Antenna Engineering Course Lecture: Fundamentals & Design

ANTENNA ENGINEERING LECTURE 0 Course Title: Antenna Engineering Course Code: EE 452 Level: Undergraduate Prerequisites: Electromagnetics, Course Objectives By the end of this course, students will be able to: 1) Analyze fundamental antenna parameters (radiation pattern, directivity, impedance, polarization). 2) Design basic antennas (dipoles, loops, patches) using theoretical and computational tools. 3) Apply antenna theory to real-world systems (wireless comm, radar, satellite). 4) Simulate antennas using software (MATLAB, CST, or ANSYS HFSS). 5) Measure antenna performance in a lab (VSWR, gain, radiation patterns). Module 1: Fundamentals (Weeks 1–3) •Ch. 1–2 (Balanis): • Introduction to antennas & historical evolution. • Key Concepts: Radiation mechanism, retarded potentials. • Radian and steradian, Radiation Pattern, near/far fields, Power density • Math Tools: Vector analysis, spherical coordinates, Poynting vector. Module 2: Antenna Parameters (Weeks 4–5) •Ch. 2 (Balanis): • Radiation intensity, directivity, gain, efficiency. • Beamwidth, sidelobes, input impedance, polarization. • Lab: Measure dipole antenna patterns. Module 3: Wire Antennas (Weeks 6–8) •Ch. 4–5 (Balanis): • Dipole antennas (λ/2, small dipoles). • Monopoles, loops, and folded dipoles. • Design Project: Optimize dipole length for 2.4 GHz WiFi. Module 4: Aperture Antennas (Weeks 9–10) •Ch. 12–13 (Balanis): • Horn antennas, parabolic reflectors. • Slot antennas, microstrip patches. • Simulation: Design a patch antenna in CST/HFSS. Module 5: Antenna Arrays (Weeks 11–12) •Ch. 6–7 (Balanis): • Array theory (broadside, end-fire). • Phased arrays, beamforming. • Project: Linear array design for 5G beam steering. Module 6: Advanced Topics (Weeks 13–14) •Ch. 14–16 (Balanis): • Wideband antennas (log-periodic, spiral). • Measurement techniques (anechoic chamber, VSWR). • Case Study: Satellite vs. mobile antennas. 📝Assessment •Homework (10%): Weekly problem sets (Balanis end-chapter problems). •Labs (20%): 4 hands-on labs (e.g., VSWR measurement, pattern plotting). •Midterm (20%): Covers Modules 1–3. •Final Project (10%): Design + simulate a microstrip antenna. •Final Exam (40%): Covers all modules. HISTORY AND EVOLUTION LECTURE 1 Module 1: Fundamentals (Weeks 1–3) •Ch. 1–2 (Balanis): • Introduction to antennas & historical evolution. • Key Concepts: Radiation mechanism, retarded potentials. • Radian and steradian, Radiation Pattern, near/far fields, Power density • Math Tools: Vector analysis, spherical coordinates, Poynting vector. 1. What is an Antenna? History and evolution - Definition: An antenna is a transducer that converts electrical signals into electromagnetic waves (transmission) and vice versa (reception). ‫‪History and evolution‬‬ ‫ز‬ ‫وتمثت بتجارب وابتكارات رائدة‬ ‫يعد تاري خ تطوير الهوائ رحلة رائعة تمتد ألكث من قرن من الزمان‪،‬‬ ‫أرست األساس لالتصاالت الالسلكية الحديثة‪ .‬فيما يل نظرة عامة موجزة عل المعالم الرئيسية‪:‬‬ - James Clerk Maxwell )1831- 1879(: 1864Formulated the theory of electromagnetism, predicting the existence of electromagnetic waves. His equations provided the theoretical foundation for antenna design and wireless communication. - Heinrich Hertz )1857-1894(: 1887-1888 Conducted the first experiments to prove the existence of electromagnetic waves. Built the first dipole antenna (a simple wire antenna) and demonstrated wireless transmission over short distances. Hertz’s experiments validated Maxwell’s theories and marked the birth of antenna technology. ‫بدأ العمل عل الهوائيات منذ سنوات عديدة‪ .‬كانت أول تجربة ناجحة معروفة للهوائيات من إجراء‬ ‫ز‬ ‫هايثيش رودولف هثتز (‪ .)1894–1857‬وقد ُسميت وحدة ر‬ ‫األلمائ ز‬ ‫ز‬ ‫الثدد القياسية الدولية‬ ‫الفثيائ‬ ‫(هثتز) نسبة إليه‪.‬‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫ف عام ‪ ،1887‬قام هثتز ببناء نظام ‪ -‬كما هو موضح ف الشكل ‪ - 1.1‬إلنتاج واكتشاف الموجات‬ ‫الراديوية‪ .‬كان الهدف األساس من تجربته هو إثبات وجود اإلشعاع الكهرومغناطيس‪.‬‬ ‫ز‬ ‫سلكي بطول ر‬ ‫ز‬ ‫كرتي موص ز‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫لتي (‬ ‫مث واحد) مع‬ ‫ف جهاز اإلرسال‪ ،‬تم توصيل مصدر جهد متغث بثنائ القطب (‬ ‫كرتي‬ ‫ز ز‬ ‫ز‬ ‫سعويتي) عند األطراف‪ .‬وكان يمكن تعديل الفجوة ز‬ ‫ز‬ ‫بي‬ ‫الرني ف الدائرة وإلنتاج ال رشر‪ .‬وعندما زاد الجهد‬ ‫الكرتي لضبط‬ ‫إىل قيمة معينة‪ ،‬حدث تفري غ كهربائ ( رشر)‪.‬‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫متطابقتي‪ ،‬مع ضبط دقيق للفجوة بينهما‬ ‫موصلتي‬ ‫كرتي‬ ‫أما جهاز االستقبال فكان عبارة عن حلقة بسيطة تحتوي عل‬ ‫الشر بكفاءة‪ .‬وضع هثتز الجهاز زف صندوق مظلم لرؤية ر‬ ‫الستقبال ر‬ ‫الشر بوضوح‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫خالل التجربة‪ ،‬عندما تم توليد رشر ف جهاز اإلرسال‪ ،‬الحظ هثتز أيضا ظهور رشر ف فجوة جهاز االستقبال ف نفس‬ ‫ً‬ ‫تقريبا‪ .‬وهذا أثبت أن المعلومات من النقطة أ (جهاز اإلرسال) انتقلت إىل النقطة ب (جهاز االستقبال) بشكل‬ ‫اللحظة‬ ‫السلك ‪ -‬عث الموجات الكهرومغناطيسية‪.‬‬ - Guglielmo Marconi (1874- 1937 ) (1895-1901): o Pioneered practical wireless communication using antennas. o Developed the first practical monopole and long-wire antennas. o Achieved the first transatlantic wireless transmission in 1901, using a large antenna system in Cornwall, England, and a receiving antenna in Newfoundland, Canada. ‫بينما أجرى ز‬ ‫هايثيش هثتز تجاربه زف المختث ولم يكن يعرف ً‬ ‫تماما كيف يمكن استخدام الموجات الراديوية‬ ‫عمليا‪ ،‬قام غولييلمو مار ز‬ ‫ر‬ ‫ً‬ ‫المخثع اإليطاىل بتطوير وتجارية التقنية الالسلكية من خالل‬ ‫كوئ (‪- )1937–1874‬‬ ‫تقديم نظام التلغراف الالسلك‪ ،‬الذي أصبح األساس لتأسيس العديد من ر‬ ‫الشكات التابعة حول العالم‪.‬‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫ومن أشهر تجاربه اإلرسال عث المحيط األطلس ف عام ‪ 1901‬من بولدهو ف المملكة المتحدة إىل سانت جونز‬ ‫مستخدما أنظمة غث مضبوطة ر‬ ‫ً‬ ‫الثدد‪ .‬وقد حصل عل جائزة نوبل زف ز‬ ‫الفثياء عام ‪1909‬‬ ‫زف نيوفاوندالند بكندا‪،‬‬ ‫ً‬ ‫تقديرا لمساهماتهما زف تطوير التلغراف الالسلك‪.‬‬ ‫بالمشاركة مع كارل فرديناند براون‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫زف تجارب مار ز‬ ‫كوئ‪ ،‬استخدمت هوائيات المونوبول (قريبة من رب ع الطول الموج) عل نطاق واسع‪ ،‬ولذلك تعرف‬ ‫ً‬ ‫ز‬ ‫الهوائيات الرأسية أحادية القطب أيضا باسم هوائيات ماركوئ‪.‬‬ - Yagi-Uda Antenna (1926): o Invented by Hidetsugu Yagi and Shintaro Uda. o A directional antenna with high gain, widely used in television and radio reception. ‫‪Radar and World War II (1930s-1940s):‬‬ ‫‪- Development of parabolic reflector antennas for radar systems.‬‬ ‫‪- Antennas played a critical role in military applications, such as detecting aircraft and ships.‬‬ ‫ً‬ ‫ُ‬ ‫خالل الحرب العالمية الثانية‪ ،‬كانت المعارك تحسم لصالح الجانب الذي يتمكن أوال من رصد الطائرات أو السفن‬ ‫ز‬ ‫أو الغواصات المعادية‪ .‬ومنح الحلفاء األفضلية ف هذا المجال‪ ،‬حيث طور العلماء الثيطانيون واألمريكيون تقنية‬ ‫ر ز‬ ‫حت ف ظالم الليل‪.‬‬ ‫الرادار لتمكينهم من "رؤية" األهداف من عل بعد مئات األميال‪،‬‬ ‫ز‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫أدت هذه األبحاث إىل تطور شي ع ف هوائيات الرادار عالية الثدد‪ ،‬والت لم تعد تقتص عل الهوائيات السلكية‬ ‫التقليدية‪ .‬فقد تم تطوير بعض الهوائيات ذات الفتحات‪ ،‬مثل الهوائيات العاكسة (المرايا) وهوائيات البوقية )‪.(Horn‬‬ ‫ز‬ ‫مثل هذه التطورات أحدثت ثورة ف أنظمة المراقبة والدفاع‪ ،‬حيث أصبح باإلمكان تتبع التحركات المعادية بدقة كبثة‪،‬‬ ‫مما ساهم بشكل حاسم زف تغيث مسار الحرب لصالح الحلفاء‪.‬‬ Horn Antennas (1940s): o Used for microwave communication and radar systems. o Provided high gain and directivity at higher frequencies. Microstrip/Patch Antennas (1970s): Compact and lightweight antennas used in mobile devices, GPS, and satellite communication. Phased Array Antennas (1980s): Enabled beam steering without mechanical movement, used in radar, satellite, and 5G systems. MIMO and Smart Antennas (2000s): Multiple-Input Multiple-Output (MIMO) antennas improved data rates and reliability in wireless communication. Smart antennas with adaptive beamforming became essential for 4G and 5G networks. - Reconfigurable Antennas (2010s): Antennas that can dynamically adjust their frequency, pattern, or polarization for optimal performance. RADIATION MECHANISM LECTURE 2 • Key Concepts: Radiation mechanism, Maxwell’s equations, retarded potentials. • Math Tools: Vector analysis, spherical coordinates, Poynting vector. ‫المرحلة األوىل الشكل ‪ ( a‬زمن ‪(t = T/4‬‬ ‫ تكوين خطوط المجال الكهربائ‪:‬‬‫ عند توصيل مصدر تيار ر‬‫ن‬ ‫ن‬ ‫متوازيي)‪ ،‬رتتاكم الشحنات عىل السطح‬ ‫سلكي‬ ‫بالهوائ (‬ ‫دد‬ ‫مت‬ ‫ي‬ ‫‪𝑡 = 𝑇/4‬‬ ‫(موجبة عىل أحد الموصالت وسالبة عىل اآلخر)‪.‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ تتشكل ‪ 3‬خطوط قوة كهربائية ن‬‫الموصلي‪ ،‬ممثلة بخطوط متصلة يف الشكل ‪.a‬‬ ‫بي‬ ‫ التمثيل ز‬‫الفييائ‪:‬‬ ‫الشكل (‪)a‬‬ ‫ خطوط القوة تظهر اتجاه المجال‬‫الكهربائ من الشحنة الموجبة إىل السالبة‪.‬‬ ‫ي‬ ‫𝜆‬ ‫ المسافة ن‬‫ن‬ ‫بي‬ ‫الموصلي هنا تساوي‬ ‫‪4‬‬ ‫(رب ع الطول‬ ‫الموج)‪.‬‬ ‫ي‬ ‫تيار التوصيل (‪:)Conduction Current‬‬ ‫ن‬ ‫ً ن‬ ‫ر‬ ‫ عند تطبيق جهد ر‬‫فعليا يف الموصالت (تيار توصيل)‪( .‬مثلما يتحرك الماء يف‬ ‫اإللكتونات‬ ‫الهوائ‪ ،‬تتحرك‬ ‫عىل‬ ‫دد‬ ‫مت‬ ‫ي‬ ‫األنبوب)‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫‪ -‬هذا التيار ُينش مجاًل مغناطيسيا حول الموصالت حسب قانون أمبت‪:‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑐𝑢𝑑𝑛𝑜𝑐𝐽 ‪∇ × 𝐵 = 𝜇0‬‬ ‫ الشكل (‪ )a‬يوضح هذه المرحلة‪ :‬الشحنات رتتاكم عىل السطح‪ ،‬وتيار التوصيل ُيولد خطوط مجال كهربائ ن‬‫بي‬ ‫ي‬ ‫الموصالت‪.‬‬ ‫مرحلة االنتقال (زمن 𝟐‪)𝒕 = 𝑻/‬‬ ‫ تحرك الشحنات المعاكسة‪:‬‬‫التاىل من الدورة ‪ T/4‬إىل ‪ ، T/2‬تتحرك الخطوط األصلية مسافة‬ ‫‪ -‬خالل الرب ع ي‬ ‫‪𝑡 = 𝑇/2‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆‬ ‫اإلجماىل ‪ 2‬من نقطة البداية)‪.‬‬ ‫إضافية ‪( 4‬ليصبح‬ ‫ي‬ ‫ تظهر ‪ 3‬خطوط قوة جديدة معاكسة (موضحة بخطوط متقطعة)‪ ،‬ناتجة عن‬‫ُ َ َ ْ‬ ‫شحنات معاكسة تحقق لمعادلة الشحنات األصلية‪.‬‬ ‫ تأثت المعادلة‪:‬‬‫حت تتالىش ً‬ ‫ الشحنات المعاكسة ُتقلل من كثافة الشحنة عىل الموصالت ر‬‫تماما عند‬ ‫‪𝑡 = 𝑇/2.‬‬ ‫الشكل (‪)b‬‬ ‫ن‬ ‫اج السائد)‬ ‫ز‬ ‫اًل‬ ‫التيار‬ ‫(‬ ‫اإلشعاع‬ ‫مرحلة‬ ‫ف‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫ التحول إىل تيار اإلزاحة (‪:)Displacement Current‬‬‫ن‬ ‫ مع زيادة ر‬‫اإللكتونات تتوقف عن الحركة لمسافات طويلة ر‬ ‫ر‬ ‫التدد ( ر ن‬ ‫وتتدد يف مكانها‪ - ،‬لكن المجال‬ ‫اًلهتاز الرسي ع)‪،‬‬ ‫ُ‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ر‬ ‫الكهربائ حول‬ ‫الهوائ يستمر يف التغت برسعة‪ .‬تحارص اإللكتونات يف الموصل بسبب تأثت السطح (‪ ،)Skin Effect‬فتقل‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫كفاءة تيار التوصيل‪.‬‬ ‫ن‬ ‫ هنا‪ ،‬يصبح تيار اإلزاحة هو المسيطر‪ ،‬وهو ناتج عن تغت المجال‬‫ف‬ ‫بالهوائ‬ ‫المحيط‬ ‫اغ‬ ‫ر‬ ‫الف‬ ‫الوهم‬ ‫التيار‬ ‫هذا‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫الكهربائ ي‬ ‫ي‬ ‫ر‬ ‫الحقيق ‪:‬‬ ‫مغناطيش مثل التيار‬ ‫قادر عىل إنتاج مجال‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫‪𝐽𝑑𝑖𝑠𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝜖0‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫ مثال‪:‬‬‫ً‬ ‫ن‬ ‫‪ -‬مثل هز حبل رس ًيعا‪ً :‬ل تتحرك العقدة يف الحبل بعيدا‪ ،‬لكن الموجة تنتقل عت الحبل‪.‬‬ ‫مرحلة اإلشعاع (زمن ‪(t = T/2‬‬ ‫‪𝑡 = 𝑇/2‬‬ ‫ انفصال خطوط القوة‪:‬‬‫تنته عندها‬ ‫ عند عدم وجود شحنة صافية عىل الموصالت‪ً ،‬ل يمكن لخطوط القوة أن‬‫ي‬ ‫(حسب قانون جاوس للمجاًلت الكهربائية)‪.‬‬ ‫َ‬ ‫ تنفصل الخطوط عن الموصالت وتتحد مع الخطوط المعاكسة لتشكيل حلقات مغلقة‬‫ن‬ ‫(كما يف الشكل ‪.)c‬‬ ‫ تحول الطاقة‪:‬‬‫يش) تنترس‬ ‫ الحلقات المغلقة تمثل مجاًلت كهرومغناطيسية متغتة (‬‫ي‬ ‫كهربائ ‪ +‬مغناط ي‬ ‫ن‬ ‫يف الفراغ كموجات كهرومغناطيسية‪.‬‬ ‫ هذه ه اللحظة ر‬‫الت تتحول فيها الطاقة الكهربائية إىل موجات كهرومغناطيسية مشعة‪.‬‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫الشكل (‪)c‬‬ ‫الكهربائ تنفصل عن الموصالت‪ ،‬وًل يوجد تيار توصيل (ألن‬ ‫ الشكل (‪ )c‬يظهر هذه المرحلة‪ :‬خطوط المجال‬‫ي‬ ‫ن‬ ‫الشحنات تعادلت)‪ ،‬لكن التغت الرسي ع يف المجال ُيحافظ عىل استمرارية التيار عت تيار اإلزاحة‪.‬‬ ‫المعادلة الكاملة (قانون أمبت‪-‬ماكسويل)‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫‪∇ × 𝐵 = 𝜇0 𝐽𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 + 𝜖0‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫‪ -‬قبل اإلشعاع‪ 𝐽𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 :‬هو المسيطر‪.‬‬ ‫‪ -‬أثناء اإلشعاع‪:‬‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫‪ 𝜖0‬يصبح المسيطر‪.‬‬ ‫ز‬ ‫الفيياء وراء الصورة‬ ‫الكهرومغناطيش‬ ‫آلية اإلشعاع‬ ‫ي‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ن‬ ‫ً‬ ‫الكهربائ (حسب قانون أمبت‪-‬ماكسويل)‪.‬‬ ‫المجال‬ ‫مع‬ ‫ا‬ ‫متعامد‬ ‫ا‬ ‫مغناطيسي‬ ‫مجاًل‬ ‫يولد‬ ‫الموصالت‬ ‫ف‬ ‫ي‬ ‫ التيار المتغت ي‬‫المغناطيش المتغت ُي َحفز كل منهما اآلخر‪ ،‬مما ُينتج‬ ‫ المجال‬‫الكهربائ المتغت (من خطوط القوة المنفصلة) والمجال‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫ً‬ ‫بعيد‬ ‫موجة كهرومغناطيسية تنترس‬ ‫عن‬ ‫ا‬ ‫الهوائ‪.‬‬ ‫ي‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫‪∇ × 𝐵 = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜖 0‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫𝐵𝜕‬ ‫‪∇× 𝐸 = −‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫الت تصف ر‬ ‫(معادالت ماكسويل ر‬ ‫اقيان المجاالت)‪.‬‬ ‫الهوائ إىل مرسل؟‬ ‫الخالصة‪ :‬كيف يتحول‬ ‫ي‬ ‫‪ .1‬تراكم الشحنات → تكوين خطوط مجال‬ ‫كهربائ‪.‬‬ ‫ي‬ ‫‪ .2‬تذبذب الشحنات ربتدد المصدر → حركة خطوط القوة وتكوين خطوط معاكسة‪.‬‬ ‫‪ .3‬انفصال الخطوط وتشكيل حلقات مغلقة → تحرر الطاقة كموجات كهرومغناطيسية‪.‬‬ ‫ن‬ ‫‪ .4‬انتشار الموجات يف الفراغ برسعة الضوء‬ ‫𝟏‬ ‫= 𝒄‬ ‫𝟎𝝐 𝟎𝝁‬ ‫ن‬ ‫الفرق ن‬ ‫بي‬ ‫وائ‬ ‫ف‬ ‫التيارين‬ ‫اله‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫التيار التوصيل‬ ‫التيار اإلزاحة‬ ‫‪Conduction Current‬‬ ‫‪Displacement Current‬‬ ‫ز‬ ‫حركة ر‬ ‫إلكيونات فعلية ف السلك‬ ‫تغت ن‬ ‫ف‬ ‫المجال‬ ‫الكهربائ حول السلك‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫يهيمن عند ر‬ ‫اليددات المنخفضة‬ ‫يهيمن عند ر‬ ‫التددات العالية‬ ‫ز‬ ‫ينتج حرارة ف السلك‬ ‫ينتج موجات كهرومغناطيسية‬ ‫‪Maxwell Equations‬‬ ‫قانون جاوس للكهرباء (‪)Gauss's Law for Electricity‬‬ ‫𝝆‬ ‫= 𝑬 ⋅𝛁‬ ‫𝟎𝝐‬ ‫ن‬ ‫المعت‪:‬‬ ‫‬‫وينته عند الشحنات السالبة‪ ،‬مثل أشعة الشمس تخرج من‬ ‫الكهربائ ينبعث من الشحنات الموجبة‬ ‫"المجال‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫ن‬ ‫الشمس يف كل اًلتجاهات‪".‬‬ ‫عمىل‪:‬‬ ‫مثال‬ ‫ي‬ ‫إذا وضعت كرة معدنية مشحونة ن‬ ‫ن‬ ‫ف‬ ‫المجال‬ ‫خطوط‬ ‫فإن‬ ‫غرفة‪،‬‬ ‫الكهربائ تخرج منها يف كل اًلتجاهات (مثل‬ ‫‬‫ي‬ ‫ي‬ ‫ًلسلك)‪.‬‬ ‫شوكة شحن هاتف‬ ‫ي‬ ‫‪ .‬قانون جاوس للمغناطيسية (‪)Gauss's Law for Magnetism‬‬ ‫𝟎 = 𝑩 ⋅𝛁‬ ‫ن‬ ‫المعت‬ ‫‬‫وئ ًل يمكن‬ ‫"ًل يوجد شحنات مغناطيسية منفردة (أقطاب مغناطيسية منفردة)‪ .‬كل مغناطيس له قطب‬ ‫شماىل وجن ي‬ ‫ي‬ ‫فصلهما‪".‬‬ ‫عمىل‪:‬‬ ‫ مثال‬‫ي‬ ‫ً‬ ‫ن‬ ‫وجنوئ (مثل مغناطيس الثالجة)‪.‬‬ ‫شماىل‬ ‫قطب‬ ‫له‬ ‫سيظل‬ ‫نصف‬ ‫كل‬ ‫‪،‬‬ ‫نصفي‬ ‫إىل‬ ‫ا‬ ‫مغناطيس‬ ‫ إذا كرست‬‫ي‬ ‫ي‬ ‫الكهرومغناطيش (‪)Faraday's Law of Induction‬‬ ‫قانون فاراداي للحث‬ ‫ي‬ ‫𝑩𝝏‬ ‫‪𝛁×𝑬 = −‬‬ ‫𝑯𝝁𝝎𝒋‪= −‬‬ ‫𝒕𝝏‬ ‫𝑯𝝁 = 𝑩‬ ‫𝑥𝑢𝑙𝑓 𝑐𝑖𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑀 ‪𝐵:‬‬ ‫ن‬ ‫المعت‬ ‫‪-‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫المغناطيش المتغت ُينتج مجاًل كهربائيا (وهذا أساس عمل المولدات الكهربائية)‪".‬‬ ‫"المجال‬ ‫ي‬ ‫عمىل‪:‬‬ ‫ مثال‬‫ي‬ ‫الت ُتشغل مصباحاً‬ ‫ عند تحريك مغناطيس داخل ملف سلك برسعة‪ ،‬يتولد تيار كهربائ (مثل دراجة التمارين ر‬‫ي‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫عند الدوران)‪.‬‬ ‫‪ .‬قانون أمبت‪-‬ماكسويل (‪)Ampère-Maxwell Law‬‬ ‫𝑬𝝏‬ ‫𝟎𝝐 𝟎𝝁 ‪𝛁 × 𝑩 = 𝝁𝟎 𝑱 +‬‬ ‫𝒕𝝏‬ ‫𝑯𝝁 = 𝑩‬ ‫𝑬 𝟎𝝐 = 𝑫‬ ‫𝑫𝝏‬ ‫‪𝛁×𝑯 =𝑱+‬‬ ‫𝒕𝝏‬ ‫ن‬ ‫المعت‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ "التيار‬‫الكهربائ أو المجال‬ ‫الكهربائ المتغت ُينتج مجاًل مغناطيسيا‪".‬‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫عمىل‪:‬‬ ‫ مثال‬‫ي‬ ‫ عند تشغيل مفتاح الكهرباء‪ ،‬يتولد مجال‬‫مغناطيش حول السلك (الجزء األول من المعادلة)‪.‬‬ ‫ي‬ ‫حت بدون تيار) ُينتج موجات راديو (الجزء ن‬ ‫ نف الهوائ‪ ،‬المجال الكهربائ المتغت ( ر‬‫الثائ من المعادلة)‪.‬‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫الفرق الرياضي األساسي‬ ‫اًلسم‬ ‫الناتج‬ ‫الوصف ن‬ ‫يائ‬ ‫الفت‬ ‫ي‬ ‫𝐸 · 𝛻‬ ‫تباعد (‪)Divergence‬‬ ‫عددي (‪)scalar‬‬ ‫يقيس "كمية المجال الخارجة أو الداخلة‬ ‫من نقطة" (مثل مصدر أو بالوعة)‪.‬‬ ‫𝐸 × 𝛻‬ ‫دوران (‪)Curl‬‬ ‫متجه (‪)Vector‬‬ ‫يقيس "دوران المجال حول نقطة" (مثل‬ ‫دوامة ماء)‪.‬‬ ‫الرمز‬ ‫تشبيه بسيط‬ ‫ تخيل بالونة فيها هواء‪:‬‬‫𝐸 ∙ 𝛻 مثل قياس كمية الهواء الخارجة من فتحة البالون (قانون جاوس)‪.‬‬ ‫𝐸 × 𝛻 مثل قياس دوامات الهواء حول البالون إذا ُد َ‬ ‫ورت (قانون فاراداي)‪.‬‬ Definition of Curl in Cartesian Coordinates The curl of a vector field 𝑯 = (𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 , 𝐻𝑧 ) is given by: 𝑥ො 𝜕 ∇×𝐻 = 𝜕𝑥 𝐻𝑥 𝑦ො 𝜕 𝜕𝑦 𝐻𝑦 𝑧Ƹ 𝜕 𝜕𝑧 𝐻𝑧 0 𝜕 ∇×𝐻 = 𝜕𝑧 𝜕 − 𝜕𝑦 This determinant expands to: 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑧 ∇ × 𝐻 = 𝑥ො − + 𝑦ො − + 𝑧Ƹ − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 − 𝜕𝑧 0 𝜕 𝜕𝑥 𝐻𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝐻𝑦 − 𝜕𝑥 0 𝐻𝑧 In electromagnetics, the curl of H is related to the current density J and the time-varying electric field D via Ampère's Law with Maxwell's Correction: 𝜕𝐷 ∇×𝐻 =𝐽+ 𝜕𝑡 Time-Harmonic Fields (Phasor Form): 𝛻 × 𝑯 = 𝑱 + 𝑗𝜔𝑫 Steady (DC) Case  Definition: Fields are time-independent, but currents are constant 𝐽 ≠ 0 .  Conditions: o Charges move at constant velocity (DC current, o 𝜕𝐸 E and B are constant in time ( 𝜕𝑡 = 0, 𝜕𝐵 = 0). 𝜕𝑡 Maxwell’s Equations (Steady) 1. Gauss’s Law for E: 𝜌 𝛻⋅𝐸 = 𝜖0 (Charge density 𝜌 can exist but doesn’t change.) 𝜕𝜌 = 0). 𝜕𝑡 2. Gauss’s Law for B: 𝛻⋅𝐵 =0 3. Faraday’s Law: 𝛻×𝐸 =0 (No time-varying B, so no induction.) 4. Ampère’s Law: 𝛻 × 𝐵 = 𝜇0 𝐽 Static Case (Electrostatics & Magnetostatics)  Definition: No time variation at all 𝜕 =0 . 𝜕𝑡 o Charges are stationary (no current, J=0). o Fields do not change with time 𝜕𝐸 = 0, 𝜕𝑡 𝜕𝐵 =0 𝜕𝑡 Maxwell’s Equations (Static) 1. Gauss’s Law for E: 𝜌 𝛻⋅𝑬 = 𝜖0 (Electric field due to stationary charges.) 1. Gauss’s Law for B: 𝛻⋅𝑩=0 (No magnetic monopoles.) 1. Faraday’s Law: 𝛻×𝑬=0 Ampère’s Law: 𝛻×𝑩=0 Vector Potential 𝑨 due to an electric current 𝑱Ԧ Let 𝑱Ԧ be the electric current density & 𝑩 the magnetic flux density We know that ∇∙𝑩=𝟎 & that ∇ ∙ ∇ × 𝑨 = 𝟎 (1) (i.e., the divergence of a curl of any vector is always 0) at this point is an arbitrary vector Let 𝑩 = ∇ × 𝑨 = 𝝁𝑯 (𝟐) 𝟏 𝑯 = ∇×𝑨 𝝁 (𝟑) ∇ × 𝑬 = −𝒋𝝎𝝁𝑯 (𝟒) Recall Maxwell’s eqn: Substituting eqn. (4) into (3) yields: 𝟏 ∇ × 𝑬 = −𝒋𝝎𝝁 𝝁 𝛁 × 𝑨 = −𝒋𝝎𝛁 × 𝑨 or ∇ × 𝑬 + 𝒋𝝎𝑨 = 𝟎 (𝟓) We know that the curl of the gradient of any scalar is zero, i.e.: ∇ × −∇Φ = 0 (𝟔) Comparing eqn. (5) with eqn. (6) we can write: 𝑬 + 𝒋𝝎𝑨 = −∇Φ 𝑜𝑟 𝑬 = −∇Φ − 𝒋𝝎𝑨 (𝟕) Φ is an arbitrary electric scalar potential. Let us use some vector identities to simplify things! Taking the curl of eqn (2) on both sides yields: 𝝁𝛁 × 𝑯 = ∇ × 𝛁 × 𝑨 (𝟖) Using vector identities, we get: 𝝁𝛁 × 𝑯 = ∇ 𝛁 ∙ 𝑨 − 𝛁 𝟐 𝑨 (𝟗) We also know from Maxwell’s eqns. that: ∇ × 𝐻 = 𝐽Ԧ + 𝑗𝜔𝜀𝐸 (10) Substituting eqn. (10) into (9) yields: 𝝁 𝑱Ԧ + 𝑗𝜔𝜇𝜀𝐸 = ∇ 𝛁 ∙ 𝑨 − 𝛁 𝟐 𝑨 (11) Replacing 𝐸 using eqn (7) we get: 𝝁 𝑱Ԧ + 𝑗𝜔𝜇𝜀 −∇Φ − 𝑗𝜔𝐴Ԧ = ∇ 𝛁 ∙ 𝑨 − 𝛁 𝟐 𝑨 Or ∇2 𝐴Ԧ + 𝜔2 𝜇𝜀 𝐴Ԧ = −𝜇𝐽Ԧ + ∇ ∇ ∙ 𝐴Ԧ + 𝑗𝜔𝜇𝜀Φ (12) 𝐿𝑒𝑡 𝜔2 𝜇𝜀 = 𝑘 2 ∇2 𝐴Ԧ + 𝑘 2 𝐴Ԧ = −𝜇𝐽Ԧ + ∇ ∇ ∙ 𝐴Ԧ + 𝑗𝜔𝜇𝜀Φ In eqn. (2) the curl of 𝐴Ԧ was defined. We MUST also define the Divergence of 𝐴Ԧ (13) To completely define a vector its curl and its divergence should be defined. Let us define the divergence of 𝐴Ԧ now ∇ ∙ 𝐴Ԧ = −𝑗𝜔𝜇𝜀𝜙 14 1 𝜙=− ∇ ∙ 𝐴Ԧ 𝑗𝜔𝜇𝜀 using eqn (14) in eqn. (13) yields: ∇2 𝐴Ԧ + 𝑘 2 𝐴Ԧ = −𝜇𝐽Ԧ + ∇ ∇ ∙ 𝐴Ԧ + 𝑗𝜔𝜇𝜀𝜙 Vector Potential 𝐹Ԧ due to a magnetic current source 𝑀 Magnetic currents do not exist 𝑀 , used for mathematical formulation purposes in some problems, such as aperture antennas. Aperture has a current 𝑀 across it, instead of 𝐽Ԧ We can show in this case that: ∇2 𝐹Ԧ + 𝑘 2 𝐹Ԧ = −𝜀𝑀 (17) Once you solve for F you can find H: 1 𝐻 = −𝑗𝜔𝐹Ԧ − ∇ ∇ ∙ 𝐹Ԧ 𝜔𝜇𝜀 How do we solve for 𝐴Ԧ & 𝐹Ԧ ? (18) Source not at origin Source at origin Let 𝐽Ԧ = 𝐽𝑧 𝑎ො𝑧 (i.e. have only a z- component) 𝐴Ԧ = 𝐴𝑧 𝑎ො𝑧 → ∇2 𝐴𝑧 + 𝑘 2 𝐴𝑧 = −𝜇𝐽𝑧 (19) To simplify eqn. (19) we set: 𝑱 is the current density, and it equal to zero as far as the observation point is far. For a point source, 𝐽𝑧 = 0 everywhere except at 𝑟 = 0, so the wave equation reduces to : ∇2 𝐴Ԧ + 𝑘 2 𝐴Ԧ = 0 (20) 𝜔 2𝜆 𝑘= = (𝑤𝑎𝑣𝑒𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟), 𝑐 𝜋 Since 𝐴 = 𝐴𝑧 (𝑟)𝑧,Ƹ we must convert ∇2 𝐴Ԧ from Cartesian to spherical coordinates. 𝑧Ƹ = cos𝜃 𝑟Ƹ − sin𝜃𝜃෠ So, 𝑨 = 𝐴𝑧 (𝑟) cos𝜃 𝑟Ƹ − sin𝜃𝜃෠ In spherical coordinates (assuming a point source) we get: 𝑑2 𝐴𝑧 𝑟 2 𝑑𝐴𝑧 𝑟 2 + + 𝑘 𝐴𝑧 𝑟 = 0 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 (21) The solutions to eqn. (21) are: 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝐴𝑧 = 𝐶 𝑟 To find 𝐶, consider the source condition (current element 𝐼𝑑𝑙): The vector potential for a point dipole is: 𝜇𝐼 𝑑𝑙 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝐴𝑧 = 4𝜋 𝑟 (22) In spherical coordinates: 𝜇𝐼 𝑑𝑙 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝐴𝑟 = (cos 𝜃) 4𝜋 𝑟 𝜇𝐼 𝑑𝑙 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝐴𝜃 = (−sin 𝜃) 4𝜋 𝑟 𝐴𝑧 is the foundation for deriving all radiated fields. Maxwell’s equation Maxwell’s equation in free space (far from the source) 𝝆 𝛁⋅ 𝑬 = 𝝐𝟎 𝛁⋅ 𝑩 = 𝟎 𝝏𝑩 𝛁×𝑬 = − 𝝏𝒕 𝝏𝑬 𝛁 × 𝑩 = 𝝁 𝟎 𝑱 + 𝝁 𝟎 𝝐𝟎 𝝏𝒕 Why? 𝛁⋅ 𝑬 =𝟎 𝛁⋅ 𝑩 = 𝟎 𝝏𝑩 𝛁×𝑬 = − 𝝏𝒕 𝝏𝑬 𝛁 × 𝑩 = 𝟎 + 𝝁𝟎 𝝐𝟎 𝝏𝒕 ‫ن‬ 𝑱 ‫يف الفراغ ًل توجد شحنة كهربية 𝝆 وبالتال ال يوجد تيار كهرئ‬ Wave equation solution 𝐸𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝐸 = 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝐵𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝐵 = 𝐵𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) Maxwell’s equation in free space (far from the source) 𝛻⋅ 𝐸 =0 (1) 𝛻⋅ 𝐵 = 0 (2) 𝜕𝐵 𝛻×𝐸 = − (3) 𝜕𝑡 𝜕𝐸 𝛻 × 𝐵 = 𝜇0 𝜖0 (4) 𝜕𝑡 ‫لنأخذ المعادلة (‪)3‬‬ ‫𝐵𝜕‬ ‫‪𝛻×𝐸 = −‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ونضب‬ ‫الطرفي ن يف 𝛻‬ ‫𝐵𝜕‬ ‫‪𝛻×∇×𝐸 = ∇× −‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫نعيد ترتيب المعادلة‬ ‫)‪(5‬‬ ‫حسب المعادلة (‪)4‬‬ ‫ونعوض بها ن يف المعادلة (‪)5‬‬ ‫ونعيد ترتيب المعادلة‬ ‫𝜕‬ ‫𝐵×∇ ‪𝛻×∇×𝐸 = −‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫‪𝛻 × 𝐵 = 𝜇0 𝜖0‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫)‪(6‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫‪𝛻×∇×𝐸 =−‬‬ ‫‪𝜇0 𝜖 0‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝛻 × ∇ × 𝐸 = −𝜇0 𝜖0 2‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫فن‬ ‫ي الرياضيات‪-:‬‬ ‫نطبق هذه القاعدة الطرف األيمن من المعادلة (‪)7‬‬ ‫𝐹 ‪𝛻 × ∇ × 𝐹 = 𝛻 𝛻. 𝐹 − 𝛻 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝐸‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝛻 𝛻. 𝐸 − 𝛻 𝐸 = −𝜇0 𝜖0 2‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫)‪(8‬‬ ‫حسب المعادلة (‪ )1‬من معادًلت ماكسويل‬ ‫كالتاىل‬ ‫عليه يمكن إعادة صياغة المعادلة (‪)8‬‬ ‫ي‬ ‫‪𝛻. 𝐸 = 0‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫وهذه المعادلة تسىم‪:‬‬ ‫)‪(10‬‬ ‫‪Wave equation for electrical filed in free space‬‬ ‫ويمكن بنفس الطريقة‬ ‫‪Wave equation for magnetic filed in free space‬‬ ‫)‪(11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝐸‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝛻 𝐸 = 𝜇0 𝜖 0 2‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝐸‬ ‫‪2‬‬ ‫=𝐸 𝛻‬ ‫‪𝑐 𝜕𝑡 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝐵‬ ‫‪2‬‬ ‫=𝐵 𝛻‬ ‫‪𝑐 𝜕𝑡 2‬‬ ‫𝐸‪1 𝜕2‬‬ ‫ن ‪𝑐 2 𝜕𝑡 2‬‬ ‫التغيت الزمائ‬ ‫)𝑡 ‪𝐸𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧,‬‬ ‫)𝑡 ‪𝐸 = 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧,‬‬ ‫)𝑡 ‪𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧,‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑧 2‬‬ ‫‪𝜕𝑡 2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪1 𝜕 2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫‪𝜕𝑡 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝑧𝐸‬ ‫𝑧𝐸 𝜕‬ ‫‪𝜕𝑡 2‬‬ ‫‪𝜕𝑧 2‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑧𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫ي‬ ‫‪temporal space‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑧𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫=‬ ‫𝐸‪𝛻2‬‬ ‫ن‬ ‫المكائ‬ ‫التغيت‬ ‫ي‬ ‫‪Spatial space‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑧 2‬‬ ‫𝐸‪1 𝜕2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑐 𝜕𝑡 2‬‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫𝑧𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑧 2‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑧𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑧𝐸 ‪𝜕 2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪𝜕 2 𝐸𝑥 𝜕 2 𝐸𝑥 𝜕 2‬‬ ‫𝑥𝐸 ‪1 𝜕 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫‪𝑐 𝜕𝑡 2‬‬ ‫هذه ثالث معادًلت تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية‬ ‫𝑦𝐸 ‪𝜕 2 𝐸𝑦 𝜕 2 𝐸𝑦 𝜕 2‬‬ ‫𝑦𝐸 ‪1 𝜕 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫‪𝑐 𝜕𝑡 2‬‬ ‫𝑧𝐸 ‪𝜕 2 𝐸𝑧 𝜕 2 𝐸𝑧 𝜕 2‬‬ ‫𝑧𝐸 ‪1 𝜕 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫‪𝑐 𝜕𝑡 2‬‬ ‫ونفس اًلمر ن يف حالة 𝐵‬ ‫نلتجع للمعادلة (‪)1‬‬ ‫‪𝛻⋅ 𝐸 =0‬‬ ‫𝑡𝜔 ‪𝐸 = 𝐸𝑜 sin 𝑘𝑟 −‬‬ ‫𝑥𝐸‬ ‫𝑥𝑜𝐸‬ ‫𝑡𝜔 ‪𝐸𝑦 = 𝐸𝑜𝑦 sin 𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦 + 𝑘𝑧 𝑧 −‬‬ ‫𝑧𝐸‬ ‫𝑧𝑜𝐸‬ ‫وهذه المعادلة تباعد (‪ )divergence‬المجال عن المصدر‬ ‫ن‬ ‫ومجموعها يساوي صفر حسب معادلة ماكسويل (‪ )1‬يف الفراغ‬ ‫𝑧𝐸𝜕 𝑦𝐸𝜕 𝑥𝐸𝜕‬ ‫=𝐸 ⋅𝛻‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫لنجري تفاضل كل حد‬ ‫ثم نجمعهن‬ ‫𝑥𝐸𝜕‬ ‫𝑡𝜔 ‪= E0x k x cos 𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦 + 𝑘𝑧 𝑧 − 𝜔𝑡 = E0x k x cos 𝑘𝑟 −‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝐸𝜕‬ ‫𝑡𝜔 ‪= E0y k y cos 𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦 + 𝑘𝑧 𝑧 − 𝜔𝑡 = E0𝑦 k y cos 𝑘𝑟 −‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑧𝐸𝜕‬ ‫𝑡𝜔 ‪= E0z k z cos 𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦 + 𝑘𝑧 𝑧 − 𝜔𝑡 = E0𝑧 k z cos 𝑘𝑟 −‬‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫‪E0x k x + E0𝑦 k y + E0z k z cos 𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 = 0‬‬ ‫‪E0 𝑘 cos 𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 = 0‬‬ ‫ونفس اًلمر مع 𝐵‬ ‫ًل يمكن ان يكون ‪ 0‬طول الوقت‬ ‫اذن هذا الطرف = ‪0‬‬ ‫وًل يكون صفر اًل إذا كانت‬ ‫القيم متعامدة(‪)orthogonal‬‬ FUNDAMENTALS Ahmed ELBARSHA LECTURE 3 Key Concepts: Radian and steradian, Radiation Pattern, near/far fields, Power density Radian & Steradian Steradian= a measure of solid angle 𝑑𝐴 = 𝑟 2 sin𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 [𝑚2 ] 𝑑Ω = sin𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 [𝑠𝑟] Radiation Patterns Near and Far Field Antennas produce electromagnetic fields that vary significantly with distance. These fields are typically divided into three regions: 1. Reactive Near Field (very close to the antenna) 2. Radiating Near Field (Fresnel Region) 3. Far Field (Fraunhofer Region) Each region has distinct characteristics in terms of field behavior, energy storage, and radiation properties. 1. Reactive Near Field Region Range: 𝐷3 𝑟 < 0.62 𝜆 (where D = largest antenna dimension, λ = wavelength) Characteristics:  Strong reactive fields dominate (stored energy, not radiated).  High electric (E) and magnetic (H) fields that are not orthogonal.  Non-propagating waves: Energy oscillates between electric and magnetic forms.  Impedance varies with distance (not equal to free-space impedance 𝜂 = 377 𝛺)  Evanescent waves: Fields decay rapidly (∝ 1/𝑟 2 𝑜𝑟  No uniform power flow: Poynting vector is mostly imaginary (reactive power). 1/𝑟 3 ). Radiation Power Density The power associated with an EM wave is defined by the instantaneous Poynting vector as: ഥ ×𝑯 ഥ 𝑾=𝑬 𝑾ൗ 𝒎𝟐 [𝟏] E= instantaneous electric field intensity (V/m) H= instantaneous magnetic field intensity (A/m) The total power crossing a closed surface is: 𝑷 = ඾ 𝑾 . 𝒅𝒔 𝒔 [𝟐] For time-harmonic fields: 𝐸 = 𝑅𝑒 𝐸 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Using (3) 𝐻 = 𝑅𝑒 𝐻 𝑒 𝑗𝜔𝑡 1 𝑅𝑒 𝐴 = [𝐴 + 𝐴∗ ] 2 (4) (5) 1 𝑊 = 𝐸 × 𝐻 = 𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻] + [𝐸 × 𝐻𝑒 2𝑗𝜔𝑡 2 A function of time (6) The second term averages to zero over one period 𝑇 = 2𝜋/𝜔. So, the Average Power Density 1 𝑊 = 𝐸 × 𝐻 = 𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻 2 (7𝑎) •Only the real part of 𝐸 × 𝐻 ∗ contributes to net power flow. •For RMS values, omit the 1/2 factor. Far-Field Simplification In the far field 𝐻 = 𝐸/𝜂 where 𝜂 is the wave impedance ≈ 120𝜋 Ω in free space 1 1 2 2 𝑊𝑎𝑣𝑒 = ( 𝐸𝜃 × 𝐸𝜙 ) ≈ 𝑅𝑒 2 2𝜂 2𝜂𝑟 𝐸𝜃𝑜 2 × 𝐸𝜃𝑜 , 𝐸𝜙𝑜 Angular field patterns (independent of r). 𝐸𝜃𝑜 = 𝑟 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝐸𝜃 𝐸𝜙𝑜 = 𝑟 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝐸𝜙 𝑜 2 𝐸𝜙 (7𝑏) Average Radiated Power 1 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝑃𝑎𝑣 = ඾ 𝑊𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑆Ԧ = ඾ 𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻 ∗ 𝑑𝑆Ԧ 2 (8) 2𝜋 𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = ඾ 𝑈(𝜃, 𝜙)𝑑Ω = න න 𝑈 𝜃, 𝜙 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 0 0 The radiation intensity is the power radiated in a given direction per unit solid angle and has units of Watts per steradian (W/sr). Thus, the antenna power pattern, as a function of angle, can be expressed in terms of its radiation intensity as: 𝑈(𝜃, 𝜙) = 𝑟 2 𝑊𝑎𝑣 . For an isotropic source: 𝑈 𝜃, 𝜙 𝑃𝑎𝑣 2 = 𝑟 𝑊𝑎𝑣 = 4𝜋 Example: If 𝐴0 sin 𝜃 𝑊𝑟𝑎𝑑 = 𝑎ො𝑟 𝑊𝑟 = 𝑎ො𝑟 𝑟2 [𝑊Τ𝑚2], find 𝑃𝑟𝑎𝑑 . Solution: 2𝜋 𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝑃𝑎𝑣 = ඾ 𝑊𝑟𝑎𝑑 𝑑 𝑆Ԧ = න න 𝑎ො𝑟 0 2𝜋 0 𝐴0 sin 𝜃 𝑟2 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝐴0 න 𝑑𝜑 න sin2 𝜃 𝑑𝜃 = 𝜋 2 𝐴0 0 0 FUNDAMENTALS Ahmed ELBARSHA LECTURE 4 Directivity and Gain This parameter indicates how well an antenna concentrates power into a limited solid angle. Directivity is the ratio of the radiation intensity in a given direction from the antenna to the radiation intensity averaged over all directions. The average radiation intensity is calculated by dividing the total power radiated by 4𝜋 𝑠𝑟. Directivity in specific direction: 𝑈(𝜃, 𝜑) 𝑈(𝜃, 𝜑) 4𝜋𝑈(𝜃, 𝜑) 𝐷= = = 𝑈0 𝑃𝑟𝑎𝑑 /4𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 (1) Directivity: 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐷𝑜 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 = = = 4𝜋 𝑈𝑎𝑣 𝑃𝑟𝑎𝑑 /4𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 (2) 𝑫 = directivity (dimensionless) 𝑫𝟎 = maximum directivity (dimensionless) 𝑼 = radiation intensity (W/unit solid angle) 𝑼𝒎𝒂𝒙 = maximum radiation intensity (W/unit solid angle) 𝑼𝟎 = radiation intensity of isotropic source (W/unit solid angle) 𝑷𝒓𝒂𝒅 = total radiated power (W) NOTE: The Directivity of an isotropic source is 1 The Directivity of any other antenna >1 Example: If 𝐴0 sin2 𝜃 𝑊𝑟𝑎𝑑 = 𝑎ො𝑟 𝑊𝑟 = 𝑎ො𝑟 𝑟2 [𝑊Τ𝑚2], Find its directivity Solution: 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐷𝑜 = 4𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 𝑈 𝜃, 𝜙 = 𝑟 2 2 2 𝐴0 sin 𝜃 𝑊𝑎𝑣 = 𝑟 𝑟2 The max value of 𝑈 𝜃, 𝜙 occurs at 𝜃 = 900 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝐴0 = 𝐴0 sin2 𝜃 [𝑊/𝑠𝑟] 2𝜋 𝜋 2𝜋 𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = ඾ 𝑈 𝜃, 𝜙 𝑑Ω = 𝐴0 න න sin2 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 = 𝐴0 න 𝑑𝜑 න sin3 𝜃 𝑑𝜃 0 0 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝐴0 2𝜋 0 0 4 8𝜋 = 𝐴0 3 3 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐴0 3 𝐷𝑜 = 4𝜋 = 4𝜋 = 8𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 2 𝐴0 3 the directivity of this antenna is 3/2 times above the isotropic antenna in the theta=90 degrees direction. Thus, the directivity is represented by 𝐷 = 𝐷0 sin2 𝜃 = 1.5 sin2 𝜃 Two- and three-dimensional directivity patterns of a λ∕2 dipole. (source: C. A. Balanis, “Antenna Theory: A Review.” Proc. IEEE, Vol. 80, No. 1. January 1992. c 1992 IEEE) In general, 𝑈 is a function of theta and phi . If we let: 𝑈 𝜃, 𝜙 = 𝐵0 𝐹 𝜃, 𝜙 (3) with 𝐹 𝜃, 𝜙 being any function of theta and phi, then we can show that: 𝐷 𝜃, 𝜙 = 4𝜋 𝐷0 = 4𝜋 𝐹 𝜃, 𝜙 2𝜋 𝜋 𝐴0 ‫׬‬0 ‫׬‬0 𝐹 𝜃, 𝜙 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 𝐹 𝜃, 𝜙 ȁ𝑚𝑎𝑥 2𝜋 𝜋 𝐴0 ‫׬‬0 ‫׬‬0 𝐹 𝜃, 𝜙 4 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 5 𝐷0 = 4𝜋 2𝜋 𝜋 ‫׬‬0 ‫׬‬0 𝐹 𝜃, 𝜙 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 /𝐹 𝜃, 𝜙 ȁ𝑚𝑎𝑥 4𝜋 = Ω𝐴 (6) where Ω𝐴 is the beam solid angle, and it is given by 2𝜋 𝜋 2𝜋 𝜋 0 0 1 Ω𝐴 = න න 𝐹 𝜃, 𝜙 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 = න න 𝐹𝑛 𝜃, 𝜙 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 𝐹 𝜃, 𝜙 ȁ𝑚𝑎𝑥 0 𝐹 𝜃, 𝜙 𝐹𝑛 𝜃, 𝜙 = 𝐹 𝜃, 𝜙 ȁ𝑚𝑎𝑥 0 (7) Approximations In some cases, it is convenient to use simpler expressions for directivity estimation, instead of the exact ones. For antennas characterized by a radiation pattern consisting of one narrow main lobe and negligible minor lobes, the beam solid angle can be approximated by the product of the half power beamwidths in two perpendicular planes, and the directivity can be given by the expression: (Krauss’ expression) 4𝜋 4𝜋 41253 𝐷0 = 2 ≈ = 2 (𝜃1𝑑 𝜃2𝑑 )2 Ω𝐴 (𝜃1𝑟 𝜃2𝑟 ) (8) Where: 𝜃1𝑑 = half-power beamwidth in one plane (degrees) 𝜃2𝑑 = half-power beamwidth in a plane at a right angle to the other (degrees) Example 2.7 The radiation intensity of the major lobe of many antennas can be adequately represented by 𝑈 = 𝐵0 cos 4 𝜃 where 𝐵0 is the maximum radiation intensity. The radiation intensity exists only in the upper hemisphere (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋Τ2 , 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋), and it is shown in Figure. Find the a. beam solid angle; exact and approximate. b. maximum directivity; exact formula and approximate formulas . Solution 1. Exact Beam Solid Angle (𝛀𝑨 ): 2𝜋 𝜋/2 𝜋/2 Ω𝐴 = න 𝑑𝜑 න cos 4 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 = 2𝜋 න cos 4 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 0 0 0 Using substitution 𝑢 = cos 𝜃 , 𝑑𝑢 = −sin 𝜃 𝑑𝜃 1 1 5 𝑢 2𝜋 Ω𝐴 = 2𝜋 න 𝑢 𝑑𝑢 = 2𝜋 = 𝑠𝑟 5 0 5 4 0 Exact Maximum Directivity: 4𝜋 4𝜋 𝐷0 = = = 10 = 10 𝑑𝐵𝑖 Ω𝐴 2𝜋 5 2. Krauss approximation: Half-Power Beamwidth (HPBW): Solve for 𝜃𝐻𝑃 where cos4 𝜃𝐻𝑃 = 0.5 𝜃𝐻𝑃 = cos −1 0.51/4 = 32.77 Total HPBW: 𝐻𝑃𝐵𝑊 = 2 × 32.77∘ = 65.54∘ (𝑜𝑟 1.1437 𝑟𝑎𝑑) 41253 𝐷0 ≈ = 9.6 65.54 × 65.54 NUMERICAL TECHNIQUE For most practical antennas, their radiation patterns are ‫ تكون أنماط‬، ‫معظم الهوائيات العملية‬ so complex that closed-form mathematical expressions ‫) معقدة‬radiation patterns(‫إشعاعها‬ are not available. Even in those cases where expressions are available, ‫تعبيات رياضية‬ ‫للغاية بحيث ا‬ ‫ل تتوف ار ر‬ .‫مغلقة‬ their form is so complex that integration to find the ‫حتا فا تلك الحالتا التا تتوف ار فيها‬ ‫ر‬ radiated power, required to compute the maximum ‫ يكون شكلها معقدا للغاية‬، ‫التعبيات‬ directivity, cannot be performed. ‫ل يمكن إجراء التكامل إليجا اد‬ ‫بحيث ا‬ ‫ المطلوبة لحساب الح اد‬، ‫القوة المشعة‬ .‫األقىص لالتجاهية‬ Let us assume that the radiation intensity of a given antenna is separable, and it is given by 𝑈 = 𝐵𝑜 𝑓 𝜃 𝑔(𝜙) where 𝐵𝑜 is a constant. The directivity for such a system is given by: 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐷𝑜 = 4𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 Where: 2𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝐵𝑜 න 0 𝜋 න 𝑓 𝜃 𝑔(𝜙) sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 0 which can also be written as 2𝜋 𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝐵𝑜 න 𝑔(𝜙) න 𝑓 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 0 0 (9) we can write a series approximation 𝜋 𝑁 න 𝑓 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 = ෍ 𝑓 𝜃𝑖 sin 𝜃𝑖 ∆𝜃𝑖 𝑖=1 0 For N uniform divisions over the 𝜋 interval, 𝜋 ∆𝜃𝑖 = 𝑁 𝜋 𝜃𝑖 = 𝑖 𝑁 𝑖 = 1,2,3, … . 𝑁 or 𝜋 𝜃𝑖 = + 𝑖−1 2𝑁 𝜋 𝑁 𝑖 = 1,2,3, … . 𝑁 In a similar manner, we can write for the 𝜙 variations that 2𝜋 𝑁 න 𝑔 𝜙 𝑑𝜙 = ෍ 𝑔 𝜙𝑗 ∆𝜙𝑗 𝑖=1 0 Where: for 𝑀 uniform divisions 2𝜋 ∆𝜙𝑗 = 𝑀 2𝜋 𝜙𝑗 = 𝑗 𝑀 𝑗 = 1,2,3, … . 𝑀 or 𝜋 𝜙𝑗 = + 𝑗−1 𝑀 2𝜋 𝑀 𝑗 = 1,2,3, … . 𝑁 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝐵𝑜 𝑀 𝜋 𝑁 𝑁 2𝜋 ෍ 𝑔(𝜙𝑗 ) ෍ 𝑓 𝜃𝑖 sin 𝜃𝑖 𝑀 𝑗=1 (10) 𝑖=1 Since the 𝜃 and 𝜙 variations are separable, (10) can also be written as 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝐵𝑜 𝜋 𝑁 𝑀 𝑁 2𝜋 ෍ ෍ 𝐹 𝜃𝑖 , 𝜙𝑗 sin 𝜃𝑖 𝑀 𝑗=1 𝑖=1 (11) Matlab code for Example 2.9 in Text Book clear; close all; clc; % Parameters B0 = 1; % Constant (can be set to 1 since it cancels out) N = 360; % Number of steps (for theta and phi) dtheta = pi/N; % Step size for theta (radians) dphi = pi/N; % Step size for phi (radians) % Initialize variables theta = 0:dtheta:pi; % theta range [0, pi] phi = 0:dphi:pi; % phi range [0, pi] U = zeros(N+1, N+1); % Radiation intensity matrix % Compute U(theta, phi) = B0 * sin(theta) * sin^2(phi) for i = 1:length(theta) for j = 1:length(phi) U(i,j) = B0 * sin(theta(i))^1 * (sin(phi(j)))^2; end End % Find maximum radiation intensity (Umax) Umax = max(U(:)); fprintf('Maximum radiation intensity (Umax) = %.4f\n', Umax); % Compute total radiated power (Prad) via numerical integration Prad = 0; for i = 1:length(theta) for j = 1:length(phi) % Integrand: U * sin(theta) * dtheta * dphi Prad = Prad + U(i,j) * sin(theta(i)) * dtheta * dphi; end end fprintf('Total radiated power (Prad) = %.4f\n', Prad); % Compute directivity (D) D = 4 * pi * Umax / Prad; fprintf('Maximum directivity (D) = %.4f\n', D); % Plot U(theta, phi) for visualization [Theta, Phi] = meshgrid(theta, phi); U = B0 * sin(Theta) .* (sin(Phi)).^2; figure; surf(Theta, Phi, U'); xlabel('\theta (rad)'); ylabel('\phi (rad)'); zlabel('U(\theta, \phi)'); title('Radiation Intensity U(\theta, \phi)'); colorbar; shading interp;

Antenna Engineering Course Lecture: Fundamentals & Design

Related documents

Products

Support

Antenna Engineering Course Lecture: Fundamentals & Design

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib