OSVALDO DOLCE
JOSE NICOLAU POMPEO
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA 9
ELEMENTAR
GEOMETRIA PLANA
41 exercfcios resolvidos
971 exerdcios propostos com resposta
373 testes de vestibll1ares com resposta
7~ edic;ao
4~ reimpressao
~ATlJAJ.
~EDrrORA
SUDlario
CAPITULO I - NO<;OES E PROPOSI<;OES PRIMITIVAS ..
I. No~oes primitivas
II. Proposi~oes primitivas
1
1
2
CAPITULO II Conceitos
7
7
SEGMENTO DE RETA
CAPITULO III - ANGULOS
I. Introdu~ao
II. Defini~oes
III. Congruencia e compara~ao
IV. Angulo reto, agudo, obtuso -
Medida
18
18
20
22
26
CAPiTULO IV - TRIANGULOS
I. Conceito - Elementos - Classifica~ao
II. Congruencia de triangulos
III. Desigualdades nos triangulos
Leitura: Euclides e a geometria dedutiva
36
36
38
59
CAPITULO V - PARALELISMO
Conceitos e propriedades
61
61
CAPITULO VI - PERPENDICULARIDADE
I. Defini~oes - Angulo reto
II. Existencia e unicidade da perpendicular.....
III. Proje~5es e distancia
80
80
82
CAPITULO VII - QUADRILA.TEROS OTA. VEIS
I. Quadrilatero - Defini~ao e elementos
II. Quadrilateros notaveis - Defini~5es
III. Propriedades dos trapezios
IV. Propriedades dos paralelogramos
V. Propriedades do retangulo, do losango e do quadrado
VI. ConseqiH~ncias - Bases medias
99
99
100
101
103
107
110
54
85
CAPITULO VlII - PONTOS NOTA.VEIS DO TRIANGULO
I. Barieentro - Medianas
,
II. Incentro - Bissetrizes internas
III. Circuneentro - Mediatrizes
IV. Ortocentro - Alturas................................................
Leitura: Papus: 0 epilogo da geometria grega
,
122
122
124
125
126
130
CAPITULO IX - POLIGO OS........................................ 132
I. Defini~5es e elementos
132
II. Diagonais - Angulos internos - Angulos externos
136
CAPITULO X - CIRCU FERENCIA E CfRCULO
I. Defini~5es - Elementos
II. Posic,:5es relativas de reta e eircunfereneia
III. Posi~5es relativas de duas eireunferencias
IV. Segmentos tangentes - Quadrilateros circunseritiveis
147
147
151
155
156
CAPITULO XI - ANGULOS NA CIRCU FERENCIA
I. Congruencia, adi~ao e desigualdacte de areos
II. Angulo central
III. Angulo inserito
IV. Angulo de segmento ou angulo semi-inserito
166
166
167
168
173
CAPITULO XII - TEOREMA DE TALES
I. Teorema de Tales.......
II. Teorema das bissetrizes
Leitura: Legendre: por uma geometria rigorosa e didcitica
183
183
190
196
CAPITULO XIII - SEMELHANC;:A DE TRIA GULOS E
POTENCIA DE PONTO
I. Semelhan~a de triangulos
II. Casos ou criterios de semelhan~a
III. Potencia de ponto
198
198
204
212
CAPITULO XIV - TRIA GULOS RETANGULOS
I. Relac,:5es metricas
II. Aplica~5es do teorema de Pitagoras
220
220
239
CAPITULO XV - TRIANGULOS QUAISQUER
Rela~5es metricas e calculo de Iinhas notaveis
247
247
CAPITULO XVI - POLiGONOS REGULARES
Conceitos e propriedades
Leitura: Hilbert e a formaliza~ao da geometria
267
267
286
CAPiTULO XVII - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA 288
Conceitos e propriedades
288
CAPiTULO XVIII - EQUIVALENCIA PLA A
I. Definii;oes
II. Redui;ao de poligonos par equivalencia
300
300
303
CAPiTULO XIX - AREAS DE SUPERFiCIES PLA AS ..... 312
I. Areas de superficies planas.......................................... 312
II. Areas de poligonos
III. Expressoes da area do triangulo
IV. Area do circulo e de suas partes
V. Razao entre areas
315
329
:........................... 337
340
RESPOSTAS DOS EXERCiclOS
360
TESTES DE VESTmULARES
383
RESPOST AS DOS TESTES............................................... 449
. . . . - - - - - - - - - - CAPITULO I
No~oes e
Proposi~oes
Primitivas
I. No(:5es primitivas
1. As nor6es (conceitos, termos, entes) geometricas sao estabelecidas par meio
de dejiniriio.
As nor6es primitivas sao adotadas sem definic;ao.
Adotaremos sem definir as noc;6es de:
PONTO, RETA E PLANO.
De cada urn desses entes temos conhecimento intuitivo, decorrente da experiencia e da observaC;ao.
2.
Nota{:oo de ponto, reta e plano
a) Com tetras
Ponto - letras maiusculas latinas: A, B, C,
Reta - letras minusculas latinas: a, b, c, .
Plano - letras gregas minusculas: 0', (3, 'Y, .
NOC;:OES E PROPOSIC;:OES PRIMITIVAS
b) Natar;6es grdficas
p
•
a ponto P.
Areta r.
a plano a.
II. Proposi~oes primitivas
3. As prapasir;6es (propriedades, afirmal;oes) geometricas sao aceitas mediante demanstrar;6es.
As prapasir;6es primitivas ou pastuladas ou axiamas sao aceitos sem demonstral;ao.
Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando 0 panta, a reta e 0 plana.
4.
Postulado da existencia
a) Numa reta, bern como fora dela, ha infinitos pontos.
b) Num plano ha infinitos pontos.
A expressao "infinitos pontos" tern 0 significado de "tantos pontos quantos quisermos".
A figura ao lado indica uma reta
r e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo
que:
M
•
A, Be P estao em r ou a reta r passa por A, Be P, ou ainda
A E r, B E r, PEr;
R, S e Mnao estao em r ou r nao
passa por R, S e M, ou ainda
R tt r, S tt r, M tt r.
s
•
NOC;:OES E PROPOSIC;:OES PRIMITIVAS
Posi~6es de dois pontos e de ponto e reta
5.
Dados dois pontos A e B, de duas
A.B
uma:
ou A e B sao coincidentes
(e 0 mesmo ponto, urn so ponto, com
dois nomes: A e B)
ou A e B sao distintos.
Dados urn ponto P e uma reta r,
de duas uma:
ou 0 ponto Pesta na reta r
(a reta r passa por P)
(A = B)
•
A
•
B
(A ,r. B)
r
(P E r)
PEr
P
•
ou 0 ponto P nao esta na reta r
(a reta r nao passa por P)
(P
Ptt r
6.
-
P
$. r)
Pontos colineares sao pontos que pertencem a uma mesma reta.
T
as pontos A, Bee sao colineares.
7.
as pontos R, SeT nao sao colineares.
Postulado da determina~ao
a) Da reta
Dois pontos distintos determinam uma tmica (uma, e uma so) reta
que passa por eles.
as pontos A e B distintos determinam a reta que indicamos por AB.
(A ,r. B, A E r, B E r) =- r = AB
A expressao duas retas coincidentes e equivalente a uma unica reta.
...
•B
A
r =
AS
3
NOCOES E PROPOSICOES PRIMITIVAS
b) Do plano
Tres pontos nao eolineares determinam urn linieo plano que passa por eles.
Os pontos A, Be C nao eolineares determinam urn plano ex que indieamos por (A, B, C).
o plano ex e0 linieo plano que passa por A, B e C.
8.
.6."
Postulado da inclusao
Se uma reta tern dois pontos distintos num plano, entao a reta esta
eontida nesse mesmo plano.
B
~
Ci
-
(A -.c- B, r = AB, A E ex, B E ex)
=>
r C ex
~
Dados dois pontos distintos A e B de urn plano, a reta r = AB tern
todos os pontos no plano.
9.
Pontos coplanares sao pontos que perteneem a urn mesmo plano.
Figura e qualquer eonjunto de pontos.
Figura plana e uma figura que tern todos os seus pontos num mesmo plano.
A Geometria Plana estuda as figuras planas.
10. Retas concorrentes
a) Definiriio
Duas retas sao concorrentes se, e
somente se, elas tern um unico ponto
eomum.
r n s = [PJ
4
~P
s
NOc;OES E PROPOSIc;OES PRIMITIVAS
b) Existencia
Usando 0 postulado da existencia
(item 4), tomemos uma reta r, urn ponto Pem r (P E r) e urn ponto Q fora
de r (Q f$. r).
as pontos P e Q sao distintos, pois
urn deles pertence are 0 outro nao.
Usando 0 postulado da determjna~ao (item 7a), consideremos a reta s determinada pelos pontos P e Q (s = PQ).
~
As retas res sao distintas, pois se coincidissem 0 ponto Q estaria em r
(e ele foi construido fora de r), e 0 ponto P pertence as duas. Logo,
res sao concorrentes.
EXERCicIOS
1. Classifique em verdadeiro (V) au falso (F):
a) Par urn ponto passam infinitas retas.
b) Par dais pontos distintos passa uma reta.
c) Uma reta contem dais pontos distintos.
d) Dois pontos distintos determinam uma e uma s6 reta.
e) Por tres pontos dados passa uma s6 reta.
2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Tres pontos distintos sao sempre colineares.
b) Tres pontos distintos sao sempre coplanares.
c) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
d) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma s6 reta.
e) Tres pontos pertencentes a urn plano sao sempre colineares.
NOC;:OES E PROPOSIC;:OES PRIMITIVAS
3. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A e distinto de B, entao existe uma
reta Q tal que A E Q e B E Q.
b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas res, se P e distinto de Q, e
P e Q pertencem as retas res, entao r = s.
c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A e distinto
de B, com A Ere B E r.
d) Se A = B, existe uma reta r tal que A, B E r.
4. Usando quatro pontos todos distintos, sendo tres deles colineares, quantas retas
podemos construir?
5. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Duas retas distintas que tern urn ponto comum sao concorrentes.
b) Duas retas concorrentes tern urn ponto comum.
c) Se duas retas distintas tern urn ponto comum, entao elas possuem urn unico ponto comum.
CAPITULO II
Segmento de Reta
Conceitos
11. A noc;ao estar entre e uma noc;ao primitiva que obedece aos postulados
(ou axiomas) que seguem:
A
p•
•
B
Quaisquer que sejam os pontos A, Be P:
1) Se Pesta entre A e B, ~ntao A, Be P sao colineares;
2) Se Pesta entre A e B, entao A, Be P sao distintos dois a dois;
3) Se Pesta entre A e B, entao A nao esta entre P e B nem B esta entre
A eP;
e ainda
4) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A e distinto de B, entao existe urn ponto P que ~sta entre A e B.
7
SEGMENTO DE RETA
12. Segmento de reta -
defini~ao
Dados dois pontos distintos, a reuniao do conjunto desses dois pontos com 0 conjunto dos pontos que estao entre eles e urn segmento de reta.
Assim, dados A e B, A ,c B, a segmento de reta AB (indicado par AB) e0
que segue:
x
•
.
A
B
A
B
AB = [A, BJ U [X IX estd entre A e B]
Os pontos A e B sao as extremidades do segmento AB e as pont os que
estao entre A e B sao pontos internos do segmento AB.
Se os pontos A e B coincidem (A = B), dizemos que 0 segmento AB e 0
segmento nu/o.
13. Semi-reta -
defini~ao
Dados dois pontos distintos A e B, a reuniao do segmento de reta
AB com 0 conjunto dos pontos X tais que B esta entre A eX ea semi-reta
AB (indicada por AB).
-
-
o ponto A e a origem da semi-reta AB:
--
AB
x
B
A
AB U [X I B estd entre A e Xl
--
Se A esta entre B e C, as semi-retas AB e AC sao ditas semi-retas opostas.
..
---
---AB.
B
AC
A
C
SEGMENTO DE RETA
14. Resumo
Considerando dois pontos distintos A e B, temos:
..
~
Areta AB:
o segmento AB:
-
A semi-reta AB (ou Aa'):
-
•
•B
A
•
B
•
B
A
A semi-reta oposta a AB
(ou semi-reta Aa"):
-
A
..
a"
•
a'
~
•
a"
-
•
A
..
A semi-reta BA (ou Ba"):
•
•
A
•
B
A semi-reta oposta a BA
(ou semi-reta Ba'):
•
B
-+
\(
a"
a
~
semi-reta AB = Aa'
semi-reta Aa"
..
a'
a'
B
!\
segmento AB
-+
semi-reta BA
- -
= Ba"
~
semi-reta Ba'
AB n BA.
Notamos ainda que: AB
15. Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta sao consecutivos se, e somente se, uma extremidade de urn deles e tambern extremidade do outro (uma extremidade de urn
coincide com uma extremidade do outro).
o
B
A
AB e Be sao
consecutivos
M
N
p
R~
S
c
MNe NP sao
consecutivos
RS eST sao
consecutivos
9
SEGMENTO DE RETA
16. Segmentos colineares
Dois segmentos de reta sao colineares se, e somente se, estao numa mesrna reta.
A
• •
Be
o
M
AS e CD sao colineares
(nao sao consecutivos)
..p
N
R
MN e NP sao colineares
(e consecutivos)
s
T
RS e ST sao colineares
(e consecutivos)
17. Segmentos adjacentes
Dois segmentos consecutivos e co/ineares sao adjacentes se, e somente se,
possuem em comum apenas uma extremidade (nao tern pontos internos comuns).
M
p
N
T
R
s
MN e NP sao adjacentes (sao consecutivos colineares, tendo somente
N comum)
RS e ST nao sao adjacentes (sao consecutivos colineares e alem de Stem
outros pontos comuns)
MN n NP = [N]
RS n ST = ST
18. Congruencia de segmentos
A congruencia (simbolo: ==) de segmentos e uma nOyaO primitiva que satisfaz os seguintes postulados:
1) Reflexiva. Todo segmento e congruente a si mesmo: AB == AB.
-
-
-
-
--
2) Simetrica. Se AB == CD, entao CD == AB.
-
-
3) Transitiva: Se AB == CD e CD == EF, entao AB == EF.
C
A
10
~
E
F
SEGMENTO DE RETA
4) Postulado do transporte de segmentos
Dados urn segmento AB e uma semi-reta de origem A', existe sobre esta
semi-reta urn unico pon~ B' tal que
A' B' seja congruente a AB.
..
B
-
A
~
~
19. Comparafoo de segmentos
Dados dois segmentos AB e CD, pelo postulado do transporte podemos
-.
obter na semi-reta AB urn ponto P tal que AP == CD. Temos tres hip6teses a
considerar:
3 ~)
2~)
I ~)
D
C
•
•
A~CD
p
C
•
I~
0
•
c
•
0
IH
•
A~CD
B=P
B
AB > CD
AB == CD
AB < CD
1.2- a ponto Pesta entre A e B. Neste caso, dizemos que AB e maior que
CD (AB> CD).
2~ a ponto P coincide com B. Caso em que AB e congruente a
CD (AB == CD).
~) a-..£onto !!..- esta entre A e P. Neste caso, dizemos que AB e menor
que CD CAB < CD).
11
SEGMENTO DE RETA
20. AdifQO de segmentos
Dados dois segmentos AB e CD, tomando-se numa semi-reta qualquer
de origem R os segmentos adjacentes RP e PT tais que
-
-
-
-
RP == AB e PT = CD,
dizemos que 0 segmento RT e a soma de AB com CD.
C
B
~
~
•
•
R
.
II
P
RP == AB
PT == CD
~
T
RT = AB + CD e tambem RT
RP + PT
o segmento RS, que e a soma de n segmentos congruentes a AB, e mliltiplo de AB segundo n (RS = n . AB). Se RS = n . AB, dizemos que AB e
submliltiplo de RS segundo rL.
A
B
RS = 5· AB
•
•
R
•
S
21. Ponto medio de um segmento
a) Dejinirao
Urn ponto M e ponto medio do
segmento AB s~ somente se, M esta
entre A e BeAM == MB.
M
A
B
M E AB e MA == MB
b) Unicidade do ponto medio
Se X e Y distintos (X .,e Y) fossem pontos medios de AB, teriamos:
AX == XB (1) e AY == YB (2)
----_ -----.
A
12
x
.....
y
B
-------
.....
A
y
...
...- - -
X
B
SEGMENTO DE RETA
X esta entre A e Y => AY > AX]
e
-
-
(I)
=>
Y esta entre X e B => XB > YB
AY > AX == XB > YB, 0 que
e absurdo, de acordo com (2)
ou
-]
Y esta entre A eX=> -AX> AY
e
X esta entre Y e B => YB> XB
(2)
=>
AX > AY = YB > XB, 0 que
e absurdo, de acordo com (1)
Logo, 0 ponto medio de AB e unieo.
c) A existeneia do ponto medio esta provada no item 56.
22. Medida de um segmento - comprimento
A medida de urn segmento AB sera Indieada por m (AB) ou simplesmente por AB.
A medida de urn segmento (nao nulo) e urn numero real positivo associado ao segniento de forma tal que:
I?) Segmentos eongruentes tern medidas iguais e, reciprocamente, segmentos que tern medidas iguais sao eongruentes.
AB == CD <=> m(AB) = m(CD)
2?) Se umsegmento e maior que outro, sua medida e maior que a deste
outro.
AB > CD <=> m(AB) > m(CD)
3?) A urn segmento soma esta associada uma medida que e a soma das
medidas dos segmentos parcelas.
RS = AB + CD <=> m(RS) = m(AB) + m(CD)
A medida de urn segmento da-se 0 nome de eomprimento do segmento.
Em geral, associa-se urn numero (medida) a urn segmento estabelecendo
a razao (quociente) entre este segmento e outro segmento tornado como unidade.
o segmento unitario usual e 0 metro (m). Seus muItiplos - decametro
(dam), hectometro (hm) e quilometro (km) - ou submultiplos - decimetro
(dm), centimetros (em) e milimetro (mm) - tambern sao utilizados.
23. Nota
A congruencia, a desigualdade e a adiCao de segmentos, aliadas ao postulado de Eudoxio-Arquimedes (Eudoxio: 408-355 a.C.; Arquimedes: 278-212 a.c.),
Gujo enunciado e:
13
SEGMENTO DE RETA
" dados dois segmentos, existe sempre urn multiplo de urn deles que supera 0 outro", permitem-nos estabelecer a razao entre dois segmentos quaisquer. Podemos entao medir urn deles tomando 0 outro como unidade de comprimento.
24. Distancia entre dais pantas
A
a) Distiincia geometrica
Dados dois pontos distintos A e B,
a distancia entre A e B (indicada por
dA B) e 0 segmento AB ou qualquer
segmento congruente a AB.
8
b) Distiincia metrica
Dados dois pontos distintos A e B, a distancia entre A e B e a medida
(numero, comprimento) do segmento AB.
Se A e B coincidem, dizemos que a distancia geometrica entre A e B e
nula e a distancia metrica e igual a zero.
EXERCicIOS
6. Se 0 segmento AB mede 17 em, determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
p
A
p
8
•
A
~
'~
x
7cm
x
B
21 em
d)
c)
'I(
A
•
v
X
14
B
•
P
+ 3
''---y----J
-x
-3
8,.....--J'----.
A
•
•
2x
.p
SEGMENTO DE RETA
7. Determine x, sendo M ponto medio de AB:
a)
b)
M
A
•
•
•
~~-- .....
v~-~
~~
x + 4
2x - 3
B
M
A
B
•
•
9
2x - 3
8. Determine PQ, sendo AB = 31:
~
~
x- 1
~
A.
Q
•
•
A
B
•
•
p
B
Q
•
•
M
B
p
•
------,2""'xr---~7+1
9. Determine AB, sendo M ponto medio de AB:
b)
a)
A
M
•
B
A
•
•
•
4x - 5
10. Quantas semi-retas hci numa reta, com origem nos quatros pontos A, B, C e D
da reta?
11. Tres pontos distintos de uma reta quantos segmentos distintos podem determinar?
12. Quantos segmentas hci que passam pelos pontos A e B distintos? Quantos hci com
extremidades A e B?
13. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois segmentos sao consecutivos, entao eles sao colineares.
b) Se dois segmentos sao .colineares, entao eles sao consecutivos.
c) Se dois segmentos sao adjacentes, entao eles sao colineares.
d) Se dois segmentos sao colineares, entao eles sao adjacentes.
e) Se dois segmentos sao adjacentes, entao eles sao consecutivos.
f) Se dois segmentos sao consecutivos, entao eles sao adjacentes.
15
SEGMENTO DE RETA
14. 0 segmento AB de uma reta e igual ao quintuplo do segmento CD dessa mesma
reta. Determine a medida do segmento AB, considerando como unidade de medida
a quinta parte do segmento CD.
15. P, A e B sao tres pontos distintos de uma reta. Se Pesta entre A e B, que rela~ao
deve ser valida entre os segmentos PA, PB e AB?
16. P, Q e R sao tres pontos distintos de urn reta. Se PQ ~igu~ao triplo de
QR e PR = 32 em, determine as medidas dos segmentos PQ e QR.
Solu~io
Temos duas possibilidades:
1~)
Q esta entre PeR
3x
x
~~~
2~)
~
R esta entre P e Q
32
--"A
X
~,----A--..
p ••- - - - - - . - - -..... R
p ••- - - - - - - - -......t - - - - _ . Q
R
32
3x
Q
3x + x = 32 = x = 8
PQ = 24·
QR = 8
3x = 32 + x =
x = 16
PQ = 48
QR = 16
Resposta: PQ = 24 em e QR = 8 em ou PQ = 48 em e QR = 16 em.
17. Os segmentos AB e BC, BC e CD sao adjacentes, de tal maneira que AB e 0
triplo de BC, BC eo dobro de CD, e AD = 36 em. Determine as medidas dos
segmentos AS, BC e CD.
18. Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobr~ma~ta r, nessa ordem. Se PA e QB
sao segmentos congruentes, mostre que PQ e AB sao congruentes.
19. Se A, B e C sao pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 em e
BC = /2 em.
20. AB e BC sao dois segmentos adjacentes. Se AB eo quintuplo de BC e AC = 42 em,
determine AB e Be.
21. Sendo AB e BC segmentos colineares consecutivos, AB 0 quadruplo de BC e
AC = 45 em, determine AB e BC.
22. Numa reta r, tomemos os segmentos AB e BC e urn ponto P de modo que AB
seja 0 quintuplo de PC, BC seja 0 quadruplo de PC e AP = 80 em. Sendo
MeN os pontos medios de AB e BC, respectivamente, determine MiV.
16
SEGMENTO DE RETA
23. Sejam quatro pontos A, B, C, D dispostos sobre uma mesma reta r, nessa ordem, e
tais que AB e CD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos AD e BC
tern 0 mesmo ponto medio.
24. Sejam quatro pontos A, B, C, D dispostos sobre uma mesma reta, nessa ordem, e tais
que os segmentos AC e BD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos
AB e CD sao congrutlltes e que as segmentos BC e AD tern 0 mesmo ponto medio.
25. Sejam MeN os pontos medios, respectivamente, dos segmentos AB e BC, contidos numa mesma reta, sendo AB == BC, com A '" C. Demonstre que MN e can·
gruente a AB.
26. Dados tres pontos A, B, C sobre uma mesma reta, consideremos MeN os pontos medios dos segmentos AB e Be. Demonstre que MN e igual a semi-soma ou a
semidiferen~a dos segmentos AB e BC.
27. Seja AB urn segmento de reta e M 0 seu ponto medio. Consideremos urn ponto P
entre os pontos Me B. Demonstre que PM e dado pela semidiferen~a positiva entre
PA e PB.
Solm;ao
x
lndicando a medida de AB por
20 e a de PM por x, temos:
,--."----.
M
A
a
PA = a + xl ==
PB = a - x J
== PM
PA - PB
2x
P
•
•
==
x
•
B
•
a
PA - PB
2
==
PA - PB
2
28. Consideremos sobre uma reta,. urn segmento fixe AB e urn ponto movel P. Seja
M a ponto medifJ de AP eN a ponto medio de BP. 0 que podemos dizer a respeito do segmento MN?
CAPITULO III
A
Angulos
I. Introdu~ao
25. Regiao can vexa
Urn conjunto de pontos r; e convexo (ou e uma regiao convexa) se, e somente se, dois pontos distintos quaisquer A e B de r; sao extremidades de urn
segmento AB contido em r;, ou se r; e unitcirio, ou se r; e vazio.
Exemplos
1) Uma reta r e urn conjunto de pontos convexo, pois
A
B
VA, VB, Vr (A ,c B, A E r, B E r
=>
AB C r)
2) Urn plano a e uma regiao convexa, pois, se A e B sao dois pontos distintos de a, 0 segmento AB estci contido em a.
VA, VB, Va (A ,c B, A E a, B E a
18
~
=>
AB C a
=>
AB C a)
ANGULOS
3) Urn segmento de reta tambem e uma figura convexa:
•
R
A
B
vA, VB, "IRS (A -;e B, A E RS, B E RS
s
=- AB C RS)
4) Temos a seguir tres figuras ainda nao definidas que sao convexas:
A
~
AB C E1
regiao convexa
A----B
AB c Ez
conjunto de pontos convexo
AB C E3
figura convexa
26. Se uma regiao niio e convexa, ela e uma regiao concava.
Exemplos
E"
E'
AB et E'
E' e c6ncava
AB et E"
E" e c6ncava
E'"
AB et E'"
E'" e uma regiao c6ncava
19
ANGULOS
27. Postulado da separa{:Qo dos pontos de um plano
Ci.'
Vma reta r de urn plano Ci. separa este plano em dois conjuntos de pontos
e Ci. u tais que:
a) Ci.' n Ci. u = 0
b) Ci.' e Ci. u sao convexos.
c) A E Ci.', B E Ci. u ==> AB n r ~ 0
cl
as pontos de Ci. que nao pertencem a reta r formam dois conjuntos tais que:
• cada urn deles e convexo e
• se A pertence a urn deles e B pertence ao outro, entao 0 segmento AB
intercepta a reta r.
28. Semiplano - defini{:Qo
Cada urn dos dois conjuntos (Ci.' e Ci. e chamado semiplano aberto.
as conjuntos r U Ci.' e r U Ci. u sao semiplanos.
Areta rea origem de cada urn dos semiplanos.
u
Ci.' e Ci.
sao semiplanos opostos.
U
)
II. Definic;oes
a
29. Chama-se lingulo a reuniao
de duas semi-retas de mesma origem, nao contidas numa mesma
reta (nao colineares).
~
~
a
A
~
AOB = OA U OB
o ponto Oe 0 vertice --3i0..
do angulo.
As semi-retas OA e OB sao os
lados do angulo.
AOB
b
aOb = ab
~
30. Interior do angulo AGB e a interseriio de dois semipianos abertos, a saber:
~
com origem na reta OA e que contem 0 ponto B e
(31 com origem em OB e que contem 0 ponto A.
Interior de AGB = Ci., n (31'
Ci. 1
20
~
ANGULOS
o interior de urn angulo e convexo.
Os pontos do interior de urn angulo sao pontos internos ao angulo.
A reuniao de urn angulo com seu interior e urn setor angular ou angulo
completo e tambem e conhecido por "angulo convexo".
~1
.... .t..
.... \
~1
....
s . . . ..J...
o!,
31. Exterior do angulo AGB e 0 conjunto dos pontos que nao pertencem nem
ao angulo AGB nem ao seu interior.
o exterior de AGB e a reuniiio de dois semipIanos abertos, a saber:
~
a2 com origem na reta OA
e que nao contem 0 ponto B (oposto ao a 1) e
~
{32 com origem na reta OB e que nao contem 0 ponto A (oposto ao (31)'
Exterior de A GB = a 2 U {32'
o exterior de urn angulo e concavo.
Os pontos do exterior de urn angulo sao pontos externos ao angulo.
A reuniao do angulo com seu exterior tambern e conhecida por "angulo
c6ncavo" .
32. Angulos consecutivos
Dois angulos sao consecutivos se, e somente se, urn lade de urn deles e
tambem lade do outro (urn lado de urn deles coincide com urn lado do outro).
c
a
A
AGB e AGe sao
AGe e BGe sao
AGB e BGe sao
consecutivos
(OA e 0 lade comum).
consecutivos
(oe e 0 lade comum).
consecutivos
(OB e 0 lade comum).
---+
---+
---+
21
ANGULOS
33. Angulos adjacentes
Dois angulos consecutivos sao adjacentes se, e somente se, nao tern pontos internos comuns.
AOR e ROC sao angulos adjacentes.
OeoE--'-'-r-------+---
34. Angulos opostos pelo vertice (o.p. v.)
Dois angulos sao opostos pelo vertice se, e somente se, os lados de urn deles sao as respectivas semi-retas opostas
aos lados do outro.
-+ e OC
-+ opostas ]
OA
-+
-+
OB e OD opostas
=>
AOB e COD sao opostos pelo vertice.
Notemos que duas retas concorrentes determinam dois pares de angulos
opostos pelo vertice.
III. Congruencia e compara~ao
35. A congruencia (simbolo ==) entre angulos e uma no~ao primitiva que satisfaz os seguintes postulados:
I?) Reflexiva. Todo angulo e congruente a si mesmo: at == at.
2?) Simetrica. Se at = cd, entao td == at.
3?) Transitiva. Se at == c'd e c~ == <f'f, entao at == d.
22
ANGULOS
4?) Postulado do transporte de dngulos
aA'
-----
Dados urn angulo ADB e uma semi-reta
de urn plano, existe
sabre este plano, e num dos semiplanas que 0' A' permite determinar,
~ E'
uma unica semi-reta 0' B' que forma com 0' A' urn angulo A' 0'
congruente ao angula AGE.
---
o
36. Compara(:Qo de angulos
Dados dois angulos AGE (au aOb ou a~) e C?D (ou cPd au Cd), pelo
postulado do transporte podemos obter, no semiplano que tern origem em
OA e contem E, uma semi-reta oj)' (Od' ou d') tal que ad' =0 Cd. Temos
tres hip6teses a considerar:
3 ~)
2~)
d
d
p
p
C
c
c
b = d'
d'
o
0
a
a
A
A
ab == cd
I
ab < cd
23
ANGULOS
l~) A semi-reta d' e interna a ab (d' tern pontos -internos a ab). este
caso, dizemos que ab e maior que
(ab > cd).
-+-+2~) A serni-reta d' coincide com b (OD' = DB). Neste caso, ab e
congruente a ea (at, = cd).
3~) A semi-reta d' e externa a abo Neste caso, dizemos que ab e menor
que cd (ab < cd).
cd
37. AdifQO de dngulos
Se a semi-reta Db einterna ao angulo aOe, 0 angulo aOe e soma dos angulos aOb e bOe.
c
o
,a
rs
cd,
Dados dois angulos ab e
se existem
== ab e sf == ea tais que s e
interna a rt, dizemos que 0 angulo Tt e a soma de ab e ca.
a
d
c
it=ab+td
s
rt
rs+st
o angulo is que e ~oma de n angulos ~h, se existir, e chamado mz1ltiplo
de ab segundo n (is = n . ab).
Se ab = n .
dizemos que ea e 5ubmz1ltiplo de a~b segundo n.
cd,
b
~
a
24
ANGULOS
38. Bissetriz de um angulo
a) Dejinirao
Vma semi-reta Oc interna a urn
angulo aOb e bissetriz do angulo aOb
se, e somente se,
aOc == bOc.
o
a
A bissetriz de urn angulo e uma semi-reta interna ao angulo, com origem
no vertice do angulo e que 0 divide em dois angulos congruentes.
b) Unicidade da bissetriz
Se Ox e Oy distintas (Ox ,c Oy) fossem bissetrizes de aOb, teriamos:
aOx == bOx (1) e aOy = bOy (2)
b
o~:::l:::;~---- __
o -......-.........
..il
a
a
ay > ~] :=> ay>ax==~h>yh
Oy interna a xOb :=> ~h > yb
o que e absurdo, de acordo com (2)
Ox interna a aOy
:=>
e
(I)
ou
ax >~] :=> ax > ely == ih > ~h
Ox interna a yOb :=> yh > xb
o que e absurdo, de acordo com (1)
Logo, a bissetriz de urn angulo e unica.
Oy interna a aOx
e
:=>
(2)
c) A existencia da bissetriz esta provada no item 57.
25
ANGULOS
IV. Angulo reto, agudo, obtuso - Medida
39. Angulo suplementar adjacente
--
-
Dado 0 angulo AGB, a semi-reta
OC oposta a semi-reta OA e a semi-reta
- que se
OB determinam urn angulo BOC
chama lingulo suplementar adjacente ou
suplemento adjacente de AGB.
c
o
A
40. Angulos: reto, agudo, obtuso
Angulo reto e todo angulo congruente a seu suplementar adjacente.
Angulo agudo e urn angulo menor que urn angulo reto.
Angulo obtuso e urn angulo maior que urn angulo reto.
b
d
_ _ _ _ _ _ _ :-•..L......L_ _- .
c
a
ab e reto
cd e agudo
e
ef e obtuso
41. Medida de um angulo - amplitude
A medida de urn angulo AGB sera indicada por m(AGB).
A medida de urn angulo e urn numero real positivo associado ao angulo
de forma tal que:
I?) Angulos congruentes tern medidas iguais e, reciprocamente, angulos
que tern medidas iguais sao congruentes.
AGB == CPD *==? m(AGB) = m(CPD)
2?} Se urn angulo e maior que outro, sua medida e maior que a deste outro.
AGB > CPD
26
*==?
m(AGB) > m(CPD)
ANGULOS
3?) A urn iingulo soma esta associada urna rnedida que e a soma das rnedidas dos angulos parcelas.
;t == ~h + C'd = rn(;t) = rn(~h) + rn(cd)
A rnedida de urn angulo da-se 0 nome de amplitude do angulo.
Em geral, associa-se urn nurnero a urn angulo estabelecendo a razao (quociente) entre este angulo e outro angulo tornado como unidade.
42. Unidades de medida de angulos
Angulo de um grau (l 0) e 0 angulo subrnultiplo segundo 90 (noventa) de
urn angulo reto.
angulo de urn grau = angulo reto
90
Urn angulo reto tern 90 graus (90°).
A rnedida de urn angulo agudo e rnenor que 90 0 (urn angulo agudo tern
rnenos de 90 0 ).
A rnedida de urn angulo obtuso e rnaior que 90 0 (urn angulo obtuso tern
rnais de 90 0 ).
A rnedida a de urn angulo e tal que:
0° < a < 180°
Angulo de um minuto (l ') e 0 angulo subrnultiplo segundo 60 (sessenta)
do angulo de urn grau.
l' = ~
60
Urn grau tern 60 rninutos (60').
Angulo de urn segundo (l ") e 0 angulo subrnultiplo segundo 60 (sessenta) do angulo de urn rninuto.
1" = _1_'
60
Urn rninuto tern 60 segundos (60").
Angulo de um grado (1 gr) e 0 angulo subrnUitiplo segundo 100 (cern) de
urn angulo reto.
angulo de urn grado = angulo reto
100
Dos subrnultiplos do grado, dois se destacarn:
centigrado (0,01 gr), tambern charnado rninuto de grado, e
decirniligrado (0,0001 gr), tarnbern charnado segundo de grado.
• 0
• 0
27
ANGULOS
43. Angulos complementares e angulos suplementares
Dois angulos sao complementares se, e somente se, a soma de suas medidas e 90°. Urn deles e 0 complemento do outro.
Dois angulos sao suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas
e 180°. Urn deles e 0 suplemento do outro.
44. Angulo nulo e angulo raso
Pode-se estender 0 conceito de angulo para se ter 0 iingulo nulo (cujos
lados sao coincidentes) ou 0 iingulo raso (cujos lados sao semi-retas opostas).
Entao, a medida a de urn angulo e tal que
0° ~ a ~ 180°
EXERCicIOS
29. Simplifique as seguintes medidas:
a) 30°70'
b) 45° 150'
c) 65°39' 123"
d) 110°58'300"
e) 30°56'240"
30. Determine as somas:
a) 30°40' + 15°35'
b) 10°30'45" + 15°29'20"
31. Determine as diferencas:
a) 20°50'45" - 5°45'30"
b) 31 °40' - 20°45'
c) 90°15'20" - 45°30'50"
d) 90° - 50°30'45"
32. Determine os produtos:
a) 2 x (10°35'45")
b) 5 x (6015'30")
33~ Determine as divis6es:
a) (46°48'54") : 2
28
b) (31°32'45"): 3
c) (52°63'42") : 5
ANGULOS
34. Determine 0 valor de x nos casos:
c)
a)
e)
30°
4x + 30°
x
b)
2x
~
d)
4x - 25°
~
x
35. Oa e Ob sao duas semi-retas colineares opostas. Oc e uma semi-reta qualquer. Os
iingulos aOc e cOb sao adjacentes? Sao suplementares?
36.
Se dois iingulos sao opostos pelo vertice, entao eles sao congruentes.
Dois iingulos o.p.v. sao congruentes.
Solu~iio
AOB e COD sao o.p.v.
'~---v
=>
AOB == COD
'----v--'
J
Hipotese
Tese
Demonstrafiio
Considerando AOB de medida x
e COD de medida y opostos pelo
vertice e 0 iingulo BOC de medida Z, temos:
x + z = 180 0 ]
Y + Z = 1800
=>
x = y
=>
AOB == COD
29
ANGULOS
37. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
38. Determine 0 valor de Ci nos casos:
b)
a)
c)
IX
----+-
IX
-
39. Se OP e bissetriz de AOB, determine x nos casos:
a)
b)
p
OoE---+--------
o
40. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Dois angulos consecutivos sao adjacentes.
b) Dois angulos adjacentes sao consecutivos.
c) Dois angulos adjacentes sao opostos pelo vertice.
d) Dois angulos opostos pelo vertice sao adjacentes.
e) Dois angulos opostos pelo vertice sao consecutivos.
30
A
ANGULOS
41. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Dois angulos suplementares sao adjacentes.
b) Dois angulos complementares sao adjacentes.
c) Dois angulos adjacentes sao complementares.
d) Os angulos de medida J0 0 , 20° e 60° sao complementares.
e) Os angulos de medida 30°, 60° e 90° sao suplementares.
42. Os angulos da figura a seguir sao complementares? Sao adjacentes?
60°
43. Calcule 0 valor de x no caso ao lade,
em que m(rOs) = 90°.
s
44. A soma de dois angulos adjacentes e 120°. Calcule a medida de cada angulo, sabendo que a medida de urn deles e a diferen~a entre 0 triplo do outro e 40°.
45. Calcule 0 complemento dos seguintes angu!os:
46. Calcule 0 suplemento dos seguintes angulos:
a) 72°
b) 141 °
c) 93°15'
47. Dado urn angulo de medida x, indique:
a) seu complemento;
b) seu suplemento;
c) 0 dobro do seu complemento;
d) a metade de seu suplemento;
e) 0 triplo de seu suplemento;
f) a setima parte do complemento;
g) a quinta parte ·do suplemento;
h) 0 complemento da sua ter~a parte;
i) 0 triplo do suplemento da sua quinta parte.
31
ANGULOS
48. De a medida do angulo que vale 0 dobra do seu complemento.
49. Determine a medida do angulo igual ao triplo do seu complemento.
50. Calcule 0 angulo que vale 0 quadruplo de seu complemento.
51. Calcule urn angulo, sabendo que urn quarto do seu suplemento vale 36°.
52. Qual e 0 angulo que excede 0 seu complemento em 76°?
Solm.ao
angulo
-+ x
complemento
-+ 90
0
-
x
"Angulo menos complemento e igual a 76°."
x - (90° - x) = 76°
~
2x = 166 0
~
x = 83°.
Resposta: 0 angulo mede 83°.
53. Qual e 0 angulo que excede 0 seu suplemento em 66°?
54. Determine urn angulo, sabendo que 0 seu suplemento excede 0 proprio angulo em
70°.
55. Qual e 0 angulo que somado ao triplo do seu complemento da 210°?
56. Urn angulo excede 0 seu complemento em 48°. Determine 0 suplemento desse
angulo.
57. 0 suplemento de urn angulo excede este angulo em 120°. Determine 0 angulo.
58. 0 complemento da ter~a parte de urn angulo excede 0 complemento desse angulo
em 30°. Determine 0 angulo.
Solu~ao
angulo
--+ x
complemento da ter~a parte
(900 -
90° -~
3
~) - (90 - x) = 30° ~ 2x
Resposta: 0 angulo mede 45°.
32
complemento do angulo
90°
~
x
--+ 90° -
x
ANGULOS
59. 0 suplemento do triplo do complemento da metade de urn angulo eigual ao triplo
do complemento desse angulo. Determine 0 angulo.
60. 0 suplemento do complemento de urn angulo excede a ter~a parte do complemento do dobro desse angulo em 85°. Determine 0 angulo.
61. Dois angulos sao suplementares e a razao entre 0 complemento de urn e 0 suplemento do outro, nessa ordem, e ~ . Determine esses angulos.
Solu~ao
x e y sao as medidas dos angulos.
complemento de urn: 90° - x
+ Y = 180°
90° - x =...!... ~
180° - y
8
X
[
suplemento do outro: 180° - y
[y = 1800 - x
7200 - 8x = 1800 - y ~
[x
y
800
1000
Resposta: Os angulos medem 80° e 100°.
62. Dois angulos estao na rela~ao ~ . Sendo 130° sua soma, determine 0 complemento
do menor.
63. Determine dois angulos suplementares, sabendo que urn deles e 0 triplo do outro.
64. Dois angulos sao suplementares. Urn deles e 0 complemento da quarta parte do
outro. Calcule esses angulos.
65. A raziio entre dois angulos suplementares eigual a ~ . Determine 0 complemento do
menor.
66. Determine 0 complemento de urn angulo, sabendo que a razao entre 0 angulo e seu
5
comp Iemento e..Igua I a 4'
67. 0 complemento de urn angulo esta para 0 seu suplemento como 2 para 7. Calcule
a medida do angulo.
33
ANGULOS
68. 0 triplo do complemento de urn angulo, aumentado em 50°, e igual ao suplemento
do angulo. Determine a medida do angulo.
69. Determine as medidas de dois angulos suplementares, sabendo que 0 dobro de urn
deles, somado com a setima parte do outro, resulta 100°.
70. A soma de urn angulo com a ten;:a parte do seu complemento resulta 46°. Determine 0 suplemento desse angulo.
71. Determine dois angulos complementares tais que 0 dobro de urn, aumentado da
ten;:a parte do outro, seja igual a urn angulo reto.
72. Na figura, 0 angulo x mede a sexta parte do angulo Yl mais a metade do angulo z. Calcule 0 angulo y.
73. Os angulos ex e {3 sao opostos pelo vertice. 0 primeiro e expresso em graus por
9x - 2 e 0 segundo por 4x + 8. Determine esses angulos.
74. Cinco semi-retas partem de urn mesmo ponto V, formando cinco angulos que cobrem todo 0 plano e sao proporcionais aos numeros 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule 0 maior
dos angulos.
75. Demonstre que as bissetrizes de dois angulos opostos pelo vertice sao semi-retas
opostas.
76. Demonstre que as bissetrizes de dois angulos adjacentes e suplementares formam
angulo reto.
Solu~ao
Hip6tese
rOs e sOt adjacentes ]
e suplementares
Ox e Oy respectivas
bissetrizes.
Tese
=0>
xOy e reto
s
,,¥
,,
\
\
\
b
o
34
ANGULOS
DemonSlrar;iio
Sejam a·a medida de rOx e xOs e b a medida de sOy e yOI.
a + a + b + b = 180 0
reto.
= 2a + 2b = 180 = a + b = 90 = xOye
0
0
77. Demonstre que as bissetrizes de dois iingulos adjacentes e complementares formam
urn iingulo de 45°.
78. Dois iingulos adjacentes somam 136°. Qual a medida do iingulo formado pelas suas
bissetrizes?
79. As bissetrizes de dois iingulos consecutivos formam urn iingulo de 5r. Se urn deles
mede 40°, qual e a medida do outro?
CAPITULO IV
Triangulos
I. Conceito - Elementos 45.
Classifica«;ao
Defini~ao
A
Dados tres pontos A, B e C nao
colineares, a reuniao dos segmentos AB,
ACe BC chama-se triangu/o ABC.
IndicaC;ao:
triangulo ABC = .6,ABC
.6,ABC = AB U AC U BC
c
b
B L-JiL-
......UJ.~
C
a
46. Elementos
Vertices: os pontos A, B e C sao os vertices do .6,ABC.
Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) sao os /ados do triangulo.
Angu/os: os angulos BAc ou A, ABC ou Be ACB ou C sao os angu/os
do MBC (ou angulos internos do MBC).
Diz-se que os lados BC, AC e AB e os angulos A, B e C sao, respectivamente, opostos.
36
TRI.A.NGULOS
47. Interior e exterior
Dado urn triangulo ABC, vamos considerar os semipIanos abertos, a saber:
-++
com origem na reta BC e que contem 0 ponto A,
(X2 oposto a (XI'
(3, com origem na reta AC e que contem 0 ponto B,
(32 oposto a (31'
1'1 com origem na reta AB e que contem 0 ponto C,
1'2 oposto a 1'1 •
(XI
-
-
exterior
A~
A~
I \
I \
I \
I
\
I
I- 'Y,
I.
P, \
.
I Intenor
""
BI
"',
I
I
exterior
..\
\
.l. .. !--_.i_~... t.
\
exterior
\ . f3 2
J
I
I
\
\
\ C "',
\
'Y2"'f
\
\ C
.... ~;,--T-~.... ·
exterior:
ot2
'.
exterior
exterior
Interior do MBC = (XI n (31 n 1'1'
a interior de urn trianguIo e uma regiao convexa.
as pontos do interior do MBC sao pontos in tern os ao MBG.
Exterior do 6ABC = (X2 U (32 U 1'2'
a exterior de urn trianguIo e uma regiao c6ncava.
as pontos do exterior do MBC sao pontos extern os ao MBC.
A reuniao do trianguIo com seu interior e uma superjfcie triangular (ou
superficie do trianguIo).
48. ClassijicafQO
Quanto aos lados, os trianguIos se cIassificam em:
equildteros se, e somente se, tern os tres Iados congruentes;
isosceles se, e somente se, tern dois Iados congruentes;
escalenos se, e somente se, dois quaisquer Iados nao sao congruentes.
37
TRIANGULOS
.6ABC equilcitero
6.RST isosceles
A
R
6.MNP escaleno
N
p
Urn triangulo com dois lados congruentes eisosceles; 0 outro lade e chamado base e 0 angulo oposto a base e 0 angulo do vertice.
Notemos que todo triangulo equilcitero e tambem triangulo isosceles.
Quanto aos angulos, os triangulos se c1assificam em:
retangulos se, e somente se, tern urn angulo reto;
acutangulos se, e somente se, tern os tres angulos agudos;
obtusangulos se, e somente se, tern urn angulo obtuso.
c
A
.6ABC retangulo em A
R
D
F
T
6JJEF acutangulo
/':;.RST obtusangulo em S
o lade oposto ao angulo reto de urn triangulo retangulo e sua hipotenusa
e os outros dois sao os catetos do triangulo.
II. Congruencia de triangulos
49.
Defini~ao
Urn triangulo econgruente (simbolo ==) a outro se, e somente se, e possivel estabelecer uma correspondencia entre seus vertices de modo que:
38
TRIANGULOS
• seus lados sao ordenadamente congruentes aos lados do outro e
• seus angulos sao ordenadamente congruentes aos angulos do outro.
A'
A
C'
C
L:.ABC == L\A'B'C'
¢=>
AB == A'B'
AC == A'C'
( BC == B'C'
e
A ==
k)
B == B'
C == C'
A congruencia entre triangulos e rej/exiva, simetrica e transitiva.
50. Casos de congruencia
A defini<;ao de congruencia de triangulos d<i todas as condi~6es que devern ser satisfeitas para que dois triangulos sejam congruentes. Essas condi<;6es (seis congruencias: tres entre lades e tres entre angulos) sao totais. Existern condir6es mfnimas para que dois triangulos sejam congruentes. Sao os chamados casos ou criterios de congruencia.
51. 1? caso - LAL - postulado
Se dois triangulos tern ordenadamente congruentes dois lades e 0
angulo compreendido, entao eles sao congruentes.
Esta proposi<;ao e urn postu/ado e indica que, se dois triangulos tern ordenadamente congruentes dois lades e 0 angulo compreendido, entao 0 lade
restante e os dois angulos restantes tambern sao ordenadamente congruentes.
A
A'
C
C'
39
TRIANGULOS
Esquema do 1~ caso:
A~ == ~'B' ]
LAL
=- 6ABC == 6A'B'C' =-
A == A'
AC == A'C'
B == B'
B<: == ~'C'
[ C == C'
52. Teorema do triongulo isosceles
"Se urn triangulo tern dois lados congruentes, entao os angulos opostos
a esses lados sao congruentes."
ou
"Se urn triangulo eisosceles,
os angulos da base sao congruentes. "
A
"Todo triangulo isosceles eisoangulo. "
ou ainda
Hip6tese
Tese
(6ABC, AB == AC)
=- B == C
Demonstrariio
Consideremos os triangulos ABC e ACB, isto e, associemos a A, Be C,
respectivamente, A, C e B.
Hipotese
=>
r--AB-: == :AC-~ ]
1
I
I
,
:BA.C:
== :CA.B:
I
I
-I
Hipotese
=>
I
t-
~ __~~_J == ~~~__
t
do 6ABC
'
I
~ 6ABC
6ACB => B -
C
J
t
do 6ACB
53. 2? caso - ALA
"Se dois triangulos tern ordenadamente congruentes urn lado e os
dois angulos a ele adjacentes, entao esses triangulos sao congruentes."
40
TRJANGULOS
Os angulos adjacentes ao lado BC s~o H e <3; os adjacentes ao lado
B'C' sao H' e <3'.
A
B~
C'
Tese
Hip6tese
(B = H' (1); BC == B'C' (2); C == C' (3»
=- L".ABC = L".A'B'C'
Demonstrar;ao
Vamos provar que BA = B'A', pois com isso recairemos no 1~ caso.
Pelo postulado do transporte de segmentos (item 18), obtemos na semi-reta
---.
B'A' urn ponto X tal que B'X == BA. (4)
(2)
(1)
(4)
Be: == ~'C' ]
B == B'
BA = B'X
~ L".ABC == L".XB'C' ~ BCA == B'C'X (5)
=
=
--- --- ---
Da hip6tese (3) BCA
B'C' A', com (5) BCA
B'C'X e com 0 postulado do transporte de angulos (item 35), decorre que B'A' e C'X = C' A'
interceptam-se num unico ponto X = A'.
De X == A', com (4), decorre que B'A' == BA.
Entao:
(BA == B'A', B
= H', BC == B'C') =- L".ABC == L".A'B'C'
LAL
54. Notas
1) Esquema do 2? caso
&
L".ABC == L".A'B'C'
=-
[ ==
A~ =.~'B'
A== A'
AC
A'C'
-
41
TRIANGULOS
2) Com base no 2? caso (ALA), pode-se provar a reciproca do teorema
do triiingulo isosceles:
"Se urn triiingulo possui dois iingulos congruentes, entao esse triiingulo e isosceles."
Considerando urn triiingulo isosceles ABC de base BC, basta observar os
triiingulos ABC e ACB e proceder de modo analogo ao do teorema direto.
55. 3? coso - LLL
Se dois triiingulos tern ordenadamente congruentes os tres lados, entao esses triiingulos sao congruentes.
C
C'
A~BA~B
Tese
Hip6tese
(AB == A'B' (1), AC == A'C' (2), BC == B'C' (3)) ==> 6ABC == 6A'B'C'
Demonstrariio
C'
Pelo postulado do transporte de
iingulos (item 35) e do transporte de segmentos (item 18) obtemos urn ponto X
tal que:
XA'B' == CAB (4)
A'X == AC
(5)
estando X no semiplano oposto ao de C'
em rela<;ao it reta A'B' .
De (5) e (2), vern:
S'
-----
-
x
-
A'X == A'C'. (6)
Seja D 0 ponto de interse<;ao de C' X com a reta A'B' .
-----
42
TRI.A.NGULOS
=
=
(1), (4), (5) ~ 6ABC
6A'B'X' (7) =* XB'
CB ~ XB' == C'B' (8)
(6) =- 6A'C'X e isosceles de base C'X =* A'C'X == A'XC' (9)
(8) =- 6B'C'X e iso"sceles de base C'X =* B'C'X == B'XC' (10)
Por soma ou diferenl;a de (9) e (10) (conforme D seja interno ou nao ao
segmento A'B'), obtemos:
A'C'B' == A'XB' (II)
(6), (11), (8)
=- 6A'B'C' = 6A'B'X ~ 6ABC == 6A'B'C:
56. Existencia do ponto medio
c
Dado urn segmento de reta AB,
,, .
usando os postulados de transporte de
,,
iingulos (item 35) e de segmentos (item
, M
18) construimos
A~>----_-----r--'-t B
,,
CAB == DBA
,,
,
AC == DB
" , ' . ~.
com C e D em semiplanos opostos em
D
relal;ao a reta AB.
o segmento CD intercepta 0 segmento AB num ponto M. Vejamos uma
sequencia de congruencias de triiingulos:
"'"
-
6CAB == 6DBA
6CAD == 6DBC
6AMD == 6BMC
(LAL, AB e comurn)
(ALA, com soma de iingulos ou pelo caso LLL)
(ALA)
Desta ultima"congruencia decorre que AM == BM, ou seja, Me 0 ponto
medio de AB.
57. Existencia da bissetriz
Dado urn iingulo aOb, usando 0
postulado do transporte de segmentos
(item 18) obtemos A e A' em Oa e B e
B' em Ob tais que:
OA == OB
(1)
OA' == OB'
(2)
com OA' > OA e OB' > OB.
b
O*=---~~-----e
a
43
TRIANGULOS
-
Seja Co ponto de intersec;:ao de AB' com A'Be consideremos a semi-reta
OC = Oc.
Vejamos uma seqiiencia de congruencias de triangulos:
6AOB' = 6BOA'
6ACA' == 6BCB'
60AC == 60BC
(LAL, aOb (comum)
(ALA, angulos adjacentes suplementares, diferenc;:a de segmentos)
(LAL)
Desta ultima congruencia decorre que AOC = BOC, ou seja,
Oc e bissetriz de aOb.
58. Mediana de um triangulo Mediana de urn triangulo e urn
segmento com extremidades num vertice e no ponto medio do lado oposto.
M I e 0 ponto medio do lado BC.
AMI e a mediana relativa ao lado
BC.
AMI e a mediana relativa ao
defini(:oo
~
B
M,
59. Bissetriz interna de um triangulo
defini~oo
vertice A.
Bissetriz interna de urn triangulo
e 0 segmento, com extremidades num
vertice e no lado oposto, que divide 0
angulo desse vertice em dois angulos
congruentes.
Sl E BC, SlAB == SIAC
AS I e a bissetriz relativa ao lado
Be.
AS j e a bissetriz relativa ao vertice A.
44
B
5,
C
C
TRIANGULOS
60. Teorema do angulo externo
---+-
Dado urn !':ABC e sendo CX a
---+semi-reta oposta a semi-reta CB, 0 angulo
e = ACX
e 0 angulo externo do !':ABC adjacente
aCe nao adjacente aos angulos A e B.
A
G.
B
C
X
o angulo e e 0 suplementar adjacente de C.
Teorema
Urn angulo externo de urn triangulo e maior que qualquer urn dos
angulos internos nao adjacentes.
Hip6tese
Tese
(.6ABC, e externo adjacente a C)
==>
(e > A e e > 13)
Demonstrariio
-
Seja M 0 ponto medio de ACe
P pertencente a semi-reta BM tal que:
BM
= MP
PelocasoLAL,6BAM== 6PMC
e dai:
BAM == PCM
(I)
i><:ZP
B
C
X
Como P e interno aa angula e = ACX, vern: e > PCM. (2)
De (1) e (2), decorre que e > A.
Analogamente, tomando 0 ponto medio de BC e usando angulos opostos
pelo vertice, concluimos que:
e> B
45
TRIANGULOS
61. 4? caso de congruencia - LAA o
Se dois triangulos tern ordenadamente congruentes urn lado, urn angulo adjacente e 0 angulo oposto a esse lado, entao esses triangulos sao
congruentes.
o
"
,8,
A'
\
,G
e
Hip6tese
Tese
BC == B'C' (I), B == B' (2), A == A' (3)
.6ABC == .6A'B'C'
Demonstrarao
Ha tres
possibilidades para AB e A'B':
-1~)
AB == A'B'
2~)
AB < A'B'
3~)
AB > A'B'
Se a 1 ~ se verifica, temos:
B == B', BC == B'C') ~
(AB == A'B',
.6ABC == .6A'B'C'
---+-
Se a 2~ se verificasse, tomando urn ponto D na semi-reta BA tal que
BD = A'B' (postulado do transporte de segmentos - item 18), teriamos:
-
-
_
_
-
(DB == A'B', B == B', BC
(3)
-
-
LAL
-
-
= B'C') => .6ABC == .6A'B'C' ~ D == A=>
_
A == A', 0 que e absurdo, de acordo com 0 teorema do angulo externo
no .6ADC. Logo, a 2~ possibilidade nao se verifica.
A 3~ possibilidade tambem nao se verifica, pelo mesmo motivo, com a
diferen~a que D estaria entre A e B.
Como s6 pode oearrer a 1~ possibilidade, temos:
=>
.6ABC == .6A'B'C'.
62. Caso especial de congruencia de tridngulos retdngulos
Se dois triangulos retangulos tern ordenadamente congruentes urn
cateto e a hipotenusa, entao esses triangulos sao congruentes.
46
TRIANGULOS
B'
B
C~,,----------~~,J
-
c
- - - - +-
- - - "-- ~D
lese
Hip6tese
A == A' (retos) (I), AB == A'B' (2), BC == B'C' (3) =- 6ABC == 6A'B'C'
Demonstrar;iio
-+-
Tomemos 0 ponto D na semi-reta oposta a semi-reta A' C' tal que
A'D == AC (postulado do transporte de segmentos - item 18).
-
-
-
-
-
-
LAL
=
(AB == A'B', A == A', AC == A'D) =- 6ABC
6A'B'D =>
=> BC == B'D (4) e C == f> (5)
(4) e (3) =- B'C' == B'D =- 6B'C'D e isosceles de base
C'D
=- C' == IS (6)
=- C == C'
(5) e (6)
Considerando agora os triangulos ABC e A'B' C', temos:
-
--
(BC == B'C', C = C', A = A')
LAAo
=- 6ABC == 6A'B'C'
EXERCicIOS
80. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todo triangulo isosceles e equilitero.
b) Todo triangulo equilitero e isosceles.
c) Urn triangulo escaleno pode ser isosceles.
d) Todo triangulo isosceles e triangulo acurangulo.
e) Todo triangulo retangulo e triangulo escaleno.
f) Existe triangulo retangulo e isosceles.
g) Existe triangulo isosceles obtusangulo.
h) Todo triangulo acutangu!o ou e isosceles ou e equilitero.
47
TRIANGULOS
81. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todos os triiingulos isosceles sao congruentes.
b) Todos os triiingulos equilciteros sao congruentes.
c) Todos os triiingulos retiingulos sao congruentes.
d) Todos os triiingulos retangulos isosceles sao congruentes.
e) Todos os triiingulos acutiingulos sao congruentes.
82. Se 0 LABC e isosceles de base BC,
determine x.
AB = 2x - 7
AC
A
x + 5
83. 0 triangulo ABC eequilatero. Determine x e y.
AB = 15 - Y
AC = 9
BC
A
2x - 7
84. Se 0 LABC e isosceles de base BC,
determine BC.
AB = 3x - 10
AC = x + 4
A
L's
BC = 2x + 4
B
85. Se 0 LABC eisosceles de base BC, determine x.
B = 2x - 10°
30°
c
A
~
B
48
2x + 4
C
TRIANGULOS
86. Se 0 MBC e isosceles de base AC,
determine x.
A = x + 30°
A
2x - 20°
B
c
87. Se 0 MBC eisosceles de base BC, determine x e y.
A
2x - 40°
y
x + 45°
c
B
88. Determine x e y, sabendo que 0 triiingulo ABC e equilatero.
a)
b)
A
A
B
y
c
89. Se 0 perimetro de urn triiingulo equilMero e de 75 em, quanto mede cada lado?
90. Se 0 perimetro de urn triiingulo isosceles e de 100 mea base mede 40 m, quanto
mede cada urn dos outros lados?
91. Determine 0 perimetro do triiingulo ABC nos casos:
a) Triiingulo equilMero com AB = x + 2y, AC = 2x - ye BC = x + Y + 3.
b) Triiingulo isosceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x - 3 e
BC = x + 3.
92. Num triiingulo isosceles, 0 semiperimetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse triiingulo, sabendo que a soma dos lados congruentes e 0 quadruplo da base.
49
TRIANGULOS
93. Os pares de triangulos abaixo sao congruentes. Indique 0 caso de congruencia.
b)
a)
vp
e)
c)
~v
g)
f)
d)
~
D
D
4 ~~
v
~ ~
94. Considere os triangulos T" T], ... , etc., abaixo. Assinale os pares de triangulos
congruentes e indique 0 caso de congruencia.
~
T,
70°
4
~
6
6
20°
5
50
i
TRIANGULOS
95. Nos casos a), b) e c) abaixo, selecione os triangulos congruentes e indique 0 caso
de congruencia.
a)
~
~
~
6
b)
c)
13
96. Indique nas figuras abaixo os triangulos congruentes, citando 0 caso de congruencia.
D
a)
B
b)
D
A <E---------7 C
B
c)
E
A
d)
B
E
E
51
TRIANGULOS
97. Por que ALL ou LLA nao e caso de congruencia entre triiingulos?
98. Na figura, 0 triiingulo ABC e congruente ao triiingulo DEC. Determine 0 valor de ex e {3.
Po. = 3ex
B = {3 + 48°
E = 5{3
0 = 2ex + 10°
E
A ..,-,,---+--""T'"-i-:-'---+_..I.L.-....:>o. 0
B
o
99_ Na figura ao lado, 0 triiingulo ABD
e congruente ao triiingulo CBD. Calcule x eye os lados do triiingulo
ACD.
AB = x
BC = 2y
CD = 3y + 8
DA = 2x
100. Na figura, 0 triiingulo CBA e congruente ao triiingulo CDE. Determine 0 valor de x eye a razao entre os
perimetros desses triiingulos.
AB = 35
AC = 2x + 6
CE = 22
DE = 3y + 5
z1's:
A
x
B
2y
C
E
B
22
3y + 5
35
2x - 6
o
A
101. Na figura, 0 triiingulo PCD e congruente ao triiingulo PEA. Determine 0 valor de x eye a razao entre os
perimetros dos triiingulos PCA e
PBD.
AB = 15,
AP = 2y + 17
CD = x + 5
PD = 3y - 2
p
102. Na figura ao lado, os triiingulos ABC
e CDA sao congruentes. Calcule xey.
~.-_-II-
B
52
,D
TRIANGULOS
103. Na Figura ao lado, sabendo que C e
ponto medio de BE, prove que os
triangulos ABC e DEC sao congruentes.
D
B
104. Na Figura ao lado. sabendo que
Ci == J e) == o. pro\e que 0- riling 10 ABC e C DA ao congruenre .
105. Se Ci == (3 e 'P == 0, demonstre que 0
triangulo ABC e congruente ao trianguloABD.
c
Ci
A~-+----------',-'---7B
(3
D
106. Na Figura ao lado, sendo BF == CD,
m(ABC) = m(FDE) , m(BAC) =
= m(DEF), prove que AC == EF.
A
E
b<1
B
107. Na Figura ao lado, sendo AB == AE,
m(BAD) = m(CAE), m(ABC) = 90°
e_m(AED) = 90°, prove que
BC == DE.
c
F
D
E
C
A'C""=----:Ll-------+--"7
B
53
TRIANGULaS
108. Demonstre que a mediana relativa il base de urn triangulo isosceles e tam bern bissetriz.
109. Prove que a bissetriz relativa il base de urn triangulo isosceles e tambem mediana.
110. Prove que as medianas relativas aos lados congruentes de urn triangulo isosceles
sao congruentes.
SolUl;lio
A
H:
AB = AC
BM e CN
[ sao medianas
T: BM
CN
B /£.--------" C
DemonslrOl;ao
Consideremos os triangulos BAM e CAN.
~A] ~ 6BAM == 6CAN
B1 :
AM = AN
=>
BM
CN
111. Prove que as bissetrizes relativas aos lados congruente de urn triangulo i 0 cele
sao congruentes.
112. Prove que, se a bissetriz relativa a urn lado de urn triangulo e tambem mediana
relativa a esse lado, en tao esse triangulo e isosceles.
III. Desigualdades nos triangulos
63. Ao maior lado op6e-se 0 maior angulo
Se dais lados de urn triangulo nao sao congruentes, entao os angulos opostos a eIes nao sao congruentes e 0 maior deles esta oposto ao maior
lado.
54
TRIANGULOS
Tese
Hip6tese
BC > AC
=- BAc > ABC
ou
a>b
=- A>B
.... A
L----r
c ----
B
Demonstrariio
Considerernos D em BC tal que CD := CA.
BC > AC =- D e interno a CAB =- CAB> CAD
6CAD is6sceles de base AD =- CAD:= CDA
=- CAB> CDA (I)
CDA e angulo externo no 6ABD =- CDA > ABD
ABC
(2)
De (1) e (2), vern:
CAB > ABC ou seja A > B.
64. Ao maior angulo opoe-se 0 maior lado
Se dois angulos de urn triangulo nao sao congruentes, entao os lados opostos a eles nao sao congruentes e 0 maior deles esta oposto ao
maior lado.
Hip6tese
Tese
BAc> ABC
c
=- BC > AC
ou
A>B
a
b
=- a>b
Demonstrariio
BL.----------~ A
c
Ha tres possibilidades para BC e AC:
-
-
BC < AC
ou
2~) BC := AC
ou
3~) BC > AC
I~) Se BC < AC, entao, pelo teorerna anterior, A < B, 0 que contraria
a hip6tese.
I~)
55
TRIANGULOS
2~) Se BC == AC, entao, pelo teorema do triangulo isosceles, A == 13,0
que contraria a hipotese.
Logo, por exclusao, temos:
BC > AC.
65. A desigualdade triangular
Em todo triangulo, cada lade e menor que a soma dos outros dois.
Hip6tese
A, B e C nao colineares
Tese
=
ou
a, bee lados de urn triangulo
D
1\
U
BC < AC + AB
= a<b+c
/
/
Demonstrafao
A /
Consideremos urn ponto D na semi-reta oposta a semi-reta AC, tal que
AD == AB (1).
/
\
\
)<.
\
/
c
~
\
\
\
~
CaB
DC = AC + AD ~ DC = AC + AB (2)
(1) => l:ABD isosceles de base~BD => A?B == A~D] => CBD > AOB == COB (3)
A e interno ao angulo CBD => CBD > ABD
No triangulo BCD com (3) e 0 teorema anterior, vern:
BC < DC e com (2) BC < AC + AB, ou ainda:
a < b + c
66. Notas
l~)
A desigualdade triangular tambem pode ser enunciada como segue:
Em todo triangulo, cada lade e maior que a diferenfa dos outros
dois.
2~) Se a, bee sao as medidas dos lados de urn triangulo, devemos ter
as tres condi<,:6es abaixo:
a<b+c
b<a+c
e
c<a+b
56
TRIANGULOS
Estas rela~6es podem ser resumidas como segue:
:
~ ~ : ~ ·~··b·~·~··~·~J···········lb·······I·······]
c<a+b
~
.
c-b<a
~
-c < a
~ I Ib - cl < a < b + C
EXERCicIOS
113. Com segmentos de 8 em, 5 em e /8 em pode-se construir urn triangulo? Por que?
114. Dois lados, AB e BC, de urn triangulo ABC medem respectivamente 8 em e 2/ em.
Quanto poden! medir 0 terceiro lado, sabendo que e multiplo de 6?
115. Determine 0 intervalo de variavao x, sabendo que os lados de urn triangulo sao
expressos por x + /0, 2x + 4 e 20 - 2x.
116. Se dois lados de urn triangulo isosceles medem 38 em e /4 em, qual podeni ser
a medida do terceiro lado?
117. 0 lade AB de urn triangulo ABC e expresso por urn numero inteiro. Determine 0
seu valor maximo, sabendo que os lados ACe BC medem respectivamente 27 em e
/6 em e que C < A < 8.
118. Mostre que 0 triangulo retangulo tern dois angulos agudos.
Solu~iio
Considere 0 angulo externo adjacente ao angulo rete do triiingulo retangu10. Note que 'Y' = 90°.
Sendo a e (3 os angulos internos nao
retos do triangulo, de acordo com 0
teorema do angulo externo, temos:
'Y' > a e 'Y' > (3.
E como "(' = 90°, obtemos:
a < 90° e (3 < 90°. Entao 0 triiingu10 tern dois angulos agudos.
57
TRIANGULOS
119. Mostre que a hipotenusa de urn triiingulo retiingulo e maior que cada urn dos
catetos.
120. Mostre que 0 triiingulo obtusiingulo tern dois iingulos agudos.
121. Mostre que 0 lado oposto ao angulo obtuso de urn triiingulo obtusiingulo e maior
que cada urn dos outros lados.
122. Mostre que a hipotenusa de urn triiingulo retiingulo e maior que a semi-soma dos
catetos.
123. Prove que qualquer lado de urn triiingulo e menor que 0 semiperimetro.
124. Se P e urn ponto interno de urn triiingulo ABC, mostre que BPC e maior que BA C.
125. Se P e urn ponto interno de urn triiingulo ABC, mostre que:
PB + PC < AB + AC.
So1Ul;30
Tese [pB + PC < AB + AC ou x + Y < b + c
Demonstraffio
I) Prolonguemos BP ate que encontre AC num ponto Q.
A
2) De acordo com a desigualdade
triangular, temos:
(c + b' > x + f ==
U+ b" > y
c + f + b' + b" > x + Y + f ==
c+b>x+y ==
== PB + PC < AB + AC
126. Se P e urn ponto interno de urn triiingulo ABC e x = PA, y = PB e z = PC,
mostre que x + y + Z esta entre 0 semiperimetro e 0 perfmetro do triangulo.
127. Demonstre que 0 perimetro do triiingulo MNP e menor que 0 perimetro
do triiingulo ABC da figura ao lado.
58
TRIANGULOS
128. Se rna e a mediana relativa ao Iado a de um triiingulo de Iados a, bee, entiio:
b-CI
b+c
I--2- < ma < --2129. Prove que a soma das medianas de um triiingulo e menor que 0 perimetro e maior
que 0 semiperimetro.
LEITURA
Euclides e a
Geometria Dedutiva
Hygino H. Domingues
Derrotada na batalha de Queroneia pelas forps do rei Filipe, a
Grecia torna-se parte do imperio macedonia no ana 338 a.C. Dois anos
depois, com a morte de Filipe, assume 0 poder seu filho Alexandre,
entao com 20 anos de idade. Ao morrer, cerca de 13 anos depois, Alexandre incorporara ao seu imperio grande parte do mundo civilizado
de entao. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macedonios (em
cuja formac;ao populacional predominava 0 elemento grego), foi estendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansionista, Alexandre fundou muitas cidades. Vma delas, em especial, teria urn papel extraordinario na hist6ria da Matematica: Alexandria, no Egito.
Com a morte de Alexandre, 0 dominic sobre 0 Egito passou as
maos de Ptolomeu, urn de seus lideres mil~tares. E uma das primeiras
e talvez mais importante obra de Ptolomeu foi criar em Alexandria,
junto ao Museu (templo as musas), 0 primeiro modelo do que viriam
a ser as universidades, seculos depois. Nesse centro, intelectuais do mundo inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam-se as pesquisas e ao ensino as expensas dos cofres do Estado. Ponto alto da instalac;ao era uma biblioteca, que chegou a ter, no auge de seu esplendor,
perto de 700 mil rolos de papiro. Muitos grandes matematicos trabalharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, 0 primeiro talvez, e
urn dos mais notaveis, foi Euclides (c. 300 a.C.).
Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas poucas informac;6es esparsas. Mesmo sobre sua formac;ao matematica nao
ha nenhuma certeza: e possivel que tenha side feita em Atenas, na Academia de Platao. Papus de Alexandria (sec. IV) deixou registrados elogios a sua modestia e considerac;ao para com os outros. Mas sua
~
59
presenr;;a de espirito talvez possa ser avaliada pela hist6ria segundo a qual, a uma indagar;;ao de Ptolomeu sobre se nao haveria
urn caminho mais curto para a geometria
(que 0 proposto por Euelides), teria respondido: "Nao ha nenhum carninho real na geometria". Ou seja, perante a geometria todos
sao iguais, ate reis poderosos como Ptolomeu.
Embora autor de outros trabalhos, a
fama de Euelides praticamente repousa sobre seus Elementos, 0 mais antigo texto da
matematica grega a chegar completo a nossos dias. Obra em treze livros, apesar de na
sua maior parte ser uma compilar;;ao e sistematizar;;ao de trabalhos anteriores sobre a
matematica elementar da epoca, seu exito foi
enorme. Haja vista suas rnais de mil edir;;6es
impressas em todo 0 mundo, desde a primeiEuclides (sec. 1/1 a. C.J em
ra em 1482, urn feito editorial talvez s6 supintura de Juste de Gond
perado pela Biblia.
(sec. XV).
OS Elementos dediCam urn born espar;;o a teoria dos numeros (tres
livros), mas com 0 enfoque geometrico que permeia toda a obra. Euelides representava os numeros por segmentos de reta, assim como representava 0 produto de dois numeros por urn retangulo. Contudo a
argumentar;;ao usada por ele independe da geometria. Ha tambern no
texto urn pouco de algebra geometrica, onde, por exemplo, algumas
equar;;6es do segundo grau sao resolvidas geometricamente, sendo suas
raizes dadas na forma de segmentos de retas.
Mas, sem duvida, 0 forte dos Elementos e a geometria. A partir
de cinco nor;;6es comuns, cinco postulados especificos e algumas definir;;6es, centenas de teoremas (467 em toda a obra) sao deduzidos, alguns de grande profundidade. Alem de ser 0 mais antigo texto de matematica na forma axiomatico-dedutiva a chegar a nossos dias, nele
Euelides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados
basicos. E soube usa-los com proficiencia. Assim, nao e sem motivo
que os Elementos, por dois milenios, alem de texto fundamental de
geometria, foi 0 modelo de boa matematica.
Falhas em sua estruturar;;ao l6gica foram sendo achadas ao longo do tempo. Por exemplo, a questao da continuidade nao foi focalizada, 0 que levava Euelides a usar pressupostos nao explicitados sobre
o assunto. Tudo isso porem cheW-! a ser irrelevante em face da grandiosidade da obra e de sua inigualavel influencia cientifica.
60
CAPITULO V
Paralelismo
Conceitos e propriedades
67.
Retas paralelas - defini900
Duas retas sao paralelas (simbo10: II) se, e somente se,
sao coincidentes (iguais)
ou
sao coplanares e nao tern nenhum
ponto comum
b
a
(a C lX, b C lX, a n b = 0) ~ a II b
68. Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou nao, e t uma reta concorrente c.om a e b:
1) t e uma transversal de a e b;
b
1
a
4
5
b
a
8
2
3
6
7
61
PARALELISMO
2) dos oito angulos determinados por essas retas indicados nas figuras
acima, chamam-se angulos
1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6
I e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8
I e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5
alternos:
correspondentes:
colaterais:
69. Notas
1~)
Com mais detalhes podemos ter:
alternos
3 e 5, 4 e 6
alternos internos:
[ alternos externos:
Ie7,2e8
[colaterais internos:
colaterais externos:
3 e 6, 4 e 5
I e 8, 2 e 7
.
co Iaterals
2 ~) A congruencia de dois angulos alternos de um dos pares
(por exemplo, 1 == 7)
equivale
a) a congruencia dos angu!os de todos os pares de angulos alternos
(2 == 8, 3 == 5, 4 == 6);
b) a congruencia dos angulos de todos os pares de angulos correspondentes
(1 == 5, 2 = 6, 3 == 7,.4 == 8); e
c)
a suplementaridade dos angulos de todos os pares de colaterais
(1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 180°).
70. Existencia da paralela
Se duas retas coplanares distintas e uma transversal determinam angulos alternos (ou angulos correspondentes) congruentes, entao essas duas
retas sao paralelas.
ou
se Ci
(3, entao a !I b
ou
Hip6tese
62
ex
Tese
=>
-+-.--_ _
b
a!lb
a _---'~-----
PARALELISMO
Demonstrar;iio
Se a e b nao fossem paralelas, teriam um ponto P em comum e
a n b = [Pl.
Sendo
ant = [AJ e b n t
teriamos 0 triangulo ABP.
[B],
b
a
Pelo teorema do angulo externo (item 60) aplicado ao LABP, teriamos:
Ci > (3 ou (3 > Ci
o que e absurdo, de acordo com a hip6tese.
Logo, as retas a e b sao paralelas, isto e, a II b.
71. ConstrufOo da paralela
Construir uma reta b, paralela a uma reta a dada, por urn ponto P dado
fora de a.
Passamos uma reta t por P, que
determina urn ponto M em a.
B
b
Tomamos em a urn ponto A dis{3
tinto de M.
Construimos, com vertice P, com
---+a
urn lado PM, urn angulo MPB congruenA
te ao angulo AMP, estando B no semiplano oposto ao de A em rela<;ao a reta
---+PM (transporte de angulos - item 35).
Areta PB e a reta b pedida.
De fato, sendo AMP = Ci e MPB = (3, pelo teorema anterior temos:
~
Ci=(3
==>
allb
63
PARALELISMO
72. Unicidade da paralela - postulado de Euclides
A unicidade da reta paralela a uma reta dada e 0 postulado de Euclides
(300 a.c.) ou postulado das paralelas que caracteriza a Geometria que desenvolvemos: a Geometria Euclidiana.
Por urn ponto passa uma unica reta paralela a uma reta dada.
Com base nesse axioma podemos provar 0 reciproco do teorema anterior. E 0 que segue.
73.
Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal,
entao os angulos alternos (ou os angulos correspondentes) sao congruentes.
ou
Se a ~ b e a II b, entao a == (3
ou
Hip6tese
a ~ b, a II b
b
Tese
=-
a
= (3
a
Demonstrarao
Se a e (3 nao fossem congruentes,
existiria uma reta x, distinta de b, passando por P, [PJ = b n t, tal que:
xt = (3' alterno de a e (3' == a
Pelo teorema da existencia (item
b
a
70),
a == (3' =- x II a
Por P teriamos duas ret as distintas x e b, ambas paralelas a reta a, 0 que
e absurdo, pois contraria 0 postulado das paralelas.
Logo, a e congruente a (3, isto e, a == (3.
64
PARALELISMO
74. Condifao necessaria e suficiente
Reunindo os resultados dos itens 70 e 73,
a-={3 ==> a#b
e a#b
==>
a-={3
temos 0 enunciado que segue:
Vma condi<;iio necessaria e
suficiente para duas retas distintas
serem para/etas e formarem com
uma transversal angulos alternos
(ou angulos correspondentes) congruentes.
b
a
a={3<=*a#b
75. Angulo externo
Em todo triangulo, qualquer angulo externo e igual a soma dos dois
angulos internos niio adjacentes a ele.
ou
Hip6tese
Tese
e e angulo externo adjacente a C ==>
e=A+
Demonstrariio
~
~
Por C conduzimos a reta CD paralela a reta AB, determinando os angulos a e {3 caracterizados na figura:
A
0/
A
~!~!
(
a
B
/
ICe
/
/
~
~
~
~
I
A
{3
/
a I
I
B~
/
/
AB # CD
==>
AB # CD
==>
A
0/
/
0/
Ll
B
/ C
/
a -= A (alternos)
{3 -= B (correspondentes)
65
PARALELISMO
Somando as duas rela<;:oes acima, vern:
a+I3=A.+B
~
ou seja:
76. Soma dos angulos de um triangulo
A soma dos angulos de qualquer triangulo e igual a dois angulos
retos.
Hip6tese
Tese
MBC e urn triangulo
=- A. + B + C = 2 retos
Demonstrar;iio
Sendo eo angulo externo adjacente aCe aplicando 0 item anterior, vern:
A
~
e e (; sao suplementares =- e + ~ = :. retos]
teorema anterior =- e = A + B
2 retos.
c
B
Considerando as medidas dos angulos, temos:
m(A.) + m(B) + m(C) = 180 0
que representaremos simplesmente por:
A. + B + C
180 0
77. Notas
1~) Angulos de lados paralelos
Dois angulos de lados respectivamente paralelos sao congruentes ou
suplementares.
66
PARALELISMO
Demonstrar;iio
Consideremos os angulos de medidas ex e ex' adjacentes suplementares e
(3 e (3' adjacentes suplementares (vide
figura).
Pelo paralelismo, considerando 0
angulo auxiliar 'Y, temos:
ex = 'Y]
ct'
~
ex = (3
Daf, vern: ex'
(3'
ex + (3'
ex' + (3
180 0
180 0
(3 = "Y
2~)
Triiingulo equildtero
Num triangulo equilMero cada angulo mede 60 0 •
Demonstrar;iio
A
Seja ABC 0 triangulo equilatero:
AB = AC = BC
Usando 0 teorema do triangulo
isosceles (item 52), temos:
c
B
CA = CB ~
AB = AC ~
A
- = 13]
B = C
Como A + 13 + c-
~
A-
180 0 (item 76), vern:
A
AU seja:
Todo triangulo equihitero e equiangulo e cada angu10 mede 60°.
67
PARALELISMO
EXERCICIOS
130. Sendo a reta a paralela a reta b, determine x nos casos:
a)
b)
50°
a
120°
a
b
b
131. Se as retas res sao paralelas, determine x nos casos:
b)
a)
s
132. As retas res da figura sao paralelas. Determine x e y.
a)
b)
3x - 10°
s
68
s
PARALELISMO
133. Na figura, sendo a II b, calcule
Ct + {3 - 'Y.
a
134. A soma dos quatro iingulos agudos
formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal e igual
a 80 0 • Determine 0 iingulo obtuso.
135. Sendo a paralela a b, calcule x.
b
136. Na figura, sendo a /I b, calcule x.
c
-'-r--
_
_ _ _ _ _ _ _--1-~---..;;..a
....:a
_ _ _---,----I-
.:::b~ _ _T " " ' " l I _ _ _ - - - - - _
.=.b
8x + go
137. Na figura abaixo, sendo r II s, calcule
x e y.
3x - 20°
138. Na figura ternos os iingulos Ct e {3 de
lados respectivamente paralelos.
Sendo Ct = 8x e {3 = 2x + 30°, determine 0 suplemento de {3.
s
139. Calcule 0 valor de x + y, sendo r II s
e t II v.
v
y
s
69
PARALELISMO
140. Se as retas res sao paralelas, determine x, y e Z nos casas:
a)
b)
s
s
141. Determine a valor de x nos casas:
a)
b)
70°
50°
142. Determine y nos casas:
a)
b)
45°
143. Determine x nos casas:
a)
70
b)
x
PARALElISMO
144. Determine x e y nos casos:
a)
b)
145. Determine os angulos do triangulo nos casos:
c
a)
c
b)
~x..J::.~ A
B <-..........- - -
x
B'--L-------.L..::>.A
146. Se 0 triangulo ABC e isosceles de base BC, determine x nos casos:
a)
A
b)
A
x
B L..-
--'--" C
BL....J'----~C
c)
d)
B
B
'-'-----"""c
147. Determine ex + 13 + 'Y nos casos:
a)
b)
71
PARALELISMO
148. 0 triiingulo ABC e isosceles de base BC. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
A
c)
B
B
C
B L.-L..-
--> C
149. Determine 0 valor da incognita (segmentos com "marcas iguais" sao congruentes).
b)
a)
c)
·1
d) AB
AC
e)
f)
A
BL--it--::::lC
g)
h)
x + Y
72
PARALELISMO
150. Na figura abaixo, ED e paralela a BC. Sendo BAE igual a 80° e ABC igual a
35°, calcule a medida de AED.
c
B
SOIUl,:iio
-
Basta prolongar DE ate que a
reta DE encontre AB.
Note que x e externo do triangu10 APE.
Entao:
ex = 35°
[ x = ex + 800
= x
115°
151. Determine 0 valor de x e y, sendo
r II s.
~
:;,-8_0_
0
pp
•_
D
_ - - o>--
~E
•
B
C
152. Calcule 0 valor de x, sendo r II s.
5
5
153. Se r II s, calcule ex.
154. Na figura abaixo, as retas res sao
paralelas. Calcule ex.
A
30'
B
5
5
C
73
PARALELlSMO
155. Na figura, calcule a medida do iingulo Ci, sendo r II s.
156. Na figura, AB e paralelo a CD. Sendo CDB = 150° e ABC = 25°, ca1cule CBD.
C
D
~
A
50 0
s
157. Determine 0 valor de x.
B
158. Calcule x no triiingulo ABC da
figura.
159. Os iingulos internos de um triiingu!o sao proporcionais a 2, 3 e 4, respectivamenteo Determine a medida do maior deles.
Nos exercicios 160, 161, 162, no triiingulo ABC, calcule a(s) inc6gnita(s).
160.
161.
162.
A
A
A
~
xt
B
500
C
C
74
PARALELISMO
163. Na figura, 0 triangulo ABC e isosceles de base BC. Calcule 0 valor
de x.
164. Calcule x e y indicados na Figura
abaixo.
A
---.",,'C
~
B
2x
165. A Figura mostra urn triangulo ABC,
isosceles, de base Be. Sendo BD bissetriz de ABC e CD bissetriz de
ACB, calcule 0 valor de x.
A
E
C
166. 0 triangulo A CD da Figura e isosceles de base AD. Sendo 12° a medida
do angulo BAD e 20° a medida do
angulo ABC, calcule a medida do
angulo ACD.
A
C
~
A
B
B'O:::::""---------~C
167. Urn angulo externo da base de urn triangulo isosceles e os ~ do angulo do vertice.
Calcule os angulos desse triangulo.
168. Num triangulo isosceles ABC, 0 angulo do vertice A vale _1_ da soma dos iingulos
10
.
externos em Be C. Sendo BC a base do triangulo, determine 0 angulo A.
169. Num triangulo ABC, 0 angulo obtuso formado pelas bissetrizes dos angulos B
e C excede 0 angulo A em 76°. Determine A.
170. Prove que no triangulo ABC, da figura, vale a rela~ao ex - {3 = B - C,
sendo AD bissetriz do angulo BAC.
A
~
B
0
C
75
PARALELlSMO
171. Num triangulo ABC, 0 angulo formado pelas bissetrizes dos angulos fj e t, oposto
a BC, e 0 quintuplo do angulo A. Determine a medida do angulo A.
172. Na figura ao lado, calcule 0 valor de
x em fun<;ao de m.
173. Num triangulo ABC qualquer, 0 angulo oposto a BC formado pelas bissetrizes
dos angulos internos em Be C e igual ao suplemento do complemento da metade
do angulo do vertice A.
SolUl;iio
Nota inicial
Em problemas cujo enunciado e uma proposi<;ao, e normal que 0 pedido seja a demonstra<;ao da propriedade.
Com os elementos caracterizados
na figura, temos:
hJJBC: x + b + c
MBC: 2b + 2c + A = 180
A
180
0
== b +
174. Na figura, calcule 0 angulo x, sendo
C<
0
C
-
(b + c)A ]
= 90 0 - 2
A
triplo de {3 e 'Y 0 sextuplo de {3.
B
76
0
c
o
PARALELISMO
175. Em urn triangulo ABC, 0 angulo do vertice A e igual a oitava parte do angulo
obtuso formado pelas bissetrizes dos angulos adjacentes a Be. Determine a medida
do angulo do vertice A.
176. Urn angulo externo do vertice de urn triangulo isosceles mede 150°. Determine:
a) os angulos do triangulo;
b) 0 angulo obtuso formado pelas bissetrizes dos angulos da base do triangulo;
c) os angulos formados pela bissetriz de urn dos angulos da base e pela bissetriz
do angulo do vertice.
177. Determine a medida do menor angulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vertices Be C de urn triangulo ABC, sabendo que 0 angulo A mede 76°.
80luI;80
A
76°
\
\
I
\
I
\
I
\
I
\
/
\
x I
'\t
..;
I) B + C + 76 0 = 180 0
0
2) 2b + ~ = 180
0
l2c+C
180
f
== B + C = 104
0
== 2(b + c) + B + C =
== 2(b + c)+ 104 = 360 == b + c = 128
3) x + b + c = 180 == x + 128° = 180 == x = 52
0
0
0
0
0
0
178. Determine as medidas dos tres angulos de urn triangulo, sabendo que 0 segundo e os
; do primeiro e que 0 terceiro e a semi-soma dos dois primeiros.
179. Os tres angulos de urn triangulo sao tais que 0 segundo mede 28° menos que 0
primeiro e 0 terceiro 10° mais que 0 primeiro. Determine os tres angulos do
triangulo.
77
PARALELISMO
180. Em urn triangulo isosceles 0 angulo do vertice e a metade de cada urn dos angulos
da base. Determine os tres angulos do triangulo.
181. Determine 0 angulo formado pelas bissetrizes de dois angulos colaterais internos
de duas retas paralelas interceptadas par uma transversal qualquer.
182. Na figura, determine a medida do angulo Ci em funCao de m.
A
= 3m
...............
BCM = Ci
BCM
A
13 = 2m
D=m
B
183. Num triangulo ABC qualquer, 0 angulo, oposto a BC, formado pelas bissetrizes
dos angulos externos em B e C e igual ao complemento da metade do angulo
do vertice A do triangulo.
184. Na figura, sendo AB congruente a
AC, AE congruente a AD, calcule a
medida do angulo CDE, dado
BAD = 48°.
185. Determine a medida do angulo do vertice A do triiingulo isosceles ABC, sabendo que os segmentos BC. CD, DE,
EF e FA sao congruentes.
78
A
A
PARALELlSMO
c
186. Na figura, 0 triangulo ABC e equil<itero e 0 triangulo CDB e isosceles.
Calcule 0 valor de 2x + y.
BCD = x
A
AIm = y
B
187. Considere 0 triangulo ABC, em que AB = AC = 5 em e BC = 7 em. Sobre 0
lado BC tomamos urn ponto D tal ~ BD = 3 em e pelo ponto QJra~amos
DEe DFrespectivamente paralelos aACeAB, com Eem AB e Fern AC. Calcule
o perimetro de AEDF.
188. Da figura, sabemos que AB = AC,
A = 100 0 e AD = BC. Determine
x = CBD.
A
f"-'.._-
o
B
CAPITULO VI
Perpendicularidade
I. Defini~oes
Angulo reto
78. Retas perpendiculares
Ouas retas sao perpendiculares
a, a
(simbolo: .1) se, e somente se, sao concorrentes e formam angulos adjacentes
suplementares congruentes
a .1 b ~ (a n b = [PJ e
b,
a,Pb, = a,Pb l )
p
b
em que a l e uma das semi-retas de a de
origem P e b, e bl sao semi-retas opostas de b com origem em P.
Ouas semi-retas sao perpendiculares se, e somente se, estao contidas em
retas perpendiculares e tern urn ponto
cornurn.
Oois segmentos de reta sao perpendiculares se, e somente se, estao contidos em retas perpendiculares e tern urn ponto comum.
Urn angulo a,Pb j e rela se a serni-reta a, e perpendicular a serni-reta bl.
80
PERPENDICULARlDADE
79. Retas ob/fquas
Se duas retas sao concorrentes e
nao sao perpendiculares, diz-se que essas retas sao oblfquas.
Se r n s = lPJ e r ~ s, entao
res sao obliquas.
~p
80. Existencia do angulo reto
Consideremos uma reta r e urn seu ponto o.
Tomemos dois pontos P e Q em semipianos opostos em relaGao a r tais que:
em que r J e uma das semi-retas de r de origem O.
o segmento PQ intercepta r num ponto X.
Temos os tres casos abaixo:
1 ~ caso:
I
3~ caso:
2~ caso:
p
pi
p
I
I
I
I
I
I
I
I
r1
I
r1
I
r1
o= x
0
Q
No 2? caso, em que X = 0, temos:
....
....
....
PXr, == QXr l e r.l PQ e PXr l
~
e reto
No I? caso e no 3? caso temos:
6POX == 6QOX pelo caso LAL «2), (1) e OX comum)
Entao:
6POX == 6QOX
-
=- PXO == QXO =- r.l PQ =- PXO e reto
81
PERPENDICULARIDADE
II. Existencia e unicidade da perpendicular
I'! parte
Num plano por urn ponto dado de uma reta dada passa uma (mica
reta perpendicular a reta dada.
ou
Num plano, por urn ponto P de uma reta r existe uma (mica reta
s perpendicular a r.
81. Existencia
Utilizando 0 postulado do transporte de angulos (item 35) e sendo r l
uma das semi-retas de r de origem P,
construimos, num dos semipianos dos
determinados por r, 0 angulo s/jr J
congruente a urn iingulo reto.
Areta s que contem SJ e perpendicular a r, pois r-;PsJ e reto.
: 5,
I
I
r,
-p---+-I
I
I
I
I
:5
82. Unicidade
Se duas retas distintas x e Y, com
x >t= Y, passando por P fossem ambas
perpendiculares a r, teriamos 0 que
segue.
Com as semi-retas PX I de x e PYI
de Y situadas num mesmo semiplano dos
determinados por r e com PrJ semi-reta
de r, vern:
1\
r1
/p\
I
I
I
I
I
I
I
\
\
\
\
\
\
\
r em P ==> rlPx l e congruente ao angulo rete
1\
Y ..1 r em P ==> rlPYI e congruente ao angulo rete
Se PX 1 e distinta de PYI' 0 resultado acima e urn absurdo, de acordo com
o postulado do transporte de angulos (item 35).
Logo, a reta perpendicular a r por P e unica.
X ..1
82
PERPENDlCULARIDADE
2~ parte
Por urn ponto dado fora de uma reta dada existe uma e somente
uma reta perpendicular it reta dada.
ou
Por urn ponto P fora de uma reta r passa uma unica reta s perpendicular a r.
83. Existencia
Construimos por Puma reta t que
intercepta r num ponto O. Seja Or l
uma das semi-retas de r de origem O.
No semiplano oposto ao de P, dos
determinados por r, obtemos urn ponto
Q tal que
p
s
r,
x
0
rlOP == rl>Q (1) e OP == OQ (2)
Q
utilizando os postulados de transporte
(itens 18 e 35).
Areta s = PQ e a reta pedida, conforme 0 que segue.
o segmento PQ intercepta r num ponto X.
Se X coincide com 0 (X = 0), entao:
~
rlXP == rlXQ e PQ 1- ,. ou seja s 1- r.
Se X nao coincide com 0, temos:
60XP == 60XQ pelo caso LAL «2), (1) e OX comum).
Entao:
~
60XP == 60XQ
=>
-
-
OXP == OXQ
=>
~
r 1- PQ
s 1- r.
=>
84. Unicidade
Se duas retas distintas x e y, com
x yC y, passando por P fossem ambas
perpendiculares a r, teriamos 0 que
segue.
Sejam X e Yos pontos de interse<;ao de x e y com r e seja Q 0 ponto da
---.
semi-reta oposta a YP tal que:
x
p
y
x
83
PERPENDICULARIDADE
YQ == YP (1)
QYX (2)
x .1 r =;> PXY e reto (3)
y .1 r =;> PYX
Pelo caso LAL «(1), (2) e XY comum), vern: 6PXY == 6QXY.
6PXY == 6QXY =;> PXY == QXY =ill. QXY e reto =;>
r
Ficamos entao com 0 seguinte absurdo:
por urn ponto X da reta r temos duas retas distintas x e XQ, ambas perpendiculares a r, 0 que contraria a unicidade provada na 1 ~ parte (item 82).
Logo, a reta perpendicular a r por P e unica.
=
-
XCi..l
85. Altura de um triangulo
Altura de urn triangulo e 0 segmento de reta perpendicular a reta suporte
de urn lado do triangulo com extremidades nesta reta e no vertice oposto ao
lado considerado.
A
B
A
A
~~
I
H
C
1
a
B=H
I
I
I
I
I
I
I
I
C
n
~-----"-C
H;-------B
a
1
-++
HI e a interse~ao da reta BC com a perpendicular a ela, conduzida par A.
-
-
AHI e a altura relativa ao lado BC, ou
AHI e a altura relativa ao lado a, ou aindao
AH1 e a altura relativa ao vertice A.
HI tambem e dito pe da altura.
86. Mediatriz de um segmento
A mediatriz de urn segmento e a
reta perpendicular ao segmento pelo seu
ponto medio.
m
A
84
M
B
PERPENDICULARIDADE
III.
Proje~oes
e distancia
87. Proje~ao de um ponto sobre uma reta
Chama-se projeriio ortogonal (ou
simplesmente proje9ao) de urn ponto sobre uma reta ao ponto de interse9ao da
reta com a perpendicular a ela conduzida por aquele ponto.
....
,~p
,,
I
•,p'
,,
,I
I
....
e a proje9ao de P sobre r.
PP .1 r e PP n r = [P J
P' e 0 pi da perpendicular a reta r conduzida por P.
Se PEr, entao P' = P.
P'
I
I
I
88. Proje~ao de um segmento sobre uma reta
A proje9ao de urn segmento de reta AB nao perpendicular a uma reta r
sobre esta reta e 0 segmento de reta A'B' em que
A' e a proje9ao de A sobre r e
B' e a proje9ao de B sobre r.
B
B
~
I
I
I
I
I
I
•
t
A'
B'
A
89. Segmento perpendicular e segmentos ob/fquos
a uma reta por um ponto
Se por urn ponto P nao pertencente a uma reta r conduzirmos os
----segmentos PP', PA, PB, PC, PD, ... ,0 primeiro (PP') perpendicular e
-os demais (PA, PB, PC, PD, ....) obliquos a r, todos com uma extremidade comum Peas outras extremidades p', A, B, C, D, ... em r, entao:
85
PERPENDICULARIDADE
p
p
o
o
I?) 0 segmento perpendicular e menor que qualquer dos obliquos.
Demonstrarao
PP' ecateto de triangulos retangulos que tern, respectivamente, PA, PB,
PC, PD, ... como hipotenusa.
__
Logo, _
_
_
PP' < PA; PP' < PB; PP' < PC; PP' < PD;
2?) a) Segmentos obliquos, com projeroes congruentes, sao congruentes.
Hip6tese
P'A=P'B
Tese
== PA==PB
Demonstrarao
(PP' comum, PP' A == PP'B, P' A = P'B ~ 6PP' A == 6PP'B
PA == PB
==
==
b) Segmentos obliquos congruentes tern projeroes congruentes.
Hip6tese
PA == PB
Tese
== P'A == P'B
Demonstrarao
Aplica~ao do caso especial para triangulos retangulos: cateto-hipotenusa.
MP'A e 6PP'B tern cate!QjlP' comum e hipotenusa PA == PB
== 6PP'A == 6PP'B == P' A == P'B
86
==
PERPENDICULARIDADE
3?) a) De dois segmentos oblfquos de projes;6es nao congruentes, 0 de
maior projerfio
e maior.
HipOlese
Tese
P'C > P'A
==>
PC > PA
Demonslrarfio
Considerando A e C num~esm~emi-reta de r das determinadas por
P' e considerando a hip6tese P' C > P' A, resulta que A esta entre P' e C.
o angulo pA C e obtuso pois e angulo externo do t:::,pp'A, em que Pt>'A
e reto.
No t:::,p AC, temos: pAc > PCA,
pois 0 primeiro eobtuso e 0 segundo eagudo. Como ao maior angulo esta oposto
o maior Iado, temos:
PC> PA
b) De dois segmentos oblfquos nao congruentes, 0 maior tern projerfio
maior.
Hipolese
PC > PA
Tese
==>
P'C > P'A
Demonstrarfio
Se P'C ~ P'A, pelos casos anteriores teriamos PC ~ PA, 0 que e absurdo, de acordo com a hip6tese.
Logo,
P'C > P' A
4?) a) De dois segmentos obliquos nao congruentes, 0 maior forma com a
sua projel;ao angulo menor.
HipOlese
PO > PC
Tese
==>
PDP' < PCP'
87
PERPENDICULARIDADE
Demonstrariio
Se PD > PC, entao, pelo caso anterior, P'D > P'C. Entao ou C esta
entre P'~D ou podemos considerar urn ponto C' entre P' e D tal que
P' C
P' C'. Vamos considerar a segunda alternativa.
P' C' decorre que PCP' == PC' P' . (l)
De P' C
Aplicando 0 teorema do angulo externo no l::;PC'D, vern:
=
=
PDe' < PC'P'
E em vista de (1) obtemos:
PDP' < PCP'
b) De dois segmentos obliquos nao congruentes, aquele que forma
com a sua proje~ao urn cmgulo menor e maior.
Hip6tese
PDP' < PCP'
Tese
=- PD > PC
Demonstrariio
Se PD ~ PC por congruencia de triangulos (para PD == PC) ou pelo caso
anterior (para PD < PC) teriamos PDP' ;;;: PCP', 0 que e urn absurdo, de
acordo com a hipotese.
PD > PC.
Logo,
90. Distancia entre um ponto e uma reta
A distancia de urn ponto a uma reta e a distancia desse ponto a proje~ao
dele sobre a reta.
A distancia entre Per e a distancia entre PeP' , em que P' e a proje~ao
de P sobre r.
P
~
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
P'
Se 0 ponto pertence a reta, a distancia entre eles e nula.
88
PERPENDlCULARIDADE
91. DistQncia entre duas retas paralelas
P
A distiincia entre duas retas paraI
I
lelas e a distiincia entre urn ponto qualI
I
quer de uma delas e a outra reta.
:
d".
A distiincia entre res paralelas e
I
I
a distiincia entre urn ponto P de rea retl
ta s.
P'
dr,s = dp,s com PEr
Se r = s, a distiincia entre res e nula.
A defini<;ao acima e justificada pela propriedade que segue.
92.
s
Se duas retas distintas sao piualelas, os pontos de uma delas
estao a igual distiincia (sao eqiiidistantes) da outra.
Del17 0 nstrariio
De fato, sendo res duas retas paralelas e distintas, tomando dois pontos
distintos A e B em r, vamos provar que d A •s = dB,s'
A
B
A
i
B
U
I
I
I
J
I
I
J
I
J
I
r
I
8
A'
cB' s
s
A'
B'
1) A e A' sao colaterais e, sendo A' reto, conclufmos que A e reta.
2) Considerando os triiingulos AA'B eBB' A', temos:
A'B...........(lado comum)
]
BA'B' (alternos)
A == B' (retos)
~'BA_==
LAA
o
=- 2"A'AB == 2"BB'A' =-
=- AA'
89
PERPENDICULARIDADE
93. Propriedade dos pontos da mediatriz
Usando 0 caso LAL de congruencia de triangulos, podemos provar que:
m
p
Todo ponto da mediatriz de
urn segmento e eqiiidistante das
extremidades do segmento.
M
A
B
PA = PB
Note que, se P = M, a propriedade tam bern vale.
(m e mediatriz de AB, P E m) =>
94. Propriedade dos pontos da bissetriz
a
Usando 0 caso LAA o de congruencia de triangulos, podemos provar
que:
o ~__...::....:::r--_:;-_+_--::s
Todo ponto da bissetriz de
urn angulo e eqiiidistante dos lados do angulo.
b
(s e bissetriz de aOb, PEs) => d p .• = d P . b
Note que, se P = 0, a propriedade tambem se verifica.
EXERCicIOS
189. Se AH e altura relativa ao lado BC do 6.ABC, determine jj e (; nos casos:
a)
A
B
90
b)
c
A
B
c
PERPENDICULARIDADE
190. Em cada caso abaixo temos urn triangulo isosceles de base Be. Determine 0 angulo da base.
A
a)
B
£1
A
b)
C
B
~
191. No triangulo ABC da figura, se AH e
altura e BS e bissetriz, determine BSC
dados BAH = 30 0 e ACB = 40 0•
C
A
B
192. Da figura, sabemos que AH ealtura e
AS e bissetriz relativas a BC do triangulo ABC. Se B = 70 0 e HAS = 15 0 ,
determine C.
C
A
C
193. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
c)
d)
140 0
91
PERPENDlCULARIDADE
194. Angulos de lados perpendieulares
Dois angulos de lados respectivamente perpendiculares sao congruentes ou suplementares.
Solu~ao
{3'
_o_
-+-.L.-
-+t~<?t-...L..:=---
a
Sejam os angulos aOb e cVd com Oa .1 Vc,Ob .1 Vd com as medidas a
e {3, sendo a' e {3' as medidas dos respectivos adjacentes suplementares, conforme indica a figura.
Se por 0 conduzimos Oe' .1 Vc e Od' .1 Vd, surgem os angulos e'Od' de
medidas 'Y e seu adjacente suplementar de medida 'Y'.
Considerando angulos de lados paralelos (item 77), temos:
'Y = {3, 'Y'
= {3', 'Y + {3' = 180
0
,
'Y' + {3 = 180 0
Notando que aOe' e bOd' sao retos, vern:
aOd'
aOd'
90 0 - a
90 0 - 'Y
=>
_
l=>a={3
aOd' = 90 0 - {3
J
Entao, temos:
a
= {3, a' = {3', a + {3'
180 0 , a' + {3
195. Na figura, calcule 0 valor de x.
180 0
196. Na figura, calcule 0 valor de x.
2x
40°
92
PERPENDlCULARIDADE
197. Na figura, determine a medida de ex,
{3 e -y.
D
198. No triangulo ABC da figura ao lado, fj = 60° e (: = 20°. Qual 0 valor do angulo HAS formado pela
altura AH e a bissetriz AS?
A
A L..ll_~-----'-....JJ.L:::"'B
c
B
199. Num triangulo isosceles ABC de base
c
AB, 0 angulo fj eigual a ~ do angulo
S, formado pelas mediatrizes QS e PS.
Calcule os angulos desse triangulo.
A
200.
B
p
A mediana relativa a hipotenusa de urn triiingulo retangulo mede metade da hipotenusa.
Soluf;ao
Hip6tese
Tese
6ABC e retangulo de hipotenusa BC. AM e mediana. J
=-
AM =
BC
2
Demonstro(:tio
I) Tomemos P sobre a semi-reta
AM com M entre A e P de
modo que PM = AM.
93
PERPENDICULARIDADE
A
2) Consideremos os triangulos
AMB e PMC. Pelo caso LAL,
eles sao congruentes. Dai tiramos que ARM = PCM. E como estes angulos sao alternos
internos, obtemos que as retas
BA e PC sao paralelas.
- -
p
...........
-.
-.
e reto (sao colaterais
3) De BA II PC e BAC reto, obtemos que PCA
internos).
4) Consideremos agora os triangulos BA C e PCA.
~A = _ PC (pois 6AMB == 6PMC)] LAL
=
A = C (sao retos)
6BAC - 6PCA
==
AC = CA (lado comurn)
Desta congruencia concluimos que AP = BC e, como AP = 2AM, obtemos: 2AM
BC
== AM = B2C.
Observa'tao
Note ainda que: MA = MB = MC
6AMB e isosceles de base AB
6AMC e isosceles de base AC
201. Se 0 triangulo ABC e retangulo de hipotenusa BC e AM e mediana, determine x:
a)~
B
M
C
202. Na figura, calcule x e y. Me ponto
medio de Be.
B
A
94
~
A
b)
C
~
M
B
203. Na figura, BD e mediana do triangulo retangulo ABC (R = 90 0 ) e
BE .L AC. Se A = 70 0 , calcule a
medida de ERD.
B
C
H
PERPENDICULARIDADE
204. No triangulo retangulo ABC da figura, a mediana AM forma com a bissetriz BF os angulos adjacentes BFA
e BFM. Exprima BFM em fun~ao
de B.
205. Num triangulo retangulo ABC, a altura AS forma com a mediana AM
urn angulo de 2r. Calcule B e C.
206. Determine os angulos agudos de urn triangulo retangulo, sabendo que a mediana
e a bissetriz relativas a hipotenusa formam urn angulo de 35°.
207. As bissetrizes internas dos angulos B e (; de urn triangulo ABC formam urn angu10 de 116°. Determine a medida do menor angulo formado pelas alturas relativas
aos lados AB e AC desse triangulo.
208. Em urn triangulo retangulo qualquer, 0 angulo formado pela altura e mediana
relativa a hipotenusa e igual ao modulo da diferenc;:a dos angulos adjacentes a
hipotenusa.
209. Mostre que, se uma mediana relativa a urn lado de urn triangulo mede a metade
desse lado, entao 0 triangulo e retangulo.
210. Sendo ABC urn triangulo isosceles de base BC e M urn ponto da base, prove que:
Se AM e mediana, entao AM e bissetriz e altura.
Se AM e bissetriz, entao AM e mediana e altura.
Se AM e altura, entao AM e mediana e bissetriz.
Solu~ao
Considerando que num triangulo isosceles os angulos da base sao congruentes e a condic;:ao de cada hipotese, temos:
1~)
AM e mediana
Pelo caso LLL ou pelo caso
LAL, 6ABM = 6ACM
e dai decorre que
AM e bissetriz e AM e altura.
A
PERPENDICULARIDADE
2?) AM e bissetriz
Pelo caso LAL ou pelo caso ALA,
LABM = LACM
e dai decorre que
AM e mediana e AM e altura.
A
ill
I
I
4'
i
B
M
3?) AM e altura
Pelo caso especial de congruencia de triangulos retangulos
ou pelo caso LAA o '
LABM = LACM
e dai decorre que
AM e mediana e AM e bissetriz.
c
A
Lh
I
I
I
I
=f'
B
.~.
C
211. Demonstre que em todo triangulo isosceles sempre ternos duas alturas congruentes.
212. Mostre que, se uma altura e uma mediana de urn triangulo coincidem, entao este
triangulo e isosceles.
213. Mostre que, se uma altura e uma bissetriz de urn triangulo coincidem, entao este
triangulo e isosceles.
214. Prove que as bissetrizes dos angulos agudos de urn triangulo retangulo formam
angulos que independem dos valores daqueles angulos agudos.
215, Demonstre que, se duas alturas de urn triangulo sao congruentes·, entao esse triangulo e isosceles.
216. Toda reta que passa pelo ponto medio de urn segmento e eqiiidistante das extremidades do segmento.
Solu~lio
Hipotese
AM == MB, MEr ~
96
Tese
d r •A = d r •B
PERPENDICULARIDADE
Demonstra9ao
I?) r ::> AB
AB C r => dr,A
(distancia nula.)
S
A
2?) r 1J AB e r nao e perpendicular a AB.
Conduzindo os segmentos AA'
e BB' perpendiculares a r, com
A', B' E r, e observando os
triangulos AA'M eBB'M,
temos:
S'
,,
A
,
\
M
,
S
A'
A: == 13' (retos), AMA' == BMB'(opostos pelo vertice) => A == 13
(AMA' == BMB', AM == BM, A == B) => 6AA'M == 6BB'M =>
=>
AA' == BB'
=>
dr,A = dr,B'
3?) r .l AB por M (r e mediatriz de AB).
Neste caso A' = B' = Me entao AA' == BB', ou seja, dr,A
dr,B'
Nota
Em geral, uma reta que passa pelo ponto medio de urn segmento e eqiiidistante dos extremos, mas os pontos da reta nao sao eqilidistantes dos extremos.
Em particular, a mediatriz de urn segmento e eqiiidistante dos extremos t:
seus pontos tambem sao eqiiidistantes dos extremos.
217. Toda reta eqiiidistante dos extremos de urn segmento passa pelo ponto medio dele?
....
218. Dados dois pontos A e B distintos e urn ponto P fora da reta AB, como se obtem,
no plano dos pontos A, Be P, duas retas eqiiidistantes de A e B passando por P?
219. Prove que a altura re1ativa a qualquer lado de urn triangulo e menor que a media
aritmetica dos lados adjacentes.
220. Demonstre que a soma das tres alturas de urn triangulo acutangulo e menor que
o perimetro e maior que 0 semiperimetro desse triangulo.
97
PERPENDICULARIDADE
221. Sendo r e s retas paralelas e
DE = 2AB, determine x.
:1t2:
B
A
E
C
222. Num triangulo retangulo ABC de hipotenusa BC, trace a bissetriz BS, com S
em AC, relativa ao lado AC. Mostre que AS < Sc.
223. 0 triangulo ABC abaixo eisosceles de
base BC. Determine x.
A
15°
B"'---'-------"
CAPITULO VII
Quadrilateros
Notaveis
Defini~ao e elementos
I. Quadrilatero -
Sejam A, B, C e D quatro pontos d~m mesmo plano, todos distintos
e tres nao colineares. Se os segmentos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas
nas extremidades, a reuniao desses quatro segmentos e urn quadri/dtero.
,
95.
I
/
/
I
/
A /
ABCD convexo
ABCD concavo
QuadriI;itero ABCD = ABCD = AB U BC U CD U DA
o quadrilatero e urn poligono simples de quatro lados.
AB, BC, CD, DA sao os ladas,
A = DAB, B = ABC, C = BCD e 15 = c15A sao os fingulos e
AC e BD sao as diagonais do quadrilatero ABCD.
99
QUADRILATEROS NOTAvEIS
96. Urn quadrilcitero tern 2 diagonais (d = 2), soma dos angulos internos
igual a 360° e soma dos angulos externos tambern igual a 360°.
II. Quadrilateros notaveis -
Definic;oes
as quadrilciteros notaveis sao os trapezios, os paralelograrnos, os retangulos, os losangos e os quadrados.
97.
Trapezio
Urn quadrilcitero plano convexo e urn trapezio se, e sornente se, possui
dois lados paralelos.
ABCD e trapezio <==? (AB II CD ou AD II BC).
as lados paralelos sao as bases
o
c
do trapezio.
De acordo com os outros dois lados nao bases, ternos:
B
A
• trapezio isosceles, se estes lados sao congruentes
• trapezio escaleno, se estes lados nao sao congruentes.
Trapezio retangulo (ou bi-retangulo) e urn trapezio que tern dois angulos retos.
oeD
CDC
0
C
OuDD
A
BA
trapezio isosceles
98.
B
A
trapezio escaleno
Paralelogramo
ABCD e paralelograrno
o
<==?
A
trapezio escaleno
Urn quadrilcitero plano convexo
e urn paralelogramo se, e somente se,
possui os lados opostos paralelos.
100
B
trapezio retangulo
C
~7
<----L
A
B
B
AB II CD e AD II BC
QUADRILATEROS NOTAvEIS
99.
Retangulo
o
c
r-l
Urn quadrilatero plano convexo
e urn ret[mgulo se, e sornente se, possui
os quatro iingulos congruentes.
~B
A
ABCD e retangulo
<==?
A == fi = C == IS
100. Losango
o
Urn quadrilatero plano convexo
e urn losango se, e sornente se, possui
os quatro lados congruentes.
c
A
B
ABCD e losango
<==?
AB == BC == CD == DA
101. Quadrado
o
Urn quadrilatero plano convexo
e urn quadrado se, e somente se, possui
os quatro iingulos congruentes e os quatro lados congruentes.
A
ABCD e quadrado <==? (A == fi ==
B
c == IS e AB == BC == CD == DA)
III. Propriedades dos trapezios
102. Trapezio qualquer
Em qualquer trapezio
ABCD~ota~iio ciclica) de bases
AB e CD ternos:
A + IS = fi + C = 180 0
A
B
L:\
o
c
101
QUADRILATEROS NOTAvEIS
De fato,
.........
II
.........
(AB
CD, AD transversal)
(AB II CD, BC transversal)
=
=
~ + ? = 180
= B + C = 180
0
0
]
=
A + D = B + C = 180 0
103. Trapezia isosceles
Os angulos de cada base de urn trapezio isosceles sao congruentes.
Hipotese
AB e CD sao bases do trapezio isosceles
Tese
= (C == D e A
=
8)
A
Demonstrariio
1) Tracemos as perpendiculares as bases pelos vertices A e B da base
menor, obtendo os pontos A' e B' na base maior CD. Notemos que AA' == BB'
por serem distancias entre retas paralelas.
2) Os triangulos reHingulos AA 'D eBB' C sao congruentes pelo caso especial visto que AA' == BB' (cateto) e AD - BC (hipotenusa). Oaf obtemos C = D.
3) Como A e jj sao suplementares de 15 e C, respectivamente, temos:
A= 8.
Observa~ao
Da congruencia dos triangulos AA'D eBB' C decorre tambem que
A'D == B' C, 0 que nos permite enunciar:
As projel;oes ortogonais dos lados nao bases de urn trapezio isosceles,
sobre a base maior, sao congruentes.
102
QUADRILATEROS NOTAvEIS
104. Trapezio isosceles - diagonais congruentes
As diagonais de urn trapezio isosceles sao congruentes.
Hip6tese
Tese
~tmpbjo
ABCD
d."bases
ABeCD,AD==BC
A
B
1 = AC = BD ~
J
~
D
C
Demonstrariio
Observemos os triangulos ADC e BCD:
(AD == BC, 0 == C, DC = CD) ~ 6ADC - 6BCD
==>
AC == BD
Nota
Da congruencia acima obtemos ACD == BOC. Daf decorre que os triangulos PCD e PAB sao isosceles com bases CD e AB, sendo Po ponto onde as
diagonais se cortam.
IV. Propriedades dos paralelogramos
105. Angulos opostos congruentes
a) Em todo paralelogramo dois angulos opostos quaisquer sao congruentes.
Hip6tese
Tese
ABCD e paralelogramo
==>
(A == C e B == 0)
Demonstrariio
/
L...-
A
/e _ 1 J
-'
,
~
,
B"
o
,"
A
103
QUADRILATEROS NOTAvEIS
,
ABCD e paralelograrno =>
[AD # Be
-
I
-
AB # CD
=>
=>
~ + ~ = 180
B + C = 180
0
]
=>
0
A==c
Analogarnente para B == O.
b) Todo quadrilatero convexo que tern angulos opostos congruentes e paralelograrno.
Sendo ABCD urn quadrilatero convexo,
Hip6tese
Tese
(A = C, B == 0)
ABCD e paralelograrno
=>
Demonstrar;iio
A == C, B = 0
A+ B
=>
ABCD quadrilatero
=> A +
=>
=>
C+ 0
]
A + B + C + 0 = 360 =>
0
B = A + 0 = 180
0
=>
ABCD e paralelograrno.
AD # BC e AB # CD
=>
c) Conseqiiencia
Todo retangulo e paralelograrno.
106. Lados opostos congruentes
a) Em todo paralelograrno, dois lados opostos quaisquer sao congruentes.
Hip6tese
Tese
ABCD e paralelograrno
=>
(AB == CD e BC == AD)
o
c
~----- --_\-------~
A
104
--
B
QUADRILATEROS NOTAVEIS
Demonstrariio
ABCD
=-
e paralelogramo =- [~::CD =- BAc == DCA
(AC comum, BAc = DCA, B = D)
AB
CD e BC == DA.
-
=
LAAo
=- LiABC == LiCDA =-
b) Todo quadril<itero convexo que tern lados opostos congruentes
e paralelogramo.
Sendo ABCD urn quadrilatero convexo,
Tese
Hip6tese
(AB = CD, BC == DA)
=- ABCD e paraIelogramo
c
B
A
Demonstrariio
(AB == CD, BC == DA, AC com urn) lli LiABC == LiCDA
=-
B~C == D~A =- AB II CD] =- ABCD e paralelogramo
[ BCA
== DAC =- AD II BC
c) Conseqiiencia
I Todo losango e paralelogramo.
107. Diagonais dividem-se ao meio
a) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos medios.
105
QUADRILATEROS NOTAvEIS
Hip6tese
Tese
(A BCD e paralelogramo, AC n BD
IMJ)
(AM == CM e BM == DM)
=>
Demonstrariio
o
ABCD e paralelogramo => AB == CD (1)
ABCD e paralelogramo => AB II CD =>
=> BAc == DCA (2) e ABD
CDB (3)
~
~
=
c
"
,M
,,
........
'x ....
~ ~
ALA
«2), (1), (3) => L.ABM == L.CDM
=> (AM == CM e BM == DM.)
,,
=>
A
o
B
b) Todo quadrilMero convexo em que as diagonais interceptamse nos respectivos pontos medios e paralelogramo.
Sendo ABCD urn quadrilcitero convexo,
Hip6tese
Tese
(AC n BD = [M), AM == CM, BM == DM)
=>
ABCD e paralelogramo
Demonstrariio
(AM = CM, AMB == CMD (o.p.v.),
BM = DM) ~ L.ABM == L.CDM
BAM == DCM
=>
=>
AB II CD
Analogamente, considerando L.ADM e L.BCM, AD II Be.
(AB II CD e AD II BC) => ABCD e paralelogramo.
c) ConseqiH~ncia
Se dois segmentos de reta interceptam-se nos respectivos pontos
medios, enUio suas extremidades sao vertices de urn paralelogramo.
106
QUADRILATEROS NOTAVEIS
108. Dois lados paralelos e congruentes
a) Todo quadrihitero convexo que tern dois lados paralelos e congruentes e urn paralelogramo.
Sendo ABCD urn quadrilMero convexo,
Hip6tese
(AB II CD e AB == CD)
Tese
=- ABCD e paralelogramo
Demonstrariio
AB II CD =- BAc == DCA
(AB == CD, BAc == DCA, AC comum) ~ BC == AD
Se AB == CD e BC == AD, entao, pelo item 106b, ABCD e paralelogramo.
b) Conseqiiencia
Se dois segmentos de reta sao paralelos e congruentes, entao suas
extremidades sao vertices de urn paralelogramo.
V. Propriedades do retangulo, do losango
e do quadrado
109. Retangulo - diagonais congruentes
Alem das propriedades do paralelogramo, 0 retangulo tern a propriedade caracteristica que segue.
107
QUADRILATEROS NOTAvEIS
a) Em todo retangulo as diagonais sao congruentes.
Hip6tese
Tese
=- AC == BD
ABCD e retangulo
D
c
A
8
Demonstrar;iio
=- ABCD e para=- BC == AD
ABCD e retangulo
Ielogramo
(BC == AD, B == A, AB comum)
kM 6.ABC == 6.BAD =- AC == BD.
b) Todo paralelogramo que tern diagonais congruentes e urn retangulo.
Sendo ABCD urn paralelogramo,
Hip6tese
AC == BD
Tese
=- ABCD e retangulo
Demonstrar;iio
D
1------------- C
D-------------,C
I
I
-
_p-~:-----------11-~-
I
I
1
1
1
1
1
I
1
1
I
I
I
I
I
I
8
A
ABCD e paralelogramo
=- BC == AD.
(AC == BD, BC == AD, AB comum) ill 6.ABC == 6.BAD
.....
...
,18
8
=- A == B.
~
++
Como A e B sao angulos colaterais em rela~ao as paralelas AD e BC,
A e B sao suplementares.
Logo, A e B, sendo congruentes e suplementares, sao retos.
No paralelogramo os angulos C e 15 sao opostos respectivamente a A
e B e, portanto, C e 15 tambem sao retos.
Entao:
A == B == C == 15 (sao todos retos) =- ABCD e retangulo.
108
QUADRILATEROS NOTAvEIS
110. Losango - diagonais perpendiculares
Alem das propriedades do paraielogramo, 0 losango tern a propriedade
caracteristica que segue.
a) Todo Iosango tern diagonais perpendiculares.
Hip6tese
D
Tese
ABCD e Iosango
=- AC..L BD
c
B
Demonstrarao
=
ABCDeIosango
ABCDeparaleiogramo
Pelo caso LLL, temos as congruencias:
= (AM = CM, BM = DM).
6AMB == 6AMD == 6CMB == 6CMD
e, entao, os angulos de venice M sao congruentes e suplementares.
Logo, AC ..L BD.
b) Todo paralelogramo que tern diagonais perpendiculares e urn
Iosango.
Sendo ABCD urn paraielogramo,
D
Hip6tese
-+
I
AC ..L BD
Tese
=- ABCD e urn Iosango
A
---H-~-If-- c
~
-L.
I
B
Demonstrarao
=
ABCD e paralelogramo
(AC n BD = [M], AM = CM, BM = DM)
Pelo caso LAL, temos as congruencias:
6AMB == 6AMD == 6CMB == 6CMD
Dai, AB == AD == BC == CD e entao ABCD e Iosango.
109
QUADRILATEROS NOTAVEIS
111. Quadrado - diagonais congruentes e perpendiculares
Pelas definii;oes, podemos concluir que:
Todo quadrado e retangulo e tambem e losango.
Portanto, alem das propriedades do paralelogramo, 0 quadrado tern as
propriedades caracteristicas dos retangulos e do losango
0
D~-----.."C
,,
/
, y:y x:
X
""
oJ
'y
/
/
/
/
/"'
/
X
,
"'
AI<.-------"'B
ABCD e quadrado <==> (ABCDe paralelogramo, AC == BD, AC J.. BD).
112. Nota
Notemos, em resumo, que se urn quadri/dtero convexo
tern as diagonais que se cortam ao meio, entao e urn paralelogramo,
tern diagonais que se cortam ao meio e sao congruentes, entao e urn retiingulo,
tern diagonais que se cortam ao meio e sao perpendiculares, entao e urn losango,
tern diagonais que se cortam ao meio, sao congruentes e sao perpendiculares,
entao e urn quadrado.
VI. Conseqiiencias - Bases medias
113. Base media do triongulo
a) Se urn segmento tern extremidades nos pontos medios de dois
lados de urn triangulo, entao:
l~) ele e paralelo ao terceiro lade;
2~) ele e metade do terceiro lado.
110
QUADRILATEROS NOTAvElS
Seja ABC 0 triangulo.
Hipotese
Tese
[1~) MN II BC
==>
(AM == MB, AN == NC)
2~) MN =
+
BC
/
/
A /
/
/
/
/
M/----.JL...::"":::--;;--------f D
B~--------~
/
/
/
/
I
/
Demonstrar;ao
-++
Conduzimos por C uma reta paralela it reta AB e seja D 0 ponto de interse<;ao com a reta MN: CD II AB.
,..
...
CD II AB ==> C == A
~
~
~
~
~
(C == A, AN == CN, N o.p.v.) ~ 6AMN = 6CDN
-----
==> CD == AM ==> CD = MB
(CD II MB, e CD
MB) ==> MBCD e pa.ralelogramo
==> MD II BC ==> MN II BC
=
==>
==>
E ainda:
6AMN == 6CDN
==>
M BCD e paralelogramo
==>
2· MN = BC
==>
MN == DN
]
==> MD == BC
MN =
==>
+
Be.
b) Se urn segmento paralelo a urn lado de urn triangulo tern uma
extremidade no ponto medio de urn lado e a outra extremidade no terceiro lado, entao esta extremidade e ponto medio do terceiro lado.
III
QUADRILATEROS NOTAvEIS
Seja ABC 0 triangulo.
Hip6tese
Tese
(MN II BC, AM == MB, N E AC)
=- AN == NC
A
A
I-----~N = Nt
Mf-------....o.".N1 l
B'-----------~C
BL..----------~ C
Demonstrar;iio
...
~
...
Seja N, 0 ponto medio de· A C. Pelo teorema anterior MN1 II BC.
Como a reta paraleia a reta BC par Me unica (postulado das paralelas, item 72),
resulta que MN, = MN. E como MN, e MN interceptam A C em N, e N,
respectivamente, decorre que N, = N.
Logo, AN == NC.
~..........
~.......
114. Base media do trapezio
a) Se urn segmento tern extremidades nos pontos medios dos lados nao paralelos de urn trapezio, entao:
I?) ele e paralelo as bases;
2?) ele e iguaI a semi-soma das bases.
Seja ABCD urn trapezio nao paralelogramo de bases AB e CD.
Hip6tese
(AM == DM, BN == CN)
112
Tese
=-
QUADRILATEROS NOTAvEIS
Demonstrariio
D
Seja E 0 ponto de intersec;ao das
-++
-++
retas DN e AB.
-++
-++
=- 13 == C
AB II CD
-
ALA
c
M /-------'''i
A '-------------------,!:-
(13 == C, BN = CN, N o.p.v.) =ALA
--=6BEN == 6CDN =- EN == DN (I)
---
e BE == CD (2)
No MDE, em vista de (I), MeN sao pontos medios de AD e DE, respectivamente.
Logo,
I?) MN II AE =- MN II AB II CD
2?) MN =
AE =- MN = AB + BE =ill. MN = AB + CD
2 2 2
Se ABCD for paralelogramo, a propriedade e imediata.
b) Se urn segmento paralelo as bases de urn trapezio tern uma extremidade no ponto medio de urn dos outros lados e a outra extremidade
no quarto lado, entao esta extremidade e ponto medio deste lado.
Se ABCD e urn trapezio nao paralelogramo,
Hip6tese
Tese
(MN II AB II CD, AM == DM, N E BC)
=- BN == CN
Demonstrariio
Seja N, 0 ponto medio de Be.
-++
Pelo teorema anterior MN, II AB II
-++
-++
II CD. Como a reta paralela a reta AB
pelo ponto M e unica (postulado das
-++-++paralelas, item 72), temos MN, = MN.
E como MN, e MN interceptam BC em
N, e N, respectivamente, decorre que
N, = N
Logo, BN == CN.
~
~
~
A
113
QUADRILATEROS NOTAVEIS
EXERCicIOS
224. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
225. Determine os angulos do quadrilatero ABeD nos casos:
a)
b)
D
B
c
B ........
--'--l
226. Determine 0 valor de x nos casos:
a) PA = PB
b) AB
c
CD
AD e CB
A
B
D
B
c
227. Se AP e BP sao bissetrizes, determine x nos casos:
a)
b)
~----~B
D---__
--:.i
114
A ---------.:~ B
QUADRILATEROS NOTAvEIS
228. Se AP e BP sao bissetrizes, determine:
a)
b) t, que excede IS em 10°
t + IS
o
A
B--
--=~
A
B
229. Se BP, AP, CQ e DQ sao bissetrizes, determine x + y.
B
0"------------0:010 C
230. Se ABCD e trapezio de bases AB e CD, determine x e y.
b)
a)
y - 30°
231. ABCD e trapezio de bases AB e CD.
Se DP e CP sao bissetrizes, determine
x e BCD.
o"'-------------.::I,c
115
QUADRILATEROS NOTAvEIS
232. Se 0 trapezio A BCD e isosceles de bases AB e CD, determine A.
A
B
2x - 15°
x + 25°
D
233. Se ABCD e urn paralelogramo e
A = 2x e C = x + 70 0 , determine
C
A
B
l <+70J
B.
c
D
234. Sendo ABCD urn paralelogramo, AP
e bissetriz, AB = 7 em e PC = 3 em,
determine
logramo.
0
C
perimetro do parale-
A
235. Se ABCD e urn paralelogramo,
AD = 20em, BQ = 12 em e
BP = BQ, determine 0 perimetro
A
desse paralelogramo.
C
p
236. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todo retiingulo e urn paralelogramo.
b) Todo paralelogramo e retiingulo.
c) Todo quadrado e retiingulo.
d) Todo retiingulo e quadrado.
e) Todo paralelogramo e losango.
f) Todo quadrado e losango.
116
QUADRILATEROS NOTAVEIS
237. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todo retangulo que tern dois lados congruentes e quadrado.
b) Todo paralelogramo que tern dois lados adjacentes congruentes e losango.
c) Se urn paralelogramo tern dois angulos de vertices consecutivos congruentes,
entao ele e urn retangu!o.
d) Se dois angulos opostos de urn quadrilcitero sao congruentes, entao ele e urn
paralelogramo.
238. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois lados de urn quadrillitero sao congruentes, entao ele e urn paralelogramo.
b) Se dois lados opostos de urn quadrilcitero sao congruentes, entao ele e urn paralelogramo.
c) Se dois lados opostos de urn quadrilcitero sao congruentes e paralelos, entao
ele e urn paralelogramo.
239. C!assifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) As diagonais de urn losango sao congruentes.
b) As diagonais de urn retangulo sao perpendiculares.
c) As diagonais de urn retangulo sao bissetrizes dos seus angulos.
d) As diagonais de urn paralelogramo sao bissetrizes dos seus angulos.
e) As diagonais de urn quadrado sao bissetrizes de seus angulos e sao perpendiculares.
f) Se as diagonais de urn quadrilcitero sao bissetrizes de seus angulos, entao ele
e urn losango.
g) Se as diagonais de urn quadrilcitero sao perpendiculares, entiio elas sao bissetrizes dos angulos dele.
h) Se as diagonais de urn quadrilcitero sao congruentes e perpendiculares, entao
ele e urn quadrado.
i) Se as diagonais de urn quadrilcitero sao bissetrizes e congruentes, entao ele e
urn quadrado.
j) Se uma diagonal de urn quadrillitero e bissetriz dos dois angulos, entao ela
e perpendicular a outra diagonal.
240. Calcu!e os lados de urn retangulo cujo perimetro mede 40 em, sabendo que a base excede a altura em 4 em.
241. Determine a base e a altura de urn retangulo, sabendo que 0 perimetro vale 288 m
e que a base excede em 4 m 0 triplo da altura.
242. Calcule os (ados de urn paralelogramo, sabendo que 0 seu perimetro mede 84 m
e que a soma dos lados menores representa
~ da soma dos lados maiores.
117
QUADRILATEROS NOTAvEIS
243.
A soma de dois angulos opostos de urn paralelogramo e igual a
:3
da soma dos
outros dois angulos opostos. Determine-os.
244.
Determine as medidas dos angulos de urn paralelogramo, sabendo que a diferen-
~a entre dois consecutivos e igual a ~ da soma dos seus angulos.
245. Prove que as bissetrizes de dois angulos consecutivos de urn paralelogramo cortamse em angulo reto.
246. Em urn trapezio retangulo, a bissetriz de urn angulo reto forma com a bissetriz
do angulo agudo do trapezio urn angulo de 110°. Determine 0 maior angulo do
trapezio.
247. A diagonal de urn losango forma com urn dos seus lados urn angulo igual a ten;a
parte de urn reto. Determine os quatro angulos do losango.
248. A bissetriz de urn angulo obtuso do losango faz com urn dos lados urn angulo
de 55°. Determine 0 valor dos angulos agudos.
249. A base maior de urn trapezio isosceles mede 12 mea base menor 8 em. Calcule
o comprimento dos lados nao paralelos, sabendo que 0 perimetro e 40 em.
250. Urn dos angulos internos de urn trapezio isosceles e os
~ do angulo externo
adjacente. Determine os quatro angulos do trapezio.
251. A soma dos angulos consecutivos de urn trapezio e igual a 78° e sua diferen~a e
4°. Determine 0 maior angulo do trapezio.
252. Determine as medidas dos angulos formados pelas bissetrizes internas de urn trapezio em que dois angulos agudos consecutivos medem 80° e 60°.
253. Com urn arame de 36 m de comprimento construimos urn triangulo equilcitero
e com 0 mesmo ararne construimos depois urn quadrado. Determine a razao
entre 0 lado do triangulo e 0 lado do quadrado.
254. Se ABeD e quadrado e ABP e triangulo equilcitero, determine x nos casos:
a)
b)
D
C
~
A
118
B
p
c
B
QUADRILATEROS NOTAVEIS
255. Considerando congruentes os segmentos com "marcas iguais", determine os valores das incognitas nos casos:
b)
a)
256. NotriiinguloABCdeladosAB = 9,BC = 14eAC = 11, os pontosD, EeFsao
pontos medios de AB, AC e BC, respectivamente. Calcule 0 perimetro do triiingulo DEF.
257. Calcule 0 perimetro do triiingulo ABC, sendo MN = 7 em, NR = 4 em e
MR = 8 em, eM, N, R, pontos medios dos lados AB, AC e BC, respectivamente.
258. Prove que os pontos medios dos lados de urn quadri1<itero qualquer sao vertices
de urn paralelogramo.
Solu~ao
Seja ABCD um quadrilcitero; M,
N, P e Q os respectivos pontos
medios de AB, BC, CD e DA.
A
L>ABC
MN II AC e MN
A2C]
L>DAC
PQ II AC e PQ -
AC
2
=
MN II PQ e MN == PQ
=
o
B
=
c
MNPQ e paralelogramo.
259. A que condi<;6es devem obedecer as diagonais de urn quadrilatero convexo para
que os pontos medios de seus lados sejam vertices de urn losango? E de urn retiingulo?
260. A que condi<;6es devem obedecer as diagonais de urn quadrilarero convexo para
que 0 pontos medios de seus lados sejam vertices de urn quadrado?
261. Seja ABCD urn trapezio de base maior AB e base menor CD. Sejam M 0 pon-
-
to medio do lade AD e No ponto medio de Be. Os pontos P e Q sao os pon-tos de interse<;ao de MN com as diagonais AC e BD, respectivanlente. Dados
AB = a e CD = b, calcule MN, MP, MQ, NP, NQ e PQ.
119
QUADRILATEROS NOTAVEIS
Solm;ao
E uma ~ca<;ao dos itens 113 e 114 da teoria.
Sendo MN base media do trapezio, MN e paralela as bases e dai os pontos
P e Q sao os respectivos pontos medios de AC e BD.
Usando a base media de triangulo e de trapezio, temos:
MN = ~. MP = ...Q.... MQ = ~. NP = ~. NQ = ...Q... e
2'
PQ = MQ - MP
2'
2'
a
b
2'
=- PQ = 2 - 2 =-
2
a- b
PQ = - 2 -
262. A base media de urn trapezio vale 20 em e a base maior e os ; da base menor.
Determine as bases.
263. Em urn trapezio sao dadas as bases AB = 20 em e CD = 12 em. Considere os
pontos P e Q medios das diagonais AC e BD e, depois, os pontos ReS medios
dos lados BC e AD. Calcule os segmentos PRo RQ, RS.
264. Considerando que os segmentos com "marcas iguais" sao congruentes. determine os valores das incognitas nos casos:
a) trapezio
b) trapezio
f
t
x + 3
2x + 2
y + 2
~
4x - 3
~
120
X+Y+1
"s
d) trapezio (MN = x - 2y + 5)
c) trapezio
I
b
A
7
x
Y
16
z
Y
'*
~
~
~
~
x
QUADRILATEROS NOTAvEIS
265. Num trapezio retangulo em que 0 angulo agudo mede 45°, a altura e igual a diferenc;a das bases.
266. Prove que a altura de urn trapezio retangulo que tern 0 angulo agudo medindo
30° e igual a metade do lado nao perpendicular as bases.
267. Prove que as bissetrizes dos angulos obtusos de urn paralelogramo sao paralelas.
268. Prove que as bissetrizes dos angulos formados pelas diagonais de urn retangulo
sao paralelas aos lados do retangulo.
269. Num trapezio isosceles ABCD, a base menor AB e congruente aos lados nao
paralelos. Prove que as diagonais sao bissetrizes dos angulos t e 15 do trapezio.
270. Num paraielogramo ABCD trac;amos sua diagonal AC. Pelos vertices BeD trac;amos dois segmentos BP e DQ perpendiculares a diagonal AC, com P e Q
pertencentes a AC. Prove que BP e congruente a DQ.
271. Pelo ponto medio M da base BC de urn triangulo isosceles ABC trac;amos os
segmentos MP e MQ respectivamente paralelos aos lados AB e AC do triangulo.
Prove que APMQ e urn losango.
272. Consideremos urn quadrilMero convexo com dois angulos opostos retos. Prove
que as bissetrizes dos outros dois angulos internos do quadrilMero sao semi-retas
paralelas entre si.
273. Na figura, ABCD e urn quadrado, onde BC + CE = AE. Sendo F 0
ponto medio de DC, prove que,
BAE = 2FAD.
D
FEe
~
A
B
121
CAPITULO VIII
Pontos Notaveis
do Triangulo
I. Baricentro - Medianas
115.
As tres medianas de urn triangulo interceptam-se num mesmo ponto
que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contern 0 vertice e 0 dobro da outra.
Hip6tese
Tese
1) AMI n BM 2 n CM) = [G]
Demonstrarao
[ 2) AG=2· GM" BG=2· GM ,
2
CG=2· GM)
Seja X 0 ponto tal que:
A
BM2 n CM) = [Xl
B
122
M,
PONTOS NOTAvElS DO TRIANGULO
Considerando OS pontos medios DeE de BX e CX, temos 0 que segue:
("ABC, AM,
= BM" AM,~CM,) = M,M,~ BC, M,M~; B2C]
(t.XBC, XD == BD e XE == CE)
==>
DE / / BC e DE = -2-
M 1 M J / / DE e M 2 M J == DE
==>
M~3DE e paralelogramo
==>
==> \ DX
== XM 1 ==>
l EX == XM
3
BX = 2 . XM 2
CX = 2 . XM 3
==>
==>
==>
(I)
(2)
Logo, a mediana BM} intercepta a mediana CM3 num ponto X tal que:
CX = 2· XM]
Tomando-se as medianas AMI e CM3 e sendo Yo ponto tal que:
AMI n CM) = !Yj,
de modo amilogo concIuimos que:
CY = 2 . YM 3
(3)
e
A Y = 2 . YM,
(4)
De (2) e (3), decorre que X = Y.
Chamando este ponto X = Y de G e considerando (1), (2) e (4), temos:
AM) n BM 2 n CM) = [Gj
AG = 2 . GM"
116. Baricentro -
BG = 2 . GM 1 ,
e
CG = 2 . GM 3
defini~ao
o ponto de interse<;ao (ou ponto de encontro, ou ponto de concurso)
das tres medianas de urn triangulo e 0 baricenfro do triangulo.
G e 0 baricentro do MBC.
A
M,
c
123
PONTOS NOTAvEIS DO TRIANGULO
AM) n BM2 n CM 3 = [0)
AO = 2 . OM) , BO = 2 . OM 2 , CO = 2 . OM 3
AO = l
. AM) , BO = 2 . BM , CO = l
3 3 23
1
OM) = -3 . AM"
. CM]
OM 2 = -L. BM 2 , OM 3 = -L. CM]
3
3
Nota: 0 baricentro e 0 centro de gravidade do triangulo.
II. Incentro 117.
Bissetrizes internas
As tres bissetrizes internas de urn triangulo interceptam-se num
mesmo ponto que esta a igual distancia dos lados do triangulo.
Sendo 0 MBC de lados BC = a, AC = b,
e AB = c,
Hip6tese
Tese
n BS z n CS
= [ 2)1) dAS,
s. = d = d
AS" BS 2 , CS 3 sao bissetrizes internas
a
S.b
3
.C
A
Demonstrariio
Seja S 0 ponto tal que:
BS 2 n CS 3 = [SJ
B
a
5,
Temos:
1=
ds.a = ds.c
dS.a -- dS.b j
Logo,
I?) AS 1 n BS z n CS 3
124
is]
e
2?) ds,a = d S•b = ds,c
c
[S]
PONTOS NOTAvEIS DO TRIANGULO
118. Incentro - defini<;ao
o ponto de intersel;iio (ou ponto
de encontro ou ponto de concurso) das
tres bissetrizes internas de urn triangulo
e 0 incentro do triangulo.
A
b
S e 0 incentro do MBC.
AS 1 n BS2 n CS 3 = [SJ
ds.a = ds,b = ds.c
a
S,
B
c
Nota
o incentro e 0 centro da circunferencia inscrita no triangulo.
III. Circuncentro - Mediatrizes
119.
As mediatrizes dos lados de urn triangulo interceptam-se num mesmo ponto que est a a igual distancia dos vertices do triangulo.
Sendo 0 MBC,
Hipotese
Tese
m" m 2 , m~ediatrizes de
BC, AC e AB
=>
{l) m, n
~n m 3 = [OJ
2) OA == OB == OC
Demonstrar;iio
A
Seja 0 0 ponto tal que:
m 2 n m 3 = [OJ
o E m 2 => OA == OC I
o E m 3 => OA == OB j
=>
OB == OC
=>
=>
B
0 E m,
[OJ
e
I
/m,IM ,
c
I
2) OA == OB == OC.
125
PONTOS NOTAvEIS DO TRIANGULO
120. Circuncentro -
defini~ao
A
o ponto de interse<;:ao (ou ponto
de encontro ou ponto de concurso) das
mediatrizes dos lados de urn triangulo
e 0 circuncentro do triangulo.
Nota
o circuncentro e 0 centro de circunferencia circunscrita ao triangulo.
IV. Ortocentro -
I
1
m,
Alturas
,
'A
121.
As tres retas suportes das
alturas de urn triangulo
interceptam-se num mesmo
ponto.
~ndo 0
flABC de alturas AH 1,
BH 2 , CH 3 •
Hip6tese
Tese
AR BB CH retas que contem as alturas ==> AR n B"H, n CH.1
I•
l,
1
3
lHl
Demonstrardo
Pelos vertices A, B e C do triangulo conduzimos retas paralelas aos lados opostos, obtendo 0 triangulo MNP.
A.E NP e
B E MP e
C E MN e
NP II BC;
MP II AC;
-MN II AB.
1 ==> A e ponto medio de
APBC e paralelogramo ==> AP == BC
ABCN e paralelogramo ==> AN == BCJ
~
==>
126
AHI e perpendicular a NP
(2)
P (I)
PONTOS NOTAvEIS DO TRIANGULO
--
De (I) e (2), decorre que:
Areta AH1
--
e mediatriz de NP.
Analogamente:
Areta BHz e mediatriz de MP.
-- -- -- --
Areta CH3 e mediatriz de MN.
Logo, considerando 0 I:1MNP, as mediatrizes AH1, BHz e CH3 dos lados do trHingulo interceptam-se num ponto, H.
-- -- --
AH 1 n BH z n CH 3 = [H]
122. Ortocentro -
defini~ao
o ponto de interse~ao (ou ponto de encontro ou ponto de concurso) das
retas suportes das alturas de urn trHingulo e 0 ortocentro do triangulo.
EXERCicIOS
274. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) 0 incentro e 0 centro da circunferencia inscrita no triiinguio.
b) 0 circuncentro e 0 centro da circunferencia circunscrita ao triiingulo.
c) 0 incentro e interno ao triiingulo.
d) 0 baricentro e interno ao triiingulo.
e) 0 ortocentro e interno ao triiingulo.
f) 0 circuncentro e.interno ao triiingulo.
g) 0 baricentro e 0 centro da circunferencia inscrita no triiingulo.
275. Diga que triiingulo satisfaz a condi~ao dada nos casos:
a) 0 ortocentro e 0 baricentro sao coincidentes;
b) 0 incentro e 0 circuncentro sao coincidentes;
c) 0 ortocentro e urn dos vertices;
d) 0 ortocentro e externo;
e) 0 circuncentro e externo;
f) 0 circuncentro esta em urn dos lados;
g) 0 ortocentro e urn ponto interno.
127
PONTOS NOTAvEIS DO TRIANGULO
276. Considere os segmentos constituidos pelas tres alturas, pelas tres medianas e pelas tres bissetrizes internas de urn triiinguio. Quantos desses segmentos, dois a
dois distintos, teremos:
a) no triiingulo equilcitero;
b) no triiingulo isosceles nao equilcitero;
c) no triiingulo escaleno.
277. Sendo Go baricen'tro do triiingulo ABC,
determine x, y e z.
A
AG = 10
BG
Y
CG = 14
8~
278. Se 0 quadrilcitero ABCD e urn paralelogramo eM e ponto medio de AB, determine x.
--,-
~C
M
,8
~----;r
DP = 16
PM = x
D""-
~
279. Sendo H 0 ortocentro de urn triiingulo ABC e BRc = 150°, determine 1>...
280. Se He {) ortocentro de um triiingulo isosceles ABC de base BC e BRc ,= 50°,
determine os iingulos do triiinguio.
281. Se P eo incentro de urn triiingulo ABC e BPC = 125°, determine A,
282. 0 circuncentro de urn triiingulo isosceles e interno ao triiingulo e duas mediatrizes formam urn iingulo de 50°. Determine os iingulos desse triiinguio.
283. Considerando congruentes os segmentos com "marcas iguais", determine os
valores das incognitas nos casos:
a)
128
b) paralelogramo
PONTOS NOTAvEIS DO TRIANGULO
284. Considerando os quatro pontos notaveis de urn triiingulo:
a) Quais os que podem ser externos ao triiingulo?
b) Qual 0 que pode ser ponto medio de urn lado?
c) Qual 0 que pode ser vertice do triiingulo?
285. Em urn triiingulo ABC, os iingulos A e B medem, respectivamente, 86° e 34°.
Determine 0 iingulo agudo formado pela mediatriz relativa ao lade BC e pela bissetriz do iingulo C.
286. Em urn triiingulo ABC os iingulos A e fj medem, respectivamente, 70° e 60°. Determine a raziio entre os dois maiores iingulos formados pelas intersecoes das tres
alturas.
287. Determine as medidas dos tres iingulos obtusos formados pelas mediatrizes de
urn triangulo equillitero.
288. Na figura, Q e 0 ponto medio de AB.
QP e paralelo a Be. Sendo A C =
= 30em, determine PO.
289. Na figura, A BCD e retiingulo, Me 0
ponto medio de CD e 0 triiingulo
ABM e equillitero. Sendo AB = 15,
calcule AP.
c
D
M
"..--_--,.--_-----,C
A-<::-
~----~B
290. Determine 0 perimetro do triangulo ARS
da figura, onde AB e AC medem 15 em
e 18 em, respectivamente, sendo BQ e CQ
as bissetrizes dos iingulos fj e (; do triangulo ABC e RS paralelo a Be.
A
R r-__~:::::--__"""S
BIC-----------:::O'C
291. As tres bissetrizes de urn triiingulo ABC se encontram num ponto O. Determine
as medidas dos iingulos AGB, AGC e BGC em funeao dos iingulos A, fj e (; do
triiingulo.
129
LEITURA
Papus: 0 Epilogo
da Geometria Grega
Hygino H. Domingues
A partir do seculo III a.C., Roma come~a a se impor como potencia militar imperialista. Em 156 a.c., ap6s uma sucessao de conquistas, anexou a Grecia aos seus ja vastos dominios. A mesma sorte
teria 0 Egito em 31 a.c. Mas alguns anos antes os romanos ja haviam
intervindo neste pais, valendo-se da disputa pelo poder entre Cle6patra e seu irmao. Cesar, no ana 47 a.C., mandara incendiar a esquadra
egipcia ancorada no porto de Alexandria. 0 fogo se alastrou e atingiu
a biblioteca, consumindo cerca de 500 mil textos.
Apesar desses acontecimentos, Alexandria continuaria a ostentar por muito tempo a condi~ao de capital cultural do mundo. Mas,
por raz6es varias, aproximadamente por volta dessa epoca come~a
a declinar em intensidade sua pujan~a, inclusive no campo da matematica.
De urn lado 0 modelo matemMico dos gregos, com sua grande
enfase na geometria dedutiva, paralelamente a nao-ador;ao de qualquer
simbologia algebrica, estava se esgotando. Ademais, os romanos, embora a principio nao interferissem nas atividades cientificas dos gregos, muito menos as incentivavam ou valorizavam, posto que s6 0 conhecimento pr<itico lhes interessasse. E, quando 0 cristianismo se tornou a religiao oficial do Imperio Romano, essa isen~ao foi sendo abandonada, culminando com 0 fechamento das escolas gregas de filosofia
no ana 529, incluindo a secular Academia de Platao, em Atenas. Nessa fase de decadencia 0 ultimo grande alento da matematica grega foi
dado par Papus de Alexandria (c. 300 d.C.).
ESPANHA
Sabil6nia
130
Papus provavelmente viveu e ensinou em Alexandria entre 0 final do seculo III e a primeira metade do seculo IV, conforme se deduz
de comentario seu sobre 0 A/magesto, em que cita como episodio recente urn eclipse do Sol ocorrido no ana 320. Dentre suas obras, apenas uma restou ate nossos dias: a Co/efiio Matemdtica, em oito livros,
dos quais 0 primeiro e parte do segundo se perderam.
Predominantemente uma obra de geometria, a grande importancia da Co/efiio Matemdtica se assenta em tres raz6es principais.
Uma delas se traduz nas preciosas informac;6es historicas que inclui sobre a matematica grega; a outra, na tentativa de tomar mais acessivel a geometria grega ja conhecida, mediante novas demonstrac;6es
e lemas explanatorios; a ultima e a propria contribuic;ao original de
Papus, bastante significativa.
Urn dos resultados de maior alcance deixados por Papus e conhecido hoje como teorema de Gu/din - em homenagem a P. Guldin,
que 0 redescobriu no seculo XVII. Esse teorema assegura que, se uma
reta e uma curva fechada sao coplanares e nao se interceptam, 0 volume do solido obtido girando-se a superficie delimitada pela curva em
tomo da reta e igual ao produto da area dessa superficie pelo comprimento da trajetoria de seu centro de gravidade.
E digna de registro tambem a proposic;ao 139, no livro VII, conhecida em geometria projetiva como teorema de Papus: "Se A, B e
C sao pontos de uma reta e A', B' e C' pontos de outra, conforme
a figura, entao AB' e A'B, AC' e A'C, BC' e B'C se encontram em
tres pontos colineares".
A Papus se deve ainda 0 conceito defoco e diretriz de uma conica. E dele 0 teorema: "0 lugar geometrico dos pontos de urn plano
cuja razao das distancias a urn ponto (foco) e uma reta (diretriz) e constante, e uma conica".
Enfim, bern que Papus se empenhou para reerguer a geometria
grega. Mas as forc;as inexoraveis da historia estavam contra ele.
131
CAPITULO IX
Poligonos
I. Defini~oes e elementos
123. Polfgonos -
defini~;ijo
Dada uma sequencia de pontos de urn plano (AI' A z, •.. , An) com
n ~ 3, todos distintos, onde tres pontos consecutivos nao sao colineares,
considerando-se consecutivos An-I, All e AI, assim como An> AI e A z, chama-se
poligono a reuniao dos segmentos A IA 2, A~j, ... , An-IAn, A~/.
Indicac;ao:
poligono A IA 2A j ... An-IAn ou, simplesmente, AIAlA j ... An-IAn
A 1A zA 3 ••• An-IAn = AIA z U A zA 3 U ... U An-IAn U AnAl
124. Exemplos
132
POLIGONOS
Para n
5. os dois casos abaixo nao sao poligonos.
E,
E,E 2E)E 4E s apresenta E" E 2 e E)
colineares
F,
e
F,F 2F)F4 F s apresenta F2 , F) e F4
colineares.
125. Elementos
Considerando 0 poligono AIA~J ... A lI - IA n, temos:
os pontos AI' A2J A J, ..., A n- j, An sao os vertices do poligono
os segmentos A IA 2, A~J' ... , An-JAn, A"AI sao os lados do poligono; e os
angulos
A, = A nA,A2 • A 2 = A,A 2 A), ... , An = A n-, AnAl
sao os angulos do poligono.
Dois lados que tern urn vertice comum (ou uma extremidade comum)
sao lados consecutivos.
Dois lados nao consecutivos nao tern vertice (ou extremidade) comum.
Dois angulos de urn poligono sao consecutivos se tern urn lado do poligono comum.
Urn poligono de n vertices possui n lados e n angulos.
A soma dos lados e 0 perfmetro do polfgono.
perimetro de A0~J ... A lI - IA n = A IA 2 + A 2A) + ... + An-,An + AnA,
126. Polfgono simples
Urn poligono esimples se, e somente se, a intersel;aO de quaisquer dois
lados nao consecutivos e vazia.
Dos poligonos do exemplo anterior (item 124), temos:
AIA~JA~5 e BjB2BJB4B5 sao poligonos simples
CjC2CJC4C5 nao e poligono simples (e complexo) e
D j DPJDP5 nao e poligono simples (e complexo e ainda entrelal;ado).
133
POL!GONOS
127. Polfgono convexo e polfgono concavo
Urn poligono simples e urn po/(gono convexo se, e somente se, a reta
determinada por dois vertices consecutivos quaisquer deixa todos os demais
(n - 2) vertices num mesmo semiplano dos dois que ela determina.
Se urn poligono nao e poligono convexo, diremos que ele e urn po/fgono
c6ncavo.
83
BIB2B3B4B5 e poligono concavo.
128. Interior e exterior de um polfgono
Dado urn poligono simples e urn ponto nao pertencente a ele, se conduzirmos uma semi-reta com origem no ponto e que nao passe por nenhum vertice, mas intercepte 0 poligono, se 0 mimero de pontos de interse~ao:
a) for impar, entao 0 ponto e in tern 0 ao poligono;
b) for par, 0 ponto e externo ao poligono.
o conjunto dos pontos internos de urn poligono e seu interior e 0 conjunto dos pontos externos ao poligono e seu exterior.
o interior de urn poligono convexo e uma regiao convexa.
o interior de urn poligono concavo e uma regiao concava.
129. Super/fcie poligonal
A reuniao de urn poligono com 0 seu interior e uma regiiio poligonal
ou supelj(cie poligona/.
Superficie poligonal
(convexa)
134
Superficie poligonal
(concava)
POLIGONOS
130. Observafi'io
Sob uma outra orientac;ao, ate este ponto nao adotada neste texto, 0
ente po/fgono corresponde ao que denominamos superjfcie po/igona/ ou regiiio
po/igona/; 0 ente po/igona/ jechada ou contorno do po/fgono corresponde ao
que chamamos de poUgono. As conclus6es pniticas a que se chega com uma
ou outra orientac;ao sao as mesmas.
131. Nome dos polfgonos
De acordo com 0 numero n de lados, os poligonos recebem nomes especiais. Veja a seguir as correspondencias:
n = 3 - - _ " triangulo ou trihitero------" 3lados
n = 4 - - _ " quadrangulo ou quadrilatero
4 lados
5 lados
n = 5 - - - " pentagono
• 6 lados
n
6 - - - - hexagono
n
7 - - - " heptagono
7 lados
n
8 - - - " oct6gono
- 8 lados
n
9 - - - - eneagono
- 9 lados
n
10
" decagono
" 10 lados
n
11
- undecagono
" 11 lados
12
" dodecagono
" 12 lados
n
n
15
" pentadecagono
" 15 lados
n
20
" icosagono
" 20 lados
Em geral, para urn numero n(n ~ 3) qualquer de lados dizemos que 0
poligono e urn:
n-/dtero.
132. Polfgono regular
Urn poligono que possui os lados congruentes e equilatero. Se possui
os angulos congruentes, e equiangulo.
A
D
II
c
Quadrilatero equilatero
~
B
C
Quadrilatero equiangulo
135
POLlGONOS
Urn poligono convexo e regular se, e sornente se, tern
todos os lados congruentes (e equilatero)
e
todos os angulos congruentes (e equiangulo).
Exemplos
A
d
o o o
.6
B
o triangulo regular e 0
triangulo equil<:itero.
Hexagono equilatero
C
o quadril<:itero regular e 0
quadrado.
Hexagono equiangulo
Hexagono regular
II. Diagonais - Angulos internos
Angulos externos
l~)
Nurnero d de diagooais de urn poligooo de n lados (0 ~ 3)
133. Diagonal de urn poligono e urn segrnento cujas extrernidades sao vertices nao consecutivos do poligono.
A
A
___
"~
B
- - - " "-
",
D
"
C
C
B
ABCD e urn quadrilatero convexo. ABCD e urn quadril<:itero c6ncavo.
AC e BD sao suas diagonais.
AC e BD sao suas diagonais.
136
POLIGONOS
134.
0 numero de diagonais d de urn poligono de n lados (n ~ 3) e dado por:
d = n(n - 3)
2
Dedzu;iio
Seja A 1A 2A) ... An urn poligono
A,
de n lados.
Com extremidade num dos vertices do poligono (vertice A por exemplo), temos:
(n - 3) diagonais.
Se com extremidade em cada vertice temos
(n - 3) diagonais,
entao com extremidades nos n vertices, temos:
n(n - 3) diagonais.
Porem, nesta conta
n(n - 3)
cada diagonal e contada duas vezes, pois tern extremidades em 2 vertices.
(Por exemplo, na conta acima, AlA] e A01 sao contadas como duas
diagonais, quando na realidade e uma s6 AJA] = A]A ,.)
Logo, 0 numero d de diagonais e:
J
,
d = n(n - 3)
2
2?) Soma Sj dos angulos internos de urn poligono convexo
135.
A soma Si dos angulos internos de urn poligono coovexo de n lados (0 ~ 3) e dada por:
Sj = (0 - 2) . 2 retos
ou, simplesmeote,
A soma dos aogulos ioternos de urn poligooo coovexo e
Sj = (0 - 2) . 180 0
137
POLIGONOS
Deduriio
Seja A JA03 ... All urn poligono
convexo de n lados.
De urn vertice qualquer conduzimos todas as diagonais que tern esse vertice como extremo.
o poligono fica entao dividido
em
(n - 2) triangulos e
A,
(
.
12
I
\
,
//1 1/
\
,
\
,I
I
\
"
/
/
I
"
I
\
I
\
I
\
.
\
I
\
I
\
I
'j4
n
\
/
\
//
a soma Si dos angulos internos do poligono
Sj
i j + 12 + i) + ... + in
e igual a soma dos angulos internos dos
(n - 2) triangulos.
Logo,
Sj = (n - 2) . 2 retos
ou
(n - 2) . 180 0
3? Soma S, dos angulos externos de urn poligono convexo
136. Angulo externo de urn poligono convexo e urn angulo suplementar adjacente a urn angulo (interno) do poligono.
137.
A soma S, dos angulos externos de urn poligono convexo de n lados (n ~ 3) e dada por:
Se = 4 retos
ou, simplesmente:
A soma dos angulos externos de urn poligono convexo e:
Se = 360 0
138
po liGONOS
Dedur{fo
Seja A,A03 ... An urn poligono
convexo de n lados.
Considerando os angulos externos
A2
.In-1 I An - 1
suplementares adjacentes aos respectivos angulos internos
.
..
I
I
I
I
I
.
11' 12, I), •.. , In
temos:
180 0
e, + i 1
e2 + i 2 = 180 0
e) + I)
180 0
somando membro a membra as n igualdades
+ In
180 0
Sc + Sj = n . 180 0
en
Substituindo-se Sj por (n - 2) . 180°, vern:
So + (n - 2) . 180° = n . 180°
So + .0." ilWl'l·- 360° = .0·- 1"80"6
Se = 360 0
138. Expressoes do dngulo interno (aJ e do dngulo externo (ae )
de urn pol/gono regular
Os angulos internos de urn poligono regular sao congruentes.
n . aj = Sj
==>
In . a
j
=
(n - 2) . 180 0
I
==>
aj =
(n - 2)n . 180°
Os angulos externos de urn poligono regular sao congruentes.
n . ac = Sc
==>
I n· a = 360 I
0
c
==>
a e =360°
--
n
139
POL!GONOS
E, ainda:
Nota
Para se calcular a medida do angulo interno (a;) de urn poligono regular e mais pratico se obter, em primeiro lugar, a medida do angulo externo (ac)
e, pelo suplemento, se encontra a medida do angulo interno.
EXERCicIOS
292. Determine, de preferencia sem usar a formula, a soma dos angulos internos de urn:
a) pentagono convexo
b) hexagono convexa
293. Determine 0 valor de x nos casas:
a)
b)
c)
d)
x
e) AB II ED
A~
E'-140
---;,.--....'
~
x
POLiGONOS
294. Nos casos abaixo, determine x, sabendo que os segmentos AP, BP, CP e DP
nas figuras em que aparecem sao bissetrizes.
B
b)
a)
B
c)
d)
o
E
\.j
3x
2x
c
B
A
F
A
295. Sendo AP e CP bissetrizes de A e C, determine x.
b) AB II PC
a) AB II PC
AP II BC
A
E
A
o
F
E
296. Determine 0 angulo interno e 0 angulo externo de urn:
a) triangulo equil<itero;
b) quadrado;
c) pentagono regular;
d) hexagono regular.
141
POLiGONOS
297. Se 0 triangulo ABP e equilcitero e ABCDE e pentagono regular, determine x
nos casos:
b)
a)
o
E
o
c
c
E
A
B
298. Determine os valores de x e y nos casos:
a) pentagono regular e quadrado
b) hexagono regular e quadrado
299. Calcule a soma dos angulos internos de urn eneagono.
300. Calcule a soma dos angulos internos de urn decagono.
301. Calcule a soma dos angulos internos de urn icosagono.
302. Qual e 0 poligono cuja soma dos angulos internos vale 1800 0 ?
303. Calcule 0 numero de diagonais de urn decagono.
304. Calcule 0 numero de diagonais de urn icosagono.
305. Determine 0 poligono cujo numero de diagonais e 0 triplo do numero de lados.
306. Determine 0 poligono cujo nUmero de diagonais eo quadruplo do numero de lados.
307. Determine 0 poligono que tern 9 diagonais distintas.
308. Determine 0 maior angulo de urn pentagono cujos angulos internos estao na razao 3 : 3 : 3 : 4 : 5.
142
POLIGONOS
309. Urn poligono regular possui a partir de urn de seus vertices tantas diagonais quantas
sao as diagonais de urn hexagono. Ache:
a) 0 poligono;
b) 0 total de diagonais;
c) a soma dos angulos internos;
d) a soma dos angulos externos;
e) a medida de cada angulo interno e de cada angulo externo.
Solu~iio
1) Numero de diagonais do hexagono
(n = 6, d = n(n
2- 3») =- d = 6(6 2- 3) =- d
9
2) Novo poligono
De cada vertice partem n - 3 diagonais. Entao:
n- 3 = 9
=- n = 12.
a) 0 poligono e 0 dodecagono (n = 12).
b) d = n(n - 3)
2
=- d =
12(12 - 3)
2
=- d = 54 (diagonais).
c) Sj = (n - 2) . 180° =- Sj = (12 - 2) . 180° =- Sj = 1 800°
d) A soma dos iingulos externos e constante: Se = 360°.
e) n . a e = 360° =- 12· a e = 360° =- ae = 30°
a l + a e = 180° =- at = 180° - 30° =- aj = 150°.
310. Quantas diagonais podemos trac;ar, partindo de urn vertice de urn poligono convexo de 20 lados?
311. Determine 0 numero de lados de urn poligono convexo, sabendo que de urn de
seus vertices partern 25 diagonais.
312. Determine 0 poligono convexo cuja soma dos angulos internos e igual ao numero
de diagonais multiplicado por 180°.
313. Podem os angulos internos e externos de urn poligono regular apresentar medidas iguais? Em que caso isso ocorre?
314. Determine 0 numero de diagonais de urn poligono regular convexo cujo angul0
externo vale 24°.
143
POLIGONOS
315. A razao entre 0 angulo interno e 0 angulo externo de urn poligono regular e 9.
Determine 0 numero de lados do poligono.
316. 0 angulo interno de urn poligono regular vale 1,5 vez 0 seu angulo externo.
Determine 0 numero de lados do poligono.
317. 0 angulo externo de urn poligono regular eigual ao dobro do seu angulo interno.
Determine 0 numero de diagonais desse poligono.
318. A soma dos angulos internos com ados angulos externos de urn poligono regular
vale 1 800°. Determine 0 numero de diagonais do poligono.
319. Determine 0 numero de lados de urn poligono convexo regular cujo angulo interno e 0 qUlntuplo do externo.
320. Determine 0 numero de lados de urn poligono regular ABCDE ... , sabendo que as
2
bissetrizes AP e CP dos angulos A e C formam urn angulo que vale 9" do seu
angulo interno.
321. Determine a medida do angulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e
CD de urn poligono regular ABCD ... de 20 lados.
322. As mediatrizes de dois lados consecutivos de urn poligono regular formam urn
angulo de 24°. Determine 0 numero de diagonais desse poligono.
323. Aumentando 0 numero de lados de urn poligono em 3, seu numero de diagonais
aumenta em 21. Determine 0 numero de diagonais desse poligono.
324. Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos angulos.
a+6+c+d+e+f.
c
d
e
325. Dados dois poligonos com n e n + 6lados, respectivamente, calcule n, sabendo
que urn dos poligonos tern 39 diagonais mais do que 0 outro.
326. Tres poligonos convexos tern n, n + 1, n + 2 lados, respectivamente. Sendo
2 700° a soma de todos os angulos internos dos tres poligonos, determine 0 valor
de n.
144
POLIGONOS
321. Os numeros que exprimem 0 numero de lados de tres poligonos sao n - 3, n e
n + 3. Determine 0 numero de diagonais de cada urn dos poligonos, sabendo
que a soma de todos os seus angulos internos vale 3 240°.
Solu~ao
n l = n - 3; n2 = n; n3 = n + 3
(n - 3 - 2)180° + (n - 2)180° + (n + 3 - 2)180° = 3240°
(n - 5)180° + (n - 2)180° + (n + 1)180° = 3240°
(n - 5 + n - 2 + n + 1)180° = 3 240°
3n - 6 = 18 => 3n = 24 => n = 8.
Entao:
5
e
d 1 -
5(5 - 3) - 5
2
11(11 - 3)
2
8 e d2 =
8(8 - 3)
2
20
44.
328. Tres poligonos tern 0 numero de lados expressos por numeros inteiros consecutivos. Sabendo que 0 numero total de diagonais dos tres poligonos e igual a 28,
determine 0 poligono com maior numero de diagonais.
329. Dois poligonos convexos tern 0 numero de lados expresso pelos numeros n e
n + 4. Determine 0 valor de n, sabendo que urn dos poligonos tern 34 diagonais
mais do que 0 outro.
330. Urn poligono convexo tern 5 lados mais do que 0 outro. Sabendo que 0 numero
total de diagonais vale 68, determine 0 numero de diagonais de cada poligono.
331. Dados dois poligonos regulares, com (n + 1) lados e n lados, respectivamente,
determine n, sabendo que 0 angulo interno do primeiro poligono excede 0 angu!o
interno do segundo em 5°.
332. Urn poligono regular possui 30 diagonais que nao passam pelo seu centro. Quanto mede cada angulo interno dele?
Solm;ao
Urn poligono regular s6 tern diagonais passando pelo centro se 0 numero
n de lados for par eo numero de diagonais que passam pelo centro for ; .
145
POLiGONOS
Neste problema temos que considerar 2 casos:
I?) n e fmpar - Nao ha diagonal passando pelo centro.
Neste caso 0 numero total de diagonais e d = 30.
Vamos calcular 0 numero de lados:
d = n(n - 3)
2
=
30 =
n(n - 3)
2
=
n2 - 3n - 60 = 0
As raizes da equaiYao nao sao numeros naturais (t. = 249). Logo, nao
existe polfgono com 30 diagonais e com numero fmpar de lados.
2°) n e par -
Ha ;
diagonais passando pelo centro.
Neste caso 0 numero total de diagonais e d =
d =
n(n - 3)
2
=
~ + 30 = n(n - 3)
2
2
;
=
+ 30.
n 2 - 4n - 60
o
A raiz da equaiYao que e numero natural e n = 10.
a polfgono e 0 decagono regular.
Calculo do angulo interno:
a'l = 180° - a e = 180° -
360°
10
=
a
i
144°
333. Qual 0 polfgono regular que tern 6 diagonais passando pelo seu centro?
334. Urn poligono regular tern 170 diagonais. Quantas passam pel a centro?
335. a angulo interno de urn polfgono regular mede 140°. Quantas diagonais passarn
pelo centro?
146
CAPITULO X
Circunferencia
e Circulo
I. Defini~oes - Elementos
139. Circunferencia e urn conjunto
dos pontos de urn plano cuja distancia
a urn ponto dado desse plano e igual a
ponuma distancia (nao nula) dada.
to dado e 0 centro e a distancia dada e
o raio da circunferencia.
°
Dados: urn plano a, urn ponto 0 de a e uma distancia r,
>..(0, r) = [P E a I dp,o = rJ
onde ),,(0, r) representa a circunferencia de centro 0 e raio r.
140. Posi{:cio de ponto e circunferencia
Dado urn ponto X e uma circunferencia >..(0, r),
X e interno a A <==> dx,o < r
X pertence a A <==> dx,o = r
X e externo a A <==> dx,o > r
Na figura, Ie interno a A, P pertence a A e E e externo a A.
147
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
141. Interior e exterior
°
conjunto dos pontos internos
a uma circunferencia e seu interior.
conjunto dos pontos externos
a uma circunferencia e seu exterior.
Sendo A(O, r) uma circunferencia de urn plano ex:
exterior
°
interior de A
exterior de A
[P E ex I dp,o < rJ
[P E ex I d p.o > rJ
142. Corda, didmetro e raio
Corda de uma circunferencia e
urn segmento cujas extremidades pertencern a circunferencia.
AB e uma corda.
c
Diiimetro de uma circunferencia
e uma corda que passa pelo centro.
CD e urn diametro.
Urn raio de uma circunferencia e urn segmento com uma extremidade
no centro e a outra num ponto da circunferencia.
OP e urn raio.
143. Arco de circunferencia e semicircunferencia
Consideremos uma circunferencia Ade centro 0 e sejam A e B dois pontos
de A que nao sejam extremidades de urn diametro. Nessas condi~6es, temos:
a) arco menor AB e a reuniao
dos conjuntos dos pontos A, B e de todos os pontos de Aque estao no interior
do angulo AGB;
b) arco maior AB ea reuniao dos
conjuntos dos pontos A, B e de todos
os pontos de Aque esU:io no exterior do
angulo AGB.
148
areo
(menor)
areo
(maior)
CIRCUNFERENCIA E cfRCULO
Se considerarmos AGB como sendo 0 setor angular ou 0 cmgulo completo, podemos ter:
arco menor AB
An AGB
Os pont os A e B sao as extremidades do arco.
Seguindo a figura, indicaremos os arcos como segue:
AB = arco menor AB
AXB = arco maior AB
Salvo aviso eontrario, ao nos referirmos ao arco AB, estamos considerando 0 area menor.
Se A e B sao extremidades de urn
di·ametro de A,
semicircunferencia AB e a reuniao dos conjuntos dos pontos A, Be
de todos os pontos de Aque estao num
mesmo semiplano dos determinados pela reta AB.
/A
ex
-t~A>----:!o~~~
~
Se 0' e urn desses semiplanos, podemos ter:
semicireunferencia AB = A n 0'.
144. Cfrculo
Clrculo (ou disco) e urn conjunto dos pontos de urn plano euja distancia a urn ponto dado desse plano e menor ou igual a uma distancia (nao nula)
dada.
Dados urn plano 0', urn ponto 0
de 0' e uma distaneia r,
circulo de centro 0 e raio r = c(O, r) = [P E 0' I dp,o ~ rJ
o circulo e a reuniao da circunferencia com seu interior.
Centro, raio, corda, diametro e arco de urn cireulo sao 0 centro, 0 raio,
a corda, 0 diametro e 0 area da respeetiva eireunfereneia.
149
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
145. Setor circular, segmento circular e semicfrculo
Consideremos urn circulo c de centro 0 e sejam A e B dois pontos da
circunferencia de c que nao sejam extremidades de urn diametro.
1~)
setor circular
a) Setor circular menor AOB e a
reuniao dos conjuntos dos pontos dos
raios OA e OB e de todos os pontos do
circulo c que estao no interior do angu-
A
10ADB.
b) Setor circular maior AOB e a
reuniao dos conjuntos dos pontos dos
raios OA e OB e de todos os pontos do
circulo c que estao no exterior do angu10 ADB.
Salvo aviso contnirio, quando nos referimos ao setor circular AOB, estaremos considerando 0 setor circular menor.
Se considerarmos ADB como sendo 0 setor angular (fingulo completo),
poderemos ter:
setor circular AOB = AOB n c.
2?) Segmento circular
a) Segmento circular menor AB
e a interseryao do circulo c com 0 semiplano de origem na reta AB e que nao
contem 0 centro de c.
Sendo a esse semiplano (vide
Figura)
~
Segmento circular menor AB = a n c.
b) Segmento circular maior AB e a interseryao do circulo c com 0 semiplano de origem na reta AB e que contem 0 centro de c.
Quando nos referimos ao segmento circular, salvo aviso em contrario,
consideramos 0 menor.
~
150
CIRCUNFER~NCIA E cIRCULO
3?)
Semicfrculo
Se A e B sao extremidades de urn
diiimetro de c, semicirculo AB e a interse<;ao do circulo c com urn dos semipianos de origem na reta AB.
ex
t
~
B
A
t
Semicirculo AB = ex n c.
II.
Posi~oes
relativas de reta e circunferencia
146. Secante - defini(:oo
Uma reta secante a uma circunferencia e uma reta que intercepta a circunferencia em dois pontos distintos.
Oizemos que a reta e a circunferencia sao secantes.
Na Figura:
s_
s n A = fA, BJ
147. Propriedade da secante
a) Se uma reta s, secante a
uma circunferencia A(O, r), nao
passa pelo centro 0, intercepta A
nos pontos distintos A e B, e se M
eo ponto medio da corda AB, entao a reta OM e perpendicular a
secante s (ou a corda AB).
s
~
Hip6tese
(M e ponto medio da corda AB, M ::;C 0)
Tese
=
OM 1.. AB
Demonstrariio
Pelo caso LLL, os triiingulos OAM e OBM sao congruentes.
Oaf decorre que OM 1.. AB e OM 1.. s.
151
CIRCUNFERENClA E CIRCULO
b) Se uma reta s, secante a
uma circunferencia A(O, r), nao
passa pelo centro 0, intercepta A
nos pontos distintos A e B, entao
a perpendicular as conduzida pe10 centro passa pelo ponto medio
da corda AB.
Hip6tese
OM perpendicular a corda AB
A
5
Tese
=- AM = MB
Demonstrar;iio
Pelo caso especial de congruencia de triangulos (cateto-hipotenusa), os
triangulos OAM e OBM sao congruentes. Dai vern AM == MB, ou seja, Me 0
ponto media da corda AB.
Observa~oes
1~)
Usando 0 caso de congruencia LLL, pode-se provar a propriedade:
A mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferencia.
2~)
Sendo s secante a A(O, r), entao do,s < r e reciprocamente.
148. Tangente -
defini~ao
Uma reta tangente a uma circunferencia e uma reta que intercepta a circunferencia num tinieo ponto.
Areta tangente a uma cireunferencia tern urn ponto eomum com a circunferencia e os demais pontos da reta
sao externos a circunferencia.
o ponto comurn e 0 ponto de
tangencia.
Dizemos que a reta e a circunferencia sao tangentes.
Na figura:
t n A = [T]
152
CIRCUNFER~NCIA E CIRCULO
149. Propriedade da tangente
a) Toda reta perpendicular a urn raio na sua extremidade da circunferencia e tangente a circunferencia.
Seja a circunferencia >-(0, r) e T
urn de seus pontos.
Hip6/ese
..L OT em T
Tese
=>
/ e tangente a A
Demons/rariio
Seja E outro ponto de /, distinto do ponto T.
(OT ..L t e OE obliquo at) => OE > OT => OE > r => E e externo a A.
Logo, a reta t tern urn tinico ponto T co~um com A, pois os demais sao
externos.
Portanto, / e tangente a A.
b) Toda tangente a uma circunferencia e perpendicular ao raio no
ponto da tangencia.
Hip6/ese
/ tangente a A em T
Tese
=>
t..L OT em T
Demons/rariio
t
Se / nao fosse perpendicular a OT, teriamos 0 que segue.
Seja M pe da perpendicular a reta / por O. 0 ponto M seria distinto de T.
153
CIRCUNFER~NCIA E CfRCULO
---+-
-
-
Tomando na semi-reta oposta a MT urn ponto X tal que MX == MT,
teriamos:
--
-------LAL
OM comum, OM 1.. TX, MX==MT
=- OX = r =- X E A.
- -
=- .::lOMX==.::lOMT =- OX==OT
Portanto, t interceptaria Aem dois pontos distintos, T eX, 0 que e absurdo, de acordo com a hip6tese.
Logo, t e perpendicular a OT em T.
Observa~ao
Se t e tangente a circunferencia A(O, r), entao do",
camente.
150. Exterior -
r e recipro-
definil;;ao
Vma reta exterior a uma circunferencia e uma reta que nao intercepta
a circunferencia.
Dizemos que a reta e a circunferencia sao exteriores.
Na figura:
en A
0
151. Posi<;6es
Considerando uma reta s, uma circunferencia A(O, r) e sendo d a distancia do centro 0 a reta S (d = d o.s)' ha tres possibilidades para seA:
s
s n A = [A, B)
seA secantes
154
s n A = [T]
seA tangentes
s n A= 0
seA externas
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
III. Posic;oes relativas de duas circunferencias
152. Definil;oes
Uma circunferencia einterna a outra se todos os seus pontos sao pontos
internos da outra.
Uma circunferencia e tangente interna a outra se tern urn unico ponto
comum e os demais pontos da primeira sao pontos internos da segunda.
Duas circunferencias sao secantes se tern em comum somente dois pontos distintos.
Duas circunferencias sao tangentes externas se tern urn unico ponto comum e os demais pontos de uma sao externos a outra.
Duas circunferencias sao externas se os pontos de uma delas sao externos a outra.
153. Posil;oes
Considerando duas circunferencias AI(OI, r l ) e A2(02, r 2) com r l > r 2 e
sendo d a distancia entre os centros, prova-se que ha cinco possibilidades para
AI e A2 :
A2 tangente interna a AI
AI e A2 sao secantes
A2 tangente externa a AI
155
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
IV. Segmentos tangentes circunscritiveis
154.
Quadrihlteros
Se de urn ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos
tangentes a uma circunferencia, com A e B na circunferencia,
entao PA = PB.
Hip6tese
Tese
PA e PB tangentes a A; A, B E A => PA = PB
Demonstrariio
Seja 0 0 centro de A.
Aplicando 0 caso especial de congruencia de triangulos retangulos:
OA == OB (cateto), OP comu'!!J.hipotenusa) => 6.PAO 6.PBO => PA == PB.
=
Nota
o centro 0 de A pertence a bissetriz de APB.
155. Quadril6tero circunscrito - dejini{;Qo
Urn quadrihitero convexo e circunscrito a uma circunferencia se, e somente se, seus quatro lados sao tangentes a circunferencia.
o
A
c
B
Na figura:
ABCD e circunscrito a A ou A e inscrita em ABCD.
156
CIRCUNFERENCIA E CfRCULO
156. Propriedade
a) Se urn quadrilatero convexo e circunscrito a uma circunferencia, a soma de dois lados opostos e igual it soma dos outros dois.
Hipotese
Tese
ABCD circunscrito a X.
=- AB + CD = AD + BC
Demonstrariio
Sejam X, Y, Z e T os pontos de
tangencia de AB, BC, CD e DA, respectivamente.
c
Aplicando a propriedade dos segmentos tangentes:
AX:= AT ]
BX := BY
CZ:= CY
-
DZ
~
AX + BX + CZ + DZ = AT + BY + CY + DT
"---v-----J
= DT
-
AB
'---v-----J
+
-
CD
~
l
-
= AD
+
J
-
BC
b) Se num quadrilatero convexo a soma de dois lados opostos e
igual a soma dos outros dois, entiio 0 quadrilatero e circunscritivel a uma
circunferencia.
Sendo ABCD urn quadrilcitero convexo,
Hipotese
Tese
AB + CD = AD + BC =- ABCD ecircunscritivel a uma circunferencia.
Demonstrariio
_ _ _ _ _-/0
Seja X. a circunferencia tangente
aos lados AB, BC e CD do quadrilcitero.
Se ABCD niio e circunscritivel a
x., existe ABCX, com X na reta CD que
e circunscrito a x..
~
157
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
ABCX circunscrito a>-
=- AB + CX = BC + AX
(1)
Hipotese =- AB + CD = AD + BC =- AB + CX±XD = AD + BC =AB + CX
=
AD + BC ± XD
(2)
CD
De (1) e (2) decorre que AX = AD ± XD, 0 que e absurdo no MDX.
Logo, ABCD e circunscritiveI a uma circunferencia.
157. Condi~ao necessaria e suficiente
Uma condi~ao necessaria e suficiente para urn quadri1citero convexo ser circunscritiveI a uma circunferencia e a soma de dois lados opostos
ser igua1 a soma dos outros dois.
EXERCicIOS
336. Determine 0 raio do circulo de centro 0,
dados: AB = 3x - 3 e OA = x + 3.
337. A circunferencia ao lado tern raio de
16 em e 0 ponto P dista 7 em do centro.
Determine a distiincia entre Pea circunferencia.
158
CIRCUNFERENCIA E CiRCULO
338. Determine 0 valor de x nos casos:
a) s e perpendicular a AB
b) PA e PB sao tangentes a circunferencia
A
-----""-t'"""---::-----:------"'p
A
339. Determine 0 valor de x, sendo 0 0 centro da circunferencia nos casos:
a)
b)
340. As circunferencias da Figura sao tangentes externamente. Se a distiincia entre os
centros e 28 em e a diferenca entre os
raios e 8 em, determine os raios.
341. Duas circunferencias sao tangentes internamente e a soma dos raios e 30 em. Se
a distiincia entre os centros e 6 em, determine os raios.
159
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
342. Na figura, as circunferencias sao tangentes duas a duas e os centros sao os vertices do triiingulo ABC. Sendo AB =
= 7 em, AC = 5 em e BC = 6 em, determine os raios das circunferencias.
B
343. As circunferencias sao tangentes externamente em Q e PA e PB sao tangentes
as circunferencias. Determine a medida do iingulo A QB nos casos:
a) onde I e tangente comum e
APB = 80 0
b) com APB = 100 0
p
344. Diga 0 numero de retas que passam pelo ponto P e tangenciam a circunferencia
A nos casos:
a) P pertence a A
b) P e interior a A
c) P e externo a A
345. Determine 0 numero de retas tangentes comuns que pOdemos tra~ar a duas circunferencias nos casos abaixo.
a) As circunferencias sao concentricas distintas.
b) As circunferencias sao exteriores.
c) As circunferencias sao secantes.
d) As circunferencias sao tangentes exteriormente.
e) As circunferencias sao tangentes interiormente.
160
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
346. Pode urn setor circular coincidir com urn segmento circular? Cite 0 caso.
347.
Em que caso urn setor circular e urn semicirculo?
348.
0 que podemos dizer da reta que passa pelo ponto de tangencia de duas circunferencias tangentes entre si, sabendo que essa reta e perpendicular 11 reta que pa sa
pelos centros dessas circunferencias?
349.
E possivel obtermos uma corda que passa pelo ponto medio do diiimetro de uma
circunferencia?
350.
De a posi<;ao de duas circunferencias de raios r e R, sendo d a distancia entre
seus centros, nos casos abaixo:
a) r
b) r
c) r
d) r
e) r
351.
2 cm;
R
5 cm;
3 cm;
6 cm;
6 cm;
R
R
R
R
5 cm;
10 cm;
d
d
7 cm;
10 cm;
8 cm;
d
d
d
10 cm
15 cm
4 cm
Ocm
10 cm
A distiincia entre os centros de duas circunferencias tangentes exteriormente e de
33 em. Determine seus diiimetros, sabendo que a razao entre seus raios e ;.
352.
A distiincia entre os centros de duas circunferencias tangentes internamente e5 em.
Se a soma dos raios e 11 em, determine os raios.
353.
Duas circunferencias sao secantes, sendo 20 em a distiincia entre seus centros.
Sabendo que 0 raio da menor circunferencia mede 11 em, determine 0 raio da
maior, que e multiplo de 6.
354.
Duas circunferencias de centros A e B sao tangentes externamente e tangenciam
internamente uma circunferencia de centro C. Sendo AB = 12 m, AC = 17 m
e BC = 13 m, determine os raios dessas circunferencias.
355.
Seja P 0 ponto de tangencia da circunferencia inscrita no triiingulo ABC, com
o lado AB. Se AB = 7, BC = 6 e AC = 8, quanto vale AP?
356.
Considere urn triiingulo ABC de lados AB = e, AC = be BC = a, e sejam P,
Q eRos pontos em que os lados BC, AC e AB tangenciam a circunferencia
inscrita. Calcule os segmentos AR = x, BP = y e CQ = z.
161
CIRCUNFERENCIA E clRCULO
Solu~iio
Temos:
AR = x => AQ = x
BP = y => BR = y
CQ = z => CP = z
Dai vern:
x + Y= C
x + z =b
y + z = a
(I)
z
~-......--~.p
(2)
V
(3)
a
2x + 2y + 2z = a + b + c
Fazendo a + b + C = 2p
(em que p e semiperimetro)
2(x + y + z) = 2p => x + y + Z = P (4)
(4) - (I) => z = p - c;
(4) - (2) => y = P - b;
(4) - (3) => x = p - a
357. Na figura, determine a medida do segmento BD, sabendo que a circunferencia
de centro 0 esta inscrita no triiingulo
ABC, e que os lados AB, BC e AC medem respectivamente 6 em, 8 em e 10 em.
A
c
358. Na figura, 0 circulo de centro 0 e
inscrito no triiingulo ABC. BD = 4,
AF = 3 e EC = 5. Qual e 0 perimetro do triiingulo ABC?
359. Na figura, sabendo que AB = c,
BC = 0, AC = b ep 0 semiperimetro do triiingulo, prove que AP e
igual a p - o.
A
c
162
CIRCUNFERENCIA E C!RCULO
360. Urn cireulo einserito num triangu!o ABC e tangeneia os lados BC, AC e AB, respeetivamente em P, Q e R. Se AB = e, AC = be BC = a e 0 semiperimetro
e p, ealcule AR, BP e CQ.
361. Na figura PA = 10 em. Calcule 0
perimetro do triangulo PRS.
362. Na figura, PA e igual ao triplo do
diametro da eireunfereneia. Determine a medida do perimetro do
triangu!o PDE em fun<;ao do raio r
dessa eireunfereneia.
p
363. A hipotenusa de urn triangulo retangulo mede 10 em e 0 raio do cireulo inserito
mede 1 em. Calcule 0 perimetro do triangulo.
Solw.ao
Note que SA TO e quadrado de lado
1 em.
Indieando: BP = BT = a e CP = CS = b,
obtemos:
2p
(a+l) + (b+l) + a + b
2p
a+b+2+a+b
+2 +
2p
10
2p
22 em
I
B
10
364. Na figura, ealcule a medida do raio r da
eireunfereneia inserita no triangulo retangulo ABC, sendo AB = 10 em, AC =
= 24 em e BC = 26 em.
B
L.l.-'::::-~---------"'c
163
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
365. Determine a medida do diametro de urn circulo inscrito em urn triangulo retangulo cujos lados medem 9 em, 12 em e 15 em.
366. Determine 0 raio de urn circulo inscrito em urn triangulo retangulo de catetos
bee e hipotenusa a.
367. Na figura, sendo 2p = a + b + e e r e
o raio do circulo inscrito, calcule a medida da hipotenusa a em func;:ao de per.
AB = C, AC = b, AB = a
L.:..L:::::...,jOC<::"'------""B
c
368. Determine 0 perimetro do quadrillitero
ABCD, circunscritivel, da figura.
o
x + 1
C
AB = 3x + 1, Be = 2x
CD = x + 1 e DA = 3x
A
SolUl;ao
ABCD e circunscrito
= AB + CD
BC + AD
Entao:
(3x + 1) + (x + l) = 2x + 3x = x = 2
perimetro = 2p = (3x + 1) + 2x + (x + I) + 3x
Logo: 2p = 20.
= 2p
9x + 2
369. ABCD e urn quadrilcitero circunscritivel cujos lados medem AD = 12 em, DC =
= 9 em, BC = x + 7 e AB = 2x + 1. Determine 0 perimetro desse quadrilatero.
370. Calcule 0 valor do raio r do circulo inscrito no trapezio retangulo.
B
164
15
CIRCUNFERENCIA E CIRCULO
371. A diferenr;a de dois lados opostos de urn quadrilatero circunscritivel e igual a 8 em
e a diferenr;a dos outros dois lados e 4 em. Determine os lados do quadrilatero,
sendo 56 em a sua soma.
372. Na Figura ao lado, determine 0 perimetro do triiingulo A DE, sabendo que 0 perimetro do triiingulo ABC vale 10 em, a
base BC mede 4 em e que 0 circulo esta
inscrito no quadrilatero BCDE.
A
373. Determine a medida de urn dos lados nao paralelos de urn trapezio isosceles, circunscrito a urn circulo, sabendo que suas bases medem 30 em e 10 em, respectivamente.
374. Prove que qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferencia e losango.
375. Prove que 0 diiimetro e a maior corda de uma circunferencia.
376. Prove que, se duas cordas de uma circunferencia estao a uma mesma distiincia
do centro, entao elas sao congruentes.
165
CAPITULO XI
A
Angulos
na Circunferencia
I. Congruencia, adi~ao e desigualdade de areos
158. Circunjerencias congruentes
Duas eireunfereneias sao eongruentes quando tern raios iguais.
159. Arcos congruentes
B
Dois areos AB e CD de uma eireunfereneia de centro sao eongruentes se, e somente se, os iingulos AOB e
COD sao eongruentes.
°
AB == CD
<==?
AOB = COD
riB
'
D
j-.."> __ A
I
-
0
A
160. Adi9QO de arcos
Numa eireunfereneia de centro
0,0 area AB esoma dos areos AC e CB
se, e somente se, 0 iingulo AOB e soma
dos iingulos AOC e COB.
AB=AC+CB <==? AOB=AOC+COB
166
B
\
Ie
CB
\
I
t--\ I
A
ANGULOS NA CIRCUNFER~NCIA
161. Desigualdade de arcos
Numa circunferencia de centro
0, 0 arco AB e maior que 0 arco CD se,
e somente se, 0 angulo AOB e maior que
o angulo COD.
AB > CD <==> AOB > COD
\CiJ
, ---
C
~~~
/0
A
I
I
D
162. Notas
l~) Para drculos congruentes, setores circulares congruentes ou desiguais
e segmentos circulares congruentes, adaptam-se os conceitos vistos para circunferencia e arcos.
2~) as conceitos sobre areos que emitimos sao de areos de uma mesma
circunferencia, porem eles podem ser estendidos para arcos de circunferencias
congruentes.
II. Angulo central
163. Dejini<;Qo
Angulo central relativo a uma
eircunfereneia e 0 angulo que tern 0 vertice no centro da circunferencia.
Se numa circunferencia de centro
o urn angulo central determina urn arco
AB, dizemos que:
AB e 0 arco correspondente ao
angulo central AOB, ou
AB e 0 arco subentendido por
AOB.
s
AOS angulo central
AS arco correspondente
164. Medida do angulo central e do arco correspondente
A congruencia, a adir;iio e a desigualdade de arcos foram estabeleeidas
em correspondencia com a congruencia, a adi~ao e a desigualdade dos angulos
167
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
centrais correspondentes. Portanto, para medir urn arco tomando outro arco
da mesma circunferencia como unidade (arco unitario) basta utilizar os respectivos angulos centrais.
Tomando-se para unidade de arco (arco unitario) 0 arco definido
na circunferencia por urn angulo central unitdrio (unidade de angulo),
temos:
a medida de um arco de circunjerenci(l eigual a medida do angulo
central correspondente.
Assim, na circunferencia de centro 0 ao lade:
1) se m(AOB) = 60 0 , entao
m(AB) = 60 0 e reciprocamente.
AOB = 60 0 <==> AB = 60 0
2) Se m(COD) = 150 0 , entao
m(CD) = 150 0 e reciprocamente.
COD = 150 0 <==> CD = 150 0
165. Observa~ao
Para simplificar a simbologia, na
maioria dos casos, vamos confundir urn
areo AB com sua medida m(AB), indicando ambos por AB.
Na figura ao lade:
{3 = AB
B:
III. Angulo inscrito
166. Defini~ao
Angulo inscrito relativo a uma circunferencia e urn angulo que tern 0
vertice na circunferencia e os lados sao secantes a ela.
168
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
Na figura,
A VB e angulo inscrito,
AB e 0 arco correspondente ao arco
subentendido
AGB e 0 angulo central correspondente ao angulo inscrito A VB.
167. Medida do angulo inscrito
Urn angulo inscrito e metade do angulo central correspondente
ou
a medida de urn angulo inscrito e metade da medida do arco correspondente.
Seja A VB 0 angulo inscrito de
medida a e AGB 0 angulo central correspondente de medida {3. Vamos provar que:
Demonslrarao
Temos tres casos a considerar:
I? caso
2? caso
3.° caso
o esta num lado do angulo 0 e interno ao angulo 0 e externo ao angulo
169
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
No I? caso:
OV == OA (raio) =- /iOVA isosceles =- V
(3 e angulo externo no /iOVA=-(3 = A + V
aeA
=- (3=a+a =- (3=2a
Logo, a =
~ e, como (3 = AB, vern a
AB
2
-
No 2? caso:
Sendo C ponto de interse~iio de va com a circunferencia e, sendo
AVe = aI' AOe = (3" eVB = a2' eOB = (32' temos 0 que segue:
I? caso:
=- (3
2a
I? caso:
Logo, a =
~ e, como (3
AB, vern a
AB
2
-
No 3? caso:
Sendo C ponto de interse~iio de va com a circunferencia e, sendo
BVe = ai' BOe = (31' AVe = a 2 e AOe = (32' temos 0 que segue:
I? caso:
2a
I? caso:
Logo, a
~ e, como (3
AB, vern a
AB
2
168. Angulo inscrito numa semicircunferencia
a) Todo angulo reto inscrito subentende uma semicircunferencia.
De fato,
1---------""'8
(AVB = 90 0 , A VB inscrito) ==- AB = 180 0 =- AB e uma semi-
circunferencia.
170
180 0
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
b) Urn triangulo que tern os vertices nurna sernicircunferencia e inscrito nela.
Se urn triangulo inscrito nurna
sernicircunferencia tern urn lado igual ao
diarnetro, entao ele e triangulo retangulo.
De fato, sendo A VB 0 triangulo, A e B os extrernos da sernicircunferencia, AB = 180 0 => A VB = 90 0 => M VB e retangulo em V.
c) Em resurno
Todo angulo reto e inscritivel nurna sernicircunferencia e, reciprocarnente, todo angulo inscrito nurna sernicircunferencia, com os lados passando pelas extrernidades, e angulo reto.
169. Quadrilatero inscritfvel - propriedade
Urn quadrilcitero que tern os vertices nurna circunferencia e quadrilcitero inscrito na circunferencia.
a) Se urn quadrilcitero convexo e
inscrito nurna circunferencia, entao os
angulos opostos sao suplernentares.
A
D
Seja A urna circunferencia.
Hip6tese
Tese
0
ABeD inscrito em A = >[. .~ + ~
.. = 180
B + D = 180 0
171
ANGULOS NA C[RCUNFER~NCIA
Demonstrariio
A e inscrito
C e inscrito
A = B;D]
-
DAB
C=-2
Como A + 8 + C + f>
360°, decorre que 8 + f>
180° .
b) Se urn quadrilMero convexo possui os angulos opostos suplementares, entao ele e inscritiveI.
Seja ABCD 0 quadrilchero convexo.
A+c
Hip6tese
180° e 8 + f>
180°
=>
Tese
ABCD e inscritivel
Demonstrariio
Se ABCD nao fosse inscritivel,
considerando ).. a circunferencia pelos
pontos A, Be C, ela nao passaria por
D e teriamos 0 que segue.
Sendo Eo ponto de interselYao da
++reta CD com ).., 0 quadrihitero ABCE e
inscrito.
D
ABCE inscrito => 8 + E = 180°
(8 + E = 180°,8 + f> = 180°) => f> = E, 0 que e absurdo, de
acordo com 0 teorema do fJngulo externo no !:lADE.
c) Resumo
Vma condilYao necessaria e suficiente para urn quadrilatero convexo ser inscritivel e possuir angulos opostos suplementares.
172
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
IV. Angulo de segmento ou angulo semi-inscrito
170. Dejini<;ao
Angulo de segmento ou angulo
serni-inscrito relativo a uma circunferencia e urn angulo que tern 0 vertice na
circunferencia, urn lado secante e 0 outro lado tangente a circunferencia.
\
\
\
\
Na figura,
tAB e angulo de segmento
AS e 0 arco correspondente ou subentendido
AGB e 0 angulo central correspondente ao angulo semi-inscrito tAB.
o nome angulo de segmento vern do segmento circular AB.
171. Medida do ongulo de segmento
Urn angulo de segmento e metade do angulo central correspondente.
ou
A medida de urn angulo de segmento e metade da medida do arco
correspondente.
ou
Demonstrariio
I? caso: tAB e agudo
No triangulo isosceles DAB calculemos a medida do angulo A.
A + B+ 13 = 180 0
=>
=>
2A= 180 -13
0
A + A + 13 = 180 0
=>
A=90 -l2
(I)
=>
0
173
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
Sendo t tangente a circunferencia:
a + A = 90 0 ==> A = 90 0 - a
(2)
{3
De (1) e (2) decorre que a = T'
Logo, a =
i
e como {3
2? caso: tAB e rete
AB e urn diametro e AB
AB decorre que a
AB
2
180 0 •
3? caso: tAB e obtuso
Usando 0 adjacente suplementar de tAB, recai-se no I? caso.
172. Arca capaz - segmenta (circular) capaz
Consideremos uma circunferencia >. de centro 0 e urn angulo de medida a. Seja AGB urn angulo central de
medida {3 = 2a. Os vertices dos angulos inscritos (ou semi-inscritos) relativos
a >. que tern os lados passando por A e
Be tern medida a estao num arco APE.
Este arco e chamado area eapaz de a.
areo eapaz
Na figura os angulos AV,B, AV 2 B, AV 3 B, t,AB e t 2 BA tern medida
AB
2
o arco ApiJ e 0 arco capaz de a.
173. Angulas excentricas
a) Angulo exeentrieo interior
Se duas cordas se cortam em urn
ponto interior a uma circunferencia, distinto do centro, entao qualquer urn dos
angulos que elas formam e chamado angulo exeentrieo interior.
174
ANGULOS NA CIRCUNFER~NCIA
A medida do angulo exd~ntrico interior, considerando as indicar;:6es da
figura, e dada por
em que a e b sao as medidas das areas.
De fato:
como x e angulo externo do triangulo e como a e {3 sao angulos inscritos, obtemos:
(x
=
a + {3, a = ;, (3 =
~) == x
a + b
2
2
== x
a + b
2
b) Angulo excentrico exterior
Se com origem num ponto exterior a uma circunferencia trar;:armos duas
semi-retas, ambas secantes a circunferencia, ou ambas tangentes ou uma secante e a outra tangente, estas semi-retas formam urn angulo que e chamado
iingulo excentrico exterior.
A medida do angulo excentrico exterior, considerando as indicar;:6es das
figuras, e dada por
a-b
x
2
em que a e b sao as medidas dos arcos.
a
De fato: como a e {3 sao angulos inscritos ou angulos de segmentos e
a e angulo externo do triangulo, obtemos:
(a
=
x + {3,
a= ;, = ~) == ;
(3
x +
b
2
==
X
a-b
-2
175
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
EXERCicIOS
377. Determine 0 valor do angulo x nos casos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
378. Determine 0 valor do arco x nos casos:
b)
a)
x
120 0
176
c)
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
379. Nas figuras, ealcule 0 valor de x.
b)
a)
@
A
3D·
e
3x
6
380. Nas figuras, ealcule 0 valor de a.
a)
b)
381. Nas figuras, ealcule 0 valor do areo ABc.
a)
b)
,(].
A
p
6
382. Nas figuras, ealcule x.
a)
Q 'C30
b)
A
e)
W',
x
6
820
e
6
383. Na figura, sendo ABC = 260°, ealcule 0
valor de a.
p
6
177
ANGULaS NA CIRCUNFERENCIA
384 Calcule 0 valor de x.
a)
b)
(fij
80,D
A
.
e
8
A
385. 0 area CD da Figura mede 105°.
Calcule 0 valor de x.
8@
e
x
cm
386. Na eireunfereneia, 0 area
excede a area AEB em 50°. Determine suas medidas, sabendo que a
lingulo ex mede 70°.
(Be
0
'15'
A
0
E
387. Na figura, 0 lingulo ACD e igual a 70°
eo lingulo APD e igual a 110°. Determine a medida do lingula BAc.
o
GJ'
A
388. Calcule x nas figuras:
a)
b)
p
A
178
8
8
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
389. Calcule x nas figuras;
b)
a)
C~O"B
~
x
D
A
390.
75°eAB
Sey
100 0 , calcule x.
391. Na figura, qual e 0 valor de a?
c
392. Na figura, 0 areo CMD e igual a
100 0 eo areo ANB mede 30 0 • Caleule 0 valor de x.
B
393. Determine a medida do angulo a,
sabendo que, na figura abaixo,
CD = R.
M
D
394. Calcule x nas figuras:
a)
b)
@
60"
P
B
x
.-0
140"
e)
136"
p
C
179
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
395. Calcule x nas figuras:
b) ABCDE e urn pentagono regular.
a)
20.
A
~
y
E([)C
D
D
C
.0
0
x
B
x
.::L
A
2
B
396. Na figura, 0 arco BEe mede 60 0 e OB
e perpendicular a AC. Determine a medida do arco AFE e a medida do angulo
AVC.
397. Determine as medidas dos angulos de urn triangulo, obtido pelos pontos de tangencia do circulo inscrito com os lades de urn triangu!o ABC, sendo A = 60 0 ,
jj = 40 0 e (; = 80 0 •
398. Determine a razao entre os angulos
ex e {3 da Figura ao lado, sabendo que
a reta r tangencia a circunferencia no
ponto A e que os arcos AB, BC e AC
sao proporcionais aos numeros 2, 9
399. Na figura, determine a medida do
angulo ex, sabendo que 0 arco AS
mede 1000 e que a corda CD mede R, sendo R 0 raio do circulo.
e 7.
c
®
B
400. Determine 0 menor angulo formado por duas retas secantes a uma circunferencia, conduzidas por urn ponto P externo, sabendo que essas secantes determinam
na circunferencia dois areas cujas medidas valem 30 0 e 90 0 •
180
ANGULOS NA CIRCUNFERENCIA
401. Na figura, AB e AC sao tangentes ao
circulo de centro 0 e Q e urn ponto do
arco menor fiC. PQR e tangente ao circu10, A = 28°. Ache POR.
A
402. Na figura, AB e urn diiimetro, a corda
AM e 0 lado do triiingulo equil<itero
inscrito e BN, 0 lado do quadrado inscrito. Calcule 0 iingulo Ct, formado pelas
tangentes PM e PN.
p
Ak--__4---"'t
403. Determine as medidas x e y.
404. Consideremos urn triiingulo equilatero ABC inscrito em urn circulo. Determine
o menor iingulo formado pelas retas tangentes a esse circulo nos pontos A e B.
405. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
181
ANGULOS NA CIRCUNFER~NCIA
406. Mostre que se AB e CD sao arcos de medidas iguais, de uma circunferencia,
entao as cordas AB e CD sao congruentes.
Solu~io
Hip6tese
A
®
D
Tese
Demonstrariio
Sendo 00 centro do circulo, considere
os triiingulos AOB e COD em que
OA = OB = OC = OD = raio e
AOB == COD (pois AB = CD).
Entao, pelo caso LAL, os triiingulos
sao congruentes.
Logo: AB == CD.
Note que vale tambem a reciproca desta propriedade.
407. Prove que retas paralelas distintas, secantes com uma circunferencia, determinam na circunferencia, entre as paralelas, arcos de mesma medida.
408. Prove que urn trapezio inscrito em urn circulo e isosceles.
409. Sejam r eRos raios das circunferencias inscrita e circunscrita em urn triiingulo
retiingulo de catetos a e b. Prove que a + b = 2(R + r).
410. Prove que a soma dos diiimetros dos circulos inscrito e circunscrito a urn triiingu10 retiingulo e igual a soma dos catetos desse triiingulo.
411. Se os lados AB e AC de urn triiingulo sao diiimetros de duas circunferencias,
prove que 0 outro ponto comum as circunferencias esta em BC.
Solu~io
Seja P 0 outro ponto de interse~ao.
Como os triiingulos APB e APC estao inscritos em semicircunferencias,
eles sao retiingulos. Logo APB e APC
sao iingulos retos. Entao
e PC sao
semi-retas opostas, isto e, Pesta em
BC.
in
412. Seja ABC urn triiingulo acutiingulo e HI' H 2 , H) os pes das alturas. Prove que
o ortocentro H do triiingulo ABC e 0 incentro do triiingulo H IH 2H 3 •
182
CAPITULO XII
Teorema
de Tales
I. Teorema de Tales
174. Dejini(;oes
Feixe de relas paralelas e urn conjunto de retas coplanares paralelas en-
tre si.
Transversal do jeixe de relas parole/as euma reta do plano do feixe que
concorre com todas as retas do feixe.
Transversais
IJ)
Ponlos correspondenles de duas
transversais sao pontos destas transversais que estao numa mesma reta do
feixe.
co
n;
(ij
(ij
0.
Q)
"
Q)
x
Segmenlos correspondenles de
duas transversais sao segmentos cujas
extremidades sao os respectivos pontos
correspondentes.
'cu
....
A e A', Be B', C e C', D e D' sao pontos correspondentes.
AB e A 'B', CD e C'D' sao segmentos correspondentes.
183
TEOREMA DE TALES
175. Propriedade
Se duas retas sao transversais de urn feixe de retas paralelas distintas e urn segmento de uma delas e dividido em p partes congruentes entre
si e pelos pontos de divisao sao conduzidas retas do feixe, entao 0 egmento correspondente da outra transversal:
l~) tambern e dividido em p partes
2~) e essas partes tambem sao congruentes entre si.
Demonstrar;iio
1 ~ parte: AB e A'B' sao segmentos correspondentes e AB e dividido em
p partes por retas do feixe.
Se A 'B' ficasse dividido em menos partes (ou mais partes), pelo menos
duas retas do feixe encontrar-se-iam em pontos de AB (ou de A 'B'), 0 que e
absurdo pois as retas do feixe sao paralelas.
2~ parte: AB e dividido em partes congruentes a x.
Pelos pontos de divisao de A 'B', conduzindo paralelas a AB, obtemos
urn triangulo para cada divisao. Todos os triangulos sao congruentes pelo caso
ALA (basta notar os paralelogramos e os angulos de lades respectivamente paralelos que sao obtidos).
~t
c
0
----.. u
B
B'
B
B'
Com isso, A 'B' e dividido em partes congruentes pelos pontos de divisao.
184
TEOREMA DE TALES
176. Teorema de Tales
Se duas retas sao transversais de urn feixe de retas paralelas, entao
a razao entre dois segrnentos quaisquer de urna delas eigual a razao entre
os respectivos segrnentos correspondentes da outra.
Hip6tese
AB e CD sao dois segrnentos de urna transversal, e A'B' e C'D' sao os respectivos correspondentes da outra.
Tese
=>
AB
A'B'
CD
CD'
Demonstrariio
I'! caso: AB e CD sao comensurdveis.
A'
A'
S'
C'
C'
x'
- - - - - - - - - -x'
x'
1,
"D-:+-------hD'"
D'
Existe urn segrnento x que e subrnultiplo de AB e de CD.
AB = pXl
CD =
qxJ
~
AB
(1)
CD
Conduzindo retas do feixe pelos pontos de divisao de AB e CD (vide
figura) e aplicando a propriedade anterior, vern:
A'B' = pX'1
CD' = qx'
J
~
A'B'
CD'
..E...
(2)
q
AB
A'B'
Cornparando (1) e (2), ternos: -=- = -=-.
CD
CD'
185
TEOREMA DE TALES
2? caso: AB e CD sao incomensuraveis.
Nao existe segmento submultiplo
comum de AB e CD.
Tomamos urn segmento y submultiplo de CD (y cabe urn certo numero inteiro n de vezes em CD), isto e:
CD = n· y
Por serem AB e CD incomensuniveis, marcando sucessivamente y em
AB, para urn certo numero inteiro m de vezes acontece que:
m . y < AB < (m + l)y
Operando com as relac;:6es acima, vern:
m+
m
AB
my < AB < (m + 1)y] -;==* -<-=-<
n
ny = CD = ny
n
CD
(3)
Conduzindo retas do feixe pelos pontos de divisao de AB e CD e apIicando a propriedade anterior, vern:
CD' = ny'
my' < A'B' < (m + l)y'
Operando com as relac;:6es acima, temos:
my' < A'B' < (m + l)y'] -;- m
A'B'
m + 1
==* - < = <
n
ny' = C'D' .= ny'
n
C'D'
(4)
Ora, y e urn submuitiplo de CD que se pode variar; dividindo y, aumen' - - m e m + 1 f ormam urn par d e cIasses contI-.
tamos n e nestas con d lc;:oes
n
n
guas que definem urn unico numero real, qu~ e AB pela expressao (3), e e
_
CD
A
'B'
I
(4)
C
.
.
.
.
- = - pe a expressao
. omo esse numero e umco,
entao:
C'D'
AB = A'B'
CD
CD'
186
TEOREMA DE TALES
Nota
Vale tambem a igualdade:
CD
.
.
-AB
= = -=-,
que permlte
coneIUlr:
A'B'
CD'
A raziio entre segmentos correspondentes e constante.
EXERCicIOS
413. Determine 0 valor de x em cada caso abaixo, sendo r, set retas paralelas.
~
~
__---+
:..-_ _ 5
9
__+-
+-_ _ 5
8
c)
d)
5
t
5
4
6
x
414. Nas figuras, as retas r, set sao paralelas. Determine os valores de x e y.
~
~
~
5
187
TEOREMA DE TALES
415. Na figura, MN e paralela a base BC do
trifingulo ABC. Calcule 0 valor de x.
A
30
M
10 ~---------"'....
N
12
B
416. Na figura, MN II BC. Calcule 0 valor de AB.
C
417. Na figura, calcule 0 valor de x.
A
M J"---~
x+ 6
BL------------'C
418. Na figura ao lado, os segmentos AB,
BC, CD e DE medem respectivamente
8 qn, 10 em, 12 em e 15 em. Calcule
as medidas dos segmentos A'B', B' C' ,
C'D' e D'E', sabendo que A 'E' mede
54 em, e que as retas a, b, e, d, e sao par.alelas.
x
A+
B
188
s
\A'
t B'
a
b
C
le-
D
\D' d
E
\E' e
~
419. Na figura ao lado, r II slit. Determine as medidas x e y, sabendo que sao proporcionais a 2 e a 3, que 0 segmento A' C'
mede 30 em e que as retas a e b sao paralelas.
16
c
\
_4--t------lp---_a
TEOREMA DE TALES
420. Urn feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal tres segmentos que medem 5 em, 6 em e 9 em, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo
que 0 segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 em.
Solu~iio
x
60
5=20 ==> x
..L _ 60
6 -
20
~=~~
15cm
==> Y = 18cm
]==>Z
27 cm
ou Z = 60 - 15 - 18
421. Urn feixe de cinco paralelas determina sobre uma transversal quatro segmentos
que medem, respectivamente, 5 em, 8 em, 11 em e 16 em. Calcule 0 comprimento
dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que 0 segmento compreendido entre as paralelas extremas mede 60 em.
422. Urn triangulo ABC tern os lados ACe BC medindo 24 em e 20 em, respectivamente.
Sobre 0 lado AC, a 6 em do vertice C, tomamos urn ponto M. Determine a distancia de urn ponto N situado sobre 0 lado BC, ate 0 vertice C, de maneira que
MN seja paralelo a AB.
423. No triangulo ABC, 0 lado A C mede 32 em e 0 lado BC, 36 em. Por urn ponto M
situado sobre AC, a 10 em do vertice C, tral;amos a paralela ao lado AB, a qual
divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.
424. Na figura abaixo, onde a II bile II d, temos que: AD + AG + HK + KN =
180 em· AE = 2.- JK = ~ KL =.1:7.-. AB BC e CD sao proporcionais
, AB
2 ' AB
5 ' AB
10 '
,
a 2, 3 e 4, respectivamente. Calcule as medidas dos segmentos EF, LM e CD.
=
A
a
189
TEOREMA DE TALES
425. Tres terrenos tern frente para a rua "A"
e para a rua "B", como na figura, As divisas laterais sao perpendiculares a rua
"A", Qual a medida de frente para a rua
"B" de cada late, sabendo que a frente
total para essa rua e 180 m?
Rua "8"
30 m
20 m
Rua "A"
426. Determine x e y, sendo r, set retas paralelas,
\
s
427. Dados urn triangulo ABC e urn segmento DE com D em AB e E em A C, prove
que, se AD : DB = AE : EC, entao DE e paralelo a BC.
II. Teoremas das bissetrizes
177. Teorema da bissetriz interna
Uma bissetriz interna de urn triangulo divide 0 lade oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes,
o enunciado acima deve ser entendido como segue.
Sendo ABC 0 triangulo de lados
a, be c, AD uma bissetriz interna (conforme a figura), DB = x e DC = y,
teremos:
x
y
c
b
o lade BC = a edividido
em dois
-
segmentos aditivos, pois DB + DC = BC,
ou seja, x + y = a.
190
A
c
)
B
I
a
TEOREMA DE TALES
E com esta nomenclatura temos, entao:
Tese
Hip6tese
AD bissetriz interna do flABC
==>
x
y
c
b
Demonstrariio
I
,
iE
b
,
I
A·
b
C
I
,8
ID
x
I
,
Ie
Y
I
Conduzimos por C uma paralela a bissetriz AD, determinando urn ponto
-++ -++
E na reta AB (CE II AD).
~
Fazendo BAD = I, DAC = 2, AEC = 3, e ACE = 4, temos:
-++
~
-++
~
CE II AD
CE II AD
==>
==>
I = 3 (correspondentes)
2 = 4 (alternos internos)
Como por hipotese I
3 == 4 ==>
= 2, decorre que 3 == 4.
flA CE e isosceles de base CE
==>
AE = AC ==> AE = b.
BE
como transversais de urn feixe de retas paralelas
Considerando Be e
-++
(identificado por AD II CE) e aplicando 0 teorema de Tales, vern:
~
x
y
c
. x
-b' ou seJa , - c
178. Teorema da bissetriz externa
Se a bissetriz de urn angulo externo de urn triangulo intercepta
a reta que contem 0 lado oposto, entao ela devide este tado oposto externamente em segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados adjacentes.
191
TEOREMA DE TALES
o enunciado anterior deve ser entendido como segue:
d
Sendo ABC 0 triangulo de lados
a, b, c,~D a bissetriz externa com D
na reta BC (conforme Figura), DB = x
-
e DC = y,
tere;o~: l
A /
f'
/
,
c "
~__ :~_~'~~~~ _
ebB
a
y"
I '
I
I
x
I
o lado BC = a edividido externamente em segmentos subtrativos, pois
DB - DC = BC, ou seja, x - y = a.
Com esta nomenclatura, temos:
Hip6tese
Tese
AD bissetriz externa do LiABC =>
x
y
c
b
Demonstrariio
x
Conduzimos por C uma paralela a bissetriz AD, determinando urn ponto
~
~
~
E na reta AB (CE II AD).
Fazendo CAD = I, DAF
++-
++-
CE II AD
++++CE II AD
=>
=>
2 == 3
I == 4
2, ABC
3 e ACE
4, temos:
(correspondentes)
(alternos internos).
Como por hiootese I == 2, decorre que 3 == 4.
3== 4 =>
192
LiA CE eisosceles de base CE => AE == AC => AE = b.
TEOREMA DE TALES
~
~
Considerando BC e BE como transversais de urn feixe de retas paralelas
(identificado por AD II CE) e aplicando 0 teorema de Tales, vern:
~
~
y
b
xc·
x
-= -- ' ou seJa , -y
c
b
I
I
I
______ _A/:i:.
Nota
Se 0 triangulo ABC eisosceles de
base BC, enUio a bissetriz do angulo
externo em A eparalela a base BC e reciprocamente.
_
EXERCicIOS
428. Se AS e bissetriz de A, calcule x nos casos:
c)
b)
a)
A
x
~
C
A
B
12
B
A
429. Se AP e bissetriz do angulo externo em A, determine x.
b)
a)
I
12
I
.,I·
I
I
I
B~--~1~2----~------;-----P
~----------~------~~
p
12
B
x
c
193
TEOREMA DE TALES
430. Na figura, AS e bissetriz interna do
iingulo A. Calcule 0 valor de x.
431. Na figura, AS e bissetriz interna do
iingulo A. Calcule x.
c
A
Zx
A
15
B
432. Na figura, calcule os valores de x e y,
respectivamente, sendo BS a bissetriz
interna do iingulo E.
c
433. Na figura, AD e bissetriz externa
do iingulo A. Calcule x.
c
f
A-----:-1""Z------U.-=""'-B
~"-,
B
4
C~D
x
434. Determine a medida do lado AB do triiingulo ABC:
a) AS e bissetriz e 0 perfmetro do
~ABC e 75 em
b) AP e bissetriz do iingulo externo
em A e 0 perimetro do ~ABC e
23 m
A
30 m
c
435. No triiingulo ABC da figura ao lado, AS
e bissetriz interna do iingulo A e AP e
bissetriz externa. Calcule a medida do
segmento SP.
194
TEOREMA DE TALES
SolUf;ao
40
T. biss. int.
T. biss. ext.
=*
x
30 - x
20 = ~ =* x = 10
....:L _ 30 + Y
20 -
40
,,
,
"
8 L:...._--~---J.C--------F,---
~y~
=* 'y = 30
'------v-----'
30
Sp = x + Y =* SP = 10 + 30 =* SP = 40
436. Os lados de urn triangulo medem 5 em, 6 em e 7 em. Em quanto e preciso pralongar 0 lado menor para que ele encontre a bissetriz do angulo externo oposto?
437. Sendo AS e AP bissetrizes dos angulos interno e externo em A, determine 0 valor de CP, dados BS = 8 m
eSC = 6 m.
B~----~--~-----------~-~P
438. A bissetriz interna do angulo A de urn triangulo ABC divide 0 lado oposto em dois
segmentos que medem 9 em e 16 em. Sabendo que AB mede 18 em, determine a
medida de A C.
439. 0 perfmetro de urn triangulo ABC e 100 m. A bissetriz interna do angulo A divide 0 lado oposto BC em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados
desse triangulo.
440. A bissetriz interna AD de urn triangulo ABC divide 0 lado oposto em dqis segmentos BD e CD de medidas 24 em e 30 em, respectivamente. Sendo AB e AC respectivamente iguais a 2x + 6 e 3x, determine 0 valor de x e as medidas de AB e AC.
441. A bissetriz externa AS de urn triangulo ABC determina sobre 0 prolongamento do
lado BC urn segmento CS de medida y. Sendo os lados AB e AC, respectivamente, 0 triplo e 0 dobra do menor segmento determinado pel? bissetriz interna AP
sobre 0 lado BC que mede 20 em, determine 0 valor de y.
442. Os lados de urn triangulo medem 8 em, 10 em e 12 em. Em quanto precisamos
prolongar 0 menor lado para que ele encontre a bissetriz do angulo externo oposto a esse lado?
443. Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que 0 circulo esta inscrito no triangulo, determine x.
6~~~
'-v------'
7
195
TEOREMA DE TALES
444. Consideremos urn triangulo ABC de 15 em de perimetro. A bissetriz externa do
angulo A desse triangulo encontra 0 prolongamento do lado BC em urn ponto S.
Sabendo que a bissetriz interna do iingulo A determina sobre BC dois segmentos BP
e PC de medidas 3 em e 2 em, respectivamente, determine as medidas dos (ados
do triiingulo e a medida do segmento CS.
LEITURA
Legendre: por uma Geometria
Rigorosa e Didatica
Hygino H. Domingues
Na Grecia antiga axioma significava, ao que tudo indica, uma
verdade geral comum a todos os campos de estudo; e postulado, uma
verdade especifica de urn dado campo. (Modernamente, em Matematica, nao se costuma fazer distinc;:ao entre esses conceitos.) Euclides,
ao escrever seus Elementos, assumiu cinco postulados e cinco axiomas.
Postulados: (I) De qualquer ponto pode-se conduzir uma reta
a qualquer ponto dado; (II) Toda reta limitada pode ser prolongada
indefinidamente em linha reta; (1Il) Com qualquer centro e qualquer
raio pode-se descrever urn circulo; (IV) Todos os angulos retos sao
iguais; (V) Se uma reta, cortando duas outras, forma angulos interiores de urn mesmo lade menores que dois retos, entao as duas retas,
se prolongadas ao infinito, encontrar-se-ao na parte em que os angulos sao menores que dois retos.
Entre os axiomas figuram, por exemplo: "Coisas iguais a uma
mesma coisa sao iguais entre si" e "0 todo e maior que a parte".
A partir dessa base l6gica, mais algumas definic;:6es, os Elementos desfiam seus teoremas sem intercalar nenhum exercicio ou aplicac;:ao prarica, formando urn texto que, pelos padr6es modernos, dificilmente poderia ser classificado de didarico. E bern provavel que este
aspecto nao contasse ao tempo de Euclides. Mas, a medida que a geometria ganhasse espac;:o como valor cultural universal, obviamente esse quadro teria que mudar. E na Franc;:a do seculo XVIII, no centro
da efervescencia intelectual que animava a Europa, varios textos foram publicados visando tomar mais palatavel aos iniciantes a geometria de Euclides. Freqiientemente, porem, esses trabalhos sacrificavam
as demonstrac;:6es, 0 rigor, numa banalizac;:ao pouco construtiva. Vma
notavel excec;:ao foi 0 Elementos de Geometria de Adrien Marie Legendre (1752-1833).
196
Legendre nasceu de uma familia abastada de Toulouse, sui da
Franc;a. Iniciou-se na matematica no Coh~gio Mazarin de Paris, onde
estudou, sob a orientac;ao do abade Joseph Franc;ois Marie (1738-1801).
E revelou tanto talento que ja em 1775 era indicado para ocupar a cadeira de Matematica da Escola Militar de Paris. Mas em 1780 renunciou a essa catedra para poder dedicar mais tempo a pesquisa. E dois
anos depois ganhava urn premio oferecido pela Academia de Berlim
com trabalho sobre a trajetoria de urn projetil num meio resistente.
Isso obviamente chamou a atenc;ao da comunidade matematica francesa para seu nome, 0 que Ihe abriu as portas da Academia de Ciencias, em 1783. Em termos de pesquisa, Legendre deixou significativas
contribuic;6es em varios
campos da matematica, com
enfase maior talvez no das
func;6es elipticas e no da teoria dos numeros. Neste ultimo deve-se a ele 0 primeiro
enunciado completo e uma
demonstrac;ao parcial da notavel lei da reciprocidade
quadratica. Alias, seu livro
Ensaio sobre a teoria dos mimeros (uma edic;ao em 1798
e outra ern 1808) foi 0 primeiro tratado moderno a ser
Adrien Marie Legendre (/752-/833).
publicado sobre 0 assunto.
A geometria certamente nao estava entre as prioridades de Legendre. No entanto, seu Elementos de Geometria, urn texto que concilia rigor e preocupac;ao didatica, numa reorganizac;ao bastante clara
e agradavel dos Elementos de Euclides, com muitas demonstrac;6es novas, mais simples, foi urn grande exito editorial. So na Franc;a, antes
da morte do autor, sairam vinte edic;6es, compreendendo cerca de 100
mil exemplares. Ern 1809 foi feita no Rio de Janeiro uma traduc;ao para 0 portugues: a obra de Legendre seria urn dos livros adotados no
"Curso Mathematico", da Academia Real Militar, criada no ana seguinte naquela cidade.
Durante cerca de quarenta anos Legendre lutou para provar 0
postulado V de Euclides a partir dos outros, uma tarefa impossivel,
como se sabe hoje. Falhou sempre ao admitir, inadvertidamente, hipoteses equivalentes ao proprio postulado. Mas mesmo nessa empreitada ingloria nao faltou competencia e engenhosidade ao seu trabalho.
197
CAPITULO XIII
Semelhan~a de
Triangulos e
Potencia de Ponto
I. Semelhan~a de triangulos
179. Dejini{:Qo
Dois triiingulos sao semelhantes se, e somente se, possuem os tres iingulos ordenadamente congruentes e os lados hom61ogos proporcionais.
A
A'
B
a
6
B'
a'
C'
~ABC - ~A'B'C' <==> (~~~'
e ~_l_~)
a'
b'
c'
C == C'
- : semelhante
Dois lados hom6logos (homo = mesmo, logos = lugar) sao tais que cada urn deles esta em urn dos triiingulos e ambos sao opostos a iingulos congruentes.
198
SEMELHAN<::A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
180. RazQo de semelham;a
Sendo k a razao entre os lados homologos,
~ = l
a'
b'
= ~ = k.
c'
-
k e chamado razao de semelhanc;:a dos triangulos.
Se k = 1, os triangulos sao congruentes.
181. Exemplo
Sendo dado que os triangulos ABC e A' B' C' sao semelhantes, que os
ladosdosegundotemmedidasA'B' = 3 em,A'C' = 7emeB'C' = 5 erne
que a medida do lado AB do primeiro e 6 em, vamos obter a razao de semelhanc;:a dos triangulos e os outros dois lados do primeiro triangulo.
B
~
A b e
~ABC - ~A'B'C' == ~- = l
a'
b'
A'
c
c'
C'
b' = 7
a
5
b
7
6
3
2
A razao de semelhanc;:a e 2.
~=l=2 ==
5
7
[
~=2 == a= 10
5
l
7
- 2 ==
b - 14
as outros dois lados do primeifo triangulo medem BC = 10 em e
AC = 14 em.
199
SEMELHANCA DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
182. Propriedades
Da definic,:ao de triangulos semelhantes decorrem as propriedades:
a) Reflexiva: MBC - dABC
b) Simetrica: dABC - dRST <==> dRST - MBC
..
dABC - dRST I
c) TransltIva: dRST _ dXYZ J ==> MBC - dXYZ
183. Teorema fundamental
Se uma reta e paralela a urn dos lados de urn triangulo e intercepta
os outros dois em pontos distintos, entao 0 triangulo que ela determina
e semelhante ao primeiro.
- Hip6tese
DE II BC
Tese
==>
dADE - dABC
DemonstrQ(;iio
A
Para provarmos a semelhanc,:a
entre dADE e dABC, precisamos provar que eles tern angulos ordenadamente congruentes e lados hom610gos proporcionais:
I?) Angulos congruentes
c
B
DE II Be ==> (0 == BeE == C) (angulos correspondentes)
entao, temos: 0 == B, E == C e A comum (1)
2?) Lados proporcionais
A
Pelo tearema de Tales, temos:
AD
AB
-
AE
AC
-
Par E construimos EF paralela a
AB, com F em Be.
200
c
SEMELHANC;:A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
Paralelogramo BDEF
Teorema de Tales
=>
AE
AC
AD
Logo, -=AB
DE == BF
=>
AE
AC
BF
BC
DE
BC
(2)
]=
DE
BC
AE
AC
3?) Conclusao
(I) e (2) => LlADE - LlABC.
184. Exemplo
Urn triangulo ABC tern os lados
AB= 12em, AC= 13emeBC= 15em.
A reta DE paralela ao lado BC do triangulo determina urn triangulo ADE, em
que DE = 5 em. Vamos calcular AD = x
e AE = y.
Basta aplicar 0 teorema fundamental:
~
DE II Be ==> LlADE - LlABC ==> t2
[3
1:
em.
Logo, AD
4 em
e AE =
c
15
B
5
15 ==>
(x = 4 ey = 1:)
EXERCicIOS
445. Os trilingulos ABC e A 'B'C' da figura sao semelhantes (t.ABC - t.A'B'C).
Se a razao de semelhan~a do I ~ para 0 2~ e ~, determine:
2
a) a, bee
b) a razao entre os seus perimetros
A
A'
b
c
S
a
c
U
S'
14
C'
201
SEMELHAN<;:A DE TRIANGULOS E paTENCIA DE PONTO
446. Os triiingulos ABC e PQR sao semelhantes. Determine x e y.
Q
A~R
B
20
p
C
447. Se 0 t:J<LM e semelhante ao MOH, determine x.
K
~
L
42
F
~
M
G
x
H
448. Os tres lados de urn triiingulo ABC medem 8 em, 18 em e 16 em. Determine os lados de urn triiingulo A 'B' C' semelhante a ABC, sabendo que a razao de semelhan<;:a do primeiro para 0 segundo e igual a 3.
449. Se DE e paralelo a BC, determine x nos casos:
b) x = AD
a)
A
~
E
.>....,E
c
D
10
B
A
450. De urn 6ABC sabemos que AB = 20 m, BC = 30 m e AC = 25 m. Se D esta
em AB, E em AC, DE e paralelo a BC e DE = 18 m, determine x = DB e
y = EC.
202
SEMELHANC;:A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
451. Mostre que, se a razao de semelhanc;;a entre dois triangu!os e k, entao a razao
entre seus perimetros e tambern k.
SolUl;ao
Dados os triangu!os semelhantes ABC e A 'B' C' e sendo k a razao de semelhanc;;a, temos:
A
A'
b
c
a
B
2p
a + b + c
abc
a'
b'
c'
---
k
2p'
c
2p'
a' + b' + c'
aka'
k
a + b + c
a' + b' +- c'
== [ b = kb'
c = kc'
ka' + kb' + kc'
a' + b' + c'
k(a' + b' + c')
a' + b' + c'
k
452. Dois triangulos ABCeA 'B'e' sao semelhantes. Sabendo que 0 lade AB do triangulo ABC mede 20 em e que 0 seu hom610go A 'B' do triangulo A 'B'C' mede
40 em, determine 0 perimetro do triangu!o ABC, sabendo que 0 perimetro do
triangulo A 'B' e' e 200 em.
453. 0 perimetro de urn triangulo e 60 meum dos lados tern 25 m. Qual 0 perimetro do triangulo semelhante cujo lade hom610go ao lade dado mede 15 m?
454. Os lados de urn triangulo medem 8,4 em, 15,6 em e 18 em. Esse triangulo e semelhante a urn triangulo cujo perimetro mede 35 em. Calcule 0 maior lade do
segundo triangulo.
455. Num triangulo ABC os lados medem AB = 4 em, BC = 5 em e AC = 6 em.
Calcule os lados de urn triangulo semelhante a ABC, cujo perimetro mede 20 em.
456. Urn triangulo cujos lados medem 12 m, 18 m e 20 me semelhante a outro cujo
perimetro mede 30 m. Calcule a medida do menor dos lados do triangulo menor.
203
SEMELHAN<;:A DE TRIANGULOS E POT~NCIA DE 'PONTO
457. Na figura, AB = 2(BC) , e BE = 14.
Calcule CD, sabendo que BE II CD.
D
AB = 2a, BC = a
BE = 14 e CD = x
C'--------,,-----,''-------,----------''oA
458. As bases de urn trapezio medem 12 me 18 me os Iados obliquos as bases medem
5 m e 7 m. Determine os Iados do menor triiingulo que obtemos ao prolongar
os Iados obliquos as bases.
II. Casos OU criterios de semelhao{:a
185. 1? caso
"Se dois triangulos possuem dois angulos ordenadamente congruentes, entao eles sao semelhantes."
Hip6tese
Tese
~ABC_,
~'B'<?']
~
~
~..
..
~
A = A, B == B'
~ABC
-
~A'B'C'
Demonstrarao
Vamos supor que os triangulos nao sao congruentes e que AB > A'B'.
Seja D urn ponto de AB tal que AD == A 'B' eo triangulo ADE com
15 == fj' e E no lade AC.
A
~'\--
",E
BL-ll------~C
~A=_A," AD==A'B', D==B') ~ MDE==M'B'C']
..
.. J
= B==D = DE #~ Be = ~ABC - ~ADE
B' == D
~=B _
204
= MBC - ~A'B'C'
SEMELHAN<:;A DE TRlANGULOS E POT~NC[A DE PONTO
186. Esquema e exemplo de aplicar;ao do 1? caso
Esquema
An
b
Bn B' C
A'
c'
a
b'
~=~'1 =
B=B,J
LlABC-M'B'C'
=
abc
a'
b'
c'
=-=-=-=k
a'
Isto e:
Se dois triangulos tern dois angulos ordenadamente congruentes, entao
eles sao semelhantes e dai decorre que tern lados hom61ogos proporcionais.
("2 angulos congruentes = trlangulos semelhantes = lados proporcionais")
Exemp/o
A
Na figura ao lado, dado que S - 13,
AB = 10 em, BC = 8 em, AC = 14 em e
AS = 5 em, vamos caIcular RS = x e
AR = y.
-++
-++
(Note que RS nao e paralela aBC.)
R
.....
c~--
Iniciamos por notar que 0 angu10 A e comum a dois triangulos. A seguir separamos estes triangulos
colocando nas figuras os "dados" e os
"pedidos" .
A
R
C L-----,_.w
[
~ =_1
~
x = 4
2
A ~ co~uml ~ ilARS-MCB ~ ~=l=~ ~ 8
5 = B J
8 14 10
l
__
l
~ y=7
14
2
Logo, RS = 4 em e AR = 7 em.
(*) Nos nurneradores colocarnos os lados de urn dos triangulos enos denorninadores os horn610gos
do outro.
205
SEMELHANt;:A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
187. 2? coso
"Se dois Iados de urn triangulo sao proporcionais aos horn6Iogos
de outro triangulo e os angulos compreendidos sao congruentes, entao
os triangulos sao semelhantes."
A demonstrac;:ao e amiloga a do 1~ caso, usando 0 caso de congruencia
LAL (em Iugar de ALA) e 0 teorema fundamental.
o esquema deste caso e 0 que segue:
A
A'
c'
c
b'
B..e.----=--------'
C
a
b
b'
c
c'
~ABC - ~A'B'C' =- (~
a' = k , E == E' , C == C')
188. 3? coso
"Se dois triangulos tern os Iados hom6Iogos proporcionais, entao
eles sao semelhantes."
A demonstrac;:ao deste caso e an.Hoga a do 1~ caso, usando 0 caso de
congruencia LLL (em lugar do ALA) e 0 teorema fundamental.
o esquema peste caso e 0 que segue:
A
C
A'V
b
'
c
a
B
c'
C'
a'
B'
~=l=~=k =- MBC-M'B'C' =- (A.==A',E==E',C==C')
a'
206
b'
c'
SEMELHANCA DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
189. ObservQl;oes
Com base nos casos de semelhanc;a, podemos ter os resultados seguintes.
Se a razao de semelhanc;a de dois triangulos e k, entao:
a razao entre lados homologos e k;
a razao entre os perimetros e k;
a razao entre as alturas homologas e k;
a razao entre as medianas homologas e k;
a razao entre as bissetrizes internas homologas e k;
a razao entre os raios dos circulos inscritos e k;
a razao entre os raios dos circulos circunscritos e k;
a raziio entre dois elementos lineares hom6logos e k;
e os angulos homologos sao congruentes.
EXERCicIOS
459. Se angulos com "marcas iguais" sao congruentes, determine as incognitas nos casas:
a)
b)
b
o
12
8
~
6~
y
9~~6
6
460. Se ex = (3, determine x e y nos casas:
a)
b)
2
y
207
SEMELHAN<;:A DE TRIANGULOS E POT~NCIA DE PONTO
461. Determine x e y nos casos:
a)
b)
C
~B
A,
x
v
'
x
462. Sendo res retas paralelas, determine x nos casos:
b)
a)
-----------------1-8
L-
~
_
x
____'__s
x
L-
,--
~
_
_'____s
12
463. SeABI! ED, DE = 4 em, CD = 2em
BC = 6 em. calcule a medida de AB.
A
~
464. Na figura abaixo, ABe paralelo a DE.
a) Prove que os triangulos ABC e
EDC sao semelhantes.
b) Sendo AB = 5, AC = 6, BC = 7
e DE = 10, calcule CD.
D
c~
B
E
o
465. Na figura abaixo, determine 0 valor
de x.
8,
Z
E
466. Calcule 0 valor de x, sabendo que a
figura abaixo e urn paralelogramo.
A
C~B
8
208
A
24
0
1~
BEe
SEMELHANCA DE TRIANGULOS E POTtNCIA DE PONTO
467. Na figura, as medidas sao AB = 8 em,
Be = 3 em, AE = 5 em. Calcule x = DE,
sabendo que ACE == AI5B.
A
c=--------~ D
468. Nas figuras, determine x.
a)
b)
~
,
.I
17
469. Dada a figura, determine 0 valor de
x.
470. Na figura abaixo, consideremos os
quadrados de lados a e b (a > b).
Calcule 0 valor de x.
471. Na figura abaixo, consideremos os
quadrados de lados x, 6 e 9. Determine 0 perimetro do lluadrado de lado x.
472. Determine a medida do lado do quadrado da figura abaixo.
209
SEMELHANt;:A DE TRI.A.NGULOS E POTENCIA DE PONTO
473. Prolongando-se os lados obliquos as bases de urn trapezio, obtemos urn ponto
E e os triangulos ECD e EAB. Determine a rela~ao entre as alturas dos dois triangulos, relativas aos lados que sao bases do trapezio, sendo 12 em e 4 em as medidas das bases do trapezio.
474. As bases de urn trapezio ABCD medem
50 em e 30 em e a altura 10 em.
Prolongando-se os lados nao paralelos,
eles se interceptam num ponto E. Determine a altura EF do triangulo ABE e a
altura EG do triangulo CDE (vide figura).
E
,
,
AX'
"
'"'"
I \
I
\
I
:G
"
\~B
F
475. Num triangulo isosceles de 20 em de altura e .JQ.. em de base esta inscrito urn
3
retangulo de 8 em de altura com base na base do triangulo. Calcule a medida da
base do retangulo.
477. Na figura, temos: AB = 8, BC = 15,
AC= 17eEC = 4. Determine x =
= DEey = CD.
476. Determine x e y.
4
A
D
y
BL..·-'---------'-'"
478. Na figura abaixo, 0 quadrado DEFG
esta inscrito no triangulo ABC. SendoBD = 8 em e CE = 2 em, calcuIe 0 perimetro do quadrado.
A
G~
.LT
D
E
c
479. Num retangulo ABCD, os lados AB
e BC medem 20 em e 12 em, respectivamente. Sabendo que M e 0 ponto medio do lado AB, calcule EP,
distancia do ponto E ao lado AB,
sendo E a interse~ao da diagonal BD
com 0 segmento CM.
DrsZT
A
210
M
F
B
SEMELHANCA DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
480. Na figura, determine x.
17
10
481. Consideremos urn triangulo ABC de lado BC = 10 em. Seja urn segmento CD
interno ao triangulo tal que D seja urn ponto do lado AB. Sabendo que BD = 4 em,
e os angulos BAC e BCD sao congruentes, determine a medida de AD.
482. Pelos pontos A e B de uma reta tra~am-se perpendiculares a reta. Sobre elas tomam-se os segmentos AC = 13 em e BD = 7 em. No segmento AB = 25 em
toma-se urn ponto P tal que os angulos APC e BPD sejarn congruentes. Calcule
a medida de AP.
483. Considere a circunferencia circunscrita a urn triangulo ABC. Seja AE
urn diametro dessa circunferencia e
AD a altura do triangulo. Sendo
AB = 6em,AC = 10emeAE =
= 30 em, calcule a altura AD.
484. Calcule R, raio da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC da figura, sendo: AB = 4, AC = 6, AH = 3.
485. Dois circulos de raios R e r sao tangentes exteriormente no ponto A. Sendo C
e D os pontos de tangencia de uma reta t externa, com os dois circulos, determine
a altura do triangulo ACD relativa ao lado CD.
486. 0 ponto 0 e a interse~ao das diagonais ACe BD de urn losango ABCD. Prolongase 0 lado AD ate urn ponto F de modo que DF = 4 m. Se OF encontra CD em
E e ED = 2 m, determine 0 lado do losango.
487. De urn triangulo ABC sabemos que 0 angulo A e 0 dobro do angulo C, AB = 6 m
e que AC = 10 m. Determine BC
211
SEMELHAN<;:A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
488. Na figura, as semi-retas PA e FE sao
tangentes a circunferencia. Se as distiincias entre Q e as tangentes sao 4
e 9, ache a distiincia entre Q e a corda AB.
489. As retas t e f sao tangentes as circunferencias em A. Determine AB em
fun~ao de a = Be e b = BD.
P
490. Na figura ao lado, RQ e perpendicular
a PQ, PQ e perpendicular a PT e TS e
perpendicular a PRo Prove que:
(TS) . (RQ) = (PS) . (PQ).
T
III. Potencia de ponto
190. Vamos estudar a potencia de urn ponto P em relar,;ao a uma circunferencia A.
I? caso: P e interior a A
Rr--+-_ _......c.. S
212
2? caso: P e exterior a A
p
SEMELHANCA DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
Em casos como os das figuras acima dizemos que RS e uma corda e que
RP e PS sao suas partes; PX e urn "segmento secante" e PY e sua parte
exterior. Com isto, vamos a uma:
191. Dedw;;oa (para as dais casas)
Se por P passam duas retas concorrentes que interceptam a circunferencia em A, B, C e D, respectivamente, temos:
c
B
Considerando os trianguios PAD e PCB:
P comum (O~o'P.v. )]
- =- C =
BDA
2
=- .:iPAD _ .:iPCB =- PA = PD =PC
PB
=- (PA)· (PB) = (PC) . (PD)
192. Enunciadas
No 1~ caso: "Se duas cordas de uma mesma circunferencia se interceptam, entao 0 produto das medidas das duas partes de uma e iguai
ao produto das medidas das duas partes da outra".
No 2~ caso: "Se por urn ponto (P) exterior a uma circunferencia
conduzimos dois "segmentos secantes" (PA e PC), entao~ produto da
medida do primeiro (PA) peia de sua parte exterior (PB) e iguai ao
produto da medida do segundo (PC) peia de sua parte exterior (PD)".
213
SEMELHANCA DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
193. Generaliza<;ao do 1? caso
Consideremos as cordas AB, CD, EF, GH, ... , MN que se interceptam
em P.
Com 0 resultado anterior e tomando AB para comparar;;ao, temos:
(PA) x (PB) = (PC) x (PO)
(PA) x (PB) = (PE) x (PF)
(PA) x (PB) = (PG) x (PH)
···
...
(PA) x (PB) = (PM) x (PN)
Oonde concluimos que, fixados 0 ponto Pea circunferencia, (PA) x (PB)
e constante, qualquer que seja a corda AB passando por P. Este produto
(PA) x (PB) e chamado potencia do ponto P em relariio a circunferencia.
Logo,
(PA) x (PB) = (PC) x (PO) = (PE) x (PF)= (PG) x (PH) = .. ,
... = (PM) x (PN) = Potencia de P em relar;;ao a circunferencia MO, r).
194. Generaliza<;ao do 2? caso
Consideremos 0 segmento secante PA, sua parte exterior PB e urn segmento PT tangente a A.
Analisando os tri1ingulos PA T e
PTB, vern:
p
P comum _]
~ ~
=> ~PAT - ~PTB =>
A=T = TB
2
==>
214
PA
PT
PT = PB
=>
(PA) x (PB) = (PT)2
T
SEMELHANCA DE TRJANGULOS E POTENCIA DE PONTO
Com 0 resultado acima, e procedendo de modo analogo ao feito no I?
caso, temos:
c L_----t--:::::~,..P
(PA) x (PB) = (PC) x (PD) =
= (PE) x (PF) = ... = (PM) x (PN) =
= (PT)2 = Potencia do ponto P em
rela<;iio a circunferencia A(O, r).
EXERCicIOS
491. Em cada casa, determine a incognita.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
215
SEMELHANl;:A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
492. Determine 0 valor de x nas figuras abaixo.
b)
a)
A
17
493. Determine x nos casos:
b)
a)
C
x
D
494. Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CEo
AB = 3x
AC = 4x - 1
AD = x + 1
AE = x
Solu~iio
(AB) x (AD) = CAC) x (AE)
3x(x + I) = (4x - l)x
x = 0 (nilo serve) ou x = 4
BD = 3x + x + 1 = 17;
CE = Ax - 1 + x = 19
216
D
SEMELHAN<;:A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
495. Determine 0 valor de x nas figuras abaixo.
a)
A
b)
3
c
496. Determine 0 raio do circulo nos casos:
b)
a)
497. Na figura, sendo ED: EC = 2 : 3, AE =
= 6 e EB = 16, calcule 0 comprimento
de CD.
B
498. Determine a medida do segmento DE da
figura, sabendo que AB e 0 diiimetro da
circunferencia, B 0 ponto de tangencia
do segmento BC a circunferencia e DE
e paralelo a BC.
B
SOIUl;iio
Potencia de ponto
Semelhanca
=>
=>
(BC)2 = 9.(25)
BC
AC
DE -
AD
=>
=>
BC
15
DE -
25
10
15
=>
DE
48
5
217
SEMELHAN<;:A DE TRIANGULOS E POT~NCIA DE PONTO
499. Calcule a potencia de urn ponto P em rela~ao a uma circunferencia de centro 0
e raio r, em fun~ao da distancia d entre 0 e P e do raio r.
Solu~iio
P
Conforme vimos nos itens 193 e 194, qualquer corda (ou segmento secante) serve para nos dar a potencia x de P em rela~ao a circunferencia.
(PA) x (PB)
(PA) x (PB)
Id2 - r2 1.
No I? caso:
x
No 2? caso:
x
Nos dois casos: x
(d + r) x (r - d)
r2 - d 2
(d + r) x (d - r) = d 2 - r 2
500. Na Figura ao lado, calcule pot A + pot B + pot C.
A
c
Obs.: pot A
potencia de A em rela~ao a A.
501. Por urn ponto P distante 18 em de uma circunferencia, tra~a-se uma secante que
determina na circunferencia uma corda AB de medida 10 em. Calcule 0 comprimento da tangente a essa circunferencia tra~ada do ponto P, sabendo que AB
passa pelo centro da circunferencia.
218
SEMELHAN<;A DE TRIANGULOS E POTENCIA DE PONTO
502. Determine 0 raio do circulo menor inscrito num quadrante do circulo maior, da
figura ao lado, sendo 2R 0 diiimetro do
circulo maior.
B
503. Duas cordas AB e CD interceptam-se num ponto P interno a uma circunferencia.
Determine a medida do segmento BP, sabendo que os segmentos CP, DP e a
corda AB medem, respectivamente, I em, 6 em e 5 em.
504. Num circulo duas cordas se cortam. 0 produto dos dois segmentos da primeira
corda e 25 em 2 • Sabe-se que na segunda corda 0 menor segmento vale
maior. Determine a medida do maior segmento dessa segunda corda.
~ do
505. AB e AC sao duas cordas de medidas iguais, pertencentes a urn circulo. Uma
corda AD intercepta a corda BC num ponto P. Prove que os triiingulos ABD
e APB sao semelhantes.
219
CAPITULO XIV
Triangulos
Retangulos
I. Rela~oes metricas
195. Elementos
Considerando urn triangulo ABC, retangulo em A, e conduzindo AD
perpendicular a BC,. com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:
BC
AC
AB
BD
m
CD
n
a
b
c
AD = h
hipotenusa,
cateto,
cateto,
C
projeiYao do cateto c
sobre a hipotenusa,
B
projeiYao do cateto b
I
sobre a hipotenusa,
altura relativa a hipotenusa.
A
~
~
I h
0
a
c
I
Note que, para simplificar, confundimos urn segmento com a sua medida. Assim, dizemos que a ea hipotenusa, podendo ser entendido que a ea medida da hipotenusa.
220
TRIANGULOS RETANGULOS
196. Semelhan~as
A
Conduzindo a altura AD relativa
a hipotenusa de urn triangulo retangulo
ABC, obtemos dois triangulos retangulos DBA e DAC semelhantes ao triangulo ABC.
~1
2'I
I
I
rn
,1
B L....!._.L..l-....!-
2
~~
C
D
De fato, devido a congruencia dos angulos indicados na figura acima,
B == I (complementos de C) e
C == 2 (complementos de B)
temos:
AABC - ADBA
AABC - ADAC
ADBA - ADAC
A
D L~-,---
2::....J.!.---':::" C
pois eles tern dois angulos congruentes.
Logo:
AABC - ADBA - ADAC
221
TRIANGULOS RETANGULOS
197. Relafoes metricas
a) Dedu~io
Com base nas semelhan~as dos triangulos eitados no item anterior e com
os elementos ja earaeterizados, temos:
A
A
B~C tl
B
a
..1ABC - ..1DBA
..1ABC - ..1DAC
..1DBA - ..1DAC
A
b
h
. 0
m
=
=
=
a
e
a
e
b
h
b
h
e
m
e
m
a
b
b
n
C
n
= be = ah
= e = am
= eh = bm
(4)
= b = an
~=.-£
be = ah
h =
b
b
e
bh = en
n
h =
(1)
e
b
e
b
h
n
h
n
m
h
m
h
2
2
= bh = en
= eh = bm
= h = mn
2
(2)
(6)
(4)
(5)
(5)
(6)
(3)
Resumindo as rela~6es eneontradas, excluindo as repetidas, temos:
(1) b 2 = a . n
(2) e2 = a· m
222
(3) h 2 = m . n
(4) b . e = a . h
(5) b . h = e . n
(6) e . h = b . m
TRIANGULOS RETANGULOS
b) Enunciados
Media proporcional dos segmentos res dados e 0 segmento x que, com
os segmentos dados, forma as seguintes propon;6es:
-
r
x
=
-
x
s
x
r
ou
s
x
Dessas propor~6es segue que:
x2 = r . s ou ainda x = ~
A media proporcional de res coincide com a media geometrica de res.
Em qualquer triangulo retangulo:
I?) cada cateto e media proporcional (ou media geometrica) entre
sua proje~ao sobre a hipotenusa e a hipotenusa.
a·n
a· m
2?) a altura relativa a hipotenusa e media proporcional (ou media
geometrica) entre os segmentos que determina sobre a hipotenusa.
h2
m· n
3?) 0 produto dos catetos e igual ao produto da hipotenusa pela
altura reiativa a ela.
b·c
a·h
4?) 0 produto de urn cateto pela altura relativa a hipotenusa e igual
ao produto do outro cateto pela proje~ao do primeiro sobre a hipotenusa.
b·h
c·n
c·h
b· m
223
TRIANGULOS RETANGULOS
c) Teorema de Pitagoras
A soma dos quadrados dos catetos e igual ao quadrado da hipotenusa.
Demonstrariio
Para provar esta rela~ao basta somar membro a membro (1) e (2), como
segue:
b 2 = a· n ]
c2 = a· m
~ b 2 + c2 = am + an
==> b 2 + c2 = a2
==>
b 2 + c2 = a(m + n)
==>
~
a
d) Observa~oes
1~) As tres primeiras rela~6es metricas
b2 = a . n
c2 = a· m
h2 = m . n
(1)
C~b
(2)
(3)
~bn~
a
sao as mais importantes.
Delas decorrem todas as outras. Por exemplo, fazendo (1) x (2) membro a membro e usando a (3), temos:
b2 • c2 = a 2 • mn ==> b2 • c2 = a 2 • h2
b . c = a· h
---(3)-_------Jf
b 2 • c2 = an . am
LI
2~) Num triangulo retangulo, a soma dos inversos dos quadrados dos
catetos e igual ao inverso do quadrado da altura relativa a hipotenusa.
_1_
_1
b 2 + c2
-
1_
h2
De fato:
1
1
b2 + d
=
c2 + b 2
a2
a2
1
b 2 • c2
b 2 • c2
a2 • h 2
h2
----v--
--...------
L(4)--l
224
TRIANGULOS RETANGULOS
3~)
Reciproco do teorema de Pitagoras
Se num triangulo 0 quadrado de urn lado e igual a soma dos quadrados dos outros dois, entao 0 triangulo e retangulo.
Hip6tese
~ABC em que a2
b2 + c2
Tese
~ABC e retangulo
==
Demonstrariio
p
A
cAb
m
n
B~C
M L.:J...._ _#--_---''''' N
a
Construindo 0 triangulo MNP, retangu~emMe cujos catetos MN e MP
sejam respectivamente congruentes a AB e AC, temos:
~MNP retangulo em M
m2 = n2 + p2
Como n = b e p = c, vern m 2 = b2 + c2.
==
Logo, m 2 = a 2, ou seja, m = a.
Entao, pelo caso LLL, ~ABC == ~MNP e, como ~MNP e retangulo
em M, 0 ~ABC e retangulo em A.
,
EXERCICIOS
506. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
~
b)
LJ
d)
x
x
c)
3
5~
3~
x
225
TRIANGULOS RETANGULOS
507. Determine x em func;ao de a nos casas:
a)
b)
~
JY:\
2a
a
508. Determine x nos casas:
a)
b)
~
5~
x + 1
x
c)
d)
~
zJ'
29
x
509. Determine x nos casas:
a)
b)
x
6
2,'5
6
510. Escreva 10 relac;6es metricas com as elementos indicados na figura.
~
n
226
m
TRIANGULOS RETANGULOS
511. Determine x nos casos:
b)
a)
12
9
4
c)
x
d)
12
3
4
x
512. Na figura, determine os elementos x, y,
Z e t.
t~
~z
\
,x 5
\
12
513. Determine x e y nos casos:
a)
b)
~
~
12
'---.r--'
x
x
514. Determine 0 valor de x.
a)
b)
,~
615
~
415
227
TRIANGULOS RETANGULOS
515. Calcule os elementos y, z, t e x na figura
ao lado.
13
516. Determine 0 raio do circulo nos casos:
a)
b)
6~
517. Determine x nos casos:
a) triangulo isosceles
b) triangulo equil<itero
v
18
518. Determine 0 valor de x nos casos:
a) retangulo
b) quadrado
12
6
519. Determine 0 valor de x nos trapezios isosceles.
a)
8
!
228
12
b)
x
I
12
TRIANGULOS RETANGULOS
520. Determine 0 valor de x nos trapezios retangulos.
9
a)
Xb
17
b)
~
x
x
d)
/'
Xb
;/ d'
x
17
c)
8
'6
32
~
521. Determine 0 valor de x nos losangos.
a)
b)
30
I
I
I
I
..
, - - - - - -....,I
I
I
--f-----I...
I
I
_I
16
X
+ 6
I
I
522. Determine 0 valor de x nos paralelogramos.
)
aL.- /- - L.:. L~
10
_/
7
523. Determine a altura do trapezio da figura.
10
;/
20
229
TRIANGULOS RETANGULOS
524. Determine 0 valor de x nos casos.
a)
b)
c)
d)
A
1
I
I
I
I
I
I
__.r...L _~ _ ~_---,=--_~
D
C
525. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
8
d)
c)
I
I
I
I
I
I
1
1
1+--1-1
I
230
8
I
X
I
TRIANGULOS RETANGULOS
Solu~lio do item d
Trac;ando os raios que vlio ate os pontos de contato, obtemos urn trapezio
retangulo cuja altura e x.
Aplicando 0 teorema de Pitagoras no triangulo sombreado, obtemos:
x2 + 12 = 82
=>
x2 = 63
=>
x = 3fi
526. Determine 0 raio do circulo nos casos:
a)
b)
527. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b) AB
15
231
TRIANGULOS RETANGULOS
528. Determine 0 raio do drculo nas figuras:
b) AH = 25 m e BC
AB = AC
a) Trapezio retangulo de bases
10 m e 15 m
30 m e
A
@
529. Determine 0 valor de x nos casos:
b)
a)
530. Determine 0 raio do drculo, nos casos, se 0 triangulo retangulo possui:
b) urn cateto de 8 m e hipotenusa
de
m
a) catetos de 6 m e 8 m
4!13
531. Determine 0 valor de x nas figuras:
b)
a)
10
x
24
232
5
TRIANGULOS RETANGULOS
532. Determine a diagonal de urn quadrado de perimetro 20 m.
533. Determine a diagonal de urn retiingulo de perimetro 20 m e base 6 m.
534. 0 perimetro de urn losango e 52 m e uma diagonal mede 10 m. Calcule a outra
diagonal.
535. Determine a altura de urn triiingulo equilatero de perimetro 24 m.
536. Determine 0 perimetro de urn triiingulo equilatero de altura 6 m.
537. 0 perimetro de urn triiingulo isosceles e de 18 mea altura relativa a base mede
3 m. Determine a base.
538. Determine a menor altura de urn triiingulo cujos lados medem 4 m, 5 m e 6 m.
539. Determine a altura nao relativa a base de urn triiingulo isosceles de lados 10 m,
10 me 12 m.
540. A altura de urn retiingulo mede 8 m, a diagonal excede a base em 2 m. Calcule
a diagonal.
541. 0 perimetro de urn retiingulo e de 30 mea diagonal mede 5..[5 m. Determine
os lados desse retiingulo.
542. A altura relativa a base de urn triiingulo isosceles excede a base em 2 m. Determine a base, se 0 perimetro e de 36 m.
Solu~iio
Sendo 2x a medida da base (para simplificar os calculos) e considerando as medidas indicadas na figura, temos:
h = 2x + 2
2x + 2a = 36
[ x2 + h 2 = a 2
h=2X+2
a = 18 - x ==
[ 2
x + h2 = a 2
== x2 + (2x + 2)2 = (18 - X)2 ==
== x2 + 4x2 + 8x + 4 = 324 - 36x + x2 ==
== 4x2 + 44x - 320 = 0 == x2 + llx - 80 = 0 ==
== x = 5 == A base mede 10 m.
233
TRIANGULOS RETANGULOS
543. Cada urn dos lados congruentes de urn triangulo isosceles excede a base em 3 m.
Determine a base, se a altura relativa a ela e de 12 m.
544. A diferen~a entre as medidas das diagonais de urn losango de 68 m de perimetro
e 14 m. Determine as diagonais desse losango.
545. As bases de urn trapezio retangulo medem 3 me 9 m eo seu perimetro e de 30 m.
Calcule a altura.
546. Calcule a altura e as proje~6es dos catetos sobre a hipotenusa, no triangulo retangulo de catetos 12 em e 16 em.
547. Calcule a hipotenusa, a altura relativa a hipotenusa, e as projec;6es dos catetos
sobre a hipotenusa de urn triangulo retangulo de catetos 3 e 4.
548. Dado urn triangulo equilcHero de lade a, calcule sua altura.
549. Uma escada de 2,5 m de altura esta apoiada em uma parede e seu pe dista 1,5 m
da parede. Determine a altura que a escada atinge na parede, nessas condic;6es.
550. A altura relativa a hipotenusa de urn triangulo retangulo mede 12 m. Se a hipotenusa mede 25 m, calcule os catetos.
551. Num triangulo ABC, retangulo em A, a altura relativa a hipotenusa mede 1,2 em
e a hipotenusa mede 2,5 em. Sendo men, respectivamente, as projec;6es do maior
e do menor cateto sobre a hipotenusa, calcule ..!!!-.
n
552. Dois ciclistas partem de uma mesma cidade em direc;ao reta; urn em direc;ao leste
e outro em direc;ao norte. Determine a distancia que os separa depois de duas
horas, sabendo que a velocidade dos ciclistas e de 30 km/h e 45 km/h, respectivamente.
553. As bases de urn trapezio isosceles medem 12 me 20 m, respectivamente. A soma
dos lados nao paralelos e igual a 10 m. Quanto mede a altura?
554. As bases de urn trapezio isosceles medem 7 e 19 e os lados nao paralelos 10.
Calcule a altura desse trapezio.
555. Em urn trapezio retangulo, a soma das
bases e de 16 em, sendo uma delas os
~ da outra. Determine a altura, sabendo
que 0 lade obliquo mede 5 em.
556. Na figura, calcule a altura do trapezio retangulo ABCD.
234
A I_
R
.p
TRIANGULOS RETANGULOS
557. Sabendo que a soma dos quadrados dos catetos com 0 quadrado da hipotenusa
de urn triangulo retangulo e igual a 200, determine a medida da hipotenusa
desse triangulo.
558. Calcule 0 perimetro do triangulo isosceles de 16 em de base e 6 em de altura.
559. Determine a altura de urn trapezio de bases 24 em e 10 em, sabendo que os lados
nao paralelos medem respectivamente 15 em e 13 em.
560. A base maior e urn dos lados obliquos as bases de urn trapezio isosceles circunscritivel a urn cfrculo sao respectivamente iguais a 18 em e 13 em. Determine a
medida da altura do trapezio.
561. Uma corda comum a dois cfrculos secantes mede 16 em. Sendo 10 em e 17 em
as medidas dos raios dos cfrculos, determine a distancia entre seus centros.
562. Seja urn ponto P, externo a uma circunferencia. A menor distancia desse ponto
a circunferencia vale 6 em e a maior distancia desse ponto a circunferencia vale
24 em. Determine 0 comprimento do segmento tangente a circunferencia, por esse ponto.
563. Dois cfrculos de raios 12 em e 20 em sao tangentes externamente. Determine 0
comprimento do segmento PQ, tangente comum aos dois cfrculos, sendo P e Q
pontos de tangencia.
564. Urn trapezio isosceles circunscritivel tern bases medindo 8 em e 16 em. Calcule
a altura do trapezio.
565. Prove que 0 diametro de urn cfrculo inscrito em urn trapezio isosceles e media
geometrica entre as bases do trapezio.
E
566. Calcule a medida do raio do cfrculo, na
figura ao lado, sabendo queAD = 12em,
AE = 15 em e AB = 8 em.
567. Num triangulo isosceles de altura 8, inscreve-se uma circunferencia de raio 3. Calcule a medida da base do triangulo.
568. Sobre a hipotenusa AB de urn triangulo retangulo ABC e construido urn segundo
triangulo retangu!o ABD, com hipotenusa AB. Se BC = 1, AC = beAD = 2,
calcule BD.
569. No trapezio ABCD ao lado, a diagonal
ACe perpendicular ao lado obliquo AD.
Sendo CD = 25 em eAD = 15 em, determine a medida da altura do trapezio.
A
B
~
o
c
235
TRIANGULOS RETANGULOS
570. Determine a medida da diagonal AC do
o
trapezio retiingulo da figura ao lado, sabendo que as bases medem respectivamente 4 em e 9 em e que 0 lado BC mede
J34 em.
B
571. 0 segmento AB tern suas extremidades A e B como pontos de tangencia as circunferencias de centros 0 1 e O2 , Sendo 15 em e 3 em os raios dessas circunferencias, respectivamente, e 24 em a distiincia entre seus centros, determine 0 segmento AB.
572. Determine a medida da hipotenusa de urn triangulo retiingulo sendo 24 m 0 seu
.
'h lpotenusa.
penmetro
e 524 m a me dOd
1 a d a a 1tura re1atlva a
o
0
573. Considere-se uma semicircunferencia de diametro AOB = 2r. Construimos internamente duas novas semicircunferencias com diiimetros OA e OB e uma
circunferencia tangente a essas tres semicircunferencias. Calcule a medida do raio
dessa circunferencia.
574. Do mesmo lado de uma reta sao tra<;:ados tres circulos tangentes a reta e tangentes entre si dois a dois. Sabendo que dois deles tern raio igual a 16, calcule 0 raio
do terceiro.
575. Urn octogono regular e formado cortando-se triiingulos retiingulos isosceles nos
vertices de urn quadrado. Se 0 lado do quadrado mede 1, quanto medem os catetos dos triiingulos retirados?
576. Consideremos dois circulos tangentes como na figura ao lado. Sendo E 0 centro
E
do circulo menor, F 0 ponto de tangencia entre os dois circulos e a 0 lado do
quadrado, determine 0 raio do circulo
menor em fun<;:ao de a
0
577. Considere urn quadrado Q de lado a e cinco circulos de mesmo raio r interiores
a Q, dos quais urn e concentrico com Q e tangente exteriormente aos quatro outros, e cada urn destes tangencia dois lci.ctos consecutivos de Q. Determine a medida de r em fun<;:ao da medida a do lado quadrado.
236
TRIANGULOS RETANGULOS
578. Na figura, determine 0 raio da circunferencia, sabendo que ACe AD tangenciam
a circunferencia nos pontos C eD, respectivamente, e que BE = 12 em e AE =
= 54 em.
{~)8
A
D
E
579. Dois telefericos T I e T2 partem de uma esta~ao E situada num plano horizontal,
em dire~ao aos picos PI e P 2 de duas montanhas. Determine a distancia entre PI
e P" sabendo que os telefericos percorreram 1 500 m e 2900 m, respectivamente, que a primeira montanha tern 900 m de altura e a segunda 2 000 m e que
os pes das montanhas e E estao em linha reta.
e
580. Sejam dois circulos tangentes entre si, internamente, como na figura ao lado. Sendo PQ = 8 em e ST = 3 em, calcule a
medida de RQ.
581. Num circulo de centro 0 e raio R, considera-se uma corda AB
medida do raio do circulo inscrito no setor circular DAB.
R
2.
Calcule a
582. Sobre os lados de urn quadrado, desenhamos externamente quatro triangulos isosceles com alturas relativas as bases iguais a 3 em. Determine 0 perimetro do quadrado, sabendo que os vertices dos quatro triangulos pertencem a uma mesma
circunferencia, de raio igual a 3(\2 + 2) em.
583. Dois quadrados ABCD e CDEF tern em comum 0 lade CD. Tra~amos as diago-1--1- nais ACe EC. Sendo AM = 3" AC e EP = 2" CE, com M em AC e P em eE,
determine 0 segmento PM, em fun~ao do lade ados quadrados.
584. Determine a distancia entre os pes da altura e da mediana relativas a hipotenusa
de urn triangulo retangulo de (18 + 6\3)m de perimetro, sabendo que as proje~6es dos catetos sobre a hipotenusa sao diretamente proporcionais aos numeros 1 e 3.
585. Determine 0 perimetro de urn triangulo, sabendo que a mediana e a altura, relativas a hipotenusa, medem respectivamente 4 em e 2~3 em.
237
TRIANGULOS RETANGULOS
586. Dado 0 triangulo retangulo ABC de catetos AB e AC respectivamente iguais a
80 cm e 60 cm, considere a altura AH e a mediana AM relativas a hipotenusa do
triangulo. Calcule as medidas dos segmentos AH, AM, HB, HC, MH, bern como
a hipotenusa do triangulo.
587. Determine a altura relativa a base de urn triangulo isosceles em func;ao da base
a e do raio do circulo inscrito r.
588. Determine a bissetriz interna, relativa a hipotenusa de urn triangulo retangulo de
catetos b e c.
Solu~iio
Seja x a medida da bissetriz AS
relativa a hipotenusa. Por S tracemos
urn segmento paralelo a urn dos catetos, paralelo a b por exemplo.
Note que os triangulos BA C e BPS sao
semelhantes. Entao:
y2 + y2 = x2
b - -c[y
c-y
== c . -12x-
bc - b . ~
12
x
==
12
= bc - by
==
== xb + xc 12bc == x -- ~
b + c
589. Num triangulo isosceles ABC, Meum ponto qualquer da base BC. Demonstre que:
(AB)2 - (AM)2 = (MB) . (MC)
590. Determine 0 perimetro de urn triangulo isosceles em funC;ao da projec;ao a da altura relativa a base do triangulo sobre urn dos lados congruentes, e em funC;ao
dessa altura h.
591. Em urn quadrado ABCD tomamos urn ponto E, sobre 0 lado AD, tal que AE =
]-
-
-
-
4" AD, e 0 ponto 0, medio de AB. Sendo OP perpendicular a CE, em que
P e 0 pe da perpendicular tornado sobre CE, prove que:
(OP)2 = (EP) . (CP)
238
TRIANGULOS RETANGULOS
592. Considerernos urn triangulo ABC e as bissetrizes AD interna e AE externa ao
triangulo. Prove que:
~'A-D-2-+-A-E-2
~ AD2 + AE2
CD
BD
= 2
593. Seja urn semicirculo de diarnetro AB = 2r, e as tangentes AX e BY ao sernicirculo.
A tangente em urn ponto C, qualquer, da sernicircunferencia encontra' AX em
D e BY em E. Dernonstre que:
(CD) . (CE) = r 2
II. Aplica~oes do teorema de Pitagoras
198. Diagonal do quadrado
Dado urn quadrado de lado a,
calcular sua diagonal d.
Sendo ABCD 0 quadrado de lado a, aplicando 0 teorema de Pitagoras
no 1J.ABC, temos:
2a
2
==>
a
l_d__a_2-l1
199. Altura do tricmgulo equi/atero
Dado urn triangulo equilatero de
lado a, calcular sua altura h.
Sendo ABC urn triangulo equilatero de lado a, M 0 ponto medio de
BC, calculamos AM = h aplicando 0
teorema de Pitagoras no 1J.AMC.
A
M~C
B
a
2
3a2
4
239
TRJANGULOS RETANGULOS
200. Seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60°
C
Sendo a a rnedida de urn dos angulos agudos de urn triangulo retangu10, pondo-se:
b~
A
cateto oposto
hipotenusa
sen a
seno de a
b
- , sen a
a
b
a
cateto adjacente
hipotenusa
c
- , cos a
a
cateto oposto
tangente de a = tg a = ----~-­
cateto adjacente
- , tg a
c
cosseno de a
cos a
B
c
b
c
a
b
c
e usando os resultados anteriores, ternos:
sen 45°
a
a.{i
.{i
cos 45°
a
a.{i
- 2-
tg 45°
a
a
sen 60°
cos 60°
2
2
13a2
a
a
2
a
3
2
--
,,
,
,,
,,
,1-r-i
a,3
1
a
I--
2
I
I
2
I
tg 60°
240
3
a-2
a
2
LI ________
--v---'
13
-a2
TRIANGULOS RETANGULOS
sen 30°
a
2
a
1
2
,,
,,
,,
,,
I
J3
cos 30°
a-2
a
= J3
,,,' aJ3
,,
2
2
L _______
~
tg 30°
a
2
a
2
J3a-
= J3
3
2
201. Triangulos pitag6ricos
Veremos como obter triangulos retangulos cujos Iados sao medidos por
numeros inteiros, triangulos estes chamados pitagoricos.
Calculemos a hipotenusa a de urn triangulo retangulo com urn cateto
b = 2xy e outro c = x 2 - y2.
c
~'X'+V'
b'2>V~
A
c = x2 -
y2
B
a2 = (2xy)2 + (x 2 - y2)2 = 4X 2y2 + x4 - 2X2y2 + y4 ==- a 2 = x4 + 2X2y2 + y4 =- a 2 = (x2 + y2)2 =- a
Entao, temos:
Tomando x e y inteiros, primos entre si, urn deles sendo par ex maior
que y, vern a tabela:
241
TRIANGULOS RETANGULOS
Cateto
Cateto
Hipotenusa
x
y
X2 - y2
2xy
X2 + y2
2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
3
7
24
25
5
2
21
20
29
5
4
9
40
41
6
1
35
12
37
6
5
11
60
61
7
2
45
28
53
7
4
33
56
65
7
6
13
84
85
Notemos que os triiingulos retiingulos cujos lados sao dados pelos ternos:
a) (3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)... sao semelhantes entre si;
b) (5,12,13), (10, 24, 26), (15, 36, 39), (20, 48, 52) ... sao semelhantes entre si;
c) (8, 15, 17), (16, 30, 34), (24, 45, 51), (32, 60, 68) ... sao semelhantes entre
si, etc.
EXERCicIOS
594. Determine sen ex nos casas:
b)
a)
</1
2
c)
~5
~~
12
242
~
Q
x
TRIANGULOS RETANGULOS
595. Determine cos ex nos casos:
a)
c)
b)
~ ~ L
6
10
596. Obtenha tg ex nos casos:
a)
c)
b)
591. Determine 0 valor de x nos casas:
a)
c)
b)
~o
xLA
~
60°
x
598. Determine a valor de x nos casos:
a)
b)
c)
d)
243
TRIANGULOS RETANGULOS
599. Determine os valores de x e y nos casos:
b) paralelogramo
a) retangulo
c) paralelogramo
12
~
8
d) trapezio retangulo
e) trapezio isosceles
y
6
~12\2
~
x
600. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
3
x
601. Urn ponto de urn lado de urn angulo de 60° dista 16 m do vertice do angulo.
Quanto ele dista do outro lado do angulo?
602. Urn ponto de urn lado de urn angulo de 30° dista 6 m do outro lado. Determine
a distancia da proje<;:ao ortogonal desse ponto sobre este outro lado ate 0 vertice
do angulo.
603. Urn ponto P interno de urn angulo reto dista 4 111 e 8 111 dos lados do angulo.
Qual a distancia entre P e 0 venice desse angulo?
604. Urn ponto interno de urn angulo reto dista 4//1 e 10 //I dos lados do angulo. Qual
a distancia desse ponto it bissetriz desse angulo?
605. Urn ponto P, interno de urn angulo reto, disra, respectivamente, J2 //I e 2 //I de
urn lado e da bissetriz do angulo. Determine a distancia entre P eo vertice desse
angulo.
606. Urn ponto P, interno de urn angulo de 60". dista 6//1 e 91/1 dos lados desse angu10. Qual a distancia entre Pea bissetriz do angulo?
244
TRIANGULOS RETANGULOS
607. Urn ponto P, interno de urn angulo de 60°, dista 3 me 6 m dos lados do angulo.
Determine a distancia entre P e 0 vertice desse angulo.
608. Urn ponto P, interno de urn angulo de 30°, dista 3 m de urn lado e 3fi3 m do
vertice do angulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do angulo?
609. Urn ponto P, externo de urn angulo de 60°, dista 9J3 m e 3J3 m dos lados do
angulo, sendo que nenhuma destas distancias e ate 0 vertice do angulo. Qual e
a distancia entre Pea bissetriz do angulo?
610. Em urn triangulo retangulo, 0 quadrado da hipotenusa eo dobra do produto dos
catetos. Calcule urn dos angulos agudos do triangulo.
611. Pelo vertice de urn quadrado ABCD de lado a, toma-se no interior do quadrado
urn segmento BS que forma urn angulo igual a 30° com BA, com S em AD.
Determine AS e BS.
612. Urn observador ve urn edificio, construido em terreno plano, sob urn angul0 de
60°. Se ele se afastar do edificio mais 30 m, passani a ve-lo sob angulo de 45°.
Calcule a altura do edificio.
613. Os lados AB e AC de urn triangulo ABC medem respectivamente a e 2a, sendo
45° 0 angulo formado por eles. Calcule a medida da altura BD e 0 lado BC do trian- .
gulo, em fun~ao de a.
614. As bases de urn trapezio retangulo sao b e 2b e urn dos angulos mede 60°. Calcule
a altura.
615. Urn dos angulos agudos de urn trapezio isosceles mede 60°. Sendo os lados nao
paralelos congruentes a base menor do trapezio e m a medida da base maior, determine 0 perimetro do trapezio em fun~ao de m.
616. Determine 0 angulo que a diagonal de urn trapezio isosceles forma com a altura
do trapezio, sabendo que a altura do trapezio e igual a sua base media multiplicada
por 3.
617. A base maior de urn trapezio isosceles mede 100 em e a base menor 60 em. Sendo
60° a medida de cada urn de seus angulos agudos, determine a altura e 0 perimetra do trapezio.
618. Determine tg Ci, sabendo que E e ponto
medio do lado BC do quadrado ABCD.
o
c
[2j'
A
B
245
TRIANGULOS RETANGULOS
619. Determine 0 raio de urn circulo inscrito num setor circular de 60 0 e 6 dm de raio.
620. Seja AB = Jr, tangente em A a uma circunferencia de centro 0 e raio r. Trai;a-se
por B a tangente BC, que tern C por ponto de contato. Calcule a distiincia de C
a reta i"B.
621. Consideremos urn triiingulo retiingulo ABC, onde a medida de urn iingulo agudo
e Ci. Determine a medida do raio da circunferencia inscrita em fun~iio de Ci e da
hipotenusa Q.
622. Urn paralelogramo tern lados respectivamente iguais a 10 em e 8 em. Sabendo
que urn de seus iingulos internos vale 120 0 , calcule 0 perimetro do quadrilcitero
convexo formado pelas bissetrizes de seus iingulos internos.
623. Na figura temos urn quadrado e urn triiingulo equilcitero. Determine as incognitas.
a)
246
b)
CAPITULO XV
Triangulos
Quaisquer
Rela{:oes metricas e calculo de linhas notaveis
202. Teorema dos senos
as lados de urn triangulo sao proporcionais aos senos dos angulos
opostos e a constante de proporcionalidade e 0 diarnetro da circunferencia circunscrita ao triangulo.
Demonstrariio
Dado urn LlABC, considerernos a circunferencia circunscrita. Seja 0 0
centro dela e R 0 seu raio:
A
B
~
a
C
r-------Jc
247
TRIANGULOS QUAISQUER
Tra~ando 0
diametro RD, temos:
Be e, como A- = -2-'
Be decorre que 0-==-A.
o- = -2No !::I.DCR retangulo em C, vern:
sen 0 = ~
2R
==>
sen A = ~
2R
==>
a
sen A
2R
c b_ = 2R e - Procedendo de modo amilogo, temos: __
sen C
sen B
2R.
E
c
c
Oai a expressao da lei dos senos:
a
sen A
b
---
sen B
c
sen C
2R
Nota
Caso A seja obtuso, em lugar de D == A, teremos D
180° - A, 0 que
nao altera 0 resultado, pois sen(180° - A) = sen A, como e sabido da Trigonometria.
Caso A seja reto, tambem vale a rela~ao, visto que sen 90° = 1.
EXERCicIOS
624. Sabendo que sen (l 80 ° - x) = sen x e cos(180° - x) = -cos x, determine:
a) sen 120 0
b) cos 150 0
248
c) cos 135 0
d) sen 150 0
e) sen 135 0
f) cos 120 0
TRIANGULOS QUAISQUER
625. Determine 0 valor de x nos casos:
b)
a)
~
18
30'
12
626. Deter-mine 0 raio da circunferencia circunscrita ao triangulo nos casos:
b)
a)
Q
V
627. Obtenha 0 valor de x nos casos:
a) ABCD e paralelogramo
b) ABCD e trapezio isosceles
A
o
6
B
A
B
C
0
L~
C
628. Determine 0 angulo x nos casos:
a)
b)
12[2
629. Num triangulo ABC sao dados A
medida de AC.
60°, fj = 45° e BC = 4 em. Determine a
630. Num triangulo obtusangulo e isosceles, os angulos da base medem 30° cada urn.
Determine a base do triangulo, sabendo que os lados congruentes medem 10 em
cada urn.
249
TRIANGULOS QUAISQUER
631. 0 triangulo ABC e obtusangulo com A = 120 0 , BC = 2.J3 dm e AC = 2 dm.
Determine a medida do angulo do vertice B desse triangulo.
632. Se os lados de urn triangulo ABC medem a, bee, prove que:
a + b
sen A + sen B
--b- =
sen B
em que A e B sao os angulos dos vertices A e B do triangulo e a, bee os Iados
opostos respectivamente aos vertices A, Be C desse triangulo.
a- b
sen A - sen B
...
633 . N 0 mesmo exerC1CIO antenor, prove que: --b- =
B
sen
634. Sejam a, bee os Iados opostos aos vertices A, B e C de urn triangulo ABC.
sen A + sen B
a + b
_ .
Prove que:
= - - - , em que A, B e C sao 19ualmente os
sen C
c
angulos dos vertices A, B e C do triangulo considerado.
203. Relafoes metricas
a) Num triiingulo qualquer,
o quadrado do lade oposto a urn
fingu/o agudo e igual a soma dos
quadrados dos outros dois lados,
menos duas vezes 0 produto de urn
desses lados pela projec;:ao do outro sobre ele.
c
A L........I_---::!'-'-
-'" B
I....- - - c -----1
Hip6tese
A < 90 , m = proj. de b sobre c ==
a
0
b) Num triiingulo obtusiingulo qualquer, 0 quadrado do lado oposto ao fingulo obtuso e
igual a soma dos quadrados dos
outros lados, mais duas vezes 0
produto de urn desses lados pela
projec;:ao do outro sobre ele (ou sobre a reta que 0 eontem).
a
b
Tese
b + e2 - 2 em
2
2
c
I
I
he:
I
I
o 8 ~- - A
"'--'---".---"'"
B
C
I'
c + m----I
Hip6tese
A > 90 , m = proj. de b sobre c
0
250
Tese
==
a
2
b + e2 + 2 em
2
TRIANGULOS QUAISQUER
Demons/rarfio (conjunta -
para os dois casos)
Conduzindo CD = he = altura relativa ao lade C, vern:
dCDB:
a = h~ + (C±m)2]
2
I
==>
I
dCDA: h~ = b2 - m 2
==>
I a = b +c
2
2
2
-
I
a2 = b 2 - ~2 + c2 ±2 cm + ~2
2 cm
I (1)
/
a 2 = b 2 + c2 + 2 em
ou
I (2)
204. Teorema dos cossenos
Em qualquer triangulo, 0 quadrado de urn lade eigual asoma dos
quadrados dos outros dois lados menos duas vezes 0 produto desses dois
lados pelo cosseno do angulo por eles formado.
c
C
I
I
a
I
I
I
I
A L....l_ _----'-
;.-]m
--'"
__pi B
'.'_-:O"--_c
OL-
y
A
C
B
,-----A-----.,
180 0 - A
No dABC: a 2 = b2 + c2 - 2 cm
No dCDA: cos A = ~
==>
==>
m = b . cos A
(1)
No dABC: a 2 = b2 + c2 + 2 cm (2)
No dCDA: cos (180 0 - A) = ~
==>
Substituindo m em (1):
a 2 = b 2 + c2 - 2c(b . cos A)
-cos A = m
b
==>
==>
m = -b· cos A
Substituindo m em (2):
a 2 = b 2 + c2 + 2c(-b . cos A)
Para os dois casos:
a 2 = b2 + c2 - 2bc . cos A
251
TRIANGULOS QUAISQUER
Analogamente, temos:
b2 = a 2 + c2 - 2ac . cos B
Ie I c =a +b
2
2
2
-
2ab . cos C
que sao as express6es do teorema dos cossenos ou lei dos cossenos.
205. Reconhecimento da natureza de um triangulo
Conhecendo-se as medidas dos lados de urn triangulo e chamando a maior
delas de a e as outras duas de b e c, lembrando que
Ib-cl<a<b+c
reconhecemos a natureza de urn triangulo, com base nas equivalencias abaixo:
a2 < b 2 + c2
a2 = b 2 + c2
a2 > b2 + c2
==>
==>
==>
triangulo acutangulo
triangulo retangulo
triangulo obtusangulo
cujas demonstra~6es imediatas sao decorrentes dos dois itens anteriores.
EXERCicIOS
635. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
8
7
vv- - - - - - J
~ '-----7
fo
252
TRIANGULOS QUAISQUER
636. Determine x e y nos casos:
b)
a)
I
I
I
y: 3
tl.
'--
_=__
X
5
637. Calcule a altura h, relativa ao lado Be, nos casos:
A
a)
A
b)
I
I
[
4
:h
[
B~
C
B,~==:::::::v====::::"
10
J---_G
6
C
638. Determine 0 valor de x nos casos:
b)
a)
16
7
d)
c)
~
~
6~
x
x
639. Determine a medida x do angulo nos casos:
b)
a)
7
5
x
8
7
253
Se as diagonais do paralelogramo da figura medem 20 em e 32 em e formam urn
angulo d' 60°, dotwnin' 0,1,",0' do p,.
t><J
"Idog"mo.
_
TRIANGULOS QUAISQUER
640.
641.
Reconhe~a a natureza de urn triangulo:
a) cujos lados medem 6, 12 e 13;
b) cujos lados medem 6, 10 e 12;
c) cujos lados medem 5, 12 e 13;
d) cujos lados estao na razao 3:4:4, 5;
e) cujos lados sao inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
642.
Reconhe~a a natureza de urn triangulo cujos lados sao inversamente proporcionais aos numeros 3, 4 e 5.
643.
Os lados de urn triangulo medem 15 m, 20 m e 25 m. Determine a altura relativa
ao maior lado.
644.
Os lados de urn triangulo medem 12 m, 20 me 28 m. Determine a proje~ao do
menor sobre a reta do lado de 20 m.
645.
Os lados de urn triangulo medem 7 m, 24 m e 25 m. Determine a altura relativa
ao lado menor.
646.
Determine 0 lado BC de urn triangulo acutangulo ABC, em que AC = 7 em,
AB = 5 em e a proje~ao de AC sobre AB mede 1 em.
647.
Determine a medida do lado AB de urn triangulo ABC, obtusangulo em A, sendo
BC = 8 em, AC = 5 em e a proje~ao do lado AB sobre AC igual a 3 mm.
648.
Determine a medida do lado BC de urn triangulo ABC, em que AC = 10 em,
AB = 6 em e a proje~ao do lado BC sobre AC vale 10,4 em.
649.
A base de urn triangulo mede 10 em, e os outros dois Iados 14 em e 8 em, respectivamente. Determine as proje~6es desses dois lados sobre a base do triangulo.
650.
Determine a proje~ao do lado BC sobre 0 lado A C de urn triangulo ABC, em que
BC = 12 em, AC = 16 em e AB = 18 em.
651.
Em urn triangulo ABC e possivel ter simultaneamente:
a2 = b2 + c2 + 2bm e c2 = b2 + a2 + 2bn
sendo m proje~ao de e sobre ben,
254
proje~ao de a sobre b? Justifique.
TRIANGULOS QUAISQUER
652. Na figura abaixo, calcule 0 valor
de x.
653. No triiingulo ABC da figura abaixo,
o lado AB mede 12 em, 0 lado BC
mede 9 em e 0 lado AC mede 6 em.
Calcule 0 cosseno do iingulo Ct.
C
A
2~~~
B
~
4
C
654. Calcule 0 perimetro do triiingulo da
figura abaixo.
A
~
12
B
655. Calcule 0 perimetro do triiingulo
ABC, da figura abaixo.
A
A
x
x
+ 2
x
120 0
B L.......I------o- - - - - " " C
S
B:'----L---+----::---""C
x
1
656. Determine 0 valor de x, sabendo que x + 5,3 - x e x + 7 sao as medidas dos
lados AS. BC e AC de urn triiingulo ABC cujo iingulo B vale 120°.
657. Vma corda AB de medida £ determina sobre uma circunferencia urn arco de 120 0.
Determine a distiincia do ponto B ao diiimetro AC desse circulo.
658. Na figura, AB e igual ao raio do circulo
de centro 0, BC = 26 e BH e perpendicular a AC. Calcule HC.
C
B
255
TRIANGULOS QUAISQUER
659. Determine a diagonal maior de urn paralelogramo, em que dois de seus lados consecutivos formam urn angulo de 45° e medem respectivamente 5 2 em e 10 em.
660_ Sabendo que os lados consecutivos de urn paralelogramo medem 4 em e 5 em e
uma das diagonais mede 6 em, determine a medida da outra diagonal.
661. Dois lados consecutivos de urn paralelogramo medem 8 m e 12 m e formam urn
angulo de 60°. Calcule as diagonais.
662. A mediana AM de urn triangulo ABC mede 6 em, divide 0 lado oposto em dois
segmentos iguais a 12 em e forma com esse lado dois angulos que diferem de 60°.
Determine as medidas dos lados desse triangulo.
663. ExisteotrianguloABCtalqueBC = 10 em, AC = 1 eme(3
o angulo oposto ao lado AC?
30°, em que (3 e
664. Dois lados consecutivos de urn paralelogramo tern por medidas a e b e uma das
diagonais tern por medida e. Determine a medida da outra diagonal.
665. Prove que: "Num triangulo qualquer, 0 quadrado do lado oposto a urn angulo
agudo e igual a soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes 0
produto de urn desses lados pela projec;ao do outro sobre ele".
666. Prove que: "Em urn triangulo obtusangulo, 0 quadrado do lado oposto ao angu10 obtuso e igual a soma dos quadrados dos outros dois, mais duas vezes 0 produto de urn desses lados pela projec;ao do outro sobre. ele".
667. Se, em urn triangulo, 0 quadrado de urn lado e igual a soma dos quadrados dos
outros dois lados menos 0 produto desses dois lados, calcule 0 angulo interno
que os mesmos dois lados formam.
668. Sobre os lados de urn triangulo ABC retangulo de lados 6 em, 6..[3 em e 12 em
construimos tres quadrados externos. Calcule a medida dos lados do triangulo
determinado pelos centros desses quadrados.
669. As medidas dos lados do quadrilatero ABCD sao AB = BC = 10 m,
CD = 16 meAD = 6 m. Determine BD.
670. Urn ponto interno de urn triangulo
equilatero dista 5 em, 7 em e 8 em
dos vertices do triangulo. Determine 0 lado desse triangulo.
A
c
B ~------"" C
x
256
TRIANGULOS QUAISQUER
206. C6lculo das medianas de um triangulo
Sendo dados os lados a, bee de urn triangulo, calcular as tres medianas: m a, m b e me:
dADe
1
A
D obtusoJ
+
1
.:lADB
D agudoJ
2
b 2 + c2 = 2ma2 + 2 ~
4
2
b 2 + C 2 = 2ma2 + ~
2
==>
= I m. ~
B L..-_ _.!.......l...»-_-~·c
--v-- D
X
0 1
I.....- - - a -------1
2(b 2 + c2) = 4 m a2 + a 2 ==>
+~2(b'
+ c') - a'
Analogamente:
m.
+
~ ~2(a' + 0') - b'
I I"' ~ +~2(a'
+ b') - 0'
I
Se 15 for reto, e imediato. Basta aplicar a relac;ao de Pitagoras.
Exemplo
Dado urn triangulo de lados a = 5, b = 7 e c = 8, calcular as tres
medianas: m a, m b e me:
rna =
mb =
+
+
J2(b 2 + c2) - a 2 =
~2(a2 + c2) - b 2 =
+
+
2(49 + 64) - 25 =
2(25 + 64) - 49 =
+
+
201
129
257
TRIANGULOS QUAISQUER
Nota
Poderiamos obter estas medianas sem usar as formulas, substituindo-as
pelas relai;oes usadas em suas dedui;oes ou pela lei dos cossenos. No exemplo
anterior, calculemos diretamente a mediana me-
c
c
U
A
B
B
4
c
180 0 - or
A
M
No !:iCBM: 52 = m~ + 4 2 - 2 . me . 4 . cos a
=> m~ - 8 me . cos a = 9
(1)
=>
No !:iCAM: 7 2 = m~ + 42 - 2 . me . 4 . cos(180o - a) =>
=> 7 = m~ + 42 - 2 . me . 4(-cos a) => m~ + 8 . me· cos a = 33
2
Fazendo (1) + (2):
m~ - 8 . me . cos a + m~ + 8 . me . cos a
=>
me =
9 + 33 => 2· m~
(2)
42 =>
21
207. C6lculo das alturas de um triangulo
Num triiingulo ABC conhecem-se as medidas dos lados a, be c. Calcular as tres alturas.
c
c
I
I
a
b
I
h el
b
a
I
I
A "--'------:':--'---,----~ B
Relai;ao metrica MBC => a 2
m =
258
b 2 + c 2 - a2
2c
±
(2)
tL~-~--r--_'::'
DAB
b 2 + c 2 ± 2 em =>
TRIANGULOS QUAISQUER
(2) em (l) : h~ = b L
(
4b 2c2- (b 2 + C2 - a 2)2
b2 ++ C2 - a 2)2 = -------"---------'~
_ 2c
4c 2
[2bc + b 2 + c2 - a 2] [2bc - b 2 - c2 + a 2]
= [(b 2 + 2bc + c 2) - a 2] . [a 2 - (b 2 - 2bc + c2)] =
= [(b + C)2 - a 2] . [a2 - (b - C)2] =
= 4C2h~ =
= [(b + c + a) (b + c - a)] [(a + b - c)(a - b + c)]
=>
4C2h~ = (a
=>
+ b + c) (-a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)
(3)
Fazendo:
a + b + c = 2p (notar que p e semiperfmetro do triiingulo)
temos:
2p
~
-a + b + c = -a + b + c + a - a = a + b + c - 2a = 2(p - a)
a - b + c = a - b + c + b - b = a + b + c - 2b = 2(p - b)
a + b - c = a + b - c - c = a + b + c - 2c = 2(p - c)
Entao, substituindo em (3):
4C2h~ =
(a + b + c) (-a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)
'-------v----" ~ ~ ~
2p
4C2h~
=>
2(p-a)
2(p-b)
= 2p . 2(p - a) . 2(p - b) . 2(p - c)
I he =
+
pep - a) (p - b) (p - c)
2(p-c)
=>
I
Analogamente:
h.
~ iJp(p- a)(p - b)(p - cj I I h. ~ ~Jp(P - aj(p - bj (p- oj I
259
TRIANGULOS QUAISQUER
Exemplo
Dado urn triangulo de lados a = 5, b = 7 e c = 8, calcular as tres alturas: h h b e he.
p = 10
Jp(p - a) (p - b) (p - c) =
a = 5
p - a = 5
Q,
b =
c =
7
p - b = 3
= JlO . 5 ·3 ·2 =
8
p - c = 2
= 10..[3
2p = 20
ha = l
a
Jp(P - a) (p - b) (P - c) = l
5
h b = -2 ~ p(p - a) (p - b) (p - c) = -2
b
7
h
c
=l
c
. 10..[3 = 4.J3
~ =20 3" 0=> h = 20..[3
. 10,,13
b
7
~p(p - a) (P - b)(p - c) = l 8 . 10..[3 = 5..[3
2
7
0=>
h = 5..[3
c
2
Nota
Nem sempre as expressoes acima trazem simplificac;:oes de calculo. As
vezes e conveniente substituir essas formulas pelas relac;:oes usadas em suas deduc;:oes.
Exemplo
as lados de urn triangulo medem .[5, .[iO e 5. Qual 0 comprimento da
altura relativa ao lado maior?
Aplicando 0 teorema de Pitagoras, vern:
tlADB: h 2 + x 2 = (.[5)2 0=> h 2 + x 2 = 5
AADC: h 2 + (5 - X)2 = (.JW)2 0=>
0=>
h 2 - lOx + x2 = -15
(1) - (2): lOx = 20
0=>
h + 22 = 5
260
0=>
h2 = 1
A
(2)
X = 2
Substituindo x = 2 em (1):
2
(1)
0=>
h = 1.
5-x
B~---l.....;L.-----~C
o
5
TRIANGULOS QUAISQUER
208~ Rela~ao de Stewart
Dado urn triangulo ABC e sendo D urn ponto do lado AB (vide figura),
vale a rela~ao: a 2y + b2x - Z2C = cxy.
.
Demons/rariio
c
!::l. BCD : a 2 = x2 + Z2:+: 2xm
(1)
!::l.A CD : b 2 = y2 + Z2:+: 2ym
(2)
(1) . Y =- a 2y = x 2y + z2y:+: 2x y m] +
(2) . x =- b 2x = xy2 + Z2X 2xym
±
a 2y + b 2x = xy(x + y) + Z2(X + y)
=-
B
A
1 - . - - - - - C - - - -....
11
Exemplo de aplicariio
Calcular 0 raio x na figura ao
lado.
Temos as circunferencias A(O, 3),
AI(OI' 2), A2(02, 1) e A3(03' x). No
triangulo 0 1°2°3' temos:
0P2 = 3,
0 10 3 = 2 + x,
0P3 = 1 + x
0,
.,.
e ainda
00 1 = I,
002 = 2 e
00 3 = 3 - x
2
~
-t
03
3A-
°
1
2 + x
0,
Aplicando a rela~ao de Stewart, vern:
(I + X)2 . 1 + (2 + x)2 . 2 - (3 - X)2 . 3 = 1 . 2 . 3
=-
=- 28x = 24 =-
x = ~
7 .
Nota
Podem-se calcular as medianas de urn triangulo usando as rela~6es de
Stewart.
261
TRIANGULQS QUAISQUER
209. Ca/cu/o das bissetrizes internas de um triangu/o
No triangulo ARC conhecern-se
as rnedidas dos lados 0, b e c.
Deterrninernos as rnedidas das
tres bissetrizes internas Sa' Sb e Sc na figura ao lado.
Dados: a, b, c
A
bA\c
cLns
incognitas: x, Y, Sa'
a
x + Y= a
a
Sa bissetriz
==>
~
x
.L
b
c
x
b + c
b
Y
c
==>
=
ab
b + c
ac
[ Y = -,----'=-=---b + c
X
x + Y
Considerando a rela<;ao de Stewart no flARC
b2 y + c2x -
s~ . a =
x .y .a
e substituindo x e y pelos valores calculados acirna, vern:
ac
de + c2 • ,ah _ S2 . j. = ab
.j. ==>
b + c
a
b + c
b + c
b + c
==> b 2c(b + c) + bc 2(b + c) - bca 2 = s;(b + C)2 ==>
b2 •
==>
(b + c)2s; = bc[b(b + c) + c(b + c) - a 2]
(b + c)2s; = bc[(b + c)2 - a 2] ==>
==>
(b + c)2s; = bc(b + c + a) (b + c - a)
==>
.
2p
==>
==>
==>
~
2(p - a)
I Sa = b ~ c ~bcp(p - a)
Analogarnente:
_S_b
_=_a_~_c_~_~_CP_(_P_-_b_)_'1 l_s_c_=_a_~_b_~_a_bP_(_P_-_C)_
Exemp/o
Dado urn triangulo de lados 0 = 5, b = 7 e c = 8, calcular as tres
bissetrizes internas: SIP Sb e Sc262
TRIANGULOS QUAISQUER
=- p = 10; p - a = 5; p - b = 3 e p - c = 2
2p = 20
s =
a
Sb =
s =
C
Jbcp(p - a) = ~
2
b + c
15
2
I
vacp(p - b) = -
a + c
2
13
h . 8 . 10 . 5
I
V 5 . 8 . 10 . 3
8 7
3
__
4013
13
Jabp(p - c) = ~ J5 ·7 . 10·2 = ~
12
3
2
a + b
210. C61culo das bissetrizes externas de um triangulo
Num triangulo ABC conhecemse as medidas dos lados a, bee. Determinar as medidas das tres bissetrizes externas s~, st, e s; na figura ao lado.
incognitas: x, y, s~
Dados: a, b, c
d::,\,.
caB
I'
I'
x-y= a
-
x
b
a
~
l
c
=-
~
b-c
-
x
b
[
Y
·x
5'
"I
"I
x=~
b-c
y = ac
-b-c
y
c
Considerando a relac;iio de Stewart no ~AS' C
b 2y + S~2 . a - c2x = a . y . x
e substituindo x e y pelos valores calculados acima, vem:
b2 . ~ + S'2 '1- c2 . ~ = I· ~ . ~
b-c
a
b-c
b-c
b-c
2
2
2
=- b c (b - c) + S~2 (b - C)2 - bc (b - c) = bca =-
=- (b - C)2S~2 = bc[a2 - b(b - c) + c(b - c)] ==- (b - e)2s~2 = be[a2 - (b - C)2] ==- (b - e)2s~2 = be~£a - ~ + e~ =2(p - e)
2(p - b)
=- s~ = _2_ Jbe(p - b) (p - e)
b-c
263
TRIANGULOS QUAISQUER
Observando que,
se b > c toma-se b - c
se b < c toma..se c - b,
a diferen~a b - c deve ser tomada em modulo.
Se b = c, a expressao de s; nao
tern sentido, 0 que ocorre pelo fato de
a bissetriz do angulo externo do vertice
de urn triangulo isosceles ser paralela a
base.
/
A //
/
B L--
s~
~
C
Conclusao:
s'a =
2
Ib- c I
~bc(p - b) (p - c)
Analogamente:
~_a_c_(p_-_a_)_(_p _-_C_)_lis; ~ I a .: b I Jab(p - aJ
_S_b_=_1a_=_c_1
(p - b)
Exemplo
Dado urn triangulo de lados a = 5, b = 7 e c = 8, calcular as tres bissetrizes externas: s;, s~ e s;.
2p = 20 == p = 10; p - a = 5; p - b = 3 e p - c = 2
s'a =
Sb =
s'c =
264
2
~bc(p - b) (p - c) = l
~7 . 8 . 3 . 2 = 8.rn
2
~ac(p - a) (p - c) = l
~5 . 8 . 5 . 2 = ~
2
~ab(p - a) (p - b) = l
1b - e l l
la-cl
Ia - b 1
3
2
3
~5 . 7 . 5 . 3
TRIANGULOS QUAISQUER
EXERCicIOS
671. Determine a medida da mediana AM
do triangulo ABC, aplicando a formula da mediana e depois calcule
usando a relac;:ao de Stewart.
672. Determine a medida da bissetriz AS,
aplicando a formula da bissetriz interna e depois calcule usando 0 teorema da bissetriz e a relac;:ao de
Stewart.
A
A
B~-----1.--_-'>.C
8
M
1'"2
~
S
C
5
673. Determine a medida da bissetriz externaAPdo AABC, aplicando a formula da bissetriz e depois calcule
usando 0 teorema da bissetriz e a relac;:ao de Stewart.
674. Determine 0 valor de x nos casos:
b)
a)
6
x
8
4
6
6
3
675. Determine a razao entre a soma dos quadrac,los das medianas de urn triangulo
e a soma dos quadrados dos lados desse triangulo.
265
TRIANGULOS QUAISQUER
676. Calcule as alturas de urn triangulo cujos lados medem 6 m, 10 m e 12 m.
677. Os lados AB, AC e BC de urn triangulo ABC medem, respectivamente, 5 cm,
6 cm e 7 cm. Determine a altura e a bissetriz interna relativa ao lado AC e a bissetriz externa relativa ao lado AB.
678. Dados os lados a, be c de urn triangulo ABC, calcule a distancia do vertice A
ao ponto M que divide a base BC em segmentos iguais a men.
679. Se AS e bissetriz interna do triangulo
ABC, determine x e y.
A
680. Se AP e bissetriz externa do triangulo ABC, determine x e y.
/'
/'
x
B""--------'18
c
18
p
681. Deduza as formulas que dao as tres medianas ma , mb , me de urn triangulo, em
fun~ao dos lados a, b e c.
682. Deduza as formulas que dao as tres alturas ha, hb , he de urn triangulo em fun~ao dos lados a, b e c.
683. Deduza as express6es que fornecem as bissetrizes internas So, Sb e se de urn triangulo em fun~ao dos lados a, b e c.
684. Dados os tres lados a, be c de urn triangulo, obtenha s~, s;" s~, deduzindo as formulas que fornecem as bissetrizes externas.
266
CAPITULO XVI
Poligonos
Regulares
Conceitos e propriedades
211.
Defini~ao
Urn poligono convexo e regular se, e so mente se, tern todos os seus lados congruentes e todos os seus angulos internos congruentes.
A
A
B
B
Assirn, 0 triangulo equilatero e 0 triangulo regular e 0 quadrado e 0
quadrilatero regular.
Urn poligono regular e equilatero e equiangulo.
267
POLlGONOS REGULARES
212. Propriedades
Dividindo-se uma circunferencia em n (n ~ 3) arcos congruentes,
temos:
a) todas as cordas determinadas por dois pontos de divisao consecutivos, reunidas, formam urn poligono regular de n lados inscrito na circunferencia;
b) as tangentes tra~adas pelos pontos de divisao determinam urn
poligono regular de n lados circunscrito a circunferencia.
Demonstrariio
1~) Da parte a)
Com n
B
5
A
Sejam A, B, C, D, ... , MeN os n pontos de divisao da circunferencia
A. 0 poligono ABCD ... MN e de n lados e e inscrito, pois todos os vertices
pertencem a circunferencia A(tome 0 pentagono ABCDE para fixar as ideias).
Sendo
entao
AB == BC == CD = DE == ... == MN = NA
(1)
pois, numa mesma circunferencia, arcos congruentes subentendem cordas congruentes.
(2)
Os angulos A, B, C, 15, ..., MeN sao congruentes
pois cada urn deles e angulo inscrito em Ae tern por medida metade da soma
de (n - 2) dos arcos congruentes em que A ficou dividida.
De (1) e (2) concluimos que ABCD ... MN e urn poligono regular de
n lados inscrito na circunferencia A.
268
POLiGONOS REGULARES
No caso do pentagono, por exemplo, temos:
CD+DE+EA C
A
2
e
2~)
E
'
AB+BC+CD
2
Da parte b)
com n = 5
A'
A
A
C-
D'
C'
Pelos pontos de divisao A, B, C, D, ..., MeN conduzimos tangentes
a Ae obtemos 0 poligono A' B' C'D' ... M' N' de n lados e circunscrito a A, pois
todos os seus lados sao tangentes a circunferencia (tome 0 pentagono
A'B'C'D'E' para fixar as ideias).
Os triangulos A' AB, B' BC, C' CD, D'DE, ... , M' MN eN' NA sao
- triangulos isosceles, pois cada urn dos angulos A, fJ, C, 15, ... ,
MeN destes triongulos tern medida igual a metade da medida, de uma das partes congruentes AS, BC, CD, DE, ... , MN, NA em que foi dividida a
circunferencia (sao angulos de segmento ou semi-inscritos) e
- congruentes pelo caso ALA, vist~ue sendo ABCD ... MN urn
poligono regular (parte a), e os lados AB, BC, CD, ... , MN, NA destes triongulos
sao congruentes.
Da congruencia dos triangulos decorre que
A' == fr == C' == IS' == ... == M' == N'
(I)
e, por soma conveniente, tern os:
A'B' == B'C == CD' == ... == M'N' ==
'A'
(2)
De (I) e (2) concluimos que ABCD ... MN e urn poligono regular de
n lados circunscrito a circunferencia A.
269
POLiGONOS REGULARES
213. Polfgono regular e inscritfvel
Todo poligono regular e inscritivel numa circunferencia.
ou
Dado urn poligono regular, existe uma unica circunferencia que
passa pelos seus vertices.
Demonstrar;ao
Seja ABCD ... MN 0 poligono regular (tome 0 pentagono A BCDE para
fixar as ideias).
A
A
N
I
I
I
I
M,'
Pelos pontos A, Be C tracemos a circun ferencia >. e seja 00 seu centro.
Provemos que>. passa pelos demais vertices D, E, ... , MeN do poligono.
Comecemos provando que DE>..
Consideremos os triangulos OBA e OCD. Estes triangulos sao congruentes pelo caso LAL, pois
AB
CD (lados do poligono regular), OB == OC (raios da circunferencia) e considerando 0 triangulo isosceles BOC (angulos da base congruentes) e,
ainda, que os angulos fj e t do poligono sao congruentes, por diferen9a decorre que OHA == OeD.
=
110BA == 110CD
=>
OA == OD
=>
DE>..
De modo anatogo temos que E E >. (basta considerar 11 OCB e 11 ODE),
... ME>. e N E >., e 0 poligono ABCD '" MN e inscrito na circunferencia >..
Da unicidade da circunferencia que passa por A, Be C sai a unicidade
de>. por A, B, C, D, ... , M, N.
270
POLIGONOS REGULARES
214. Polfgono regular e circunscritfvel
Todo poligono regular e circunscritivel a uma circunferencia.
ou
Dado urn poligono regular, existe uma unica circunferencia inscrita no poligono.
Demonstrar;iio
A
S'
Seja ABCD ... MN 0 poligono regular. Em vista do teorema anterior,
ele e inscrito numa circunferencia )... Seja 0 0 centro dessa circunferencia.
-Os lados AB, BC, CD, ... , MN, NA sao cordas congruentes de A, por isso
distam igualmente do centro O.
SendoA', B', C, D', ... , M', N' os respectivos pontos medios dos lados
-AB, BC, CD, ... , MN, NA, temos
OA' == OB' == OC' == OD' == ... == OM' == ON'
(distancia do centro a cordas congruentes)
donde se conclui que 0 e 0 centro de uma circunferencia A' que passa pelos
pontos A', B', C', D', ... , M' eN'.
E ainda, sendo
OA' 1- AB, OB' 1- BC, OC' 1- CD, aD' 1- DE; ... , OM' 1- MN eON' 1temos que ABCD ... MN tern lados tangentes a )..'.
A,
Conclusao: 0 poligono regular ABCD ... MN e circunscrito a circunferencia A'.
Unicidade de A': se existisse outra circunferencia inscrita no poligono
ABCD ... MN, ela passaria pelos pontos A', B', C', ... e seria, entao, coincidente com )..'.
271
POLIGONOS REGULARES
215. Nota
As duas ultimas propriedades (itens 213, 214) sao reciprocas da primeira (item 212).
As circunferencias inscrita e circunscrita a urn poligono regular sao concentricas.
216. Elementos notaveis
Centro de urn poligono regular e
o centro comum das circunferencias circunscrita e inscrita.
Ap6tema de urn poligono regular e 0 segmento com uma extremidade
no centro e a outra no ponto medio de
urn lado.
o apotema de urn poligono regular e 0 raio da circunferencia inscrita.
ap6tema
217. Expressao do angulo centrico
Todos os angulos centricos de urn poligono regular (vertices no centro
e lados passando por vertices consecutivos do poligono) sao congruentes; entao a medida de cada urn deles e dada por:
ac =
360 0
n
4 retos
n
218. Diagonais pelo centro
Se urn poligono regular possui urn numero par de lados, ele possui diagonais passando pelo centro: sao as que unem vertices opostos. Se ele possui
urn numero impar de lados, nao hci diagonais passando pelo centro.
272
POLfGONOS REGULARES
~XERCicIOS
685. Determine as medidas dos angulos x, y e z nos casos:
a) hexagono regular
686.
Na figura temos urn triangulo equilatera e urn quadrado inscritos no
mesmo circulo. Determine AOP,
sendo AB paralelo a PQ.
b) pentagono regular
687. Na figura, AB e lado do pentadecagono regular e PQ 0 lado do hexagono regular, inscritos na mesma circunferencia. Determine A QP, sendo
AB e PQ paralelos.
B
Q
688.
Determine 0 numero de lados de urn poligono regular convexo, cujos angulos internos medem 179 0 cada.
689.
Determine a medida do angulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e CD,
de urn poligono ABCDE ... regular de 30 lados.
690.
Dados dois poligonos regulares, com (n + 1) lados e n lad()s, respectivamente,
determine n, sabendo que 0 angulo interno do primeiro poligono excede 0 angulo
interno do segundo em 50.
273
POLIGONOS REGULARES
SolUl;ao
Se a diferenl;a dos angulos internos e de 5°, a diferenl;a entre 0 angulo externo do 2? poligono e 0 angulo externo do !? tambem e de 5°. Entao:
360° 360°
-----=5°
n
n+!
=>
=>
72(n+!)-72n=n(n+!) => n2 +n-72=0 =>
(n = -9 ou n = 8)
Resposta: n = 8.
691. Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de urn:
a) hexagono regular;
b) octogono regular;
c) decagono regular;
d) dodecagono regular;
e) heptagono regular;
f) eneagono regular;
g) poligono de n lados, para n sendo par;
h) poligono de n lados, para n sendo impar.
692. Ao medir as diagonais de urn poligono regular foram encontradas 6 medidas, duas
a duas diferentes. Determine a soma dos angulos internos desse poligono.
693. De urn poligono regular ABCDE ... sabemos que 0 angulo ACBmede 10°. Quantas
diagonais desse poligono nao passam pelo centro?
694. 0 angulo ADCde urn poligono regular A BCDEF ... mede 30 0 • Determine a soma dos angulos internos desse poligono.
695. As mediatrizes dos lados AB e CD de urn poligono regular ABCDEF ... formam
urn angulo, que contem B e C, de 20 0 • Quantas diagonais desse poligono passam
pelo centro?
696. As bissetrizes dos angulos internos A e E de urn poligono regular ABCDEFG ...
sao perpendiculares. Qual a soma dos angulos internos desse poligono?
697. As mediatrizes dos lados AB e DE de urn poligono regular ABCDE ... formam
urn angulo, que contem B, C e D e excede 0 angulo externo desse poligono em
20 0 • Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos ao medir as diagonais
desse poligono?
274
POLIGONOS REGULARES
698. As retas que contern os lados AB e EF de urn poligono regular ABCDEFG...
formam urn angulo, que contem C e Dee 0 dobro do angulo externo do poligono. Quantas diagonais tern esse poligono?
699. A diferen9a entre 0 mimero de lados de dois poligonos regulares e 4 e a diferen9a
entre os seus angulos extemos e 3°. Determine 0 mimero de lados desses poligonos.
700. Lembrando que no triangulo equilatero
o ortocentro, 0 baricentro, 0 incentro
(centro da circunferencia inscrita) e 0 circuncentro (centro da circunferencia circunscrita) sao coincidentes e que 0 baricentro divide a mediana em duas parI
2
tes que medem ""3 e ""3 desta, sendo
6 m 0 lado do triangulo equilcitero, de-
termine:
a) a altura do triangulo;
b) 0 raio R da circunscrita;
c) 0 raio r da inscrita;
d) 0 ap6tema do triangulo.
701. Lembrando que no quadrado a diagonal
passa pelo centro, sendo 8 m 0 lado do
quadrado, determine:
a) a diagonal;
b) 0 raio R da circunscrita;
c) 0 raio r da inscrita;
d) 0 ap6tema do quadrado.
702. Lembrando que no hexagono regular as
diagonais maiores passam pelo centro e
determinam nele 6 triangulos equilciteros,
sendo 6 m 0 lado do hexagono, determine:
a) a diagonal maior;
b) 0 raio R da circunscrita;
c) 0 raio r da inscrita;
d) a diagonal menor;
e) 0 ap6tema do hexagono.
275
POLIGONOS REGULARES
219. C6lculo de lado e ap6tema dos polfgonos regulares
Indicaremos por in a medida do lade do poligono regular de n lados e
por an a medida do ap6tema do poligono regular de n lados.
Exemplo
Problema 1. Dado 0 raio do circulo circunscrito, calcular 0 lade e 0 ap6tema do quadrado.
Na figura, dado 0 R, calcular 0 f4 e 0 a4 •
.. ~ +
I,
276
=
l,--a_
R 2
_
4 __
_f_
POLIGONOS REGULARES
Problema 2. Dado 0 raio do circulo circunscrito, calcular 0 lade e 0 ap6tema do hexagono regular.
Na figura, dado 0 R, calcular 0 £6 e 0 a6 •
0
- = -6-_=
360
No t:..ADE, temos: AOB
60: ]
=>
6 = A = B = 60
0
=>
OA == OB => A = B
=>
t:..ADE e equilMero
=>
I
R
£6 =
a, e a altum do ,,,angulo <quilatem de lado R
= l_a_
R 3
_ _ __
2
6_ _
Problema 3. Dado 0 raio do circulo, calcular 0 lade e 0 ap6tema do
triangulo equilMero.
Na figura, dado R, calcular 0 £3 e 0 a3..
A
A
A
I
2R
1
277
POLIGONOS REGULARES
Note que, sendo BC = f3 , entao CD = f6 = R e AD e diametro.
t1ACD, retangulo em C ~
f~ = (2R)2 - R2 =- I f3 = R.J31
o e 0 baricentro do t1ABC =- 2· a 3 = R =- I a3 =
~ I
Problema 4. Dado 0 raio do circulo circunscrito, calcular 0 lade do decagono regular.
Na figura, dado 0 R, calcular 0 flO'
o
6°
A
-
B
72° 36°
-
1
Sendo AB = flO' entao AOB = 10.360° = 36°
=- A- = B- = 72°.
Conduzindo BC, bissetriz de E, vem:
t1BAC e isosceles (A = C = 72°)
t1COB e isosceles (0 = B = 36°)
=- BC = flO
=- OC = BC = flO
Entao: OC = flO e CA = R - flO
Aplicando 0 teorema da bissetriz interna (BC e bissetriz no t1AOB), vem:
~ =
R
R - flO
flO
=- flO =
n
=- f210 = R(R - {IO)
=- f210 + R f10 - R2 = 0 ~
~
-R ± ~R2 + 4R2
2
-R ± R 5
= ----'----
2
Desprezando a solUl;:ao negativa que nao convem, temos:
If,,~ Fs;l RI
278
POLIGONOS REGULARES
220. Nota: segmento Qureo
Definiriio
x e a medida do segmento aureo
de urn segmento de medida a se, e somente se,
x
a-x
a
x
a
Vr---~I ~
'-----
x
a- x
A razao --:!... e dita durea ex e tambern a medida do segmento maior da
a
secyao aurea do segmento de medida a, ou apenas segmento aureo de a.
De~
a
a-x
- - - , obtemos x2 + ax - a 2 = O.
x
Resolvendo a equayao, obtem-se x
fS-
. a.
2
Em vista da definiyao e da deduyao do problema 4, em que se tern
~
R
R - £10
£10
concluimos que 0 £10 e 0 segmento dureo do raio.
Problema 5. Dado 0 raio do circulo circunscrito, calcular 0 lado do pentagono regular.
Dado R, calcular 0 £5'
Inicialmente provaremos a seguinte propriedade:
o £5 e hipotenusa de urn triangulo retangulo cujos catetos sao 0 £10 e 0
£6 (£5' £6' £10 relativos a urn mesmo raio R).
/
I
I
I
/
A
\
\
"- "-
....
---279
POLIGONOS REGULARES
-
~
Seja AB = flO e na reta AB urn ponto C tal que AC = R.
+.
Considerando a circunferencia de. centro A e raio R, 0 iingulo central
A
72 0 faz corresponder OC = fs (basta notar que 72 0 =
360 0 ) .
Conduzindo por C a tangente CD a circunferencia A de centro 0 e raio R,
ternos:
Potencia de C em rela<;:ao a A: (CD)2 = (CA) x (CB)
=- (CD)2 = R(R - flO)
t
t
R
R - flO
=-
Problema
anterior
Considerando 0 triiingulo ODC, retiingulo em D, ternos:
OC = f s = hipotenusa, CD = flO = cateto e OD = R = P6 = cateto
Oilculo do is
Aplicando 0 teorerna de Pitagoras, vern:
f~ = f~ + fro =- f~ = R2 + ( 5; 1 . RY =-
Problema 6. Deduzir a formula geral do apoterna. Isto e, dados R e fn ,
calcular an'
t::.AMO retangulo em M
280
f2
==- a2 =R2-......!!..
4
n
POLlGONOS REGULARES
Exemplo
Para calcular 0 a lO em funlYao do raio R da circunferencia circunscrita,
basta substituir fn por flO (flO =
.J5;
1 . R)'
I
E, assim pmcedendo, obtemos a"
~ 1- J10 + 2,Js I
Analogamente, substituindo 0 fn por fs (fs =
sao de an, obtemos:
~ ~1O - 2.J5) na expres2
Problema 7. Deduzir uma expressao que da 0 f2n em funlYao de fn e de
R (raio da circunferencia circunscrita).
Usaremos 0 simbolo f2n para indicar 0 lado do poligono regular de 2n
lados.
Se 0 fn e 0 f4 , 0 f2n e 0 fg •
Se 0 fn e 0 f6, 0 f2n e 0 f'2' e assim por diante.
Notemos que de urn modo geral temos:
T
~2r
dABC, retangulo em B, relalYoes metricas
=- qn = 2R(R - an)
281
POLIGONOS REGULARES
Substituindo an por
e~n
2R(R -
I e2n =
+
+
~4R2 - e~ (problema 6), vern:
4R2 -
4R2 -
e~) => e~n = «2R - J4R2 - e~)
e~ I
Observa~iio
A expressao do ~n nos indica que, sabendo 0 valor, por exemplo, do
e pode-se obter 0 de e com 0 de el2 em lugar do f obtem-se 0 de e com
o de e em lugar do en, obtem-se 0 de f e assim por diante.
n,
12 ;
6,
24
24 ;
48
EXERCicIOS
Nos exercicios a seguir, em geral nao e necessario usar as f6rmulas deduzidas
neste capitulo e sim calcular os elementos pedidos com base num esboc;o de figura, diagonal de quadrado e altura de triangulo equillitero.
703. Determine 0 raio da circunferencia circunscrita ao poligono regular de 12 In de
lado nos casos:
a) quadrado
b) hexagono
c) triangulo
704. Determine 0 lado do poligono regular inscrito em uma circunferencia de raio 6 In,
nos casos:
a) quadrado
b) hexagono
c) triangulo
705. Determine 0 ap6tema (ou raio da circunferencia inscrita) do poligono regular de
lado 6 In, nos casos:
a) quadrado
b) hexagono
c) triangulo
706. Determine 0 lado do poligono regular de 6 In de ap6tema nos casos:
a) quadrado
b) hexagono
c) triangulo
707. Determine 0 raio da circunferencia inscrita no poligono regular, sabendo que 0
raio da circunscrita e 12 In, nos casas:
a) quadrado
282
b) hexagono
c) triangulo
POLIGONOS REGULARES
708. Determine 0 raio da circunferencia circunscrita ao poligono regular, sabendo que
o raio da circunferencia inscrita e 6 m, nos casos:
a) quadrado
c) triangulo
b) hexagono
709. Dado urn triangulo equilatero de 6 em de altura, calcule:
a) 0 raio do circuJo inscrito;
b) 0 lade;
c) 0 apotema;
d) 0 raio do circulo circunscrito.
a) 0 apotema;
b) 0 raio do circulo inscrito;
c) a diagonal AC.
B
A
710. No hexagono regular A BCDEF da figura 0 lade mede 5 em. Calcule:
c
F
711. Determine a razao entre 0 perimetro do quadrado inscrito em urn circulo de raio
Reo perimetro do quadrado circunscrito a esse mesmo circulo.
712. Determine a rela~ao entre os raios de dois circulos, sabendo que no primeiro esta
inscrito urn trianguio equilarero e no segundo esta inscrito urn quadrado, e que
os perimetros do trianguio e do quadrado sao iguais.
713. Determine a razao entre 0 apotema do quadrado e 0 ap6tema de urn hexagono
regular, inscritos em urn circulo de raio R.
714. Dado 0 raio R de uma circunferencia, calcule 0 lado e 0 apotema do oetogono
regular inscrito.
715. Qual e a razao entre 0 perimetro de urn triangulo equilarero com altura igual ao
raio de urn circuio para 0 perimetro do triangulo equilatero inscrito nesse circulo?
716. Calcule a medida do segmento A V do triangulo isosceles BCA, circunscrito a uma
circunferencia de raio unitario, sabendo que 0 diametro da circunferencia e igual
ao segmento maior da seec,;ao aurea da altura do triangulo BCA, sendo V 0 ponto
medio da altura AM relativa a base.
717. Se 0 raio de uma circunferencia mede
2 m, determine 0 lade f do decagono re-
o
gular inscrito nela. (Use os triangulos
isosceles da Figura e 0 teorema da bissetriz interna.)
283
POL!GONOS REGULARES
718. Deduza a formula que da 0 lade do deca.gono regular inscrito em urn circulo de
raio R.
719. Usando 0 resultado do problema anterior, determine sen 18 0 •
720. Sabendo que 0 lade do pentagono regular inscrito em urn circulo e a hipotenusa
de urn triangulo retangulo cujos catetas sao os lados do hexagono regular e do
decagono regular inscritos no mesmo circulo, determine 0 lade do pentagono regular inscrito em urn circulo de raio R.
721. Usando 0 resultado do problema anterior, determine sen 36 0 •
722. Determine cos 36 0 •
SolUl;ao
Considere urn decagono regular inscrito em uma .circunferencia de raio R.
Note que 0 angulo central ao qual esta oposto 0 flO mede 36 0 •
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
fTo = R2 + R2 - 2RR cos 36°
( 5; 1 Ry = 2R2 - 2R2 . cos 360
6 - 2[5 R2 = 2R2 - 2R2 cos 360
4
6 - 2,5 = 8 - 8 cos 36°
4 cos 36° =
5 + 1
15+
cos 36° = --'---4
723. Sabendo que sen (90 0 - ex) = cos ex, determine:
a) cos 72°
b) cos 54°
c) sen 54°
724. Determine:
a) sen 72°
b) cos 18°
725. Usando a lei dos cossenos, determine 0 lade do ocrogno regular inscrito em urn
circulo de raio R.
726. Use a resposta do problema anterior e determine 0 raio do cireulo eireunserito
a urn oerogono regular de lade f.
284
POLIGONOS REGULARES
727. Determine as medidas das diagonais de urn octogono regular de lado f.
728. Na figura, temos urn decagono regular de lado f. Determine:
a) 0 raio da circunferencia clrcunscrita;
b) a diagonal AE;
c) a diagonal AC;
d) a diagonal AD.
D
A~=------+-----:lF
H
729. No triangulo da figura, determine x
em func;ao de a.
730. No triangulo da figura, determine x
em func;ao de a.
x
36°
x
731. Determine a diagonal de urn pentagono regular de lado f.
732. Na figura temos urn pentagono regular de lado f.
a) Mostre que 0 pentagono sombreado e regular.
b) Determine 0 lado do pentagono
sombreado.
E ~--+---f-----:;;Jf C
o
285
LEITURA
Hilbert e a Formaliza~ao da Geometria
Hygino H. Domingues
Somente na segunda metade do seculo XIX, portanto mais de dois
milenios ap6s a publicac;:ao dos Elementos, comec;:am a surgir tentativas serias de aprimorar, sob 0 ponto de vista de estruturac;:ao 16gica,
a geometria elementar de Euclides. Dois motivos principalmente atrairam a atenc;ao de varios matemciticos nesse sentido: de urn lade a preocupac;:ao generalizada com 0 rigor 16gico que animou a matemcitica no
seculo passado; de outro a descoberta das geometrias nao euclidianas
mostrando que Euclides, afinal, nao era necessariamente 0 dono da
verdade.
o primeiro grande passe nesse sentido foi dado por Moritz Pasch
(1843-1930) em suas Lir;6es de Geometria, de 1882. Pasch observou que
definic;6es como a de ponto dada por Euclides ("Ponto e aquilo que
nao tern partes") nao encerram a questao. 0 que vern a ser "partes"?
E, para evitar a possibilidade de ocorrencia de circulos viciosos ou do
chamado regressus in infinitum, admitiu como primitivos (sem definic;ao) os conceitos de ponlo, reta e plano - alem do de congruencia de
segmenlos, na primeira edic;:ao de seu livro. A caracterizac;:ao desses conceitos era feita por meio de axiomas em cuja formulac;ao Pasch admitia que a experiencia tinha algum pape!. Nas deduyoes subseqi.ien~es,
porem, de maneira nenhuma a intuic;:ao poderia intervir.
David Hilberl (/862-/943).
286
A despeito do trabalho notavel de Pasch, a fundamenta~ao mais
feliz e de maior influencia da geometria euclidiana e devida a David
Hilbert (1862-1943). Hilbert nasceu na Prussia, perto de Konigsberg,
em cuja universidade ingressou em 1880, obtendo seu doutoramento
cinco anos depois, sob a orienta~ao de F. Lindemann (1852-1939). Poucos anos depois, em 1893, em carreira rapida e brilhante, sucedia seu
ex-orientador como professor titular em Konigsberg. Convidado por
F. Klein (1849-1925), em 1895 transferiu-se para Gottingen, onde ficou ate encerrar sua vida academica em 1930.
No inverno de 1898-1899, Hilbert proferiu uma serie de conferencias que marcariam sua abordagem axiomatica da geometria euclidiana. 0 material dessas conferencias seria publicado ainda em 1899
num pequeno texto (Fundamentos da Geometria) que, em edi~6es posteriores, alem de atualiza~6es, recebeu varios apendices. Na linha de
Pasch, Hilbert toma como primitivos os conceitos de ponto, reta e pIano, os quais considera interligados por tres rela~6es nao definidas: "estar em", "entre" e "congruencia". E os axiomas que embasam sua
geometria sao 21, divididos em cinco grupos: incidencia, ordem, congruencia, paralelismo e continuidade. Desde as primeiras linhas, Hilbert busca salientar 0 carMer formal de sua geometria, procurando despojar de qualquer conteudo material os entes com que lida.
Com seu grande prestigio, a enfase de Hilbert no metoda axiomMico abstrato fez dele 0 principal representante dojormalismo, corrente que procura afastar a matematica de qualquer conota~ao intuitiva, concebendo-a tao-somente como a ciencia das dedu~6es formais.
Nessas condi~6es, para Hilbert e seus seguidores, torna-se vital a demonstra~ao da consistencia (ausencia de contradi~6es) das axiomMicas formalizadas - como a da sua geometria, por exemplo.
Em 1904, por intermedio da geometria analitica, Hilbert provou
que a geometria e consistente se a ciencia da aritmetica e consistente.
Na decada de 20 criou a metamatematica, urn metoda que pretendia
estabelecer a consistencia de qualquer sistema formal, baseado numa
l6gica supostamente acima de qualquer obje~ao.
Em 1931, porem, 0 jovem l6gico-matemMico Kurt Godel
(1906-1978) provou que a consistencia da aritmetica nao pode ser estabelecida no ambito da matemMica. Esse resultado sem duvida abalou
fortemente 0 formalismo. Mas de maneira nenhuma tirou Hilbert do
pedestal dos grandes matemMicos de todos os tempos.
287
CAPITULO XVII
Comprimento da
Circunferencia
Conceitos e propriedades
Neste capitulo daremos uma no~ao sobre 0 calculo do per(metro do cfrculo e do comprimento da circunferencia.
Serao citadas tres propriedades que nos conduzirao ao resultado visado. Nao serao feitas demonstra~6es rigorosas de tais propriedades, porem ficara clara a percep~ao das conclus6es, alem da seqiiencia l6gica que se deve
seguir.
221. Propriedade 1
"Dada uma circunferencia qualquer, 0 perimetro de qualquer poligono convexo nela inscrito e menor que 0 perimetro de qualquer poligono a ela circunscrito."
Esta propriedade e geral, mas e suficiente trabalhar com poligonos regulares para percebe-la.
288
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
Seja uma circunferencia de raio R. Consideremos urn quadrado inscrito
e 0 quadrado circunscrito correspondente.
Note que
R.J2 e Rf sao lado e apotema do quadrado inscrito, enquanto
2R e R sao, respectivamente, lado e apotema do quadrado circunscrito.
Sendo P4 e P4 os respectivos perimetros, temos P4 < P 4·
Dobrando-se 0 numero de lados (e isso e possivel, vide formula do f2n ),
temos:
P4 < Ps
e P s < P 4 e ainda P4 < Ps < P s < P4
Repetindo-se a operaC;ao acima, e ela pode ser repetida indefinidamente, temos:
o resultado acima foi obtido iniciando-se com 0 quadrado. Trabalhando
com poligono regular de n lados, temos resultado amilogo, sendo born notar que:
P n e R perimetro e apotema do
poligono circunscrito, e
Pn e an perimetro e apotema do
poligono inscrito
sao relacionados por semelhanc;a entre
trHingulos, como segue:
R
==>
~
R
Pn
all
(Notemos que, conhecendo Pn'
e R, calculamos P
II . )
289
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
Assim temos tambem:
P6
< Pl2 < P24 < P48 < ... < P 48 < P 24 < P 12 < P 6
De urn modo geral, mantendo constante a circunferencia, aumentandose 0 numero de lados, 0 perfmetro dos polfgonos regulares inscritos (Pn) cresce enquanto 0 perfmetro dos polfgonos regulares circunscritos (P n) decresce,
permanecendo sempre Pn < P n. A figura a seguir ilustra esse fato.
P.
P3
Ps
p.
Ps
Ps
I
Ps
Resumo
I
I
T
I
I
I
I
I
I
I
p.
Ps
Ps
I
I
,I
I
I
I
,
I
--+----. -----
f - - - - - - - - - - - - -......
-0>---0---(0)----<0
CRESCE
DECRESCE
222. Propriedade 2
"Dada uma circunferencia qualquer e fixado urn segmento k, arbitnhio, podem-se construir dois polfgonos, urn inscrito e outro circunscrito a circunferencia, tais que a diferen~a entre seus perimetros seja menor que 0 segmento k fixado."
Esta propriedade e geral mas pode ser "percebida" atraves de polfgonos regulares, com mais de quatro lados, como segue:
Sejam:
Pn e On' perimetro e apotema do inscrito
P n e R, perimetro e apotema do circunscrito
Conforme ja vimos, pela semelhan~a sai:
290
COMPRIMENTO DA CIRCUNFER~NCIA
Com propriedades de propor~6es, vern:
P n- Pn = R - an
Pn
R
=- P n- p n = ~
(R - a)
R
n
2R
Mas, para todo n maiar que 4, temos:
P n < P 4 , portanto, P n < 8R
e, dai, vern:
P n - Pn <
8:
(R - an)
2R
2R
=-
=- P n - Pn < 8(R - an)
Aumentando-se indefinidamente 0 numero de lados (dobrando-se, por
exemplo), a diferen~a R - an tende para 0 segmento nulo. Entao,
P n - Pn < k, sendo k
P3
P4
Ps
fixado.
Ps
Ps
Ps
P4
P3
f - - - - - - - - - - -........--+-----<o----• . " . f-+-o-i .... 0 - - - - - < > - - - - - - <
~
k
223. Nota
As duas propriedades vistas, aliadas ao postulado da continuidade, traduzem 0 enunciado:
"Dada uma circunferencia qualquer, existe um unico segmento que
e maiar que 0 perimetro de qualquer dos poligonos convexos inscritos e
menor que 0 perimetro de qualquer dos poligonos circunscritos a essa circunferencia" .
224.
Defini~oes
a) Dada uma circunferencia, 0 segmento maiar que os perimetros de todos os poligonos convexos inscritos e menor que os perimetros de todos os po:
ligonos circunscritos echamado segmento retijicante da circunferencia, ou circunferencia retijicada ou aindapedmetro do cfrculo definido pela circunferencia.
291
COMPRfMENTO DA CIRCUNFERENCIA
A
B
C
_A
'----------y--------------'
p';.
I·
·1
circunferencia retificada
b) 0 comprimento do segmento retificante da circunferencia, ou circunferencia retificada ou perfmetro do cfrculo, e chamado comprimento da circunferencia.
225. Propriedade 3
"A razao entre 0 perfmetro do cfrculo e seu diametro e urn mimero constante representado por 7r."
'
G
R
C
c'
Sejam duas circunferencias de comprimento C e C' e raios R e R', respectivamente, e consideremos polfgonos regulares de mesmo numero de lados
inscritos e circunscritos nessas circunferencias.
Com a nomenclatura usada ate aqui e gra~as a semelhan~a entre os poligonos, vern:
R
R'
e ~
p~
R
R'
Devido as propriedades anteriores, vern:
Po < C < Poe
292
p~ < C'
< P~
COMPRIMENTO DA ClRCUNFERENClA
Donde:
p'
C'
P'
Po
< -C- <Po
- e _0_< __ <_0_
2R
2R
2R
2R'
2R'
2R'
Logo:
C
C'
2R
2R'
Chamando essa razao de 7f, vern:
2i
= 7f =>
I C = 27fR
226. Observa{:Qo
Para se ter uma noc;ao do m.imero 7f e so analisar a tabela abaixo.
l
n
-.-1l
6
12
24
48
96
192
3,00000
3,10582
3,13262
3,13935
3,14103
3,14145
2R
2R
3,46411
3,21540
3,15967
3,14609
3,14272
3,14188
n - numero de lados de urn
poligono regular
Pc - perimetro dos circunscritos
Pi - perimetro dos inscritos
R - raio da circunferencia
Observe, pela tabela, como vai "nascendo" 0 numero 7f.
Pela tabela chegamos ate I 3,141 145 < 7f < I 3,141 188
Pode-se pensar que a tabela acima foi obtida usando 0 fato de que, sabendo 0 e6 pela formula do e20 , sabe-se 0 e12 ; sabendo-se 0 e12 , ~abe-se 0 ~4' e
assim sucessivamente.
Note que conforme se aumenta 0 numero de lados obtem-se valores aproximados de 7f com maior precisao (vao surgindo os algarismos do numero 7f).
Com urn poligono de 192 lados, chegamos a 4 algarismos do numero 7f.
Por ser util, temos:
7f
=
3,1415926535...
-
1 = 0,3183098861. ..
7f
227. Comprimento de urn arco de circunferencia
"0 comprimento de urn arco de circunferencia (e) e proporcional a sua
medida (ex)."
293
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
Para ex em graus
1 = I f ~ .R. !
0
360 - - 2.R
ex O - - - e j
180
Para ex em radianos
211" rad - - 211"R(
ex rad - - - e j
=- I e = Rex I
.
Em particular, numa circunferencia de raio unitario, 0 comprimento de
urn arco e numericamente igual a sua medida em radianos.
228. Observar;;ao
1 radiano
Chama-se radiano (rad) todo arco de circunferencia cujo comprimento
e igual ao comprimento do raio da circunferencia que 0 contem.
Numa circunferencia (comprimento
seguinte:
1 rad
180 0 x _1
211"R) ha 211" radianos e por con-
180 0 x 0,31831
7r
EXERCicIOS
733. Determine 0 comprimento da circunferencia nos casos:
G
294
c)
b)
a)
/
y
57 0 17'38,4... "
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
734. Determine 0 comprimento do arco menor Xi3, dado 0 raio de 90 em e 0 angulo
central correspondente, nos casos:
b)
a)
c)
A
A
......- - - l B
735. Determine 0 comprimento da linha cheia nos casos (os arcos sao centrados em
0/, O2 e 03):
b) AO/B e triangulo equilcitero de
12 em de lade
a)
__-.0,
,
,,
A ------------ B
736. Determine 0 perimetro da figura sombreada nos casos:
a) Os arcos tern raios de 12 m e
sao centrados em A, B e C.
A
c
b) ABCD e urn quadrado de 48 m
de lade e os arcos sao centrados
em A, B, C e D.
A~Qr
B
C
295
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
737. Se os iingulos de vertices 0/, 02' 03' 0 4 e 0 5 medem, respectivamente, 90°, 72°,
135 0, 120° e 105 ° e os raios das circunferencias de centros nestes vertices medem,
respectivamente, 18 em, 35 em, 24 em, 36 em e 48 em, determine 0 comprimento da linha cheia AB.
B
\
;'
\
\
I
\
I
\
\
I
I
I
\
,
\
.
~,,/"05
/
..
-
~
""
'\
\
04
"
I
/
738.
a tra~ado de uma pista representada
B
C
A
0
na figura ao lade e composto dos arcos de circunferencias AB, BC, CD e
DA, centrados respectivamente em
0/, 02' 0 3 e 04' Se os triiingulos
0/020 3 e OJ 0 3 0 4 sao equilateros de
m, de60 m de lade e AB = 120
termine 0 comprirnento da pista.
J3
739. Urn circulo tern 4 cm de raio. Calcule 0 comprimento de sua circunferencia.
740. De 0 raio de uma circunferencia cujo comprimento e igual ao de uma semicircunferenda de 5 em de raio.
741. 0 comprimento de uma circunferencia e de 12,56 em aproximadamente. Calcule
o raio. Adote 71" com duas casas decimais.
742. 0 comprimento de uma circunferencia e de 1271" em. Determine 0 raio de outra
circunferencia cujo comprimento e a quarta parte da primeira.
296
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
743. Dada uma eireunfereneia de diametro d, ealcule 0 eomprimento de urn area eujo
angulo central eorrespondente e:
a) 30°
c) 60°
e) 120°
d) 90°
f) 135°
g) 150°
744. Se 0 raio de uma eireunfereneia aumenta 1 m, quanto aumenta 0 eomprimento?
745. Aumentando em 2 m 0 raio de uma eireunfereneia, em quanta aumentani 0 seu
eomprimento? 0 que oeorre com 0 eomprimento se 0 raio for aumentado em 3 m?
E se 0 raio for aumentado a metros?
746. A eireunfereneia C I , de raio R I e perimetro PI = 103, e eoneentriea a eireunferencia C 2 , de raio R 2 e perimetro P2 = 1 + 10 3 • Calcule R 2 - R I •
747. Duplieando 0 raio de uma eireunfereneia, 0 que oeorre com seu eomprimento?
748. Urn area de eomprimento 27rR de uma eireunfereneia de raio 2R subentende urn
area de quantos graus?
749. Quanto aumenta 0 raio de uma eireunfereneia quando seu eomprimento aumellta 5 metros?
750. Em quanto aumenta 0 eomprimento de uma eireunfereneia eujo raio sofreu urn
aumento de 50%?
751. Determine 0 angulo que subentende urn area de 2 em de eomprimento numa cireunferencia de 1 em de raio.
752. Se 0 raio de urn circulo aumenta em k unidades, 0 que ocorre com 0 comprimento da circunferencia?
753. Urn arco de circunferencia de comprimento 27rR, de uma eircunferencia de raio
G, que angulo central subentende?
754. As rodas de urn automovel tern 32 em de raio. Que distancia percorreu 0 automovel depois que cada roda deu 8 000 voltas?
SolUl;ao
== c = 211" . 32 = 647r
d = 8 000 c == d = 8 000
647r == d
c = 211"R
X
5120007r
Resposta: 512000 11" em == 16085 m.
755. Uma pista circular foi construida por duas circunferencias concentricas, cujos comprimentos sao de 1500 mel 200 m aproximadamente. Quanto mede sua largura?
297
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
756. Urn ciclista percorreu 26 km em 1 h e 50 minutos. Se as rodas da bicicleta tern
40 em de raio, quantas voltas aproximadamente deu cada roda e quantas pOl'
minuto?
757. As rodas dianteiras de urn carro tern 1 m de raio e dao 25 voltas ao mesmo tempo
em que as traseiras dao 20 voltas. Calcule 0 raio das rodas traseiras e quanta percorreu 0 carro depois que as rodas dianteiras deram 100 voltas cada uma.
758. Os ponteiros de urn relogio medem 1 em e 1,5 em, respectivamente. A circunferencia descrita pelo ponteiro maior tern comprimento maior que a circunferencia
descrita pelo ponteiro menor. Determine essa diferen<;:a.
759. Urn menino brinca com urn aro de 1 m de diiimetro. Que distiincia percorreu 0
menino ao dar 100 voltas com 0 aro?
760. Urn carpinteiro vai construir uma mesa redonda para acomodar 6 pessoas sentadas ao seu redor. Determine 0 diiimetro dessa mesa para que cada pessoa possa
dispor de urn arco de 50 em na mesa.
761. As rodas dianteiras de urn caminhao tern 50 em de raio e dao 25 voltas no mesmo
tempo em que as rodas traseiras dao 20 voltas. Determine 0 diiimetro das rodas
traseiras.
762. Uma pista circular esta limitada por duas circunferencias concentricas cujos comprimentos valem, respectivamente, 3 000 m e 2 400 m. Determine a largura da
pista.
763. Para ir de urn ponto A a urn ponto B posso percorrer a semicircunferencia de
diiimetro AB e centro O. Se percorrer as duas semicircunferencias de diiimetros
AO e OB, terei percorrido urn caminho maior ou menor?
764. Quantas voltas da uma das rodas de urn carro num percurso de 60 km, sabendo
que 0 diiimetro dessa roda e igual a 1,20 m?
765. Uma corda determina em urn circulo urn arco que mede 80 0 • Sendo 20 em 0 comprimento desse area, determine a medida do raio desse circulo.
766. 0 comprimento de urn arco AS e 1 em, 0 iingulo central do setor circular delimitado pOl' esse arco mede 60 0 • Determine 0 raio do circulo ao qual pertence esse
setor.
767. Na figura ao lado, calcule a medida do
iingulo central a, sabendo que os arcos
XiJ e CD medem respectivamente 100 em
e 80 em, e que CA = DB = 25 em.
Os arcos AS e CD sao centrados em O.
298
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA
768. Num circulo uma corda de 3 em dista 2 em do centro. Calcule 0 comprimento
da circunferencia.
769. Determine 0 comprimento de uma circunferencia circunscrita a um quadrado de
4 em de lado.
770. Uma corda AB, distando 3 em do centro de um circulo de difunetro 12 em, determi-
na nesse circulo dois arcos. Determine a razao entre a medida do maior e a do
menor arco desse circulo.
771. Calcule 0 comprimento de uma circunferencia inscrita em um quadrado de 10 em
de diagonal.
772. 0 comprimento de uma circunferencia ede 87[' em. Determine 0 raio da circunfe-
rencia e 0 perimetro do quadrado inscrito.
773. Na figura abaixo, os tres circulos
774. Na figura ao lado, determine 0 com-
tern mesmo raio r igual a 10 em. Determine 0 comprimento da correia
que envolve os tres circulos.
primento da corrente que envolve as
duas rodas, sabendo que 0 raio da
roda menor mede 2 em e 0 raio da
roda maior 4 em e a distancia entre
os centros das duas rodas mede
12 em.
775. Sejam urn circulo e de centro 0, de
raio R = 1, diametro AA' e a tangente t em A ao circulo e. AB sendo
A'
um lado do hexagono regular inscrito em e, a mediatriz de AB corta a
reta t em C. Construamos sobre t 0
segmento CD = 3R. Mostre que 0
comprimento A'D e urn valor aproximado de 7['.
3R
299
CAPITULO XVIII
Equivalencia
Plana
I. Defini~oes
229. Polfgonos contfguos ou adjacentes
Dois poligonos sao chamados contfguos ou adjacentes quando tern em
comum somente pontos de seus contornos.
R
A
rD
--,E
F
G
ABC e DEFG sao contiguos.
s
y
RST e UVXY nao sao contiguos.
Neste capitulo estamos considerando como po/fgono toda a regiao do
plano tambem chamada de regiiio poligona/.
300
EQUIVALENCIA PLANA
230. Soma de polfgonos
1. Soma de poligonos contiguos
Chama-se soma de dois poligonos con{(guos a superficie constituida pelos pontos desses poligonos comuns e os nao comuns a eles.
Temos, entao: A e B contiguos.
x E (A + B) <==> (x E A ou x E B), ou ainda, A + B
AUB
2. Soma de dois poligonos quaisquer
Soma de dois poligonos quaisquer, A e B, e definida como sendo a soma dos poligonos contiguos A' e B' em que A' e congruente a A e B' e congruente a B.
A
A' == A
B' == B
(A + B) = (A' + B')
== : congruente
231. Equivalencia entre polfgonos
Dois poligonos sao chamados equivalentes ou equicompostos se, e somente se, forem somas de igual nLimero de poligonos dois a dois congruentes
entre si.
Em simbolos:
301
EQUIVALENCIA PLANA
Notemos que A e B sao somas de n poligonos e que cada poligono-parcela
T; de A e congruente a urn poligono-parcela Si de B e reciprocamente.
o simbolo :=: est a sendo usado para a equivalencia.
B
A
T4
I
T,
/
/
/
/
/
54
/
~t/
T2
53
T3
I
TI == Sj, T z == Sz, T 3 == S3' T 4 == S4)
A = T j + Tz + T3 + T4
(
5,
_
==>
A - B
B = Sj + Sz + S3 + S4
Por extensao, dois poligonos congruentes sao equivalentes.
232. Propriedades
1) Reflexiva:
A:=:A
2) Simi/rica:
A :=: B
<==?
3) Transitiva:
A :=: BI
B :=:
==>
cJ
B :=: A
A:=: C
4) Uniforme:
"Somas de poligonos dois a dois equivalentes entre si sao superficies
equivaientes entre si."
Em simbolos:
cg'
A
Exemplo
==>
A:=:B
--- -
T2
302
B
EQUIVAL~NCIA PLANA
5) Disjuntiva - postulado de De Zolt
"Urn poligono, que e soma de dois ou mais outros, nao e equivalente
a nenhuma das parcelas."
Exemplo
A
~----B-~-----~
A=B+C
~
A,rtB e
A~C
233. Notas
I ~) As propriedades 1, 2, 3 e 4 sao de demonstrac;6es imediatas em vista
da definic;ao de equivaH~ncia.
2~) A propriedade 5 nao tern demonstrac;ao (e postulado) e tambem pode ser colocada como segue:
Dados dois poligonos P e Q quaisquer, de tres possibilidades ocorre uma
(e uma s6):
ou P e equivalente a Q: P ~ Q;
ou Q e equivalente a uma parte de P:
P = PI + P 2 e PI ~ Q;
ou P e equivalente a uma parte de Q:
Q = QI + Q2 e QI ~ P
II.
Redu~ao
de poligonos por equivalencia
234. Teorema
"Dois paralelogramos de bases e alturas respectivamente congruentes sao equivalentes."
303
EQUIVALENCIA PLANA
Demonstrar;iio
Sem perda de generalidade, consideremos os paralelogramos ABCD e
ABC'D' com base AB e com alturas congruentes.
Podem-se apresentar tres casos:
1~ caso:
CD e C'D' tern urn segmento comum
I = III! +
II==IIj
(I + II) "" (II + III)
t
C
v 'i/
D
t
ABCD "" ABC'D'
D'
C'
II
A
B
A
B
2~ caso: CD e CD' tern s6 urn
ponto comum
I = III! +
II=IIj
(I + II) "" (II + III)
t
t
ABCD "" ABC'D'
3.° caso: CD e C'D' nao tern ponto comum
C
D
D"
----..--=-------::::-C'
C" = D'
A
Por aplical;ao dos casos anteriores, da propriedade transitiva e do postulado de Arquimedes:
"ctados dois segmentos, existe sempre urn multiplo de urn deles que supera 0 outro".
temos:
ABC'D' "" ABC"D" "" ... "" ABCD => ABCD "" ABC'D'
304
EQUIVALENCIA PLANA
235. Nota
Devido ao teorema acima, temos em particular que:
"Todo paralelogramo eequivalente a urn retangulo de base e altura respectivamente congruentes as do paralelogramo".
'-----v~----
b
b
236. Teorema
"Todo triangulo e equivalente a urn paralelogramo de base congruente a do triangulo e altura metade da altura do triangulo."
DemonstrQ(;iio
A
T
Pelo ponto medio E de AB conduzimos ED paralela a BC e completamos 0 paralelogramo BCDE.
E
h
-----
-
/--'2... t
III
II
I
I == III]
11==11 +
(I + II) :::: (II + III)
D
---7 -
2
I
~
c
b
B
ABC:::: BCDE
237. Nota
Em vista do resultado acima e do anterior temos em particular que:
"Dois triangulos de bases e alturas ordenadamente congruentes sao equivalentes" .
--._:;:}V V'
V2
-1
,. ,-
1~
V,
,-
..>.,-",-///"-'-
b
V3
305
EQUIVALENCIA PLANA
238. Teorema
"Dado urn polfgono convexo com n lados (n > 3), existe urn polfgono
convexo com (n - 1) lados que the e equivalente.
Seja dado 0 polfgono Pol (VI V2 V3 V4 ••• Vn ) e seja V' a interses;ao da
reta V3 V4 com a reta paralela a VI V3 por V2 •
------ V2 - - - - - - ; : , v'
,---- _-
V'
I
I
v,
Pol (V,V 2 V3 V4 ... V,,) = I1V I V2 V3 + Pol (V I V3 V4 ... V,,)]
,--",,\
Pol (V 1V'V 4 ••• V,,)
=>
=
=>
I1V I V'V 3 + Pol (V 1V3 V4 ... V,,)
Pol (V I V2V3 V4 ••• V,,) "" Pol (V I V'V 4 ••• V,,)
~
'----;-"
n lados
t
~
(n - I) lados
239. Nota
Em vista dos itens 234,236 e 238, podemos reduzir por equivalencia urn
po/fgono de n lados (n > 3) a urn triangu/o equivalente, este a urn para/e/ograrno equivalente e este a urn retangu/o equivalente. Entao, vale:
"Todo po/fgono
e equiva/ente a urn retangu/o".
240. Relafoo de Pitagoras por equivalencia
Consideremos urn triangulo retangulo ABC de hipotenusa a e catetos
bee.
o quadrado BCDE de lado a eo quadrado construido sabre a hipotenusa (ou 0 quadrado da hipotenusa) e os quadrados ABRS de lado c e ACVU
de lado b sao os quadrados construidos sobre os catetos (au as quadrados dos
catetos) (figura 1).
306
EQUIVAL!:NCIA PLANA
figura 2
o
figura 1
o
v
E
U
S
R
Agora consideremos as constru90es auxiliares da figura 2. Devemos notar que:
BCDE eo quadrado de lado a.
flABC, MCD, !:l.GED e MBE sao triangulos congruentes entre si que
vamos chamar de T.
ACFH e urn quadrado de lado b congruente ao quadrado ACVU.
EIHG e urn quadrado de lado c congruente ao quadrado ABRS.
BCFGE e urn poligono que vamos chamar de P.
Analisando 0 quadrado BCDE (figura 3) e a reuniao dos quadrados
ACFH e HGEI (figura 4), temos:
0
figura 3
figura 4
c
b
F
\
C
\
\
b
P
\
T
E
\
h
C
I
1
\
,,
E
/
/
j../
\
A
IG
\
//1
/
H
C
T
r.
I
B
T
BCDE = P ++ 22 T] ==> BCDE = ACFH + EIHG
ACFH + EIHG = P
307
EQUIVAL~NCIA PLANA
Dada a congruencia dos quadrados, temos, entao:
BCDE = ACVU + ABRS
Ou seja:
"0 quadrado construido sobre a hipotenusa e equivalente it soma dos
quadrados construfdos sobre os catetos."
Ou ainda:
"0 quadrado da hipotenusa e equivalente it soma dos quadrados dos
catetos" .
EXERCicIOS
776. Determine em cada caso quais figuras sao equivalentes:
a)
t"'-
1/
L
II,
_\
\
,....
b)
,....
1/
Ii
:I
II
i-
c)
I/
1/
v
I
v
\
iI1
/11
d)
I
\
" ""'II I
/
I
II
II
II
V
V
e)
f',
1\
\
I"
I"
\
f"-
1"-..
308
\
1\
1\
EQUIVALENCIA PLANA
777. Se G e 0 baricentro de urn triangulo ABC, entao os triangulos GAB, GAC e GBC
sao equivalentes.
80luI;30
A
A
8 =----f--.,-l:--+--"'" C
8 =---+--">-'--+--""'C
Consideremos a mediana AM. Por terem bases congruentes e mesma altura,
sao equivalentes os triangulos ABM e A CM e pelo mesmo motivo tam bern
o sao os triangulos GBM e GCM.
L\ABM =:: L\ACM =- L\GAB + L\GBM =:: L\GAC + L\GCM
=- L\GAB =:: L\GAC
=-
Analogamente sai L\GAB =:: L\GBC.
Dai vern L\GAB =:: L\GAC =:: L\GBC.
778. Por que sao equivalentes os tres
triangulos da Figura abaixo?
779 Os dois triangulos da Figura abaixo
sao equivalentes? Em caso afirmativo, por que?
VI
1/
\
\
"\ /
\i
/
780. Na Figura abaixo, 0 triangulo e equivalente ao retangulo? Em caso afirmativo, por que?
I'\.
781. 0 quadrado e 0 triangulo da Figura
abaixo sao equivalentes? Por que?
~
I'\.
I'\.
\
I'\.
./
"
309
EQUIVALENCIA PLANA
782. Os quatra triangulos da Figura ao lado sao equivalentes? Por que?
1-1
v,
VI" v
L.1
b'
/1/, !7
/-.
/,t.~
V v,i..? ' /
i7.: k=: ~
"
ie=-
783. Se reduzirmos a metade a base de urn triangulo, 0 que ocorreni com a altura para
que tenhamos triangulos equivalentes?
784. Qual a relaC;ao entre os retangulos
hachurados da Figura ao lado, se por
urn ponto P sobre a diagonal trac;amos segmentos paralelos aos lados
do retangulo ABCD?
D
C
Ets=1
A
B
785. Por urn ponto de uma diagonal de urn paralelogramo trac;am-se paralelas aos lados. Prove que dois dos paralelogramos que se obtem sao equivalentes.
786. 0 pentagono ABCDE e 0 quadrilatera FEDC da Figura ao lade sao
equivalentes? Por que?
A
F
-~T-E~B.-D
C
787. Como deveriamos proceder para transformar urn poligono convexo de 100Iados
em urn triiingulo equivalente?
788. Construa urn poligono convexo de (n - I) lados, equivalente a urn poligono convexo de n lados (n > 3).
789. Diga que relaC;ao ha entre PI' P2 e P3 .
c
b
b
c
,
a -' ....-
b
~
,
c
P2
a
/
/
I
c
310
c
b
P3
~
"
b
I
c
EQUIVALENCIA PLANA
790. Os quadrilciteros ABeD e A'B' C' D' sao retanguJos. Mostre que, se os triangulos
PAB e P'A'B' sao equivalentes, entao os retangulos tambem sao equivalentes.
B'
B
A'
A
791. Foram construidos dois quadrados, urn
sobre a hipotenusa e outro sobre urn cateto de urn triangulo retangulo, como
mostra a figura. Prove que 0 quadrado
e 0 retangulo sombreados sao equivalentes.
D
c
'1--+-'----~G
B
E
F
792. Usando 0 exercicio anterior, prove que "0 quadrado construido sobre a hipotenusa e equivalente a soma dos quadrados construidos sobre os catetos" (relac;:ao
de Pitagoras).
CAPITULO XIX
~
Areas de
Superficies Planas
I. Areas de superficies planas
241. Defini{:oo
Area de uma superficie limitada e urn nLimero real positivo associado
a superficie de forma tal que:
I~) As superficies equivalentes eshlo associadas areas iguais (numeros
iguais) e reciprocamente.
A = B ~ (Area de A = Area de B)
2~) A uma soma de superficies esta associada uma area (numero) que
e a soma das areas das superficies parcelas.
(C = A + B)
==>
(Area de C
Area de A + Area de B)
3~) Se uma superficie estd contida em outra, entao sua area e menor
(ou igual) que a area da outra.
B C A
312
==>
Area de B ~ Area de A
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
242. RazQo entre retangulos
a) Teorema
"A razao entre dois retangulos de bases congruentes (ou alturas
congruentes) e igual 11 razao entre suas alturas (ou bases)."
Hip6tese
R J (b, hJ)
[ R (b, h )
2
=-
2
DemonstraraiJ
1~ caso: hi e h2 sao comensurdveis
I_
b
"1
·1
T
x
• 1
x
x
x
b
I-
h,
x
X
x
I
x
h2
,
x
1
...!..
Entao, existe urn submultiplo de hi e de h 2
pox] ~ ~ = l
hi =
h2 = q . X
h2
0
(1)
q
Construindo os retangulos X(b, x), temos:
RI
p . X]
R2 = q . X
-;-
=-
~
R2
l
(2)
q
De (1) e (2) vern:
313
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
2~ caso:
h) e h 2 sao incomensuraveis
R,
+,:
r----------------,
,
'T 1
y
m+l
mj
y
y
y
1 ....
b
I
1
y
I
y
y
2
y
11.'
b
,
1
Entao, nao existe segmento submultiplo comum de hi e h 2 •
Tomemos urn segmento y submultiplo de h 2 (y "cabe" urn certo numero inteiro n de vezes em h 2 , isto e, h 2 = ny).
Por serem hi e h 2 incomensuraveis, marcando sucessivamente y em hi,
temos que, para urn certo numero inteiro m de vezes:
my < hi < (m + I)y
Operando com as rela~6es acima, vern:
y
m . < h) < (m + 1)·
n . y = h2 = n . y
y} =-~ -m< -h)< m+
n
h2
n
(3)
Construindo os retangulos Y(b, y), temos:
m . Y < R) < (m + I) . Y}
n . Y = R2 = n . Y
m+
~
m
R)
=-<--<
n
R
n
(4)
2
Ora, sendo y submultiplo de h 2 , pode variar; dividindo y aumentamos
n e nestas condi<;6es,
m
n
e
m + 1
n
formam urn par de classes contfguas que definem um unico numero real, que e
J!.L
pela expressao (3) e e ~ pela expressao (4).
h
R
2
2
Como esse numero e unico, entao:
314
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
b) Teorema
"A razao entre dois reUingulos quaisquer e igual ao produto da
razao entre as bases pela razao entre as alturas."
Hip6tese
Tese
R I (b l , hi) ]
Jl.J!L
Rz (b z, h z)
hz
bz
h,Gu_mm j
Ih'
R
-------------- ' , - , - - - - - - - ,
,
I
b,
,,
,
,
,
I
I
I
,
Demonstrariio
I
I
,
1--------...."
Construamos urn retangulo auxiliar R(b l , h z). Aplicando duas vezes 0
teorema anterior, vern:
R,
h,
multiplicando
b,
II. Areas de poligonos
243. Retangulo
Dado 0 retangulo R(b, h) e fixado 0 quadrado Q(l, 1) como unitario,
temos:
Area do retangulo R(b, h)
A
_
R -
R(b, h)
Q(l, 1)
hD {~
b
1
315
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
Em vista do item 242, vern
A
R
-
R(b, h) Q(l, 1) -
l . ~ =- A R
1
1
(medida de b) . (medida de h)
que sera representada simplesmente por:
j AR = b . h
244. Quadrado
Dado urn quadrado de lado a,
Q(a, a), temos:
a
h
pois 0 quadrado e urn reHingulo particular.
a
245. Paralelogramo
Dado 0 paralelogramo P(b, h), conforme vimos no item 235, ele e equivalente a urn retangulo cuja base mede b e altura mede h. Logo:
r- - -- - - r - - - - : - - - - - - " " " 7
I
I
I
I
I
I
h
1
1_.- - - b ----·1
316
1 - - - - b ----t.1
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
246. Trio.ngula
Dado 0 triangulo T(b, h), conforme vimos no item 235, ele e equivalente
a urn paralelogramo cuja base mede b e altura mede
h
--------- --------7
1
~I L---/_~7
~/I
L-
I-'---b - - - - . . I
AT
=
Apara'e'ogramo
~' Logo:
I---b---
=>
AT
=
b."~ => I
AT
=
¥
Nota
Area do triangulo equilcitero de lade a. Urn triangulo equihitero de lade
a.J3
.
a tern aItura h = -2- e sua area S'e entao:
s=
+...
3
'2
= IL_s_ _a_z_4_3-J
247. Trapezia
Dado 0 trapezio Tra (b l , bz, h), ele e a soma de dois triangulos T j (b l , h)
e Tz (b z, h)
b2
1/",.. . . . .\ I?§
b2
T
T
I
h
I
...!.-
!A
b
T,a
1-
·1
b,
.
2
AT"
I
...!.-
b,
h
l
~ =>
=2- +
h
=
(b l + b z) • h
2
317
AREAS DE SUPERFicIES PLANAS
248. Losango
Dado 0 losango L(d l , d 2), conduzimos as diagonais e, pelos vertices, as
paralelas as diagonais.
I-d,-+j
A(8 lriangulos)
A(4 lriangulos)
2
L
==>
I_A_
dl . d 2
2_-----'
Nota
o losango e paralelogramo e portanto sua area tambem e dada por:
AL = b . h
249. Polfgono regular
Sendo:
n = numero de lados
m
medida do apotema
e medida do lado
p
semiperimetro
1--£ --l
Seja urn poligono regular de n lados de rnedidas iguais a ee de apoterna
de rnedida m.
318
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
Podernos decornpor esse poligono em n trHingulos de base ee altura m.
Entao:
n .
2p
AT]
.....-----..
n· e· rn
2
e· rn
2
Sendo n . e = 2p (perirnetro), vern:
2· p. rn
2
p. rn
Nota
Area de urn hexagono regular de lado a.
Urn hexagono regular de lade a e a reuniao de 6 triangulos equil<iteros
de lade a.
Sendo S
2
.
d 0 tnangu
.~
I0, ternos:
-a43- a area
2
AhexagOno
6 .S
=:>
Ahexagono
6. a d
4
Ahexagono
EXERCicIOS
193. Determine a area dos poligonos nos casos abaixo, sendo 0 metro a unidade das
medidas indicadas.
a) quadrado
b) retangu!o
c) parale!ogramo
D 0, Cl!~:
6 8
6
319
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
f) losango
e) quadrado
d) losango
g) trapezio
h) paralelogramo
j)
k)
i)
I)
~~ ~
:
5
:5
I
~
2
.:
__
6
_
10
6
794. A area do poligono e dada entre parenteses, em cada caso. Determine x.
a) quadrado (36 m2)
o
d) trapezio (10 m2)
x
320
+ 2
b) quadrado (50 m 2)
c) retangulo (24 m 2)
/
/
/
x/
/
/
/
/
/
e) trapezio (18 m2)
x + 2
f) paralelogramo (32 m 2)
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
p
795. Na figura temos urn quadrado ABCD inscrito no triangulo PQR. Se QC eigual ao
lado do quadrado, RD = 3 m, a altura,
relativa a AB, do triangulo PAB e igual
a 4 mea area do triangulo PQR e de
75 m 2 • Determine 0 lado do quadrado.
RL.----:!:--_ _±-_ _--->.Q
796. Determine a area do retangulo nos casos a seguir, sendo a unidade das medidas
o metro.
b)
a)
c)
[2J [5J
15
12
797. Determine a area do paralelogramo nos casos a seguir, sendo 0 metro a unidade
das medidas.
c)
b)
a)
1L.......L~_OO~-17
18
798. Determine a area do triangulo nos casos a seguir, sendo 0 metro a unidade das
medidas.
b)
a)
c)
~ 6
17
d)
e)
~
8
12
f)
La ~
321
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
i)
h)
g)
Db
18
7
799. Determine a area do losango nos casos a segui r, sendo 0 metro a unidade das
medidas indicadas.
a)
c)
b)
800. Determine a area do trapezio nos casos a seguir, sendo 0 metro a unidade das
medidas indicadas.
c)
b)
a)
3
10
10
~
18
e)
d)
6
U
10
f)
4
~
801. Determine a area de urn trapezio isosceles com bases de 4 m e 16 me perimetro
de 40 m.
322
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
802. Mostre que a area de urn quadrilatero de diagonais perpendiculares, que medem
a e b, e dada por a; .
Solu~iio
Como a area do quadrilatero e igual
a soma das areas dos triangulos e
hI + h 2 = a, temos:
a
~---,-+~------:;;"
I
I
I
I
---------1---I
----'b:-------·:
A
Q
=~+~
==>
2
2
=- A Q =~(h
+ h) ==>
2
I
b
2
(a)
2
=- A Q
ab
2
803. Determine a area do quadrilatero nos casos a seguir, sendo 0 metro a unidade
das medidas indicadas.
a)
b)
804. A area de urn retangulo e 40 em] e sua base excede em 6 em sua altura. Determine a altura do retangulo.
805. Urn retangulo tern 24 em] de area e 20 em de perimetro. Determine suas dimens6es.
806. A base de urn retangulo e 0 dobro de sua altura. Determine suas dimens6es, sendo 72 em] sua area.
807. As bases de urn trapezio isosceles medem, respectivamente, 4 em e 12 em. Determine a area desse trapezio, sabendo que 0 semiperimetro do trapezio e igual a
13 em.
808. Uma das bases de urn trapezio excede a outra em 4 em. Determine as medidas
dessas bases, sendo 40 em] a area do trapezio e 5 em a altura.
323
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
809. As diagonais de urn losango estao entre si como ~. Determine a area desse losango,
sabendo que a soma de suas diagonais e igual ao perimetro de urn quadrado de
81 em 2 de area.
810. 0 perimetro de urn losango e de 60 em. Calcule a medida de sua area, sabendo
que a sua diagonal maiar vale 0 triplo da menor.
811. Determine a area de urn losango, sendo 120 em 0 seu perimetro e 36 em a medida
da sua diagonal menor.
812. Com uma corda de 40 m de comprimento construimos urn quadrado e com a mesrna corda construimos depois urn trapezio isosceles cuja base maior e 0 dobro
da menor e cujos lados obliquos tern medidas iguais a base menor. Determine
a razao entre a area do quadrado e a area do trapezio.
813. Determine 0 lade de urn quadrado, sabendo que, se aumentamos seu lade em
2 em, sua area aumenta em 36 em 2 .
814. Determine a area de urn quadrado cujo perimetro e igual ao perimetro de urn retangulo cuja base excede em 3 em a altura, sendo 66 em a soma do dobro da base
com 0 triplo da altura.
815. Urn quadrado e urn losango tern 0 mesmo perimetro. Determine a razao entre
a area do quadrado e do losango, sabendo que as diagonais do losango estao
entre si como ; e que a diferen<;a entre elas e igual a 40 em.
816. Determine a area de urn retangulo em fun<;ao de sua diagonal d, sabendo que
a diagonal e 0 triplo de sua altura.
817. Mostre que a area de urn triangulo equilatero de lade a e dada por A
a2 3
4
818. Determine a area de urn triangulo equilMero com:
a) perimetro de 30 m.
b) altura de 6 m.
819. Determine a area de urn hexagono regular nos casos:
a) Seu lade tern 8 m.
b) Seu ap6tema tern 2.J3 m.
c) Sua diagonal menor mede 12 m.
820. Determine, em cada caso, 0 raio do circulo circunscrito a urn:
a) quadrado de 16 m 2 •
b) hexagono regular de 5413 m 2 •
c) triangulo equilMero de 3613 m 2•
324
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
821. Determine a area do:
a) quadrado inserito em urn cireulo de 5 m de raio.
b) hexagono regular inserito em urn cireulo de raio 4 m
c) triangulo equilMero inserito em urn cireulo de raio 6 m.
d) quadrado eireunserito a urn cireulo de raio 4 m.
e) hexagono regular eireunserito a urn cireulo de raio 6 m.
f) triangulo equilMero eireunserito a urn cireulo de raio 5 m.
822. Determine, em eada easo, 0 raio do cireulo inserito em urn:
a) quadrado de 24 m 2 .
b) hexagono regular de 6fj m 2 •
c) triangulo equilMe~o de 9fj m2 •
823. Da-se urn trapezio ABCD de bases AB = a, CD = b com a > be de altura h.
Demonstre que a diferen~a entre as areas dos triangulos que tern par bases AB e CD
respeetivamente e por vertiee oposto a interse~ao das diagonais e (a - b) . h
2
SolUl,:iio
(a - b)h
2
o
b
c
J
Demonstrafiio
Considerando 0 AOAD de area 83,
temos:
1
ah
2
Area AABD
==>
824. Determine a area do quadrado
DEFG inserito no triangulo ABC ao
lado, sendo BC
15 me altura relativa ao lade BC igual a 10 m.
-=
A
L
D
B·~C
F
G
325
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
825. Determine a area do triiingulo ABC
abaixo, sendo AE = 10 m, AD
= 8 me EB = 5 m.
826. Na figura abaixo temos dois quadrados. Determine a area do quadrado
maior.
B
E
A L-
-'--:!:-_---'-~
827. Determine a area de urn triiingulo isosceles de perimetro 36 m se a altura relativa
a base mede 12 m.
828. Determine a area de urn retiingulo de diagonal 15 m e perimetro 42 m.
829. As bases de urn trapezio retiingulo medem 3 me 18 me 0 perimetro 46 m. Determine a area.
830. A altura de urn trapezio isosceles mede 3'13 m, a base maior 14 m e 0 perimetro
34 m. Determine a area desse trapezio.
831. As bases de urn trapezio medem 4 m e 25 m e os lados obliquos medem 10 m
e 17 m. Determine a area desse trapezio.
832. De urn losango sabernos que uma diagonal excede a outra em 4 m e que esta,
por sua vez, excede 0 lade em 2 m. Determine a area desse losango.
833. A diagonal de urn trapezio isosceles e bissetriz do iingulo da base maior. Se a
altura desse trapezio mede 35m e 0 perimetro 48 m, determine a area dele.
834. Urn lade de urn quadrado e corda de uma circunferencia e 0 lade oposto e tangente a ela. Determine a area do quadrado, sendo 10 m 0 raio do circulo.
835. A diagonal maior de urn trapezio retiingulo e bissetriz do iingulo agudo. Se a altura e a base maior medem 5 m e 25 m, determine a area desse trapezio.
836. A base de urn triiingulo isosceles excede a altura em 10 m. Se a area do triiingulo
e 300 m2 , quanto mede a altura relativa a urn dos lados congruentes?
837. Uma diagonal de um losango mede 40 mea sua altura 24 m. Determine a area
desse losango.
838. A~ medianas relativas aos catetos de urn triiingulo retiingulo medem 2,73 m e
4,13 m. Determine a area desse triiinguio.
839. Determine a menor altura e a area de urn triiingulo de lados 5 m, 3,5 m e 10 m.
326
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
840. Considere urn triangulo retangulo e a circunferencia inscrita nele. Se 0 ponto de
contato entre a hipotenusa e a circunferencia determina na hipotenusa segmentos
de 4 m e 6 m, determine a area do triangulo.
841. Suponhamos que se percorra urn triangulo num sentido determinado e que se prolongue, nesse sentido, cada lado de urn comprimento igual ao proprio lado que
se prolonga. Demonstre que a area do triangulo que tern por vertices as extremidades dos prolongamentos e igual a sete vezes a area do triangulo dado.
842. Mostre que a raziio entre as areas de dois triangulos de bases congruentes e igual
a raziio entre as alturas relativas a essas bases.
843. Mostre que as medianas de urn triiingulo determinam nele seis triangulos de areas
iguais.
844. Determine a area do triangulo sombreado em func;iio da area k do triangulo ABC
nos casos a seguir, sabendo que os pontos assinalados em cada lado 0 dividem
em partes iguais (congruentes).
a)
b)
A
A
B L-_-+-_---t>--_~ C
B""'-------~C
d)
c)
A
A
B L..-_~=+_-_-..::>. C
B L--+-_-+_---+----<>----' C
845. Determine a area da regiiio sombreada em func;iio da area k do paralelogramo
ABCD nos casos a seguir, sabendo que os pontos assinalados sobre cada lado
o dividem em partes de medidas iguais.
a)
b)
A
B
E/ 1.\ 71'
D
C
D
C
327
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
846. Na figura, A BCD e urn paralelogramo de
area S eM e ponto medio de CD. Determine a area da regiao sombreada em fun<;ao de S.
c
M
D
847. Se a area do triangulo ABC eke os pontos assinalados em cada lado 0 dividem
em partes iguais, determine a area do
triangulo sombreado em fun<;ao de k.
A
C '-"""'-+--+------->. B
A
848. Se os pontos R, S, T, U, VeX dividem
AB, BC e AC, respectivamente, em tres
partes iguais, determine a area do triangulo sombreado em fun<;ao da area k do
triangulo ABC.
B """"'---_-~o__-,..,. C
T
u
849. Determine a area de urn octogono regular de lado f.
850. Determine a area de urn decagono regular de lado f.
851. Determine a area de urn pentagono regular de lado f.
852. Determine a area de urn retangulo cuja base e altura sao respectivamente 0 lado
e 0 apotema de urn pentagono inscrito em uma circunferencia de raio r.
853. Determine a area de urn quadrado cujo lado e igual ao Iado de urn octogono regular inscrito em urn circulo de raio r.
854. Como mostra 0 desenho, 0 triangulo
ABC esta dividido em seis triangulos. 0
numero indicado no interior de quatro
deles' expressa a sua area. Determine a
area do triangulo ABC.
A
B 4C:-_ _-'-'-..::...:.._'---"'" C
328
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
III. Expressoes da area do triangulo
250. Em fun<;:iio dos lados e respectivas
alturas.
Em vista do item 246:
1
1
1
S = 2 aha' S = 2 bh b , S = 2 ch<
251. Area do triangulo em fun<;:iio dos
lados.
a+b+c
Dados: a, b, c e com P=--2--'
em vista do item 207, temos:
S = -.L ah
2
1
S = 2 aha
ha = -
000000.000
a
••
0.00.
o.
2
"p(p - a) (p - b) (p - c)
a
== I S
,,'p(p - a) (p - b) (p - c)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _- J
252. Area do triangulo em func;iio dos
lados e do raio r da circunferencia
inscrita.
ar
br
cr
2+2+2=
== I S = pr
a+b+c
2
or
A
=>
B
-
C
329
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
253. Area do triangulo em fun9iio dos
lados e do raio R da eireunfereneia eireunserita.
S
ah
SABC = _1
2
a
(1)
Para 0 calculo de ha (dados R,
a, bee), eonstruirnos 0 t.ABE com
AE = 2R.
f> = B (reto) ]
C = E = ~B
E
=- t.ADC - t.ABE =- ~
e
b
2R
=- h a
be
2R
Substituindo em (1), vern:
S
a·b·e
4R
254. Area do triangulo em fun9iio do raio de qualquer das cireunfereneias
ex-inseritas. (Por exernplo: ex-inserita tangente ao lado a, de raio ra .)
I
Tar.
I
+ SOBC ]
+ SOAB
=-
1\
Tefl(
1
1
S = 2 (-a + b + e)r a = 2 2(p-a)ra =~
=-
S
(p - a) . r a
Analogarnente, ternos:
s = (p - b)r
330
b
S
(p - e)rc
=*
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
255. Area do triangulo em func;:ao de dois lados e do seno do angulo compreendido.
B
B
I
I
I
a
I
h:
I
I
I
c
fL_ --.'-------~c
A L -_ _----:_.1...J..._ _.....> C
D
A
b
No caso da primeira figura: S
mas no ilADB: h =
No caso da segunda figura: S =
+
bh
- 1 bc· sen A
s
=
2
]
=S
mas no ilADB: h = c· sen (180 0 - A) = c· sen A
- 1 bc . sen A
2
No caso do triangul0 ser retangulo em A e imediato.
Assim, temos:
Tbe.genA
I
+
Analogamente:
I_s_=_~~~_a_b_._s_e_n_c_
ac . sen B I
256. Notas
1~)
Usando a expressao da area do triangulo
S = -.L a . b . sen C
2
e a expressao do teorema dos senos (lei dos senos),
__a_ = __b_ = __c_ = 2R, de onde sai: sen C = _c_ temos:
2R '
sen A
sen B
sen C
S = _1_ ab . sen C
2
=
S = -.L ab . -.£
2
2R
=
S = abc
4R
331
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
2~)
Resumo das formulas sobre area do triangulo
S = 21 aha = 21 bh b = 21 ehc = Jpcp-a) (P-b) (p-e)
= pr = abc
4R = (p-a)ra = (p-b)r b = (p-e)r c =
= _1_ ab . sen C = _1_ ae . sen B = _1_ be . sen A
2
2
2
3~) As formulas S = pr, S = ~t;, S = (p-a)ra , S
(p- b)rb e
S = (p-e)r c sao mais usadas para 0 ealculo dos raios. Assim,
abc
S
S
S
r = ~
p , R = - - , ra = - - - , r b = - - - , r c = - - - .
4S
p-a
p-b
p-e
EXERCicIOS
855. Determine a area do triangulo nos casos abaixo, sendo 0 metro a unidade das
medidas indicadas.
a)
b)
c)
/\ ~
3CO
12
8
856. Mostre que a area do paralelogramo
da figura e dada por
S = ab sen IX
~7
,,--,---l
a
332
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
857. Determine a area do paralelogramo nos casos, sendo 0 metro a unidade das medidas indicadas.
a)
d) Ac = 16, BD = 24
c)
10
A
B
LSJ !>iJ
D
858. Determine a area do trapezio da figura, dados: AB = 4 m, AC = 8 m
e CD = 12 m.
C
859. Determine a area do quadrilcitero da
figura, dados: AB = 12 m,
BD = 18 me CD = 12.J2 m.
8
A
B
C
I
A
145 0
L......
I
D
860. Mostre que a area de urn quadrilatero com diagonais de medidas a e b, que for-
mam angulo O!, e dada por S =
~ ab sen O!.
861. Determine a area do triangulo nos casos abaixo. Use: S = Jp(p-a)(p-b)(p-c).
o metro e a unidade das medidas indicadas.
a)
b)
c)
14
12
8
333
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
862. Determine 0 raio do circulo nos casos:
a)
b)
863. Os lados de urn triangulo medem 6 m, 10 me 12 m. Determine:
a) a sua area;
b) a sua menor altura;
c) a sua maior altura;
d) 0 raio da circunferencia inscrita;
e) 0 raio da circunferencia circunscrita.
864. Determine 0 raio da circunferencia,
dados: AB = 14 m, BC = 10 me
AC = 16 m.
AL-
~--=::=~-==:::::....----
865. Determine a area de urn triangulo retangulo, sabendo que urn dos catetos mede
10 em e 0 angulo agudo oposto a esse cateto 30°.
866. A raziio entre a base e a altura de urn triangulo e ~. Sendo 52 em a soma da
base com a altura, determine a area do triangulo.
867. Determine a area de urn triangulo isosceles, sabendo que sua base mede 6a e a
soma dos lados congruentes lOa.
868. Determine a area de urn triangulo isosceles de perimetro igual a 32 em, sabendo
que sua base excede em 2 em cada urn dos lados congruentes.
869. Determine a area de urn triangulo equilMero em funr;:iio de sua altura h.
334
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
870. 0 apotema de urn triiingulo equilatero e igual ao lado de urn quadrado de 16 em 2
de area. Determine a area do triangulo.
871. 0 perimetro de urn triangulo retangulo e 90 em. Determine a area do triangulo,
-'
..
1
1
1
sab en d 0 que seus Id
a os sao Inversamente proporclOnals a 5' 12 e 13'
872. Em urn triiingulo retangulo a hipotenusa e os ~ do cateto menor, eo cateto maior
os ; do menor. Sendo 60 em 0 perimetro do triangulo, determine a sua area.
873. Calcule a area de urn triangulo ABC do qual se conhecem os dados seguintes:
AC = b, AB = e e 0 angulo compreendido 150°.
874. Consideremos urn triangulo retangulo isosceles ABC de catetos AB = AC = a e
urn ponto E tornado sobre 0 prolongamento do cateto CA. Unindo-se B a E,
temos 0 segmento BE, que e paralelo a bissetriz AD do angulo reto A. Determine
a area do triarigulo CBE em fun<;iio de a.
875. Calcule a area do triangulo ABC, sendo AB
876. Urn triangulo equilatero ABC tern
60 m de perimetro. Prolonga-se a
base BC e sobre 0 prolongamento
toma-se CS = 12 m. Une-se 0 ponto S ao meio M do lado AB. Calcule
a area do quadrilMero BCMN.
A
~
B
C
S
877. Determine a area de urn triangulo equilMero em fun<;iio do raio R do circulo circunscrito a esse triangulo.
878. Determine a area de urn triangulo equilMero em fun<;iio do raio r do circulo inscrito nesse triangulo.
879. A area de urn triangulo retangulo e igual ao produto dos segmentos determinados sobre a hipotenusa pelo ponto de contato do circulo inscrito ao triangulo.
880. A base de urn triangulo mede 12 em e sua altura 6 em. Determine a raziio entre
a area do triangulo e a area de lim quadrado inscrito nesse triangulo, sabendo
que a base do quadrado esta apoiada sobre a base do triangulo.
881. Determine a medida do raio de urn circulo inscrito em urn triangulo isosceles de
lados 10 em, 10 em e 12 em.
335
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
882. Calcule 0 raio da circunferencia circunscrita a urn triangulo isosceles de base 6 em,
tendo outro lado medindo 5 em.
883. Seja A BC urn triangulo isosceles cujos lados congruentes medem 5 em, sendo 6 em
a medida do lado BC (base do triangulo). Calcule a raziio entre 0 raio do circulo
circunscrito e 0 raio do circulo inscrito nesse triangulo.
884. Determine 0 perimetro de urn triangulo retangulo, sabendo que sua area e igual
a 36 em 2 e que a hipotenusa e igual ao dobro da altura relativa a ela.
885. As diagonais de urn paralelogramo medem 10 me 20 me formam urn angulo
de 60°. Ache a area do paralelogramo.
886. Mostre que a soma das distancias de urn ponto interno, de urn triangulo equilcitero, aos lados e igual a altura h do triangulo.
887. Na figura, ABCD e urn quadrado de
lado a e AE = b. Determine a area
do triangulo AEB.
0,.-----" C
888. Determine a area dos quadrilciteros nos casos:
b)
a)
A
A
4m
o
4m
60°
BL....,.;'----------'--'· C
o
10 m
B L . . - . ! . . - _ - - = = -_ _'-J. C
889. Os angulos de urn hexagono convexo medem 120°. Determine a area desse hexagono, sendo os lados opostos congruentes e medindo 4 m, 6 m e 8 m.
890. As medianas de urn triangulo medem 9 m, 12 m e 15 m. Determine a area do
triangulo.
891. 0 ponto de intersec;iio das diagonais de urn paralelogramo dista a e b dos lados
e 0 angulo agudo mede O!. Determine a area.
336
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
IV. Area do circulo e de suas partes
257. Area do cfrculo
Vimos no item 249 que a area de urn poligono regular e
0
produto
da medida do semiperimetro pela do apotema.
Apol=p·m
Tendo em vista os itens 221, 222, 223, 224 e 225 do capitulo XVII, consideremos as afirma~6es abaixo:
Fixado urn circulo, de raio R (diametro D), considerando os poligonos
regulares inscritos e os circunscritos nesse circulo, com 0 crescimento do numere de lados as areas dos poligonos se aproximam da area do circulo, assim
como os seus perimetros se aproximam do perimetro do circulo (vide comprimento da circunferencia) e os apotemas se aproximam do raio do circulo. Podemos entao colocar, por extensao:
A area do circulo e 0 produto de seu semiperimetro pelo raio.
A c = 7rR . R = 7rRl
Entao:
ou
258. Area do setor circular
Notemos que, quando dobramos 0 area (ou angulo centra!), dobra a
area do setor; triplicando-se 0 arco (ou angulo central), a area do selor lambern e triplicada, e assim por diante.
De modo geral,
a area do setor e proporcional ao cOlllprilllemo do arca (ou a medida
do angulo central).
Portanto,
a area do setor pode ser calculada por uma regra de Ires simples:
I' 1
I'1
337
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
a) Area de urn setor circular de raio R e ex radianos
27r rad -
7rR2]
ex rad - - A sclO ,
I
=
------~
b) Area de urn setor circular de raio R e ex graus
c) Area de urn setor circular em func;:ao de Redo comprimento edo arco
eR
A sclOr = -2-
259. Observafao
Note que tanto a area do setor, como a do circulo sao analogas a area
do triangulo e as figuras abaixo dao ideia disso.
f - - - - - - - - - 21fT - - - - - - - - 1
T
r
~~1
I
338
A solo , =
1
:2
fr
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
260. Area do segmento circular
Calculo da area do segmento circular indicado na figura: Reo raio,
ex e a medida do angulo central e f e 0 comprimento do arco.
A segm =
AselOAB -
A IiOAB
a) Usando 0 h (que pode ser obtido no ~ DBC)
==:>
I
A segm
fR
2
A segm
(f- h )R2
Rh
2
==:>
b) Usando ex em radianos
exR2
- - - 1 R . R sen ex
2
2
R2
Asegm = -2- (ex - sen ex)
261. Area da coroa circular
339
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
V. Razao entre areas
262. RazQo entre areas de do is triongulos semelhantes
A'
~
A
~
g '
b,
I
I
:h 2
g,~C'
C
b2
Area do triangulo A' B' C' = 51
Area do triangulo ABC = 5,
~ = ~ = k (razao de semelhaniYa)
t.ABC - t.A'B'C'
b2
h2
k·k
Conclusiio: A razao entre as dreas de dois triangulos semelhantes e igual
ao quadrado da razao de semelhaniYa.
263. RazQo entre areas de dois pol/gonos semelhantes
E'
M
--D
D'
A'
g'
Area de ABCDE ... MN = 5,
340
C'
Area de A'B'C'D' ... M'N'
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
ABCDE ... MN - A'B'C'D' ... M'N'
e ~ACD -
~A'C'D' e ... e ~AMN
MN
M'N'
-
==>
~ABC -
~A'M'N'
~A'B'C' e
AB
A'B'
==>
BC
B'C'
k (razao de semelhanr;a)
Fazendo:
Area ~ABC = t), Area ~ACD = t z, ••• , Area ~AMN = t n- z
Area ~A'B'C = T I , Area ~A'C'D' = T z, ... , Area ~A'M'N'
T n- z
Foi provado no item anterior que:
1,2,3, ... ,n-2
Entao:
t) + t z + t 3 +
T) + T z + T 3 +
+ t n- z
+ T n- z
Z
kZT) + kZT z + k T 3 + ... + kZT n_ z
T I + T z + T 3 + ... + T n- z
==>
Conclusiio: A razao entre as dreas de dois poligonos semelhantes e igual
ao quadrado da razao de semelhanr;a.
264. Observa~ao
A propriedade acima e extensiva a quaisquer superficies semelhantes e,
por isso, vale:
A razao entre as dreas de duas superjtcies semelhantes e igual ao quadrado da razao de semelhanp.
341
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
EXERCicIOS
892. Determine a area do circulo e 0 comprimento da circunferencia nos casos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
893. Determine a area do circula nos casas:
a) PA = 4 m, PQ = 8 m, s 1. t
b) Be
30 m, AM
A
B
Q
s
342
25 m
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
894. Determine a area da coroa circular nos casos:
a)
c)
b)
895. Determine a area de cada setor circular sombreado nos casos abaixo, sendo 6 1/7
o raio.
a)
b)
c)
d)
6m
896. Determine as areas dos setores de medidas indicadas abaixo, sendo 60 em 0 raio
do circulo.
a) 90°
b) 60°
d) 120°
897. Determine a area do segmento circular sombreado, nos casos a seguir, sendo 6 m
o raio do circulo.
a)
b)
c)
343
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
898. Determine as areas dos segmentos circulares cujas medidas dos arcos sao dadas
abaixo, sendo 12 m 0 raio do circulo.
a) 60°
c) 135°
b) 90°
d) 150°
899. Determine a area de urn circulo, sabendo que 0 comprimento de sua circunferencia e igual a 871" em.
900. Calcule a area de urn setor circular de raio r e lingulo central medindo:
a) 30°
c) 60°
d) 90°
e) 120°
g) 150°
901. Calcule a area de urn segmento circular de urn circulo de raio R e lingulo central
medindo:
a) 30°
c) 60°
d) 90°
e) 120°
g) 150°
902. Determine a area de coroa determinada por duas circunferencias concentricas de
raios 15 em e 12 em.
903. Determine a area da regiao sombreada nos casos:
a) quadrado de lade 8 m
0
©
c) trilingulo equillitero de lade
12 m
e) hexagono regular de lade 12 m
b) hexagono regular de lade 6 m
0
0
d) quadrado de lade 8 m
f) trilingulo equillitero de 6 m de
lado
344
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
904. Calcule a area da figura sombreada,
sendo ABCD urn quadrado.
905. Determine a area da figura sombreada abaixo, em fun<;:ao do raio r do
circulo inscrito no triangulo equilalero ABC.
A
B L.-_.::..I.""'-_~ C
c
906. Na figura abaixo, 0 ap6tema do he-
907. 0 ap6tema do triangulo equilatero
xagono regular mede 5 3 em. Determine a area sombreada.
ABCinscrilo no circulo mede ,3 em.
Calcule a area sombreada.
o
C
EO.
©
C
F
B
A
908. Calcule a area da parte sombreada, sabendo que 0 quadrilatero dado e urn
quadrado.
a)
b)
c)
909. Calcule a area da superficie sombreada.
a) quadrado
b) retangulo
c) quadrado
345
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
910. ABCD, nas figuras abaixo, e urn quadrado de perfmetro /6 em. Determine as
areas sombreadas.
b)
a)
D.-_ _r-....;
B
A
A
B
911. Determine a area sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os tres quadrados
ABCD tern lado medindo 2 em.
b)
a)
A
o
c
A
B
c)
E3 E8
B
A
B
912. Calcule a area sombreada, em fun<;:iio do lado a do quadrado ABCD.
913. Determine a area da regiiio sombreada.
b)
c)
Cl3
c;[i;)
5
5
e) t.ABC e equilarero
d)
C
A
@
a
346
&
5
r =
12
600
B
A@'·'
5
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
914. Determine a area sombreada, na figura, sabendo que 0 lade do losango tern medida igual a sua diagonal
menor e que ambos medem 10 em.
Os arcos descritos tern centros nos
vertices do losango e raio igual a metade do lade do losango.
A
D 1--+---'>-8
c
915. Determine a area sombreada, nas figuras abaixo, sendo AC 0 triplo de CB e AB
igual a 32 em.
a)
b)
A ~----+-=-----l 8
B
916. Calcule a area da parte sombreada.
917. Nas figuras abaixo, determine a area hachurada, sendo AB igual a 20 em.
a)
b)
A
8
AC == CO == OD == DB
347
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
918. Na Figura ao lado, AM, MB, BC,
AD tern mesma medida. Determine
a area sombreada, sabendo que 0 perimetro do retangulo ABCD mede
42 em.
o
C
A ~==::!:l
__..J B
M
919. Calcule a area da Figura sombreada.
b)
a)
6
6
920. Determine a area da Figura sombreada, abaixo, sabendo que AB foi dividido em quatro segmentos congruentes, de medidas iguais a r.
921. Na figura, 0 segmento AP e congruente ao segmento AC e a distancia AB mede r. Calcule a area sombreada em fun~iio de r.
922. Na figura, ABCD e urn quadrado.
Determine a area sombreada em fun~iio de a, sendo a a medida de urn
segmento tornado sobre 0 lado do
923. Seja ABCDEF urn hexagono regular inscrito num circulo cujo raio mede 1 em. Calcule a area sombreada.
quadrado, a
D
+
do vertice C.
C
~}
A
348
B
F
C
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
924. Determine a area da figura sombreada, em funl;aO de m.
925. Na figura abaixo, AC e AB sao tangentes it circunferencia menor. Calcule a area sombreada em funl;aO de
r.
A6;icJ"
\eJ
926. Determine a area sombreada ao lado, sabendo que os raios dos cfrculos sao iguais e A BCD e urn quadrado de perimetro 16 em.
927. Ca1cule a area da superficie sombreada.
b)
a)
c)
a
928. Na figura abaixo, determine a area
da parte sombreada em fun"ao do
raio r do cfrculo, sendo AB e BC os
lados de urn quadrado inscrito nesse cfrculo.
929. Na figura abaixo, Ceo ponto medio de AB, que mede 8 em. Determine a area sombreada, sabendo que
o iingulo BOA mede 120 0 •
B
o
c
A
A~8
o
o
349
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
930. Em um circulo de 20 m de diiimetro,
trar;a-se um iingulo central AGB de
30 0 • Sendo AC a perpendicular baixada do ponto A sobre 0 raio OB,
calcule a area da parte sombreada.
931. Calcule a area da parte sombreada.
a
932. Determine a area sombreada, sabendo que 0 raio comum 00' dos circulos mede 26 em.
933. Determine a area sombreada na figura abaixo, sabendo que a hipotenusa do triiingulo retiingulo ABC
mede 10 em.
A
B'-'---'--"C
934. Determine a area e 0 perimetro da
figura BED, inscrita no triiingulo retiingulo ABC, sabendo que A C mede 10 em, 0 iingulo C mede 45 ° e que
os arcos jjiJ e Eb tem seus centros,
respectivamente, nos pontos C eA.
935. Determine a area sombreada abaixo,
sendo ABC um triiingulo equillitero
e R 0 raio do circulo circunscrito a
esse triiinguio.
A
E
'-'-"-
350
--1-.>.
C
p
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
936. Determine a area sombreada, na figura abaixo, em funcao do raio r do
circulo inscrito no triiingulo retiingu10 isosceles ABC.
c
A w--""""-''-''-
~
937. Os pontos A, Be C sao centros dos
tres circulos tangentes exteriormente, como na figura abaixo. Sendo as
distancias AB, AC e BC respectivamente iguais a 10 em, 14 em e
18 em, determine as areas desses tres
circulos.
B
938. Determine a razao entre as areas dos circulos circunscrito e inscrito em urn quadrado ABCD de lado a.
939. Unindo-se urn ponto P de uma semicircunferencia as extremidades do diametro,
obtemos urn triangulo retangulo de catetos iguais a gem e 12em, respectivamenteo Determine a razao entre a area do circulo e a area do triangulo retangulo.
940. Determine a razao entre as areas dos cfrculos inscrito e circunscrito a urn hexagono regular.
941. Determine a area de urn segmento circular de 60° de urn circulo que contem urn
setor circular de 671" em} de area, sendo 271" em 0 comprimento do arco desse
setor.
942. Determine a razao entre as areas dos segmentos circulares em que fica dividido
urn circulo no qual se traca uma corda igual ao raio do circulo.
943. Duas circunferencias iguais de raio r, tangentes entre si, tangenciam internamente uma outra circunferencia de raio 3r. Calcule a menor das duas areas limitadas
por arcos das tres circunferencias.
944. Calcule a area da superffcie limitada por seis circulos de raio unitario com centros nos vertices de urn hexagono regular de lado 2.
945. Num triangulo retangulo, a e a medida da hipotenusa, bee as dos catetos.
Constroem-se os semicirculos de diametros bee externos ao triangulo, e 0 semicirculo de diametro a circunscrito ao triangulo. As regi6es dos dois primeiros semicfrculos externos a terceira sao chamadas "lunulas de Hipocrates". Mostre que
a soma das areas das lunulas e igual a area do triangulo.
351
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
946. Sobre os lados de urn triangulo retangulo, tornados como diametros,
constroem-se semicircunferencias externas ao triangulo. Qual a rela~ao
entre as areas dos semicfrculos determinados?
947. Na figura ao lado, calcule a area
sombreada, sendo os do is cfrculos
tangentes entre si e tangentes as duas
semi-retas nos pontos B, C, D, E,
dado 0 angulo DAB = 60°, e R 0
raio do cfrculo maior.
948. Sejam BD e CD as proje<;6es dos catetos AB e AC sobre a hipotenusa
BC do triangu!o retangulo BA C. Determine a area sombreada, sabendo
que esses catetos medem, respectivamente, 1,5 em e 2 em.
949. Na figura abaixo, prove que a area
5, e igual a 52> sendo ABCD urn
quadrado.
D r-=:---------, C
A
B rL--------+---'l C
950. Sejam, urn semicfrculo C de diametro AB = 2r, urn ponto M pertencente a AB e MP -l AB.
Construamos os semicfrculos de diametros AM e MB. Os tres semicfrculos limitam uma superficie 5
(regiao sombreada). Mostre que a
area de 5 e igual a area do cfrculo
de diametro MP.
p
A '--'=::::....----~ B
s
A'-------'-'-------'B
M
352
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
951. Calcule a area da parte sombreada,
sendo AB = t e r 0 raio do circulo
maior.
952. Sejam A, B, Ce D as areas sombreadas da figura. Prove que S = A +
+ B + C + D, onde Sea area do
quadrado MNPQ.
A
953. Qual a razao entre 0 raio de urn circulo circunscrito e 0 raio de urn circulo inscrito em urn triiingulo ABC de lados a, b, e e perimetro 2p?
954. Determine 0 raio do circulo circunscrito e os lados congruentes de urn triiingulo
isosceles ABC, cuja base BC mede 18 em, sendo 6 em a medida do raio do circu10 inscrito nesse triiinguio.
955. Dado urn triiingulo equilatero e sabendo que existe outro triiingulo inscrito com
os lados respectivamente perpendiculares aos do primeiro, calcule a relac;ao entre
as areas dos dois triangulos.
956. 0 produto da medida de cada lade do triiingulo pela medida da altura do vertice
oposto e constante. Demonstre.
957. Calcule a area de urn retangulo, sabendo que cada diagonal mede 10 em e forma
urn iingulo de 60 0.
958. Determine a area de urn quadrado cujo perimetro e igual ao perimetro de urn he-
xagono regular inscrito numa circunferencia de raio ;.
959. Urn losango e urn quadrado tern 0 mesmo perimetro. Determine a razao da area
do losango para a area do quadrado, sabendo que 0 angulo agudo formado por
dois lados do losango mede 60°.
960. Paulo e Carlos possuem tabletes de chocolate de forma, respectivamente, quadrada e retangular. 0 tablete de Paulo tern 12 em de perimetro e 0 tablete de Carlos tern a base igual ao triplo da altura e perimetro igual a 12 em. Sabendo que
os tabletes possuem mesma espessura e que Paulo propos a troca com Carlos,
verifique se e vantagem para Carlos aceitar a troca.
353
AREAS DE SUPERFicIES PLANAS
961. A que distancia do vertice A de urn
triangulo ABC, de altura, relativa a
BC, igual a h, devemos conduzir
uma reta paralela a BC, para que a
area do trapezio obtido seja igual a
3 vezes a area do triangulo obtido?
A
B
c
962. A que distancia da base, de urn triangulo de altura, relativa a essa base, igual
a h, devemos conduzir uma reta paralela a essa base para que 0 triangulo fique
dividido em partes de areas iguais?
963. As bases de urn trapezio medem 8 111 e 18 111 e a sua altura 15 m. A que distancia
da base maior devemos conduzir uma reta paralela as bases para que os dois trapezios obtidos sejam semelhantes?
964. Os lados de dois heptagonos regulares medem 8111 e 15 m. Quanto deve medir
o lade de urn terceiro heptagono, tambem regular, para que sua area seja igual
a soma das areas dos dois primeiros?
965. Os perimetros de dois poligonos semelhantes PI e p} sao de 60 m e 90 m, respectivamente. Se a area de PI e de 144 m}, determine a area de Pl'
966. Dois lados homologos de dois pentagonos semelhantes medem 6 em e 8 em, respectivamente. Determine 0 lade do terceiro pentagono semelhante aos dois primeiros, sabendo que sua area e igual a soma das areas dos dois primeiros pentagonos.
967. Determine a area de urn quadrado, sabendo que seu lade e segmento aureo do
lade do quadrado inscrito, num circulo de raio 10 em.
968. Determine a area de urn triangulo retangulo isosceles, sabendo que sua hipotenusa e igual a oitava parte do perimetro de urn quadrado inscrito em urn circulo
de raio 2r.
969. Determine a area de urn quadrado inscrito e de urn quadrado circunscrito a urn
circulo de raio r.
970. Determine a razao entre a area de urn decagono regular inscrito em urn circulo
de raio Rea area do pentagono regular inscrito nesse mesmo circulo.
971. Determine a area de urn octogono regular, sendo 80 em 0 seu perimetro.
972. Determine a area de urn octogono inscrito em urn circulo cujo raio mede 6 em.
354
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
973. Determine a area da figura obtida
quando sobre os lados de urn quadrado construimos quatro triangulos equilMeros, sabendo que esta figura esta inscrita em urn circulo de
raio R.
974. Seja urn circulo de diametro AB
igual a 34 em e uma corda CD de
comprimento 17I.3 em perpendicular
a esse diametro por urn ponto M desse diametro, nao coincidente com 0
centro do circulo. Determine a area
do quadrilMero ACBD.
c
A
r--I-----r----7t 8
o
975. Determine a area de urn quadrado inscrito num circulo em fun~ao da diagonal
menor d de urn dodecagono regular inscrito no mesmo circulo.
976. Determine a razao entre a soma das areas de dois triangulos equilateros construidos sobre os catetos de urn triangulo retangulo e a area de urn quadrado construido sobre a hipotenusa desse triangulo, sabendo que urn dos catetos mede 21 em
eo angulo agudo oposto a ele mede 30 0 •
977. Em urn circulo de raio igual a 5 em esta inscrito urn retangulo de area igual a
25 em 2 • Calcule 0 angulo formado pelas diagonais desse retangulo.
978. Sobre cada lado de urn hexagono regular e externamente a este constroi-se urn
quadrado. Unindo-se os vertices dos quadrados de modo a obter urn dodecagono
regular, determine a area desse dodecagono em fun~ao do lado do hexagono que
esta inscrito em urn circulo de raio R.
979. Sendo' 0 raio do circulo inscrito e
triangulo de area S, prove que:
'a' 'b' 'c os raios dos circulos ex-inscritos num
S =
980. Calcule a area s, sabendo que
ABCD e urn quadrado e DEF e urn
triangulo equilatero, ambos de lados
de medida a.
J,. 'a· 'b . 'c
8
A
c
o
1'<:""""---,'-----,
,{
E
355
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
981. Determine a area de urn quadrado inscrito em urn triiingulo equilatero em funr;ao
do raio R do circulo circunscrito a esse triiinguio.
982. Determine a razao entre a area de urn quadrado e a area de urn triiingulo equilatero inscritos num circulo de raio r.
983. Os lados de urn triiingulo retiingulo sao proporcionais aos numeros 3, 4 e 5. A
mediana relativa a hipotenusa tern medida igual ao raio de urn circulo circunscrito ao triiinguio. Determine a area do triiingulo em funr;ao do raio r do circulo.
984. As projer;6es que os catetos de urn triiingulo retiingulo determinam na hipotenusa medem 16 em e 9 em. Determine a razao entre a area do circulo inscrito e a
area do circulo circunscrito a esse triiinguio.
985. Determine a razao entre 0 raio do circulo circunscrito e 0 raio do circulo inscrito
em urn triiingulo ABC isosceles de base BC = a, sendo 120 0 0 iingulo do vertice
do triiinguio.
986. Determine 0 lade de urn losango em funr;ao do raio r do circulo nele inscrito,
de modo que a area do losango seja igual ao dobro da area desse circulo.
987. Dois eneagonos r-::gulares convexos tern lados respectivamente iguais a 2 em e 3 em.
Determine 0 lade do eneagono regular convexo cuja area e igual a soma das areas
dos dois primeiros.
988. Determine a area sombreada da figura em funr;ao do raio r dos tres circulos interiores ao circulo maior.
989. P e Q sao os centros dos circulos, na
figura. Sendo PQ = 6 em, calcule a
area sombreada.
A
4a
990. Seja dado urn segmento de reta AB
de medida 4a e ponto medio M.
Constroem-se dois semicirculos com
centros nos pontos medios de AM e
MB e raios iguais a a. Com centros,
respectivamente, em A e B, raios
iguais a 4a, descrevem-se os arcos
§C e AC. Calcule a area da figura
assim construfda (vide figura).
356
c
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
991. Consideremos 0 triangulo ABC, da
figura ao lado, cujos lados BC, AC
e AB medem, respectivamente,
13 em, 15 em e 14 em. A altura CD
mede 12 em, eo triongu/o AEF tern
area igual a metade da area do triangulo ABC. Determine a medida do
segmento AE, sendo EF paralelo
a CD.
992. Determine a area sombreada em fun<;ao do lado Q do triangulo equilMero, sabendo que os tres circulos tern
mesmo raio.
c
~
A
E
D
B
993. Na figura abaixo, calcule a distancia
BE, sabendo que a area do quadrado
ABCD e igual a 256 em 2 , a area do
triangulo ECF igual a 200 em 2 e
que EC e perpendicular a CF.
B
A
E
,--------.----:;>1
B
994. Determine a area de urn circulo inscrito em urn setor circular de 60°, sendo 127r em
o comprimento do arco do setoL
995. Determine a area do quadrilMero formado pelas bissetrizes dos angulos internos
de urn paralelogramo ABCD, sabendo que os lados AB e BC medem, respectivamente, 8 em e 10 em e que urn de seus angulos mede 120°.
996. Consideremos 0 triangulo equilMero AEF, inscrito no quadrado
ABCD de lado Q. Calcule a area desse triangulo~abendo que CE e congruente a CF.
E
c
997. ABC e urn triangulo equilatero cujo
lado mede 813 em. Determine a area
do triangulo retangulo APM, sabendo que MP .1 AB, DM .1 ACe
AD .1 Be.
A
357
AREAS DE SUPERFIcIES PLANAS
A
998. Determine a razao entre a area do
triangulo ABC e a area do triangulo
MNP da figura ao lade, sendo que:
AM== MP' == P'B
BP == PN == NC
--CN==NM' ==M'A
999. Calcule a area de urn trapezio que se obtem ligando os pontos de tangencia de
duas retas tangentes externas a dois circulos tangentes exteriormente, sabendo que
os raios dos circulos medem 9 em e 4 em, e a soma das bases do trapezio 24 em.
1000. Entre os triangulos de mesma base e mesmo angulo do vertice oposto a essa base, qual 0 de maior area?
1001. Num terreno em forma de triangulo retangulo, de catetos 32 e 27, quer-se construir urn edificio de base retangular, de lades paralelos aos catetos. Quais devern ser as dimens6es da base do edificio de modo a haver maior aproveitamento do terreno?
1002. Da-se urn trapezio ABCD de bases AB = a, CD = b (a > b) e de altura h.
Demonstre que a diferen9a das areas dos triangulos que tern por bases AB e CD,
respectivamente, e por vertice oposto 0 ponto de concurso das diagonais e:
(a - b)h
2
1003. Calcule a area de urn decagono convexo regular inscrito em urn circulo de raio
2 em.
B
1004. No interior de urn triangulo tomamos tres circunferencias de mesmo
raio e tangentes entre si e aos lades
do triangulo, como mostra a figura. Sendo 0 triangulo retangulo de
catetos BC = 3 em e AC = 4 em,
determine 0 raio dessas circunferencias.
A
358
AREAS DE SUPERFICIES PLANAS
1005. Determine a area de urn trapezio,
sabendo que seus lados paralelos
sao formados por duas cordas situadas num mesmo semicirculo de
8 em de diametro e que uma das
cordas e 0 lade de urn hexagono regular inscrito e a outra 0 lade de urn
triangulo equilitero inscrito no
circulo.
A
C
B
H---------';-~
/
\ ..
\
1006. Os lados de urn triangulo ABC sao tres numeros inteiros consecutivos. Determine as alturas relativas a esses lados, sabendo que 0 numero que mede a area
e 0 dobro do que mede 0 perimetro do triangulo.
1007. Inscreva num circulo urn retangulo de area a2 . Procure justificar.
1008. A superficie de urn triangulo retangulo e 120 em 2 e sua hipotenusa vale a em.
Determine os catetos e 0 menor valor que a pode tomar.
1009. A soma das distancias de urn ponto da base de urn triangulo isosceles aos lados
iguais e constante.
1010. Na figura temos urn setor circular
de 60° e raio 18 m e uma circunferencia inscrita nele. Determine a
area da regiao sombreada.
1011. Por urn ponto P, interno de urn triangulo, conduzimos retas paralelas aos lados. Se as areas dos triangulos com urn vertice em P, determinados por essas
retas e os lados do triangulo, sao A, Be C, determine a area do triangulo original.
1012. Na figura temos urn quadrado de lado a. Os arcos tern centros nos vertices do quadrado. Determine a area
da regiao sombreada.
359
Testes de
Vestibulares
No<;oes e proposic;oes primitivas - Segmento de reta Angulo - Triangulos - Paralelismo - Perpendicularidade
I. (CESGRANRI0-S5) Numa earpintaria, empilham-se 50 uibuas, umas de 2 em e outras de 5 em de espessura. A altura da pilha e de 154 em. A diferen<;a entre 0 numero de tabuas de eada espessura e:
a) 12
b) 14
c) 16
d) IS
e) 25
2. (U.F.MG-92) Os pontos A, B, C, D sao eolineares e tais que AB = 6 em, BC = 2 em, AC = 8 em e
BD = 1 em. Nessas eondi<;6es, uma possivel disposi<;ao desses pont os e:
d) B A C 0
e) BCD A
a) AD B C
b) ABC 0
c) A C B 0
3. (U.E.CE-Sl) a angulo igual a
~ do seu suplemento mede:
d) Soo
a) 100°
4. (U.F.UBERLANDlA-S2) Oois angu10s eonseeutivos sao eomplementares. Entao 0 angulo formado pelas
bisselrizes desses angulos e:
a) 20°
b) 30°
d) 40°
e) 45°
S. (U.F.ES-S2) a triplo do eomplemento de urn angulo e igual il ter<;a parte do suplemento deste angulo. ESle
angulo mede:
771:
a) -S- rd
b)~rd
16
771:
e ) 4 rd
d) l:!.... rd
16
571:
e) -S- rd
6. (PUC-SP-SO) Oados os triangulos ABC e ADC, com AB = CD e AD = BC, podemos eonduir que 0 angulo ABC e eongruente ao angulo:
a) BAc
b) ABO
c) ACO
d) CDA
e) OCB
383
TESTES DE VESTIBULARES
7. (U.F.MG-81) 0 reciproco do teorema: "Num lrilingulo isosceles os lingulos da base sao iguais" e:
a) Os angulos da base de urn trilingulo isosceles sao iguais.
b) Se os angulos da base de urn trilingulo sao iguais, entao 0 trilingulo e isosceles.
c) Num trilingulo isosceles os lingulos da base nao sao iguais.
d) Se os lingulos da base de urn trilingulo nao sao iguais, 0 trilingulo nao e isosceles.
e) Nenhuma das anteriores.
8. (U.F.GO-84) Se dois lados de urn trilingulo medem respectivamente 3 dm e 4 dm, podemos afirmar que
a medida do [erceiro lado e:
a) igual a 5 dm.
b) igual a J dm.
c) igual a ,7 dm.
d) menor que 7 dm.
e) maior que 7 dill.
9. (U.F.MG-89) Sobre geomelria plana, a unica afirmativa correta e:
a) Dois trilingulos ABC eA' B' C tais que C = C', AB = A' B' e BC = B' C sao sempre congruentes.
b) Se dois angulos de urn trilingulo ABC sao agudos, entao ABC e urn trilingulo rellingulo.
c) Tres pontos distintos sempre determinam urn plano.
d) Se dois trilingulos tern os tres lingulos congruentes, eles ao congruentes.
e) Se a reta m e paralela as retas res, entao res sao paralelas ou coincidentes.
10. (FGV-74) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com rllu. 0 valor em graus de (2x + 3y)
a) 64·
b) 500·
c) 520·
d) 660·
e) 580·
120·
u
II. (U.F.GO-80) Na figura abaixo as retas res sao paralelas. A medida do lingulo b
a)
b)
c)
d)
e)
100·
120·
110·
140·
130·
b
12. (PUC-SP-83) Considere a senten~a:
"Num plano, se duas retas sao .... , entao toda reta .... a uma delas e .... a outra.
A alternativa que preenche corretamente as lacunas e:
a) paralelas - perpendicular - paralela
b) perpendiculares - paralela - paralela
c) perpendiculares - perpendicular - perpendicular
d) paralelas - paralela - perpendicular
e) perpendiculares - paralela - perpendicular
384
e:
e:
TESTES DE VESTI8ULARES
13. (CESESP-86) Na figura abaixo as retas res sao paralelas e as retas 1 e v sao perpendiculares.
Assinale, entao, dentre as a1ternativas abaixo, a unica que completa corretamente a senten,a: "os angulos
distintos a e (3 sao ...
a) opostos pelo vertice".
b) adjacentes".
c) suplementares".
d) complementares".
e) sempre congruentes".
14. (CESGRANRIO-89) Na figura, as retas r e r' sao paralelas, e a reta s e perpendicular a I. Se 0 menor
angulo entre res mede 72°, entao 0 angulo a da figura mede:
a) 36°
b) 32°
c) 24°
d) 20°
e)
18°
15. (CESGRANRIO-90) Duas retas paralelas sao cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois
dos angulos agudos formados vale 72°. Entao, qualquer dos angulos obtusos form ados mede:
a) 142°
b) 144°
c) 148°
d) 150°
e) 152°
16. (CESGRANRIO-91) As retas res da figura sao paralelas conadas pela transversal I. Se 0 angulo Be 0
triplo de A, entao B - A vale:
a) 90°
b) 85°
c) 80°
d) 75°
e) 60°
385
TESTES DE VEST1BULARES
a
lriangulo ABC e isosceles, com AB = AC. Nele, esta inscrilo urn lriangulo DEF
17. (STO. ANDRE-73)
equil31ero. Designando angulo BID por a, 0 angulo ADE por b. e 0 angulo FEC por C, temos:
a + c
a) b
2
A
a- c
b) b
2
b-c
c) a = - 2 -
d)c=~
2
e)a=~
2
18. (FUVEST-77) Num triangulo A BC, os angulos Bet medem 50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa
ao venice A forma com a rela Be angulos proporcionais a:
a) 1 e 2
b) 2 e 3
d) 4 e 5
c) 3 e 4
e) 5 e 6
19. (FATEC-78) Na figura abaixo, , e a bissetriz do angulo ABC. Se 01 = 40° e (J = 30°, entao:
a) "y = 0°
b) "y = 5°
c) "y = 35°
d) "y = 15°
e) os dados sao insuficientes para a
determina,ao de "y
A
C
20. (FATEC-78) Dado 0 triangulo ABC, abaixo indicado, conslruimos a poligonal L
comprimento de L e:
a
a) 2c
b) a + b + c
c) 2(a + b)
d) 2(a + c)
e)~+
2
21. (FUVEST-79) Na figura abaixo, A B = A C, 0 e 0 ponto de encontro das bisselrizes do lriangulo ABC,
e 0 angulo BOC e 0 triplo do angulo Ii. Entao a medida de Ii e:
a) 18°
b)
12°
c) 24°
d) 36°
e) 15°
B
A~
C
386
TESTES DE VESTIBULARES
22. (PUC-SP-80) Na figufa abaixo a = /00" e b = / /0". Quanto mede 0 angulo x?
a) 30"
b) 50°
c) 80"
d) 100"
e) 220"
23. (FUVEST-81) Na figura AB = BD = CD. Entao:
a) y = 3x
b) y = 2x
c) x + Y = 180"
d) x = y
e) 3x = 2y
A
24. (U.F.MO-81) as angulos " e (3 da figura medem:
a) "
b) "
= 20°, (3 = 30°
= 30°, (3 = 20°
c) " = 60°, (3 = 20°
d) " = 20°, (3 = 20°
e) " = 10°, (3 =. 20°
A
25. (U.C.MO-82) Na figura ao lado, 0 angulo ADC e reto. a valor, em graus, do angulo Cf3D e de:
a) 95
b) 100
c) 105
d) 110
e) 120
c
~
~
A
26. (PUC-SP-84) Na figura BC = CA
a) 10°
b) 20°
c) 30"
d)
40"
e) 60"
D
= AD = DE. a angulo CAD mede:
A
~
BCD
E
387
TESTES DE VESTIBULARES
.!7. (PUC-SP-84) A soma A + B + C + D + E das medidas dos angulos :
a) e 60°.
b) e 120°.
c) e 180°.
d) e 360°.
e) varia de "estrela" para "estrela".
A
'1A"
o
28. (PUC-SP-84) Em urn triangulo isosceles a media aritmetica das medidas de dois de seus angulos e 50°.
A medida de urn dos angulos do triangulo pode ser:
a) 100°
c) 60°
b) 90°
d) 30°
e) 20·
29. (FUVEST-91) Na figura, AB = AC, BX = BYe CZ = CY. Se 0 angulo A mede 40·, entao 0 angulo
XYZ mede:
c
a) 40·
b) 50·
c) 60·
d) 70·
e) 90·
A
30. (U.F.l\1G-92) Observe a figura.
A
B
Nessa figura, AB := AC, BD bissetriz de ABC, CE bissetriz de BCD e a medida do angulo ACF e 140°.
A medida do angulo DEC, em graus, e:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
31. (U.F.R.PE-91) Observe que, na figura abaixo, a reta f faz angulos identicos com as retas f J e f].
A soma 01 + (3 + 'Y vale:
a) 180·
b) 215·
c) 230·
d) 250·
e) 255·
___-+...._-\....1..._....>.,,->-
388
13
TESTES DE VESTlBULARES
32. (U.F.MG-92) Observe a figura.
A
B
BD e bissetriz de ABC, £CB ; 2(£.4B) e a medida do angulo £CB e 80°. A medida do angulo CDB e:
a) 40°
b) 50°
c) 55°
e) 65°
d) 60°
33. (U.F.MG-92) Observe a figura.
A
B
Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que 0 maior segmento e:
c) EC
a) AB
e) ED
d) BC
34. (CESGRANRIO-88) Seja ABC urn triangulo retangulo, onde D e 0 POntO medio da hipotenusa BC. Se
AD ; AB, entao 0 angulo ABC mede:
a) 67°30'
b) 60°
c) 55°
d) 52°30'
e) 45°
35. (U .C.SALVADOR-91) No triangulo retangulo ABC, representado na figura abaixo, AH e a altura relativa
a hipotenusa e AM e mediana. Nestas condi~oes, a medida x do angulo assinalado e:
a) 55°
b) 65°
c) 70°
d) 75°
e) 80°
A
B
H
M
c
389
TESTES DE VESTIBULARES
Quadrilateros notaveis Poligonos
Pontos notaveis do triangulo -
36. (FUVEST-78) Na figura abaixo os angulos
e e reto. Qual a medida do angulo f?
a. 6, ce amedem, respeetivamente, 2.., 2x, ~ e x. 0 angulo
2
2
a) 16°
b) 18°
e) 20°
d) 22°
e) 24°
37. (PUC-CAMP-80) Considere as afirma~oes:
III III -
Todo retangulo e urn paralelogramo.
Todo quadrado e urn retangulo.
Todo losango e urn quadrado.
e associe a eada uma delas a letra V, se for verdadeira, ou F easo seja falsa. Na ordem apresentada temos.
a) F, F, F
b) F, F, V
e) V, F, F
e) n.d.a.
d) V, V, F
38. (U.F.UBERLANDIA-82) Num quadrihitero ABCD, 0 angulo C e igual a 113 do angulo 8, 0 angulo A
mede 0 quintuplo do angulo Ceo angulo tJ vale 45°. Pode-se dizer que A - 8 vale:
a) 50°
e) 70°
b) 60°
d) 80°
e) 90°
39. (CESGRANRIO-82) As bases MQ e NP de urn trapezio medem 42 em e 112 em respeetivamente. Se 0 angulo Mo.P e 0 dobro do angulo PJ\rM, entao 0 lado PQ mede:
a) 154 em
b) 133 em
e) 91 em
d) 77 em
e) 70 em
M
I
N
Q
~
p
40. (U.F.ES-82) Seja ABCD urn trapezio retangulo. 0 angulo formado pelas bissetrizes do seu angulo reto
e do angulo eonseeulivo da base maior mede 92°. Os angulos agudo e obtuso deste trapezio medem res peetivamente:
a) 88°, 92°
b) 86°, 94°
e) 84°, 96°
d) 82°, 98°
e) 79°, 101 °
41. (VUNESP-85) A afirma~ao fa/sa e:
a) Todo quadrado e urn losango.
b) Existem retangulos que nao sao losangos.
e) Todo paralelogramo e urn quadrilatero.
d) Todo quadrado e urn retangulo.
e) Urn losango pode nao ser urn paralelogramo.
390
TESTES DE VESTIBULARES
42. (CESGRANRIO-85) Na figura, ABCD e urn quadrado, ADE e ABF sao triiingulos equilaleros. Se os pontos C, A eM sao colineares, entao 0 angulo FAM
mede:
a) 75°
b) 80°
c) 82°30'
d) 85°
e) 87°30'
Df-----*'.
F
B
43. (CESGRANRIO-86) Assinale a alternativa que contem a propriedade diferenciadora do quadrado em relacao aos demais quadrilateros.
a) Todos os angulos sao ret os.
b) Os lados sao todos iguais.
c) As diagonais sao iguais e perpendiculares entre si.
d) As diagonais se cortam ao meio.
e) Os lados OPOSlOS sao paralelos e iguais.
44. (CESGRANRIO-88) Em urn lrapezio relangulo, 0 menor angulo mede 35°.0 maior angulo desse poligono
mede:
a) 155°
b) 150°
c) 145°
d) 142°
e) 140°
45. (VUNESP-89) Considere as seguinte proposicoes:
- todo quadrado e urn losango;
- todo quadrado e urn relangulo;
- todo relangulo e urn paralelogramo;
- todo triangulo equilatero e isosceles.
Pode-se afirmar que:
a) so uma e verdadeira.
b) todas sao verdadeiras.
c) so uma e falsa.
d) duas sao verdadeiras e duas sao falsas.
e) lodas sao falsas.
46. (ITA-89) Considere urn quadril3tero A BCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivameme, 5 em e 6 em.
Se R, S, T e U sao os ponlos medios dos lados do quadrilalero dado, entao 0 perimetro do quadrilatero
RSTU vale:
a) 22 em
b) 5,5 em
c) 8,5 em
d) II em
e) 13 em
47. (lTA-89) Dadas as afirmacoes:
I. Quaisquer dois angulos opostos de urn quadrilatero sao suplementares.
II. Quaisquer dois angulos consecutivos de urn paralelogramo sao suplementares.
III. Se as diagonais de urn paralelogramo sao perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto medio,
entao este paralelogramo e urn losango.
Podemos garantir que:
a) Todas sao verdadeiras.
b) Apenas I e II sao verdadeiras.
c) Apenas II e III sao verdadeiras.
d) Apenas II e verdadeira.
e) Apenas 111 e verdadeira.
391
TESTES DE VESTIBULARES
48. (COVEST-89) Na figura abaixo AM ; MD e CM ; MB. Assinale as medidas de a e fJ, respectivamente.
,
a) 50° e 80°
b) 54° e 80°
c) 50° e 84°
d) 54° e 84°
e) 50° e 76°
c
o
49. (COVEST-90) No triiingulo ABC, 0 iingulo A mede 110°. Qual a medida do iingulo agudo formado pelas
retas que fornecem as alturas relativas aos vertices B e C?
a) 60°
b) 80°
c) 70°
d) 75°
e) 65°
A
~
B
C
SO. (U.F.MG-90) Na figura, A BCD e urn quadrado e BCE e urn triiingulo equilatero. A medida do iingulo
AEB, em graus, e:
a) 30
b) 49
c) 60
d) 75
ej 90
51. (U.F.MG-90) Num triiingulo equilatero ABC, de 8 em de lado, tra~a-se MNparalelo ao lado BC, de modo
que ele se decomponha num trapezio e num novo triiinguio.
o valor de MN para 0 qual 0 perimetro do trapezio seja igual ao do triangulo AMN e:
a) 2 em
b) 3 em
e) 4 em
d) 5 em
e) 6 em
52. (U.F.VI<;:OSA-90) Num trapezio isosceles de bases diferentes, uma diagonal e tambem bissetriz de urn angulo adjacente il base maior. IslO signifiea que:
a) os iingulos adjaeentes il base menor nao sao eongruentes.
b) a base men or tern medida igual il dos lados obliquos.
e) as diagonais se intereeptam formando angulo reto.
d) a base maior tern medida igual il dos lados obliquos.
eJ as duas diagonais se intereeptam no seu ponto medio.
392
TESTES DE VESTlBULARES
53. (U.F.MG-92) SObre figuras planas. e correto afirmar-se que:
a) urn quadriI<itero convexo e urn retangulo se os lados opostos tern comprimentos iguais.
b) urn quadril<itero que tern suas diagonais perpendiculares e urn quadrado.
c) urn trapezio que tern dois angulos consecutivos congruentes e isosceles.
d) urn triangulo equil<itero e tam bern isosceles.
e) urn triangulo relangulo e aquele cujos angulos sao re{Os.
54. (U.C.SALVADOR-92) Sejam:
P: 0 conjunto dos retangulos
Q: 0 conjunto dos quadrados
L: 0 conjunto dos losangos
A figura que melhor represenla as rela~6es existentes entre eles e:
a)
e)
c)
(@) co co
@
L
b)
p
P
Q
L
d)
Q
55. (U.MACK-77) A medida em graus do angulo interno de urn poligono regular e urn mimero inteiro. 0 mimero de poligonos nao semelhantes que possuem essa propriedade e:
a) 24
b) 22
c) 20
d) 18
e) nao sei
(A medida em graus do angulo interno de urn poligono regular de n lados e: 180 _
3~0 .)
56. (PUC-SP-80) Cada angulo interno de urn decagono regular mede:
a) 36°
b) 60°
c) 72°
d) 120°
e) 144°
57. (UNICAMP-87) 0 poligono convexo cuja soma dos angulos internos mede I 440° lem. exatamente:
d) 30 diagonais
e) 35 diagonais
a) 15 diagonais
b) 20 diagonais
c) 25 diagonais
58. (CESGRANRIO-87) Se urn poligono convexo de n lados lem 54 diagonais. entao n e:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
59. (CESESP-86) Dentre os quatro centros principais de urn lriangulo qualquer. ha dois deles que podem se
situar no seu exterior. con forme 0 lipo do lriangulo. Assinale a allernativa em que os mesmos sao citados.
a) 0 baricentro e 0 ortocentro.
b) 0 baricentro e 0 incentro.
c) 0 circuncentro e 0 incentro.
d) 0 circuncentro e 0 ortocentro.
e) 0 incenlro e 0 orlocentro.
393
TESTES DE VESTIBULARES
Circunferencia e drculo - Angulos na circunferencia
60. (EPUSP-66) As bases de urn lrapezio isosceles circunscrilo a uma circunferencia medem 9 m e 6 m. Cada
urn dos outros dois lados do trapezio mede:
c) 7,5 m
b) 6 m
a) 4,5 m
d) 8 m
e) n.r.a.
61. (FUVEST-80) Em urn plano e dada uma circunferencia e urn POntO A pertencente a ela. 0 lugar geometrico
dos pontos do plano eqiiidistantes da circunferencia e do ponto A e uma:
a) rela.
b) circunferencia.
c) elipse.
d) semi-reta.
e) parabola.
62. (U.F.CE-91) Duas tangentes sao lra,adas a urn circu10 de urn ponto eXlerior A e tocam 0 circulo nos pontos Be C, respectivamente. Uma terceira tangente inlercepla 0 segmento AB em P e AC em R e toea 0 drculo em Q. Se AB = 20 em, entao 0 perimetro do
triangulo APR, em em, e igual a:
d) 41
e) 41,5
a) 39,5
b) 40
c) 40,5
A
63. (U.MACK-77) AB eo diamelro de uma circunferencia; AD e BC sao retas tangentes a circunferencia e tais
que AC e BD se interceptam num pontO E da circunferencia. Sabendo que os comprimentos de AC e BD
nao sao necessariamente iguais, assinale a senten,a falsa:
d) ADB = DBC
e) nao sei
a) DAc = ACB
b) DBA
ACB
c) ADB = ACB
64. (CESGRANRIO-80) Urn quadrilalerO convexo esta inscrilo em urn circulo. A soma, em radianos, dos angulos 01 e (3 moslrados na figura e:
a)~
4
b) ...!...
2
c) ..
d)~
2
e) 2..
65. (U.F.UBERLANDIA-80) Em urn dado triangulo retangulo inscrevemos uma circunferencia de diametro
d e circunscrevemos outra de diametro D. 0 perimetro do triangulo vale:
a) d + D
b) 2d + D
c) d + 2D
d) 312(d + D)
e) 2(d + D)
G
p
66. (CESGRANRIO-82) As semi-retas PM e PN sao tangentes ao circulo da figura e 0 comprimento do arco
MGN e 4 vezes 0 do arco MFN.
o angulo MPN vale:
a) 76°
b) 80°
c) 90°
394
d) 108°
e) 120°
TESTES DE VESTIBUlARES
67. (PUC-SP-82) Na figura, AB e diametro da circunferencia. 0 menor dos arcos (AC) mede:
a) 100°
b) 120°
c) 140°
d) 150°
e) 160°
c
AI"--'-----------jB
68. (U.F.GO-84) Se a corda AB da figura e um lade de um triangulo equihitero inscrito na circunferencia de
centro em C, a medida do angulo a, em radianos, e:
a)~
3
b)~
2
c)~
4
d) .!!...
3
c
e) .!!...
6
B
69. (PUC-SP-84) 0 penlligono ABCDE ao lade eSlli inscrito em um circulo de centro O. 0 angulo central
COD mede 60°. Entao x + y e igual a:
A
a) 180°
b) 185°
c) 190°
d) 210°
e) 250°
70. (CESGRANRIO-84) Em um circulo de centro 0, esta
inscrito 0 angulo a (ver figural. Se 0 arco AMB mede
130°, 0 angulo a mede:
a) 25°
b) 30°
c) 40°
d) 45°
e) 50°
M
395
TESTES DE VESTlBULARES
71. (U.F.PE-84) Considere a seguinte figura. Assinale a
alternativa correta:
a) A medida do angulo " e igual il metade da soma
das medidas dos arcos Xii e AC.
b) A medida do angulo " e igual ao dobro da medida
do arco CB.
c) A medida do angulo " e igual il soma das medidas
dos arcos Ali e AG.
d) A medida do angulo " e igual il medida do arco
CB.
e) A medida do angulo " e a do arco AC sao iguais.
72. (FUVEST-85) Os pontos A, Be C pertencem a uma circunferencia de centro O. Sabe-se que OA e perpendicular a OB e forma com BC urn angulo de 70·. Entao, a tangente il circunferencia no ponto C forma
com a reta OA um angulo de:
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
73. (CESESP-86) No eneagono regular eSlrelado da figura abaixo, um dos angulos abaixo nao pode ser medido entre seus lados ou seus prolongamentos. Assinale-o.
a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 60°
e) 80°
74. (CESGRANRIO-87)
Se, na figura, Ali = 20°, BC = 124°, ED = 36° e DE = 90·, entao 0 angulo x mede:
a) 34°
396
b) 35°30'
c) 37°
d) 38°30'
e) 40°
TESTES DE VESTIBULARES
75. (ITA-89) Numa circunferencia de centro 0, os pontos A, Be C sao vertices de urn triangulo equilatero.
Seja D urn quarto ponto da circunferencia, nao coincidente com os demais. Sobre a medida x do angulo
ADC podemos afirmar que;
a) 0" < x < 30" ou 60" < x < /20°
b) x ~ 60" ou x ~ /20°
c) x
45° ou x ~ /50°
d) x
240" para qualquer posicao de D na circunferencia.
e) x
30° para qualquer posicao de D na circunferencia.
76. (ITA-9O) Na Figura abaixo 0 e 0 centro de uma circunferencia. Sabendo-se que a reta que passa por E e
Fe tangente a esta circunferencia e que a medida dos angulos /, 2 e 3 e dada, respectivamente, por
49°, /8°, 34°, determinar a medida dos angulos 4, 5, 6 e 7. Nas alternativas abaixo considere os valores
dados iguais as medidas de 4, 5, 6 e 7, respectivamente.
a) 97°,78°,61°,26°
b) 102°, 79°, 58°, 23°
c) 92°, 79°, 61°, 30°
d) 97°,79°,61°,27°
e) 97°, 80°, 62°, 29°
77. (CESGRANRIO-9O) Em urn circulo de raio 5 esta inscrito urn quadrilatero A BCD. Sobre a soma dos angulos opostos BAD e BCD, podemos afirmar que vale;
a) 5 x 180°
b) 3 x 180°
c) 2 x 180°
d) 180°
e) 90°
78. (U .C.SALVADOR-92) Na Figura abaixo, 0 triangulo ABC e isosceles e BD e a bissetriz do iingulo de vertice B. A medida 8, do angulo assinalado, e;
a) 55°
b) 50°
c) 45°
d) 40"
e) 35°
A
397
TESTES DE VESTIBULARES
Semelhan~a de triangulos e
Teorema de Tales
potencia de ponto
Triangulos retangulos
79. (CESGRANRIO-80) No lriangulo ABC da figura, CD ea bissetriz do angulo interno em C. Se AD = 3 em,
DB = 2 em e AC = 4 em, entao 0 lado BC mede:
c
a) 3 cm
5
b) Tcm
c)
7
Tcm
8
d) 3cm
B
D
A
e) 4 cm
80. (PUC-SP-84) 0 segmenlO AB mede 10. Chama-se segmemo aureo de AB 0 segmenlo AP, P em AB, de
me d I'd a x, la I que
AB
AP
AP
0 valor de x e:
PB'
a) 5.[5 - 5
d) 5{3 + 5
b) 55 - 5
e)
5
c) 5.[5 + 5
8t. (CESGRANRIO-84)
"
15
As reIas r" r2 e rJ sao paralelas e os comprimenlos dos segmenlos de lransversais sao os indicados na figura. Emao x e igual a:
a)
4..!..
5
b)
....'2.
d)~
cj 5
2
5
e) 6
82_ (U.F.MG-89) Na figura, os segmemos BC e DE sao paralelos, AB = 15 m, AD = 5 me AE = 6 m.
A medida do segmemo CE e, em metros:
a) 5
A
b) 6
cj 10
d) 12
e) 18
D,~
B
398
"",
c
TESTES DE VESTIBULARES
83. (FUVEST-77) Dados:
A
MBC = BAC
AB = 3
BC = 2
AC = 4
Entao MC e igual a:
a) 3,5
b) 2
c) 1,5
d) 1
e) D,S
84. (FUVEST-79) Na figura, 0 triangulo ABC e retangulo em A, ADEFe urn quadrado, AB = Ie AC = 3.
Quanto mede 0 lado do quadrado?
a) 0,70
b) 0,75
c) 0,80
d) 0,85
e) 0,90
B
Dt--_~r-.::.E
c
A
85. (CESGRANRIO-79) 0 losango ADEF esta inscrito
no triangulo ABC, como mostra a figura. Se
AB = 12 m, BC = 8 m e AC = 6 m, 0 lado f do
losango mede:
A
a) 5 m
b) 3 m
c) 2 m
d) 4m
e) 8 m
B
86. (FATEC-79) Num trapezlO is6celes ABCD as bases sao dadas, respectivamente, por AD = 2 em e
-
-
-
1-
BC = 5 em. Em tal trapezio tra,a-se MN paralelo a AD e tal que AM = ""3 AB. Entao 0 comprimento
do segmento MN e:
a) 3 em
1
b) 3"cm
7
d) 2cm
5
c) 2cm
5
e) Tcm
87. (ITA-79) Considere 0 triiingulo ABC, onde AD e a mediana relaLiva ao lado BC. Por urn ponto arbitrario
M do segmento BD, tracemos 0 segmento MPparaielo a AD, onde P eo ponto de interse,ao desta paralela
com 0 prolongamento do lado AC (figura). Se N e 0 ponto de interse,ao de AB com MP, podemos
afirmar que:
p
a) MN + MP = 2BM
b) MN + MP = 2CM
c) MN + MP = 2AB
d) MN + MP = 2AD
e) MN + MP = 2AC
~
B
M
o
c
399
TESTES DE VESTIBULARES
88. (U.MACK.-80) 0 triangulo ABC da figura e equil,;tero. AM = MB = 5 e CD = 6. 0 valor de AE e:
a) .!.§...
11
A
b) .22..
II
c)
.2!.
II
d) .22..II
e)~
D
II
89. (PUC-SP-80) Na figura ao lado as retas AB e CD sao
paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto
mede 0 segmento AE?
B
a) 136
D
b) 306
c) 204
d) 163
e) 122
c
A
90. (PUC-SP-8I) Os lados paralelos de urn trapezio sao AB e CD. 0 ponto comum a suas diagonais e M. Entao
necessariamente sao semelhantes os triangulos:
a) AMC e BMD
b) AMB e CMD
c) ABC e ABD
d) BCD e ACD
e) BCM e ADC
91. (FUVEST-82) A sombra de urn poste vertical, projetada pelo sol sobre urn chilo plano, mede /2 In. Nesse
mesmo instante, a sombra de urn bastao vertical de / In de altura mede 0,6 In. A ahura do poste e:
a) 6 m
b) 7,2 m
c) 12 m
d) 20 m
e) 72 m
92. (U.C.MG-82) A medida, em metros, do segmento AD da figura ao lado e de:
a) 4
b) 5
c
c) 6
d) 8
e) 10
D
93. (U.F.RS-84) Num trapezio, cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais interceptam-se de tal modo
que os menores segmentos determinados em cada uma delas medem 2 e 3. A medida da menor diagonal e:
a) 3
400
b) 4
c) 9/2
d) 3
e) 15/2
TESTES DE VESTIBULARES
94. (U.F.SE-84) Na figura ao lad~sao d a
AC =L
8 em b d
AO S
e CD = 4 em. A medida de BD e, em em:
a) 9
6
b) 10
c) 12
6
d) 15
B~--''-------------!:D'-----~C
e) 16
95. (U.F.PA-84) Na figura ao lado, AB = IS, AD = 12
e CD = 4. Sendo EC paralela a AB, qual 0 valor de
B
EC?
a) I
b) 2
c) 3
d) 4
A
e) 5
o
C
96. (FATEC-87) Sejam ABC e DEF triangulos retangulos, sendo A e D os vertices dos angulos retos.
Das senten~as abaixo, a fa/sa e:
a) Se B == E, entao 6ABC - 6DEF.
b) Se BC == EF e B == E, entao 6ABC - 6DEF.
c) Se AB == DE e B == F, entao 6ABC == 6DEF.
AB
BC
_
d) Se DE = EF' entao 6ABC - 6DEF.
e) Se AB == DE e AC == DF, entao 6ABC == 6DEF.
97. (U .MACK.-75) 0 ponto Pesta no interior de uma circunferencia de 13 em de raio e dista 5 em do centro
da mesma. Pelo ponto P tra~a-se a corda AB de 25 em. Os comprimentos dos segmentos que P determina
sobre a corda AB sao:
a) II em e 14 em
b) 7 em e 18 em
c) 16 em e 9 em
d) 5 em e 20 em
e) 8 em e 17 em
98. (U.MACK.-81) Na figura ao lade vale sempre que:
a) OA . OB = OE . OP
b) Op· OQ = r2
c) AP . OQ = (OA)2
d) OA . BQ = (OQ)2
e) OP . OE = r2
B
o I----."r--'+.::---+.------...:~ Q
A
99. (U.F.MG-82) Num circulo, a corda CD e perpendicular ao diametro AB no ponto E. Se AE· EB = 3,
a medida de CD e:
a) J3
b) 2J3
c) 3J3
d) 3
e) 6
401
TESTES DE VESTIBULARES
100. (U.E.BA-84) Na figura ao lado sao dados ~~
=
T'
BE = 8 cm e ED = 6 cm. 0 comprimento de AC,
em em, e;
a) 10
b) 12
c) 16
d) 18
B
e) 20
101. (U.F.MG-87) Dois circulos de raios 6 cm e 4 cm tern
centro na altura relativa il base do triangulo i~6sceles
da figura e sao tangentes exteriormente. A altura do
triangulo relativa a base, em metros, e:
a) 25
b) 26
c) 30
d) 32
e) 36
102. (U.F.MG-89) Na figura, 0 triangulo ABC e is6sceles; BC e base e BE, altura relativa ao lado AC. Se
AC = 3 cm e CE = 1 cm, entao a medida do segmento BC e, em centimetros:
a) 1
b) 2
c) ,'5
d) ,6
e) 3
A
103. (VUNESP-91) SejaABCD urn retangulo cujos lados tern as seguintes medidas: AB = CD = 6 cm e AC =
= BD = 1,2 cm. Se M e 0 ponto medio de AB, entao 0 raio da circunferencia determinada pelos pontos
C, Me D mede:
a) 4,35 em
b) 5,35 em
c) 3,35 em
d) 5,34 em
e) 4,45 em
402
TESTES DE VESTIBULARES
104. (U.F.MG-92) Observe a figura.
A
c
B
o triangulo ABC e equil<itero, AD '" DE '" EF '" FB, DG I I EH I I Pi I I BC, DG + EH + Pi = 18.
o perimetro do triangulo ABC e:
a) 12
b) 24
c) 36
d) 48
e) 54
105. (PUC-MG-92) Urn predio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que uma baliza de I m projeta uma sombra de 40 em. Se cada andar desse prectio tem 3 m de altura, entao 0 numero de andares e:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
106. (ITA-73) Suponhamos que p e q sao os catetos de urn triangulo retangulo e h a altura relativa il hipotenusa
do mesmo. Nestas condic;6es, podemos afirmar que a equac;ao:
~ x' - ~ x + ..!.... = 0 (IR e 0 conjunlO dos numeros reais)
p
h
q.
a) nao admite raizes reais.
b) admitc uma raiz da forma m
H, onde m E IR, m > O.
c) admite sempre raizes reais.
d) admite uma raiz da forma -m
e) n.d.a.
H, onde m E IR, m > O.
107. (U.MACK.-75) Num triangulo a base mede 60 em, a altura e a mediana em relac;ao a essa base medem,
respectivamente, /2 em e 13 em. As medidas dos outros dois lados do triangulo sao:
fi320 cm
569 cm e fI369 cm
c) f5i3 cm e J819 cm
a) J76I cm c
b)
d) 5 cm e 7 cm
e) 14 cm e 19 cm
108. (CESGRANRIO-77) No retangulo ABCD de lados
AB = 4 e BC = 3, 0 segmento DM e perpendicular
il diagonal AC. 0 segmento AM mede:
c
D
a) 3/2
b) 12/5
M
c) 5/2
d) 915
e) 2
A
B
403
TESTES DE VESTIBULARES
109. (U.MACK.-79) No triangulo retangulo ABC da figura, b = 1 e e = 2. Entao, x vale:
a)
2
c
b)~
2
c)
3./2
p
2
b
d)~
1
I
I
3
I
a = 45°1
2./2
e)-3-
I
A
B
110. (FATEC-79) Se os catelOs de urn triangulo retangulo Tmedem, respectivamente, 12 em e 5 em, entao a
altura de T relativa it hipotenusa
e:
12
a) -5-cm
5
25
12
c) 13cm
b) 13cm
d) 13 cm
60
e) 13 cm
111. (FATEC-79) Na figura abaixo, ABFG e BCDE sao dois quadrados com lados, respeclivamente, de medida
a e b. Se AG = CD + 2 e 0 perimetro do triangulo ACG e 12, entao, simultaneamente, a e b pertencem
ao interva)o:
a) JI; 5[
b) ]0; 4[
c) ]2; 6(
d) ]3; 7(
e) ]4; 8(
G
D
B
A
c
112. (FATEC-79) Na figura, ABCD e urn retangulo. AB = 4, BC = 1 e DE = EF = Fe. Entao BG e:
a)
IS
4
G
b) .2..
2
c)
..2.4
D
c
A
B
d) ...!.!..4
5
e)
./2
113. (PUC-SP-80) Num triangulo retangulo cujos catetos medem [j e [4, a hipotenusa mede:
a)
-5
b)
c)
7
8
d) ,f9
e) [l2
114. (PUC-CAMP-80) Os lados paralelos de urn trapezio retangulo medem 6 em e 8 em, e a altura mede 4 em.
A distancia entre 0 ponto de interse~ao das ret as suporte dos lados nao paralelos e 0 ponto medio da maior
base e:
.Jl5 cm
c) 3
.J2J cm
b) 2 (i9 cm
d) 4
17cm
a) 5
404
e) n.d.a.
TESTES DE VESTIBULARES
lIS. (U.F.UBERLANDIA-80) Num triangulo ABC. 0 angulo A e reto. A altura h A divide a hipotenusa a em
dois segmentos men (m > n). Sabendo-se que 0 cateto b e 0 dobro do cateto e. podemos afirmar
m
que - :
n
d) 7/2
c) 2
b) 3
a) 4
e) 5
116. (U.F.GO-80) 0 perimetro de urn triangulo isosceles de 3 em de altura e /8 em. Os lados deste triangulo.
em em. sao:
a) 7.7,4
b) 5, 5. 8
e) 3, 3, 12
c) 6.6.6
d) 4. 4. 10
117. (U.E.CE-81) Num retangulo sua diagonal mede 25 em. A diferen~a entre sua base e sua altura e igual a
5 em. 0 perimetro do retangulo mede em em:
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
118. (U.C.MG-81) Num triangulo retangulo de catetos / e.J3 em. a altura relativa Ii hipotenusa mede. em em:
a) 2
c) .J3
b) 3
e)~
d)_3
2
2
119. (VUNESP-81) Num triangulo retangulo a medida de urn cateto e a metade da medida da hipotenusa. 0
quociente da medida do outro cateto pela medida da hipotenusa e:
a) 3'3 '12
b) 3 ' / 2
c)2'3 '12
d) 3 . (2 . 3 '12 )-'
e)2·r '12
120. (U .C.MG-82) A diagonal de urn retangulo mede 10 em. e os lados formam uma propor~ao com os numeros 3 e 4. 0 perimetro do retangulo. em em. e de:
a) 14
c) 28
b) 16
e) 40
d) 34
121. (U.F.RS-82) Na figura, ABC e urn triangulo retangu10. AP .L CB, CP mede 1.8 e PB mede 3.2. 0 perimetro de ABC e:
A
d) 10
e) 12
a) 6
b) 8
c) 9
122. (PUC-SP-82) A soma dos quadrados dos tres lados de urn triangu!o retmgulo e igual a 32. Quanto mede
a hipotenusa do triangulo?
a) 3
c) 5
b) 4
d) 6
e) 8
123. (F.C.M.STA.CASA-82) Seja urn triangulo ABC. retangulo em A. tal que AB = 30 em e BC = 50 em.
Se urn ponto De marcado no lado AC. de modo que BD = DC. entao 0 segmento DC mede:
a) 31,25 em
b) 31.5cm
c) 31.75 em
d) 32 em
e) 32,25 em
124. (U.E.LONDRINA-84) Em urn triangulo retangulo ABC, as medidas das proje~oes dos catetos AB e BC
sobre a hipotenusa sao, respectivamente, men. Se a razao entre AB e BC, nesta ordem. e .!..... entao
2
e igual a:
m:n
a)
J5
2
b)
.J2
2
c) ...!...
2
d) _5
4
e) ...!...
4
405
TESTES DE VESTIBULARES
125. (U.F.RS-84) 0 lampiao, representado na figura, est3
suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao
teto. Sabendo que essas cordas medem //2 e 6/5, a
distancia do lampiao ao teto e:
a) 1,69
b) 1,3
c) 0,6
d) 1/2
e) 6/13
126. (U.F.SE-84) Se nos triangulos retangulos, representados na figura ao lado, tem-se AB = I, BC = 2 e
AD = 3, entao CD e igual a:
D
a) I
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
127. (VtJNESP-84) Entre as triangulos retangulos cuja soma dos catetos e uma cerra constante, 0 de menor
perimetro e:
a) aquele cujos catetos sao iguais.
b) aquele em que urn dos catetos e 0 dobro do outro.
c) aquele em que urn dos catetos e a triplo do outro.
d) aquele em que urn dos catetos e duas vezes e meia 0 outro.
e) aquele em que urn dos caletos e uma vez e meia 0 outro.
128. (U.F.SE-84) No lriangulo retangulo, represenlado na
figura ao lado, BC = 10 e AD = 4. A medida de
CD, em em, pode ser:
a) 7
b) 5
c) 4
d) 2
e) I
A
~
C
D
B
129. (U.F.PA-85) Num triangulo retangulo, urn cateto e dobro do outrO, e a hipotenusa mede 10 m. A soma
dos catetas mede:
a) 4 \ 5 em
c) 8,5 em
b) 6,5 em
d) 100 em
e) 12 \ 5 em
130. (CESGRANRIO-87) Se as dais catetos de urn triangulo retangulo medem, respectivamente, 3 e 4, entao
a altura relativa iJ. hipotenusa mede:
a)~
2
406
b)~
2
c) 2,2
d) 2,3
e) 2,4
TESTES DE VESTIBULARES
131. (UNICAP-87) Seja x urn numero real positivo tal que x, x + I ex + 2 sejam medidas dos lados de urn
triiingulo retangulo. Assinale, entre as alternativas abaixo, aquela que contem 0 perimetro deste triangulo
(na mesma unidade de comprimento que os lados).
a) 10
b) 12
c) II
e) 15
d) 13
132. (FATEC-87) Na figura ao lado, ABCD e urn retangulo. A medida do segmento EF e:
a) 0,8
b) 1,4
c) 2,6
d) 3,2
e) 3,8
133. (VUNESP-88) Considere urn quadrado de lado f, diagonal de perimetro p. A fun~ao que define a diagonal
em termos do perimetro do quadrado e dada pela expressao:
a) d (P) =
.J2P
4
d) d (P) =
~
2
p2,i"2
b) d (p) = .£...
2
e) d (p) = - 4 -
c) d(p) = ~
4
134. (FUVEST-88) Em urn triangulo retangulo OAB, retangulo em 0, com OA = a e OB = b, sao dados os
pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nestas condi~6es 0 valor de x e:
a) Fab - a - b
b) a + b -
o
J2ab
c) Ja 2 + b2
d) a + b +
e)
J2ab
ab + a + b
B
A
135. (CESGRANRIO-88) 0 quadrado MNPQ esta inscrito no triangulo equilatero ABC, como se vi! na figura. Se 0 perimetro do quadrado e 8, entao 0 perimetro do triangulo ABC e:
A
a) 12
b) 10 + 2/3
c) 6 + 4/3
d) 6 + 5,2
e) 16
c
Q
p
B
407
TESTES DE VESTIBULARES
136. (CESGRANRIO-88) No quadrado A BCD da figura,
tem-se AB = 4, AH = CI = Ie AG = 2. Entao, HI
mede:
a)
B
,5
H
b) 5
c)
...!i.
3
d) 3 ,3
e)
2.J5
c
D
137. (U.F.MG-89) Se as medidas, em m~tros, das diagonais de um losango sao a e b, entao a medida do raio
do circulo inscrilo nesse losango e, em metros:
a)
2
ab
2fa 2 + b2
c)
2
a b
---=====\a + b
2
2
d) -",=2=ab===-
b) -,,===a=b=='/3 2 + b2
.J'a 2 + b2
138. (U.F.YI<;:OSA-89) Depois de andar 5 m numa escada rolante, uma pessoa percebeu que se deslocou 4 m
em relacao a horizontal. Tendo andado 10 m na mesma escada, de quantos metros tera se deslocado em
relacao a vertical?
b) 8
a) 5
c) 9
e) 7
d) 6
139. (COYEST-89) Na figura abaixo 0 triangulo ABC e equihitero, cada um de seus lados medindo 8 em. Se
ADe uma altura do triangulo ABCe M e 0 ponto medio de AD, entao a medida de CM, em centimetros, e:
a)
I
Tcm
A
d
b) -2- cm
c) ,7 cm
d) 2,7 cm
,2
e) -2- cm
140. (YUNESP-90) Uma gangorra e formada por uma haste rigida AB, apoiada sabre uma mureta de concreto
no ponto C, como na figura. As dimens6es sao: AC = 1,2 m, CB = 1,8 m, DC = CE = DE = 1m.
Quando a extremidade B da haste toca 0 chao, a altura da extremidade A em relacao ao chao e:
a) d m
b)~m
d
c)
.i..:l. m
5
d)~m
6
e)
408
2,2 m
B
TESTES DE VESTIBULARES
141. (CESGRANRIO-90) Os calelOS bee de urn lriangulo relangulo ABC medem 6 e 8, respectivamente. A
menor allura desse lriangulo mede:
a) 4,0
b) 4,5
c) 4,6
d) 4,8
e) 5,0
142. (VUNESP-91) Na figura 0 triangulo ABD e relo em B, e AC e a bissetriz de BAD. Se AB = 2· BC, fazendo
BC = b e CD = d, entao:
a) d
b
b) d
(n
b
c) d
(f)
b
D
(~)b
e) d =
(~)b
d) d
A
143. (CESGRANRI0-91) Uma folha quadrada de papel
ABeD e dobrada de modo que 0 venice C coincide
com 0 ponto M medio de AB. Se 0 lado de ABCD e
J, 0 comprimento BP e:
a) 0,300
b) 0,325
c) 0,375
d) 0,450
e) 0,500
o
D
A
M
C
B
144. (U.C.SALVADOR-91) Na situa~ao do mapa abaixo, deseja-se construir uma estrada que Iigue a cidade
A it estrada BC, com 0 menor comprimento possive!. Essa estrada medini, em quil6metros:
a) 24
A
b) 28
c) 30
d) 32
e) 40
'-
"" ,
'-
B
C
145. (VUNESP-92) A figura representa 0 perfil de urna escada cujos degraus tern todos a mesrna extensao, a1ern
de rnesma altura. Se AB = 2 m e BCA mede 30°, entao a medida da extensao de cada degrau e:
a)
2.J3 m
3
b)
A
,J2 m
3
c) _3 m
6
d) .J3 m
2
.J3
e) -3- rn
B
C
409
TESTES DE VESTIBULARES
146. (PUC-MG-92) A razao entre as medidas dos catetos de urn triangulo retangulo e..!.... Se a hipotenusa mede
30 m, entao 0 perimetro do triangulo, em m,
a) 60
b) 64
3
e igual a:
c) 70
d) 72"
e) 80
147. (FUVEST-77) Dados:
MP .1 s; MQ .1 t; MQ .1 PQ; MP = 6
Entao PQ e igual a:
J3
a) 3
b) 3
J3
J3
e) 2 J3
c) 6
d) 4
3D·
148. (CESCEM-77) Se urn cateta e a hipotenusa de urn triangulo retangulo medem a e 3a, respectivamente,
entao a tangente do angulo oposto ao menor lado e:
a)
Jl6
c) ..!...
2
10
d) .J2
2
e) 2 .J2
149. (FGV-78) 0 perimetro da figura abaixo e:
J3)
J3)'
a) 2(.J2 +
b) (.J2 +
c) 4 + .J2 +
d)
A
.J6
J3 + .J2 + 2 .J6
e) 5
AB = .J2
BC =
J3
c
ISO. (CESGRANRIO-80) Urn dos angulos internos de urn paralelograrno de lados 3 e 4 mede 120·. A maior
diagonal deste paralelogramo mede:
a) 5
b) 6
c) 40
d)
e) 6,5
.J37
lSI. (U.F.GO-80) No triangulo abaixo, os valores de x e y, nesta ordern, sao:
J3
J3 - I e 2
c) 2 J3 e .J6 - .J2
a) 2 e
b)
3
d)
3
.J6 -.J2 e 2 J3
3
e) 2 e
410
J3 - I
3
TESTES DE VESTIBULARES
152. (PUC-SP-81) Qual e 0 valor de x na figura ao lado?
a) .[3
3
d)
15.[3
4
b) 5.[3
3
e)
20.[3
3
c)
40
10.[3
3
3D'
153. (CESGRANRJO-81) 0 quadrilatero convexo MNPQ
einscrilivel num circulo de diamelro MP. Os lados MN
e MQ lem 0 mesmo comprimento f e 0 angulo NMQ
e de /20'. 0 comprimento do lado NP e:
a) r
M
Q
(I + ~)
N
b) r(.[3 - 1)
+ .[3)
c) r (I
d) r.J3
2
e)
p
1'.J3
154. (U .F.MG-82) Urn dos angulos de urn losango de 4 m de lade mede /20'. Sua maior diagonal, em m, mede:
~4
~5
~25
~3.J3
~45
ISS. (VASSOURAS-82) Em urn triangulo retiingulo, 0 quadrado da hipotenusa e 0 dobro do produto dos catetos. Entao urn dos angulos agudos do lriangulo vale:
a)
b) 60'
3D'
c) 45'
156. (CESESP-85) Considere 0 triangulo ao lado, on de a,
bee sao, respeclivamente, as medidas dos seguintes
segment os CB, CA e AB e a mede / em.
Assinale a alternativa falsa.
d) 15'
e) 10'
c
a) 2b > c
b) 2c > a
b
c) 2b = a
d) 3b > 2c
e) b + c > a
90'
3D'
A
157. (FATEC-8?) Na figura ao lado, ACe BE sao paralelos
e BE = 8 fi.
o perimelro do triangulo BDE e:
h
c) 24
2
d) 8(2 + h)
e) 2(5 + 4h)
o
~'
a) 16!2
b) 18
B
A
B
411
TESTES DE VESTIBULARES
158. (FUVEST-87) Em um plano tem-se um quadrado de lado a, uma reta r paralela a um lado do quadrado
e uma reta I que forma com rum angulo agudo 8. Projeta-se 0 quadrado sobre r paralelamenle a I e obtemse um segmenlo de comprimenlo 3a. Determine Ig 8.
b) ...!....
a) 1
c) ...!....
2
d) 2
3
3
e) ...!....
6
159. (ITA-88) Num triangulo ABC, BC = 4 cm, 0 angulo C mede 30° e a proje~ao do lado A B sabre BC mede
2,5 em. 0 comprimenlo da mediana que sai do venice A mede:
a) 1 cm
b) .J2 em
d) ,3 em
c) 0,9 em
e) 2 em
160. (FUVEST-88) Dois pontos A e B estao situados na margem de um rio e distantes 40 In urn do outro. Urn
P0nlO C, na outra margem do rio, estil situado de tal modo que 0 angulo CAB mede 75° eo angulo ACB
mede 75°. Determine a largura do rio.
a) 40 m
e)20,3m
b) 20 m
d) 30 m
e) 25 m
161. (COVEST-91) A 100 metros da base, urn observador avista a extremidade de uma torre sob urn angulo
de 60° com a horizonlal. Qual a altura desta torre?
a) 60,) m
b)
lOO ,3 m
3
e) -100,2
--m
2
c) lOO,)m
40,3
d) - - - m
3
162. (U .C.SALVADOR-91) Urn triangulo isosceles e tal que urn de seus angulos inlernos mede 120° e 0 maior
dos lados mede 12 em. 0 perimetro desse triangulo, em eenlimetros, e:
a) 36
d) 4 (,{3 + 12)
b) 18
e) 2 (,{3 + 6)
c) 4 (2,f3 + 3)
163. (CESGRANRlO-COMCITEC-73) Na figura dada, as
circunferencias de centros PeS sao ambas tangenles
a reta r no mesmo ponto Q e a reta que passa por P
e R tangeneia a circunfereneia menor no P0nlO T. Sendo os raios das eircunferencias respectivamenle 8 m
e 3 m, a medida do segmenlo QR e:
a) 4 m
b) 6 m
c) 8 m
d) 2 m
e) diferenle dos quatro valores anleriores
164. (U.MACK.-74) A cireunfereneia de raio a e tangente
as duas semicircunferencias menores e a semicircunferencia maior. Se MN = NP = R, emao a e igual a:
a) R
2/2
b) R
3/2
c) R/4
d) R/3
e) R/2
412
TESTES DE VESTIBULARES
165. (CESCEA-75) Na figura ao lado A Tli tangente it circunferencia de raio r.
Sabendo-se que AT = 2r, entao 0 valor de A C Ii:
a) (.[5 + l)r
d) .[5r
b) I + 2r
e) (.[5 - I)r
T
~,
c) r 2
A
166. (U.MACK.-75) Na figura 0 triangulo ABC Ii isosceles e 0 segrnento MN Ii paralelo it base Be. 0 comprimento do segmento MN Ii igual a:
a)
2.
d)
b)
-3..
e) ...!..
4
2.
8
2
3
j
c) 2..
6
BI-2-lc----
167. (F.C.M.STA.CASA-77) Na figura abaixo, 0 valor de d Ii:
a) ,fb:t;.
2.Jab
b) ,[2,ili
c)
[Sd
, a
d) 2a-!b+a
e) 2 Jab + 2a
'=::'.:
J4
,
.,.
b
'
168. (FUVEST-77) A seC\:ao transversal de urn ma~o de cigarros Ii urn retangulo que acomoda exatamente os
cigarros como na figura. Se 0 raio dos cigarros Ii r, as dimens6es do retangulo sao:
a) 14r e 2r(l + fj)
b) 7r e 3r
c) 14r e 6r
d) 14r e 3r
e) (2 + 3 fj)r e 2r fj
169. (U.MACK.-78) Na figura 0 Ii 0 centro da circunferencia; AB = a; AC = be OA = x. 0 valor de x,
em fun~ao de a e b, Ii:
a)~
2
b) a - b
c) 2 Ja2 - b 2
d)L-~
2b
2
e) impossivel de ser calculado por falta de dados
c
413
TESTES DE VESTIBULARES
170. (U.MACK.-78) NafiguraAB = 30;BC = 40; CD = 20;Oeocentrodacircunferencia;m(DEA) = 90 0 .
o valor de CE e:
a) 12,5
b) 10
c) 8
d) 5
e) impossivel de ser calculado
por falta de dados
C 1lL---.-.----4I----:;"! A
171. (FATEC-78) Na figura abaixo, as circunferencias C/ e C1 tangenciam-se em C, e a reta t tangencia C/ e
C1 , respectivamente, em A e B. Se 0 raio de C/ e 8 em e 0 raio de C1 e 2 em, entao:
a) AB = 8 em
A
b) AB = 13 em
B
CD
c) AB = 10 cm
d) AB = 12 cm
e) n.d.a.
C,
172. (FATEC-78) Uma circunferencia de raio R circunscreve urn triangulo retiingulo com catetos, respeclivamente, de medidas 9 e 6. Entao:
a) R = 7,5
b) R =
c)
3
d) R =
m
2
3.J5
2
e) n.d.a.
R = .Jll7
173. (FATEC-78) Em uma coraa circular (con forme figura abaixo) estao inscritas n circunferencias, cada uma
tangente as duas vizinhas. Se 0 raio da circunferencia interna da coraa mede I, entao 0 raio da circunferencia externa da coraa mede:
a)
I + sen .. In
I - sen .. In
b)
I + cos .. In
I - sen ..In
c)
I + sen 2.-/n
I - sen 2.-/n
d)
I + cos 2.-/n
I - cos 2.-/n
e)
I + cos 2.-/n
1 - sen 2../n
174. (U.F.GO-80) Uma corda AB de urn circulo mede 6 em e a distancia desta corda ao centro do circulo e
de 3 em. 0 raio do circulo, em em, e:
a) 5
414
.J3
b) 3 J2
c) 8
d) 3 .J5
e) 6
TESTES DE VESTIBULARES
175. (FGV-81) Sendo x 0 raio do circulo inscrito num setor circular de 90· e raio r, entao:
a) x = r.[2
c) x
2r/5
b) x = 2r.[2
d) x
r /3
e) x = r (.[2 - I)
176. (U.C.MG-8I) Na figura, 0 retiingulo OACE eStli inscrito num setor circular de 90· e raio R. OA =
~ R.
A medida do segmento AC e:
a) R.[2
3
c
J3
b) R
2
c) R
J3
5
d) R
J5
2
e)~
o
3
A
177. (PUC-RJ-81) Na figura, ABC represent a urn trecho
reto de uma estrada que cruza 0 patio circular de centro 0 e raio r. SeAC = 2r = AO, entao BCe igual a:
a) 0 dobro de AB.
b) 2/3 de AB.
c) AB.
d) a metade de AB.
e) 1/3 de AB.
A
178. (U.FORTALEZA-81) Duas circunferencias de raios R e r, com R > r, sao tangentes externas (como mostra a Figura abaixo). Entiio, podemos afirmar que 0 comprimento do segmento PQ e:
R2
a)-R + r
b) (R + r)(R - r)
1-=--------=====-
2r 2
c) R="7
Q
d)~
R-r
179. (U .MACK.-82) A circunferencia da Figura tern centro 0 e raio 6; se PQ = 8, entao:
3
a) 01 = arctg -3-
T
b) 01 = arctg 1
1
c) 01 = arctg 2
d) 01 = arctg /3
I
e) 01 = arctg "4
p
415
TESTES DE VESTISULARES
180. (U.C.MG·82) A menor distaneia de urn ponto a uma eireunferencia e 3 m, e 0 segmento da tangente a
eireunfereneia e 5 m. 0 raio da cireunfereneia, em metros, mede:
a)
2.2
b)
c) ~
.!.
e) ...!2..
8
d) ...!i.
4
3
5
181. (F.C.M.STA.CASA·82) Na figura ao lado, tem-se as
eireunferencias AJ , A] e AJ , tangentes entre si, tangentes a uma ret a (e de raios '1/'1 e'3 respectivamenteo Se" = '2 e f J = 5 em, entao '1 mede, em em:
I
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
182. (U.F.ES-82) Insereve-se urn triangulo numa semieireunfereneia eujo diametro coincide com urn dos lados
do triangulo. Os outros lados do triangulo medem 5 em e /2 em. 0 raio da semicireunferencia mede:
15
13
a) Tcm
c) Tern
b) 13 cm
d) 5 cm
e) faltam dados para determinar tal raio
-- --
183. (U.E.LONDRINA-84) Na figura ao lado, as semi-
retas PA e PB tangenciam a circunferencia de centro 0
nos pontos A e B. Se OA = 2 e 0 angulo APB mede
60·, entao AP e igual a:
a)
2.f2
b) 2..f3
p
c) 4
d) 3.f2
e) 6
184. (CESGRANRIO-84) Em urn circulo de centro 0 e raio
/0, tra~am-se dois diiimetros perpendieulares AB e EF
e a corda AC, como mostra a figura. Se AC = /6,
o segmento AD mede:
a)
8.f2
b) 12,0
c) 12,5
AI"'-----::-I-----i B
d) 13,0
e) 6..f3
E
185. (ITA-85) Considere urn triangulo is6sceles inscrito em uma circunferencia. Se a base e a altura des!e triangulo medem 8 em, entao 0 raio desta circunferencia mede:
a) 3 cm
416
b) 4 cm
c) 5 cm
d) 6 cm
e)
3.f2 cm
TESTES DE VESTIBULARES
\86. (PUC-SP-85) No circulo abaixo, 0
AB = 2 e AC =
o centro,
3. Entao (X vale:
a) 75°
b) 60°
c) 45°
d) 30°
e) 15°
A I"'----:!:-..I-----I B
187. (CESESP-85) Urn armazenista pretende ajustar as prateleiras regul<iveis de uma estante a fim de que possa
armazenar vasilhames, de forma cilindrica com sec,ao circular de 10 em de diametro, deitadas no sentido
transverso 11 prateleira, em tres fileiras superpostas, conforme indica a figura abaixo, de modo que a disLancia entre duas prateleiras conLiguas seja minima.
Assinale, pois, a alternativa correspondente 11 distancia que deve existir entre duas prateleiras contiguas de
maneira a atender ao requisito exigido.
a) 10 (./3 + I) em
b) 5 (./3 - I) em
c) 27 em
d) 30 em
e) 10./3 em
\88. (FATEC-88) Se, na figura abaixo, tem-se BC = 4 em e AB
em cendmetros. e:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) impossivel de ser calculado.
3 em entaD 0 diametro da circunferencia,
I
~
\J:)
\89. (U.F.MG-89) Considere urn Lriangulo ABC inscrito em uma circunferencia de centro O. Seja D 0 POntO
da circunferencia tal que 0 segmento CD contenha a bissetriz do angulo A CB.
Se AD = 3 em, AC = 4 em e CD
5 em, a medida do segmento CB e, em centimetros:
a) 4
b) 4
2
c) 4 3
d) 5
e) 5.J2
e
\90. (U.F.MG-90) Na figura, 0 triangulo ABC inscrito numa circunferencia de centro 0 e diametro AB. as
pontos £ e D pertencem aos lados ACe AB, respectivamente, e sao tais que £0 e CD sao perpendiculares
a AB. Se AD = 12 e DB = 3, pode-se afirmar que O£ mede:
a)~
3
b) ..2..
4
c) 3
d)
.22
e) ....!2..
4
417
TESTES DE VESTIBULARES
191. (COYEST-90) Na Figura abaixo, temos duas eireunfereneias eoneentrieas, com raio medindo 4 em e 5 em,
respeetivamente. Por urn pomo Pda eireunferencia menor, lra~a-se a reta tangente il mesma, a qual determina pontos A e B na cireunferencia maior. 0 eomprimento do segmento AB e:
a) 3,Zem
b) 6 em
A
c) 3 .f3 em
d) 6,1 em
e) 5,8 em
B
192. (YUNESP-92) Sejam AB urn diamelro de uma eireunfereneia e BC urn segmento de reta tangente a essa
eireunferencia, AB = 3 .f5 em e BC = ,'5 m. Por C tra~a-se uma rela perpendicular a BC que intereepla
a eireunferencia em DeE. Se CD < CE, entao a medida de CD e:
a) 2....2. m
2
b) 3 [5 - 5 m
2
5-3[5
e) --2--m
,'5 m
d) 3 -
2
r:
e)~m
2
193. (U.E.CE-92) Na Figura abaixo, MNPQ e urn retangulo, 0 ponto E eo centro da eireunfereneia tangente
aos lados NP, PQ e MQ. Se MN = 4 em e NP = 8 em, entao a distaneia do ponto E il diagonal MP,
em em, e:
a)
---.!2.
5
p
N
.-------------O~~-----""
r.:
b)~
5
c)
,18
d)
.f2O
5
5
M
Q
194. (ITA-92) Num lriangulo ABC, retangulo em,4, temos jj = 60°. As bissetrizes destes angulos se eneontram num pomo D. Se 0 segmento de reta BD mede J em, entao a hipotenusa mede:
+ .f3 em
d) I + 2
.J3 em
c) 2 + -'3 em
e) n.d.a.
a)
I
b) I +
418
2
.:z em
TESTES DE VESTIBULARES
Triangulos quaisquer - Poligonos regulares
Comprimento da circunferencia
195. (EPUSP-66) Os lados de um lriangulo eSlaO na razao 6 .- 8 .- 9. Entao:
a) 0 lriangulo e oblusangulo.
b) 0 lriangulo e aculangulo.
e) os angulos eSlao na razao 6.- 8 : 9.
d) 0 angulo oposto ao lade maior e 0 dobro do a~gulo OPOSIO ao lade menOL
e) Nenhuma das resposlas anleriores.
196. (EESCUSP-68) Dado 0 lriangulo ABC lal que AC = 2, BC = ,3, (; =
a) AB = 3
e) AB = 2
;, lemos:
d) AB = ,2
e) nada disso
197. (PUC-SP-70) 0, bee sao as medidas dos lados de urn triangulo ABC. Entao se
a) 0 2 < b 1 + e 2 , 0 triangulo ABC e retangulo.
b) 0 2 = b 2 + e 2 , 0 lado 0 mede a soma das medidas de bee.
c) 0 2 > b 1 + e 2 , 0 angulo oposto ao lade que mede 0 e ObIUSO.
d) b 2 = 0 2 + e 2 , 0 e hipolenusa e bee sao caletos.
e) Nenhuma das anteriores e correta.
198. (FEI-71) Assinale a allernativafolso quanto ao lipo do lriangulo, dados os lados 0, bee.
a) Se 0
b) Se 0
c) Se 0
d) Se 0
e) Se 0
= 13, b = 5, e = 12, 0 lriangulo e relangulo.
= 18, b = 5, e = 12, e urn triangulo.
= 5, b = 5, e = 5, 0 lriangulo e equihilero.
= 5, b = 7, e = 7, 0 lriangulo e isosceles.
= I, b = 2, e = 3, nao e triangulo.
199. (FUVEST-77) ABC e equilalero de lado 4;
AM = MC = 2,AP = 3ePB = I. 0 perimetrodo
lriangulo APM e:
a) 5 +
A
.f7
b) 5 +
10
c) 5 +
fI9
d) 5 +
13 - 6 5
e) 5 +
13 + 613
200. (U.F.BA-81) Na figura ao lado,
AB = 3 em, BC = 4 em e B = 60". AD e aproximadamenle igual a:
a) 1,2 em
b) 1,4 em
c) 1,54 em
d) 1,8 em
e) 2,04 em
201. (CESESP-82) "Com Ires segmentos de comprimentos iguais a 10 em, 12 em e 23 em ...
a) e possivel formar apenas urn lriangulo relangulo."
b) e possivel formar apenas urn lriangulo oblusangulo."
c) e possivel formar apenas urn lriangulo aculangulo."
d) nao e possivel formar urn triangulo."
e) e possivel for mar qualquer urn dos lriangulos: relangulo, aculangulo ou oblusangulo."
419
TESTES DE VESTIBULARES
202. (PUC-SP·82) A diagonal de urn paralelogramo divide urn dos angulos internos em dois outros, urn de 60 0
e outro de 45". A razao entre os lados menor e maior do paralelogramo e:
a)_3
b)
2D
,2
d)
c)-9-
2
6
-i.
e)_3
3
3
203. (ITA-88) Num losango A BCD, a soma das medidas dos angulos obtusos e 0 triplo da soma das medidas
dos angulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d em, entao sua aresta medini:
a) ~="d,,==­
c) -==d,,==-
2 + h
2 + .:J
b)
d_
d) _ _
d_
2 - ,2
3
e) __d_ _
J3 - J2
-:J
204. (CESGRANRI0-89) Se 4 em, 5 em e 6 em sao as medidas dos lados de urn triangulo, entao 0 cosseno
do seu menor angulo vale:
a)
b) ..i.
2-
5
6
c)
l..
d)
4
2.
e) ..!....
2
3
205. (FUVEST-90) Urn triangulo T tern lados iguais a 4, 5 e 6. 0 cosseno do maior angulo de T e:
a)
b) ..i.
2-
5
6
c)
l..
e) ..!....
8
4
206. (FESP-91) Na figura abaixo, ABC e BDE sao triangulos equihiteros de lados 2a e a, respectivamente. Podemos afirmar, entaO, que 0 segmento CD mede:
a) a,2
b) a ,6
c) 2a
d) 2a ,5
e) a ,3
C
/\A
B
A
207. (U.F.MG-92) Observe a figura.
o triangulo ABC esta inscrito num semicirculo de diametro AB e centro O. As medidas do angulo COA
e do lado AC sao, respectivamente, 120 0 e 4 d em.
A medida do raio do circulo, em em, e:
a)
4!3
AI"'-------~B
5
b)
J3
D
c) 2
d) 4
e) 9
208. (U.F.CE-92) Os lados AC e CD dos triangulos equilateros ABC e CED medem respectivamente 6 m e 3 m.
Os segmentos AC e CD estao numa reta r, sao consecutivos e AD mede 9 m. Se os vertices BeE estao
no mesmo semi plano determinado por r, entao 0 perimetro, em metros, do quadrilatero ABED e igual a:
420
~)
a)3(6+d)
C)3(7+
b)3(6+';)
d)3(8-~)
e)3(7+
\~)
TESTES DE VESTIBULARES
209. (ITA·77) a numero de diagonais de urn poligono regular de 2n lados, que nao passam pelo centro da
circunferencia circunscrita a este poligono, e dado por:
a) 2n(n - 2)
c) 2n(n - 3)
b) 2n(n - I)
d) n (n - 5)
e) n.d.a.
2
210. (FATEC-79) as pontos A, Be C pertencem a uma circunferencia G; AB e AC sao, respectivamente, os
lados do quadrado e do triangulo equihitero inscrito em G. Se, ainda, 0 triangulo ABC tern area minima,
entao:
a) 0 angulo interno A mede 15°.
b) a arco BC divide (J em 8 arcos congruentes.
-
-
.f3
c) a razao entre AB e AC e, nesta ordem, 2'
~.
d) a razao entre 0 raio R de (J e BC e, nesta ordem,
211. (PUC-SP-80) a matematico K. F. Gauss (1777-1855) demonstrou que urn poligono regular com P lados,
onde p primo, s6 pode ser construido com regua e compasso se p e da forma ~n - 1, com n natural.
e
Qual dos poligonos abaixo nao pode ser construido com regua e compasso?
a) pentagono
b) hexagono
c) heptagono
d) oct6gono
e) heptadecagono
212. (PUC-SP-81) Qual e a medida do lado de urn poligono regular de 12 lados, inscrito nI,lm circulo de raio
unitario?
b)~
a) 2 +
d) ...!... + .J3
c) .f3 - I
2
213. (PUC-SP-82) A figura mostra urn hexagono regular
de lado a. A diagonal AB mede:
a) 2a
d) a.J3
b) a.J2
e) 2a.J2
3
c)
e) .J3
2
2
_...!...
2
B
a.f3
2
214. (ITA-88) A soma das medidas dos angulos internos de urn poligono regular e 2160°. Entao 0 numero de
diagonais deste poJigono, que nao passam pelo centro da circunferencia que 0 circunscreve, e:
a) 50
c) 70
b) 60
d) 80
e) 90
215. (ITA-89) Considere uma circunferencia de centro em 0 e diametro AB. Tome urn segmento BC tangente
it circunferencia, de modo que 0 angulo BCA me~a 30°. Seja D 0 ponto de encontro da circunferencia
com 0 segmento AC e DE 0 segmento paralelo a AB, com extremidades sobre a circunferencia. A medida. do segmento DE sera igual:
a) it metade da medida de AB.
b) urn ter~o da medida de AB.
c) it metade da medida de DC.
d) dois ter~os da medida de AB.
e) it metade da medida de AE.
216. (FATEC-78) A circunferencia C" de raio R, e perimetro P, = lr!, e concentrica it circunferencia C}, de
raio R} e perimetro p} = 1 + fr!. Se A = R} - R I , entao:
a) A = 2 . 102
2
b) 2 . 10-
'"
A '" 15 . 10-
c) A < 2 . 10- 2
2
d) A > 15.' 10-
e) 5 . 10-2 '" A '" 10-
1
2
421
TESTES DE VESTIBULARES
217. (CESGRANRI0-79) Urn ciclista de uma prova de resistencia deve percorrer 500 km sobre uma pista circular de raio 200 m. 0 numero aproximado de vollas que ele deve dar e:
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500
218. (V.UNIF.RS-80) A razao entre os comprimentos das circunferencias circunscrita e inscrita a urn quadrado e:
a) ...L
2
b) ,2
c) d
d) 2,2
e) 2
219. (lTA-80) Consideremos urn triangulo retangulo que simultaneamente esta circunscrito il circunferencia C,
e inscriLO il circunferencia C}. Sabendo-se que a soma dos comprimentos dos cateLOs do triangulo e k em,
qual sera a soma dos comprimentos deslas duas circunferencias?
a) (27rk)/3 em
b) (4.. k)/3 em
220. (PUC-SP-81) Na Figura abaixo, '"
a medida do arco CD?
c) 4..k em
d) 27rk em
e) .. k em
1,5 radiano, AC = 1,5 e 0 comprimento do arco AB e 3. Qual e
a) 2,33
b) 4,50
c) 5,25
d) 6,50
e) 7,25
221. (U.F.PE-81) Assinale a alternativa que complela corretamente a senten,a. "No circulo, a razao do eomprimento da sua circunferencia para 0 seu diametro ...
a) dobra caso 0 circulo tenlta seu raio reduzido il metade."
b) vale exatamente 22/7."
c) vale exatamente 3."
d) vale exatamente 355/1/3."
e) nao igual ao quociente de dois inteiros."
e
222. (U.F.RS-81) Na figura, AS e urn arco da circunferencia de centro 0, com raio igual it medida da corda
AP. A, 0 e B sao colineares. A razao entre 0 comprimel1lo de AS e 0 da poligonal APOB e x. Entao:
3
a) 1 < x";;"2
1
b) "2";; x <
I
c) x";;"2
3
d) x ~"2
o
A
B
e) x = 1
223. (U.C.MG-82) Aumentando 0 comprimento de uma circunferencia de 4 em, 0 seu raio, em centimetros,
aumentara:
a) 27r
b) ..!!.-.
4
c)
.
.3.-
d) _1_
2..
e) ~
..
224. (U.C.PR-82) Quando 0 comprimento de uma circunferencia aumenta de 10 m para 15 III, 0 raio aumenta:
a) _5_ m
2..
422
b) 2,5 m
c) 5 m
d) ..::.. m
5
e) 5.. m
TESTES DE VESTIBULARES
225. (CESGRANRIO- 2) 0 centro_ da- tfe, pol a, de urn
mecanismo e tao
M
obre os ',eru...e......e urn [PlangUio
equihitero de lado i. 0 iame:- .:e _~d" polia e mUlto proximo de t. ~omo ",u~~"e a·- g... -.:, 0:: :r1;Plmen·
10 da correia .\f\ PQRS.\[ u mcn men:a a- palla' e,
aproximadameme:
a) (n + 3) f
b) (2)- + 3) I
c) (" .,. 6) I
d) (.- - 6) I
2
e) 6.f
226. (U.MACK.-82) A, B, C, D, E e Fsao vertices de urn hexagono regular inscrilO na circunferencia de raio
5_ Enlao, a soma dos comprimemos de todos os arcos da figura e:
a) 30
A
b) 30..
c) 15
d) 15.-
r®\
e) 6"
~
D
227. (FATEC-88) 0 pneu de urn vciculo, com 800 mm de diiimetro, ao dar uma volta compIeta percorre, aproximadamente, uma distancia de:
a) 25,00 m
b) 5,00 m
c) 2,50 m
d) 0,50 m
e) 0,25 m
228. (FATEC-88) Urn hexagono regular, de lado 3 em, esta inscrito numa circunferencia. Nessa circunferencia,
urn arco de medida /00" tern comprimemo:
3
a) S"cm
5
b) 6'"em
c) "em
5
d) 3'"em
10
e) -3-" em
229. (COVEST-89) Urn oct6gono regular esta inscrito numa circunferencia de modo que 0 comprimenlo de arco cmre dois vertices consecutivos e de 0,5 m. Assinale 0 valor aproximado do diiimetro da circunferencia
em quesUio.
a) 140,32 em
b) 133,33 em
c) 127,38 em
d) 120,25 em
e) 160,21 em
Equivalencia plana - Areas de superficies planas
230. (CONSART-75) 0 pomo P penence a ba e BC de urn lriiingulo escaleno ABe. As areas dos triiingulos
ABP e APC sao 40 em 1 e /0 em! re pecti\·ameme. A razao BP/PC:
a) e 4_
b) e 2_
c)
d)
e 8.
e AB/AC.
c) s6 pode ser ealculada se conhecida a altura relati\'a ao lado Be.
423
TESTES DE VESTIBULARES
231. (ITA-75) Os lados de dois oct6gonos regulares tern, respectivamente, 5 em e /2 em. 0
omprimenro do
lado de urn terceiro oct6gono regular, de area igual il soma das areas dos oUlros doi . e:
a) 17 cm
b) 15 cm
c) 14 cm
d) 13 em
e)
n.d.
232. (COMBITEC-COMBIMED-75) Dois quadrados
inrerceptam-se con forme a figura, sendo que 0 quadrado maior, de area A, lem urn de seus vertices no
centro do outro quadrado, de area a. A area da superficie tracejada e:
a) T(A + a)
d) ~a
J3 a
e)~
1
b)
4
c)
A
,
4
/
J34 + a
233. (U.MACK.-75) Sao dados dois lados b e c de urn triiingulo e a sua area S =
~ bc. 0 terceiro lado pode
ser expresso por:
a)
~ b2 + c2 - 1- bc
c) Jb 2 + c 2 + bc
b)
~b2 + c2 - ~ bc
d) Jb 2 + c2 + 3bc
e)
~b2 + c2 -+bC
234. (CESGRANRIO-77) Cinco quadrados de lado Pformam a cruz da figura. A area do quadrilatero convexo de vertices A, B, C e D e;
a) 2
.fs p2
d) 5 p2
e) 6 p2
b) 4p2
c) 4
J3 p2
235. (CESCEM-77) 0 quadrilarero ABCD e urn retiingu10 e os pontos E, Fe G dividem a base A Bern quatro
partes iguais. A raziio entre a area do triiingulo CEF
e a area do retiingulo e;
a)~
d)~
b) ~
7
e) 10
6
9
1
c) ~
8
D
C
~
A
B
G
236. (F.C.M.STA.CASA-78) Uma estrada de 8 km de comprimento e 8 m de largura deve ser asfaltada. 0 custo total da obra, em milh6es de cruzados, sendo Czl 200,00 0 pre,o do metro quadrado asfaltado, e;
a) 64
b) 50
c) 25,6
d) 12,8
e) 0,0128
237. (FATEC-78) Seja ABC urn triiingulo de area A. Se P e urn ponto que esta sobre 0 lado AC, a //3 de A
para C, e Q e urn ponto que esta sobre 0 lado CB, a //3 de C para B, entao a area do triiingulo PQB e;
1
a) "9 de A
424
2
b) "9 de A
I
c) 3de A
d) : de A
5
e) "9 de A
TESTES DE VESTIBULARES
238. (OSEC-78) Dado urn triangulo ABC de base 8 e altura 6, 0 retangu!o de area maxima, tendo a base contida no triangulo e os outros dois vertices pertencendo aos outros dois lados do triangulo tern area:
a) 4
b) 6
c
c) 8'
d) 10
e) 12
B
A
239. (CESGRANRIO-79) A area da sala rep resentada na figura e:
a) IS m'
b) 17 m'
c) 19 m'
m'
d) 20
e) 21 m'
Ir-- - - - 7 m -----11
:C~-IT
1f----6 m
c
240. (U.MACK.-79) Na figura, SJ e a area do quadrilatero MNAB e S2 e a area do triangulo ABC. Se
SJ = 51% S2: x e igual a:
a) 8
b) 8,4
c) 8,6
d) 8,8
e) 9
Obs: MN II AB .
----i!
Mr-_~
12
A
241. (PUC-SP-80) A area do quadrado sombreado e:
1
7
~12-----1
242. (U.F.PR-80) Qual 0 valor da area da figura?
e) 109
1
:D:
b) 40
c) 48
d) 50
e) 60
b) 144
c) 169
d) 119
B
7
a) 36
a) 95
__"N
-, r - - - - - - - - - ,
t
1
f--7---1
425
TESTES DE VESTIBULARES
243. (U.MACK.-80) No retangulo de dimensoes a e b, sao consideradas as areas das regiiies (I), (II) e (lID. Entao:
a) area (I) = a . b
b) area (II) + area (III) = area (I)
c) area (II) + area (III) > area (I)
d) area (II) + area (III) = a . b
e) n.d.a.
2 a----+- ~3~
1----""3
-,
III)
b
244. (CESGRANRIO-80) A base de urn retangulo de area S e aumentada de 20% e sua altura e diminuida de
20%. A area do novo retangulo formado e:
a) 1,04 S
b) 1,02 S
c) S
d) 0,98 S
e) 0,96 S
245. (U.F.GO-80) No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que BE .I. AD; BE = 5 em, BC = /2 em e
AE = 4 em. Entao a area do triangulo EDC, em em 1 , e:
a) 24
b) 10
c
B
c) 30
d) 20
e) 48
o
246. (U.MACK.-80) A altura do trapezio e 4; entao, a diferen~a entre as areas dos triangulos assinalados e:
a) 1
b) 2
3
c) 3
d) 4
e) 5
247. (PUC-CAMP-80) Num losango, a soma dos angulos obtusos e 0 dobro da dos agudos. Se a diagonal menor do losango mede 12 em, entao:
a) 0 losango podera ser inscrito num circulo de raio igual a 6 em.
b) 0 perimetro do losango medira 24 em.
c) 0 numero que exprime a sua area e igual ao numero de diagonais.
d) a area do losango e equivalente II area de urn retangulo de dimensoes 6 em e 12 .J3 em ..
e) n.d.a.
248. (U.C.MG-81) As dimensoes de urn terreno retangular estao na raziio ~ . Se a area do terreno e de 1 ()()() d,
entao sua menor dimensao em metros e de:
a) 15
426
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
TESTES DE VESTIBULARES
249. (PUC·SP-81) Se Sea area de urn triangulo ABC e se M, N e P sao os pontos medios dos lados do triangulo
ABC, entao a area do triangulo MNP e:
5
d) ~
2
c) ~
b) ~
4
a) ~
3
e) S
250. (PUC-RJ-81) 30% da area de urn painel de 200 x 240 centimetros e ocupada por i1ustra~6es e 12% das
ilustra~6es sao em verfl'elho. Entao a area ocupada pelas i1ustra~6es em vermelho e igual a:
e) 17 280 cm 2
c) 172,8 cm 2
d) 1,728 cm2
a) I 728 cm 2
b) 17,28 cm 2
251. (F.C.M.STA.CASA-81) Na Figura ao lado sao dados:
~ (BAD) ; 30°, ~ (CAD) ; 45° e AD ;
em.
A area do triangulo ABC, em em 2 , e:
A
.J3
a) 3 +
d) 3 + .J3
2
b) 3 -
3e) - - 2 -
c)
.J3
3,3
c
8
252. (U.MACK.-82) No triangulo retangulo ABC da figura, sabe-se que:
BC ; 2K
AM e mediana
MB II AN
BN II AM
8
Entao, a area, do losango AMBN e:
M
N
a) K 2 !3
b) 4K
2
.J3
30°
C L........L--------....A~
K2
c) T
253. (CESESP-82) No sertao de Pernambuco, os agricultores calculam as areas de suas terras, qualquer que
seja a forma geometrica que elas ten ham-, dividindo em quadrilateros e triangulos e efelUando 0 calculo
da seguinte maneira:
para os quadrilateros: s; a; e x b; d onde a, e, bed sao as medidas dos lados opostos;
para os triangulos: S =
x; y x ~ onde x, y e zsao as medidas dos lados.
Obviamente essa nao e a maneira correta de encontrar as referidas areas. Se uma propriedade tern a forma
de urn lriangulo equilatero de lado f, assinale, dentre as alternativas abaixo, a que completa corretamente
a senten~a.
"Se Sea area da referida propriedade calculada corretamente e S' a area calculada segundo 0 procedimento dos agricultores, teremos ...
a) S < S'"
b) S > S'"
c) S = S' "
d) S' > 2S"
e) S < S' /5"
254. (CESESP-82) Nas mesmas considera~6es da questao anterior, se a propriedade tern a forma de urn trapezio isosceles de allUra h onde a base maior e 0 triplo da base menor, assinale a alternativa correta:
a) S > S'
b) S < S'
c) S = S'
d) S ; 2S'
e) S' < S/5
427
TESTES DE VESTIBULARES
255. (PUC-SP-84) A linha que divide 0 retangulo PQRS
na razao de 1 para 2 e a linha:
p
5
a) (a)
b) (b)
c) (c)
d) (d)
e) (e)
Q
(al
Ibl
(el
Idl
leI
R
256. (U.F.GO-84) Para cobrir 0 piso de urn banheiro de 1,00 m de largura por 2,00 m de comprimento com
ceriimicas quadradas, medindo 20 em de lado, 0 numero necessario de ceriimicas e:
a) 15
b) 30
c) 50
d) 75
e) 500
257. (PUC-SP-84) Qual dos segmentos desenhados na cruz representa 0 lade de urn quadrado de area igual
a area da cruz?
a)
b)
258. (U.F.RS-84) Com quatro palitos de mesmo comprimento, forma-se urn quadrado com a em l de area e
p em de perimetro. Se a + p = 21, 0 comprimento de cada palito, em centimetros, e:
a) I
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
259. (U.F.RN-84) A area de um terreno retangular e de 281,25 m l . Se 0 lade maior do terreno excede de 25%
o lade menor, entao 0 perimerro do terreno e igual, em m, a:
a) 67,5
b) 71,5
c) 75,5
d) 79,5
e) 83,5
260. (FUYEST-84) Num triangulo retiingulo Tos catelOs medem 10 me 20 m. A altura relativa a hipOlenusa
divide Tern dois triangulos, cujas areas, em m l , sao:
a) 10 e 90
b) 20 e 80
c) 25 e 75
d) 36 e 64
e) 50 e 50
261·(U.F.PE-84) Seja R urn retangulo de area S cujos lados medem a e b. Assinale a ahemativa que indica
a equa,ao que relaciona corretamente S, a e b.
a) (a + b)X 2 -al X + S = 0
d) X 2 - (a + b)X + S = 0
b) X 2 - (a + b)X - S = 0
c) Xl + (a + b)X + S = 0
428
e) X 2 - a + bX - S = 0
TESTES DE VESTIBULARES
262. (U.F.SE-84) Seja 0 retangulo PQRS inscrilO no quadrado ABCD, con forme mostra a figura ao lado. Se
PS = 2· PQ e AD = 6 em, a area do retangulo
PQRS e em on1 :
a) 8
b) 12
c) 16
d) 20
e) 24
263. (FUVEST-85) Urn dos catetos de urn triangulo retangulo mede 2 e a hipOlenusa mede 6. A area do triangu10
e:
a) 2
J2
b) 6
c) 4
264. (CESGRANRIO-85) Os triangulos
area de
J2
d) 3
C!) e G) da figura sao retangulos isosceles. Entao a razao da
C!) para a de (3) e:
a)
J3
d)
.J5
b)
J2
e)
2-
2
2
c) 2
265. (CESGRANRIO-85) Sejam M, N, P e Q os pontos medios dos lados do quadrado ABCD, como se ve
nas figuras, e A I' A l' A 3 e A 4 as areas de suas partes sombreadas. Escritas essas areas em ordem crescenlet Lemos:
D
M
D
C
M
C
~
'~Q
A
P
B
A
B
D
M
C
D
C
~
~
A
a) A, < A) < A 2 < A,
< A) < A,
b) A 2 < A,
A
B
P
B
c) A, < A 2 < A) < A,
d) A) < A, < A, < A 2
266. (VUNESP-85) Se 0 comprimento de urn retangulo aumenta em 10% e a area permanece constante, alargura do retangulo diminui:
a) 9070
b) 11%
100
c) -11- %
d) ..!..22.. %
9
e) 10%
429
TESTES DE VESTIBULARES
267. (CESESP-85) Considere a figura abaixo, onde G e 0 baricentro do triangulo ABC.
B
c
Assinale a unica alternativa que corresponde a razao entre as areas dos triangulos ABG e EGD.
a) I
c) 3
b) 2
e) 12
d) 4
268. (CESESP-85) Considere a seguinte figura:
onde os paralelogramos ABCD e EFHG tern as medidas dos lados AB e EF iguais. Sejam 5, e 51 as areas
destes paralelogramos, respectivamente.
Assinale a alternativa correta, qualquer que seja a distancia entre as retas r, e r1 .
a) S, > S2
b) S, < S2
c) S, = S2
d) S, = 1/S2
e) S, + S2 = I
269. (CESGRANRIO-87) Se as duas diagonais de urn losango medem, respectivamente, 6 em e 8 em, entao a
area do losango e:
e) 48 cm 2
c) 30.cm 2
d) 36 cm 2
a) 18 cm l
b) 24 cm 2
270. (U.F.PE-U.F.R.PE-87) A planta de urn projeto agricola, na escala de 1:10000, tern a forma e as dimensoes especificadas na figura abaixo. Indique a area do projeto em hectares, dentre as alternativas abaixo:
a) 120 ha
b) 250 ha
c) 140 ha
d) 800 ha
e) 630 ha
20 em
27\. (FUVEST-87) Aumentamos a altura de urn triangulo em 10% e diminuimos a sua base em 10%. Entao
a area do triangulo:
a) aumenta 1%.
b) aumenta 0,5%.
430
c) decresce 0,5%.
d) decresce 1%.
e) nao se altera.
TESTES DE VESTIBULARES
272. (CESGRANRIO-88) Joao possuia urn terreno rerangular A BCD, de 1800 m 1 , do qual cedeu a faixa
ADEF com 10 m de largura, em rroca de ourra,
CEGH, com 30 m de largura, conforme esra indicado na figura, e de modo que A BCD e BHGF livessem
a mesma area. 0 perimerro do rerreno A BCD media:
A
10m
B
b-
d) 186 m
e) 180 m
a) 210 m
b) 204 m
c) 190 m
E
D
c
3}m
+
G
H
273. (CESGRANRIO-88) Urn carero de urn triangulo relangulo Ii duas vezes e meia 0 oulro careta. Se a area
do rriangulo vale 20, 0 menor catero mede:
b) 4
a) 2
d) 2,2
c) 5
e)
25
274. (FGV-88) Num lriangulo isosceles, os lados de mesma medida medem 2 e 0 angulo formado por eles mede
120°. A area desse rriangulo Ii:
a) 2
b) 1
c) 1/2
d) 1/4
e) n.d.a.
275. (FATEC-88) A diagonal de urn quadrado Ii k .f2. 0 perimetro de urn Dutro quadrado, com
~ da area
do primeiro, Ii;
a) 2 k
b) k
k
c) "2
d)~
4
e) 4k
276. (FATEC-88) A area do rriangulo cujos lados medem 3 em, 5 em e 6 em Ii;
a)
2.rm
cm
9
2
b) 4,5 cm 2
c)
26 cm 2
d) 6,5 cm 2
277. (FUVEST-88) Aumentando-se os lados a e b de urn retangulo de 15% e 20% respectivamente, a area do
retangulo Ii aumentada em:
b) 30%
a) 35"70
c) 3,5%
d) 3,8%
e) 38%
278. (FATEC-88) Sejam A, Be Cvlirtices de urn rriangulo. SeAB = 4 em e BC = 5 em, entao a medida maxima do lado AC para que a area desre rriangulo nao seja inferior a 6 em1 Ii;
a) .[73 em
b) 8 em
c) .f4l em
d) 6 em
e) 5 em
279. (FATEC-88) Na figura abaixo rem-se 0 rriangulo ABC. A alrura h, relariva ao lado AB, forma angulos
de medidas ex e {3 eom os lados adjaeenres. Se h = ~J3
gulo Ii:
- I, ex = 60° e (3 = 45°, entao a area do trian-
a) I em 2
b) Tem2
e)
(j2 + I)~ cm 2
d)
(5 +
e)
4
(I +
3) ~13
4
- I cm 2
13)2 73=t em 2
431
TESTES DE VESTIBULARES
280. (VUNESP-89) Joao e Tomas partiram um bolo retangular. Joao comeu a metade da ler~a parte e Tomas
comeu a ler~a parte da melade. Quem comeu mais?
a) Joao, porque a melade e maior que a ler~a parte.
b) Tomas.
c) Nao se pode decidir porque nao se conhece 0 lamanho do bolo.
d) Os dois comeram a mesma quantidade de bolo.
e) Nao se pode decidir porque 0 bolo nao e redondo.
281. (FUVEST-89) Os lados de um relangulo de area /2 m 1 eSlao na razao /:3. Qual 0 perimelro do relangulo?
a) 8 m
b) 12 m
d) 20 m
c) 16 m
e) 24 m
282. (FUVEST-89) A area de um lriangulo de lados a, bee e dada pela formula
S = Jp(p - a) (p - b) (p - c)
onde p e 0 semiperimelro (2p = a + b + e).
Qual a area de um lriangulo de lados 5, 6 e 7?
b) 21
a) 15
d) ,'2iO
.c) 7.f5
283. (FUVEST-89) Os pontos A, Be C sao vertices conseculivos de um hexagono regular de area igual a 6.
Qual a area do lriangulo ABC?
a) I
b) 2
c) 3
d)
:"2
e)
.f3
284. (CESGRANRIO-89) Na figura, ABC e um triangulo
isosceles e ACED e um quadrado. Se AB mede 4, a
area de ACED e de:
a) 10
d) 32
b) 16
e) 36
c) 205.
285. (ITA-89) Se num quadri1<\tero convexo de area S, 0 angulo agudo entre as diagonais mede 1f/6 radianos,
entao 0 produto do comprimento deslas diagonais e igual a:
a) S
b) 2S
c) 3S
e) 5S
d) 4S
1
286. (COVEST-89) Na figura abaixo 0 quadrado ABCD lem area igual a /00 em . Sabe-se que AE = AF e
que as medidas de AE e EB eSlao na razao de / para 4. A area da regiao sombreada e, em em 1 :
a) 63 cm 2
b) 59 cm 2
c) 64 cm 2
d) 70 cm 2
e) S8 cm 2
A
F
D
'Q
B
C
287. (COVEST-90) Na figura a seguir, 0 quadro ABCD lem area lotal de 40 em 1 . Sabendo-se que E e F sao
os pontos medios dos lados AB e CD, respeclivamente, forma-se enlao 0 quadril<itero hachurado FGEH,
que lem area igual a:
a) 30 cm 2
b) 25 cm 2
c) II cm 2
d) 10 cm 2
e) 10
J2 cm 2
D
F
~
A.
432
C
B
TESTES DE VESTIBULARES
288. (U.F.MG-90) Considere NQ = MP = M;, sendo MN a base do reLangulo KNML.
Se a soma das areas dos Lriangulos NQL e PLM e /6, a area do reLangulo KNML e:
a) 24
b) 32
K
c) 48
d) 72
e) 96
N
L
I~
P
Q
M
289. (U.F.MG-90) A base de urn triangulo e a alLura relaLiva a essa base medem, respecLivamenLe, be h. Urn
retangulo de altura x e inscriLo no Lriangulo, sendo que sua base esLa conLida na base desse Lriangulo.
A area do reLangulo, em fun,ao de b, x e h, e:
a)
hx (b - x)
b
b)
bx (h - x)
h
c)
bx (h - 2x)
h
d)
bx (h + x)
h
e) ~
4
290. (U.F.MG-90) Considere urn trapezio isosceles ABCD, em que AB
pade-se afirmar que a area do trapezio, em em 2 , e:
BC = CD = 4 em. Se AD = 8 em,
a) 4D
D
A
b) 6D
\\
c) 8 D
d) J2D
e) 24 D
7
C
B
291. (U.F.MG-90) Uma casa tern dez janelas, cada uma com quatro vidros retangulares e iguais, de 0,45 m
de comprimento e 0,40 m de largura.
Cada vidro cusLa NezS 0,25 0 dm 1 e a mao-de-obra para coloca-Io, NezS 4,00 por janela.
A imporLancia a ser gasLa para colocar os vidros nessas jane/as e:
a) Ncz$ 44,50
b) NczS 220,00
c) NczS 225,00
e) NczS 450,00
d) NczS 445,00
292. (U.E.CE-91) Em urn Lrapezio a soma das bases e 24 em, a altura e igual a meLade da base maior e a base
menor e igual a altura. A area desse trapezia, em em 2 , e:
a) 60
b) 72
c) 84
d) 96
433
TESTES DE VESTIBULARES
293. (FUYEST-91) 0 retangulo A BCD representa um terreno retangular cuja largura e 3/5 do comprimento.
A parle hachurada represent a um jardim relangular cuja largura e tambem 3/5 do comprimento. Qual
a razao entre a area do jardim e a area tolal do terreno?
a) 30"70
B_
A
B
b) 36010
c) 400/0
d) 450/0
e) 50"10
I
D
294. (CESGRANRIO-91) Seja Do ponto medio do lado
AB do triangulo ABC. Sejam E e Fos pontos medios
dos segmcnlos DB e BC, respeclivamente, conl"orme
se vi' na I"igura. Se a area do triangulo A BC vale 96,
entao a area do triangulo AEF vale:
d) 30
a) 42
b) 36
c) 32
e)
28
c
c
~
A
DEB
295. (COYEST-91) Se lodos os lados de um heptagono regular forem aumentados em 50%, em quanto aumenta a sua area?
b) 75"10
a) 500/0
c) 100"70
d) 1250/0
e) 1500/0
296. (COYEST-U.F.R.PE-91) A area do trapezio da I"igura e:
(y + +,z2~)
b) x (y x
a) x
+
,Z2 -
c)
TI (z + x)y
d)
TI (x + y)z
2)
e) xy + --'- xz
2
297. (U.F.MG-92) Au rel"ormar-se 0 assoalho de uma sala, suas 49tabuas corridas I"oram substituidas por tacos. As tabuas medem 3 m de comprimento por 15 em de largura e os tacos, 20 em por 7,5 em. 0 numero
de tacos necessarios para essa substituic;:ao roi:
a) 1029
b) I 050
c) 1470
d) I 500
e) 1 874
298. (PUC-MG·92) Um triangulo tem base 0,7 m e altura 15 m. Urn segundo triangulo tern base 1,2 dm e altura 0,5 m. A razao entre a area do primeiro e do segundo triangulo e:
a) ~
7
434
b) ~
5
c)
2..
6
d) .24
e) ~
7
TESTES DE VESTIBULARES
299. (U.F.MG-92) Aumentando-se 0 comprimento e a largura de urn retangulo R em 3 em e 2 em, respectivamente, sua area aumenta em 54 em 2 •
Diminuindo-se 0 comprimento e a largura de R em 2 em e 3 em, respectivamente, a area dirninui em 46 em}.
Pode-se afirmar que 0 perimetro de R, em em, e:
a) 20
b) 30
d) 50
c) 40
e) 60
300. (PUC-MG-92) 0 numero pelo qual se devem multiplicar as dimensoes de urn retangulo, para que sua area
seja aumentada 25%, e:
a)
.J5
b) 0,2 .J5
c) 0,3
.J5
d) 0,4.J5
e) 0,5
.J5
301. (U.F.MG-92) Precisa-se colar uma gravura retangular, cujas dimensoes sao 34 em e 14 em, em urn peda,o
de cartolina. As margens superior, inferior e laterais da cartolina devem ter uma largura constante. A area
total da cartolina e de 800 em2
A medida da largura da margem, em em, e urn divisor de:
c) 15
b) 11
a) 7
d) 20
e) 32
302. (U.F.MG-92) A hipotenusa e a area de urn triangulo retangulo medem, respectivamente, 4 J5 em e 16 em 2 •
A diferen,a das medidas dos catetos, em em, e:
b) 3 .J5
a) 4
d) 2 .J5
c) 3
e) 2
303. (U.F.MG-92) Observe a figura.
Nessa figura, os pontos M, N, P, Q sao pontos medios dos lados do quadrado ABCD, cuja area mede
16
A area do quadrado RSTV, em em}, mede:
em>.
a) 4
b) 8
c) 10
d) ...Ii.
3
e) ...Ii.
5
304. (U.F .MG-92) A diferen,a entre as medidas das bases maior e menor de urn trapezio e igual a medida da
sua altura. Se a base menor e a area medem, respectivamente, 2 em e 6 em}, pode-se afirmar que a altura,
em em, e:
c) urn multiplo de 7.
d) urn multiplo de 10.
a) urn multiplo de 3.
b) urn multiplo de 4.
e) urn numero primo.
305. (U.F.MG-92) Observe a figura.
BC e a hipotenusa do triangulo retangulo ABC, AE =
J.AB, FC = J.- AC e a area do quadrilatero
4
4
2
BCFE e igual a 30 em •
A area do triangulo AEF e igual a:
a) 10
b) 20
A
c)~
13
d)~
13
e) .2Q.
13
B
435
TESTES DE VESTIBULARES
306. (PUC-MO-92) Os lados de urn triangulo retiingulo tern medidas 2 (a + /), 3a + 2 e 4a + 2, a > O. A
area desse triangulo, em unidades de area, e:
a) 30
b) 24
d) 16
c) 18
e) 12
307. (PUC-MO-92) A area de urn poligono regular, de ap6tema a e de n lados, inscrito numa circunferencia
de raio r, em unidades de area, e:
a) ....!.. na J r2 - a 2
c) na Jr 2 - a 2
b) ....!.. na J r 2 - a 2
d) 2na Jr2 - a 2
2
4
e) 4na Jr 2 - a 2
308. (FUVEST-92) 0 retangulo abaixo de dimensoes a e b esta decomposto em quadrados. Qual 0 valor da
razao alb?
a) 5/3
b) 2/3
I
c) 2
d) 3/2
e) 1/2
b
I
309. (ITA-92) A razao entre as areas de urn triangulo equilatero inscrito numa circunferencia e de urn hexagono
regular, cujo ap6tema mede 10 em, circunscrito a esta mesma circunferencia e:
a) ....!..
d) 2-
c) ....!..
3
b) I
2
8
e) n.d.a.
310. (CICE-70) Na figura abaixo, reo raio do circulo maior e leo comprimento da tangente AB comum aos
dois circulos menores. Entao a area assinalada, compreendida entre 0 circulo maior e os dois menores,
e igual a:
a)~
A
8
QJ
b)~
8
".t
2
c) -8d)
".(t - r)2
8
e) nada disso
8
311. (U.MACK.-74) A diagonal AD do quadrado ABeD
mede 2 em. Se 0 diametro de cada uma das semicir·
cunferencias na Figura ao lado e igual il metade do lado do quadrado, a area da regiao assinalada e:
d) 2
e) ".
1f'
c)8
436
TESTES DE VESTIBULARES
312. (CONSART-75) Cada urn dos lados do retangulo
DEFG e paralelo a algum dos catelOs do triangulo
retangulo ABC e tangente a alguma das semicircunferencias nacejadas do desenho. Sabendo-se que
AC = 6 em e AB = 8 em, a area do retangulo e:
a) 136 cm 2
b) 140 cm 2
c) 164 cm 2
,
/
... ,
~" ~~
/
d) 144 cm 2
e) 200 cm 2
e
A
B
\
\
I
1
\
,
I
"
I
/
G
313. (CESCEM-75) Na figura ao lado, temos a represen0
ta~ao de urn retangulo inscrito em urn setor de 90 cujo
raio mede 6 em. Medindo 0 1ado OA do retangu10 ~ do raio. a area do retangulo e:
a) 4,J5 m 2
b) 8 ,J5 m
mm
c) 8
d) 16 m 2
e) 24 m2
2
2
90·
o
A
314. (CONSART-75) 0 ponto 0 e 0 centro do circulo
ACBD e extremidade das semicircunferencias OA e
OB da figura. A reta que contern 0 e divide a regiao
tracejada em duas partes de mesma area faz com OA
urn iingulo de:
a) 36°
b) 45°
c) 52° 30'
d) 60°
e) 75°
B
315. (U.MACK.-75) A area do trapezio da Figura e /2.
A area da parte sombreada e:
a) .-
D~
1
4
----....
1-2
b) 2-n-
:-Ie
c) 3.-
d) 4.e) 5.-
A
•
• B
I~ r - - . -+-- r
I
316. (U.MACK.-75) Os lados de urn triangulo sao a = 13, b = 14 e e = /5. Os lados a e b sao tangentes a
uma circunferencia cujo centro esta sobre 0 lade e. 0 raio dessa circunferencia e:
a)~
9
b) £.
3
c)~
11
d) 7
e) 19
437
TESTES DE VESTIBULARES
317.(CESCEM-77) Sendo A a area de urn quadrado inscrito em uma circunferencia, a area de urn quadrado
circunscrito a mesma circunferencia e:
b) 2A
a) 4A
c)
-±..3 A
d) .[2A
e) 1,5A
318.(U.MACK.-77) A area da parte sombreada vale:
(A figura contem sernicircunferencias de raio a e centro nos vertices do quadrado menor.)
a) a 2 (4 - ,,-)
b) a 2 (,,- - 2)
c) 2a 2
d) ,,- a 2
e) nao sei
319. (U.MACK.-77) Se a soma das areas dos tres circulos de mesmo raio e 3..-, a area do triiingulo equilatero
ABCe:
a) 7 .J3 + 12
c
b) 7 + 4 3
c) 19.J3
d) II .J3
e) nao sei
320. (CESCEM-78) A figura ao lade representa urn hexagono regular, inscrito num circulo de centro 0 e raio
8 2. A area da regiao assinalada na figura e:
a) 48,,- - 32 .J3
b) 64,,- - 192
3
c) 96,,- - 32 .J3
d) 128,,- - 192 .J3
e) 136..- - 32 .J3
321. (U.MACK.-78) Quatro circulos de raio unitario, cujos centros sao vertices de urn quadrado, sao tangentes exteriormente dois a dois. A area da parte sombreada e:
a) 2 .J3 - ..-
d) 4 -..-
b) 3 .[2 - ,,-
e) 5 - ,,-
c) ..!!...2
438
TESTES DE VESTIBULARES
322. (FUVEST·7S) Na figura abaixo ABC e urn triangulo
equihitero de lado igual a 2. MN, iii> e PM sao arcos
de circunferencias com centros nos vertices A, Be C,
respectivamente. e de raios todos iguais a 1. A area
da regiao sombreada e;
a)!3 -~
4
b)
!3 _.2:-
c)
2!3 - ;
2
d) 4 f3 -
A
z..
e) S !3 - 31r
323. (CESGRANRIO·SO) A regiao sombreada R da figura e limitada por arcos de circunferencia centrados nos
vertices do quadrado de lado 2 f. A area de R e;
a)~
2
b) (.. - 2 2 )(2
c) ( .. -
~) (2
d) (4 _ ..) (2
e) .J2 (2
324. (U.F.GO·SO) A area maxima da regiao limitada por urn triangulo retangulo inscrilO em urn circulo de raio
R
e:
325. (V.UNIF.RS·SO) Na figura OA = OB = OE =
= OF = 00, ABCD e urn quadrado de area 80,
C e D pertencem ao diametro EF e 0 angulo
<P (~ FEO) mede ..16 rad.
A area do triangulo EFO e;
a) 40
d) SO
b) 50
e) 100
c) SO
326. (V.UNIF.RS·SO) Na figura, AB e urn arco de uma circunferencia de raio 1. A area do trapezio retan·
gulo BCDE e;
a)
!3
y
!3
A 1-""",---
24
b)
IS
C)_3
12
r:;
...,
D
c
d)~
6
3
e)4
3D'
o
E B
439
TESTES DE VESTIBULARES
327. (U.MACK.-80) Na figura, a area do quadrado de centro 0 e:
a) 10
b) 16
c) 25
d) 100
e) 2500
328. (CESGRANRIO-80) Urn circulo de area C e urn triangulo equilatero de area T tern 0 mesmo perimetro.
A razao ;
vale:
b)
a) I
..2..
'If
3d
c) - -
.. ,3
e) - -
d) .!.
'If
'If
2
329_ (F.C.M.STA.CASA-80) Na figura ao lado, considere 0 segmento a = 2 m. A area da superficie sombreada e igual a:
a) 2'1f m
at
b) 4 m
c) 2 m 2
-L-f--4;J---*'----_
2
2
d) 'If m 2
e) n.d.a.
330. (PUC-SP-81) Os diamelros das pizzas grande e media sao 40 cm e 36 em, respectivamente. Qual deve ser
o preco da media se a grande CUSla CzS 200,00 e os precos sao proporcionais as areas das pizzas?
a) CzS 155,00
b) CzS 162,00
c) Cd 174,00
d) Cd 185,00
e) Cd 190,00
331. (U.F.MG-81) A area de uma coroa circular de raios r e R, sendo r < R, e:
a) 'If(R - r)2
b) 'If(R + r)2
c) ".(R 2 + r 2)
d) 'If(R - r)(R + r)
332. (F.C.M.STA.CASA-81) Na figura ao lado ternos 0
lriangulo relangulo eujos lados medem 5 em, /2 em
e /3 em e a eireunfereneia inserita nesse lriangulo. A
area da regiao sombreada e, em em}:
a) 30(1 -".)
b) 5(6 - 1,257r)
c) 3 (10 - 3.-)
d) 2(15 - 8..)
e) 2(15 - 2..)
333. (U.F.UBERLANDlA-81) Na figura abaixo, AB
e 0 diamelro de urn cireulo de raio 7,5 em. Se
AC = /0 em, a area do triangulo ABC vale:
a) 5
5 em 2
.J5 em 2
c) 15 .J5 em 2
d) 25 .J5 em 2
e) 35 .J5 em 2
b) 75
440
e) 2.-(R - r)
TESTES DE VESTIBULARES
334. (PUC-RJ-81) Dados dois discos concentricos, de raios J e
~, a area da coroa circular compreendida
entre eles e:
a) 50% da area do disco menor.
b) 75 % da area do disco maior.
c) igual a area do disco menor.
d) 0 dobro da area do disco menor.
e) a metade da area do disco menor.
335. (U.F.RS-81) A regiao representada na figura e limitada por 4 semicircunferencias de raio R. A area da
regiao e:
a) 4R 2 (,.. + I)
b) 2R 2 (,.. + 2)
c) R2 (2,.. + I)
d) 4...R 2
e) 2,..R 2
336. (U.FORTALEZA-82) Considere urn triangulo ABC e a circunferencia nele inscrita, como na figura abaixo. Se 0 raio do circulo e 6 em e 0 perimetro do triangulo e P em, entao a area do triangulo, em em}, e:
c
a) P
A
b) 2P
c) 3P
d) 4P
B
A
337. (F.C.M.STA.CASA-82) Na figura ao lado, tem-se
uma circunferencia de centro C, cujo raio mede 8 em.
o trianguJo ABC eequilatero e os pontos A e B estao
na circunferencia. A area da regiao sombreada, em
em}, e:
a)
16(2,,- - 3 .J3)
3
b) 64,,-
c) 32 (,.. - I)
d) 96.J3
e) 16(4... - .J3)
338. (CESGRANRIO-82) 0 triiingulo ABC esta inscrito no
semicirculo de centro 0 e diametro AB = 2. Se 0 angulo CAB = 30°, a area da regiao sombreada eo
a) ...!...
3
b)
,...J3
2
d) ,.. - 2
.J3
e) ,.. --3-
, - - .J3
c) - - 2 -
441
TESTES DE VESTIBULARES
339. (U .E.CE-82) Seja MNP urn triiingulo de area igual a
24 em2 • Se NP = 8 em, entiio a area, em em 2 , do
cfreulo eentrado em M e tangente ao lado NP em Q e:
~
a) 16...
b) 18...
c) 32...
d) 36...
N
Q
P
340. (U.F.ES-82) A Figura sombreada abaixo e limitada por semieireunfereneias e inserita num quadrado de
lado f = 2 m. Sua area vale:
a) 2 m 2
b) (4 - ...)m 2
e)(2-;)m
2
d) (2..- - 4)m 2
e) (... - 2)m 2
341. (U.F.RS-84) A area da eoroa Iimitada pelas eireunferencias inserita e eireunserita a urn quadrado de lado 3 e:
a)
3.J2
b) 2-
2
d)~
c) 2...
2
4
e)~
2
342. (U.F.RN-84) Se a area de urn cireulo e igual a 47f em , entiio a area do quadrado eireunserito vale:
2
a) 8 em 2
b) 10 em 2
c) 12 em 2
d) 14 em 2
e) 16 em 2
343. (U.E.LONDRINA-84) Os lados do reliingulo representado na Figura ao lado medem 6 em e 8 em. A area
do cireulo Iimitado pela cireunfereneia que 0 cireuns2
creve, em em , e:
a) 57f
b) 107f
c) 257f
d) 507f
e) lOO7f
344. (CESGRANRIO-84) AB e 0 diiimetro do cireulo de
centro 0 no qual 0 triiingulo ABC esta inserito. A
raziio ~
entre as areas s do triiingulo A CO e S do
triiingulo COB e:
.2..
d) I
b) ~
3
e)
a)
4
c) 2-
4
442
AI'-----'::-----"'IB
.[j
2
TESTES DE VESTIBULARES
345. (U.F.RS-84) a segmentoABe uma corda do circulo de centro Oe diametro 12, com 0 angulo AOBmedindo 150°. A area do triangulo AOB e:
b) 9 .[2
a) 9
c) 9 ,f3
346. (U.E.BA-84) Na figura ao lado, temos que 0 arco AGB e uma semicircunferencia de raio 3 em;
1
BC = 3 BD e AB II DE II FC. A area da regiao
sombreada, em em2
1
d) 18
e) 6
ro----....,D
e:
a) 54 - 9..-
b) 27 - 9..-
G
54 - 9..c) - - 2
d) 36
108 - 9..e)
2
c
A '-----0----' B
347. (U .F.RS-84) Na figura, 0 triangulo ABC eequiJatero,
e ADC e urn semicirculo. a perfmetro da regiao sombreada e 4 + ..-. A area do retangulo eireunserito e:
a) 2(,f3 + 5)
d) 4
b) 2(,f3 + I)
e) 3
A
c) (,f3 + I)
c
348. (U.E.BA-84) Seja 0 hexagono regular inscrito na circunferencia de centro 0 e raio 6 em, conforme a figura abaixo. A area da regiao. sombreada, em em2 , e:
a) 9 ,f3
b) 12,f3
c) 15 ,f3
d) 18,f3
e) 20,f3
349. (CESGRANRIO-84) Considere os circulos tangentes
da figura, cujas tangentes comuns exteriores formam
urn angulo de 60°. A razao entre as areas do menor
e do maior circulo e:
a) ..!..
3
b) ..!..
4
c) ..!..
6
350. (U.F.RN-84) Considere 3 circunferencias, tangentes duas a duas e de raios unitarios. Se M, N eO sao
os seus centros, entao a area do triangulo MNO vale:
a) 2
b) 3
c) .[2
d) ,f3
e) 2,f3
443
TESTES DE VESTlBULARES
351. (U.F.PA,S5) A area de um circulo e 5", cm2 . Sua circunferencia mede:
a) 10", em
b) 5", cm
5
c) Tcm
d)
IS'Ir cm
e) I IS", cm
352. (CESGRANRIO-S5) As circunferencias da figura, de
centros M, N e P,sao mutuamente tangentes. A maior
tem raio 2 e as outras duas tem raio 1. Entao a area
do triiingulo MNP e:
a)
.J6
b) ~
I
c) 3
d) 2.[j
e) 2..[2
353. (UNICAP-S7) 0 circulo cujo raio mede 0 mesmo que 0 lado do quadrado de perimetro 12 12 em tem area
igual a:
a) IS", cm2
b) 36'1r cm 2
c) 24'1r cm2
d) Il'lr cm 2
e) 6'1r cm 2
354. (FUVEST-S7) Um comicio politico lotou uma pra~a semicircular de 130 m de raio. Admitindo uma ocupa~iio media de 4 pessoas por m 2 , qual e a melhor estimativa do numero de pessoas presentes?
d) Um milhiio.
e) Muito mais do que um milhao.
a) Dez mil.
b) Cem mil.
c) Meio milhiio.
355. (UNICAP-S7) A area do hexagono regular inscrito em uma circunferencia de raio R e, em unidade de area:
a) R2 .[j
2
b) R .[j
2
2
c) "'R .[j
2
2
d) 'lrR
.[j
2
e) 3R .[j
2
356. (CESGRANRIO-S7) De uma placa circular de raio 3, recorta-se um triiingulo retangulo de maior area possive!. A area do restante da placa vale:
a) 9", - 9
b) 6'1r - 9
c) 9'1r - 10
d) 9'1r - 12
e) 6'1r - 6
357. (ITA-SS) Considere as cireunferencias inscrita e circunscrita a um triiingulo equiJatero de lado (. A area
da coroa circular fonnada por estas ~ircunferencias e dada por:
a) ..:!... (2
4
b)
.J6 'Ir (2
2
c) .[j
'Ir (2
3
d) .[j 'Ir (2
e) :!... (2
2
358. (FATEC-S9) Dado um clrculo de raio R, medido em em, para que a area desse circulo tenha urn acrescimo
de 8",R 2 em2 , 0 raio deve aumentar:
a) R cm
b) 2R cm
c) 3R cm
d) 4R cm
e) SR cm
359. (COVEST-S9) Se 0 comprimento do raio de um circulo e aumentado em 30% de seu valor, entao a sua
area aumenta em:
a) 60"70
444
b) 69"70
c) SO"7o
d) 35"70
e) 43"70
TESTES DE VESTIBULARES
360. (COVEST-89) Na figura abaixo, 0 raio da semicireunfereneia mede 4 em; 0 poHgono e urn hexagono regular, eo angulo A68 e relo. Assinale na eoluna I as allernalivas eorretas, para a medida da area da regiao
sombreada, e na eoluna II as alternalivas ineorrelas.
II
a)
a) (.J3 - 21r) em 2
b)
b) ... .J3 em 2
B
e)
e) (... - .J3 ) em 2
d)
d) 2 (4.. - 3 .J3) em 2
e)
e) (6.. - 2 .J3 ) em 2
A
361. (lTA-89) Se 0 perimelro de urn lriangulo inserilO num cireulo medir 20x em e a soma dos senos de seus
angulos internos for igual a x, enlao a area do cireulo, em em1 , sera igual a:
a) 50...
b) 7511"
e) 100...
d) 125...
e) 150...
362. (U.F.MG-90) Na figura, 0 hexagono regular ABCDEFesla inserilo no cireulo de eentro O. SeAB = 4 em,
a area do quadrilalero ABOF e:
.
a) 8
J2 em 2
b) 8
3 em 2
B
C
e) 16 em 2
d) 16 J2 em 2
~ 16.J3e~
A
D
363. (U.F.MG-90) Na figura, AB e 0 diametro do cireulo de eentro 0 e C e urn ponto da cireunferencia tal
que 0 angulo ABC mede 30·.
Se AB = 6 em, a area da regiao limitada pelas eordas BC e AB e pelo areo menor AC, em em1 ,
e:
a)..2..2 + ~
2
4
B
b) 9 .J3
e) 9.J3 + ~
4
2
o
d) 9.J3 + 6...
4
e)~
4
A
445
TESTES DE VESTIBULARES
364. (U.F.Vl<;:OSA-90) Na Figura abaixo. a circunferencia de centro Pe raio 2 e tangente a Ires Jades do re[<in·
gulo ABCD de area igual a 32. A distiincia do ponto P il diagonal AC vale:
a) 2 [5/5
b)
.J512
c)
5/5
d) 2
5
e) 3
.J5/5
0
C
A
B
365. (CESGRANRIO-91) 0 triiingulo ABC esta inscrito
em circulo cujo diiimetro AB mede I e cujos iingulos
satisfazem a condi~iio fj = 2A con forme se ve na figura. A area desse triiingulo ABC vale:
r-
,'3
a)~
d)
b) 2-!3
-!3
e) -8-
8
5
c)
6
-!3
5
366. (U.C.SALVADOR-91) Na Figura ao lado, ABCD e
urn losango e A e 0 centro da circunferencia de raio
4 em. A area desse losango. em centimetros quadrados. e:
a) 4
3
b) 8
c
c) 12
d) 8.[3
e) 12-!3
367. (FESP-91) Urn triiingulo equilatero ABC esta inscrito numa circunferencia de raio igual a 6 em. 0 triiingu10 e interceptado por urn diiimetro de circunferencia, formando urn trapezio, con forme a Figura abaixo.
Podemos aFirmar entiio que a raziio entre a area do triiingulo ABC e a do trapezio e igual a:
a) 24
d)~
b) ~
5
e) ~
5
c) ~
8
446
A
4
M
N
TESTES DE VESTIBULARES
368. (U.C.SALVADOR-n) Na figura abaixo temos dois circulos concentricos, com raios 5 em e 3 em. A area
da regiao sombreada, em centimetros quadrados, e:
a) 9..
b) 12..
c) 16..
d) 20..
e) 25 ..
369. (PUC-MO-n) Se 0 raio de uma circunferencia foi aumentado em 10 "10 ,sua area, em porcentagem,
fica aumentada em:
a) IO
b) II
c) 20
d) 21
e) 100
370. (PUC-MO-n) A hipotenusa de urn triangulo reta-ngulo de catetos r J e r] > r J mede 15 m. A diferenca
entre as areas das circunferencias de raios r J e r] e 63.. m]. Em m], a area da circunferencia de raio
r = '/ + '2 e:
b) 226..
a) 225 ..
c) 441.-
d) 675.-
e) 676..
371. (PUC-MO-n) A diferenca entre as areas de urn quadrado e de urn circulo nele inscrito e 4(4 - 11") m].
A area do quadrado, em m], e:
b) 14
a) 16
c) 12
d) 8
e) 4
372. (PUC-MO-n) A area de urn setor circular de 2n graus, 0 < n < 180, e ~~ unidades de area. 0 raio
do setor circular e igual a:
a) 5
.f2
b) 4.J3
c) 4
2
d) 3 2
e) 2.J3
373. (pUC-MO-n) Urn trapezio isosceles tern base maior igual a 6 em e altura igual a 2 m. Uma circunferencia
tern raio igual il base menor do trapezio. Se a area do trapezio e igua1 a 62,5 (1I"r J"Io da area da circunferenda, em m, seu perimetro e:
a) 6 +
.J6
b) 6 + /5
c) 5 + ,5
d) 2(6 + .J6)
e) 2 (5 +
.Js)
Respostas dos Testes
I.b
2.a
3.a
4.e
5.d
6.d
7.b
8.d
9.e
10.b
ll.a
12.e
l3.d
14.e
15.b
16.a
l7.e
18.d
19.b
20.a
21.d
22.a
23. a
24.d
25.b
26.b
27.c
28.e
29.d
JO.c
31.c
32.d
33.a
34. b
35. b
36. b
37.d
38. c
39.e
40. b
41. e
42.·a
43. c
44. c
45.b
46. d
47. C
48. C
49. C
50.d
51. e
52.b
53.d
54. C
55. b
56. e
57.e
58.e
59.d
6O.c
61. d
62. b
63. c
64.c
65.c
66.d
67. a
68. a
69. d
70. a
71. a
72. d
73. b
74. c
75. b
76. d
77. d
78.d
79.d
80. a
81. e
82.d
83. d
84. b
85.d
86. a
87. d
88. e
89.c
90. b
91. d
92. c
93.d
94.c
95.e
96.c
97.c
98. b
99. b
449
RESPOSTAS DOS TESTES
100. c
101. e
102. d
103. a
104.c
lOS. b
106. c
107. b
108. d
109. e
110. e
111.b
112. b
113. b
114. d
115. a
116. b
117. c
118. d
119. d
120.c
121. e
122. b
123. a
124. e
125. e
126. b
127. a
128. d
129. b
130. e
13l.b
132. b
133. c
134. b
135. c
136. e
,137. a
138. d
139. d
140.d
141. d
142. c
143. c
144. a
145.e
146. d
147.b
148. b
149. c
150. d
151. e
152. e
153. e
154.e
ISS. c
156. d
157. d
158. b
159. a
450
160. b
161. c
162.c
163. b
164.d
165. e
166. b
167. c
168. a
169.d
170.c
171. a
172. b
173. a
174. b
175. e
176. e
177. e
178. c
179. c
180.b
181. c
182. a
183. b
184. c
185. c
186. b
187. a
188.b
189. a
190. e
191. b
192.b
193.d
194. b
195. b
196.e
197.c
198.b
199. a
200.c
201. d
202.d
203. b
204.c
205.e
206.e
207.d
208. a
209. a
210. a
211. e
212. b
213.d
214.C
215.a
216.d
217.d
218.b
219.e
220.c
221. e
222. b
223.c
224. a
225. a
226. b
227.c
228.d
229.c
230. a
231. d
232.d
233.a
234.d
235.c
236.d
237.d
238.e
239.d
240.b
241.d
242.e
243.b
244.e
245.d
246.d
247.d
248.c
249.b
250. a
251.d
252.e
253.a
254.b
255.b
256.c
257.d
258.c
259. a
260.b
261.d
262.c
263.c
264.c
265.d
266.c
267.d
268.c
269.b
270.c
271.d
272.e
273.b
274.e
275.a
276.e
277.e
278.a
279.a
RESPOSTAS DOS TESTES
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
297.
298.
299.
300.
301.
302.
303.
304.
305.
306.
307.
308.
309.
310.
311.
d
c
e
a
d
d
e
d
c
b
d
b
d
b
b
d
a
c
d
C
e
C
a
e
e
e
b
C
a
d
C
a
312. d
313. b
314. b
315. b
316. a
317. b
318. c
319. a
320. d
321. d
322. b
323. d
324. c
325. b
326. a
327. d
328. c
329. d
330. b
331. d
332. e
333. d
334. b
335. b
336. C
337. a
338. C
339. d
340. d
341. d
342. e
343. C
344. d
345. a
346. e
347. b
348. d
349. e
350. d
351. e
352. e
353. a
354. b
355. e
356. a
357. a
358. b
359. b
360. I: d
II: a, b, c, e
361. C
362. b
363. C
364. a
365. e
366. d
367. b
368. C
369. d
370. C
371. a
372. d
373. e
Respostas
dos
Exercicios
19. 8 em ou 32 em
Capitulo I
20. AB = 35 em e BC = 7 em
21. (36 em e 9 em) ou (60 em e 15 em)
1. a) V
b) V
e) V
d) V
e) F
2. a) F
b) V
e) F
d) V
e) F
3. a) V
b) V
e) V
d) V
4. 4 retas
b) V
5. a) V
22. 36 em
ou 45 em
ou
20 em
23. (BM = MC. AB + BM = AM,
MC + CD = MD, AB = CD) = AM = MD
24. (AB = AC - BC, CD = BD - BC,
AC = BD) =
AB = CD
(BM = MC, AB ... BM = AM,
MC + CD = MD, AB = CD)
= AM = MD
e) V
Capitulo II
6. a) 10 em
b) 4 em
e) 7 em
7. a) 7
b) 6
8. a) 11
b) 32
9. a) 42
b) 24
d) 14 em
10. 8
Capitulo III
29. a) 31° 10'
b) 47° 30'
e) 65" 41' 3"
d) Ill" 3'
e) 31°
30. a) 46° 15'
b) 26° 5"
31. a) 15° 5' 15"
b) 10° 55'
d) 39° 29' IS"
32. a) 21 ° II' 30"
b) 31° 17' 30"
14. 25
33. a) 23° 24' 27"
b) 10" 30' 55"
c) 10" 36' 44,4"
11. 3
12. Infinitos.
Urn unieo.
13. a) F
b) F
e) V
d) F
e) V
f) F
e) 44° 44' 30"
15. PA + PB = AB
34. a) 20°
17. AB = 24 em
BC = 8 em
CD = 4 em
35. Sao adjaeemes e suplememares.
37, a) 25°
18. Sa; por soma.
38. a) 60°
360
b) 55"
e) 60°
d) 23"
b) 30°
b) 120°
e) 120°
e) 25"
RESPOSTAS DOS EXERClclOS
39. a) 15°
b) 10°
40. a) F
b) Y
c) F
d) F
e) F
41. a) F
b) F
c) F
d) F
e)
F
Capitulo IV
44. 40° e 80°
45. a) 65°
b) 43°
c) 52° 35'
46. a) 108°
b) 39°
c) 86° 45'
c) 2 (90° - x)
180° - x
d)--2e) 3(180° - x)
90° - x
f)--7g)
180° - x
5
h) 90° -
~
3
i) 3 (180°-f)
80. a) F
b) V
81. a) F
c) F
e) F
d) F
f)Y
c) F
b) F
85. 20°
86. 50°
87. x = 85, y = 50°
89. 25 em
90. 30me30m
51. 36°
91. a) 45
53. 123°
92. 3 m, 6 m, 6 m
54. 55°
93. a) LAL
b) LLL
c) LAA o
d) LAA o
56. III °
57. 30°
59. 80°
60. 15°
62. 50°
63. 135° e 45°
64. 60° e 120°
65. 50°
66. 40°
67. 54°
68. 70°
69. 40° e 140°
b) 39
72. 135°
73. 16° e 16°
74. 108°
e) LAA o
f) LAL ou ALA ou
LAA o
g) caso especial
94. T, == T R (LAL)
T, == T. (LAL)
T, == T s (LAL)
T. == Til (ALA)
T 6 == T IO (LLL)
T 9 == T" (LAA o)
95. a) I == II (LAL)
b) I == III (ALA)
c) I == II I (caso especial)
96. a) 6ABC == 6ADC (LAL)
b) 6ACB == c.ECD (LAA o)
c) 6CAB == 6FDE lLAL)
d) ..EBA == ECD (LLL) ou
.. ECA == ... EBD (LLL)
97. Porque existem lriiingulos que tern ALL (ou
LLA) e niio sao congruenles. Por exemplo, os
triiingulos ABC e ABC' da figura abaixo:
70. 156°
71. 36° e 54°
e) F
83. x = 8, y = 6
49. 67° 30'
55. 30°
d) F
84. 18
88. a) x = 4, y = 9
b) x = 4, y = 3
n°
g) Y
h) F
82. 12
48. 60°
50.
a + b = 45°
79. 64° ou 144°
43. 10°
b) I ~Oo - x
77. a + a + b + b = 90° =
78. 68°
42. Sao complemenlares.
Nao sao adjacenles.
47. a) 90° - x
75. Duas semi·relas de mesma origem que formam
urn angulo de 180° sao opostas.
B
~/
A
C
---~
A e comum
AB e comum
C'
AC '" AC'
361
RESPOSTAS DOS EXERC!CIOS
98. ex = 10°; {j = 12°
121. Use 0 anterior.
99. 16; 8, AD = CD = AC = 32
122. hip. > cal. =
100. 14; 10; I.
101. 10; 19; I.
fa> b
(a > c
=
a>~_
2a>b+c
2
102. 60°; 9°
103. Use ALA.
123. Use desigualdade triangular.
104. Use ALA.
fa<b+c =
105. Use ALA.
(a = a
106. 6CBA == 6FDE (LAAol
=
2a<a+b+c =
a + b + c
a < -"----'----=-2--'------'--
107. 6BAC == 6EAD (ALA)
124.
108. Use LLL.
A
109. Use LAL.
Ill. Use ALA.
AM
112. H: [ _
e bissetriz
AM e mediana
T : 6ABC e isosceles
ex > {j, {j > A =
A
{j > A
126. Use 0 resolvido anterior.
127. Considere os triangulos APN; BPM; MNC.
128. Considere 0 6ACA' (vide figural.
2ma < b + c
2ma> I b - c I
p
I) Tomemos P sobre a semi-reta AM com M
entre A e Pe MP = AM.
2) 6AMB == 6PMC pelo LAL.
Desta congruer.cia obtemos:
BAM == CPM e AB = PC
3) De BAM == CPM e AM bissetriz,
obtemos:
CPM == CAM, donde sai que 6ACP e
isosceles de base AP. Entao: AC = Pc.
4) De AB = PC e PC = AC obtemos
AB = AC. Entao 0 6ABC e isosceles.
129. Use 0 resultado do problema anterior.
Capitulo V
113. Nao, I 8 - 5 I < 18 < 8 + 5 e falso.
130. a) 50°
b) 60°
114. 18 cm ou 24 cm
131. a) 60°
b) 70°
6
26
115. 5 < x < 3
132. a) x = 120°, y = 75°
b) x = 20, y = 50°
116. 38 cm
117. 15 cm
119. Use 0 problema anterior e considere que ao
maior angulo esta OPOSlO 0 maior lado.
120. Do mesmo modo que 0 resolvido 118.
362
133. 30°
134. 160°
135. 45°
136. 7° 12'
137. 20°, 30°
RESPOSTAS DOS EXERCfcIOS
138. 140°
176. a) 30°, 75°, 75°
178. 48°, 72°, 60°
140. a) x = 50°, y = 60°, Z = 70°
b) x = 40°, y = Z = 120°
179. 66°, 38°, 76°
141. a) 50°
b) 40°
180. 36°, 72°, 72°
142. a) 110°
b) 120°
181. 90°
143. a) 60°
b) 50°
182. 6m
144. a) x = 30°, y = 40°
b) x = 30°, y = 30°
183.
148. a) 50°
d) 105°
c) 120°
147. a) 360°
b) 900°
b) 36°
149. a) 30°
b) 55°
c) 80°
d) 36°
48.
185. 20°
b) 30°, 60°, 90°
b) 45°
Fa~a como 0
184. 24°
145. a) 40°, 60°, 80°
146. a) 40°
c) 52°30' e 127°30'
b) 105°
139. 180°
cl 70°
186. 195°
187. 10 em
188.
A
e) 105°
r) 25°
g) x = 30°, y = 40°
h) x = 15°, y = 40°
b
b
151. x = 10°, y = 150°
a
_
152. 72°
D
B
00'4 ~~'_--b
-
153. 100°
p
154. 52°
ISS. 100°
156. 5°
157. 60°
158. 15°
159. 80°
160. 110°
161. 55°, 70°
162. 70°
163. 65°
164. 70°, 125°
I) Indiquemos as medidas AB = AC = be
CD = a, donde obtemos BC = a + b.
2) Traeemos AP com AP = b, de modo que
BAP = 60°. Obtemos desta forma 0 triangulo equilalero APB de lado b.
3) Consideremos agora os triangulos PAD e
A Be. Note que eles sao eongruemes pelo easo LAL.
Logo: PD = AC = b e APD = /00°.
4) De PD = b eoncluimos que 0 ~ PBD e is6 eeles. Note que neste triangulo PBD, como
P = /60°, concluimos que li = {) = /00.
5) Finalmeme, de Alip = 60°, DBp = 10° e
CliA = 40°, eoncluimos que CliD = /00.
165. 130°
166. 116°
167. 120°, 30° e 30°
Capitulo VI
168. 20°
169. 28
189. a) 70°, 40°
b) 60°, 40°
170. ex eexterno no 6ABD e (3 eexterno no 6ACD.
190. a) 65°
b) 61°
171. 20°
191. 110°
172. 2m
192. 40°
174. 50°
193. a) 25°
175. 12°
19S. 80°
b) 145 0
c) 160°
d) 40°
363
RESPOSTAS DOS EXERCiCiOS
196. 70°
Sendo M 0 ponto medio de DE e indicando
AB = e, temos DM = EM = e.
Note que tam bern BM = r.
Desta forma concluimos que os triangulos
ABM e BME sao isosceles. Indicando os angulos das bases, obtemos x = 36°.
197. 40°, 50°, 40°
198. 20°
199. 36°, 72°. 72°
b) 20°
201. a) 25°
20 2. ~
3' 30
222.
B
203. 50°
204 . ~
2
205. 56°, 34°
206. 80° e 10°
l,-l--"------~C
207. 52°
208. Considere que a mediana relativa il hipotenusa
determina dois triangulos isosceles.
209.
Pelo ponto S trace SR perpendicular a BC com
Rem BC.
Note que os triangulos BAS e BRS sao congruentes.
Donde vern AS = RS.
(1)
No triangulo retangu!o SRC, temos:
RS < SC
(2)
De (1) e (2) vern: AS < Sc.
'" + {3 = 90°
=
ote que jj = t = 70°. Logo liP e bissetriz de jj
2~) No L\.BPC, temos B = 35°, C = 55°.
Entao, P = 90°.
3~) No L\. CBE, liP e bissetriz e altura.
Entao 0 L\.CBE e isosceles de base CEo
Logo, P e ponto medio de ft.
4~) Agora, como no L\.DEC, DP e mediana e
altura, concluimos que ele e tam bern isosceles de base EC. Entao E = 15° e
x = 75°.
223. I~)
2", + 2{3 = 180°
A
90°
211. Use LAAc.
212. Use LAL.
213. Use ALA.
214. De fato, elas formam sempre angulos de 45° e
135° .
215. Use caso especial de congruencia (L\. relangulo).
217. Nao, pode ser paralela ao segm.ento.
218. Sendo M 0 ponto medio de AB, as retas sao:
paralela il reta AB, por P, e a reta PM.
219. cateto < hipotenusa; ha < b; ha < c
r
1~ parte: use 0 anterior
220. l2~ parte: verifique que 2ha > b + c - a
221.
Capitulo VII
224. a) 120°
b) 75°
225. a) 130°,70°,9.'°,65°
b) 55°, 105°,70°,130°
226. a) 35°
b) 70°
227. a) 70°
b) 100°
228. a) 220°
b) 125°
229. 180°
230. a) 80°, 105°
231. 140°, 40°
364
b) 125°,70°
RESPOSTAS DOS EXERCiCiOS
232. 115°
268. Use angulos adjacentes e suplementares.
233. 40°
269. Use triangulo isosceles.
234. 34 em
270. Use LAAo.
235. 56 em
271. Use base media do triangulo.
236. a) V
237. a) F
b) F
238. ai F
239. a) F
b) F
d) F
c) V
b) V
b) F
c) F
d) F
e) F
c) V
f) V
d) V
c) V
e) V
f) V
g) F
h) F
272. Use soma de angulos de triangulo, soma dOl; angulos de quadrihitero e angulos correspondentes.
273. Una E com 0 ponto medio de BC e prolongue
i) v
j) V
ate encontrar Ail e use congruencia.
240. 12 em e 8 em
Capitulo VIII
241. 109 em e 35 em
242. 30 em e 12 m
274. a) V
243. 50°, 130°,50°, 130°
244. 70°, 110°, 70°, 110°
245. Se urn triangulo tern dois angulos complementares, entao ele e triangulo retangulo.
b) V c) V
276. a) 3
246. 130°
d) V e) F
275. a) equil<itero
b) equihitero
c) retangulo
d) obtusangulo
f) F
g) F
e) obtusangulo
f) retangulo
g) acutangulo
b) 7
c) 9
247. 60° 120°, 60°, 120°
277. x = 7, y
248. 70°
278. Trace a diagonal BD e P e 0 baricentro do triangulo ABD, x = 8.
249. 10 em
279. 30°
250. 40°,40°, 140°,140°
280. 25°, 25°, 130°
251. 143°
281. 70°
252. 70", 110",90",90", 160°, 160°
253.
12, Z = 5
282. (50°, 50°, 80°) ou (65°, 65°, 50°)
4
3
283. a) x = 4, y = 6
254. a) 75°
b) 15°
255. a) 5
b) x = 6, y
19
2
256. 17
285. 60°
257. 38 em
286 . ..!.l. ou ~
12
13
259. losango: congruentes
retangulo: perpendiculares
287. 120°
260. congruentes e perpendiculares
262. 16 em e 24 em
263. 10 em, 6 em, 16 em
264. a) 4
b) x
3, y = 4
c) x + 10, y = 13, Z = 19
d) x
20, y = 6
b) 4
284. a) circuncentro e ortocentro
b) circuncentro
c) ortocentro
288. 5 em
289. 10; note que P e baricentro do triangu!o ACD.
290. 33 em; note que os triangulos RBQ e seQ sao
isosceles.
29 1. 90 0 + ~.
2 ' 90° + ~.
2 ' 90° + ~
2
265. Urn triangulo retangulo que tern urn angulo de
45° e isosceles.
Capitulo IX
266. Cateto oposto a urn angulo de 30° e metade da
hipotenusa (use triangulo equihitero).
292. Use soma dos angulos do triangulo, decompondo 0 pentagono e 0 hexagono.
267. Use 0 paralelogramo que elas determinam.
a) 540°
b) 720°
365
RESPOSTAS DOS EXERClclOS
293. a) 70°
b) 110°
294.a) 110°
e) 90°
b) 52° 30'
d) 120°
e) 120°
e) 50°
d) 60°
Capitulo X
295. a) 100°
b) 150°
336.12
296. a) 60°, 120°
b) 90°, 90°
e) 108°, 72°
d) 120°, 60°
337.9 em
338. a) 6
b) 9
297. a) 66°
b) 12°
339. a) 125°
b) 145°
298. a) x = 54°, y = 63°
b) x = 30 0 ,Y = 45°
299.1 260°
340. 18 em, 10 em
341.18 em, 12 em
300. I 440°
301. 3 240°
342.2 em, 3 em, 4 em
305. eneagono
343. a) 140° (6PAQ e 6PBQ sao isoseeles e eonheeemos a soma dos angulos opostos as bases.)
b) 130° (Considere a tangente eomum por Q
e prolongue ffP, obtendo desta forma
dois triangulos isoseeles.)
306. undeeagono
344. a) I
b) 0
307, hexagono
345. a) nenhuma
b) 4
308. 150°
346. Pode; a eorda e urn diametro.
310.17
347. Quando os raios estao na mesma reta.
302. dodeeagono
303,35
304.170
c) 2
e) 2
d) 3
311, 28
348. E tangente a ambas.
312. quadrilatero
349. Sim; quando esta eorda e 0 diametro.
313. Sim; quadrado.
314, 90
315.20
316.5
317. zero
318.35
319.12
320.20
321. 36° ou 144°
322.90
323. 14
324. 300°
325.5
326.6
328. heptagono
329. 8
330. 14 e 54
350. a) exteriores
b) tangentes exteriormente
e) tangentes interiormente
d) eoneentricas
e) seeantes
351. 24 em e 42 em
352. 8 em e 3 em
353.12em ou
18em ou 24 em ou 30 em
354. 4 m, 8 m e 21 m
355. 4 ,5
357.2 em
358. 24
359. Vide ex. 356.
360. p-a; p-b; p-e
361. 20 em
362. 12 r
363.22 em
364.4 em
365.6 em
331. 8
b + e- a
333. dodeeagono
366.
334. 10
367. P - r
335. nenhuma
369. 56 em
366
e) I
2
RESPOSTAS DOS EXERCfclOS
370.6
393.60°
371. 18 cm; 10 cm; 12 cm e 16 cm
394. a) 80°
372.2 cm
395. a) 75°
373. 20 cm
396. 60°, 60°
374. Use a propriedade dos lados opostQs de paralelogramo e quadrilatero circunscritivel e a defini<;ao de losango.
397. 70°, 60°, 50°
375.
c) 52°
_ b) 90°
b) 72°
398. ~
7
399.80°
c
400. 30°
401. 76°
R
D
A
402. 30°
403. 105° e 55°
R
B
404. 60°
405. a) 160°
b) 80°
407. Una pomos opostQs e use angulo in crito.
408. Use exercicios 407 e 406.
Sendo 00 cemro, AB 0 diametro e CD uma
corda qualquer que nao passa pelo cemro, considerando 0 lriangulo COD, vem:
CD < OC + 00 =
CD < R + R =
= CD < 2R = CD < AB
376. Use 0 caso especial de congruencia de triangulos (catelo-hipolenusa).
409. Note que a hipOlenusa e 0 diametro do circulo
circunscrito.
410. Vide exercicio 409.
412. ASH, == ACH 3 (lados respecliv~meme perpendiculares)
ASH, == AH,H, (considerando 0 arco AH, na
circunferencia de diametro AB)
ACH 3 == AH,H 3 (considerando 0 arco AH 3 na
circunferencia de diametro AC).
Capitulo XI
377. a) 35"
b) 100°
c) 60°
d) 25°
e) 50°
f) 10°
378. a) 80°
b) 30°
c) 60°
Capitulo XII
413. a) 3
379. a) 35°
b) 10°
380. a) 65°
b) 50°
414. a) ~
3
381. a) 130°
b) 245°
415.25
382. a) 70°
c) 150°
b) 98°
3113. 80°
384. a) 65"
b) 112°
391. 40°
392. 35°
c) ~ .
3 '
.!.!.
5
416. 18
418. ~; p . .E..... 18
5
-, 5 .
421. ...!2..; 12; ll.; 24
387.40°
390. 55°
d) 6
419. 12; 18
386. 45°; 95°
389. a) 50°
e) 15
417.24
385. 110°
388. a) 50°
b) 12
b) 20°
b) 10°
2
2
422. 5 em
423.~em
4
424 . .2Q. em; ...!..§2. cm; ~ em
7
367
RESPOSTAS DOS EXERCIClOS
425. 80 m, 60 m, 40 m
457. 21
426. x ;
458. 10 m,
IS, Y ;
16
427. Considere DE', eom E' em AC, paralel0 a BE.
Usando 0 teorema de Tales, prove que
CE' ; CE, donde obtem-se E' ; E e eonsequentemente DE paralel0 a BE.
428. a) 4
e)~
b) IS
429. a) 12
3
b) 4
12 m,
14 m
459. a) 5; 4
b) 12; 4
460. a) 9', E3
b) 7; 10
461. a) 6', J.Q..
3
b) J2..,. 5
2 '
462. a) 6
b)~
5
430. 30
463. 12 em
431. 15
464. a) Use I ~ easo de semelhan~a.
b) CD ; 14
432. 5; 4
433. 8
465. 4
434. a) 20 m ou 15 m
b) 9 m
466.
25
436. 30 em
3
437. 42 m
63
467. -em
5
81
438. 32 em ou -8- em
468. a) ~
3
439. 24 m, 36 m, 40 m
b) 21
440. 15 em, 36 em, 45 em
441. 40 em
469.
442. 40 em
443. 15
470.
444. BC ; 5 em;
AB ; 6 em;
AC ; 4 em;
CS; 10 em
45
4
b2
a-b
471. 16
472.
12
5
473.
474. IS em;
Capitulo XIII
b) ~
445. a) 21; 18; 15
477.
447. 28
'
480. 30 (2~ easo de semelhan~a)
b) 40
431. 21 em
450. 8 m, 10 m
482. ~em
452. 100 em
4
453. 36 em
483. 6ADB - 6ACE
454. 15 em
3
=
AD; 2 em
484. Traee 0 diametro CD e 6ADC - 6HBA:
~ em' 8 em' ~ em
456. 7,2 m
368
479. 4 em
'3
449. a) 12
455.
IS
17
T;
-2-
478. 16 em
~ em' 6 em' ~ em
3
476. 6; 10
2
446. 16; 14
448.
25 em
475. 10 em
'
R ;
'3
485.
4.
2Rr
R + r
RESPOSTAS DOS EXERC[CIOS
486. Prolongue FO e use semelhan~a: x = 8 m.
509. a) 2,29
b) 9
510. Nao esque~a de
b2 + a2 :::;:; n2 ,
c2 + a2 :::;:; m1 ,
I
I
I
ffi2 + nz = lil'
511. a) 6
b) 3
c) 8
d) 9
512. ~.~.~. 13
13' 13' 13'
513. a) 10' ~
b) 4; 4-3
514. a) 3,5
b) 2
•
SIS.
487.
Trace a bissetriz inlerna AS do triangulo e use
a semelhan~a entre 6 ACB e 6 SAB.
5
5'~'~' ~
,
13' 13' 13
516. a) 9
b) 5
BC = 4,6m
488.
Una A e B com Q. Dos quatro triangulos obtidos os opostos sao semelhantes. Da semelhan~a obtem-se x = 6.
489. AB = ,ab
b) 9
c) 4
d) 4
e) 3
492.
a) 3,17
b) 6
493.
a) 65
b) 9
495.
a) 2,10
b) 2(1 +
496.
a) 16
b) 13
f) 3
5)
6Ji4 em
(,2 - I)R
a) 4,2
b) 6
b) 5-3
b) 12
c) 5 ou 45
521.
a) 17
b) 10
522.
a) 5
b) 10
524. a) 5
d) 17
(pois AB == AC).
Entao sao semelhantes pelo I ~ caso.
..!.!..
4
d) 4
b) 12
b) 7
527.
a) 12
b) 12
5
A e comum aos triangulos e ADB == AB?
c)
a) 2,13
528. a) 6 m
504. IOcm
b) 4
526.
529. a) ~
503. 2 em ou 3 em
50S.
b) 6,2
519.
52S. a) 6
500. 91
502.
a) 13
523. 4.J3
497. 20
501.
a) 12
518.
520. a) 6
490. Prove que 6PST - 6RQP.
491. a) 6
517.
b) 17 m
b) 12
530.
a) 2 m
b)~m
531.
a) ~
b) 6
5
5
532. 5,2 m
533. 2,'T3 m
534. 24 m
535. 4,3 m
Capitulo XIV
506. a) 5
507.
b) 12
.:7
d)
35
2
b) 24
c) 20
12,3 m
537.
8m
5,7
538. - - m
4
539. -48m
b) ~
a) a.(3
508. a) 12
c)
536.
5
d) 8
540.
17 m
369
RESPOSTAS DOS EXERC!CIOS
541. 5 m e 10 m
576.
542. 10 m
543. 10 m
577.
(3 - 2.[2)a
2
a(.[2 - I)
2
544. 30 m e 16 m
578. 30 em
545.8 m
48
64
36
5~':5em':5em':5em
9 16 12
547. 5; 5; :5; -5-
579. (I) Considerando E entre as montanhas,
obtem-se 3 478 m aproximadamente.
(2) Considerando a menor entre E e a maior,
obtem-se aproximadamente I 421 m.
580.6 em
548. -2-
581.~
549.2 m
582. 24(]2 + I) em
550.20 m; 15 m
583.~
551.T
584.3 m
an
5
6
552. 30m km
585. 4(3 + ,3) em
553.3 m
586.48 em, 50 em, 64 em, 36 em, 14 em, 100 em
554.8
587.~
2
2
a - 4r
555.3 em
556.2!R;
588. .[2 be
b + e
557. 10
589. Use Pilligoras.
558.36 em
590.~ (h + ~h2 - a2)
559.12 em
a
560. 12 em
591. Note que 0 6EOC e retiingulo em O.
561. 21 em
592. Use 0 teo rema .das bissetrizes.
562. 12 em
593. Sendo 0 0 ponto medio de AB, 0 6EOD e
retiingu10 em O.
563. 8.[15 em
564.8 2 em
1
594. a) 2
565.2.JxY
566.5 em
567.12
595. a)
n
1-
b) ~
5
e) ~
5
oJII
e) -6-
b) ...!...
2
4
596.a) 5
b) ,3
e) ~
3
569.12 em
597.a) 10
b) 3.[2
e) 10
570.5 em
598.a) ~
568. Jb 2 - 3, b >
571. 12 3 em ou 6 7 em
b) 2,'3
572.10 m
r
599. a) 6; 6,3
573'3
b) 8; 4n
574.4
e) 6.[2; 6
2 - .[2
575'--2-
d) 18; 6[5
370
e) 12; 10
e) 36
d) 16,3
RESPOSTAS DOS EXERClclOS
600. a)
620. ..2. r
5
621. ~ (sen '" + cos'" - I)
2
622. 2(,)3 + 1) em
623. a) Cdlculo de x
3
b
313
3D'
\a
~~riA
6
Prolongando 0 segmento de 3, acha-se a, depois b e depois de x2 = b 2 + 32 oblem-se
6
x = 6[7.
b) Prolongando 0 segmento de Dale enconIrar os do is lados do angulo de 60°, Oblemse urn Iriangulo equilatero, donde x = 6.
601.
602.
8D m
6D m
6D = 3h
h =
[
x2 = 3; + (6 - h)2
Entao: x2 = 9 + (6 - 3D)2
603. 4.[5 m
604.
Considerando as medidas indicadas na figura, temos:
312 m
=
X
= 6J2 - ,3 ou x = 3(16 - ,;2)
605. 2.[5 m
606. h m
Cdlculo de y
607.
251 m
608.
3h m
2
609. 12 m
610. 45'
aD
2aD
611. -3-; - 3 -
612. 15(3 +
613.
h) m
122 a; J5 - 2[2. a
614. Db
615. ~
2
616. 30'
a
Ig300 = 6 _ a
617. 20n em e 240 em
=
618. ...!...
2
sen 45' =
619. 2 dm
=
.Ja = _a_
6- a
3
a = 3(D - I)
a
Y =
~
2
a
-2- =
Y
r:-
y = a,J2 = Y = 3(,,6 - ,2)
371
RESPOSTAS DOS EXERCfcIOS
b) Considerando as medidas indieadas na Figura, lemos:
633. Lei dos senos e propriedade das propor~oes.
634. Lei dos senos e propriedade das propor~oes.
635. a) ...!2...
4
6
b) 3
636. a) 3; 4
b) I; 2 2
637. a) 3
b) 2h
638. a) 14
b) 5
639. a) 60°
e) 10
d) 2~6h + 13
b) 120·
640. 14 em e 2 129 em
641. a) aeulangulo
b) oblusangulo
e) relangulo
3
I
19 0 ~ 6 + 3h ~ ~
[
=
d) aeulangu10
e) oblusangulo
642. obtusangulo
643. 12 m
6- a
19O ~ - a -
644.6 m
645.24 m
6-a
a
a
Agora: sen 45° ~ ~
=
a ~ 3 + d
= 2.;z ~ -3+d
x- =
646·8em
647.6 em
648. 12 em
8
58
649. 5' em; -5- em
x ~ 3,2 + ,6
650. ..!2.. em
8
651. Nao, pois 0 lriangulo leria dois angulos
ObluSOS.
652.2
Capitulo XV
1
d) 2
653. ...!!..
16
3
b) - -2-
2
e) -2-
654.20
2
e) - -2-
1
624. a)_3
2
f)
-2
655.~
2
656. zero
657. !..
2
625. a) 6-/2
b) 6,'6
626. a) 4h
b) 9 2
659. sflO em
627. a) 6-/2
b) 12J2
660. J46 em
628. a) 105°
b) 45° ou 135·
658. 13:3
661. 4[7 m; 4 19 m
662. 6fi em; &f3 em, 24 em
4/6
629. -3- em
663. Nao, use a lei dos eossenos.
630. lOh em
665. Vide leoria.
664. haz + 2b z - eZ
631. 3D·
666. Vide leoria.
632. Lei dos senos e propriedade das propor~oes.
667.60°
372
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS
Capitulo XVI
668. 3h2 + ,6) em;
3J40 + 10 em
3J40 + 14 em
669. NOle que A e t sao suplementares. Aplieando
a lei dos eossenos nos triangulos ABD e CBD,
oblem-se BD = 14 m.
670.
685. a) 60°, 30°, 30°
b) 36°,72°, 10So
686. 15°
687. 9°
688. 360 lados
A
689. 24°
e) 2
f) 3
691. a) 2
b) 3
n-2
g)-2-
d) 5
h)~
2
8
5
B~----+--.,.,.----~C
692. 2 160° ou 2 340°
693. 126
5
694. I SOOo
Q
1) Considere urn ponto Q externo ao triangu10 BQ = 5 e CQ = 7. NOle que
{:,PBA '" {:,QBC (LLL), donde obtem-se
PBQ = 60°. Entao {:, PBQ e equil:itero.
Logo, BPQ = 60° (a = 60°).
2) Aplique lei dos eossenos no {:, PQC.
Obtem-se (3 = 60°.
3) a = 60°, {3 = 60° =- BPC = 120°.
Aplique lei dos eossenos no {:, BPC.
Oblem-se x = ,129 em.
671. 4.J2
672. 3.J2
673. 616
b) ,19
674. a) 3
695. IS
696. 2520°
697. 17
69S. 54
699. 20 e 24
700. a) 3,3 m
e) d m
b) 2,,3 m
d) dm
701. a) S 2 m
e) 4 m
b) 4.J2 m
d) 4 m
702. a) 12 m
d) 6,'3 m
b) 6 m
e) 3d m
e) 35 m
3
675'4
sf14
sf14
4 14
676. - 3 - m; - 5 - m; - 3 - m
~
flOs
r:;
677. 2,6em; -2-em; 12,7 em
678.
e) 4
Jm e + n b + mn(b
+e
---'
2 2
2 2
2
m+n
2
-
a 2.:c..
)
703. a) 6.;2 m
b) 12 m
e) 4,3 m
704. a) 6 2 m
b) 6 m
e) 65 m
70S. a) 3 m
b) 3D m
e) d m
706. a) 12 m
b) 45 m
e) 12,'3 m
707. a) 6,2 em
b) 6,3 m
e) 6 m
708. a) 6 2 m
b) 4,'3 m
e) 12 m
679.6; S
680. IS; 9
681. Ver teoria, item 206.
682. Ver leoria, item 207.
709. a) 2 em
b) 4 3 em
683. Vcr teoria, ilem 209.
e) 2 em
684. Ver teoria, ilem 210.
d) 4 em
373
RESPOSTAS DOS EXERCfcIOS
710.
5.[3
a) -2-cm
c) 5.[3 em
5.[3
b) -2-cm
725. 0 angulo central ao qual fg e oposto mede 45°.
Entao: f = Rh - .J2.
726.
R = .!.. ~ 4 + 2.J2
727.
f~4 + 2J2; f(.J2 + I); f~2 + .j2
2
711.
.J2
2
712.
4./6
9
713.
./6
3
c) AC = f, =
R~2 - .J2; R~2 + .J2
d) AD =
714.
728.
a) R =
+
b) AE =
2
(f5 + 1)
f~5 + 2f5
+
~rl-O-+~2-f5=5
+
~ 14 + 6f5
7211. x = ~ (f5 - I)
2
715.
2
3
716.
I + f5
730. x = ~ (f5 + I)
2
2
731. d = .!.. (f5 + I) [Use 0 problema anterior.]
2
717. (f5 - I) m
718. Vide problema 4 da teoria.
7111. Note que 0 apotema do decagono regular, 0
raio R da circunscrita e a metade do lado do
decagono formam um triangulo retangulo com
um angulo agudo de 18°.
f5 - 1
Obtem-se sen 18° = - - 4 - '
720. Vide problema 5 da teoria.
721. Note que a"
tf e R formam um triangulo
732. a) Como os triangulos A'AB, B'BC, CCD,
D'DE e E' EA sao congruentes e isosceles de
bases AB, iiC, CD, DE e EA, concluimos
queA' = S' = (: = D' = E'
diferen9a obtemos
CD epor
CD.
A'B'=B'C'=C'D'=D'E'=E'A'
De
CD e CD
decorrequeA'B'CD'E'
e pentagono regular.
b) Aplique duas vezes 0 problema 728.
f
-
Obtem-se "2 (3 - \ 5).
retangulo eom um lingulo de 36°. Dai vem:
~ 10 - 2f5
sen 36° = ---'--4"--
Capitulo XVII
f5 - I
723. cos 72° = - - 4 -
JW=2J5
cos 54° =
4
f5 + I
sen 54° = - - 4
724. Use a lei dos senos, f, e 0 resultado do problema anterior.
a) sen 72° =
b) cos 18°
374
733. a) 16.- m
b) 26.- em
e) 12.- m
734. a) 45.- em
b) 30.- em
c) 36.- em
735. a) 48.- em
b) 16.- em
736. a) 12.- m
b) 32.- m
737. 205.- em
738. 280.- m
hf5 + 10
7311. 8.- em
4
740.2, em
2
741. 2 em
RESPOSTAS DOS EXERC!CIOS
3
742. -em
2
...d743. a) 12
b)~
8
e)~
6
769. 4 2.- em
770. 2
...d
3
37rd
f)
8
e)
g
) 51rd
d)~
12
771. 512... em
772. 4 em; 16 2 em
773. 20(3 + ..) em
774. 4(3J3 + 2.-) em
775. Use 0 teorema de Pitagoras.
4
744. 2.. m
745. Aumenta em 4.. m.
Aumenta em 6.. m.
Aumenta em 2..a m.
746.
1
2..
747. Dupliea.
748. 1800
749. -5m
2..
750. 50"70
751. 2 rad
752. Aumenta 2..k.
753.
2..R rad
G
Capitulo XVIII
776. a) I ~ III
b) I ~ " ~ III
c) I
"
d) I ~ II ~ III
e) I ~ II
778. Mesma base e mesma altura.
779. Sim. Base horizontal igual a base vertical e alturas relativas iguais.
780. Nao.
781. Nao; a base do triangulo e0 dobro mas a altura nao e a mesma do quadrado (e
~ dela).
782. Nao; mesma base e alturas diferentes.
755. -150
-m
783. Dobrara.
756. 10350; 94
784. A diagonal divide 0 paralelogramo em (riangulos equivalentes. Por diferen~a eoncluimos que
os retangulos som breados sao equivalentes.
.
757. 2... m; 200.. m
4
785. Vide exercicio anterior.
758. .. em
786. Sim; vide teoria .
759. Aproximadamente 314 m.
787. Vide teoria.
300
760. --em
788. Vide teoria.
761. 125 em
789. Como os quadrados maiores sao eongruentes
e os triangulos retangulos sao eongruentes obtemos: PI ~ P z + P 3 ·
..
762. Aproximadamente 95 m.
763. E igual.
790. 6PAB ~ 6DAB
]
6P'A'B' ~ 6D'A'B' =- 6DAB ~ 6D'A'B'
764. Aproximadamente 15 900.
E como a diagonal do retangulo 0 divide em
765. ~em
.
triangulos equivalentes. eoncluimos que os retangulos sao equivalentes .
.
791. Considere os triangulos eBG e ABE. Pelo LAL
eles sao eongruentes. Do problema anterior de·
duzimos que 0 quadrado e 0 rerangulo sombreados sao equivalentes.
766. 2. em
767. ~ rad
5
768. 51r em
792. Aplique duas vezes 0 exercieio anterior. 0 res(0 sai por soma.
375
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS
2 2d 2
816'-9-
Capitulo XIX
793. a) 36 m 2
b) 40 m 2
e) 18 m 2
d) 24 m 2
e) 32 m 2
g) 40 m 2
h) 12 m 2
i) 18 m 2
j) 15 m 2
k) 21 m 2
1) 24 m 2
794. a) 6 m
b) 10 m
e) 4 m
d) 2 m
e) 3 m
f) 4 m
f) 40 m 2
817 A = ~ = -.!.... (a . a,'3) = a ,'3
.
2
2
2
4
2
818. a) 25J3 m
820. a) 2.J2 m
822. a) ,'(; m
b) 48J3 m 2
824. 36 m
797. a) 28 m2
b) 90 3 m 2
798. a) 60 m
b) 48 m 2
e) 163m2
d) 9[5 m 2
825. 54 m
f) 18,3 m
b) 6m
827. 60 m
g) 12,'3 m 2
h) 72 2 m 2
i) 14 m 2
e) 72J3 m 2
f) 75J3 m 2
b)
,3 m
834. 256 m
2
836.24 m
837. 600 m
2
838. 96 m
2
831. 116 m
832. 96 m
2
2
839. 3 m; 15 m
2
799. a) 120 m
b) 72 2 m 2
2
2
835.95 m 2
2
830. 33J3 m
2
e) ;J m
833. 45,S m
2
828. 108 m 2
829. 84 m
Wm
e)
d) 64 m 2
1
826. 100 m
2
e) 32J3 m2
800. a) 210 m 2
b) 180 m2
e) 30 m 2
e) 72,'3 m 2
821. a) 50 m 2
b) 243m 2
e) 273m 2
2
2
b) 12,3 m 2
819. a) 96,3 m
b) 24,'3 m 2
795.6 m
796. a) 120 m
2
2
840. 24 m
2
2
2
841. Cada triiingulo lateral tern 0 dobro da area do
triiingulo dado.
d) 32J3 m 2
e) 21,3 m 2
-.!...
b . h
2
I
f) 30,3 m 2
801. 80 m 2
~b'
h
2
2
803. a) 20 m
2
b) 2(25J3 + 48) m
2
843.
804.4em
8OS.4em;6em
806. 12 em; 6 em
807. 24 em 2
808. 10 em; 6 em
2
809. 112 em
2
810. 135 em
811. 864 em
812.
2
25,'3
36
813. 8em
729
2
814. --em
4
815.
376
17
15
As areas indieadas por letras iguais sao iguais
porque os triangulos tern bases eongruentes e
alturas iguais.
Pela mesma razao, temos:
2B + A = 2C + A, donde B = C.
Ana!ogamente obtem-se A = B.
844. a) ~k
3
b) ~ k
5
e)
l.. k
8
d) _1_1 k
24
RESPOSTAS DOS EXERClClOS
845. a) ~ k
b) --'-- k
3
60
846. Observe que 0 ponto E e baricentro do L'lBDC.
Dai sai que area EMC =
-&:
S.
847.
rl~
852. ->/10 + 2,5
4
A
x
"2
854.
A
c """:::::...-+--_-~+......--=-~ B
2y
Observe as nota90es x, ~, 3y e 2)' na figura
e ainda que:
x + [
X
2
k
+ 2y = 2 5
~ + 5y = ~
2
Observe que:
3
84+x+40
y + 35 + 30
8
Dai conclui-se que x = 39 k.
Siga esle caminho e ache x = 56 e y = 70.
Dai se deduz que a area pedida e 315.
848.
855. a) 30 m 2
b) 12,2 m 1
A
856. S = 2A
=2(
S = ab sen or
B£==---6---~----'"
c
+
ab sen or)
857. a) 90 m 2
b) 36,3 m 2
c) 40,'2 m 2
d) 96,3 m1
858. 32 m1
Ligue A com F. Sendo x a area do L'lFVC, a
area do L'lFV A sera 2x.
Sendo y a area do L'lFAR, a area do L'lFBR sera 2y.
Observe que:
3x + y = --'-- k
3
2x + 3y = ~ k
3
Dai sai x = ....!.... k
21
y =
860. Some as areas dos qualro lriangulos.
861. a)
c) 8,21 m 1
862. a) ,5
160,231
b) -2-3-1-
10,3 m 1
b) 24,6 m 2
~k.
21
Use analogia e chegue 11 resposla, que e area
DEF = --'-- k.
7
859. 162 m1
863. a) 8, 14 m2
8d4
c) -3-m
4d4
b) -3-m
d) -7-m
45,14
e)~m
4,14
377
RESPOSTAS DOS EXERC!CIOS
888. a) Ligue B eom D e some as areas dos
triangulos:
864. 4,3
865. 50,) em'
163m'
866: 320 em'
b) Prolongue AB e CD e subtraia as areas dos
triangulos:
867. 12 a'
868. 48 em'
h',)
889. Prolongue os lados de modo a obter triangulos
equilateros:
869. - 3 870. 4813 em'
871. 270 em'
890.
872. 150 em'
4
874. a'
6
875. 2(,3 + I) em'
,
70013
,
876. -I-\-m
A area pedida
\
. . «.. . . . \5 "" /6
~
-
e3 vezes a area do triangulo som-
breado:
4
72 m'
878. 3,3 r'
891. Obtenha 2 triangulos: urn de altura 2a e outro
de altura 2b:
4ab
sen ex
879. Use Pitagoras.
9
880.
4
881. 3em
892. a) 25.. m'; 10.. m
25
882. -em
8
883.
8
5
' ....
3R',)
877.
o3
~
be
873.4""
b) 36.. m'; 1211" m
..d'
e) -4-; ..d
25
12
d) 521r m'; 4,J!3 .. m
e) 36.. m'; 12.. m
f) 81 .. m'; IS.. m
g) 8'" m'; IS.. m
884. 12(,2 + I) em
885. 5013 m'
836.
~+..!L+.E...=~
222
x+y+z=h
887.
378
,2 ab
4
893. a) 100.. m'
b) 289.. m'
894. a) S4.. m'
b) 257< m'
e) 48.. m'
895. a) 4.. m'
b) 7.- m'
e) 30 m'
d) 18 m'
896. a) 900.. em'
b) 600.. em'
d) I 200.. em'
e) 170.. em'
e) 450.. em'
f) ~ .. em'
2
897. a)
~ (.. - 2n) m'
b) 3(.. - 3) m'
e) 3(4.. - 313) m'
2
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS
909. a) .. ~ 2 a'
898. a) 12(211- - 3,) m'
b) 36(.". - 2)
m'
b)~a'
e) 18(31r - 2,"2) m'
d) 12(5r. - 3)
2
m'
899. 16.". em'
,
900 a) ~
•
12
. b)
b)
e)
d)
e)
8 - 1r
.,
911. a) - 2 - em-
e) (4 - 1f) em'
b) 2(1f - 2) em'
,
4 - w ')
912. - 8 - a -
r'
913. a)
8
901. a)
b) 4(4 - ..) em'
1fr'
e)~
6
d)
910. a) 8(4 - ..) em'
..
4
(3 - 25).. a'
16
b) 100(4 - ..)
25
~
e) 2
(2,3 -.".)
(1f - 3)R'
12
(1f - 2,(2)R'
d) 12(211- -
8
e)
(211- - 3,)R'
3,)
16
"3
(4.". - 3,3)
12
914. 25(2,) - ..) em'
(.. - 2)R'
4
915. a) 64.. em'
4.. - 3 3
R'
12
31r - 2,"2
f)
8
b) J9211- em'
,
R
916. 25.-
g) 51f - 3 R'
12
911. a) 25 .. em'
902. 811f em'
b)
903. a) 8(1f - 2) m'
125.- em'
4
918. 98 em'
b) 3(211- - 3,) m'
e) 4(41f - 3,) m'
919. a) 18(.. + 2,3)
d) 4(4 - 1f) m'
e) 18(2,'3 - 1f) m'
b) 1fR'
3
f) (3,) - 1f) m'
910. 1:r 2
904. 4(.. - 2)
905. (3,) - ..)
r'
921.
1f['
4
906. 50(211- - 3,) em'
.. + 14 ,
922. - - 8 - a -
901. 3(4.. - 3,) em'
908.
a)~a'
4
b) (.. - 2) a'
2
e)~a'
4
923. (2" - 3,)) em'
924.
43 .. (12 + 4m - m'), 0 < m < 6
379
RESPOSTAS DOS EXERCIcIOS
926. 2(4 - 1T) em 2
a
945. Use area do setoL
2
946. 5 I = 52 + 53
T
927. a)
2
947. (24./3 - 1I1r) R2
54
b) ...!!....
9
1T + 6./3 2
72
a
c)
949. Trace urn quadrado pela interse~ao das duas semieireunferencias.
4
~
2
929. 9 (lh - 12d) em
25
2
930. '"6 (21T - 3,3) m
931.
41T - 3,"3
12
a
2
950. Trace 0 triangulo retangulo APB.
951.~
8
952. Mome que A = B = C = 0
338(41T - 3,3)
953. --:-:-_-;-;.a::;b-,;-e-;-;-_-;4(p-a) (p-b) (p c)
25
954. ~em ...!.!2... em
40
• 5
3
932.
933. -
,
(2,3 - 1T) em-
4
934. ~ (2 + ,21T - 21T) em 2
2
2... (412 + 1T - 4) em
955·3
956. Use area do triangulo.
2
958.~
16
r:;
959.~
2
960. Sim.
938.2
939.~
961. ~
2
24
962.~h
940.2...
4
2
963·9 m
941. 3(21T - 35) em 2
21T - 3./3
942.-------,=
964·17 m
965.324 m 2
966·10 em
967. 100(3 - .[5) em 2
380
=4'
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS
968.
r2
2
992.
969. 2r 2; 4r 2
970.
993. 12 em
J5 - I
994. 144rr em 2
-8 ,e'E~J
971. 200(1 + .f2) em 2
995.
972. 72.f2 em 2
996. (2.[3 - 3) a 2
973. 2(.[3 - I) R 2
974. 289.[3 em
27.[3
2
997. -2-em
2
998.
975. 2d 2
976.
1728
,
999. -1-3- em'
.[3
4
1000.
977. 30 0 ou 150 0
1001. 16 por 13,5
978. 3(.[3 + 2) R 2
979. Use area do cireulo ex-inserilO.
980.
(2.[3 - I) 2
44
a
981. 9(2 982.
1004.
.[3)2 R2
984.
4
25
985.
1006. 12'~' ~
, 5' 13
1007. As dimensoes do retangulo sao:
~+~
2
~-~
2(3 + 2.[3)
3
2
onde d e 0 diametro do cireulo.
986. rrr
987.
988.
d :;;, I a I 2 (Se d ; a.f2 temos 0 quadrado.)
mem
1008.
2(2.[3 - I) rrr 2
W+48O- ~
989. 6(4rr - 35) em 2
(19rr - 12.[3)
3
991. 3[7 em
W+48O+~
2
3
990.
1
2" em
1005. 8 em 2
9
24r 2
25
1002. Use semelhan<;a de triangulos
1003. 5) 10 - 2J5 em 2
8.[3
983.
E 0 isosceles.
2
a2
1009. Use area do triangulo.
1010. 3(Srr - 6.[3) m 2
381
RESPOSTAS DOS EXERCfclOS
1011.
l~) Calculo de x2
x2 = a 2 + a 2 - 2a . a . cos 30°
x2 = 2a 2 - 2a 2 . ~
2
2~)
Calculo da area do segmento circular
S
(a + b + C)2
,S
a + b + c
A
B
C
-;l2
b2
~
,A
~B
.fC
a
b
--=--=
- ....!.... a . a . sen 30° = ~
2
- :2 = (I; -
As = x 2 + 4[A....l = (2 -
I~ - +] a
~
a
[j
2
A=(2-'3+ ;-I)a
= (;
[j)
s
a2
+ 1-
.~.
+)
12
2
a
3~) Area da regiao sombreada
+ 4 [
1012. A area procurada e igual il area de urn quadrado de lado x mais 4 vezes a area do segmento circular sombreado nest a figura.
1
2
l'2
11"3 -
A,I\, =
A seg . = Asclor -
Note que 0 triangulo original e os triangulos
de areas A. Bee sao semelhantes. Sendo S
a area do triangulo original, temos:
(.. + 3 -3,3)a2
As
3
2
)a' +
1a EDIÇÃO [2007] 2 reimpressões
ESTA OBRA FOI COMPOSTA EM MINION PELO ACQUA
ESTÚDIO E IMPRESSA PELA RR DONNELLEY EM OFSETE SOBRE
PAPEL PÓLEN SOFT DA SUZANO PAPEL E CELULOSE PARA A
EDITORA SCHWARCZ EM NOVEMBRO DE 2007
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