M A T E R I A ŁY E K S P L O A T A C Y J N E , M E T R O L O G I A , J A K O ŚĆ Algorytmy i pomiary odchyłek równoległości i prostopadłości płaszczyzn i prostych w przestrzeni R3 na współrzędnościowej maszynie pomiarowej R Y S Z A R D F I L I P O W S K I , Z B I G N I E W L E C H N I A K , J Ó Z E F Z A W O R A * P r z e d s t a w i o n o a l g o r y t m y o b l i c z a n i a o d c h y łe k w m m / m r ó w n o l e g ło śc i i p r o s t o p a d ło śc i p ła s z c z y z n i p r o s t y c h n a w s p ó łr z ęd n o śc i o w e j m a s z y n i e p o m i a r o w e j ( W M P ) . O b l i c z a n e o d c h y łk i m u s z ą m i e śc i ćs i ę w p o l u t o l e r a n c j i r ó w n o l e g ło śc i l u b p r o s t o p a d ło śc i z a d a w a n y c h p r z e z k o n s t r u k t o r a n a p o w i e r z c h n i a c h c z ęśc i m a s z y n . T o l e r a n c j e r ó w n o l e g ło śc i i p r o s t o p a d ło śc i o z n a c z o n e s ąn a r y s u n k a c h w r a m c e p r o s t o k ąt n e j i z a w i e r a j ąs y m b o l r ó w n o l e g ło śc i l u b p r o s t o p a d ło śc i o r a z g r a n i c z n ąw a r t o ść o d c h y łk i w m m w z g l ęd e m j e d n e j b a z y l u b d w ó c h b a z . W a r t y k u l e z a m i e s z c z o n o w a r t o śc i o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i i p r o s t o p a d ło śc i p ła s z c z y z n i p r o s t y c h w m m / m m i e r z o n y c h n a m a s z y n i e w s p ó łr z ęd n o śc i o w e j W M P s z t y w n ąg ło w i c ąp o m i a r o w ą. m i e r z o n y c h e l e m e n t ó w m a s z y n . O b l i c z o n e o d c h y łk i n a l e ży o d n i e ść d o p o d a n y c h w r a m k a c h ( r y s . 1 ÷ 6 ) w a r t o śc i t o l e r a n c j i i o c e n i ćp o p r a w n o ść w y k o n a n i a c z ęśc i . P o m i a r y g e o m e t r y c z n y c h c e c h k o n s t r u k c y j n y c h o b r o b i o n y c h e l e m e n t ó w w s z e l k i e g o r o d z a j u m a s z y n s t a n o w i ąi n t e g r a l n ą z n a c z a n i e o d c h y łe k k s z t a łt u i p o ło że n i a c z ęść p r o c e s u w y t w ó r c z e g o . W i c h w y n i k u m o żn a s t w i e r d z i ć O c z y d a n y e l e m e n t z o s t a ł w y k o n a n y p o p r a w n i e . Z t e g o O z n a c z a n i e o d c h y łe k n a r y s u n k a c h k o n s t r u k c y j n y c h z e p o w o d u n a e t a p i e k o n s t r u o w a n i a n a l e ży o k r e śl i ć d o p u s z w z g l ęd ó w o c z y w i s t y c h j e s t z n o r m a l i z o w a n e [ 5 ] . N a r y s . 1 c z a l n e o d c h y łk i p o s z c z e g ó l n y c h w y m i a r ó w , a w p r o c e s i e p r z e d s t a w i o n o p r z y k ła d o z n a c z e n i a t o l e r a n c j i r ó w n o l e g ło śc i w y t w ó r c z y m s p r a w d z i ćc z y o d c h y łk i r z e c z y w i s t e ( z m i e r z o n e ) d w ó c h p ła s z c z y z n . P ła s z c z y z n a m i e r z o n a p o w i n n a z a w i e r a ć z g o d n e s ą z d o p u s z c z a l n y m i –z a ło żo n y m i p r z e z k o n s t r u k s i ę m i ęd z y d w i e m a p ła s z c z y z n a m i , o d l e g ły m i o d s i e b i e t o r a . W c e l u u z y s k a n i a w i a r y g o d n y c h i d o k ła d n y c h p o m i a r ó w o 0 , 0 1 m m , k t ó r e s ąr ó w n o l e g łe d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j D . w y k o r z y s t u j e s i ęd o t e g o c e l u m a s z y n y p o m i a r o w e , b a r d z o c z ęs t o w s p o m a g a n e k o m p u t e r o w o . W s t ęp W a r t y k u l e p r z e d s t a w i o n o a l g o r y t m y i p o m i a r y o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i , p r o s t o p a d ło śc i p ła s z c z y z n i p r o s t y c h ( o d c h y łk i k i e r u n k u ) r e a l i z o w a n e n a w s p ó łr z ęd n o śc i o w e j m a s z y n i e p o m i a r o w e j . Z e w z g l ęd u n a t o , że o d c h y łk i t e s ąo b l i c z a n e p r z e z p r o g r a m y p o m i a r o w e w m m / m , d l a t e g o u z y s k a n e z m a s z y n y w s p ó łr z ęd n o śc i o w e j w a r t o śc i o d c h y łe k n a l e ży s k o r y g o w a ć p r o p o r c j o n a l n i e d o d łu g o śc i p ła s z c z y z n l u b p r o s t y c h * D r i n ż. R . F i l i p o w s k i , m g r i n ż. Z . L e c h n i a k , d r i n ż. h a b . J . Z a w o r a , I n s t y t u t T e c h n i k W y t w a r z a n i a , W y d z i a ł I n ży n i e r i iP r o d u k c j i ,R y s . 1 . O z n a c z e n i e t o l e r a n c j i r ó w n o l e g ło śc i p ła s z c z y z n y d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j D P o l i t e c h n i k a W a r s z a w s k a . 34 nr 1/2018 www.e-obrobkametalu.pl M A T E R I A ŁY E K S P L O A T A C Y J N E , M E T R O L O G I A , J A K O ŚĆ N a r y s . 2 p r z e d s t a w i o n o p r z y k ła d o z n a c z e n i a t o l e r a n c j iN a r y s . 5 p r z e d s t a w i o n o p r z y k ła d o z n a c z e n i a t o l e r a n c j i p r o s t o p a d ło śc i d w ó c h p ła s z c z y z n . O d c h y łk a p r o s t o p a d ło śc ir ó w n o l e g ło śc i p o m i ęd z y o s i ą o t w o r u i p ła s z c z y z n ą b a z o p i o n o w e j w z g l ęd e m p ła s z c z y z n y b a z o w e j A p o w i n n a b y ćn i e w ą B . O ś o t w o r u p o w i n n a z a w i e r a ć s i ę m i ęd z y d w i e m a w i ęk s z a o d 0 , 0 8 m m . p ła s z c z y z n a m i r ó w n o l e g ły m i , o d l e g ły m i o d s i e b i e o 0 , 0 1 m m , k t ó r e s ąr ó w n o l e g łe d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j B . R y s . 2 . O z n a c z e n i e t o l e r a n c j i p r o s t o p a d ło śc i p ła s z c z y z n y w z g l ęd e m p ła s z c z y z n y b a z o w e j A N a r y s . 3 p r z e d s t a w i o n o p r z y k ła d o z n a c z e n i a t o l e r a n c j i r ó w n o l e g ło śc i p o m i ęd z y o s i ąo t w o r u i o s i ąb a z o w e g o w a l c a A . R y s . 5 . O z n a c z e n i e t o l e r a n c j i r ó w n o l e g ło śc i o s i w a l c a w z g l ęd e m O d c h y łk a p o w i n n a z a w i e r a ćs i ęw e w n ąt r z p o l a w a l c o w e g o p ła s z c z y z n y b a z o w e j B o śr e d n i c y 0 , 0 3 m m , r ó w n o l e g łe g o d o o s i o t w o r u A . N a r y s . 6 p r z e d s t a w i o n o p r z y k ła d o z n a c z e n i a t o l e r a n c j i p r o s t o p a d ło śc i o s i o t w o r u d o o s i b a z o w e j . O ś o t w o r u p o w i n n a z a w i e r a ć s i ę m i ęd z y d w i e m a p ła s z c z y z n a m i r ó w n o l e g ły m i , o d l e g ły m i o d s i e b i e o 0 , 0 6 m m , k t ó r e s ą p r o s t o p a d łe d o o s i b a z o w e j A . R y s . 3 . O z n a c z e n i e t o l e r a n c j i r ó w n o l e g ło śc i o s i o t w o r u w a l c o w e g o w z g l ęd e m o s i o t w o r u b a z o w e g o A N a r y s . 4 p r z e d s t a w i o n o p r z y k ła d o z n a c z e n i a t o l e r a n c j iR y s . 6 . P r z y k ła d o z n a c z e n i a t o l e r a n c j i p r o s t o p a d ło śc i o s i o t w o r u d o o s i t w o r u b a z o w e g o A p r o s t o p a d ło śc i o s i w a l c a w z g l ęd e m p ła s z c z y z n y b a z o w e j A .o L i n i a śr o d k o w a w a l c a p o w i n n a z a w i e r a ćs i ęw e w n ąt r z p o l a w a l c o w e g o o śr e d n i c y 0 , 0 1 m m , p r o s t o p a d łe g o d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j A . A l g o r y t m y o b l i c z a n i a o d c h y łe k [ 4 ] R y s . 4 . O z n a c z e n i e t o l e r a n c j i p r o s t o p a d ło śc i o s i w a l c a d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j A nr 1/2018 www.e-obrobkametalu.pl D o o b l i c z e n i a o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i i p r o s t o p a d ło śc i p ła s z c z y z n i p r o s t y c h w z g l ęd e m e l e m e n t ó w b a z o w y c h w y k o r z y s t u j e s i ęw o p r o g r a m o w a n i u p o m i a r o w y m W M P p o d p r o g r a m y d e f i n i o w a n i a w p r z e s t r z e n i R 3 : p ła s z c z y z n y , p r o s t e j , k ąt a m i ęd z y w e k t o r a m i n o r m a l n y m i p ła s z c z y z n , k ąt a m i ęd z y w e k t o r a m i k i e r u n k o w y m i p r o s t y c h o r a z o k r ęg u w p r z e s t r z e n i R 2 . E l e m e n t y g e o m e t r y c z n e c z ęśc i s ąd e f i n i o w a n e w o p r o g r a m o w a n i u p r z e z p u n k t y p o m i a r o w e , k t ó r y c h i l o ść m i n i m a l n ą, t e c h n i c z n ąo r a z p o d c z a s s k a n o w a n i a g ło w i c ąp o m i a r o w ąp o d a n o w T a b l i c y 1 [ 6 ] . P r z y d e f i n i o w a n i u e l e m e n t ó w g e o m e t r y c z n y c h c z ęśc i m a s z y n p r z e z m i n i m a l n ą l i c z b ę p u n k t ó w o d l e g ło ść m i ęd z y p u n k t a m i p o w i n n a b y ćm o żl i w i e d u ża . 35 M A T E R I A ŁY E K S P L O A T A C Y J N E , M E T R O L O G I A , J A K O ŚĆ T a b l i c a 1 . L i c z b y p u n k t ó w n a g e o m e t r y c z n y c h e l e m e n t a c h b a z o w y c h Geometryczny element bazowy Matematyczna liczba punktów Techniczno-pomiarowa liczba punktów Skanowanie głowicą Liczba punktów maksimum Prosta 2 2 675 Płaszczyzna 3 4 675 Okrąg 3 4 675 Sfera 4 4 675 Walec (3+2) (2 plasz) (3+3) (2 plasz) (675+675) (2 plasz) Stożek (3+3) (2 plasz) (6+6) (2 plasz) (675+675) (2 plasz) p r z y p a d k u e l e m e n t ó w p r o s t o p a d ły c h , k ąt x o b l i c z o n y O b l i c z a n i e o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i i p r o s t o p a d ło śc iW z i l o c z y n u s k a l a r n e g o w e k t o r ó w n a l e ży z m o d y f i k o w a ć, w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m W M P t z n . o b l i c z y ćm o d u łr ó żn i c y k ąt ó w | x – π/ 2 | , a n a s t ęp n i e c o s | x – π/ 2 | . Z t o żs a m o śc i t r y g o n o m e t r y c z n e j o b l i c z a s i ę W a l g o r y t m i e d o o b l i c z a n i a o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i o r a z a r t o ść s i n | x – π/ 2 | , a z i c h i l o r a z u w a r t o ść l i c z b o w ą p r o s t o p a d ło śc ip ła s z c z y z n ip r o s t y c h w y k o r z y s t u j e s i ę w t g | x – π/ 2 | , k t ó r a j e s t s z u k a n ą o d c h y łk ą p r o s t o p a d ło śc i x r a c h u n e k w e k t o r o w y o r a z z w i ąz e k z a c h o d z ąc y m i ęd z y k ąt e m m i ęd z y w e k t o r a m i n o r m a l n y m i . w r a d i a n a c h i f u n k c j a m i t r y g o n o m e t r y c z n y m i : W a r t o ść o d c h y łk i m n o żo n a j e s t w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m [ 4 ] ( 1 ) p r z e z 1 0 0 0 , c o o z n a c z a , że w a r t o ść o d c h y łk i w y p r o w a d z o n a z m a s z y n y w y r a ża s i ęw m i l i m e t r a c h n a m e t r b i e żąc y ( m m / m ) . N i e r ó w n o ść ( 1 ) w y n i k a z r e l a c j i m i ęd z y p o l a m i t r ó j k ąt ó w U z y s k a n ąw a r t o ść o d c h y łk i ( x · 1 0 0 0 l u b | x – π/ 2 | · 1 0 0 0 ) n a ΔO A P , ΔO A T o r a z w y c i n k a k o ło w e g o O A P d l a m a ły c h k ąt ó w x l e ży s k o r y g o w a ć t z n . o d c h y łk ę n a l e ży p o m n o ży ć p r z e z ( r y s . 7 ) [ 3 ] . w s p ó łc z y n n i k b ęd ąc y i l o r a z e m d łu g o śc i p o m i a r o w e j w m m o d n i e s i o n e j d o d łu g o śc i 1 m , a n a s t ęp n i e u s t a l i ćp o p r a w n o ść w y k o n a n i a w e d łu g w a r u n k ó w t e c h n i c z n y c h p o d a n y c h n a r y s u n k u w y k o n a w c z y m c z ęśc i [ 5 ] , n p . r y s . 1 . 0 < s i n x < x < t g x A l g o r y t m y p ła s z c z y z n y w p r z e s t r z e n i R 3 w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m W M P P ła s z c z y z n ęw p r z e s t r z e n i R 3 o p i s u j e r ó w n a n i e : B · x + B · y + B · z + B = 0 1 2 3 4 ( 2 ) S t a łe w r ó w n a n i u p ła s z c z y z n y ( B , B , B , B ) u s t a l a s i ęp r z e z 1 2 3 4 p o m i a r m i n i m u m t r z e c h n i e w s p ó łl i n i o w y c h p u n k t ó w P ( x , y , z ) , P ( x , y , z ) , P ( x , y , z ) z w y z n a c z n i k a [ 1 ] : 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ( 3 ) R y s . 7 . Z w i ąz k i p o m i ęd z y p o l a m i ΔO A P < w y c O A P < ΔO A T W p o m i a r z e p r z y w i ęk s z e j l i c z b i e p u n k t ó w d o d e f i n i o w a n i a Z z a l e żn o śc i ( 1 ) w y n i k a , że w y s t a r c z a j ąc ąd o k ła d n o ść o b l i c z e p ła s z c z y z n y s t o s u j e s i ęr e g r e s j ęo r t o g o n a l n ą[ 6 ] . P ła s z c z y z n i a o d c h y łk i k i e r u n k u [ 2 ] u z y s k a m y , z a s t ęp u j ąc j ąo b l i c z e n i e m n a w r e g r e s j i o r t o g o n a l n e j w p r z e s t r z e n i R 3 j e s t d e f i n i o f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n e j t g x . W t y m c e l u , n a l e ży w y z n a w a n a p r z e z o d c h y łk i p u n k t ó w p o m i a r o w y c h P ( x , y , z ) , 1 1 1 1 c z y ćw e k t o r y n o r m a l n e d o p ła s z c z y z n , w e k t o r y k i e r u n k o w e i = 1 , 2 , . . . . , n , o d p ła s z c z y z n y p r z e c h o d z ąc e j p r z e z śr o d e k p r o s t y c h i w y k o r z y s t a ć w z o r y r a c h u n k u w e k t o r o w e g o n a c i ężk o śc i p u n k t ó w p o m i a r o w y c h w k i e r u n k u d o n i e j i l o c z y n y s k a l a r n e d o o b l i c z a n i a c o s x m i ęd z y w e k t o r a m i . p r o s t o p a d ły m . Z t o żs a m o śc i t r y g o n o m e t r y c z n e j p r o g r a m p o m i a r o w y o b l i R ó w n a n i e t o m a f o r m ę: c z a w a r t o ść s i n x a n a s t ęp n i e z i l o r a z u f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h w a r t o ść t g x , k t ó r ąt r a k t u j e s i ęj a k o o d c h y łk ęx . B · x + B · y + B · z = 0 , 1 2 3 36 ( 4 ) nr 1/2018 www.e-obrobkametalu.pl M A T E R I A ŁY E K S P L O A T A C Y J N E , M E T R O L O G I A , J A K O ŚĆ S t a łe ( B , B , B ) w r ó w n a n i u p ła s z c z y z n y ( 4 ) o b l i c z a s i ę P r o s t a o r t o g o n a l n a L w p r z e s t r z e n i R 3 p r z e c h o d z i p r z e z 123 1 z f u n k c j i L a g r a n g e ' a z w a r u n k i e m u b o c z n y m : śr o d e k c i ężk o śc i z b i o r u p u n k t ó w p o m i a r o w y c h P ( x , y , z ) , i = 1 , 2 , . . . . , n . P r o s t ąo b l i c z a s i ęz f u n k c j i L a g r a n g e ' a i i i i [ 5 ) z w a r u n k i e m u b o c z n y m : Z w a r u n k u k o n i e c z n e g o n a i s t n i e n i e e k s t r e m u m f u n k c j i ( 1 0 ) L a g r a n g e ' a z w a r u n k i e m u b o c z n y m , t j . z e r o w a n i a s i ę j e j p o c h o d n y c h c z ąs t k o w y c h w z g l ęd e m z m i e n n y c h B , B , B , λ, g d z i e [ b × S P ] o z n a c z a w y s o k o ść r ó w n o l e g ło b o k u r o z p i ęt e g o 1 2 3 i u z y s k u j e s i ęu k ła d r ó w n a ńj e d n o r o d n y c h : n a w e k t o r a c h b o r a z S P . Z w a r u n k u k o n i e c z n e g o n a m i n i m u m i f u n k c j i L a g r a n g e ' a ( 1 0 ) , t j . z e r o w a n i a s i ę j e j p o c h o d n y c h c z ąs t k o w y c h w z g l ęd e m z m i e n n y c h b , b , b , λ, o t r z y m u j e s i ę 1 2 3 u k ła d c z t e r e c h r ó w n a ńj e d n o r o d n y c h . ( 6 ) D o z a p i s u m a c i e r z o w e g o u k ła d u r ó w n a ń j e d n o r o d n y c h ( 6 ) w p r o w a d z o n o o z n a c z e n i a m a c i e r z o w e : X , E , B 3 × 3 3 × 3 3 × 1 ( 1 1 ) D o m a c i e r z o w e g o z a p i s u u k ła d u r ó w n a ńj e d n o r o d n y c h ( 1 1 ) w p r o w a d z o n o o z n a c z e n i a m a c i e r z o w e : A , E , b 3 × 3 3 × 3 3 × 1 A = 3 × 3 U k ła d r ó w n a ńj e d n o r o d n y c h ( 6 ) m a z a p i s m a c i e r z o w y : ( X –λ · E ) · B = 0 3 × 3 3 × 3 3 × 3 ( 7 ) E = 3 × 3 P o w y żs z y u k ła d r ó w n a ń ( 6 ) m a n i e z e r o w e r o z w i ąz a n i e g d y w y z n a c z n i k s p e łn i a w a r u n e k : b = 3 × 1 d e t ( X –λ · E ) = 0 ( 8 ) 3 × 3 3 × 3 P r z e z r o z w i n i ęc i e w y z n a c z n i k a ( 8 ) u z y s k u j e s i ę w i e l o m i a n U k ła d r ó w n a ńj e d n o r o d n y c h ( 1 1 ) m a z a p i s m a c i e r z o w y : c h a r a k t e r y s t y c z n y t r z e c i e g o s t o p n i a W ( λ) = 0 w z g l ęd e m 3 z m i e n n e j λ. P o j e g o r o z w i ąz a n i u u z y s k u j e s i ęt r z y w a r t o śc i( A –λ · E ) · b = 0 ( 1 2 ) 3 × 3 3 × 3 3 × 3 w ła s n e λ1 , λ2 , λ3 , k t ó r y m o d p o w i a d a j ą t r z y w e k t o r y w ła s n e . N a j m n i e j s z e j w a r t o śc i λi , i = 1 , 2 , 3 o d p o w i a d a w e k M a o n n i e z e r o w e r o z w i ąz a n i e , j e śl i w y z n a c z n i k u k ła d u s p e łt o rp r o s t o p a d ły d o o r t o g o n a l n e j p ła s z c z y z n y . W e k t o r n i a w a r u n e k : t e n s p e łn i a d o d a t k o w y w a r u n e k : j e g o m o d u łm a w a r t o ść r ó w n ą 1 . W t e n s p o s ó b s k ła d o w e w e k t o r a s ą c o s i n u d e t ( A –λ · E ) = 0 ( 1 3 ) 3 × 3 3 × 3 s a m i k i e r u n k o w y m i w e k t o r a n o r m a l n e g o d o p ła s z c z y z n y o r t o g o n a l n e j . P o d o b n i e j a k w y że j , p r z e z r o z w i n i ęc i e w y z n a c z n i k a ( 1 3 ) u z y s k u j e s i ęw i e l o m i a n c h a r a k t e r y s t y c z n y t r z e c i e g o s t o p n i a ( λ) = 0 w z g l ęd e m z m i e n n e j λ. P o j e g o r o z w i ąz a n i u u z y s k u j e 3 A l g o r y t m y p r o s t e j w p r z e s t r z e n i R 3 w p r o g r a m i eW s i ęt r z y w a r t o śc i w ła s n e λ1 , λ2 , λ3 , k t ó r y m o d p o w i a d a j ąt r z y p o m i a r o w y m W M P w e k t o r y w ła s n e N a j m n i e j s z e j w a r t o śc i λi , i = 1 , 2 , 3 o d p o w i a d a w e k t o rp r o s t o p a d ły d o o r t o g o n a l n e j p ła s z P r o s t a L p r z e c h o d z ąc a p r z e z d w a p u n k t y w p r z e s t r z e n i R 3 1 c z y z n y . W e k t o r t e n s p e łn i a d o d a t k o w y w a r u n e k : j e g o m o d u ł w z a p i s i e p a r a m e t r y c z n y m m a f o r m ę: m a w a r t o ść r ó w n ą 1 . W t e n s p o s ó b s k ła d o w e w e k t o r a s ąc o s i n u s a m i k i e r u n k o w y m i w e k t o r a n o r m a l n e g o d o p ła s z c z y z n y o r t o g o n a l n e j . ( 9 ) g d z i e [ ( x – x ) , ( y – y ) , ( z – z ) ] s ą s k ła d o w y m i w e k t o r a 2 1 2 1 2 1 r ó w n o l e g łe g o d o p r o s t e j L . 1 38 nr 1/2018 www.e-obrobkametalu.pl M A T E R I A ŁY E K S P L O A T A C Y J N E , M E T R O L O G I A , J A K O ŚĆ p r o s t o p a d łe j d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j p r z e z p o m i a r y d w ó c h A l g o r y t m o s i w a l c a w p r z e s t r z e n i R 3 w p r o g r a m i e p u n k t ó w p r z e s u n i ęt y c h w z d łu żo s i Z , ( x , y , z ) i ( x , y , z ) , p o m i a r o w y m W M P 1 1 1 1 2 2 t j . p r z y z a b l o k o w a n y m p r z e m i e s z c z e n i u g ło w i c y p o m i a r o w e j w o s i X . P r o g r a m p o m i a r o w y o b l i c z a b e z p o śr e d n i o w a r t o ść P r o s t ąb ęd ąc ąo s i ąw a l c a d e f i n i u j e s i ęw p r o g r a m i e p o m i a r o o d c h y łk i x z n a c h y l e n i a p r o s t e j p i o n o w e j , d o p ła s z c z y z n y w y m p r z e z k i l k a p u n k t ó w b ęd ąc y c h śr o d k a m i o k r ęg ó w b a z o w e j z z a l e żn o śc i : m i e r z o n y c h w z d łu żo s i w a l c a . W e d łu g o b l i c z o n y c h p u n k t ó w p r o s t ą o s i w a l c a o b l i c z a p r o g r a m j a k o p r o s t ą o r t o g o n a l n ą ( 1 8 ) ( r ó w n a n i a ( 1 0 ) ÷ ( 1 3 ) ) . P r o g r a m p o m i a r o w y W M P o b l i c z a p r o s t ąb ęd ąc ąo s i ąw a l c a w y k o r z y s t u j ąc śr o d k i d w ó c h o k r ęO z n a c z e n i e o d c h y łk i x p r o s t o p a d ło śc i d w ó c h p ła s z c z y z n g ó w m i e r z o n y c h n a d w ó c h w y s o k o śc i a c h Z i = 1 , 2 . O św a l c a i p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 2 . o k r e śl a s i ę p r z e z d w a p u n k t y : ( x , y , z ) i ( x , y , z ) b ęd ąc e 1 1 1 2 2 2 śr o d k a m i o k r ęg ó w . J e s t t o n a j p r o s t s z y s p o s ó b d e f i n i o w a n i a A l g o r y t m o d c h y łk i r ó w n o l e g ło śc i d w ó c h p r o s t y c h p r o s t e j s t a n o w i ąc e j o św a l c a s t o s o w a n y w p r o g r a m i e p o w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m m i a r o w y m W M P . K ąt φm i ęd z y p r o s t y m i r ó w n o l e g ły m i ( r y s . 3 ) z a d a n y m i r ó w A l g o r y t m o d c h y łk i r ó w n o l e g ło śc i d w ó c h p ła s z c z y z n n a n i a m i k i e r u n k o w y m i : w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m W M P l : P ła s z c z y z n y π1 i π2 : d e f i n i o w a n e s ąp r z e z p o m i a r 4 p u n k t ó w 1 l u b s k a n o w a n i e . π11 : A x + B y + C z + D = 0 1 1 1 l : 2 ( 1 9 ) ( 2 0 ) π22 : A x + B y + C z + D = 0 2 2 2 o b l i c z a p r o g r a m p o m i a r o w y z i l o c z y n u s k a l a r n e g o w e k t o S t a łe w r ó w n a n i a c h π11 : [ A , B , C ] i π22 : [ A , B , C ] , o b l i c z a n e 1 1 2 2 r ó w k i e r u n k o w y c h p r o s t y c h [ x –x , y –y , z –z ] o r a z 212121 p r z e z p o d p r o g r a m P ła s z c z y z n a , s ą w e k t o r a m i[ A , B , C ] 1 1 1 [ x –x , y –y , z –z ] , w g ( 1 4 ) . D a l s z ąp r o c e d u r ęo b l i c z a n i a 4 3 4 3 43 i[ A , B , C ] p r o s t o p a d ł y m i d o o b y d w u p ł a s z c z y z n . D o o b 2 2 2 o d c h y łk i o p i s a n o w y że j ( r ó w n a n i a ( 1 4 ) ÷ ( 1 7 ) ) . O d c h y łk ę x l i c z e n i a o d c h y łk i r ó w n o l e g ło śc i m i ęd z y d w i e m a r ó w n o l e g ły r ó w n o l e g ło śc i m i ęd z y d w i e m a p r o s t y m i p r z e d s t a w i o n o n a m i p ła s z c z y z n a m i w y k o r z y s t u j e s i ę i l o c z y n s k a l a r n y w e k t o r y s . 3 . r ó wp r o s t o p a d ły c h d o t y c h p ła s z c z y z n : A l g o r y t m o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i p r o s t e j d o p ła s z c z y z n y w p r o g r a m i e ( 1 4 ) p o m i a r o w y m W M P P ła s z c z y z n a b a z o w a π1 : A x + B y + C y + D = 0 d e f i n i o w a n a 1 1 1 1 p r z e z p o m i a r 4 p u n k t ó w l u b s k a n o w a n i e , o k r e śl o n a p r z e z w e k t o r n o r m a l n y p ła s z c z y z n y [ A , B , C ] , p o z w a l a u s t a l i ć Z t o żs a m o śc i t r y g o n o m e t r y c z n e j o b l i c z a s i ęw a r t o ść s i n u s a 1 1 1 w s p ó łr z ęd n ąZ w k a żd y m p o m i a r z e . k ąt a : i D a l s z a p r o c e d u r a o b l i c z a n i a o d c h y łk i j e s t n a s t ęp u j ąc a : P r o s t ą s t a n o w i ąc ą o ś w a l c a l w y z n a c z a j ą d w a p u n k t y 1 ( 1 5 ) b ęd ąc e śr o d k a m i d w ó c h o k r ęg ó w m i e r z o n y c h w z d łu ż o s i w a l c a ( r y s . 4 ) Z i l o r a z u f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h o b l i c z a s i ę w a r t o ść t a n g e n s a k ąt a : l : ( 2 1 ) 1 ( 1 6 ) W e k t o r o s i w a l c a m a s k ła d o w e [ x –x , y –y , z –z ] . C o s i n u s 21 21 2 1 k ąt a x m i ęd z y w e k t o r e m a w e k t o r e m o b l i c z a p r o g r a m W a r t o ść o d c h y łk i r ó w n o l e g ło śc i x m i ęd z y d w i e m a p ła s z z i l o c z y n u s k a l a r n e g o w e k t o r a k i e r u n k o w e g o p r o s t e j c z y z n a m i w y n o s i : i w e k t o r a n o r m a l n e g o p ła s z c z y z n y w g w z o r u ( 1 4 ) . W p r z y p a d k u g d y o b y d w a w e k t o r y s ąp r o s t o p a d łe ( r y s . 5 ) , o b l i c z o n y x = t g x · 1 0 0 0 m m / m ( 1 7 ) k ąt x m i ęd z y w e k t o r a m i n a l e ży z m o d y f i k o w a ć, t z n . o b l i c z a s i ę m o d u łr ó żn i c y k ąt ó w | x – π/ 2 | , a n a s t ęp n i e c o s | x – π/ 2 | . O z n a c z e n i e o d c h y łk i r ó w n o l e g ło śc i d w ó c h p ła s z c z y z n p r z e d D a l s z ąp r o c e d u r ęo b l i c z a n i a o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i o p i s a s t a w i o n o n a r y s . 1 . n o w y że j , w r o z d z i a l e A l g o r y t m o b l i c z a n i a o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i i p r o s t o p a d ło śc i … . A l g o r y t m o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i d w ó c h p ła s z c z y z n W p r o g r a m i e p o m i a r o w y m W M P [ 4 ] w a r t o ść o d c h y łk i x w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m W M P ( r y s . 4 ) o b l i c z a n a j e s t b e z p o śr e d n i o z n a c h y l e n i a p r o s t e j l : d o 1 p ła s z c z y z n y b a z o w e j . O b l i c z e n i e o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i m i ęd z y p ła s z c z y z n a m i w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m W M P s p r o w a d z a s i ęd o o b l i c z e n i a t a n ( 2 2 ) g e n s a k ąt a n a c h y l e n i a p r o s t e j d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j . P r o s t ą p i o n o w ąm i e r z y s i ęw p r o g r a m i e p o m i a r o w y m w p ła s z c z y źn i e nr 1/2018 www.e-obrobkametalu.pl 39 M A T E R I A ŁY E K S P L O A T A C Y J N E , M E T R O L O G I A , J A K O ŚĆ A l g o r y t m o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i d w ó c h o s i o t w o r ó w w p r o g r a m i e p o m i a r o w y m W M P 1 . P o m i a r p ła s z c z y z n y b a z o w e j c y l i n d r a P ła s z c z y z n a b a z o w a c y l i n d r a , r ó w n o w a żn a p ła s z c z y źn i e s t o łu p o m i a r o w e g o ( r y s . 8 ) , d e f i n i o w a n a j e s t p r z e z p o m i a r 4 p u n k P ła s z c z y z n a b a z o w a π1 : A x + B y + C y + D = 0 d e f i n i o 1 1 1 1 t ó w . W e k t o r n o r m a l n y p ła s z c z y z n y [ A , B , C ] p o z w a l a 1 1 1 w a n a p r z e z p o m i a r 4 p u n k t ó w l u b s k a n o w a n i e , o k r e śl o n a w y z n a c z y ćw s p ó łr z ęd n ąZ w k a żd y m p o m i a r z e . 1 p r z e z w e k t o r n o r m a l n y d o p ła s z c z y z n y [ A , B , C ] p o z w a l a 1 1 1 u s t a l i ćw s p ó łr z ęd n ąZ w k a żd y m p o m i a r z e . 2 . P o m i a r p r o s t e j b ęd ąc e j o s i ąc y l i n d r a i P r o s t ąo s i w a l c a l : w y z n a c z a j ąd w a p u n k t y , b ęd ąc e śr o d k a m iP r o s t a o s i c y l i n d r a o k r e śl a n a j e s t p r z e z p o m i a r y : 1 S ( x , y ) , S ( x , y ) d w ó c h o k r ęg ó w , m i e r z o n y c h w z d ł u ż o s i a ) p o m i a r o k r ęg u ( x , y , R ) w c y l i n d r z e n a w y s o k o śc i Z , 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 p i e r w s z e g o o t w o r u o r ó w n a n i u k i e r u n k o w y m : b ) p o m i a r o k r ęg u ( x , y , R ) w c y l i n d r z e n a w y s o k o śc i Z , 2 2 2 2 c ) p r o s t a o s i c y l i n d r a p r z e c h o d z i p r z e z śr o d k i o k r ęg ó w ( x , y ) 1 1 l : ( 2 3 ) i ( x , y ) . 1 2 2 P r o c e d u r ęp o m i a r u p ła s z c z y z n y i o s i c y l i n d r a z a p i s a n o w j ęz y P o d o b n i e p r o s t ąo s i w a l c a l : w y z n a c z a j ąd w a p u n k t y b ęd ąc e 2 k u W M P [ 1 ] , j a k o p r o g r a m O F F L I N E [ 7 ] . śr o d k a m i d w ó c h o k r ęg ó w m i e r z o n y c h w z d łu żo s i d r u g i e g o W a r t o ść o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i p r o s t e j b ęd ąc e j o s i ą c y o t w o r u S ( x , y ) , S ( x , y ) o r ó w n a n i u k i e r u n k o w y m : 3 3 34 4 4 l i n d r a d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j o k r e śl o n a n a W M P w y n o s i x = 0 , 6 3 1 0 m m / m . U z y s k a n a w a r t o ść o d c h y ł k i x o d p o l : ( 2 4 ) 2 w i a d a p r z e m i e s z c z e n i u g ło w i c y p o m i a r o w e j w z d łu ż o s i c y l i n d r a ( z – z ) = 6 1 , 3 6 0 6 m m . Z a t e m o d c h y ł k a p r o s t o W e k t o r o s i o t w o r u [ x – x , y – y , z – z ] j e s t p r o s t o p a d ł y d o 21 21 21 21 p a d ło śc i o s i c y l i n d r a w z g l ęd e m p ła s z c z y z n y b a z o w e j w y n o s i w e k t o r a o s i o t w o r u b a z o w e g o [ x –x , y –y , z –z ] . C o s i 43 43 43 x = 0 , 6 3 1 0 · 6 1 , 3 6 0 6 / 1 0 0 0 = 0 , 0 3 8 7 m m . n u s k ąt a x m i ęd z y w e k t o r a m iio b l i c z a s i ęz i c h i l o c z y n u s k a l a r n e g o w g w z o r u ( 1 4 ) . O b l i c z o n y k ąt x m i ęd z y w e k t o r a m iO z n a c z e n i e o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i x p r o s t e j i p ła s z c z y z n y n a l e ży z m o d y f i k o w a ć, t z n . o b l i c z a s i ęm o d u łr ó żn i c y k ąt ó w p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 4 . | x – π/ 2 | , a n a s t ęp n i e o b l i c z a c o s | x – π/ 2 | . D a l s z ąp r o c e d u r ę o b l i c z a n i a o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i o p i s a n o w y że j , w r o z R ó w n o l e g ło ść o s i w a l c a w z g l ęd e m o s i o t w o r u d z i a l e A l g o r y t m o b l i c z a n i a o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i i p r o s t o b a z o w e g o p a d ło śc i … . P r z y k ła d e m p o m i a r u r ó w n o l e g ło śc i o s i w a l c a w z g l ęd e m o s i b a O z n a c z e n i e o d c h y łk i x p r o s t o p a d ło śc i m i ęd z y d w i e m a o s i a z o w e j j e s t p o m i a r r ó w n o l e g ło śc i o s i s t o p y w z g l ęd e m o s i g ło w y m i o t w o r ó w p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 6 . P r o g r a m p o m i a r o w y k o r b o w o d u , m i e r z o n y c h n a s t o l e g r a n i t o w y m m a s z y n y W M P [ 4 ] t a k i e j o p c j i p o m i a r u n i e p o s i a d a , o b l i c z e n i a p r o s t o w s p ó łr z ęd n o śc i o w e j –r y s . 9 . P o m i a r t e n r e a l i z u j e s i ęw t r z e c h , p a d ło śc i m i ęd z y o s i ąo t w o r u a o s i ąo t w o r u b a z o w e g o m o żn a n i że j p r z e d s t a w i o n y c h e t a p a c h . w y k o n a ćp o z a śr o d o w i s k i e m m a s z y n y n a p o d s t a w i e z b i o r u 1 . P o m i a r p ła s z c z y z n y b a z o w e j p u n k t ó w z o b y d w ó c h o t w o r ó w u z y s k a n y c h z W M P . P ła s z c z y z n a b a z o w a r ó w n o w a żn a p ła s z c z y źn i e s t o łu p o m i a P r z y k ła d y p o m i a r ó w o d c h y łe k p r o s t o p a d ło śc i r o w e g o ( r y s . 9 ) , d e f i n i o w a n a j e s t p r z e z p o m i a r 4 p u n k t ó w . i r ó w n o l e g ło śc i i w e d łu g p r z e d s t a w i o n y c h p r o c e d u r W e k t o r n o r m a l n y p ła s z c z y z n y [ A , B , C ] p o z w a l a w y z n a 1 1 1 P r o s t o p a d ło ść m i ęd z y p r o s t ąa p ła s z c z y z n ą c z y ćw s p ó łr z ęd n ąZ w k a żd y m p o m i a r z e . 1 2 . P o m i a r o s i o t w o r u b a z o w e g o s t o p y k o r b o w o d u P r z y k ła d e m p o m i a r u p r o s t o p a d ło śc i m i ęd z y p r o s t ąa p ła s z P r o s t a b a z o w a b ęd ąc a o s i ąs t o p y k o r b o w o d u o k r e śl a n a j e s t c z y z n ą j e s t p o m i a r p r o s t o p a d ło śc i o s i c y l i n d r a s i l n i k a t ło p r z e z p o m i a r y : k o w e g o d o j e g o p ła s z c z y z n y b a z o w e j . S p o s ó b p o m i a r u w y k o n a n e g o n a W M P p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 8 . W y m a g a o n w y a ) p o m i a r o k r ęg u w s t o p i e n a w y s o k o śc i Z , t j . o k r e śl e n i e 1 k o n a n i a d w ó c h n i że j o p i s a n y c h k r o k ó w . p a r a m e t r ó w o k r ęg u S ( x , y , R ) , 1 1 1 1 R y s . 8 . P o m i a r o d c h y łk i p r o s t o p a d ło śc i o s i c y l i n d r a s i l n i k a t ło k o w e g o d o p ła s z c z y z n y b a z o w e j n a s t o l e g r a n i t o w y m W M P 40 R y s . 9 . P o m i a r r ó w n o l e g ło śc i m i ęd z y o s i ąs t o p y i g ło w y k o r b o w o d u n a m a s z y n i e w s p ó łr z ęd n o śc i o w e j W M P nr 1/2018 www.e-obrobkametalu.pl M A T E R I A ŁY E K S P L O A T A C Y J N E , M E T R O L O G I A , J A K O ŚĆ b ) p o m i a r o k r ęg u w s t o p i e n a w y s o k o śc i Z , t j . o k r e śl e n i e p r ó b k o w a n i a l u b s k a n o w a n i a . N a W M P i s t n i e j e m o żl i w o ść 2 p a r a m e t r ó w o k r ęg u S ( x , y , R ) , p o m i a r u t y l k o n i e k t ó r y c h o d c h y ł e k r ó w n o l e g ł o śc i i p r o s t o 2 2 2 2 c ) p r o s t a o s i s t o p y k o r b o w o d u p r z e c h o d z i p r z e z śr o d k i o k r ęp a d ło śc i p r o s t y c h i p ła s z c z y z n . P o n i e w a żi s t n i e j e m o żl i w o ść g ó w ( x , y ) i ( x , y ) . o k r e śl e n i a w s p ó łr z ęd n y c h p u n k t ó w p o m i a r o w y c h n a W M P , 1 1 2 2 o b l i c z e n i a b r a k u j ąc y c h o d c h y łe k k i e r u n k u m o żn a w y k o n a ć 3 . P o m i a r o s i g ło w y k o r b o w o d u p o z a m a s z y n ąw s p ó łr z ęd n o śc i o w ą. P r o s t a o s i g ło w y k o r b o w o d u o k r e śl a n a j e s t p r z e z p o m i a r y : N i e d o g o d n o śc i ąp r z y p o m i a r a c h o d c h y łe k k i e r u n k u n a W M P a ) p o m i a r o k r ęg u S ( x , y , R ) w g ło w i e n a w y s o k o śc i Z , 3 3 3 3 3 j e s t b r a k z a p i s u d łu g o śc i p r z e m i e s z c z e ńg ło w i c y p o m i a r o w e j . b ) p o m i a r o k r ęg u S ( x , y , R ) w g ło w i e n a w y s o k o śc i Z , 4 4 4 4 4 I c h r e j e s t r a c j ę w y k o n u j e o b e c n i e o p e r a t o r m a s z y n y w s p ó łc ) p r o s t a o s i g ło w y k o r b o w o d u p r z e c h o d z i p r z e z śr o d k i o k r ęr z ęd n o śc i o w e j . g ó w ( x , y ) i ( x , y ) . 3 3 4 4 L i t e r a t u r a P r o c e d u r a p o m i a r o w a z o s t a ła z a p i s a n a w j ęz y k u z r o z u m i a 1 . G r z e g o r c z y k J . : M a t e m a t y k a , C z ęść I . O f i c y n a W y d a w n i c z a ły m d l a W M P [ 4 ] , j a k o p r o c e d u r a O F F L I N E [ 7 ] . P o l i t e c h n i k i W a r s z a w s k i e j , W a r s z a w a 1 9 9 9 . W a r t o ść o d c h y łk i r ó w n o l e g ło śc i , o k r e śl o n a z a p o m o c ąW M P , 2 . H u m i e n n y Z . , B i a ła s S . , O s a n n a P . H . , T a m r e M . , W e c k e n m a n n m i ęd z y o s i ąb a z o w ąs t o p y i o s i ąg ło w y k o r b o w o d u , w y n o s i A . , B l u n t L . , J a k u b i e c W . : S p e c y f i k a c j e g e o m e t r i i w y r o b ó w x = 0 , 9 1 6 9 m m / m . U z y s k a n a w a r t o ść o d c h y łk i r ó w n o l e g ło śc i ( G P S ) , c z . 1 0 . T o l e r a n c j e k i e r u n k u . O f i c y n a W y d a w n i c z a x o d p o w i a d a d łu g o śc i p r z e m i e s z c z e n i a g ło w i c y w z d łu żo s i P o l i t e c h n i k i W a r s z a w s k i e j , W a r s z a w a 2 0 0 1 . g ło w y ( z –z ) = 3 2 , 4 9 m m . Z a t e m o d c h y łk a r ó w n o l e g ło śc i o s i 4 3 3 . L e i t n e r R . : Z a r y s m a t e m a t y k u w y żs z e j d l a i n ży n i e r ó w . C z ęść I , g ło w y k o r b o w o d u w z g l ęd e m o s i b a z o w e j s t o p y k o r b o w o d u W N T , W a r s z a w a 1 9 7 6 . w y n o s i x = 0 , 9 1 6 9 · 3 3 , 4 9 0 0 / 1 0 0 0 = 0 , 0 3 0 7 m m . 4 . Ła z u c h i e w i c z A . , K o t n o w s k i M . : K o o r d y n a t o m e t r X Y Z , I O N E O z n a c z e n i e o d c h y łk i x r ó w n o l e g ło śc i m i ęd z y o s i ąs t o p y i g ło N r 5 / 8 8 , O śr o d e k B a d a w c z o R o z w o j o w y N a r z ęd z iV I S , w y k o r b o w o d u p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 3 . W a r s z a w a 1 9 8 8 . 5 . N o r m a P N E N I S O 1 1 0 1 –S p e c y f i k a c j a g e o m e t r i i w y r o b ó w P o d s u m o w a n i e i w n i o s k i ( G P S ) . T o l e r a n c j e g e o m e t r y c z n e : T o l e r a n c j e k s z t a łt u , k i e r u n k u , P o m i a r y o d c h y łe k r ó w n o l e g ło śc i o r a z p r o s t o p a d ło śc i p ła s z p o ło że n i a i b i c i a . c z y z n i p r o s t y c h w z g l ęd e m e l e m e n t u b a z o w e g o n a w s p ó ł6 . P f e i f e r T . : K o o r d i n a t e n m e s s t e c h n i k f ü r d i e Q u a l i t ä t s s i c h e r z ęd n o śc i o w y c h m a s z y n a c h p o m i a r o w y c h s ąz a g a d n i e n i e m r u n g . V D I V e r l . , D ü s s e l d o r f 1 9 9 2 . z ło żo n y m , g d y żw y m a g a j ąp o m i a r u z a r ó w n o e l e m e n t u b a z o 7 . R a t a j c z y k E . : W s p ó łr z ęd n o śc i o w a t e c h n i k a p o m i a r o w a , O f i c y n a w e g o j a k r ó w n i e żm i e r z o n e g o . E l e m e n t y m i e r z y s i ęm e t o d ą W y d a w n i c z a P o l i t e c h n i k i W a r s z a w s k i e j , W a r s z a w a 2 0 0 5 . nr 1/2018 www.e-obrobkametalu.pl 41
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