Universidad Nacional de Asunción
Facultad de Ingeniería
CÁLCULO 2
“Tradición y Excelencia en la Formación de Ingenieros”
Campus Universitario – San Lorenzo - Paraguay
Unidad 3-D
Rotacional, Fórmulas con nabla, Campos
Conservador
Material elaborado por la Ing. Bernardita de Nagy en base a los libros citados
en la Bibliografía.
Contenido
Contenido .............................................................................................................................. 0
1.
Rotacional ...................................................................................................................... 1
1.1.
Definición ................................................................................................................... 1
1.2.
Propiedad particular del operador nabla en el producto vectorial ................................. 2
1.3.
Interpretación física ..................................................................................................... 3
1.4.
Propiedades importantes .............................................................................................. 4
2.
Campos conservativos .................................................................................................... 4
Campo conservativo en el plano ............................................................................................ 4
3.
Fórmulas donde interviene nabla) ................................................................................... 5
4.
Laplaciano...................................................................................................................... 5
Bibliografía ............................................................................................................................ 5
INDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1Grafico del Libro Dennis Zill .................................................................................................................. 3
Ilustración 2 Campo conservativo tomando diferente cantidad de puntos para graficar - Geogebra - Ponce........ 4
CÁLCULO 2
Unidad 3-D
Rotacional, Fórmulas con nabla, Campos
Conservador
1. Rotacional (Spiegel, M. R., Lipschutz S. & Spellmann D. , 2011)
1.1. Definición
Si 𝑉⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉 𝚤⃗ + 𝑉 𝚥⃗ + 𝑉 𝑘⃗ =< 𝑉 , 𝑉 , 𝑉 > representa el campo de
velocidades en el flujo de un fluido. Está definida y es diferenciable en cada
punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) en una región del espacio.
Entonces el rotacional de 𝑉⃗ se denota como sigue:
𝛻 × 𝑉⃗ =
𝜕
𝜕
𝜕
𝚤⃗ +
𝚥⃗ + 𝑘⃗ × 𝑉 𝚤⃗ + 𝑉 𝚥⃗ + 𝑉 𝑘⃗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑉 𝜕𝑉
𝜕𝑉 𝜕𝑉
𝜕𝑉 𝜕𝑉
=
−
𝚤⃗ −
−
𝚥⃗ +
−
𝑘⃗
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝛻 × 𝑉⃗
=
𝚤⃗
𝜕
𝜕𝑥
𝑉
𝚥⃗
𝜕
𝜕𝑦
𝑉
𝑘⃗
𝜕
𝜕𝑧
𝑉
El operador nabla ubicado en la fila del medio del determinante opera sobre las
componentes del vector ubicado en la última fila. Todas las componentes son
derivadas.
Sería incorrecto lo siguiente:
𝛻 × 𝑉⃗ =
=
𝜕
𝜕
𝜕
𝚤⃗ +
𝚥⃗ + 𝑘⃗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑉
𝜕
−𝑉
𝚤⃗ −
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑉
× 𝑉 𝚤⃗ + 𝑉 𝚥⃗ + 𝑉 𝑘⃗
𝜕 𝜕𝑉
−
𝚥⃗ +
𝜕𝑥 𝜕𝑧
𝜕𝑉
𝜕
−𝑉
𝑘⃗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Ing. Bernardita Rodríguez de Nagy – Facultad de Ingeniería - 2020
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CÁLCULO 2
Ejemplos
Si 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝚤⃗ − 𝑥 𝚥⃗ , entonces (∇ × 𝐹⃗ ) = 2 𝑘⃗
El campo es variable y depende de las variables (𝑥, 𝑦) mientras que el rotacional
es constante, independiente de su posición. Su dirección, sentido y módulo son
constantes. La “cantidad de rotación” es la misma en todo punto del espacio.
1.2. Propiedad particular del operador nabla en el producto
vectorial
Si bien 𝐴⃗ × 𝐵⃗ = − 𝐵⃗ × 𝐴⃗ , no se aplica dicha regla cuando uno de los
vectores es el operador 𝛻
En efecto:
𝑉⃗ × 𝛻 = 𝑉 𝚤⃗ + 𝑉 𝚥⃗ + 𝑉 𝑘⃗ ×
𝚤⃗
𝑉
𝜕
𝜕𝑥
𝑉⃗ × 𝛻 =
𝑉
𝜕
𝜕
− 𝑉
𝚤⃗ −
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑉
𝚥⃗
𝑉
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕
𝜕
𝚤⃗ +
𝚥⃗ + 𝑘⃗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑘⃗
𝑉
𝜕
𝜕𝑧
𝜕
𝜕
−𝑉
𝚥⃗ +
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑉
𝜕
𝜕
−𝑉
𝑘⃗
𝜕𝑦
𝜕𝑥
El operador nabla opera sobre las componentes del campo vectorial que se
encuentran en la línea inferior en un determinante, no así si las mismas se
encuentran en la línea superior. Ninguna componente del vector es derivada en
este caso.
Conclusión: Debe mantenerse el orden de los factores en los ejercicios. El
producto no es conmutativo si uno de los factores es 𝛻
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1.3. Interpretación física (Zill, 1989)
Supongamos que se tiene un dispositivo de paletas, y se lo introduce en la
corriente de un fluido.
Además, se tiene un flujo de fluidos, cuyo campo de velocidades es
𝐹⃗ = 𝐹 𝚤⃗ + 𝐹 𝚥⃗ + 𝐹 𝑘⃗
𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ es una medida de la tendencia del fluido a hacer girar el dispositivo en
torno a su eje vertical w
Si 𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ = 0⃗ la corriente del fluido es irrotacional, lo cual significa que la
corriente está libre de vórtices o remolinos que causarían que las paletas giraran
alrededor de w . Irrotacional no significa que el fluido no gire
Ilustración 1Grafico del Libro Dennis Zill
EJEMPLO
Si 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑥 𝚥⃗
entonces
∇ × 𝐹⃗ = −2 𝑥 𝑘⃗
Ilustración 2 Graficos con geogebra
El campo es mayor en 𝑥 = 4 que en 𝑥 = 3
Si se pusiera el dispositivo de paletas en la derecha del gráfico, el valor mayor la
haría rotar en el sentido de las agujas del reloj. El rotor ya no es uniforme en
todos los puntos.
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1.4. Propiedades importantes (Zill, 1989)
Si f es una función escalar con segundas derivadas parciales continuas y
𝐹⃗ = 𝐹 𝚤⃗ + 𝐹 𝚥⃗ + 𝐹 𝑘⃗ es un campo vectorial que tiene segundas derivadas
parciales continuas

𝑟𝑜𝑡 (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓) = 𝛁 × 𝛁𝒇 = 𝟎 =< 0,0,0 > vector nulo

𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ = 𝛁 ∙ (𝛁 × F⃗ ) = 0
2. Campos conservativos (Spiegel, M. R., Lipschutz S. & Spellmann D. , 2011)
Dado un campo 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 𝚤⃗ + 𝐹 𝚥⃗ + 𝐹 𝑘⃗ , se dice que es conservativo o
conservador si existe una función diferenciable ∅ tal que
𝐹⃗ = ∇∅
La función ∅ se denomina función potencial de 𝐹⃗
si se cumple que 𝛻 × 𝐹⃗ = 0⃗
𝐹⃗ = ∇∅ es decir 𝐹⃗ deriva de un escalar ∅
Entonces 𝐹⃗ es un campo vectorial conservador y ∅ es el potencial escalar
Si el campo no tiene rotor nulo, no existe ∅
Campo conservativo en el plano
𝐹⃗ = 𝑥 𝚤⃗ + 𝑦 𝚥 ⃗
Ilustración 3 Campo conservativo tomando diferente cantidad de puntos para graficar - Geogebra - Ponce
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3. Fórmulas donde interviene nabla (Spiegel, M. R., Lipschutz S. & Spellmann D.
, 2011)
Supongamos que:
𝐴⃗ y 𝐵⃗ son funciones vectoriales diferenciables de posición (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜙 y 𝜓 son funciones escalares diferenciables de posición (𝑥, 𝑦, 𝑧).
∇(𝜙 + 𝜓)
=
∇𝜙 + ∇𝜓
∇ . A⃗ + B⃗
=
∇ ∙ A⃗ + ∇ ∙ B⃗
∇ × A⃗ + B⃗
=
∇ × A⃗ + ∇ × B⃗
𝛻 ∙ 𝜙 A⃗
=
(𝛻𝜙) ∙ A⃗ + 𝜙 𝛻 ∙ A⃗
𝛻 × 𝜙 A⃗
=
(𝛻𝜙) × A⃗ + 𝜙 𝛻 × A⃗
𝛻 ∙ 𝐴⃗ × 𝐵⃗
=
B⃗ ∙ ∇ × A⃗ − A⃗ ∙ 𝛻 × B⃗
𝛻 × 𝐴⃗ × 𝐵⃗
=
B⃗ ∙ 𝛻 A⃗ − B⃗ 𝛻 ∙ A⃗ − A⃗ ∙ 𝛻 B⃗ + A⃗ 𝛻 ∙ B⃗
𝛻 𝐴⃗ ∙ 𝐵⃗
=
B⃗. 𝛻 A⃗ + A⃗ ∙ 𝛻 B⃗ + B⃗ × 𝛻 × A⃗ + A⃗ × 𝛻 × B⃗
1Formulas donde interviene nabla
4. Laplaciano
Div grad ∅ = ∇ ∙ ( ∇∅) = ∇ ∅ =
∇ =
+
+
𝜕 ∅
𝜕 ∅ 𝜕 ∅
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
operador de Laplace
Bibliografía





Larson, R, Hostetler, Edwars. (1996). Cálculo con Geometría Analítica (5a. ed., Vol.
II). Madrid, España: Mc Graw Hill.
Sherman K. Stein - Anthony Barcellos. (1995). Cálculo y Geometría Analítica (5a.
ed., Vol. 2). Bogota, Colombia: Mc Graw Hill.
Spiegel, M. R., Lipschutz S. & Spellmann D. . (2011). Análisis Vectorial. Mc Graw
Hill.
Stein Sh, Barcellos A. (1995). Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw Hill.
Zill, D. (1989). Calculo con Geometria Analitica. Iberoamericana.
Ing. Bernardita Rodríguez de Nagy – Facultad de Ingeniería - 2020
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