:.-1de10 ,..m 1 pr.ao N
i'Ytflff.-edl 1runCdil írold. 1969)
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20
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0.17-7
11400
20-30
20
1.0-2.0
20
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20
4,5-7,2
20
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20
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1,2·2.S
10
20
10
20
10
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10
30
5
15
10
20-35
2900
3.6111)
lS..400
20800
50000
59000
4800
~.,;,w
42:000
56000
12.000
22.000
4 Espessura equivalente de ruistincia de contato
A condutinela 1érrniea deço.oia10 na i.ntctfacc ~.:dual placi1~ deahm1ínlodc 1 Cfll de
e3~AUrt. 6,dc 1J (XX) \V/m1·K. Oetcl'tlllne ac;pc:$surn da placa de 111umfnkt ''Uª rc...
11~1ê1~i.a l~müca' i,1ll1ll il fl::S1s1ência tb-mie1 êo io1erfacc cnttc u pl11ca1 (Fie 3-17)
l)cccrnunat a cspc11t:llta da p1:11.-ade 11hunfnio C:UJª ttliilittncia 16-mic:& t
iguuJ l 1~ntê('lcla téntUcll de QODIAIO.
SOlUÇ40
f 1"
......
......
......
~
prrJ.Silo.
4
Á_
1\(\1
mmuldooaf"".l-16.
H! COftSldcrf.\'d locutna nos d:lldo$ de rond\nlncnt de contalO ttl;11ados na
bltrillunl. porU1nto deve-se toimr cwdado ao Jd+los. Na 'làb. l-2. sJo apmem>
OOs alguns mull41do$ experimentais pa.ra coailudnc:ia de contato cn~ ~pcriiaci
mcttlicm simLlate5 e nlO samllare5 pnn U\i1.JU\i0 no.."I <::álo:~los p~l1m1n:i.~4 tki
projeto Note que a rondut8n<.'ia ténru.e<1 th ctHttalO ~ mous cle'lo·ad:t (pcwt1n10, 1
rcsislênc1a de cool~to 6 meoor) para 11U1ais m.1cios cm su,wrfldtl li"1.f • um.i tdra
-- - ---......-..
(.on\tutancl• tfr!'4'11U dl COl'lt.ltode algumas superikies metáhcas no ar ta partir de t4r1•$
,.,
"hu.•11
1
" Note 1.1uc a intcrfote cou e as doas placllli oforcce taou1 res:istenda â 1rnns·
h'1~nd•
• 1
· mcteS·
u
n de t11)1\1 quan.10
. u.ma ?lac-.1 de aJumfnfo de 2• 15 cm dccs~ssum
...~
.e
111e Ql llJ (IUC 11 l"C11lltend• 1!fmka de co11t1U>. neste caso. é maior do que a somn
"'• •'t11h•#n(1n• t~1mca~ de ambas 1111 pJacas.
01
1 crn
A eonduuvldadc ténnka do t!lullfnio cm 1cmpet11tura ambh:.:111e ~ k ..
R =l •
'
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J
=0909X 10~m •K/W
11.000 WflD'·K
"
1
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l'bn 1
C 111l'lll'.h
1
dn 11111111• .., :
t
091k. LéapcSSUrada pbcae 1ia~11Cn'19ica. fvl'l'ldoR • Rõ • ~
_...,_.._,~ :l pattir• rdaçiolCHDa,~rMikl
n.
1 lloiai;A
l
1 &'QUl\'aitl l• :
IClln :
li=~
- IMtrfKt
1 1-111
1
Ptl't unntadc de suptrfklc. a~ rt:nnca da pi.ai plaM édrfíclda como
L .... ~ - (237 Wlm-IC)(0.909 X 1o~m1·KJW) =-Q.02U • =
1
V
m w1,.·K (Tub. A-JI
•
ra ()tiserv•ndo que 11 n!S1sl!ncia 16miç1 lle conllt() /. o invenO da oondu1inc:la
tbmica de com.1.:t. a resi5têócia 1étmic:a de 0M1U10 t
p~.
•
l,ISC.dl
:1cm
-,
••
Tr1n1le1énci1 de Calor e Mas.s.a
3 3 REDES GENEDAI 17ADAS DE q[SISTÊNCI~ ~tRM
{C'<Jld'J~·)
ec. l)etcnniac. par!ricia m:Wtm ql)t c:lda tnma'10f pOdt di.u1par
çotn~CO WLodt ~lUfll ....nWfac:e Cfltt'CO ~e. placa
(k-ve oôl'dtr 70
1,
•,
3 QoaoO .....,,.,...,. pOllocia oó<nt"'°' g1ofiudn,. . - • r""' «
cotn. Pan ttmpenllll'a mi,umado snWlDcrode 10-C. <ktenniMt. ~ ~
SOL~
m~e:o.-Ode~aa~
S~ 1 E:mlm cooditçôtS opa tvonris pa111111Cdõ.. 1 A trudcrh1c1a dt
1-----t-- - i
cab)l(lllleac:r~comOseaiJoumdi~WIOiU:wl«tadocp.11ta
~dc<aiaremtlpmsp>RCSdlplné~-...,.qur · -
• ~I. ma.ar CJK: •Ma d.a 1-c:dotiwutSU'. A pwk
' ividade tánQ dG
<*e: nu11inDP tsse t::fbao. J Todo o calol" ccr*5o n2 jOllÇio l 49"*'° illn'Ú Ja
~ ~• ~ •utMisloru*~ parunsacspessanm.dl dt
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~ A «*luct'nllldc tc:muta do CC)btt é l 386 "hn·K A c:oeduthc..
ck ~ 1 obtida a~ da Tà ~2 como tddo ht' e 41000 Wlm'·I(, qec c:or
~lilmf~dccobrt.....ltlO~Oc:atOdeN~de l ,17a l,4smllt
Q• Õ •
ncua& 3- ' .
~de j; ~IPa, ,._.~pórimoOOQUC ~mQI.
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l
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R
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(3S6 WJm·K)(0.01 m~)
'
kA
(15 Wlm1· K)(O.OI m~
4,0"CJW
o,
~ de: R:..1.aftk.1:1
"6rma pwa .... c..mai.t;;i ,.-..kl.aa.
Aldlt# A ffta ck c:oowo eattt: o inv<ilocro e• plac• é atm:, e • itta da ptiaca I*'
e.da lnmi.VOf t tOOcm'. A rede de fdisléoo:i. thmicia lk!lrc probktrla COO:o'-~te ~
ues rt:MstCOCIU cm tmc (mctrüce. pl31Ca e QCln'Ye(Çlo) , que. do
R
o•, T
RR
0-311
u11\.1~'CI que•\ rcs1&1êncms en üo cm paralelo.
A,101•, viamm con$idenu d. combinação s6rie..paralela mostrada ná Fig. J-20.
O \'11IM 1ut11.l 1fa WA-11 de. ltuns fterêDCia de calot. através desse sistema composto
prnk 1Ct 1K>w11nenlc cxp~so como
. '
(l-32)
O valor tU!al da rtsistêDCâ111étmico é eiuão
R_, =- H1-in + R..t..,. + R..-. • 0,030 + 0.0026 1 •.O= 4,0326 "Ç/\I/
Nc.>Cequc a re:silitênela témuea da placa de oobrt 6 muiw ptque"lll• t pode k l Ignora
dli por çumplcto &tão..' 1:11.<a de tml).fr:rf:ncia decal<1r i
•
Q=
!>.T
nodc
RR
R""' • Ru + R, + ~ =-' -'R, +
R2 + Ri + ,o. _
liOlll'lltllllf)
(3-33)
(10 - 20)"C
<l>
w,:- •.OJ'26°CIW .. l ~
Port1nLo. o craMi5'or não de\~ íuocion11t em nivds de po4~ncla i;u~nore& • 12.'4
w. .te 1 icuq:it:i'MUr• do ttcipienll' nlo e:xoedtr 70 "C..
O salto dt r.empmirura M 1t1ttd'J1ce é delmt1intldo a ))lrtJr de
âT- - QR- = (12.4 W)(O,OlO"CJW) •
q11t. Dio l mlliW Sf*ll'Jc- Assim. ~ se d11ftiAkst'moL 001J1.plrumc:ntc a fW••
. . . lénnia. dt OWMO na~ a tcmp!f'ldlft de f~IO do lfUli"1<W
:a.cna~queO..•"C
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Capitulo l • Cond~ de C.lor Pttmanen1e
.llJ;fll__:!Tl~ansftt&nc.a d• C&IOf ~
vm• a.penas na direção.X) e (2) qualquer plaoo puale~ ao eixo x t adinbáJ1CO (ou
0.16m
E&a~ dua'
&upotitÇ(lc5 iuuttam cm diferentes rede$ de rcstSl!nc1a e. portao'º· difert.nl.Ci (mu
1xinn1lme1nc próximos} ''alares para a rcsistêncbt t&nUca toW e para a transfesf:n
ela de c&lor O rc.c;ultado real s.itua·se entre ~dois valol'e5- Em g~toas em
que a uansfednc'* de c.aJor OOlX'l'e. prcdorlünanltQk'nle an uma clireç-IO. qualquer
!OCJlt.. as!lum1r (ll)C a tnmsfcrfncia de ailor ocorre somente na direção .r).
tl.72 W/'1>·KX0.22 x Lm'l
lfj M
1.01 "C/W
1
/t.• •R_t•..Ls---- • O,1 6v,.
-''
11,A (25 W/m' KXO.ZS
X1 m'l
uma des- ~ ltllZ fCSlllllldos-sfllÓros.
WMf'lO •-<> Penla de ..ior otrovés de parede c. .po$1a
U• pWtde lk. 3 • drr: abnc de5tndt t.pn ccm&Jltdt afOIO' tt • o.n Wlfa ~
~· 16ao X 22a11 dC' scc:çiO~ sqw'llbpar~dr: JCMO
(l" • O.l2Wlrn Kldr:)cmde~ Eu.stdl.._gal0dt2nndt~
«k cecll a.to do n,olo ~ callllda drt 3 cm de ~ 6t dpllfl" rlptl {.t •
ll,..,,=0.91UW
O,.o:?6 WhrrK) ..a fcc: d'lltfmda ~·COM rMSlndO nia Fq:. l-21 M ~
, . la&cnlll CC1rt:rlllli0 lO"'Cê -10-C. ~.e we«í!IOClllddc.,....
fethit'-dtc:Mof'porctWnuçic>dot.LldOt iolcllll)ecxll::fllO.sio•, • 10 W/m.' ·K e•:
• 2.S WhD!·K. rtsped1~. C~ a l81'1$(erfflciade calor unJimrns•
°"'I e·~ ntdilçia. dcU:r.mtDt a tw de tr.in.fefbnadt i:ab acrn"á~ pwc<lof
R.,.. - ~-+ 1'1 +RJ + R.,+ R.-+ R.,
• 0.-40 .. 4,62 + 0.36 .... ().97 + 0.36 . 0.16
A W"'IK"'iição da pio•"""" mmC)OSUli d3da.. ~lnar Ji lllXa dt '™""'
SCUIJÇ 40
fcrúda de calor atnvés d:i. parede.
1
1A trans.fcfêoe-a de pior ê pcn!Wnlfc., t1!l0 cxbtt. nenhuma i nJu.~lo
de mudanyu..~ com í) U!mp.1- 1 A IJ1W.,Jc:R:oc:i:t. ~calar pode U":r upoxlmad.- CotnO
.:odO unidnl'ICn:MQ(lal, urn:i vtz ~ prcdon11t13 NI d1ttçio x.) Ali 0011duuvicbdd
tlnnk:as f.M) coosta11teS.. 4 /\ nnsfcrllK'lll de c:alof pOI' radinçS.O ~ dc11prez(vc 1
,tapOfdlrlfl As .ç()(ldUt1Yid11de:s tü 1niC11S $11' k
= 0.n W/tn•K p;t,lli Oi OJOI01,
- &.S7-C/W
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ncuitA .. , 1 PAQuc.mll 1>0ra ,,
Excm1>IO 3*6
Anillltl E.d~tc um p11i.lt10 nu coiulJVCjilO da p1rtde q\le repele todos os t5 cm de
lll!.1$.ll(;iil na tJlreç~ v~11ical. N~o bá ot:nhuma vatieiçio no 11c1111do hon1.Mtal Pr11
i11to. con&l~mos a p<ll'ÇliO da. parede da J m :le prof~u.dld<'ldc e 0,25 m de t1llura.
uma ve1,quc 6 represCtllali...a d1l l~alid:idc da puede.
Considerando qualquer !iéÇ&O 1r.r,lril/Crli1tl d11 i-rWe norm11l à dircçllQ 1 00111()
sendo iMJtbmka. a rede: de rcsht~ncia 1énnk:11. pnra a ~IO repn:~en.111.nl~ dn p11rcdc:
t oomo 1nosuu.1Jo 1111 J•i,a.. 3-21 . /\S mtscê-ncias indi\•idu.ais do avaliadas c:omo:
= h1J\
l
1 -040"CIW
{10\Vtm1•K )(Cl.2S X 1 m )
'
R = R.,,,.- = l. _
OOJm
=- •/)'l-cJW
1
R• R
~•
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1 - •....,
_ k. _ _ .,.o•.,,02"m,,,____
•...,.,......,.- kA - (0..'l'l'Hftn·K)(O,lS X 1 m1)
=0.:16'C/W
R
,,.
R R
_L
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$~ ...... .,..-M-<o.nwtmKXO.OIS~
- 448"'C/\\1
•,
(0.()16Wfm·K>0,2S X t mJ)
R _ • .• •
T, · -
___- •.
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~ · r,
Tran'1eréncl1 de Ca'01 e Massa
-4 CONDUÇAD DE CALOR EM CILINDRO E ESFE AS
Coiu.idcrc a condução de caJor atra\'éS de wn Nbo de água qt.rnte. O calor ó oon·
1mu.amen1e pmbdo ~o exterior atnivú da parede do 1ubo. F..mcndcmos in1ui·
fr,·a.mcnlc que a tra.n~fcrinca.a de calor é DCJrtO.l) li direçlo da supt"rl"tcie do tubo e
niu ocorre 1r..n-.rcd:ocia signiíJCam<a oo tubo e.m outras du'CÇOt:s Wia. 3-23). A.
puNc do tubo. cuJI ~ é baswue pequena. ilCpara dois fluM.icb cm d1fe.
ruia tecnpcralUl"U. portaoso o gnwfimtc de lemper111Uta ns dittÇio rádta1 ~ rcl•h
vamen1.c lflPde. Atem d&Mio. se as tc:mpc:n1mti dos fluidos dentr0 e fora do cubo
permancoem coaseaaaes, cnlio a lr<lmfetfacia de e.alar~ do mbo :k"t'ifNr·
_,,,,,,._Awm. l lt'lmfedoci.l li< alar :umá do wllo pode ser modelada como
11CUU :J.f3 c.io.t....-- .......
·--·--
de iSINI ...-,_.. • nta'90 u tiift\lo
radU.t. - -• ira.Jttfft;:la. n.b. pw\lf
ptrmaMnte e 1111WUWAJU'Jff0/. A t.cmpcnhn do aabo. ncuc caso. depende de uma
Wik• du.çlo (eh~ oow r) e pode ser~ como T T{r~ A r=pcrarora
f. mdc:peodcntc do lnpto ou da disaiocia u:hl Essa sina:w;io e apft).lunada aa
pri<n P""' loQg........ (camadas oliodricas). ponCÚ"'5 (camados e<feri<al~
Na opuaçio ,wmUJntftJ"-. não tlf ne:Abwna ~na cemperawra do tubo
com o ttnipo. c:m qu~qucr pocuo. Por isso. • tua de t11m:ft:rêflC1a de ca1of P3'1
denuo do tubo den: ser igual à cnxa de tr.lniftrf.ncia para fora. de~ Em outras
peJavras. a tran'ifctêociói de cal« alra\'és do tubo de~ SCJ col'lSt:lnte, Q........,.. •
coml&óle
Comudere o comprimeo10 de uma camada cilfodrica (como tubo circulM) de
raio « temo r2• comprimemo L C' condutividnde u!rmlca médla t
(Fig. 3- 'l.C). ru duas !!upcrfícies da camada cilíndrica s!lo m:modas nas 1empcrau,1nu ooo.swntes r, e r 1• Ni0exis1c nenhuma~ de calor na camad~. e a condu·
livicLadc térmica é cons1antc. Pira ucru'l conduçiio de calot uniclimen'lional atrnvés
d;i canwda cilfodrica. temos T(r), En1ão. a lei de Fouticrds condução de caJor p:trn
ttu1111kren(;ia de calor através da cnmad3 cilíndrica pode ser expressa oomo
raio interno
'i·
r,
nn1M4
:24 l.01ll(> hlbot'tlfodrlco
(ou c11~1... "-""nca) OOCl'i 'Clllpctflhll'1l!I
C1J1ee•ílcndl'.b 1\i1111upc1'ffdes lman11 c
c.xtem11 T, o T1 •
(lndeA .. 21f'rl é ti área de tmnsfetêncin de calor na posiç11o J'. Notet1ucA de1>en·
de de,., l>Orli\1'110 l'aria nu diceçllo da uansferência de c alor. Separando á..' vnriá\•ci'
ua oquuç5o acima e hneg.raodo der= 'l• onde T(r,) = T,, pa~ r = ,.,, onde 1'(r1)
• T 1• <.J resuhadt> é
J,....,
A
11 ('(U«tli.c'" tbmrca da c1unada c:díndrica contr~ à oondução de caloc ou simplc1·
mr-n•e 1 rrJ.l>lloc1a tU cond"çlJ() da. camam cilfndriCI. Note que Eq. J-37 ê ldêocn• t [;q. 2-.S9. 001id1 com o uso do pmccdunen10 "'padrão.. para resoh•er primeiro
• e<jUo\'loO de oonduçiO de uloc om coordcaadas cilindncas (&i. 2-29), pata 00.«
1 Jit.lnbmçlo de 1empera1u1'a CEq 2 58), e, eotão. para obler a tnade transferênc1a
Jct i.:ali• J'°' 1ne10 dQ u50 da ld de Fourier. O mt'todo utih:t.ado na obtenç3o da. Eq.
*
3. n pode 1et con•Kkndo proceduncnto ..alterubvo... No entanto. esú restri10 11
"""'Pc«mos
""to calor pcnn•n••••
uru41men.-J. <tm gençJo de calo<
a
para umacm"°"'1
=
de
rq)dlt Wli~
u.flrica &omandoA
P..411
•
t .a rru.Jli"<'" 1lm11ctz J<1; camada uférica contra a Côndução de calor ou. simples!'kfl.lt, """btcUI d.f! c.·onJ;.çik.• c.b c;&ru;.l(b esférica. N()(e também <fUó? a Eq. 3-40
é 1~nl1C.:I OEq 2-61, que fot obt1eb pela solução da equação da condução de calor
cm t.'(IC)rdtnad.d e11féricêU.
A10tt ~ons1der.uoos u tm.1LSfetlncia de caklr unidimeosioo:il pcnn;incn1t atra~~~ de unM& c.1unacla dUndrica o u e!lftnca exposta à con,·ccção c:m ambos os lados,
p;mt 011ldo'll • tcmptn&lUIIU T.1 é 'f'"2 t.:Olll Cotficje11tes de transferlncia de calor
h1 eh:. w.pcccwrunc.otc. como- mostrndo na fig. )...25. A rede de tc'!is.tência têr·
mi<:• c~11ui~10~ nc~1 c c:.1'\0. de u ma re.,iMência de condução e duas rcs:istêncfos. de
C:Of1\·ecçóo em M!nc. c:orno plll1l. parede plana. A taxa de lransferência de calor sob
J,..,,
káT
H..,,
(}
x_,
_Í"
41IY erca-
iiz•ido • ,,.<JJ1'Ç<1c> .. 1'q. 3-36. O ....w.- pode sa cxprcuocomo
c:undlçõe... pc.11n;1ncntcs pode sc:r expressa como
(IV)
Í" Q...,,...,.. dr
-
___________:Ca::•e:i.::••:::lo:..::3 • Condução de Cator Permanen1e
(3 -421
R-. + ._
1
ar l)h 1 t
lrt(r I
ftL1
( •r"1 "9
IH ll
SubslllUindo A = 211rl e exccuLando as integrações. tem-se
.
T1-T2
au..,....,. = 2•il ln(r2J;;)
wn1 ,u que Q_....,......
(IV)
coniot.ante. Essa equaçlo pode ser ream.njad.a como
..., , 1
4
(l-31
..
P.JI
,_.camada <lflnto. Noe. qocA m rcJ.çiocb rosulêncudeC<Jl1VCCÇIOR.- •
l1M ~ • drro do J#fJ'tr/k'W ONÚ «0rrr ('(llln~. É ig_uaJ a A • 2 trrl pn supcrlk11C caUndnca e A • • ~ pwa ~ae esférica de raio r. Qbser'\""C wnbém
qcac: IA rc..tstéka• lb'm"*' a..Lio nn Knc, portaolo a rcstS&êooa láuuc:a toeal i
dctanunada p<la s1111plcs od!Çk das .......1ndividuais.como as,.._;.,
t~u hpda.5 cm tblc.
Fli.iJ
Rede do rt:~l~tenda
cétm1ca pa.rn c11,;c" oilf1\drku. (OU O.\f,r1ca)
sobmc1ida à con,-ccçllo nos lod~ lnccrno e
excetno.
IQ
- - - - -- - - - - - - - - =
c.p=tt:::""'ºc.:3:...c..
• Conduçao de. Cilor Permaremt
llEl:l1Jl_21ran1·erêncl* de C.lor t MMsa
\'(/ ltt)C(2 e! c;&kulacb1. ll lt nlpcJalUra Ti da lnlerface COlre a primeira C a $CgUnd8
Cil dros e esferas multicamadas
A IJ'Jnsfut:nc•• de calor pcnnataeme atra\·és de mll'1iplas cascts cilfndricas ou CI·
férias pode liCr 1.ra.1.ada d& mesOla forma como ocolTC em m\11tiplu cainad» cm
raredes planas.. dli;cutidJ amenonneo~ simplesmente ~mando-se a rrrlplneia
adicional em Wic para atda C'Oml1do adicional Por cumplo. a 1au de cransfttfpa.a ~ calor pcnu.ancute atn:\--és de tRs c:umdn oor.upot;tas do cilindro dt
oompnmcnK> l mostrado na Fig. ~26. com con\'«Çlo em ambos os lados, pode
t: nwida c:1HniJnca pOOc )Cr detem:tinailil a pêlJtlr de
T. 1 -T1
(3"47)
•
•
!JCfe~como
1:
T. - T,
•,
~.
• -"---"-
queª"'º
resi\tl!nci.as 1énnicas. que cla.!i est.'IO ~m serie. pa<:uu o a rn:isle:u~i.i téu1m..t b)l;il
t simplesmente a soma aritmilit.•a das difcrenues rtustlncias 1énn1cas no caminbn
do nu'º de <3Jor.
Umá vei que u ..,11 Jor de Q~ conhecido, podemos de~crnunar qu.1 lquer tempeta~
tura intermediária Ti por meio da aphcaçlkl da reJ~io Q CT, - ~VR.::.11. 1 • J mra·
..~de qu.d 4oor camada, sendo T; u temperatura c:'mhttkltt na ~ição / e R,,,..1, 1 ;
a resislêt1<:in lénnica tQtal cnlte as posições i e.j (Fig. l-27). ror exemplo. uma
T
T - T
lJnborl ..,,.._ • l"t-laç&s roncçam o mesmo multado. pttferimos • primc:tra
dda. p lf c-a~-olvtt o menor núocro de: 1rnna1 e. portanto. menos uahl.lho.
0 COlk'CllO de: tciUlfni:ia t6'f0tc:a l.Mlbim pode .stt ttYido para w.tras g«JIM4
trtaJ. deldt:
u111iz.ada.$ resistlncias de~ adeqluda.s e supufJdcs
corrd·• ~ nM ruia.lincw de coa~io.
oOOe A 1 = l1rr1L e A. = 2v rJ.,. A Eq. ~também pode set usada pua crts
callllld;b e<1fént.u por mete> da suhstituição das ~istêndas ~k.:u das c.am.daJ
cdíndric:as pela,, esféricas concspondcrues. Note.. oais uma 'rW.. a pan.ird:a raie de
T
.,
hl(r1 /r,J + lft(r,lrJ + __1_ _
2•Lti
2•U, h,.(2rr,l.)
-
·- .....
._,
• .!t:..&
•,•
----.flliURA ,. 71
A ru.loàT/lf tlnva
ck qi;aalQl,ICI' calMda' .,....
Q. qw
..........
unlld1 inmu(in;i I pcrl"IUl'ICmt
fXEMPlO
Translerêccia de calor para um recipie:nte esfêrico
l m t.u1•1uc tdtnco de aço 1ff()lidá\'d clt J tQ ~ dt3mdro mreruoe l cm• t$ptll·
kll• t! • 11 Wlm•K) i w.acil) p 1... 11m m.tenlll' '1uawm p:lo 11 T.1 -O oÇ, 0111nqut
c.cJ 1.J,,;1f11;1dt1 cm UIUA tala CUJI ll'l{Jped0Jfa t T.., • ll *(:. ;\) p11n:de$ da ~li t:SlliO
l•clll"ll'M • 22 "(' A )U~tfk1e u lcrna do t1111c1ue ~preta, e ll tmu(eRDÇJa de c11for
e1~ 11 1i;11 l'f'tfktr: c\l t'l'Tli$ e uw m-edi'tU ~ PQ'" CQIJ\'CÇÇ:io natura.! e poc ....t•ll!ÇâO. ()$
tQC"tl~ 1rn1ci111é t,..Mk1-ê!llilli Jcca)or ptif a.IGl~CÇÃ(I olL'S :supcrfkles in1c:nwa eeJ1to:rm1
J<1 111n1j1tit ';\oh, 110 W/ m1•K e ir1 - 10 Wfm,• K. respeçi1r.uncnte. Dctet1mne (o)
11 l.tll.lt ~I~ 1rn1hl trfnc111de (llOf 'Jlrn a d.guia. çom ~kJ oo taoqi.ae e (b) a q u..iiolidll(le de
trl'ltt u O"(' llUt'dt~l t dl•l'lll•teo p:r(o<.Jodç l4 hor.n .
SOLUr.4a
U111 1ccipic.n1e es.Jfrko prcicnch1do com '.gu.a com gelo l submelido ô
m111~fnt11c1n do c11lo1 pot 0011\•toçllo e por rudinçio na supctfld e exwma. Dctermi-
1111111 111, 11de 1l"ll1111fcrtncia de cllor e a qu11oüdade de gelo que derrete por dia.
S1 'INI
1A 1r111)~íctf1)1:111 de calor 6 pcrma..ien~~ M condiÇúe$ tém1-ieü e:specl·
lic..111 ~ 11H ho1Hcil111 1llio muJun com o 1~m1io. 2 A w nsftiincl11. de. calclil' ~ unidl
4
11 " ' "11n•I, hd 11unc11ia 1~11uk11em1omo do 1:11>1\1() ttmnll. 3A OC)ndl:Jtiv1d:lde 161niea
f ç nl!\UllllC'
hop
A tooduh vtdnclc thm1c. do açu ~ l - IS \Vfm·K. O Qior de (u.dQ
d1 •rv. l P•'C'Jlo 11unc'.llJldea i 1i, • 333,1 k.lllg A supc:dic;K Q:tema do 1~ t
prtti r.pn!1110l0,141at't1 11 ~1.,.idaôe6•-
I.
A ; u rei> A tfdr de re•i;Ménçi.I tênntçii p11n1 we probk:tnl é.dada fLl Fig.. ~28
=
Ohw.~ que o6ilmctro m.tcmodo rescn·atórioé 0 1 3 me o diimccro ex1em0
t n. • \,04 "" ... M.tpertlde:1 illCfnlea:l('l'lll.dotaoquedo
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'·. .,,_,..
•_, 1 ._,
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f1G.UU >-a Rede de~ tém1ic:ti plR uasfumc:aa de~~ dt ...
obdrOCOGIP*Opoftri:I; caudal submdJdn à~~ anibol c» . . .
"· - ·:>: .-c3 in)1 28.3 rJ
A, • •.JI = w(J.()4 ml' = 29.0 ,.t
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T~
_ _ _ _ _ _ _..:Ca:::<p::::ftulo 3
Tr1n1fertnciti de Calor e M~---------------------
4'IC: t tu(te1("11lctntme pnbhn.tt de$ "C. e41JU\adt na ~n.llÇio do (:(llCftcaente.
dtt ll&n•fttttlt:111Jfi taJor ~ radiaçio. Poi111nt.,, n.io hi ftece:ss:idacle de repelir at
,,k11kn.1.Mi*4-CpataT1
i•> O Jl'lt"JU1Dlt 1ou1t da 1r11n1íerlncta de Clllor dul'Mlc ~m pc:riodo de 24 OOru ê
M•~ nlO Mbe:mM • conpcn.1un <b supertlcie atau do 1.aoque T to pon..- o do
poda'8 Wc9i- ,\_. Por '550. ~de coosadc:rw- o ''llb TJ e wnf.c. • p'C!Cnlo
c1eq.a ~mais wdt Vamoil rcpttia' osdlculi». se ~Jna, por ....o de UI
Mmt"'-111orJMRT-.-
-e.-
tdm quer, dt\oc CSW"cdre oe 22
de\--e., Qlaa$ pnhi.moda o e.
._ va ~ 0 o0itf1011tmt de ~de calor drcalro do rarnudrio' bm
....,._ T-.lo r, • S "'C =- 271 K. o codicieMt ck tnmf'crbt1a de caiu por
-~
..... = (IMS,67 x 10->wfm'-1«.((m K)' + (?71 K)'l'1'» + ?71) KI
Q • Qi1t • (8.029kl!J)(2<0 X l.600l) = 693.700kJ
(~udoqueNo~lJl.7 ti decnergiapn.dc:trc:tet-1 k&de gdo.
o -e' • ~. gdoqiK ri cktmtr dllmatt 11
..... - "~ - lll.7kJltg ~ mce ck- l &.'IM* p:lo 4eYcm 4ardi:r-., laDliflC.
- UI Wlln'·K - 5.34 W,...·'C
\J1• 1-CU11 ~ lkif
R - li_ 1 - 1 1
- 0.000!42 "C/W
'
- h1At (80Whnl·K)(28.Jm1)
T1 - "1
(l.S2 - 1.$0) tft
4nh-1ri = 41t ( lS W/m·K)(l.S2mXl.S0m)
t1lfl\'~Jo • trKM' O mWi.IJo CcmlO CGeÍK'iMlt de uaMfttfttda de CÜ)r pot coew.;\ii:t 0UMJL (Utr4 • 10-+ 5,..W • IS,J.4Wlrri·K. Ml!le:caso. Dt.suíotma.
f" ·Jir1nr.,.. lf110nW a ~.ao. pois a. t:oocn'butçlo 1 COl'IUbilam no.> 00tfic:Xlltt de
CJ•a.•ll'~Mi• de ,ll)or por COll\'«'Çlo. Awm. a rnurlocia de ConvttçJo
SUpet·
"ª
llo.IC f't,k'nl.a ttr1a
• 0,0000l7'0W
1
- - - - , - '' - - - . - o,oo:i.os 'CI w
(10 Whu1·1()(29.0 m1)
•
1
--~1.
---=- 0,()0646'CIW
R.,.
(S,34 WJm1 ·K)('29.0 m~
de....- com~ ~odiaçlo ~
. , .. •lf't'fkc quodo o me.o am:ilvtr11e e• superffcits õdo a. tna mcuu
tnitpr,.._ll 4 adKlOMI O. COCÍliCICllrt"S dt truúttboa dt cakw pot nidiaiçto e
f..dllo. as~.. wnucas iDdMdua1s l(lrnaa'He
tt. = ~
pcriodo dr 2A hant'
69~100U
N
·-
1
• --•
i._A,
t
(15,J"Wlm'K)(29,0m')
0.00225-CJW
ttu« t •t.l~nlk:o 110 vlllur obtidu d:a rt$stêocio. cq\uvakotc para o caso da m istênc:ia de
«•wcc~ào e da l'Mliação cm parakh>.
Ai du.1t raistêncl:as p11ralclti11 R. e R.1.,.,podem ser sub6lit\11d1:1~ porrcsi~t~nc1a cquiv11
kn1t R.,.....dic1r.mlhU1da 11 partir de
1
1
1
1
1
fC
r
- - "•
o+
H- = -01\1\"45 + 000646- 444,7W
n..,..
,.. . , . ,., •
Perda de calor atravfs de u1n tubo de vapor isolado
l20 "'Cc11ton em v.m tubo de ícmi íuodklo (.t = 80 W/m·K)cujos dlil·
mclw• inle1m1~ell.lcmo111i.o 0 1 = S cm e D1 = .S.5 cm. rcspcc:tit•11m«1te. O cubo tem
IMlllmM.'nlodci IAtk Vlt.lll1 (lc) (m de ctpCSSUl'S (k = o.os W/m·K). o calor é p:rdido
p11tt o melo 1 7'.1 • S l\C IX>r ronvootio n11tuRI e p<>r ntdifl~. com codicteme
de 1ui1111te1 ~11d.11 de c1dor combi11* de 111 = IS \VJm'·K. Sttldo o coclidcn1c de
t1111\, lt 11.'.1K.:l1 li~ i;o1l<lf no 1ntcnor do tubo igual a,,, = 60 Wtm'·K. de1ennine a lixa
t.k pcrJa de <:11Jor JI pwtir 00 v11por por unidlde de oom:priD'.K'tlto do tubo. DttttmJDC
•••fltlttn 1 ~do tcmpC"ralvrt cll lu.bullçio e do 1110lamcow.
Viifltll 11 1'.,
que rQ11Ju1e:m
R,,.;. = 0,0012.l "CJW
Ago•a que totl11s as , csist~ocias estiio e1n 9éne. a reslst.ênc111 1oe111 tf
R• ..,. • R1 + R1 .f- Rttf"' = 0.000442 + 0.(!00047"" 0,00225 • 0,002.'74 -cJW
l;.ptlo. 1 ta:ll• dt lfflllÚerêoda de calor pumanentc: pva ~ oom gelo~
·
T•l • T.1
(22 - O) '"C
Q-~-0.(m14~ \\'
(ou Ó= 8.019 Llh)
.._.. wnficar • vabdadie da oossa 5Up051Çâo usltlal. detmninamos .,eva • atmpen·
11111 •
supr:rfkle C11ft'U
. r.,-r, ---> T =Tci-Qlt..-
Q- ......
1
ll"C - (l.<129 WMO.OOW "C/W) = • 'C
SOlUÇÃO Vm l~dc \'lpol cobtno oom alO!lllnCl\IOde ti de \'Miro l 1ubmct1do
• n111~•i.:lo ~ u .1>U:pttflc~. DttttmJtll.I a lll.I de 1i-andéttneJa ~ c:akw por
IOdllk ~ COmpnlllmlo e a qlltda ck ttmptnllu'I na 111bulaçic> e no 1$0lameato
1 A u-..fc:tfnda dr tab' t pcrmmcn~ Dio al!ilC OCllhuml iodiclçio de
allr-t 111,:a., fC'lll o 1anpo. 1 A t1~Jaincu de cab é \11Ud1meuoml-; bi $imccna 1êrmca
,. liril.11m'lltllefllOW ~ ,·~oadaA!Çio uAl.JAs~lénJlt..
cu alo~. .. A tDr'!lâlcia tmqa
m 1111Cdaieé dt5pnivd.
*a:JllllllO
_,
Condução de Ca\01 PetmJnente
*EF
CapltuJo 3 • Condução de <:alor Permanenh•
purur de fim eléi:ricos para uuwte:r seu füncion:unento perm11.ncn1c cm níve.iJ mat~
baixos de 1empcraluM e, porunl.o, mws seg~.
M discussões al'ltcricns podem ser repeti~ para uma esf~ e pode-se de:mans·
uw. de form1 ~Ih.ante. que o raio critico de 1solamenlo de oma etiea esferica ~
onde ti. a C()Ddullvtdade térmica do isolamemoe lt i. o codictcr11c de uaasf~
de calor por ron\"tCÇlo da supcrf'xic extema.
R• '"' R...,...t R_-0.76 + 0.18-= 0.94 °CIW
-
T1 •T.•ÓR..
= JO'C + (80Wl(0.9' "CIW) =
'k-oeo'f"' tllO~duâamcllleofiodánco- mk de.~ t6mica..
,__.,.._....,.,..,.._,___Ai>oromocrticode
.... .cz qllCO f.oC8'Qf~~dcalot4
..,,._..,41 cobnnpUiaüca. ckRm ..,,,,,,,, a fmtlr• E.q. como
= 0.012Sm- 12,.Snmt
'• -•
.. O.l~
uw,.a K
~so
UIMl'lD
Perda de ator a partir de fio etilrico isolado
u .. fio eaéeneo dt l tlllD de diirodrO ~ $ • de <'OmPfUDClllO aaf (tl1llttftn'llt ~
bato ccn1 una cobMln piMtfç:a dr. 2- ... de~ ai..i- COld;leivtebdc eirmic:a
i l • O,l$Wlm K. Mtdi(õesdêerias ~cpe-~ck IOAfmfalttayt, do no e b' queda de remio dric 8 V ao longo do fio. Se o rio ~'«llado e:ld npc:.IO
IO mttO. T. - 30 •e. oom ()OCfjaen.tt: de u:insfct!nci.a de 1;akir,, - 12 WMJ· K.
ddttlllJOC e tempttarura Gil inlelf;w::e ~ftt. o 6o t' a cobctU.lfli .,-i'ilaca, ein fu&.t0o
nllll:lftlro pc:trN:otnle. Detemuoe &11mt.itm se. 30 duplicar • apc:3o1un da. cobtmn
p1â'l11ca. cna 4<':nip;e:tarun da ~aioe •~ awr.aur ou cfiminw'
1 n Um fio cl~triico estJ fion emcn.1c n:clJbérto com cobertura pJMcaca. OI!
et:rmmat a wmpcrattl:nl da interface e os deito& d4' dupl11!*t:IO da eipc:ssur. d11 oOOc1
Wtl pt'~I ICll 'obre a ~mptr:til\lta da in ICIÚCe.
1 A muu-terêDC1a de calor se: man1ém ixrmane.tite., 11.IO existe ne1th\lm11
htdicnçio de 11lteraç-io Ç()fn o tempo. l A ttansfe..Wci.n t.k. ealo1 t unidi1ncns.io1U1I~
hd &imctn:11érmica em tomo tb fülha central e não hli nc:nhun)~ vatiaçlo na d1 ~çlo
i1.1th1.L J ru condutiv1d11dCf 1hmica$ sao conmntc11. 4 A re*isti11d11 l.én~lica de coo
rnto 1111 mtcrface t despret.i\'él. $ Oooeficiitnle de i:nlm1(crfncli di! ~161' u~orpora Oti
deilos dll radiação, se roe o c:iM>.
f>roflf
di
A 1.'0fldutividllde lêrnuca do plá.~lico t t = 0,15 W/m•K.
lrr.tl
o cal(lf é gerado oo fio. e st.WI tcn1peri1t1.11'll sobe como re.5\lll11du do aqueci·
mcnlo du l'C$istênda. Consi~ que o <:alor é gerado olliíonnemc:nlt ao loogo
de tOOo 0 Jio e 1ransft:rido para o mcuo Cll\'Vlttntc na dimçlo 111dJ1tl N" upe1 ~ao
penna.11co1e, a 1au de traosfeitnt;l11 lle caJClr to11'1a-11e igual 10 e1lor icera(lo ôctitro
dor.o. que t
A mk de rt1u."tl'oci1 1bmica. para este problcm• envQ!ve rui.ubc:t1 de cond~
..,.. a C()bcrtin pllSbea e 1esistblci..I de «Jll\'«Çio para a uiJlCff!cie extcraa c-m
'61c:. Q)ITIO molttW:lo na Ai· 3-32. Os vaJort:i da5U duu rt'1ublcias ~
ÂJ: - (2irr:)I..-= 2-<0.0035 m)(S m) • 0.110 m1
T
• 1
li,- - _J_ •
1
- 0.7'1 "CIW
M, (12 W!m2·1C)(O,J I01111)
la(r1 /r1)
la(l.511.5)
~ ª ZrlL = 2•(0.15 Wlm K~S OQ) 0.tl"C/W
~pmao
4lJC t - - Jo qK O RIO cll cobMwa ~ E.ado. O 9Utltl!llO da cspeswra&
~ ~·~a U11a.1fafoc-11 de calor lté C1IC o raio wn.o cb c:otatl:f• •l1n,. 12.J rut. Como ta•kado.
de UUl!afma de ca&or QOUMmlQ
11.;moJio • kllllpttiMlin 4t IOW:tf.act: T, for m;mhdl con:stamc. Olll T, dtnW-n.H qu:andro Ó
fyr 1nan11J11 COltllC::lllk. e.a dtsi.t ucmplo.
•tu.•
~ Mt dt_mion_,1rNQo, rep:tmdo--se os cílcu.b 11ie1m:l pa111 UIM çobcr1\lf'I pl..hth..11 ct. ·I rnm de espe»ur1, qae & tcropttawra d:t ln.tema diminui pen.
90.6 "'(. 11u.uiJo • ü.pt11Ju~ da cobcmlr1 plbuca ~ duplic:ltb. Tunbém pode ser
mrtttnkl<>. J• turma M:tOeJb;ivte. qve a interface adnge urna tcmp:ru,aurs mínima de
M1•co tfllu eAtuno d11 çubenu... pl.út.ica igwd11.-se :ao robo critico.
tt""'IJ'"'
3 6 TRANSFERtNCIA DE CALOR A PARTIR DE
SUP R ICIES ALHADAS
A rnxa de trnnsfort ncia Je culor a pari ir de uma superfície :t umn temperatura 7~
p.1r;1 o meio c1l\'olvcn1c a 1-_ e! dfld<i pela lei de NeW1on do resfriamento como
Ó- = M,(7;-T..)
unJc A,~ • dru de rrnnsJcrtnci11. de calor eh é o cocficieme de ltansferência de
cak11 pc1r con..-'«:çlto. Qu.ando as ccmperatur~ e sio fixadss por coos.ideraçõcs
c.lt pro~to, como oco1Te írcquenLc:mcntc, ~i'iilcm tlut1s/urmas de aumentar a taxa
de 1111n,lc.1C.nci1 de e•lor aumcnw ocwfinemt tk 1rans/erêneiA dt ealor por COl'I·
\W(4o li ou •unlCnllr • d"a da SU/>eeffett A..,. AU:álentar h pode exigir~ inuaJ:.çào
de uma boifnl>a ou um vcoliJador ou a subsatujçlo do equipamento ex.istentc por um
dt mai(ll' d1 mcruJo. m•& essa abor'dagem pode não sct prática. Al6n disso. pode
r.lo ta l.Utktc.nlc: Uma alternativa 5erla JUD'ltrttar a .superf"lcie, aoe.xaodo lfAIN:r/f·
'~ 1 ' 1t~ltdtda1 chamada1 aktas. fdw de materiais ahamm:te c:andut.ores. como o
.io..iak> Supaflc10> 1lcllldals1o f llricldu por Cllllldo. Mllda ou wm fi.uçõo de
Iniba dt Metal f1.ftt $Oln • s~ As aJeüs aumeown a transft'têncial de calor a
<>pondo uma aupc:rficic moior à~ e à rodulçâo.
l.:rua ..,tlel\'lo mlett.Uantc: du alcLu. ocorreu b• cerca de 150 milhões de
ar»&. ftl na J111BM1ta. aMUO mo~uado Aa. Fig. ~ll. O cliaossa.lro Slegos:IW'Ut
r. r.
""""do....-...
s_...,......
flQJU~.U
im;g,nç1o
.. _ _ _
(O.....,.U).
li}
' '1
_ _ _ _ _ _ _ _ __:C:.::a!:
pi:.:ru:cl:.::•..:3:..._
• _:Coo==
duçlo de calor Petm1ntnle
f1ansferAKl1 dt Cllor e Ma"•
A id1çi<1 do iwlíunento cm wn Lubo cilíndrico ou em casca esférica. no CA·
l•rllll. ~um• qubllo diferente. O isolamtnlOàd1cmnaJ aumenta a resi$tência de
((Otllf'lll~·
,
k
As coDdt11.h'idades tttmfoas sio .t - 90 W/m · K para o íerro fundwiü e
O.OS Wtm· K pu11 o i~amert.to dt li de vNJro.
A
A rede de rtSUtblaa témuca pawa ~ JWOl>'c1»11 uwolve qu;iuo rmstf'11
cw em sbie e i JnOW"lda u f."11. ) ..2'9. UWldo L • 1 m. aJ has du supcrlk:x:$
-·-~A = l•r,L - 2:'(0.!12S mXI
.,.
"' . •, ·-•, · ••
r,
r
"
R, = Jt_.
R,
-
R,.,
"'trl/rJ
lll(l.7'512.5)
2d,L
b(O.OS W/m KXI m)
.,._. • T~
r,
I
=0.106"CIW
(OO WflD'·~•O.IS?m')
Ó•
"NWt T/W
= 2d,L - 2T(80 WhD·~I •) • = lm(T,IT,) _ lo(S.7512.73) = US 'C/W
..
~
doln1Nl'IK'
C,10sidctC um iubo c1U'ndnco de nK> externo r 1cuja temper.1tun: da superticie
l manodl COMUnte (Fig.. l-30). Agora. o wbo i. isolado com material
C1IJa o;iod1111\.'ldade ténntea' 1 e o raio txttnlO d r 1. O caloré perdido o parnr do
iubo par• o tDttO ..nbacnk: na 1c:mpcrawra r _ com coefJCieate de tramJ~ocia
de <alar por rom1ci.::çi0 Ja. A IAU de tramfaêoc:aa de calor a p:attir do mbo isolado
......... mi« pode .... _
<OOIO (Fig. 3-31)
m) -
bllliO.• ~ ll&tu;as lftdi\·dlais~tc
T • ....,... •
_.1 per!Ktt r.m \'ir1ude do •U01Cnto da wpcrfi'cic cx1ema para cooveoçao. A l:r1l4Sfe,e.;ia de calor a J*1il do tubo pode aumentar ou d:immuir, c:1epcodMdo do cfci1n
c\ 1Cf"M
0,IS1 ...
AJ - 2•1/. = 2-r(O.OSU Al)(l m) = 0..361 r
1
R =R.. - -.
' h 1A
('llf!J~J()da ca,mada de 1solamcmo, mas diminui a rcs::i.slenda deCOD'\'CCÇio da
T,-T. =
T1 -T..,
/t_, -+- R- bt(T1IT1)
l
ni:uu ~ ,..... ... _ _
~·~~· pwt••wpcrfkw
UJttM e a ft'dr dr~ N'mw:1
13-49)
~•dr
2.-u - A(l•r,L)
A ~.,,"' k1 de (Jçom º· n.tO txltt'DO do dOlamcnto '1 é aprcsenoda n:a Fig. 3-31.
O VJklr lle r~ em quit Q a1inge o múimo ~ decetminàdo a parttr da exigtoaa de
ljtlt' Jif,Jr.
O (lnchrwçio ttro). .,.azcndo a cbfen:nci~ e. resolvtodo pan r11
obtc~ o ralo critico de lsotarutnlo do oorpo cilíndrico como seodo
Jl.-= R__,-= h1~1 • (18W!rn1·~0.J61 m2) • O,l'4 '"C/W
Q
@
QbR:na.ndo que .., ct..f1stlociu ullo em -"rlie. a fClii.slt:lda 1ot#I f
R_. =li;+ R , r R, + R, = 0,106 + 0,0002 + 2.JS r O.IS• = 2,61 ' CJW
. r. 1 - r.1
Q ,_ R::;- •
(320-S)•c
2.61"C/\V • 12 • V
(por m de O('lmpr1tl'ICtlto do mbo)
A iadll deçuJvr para dcu•ttrunud<.>c:omprime'llJo do mbo pO<Se iiu ob1lda ptl11 muhl
1
plicnç~ du quan1Idade acimll pelo comptimento do Ilibo 1..
AJ qued•S de 1cmpenuur1n:J. 1ubulaç10 e oo isol•m<:olO $llh dttermlm11d11s a
pari ir da Eq 3.. 17
AT....., = ÔRw-eo• ( 12 1 W)(0,0002•C/W) • 1',fl1 ' L
âT._.= QH,.,. •(121 W)(2.3S-0W)- 'U <
Ou -'Cja. a tem1)tt1tura da.s s11perüdci1 imttrui e cxtcma do Ilibo:> difttc: C"m 0,01 -e.
~uan.10 u lclllflC1111Uf811 cot.te u l!Cupttfl'dcii intttna e exlcm• do 1solamC"1uo diíC'
re•1' un 234 "C
Nolc qut a tcSist.f:ocia tétmica do tubo é muito pcqu~ t11\ rdaçlO às
wtru ttsi..s.tênc:ui& e pode so negligcnc:.11da sem camar Oct1ht.1m a'lO 11gn1.fitauvo
tOllltll'
~lambem que a quedada. tcm~ftO 111boé ~e :r.ero,e, ~
to. o tubo pode ser coruJdC'rado ~ A ra.isl!ocia ao O'U.1110 6! (:jioi c1n wbc»
iloi9dof ~ dcYe p11oapalmea&e ao ilOlameotl).
._ ...
••nda
3-5 RAIO CRITICO OE ISOl.AMENTO
Sabemos que .::rc.sctnw mms i:solamcnlo em uma pan:de oo um ~lo ~
duu11Ut a uaasfedoc•• de ailor. Qu:tiuo mais espesso o isolamento. menor
l&lJ de tr.a4S(etfnoa«calor. lssoécspcntdo. uma \U ~ s itt:aA da lrtnJcrhci• de calor" f CODSW!.lt. e. que: adiciooar i:solamcsuo vmprc •mtma a l"t'\iQ&ic1a
tbnaaca da pwede: ~m aumc:DUlr a tUislência de com~
m.
'
o
f'.õulc q..e o raio crl11co de bolumcntQ depende da co.Klulividade tám.ka do isola·
mcri10.t e do c.:or:fieierne t'.'<tcrno de tr11m1fc~nc 1a de calQr por cooveççtio /t, /\ taxa
d<' H:.n11tc1tnd11 de C••lor a partir 00 cilindro aumenta com a ndiç.i o de: is;olamcnto
p.nrn 1 1 < ri.• quólndõ atinge o nublmo r1 = '"e começa a duninuir para ,·1> r,,.
A..1,im, 111ul.1r um IUbC> pode realmente aumentar a taxn de 1raosferé1)C:ia de calt>t a
port1r do tubo cm ve:r. de dlmin1.1í·la, (IUll..,l.IO rJ < r~
A p1!1~umu uu1m11onte a ft.r rc.spondidn, neste. mon.ento. é se dtv.emos nos
prcoeu~r c()m o titio f.'l'fffou de lsollunento quando isolnmos tt.1bos de ~gi.ia qt1cme
uu mc11mo l1tnt1ue.'1de4gun queme. Devemos sempre verificar e nos ccr-tdicnr de
~1uc o roio t'!i1;Corno do lsola111cn10 ultrapassa suficiente.mente-O raio eri"tlco. antes
tia m111al11r quJ1t1ucr ilOlltull;l:lltO? J>rovãvc1mcnlc não. como é cxplic.:ido :-. r.cguir.
O vnlor (lo riuo crllico r1\1 é gratlde quando k é gr-.inde eh é pequeno. Observando que<> mcoor valor de li encontrado na pratica é ce~ ele 5 \V/nY·K para o caso
Jc: CO'llV~io natural de gases e 1.1 uc 11 coodullv1tLade lénnica de m~teda.is isolames
com111,_ t cr-1.;, de O,OS Wlm'· K. o maior \·alor do raio aitico que esperamos en·
"-
~\ato. tena
me.oor 5t os tft.ttos: da.1*.haçio fossem considendos.
O rmo crf1 K.'O kria mu:ito menor com COO\'ecçlo forçada. muicas \'"CZCS mfcriur •
1lllln, f'llll' e.._ ~ vakn• de Anuuto maKX'C$ SS$1)Ciado$ à CO.\"flCÇào f<WÇada.
Ponwo, podemos 1'M>lar tubos de vapos- ou de 9gu.a quente ln-remem.e sem eos
rceon.'*"',.,' com • poM&blltdMlc de aume.ow a trao1fedocu. de caJcw- ao UiOlu'
...w.,
O'"'° de (1(16 clttncos pode. ter- menor do que o rak> cnbco. Por i$so, oi~
lanr.., eliétnco com plAstK'O podt ~- wlhoror a tnmsfcrêriaa de calor- a
,,
···71
'
'
'' ''
'
'
••'--,'',-- ,-....._' .,,.,,,.-1
:
f oURA 3-3 1 VoriaçlO dri 1&11• Je
tr•ndetf:nc1• de c11Jor C<IM raio ex1e1 no l.lu
isolamcmor1 quandor1< 1,,.
•
'·
- - - - - - __________C.~p~lt~u"!
lo_:3~·
~C~on~d!!ljuçao ele Calor Permanenle
""
Q_ • ll(p õ.x)(T - T.J
,..,.w...io e dmd1odo por .U. ob<emo5
0........... -Q .... ,
A.<
As Ucla$ de plilca 6nas do ndiMkJr dt ano IUllldUlft ~•tua•
._,_,.. • . -....... (i.aqe<tda:C>YuusÇ-L 1oo..,_r...s.J- io.-,
,_.._ ~C~M«nwtbll. ~dta.a.op"tt~ l
AQilA
-+ /tp(T - T.J - O
TommdO o bnwk qu.odo A.1' ~ O. kOMt.
d{]_.
~· Ap(r - T.J=O
't'tveu charmuc csu lpoca e tillba duas fileins de grandes (e bu.arraO pfXM ~u
nas costas. l\Jt um cctto tempo. OS- ('ientJstas ~vam qut u p(Kll!i eram um1
c.p61.:ic de armadura para proteger o vcgeuufuftO dos prccbdot'rs. Sabemos •eon
que o aaaguc fluía através das placas. e el~ podem ter ag;do como um n1chador die
cm:ro O coração bombea-..--a sangue Jtravés das placas. e C5W agiam coruo a~
tlc refngemçio párl resfn.ar o sangue para baixo.
As <iiUpcrfü;ies alctàd.J.s s!o unüzadas na pnkl<:a ~rn aumenrar a rrnnsfe~t11C111
de calor e geraltneote aomeotam muito a tau de ttansrcréncla de calor a pat1ir cl4
supc.rfkit. O radlador do carro ffiQ.'l:crado na Fig. 3-34 ~um exemplo die supcrttcic
alctada. Vária.s folhas fi nas de metAl ooloc:idas nos rubos de água quente aumtnrnm
a ! Upc.rllc1c ele convecção várias vezes e, ass.ím. a\1mcn1nm a 11\'IUl de tru.n~fer~nct11
de calot por convecçilo dos tubos para o ar. Há uma gra1ule variedade de m(ld~ltn
inov-11Jorcs de aJcta!:i dJspoofvct no mer<:ado (Ag. 3 35).
Na análise da~ ale1as. consider3mos a ope.t:)Çio pem1<mer11t stm gert1('11<> tlt
c:olor na 1tlcta: admjtimos qoe a condutivid:idc ténnica do material k se mnnlém
com1rnn1e. Também adJniúmos, po:r ce>.ovcniênd t1 na nnáli.se. q~ o coeficiente dt
transferência de éá1or por convecção h t con1u1me e uniform~ no longo de 1nd11
a iiupetllcic dia afcla. ROC<:lnheccmos que o coeficiente de ursn.s:fer~ncia de cíllOf
por convecção h cm g~ral vana oo le>ogo da aleta, assim como soa clrcunfer~Aeia.
e seu valor em um poruo é f0rte função do movimnuo dt fluido nel!.C ponto. O
valor de h nonnalrnente é inais iníeriCK l'UI baKe do q~ na pon1a da alttn, porque
o Ouido ~ c:e1'tado pOI' superficies s.ólidas perto da b3.sc que podem perturbar sena
1:uen1c i.eu ooovimeruo a pooto de ...sufod-k>". enquaoto o Ouido pr611mo à ponl*
tem p0uco conta.to com a superficic sóltda e, portanlO, enoont.ra põuel resu;t~nc~
ao fl)Ovimc1uo. Ocss.a. fonna. acre~nar muiw lletn sobre uma Jupcdíde pc>de
~n1e diminuir a uansrcrmcta de calor globaJ quando. d1nunuiçlo de h 'upc·
ni q\laJqucr gmbo resultaiitt do aumento da irca da soperfic:.e.
~ao ".a aleta
ConQderc um elcmeolO de 'YOlume da akta n.a loealiz;açlo x et:ndo rompunrnio
'1%. ira
.,.._,....i..,. pcrimeu'Op."""" "'°"'""" .. Ag 3-36. Soboondiçl*
~o bol*'1ÇO de <netJÕO, ..... demmto de...,...... pode !i<r .........
como
lll:UU:J.36
-·-·
akta•poii;*ÇI0-1.fiC.toCOMpnmrMIOib.
Ma D'lft1wtMI A. e pcrimdro,
A poM d> lei de l'ooritt do coodllçjo de~. ,.,,,..
.
dT
a....= -.tA.;i;
(3-64)
Ofl.le A .f u átc• ll'alUvcDAI d11 a.lcta na posição x. A $Ubsti(uiçao da prt:stnle rela
\3o.> JW &t J SJ ~ulta na eq~ diftrcoeaal de lraos:Ícrênda de caktr cm aktss,
;i';(tA,~)
hpl.T-T.J=O
(3-55)
Em iieial, • 4Ic1 1.nmhe.ra.al A,. e o periinctrQ p de uma aft(ll variam com x 0
~ui: IOl'ntl c~l.il ecwnçlo diferencial diflcil de resolver. No caso específico de s~o
ru1t.f1rrsu/ C<JnJfn111e e cmul111i11ida<le témucu con.Jltmte, <1 Eq. diferencial 3-SS
f'CdU1 \t:tl
11
ltp 11
kA
/.)
1)
,,
,,, lflfl o
~
~ltU,ltl
ll 571
''*
Capitulo 3
Trensterff')Cla de C.lor • Mass•
~.;::!=='=::::::33!L:. ,
~ - 6 mtt - e sua s.ubsutuaÇiC> ua Bq. J-S.6 retoma a iem. P0ttat110, a solução
11cral d.li equaçiio diícrcnc1al Eq 3- 56 é
9(..l -
oi• e.
1 1. Alrta rnft•llMIM'MI '*"ln.ti
·---
e,.- +e,.--
(3-58)
e Ci sio COClSIJIR\CS ubiuWia5 cujos \-alotes $.lo dtJenninados. pa:rur das
COO(bções de contorno na base e na ponta da am. Note que prõCIMIJnOS de apenas
du.u coodiçõo pan ddcmúnar cxdusrvamem.e e~De
tcrnpen1IOltli da placa aa qual as akus slo fixadas 6 normal
mente coahecida. EaLiO. oa base da aleta. iemm: COll«hçlo de COCllmDO de ,,.,,.,,,,...
l..._.·~~
lfll*&~·
·~
e,
•nt.cm.IO. •
IJIRI upteifkoda.
expressa por
Na p00ta da akta ICUIOIS virias pos$ibilil.bde:s. mduindo itt0pttatura C'(ptCifa.
da. perda de calor des.predvcl (Klealiuda como pc.na adi2bát.a). cam.ccçio e
convuçiO e nd1~ combuladas (Fig. ~31). A seguir, COMlcktumos cada cuo
..pondam<1lle.
Pata urrut aleta suficientemente comprida de secçio crans~rsal ""Úº""~ (A, •
coo ..U&nte), w.11. tcmpcratu:ra na poata apronma.se d3 tempcnll\ln1 ambtcntt T•• e.
portanlo. 8 apr0xuna*sc de zero. l<>ro é.
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ltfl!lpcnmrl., kJClp) deli
B(l ) -=-1{L) - T. =O CQfflO l.
-t
oo
~a ooodlção 6 sausfeua pela. função ~--. mas n!lo por outra solução da lunç.llo
1>r~pocljva ti"', uma vu que tende ao mfini10 quando x auinema. Por is.iru, a solu•
çiio geral, oeste cm;.o. seni con~tituída p0r um múJuplo constante de tt-'"', O Vllor
do múll1pto oons tanlt é dc1crminado a 1>ar1ir dn exigência da base da. 11Le11t onde
x • O. o valordc 86811• Notando que e--= t-" • t.o valorcorre.10 dn COllf.Umle
~o.., eu solução que c<>Utm0$ procur.1ndo é O (x) • Oli'f--· B,,s.a função ".:11isíaz a
~quoç&o diferencial, bem coino os requisilOS paro que a se soloç3o redu1.11p1ut1 011
na base d.a aleLa e se aPJC>Xune de 7.CtO nu. poola para grandes vall)fe!I de :r. Obser·
vando qLW lJ • T - T. em = Vh;iiÃ... a variação de 1empernmra ao I011go rla
a•eta, nc:stt ca.w. pode ser e x.pressa come>
2 Perda de calor desprez1vel a partir da ponta da aleta
(ponta d
• ~ •• •• Q
Ol
=
Sa~SC. u alctM nio sio tio loogas cpe a ceinpenlura na ponta se aqxo-11• dl ltmpc:ralWI ambtealt. A AIU.Çio mai\ re:alisU é a ttanS.fcriacia de cab
drspttd\~t a peltU' ~ poo(a da. alda. A tonsfnfncia de calor a partir da &leu'
f"'P"'Cfonlil t 6'r:a da sua supMJcie. e a superf'1C1C da poo&a d3: :lku oonnalmeoDe
tu• IQÇJó dcspreú\"t:I dli .sua 6n:a 1otaJ_ Endo.. a p0o1a cb alcu pode ser coem·
c1n• ...S~ e a cuadaç.io na ponta da aku pode ser expressa como
~L. º
-
e,
A lcno tlt tnm.tft!rl1)dtJ ti« ca/Qr ll IXlrtir ela aJét11 pode ser detemUnada ~ psrtir d.:i
lc-1da h 'MJrler dn c1.mJ w;lio {)e c.aJor:
'·
• 1,
1
f~I
3 Tempera! '
-
11(1\.r)-T.1"'-·
.,-..
ycr +e-').
Nort que•• rtlaçôu 1>ara • lr:lll<>f~ficia de calor para alei.as rnuitC> longas e pai'a
•quc:Uit com pr:rda de c:•kw dcsprezh'f-1 oa poou. diferem por fator tanb ml, que se
•P"('lt1m11 de 1 qua1Klc> L te Loma muno if&nde.
•n - ficada 17:
-
4
<:OlllO
_ •
"'*
'"~" 1 tcmpmiur.a 01 u1TOm1dlde da &leu (J'Ollll da aleu) t fillda u
lms~atuni ~1íicada T . Podau scrcansidtndo
geocnhuçiodc
Qndc p t pcOmcU'O. J\, C ir<a U11DS'...-..J da aJm C X é <hSllncia da base ~
11,-.meosc. • t.a:u de transíetfocia de calor a p:anir da alcu Ullmbêm podma 1#
ddctmlnada. eop~sc a unnsfcdnçia de cslor a partir do ck-mcn&o dt: Yt>
lume d>fereocial da úcui e IR~ ao loago de IOda a supttlla<:
L.
e.
=
ta1\h.t - ~1thdcosh.r =(e" -
r.,
ci-=
(J..631
A i:~1nJ,,,_:w oa brue da alcta pmnaJ1éCe • mesma como exp~ n;1 Eq. J....59. A
oond>çõcs de • ..,.,.,,., dada• pel.. Eqs. (3-S9) e(~) no Mlfuçila
,.,.,1 (fq l-58) rcq...,. que IJ(O) = B, = C, • C, e mC,..... - me,..-.._ = O,
nl:!il'J'Cl:'h\'àll>ente Re~!vcodo es,jó'IS duas equações 'imul t:1ne~1e para C1 e C1
tCnlQ'I
MI + , )• Ci BJ<I +e- w). Subsbtuind()as rei~ pata e
C111.l Í',() 1-~8 C"'iOOO BdcfiniçJIOd.1 fuOÇal>dO C""5COO h1pcrbóliCO C~hX (#'
1 r 'Y2. ICltl\l'I 3 tt:lllÇào desejada parn a dlSlribuiçào de ltmpcratura:
'1
NOle que a wnpe:ratura ao longo da ateu.. oeste caso. dinúJ\ui rJ:f>(Ht~.ncialm~11tf a
paiur de atl. T... como (ll()wado na Fig.. 3-38. A w.a de 1nuufntncia d~ calor
pcnnancnie de lodo al<1• pode S« detcnnin3d.t pcla l<i ele Fourie< da conduçlo de
L
"'1\.tl"'-
ll!f
A~du.1~ abord4tns descritas do cquivalcn1es e f0ttae<:em o mesmo rcsuhado,
1111\1 \'<I que. M>b condi~ões J>ennancntcs.. • transfcretK"ia de calOI' 1 partir da!> t.U·
pcrfl'..:tCti ceipM;a\ da alcca é t&uaJ • ll'állsfcrênda de calor para a aleta. o.a 911 base
11-\J )..)~)
•ri""''° dat
m n 3 erte c.imp 1 a •
Cm•diçúodtt conU)rrio nabos~ Jt1 ttl~ta:
Conduç.ào oe CelOI' F>etmatlenl1
okra
~~,.,~ lottga, oadc • temptr1(Wa aa ponta da akla foi fi.uda em T.. A coo.....,_.na,,,_. da aacu pan ~;e caso 1.
"°"'*r'o"" ~no
ponl4 Jn o1..,..
z~ de CCHW«no"' -
lml
B(L) = 8L = TL -
r.
(J-46)
da aim C<ll>UmJa a....,,.. dada na Eq. 3-S9
,. .. <*ações de canklmO dad>s pelas Eqs. 3-59 e 3-(>6 u soluçlo
fEq l-:58) ot>ctn•lC. depois de a1,.,,,..1oogas :ilgtbr.u e llS3!1do 1 ddinaçiio
---"""·-do-•
nGUU
Sob ec.d11i~
~·nMf~dreCllorl
..... C'Olldlaçlo dr cab .. bllt dl li6da
_ _____
Ca
~p_r_
1u_1o 3 • Condução de Calor Permane.nie
1ransf11rfncJ1 de C.IOf o Messe
da fuoçio seno lupcrb6Lica seah ~ = (it" - e-')12). a distribui~.lo dia 1cmperanJ1a
dese1od•
T. )ICftb ,._,
•
....,
UAndo a lei de FoQrier da conduçio de calor, • tau de l.rl.Ddtf'tncl& de calor 1
o.•idl A d• •ru ttan!h<c~al e I' i o 1>erlmctro da alcta na pOnta. ti.tulliplicando-sc a
tdl\lo dad• pelo pti'Ímctro. Lcinos~ • A.ia. ,1..,.. +A,.-. que inclica que a
6ft• da alci• ublfd.a. utWuin00-1.c o comprirneoto comg.ido., é cquh>aJcntt à soma
Ja isCA l1te1"1I dl alcu com a W de: '"ua ponta.
A aprox1maçiodo compnmen10conigtdotru1\$U)U1dos muito bons quando 1 v&11~lo de ccmpe:ralura próxima da ponta da aleaa é pequena (e! o Ci..!oO
q~ndo ML i1:. 1) e o cocfidt.a1e de lransfc:rfncja de calor na ponra da aJeu ~
qllut o momo q:uc cm sua s:•perflcie lakral. E:ntio. OI a/das sllbfntttidns d
,'OI l'ttfdd t:m 1#4.1 pon1u~ poftm 6er ll'OJOIÍru como al~ras con1 pontas isolados. 1..J>s111111ndn o tVHfitpntrW,,.o Tml do akra ~/<> ~ rorrigid<> nas
""'" da aldo 6
Cq• J-61' J-6J.
IJoaodo.tc • rdaçóe> adcquda> pon Ac ep. os a>mrrimenlOS ~dos
alet.&I> f'CUO&Ul#a e clllodncas ~ !ac1tmcm.e dettmúmdas
..Z.-11:
l
-
T
N.., que as Eqs. l-61e3-68 se rcd....,, P"" Eq<. 3-60 e l-61 pon o"''° de
aktas uifinhamcnte loog.as (L -+ o:i).
4
e
ção a partir d.s
C0t1tUí-tlo <Íf! c<Jntomo na p()ltlü da aleta:
-kA.t!!.I
- M,ITCL> - r.r
dx
~·L
(~69)
A condi!i~O de cont011)0 na base da nlcta é a Bq. 3-59, u mesma dos 1~~ ca11os
:mtcrlCJtes. Subslituiodo-se as duas oondiçõc& de cmtorno dad.u pelns liqs. 3-59 e
3-69 na !lol uç~ geral (P.q, 3-58), pode ser mostr41o, após longa.~ manipul~t.
c1ue a dJS-tribuiç.~o de 1e1npu311.1ra 6
~
.
.
:
...
••
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..
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___,__..,.,I
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!--'
1
T'
n
-L-~
(.ti s.rr1octO'll Utm
Ehc1ênc1 e:
011ta da aleta
A& ponW das a&ct.u, aa prática. C:SliO expostas 806 andores, poctaflto a coodtçno dt
cont0tno adequada p:1.ra a pOtlta d3 lllcca éa convccçl.o. que J.ambém tnclut Oi tfeitC'.ll
da radi:açio. Coo.sidere o <:a.w de convcoção a.penas na pont.a. A condjç~o n.1 ponca
da 11lct11 pode suobtid<l a partir do 5tu balanço de energia (Clca.11 • Q..,_), que é
1
''*
A- • l Xw)lrLt-w>CJ
C'vnouJ.«t • IUf>"'rtJ-111• ~ u1n:a fOrt:dc pJ1ut0 "ll tcmpcra.tura T • Cxpo6tll illQ u'.lciu
nJ rtmprr11ut1 T. O c•ICW" 4 perJido a partir da superffcié para o meio circundan~
ft por c:on~-ç!lo i.;um cocfic1cnrc de tmnsferência de caJor Ir., Oc:sprc:undo-sc: a
r11d1<1\ili0 oo conlabiliUUKlo.sc i!IWL oontribuaçSo no coeficicotc de COOVttÇ!io h, a
c~ndctt1'1Clu1 de calor ti partir dti 11upcrfkie A, é CJtp<cssa p0r(j = lrA.. (T, - T.).
A&º'ª v.imos t.:On$ldc:mr un n file1a de área trans ..·ersaJ coa nante Aç = A,, e
cnmprimcn10 t. li11ad.a à superíl:Jc com perfeno contato (Fig.~ 1). Ocs1a ve-.t,
o c11lor 6 1r11.11sfc:rldo a partir da superffde porn n :tlern por condltçifq e a 1>:inir
do. olern J>llrll O melo \:Írcund:ure fJ<,Jr tóuw:cção. com o ruesmo coclicien1c: de
1ran~l'c1~nclo dt calor''· A cemi:c:rnturn dn aJe1.a d Tlt cm ...ua base e dimu1ui prot1-rc11~ivM111.:r11.c cm dircçllo 1' po11ui. A convccçllo tt 1>:utir du .supcrffefo dn :ile1:'
c11u111, Clll qurilquer ieÇilu 1 rnn s>'C~ll . UJna diminuição da 1emperatura a par1ir
da lmha tJc c:cn1ro em direção à supcrtJcje externa. No cn1an10, as áreas- Lrans''c11.ui1 ,1Je1.1~ norin:1lme nte 1tio muito peque.nas., e. assim. a 1empcra1ura em
:r,W.)I'/
RCUIA M 1 Akcu •Lmt:tU•M 1
ttanifttlnc111 de calor a pvut d11 .\o\lptrli<M.
aumenf.a..00 11 A~.a da 11.iperlTcl•
ª"'
"
QJl.!1 "'' '
, I\
) t- {h/ml w 1h ~·'
/...
li
1 h ,./
l3 rO>
A taxa de tran!lfcrência de calor da alé la pode ser encontrada &ubsij1uindo-so o
vacUcsue de temperatura na base da ak:ta. obtida t. partir da Eq. 3--70, pela lei de
IWri« da conduçkl de calor. O resuJtado é
qutlql)C:r ~çAo tratuvcrs.al rodt! ser oou.s1dcrad11 unifomlt:. Além disso, a ponta
da •Jc11, por conH•oiêncla e • implicidadc. pode ser oonside.rada c<nn<> adhtbálkt, uunllO-~ o comprimtnto corrigido para a aleLa em ve7. do comprimento
rui
No ClllM>-llm1lc de rrJullncia 1irmict:t zrro ou conduti1>idadt tlrmica infinua
Ck-+ 00). l lClllpct1Cu111 da akta ~wuformce 11uaJ ao seu \'alor na b3se T.,A UWLS•
k1l'Jk11 de c•b 1 putar da ilera f mánma. neste caso. pode ser expressa como
(
<>-
•
"--
13111
(3-13)
-·
..._.....
~
fio)Ailla.....,.__,_.
-~
º_
4 'drfilmdo
de ... ' - - qwc •
c.)n'1_pdl)
tramt'ahlcD dr cür a pwt• dl Ue&a tk
--1.---'-lltipl
t IJMt/Ufntiil dt CÜOf 1 pltlW ~ Üda
n:<tl die <OMpn-.~ Lo:m ~IO M
pedi
ca. alcta.
AIClluçlc>pontaeqaçlogualdaalelapwao""°de~aponirdap>Olt
da a1oU i - c:ompicu. Uma!"""" prina de~ a peida de calor•
"'""'da poaia da alcu i ...t.stil\Jir o ....,.,-ro Ja alm L na rel>çlo ponto~
.-io pclo~to ...,;ptoda -dd'midocomo (Fig }-40)
c1a,_,.
--
o-rn
(Jollal
-
ntuu
Dt.tahi.,._lt).
~ideal e mi IObtpda-
•-
Capirulo 3
Condução c;te C.lor PtrrMnenle
""
--
Atltn ......('li.,. tttlll
•= ViWh
4•L+-tfl
A-• :h.l,.
---- V1iib 1
Funçi>es de Besset moo ticaon dl
pnmeuoe~undo llP'l'"
CJ$k ...... ~ .11 11.rca cbi &upcrf'JCae 101.al W aJeca. E"sa relaçkt 00$ pennitc det.:-nninar
• vaiurdtnc:•• de alor • J)U'tJt da aleta quando sua eficiência é conhecida. PJ1ra
Ol conl de k'll'Ç-lkl lfllfl\\Cf"' OOOS~IC de al~tas mudo compridas e ohtas com
pi41fflll.I (fJtabd/Kal. a cí1t1êoc1a dl akn pode~ expressa como
-"'4
--
"""
----1 l,a-L)
A .... 2wV1. + c•n~
•
..IP-'->
.....
...
--ViWh
C1))
c,-~)1
l
onJe A..,.. pL p;wwi aktu c:om scçio b1Ul.\'ott532 CODSlante. A Eq. '3-77 t.un~
p!Jie \tt uoh14lda pv.a. ~ submebd.u à COll\~ão. dndt: que o comprimento
..._. 1+Vt2MLl'+1
Mttn átc.iattl M pttfll ttUllCu&lt
K1{Jv,)11(•r~ -
..fWi,
A..... l•(r,~ • r~)
Ú'1/#1
Ci • rl- ,,J
AllllM de plflll ft fllrll ttl:tlll 111M
A,... • wn1.,
Alltat lle pino llt 111tfil lr11111i(11l111
~fltl)
A,... • ":.../1} 1 (fJ/2~
A114H il f i.O ....rtd ,.,.6tlct
VMô
~ - ;:;' rc,c, ;;,1o(WC;i + c,iJ
e,- 1 t.)(ML
C. - V't •(DIZ..~
.............
- """'º
...,"'~
"-· ::.{l16(UDf 1 ll'"-1}
da 11lc:ta L K;.1 'IUtK.!1tukln prk> C()Ctlptimento corrigido 4A fob 3-3 Í(Jme(c u rclu.çõc.."' de cf1dêocia dt aJela oom ~ão ~•lS"tf"'aJ
uniforme<~ uniforme. ~ra alétds com perfil não oniforme, a E.q. 3-56 não
' m11h \odhc.IJ e, portanto. a fOftoJ geraJ da C<fUa(:iO diferencial que rege • lran~·
1r 1l 1'4.:1U de eulor cm •lc111:.. de form.a u.rbnrliri:i deve ser us3da (Eq l-SS) P:lta
C:~\C.11 ti.h(~. u '+OIUÇJO n.'lo eMA m<us o.a forma de simples funções cxponenci.ni<>
uu tu prrhdlk:a~ A11 funçõcJ matcmá11cas I e K q9C apam:cm cm oJgumns c.lcSSlb
rcl!Mjõct 11&o ll~ j1mçôf!s de H~s:u.J modifi.cado.s, e seus valores ~o apre~tados na
l.1b ~-a. N;i Pia-3-43.
trll!ÇJdM- efki~ndas para nJcta!õ <>obre 1u1)~rpr:;f' plmw.
C', n1 Fia. J-..44. parn rtlettJ,f rirn1l1U(.l de espcs!lJra<.:l1nstuntc. Para a nmiorin dus
ukln.t de t~IJC1'11W"tl consumtc cncl»ltmdus na prática, a cspessu1'3 I é muito pequerrn
cn1 rrll1ç1.1() Mt 001111>1imCOIO l. J.11 alc111 e. ussim. sun área de ponta é in ~ign i fi c:-ame.
Note que aleui.s com pcrli11 triangulares o P\ltábólioos contêm menos mat.,riaJ
e do rn ~i11 elidente• do que aleem com perlii; rccangulnres. seodo Ltl:tjs 00eqo3dns
1111111 npllc:.nçõcit c1ue cxij;un J>CM.> mínimo. como as ap lic~iics csp.iciai$..
tlnrn ço11~1t.lerac:no impo1t11n1c no 1>rojeto de suJ)erffoies aleladas é u scJeção
nlt'fd41 ck'I romprfoH'llfü dtr ulc/U '- Nomudmcntc, quanto 11t11fr co,,r11n'd(1 ror a. ale1a, m11for loC:li " 'rc.:1 de lt11nsJetêoc1a de calor e. ponan10. mainr ~ a laxa de
lrnn.t.lcrfocia de 1:alor 11 pomar da alcta Mas. qu;imo maior f« a alcla. ma1Clc'eS strão
• m1\\1r.11., o 1>1~ e o atnto do flunlo. J:iorlaoto. <>aumento do compdmetllo da aleca
altm dt ct110 \·a.lor ftAo 1>0de sei· Ju~tiíM.:lllo. a menos que os bcncticios adicmnais
lUJll 1't1n o CuMo •dkionnl. Além disso. a e fie iência da aleu d10unu1 com o auo1eo10
Jl) Cttmr1n1nmtn. Por c'usa da chmmu1çio da tcmpe:raU1ra ~ seu roinprirnen10.
Altlu eornp~db que cau.suo queda da e&1bx:11 rm tomo de~ nom1slmcntc
do p:~m \C:t. economiamc:ntc JU~ifteadas e dc\<ein ser evitadas. A eficiência. cb
lft.Wr11 d.\ akta, ~ n1 friug C'Jitá 1e1ma de
"'º
,,.. \14/f/AD
4 • L+014
---
11(i.r1)K1(Mr11>)
""'-• C1~)Ki(•r,,J ..+- KJmrJ11(mr~)
,k - ,, • lfl
1t1 •
0.2 0,8269 0.08'3 7,1"'9 5.8™
0.4 0.697' 0.1368 1.6627 l.2587
0,6
2 11(2mL)
7f.... .
;;J, l1('2nd:)
0.5993 0,1127 1,4167 2',)7)9
ô,8
o 5241 0.19"5 1.21'82 1.9119
1.0
1.2
1.4
0.46!»8 0.2019 1.144~ 1.6361
0.4198 0.2153 1.051$ 1.4419
0.38.11 0.218~ O 911111 1 1011
2.0
A._• •L(C, +- {Ut)ltl(t/L
1"1,(.-)
1.0000 O.OtOO
1.6 0,15)) 0.2190 09!09 1.1919
1.8 0.3289 0.2111 08828 l.1°"4
~,
..
• 't.t.O • 'li(Jj 11'/.t:I
0,0
m-,
da
"" Rw. '6o UJ.ill.b,,. J*I- Glmlartar • t.rusfainc.adc caJQr. SU2 taíl~ tm um:t
iUporfkw somencc ~~ l'tW'nendada se o aumc:mo da nnsfen:ncaa de calorJUSUfq o •n:icnco do eUl>Co e dl eompktjdadc as.sociado com as aletas. Na \-ndade.
2.2
2.•
2.6
2.8
3.0
3.2
J,4
3,6
3,8
4,0
•.2
4.4
•.•
4.8
S.O
5,2
5.4
5,6
5.8
6.0
6,5
1,0
7,S
8,0
8,!)
9,0
0,]()85 0.21SJ 08416 1.033~
0.29l3 0.2l2'l O,t0et7 09738
0,2766 0.20fl'i 0.1740 0.9229
0.263'9 0.2047 0,7.C~CJ 087CJO
0,2'528 0.2007 0.1206 o 8405
0.7430 0.1968 0,6978 o8066
0.23'3 0,19:!0 0.61XI 0.116J
0.72'~ 0.189, 0,6580 0.7•91
0.2l9l 0.18S6 0,64()5, 0,724!1
0.2\29 0,1811 0,6,•l 0.70?1
0.2070 0,1788 0.609l 0,6816
0.2016- o, 1155 o.~953 o.662'7
0.1966 0,1125 M823 o,64!>4
0,19!0 0,1695 0,5701 0.6291
0,1816 0,1667 ô.5586 0,61'3
0,1836 0,1640 O,S478 0,6003
0,1797 0,161• 0,5376 0.5872
0,176-' 0,J589 0.5280 0,57.C9
0,1128 0,1S6S 0,5188 0.6634
0,1691 0,1542 0,5101 0.0526
0,1667 0,1521 O,S0l9 0,6422
0,1598 0,1469 0,4818 0.5187
0,1537 0.1423 0.46S8 0,4981
0,1483 0,1380 0,4505 0.4797
0,1434 0.1341 0,4366 0,4&31
0.1390 0,1305 0,4239 0,-4482
0.1350 0,1272 0,4123 0,4346
9.5 0.1313 0,IW 0,4016 0.4222
10.0 o.121a 0.1213 o.3916 o.•108
• ko\ih"'°"'c:.i[('S, uWlltde .. ~ ....,
"*•e• .._tkll 1 ........ 1( h)
Capítulo 3 • Condl>ÇIO de C&lor Ptrrnanonte
Tninsterfl\tl1 dt Cllor 1 Messa
Aqui. "• é a á.1t:a U"allS\'Cr!i1tl d.a alecn na base e Q_..,.. represcota a 1ax.a de
J\lcrfn<•• de cak.N" ckssa
~ ntio hou"cr aleta fixarb M superffcie. A efe:~iJ.lilc da i1lc" t•.,_ • l md1ca q~ a 3diçlo de a1ttas na superfic~ n.io afeta a
rr.lll\ki~n,·i.a cJc calor. Ou ~JL o catar conduz.ldO ~a alela atr.t\U da área da
hdt A. ~ ,,~1 av caJor 11-ansre1-ido a p;outir da mesma áre3 A, pa1'1 o .ambicme
A m: 11 , iJlllJc da alcll e.-, < 1 iOOic.a q:oe a aleta. na ,"'Cflbdc, funciona como
11 'll (»l,1111rn10, d1mmu111do 1 1ram:fatncu de: cakJr a panir da s.uperf'1ne. Ew.
t1INÇio potk OCOITtt quudo ~ útt.budu aktas feitas de materiais de baixa
condul•~ id.llk lc."flfltea. Uma cftc6cia de aiell ~... > 1 todK"a que a, akca5 ~
a tr•u/atacaa de câ>r a panar da uperficie como det.tnam. !\o
cflUftlO, • u1d1uçlo ~ aletat a.ao pode ser Jasb.fK:al.t.a a meoos q...e e ... ~ja su~
fJCieSJICC!littHi: 111110f' que 1. A\ tuper:fk~ llltcai:IH Wo cmccl>ldn ~ mox.Uni:,ar
'rc.
0.9
...
...,
L, - L
A,, -1.,dl
1
•1......
••
""""'""""'°
o;
• cr-="·· .... tldcnnuwdo cm:&o ou .Cnuni:ar os~ para a cftcic:&a desejada.
Note qcte laoto a efM;llocla e&. alc11. quanto 9.l3. ef.:ác:i:a estlO ttlaciouda.s
..om 11 iJacmptftho Embora C\tcjam ~m quantJd.lcs dl!en:1Ut:S. esa:Jo nl.ctoru·
0.1
IJ.
1.4
1-6
ib' cn•n: '' puf
1.1
(-L~)
l\'ft1111t(), ,1 tf1-cacl1t d;:a Wcla poJc ser íacilmen(e determ.Loada qumclo 5U3 cí.ciénd.11
t C:\N'ltw'"KJ.1. t)U '+'K."C·"Cl"llll.
A t.l\<1 Jr l.r.Ut~fcs0nc-ia de Cldt.Jf 11 parttr de uma nlctn -.ufteiente.merue IO!JJfO
de ll~~.1o trtll'lYC.n.ul imijorm, sob coodiçôe.s pemrn.nentes é dada pel!l Eq. 3-61.
0.9
o.3
Jo.1
~o.•
.. º·'
jo.<
~ 0..1
O.l
S 11~onu11Jo e-.+l;• rtlt1(iio n~ Eq. 3-78. a c:f'icâcin. cb .-teta longa é
,1,
IJ,I
oo
1/t'.111" 1111tr A1
/,
r
0.2 0,4
O..i'I O.ll
A11• l\idcmos hrar vána~ cQnclusõcs impotlantes a parlir dn reluçJo
11!1 (lu.:l11.·111 do olcta :11>rc.wuiad;1acu11ll pura apreciação no projeto e. fü1 ~Je.çao de
ulcl31i
1
1.l
1.4
1,6
J,11-
1,1
1.4
l6
2.S
J
A c·m1du111•itlmlc 1lrmfcu J;; do mu1crial da aJeta deve Sc:f" a mais ~•hn poss.ivcl.
A'•im, nio ~('!OI' OOll~• qut alews l'lio fc11ns de mtMais. c0tnocobre. alu1nínio e
lc:1ru rnh~L as 1&lc1u mal~ uiiU~idas M:jom feilas de: alumínio. cm ...-inudc de
li l-i.a1-.o cu ...10 e peso e de !>WI ~istê.ncia li corrosão.
n
A 1111110du1~rúnr1rv 1>ana. drra t1wm't!nal da ale1.a p/A. Jcve 5Cf" a mais aha
pi1,111\·cl ~~ tnt~nll é satisíci10 cm ale-Las de chapas finas e defgodos na
lot11\1 de prnos
nJo c.YSl.c ncnhumô\ g.araotu1 de que a inclusão 005 ;11Jeras n.1 supccffcie ,,,,m,-mml
• lflfl"Jcrêocia. de calos: O desempenho das alem$ é avabado COOl ba!iC no rtnd•
menlo da trani;fcrênc La de calor cm relação ao caso !l>tlll ill.lcta O d~11·t'm~n/N'J tl1
olt:ta ~ t"J;;Jl".'.55() JXW" mcm de wa efetividades..., definich como (Fi,g ;.-..s)
O U\O de •lct.11 é n~~ cficai,. cm aphc:açôes que eovol\'cm baixo coeficurrtl!
dtt tr1m1fr1fnc1a dl' rotor por rom'«fâo. Assim. o o.so ele aJeaas é naais facil·
n 1~01c JU"dk.aJu quando o meio é g6.s. em vt<e de líquido. e a tn1n~ft;tência do
n1lur ~ P"lf com «reio natural cm W:7 de COll"-eoçio forçada. Pom:nto. não é
""" "'ª"' .. - '"'""''º...
~
de colar l/qw~gú. C()fOO o radiador de carro,
M llC'ta1; aio ('\lfoc:.du _, lado do g.tt
Ao dttesaumr a tau de tr1n.\fcrlncia de calor a pmu de uma~ •lc·
Lllb. k'IMo. dr~ a porte não alnoda da Apetf"lcie. bem C01M» & aktm
T,
(!;º--
••
,_. "-
11__
Capítulo 3
Tmn1Je1tncl1 de Cator e Ma$S.i
Por isi.o. a lall..a de trans.ferência de calOf pa.ra superfície oor11endo n alc1a1i pode k1
expl"CMil por
Q.........
Q_.._-Q..
= M.,.....,.(r.,- r..> "'!'" ..,...M..,cr, - T...l
= li(A-. .... +- 'lf...A.-XT, -T.)
CHIJ
°"""'
T..,hém podemos d<firur • dkilda global pora ama <UJX'rikie elwlda
a razJo cA&rc • tnlt'Ícrê11C1a tocai de cal« a parur da supcrfkie &itcada e a tr'Mnfe
ffncUi d< calor. porurda ....... <aperficic. .. - ........ akln.
Conduçao de Cato1 Parmanentt
rsna •11r1t1 1i~n11111unco1c oom1,.-1Wt de ccra. de: mL = 5. Por i1;so, urna a.leia cujo
cunipr•n"" 'ª t 1. - ~ m podr ia' coo.s.idctada aleta infirutamente comprida. TamI~ 11 ot•..c:• v•mo~ que• redução do compnmeruo da aJell• peja metade. o~ caso
(dr 1•rl 5 1 mi• 2.5). pl'O\'OC.l queda de apeius l"ii na transfetêacia de a lor.
("('fUintl'llC nAo hel1ll1IU05 cm A\.Yificar- 1% no dcloempenho da trao~ferinc1a de
aililf cm llOUI de 5()11. de rcduç.io no tamnnho e.. possivelmente. oo rusao da alela.
~· pMIC&. "'"' \-'OfnprullCnl.Oda. alei.a que corrcsponcb a cetea de mL = 1 U'J:OSferd 7b.l'l do c•kitque pOOena ~ "*1Sftndo pcba aleta mfiniwncnte compnda.
ofcm."fndt' '""' boi rd.tçio entre o dc$cmptnbo na lnUlSfttêoda de calor e o
,_.i,o.laald•
Uma apo11maçio (()Cfl91D uulilada - mtuc das akUlS conmac CO) 0005ide-
,., qiat Mil tr:~Unt \o'afla cm uma dllica direçAo Cao k>ogo do compvnc:nk> da
tJcUt e quie 1 ~Jo da kmpma&ura m longo da~ <JUll'as direções,~ dcsprezí\'el
T~tftt "1Cf nteji tit petgun1~ ~ es.sa.apnrumação un:idimcnsioml~ ~l.
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~ .....~ )upo'Íklal.1
ª'"".:t.Mht • 1upcrfkc rttwt,\ll•
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09(le A_ . . f a Arca da M.lpetí'"icie quando nio ha alelas. A.- ia wpcrfic1r taril
de coda14b aJcrn na 'upe:rflcie e A....,., l 1 úea dtl pane não aktllda tb 'Uperfkic {Fig. l-46). Noce que• cíK-ácta global~ alctas depende de sua denskblt
(número de tlelas por unidõ1dt de comprimento). bem como de su~eítekl!l 1nd1.,....
d~1al A eficdcia global ~ um.1 melhor rnochda do dtstropellho d:.t <upetflCte aktad-'
do que a crtckw. mdivlduaJ das aletas.
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nndc-11 6'! a c"pcuurn CôVllcie:IÍs.tw;:.a d11; ukta. considcnida a espes.sura r (Xlra aleias
r.:Lanfl:ull>.te:J e diO_metro D P'l'ª M cilíndrlcus.
Su1,crí1..:tcf cilc1udall cspccrnlmco1e conc:ebidil.5, eh.amadas dissipadoras de
,lki tumu111entie utili.t.ádllll nu rcs(namenlo dc:. equip.1metitos elelJ'Õtijcos e
c111;ulvc111 v:\11 :1~ aeotncfrias çomplé:inlll, upn:se11t1Ktu na Tab. J-ó. O desempenho
111) 1nin,1c1-ê11c:1a de c:.alor dos du~ipador<:JS de calor 6 nonnalmenle exp~ oomo
11•rlft1•ncl<t ltln111t"u R ~"' 'C/W. definida como
''''º'·
li m 1>~11c110 wilordl.' r~lstiCucia 1étmkll indica unui pequcnn queda de 1e.mper:111J·
1+1 ••Uol\'6 do c.h ~'i 11ador e. por1:11110, uma alia t fit iêncaa da akla.
lXC PLO
Dissipação m•xima da potência de um transistor
lt11,,~1 dol\!11 de potend• que do romumcntt: us.adot em d1.::posi1hw cletrónk:Clf
Uo1 ..-lf'llCl'l' f 1•'ICles q11aofjdadcl de C':Dttg•• C":it:Lnca. A taxa de flllbl de componc:ole1>
tlrulomi;u• W.tllCTIQ quue o.puneDC••lmcnie COlb l lcmpcr.l(U111 de ftunommcnlo.
C°111W1rc-a1•.•1a.u de l11h1 de componentõ elt:L~l1!é0$ t redunda pela metade•
Ctd1 10 '(' dt flduçào OI. 1Clnpet11W1'1 de f\mc!OUmcotO- fw isso. 1 ICmpttlWI de
flllk"fllAlll1~10 ~ compollCll&Cl t:kct61t.cos l manr.JI ab1um do rdvcl sc:gw-o para
llll•lllWZM
O""° de falha.
()\ (lf\.'W"- dtu'õucm RfW~'tb df ut1 111Mlm!r de potêlcil do JllOltgldM
na•
J101 .... '"'~.aov. .... dpull
c1r llidll "'~ • uaoútdocit
iiwmor po11nic.. \la ~kncnec npcci6c*I• pdo fabricamr cm
fl'-i;to. ~ lttlalQ do •ll\llÓIVQO ~o ambicMe. que~....,.
*
lhnWafadadecMorpo1~-•ralciu-oapor~
Pu
tpe'~ . .......
pmo•~popon;.-.fl'O'IC:aW
......
df
e
o Ôc la
Um p'1m imputtan1e. no projeto da alera é a deternunação de seu comprimemo
adequado. apó.~ cspcc1fiéodos seu mm.criai c a M.'ÇiiC> tra.nsvel"\al. Vod podc pcnS11r
c1uc. qua1110 mail comprida for a uleta. maior setoi n área dn !iupcrfic:1c e, pQtl1Ul{(l,
mulor sera u ld'-21 de lransfcrénci:t de calor. F.n1ão, para o máximo de trnn'Jfc1i!nc:1a
de tQJQr, u alçt:\ dc,·cria ser i111inifal\lC'nte c:ompriJu. No enwnm, a 1 cmperatui~
d11nfoui exponcocia.lmence ao longo do álela e-01inge a temperõturn nmbicn1e ()\11'1
ulgulH oom11ri111e1:lto. A parte da aléla, tlléLU desse ponto, não contribui p~1rn n 1rnn\·
rcrência de c.ilor. por elltDr à temper:uura ambienle, como 1no&1~do 1h1 Pia:,. l-41
(!ntiC>, 1Jrojcl3f uma aJel!I "cxttacomprida" tstá Íl)r.l de quesliio, pot11 re.\Uh\I C:nl
de!iperdídu dé material. excesso de peso, aumento de ta1m\11ho e, po11nnm, 1m·
111en10 dO) cos.1os ~m nenhum benctTcrio cm troca (de fa10, uma 1\le1a 1âocompr1da
afc:.t111a o desempenho ao su1>runir o movimento do fluido, rcduzmdo o cotl'icie111e
de lrunskrf:ncaa de CJtlor por oom1·cc\;1So). Aleus 1io compnd.a! a pon10 ck a te:mpc
ran.1ra a1X'OJCinuir·llC da temperatura 1mbie:ntc não pOdem ser rooomcndadas.. poti,
um pequeno au111eo10 rt.1 transferência de calor na regikl da ponla não JUl-linca a
aumen10 dcsproporcjonal em relação a.o peso e ao custo.
Para obter o ~nso de coo 1pri.meo IO adequado tb alt.ea. CO!'llpllnimo<i a uansfer@nci.t de ça.Jor a partir de uma aleca de comprimen10 fi:ni10 com a tnmsfertncaa ck
calOr a pantt de Ull)l infinnatnente cumprida. ou mesn:u1s cond~ A 1woporçio
~ duas 111l1Sí<rêoc1J! de calor t
r.,Jiadur dt carro. ma. ndO Otariamm &ão ttrtQ5 dis.w no çaso de altcu ftilti de
irQfl'NI 'l npc:t..\W. &tudos llro dtmomlmdo que o erro envolvido na an:llillC uniJ u~!OfMI da 1kta ~ÜCllpn.'7ivd (mrooe.de ccrea de l~)quando
• , . ,•
e..• ...
..__. ...................
, ..
.. o Cll!O dn •ld>< rr11u de roaus rum de meul. como .i.t.s de
fal< t _
" - - • Wle H •) •CIXwl
_ . . . . ctllltn~lo pera ffMt.fcrt.:il
4~...-..dc>~~o~do~de~~
._ pollw• lftb.llllM dr IOW '-de 20 "(:fW" C~qut a ~.,. do
U,_. uma cakul.adofa de mão. os ~de tlUlh • l Yo aval"iadcM '*3 ai
CYM qkJtt.s dr: wL e O) re:sull.ados $âo aprescnládDo, u 1àb. 3-.S. Obscrv:amõ4
pela tabela que a trtn.úer!ocia de calor a p.trtJt da aleca aumcnca rom lftl. qua!t
Jmcanncak no anlç:iQ. mas a cun11 a&..inge um psta!Tl3f m:u.s tarde e chtga IO v;tlor
~ •~ nlO lk\oe \iCf •penor a IS '"C. ~a poilocial"m q11t
nw .,.,..lM.or podt ,_....., ao.a~mi . . mtimlea?S '"C.
V.nlÇIG da t11r'lsl•lnc11 dt c1IQf 1
part.1 da alera em r111içao Aqutll ót
altta 1ntln tamente COlf\PI idl
..... .......
..º·' _.__
0.1
o.s
1.0
1.s
2.0
u
0.100
0.197
0.•62
0.762
0.90$
0.964
0.917
3.0
o.m
'º
0.999
LOOO
5.0
Capft~lo 3
Condução de Calor P•rm.anenle
L
1 1-\1f.IC':ln ('(ll'ld~ openicion~' pttmantnll'll. 2 O 1n~1>li;iau 11t1 ln.JI·
R - 0.9 "CIW(wrt.cll)
R•J.Z"('/W~
A mi~• k111a:a dO 1IM'llucrv J11S1 o uobic::oic é de lO *ClYt'
~76mmX lQ!>minX 44'""'
J...<1o-•nao'
o~* pobaa e a mJe dr:~- l6lnica auocild:a a de sio
_....... .. RI M7 ~- .. t'Clkdc ~ lénnia. ~existe: •ma
*
*
A')
T, - T.
!IS
(l • ( R _,........,. ... Jt...• ...._ • 2fl'CJW
t11;;ca 1~
20 "'CJW a f t o ilM.\lucro a T.. = &S "C e- o tndiitalr a T. =
gj ~ Awe. 1 W..
--'Clàaadc aib-é
2S) '(;
R-=- 5 "'CM'
~76.-x38111n1X2.tllrft
kN"'
''"'"'"* 387 ""'
P« 1"6. Cl~ lrtft\t'lll•• dr ~ nlO ~ ÍIUICIOl* qa aiTeG. potinnõl .....
llDfn t ) W W O"'-" ~alo Ll'fft' ldlpbl'MIUa.wpmor 2 3$ ~
lae lflthu... pode ta" ~vn ~de potCoc:il~ .se ror
fluJo.•t lllfl diS:I pl(klt' de~- (U 'llJle cllmtl'UI t ~ lénmc;:a por meio do ....
R - 1.4 "CIW{-.tical)
R ..
'"CI wCb0t1zonal)
i.a
mtlll'I da "r11 supn(k'1al dt lr.n.'l~~ de 1.:aJor. 1.-omo liC:ri. chsculido .a pcfuimo
W"'f'lc>) ou """tlc.kl YCnl11.-.ir (u ljUC d1m1nw: a mGCCncLI têrmic1 pdo aumcato do
«"'& 1 i•i( ck tnn,rerto..:1~ dt 1.:iiklf pl.JI' a,wrreçç.io)
0.Mtfls6eS: 76 mm x 92 """ x 26 mm
Ar~.a dit supetflc;•~ 968 cm'
tx
A .. J,B"C/W(mhc•I)
R -=- 2, L *CI wtl'l0tl2ontal)
Otmen~: 76 mm X 127 mm x 91 mm
Át~ c;le superlfc11.; 677 cm'
Seleção de um diuipador de calor para um transistor
1 111 ll.afül~111de1>01lnci11 de 60 W dc\lt ser 11.!~frillf.lu xnclu (iA:ulo cn1um do.'\ J t.>•
-•1'1•~ dc cuJ01disponf.,.cis contc1\'..ialmc:t1t( :ipl'CSC1uado$ na t:·ib. )-6. Se.Jecí.)ne
11 Jl1rollp11~lu1 tU)ll 1emp:1llilut11 do ln\•ólucru do 1rflllllJllll)1 t1ilJ i:xocd.t 90 <>e nn iu
111nt1ic111( 11 lO
•e.
.~kt11m:1r o dw~i1mdnr do <.:olor l.'.0t1M:rci1lmc:tlle disponível da 1i:1b. 34\
l'-'ll llui.1111:r u l11vóh1c11) dv t~u\.l:.lur • •emperatura inferior a 90 "C.
R'"' 1,1 "CIW('lt.fhCal)
R -=- 1,3 -0 W lhO!llOtltaO
1 11l.bl('m 1.:uod1s·l\cs opcr11donu1s pt>llnaDt'ntcs. 2 O invólucro do ll'lltl·
._l\fut ~ 11014!111ik"o n 9U "C J A ~~btência de contnto cmrc o tn11WsLor t o dJss::ipador
[)1-m~~: 76 mm x l02 mm)( 26 mm
Aru dit superflcte 929 cm1
til- ~1 e1h·d
A tH• tJc tronskrfncia de calor a p1111lr do 11at1!l1s1or de(>() V•t en' 1)kna
00 W A R'.lrol~tfld• lénruca C'fltfe O lhllli.1.\lrn' rix.:ido li() d11:s1p:«kil' t
o>• 11111b1otu1,., .,.,, • d.ik1WÇ11de1e:mpc1'Alu1,. c.~pcw:iflcada. é
1•1lr fld11; Q
R = 2,9 -O W (vertte1I)
R =- 3, l "CI w(t11:nro!'!l.JI)
11 •
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1~. • tc:Mi.ttoc1o1 1érmicl do düsiJ*lol de- Cllb dtw sei inflriora J.0 °C/W. Um
C1linr dt T.b. l-6 l"C"'C'I• qtae o SH 5'1))0. C'UJa ~ 1oém'!Jca t 0.9 'C/W n:a
p.u•çtu ' <"ltJ._..L ~o UJCO diw..iJ*lor q1.tt atqlllri ~ exitêftcia.
... E..ia<-s->•
Ú<q>IOJ.-10
r
_ _ __ _ _ _ _ _ __:C&p::<:l:::l•::l•::_::l..:•:..:Cond=ução de Calor Penn1nen11
Transfertncl1 de ~101 e Massa
Ttansferincia de calo• a partir de aletas de seçio
transversal variável
CX MPL03
1.-:."M)'(.
AJcw do bpo JllDO de alum1oio com perfil ~fü::n de ?OM• am'dohcbdu l>io
pllttdc rl.au com itRJPCf11Wfl de supttficte-dt 200 "C (Fit l-49>. Cada
akU lcOI OOll~dc 10 Mme ~âmeaode base de.$ mm.A\ alcw utio e~
la. . . . . ~ • 25 '"C. ~o ooc6clltQl:e de t.l'Utdm.a& de ça)Qr por (Ollwicçlo
1. 50 WhMJ.I( _Coaadrnodo que a cio-tmivicladt ThnUa das akW l 240 W/aY·K.
~ • e60f.aaa. a w,a de ~de db e a tfidinl de caill *'--
º"*' ..
• ;. cfkitne111 dll •kta I'"* o;o- dc•~i udl com mais JRCUio. ev.••nOO
rno ik in1~j(t, 1.1..at>do ~ a JO.Luçil) de~ com funções nwcmitiçfl$ m1rm•• Ct"in"lru.ldu com o u;s, CopiaoOo • lmbl
.,. -
• V(2'0.2582)'0.."'-J IC•'0.25121l-...u>C•'0.2582ll)
., k"l.a ~"' tin-:o do ~- daque tm: 'l'CtlOIYU' alilerldo a d"tci&da da alda que
t li.- • 0.91SS.
caca ck 2.. SllpMOI ao resultado obeldo acua uwldo a
-.
q•'
SOi. ÇlD
()tlMDiAar a diQêacia. a w.a de rr.-fttfticj,.a dt calor e • d\dna de
....,. ......... ,,.miponb61icod<--
_
s..m11.... IA-d<<ÜO<l....,._<u... - 1A•_...i..
... -
... -
JA,,__..d<cobP"'-rd<tpUl"'I
rr.pri.-n A_..,......,......,,. .. -·-"""°2"lW/n/·K.
Apsurda"t>ll. J-J. pva.- dotipO 1""'"""' .,.mi ...........(,....
wrtdontdlldl). ......,.
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lffL e \j ii)L •
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flttrllrdll1':11). ~ <;ufoo 111 ... l.03.50c
0, 1716. Subf.11tuindo.11 cílc~ottr& dtl alc1a
t,=
t! dciCiltul'UldO plln.I t.'Cr
3-7 TRANSFERrNCIA DE CALOR EM CONFIGURAÇÕES
COMUNS
AI' IG:'"ª tctllOt co<nulr:nldo a tran.~ftrincia de caJQr em icomemas 4implt'~,
çon10 pan.Jft paredes plaRoi.'J. longos calmdrot e esferas. A mnsferCoaa de caiar
llC"iW swmclf1M podrt ~ 1pro,in• como 11rudil'J~attona/. $C'-Odo que soluç&s
al'l.dllK."1, l'lmples podem ~r obtidas íacdmcnrc. \ta.\ mui1os probkm:t.\ enconirok.I·• nil Pffhca W> de dua. ou tds duncDSÕC5 e cnrol~ geometnas bastante
o •mptK.Jdi&J. ~ es quaiJ tol~ sirotiles nlk> estão disp0níveis.
lJni.1 ~l'"'M: i.mportantc de problemas de 1mnsfetfoci:t de calor para Qb(cnç3o
de 1ulUo!fõt:'I ~1 mplc.!1 cnglob.l aquelc.s que envolvem duas superficte.'i manlid3$ a
ermpcraw.r:i; t'lH1.1fo111~1 T1e Ti. A (a:<a de tratJ~Jetência de éàloc pcrmanen1e en1re
tu."11 du," \upcrlTcics 6 cxpl't"SSa como
13
tlílllõ St OFlllc>t de: rormn de COndUÇã(), que (Cm a dimcn.s~ de «JmpJ'lml?nIO, Ck
é u i.:unduuvid11de t6mdca do n~ i o c11Lre<1.\ superfícies. O falOrde formo de c-ondu·
~60 dcpt1wlc apenas da gt<Jmefnri do
0,1116
'1·kt• ~ 5.8(11)3 1.()3'° -
A tua de tr.m1Jcrên1:Ja de c:11.1~11 psra 6oJc11 aleln i
Q,..,.• 'l.,. M,w.(l'., - T,,,}
1
• (0,96Jl)(50Wfml.K)('2, 106 X 10-" m )(200-2S) "C
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s_..c MJ;f. - T...) - b(•t>1,..)(T., -T..)
J.77W
• (5JJWtml.1Ql1f'(O.OOSmi1'1C200- lS) "C
-·
o. )CJA.~-sc.um~superiof • IO~aau.n.f~ dr: c:akw amYb
• a1e1a douro tuo- oeac: caso.
.sistenrn.
1'11.IOl'Cll do fl)(rn.1 de c:onduçilo têm sido dcccnuinados para unu série de confl·
gu1 llÇÓC\ t.•t1comrada11 11.1 pnítica e são uprcscnlados na 1hb. 3-7 para alguns e.usos
U\1t1un11 Otbcl"!I ma.is completas csti.o disponf\'ei$ ua 1.ilert11ura. U111a vez que o
vnlflf do foltor de l'Ofm.n 6 conhecido paru uma gCQmclrin e.specílica, a taxa to(:tl
de l1'0indt'1 ~ndl\ de calo1' pc:-tnuuu:ole pOdc i.cr determmada a partir da equ*'OO
o..;unn, 1.1ol11.ltndo '" du:1\ 1em1:ieramras oonslames especificadas nas duas superff~
ut~ e• c~ndull..,1dadc t~rnuea do meio cmre ambas. Note que os fatores de (onna
de l'Onduçin 5Jo :tJ>hC4\'e11 apc:ii.•S quando a trõlnsferência de calor entre .as duas
11upttf1'1 :a t l)(lf C'Oftdttfclo Por isso, nào podem ser us.ados quando o mefo enve
11 WJ'ICl'(k1Q 6 wn líquido ou um g.ts. pois es&c.t; c1woh'Cm com:oJcs de con,•ecç.io
11.tl\.ltil ou torçlM.la
co1np.nçioct11rc~ f.q,, J..J e 3-85 re"el1 QúeO!aKw"de forma de eon·
ii1.1i.ll.l S e1i.tf rtllCIOllado com a l\".':i.slêncU ténnK:a R por R = VtS ou S -= l/kR.
Au in. a.a. dua." qoantJdade:s .iolO o lU\'Cr.!liO wm da outra quando a coodutn'K'llde
llrai;... do meio i uru1.tn1 A uulaoçto do f•11>< de fonna de coodUÇIO i ilOSU>dl
º""
.,., E1 clflpto. 3- 1) e l-14.
Capítulo 3 • ConduçAo de Cnlor Perm1nen1t
TABU.A 1-7 1.-
r1tort1 dt torma dt conduçlo S PI'"• vàrlh ç00hprações de uso em Ó- k.slTa - T,l, para determ1rw 1110 de
transfert«r.1 de ctlOr PlfN".,,te •~•do rnelo de ooNMwidadt tflnruçe kentte as sul)e1ffCJeS com tempenlluras
11 e r,
(l)Ci'l_....,_....,óe'°""t.... L
Nlel1-*>M,._ . . ..........
11.. >>D~t:>I~
f ltCttl de forma de cond~o S P•• .;irias conf®DÇões de L1$0 em Q• ll:S(T1 - T,) para deterrnonar a tM1 de
1,1n~trtnc:a1 oe CJIOf' perm.tne"te IWJlllM do mt•o dt condutividade térrmca Ir eritte as JUl>Cr11cies
me-o--
,, e r,
ocwn lem1•1tu'"
(JO) Dulo quchdO
(.t)hi•ali>J.4.
T,
s•J;J-0>
l
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(lo)r..•l•<IAI,
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(•)U..«*PdeciflMIM~~.....­
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(L >>O,:. e w> l..SD)
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o, -º·
3
..
lwt.
1n(!~ 11nh : )
2
(IX'l'<iliodri>)
....
~lllDi:tro~~
flllf'. . . ...Nnc.l
~
~
JOni.tnflnilo h: » D)
$=-4D
r,
(6) C1lindrocin:ular i~ d.e
tuaaptlmtllto L M C t'lltN> dll bGtl'll
cru1dn11ta .sólida de flleMllO
.:ornpiitntllllt
1S) C'UIMlm ril'alhlr '8,.Cnolco dl! ~1111prilM'tllO l
no 1:illnl1> tC'IWrtl da l"flíeilo 11lllnlu
(l)ll,.lll)
(l}J 8011111 \Mm.. put....... ~h
$
T,
(I•) Canto~ tfb puclb
dll~mal:)~Wf•
dtlfltld'lll~~
0,14111
S • O,ISL
2. t
s-~
11SI 1 de,. i'°*1!uct m1W11J1
( 1 6)Eiftta~~·
lllt 11111':10 totmi mn.:i11Q
r;
r,
11111 meio .emi.ifll'.imlo.
cu;. ~fit.ie ~ lKllada
s•~
I • G.23Dh
bol.00
--111111•,,•,_•,- -
lg
11.1
- - - -- - - - - 'Cap
= ftulo 3 111 Conduçao dt.! Cator Permanente
TratKfertncl• de Celor e Ma~
Perda de e.ator em blbos de água quente enterrados
CXCMI':
1
~
O faaor de formai dcna roo6gurai;;Jto é dado aa Tab. 3-1 como
v.. wbo de jgl.la qut:flle de 115u,:ma dt aquecirtX:DtO urbmo. com 30 m de oomp11·
t - 0.S ..
J
Jt
t---L
-3-1)
rr.·"'"<:
Jo-1~
tO 11111---t
................ º
$
mcNo ~ 10 cm de d1âmcuo. t emando 50 cm lba1r;o da liupttÍkiit do tola.. como
~ .. Fig. )-j(). A acmpcncu~da liUpCdiçie e>:ttmlldo luboé 80 "C. "1lwnUI·
••tempei-all.U'a4b~daitemOOlllOJO"Cea~idlde1b'mioeadodo
kul como 0.9 Wlm•K, dttcrmiDe. • caa de pcn:i.., calor do Qlbo.
$0lUÇÃO
Um-de--clo~-de--·
. . . . tolo. ~· a.,udtptfdadc c:aiol'.., mbo
2•L
----(•<' ~~ ~
. .--
~ l F.a.-.condlçQo~ ~ 2A tnMfcm.c. de
-·~---...oo-WlllJA-ododetb
. . . . . é~
A ~idade llf:nU:a do.tioloê l • (l9 W/m·K.
1'11
ot.a• ronudt.sa~édadooa'Nt.. 3-1 ano
Q • Sll(T - TJ • (6.3< mM0.7S W,.._l()(lO - U ")C - W \\
_.....,_.apmlo.l<e<.,,.._.,..i.o..t.4pa...,..el'ria
. . . ~ . . . .CllltrO
2•l
S • ID(4:/D)
poll l > l .SD. Ol'Je t é • d111incaa do ttJbo a J*1it da. supcrlk1ie do solo e D i o
diJimetro do l~bo Subsuru~
2.rX(30m)
l':. bem conhecido qQC o isolamento reduz a transferio.cfa de calote ecoaomi·
1.;1 tlH':t'J•• e d1tiht1t0 M ikc1.)("itl &Obre a quantidade correu de LSOfameoto são
b*•d.IJ lt..I 11.njllse da t.raru;fed:oc13 de ruor. seguida pOt ucm anâlise ct."Uo6mica,
">
S - ln(4 X 0.5A).I) - 6- 9 m
pit.rt l.kfcrnun.aro ••valor monctáno.. da pcrds de energia. ~ s.i-waçào é ilustmdti
EDtiO. a Ul:\a de cr.utúttE::otM! de eob pcnn41nentc ::i partir do t~bO toma«
nu P.ÃtrnpkJ J-13.
Q= S>(T, -T1) = (62,9 on)(0.9W/m-K)(80- 10)-C -
o
Nota·3C qooo calOf é c:und1.n:ldo a parl1r da superfM:ic d<> h1ho par. a liU-·
ierfkte ..ia 1mu a1rn~~ do !iOlo e, dqiois. traBSfcrido pata a atmosfera (ll)r oorwccç.ão
1
e por 111<1111-;no.
Cuslo da perda de calor atrav6s das paredes no
Inverno
C'Clll1 •~ um11 c11~a *f..ccid• elelrKamc111e c:ujltll purcd~ têm 3 m de: alruru e Uol11111c1)to de N 2.J (ou Kji!, mna rv.ão c1111e a espc:srur11 e a coodutividadc t&mka
-C/\V) Ovas da!I p11rcdes da caso têm J2 m de. comprimemo, e
tlt /Jk 2.3
11A 01.1tr"• 1~1t1 9 in, A cnJ11 t muntid11 11 25 ~ todo o lcmpo, eDqoonto a 1c.mperamr• c111cm• u1111 Oetcnnmc • qu11ncid11dc de caJor perdido attavls dti patcdc$ da
C•'- cm um tktcnninndo dja em qllC a lcmpera1ur11 médi.::i do ::ir exteroo ~cja de
7 "C Al'm dn.»0, dclcrmine o custo delisa perda de calor para o ptopricúrio da
cu.~• co1hl<le:ra1-9t> que o (:U1>lo unjutrio da clctriddade é de lJSS 0.07511\Vh. Para
o <'{1ellclcntc tumbinldo de transfcteocia de caJor por convccç.10 e por ndi.aÇio,
11A.SI1..RAB (Socicdlldc Americana de Engenheiros de Aquecimento. R.tfrl.e,miç&o
e A1 Cond1ti0Nldo) nxomcnd"' valo.-cs de h, = 8.?9 Wfm>.~ para a wpetricle
111ltl'M dat parcôc• e li. • 34 \V/ml·-C para a Sllpertkie tx1cma. das. p:wdcs. com
\:111..hçõc• do ~'"ºde 2.41 loNh hO Urveroo.
ni'·
, .. io
t4 Tran5feri ncia de calor entre tubos de Arua quente e
fria
Utn ucdto de 1ubos de '''"' quenic e (ri.a de S m de oompt1mento cone p111a~l1uncn·
te f:m um11 ef;pC:liM carn11da de coom:to, <:otno mostrai.li> n11. Fig. 3-5 1 05 diJrncuo1>
dei ambo& Qll IUbol 3âQ ~ e111.. e a discânci• ent1~ centro$ dos rubc» é 30 cm. Ai 1em-
°'
pmaura~ ctag ~CJ quenle e fria <ICIS wbos slo 10-C e IS "C. rrspoc11vaillt:t11e
'l'Ol'Nlnck> a condutivid•l.le l6mica do concreto como .t • 0.1.S W/m·K.. dtlem'IHlC 1
l.IU de UWttlettocia de cà.lot aitre os lvbôl.
{)$, 1uliol de ig1.1• quente e fril com-m parakb em uitta tspcw. cama·
ct. de c:onactn Ottmniaar • ~de traMfcri:oc:p de cakw cnlre
°' rubol..
1 Ewki11 tGldJÇÕeJ OptftlCÍOOUS Jll"TI'Wll""- ? A tnn>fafocil cl<
-~.,.,....,...,.,eJal (ncâwnl mnda.aça udircçiôuial). JA 009datt"dadc tb--
..... "°"""""'
1
t """"'*-
A «mdult\'idldetá:micadoco.ct'*>é i
0.1:S W/rn· K
ÃO CMl•1dt:tc uma casa 11quectda el$iir.:amcoie. com isolamcato R·2.l
~mniM a qwminlade de cakir pcn:hdo atnrY'é$ du paredes e seu aa5l0.
ln 1 ÃI le.mpmitw'U IDICmaili e~ do W te mambrl oos nJora; dtdoi o ~.. l<>Jo. do fuooa,... a lnoo.!aiociado<alar ~dos polftd<s i pamaomk. 2 A trQ,/crtocia de c:akll' IU.-.ú4-pscclcsé nid.
·oaal.jf.qut qu:UqlDcl"
.......caq.n1f1CaU1"odt~aatit~ai:Me•diftçktlftlelftl.-nfora.
J 0t cfalOlo dl ~ 9lo CGOUl>ilWdos M CIOCÍIÔelllt dt ~do cab.
CapftuJo 3 • Condução de C81or Perm1nenlt
t.:.-m. probkOll eJYYolve cxmcNçkt de calor atn\Ú da ~ e c:o~
1
'* ""9peribcs e pode~ mais belJl tratado por mcJ0 da Uti.ht.açlo do COOOC1t0 de
ren51liw;:t1 lbnucà e do fjdienbo d:ll rede de res:istê:naa tb'mK2. romn 1YlOlll'llÔIJ oa
Fig )-5l. A -
dt onmsf-ia dt calar. . """""" l
A-= c.rQlll_fctMc.ia X Altnn
-a X 9M ..-l X 12m)(ltn) = 126.r
1~ as~ .õ\•idu;alsW...._~apamrdc wu ddiflicb
1
li,= it,_, • 1',A
1
(l.29Wiul'·'C)(l:!óm')
-~"C/W
• .• J... = R ..U • l.l Oil·"CIW • Q,0182$ 'CJW
...,._ AA
1'. • it,_.
'·-' •.
'• · -•. !
T,
flCURA,. 62
j
1216 ,.,.
A
=-:.. • wt.r-!ci.126 m'l - O.ctm3
(3<
"CJW
n:íel r ...ira prtlllficdldcs doil motcriais de oomouçJo comans ..w 1odi<ldas
()b&avudoct* ~- uQ ~estãoansênt. a~.,...,,
"°A~ At: ~ ~ Ulltt.ánasdc váno5 compooc:oles úliliz:tdol;
rias csrrururu da.-. to1Utruçôcs alio bsaidu. por t0mc•ncia. u Tab.. 3-3..
R- = ~' + R_. +li,.• G.00096 ~ 0.01825 - O,OOCl'J • 0,01~ °CIW
7
º •
T
6'qut11la ptlrll o
....
ü1Jo. • w.a de- ttan1krlacia de~ ptrmanc:aJe atraYá das pm:dts da~ tor·
Eumplo 3-IS.
roi '1Il•lllO. 0 ltl(ICltUJdc total de calof perdido att;wés das p1:rediesd\l.1iuuc. período de
2A tiorv.s e sw cuito p:a~ o proprietAóo á1 c:as4111li0
Q - QAt .. (0.9"9 lc.W)(2<1·hldia)
'
et.tillUUll C<lf•~1.,ccm de d1\'et&lS cainadas de materiais e estnm.1ras, e as condi·
._·nc!i c.ipcAIK'K'Mlli!I de paredes e ICIO"'. podem ''ariar s;ignificadvamc.ote de um
~1fkl'O rDBoutro. Portamo. nio~práUco listar os vakxudcR(oufarorcs U)
Jt d1\'('1..,. t•P'O" de paredd ou Letos an difeteotes coodições. em ,-cz d.isso.
0 \'.te.• ak>hal de R 6 detemlinlido 1 pamr das re:st5'il:ndas témuc.u dos com·
ponc:-nkl 1ndJ·ndua1t. u.~ndo--JC •rede de rest.Stêocia lámica. A resis1ênc:ia
Wnrui;• global d.I a.lnltura pode 1e1 decetminada com m:aiol' precisão por la~• .:Mn. 1noncmdo detsvameme 1 unidadt e te$laodo-a como um todo. mas
n.sa ~m ' JCPlmc:nk murto demanda e chspcodiosa. A abol'dag~
...iruaa. OI!"' <1«m1a. e~ e samplcs. e os resoludos genlmt~cstiodc
a-otdo CQA OI'\ wakJn:s ~
A l'Ud&f:nc:&l ~ UIJJIW cb. C'almda plana de espessura L e a COIÕJb'VidlJ< tb1-t podan s c r - - o pstu dcR • U l . A - l é r ·
A ,,,., (crtnc.. de calor W."Vá de: um uecbo da parede ou teto ~m ~
1laaJ..l J'll!"- CQ1:(i(1eflte5 de ttanskrfncia de calor por coavccção e pOr tadia~.io"" p.1pc:rrk.e e'pmta. Os eleitos d.a radiaç.ão e oom"tCÇãO sobfc: as supera~ ld interna,_ CC:\tlef'D.U de paRldts e ltcOS Slo notmailmente combioados DOIS
e 11rftt Jentts t:ombm<JdOJ d~ 1ro1l..f{erlncla d~ calor por com·ecção e por rodioçl1r• (Ultnbttll ~twm:.d~ cfHflluWndas de JMperfinl!) h, t h.,, respectJvnmentc,
1,;u1os1 \'lilllt~ i.ão uprcllealOOOtS oa Tab. 3--9 parasupe.rffcies comuns (e = 0,9)
e lit1prrlí1;tes rellttOfM (6 - 0.2 ou O.OS). Note que superfícaes que apresem.am
Nn• r11Ull'l.ll!lnc111 tambdm têm bruxa coodultlncia tro virtude da rçdução na
• \1.
C~O do ~tllf:1UO • {Eocrgl<J perdida) (Custo<li energi.11) • (22,,'l kWhfdia)
CUS$ Q,<115/l<Wb)
-
- l.,,.. 67/di•
Oi~ e11
, All pen.1a!I de calor auav~.$ das paredcsdl C.'1Sú. nallc.dla, Cll~lul"lm pura
douo 411 ~~ USS 1.67 na. oon~ d.e ektnc-idàde. A in:i.ior Jlllflt: dc1m1 rietda pi#
0
lt'tevilada 1.'0lrl iwlt1men1c>.
Rtt•\ ltncia tifM!ca undàrla {valor R) de compofltfltes comuns usados em ediflcios
li' lrll
•'·•CfW
C.po11t 1111
P''*
TÕPICO OE INTERESSE E.SPECIAL•
Tr;
-t.
ru
,,,.,~ ...
SCJb «11nd:IÇl}et: ~· a Wtil de transferênc:u de: c:aJor tiU'I:~ de qu.J
que< ..-çio de parede ou teW de edil!cio pôde ser de"'11Ull.ldl 1 pan lf dt
.
A('T,-TJ
Q = UA(T,-TJ=--RC)IMlc T,c
r. •as te~
ffncia cio calor.
R
(3461
tllleetP e CXle:fM do ar. A é 1 6tea. de tnn.de
u to -f>CIClllC global de mmsfer&c•• de · - ff- 1/).
JIU ~a rulS&êacia 1êmüca gkml unitária (mot R). Pucdet e liC'Kll de
'''·h·º'labl
'Sucillt11Cit tdflffl.t Clnwno)
0,03
0,17
$imtrl 1e fUtt""' i~J
0.25
0.12
0.68
St.1*ilc:1411"ternt, &1
t 'l*ÇO De llt Pl•no. Yl!rlJtal, superlici@S oomuns
0.82}:
l3,,..m (l/2S)(ll)
0.1&
0.90
20 tM'I CSl4 poH
0,17
0.94
'º'l'lln Cl,!";pot)
0,16
0.90
90"""CUpo1)
0,15
0.91
tkli•T>eOIQ; 2!1 mm (l 0011
~obra dt .....,n)
4,00
º·°"
º·'º
e... -
.....C/W
11t',•··rl'lt11
0,98
0,18
0.32
0,077
O.OI!
5.56
1.01
1.79
l.eYe
0.27
O,IJ
1.51
0.11
CompOMt111
Viga de madeira, riominol 2 pol X 6 pol
{5.Spolou 140mml&taura)
Painel de "ilia, 100 mm (4 ()OI)
Painel ICÚSllCO
ldtla de madeira astálta
l'apel . . parede
Bloco de concreto. 100 mm (4 t)OI)
-
-. ........
o.••
0,06
IJ do-
0,66
3,n
13 ..,,, Cl/2 POll
0.079
o.o
[~•4':-dtdepcMuetano
0,98
0,037
0.075
0.12
0.00
5.56
0.21
Ude-13 .... (l/2pol)
0.23
0,11
1,31
0.62
0.43
Corc«<o,
1,17
0.12
0.018
6.67
0.67
0.10
0.1•
0.81
c - . 25 ..... opo11
,..... 100 ........1
· • - 1001m11'001)
.,_.,de
ilÇO
v,..o..........,, ~nn(I
poU
tte....::~ dt
(IC.OfYI, 13rntnCV200')
0.067
o.22
0.79
0.00
0.38
1.25
Vrp Ot 1"edllitt. "IJfTlliftlf 2 pol )C 4 pol
D.spo1..,90 ... . , _
0,61
3,58
~cornpemad&.13mflll(l tJO')
..... '°° .... ""°'
(8
~decimeftlo. lltmi(tJ?pol,
MiOen cem docn chlNTJdl.
13mm x 20')nw
(112 pai X 8 pai)
_____ea=pitulo 3
TABELA )-9
Coehc 1ei:l'ltet dt lranJIorlfte:i.t dt etilOf
c:'Offlblnedo oor ccnytCÇlo t rlel ltç.IO trn
supetflc1t1 dt j1ntln, PlfMti OU tirtus,
CDe AS.HRAC Hl/ftdlloo« oi lundMnMUU.
~T.01.1
---
.. .,.. ..
Q.20
o.os
N11111• ~nHnO•td...,._;I
Har1i.
,_.
9.26 S.11
4.32
--
......
....,
6.13 2.10 1.2'
~
4s•
9.09 a.oo 4.15
.-cl1N(Jo Cll'Mf
cs•
....
1.so 3,41
PI'•
2,!16
1ntunaçl0 biloo t
Vert<ill
honl
1
34,0
~ ....l\b)S (lt 24 1-.mftl)
Cot!d..çlO d• 'ftflO
(wntotde 12 tu•n/l'I>
'l'J,1
A •IM6!1cl1 Ili t11ptrlt.. po0t MI Otllh,M a •ht
•R
1111
A,= 8.29Wlm'·K
{111'.u.:tC vtffic>)
14.0 Whnl· K
6• = {22.7 Wlm.,• K
(lnwmo)
(\üo)
8.19 4,20 3.35
At M ...-l•Mo (®MI""' OCl'IÇIO. Q......
1.1u.•11....-0t
ConOiç.IO IM lnw:rl'IO
tnUllfer&Kia de c&lor por- radiação 05 valores oa Labcla são baseado!! na te1n·
pcr.ltW11 da 1-uperGcte de 21 "'C. e a dlferenÇa de tempe:rtum en1rc a i.UJ)tf1ldc
e 0 ., 6 S.S °C Além disso. a 1cmperacura equivaleo1e das: supcrfkie11 do arn~
b.cn1c e cooudcnda como .sendo igual à tcmpMl!Ura do ar ambiente Apt$8J
da comod idodc ofcimda. essa hipótese olo ~ tão pc-.cosa. devido l J"'da ldi •
coonal de Ri« por nodiaçlo da sopcrflcic para o :61 O <Íc<10 da ndiaçlo elo
cU pode~ levado em conta. aprotjmacbmcm4 1mrwxto.se a rempcratur1
utema (l()mO scedo a m6dia dlS lemper1tlUf'M doar atâ1IO e do c:Cu.
O cocfttatn•e de tr1ôSfertnc&a de calor" da supedk:ic imcma la, pttmanctt
rclalivamciue com.ta01e .:> loag_o do 3DO. mas o \'llk>r de 11. vana COftjldrta
wlmcnl< por e.- da~ cm rdaçlo à oncntaÇflO e à wlocidade elo
\"COW.. qur pOde vanar enuc mc:oos- de 1 bnlh cu H:mpo calmo e mais de 40
knVb d1aruuc &cmpeStadcs.. Os \'a1ores comu.measc madm de •. e "• pan ())
c6ku1"" da carga de pco siO
que correspondem a coodições de projeto com ~ruo de 24 kmJb no tn\~:rno
e: 12 kJn1b no ver!lio- As resisc:êocius témuCólS (valorts RJ comspondr1:ua a:k.I
dcttrm,nudas llli partu de R~ = llh, e R. = llh•. Os valores de Cól'ldutõncia da
superfície sob coodiçõcs do ar calmo podem ser 1'\ados paro supcrffck!> 1.nter
n.:u. ~n como pari supcrfk:fes extemas com tenpO calmo.
A rci1astência d.a supcrffcac póde ser obtkl<l apa.nirde R = l/h
0 11 «imponentes de const.rUÇ!lo covolvem, mmuis vttc~. l'S{XlfOS 1/e ó1
11prisivruuJos enirc v'mas e:.imadas. A resistênc.a térmica de 1ai1> t~J>'IÇOS de
ai' depende da cspeS.SUf3 da c1.uuada. d4 dil'ereo;a de 1cmpcrututit air1wés da
camnda, dn 1emperf11Ur11 média do ar, d:a emissividade de cac:l:i 11upcrfic1e e d~
orlciuaçào da carnadu de ar, hem como da direção da 1raosferênc10 de cntoi.
As cmissi\!ld:.dcs de superfic1c& coommcntc e11oontrll.dai1 no.'\ edifício,; s.l\o IR·
{litadilS na Tab. 3- 10. A ~missivi dade tCetlva !ln e spaço de ar cnirc ~ll0!\0$
!>"'•leio• ó dad• por
onde~, e e 1 sito e m1a.s1vidadc5 da> superffcies do espaço de ar. A Tub. 3... 10
t1n:1bém apre.""-"'ª ai. emissJvadades efcli\'a5 de esp:M;Oli de ar pa.-1 caM>!i cm
que (l) 1 cm1Mivadade da su:pcdfc:ie do espaço de ar é e cnqu.11mo .11 emis.uvi·
dldc da outra wpcrffc:tt ~ 0.9 (m.atcrial de ooosuuÇ.ib) e (2) a am~vldade d:.s
duu 11;uperfkics t s. Norc que a esnissividade cfeti\·a do ~o de ar erure m•·
l.COaJS de construç:lo é 0.82Al.03 = 27 \'Cl..M IOõpaÇO de ti entre superfície\
«lbt.tUs oom folhas de atumfnio. Pani tempe.ntaras superficiais espcaficada11.
u-laioci> de calor por rad;ação alm'és elo espaço de or i prapoo:...W l
0
amu.~1dldc efetiva. calio a tua de tnm!ettn::ia de calor por rwbação p11a
uma wpcrficie comum é 27 \qcs • da.soperftoe. refkKn
A 1àb. 3-11 apresenta as rt$islêncW ci:rmCaS de ~ de l i de 20
mm. 4() inm e de 90 mm de espe:s.111ra cm coolições dr.-usaa. ~ va1otts de
rtsl'I nc:ta ll l ITIICll na &abcl15io aphcá\'CiS aos espaços de ar de espessura um·
toi11'tt dchm•l!llJO" por supcrfl'da planas, paralc.las e Usas. a.ein v.u..amemos
flr~l\1cm1.aa ll'fml'CU p;u1I OijJU lCmperatwllS.. mus.sividades e CS(UÇOS de ar
p.Jdc-in _,. ''l"Kla por inicrpolaçSo e vm'11polaçio n'IOCkada. Note qw:- a pre·
.e«"• de MJf'IClilcic de baia.a tmi.s51Vldade rcdui a tra.:osfertncia de ca.Jor por
pdiai,So atl1\~" do CApe!."U de ar. au:mt"oWldo sigruf-.c:ativamen1e a re.s:i$1ê:nci:a.
b!muc:a. A chc~ua l~rmka dl ~operfkie de batl.a cmlUÍYtd:adc diminui K a
,..,Joçjo J> wpcrfkoc mudo<"""" r=ltado 6e alguns <fcit<><. como_
...,ao. o• i<bçlo da -11<•'< acumubw;io de pocin.
O Y1)or R de wnl e5lnll1t'a de parede OU te&o que eavoh--c caoudas de
~· UDlf\llfmt ~ ddttm nado Jlmplcsmeftte. pela soma das res&Sli!.Dcias
látn&C2-~ •n•*1a\ du allllWdu qYC estio cm scnc. Conrudo. q~ a ewu·
na anof\-.- clcineDIO& como "'IA de mrtdeua e coocxõcs de meral. a rede de
miui1iaa 1trm1e• mrolw: OlnCXOr< ~m panJeJo. al6Ia de pos.síved efeitos
blJllntn''°''" ). O ,,.akJr globlJ de R. DCStc aso. pode ter <betmi~ ~~
11~ 11) Ou:to de calot panlelo ltra'IÚ de diference úea d3 ooasuução ou.
ll} pi.mos 1-.c,ittrmt«I& normats à d~ da lf'aMfafncia de calor. A punei.:rt
abofJ.ac«'M JC'ralmcnte 5Upcreatlma a rcsuteocia lérmic:a global, e.nquanco a
sqund.1 1c:r1bncn1e a 1ubeMma. A lbci«bgcm do fluxo de calor paraJclo é
nw 1.Je~1 h·~
porcdcs e telhados de madeira. eoqUôlntOa abordagem dos
ri n~-. b'"érnUCOJ t mais lltlc-1uada pglll paredes de alvcn:ui.a OU met..ilicas..
A 1cd,4tm.:1a ti1!rm1ca de c.:int.Mo entre dJíercntcs componentes nas cstnuu11, da co11,1ru~OO .,·an:i entre O.OI e 0, I na'·•CAV, o que édcspre:z.ívcJ 011 maio.
t l..1 tl•ll ~l\(ll:'. No cntaruo. pOdc ser aianificaríva para ('()mpooences roecálicos
P'"ª
Condução d6 Calo1 Permanente
EmtSStv1dadn • das vS11s suP41rlk:lt1 t
em1s.sividade t~elh'I de •f)aÇO do ., fDt
ASHRAE Handboolt. oi Fundamtt1UIS.
Cap. 22. Tob 31
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f"olha de flh.niNo
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t1fltilS nio fNtdfioc:a
Vidre comum
.,..........,.CMtda.
0,77 0,72
MIC*flCle . . folll• •
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NO au!Mflh PI~ 0,lOC-~llMÇ6o jlOl>CO
1 jN(• 0.10 COM«fthoflWÇlo tl<lf""*"ll
..
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na''"' ~w.;.iv i.:ocno estr\llU/'lh de aço.
A tcln\lru\jiO de ICCQ'I pl;ioos com molduras d~ uládeir.l. P0rmalmcn1e en,,oh·c vl!f<i!'I de 3 cm X 15 cm cm csp:.çnmcn1a de 400 m.m oo 600 mm. A rra·
i.•'11dt vlg11rner110é1eml1ne11le C01)S1dtrada éOmO (), 1Opara viga'> cQm 4()0 mm
Jc l:\l'Hç1111lr.11lC> e de 0.07 par;1vig:1~ com 600 mm.
A 111ri1uo11 dus «hHeio; tem combinuçãq de 1c10 e 1clhndo com um ~ótll<J
nt.) e' l~l"tfl cnire c:lc~. e a dccetmiuaçiio do vi:1lor de H n-a combinação 1c 10'úl.'11• t~llmdo depende do raio de Q 5Ótllo ser ve11tilado ou não. Para s.6(.'ios
lllklllWW11M"ntc venlllai.los. 11 .cmpernnara do ar é pm1icame.n1e a mesma que
11 11 mrcr1111.1ru do ar ciuerno. po1tan10 a transferência de calor a1ravé:'\ do te·
lh11do ~ 1tl1Klfl apcna!I pelo valor de R do 1e10 No entanto. o calor twn!Xm é
l111 n,1c11do tnl 1e o tc«O e o 1clhado por ruthaçâo, o que prccjsa sei' considerado
li •e 3 Sl). A 1m11cip:t.I funçw do tclhado. ne!>se ca.o;o. é scr"ir como cr.c:udo
~ · "1111 ••111 .1~·00. bloqueando a radiação solar. Uma vt-11tilaçio eficaz do b6ció
nu \'r1Ju rUO deH~ l~var • ~rc;• de que o ganho de calor auavés do .sócJo do
c-Jiffc•o Ja haJlanle tcduzKlol. pois t nwur parle da transferência de calor
llr•,f• do "4.'idu 1e d-' por radJ~
A t1. 1u.lotnc:M de calor px radlaçio cnrn: o reio e o 1etbado pode ser mi·
11 auuda JllOr mt10 da cobeftw1 de pelo mcoos um dot; l.ados do sócio (lado do
1t1o ou du telhado) rom ma1aial refldJvo c.bainado ~uo rot:hmu~. como
f lb dr alumínio ou de pap:I ~-est1do de alumfoio. Os eftSIM)S; em casa.s
tom holimciico raJilnlt R-3; no puo làJ 5Ólio têm dcmonscradocp>e ss barf'Clrl\ radbntu podt"rn m:luu OI gaftho:t de çalor pelo teto no venio de 16
<12't:l cm cnmptnçiO • um o,ótJo com o ft"MeSIDO afvd de isob.mcn10 e sem
ª
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fJQIU J-53 C.urunhai dl ~t1b(lo
00 liJdo naan.I~ Wll.i.llÔO e: a.
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~ aore&. cbi l.ww-cn nd•k
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iDtDOCJCC IJJJJI> . . . , . _ . lMYt•
. .c....u..-..1
Capitulo 3 • Cooch.~Ao de Cllor f\efmanente
ffes,idntlll lirm•:.11 un tirin tv•IO•el
RI de~ de• planos bem fech<tdOS {de ASHRAE. f'andblJ()k of Fund.tl'Tleflt~6.
Clp 22, Tob 1)
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10.0
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O.J2 O.J2 0.20 0.16 0.3ó 0.34 0,22 0.17 0.40
0.5-2 0.49 0.20 0.1'- O.SI 0.'8 0.20 0.14 O.S6
O.J> 0.34 0,19 0.1• 0.38 0.36 0.21> 0.1> 0,40
O.SI 0.48 0.23 0.17 0.51 0,48 0,23 O,l7 0.$5
0.37 0,36 0,23 0,18 0.40 0.39 0,24 0,18 0.43
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0,25 0,18 1.10 0,99 0,30 0,2.0 l,69
0,26 0,18 l,16 1,0, 0,30 0,20 t,96
0,32 0.23 1.24 1,13 0.39 0.26 1,92
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2,84 2,66 l,13 0,80
2.34 2.22 1,04 0,75
1,87 1,81 ),l)t 0,80
2,09 ?,01 l,10 0,84
1,71 166 0,99
2.50 2,40 1,2! 0,89
2,80 2,66 1.28 0,93
2.30 2.21 1,16 0,87
2,25 2,18 1,32
1,83 1,79 1,16 0,93 2.01 1,95 1.23 0.97
2.92 2,73 l,U 0,80
3,18 2,96 1,J8 0.82
2.96 2.18 1.lS 0,81
2,14 2,06 \,l! 0,84
2.26 2.17 \,IS 0.1!6
l,99 1,92 1,08 0,82
2,88 2,14 1,29 o.~
3.12 2.9~ 1,34 o.96
2.90 2,75 1,29 o.94
2,Jô 2,23 1.3-t l,Of
2,42 2..3~ 1,38 106
2.13 2.07 1.28 l,00
J..99 3.66 1.21 o.a1
J,69 3,40 1,2.t o.as
3.50 3,24 1.22 0,84
2.58 2,i6 ),23 0,90
2,67 2,S5 1.25
2,91 2.77 1.30 0,94
3.79 3.55 1,45 1.02
3,63 3,40 1,42
3.10 3.46 1.43 1.01
2.76 2,66 1,48 1.12
2.88 2,78 t.!tt
J.14 J.1)2 l."8 ).18
S.07 li,SS 1.36 0,9J
.t.81 4,33 1.3.t
J.!.3 3,27 1.22 0.84
3.51 3.30 1.40
3.43 3.23 1.39 0,99 3.58 J.36 l."2 1.00
S.10 •.66 1.EO l,09
4,74 .t.36 1,57
3.81 3.57 1.45 1,02
3.81 3.63 1.14
3.75 3.57 1.7?_ 1.26 3.SS 3.66 l.;4 1.21
61» s,.35 1,'3 0.9' 10.07 819 1,57 l
3.S> 3.29 1.22
9.60 B.17 1.88 1.12
1.02 6.27 S.63 1.;a 1.1•
3.71 3.>2
6.61 5.90 1,;3 1.lS 11.1!1 9,27 l,93 t.2'11
3.8' l.59 1.45 1,112
7113 6.43 2,.9 l,49 10.90 9.61 2.47 1.IÍ
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oAowmlado.
Capitulo l • Condução de C&lor Permancnto
incfin.acto.. Para um telhado inclinado de 459 , a rvâo da área é A.JA....11v'i ... O. 707. Noce que o lCfh.ado mclinado tem espaço maior pasa a lrans:fe~nCl.a dt calor do que o cclb.adu pluo e a mão da '1-t.a oon1' ('IClfa rtduçJo do
vek.'f de: H W'l1Wio do teto. qu.ando expresso par unidade- de área do teto. Além
di.no. • diJ~ do fluxo de calor. no inverno. é pan orna (pt'rda de ealnr
atravti 1Jo 1tlhado) e, no """'Crio. pan. baixo (Janho de a.lar atta\~ do telhado)
O ,..ior R ~ cstrutm:11 deluminado por cm. aMlist pre:s.wpõe que°' niatmaas uulil.ados e ai qua.Jidadc da mio de obra cumpram b DônUti Mio de
otn num e ma&enaa abano du natmaS. qmndo utilu.adm dutaate unu com.wçto, peidem malur cm de R que se af....,,. do< V>lorb P""'b100
Por wo. aiiWL'I cageobeiros unliz:am falor de .se,guranç:acm ~ projelOS com
l lt• Ul11lr.udo O• ViLlon:1 de R dtsponf"Cls na lW>. J-8 e ailcubndo as oouus. o
, .•lar IOllJ de R para adi tiCÇAo podt m de1Mo11wio ik tor:ina $~ Dll cabr:la
•hlJ-.0
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bo-'C..., openéncia odqu01do nas~ cribcas.
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0,030
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0,23
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0.63
38rnm:t90ml":\
CJCCMP10 3
Valor de Re11 umi parede de moldura de 11adelra
dt
tt11iuíerhcbi ., calor tf._.,, U) da patedt de moldvta de cna&iril coas1111kt.I oom YI
ptdc mldetn de: 38 mm x 90 mm{2 x 4 oomin;;d) «Jm di.:..a.hici:a ctmro a omtro dt
e()() mnL A c;:11-..1dadc ck 90 mm de l:itgutl cture a."~~ ptttndtid:a com iJolllllk
de (1bt11 de .,1clro- O intcnor é ac11b:ido com p&ac$s de ge:s-~o de 13 mm de dpe»Ul"I, e
•111 J*itdu Cll l~na.<1 slo de pl;111;11S dé Ílbta de madciR <k 13 mm e l.lSbüas de nwtdCJra
ctumfruJade. LJ nuu X 200 mm A <::lV'ld:lde isobdl C100M1tu1 7$41i dl Atta de craM+
mi,$ão de ukw. mqu.anto vigu.s e plae3S coostiluem 21'51. AJ au•!li cons1jrucm 4~·
f.lv. 41't:11 e podem $tt u111adas como v1al$.
Além dblKI, dttcrminc a tau 6c perda de calor utravés da11 plltt&s de uma aisn
em Nt:Vfld11. Lml Veau. C'lljo pcdrue1rv ~ 50 m. a olrur11 f.1.-. p;ut~' 1J me 11. tcmpc·
rnc111-a f.le projcl<.> nu lnvcroo e -1 ºC. A ttmperru:ura mlCJiOf do fll'OJttO t 22
e
prc&UlllC·!IC q\le 20% fJ.a trca d11 p<1rcde SeJa ocupada por vidtw.
0.079
0,079
0,12
0.12
13 ...
~ a tudlllllCla tc:rmic:a un1clna global (Yllor R) e o cotf1c-ie:arr gloNI ck
6
$t,IP19rffç19 irlttm~. -.-
"'"'"'
RM.ljtJCit Wrm1u IQtll uruUN de cadit seçJo. R<em
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f11or UotCldlMç.lo.
u llR. emWlmJ·K
f11çao4I '"' dt ctd• seçlo, r_
r110ru11obel
3,0S
l,:.i!3
0,328
0,75
0.813
0,25
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R - lJU-
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•e.
SOLUC'ÃO De1cnnl1111r () ..·11klr R e o ft•or U d" parede de moldurn de m11delru.
bcO) «Mnfl a l.lllUI de perd 11 de ailor amwés dM p:tredc!> cm Lti Veps.
,
1 El.dslcm coodJÇúes operacionais pcnolt1e1uc,. 2 A tnU\sícrfnc-i1 de
u l<lf 81111.v~ da 1>arcdc é 1\ltl ilhmeosional. 3 As propried11des 1étmlai11 da pucde e o!l
OOf.fidcnlc!I de.1raosfesêoc1a de c:alot Siio oons1an1~
Os valor~ R de di ft1~1llet matcnais aão 11prcsen1•dos. na 1\b. l-8
O C$qucl.JIJI da p:ircdc, bt'ro Ct,'1«1'10 dos diversos ekmc;n.10$ u1ih t.adõ11 n11
çom;ll'\IÇIO. tio a pedell..OOS a seguu-. A tnm11!of'ocia de calor atniYÕI do 1110lamc:n10
e d•t 'YilM cavoh<t d1\'Crsu resi.sJMc~.s. pôltatlto temos de .n1tbSllr á tt1.IJ;t~l)Cia
1tnmca para aida pen."\INO ~rncntt. Depois de avaJi.ar • rQ111bicias 16mlc:.. i.m.1*iM e°' f111C)ttS U pen o i$0lamenl.O e as vigas.•~• llm'l.ta gklbal
~ pau toda • J*!ede pode .ser clet.crmrnadl a pM'tir dr
..,..,
,._-vu-
Cvndu(mu11 q..e • rc1mêi1c;U. t~nuic11 global un.itáriada parcdt é 2.23 m1·"C/W. Esse
valC'lt ecprtllt'nfll <MI cfcltM dai vigas: e da~ gul.a11 e CC:AHQ•poude 110 volor R ~le 2,23
»< 3.~ - 12.7 (ou 11µ1\l\llt\111$11rn1::ntc R-13) cm unidades ioglesu. Noleque, se não
hoo\<tlll>C vl5M de mfl!kiru e gufa.s Dll parr<le. a resisa~ncia térmica &lobaJ lieria 3.0S
111' C/W, que 4 37"fi n\llJOI' Ju qut 2.2'..l m1•"c;JW. Por isso. ;U v1g;n (le; modeirn 111
111111•, 1'1t~IC1 Cll\O, b«'~m como ponlcs ~nnk111 em paredes dequ.adro de macieira. e
..c1~ ~(cito• dc\>cm 1ct constdcnMk» n.a W lise témlica de ediffcios,
O pt'hnetro do tdJfJdo ~ $0 M, e• llJ•uni 41111 pmde:s é '2.S m, ONcrvnndo ql.IC
llt .. id~~ 1q)ttltCOllllO 2(Yf, d.a!> pll1Cdc11, • Mt8 total dt partÕe é
A....,.
0,lilCl(pcihndm)(,allt.mt) - 0.lf()(SO m)(2..5 in) =- lOO ml
..
l~1 ln, • 1u;a de 1:icrtt. de calor tiü'IWI dM. p11tl'dtt, d
ce.md1Ç1.~ de pm:;ctú, ltll'na·
Q- • (UAi_CT, - Tj
- (0."'9 Wlrn' K)(IOO m'J122 - C-2) "C)
- 1,8)1 w
e o vm dm ftllÇlo deVc.11/-1.0.15 peq•~ de dOblrw:alo e Q,2S pll'a • ~
d. n,_ M . . . que QOUtll.eat um1i pcquc:m parte da pattdr Slo rrmdn como
de ~ dt 1 tW 11CS11. casa supnri. qu15e
-ocab~
_~o
_lqUC(cdor
_ _.i,......,.....,.....d.....,..c
.................
•lrmpcr••• fttitn'MI • • e." .. - 2 "'{"
-
Capitulo 3
Valor de R de uma parede com es.pu1na ri&ida
1 ~PLD
_
.......
Vn11 placa de ílbra de madeu'll • 13 mm de eqic.1t11ura 1u;ada 1\11 p111tde de vip11
de ....,._ diKVI• . , o.entplo •tenor l wbe11t11;da por lM)li.meS dt ~p.ma
rt.atdl de: ?$ em.~ ~o hrninllo pttettllul 110 Yalor dt R ca.
pattde,
O.OJO
0,030
.....
0,075
0,075
0.018
Q,018
men:!Ode 3"""'
81ocot dt C:Otlcnto
0,74
0,7•
kmlh
IOOmm
J
~-= R...,.-R_...,,,+ R...._..
s..
- UJ - o.n + õ.98
= l.91 ...."CJW
do J50 Mm
~··'"'"• 0.51
.. .,.,_*"triode 20"""
l111rO rcpie'leru11. um aumento de (2,93 - l.2))/1,23 • 0,34 oo
oo r.i\Qi de N d•
pattdt. E!,1e Ul'rnpld dcmo!Mll'll como avali.ar O
v100r de R da CWVtura quando
at,.._ mcmbroii C'l.nilUraU fe'.nlll ~ ULI f'Cf:IKn'idoL
"
1
_
0,079
0,079
Supertieie ln~
0,11
O.J2
R.wttnc11 birmlCi tot1 Ul'lltAt1a 0t c«Wi MÇ.3o. Ft
f"• IO• UCltc.tdaseçio, U• 1/R,emWh'n'·"C
ftlÇAO d• .,... dt (:l(St NÇI<>. ,_
Valor Rplfl u1m1 parede de alwnaria
Odiermiix a rau•êf'N, &émuca alubal llDidna t'111or 10 e o cotrKllCllle global die
rnuuícrfnc:ia de calor (fator U) d• uma parede <N •h~ollri:I et1n\lNWa ç°'" bl()Ct)IJI
do 001)Ucto de 1$01nm de <'lipe..i.ura fcitO!I de ugregado leve com três n6tlço1
S'Jfte':*'bidoS com perhre (R = 0,74 m,·C/W), A 1upufkie. c11te:1na 6 .ablld& cotn
tuc*>s 1 Yi:lla de 100 tMl e ll m,. de arprNlN& de cimcMo aett os tijok>tl eu.
~de~ ~t01nkrioréOOMt. . . porptKlll dr gesso. ll
mm K'flll...clall de• blocO!i de CQtk;.tdo poccaiM:" \'ttt1cais (lt U.74 ml·Cf\\.') de
20 nun esp:ssurl cuj:i <llst6:ool11 entre os cen1ros 1400 mm. Amb<lll os lndoes 6o csJNIÇU de ar dit etpcs~1,1ra de 20 mm emre o bloco de 1.'0UCrelo t 11 plllta de gCSIW .AO
~~coei folbl de atwníflio rdlcun (s ... 0.0.S). de~>quc a emim.VJdllóe
det1-va do ~o de• I 0.1))_ Para em~ 11116dia de 10 -C e 4iftte91? Oc
t~de 16,7 'C.úftbNOOa:paçodrear'-0.St nt·~ ÔbpeqoR"Od»W
d.;> b1 oonsb(l.ll 8~ (.la área de t1'111umisdo de c11lor, eDqUMto °'caibros
o
''t'"lQ'"
lt(ltt!ICUWll 'l()l)h
de alYMana.
1 Ell•~ttm con~OO ope~ pcnnlltlCGTes. 1 A lrusJcritleia de
cnkir atr.svés da ri11t9dc é unidm~nJlonal. J A~ llll'Ol)l'icdade$ léun11.:.. dl JXtrtde:t os
cocficiwtes do ll'IU111fe1'Cocia de Ctlcw são çon1>1t1UCk.
()\ wilotts R ck dtJtftlllU:S: ..uma. Jlo apmieal._ OI Tllb. J...i
0 etqUC:IM da~. btfft Cl)MOOll" dr~ tlcmie:aloli llhl~.talb U COM
lfU\'iiO, sfo m()!ll~ mtiegulr. Sqmnda a aborditj.Cm dcsctila aq111 e usaDdo OI!
vtlóttS R dispooh'C'~ na Thb. 3-ll, O Yalor globtil tio R d11 parcdo d dc.1c.1min.ado 1\11
0.17
{l'IOITlll'lal l )( 3)
Placas de "uo 6e
13mm
.....
'"°"'º
1.11bclaasqui1
..."'
~--
2. n;oio à~" de
*
da.,._.
CliawOI
cem wn10 OI 2~
l-0 O valor .u,lobal do R 1ta parede e.1d~1c.ne foi deccnnh1No no &empk>
3 16 como l.?) W&l·tC/W. Obticn·ald> qoc OtJ \'l)Qtn de R cb ri'" de fibra dt
meckn e dl etpaa. l:!IObmcftlo do 023 ml· "C/W eG.98 el· '"CIW. rapcdrvamcnte. e que ali tGJ•li~as t&m""M ...t.etOOaidu • rtmovidM a1lo an Kric. o v;ikwal<Jbo,1_1de R d11l>Au:ôc <AJ>Ó$ o aho:11'Çliu ICIO'la·SC
nc.n__.o"-ab lt e o f..- ll
[nb'e M
1.572
l,232
0,636
0,812
0,80
0,20
fltor UJloW· U-= l i - U.-O..SOa:0.636-+- 0.20 )( 0.SJ2
- llU•
EM.lo,• m1itlncia 16min g.JobaJ w:ia1h da parede: i l,49 m, • -ctW eo t.!Qt' 110.
t.1 U l o.671 W/ffl • -C 0. l'alorcs te... mi a:iou os ef~ *-cdwot ~
Y1lor de Rde um telhado inclinado
Oc1e11ni11e 11 rcsii~1~iD 1ltmlC11gf()blll 1rnlt"la (v11Jor R) f: o coelidcnte J.li1bi1l de
tr:PllÍ~Jt..U. de c.ab (f111or U) do lcto 1.ncl lalldo de .ti$* oorrMntfdo com vapw de l'lUI·
dtddt 2 pol )( 4 pol ....... c::icNR dtM.lncia atr:e: ttllCral de.40() . . . apaço
de at de 90 ..... de brpn mm:. ~.km
tUpL'l'fJcic rrlb~.
sim, sua tmlwvidadc: cfcCn'I 6- 0,84 h;r1 lt.ttipl!f&tura n1&1i.a de 32.2 -C 111..h(~n1;:t
de 1e11111c:i-ll.luni de 16,7
o valor R do 11~1,11.;o de:••· 6 0,1.5 ml. "CJW A pnrtc de
bab:o do ldbado tsu1 ac1ti.dl com pl.:u de ~ de. 1l flllll. e a pane wperl(lf, çunt
~ plpr.I de ptftdc e dllM aaUJllCU dt: 16 mn1 Ou.paço de ar <oaS1.1tw
7S1l dli *-dt ~decelor.~u Y!pf p.,.c.omulllCID 2'1'.
...
°'
•e,
o
Condução de C.1101 Verm8nente
-
Transferência ~e Calor e Massa
Capítulo 3
onde h. é a condulllncia 1érmicu de conrnto, R, é a rcsist!ocia 16mi-
Temperatura especijic(1da na ponta da aletn:
co dt ('OntalO e o cocficicnlc de U"'Hnsfcd.ncia de calor por radiação
(connnuoçDo)
h.., - ea(T! + T.!,)(T, + T~>
Os valo...,; R de difcren1c. ma1cna1s são •pn:>entad0> n• Tab. ~-
Entre as
vl1as
Construção
(~
Superflcoe e<terna. vento de
24 km/h
2. Telhas asfilltlcas
3. Papel de parede
4. Compensado de 16 mm
5a. Espaço de ar não reflexivo,
90mm
l.
0,030
t.T - QR
solver problemas que envolvem 1ran<fcrincia de calor permanente
em camadas paralelas nu combinaçõc> em série e p;milclo.
Aadição de isolamcnlo cm lubo cilíndnco ou casca esférica pode
aumenar a 1axa de 1rnnsfcrêncin de cnlor se o raio externo do iM:>la·
mento for menor do que o row crl1ico de isolamtmo, definido como
0,077
0,011
0,14
0,077
O,Oll
0,14
0 ,15
Superflcie 1nle1na, Inclinação 0,11
de 45' , ar parado
0,597
Resistência térmica total unitária de cada scçlo. R
7.
0,63
0,079
0,11
A cticáciu do isolamento é muito'i vc.LC.\ dada pelo w1lor·R. A
Valor-R -~
0,929
Fração de área de cada seça<>, /,_
0 ,75
0,25
onde Lé a espessura e k é a condutividade rénnica do material.
Ai >uperffcies alctadas são comumcntc uhliL.adai. na prá1ica para
aumco1ar a rransferincia de calor. As ale1as aumen1am a lnlllsfcrêncoa
de cala a pa.nir da superflcie, expondo uma maior supetflcic à conV<CÇào A cfülribuiçllo da temperatura ao longo da alcta é dada por
Fator Uglobal, - l: / - U,- 0,75 X l,675 + 0,25 X 0,929
R • l/U
1lxl - T. • , .v;;ii..,
Alie/a muilo longa.
resistência térmica global unitária dcs;e telhado mchnado _é 0.67
m'. ºCJW. e 0 fator U global é 1.49 m' · •CJW. Note que as voga> de madeira ofc·
recem uma resistência térmica mu110 maior ao fluxo de calor que o espaço de ar
entre âS vigas.
senhml + (hlmk)coshmL
hpkA, (T. - T.)coshml + (hlmk).enhmL
como alelas com poruas adfabá1íca.s. u~ndo o comprimcn10 COO'i·
gido 4 = l + A,Jp em '""'do compnmcnio real do alcta.
A temperatura diminui ao longo da alcta, porltlnto a lransfe·
n1ncia de calor é menor. A diferença de tempernrurn nn aletn dimo·
nui em direção à sua ponta. Para levar em contn o efeito ôeS\a d1
minuiçãocla temperatura na lr.msfcr~ncia de calor. definimos com(!
eficiência da all!ta
Ta~a de transferência de calor real a
partir dn aletn
Quando a eficiência da aleta eslá disponível. a rnxa c.Je 11':111\fcrênciri
de calor a partir da ateia pode serdeterminaJ" n 1)linir ele
(Isolamento plano)
1.077
1,675
Resistência térmica global unitária.
=-,-,-
res-istSncin ténnica do mmeJ"ial po1·unidade de SUJ>CrfTcie, expressa em
Fator U de cada seção, U - l/R, em m' · 'CIW
A:::-:-
VhAf
Q- =
Q...,
rr;;, ~(tr.+
5b. Viga de madeira de 2 x 4 pol
0 .079
6. Placas de gesso de l 3 mm
.
7J.-.. = -Q-....._-,-...- -1'-ax-.,-,-le_t_
r;_on_sf~.e"'"
rê"'n"c"in""c"'1c"'c"'n"'1o"'r-id-c-n""I-. -p-nr'""1i-r da
ttlettt se Ioda a alcl!l c~ll\ nu 1cmpcrn1urn base
2k,.,,
12345a5b67
n.o>.bmL - l(T, - T )llT, - t .)J
ienhmL - - -
Alctas expostas à con>"ccção em suas ponrns podem -cr tratadas
o conce110 de resisiência ténmca rnmbém pode ser usado para re-
Nas
vl1as
0,030
T.)
Com"«Ção a partir do ponta da afeta:
Urna ,.,z calculada n taxa de 1ransfctinc1a de calor,• q11•dt1 d• rtm·
P"rati/Tfl cm qualquer camada pode .cr dctennonada a partir de
O esquema do 1elhado onctinndo e os doversos elementos utoliudos na construÇão são mostrados a seguir. Seguindo a abonlagem descnta e usando os valor<-•
R disponíveis na Tab. ~- o valor global R do telhado pode ser detcnrunado pela
tabela abaixo.
• ~
Q_ _ .. Vhpkll,(T,
é de!irodo como
1 EJ<is1cm condições opcracionai• perman<ntci.. 2 A 1ronsfcrência de
calor através do 1elhado é umd1mensional. 3 As propnedodcs u!nmcas do 1clhado e
os coeficientes de 1ransferência de calor são constantes.
Condução de Calor Permanente
r.- r.
Akta com pomo ad111bd1ica.·
7tr) - T
r. - T
cosh m{l - x)
-
cosbmL
Tmipuaturo tJ~âjicada na ponta da t1l•1a:
T!'! - T.
((T1 - T.Y(T• - T.)J <enh m.r + senh m(L ~
r, - r. -
senhmL
O desempenho das .:i.letas é avilliildo com base no numen10 da lmll!t·
íerência de calor em relação ao caso sem ale1as, expre>so em ejird·
eia da al~ta s.am. definida como
Taxa de lrnn;fcrSncin de
calor a pa11or da área de
bou da nl"a " •
- transfertncia de
- 1'-.-,-. -dc
calor a pnnir da drrt1 da
superflcíe A,
Aqui. A• é a ma tr.msvcrsal da ba..llie da nlcrn e Ó--. representa a
taxa de transferência de calor"""'" área se nilo hou•cr nlcw fix:idas
nela. A eficácia global para superfície aletodo é definida como a ra·
zâo entre a transferência de calor total da superfície alc1ada e a tranS·
ferência de calOt" a panir da mesma supcrficic. se não houver oleias.
Co11vtcçl1o a partir da pnma da altta:
7lx) - T. = coshm(l - x) + (hlmk) senhm(L - x)
A irnnsferi!ncia de cnlor unidimensional ntrovés de corpo simples
ou composto exposto r, conv:cção de ambos os lados para meios a
temperaturas T. 1 e T. 2 pode ~er expressa como
cada camada adicional. As rclnções clcmen1ares da resistência tér·
mica podem ser expressa> da seguinte ronno:
Resi.11ê11cia de C()IJ1/11çlla (pMede pltma): R,_., = kA
Al?ta nwito longa:
Resistllocia 1/e rmrcl11çllo (cill11dro):
'
onde R,°',.1~ a rcsistencia térmica total entre os dois mei~s. APa~a
parede plnnn exposta à convecção em ambos os lados, a res1stenc1n
10101 é expre>sa como
R..., - R- .• + R,..+ R-.1- _!___
h, A + .b..
kA
+--'h,A
Essa relaçllo pode ser Cl.tcndda para paredes planas que consis1em
de duas ou mn1.s camadas. zdiciooando mais uma resistência para
coshmL + (hlmk)scnh mL
d'r' --o- .vr.lopkA,<r. - r.)
Q...,,.,.,, - -kA, d
Re.ti.uênria dl! com erçllo:
1
Rro., = /,Ã
Resistêt1cill d~ frttt,fact!:
R,_,~ = h, A
1
Rt!.fistlntia de radlaçao:
1
l
A eficiência e a eficácia da alela estilo relBcionadth cn1rc si por
onde ,,, = VhplkA,., p é o pedmetro e A, é a área lransversal da
oleta. As taxas de tran.:.fcrêncin de c.alor parn os dojs casos bfio:
l
. T., -T_,
Q=R
,...,-
T, - T.
_=
:X
Al~ta l'om ponta adiabátic'a:
R,
=A
R,..- h,..A
Ó,...
-kA,
~ 1. 0- v;;;;;;;:, (T, - T. ) tanh mL
Certos problemas multidimensionais de lrmvSerência de calor
envolvem duas superl1cies mantidas a tempcriuurns con!\lanll!:s T 1 e
T:. A ta~a de transferêncifl d e calor permanente entre ll" dun.; s u per~
llcies é eJtprcssa como
Q= Sk(T, - T,)
onde S ~ ofatorde fomra de cooduçtio que lema dimensão de com·
pr1mento e k é a condutividade térmica do meio entre as superfície.'
tapi tuk> 3
Twulerft\Clf Oe CllOf t Massa
l\Mkm•Wlkf111u • •~~•int11 dc l,':ICJll\UÇIO por u.oidadt: de
'"'ª ,-01110 tl tn\~M) Ju 1,.'"0Õ11.1c:1ue de lnni.krâlci.a de cal<W po1
O Q Kttn mel A. D. Knm. E»mdt'tl S1ttfeu Jlttn Tro11~f~'
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Arnmcan Soc1e1y nl l lrat•l\IC, Rd11am11(1r!.
A1r Cttndi·
IK'll'ilftl f..11illM'f'f'I Hmtdbt>/14 oJ 1'11mhmr.tNln,,, Alb1nla
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ac-11ry~-Ttt1U.AS;HE 10(196-'\.rft-. 2.317·.tl
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pp. IOW 7C>
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llCllllC" . , - . dt . . MaO ft11111u1natb X• S&\11 dt tno:slcrbciia
~ trnspuatiu• Clllft CÜ ~
CooWdirtt • tnmfcrt..&1 de cllor u.atd.1men.vonat pcr9'l('flk
dic: U-l'lil ptRl.lrc: püna. apostl l CM\~ de amNil (1$ ~ pàtll &"1h1t1Ul'.~ ((mi ICmpc"n..IUliS COfthttidti 't,.1 f
r 1 cmn c:ocfo.1c:11tca de 1111~fttfnc-i1 de nlor c:onhec-idofi Jt, ~ Jt ••
Qu.uiJo 1 tu11 de lnlfl1.(cifm.1.11 de aitorQ for conheQda.. expbq~
t;M 11> podcriam(l'I dc:tcrm1nar a IC'mpc:nuura de ClltlJ. ...1lpcrf'11;1c
1
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sunt colada cn1 ~ cl111•i. C&ltlllld.• ck •l11m1n1odt 2 mm dt üepc$C\ld.
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Condução de Calor Perman.-nte
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Considctt uma jaMla de ,.aite 1) 1,5 m de 1 liur.. 2,<4 m de
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Jloda de rjdro e l lmlpt:ntl:lra de M.1• Maptr(IO( lJllONI
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é -~-e. QJmidcn 05 \.«'ÍJLIC01et dt Cnm•f<'IU.."11 dt alar P'lil
CO.\'«lÇio flOtlre u Mpal~ IM'"fM t cumu tb Jantb .,ua•.. a
à,= IOWlnr·Ktlil.? = l5Wlm' K ....nqmiqurri~~
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de •••dt•flkJa de calos
~ llln\i.f. doa jlnr_la dt \t!llO~c a . . . . . . . . da
supntfciir dlléntitqu;a.Wocp..-toi 1nuhdo •li •c.~oa
liC"lllpCf'M. . ttbeml.é -5 '"C Ôlin:Stdlrft . . a1Cft..:iirMQdlt1nin..t.:.
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~DCl:a de etb por~ IObft ltl wpirrf"k9" ·~ir UfaM
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quer cr.indcrioc'a de Clkif" por l'ldiaçi\o_
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AIJuim \."'Omenta que vm íomo micro-ond:l.$ J>(>l..le <.er VJS111 ~01Jn1 u111 rornn l....,..wndoo11J cum reslSl~ocia Jc c:ono;ecç&) n:nJ
11.1 ,u1.--:1frde dui. ILhniCl\IClll. fsu1~'ª \1ro.1 dcdnruçfto pttcisa?
1 141 Con~1dcre umaj.:mtfa d~ 'rldMC01»tilufdu por duas folhas
dr vkln> 4lc <4 mm de C'\JIC"t:l.1111, ror1~11e:11 11.i p•l!S3ÍOMduii 11ma conlrn • 111111'11, C(lm1>11re • tl&.X• de t1111nsfc~ncl.n de calor através dessa
1unclu '-VUl 0111111 u11npo,.1a de Jlimuui de v•dro de 8 m1n de ~U ·
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Que bcbidl lnl hQuc«• mai11dpMlc1?
I• Cb1111Hlrl'l" omh ptredc do ljjolo de J li\ dd ;1lhma. 6 m de
1Mtm11 t 0.2.S ni de ~peMUn. cuia co1-911Li\'klado 1érmic:11 t k
O KWlm· K. 11m dtltrm1nad11 Ju•~ ~11 1c:mpcra1ur•s das superfíoc1.
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tt.tcm• d• p111'tdc do 1<4 ..C e S C.1tsptttivamc:n1t. l)e...
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1.1nW1 t.ra cilind.néa de dilmttro l> e compril~DIO L. ();i-.1~ a 6rca
dl!' tn1n5fcrCneu. de calor cU lltilt se CM) u filJPffÍít'.titi lalt:nt.is da
USlceido lS01Mlas e(h) -~ ~1« t' 1nfcriot da hlll&t
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7 Á.1u1 1b1j cm thu1H,;IO • 95 •·e irtn u~ panei• de •bunl·
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Pl°4"1!•11C1:1kfl~ce pai-. a lirU1 tel'·m1e atnw't do ru~ plaoo •
"8rt• O \ nn • «-"l"°"u111. em _.. . tua fixa dt BOO W Se
• tti""""wa de \1.lpl"'rlk:tf IUlt:rU na pane inferior da pa.oeta 'IOlt "(' ........ne C•1 o corfJ>i::ltllk de 1~erêociai dt c.aJor P<M
*
19
•
Rep112 O l'lob. 3--19, ~sidC?Udo qur o e•~'() «llH •~
dulS camtdas de vidro'- ev.:uado.
W9J R~ oProbl--19 U. . . . Ef..sr.--.OU1rof'l'l'.1-tiiiiíi grama).~ •tua de tl"MIÚtffn..1adc nkw 11mg 411
jmcl.aemfuçil>dlJlrrwa.do~dc • • ía1\adt l a10mM.
~~""~do• Diteuta•IU!lllltb.
Capílu'c> 3 • Condução de Calor f'~rmanenlt
lJt1- tlcl'llCflto dt re..•i.•Oi c.t rnd11M "" p&llCA dc ul\_"UJlu d1-.."J?l
O, 1S W de po1tnc•11 no amb1c:me • lS "C. O ff~• ~ wn J .'2 cm de
rompri.rftm'o e 0,3 Ctn dr chli1net10. Coot11kratlJu que o c.:alor M:JI
lflll\_~tn6o u11,rtll'mtlt'lro•e
1od.M ... auptrfí1.1cs. Oc1omitle C•) •
cpiU!lidadt dr Qll•• q.M! C'l''C- tt'U~•• dil!oMpl dwwllt O pcticô.l de 24
hrwti; Ili) o nuw dei t"•ltir N M.!pefflue dD reu••HW. m Wha'. e (r)
• ~"" dl ~<i..• dn , ....,, JM111 o cocfacnie t'Clmlllln.do
W: lrbiJ~ dt caikw' por~lo e por~ de 9 Wlmi-K.
«
Pan ~· •sane.la tra.iet111 ôe um-~.""'
ekfnc11W tiao e ~eate de
l q,.M ti wpcrlbt:
on• ..odri:alor•ilOIMCde1 JOOWt..'ãfome-cido pw11 otae..rock ~lllnll'ftllo~ a ,-ela u.ewa
com ~,. dii- S .... A ltmpentl.d , , . _ dO Mllcaó«I t
22 "'C.e o~.-c .,..,~,.. dcfl:alor por~Jol 1.S
wtrr-K A •-.rmun .~ foraes1i• ~ -C.c o~
de ...,r~t.c:udt ai« pot coo~loC 1oow1m" K.. Qmwdr:·
nftdoqw1~Ylilt.r.k~. . . JMai:IA' l.2Wtre·K.......
nt a llrmpcnilm'I da ~lktc lflktm cN .PntJa..
•que(•....,
._...da,_..
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l161r.l111r~11•
A-1 JWlm·K
A1 ••rrnn, ll "C
h-UW/11 K
r,
1.1 Wfm·K. )).entro da câmara climali:tada, q oneíK'lt111e de tnm'(
ftrtnci• de calor por Q(ll'IYl'CÇào t 70 wlm. ' K. o~uiJert.11do que •
wpcifíc.e 1nrmor da placa sóhd11. ~ milJIÓdl. a 52 1·C. dclmnii.e a
1~n:petlllllnl oo u'lltOOt dll cimafa aquecida e a 1empcnacu111 da ili
pcrüc1e do fllmt tnmp:ll'tfllt.. PtcJ;~ha uma tcli1~12 ltnn1e11
de c:ot!Ul!O dc:qwuiw.l.
u,m.Jcrc •m 1ramaS«W de poll:oe'I• que d1uipe O. 1$ W
de ~ c."111 00' lllS'ibicGk a JO "C. 0 UUSllllOf 9cfft b,;4 CID dr
c:o.pri.mculo ~ ddmcuo de 0,5 cnt. Prft~ qw o calor '
a-1ecJIJO uc.i.formcmmilt: de IOIJ.. ~. dtecnm• (d) •
_ _ de.,...,qutess<_..ciuipl-•...-dc
e&lltfllt nabmadode~dcalor f'{'f wno.~c por- d E IS Wla'·K.
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p• fl'PC'I prmwdo. ~ pur .... almda dt ttStOdr: 18 cm
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1>fe:iiíi~1pondo um;a 1:0t1du1ivtd;1(1~ t • 0,0.Sl W/n1•K,
Umu. plllc:i de drcoi•<> impresso de: l l cm X 18 cm nbnp
na wperfído:: 100 dli1.1.r Jóglcos o;1re1t111nente e.1opaçadcli., 1:•11b u1r1
diu1pM1do 0.06 W ambienle 11 40 "C. A U'llnsrcffncla de calcir
;1 p:u1tr da s.\lpeifktc infcnor da 1,lac11. ê dc:spruf'vcl. CoMidCTimllO
que o <;4>eftclcmte de u:u1sft>ct-AciAde calor i.upttfície ~ plCICll ~
JO Wlm'·K. dcltnmoe (a) o 11\1);(} dt calor n11 i;upcrllde dll fl'lli:.l
de drcuito itliprt:$0. c:m Wlm"'. (b) • tcmper.il\lra da tiiuperflÇl.: dô8
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Conddef'I!' om11 pei.~ e111 ~em uma ~la a 20 *C co1n s.11·
perllc..e CJCpa6ladc 1.1 m'.A tt:mpcnlw't ocwporal mlml•dOCOIJI(•
humano é ) 7 "C.. e a oondutlvllhdt 1hmica do let.'ldu hD!Mnõ pl!fl O
dai pck é ettca de 0.) Wlm·K. O «WJ10 peidt calor 1 lua de l.SO
w p0rcoovccçio miunl e por radlaçto pano mew OM'tlYCnl~
Tomaodo, ecmpenwn.ciorpOral0.5 a. ahv;oda. pek como._..
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Uma JUliC-1.adc pu9d duplo de IJJ •X l.S 1'11 t'OMl"C ck
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Co1~ uma c<11" com balile de IO m )( '20 me p111"tde de•
m de al111ra. Tb1.fa" Jli. 11wi1ro p~~ da CMI ll:m w1lor dr R do 2.11
rnZ-''C/W. Duas p;iredes. de 10 m K 4 m 1'50 1bn ,a1~I•'· A tcf\:cira
l)4f'Cde cem cinco j11ocl1111 de \·iJm (1 0,71l W/mK) dei (l,S cm de
ei.pc,-wrn e 1.2 m X 1,8 m de llmatbo. A QIUll1• '*'~ •~mo ll\C°I"
mo wnatiho e nárnen;i de J1111rh1\ t"Nlti cstlli Ytt p111nti1 ~ ((NYI
~dr ar~t -= 0,026 W/l'n• K) es111,.1hl!Ji> dr J,S C"lll dr e~..-a.
~..,camadas dr Vldlo de O,S ao dt t:~lll·
IC!tlflC•l.-0 d•
casal f.-udo t:fl\ t4 C e•~ mrdi• tUCl'lll no tocai 1 8 "('
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gVIOOOll padll de nicilçio clima all't\á dlt ,..t1111 t oon~
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K. ~M111ea.delcmai111t1
tuamidiadr amsfcdnaadr calnr lh\Odr ~ l*tdc
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Capítulo 3
TransfNênc11 d• Ca)Or e Massa
Se• c-111.1 101 114ucc1da clc1rlc1111e111r C" o ~-o lfa tktrit11J11.le
fCtf USS O.OM. Wh, dttt"munt 11 qiuollJ* de ' '"beiro que n propnetál da Clli.I pwp11ti pcll Wll 1)()1-.la. 11t.111eCllnc'OlO ~ COOVC'f·
lc:f M pndU dt> punc1 d11.ul itm Jo*ll'll"J.-. de pwntl diuplu
'°
m·•C)qut 1tn118cm X 2•cmdctamanho l)e1iemluW at'ond1.o1l
V1d.adt ltrmir'* c(C!lh-ie d:i plaC".1aolong<>00 ,.eu bdo de 2.t c;m dt'
com:primctJlo. Que Íf'a\âo do cll)or ao IOOE:O desst l.1dc.u.~ O(l1du:1da
...."6$ do cobtt:t
A 1.ai-adedc um1 tcl•u t f Ollbl1tutdl de 11.0bn&e de li.ln
ck \i&o(t • 0,0,\ Whn •Ocvladoct~R: dua-<1ca1udl"dt 1 mm
dcC"JICMIUl'ldtpblc;alknul(A • U.1 Wlm Kl Qe.4f*ÇOrefn
rcr* 4 tftMllado a 2 'C. C" ~ cod°M..~ IDÓdlll'l de U•<1ksiacia
de cslar 111111 -rt11kO 1tlkma e
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JIO i.Olanlc• lbm!OC'lll ellca1~it. Pvrt11.nJc1, não ê 1111:rpa::.g que CSS$S
f'OUJli.l" tci1lum11ub11Jtu(do amp111ncnte Oll a.111iquadi.. ci1s11oos groe·
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11Cr 11 t11pu1ura do 10.:ldo de. li{!• OA))S Wlm·K) se a pessoa de·
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te c~1ernn e de 1 "C. Tomi&lld<> 0$ coefic.cnm dt tl'li.Míttfoc11 de
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çalm alr;i~"l!s t,l:a p11rcdc ~1i1truMb ~(ti) sólidoi; tijolale (b) 1ljC1kJi
com buracO!I de ar.
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Um e.:peri.mcnso fJlltll medir corOdc111cs do 1nni.rettnct1 de
e.alar por COM~llO fol .non1adc> wm fh1.1i foJba de t1\elaJ de bani..
sima cmisstvid~ (j)Or e~, cobre polido) IJIClado • 1uptrflde
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:....---------------------de l!lpo111u1-. Oc cxfklcn•C'!I de 1t1n1>fcttnc1• de ça10I por OOfl''«-çlo dali .upctfld1c• tnlmiA o CAt«'M do forno Wo ).000 w1cr;·K e
'2.S W/m*•K, tt.!ôpc"tl~·amcate 1',..,.'llldo qukf-ucr perda de c:Uo1
wa\16: do p..o, dcuim.ine a UiAA do pctdt de. cab do forno quaudo
o er 1mhttflie c:fotá a - 4 'C.
'-"' a_ RKJ11•tdcrt o PTob )-64 Uaando EES fOll ouUo
lii:8 ~).illYOllplC»d'aio.danpeswndl~
de e do coe:(Kacfte de nnJatD,;y dc.cakw por ~da •·
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de--~ 6t cab por((llMIC!Çlo . - . . . RW3c.ib..
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J..6'C
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ftlrl'llO dec11aiidrornl como~ t.,Qaitllmnk kidCO t ~
e qoando D1o o t"
O conolllli> de 1ancf111i:.• C*rruca podil, ICf 11t1!aldo ~
dl1nJm '61.do 011 pwa e1olc,. cM tpc:BÇlo pura1omt~" ~pl.qlX
3--6
COMI~ u:m poqsac:no cduôo ~UJ• ~aet tupmor
e mftnor do bdtllbi. O c.1bndro t$14 ink11lbncncc. • uttU- 1cmper11tur1 un1f«me r,. 111!1\do \'\lbinc-lido à co1w«çlo • partir dn _w.
pcrfk1ic lattral po-1onlltlo11 uma 1cmpei11tu... T.., com Q)efickotc
de rt11nsfcrt1Kia de C!llot /t, A 1tfln~(t1f1KÍ11 de c11Jor otsse çut10
c-1llOOro t uni°"' b1d1mens-lonal1 F.Apli<1w:.
=
"' U1t1 r'CkMlóno •11firlco de JH;O lnoidd6vtl (k
U WI
m·K) de 8 m de d1Amttto ln1trn<i "- 1.$ cm de dflCUllfíl é tu.ado
port am1n·r.tníll •iiu• corn a.elo a O 11C. O 1Uittv11tórlo eSIJ 11t1.1ndo
em um11 PIR cujll 1empcf11tura 6 '1S 6C. /\11pmdcsdu11ll• t5tAo
t11mbt11l A Z5 "C: A 1>111)Crfl'c10 externa 00 uwqve 6 prcll (emissivl~
dàde a ,.. 1). ci • ,1 1U1~(e1 fftcl a doc:al<irenlre 111'upcrlfç1e extema l1o
1•nquc .., ()\ a1\Wore$ 6 1)()1 c<Mivcoçllo u.ftliu"al e ~· 1'9d.iaiçi0. Os
eoeficlen1esdo u111111(ofrn;i1decalor 1)1)1coov.:cç:io 0115 •U1)Clffc1Clf
1ntcn11 e c1m:rna do t.aoqlk do 80 Wlmª•K e 10 W/mt•K, res:poc.
ti\•an:i:;titc:. Dctennint (o) • tua de UU1Skrtoe-111 de calor pa11 a
fisua gel.Ida no 1..,que e (b)a quanudade de te'° a O"'C que ~t
dww.te o peifodo de 1A horu O c:ab de fuslo da i1ua na ptta;lo
.unodéricaélt.1 - l33.7 k.l/kJ:.
1 Vapor a 280 "C c:teO• m um tubo de aço 1fl(l);Jl.Ü\'tl (r •
15 W/m•R) c.jol dLimttt'OI in\emO t.txtemO slo S cm e SJ :m,
m;peeti.\'UDCllote. O Ulbo t cob?nO com ~ de LI de v'ldlO (\
O,OJS W/m•K)de 3 c.tn de~ Caiof"é pctdido f1W9 o nt:iio
• S 'C por~ Ulnl e p.w tnaç1o. C10111 corfteimlc o-.
. . . .--d<
por~
""""°
calor
•
de2!W1-'·K.. Tamandoo~de~deakrao
UlinlOf"do 1.1bo cc:oo ~ 809Nsi··K.ddaawlca1n1
dt calof a parru do qpor por ~ dt ccns:wt•nto do ubo
Dttcrmine wmbélo a qotdit de tn~ . , . . . da oaa...-\o •
.....-.,,,1
de,...
rfõt R~ o Ptob.- )-10. U.s;aado fES (ou WllO
..a ~Í9YeSllpitOt:ÍcMOdit~dofl:iO&a..
l(ltftl0$0Ü'e. !na de perda dt calor do~('. queda de uapt
rawra ldr.llfts da camad3 de Qola1ntmo. Do.-.e varut a t:Spcil. .
ISo 1diuomto de 1 em • l Ocm. Tracic a ruo de perda de cakr e a
quca da r.etnperatun t:m funçio da efptSSUJ'l do tsola~ e dit
-
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _..!;
Cap
~tt~u~
lo~3 • Conduçao de Calo1 Peftnanenl:.
•_
r71 Ct)IM.Jdefe um *ft'Ctcdor~nu> de á,gua qucotc de t.S m
ai .trw11 que lt::m diJrnclro dt 40 cm < 11:aan1é:lll a ~ quente a
tD -C O re11C1"Y11t6no es1J ~tuado em uma pequem ui.a cuja ltm•
!*"''" m61.h• f. 21 "C. ~OI cot.Dcttnli!I de cnwfcrêol.:ia de calot
• brt lt. ~lt:S mkml o c:lliitml de .l(luccedoi- do SO e J2 \VI
,.,.. JC.. ,~,·ar111ct1~ O ~a16no i coloQdo cm ouuo taOQUt11 cfllC'ldr DWtal de 46cm de dilmttroOOl'I) ~cbpraivd
'"*'°'°nMte°'dtiii'&aaqliQ~an~deespu·
sia 1• • o.oJ W/f'fl K). M ~ ~., IMQUC de- .ig1ll
• 41 (•e.- CACml de foills de IDttll Slo ,..lllU ~e po-
_ _ . . . . . , _ _ 0Jl"ÇVdo-tUSSO.lll/lWlo.
t: o Jr..o Ili~ fllP USS ~_, plll aquc:c:a-fpa.. Ddcnue
•~do wMo dt t:aa'pl • f&N q..a pan o .-0 da casa
..............alo! ... _
0.jllnlM 4k ilollmt:aflO 4t: ~'°" ôt '&ua ipiea:lc:
=
tma111•""°5 4c ...,.,.,,., de 6...._ de Ytllrv t.t 0.035 W/m·K) dtJ tm npl$Wl'L &s!Í~Dlt goodt f** t:&n"OCver- 90IJo O
t.ulif" ado d..,..-~ llO mncado pr Q:rQ de uss lO. St: (11'9
l~ ck't-ta fot INCaJado aobN: OtnaYalÓnode . . pelo
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"'pno\""°nolonwallO
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Uno . . nJ.a. cpMlo ._po "-",.,. <t... o ~
Rn
1 211. 21 mnos
çVta Ofi resulladOS-
_.Eifl.,.•.,..
kg{$, e deb:•-O :a. 8 ~.O cvbu 6 expo~• o 110 •r ambien1c a 10 "C
com ooeficirmede uan,fcdnci.t de e•lcw de 9 Y.'ln\' K Se 0 01bo
(IVCl de~ ~ado«lm ,..i.Ole de Q dt vidro (Ã'
0,0;'J \V/fn 1(),
a fim~ di:miouir cm 0,2S *C o i11.1t1\WIO t.ta ctmpmituni da
dctc:nnioe• CSJIC$5Unl nocn;Wia do ~lamr.01 0.
•eu&.
~76
v.rar- superaquec:xa • •tn1 I~ mtdi.a de 200 '"(' 4
n. .. a.o
mspocudo *'"'>& dt u ndlo c1t .ço (t - 50 "'' '• "'·
c:m, D,=- 6.0a:ne L • lQ.) ID). 0d!ot.Uoladoeom111111c:ti1Nda
de.- anck ~dt ~ (l - OJ \\'lnl·K) e
*-ro . . . ...m. Oftdr. frqltt'M. . . mddt.
10 "C. Os ood"llC'ft'tdõ.de tamlntnCA diL- calor"do ..,...cdow llo
csrinados a. SOO e ?00 '-'hn'·K. 1uptttn-arnenee OkuW (•} 1
tauclúnade ~dtar6or 1 f*'Udi>np«"~·
t: <') & lnllptftlMa da Sllpft'lkle: G:IMll do~
cdcado-...
do.'
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dt.,..,,
Vtpoc- •DO ·e rat. fia.indo aa...6: dt 11t1111do• ..ufk •
i~I W~·'"C)cu,._ ddalietrof ._,., t: t:\wr. tio 9 <'19 t lOu..
~cm wn Ulblttu a ll *C O._ i boi-*'> com
l$Olaok de fibn dt Ytdto
O.OlS Whn·*C) dt .S cm df upa.
SUt'L Sf: 06 coefioa'lles dt trlltlSft:rfncUI de Qlof 111~ e C'.Otmo
do cabo ÃO 170 e JO W/m·°C, mpec:tsvamt:nec. dtccn.unt a tau
& perd3 dt: calor a pari-11 d) 't:lrpOf por m de ccimrrhnerrro do 11tbo
Qual é o mo <O'IOlvido t:t11 cbptttar • ft:fiis1h\...ia MtllMCI 410 tvbo
de~ llOf dkub'
.l--7'
*•
'-'" ~ Um tubo de vapor de 50 m de compnme-.ito. CUJO
"<i&' diâmd(O t:lltemo 6 1Ocm, pa.ua J>Of 1.1rn t:!ipoço 1bct·
t0 a lS •e. A tcrnperawn n'lécba da superiic:ue u1etna do 111bo4 da
150 '"C CQns.idcrandO qlk: o ooeíK'.Kntei combinado d~ tran,rrr&.
1
çí.. de c:iklr sobre a wpcrfkk ti:tema do tubO 410 W/m ·k, dc:le:t'·
1tlltw: (a) a 1aita de pcrd:a de calor o p1111lr do tubo dic <nl)Qf, ;b) o
f:USIO ii.nual dtH<l perda de cncrt;ia .lt: O YllpOf r11r &tradO Cln Ulll
(Qtto 11 gás; n11l.ltal oom e(.c1l11c-ia de 75~ e o J)R'ÇO do gú l\ft11rtl
for US.$ 0,.52/\henn (l thcrm =- 103.SOO kI) e (e) íl t$pcHu-a dt
i50k'u1te de ftbra de vidro (t - 0,03S Wlm·K) neoc:isáti11 a 0111 de
Tu~~.
~~
1>0upar 9""' do caJor perdido. Prt$$(•p~•f'lh ~ que 11 ltJl\pé:t!llU"I dl>
t\100 $11:: mantéw conuante 11 t:i<> CC.
bobunm10
ílGURA PJ 77
........ _
~78
Ág:P11 qQC:fl~ • um111cmperamra ml"Ola ao 90 "C nu1 tira
~t da soçlo do IS m de um 111bbde fcm:> lllnd.dc> (k • $2 W/in· K)
150'C
FIGURA P 13
CUJOS diimcuw miemo e t.lllunc> do 4 cm e '4,6 em. retpcth\..
men1c. A suptdit:11t niuru du tull11, cuj• C'mii.Sl''wbde ~ 0,7, c~tii
ex:powi ao ar frio de 1o•c oo pado. ~ot11 cOC'lkttt1te de lf•nt.fo
rãaci.a de calor de IS Wlnl'·" O coc:ftcieme de ttubft:l't~1• dr:
calor m. wpedfcie imema do r.llbo .! JlO w;rnª · I(, TOlnal'tdo ..
-c.
•tu•
pwcdcsdo podoc:omo ~ 10
•rulltnm1t. dtt.t:tm.nt
dt pctda dt cab a partit dl. taua quoiee. Alinl dt~ ddcnnlftt: •
Ydocidà ~dai 6gw. IO mbo te a 1cmptt1h1n dl ~.,. dJ•N·
nuw ~ 3 CC ao J*lUr' pie.o porto
-n-12
-
Transte.fnct.1 de C.lcw t Masta
• Rtpua o Pro> i ...1isc:on,.ldt1..ne1o u.m tubo ftLIO de cubn: (l
- l86W/m K)un /C.J Oe fcnof'und)(lé)
V.per Jal a .tO -C da curti.na de 1.uu centr.1 déuiP • va·
por para ICf ~ tm u1n a,randc c.vo6rn.111dor ~
de
ttif~o Qij1nd. MmÚ do U.ibot de cobit: (l e '\ts6 Wlm·"C)
de 1 cm de dd.mtft llDICl'llO t' 1.S a1 de dllmdro ei.acmo. • """"
..._......-.. de lO "C. o c.Jor de ...de.,....
..O"C é :r..oi ~
do uom!afnd• • - " "
1J.000 W/W·-c" oot.adodo vapot e 20> Wlnl·"C" •a.lo
' fila
o.-
da..._
DttermíatOCIOlapDlCl!le0~4ollibo1**~qpot"
aUIMll\,.lldt llJ.,,..
_ _ __ _ CapítulO 3 • Conduçiõ de C&IOI Ptrmanente
_,.. Na lndú~lfil filrmduttic&. um l•bo de cobre (lc • •00 \\1/
111 J() C\Nll thAnle.tro hHc1110 dt' 20 mm e cspcssun da pande dt
1J "'"'' UYdo ,,.,.. o tram.po11.c de 0:1sbiu1 líquido para o tm·
.qtJC .te 11m&Lcnalbrol0. O OKtg~nio lfcJ;udo que fllli M tubo tem
t~•U•n m6d.Ja de 200 '"C o i;:oet'icten;e de rransf~a dt
~·" pilll ennw.t,i!Jdc 120Whn' -K..A Xllid~iocm torno do nabo
klll la~un. ambtclllle de 20 '"C e c:x:ficicNe de tmJ$fCfÚci.f;
dt cati• a>Gbn.U dt 20 Wlm1·K Se< pcqo dr cwvaJho ~ 10-c.
•~·do uoL111•u ();. - O.OS wm-K) cm u:mo
t'Otn f*"' entu • ~"'° u SUptdíciic c:'ilanl.
CM1s;dere um Lanquc cdêtlQO de 3 m de di!mc1ro, itnci11lrnC'o~ cbc:ioeotn nlll-ogblio liql)ido a l atm e -196 ~ - O 1"*1'\lll Ófo
é up0.10 ao ar atnbieolt a 15 "C, com c.:001e1tt11.e combtnado dr:
tsus:íclf.ncill ck calor por coovecção L ..t.iaçlo de 15 WJm' ·K. A
tcmpcmura da fina Cl.5C::I do uoqoc esférico deYe SC!f qlltiO 1 mm..
ma qw a u-mpcnrit\lra do n:iuogênio ao 1111cnor. lk1.cmunc 1 ti.li
dt cvVOPÇiO do nitrogênio lícpndo 1anqu.t. como ruuludo '9
ll'aMfafnci.I dtalor 6oar amhicalt:-. st o llilKpC 4 (•)do 1.a.b..
(b) ito!ldo com 5 a9 de ~de uoiaaie dt fíbn. de Vidro it
-= 0.0::.S W/rn·K).c(c) isobdo«e 2 cm.de~ dt IQPN'll>o
~ qix- 1CD. C'OOllu(Jridadt lhaiai detl'-a de OJnlQS YNrn· <.
"°
J--9'2 Uma bOJ• ~MCll lk 4 mm de diJmcun a $0 -<:d c1tvüh•
com 1kllamen.to pl!uaco (1- 0, 13 W/m•I() do 1 mm dt~pt'\i.111'11
A bola cstJ cxpom ao moo• 1S -e. com C'Of'f.c-lcn:ie too1buudo
de 1n1nt:fet!nda de cale. ~ a111~() e f"ldi.r;lo de 20 Wlm' K
DctcmUoe se o isolamcmodc pl•aico tohr~ a bola I JUdMj CMI l"I\"·
JudKa1i • 1rancf~• de a.lar • patll" da bola
._.....
•Mo•
e~ q91: •~de 009Cialo knaico ttja ~..eult'.
-
1 •O._,,_,.K
h~lO'"C
a
.., _
.......~Jt
,_..., • .......,=10-C
R~o Prob. ~ 92 U~ EES (OU Mtro
liii:;ii prognll'M), t"IC't! a tua de 1ra1tsf~&1 de cak>I' 1
pwtJr di. bola mi funçio à npcdWI do ootamcn10 pl1btd n1
f:ti;u dt O..S rrun a 10 mm.. :>.KUta OI R!MI li~
llC
letacbs
Ar lJoetite di:.vc •r rnfnlldo 10 Oulr 1tnt\ob t.ic: 11.1hoA u,.
pQ6t0$ at:t at anno~ílr100. Aleus llt-y11tm"' r.~11<~\ p11n 1111mcn111r 11
ttan.sfcrencin de calor. Vocf tceomtndvia flui "" •km' cttn1ru Cltl
f<m1. d()6 tubos'! Pu- quê1 Qv:t.ndo ~cd ttcomcndnri1 filiar tlc1111
dc-nuo e fcr11. dos cubos?
Ttvli'lfi11c1.1 d ca w •
~,.......
o,
flCUR'A,.
flGUU P:l-113
l ~ 1 R~pita o Pfi>b. 3-80. c<K1 ~ldtf't1Mk) que a c11J111l(la de (},1$ de
e,1:itHurn dodrpó~fn mlnetn1 (k • 0.87 Wim'">t::) .e fonnou »Ol>n:
11 M1per1Tc:N: ln1el'l'I• do tubo
'- K2 ~ Rec:ua11idcrc o P1ob. 3- 80 V111;1wSo PJ::S (ou outro
líQ proio1'1na). ln\'C.~UIVCI (Ili dc1toll dn c:0ndutividade
téfntica dn MAtcrbl 4.k> t\lbo e lli:
d1A.1t1C1ro ex.1t 1110 em fm;çlO
1,1,, comprlmeiuo clstdo Oe h1bo. Dc.1M nnat 11 001X1u11v1c&a0e ,u.
1
mlCll de 10 W/1nª·"C a 400 WJm ·''C e o dilmelIO utttnO de 1,2
crn a 2... cm Ttact o com1"rul1tmo do tvb<:I em futlÇlo da ooildutividade o do i:hAnw:11l) c..tt/DO do lubo c dl'$C\lta rctllJ1.11do1>.
1 \ A tcinptnrui-. do cbullçio l pni:i.Jo lllmQ~fbic.I ~ iuU'OP•CJ ao nfwl 001N1r (rwtlilo de 1 a&m) 11!1 196 "C Por b;liO, o
DltqMo 'COITIUt'IOltt . . . . cm Qludos CIC'llWfKXJt de bela IClll
pnallllLA tnnpn1llll'I. do fl.tfOJ;h.O 1'qvldo CIO Llf*llll'C abmO pari
aunodm pmlWNIOtri touCallk a. - 196 'C lft qix titJI <'OQS1I
"°'
°"
...., Quo..... u..-u.i.....,,...o......-6no.....iiod
..... ~de.--de ............ qu<,_..,_..,_del9'U/ts•-•••oqtm'• I -
:UI.e Repita() Pn>b. 3-83 paro oxi~niC> líquido, que !cm létll,C-raturn dt: ebulição de - 183 AC. calor de vnpori71lÇilO de l 1) kJllc:J e
dt:1widade de 1. 140 kglm' a 1 uim de prc1111!10.
"~ Um fio t:~trico de 2.l Pll'li de dlAmdro e 14 m di' conlfri·
ment<i 6 csllritamen(e envolvido com uma oobtrtura pl«s:ik.a de 1
m.m cb espu:svni .cuja ooi>duti\•ktlldc té1mk·11 6 k .- O.l l W/m K.
Mcd~(ld: t:~tricas indQm que a corrente de J3 A p:1 ~1111 111nl\~s du
tio e cue bli quc:da Oe 1e:11.*> de 8 V 110 km.e.o do ílo. Se o f.a 1~1 dQ
e5114 eoqicx:t o ~ fl.Cto • T,,.
JO-<" NVn Mt'"ÍW'WJUf' d!- ltill'lf>Íet~lt­
(:U doe ca1ol' Ir= 24 Wtro1•K. dcrennine a tcmperaru1a n11 tmerfaioc
enueo fio e a cobertura p1'5Ucl;, em fu11ci{)lllamcnto pcnnanc111e
Detcnruot t.a1nbém se. .10 dupliear a espessura da çWe1t1111t pl,>1J·
e&. ~ ltmpeAlW11 dl 1olt1Út'e mmem:ri w d1rrunuui.
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Con~idl!rc O1ubo i!IOl:iido u:pfül<> b mmQS(e:rn O raio c:ri·
!~> ()~ lto0hunc1110 $crd m11.iurcm d1Mc1únos ou cm di1t.1 vcn1osos?
Pwq~'
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QunJ ia düercn~ 1 cAltt efk:dda dll 11le1a e e 1ki~m:m da
J.. '1tt(
lllcta?
J-•nc
A1e1as flxad11s ~n vm11 "ur c:rfl'c-lc 11'lm crRdicla de (),Q
~considera que a taxa Jc 1rnrnifer~noln do (4.l<W • 11111ii <t. ~u
l 119( Um l\lbó d lsolodo llílla redll1Jt .1 pcr<l;i de c.lor. Noenlao·
to, a• lllC!!lllÇ(>cs l11d i"4!m qi>e • (a.u de pcrdu de cal«-tem amne:nta.
Jt>~m \'CI, de diminuir,"' med;ç~ pod:m ci;w correias-?
l
l-•3C Qu11J ~a razão pa-. o uso gcoualitado d11.1 t1le1M i:.1n 1>u·
pes-fidt:$?
Coo~ldcrt um tubo a 1er111)Cnt!u~ 1;oost11J1tc cujo raio ~
perfiçif: 11111.rmen•c>u 011 dimr1um como rtl11ltado da UdtÇIO dci'iQ.~
ak:w?
J-'IK'
Explique como alctaii nun'lt:mom a 11a1ufcrfncU. de t:•IOI'
~ 1*11r dll t>Upcrfii:w " lémdino, c11.pbquc C!Oll'IO a ttdl,üo <lo al~lll
cu.a
pode realme11te diminuir a 1n.11r.íel'!nda de t::al(ll" a J*l111 dll \41pttflcle.
~ IX""rdl de: c1lo1 do tubo aumcnlou quaDdo maU isolamcn10 füi
3-~ De: <Jlle mandn • cficáci1 global Ja i11pc:11Tclc 11lt:e.Ja d•·
fere d11 er~ácl· de uma 4.nlai alei•'
tnlJQf !loque o f'lio crfhco de iti0Jamcntc. AJguiii\ 1lep q1>e a
lldldnn..00 to tubo. bha a)e~açiO '- v'ti4a7
M l t l. ltl hlba 4 JiOYdo de utl fc. 1r11 que () nt,io ex.1emo do i~
'-tne:"'o ~ •omor do q..-c o ruo critico. >..gora. o isola.tl"leJllO ~ rdJ·
~A la•• de tl'WbJttf~ de clJor dolubo 9tl.ID(:lU ou diminu:l
Plflll 1nOtma 1e~n 11.1pcrficlal dutubo'
l
Águ.a qoe1uc d~ Stt tti:friadl iO nuu • lnw« de tuboc
cqios:to5 ao• atmosf"êrioo. DcYCm 1et íl.Udu alir:t.11~o1.nhnto
dt aumeow a 1nnsf~1 de ca.IClf Voei ~ria fixar ••
alccas dentro ou fora dos rutu:1 Por qul?
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m·K. e tempuannda bne 4()-C. Oc:od"Kit:n1iede ot.n;.kt!lc:u
de mor ê ?O W/nf·K. &tJn'lt a ttmpc:rarun di1 aleu à dlu!lncu de
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c.m e d1íimdro de 25 mm. 1'4!)! attcdofcs. a 1emptr11tu l"ll do ar am
biicn e 4 20 "C. e o ClOC<iderttt de n·11ufcrtnc1' dt.calot por COllfCC·
çto f 2S Wlm'·K.. A área de aupc:rfíçic da carcaça do mocor Cl.PJ"IU
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e fOG1coc: .SS~ de cDCrgia mecâtuca para girar o eill<> de aço 100>1dá\"'CI. ~~Mk1ando ql1c " pOi11111 do rixo de 11çu 1001 idávd tem 1cmpo
ruti:tii:de 22 "C.dc:lennlne 11 tcmperu.curn da Suf!CtlTcic d11 carc1~11 dei
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binada de 20 mio e dilmctro c.x1emo de 90 mm. A 001wllçno 411
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u lllc.11w 4 3 mm f'<l"i.t\to ti4 lSO lllcta:s put n~tro dis tOtnpJltt1cnlo
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C()(l'I cotftcldllC>lie l/llll1<f~nc1a dcC111lór dc40 Wfml•J(. Ddctnu·
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crnrro \la a.leuit ~ a u.ta dit tr•d:cioc:iit de calor a pWtit da
~w e: a c:At.:kie ttnl das alfta Dtiu. vanar adathl• cc.
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ai•• ta <"fK*11• 1tnti:il an lunçio d11d1s!Mx1a ClCntro a cenuo e
d~".-ª t• lbuli:adoe
1J1 Ak'lll (ÍJCIJJatta de mtri.amt:lito de diSmecro O .., 1 mm
• ,ompnn1Cl\lo t. - 30 mrn, fc1w de cd>f\: (.t 380 W/m·K). s4Q
1111h1:1da.' .-1• aun1ir11t11r n tran~fctf!'lclia de caklr a p11nu de oma
aiprtOde m1t.ntid11 na tcmpcrnlura T,1 e 132 --C.:. Ca.dil: .,-a.n:c~ tem
Mii c•m:mld..:.tic ho.da nel-ta s'•pcrfíçie{.t =O), t'oqt&anto a ex1remld11dl OJ)OlllA (J • L)f íl.uid.- 1U1 M'guida lfUpt:d;c1e. 1nanlidaa 7'~
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*' aabre a thfetc~ lk- 111::.mperarura Mra..."'és da t11pcrlfe1e expo11111. do
ca.00 da colher. D:vt~ variar a çonduh...ldade tênoka de 1OWfrn '('
11ti 300 Wlm·"C. bem çOfl)l.1 o comprimenlO de 10 cm a J(l ctn
T~ a di(e:retiça de lemper.\turo cm fuuÇ!IO d11 cood\1t11t1d:wl: .tr·
mic:a e <k> comprimenlO e dJscottt ()$ rt11ul13dol.
J- lll Uma pJ11c:a de circuilO irn1)ftst10 de U,4 e1u de cspcnllr•,
12 em de aleu~ e 18 cm de comprimento a)ll11Úil cm um l11do 80
drl1s lóg;i011(!: estreiuuncn:te espaçados, c:11d11 um dlui~Ddô 0,04 W
A 1lm.'* csl!I imprcg.uad:l com ~ct11;;1os de cobre e tem Cúilltutl\otdade
túu.c:a efetiva de ~O Wlm· K.. ' lhdo o calor ~nn1o pdos tltipi i con·
du:.:ido Ul.nl\-êl! da plmi de dl'CUito imprei;sc:> e disaip11db a p11111r do
veoo da ptac:a p11ra 0 111e:10 a 40 e-e. c:om rotlicicnte de 11 1nl1ifc~ncat.
lk c.,.1.;ir de S2 W/ml·K. {a) De1cn:n.lne as 1empc:r1111uu 00. doit la·
d•'•Ãfl rt.11r.a de cm.'tllto. (b)AíJONI. uma cM.- de alumrmo (t - ".!.ll
\\'m· K) de 0.2 t'.m de c5pdfôlllll, 12 cm de altura o li çm <ld ccmpri·
JtlCllto C:Oi'll 864 alela$ de alumir110 de '2 cm de c:omp1 i mefltO e 0..2S
çm de dllmecro 61i,tada no llldQ de tris. da pl..::1 f.ie cltcul10 imp1'CU'
comade5ivoep6d (.t 1,8 \V/m·Kl deO.olc:tnde~li\lfJ )eict·
mine as no..-.s trmpenr1uras sobre os. dois l:ados da pLIA de n1:1111a
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1
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O"(',• oet\eftc:1r.ntodt: CQ1\\'eoçU0611 = 100 \V/m1 ·K.
(11) llAlll't'Ntea r1111\Jotl(.11) -1\.i)
1~ ;1Qkw1goda nk!J'ecalouk
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liíii ptOIDn•~). trace • CllJla de tr11n.~ firrtnc11 de co lur e..-
""' °' wboli tm fun.;110 dJ d1:.dJscw t 1tl:rc aJ hnh.u dr «ntro dot
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di:«!lnci.t centro a ccntm ce '20 cm. 11 um11 511vfm)(fld.ade de 4,, m
a partir da tupcrficic do selo. no l.ocul mwlt' wa Cll•~tuh~ld.>de lir·
mie:~~ de 1. 1 W/m·"C. Considerando que nll tcmrcnuuraa d11 •U
perl'&:.e ~~ \'ll!'e:l1S ~d() !ll'lo.wlrJ 17.5 ec e 1$ ~. tt\"f'e;U1't1:UUClllO,
de1c1m h.c a 1ax.a de 1t11n11~1 ~11ci.11 dd calof u IMrllr da\ Vllda) «k
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c:o:ire(.t = l86 \\1/rtt·K)cm VC2de .tumfnio
.1 ....a UJIJI ~ qQCntt a lOO "'Cdew ttt rcd"nd pdl
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da •gua cpmte ., pecrom:r es~ so;io de 2S m do cubo
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6 ~ll:bsnudda por tipwna l'1õl&1i1e rl111Jri de 25 mnl de c:•~IUl'a
Deiem1inc o aumttito 1>e1ttn1ual n?•t.Jll.a111e nu valot dei R d• J*'Cdc.
ar.nqllf e~ h.11)Çlo <kt d1lmciro dct 1•Dlll"f oo itnCf\'alo de 0.5 m •
,p111 01 ~'°'1.1 (Ili ttt.ultados.
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1
'"'"1-' 1 ÁJ"• QllC'Ole a WDI kmprnl:U111 lnld:ia dt 90 -C f*"A por
•:ld 6k.,.. de Oito tuboe ~.adot de • m de com.1wuncn10 e dii·
(IA'C
.te=Jo-1... )
_.., aterftO 6e 1 cm. '°'*'Jl..llda w:rt1eslmEotc oo meio de uma
, . . . de conitmo f1 • 0.7S W/nl· K) de C • de alr.tn. g m 6e
C0111f11*9&0 e 15 cm de c"ptaur<li Qm.idnwldo ~ • super·
llckt da ~dr CC*ft'IO ftliO npot.Sas 90 melO • 32 -C. CUD
'°""~ u .....c:ttaól Qk:il- dr 11 Wt..'•k. ddcuamc a
..... dr rn\11 de çü;Jr- • ,_,.-• 'e• qcat1111e e • MmpUlbln cb
~r11<1tdo ......
~12•~
•
11CUUP3-1JI
a
-
Capítulo 3 • Condução de Calor Permanente
~oProb.' 11).~~(C*OUUQ
lilliil S"IP'llll. .-aça, • laU de pa4a. calol-. Mio
an ftinçloda fl""lllllhdldt do tubo.,_.,• taau dlr: lOcra • 2.0
ra. ~OI mui~
J- IJ5 ÁIM qomk a UfM tcrr...,....,..r• mtdli de ,13 -C C 1 Vim
~ mldd de O.• m't. aco. wa~ da tcÇIO de um hlbo de
purdit tina com ' ,. de COIDP"U•nco • d1.Snwcrv C;lkrDO
2.S
cm O tubo,_.. u~ do tmcro dt l*'CÔC de I' Cl'I de &Spe5.SU
n rrccnch,da.
hola.mc de Otira de "Miro (l - o.o:J.S Wlm X)
Cons;ldcnndo que as •upnllcl~ dl ~.Cio a 18 -C. dc:tenninie
~a) a i.u de trtni(fttncla de calor• putar do tvbó po.to o w na~
Al.u t ( b) • qiacda de tcrnpcran.1r1 dia d1u;i ~l\IC 110 pen:c.imr a.u
teÇIO de ji m de CDmpnmcnl<> d11 p1tcdc.
*
'°"'
J. IJ1 Cortsidtte Ullll: UM COOJ tdh,1do pt:a:ilo CUJSS ditrJmil6es
Ula'US do 12 m X 12 m.. AS~ ttfttlll:I da cau lhll 6 rn
de aUa.. As paredes e o tt:lhldo da casa sio farue. de ~ (.t
= 0.7' Wlra•K)dt20cmdeapeAUR. /U ~tftM'111dxSuptt
fica U'lllttDa e CllllCtU dlt casa ~ 1S -C e l *C. tttptttMtnlttft
l.nWIÔIHC cm QOllla 0$ eJaa das bord:a3 dM 5llpL"tfkla 14.Ptm·
tca.. detettnmc a taxa de perda de çaJor • p1ftU ~ Ch&, str.i'Vft d.a..I
parrcks e do tdbldo. QUi11 é o ..mo e1mJl.,1do em llJ'OfW Oll cfe1ta11
das bordas e dosenl0$ e b'llr.at01ttocomoaoperfkic* 12 m x l '2
me as paredcs(Otnô mpt:rfkies de6 m X 12 m por amip!K"tebdc,.
1l CQn!tiG!l'e um duto deçonc~1.., {.l • (),7, Whn·K) de se>
c;ilO b'at1S'>'t:01a1 quadrada çom 1S trl de (Otnprtmen.to. As d1rnen5Õct
utcrn.as do duto 11:io '20 (ln X 20 cm. e: a espessut11. d" pareõo do
dulo é de i c:1n. Considerando que as 11upedicics ir1tetnn e utrmo
do duto estão.a 100 ªC e JÔ 4C, req::«1lvllillet1te. delCnniDC fl IU i
de trnnsrereoci.a cJc:.çalor a1ra1;ls das patcdcs do duto.
H
'.'! -4.-7,l ~W •
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T6PitOS wsprct.111
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O~I o~ ltcll pwtdc!Comodt dlfe-tt da mi:s.-
"'""'ª ooaUna da ,.rftle.1 Con> te rcl«iooa com o fsot
1t.M
O ~ ~ crws~w..Je detiva do ClplÇO dt :w entre P"-
IKll p11•lclot" Cume> ela 4 dercnnll)llda1 Quudo a enusstvtdadf
CfCll'V9' awihn:IJA. QUlllO IC dt:t(OllU\l a trant(tsino11 de ctior por
ruc11.u.,ao 11traYd1 (k) aptÇo l.le •?
A1~•1qe11da~!tnmc11!uru~nu(valcn:sR)ck~U11
1 1 1
$1«1 at ~or11ii;a11 de 40 inm e 90 nun sno apr~ntlldM na Tab. ~9
4.vf11o11 ~uJo 0.22 mJ•-cJW lno irnpliça q11e aumenl.81' à npei11uca
Jl'l etfhl~O ~I0 11r na pa.-ede mal• 'l"'c u dobro niio lcm qualquer efeito
t•)l!Je a 11Jm~rr:1tnc1.1 de cntor atra~-úda pan-:de. Vvc:ê .,ç1i~ que esse
4 11111 t:110 ~Ir i11tapn:l111'iu1 U11phq,t.111C
1.i O coe(~ a~ de trasínfnci.I de cUor Cnlu (/)
di: UtD3 ~ ~3'.bl J10t1 condiçõct de 1nvm:io' U • '2.1' WI
m.t·K. ~ll':l., uma t:un~:11 de 100 mm de tijolo 1 ...1uo' uJtC•Onoda
poin;u1 Cllllennr, de1011do lO mm de CSf*tO de ucnuc 1 p11ttdt
bJOlos. Det:ennln,c o oovo v-;1Jor U da pnttdt. A161'1 diuo. Ckecrm.mc
• Cél..U de trMsfcrtac11 gfur a:1nW!i de uma teçllo do mwu de 3 1t1
de ahur11 e 7 meu os de çomprimcnlO após a mod 1 f'l~. qunndo
•e..
.s cempcrnturu 1n1em11 e ex1cl'M ..aso 22 •e e -25 •e, l't•f1oec1»·
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l l~l O ' IUó '- b:u1dr• raitl.11r)t1,;1 Q...e tipo de m11tr:rial t ade.qu.Jl'I l'fl'tl uw como brureiru11 1udJ:u11es? ~ ,1111 u.~;.,r baae..iras r11·
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llll q\lc 111t1111>ett1h•rn dou no tólk> 6 il mesma que a. tcmpc:ratum
~ •r embi(nl• ern 100ol, o. mumento!I. Ser' qlX: o tt'lhado JiiJM!a
1rm 111Jrum ~fCJtO idlnt a uan11ft1kld11decalor11travé3 do teto? Ex.·
2Sm.
~"de 11._ldr• que d l'OOt.Uufda c<t111 \'1.pi; de modwa de 38 mm
)( 140 mm cotll dlsd.n<:i• «.nlro a C<'DU'O dt 400 mm. A c1vadadc
pl~ur
\ 1'47 Dctctmu111 o valor R ~ verioco faior Ude parede de ml)I
~~:Y
)-1J6 Ásua q11tntc • uma 1cmpcntura mldJa de ao 'C e uma
\tlocld.cle ~• • 1-' mia n.... tullvti da tcÇto de 1' m de ...
rubo QIM' teta dlbwcro t••cmo de 5 cm. o tubo ~te por l
1n .o_. 1mbieftle 1Ci1U do IOk). pc:nc:cno "°tolo (l • l,j Wlm·K)
w:niclkncnle por l m e CXlllW... hon1~....,. pofuncll·
dadc poJ
~.., ~
ao próumo cddk.o.A ~
MÇto do Mio 6 apoae .o• a,tnbtmle a ' "'C. com ooe6c:w:au ck
.,..f'~dcaJorcM?l\\'h• k ~qucatupttffcie
coberta de
3 "C. cldcmue- C.). w.. .....
"*•
•do•
•CIMl'lf
ftCW.
ncu•.t. Pl-131
* 1liO m1n de lar&\1111 tnl!~ u ..,,_, é prcieochida com 1solameni.o
dt hhrl "'"''"'' (li d• mclta). o'""""' i """pbcas de
'"'"°
1k 1l n11n., e •• paredcl atenas ..ao taWas cwn placas
flCURA r l 141
6r ht.w de lnllc.kmll (N~) e UI~• de m.deira clwlfradas
' ' ' Um DllQOC a!êrico de 3 mele diimttt0 cc.lr:ftdo alp11•
~ radia.l:ivos é enctndo .oillllo(1- • t,.f Wlm·K). A dl~
daia aitrc • a:uperf'K:ie superior do wiqoe e• svperf".ae dO tolo
é .f m.. Q,nsidetHdo qae a tempc:mW1 41 ~ dO tan(fbt e
do:"'*> do 140-C e 15 "'C. •c:sptct&•:ldtllllt:. dtectmine • t&D dt
~deQb-douncp:.
de 1) ot X 200 mm. A cavidade llOl.ada rortstJtl.U ~ da jrea
de cak•, ~ ,.q.u. .._e pbc:M: CX.Sbrocm
,..Jl.IO
dr .....
lrK
Jll wm. •
IJ
A~ . . . .dcfi11radcaudtua(cbi i
•)de
- · . . _ . dt f*akdc V..-* ..Jcir1I do f'tob. l--IC1
- I~ Comideft: 11m ldhadopllft0 COMtNM.kl coen \'1.pt de mi•
dora de l i ,.. x 90 m111 tt111 diJdnc.. ~ro 1 CIOl1IO de 400
aw. A par2 dt baixo do ldhad.) itMi acaa.dt eom p&ar.-dt tn'°
de 13 llWD. t9qU!m6 a pertc......,.. OOntHlt. "-:de ......
n
0.166 m'·-cM'). u•u pha de
de ll .-..
ama~ c1ie fdtrO C" - 0.011 ..1 CIW) e: 1llll6kio e• • OJJ09
e•
Trarstertnci1 de C.lor e Massa
m1•"CIW). Ambol P1111ldot d~l scJl'lldo e,.1âf1 cxpo11t~ ao •r pa111do.
O C:"-Pl(C) dr: •r l't1't'-C'ftla 82if da 'rca de er.n~1nlu6o de ca.Jor.
r:nqwinln U via-• e SUJU COOJ.llh1cm l IJCJI, Oetc:mwlll: O valot R
dt PMf'ftO t o btl~ (J di3 tcltw4o. ()('1-\ldttudo q~ o c:i;iȂO de ..
de 90 mm de ~gira e:n1rc •• ~11e11 (••do tim qu.alquel qipafic:.e
rr.f\diva.. (AI) kftl l wp«(l';.;e rdldtva com«• O.OS em wi lado
e(() U:m wps/k.IC' rcllciM!• com~ • O.OS em ambc» • ~
e~.-. te~•• •l'l6dl.I de: 10 e~ UM •r~ de
_....s~-c.,..._.,o1c.
COtn '1:me rcf1c11IYO. Ao dclct'l1nllM o vtilor R dOf ~01 de a-, a
dúermç• de ttmpent~ emre des podi:. ~ co.W~ 16.7 'C,
com itmpetatura ~ do ar de 10 -C. O ~ dt ar C'OR!i:I tui
M~ 4a '1ea ousmiSÂO de ealor. enquuito O\ ipmenlo \'6lW:d e
attuunt!'I simiJ.wes CO(lstitucm 16"K
l- ( lliil Repta o Prob. )-151 ~ qoe: lll!l bdo de •m*
• ~ de • ' mtitido CQID ama. pelk9t. ~w• de: ' •
o.M
..._'mlD
l;>ftttmiae o VJitor- R de
it o f•ar U dr_. P'*
de allnWil qoc ~ MJ $C&..mt:S ~ b,olol l \<tSU . .
lOO-. CQ1ok1s omum de: 100 rua.
de npn.1 n,.- dt
polattUOO de 2S DPl'I e pbcasde
dt 13-.
-..e.
-
Clpftulo 3 • Condução de Calo1Pérmanen1e
probl
,..1 9 Um• l\llrH çiJfixtr.c.~tombmlfvc1 nucl12dc IS mm de
d""*tclfO ' cllVOlto t'"l'll wn Cllfodro ()C(• de ccrlmia ~nlrico
~ d1fnlf'lt0 111tcroo de J.S mm e d.i.iixtro uLemO dt 110 mm.
,_.,"""' ~ de ar enc;~ b hrarni, <Jc tlOmWstfYd e do dlift·
dlo ot'O • ccdma rom coállCtt'lllC de uaAJfe:intaa de CIJor por
~lo. 10 W1m'·K
c:1li1'dro eco de octlDlica tem OOD•
. .I\'. . . . . .mlça. 0.01 W/tn·JC.. e a~ «leml mmáD
o
ccin.-..
~de lO-C CoudU'aodo ipt. t.TS de com....,,d p a b a 11v. dt 1 MWfn', u:tcrmne • ICqlCrllWI u
..,_fk......... d c _
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bo,......
ttntm ~ 400 nun Ne1ll111m lado dOtl «>h1 c111)nçe» de ar é revç,,..odo
li_.,
n
O oocfidcate &tobaJ de Uiln.,fcsfl'lcia dr cakir ~ uou p•·
rede é U = 0,42$ W/m:.•ç Sób condições de ar mlttDO ptl'9Jo 1
externo c:um wruos de 11 lan/h. Qu;il aeti o fa10t U quando a \Cliliçublit: do vento r,,, duplicam?
r,
.as
~1 Duas cuas ,r,iio i~micas, exceto que IL• pal'\'dc!t de 11.1n1
i;ão de blocos leves; de concrc10 do 200 mm. ci;p11Ç(, de ar de 20 1rn'I
e placas de: gesso de 20 mm, enquanto·~ p.irede!i da outra ca~ot~m
roolJuras com o pOO.tâo R 2,4 1n1•tCIW de coni;1r~!l6. Qu1tl Q\il
~od acha qut. é m.ais cfic:ie111e tm rclnçio b e1'1í!ttia1
l~H Octemtinc o >nlOf R de um tdh;11do que consl111e doun\11
camada de •elhas acústicM de 19 mm cuj~ 5upedTck ó recribt1 l•
cOfl'. Jolh.. dt alumínio alwn~1e rcflc11,·a J'*l'a coudiçõd do urver
oo iupooha ar pal'tldo abaixo e acima dai tdh Pll
=
Jtep&aoProb. J... 61 <UKmndoquc acanada•c:at·
drio de 0.25 m dt espa.:san funaau.._. ,.. supafkiie\ ll*'lftl e
Qlc:lm do Ilibo
Ãpaquimiie $W
""lnodldr media de l.S .W.....,
vbdcunnlbodtfcnofuedido(t • j2 \\f1h Klwr.•d•.._...
llllCrme C'.llm!OÃO 3 an' J.S cm.~ O 1..
~de' wm seç:5odr. 1$ .. dr~.,...,. plflon,.
femp:rmn é 1 S °C. Coal.drr..oo q. a ermprra111n i.t. 'ciu a.
de 70-C para 67-C .,,..... pelo podo e ocotl~ioee11t de n •
fct!nt.ia de calor tobtt. a~ illfffn.J. i.t... tubo
W/mJ K,
determine o coe(w;Wntc cttnbi IMldo de l.fllM.l'nfnc ~ de color P<1f
coa~tt('JO e ~n:i. ~- nM:m~ i.1.>tubo
Ocotfiacnle,-1dt...tmaaad<alo<(•.... Ili•
pude: t:Ob ~de~ dr tm>MIO i U • l."6 W/ra •lt
Ot..'1C'.Doe o valor- U dai pcartdt IOb coo::liç'Oe$ de (lrOJdO dt: "Cfto
)
Ottttm:i:Dc- 0$ \<lJOtU de R de ttdo ~ de lll\'trtlO. t.lll
m'·-c/W. da~ de afveipna que comistlc ~ 11)0lol l \obb dt
100 nm. lltpma:SAdcl"lmttlfOdc ll mm.blOOOl kYc1I dec<*1do
de 100 mm.. esp!IÇOdie: ar de40 mmt. placas eleges.~ dt 20 mn
1 1 Ottennt.. o v11to1d( Rde llw1tt1M>e~ o h •<lt U dll patedc de
c11...ld.-lk11 de al ~~ria que crno.IJ1te de 1yol.,c comu1n de 100 mltl..
etipll~"'() de ar de ílQ mm, bl«o11 de. concttlO de 100 mm fe1to,. de
aa~'odrn; kve11, erp11ço 1k • • 1Jc. 20 mm e plM:IU de gesso de 13
mm ae1)111'11tdJ111 di» bhl001 de 0011C'1e,o PQt' .,..lgamcnlo vc1tiçal lle 20
111.n de e1pr~11m11o(I 1)()1 X 3 pol 11omln.ib), 1;0J11 dl•tdtida cc.n1ro 11i
V•pnri ptOOuxido rKltl tubos de cobrr (.t 3~6 W/m•'C)
do om Lt0Cado1 de ra'°' 1 uma 1t.tope1-a:1111.. de 140 e r<'• ou
cro flwdo oondcn111111do sobtt as Slfperll\·.a c-xterN11dos11;.bo.. •
11$ °C Oi di.âmr:t:mt 1111t-no e eJ.lmM> do t 1bo • 2,S cm e l.3
cm. rc~'al1'11C'mC. Quardo o uoeadol dt tit.loi era f!0\'1), • tul•
de '131Ufcrêflc•., de ca.Jor por tt'IC'lro ck C'Oll'lrnrnrmo do 1ubQ a ..
0..25 mm (l = 2.9 W/m•-C. lldemuae •ta.la de tramft'Mkaa dé
calor por mdtO ck ~do 1ubo ~ UM1 taen.d.11 de
eak::lno (! - 2.9 Wlnt-°C)de 0.Jj .,.... dt UlpC(M'I a1J t'onNda
tol:ft a sepc:rflcx: is:ma d> llÍJO acJd6 O U10 prolonpJo
o, - 13111111
O,• \jmri
O,• 110111.11
lnlõUU, J 1
1MI V.por ílul Cl'll 111\l sb.tcmadc ffqlC<.'iOlCJUO :Unt'i4de l llbc.>$
cnmd1nmc1rotx1cmo de J 1.111, e 11.-• J>",rt:Cb silo mantidas na Lcm1>e·
rn1u111 ~Ir 120 "(;, Aklus c-l~ul•rcs de liga le-.oede (A - 180 Wlm·K)
de diAllll:iro t.J11c 1no de 6 un e ~~1:1enunu:oustante t = 2 mm e.~t~o
llllJ'lllf .. 111bo. cocno mo~m1do 11a Fia PJ..160. O csp.iço entre u
11leca11 .i l mm, p.-.nanu.> t..6 200 11ktu p>r metro de compnmenlo
tli.l ruho O t.tlOf 6 t11u1~fc:11do fJMfl o aT •ltb.ieote- 11 2S •e, com oo' ' k""Mº do h"10J('1tn1,.111 \.li;; wlv1\..Vrnluu1du l.le 60 Wlm'·K. ()el..
ln'lliJnt o •urncnto da tt11n11fcrWeia de cüor tio cubo por metro de
1 ll'llflrlmf:n•o. oomo rc•uhMlo d11 adição du aku1i1
'•
'
TuboS de ~ln rcçêm-fnbncadoiJ do 1ct11lmciuc çUlll•
dOIS pnmcil'O durante um11 aolre oo Vll&Xlf' ci.
~'" 1.1111 fcwno de
ÇIJTd manblJo a um1 ti:mptnrura de 4j '"C, e dcpo1, por 11dt1l~ dlu
fora do forno. o color e li. ll1l!d!ldl' p:ua o forno ~o fornttldw rcfo
vapor q1JC- flui em um tubo cujo diAmcrro tllliemo' 12 cm 0111111.ie 11
t!UfleÇliô d:t rn~tabçiit1, '-.:nfleo1t ~ <1ue o 11100 1)15.RI por urn11 .\C:'ÇA0
de S m 1ornlmen(et:X]Xl6ta S> ur omblen1e., a.111e11 <IO ciita.v MO h'f00.
A11 modiç1iic:11 1)1: 11:rnpcr<11mn 11'1licnm ql)C a 1e1npcnmuit mcSclhl da
supedkte cx1e1t111 do tubo ce vapor é Cjl() "C. (f11.11MSo 111 tl'm1xn.1t1r.
ambiente é ff ~e. O ooclicieue combinado de u11.n~erf:nd11 de cn!Or
po1 co1we~110 e rndluçlio 1u si111C1ricte e,,ltn1a do tube> i cttmMllSo
e:m l5 \V/m1 · K. De1enninc a qunmidade de co)oq>ctd ido a 1»111h 00
viq* duran.1e o 1>nJOe11!11C> de à •rs ác 1OhOIW •1M111da noire
O vapor é fornecido J>Of um genulot de \'llp(lf' a ih C:(lfl' cfJ.
c1ênci• 6c 8S:~. e ii u1;inA pna:a USl l,20/1hcm'
na1un1I (l
dlC!m • 105.500 tJ). Se o ttbo fCf ooltdo e, como 0:11ullldo d!no,
~da perda de clllor for ebminad.a., de1enmnr a qua111la J)()UJ)I·
da em um ano como rcsuludo do 1i0lflrnc.nto dOll 111~ de
Suponha qoc os cubos de ccnctt-to do ruradín; 1t O11C1o1tct p0r ano
& 1J1bdf!IÇll suas uipõt>~.
•au.a
de•''
.,..por.
r.-1-c
"""''
llJ(WI
r••"..L
lo----··---~
flCUUP>-180
n. •
Tf1n1h11tnc1.1 de Calor e Missa - - - - - - -- - -- -- -- - - - - l--1 J C(ll'lawjere utl\I plM'• de drcu1to mul11c111nada lk 18 om
x J8 c1n d.inip111do 21 W de c.1\ol, A r1-.1 '- compoll• pc!I' quauo
g,nl.lldla de 0.2 mm df: t1ipc1,aW'a de CQt<i-e (l - 386 Wlt11·X)e trô
eatnadu dr> 1.5 mm. C'f>Ct•Ul'I dit \'ldto de epóAI (t 0.26 W/
m·K) colad.. CID COl)JUftll~ «W!Ml 1DOl&ndo D1 fi1w1. A pltca de
c:wc..io .U. ftudl llO dí~\1padol caJor em ...._ M ~·
dei, e a CCll'lpn'WI ... dil p&aca ICt.Vlto c:-.trmi.dadc::t '- )$ "C. O çaJot
1. ICf'ldo~CC -~~dl pl.-adecphi awMl.IU
dr: O.S w par t cn x li cm de...,.. de eop6.\j (ou l .S W por tn
ck 1 cm. X 18 na dl pba) CoMidctwlo ..._.. • J*W da pi.ca
por c:aa da wflldn.a. ddcnlmc a ....,.,. . e•~ da
~ mWmAqw Ot'Orft . . p11ca.
'l'M' • U'Mlllife..
fhcla dt calor a ,an• do k1f10 e do fundo• pa..at de-pruhd
=
*
e...,._
dccoin':~la da i.nsta.laç5o de WM bam:1111 M) 1cdot do tubo <IUI' Mõ.
queia o ve:nto.
li.oi Uma parede c;lie 6 m de largur• e Um de altura' eõfli,.
1r'1fda com~ de tijolo c:ornum (1 - 0.72 W/m·K) de 20 C"l'll
de C$J!C$Wr*. wraacamad.a mltnOrdt ge..so leve (.t • 0.36 Wlm•K>
de 1 em de cs:pe5qn e: t1ma.CUDlda c.x1cm.a & ~'°a '-e
de c.imc:Mo(t - 1.«t W/Jn·K)c:ern aptim de 2 cn A ~fk.Jt
mtcma da pwtdc é malll.ida a 23 "'C. qq.....-o a tuperflcie o:tet
.a M exposta . , at lh-ic a S -C. Q)d9 ooefteitae ~ •
nmíatonadtcalorpor~cradilç:iodc 11w1m1 Jt.Dc-.
tamu1e a w.a de ~de Qkir 8'm-ti da p."Cdc e• cprd.
de tmlpCnbln am~do ~do njola.do~e: ~
awpcrfbeco•~
,...,., ~o,....~168..edttr,...elHo&s•~
f*1: dinu:lms a puda de Qlor ILW 90lt,. PWrai a tDCmlll IE~WI
-
'-" 111
j.- t
Ull'll fikiH de 10 tubot partk:IOf com S 11\ de c:Ompri.
fl!Cfttl> ~ chlmrtroutcmo de 6 m1 t utiliuld1 pai' o ttan'pone de
v•pol'• 14.5 "C ••r•,-l~do pi~ck coocrdo{k 0.75 W/m·K)de'
uml
dt 10 rn X ' ,. nu.ndda a ?' '"C. O c:oc:fiç~ ClOmbi·
11111Hofftf.ncaa dia alof" por~ e nida~ ao piso
'12: Yi/fll K Se• ~tllUa cll MlpttfJoe do puo de~
• fot MIJIC'f10I" a )8 ~. dctcname c::m c,w: profuocbdadc os ru.
.,_,. • vapot dew:r11 Jer" en•mtdos llblUo da superfkiit do pua
rlGURA l'l:t llo
·-·
1i.----1•-----<11
At axi..bctooado fno • 12 -C n1i Rui• dcolro de w.m
"" 1fl6 O t1t11;Jl\a de 1u~1laiçlllo d& uma e111a en'lolve \lrtla seçlo
de(),$ m do 1ubo pld~tko (k 0,Hi W/m•K} Je diimeuo ln1aoo
de '2 c:m o 2.4 c.m de d14.me:uo Cll.lttlM>, t:).po11ta uo •r tmbicnte-.
Ouranlc \l!lla llOÍIC Írlll e VClll0$11, ll 1empcrotu111 Ju ar 1mtiieiuc
permA9'Cct cm ttrtl• do '~ llurnntc o }>(':•iodo lk J4 hora~. O
ootl\cic111e c:omblm1d1J dl tl'l1l1<(c1tnc:l11 \ICcalor fK>f convccç.fíu e
rodlnçlu i.oh1c a supc:rffclc elllcnu1 do lubo 6 ~umndo cm 40 W/
mJ·K, ti o calor do toUdtfH:aic;Ao dl dgva t 333.7 kJfA;a Con11ideríl11do que o tubo ccio111~111 'aua 1)CrmanCJ1le, lmcialn1c1t1c a O~
ckLcnmne fC\ 11 tgu.a. 11C~;.a •cqOo (IQ tubll, c.'oogclwit co1np1C1iut•I!•~
du.10 qll!ldtado de ahlmín.o {t - 237 Wtm· K ) dr 1-' cm deu-
iººº<\l~.9~º
IJ•&tlll
,,.,.Wlll.'.reto
Unta pl3C8. de amntO dt 0,'2 an de cspc•:Sl.lD. 1O CG'I dt
tran.sfcrênc:ill de calor de 45 W/m1•K. (a) Dc1.enniM H ll"111petah.1·
rH na supufkie dos daí$ 13dos da placa de (tl'Cuha. (b) Agon. •
chnpadc oJumfnio (k • 237 \V/ro•K)dtO,I cm decspcss1111. , , tfl•
de o.ltu~c. '2 cm de comprimen10 com 20 11.le1udc: 11luintnlo de pct·
Ili retangular com 0,'2cm de cspessu11., 2 c:m Je camp1;rncntc> t: IS
cm de lu.rgurtl é fixada no fundo d:i placn d.e ci.reuilo i mJ!"('s~ com
odc,'l:i\>O de.cpó:ti (t • I,&W/m·K)dc 0,03c:m (lee~pcnura Ocle1
mlJic as D0\71S 1emperau.1ras $Obre os do.s 13dos da placm de C11l'.\IÍIO
=
..a.
...»de
•~ e. 1S cm de c:ompnmcnro COlllim, em \IJll bdo, compoclnllfl
cLeuõok:os q~ dissipam uniícxmel't'lenr.e a tua to1al de takw dt l~
w A pl*=:i. é imJ:WCtD,.g com. ttiebriO!I de metal COftllutor de co.
du11vkbdc térouc:a efetiva de 12 Whn·I(. Todo o calar :c:llldo IM
compoocnu:s l coodundo atr.nia dtl placa de c1n.:u110. d1~a •
parllt do Fundo da placa p:ini o meio a 31 ºC. com oocftc1c1lle de
Repila o Ptob. 3-170 uw.ido uma pl11ea dceobrecom ale\'C'Z de alwnf.n10.
i•• ele wbrt (.t 386 W/m·K) em
da supar.cit iolcma,. de&ermille a~ de i:iCbmictllo e a.,._
peraran da 5'1pC'fficie aw:nui sie as pattdH do ~ ~ C.,
npuma dc.poliJ.tmMO(.t • 0,025 Wha·K)e(b)fibndc ~âo(t
- 0,0)6 Wlm·J().
.l- l 7ti
_______ea
~
p;_
1u
_1o
_
J_
• Conduç.ão Oe Calor Permanenle
J.. 1~ J C'o1uldcre duu pcs!IOl!I 1dlnuc:~u. c:IM!a uma gerando
c:o11 ~tt111cme:n,te 60 W de clllor nicubólico dur.uud um lntbalhote~
i.le:•mtrio. di.u1pe,Ddo·o por çoa,·cççlo e tran11piraçi0. A ptime:l.rn
~~011 t'~td "'"' lndn l'OUP"~ d!:: c;ouro (k
O, 1.59 W/m·K) do J
=
mm li~ t~1:1euurfl, que cotwm t11e.t*k ~lo c;OfPO, eoquanto a .se·
1u11\l• eu' VC!ilmdo fUU.1)11!1 de tecido slmétloo (k-= 0,13 \\'/ m·K)
d(' 1 mm de ~ll•u.ra. q1.te çobt"cm con1plctnmt111e <> C"Qrpo. O ar
a1rl\\1t.n!o e~1 A 11 30 "C. o cocfkicotc de tran1>feretlcl11 de calot 11.11
•upc1fl'cae Cllltma ~ I S W/rn1· K. e A tempcraitvrn d11 scupcrtlcle i.11.·
1.:m11 dat •04.•pwt 1>0C11 M:I' con~idera11f• 31 ºC. Tn1lundo o oorpo de
e.d• ~f(lll OOllló acndo um cl 1lndm de 2:$ c:m de dilmctro e t,7 m
dt oon1p1f 1n1et11(1, dctum.inc u f111iÇb de calor pel'didc) pela l~n.s-­
po~•o dcc:w;i. ~~ .
te naq:uiela nirntc
~ 1"".a
Uma p;1ttdo f.lo' m 4c tllttra e 6 m de comprim~n,LO l
(UIMl!Ulld• por duu arandct rlac&J groilli!l de IÇO (l = 15 Vrl/m·K)
Jr 2 "" lk cspc.lua. ~'11.b' JK1C barrai de: ~ de 1 cm dC' cs·
J>l:•....,11 e 22 cm de largwa. ooloc1d.M com 99 em de 111tc:n"ho. O
flt.1)1\0~U&IUt .:nlJe ai plKU de "9Qi pmeodudo oc:wn ''°lante: de
f.Mi de \'1dro (k • 0.03S Wlm· Kl Colllidttudo que a d1fet't:llÇI
dr kmpct.ign cnUe ~ mame cxtrma das patcdes'
ll "'C. *1nni• a tau de IJU<fc:rfalctl • c:alor ~da parede.
~ ... ~ .,..., • banudeaçic>t'Jltce'•.. chllpu
liJ,c da b-.f«MN de ctlol". \'Cl qut: ocupam lpCMS ... da
- . • lrlbee.tlaa. cal«'?
ª'
..
J-161 Jtqi.u o Ptob.- l · 166 pwa o e.o dt . . eotOdimoe •
h'mllr.:r&al etc cab de 11 W/W· te klbtt: a IUpCICfbt c..ucma.ffl
u.-..
f
''3-'lO
pessun C seçjo uansvuul ilueru de 22 c:m l( 22 (na, (Offl YM4o
má.uica de 0,8 tgfl. O duto é ~10 110 • • 33 "C COl'1 coer.:.tntc
c<Hnbm31;1o de t~Mlnfl)(líll de c11.lor pot conw<('çiio e r*'1u1çj0 de
13 WlmJ•K. O codle1en:re de 1ra1Hrnfnt1a de aikw par con•çlo
da sctpctffde intttna ~ 75 Wlm2• X. Coni11dcranl10 que a ICm.ptl"ll
turt: do ar no du10 oão deve lltlmc.nrar mius de l ~. dc1crnune o
compnmenlO moiJUmo 00 duto
\-111'1 Ao an:1h•11r • 1 rn1111feo~nc:1u de calor Dlr•v<:• tkj11ncl••· d
imponarue considerat a nloadura. ~m c.•110 • a 11,.-:t1k1e do vldl'O
Considete a j.anc:la com moldun do m~de1ra d~ 1 m de lhrr,ur11 e
l,5 m óc t llur. com 8Sll> d11 su:pcrfJde c.00Cn11 pordnko1)31ncl do
vldn> (k • 0,7 W/m•K) de 1 mm de espc111iurn A moklum, leha de
pinheiro (t = 0,12 Wlln•K), 1em Sem i.Set~1:w.11~111-n Ococf'tc:tcn\e
de 11ansíerêaci1decalor61 Wfrnl•K no lt11erlo1 • n W/m 1·K flO
e:c.tcrior A 1'<1111 é m11n1id.a a 24 "C, e a 1cmpcnuurt oi1ern11 d 40 ºC.
Detenmne O t.rT(l ~n.-enr ulll en~ol v1do r111ransrerbc:l11 de cak-1
quando M: prcsomc qoe a ja1~la .~eja OC>mpOo.lli •1:ir.nlt' de vltlro.
J-171 Vapor a '260 ºCc!id fluu>do dtnrm de tinl CUbô dl 1190 (lt •
6J Whn·K) cujos di.imtcrot i.n.1cmo e externo do IOcrn e 12 c-111.
tcSpec:CMme111c, oo ambicnlc a 20 "C, O!I cocflc:lcm1t• de crtn~ro­
~ncta de caJor i.mt.JN1 e ex1e1na dn lubo
120 Wfm'·K e 14 W/
m1· K. res;poctivamente. Dtttmútie (o) a c~l:1Uiur1 da Cllfllldl de
.ao
iso1ameoto (.t = 0,038 W/m·K) nocesdna f*l'l rtd1.11u •a Jlt:rda~
de. caJor cm 9!i-. ~ (b) • espcHura da ttmldl de 1JOl1mtn10 oe.asdiu para tedum a 1e1npem~ra OI ~pcrfkie ü poi.l• do n1bo
isolado pan ~"'C. por r8h1es de scrwança
~ 1 "'1 Quando o nanspom de "5 nmnJ tM am oleodwlo do'
p.' pntnt:WO liquide.to
ac:aa ele - 160"C e dtpou ~.tona tuquca c::tpCOahco\1ÜVd px RlÍ!CI~ oo own, o
_ _ __ _ CapítuJo 3 • Condução de Caiar Perm.t.no!'lle
Trensfertncla de.C.1011 M85$1•- - - - - - -- - -- -- -- - - -- 1e flo(ll~ rol~ cm nav"'"' ("om.ldc1-c 111• l.lll>qllt esftoco de
.em de di.lmcl11) cheio de pto t1M11ral hquefc1lo (1..NO) • - 160-C
O ~u.:.no i ~'.JX*O .o ai ambiente• ?4 "C eo1n oc:cí.c11t11le de
ft'llll\letbc1a ck ai"' de 22 Wlm'· K. O ruen~6no 6 uma c:HCll
fiflL e: .1111 ICl~'l pode W11 lolMdl (l()lml) laldo 1 memia que a
1empcnNra do l..~ O ttiiMMónO f ,,.Jl.ado l;{lld 1upc:ruolamen•
todc 5 '111 de~ t ooMitcrvtdlda lb'1luclo dCIJ\l de O.QCXX)B,
Wffl\-K 'nllMndo 1 ~•o c-.aor ~15co ck l.J'O a.io
tntdo415~1 c: l .Cl5UJ\a-"C. ~----awntOltm­
ponroc:oãnOplR a ~do t~ Mà1 pllf'l - ISO"'C
.). 119 l.hM ..,_rk;tt queMe dt IS cm X J0 CID a IS "'C ~
~ ('tÕnall llh\Udc a~ds .....,ti. • lJ7 \\frlt.-K) cora4'
cmdc~c:a-tc:\ao~~-1-X
2 m A wmpcn1•• . . . .ctn......, f 1S ·e. e o codicit*- dt
tfU!ofccfnc• de Cllb ... -rrrfko pode. ..a ~ 20 Wf
1111 ·1t~q.t•W..dc~-.... caklr.perwda
~kw qycue drw • ~· dieW1llUC o ..moo dt aktàS
~lmt (1.w} Qwll é a lCUlpet11lura da 1~1perl!tte tntema do djolo (l)
quando
20 "C e r~ 15 "CP
r, -
=
o l l
)
111 , Uni• h11tra de 11 em t.lt Ct"'11)11.1ticn'o wm !'CÇio ausvu.,.1 lfllldraJ.a, tOfllO • llM.ntJad• M Fig. PJ-187. 6 c:ofli.liluida p0r
f#lll*1llldllderobrc (Ã' - '8()Wfm·K) de l c:m de espessura e wna
~~ cpt.r.i~pos.loC.l • 0.4YNm·K)de 1 cmdeespcsswa.
~kvk 1 "'' dC" 1111u.fcrtoc-L1 do «Jor tob força mooU. témllc:a ~
a ~iO da llU~ft:rfti,oa de calor 11mdllDCIWoraaJ
~ 1 C•) dl frtllle Pll'l ~ (Oll w,11. ao >oaio do OCllrlf'l1
_.io). thl dl nquc:tda par• • U1t1 e (e) dtCllm p11a tieuo.
'° "( ......
••
45 \V/ml·K. Considerando quo a eondu1i1F1d1dc 1~1mka t.IH •klu
é. 230 \\'lm· K. ~a wade trndrrt1-=111 de aikv • J)ti1t11 111
úniica akt• to aumc:mo d! w.a ~ trandcdnc•• de 1,:1lol 1)1()( nr de
úea de superfiàe <>0m0 rmdlado d1fiuçlo111.• 11e1,. Supoohi
qut ld 100 ale!M pc)I nl' dt W,:ie11ic1c: d• jru
~ 191
Akmdttubru de K!ÇIO ll'Uli\'C0.:11 urufonnt, CClflll dll
mecro de 10 mm e c:o..pnmc1110 de~"""" do fi.-tdlll nn u1n1
pwede: C'Olll lemp!ft!llta ea ~ie de "6 "'C. A~ alda. \lo ia
tas de IMlk'.NI com ~chidldc lbmta dr 240 Whll•K e . .,
~ao ar~ condl~dc 2' "C. c o codklftft*
~de<alorpor~i2$0"°.-..' - K ~a
-.. de tramfclinca de Qlk., e hCC • wn.ç-lo • ~da
1
b.c:adcaa.-.•tqulllft~·~
Cl)Alc<a-loop
Cb) " " " ' " ' - - " '
(e Almtod~oapo.r.adrl!IO-C
(d} ~mpoeuidima
q.tepm:wrotafi~
li.(91 ~oProb..)....119 ll.-loEESCouOl.IQ'O
,.\-
li:il P")lfll.m•), trace o nu.l'Mro de ald.M em l'unç-lo4o
aurnc:nlO da ('ll'nt. \te talot «im akl:M cm R'*ilo ao caw sctn •
1a1 (1''º é. a cfi1;.t.:1111l*I dM aldM) no 1t1*"alodc 1.S ias_ Dtseu1a ~1lt~ ~ çcrw a_~urrut llUI- o tocfl(ic'ntc de tramfcri'.,..
eia de Ui.lor _, n)lntco\ COOJtDntc:.'~
IM 1 Un1 rc'tt~tdtlo tJitadl> t utiUt111.líJ para equcccr 500 tgl
l'IUl'I de llOlllÇl\O 11qOOM. t :5
pot (OO(lcttM!Ção. \lllrifl(W $fllllfadO
nu CAml.a do l'CM::rvMOriu !!Me p<1tlti fC'cbct 6.100 q de 1oh.çrio
aqoou. me/; f(lbt1c11du a 11ttlh de p$11Crul de aço (ll)lfl 1q, (lc corb<wio (k ... <ll Wlm•K} ~ lS mrn do ewc!)su.ru ~ 11pn::1teoU1 4rea de
1 mn11fa~nc111 ck cnk>t de 11..0 ml Oooctkiclllfl de lrunl1:fetfot1" de
°'
·e
1:11i10f devido b Ajl.1t11çt10 i !1.5 k\V/m'·K. IL._, pa.1!io q11e acondcn:s.aç!lo
dO VO,ptll' (1 11 $ ~ !la C4nlll~li ((llTICÇÇ 0 CCICÍICiCOIC: de lrllJl~Íefênda
de .:11IOI' .te JO.O k W/lu) •K Tochu a& l)hJl)llCdai.lic• do 11oluçfto aql)(twi sno COlllJMl-Ydvci.J bt (hi .61u11 J>'I,., Cal~ule 111c-mpctAlu.ro de s;oCdl
do CSOOAn~nlc>tm íundciruu11e1110 penn11nentc
lk;' Um 1anq:uc c:1Hlldtlco (!e 0,6 m de dli111cuo o 1,9 m de
comp11in1c1\lo coote11Jo 1d~ n.n1m'lll llquereho tONt.> 11 - l<:iO "C
é oolO<lo.do oo «n110 ele ml\11 b.11'8 &6hd:ri qw11.t1.0. de l.9 m de
comr11mtn10 e 1,4 m x 1.• rn. (c:11• lle materi•l l!i0lao1e oom t
0.000'2 Wlm·K Se. tcl"lpcnlUf'I da i.upetU'cie CAletU da ban11 /_
12 "C. detninlne 1 1ao de lreni.ratnda de c•l<11 par• o tanque
Além di\'°"~· i.leectmJM a l-fll11>ctlllW1 do GN L 1pôf: um dl. Coo1il
dcre • dctlsrdadt: eu calor cspccal'lco do GNI como tiitOdo 42.S \ti
m' e ) .47S kJAa•-C. r~pot'lh untak
M IJ Uma Upta ~da parede de w• ech&no t. ~ N
fi&. Pl-llU. EN~ eMcl'IJc...r:,,... deotrO e ron dt folha t>:
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kl•dcl(O(A.
O<
K••medcMlc.(la) X o.sc:mcl..a). O
• O.Ol Wllll•K) tnrddo &mtCltJ >t 60 cm e/.,.). A pMtdc mtdU.
Ide pbitadt p.oCl • 0.$ WIN·Kfde l Clll dt d:f1CMW11{tu}.e
a~c.\.,..,dtt1)'h(l • l.O'Wtr.·K)• IOcackC5JQ-
1
Daak:W rnangut.vudtahlmímo(t = lOJW/m·K)do
~ada& na supedkK plana e.m:nu dit um cfispoiMll~ cld:r6mcct..
Cada alcell rt:m 100 mm de WJirra. 20 mm d< altutll t 4 mm de Apci3UIS. As aleia,. SllO plR]e.l:U Cl'llJ"C si «Jm d1SlftOCJi Citllll'O 1 cetl
tro de 8 mm. A tcmpmah~fl da S(lpcrficse cue:ma 00 <lli:põl"ltiVO ck
uõruto i n "C. O :ir esat • 20 "C. e u cod\tkote de. 1mnsfcytnc111 •
n.lot é 80 W/ml•K.. OC'tcnninc (á) • tlllla '1e ptotda de c:ldo1 11 r:-nU.
t.10 di.s.posiU\'O tl.ctróoiçq p:ira o or antbtl!ntt e (b) a C'(tt:dd.a do ».kld.
-~ui-
A pnn:de de oru armazém fr~gormoo t«n 10,0mde11111111
e S.U m de largll!ll. A parede é feira de uts c:a1n.adM' 11.lmní1110 (.t •
200Wlm·K}de l.Oc:mdeespcisura, fitwadevidro(t .. O,O)lt W/
m·K) de 8.0 cm de~pessuna e pl:ac:is de gesso (k .... 0,48 W/ln·IO
de J,() cm de cspess.ura. As tc:.ml)etatwt111 dcnttú e fora do ~1ni.a1tm
uo -10 ºCt10 "c.1c:t1pectlv11mct1te., c o \'Olor ~d1fl doi ct)(:íl•
eknie5 de transfctinda de calOf tJentl"o e fota 8llo 4-0 W/ml · K,
(a) Calcule a tuxa. detran~Li:1'61~la de calor fUtaV~i d11 J»I~ io
umuêm em funç10011met1to pcnnane1\lc.
(IJ) Suponba que400 patafuiOSde metal (J-
=
43 Wfnt•K),
de 2.0 cm de dl.:lmcuo e 1?,O em de oompn11lrnto, do
uti1i:Uldol para apert;ar {ou se}a. man1e1en1 COtlJuolO} íl
parede de nb cam:wb,. CaJcuk a lAU de 1nn•ft1'!tlcl1 (tf>
caSoi- pan a par«lt "pvafu$aJa••.
(C') QiW é• alt.ei'llÇAo p::rçc:ntUaJ na tu• de tn1nd'ttmç.- de
calor m:núda pwtde~idoaos parafuSOtide 1~.&11
l--
u.- wiquc:C5ftnrodc11ÇOde 2.1 mdcd~rodlCioM'
'&1a c:(lílt gdo •o~ i c:nlCmidO t1a mn local oride a oonduti"lllldt
tcm»CI dolOlc>i t = 0.,.SS Wlm·K.A dllo1Wtt cnU't o c:rMIOdoi
taftlJllC"Ca~di>toloi2,4ta.COM-' . . . cp-1~
an. da~ do tolo'- l i"C. ckunniae •..-.:a de uWbf~
de calar s-e • ig.a (.'(li) J.do 00 t-.c ~ wn.. MI&~
~ a ~do :do (ow: li "C e a si.pcrCllQt d6 tolo ~
i.soilrda!
•
r.i
J.
l.T
!
t*B U1n R1C1pi.enk C$l6'1co de l.O m de diâmetro (espessura
J1 p.rcdc: 4,lr!!C"fU(ttcl) f !dado ..,a armutnJt liq1u<lo ;a u11Y: tem~
prl'llNr• ~O -C O te1:1ptenle Hl' çobcfto com uma cam:idJ: ~
1 1Umr1u~
0.20 \V/m·K) ~ S.O cm. de e:ipe.n1J11L O ar oos
.mil·•~• 111td ll •e, 01 coclkicotc• de 11ansfednda dd cál°' in·
trino e nletnc> ~no 4() e- 10 W/m-·K, ~tiv1unc:n1e. Calcule (o)
11,.l,1\ 11• ic•bten1.:in «cfrmicUJ. cm KJW. (b) 11 taxll pem )anentc 4c
l11n~lrn!:nu11 de c.'ldíJI' e (r) • 1.híct1:nÇJ1 de. temperatura otra~"dJI da
~omucJI llo lwlon>l'nto.
<•
' 1MI Un• 1• •cde pl11011 com 1cmpcs11ttu11 de i;ujXrllcie de 300 °C
( lm,ida ~ll alc1•' de :ilumtnlo 11i1111g1.ilar 1d(1 (.\- = 236 Wfm·K}.
"-' 11k11" ~lc> ~~l}l)))l at à coodiçio do ar 11mbicmc de 2S -C,, e n
u~hc:icntc dit 1ram.fel'tnc1a de- c:1lor purçum-ocçio é '25 W/mi·K.
C11da lklt lçm OOflll)rimc.1\10 de j j mm. tmc de• nu.n. de C:Spc:s,"IUl'I
e: h111ura t.le 110 mm U111ndl) a Tab. 3-4. ddcrmine a cfici~nci.a. a
tl'I lk IT1J1 ~fc~1Kia de C.l<W e a ef.ckl• de c1id• 11J~a
flGURA
l-l•n No pl'OQCsSO de geração de cal1>r e t"ncri:h1 combinado•
(CMf'), o subproduto Cfl!or é ulmdu 116111 11t111rtlirn:11t11 \lomc!111lco 011
indus1rial V..por qi.entc ó produiido a panlr d11 plllnm de ccsrsnçto
('(11' um 1ubú{;õm dlârneln) il~ 127 mm i:c111r111Jn 11a 11ea;no de bt;1n,
.sólida de oonm10 1ra1ucversal quadrnda, (011\ 001td1111.,,ldadc 1~rnl.I·
cn de 1,7 \\l/m•K. A 11:mpnt1hm1 d11 i;upcr1Tdo do tubo cl CQllJllU\lr
cm 120 ºC, enquanto 11. blltlll dt coocicw quadrnda d tXJl(llJltl 110 111•
oom 1emperAt~r16e -S-C e CUC"fK:1c111c de ltnn~rerfnd• do c11Jo1
p.1r c<11h'CCÇIO de 20 \Vlm1" K. Se a d1fc-1er1çu de IC'mJ)fJ'ILIUl'I cn11•e
a supcrtidc e.ucnui d• barra de oc>ncmo qu•dn1da e da •f •n'lb.tnlC
for m11ut1d8 11 5
detennmc: a l.t111u11 d:t ~ln de a>llCT'Ckl e a lao
de pcn:la de calor por mcuo de comprime-mo
•e,
Ar, 25 "C
J•-2lWlm'K
.. -110111111
191
'
Capitulo 3 • Conduç.to de Calor Petmanente
º'
P1oblem ... Ili ~·
•
h11111 () t dl l' IT.. til
~ 1•' Calor d J'ICl'Chdo • \ln'll ..__. de 27S \V l)()r m' dt Afca de
paitdt dt IS cm de ~ta com COllJ~t~ldaclc tb'nuca de l =
1,1 Whn K.A queda de it•npc:ratun • •niW. d.t pVO.k t
l•l lU 'C
(à) :!7J 'C
«)16.0 'C
!Jl 8.0'C
l•l•.O'C
-dt. . .
l- 14 ("on~ 01D1 putde q~ conM~ de.._ umadas A e
8con1C6wp'*'\'&lotcs t 4 • l,2Whl·K.I.,., • aao..t,.: 0J.
Whn·K.t.-S"" S.t~de-...
é
ll'"'C.• laUdrtnmlatnc.. dtcab . . . . . . pucdit
'*......
dede-•.....i.•
{o) )6.IWIN'
lt) 72..IW/m~
('> 101 \\IN1
(1') %70Wllfl1
(e) tl•W,.,,.'
.-...rafoc.. mor• "
(a))3W
(b)414W
w
(•) 128 w
(J) 480
(e) JOOW
bola con~11ullt,'
(o) 6W
(b) llSW
(J) 287W
(~) J70W
<•
c11Jor a11a""' d11. j.annl114
(e) 30.7 \\1
(11) 10.l \V
(d') 151 LW/ml
(•) 4l,•LW/lo
~ UIMJlllllCC.a fcila C.."Olll 5 ~. 0.\ 1111111
ck' .,.._. dt l«tdo dt aa,oiu.o (l • 0.060 W/9J K) ccm1 loul
de.i ~· 1nack~•9tip!IÇOde w(t - Q.026
W/m K) 90 -.o.('. . . . . . . . . Cf'lll a kmpd'll9n cb 111p:rllae
H'llctu • llllfucU l 2$ C 1: lfUC a M1pcrlklC llQITMI • 4trtÇiO dia
m
... -
Um tubo de npor cilàldnoo de 10. . . tOmpimttlloe1
L.
aD de moo.raiio é cdx:r«> Clllll 1sobmentn allndnro de ) cm de
~~com~tdadttêmur;aditO,OSWlm·K Sea1uadt
pmb dt c:aklra p.vtitdo llJbo t 1.000 W. a queda dit llCmpmlWI
(b) 101 'Ç
(•) 58'(:
(<) 600'C
(J)lll2'C
Vapor à 200 "C Out c1n um tubo de (erro l'undldo (k 1KI
W/Jo·K') CUJO!> dilmcll~ lntemo e eJ.tmlO lllo D1 • 0,'20 mo l>,
O:Z-'l nL, n:spcce1n1l1enie. O 11.1bo tcobeno com l\11))3.llte de ll de
v1dt0 (k 0.()$ \V/m·K) de 1 cm de cspenura. O coeficiente de
uansfcrincia de calor n.i supcrfTde ln1ern11t15 V.r/m1 K. Se a 1rm
pcr11htrà rui inlctfnoee:nuc o 1ubo de (erro eo isot11n\tnto é l94
a 1empcra1ur11 n~ supcrficio t.i:ttma do is<>l<111tie1\IOi
.'-.!Ol
=
=
(o) 32 '(;
Chl 4.l 'C
Cdl 1s oe
«> 1oo•c
(<) s1
•e
' ?IH Um t.;inqut cs:féri~'O de S m de diBmcuoe:i.uS dlCtO de"'!·
a~io Uq1.1id4 (p = 1. 14 1 kgtml, ~, = 1,1 1 tJlkg·•c) 11 111• •r
Qbscr\•u·se que• tW'll'lttatura do <1.ugfn10 aumcnlfl J)lll'a - 11) 'C
em um pcdodo de 144 hor~,:. A taxa m6cli• de traiuftr6oci1 de tlt"
lar pari o ianque ~
(e) 421 W
1
•ma.,.,.,.•'-'•
(r) 146 W
M A pwedtôe 11m1c-sadt 2.5 m dc•llura, de4 mdc l.arpi•
1
e- de '20 CU1 dt ~pesw"" ttm re&islêaaa t6m.ica de 0,02S -c:Nt J.
conJuti~idade túma dl par*'-
(•) 0.8 \\l/m•K
flJ) l.l Wlm•X
((") l,4 Whn•K
(d) -5,2Wlm·K Ct) 8.0\\'hn·K
)- - c.omidcrc dm$ podes. A e 8, COM IS ~ ~ f
oom •-=mm quedas de tcmpcnruta IUll\U 6a eqx:aura. A rt
t.Jodas~.clldt.:ltá'mit:as l l.A ~ 4,,e a r.mdt . - m da pddes é L,,/'4""' !. A nzio dai tna de trllMfetlfta.11.
.-...-........-00.
(a) O.S
<•> 1
(e) ?
· -ck 1"'"-ll - 0.C0 W""·l()deYe
• co-.:ic..to tiObtt a ..,&:• .-ma da ~ pat:a aomitntar
• tarirm'.,.. ,.... 2l "C. a Qptallra lllCCaÁDl de dolammao t
(,9) .) } Cll
(jo) i.ocm
(e) 2,.7 c:m
(~t 2.1 CID
li Y11put 1 lOO "'C 6111 cm um tubo de faro fwldido {.l :. 80
Whrl Kl i::up dJl.n'ldl'(1111ntttr1oet.\lcmo •iio01 =- C>.20me Oi=
O.ll m O U.•bo • upoeco 10 ar a.mbtente a 35 -C. Os CCtf.c.t:nitS
Jie ~·lnt1M:1B de
n;as wpe:rfic1CS interna e e.ueroa do Ilibo
qO e 20 W/r.n 1• K, mpett1.,an1enie, O rubQ dtw: k:r <:obcrn.> <:Qm
1»lantc de &Ide vidro (.t • 0,0S W/m·K) pan d:unimut 11 perda de
'"'°'
''(l
(1lvt • ptnlr dt1 lh1 ..o tn'l C)()\'1. A ebpeU1.ma wgid;ii <t. c:111nada de
1wi'-rntn1u•
(u) 1:2cm
(b) l.O <m
(e) 2.8cm
(i{) 1,1 Hn
CfCPtede tl':\Mfc~I• de calor de 18 WJm'·k.
(eo) 4,0cm
1 •1r11 U111111w1u0 ~~l l!l"ico de SO cm de d1Jn1e1ro ~A c.heio OC)ITI
&tu.;. l'.~\ltl &CIO O 0 •Ç, 0 íe3CO'Btório l de Cas<:ll fina. e a tempeta·
111rapodc k'I C'Of1•tder.tieb o 1t1CS.tt1á 1cmpcn.11ura do gelo. O resef\"8·
tõnu ~ Cl.lp(l~IO 110 11 ombicntc a 20 "C com coeficiente de uansfe·
1lncla do c:111or ,1e 12 \V/mJ•Jt O rci;crv1dório deve aer oobcrto com
li1 1l1t11~!.lc lldc 'Yldro(k • 0,0$WAn·K)pnradwi11u1rcm90lho
1anbo 1xta •a11• com gelo A espessura ttigida da caln.ada de
IM.1lamc-n10 ~
"'°'
(a> 4,() cm
(bJ 6.7 cm
(e) 3.3 C'Jl'I
!d) 1.,,0cnl
<d 29.6cm
J.. J 11 l 'ma ..,1,a CUfl1 tcmpm1h1.n do 11 a 20 '"C ci.11 pcrdcodo ca.
Se a 11lrta 1"'1Jt1 M'f
con~denada muito biga, sua tu• dr tnni!cdocla dcotalor'
(o} 2J)W
(d) 5.5
(b) 3:2 W
w
(<) 6JJ
(<) •.4 W
w
21.. Uma ateu de 1 cm dt dtlmcuo e J0 cin de t'*'lpnn~·
10 dt ahamlmo (t
237 W/m·K) ~ fixtda m'l lllftl tupcthno
• 80 "'C. A ~4 t'\flOIU llO .- tmhtnllle a 22 "C com COCO•
am1~ ._ uus:fcdaoa
c:s1or dt 11
K..
puckt .,..
=
«
(d Sem
°'
OIKlO (l(ll'QO o qa.ibo._
(b) 185 W
(<") '11.2kWlln
(e) 1.0cm
(~) ~assupnibei.dtC08QI0~6aac...a.~_...
(d) 348 W
1
<•) O.lcm
(.1) Usar ..:cus maciog,
(o) 124 W
(a) 41.0kW/111 1 (IJ) ll)lWhn'
.,_..,,
~ Comickft
dt eompn:mmto. 3.0
• .-.co.llNdc~dec.cmo(t-= 1.1 W/N·K).As
....,.,_ do prOJdO • • "*'1lO e o.ano são 24 -C e J "'C.
,.,,...---.. e cor:í1C~ • uu:dtrf.:aa ck cab totrc
.as 91(Utk11C11-C a:tcsm Mo IOe 20 Wfm'-K. 0-jdmndo
f•) ._._.. ......- ..... aú.J.ts>n.......
(6) ~aplacas . . . c:oacn •~cem força ll'4ICI
101 C01'11tdere a pai«lic de \ln1 runio rcila (le plllQ de mm!•
tcn'lptttn.trll 1"'6ctla de IOO 'C. u1>0Mt IO 111 t ~ "'C. O codioeme
romb1..00dotrand'crt1~ dt~- '- l()OY.'/m' K 001nt.tnordo
tornOe 80Wlm'·K nOUfc:tM.'r Sea~..u.t~~ tfurrieadl parede
do ramo'~~. 1 làU de perda ije mor do forno por- Uftidl.
de de ...pcrtrcie d
teó"'• ptla metade com l50llmcnto 1Ufidcmt., com coniJuirvi..
ira11•l ~t.a de «klr ,e mwt:m C'Ulltanlc. 1 C$f>C55U" cxi_gjcbl
Çons.-.:lcttàl4 ptacas-.ncc.ibcu ~ums ccwr.
a 0001. Stfldo as Cl)lldiçiOef te$1DH lgu&ll. qMl dat mcdidat 11
Je:Pll" awnc:otlP a teSisrêocla tir1nia de COllalO1'
(J) 6 1,7W
11.
i,.JOto Un\O •\lptrlTdc qucnle pbina a 100 6C ~ c11:~1a . , ar
, 2~ -('",com cocf1<icnlc combmado de uansfcttllit'is de calor
Jt 20 Wtn~' K. A pct'd• iJe C*b • plrt.lr da wpc:rlicJe deve ser
dadt .-m.c• de 0.10 W/m· K. Cooakb"mdo q1.te o <'OdicimJe dt
(<) 126W
•e.
(I") IJ«:11l
(b) 1.0i:m
(e) l.S cu'
(J) 2,0 c1n
~ l\17 C~lnddc1"e um.11 j1U1cl.t de lripl<> 1~11lncl do IJ m de allura o
l m de larQuT11 A e~{.e.0~11'4 d11 c11da carn.1d11 de vW:ro (k • O,SO WI
1n•K) ~ l)j c-m. o. C•l)Cll~Ul\I de C..dll C:.'pelÇO de llt = 0.02S Wf
m-K)' 1.2 c:m. Se a;. 1r:inpc:1llllll'<'' 1\11~ 1;u1>crlJeles Interna euicrrm
da ; anela 1llo 10 -C e O "C. r.§1>ccLi\'11IDe111e, 1 t11li'.a de perda de
fn) 3.A W
18Wtm1 •K.
attads do J~l:lmcmo e
l , .,. Calor' i~líl(IO • unMI cm c.oostankcnl. UIM bola esUnc.a
de 3 cm de dttmccro A bola e11tA tÃpO•l.' :10 111ambemtea16 "C.
com coenckntt- dt. tnni.fcrbi~t.. dr cnlor de 1.$ Wlm1•K. A bot11
lk\'C ltCI' cot>ttta corn 1m1c111tl de cond1.1:t1v~ témm:·a de O. L' W/
m K A 1:-~ir• do m•ttnal que mtl\1ml1.11ti 11 ltfllf;iu de calOf
no i111erlor d:. bot11. embcn m11111t.odo 11. tcmpc:ratura ~pc:rfiç111I da
C•l O.Sem
ura~ da Jaqueta quando • tc1nptt11lu" do lb h.,·~ ê O -C • o
cocficienle de uansfcrênt:is de calor $Obr't • wpcrfíctit er.1ema 4
(e) ~ai:Paftfaccccmftiaido~
)..I" A~cpllN*""'fomoa 150-C.C'GbcnacVlll 1
Cft'l dt et;'*"'ll,. de iln~ to~ IO •a '6-C. C'*cocfi.
comblftldo cte
w
w1m•. K. A ci0nduliv. . Wrmica do uollillllHIO t 0.().l Wlm·K A UWI 4t pml.I
dr"''°' t penlt Ja wpe:rfkc pClf ~de tupaikie 4
°""
U'.lll&(eiillei.a de ça]QI' i 1.1 m1, del~n\)U)t; 1 tau 61' J*rda de tl_)Of
(j/) 0.77
Se:•.._.
w1m•
ccmidcndll -ilo lollp.. (o) Q.60
(b) 0,67
diahtda Kri
(<) 0.72
(<) Q.Mll
J-21J c-~ic~alO'"C..,•alO"C~ta ra.
friD ~ .Jnaa.-.-...dr 10C'lttdrcomrn"ICM)adl&mmo. 1 Cta- o~ comlMMJo. ~ •c.aor
l 30 Wlm'·K. e a nosfnfncia dt calor a pil'tll' da fK*1 da üca l
dc:speúrd. ~qw • dicàcaa da *ta 40.7$, a alU clrt
pt:rcb.dt calor a puurdt IOlaJcw ~
<o> ns w
<•) 101 w
fd) 424 w
(~) 15--' \\'
_J
td w w
V m.s a1et.a ca.lindnca dr: 1 cm de d14metl'Q • S çm dt COfl'I
pnmtcuo, com perda de calor desp'ttMJ na ponu. tie:m dlt*10. 4o
JS. Coosidctudo que 11 tcmptntuni da bMc d11akt11'180 (, 1
tcmpen111m 11mi»e:n~ • lO °C e o c~fieitnte de ttun,ftrl-nda óo
calOf ~ 65 W/ml· K, a tna de pcrdta de caW deiaa oJeca /,
(o) lO\V
(b) 43 \V
(r) 1.56 w
3--2:1.$ Uma a.letacil!odricade 0,6 cm de dltmcuo e. 3 cm do com
primcnto. sun grande pc.rd11 de çnJor a partif du pon1a, 1cn1 tfic1b1
eia de O.7. A t.íldcl11 dt;t:;Q :alcu1 i
(t) 2
(d) 8
(•) O.l
(b)
º·'
Ll lfl Umn alct.1 de 3 cm de oomprlmcr110 e de ~çlo mm~\'CNI
~angu laT dt 2 nm1 X 'l 11l11l dt alumín1n (A137 \V/ill'K) c~ul
finda c-m uma supc:rlkit. CoMidcnmdo que 1 cílcl~ncl.a d• nlcc11. 6
65~. a cfic61m1 de1J;A Oniç11 11kt1t t
(•) 39
(b} 3-0
(<) 24
ld) 18
(•) 7
\.."17 AktuqW1drada1dtJatumfn1o(A 237W/m•K)delcm
de oompnmeot.o. de KÇio 1nn5''WHI 2 mm X 2 mm com nómc1'0
l()llJ IJt. 1$0, do flXadai ttl\ IJM!I il.lpCl1i'Cic de &Ctn dt: ~pnnw:n
'°e 6 cm de largwa. CONidcnDdo q1K a dldb>aa da aleta l 71•.
• eficicia iJot>a1Ih1ld• (Ul1'11~1>1qJerllcie'
(•) M
lb) "2
(<) 5.S
ld) 6.1
!•) IA
r-1 ollltc\le,ino. o"C. llJlla tna dt 1.000 w •tnavéa de uma
prrdr de l.S m do aJlin e .t m de comptmen10_ A,gcn •parede i
tllllada rom l cm 41 ttpeswra dt dQll.amcmo a:MD OOOlttlth'idadc
dt0.D2 \\'1111 K Odennuic t tau de p."l'dt dt calor~ da pa.
da Mil ckpor1 do 1MJl1JDC111o Couadt:R: q11r: os codicitilaes
lnhr~a de cab aa tupt.tf'kie 1nWma e Q1Cml dl p.-eõe,.
..,.,,..,...__.-.....,.,.....,..,.........,,...
·~·-do•• wa&I ca~do •attm0 permaneo-
pnmcva aperfbt ald.m rdtt1q l íiep0Cll1
lu1
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Or ~ {.l • 237 W/r#i· K) Qtá fíu4I cm ua& Sllf)Ufk:ic:
• 18 "e A 1Up1tlk:11e' o.po111i..,
•.,...__a n ~ eom com.
\..lJI Duas superfl'.dCI tkudati OOllll akw IOflC• do idbltlCIS..
c:xcao que o ooeÍJciC"nle de tnat:fCf&cy de olot p<'ll" ~­
Qu1 aflfWUIÇio abai1o é CUttU J*'I a C"f1t.&.cia e a cfJCki.a ct.
(4:) MatOr cí.a&icu e. ta.e. eí..-.k.-u
(6') ~biar~ -
menor dk·kd
(C') ~leeor eficiêec:ia. . . . tMIOf cídaa
(d'> MellOf dict&c:u e ft!lmOf" ~
*•
Cd l~dttftcibciae1paldade•et"..
_ __ _ _ __ _ _ ___c..,
:;:,::ª::
":::l•:.:l:...:• Condução de Calo1 Perm&nente
l 'f Um• elÍCfll quc1\le do 20 cm de di.tll'lldrO 11 110 "'C ct1.i
mlt'f'rada na .olo co111 conduu\ lct.die l~muta de 1,1 W/111 · K. A d1~
1lnda t11u-e o «21.tro dl "lera e:• "'"Jlé•fM:íe do "Olu d 0.8 w. e•
tempttann 4 1S tC. A tu.a de f'ttdl de c:•lor • l*tiJ d• ~fet• ~
C-1 169W
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tt.1bo d 1t\1lar 00111 con~oci;lo "lindo •obni • ~111)Cr1Tde CJtlcma 'dado, por unidnde dt
c;u1111J1 i mc1110.
"°'
oock; rdtte·k à wpcrf'k1it &nlcmt do tubo. e n • 11ur1tt1TU.e nlem•
do tubo. AumcDLar r. radurni • ltan\fttfocaa dl 1,;tlol qu..00
(o) r. < kllt
fb) r.. • 1/h
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~·-'-Iode IUllose11comp1~t· ~
(~) A\llDMlar 1., ICftlP'C! ftldDxar6 t tl'Vldafoc.. ôtcalm.
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Pl-?l.. Et.aa KÇ:lo . . . . ~,..~.,_.fora da fulhae l
'-l.i
Uma 1lt'1• de fooma uu1nau1a1 do molor de u1na moto·
ticleu1 cem 0.5 c:m de espessura na ha~ e 3 rm do co.nprirntfllO
(dJ:.lâricsa DOMUI cn11-e a ~e a pcint1 do tnlBJtdo) fc11.1 de af1t·
miaio fl = 150\\1/m·IO. &u alcia l e:11~ ao 11 Ct'lm caclic1~c
de tmasfaênçY de c:aJor portt111\TCÇIO de lO W/m 1 K aiuMto n.a
wperf'tete.. A JIC1lncq da ale-la é 7S•. Cont:1drtudo qtat a ttt•
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de 0.52 m1• KJW A l#!Afl de perda de color atr1vésdcsiC telhado em
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no mtcriot i 20 ºC. é
M 23. 1 k\V
(b) 4ô,4k\V
(d) 68, 1 kW
(~) 88.6 k\V
(<) 55.6 kW
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p1llll de J m dediimelro i nlciÍ'- m:n1~m oru:igfmo lfqutdo 1190 K
O re&CM'ltóno t ro1i.sotu(do por uma casca de nlumínio (k • 17Q
W/m•K) de 0.5 cm de es:pessuru. çuj<> Jll(k) t.xCC'JOO' c()be1tu é:om
camada de oohunento{t ... 0.Ql Wtm·K)do IOem dr. e5:pCUUJll
O ilolamentu l e.l"po"'° llO at aml»e:nte 11. 20 -C. e o cocficicule de
1r11ni;fetfnC1ade calor no laOOcxlcroó de.> isobmento4! S Wl1nl •K. A
w... na qu.11.1 o O'(.igêni<> LíquWló ganha calor'(o) 141 \V
(d) 201
w
(b) 176W
(•) 221 w
k) 181 W
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bospiuil de J m de d~imiettO ma.m6n o ox..ig!ruo lfqvido a 90 K.
O ~oi coasti..sdo por wm CMiC-11 de alwmimo (l • 110
W/m·K) deO.S cm de~ OIJO lado d1tt'!Mt l onbMo CCll'D
C*Dlldt de i1oWncotO (l - O.o? W/m· K) ck 10 cm de iespeaura.
O UiQlammlo l exposm IO • 9mllic:nle a lO-C.. e o~- dr
(otO.l•Wl'"C
(b)0.20W/-C (t'J 0,32Wt •(;
(d) 0,48 W/ '('
(<) 0.76 W/'C
Noe 1'.A111dt» Unl<lO!I, o &5(1fnmtoto de coostru~ f e$:pt!C1·
ficailo rtk> v11fut H (1 t111~~nci.a tb1ruca (ln urti<l:.~ h·pé1"F/Bw).
O dooo de utn1 ta!lta lltc1dc éet1oomit11r oo c:tueo do aquC1.."imtol() (bl
ca.w.. ncrt:KcM1111do urn twlan>e1)10 ad.c11i11:il no Siõciio. COl1$i<k':rando
tll.IC O \IRJ01tolll k' aument11do de IS plll'I 2.S. o dUnó 1!1. é:asU pode
erpc1111 <1uc 1 pc11111 de color mrn~"é.i do 1clhnW &eja reduzida ( 1t1
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(e) SO'lb
(d) M 75<1>
A~ c:aftlti.111u trcquc111emen1e l'Crvcm caff! cm (()pQI de
r111>el <1uo 161t1um111vól11c10 de ,,apel uniJ1,1lado, oomo mourado a
l(''uu l.a.'-1! Jn~lvcro de pnpcl ondul11do:
fo) Ma11té1n6ctfi!q11tmci
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Cb) A111n~ca 1 tt•i~1tnc11 té1mlca dv c11fd para o ambiente
Ct") Din1l11\li S letnperahrn onOO a miO qm'l a xíl:V1.
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em c:on1.11to co1t1 unw c:illnlkla de e~J\\1111~ de polium..oo (k • O.OJ
Wlrn·X) de 'cm de apcUAJta Cot1s•Ni•i00 q.- a «:mpcra1ur11 d~
tupetffck d.a m.dt-1ra 4! 10 "(_' t Alem1:ierJ1tu1• d1111upeo1fkte da
espuma de pQl111RllJH'lll l '20 -C. a lc1tlpc11L1un. dn aupuftd~ tJll que
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S de p<Ojelos e IMalO\
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o que ~:s. de'1at'ios tirm:icos pwa O'i a&trMMJC.... que t1.1tm
camífthad3..q HJ*131i. ~lful •m rroJdo ,.,. o YC\llJdno dvol
a.sttolWJW que KJ• nws lldcquaJo par11 o 1ur1tt1t.n~ 1bm1iro ng
espaço. De(~'" M:leçõet no teu projet0
l--l
Em 1un proj~to 6e componentes dnr&lcos, ~ ~jj,'CI
fwrodmmo clett&:ic:o cm um 11uh..1111co ~ m:1tal.11I de 11h11 eon·
duttv1d.1de ltrotica, mas que lambém seja efkaentc 1ítQl1n1• dicnco
Se oc11S10 elevado nlú;l l 1111111 pmx:upllÇno unpnnin1e, q\ICI mldtrl.til
você proporia para o sublmto?
?. 11
Usando •mostras dllndrku do 1i1ttm0 11M1~ t!rlal , d~nh~
om experimemo ptil"I dclcnnmur a rc1mtnci1 1ém1lca de coniaw.
As amosUM cil!Bdrica11 C$1&') diJt>OO(,~i~ t'm qu11l\1ue1 coo11>1in1tn•
to, e a cooduti\'idade cénni.:-a do m1ttc1lal 6 conhtetdll
.l ;:_,
l nf(wmc.i;e sobfe a cons1rnçllo da pued.., d11~ c11binu do
grandes oerona\•es r<uo.!1 clau~, 11~ condições :11nblcn1aí1 C':l'I\ (lllC
operam.. os n lorcs 1fpk'o!< dM cotl11.!i~rtt t:1' clr lrnmfl'Jfnda dic C'll
IQf 11obre t i i.:11perlides tott:m.-s e ex1emH da l)atedo o a. Ili,\~\ de
gera.çao de calot na 1nttrlor r>c:rennine o utm•nho do 111.-1c1n1 de
aqucdmento e ar condicionado que f.l'r' cap111. dr. m1111ttt 1 cabl nc 11
20 CtC em tOOas •~ocas.iões pua uma aen:;na\·c ((lfn C:lf*wllltk dr
mwportat 4()() ~M)I$.
1. "'11 Rrpita o Prob. l-237 p:s.n1u1n1'9btlllflno com rnput1Ç'lo
de: 60 pe;s!i09S.
Uina CMa de 200 m.t de ire-a de piiO dcw ~ aqtitdlJ• ~·rn
'&!ua gcoilnniel fbdnda •nW. de doll.'J ce!OCIM.lo5 ao 1cnn0 IOb
opi:so. As pwtdelda casa &fm •"'de .inira. e ''*~cm M tata 10
JIDelai de: pllOcl ~com 1,2 lll dr latpta e l.í •de tJtln
A casa IO'S isolammlo R·l.l (•··*C/W) . . pamda e R·)() _,,.,.
lhldo.A ............ dopiro""'""""«dc<40'(' Á p > pcrlá1mc:ae$&A duponi\ICI a 90~. e 01 ctdmttro.1-..oe «lknlD
doicbi» as.ermtwl~ do 2.4 <mC': )/.tC'ln P'nlJclC: um'°'*"
_ . . ~pua CS.UCtia . . Mii 1'plo..
Transferência de Calor e Massa
tro, realize esta experiência para determinar n taxa de ganho de
calor da sua geladeira. Primeiro, certifique-se de que a porta d.a
pela geladeira durante 6.t 1 + O.t2 e utilizando a pot~ncia consumi~
pela geladeira quando ela está funcionando, determine a taxa média
de ganho de calor para sua geladeira, em watts. Considere o COP
J-.240 U1ilizando um temporizador (ou relógio) e um termôme-
geladeira não abra durnnte pelo menos algumas horas, para garanur
(coeficiente de desempenho) da geladeira como sendo 1,3, se ele
que sejam estabelecidas as condições de funcionamento per~anen­
te Inicie o tc:mporiiador quando n geladeira parar de funcionar e
m~ça o 1empo t.1 1 em que ela permanece desligada. antes qu~ volte
não estiver dispôní'lel.
.
.
Agora. limpe a serpentina do condensador da gclnd~1ra e elimine qualquer obs1áculo no caminho do fluxo de nr atra~es da ser-
a ligar. Depois, meça o tempo llt2 em que e la permanece ligada.
Observando que o calor retirado durante t.12 é igual ao calor ganho
pentina. Ao repetir essas medições, determine a melhoria do COP
da geladeira.
Condução de Calor
Transiente
• ••••••
A
temperatura dos corpos, em geral, varia com o tempo e com a posição. Em
coordenadas retangulares, a variação é expressa como T (x, y, z. t), onde
(x, y, z) indica a variação nas direções x, y e z, e t indica a variação com
o tempo. No capítulo anterior, consideramos a condllção de calor sob condições
pen11a11en1es em que a tcmperarnra do corpo em qualquer ponto nilo muda com o
tempo. Isso ce11amente s implifica a análise, especialmente quando a temperatura
varia em única direção, pennitindo obter soluções analíticas. Neste capítulo, consideramos a variação de temperatura com o tempo e com a posição em sistemas
OBJETIVOS
Ao término deste capitulo, você será
capaz de:
•
Avaliar quando a variação espacial
de temperatura é desprezível
e quando a temperatura varia
quase uoifornemente com o
tempo, !ornando possível a
análise simplificada do sistema
aglomerado.
•
Obter soluções analflicas para
problemas de condução transiente
unidimensional em geometrias
relaogulares, cilíndricas e esféricas
utilizando o método de separação
de variáveis, e compreender por que
a solução de termo normalmente é
uma aproximação razoável.
•
Resolver o problema da condução
traosiente em grandes meios,
usando a variável de semelhança,
e prever a variação de temperatura
com o tempo e com a distância a
partir da superfície exposta.
•
Construir soluções para
problemas de condução transiente
multidimension•is, utilizando a
abordagem do produto de solução.
uni e multidimensionais.
Começamos este capítulo com a análise de sistemas aglomerados, em que a
temperatura do corpo varia com o tempo, mas permanece uniforme em todo o espaço, em de1enninado momento. A seguir, consideramos a variação de temperatura com o tempo e co111 a posição em problemas de condução de calor unidimensionais, como aqueles associados com urna grande parede plana, um cilindro longo,
uma esfera e um meio semi-infinito, utilizando gráficos de temperatura transienre
e soluções analfticas. Por último, consideramos a condução de calor transiente em
sistemas mu ltidimensionais utilizando a solução p1vduto.
_ _ _ __ _ __ _ _ _ _c.,,=r::.iu::.
·10:....4- • Condu~ao d• CAIO• T1&ni••nl•
®
.
.
ANALISE DE SISTEMAS AGLOMERADOS
r~n1uMJo o apooe.neaal de amboi; o~ llldos e 1-eorgani:umdo. obtemo$
Na anJli'õC da 1.tUsftsênc:ia dcca.l.m. Algwisoorpos ~componam como um "ag~
mc."rado'" CUJ• 1emperatura interior- pennanece esseocialmen1e uniforme n 1cmpo
todo duran1c o processo de t.rand'crêl'lcia doe calor. A t.cmpcramn de t:a11 COl'pcK
pode loCf' 1omada como fuDÇJo apena.s. do n:mpo, 7{1). A análise~ transfm!ncu1 dt
caaor que uulaza essa idealiz.açlo é conhcad.a como aúllst dt sistemas t~
ndos. qiac proporctona g.nndc SlmphfleâÇIO tm cenas classes de problemas de
tran.<1fai.nca.a de calor JC:m mwto .sacriGcio OI pteCisJo.
e°"""""
bola-··
ama poqlOCQa
de c:oll« saindo do forno (F... 4-1~ "'
moei~ tnda:amqoe a lnXlpCl'alun d2 bola de ootwc moda com o tempo. mas nln
c,t.10.. . . . .
nGURA 4 1 U... pnfQCM bo&a ck
(obft pode 1itf modtl.J. cor.o \Aknta
1gk\mc,. nw • nir• ~ n.lo podr
111- .......
V
11,llAll!t'
p - Jrn...iudc
I 1• lctnf«lll 111 1rud11t
muda muim com a poMçlo em drelermimdo momento. Desse modc.\ 1 ttmpennn
do bob pcnnm«e qua_« uniforme ob:mpolodo. e po&...,. fibcwbtt Wi k'mpentun. aan fam ar:nhuma rcfCf6ooa. • um lot.al espedf.oo..
Agora. \'all'I05 para outro cxrremo. comidenodo um grude a.<S*lo no forno
Caso \'Od- kllha fedo algwn llS$ado, deve ter nol3do que a chsmtxnçiio de tcmpe-ra.n&r.. DO 1ntcnor dele n.iO ~sequer peno de ser wulorme. Vcrl pode \'Cf\Ítcar
i.MO íx1lmeDCC urMdo O &Ssadodo forno antes qued>tejaairnplelamea~ coltdo r
C(lflanJo..o iio meio. Você: verá que a periferia do aMôldo está bem cozida. enqua1110
a parte ct.nlrnl escj apenas quente. EnliO, a aoilise de si.srema.r; aglomtrado& n3o /
apliclv~I ouse caso. AnleS dt apresentar o critirio para aphcabêhd.1dc da aM.11~
de <iHtcmas agklnlétl.Klos. desenvolveremos a formul111Çâo associada a ela.
Coniudczc um «N'PQ de fnnna atb1cnina de massa m, \.'Olu.me V, 're.'\ aupe.rfi
c1alA,. dcnl.ldOOcpccalor c..<1pocificoc,. inieialrl'.lente.3uma1emper.nur.'I uniíl)f'ftliC
T, (Fig. 4-2). No momento t = O. ó oorpo é colocado cm meil) a umn temperatura
l .. e 1 cr~n~fcrênc1a de calor OCOl'TC eol!C Q corpo e o me10 ambi.entc, com coe·
f1cie111e de trunsfe~ocia de calor h. Para tins de dixus.tãu. vamos consick111r qut
1. > Ti- mal!I í'l an~li'ie é igualmcn te válida para o e.aso oposto. Adrnilimos (]Uf. :i
:m11 1i'° d~ sislcmas uglomerados pode ser aplicada de modo <)1)t tt lempern1urt1 scj11
m\1futme dcnlm do corpo o tempo todo e mude apcn11.~ com Q lempo T = 7'(r).
Durante o mtervalo djfcreocial de rempo dr. a 1empcratur11 do corpo 11umcnl.íl
na q11:1olldade diferencial dT. ô balanço de tnergià no sólido para o foter\. 1110 die
um1po d/ pOde ser cxprc~so como
1!<)
(4-4)
(Ili)
(4-5)
d• quaactd.lc pot.idV1 COJ• dune:ru.IO t (lemp0)-1• A rttfproca de b tem umdade
de: ttmpo (normalmcn&c: .1) dwnadl l'OftSlanlt M tnnpo. A Eq. 4-4 i aprcsmrsm
.a Ha '-l paq a.r........ ..ioc.s c1o &. Ht 11uas ~que po<1om..,
1 J*tW dela fi&un e da rdaç-.IO acuna.;
r.rtn
1 Eq 4,...4 ptfllllk de&mniaar à lempera&:ura T(1) do ootpO 00 momt'lllO I OU.
aJterNll\·arncncr, o lempo / ~M> pan que a lt':mpct3Wf2 dqtlc *> wlor
.
...,... ......,,.......
lll:Ub4->! A _ * > _
~
lftlbinie à~ que o tempo •~-.ç.
c.,pcc1'C-..SO 7t1).
.1. A cempc:nu1na do corpo apro.umrsc: expooeoc:iaJinente da ttmpcrullltl am
b~llc T. A tcmpcnlW11 do corpo muda rapidamente no início e. ~lgatOSô'I
1nentc, mau carde Um grande vaLQJ de b lodlca que o corpo aproxima-se da
temperatura ambtcnle: em uni cuno ~paço de tempO. Quanto maior o valor do
c11putnteb. maior D tau de dcdúuodatcmper.uura. Observe quebipropor
c:u)o1I ti d.n:a. mas ÍJl\.'ers.iJneoce proporciooaJ â massa e ao calor específieo do
corpo. b'o n.llo d a.urprccndcntc, pois i neceli.s;áno mais tempo para nqueocr ou
ci1íri.11 u m.ass1t 1u1lor. e.spcc1almcntc quando teJO aho calor cspocí6co.
4
4
Um., w.i \l ut ntcmpcn1iura 7{t) no momento t ror calculada a partlr da Eq. 4-4. a
'""'de 11 an<1fcr~ncla de c1dor por COllvt<:Çiio entre o corpo e o ambleote naquele
ln\111n1e 1>0de .cu• t.lctcrrnm11dn por 1ucio da Jei de Newton do resfriamento como
()'(li
.t. 11<11
rJ
1-M)
1
rl11UAA 4-2 Cloomdtia ~ 1)1114.1J1e1rot
CllYf•lvidoll 11• IWAll~ de Ili tte.n1a
CllCIJ;ll do C()rj)O:
'fnio'lferfocia de calor paraº) - (Aumento da enetg1a)
do corpo durante o
( corpo dm·iuue o lcmpo dJ
agl01ncodo
A t/1t1u111dml~ lfJW/ de c1tlor lransfcriOO e111re o CC>tpO e o meto envolvente durante
o hllc1 VlllO dt.' ltmpo l.le I • O a I ~ sirnp1csroeote a 01udança na quantidude de
lcmpodt
11. IJ
ou
M.(T. - 7) dt - ,,,,., dT
.....
,)
A qu111111dade de caJor traunfcrido atins,c j\CU limire superior quando o corpo atinge
t lt'mpc:racur.t :uut>ie.me T. Por i~so. • trarulerência mtlima de caloreoi.re o corpo
• ""' an.dorcs ~ {l'ô5. •.4)
Ob5en·andoqucm • pVedT • d[T-T..). uma vcz_quc r .. = COO:!ilantc.a P..q.4-1
r
pode "" rcarvni1.l<la como
d(T- T.) = _ M, li
T- T.
(4 7J
, ..
,...,.
essa cq-.W,,,,111;ndo a reJao;io de ytr) ela f4. 4-4
Mttbw;lodcQ.(l)naf..q 4 óeiJl~aparttrdct=Oalét~3:;
1imbtm podcrlan"" -
"'1<,
l....,...SO a porut de / = O. cm que T = T, Olé o""'"° 1qu.lquc<, em que T
1111• ....icaem
(4-3)
C11té11u.. ..,..,., a .• ~ .se de sistemas aglomerados
.o\ ~IX de .Ustr.m.u q.lommdos certamc"AIC proporciooa alta comodidade Da
~ . . da tramfcrfncaa de calor , e. aa1u.raiaeotc.. e uoportank' s.abtt quando é
......,.,.... uühd-la. O pnmcuo puso no . . - - i o d o cril6io para apiJ·
T
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n llA4-4
A ..................
• puu'". ou,.,. o corpc>llllClfC . .
..ao.. mtr:lmoqtdlldo o corpo••• 1
~ura dot.mbeeukat'CUllllCIMk
- - -- - _ __ _ _ _ __ ,:;.C,,,
apílulo 4 • Co_!!duçâo de C.l0t Translenlo
omtu111 bem arrcdonc.ladu. c.omo uma bola &fé.rica. Eot5o, quando Bj < 0.t . a
,•anaiçJo cb 1r:m1;1er11.UJra com a locahuç.ão deruro do corpo é pequena e pode ser
ralA)Avchnc.n1c aprmdmada como sendo uniforme.
A pnnw1,. dafM para a aplicaçlo de. anáhsc de .sistemas aglomerados l. o c&I·
Clbibcladc da anãlisc de sistemas ag.lotnerados ~definir o comprimenlb caracte·
r'.stko COOlO
1/
'
cuk> do 'u1"1l'ft> d~ Bwt e a a\-·ahaç-.io da aplicabdidade dessa ~em. Pode·se
ttndl dr~jar usar• Whse de "-"ttnu aglomerados mesmo quando o cmério Bi <
(l.l l)AO acJ ..u.fo10. K a prcci5àoe:levadii nio roruma preocupaç-io 1mportantr.
e 0 númen> dt 8fot 81 adimmslooal (Fig..4-5) como
Note q'*t o mhnero de BMJll é 1 ratlo earn: a cc:imwçdo u .scpcrf'.eie e. a com·
d#(ôo llO 1mtnor do corpo. e cuc númc:ro de\'tri ser o menor ~ para que
a adi• de &.1-"l':mas aiJomcndo$ kJl apfd\-el Por isso. corpos~ oom
oito
11nN1m >lo boos caadicboos pn >Oálise de sisltmas aglomer1dul. dntudo quando ado cm mrio IUD mau condutor de calor (como ar ou
oU1rO sb) e 1m<n-'f:I Portn10. o c.:uo da pequena bola queaac de cobre coloc3da no
wpondo. ch><obdo..............,.._ - ma>ar prdx>biliclade de ...W....ocnléno
d<
aglomcraclo. (Fig. 4-7).
...-.--
1861}f1Mc:o.~•~
ª'°'~
""".,.de .........
~
COrMCÇio na mpcrficrtedocorpo
de aJor ..... cedo. . foutW (1&02 Ot.I
t1i0Jl. ~sem tu0tl90. fQOl m- o
~ dt d'ICIOl"PO'lf• CfcllOt Cltll:tlll»
de conwcç50 ftl WLH de ~..to dit
nl«. Foontt ku o 1nbalbo de 8t()lt e.
an 1807. ctltlvt de1tmu11otdo 1 t'bOI\tet
o ptObkma l1kl11M.'.lhlvt.I em 1804. O.ot
a.componhou Oay L"'61C ,.,. prín1C1lt•
\.\ibida de bellO rt:a1lrt1do (11111 rm•
c.eruffic01, ftm 1820. c:om fc!:lu. Sov11rt.
ele de•cobriu •lei conhtckltl como ""Lr:i
~le Bioc e S.avtn... 6k ~'ª"" c11pcC!lt1hne1ue
ir1tettu11do l'IA.1 qut.\1ÕC':lf relnclon*•
com 11. polaritll\AO da h1.1 e, pot ""'~
1~111i:z11ç6c• n~11ecum1w. ro111al'll:l11dl)
001n a Mtdillha Rumford da Rc11.I Soc-1d)',
em L840, O ud1moM1on11l 11•1fnrro die lfüM
(81) 1u11do 11011 d l<lUIOll de t11rn~fe1tnch1 d~
calor u111111k:ntt recebeu dSO no1nc em " '"
hn1ncnng,cm
(0 llbwJrM dti ft/#J1oloAl'flWIYi>'Af<ll11y J
t
NJN!u•""""'
flGIJU4-5 ,....,,..,......1.<11TT•
........................,...
Observações sobre a transferência de
calor em sistemas aglomerados
C(IOdDção ao duerior do COtPO
411
Bi =
R~A. à cooduçio ao uuerior do corpo
a'íí = Rc$1Slf.ocia à <.:ooVecçâo aa ~pcrficic do corpo
Quando uul corpO sóhdo ~aquecido p0r um nuidu roais qucnle ~ue o rodei• (como
uma b.imia sendo a.s.11ad.a oo forno)~ primeiro o calor~ t.rnnSfcndo por conv«ç~o
B1ot
pn.ra o coqio e. poster'10tmcn1e• condtt.tid4 para dcnuo do eo<po. O nllmtro •de:~·
d a. rat!lo ent.re a resínênc1a inlem::i. do oorp0 à condll(ãõ de calor e ~ua rt~l!íl 1.a.
c:Jttern<l à conVCC'iãO de calor. Por isso. um nünieto pequeno de 8101 representa
pequc.nti re1.islência à conúuçat> de c<JIOt'e peque.00$ g.radienl~ do tcmpcrll.11.11'8 no
intc.nor do ccnpo.
fft*
. . •
.
•
A .-nd.llse de sistemas aglo1ne1'3dos wu.mc a dut.tr1bl.11çã~ 1mif~rme d~ tem
ue é o caso somente quo.Bdo a rcs1stêr1c1a 1émuca de>
peral ura cu1 'odo OÇorpo• q
411
corPo à conduç.lio dccaloc (n!sisrhlda dec1md11çi1'1) é zero. Desse mndo, o an i>e
de llÍllema~ a~lomerados é uotu q1>an10 Bi • Oe apro:rimadn quando BI >O
F.vlde.ucmenle. quatilO menor o 01~mero Bi. mais precisa a and.lis~ de sis1cmas
aglomeca.Jos. botão, a que:uão que lemos de rcspe>nder é: que l)fetl55o cstmnodls()OSLOS , fW!Cnficar pela. van1agcrn da análise de sistemas aglomerado11?
Antes de responder e5S8 questão, c;ki."'CtnM mencionar qoo a ~nc.cneia de 1S'l>
no c:oe.Uc:ieole de trand'ertoda de calor por ce>m'CCÇiO h. na ma1on11. dos C~tmll, 6
coos.ídtntdl °'oonnll" e. e."pcrada". Çonsidenc h como se~ comtant~ e unifo~
UlIDbt'm ~ uma aproi:unaçãó de vaibdade di.scuú~·d. esptc1al~nte ~ geomllrlli
mgulatu. A"im. na ausência de dados expeo.11~ows suftGttnle$ para. a geon'IC·
~. cspedfic.a em ~. o.io podelDO$ reivindicw nossoc resultados con-.o melhor
"' DlC51DO .......
que. S Is.._,
_,_ -tn
_, Ili • O. Sendo esic o caso, iflll'QdUZJr outr1 fonte«
meata.a DO probiema oão tcní muito cfei10 sobre:• tneent:r.a Jlobal, desde: .que it")lpequmo. É~·· ooci<Oquc a d);sedc ......_ oglomcndooé aplwáwl 1t.
BisO.I
Quando~ mttrio for satisfeito. as 1empe.raturaS denao do torJtO em rclaçlo
Ili> ~ntonao (ou .eja. T- T..) pcnnanocem deQlro de SS entre tt. mesmo para se-
'
_ . _ . O-•BoOlpodc
ser 'f'IUO como a ruao ai1tt 1 ~
u sapttfkiic e a~ eo u1wrn- do
<Of1'0
Pan com~cmdr:r o IDC(lnhmo da tra.nsfttéodn de caloc durante o aquccimc:Nn nu
n:tfri.lmento de um aóhdo com fluido em tomo dele, bem como o eric6io para ao;!.
ll)t 4.k s15ttn'las n,glooiccado5. cons1dcretn06 a stgumte an:dog1a (Fig. 4--8): ptSS()3!
do d" borro ll partir do COOÜl)C.rUe pacu uma ilha Cl.lj;'l cus1.a inteira ê o parto edepolS
'I-lo dt ""lbu.t 1 pa.rllr do porto para seus dcsdnos n:. ilha, A superltlfação de pes.so3s
no JllJl1() dcpc11dé do trifcgo de barc0$ para a tlhõl e do sistema de 1ransporte 1erreslrt
no lõc:al. Se houver urn e-xcclcntc sl~tcma de transporte lCITCSC!'Ci com ahundãncia
do õoibus, nio hnvcrd !lt1pcrlotaçã.-0 nu porto, espccialmC4ue quando o tráfego de
biucol) for 1>equeuo. Mas. no cuso oposto, haverá uma enomie superlotação no pur10.
(rl1111do unu1a1·:i11de diíen:nça entre as populações no porto e na ilha. A chn.nce de
iupe1fou1iÇJI<> d mu110 1nais bAi.lla e111uma pequena ilh3 oom õuibus bastantcnipldos.
Nn, 1 rnnsfo~tK:lu de calor. o sistema de transporte terrestre deficiente corresponde• m• con(luçno tle calOJ no oorpo, e a 11uperlotaçiio no pono corres1)0nde à
ae111nt1laç.80 de energia 1t111tic:i" ao aumento !lubsequente de temperatura prõxima
dll -upc1llcic do corpo cm rtlnç:io a 8UàS p;ute." interiores. A anfliie de siltemus
aaJomerM'.lo..: obvu11ne1uc ni'io é aplicável quando tuí supcrlotaç!o oa supe1'f"J'cie.
hvickn1cmc:n1c, lr:mos igooradõ • radilliÇJiQ nessa fU)alogia e, ponanto, o 1ráfego
~l'l:O llaJo;, ~ tlha. Tal como pa,.•a~eiros no pono, o calor muda de Pe{culo na !Uper·
ffcle, de rornwrdo p;il'I c<Mliuç8o. Observando que a superfkie 1em espessura nula
ó. por b.to. n•o pode armaz.enat nenhum.a cnieigia. o calor que chega à superiieie do
Cllr'J)O j\OI' COfMICÇlo dC\'C COlltlOU&I' SCU pcrcUl"'IC) dcOI(() do toqwJ por conduç:.âo.
con..,idcre. (l'lnt.fa'ênc1a de calor. plrtlr de um carpo quente para seus arre-~ 1na1~ hiQ\. O calor 6 transfcndo do corpo PlJ* o Ou1do circund3n1e em firnç5<>
da cllforuiça de kmpcralura, \ta;,, a coagia vem da regiio pr6x.una à superficie e..
panuto.,. ltmperwLW11 do corpo póximo asupaffc:tc cairt. Isso cria wn grodinue
~rul1•l'O e:otn: 11o ~ 1nit:ma e menaa do corpo e ioicia a uaosf~•
de <olot por tooduçiO • porlJJ' do ..., mltnOf cm direçio 1 supcnx;e ........_
Qu..Mo o coe:fte1cotc de UU1.Síerbci1 de calor por con''CCÇâo h e a tua de
"'°""'Çlo O porur do «>1jJO >lo c ...'Odos. 0 l<mpcra!Ur'O do «>1jJO dimiJlllj np;ru..
- . . próximo à "'PCffl<oc CM&. 4-9}. i..., cria gnndc chfm:oça mae.. .._....
nir-. dat l'tf>Ôâ 1ntnna.) e U&ema..\. 1 menos qae o c:orpo .seja capaz de transfenr
FIGURA 4-7 Pcque1MM COrp<iíl com
all1 coodulividndo ' 'rmtc• o 1)11\ll()f
Cluefte1cn1cs de oonw:C(ft<} dQ m11111
&1.1i;c~f~iJ 11 u tlsfuet o cn1tl'lo pM•
1111.tfücdc aitilef'IUlt ~lon>et11dOto.
*
fl&UU. ._. AIUlo(;.a cmoe a
~de cakil' .o '6Wo e o UÜtfO
de~- pira Ulllll ilha.
Capitulo d • Conduçao 06 Calor Transi.ntt
cak)r rapldamcnLe da.s reaiõcs mlemas para as ex.lemas. As$1m, a grande difcrtnça
mi1.un1 tb 1cmptt-a1ura no interior do corpo depende fortemente da capacidade do
rorpo pari C()õ(hl1_ar ulot em dircçio à superlJcie em relaçto à capacid3de do rnt:tO
que a rodeai para 1.ráMferir calor por oonvccçio para f Of'I da superficie. O núrntm
de 8l0' f uma mechda de unp>rtlncia rdativa desses dois efeitos oonoorren1es.
Recorde que a condUÇIO de cakJr cm ~erroinada di:rcçlOn por u.n»d.D de SU·
pa1lcic t C-\Pf'S"'
q = -kilT~n, ood< i1T/6n t g,odlcnce de i=pm11ura e k
~ 1 comd11tivid.dc. t(:S1DlCI. do sólido. Desse modo. a distnbwçio da ~ra no
IUtlfqtw 50UICl'lte qu:andoo sua coodunvidade kn'8icl for t.11fimu1.• mti
..... mal<ria) oJoC.WOO. fo< ISSO.~ d e - < , <Ido, d1f<tt11Çl!S de
1cmpcraaura devem e.:w;UUr dcolrO do corpo para que a cxmdução de caklt ooorra.
E' de:Oll.tmc:aet o .,.ruente ôe acmperac.n e a conduuvicbde támica do inYeBA·
mente: ~ para dcumunado Ouxo de cal«. Putanto. qusato ma.Kw a
rondwvtdadc témaica. menor o gradiemc: de~
"""°
b
M, _
pc,.V
Subu hldldo
•:a
T, -
inllmlill' o;W:rna de w. l(lbdo
Mtdiçio de temperatura Por temopares
lXCMPl
r:- • ~-- --+ 0.01 • ,. ....-••.,,
I= 111
V.W mo. ....... de apcnl"pdo . _ IOi P1P • a.permn daJUllÇiodoamopw
W.,• dalerftll? inicial de~ mm ajunçioe o p..
1111! ~\ 1,...•
,.....,. Note que a Ci09dllçl0 atma do& r.o.e a croeade cator porratiaçiooom
•~*>wc:~at~o~1t:dtm.Wf"ciomida:aMscm
WMWhx,....Kflllldt..
~·,·~··•~.-d·
cbtaft'llÇM
lk .,lllp«llar• o...--om:m encre
• ,....ort
.,....._
a..ca \a)c)li't$- oa 6q ........ otMtttm
TCt> - T..
corpo'"'
FIGlllH-e QomodDo--<k
11 _
21ow1m'·K
, _1
IX,l, (8..5<X>kglm,)(l20Jl\;1· K)(l.67 X 10-..m)• O. Ó1 1
A 41C:mpc:~ do Oi;"(t dt gú de"C J'iCf rntdid:a por um ~ CUJ3. jlmÇlo pode
..,, aprwunada t. da e$Ícd de l mm de chlrne:uo. como 10011tr3do ea Fig. 4-)0 A.\
propr1~daju.DÇÃQ.f.30k = 3S W/m•K.p = 8.500 qtm'~c, • llOJJq:·K, c
o coeric;icntlt de tnlm!crfl)C1a de calor JlOI' coavccçio calrc a JUnçkl e o gú é ~ •
21 O W/m1 I(_ Detc:rmwc <> 1t:n1po para «fl,IC o IMl'lopel iod1qut
da d~ferc11ç1 de
tlt.lllpcf81Utll ltUcial.
-
m
r.. •
o~ (J
'f.,. - :
:SOi.l .\O A 1c.1nper11tur. do Oú.t.o de gás tk"l: "ªmedida por termopar. OetttmJ·
nato ltmpo n«~k> p1111 ttgi.s.tnv ~ do ar 1JUcial_
~. ..,..
a - 1m1n
IV)
flGURA 10 fü;q11cmap11tao
t::xc11\plo 4-t
~ JO ,
1AJUn~"iO1. de íoat111. cfiférka com di!métro de D= 0,001 m 2 As
propricdlldcs tém1ic11J1 da junção e o coeficiente de 1r:ind'e rfnci11. de cale. 11io CO•W
illllte3 3 Oll eíetlo~ da radiação ião 4ei1pre:úveis.
fro rm 1111 s As pn.'lpntdadcs da JU,:DÇii<> .são dadas oo ct1\1nclado do probk'm11
~
1
O cOOlprimenl(><:uaaer!sticodllj\10ção é
1
J... = Jí - !wlJ = !D .. -1(0.(X)I m) = 1,67 X 10- • tn
A1
w-/)1
6
6
l!.m Kg\111ta. o oWlicrO de Bi0l 1oma-tc
hl...,
8 '=T
(2J0 Wlrtt1 K)(l,67 X 10-• m) • OOO 1 <OI
3SW/m·K
'
Endureclmanto de barras de aço
f:1Q wn proed'JI> de- cpdurctmtco IO brusco. bamis tk aço (p = 7 .832 k&fml, ,, - 4J4
JAa·K, e .t - 63,9 W/m•K) do a.qucetdas e:m um forno 11850~ e ílepotS rc$fr1.:u:t:i!S
"" b1111l1odl Âilil.Mil • um11 lemperowra ml!d1.a de 95-C (Fig. 4-11). O tmnhodc Jr~
ltm lt mpent11111111mJorme de 40 -C. e o C:OC(K1ellle de iraosfcr~ncla de <:lllOf' pw
con~n:'il•) jj •$0 W/m,t K. Coo1idcrando que M batrM de aço tCm dJãmclro de~
n111t t í.:Qfn1>11mc1110 de l m. dcu:m1iDe (•}o icmpo nectssário 1lftra &l'rcrca:r .. bt.rra
d" 11\0dc 830 ' C • !>.S ºCoo banho de :taua, e (b) • quantia lOlil.I de cal« tr.w.fmdo
t dau11 clu1101tc oet1dm"CÇimcn10 de um11 Mrr"
O l r.Ao No proce:S$0 de eoduredmcnto bnaco, i.1e1erminar o tempo neccs·
t1drio pt.i't re3ímu 11 ba1ra de -.:o C!m blnho de '.&Uli e i'I qua:ntidade 1ocal de calor
1111ntfc11do.
1 A11P•Ol)rxd•Ju1énuic111 do sço da bw:ra são cons.a.ntes. 2. O cotfl ·
CICIUC de: ll'll\.dt1~1tcU. de tllJor por COIJVCC(ào~ úl1ÚIJIT!le. JA ttaos:fetfnoa de ealCJt
JlOI' flld'Q\.ÍO 6 dl'5pret/vcl
'
bwra aço sio dadas como
•J• Jfk& K AJk prnpnedade.dli
6J.9 Wlm·K.
de
_ _..
A
~cl..pm./"'1.
A fim de Jcr-99' dt difcrco;:a i11toal de ttmpcnNn 1i - T. emtt a JWÇ'lo e o
p...1m*de•cr
s.....
O"CeT. •
99-C.
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(1) Pnun11bmac~lodnca,otoo1[1imenroC8f~eonúmemde
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.,.,
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e
Por U:~ a •Dilue de i;:islemas aglocnttados é apbciw:l, e o""° l"flYOlvido ne.;~11
"·
hrd!C)l.. o o.o.som
-;;;;;-- -- ~ - - .-=-0.012.S•
Ri • ~ • (4'°WIJ•JQ(O,OllS•) -O~•
4
63.9Wl•-K
1
Água, ~0 "("
li ---4.5CI W/1,.IK
.voo <O,I
FlCUlA ...__ l 1 F~t.aem• 1>ara o
l!lemplo4-l
tapflulo 4 • Condução de Ciilor Trans1en1t
,,__,,...""""')
Como O1 < O 1. a at14.hae do mttina aglomcrtido t apUd,-e&. Endo, o tc-mpo tlO«'S"6r1o JMn 1um.- uma bml' no Nn!IO de ígua-dc 850 °C • 9S AC 6
'·
M.
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4SOWTm'·tC
- O Ol059'
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=;.lc,J.T, - 1ll>l ,_ ~T, - 7{1ll
.
IO)'(l ..)(U)2 tg/lo')!'3' lll;z . K)('ISO - 95) •
• l.01 )( IO"J= l
. . . . . . . 'Pwll l)IR• ~n: do bulbo de igua ~ COllSWlllC •• nd$Sl
de '&'1111 clew: w mu11c> a.rarM:k Oll a água ~ Stt tnfriada otm'WTllmlr
4-2 CONDUÇÃO OE CALOR TRANSIENTE EM GRANOES
PAREOES PLANAS, LONGOS CILINOROS E ESFERAS
COM EFEITOS ESPACIAIS
Na Scçfto 4-1 oon~idcra.ulos rocpo:s em que a vari.~~ da .lernpencura no intetiOt
d desprcifvel. iitto t, corpos que se mantênt quó'ISC uoterm1cos durante o ~roces'º·
Corpos relatjvamttilc pequeuos de materirus altamente condutore.t; 11pro111m.nm-ae
dct18C comporliUllCnlo. J!m geral, porém, a tcmper~tura dentro do COCPQ ~1.nlt1 deo
p<>tuo 11 ponto. bem corno coo o tempo. Nes1a seçao. c~1~slden;imo~ a var1~1lo de
tcn\pcrnhin'I com o 1em110 e à ;JOSlçlio cm probl~as utud1mcns1ona1.s, COIJlC> aquelci ll!IM>Ci adl'.ll ~uma grande r-arcde plan:>, um cLhndro 'º."~ºe umfl esrera. ,
Cons.idt:re uma parede plantl de espcssunl 24 um CLbridro Jongo de riuO ,.11 e
uin:i ci;fctta de raJO r.., iniclala:enle a uma lat11><ra11.1ro uniforme 1'r coroo mMlrado
cJn um grande mtio
); 4 12. No roomento t =O. cada geometria é colocada
na1g.
.
_
.
> O
que se cnoontra a uma lempe..,.wna oonstantc T. e. 11U1J1hJ~ uusc mc:10 para /
·
A u-ans(crtoci a de calor oconc e.oue esses oorpos e o l\tllbLtnlCpor coovecçllo com
codicicntc de IJlA~ferf.ocia 6' calor uniforPi~ e cOflStanf' h. Nole ~tae l~ os t~s
cu.w aprcsenlam 5.bnelria g.comécnea e têmuca: a pa;cde plana t sun~tnca cm 'or·
no do púmó c~nJrol (A'= O). o <:iliodro é simétrico cm tomO do~ nxo c~11t1V1/ (r
0). e aesfcrt 6-timélnca etiJ tomo do SWJHllU"Ct'ntral (r = O)..Ot:spretamos'
traru.ftcfno.a de cakw pot ma!açâo coue esses corpos e as w~ c1rcund:1n1e1
dOi seus tne:IOS ou 1nc:orporano.s os efeitos da l"*liaçâo no cocfiC'lmtc de tr&nsfc
tenci.a de calor pOI com"Cll"ÇM 1t
•
A VW'i.IÇie> do perfil de 1tmpcntuta com o t~mp<> cm uma parede plana e tlmuwll u i;.., 4-13. Quai)do a parede l exposta inicilllmcnte ao meio cmolvenM .a
T < r. cm / = O. Ioda a pu* esú na tempenwra inicial T,. Mas • tcmpentun
oa wporlloc e"""° dcla começo a duninllir cm fm1ÇIO da rnmfatnc ... de calor a partir da pan:dc: para o meio ao redor. Isso ena dm 1rad.,n1t dt
.,; .....de
1.
1
r.
L '
254
(b) A q~ to&al de. alx U1IDShodo dmurc o prOCUSO de rcsf~ da
..... .,.O(<>t
T• T
o
1 !95 '°I• ,
•
0010S9s
l 11kialmtn•
.&li
""~mturo na~ e inKi.a a «Odur_'io de calor a partir das partes intcm.a:s
dl paretJc t'.m d~ l at.tia ..upnfkit. e.uema. Note que a tiemperac.wa no centro
4.. P9""'-~ f"~nHUlok-. *'"' T, a1' / e 1, •que o p.i!f:61 de tie.mpen:iunu no i~OI' da
parede pt:rmancce &i1nftrico em ttl.yo ao pi.ano de centro o tempo todo. O perfil
de tcmpentura fica clld;i vtl m:.us rlano com o passar do cempo cm função da
tl'llUrcrflkll de calor e. rimtlmcnie, .te IOma umforme em T r_ rsco l. a p<ll'Cdc
111n:1c tq11Ulbno tlrnuco com M.U!S a"TCdoru. Nesse momcmo. :a uansferência de
c11l0t piin.J• que nkl h4 difcn:nçu. de tc:mpen.tuta. Oiscus.sôe.'i se01Clboln1cs podem
~r íchu cm relaç:'lo a um cilindro Jrogo ou uma esfera.
Pro~lema de conduçao transiente
unidimensional adimensionalizado
A rormulu.çlo dos pmhtcmas de coudurao de cuJor para de1etnb1..-.çli0 da dislnbu1çio
de l<'lllJ)tro1uru tnititicntc unidimc:Jl-Sio11õ1l ein urna parede ptaua, um cilindro ou uma.
eslC:tn •'CSulh1tm uma c<1llllçio d1fcreocial parcial cuja solução envoh-e séries illfilli~
l fls e tqUlkjÕCS 1raosccndc11tali de dilldl uso. ~1 as a S<llução aoalílica t'ornece indícios
''•llO!KJI pura o prnblc.mll fTsfoo, po11at110t im1>0Jtan1eseguir os páSsos.cnvnlvid0$.. A
11eau11·, domon11trrunos o proccdimc1110 para á aolução do caso da parede phttuL
Considere uma parede plana clc ~uai 2L mktalmemc t.una le.mper.uura unifouuc: T" wmv 111uMri111.kl n~ 11jg. 4-1 !a. No momento 1=oap:u·coet1mena em
et"
líquldQ à 1ctnr1r:r:11ura T. e
~uje111 à 1raos.rcrtocia ~nnica por convecção em
ambos ot lldot com cocficieme de coi,·coção lt. A atcura e a largura da partde são
trandt:t CJn •~la.çlo • v.1>C$sura e. por11.1no. a condução de calor- na parede pode SC'J'
lp'Oltmad.a como Kt>do umdimenijooaL AJ~m disso, há simetria ténniea no pltkDO
c:cn11'al pa.c:~odo por K • O. po11an10 • 4ii;tributçao de acmpcrarura de\.'e- ser siméuica
no pl.aflO ccn1ral AlWJJl. o \'&k>r d. temperatura para quatquer valor de - x para - L
S .a S O1 qu.alqucr momento I deve kl' 1paJ _, vakw para _..x para Os x s ~no
ftW:Wno lt.lnpo. IJ10 .t>1pflc.a que~ formular-e fCSOl,'tl'O problema da cood~ dr caloJ no domwo """"""'O :s • :< L e. cm scgJrida. ..,iicor a solUÇiO -
.....
_
Plncond~dt~1mnOflsasCOOSW11es.scm~dtcaloJ,
1UbCCna lbnuca cm iomo do plano crlllral. t.cmptnt&n uucmt umforme e ooefi-
nOUtA 4-13
Ptrtlttn\r1~u·11tude
u·mrcrmurn Ili pa1ed" phm11 ~ll.1)1.l~l:t b
coowcçno a pai1lr OllJ •uJl<"tfktt1 po.rn r,
>T.
=---------------------
- - - - - - --=C=l;:;:
ap lulo 4 • Condução df! Calor Trans.iente
Transrertnc.18 ele C1lo1 • M"•"...
ctcnte de CQm"CCÇâO cousianlc, o problema de conduçiio de cu.lor traruitnte unidl
mcns.ional no domioi<:> OS x s: Lda parede pode ser expresso como (ver Cap. 2)
T
1
~
ª"
o 1uhnc:ro de variAvdc mdc1)Cndeotes cde parimetros de 8 para 3,dc:r, l.., r, k, o. h,
J)at11 X. Ot e Fonia (Fig. 4-14)-l sco é.
Te f
1
8=,/\'X, Bl.FoJ
o
1 ·~ IJ = 11(71!., fl
<
T
1..1001
... llk
"6
i11
LõT
e
iX • IVIL) • T, -T. ã;-
Sut.tltumdo n:as &1s. ~lúa e 4-lOb e teO«lcnando. rcsulra
•
08(1, I)
ax
llL
48(1,1)
(4-11)
Port.UitO. a fvmm certa do tempo adi1oensional é., = a:t/L2, chamado n6mero
de t"ourir.t Fo (cm homcrut.gern a. Jean Baptiste Joseph Fourier, ver Fig.1-27), e
roconhceemO!S IJi = kJhLooma número de Bior dclinido na Se9io 4-1. EntGo, o
furm1.1h1ç!lo do prob1cO»l de- conduçOO ele calor t.ransienlé unidjmeosional nn p;1rc·
de plana pode ser cxprcssa tJn ro11na sdimensional coroo
a'I! ae
1!.q1m('i1C1 Jlft!IYtncwl <IÓlm~nsimrolizadcr âj(i - "ã;
(4-121)
(4-121>)
6(X,0) = 1
(4-12c)
1"'4 f1e1bt1 a rulJ7..,.io de e5tudo11 paramétricos e evita resul~ em fonna gráfi~
ca A eq • J 3 ia vcnio gcocn..b.lllda da Eq. ~ para anilise: do siscerm agbne·
niM ("Cin ~'lfljYC:I\ ~liS;) . ls.to pode ser demon§trado pclo USQ das definições
det.o.l.,.81ek>Mliq.~ O.........,.,finalé
k
., . ~ . Fo
L'
A <qWIÇlo da coodoçio de alar em """""'1aducilíndri<as ov esfál<as pod< ""
act1mc~7.lda de fClnDI 5Crodhanlc. Ob:sctveqoe a adi:mrns:1oaal1:zaçio rttlllZ
de okt!
,...
•
'
~,
........,.
T• lh.l.t.t..•.• r , r J
~
... ,,,
~. flCX,
º' •
1
•D. '"1 •O.~ • - B•O. ,..
ll
....
l • J\A.811,•I
flCUU4-14 Aado-~
rcdlrl; onDnrtnode uru:~ ~
• probkmedc ~lnll"lltfta"
Solução exara de problema de condução
transiente unidimensional•
A 6q 4 12 6! umn etlUtaçliO dtfert:nc:tal parciil adimensionalmda qtie,. juoumtnle
com D'I cood1çõct 1n1c1al e de coolorno. pode 5ct resol,·ida. oom o uso de \-árias ttt.
nte.13 • n01JJ1ic:as e n~nca.1.. incluindo a trUSform3Cb de Laplace ou outras tnm.s·
(flfMll~C, o ""Ccxlo de kPatJÇio de vari:iveis., o c~todo das difert~s fini'as e o
mciOi.lo \lc clcmc.nlo'I llnnos. Aqw 1121ainos o método de separação M variávei5
deitff\IOlv1do pot J. Fourier na década de 1820. que consiste em expandu a (unção
1i'bil1iirh1i (ilK.hundo a c.:on~lante) da !léric de Founer_ O merodo é .aplicado com a
tUpo'l1Çik1 de que fl \•an~vel dependente x ja produto de séne de funçõe.... cada uma
11endo fun<;:lo de uma úmca variá\'CI in<kpel'ldenlc. Isso n::duz. a equaç.ã-0 difcren·
tlaJ p:1telal ao sb1cm11. ele equ.r~·õc~ d1tercncfajs cwdinârias. cJlda uma sendo funç~o
da '11lkll vl'lri,\·d inde pendente. No cwio da condDÇlo tta.nsientc cm parede pia.na,
JXll' titcmplo. fl val'ld.vd 1.lcpcndcnlc é u função soJuçlic.> 8(X. .,), que se expressa
con1c.> O(X. ") • FtX)G("), e a aphcaçii.o do mélodo rcs.uha cm duas equações dife.tt11<:i~i11 ordln4rln.\, mna cm X e ootr:1em-r.
O mé1odo ~ apllc1h•cl se: ( 1) a goometria ~si mples e finirn (coroo bloco
re1a11gular, cilmdro, ou e.sfe1\I), de fonna q ue as superfícies da fron l'eira possam
li.C:I' de..,cr1111 por fuDÇÕC:S m:uenulticas l implei;, e (2) a equação direrr:nci1tl e as
condiçõt:s i1Ucial e tJc contorno nas f()l1tUI$ wais simplificadas são lineares (sem
1tr1110J que cn\'Olvam 1>1odutos da "'ariã\'cl dependente ou suas derivadas) e en·
VOl\iern t11>cnat um lermo não homogêneo (termo sem \tati'vcl depcndenk: ou
•".111 dt:rh··1d1111). Se • foi111ulaçio envolve uma scnc de termos não homogêneô$,
o prublcni1 pode ~r dh·1d11.ki no número igual de problemas ma.is simples que
mvolvt1n u.pcnb o lermo nio homogê:neo, combinando, depois. as soluções por
A1on v1.mos dcmoru.uar a uubr.açio do método de separação l;le varif\-eis
~ic:1ndo-o IO prOOkma de cooduçkt de calor u·.a.ns.ieflte unidJmenuonal dado
Bi - ~
dl
,.,. -
~IJpetpO\ÍÇào.
x - •i.
h ·
14-13)
• ......-.. =lúpc,t. difosMdodc t=nicaclo maurial
v..... .,... adunm>.....ia. o problam. delilliodo a vum...t cspocw ..i1mcRJ1ollll X = slL e 1 1empna11ua adimea.siocul 8(x. r) = (T ~ 1) T."117, -
.,.....,IO.
°""'"' c~an
.LL-..l...!L,1t, Oi • 1
-
T.J Es.µs C!COlhas $1o coaverucnlt$,, uma vn. que ambos X e 1 wariam cnm Oe 1
No rntan.IO. llo há cl;ana onMUIÇ5o pn a forma certa da variMI trmpo adunta,.,,,.. e da ..,.;o M.
dcuamnO$ a aailiS< mdri-los. Consl>lan* qoe
tat Pmtilern.
ptb Hq • 12. Eiu pnmcuo lup. '\-amos aprcss.ar • (unção tempenlura adi.men·
_oi , rx.•}como produto da ,...,... - d e X e. função de
T..,,.,,
e(X. f) - /'lX)GIT)
(4-14)
de.,...
wu...klbCllOOClal
l. o . .okrebe
alQ comodidldc 111:11 ~ dot
..,.-.
---------------'C::•e:P;.:;:;
ítu~ 4 • Conduçào dt C.lor Translent1
S..,_.lluitodo a Eq. 4-14 na Eq. • 12a e dmchnJo pdo p<Oduco FG, oil<ctnOI
1 J'F
1 f!!!
pdj(j - Gth
As~~ A. sãO ~ • .,.nirdacondtÇAo micial, Eq. 4-12.c.
.
...
0(,1',0)= 1 - > 1 = ~A,Wt(A,X)
(4-15)
°"
Qbo<nequc 1ocb """""CI"" depcndom do .~<>tio no lado c"l""fdo da <qua·
çJo e todos os teimo.. que clcpendtm de 7 e.üo no lado duc110 Ou seja., Of lc:nnas
que Jio funçio de di\•ersas vnl'ldvels são .r~1u11Y1d()s (da{ ú nome s~paroç6" tlt'
'10rid\•t-is). O lado esquerdo de~tu equação é funçJlo apenas de X. e o lado direito~
fu~~ apeoas de " . Coa..Udcraodo que tanto X qu:uuo; podem \'ariw' de forma tnckpcadornc. a "ualdade m Eq. 4-1 S pode,.. - - pon 'l"ÓI- ....,.. do X
e T loClmt":ote se• Eq• .t-15 fOI' ip•I a uma constante~ Além di,!tO, deve ser• COM·
cancc negai:iva que indicarcmo011 1>0r - A1, umu VCl (Jué umu c<>n~ta111e positiv.i fnrin
a funçllo 0(1') aumtntar iudcfinid~mentecom o u:mpo (ser ll'liln1ca), o que olo tem
Mpsficado l'Wco, e o valor de tc::ro para a coa.ttlnk: sillllfica nlo l t t dtpendtuciti
com o 1eaapo. o QUC ê 00\--amcatc tntoftSlSSt:nlc com o probkma !""l.SJCO. Pv..mdo a
Eq. 4-15 igual a - A'. temos
14-11)
e
(4-21)
~é 1 CXPJndo em '6ie de Founct que CXi:JR$5a 1 constanle tb 16-1e mfinna de
fuoçôe~ cosseno. Ago111. multiplicam<» nmbos os llM'los da Eq. ~21 porcos(.\,...\?
e uucartunoo de X ..
X = 1. lado direno e.11\'0l\'e um 11umcro infinj10 de
idtcg:nus da fonna J;(os(A.,.X) cos(.\.Xldx. Pode 'lefdt:tn00$lrad!J que todas e~~
ialegnd desaputum. cxcdO quaD(io n = '" e o cacflic-..enrc A., tom11·W':
o"
o
bso complea a Wluc dl $0lu(io do problema de conduçlo de ca.lor tnmsic111c
uoidunen.s:1onal em uma p.art>dc plana. A.;: soluções p::im outms gcorne1rius. como
cilindl'O Jongu e c~fcra, 1)()dem ser dCférminad~s us.undo a Rle.\lU.l nbcird3gem. A
apro.'-i iMÇ!lo do cilindro klngo pemu te assumu a (l()fkJU(âo umdur.ensrooal a.a f.11 •
reçiO ndl.&L É uma 1pro:i1nuiçào ratoiw:I pera ctbndtos tendo rvJo de compn
1'' • C 1cQ$(AX) 1 C1 scn(AX)
t
G
= C~ -''°'
(4-17)
raumJckn na Tab. 4--1. A soluçiO p11rn p.'lrcde plam11ambêm é 11J)llc4vd para um ~
p:irede plana de espçüur11 L cuj:a supcrffcie esqucrd~ c:m x = O~ i\Olada e a au•
pcrtk1c chrt1U1 cm .t. • L' submctJda l COCM?cçào. uma \U que t pttc1samen&e o
-probkma.-..Wõcoqucraoh-tmos.
e
O• FG = C 1tt ""IC1cos(AX) + C,sen(AX)J
,.-"'"{A.co11(AX) + Rseo(AX)I
(4-18)
oodc: A = C1Ct e B C1C1 t.lo tonSWKes ttbatrárias. NOlc que só prccuamo$
ddenninar A e 8 P"f"l obl« a llOI uç5o do problt:init.
Aplicando ü Cl>ndjções de c;ontorno na Bq. 4 l 2b, obtemo,;:
~=-0-+ -• •Y(A,AtcnO+B.tcosO)
VI
O-+ B=O -t B=A.e .._COl(..\X)
AI soluções anaJf1ic-.u de problemas de oonduçlõ 1ttn!iicnlc c."1woh·em ~ncot
aofi111u1~, portnntu, u nvnliaçiio do ud111t.ro inlioJ10 de lermos pam de1crminar "
tt1uper.i1ura ein dctcrmlnndo local e momento. IJ.50 pode lntim•d.v b pnmcira vb·
u. mas nloi prttioio lt JftOCUPU· A r.-... 4-IS mCJW1 Ql.IC os &cfmOf, l'IOSGmõllÓDO diminuem rapdanltnie <un "· e ooru.oqoemen~rue ..\., aumenta cm virwde d•
fUnçao de declfuio expooencial ~ *-". 115(1 oc:om: copecialmerue qu1mdo o tcm1X>
ndimcn~ionaJ ~é gnuulc. E.ruiio, n avu.li11çJo ~ pnrociros térlllol d.li série inCiniU1
(oeste C:l'l.O. apcoas o primeiro termo) l geralmeote adcqu:ida para dclc:rminar a
l<mpenllft-"""'16.
1A.R[U 4--1
"1.h a &aOgeMe t runçio pcriódtea com pcóodo de w. e a cqu~ A WI .\
Ba
1em 1rattA 1 catreOe1". a ra.az A 1 entre-:; e lw. •raiz A. entre (n- 1);; cn•. etc.
Para rtoonhccerquc a eqnaiçilo tranM:endcnuil J. lln J. = Bl cem nümero il)fimto de
r:1.Ctcs, lsso é exprciSó como
.......A,,= Bo
~191
A Bq. 4-19 é chiunMla equação c1u1•tfcrístk11 01.11mlofil11('Wo. e llWIS rab.cs ~Ao chir
rnada11 V11Jnrcs cunM'tcrfstkos oo 1uitc.walo1'tS. Ni:....secaso. a equaç!locarac1eríl11k:i é
°"
lmplkita. pOCWlW valores airatterisucos dc\'t.m 'er dêtcrmi~ nwnerica.mente.
~Sit que t-' um número wdi11.11ode soluções a:a ÍOO'bli AI' ..-.. cos(AX). e a toloçio do problema loncvde cooduçlo do cal«~• comi.naçlo Wicudelas,
Sum;rao 411 ~ $*1 conduçJo t1~ untd..,....,.,al tl"I' """ C*'@de pl#'ll
de esptHUta 2L, um c.•hndto de raio'• ª utnJ e$ter• dt tllO '• submelldo • eonvençk>
,!!' lOCllS IS Superffct11•
-
.....
EJ1e1
~ .\,•-"" oo•(A.Xl
• l
{4-20)
.. t -
r.>••
<1 T.llCT. !ll~•b.ir• tO•l'l'llMiomll. 81 - ~•cu 11r,.11rtonGfl'tl'Odt 81111. fo
ot lt1 CU fllltf f O fl0"'8fO ti• fQldll!I' • 4• J, QI ts IUl'IÇl)tt dil 8e.sel dO P'l"*o l>OO, Cllpi
•Aq11I O
8 •
..
A.;1 lie as ral111
~knt ~ .-.taclt;$ . . J6 C-S.
.....
º· •..t.[•!·~,\.X}
{4-221
men10 t.ao rai.or.,dc Ur. ~ JO. 0,1eiul~ pani tocbs as~ soomeuias esliM>
C'UJIJ JQtuções gm111 são
--
•.
1l. + ..a.L)
.._. . ,._ . 8t
hraRI . i,x- 1 CI • 0,2
•
!
•
_,_
' 'P"' ·~
0.1S~I
1
~
1.113 _..,..,
.......
9,IV28 -<\ll76
•
..,,,.,
OCl'CJS
IUIOOJI
b.Cl!XXIO
F.
O~ da WOÇioem
~nt!$ de probk:mas de ooindtiçJo tr.lnQC'Olt
d1mim11 r11pldnmcme conto 1t,1nlc111ci n e,
cntlO, .A,. p<1r causa 1.b (u~io de declíruo
txpontoct.a1 CUJO UJIQcnle t - 1.,T'
Ca{>ítulo 4 • Condução d6 Calo1T1ans1ent1
olur.
n Ili' .as e
at•cas aproximai s
A soluçáo liUllflica obhda anterionne1"11e para condll!ÇãO de c.a.Jor tran11.i~ntc: unldl
mcnslou.1 em parede plana eovoh-c. 5éries infiniui,, e equações implfd1a.ç diíiceii
de •valiat. Por isso. hA clara motivação para simplificar as \Qloçôcs analfric.u e
~ar as M)J~ Ili forma de sabdâs ou grdficos. usando relações s.implts..
tu quantidade>
p definidas para partde plana iambém podc1n
~ usaclu pua cilutdro ou ~Jft~ nbsbtu.indo4;c a varih'e:I espacial , pnr r e •
mcaa eiptPUnl L pelo flllto utcmo r.,.. Noee que o comprimento CUX'tcrisr.co na
dcfiruç.lo do oúmeto de BMlll é comiderado como $Cndo a otria upamm L pan
parede ptua e o mio r. p;n. cilindn> kJog.o e csícn. em "tt de WA. hldo na IMluc de ....,.... ogloo1Cl"lllos.
MnclOllilDOS ameriomxorcquc m lmDOS das soluç<la<111 sét1<> 01Toh1-1
~m rapcJ;imeru com o awncolO do tempo e p:n T > 0.2. muJkndo..ie o
pnmr:uv acrmo e dcsprcuado IOdos os lle:lmOS 1"CSW1'Cs da. s&ie. o QW resuha t1"ll
um cnO meoor que~. Eswnol nonns.lmcntr: m~ DI sotoçlo para rtmpo
com T > 0.2. polUlllO '- coova.;entc c:qxcssar a solução usando • apro:rlmaçio
do cunm. dad:a por
oduneast..,..,
T'
l
Coellc11n1ts ut1l 1SI005 N .s.olução apro:uM&da do termo da condução de c.lor
t••Mitntt ...n!Glmotrsional em paredes planas. c.ilindfoS e es.lenrs {81 • hUk pa-1
pateát pl1n1dlm.penura2l e 81 = IW/k. para ciJirdro ou esfera de raio r.J
Ili
O.OI
0.02
O.o<
O.o6
o.oe
0.1
º'
o.3
O.•
0.6
0,6
0.7
0.1
0.9
1.0
2.0
J.O
•.O
M
T
6,0
1.0
onde ai comnantcs A 1e A1 slkl funções somenLe do oúnlero de 8101e seus vti lorc~
c:.i!io Us1ndos na Tab. J-2 em (unção do número de 8io1 para iodas as uts geome·
trias A (unçito J0 é- a função de 0C$SCI do pl'i.mciro ripo de ordem zero, cujo vtilor
J)ode ser determinado a parlir da Ta.b. 4-3. Observando que oos (0) • Ju (0) 1
e o luuile de (sen x)lx rninbém é 1. <CS~$ rela~'.ôc:$ .são simplificadas nas f1)mrn~ n
AieJ!Ulr p::mt o ce1\lr0 da parede plana. do cilindro ou da esfera:
e.o
9.0
10.0
20.0
JO.O
'º·º
60.0
100.0
1•a1
Compara.odo OJ dou. Ullunos coojun1os de: cquaçôcs.. pen;cbemos que a cemper•..
tun1 adimtoiKJO&I em qt.ll.lquer ponto da parede ptaoa, do cilindro e dJ es.fm c!id
relacionada COUl a temperatura no ocotro pc>r
~--(A").
~=J.{A").
l
O..ci fl\.,.
........
11~11
e
'-'
8-., =-
iC'D(l,rl'rJ
.l,ttr.
(4-291
o que mostn cpx • depcad!oc:ia oom o r.empo da tcmperarura adimrnsi<IMI ditn·
iro dt dQ p:ometria ~ a messu em todos os pontOS.. Ou seja. se a 1empcn1ura
adu111e&tonal ao ceouo 60 dirmnwr cm 20$. em ~iudo ln(lmen10.. o momo
-
A,
A,
0,0998
0,1410
0.1987
0.2•2S
0.2791
0.3111
0,4328
OS218
05932
o.6m
0.1051
0.7506
0.7910
0,8274
0.8603
1.0169
1,1925
1.2646
l.3138
J.3496
1.3766
1.3918
1,4149
1.0017
1.0033
1.0066
1.110!18
l.01JO
1.0161
l.OJll
l.()<50
l,41289
1.49GI
1,5202
1,5325
1.5400
l.5552
1,b/08
l.<>580
1,070!
1.081•
l.0918
l.1016
1.1107
1.1191
1,1785
1,2102
1,2281
L,2403
l,2419
1,2532
1,2570
1,2598
l.?6:>0
l,2699
1.2717
1.2723
1,2727
1,2731
i ,:>731
..
0.1412
0.199S
0.281•
0.3438
0.3960
0.4417
0.6170
0.1'"65
0.8516
0.9'08
1.018'
1,0873
l.1490
l.1048
l,2558
1.5995
1,7887
1.9081
l.9898
2.0•90
2.0937
2.1286
2, 1566
2,1795
2.2880
2,3261
2,3455
2.3572
2,3809
2,4048
...
..
1,00:!';
1.0050
1.0099
1.0148
1,0197
1.()2'6
1.1)483
1.0712
1.()93)
1.11"3
1.1345
1.1539
l,1724
1.1902
0,1730
0,2445
0.3450
0.'217
0.4860
0,5023
0.75'93
0.9208
1.õ528
1,16!6
1.26<4
1,3S2S
1,4320
1,5044
l..2011
1,5708
1.3384
l,4191
1.4698
1,5029
1.5253
1,5411
1,5526
1.5611
l,5677
1.5919
l,5973
1,5993
l.6002
l.6015
1.602 1
2.0288
2,2889
2.4SSEi
2.5704
2.6537
2.7165
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.....
...
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1,9962
1,9990
2.0000
1eonlccc com• 1cmpcra1ura adimeusionaJ 8. cm qualquer outra posição do meio
oo n'lt.~rno tcinpo
Vm1 \~:t que o numero de 81 é conhecido, ~relações podem ser usad:!s
Pll• dctttrmn.a.r a lt:mpcn1ura ~m qu.alquer lugar do mc:io. A de1emtiMÇJo cb~
COft\taJ11t:l .4 1 e J.. 1 &eralrnentc rcquc:r mic:rpol~ Para flqoelts qoe prtferem ler
ptr- pua r.,.,. mlerpOlaçio. essas maçoões e soluções de opoximaçAD do ocrmo
alo~ cm form1 cr'f'ia.. ~comogrdficmda 1~10J1U01rmr­
"4"nu. OlMcot que°' ~ s.IO. ti 'V.cs. cbficeis de ler e esdO sujeitos a ttrOS
de lo1u111. Eollo... n:1oç&o-. de...,...,. preferidas em relaçio ms gdficos
o. píf""" de ....._ .. .,.......... da. F'ip.. ~16. -1-17. ~•8 pon pan·
de .......,. pton•. <tillldro I""'° < ..reni fonm _.,lados por M. P. HeiJler,
~unçõe5 de BesseJ cto cwlrnelro tipo de
zeta ordem 1 Ol'útm swlme1t1
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-rerupcnrure Cbarb for lnducdon 1111d C'.onsn.Tcmperurnrc HeatinJ" 'f1U11J.ASME69. l\M1,
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lntmwimml.)
(c)Ttans:fedntia decafor (dc JL Gtfitl«d 111.)
~~: 4--17 Ort~icos da tcmpcrntura lnlnsieoie e d11 transíetl!ncia de cf1Jor d(tdlmctro fon.go de mio r.,, inicialmente à u111a 1einpi:.mtura
rn.e 7;, submetido à coavccção cm lodos QS IJ<b\ para um i.neto a uma 1tmpcnMurt T., com oodiciicmede OOOVtt<Ç!tôh.
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Otkl..,. 4 • muu.. V4 o w l1une., pi a deMid:ade e,, éo cQJ°"e;pecffic::o do corpo.
Au.1m. Q_ re~nw a quantidade de: c:ik>r traosferido para t ~ oo. A quaabcbdc
de alor tr.ua.~fc-nOO Q e1n lemPo firuio t é obvu11:ncn1e meoor que a quanticbde m'x 1m1 e pode k1 c:J.ptt_.<1~1 como a wm dali mudanças dc: energia iocerna oo loa.go
de 10<1a a geotnctn.a como
(.r)Tcr11pcntu11 oo c.nnu t<le: M P l kialirr. ltmpcnilllre O.:irtt f« l~llOll Mld eon.inc
Ttfflprni....,. lit•1rn1,. lhM.t' Af,\lt 6'J, I~?. N'· 221·.le lm~c:Cllll pemldSlo
tt
(4-31)
Otldc T (.-. 1) d :1 diJ1ribu i~OO de te111ptnnura no meio no (empo / As:s:omindo pr&-pricd11de'i con ~111ntc11. n rn.11.10 Q/Q_, tocna-se
~-t=t
.JL • .(.t".Jrü.il-T.l<N ~{< 1 - O'l<N
s
Q,_
!""'2J
1n·,cr. - T,)V
Lh1ando os reloçOc...'i OOtqrn1das p;ITTI .cmpcrawrn ndimeosiooaJ baseada~ na apfO.
•hnuçtio do 1crmo 1~1ra p.Jrede ~1lrin:t e geo1nctnas cilfndricas e e.sférica.s e cxec,1
11tndo ai 1n1cgmçõe1 1 nd1cadn~. oblcn os as seguinleS rc:la~·õcs para fração de calor
1ran\fe1ic.lo r~i;IS ccometrl ~:
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pp .!17·~ l...,_oon.,........
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ntâUtA 4-11 OrM'lC•da ~alln u.....-ccda....,fafociil dealuda:daade mor.~· nu temptmlft
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,.-.nem do '4hdo.~ para " > 0.2.
~que o cooo l/81 • IJhL = O correspoode a k-> ~.que conespandc ao
~da
~ ,,,,.,,,pcoda T. 15'0 t. o caso em que a sup<rlicie
do corpo l iq>c11111n1mmt.c kvlda.,.. a tempenrun T.. em1 = Oe maotida a T.em
lodol OI momcDIOI pode ser UJiudo Jll'l"Ú da toloa!;io dr " UJfimlO (Fig. '--19).
A leCllper1INra dó corpo muda • pamr da 1emperaa:wa inicial T, pag. IC:r!f!CRlld c1o1..- r ... ru..i do pro......,c1c cooWç1o c1cca1ot~. Assim.
a quanl1dad• mL•UN de cal0t que > oorpo pode ganhar (ou petder se T, > T.J t
a.mpksmenac • '"""'1nr11 u qwuu,Mdt 4k "MfPI do corpo. lslo é.
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11C:114ac&.naal-ip 4 16C',4 17~e.4-- 8c.cmfunçioda$\~8ie•'o.d~pua
srMdt .,.,_ plan&. cd1ndro loqo t e:Men. R:$pCCb:vamcn1C. Obsttw que. uma
''" qo< 1/l'lf\'loll<cab"1mlfmdoQ{Q- ...ma sMloddcmünodaaponirdes""'-ou~.,.,,.
qUMtlKbdc toai de calo< uusfmdo ......
ltmpo Pode ccr a"111tadl muhtpl~ esA. fração por Q_. Um $inal A/tOlit'f)
,.. Q- 1nd91;1 que o corpo
~Jt1t•wlo calor- (Fi,g. "'-20).
,..
dado'·.
e.""
1,• f
A 1;enq~1a111,. d,,1
supt.tflcar apccdicad11 (0111C$po11dic llO
cnsc de OOl'l..'C:C\'no ,-rn llmtiicnl" • T. cam
C'Oekict1tc de com«elc> h Jl'ffí11lm
- - - - - -- - - -- - - -- - - - - -- C.
=p;;.ft:u.::.kl
: 4 • Condução de Calot lran11ento
·o-·
... •
T• T.
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r.
1
Bl• .
"':' - "4"r -
8
A u1iliiação dos graficos de Hei,.ler/Grõber e as sóJuçõe.$ de único tenno, j&
düc1.1tidas. ~ fünuOOas. às condições especific:adai no infcio ~lt seçlk>: o ooq>o
e&.Ct 1nlcua.Jn)ecue a uma temperatura 11niforme, • t.empcrJLtura do meto ~m 1omo
do corpo e o cocfldcntc de rraosferêocia de calor por oom'tlCÇJo são constnntt!' e
ttnJ/oNMr. xm rero(do d' rolQr no C<lfPO.
An1criormcn1e.. 005 dlscubmos o Mgnificadct ff\:ico do ndmt"11> d' 8;01 e lncbcaaxn que esta é uma medida de impor11ncia relab'\-a nm dols mcanlSJnl.b de
craosfeltnc&a de c:olor: ~ u supcrfi'cic e coodM(IJo 11n1~ do >C!hdo Um
pitquno vai«._ Bi 1DCbca que a f'CSl.StêDcia iruenl do corpo à c.anduçlo de c.akw
'- pqwno ecn rcl.çlo li f'C!i.u!ocia de CC)t'l'ltccçio entre • supcrf"lClC e o Ou.dr>_
6nl f\roçlo d...o. a dosmtiuiçio de wnpcmtun1 oo u..rior do
bem
uniforme. e a aoihse de suttmas aglomerados passa• $tí ~I. Roconk que
qund<t Oi < O, 1. o cno ao pruwpor qoe a 1emp::rawn no mttnor do corpo !iil"Ja
i clcspeú..1.
PMac:ouipieeodc1 o ~grufacado 6sirodonaime11>tk Fo«Nr'f (ou Fo). V3ftMl&
sólido.,.,...,.
"'""'°'"ªºcomo (Fig. 4-21)
T"""d< ~ dc Cllo<do""J>Odc
IL1 (l/L) 4T espessura L e 6rea D(Jmd] L' ('i'Ohmtt L')
tl.T
Tau dt unna41mtunaJ10 dt- calor
DO f..'Ol"PO de: volume Li
at
T •
°"'°
Po11.otnto. o nCirocro de Fourier~• medida de~,. condl~ido 8Ull'i'és do corpo em
rtlitÇ"~O ao calor arma~n(U/o, Eorão. um grande "alordo número de foorier in<hca
propapc1ão rdptd.1. do calor através do corpo.
Tul\"'tZ 'iod cl!lCJll se petgwuaixlo o que cons1uu1 uma plnca mlimu1mcntc gnan·
de ou um cihndro irtfinitune.n1c longo. Afinal. nada ne&ie muodo é iufinito. Uma
plaic;i cuja cspes~u ra é pequena em n:J.ação às <iurns d imen..~s pode ser modellk'la
como u1n11 placa infinila1Jl(1ne gr.uide, exceto mmto pcrtb das bordas externa!! Mas
<is cfcituii das bordrui em corpos grandes são geralmente desprezf\'til, pon:rnto uma
parede plánu grande. como a parede de uma c.a&a, pode ser mQdcladn como uma
11arcdo infinilnmente gnuldC prull fins de 1nmsfetênda de calur_ Do mtsmo modo,
um ciJindro l<mgo cuj<l dil'hnctro é pequeno e.m relaçtio 110 comrt'ime1uo pode ser
analisado 001110 um cilindro mfinhamente l<ingo. O uso dC)$ gráflcCX\ de 1empcrn1u111
1r.111~ie111 ee du suluÇ-ÕCS d<1 1ermo é mostrado nos Exemplos 4-3, 4-4 c4-S.
A;lpr"=0.151X10-•m:h
AldliP A clara 6o
«MnCÇt a &." mau. dC'8A ... tcmperallld de 63 "C e fiea
..._, ida .. lempa'a'lgq de 65 '"C. A p1111 do
OOlllCÇI 1 solidificar u ICmpa'e!W..
Jo.- 6' ('e &. ~ M knapcdln dt ?O "C Auia o OJWt ioltdo w 10n1a sóbdo
ct1 •,..1Cmpentun.11t111111dc 70..:-~lqulrí.....SOc:iomoC"'10s61i..toootldo.A ~
~\11111 ckNrO do O"O "*'li a.o 1 ~ r1114111 e c:aq o lf':lllPO. A tett1pcntur-.
cm• b:-al eapct(í.co •• dteembaado momeMO podt ter"~ a pwt• dot.
pdKG1 • liN.l« c:. "91 ~<ics • 1nm1> Ullico Aqui. 11SU110s Hl.I úlauna opçio
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A fmçtO do ak>f total
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c1c1e:nnhwd~ com 11 ucdi1.:içto ~ artnOOf
""1prtffMln O IMI de 4u1 do• ovos é de CO'Cl de 1•~. pmanto .1 oondurividadc
ll"l'tlltl'I e a i.1111.1111\'ldà!le do11 OYOI podem 9Cf aptOJr!imàdas dai ~ua à tcmpttarura
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~ t 5up.:rior 11 0.2. pottlll'lto, a .sc>luçJio do k'noo i apbclvcl com cnv de JtlC006
de 21l . Oc1111e modo, o •~•llllO de wnnienlo t dctC'rmi.nado a p.'lc11r t.la defimçio do
nt1n~1'0 do k>urle1
tr!
(U.WX0.025 m)l
a .. O.J3 1X 10 6m1ts =S6S, ... ...... min
P\w luo, tcv1111' lt'.•t• de I! rninutQ\I im..rn que o ocmro doovu11e12 *fut:cklo de 5 •e
lll~70~.
D 1o1tNO Note 41N1 o mlmc1·u de Uiot na an!lisc." do $1Sh~ll\a$ <1g.lomcr~ foi dt'fi·
111110 de rrn111drn d1Jt1"1:1Ue '"~mn 01 = liL/k a: h (r,/3)/k, No cn111nto. qtia.lquer umo
d.-, dc.ílnJçõo Jklllc i,e1u•11d.i. J>i.•• detenninat a aphcabitidacJe da análise de s~emas
•11 lon1C'~ a 1nc1m" 4...e U1 • 0.1.
X li O 4 ,. Cozinhando ovol
Ulil OYO comum pl.>lk 1a «-ns.1dietado llm.l e!âm oom di.itoetro de 5 c:m (Fig. 4-22).
O c.M> ~lá ioki.almeot.e .1 uma 1empt:111t'lltll uniforme de S °C e é colocado na qu
nc
• O~odo~no
~O t
J>OCk flCt \ 1UO C!Oil'l'IO • J11.lo
c:bt.ihçlo). A'-'un, fl4 um11 qvl.ntid11dc coosideliYCJ dc~i• ou boa prática por mlii
dot:o.umtntO de.! O\'V11 ald o rifvcl '61Jdo ~·
faW:ndo • 95 "'C. TomandO o l»él}mntt de uaosfcrênc:i:a de. ca&or por COO\'CJOÇ-io
1 100 Wlro1 K. dctcnnlne qU.111!0 ~mpo scd lk'OeSsúio pen que o ttntto do
oY\1 dqllr: • 70 "'C...
T~ - XX>"'C
Ir- UUWfw. K
A
°'re • ta..u de Qk,i «..•u.Yd.J ,..... • l&U
de caklf ~ ..... inommto
Nole 1amhin1 <11.1~ O1em1X> de ootuxtt.1.io dq>endc de ulguos paltmetros como
1am1mho do 11\1), lcmpcnlt\1111 •nlew do col.imtmo, 1c~u111 de cbuUçlo da i.g:wi
(•h1hdc) e OC'ltftc1e111e llc IJUl'a de Wor (nf\•cl de nxwimenlo das bolhas durante
SDLUÇl.O
u.. OYOcd.scodoroódo Ql . , _ r~ l>etefminarok"n'lp).e-
cadrio pD cor.dai-lo.
1 O°"'ttmfonnacsf6iica('(llDRior• • l..Sca ?A~dlt
Clllot ao O'l'O é llUCI~ a. Yinade da 5imeaMI térmta «Jltn o ponto""
h+t l&ftel:sdo°'°co~de~dcc.llb"do
~ 40nlirller0dt founetl1' >0.2.dcmodocpe•~~
W JA.sp+
doMmO·~L
lXCMl'tD
.f Aqueç1mento d1 placas de bronze em• forno
f:.m un tainca.. 11MC1c1 pt.x. dr latio de• ande~ ..IClllmeate .1 uaa
~.... 11111tonm ck lO"C,,,., aqueçll.lu .. $CICM passadas pol'Wll rorno .....
J00 "'C (ha,. ..-23). As .,._.... pmuocc:ua llO Cor.o daTac o p:riodo de 7
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•ullldol fl\ll' p!ttiAQll líO oll..clo~ IXlf mCtO daa pt(Jpnedades rta tetnptra1uni ~di a.
4'cé~idhlticoao~G11Cldow ... lbUWc.-do01gdrlO)sdc
11nlolc::r. r.J11U1mo. podrmos -..CalJT.ar• anü1K6e P:sztm11 ~Omerados: com confJllJIÇf
111111ndo o m1mcrodc 1).01E $uft1;1ct1renxntç llCllllltOO
A tJ ;.• A 1t:m~11tul'I cm um loc.r esptdfko em delC:rn:iin<ldo mo~olO podt ter
~ • ,.nu-. . grff'KOI. de Rtula w dD IOluc&:I de 9mnD tmco. Aqoi..
u1amos os p6coti p11'1 demon••nr 5ua uulluçio. ~o que meia C'\JIC$)ura
ch1t:hllpíl.i 1... 0.02 1n. 11 1lí111u•cJa Pig. 4-lfl lemos
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redrü1r louarne:n1e em u11J 11mtHcr11c. • 2CM) ·•e.com çocficlc:.nte nM1c.l1ode 1r111, lt rõn·
<'Ui de ci1I« h "" $0 W/m 1 K. Octtlntine a tttnpcnitu111 no çcmro do cUo 4.S mino1os
ç6I. o 111K:ío do pcvca.o c)c. rcd""'8ClllO. Aiim ~~a umd"ftfncil de
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212"C.
D1stu"lo Pcrocbc-!llOfl que n 1111111ero de Uiot, n«tc C-oli!IO, é BI l/45.8 • 0,022,
quté bem tnínior a0.1 Por
nperamooC q1.1taaa.Al1jedc ......_ag)om:'*'9oe
po.sa m arldwd l..o lalnWm ~~a pstirdt (T - T.~T11 - T..) • 0,99. o
que 1Dthca c1ue as 1e111pe:n1.10nis no ett1t1u e 11.11 soperfkle da plac. c1n reJu.çno b lcm·
mo..
pti!ltum 1unbéeote ~(lk) dattro de 1'I>. Ob-.crvando que o erro r:11volvido no kmUJ
.............. clclkiNc<l,~.clc---•-·­
pode
.aul1ados pitcl5°' C'Oln mmos es-rOfVClS.
.,~ flCMC CMO.
é T > 0.2. de modo que as .lll>lui.õci. 11proxl111adlls dQtctmo único nno ~püc1h'1lt
As propriedades d-.1 11ÇO in.nMliw:I »i 6 llC':llllpChÀft smhtftk s11o
l ,.. 1<1.9 W/ln.K. p • 1.900 .tp'. ,, ;. ..T1 JAi:· K e a e 3.9.S X 104 mlh (nh
;.. -3). R~1,1 lta..k115 ma1• JW"ilot j'!Odcm itJ ob1idQe pi()( O)Cfcl dt15 pcopNCd.cks 1:.11
tcmpe:raluto mldJa.
A ~ ~ illlft.ar do eu.o pode ''WW de acordo com a d1t1lntn1
ndlal r, bem L"OmO 00111 o lempo A 1emp«airu111 do ICK:.tl c11pec(fko cm dc(1,.'f1Y1ll11ld(I
niomt:olo pode $C'r e1~f11>1t11da a ptnir dos ar'ficltS de HtJ,kr. Obilctnndo qllC' o t.)ÍQ
do<ilA.>ér~ 0.l in.aplnird•f';c.."-179tMOt
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14.9 \Vl!n•K
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• _ _ _ 1'20 Wlm1 K _ _ _ • 0.<X>l &S s-t
(l$JO trJm'XJ80 ll\t KX0.02 ai)
!'!..__T. = Q.<IO
ler.
A , upcrtTcic do 111111, krênicl.f1de .::itl1Jr dll placa ;: lA, onde A d 11 átt:a dn ÍllL"e da
pi~ (11 piarei ~m calor atnWi dt . . . duas SUf'tJftàcsl. •o Yokne d.t pl.aA
i V .,. Cll..>A. oade LI a~ ~sun dl rbA- O c.&pocnle fl llllihiado n1 •nlbK
de A1s.ierna.; 1gkm1C'1'11d(lll é
b- ""· =~)
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!!!')j6
Bi
(iO Whnf.IC)(O.l ta)
(0, 1 m)1
r, - r. -+ 0.4(7; - T..J = 200 + 0.4<600
T, - T•
'
200)
Lmlio. a 1~mpc1t1h1 " do ctmln'l do eixo duninu1 tlc 600 ºC p1u,. 360 "'C' em 45
nl111UlO!i.
n
•JI' 4- 4 EllCJ..ccna ,.,,. o
E.\ccnplo 4-5.
Tr1n1ttt•nci1 dt C.lor • Massa
Capflulo 4 • Conduç.IO de C.lor Transientt
4-3 CONDUÇAO DE CALOR TRANSIENTE EM SÓLIDOS
(C(iW1111Ull(W,.I
Para ddcnrun• • cnin~rem:.da de caio.·. primeiro pm:Wmos calculllr o mú;J.
mo de calor que pcxie &ef" ~fenda a pt;rtkdo c-iJirWo. Q11t ~ • tt1ttgia !itnlrll\.cl do
flll'IJiomt rcl.tçlo.., &eu mi:JOambteniL F*1.endo l 1 m.
=
"' • pV = pwrI L = (7.900 kg!m'J~O,I ml'<I li)• 248.21'
Q_, mcp. - T,) = (24U kg)(0.477 klll.g-KX600 - 200) 'C
= 47.JSOkl
SE~ 1 lfl'FINITDS
Um '6Udu ~m1..mfim10 é um corpo Klutii.ado que tem Wtica superftr;~ plana e
ao infimLo e111 todas u ~.como nlOSUado na Fig. 4-2$_ Esse
corpo idc:ah7.ado ~ ulilil'Ado para uxfi.car (JUc a mudmç.a na 1emperawra d.li parte
~corpo mi que õllU110J '~ (rcgjkJ peno da supcrficie) é devicb is O)ftd~Vc'.a. IÚ'1lliCI.! tsn t.uperllt..'lt 6n.ta. A Tema. por exemplo. pode ser COll.Sldcnda
mtHl ttml•IAÍUUIO., detttmioaçjo da vm.açio da &C'mpuatur.a oars proxioridades
da "lf'<rllcoc Albn duto. uma pm'de ~ pude"" modelada como um mao
..c:mi·tnfimlO M: ~&amot mccn::uadm na '\-arjaçlo de teíUpC'nlUn na repio peno
de um1 •~ ~perlk~ e a ouua suptrf"1e11e está muno looge para t« alguma in·
ffiibk&1 ~a rq1io dr 1n1r:rcs.w ~1'11D5t o peóodo de ob5cn-açio. A tempemu·
,. aa ttSJlo ceaual da p.lrtdr. Kuc caso. mari16Q.se ioaJkrada..
~ Cilt.1kle
tt'
""'"'-pai_
Q = 0.62Q_ = 0.62 X (47.3SO kl) - ~-"° kJ
4ue /. 1 t1111~í«i01.-aa toeal de nlat a pllrlit do eixo dura.me os primriros 43 mifllll()\
dr:rts.fri.amemo
oi ..
.., Tambem poderúroos res<>lwt ~ problt:ma U.'iando a i61uçJo
de 1a-rno O.nico c:m vct: dos grifi<.:os irnn,icnt~lt. Em prtmelto lug:'ll. enc:oo1ra1n(MI o
o~iroetode Bioc
. _Ar.
Oi -
k -
(80 Whn'·K)(O.I m) •
14-9 W/m·K
O
•537
(k CUCÍK'tefllell ), 1t A, cuttt!<pol\dt:me11 a es11e Bi p11111 um cmndro i;!o dc1crmi11.ado~
a p11rurdl Tab. 4--l c:umo
A1 ao. 0,970,
Sut»-11tul11do os ''11101-cs na Eq.4-27, tem~
80
T0 - 'r.
l
= t;.
_ T. = A 1r •1
r
1, l lU-411.~ 1 .0'IJ • 0.41
do<""""'
d< •. _ . pude ... modelada ......
'61• ~Mntimcas.;. que o calor Mo wn lempo sulioenn: para prndl'lr ptO(lln-dameale no corpo e ~espcs..wn. não entra na ao41i.seda lr.Ul:lferêoaado calor. Uma
P<(°• d< IÇO <le '"'"" quolqou. p<>< t=tplo. pode <er uuada romo sólido ><mÍ·
1of111100 quiodo' re.,friókb raptdameole para que aua supcrficie e:odunç.L Um corpo
°'~ M1.perfiae' 1qu«1c4 por J~r de pulso podt SC:!' tnilado da mesma m:J.DCITlL
ConMdtrt um tóLido se,ms.infimlo com propricc.bdes terrnofis:i<:M cOilbtantes.,
tem scr-.içlo i ntr:ma de calor. coodições t6-nuca.~ uniformes na mpertlcie e,x po$1:1 e.
inH:-IJJmtttte. ti uma temperatura uniforme 7;. A 1.tansfuênc1a de calor. nesse cuso.
ocor~ Apenas na dircçllo oorinal à aupcrfü;ie (d1reçiQ t) e é. portanto. unidm-iensioMI. As cqu,.,.m1 d1rcrcncini' ~no inde-pel'ldcntC$ das rondiçõcs inic:iais ou de con~
toirr10, por1utuu a E(1. 4---JÔcl pode ser utitilada pam ooudUÇ"JO iransiente umdimcn·
111on11I cm C(l(>r\Jcnadas Cóltle.sianas. A prol'uncbd.ade do sóliOO é grandé (.t -t :i:i) em
oompu1i.çno C:O(u o pfoluncl1cL1de cm que o calor penetra. es,.çcs fcnômcoos podem
11el' lmlOOos m111ein1ukrunentc como condiç.~o de eot:llomo T(x 4 oo. t) = T,.
A c:flnduçllo de calor em um s6hdo 6emi-infinito é regida pelas ce>ndjções •ér~
m1c1U1 lm1m.,tllll n1111u11crfkic cxpo!<l:t, l)Of1an1.u a solução dc:pcnde foncmenie da
(OudiCllO de COflll)lTl-0 cm A = O. A seguir. nprtse:Olirn)C>S um.a solução nnalíuca
ck111lh1.clt1 para() cnso de tempet1Uuta constante T, nn ~u 1:ietfic ie e moslramos os
1e~ultndos para outrlt( condições de comOJlMJ mais complexas. Quando a lCnJper!I·
lura su1>e1ltcial d ohcl"'.tda. pàfll 7~ cm I = Oc mar11ida coostanle oe.'>SC \'Ulor o tempo
codo.11 rorfnulaç11o do l)foblema pode ser cxpres.<1a como
ponanttl,
r.= r.+0.41(l;-T.)•200•0.•l(600-200l
o \•a)or de J, (,.\,, rara Ã,
, ... e
o.ena 6 delcnnmado. plltlf ca. Tlb 4-3 como 0,430
l>tpois. 1 rnçicl dt 1n1mf~1 inoa de ealot i.determinlda a putir da Eq '-3"4 como
-........
JL = 1 -1'/i(A,)
- 1 • 2 X0,41 ~ =0.636
Ã1
0,970
íl-
~'r
Fq11fl(/Jo di/tr(Mull·
l"Mdi~1'1tW1tomo
CMt.t,ç-'o 1ntcfül
1 8T
a.• =;a,
T(O. ti = T,
e
7\:K.0)
T(.r ~ oe>,t)
=T,
(4-37•)
T,
(4-.J7i.)
(4-37C)
A &6.:ntc1 da 1i.e~3o de \·afÜ'\'eÍ.S não funcKJna nesse caso. uma vu que o
mceo ~ 111fuu10. /\tas oun abordagem uncligeme que C'On\"Cfte a eqwição dlfercn·
Q - o.636Q.. = 0.636 X (47.3SOltl) = Jl. llll IJ
A lqcir'I dt.fttnça eG1re oc dois re:su.bclos é denlJI 80 mo de k.wra
al.I pan.:111 na equç'iO d1fercncW ordaúna. combiundo as duas VU'Ü\'C'lS mde·
pm..knld se / cm duca '\"Wif\'CI 1). chamada de '1UÜ'ffl de $imílaridade. fUICiona bttn. Para o:induçio lnnnmk an um meio ttm1-mfiru10. ela ê definida como
·---
'
...r.;,
•
Tnin1ttttnc11dlC.lor1 Mam
Capitulo 4 • Condução de Calot Translente
Con.s.dc.-ndo·sc. T = 7' ('J) (a ser \•e.-ifie.adQ) e u.i.-aado a regr1 Ja cadeia. todu
'" dcrh-bdas da cqu...K;iO da condução de e.alar pOdem set lr:11'1sfomu1d3~ na nO\'a
vitU\f\'Cl, como mosti'3do oa FiJ. 4-26-0bscrvaodo que 11 = Ocm x =O e 1) ~ •
14uilftdox ~ oo(em 1 = 0) e substJtumdo na f.q. 4-37, após nmplificaçio 1em-i.e
('"'19a)
1\0)• T,
-
.-.UU4-ZI
~.....
....-~as.-dcfn"lldliidlC'QlllÇtodc
a.duç-lo ck call.. por a'liCIO da •tblaçio
...........
(.__)
e
~ qi,ae a segunda condiçlo de oon1oroo e 1 coodiÇ'lo U1iciaJ rewham na
......,. oondlçfio de
.-orno. Tan10 a cquaçãO b1111Sf00ll3'b qmmo u
~
J. ..,.,orno dependem 1pm25 de ~e sio indepeadrnt<S de x e r. IU mo. a hln>·
fonn..çio' bem-sucubda e 11 ê rcalmense a ~j\'CI de iiCllllelhança.
.,..,. """'" • cquaçiO dif..-ial onlioina de segunda..,,... da Eq 4-39,
dcfin1mo1 uma 00\111 r.srif~I w como w = dTldfJ. lsso nôJ:z a Eq.. '-39a em cquaçio d1fe:rmc:i,;a_I de primeira ordem. que pode $er ri:soh m por mct0 cb sc-pançâo
de vWá\'Cl'-
"!_ - -2JJW ~ ~ = -2~ --4 lnw • -r( + C. ~ W-= Clr-<1
"'
oodc C1
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Fvriçlo trro cornplomt11IM
Whd
0.00 l.00000
0.02 0.911•
O.OI 0.9!>49
OIX 0,9324
0.08 0.9099
0.10 0.881~
0.12 o.8602
0.14 o,8t31
0.1& 0.8210
0.18 0.1991
0.20 0.7773
0.22
0.2• 0.730
0.26 0.7131
0.21 0.6921
0,30 0.6714
0.32 0.6509
0.3-4 06.306
0,36 0,6107
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• 0.$910
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0.72
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0.84 0.2349
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o.as 0.2133
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L,12 0,1132
1.20 0,08969
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1.28 0.01021
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1.32 0,0619'
1.34 0.05809
1.36 0.05444
1,38 0.05098
1,40 0.0471'2
1,42 0.04462
l.44 0,04l70
1,46 0.03895
1,48 0,0363S
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2.60 0,00074
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2.90 0.00004
3.00 0.00002
3,20 0.00001
0,00000
3.60 0.00000
'·""
ttr dcicrirunlklo 9 p;'lrlir d.a lei de j!'ourkrCQmo
em"'
O fOJnecc Ct •
2(T, - T,)
\,/;
(~1)
Subs1itulndo :" cx prc.i,s~ de C1e C2 na Eq. 4-40 e reorganii..indo ti Y.1ri11ç5o de
tcmpctnh.Jra, l orna~c
y:;_ li
0.00662
Conhettndo a distnbulça.o da 'empercuum. o fluxo de calor na supcrfkie pode
du+C1 =C12+T, - t C,=
T --T'.' = - 2
T, - T,
tlfic(.,)
(4-40)
-'du + Ci
onde 11 ~ ~ \'aritivel de inlegcaçlo. A condição de coolOOl(J
T,. cllCC>l)(lição t.ltoo11tornopam?} ~Ol)tfornecidti por
• 0.007'1
1,90
1.92
1 'M
1.96
198
2,00
210
2,20
2.30
• .-d• • erf(~) = 1 - cóc('l)
(....2)
A• ~tuçôt•11 llt1i. fa1 ~. 4-42 e 4-14 (.'Q1'respondem ao aumento (ou diminuição) repentino d~ lcmpe1a1uru do 11u1>crl'íc1c exposta do 1nt io T, em / = O. e é Ul<'tnlicin
nCfi"e \'alor o lempo todo. A cem1>ena1uro superficial csvccific:ida é raioavelmenic
lJ)fOJ1Íl'll:'.lllJ1, na pt:b1ca, qunodo oieoJTe conde11lHl.çâo ou ebulição sobre a superfície.
Uulíz:B.1ld0·,11c u abord11gcm de 11emdhança ou a 1éc11.ica da trans.fo1mada de LapJ:a.
cc S<>h•~Oci anolfllt.11.\ puJem ser oblld.as pars ou1rns condições de C-On1omo na
wpe1'fkH.", com 011 '"C8\lintcs ~u l1ado~
Cuo t: ·rem1>er•lur1 superOdal ~pedlk:ad:111. r. = constanle (Fig. 4-18).
71,. '!. r,
r. - r.
t.0
1,1
2.0
1.5
•
flCUb4-27 . , _ . . _ , . ,......
~ pdllo......
co..o .. fll8Ç'(lft
irM>C" ~CUJO''• ,._.tnlfCOc 1
me(i\,/;;
•)
e
q_.(I) =
l:(T,-TJ
v;;;;;
.....5 )
......
\<iO chamadas de função t'tTO e tu.ação f:trO comple:me:ntar. rcspectMlll1Crtle. do
llfJUmculO lJ (Fig- .&--27). Apesar da ap;arfncia simples. a mtegral na ditfiniçto da
func;io
""° oio pode ...- resol•«la oaliricameote. Por õ..o. a funçio <tfc ( ~) t
svatâ numcnameoae pan diferentes valc:wcs de .,,_e ~ rew.bados sSo listados
uTlh'-'
./I••
C.O 2: Flwro clt cal-O< t<p<àl'ado, f, = oonstaole.
7\L 1) - T, •
,JV,.;;,
(~)-.~J_.)]
il.
7
""'
\2Vc;
C"f'
_..... .................
Uh 4 21 Di.uribw<'iDdt
~
ll'lfll.Sir9k' 00 i6hdo tm'li-1•ÍIMO CU>'
supetffric ~ lllMOda • UftMl llC'1llpenll...
-.r,
--------------------~C~apllu~~
lo~4~
• _!:COlld~u(ió.S.C.lot T111n5ltnla
Tren11tttncl1 dt Color • Missa
ÇBSo J: Conn~cção na st1perf'ídt-, q.(t) = h (T. - T (01t)],
T(x,1) -
T. - T,
-~ zy;,
x- --)- cx.p(l-+-uk h'o•)~
(-zv.;;
x- +h-Vai)
li'
1
r, = cuc (
<HC
14-47)
Caso 4: Pubo de tntrgl• na super~ r ,
constant~
fAesJJ• no valor de <. por umdadc de supediac (cm llm'l ~ fonwada ao cqrpo
..emi-mfmaoo wa~ no (l)()fOCQto t = O(por meio do
141,.,
de paho. por
uemplo). e lod.a • cntlJia i consiclcntda como ert112ndo no C'Of1X' icm otnhunll
pmla de calo< a porur da <Upcrflae.
T(x. t) -T, = -
..
-
( ")
..p - 4at
k~
(-1
Ob...crvc que os casos 1e 3 estio inwrwnmtc rtlacionado5.. No Ca_"° 1. a supcrffcte :e Oi k<tada à lempe:rntura T,. no mome.OJQ t = Oe mmuda ncMe ~lor o
tempo lodo. No Caw J. a supccficie i e.xposa. à convecção por um Uqui<lo a um:a
lempc:ralUn cooscm.tc 00.il c:oef..cicllb: de tr.i.nsferfnci:t de calor h..
A~ soluÇÕl'$ pata codos os quatro casos s!kl :ipre.o;entudas: n.3 Fig. -l-29 par~
um ""~ l'l'p~stritath·o. ubhzando u m grande: bloco de ferro fundido inidalmentc
a O°C. No Ca!l<I J, a tempet:uura dn ~upcÕlcie s.e mantém cons1ank no valur el.
pa:1í.c3do de T, eh ICmperatura aumenta grodualmcnre dentro do meio, à n)f(hdn
que o calor penetrn maJs Cundo uo sólido. Ob.o;er\'C que. durmne os pcrlodos inl~
c1m1J, apenas a camada fin.1 p.-óxima da superfície é nfetacb pcl111rans(erênda de
c.aJor. Além dts~. (J g.mdientc de lemperatur:i na superffc1c e. port.u110-, a UIX4 de
1ron\(trênc1a de calor no sólido diu1inuem com o tempo. No Caso l. o calor é con·
1i1mamcnue l'omcddu tio sólido, pon.anto a tcmpem1ur.i demro do sólido, incluimio
11 SúpetUcic, aumeorn com o tempo_ Este é também o cnsu da oortl/éC:Çt\O (C~so 1),
excc10 porttu" a tcmpcm1ura J o Ou.ido que" rodeia r. é a mais nlu1 tempcmtuna
que o c:01po !!.6hdo pôde atingir. No Caso 4. li Sllperllcieé subme1idll ao ap0r1e i11S•
tantãaeo de calot fornecido no momento t =O. como o aquecimento pol' meio do
pulso de laser e. cm i;cguida. a .!>Uptlffcic é coberta c:om isolamemo. O resultado
é o aume.JllO inslantâneo da 1empcraturà da superfJcjc, seguido d.:i queda na lti'f'I•
pcratura .à motbda q~ o calor é conduzido para dentro do sóbdo, Obset\'C ql.le o
1>edil da teu'1peramra é sempre normal à superfl'dccm todos os 1empo~. (POf" qu~?)
A variação d• Len)pe.tatu:ra roin a posição e o 1cmpo cm um sólido &rrni-infi·
n1to ~vbmchdo l crao..-fcrêncla de calor por com'CCÇ.ão é apreitCntada na Fig. •-29
para• tcmpera1ura adimcns1onal em função d.it \'aci!vel de .semelbançs adimcn
i;1ooal 1) • xi'\/'4iii. para difcreotcs valores do parimctro Av'ãi J 1. Apesar de a
'Oluçlo aprocntada oo gri{KO da Fig. 4-30 5CI' $impleuncnte o grifico da soluçlo
ualiha cxMa. ela csti suje:ill a. etrOS de kitura e... pOrllniO, é de procidõ limitada
~ romJ"Pd.I com a dgçjo analítica. A'6n disso. os,.~ sobre o eixo \'t"f19'al
da F11- 4-30~ ax = 0. pOtuOlO "'1"="WD a
<upctflae..A curvaltV'ÕtJI: = scôi1espoodc a li ~oo. que~ aoc:asodatt'lllfl•
pttnOllD r,t,pitn/ic:oda T. M .supcrficic cmi - 0. mal, o casoc:mquc a supcrf'ICIC
do cotp0 sc:nu-•flllilO i wbltamC'ale ~ à temperatura T. cm t • Oe mannd•
ern T- o lc~ IOllo pode ser tnlado por meto da defmiçio de 4 i•fini10.. Para um
cocftclCllle de trmsfcrêoc&a de calor fitUto •. a tempenmra cb supttflclC aprôll·
IU·k da ccmpcrann do OuKlo r. como o 1empo t .sproxrmam»-.s.e do 1n.fim10.
r.
.._.,.da
,.
rcropo.1- 0.10 h
2h
Ih
0.1 h0,1h
o .•u"0.2
...,--'-'-=-""---"-'"'
0,4
ll.6
OJI
(1
( ..
'I .
IOO"C
l>i~t11ncc fmm •t1rf110e f , ' "
'I, •O "C
l20\Wm1 K
O"
V11n~óc1 de lcm1M:':1111ura coin • posição e 01empo cm um bioro gl'andede fcnt) fun(ll{_, (o • 2J 1 x JO-' m1/a
M>,2 Wlin Kl. inid1lmc1>1c •O •e. M'lb diferentes roOO.iç&s t&micu na superlTci~.
Contato de dois sólidos semi-infinitos
Oulndo
doi$ grudes oorpos A e 8. 1oícialmenie. oom IA!mneratw-as umíonncs r.. e
~
~N
._,. "iO pô.\lM tm eotuato. 1tinigcm iru.tantannmc.ntc a igu.aJdade de remperarnra
na tupcdki<: de roolaJo (~ • rc..-151l:DCia de contato (or desprez:f\'d., a igoakbde
dt lcmpo-a11.1ra ~ obtida 80 loogo de tc:>da wper{Ktc). Se os dou corpos são
do me.mo m11tn1I C...'flt propn~ constantes. a simetria térmica. aigc qu.c a
&cm~ura d.a 1upcrllc1c de conlaSO st'Jl a m6ch• arn:mérica. T, = (T41 + T._,)12.
fft.lftkndo--~ ((JQ&.llnk oc.w.c 'alar o lcmpo lodo.
'
Clpílulo 4 • ConduçJõ de Calor Tran11entt
Profundidade •íni11a para enterrar tubos de lipa e
CXIlllPID
ewillr 5eu conrelamento
Í',!ll ..'Ca~ onde 1 ltmpMIUll.. d.o · -permanece abaixo de0 "C' por longo&: pttfodos de
1r1npo.ocoqc:J~dltgUil 1)1)i. l~ ~éutugrande~~
khtm~ o M>lc> pel"fMIWtt 1da11vamcn1c ql.JClde ct.ru1e e!iSleS ptdodos. e ~·.a
IW'U...... JWI qut ~ Wl'lpthl(lll'b ntpbv.U cbq-ocm aos cubos de
f&oa DO 90lo.,
llb."' niodtl, o dr"'ª'~ loU'V'C ÇQPO itolulle dicu. para pn:iltgUOl wbo•
...... db ~ MS*h\'llt .018YCmO•
U. .,..,._, e• drio-ntUdo toai eM6 cOOttlo por wu t:alllada dt .cW: a
- to~ durule o pafcidc>Q.Wlltwo lk 3 IDC'ICS. ~as popíielbdes mldsa doS(lfo
. . - kftft.lo!- O,.&WIQl•K ~ca · O.IS x 10 •ar1stna-'-l2).Considtr~a
....
...........,. ~ an1formedr IS "C p1111 o ..._delerftut aprol~ 111iauna
de'rclll ia-altmdol i--mw-.. ~bmr-.
cm~ o. •ubot
SDLUÇÃll
~ele ................. - - - - " " ....,,.-.....
OreemnlRll • pr~.,....., qlllll!:OI ~ cae.ua:su eau::mdmcm deter·
..- .....
cu cu cu OJI cu o.6 0.1 a.a- 0.9 1 1.1 1.2 l,J .....
•=
rl::
•ICUU .O Vwuçio• ~com apos.ç5oco tt-mpoemum sólido.snm· tftfirt•IO
•AA 1~nw a1a0per.1utt T, wbmittJdo l C<lll'ICQÇio para o ambitrl..: a T.. com roeíttC"idU
de transfafl'll.'tll de clllor porCO•Wtt""3 la(~ 1$:ndi:> EES).
Se°' COfpoS forem de mmcriais d1(crentes. eles coot1nuario a auna.u a 1.;:u:1lr., nesse <:aS(I. stt4 diferente
S"'""
t A lt~ t10 ""Olo é alc:ladli pelas e~ 1Mr1ic:as a:a iWca
w.ptrfr..:ic •· •nl.ln. o ~) pode: tet" C'QD$t6mcio um meio .kfti-.iaftailo.. l As pro·
pi'~ WnhKb di> '4)loa.i!J ct>n$UOl!e:s-
At fJfOPfledades do solo aão dadas no ~l'luoc.:i:Wa do ptoblcm.a.
A tempc.-.ru11 do 110lo cm 1omo 00. wbo!i- .,r&O•e apóis J meses. oo ça)l)
de: profu11dtdulle númm1 de llltttO. Ptlnan10. a pa:r11r cfa Fí.c. 4--30, temos
d~e de tcmperotum. mas a lcmpcratllT-' da superfk1e
h~ •«-
da m~dia llrhmétka. Observando que ambos os co~ pode1n ser rmrndo'i COm(I
\Óh~ S(:1J1Hnfinitos oom ól mcsmti temperatura® {l\•ptrtlde cspecificacla, oba
laoço de energia M tiUpcrffc1e de ooul.itlO é foroccido 11 partir da Eq. 4-4S,
.
IJ
.
'•11
• q
1,M
~
-
_
r. - ;,
k,/,T, - r,.1J
1
(dcade ll_,1111) }
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11 - ,j;,=0.36
-~- 0.6
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r,.. - r, J<kpc,),
- -- = y;;;;, -. T,---=
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(kpc,)
k.CT, - r,..,)
* _..
11
(90 du111)('24 llfdj11)().600s/h) -=- 7,78 X io&s
Entflo 1, i, dad:i por (fig. 4-3 1)
T=
'
~r,,+~r.,
V<kf>C;J, + V<1cpc;i.
(.... 91
l\w li."°',
°" tubu\ llc Ativ• devi:m 5er eoLemdoe 1 uma )ll'Olh1id.dudt pele>
de
rnt'l'IOtõ
71_t tJfl f111MI t'Vll# )CU OOrtJelilflCIDlO &ob as ooodiç(lcs b pcttfieada$ ~ 10Vl11H) n~.
ncuAA 441 C..a10 4t dael ..oitdot
ticmt-á.aaen."""" "-~"'"' 11...:.-..
di!=-
Por am. a tcm.pcra.iura da interface de dois corpOS que cmmm cm coou110 é do1ttmàda pelo corpo com o maJOr kpc,,.. [$.se) ta1ubé.Ol aplica o mouro pcJo qual um
metal l 1cmpen11ur1 ambiente parece ruais. frio do que a nwSe:inl à meStna 1empc·
nilul"LÀ 1empcratura tlllbie.nte.. o valor de~~ 24 Ufm~·K p:.rJ o afuminin.
0.38 kJ/m)·K p&ra. 1 madeira e J.J kJ/m1•K para o corpo hum.ano. Usaftdo...loC 1
eq_ •-49. PJ(le·q dC':mon~l.rtf que. quando um.a pessoa com ttmptracura da pele
1 lS C toca cm um bloco de alumínio e. cm stcgWda. em um bk>co de msdeira..
ambos a IS *e. a ternpc:rawra da supcõ.cie de con1a10 scri 15,9 itC no ca110 do
aJum(nao e lO "Coo caso da madeita.
SOlUÇAO li ( NAllVA A Kll~llO ~r: problc:ml 1•mbêm podcó1 5tt dcK'r1t11nad11 p1U11rcLl Eq ...._...S,
(_ x )
\i\!M) --+ _O-IS
10 _ l$ - ttfc \JvÇ • O,M
T(...,) - T,
(_•
T, _ r; • ai'c
() ll'ptncflto qYC conapoodc .O \'ÜW da fw)çiu aro~~ dek:mumdo
•J)lnll'dll'ib '--4wt90 Q • OJ7. Ponmto,
t . 2.,v; - 2 )( 0.31v'co.1s X tO .. m11$)(1,7S X JO's) = l,IO•
r•.-
IO'C':
Capítulo 4 • t.onduçto de Calor franJlen~l•'..__Jf1o1f;if•"••
t,
l~~W""'
::r---
.
-
., • 10"('
!XlMl'tO + /
11'lln-.rert11c:i11 de çaJOf em 1Hoblc11~ de condução de calor unidimeruimUJI asS<r
Aumento da temperatura da superfície de blocos
aquecidos
cJ:.~ COn'I 1 parede plana arandc, c1IU,dto longo, c.sfera e meio- semi infinjto
2
Um OpcNO blooo de n)adeit-a punado dt pmo a 20 "C l submetido• um fiul.O dt
calol du'«101>'1ante de J_2SQ Whn1 (Fig. '-33). Dctcminc a~ dl Wpel""
f'k:ac upoN ido bloco apc·" 20 nufWIOC. Qual tieria a .a f"CSPl'U 11e o bloco fOifit
•irno etc aburunio'
Um Moco de adcira é submcoc1o • •m OuM' lk alor dlf t>cto--
SOLUÇÃO
DJW • t~da~dobkcoc~como,-.._..,.,.,. . .
WocQ•..a...nia.o.
~-·
~ 1 T°""' a ~..ia...,._ é absorridl pelo bloco. 2 A pmla
de ulor a pmtu • bloco i ,...,.... (pOCUOro. o rcsu.bdo obtido ia Dttllptntlft
..wa.J.- J Naco I sur~~ 6pes.10 pwa ter tmato como
16hdo
te9t.-tllfiulo. e wat pOfiiiitdadts Slo COlllAltlleS.
u.•
o
''*' O,~da4lf~e~tdade'.tl:nnicaà~_.
~iolo.l = 1,26Wfm·Kco - l,I X 10 m 1spwa~e.l-l31Wffe K
l"r+
f:o •
4
1
9.'11X10 'W~pua-'•DIÍRIO·
b1Jm bw /. um problema de ronduçio U'amlCnflt em um mao 5C:lllt·tnfm:ito 1ub-mce.Jo ao ftwi.o de calor coostlnk IMI aupc:dklc. e 11 111:mpcrâi1r.a d:ii qpcrfiac pock
la Cl~ aa f.q. '-A6 çomo
r.-1l0,t)-r,+ ~~
U111'1J&ndo-11C • •bí.'.ledagem de 'upcrpos!Çlo cbàluada de solução produlC>, ~"in
11jfk.-ot e i.Olrn~{les tw.ubtru podtni str aphc.adcK: na COllStrução de soruções pan&prohknw bulmrcnsioltou de condução de calor trans:icnu:, t.DCOOlrados au geo..
mtrnu l"OmO <..ihndro curto. barra manaul8;1' IOl.'lga ou cthndroou chapa se:mi-infie ll6 rne..iuo pan probbna lndimmsionais associados com gcomemas: como
pn~ f'C'Cangular ou barra ~.angutw secu-mfin1ta. ~ que todos» SUpcrf'JCio
do 161 ido QAc_Jma 1ubmdtdu • COll\'\".C'(Jo para o Oln1llO fluido à tmlperat:ura r _
~ llttsntd CA.>tÍICllellt. de U'llm.fem.c1a de cak>f,, e sem genção de calor- (Mg.
• JS). A toluçlo pon . . - _ . . . . . mulod1mctl$ioo>is pode ser <Sps<SSa cmio
ptOd><to daa tolllÇÕC> J"nl """""'1as • - s cup '"'~ t -
••ta
cahndto 'Ili mudar" com r:...,\lm C()O}() COIR, e com o tempo r. pois a nosf~~
üc calor Qa)ttt 1 p.ut1t do IOpO e do fundo do Wiodro. bem como cbs supcrficit-s
lalai1\. hro '· T l{T, A, l) ientioestt '-um probkma de C'Ol'MJuÇ'°...o de calor btthmcn:oonal lrbn.'41cntc. Qu.utdo as propriedades são cons1demd.'l.'S coostrutte:s, pode·
.,e rro,•ar que :i 11olu~·i0 diesx problema bidlOlefuiooal pOJc: ser cxpre!iss como
I
11
r,.......,.-lO"C
º
+ L1$0W/m1 /4{1,1 X LO-'m1/s){2(>X &la)
1,26Wtm· K'I
1"' '
n
l.150W/m2 /4(9,1 1 X 10 -1m'ts)(20X 60a) -
"""' • 2 *e+ 2l7Wlm·K '/
1t'
-
- 1
1\t,1.tJ
·~
..)C'll1--.c.tft)(llilal11M......a)
.a'-
A tr:mpenrura de 11.m
Cthndro curto UptJ!ltO à C'Of'l•fetçtO ~ f(l(l~,
A) o;u-pcrfk1c& wna cm amb.., aJ d•rtÇOeti,
aiu;il e r11d1;il: cnc40, ocllloc 4 1un,,fcn<kl
em
u dircçillõ
•mbl'
)
Ou 11e1u. a llOluçtiu pam <> cduKlro curto bidimcJlsjonaJ de ~Jtura a e mio r., é igunl
ao pt'OIJ,110 das soluções OOimenslonais p<Jra pan:dc plana onidi.inerL\i1.mal de bpc1u;um <te pan1cilindm
de. mio r.. que it.fiO as duas gcomccrias cujn imcrscc·
ç~o 6 Ocilin1.llv t urto, couio ntostrllido na l!ig. 4-36. Genera)izamos isso da scgutn,
1( rom1n: ti .Wftt4,v'ltJ Jmra {/t!Ot11t!trlc1 m11/1idlme11.1im1014 () J)l'()dulO dos :.·()/uçõtt das
gt1omttrlm» 1111id(m4!11Jit>nais f'l/ftl l111e1,ttcçau i" corpn muliidimtU1$ÜJtU1I,
'º"iº
"t
ll.tl
Noteqv.c 11 ene11ia lirmka fomodda à madeira acumula« próximo à su-pcrffcio tom
vutl.Mle lle flm bill1.aco11dWi'tidadc e difusividade. fatt.ndo com que: a tempctutum da
1upcdi'de ;1ume11k l>lll'a valorc-11 elevados. Já os mdais conduzem o e11Jor qur íOCebcm ,,..,, • i-1u11ntt1Y1a do bkw:o cin vi11udc da sua alta conduLividadee difutividll
de, 1uullnndo e111 unt aumt'flto 1niniroo da temperatura da superfTcio. N111call~
am2* H tem.ptr.tb1ra~ !ICtlC> blllJS balltti por causa de pcrdlls de calor.
2
Os perlj1 de ICmpt:l'llluta para iinlboi Oi blocos., de m:ide:1ra e 111umi111(1,
n111 • 20 nWi1.1l0to dlQ 11v11hadQll o 1raçadofi na Fig. '-3• utillu~ F.E.~. N• prôD•
l1QJ
V..1-'Çlodc ~nptn1un
dcnlro 00. WUQO& do 1n11kne- •lttnunlo t
r • 20m111
-B•
ma multJd11DNMOUI
('on~ um <1l11td10 CllrfO de aluara ae rUo '• iniciattneolc. a uma tempera-biira t1n1furmc 1; Nloa1s« nenhuma getaÇIOdccüw-nocitindro. ~o momcntol
• O. u cilindro' tubmehdo • eom~io de 1ocb:s as .supcõ1des para o meio ã 1emper11uta T. rom l'ot:Ítato~ de tn.1Hfcm..:1a de calor /t, A ttmperatura dentro do
Sublhtulndo os va.lort:I dnOOs, IO 'mip:Munts dJI s.uperfti.:1e pa.ru 1un00t O. bh>cOtl
de tl\111.idra t afu:mlnio .Wo
_
••>Cdalre....
hwlJdllde de~ • ().A J m. a U':n:lpenitunt em 11mbcli' Oi bloooc ~ 20.,6 "C. N.11 profund:i
J.-le de O.S m.. u 1eropcn;1u11111 tum;on ~ 20, I ~para madt1ra e 20.4 'C pi111 fl.looo
de t11.1mfruo, o que con6nna que () caiklt- pcoetra tl'Ul.d dipido e nuiit prctfl.inda.meme
e.11 dlCUIU C'OI c:omrp1R1ÇiQ com niu metaii1
P<.ir con\'C-ldCnela. as MJhf\i'le!I unidimensionais soo indicadas por
6,_,.,V.1) • (
Od1(T. I)
MULTIOIMENSIOr.rll!S
()\ a.r'(K'OI de 1empe,..m U'IO.sleose e as soluç&.• aullticas l(lfatnlados an·
1momrnle podem ~usados pua detcmunar a distnbuiçio da icmpcman e a
T.)
1(<, r) -
T.)==
r, - r. _;::!'
= ( r, - T.
1(;, r) - 7~)
l__.(). fJ- ( 'T;-T_
T.
-
'--'!'""''- C1Und1a
(4-5 1)
~
Por cxC'mplo. a .oluçao paB wna barra sólida Jooga cuja seção trans\·crsal ~ um
re1hplo n X b ~ • ao1~ao de dU;n paredes planas in'fwiuais de espessura a e
b. como tnOMndo N1 ,.,.._ 4-37. A:Mianto.1 di.Mn'buição de acmperarura nosiente
pon"""' birra
...-aprcna""""'
""""''""'pode
4-4 CONDUÇÃO OE CALOR TRANSIENTE EM SISTEMAS
'l\:<, t) -
_,..são........,.,..
A• fomw odcqu>du du ~ p<odolo J"nl OU1m
du AI~ 4-$. é 1m,poriaort oo&ar que a coordeaada xé medida~ panirda s.p<,.
l(ln(O
r
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Um tilu!Cbo amei ele nuo
r., e alruraoi 11 Jnt~Nt'f'(iftl ~ u111 al1ndm
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longo dt raio r., e 1.1nui Jll'll'ÔC pbil'll •
T1anslertnc11 de Cllor e Massa
capitulo 4 • Conduçio de Cêllor TraM11~ntt
lmll
/ictf' 00 '61ido k'.mi· inlinito e do plon0 c~ntra/ da parede plaoa. A distância nidial
Soluç6n mulhdll'l'ltnSIOt'la11 tKPtelllS como prod\lfoa de tOluçiDes umd1mensaorws para corpOS Ql.le estlk> 1rilclarmeme a uma
temper11u~ un1torme T. e CJ.PGJIOl à convtteçk 1rn 1odn .as superUtlts '*'um mtJO a _r·~----
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r 6 6t:fnr~ med:Kb 1 piu1irda linha cc•nraJ.
Obiierve que a t.0luçã0 do problema bidtml'...ns/onal t:aJ\.'Ol\"'C o produto de duas
tolUÇÔI!' unldimen~onais. wqu.anto a S<>lUÇio do pmbJC0\3 tridimenstoftal t11\'0l\re
0 produto de trls wluçõet umduncn,ion1US
Uma \'CfÜO mochfM:"ádl d.l aoluçio produto l:amb6n pode SCf' usada para dcr.a1run.1 a 1r11n,fc.r~nci1 1oc1.l de calor traruieotc para (ou da,) geometria muh.idia"W:noooal uubtando OI "\o..W.U unidtmeo.siOftais.. romo f0t dcmQAStnldo por L. S.
u.n.peoa cm 1982. A U111U.fcrfnc:a1 de calor mnsiew: p1ra gcomctna b1Cb.mens1~
nal formada pela 1lll<1100Çio de Mi geomruus ~ 1 e 2 é
A lr'ln.,(ttf:ncta de cate. ~para corpo tnduneo1iooal fonudo pela Ílllertn'\to de 16 corpus urudunm,\tOOalS 1. 2 e 3' dada por
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[UgiiO cH: q111t111 de 11tt1it cr11.íld11
~r1-0 d@ 1*'1@ i• nnit.o
A uhlu.AÇ.10 d;a ')l.ihJi;io produlO em problemas de cond~ de calor trumientc bi
e 1nd1mcn,.ona1, 6 nl051rnd.a 1105 e.xempk1s )Cgumtes.
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Qu:11rl11 d~ plõlletl i11fil1il1t
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"
1 A coi>duçiO tk e1lúr DO dhndro cwto 6 bld1rne:iWooaJ. pOl'tll.mo a
JS cl~ (axial x e radial r). 2 h J'")pncdndcltbmi·
cu~ ctllndro e o ootr1t.enee dr ltlln!ifcr&-=ia de cakn J.Jo c<msUmtCJ. J O 11Wocro
de F®1 lei 6 T > 0.2. tk mvdo que u 50IUÇ:ÕCS apro1m•111d.i do druoo lermo ÃO
L_ --
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Vm (.Jllndro t:urlQ de l111ilQ de d11imctro D= JO crn e 1tlt1,1t11 /( ll çm t$Cá in1d11lmt.1Ui ll ml'll• 1cmpcl"l.\lurn \1míorme T, = 120 "C. Atona, o cihnclro é <:okx:ado
fl<11U 11 1nM»l'~tico 11 2.5 41(:, 0t1de ocorre U"W11fe1~11C1a de c:dor por coo,·eoção oom
C()Cfkk:ntc. ck 1nu"fc1'611çi.o de çuJor li= CiO \\f/m1•K. Cálcu.le a ci:mpettt.tura (a) no
ocn1ro do dlu~o e (b) oo telllro d111upcr1Jcie suptr:i(lrdc.> dti.ndro IS minutos após
a Início do !tj,l'tbmcnto
S 1lffl
lt'1T1pct11lw11 vwla c1n
•mbli•
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4 ~a pamrdll Fig... '-16o como
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(3.l9 X 10-) m'ls.)(900 s)
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cxc ~o
Tran$ferênci1 de calor a partir de cilindro curto
DdtrmJne • U"INJcitocil IOlal de calor• puur do ciJmdro cuno de LatAo (JJ ~ 8.530
1
ksfm , , O.laOkJJta·K)duaJ11doooEwnpao.e...8.
llJÇAO VatlMl6 docennuw cm prllntd'O lupr- o cab- m!limo qiie pode $CJ
Mru!crido a pathr do Clbodro.. qw la QOMtldidc de cattgi.! .timshd do Clfuldro
. . . .\ .. 90tit'fl ~·
6
""'•'li•
"'• pVCl.5JO~O.OSRl)?(0.12•) • &,(Mq
Q.. • ..,p, - T.) • (l.Olk&)lo.JIOtJ/ktKXllO- lS)'C =290.ltJ
= 61,.....(0. t) X •-.<O. r) - o.a X o..s - 0.4
=T. + 0,4{1,
T.)
ª'1 iiiii1 - 36.17 - o,om
=25 + 0.4(120- 25) •
\~' º"' •
l;M~ '- a cemper.110111 ® centro do c;ilimfu> ~to. que t também o centro tanto t:lo
d llndro longO qmmto da placa.
,
.
(b) O ccnllO d01 ,,uperAc::ie aupcrior do çLIJndro a111da e:sd DO ccmro do cilindro loog(•
(r • O). m1111 011. ... ,-icrfJ'cie eittema da parcele pi.tina (.r L). Por lSSO, pru111altl()ll
1mmclro w00Sllnl1 • teinpcrntura da su;perüciie da parede. Obs;ervando que x • l ...
=
(0.0272!'<12.2) - 0,0090
(t)=
_
-0.47
= 0.23 l 0.47(1 - 0,23) = O.S9 2
}
T{l...1)-T. • 098
1 • J_ •
110 W/ m·K
_ 30.6
Ui l1L (60 \V/ml·K)(0,06 m)
-0
(C/~•- = ~~). ' (C/~,[1 -(a~J
0.06 m.
~=
O,(l6 m . 1
l 0.06m
}
r.- ·1:..
•
rot iMM>, a 1r:in~re1enei1 lOl•I de cal0t a ptrtlf do cilindro dllrllntc Oll primeil'Oll IS
mln..110A de rc~fri11mcnto d
Q • 0,S92Q_ • 0..5!12 X (290,2 tJ) • 172 IJ
l tllUln
11....,ct..1) •
1
• -T·)-098 X 08- 07R<
r, T. r. • (T(L.
r, r)-T.)(
- r. r,-T..
'
•
·
TCI..•)
f\1111U1l0.
CXCMPl.D
- T . ) - = 9-(L.,•)6.. (0.r) =0,784 X0,.1=0.:191
( !:!_L.0.i)
T1 - T..
-
•
T{L.,0.1) = 1. + 0,392(1, - T.) - 25 + 0392(1:!0 - 25) •
qi.tt: l a~DOotQllOda~~docilitôo.
l "C
10 Rtslrlamento de um cilindro longo com >rua
=
lho clli1klro ~ mflnJlo de at111nfnt0 de dlimcuo D 20 em esii in)CWrneoie 1
urna 1cmptnr11u.ra tMiÍormc 7j ._ 200 "C. A.gora. o dlmdn:. ~ cok>cado aa jgoa 1
t1
onde OCl)l'fe tnwtcwenc.. • cab- por CIOO\'ceçlo~ ~te de ttlmfe·
rb..:1acke11lorlt • 120Wlm'·K. Ddmrunc at~Mcen&rodociliodroa 15
CID dl ülrt.cn.-SC, apól 5 llUllll!m do llÚQo do rrsfrlame:nao.
-e.
-~----------C=•o:plt
="'°c:...4
Tr1nsfertncl1 de Clto1 e MaSM
1
1
r. D "C
1
D· Mein
r_ ... lS"C'
lt • l:OW/f!ll1 K
(«JftfUI~)
_
•
SOlUÇ
lit11Wi.ftdro 1c1111.m(wto de .tum11uo 6 ~ ~ ~Jlli Dt1mn1nw • ttmp:ntunt. no ccnc:ru do c111mtro a J-5 c:ro dl tti:rctllidMte
1
ConduçJo de Calor Tr1t11len1e
1A condnç-Jo M!tnUca oo cifutdro Sll::Qll•U\fítuto 1. bicli.meu:iioMI. pOftU·
to ~....,.dbtmbn•~(uQI l'C ~ '1. lA.5~ fá.
Nmdroc ocotf11Cdlc de vamftd:ncildec:ab' Slo~ l OftlllDM'f
• IWxt t. f > 0.2- de: modo qge• ~~do ICt'MO dotlpbc:f\'rl'-
..::.do
(-Te,.7O., _ r~T.)::::=..... ,_..,,(>. •Je..l0.1J =0.963 x 0.762 = 0.73<1
1) -
<
T(x.0, 1) - r•• 0.7:1447; - T.J = IS+ 0.734(200- IS)= m
/u pop bdrs do .....amou~~ do .t "" ll1
\\'fm·K e a - 9.71 X 1()4
(fab. A- 3). ~ -..s ~podem ser
•'h
........ • ...... ~ midil.
okedl.:ll pgr - --
AiUaW &.~l..tro.em-111-rlllUIO pede.sei"~ lanudo pda ·~
._ . . ~ ..C.llO de ruo r. - IOan e 11m tmio sc:mHaf1111~ COt*> flkl6cndo
uaF.,.._39
·ilddro
V... mQl'f'U a.se probkma usado. $Oluç50 de tctml> IÍÍftll;O J*1t l:.
e 1 foi~ analitica pn metO smu-infinito.. F.m ~ krpr, con.~Jt:tua o
cilindro~ klo:go e •nl1~ o rimem de Bn:
Ju.
81 =- T -=
(120 W/ml·K)(O.l m) e O.OS
237 W/m.· K
O- cocí1e1a1ties ,\ 1e Ai çorrcspondcno::t 'e$Sé 81 p11ra cilindw t.IO detemunadOli
1 fl'UUI dcli.b. <&-2 como ,\ 1 - 0.3126 e.A 1 • l,0124. O oú:~rode F'ountt, ncuci
du10.t
nt
r • "J =
l9.? 1 X 10-J 111'/s)(S X 60 li)=- 2,91 > 0 2
(0,l
m>1
'
portllfltll, 1 uprwnmnçiiu de termo úniéo é apliclb'CI, Subi.11tuiMo c111cs v11iorcs na
Eq. 4-l?. tCIL\Ol
80=8(11(0,1)
= A,e-~I~ • l ,Ol24e-(D.sr~2,911 =- 0,162
A 1101uçno pa.111 ~óJido semi .i 11íl11J10 pode ser deu:nniMda a pw'I ir de
1-e,..,,.N.•l=m•(- •-)
2Või
A'•')[ ( -v;,
s + -4V.,)]
.("' k'?
_ cap T +
trfc
2
lXIM 104
RHfri...nco do bifu ovitando "'" cancelamento
Em ....aa untd..dc de pnxa&arr1m110 de canit. b..tc. de 3 cm de t::lpCSSW'I. inet:W.
_..... a U ''C Mo re1fn1do1 ius pr.aektm de um grudt ttlripndor awuido a
l.S •e <F1.1 4...40). O. blla "°1 cukxados prú.umos um ao outro. de modo que a
traiu.fcrtna• fk caiof nu botd.i• de J c-m dt tSpcssun é dnprcdvd. O bife inre.ro
~~ 8Cf" rednlKJO •bGu.o de 3 "C. mu llMI tempcntwa não dt\oe cair 4!baixo de. 2 -C
(/O qu.a.l'IUf:r ponto dwa.n.1ie ll te$t'r1<1mc1uo. para rntat o cun,pJa:mcnto. O c:odi~
etentc de tr1n11(crf.ncU de calor por OOJWtcÇiO e, portanto, :a ltWi de tram:ferfoc-J:a
do ulor a f1Atl1.r do biíc podr:rl'l fEf amtrol~ por meio d:i. v:inação da vt"fodcbde
da \'Cn1ou1h• (le, c:1n:u.lll;IO. Ot1cmuoc o codicicocc de traittfcn:ocia dec:alot h que
pcr1111tlrd Ytl1fatcr •mba11 •11 ~ç&s de tetnpenilurac, ao ~mo tempo, msn1er
o tcn'J)I> 4k ~11frlamc:nto no vaJor mínimo.. O bt(e pode ser ltalltdo oomouma cama.
da ht'!t110J1,fne. tcndoa11 prup-lt!do1clc:s p 2 1.200 kgtm>. e,• 4,10 Wtm·K. k - 0.4~
Wtro·K. e e. 9,0J x 10 '1rt1/s.
~ r1. , lUrc• 11!ia ~~rnndo• <'m um n:-(rigcndor il\lllltido a-IS CÇ. Dc:tcnninar
n c11dlclente de lrt1~fcr'f_111;111 de calotquie pcrmJtc acs bifes serem re!':friac;lo.s nb11ixo
lle 8 "'C. cwlt1m<10.110 111e.unó ccmpo. seu L'OOgelamcmct.
1 A ccN11luçno de c11IQf :itruvés dos htfes eunidimet1s1onnJ, dado que
hwmnm Ullll eamilda 11111de cm rtliiçiô à es-pcs11uni; bd si.mcu\111inruca cm como
do ,,Il i.O .:c11lt11I. 1 Af propriedades •'rmi.çu de" bdcs e o oocfk1cn1e de transfe·
fCnd14,le ca)Or llO c:ocu1tantt'J 3 O numero de Fc11.1ncr t 1"> 0.1. de modo que as
klli.,·1lcJ ~ OAI 1nldlli de tcnoo dnlc:o 11io apli~vt:i$.
llflíl
PrifOW"O. dtlcnnuwnos •3 dJtei'Cl'llelql.Wllidades emrc peri:olcstS.:
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0.15m
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L
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~•Oddoe snâando a fuaçio erro .....
A 1n«1or 1cmperal\10 no btíc ocon-e na11 i;upcrfic:.e$. e a maior ocortt nQ
ttflllU MI fktmru!Uldo INMlknt(I, ume vu que a pane ttn1tal 6 o último loca) a kl"
rc,fnado. No C."0-liJwte. 1 ltnlpcnlura AI i.-uperflcie x - l
J.S cm t partu do
CienlfO lrfj 2
CllQIWllO a lcmp:nWra llQ pi.ano oerunJ m 8 °C. 00 am~ •
u-c l-..11ti0.. J)VUt
4-16b. ~
._1,, ....
(120 Who'.ICJ(O.IS e) • 0.07S9
1)7W/m.X
e'fr
AI propncdadies dos bifes 1Ao Jonll!Qdu oo «1ui:iC.iNo do probkma.
A
......... _
1
i
Si= iL - l.5
A
E:kempfo 4-11,
&querna pl'l'I o
_ _ __ _ _..:C::!•~P!!:ílu~lo~4::._:•~Conduç.!õ dê C.lor Tra111..nt•
(«Mll'tll#flf.00>
Oittdt'I.
O ooc!iocme de uansfcrt:uc::ta de calor põt COIMlCÇio deve M:f t11a.ntwio
•LaotklOllt valor~ 1atisfat.tt • R$lnÇ(lcSdc. tcmpctarun dumne o mfrlamen·
to do bife- TamlJém podtmoi cwnpm as ttstfi9ões p« meio da utilil'AIÇio lk u.m
c:ocfJCK* dt trulÓertncia de<alor mi::noc. mas bizi..k> seria prolongar~·
f\llllllClll.e o ttmpO de rcW1-iamcaso
M rdl11(tia qwc do 1nttt.QlCS., uSo dos grâficoa.& Hridct e du tol~ de
_...., OmcoCou ~roei ouuu ~ anaJ.flica) pc)da6 ttt~ potmrtO
.,.,.._do&_.....mc...__.....ooc:,.., S.
,,ua, bem C\ltOO du cund.çõcs ambit'Dlais, como temperatura e umidade rela·
u~• do o.mbie-nte e movhnenco do ar (Fig. 4-42).
O. mJcro.'Pm'tlllOl OCCCSSltam de alunmtos para crescer e se mulbphcu.
e i.u_a. ne.;e..MJadcs nutnc1ona1s 1lo pronü..mcnte .supridas por cuboidl'a1os,
p..-QCt:fna.._-.,. J&IJ nunenus e \'IWIUDU dos aluncntos Diferentes tipos de microf·
&•n•~ ~m d1Ít'f'C'Olct neceuidadei nutnc:aonai-5, e os tipo6 de nutnentes do
.tluncn10 dctcraunun oa llpos de IJlicrorgaDl.Smos que h3bi1am seu me..o. Os
coni.ttv1nlft ldKIOOados
aJuncnto5 wnb6n podem uubtr o C'ft$Cime:D·
to de dcc.anuudos IDKfQflUbtnOf Otfcrt'ntc:s tipos c:oooonem pcb. mesma
ofma de ahmc:ncos.. portanto a compos..çlo dos ~ em um ali·
'°'
"'""º
flD qalqoa - I O .te.,.- da ~iu da f'OP"ÜlflJt> úU<W
Toda!
°' -
m'O:I pltlCLilm de Ól"" p:m cmoo. ellllmXg3lllSlll
Rio podem cmcu cm ahmmtOI que olo estt,am $UÕCieotemea&e úUdos. O
TOPICO DE INTERESSE.ESPECIAL•
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c1csclmcnto d(lj mlcrors11n1flt!O!I
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rori;;,ism~· nos afill'er'" n
tt1krorpnismo5 como bacrlno.1. ILwdwrtJ.J.fall80J e v(nu do 1m-plamc1ue
cilCOflt~ no ar, na água, no s,olo. 00$ corpos ~ivos e nos produt05 ahmen
t.l/C.'I niO PfOCcssados e camam saborts * odoru desagmdãwu, prod«f{k> d~
li11flJ, mudunças oa te:uura e a.pa~nc1:u e eventual d~trnoroçlflJ do5 alimen·
t05, O arm~zcnamcoto de alimentos petecí\le:iS em tecnperamra~ elevadas'- a
pnnc1plll cau5a dessa dclCnortlçãoo. A prevenção do'I deterioroíjão dos alimcntilli
e dia dcarlklaçk> prcm.atuta da qoalidade por causa dos. cnl<:torgnnismos l u.
maiQr rtrtta de apllcaçao do sistema de re frigera~ãó. O primeim passo no COtl+
1rolc de 111icrorgruds1)l0(> é cntcuder o que eles são e que fatores afeuim sul.\
lr.ut-Smi~!lio, c:rescimcnto e ckstruição.
Dos vários llpo5 de micmrg.anlsmos, ii.s b.acténaJ sll:o a principal causr1dzl
dctcnoroçlfto dos alimentos. prir!C"iJ>a1mente alimentos llmidos, Alimentos se·
cose K id()S crinrn um ~mbi cnte indesej ável para o crescimento dns bnctdrias,
ma!i ni1.> ~ta o cresclmcnto de bo1ofes e leveduras. As ln.'eilJtro.f ltunbém 5JIC'I
cnc:oinradas CJU supcrfrde:s timjdas. queij o e :alimentos d.truga<los. ~ vfnu
e,spt'Cífic~ sl'lo encontrados cm ccrl().S nimais e nos seres humanos, e prá
11ca11 de.Gcicntcs de saneamcnló b ásico, oomo inamer ahmcntos prOOt:SS~dos
no mesmo htgar que os não coudo$ e ser negligente quanto a lavar as, ml01,
podem <:~usar conuuniJllÇIO de produ.1os alimcnlrttt.s.
Quando ocorre contaminação. os m1crorg,acismos adaptam.se às novas
oonc.hçOcs 1unbienta15. &se perfodo micial de cre.c;cuncnlO lel110 ou nenhum
"""'une•llO ~ ciwn.00 la.. lakfik. t 1 vidl de pr.llelei111 pClf pnzD iJt vali·
~do item alunen1ar é dircwlw:atc proporcio6al à duração desu fase (Fis
4-41). O período de- adapc.açlo t scgwdo por um crrsc11nnr10 ap<lttl'Mlal no
qual• pOPUlaçio de ~ !'<l'k duplleat duas oa mau,..... a cedi
hoR M:>b combções favorá..'Ci.s. 1 meoos que .se:ja.m t(ln'l:lda.s mcdJdu drislla!.
de~ bãsKO. O esgowneoso de iiuaientes e a .::um.llÇAo de IQxt""
abnndaM OaactmClllO. dando uúcio ao pcriado da .......
A ICU.d de cn-$('IMM$0 de mic::nwprum:ll.1' an um .rcm abmtJur depende:
du ~do próprio aliJncclo. comoestnJtan qulmica, n1..1de pH.
ptetcnça de lmbtdore.s e de compc:bdores dos auc:rorg;injmMJ110 111vtdâ de
• - - . -...._ . . .... pn.iade---
cm..:1mr:nf() mkJOblológic;:o cru ahmcn1os ~como &um:s frescas.
Wf:C:lld e c.-no. a;meça naa :nqw.~s apoJUJJ. us (lUais é mais provável
ocorrer 1 conum1naçio. Um pedaço de carne- frnca deixado à teotptDcura.
11mbtt:nt4 eitra&uf rap.Jammtc. Uma caraça dtcame pendllnda cm um.,,.,..
l'itc-ncc controlado, DO ent.1JHO, pcnnaocccri satli!Hvel ed'.11 função da dts.Wra·
MfdO wbrt a Mpcrfi'c.c c.x.ccma, que uúbc o crc.scunem:o microbtológko e
prvi<ae • c:011Coça.
O tl'C!IC1mcn10 de mk:rot&UisUM>$ em um Item alin.ent.a.r ~ go'l>·eroado
pC'l\11 c(cilot c:ombm~ du NlttJ(:ltr(31kos dos alimtntt>S e dos /ar.ores um·
l>u•11/(lt~. NIO podemos fo2ct muito em relaç.fto às ca:racrerístical' dos olimeoIM-, mu ccrt.anlCnlc podem~ 1nodificar as condições ambieuuus a ni\-c1s m111s
dt'>tJ4't<.ls por mcau de oqu~dr1ll'n1Q, rufriwMnto. t-'enliltiç&>. umldtfkaç4o.
,1r1umidi/ico~·au e comrolc do! nh·cu de oxist11Jo. A wa de cresc:imenro de
mu.:11J11·1i11nl.smo'! ~ alin1cri1os e! um.1 í0rte função da temperatura. e o controle
~a.. rc1nptra1urn d o mecnnl!lmo mal~ e.ftca:t. pqara controlá·la.
Microraa_fl.iSJllQS C1't:SCein rnclhor cm lemper:uuras "mornas", normalmen·
lt'I c1urc 20 e 60 •<::. A laxa de crescimc1110 dimi11ul a alias rempenuuras. e
• murltt OCOITC cm tempcraturaoi .:iiod.n mais elevudas, gcrnlme_nre .acima de
70 "C.:, patu n moiOfHI dos rulti1J1t:,<1ni.Jmos. O ~efrlam~nro é umn formn prá·
11w1 "CÍIC:L\t de tcdu.lir a taxa~ crescimento de microrga.njsruos e. poitan 10.
i.lr CMCnder a 1•lda <b uluucntos pcrccfreis na pralf'le;ra. A temperatura de
4 "C ou mc:no1 ~ consldernda de l'C$frlamc.n10 seguro. As veze&, um pequeno
l\lntento n1 tem1>cr111ur11. de rcs(riamemo pOde causar un:i gra.ode. awneoto na
t•~• de Crt!>C1 meti! o e, portanto. uma considerávt.l dim1nu1çio da vida dos a 1i·
~tllOI de J'M"•lrkira (Vig. 4--4)). A taxa de: c:rcsc:imeino de alguns aucrorga·
nl· u~ por C:Acmpkl. dobra• e.adi aumeiJtU de 3 °C na ccmperauua.
Ou1ro falOs que: tfcaa o érc5C1mr.nto e 1 ltanSmissão microbiológica t 1
..M1d1.1d~ rtlallWJ do iamb.en1e. que l. a mo:hcb do te0rde .Agua do ar. Unu1 alta
umidade na. sa/IU frias dc\·c ~ cvi1ada. um.a \'Cl. que a coode::nsaçSo qüe ~
,.....,,_ nu PI&'~ e no ccco ena um ambte:o.1e propíoo para o crcscunento de:
mofo O JOIC'Jlmmto de COõdt1lsado c:cntam.inado $Obre produtos alimentares
t'1'Ulalta wn per'IJO poecnciaJ para a t.atSde,
0.ftn?tllca. ~ 1U4"Cm de forma difcrcntc i ~de oxi·
it•to DO meio ambtcn1e AJ.gwu. como os fungos. requerem OJ.Jgênio para
o <n:tcuncnco. caqunco outros nlo. AJg_wu ano:m mdbor e11 ambiieiut.s
com bta•o 11f'd de oAJgf'..o. enquan&o ourzos â"c:5ccm iodc:pcadea1cmci11c
di •IVMudldc dr o~ Por i.sl.o. o crcscrmcmo de detcmri:o:ldos mK?Or·
&:11uimo. pode ICf con1robtdo pcb. ffUJllluJade ~ oxigl11io no anll>iea'e. P.,,.
C:'le111plo. em~em 1 ...Kuo tmbc:m o cn:sc:Untow de maorprritmos que
l )
F1 URA •
A taxa de Cl'Cie1men1udc
mkroq:aniAmQi em um producu alirncn111r
01.1mw111. ~Xpolll'ncl•l mer\ICI COf'll o IUlll(IUO
d11 le:mpcnuur. 11.mb'Cfltt
Tran1íot6nc1a de Calor e Masta
- - - -- - _ __ _ __ _ _ __:::Capítuk> 4 • Conduçtio de Calor Tr1ns.len1e
rcqueJem oxtg.buo A&ém d.lsso, a dmçlo do a.rma:t..ena.men10 da$ frutal pode
loe' eslenc:bda pDll meio da reduçio do nível de oxigên•<> no espaço de annl2C·
namcn10
Os mK'.rorganas.n)(llS ~m produ1os alimentares pOdem .ser coo1rol.adn5 por
( t) p1n-'tJtfÕO da contaounação seguindo práueM rigoroPs de uncamcnto ~
~...O. (2) uilbif.do do crt.seimt.nto aJtaaodo as ooncbções ambitnW~ e. ()) ~,.
,,..,,.~ ~ cqanismos por trat:ameMO támico ou qullruc:o. A melhor forma
de autllnu7.M 1 COJJllitnl.GA\-io ou ireas de tram.fomuçio dos ahmentol I. •
z z,
f!UURA +4 O tong.c.hunenlO pode
SMrHt o c.rudmtmo f.)e mtc:"w~nl·ml01.
mu n!IQ 11cc~11.ri amc111c mnl ~·lOI.
_ii_
-
...........
u1thuc;Jo de fittn. de• fino\ no si~ de '\"l?:f1blaçio s-a capear ,,.,,.nn.W
d~ pot•m que tr1llbpOCUD'I as bactérias eo ar. E~te. °'filtros dcW'm
penaancc«-.p que .. ._.......,...podem=-r<m fil.,,.molho
Ôlll\. Akrrr. di55(). o wo:.ua de ventilação deve, JQ.lOltt pres:s.ão PJISllÍYa m.s ~
de JMOC r, •nra'O lluncn1ar para unpedit • mtrada de qualcpler coa11rruaante
Wrco lllO mttriof por in6.ltnçio. A dimanação da <Oftdt.uação nas pan:dts
e no 11eco da 1nmlaçio e o de;Svio das caMJUJ;Jf&s de gotaS de eo.ctmsaçlo
das bM<kJas de friJ:orfficos para o lis1ema de clrt-.oagtm SiO doas omns mcdtda$ prcvo1J\o';I.) contra 1 cOAwninaçio. Os sis1emas de gottpmento deYt:m
att Junpot. rq:ulanneote pata t:vitar o crcscimeo10 rmcroblológM;o. Atém disso,
qu.i.lquer conta/o tnuc os a1uucntm cnas e. cozidos deve ser mirumizlldo. t: 0&
produtos COlido6 dc,.·em sa armazen:ldos em 1alas com pre!l.SÕCS posluvu. Ali·
mentol! cooa.elado$ devem sc::r can.scn1ados a uma tcmpcnuura de 18 •e ou
menos. e deve·se ioro::1r um culd<idó mai« quando Oll produlO~ alimcnt~ ~
embal.ados apó5 rongeludos. para evitar a contam.inação dumnt:e 11 embalugenl
O eresc1mcoto dos microrganismos é mais bem controlado mantendo-se
11itm{Hm.turcr e•1Jnudadtt relalnxr do timbicnle oa faixi dest:jável. Manter a
urnid1dc re.l.itiva do ar abaixo dl!: ~. por exemplo, impede o crellé11ne1110
de rnJcroraam11n~ nilS superfícies. Os microrganismos p0de.m ser des1rufdo11
pelo t1quttcuricnl0 do produto allmenrar a uma aJta Tempcmtum (&eralmenlt'
11cim11de70 •e). pelo tt1uaule1110 CQm prvdu1ru .11ufmico.J ou pela exp06iç!lo li
lu:t 11lrnwlnll'la Oll à radiaç!in solllJ'_
Deve sei rc.1u1 uma distiução enll'C a ,fobnn1n•€nc1a e o ('re.çc1mer110 de m1
crorga1usm01S. Um detenni.oado microrganismo que não pode crtSCtr em dlldA
ccmperaturo bai11.a 1mdc c:íln&c<gu.ir &®rev!vcr por tempo mui10 longo (Hs;
4 44). Por i11so, o congelan"M!.1){0 n5o é uma ÍOl'.Ola efica1 de mnu11 mie:ror·
aaniMnos. Na verdade. aJgumas c.uttura.i. de microrganismos .São prese.rvt1da11
com o oongel•men10 a temperaturas muico baixas.. /\ lttxa rlt- et>ngtlamerito
f 1ambim 1.1m aspecto importru.ue para o resfriamento dos alimentos, Jli que
alsuns microrganismos adaptam·liC às baixas 1l!.mperatWb e crescem nela'
~uo..ndo a tul de rcsfriamenlo 6 muito baixa.
ldXIUi(i ;hilwp.nCOftft-a...toC
mfnpnç:IOda....,. ._ a11....~,..
"'cn,....
_.,da-
18 'C < :IS 'C. dC"pcodcodo do tipo de aluncnk) (Fig. ~) .
O rcsfnamcnto d~sacd~n'J os processos ~ ~ hto~ OOl 1h·
,,,....,._bem como a _ . . , . , . deya<laçlo •perda de quahdade •de ODlr'ICl\IC:S. O rru1lllo doce.. por cump~. pode perder mrtade do wu MIOC" 111tc11I
de. 8Ç(tcar t:m um dlA a 2 l ~ ma.s apenas S9t. dele 1 O-C.. Aspargos ftnt:O&
cur o cncolh1mcftt0 da eareaça ..,.... ao fC5friamcnco oa RUI quase tocatidadc..
A m6dJ• da aa.s.t.1 local da carne. <px: l. nonnalmmtc dividida e.m duas
""''"'- 6 de c:cru de JOO q. e o calo< especifico médio de uma an:aça 6 de
«n:a de J, I• Ul\a·K (Tob. 4-6). Ofn&0rl/ico d<= t<r capocidadc iguol l
c:af"kKf.lllc dl.âri1 do m.Lldouro. que pode OJCf de vmu ccn1eon, A caraça
entos
JiH. kiumcs e fruw pode: Sitr cstendido por v;iri(l5 dJas por meto do U'iO de
tc:snperuuru apeou acima do ooogelamemo. ommalmca.te enue t -C e ~ *e
O kmpo de annaunamcnto de alimentos pode ter es1eocbdo por VÚlOS me:se:,.
.......
1
/
~
1r' - ,........
.....-,
1
.....
flCllU 4..ca Curn típica llc
conge.13mauo do alurw:ruo
P o uto~ de carne bovina
por~ e aonazcumcn10 cm t.empenmras ncpb'l>..S. normalmeosc
ra~oo e ~o• ge amen o de ali
O ltmpo d~ 0~~1110 de alirocmos fresros petedveit C'()rOO carnes, pee·
- T- '
..... ..
\ ,,__
A' C:lrtOÇllS de Cllme! n()S m:uOOouro~ de\-em str ~friadas o mais rapidamen·
lo po11dvc:l 111 um.u tcr11pera1um unüoru>e de cerca de 1,7 ºC paro reduzir a taxa
de crcsclr11c:nto de núcro1-gtu)UIT\05 que podem elllar presentes na.-s: superffcitt
dn Clll'CAÇA e. fLU1n1, minimllar Odesperdício. O nfrel correlo de 1empera1um,
m11l1lt1dt e '1Wtlmtmo tio ar deve $er selcdonndo p;1ra evitiu- encolhimento
CÃct..swo. t.1)durecimcmo e lleM:ol or~o.
A te:mperülurn corpornl imerna do animal 6 de cerca de 39 °C, mai; C$$8
l<'mpcr11.1ura tendo 111..ibir 11lgun,. g 1";1US após o alxne em função d-O ca.Wr gtt·
mdc• durante a11 ~çOes luol<íg.lcas que OCOJTcm nas células~ Já n tcmpcranu-a
1.L1, 1Upe:rlJc1e1 c>.posur.s tende a dunimur cm decorrência das perdas de calor.
A ~no ll\lli\ c~pelilia da carcaç• io l~ono. e seu ce.nlrOé o ól1imo local a ser
rt1.lriado du.r.ntc o rc1frirunca10. Por is~. o resfriaJnc.010 da carcaça pode ser
n1 lhor conuolado por meio da i~iodc um lennômet.rQ profundamcru.c N
ri•11r ccntl'I• do tq.a.no.
C'tru de~ da cine dl e.caça é '&v.ll. e• carcaça /. rcsfnada pnncipaJ·
"'' nte pdo rt.ffrtamn110 t-l •lp(Jl'(JffYtJ cm cloconfnc&a da n:õgr'IÇlo da umidade
~m du-eçlo à ~. onde ocorre evaponção. ~W a drminuiçto de wnidadt W< •Rdu.t n1 perda de mb~ 'l>-<cnda\'1, que. pode chcg-ar a Pft da rnassa lOCll
cbantc uma noi~ de snfn1meot0. Pma C"\·1ur 1 pcnb acn1n1a de musa., as
c~u \lo ~e puh-en{ad.u ou '-"-.das com água aoie.s do resfria.,...., C... oandadoodeq-oresm-.iocom pul~podediJDi.
COltt
11WU4-45 -
podem pc1'dcr ~O'll d.asu,a Q11ll11bdlde de vitamina C ero um cha a 20 •cou em
12 di11 • O "C. O rntfriameoto também e.~e a \'KU dos produtos de pra10lt1r1, A í'flfnt:U'I apm-lçio de amare.lamento em br6cohs. por exemplo, pode
'iC1' ad..S.. por tr& ou mi.is~ com a rcfngeraçlo.
M pnJDclra.\ lcnlalf\al de congelar .UmenlOs f'C5U:ltar1.m em produ.1os de
bl1l1 quaJ~. dcvKk> 10S gnndes cnsta1s de gelo qut se: formaram. ()o..
J.ctmlDOU•tc que 1 t.t;ua M COll~nJO tem graedt inOuênda no tamanho
do. cruw) de iclo, bem como na qualidade. na le.XtW'I e nas proprt~
11111nctOo11s I!: j(uton.an de mu~ alunemos. Ourante o «Mg~lammro /auq,
de s<lo podem"'™"" aUnpJldo .,.._......,,..,
r11111c o ~1I0111Uto tdpido um &nndt aúmc:ro de cris&aa5 de gelo começa a
te fomw de WDI vez e cm wnanllo mwto meooc. Grandes cristw: de glo Qio
tio cbcJ<nt'.1"«. uma W:l QYC podem pnfiuar as paredes das«lolas. c:amndo
~da tc..,rura e pcrd. de: SllC'OS aannas duta111e o dcscongd.tmtnto.
Uru OWIO k forma raptdameale sotft • çatDilda CXlmta do produ:IO tclaltdo tUmM. aromas e 1gm1e5 •~CJI. A qua.tidadc dos produ1os ~ i.
•fd.Jdl nqachameote por ~õcs de ttmpcnllUra Oill .sala de arm3UDagem.
A ~fn&UIM.·lo comum dit aluneolOI e.D\'Oh'C apenas o rrs/nmMn10. $lt.lD
nt'nhuma mudaoç4 de ruc. J4 o ron1~Jamauo dos a.luncntos tRVOl.ve três (a.
'" Nlfriam~ltlo a~ o ponto de con~lamento (~moção do calor sensível).
CMJJtllrmtn10 (remoçlo do caJl)r J~entc) e mau ~'fri~nlO at~ a tcmpers-.
cu11 ne11bv1 4.IC!!tJild.t (rcmoçlo 00 calor sensível dos aJlmcmos roci.gelOOos).
tt11110 mo6Lrodo n3 Fi,a 4-46.
iQELA4-6
Proprltdtões !&mas dl carne t:icJifona
~
- - Y,.•dpiol
-
Oeftsl~e meo11
1.010 ~'
c.>or .._rroco,
Atono•
......,...
3.IOJl>o&K
l,70 U\aK
-2.7 "C
'49kl'\c
0 . .tl W""K
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~esu rnm em oonjun10. A maciez dc.detennlnndo co11c: de e.ame bovina d(;ptndo
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coos1ilufda princ1palmen1c pior fch.cs de 1mnll!;Culas fibras nnu·c"laul
11an1p11dtt~ Jnn1as, de.otro de Jungt>S e 11tquench11s 1ecidos C'011)1mtivos ll\fC a11
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~
1
r-- T~da•
-
~1e1 ~um aspecto 1mponan1e pua~ ret.Cname1110 e ooa,scramentll. A ciu
- l'rmp. m.tdi• daQlta(t (~., f**)
- '
"
~
A m.1.1oria W:s çames t ju.lg.da pel• m.M:'ltt. pomruo a ~lo da
'
lld localizaçlkl do corte~ da 1dndc e do nh·cl de mivid\lde do auimnl. Corteoi a
po1111t de seções 1-efativamentc 1uu1Jv11~ 005 me.idos daespinba OOrsaJ dó 11.1un1:il.
~0100 lombo curto. picanha e coMd.&3, do mal! macios do que QS CQnes •par.
n
...,.~--
"' A ~1 CWva upa de rcstnamcolO dec:arctÇaOO\<•llU noop.çode
res.friamcoto e anouenkJt!fl a lt'ftlptt11lura m6di.a de O'"C (de ASHRAE. Jlattdltoot'.
11'/rlgerori<N•, Cap. 11. htt 2)
bõ\fj11a é 1avikl>.1 •tile.' du "ºªentrada DO frigorifico e a~rvc a:ru.nde quran1i·
dade de águ~ (cerca de 3.6 kg) nA superfície durante o J)l'OC(,S~O de lavngem.
Contudo. isso nkl l'tf'l'tM-Ol• l•lnho líquido de massa. uma ve:1 que. ela i per·
chcb por go&ej.untnlo ou cva:ponçlo no fngorlflCO duranlc o R:,(nanlitnco. O
ídeal i quo a cuuc;a ,.io p«Ca oem ganhe
Uquoclo quando (O< re<fnoda
no fngO<ffic:o. e......... deve ponb"""" de ().511> da .............""""'
a.nnau~m. wna vu que coo1iruia s csínac. A perda real do produtO ideli!ffllin>da pwondo->c: 1 cm:aça lttll IDlCS de <a lavada <dq>Oli peundo-a
no\•amen1e após ..-.eJ 1'C,fruda.
A 1emptJ-atura do ar refrigt.rado em um írigoóftro de Ctme bovm.a de\'t'
ser suficit.ntcm~llc elcv1Mll pnr.i evitar o eQllgt1lamen1ó e• '''"'roloraçilt> da
superfície cxierna da c:arc:iça. I~ tiign.ilica longo temPo de jl(rmanêndà das
earc~os de cai"PCS r11;1CIÇl'l~ na ins1;tlnção lr:lgotffi~n pn.ni c11frinr. 1tld a 1empe-mtum c.Jesejadn C~tte!Mill~ de carne são apenas porcmln)tnle 1esf11ndas durante
a noite 00 fngOrifico A 1cmpr.mtura @: carcaça bovma cai pani • í1.uJu1. de 1 a
l.7 °C na MJPfrlT..-:ic e pari. etrca de IS °C nas ~c:.i; c.:cntl'lli do lasarto. após
lO horas É QCCC"4no mai• um cb:;i ou dois oa ralo dt otmn:.--in,-t"' mantida
de La 2 •e J>WI oonipk1ar o rr.sfno~nto e a ..q110l1:la(do d~ lt"'f"mtuTO
Mas caiaç&> d e - • IOCllmcme rdrig..-.da>- -'"' ptriOOO, clcVJdoà-duncn*'· A "''''Jaçliodoor .. sala deonnM<_., ~ nwwda
em nf\-eis uun111* pi,.. C\'IW 1 perda e1Cccssiva de umidade e a~
A carga de re~friamen10 da salA de annazcaagçm 6 bcin menor do que• do
frigorífico, por 1uo ~ nece~drio um s1uema de rcsínaintttlQ menor ,
M carc.aças de c11rnc dca.linad'as n mercados di'>l•ulc~ alio (litpcd1das no
dia r,cguinle •ó a~1c. em c.amlnhões frigorfficos n(l!I quai<1 6 rci.111.ndo o res10
do Rsfriamento. ~1~ l)rá1tcu possJbibia 3 cnlregn de ~rnci frC~l4 a longa.!>
diu&nc:iM cm tempo oportuno
A varilÇSo d.li tcmpcmtu.rn d3 carcaça de carne durute o rc,fn1u.nento é
d:lda tu1 F1.& 4-47 laici•lmcace. o processo de rc.sfnountnlO f dominldo por
nnsíeffooa de al.or U1Uiul. N<Ke qpe a tcwpcnuun n*11a d.a e:amiçi.'
""'°
rtdlnJda..,ce«ade28 CCdeJ6pua8"C)em201>on>Acuaclcmfriamenro das cuctÇM pude aamenutr por meio da d111N1t111çdo dJ ttmprtllUB do
ar refrigerado e do ""mt'Pfro da \-cloci<bde do ar. nw ~' mcdjcb' ~m.
au.mentlm o n8CO de <·onittlamtntú da supafid-t>.
Urde !'llntS ativas. como p:scoçoe pctrw (fia ·l-48). Quanto mais 11.lh'O (or
o •nun::al, rmiiof o rteidoooo1un11'"0 e o tndun:cuncr.iro cb carne No coWJCU.. a
catnc de um anim::tl l'IWs 'felbo é 11wm i.bortu e 1 pn:f'erivd p:ua o «tl.UDCntO.
uma \~J que 1 dllr'1.I da Clfue: '*1 reprtttnta nea!N1n probtcma para o co11•
p1~com cakw ómido como a fcnun11 A pruklu ~. que~ o pnDC•pal
"~te do toeidoconjunh"1l. amac.. e~ d1i.!iOIYCcm ambtcnses quen1es e
um1dl~ t , gradualmente. l:ran ~(onn.a M: c1n Ç,tlt111'1u1, tunaciando a carne.
O "ctho djl~do ..deve-se to7.inh.ar o 11nun.:1I uncdia1amen1e ap6$ 11eu ab.11te
r"IGUU 41 .q Oi.wnos ç 0l1C$ de airnc
boitiM (dt ?\•..ai Lave:Mock-.1 ~
S-. e-io. U-
l
oo eo.1:M:lr.irpclo menos dois dfas'"' Lc.i» u1ui10 de \•el'd:Kle. As reações biocnecl uJ·
1,;;i~do 11n1Sieulu up6s o abn.lc coolinu1un 111é 111ac 11 cner&i!t fornecida parn o rn1h ·
i:ulo fa7cr o 1111balbó diminWL .En1llo, o ruá'it.:ulo endurece e passa pelo l'igtJr
mf>rti.f. esse proce~so«imeça várias hOOlll •pM o o.mmal ser ab:ttjdo e.conlttt"4
'"" 12 a 36 hor.b.. at~ a açio cniun.1tic:o Om11Ciar o tet:ido tonjunth'O, como
11111..,,lndo na Fig 4-49. São ncce:s,i.Uo()L4. ttn.:J de~ dias PQCa f."UOClwr naw·
rahncn~ o amaciame1uo nas ~-õca de atma.tc~gcm. m:11ukL'b a 2 -C. A
Ntmulll\.10 tlétnca wnbim ~oca o .mK.amtNO da ame. Pan. CVLta •
durrLL acame fresca oiode\"C scrconidadl antes de passar pelo "80" lfVHtu
Voc~ pnl\'2\'tlmente jJ _,,,. que ot hlf,. ..i.o ....... • boslanle ,..00.
n 'º'quando estio quentes. rruis endurcccnl quand<> esfriam. lsso llCOtllcct
ptll'quc a &t.huioa que se formou dunin1c o l'OllmtntQ engrossa quando cafr1a.
<'t • C'Rn~ pcnle su11 m3ciez. Po11au10. nno d de.- 1mvrcender quo rcs1auiante1 ti~
ptimc1ni classe sirvam seus bife$ cm chnrXls grc~itM e quentes que os mn111~m
<I U~tllcl J»r longo telllpu. AJ~m di!o$C>, o t:O?lmemo mrwc1tt o tecido conjunli·
\'ll nlM ~ndu"c~ as fibr.lS mUSC'u1al'Ct macla11. Por 1~. o churrasco çom t'ltlot
büno por ntú110 lempo resulta cm bifCll durut.
Varled:ldes de CatoeS dottnadu IO 11m1l.é.fta~nt0 de longa duraçio dctt>m wr C'U1gclacbs rnpicbmenti: pwa mlw:ir • drlienof'llÇioc ~a que·
hJ.k °hJw"l o pnmearo pengJnrnt4) que: wm l lhtllle p.a congelar • ~
WJ• cokN=•~a. rrn pacoees ao ~' e ~peru. Mu o ce.po de eo1ge~
b1 10 l
l0ttt<J DC$.W: cuo. c11.pcc11hrw0te pua gnmdc$ '"'OtumeJ. Pcw
C\•'1nplo. 1 1tmpe111tura oo centro de Unl.i Wxt de 4 cm de profuadubdc ron·
l<n11o 32 k&de ames •~ada!. pode «r 1Ao l llHMIO 16 'C. 24 bucà> apÓ< ,...
t:ulocad.i no /IY't'r.,er a -30 ºC. O lt n\po de COfl,&elamcnto de grnndes ç:llx.111
pode \el'COllSldemvelmente rcduticlC> lliCl~ llllllldO·se UIR pouco de g~/QJf!('() .
Um método mais efiCà'l. e.lo oonsclnn~n 10. chamndo rtsfrimr11:11rt1 rdµt·
,/n, cn\'Olve u utilização de meno~ tcmpcru1urà.S do ar. -4() a -30 ..C. «1m
n'l1\1ure~ \'elocid::idcs do ar. 2.S a .S mi• 1~ loago do produ10 (fig. ~l-0). A
lc,;"Tlflct111Ur'll interna deve~ rcduúd.;i raro 4 °C pam produ.cm que de:\·cm
u.ru(endos para o ftttt.tr de annuen.:unerwu e -18 •e ~rn os prol.lute>\
qtte dc:Yem ttt ll'1llllSpOl"t! imc:d~•e . A MJUJ dt cMgtlamntto dcptodc
dn M11ttnaJ 1ki tmbolagnt e de wn propntcbdt~ 1sol:anses. da nwor apa·
,.ru dll t111.a. do ripo de carne e dl t uptl(:'"1tlik do llStc1'm de rufriamento.
No.t que a 1t:mpenwrado araunicnla ucat.t-nmc:nre durante a r~ inicial dO
tt•gtlamcn10, aumentaudo o Lcmpo de con&elamento se a capacidade do t is.-
T~~. .
f1GUU~9
\'aoa?>u ..... •
Ql'lllC ~a 2"'C(Q9knpl) lfÔ"
aabitl.
"°'""
*
llCUIA
'O 0-<le
OOllSt"llnlmlO cb Qme pode lCf ttdulJldt
CODi.*fl'\'tlmc:me (lOQJ 1 aplK':aÇlo
de
~l'IJpCnltun do arem alta
Mi••
~cl<JCid~.
1t1n&ftttncla oe Calor e Massa
TABflA 4-7
YJltdlde de ltmlltnl...,..,10 dt CWl\ll
eot1ttlada em d1tere11• ''"''*''"'as.
CDt ASHRAE. l~ttooli. 1cfn1«1t10fl,
Coo 10, Teb. 7.1
--..
.,....
-126C
- 11'C
-23 'C
4 12
e......
J.3
-..
}-4
e....
)4
6·18
6-16
• 14
... 12
46
1214
12 18
8
8-15
8
...-
23
2-4
--
2-6
Capitulo 4 • Condu;Ao de Cll« Tran11ente
Lema for in5Uíte.e1ne Um s:~rem;i de resfriamento menor~ adequado ~ fot
u1iH1..ado gelo seco nas cml:alagens. O cnoolhtmcn10 dwu1e o coogtl:uncn1n
varia encre ccn:-.1. de O.S a l<Cf>.
,\.~r do p0tno de rotgdamcnto médio da c:srne ~ .ser con!ltdel"ado
- 2 "C. cCllO ca1C'lf Wcntc d: 249 Ultg. dc\-e·se recordar que o COt1gelamcn10
'1CUTt 10 ktngode um1/aut tk ~ratura. COM a mai()f' putt do cangcl.amcnIO (IC()n'mdo mtrt 1 e -• "C. Por tsSO, ruffW a carne: now fawi de lbnpc·
rann e cbmanlr o calor baC1lc c:oosomr:: 1anpo maior duramt o coagelamcmo
A carne pode ~ muub a ama itmpc:r.mn Ui1ema de -1 a - '.? ll<C' ,,...
ldO tocai e ~10 )OI' Mt'MS tk llmO lt*dl'IQ. A cam: de\'C st1 coogc
Jadl e .....u.eNda a wnpcnri.ua muilo in(crw3f'C$ pan amwr~ t'M loilt·
KO pro:11 Quan1o menor fora te~nmi de anaazeoamrnco. mais '°°la será•
..w..lode-•ode ~dec:am<.comomosu.baaTab.• ·7
A kfffprmluM üar~ma Ju carcaças 'P" cnuam nas seçõH dt redn.amcotn
vana de 38 a • 1-C para pOr:OS e J 7 a 39 -C p;wi CORltiros t v'i1cb.. SJo nttn·
~IS cera de 1S bonL1 paia rcsfnar pc.cos e \li1clos M sempcraluni n."Comta
daJa de ) a..
A ICmpmtura do ambic:otc dnc ser man1KA tnm - l •
e.
o-e.
C" ;;! dlfCR"ff\.._ fok k:1U~lilt\I.~ <COttc 0 Ouido rc:fu~I~ e 0 ar de ~n1une1UO
•e.
~ m.i..ntk!a cm cen:a de 6
O arécirtulak">a uma tua de 1 a 12: trocai dt ar
por hora. Cutt(J(O.f de corot1ro são ttfri..gerada:.s na cemperarura intetN de 1 a
2 ~·e. <1ue lc'' • cc-n:• de l2 a 14 bofas. e são m:unicbs: nessa temperatura com
umidade ~ latava de 8.5 a 90'\lr até serem lrõ'l0Sport3das ou processad:u A Ll-'.a d<'
dn "Jofiio dt or rccortlC'ndiida ~ 50 a 60 trocas por hora duran1e :is primei rar; 4 1
6 horas. ~ndo a seguir reduz.ida pa.ra 10 a 12 troe~ por hora.
O congela1~n1Q parece não aftl3r muito o sabor da carne, rna.s afe1a a
qualidod' ~k i;JinaJ maneira.§, A t(J).tt e a 11m1peratu.ru de COflgtl;l.J»eoto ~
de.ui uúh1cnc1ar na «ir, na ooacic7. e no gocejrunento. O congdomcnto rllptdo
uumcnla á nláelez e reduz o daoo l«:idoal e a quantidade de g01ejmn.en10 i.\pó'I
o dcl1congeh1mento. O amaze.nameoto cm baixas 1 ernpe1~rnr11' de congelu-
"'"~'
- 2l"C'
"""
rdrlprtda
' ·'
r
l:Y.!1 ~
drdirlllllt
C'1m11111'1ki
tr1r11lh•,'(I
111.-.. r11..J
f1 Jll:A 4 S 1 Doer prllil'l C'UftJlltnt:21IO de
1wns OQ11~1.adof; !'llltl caminhão f'nf;Olirk-o
mcnlo provoca mudaoçns f igni flcati,•as na go1t1~11v.1 animnl. A carne de PQfCO
c..'On.gdoda sofre m"js ulterações iudeseJóvcis durante o ar1uo2etul.11le1\IO cm
v irtude~ C!ttrutura da M13 gotd1.1r:i, portnnlo o período ace.h4wl de anna1.cnagc.1n '1 ma111 çurtodo q~1c o du carne de v.:ica. de vi1eln ou de cotdein>.
ln...,talações de ruma.7..C:l\lunento de c:a.me nonnalmc:nle têm unu1 tlvm IY'frl·
s~rodct. na qnal os pedi~ sn.o teunidos e uansforidos p:\rn o 1 r.:in~po11c. ' l"\li\
i.kM;;I.') 1.1ou.mm l 4llo:t0 c.o.:inço de. a~ncnt<> e r.ão u hhltlldar. JHU"" fins <Ili
emharque. proporcionando urn arnbjentc de ttaba.lhC> mtlii actit4\'el para 0$
empreg:ados lnstalaç~ qi.e c1nbarcam carcaças iniefras ou pdn mcuidt ein
aram1ct. qww11dadcs tah·c:. não prcc1setl) de doca de embarque; o C"ntb~uquei
nll"lll\'61 da porta de dc:9c.lup. 6.. mujtu vu.cs. suficicnle para tais caso5
Uma ~o d~ cmbary11t refrigerada. como ~MI Fig. 4-SJ, redui. a
N1'1" d1t rafrw,,rhJJQ ele a:mg.cladorci; ou refrigeradores e rmpcde oliO~J
nn tt:l'tptraturr1 na 7. 01:u1 dt armazenagem. ~1u1ta.s \'Cz.tS, ~ suficttnt~ m3n1cr
a doca de embarque ('nuoe J a 1 "Ç para refrig.eradore~ e caea de J .S para
con,cladcRl. O pomo de ~-.Jho do a.r da doe:t ck\'C ser 1nfenor à tcmpenlu·
,. do prod'"o PI"'" - • <oodenuçjo na ...,.nKJe dos produ10< e• pmto
de qu..hl.bdt. A '-ai.il> de or 11:ra''á de- portas de carga e ouuu •betturas '
p1ll>OrC"""'1 à "": .,,-ttr.tJa cb dúcrmça de ocmpcnrura. R<du.ando, ••liO.
a di(cn:-oça de wnpcratuu a.t abenura pela mecadc- e m1n1cndo a doei de
cmbatquie na IC:mpcnl.Uta média. dinunm-sc a Wll de fl\no de ar oa doca e
no çoegdldor em 1 - "'3" S! 0,1. ou. cerca de ~-Além du.so. o• que
c:oaa nu congelador p csu rcsínado em 1orno de J.S CC pda unidade de m·
·e
h1r.1nen10 da doc:.a. que rtJ)l't3é:nlaQCf"C'a de: 50% da catga de resfnamcnlo do
-.a de cn11'1k1.. De~ nlOdo. o eíci10 líqwdo dà doca de embarque 1'tfrigtraeb 6
'rtdttt;lt> da ~110 dt' inftltraçiio e.o congelador em ccre.1. de 65%,já que 1 0.7 >< Oj 0.6S. O &••OO llqwdot 1goel ldifc11,11çaeo1re 1 redução da carga
dc 1nfillf'IÇ.k> do ron1~1.n e 1 cuga de rcsfriament0 ~ doei de einbarque.
Ntlk que o. tth'lgcradorcs da doca operam em 1.emperanxru mu.ilo mais eJe..
Vlldu ( 1.S "C c:10 Yel de -23 C). poctmuo C'IOOSOlnem mm.to menos:
JWI IMM"l\I qwtntlllbJe: de írio
mera:••
Produtos avicolas
ProdlilUI avbiit.- podem $C1 con:~ por lr/rigaoç&o nn 1</o entre 1 1
l ""'C. por l'f'sjnmrtclllo pm/wtdldoM a cen:a de -2 -C- para tlll'03lCOMICrt10 de (UflO pn110 w por congc-lwwn.10 a -18 '"C 08 meoos par:a anmzcaamtnlo • loneo fl'VO VnKbdit\ deuuú<lnllilÇio a'\'icobs slQ ioWmenre ou
"1fffllt•:.oda.t. e a p!:\IUCM âwncn.W da.$ aves roma viável a opc:ração continw
cru ltl\ha fllfi'pott:ldora.
°"
N a'lf'U l.rnwn u•n choque •Uolri~~ Udd do cone para C'rÍU.1" ~ MOtt&rn
lutando. Ocpou de 90 a 120 qu!DM de tempo de bemorra.gia,. são ~callÜI·
""'por mtttdo oo l:tn(lut:dc Ag~qucnle. noro1ahnemeentrt SI e SS ºC. para
1hflUlf.IS' "-' J)C"n.ll cm at~ 120 <1eg1.1.~ Em seguida. as penas S.-0 removida."\
S'<' ""'lt.J1no1'i ~pcdahuadas. e a caaiça sem vf~s é c:tnd:tdosa:mcnte /m'tl
1/rr ;m ie~ do 1"C,rri.amet1to A tenlpetlura intcrn:i das
varia de 24 n 35 "C
llpót 1 lavagem. dependendo das 1empcratu.ras do ar e da água em que fon\f\l
1 .1\l,ttfa~. bem como ll.i CAlcn.siio da lnY.lgen•.
Para con1rol:1r o crcscin>ento microbiano, os rcgulameotos do USDA e.Utt<lll (l\le ü •vc.~ .~jam rct'rigenldôls a 4 "C ou menos por mcrn)s de 4 horas p~
1,:;U\ uç'' <le meu~ de 1.8 kg: meno• de() botas l)ai•J c.arcnças de J.8 a 3,6 kg e
mcnfll de S hOrns p:.11a c:nrtuças coi:1 mais de 3.6 kg, Al~nder a t:SSC$ roquisilos
t1~>Jc 1tll.o ~ difT<:1I. uma vc1 que o ltnco ~sfriamtnfo o a1· é, cm g.ca.odc pa.11e,
1111b.\1icu(cJ1J pd!J rdpldo 1't:ijrlamtmtr: P<Jf lmtrSi1Q em Umques de banho de i;:elo.
O rc11fl'i1mlcn10 plll imc11'10 amda cem a van1agcm de qno não a.penas previne a
clhidr;lu"'no. 111111 cau&11 '1bsorçllo lf'iuh.la dt água. aumcnl.ando a ma~ veOO'~'fl llO l"Olluto. O ll.!lil'rhuncnltt por ar (no de a\'eS nXi<> embaladas pode causar
l ~Hlt) de umidude de J a 2t;;f, enqu1u1h) o 1-csfria.mcn10 J>Of iJJ>ers.li.O em 4goa
4
ª'-es
lteií•i<11MlllO • .,.
1100,
'
t
"·º
1
•llO•
o--G·o
f"\llt" ~.1un.r tibr.orça6 do um1dlWle c;Jo. 1 a lS9' (F1J;. 4 52). O rc,-;friamç,(llQ por
~"'ª''de
•sua 1>0dc 1.:au111r llbsorçio de un\ida.dc de até 4%. A ma•or pane da
•ku• a~l'\o-lda d m1uuida cmre tCllJtle e a pele e oi; 1ccidos OOtljuntiVóS n.a pele
Sn 1to;.fri:unento por 1mcnào. 1lguni sólidos solú\'c1s são perdidos a pan1r d•
qw,i,, mu • pcrdl n.iio tc.m impacto lignificativo no sabor.
~iu11"' 1anqUC'l 1'Cldgcradore! 4e bwtho de: gc1o boje sJo substi:cuídC>s por
rd11e;en.dort.i de lmc:n.ío cm 1'.anht de gelo do llpo nuxo con1f1tuo, Os refri·
l.t~11 para a
l:'n-.J(if~\ de banho de ~~ coolinuos podem redutir a temperatura internadas
l\t. de '2 pai....
e em cat'I de J) m.mutos•• uma ta.u de. aK 10.000 ª'ª
rc- hQra. AI ncccwdadcs de selo cSepe.de:m d.as tcmpc:l"MDflS JU eoll'lda e
das_.,
oo -11
e da~ .........., 0.251.g de gelo po< kit de aoao;•
crnlmcntc ~ su6ctcntf: Coocado. a C'OIUami"°fbo boct<>riotra. oomo a que
Ou"lfl'f por uJmoocla. cont.anua ~nJo um& pccocupaç.ão com cue milodo. e
P•ic \ltf nect.'Mno dorll" a jgua pua controlar a oocpnunaçio.
A....,.~'- uma caracta'{stjQ .otpurum.&c ~m ~os prodlllO§
ª'i-
cotn. e MUI pn::scnaçio dC'Vc ~ C01'"•denda DO rcsfriammto t COQgeiameoco
de ª"'-' At aw. '"~ ou coogcbb.s m&cs de ~pelo rig<N tftOl1i.s coo-
flGUI• 4 -52 O rc11friatntl'llO a~• ç11u~11
dcJcjcfat.açio ~, ('()Qie'IQUCfllctl'lefltC., perda
dt J)(SO das l\fl. tnqUlLltlO o re.J 1h1mrn10
por inmão plO\"í.ll:a c..rill() de pti()tm
deoon&C'i..I da ~IO de 'Jj.WI
Capitulo 4 • Conduç.lo de Calor Tran11tn1t
unuam M:lldo muito duru. O am.aciamento 11arural começa logo u~ <>abale e
6 coochtk1n no prazo de 24 horas. quando as a\'cS slo manudas • "4 "'C
O amaciamento t ripido dunuue as primeiras uês horas e d1mtnu1 pos·
tenonncnte A unttSlo cm ''~ qocnte e o carte no müs.culo afeu.rn nc·
o
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flGURA 41
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~-•como•.....eodl
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O PmíunJIWidl do 1) 1111111
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c«9~•••l.J•Umlt..
...
flGUU4-S4 Vlnoçlodo-d<
ttltlff'llmcnlodt ~nm lnlPCfal. .
cattvunen.te u amaciamento. aumeiuo da 1nnptrorura ou <lo iempo da
,_scalddgmr aumenta a du.fCUI.,, e s.ua dinunwçlo aumen.L& 1 m:ictc7~ A afdn
tk boJ'-rdltt m'qu1n.s mccinicas de aaancarpcna.scausa cons1deri\el endurccuneOIO. O d'~N:Ktoda ave.em pedaços anres do 1Juac1amcn.t.o
natural ser C01npk1ado tedw. consKSem-dmencc • macieL Por isso. ttCO·
meoda--ac qut quakJuercortc seja rmo após o amacwnen10. O nifnaJ'ff'N4
rtJ,..do de a\u u.mbém pode 1er druo de cadurtcimcnto. Vcnfica·w CfltC o
am.:t..lmrolO pode sct(OOS!dcn.\-dmenle act'ietado por unl pn>CC$SO pattn
ttaJo de atOrd(MD:lttlllO 'litrlco.
produ&oi!o ,, JcoW são ultamnctt ~me. poreuno. <kl.-tm ser man·
tldol ai lcflll'l(t"llur.t. mau wnxa pocí.1.fw:I para IU.limi:J.a:r ãua vl<b de p-aatkt·
r1 E.s1udos llm dtmoosando que as populações de determinadas bacth'ia ..
dobnm 1 uda. 36 horas • -2 •e. 14 boas a OºC. 1 bc.was a S ºC e mcnoa de
1 bon • 2.S "C (fl&:. 4--SJ). Tw estUdos mostrar:tm 1am~rn que a conl•gtm
bQ.cknlnll total em ª"~ mantidas o 2 •e dul';)nte 14 dj.-.s ~ equivalente à da,
rnantidM a 10 ºC durante~ djas, ou 24 CC. duraote 1 di~ Também f<li ..-enfk•
que A-\ a..es 11:i.;mt~ a 1 ~ onba.m 8 dms Jdicion:iis de vida de pntdel1'<1
cm rt'-l;tçiO l"i mlUltidas n 4 ºC.
O Cn:f,Clmel'lm de rruetOt'g:mismos nn ,u1peefíd~ d;l~ avcll caus.'I die~nvol
vmie-1110 de mlor ,..,;,,, e limo /xJc1trí1uw. Quan10 maior a qutlo1idlldc inicial
de con1.11inin:sçio bacteriana. mais rápido o tiroo se dese1wo1,,~. Por lSSO, boas
Pf'Lic.;llS ~nildrit'IS durante o proccssameot0, cotuo limp.'ll' o equipamento cum
frequenda e la\•ar as cnrcaças. 5.01(1 d\o impOl'l:\ntcs quanlo a tcmpcmlml'.I dt\
ntmnzc11omcnht pt1ra () numento da vida de pmtcleira.
Ai 11vc:1 devem ser oongelndas niµ1darmmt~. a fim de aliseguJl\t' nmil UJ>a
1it1cia oliuu. e agrndfivel. Aves que s$o congdacJas kntnmc111e p:1reiecm cs.c-u1as e
dcscn"ulvcm gn'.ludcs cristttb de gelo qued3oificam o tecido. Os crisuiis de gelo
fonnodo!I dunuUc ocongel3ooc:nto rápido foiio poquco~. Retardar ocongcllun~• •
to do aves foz. com qoe O!\ crislals de gelo se. •ornem maiores. O congtlamr.iuo
1l1p1do podo !ICrObciOO J>Or ar (orçado ll ltfllpeflltura!i de -23 a -40°C e \'Clod·
dadc:11lc LS a 5 m/s no& td111"i.f dr ~elaml!nto por mrm1/t de or. A ma1orw
W a\'Cl ~ conselada dessa fomJJí. Além disso. as ll\oéS embaladas c:ongtJom
multo mais r<ipido em prllttleiras abertas do que cm caixas. Se a\'d embalada\
pi«l~arc:m ~congclllldas ~m ca1r..u.. cnlio t desejivcl dcU.81 &!> ca~a11 nbt1ta~
w fazer buracos 111el11t na direção do Ouxo de ar durante o congclameoJO. P1111
mdho•'t'- rewhados. o tuoel de congelamento cte..-e ser canq.ado em •od~ w1
ICÇSo Lraiuvtn.aJ com um mesmo espaçamento entre os produtos. para ~urar
wn nw.odcaruruíoane cm WOllO de todos as tacbdasCli•as. o tcmpOdeton·
acWnenlo de aves oonfoone a 1.cmpcnan do ar rtfrigtfado é mm.irado na fig
°"
-são--
4-5' As proprl<dldo> oinnocu das
na Tab. 4-ll
CN4ros mdockJ6. de congd1men10 de camc de r.u iaclorm aprnionamen·
oo...,.. rlotw fnas . ..,..,_ an líquido t<frigendo como g!JCOl oo l p sal·
pia com dor"" de cQcio e ruf"""""'º cnogb*o com nitroge..o llquldo
As ...u pode• ser congcbdas em váms horas por pllcas frias. Tu.a. rmuto
elc\..s&s de coagclamc:lil&O podem ser obódss por imers3o de 8\'H embaladas
an salmoiltl à b;tua tcmperaawa. O aempo de COrJ;Flamollo de 2'"õ em MI·
moma a - '29 °C pode 1<'r" tio baho quaato 20 nunulOS.. depcnde:ndc> do tamanho t.Ja ~e {fÍI- 4-SS). Além dwo. o congdameato por 1mmi0 (WOdut
n~-;:;--:;---:;~:-!:;---,:-!;----:~-,,!-::---='.,--,,,.~.J
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Yan~io ela lcaapenRIP do PCI'° dt um ptt• de 6.8 la m~b:Dttlet a 1 -C com
~ dimint~ o ~a.arM:nto portmm.ão• - 29 '"C (de V:m der Bag e 1.enn, 19$8).
f1CUU 4-!5
aporfncta cl:i11 e 8tnlentc, e altas ta.us de transferlnt:io'I de c:aior faiem a Opera·
\!lio tm linha tontl11u• 'it.r \ti.(i~el ~ bpo de coagclamcnto tem aindJ custos
1n1c1111 e de manutcnçilo mai!l baixos do que 0$ li!tcmas de ar forçlkto. mas
\'<IZtim~ntos na embalagem •tra~• de pequenos buracos ou rachaduras conti1i11.u11 o ~er pre«up:u11es. O «1e-ficie111t de tra.nsfetincaa de c.:ilor pot convccç?lo
6\lc 17 W/mJ K paru o ar,. -29"'Cc 2.5 mls. enquanto 6dc 170 W/m1.K para
11 &Jllnoum de cloreto de s6d10 u - 18 ºC e a uma velocidade de 0.02 o:t/$, Às
\'f7e~. o n.iu-ogênio IJquldol. usado Plt1'(1ooageh1ra crosta de a\·cs a -73 "C. O
\!On~cliamcrllo ~.então, concluído com ~r n:' saJa de nnnazenagcm a -23 ºC.
Pro1.h.1l~ t1vfcolM <lcvidamente ocondiciQnndos podem ser m<tnlidfJs COO·
Jtclfldos ()Ot a1é cc1-c.1 Jc um ano a 1emperaturas de -18 º C ou menos. A vali·
dnde de ar111azemuncnto cai con$idcr.:ivclmeme pam temperaturu.s mrus ehwu"'1& (tllll$ ainda •lxllxo dó «ingclw1i<nto). O«irrcm m•riAAç;ls sigoificQti\'aS lt<J
•nbor e na .\utult'nci:1 qul)ndo DS aves s'<i i.Xmgetadas por muno 'empo. desen·
vuh'C.Ddo um odur ran(i.·o~o. A$ aves cc:mgcladas podem tom.ar.se desidratadas
e \l1frt1 41tJClmadura dt rontt.lamcnto, o que pode lomar o produ10 menos
1111.,.ll\'O e C&u$ar ('.lKlu~cimc.010 da~ afewlll. A de.srdrataçio e, portanto, a
fllJ(unac.hu" de congelamento podem~ cocHrol:MW. poc umidifkação. ôim1·
nmndo • lem~turt de _,mu.cnamcnlo e t'-m_balando o produto com filme
"'*tk:1almcn1c 1m1~rmn1wl. A va_lidade de annau:namcoto pode scr estendi·
cb 1>ct1 embalA,gc:m das 8\'CI cm um ambiente llnt dt oxiginio. A contagem
b1c1rn1,t11 t:m produto. ~ados e coo~ de\'e ser mantida em nfveis
wcuroa.. ,, q~ ·~ bacli&'ial podem • !a° lótalmc:otc ~ durante o
~de ~ucc1111C'nto em ca.u.
A•ª"" -lldu podem""'"'~ oo • un1rieore. na ig\ll. na
P't.tdcita ou no forno. <W:m que 1sio pro\'()quc ocnbttma diícrmça stgnifiiariva
m .._. As •'"CI srudcs oomoo peru podtm ter~ de forma se·
pra ....to .-tadu OI gdodc:U10cntn: 2 c4 "C dunnie 2 a4 dias. d<pc.dt ,.. tamallho TIOJl>tm
ser -..,gd.odu por 1mcnio cm .sim tna
,,. 11m n:cipcntc pandc por .. • 6 bons. ou~ m1Dticbs em saco de fJ1PCL
F •mpt'lfUIDCf- ttt o andado de manec:r jr;a a superflcie da l\'e pma mmimizar o
crtti~""'""'-~iCOquando fc:wdetc:ôogebda no ar ou aa jgua_
.-m
•a•i.ia•
Cem.Idade mêlua,
Ml)sculo
Pele
C.to1 t'SOeCfflco·
V~lot tifice
1070kf'm'
l .030tll/m 1
Ac1maóa
2,94kJ"'8 K
congelamento
Abai•O do
l ,&5 •11>1 K
~gtla1tlet1to
PonlO de
- 2.8 'C
conf!eiarnento
CalOf 1a1en1e cM lus&o
247 11.Jlkl
Condutw.Udt lt11'1'11C•1CWlm 10
MC.sculo do pe1to
0,50? 120 *<:
) 384 •120'C
M05culo esieurc>
11 5'7
506•~'º "C
a 240 'C
~-------....::
C:=!
ªP".!í!!
tv~lo::4~• Conduç&o de C&l0t Translente
EXCMPLO AI r2 Re5friamento de ç.arcaças de carne bovina RI
indú,trb
L 1n frlgor{flco mdu$1t1Al de ca.-nc. bO''Í.ftl tem 18 m X 10 m X 5.S m de tl.ftWlho e
capacic:t..ck de •.so dllCIÇU t.vmn. As pot!ocias consuimm pcaM wmiladon:s
e pdu lut.a. do fJ1.l'-lrif.co dt 26 e ) LW. ~rnmcoie. e Oi phoc de calor
11nloá40 \dl ~$.IO dt 13 kW. A nm.sa m6chadt c:ame por l;m1110êlndo
f W k&. AI~ cnltUS • fripif.eo a 36 "C ap6i; SCRlll 1arvadal pan fiei·
ht.ar o~ por~ e mlriaclu • 1$ -C cm 10 bofu. A f_gu cm
l"'ttdll pmti t'\'IJIO(W • Ulnl tua de 0,08() kgfs.. 0 .. eftln QI $C:Çio
doU5ICIMdt ~ aQ.7 "'C e odd.u.a -2 ~O tido do•docvapondor
1b) Cailoi ~ trto11.fctldo ,_. Oli DI laAa dcte.rminada arumQrmenle. e a lempcnNlll
do trr aumr.n1.1 de - 2 ,,.,.. 7
Por ililiO• • , •.,..., mti.i;ica & ..- 6
o. e.
...
mkW
(1 .006 IJ/kg 1()(0.7 - (- 21"CJ - IOl..O q/I
. _ ~· • \>'al,lo \'\ilum&na. • l!Oml«
•
do.._.....
t--··-gjc>bll"'_"'. . . ..._....
CCWll bMc; mo Wodo . , 20 w.r·K.Mi:PI cfi:s:so.. drínulça mtdil a&R. ~
_.t:kt•e•rt:írigcr.-ODMipCDllol"l S..5 '"C. ~ (o) ac.p fnptfa
raf:Nme-. <•>a'fuió ~de• e(e) ap.ip«fkic de..._,~ dt
calot docv....-ooi.letck a. ~quelOdtlo ftpclfea~dD•
*
._.............
~.e umfnf;'Ofífiico iaitmtn~ dec.mc bovina com caplCidlde
dc430can.-,ie~~,..-. Ckllel"mO...,. ·~· ...JriMeefi"'lil i>n N ll11tn~wc
am.. ~ IJ'IQlfafi;iaade: calo-do~
SOlUÇÃO
S.-sJ
1
l A qw c'iapon a uma c:ua de O.OSO kgh. 2 T"™ a unud* do •
COR.j!,C:Lllnú~.
f't
102""'
(e) ,..on.1--.ac.pds~decüordoC'ta(ICQdor"~aw.snaqaea
cw.. • rali..-o Mer.. Mllt calO. a 6'UI qae; e:aa. .,enip:ndcw"ccmo lfqb-*>
'COllpbda......., a ~cai..,. -2 -e. e o napcndor QMbf.m ~
tftll'D\"Cf o calor latittlw. a)ftetbftato. ~. parur dr
<!-· (M,.,,_>.,,. • (O,Ol!l}tghJaD.7kllta) • 2HW
Pol' • •· • ta..u P*I
* ~ dtealor no
napora1or ~
0 - - • Ô--•--+ d......,._.='277 +-?7 = 'Wt"W
*
EntltJ. 11 •11perl'kte de trlDlftteoc.. calor do evap:ir.tdQr no lado do ar é iklmll._
Mdi&. pattllck~ •(UA>w. ... ã.T.
A • Q...-•
JO&JXX>W
_
UliT
('2&Wlm'-KX,..l'CJ -
O calor de rus!IO e o calof dt vaporitillÇúO da 'cwi a O'"C sfio 133.1 kJI
k.s: ,_ 1.SOL Ul\:1 CTab. A--9)- ,. dmsidilde e o calor específico do 11r a O "C 'IO 1.292
k.Vm1e 1.006 kJJltg K ~b. '-15). A lém disso. o calót espocffico da ca~ da
t..,,nM! bovtnll ~ dcccmurmdtt o pllftit d11 n:l~liO da Tab. A-1b como
...
v. • P. # 1 mk;gfml .... n..•-'i'I
..
Olw111.n1c1Ut, un\11 Hflt'ríkic 1kt11do1 deve 3tf utdiznda para atingir uma g111.11de 11u+
f)t:rtlctc no~ do.,-
~, • 1,68 t 2.51X(tctwde•gua)= 1,68 + 2.5l X 0,58 = l,14 lt.l/k" · K
A111ll•• (a) Um etlq,UCma do frigorií1co 6 dado oa Fig. 4--56. A qu~;dade de: m11si.11
lk <:Ullle bovina qUé tem de 5tr ~fnada por um1fade de tempo'-
"'-- -= (Massa tolo! de e;arne refri.ge.-..b)l(Tumpo de ~fri11memo)
• (450 carc:.a~)(2$5 kg/t:al'C3Ça)l0 X 3 600s) • 3,56 kg/s
flGURA 4 5o E11qut-n.a p1111 o
fumplo 4-11.
A carp de rafri111T1C11to do ~rod1.1to 1)()Ck !iCC v15l:l como a encrg111 qut pttei!ía aer
1 eo~11 Ja CIU'CllÇll lk eatne ~ua.ndo é resfriada doe !6 a IS "C • mn~ 1axa de 3.56
klft e dc\'t ser
C.1-•(oóc,.A7J-• (1.56q/oJ('.l.l4 tllkg·K)(l6 - LS)'C - 2lStW
F.nilio. a cazp w1al de rufria11C111odo frigodf'ico toma-K
a....,........-=o...+a_.........+Q-. +Q .....'*....
= 235 + 26 + 3 ... 13
A qv.ai1t1d.ade dt tufri.unco~ da cat'CIÇI de'Y1do l ~da 'gtll de rafna
""""'' 12--=(M..>.,..•
quet 200l235 - as,. ...
(0.080 t,1<)(2501 tJJka) -100 kW
._,....o1e-o1o,.-o. ......... 1s,.
............ . -.......... ~ ...... <..mçio
Nt11111 c11p(1ulo. con~idc1nmo1 11 \•arlaçlici de tempcnltl•ra 110 longo
do l('m1>0, a!'.i..hu ce>mu Wm 1 JXl!llçjO cm si.sccmu unJ e 1nul1id.l·
rna14k)1,.i.1, Coo11Hkramot 1)nmtlro os Ji.""""'s ugf<N~rodos. em
IJUCI • lcm11t.1'll1ur. v1ui• com o lcmpo 1n11~ pamaDe~ um(Qnne 9'<>
l•w.10 do lodo Q ~ª'"-''WI ,,.,,. qu.ttS..llQ ou,. o oco•~ A WC:u)A'.r•u1n1 du
(OtpO itM,Jomc'* C(lln form. ubluVia~ 1namm, .,.ulumc v. ãre11
4l 4upcr1Tc-lc A .. dcn~td•de p t caM upccílioo e inkialmeme a
utn11cmpcmura unifonne T,. que cstj ~Mo• ~veççiio 00 mo•IWMo I • O, plll • um rnoo a um1 lcinpc...wra T.. com cocfic1eo~
dr tr111cfc:tflll,; ia de e&lor li ~ ttpll'ill co1tt0
-
'Ttt) - T._e ..
T,- T.
é n q1U1ntid411dc )Kl(llitiv1 i:U,11 dimendo d (lompor•. H\:.\111~111\:Jo
pode ser usada l):tta detenn ruir u 1cmpcniiu111 'Tt'r) do oor1>0 no mo•
mcnt@ / ou, aJttrnali...amen1:, o tempo 1 nect,,árill IMllla 11 IC'nlpt'l'll
tura ctiepr ao valor t$pedf1C11(10 TV). Um.a Yt:t qoc t lc1npc111tol'a
7tr) no momento t estái atq:onJW:I, a tatu oe 1tan~fottn1. .. uc c11or
('IOr 0011\'te'ÇIO entre o oorpu e. tiCU tnt'to naquele mo1ncn10 pode 11tr
dcwrnu!Mlda por meio da le. do NCW1ôfl do re.!n11mr:n10 CXl'M
Ql1) • M,1!11)
T.)
A qwrmidolk rma/ de rnosfedtlcla de e&lor e:nlt't o corpo • 0 mem
ao redar dunrmc o urtcn·aa. de lanpo r • O 1 r ' 1unp~lOl'CI a
mudaoça iu quaaudade dt Mef'!I:! doc:orpc\
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-·
A tnllSfct&cãl de cakw -..~- enoe o cmpo e wu mr10 lfln'OI.
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•p~í_lu_to_
4 • Conduç&o de Calor Train1ient1
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OA An11ttu:a.a Sodc:1y of HCllJ.Jli. Rctngcnitui.&, aad Atr·
.CoodlbOGUll Enaincm. l11C.. 1993
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~ • aiú.bie dt k.Uan. ~ nlo t lpldwl. •
,--.uç1a da~ C0111 •~e o lclllpO p:dt.- ddcmu·
uda•ilUMdc>-•••~··~~..,.
Hp • 16. 4-11, 4-11 <•- )O - - - . . - . tibodro
klllio.atcne mno . . .
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J. ASIUlAI;.. llu~ of/~oh. SI vr:rsJOD Ali.ui&.
OA - ' - " • S"""Y oi lld.... M<fógtt""'& _. Aio-0.od•llOIOIGI F.QPaccn. ll!C•• 1994
u s ('.ard..... anc1, e Jqa. ColedwJ.,.. o/""-;,, IOhds.
2. rd l.omckm. 0A(IJN l ~y "1at. 1959
"' H Oroh:t:.S LIL-SU.OQgull.F...,,,..,,..,llfl#:ol1rrJtU+
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ett.IO subrlW:bdai k racufla c0111bç6u edaieat e o ccwpo a.io
'• ~-4o1
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.~ dctcrmiMdo kntpO,
qrnr.1--.,·•
U~ 1
d< krWIO Mico. • J!Ofuç6et ""- Pf~
blenw de coGdllÇlo de cab U'Mtcntl: unlduntftl.t(lftl] alo ex.pretas lll<llllQ.:aJmnCt 1:omo
onde ns 0011:H11ntc11 A, e >. 1-lo t\1119fti1:111omtn111 do mlmcto t.k 6w1
e &et• ~ vak>rtll t~IAI) hiillill~ nn Tub. 4 l pani tOl.ltls •- 1.-6 gc011»
ui1111. O cno envolvido em 11ut1.çl\o d~ termo d.nico d hllCrior 11 '2\f,
quando "" > O.l.
U111ndo u 11oh1~ ele trnno Onico, •s lr0Çõe1 de uansfcrEncia
de n l<W cm <bft1t:l1Lt:11 vcotntlriiu 5.llu ti~~)IS como
"')
~1)-T,c---
--~· ..... "'-...,..... podem_
aa- "Slldoi pwa dt1en11tur • ~rcwtnro.w ...a de cak'lr do carpo
C1fldc- rde(-.,) l. afoi.tp'Jo ffllO """Plf'llW"l..de llJ'rmmfO 'f
Usaodo o priadpto c.b superpo1tçio chamado JOl"fdo pmdwo. eMe$ pâ.f'ioos wnbim podc-m 5Cf uub~
contuvçlo
de toluçõa para problc:mu de C(ltldUÇIO de calor ),J,M;>lf.SJdftal.t
1raPUinJ1ts ~MOAJrud()I cin g,coJJle':IJ'iu como cilindro curto, barru ttu.n;aul:t1 longa e ciliOOro OU chapa 11cn11 infinito. TamWm
podem 51:r UMdo$ tto pn'lblttna.s 1rldú"1t.,uioMu tMOCiados com
gwmt::cnat como prisma n::taogultlr ou ba1T• rd:tn,lll l~ ~mMnn
nita, deKle cpc. tOOll:s ;u ,uper!Tcies dos sólidos i>cjam submcddH
ri c:Ol'IVC'Cç.il'I para um mesmo ftujdo b tc:mpc:r.it1Jf'W; T_ tom ftlt$./ll(I
codkicme de tran.sfciinc;, dd: cal0t por convecção Ir. mu acm o
çorpo Apre.senl:tr ~1-aç5ode calor.A soluçio p11ra e1.1as geomelnH
mulUd1rr;cnsiooais pode Kr tx.p~a '1.'0tilO produ10 das toluçóc•
para as g:eomccoas 1.1nldimcnsionai11 cuja interscoç&o é goomc1rl1
a1ul1tdi!l)en.sfooaL
A traosfCJtaci..a 1ocal de calor• partir de ou p1111 um• geornc·
lnll nu1/tlillmct1.1ionlll 1lltnbim pode 111:r dc:ctmunlldll COfl'l t Ut11b•·
çlo de \'t1forea u:nidrmcl'.l~ioo2is.. A ll'lUISferbld• de calor U1U11kme
parn uma !lt"-()lfü?tria bidimcnsiomd rormW. pelll in1e11ci.:çno de
dou gcomeui.as unidimcosiooais 1 e 2 é
""''Oft_
\lcOrft llal. 19161
t-t P •taa1a. "Ta11pcra11n chwtf (C1f ~ aed ~
inicwnt..-cbeMmg- tUME~~<l9'17Lpp.1Z7·
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A nnsJttf:nci.a de c::aJor craimcn:le ptirt CQr)>O tndmieas:lc>nal for·
macio pela intcr5CCçio de. n& corpos lltliduntt1s.iiOlw1 1. 2 e l ~
Soluções de ~IO de Clk!I lrMLltOIC f*11. 16Udo Jie1111·101ti.D110
com propvdadcl ~ IC:ibcllfCf'QIQ c:ioodilÇÍl!tl dt: comomo
M IUpCdkiit, do~ COlllO.t.tpt.!
n..pman.t11 da~ upNVfce'a, T, • t'M.lllllllW
11>.l!
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H. Hillman. Khr:liot _g,~nrr l'ew Yort Ctl1uumcn UtHOll,
19$1
S. K.abç ltld Y \'~ llttU
phac l'llóiislúg Co_ 19"
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t1air Ncw \'ot\
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1_ $. l.ll~CM ik.11 tnUKíer ftom MuhJILnte11•ll'lnll cibp.b
usiflg~..ol.uomfor~bl'" lrw:l'YtOllOllttll
./#rwltlfllttll-.IMIU:I T""'°'" lS (19ll2J. JIP- 14$0
'- P J.Sdwndet. C~ltNltrMSfor .t.i~• ltt•
ciop. MA!Ad<hoo·"""r·
'"'j
10. t... ... der Bag-.d e_ P 1.n1i. -"F-..100 ..ntttina rrrc-LI&..
n1e a..t ~vinlccnkd pc.ln) rroin ••.,,... kw.titl
T~l?(l9Sa~
de tcmperawn duranie o seguixll) m1nu:IO v11 k f inknor, i.a\l&I uu
Pon qual ldhdu • 1rnAll.9e do &iskm1 a,glotntl'lfldt) .sicrt m;,is
f'O\'llt" lmc:ntc ap1Kad11 •AÇI ttal ou maçã dQUrwJ.I do mesmo UI·
m11nho? P\w (l!Jii
SllpêO()r a 4 ~ Por qut1
l P.na <1uc tJpo de 1.:otpclll td1ot do m~mo maienal é nuu11
rrov-'-vd llUll 111ndUM: Cio 1~1cma ngiomt:radu llt-J• 11pfü;1h'd; o fino
ou o m..b ••rcdo1Mbdo de mc..,mu v<1lu:me1 Por quê?
1 Con11Wcro u1na tru.n11fc1'f'nc.la de calor entre dois ootpoa Ad-.
lldo.t QU11!1\l111 llll-111k"()rt cio Scll$ llmbtcntcs. O primeir<> 11ólido caiu
cn1 um ttdp1cntc 1t11nde chciu tk '-"ª• cnq11tmto o 5egundo ~sd
e.111.ando 1wtm11!11tcnte no li'. f'ur11 c1ual sólido lit.1'á 1uaiJ provável 11
~1>bcm.;lt0 dn 11ndh11C de 1i.ue1ua:i l•••1.m1crndo'7 Por quê?
CoMJ<len: umo tr.nsfcr~ncu1 doca 1(11' e111re doi.s oorpos só·
l ~Ot j~ntlco1 que111e11 e:1u 11to~ .ami>l~tles.. O pnmcin:i .súhilo ctuu
cil\ um 1tdpiC111lo gnuldo cheio de Ago11. c:t1quanto o segundo csfri•
t111tllt'lllltlcf1le no •r. Plir11q11al1õlido' mai11 pro"1t...el ~~µa ~pü·
c•,oel 11
tJc M11tcm111 aaloo1er11Jo"~ I'« que?
4-.5 ( C"flnsJdcn: wn• ktm as..adl qi.c:1ne tlO pnito A tempera·
1111~ d• bfllall d.imiJMIJ t:nl 4 "C-.01e o primcll'O m1.Mlt1)_ A queda
•"'li*'
Q\
'º"
'
• P'rttblr,.. i0tnur_...ac1oa C0111 ""C""' Uo C09Dt'J•-~ ec. ......_,.tia ui.
l~h.00. a~ ~n.ao ic.ult'
~ m.ol"'llOI
~_,....,.,,.."'*'-IC "'*tMlb ~
iklllll&ll-.., CD.-~.- tnTO. ~~o
.--w.•••
«1t..,......
•*"-
tr.8-a.•--.tw.lc*-wrrnol.,._•~.de::
....-............-.,...,_w..-...,...ae.1,.....
Considere uma bà1a1t sendo 1t.'\lllld.A ~m um ronm nllltlfldi)
a oma 1empcratm11 ooosl1101e. A lcmpcnuura da ba1"'• 11umcn1.a S "C
dunmtc o primeiro rnlnuro. O flumc1110 de IC'ltlJ!C'l'IUUfl durante o
~uodo mmu10 ~ Set mfrrior, igual oo ~üpe'.1101 • S GC? I~ quf?
"4 .,. • Qual é o ugnific:ndo (b:ico do ndmuo de 8101" O •~1lme1 0
de BIOI de"'e ser bem m1mr pua s6hd"'' 11ll111nen1e çor11tu1ore• ou
.t--f. C'
fl'llllli OOfldlJl(nfi..
•'*'-
c.omidcrt dois pedlÇ(l' tdfntic;o,; de camr
de: " ta
O pnmwo pcdlço é cozido eomo um todo, CnQUIJOO o ~pndo
é cozido ao mestt'JO f0nt0 dq>oiii de litt ronado tcn doíJ podaçot
~gom. Haw:ri alguma dJfettOÇa cn1tt aa. IA.''llrc>f de corrmemo do
p<dlço ............ ~-?Puqul?
eo.sldttt umatdcn e um ahndro de ipal ~ fcttot
decotn. Tueo • afc:ra .-oociliadroblJG •..,....,....,....,
Tr1nst1rtnc11 dt C.lor =
• .;;M
;:;";:;":;;.._ _ __ __ _
"°
1-na 1c. .111ct111. e u.poaot à coiw°"'lo 1ne:uno ambieu10. QUAi
voe! •ettd1ta ~ v•1 tsfriar tn•i• raptelo: <cllu>ctru 01.1 • ctriíe:nl
rt.q~?
• 1 (
Em q1.1e me;o a 1oih1t de M"t':dl# ll&)omcradóti' i mus
provtwl deter .,tl<lld• na f.iu• (lU nu..., l'orquf1
Para ll(IUt!Cl'!I 1.1m pouco de k:lceo ,.... o bcW. • mie c:oklcl
knr cm um t'ClfliO de! ~tdto
c...'\;o dalmdro i 6 cm. A
ah.uni do lci!e
copo ' 7 a. 611 M1Jo ailoçf o ropo Clll .11\111
"°
de,..._ r,..
.,..... .............. _ . 'IO"C 0 .............. . -llWl*. dc fllllOI» q9e . . ~ ttfa •Ufomic 0 ~ IOdo
Contidtnndo qur o cocbc1tftlil de ~faf'nc• • calor edlt •
Jgaa e o C'OflO i llO Wlbl' K.. ddcrmaac qtlllllO 1-ipo xrf ~
....,,_.eqwecrokMede J -e',_. JI 'C Tomc:u prop Juh1
4-111 Considere um (t:n'O de passar roupa de 800 W cuja b111te
Je chapa tem O,S cm de espessura de 11.ga de alumínio 2024-T6 (p
• 2.770 k.gh:n'. r,. • 87S Jftg:K, o - 1.3 X 10', m'I•). A chip.
da bise tem ~ do 0.03 ai. hucia110C11te. o ferro W an tiqt.Hlí·
brio tCrlmC'O com o• amblentt a 22 "C. Tomlilldo o ooef!Clttl~ ~
tnni;fef.nct.I de c.alor DA $Uperflae da~ da~ COIUO . . . . .
12 Wlm1·K eo:ms~qut &5'1 doalor Jft'ado ru 1tlua&icl•
'- U'USkrido par;t • chlpa_ detcrmme o atmpO ~ S-- . 1 _ _ . .............. t<O'C. t fell&tico- ....
~da pblca .~OIC:mpO 1odo"
R.:p11a o Prob.. 4 li pwt o~ dr t,:-. que ata te.do
q_lfd. de n91)du <l"iC O COtÍM.ICftk dia t:nnJ'«fhtil de Calor Kj.t
dobradl') pw-11 2M>\\'hn'·K
raUJt11 ioicill e discuti OI rtSUh~.
o
4:MJ1kg•Ke.t-=63.9
\\/WI •O do *flK"t•dat. mi um forno a &50-C e dtpon. mapltu.;.acm ~ • )!) "C por uin pcriodo de-40 segundos camo
~do proço.wodc ~llWMO. OeotGcet.lr de IJUJ:ia&da
dl 4-'« pcw OOD\'CCÇID f MO \\'f.t·K. Cms 1 Mdi.lqw M Mms
dt 1~ ltns dlleetto dt 40 me CIOllpnmalO de l m. dctmai.c
w ...
R
4-J.& ('on~kkreumac.c1dc u"-11reaféntacum dlime':ttoo1Cf1u ele 4 me ett'C"-'Wlll de t:&KI de 10 mm rttllilnOdo ~ •~·
fera A C•..c• ~ u"-1111:' ft:iUI de &lw'O inO'CJJ~~l 1,.-om propricdacld
<k,r. • lll$ ka/m1• l 11 • •68 J/kg·K e .t.; U.4 W/m·K. C>vro111•e•
littl'lpctnll.ll'll ~(etJva da lllnW8Íeru cm tomo do sa1tl1~ t
12"1 'C co1n oocfk.1eftle de transfttfnc:ia de ca'->r P'()I' ço~ção
"" IJO Wlm'•K, CCJó!.Ída;mllo ciue 11 lc:mpcntu:ra iniciaJ daciLiea '10 "('. lkwnmnt w;a tt:nlprt1111111111pm. $minutos;, Considere que a
t11111.rcrt11cl1 de tlilOf CN;~ •pcnll.'I 11• catca do.sa1~l11t..
*'"'*· •
fltUIA P4 li
t 1'1 ~ Rcçon~ilktt. o Prob. 4--l8. Us:u1dô
ees (ou OUU'O
ISiiiii pro1ra.1na). im-csti_gue OS cfcltoil do corficicnte lk
lrlns-frrêntJfa ~ L1111Qr e da tempcr3lUl'lt final daehnptl 00 ICnlJXHIUC
est11 vl.i, chegar a essa cempertnua. Pt:m\it.a que o coeficurnlt de
1runsfc1ê11e111 de c11.lor vu,m~ de 5 11 2S W/m 1•K eu 11.:mr1ttmurn de
JO -e a 200 "C. Truc:c o tempo cm fm>ÇOO 40 éQe(K"1eme 00 trnnsre.
r~oci.a de cal<>ir e dt11em.peramra edi$cut:l os rcsult.ados.
..fl.JU Um~ pessoal rocontnKln mo1t!I ts S b da 1i1rde em uma
sala cuj~ tcm,peratun t de 20 "C. A ttmpcralura do eo~ 4u&ntJo
encon11'lldo foi modidil a 2$ <>e. e o coeficiente de t.._n.rertl'lc111. de
c111ur foi eslimado cm tl Wlm'·K. MotldandQ u i:ut~ como 111n
clbndro de )() c:m de ditmeuo. 1.10 m de con1.1wi mcmo e US11nd6 •
anihi;e de 1111;1etl)a aglomerado como aproximação gmuc-ira, C~lJ·
me o lc:mpó da morte deSSI pcWta.
Motas cm um i;i$tema ~ sospcndo de MltOmÔVC'll J.lo bum de llÇO aqucddu que. ~aMo n:lio maleiw:L.._ Ili> C11roladl•
tmbobitw.~ban'asde11ÇO(p • 7.8'2 taJm .. t·,.-= .Cl4U
k&·K. e l 6l,9 W/m·JC)onm dJãmetrodt Um1 e comprimmtO
de 13.7 m.. .aquecida mi fomo cum tttf~ eáonne de lfdto~
r~ de ea1or por~ de 20 w1m:.g As Mmt t.:nm
Um Ws:pos.iuvo elctrõfttco dtu1pudo li W ~ n'*ua de
ISg..c.alorapeófKOde&50Jlq·K e *ndc4 mi ' Od1tf!C*11"'0
é u...SO liew:mente, r~ hpdo por' miaulOli t dt:pou drMipdo
~ \'Ánai horas. dlJl'al1llt' .. Q&W• lie te•fri•. kl• pmilllUlll ~ ·
1t de 2S "'C. Cooddietndo o ttld11t.et11Ce dt c.'Mdtttueu dt ua.w
~a 12 Wlrsi·K.dcurainr: ltd'lpenlundo•'t)OlllM).Ofi...
do pcrio6o de fw;:;.
dt: ' lllinlol ()MI .,;. - l'C!lpOMa
M!O ""°"li~ Jol,'-Cue:udo .. d~ de QQ-ck ...........
oom rus:sadt 200 a e~ de IO ttn>4t Com,IÕtft' o c1i.,,.,.rw e o
~e... sc.toqa:aw- ..,_,nucoL
+....,
.a ...z: U..ftl~dtaii.-u(p • 71)2.,..,..\ r,
~ ICCUWIOpin IQ(nar o lljoloa -c1Jeraç11 de ltaip!nlltn
4- IJ Obcrnhl • rtl.-.ao p.r• u icmpo nuaNr'tO pen o ~riema
·e
ltlnpo e • tau 1ooJ de t11ut'-Íerf:nc1J de calor cm 1ww;lo d• 1e1np:-
_.. tQ11Kldu pill'll I IC'~'UUl'll dc$tjldl C'ltl 10 mUMoc.
cte $ "C en1 ~l..çik• l lirn'lf'rnlu11tdo • ~
aglomt:nado '41'1SU 1 ltnlptftfUl1l QW,ha 11': (1j + T ,.). onJt: T. ~ •
lt'mf)l!f&rut'll inicial e T. 411cmptr.o.ir11 dotmb1C':n.lit.
/? /- .1.1 ' ·
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l)btcde ara11de plnna lló Clif!C"Urt l i.. LilliMl10lflUllll101111.1 de r.I<>
r., ec~forn do raio,,.
" -1ti Un111 hn.-te lnnii11 de cabte do 2.0 cn1de di.lmclrn est• ini·
c:ial111e:111e- a 1una 1 cm1~m-t11r1un\lonne4c 100 -'C. AJJ,utl t t:A~la
• uma cotTtnu: de_., a 20 com c0cílekotc: ti\\ tran~íerit1da de
c11lor cio 200 Wtm1·K Quanm IClflJIO llCI- lll'C)('M'1IO pa111:. M~IC
c:~íriai 1 um.a trmrcrat~ra n~1.ba de 2.S "C"
.17 Conikkrt uma et.fcta de .S cm de l1lmct;ro, um cabo com
hido dto .S cm dr co1'nflrimmlo e: un\ ri1!rt1N ldaf\&_ll1• de dimcruõcS
4 c:rn x 5 em )( 6 cm. 1~ ~"io.:i.almenlc ' Oli(" t todos fir1101 de
pnm1 (k
4l9 Wtm·K, p • 10 f,()Q k.sfm . e,. • O,l-\1 Ultg·K).
A,on tOiCk» • trh liObdiC11 t.lou~ 8011' ambiwtc a 33 'C~
toda> _ . wpni'k,~ oom cot:Acte11ceo de lfMl,ftt'Mtia de eallOC dr
12 Wtr.'·K. l'>ctietmilllC: o ~..-.SlOpan qve • ~ura
dll!: cada idlido -~,... u 'C
IW I k1nprn11u1• 1mb1ciue oo foma se as bl11nt1de1191> ~
*
4- ll
daà boJM- DO tempo de rtea1.1mr:nto e na tua cou) de 1ranJfc1f1'iC"
(.le ulor. l>etM a 't'.n1pnlilllf8 VilllU dt ";()() '(:a 1 000 .C. 'l'rtce O
*"""
•
1cmpcrn1ora.
llQUK.d.11~ • pa1tu de tc:nlJX'•..lltra inici.111 de 20-C (tlt• ll'ltlptfltllf1.
m
._.,,_..de 45(1 ·e Mies de sm'm mrol11d-. cm bobtnu. Oetttmi·
•klllfC•llbn--~"°~doblMo-mana.
tmdo•--••.,_
1~ A 1rcmpwih110don11J1odc1•1dcv.i:wr mcdid.I Jl(ll'ttrmOpnr fuJll juni.'IO pode ttr 1pro"m.ta rorno ~cDdoe11(a11 de 1.2 mm
d~ d1lmrt10 AJ rmpntd.tdtt de JUO\io lolJ t - 3.5 W/m.K, P •
8.~ ks/m' e e,
3?0 J/k.;-K. ~o C'\Jltftc•cntc de tnimft~oda
dc o lôt enll't o Ch• 111unçlo ili• 110Wlm1•K Ddc-imme O
te-lllp.1 nttC'l'l!lrio f16UI o ICl'nlOl)lll' ltr 1)9911 1fa lhÍtlC'CIÇíl lniclal de
- - - - - -- - - - - -- - --"
C."pl
=IU-lo 4 • Condução de Calor Tran.s.enlt
.....1 Umti;olctdr*-lllMolQl x IOl S7mlqutdadocm
. . ÍtftD. 1 100 'C t!
4'f1udo mt SI.li. ~
. -..... • lO -e"~ ..
am1e c1c i.-t'ubell • ca1or c1cc::io.
w1c:do
'w,.;- K ~que o tijolo na popiitdades
• i • 11no ..,,,_ , "• •790Jll&·K eA- • OJIUW!m K.dcec::tmio: o
c1c>to11t«n0
~e.o. o 1itM
pode' . . tn&IJd CCl'llO ~~"Por qllt"
R
-
~ 11 Ool1111de 11çodcu11tH.mv(p = 7 IUJ kglm',k =- 54 Wlm·K.
e,• 0,•65 k.J/li:&•K to t.•74 X 10_.u,11$)de 8 mm dedjàmeuo
Jo rtco,ld11• pot 11<1ucc:in.cnto a 9<X> •e em um foroo t. dép<>u,
e~1 1 i~n• licn111mr.l'lh! au! 100 ºC nu 11r nn11}ien.1eo 35 '"C. Seocoefi·
c1c-n1e n"dlo de tmMíc1tnc:l11 de culor é de 75 W/m1.K, detennioe
11 le •11» de llcrm•1• 1Jo ''n.ia,150 de rocotimcoto. Co1uJdctando que
l ~O) ~1..,. dc'-crn •c1 rcrotldas por hora, de1tnni11e a tax.t global
de 1a 1nJc1i.11cla de cal« n. purtu du boi.as par~ o at a.mbie1111:.
~·doutor IJJmloa!e.,. ,.,. . . ,.,_
I"'*'
cdntdru ._,os e nftn1 e• lflttos espacw1
(_ Um°"° deve ser ccbdo cm ~ Í<:nttU O tcr"po dit
CXM:ilnenlo pode tC':f" tnel!rtado COftl ltDtfltO da IUa dt tllor pari
r.ornar ll ebuJiçt.o da~ IUh lipidl?
1-.o.
O que i una c1ltndr,1 íl'lfi11i1~mentc loqo'I Quudo 1 ' l'le
um cilindro rt:ll pode Stt b'\IDdo cotl'IO iafi1ui.1n1ml• il>11J1.~C ' l"IMI
do não pode" Por cxtmplo. pode·tõe os11t tue mlK!tlo ptltl en.:oo
tnr a 11empcnu,1ra pó"ima das supcrllncs infcnor ou 'llJ"Ct'IOr de
llln dlmdnl1 Expbq~.
°'
~.11
Podcm-1c IWll' a:u1flco~ d~ 1empe11111.1.-. ltflJ1ot1uc: d11
Fig. 4--16 pnra partdo pJana cxposaa 1 convccçlr cm 11111bo1 OA la·
dospanaaMlisaroeilsodeumapmdt plan.aoow um l«k>ell1~0
à C()o\'tC~O. CDQ:VJ.OIO () OIJIJO ludrJ é llôtlllldo'I ~xphquc
thJIC Pur q11e M grJficus de: 1irrn!J\.'fllh1.-. lrut5ienló sllo <:lil\11
rados uúlizondo quanildldts 11dunendo1b1ít, co1•íi 011 1111me-ro" de
BiOI e de Fouritt. cm ~cr. de .,..ri4vels real-. eono condutlvlclude
tér1ruc11 e lc.ropo'!
.l-J!C Qv.:il i <> Sl.$nlfic:;1do fi\iC.' do mhncro ce l•oullC't? O 11d~
mero de Foutlcr de dciermin• 1•ol>le11W dll! lrnn;(("f~m:-111 de falor
dobra quando o tempo t duplicado"
-1- ~ "(
Como podemos usar os gr!lico' de trm~n11u111 trt.ruJC11cc
q:windo '- ~lli<:11da a kmpc:ralun1 na liuprrficic: da Fomrrru cm
vtt da temperatura do nw:.o cn,~l~-r:nie e do l"OtfS:k'fltr de cnm.,fc
rfncia de e11b por coovccçto?
'- ~ Um oorpo com 1c:rn:pel'il'lut1 en.aal T, 6~ado «m i;m
meio a 11m1 w.mpcnttn comt1a1c T.. Cormdr:1emln• 11 cpil&fllicta.
de mi.uma pMSivd dE lnlnd'crmcia dt calor C'lllln: o OOfJ'IO ~ o meto
Ul'Wlivt::l'Jlt'1
=
C'i91 RC'ICUnt:dtt o l'rob. 4-2$. Ulllldo EE5 (ou ouuo
liiliil ptOtl'SIM). ~O t:rftlO da litmpefltun iaJCill
.t-.J<c O Ol1mero de Biai dlJl"anlc ul'I\ pnlCCS10 de c,.Wm..i.11
de calormuc a esfera e tl'Ol amdott:& ~ Q,02 "xi ul.IN a 1Nl11e
Transferência de Calor e Massa
de .i;.istcmas aglomerados ou gráficos de temperatura transiente para
de•enrunnr a lempenuura no ponto central da e<fera? Por quê?
Um tarugo de madeira cilfndriro (k ~ 0,17 W/m·K e a=
1,28 xi O ' m1/s) !Cm 10 cm de d>llmctro e está inicialmc:nte na tem·
peratura unifonne de 25 C. ~exposto a gases quentes a 600 "C na
lareira com coef1cien1e de transfemicia de calor o.a superfície de 13,6
Wtm' ·K. Cons1clenindo que 1 temperatura de ignição da madeira é
420 "C, dc1erm1nc quanto tempo demora anlCS que o tarugo inflame.
Capitulo 4 • Condução de Calor Transiente
Um ovo comum pode >er !ratado como uma esfera de 5.5
cm de d1ãmetro cujas propriedades slo aprox1madamen1e k = 0.6
W/m·K e a - 0,14 X 10'4 m1/s . O ovo csli inicialmenic a uma
temperatura uniíonne de 4 º C e é colocado na água fervendo a
97 º C. Considerando o coefictcnlc de transfetencia de calor por
convecção h = 1.400 W/m1·K. delcmune o tempo necessário para
o centro do ovo chegar 1 70 ºC.
Uma experiencia deve ser conduzida para determinar ocoeficiente de tmnsfetencia de calor na superflcie de tomates colocados em 4gua fna a 7
Os tomates (k • 0.59 Wtm·K, a= 0,141
X 10,. m'Js, p - 999 kg/m'. e,• 3.99 lcJ/kg·K) com lemperatura
inicial uniforme de 3-0 º C tem fonoa esftrica com dillmetro de 8
cm. Após o período de 2 horas, as temperaturas no centro e na superfície do tomote sllo 10,0 •c e 7.1 º C. respectivamente. Usando o
mé1odo nnnlflico da aproximação de termo único (não os gráficos
•c.
1 Uma placa de bron1.e quenle e.<lá lendo a supcrffciesuperior
refrigerada por J"'º de ar a uma tempcrawra de 15 ºC, e o coeficien1e de tn1nsíerênci1 calor por convecção~ de 220 W/m1 ·K. A
placa de bronze de 10 cm de espc:ssun. (p = 8.530 kglm'. e, = 380
J/kg· K.k - llOW/m·K. ea = 33.9 x 10.... m'ls) 1cm 1empenttura
unifonne inicial de 650 •e, e sua superfície inferior é isolada. Detcnnine 1 1empero1ura no centro da placa de bronre após 3 minu1os
de resfriamenlo.
=
R<
OH
~ Reconsidere o Prob. 4-44. Usando EES (ou outro
esíiiil programo), investigue o efeilo do te.mpo de resfriaflGURA P4-40
qutmiidndc de cnlor crnnsferido durante esse pcrfodo considerando
que há oilo 1omatcs na ~gua.
interior do forno está n 1cmpcr:ilura unlfonnc de i .000 ºC, e o coeficienle de 1runsíerêncln de calor por convecção~ de 2 15 W/m'·K.
Considcrnndo que a chapa de aço inoxidável deve ser toda aquecida a
pelo menos 600 ºC, de1erminc o tempo que a placa deve ser aquecida
no forno us.ando (n) làb. 4-2 c (b) o gráfico de Heisler (Fig. 4-16).
Um ei•o cilíndrico longo de aço 1no•icüvel 304 (k = 14,9
W/m•K,p = 7.900kglm'.c,-= 477 J/lcg·K eo 3,95 X 1Q'4m1/s)
de 35 cm de di!mc1ro deixa uma es1uf11 uma1empentura um forme de 500 º C. O ci•o é, enillo. esfriado lentamcn1e em uma cãmara
1 150 •c com coeficicn1c médio de 1ransíenlncia de calor por conY<CÇão h = 60 W/m' ·K. Dctcrm1nc • 1emperatura no ccncro do eixo
20 minu1os após o inicio do processo de n:!>fnnmemo. Al~m disso.
de<<tmine a transferência de calor por unidade de compnmcnio do
ei•o duranle e<sc período.
.i-..
de Hcislcr). dclcl'mi.ne o coeficiente de transferência de calor e a
~ lR No pl'oce<so de rcco1imento, uma placa de aço inoxidável de
50 mm de espcssurn (p • 8.238 kg/m', cp = 468 J/kg· K, k = 13,4
W/m·K, e a • 3,48 X 10-• m1/s) foi reaquecida oo forno a uma
temperatura unifonne inicial de 230 ºC. A 1emperatura ambj entc no
placas. Deoxc a temperatura do forno •·ariar entre 500 ºC a 900 'C e o
rempo variar entre 2 e 30 minulos. Trace a 1cmperatura da supcrflcie
em função da lempenuura do forno e do •empoe d1~u1a os resultados.
-11
~
Reconsidere o Prob. 4-40. Usando EES (ou ou110
~ programa). investigue o cfcilo d:.. 1cmpcratura fi nal
no cen1ro do ovo sobl'e o tempo necessário para <1uc o centro do ovo
chegue a essa lempernturn. Deixe a tcmpermura variar de 50 ºC
para 95 ºC. Trnce o tl'rnpo cm função do 1emperutura e discuta os
resuhados.
Em uma instnl nçno de produção. placas grandes de bronze
(k = 110 W/m·K. p - 8.530 kg/m1, e, ., 380 J/kg·K e a= 33,9
X 10.. m1/s) de 3 cm de espessura, que estllo inicialmente a uma
1emperatura uniforme de 25 º C. são aquecidas pela passagem no
forno man1ido a 700 º C. As placas permanecem no forno duranle
10 minutos. Considerando o coeficiente de transferência de calor
por convecção h - 80 W/m1·K, determine a 1empcratura da supcrflcie das placas quando saem do forno.
-
Fomo. 700 -C
:>
mento sobre n temperatura final no centro do eixo e a c1uaotidade de
caJor transferido. Deixe o 1empo variar entre 5 e 60 minutos. Trace
a temperatura do centro e a cransrcrancin de calor em função do
tempo e discuta os resuhndos.
-1-16 Barras cilíndricas longas de nço inoxid:lvel AISI (k - l3.4
W/m·Kea • 3.48X 10 'm'/s)de IOcmdedillmetrosilo tratadas
termicamcnle passando à velocidade de 2 m/min por Ulll forno de
6 m de compl'imento mantido a 900 ºC. O cocliciente de tram~fc.
rênciade calorno forno é 115 W/m'-K. Considerando que as barras
corram na csrufa a 20 ºC. determine íl u:mpertitura na linba do centro quando saem.
900 -C
i-19 O livro de receitas de cuHnária Betty Crocker's Cookbook informa que leva 2 horas e 45 minu1os parn assar 3,2 kg
de costela inicialmente a 4,S •e em um forno manudo a 163 ºC.
Recomenda-se que um termômetro de carne seja usado para
controlar o cozimento e considera-se que as costelas estão "mal
passadas" quando o 1ennômetm inserido no centro da pane maJS
espessa da carne registn1 60 ºC . A costela pode ser tratada como
um objeto esférico homogêneo com propriedades p - 1.200 kg/
m' . e, = 4,1 kJ/kg·K, k ~ 0,45 Wfm·K e a = 0 ,91 x 10" m'ls.
De1ennine (a) o coeficiente de transfo~ncia de calor na superfl·
cie da coSlela; (b) a <empenuura da supcríicie externa da costela
quando estiver "mnl passada" e (e) a quanlidade de calor transferido para a costela_ (d) Utilizando os valore• ob1idos. preveja
o tempo necessário para assar a costela até es1ar •jno ponto'.. o
que ocorre quando a parte inten1a da costeio a1inge o 1cmpcraturn
de 7 J ºC. Compare o resultado com o valor previsto de 3 horas
e 20 minutos.
Se a costela assada for colocada sobre um balcão por cercll de
1.5 minutos antes de ser cortada, recomenda-se que seja rctirndn do
forno quru1do o tennômctro registrar cerca de 4 º C abaixo do valor
recomendado, pois a costela continua a cozinhar mesmo dc:1>0is que
é relirada do forno. Você concorda com essa recomcndoç!lo?
Re<pastas: (a) 156,9 W/m/. K ( h) l'J9,5
C, (cl l 6'l kJ ,
(d) .'.1 h
t.
(º~6m~
0
Aço inoxídfvd
20-C
FI Ili
~
flCURA P4-49
11.15 "C
_J~220W/m1·K
l -
IOcI
Placa Oc bron1..c
2S ' C
BmmlBDB!l'BlllR§J
::::'x_ isolamento
FIGURAM
FIGL
Placadebmnze
~
Reconsidere o l'rob. 4-42. Usando IIBS (ou outro pr<>llS;i grama). lnve-<tigue os cíeitos dn 1empcrnturn do forno e
do tempo de "'luecimento sobre u temperatura final da superficic das
J
l
P•
+..! Na unidade de pnocC$S4men10 de carne. bifes (k • 0,45 W/
m·K e a= 0,91 X 10-' m'/s) de 2 cm de espessura. que es1ão micialmenlc a 25 º C, devem ser resfriados peln pnssngcm em uma câmara frigorífica a - 11 º C. O coeficien1e de transferência de calor
em ambos os lados dos bik~ é 9 W/m1·K. Considerando que ambas as supcrflcies dos bifes devem ser rcsfríada5 n 2 ' C, determine
quanto lempo os bifes devem ser m•ntidos na clionnra írigorftica.
4-4 Um estudamo calcula que n irnnsfer!ncín 1otal de calor de
uma bola t-lféricn de cobre de 18 cm de diRmetro inicialmente a
200 ºCem um umbieme a urna temperaturn constunte de 25 ºC,
durante os prioneiros 20 minuios de resfriamento, é 3. 150 kJ. Esse
resultado é razoável? Por quê?
;
Repira o Prob. 4-49 para uma cos1cla assada que deve e<tor
"bem pas.~ada" em vez de "mal passada". Uma costeln é conside·
rada •~bem passada" quando a temperamrn no centro atinge 77 º C:
nesse caso, o cozimento leva cerca de 4 horas e 1S minutos.
4 "iil
Para fins de transferência de caJor, um ovo pode ser consi-
derado uma esfera de 6 cm de diâmel ro com propriedndcs dn dgua.
Um ovo que está inicialmente a 8 ºC é jogado na água fervendo a
100 ºC. O coeficiente de transferência de calor nn supcrHcie do ovo
é estimado em 800 W/m1· K. Considerando que o ovo esrt1 cozido
quando sua Lempcralura no centro chega a 60 ºC, determine por
q uanto tempo o ovo deve ser mantido na água ferveme.
Capitulo 4 • Condução de Calor Trans1ente
Transferência de Calor e Mas.::.
sa
_:__ __ _ _ _ _ __
• ] Rcp11a0Prob4-Sl paraumalocalu.açãode l.610mdeal111ude, como cm Oenver. Colorado. onde a 1cmpcra1ura de ebulição
da água~ 94.4 •c.
Frulos cíiricos são sensfve1s ao frio. e a exposição prolon·
gada a 1cmpera1uras negativas pode dcsiruf-los. Considere uma laronja de 8 cm de d1l mcl10 micialmeoie a 15 º C. Uma frenie fria
K desloca à noite e, de repente. a temperatura ambiente cai para
-6 •c, com coefic1en1c de trarufertncia de calor de 15 W/m'·K.
U1ili1ando as propriedades da água para a laranja e assumindo que
as condições ambientais se mantêm conslante.s por 4 horas antes
que a fR:nle fria se desloque para longe, determine se alguma pane
da laranja congelará naquela noite.
1 Uma pessoa colocn algumas maçãs cm umjil!tzera-15 ·c
para esfriá-las rnpidameme para os hóspedes que estão presles a
chegar. Inicialmente. as maçãs estão a uma temperatura uniforme
de 25 º C, e o coeficiente de transferência de calor sobre as superffcies é 8 W/m1 • K. Tule ns maçãs como esfera.< de 9 cm de diâmelro
e suas propriedades como sendo p • 840 kglm'. e, = 3,81 kJ/kg· K,
k = 0.4 18 W/m·K e a• 1,3 X 10· 1 m7/s. Delennine as 1empera111rns no ccniro e na superfície das 1naçãs após 1 hora. Além disso,
dctenninc: n quuntidnde de cnlor transferido a partir de cada maçã.
~
Reconsidere o Prob. 4-54. Usaodo EES (ou ouiro
t5a programa), investigue o efeito da temperatura inicial
das maçãs sobre as tempera1uras finais do centra e da superfl'cie e a
quantidade de co.lor trnm.ferido. DciJ1.e a temperatura inicial variar
de 2 ºC a 30 ºC . Trace a temperatura no centro. a temperatura da
;uperfTcie e n quanlidade de calor 1ransferido em função da iempe·
rarura inicial e discuta os resultados.
Uma ba1a11 (p• l.100 kglm'. e, = 3.900 J/kg·K, k = 0,6
W/m·K e a = 1.4 X 10 ' m'/s) de 9 cm de diâmetro. que esiá inícialmcnte a uma tempcralurti uniforme de 25 ºC. é assada em um
forno a 170 °C até o sensor de 1empcratura inserido oo cenllO da
balBla indicar 1 lei1ura de 70 °C. A ba1Al3 é, então, retirada do forno
e embmlhada em i-.as toalhas. de modo que quase não há perda
de calor a partir da batata assada. Considerando que o coeficiente
de transfertncia de calor no forno~ 40 W/m'-K, de1enníoe (a) por
quanlo tempo a batota é cozida no forno e (b) a temperatura final de
cquilibno da baiata após ser embalada.
BototAS brancas (k • 0,50W/m· K e a= 0.13 x 10~ m' /s)
com diãmctro médio de 6 cm. inícialmente a uma temperatura uni·
forme de 25
devem ser R:Sfriadas por ar refrigerado a 2 ' C
•c.
Ar
2 •e
3 nl/s
•
FIGURA P4 57
Ouiodo a velocidade de 3 m/s. O coeficienle médio de 1ransferência
de calor entre as batalas e o ar t detcnninado experimentalmente
como 19 W/m2• K. Ociennine o 1empo ncces5'rio para que a temperalura no centro da• bataias dmunua pani 6 ' C. Al~m disso, delermine se alguma parte da bataia sofR: congelamento durante esse
processo de .-..fnarncnto.
Frangos com massa média de 1,7 kg (k 0,45 W/m·K ea
= 0,13 X to-' m1/s), inicialmente a uma tcmperalUra urufonne de
15 ºC, dc\'Cm ser rcsfnados em salmoura agitada a -7 °C. O coe!icien•c ~dio de transferência de calor entre o frango e a salmoura é
determinado expenmcn1almcn1e como 440 W/m1• K. Considerando
que a densidade rn&lia do frango é 0,95 g/cm' e tralando o frango
como um obje10 csfc!rico, tlctermine as temperaturas no centro e na
superficie do frango npós 2 horas e 45 minulo.. Além disso, dclerminc se alguma parte do frango congclnrll durante esse processo.
=
Uma carcaça bovino (k • 0,47 W/m·K e a = 0.13 X 10-'
m2/s) de 65 kg, inicinlmcn1e o uma lcmperatura uniforme de 37 ºC.
deve ser resfriada com ar refrigerado a - 10 º C íluindo a uma vclocidüde de 1,2 m/s. O cocficien1e médio de transferência de ca.lor entre a carcaça e o ar é 22 \V/m1 ·K. Tnue Q curcuçn como um cilindro
de 24 cm de diame1ro e 1,4 m de nhura e, ignorando o trnnsfcr!ncia
de calor a pnrtir das supcrlTcies dn bn'c e do IOpo, presuma quanlo
tempo~ necessário porn que a 1cmpcruturn no centro da ca!'caça diminua parn 4 •c. Além disso, deierminc"" alguma parte da carcaça
congelará duranie esse proce~so.
1
._
Camadas de placas de carne de 15 cm de espe;sura (k =
0,45 W/m·' Cea - 1 3 X 10 ' m2/s) inicialmeniea umn lempcratura uniforme de 1OºC são rcrngerada> por ar a 5 º C para atempe-raiura de 2 ºC no seu centro cm 12 h. Estime o coeficienle médio de
transferência de calor durante esse processo de rcsfnamcnio.
J,2 m1$
Bana de ferro
=
Lanlnja< de 6 cm de di!mctro (k 0.45 W/m.ºC e a = 1,3
X 10 -T m2/s) inicialmente a uma temperatura un1fonne de 26 º C
devem ser refrigeradas por ar 1 - 4 •c ílu1ndo a uma velocidade
de 0,3 m/s. O eoeficienie m&l10 de iransferência de calor entre as
laranjas e o ar é de1erminado experimcnialmcnte a 26 W/m•.•c .
Derc:rmine o tempo necessário para que a tcmpcnuurn no centro d~
laranjas caia para 4 •c. Além disso, determine se alguma parte da
laranja congelará durante esse proc~)O.
"
Uma placa de piroceriimica (p • 2.600 kglm'. e, = 808 J/
kg·K,k= 3,98W/m·K,ea = l.89 X 10-• 1112/s)de6mmdees-
pessura es1á sendo resfriuda cm uma sala com tcmpcraturj do ar de
25 ºC e coeficiente de transferência de calor por convecção de 13,3
W/m!·K. A placa de pirocerfirnica nquecida com temperatura inicial de 500 'C deve ser resfriacla em 286 s. Se a massa da pia"" de
pirocerâm.ica é l O kg, determine sua 1ronsf'erência de calor durante
o processo de R:Sfriamen10 usando (a) T11b. 4 2 e (b) Fig. 4-16.
-<
Uma chapa de alumínio de espessura de 1Ocm (p = 2.702
kg/m', c, - 903 J/ltg·K, k • 237 W/1n·K, eu • 97, I X 10 'm'/s)
é aquecida em um líquido com 1cmpcrn1ura de 500 ºC. A placa de
alumínio tem uma tcmpera1ura unifom1e inicial de 25 ºC. Considerando que• 1empen11ura da supcrfTcie da placa de alumlnio t aproximadamente a temperatura do líquido, determine a temperatura
no cen1ro da placa de alumínio após 15 segundo. de aquecimento.
Plo<a de aluoúruo
Ar
-10 -c -
o 1empo necessário para • tempera1urn da <upcrfTcie da barra de
ferro esfriar a 200 •e.
T • SOO'C
Carne
Água, SO'C i'·K~
~-~ 128W/m~-·
AGURA P4-65
Uma barra longa de pirocerfimica (p = 2.600 lg/rn '. e, •
808 J/kg·K. k = 3,98 W/m·K. e" = 1,89 x 10 • m1/s com uiBmctro de 10 mm tem uma 1empera1ura inicial unifonne de 1.000 ºC. A
barra de pirnccrâmica é autorizada a resfriar no ar ambicmc n uma
lempenuura de 25 ºC, e o c-0eticieme de 1rnnsfe1·encin f.lc cnlor por
convecção é 80 W/m2·K. Considernndo que a barra de piroccrflmica
é autorizada a esfriar por 3 minutos, determine a tempcraturn no ccn~
iro da barra usando (a) a Tab. 4-2 e (b) o gráfico Hei~lcr (Fig. 4-17).
-6
Uma barra de pláslico de 2 cm de difünetro 1em um 1cnno~
par inserido para medir a ternpernlura no seu cen1ro. A barra de
plástico (p = l.190 kg/m', e, = l.465 J/kg·K, e k • 0,19 Wlm·K)
foi aquecida inicialmente a uma temperatura uniforme de 70 ºC e
deixada para resfriar na temperatura do ar amb1en1e de 25 •e. Após
1.388 s de resfrinmcnlo. o lermopar mediu 1 1empera1ura no centro
da barra como 30 ' C. Delermine o coefocienie de 1ransferência de
calor por convecção desse processo.
"°"'"ª
37'C
1
AGURA P4-S9
Camadas de placas de carne (k • 0.47 W/m· K e a = 0, 13
x 10" m' /s) de 23 cm de espessura, inicialmcnlc a uma temperalura uniforme de 7 º C, devem ser congelados por ar R:frigerado a
-30 'C íluindo a uma velocidade de 1.4 m/s. O coeficiente médio
de transferência decalorenire a carne e o nr 6 20 Wlm'-K. Partindo
do princípio de que o 1nmanho das placas de carne é grande em
relação à sua espessurn, dcrcrmine o tempo necessário p3ra que a
1emperarura no ccnlro das plncns diminua para - 18 'C. Além disso1 dctcnnine n temperatura da superfície dn plncn de cnrne nesse
momento.
/
_,J.-é:=--==r?
flGURA P-4-64
=
4-6. Uma barra de ferro longa (p 7870 kglm'. e, - 447 J/
kg·K, k = 80,2 W/m·K, a • 23, I X 10 6 m' /s) com diâmetro
de 2.5 mm ~ inicialmente aquecida o uma tcmpcra.turn uniforme
de 700 •e. A barra de ferro é, cn1!10. resfriada cm um banho de
água mantido cm temperarurn cons1an1e de SO ºC e cocfjcientc de
lransferência de calor por convecç!lo de 128 W/m'-K. Determine
Barras de aço de 2 m de comprimcnlo e 60 mm de diAmetro são transpon.adas para um forno que mnnlc!rn tcmpcratur:a de
800 ' C e coeficiente de transferência de calor de convecção de 128
W/m'-K. As barras de aço (p = 7.832 kg/m 1, e,= 434 J/kg·K, k 63,9 W/m·K. ea = 18,8 X !O 6 m1/s) estavam in1cialmen1e a uma
iemperalura uniforme de 30 ' C. Usando (a) n Tab. 4- 2 e (b) u Fig.
4-17, determine a quanlidade de calor iransferido para o barrn de
aço após 133 s de oquecime1110 .
Rr ,posta 4. 140 kJ
Transferência de Calor e
Ma=ssa=-- -- ------
.._,, Grantro ~ fonnado ern nuvens de grande alutude a 253 K.
Con•idere panículas de granizo de 20 mm de diâmetro caindo atT11v~ do ar a uma 1cmpcratura de 15 ºC. com coeficiente de tranSferência de calor por convecção de 163 W/rn2• K. Considerando q~ o
g<Sn1zo pode ser modelado corno uma c.<fcra e tern propriedades de
gelo a 253 K. detcnrune o tempo oecess4rio para alcançar• temperatura de dern:tuncnto na superflcic do granizo.
osw.
e
1
1r
O que ~ um meio semi· mfinito1 Dê exemplos de cOf]lOS
sólidos que podem ser tratados como meios semi-infinitos para fins
de transferência de calor.
Em que condições uma parede plana pode ser tratada
corno um meio .senu-infimto?
., ( Con.sidcre um l\ólido semi-mfi.nito quente a uma tempc·
ratunt inicial T, expost() ~ convecção do meio refrigerante a urna
tcmpernturu constante T«• com coeficiente de transferência de calor
11. Explique como~ possível determinar a quantidade total de transfetancin de calor n partir do sólido até detenninado tempo'•·
4 7.1 Uma espcs•n prancha de madeira (k = 0.17 W/m.K e a
= 1,28 X 10 'm'ls) l11icinlmente a uma temperatura unifonme de
25 ºC ~ exposta a gnses quentes a 550 ºC por um período de 5
minutos. O coeficie!lle de transferência de cn.Jor entre os gases e
a prnncha de madeira é 35 W/m'-K.. Considerando que atemperatura de 1gniçilo da madeira é 450 ºC, determine se a madeira vai
inflamar.
A Lcmperatura do solo nas camadas superiores varia cm
t
condiçõe> atmosféricas. Antes de uma frente fria chegar, ao solo oo
local est' 1ntcialmcnte a uma temperatura unüonnc de 15 ºC. Em
seguida. a 'rea é subme1ida a uma temperatura de -8 ºC e a ven·
1os fones que resultam cm um coeficieote de transferência de calor
poreonvccção de 40 W/m'-K oa superflcie, por um período de 10
horas. Con,iderando que as propriedades do solo oo local são k =
0.9 W/m·K e a- 1,6 X 10 'm2/s. determine a temperatura do solo
para as d1stllncins de O. 1O. 20 e 50 cm a partir da sua superflcie. no
final do perfodo de 1Ohora.<.
Vento.
-8"C
Solo
l ~"C
Capítulo 4 • Conduçao de Calor Transienle
7 Um bloco c.<pesso de alumínio inicialmente a 20 ºC é submetido a um nuxo de calor constante de 4.000 W/m' por meio de
um aquecedor de resistência elétrica cuja superflcic superior é ISOiada. Detenninc quanto a temperatura da superflcie do bloco aumen1anl depois de 30 minutos.
.., Uma pessoa dcsalça CUJOS pé. estão a 32 ºC pisa cm um
bloco grande de alumínio a 20 °C Considerando tanto os~ quanto o bloco de alumínio como sólidos semt-mfirutos, determine a
temperatura da supcrflcie de contato. Qual sena sua n:sposta se a
pessoa pisasse em um bloco de madeira? À temperatura ambiente,
o valor de v'fiic, é 24 kJlm'·ºC para alumJn10, de 0,38 k.l/m2.ºC
para madeira e de l, I kJ/m1 ·ºC para carne humana.
Em áreas onde 3 temperatura do ar permanece abaixo de
OºC por longos períodos de tempo. o congelamento da água nas
canalizações subterrâneas é uma grande preocupação. Felizmente,
o solo permanece relativamemc quente durante esses períodos, e
leva semanas para que ns tcmpcra1urns fiquem negativas peno dos
•c.
• 7-.
~
Reconsidere o Prob. 4-67. Usando EES (ou oulro
ti':iil programa), trace a temperatura do solo em função da
distãncia da sua supcaíície quando a distância varia de Oa 1 melro e
discuto O> rcsuhados.
Rcclp1cntc: de
Água quente
55 'C
-
o
o
..
Oclo
o o•c•
o o
o
ºº
FllõURA P+-79
{ feno fundido
o
o
4cm
e
metria após IO. 20 e 60 minutos.
5gm
5cm
T~10"C
Hm '
... .. ...
lcoo.Jun10 de dlodn» de /u.tfl'rl
G
Sem
~4:m
T • 20 C
Gases quem~. SOO •e
•e,
FIGURJ P
Repila o Prob. 4-4!6 como coeficiente de transferência de
calor na superfície de cima e de baixo de cada bloco sendo dupli·
eado a 80 W/m'- K.
li Um cilindro curto de ln1ão (p= 8.530 kg/m'. e, • 0,389
kJ/kg·K, k = 110 W/m·K e a = 3,39 X 10-• m2/s) de 4 cm de
diâmetro e 20 cm de ahura c.'i.lá inicialmente a uma 1emperaLUru
uniforme T, = 150 •c. Agora, o cilindro é colocado ao ar utmos-
FIGURA ~4- 81
Condução de calor lransiente em slstem..
mu
férico a 20 ºC. e ocorre transferência de cnlor por convecção com
coeficiente de transferência de calor h = 40 W/m'-K. Calcule (a)
a temperalura do centro do cilindl'o; (b) a temperatura do centro da
superflcie superior do cilindro e (e) a transferência 1otal de calor a
partir do cilindro 15 minutos após o início do resfnamcnto.
O que é o método de solução produto? Como ele~ usado
para dererminar a distribuiçlo de 1empera1Ura trans1en1c em um sistema bidimensional?
r
Como a solução produto é u1ilizada para detconinar a,.,._
riação de tempenuura com o tempo e a posiçio cm sistemns tridimensionais?
Um cilindro cu no inicialmente 1uma1cmperaiura urufonnc
20cm
T,é submetido à conveoçio de todas suas superflc1es para um meio a
uma temperatura r _ Explique como é possfrel detemunar a temperatura do pooto central do cilindro cm um detenninodo tempo 1.
l
Considere um cilindro cuno CUJ4S superflctes superior e
inferior são isolndas. O cilindro estd 1n1c1almente a uma temperatura uniforme T,e ~submetido à convecçlo a parur da superflcie lateral para um meio a uma temperatura T. com coeficiente de transfcrêncil.'! de calor h A cmnsíer!ncia de calor nesse cilindro curto é uni
ou bidimensional? Explique.
Considere um bloco cúbico cujos lodos têm 5 cm de comprimento e um bloco cilíndrico cuja oltura e diâmetro sBo também
de 5 cm. Ambos os blocos estGo inicialmente n 20 •c e silo íeitos de
granito (k = 2.5 W/m·K e" • 1,15 X lo-6 m2/s). Agora, ambos os
.L
ººa •- -
suas superficies. Detenrune a tempera1ura no cenuo de cada geo-
da camada ter sido exposta ao lns•rde pulso, determine (n) a quantidade de energia por unidade de superfície de área dn •uperflcie da
camada e (b) a l<iturn do 1ermopar npó< 60 s.
atmosféricas negativas no inverno.
Um 1e1Tcno cm dctcnninndo local está cober10 com uma ca-
mada de neve a -8 ºC durnnte o período contínuo de 60 dias. e
as pl'opriedades médias do solo local sno k = 0,35 W/m·K e a~
0,15 X 10-• m2/s. Pressupondo uma temperatura inicial uniforme
de 8 ºC para o solo, determine a profundidade mlnima em que os
dutos de água devem ser cnlcrrados para evitar o congelamento
da água.
1-l Um recipien1e i:randc de ferro fundido (k = 52 W/m·K
e a = 1,70 X 1O" m 2/s) com parede> de 4 cm de espessura, inicialmcn1c a uma temperatura uniíonne de O ºC, está cheio com
gelo a O ºC. Agora, a superflcie extem1 do recipiente é exposta
à llgua quente a 55
com um coeficiente de transfereocia de
calor muito grnndc. Determine o tempo necessário para o gelo
no interior do recipiente começar a dcrrcler Alc!m dis.so, considerando o coeficiente de transferência de calor na supcrflcie
2
interna do recipiente como 250 W/m ·K. determine a taxa de
transferência de calor para o ieto atrav~ da seçlo de uma parede de 1,2 m de largura e 2 m de altura quando as condições
operacionais pcrmancnres forem atmg.idas. Considere que o gelo
começa a dern:1er quando a temperatura da \ua superffcie interna
sobe para o. t •c.
blocos estão expostos a gases quentes a 500 ºC cm um forno com
coeficiente de transfetancia de CBlor de 40 W/m'- K em todas ru.
Em uma cãmara de vácuo, uma camada espessa é colocada
sob um conjunto de diodos de /aur com pulso de salda constante.
Um termopar é inserido dentro de uma carnuda a 25 mm da superficie cuja temperatura uniforme inicial é de 20 ºC. As propriedades
conhecidas dacamado sãok = 63,9 W/m·K ea s 18.8 xio-• m'/s.
Se o termopar mediu temperatura de 130
30 s após a superfTcie
du1os de fornecimento de água de111ro do solo. Assim. o solo efetivamente serve corno isolante paro. proteger a água das temperaturas
o t:.
FIGURA P4-74
O asfalto de uma es1radn cs11l 1nic1almcntc na temperatura
unifonnc de 55 ºC. De repente, a tempera1ura da superflcie da es·
trada é reduzida a 25 °C devido à chuva. Oc:tennine a temperatura
na profundidade de 3 cm da superflcie da estrada e o fluxo de calor
tr:11l>ferido na estrada depois de 60 minutos. Suponha que a temperatura da superflcie da estrada é mantida • 25 c.
Ar
Cihndro cuno
de ll!Jo
ambtt-nlc
20 ' C
- 4 c m- .
ISO"C
r,__ .,. .4-88
">
~
Reconsidere o Prob. 4-88. Usando E!lS (ou ou1ro
CSiiii programa), investigue o efeito do tempo i.le resfriamento sobre a temperatura no centro do cilindro, n temperatura no
centro da superfície superior do cilindro e a transferêncin 101nl de
calor. Deixe o tempo variar de 5 a 60 minutos. Tn1cc n tcmpernturn
Capítulo 4
Transferência de Ca.~lor
::....:
•...:M;.;.a::ssa::::._ _ _ _ _ _ _ _ __
no centro do cilindro, a 1cmperaturn no centro da supe.rlicie superior e a 1ransfcrência total de calor cm função do tempo e discuta
os rc<ultados.
Um cilindro semi-1nfin110 de alumfmo (k = 237 W/m·K.
a = 9.71 X 10"' m1/s) de diâmetro D = 15 cm est' inicialmente
a uma temperatura unoforme de Ti ~ 115 •c. Agora o cilindro é
colocado na água a 10 •c. e ocom: transferência de calor por convecção com coeficiente de uansferência de calor h = 140 Wtm'·K.
Dctennine a temperatuni no centro do cilindro a 5 cm da superfície
final e 8 minuto. após o início do rcsfnamcnto.
Uma salsicha pode ser considerada como um cilindro de 12
cm de compnmenlo e 2 cm de d1â.mc1ro cujas propriedades são p
- 980 kg/m 1, c, = 3,9 kJ I kg·ºC. k = 0.76 W I m·ºC. e a = J.99
X 10 'm1/s Uma salsicha inicialmente a4 º Cê colocada em água
fervente a IOO'C. Considerando que o coeficieale de 1taasfer€ncia
de calor na superfície da salsicha é esiimado em 680 Wlm' · º C.
dete1·mine a temperotura no centro da i.als1cha depois de 5, 10 e
15 min, crUlando a salsicha como (a) cilindro fini10 e (b) cilindro
iníi11itamen1e longo.
4 '12 Um bloco de gelo rclangular (k = 2,22 W/m·K e a= 0, 124
X 1O-' m'ls) de 6 cm de altura iniciulmen1e n - 18 ºC é colocado
com a base qundrndu de 4 cm X 4 cm sobre a mesa em uma sala i.\
18 ºC. O coeficiente de 1ransferência de calor nas :-.uperfícies ex·
poscns do bloco de gelo é 12 W/m1 ·K. Ignorando qualquer transfer~ncia de calor a partir da base pura a mesa. detennine o 1empo que
o bloco de gelo começa a derrcler. Onde vão aparecer as primeiras
gotfculos de líquido no bloco de gelo?
do bloco de gelo sobre o período de tempo anles de começar a derreter. Deixe a temperatura 1niciol '·ariar de - 26 ºC a -4 ºC. Trace
o tempo cm furn;ão da temperatura 1n1c1al e discuca os resultados.
'-- 4 Umblocodegelocillndricofk ~ 2.22W/Jn·Kea=0,124
X 10·1 m'ls) de 2 cm de altura é colocado com sua base de 2 cm de
diâmetro sobre uma mesa cm uma sala a 24 •c . O coelicicntc de
tnmsfc~ncia de calor nas supctflcies cxposw do bloco de gelo é
13 Wlm'·K, e a irarufetfnc1a de calor a parlll' d• base do bloco de
gelo na ~é desprc7í'el Considerando que o bloco de gelo não
começa a derreter em qualquer ponto durante pelo menoo 3 hora.•.
detennínc a tempera1ura inicial do bloco de gelo.
,. ~~ Um bloco cilfndnco de alum(ruo (p= 2.702 kgtm'. e, =
0.896 kJ/kg·K. k - 236 W/m·K ca ~ 9.1S X 10· • m1/s). de 30 cm
de altura e 15 cm de diftmerro. está inicialmente a umn tempera·
tura uniforme de 20 •c. O bloco é aquecido no forno a 1.200 •c.
até a 1emperntura no seu cen1ro subir para 300 ºC. Considerando
que o coeficicn1e de tran.sfcrencia de cnlor em todas as supe1fícies
do bloco é ~O Wlm'·K. determine por quan10 1cmpo o bloco deve
ser man1ido no forno. Al6m disso. determine n quan1idr1de de calor
transferido a parlir do bloco de nlum{nio ;e ele for colocado para
esfriar na saln i:1t é que sua lcmpernturn c.oiu pnrn 20 ºC.
4-% Repita o Prob. 4-95 parn o coso de o bloco de alumfnio ser
inserido no forno sobre mutcriíll de baixa condutividade, de modo
que a mmsferência de calor a partir de ou para a supcrflcie inferior
do bloco seja despre1Jvel.
4-.
Reconsidere o Prob. 4-95. Usaodo EISS (ou outro
li:õiii programa). invesligue o efei10 dn 1cmperacurn final
no centro do bloco sobre o tempo de 1quccimen10 e a quantidade de
calor transferido. Deixe a temperatura finaJ do centro variar de
50 •e a 1.000 •e. Trace o 1empo e a U'ansfereocia de calor como
função da 1emperatura final do cen1ro e d1scu1a os resultados.
a
Ar
ambtenle
IS'C
Topn::o e~ el.uu. ,estnamento e çon elan cmo >L:alir
Quais são os tipos mais comuns de microt:ganosmos? Que
alterações indescJ1h-eis os m1crorgamsmos c.au~m nos alimcmos'?
-• <
Como o resfriamento previne ou retarda a deterioração
dos alimentos? Por que o concelamcmto prolonga por meses • duraçt1o dos ahrnen1os?
1.
Quais sno os fotorcs ambientais que afetam a taxa de
crescimento de microrgJnismo\ nos alimentos?
FIGURA P4 92
4 '13
~
Reconsidere o Prob. 4-92. Usando EES (ou outro
6':ii progrnmn). inves1iguc o cfeíto da temperatura inicial
' 10 l Qual to efeilo do cotimcn10 sobre O> microrganismos
em alímcntos? Por que e! importante que n temperatura interna de
um assado no forno aumen1e acima de 70 ºC'I
~ JOl<
Como u conrnminnçno de alimentos corn microrganismos pode ser evit11dn ou minimll!ldn? Como é possível retardar o
Conduçao de Calor Trans1ente
~scimento de microrganismos nos ohmcntn,·? Como os microrganismos nos alimentos podem ser destruído'?
5 ºC. mas a tempera1ura da carne nllo deve cair abaixo de 1 •c
cm qualquer lugar du.rante o rcsfriamcmo para evuar o ..c:ongcJa..
Como é que (a)o movimen10 do are (b) a umidade rela1iva
do ambiente afetam o crcsc1men10 de m1crorgan1sl'D().) nos alimcnrm?
mento... O coeficiente de 1ransferência de calor por convecção e a
taxa de 1taasferência de calor da carne podem ser controlados por
meio da variação da velocidade da ventoinha de circulação de ar.
Dclcrmine o coeficicnle de 1taasfe~ncia de calor h que penní1c
satisfazer ambas as restrições de lemperaturn e ao mesmo 1cmpo
manter o tempo mínimo de rcsfriamen10.
O rcsfriamen10 de uma carcaça de carne oovona de 37 •c
para 5 °C com ar a O°C no fngotffico lc"• ecrca de 48 horas. Para reduzir o tempo de resfriamento. propõe-'iC que a carcaça SCJ• resfriada
com ar refrigerado a - 10 "C. Como v~ avalul cs.a proposta?
Considere o congelamento com ar refrigerado de carne
embalada em caixas. Como é que (o) a temperatura do ar. (b) avelocidade do ar, (e) a capacidade do sistema de rc;friamen10 e (d) as
dímcnsões das ca1xn~ de carne ofctnm o tempo de congelamento?
Ar
4Como a lil:xa de conielamcnto aíeta a maciet. a cor e o
golcjamento da carne durante o descongelamento?
+
Alcgn-se <1ue n carne pode ser annatcnada por um período máximo de dois anos [l - 23
mns nilo por mais de 1 nno a
-12 ºC. Essa alegaçiio é ra10.1vcl'/ Exphque.
- 12•c
<+- 1CI (
FIGURA P 113
•e.
O que é doca de cmbnrque refrigerada? Como ela reduz
a carga de resfriamenlo de sul.as fritlS de urm;11ennmento?
4-109(" Corno o rcsfrinmcnlo por imersão de aves se comprirn
com o resfrinme1110 por ar forçado no que di1 respeito a (a) 1c111po
de resfriamento, (b) perdn de umidade dos aves e (e) cre;cimento
microbiano'!
4-1 lllC' Qual é a 1emperatura de armazenamc1110 adequada para
aves congeladas'! Quais ~no os principais métodos de congelamento
da carne de aves?
4- 1
Quais <~o os facores que aíc1am a qualidade do pei;cado
congelado?
{-11. Um frigorífico indu>1rial de carne bovina 1cm 15 m x 18
m X 5,5 m de tamanho e capacidade de 3SO carcaças oovma<. As
potências consumidas pelos >cntiladorc.• e pelas luzes do fngotffico
são 22 e 2 kW. rcspecttvamente Os ganhos de cal0< alravés doespoço envolvente estilo no !lua de 14 kW A massa 1~1a da c:an:aça
de carne oov1na é 220 kg. A!. carcaçu entram no frigorífico a 35 ºC
após serem lavadas para facihtar o rc.<friamcnio porevaporaçno e são
resfriadas a 16 •cem 12 horas. o ar entra no fneonfoco. - 2.2 ºC e
deixa-o a 0.5 •e. Determine (a) a carga de resfriamento da irutalaçào
frigonfica e (b) a v:11Jo de ar. O calor cspccCfico m&ho das carcaças
de carne oovina e do arsfto 3,14 e 1,0 kJfk&.OC. re'pccllvamen1e, e a
densidade do ar pode ser con;1derada 1.28 kglm1.
4-1
Em uma ind\lstria de prcx:c.,nmento de carne. bife> (p=
1.090 kgtm'.
3.54 l<Jlkg·K. k • 0,47 W/m K e o - 0.13 x
lo-6 m'ls) de 10 cm de espc;sura inicialmente a 15 ºC devem ser
resíriados nas prateleiras de um grande congelndor mantidos a
-12 'C. Os bifes do colocndo• próxirnos urn do ouiro, de modo
que a rransferêncin de calor nn!; arcstns de 1O cm de espessura é
desprezível. A totalidade dos bifes deve ser re,frinda ubaixo de
e, =
4-114 Frangos com massa média de 2,2 kg e calor especmco médio de 3,54 kJ/kg·'C devem ser resfriados com dgun refrigerada a
0.5 ºC. que entra no resfriador por imerstl.o do lipo nu>:O condnun.
Os frangos são jogados no resfriador a uma lempentturn uniforme
de 15 •e. a uma taxa de soo fmngos por horn. e sno refrigerados
até à temperatura média de 3 ec antes de serem retimdo~. resfriador ganha calor a partir do meio envolvente a 1axa de 210 kJ/min.
Determine (a) a uma taxa de remoção de calor a partir do frango.
em kW. e (b) a vazão mássica da água, cm kg/s. se o oumento da
1cmperatura da água não exceder 2 •c.
o
1 • Frangos com teor de 74% de água cm temperatura micial
de O ºC e massa de cerca de 3.4 kg devem ser congelados por ar
refrigerado a -40 •c. U.'illndo a Fig. 4-54, detenmnc quan10 tempo
rcduzim a 1cmpcra1ura da superfície interna dos frango• a - 4 •e.
Qual seria sua resposta se a temperatura do ar fO<SC de - 62 C?
Perus com teor de 64'1. de água, na tempera1ura 1mcial de
1 ºC e massa de cm:a de 7 1.g, devem ser congelados por submersão
em salmoura a -29 •e. Usando a Fig. 4-55. determine o tempo de
duração para reduzir a 1emperatura do pei10 do peru com profundidade de 3.8 cm para -18 •c. Se a tempera111ra da profundidade do
peito de 3.8 cm representa a 1cmperatura média do peru. de1enrunc
a quan1idade de calor transferido por peru supondo que (a) todo o
teor de água do peru é congelado e (b) apenas 90% do teor de água
do peru é congelado a -18 ºC. Considere o calor espccffico do peru
como 2,98 e 1,65 kJ/kg·º C, acima e abaixo do pomo de congelamento a -2,8 ºC, rt:Spectivamenle, e o calor la1en1e de fu;ão do peru
como 214 kJ/kg.
Re ,po- tas, (a) 1 753 kJ, (b) 1.617 kJ
.
Capítulo 4 • Condução de Calor Transiente
Transferência deC
::::
ªI:.:º:...
' ::e..::M:.:a:.:ssa=--- -- - - - -go de chuva se reduz p.ara 3 mm. quando cai aLravés do ar ambiente
a 18 ºC com coeficiente de transfer!ncia de calor de 400 Wlm" K.
Pode-se presumir que o temperatura da água mantém-se constante
e uniforme cm 5 ºC o tempo todo.
As tubulações de 'gua nas cidades de•cm ser colocadas
em profundidade abaixo da superflcie terrestre suficlcntc par.11 c\·i·
t.ar o coogelamcnto durante perfodos IOOjOS de temper.tturas negativas. De1ennine a profundidade mínima de um loc11J para colocação
das tubulações de água onde o solo esteja imcialmen1e a 15 •c e a
temperatura da superfície terrestr~. sob piores condições, montcnha
-10 ºC durante o perfodo de 7S dias Cons1dcre as propncdadesdo
solonolocalcomok•0,7W/m·KeCJ~ l.4X 1o·'m'/s.
S1hoou,.
-29~
p..,,
Hg
1 "C
FIGURA P4 116
Prc
"
P• 3
Pequcnns esferas de vidro deixam o forno e são esfriadas
n umn rempcnuuro ambiente de 30 ºC. Uma dessas esferas tem diâ-
metro de 10 mm e tcmperntura inicial de 400 ºC é esíriada por 3
minutos. Con.sidernndo que o coeficiente de transferência de calor
por convecção 6 28 W/m 1· K, determine a temperatura no centro da
esrern de vidro usando (a) Tnb. 4-2 e (b) gr:lfico de Hcisler (Fíg.
4-18). A esfern ele vidro tem propriedades de p = 2.800 kglm'.c,. =
750 J/kg·K ek - 0,7 Wlm·K.
4 11.
Uma chapu de forro de grande dímensões (p = 7.870 kg/
m'. e, ~ 447 J/kg· K. e k ~ 80.2 W/m·K) íot inicialmente aquecida
a uma 1empcra1ura uniíorme de 150 ºC e depois colocada em um
pisodcconcre1o(p - l.600kglm', e,- 8401/kg·K ek = 0,79\V/
m · K). O pi~o de concreto estava inicialmente a uma temperarura
uniíonnc de 30 ºC. Dctem1ine (a) a temperatura da superficie entre
a chapa de ferro e o piso de concnoto e (b) a temperatura do piso de
concre10 a profundidade de 25 mm, considerando que a temperatura da superflcie permanece constante após 15 mmutos.
T,
T., • ISO"C
Cbopo de f<m>
Piso de coocnto
A salsich• pode ser considerado um cilindro de 12 cm de
comprimento, 2 cm de diametro e propriedadC> p • 980 kglm'. e,
~ 3,9 kJ/kg·K, k: 0,76 W/m·K ea- 2 X 10-1 m'ls. Uma salsicha
inicialmente a 5 ºC é colocada na dgua fcrvcnle n 100 ºC. O coeli·
cien1e de transfer~ncia de calor na superfície do solsichil é estimado
em 600 Wlm" K. Considerando que o sulsichn é considerada cozida
quando a te.inpcnuurn no seu centro atinge 80 ºC, delermineo tempo necessário pnrn cozinhá-ln nn águ11 fervente.
P4- 121
Um rolo longo de chapa de aço rnanganes de 2 m de lugura e 0.5 cm de espessura deilla o forno a 820 ºC e deve ser imerso
no banho de óleo (e, - 2,0 lt.J/kg·K) a 4S C. A chapa metáhca se
desloca a uma velocidade con>tante de 20 111/mm, e o banho de óleo
tem 9 m de compnmento. Considerando o coeficiente de transfe·
rência de calor par convecç3o em ambos os lados da chapa a 860
W/m1 · K, determine a temperatura da chapa quando "81 do banho de
óleo. Além disso. de1ermine a tau oecessána de remoção de calor
do óleo para manter a temperatura cons1an1e a 45 ºC.
~ Durante um inc! ndio, troncos de algumas árvores
~ de carvalho secas (k - 0,17 W/m K e CJ • 1.28 X
2
tO-l m /s) inicialmente a umo temperarura unifonne de 30 ºC são
•..
c:J<postos a gases quentes a 600 ºC durante um período de S bom.
com coeficienie de transfetincia de calor na supcrflcie de 65 W/
m" K. A temperatura de 1gniçio das 4rvores é 410 ºC. Considerando os troncos das mores como loogas hastes e1llndncas de 20 cm
de di!metrO, detenninc se euas árvom secu vão incendiar-se
quando o fogo passar por elas.
ª""'
que me~
600"Ç
20cm
~I L\
~<~l.~
4 1
A condu1ividnde lérrnicn de um sólido cuju densidade e
calor especifico silo conhecidos pode ser determinada a partir da
relação k = afpc, npós avaliaçllo da diíusiv1dade térmica a.
Considere umn barra cilíndrica de 2 cm de diãmetro feita de
amostra de material com densidade e calor especifico de 3.700 kg/
1
m e 920 J/kg·K, respectiva..men1e. A amostra est4i inicialmente a
uma 1emperatura uniforme de 25 ºC. A fim de medir a temperatura da amostnl na superffcie e no ccn1ro, um tcnnopar ~ inserido
no centro da amos1ra ao longo da hnha central e outro é soldado
no furo na superflc1e. A amosira ~ colocada em fgua fervente a
100 •c. Após 3 nunutos, as temperaturas na superficie e no centro
são rq:istradas como 93 ºC e 75 °C, =pccuvamen1e. Determine a
difusividade lénnica e a condutividade u!muca do ma1eriat
Forno
11q Em climas de>ér1icos, a chuva não é ocorrência comum.
umn vei que os got(culas de chuva formadas na camada superior da
almosferu. muiws vc1.cs. evnporam antes de chegar ao chão. Considere um pingo de chuva de S mm de diílmetro inicialmente a uma
lemperaturn de S ºC. Dclerm.inc o tempo cm que o diâmetro do pin·
-
20m/min
F :UllA PA 1 1
Oonho de óleo. 45 •e
FIGUR" P4 12
Considere uma placa de espessura de 2.5 cm, um cilindro
longo de diâmetro 2,5 cm e uma esfera de dillmeiro 2.5 cm, todos
inicialmente a 200 ºC e todos fei1os de bronze (k = 26 W/m"C e
1
C1 = 8.6 X 10-• m /s). Agora. iodas as tri!s geometrias silo expostas ao ar Crio a 25 ºC em todas as supcrffcies. com coeficicnle de
transferência de calor de 40 W/ml· ºC. Dc1crmine a 1cmpcri:uurn
no centro de cada geometria após 10 e 20 min. Explique por que n
temperatura no centro da esfera é sempre menor.
flGUR" P4 1 J
r•. - 30•ç
FIGURA P4-1 18
a - 10 º C. No dia seguinte. um trabalhador precisa de uma placa,
mas ambas estão pnosas juntas, porque o congelamento da água cnlre as duas placas 3S uniu. Em esforço para derreter o gelo entre as
placas e separá-las, o trabalhador usa um secador de cabelo grande
que sopra ar quente a 80 ºC sobre a pane superior da superfkic exposta da placa. O coeficiente de transferi!oeia de calor por convecção na superficie superior é esúmado em 40 W/m'-K Determine
quanto 1empo o crabalb.ador deve soprar ar quente antes que as dua..'i
placas se separem.
"-1 '~ Considere duas grondes placas de nço de 2 cm de espessura, (k = 43 W/m · K e" - l , 17 x 10-• 1111/s) que foram colocadas
uma acima da omra e deixadas forn durante uma noite de inverno
fuft.r!I
ÍÃ
Cilindro
,--~-----) ICX._ 2.5 ''"
li.sem
.
7 Repita o Prob. 4--126 para geometrias de ferro fundido (k
= 50 W/m·ºC e a = 1.57 x 10·• m1/s).
~ Reconsidere o Prob. 4-126. Usando EES (ou outro
l5::il programa), trace a temperatura no centro de cada
geometria em função do 1empo de resrriamcn10, com o tempo V11·
riando de 5 a 60 minutos, e discma os rcsuhndos.
•
Válvulas de molor(k = 48 W/m·K, e, - 440Jl!(g·K e p•
7.840 kg/m') são aquecidas a 800 ºC na seção de tratamento tdrrtuco de uma fábrica de >álvula.. ru válvulas sJo imersas cm bonho
de óleo a uma lempcratura média de 50 ºC. O coelicieme de tran•·
ferência de calor no banho de óleo é 800 W/m'- K. As válvulas têm
hasle cilíndrica com diâmetro de 8 mm e comprimento de 10 cm.
Pode-se consídcrar que a cabeça e a haste d:i válvuln t~m n mesmn
área de superticie e que o volume da cabeça do válvuh1 d 80% do
volume da baste. Determine o tempo para que n rempcrnturn da vdl·
vula caia para (a) 400 ºC, (b) 200 ºC, (e) 51 ºCe (d) a transferência
de calor máxima a partir d a t1.nica válvula.
~ 1 fl Considere um bloco de motor de carro feito de fe1·ro fun·
dido (k = 52 W/m·K e a= 1,7 x 10·• m1/s). O motor pode ser
•
Transferência de Calor e Massa
considerado um bloco retangular cujos lado• são 80, 40 e 40 cm.
O motor está na 1empen11ura de 150 ºC quando é desligado. O mo1or e! então cxposio ao ar atmosférico a 17 OC. com coeficienLe de
1nmsfcr!ncia de calor de 6 W/m1·K. Determine (a) a 1emperamra
do cen<m da superflc1e superior cuj0< lados são 80 cm e 40 cm e (b)
a 1empernhll'll do canto a~ 45 minutos de resfriamen10.
Grandes pl:icas de um produto alimentar com 8 cm de espessura hermeucamcnte embalad3s em papel fino são resfriadas em
uma clmara fri&orilica mantida a O°C. O coeficienle de tranSferência de calor nas supcrflcies da c:uxa é 25 W/m1 ·K. e as caixas são
manudas na cAmara fri&orifica durante o período de 6 horas. Se a
temperatura 1meial das caixas é 30 º C. dctctmine a temper.uura do
cen1ro dos caixas considerando que elas contem (a) margarina (k 0.233 W/m·K e a = 0,11 X 10.. m1/s). (b) bolo branco (k = 0.082
W/m·K ca • 0.10 X 10·• m'Me (e) bolo de chocola1e (k = 0,106
W/m·K ea = 0,12X IO_. m2/s).
; 11. Fios longos de alumínio (p ª 2.702 kg/m'. e, = 0.896
kJ/kg· K, k • 236 W/m·K e a = 9,75 X HI' m'/s) de 3 mrn de
diâmetro p!l>Sam por cwus~o a uma temperatura de 350 º C e silo
ex.postos ao nr livre o 30 ºC com coeficiente. de transferência de
calor de 35 W/m1 ·K. (a) Detcnnine o tempo necessário para que a
1emperatt1ra do fio caio para 50
(b} Se a exirusão do fio ocorre
na velocidade de 10 m/min, determine adisttincia que o fio percorre
após n cxtrusüo considerando que sua 1empera1ura cai para 50 ºC.
Quais mudanças no processo de resfriamen10 você poderia propor
para encurtar essa dislâncio'/ (e) Considernndo que o fio de alumínio deixo a sala de extrus.ão a 50 º C. detenninc a taxa de transferêa·
eia de calor a partll' do fio para a sala de cxtrusão.
111
)
( 1 4
)
•c.
FIGURA P4-132
1 l
Repita o Prob. 4-132 para fio de cobre (p = 8.950 kglm'.
e, • 0,383 kJ/kg·K. k • 386 W/rn·K e a= 1,13 X 10-' m'ls).
~ 1 4 Con.,dcre umn caso de 1ijolos (k = 0.72 W/m·K e a =
0.45 X 1O"' ni'/s) cujas paredes lêm 1O metros de comprimento,
3 melros de allul'O e 0,3 metros de espessura. O aquecedor da casa
quebrou à noite, e todn a casa. incluindo as paredes. chegou a 5 º C
de munh:t. O Indo externo aquecin à medida que o dia passava, mas
nenhuma mudnnçu foi sentida na cusa, que foi henueticamenle fechada. Partindo do princípio de que a 1empcratura da superfície
externa da casa se mnn1evc consurn1e a 18 ºC. detcnnine quanlo
tempo seria necessário para a 1cmpera1ura da superficie interna das
parroes subir pam 5,1 •c.
_ __ _ _c_ a...:p_í_tu_lo_ 4_•_ Condução de Calor Transiente
transferência de calor transiente pode w unahsada como sistema
concentrado.
têm diimetr0 de 2 cm e o coeficiente de transferência de calor é 80
W/m'-K, a temperatura do centr0 das bolas no final do resfriamento é
(a) Mostre que a varioçllo da temperatura T da esfera com o
(a) 78 •c
(/>) 95 •e
·c
(e) 151 °C
rempo /pode..,. expressa por d17dt - 0,5 - o.oosr.
(b) Estime a 1emperatur11 da esfera cm reiime pennanente
(e) Calcule o tempo nccessmo para. esfera aungir. lempen<ura
média das tempe111turas inicial e final (permanente).
FIGURA P4 134
• 1•
Uma parede de rijolos (k ~ 0.72 W/m· K e a - 1.6 X lo-6
m'ls) de 40 cm de espessura d aquecida a uma temperatura médin
de 18 ºC pelo si;rema de aquecimento e por mdi~çllo solar incidente sobre eln durante o dia. Ouranle n noite. a supcrficic externa
da parede esul exposta ao ar frio a - 3 'C, com coeficienlc médio de
transferência de calor de 20 W/rn1·K. Oetcnnine ns temperaturas da
parede pnra dis1ftncias de 15, 30 e 40 cm da superfície ex<cma após
o período de 2 horas.
.t t iF, Umn mclnncia inicialmente a JS ºC deve ser resfriadn em
um lago a 15 ºC. Após 4 horas e 40 minutos de re•friamento, a
temperatura no centro da melancia é medida a 20 'C. Considerando
n melancia como uma esfera de 20 cm de diâmetro e uuhz.ando as
propriedades k = 0,618 W/m-K.a • O.IS X lo-6 m2/s.p = 995 kg/
m' e e, - 4,18 l<J/lcg·K, dc1ermine o coeficiente médio de transferência de calor e a tcmpcraium da superfície da melancia no final
do pcriodo de resfriamen10.
l
Um homem t encontrado morto em um quarto a 12 ºC. A
temperatura da superflc1e sobre sua cintura é de 23 ºC, e o coeficiente de transfmncia de calor t estimado em 9 W/m'· K. Tratando
o corpo como um cilindro de 28 cm de dilmetm e 1,80 m de com·
primen10. estime quanto 1empo .e passou depois que ele morreu
Considere ª' propriedades do corpo como k = 0,62 W/m· K e a =
0,15 x 1o• m1/s e a tcmpenuura inicial docorpocomo36 ºC.
Um processo exotérmico ocorre de modo umforme ao longo de uma esfera (k - 300W/m·K. e, - 400J/lcg·K. p - 7.500 kg/
ml) de 10 crn de diãmc1ro.1erando c..1lor a uma taxa constante de
1.2 MW/m 1• A csfern está inicialmcnle a uma lempcratura uniforme
de 20 º C, e o processo exotérmico inicia-se no momento 1 = O. Para
manter a. tcmper1uurn dn esfera sob controle, ela«! imersa em banho
líquido mantido a 20 'C. O coeficicnie de transferência de calor na
superfície da esfern ~ 250 Wlm'· K.
Devido à nha condutividade tirmlca dn esfera, a resistência
condutiva den1ro dela pode ser negligenciada em comparação
com a resis1êncin convcctiva da superfície. Então. essa situação de
Grandes chapas de aço de 1.0 cm de .-pcssut11 $âo resfriadas de 600 °C para 100 •c por 1mersloem um rcserv.uório de óleo
mantido• 30 •c. O coeficiente médio de 1ransfcrênc1a de calor para
ambas as faces das chapa• de aço é 400 W/rn' ·K. As propriedades
médias do aço são k - 45 W/m·K. p= 7.800 kglm' e
470 J/
kg·K. Calcule o tempo de têmpera da• chapas de aço.
e, =
~
Fios de alumínio de 4 mm de di4mctro sGo produzidos por
exttusão. Os fios saem da extrusorn a uma tcmpcnnurn média de
350 "C. com uma ra;ii;n linear de 10 m/minuto. Ante.) de sair da sala
de ex1rusão, o.s fios são refrigerados a uma temperatura média de
50 ºC por meio da 1ransferênci<1 de calor parn o ar• 25 •c com coeficiente de transfc.rênci11 de cnlor de SO Wlm 1• K. Calcule o compriment.o necessário da seção de resfriamento do fio nn sola de c.xtrusão.
4-1 ~
Dua.i;;. hast·cs de me1al si\o nquccidas em um fomo de tempe-
ratura uniforme de 1.000 ºC e coclicientc de trnnsfcrê11cin de calor
por convecção de 25 W/m'- K. A hnste A d feilU de alumínio (p =
2.702 kg/m', e,= 903 J/kg·K e k - 237 W/m· K), e a haste B é fei1a
de aço inoxidável (p= 8238 kg/m1,
468 J/kg·K e k = 13,4 W/
m· K). Ambas têm diAmclrO de hastes 25 mm e 1 m de compnmento. Considerando que a tempera1ura inicial das duas hastes é 1S 'C,
determine as temperaluras médias de ambas após dec:orrer 5 minutos
dotemp0.
e, =
4No evento de erupç4o de um vulclo, a lava encontrada
fluindo no chão 1em 1empennu111 de 1.200 ºC. O chão estava mmalmenle a 15 °C. e o fluxo da lava tem coeficienie de transfer!ncia de
caloi-por coo•-ecção de 3.500 Wlm1• K- Determine (a) a 1empe111mra
da superflcie do solo e (/>) fluxo de calor depoos de 2 s de fluxo de
lava. Suponha que o terreno 1em propriedades de solo seco.
F'
(
4-1
Um bloco de aço aquecido (p - 7.832 kg/m', e,= 434
J/kg·K, k = 63,9 W/m·K, e a - 18.8 xio-• m1/s) é deixado para
esfriarem uma sala a 25 ºC. O bloco de aço <em temperatura inicial
de 450 º C. e o coeficiente de transferência de calor por convecção
é 25 Wlm"K. Considerando que o bloco de aço pode ser tratado
como 1/4 de meio infinito, determine o 1empcnnuro na borda do
bloco de aço após 10 minulos de resfriamento.
Prol
n.
p ae
n de fui d.
nloi de 011 nhana (FE)
4-144 Bolas clecobre(p = 8.933 kg/m1, k • 401 W/m·K. e, - 385
llkg·K, a = 1.166 X lo-' m1/s) inicinlmenie a 180 'C são esfriadas
oo ar a 30 ºC por período de 2 rninmos. Consldernndo que <1s bolas
(d) 134
(e) 118 •c
Uma lata de 10 cm de diâmetro inlemo e 30 cm de altura
cheia de água inicialmente a 2S °C é colocada cm um refrigerador
doméstico a 3 •e. O coeficiente de ttansfer!ncia de calor na <uperficie da lata é 14 W/rn1 ·K- Considerando que a temperatura dn água
se maDlém uniforme duranie o processo de resfriamento. o tempo
necessário para a 1empc.ratura da água cair a S •c ~
(a) 0,55h (b) l,17b
(e) 2,09h
(d) 3,60h
(e) 4,97h
-146 Um bloco quente de ferro (p= 7.870 kglm'. e, • 447 J/
kg·K)de 18cmdecomprimento, 16cmdelnrgurae 12cmdealtura inicialmente a 20 ºC é colocado cm um forno de lratamcnro térmico. O coeficienle de transferência de calor na •uperiTcie do bloco
é 100 W/m'- K. Se for necessário que a temperatura do bloco suba
para 750 ºC no período de 25 minutos, a estufo deve ser monridu n
(CI) 750ºC
(b) 830ºC
(e) 875 •c
(d) 9 10
·c
(•) I.OOO 'C
147 Em uma fóbrica, grandes placas de aço innxid~vel (k 15
W/m·K, a= 3,91 X 10-' m'/s) de 40cm deespessuru dcixnm o forno a uma temperatura uniforme de 750 'C. As placas slio colocadas
no banho de água a uma remperatura constan1e de 20 ºC. com coeficiente de transferência de calor de 600 Wlm'· K. O 1empo necessário
para a 1emperatura da superflcíe das placas diminuir para 120 t
•e
(a) 0,6 h
(/>) 0.8 h
(d) 2.6 b
(e) 3,2 h
(e) 1,4 h
Varas longas de madeira (k ~ 0,159 W/m·K, a = 1,75 x
10-• m'ls) de !8 em de diãmetr0 são expostas ao ar a 30 ºC com
coeficieDle de transferência de calor de 8,83 Wlm'· K Considerando que a 1emperarura central da barrn é 15 •c, após o pcriodo de 3
horas a lcmpcratura inicial da b:un sera
(a) ll,9ºC
(b) 4.9°C
o•e
<•> -9.2 ·c
(d)
(e) 1.7 º C
Uma ba1a1a pode ser co1osidcmda como uma esfera sólida
de 5,7 cm de díâmetr0 com as propnedades p - 910 kg/m 1, e, "'
4,25 l<J/kg·K- k = 0.68 W/m·K e a - 1.76 x 10-• m'/s. Doze dessas batatas inicialmente a 25 ºC devem ser cozidas em um forno
mantido a 250 •e. com coeficiente de uansfcrencia de calor de 95
W/m' ·K. A quantidade de calor lransferido para n< batntos a1é o
centro atinge a temperatura de 90 l'I e é
(a) 1.012 kJ
(b) 1.366 kJ
(d) 2.046 kJ
(e) 3.270 kJ
(e) 1.788 kJ
4 -1511 Um pedaço de 1ecido a 35 ºC com difusividnde 1én11ic•
de l X 10-7 m1/s é colocado na água gelada. A águ11 é bem ngiiada,
de modo que a tcmper:uura da superfície do tecido cnin para O ºC
Capítulo 4 • Condução de Calor Trans1ente
Transferência de_c_a_lo_r_e
, ;_M_a_s_sa______________
no 1empo zero e conlinue a O•c o tempo todo. A temperatura do
tecido após 4 minutos a proíund1dade de l cm é
(a) s •c
(bl 30 •c
(á) 20 º C
(t) IO º C
<cl 25 •c
O 1e10 de uma .ala feito de concreto (k = 0,79 W/m·K.
a = s.88 X Ili"' m2/s) de 3S cm de espessura cst.ã inicialmcotc na
1empcnuu111 uniforme de 15 °C. Depois de uma forte tempestade de
neve. a •upcrffcie ..lema do telhado pcnnanecc cobe.rta de neve a
- 5 •c. A 1empcra1ura do telhado a 12 cm de distância da superfície
externa npó< o pctfodo de 2 horas scrú
(a) 13 º C
(b) 11 ' C
(ti) 3 ºC
<•> -s.o•c
pulados. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção é
IS W/m1·K e a ra<hação não é considerada, o tempo que os painéis
devem ser expostos ao or ames que sejam manipulados é
(a) 0,8 min
(e) 2.4 min
(<) S.6 mon
Um molde de oço esfria 1 90'A> da diferença inicial de temperatura cm 30 minu10> no ar parado. O tempo para esfriar esse
mesmo molde a 90'A> da difcrenç• 1n1c1al de 1empcra1ura com o ar
cm movimento cujo cocficocnic de 1ransfe~nc1a de calor por convecção é S vczi:. o do ar parado é
(d) 3.1 min
(u) 3 min
(e) 7ºC
(b) 1,6 min
(b) 6 mm
(e) 9 min
(d) 12 min
1~
(•) IS min
O m1mcro de Bio1 pode ser pen!WdO como a ra7.lio da
' 1 ' Considere um pedaço cilíndrico de carne de cordeiro (p=
1
1.030 kg!m' .c, = 3,49 kJ/lcg·K, k - 0,456 W/m·K," = 1.3 X I0"
m2/s) de 7,6 cm de comprimento e 3 cm de diâmetro. Quinze peda-
(a) Resistência térmica de cond11çilo para resis1!nc1a 1érmica de
ços de cume inicialmente a 2 ºC são colocados em água fervendo a
(b) Resistência térmie-0 de convecção pnra resi;iencia térmica de
95 º C com coeficiente de 1ransforêncja de calor de 1.200 W/m' ·K.
A qunnlidnde de calor minsfcrido durante os primeiros 8 minutos
(e) Capacidade de ann0t.ennmen10 de energia térmica para
de cozirnen10 será
condução
resistência térmica de conduçllo
(a) 7 1 kJ
(b) 227 kJ
(d) 269kJ
(•) 307 kJ
1-1~.l
convecçfto
(e) 238 kJ
(</) Capacidade de annazcnnmento de energia ufrmicu pura.
resistência ténnica de convecção
Bolnsdençodccorbono(p~ 7.830kg/m1,k = 64W/m·K,
e,• 434 J/kg·K) inicialmente a 200 •c são imersas no banho de
óleo a 20 •e por 3 minu1os. As esfenis têm diâmetro de S cm. e o
1
cocficicnlc de 1ransfertnc1a de calor por convecção é 450 W/m • K.
A 1cmpcra1ura do centro das bolos após a imen;ão seri (Dica: verifique o n6mero de Bio1).
(a) 30.3 •c
(b) 46,t •e
(e) SS.4 •e
<dl 68,9 ·c
<•> 79,4 •e
Uma ta11 de bebida (p= 977 kglm' . k = 0.607 Wtm·K. e,
• 4.180 J/l:g·K) de 6 cm de dilmclroe 13 cm de altura inicialmente • 25 •c deve w resfriada a S •e. colocando-a em água gelada a
O ' C. A superflcoe IOlal e o volume da bebida são A, = 301,6 cm'
e V - 367.6 cm' Considerando que o coeficiente de 1JaDSfcrtocia
de calor é 120 W/m'-K, determine o tempo para a bebida esfriar até
5 ' C. Considere que 1 6gua é ag11ada e, portanto. a 1cmpcramra da
bebida muda uniformemente com o tempo.
(a) 1,5 min
(b) 8,7 min
(e) 11.l min
(á) 26.6 rnlll
(•) 6,7 mm
1 ~ A análise de sistemas aglomerados de situações de conduçao de calor 1rnnsicnte é váhdn quando o número de Biol é
(li) Muito pequeno
(b) Aproximadamente um
(e) Muito grande
(d) Qualquer número real
(•) Nno se pode ditcr, n não ser que o número de Fourier
1nmbém scjn conhecido.
t l.•h 1>ainéis automo1ivos de polivinil (k = 0,092 W/m·K. e,=
l,05 kJ/kg·K. p ~ 1714 kglm') de J mm de espessura emergem do
molde de injeção a 120 •e. Eles precisam ser resfriados 01é 40 ºC,
expondo os dois lados dos painéis ao ar a 20
antes de ser mani-
•e
(e) Nenhuma das alternativa~ anteriores
ol-159 Considere um pedaço cilíndrico de carne de cordeiro (p =
l.030kglm'.c, • 3,49kJ/1cg·K,k • 0.~56W/m·K,a = 1,3 X 10·1
m1/s) de 7 .6 cm de di amoiro. Esse pedaço de carne inicialmente
a 2 •c é colocado em água fervendo a 95 •c com coeficiente de
transferência de calor de 1.200 W/m2·K. O tempo necessário pan1
a temperatura do cen1ro do pedoço de carne aumentar para 75 °C é
(a) 136 mll1
(b) 21 ,2 min
(d) 11.0 min
(~) 8,5 min
(e) 13.6 min
LConduza em casa o segu1n1e e•pcnmcn10 para de1enrunar
o coeficiente combinado de 1ronsfer!ocia de calor por convecção e
radiação na supcrflcie de uma maçl upo'ta ao ar ambiente. Vod
precisará de doos 1ermõme1ros e um relógio.
Em primeiro lugar. pc"" a maçã e meça seu diâmetro. É possí·
\o'Cl medir seu volume colocando-a em um copo medidor com água
até a metade e medir a VDriação de volume quando est4 completamente submersa na água. Reíriacrc a maça durante a noite para que
esteja cm uma remperntura unifom1e pela manhã e meça a rcmpcrntura do ar na cozinha. Um scguidn. tire a maçll. e coloque um bastão
de termômetro no meio dela e o outro sob n casct1. Registre ambas
as tempcrnmras n cada S minutos por umn hora. Usando essas duas
1emper:Huras, c.ulcule o cocticicotc de tron~íerência de ctilor para
cadn inrcrvnlo e tome a médin. O resultndo é o coeficiente combina·
do de tmn•fe~ncin de ca\01· por convccçllo e radinçi!o desse p.-occs·
so de transferência. Utili1..nndo ~cus dados experimentais. calcule
também a condutividade ténnica e a difusividade térmica da maçã
e compare-as com va. lores indicados anteriormente.
•
~I
Repita o Prob. 4-160 U"1ndo banana cm vez de maçã.As pro-
priedade> 1funicas da banana são pra11camcme as mesmas da maçã.
Conduza o segumte cxpcrimcn10 para dctemnnar a constante de tempo da ~ata de refngeranlc e. em seguida, antecipe 8
1emperarun do refngeran1e em momentos diferentes. Deixe 0 re
frige~1e na geladeira durante a nouc. Meça a 1empcra1ura do ar
na cozrn~ e a rempcrnlura do reJrigeran1e enqu1n10 a.inda estiver
na geladetra. colando o sensor do tcm1õmetro na s uperfíci.e externa
da lata. Em seguida, retire o n:frigerantc da geladeira e meça sua
temperatura no-.:amente cm 5 minU1os. Usando esses valores. calcule o CJ<poente b. Usando o volor de b. estime a 1empera1ura do
n:fngcran1e em 10, 15. 20, 30 e 60 m1nu1os ccompore.,,. resullados
"'.'m as medições reais de temperatura. Você acha que a anáh;c de
soslemas aglomerados é válida ncs1e ca.;o?
l Ál'Vores cílricac;: são mui10 sensíveis ao fno. e 1 exposição
prolongada a 1empcra1uras negativas pode destruir a cullura. A fim
de proteger as árvores de fremes frias ocasionais com 1cmpen11uras negativas. plantadores de árvores na Flónda cos1umam tnsuolar
aspersores de água nas árvores. Quando a temperatura cai abauu
de certo nível. os aspersores borrifam ág113 sobre as árvores e seus
frutos para protegê-los contra os dano. que 1empcra1uras negau
•as podem causar. Explique o mecanismo b:!sico envolvido llCMll
medida de proteção e escreva um ensaio sobn: a fonna como esse
sistema funciona na prática.
Métodos Numéricos em
Condução de Calor
A
té agora, temos considerado principalmente problemas relativamente simples de condução de calor envolvendo geometrias simples com condições
de contorno simples. porque somente esse;, problemas podem ser resolvidos analitkamente. Ma; muitos problemas encontrados na prática implicam
geometrias complicadas com condições de contorno complexas ou propriedades
variáveis, e não podem ser resolvidos analiticamente. Nesses casos, soluções aproximadas, precisas o suficiente, podem ser obtidas por computadores, com a utilização de um método 11w11érico.
Mérodos de soluçlfo anntrricos, como os apresentados no Cap. 2, têm base na
resolução da equação difercncinl governante, junto com as condições de contorno.
Eles resultam em soluções na forma de funções da temperatttra para cada ponto do
meio. Métodos numéricos, por sua vez, se baseiam na substituição da equação diferencial pelo conjunto de 11 equações algébricas para temperaturas desconhecidas,
em 11 pontos selecionados no meio, e a soluçiio simultânea dessas equações reSlllta
nos valores da temperatura nesses po1110.1 discf't!tos.
Existem várias maneiras de se ob1er a formulação numérica do problema de
condução de calor como método das dift1>'11ças fi11itas, método dos elementos finitos, método dos eleme111os de contorno e método do bala11ço de energia (ou
volume de controle). Cada método. porém, 1em suas próprias vantagens e desvantagens, mas todos são usados na práuca. Neste capítulo, usamos principalmente a
abordagem do balanço de energia. uma vez que ela se baseia no familiar balanço
de energia em volumes de conll'Ole, em vez de formulações matemáticas pesadas
e, ponanto, fornece um melhor entendimento dos problemas físicos. Além disso,
essa abordagem resulta no mesmo conjunto de equações algébricas que o do método das diferenças finitas. Neste capitulo, a formulação numérica e a solução de
problemas de condução de calor sllo demon~tradas para os dois casos, permanente
e transiente, em diversas geometrias.
.......
OBJETlll •
Ao término deste capitulo, 'IOCê será
capaz de,
•
Compreender as limitações das
soluções analíticas de problemas de
condução, bem como a necessidade
de métodos numéricos de grande
capacidade computacional.
•
Expressar as derivadas como
diferenças eobler formulações de
diferenças finitas.
•
Resolver numericamente problemas
de condução permanenle uni ou
bidimensional utilizando ométodo
das diferenças finitas.
•
Resolver problemas de condução
transienle uni ou b1dimens1onal
utilizando o método das diferenças
finitas.
Capítulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
Transferência de Calor e Massa
5-1
I d (r •"')+
;idr
dr T1
'·
füfcra
POR QUE MÉTODOS NUMÉRICOS?
A pronta disponibilidade de computadores de alta velocidade e de poderosos programas computacionais fáceis de usar tem tido impacto imponante sobre a educação e a prática da engenharia nos tlltimos anos. Antigamente. os engenheiros tinham de confiar em habilidades analfticas para resolver problemas imponantes de
engenbaóa e, ponanto, tinham de ser submetidos a rigorosa formação matemática.
Os engenheiros de boje, por sua vez, têm acesso a urna quantidade enorme de recursos computacionais na ponta dos dedos e, na maioria dos casos. preci!>.arn principalmente compreender a natureza física do problema e interpretar os resultados.
Mas eles também precisam compreender a forma como os cálculo~ são realizados
nos computadores para desenvolver a consciência sobre os processos envolvido~ e
suas limitações, evitando eventuais perigos.
No Cap. 2, resolvemos vários problemas de condução de calor ern diferentes geometrias de forma sistemática, mas altamente mmern!llica, por meio ( l) da
obtenção da equação diferencial governante usando o balanço de energia em elemento de volume diferencial, (2) da definiçüo das condições de contorno na forma
ma1cmática correta e (3) da resolução da equação diferencial e da aplicaçiio das
condições de contorno para determinar as constantes de in1egroç1io. Isso resultou
na solução para função de distribuição da temperalura no meio, e a solução obtida
dessa forma é chamada solução analítica do problema. Por exemplo, a formulação
matemática da condução de calor permanente unidimensional nu esfera de raio r,,
cuja superfície ex1erna é mantida a uma temperatura uniforme com geração de
calor unif01me a taxa de ê, foi expressa como (Fig. 5-1)
r,
J..!!..(,2t!I.)
+t o
dr
dr
k
,.2
dT(_O)
- - =O
dr
Sotuçlo:
T{r)
7'1 +
~ Cr! - t')
•
(5-2)
Esta certamente é a forma de solução desejável. já que a 1cmpern1Um em qualquer
ponto dentro da esfera pode ser determinada pela simples subs1i1Uição da coordenada r do ponto na solução analí1ica. A solução analítica do problema também é
chamada solução exata, uma vez que ela satisfot a equação diferencial e as condições de contorno. Isso pode ser verificado pela substituição da solução na equação
diferencial e nas condições de contorno. Além disso, a /lixa de tra11.eferê11cia de
calor em qualquer local dentro da esfera ou na sua superffcie pode ser determinada
substituindo-se a derivada da solução T(r) na lei de Fourier
.
er) = 47rr'i
dT = -k{47rr 2) ~- 3k
~ç
e•
3
(5-3)
Essa análise não requer nenhuma sofisticação matemática além do nível da simples
integmçào. Você provavelmen1e está se perguntando por que alguém iria querer
mais que isso. Afinal de contas, as soluções ob1idas sno exaias e fácei~ de usar.
r•. h
Sem
radtl!ÇOO
k ~ consuuuc
h.
r.
Sem
Cllindm
r1whaçlo
longo
1
T•• h
i
h. r.
con.s1nnte
T. = con~tamc
fll:URA 5 2 Métodos analíticos de
solução silo limi1ados a problemílS
simplificados em geometrias simples.
Corpo com
fonna oval
2
T(r) = T t + 6k (r; - r 2)
Q( r) = -kAdr
Li
Métodos analíticos de solução são limuados a problemas altmnente simplificados
cm geometrias simples (Fig. S-2). A geometria deve ser lal que toda a superfície
possa ser descrita matematicamente no sistema de coordenada' por meio da imposição de valores constantes para as variáveis. Ou seja. deve ajustar-se peifeitamen·
te a um sistema de coordenadas sem •obrar ou faltar nada. No caso da condução
de calor unidimensional na esfera ~ólida de raio r m por exemplo, toda superfície
externa pode ser descrita por r r•. Do mesmo modo, as supcrffcies do cilindro
sólido finito de raio'• e altura H podem ser descrirns por r = r0 para superfície lateral e z = Oe z = H para superfícies infcrior e superior, respectivamente. Mesmo
pequenas complicações na gcome1ria podem tornar a solução analítica impossível.
Por exemplo,~ imposs(vel 1ratar analiticamen1e um objeto esférico com extrusão,
corno uma alça em elgurn local, umo vct que as condições de contorno, nesse
caso, não podem ser expressas em nenhum sistema de coordenadas fami liar.
Mesmo em geome1rias simples, os problemas de transferência de calor não
poderão ser resolvidos anali1icamente se as co11diçiies 1ér111icas não forem suficienlemeute simples. Por exemplo, a considcr;1ção da variação da condutividade
lérmica com temperatura, a variaçflo do coeficiente de 1ran•ferência do calor sobre
a superfície ou a t.ransfcrência de calor por radiação nas superfícies podem tomar
impossíve l a obtenção de uma soluç5o analítica. Por isso, as soluções analíticas
são limitada< a problemas simples ou que podem ser simplificados com aproximações razoáveis.
(5-1)
cuja solução (analítica) é
Qcr) - - M '1I- .,,,•;
dr
3
A solução 111alluca do
problema requer a solução da equação
diferencial governante e a aphcaçio das
condições de contorno.
T(r.) ~ T0
e
Além disso, são esclarecedoras, urna vez que demonstram a dependência funcional
da temperatura e da transferência de calor com a variável independenle r. Contudo,
há vários motivos para buscanno~ mé1odos alternativos de solução.
fodelagem
quada
Mencionamos anteriormente que as soluções analíticas são soluções exatas, uma
vez que não envolvem nenhuma aproximação. Mas essa afirmação necessita de
algum esclarecimento. Deve ser feita uma distinção entre um problema do mundo
real e o modelo matemático que é sua reprc..entação idealizada. As soluções que
obtemos são as dos modelos matemáticos. sendo que o grau de aplicabilidade das
soluções para problemas físicos reais depende da precisão do modelo. Uma solução "aproximada" do modelo realista de um problema físico geralmente é mais
precisa do que a solução ..cxatn" do modelo matemático grosseiro (Fig. S-3).
Quando tentamos obter uma solução aoalllica para urn problema físico. há
sempre a tendência de simplificar d~mais o problema para tomar o modelo ma1emático suficientemente simples, de modo a pennitir uma solução analitica. Por
isso, é prática comum ignorar todos os efcilos que causam com piicações matemáticas, como as não linearidades na equação diferencial ou nas condições de cootor·
no. Assim, não é surpresa que ns nlfo linearidades. como a dependência da tempera1ura na condutividade térmica e a condição de contorno de radiação, raramente
sejam consideradas nas soluções unulí1icas. Um modelo matemático destinado a
uma soluçao numérica é mais .•uscctívcl a umu melhor representação do problema
real. Com isso, a solução numérica de problemas de cngenhm-ia passou a ser regra,
e não exceção, mesmo quando es11lo disponíveis soluções analíticas.
Solução exara
(analítica) do modelo.
mas: solução grosscirn
do problema real
Solução •vm~•mada
(nunlttica) do modelo,
ma~ M>lução prec1su
do problema real
FIGURA 5 .J A solução numérica
aproximada de um problema do mundo
real pode ser mais precisa do que a soluçno
exata (analítica) de um modelo mui10
simplificado do mesmo problema.
•
Transferência de Calor e Massa
3 Flexibilidade
t
L
1
1
1
'
1
1
T
1
71,, ti 1
1
1
1
1
1
,,,.---:- .........
º'--Soluç!io analflica:
1~
r.
FIGURA 5-4
•· •>./,(>./)
Problemas de engenharia muitas vezes exigem extensos estudos paramétricos
para entender a influência de algumas variáveis sobre a solução, a funde escolher
o conjunto correm de variáveis e responder a algumas perguntas do tipo "se... o
que". Este é um processo iterativo muito tedioso e demorado se feito manualmente. Computadores e métodos numéricos são ideais para esses cálculos, e muitos problemas podem ser resolvidos com pequenas modificações no programa ou
nas variáveis de entrada. Hoje em dia, é qua'IC impeno;ável fazer qualquer estudo
significativo de oúmização em engenharia sem a potência e a flexibilidade dos
computadores e dos métodos numéricos.
4
T,
1\r. t) - T. • f. J,(A/)
Capítulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
>tnh >..(L - <)
senh(A. L)
Algumas soluções analíticas
~ao 1nuilo complexos e difíceis de usar.
Complicações
Alguns problemas podem ser resolvidos nnalilicamente. mas os processos de solução são tão complexos e as soluções resul!anies lilo complicadas que o esforço não
vale a pena. Com exceção dos problemas de condução de calor unidimensionais
permanentes ou transientcs de sistema concentrados, todos os outros problemas de
condução de calor resultam em equações diferenciais parciais. Solucionur essas
equações normalmente exige uma soílsticaçilo matemática além do nível adquirido na graduação, como ortogonalidade, aulovalores, trunsformndas de Fourier
e de Laplace, funções de Bessel e de Legendre e séries infi nitas. Nesses casos, <l
avaliação da soluçao, que muitas vezes implica somatórios duplos ou triplos de
séries infinitas em determinado ponto, já representa um desafio (Pig. 5-4). Mesmo
quando as soluções estão disponfveis em alguns manuais, são intimidadoras o suficiente para assustar potenciais utilizadores.
5 Natureza humana
FIGURA 5 5 A pronta disponibilidade
de compu1ado1·es de alto desempenho com
programas computncionai~ sofistlcados
1ornou a soluçn:o numérica norma, em vc7.
de exceção.
Como seres humanos, gostamos de sentar e fazer pedidos. Gostamos de que nossos desejos se tomem realidade sem mu110 esforço. A invenção do controle remoto
da televisão nos fez sentir como reis em nossas casas, uma vez que os comandos
que damos pressionando botões em nossas confortáveis cadeiras são imediatamente levados a cabo pela televisão obediente. Afinal, o que seria da TV a cabo sem
o conuole remoto? Certamente gos1arfamos de continuar sendo reis em nossos
pequenos cubículos no escritório de engenharia. resolvendo problemas com um
toque no botão do computador (até inventarem um controle remoto para os computadores, é claro). Pois bem, ontem isso poderia ter sido fantasia, mas boje é realidade. Praticamente lOdos os escritórios de engenharia hoje estão equipados com
computadores de alto desempenho e com programas com1J11tacio11ais sofisticados,
com saldas na forma de apresentações coloridas impre.~~ionantes do tipo tabular
e gráfica (Fig. 5-5). Além disso, para todos efeitos práticos. os resullados são tão
precisos quanto os resultados analíticos, e os computadores certamente têm mudado a maneira como a engenharia é praticada.
Essas discussões não devem levar à crença de que as soluções analfticas são
desnecessárias e devem ser descartadas do currfculo de engenharia. Ao contrário,
a visão dos fenômenos jfsicos e o bom senso de e11ge11haria são adquiridos principalmente pela análise. A "sensação" que os engenheiros desenvolvem durante
a análise de problemas simples, mas fundamentais, serve como fe1Tamenta valiosa ao interpretar uma enorme pilha de resultados obtidos a partir do computador
quando resolvem um problema complexo. Uma simples análise feita à mão para o
tfp
caso-limite pode ser usada para verificar se os resultados estão no intervalo correio. Além disso, nada pode tomar o lugar de se obter resultados "valiosos" em um
pedaço de papel durante as discussões preliminares. As calculadoras fazem parecer que as operaçõe~ aritméticas básicas, feitas à mão, são coisas do passado, mas
não eliminam a necessidade de ensinar às crianças da escola fundamental como
somar ou multiplicar.
Neste capírulo, voe! vai aprender a fom1ular e reso/vu numericamente problemas de transferência de calor utili7Mdo uma ou várias abordagens. Na sua vida
profissional, voe! provavelmente resolverá tais problemas usando um programa
computacional profissional, e é muito improvável que seja necessário desenvolver
os próprios programas para solucioná-los. (Além disso, as pessoas serão altamente
céticas com relação aos resultados obtidos pelo uso de programas próprios em vez
de um programa computacional comercial consagrado, que tenha resistido à prova
do tempo.) A visão que você ganhará neste capítulo ao formular e resolver alguns
problemas de lnlnsferência de calor irá ajudá lo a entender melhor os programas
computacionais disponíveis e a ser um usuário infomrndo e responsável.
5-2
FORMU~AÇÃO POR DIFERENÇAS FINITAS DAS
EQUAÇOES DIFERENCIAIS
Os métodos numéricos usados pai·a resolver cquuções diferenciais se baseiam na
substiruição das equações diferenciais por equações alsébricas. No caso do popular método das diferenças linílas, isso é feito por meio da substitu ição das derivadas pelas diferenças. A seguir, demonstramos isso para derivadas de primeira e de
segunda ordem, mas primeiro damos um exemplo moúvacional.
Considere um homem que deposita o valor de Ao = US$ 100 na conta-poupança para uma taxa de juros anual de 18% e tente determinar a quantia que ele terá
após um ano se os juros são compostos continuamente (ou instantaneamente). No
caso dos juros simples, a aplicação vai receber USS 18 de juros, e o homem terá
100 + 100 X 0,18 US$ 118,00emsuaconiaapós um ano. Mas, no caso da composição, os juros recebidos durante esse pcrfodo também ir-de> receber juros durante
a parte restante do ano, e o saldo no fim do ano será superior a US$ 118. Por exemplo, se o dinheiro é composto (reaplicado) duas vclCS por ano, o saldo sera 100 +
100 X (0,18/2) = US$ 109 após 6 meses e 109 + 109 X (0,18/2) = US$ 118,81
no final do ano. Thmbém poderia mos determinar o saldo A diretamente a partir de
A = A.CI + f'f - ($100Xl + 0,09)' - $118,81
(5-4)
onde i é a taxa de juros para o perfodo de composição e n é o ndmero de períodos.
Usando a mesma fórmula, o saldo no fim do ano pode ser determinado por mês,
dia, hora, minuto e até mesmo por segundo, e os resultados são apresentados na
Tab. 5- l.
Note que, no caso da composição diária. o saldo no fi nal do ano será US$
119,72, que é US$ 1,72 a mais do que o caso de juros simples. (Então, não é de se
admirar que as empresas de cartão de crédito costumem cobrar j uros compostos
quando da determ inaçlio do saldo diário). Observe também que a composição em
pequenos intervalos de tempo, até mesmo no final de cada segundo, não altera
o resultado, e suspeitamos de que composição instantânea, usando intervalos de
tempo "diferenciais" dt, dará o mesmo resultado. Essa suspeita é confirmada pela
Saldo no final do ano da aphcaçao de
US$ 100 com juros a taxa anual de 18%
para diversos períodos de composiçao
Período de
composição
1 ano
6 meses
1 mês
1 semana
1 dia
l hora
l minuto
1 segundo
Instantânea
Número de
períodos, n
2
12
52
365
8.760
525.600
31.536,000
Saldo no final
do ano
US$ 118,00
118,81
119,56
119,68
119,72
119.72
119.72
119,72
119,72
Transferência de Calor e Massa ________
Capítulo 5
obtenção da equação diferencial dA/dt R iA para o saldo A. cuja solução é A = An
exp(il). Substituindo, resulta em
A = (SJOO)exp(0.18 X 1) ~ $119,72
A derivada da função em
um ponto representa• inclinação da função
nesse ponto.
que é idêntico ao resultado para composição diária. Ponanto, substituindo o intervalo de tempo diferencial dt por intervalo de tempo ftn1to t1t = 1 dia, obtém-se o
mesmo resultado quando arredondado à segunda casa de<:imal de centavos, o que
nos leva a pensar que rt!su/1ados razoavdmente prt!cisos podem ser obtidos por
meio da substituição de quantidades diferenciais em difert!nças sujiciett1emen1e
pequenas.
A seguir, desenvolvemos a fonnulação das diferenças finitas para problemas
de condução de calor por meio da substituição das derivadas por diferenças nas
equações diferenciais. Na seção seguinte, faremos isso utilizando o método do balanço de energia. que nilo requer nenhum conhecimento de equações diferenciais.
Derivadas são blocos construtivos de equações diferenciais, pononto fazemos
primeiro uma breve revisão de derivadas. Considere a função f que depende de .r,
como mostrado na Fig. 5--ó. A derivada primeira def(.rJ no ponto é equivalente à
incl inação da linha tangente à curva nesse ponto, definida como
das. Mas precisamos iniciar o 1>roce.~so com derivadas primeiras. Usando a Eq.
5--ó, a derivada primeira da temperatura dT/d.r nos pontos médios m - e m +
das seções em tomo do nó pode ser expressa como
!
e
Jr
l
flx)
'•
(5-71
r. . ,
? ... m
f
L
t m~ + 1 ·-t M
1
m-~m+~
M-1
FIGU IA 5- 7 Esquema dos nós e
das 1empemturas nodais ulllitados no
desenvolvimento dn fomiulnçllo das
diferenças finirns dn transíerencia de calor
na parede plana.
1
' •
••
' •
At
1
T. 1 -2T.+ l .
fl.t
1
~.
(5-9
que é a represe111ação em difere11ças fi11i1as da deri"ltda segunda no nó interno
geral 111. Note que a derivada segunda da 1emperalllra no nó /11 é expressa em temperaturas no nó 111 e cm seus dois nós vizinhos. Entüo, u equação diferencial
d'I ~ e~ o
tlx'
(5-10)
k
que é equação governante parn transferência de culor per111ane111e unidimensional
na parede plana com geração de calor e condutivid•1de té1mica constante, expressa
na fonna de difere11ça.•fi11ita.< como (Fig. 5- 8)
1
m
1.2.1. . , M
Parede plana
Equação d1fei:r'ICiaJ·
fEL+!.. • O
(5-111
tfxl
e desprezando todos os tennos da expansão com exceção dos dois primeiros. O
primeiro tenno desprezado é proporcional a flx'. ponanto o erro envolvido em
cada etapa da aproximação também é proporcional a flx'. No entanto, o erro ac11111ulado cuvulvido após M passos no sentido do comprimento L é proporcional a
tu, já que Mfli'- = (Utu) flx' Lfl.x. Dessa forma, quanto menor o tu, menor
=
será o erro e, assim, mais exata será a aproximação.
Agora considere a condução de ca lor pennanente unidimensional em uma pa·
rede plana de espessura L com gernção de calor. A parede é subdividida em M
seções de mesma espessura tu = UM na direção .r, separadas por plauos passando
por M + 1 pontos O, 1, 2,..., m - I, m, m + 1,..., M chamados nós ou pontos no·
dais, como mostrados na Fig. 5-7. A coordenada x de qualquer ponto m é simplesmenlex.,, = mtu, e a temperatura nesse ponto t! simplesmente T(x,.) = T,..
A equação da condução de calor envolve a derivnda segunda da temperatura
em relação às variáveis espaciais, como d'T!dx', e a formulação das diferenças
finitas se baseia na substituição das derivadas segundas pelas diferenças apropria-
*
Váhda em todos os pollto'
CS..Jll
Essa expressão aproximada da derivada de diferença é a rorma de diferenças finitas da derivada primeira. A mesma equação também pode ser obtida escrevendo a
expansão em série de Taylor da funçãof sobre o ponto x,
Pattdeplana
(5-8)
àr
\
j(t)
!
Observando que a derivada segunda é simplesmente a denvada da derivada primeira, a derivada segunda da tempermum no nó /11 pode ser expressa como
(5-5)
que 6 a razão entre o incremento flf da funçilo e o incremento tu da variável independente, quando tu O. Se não tomannos o limite indicado, teremos a seguinte
relação aproximada para a derivada:
Métodos Numéricos em Condução de Calor
onde"~ é a taxa de geração de calor por unidade de volume no nó m. Para o caso
sem geração de calor (i. = 0), a Eq. 5- 11 rcduL-se a T. = !n (T. 1 + T. + 1),
que é a foana mais simplificada da fonnulação unidimensional por diferenças
finitas. A equação simplesmente 1mphca que a 1emperatura de cada nó interno é
a média aritmética das tempcraruras dos dois nós vizinhos. Se as temperaturas
das superficies T0 e TM são especificadas. a aplicação dessa equação para cada
um dos nós internos M - 1 resulta nas equações M - 1 para determinação das
temperaruras desconhecidas nos nós internos de M - 1. Ao solucionar essas
equações simultaneamente, obtêm-se O> valores da temperatura dos nós. Se as
tempcraruras nas superficie.~ externas não são conhecidas, então precisamos obter mais duas equações de fomia similar. usando as condições de contorno especificadas. Em seguida. as rcmpcnuurtt.3 desconhecida.\ nos nós M + 1 são determinadas pela resolução simultânea do sistema resultante de equações M + 1
com incógnitas M + 1.
Note que as cnndiçõn de co111omo não tem nenhum efeito sobre a formulação
de diferenças finitas nos nós in1eriorcs do rneio. IMo não é surpreendente, umH ve?.
que o volume de controle utili1.ado no desenvolvimento da formulação não envolve nenhuma pa11c do contorno. Voei! deve recordar que as condições de contorno
também não aprcsenlam nenhum eícito ~obre a equação diferencial de condução
de calor no outro meio.
Essa formulação de diferenças finitas pode facilmente ser estendida para problemas de transferência de calor bi ou tridimensional, substituindo cada derivada
segunda pela equação de diferenças nessa direção. Por exemplo, a formulação de
Equação de dúc:raJ\'U finuas
T.
1
-2r. +r•. ,+ ~ - o
11.r'
i
Válida em pooto. docreios
f'~
5- A cquaçilo diferencial é
válida cm todos os pontes do meio. ao
passo que a cquaçno de difc~nça finita é
válida apenas em pontos discreto; (os nós).
~ftulo 5 •
n+I-
-hm -- 1,
.....
"'·" + 1
~.
n - 1-
1 '"·"
'L ,
1
1
1
â.rJ.'1.r
1
nr+ t
m-1
diftrenças finitas para wndução de calor permanente bidimensional na região
com geração de calor e condutividade ttnnica constante pode ser expressa em coord,nadas retangulares como (Fig. 5--9)
rondo a condução de calor parti o clemenlo em todas ns superficies, o balanço de
energia no elemento pode ser expresso como
T. +1.• - 2r•.• + r._ 1•• + r•.• +1 - 2r•.• + r•.•.:! .. !_.... =
Taxa de ) + ( geração
Taxa dede ) = (Taxa
de mudança)
Taxa dede ) + ( condução
conduÇ'lo
de conteúdo
de ~lor no
calor dentro
de <nerg1a <IO
( ~alui uu l.Uu
esquerdo
lado direto
do elemento
e.emento
ar
m+J.11
li I~
-9 Malha de diferenças
finitas pora condução bidimensional cm
coordenados retangul11rc.<.
Métodos Numéricos em Condução de Calor
o.y'
0
(5-121
"
param= 1, 2, 3,..., M - 1 en = 1, 2, 3...., N - 1. cm qualquer nó interno (m, n).
Note que a região retangular. dividida em M sub-regiões iguais na direção .r e N
sub-regiões iguais na direção y, tem o total de nós (M + 1) (N + 1), e a Eq. 5-12
pode ser utilizada para obter as equações em diferenças finitas desses nós em (M
- 1) (N - 1) (ou seja, todos exceto os nós no contorno).
A formulação das diferenças finitas dada anteriormente demonstra como as
equações das diferenças são obtida.~ a partir das equações diferenciais. No entanto,
usaremos a abordagem do balanço de tnergia nas seções a seguir para obter a
fonnulação numérica, pois é mais inllliti..a e pode lidar mais facilmente com as
condições de co111omo. Além disso, a abordagem do balanço de energia não exige
que se tenha equação diferencial antes da análise.
ou
.
.
.
AE,,_
Q-. ... + Q...., .. +E,..... = ~= o
(5-13)
Uma vez que a quantidade de energia do meio (ou qualquer parte dele) não muda
sob condições permanentes e, pon:mto, AE,..,. O. A taxa de geraçiío de calor
dentro do elemento pode ser expressa como
(5-14)
onde ém é a taxa de geraçüo de calor por unidade de volume em W/m avaliada no
nó 111 e tratada como conslílnte para todo o elemento; e A é a área de tra11sferência
de calor, que é simplesmente a (irca da superfície interna (ou externa) da parede.
Recorde que, quando a 1c111peratura vnria /i11eal'111e111e, a taxa de condução de
calor permanente atravél; da parede plana de espessura L pode ser e•pressa como
3
5- 3 CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE
UNIDIMENSIONAL
Por<dcplana
oo
2
'"
Elemento
de votomc
donóm
l m m-+
1.
M
Jí
~4,T4,1
16'1
FIGURA 5 1O Po111os nodnis e elementos
de volume parn formulação de diferenças
finilas de condução unidimensional em
uma pnrede plana.
Nesta seção. desenvolvemos a formulação das diferenças finitas para condução
de calor na parede plana usando a abordagem do balanço de energia e discutimos
a melhor forma de solucionar as equações resultantes. O método de balanço de
energia se baseia na subdivisiío do meio em número suficiente de elementos de
volume e. em seguida, na aplicação do balanço de energia em cada elemento. Isso
é primeirameme feito pela seleçao dO!i pontU> nudah (uu nó>) em que as temperaLUru> devem ser determinadas e, cm seguida, pelafomtação de elementos (ou volumes de controle) em tomo dos nós. desenhando linhas através dos pontos médios
entre os nós. Dessa forma, os nós internos permanecem no meio dos elementos, e
as propriedades no nó, como tempcra1ura e taxa de geraçDo de calor. representam
as propriedades médias do elemento. Às vezes t conveniente pensar que a temperatura varia /ineannenre entre o; nós, cm especial quando se expressa a condução
de calor entre os elementos utilizando a lei de Fourier.
Para demonstrar essa abordagem. considere novamente a transferência de calor unidimensional permanente na parede plana de espessura L com geração de
calor (x) e condutividade constante k. A parede está subdividida em M regiões
iguais de e.spessura tu= UM na direção x, e as divisõe.s entre elas são seleciona·
das como nós. Por isso, temos nós M + 1 marcados como O, 1, 2,.... m - l, m. m +
1,..., M, como mostra a Fig. 5-10. A coordenada A de qualquer nó m é simplesmente x., = mllx, e a temperatura nesse ponto é T(x~) - T,,. Os elementos são formados desenhando-se linhas verticais através dos pontos médios entre os nós. Note
que todos os elementos internos reprcsemados pelos nós internos :.ão elementos
inteiros (eles têm espessura de Ax). enquanto os dois elementos no contorno são
apenas metade do elemento.
Para obter a equação geral de diferenças para os nós internos, considere o
elemento represemado pelo n6 me os dois nós vizinhos m - 1 e 111 + 1. Conside-
AT
A
(5-15)
\t,... = kAT
onde/),, T é a variação de temperatura mrnvés dn parede e a direção da transferência
de calor é do lado da alta tempcraturJ para o da baixa temperatura. No caso de parede plana com gernçao de calor, a vartaçao de temperatura não é Linear, portanto a
relação acima não é aplicável. No entanto, a variação de temperatura entre os nós
pode ser aproximada como linear na detenninação da condução de calor através de
camada fma de espessura llx entre dois nós (Fig. 5--1 1). É óbvio que, quanto menor a distância ent.re os dois nós tu, mais precisa será a aproximação. (Na verdade,
as aproximações são a razão para se classificarem os métodos numéricos como
métodos de solução aproltimados. No caso-limite de tu aprox.inundo-se de zero.
a formulação toma-se exala, e obtemos a equação diferencial.) Observando que a
direção da transferência de calor cm ambas as faces do elemento foi considerada
como sendo em dirt!çiío ao nó 111. a taxa de condução de calor nas superfícies esquerda e direita pode ser expressa como
.
T._ 1 - T.
A
I.!....... = kA
Q_.,.,.=kA~
r••• - r.
--t.-.. -
,,...Elemento
T. -~,
t ,.,, devolumc
,
Uncar
:
(5-16)
1-
m- 1
r .. + kA 7;.. , - T. +e Atu =o
Ax
(5-17)
"'
t.r
T
- T
kA ~
º·
m
1,2. l,.
1
m+ 1
'/'
.li - 1
(5 18)
T
kA ~
6 .<
A
k
1
6.r
que simplifica para
___,_r~-'·.• 1 t r.
'i-wncar
..-6.r -1 <U-t1
1
Ax
1
1
1
Substituindo as Eqs. 5-14 e 5- 16 na Eq. 5 13, obtém-se
kA T.,
r. ,
T,.
A
FIGURA 5 11
Na formulação de
diferenças finillls, pressupõe-se que 11
temperatura varia liae:irmentc entre os nós.
Transferência de Calor e Massa
T-T
kA T
3
ElctncnlO
de: volume
don62
O\I
T, - 2T, + T3 + </oA.< 1 k - O
1
(a) Pre!(_wpondo que 1 transferênc111 de calor
ocorru pau lora do clemcnlo
de volume na .supcrffcic d.1 d1n::ita.
Capitulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
que é idêntica à equação da diferença (Eq. 5- 11) obtida anteriormente. Mais uma
vez, essa equação é aplicável a cada um dos nós internos M - 1, e sua aplicação
resuJra em equações M - 1 para detenninação das temperaturas em nós M + l.
As duas equações adicionais necessárias para resolver temperaturas nodais desconhecidas M + 1 são obtidas por meio da aplicação do balanço de energia nos
dai.o. elementos nos contornos (anilo ser, evidentemente, que as temperaturas nos
contornos sejam especificada.~).
Você está provavelmente pensando que, se o calor é condu1.ido para o elemento de ambos os lados, como presumido na formulação, a temperatura do meio
terá de subir, e, portanto, a condução de calor não pode ser pennaneote. Talvez
a abordagem mais realista fosse pressupor que a condução de calor ocorra para
dentro do elemento do lado esquerdo e para/ora do elemento do lado direito. Se
você repetir a formulação utilizando esse pressuposto, obterá novamente o mesmo
resultado, já que o termo da condução de calor do ludo direito. oeste caso. envolve
T., - T., + 1 em vez de T. + 1 T,,. que é subtraído cm vez de ser adicionado. Por
isso, considerar a direção para a condução de calor na superfície do elemento de
volume não tem nenhum efeito sobre a formulação. corno mo>tntdo na Fig. 5-12.
(Aliás, o sentido real da transferência de calor geralmente não é conhecido.) No
entanto, é conveniente pressupor c1uc n condução de calor seja para o elemento
em todas as superfícies, e não se preocupar com o sinal dos termos de condução.
Assim, todas as diferenças de temperatura nos relações de condução são expressas
como a temperatura do nó viiinho menos a 1empcrn111ra do nó em análise, e lodos
os termos de condução são adicionados.
cificada são incorporadas simplesmente atribuindo-se tais temperaturas aos nós do
contorno. Ne~se caso: nllo precisamos escrever o balanço de energia, a não ser que
SCJ• necessário especificar a taxa de transferência de calor dentro ou fora do meio
após determinar as tempennuras nos nós internos.
Quando outras condições de contorno, como fluxo de calor especificado, convecção, radiação ou convecção e rodiação combmadas. são especificadas 00 contorno, a equação de diferenças finitas para o nó do contorno é obtida escrevendo 0
balanço de energia sobre o elemento de volume no contorno. O balanço de eoeigia
é novamente expresso como
Parede plana
35 "C
82 'C
L
oo
(5-20)
para transferência de calor sob condições permane111es. Novamente pressupomos
que a transferência de calor ocorra para dentro do elemento de volume para todas
a~ superffci~ por co~veniê~cia na formulação. exceto dos fluxos de calor especificados, pois sua direção Já está determinada. O fluxo de calor especificado é
considerado qua111idade posírivlt se for para dentro do meio e quantidade negativa
se for para fora do meio. Então, a formulação de diferenças finitas para o nó m =
O(no comorno da esquerda, onde x • 0) da parede plnna de espessura L durante a
condução de calor unidi mensional permanente pode ser expressa como (Fig. 5-14)
r.• Js•c
r.-
82"C
IGURA " 1 Formulaçllo de diíerenças
finitas parn condições de contorno de
tempernturn cspecific.ndn cm ambas a~
faces de uma parede plana.
(5-21)
EJcrncn10
de voJome
donó2
T - T.
T - T
kA ~ + kA
+ i,A!u - o
T
T1 2T1 + T1 + i2AA.t1/ l • O
( b) Pressupondo que a 1t1nsíetfncia de calor
e><om1 poni d<nuo do ekmen10
de volume cm Iodas as superfícies.
fl UhA • 12 A dueçio presunuda para
transferência de calor nas supcrfTcics do
elemento de volume não tem nenhum
efeito Mlbre b formulação de diferenças
fini1os.
Condições de contorno
Já desenvolvemos a relação geral para obtenç~o da equação das diferenças finitas
para cada nó interno da parede plana. E.•sn relação não é válida para os nós nos
contornos, no entanto exige a presença de nós de ambos os lados do nó em análise,
e um nó no comomo não 1em nó viLinho em pelo menos um dos lados. Por isso,
precisamos obter as equações de diferença.• finitas dos nós do con1orno separada·
mente. A melhor maneira de se faz.er isso é por meio da aplicação do balanço de
energia nos elementos de volume dos nós no contorno.
As condições de contorno comumente encontradas na prática são temperatura
upecificada.fluxo de color especificado. convecção e radiação. A<1ui desenvolvemos fonoulações de diferenças finitas para as condições de contorno para o caso
de condução de calor permanente unidimensional cm uma parede plana de espes·
sura L. como exemplo. O número do nó na superfície esquerda cm x = O é Oe na
superffcie direita em x = l é M. Observe que a largura do elemento de volume para
qualquer nó no contorno é t:.x/2.
A condição de contorno de temperatura cspccilicada é a mais simples de
se lidar. Para transferência de calor unidimensional através da parede plana de
espessura l, as condições de contorno de temperawra especificada nas superfícies
esquerda e direita podem ser expressas como (Fig. 5- 13)
f(0)
rfl
v.1!i11
Ili 1
I 11
\'1•!01 ,. 1~·nfll
J>-
1
iltt
!v
lo
onde A t:.x/2 é o volume do elemento de volume (note que o elemento de contorno
tem meia espessura), éo é a taxa de geração de calor por unidade de volume (em
Wlm') em x = Oe A é a área de transferência de calor, que é constante para parede
plana. Note que temos t:.x 110 denominador do segundo tenno, em vez de /!u/2. Isso
ocorre porque a razão neste termo envolve a diferença de temperatura entre os nós
Oe l, ponanto temos de utilizar a distância entre os dois nós, que é t:.x.
. A forma .de diferenças finita. para dif~nles condições de contorno pode ser
obtida ~ ~anir da Eq. 5-21. substitumdo
por uma expressão adequada.
A segurr, isso é feito para várias condições de contorno para o contorno do lado
esquerdo.
'•
Q""'°""
Condição de contorno de flll.Yo de calor especificado
.
r,- r.
Ax
Q -.... + kA --o:;- + t,A T • o
IS-22
Caso especial: conlomo is<1lado (q0 = 0)
T, - T0
kA ~ + ê,i(AL\x/2) = O
(S-23)
Condição de contorno de convecção
(5 19)
hA(f
onde T0 e T., são as temperaturas especilicadas nas superfícies x = O ex = l.
respectivamente. Por conseguinte, as condições de comorno de temperatura espe·
Elemtncode
YOlumc do nó O
ll
(5-24)
r cur ,....
Esquema para formulação
de diferenças finita.< do nó do contorno
esquerdo de uma parede plana.
•
Capitulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
Transferência de Calor e Massa - - - - - - - - - -
J. Condição de contorno de radiação
Condição d e conturnu de cuu•ecçâo e l"adiução combinadas (Fig. 5-15)
"1A(7".. - 7",) '•
o
TO>+~
M(T.
r -r.
reflexão do meio como sua ex1ensao (Fig. 5- 17). Dessa forma, o nó ao lado do
oó do contorno aparece em ambos os lados do conlorno por causa da simelria,
coovenendo-o em nó in1emo. Então, usando a fórmula geral {E:j. 5-18) para nó
interno, que envolve a soma das temperaturas dos nós adjacente<; menos o dobro
da temperatura do nó, a formulação de diferenças finitas do nó m = O no contorno
isolado da parede plana pode ser expressa como
r... 1 - 2r.. +r._,
(5-26)
â.r2
0
kA--
/'""
L
oo
1
ou
2
To • , AAr/21
'1.t -+!--'1.t-.i
A
n
(5-271
1
M(T. - T,) + Mil(T:. - r:.J
r, - T,
<1.t
+ 1.11 - <1., - + •o"T o
llsquenin pura a
formulnçdo de difeocnçus finilllS pani
rlGURA 5 1
convecçno e radiução combinadas no
conromo esquerdo de mna parede plana.
Condição de contorno de convecção, rndlação e nuxo de calor combinadas
q,A + hA(f -T0 ) te r,\(I'
1
rt1 + J-A '.i ' +e lllilúli
o
isolado
I
r
•+1~ "'
o 15-29)
(l>-30)
que é equivalente à Eq. 5 23, obtida pela abordagem do balanço de energia.
A abordagem da imagem espelhnda pode ser utilizada 1ambém para problemas
que têm simetria ténnica por meio da substituição do plano de sime1ria por espelho. Como alternativa, podemos substituir o plano de si mel.r ia pelo isolamento e
considerar apenas me1ade do meio na solução. A •olução na outra metade do meio
é simplesmente o reflexo da solução obtida.
Imagem
.,pclhada
Meio A.
k,
1
..........
Mo.108
k,
,u - 5 16 &quemn pam fonnulação
de diferençns finitas para condição de
conlomo de interface entre dois meios A e
Bque cstno em contato 1c.frmico perfeito.
Nessas relações, q0 é o fluxo de calor especificado em Wlm'. h é o coeficiente de
coD\'ecção,
o coeficiente combinado de convecção e radiação, T. é atemperatura do meio envolvente, Tco, é a temperatura da supertlc1e ao redor, sé a emissividade da superfície eu é a cons1ante de Stefan-Boltzman. &s.'IS relações também
podem ser usadas para o nó M do contorno direito, substituindo-se o subscrito "O"
por"M" eosubscri10 "I" por"M - I".
Observe que tem/H!mturas tennodintlmicas devem ser utolizadas para os cálculas da transferência de calor por radiação, e todas as temperaturas devem ser
expressas em K ou R quando a condição de contorno envolve radiação, para evitar
elT05. Normalmente tentamos evitar a condiçilo contorno de radiaçilo, mesmo em
simulações numéricas. As equações de diferenças finitas se tomam não lineart1s,
sendo, portanto, mais dificeis de resolver.
"-é
Tratando os nós do contorno isolado como nós
internos: conceito de imagem e pelhada
Uma forma de obter a formulação de diferenças finitas para o nó no contorno
isolado é tratar o isolamento como fluxo de calor "zero" e escrever o balanço de
energia, como foi feito na Eq. 5-23. Oulrn maneira, mais prática, é tratar o nó
no contorno isolado como nó interior. Conceitualmente, isso é feito por meio da
substituição do isokunento sobre o contorno por espelho e pela consideração da
Nó1nrcmo
,,,,,,- cqu1\'llltnoe
o 1
FlliU
17
2
Um nó em contorno
isolado pode ser Irutado como nó interno
por meio da substiluição do isolamento
pelo espelho.
EXEMPLO 5 T Condução de calor permanente em uma placa grande
de urãnlo
Con.'\idere uma placn grnncle de urGnio de espessura L = 4 cm e cordutividade térmica k = 28 W/m·K em que o cnlor~ gerado uniformemente a urna 1axa constante
de é - 5 X 10' W/m1• Um dos lodos dn placa é mantido a o ºC com água gelada,
enquanto o oi.uro lado cstil sujeito à convecçlio para o runbicnte ar.= 30 °"C, com
coeficienoe de transferência de calor h - 45 Wlni'·K. como mostrado oa Fig. S-18.
Placa de
un\mo
OºC
k • 28 W/m·K
~ -
Considerando o 101al de 1~ pon1os igualmen1e espaçado• no meio. dJis nos con1orInterface
X
Espelho
i.
t
(5 281
6 Condição de contorno na inlerl'a ce Dois diferentes meios sólidos A e 8
são considerados em perfeilo co11111to e, pmtanto, à mesma temperalurn na
interface no nó 111 (Fig. 5-16). Os subscritos A e 8 indicam as propriedades dos
meios A e 8, respectivamente.
conoomo
n 1
'1.t
M(T. - T,)
'"*
Nó de
Isolamento
oo
ções pennancnles usando a abordagem de diferenças linilaS.
Uma placa de un1noo é submetida a uma oemperatura especificada. em
um lado, e à convecção no outro. Determinar numericamente a temperatura desco-
nhecida da superflcie da placa uuhz.ando trb ponlos ogualmcnte espaçados.
1 A IJ'lUlsfelincoa de calor atra,·ts da pattdc é pennanell!c. pois não há
nenhuma indicação de allcração com o tempo. 2 A IJ'lUlsferencia de calor é unidimensional, uma vez que a placa é grande em rclaçllo à sua espessura. 3 A coodutividade térmica é cons1an1e. 4 A transfeiincia por radiaçllo de calor é iosignificanoe.
Pn
A conduiiv1dade 1érn11ca é k e 28 W/m· K.
O número de nós é •~pec1ficado como M = 3, e foram c.'iColtidos para duas
superflcies da ploca e f>'ll'a o pon10 centro!, como moslllldo na figuro. Então, o espaçamento nodal A.x toma-se
A.x • _ L_
M - 1
• Q&Lm • 002 m
3- 1
'
Numeramos os nós O. 1 e 2. A tcmpcralllra no nó Oé dadu por T0 = OºC, e as 1empernturas dos nóS 1 e 2 devem ser dctcrmjnadas, Este problema cnvolv! apenas duas
Lempera1uras nodais desconhecidns, portn1110 precisamos cer apenas duas equações
para de1erminá-lns. As cqunçõc.< sfio oblidns peln uplicação do méludo das diferenças
finitas para os nós 1 e 2.
(co11tin11a)
T
5 X IO'Wlm'
nos e um no centro, estime a tcmpcraturu dn superflcie exposta da placa sob condi-
f o IRA
Esquema para o
ExemploS-1.
L
X
•
Capítulo 5 • Métodos Numéricos em Conduçao de Calor
Transferência de Calor e Massa
Transferência de calor em aletas triangulares
(continuação)
O nó J é nó interno, e a formulação de diferenças finuas poro este nó é obtida
dirc1amcnte a partir da Eq. 5--18 fazendo no - 1:
To - 2T, + T, + ~ = U
O - 2T, + T, 1, O _, 2r, - r, a -i!,Ai'k1!..x2
k
_,
l!..x2
+T(1)
O nó 2 é nó de contorno sujcuo à convecção, e a fonnulaçlo de diferenças finitas
deste nó é obtida pelo balanço de energia sobre o elemento de volume de espessura
lxf1 neste contorno. considerando que a transf~ncia de calor seja para o meio em
IOdos os lados:
r, - r,
hA(T. - T,) + kA-x;- + ê,(AAx/2) - O
Cancelando a área A de transferência do calor e reordenando, temos
T, -
ht:.x)
hl!.x . O,Ai'( l +T T, = -T 1·-2k
(2)
Considere uma alcta de li&• de alumínio (k • 180 Wlm·K) de seção transversal
triangular, comprimemo L s S cm. espessura do base b = 1 cm e lorgura w muito
grande, como mostrado u Fig. 5--20. A base da ole1a é manrtda a orno temperatura
de T0 = 200 •e. A ilera perde calor para o meio envolvente a T. = 25 •e. com coeficiente de rransftlência de calor h - IS Wlm'-K. Usando o mttoc!o das difen:r:çis
finiw com SC•s pontos igualmente espaçados ao longo da alcla na direção x, determine (a) as temperaturas nos nós. (b) a taxo de transfe~ncia de calor a partir da ale.ta
para w = 1 m e (e) a efic1ancia da alcta.
Considerar a ale11 longa triangular fixada à superficie Dctenninar numericamente M tcmpera.1urai, nodais, a taxa de transferência de calor e a eficiência
da aleta utilizando seis pontos igualmente espaçados.
l A transferência de calor é pemianeme, nilo existe qu1lquer indicação
de alteração com o tempo. 2 A tcmperaturn vana apenas oo longo da aleta na dírcção
x. 3 A condutividade ténnica 6 constante. 4 A transferência de calor por rndinçi!o é
insignificanle.
r
As Eqs. (l) e (2) formam um sistema de duas equações com duas incógnitas T, e T,.
Subs1i1uindo as quantidades especificadas esimplificundo~as, ternos
2T1 -T, - 71,43
T1 - 1.032T2 = -36,68
T.
o
1
2
2 cm --f+--2 cm
Soluçlo de dtfcrenços fintt..;
T, • 136,I "C
Es1a é a tempeiatura da superficie esposlll à convecção, que é o resultado desejado.
A substituição desse resultado na primeira equação fornece T, = 103,8 ºC, que é a
temperatura oo centro da placa.
O objetivo deste exemplo é demonst111r o uso do método das diferenças
fmitas com o mínimo de dkulo, sendo que 1 precisão do resultado não foi a grande preocupação. Mas v~ ainda pode estar se questionando sobre a precislo do
resultado obtido, afinal. usamos a malha de apen&J trfs pontos para toda a placa, o
que parece bastante grosseiro. Esse problema pode ser l'C501vido analilicamente. tal
oomo descrito no Cap. 2. e a soluç3o analluca (csata) pode ser dada por
T{x)=
(a) O número de nós nn alclll é especificado como M - 6, e suas localizações são mostrndns na figura. BncDo. o cspaçnmento noclnl Ax coma-se
(cm ºC)
r,
h
A condutividude térmica é dada por k = 180 W/m·K.
r
e /1
Ax _ _ L_
M
(emºC)
Este é um sistema de duas equações algébricas com duas incógnitas que pode serreiolvido facilmente pelo método de eliminação. Resolvendo a primeira equação para
r, e substituindo na segunda, obtemos uma equação para cuja solução é
Placa
•r
o,sêhL'tk +- a+ r.Jr
hL+k
x- lk
1
_ 0,05 m • OOI
6- 1
' m
=
A temperatura no nó Oé T0 200 ºC e as 1cmperaturas nos cinco nós rcsurntes de·
vem ser detcnninada.s. Por isso. precisamos ter cinco equações para detenniná·1as.
Os nós 1, 2, 3 e 4 são internos. e a formulaçl!o gerJI de diferenças finiw para o nó
miemo 111 é obtida por meio da aplicação do balonço de energia sob1e o elemento de
volume desse nó. Notando que a trnnsfcrencia de calor é pennancnte, que não há
genu;ãu ôc c.::alor na aleta. e pressupondo que a transferência de caJor ocorra para o
meio em todos os lados, o balnnço de energia pode 5Cr expresso como
""
T
T
- T
1- T
- • + kA.., ~ + hA..,..<.T. - T.J =O
IJ..<
Ax
""" Q =O -> kA.,.-•--
Todoo-
Observe que. neste ca>o, as áreas de transferencia de calor slo difC!Cntcs para cada
nó. Utilizando as relações geométncns. elas podem ser csprcssas co:no
, . , _ •(altura x
Jar&ural.. _1 - 2w!L - (m - 1n)l!..r)tan 8
,.,_ = (altura X largura),,.• J = 2w[L - (m + ln)Ax)tan 8
A,_ - 2 x compnmeoro X largura • 2w(l!..tlcos 8)
Substilufodo,
Soluçlo.....,
T, ~ 136,0"C
fr IRI !'> 19 Apesordescrem
aproximados por narnrez.a, resultados
altamente precisos podem ser obtidos por
mélodos numéricos.
flePH
Substituindo as quantidades dadas, a temperatura da &uperflcie da placa exposta em
•e, que é quase id!ntica ao resultado obtido aqui com o
método aproximado das diferen~as finitas (Fig. 5--19). Por isso, resultados altamente
precisos podem ser obtidos com métodos numéricos. utiliuindo um número limitado
de nós.
, = L = 0,04 m t de 136,0
2kw[L - (m -
1)Ax)tan O T. 1 -
'
T.
1!.x
1
r••. - r.
2wfu
+ 2kw[L - (111 + ,)Ax!ton O~+ h cos 8 (Tw - T,.) = O
(comifwa)
URA
&quema pam o Exemplo
5--2 e elemento de V<>lume do nó geral
interno da alcta.
•
Capítulo 5
Transferência de Calor·~e~
M~a~ssa
~-----------------------------
(continm2ção)
~)~]<T.- 1
-
• -O
p ~)(T•• T.,)
h(tu"f
+ usene (T. - T.) - O
T.,) + [ 1 - (m +
• 00 0
Observando que a área de trllnsfc~ncia de calor t wtuleos 9 para os nós O e 5 nos
contornos e duas vcas nuuor para os nós in1emos I, 2, 3 e 4, temos
1-
"
w!u
Q._- h eos O((T0 - T.J + 2(T1 - T. ) + 2(T2 - T.) + 2(T, - T.)
+ 2(T, - T..) t (T, - T.))
Note que
lan 9 = bl2 = 0.5 cm ~ 0,1
L
Sem
-t
- h cos
wtu (T0 + 2(T1 + T2 + T3 + T.} + T, - IOT. J ºC
9
9 • tan- 10,I = 5,71º
Além disso, sen S,71 º = 0,0995. Depois da subsliluição dns quantidade$ conhecidns,
temos
(S,5 - m)T. _ 1 - (10,008 - 2m)T. + (4,S - m)T., 1 • -0,209
Agora. subsli1uindo 1, 2, 3 e 4 cm "'· ob1emos csios equações de di rcrenças finitas
pa..a os nós internos:
A
'
Q-- ~ Q-.. = ~ M_. . (T. - T.)
Dividindo cada tenno por 2kwL 1g8ftu, 1cmos
[1 - (m -
.
Métodos Numéricos em Conduçao de Calor
m = 1:
- 8,008T1 + 3,ST, - -900.209
(1)
m =2:
3,5T1 - 6,008T2 + 2.ST, = - 0,209
(2)
m-3:
2,5T2 - 4,008T3 -+ 1,ST, - - 0,209
(3)
m = 4:
1,sT, -
2.oosr, + o.sr, - -0.209
(4)
uação de diferenças finilas para o nó S do conlorno t obtida escrevendo-se o
bal~ de energia para o elemento de volume de eomprimen10 Ax/2 n~sc contorno,
pressup0ndo novamente que a transferblcia de calor ocorra para o meio em todos os
lados (Fíg. 5-21}:
- T, + hA_. (T.• - Te'
=O
kA ........ T, tu
JJ
(1 mX0.01 m)
1
cos S,?I•
- ( 15 W/m -K)
(200 + 2 X 785,7
+ 192,9 - 10 X 25] ºC
(e) Se ioda a alem es1ivesse na 1empern1urn da bnse T0 - 200 º C, a la.a lotai de
lransfcrência de calor a partir dn oleta para w = l m .seria
Q.,,.. = /ui-.,,.. (To - T..) • h(2wUcos 0)(T0 - Tm)
= (IS W/m2· K)(2(1 m)(O,OS m)leos 5,71°)(200 - 25) 'C
= 263,8 W
Então, a eficiência da alcla t dc1enninnda a partir de
11
-
ª-ó.... -
258,4 w
-
263,8 w -
que~ inferior a 1~ como esperado. Também poderíamos determinar a eficiência da
ale1a, nes1e caso, a panir da CUMI adequada paro eficiência da aleta do Cap. 3, que é
baseada na solução analítica. Tcrfamos 0,98 para a efici!ncia da aleta. valor idêntico
ao detennjnado numericamente acima.
onde
e
Esquema do elemento
de volume do nó S na ponta da alcta
triangular.
"-
Axl2
- 2w cose
Cancelando w cm 1odos os tcrmOS e substuu1ndo as quanud:ldcs conhecidas. temos
T,
l,OOST, • - 0.209
(5)
As Eqs. (1) a (5) formam o sisiema linear de cinco cqu~ções algtbricas co~ cinco incógnitas. Solucionando-as s1muhanea01ente por meio da rotina de soluçao de
eq_uações, o resul1ado é
T, = 191,1 e
T, - 195,7 e
que é a solução desejada para 1empernturas nodais.
,
(b) o valor tola! da taxa de transferência de calor a partir da nletn é s11nplcsm~n1e a
so-ma da transferência de calor a parllr de cndn elemeruo de volume pura() ambiente,
e para w = 1 m é determinadu a partir de
A fom1ulação de diferenças finilas de problemas de condução de calor pennaneote em geral resulta no •istema de N equações algébricas com N temperaturas
nodais desconhecidas que precisam ser resolvidas s imultaneamente. Quando N é
pequeno (como 2 ou 3), podemos uuliuir o método de eliminação elementar para
eliminar todas as incógnita~ exceto uma e. em seguida, determinar essa incógnita
(ver Exemplo 5-1 ). As outros incógnitas sllo, então, detemúnadas por substituição.
Quando n é grande, o que normalmente é o caso. o método de eliminação não é
prático, e precisamos utilizar 11 ma abordagem mais sis temática, que pode ser adaptada aos computadore.•.
Há inúmeras abordagens sistemá1icas disponíveis na Literatura, sendo amplamente c lassificadas como mé1odos diretos e Iterativos. Os métodos diretos são
baseados e m núme ro fixo de possos bem definidos que resullam na solução da
forma sistemática. Por s ua vez, os métodos ite rativos são baseados na estimativa
inicial da solução, que é refinada por iteração alé que determinado critério de coo-
Transferência de Calor e Massa
Mltodo1 ditYtos:
RC$Olvcm de forma SJMemilJclo. oeguindo
Ull\I séne de <capu btm dc!lnldas.
Mhodo.r lt<rotf...,,.
Duas c3lt&orias gerais de
métodos de solução parn rc.olver sistemas
de equações algébricas.
fll
Capitulo 5
vergêocia seja satisfeito (Fig. 5--22). Os métodos diretos normalmente requerem
grande quantidade de memória de computador e de tempo de computação e são
mais adequados para sistemas com número relativamente pequeno de equações.
Os requisitos de memória de computador para métodos tteMivos são mínimos e,
portanto, são geralmente preferidos para grandes sistemas. No entanto, a convergência dos métodos iterativos para a solução desejada pode ser um problema.
Um dos mais simples métodos iterativos é a iteração de Gauss-Seidel. O método, aplicado ao sistema de N equações algébricas em N temperaturas nodais
desconhecidos, procede como segue: ( 1) escrever as equações de dúcrenças finitas
e><plicitamente para cada nó (a temperatura nodal sobre o lado esquerdo e todos
os outros termos no lado direito da equação), (2) fazer razoável estimativa inicial
paro cada temperatura nodal desconhecida, (3) usar equações explícitas para calcular novos valores para cada temperatura nodal, miliwr sempre os valores mais
recentes da temperatura para cada nó 110 lado dirtito da equação explfcita de
diferençasfmitas, e (4) repetir o processo até que a convergência demro de algum
erro tolerável (critério de convergência especificado) seja alcançada. O método
é ilustrado na Tab. 5-2, resolvendo, por diferença finita, cinco equações dadas
oo Exemplo 5-2 para cinco temperaturas nodais. Corno mostrado oa Tab. 5- 2, a
primeira linha é a estimativa inicial para a temperatura nodal. A substituição nas
equações explícitas produz os resultados exibidos na segunda fila, e assim por
diante. As temperaturas nodais são consideradas convergentes pela quinra iteração,
já que as iterações sexta e sétima não rrazcm qualquer alteração nas 1empcraturas.
Comparando com as tempera1uras calculadas no Exemplo 5- 2 (a), as temperaturas
obtidas usando o método iterativo Gauss-Seidel es11!0 dcniro de 0.3 ºC de concordância. A pequena discrepância entre os dois métodos é devida ao erro de arredondamento (mantendo o número limitado de dígitos durante os cálculos).
Métodos Numéricos em Condução de Calor
5-4 CONDUÇÃO DE CALOR PERMANt~ 1t.
1
N
Na Seção 5-3. consideramos a condução de calor unidimensional e assumimos
que a condução de calor nas outras direções era insignificante. Muitos problemas
de transferência de calor encontrados na prática podem ser aproximados como
unidimensionais, mas nem sempre esse é o caso. Às vezes temos necessidade de
considerar a transferência de calor cm outras direções, quando a variação de temperatura nesse caso é significativa. Nesla seção, consideramos a forroulação e solução numérica da condução de calor permanente bidimensional em coordenadas
retangulares utilizando o método das diferenças finitas. A abordagem apresentada
a seguir pode ser estendida aos casos tridimensionais.
Considere uma regillo "umg11/ar onde a condução de calor é significativa nas
direções x e y. Agora divida o plano x-y da regii!o em malha retangulat de pontos
nodais espaçados de t:u e Ay nas direções x e y, respectivamente, como mostrado
na Fig. 5- 23, e considere a profundidade unitária Az = 1 oa direção z. Nosso
objetivo é determinar os temperaturas dos nós, sendo conveniente numerá-los e
descrever suas posições por números, cm vez de por suas coordenadas. Um esquema lógico de numeração pata problemas bidimensionais é a notação de subscrito
duplo (m, 11) onde 111 = O, 1, 2, ... , M é a contagem dos nós na direção x e 11 =O, l,
2,, .., N é a contagem dos nós nu direção y. As coordenadas do nó (m, 11) são simplesmente x = móx e y 11óy, e a temperatura do nó (m. 11) é indicada por T.,.,,.
Agora considere o elemento de volume de tnmanho tu X óy X J centtado sobre o nó geral interno (111, n) na região onde o calor é gerado a tau de é e condutividade ténnica constate k, como mostrado na Fig. 5-24. Mais uma vez. pressupondo
que a direção da condução de calor seja para o nó em consideração a todas as
superfícies, o balanço de energia no elemcn10 de volume pode ser expresso como
n+I
n-1
1
1
oo 1 2
2
3
4
5
6
o
t (J
+O
+
n
"'--1
para o caso permanentt!. Considerando que a temperatura entre nós adjacentes
varie linearmente e observando que a área de transferência de calor é A, = Ay x 1
= Ay na direção x e A,. = t:u X 1 = A.\ na direção y, o balanço de energia toma-se
T,
r,
r,
T,
T,
195,0
196,3
196,9
197,2
197,3
197,3
197,3
197,3
195,0
195,5
195,8
195,9
195,9
195,9
195,9
195,9
195,0
194,7
194,5
194,5
194.5
194,5
194,5
194.5
195,0
193,4
193,2
193,2
193,2
193,2
193,2
193,2
M
retangulares.
Elemento~ volume~
reiaogulares.
ó
195,0
197,6
198,2
198,5
198,6
198,7
198,7
198,7
--
nó geral interno (m, n) para condução
bidimensional em coordenadas
ou
Equaçlles de dofl!fença finita em f«m• expllc1la
Estimativa inicial
=~
m
m - 1m + 1
=
Aplicação do método rterativo de Gauss-Se1de/ para equações de dofefença Imita do
T1 = 0,4371T2 + 112,4137
T1 - 0,5826TI + 0,4161T3 + 0,0348
T3 = 0,6238T2 + 0,3743T4 + 0,0521
T, = 0.747013 + 0,2490T5 + 0,1041
Ts = 0,992IT4 + 0,2073
'"
'"·"
Rede nodo! para
formulação de diferenças finitas da
condução bidimensionnl em coordenadas
Taxa de condução nas ) (Taxa de geração) (Taxa de variação de)
superfícies esquerda, + de calor dentro = conteúdo de cneigia
( superior, direta e inferior
do elemento
do elemento
Exemplo~2
....
HAy
Ay
,-~
1
1
k.õ. T.- ..... - T,,.,,, + k.tu r....+ I - r...'4 + kil, T.+1.• - T,.,11
y
h
~
y
h
T
- T
+ kAx . ,. Óy
'
M ..
+ êIli,• tu Ay = o (5-32)
Dividindo cada lermo por t:u X Ay e simplificando, temos
t I
+ /'
/,
UI
1
t
~.....
k
o
(5-33)
r
Transferência de Calor e Massa
Capitulo 5
para m = 1. 2, 3,..., M - 1 e n = 1, 2, 3,..., N - 1. Essa equação é idêntica à Eq.
5--12 obtida anteriorn>ente por meio da substituição das derivadas na equação diferencial por diferenças para o nó interno (m, 11). Novamente, a região retangular
com M nós igualmente espaçados na d ireção .r e N nós igualmente e~paçados na
direção y tem um total de nós (M + 1) (N + 1), e a Eq. 5-33 pode >er utilizada
para obier as equações de diferenças finitas em todos os nós internos.
Na análise de diferenças finitas, geralmente a malha q undrada é utilizada
por simplicidade (exceto quando as magnitudes dos gnidientcs de tempernrura nas
direções .r e y são muito difereoces), ponanto 6..\ e ó.y foram escolhidos iguais.
Então, ó.x =ô.y = 1. e a relação acima é simplificada para
é,,,,,,(1
T. _ 1,,. + Til/li• 1•• + T.,, • ..- 1 + T•.• _ a - 4T•. • + - k-
- O
(5-34)
Isto é, a formulação de d iferenças finitas para o nó interno é obtida somando as
temperaturas dos quatro vizinhos mais pró.rimos do nó, subtraindo quatro vezes
a temperaturc1 do próprio nó e lldicio11ami<J-se o termo de geraçcio de calor. !;la
também pode ser expressa na seguinte forma, q ue é fácil de lcmbrnr:
Métodos Numéricos em Condução de Calor
Coc-=çlio
EXEMPLOS
,T
2 ~h
T
A.1
Conduçã o de calor permanente bidimensional em
barras de forma L
Considere a 1ransferência de calor permanente cm um corpo sólldo cm fonna de L
cuja seção transversal é dada na Fig. 5- 26. A trarufcrênc1a de calor na direção normal ao plano do papel é msiinificante. ponanto • lr.l.nsfcrêocia de calor no corpo é
bidimensional. A condu1ividadc 1érmica do corpo é k - 15 Wfm· K, e o calor é gerado no corpo a mxadei ~ 2 X IO'W/m 1. A superfic1ccsquerda é isolada, e a inferior
é mantida a uma 1cmperaru111 uniforme de 90 •e. A lotalidadc da supcrflcic superior
é submetida à convecção para o ar ambiente a T. - 2.5 ºC. com coeficien1e de irnnsfcrmcia de calor por convecção h - 80 W/m2• K A supcrfTc1c da dirci1a é submetida
ao Ou•o de calor com 1axa uniforme de 4• • 5.000 Whn1• A rede nodal do problema
consi,le de 15 nós igualmente espaçados com 6.t = t:.y - 1,2 cm, como mostrado
5--3 e rede nodal (con1omos dos elementos
de volume dos nÓ$ s.,o indicados por hnha>
na figura. Cinco dos nós estão na superfície inferior, portanto sua.it temperaturas são
tracejadas).
s . .6
•'
Esquema para o Exemplo
conhecidas. Obtenha as equações em diferenças finitas para os nove nós n:s1antcs e
determine as temperaturas nodoís por meio da resolução.
.1..
Considerar a tran<fcrêncio de ca lor na barra longa sólida em forma
de L com condições de contorno c~pecificada.s. Determinar as nove remperncuras
nodais desconhecidas pelo método dns direrençns finita>.
êo1>/l
r.,. + r"", + r.,, + r1.r - 4T..i + - k- - o
(5-35)
Quando não há ge1'!lção de calor no meio. a equação de diferenças finitas para o nó
inte rno simplifica-se ainda mais para T,"' = (T,.., + 7~•P + Tdi. + T1,.r)/4, que tem
a interessante imerpretação de que a temperatu111 de cada 116 interno é a média
aritmética das temperaturas dos q11wro 116s 11izi11/ios. P,sta declaração também é
verdade para problemas tridimensionais, exceto pelo foto de que o nó interno, nesse caso, terá seis nós viz.inbos, em vez de quatro.
Nós do contDrno
Contorno
.submetido
àcon-=çio
El•mcnto de
YOlume cio nó 2
Q..
O desenvolvimento da formulação de diferenças finitas para os nós do contonw
de problemas bi (ou tri) dimensionais é similar ao desenvolvimento do caso unidimensional discutido anteriormente. Novamente, a região é dividida enll'C nós,
formando elementos de volume em tomo dos nós. e o balanço de energia é escrito
para cada nó do contorno. Diversos tipos de condições de contorno podem ser
tratados para parede plana, exceto aqueles cm que que os elementos de volume
no caso bidimensional envolvem transferência de calor na direção y. bem como
na direçiio x. Superfícies isoladas ainda podem ser vistas como "espelhos'', e o
conceito de imagem espelhada pode ser usado para tratamento de nós no contorno
isolado como nós in ternos.
Para transferência de calor sob condições pen11a11e111es. a equação básica a ser
considerada ao escrever o balanço de e11trgia cm elemento de volume é (Pig. 5--25)
J 1 tV "'
FIGURA S 25 A fo1·mulaçiio de
diferenças finitas do nó de contorno é
obtida escrevendo o balanço de energia no
seu elemento de volume.
O
não importa se o problema é uni , bi ou tridi me nsio nal. Novamente consideramos,
por conveniência na formulação, que todn transferência de calor é para o ele mento
de volume de todas as supe rffcies, com exceção do fluxo de calor especificado,
c uja direção já está especificada. Isso é demonstrado no Exemplo 5--3 para várias
condições de conto rno.
µo
.a~ 1 A tronsfcrõncia de cnlor é pennnnentc e bidjmensional como se afirma. 2 A condutividade t~nnica é conswnte. 3 A geração de calor é uniforme. 4 A
transfe1'ência de calor por radiuçllo é insigoinca111e.
s A condutlvidode térmica é k = 15 W/m·K.
Observamos que rodos os nós do do contorno, com exceção do nó 5. que é
um nó interno. Então. lemos de usar os balanços de energia para obter as equações
de diferença!;: finitas, mas primeiro formamos os elementos de volume repartindo
cquitativamenle a regil\o en1re os nó) e desenhando linhas tracejadas entre eles. Se
considerarmos o elemento de volume representado por um nó interno como de ta·
manlio compl~to (ou seja. Ar X Ay X 1). então o elemento representado por um nó
de contorno regular, como o nó 2. passa 1 ter metade do tamanho (isro é, A.t x t1yfl
X 1) e um nó do canio. como o nó 1. tem /14 do tamtmho (isto é, A
X t1
X
1). Considerando a Eq. 5--36 para o balanço de cnugia. as equações de diferenças
fimtas para cada um dos nove ponros slo obc1das como se segue:
xn
yn
(a) Nó 1. O elemento de volume des1e nó do canto é iwlado à csqucn:la e submetido
à convecção no 1opo e a condução nas superflcic.J da direi1a e inferior. Um balanço
de energia com esse elemento rcsuha cm (Fig. S-21a)
o+h!:!:(T. -T)+k~r,-r,
~k~r, - r,+e·1 ~~=o
1
2
-
2
tu
2
2 2
ll.y
Tomando Ar= ll.y = /,simpli ficamos pani
hl)
hl
-2+r 1 +r,•r, - --r.
-i1l'
(
k
k -
2k
(b) Nó 2. O elemento de volume deste nó do contorno é submetido à convecção na
Sllperfície do topo e 11 condução nas supcrílcics da direita. de baixo e da esquerdo.
Um balanço de energia nesse elemento resulta em (Fig. 5-21b)
2
hll.x(T. - r,) + k~
Y r, ;_r, + kAr r, - r, + k~T, - r, + e,Ar~ =o
""
Ay
2 11x
2
(co111mua)
(a ) Nó l
ru
(b) Nó 2
Esquema do balanço de
energia nos elementos de volume dos
nós 1e2.
Transferência de :ator e Massa
.~~~-r:] ,
h. T.
(a)Nó3
Capítulo 5
(~onrinuafât>)
Tomando At - Ay = I e ob$crvando que T12 - 90 ºC, a equação é simplificada para
Tomando tu = 11y = /, simplificamos para
( 2hl)
10
(e} Nó 3. O clemcnto de volume deste nó do canto é submeudo à convecção nas
superflcies superior e direita e a condução nos supcrfic1cs inferior e esquerda. Um
balanço de energia nesse elemento resulca cm (Fi&. S-28a)
J~+~\,T. - T,)+k~r. - r,+k~T,
"\ 2
2f
•
2
2
ây
T'+;,~~=O
A.r
2 2
Tomando tu= ây = /, simplificamos para
2h/)
2
;-4
'
...--1-1
'
L...
,..
6
f
s
1
'L
por meio da substituição do isolamento por espelho. Isso coloca a Imagem simétrica
do nó 5 à esquerda do nó 4. Observando que tu - 11y • /,a relação geral para o nó
interno para o caso permanente bidimensiono! (Eq. 5- 35) resulta cm (Pig. 5-28b)
. ,.
7
1
'
---'
r,. 90 ·e.
=
hA "T. - r.) + k ~ r, -
_, •
'
2
r, + """
.. - Tn - T,
11y
11y r, - r,
111
UT~+~A.rT=O
Tomando tu - 11y = /e observando que T11 • 90 ºC, a equação é simplificada p3n1
2hl)
2
<,1
T..- ( 4+y r,+r,~ - 1so - 211/
yr. - T
(h) Nó 8. Esse nó é id!ntico no nó 7. e o fomrnlaçno de diferenças finitas pode ser
obtida a partir daquela do nó 7, mudondo os números do nó de 1 (isto é, substituindo
o subscrito 111por111 + 1), rcsulrnndo cm
perfície do topo, a nuxo de calor na superílcic direita e à condução nas superfícies
mfenor e esquerda. O balanço de energio nesse elemento resulta cm (Fig. 5-30b)
t,1 1
(b)N66
T, - 4T, + 2T, - -90 - T
(e) Nó 5. Este é um nó interno. e, observando que tu "' 11y
=
/,a formulação de diferenças finitas deste nó é obtida diretamente a parur da l!q. S-35 como (Fig. 5-29a)
h ~ (T. - T.) + ti ~ + k ~ r,. - r, + k 11y r, - r, + . l1x ~ - o
2 •
•
• 2
2
ây
2 l1x
4 2 2 -
"·''
T,+T2 + T,+Tu 4T,+ T-o
ou, oo1aodo que
r,, = 90 ·e.
é,I'
r, + r, - 4T, + r. - -90 - T
'"°completa o desenvolV1mcnto da formulação de diferenças finitas para este pro.
blcma. Substituindo-se as quanodades dadas, o SIStcma de nove equações para deter0U1ação das nove tempcratum nod1is desconhocidas toma-se
(/) Nó 6. O elemento de volume deste nó do canto interno é submetido à convecção
na superffcic exposta em forma de L e à condução nas outras superffcies. O balanço
de energia ocsse elemento resulta cm (Fig. 5- 29b)
4
1
T1 - T.
T1 - T.
• - 11y)<
h( ~
+T.• - To)+ k11y
- -- - 6 t ktu--2 - - 6
2
2
2 11x
11y
+ kl1y r, - r, + k~ r,
l1x
2
T6 +
ây
4
311xl1y _
0
4
(a)Nó7
(b)Nó9
Esquema dos balanços de
energia nos elementos de volu1nc dos
nós 7 e 9.
A.r
(1) Nó 9. O elemento de volume deste nó do conto é submetido à convecção na su-
2
Esquema dos balMÇos de
energia nos elementos de volume dos
nós Se 6.
g) Nó 7. O elemento de volume desse nó do contorno é submetido à convecção 00
·opo e à condução nas superflcics do dircica, de baixo e da esquerda. O balanço de
cnctg1a nesse elemento resulta cm (Fi&. S-30a)
r, + r, + r, + r, 0 - 4T, 1 ·~ .. o
-.-----.
A.T_
2hl
(ti) Nó 4. &te nó está sobre contorno isolado e pode ser mundo como nó interno
ou, notando que
11
(a)N65
.,,,
T,- ( 2+y r,+r,~-TT·-2í
h.T.
6
.. --f--
2h/
h, T_
r,+2T,- 6+T r,+T,--180-TT· -3<J'
u
2h/)
2h/
<,J'
T, - ( 4 +T
r, + T1 +2T, • -TT·
-T
(b) Ntl4
Esquema dos balanços de
energia nos elementos de volume dos
nós 3 e4.
Métodos Numéricos em Condução de Calor
109.l
09
1 o
(conti1111a)
•
Transferência de Calor e Massa
Capitulo 5
(con1fouação)
r.
024
4
T
que é o sistema de oovc equações alg&ncas com nove incógm1as. Usando o solucionador de equações. sua solução é
T1 =
1 •
T,= )94~
T,=
r, ~ 1os e
r,r,=
No1e que a temperaturd 6 maior no nó 1 e menor no nó 8. Isso 6 consistente com a.s
nossas cxpecta1jvas, jã que o nó 1 6 o mais distante da superficie lnferior, manlida
a 90 ºC. e tem um lado isolado. O nó 8 1em o. maior t1rca exposta em relação ao seu
volume, estando ao mesmo 1empo perto da superfície a 90 ºC.
Contornos irregulares
Aprolll:imando urn conlomo
irreguw com uma malha re1angular.
Em problemas com geometrias simples, podemos preencher Ioda a região usando
elementos de volume simples, como 1irns para parede plana e elemen1os retangulares para condução bidimensional na região retango lar. Podemos iambém utilizar elemenlos de cascas cil!ndricas ou esféricas para cobrir os corpos cilíndricos
e esféricos inteiramente. No entanto, muirns gcomeirias encontradas na prática.
como lâminas de turbina ou blocos de motor, nilo têm formas simples, sendo difícil
preenchê-las devido aos contornos irregulares com elementos de volume simples.
Uma fonna prácica de lidar com iais geometrias é ;,ubstituir a gcomc1ria irregular
por uma série de elementos de volume simples, como mostrado na Fig. 5-31. Essa
abordagem simples muitas vezes é salisfalória para casos práticos. especialmente
quando os nós es1ão estreitamente espaçados perto do con1omo. Abordagens mais
sofislicadas estão disponíveis para tralar de con1omos irregulares e são comumen1e
incorporadas nos programas computacionais comerciais.
Métodos Numéricos em Condução de Calor
Lmtw~ de sunecria
.
Considcrnr a iransfcrencia de calor airavés de uma chaminé quadrada.
Delcnnm:ir as tempcraluras nodru< e a 1oxa de perda de calor por umdade de compri-
(Equ1valcn1c ao 1sol1menro)
mento usaodo o mé1odo das diferenças fin11as.
1 A ttansferencia de calor é pcmuincnte. não exi'1e nenhuma indicação
de mudança com o lcmpo. 2 A lransfcrencia de calor a1ravés do chaminé é bidimeos1ooal, e a altura da cbamul<! t grande em relaçilo à seção uansversal. portanlo
•_ coo~uçlo de calor 11rav~ da cb1m1m! na direçilo axial é desprczlvel. É 1enradoc
simplificar o problema ameia mais. considerando a transferência de calor cm cada
~e unidimensional, que .seria o caso se as parc.dcs fossem finas. pois as.sim 05
efeitos dos cantos seriam instgnifican1cs. Essa hipótese nilo pode ser justificada neste caso, uma vez que as paredes slo mui10 grossas e as seções dos canros constituem
coosidcr.lvel parcela dli estrutura da chamim!. 3 A condutividade térmica é coos111n1e.
As pmpnedadcs dn chamint silo k p 1.4 W/m·K e e= 0.9.
A M:Çilo lntnsversal da chaminé é dada na Fig. 5-32. O aspecto mais surpreendente dcs1e problema~ a apare.me sime1ria sobre as hnhas horizontais e verticais ~as~ando pelo pon10 médio do chaminé. bem como os eixos diagonajs, conª
forme 111d1cado na figura. Por isso, podemos considerar apenai) 118 da geometria na
solução nodnl cuja rede~ con.s1ituída por nove pontos igualmente espaçados.
Não há calor atravessando a linha de simetrin, portanto as linhas de simclri:l
podem ser 1rmndns corno supcrflcies Isoladas ou "espelhos" nn formuláção de diferenç_as finitas. Entllo, os nós no meio das linhns de simetria podem ser tratados como
nós mtemos usando imagens -espclhndo.). Exis1em seis nós no comomo, e temos de
Seçllu rcpn:~cntativ».
de• chaminé
FIGURA 5 "l Esquema du charnin6
discu1ido. no Exemplo 5-4 e a rede nodnl
da seção rcpresemmivn.
escrever os seus balanços de energia para ob1er ns fonnulações de difereoças finitas.
Em prirncim_ lugar, divi?irnos as rcaiões entre os nós equitativamente, por meio do
dcoeoho de hnhas traceiadns cnlre eles. A região em 1omo do nó cercada por con1omos ou linhos tracejadas representa o elemento de volume do nó. Considerando a
profundidade º"'.!ária e utilizando a abordagem do balanço de energia para os nós do
contorno (assumindo novamente que loda o lrnnsferf:ncia de calor é para 0 elemento
de volu""'.. por conveniência) e a fórmul11 para os nós inlemos. as equações de diferenças finitas pana os nove nós sllo delcrminadas como se segue:
(o) Nó 1. Sobre o coo1omo inccmo submchdo a convecção, Fig. 5-3'.lo
11x
tJ.y r, - r1 11x r - T.
O+h1 T(T, - T1) + k-2 - - + k--'--1 +O=O
tl.x
2 tl.y
Tomando tJ.x - tl.y • /, 1 equaçJo t s1mphficada para
Perda de calor atravh de chaminés
Gases quemes de combustão do forno nucm através de uma chamim! quadrada de
coocieto(k = 1.4 W/mK). A seção deOuxodachaminU20cm X 20cm.ca espes·
sw-a da parede é 20 cm. A 1emperatura média dos gases quentes da chaminé é T; =
300 "C. e o coeficicnle médio de 1ransferência de calor por convecção no inferior da
chaminé é Ir,= 70 Wlm'K. A chamin~ perde calor a panir da superfície ex1ema para
<>ar ambiente a T. = 20 ºC por convecção com oocJiciente de transrerS11cia de calor
"'• = 21 W/m'K e para o céu por radiação. A emissividade da superfície exlcma da
parede 6 e = 0.9. e a tempcralura efeliva do céu é estimada cm 260 K. U1iliurndo o
mélodo das diferenças finilas com 6.x = Â)' • 10 cm e tirnndo a máxima vantagem
da simelria, determine as lemperaturas nos pontos nodais da seção 1ransversal e a
1axa de perda de calor para a seção de 1 m de comprimento da chnmir1~.
h1) r,+ r,+r, =-f
h/r,
- (2+T
1
(b) Nó 2. Sobre o contorno miemo submetido a convecção. Fig. 5-33b
~~ - ~
tJ.x
~-~
kT~ + "•2<7i - T,) +o+ ktl.xây- =o
Tomando tl..r - tl.y = /,a equaçlio é simpliJicadn pa1·a
lr,I)
h11
T1 - ( 3 + T r, + 2r, - - y r,
(a)Nó 1
flGURA 5 ,3
(co111ilma)
(b)Nó2
Esquema dos balanço., de
encrgin nos elementos de volume dos
nós 1 e2.
•
Transferência de Calor e Massa
Capítulo 5
Métodos Numéricos em Condução de calor
1
'2
(conrinuaçâo)
o sisiema de nove equações para dctenninaçlo das nove temperaturas nodais desconhecidas, na forma adequada pan1 uso do método iterativo, torna-se
(e) Nós 3, 4 e 5. (Nós internos. Fig. S-34)
r, + T, + T, + r, - 4T, = o
T, - (T2 + T, + 2.86S)f7
Nó 4: T, + T2 + T, + T, - 4T, - O
r, = (T, + 2r. + 2865)18
Nó 5: T, + T, + Ta+ T,
r, = cr, + 2r. + TV-4
Nó 3:
(4)
""'---
lmaacm
espelhada
4Ts • O
r, =
4x r , r,
Ay r , - r,
O+kTt;y + kT~
Convertendo os nós do
coniomo 3 e 5 nos linha$ de simctna cm
nós internos, usando imagens espelhadas.
+ h. ~ (T. - T,.) + w ~ (T~
r, = (T, + r, + 456,2 - 0.3645 X 10-• T.')13.5
r, = (2T, + r, + r, + 912.4 - o,729 x 10-• r,')fl
r 2 + r, - ( 2 + T
r, -
h. I
eul
,
- Tr• - -k cr..,
(e) Nó 7. (No comorno exierno subme1ido a convecçllo e rndiaçüo, Fig. 5- 35)
Ay r, - r,
/ ' lsolnmcn10
r, - r,
r, = c2r, + r, t r, + 912,4 - 0.729 x 10-• rt)fl
r, = (T, + 456,2 - 0,3645 X 10-• r: ')/2,5
Tt) • 0
Tomando ti.x = Ay = 1, a equação é simplificada para
h.I)
r, r,
(T, + + + r,)14
Ts • (2T, + 2T,)14
(d) Nó 6. (No coniomo externo submeudo a convccçllo e radiaçio)
Espelho
Ay r, - r,
Tomando A x = Ay = /,a equação é simplificado paro
h•• r.
2h•I)
2T, + r.- ( 4 +T
2h. I
2eu/
T, + r, = -T r.-k- (T~ -T,')
r.,.
Esquema dos balanços de
energia nos clcmenios de volume dos
nós 7 e 9.
(/) Nó 8. Mesmo do nó 7, execro pela mudança nos números dos nós por+ 1 (subs1i1u ir 4 por 5. 6 por 7, 7 por 8 e 8 por 9 na dirima equoçllo)
2h.I)
2h0 /
2E<TI .,...
,
2r,+r, - ( 4 + T r, + T, =-T T. - k- (1 ... - T.l
(g) Nó 9. (No contorno externo subme1ido a convccçllo e 1*11açlo. Fig. S-35)
1
t'>.y r, - r,
tu
4x
2 ~+0 + h. 2 cr. r,)+w 2 cr:.. - r:>- o
Tomando lu = Ay = /,a equação é simplificada para
h. I)
h l
wl
,
r,- ( 1 +T
r,= - Tr.-Tcr:,. - r,)
0
Este problema envolve radiação, que requer uso dn temperntura absoluia, portanlo
todas as temperaturas devem ser expressos em Kelvin. Como alternativa. Podemos
usar ºC para todas as temper:nuras, desde que as qua1ro tempcraaunu nos termos de
radiação sejam expressas na forma (T + 273)'. Subsiiluindo as quantidades dadas,
23
40
~ =
T,=
T,= 'li K = l 8.0
r, ~
4Q
r, ..
T,=
l ... -
r, -
kT~ + kAxt;y + kT~
+ h.Ax(r. - T,) + eut!.x(T:,, - T1') - o
Tempcra1ura, •e
que é o sistema de equações nllo lin~otYJ. Usando o método iterativo de Gauss·
-Seidel ou o solucionndor de equações, sua >alução é
-
1K -
IJO
'~
C)lj
r, =
r. =
T9 ~
'K = IS 1 e
11K =
59 7 e
,• K = 234 e
A variação da tempera1ura no c hnmin6 é mostrada na Fig. S-36.
Observe que as temperaturns sllo mais elevadas na parede interna (mas inferiores
a 300 "C) e mais baixas nn parede exiema (mas, superiores a 260 K), como esperado.
A temperatura média na superfTcie externa da chaminé ponderada pela área é
r
..,....,.,
_ <O.sr. + r, + r, + o,5T.J
5S
40
S5
60
55
40
23
. .
.
ss
.
.
. . . .
89
138
152•
138
IS2
89
mom
256
273
2S6
40
1~8
• 152
256
273
2S6
138
89
138
152
138
89
40
55
60
S5
40
60
55
40
23
Variação da temperatura na
• K
318 6
chaminé.
Então, a IJUla de perda de calor atra~ da seçlo de l m de comprimento da chaminé
pode sec determinada aproximadamente a parúr de
Q - = h, A. (T..-,..,
60
23
(0.5-tl+l + O,S)
= 0,5 X 332,9 + 3281 1 ~ 313,I + O,S X 296,5 ~
55
40
T.) + "'7A. (T'......_..,- T~)
- (21 W/ml.K)(4 X {0.6 mXI m))(318,6 - 293)K
+ 0,9(5,67 X 10 1 W/ml.K')
(4 X (0,6 mXI m)J(318,6 K)' - (260 K)']
= 1.291 + 702 Também poderíamos determinar a trnnsferi!ncia de calor encontrando a temperatura
média da parede in1erna, que é (272,6 + 256, l ')/2 = 264.4 º C, e aplicando a lei de
Newton do resfriamcn10 na superfície:
Q"'°'""" - h1 A, (T1 - r,.,.,,.... )
= {70 Wim'-K)(4 X (0,2mX1 m)j(300 - 264.4) "C = 1.994 w
(co,,tinua)
•
Capítulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
Transferência de Ca:.:
lo::.r.::
e~M
.::.:::
•s
:::s::_
a _______ ______________________
ffJ
ou
(continuação)
A difereoça entre os dois resuhados é decorrente da nalunna aproxunada da análise
L
lJ.tX
a-
o Usamos um modelo numérico relauvamcntc grosseiro para resolver este
problema de forma a man1er as comple•idades cm grau adm1rus1nlvel. A precisão da
solução obtida pode ser m<lhorada por meio do uso de uma malha mais fina e de um
maior número de nós. Além disso, quando a rad1açlo está envolvida. é mais preciso
(e mais trabalhoso) determinar as perda.< de calor parn cada nó e achcion4· 18S, em vez
de usar a temperatura média.
""
A
Todol•ladait
5-5 CONDUÇÃO DE " L P -
discrc1os no 1empo e no espaço.
(5-37)
onde a taxa de lransferência de calor Qnormalmente consisle dos Lermos de condução para os nós in1emos, m~ pode envolver convecção, fluxo de calor e radiação para nós de con1omo.
Observando que l1E..,. - me, tJ. T = pV,,_ c,!1T. onde pé a densidade e e, é o
calor específico do elemen10, dividindo-se a relação acima por tJ.t, temos
,<,,
URA 37 A formulação de
diferenças fini1as de problemas
dependcn1es do 1empo envolve po01os
Q + tJ.tX t...-=AE-
TOllll•WM.
numérica.
·
AElJ.T
Ew.r.i..
= ---.-t - pV,...., c,7
u
ut
(5-38)
t
Até agora, neste capítulo, temos aplicado o método das diferenças finilas para problemas de transferência de calor perma11e111e. Nes!U seção, eMendemos o método
para resolver problemas tra11siemes.
Aplicamos o mécodo das diferenças finitas para problemas permanentes di.r·
cretiza11do o problema nas variáveis espaciais e resolvendo para temperalUras em
pontos discretos c ha mados nós. A solução ob1 ida é vá lida para qualquer momenlo,
uma vez que, sob condições permanenles, us 1empermurns não mudam com o tem·
po. Em problemas 1raosien1es, no en1an10, as tempcra1uras mudam com o passar
do tempo, bem como com a posição, e a solução por diferenças fi nitas de problemas iransíentes requer discretizaçllo no lempo e discretitaçllo no espaço, como
mostrado na Fig. 5-37. Isso é feito por meio da seleção do passo de 1empo tJ.t
adequado para resolver as lemperaturas nodais desconhecidas repe1idamen1e para
cada tJ.r, até que a solução no tempo desejado seja obtida. Por exemplo, considere
um objelo metálico quente retirado do forno a uma 1emperatura inicial T, no momento t = O e deixado para esfriar no ar ambienle. Se for escolhido um passo de
tempo l1t = 5 min, a determinação da dis1ribuiçllo de 1empera1ura na peça metálica
após uês horas requer a determinação das tempera1uras 3 X 00/5 = 36 vezes ou
em 36 passos de tempo. Por isso, o tempo de computação desse problema é 36 vezes o de um problema permanente. A escolha de um tJ.t menor aumenta a precisão
da solução, mas também aumenta o tempo de compumção.
Em problemas rransientes, o sobrescrito i é usado como (11d1u ou co111ador de
passos de tempo, com i = O correspondendo à condição inicial especificada. No
caso da peça metálica quente discutido an1eriormente, i
1 corresponde a t
1X
tJ.1 = 5 min. i 2 corresponde a t = 2 X lJ.t 10 min, de forma geral. o passo de
1empo ; corresponde ao t; = it\1 A nornç~n T:.,é usada para representar a lemperatura no nó m no passo de lempo i.
A fonnulação de problemas de condução de calor 1ransiente difere da formulação de pennanente. Os problemas transientes envolvem um termo t1dicio11al que
represcnla a mudança 11a q11a111idt1de de e11ergia do meio com o tempo. Esse termo
adicional aparece como derivada primeira da 1empera1ura em função do 1empo na
equação diferencial e como mudança na quantidade de energia interna durante tJ.t na
fonn ulação do balanço de energia. Os nós e os clcmcn1os de volume em problemas
transientes são selecionados como no caso permanente, e, novamente assumindo por
conveniência que toda transferência de calor é para o clcmcn10, o balanço de ener·
gia no elemento de volume durante o in1ervalo ele lempo tJ.t 1xxle ser expresso como
=
!.! +
=
=
Mudança no )
Calor transferido )
( Calor gerado
no volume
= conteúdo de energia
para o volume do
+
do elernenio )
elemento de todas suas
( do volume do
(
durante tJ.1
elemento duran1e tJ.t
superficies duranle tl.1
=
ou, para qualquer nó m do meio e o seu elemento de volume,
Ele:mco1odc
YOlume (pcclc .., de
;:i;-·
;
::?
L.::.J
e, - color especifico
dT • m.tdanç.it de ceinpemu.1ra
:L
Qtt.,......
(5-391
onde T~e T,~·· são as 1empero1urns do nó 111 nos tempos 11 = itJ.t e t1+1 = (i + t)tJ.t,
respectivamente, e Tt.+ 1 - T,~ l'CJ)l'e.~cntn a mudança de temperatura do nó durante
o intervalo de tempo !:.t entre os passos de 1empo i e i + l (Fig. 5-38).
Note que a razão (T,~' 1 T,~)ltJ.t é simplesmente a aprox imação por diferenças
lini1as da derivada parcial (JT/ot que aparece nas equações diferenciais de pro·
blemas transientes. Por isso, obteríamos o mesmo resuhado para formulação de
diferenças finitas se seguíssemos uma rigorosa abordagem matemá1ica cm vez da
abordagem de balanço de energia u1ilit.ada anteriormeote. Observe também que
formulações de diferenças fini1as de problemas pcrmanenles e iransientes diferem
pelo único 1ermo do lado direito do sinal de igualdade, e o fonna10 da expressão
conúnua a ser o mesmo em lodos os sis1emas de coordenadas, independentemente
de a transferência de calor ser uni, bi ou tridimensional. Para o caso especial de
1
= T,:.(ou seja, nenhuma mudança de temperalura com o tempo), a fonnulação
reduz-se para o caso pennanen1e, como esperado.
Temperaturas nodais em problemas 1ransien1es normalmente mudam durante
o passo de tempo, e você pode estar se pergun1ando se deve usar as temperalUras do passo a111eriar i ou do 11ovo pa~ de tempo i + 1 para os lermos do lado
esquerdo da Eq. 5-39. Pois bem, as duas abordagens são razoáveis e ambas são
01ilizadas na prática. A abordagem de diferenças finitas é chamada de método
explícito no primeiro caso e método lmplklto no segundo, sendo expressas na
forma geral como (Fig. 5-39)
FIGURA 5 38 Mudança no co111e~do
de energia do elcmen10 de volume do nó
durante imervalo de 1emp0 At.
r;,:
Mt10llo t'xpl' oo
T. +I
... Q +E, ,,,. pV...., e, • .'.t
k
T/,.
(~Oi
Srn~eml + l.M6~:~~~~~
e
e -·-dl--•
V,.,. ,
Se expressa cm /: Método expHcho
Mllodo 1111phc11a.
,L
Q'
t
+ E~,l•lam
(5-41)
Observe que a derivada no 1empo é expressa c m forma de diferença avançada no
caso explícito e na forma de diferença atrasado no caso implícito. Naturalmente,
ta mbém é possível mis1urar as duas formulações fundamentais das Eqs. 5~0 e
5~ 1 e c hegar a formulações mais elaboradas, mas esias oferecem pouca pros1".'cção e esll!o fora do âmbito desle capf1ulo. Note que ambas as fonnulações são
simplesmente expressões enire as 1empera1uras nodais antes e depois do intervalo
de lempo e têm por base a determinação das novas temperaluras r~·· usando as
FIGURA 5- 3
A fonTiulaçfto dos mélodos
explícilo e implícito difere no pnsso
de tempo (anterior ou novo) em que a
transferência e a geraçno de calor são
expressas.
Transferência de Calor e Massa___________
~~Métodos Numér~m Condução de Calor
temperaturas anteriores T/.. Asformulações uplfcita t impllcita aqui aprtsentadas
são bastante gerais e podem ser usadas em qualquer sistema de coordenadas, independenteme11/e da dimensão da transferincia de calor. Os elemento_~ de volume
em cosos muhidimensionais simplesmente têm mais superficies e. assim, envol-
T
vP..m mai!i: t~nnM nn ~marório
Os métodos explicito e implicito têm suas vantagens e desvantagens, sendo
que wn método não é necessariamente melhor do que o outro. A seguir, você verá
que e métodc explfcito é de fácil implementação, mas impõe um limite sobre o
passo de tempo permitido para evitar mstabilidades na solução. O mitodo implícito exige que as temperaturas nodais sejam resolvidas simullaneamente para cada
passo de tempo, mas não impõe nenhum limite para magnitude do passo de tempo.
Limitamos a discussão para casos uni e bidimensionais para manter as complexidades em grau administrável, mas a análise pode ser facilmente estendida para
casos 1ridimcnsionais e para outros sistemas de coordenadas.
~
' ·}Elemento
de volume
T~
'f'!•
1
kA
1'._,- r.
donóm
1
r•· 1 - r '
1<11 ·- - ·
A,,
6x
01
l
,,. -
Pontos nodais e elementos
de volume p:ua formulação transiente
de diferençu finita< da conduç5o
urud1me11sional em uma parede plana.
(5-42)
Cancelando a área da superfície A e multiplicando por ll.x/k, a equação é simplificada para
tu' (Tl+I
r. _1 - 2r.+r•• • +l!.M
-k- = alii
. - T')
•
T. t
T
1
TIT
t
f 11
para todos os nós internos m = 1, 2, 3,.... M - 1 na parede plana. Expressando o
lado esquerdo da Eq. 5-45 no passo de tempo i ~ 1 em ve1 dei, resulla na formulação de diferenças finita~ impllci1as
1+ I
\ t
r.'•'
T.
f•lílpli< 110)
T1 - T'
1<11 ~
A.r
T
27
+ T. • ' +
T....
(5-451
Note que o lado esquerdo desta equação é simplesmente a formulação de diferenças finitas do problema para o caso permanente. Isso nao é surpreendente, uma vez
que a formulação deve reduzir para o caso permanente, quando T~,+' = T:.,. Além
disso, ainda não definimos a formulação explícila ou implícita, uma vez que não
indicamos o passo de tempo no lado esquerdo da equação. Vamos agora obter a
tu-
(5-49)
A,,
-----.
o
A aplicação da formulação explícita ou implícita para cada um dos nós internos
M - 1 resulta em equações M - 1. As duas equações restantes são obtidas por
meio da aplicação do mesmo método para os dois nós do contorno, exceto se naturalmente os contomos forem lempcraturas constantes especificadas (invariáveis
com o tempo). Por exemplo, a formulaçllo da condição de contorro de convecção
do conlorno do lado csquc1uu (nó 0) para o caso explíci10 pode ser expressa como
(Fig. $-41)
( 5-50)
simplificada para
(5-51)
Então. a Eq. 5-43 se reduz para
tu T." ' T'
l •
Ar
pA - e -'- - - '
A
(5-48)
(5-441
T
A.t
T
que pode •er reorganizada como
(5-431
onde a = klpc, é a difusividade térmica do material de parede. Vamos agora definir o número adimensional de Fourier da malha como
"461
2T) T.
T
mi + IM - IM '
tu
,_
+T
Esta equação pode ser resolvida explicitamente para a nova temperatura T!" (por
r•·•.
Considere a condução de calor transientc unidimensional em uma parede plana de
espessura L com geração de calor e(x, t) que pode variar com o tempo e a posição,
com condutividade conslanl.e k e malha de tamanho llX = UM e nós O, 1, 2 ...• M
na direção x, como mostrado na Fig.5-40. Observando que o elemento de volume
do nó geral interno m envolve condução de calor dos dois lados e que o volume
do clemenco é V,""' = AÀ..<, a formulação transiente de diferenças finitas para nó
interno pode ser expressa com base na Eq. 5 -39 como
T
- T.
T.
- T
T.1• 1 - T '
kA •-~ • + kA • +~..t "' + ~-.Aâx • pAâ.tc, ~
T
isso o nome método explfc110) resuhando em
Condução de calortran 1 me em tJml parede- pl111.
Parede plona
mw
formulação explrcita de diferença~ finitas expressando o lado esquerdo no passo
de tempo i como
Note que, no caso em que não há geração de calor e T = 0,5, que é o limite superior do critério de estabilidade para o método explícito unidimensional (discutido
na próxima subseção), a formulação explícita de diferenças finitas para nó geral
in1emo é reduzida para CT!" '2 (r,;._, + T~+ 1 )/2, cuja interessante interpretação é
que a temperatura do 11ó irUemo 110 11ovo passo de tempo é simplesmeme a média
das temperaturas dos seus nós vizinhos no passo do tempo anrerior.
Depois que a formulação (explícita ou im1il!cita) eslá completa e a condição
inicial é especificada, a solução do problema transiente é obtida marchando no
tempo, usando o passo de tamanho At da scguin1e forma: escolha o F•sso de 1empo
adequado Ate determine as temperaluras nodais a pa11ir da condição inicial. Tomando as temperaluras iniciais como solução amerior T,;, em / = O, obtenha a nova
(.
F U A 4
Esquema para formulação
expllcua de diferenças finitas parn
condição de contorno de convecção no
lado esquerdo de uma parede plana.
X
•
Rm•11lof6o txpllcllo:
T~"'
a.r: +
r:·. - a,r,· +
r:.·••a..T!, •
Cntlrlo d' tstobílidod':
a.~ O. m •O. l. 2, ... m• ... M
Fll URA 5 -4' O crittrio de utabilidade
do método explícito exige que todos os
coeficientes primários sejnin positivos ou
zero.
solução T~.,em todos os nós no momento / = /l1 usando as relaçõe~ tmnsientes de
diferenças finitas. Agora, utiliz.ando a solução obtida em t = /l1 como a solução
anterior T/.. obtenha a nova solução
cm / • 2/l1 usando as mesmas relações.
Repita o processo até que a solução no tempo desejado seja obtida.
r::'
Critério de estabilidade para o método
exp 1c1to: limitaçao de ~t
Capitulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
mo permitido /lr quando o problema transiente é resolvido com método explfcito.
Por exemplo, a formulação de diferença finita explícita para condição de contorno
de convecção no contorno à esquerda {nó O) da parede plana mostrada na Fig. 5-41
e expressa na Eq. 5 -51 é mais restritiva que a formulação de diferença finita explí·
cita para nós internos apresentada pela Eq. 5-47. Portanto, nesse caso. o critério de
estabilidade para todos os nós toma-se
ou
O método explícito é de fácil mili.tação, mas tem uma característica indesejável
que restringe severamente sua utilidade: não é incondicionalmente estável. e o
maior valor admissível do passo de tempo llt é limitado pelo critério da estabilidade. Se o passo de tempo llt não for suficientemente pequeno, as soluções obtidas
pelo método explícito poderão oscilar severamente e divergir da soluçíio real. Para
evitar essas oscilações divergentes nas temperaturas nodais, o valor de Ili deve ser
mantido abaixo de certo limite máximo estabelecido pelo crltfrio da estabilidade. É possível mostrar matematicamente ou por argumentação flsica baseada na
segunda lei da termodinâmica que o crill!rio de es1abilidade é satisfeito se os coeficientes de todas r;, nos expressões de T,~' '(c/wmadns de coeficientes pl'imários)
forem maiores 011 ig11ais" zero para todo" os nós /11 (Fig. 5-42). Evidentemente,
todos os termos envolvendo r;, para determinado nó devem ser agrupados aatcs da
aplicação desse critério.
Diferentes equações para diferentes nós podem resultar em diferentes restri·
ções sobre o tamanho do passo de tempo llt, e o critério que for mais restritivo
deve ser usado na solução do problema. Uma abordagem prática consiste cm identificar a equação com o menor coeficie111e primdrio, uma vei que é a ma is restritiva, e determinar os valores admissíveis de llt por meio da aplicação do critério de
estabilidade apenas para essa equação. O valor de llt obtido dessa forma também
satisfaz o critério de estabilidade em todas as outras equações do sistema.
Por exemplo, no caso da condução de calor transieme unidimensional na pa·
rede plana com temperaruras das superfícies especificadas, ª'equações explícitas
de diferenças finitas para todos os nós {que são 116s internos) são obtidas a panir da
Eq. 5-47. O coeficiente de na expressão de
é 1 - 2r. que é independente
do nfünero do nó m. ponanlo o critério de estabilidade para todos os nós. nesse
caso, é 1 - 2r ;;,: O ou
r:.
r:.• •
)
(!>-521
TS
I
2(1 + hll.rlk)
Para uma melhor compreensão do critério de estabilidade. considere a formulação
explícita de diferenças finitas do nó interno de uma parede plana (Eq. 5-47) para 0
caso de não haver geração de calor
80"C
W-w
m-1
r,:.•• ~ r(r.:,_, + r.:,.,) + (1 - 2T)T:.
m+I
Pa.sw de tempo: i
Considerando que, em algum passo de tempo i, as temperaturas T~-• e T;.+ 1 são
= 80 º C). No
iguais, mas inferiores a T{, {digamos, ~•-t= T~+ 1 = 50 ºC e
próximo passo de tempo, esperamos que a temperatura do nó 111 esteja entre os
dois valores (digamos, 70 ºC). No e ntanto, se o valor de T exceder 0,5 {digamos,
T = 1), a temperatura do nó m no próximo passo de tempo será menor q\1e a tem·
peratura dos nós vizinhos (será de 20 ºC), o que é fisicamente impossível e viola
a segunda lei da termodinâmica (Pig. 5-43). Exigir que a nova temperatura do nó
m permaneça acima da temperaturn dos nós vizinhos é equivalente a exigir que o
valor der co111inue a ser inferior a 0,5.
O método implícito é i11co11dicio11alme11te ntável, portanto podemos usar qualqoer passo de tempo que quisermos com esse método (naturalmente, quanto menor
for o pas."' de 1empo, melhor será a precisfio da solução). A desvantagem do método
implícito é que resulta em um conjunto de equações que devem ser resolvidas simu/taneameme para cada passo de tempo. Ambos os métodos são usados na prática.
r.:,
m- 1
m+I
Pnsso de tempo: I + 1
FIGURA S 43 A violaçfio do critério de
esiabilidadc no método explícito pode
resultar na violação da segunda lei da
ten11odinâmica e, p<>11nn10. na divergencia
da solução.
EXEMPLO 5 'f Condução de calor transiente em uma placa grande de
urânio
Considere uma placn grande de urtnio de espessura L - 4 cm, condutlYldade lénnj.
cak ~ 28 W/m Kedifusividadc 1énmca1r e 12,S X 10 'm'ts,qucinicialmenleQtá
a uma temperatura uniforme de 200 e. o calor é gerado de modo uniforme na placa
a uma taxa constante de~ • S X 10' Wtm' No momcntor ~ O, um dos lados da pia·
ca é poslo cm contato com a água gelnda e é mantido a O ºC cm lodos os momentos.
Quando o material do meio e, ponanto, sua difusividade ténnica a é conhecida e
o valor do tamanho da malha Ax é especificado, o maior valor do passo de tempo
permitido /li pode ser detenninado a panir dessa relação. Por exemplo, no caso da
parede de tijolos (a = 0,45 X w·• m'/s) com tamanho da malha de Ax ~ 0.01 m,
o limite superior do passo de tempo é
J t:u2
(0,01 m)'
llr s 2a = 2(0,45 x 10- • m'ls)
.
= 11 1 s • 1,85 m111
Os nós do contorno envolvendo convecçlio e/ou rndinção são mais restritivos do
que os nós internos e, portanto, exigem menores passos de tempo. Por isso, o mais
restritivo nó de contorno deve ser usado na dc1ern1inaçâo do passo de tempo máxi·
enquanto o outro lodo é submetido 11 convecção para o ambiente a T. - 30 ºC, com
coeficiente de transferlncin de calor h - 45 W/m' K. como mostrado na Fig. 5-44.
Considerando u lolnl de 3 nós igualmente espaçados no meio, dois nos contornos e
Placa de untn10
o•c
Resolvemos csie problcmn no Exemplo 5-1 paro o caso permanente e
vamos repeti-lo parn o coso 1rnn~icn1c pnm demonstror ti aplicação dos métodos u·ansicnles de diferenças fi11i1ns. Novamente, consideramos que a trunsforência de calor é
unidimensional em coordcnudus rela:ngulru-es e que n condutividade térmica é cons-
28W/m·K
r.
a- 12..S X 10 •m1/s
SOLUÇ/O
(comfouo)
h
t - 5 X IO'W/m1
um na mel.ade, estime a 1empcratura da superfície exposta da placa 2t5 minutas após
o início do resfriamento, usando (t1) o método eitplfcito e (b) o método implíci1o.
l
oo
.r
7:.,..,""" 200ºC
FIGURA 5-44 Esquema para o
Exemplo 5-5.
Capitulo 5 • Métodos Numéncos em Condução de Calor
Transferência de Calor e Ma::s::sa=--- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
(rontinuaçllo)
tante. O nlimero de nós foi especificado como M z 3. e eles foram escolhidos nos
duas superflcies da placa e no meio, como 1nostnldo na figura. Então. o espaçamento
nodal Ax toma-se
Ax = _ L_ ~ 0.04 m ~ O02 rn
M -1
3- 1
'
i '·
El<m<nlo de
volume do nó 2
A.t
,
r;
T! + 1 M(T. -
T
Numeramos os nós como O, 1e2.A tcmpenuura do nó Oé dada T0 - OºCem todos
os momentos. e as temperaturas dos nós l e 2 devem ser determinadas. Esse problema envolve apenas duas temperaturas nodais desconhecidas. portanto precisamos de
apenas duas equações para detenrun:l-los.
equações slo obtidas por meio da
aplicação do método das diferenças finitas para os nós 1 e 2.
Es•••
V.Tj - Tj
T~)
(a) O nó 1 é nó interno, e a formuloçilo de diferenças finitas t!.tpUcita oes:sc nó é
obtida diretamente a partir da Eq. >-47 definindo m = 1:
<,11..r
oo
Ponaoto, qualquer passo de tempo mfcrior a 15,5 s pode ser usado para resolver esse
problema. Por convcniSncia, vamos escolher o ~.so de tempo como sendo 6.1 =
15 s. O nllmero de Fourier da malha toma-se
T/+I = T(T0 + Tj) I ( 1 - 2T) T( + T - k-
(•)
at.r (12,5 X 10 • m1/s)(l5 s)
= Ax' (0,02 m)'
"' 0.46875 (parat.r = 15 s)
Substituindo o val0< de.,. e de outras quantidade>, as equações (a) e (b) de diferenças
finitas cxplfcnas reduzem para
T/., - 0,0625T/ + 0.46875T2 + 33,482
Ti' 1 = 0,9375TI + 0,032366Tl + 34,386
=
A tcmperarura inicial do meio em / Oe i = Oé de 200 ºC durante todo 0 período.
portanto, 71 = Tf ~ 200
Então, .,, 1emperoturas nodais em e TI e T1em1 = ar
= 15 s são dercrminadns a p:artir da!ll equações como
•e.
TI = 0,0625T~ + 0.4681ST1 + 33,482
O nó 2 é nó de conlorno sujeito h convecção. e • formuluçllo de diferenças finitas
IGURA • 4
il.'><1uemn para fonnulação
c<plícira de diferenças fini1as da condição
de convecção no contorno direito de uma
nesse nó é obtida escrevendo-se o balanço de energia no elcmcnlO de vo~uine de es·
pessura llx/2 desse conlomo, considerando que o lrnnsfertncia de calor ocorre para
o meio em todos os lados (Fig. 5-45):
parede plana.
T/ - TJ
tu
t:.x
7~+1 - Ti
Dividindo por kA/2Ax e usando as dcliniçõcs de difusividade t6rmica a = k/pC, e o
número adimcnsional de Fourier do malha T = at:.111:.x', o resuilndo é
1Jr/ll
~,tu' r2• - Ti
-k- (T. - T{) + 2(T/ - T{J + - k- • - -T
-1
(1 - 2T -2.,.h~)r1+...(2r1+2h~T.+ ·~
(b)
Note. que não usamos o sobrescri10 i para as quan1idades que não mudam com o
tempo. Agora, precisamos detenrunar o limite superior do passo de tempo t:.I a parur
do critério de estabilidade, que exige que o coeficiente de na Eq. (a) e o coeficiente de 1i na segunda e.quação sejam maiores ou igunis a zero. O coeficiente de
Jlé menor nesse caso, portanto o critc!no de estabilidade desse problema pode ser
n
cx:presso como
h!J.X o
1
• <
A.il
l - 2T - 2TT"'
-+ .,. s 2(1 + hl:..tlk) -+ " 1 2a(I + hAxlk)
uma vez que T = at:.1/A.r'. Substituindo as quantidades dadas. o valor mbimo permitido para o passo de tempo é
(0,02m)1
2(12,5 X 10-• m1/s)[I + (45 Wlm1·K)(0,02 m)/28 W/m·KJ
T,2 = 0,0625T: + 0,46875Tl + 33,482
= 0,0625 X 139,7 + 0,46875 X 228.4 + 33,482 = 149,3 ºC
T~ ~ 0,9375T: 1 0,032366Tj + 34,386
Variaçlio das temperaluras nodais com
tempo do Exemplo 5-5, obhdas pelo
- 0,9375 X 139,7 + 0,32366 X 228,4 + 34,386 = 172.8 ºC
qu.c pode ser rewtvido pO< 1?'' e resuha em
t;.r:s;
= 0,9375 X 200 + 0,032366 X 200 + 34,386 = 228.4 'C
De maneira similar, os temperm uras nodais 7~ e Tí em / - 2t.r = 2 x 15 = 30 s são
M(T.-T,"1+kA~+t,A 2 ~pATc,-t:.
-1-
Tl'' =
= 0,0625 X 200 + 0,46875 X 200 + 33,482 = 139,7 ºC
Ti = 0,93751'? + 0,032366Tf + 34,386
~o expllc1to
Continuando do mesmo modo, as temperaturas nos nó• 1 e 2 foram determinadas
para i = 1. 2, 3. 4. 5 ..... 40 e são apresentados n11àb. S-3. Então, a temperatura no
cont0<no da superflcie exposta 2.S minutos após o inicio do resfriamento é
(b) O nó 1 é nó interno. e 1 formulação de diferenças finitas implícitas desse o6 é
obtida diretamcnte a panir da Eq 5-49 p0< meio da fixação de m = 1:
TTc-(1 +2'1') T/' 1 +TTJ'' +
. tu'
'l'y
+ r: =O
(e)
O nó_2 é nó de contorno sujeilo A convecção. e a formuloção de diferenças finitas
1mphc11as desse nó pode ser oblido a partir dessa formulação. expressando o lado
esquerdo da equação no passo de lempo i + 1 cm vez dei como segue
-15,5s
(c()11finuá)
Passo de
tempot;
Tempo,•
TI
T/
o
o
200,0
139,7
149,3
123.8
125,6
114,6
114,3
109,5
108.9
106,7
106,3
103,8
103,7
103,7
200,0
228,4
172,8
179,9
156,3
157,l
146,9
146,3
141,8
141,J
139.0
136,I
136,0
136,0
2
3
4
5
6
8
9
10
20
30
40
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
300
450
600
Transferência de Calor e•~M~assa~'----------------------------
(con1muaçõo)
Armazenamento de eneriiia solar em paredes de Trombe
que pode ser reorganizado como
Novamente não usamos o índia: i ou I + 1 para quantidades que n5o mudam com o
tempo. O método impUci10 não impõe nenhum l11ru1e no paS$O de tempo, portanto
podemos escolher qualquer valor No cn1an10, vamos novamente escolher /11 = 15 s,
pornmto, T = 0,46875, para f;ucr comparoçllo com a parte (a). Subs111uln~o o v~IOt
de Te de oull'a.s quantidades dadas. as dUA• equações de d1fen:nças finitas unplfc11aS
desenvolvidas aqui se reduzem a
- l.9375T/+I + 0,46875T/ ' 1 +TI t- 33,482 =o
0,9375T/+I - l,9676Tl+I +
T: + 34.386 = O
Novamente 1f = ~ = 200 •e em t ; Oe i = Oem vlnude da condição Inicial e para
i = Oas duas equações reduzem para
-l,9375T : + 0.46875Ti t 200 + 33,482 • O
0,9375T i - l,9676Tl + 200 + 34.386 • O
As temperaturas nodais desconhecidas TI e Tl cm I -e õt • IS s sllo determinadas
resol vendo-se simultaneamente as duairi equações
r: = 168,8 •e
e
Ti • 199,6 º C
Do mesmo modo, parn i = I, as equações reduicm para
Variação das temperaturas nodais com
o tempo do Exemplo 5-5 obtidas pelo
método 1mpllcrto
-l,9375T: + 0,46875T? + 168.8 + 33,482 - O
0,9375T/ - l,9676T? + 199,6 + 34.386 • O
1ClllpefEUUI R
Passo, d1
tempo,/
Tempo S
T/
TJ
o
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
15
30
45
60
75
200,0
168,8
150,5
138,6
130,3
124,1
119,5
115,9
113,2
111,0
109.4
104,2
103,8
103,8
200,0
199,6
190,6
180,4
171.2
163,6
157.6
152,8
149,0
146,1
143,9
136,7
136,l
136, l
90
105
120
135
150
300
450
600
Capítulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
As 1empcra1uras nodais desconhecidas TI e Tl cm t • /11 - 2 X 15 - 30 s são determinadas resolvendo-se simuhaneamcnlc as duas equações
Tl = 1so.s ·e
e
Tl - 190.6°C
Continuando dessa maneira, as 1crnpera1Uras nos nós 1e 2 são determinadas parai =
2, J. 4, 5,...• 40 e estão ll•ll!das na Tab. S-4. A 1empcra1ura no contorno da supcrf!cie
exposta (nó 2) 2.S minutos após o Inicio do n:sfnamen10 é
rp- • T210 .
que está próxima do resultado obtido pelo método explfdto. Ob~crve que qualquer
método pode ser utilizado para ob1cnçilo de resullOdos snusfatõnos para _probl~mas
t.ransienles. eitceto talvez para os primeiros passos de lcmpo. O m~todo unpllc1to é
preferfvel quando se deseja utilizar grande.~ passos de tempo, e o método explfcito
é pn:ferfvel quando se pretende evltnr a solução slmull&ncu do sb1ema de c<1uaçôes
algébricas.
As paredes de alvenana pintadas de cor escura, chamadas paredes de Trombe, são
comumcnte usadas no lado ~ui das casas com energia solar passiva para absorver
energia solar, annaz.cná-la durante o dia e libcri-la pma a casa durante a noite (Fig.
~)-A ideia foi proposta poi E. L. Morse, de Massacbusct1s, cm 1S8 I. e nomeada
cm refcri!ncia ao Professor Fcllx Trombe. da França. que a U50U extensivamente cm
seus projelos na dttada de 1970. Normal mente umn camada dnica ou dupla de vidro
é colocada fora da parede e 1rnnsnu1c a maior pane da energia solar. bloqueando as
perdas de calor da superfície exposta da parede externa. Além disso, saídas de ar
são comumcn1c 1nstaladM nas panes mfcri0t e supenor das partdcs de Trombe, de
modo que o ar da casa coira no canal de fluxo pmalelo enl1'C a parede de Trombe e os
vidros. Em sua passagem, o ar cem a 1cmpemlura elevada e entra na saJa através da
abenura no lado superior da parede.
Considere um!! casa em Reno, Nevada. cuja parede sul consiste de uma parede
de Trombe de 30cm de espessura, condutividade 1émuca de k = 0.69 Wlm K e difusívídade térmica a - 4.44 X 1O" m11s. A vonação dn temperatura ambiente T,.. e do
íncíden1e sobre a face vertical da superfície virada ao Sul ao
íluxo de calor solar
longo de um dia típico de janeiro é dnda na Tab. 5- 3 cm 3 h de intervalos. A parede de
q...,
Trombe tem vidro simples com um produto de absortividadc e 1ransmis.'!lividade de J<
= 0,77 (ou seja, 77% da energia solar incidente é absorvida pela supe1ffciecxposta da
íl UllA • ~
Esquema dn parede de
Trombe (Exemplo 5-ó).
parede de Trombe), e o coeficiente médio de transferência de calor comb[nada parn
perda de calor da parede de Trombo no ambiente 6 detcrminadn n "~i = 4 W/m1 ·ºC.
o interior da casa é mantido n T,111' .. 21 ºC todo o tempo. e o coeficiente de transferência de calor na superffcle interna da parede de Trombe t
= 10 Wlm'·ºC. Além
disso, as aberturas na parede sllo manlidas fcchAdns, portanto 3 trnnsferSncia de calor
entre o ar da cacta e a parede de Trombe ocorre n,penns atrav~ da superft'cie interior da
h,.
parede. Pressupondo que a temperatura da parede de Trombe varie lincannente entre
21 ºC na superfície inrcrnn e 1 ºC na superfície externa às 7 h da manhã e usando o
método explfcl10 da< diferenças finuas com espoçamen10 nodal unifonnc de 11.c = 6
cm, determine a dis1nbulção de temperatura ao longo da ••pcssura da parede de
Trombe após 12, 24, 36 e 48 h. Além disso, de1erm1nc a quantidade líquida de calor
transferido da parede de Trombe para a casa durante o primeiro e o segundo dia. ConS1dcre que a parede tem 3 m de altura e 7.S m de compnmen10.
É considerado o aquecimento solar passivo de uma casa por meio de uma
paredc de Trombe. Dctenrunaradastribuiçllode 1empcra1ura na parede cm 1mcrvalosde
12 horas e as quantidades de tramfctEncia de calor durante o primeiro e o segundo dia
1 A transferência de cal01 é un1d1mcnslonal, e a superfície "-'J>OSla da
parede é grande em relação à sua espessura. 2 A condullvidade ténruca é constame.
3 Os coeficientes de 1ransferl!ncia de calor Sio constantes.
As propriedades da parede silo dadas, k • 0,69 W/m·º C. a = 4,44 x
10 -'m'/s. e K = 0,77.
O espaçamento nodal é 11.t .. 6 cm, assim. o número total de nós ao longo
da parede de Trombe 6
M= !::..+ I • ~+ l • 6
!:u
6 cm
(co111im1a)
Varlaçao horária de lemperatura
ambiente média mensal e do fluxo de
calor solar incidente sobre a superfície
vertical em 1aneiro •m Reno, Nevada
Período do
dia
7 h-lOh
IO h-13 h
13 h-16h
16h-19 h
19 h-22 h
221>-I h
1 h-4 h
4 h-7 h
Temperatura
ambiente, •e
Radlaçlo
solar, Wlm'
0,6
6,1
7,2
2,8
360
763
562
o
-2.8
- 3,3
- 3,9
o
o
o
o
o
Transferência de Calor e Mass~ª----------------------------
Pmde de Trombe
(contmuoçifo)
i • 0,69 W/m·"C
1
1
0 • 4,44 x 10 m /s
O. nós são numerados como O, 1, 2, 3, 4 e 5, com o nó Owbrc a superfície interna da
parede de Trombe e o nó 5 na superfície extemn. como mos~do nn Fig. 5--47. O.
nós de 1 a 4 são nós interiores, eu formulações expllcuns de diferença finita desses
nós são obtidas díreiamcntc da Eq. S--47 para
Distnbtuçto mic1al
detempetatunlb
/ ' 7h(1•0)
21 'C
oo
2
~
l
Rede nodal para a parede
de Trombe discu1ida no Exemplo 5--0.
Nó 1(m=1):
Tt•• ., r(Td + T,') + (1 - 2r)T/
(1)
N62(m = 2):
T(T/ + TD + (1 -21)T/
T;' 1 = 'T{Tl + T[) + (1 - 21)TJ
(2)
Nó3 (m -3):
Nó4(m =4):
TJ+I - -r{Tj + TJ) + (1 - 21)TJ
(4)
rr• -
(3)
A superficie interna é submetida a convecção, ponanto 1 fonnulação explícita do nó
Opode ser obtida diretamcnle da Eq. 5- 51 para
h.,.tu)
Capitulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
Portanto, qualquer passo de tempo menor do que 2.168 s pode ser usado para resolver cote problema. Por con»eniancia, vamos escolher o passo de tempo para ser lJ.1 =
900 s = 15 min. Entiio o número de Founer da malha toma-se
atu
t::.i'
<r= - =
(5)
Tj
11Jt
Tj+I - Tj
-,11
h.,. A(Tf,. - T!> + KAq!.t.. • kA -'(;;- • pA Te, --
=0 111
'
(para l1t = 15 rní]l)
Portanto, as temperaturas iniciais nodais são
r: ~ 21•c.
T~ = 7.8 ºC,
A superfície externa da parede de Trombe é submetida à convecçã~ e ao Ou•o de
calor. A rormulação exp!Jcita da d iíercnça finiln nesse coniomo é ob11d11 cscrcv~nclo
o balanço de energia sobre o elemento de volume apresentado pelo nó 5,
T1
(0,06 m)'
•e
h,.11x
rJ•I - c1- 3,74r) Td + r(2T/ + 36,5)
(4,44 X 10 'm1/s)(900 s)
lrucialmente (ls 7 h ou t • 0), a 1empemtum da parede \'llria lineanncnte entre 21 º C
no nó Oe - l
no nó 5. Observando que M cinco cspaçamenios nodais de igual valor, a mudaoça de tempcr•lum entre dois nós viunhos é (2 1 (-l)]ºC/5 = 4,4 •e.
TJ+I = ( 1 - 2r -2r-k- Td + 21T{ + 2r-k-T..,
Substituindo as quanlidades httil• 4-t', t<, e Tcn•• que nllo mudílm com o lempo, na
equação temos
tES
71·16.6
·e.
r: =3.4 •e.
T~ - 12.2 ºC,
Tl'--1·c
Em seguida, as 1empcm1uras nodais cm 1 = 11r ~ 15 min (às 7h l5min) são dcrerrnínadns dessas equações pnrn
T/i - ( 1 - 3,74r) T8 + r(2T~ + 36,5)
=o - 3,74 x 0, 111)2 1 + 0.1 11(2 x 16.6 + 36.5) = 20,o•c
T I = T(Tg + T~) + ( 1
2T) T?
= 0,111(2 1 + 12,2) + ( 1 - 2 X 0. 11 1)16,6 • 16,6 ºC
Tj = -r(T? + Tj') + ( 1 - 2<r) T~
= 0,1 11 (16,6 + 7,8) + (l - 2 X 0.1 11)12,2 • 12,2 ºC
(5-53)
T\=-r(T~+TJ')+(l - 21)T~
= 0,J 11(12,2 + 3,4) + (1 - 2 X 0,111)7.8 • 7,8 ºC
que simplifica para
r j+I = ( 1 - 2, - 2•
h · l1x)
.
h,..11Jt
1C~l1x
T
Tj + 21TJ + 21 - k- r:. + 2• --kCS-54)
onde , = al111f1x• é o número ad1mensíonal de Founer da malha. Note que mantivemos o sobrescrito; para quantidades que vanam com o 1cmpo. Substituindo as
quantidades h_. 11x. k e" que não mudam com o tempo, nessa equoçio temos
r;• 1 = e• - 2,10..) rj + T(2Tl + o.1or:. + 0.1344:...,)
<&>
onde a unidade de tf.... é W/m'.
Em seguida, pn:cisamos dctcnnínar o lmu1e superior do passo de tempo 111 pelo
critério de cstabilidlde, já que c.tamos usando o mttodo expileito. Isso e.ige a idcncificação do menor coeficicnlc primário no siscema. Sabemos que os nós de contorno
são mais restritivos do que os nós internos. por ISSO examinamos apenas as formulações dos nós de contorno O e 5. O menor e, portanto, o coeficiente primário mais rcscri1ivo, neste caso, é o coeficiente de 71 na formulação do nó O desde 1 - 3,74r < 1
- 2,7•. Assim, o critério da estabilidade para esse problema pode ser expresso como
1 - 3,74T 2' 0
--+
al1x
T
1
= f1x1 ::IO 3,74
Substí1uindo as quantidades indicadas, o valor máximo permi1ido de passo do lempo
é determinado a
l1x1
(0,06 m)'
- 2 168
11
' s 3,74à = 3,74 X (4,44 X J0- 7 1111/s) - ·
s
r; = r(T~ + rf) + (1 - 21) r:
=0,111(7,8+(-l)I ~(l - 2X0,111)3,4 - 3,4°C
r: = (1 - 2,70.) Tl' + «271 + o.1or:i + o,134tf_..)
~ (1 - 2,70 X 0.111)( 1)
Temperacuta
+ 0,111(2 X 3.4 + 0,70 X 0,6 + 0,134 x '.l<iO)
= 5,s•c
Note que a lempenatum da superllc1c interna da parede de Trombe caiu 1 °C e a tem-
peratura da superficlc cJUema •umcntoo 6.S •e dura.me o pnmciro passo. enquanto
as temperaturas nos nós do io1erior pennaneccram as mesmas. Isso é tlpico de pro-
•e
761--.----.---.---,,---,
6St---+----+--+----+----.t
-
Pnmc1ro du.
Scgundod11
blemas transientcs cm meios que n!lo cn>'Olvem geração de calor. As temperaturas
oodajs nos passos de lcmpo a seguir são de1cnninodas de forma semelhante. com o
uso de computador. Observe que "" dados de temperatura ambiente e da radiação
solar incidente mudam a cada 3 hora•, o que corresponde a 12 passos de rempo. k«>
deve ser ~fle1jdo no programa de computador. Por exemplo, o valor de q~ deve ser
considerado como 4:0.. = 360 parai ~ 1- 12. t/'..., = 763 parai= 13-24. q:.i,. =
562 parai= 25-36 e 4!- • Opara 1 = 37-96.
Os resullados após 6, 12. 18. 24, 30, 36, 42 e 48 h sao apresentados na Tab. 5-6
e são traçados na Fig. 5-48 pnrn o primeiro dia. Note que a temperatura interna da
parede de Trombe cai na~ horas de início da munhit, mos depois aumenta à medida
que n energin solar ubsorvidn pel~ superfície ex rema se d ifunde nirnvés da parede. A
temperatura e<tcrna dn superfície do pnrcde de Trombe sobe - 1 para 61,2 "C cm
apenas 6 h por causa da. energio solar abso1vidn, mas depois cai para 11,6 ºC na ma·
nhã seguinte, como rcsullado da J)Crda de calor durante n noite. Portanto, pode valer
a pena cobrir a superfície C.1ttemo l\ noile para minimizar ns perdas de calor.
(Ccmtim10)
Distllncia atrav6! do p.a1'ede de Trumbc
FIGURA -48 Variaçno das 1empera1uras
na parede de Trombe discu1ida no
Exemplo 5-6.
•
Transferência de Calor e Massa
Capítulo 5
e nd1( ;;o d e 1
Temperaturas dos nós da parede de Trombe~ároos tempos
T•mpo
Pauode
tempo,/
o
0h(7 h)
24
6 h (13 hl
12h(l9hl
18 h (1 h)
24 h(7hl
30h(l3h)
36h(l9h)
42 h (! h)
48 h (7 hl
48
72
96
120
144
168
192
r,
T,
r,
r,
r,
r,
21,0
18,4
22,l
22,9
21,7
21,2
24,2
24,4
22,7
16,6
12,2
7,8
16,5
23,7
24,5
22.1
21.7
27,4
27,0
23,8
16,6
27,2
25,2
21,5
23,6
32.1
28,5
23,7
31,S
24,6
19.7
29,2
36,8
28,I
22,1
3,4
35,0
33,2
21,7
16,4
42,7
38,2
25,0
18,6
-1,0
61.2
28,0
16,2
11,6
67,3
31,9
18,B
13,4
21.3
J r
Métodos Numéricos em Conduçao de Calor
p
11'"
Considere uma região re1angular onde a condução de calor é significativa nas
direções x e y e a profundidade unil~ria Az = 1 na direção i. O calor pode ser
gerado ao meio a uma 1axa de ê(x. y, 1), que pode vanar com o tempo e a posição,
com a condutividade lénnica k do meio suposta como constante. Agora, divida o
planox-y da região em ma/lia re1011g11/arde pontos nodais espaçados de áxe l!.y
nas direções x e y, respectivamenic, e considere o nó geral interno (m, n) cujas
coordenadas são x = ml!.x e y = 111:!.y, como mostrado na Fig. 5-49. Observando que o elemento de volume centrado sobre o nó geral interno (m, 11) e nvolve
condução de calor dos quatro lados (direito. esquerdo, superior e inferior) e que
o volume do elemento é V,..,.
lix X l!.y X 1 = lixl!.y, a fonnulação tranSiente
de diferenças finitas para o nó geral interno pode ser expressa com base na Eq.
5-39como
"U'!A r 4<1 Elemento de volume do
nó geral inoerno (111, 11) parn condução
kó.y T,,, '·" - T,.,,. + kâ.x r ........ 1 - TWI," + kA T,.,+1,11 - T,.,11
l!.x
t.y
y
l!.x
(co1Jlh111ação)
A taxa de transferência de calor dn parede de Trombe para o interior d~ casa
durante cada passo de tempo é decerminnda a partir da lei de Ncwlo n, usando-se a
temperatura média da superflcie interna dn parede (116 0) como
Q:,_.. r ...... ~ 12:,....,,,_..,a, ~ h.,A(Th - T.,.)D.1 • h.,.A[(Tb + n- )12- T..JD.1
1
Portanto, a quantidade d e 1ransfetencia de calor duran1e o primeiro passo do tempo
(i = 1) ou durante o primeiro pedodo de IS min é
Q:,.....,..,_ = h.,.A[(TJ ! T:Y2 - T.,) D.1
= (10 W/m1 ·ºCX3 X 7,5 m2)!(20.0 + 21)12
21 ºC](900 s)
= - IOl.250J
+ kt.x
T/111 11 _ 1 -7',,. 11
·
l!.y
Q
-·-=
,
1
L 12;_..T-= L h..,Al(TJ + T6 )/2 - T..,] D.t 1~55)
1
i•I
l•I
Onde J é o nt1mero tooal dos passos de tempo no período de tempo especificado. Nesse caso 1 = 48 para 12 h. 96 para 24 h e. assim por doante. Seguindo o procedimento
d escrito aqui com o uso de computador, a quantidade de calor transferido entre a
parede de Trombe e o interior da casa é de1erminada como
Q_.,.....,= - J6.559kJapós 12 h
Q_.,r,.... = - 785 kJ após24 h
(16.559 kJ perda durante as primeiras 12h)
(15.774 kJ ganho durante a.< 12h
Q,.....,,,_ = 7.923 kJ após36 h
subsequentes)
(8.708 kJ ganho durante as 12 h
= 37.729 kJ após 48 h
subsc<1ucntes)
(29.806 kJ ganho durun1c as 1211
ª """""'T""""'
subsequentes)
Assim. a casa perde 785 kJ airavés dn parede de 'frombc no primeiro d ia, como re·
s uhado da baixa 1emperatura de partida, mas n parede fornece um tOtnl de 38.514 kJ
de calor para a casa no segundo dia. Pode M:r demonslrado que a parede de Trombe
vai fornecer ainda mais calor para A casa durante o terceiro d ia. pelo fato de que.
começará o dia com uma temperatura média mais Bita.
'-
r1• 1- r.1
lransiente b idimensional cm coordeno.elas
(5-56)
+ ~~.• t.xl!.y = pt.xl!.y e,~
Tomando a malha q uadrada (llx = l!.y ~ 1) e dividindo cada tenno por k, após
simplificar, resulta em
T 1111- 1, n
+ T., t 1,,. + T,._,, ,. 1 + T-.
11
1-
êwt,1l 1 T~,+I - T!
4T"""' + - k- = - .,-- (5-57)
onde novamente a = klpc, é n difusividnde térmica do material e., =al!.tll' é o
número adimensional de Fourier da malha. A equação acima também pode ser expressa em temperaturas dos nós vizinhos na seguinte fonna mais fácil de lembrar:
O sinal negativo indica que o calor é tran•fcrido para a parede de Trombe a partir do
ar na casa, que represeola perda de calor. Em seguida. a transfcrencia de calor total
durante delcrminado período de tempo é deoenrunada pela soma da quanudade de
transferência de calor para cada passo de tempo como
lffM
T
+7
4r +
Novamente o lado esquerdo desta equação é simplesmente a fonnulação de diferenças finitas do problema para o caso pennanenlt!, como seria de esperar. Além
disso. ainda nlio estamos preocu pados com a formulação explícita ou implícita,
urna vez que não indicamos o passo de tempo no Indo esquerdo da equação. Vamos
agora obter a formulaçlio explfcila de diferenças finitas, definindo o lado esquer:do
como no passo de tempo i
1.: r,.
1
T
+T.
+T.
T.
(~59)
Expressando o lado esquerdo no passo de tempo i + I , em vez de i, resultaria na
formulação implícita. A Eq. 5-59 pode ser resolvida expliciramefl/e para a nova
temperalura r~: 1 e resu \ta cm
('• 1
re/ •
1
1 1
li
+T,1 l~(I
Âf) 7 . ' ~ .,.
t.' 11
(!HiO)
para todos os nós internos do meio (111, 11), onde m = l , 2, 3,..., M - 1 e 11 = l,
2, 3,.... N - 1. No caso de nno haver geração de calor e., =J/4, que é o limite
superior do critério da estabilidade para o método explicito bidimensional (ver
retangula res.
•
Capitulo 5 • Métodos Numéricos em Conduçao de Calor
Transferência de Calor.;;.
e_M.;;.a:.s:..:sa
_ _ _ _ _ _ _ __
Eq. 5--01), a formulação explícita de diferenças finitas para nó geral interno redui.
Pauo de tempo i:
30"C
20+T~
'40"C
Nó "'
IO"C
l'JS$O de icmpo 1 + 1
para T:.l' = (T~ + T :..,. + T :,,. + T:.,)14, que pode ser interpretada como temperatura do nó intemo no novo pano de tempo que l sim/J/esmeme o média das
tempemturas dos seus nós vizinhos 110 passo de tem/)() a11uriar (Fig. 5--50).
O rrit~.rio de estabilidade que impõe que os coeficientes de T!. na expressão
de
sejam maiores ou iguais a zero para todos os nós t igualmente válido para
os cru;os bi ou tridimensionais e limita severamente o tanwnho do passo de tempo
t.t que pode ser usado com método explícito. No ca.w da lr.ln~ferência de calor
transiente bidimensional em coordenadas retangulares. o coeficiente de T'. na expressfo T!:' é 1 - 4-r, portanto o critério de estabilidade de todos oi. nós internos,
r.:·
neste ::aso, é l - 4-r > O ou
..i.
T - - ..
Nó m
FIGURA o; ~O No ca'IO de não havei'
gcmçfio de cnlor e -r • 114. a 1empcratura
do nó interno no novo p~so de tempo é
" média das lcmperaturns dos seus nós
vi7inhos no passo de tempo anterior.
4
., l 1
nós lfllCmM. lrJ.Mih:1 nc1a d C2kír
n
'r
(~t)
onde~= t.y = /. Quando o material do meio e, portanto. u difusividade térmica
a são conhecidos e o valor do tamanho da malha I é cspcci ficado, o maior valor do
passo de tempo 6.t permitido pode ser determinado a partir da relação acima. Mais
uma vez, os nós de contorno e nvolvendo convecçllo e/ou radiação são mais restritivos do q ue os nós internos, exigindo menores passos de lcmpo. Por isso, o nó de
contorno mais restritivo deve ser usado na determinação do passo de te mpo 6.r máximo permitido quando o problema lransie nte é resolvido com o método explícito.
A aplicação da Eq. 5-60 a cada um dos nós inte rnos (M - 1) X (N - l ) apresenta equações (M - 1) X (N - 1). As equações res1antes são obtidas por meio da
aplicação do método dos nós de contorno, exceto se, naturalmenle, as temperaturas
do contorno forem cspeciücadas como constantes. O desenvolvimento da fom1ulação transiente de diferenças finitas para nós de contorno de problemas bi (ou
tri) d:mensionais é similar ao descnvolvimenro do caso un.idimensional discuúdo
antedormente. Mais uma vez.. a região é dividido cn1rc os nós, pela formação de
elemento de volume em torno dos nós, e o balanço de energia é escrito para cada
nó de contorno com base na Eq. 5- 39. Isso é ilusuado no Exemplo 5-7.
mostrado na figura. Cinco ~s nós estão na superffcie inferior. portanto suas temperaruras <ão conhoc1das. Uuhiando o mi!todo explícito, determine a teDlperatura no
canto superior (nó 3) do corpo após 1, 3. 5. 10 e 60 mio.
LJ
&te~ um pt'Oblema do tnn~rc~oci.a de calor trnns icntc b.dimcn.siona.I
em cooroenadas retangulares e foi resolvido no Exemplo 5 3 pan 0
pennancnte. Por tsSO, a solução deste problemo uansoentc deve.., aproximar da solução para
o caso permanente quando o tempo for suficientemente grande. A condutividade:
térmica e a taxa de gcmçlo de calor slo dadas como constantes. Observamos que
todos os nós sào de contamo, com exceção do o6 5, que ~ interno. Po: ISSO, temos
""'°
de usar_ os bal~':'" de energia pat1I oblcr as CQUllÇÕCS de diferenças fiúas. A icgião
é.dovod1da equ.'tatovamente entre os nós, como mostrado na figura. e as equações de
diferenças fino tas explícitas s!o determinadas com base no balanço de energia para
o caso trans1en1e
As quantidade~ h, _T• • ê, e tir1t ntlo mudam com o tempo. portanto não precisamos
u.sar ~ sobrescnto 1 parn elas. Além disso, as expressões do balanço de energia são
"'~phfi~adas pelo uso das definições de difusividade térmica a = klpc, e do número
ad1mens1onal de Fourier dn malhn.,. = a tlrll". onde Ax = ay • t.
(a) Nó 1. ( Nó de conlorno subme1ido à convccçno e isolamento, Fig. 5- 52a)
h~(T. - T,~ + k~ Tj- T/ +k~TJ - T/
2
2
ó.:r
2
Dividindo·5C por k/4 e simplificando-se,
2Jú
7
~
. 12 T"' T'
(T. - T{) + 2(T[ - T{) + ~TJ - T,') + ~ = _,__
-_,
k
1
k
FIGURA 5 51 l!squemo e rede nodttl para
o l:l•emplo 5-7.
de formato l
Considere. a transferência de cn1or trnns1cnte bid1men.sion3.I cm um corpo sólido em
forma de L inicialmente a uma temperatura uniforme de 90 •e cuja scç3o tran5ven<al
é dada na Fig. 5-51. A condutividade térmica e adifusividade do corpo s!lo k = 15 W/
rn·K e a = 3,2 X 10-• m1/s. respectivomentc. O calor é gerado no corpo a uma taxa
d•é - 2 X Irf Wlm'. A supcrficieesquerdado corpo é i'IOlada, e• superfície inferior
é mantida a uma lernperarura unifom1c de 90 ºC durnnre todo o 1empo. No momento
1 = O, toda a superfície superior é submetidn h convecção parn o ar ambiente a T.
- 25 •e, com coeficiente de convecção h • 80 W/m1 K. e a superfície direi1a está
slljeita ao fluxo de calor com uma taxa uniforme de <ÍM• S.000 W/m2. A rede nodal
cb problema consiste de 15 nós igualmente espaçados com !u • ó.y # 1,2 cm. como
T
T;' para fornecer
T(• 1 = ( 1 - 4'r - 2-r hl) T'1 + 2-r
Con..c<;llo
h. T.
tuõ.y TI" - Ti
+ ;, TT • PT Tc, --ó.-,~'
que pode 5Cr resolvido pora
EXEMPLO 5-.., Condução de calor transiente bidimensional em barras
ó.y
tuó.y
(r' + T.' + !!J.k T.- + <,li\
2ir:}
'
'
(b) Nó 2. (Nó de con1omo submebdo à convecçlo. Fig. 5-52b)
htu(T. - T{J + k~T~ - T/ + kt.x TJ - Tj
+
2 tu
k ó.y T/ - Tj
ó.y
t.y
t.y
p+ 1 _ T'
i~+•,t.xT""Pt.x Tc,~
Dividindo por k/2, simplificando e resolvendo para T," 1 resulta em
Tj+' = (1 - 4-r -
2-r~) Tj +T(Tf + Tj + 2TJ + i;I T. + -~~
(contimw)
(a) Nó I
(b) Nó 2
rlGURA ~ S2 Esquema dos bnlnnços de
energia nos elementos de volume dos
nós 1e2.
•
Transferência de Calor~e~M!!a::s::sa~-----------------------------
'...~
--,
(~---- ~-~
~
.. 1· '·
Capitulo 5 • Métodos Numêticos em Condu_!.ão de Calor
(h) Nó 8. Es1e nó é idcnuco ao nó 7, e a formulação de difcreoças finitas deste nó
pode ser ob1ida a partir do nó 7 mudando os números dos nós de 1 (is10 é, substinLindo o subscrilo m pelo subo.cn10 m + 1). Isso resulta em
E-<pdho
s
r;·•
-(1 4r -2. . ~1) ,,+ . .f11+T;+2 X
1
90+ "; r.+
~1
10
(11 Nó 9. (Nó de conlomo wbmc1ido à convecção nos dois lados, Fíg. S--55b)
(b)N64
(a)Nó3
Esquem• dos balam;"" de
energia no< elemenios de volume dos
nó• 3 e 4.
Dividindo po< k/4, simpbficando e resolvendo pano T1" 1 resuh1 em
(á) Nó 4. (No coo1orno isolado e pode ser tra1odo como nó interno, Fig. 5-53b).
Observando que Too = 90 ºC, a Eq. S~ fornece
TJ+I = (1 - 4T) TJ +
(b)N66
(u) NóS
Esquema dos balanços de
enerarn nos elemen1os de volume dos
oós5e6.
h( ~ +
f
T{, - Tt
Tj - Tt
(T. - TtJ + k 2--;;;- + kAx--;;y- + k6y-;;;-
(g) Nó 7. (Nó de contorno submeúdo à convecção, Fig. ~SSa)
T/,
6 y Tj- Tj
6 y Tt T/
6y
6 y 7~" - TI
k 2-;;;- + ~Ax 2 • pAx 2 c,-6-,-
F U rA ' 'i5
(b)Nó9
Esquema dos balanços de
energia nos elementos de volume dos
nós7e9.
hl)
k
[
2/J/
o
1
,,
-+ .,. :s; 4(1 + hllk) -+ 6 ' s 4<>(1 + h//k)
uma vez que T - aÕf/11. Substi1uindo íl'i quantidades dadas, o valor máximo permi-
(0.012 m)'
6
4(3,2 X 10~ m'ts)( I + (80 W/m'· KX0,012 m)/(15 W/m·K)J
IO,õs
Por isso, qualquer passo de 1cmpo onfcnor a 10,6 s pode"'" usado para resolver csle
problema. Por converuanc1a, vamos escolher o passo de lcmpo coino AI = 1Os. Enliio, o número de Founer da malha toma-se
allt
7 •
(3,2 X 10-• m2/s)(l0 s)
(0,012 m)l
-
º·
222
(para Ar = 10s)
T{'' • 0.0836T/ + 0.444(T/ +Ti+ 11 ,2)
TJ+ 1 • 0,0836T{ + 0,222(T/ + TJ + 2TJ + 22.4)
T/' 1 • 0,0552TJ + 0,444(T/ + TJ + 12,8)
TJ+o 0, l 12TJ + 0,222(T{ + 2TJ + 109,2)
TJ+o • O.l 12T/ + 0.222(TJ + TJ + Tt 1 109,2)
TJ., m 0,0931TJ + 0,074(2TJ + 4Tj + 2Tf + 424)
=
Dividindo por m. simplificando e resolvendo para T," 1resuha cm
(
4T/i/ ;;,,
1 -4.,.
Substituindo cslc valor de T e ou1ras quanlidades dadas, as equaÇóes 1raosien1es de
diferenças finiias de<cnvolvodas ocima somplificam para
Tj
h~T. -T,') + k2 -;;;-+ kAx--;;y-
(a)N67
+'•'"1
2k)
Isso cumplela n íormulaçito de dife1-cnças finirns do problema. Agora temos de de-
T=
h, T_
k •
lerminar o limite superior do passo de lcmpo t:..r a partir do critério de estabilidade,
que CJdge que os cocficicnies de 7~ nn exprcssi'io der~• 1 (os coeíicicn1es pl'imários)
sejam maiores ou iguais a zero para lodos os nós. O menor coeficiente primá.rio das
nove equações ncinw ~o coeficiente de Ti na expressão Tj' 1, pottanro o critério de
estabilidade des1e problema pode ser expresso como
111 <
T:'' resul1a em
+ 5[2Tj + 4TI + 2Tj + 4 X 90 + 4 ~ r .. + 3 -~i
h, T_
k
tido do passo de lempo t
tu Ti TJ
36x6y
36.r6y TI•• - Ti
+ 2~ + l,-4- • p - 4- c , - 6-, -
n-• = (1 - 4.,. - 4T*) TJ
6
T;'' - Ti
Dividindo por k/4, simplificando e resolvendo para Tt 1 resulta em
Tt
Dividindo po< 3k/4, simplificando e resolvendo para
6.r 6)'
1
(/) Nó 6. (Nó de con1orno subme1ido à convecção nos dois lados, Fig. 5-54b)
6y Tj
Ax 6y
k
.I')
(
TI
T4' ' =(1 - 4.,. - 2.,.!!!)TJ+2-r(Ti+901 Í/• +1J.l.r.
rj+' =(l - 4-r)Tj+ -r . 1~+ TJ 1 Tt +90 + e,k
6 )
k6 y T'
+ T~ +l,22-P2T c,--6-t-
-r(T/+ 2Tj + 90 + t~'I')
(e) Nó S. (Nó in1emo, Fig. 5-54a). Observnndoque T,, • 90 ºC, a Eq. S-60resul1a
em
li IRA
A.t
6y
Ax Tf, - T4
h2(T.-T,')+q•2+kz dY
hl)
(
hl
t;I'\
Tj"= (1-4'r-4TT T/+2T Ti+Tt+2TT•+1I)
•i'l
Tj+•~ l-4T - 2Tk Tj+ -r Tt+T/+2X90+TT•+Tj
(eomin11a)
-Em
Transferência de Calor e Massa
Capitulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
(cominuoçõo)
T; • 1 = o.0836T/ + o.222(TJ + TI + 202,4)
1
I + 202.4)
- 0,0836T/ + 0,222(Tl + T
TJ• 1 = 0,0836TI + 0,444(T' t 105.2)
O uso desse programa na resolução de problemas de condução de calor é ilustrado
nos Exemplos 5-8 e 5- 9.
rr
EXEMPLO 5·8 Aplica ção do proi ra ma SS· T·CONDUCT para problema
Usando a condição inicial cspcaficada como soluçlio no momenio 1 • O(para 1 ~
0). a resolução dessas nove equações resuha na solução em 1muvalos de 10 s. Asolução nocantosupcri0<do nó (n6 3)é igual a
. 1( " 1 • li ' e I· ' '-·
para 1. 3, 5, 10 e 60 min, respec1ivamcn1e. Nore que as dhimll> três soluções são
pniticamente idênticas à solução pata o caso permanente obuda no Exemplo 5-3.
Isso indica que as condições permanentes no meio íoram alcançadas após cerca de
de conduçã o de calor tra nsiente unidimensional
Resolva o faempto 5 5 com o uso do programa SS-T-CONDUCT.
.,OLUÇAO Na janela de entrada do SS·T·CONDUCT• .elec1onc l·Dimensioo.a.I
TraDSient Probl•m [uem (a) na Fig. ~561 lnsun os par3metros do problema nas caixas de texto apropnadas hsladas na caua Problem Paramders (item (b) na Fig. 5-56].
Para calcular as tcmpcrnturns nodais usando o método explfcito. selecione o
botão explicit (item (e) na Fig. 5 561 As condições de contorno para este problema
serão especificadas na caixa de llounda ry Condllions [Hem (d) na Fig. 5-561. A
condição de contorno à C.)qucrda é inserida na caixu Lert BC, e a condição de con1omo a direita é inserida na caixu Rlgl1t BC (itens (e) e(!). na Fig. 5-561. Uma vez
que 1odos os insu1nos necessários sno inserido!), os resuhados são computados ao
clicar-se no bo1!!0 Calculate Temperature [item (g) na Fig. 5-56),
Os resultados calculados sno apresentados no Tubular Output SS-T-CONDUCT (Ag. 5-57). As ltrnpcrmuras nodois s~o 111b11ludus. corno indicado pelo item
(a) na Fig. 5- 57a. Como espt:nuJu, us tcmpcrnturns nodais combinam com os valores
listndos na Tab. 5-3.
Para calcu lar as te111pe1111unis nodois usando o método implícito, o botiío implícit, que aparece na Pig. S-56. deve ~cr sclccionndo. Mais uma vez, os resultados da
Lemperaturo vtrsu.r tempo cm diferentes locais ~!io comparáveis aos valores listados
na Tab. 5-4. Isso pode ser visto por meio da visualiuição da temperatura versus tem·
po para localização x ~o.04 m. como mostn1do na Fig. 5-57b. A salda gráfica foi
obtida selecionando-se a janetu Gruphlcal Oulpul e a localização x desejada na
lista suspensa [item (a) na l~g. 5- 57bJ.
cinco minutos.
Programa interativo SS-T-CONDUCT
O programa SS·T·CONDUCT (Conduçllo de Calor em Regime e Transien1e, em
inglês, Steady Sta/e and Trtmsie111 Heat Cond11c1ion) foi desenvolvido por Ohajar
e seus colaboradores e está disponível no sile www.grupoa.com .br para professores e alunos. Esse programa é fácil de usar e pode servir para resolver mui1os
dos problemas uni e bidimensionais de condução de cnlor com geração de energia
uniforme em geometrias re1angularcs discu1idos neste cupflulo. Para problemas
transientes, os mé todos de solução explfcirn ou implfci1a poderiam ser usados. O
programa tem as seguintes capacidades:
(a) Há controle tola! e fácil de parâmetros numéricos chave (nós e grades), propriedades do material e condições de contorno e 1>arfimetros.
(b) O efeito de mudança• de parâmetros sobre a distribuição de temperatura pode
ser visualizado imediatamente.
(e) O efeilo do critério estabilidade (número de Fourier) para método explícito
pode ser explorado.
(d) Há várias maneiras diferentes de exibir resultados na tela ou na impressão
(arquivo de saída):
• Resultados de temperatura na forma tabular.
• Gráficos de temperatura com o tempo e a distancia para problemas unidi·
mensionais em regime e transientcs.
• Gráficos traçados de temperatura para problemas bidimensionais esta·
ciooários.
• Animação de gráficos de temperatura com gradiente de cor parn problemas
bidimensionais cransientes.
(e) Biblioteca de propriedades de material (condutividade térmica e difusividade
térmica) construídas no programa. Com esse recurso, o efeilo da propriedade
do material sobre as temperaluras nodais pode ser explorado.
A versão atual do programa 1em as seguintes limitações:
(a) Geome trias retangulares ex pressas cm coordenadas cartesinnas podem ser
modeladas.
(b) Grade de espaçamento uni forme.
(c) Condições de contorno de temperatura consta nte, nuxo de calor constante e
coeficiente constante de transferência de calor por convecção.
(conlinua)
.. -h......... 12'-ttr.i-.- .......... .... --- ,.,.•.,.
ra
e..t mrro.a MUI" ...._
1' ~...,
t·Dlll.t. - . l.5'fJ<ySI:,...
....
.........
......
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FIGURA 5-56 Janela de entrada do SS·T-CONDUCT.
1
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Capítulo 5
Transferência de Calor e Massa=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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J ~==
..
•15"'1
A limitação sobre o pa:;so de 1cmpo do método explícito pode ser explorada pela s imples mudança do passo dc tempo no uem o da Fig. 5-56. O critério da
estabilidade pam este problema rcq~ passo de tempo máximo de 15.5 s. Por usar
passos de tempo muito maioces do que IS.S s. a solução para as temperaturas nodais
oscilar:! e. à.• vcus, pas.'3.-á a ser negauva (v1olnndo a segunda lca da tcrmodwâmica). Pode-se notnr tamWm que não ampona o pas_so de tempo usado para o método
1mplk:1to,i' que a <,olução pemianccc c:>tAvcl.
EXEMPLO 5 ·9 Aplicação do proira ma SS-T-CONDUCT para problema
"'"
""'
"'~
...""".,
''· r
de condução de calor tra nsiente bidimens ional
....
1Y1'5
1
Considere uma barra longa e sólida (k • 28 Wlm · K ea p 12 x 10 'm /s)descção
trnn~versal quadrada iniciulmcnte numa 1cmpcrnrura uniforme de 20 ºC (Fig. 5-58) .
Ull'll
A seção transversal da barra tem 20 cm X 20 cm. e o calor é gerado uniformemente
n vmn 1a~a ele é - 8x 10' W/m '.Todos os quntl'O lndos dn ban-a cs-tão sujeitas à conveççlio pam o ar omb1enlc u r 30 ºC corn coeficiente t.le 1mnsferênciu de calor de h
; 45 Wlm' K. Usando o método de diferenças fini1ns explíci10 com malha tamanho
de A.r - ô.y
10 cm, determine n tempcrmuro no centro da bnna (a) após 20 min e
(b) após as condições permnnc111cs cs1nrem estabelecidas.
U10l
"'"
""'
111!11
IJ1l1
l•l
::;;:i
(a) Jl,acla de ~afda tabular PJ.rII método ex.ptí<:ito
iOlUÇAO Uma barra longn ~ólidn é submetido a 1rnnsfe1·ência de cal or transiente.
Oetcrmjnc a tempcraturn do centro da barra depois de 20 mine depeis de estabele-
.. rr
l
_.....
cidas as condições estávei~
1 A t.ransfcrEncía de calor atrnv~s do corpo é tmnsieme e bidimensional. 2
~propriedades ténnica~ ~dn con.s1a.n1es. 3 O calor~ gcrndo unifonnemcnte no corpo.
,...
.•
1
'
1
....
~
-:; &
·~
A condutiv1dad<: e n difusivadade silo k - 28 W/m·K e a = 12 X
IO"m'ls.
=
O cspac;amenlo nodal ~ 6.t t.y p 1 0.1 m. As equações de diferenças
finitas explícita< são determinadas com ba.se no balanço energético para o caso trans1c11tc, cxpreuo como
.
~
,.
:m..
tGF
(c<HtliJIUOfdO)
"(abular OUput
l·DTnuut~rr.IH~hlfMh
'-IS-~
Métodos Numéricos em Condução de Calor
I•
i•
·un~
~
.
I•
n
til" if
u"
H:i simetria ao longo das linhas vcnu:a1>. hori1.ont11S e d1agona1s que passam pelo
centro. Ponan10, T1 = T1 - T1 - r, e T-, • T,. T6 = T1 e T1• T2e T, são as únicas
três tcmperatunu nodais de.>eonhec1da>. Enillo. as equações de diferença finita para
os nós 1, 2 e 5 são as únicas equações necessária~ para dctcnninar iodas a.s temperaturas nodais. Usando uma me1odologm semelhante à discuuda no Exemplo 5-7. as
equações de diferenças Grutas <!lo
=
2
(b) Janela gráfico de sofdo para mttodo implJcilo
Nó 1:
1
1
1
T1+
- (1-4T - 4Tk!!!.)T'+2
t
1
T (2r2 +2!!f.r.
k • +'2k' )
Nó2:
Ti'' (1 - 4r - 2r~)rih(2T/+2r;+2~r.. +'~ )
Nó5:
.
Tj" • (1 - 4r)Tj + T 411 +e~
2
FIGURA 5-57 Janela tabular e grMica <le snfdn do SS·T·CONOUCT.
(
'')
(co11tinua)
1i.r
Fll
excrnplo5-9
Esquema e rede nodnl do
Transferência de Calor e Massa
. __ _ _ _ G,
(cvntinuaç.to)
Em seguida, precisamos de1erminar o limllc 'upcrior do inlcrvalo de lempo 6J do
critério de esrabilidade. que exige que o coclicien1e de T'. na expressão T'.'' (coeficiente primário) seja maior ou igual a zero para todos os nós. O menor coclicien1e
primário das nove equações aqui é o coeficiente de T'j na expressão T'j • '. ponanto o
critério de estabilidade para este problema pode ser exp<eSSO como
,,
,.__,_
:-D TNlltani ,.,..,.,,_, l ytlâ
...
1'1"'41....__,. .... 'li • ('iiiifi'"' '-~·-
,........,,....1
·~
Nolll1........D
•(1i"""""""".
...... ui..-.
.....,.o....
-
-~,---~• v-t·('iiiiiiiT'
p.
• ,.....--
........CI'-..... •r--
·~ .....""'
·ri-
ÁI s 4a(I + hUk)
uma vez que T = aAt/1 1 • Substituindo as quantidades indu:adas. o valor máximo
permitido do passo de tempo é dctcnrunado para
6J.,;;,
(O.l m)'
- 179 s
4(12 X 10-• m2/s)[J ~ (45 W/m1· KXO,I m)/(28 W/m·K))
Portanto, qualquer passo de tempo inferior u 179 s pode ser usado para resolver este
problemo. Por convenifncia, vamos escolher o passo de tempo tJ.1 - 60 s. Em seguid a, o número de Fouríer da malha toma·sc
<>.ÁI
., =---,,.- =
(12 x 10-• m1/s)(60 s)
(O,l m)'
~ 0,072
(onde tJ.1 • 60s)
Usando a condição inicial especificada como soluçllo no iempo t = O(para i = O)
e varrendo as três equações de diferenças finitas, obtém-se a solução no passo de
tempo de 60 s.
A solução do nó ccnlnll (nó 5) também pode ser determinndn usnndo o programa SS-T-CONDUCT. Selecione o botão na jonela de entrada SS-T-CONDUCT. 2Problema Transiente Dimens ional [item (a) Fig. 5-59). Digite os parâmetros do
(a) Janelo de Mofdn 1abulnr do pmgram• SS-T-CONDUCT
(continu(l)
•
p
................_o-..·~
................,_.,,_._ ..
.......
-p-
._~
..........
..-........-.'lAI
-~
~
n.-l~t-"1111
i...r..-.infll'•"JI
_,.,..
r'"'llC
-...::-
-llt:
...........
rc....1.......
("~,
r
rc--~n.
==-~
.......... r-~
w-..1...u..i
(«'>
- p;--
::= L_. . . .,_,.-
. rq-(ct r:- f,.iM;il
.
r 1..okil
1
1 Cabbl• T-.en•tH ~
,_,_
tf"r~f-
~~(-
~Pl//""11
...
·-~
-.... c.1-s..
~
- r.;;3'J
·nor·r-oe-.
•
~
•(WJot"2C)·~
rc.wi111t1t11rui
ti C.--_f....!MM
•cw,...,q .prT~tO
•Jr-
FIGURA 5-59 Janela dos dados de entrado do progrroma SS T CONDUCT para problemo
bidimensional transiente.
l"Uj
~
e'hrlR4i~llll:tToflt 1
!;low
rt-it.•l-N•
~
s
(b) Janelo de !Ofd" iváficu do pmgram• SS-T-CONDUCT
ílGURA 5- 60 Janelas de snfdo gráfica e tobulor do progrnma SS-T-CONDUCT.
Capitulo 5 • Métodos Numéricos em Condução de Calor
tGF"
• Erro de discretização (também chamado CITO de truncamento ou de for11111/oção), causado pela~ nproiumações utihzadas na formulação do método numüico.
Rock WGGI. 10lallll. loos:cfl INC..ed 411 250 C
$....,dtnl at 2lC
Siic. Ktogd .. l'2 C
l2C
Wood....mo.•23C
Erro de arredondamento, causado pelo fato de o computador milizar
s"'..Am•
ai
....._PUie
G
um número limitado de algansm<>!. significahvos e continuamente :irredondar (ou conar) os dígitos que ele não consegue reter.
A seguir. discuumos esses dois tipos de e1TOs.
o de discretização
FIGURA 5-61
Llsin das propriedades dos rna1enai< do progrnma SS· T-CONDUCT.
(conrinuaçiiO)
problema nas caixas de texco apropriado lisro.do na caixa Problcm Parnmclcrs
[Item (b) na Fig. 5-59).
Para calcular as tempern1urns noduis usnndo u mécodo explícito, selecione o
b<Jtiio explicit (item (e) na Fig. 5 -591. As condições de contorno pB1'B este pmblema
são especificadas na caixa de Boundary Conclillons li1e111 (d) na Fig. 5-59). Umn
vez que Lodos o