WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW
wykład 5
Wielomiany chromatyczne
Wielomianem chromatycznym (funkcją chromatyczną) grafu G nazywamy funkcję PG : N →
N \ {0} taką, że ∀k > 0 PG (k) jest liczbą sposobów dobrego k-pokolorowania wierzchołków grafu G.
Przykłady:
1) dla G = P3 : PG (k) = k(k − 1)(k − 1)
2) dla G = K3 : PG (k) = k(k − 1)(k − 2)
3) dla G = Kn : PG (k) = k(k − 1) . . . (k − (n − 1)).
Uwagi:
1) Jeśli k < χ(G), to PG (k) = 0.
2) Jeśli k ­ χ(G), to PG (k) > 0.
Tw. Niech G będzie grafem oraz G \ e i G/e będą grafami otrzymanymi z G przez usunięcie oraz
ściągnięcie krawędzi e. Wtedy
PG (k) = PG\e (k) − PG/e (k).
Dowód: Niech e = xy. W G \ e liczba dobrych k-pokolorowań, w których x i y mają różne kolory będzie
taka sama jak liczba wszystkich w G, czyli PG (k) (bo nie zmieni się jak dodamy krawędź e). Liczba k
dobrych pokolorowań grafu G \ e, w których x i y mają ten sam kolor nie zmieni się jeśli te wierzchołki
ze sobą zidentyfikujemy (utożsamimy), czyli wynosi PG (k). Zatem
PG\e (k) = PG (k) + PG/e (k).
Przykład
Niech G = P4 (droga o 4 wierzchołkach). Jeśli e jest ostatnią krawędzią drogi, to G\e składa się z dwóch
składowych: grafu izomorficznego z P3 oraz wierzchołka izolowanego, a G/e jest grafem izomorficznym
z P3 . Zatem:
PG (k) = kk(k − 1)(k − 1) − k(k − 1)(k − 1) = k(k − 1)(k − 1)(k − 1)
Uwaga: W ogólności, jeśli G = Pn , to PG (k) = k · (k − 1)n−1 .
Praca domowa:
1. Wykazać, że dla dowolnego grafu G funkcja chromatyczna PG (k) jest:
a) wielomianem,
b) stopnia n,
c) którego współczynnik przy k n wynosi 1,
d) kolejne współczynniki mają przeciwne znaki,
e) współczynnik przy k n−1 wynosi −e(G),
f) wyraz wolny wynosi 0.
(po 1 pkt za każdy podpunkt)
2. Wyznaczyć PG (k) dla a) G = K1,5 (1 pkt), b) G = C5 (1 pkt).
3. Wykaż, że jeśli PG (k) = k(k − 1)n−1 , to G jest drzewem o n wierzchołkach. (1 pkt)