МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ
МУХАММАДА АЛ-ХОРЕЗМИ
Самостоятельная работа
Виполнил: Рахматов Бобурхон
Группа 067-22
Ташкент – 2025
Тема: Поворот графиков по ширине и высоте (проверьте)
План:
I. Введение
II.Основная часть
1.
Понятие графика функции и его преобразования
2.
Поворот графиков по ширине и высоте
3.
Геометрическая интерпретация отражений
III. Выводы
IV. Использованная литература
Введение
Графическое представление функций играет важную роль в изучении
математики, так как позволяет наглядно увидеть поведение функции при
изменении её аргумента или параметров. Одним из ключевых видов
преобразований графиков являются их повороты или, точнее, отражения по
горизонтали и вертикали, которые в школьной и вузовской литературе чаще
называют «поворотами по ширине и высоте». Эти преобразования не только
облегчают анализ функций, но и помогают в практических задачах, таких как
моделирование физических процессов, компьютерная графика, инженерные
расчёты и другие области.
Когда говорят о повороте графика по ширине, обычно имеют в виду
отражение относительно вертикальной оси — чаще всего относительно оси Y.
Это означает, что каждому значению xxx на графике функции y=f(x)y = f(x)y=f(x)
соответствует значение −x-x−x, и график принимает вид y=f(−x)y = f(-x)y=f(−x).
Такой поворот «зеркалит» график относительно оси Y, меняя направление всех
точек по горизонтали.
Например, график параболы y=x2y = x^2y=x2 останется прежним, так как он
симметричен относительно оси Y, а вот график y=xy = \sqrt{x}y=x после такого
поворота отобразится в левую часть координатной плоскости и станет
недействительным в области действительных чисел. С другой стороны, поворот
по высоте — это отражение графика относительно горизонтальной оси, чаще
всего — оси X. В этом случае каждому значению y=f(x)y = f(x)y=f(x)
соответствует значение −f(x)-f(x)−f(x), что даёт нам уравнение y=−f(x)y = f(x)y=−f(x). Такой поворот инвертирует все значения функции по вертикали,
создавая зеркальное отображение графика. Примером может служить функция
y=sin⁡xy = \sin xy=sinx, график которой при отражении относительно оси X
превращается в y=−sin⁡xy = -\sin xy=−sinx. Важно отметить, что такие
преобразования не являются настоящими геометрическими поворотами (как,
например, поворот на 90° вокруг начала координат), а именно отражениями,
однако в учебной и прикладной литературе их часто обозначают термином
«поворот». Эти операции позволяют лучше понять симметрию функции, выявить
особенности её поведения и облегчить построение сложных графиков на основе
простых. Таким образом, повороты графиков по ширине и высоте — это
фундаментальные инструменты для анализа и трансформации функций. Их
понимание закладывает основу для изучения более сложных математических
преобразований, таких как растяжение, сжатие, перенос и поворот в
пространстве, что особенно важно при изучении аналитической геометрии,
тригонометрии, а также при работе с программным обеспечением для построения
графиков.
Понятие графика функции и его преобразования
График функции — это геометрическое изображение зависимости между
двумя переменными: независимой переменной xxx и зависимой переменной
y=f(x)y = f(x)y=f(x). Каждой точке на графике соответствует пара упорядоченных
чисел (x,f(x))(x, f(x))(x,f(x)), где xxx — значение аргумента, а f(x)f(x)f(x) —
значение функции при этом аргументе. График функции позволяет наглядно
представить, как изменяется значение функции при изменении её аргумента, а
также выявить важные свойства функции: область определения, область
значений, точки пересечения с осями координат, экстремумы, промежутки
возрастания и убывания, симметрию и периодичность. Построение графиков
имеет важное значение в математике и её приложениях.
Это мощный инструмент визуализации, с помощью которого можно интуитивно
понять поведение функции, а также быстро заметить особенности, которые
трудно уловить только при аналитическом рассмотрении. Например, график
может сразу показать, имеет ли функция максимум или минимум, является ли она
чётной или нечётной, возрастает или убывает на определённых участках. Однако
в практических задачах часто бывает необходимо не просто построить график
функции, а модифицировать его, изменить его расположение, форму или
масштаб. Для этого применяются различные преобразования графиков, которые
можно условно разделить на несколько типов: сдвиги, растяжения и сжатия,
отражения и повороты. Все эти преобразования можно осуществить на основе
начального графика функции y=f(x)y = f(x)y=f(x) и определённых правил.
Сдвиг графика осуществляется путём добавления или вычитания
постоянной величины к аргументу или значению функции. Например, y=f(x−a)y
= f(x - a)y=f(x−a) — это сдвиг графика вправо на aaa единиц, а y=f(x)+by = f(x) +
by=f(x)+b — сдвиг вверх на bbb единиц. Эти преобразования изменяют
положение графика на координатной плоскости, но не его форму. Растяжение и
сжатие графика происходят при умножении аргумента или значения функции на
коэффициент.
Выражение вида y=f(kx)y = f(kx)y=f(kx), где k>1k > 1k>1, сжимает график по
горизонтали, а если 0<k<10 < k < 10<k<1, график растягивается по горизонтали.
Аналогично, если рассмотреть выражение y=kf(x)y = kf(x)y=kf(x), происходит
растяжение или сжатие графика по вертикали в зависимости от значения
коэффициента kkk. Отражения или, как их часто называют, повороты по ширине
и высоте, — это особый вид преобразований, при котором график функции
зеркально отображается относительно оси X или оси Y.
Такие преобразования часто применяются для изучения симметрии функции, а
также для построения графиков сложных функций на основе известных. Кроме
того, существуют более сложные преобразования, например, комбинированные
преобразования, когда происходит одновременно сдвиг и растяжение, или
поворот и отражение. В этих случаях важно соблюдать правильный порядок
выполнения преобразований, так как он влияет на итоговый результат. Чаще всего
сначала выполняются операции внутри аргумента функции, затем отражения, и
только потом — вертикальные сдвиги и масштабирование. Понимание и умение
применять преобразования графиков — это неотъемлемая часть изучения
функций и анализа. Это позволяет не только быстрее строить графики, но и
глубже понимать свойства функций, решать уравнения и неравенства,
моделировать реальные процессы и явления. В современной математике и её
приложениях,
таких
как
физика,
экономика,
информатика,
знание
преобразований графиков является необходимым навыком, который формирует
аналитическое мышление и развивает пространственное воображение.
Поворот графиков по ширине и высоте
Одним из наиболее важных видов преобразований графиков функций
являются так называемые повороты по ширине и высоте, которые в строгой
математической терминологии принято называть отражениями относительно
осей координат. Эти преобразования позволяют наглядно изучать симметрию
функций, упрощать построение графиков и анализировать поведение функции
при изменении знака аргумента или значения самой функции. Несмотря на то, что
термин «поворот» не совсем точен с геометрической точки зрения, он часто
используется в учебной литературе и среди преподавателей как удобное
обозначение процесса зеркального отражения графика по одной из осей.
Поворот графика по ширине подразумевает отражение графика относительно
вертикальной оси, чаще всего — оси YYY. С математической точки зрения это
соответствует замене аргумента xxx на −x-x−x. Если начальная функция задана
как y=f(x)y = f(x)y=f(x), то после поворота по ширине она принимает вид y=f(−x)y
= f(-x)y=f(−x). Геометрически это означает, что каждая точка (x,y)(x, y)(x,y) на
графике будет перемещена в точку (−x,y)(-x, y)(−x,y), то есть зеркально
отображена по оси YYY. Такое преобразование особенно полезно при изучении
нечётных функций, так как они обладают симметрией относительно начала
координат, а чётные функции симметричны именно относительно оси YYY, и при
повороте по ширине их график остаётся неизменным. Поворот графика по высоте
— это отражение относительно горизонтальной оси, обычно — оси XXX. В этом
случае каждая точка (x,y)(x, y)(x,y) на графике переходит в точку (x,−y)(x, y)(x,−y), то есть значение функции меняется на противоположное. Алгебраически
это выражается заменой f(x)f(x)f(x) на −f(x)-f(x)−f(x), и уравнение функции
становится y=−f(x)y = -f(x)y=−f(x). Такое преобразование особенно полезно при
анализе поведения функции на промежутках, а также при изучении экстремумов.
Например, максимум функции превращается в минимум, и наоборот. Многие
функции, такие как y=sin⁡xy = \sin xy=sinx, при таком преобразовании дают
чёткое представление о своей симметрии и периодичности. Интересным случаем
является одновременное применение обоих типов поворотов. Если одновременно
заменить xxx на −x-x−x и f(x)f(x)f(x) на −f(x)-f(x)−f(x), то уравнение приобретает
вид y=−f(−x)y = -f(-x)y=−f(−x). Это отражение функции сначала по оси YYY,
затем по оси XXX, что в совокупности эквивалентно повороту графика на 180
градусов вокруг начала координат.
Подобное преобразование особенно наглядно демонстрирует симметрию
нечётных функций. Повороты графиков по ширине и высоте находят широкое
применение не только в теоретической математике, но и в прикладных науках.
Например, в физике они помогают моделировать колебательные и волновые
процессы, в инженерии — анализировать динамику систем, в экономике —
оценивать изменения трендов. Кроме того, эти преобразования активно
используются в программировании и компьютерной графике при разработке
интерфейсов, анимаций и визуализаций данных. Для успешного применения
поворотов важно понимать, как именно изменяется график в зависимости от
выполненного преобразования. Желательно сначала построить исходный график,
а затем, следуя правилам отражения, вручную или с помощью графического
калькулятора или программ, таких как Desmos, GeoGebra, Wolfram Alpha,
построить преобразованный график. Это способствует более глубокому
пониманию функции, формирует навык пространственного мышления и
развивает визуальную интуицию, что особенно важно при решении сложных
задач анализа и математического моделирования.
Таким образом, повороты графиков по ширине и высоте — это
фундаментальные инструменты в арсенале каждого, кто изучает или применяет
математику. Они позволяют не только упростить построение и понимание
функций, но и служат мостом к более сложным преобразованиям, таким как
аффинные и проектные преобразования, применяемые в высшей математике,
компьютерной графике и инженерной практике.
Геометрическая интерпретация отражений
Геометрическая интерпретация отражений графиков функций — это способ
визуального понимания того, как изменяется расположение точек на графике при
применении определённых преобразований. Такие отражения чаще всего
производятся относительно координатных осей: оси абсцисс (оси X) и оси
ординат (оси Y). Эти простые на первый взгляд действия на самом деле несут в
себе важный смысл и позволяют углубленно анализировать поведение функций.
Когда мы говорим об отражении графика относительно оси Y, мы имеем в виду,
что каждая точка (x,y)(x, y)(x,y) на графике функции y=f(x)y = f(x)y=f(x) будет
перемещена в точку (−x,y)(-x, y)(−x,y). Геометрически это выглядит как
зеркальное отображение графика относительно вертикальной оси. Такое
преобразование означает, что функция меняет знак у аргумента, и мы получаем
уравнение вида y=f(−x)y = f(-x)y=f(−x). На практике это приводит к тому, что
«левая» и «правая» части графика меняются местами, но остаются на той же
высоте. Если исходная функция несимметрична, то её график после отражения
будет выглядеть иначе, но если функция чётная, график останется неизменным,
что также можно увидеть при таком отражении.
Отражение графика относительно оси X, напротив, означает замену значения
функции на противоположное, то есть y=−f(x)y = -f(x)y=−f(x). Каждая точка
(x,y)(x, y)(x,y) превращается в точку (x,−y)(x, -y)(x,−y), и весь график
«переворачивается» по вертикали. Это позволяет проанализировать, как функция
реагирует на инверсию значений: максимумы становятся минимумами,
выпуклость меняется на вогнутость и наоборот. При этом точка пересечения с
осью X (если она есть) остаётся неизменной, потому что y=0y = 0y=0 остаётся
нулём при любом умножении на минус один. Такое отражение особенно наглядно
проявляется на примере графиков синуса, экспоненты или логарифма. Если же
одновременно выполнить обе операции — заменить xxx на −x-x−x и yyy на −yy−y, то происходит отражение графика относительно начала координат. Это уже
более сложное преобразование, которое можно интерпретировать как поворот
графика на 180 градусов вокруг точки (0, 0). Оно соответствует уравнению
y=−f(−x)y = -f(-x)y=−f(−x). Геометрически график как будто переворачивается и
по ширине, и по высоте. Такой эффект особенно ярко проявляется при работе с
нечётными функциями, графики которых симметричны относительно начала
координат, и при данном преобразовании они сохраняют свою форму.
Геометрическая интерпретация отражений также тесно связана с понятием
симметрии. Чётные функции (такие как y=x2y = x^2y=x2, y=cos⁡xy = \cos
xy=cosx) обладают симметрией относительно оси Y, а их графики не меняются
при отражении по этой оси. Нечётные функции (такие как y=x3y = x^3y=x3,
y=sin⁡xy = \sin xy=sinx, y=tan⁡xy = \tan xy=tanx) симметричны относительно
начала координат, и их графики остаются неизменными при одновременном
отражении по обеим осям.
Понимание этих свойств существенно облегчает построение графиков и анализ
поведения функций. Геометрическая интерпретация отражений особенно важна
при
обучении
студентов
и
школьников,
поскольку
она
развивает
пространственное мышление и помогает интуитивно воспринимать абстрактные
математические идеи. Вместо того чтобы просто подставлять значения в
уравнение и получать точки, можно мысленно представить, как будет выглядеть
график после того или иного преобразования. Это умение очень полезно не только
в математике, но и в физике, инженерии, компьютерной графике, где
визуализация
играет
важную
роль.
Таким
образом,
геометрическая
интерпретация отражений графиков — это не просто формальное преобразование
уравнений, а мощный визуальный и аналитический инструмент, который
позволяет глубже понять структуру и поведение функций. Она объединяет
алгебру и геометрию, создавая мост между числовыми выражениями и их
графическим воплощением на координатной плоскости.
Выводы
Преобразования графиков функций, такие как поворот по ширине и высоте,
играют ключевую роль в изучении поведения математических моделей. Эти
отражения позволяют быстро и наглядно анализировать симметрию, свойства и
форму графиков, а также упрощают построение сложных функций на основе
базовых. Поворот графика по ширине, то есть отражение относительно оси Y,
сопровождается заменой xxx на −x-x−x, в то время как поворот по высоте,
отражение относительно оси X, требует замены f(x)f(x)f(x) на −f(x)-f(x)−f(x). Эти
преобразования помогают лучше понять природу чётных и нечётных функций, их
точки симметрии и поведение на различных промежутках.
Визуальное
восприятие
этих
отражений
способствует
развитию
пространственного мышления и логики, а также находит практическое
применение в различных отраслях — от физики до программирования.
Таким образом, овладение методами поворота графиков — это не просто
теоретическое знание, а важный навык, необходимый для успешного решения
широкого круга прикладных задач.
Использованная литература
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. – Элементы теории функций и
функционального анализа.
2. Галицкий М.Л., Мордкович А.Г. – Анализ и графики функций в задачах и
примерах.
3. Шарыгин И.Ф. – Геометрия. Преобразования и симметрии.
4. Демидович Б.П. – Сборник задач по математическому анализу.
5. Литвинов А.С. – Школьный курс математики: Алгебра и начала анализа.