Resistência dos
Materiais
Sumário
Desenvolvimento do material
Monique N. dos Santos de Alcântara
Objetivos Gerais
................................................................................................. 5
Comportamento Mecânico dos Materiais
1ª Edição
Para início de conversa... ................................................................................. 7
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Objetivos
..................................................................................................... 7
1. Comportamento Elástico e Inelástico dos Materiais
2. Tensão e Deformação – Conceitos Básicos
3. Curva Tensão-Deformação
........................ 8
........................................... 10
......................................................................... 13
3.1 Principais Pontos Associados à Curva
Tensão-Deformação ............................................................................... 15
3.2 Principais Propriedades dos Materiais
Associadas à Curva Tensão-deformação
4. Ensaio de Tração e Compressão
4.1 Ensaio de Tração
Resistência dos Materiais
............................................................... 20
..................................................................................... 21
4.2 Ensaio de Compressão
Referências
................................................ 18
.......................................................................... 22
..................................................................................................... 23
2
Tensões e Deformações Axiais
Tensões e Deformações Cisalhantes
Para início de conversa... ................................................................................. 25
Para início de conversa... ................................................................................. 44
Objetivos
Objetivos
..................................................................................................... 25
1. Tensões e Deformações Axiais: Tensões
Normais em Função de Esforços Externos
1.1 Tensão Normal Média
1. Tensão Cisalhante Média
........................................... 26
........................................................................... 26
1.2 Deformação Normal Média
................................................................. 30
2. Propriedades Relacionadas à Tensão e
Deformação e Problemas Estaticamente
Indeterminados .............................................................................................. 31
2.1 Módulo de Elasticidade E
.................................................................... 32
2.2 Coeficiente de Poisson ν
....................................................................... 33
3. Deformações de Elementos Compostos e
Elementos sob Efeitos Térmicos ............................................................... 36
3.1 Barras Carregadas Axialmente
........................................................... 37
3.2 Problemas Estaticamente Determinados
3.3 Elementos sob Efeitos Térmicos
Referências
..................................................................................................... 44
....................................... 39
........................................................ 40
.......................................................................................................... 42
............................................................................ 45
2. Dimensionamento de Parafusos e Conectores
2.1 Corte Simples em 1 (Um) Parafuso
.................................................. 50
2.2 Corte Simples em n (Vários) Parafusos
2.3 Corte Duplo em 1 (Um) Parafuso
4. Projeto de Eixos
Referências
........................................... 50
...................................................... 52
2.4 Corte Duplo em n (Vários) Parafusos
3. Elementos Sujeitos à Torção
.................................... 50
............................................... 53
..................................................................... 54
............................................................................................. 57
..................................................................................................... 61
Tensões Normais em Vigas sob Flexão Reta
Para início de conversa... ................................................................................. 63
Objetivos
..................................................................................................... 63
1. Comportamento de Vigas na Flexão Reta
............................................ 64
2. Tensões Normais em Vigas sob Flexão
Simples ou Reta ............................................................................................. 65
Resistência dos Materiais
3
3. Tensões Normais em Vigas sob Flexã
Composta Reta .............................................................................................. 72
Referências
.......................................................................................................... 79
Tensões Normais em Vigas sob Flexão Composta
2. Centroide de Área e Momento de Inércia
............................................. 96
3. Tensões Normais em Vigas Sob Flexão
em Seções Compostas ................................................................................. 101
Referências
.......................................................................................................... 105
Para início de conversa... ................................................................................. 81
Flambagem de Colunas
Objetivos
Para início de conversa... ................................................................................. 107
..................................................................................................... 81
1. Comportamento de Vigas na Flexão Oblíqua
...................................... 82
2. Tensões Normais em Vigas sob Flexão Oblíqua
................................. 84
Objetivos
..................................................................................................... 107
1. Carga Crítica de Flambagem
..................................................................... 108
3. Tensões Normais em Vigas sob Flexão
Composta Oblíqua ......................................................................................... 87
2. Efeitos das Condições de Contorno
Referências
Referências
.......................................................................................................... 91
......................................................... 110
3. Curva de Flambagem de Elementos Metálicos
................................... 111
..................................................................................................... 119
Tensões Normais em Vigas de Seções Compostas sob
Flexão
Deflexão de Vigas
Para início de conversa... ................................................................................. 93
Objetivos
Objetivos
..................................................................................................... 93
1. Introdução ao Estudo de Deflexão em Vigas
....................................... 122
1. Comportamento de Vigas sob Flexão em
Seções Compostas ......................................................................................... 94
2. Formulação Via Equação da Linha Elástica
.......................................... 127
Resistência dos Materiais
Para início de conversa... ................................................................................. 121
Referências
..................................................................................................... 121
.......................................................................................................... 137
4
Objetivos Gerais
▪ Projetar vigas e pilares através do método das tensões admissíveis.
▪ Aplicar os conceitos básicos de elasticidade na análise do
comportamento estrutural de elementos retilíneos.
▪ Otimizar seções transversais em função da distribuição de tensões e
dos deslocamentos nos elementos estruturais.
Resistência dos Materiais
5
Resistência dos Materiais
Comportamento Mecânico dos
Materiais
Para início de conversa...
Objetivos
Para melhor compreender um material que queremos utilizar, precisamos
estudar e entender suas características. O estudo de um material pode
ser dividido em analisar suas propriedades físicas, químicas e mecânicas
em diferentes escalas. Neste capítulo, nos limitaremos a entender as
propriedades mecânicas dos materiais.
▪ Compreender os conceitos básicos e as classificações relacionadas às
propriedades dos materiais.
▪ Definir o que é tensão e deformação de um material.
▪ Analisar e comparar o comportamento mecânico e classificar os
materiais segundo sua curva tensão-deformação.
▪ Escolher o material que apresenta as melhores características para
cada utilização na engenharia.
O estudo das propriedades mecânicas dos materiais está diretamente
ligado à análise da resistência mecânica, tensão e deformação do material,
dentre outros pontos que podem ser verificados. O comportamento
mecânico de um material pode ser descrito por dois ensaios mecânicos
específicos: ensaios de tração e ensaio de compressão. Em ambos os
ensaios é possível traçar o gráfico tensão x deformação, que mostra
a curva que descreve a trajetória de tensão e deformação do material
durante o ensaio. Com isso, podemos classificar o material estudado e
conhecer melhor seu comportamento, a fim de, futuramente, utilizá-lo
no campo da engenharia.
Resistência dos Materiais
7
1. Comportamento Elástico e Inelástico dos
Materiais
Um engenheiro, atuando dentro de sua área em uma empresa, por
exemplo, trabalhar a todo tempo com diversos materiais necessários
para colocar em prática o que foi consolidado. No momento de escolher
que tipo de material utilizar para projetar uma laje, um equipamento
mecânico, um componente material ou qualquer outro elemento
dentro de sua área específica, é necessário que ele conheça como é o
comportamento dos materiais que estão disponíveis, para que, assim,
possa realizar a melhor escolha, ou seja, aquela que apresenta as
características compatíveis com o que o projeto exige e que oferece o
melhor custo-benefício.
Analisando as propriedades mecânicas, podemos verificar a capacidade
resistente do material e estabelecer sua utilização dentro dos limites
aceitáveis de deformação. Elas podem ser estabelecidas por meio de
ensaios em laboratório programados, que reproduzem as condições em
que o material pode ser submetido durante sua utilização.
É importante destacar que os fatores que envolvem um ensaio devem
ser minuciosamente considerados: a origem do carregamento aplicado,
a duração de aplicação, as condições que representam o meio como
a temperatura ambiente e a umidade. A carga pode ser aplicada
Resistência dos Materiais
comprimindo (ensaio de compressão), tracionando (ensaio de tração),
flexionando (ensaio de flexão), cortando (ensaio de cisalhamento) ou
torcendo (ensaio de torção) o corpo de prova (elemento que está sendo
ensaiado), de forma constante ou variando ao longo do tempo.
F
F
F
F
tração
compressão
F
F
F
cisalhamento
F
torção
flexão
Figura 1: Tipos de tensões que podem atuar em uma estrutura. Fonte: Elaborado pela autora.
O comportamento mecânico de um material vai mostrar a relação entre
sua resposta a partir de um carregamento que está sendo aplicado.
Quando um corpo sólido é submetido a forças que tendem a alongálo, diminuí-lo ou cortá-lo, sua forma original é alterada. Após cessar a
8
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA
Pertencente à região elástica.
Pertence à região plástica.
Retorna ao estado inicial, quando a tensão é
removida.
Não retorna à posição inicial após
cessar o carregamento, mantendo uma
deformação permanente no material.
Obedece à Lei de Hooke, sendo proporcional
à tensão aplicada.
Não mantém proporcionalidade com a
tensão aplicada.
Quadro 1: Deformação elástica x Deformação plástica. Fonte: Elaborado pela autora.
Resistência dos Materiais
tensão
O comportamento elástico pode ser definido como a capacidade do
material de retornar à sua forma original, após cessada a aplicação do
carregamento que está atuando sobre ele; a deformação imposta ao
material é uma deformação elástica limitada somente à região elástica
do material. Já no comportamento plástico, o material recupera somente
parte da deformação à qual foi submetido, não retornando à sua forma
original após cessar o carregamento aplicado, mantendo, então, uma
deformação conhecida como deformação plástica.
Na Figura 2, você pode observar a representação da deformação elástica
e plástica de materiais distintos.
tensão
aplicação da carga, esse corpo pode retornar à sua forma original ou
não, ficando com um resíduo de deformação. Conhecendo o tipo de
deformação e a intensidade que se dá no material, podemos dizer
que ele mantém um comportamento elástico ou um comportamento
inelástico, também conhecido como plástico.
Deformação
Deformação
(a) Deformação elástica
(b) Deformação plástica
Figura 2: Deformação elástica e plástica de materiais distintos. Fonte: Elaborado pela autora.
Podemos associar esses dois tipos de comportamento à movimentação
da estrutura cristalina do material. Um material que possui uma estrutura
cristalina – por exemplo, um metal – contém átomos que vibram em
torno de uma posição de equilíbrio, em virtude de o seu núcleo ser
atraído e repelido, ao mesmo tempo, pelos átomos vizinhos. Com isso, os
átomos tendem a se deslocar dessa posição, e esse deslocamento pode
envolver a quebra de ligações atômicas. Quando a oscilação em torno
da posição de equilíbrio se mantém, sem que ocorra quebra de ligações
atômicas, temos apenas uma deformação elástica do material, que
retorna à sua posição original. Já na deformação plástica, ocorre a quebra
9
dessas ligações e a formação do que chamamos de defeitos cristalinos,
que não deixam o material recuperar sua forma original (CIMM).
Assim, em um mesmo material, podemos manter os dois tipos de
comportamento. A passagem do comportamento elástico para o plástico
vai depender de o material atingir sua tensão limite, também conhecida
como tensão de escoamento, que delimita a região elástica da região
plástica de uma curva tensão-deformação.
Vamos, agora, considerar uma barra carregada, axialmente, em suas
extremidades, por uma força N, gerando uma tração na barra que produz
um aumento do seu comprimento inicial.
N
A
2. Tensão e Deformação – Conceitos Básicos
É possível definir a resistência dos materiais como o ramo da mecânica
em que são estudadas as relações entre os carregamentos externos
aplicados em um corpo, que pode se deformar, e a intensidade das
forças internas que reagem dentro do corpo (HIBBELER, 2010). Para
tratarmos sobre tensão e deformação, é preciso, primeiramente, definilos e conhecer melhor sobre a estabilidade de um corpo sujeito a
carregamentos externos.
Todo corpo, ao ser carregado externamente por forças (ativas ou reativas),
sejam elas concentradas ou distribuídas, desenvolve, internamente,
um campo formado por tensões e deformações. As tensões podem ser
normais ou cisalhantes.
Resistência dos Materiais
Figura 3: Força normal aplicada. Fonte: Adaptado de Beer (2008).
Se realizarmos um corte transversal na barra e separarmos uma de suas
partes, podemos verificar a atuação de esforços internos que já existiam
na barra que, com essa separação, transformam-se em esforços externos
para manter o equilíbrio do corpo e são equivalentes à intensidade da
carga N aplicada.
10
σ
Exemplo 1:
Uma barra circular de diâmetro d = 12 cm é solicitada por uma força
axial de compressão N = - 500 kN, conforme é mostrado na Figura 5.
Qual a tensão média atuante na barra?
Figura 4: Tensão normal média. Fonte: Adaptado de Beer (2008).
Quando as forças externas que surgem são distribuídas uniformemente
e atuam perpendicularmente à seção transversal do corpo, são
denominadas tensão normal.
N
N
d
Vista lateral
Seção
Figura 5: Barra comprimida. Fonte: Do autor.
Sendo:
σ: Sigma, tensão normal média;
N: Força normal (também chamada de axial ou longitudinal);
A: Área normal, perpendicular à força normal.
A tensão normal pode ser positiva (+), causada por força normal de
tração, ou negativa (-), causada por força normal de compressão. A
unidade é expressa por Pascal [Pa], ou seja, Newton [N] dividido por
metro ao quadrado [m²]:
Resistência dos Materiais
Determinando a tensão normal média, temos:
-44209706,41
-44,21MPa
Agora, vamos considerar uma barra carregada, transversalmente, em
suas extremidades, por uma força V, gerando um corte na barra, que
pode produzir uma distorção da seção transversal.
11
V
A
Figura 6: Força cortante aplicada. Fonte: Adaptado de Beer (2008).
Dessa forma, surge uma tensão denominada tensão cisalhante.
τ
A tensão cisalhante não tem sinal, ou seja, não há diferença entre
sentidos de corte, diferentemente da tensão normal, que diferencia
tração (+) de compressão (-). A unidade é expressa por Pascal [Pa], ou
seja, Newton [N] dividido por metro ao quadrado [m²]:
Exemplo 2:
Uma barra de seção transversal retangular 10 cm x 18 cm é carregada
por uma força inclinada N = 90 kN , conforme nos mostra a Figura 8.
Determine a tensão normal média e a tensão cisalhante média.
N
b
60º
Figura 7: Tensão média cisalhante. Fonte: Adaptado de Beer (2008).
Quando as forças externas atuam paralelamente à seção transversal,
tendendo a cortá-la, surge o que chamamos de tensão cisalhante.
Sendo:
τ: Tau, tensão cisalhante média;
V: Força cisalhante (também chamada de cortante ou de corte);
A: Área de corte, no plano da força cisalhante.
Resistência dos Materiais
Vista Lateral
h
Seção Transversal
Figura 8: Barra retangular com força inclinada. Fonte: Do autor.
Tensão normal média:
3
90000 ⋅
N
°
90000sen
60
2
(
)
N
 = 4.330.127
=
σ= =
A
A
0,10m ⋅ 0,18m
N
= 4,33MPa
m2
12
Tensão cisalhante média:
1
90000 ⋅   N
°
V 90000 ⋅ cos ( 60 )
 2  = 2.500.000
τ= =
=
A
A
0,10m ⋅ 0,18m
N
= 2,50 MPa
m2
Observação: Na calculadora, deve-se optar por resolver os cálculos
de uma só vez, pois fazer por partes, geralmente, propaga erros
significativos na resposta.
Tensão normal e tensão cisalhante são tensões distintas, ou seja, de
naturezas diferentes quanto à orientação da força. A tensão normal
advém de força “perpendicular” ao plano, enquanto a tensão cisalhante
advém de força “no” plano. A tensão normal atua no sentido longitudinal
do corpo, enquanto a tensão cisalhante atua no sentido transversal.
Para cada um desses tipos de tensão, surge uma deformação
correspondente: deformação normal e deformação cisalhante. Assim,
podemos definir tensão como a relação entre um carregamento aplicado,
que pode ser na direção axial ou transversal a uma barra, por exemplo, e
a seção transversal da mesma.
Resistência dos Materiais
A deformação está associada a qualquer mudança que ocorra na
configuração geométrica de um corpo, variando suas dimensões a partir
da aplicação de um carregamento sobre ele.
3. Curva Tensão-Deformação
A relação entre a tensão e a deformação de um material pode ser
encontrada por meio da realização de um ensaio de tração. Durante a
realização do ensaio, são medidos os alongamentos da barra ensaiada a
partir de acréscimos da carga axial aplicada à barra, até o corpo de prova
(amostras que representam o material) atingir a ruptura. Esses dados são
lidos por meio de um computador anexado à máquina de testes e, com
eles, é possível estabelecer a curva tensão-deformação do material.
A Figura 9 nos mostra como é a configuração da curva tensãodeformação para diferentes tipos de aço ensaiados. Embora todos os
materiais sejam aço e tenham o mesmo módulo de elasticidade (parte
linear da curva se sobrepõe), o aço temperado, por exemplo, alcança
uma tensão máxima bem mais elevada que os outros três tipos de aço
representados. Em contrapartida, o aço puro, embora não atinja altos
níveis de tensão, se deforma muito antes de romper que todos os outros
aços do gráfico. Assim, cada um deles deverá ser escolhido para ser
utilizado em determinada situação, conforme a melhor adequação às
13
necessidades do projeto. Não podemos dizer que o aço puro é melhor
que o aço temperado, ou vice-versa, pois cada um atuará melhor em uma
situação.
Ꝺ
ɛ
Aço temperado
Aço com alto teor
de carbono
capacidade de se deformar e acabam rompendo facilmente, sem aviso
prévio; nesse caso, a região plástica praticamente não existe e a ruptura
se dá ainda na fase elástica ou logo depois do fim dela. Já os materiais
dúcteis são aqueles que admitem maiores deformações antes de romper,
e suas regiões elástica e plástica são muito bem-definidas. Há, ainda,
sub-regiões, que permitem acompanhar o desenvolvimento do ensaio e
saber se o corpo de prova atingiu sua tensão máxima e se está próximo
da sua ruptura. Na Figura 10, são apresentadas as curvas tensão x
deformação para um material frágil e um material dúctil.
Aço com baixo teor
de carbono
Aço puro
r
Limite de
Proporcionalidade
Durante um ensaio, podemos encontrar dois tipos distintos de curvas:
as curvas para materiais frágeis e as curvas para materiais dúcteis.
Os materiais frágeis são definidos como aqueles que possuem pouca
Resistência dos Materiais
Ruptura
e
r
(a) Material frágil
Figura 9: Gráfico representando a curva tensão x deformação de diferentes tipos de aço. Fonte:
Adaptado de Beer (2008).
r
Ruptura
(b) Material dúctil
Figura 10: Curvas tensão-deformação. Fonte: Elaborado pela autora.
Para um material dúctil, é possível identificar em sua curva tensãodeformação os principais pontos que separam as regiões elástica e
plástica e que mudam o sentido da curva, informando em que estágio do
ensaio o corpo de prova se encontra.
14
3.1 Principais Pontos Associados à Curva Tensão-Deformação
Veja, agora, os principais pontos associados à Curva Tensão-Deformação.
r
rup
E
Limite de
resistência
Limite de proporcionalidade
Tensão
de ruptura
Limite de elasticidade
Limite de escoamento
lp
Módulo de Elasticidade
O módulo de elasticidade, também conhecido como módulo de Young,
é a razão entre a tensão aplicada e a deformação resultante na região
elástica e está diretamente relacionado à rigidez do material.
É regido pela fórmula da Lei de Hooke, em que:
Região
elástica
Escoamento
Comportamento
elástico
Endurecimento
por deformação
Estricção
Comportamento plástico
Sendo:
σ = Tensão;
ε = Deformação;
E = Módulo de elasticidade;
=E.ε
Figura 11: Curva tensão x deformação de um material dúctil. Fonte: Elaborado pela autora.
Sendo:
σr = Tensão resistente ou tensão máxima;
σrup = Tensão de ruptura;
σE = Tensão de escoamento;
σlp = Tensão do limite plástico.
E
ε
Figura 12: Módulo de elasticidade ou Módulo de Young. Fonte: Elaborado pela autora.
Resistência dos Materiais
15
Na Tabela 1, são apresentados alguns valores do módulo de elasticidade
de ligas metálicas muito utilizadas como materiais nos diversos campos
da engenharia.
linear, como o concreto, ferro fundido e diversos polímeros. Na Figura 13,
podemos verificar como fica a sua curva.
Propriedades de Ligas Metálicas
2
Ligas
Metálicas
Módulo de
Elasticidade (GPa)
Módulo de
Cisalhamento (GPa)
Coeficiente de
Poison
Aço
207
93
0,30
Alumínio
69
25
0,33
Cobre
110
46
0,34
Latão
97
37
0,34
Magnésio
45
19
0,29
Níquel
207
76
0,31
Titânio
107
45
0,34
Tungstênio
407
160
0,28
Tabela 1: Módulo de elasticidade, módulo de cisalhamento e coeficiente de Poison de ligas
metálicas. Fonte: Elaborado pela autora.
Pode ser, ainda, que o material estudado não apresente um
comportamento linear na sua região elástica. Esse tipo de material
mantém um comportamento que chamamos de comportamento não
Resistência dos Materiais
∆σ
∆ε
Módulo Tangente
1
∆σ
∆ε Módulo Tangente
ε
Figura 13: Comportamento não linear de um material. Fonte: Elaborado pela autora.
Escoamento
É caracterizado por compor parte da região plástica de um material dúctil,
em que ocorre um grande alongamento e aumento de carregamento. A
tensão de escoamento vai corresponder à tensão máxima que acontece
durante a fase de escoamento.
Quando não for possível observar o escoamento do material de forma
clara, a tensão de escoamento irá corresponder à tensão necessária, a
fim de promover uma deformação permanente igual a 0,2% ou outro
valor que possa ser especificado.
16
Limite de Escoamento
Estricção
L
α
0
0.002
0.004
0.005
0.008
0.010
Deformação, ε (mm/mm)
Figura 14: Limite de escoamento. Fonte: Elaborado pela autora.
Endurecimento por deformação
Também conhecido como encruamento, consiste no aumento da rigidez
do material, por meio do rearranjo da estrutura cristalina do material.
Estricção
É a fase final da curva tensão-deformação e consiste na redução da
seção ou área transversal do corpo de prova durante o ensaio de tração.
Resistência dos Materiais
Figura 15: Fase de estricção do corpo de prova. Fonte: Adaptado de Beer (2008).
Tensão máxima
É o máximo valor de carga tensão suportado pelo corpo de prova durante
o ensaio de tração. É o ponto mais alto atingido no gráfico.
Tensão de ruptura
Tensão com a qual o corpo de prova rompe após passar pelo processo de
estricção da seção.
17
3.2 Principais Propriedades dos Materiais Associadas à
Curva Tensão-deformação
Agora, você conhecerá as principais propriedades dos materiais
associados à curva tensão-deformação.
Resistência à tração
Relaciona a carga máxima de tração aplicada com a área da seção
transversal do corpo de prova.
Fluência
Pode ser definida como a deformação plástica de um material submetido
a uma tensão constante por um longo período de tempo, sendo essa
tensão inferior ao limite de resistência do material. Está diretamente
relacionada à temperatura, aumentando o efeito da fluência com o
aumento da temperatura, e vice-versa.
Resistência à fadiga
Fadiga é a tendência que um material pode apresentar à ruptura quando
é submetido a carregamentos cíclicos contínuos, mesmo estes sendo
inferiores à tensão de ruptura. O material pode romper sob tensões
menores àquelas obtidas pelos ensaios estáticos.
Resistência dos Materiais
Dureza
É uma das propriedades mecânicas de um material que permite a ele
resistir à deformação plástica localizada, normalmente por penetração. A
palavra “dureza” também pode ser associada à resistência à flexão, risco,
abrasão ou corte.
Elasticidade
É a capacidade que o material possui em retornar à sua forma inicial
após cessada a aplicação da carga durante um ensaio, sem apresentar
qualquer deformação residual.
Plasticidade
Está associada ao tipo de formação em que o material não retorna à sua
forma inicial após cessar o carregamento, pois a tensão aplicada excedeu
a tensão de escoamento do material, fazendo com que ocorresse uma
mudança na sua estrutura cristalina, gerando uma deformação residual
permanente.
Ductilidade
Está relacionada à capacidade de deformação de um material até atingir
a sua ruptura, quando é solicitado por tensões muito elevadas.
18
Resiliência
Representa a capacidade de um material em absorver energia quando é
deformado elasticamente (regime elástico), por meio da aplicação de uma
carga e, posteriormente, quando é descarregado, recuperar essa energia.
Exemplo 3:
E
Ductilidade
Figura 16: Representação da ductilidade. Fonte: Elaborado pela autora.
Dada a Figura 17, contendo as curvas 1, 2 e 3 correspondendo a três
materiais diferentes, marque verdadeiro (V) ou falso (F) de acordo com
as afirmativas abaixo e, em seguida, relacione com a resposta correta e
corrija as opções falsas:
Fragilidade
Está relacionada à fratura que pode ocorrer no material, sem aviso
prévio, sob tensões baixas e quase nenhuma ou nenhuma deformação
plástica do material.
3
2
Tenacidade
Representa a habilidade que um determinado material pode ter em
absorver energia até a sua ruptura. É dada pela área abaixo da curva
tensão-deformação até o ponto de ruptura do material.
1
Figura 17: Curvas tensão-deformação de três materiais distintos. Fonte: Elaborado pela autora.
Resistência dos Materiais
19
a. Os três materiais têm módulos de elasticidade idênticos. ( V )
b. Os três materiais apresentam módulos de resiliência idênticos. ( F )
c. O material 3 apresenta maior limite de escoamento do que 1 ou 2. ( V )
d. O material 3 apresenta maior limite de resistência do que 1 ou 2. ( V )
e. O material 1 apresenta maior alongamento uniforme do que 2. ( F )
f. O material 1 apresenta maior alongamento total (ductilidade) do que
2. ( V )
g. O material 2 tem, provavelmente, maior tenacidade do que 3. ( V )
h. O material 2 apresenta maior expoente de encruamento do que 1. ( V )
i. O material 3 é, provavelmente, mais duro do que 1. ( V )
j. Os três materiais (1, 2 e 3) são, provavelmente, materiais cerâmicos. ( F )
Justificativa das questões falsas:
b) A resiliência está associada à energia que o material absorve na
região elástica. Seria a área abaixo da curva tensão-deformação do
ponto inicial do ensaio até o ponto de escoamento. Para as curvas 1
e 2, a região é a mesma, mas, para a curva 3, a área sob o gráfico é
maior.
não possuem deformação elástica ou a possuem em quantidade muito
pequena, pois rompem logo após deixar a região elástica ou ainda
quando estão nela. Não é o caso dos três materiais estudados, pois
estes possuem região elástica e plástica bem-definidas, mantendo o
comportamento característico de um material dúctil.
4. Ensaio de Tração e Compressão
Podemos determinar as propriedades de um material por meio de
ensaios mecânicos, utilizando corpos de prova, pois não é conveniente e
econômico utilizar a própria peça estrutural para realizar o ensaio, o que
seria ideal.
Os ensaios mecânicos são regidos por normas técnicas, nas quais são
descritas toda a metodologia utilizada e a preparação da amostra e dos
equipamentos que serão necessários para a realização do mesmo. Há
diferentes tipos de normas relacionadas para cada ensaio que se queira
realizar e de acordo com o material estudado.
e) O alongamento uniforme está relacionado à deformação na região
elástica e, para os dois materiais, a deformação elástica é igual.
j) Os materiais cerâmicos são materiais frágeis e, na maioria dos casos,
Resistência dos Materiais
20
4.1 Ensaio de Tração
O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova de dimensões
padronizadas a uma força de tração que cresce gradativamente e
é imposta por uma máquina de ensaio. A cada incremento de força, é
anotada a respectiva deformação imposta na peça, que também aumenta
progressivamente de comprimento.
(a) NBR 5739
(b) NBR 6152
Na Figura 19, são demonstrados a máquina de ensaio e o corpo de prova
utilizado no ensaio de tração. O equipamento contém uma célula de
carga responsável por aplicar a força de tração na amostra, um travessão
fixo e travessão móvel, que servirá para incrementar a deformação e um
computador de leitura de resultados para realizar o acompanhamento
do ensaio e obter a curva tensão-deformação do material.
Figura 18: Algumas das normas utilizadas para ensaios de compressão e tração em materiais.
Fonte: ABNT.
Há algumas formas de uma carga ser aplicada: tracionando o objeto,
comprimindo ou cisalhando (cortando na direção transversal), por
exemplo. Podemos verificar o comportamento mecânico do material
submetendo uma amostra a um ensaio mecânico, de forma a obter os
resultados de tensão e deformação correspondentes e elaborar sua
curva tensão-deformação.
P
Força P
Área
(a) Máquina de ensaio
lo
so
P
(b) Corpo de prova
Figura 19: Equipamento e amostra utilizada para ensaio de tração. Fonte: Elaborado pela autora.
Resistência dos Materiais
21
F
4.2 Ensaio de Compressão
O ensaio de compressão consiste em submeter um corpo de prova
de dimensões padronizadas a uma força de compressão que cresce
gradativamente e é imposta por uma máquina de ensaio. A cada
incremento de força, é anotada a respectiva deformação imposta na
peça, que também aumenta progressivamente de comprimento.
Na Figura 20, são demonstrados a máquina de ensaio e o corpo de
prova utilizado no ensaio de compressão. É importante destacar que
o mesmo equipamento que realiza o ensaio de tração também pode
realizar o ensaio de compressão; a única diferença será na aplicação da
força normal, sendo compressiva ou trativa, dependendo da situação em
que se queira avaliar. Esse equipamento também contém uma célula de
carga responsável por aplicar a força de tração na amostra, um travessão
fixo e travessão móvel, que servirá para incrementar a deformação, e um
computador de leitura de resultados, para realizar o acompanhamento
do ensaio e obter a curva tensão-deformação do material.
Força P
Área
(a) Máquina de ensaio
Corpo de prova
(b) Corpo de prova
Figura 20: Equipamento e amostra utilizada para ensaio compressão. Fonte: Elaborado pela autora.
O ensaio de compressão é o mais indicado para avaliar essas
características, principalmente quando se trata de materiais frágeis,
como ferro fundido, madeira, pedra e concreto.
Neste capítulo, foi possível estudar sobre o comportamento mecânico
dos materiais e, com isso, compreender melhor como podemos escolher
determinado material para fabricar um equipamento, por exemplo, a
partir das suas características.
Por meio de diversos ensaios mecânicos, mas, principalmente, utilizando
o ensaio de tração, podemos gerar a curva tensão-deformação, que
mostra exatamente o comportamento do material durante o ensaio e
permite identificar as regiões elástica e plástica e os principais pontos
Resistência dos Materiais
22
determinantes na curva, como o limite de escoamento, a tensão máxima
que o material pode suportar e a tensão de ruptura.
Vimos, também, que, com base na curva, é possível estabelecer
propriedades dos materiais de acordo com o seu comportamento:
ductilidade, fragilidade, elasticidade, plasticidade, tenacidade, fluência,
fadiga, entre outros.
Dessa forma, estamos aptos a realizar a melhor escolha, sempre
atendendo à necessidade da fabricação ou da utilização em um fim
específico, permitindo utilizar o material que melhor se adequa à
situação, gerando, assim, melhores resultados.
Referências
ABNT. Associação Brasileira de Normas Técnicas. Disponível em: https://
www.abntcatalogo.com.br. Acesso em: 04 dez. 2018.
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica dos materiais. 5 ed. São Paulo: Mc
Graw Hill, 2008.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7 ed. São Paulo: Pearson, 2010.
Resistência dos Materiais
23
Resistência dos Materiais
Tensões e Deformações Axiais
Para início de conversa...
Objetivos
É possível definir a resistência dos materiais como um ramo da mecânica
no qual são estudadas as relações entre os carregamentos externos
aplicados em um corpo, que pode se deformar, e a intensidade das forças
internas que reagem dentro dele (HIBBELER, 2010). Para tratarmos sobre
tensão e deformação, é preciso, primeiramente, defini-los e conhecer
melhor sobre a estabilidade de um corpo sujeito a carregamentos
externos.
▪ Identificar a presença de tensão normal em um corpo solicitado por
força normal.
▪ Identificar a presença de deformação normal em um corpo solicitado
por força normal.
▪ Calcular algumas propriedades que constituem o material em estudo
a partir da análise de tensões e deformações, como o módulo de
elasticidade e o coeficiente de Poisson.
▪ Analisar o efeito de deformações em barras acopladas.
Assim como é descrito por Hibbeler (2010), a resistência dos materiais
depende da sua capacidade em suportar um carregamento externo
sem se deformar excessivamente ou a ponto de romper. A tensão e a
deformação estão relacionadas por meio de ensaios experimentais
pelo diagrama tensão-deformação e, agora, vamos ver quais fórmulas e
considerações utilizamos para estabelecer essa relação.
Resistência dos Materiais
25
1. Tensões e Deformações Axiais: Tensões
Normais em Função de Esforços Externos
Todo corpo, ao ser carregado externamente por forças (ativas ou reativas),
sejam elas concentradas ou distribuídas, desenvolve, internamente,
um campo formado por tensões e deformações. As tensões podem
ser normais ou cisalhantes. Neste capítulo, abordaremos as tensões e
deformações normais ou axiais.
N
σ
A
1.1 Tensão Normal Média
Tensão normal, por definição, é a divisão da força normal pela área onde
é aplicada. Força normal é a força que está atuando, normalmente, na
área, ou seja, está perpendicular à área, no sentido longitudinal do corpo.
Essa consideração é válida para material homogêneo e isotrópico.
A tensão normal é expressa pelo símbolo grego sigma (σ):
Figura 1: Tensão normal média. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
A tensão normal pode ser positiva (+), causada por força normal de
tração, ou negativa (-), causada por força normal de compressão. A
unidade é expressa por Pascal [Pa], ou seja, Newton [N] dividido por
metro ao quadrado [m²]:
Sendo:
σ (sigma): Tensão normal média;
N: Força normal (também chamada de axial ou longitudinal);
A: Área normal, perpendicular à força normal.
Resistência dos Materiais
26
Exemplo 1
Exemplo 2
Aplica-se uma força de tração de N = 350kN em uma barra prismática de
seção retangular com b = 15cm e h = 25cm. Determine a tensão normal
média σmed:
Aplica-se uma força de compressão de N = -470kN em uma barra
prismática de seção circular com diâmetro d = 10cm. Determine a tensão
normal média σmed:
N
Vista lateral
c
N
b
3
σmed = N = N = 350.000.N = 350.10 .N 2 = 9.333.333,3 N2
m
A b.h 0,15m.0,25m 0,15m.0,25.m
= 9.333.333,3Pa
= 9.333kPa
= 9,33MPa
c
h
Vista lateral
Seção
Resistência dos Materiais
N
d
Seção
3
σmed = N = N 2 = -470.000.N2 = -470.10 .N 2 = -59.842.258,6 N2
m
A π.r π.(0,05m)
0,007854.m
= -59.842.258,6Pa
= -59.842kPa
= -59,8MPa
27
Exemplo 3
Exemplo 4
Aplica-se uma força de compressão de N = -235kN em uma barra
prismática de seção retangular vazada, com as seguintes medidas: bi
= 5cm, be = 8cm, hi = 10cm e he = 18cm. Determine a tensão normal
média σmed:
Aplica-se uma força de tração de N = +390kN em uma barra prismática
de seção T (tê) com as seguintes medidas: b = 15cm, h = 25cm, e₁ = 5cm
e e₂ = 3cm. Determine a tensão normal média σmed:
bi
N
Vista lateral
c
N
N
b
c
e2
h
hi he
be
Vista lateral
e1
Seção
Seção
N =
N
-235.000.N
=
σmed = N =
A Aext - Aint be.he - bi.hi
(0,08.0,18 - 0,05.0,10).m2
3
N
= -235.10 .N = -25.000.00 2
m
0,0094.m2
= -25.000.000Pa
= -25.000kPa
= -25,0MPa
Resistência dos Materiais
N
390.000.N
=
σmed = N =
A b.e2 + (h - e2).e1
0,15.0,03+(0,25 - 0,03).0,05].m2
3
N
= 390.10 .N = 25.161.290,3 2
m
0,0155.m2
= 25.161.290,3Pa
= 25.161kPa
= 25,2MPa
28
Exemplo 5
Exemplo 7
Aplica-se uma força de compressão de N = -170kN em uma barra
prismática de triangular reta com b = 12cm e h = 22cm. Determine a
tensão normal média σmed:
Aplica-se uma força de tração de N = +785kN em uma barra prismática
de seção circular vazada, com as seguintes medidas: de = 18cm e di =
12cm. Determine a tensão normal média σmed:
N
N
Vista lateral
h
c
b
σmed = N = -12,9MPa
A
N
N
Vista lateral
Seção
c
di de σmed = N = 55,5MPa
A
Seção
Exemplo 8
Exemplo 6
Aplica-se uma força de tração de N = +680kN em uma barra prismática
de seção quadrada com aresta a = 21cm. Determine a tensão normal
média σmed:
Aplica-se uma força de compressão de N=+140kN em uma barra
prismática de seção cantoneira (L) com as seguintes medidas: b = 13cm,
h = 25cm e e = 3cm. Determine a tensão normal média σmed:
e
N
Vista lateral
c
a
Seção
Resistência dos Materiais
σmed = N = +15,4MPa
A
N
Vista lateral
c
h
e
σmed = N = -13,3MPa
A
b
Seção
29
1.2 Deformação Normal Média
Deformação normal, por definição, é a divisão da variação de
comprimento pelo comprimento inicial. É a variação de comprimento no
sentido do comprimento inicial, ou seja, no sentido longitudinal (axial).
A deformação normal pode ser positiva (+), causada por aumento de
comprimento (alongamento), ou negativa (-), causada por encurtamento
do comprimento (contração). A unidade é expressa como unidade
adimensional (1) e pode ser considerada, também, como m/m, dividindose a variação de comprimento (m) pelo comprimento inicial (m):
A deformação normal é expressa pelo símbolo grego épsilon (ε):
Vejamos, a seguir, outros formatos de dimensão de deformação:
Sendo:
ε: Epsílon, deformação normal média;
ΔL: Variação de comprimento;
L₀: Comprimento inicial;
Lf : Comprimento final.
Exemplo 9
A uma barra prismática com comprimento inicial de 3,56m, aplica-se
uma força normal trativa que aumenta seu comprimento para 3,62m.
Determine a deformação normal média εmed:
L0
N
L0
N
Vista lateral inicial
εmed =
L
LF
Vista lateral inicial
LF
L
=
L
L0
=
0,06m
3,56m
LF - L0 3,62m - 3,56m
=
3,56m
L0
= 0,0168 m = 0,0168
m
ou 0,0168 m = 1,68 cm = 16,8 mm
m
m
m
Vista lateral final
Figura 2: Deformação normal média. Fonte: Elaborado pela autora.
Resistência dos Materiais
Vista lateral final
ou 0,0168 = 1,68 = 1,68%
100
ou 0,0168 = 16,8 = 16,8%
1000
30
Exemplo 10
L0
A uma barra prismática com comprimento inicial de 12,34m, aplicase uma força normal compressiva que diminui seu comprimento para
12,26m. Determine a deformação normal média ɛmed:
N
Vista lateral inicial
LF
Vista lateral inicial
LF
L0
=
LF - L0 12,26m - 12,34m
=
12,34m
L0
- 0,08m
12,34m
= - 0,00648 m = - 0,00648
m
εmed =
=
L
L0
L
ou - 0,00648 m = - 0,648 cm = -6,48 mm
m
m
m
ou - 0,00648 = 0,648 = - 0,648%
100
εmed =
N
L
L0
=
LF - L0
L0
εmed .L0 = LF - L0
L
εmed .L0 + L0 = LF
L0 ( εmed + 1) = LF
LF = L0 ( εmed + 1) = 6,21m(0,0305 +1)
= 6,40m
Vista lateral final
Obs εmed = 3,05% = 3,05 = 0,0305 = 0,0305 m
m
100
Exemplo 11
2. Propriedades Relacionadas à Tensão e
Deformação e Problemas Estaticamente
Indeterminados
A uma barra prismática com comprimento inicial de 6,21m, aplica-se uma
deformação positiva média de ɛmed=3,05%. Determine o comprimento
final LF:
No estudo das tensões e deformações dos materiais, surgem propriedades
que estão diretamente ligadas a esses conceitos. A seguir, veremos dois
deles: o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson ν.
Vista lateral final
ou - 0,00648 = 6,48 = - 6,48%
1000
Resistência dos Materiais
31
2.1 Módulo de Elasticidade E
Exemplo 12
Também conhecido como módulo de Young (Thomas Young – 17731829), é a proporcionalidade entre as tensões e as deformações na
região elástica. Essa relação obedece à Lei de Hooke, que assemelha a
elasticidade dos materiais à rigidez das molas (F = k.x).
Inicialmente, uma barra de seção circular tem um comprimento L0 =
155cm e diâmetro d = 3cm. A mesma é submetida a uma força trativa N
= 180kN, aumentando seu comprimento para LF = 160cm. Determine o
módulo de elasticidade E desse material:
L0
N
c
Vista lateral inicial
d
Seção
LF
N
E = tan α
Vista lateral final
σ
= ε
3
L
E = σ = N/A = N . L0 = N . 0 = 180.10 N . 1,55m
ε
L/L0 A L A (L - L ) π.(0,015m)2 (1,60 - 1,55)m
f
0
= 7.894.085.177 N
m2
Figura 3: Esquema para cálculo do módulo de Elasticidade E. Fonte: Elaborado pela autora.
Ν
σΕ = σ = Α = Ν - L0
ε ΔL L0 Α ΔL
Resistência dos Materiais
unidade:
Pa = N
1 m2
obs.: Ε ≠ ε
= 7.894.085.177Pa
= 7.89GPa
Não confundir módulo de
elasticidade com deformação!
32
Exemplo 13
Inicialmente, uma barra de seção triangular tem um comprimento L0 =
856mm, base b = 5cm e altura h = 12cm. A mesma é submetida a uma
força compressiva N = -360kN, diminuindo seu comprimento para LF =
852mm. Determine o módulo de elasticidade E desse material:
O cientista Francês S. D. Poisson foi quem percebeu essa proporção, no
início do século XIX. O símbolo utilizado é o ν = Nu (grego).
L0
N
Vista lateral inicial
L0
N
Vista lateral inicial
c
h
N
Vista lateral final
Vista lateral final
3
L
0,856m
E = σ = N/A = N . L0 = N . 0 = -360.10 N .
ε
L/L0 A L A (Lf - L0) 0,05m.0,12m (0,852 - 0,856)m
2
N
=25.680.000.000 2
m
= 25.680.000.000Pa
= 25,7GPa
2.2 Coeficiente de Poisson ν
É a proporcionalidade entre a deformação lateral e a deformação axial
em um corpo, quando solicitada a força normal N, em sua fase elástica.
df
Seção
final
Variabilidade:
- teórica:
0 < ν ≤ 0,50
- na natureza: 0,25 < ν < 0,35
N
N
Resistência dos Materiais
c
b
Seção
LF
d0
Seção
inicial
LF
N
c
Fórmula:
ε
∆d
σν = - lateral = - d0 = - ∆d . L0 = - df - d0 . L0
ε
∆L L
d0 ∆L
d0 Lf - L0
0
1
σunidade: 1 = 1
(adimensional)
33
Exemplo 14
Exemplo 15
Inicialmente, uma barra de seção circular tem um comprimento L₀ =
115cm e diagonal d₀ = 2,0cm. A mesma é submetida a uma força de
tração, aumentando seu comprimento para LF = 120cm e diminuindo
seu diâmetro para dF = 1,97cm. Determine o coeficiente de Poisson ν
desse material:
Inicialmente, uma barra de seção retangular tem um comprimento
L₀ = 450cm e altura h₀ = 15cm. A mesma é submetida a uma força de
compressão, diminuindo seu comprimento para LF = 443cm e aumentando
sua altura para hF = 15,1cm. Determine o coeficiente de Poisson ν desse
material:
L0
N
c
N
d0
Seção
inicial
Vista lateral inicial
N
N
Vista lateral final
- )
ν = – lateral = – d/d0 = – d . L0 = – (df d0 . L0
ε
L/L0
d0
L
d0
(Lf - L0)
ε
1,15m = 0,345
= – (0,0197 - 0,0200)m .
(1,20 - 1,15)m
0,0200m
Resistência dos Materiais
c
N
h0
bf
df
N
Seção
final
c
Seção
inicial
Vista lateral inicial
LF
LF
N
b0
L0
Vista lateral final
ε
-h)
ν = – lateral = – h/h0 = – h . L0 = – (hf 0 . L0
ε
L/L0
h0
L
h0
(Lf - L0)
c
hf
Seção
final
4,50m = 0,429
= – (0,151 - 0,150)m .
(4,43 - 4,50)m
0,15m
34
Exemplo 16
Exemplo 18
Uma barra quadrada com 550mm de comprimento e 18mm de aresta
é submetida a uma força axial de 13kN. Assim, a barra aumenta seu
comprimento em 350mm e diminui a aresta em 3mm. Determine o
módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson desse material.
Inicialmente, uma barra de seção triangular tem comprimento L₀ =
5,35m, altura h₀ = 20cm e base b₀ = 10cm. A mesma é solicitada por
uma força de tração N = 720kN, aumentando seu comprimento para LF =
5,40m e diminuindo a altura para hF = 19,95cm. Determine:
σΕ = σ = N A = N . L = 13.10 N 2 . 0,550m
= 63,0GPa
ε ∆L L A ∆L (0,018m) 350.10-6m
3
ε
∆d
. L = - -3.10 m . 0,550m = 0,262
σν = - lat = - d = - ∆d
∆L
d
0,018m 350.10-6m
ε ∆L L
-6
Exemplo 17
a. O módulo de elasticidade E do material.
b. O coeficiente de Poisson ν do material.
c. A medida final da base b desta barra.
a) σΕ = σ =
ε
ε
Em uma barra de alumínio com 5/8” de diâmetro, são colocadas duas
marcações, afastadas entre si por 260mm. A mesma é ensaiada por
uma força axial de 10kN, aumentando o afastamento das marcas para
260,17mm. Determine o módulo de elasticidade do alumínio.
σd = 58 . 25,4mm = 15,875mm = 0,0159m
σΕ = σ = N A = N . ∆L = π 10.10 N 2 . 260mm =77,0GPa
ε ∆L L A L 4 (0.0159m) 0,17m
3
Resistência dos Materiais
3
N A N L0
=7,70GPa
= . = 720.10 N . 5,35m
∆L L0 A ∆L 0,20m.0,10m (5,40 - 5,35)m
2
b) σν = - lat = -
ε
ε
c) σν = - lat = -
ε
∆h h0
= 0,2675
= - ∆h . L0 = - (19,95 - 20)cm . 5,35m
∆L L0
h0 ∆L
20cm
(5,40 - 5,35)m
∆b b0
= - ∆b . L0
∆L L0
b0 ∆L
∆b = -ν . b0 . ∆L
L0
bf = b0 -ν. b0 . ∆L
L0
bf = b0 -ν. b0 . ∆L = 0,10 - 0,2675 . 0,10m.(5,40m - 5,35m) = 0,09975m = 9,97cm
L0
5,35m
Exemplo 19
Um fio com 55m de comprimento está submetido a uma força de tração
de 5500N. Sabendo que o fio é feito em aço (Eaço = 210GPa) e que seu
comprimento pode aumentar no máximo 45mm, determine:
35
a. A tensão normal no fio.
b. O menor diâmetro que pode ser adotado para o fio.
a) σΕ = σ ∴σ = E ε = E . ∆L ∴ σ = 210.109 N2 . 0,045m = 171.8MPa
55m
L
m
ε
Ν ∴ π d2 = Ν ∴ d2= 4 . Ν ∴ d = 4 . Ν
Ν
b) σσ = ∴ Α =
π σ
π σ
σ
σ
4
Α
d = 4 .Ν =
π σ
4.5500N
π.171,8.106
N
m2
2
Um tubo de aço com diâmetro externo de 310mm, espessura de 10mm e
comprimento de 2m é comprimido por uma força de 1400kN. Considere
para o aço: E = 210GPa e ν = 0,3. Para o tubo, determine:
a. A variação no comprimento.
b. A variação do diâmetro externo.
c. A variação da espessura da parede.
2
4
σΕ = σ =
ε
b) σν =
NA N . L
1400.103N.2m
∴ ∆L = N . L =
=1,41mm
=
A . E 0,009425m2.210.109 N
∆L L A . ∆L
m2
ε
- lat = ε
∆dext dext
∆L L
L
= - dextext . ∆L∴ ∆dext = - ν.dext . L
∆d
∆L
∆dext = - ν.dext . ∆L = -0,3.310mm. -1,41mm = 0,0656mm
2000mm
L
= 6,38mm
Exemplo 20
Resistência dos Materiais
a) dint = 310 - 2.10 = 290mm ∴ A = π . (0,31 - 0,29 ) = 0,009425m2
c)
∆e = - ν.e . ∆L = -0,3.10mm. -1,41mm = 0,00211mm
2000mm
L
3. Deformações de Elementos Compostos e
Elementos sob Efeitos Térmicos
Você verá, agora, as principais deformações de elementos compostos e
de elementos sob efeitos térmicos.
36
3.1 Barras Carregadas Axialmente
Vimos que uma barra pode ser carregada axialmente quando é submetida
a uma força de compressão ou tração, gerando tensões e deformações
sobre a mesma.
Agora, nosso estudo é focado no carregamento axial de mais de uma
barra, estando elas acopladas, sendo que podem ou não apresentar
as mesmas dimensões, o mesmo carregamento, o mesmo módulo de
elasticidade e o mesmo comprimento.
Uma barra carregada:
Um passo importante no estudo de barras axialmente carregadas é
determinar a força normal que atua em cada trecho da barra. Para isso, é
necessário desenhar o diagrama de esforço normal.
A seguir, são apresentados alguns exemplos de representação do
diagrama. Quando a força normal é de compressão, o valor é representado
no eixo negativo (para baixo); já, quando a força normal é de tração, o
valor é representado no eixo positivo (para cima).
a)
c)
20kN
Duas barras carregadas :
L
L1
c
N
L2
E1, A1
E2, A2
c
NA
N
(kN)
c
8
A
L
N
b)
5kN
.
.
A1 . E1 A2 . E2
.
.
L = (NA LB).L1 + (N2) L2
A2 . E2
A1 . E1
.
A. E
L = N L0
N
DEN
N
Resistência dos Materiais
N
x
NA + NB
NB
x(m)
N
(kN)
7
3kN/m
5kN
34kN
L = L1 + L2
L = N1 L1 + N2 L2
+
d)
NB
N
Ε = σ = N/A = N . L
ε L/L A L
33
18
12
L2
NA
33kN
-
L
L1
N
(kN)
x(m)
+
NB
15kN
12kN
12
+
33kN
22kN
x(m)
N
(kN)
33
13
18
+
x(m)
-
22
x
Figura 4: Diagrama de esforço normal. Fonte: Elaborado pela autora.
37
Exemplo 21
Dados:
Uma barra é formada por dois trechos de seção circular. O primeiro
trecho é formado por alumínio e o segundo é formado por aço.
L1 = 5m L2 = 3m L3 = 4m
Dados:
172cm
123cm
d2 = 14mm Eaço = 210GPa
20KN
Determine:
barra 2
barra 1
a. O diagrama de esforço normal.
b. A variação de comprimento da barra.
N1.L1
+
A1.E1
∆L =
N
(kN)
50
30
π 0,0112m2.75.109
= + 2,157.10-3 m
N
(kN)
N
m2
+
30.103 N.1,72m
π 0,007m2.2109
+ 1,596.10-3 m
barra 3
12
7
12KN
DEN
x(m)
∆L =
∆L =
N1.L1
+
A1.E1
=
=+3,75 mm
(alonga)
Uma barra é formada por três barras de cobre (Ecobre = 115GPa) de
seção quadrada com aresta a.
x(m)
N .L
N2.L2
+ 3 3
A3.E3
A2.E2
7.103 N.5m
0,012m2.115.109 N 2
m
= - 3,83.10-3 m
22kN
22
d. A variação de comprimento da barra.
= + 3,043.10-3 m
N
m2
barra 2
c. O diagrama de esforço normal.
Exemplo 22
Resistência dos Materiais
a1 = 1cm a2 = 2cm a3 = 1cm
N2.L2
A2.E2
50.103 N.1,23m
34kN
barra 1
Determine:
d1 = 22mm Ealumínio = 75GPa
∆L =
5kN
+
12.103 N.3m
-
22.103N.4m
0,022m2.115.109 N 2 0,012m2.115.109 N 2
m
m
+ 7,826.10-4 m
- 7,652.10-3m
= - 3,83 mm (contrai)
Exemplo 23
Uma coluna de concreto (Econcreto = 25GPa) tem seção retangular
6x8cm. A partir dos comprimentos LAB = 5,3m, LBC = 9,2m e LCD = 8,5m,
determine:
a. O diagrama de esforço normal.
b. A variação de comprimento total DL da barra ABC:
38
8 kN
5 kN
A
LAB
B
4 kN
LBC
C
7 kN
LCD
D
P (kN)
5
x
Exemplo 24 (BEER; JOHNSTON, 2008)
∆L =∆LAB + ∆LAC + ∆LCD
=∆L1 + ∆L2 + ∆L3
3 N .L
=∑ i i
i=1
Ai.Ei
a. As reações em A e E.
b. O deslocamento do ponto c.
-3
-7
∆L =
5.103 N.5,3m
0,06.0,08m2.25.109
Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão, são unidas em C e
contidas por apoios rígidos em A e E. Para o carregamento indicado na
figura e sabendo que Eaço = 200GPa e Elatão = 105GPa, determine:
3.103 N.9,2m
7.103 N.8,5m
N
N
N
0,06.0,08m2.25.109 2 0,06.0,08m2.25.109 2
m2
m
m
= + 2,208.10-4 m
-2,300.10-4 m
-4
= - 5,05.10 m = - 0,505 mm (encurta)
-4,958.10-4 m
Dimensões em mm
180
Resistência dos Materiais
100
D
40 kN
60 kN
40 mm de diâmetro
RA
Aço B
E
Latão
Aço B
Podemos considerar um elemento como estaticamente determinado
quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar
suas reações de apoio.
Como forma de resolver esse problema, considera-se a adição de mais
uma equação ao sistema, denominada equação de compatibilidade, que
relaciona o deslocamento ao equilíbrio do elemento.
C
A
3.2 Problemas Estaticamente Determinados
100
120
30 mm de diâmetro
Latão
RE
39
Trechos AB e BC:
Cálculo das reações RA e RE:
- A variação de comprimento total é nula (equação de compatibilidade):
σΕΑ = 200.109 N .π.0,0202 m2
m
2
σ∆L = (7,162 + 4,775 + 2x13,473).10-10 RA - (2,865 + 8,084 +13,473).10-5 = 0
= 2,5133.108 N
= (38,883).10-10 RA - (24,422).10-5 = 0 → RA = 62809.N = 62,8kN
Trechos CD e DE:
- Equilíbrio:
Σ = -62,3 + 60 + 40 + R = 0 → R = - 37,7kN
σΕΑ = 105.109 N .π.0,0152 m2
FX
m2
A variação de comprimento do trecho AC:
As variações de comprimento por trecho:
N.L = RA.0,18
E.A 2,5133.108
N.L = (RA-60.103).0,12
Trecho AB: σ∆LBC =
2,5133.108
E.A
N.L =(RA-60.103).0,100
Trecho CD: σ∆LCD =
7,4220.107
E.A
N.L =(RA-100.103).0,100
Trecho DE: σ∆LDE =
7,4220.107
E.A
Resistência dos Materiais
E
Obs.: RE é o contrário do sentido adotado, em função do sinal negativo.
= 7,4220.107 N
Trecho AB: σ∆LAB =
E
σ∆L =
= 7,1620.10-10RA
= 4,7746.10-10RA - 2,8648.10-5
= 1,3473.10
-9
RA - 8,0841.10
-5
= 1,3473.10-9 RA - 1,3473.10-4
(7,162 + 4,775).10-10 (62809) - (2,865).10-5 = 4,63.10-5m = 46,3µm
3.3 Elementos sob Efeitos Térmicos
Quando o material é submetido à mudança de temperatura, o elemento
pode sofrer alterações em suas dimensões. Caso a temperatura aumente,
o material irá se expandir, provocando aumento nas dimensões do
elemento; caso a temperatura diminua, o material irá se contrair,
provocando diminuição nas dimensões do elemento. Para materiais
homogêneos e isotrópicos, podemos calcular a variação de comprimento
do elemento sujeito à tensão térmica pela seguinte fórmula:
40
Sendo:
a: coeficiente linear de expansão térmica [T]-1
∆T: variação de temperatura do elemento
L: comprimento inicial do elemento
δT: variação no comprimento do elemento
10 mm
L
T
0
No caso de elementos estaticamente determinados, os deslocamentos
térmicos podem ser restringidos pelos apoios, de modo a gerar as
tensões térmicas que deverão ser consideradas no cálculo do projeto.
Exemplo 25 (HIBBELER, 2010)
A barra de aço A-36 mostrada na figura está restringida para caber
exatamente entre os dois suportes fixos, quando T1 = 30ºC. Se a
temperatura aumentar até T2 = 60ºC, determine a tensão térmica normal
média desenvolvida na barra.
A
δT
δF
10 mm
1m
Eaço = 200 GPa
αaço = 12x10-6 oC
Se ocorrer mudança na temperatura ou na deformação ao longo do
comprimento, a fórmula utilizada para calcular a variação no comprimento
será:
δ = ∫ α . ΔT dx
F
B
F
Equilíbrio:
σ+ ↑∑Fy = 0;
FA = FB = F
Compatibilidade:
σ(+ ↑)
δA/B = 0 = δT - δF
Aplicando as relações térmicas e de carga-deslocamento, temos:
σ0 = α∆TL - FL
AL
Resistência dos Materiais
41
Assim, temos:
σF = α∆T AE
σ= [12(10 -6)/°C](60ºC - 30ºC)(0,010m) 2[200(10 6) kPa]
σ= 7,2 kN
A tensão térmica normal média é:
σσ = F
A
=
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica dos materiais. 5 ed. São Paulo: Mc
Graw Hill, 2008.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7 ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
7,2 x 10 -3 MN
= 72 MPa
(0,01 m)2
Neste capítulo, vimos que a tensão normal é causada por força normal
e que essa força é atuante em uma área perpendicular, ou seja, fora do
plano.
Vimos, também, que a deformação normal é causada por variação de
comprimento em um dado comprimento inicial. Estudamos, ainda, os
conceitos relacionados ao estudo das tensões e deformações do material,
que são o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson.
Além disso, é possível acoplar barras de diferentes propriedades,
tamanhos e submetidas a diferentes carregamentos e, assim, analisar
conjuntamente o efeito de alongamento ou encurtamento que o
conjunto pode sofrer.
Resistência dos Materiais
42
Resistência dos Materiais
Tensões e Deformações Cisalhantes
Para início de conversa...
Objetivos
Neste capítulo, falaremos sobre a tensão cisalhante, que é provocada
em alguns elementos estruturais e gerada pela presença de uma força
cisalhante ou um momento de torção. Sua presença é muito comum
em elementos de ligação, como parafusos e soldas, conforme será visto
neste estudo.
▪ Entender os conceitos básicos relacionados às tensões e deformações
cisalhantes.
▪ Avaliar e calcular elementos estruturais submetidos a esforços
cortantes e que provocam tensões cisalhantes no material.
▪ Identificar elementos sujeitos ao momento de torção.
Geralmente, em um grupo de elementos ligados que formam um
conjunto, temos, por exemplo, placas sendo ligadas por parafusos. Se
impomos nessas placas uma força normal, gerando nelas uma tensão
normal, nos elementos de ligação (parafusos), a mesma força normal
trabalhará como uma força cisalhante, tendendo a cortá-los.
Os exercícios trabalhados ao longo deste capítulo nos ajudarão a
entender melhor essa tensão provocada por uma força cisalhante.
Resistência dos Materiais
44
1. Tensão Cisalhante Média
A tensão cisalhante, por definição, é a divisão da força cisalhante pela
área. Força cisalhante (ou cortante) é aquela que atua no plano da área,
ou seja, no sentido transversal ao corpo. A tensão cisalhante é expressa
pelo símbolo grego τ (tau):
Sendo:
: tau, tensão cisalhante média
V: Força cisalhante (também chamada de cortante ou de corte)
A: Área de corte, no plano da força cisalhante
A tensão cisalhante não tem sinal, logo, não há distinção entre os
sentidos de corte, diferentemente da tensão normal, que distingue
tração (+) de compressão (-). A unidade é expressa por Pascal [Pa], ou
seja, Newton [N] dividido por metro ao quadrado [m²]:
Exemplo 1:
Seja uma viga de seção retangular 10 cm x 17 cm, carregada por uma
força inclinada F = 82 kN, conforme a Figura 2.
45º
17cm
τ
V
F
10cm
A
Figura 2: Corpo com carga inclinada. Fonte: Do autor.
=
a. Determine a tensão normal média.
Resolução:
Figura 1: Tensão cisalhante média. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Resistência dos Materiais
N F .sen(450 )
σ= =
=
A
A
2
)N
2 = 3.410.750 N = 3, 41MPa
0,10m.0,17 m
m2
82000.(
45
b. Determine a tensão cisalhante média.
Resolução:
=
τ
Resolução:
V F .cos(450 )
τ= =
=
A
A
2
N
)N
= 3, 41MPa
2 = 3.410.750
2
m
0,10m.0,17 m
82000.(
V P
=
A A
8.103N
6 N
=
τ
= 5,93.10
=
5,93.MPa
0,090m.0,015m
m2
Exemplo 2
Exemplo 3
Quando a força P alcança 8 kN, o corpo de prova de madeira mostrado
na figura falha sob o cisalhamento ao longo da superfície indicada pela
linha tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média ao longo
dessa superfície no instante da falha (BEER; JOHNSTON, 2008).
Duas pranchas de madeira, cada uma com 22 mm de espessura e 160
mm de largura, são unidas por uma junta de encaixe colada, mostrada
na figura. Sabendo que a junta falhará quando a tensão de cisalhamento
média na cola atingir 820 kPa, determine o menor comprimento d
admissível do encaixe, uma vez que a junta deve suportar uma carga
axial de intensidade P = 7,6 kN.
15
P
mm
d
P
P'
Aço
90 mm
Madeira
20 mm
Cola
160 mm
P
20 mm
Figura 3: Elementos sujeitos ao cisalhamento. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Figura 4: Pranchas de madeira encaixadas por cola. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Resistência dos Materiais
46
h
Resolução:
τ=
=
d
V
P
P
P
=
=
→ d=
Atotal 7. A 7.(d .t )
7.τ .t
P
3
P
7, 6.10 .N
=
= 0, 0602
=
m 60, 2mm
7.τ .t 7.820.103.N / m 2 .0, 022m
Exemplo 4
6 mm
h
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P
Figura 5: Placas e cobrejuntas unidas por cola. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
As componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas
de madeira compensada, que serão totalmente coladas às superfícies
em contato. Como parte do projeto da junção e sabendo que a folga
entre as extremidades das componentes deve ser 6 mm, determine o
comprimento L mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento
média na cola não exceda 700 kPa.
Resolução:
=
L 2.H + 6
= 2.143 + 6
= 292mm
15 kN
τ=
A
V F/2 F/2
F
=
=
→h=
A
A
b.h
7.b.τ
L
6 mm
75 mm
B
F
h =
=
2.b.τ
15.103N
= 0,143m
N
2.0,075m.700.10 2
m
3
15 kN
Resistência dos Materiais
47
Exemplo 5
Uma carga P é aplicada a uma barra de aço suportada por uma chapa de
alumínio, na qual foi feito um furo de 12 mm conforme mostra a figura.
Sabendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 180 Mpa na
barra de ao e 70 Mpa na chapa de alumínio, determine a máxima carga P
que pode ser aplicada à barra.
Alguma das chapas pode ser furada, ou seja, a força P se distribuir como
um corte na área lateral de um cilindro:
1. Corte na chapa de aço:
40 mm
10 mm
8 mm
40 mm
12 mm
10 mm
P
8 mm
Figura 7: Chapa de aço sendo cortada pelo alumínio. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
=
Paço τ=
aço .π .d furo .haço
12 mm
6 N
= 180.10
=
.π .0, 012m.0, 010m 67,9kN
m2
P
Figura 6: Barra e chapa de aço e chapa de alumínio. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
2. Corte na chapa de alumínio:
40 mm
10 mm
8 mm
Resolução:
V
P
P
P τ .π d.h
=
τ
=
=
→=
A cilindro 2π r.h π d.h
Resistência dos Materiais
12 mm
P
Figura 8: Chapa de alumínio sendo cortada pela chapa de aço. Fonte: Adaptado de Beer;
Johnston (2008).
48
=
Palum. π=
.π .d ext. .h alum.
alum.
Resolução:
6 N
=
70.10
.π .0, 040m.0,008m 70,4kn
m2
Tensão normal na barra
σ adm=
Resposta: O corte da chapa em alumínio acontece primeiro: P = 67,9 kN.
Exemplo 6
Uma força P é aplicada a uma barra de aço encaixada dentro de um bloco
de concreto, conforme mostra a figura. Determine o menor comprimento
L para o qual pode ser desenvolvida a tensão normal admissível σadm no
aço e da tensão média de aderência adm entre o concreto e a superfície
cilíndrica da barra. (Despreze as tensões normais entre o concreto e a
extremidade da barra.)
N
=
A circular
P
P
π d2
P
.
=
→
=
σ
adm
4
π r2 π d2 / 4
Tensão cisalhante no contato lateral
τ adm
=
N
=
A cilindro
P
P
P τ adm .π d.L
=
→=
2π r.L π r.L
Igualando P=P:
σ adm .
π d2
4
= τ adm .π d.L
σ adm .π d 2 = 4.τ adm .π d.L
L
d
P
Figura 9: Barra de aço contida dentro de um bloco de concreto. Fonte: Adaptado de Beer;
Johnston (2008).
Resistência dos Materiais
Resposta:
L=
σ adm .d
4.τ adm
49
2. Dimensionamento de Parafusos e Conectores
Peças ligadas por parafusos são os exemplos mais comuns da presença
de tensão cisalhante média. Ligações solicitadas por tensões normais
desenvolvem nos parafusos tensões cisalhantes. Vejamos, a seguir, um
exemplo do corte de um parafuso:
P
P
P'
F
F
F
V
Figura 11: Corte simples em um parafuso. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Formulação:
2.2 Corte Simples em n (Vários) Parafusos
P'
P'
F
Figura 10: Corte em parafusos. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Dessa maneira, pode-se escrever uma formulação para cada um dos
diversos tipos de cortes em ligações de peças.
2.1 Corte Simples em 1 (Um) Parafuso
F
F
F
F
F/n
F/n
V
Figura 12: Corte simples em n parafusos. Fonte: Do autor.
Formulação:
Exemplo 7
Calcule qual a tensão cisalhante nos parafusos abaixo sabendo que cada
parafuso tem diâmetro igual a 5 mm e força atuante F = 12,0 kN:
Resistência dos Materiais
50
Resolução:
F
F
τ=
Figura 13: Corte simples em n parafusos. Fonte: Do autor..
d
=
Resolução:
V
τ= =
A
F
12, 0.103 N
N
n= F=
2, 037.108 =
203, 7 MPa
=
2
2
A nA 3.π .0, 0025 m
m2
F
=
nA
F
4F
=
→d=
2
d
nπ d 2
n(π . )
4
4F
=
nπτ
4F
nπτ
4 x80 x103 N
= 0,=
0146 14, 6mm
N
4 xπ x120 x106 2
m
Exemplo 9
Exemplo 8
Qual o diâmetro mínimo necessário para conexão abaixo contendo 4
parafusos. submetida a uma força F igual a 80 kN e sabendo que todos
os parafusos são iguais com tensão cisalhante admissível τ = 120 MPa:
Três parafusos de aço devem ser utilizados para fixar a chapa de aço
mostrada na figura em uma viga de madeira. Sabendo que a chapa
suportará uma carga de 110 kN, que o limite de tensão de cisalhamento
do aço utilizado é de 360 MPa e que é desejado um fator de segurança
de 2 (F.S = 2,0), determine qual o diâmetro necessário para os parafusos:
F
F
Figura 14: Corte simples em n parafusos. Fonte: Do autor.
110 kN
Figura 15: Corte em n parafusos. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Resistência dos Materiais
51
Exemplo 10
Resolução:
τ
V
F F /3
F /3
4.F
= =
=
=
=
2
π .d / 4 3.π .d 2
CS A 3 A
A
4.F .CS
4.F .CS
=
↔
=
d2
d
3.π .τ
3.π .τ
τ adm=
=
d
Calcule qual a força F que atua na conexão parafusada abaixo contendo
um parafuso com diâmetro d = 10 mm e tensão de cisalhamento de τ
= 100 MPa:
4.110.103 N .3,35
= 0,=
0208 2, 08cm
3.π .360.106 N / m 2
F
2.3 Corte Duplo em 1 (Um) Parafuso
F/2
F
F
F/2
V
F
Figura 16: Corte duplo em um parafuso. Fonte: Do autor.
Formulação:
Resistência dos Materiais
V
F
F
Figura 17: Corte duplo em n parafusos. Fonte: Do autor.
Resolução:
V F /2 F
=
=
→ F = τ .2. A
A
A
2A
N
=
F 100 x106 2 x 2 xπ x0, =
0052 m 2 15.708
=
N 15, 7 kN
m
τ=
52
2.4 Corte Duplo em n (Vários) Parafusos
F
F/2n
F
F
F/2n
V
F
F
F
F/2n
V
V
F
F
F/2n
V
Figura 18: Corte duplo em n parafusos. Fonte: Do autor.
Figura 19: Corte duplo em n parafusos. Fonte: Do autor.
Formulação:
F
V (2n)
F
τ= =
=
A
A
2.n. A
Exemplo 11
Sabendo que uma ligação parafusada é composta por parafusos com
diâmetro de 8 mm e e nela atua uma força F = 70 kN, conforme nos
mostra a Figura 19. Considere que essa ligação não pode ultrapassar
uma tensão cisalhante máxima nos parafusos de τ = 150 MPa. Determine
a quantidade mínima de parafusos.
Resistência dos Materiais
Resolução:
V F / 2n
F
F
=
=
→n=
A
A
2nA
2 Aτ
3
70 x10 N
=
n
= 4,=
64 5 parafusos
2
2
6 N
2 xπ x0, 004 m x150 x10 2
m
τ=
Observação:
A quantidade de parafusos deve ser arredondada para um valor inteiro,
pois não existe quantidade de parafusos fracionada. Além disso, esse
valor deve ser arredondado para cima, pois se trata de uma quantidade
mínima.
53
3. Elementos Sujeitos à Torção
F
O fenômeno chamado de torção pode ser definido como a tensão que
acontece quando aplicamos um momento sobre um eixo longitudinal Eixo de torção
0
de um elemento construtivo. Esses elementos são chamados de eixos,
d
pois uma das dimensões predomina sobre as outras duas. Na Figura
Centro de torção
T
T
20, podemos ver um exemplo de torção muito comum do dia a dia.
F
Quando utilizamos uma chave de fenda para apertar um parafuso
Figura
21:
Forças
conjugadas
aplicadas
ao
redor
do
um
centro
de
torção do elemento. Fonte:
contra uma superfície estamos impondo na extremidade da ferramenta
Adaptado de Nadal (2015).
um momento que tende a torcê-la, denominado torque.
O objeto de estudo deste material se resume a eixos circulares, embora a
torção possa existir em qualquer tipo de seção transversal. Quando temos
T
um eixo circular fixado em uma de suas extremidades e submetido a um
momento de torção T na extremidade livre, o eixo gira e sua extremidade
livre apresenta uma rotação dada pelo ângulo φ, que é chamado de
ângulo de torção.
Figura 20: Aplicação de torque em parafuso por chave de fenda. Fonte: Adaptado de Nadal
(2015).
Um elemento submetido à torção é submetido a um par de forças
conjugadas (F e –F) que formam o momento de torção. Podemos, ainda,
identificar ainda o Centro de Torção e o Eixo de Torção. O centro de
torção é o ponto ao redor do qual a seção transversal gira. Em caso de
seções simétricas, o centro de torção coincide com o centro de gravidade
do elemento. Já o eixo de torção é o lugar geométrico dos centros de
torção.
Resistência dos Materiais
L
B
T
A
B
A
L
Figura 22: Ângulo de torção. Fonte: Adaptado de Nadal (2015).
54
Com a aplicação do torque, ocorre uma deformação por torção no eixo
circular. Antes da deformação, as linhas longitudinais e as linhas radiais
formam entre si um ângulo de 90 graus, dando origem a quadrados
ou retângulos. Quando o torque é aplicado, ocorre uma distorção,
contudo, esta faz com que os círculos continuem circulares, e as linhas
longitudinais ficam torcidas em forma de hélice, interceptando cada
círculo e mantendo o ângulo de torção igual. Nas extremidades, as seções
transversais continuam planas e as linhas radiais continuam retas. Isso
quer significa que, de acordo com essas considerações, podemos definir
que se o ângulo de rotação for pequeno, tanto o comprimento quanto o
raio do eixo permanecerão alterados.
Círculos continuam
circulares
É possível calcular a torção usando fórmulas. Caso o material seja
linear elástico, podemos aplicar a Lei de Hooke. Uma variação linear na
deformação por cisalhamento ocasiona uma variação linear na tensão
de cisalhamento relacionada ao longo de qualquer linha radial na seção
transversal.
max
0
Figura 24: Tensão em uma seção transversal cheia. Fonte: Adaptado de Nadal (2015).
Linhas longitudinais
ficam torcidas
A tensão de cisalhamento a uma distância ρ do eixo da barra é dada por:
τ=
Linhas radiais
continuam retas
Antes da deformação
(a)
Depois da deformação
(b)
Figura 23: Deformação por torção no elemento. Fonte: Adaptado de Nadal (2015).
Resistência dos Materiais
C
T.ρ
J
Sendo:
τ = tensão de cisalhamento
T = torque interno resultante
J = momento polar de inércia da área da seção transversal
ρ = distância intermediária
55
A tensão máxima de torção τmáx é dada na extremidade da barra, em
que o valor da distância ρ é o próprio raio c:
τ max =
T.c
J
τ min =
O momento polar de inércia para uma seção maciça com raio c é:
Para o caso de uma seção vazada, um tubo por exemplo, a tensão de
cisalhamento se altera entre um mínimo e um máximo, de acordo com o
raio interno c1 e o raio externo c2.
max
max
0 C1
C2
Figura 25: Tensão em uma seção transversal vazada. Fonte: Adaptado de Nadal (2015).
A tensão máxima consiste na mesma fórmula apresentada anteriormente,
em que o raio c é o raio externo c2. A tensão mínima é dada em função
da tensão máxima:
Resistência dos Materiais
c1
.τ
c 2 max
1
j = .π .c 4
2
O momento polar de inércia para uma seção vazada com raio interno c1
e raio externo c2 é:
=j
1
.π . c 42 − c14
2
(
O ângulo de torção φ é dado por:
φ=
)
T.L
J.G
56
A deformação de cisalhamento γmáx pode ser descrita como:
γ=
max
τ max
T.L
=
G
J.G
c.φ
γ max =
L
A fórmula dada acima para calcular o ângulo de torção só serve para
o caso de regime elástico em que o ângulo de torção é proporcional
ao momento de torção aplicado no eixo circular, para material
homogêneo, seção constante e momentos de torção aplicados somente
nas extremidades da barra. Para os casos em que a barra possui seções
transversais diferentes, materiais diferentes e momentos de torção
aplicados em pontos intermediários, deve-se calcular por trechos que
satisfaçam às condições de emprego da fórmula dada para o regime
elástico e, em seguida, somar algebricamente de modo a obter o ângulo
de torção total.
TD
B
TB
E
D
TC
C
A
Li
Ti .T
i J i .G i
φ =∑
TA
Figura 26: Barra com diferentes momentos de torção aplicados. Fonte: Adaptado de Nadal
(2015).
Recomenda-se utilizar as unidades correspondentes ao SI (Sistema
Internacional) para facilitar os cálculos por meio das fórmulas:
T
→
N.m,
c,p
→
m,
J
→
m4
τ
γ ,φ
→
→
N/m 4 ,
radianos.
4. Projeto de Eixos
Quando falamos em máquinas e equipamentos mecânicos, a presença de
eixos com seção transversal circular é indispensável. A combinação de
Resistência dos Materiais
57
cargas de flexão e torção resultam, na maioria das vezes, em fadiga ou
tensão cíclica, além da possível existência de concentrações de tensões
em dados pontos do eixo. No projeto de eixos, utilizamos as fórmulas de
tensão normal e de tensão cisalhante provocadas pelo torque abaixo:
=
σ
Mc
Tc
=
e τ
I
J
Caso a tensão normal admissível ou a tensão de cisalhamento admissível
sejam conhecidas, é possível calcular as dimensões do eixo baseando-se
nesses dados. Pela equação de transformação de tensão, temos:
A equação simplifica-se a:
=
τ adm
2
π c3
M 2 +T 2
Isolando o raio do eixo c, obtém-se:
 2
=
c 
 πτ adm
1/3

M 2 + T 2 

Exemplo 12
Dados o momento de inércia e o momento polar de inércia, por meio das
seguintes equações, temos:
I = πc4 / 4
O eixo na figura abaixo é suportado por mancais em A e B. Por causa
da transmissão de potência para o eixo, as correias das polias estão
sujeitas às tensões mostradas. Determine o menor diâmetro do eixo
pela teoria da tensão de cisalhamento máxima, com τmáx = 50 Mpa
(HIBBELER, 2010).
J = πc4 / 2
Resistência dos Materiais
58
z
z
150 N
A
0,050 m
C
x
0,250 m
Resolução:
0,250 m
x
950 N
200 N
7,5 N.m
650 N
0,250 m
500 N
475 N
0,150 m
(b)
y
400 N
0,150 m
(a)
300 N
B
0,250 m
7,5 N.m
475 N
D
0,075 m
Diagrama de momento fletor Mx
y
A
C
B
0,250 m
Reações de apoio
475 N
MX (N.m)
0,250 m
950 N
D
0,150 m
475 N
118,75
(c)
Resistência dos Materiais
y (m)
59
Diagrama de momento fletor Mz
A
O momento de torção imediatamente à direita de C e em B é 7,5 kN.m.
Resolvendo o momento fletor resultante no ponto C, temos:
C
B
0,250 m
0,250 m
D
650 N
150 N
MX (N.m)
M=
C
0,150 m
Já para o ponto B, o momento fletor é:
500 N
M B = 75N.m
75 N.m
37,5 N.m
y (m)
(d)
Aplicando a fórmula do raio c, vista na teoria para os momentos fletor e
de torção no ponto C, em que obtemos o maior valor para o par momento
fletor e momento de torção, chegamos ao seguinte valor de raio do eixo:
 2
=
c 
 πτ adm
Diagrama de torque
C
A
7,5 (N.m)
0,250 m
0,250 m
7,5 (N.m)
D
B
(118,75N.m)2 + (37,5N.m)2
= 124,5N.m
0,150 m
Ty (N.m)
1/3

M + T 

2
2
1/3


2
= 
+ (7,5N/m)2 
(124,5N/m)2 =
0, 0117m
6
2
 π (50)(10 )N/m

Assim, como o diâmetro é 2 vezes o raio, temos:
y (m)
-7,5
Resistência dos Materiais
=
d 2(0,
=
0117m ) 23,3mm
(e)
60
Neste capítulo, vimos que a tensão cisalhante é gerada por uma força
cortante, sendo esta atuante na área, ou seja, no plano.
A tensão normal e tensão cisalhante são distintas, ou seja, de naturezas
diferentes quanto à orientação da força. A tensão normal advém da força
“perpendicular” ao plano, e a tensão cisalhante vem da força “no” plano.
A tensão normal atua no sentido longitudinal do corpo, já a tensão
cisalhante atua no sentido transversal.
A tensão de cisalhamento é mais difícil de enxergar, por isso, os melhores
exemplos de visualização de tensão cisalhante são os casos de ligações
parafusadas, em que os parafusos se encontram em corte, com quatro
exemplos: Corte simples em 1 (um) parafuso; Corte simples em n (vários)
parafusos; Corte duplo em 1 (um) parafuso e Corte duplo em n (vários)
parafusos.
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica dos materiais. 5 ed. São Paulo: Mc
Graw Hill, 2008.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7 ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
NADAL, C. A. Torção – Aula 04. Curitiba: UFPR, 2015.
Além disso, vimos que o torque, ou momento de torção, também pode
gerar uma deformação por cisalhamento em elementos, conhecida
também como tensão por torção. Para isso, precisamos de um momento
de torção aplicado ou um par de forças conjugadas que gere esse torque
aplicadas em torno de um eixo ou centro de torção de um elemento.
Resistência dos Materiais
61
Resistência dos Materiais
Tensões Normais em Vigas sob
Flexão Reta
Para início de conversa...
Objetivos
A resistência dos materiais fornece uma explicação sobre o
comportamento de um corpo submetido a forças externas em
consideração ao efeito interno causado. Este, diferencia-se do estudo
da estática, no qual os efeitos externos das forças são analisados
isoladamente. Para isso, é preciso observar o corpo segundo todos
os esforços que podem atuar: esforço axial (tração e compressão),
cisalhamento, flexão e torção.
▪ Compreender a configuração de tensões normais a partir da aplicação
de momento fletor (flexão reta) ou da combinação de momento fletor
e esforço normal (flexão composta reta).
▪ Calcular as tensões normais em elementos estruturais submetidos à
flexão reta ou à flexão composta reta.
▪ Identificar a posição da linha neutra em seções transversais de
elementos submetidos à flexão reta ou à flexão composta reta.
Nos capítulos anteriores foram estudados os esforços axiais de tração
e compressão, o cisalhamento e a torção sob elementos de viga. Nesta
unidade trataremos da flexão reta, um tipo de flexão que surge no
elemento devido a aplicação de um momento em uma direção, podendo
ou não ser acompanhado de uma força normal aplicada.
Veremos uma melhor explicação deste efeito de flexão através dos
exercícios que serão trabalhados durante a unidade de aprendizagem.
Alguns exercícios apresentados nesta unidade são retirados do livro de
HIBBELER e do livro de BEER e JOHNSTON, presente na bibliografia.
.
Resistência dos Materiais
63
1. Comportamento de Vigas na Flexão Reta
A flexão reta caracteriza-se pela aplicação de um momento fletor na
seção transversal do elemento de viga em estudo. Caso seja aplicado
somente um momento fletor em uma direção na seção transversal, temos
a flexão reta ou simples. Se além do momento fletor ocorrer a ação
simultânea de uma força normal, chamamos então de flexão composta
reta, onde o momento fletor está em “composição” com o esforço normal.
Quando falamos de flexão composta reta, embora seja bastante comum
encontrar este tipo de flexão em vigas, já estamos entrando também no
comportamento de pilares, que, em sua maioria, trabalham sob flexão
composta, seja ela reta ou oblíqua.
Existem quatro tipos de flexão: simples, composta reta, oblíqua e
composta oblíqua. Vamos à definição de cada uma delas:
у
MX
X
Centróide
Figura 01: Flexão simples ou reta Fonte: Elaborado pelo autor.
Flexão composta reta
A flexão composta reta ocorre por causa da aplicação simultânea de um
momento fletor (pode ser aplicado tanto na direção x quanto na direção
y) e de uma força normal na seção transversal de um elemento de viga.
Flexão simples ou reta
A flexão simples ou reta ocorre em função da aplicação de um momento
fletor na seção transversal de um elemento de viga. Esse momento pode
ser aplicado tanto na direção x quanto na direção y. A seguir, observe a
identificação da seção transversal de uma viga sujeita a um momento
fletor aplicado na direção x.
у
N
MX
Centróide
X
Figura 02: Flexão composta reta. Fonte: Elaborado pelo autor
Resistência dos Materiais
64
Flexão oblíqua
A flexão oblíqua ocorre graças à combinação do momento fletor em
Iy
duas direções aplicadas na seção transversal de um elemento de viga.
у
N
MX
у
Centróide
X
Mу
MX
Centróide
X
M�
Figura 03: Flexão oblíqua. Fonte: Elaborado pelo autor.
Flexão composta oblíqua
Figura 04: Flexão composta oblíqua. Fonte: Elaborado pelo autor.
2. Tensões Normais em Vigas sob Flexão
Simples ou Reta
A tensão normal em um ponto P qualquer é dada por:
A flexão composta oblíqua ocorre em virtude da ação simultânea da
combinação de momento fletor em duas direções aplicadas na seção
transversal de um elemento de viga com uma força normal.
Resistência dos Materiais
65
σ
у
unidade =
Nm.m
N
= 2 = Pa
m4
m
Sinais ?
(+) tração
( - ) compr.
Vetores:
(gira)
( transl. )
MX
M
CENTRÓIDE
Tensão superior
X
=
F
Em que:
Mx: Momento aplicado no eixo x.
Ix: Momento de inércia da seção transversal ao longo do eixo x.
y: Distância na direção do eixo y (vertical) entre o ponto P e o
centroide C da figura.
Os sinais positivo e negativo indicam, respectivamente, se existe tração
ou compressão na região onde se encontra o ponto em que a tensão é
calculada devido à aplicação do momento. A seção transversal é cortada
pela linha neutra (LN) que passa pelo seu centroide. Nas extremidades
da seção, surgem a tensão superior e a tensão inferior, que serão os
valores máximos de tensão normal de compressão e tração definidos de
acordo com a orientação do momento aplicado.
-
+
LN
Tensão inferior
Figura 05: Região comprimida e região tracionada pelo momento Mx em corte. Fonte: Elaborado
pelo autor.
De acordo com o sentido do momento aplicado e utilizando a “Regra
da Mão Direita”, são definidas as regiões em que ocorre tração ou
compressão na seção. A convenção tomada como positiva é mostrada na
imagem abaixo para os esforços normal, cortante e momento fletor.
M
Regra da
Mão direita
esq.
dir.
Convenção Positiva
Figura 6: Convenção adotada. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Resistência dos Materiais
66
Quando um corpo é submetido à esforços de flexão, parte das fibras que
o constituem são tracionadas e outra parte é comprimida. A Linha Neutra
(LN) é uma linha intermediária em que a deformação e a tensão para as
fibras se tornam nulas, não ocorrendo encurtamento nem alongamento
das mesmas. A linha neutra vai interceptar uma seção transversal do
elemento que pode ser chamada de superfície neutra.
у Vista lateral da seção
h
x
C
b
Ix =
Tensão superior
b.h3
= Ix
12
x1
h
C
h
3
b
Ix =
b.h3
= Ix
36
x
r
O
x1
Ix =
x
π.r4
= Ix
4
Figura 8: Momentos de inércia tabelados. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
MX
LN
Vamos aos exemplos:
Exemplo 1
Tensão inferior
Figura 07: Região comprimida e região tracionada pelo momento Mx em vista lateral. Fonte:
Elaborado pelo autor.
Os momentos de inércia passando pelo centroide de figuras com
geometrias básicas serão mostrados a seguir. Observe:
Resistência dos Materiais
Considerando uma viga biapoiada de seção transversal retangular com
b=17cm e h=30cm, com vão L=6m e com carga P=12kN concentrada no
meio do vão, determine:
b. O diagrama de momento fletor.
c. As tensões normais nos pontos destacados (considerar x = 5cm)
I.
II.
As tensões normais nos pontos indicados (dado d = 8 cm).
O diagrama de tensões normais.
67
6,00 m
D
x
B
D
Seção transversal
Figura 09: Viga biapoiada sujeita a uma carga pontual P. Fonte: Elaborado pelo autor.
a) O diagrama de momento fletor
Inicialmente calculamos o momento de inércia de uma viga com
seção quadrada:
18,0
6,0kN
C
6,0kN
12.0 KN
A
Figura 10: Diagrama de momento fletor. Fonte: Elaborado pelo autor.
b) As tensões normais nos pontos indicados.
As tensões normais para cada ponto são encontradas aplicando-se a
fórmula básica de flexão reta variando somente a distância y do ponto
avaliado até o centroide da figura. O momento fletor e o momento
de inércia calculados não variam. O sinal positivo ou negativo é
determinado pela localização do ponto na região comprimida (sinal
negativo) ou tracionada (sinal positivo).
O momento máximo para uma viga biapoiada sujeita a uma carga
pontual aplicada no centro do vão é:
Assim, temos o diagrama de momento fletor:
Resistência dos Materiais
68
Exemplo 2
Considerando uma viga biapoiada de seção transversal retangular com
b=20cm e h=32cm, com vão L=6m e com carga distribuída q=7,0kN/m
concentrada no meio do vão, determine:
a. O diagrama de momento fletor.
b. As tensões normais nos pontos destacados (considerar x = 22cm)
D
x
B
Seção transversal
a. O diagrama de momento fletor.
Inicialmente calculamos o momento de inércia de uma viga com seção
quadrada:
31,5
21,0kN
21,0kN
D
C
Figura 11: Viga biapoiada sujeita a carregamento distribuído q. Fonte: Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
Assim, temos o diagrama de momento fletor:
A
7.00 KN/m
6,00
O momento máximo para uma viga biapoiada sujeita a um
carregamento distribuído é:
Figura 12: Diagrama de momento fletor. Fonte: Elaborado pelo autor.
b. As tensões normais nos pontos indicados.
As tensões normais para cada ponto são encontradas aplicando-se a
fórmula básica de flexão reta variando somente a distância y do ponto
avaliado até o centroide da figura. O momento fletor e o momento de
inércia calculados não variam. O sinal positivo ou negativo é determinado
pela localização do ponto na região comprimida (sinal negativo) ou
tracionada (sinal positivo).
69
a. O diagrama de momento fletor.
Inicialmente calculamos o momento de inércia de uma viga com seção
triangular:
O momento máximo para uma viga engastada e livre sujeita a uma
carga pontual aplicada na extremidade livre é:
Exemplo 3
Considerando uma viga engastada e livre de seção transversal triangular
com b=16cm e h=27cm, com vão L=5m e com carga pontual P=10kN
aplicada na extremidade, determine:
Assim, temos o diagrama de momento fletor:
50.0
5.00m
Seção transversal
Figura 13: Viga engastada e livre sujeita a carga pontual P. Fonte: Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
⒑0 kN
10.0 kN
a. O diagrama de momento fletor.
b. As tensões normais nos pontos destacados (considerar x = 20cm).
50.0kNm
Figura 14: Diagrama de momento fletor. Fonte: Elaborado pelo autor.
70
b. As tensões normais nos pontos indicados.
As tensões normais para cada ponto são encontradas aplicando-se a
fórmula básica de flexão reta variando somente a distância y do ponto
avaliado até o centroide da figura. O momento fletor e o momento
de inércia calculados não variam. O sinal positivo ou negativo é
determinado pela localização do ponto na região comprimida (sinal
negativo) ou tracionada (sinal positivo).
a. O diagrama de momento fletor.
b. As tensões normais nos pontos destacados (considerar x = 12cm):
4.00 kN/m
5.00 m
Seção transversal
Figura 15: Viga engastada e livre sujeita a carregamento distribuído q. Fonte: Elaborado pelo
autor.
a. O diagrama de momento fletor
Inicialmente, calculamos o momento de inércia de uma viga com seção
circular:
Exemplo 4
Considerando uma viga engastada e livre de seção transversal circular
com diâmetro d=40cm, com vão L=5m e com carga distribuída q=4kN/m
aplicada na extremidade, determine:
Resistência dos Materiais
O momento máximo para uma viga engastada e livre sujeita a um
carregamento distribuído é:
71
Assim, temos o diagrama de momento fletor:
50.0
⒛0 kN
50.0kNm
Figura 16: Diagrama de momento fletor. Fonte: Elaborado pelo autor.
b. As tensões normais nos pontos indicados.
3. Tensões Normais em Vigas sob Flexão
Composta Reta
A tensão normal em um ponto P qualquer é dada por:
As tensões normais para cada ponto são encontradas aplicando-se a
fórmula básica de flexão reta variando somente a distância y do ponto
avaliado até o centroide da figura. O momento fletor e o momento
de inércia calculados não variam. O sinal positivo ou negativo é
determinado pela localização do ponto na região comprimida (sinal
negativo) ou tracionada (sinal positivo).
Resistência dos Materiais
72
Onde
Mx: momento aplicado no eixo x.
Ix: momento de inércia da seção transversal ao longo do eixo x.
N: força normal.
A: área da seção transversal.
y: distância na direção do eixo y (vertical) entre o ponto P e o
centroide C da figura.
Os sinais positivo e negativo indicam, respectivamente, se existe tração
ou compressão na região onde se encontra o ponto em que a tensão é
calculada por causa da aplicação do momento. O mesmo é considerado
para a força normal N, na qual é adotado o sinal positivo para tração
e negativo para compressão. A seção transversal é cortada pela linha
neutra (LN) que passa pelo seu centroide. Nas extremidades da seção,
surgem a tensão superior e a tensão inferior que serão valores máximos
de tensão normal de compressão e tração definidos de acordo com a
orientação do momento aplicado. A tensão máxima nas extremidades da
seção será calculada por meio da composição das parcelas do momento
fletor e da força normal aplicados. Observe:
Tensão média
Tensão superior
Tensão inferior
Tensão máxima superior
Tensão máxima inferior
Figura 17: Região comprimida e região tracionada pelo momento Mx em corte.Fonte: Elaborado
pelo autor.
De acordo com o sentido do momento aplicado e utilizando a “Regra
da Mão Direita”, são definidas as regiões em que ocorre tração ou
compressão na seção. A convenção tomada como positiva é mostrada na
figura abaixo para os esforços normal, cortante e momento fletor.
M
Regra da
mão direita
esq.
dir.
Convenção positiva
Figura 18: Convenção adotada. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Quando um corpo é submetido a esforços de flexão, parte das fibras
que o constituem são tracionadas, e a outra parte é comprimida. A
Resistência dos Materiais
73
Linha Neutra (LN) é uma linha intermediária em que a deformação e
a tensão para as fibras se tornam nulas, não ocorrendo encurtamento
nem alongamento das mesmas. A linha neutra vai interceptar uma seção
transversal do elemento que pode ser chamada de superfície neutra.
у Vista lateral da seção
Tensão superior
Tensão média
LN
Tensão inferior
Tensão máxima superior
=
Centróide
d
LN
Tensão máxima inferior
Figura 19: Região comprimida e região tracionada pelo momento Mx em vista lateral. Fonte:
Elaborado pelo autor.
Seção transversal
Figura 20: Viga de seção retangular submetida à flexão composta reta por momento Mx
aplicado no sentido positivo.Fonte: Elaborado pelo autor.
Exemplo 5
a. Tensão máxima superior e inferior
A seção transversal retangular abaixo com b= 15cm e h=26cm é
solicitada à Flexão Composta Reta e são aplicados Mx=40kNm e N=300kN. A distância d destacada na figura é 10cm. Calcule:
▪ Área
a. Tensão máxima superior e inferior
b. A Tensão Normal no ponto P;
c. A posição da L.N.
Resistência dos Materiais
▪ Momento de inércia
74
▪ Tensão superior
Exemplo 6
▪ Tensão inferior
A seção transversal retangular abaixo com b= 17cm e h=28cm é solicitada
à Flexão Composta Reta e são aplicados Mx=25kNm e N=+400kN. A
distância d destacada na figura é 6cm. Calcule:
a. Tensão máxima superior e inferior
b. A Tensão Normal no ponto P;
c. A posição da L.N.
b. A Tensão Normal no ponto P
d
Centróide
c. A posição da L.N
Através da formulação:
Resistência dos Materiais
Seção transversal
Figura 21: Viga de seção retangular submetida à flexão composta reta por momento Mx
aplicado no sentido negativo. Fonte: Elaborado pelo autor.
75
a. Tensão máxima superior e inferior
b. A Tensão Normal no ponto P;
▪ Área
▪ Momento de inércia
c. A posição da L.N
Através da formulação:
Tensão superior
Exemplo 7
▪ Tensão inferior
A seção transversal triangular abaixo com b=18cm e h=30cm é solicitada
à Flexão Composta Reta e são aplicados Mx=12kNm e N=-180kN. A
distância d destacada na figura é 18cm. Calcule:
a. Tensão máxima superior e inferior
b. A Tensão Normal no ponto P;
c. A posição da L.N.
Resistência dos Materiais
76
▪ Tensão superior
у
P
N
MX
d
Centróide
x
▪ Tensão inferior
Seção transversal
Figura 22: Viga de seção triangular submetida à flexão composta reta por momento Mx
aplicado no sentido negativo. Fonte: Elaborado pelo autor.
a. Tensão máxima superior e inferior
b. A Tensão Normal no ponto P;
▪ Área
▪ Momento de inércia
c. A posição da L.N
Através da formulação:
Resistência dos Materiais
77
a. Tensão máxima superior e inferior
▪ Área
▪ Momento de inércia
Exemplo 8
A seção transversal circular abaixo com diâmetro D=20 cm é solicitada
à Flexão Composta Reta e são aplicados Mx=10kNm e N=+150kN. A
distância d destacada na figura é 4cm. Calcule:
▪ Tensão superior
a. Tensão máxima superior e inferior
b. A Tensão Normal no ponto P;
c. A posição da L.N.
у
MX
d
N
▪ Tensão inferior
Centróide
P
Seção transversal
x
Figura 23: Viga de seção circular submetida à flexão composta reta por momento Mx aplicado
no sentido positivo. Fonte: Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
78
b. A tensão normal no ponto P
c. A posição da L.N
Através da formulação:
determinada a posição da linha neutra. A flexão composta reta é muito
comum também em pilares.
Referências
ARAGÃO FILHO, I. S.; Resistência dos materiais II – Aula 07. Notas
de aula.
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica dos materiais. 5 ed. São Paulo: Mc
Graw Hill, 2008.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7 ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
Neste capítulo, foi possível compreender como funciona a configuração
de tensões normais em elementos de viga a partir da aplicação de um
momento fletor em uma direção ou pela combinação deste momento
com uma força normal. Quando o momento é aplicado na seção
transversal da viga em uma única direção surge o efeito denominado
flexão reta ou simples. Quando o momento é aplicado em uma direção
juntamente com uma força normal temos a flexão composta reta.
Para os dois tipos de flexão abordados, foram calculadas as tensões
normais máximas, ou em um ponto específico da seção transversal, e
Resistência dos Materiais
79
Resistência dos Materiais
Tensões Normais em Vigas sob
Flexão Composta
Para início de conversa...
Objetivos
A resistência dos materiais fornece uma explicação sobre o comportamento
de um corpo submetido a forças externas em consideração com o efeito
interno causado, diferenciando-se dos estudos da estática em que os
efeitos externos das forças são analisados isoladamente. Para isso, é
preciso analisar o corpo segundo todos os esforços que podem atuar
sobre ele: esforço axial (tração e compressão), cisalhamento, flexão e
torção.
▪ Compreender a configuração de tensões normais a partir da aplicação
de momento fletor em 2 direções (flexão oblíqua) ou da combinação
de momento fletor em 2 direções e esforço normal (flexão composta
oblíqua).
▪ Calcular as tensões normais em elementos estruturais submetidos à
flexão oblíqua ou à flexão composta oblíqua.
▪ Identificar a posição da linha neutra em seções transversais de
elementos submetidos à flexão oblíqua ou à flexão composta oblíqua.
Ao longo do nosso estudo, vimos os esforços axiais de tração e
compressão, o cisalhamento e a torção sob elementos de viga. Neste
capítulo, abordaremos a flexão oblíqua, um tipo de flexão que surge
no elemento por causa da aplicação de dois momentos, sendo um na
direção x e outro na direção y (ou um momento aplicado fora dos eixos
locais que têm projeção de componentes sobre esses eixos), podendo ou
não ser acompanhado de uma força normal aplicada.
Veremos uma melhor explicação desse efeito de flexão ao fazer os
exercícios que serão trabalhados durante a unidade de aprendizagem.
Esses exercícios foram retirados do material de aula de Ribeiro, dos livros
Resistência dos materiais, de Hibbeler, e Mecânica dos materiais, de Beer e
Johnston, presentes nas referências.
Resistência dos Materiais
81
1. Comportamento de Vigas na Flexão Oblíqua
A flexão oblíqua se caracteriza pela aplicação da combinação do
momento fletor em 2 direções aplicadas na seção transversal do
elemento de viga em estudo. Se além da combinação de momento
fletor em 2 direções ocorrer a ação simultânea de uma força normal,
chamamos, então, de flexão composta oblíqua, na qual o momento fletor
está em “composição” com o esforço normal.
Quando falamos de flexão composta oblíqua, embora seja bastante
comum encontrar esse tipo de flexão em vigas, estamos entrando
também no comportamento de pilares, que, em sua maioria, trabalham
sob flexão composta, seja ela reta ou oblíqua.
Existem quatro tipos de flexão: simples ou reta, composta reta, oblíqua e
composta oblíqua. Vejamos:
▪ Flexão simples ou reta
у
C
MX
Centróide
MX
X
Figura 1: Flexão simples ou reta. Fonte: Elaborado pelo autor.
▪ Flexão composta reta
A flexão composta reta ocorre em função da aplicação simultânea de um
momento fletor (pode ser aplicado tanto na direção x quanto na direção
y) e de uma força normal na seção transversal de um elemento de viga.
Observe:
A flexão simples ou reta ocorre em função da aplicação de um momento
fletor na seção transversal de um elemento de viga. Esse momento pode
ser aplicado tanto na direção x quanto na direção y. A seguir, segue a
identificação da seção transversal de uma viga sujeita a um momento
fletor aplicado na direção x.
Resistência dos Materiais
LN
X
у
MX
N C
X
LN
82
▪ Flexão composta oblíqua
A flexão composta oblíqua ocorre em função da ação simultânea da
combinação de um momento fletor em 2 direções aplicadas na seção
transversal de um elemento de viga com uma força normal.
N
MX
Centróide
X
Figura 2: Flexão composta reta. Fonte: Elaborado pelo autor.
▪ Flexão oblíqua
у
A flexão oblíqua ocorre em função da combinação de um momento fletor
I um elemento de viga.
em 2 direções aplicadas na seção transversal de
y
MX
N C
MX
у
MX
C
MX
LN
X
Centróide
X
Mу
X
LN
N
Centróide
X
MY
Figura 4: Flexão composta oblíqua. Fonte: Elaborado pelo autor.
M�
MY
Figura 3: Flexão oblíqua. Fonte: Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
83
2. Tensões Normais em Vigas sob Flexão
Oblíqua
A tensão normal em um ponto P qualquer é dada por:
σ
M .y
Ix
σP =
± x ±
Nm.m
N
unidade =
= 2 = Pa
m4
m
M y .x
Iy
Sinais ?
(+) tração
( - ) compr.
Vetores:
(gira)
( transl. )
Os sinais positivo e negativo indicam, respectivamente, se existe tração
ou compressão na região onde se encontra o ponto em que a tensão
é calculada em função da aplicação do momento. A seção transversal
é cortada pela linha neutra (LN) que passa pelo seu centroide. Nas
extremidades da seção, surgem a tensão superior e a tensão inferior
para a direção x, e a tensão direita e a tensão esquerda para a direção
y, que serão valores máximos de tensão normal de compressão e tração
definidos de acordo com a orientação dos momentos aplicados.
Tesão Superior
M
F
-
MX
Centróide
Em que:
X
LN
+
Mx: Momento aplicado no eixo x.
Tesão Inferior
Ix: Momento de inércia ao longo do eixo x.
Iy: Momento de inércia ao longo do eixo y.
x: Distância na direção do eixo x (horizontal) entre o ponto P e o
centroide C da figura.
y: Distância na direção do eixo y (vertical) entre o ponto P e o
centroide C da figura.
Resistência dos Materiais
M
Figura 5:Região comprimida e região tracionada pelo momento Mx e pelo momento My em
corte. Fonte: Elaborado pelo autor.
O sentido dos momentos Mx e My é determinado de acordo com a
chamada “Regra da mão direita”:
84
Vamos a alguns exemplos:
M
Exemplo 1
esq.
Regra da
Mão direita
A seção transversal retangular abaixo com b= 17cm e h=28cm é solicitada
à Flexão Composta Oblíqua e são aplicados Mx=25kNm, My=18kNm e
N=-400kN. Calcule:
dir.
b. O diagrama de tensões normais.
c. A tensão normal no ponto P.
d. A posição da L.N.
Convenção Positiva
Figura 6: Convenção adotada. Fonte: Adaptado de Beer; Johnston (2008).
Vista Lateral
da Seção
Tensão Superior
+
+
Tensão Inferior
Tensão Média
-
M
Tensão Máxima Superior
-
LN =
N
LN
+
0
Centróide
ç
Tensão Máxima Inferior
Figura 7: Região comprimida e região tracionada pelo momento Mx em vista lateral. Fonte:
Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
3
1
Se ão Transversal
Figura 8: Viga de seção retangular submetida à flexão composta oblíqua pelos momentos Mx e
My aplicados no sentido positivo. Fonte: Elaborado pelo autor.
85
a. Tensão nas extremidades
25.103. 0,14 18.103. 0, 085 400.103
16,3 MPa
+
−
=
+ 11,3 .106 + 13, 4.106 − 8, 4.106 =
3,110 x10−4 1,146 x10−4
0, 0476
(
σD =
+
▪ Área
) (
) (
)
25.103. 0,14 18.103. 0, 085 400.103
−
−
=
+ 11,3 .106 − 13, 4.106 − 8, 4.106 =
−10,5 MPa
3,110 x10−4 1,146 x10−4
0, 0476
(
A=b.h=0,17 . 0,28=0,0476 m²
σE =
+
▪ Momento de Inércia
b. A tensão normal no ponto P
3
.h ³ 0,17 x0, 28
=
Ix b=
= 0, 0003110
= 3,110 x10−4 m 4
12
12
h.b ³ 0, 28 x0,173
=
Iy =
= 0, 0001146
= 1,146 x10−4 m 4
12
12
) (
) (
)
25.103. 0, 04 18.103. 0, 055 400.103
+
−
=
+ 3, 2 .106 + 8, 6.106 − 8, 4.106 =
+3, 4 MPa
3,110 x10−4 1,146 x10−4
0, 0476
(
σP =
+
) (
) (
)
c. A posição da L.N
Através da formulação:
▪ Tensão
M .y
Ix
σP =
± x P±
3
3
3
M y . xP
Iy
±
25.103 .y LN
18.103 . x LN
400.103
=0
σ LN = 3,110 x 10-4 1,146 x 10-4
0,0476
N
A
-80,4.yLN-157,1.xLN - 8,4 = 0
25.10 . 0,14 18.10 . 0, 085 400.10
+
−
=
− 11,3 .106 + 13, 4.106 − 8, 4.106 =
−6,3 MPa
3,110 x10−4 1,146 x10−4
0, 0476
No 1º ponto temos x1 = - 0,085m, onde podemos obter y1= +0,062m
= +6,2 cm
25.103. 0,14 18.103. 0, 085 400.103
−
−
=
− 11,3 .106 − 13, 4.106 − 8, 4.106 =
−33,1 MPa
3,110 x10−4 1,146 x10−4
0, 0476
No 2º ponto temos x2 = + 0,085m, onde podemos obter y2= -0,270m
= - 27 cm
σA =
−
σB =
−
(
(
) (
) (
) (
) (
)
)
25.103. 0,14 18.103. 0, 085 400.103
16,3 MPa
+
−
=
+ 11,3 .106 + 13, 4.106 − 8, 4.106 =
3,110 x10−4 1,146 x10−4
0, 0476
σD =
+
Resistência dos Materiais
(
) (
) (
)
86
3. Tensões Normais em Vigas sob Flexão
Composta Oblíqua
A tensão normal em um ponto P qualquer é dada por:
M . y M y .x N
σP =
± x ±
±
Ix
Iy
A
Unidade
=
Sinais ? Vetores
Nm.m N
(
=
=
Pa
+
)tração ( gira )
m4
m3
(−)comp. (transl.)
M
F
Em que:
considerado para a força normal N, em que é adotado o sinal positivo
para tração e negativo para compressão. A seção transversal é cortada
pela Linha Neutra (LN), que passa pelo seu centroide. Nas extremidades
da seção, surgem a tensão superior e a tensão inferior para a direção
x; e a tensão direita e a tensão esquerda para a direção y, que serão os
valores máximos de tensão normal de compressão e tração definidos
de acordo com a orientação dos momentos aplicados. A tensão máxima
nas extremidades da seção será calculada por meio da composição das
parcelas do momento fletor nas 2 direções e da força normal aplicados.
Mx: Momento aplicado no eixo x.
Ix: Momento de inércia ao longo do eixo x.
Compressão
у
MX
Centróide
LN
X
Iy: Momento de inércia ao longo do eixo y.
Tração
x: Distância na direção do eixo x (horizontal) entre o ponto P e o
centroide C da figura.
Mу
y: Distância na direção do eixo y (vertical) entre o ponto P e o
centroide C da figura.
N: Força normal.
Compressão
LN
LN
Compressão
Compressão
Tração
A: Área da seção transversal.
Os sinais positivo e negativo indicam, respectivamente, se existe
tração ou compressão na região onde se encontra o ponto em que a
tensão é calculada em função da aplicação do momento. O mesmo é
Resistência dos Materiais
Figura 09: Região comprimida e região tracionada pelo momento Mx e pelo momento My em corte e
pela força normal N de tração. Elaborada pelo autor.
87
O sentido dos momentos Mx e My é determinado de acordo com a
chamada “Regra da mão direita”:
M
esq.
Regra da
Mão direita
Exemplo 2
A seção transversal retangular abaixo com b= 15cm e h=26cm é solicitada
à Flexão Composta Oblíqua e são aplicados Mx=40kNm, My=10kNm e
N=-300kN. Calcule:
a. Tensão nas extremidades;
b. A Tensão Normal no ponto P;
c. A posição da L.N.
dir.
Convenção Positiva
Figura 10: Convenção adotada (BEER E JOHNSTON, 2008).
Vista Lateral
da Seção
Tensão Superior
+
+
Tensão Inferior
Tensão Média
-
-
LN =
Centróide
10
3
LN
+
Tensão Máxima Inferior
Figura 11: Região comprimida e região tracionada pelo momento My e pelo momento Mx em
vista lateral
Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
N
Tensão Máxima Superior
M
Seção Transversal
Figura 12: Viga de seção retangular submetida à flexão composta oblíqua pelos momentos Mx
no sentido positivo e My no sentido negativo. Fonte: Elaborada pelo autor.
88
a. Tensão nas extremidades
b. A tensão normal no ponto P.
▪ Área
40.103. 0, 03 10.103. 0, 045 300.103
+
−
=
+ 5,5 .106 + 6, 2.106 − 7, 7.106 =
+4, 0 MPa
2,197 x10−4 7,312 x10−5
0, 039
(
σE =
+
A=b.h=0,15 . 0,26=0,039 m²
40.103. yLN
10.103. xLN 300.103
−
−
=
0
2,197 x10−4 7,312 x10−5
0, 039
σ LN =
−
−182,1. yLN − 136,8.xLN − 8, 4 =
0
▪ Tensão
M .y
Ix
σP =
± x P±
M y . xP
Iy
±
N
A
40.103. 0,13 10.103. 0, 075 300.103
−
−
=
− 23, 7 .106 − 10,3.106 − 7, 7.106 =
−41, 7 MPa
2,197 x10−4 7,312 x10−5
0, 039
(
) (
) (
)
40.103. 0,13 10.103. 0, 075 300.103
+
−
=
− 23, 7 .106 + 10,3.106 − 7, 7.106 =
−21,1 MPa
2,197 x10−4 7,312 x10−5
0, 039
(
) (
) (
)
40.103. 0,13 10.103. 0, 075 300.103
−
−
=
+ 23, 7 .106 − 10,3.106 − 7, 7.106 =
+5, 7 MPa
2,197 x10−4 7,312 x10−5
0, 039
σD =
+
(
) (
) (
)
40.103. 0,13 10.103. 0, 075 300.103
+
−
=
+ 23, 7 .106 + 10,3.106 − 7, 7.106 =
+26,3 MPa
2,197 x10−4 7,312 x10−5
0, 039
σE =
+
Resistência dos Materiais
)
Através da formulação:
b.h ³ 0,15 x0, 263
=
= 0, 0002197
= 2,197 x10−4 m 4
12
12
h.b ³ 0, 26 x0,153
Iy =
=
= 7,312 x10−5 m 4
12
12
=
Ix
σB =
−
) (
c. A posição da L.N.
▪ Momento de Inércia
σA =
−
) (
(
) (
) (
)
No 1º ponto temos x1 = - 0,075m, onde podemos obter y1= +0,010m
= +1,0 cm
No 2º ponto temos x2 = + 0,075m, onde podemos obter y2= -0,102m
= -10,2cm
Exemplo 3
A seção transversal triangular abaixo com b= 18cm e h=30cm é solicitada
à Flexão Composta Oblíqua e são aplicados Mx=12kNm, My=5kNm e
N=+180kN. Calcule:
a. Tensão nas extremidades;
b. A Tensão Normal no ponto P;
c. A posição da L.N.
89
y
=
Iy
1
▪ Tensão
P
N
Centróide
18
h.b ³ 0,30 x 0,183
=
= 0, 0000486
= 4,86 x10−5 m 4
36
36
M .y
Ix
σP =
± x P±
x
Seção Transversal
M
Figura 13: Viga de seção triangular submetida à flexão composta oblíqua pelos momentos Mx
no sentido negativo e My no sentido positivo. Fonte: Elaborada pelo autor.
a. Tensão nas extremidades
▪ Área
M y . xP
Iy
±
N
A
12.103. 0, 20 5.103. 0, 06 180.103
−
+
=
− 17,8 .106 − 6, 2.106 + 6, 7.106 =
−17,3 MPa
1,35 x10−4 4,86 x10−5 0, 027
σA =
−
(
) (
) (
)
12.103. 0,10 5.103. 0, 06 180.103
−
+
=
+ 8,9 .106 − 6, 2.106 + 6, 7.106 =
+9, 4 MPa
1,35 x10−4 4,86 x10−5 0, 027
(
σB =
+
) (
) (
)
12.103. 0,10 5.103. 0,12 180.103
+
+
=
+ 8,9 .106 + 12,3.106 + 6, 7.106 =
+27,9 MPa
1,35 x10−4 4,86 x10−5 0, 027
σD =
+
(
) (
) (
)
b. A tensão normal no ponto P
=
A
b.h 0,18 . 0,30
=
= 0, 027 m²
2
2
▪ Momento de Inércia
Ix
=
b.h ³ 0,18 x 0,303
=
= 0, 000135
= 1,35 x10−4 m 4
36
36
Resistência dos Materiais
12.103. 0, 08 5.103. 0, 05 180.103
−
+
=
− 7,1 .106 − 5,1.106 + 6, 7.106 =
−5,5 MPa
1,35 x10−4 4,86 x10−5 0, 027
σP =
−
(
) (
) (
)
c. A posição da L.N
Através da formulação:
90
12.103. yLN
5.103. xLN 180.103
σ LN =
−
−
+
=
0
1,35 x10−4 4,86 x10−5 0, 027
+88,9. yLN − 102,9.xLN + 6, 7 =
0
No 1º ponto temos x1 = - 0,06m, onde podemos obter y1= -0,145m
= -14,5 cm
No 2º ponto temos y2 = - 0,10m, onde podemos obter x2= -0,021m
= - 2,1 cm
Neste capítulo, falamos sobre como funciona a configuração de tensões
normais em elementos de viga a partir da aplicação de momento fletor
em duas direções ou pela combinação destes momentos com uma
força normal. Quando os momentos são aplicados na seção transversal
da viga em duas direções surge o efeito denominado flexão oblíqua.
Quando os momentos são aplicados juntamente com uma força normal
temos a flexão composta oblíqua.
Referências
ARAGÃO FILHO, I. S. Resistência dos materiais II – Aula 08.
Notas de aula.
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica dos materiais. 5 ed. São Paulo: Mc
Graw Hill, 2008.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7 ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
Para os dois tipos de flexão abordados, foram calculadas as tensões
normais máximas, ou em um ponto específico da seção transversal, e
determinada a posição da linha neutra. A flexão composta oblíqua é
muito comum também em pilares.
Resistência dos Materiais
91
Resistência dos Materiais
Tensões Normais em Vigas de Seções
Compostas sob Flexão
Para início de conversa...
Objetivos
O cálculo da tensão normal em vigas de seção composta será o assunto
desta unidade de aprendizagem. A determinação da tensão normal,
a partir da flexão em vigas que apresentam seções compostas, é feita
igualmente em seções simples. Contudo, é necessário, de antemão,
determinar a posição do centroide da figura e o momento de inércia
para os eixos de rotação preestabelecidos.
▪ Compreender a configuração de tensões normais a partir da aplicação
de momento fletor em uma ou duas direções (flexão reta ou oblíqua)
ou da combinação de momento fletor em uma ou duas direções
e esforço normal (flexão composta reta ou oblíqua) em seções
compostas.
▪ Determinar o centroide da área da seção do elemento e o momento
de inércia relacionado a um eixo.
▪ Calcular as tensões normais em elementos estruturais de seção
composta submetidos à flexão reta ou oblíqua ou à flexão composta
reta ou oblíqua.
▪ Identificar a posição da linha neutra em seções transversais
compostas de elementos submetidos à flexão reta ou oblíqua ou à
flexão composta reta ou oblíqua.
Em caso de seções compostas, o primeiro passo para achar o centroide
é arbitrar os eixos x e y. Após isso, a área composta deverá ser dividida
em figuras simples e, por meio da utilização da fórmula apresentada ao
longo da unidade, será possível calcular o centroide. E o mesmo será
feito com o cálculo dos momentos de inércia, estabelecendo sempre
uma relação entre os eixos de rotação em que se quer descobrir o
momento de inércia com os eixos que passam pelo centroide da figura
ou das partes desmembradas em figuras simples.
Resistência dos Materiais
93
1. Comportamento de Vigas sob Flexão em
Seções Compostas
Quando analisamos o comportamento de uma viga submetida a esforços
de flexão, podemos encontrar 3 tipos de situações: flexão pura, flexão
simples e flexão composta.
Flexão Simples ou Reta
A flexão simples ou reta ocorre em virtude da aplicação de um momento
fletor na seção transversal de um elemento de viga. Esse momento pode
ser aplicado tanto na direção x quanto na direção y. Abaixo, segue a
identificação da seção transversal de uma viga sujeita a um momento
fletor aplicado na direção x.
Na flexão pura, o único esforço interno atuante é o momento fletor, ou
seja, somente existe a presença do momento fletor na seção da viga,
sendo o esforço cortante e o esforço normal nulos.
σP = +
Na flexão simples, o esforço normal é nulo, mas existe a presença do
esforço cortante e do momento fletor.
Na flexão composta, situação muito comum em pórticos, existe a
presença de 3 esforços internos: o esforço normal, o esforço cortante e o
momento fletor.
A seção da viga analisada pode ser formada por uma figura geométrica
simples como um quadrado, retângulo, triângulo ou círculo, ou ser
formada a partir de uma composição destas figuras, recebendo o nome
de vigas de seções compostas. Estes tipos de vigas serão estudados
nesta unidade. Abaixo, relembraremos os tipos de flexão.
Resistência dos Materiais
M X .y
Ix
Y
Mx
Centróide
X
Figura 01: Flexão simples ou reta. Fonte: Elaborado pelo autor.
94
FLEXÃO OBLÍQUA
Flexão Composta Reta
σP = +
A flexão composta reta ocorre em virtude da aplicação simultânea de um
momento fletor (pode ser aplicado tanto na direção x quanto na direção
y) e de uma força normal na seção transversal de um elemento de viga.
σP = +
M X .y
Ix
Y
Mx
Centróide
+
N
A
Ix
+
M Y .X
Iy
Y
Mx
X
M X .y
Centróide
X
MY
Figura 03: Flexão oblíqua. Fonte: Elaborado pelo autor.
Flexão Composta Oblíqua
Figura 02: Flexão composta reta. Fonte: Elaborado pelo autor.
Flexão Oblíqua
A flexão composta oblíqua ocorre por conta da ação simultânea da
combinação de momento fletor em duas direções aplicadas na seção
transversal de um elemento de viga com uma força normal.
A flexão oblíqua ocorre em virtude da combinação de momento fletor em
duas direções aplicadas na seção transversal de um elemento de viga.
Resistência dos Materiais
95
FLEXÃO COMPOSTA RETA
σP = +
M X .y
Ix
+
M y .x
Iy
Y
Mx
Centróide
+
Caso a forma geométrica represente uma seção homogênea de um
corpo, então o centroide coincide com o centro de massa.
N
A
Nos casos em que o corpo é homogêneo e está submetido a um campo
gravitacional constante e uniforme, podemos dizer que esse ponto
coincide com o centro de gravidade.
X
Campo gravitacional
Campo gravitacional
CG=CM=C
C CG=CM
Figura 04: Flexão composta oblíqua. Fonte: Elaborado pelo autor.
2. Centroide de Área e Momento de Inércia
Antes de determinarmos a tensão normal por conta da flexão em
uma viga de seção composta, precisamos conhecer qual a posição do
centroide da área da figura e quais os momentos de inércia de acordo
com os eixos estudados.
Centroide de Área
O centroide, também conhecido como centro geométrico, é o ponto
associado a uma forma geométrica que determina a posição do centro de
uma área.
Resistência dos Materiais
Campo gravitacional
Madeira
C CMCM
Granito
Figura 05: Centroide, centro de massa e centro gravitacional Fonte: Adaptado de Santos (2015).
O centroide de uma área pode estar localizado sobre o eixo de simetria
desta área, ou seja, a figura é simétrica com relação a um dos eixos e,
96
neste caso, o centroide ficará localizado sobre este eixo. Na Figura 6,
temos um exemplo em que o semicírculo contido no plano xy possui
simetria em relação ao eixo y e, por isso, o centroide C está localizado
sobre ele. Para cada elemento de área à distância +x à direita do eixo y,
há um elemento idêntico à distância –x à esquerda.
y
C
C
x
C
y
Figura 07: Figuras simétricas em torno dos eixos que se encontram no centroide. Fonte:
Adaptado de Santos (2015).
C
dA
dA
x
-x
+x
Para áreas simples, formadas por uma figura geométrica única, já temos
a posição do centroide tabelada, como é o caso do retângulo e do
triângulo, por exemplo.
Área de retângulo
b
2
Figura 06: Semicírculo com simetria no eixo y. Fonte: Adaptado de Santos (2015).
No entanto, a figura pode apresentar simetria com relação aos dois eixos
e, neste caso, quando a área possuir dois eixos de simetria, o centroide
estará localizado no encontro desses eixos, como pode ser observado
na Figura 7.
C
b
Área de triângulo retângulo
h
h
2
b
3
Área de um quarto de círculo
4r
3π
C
4r
3π
r
área sob uma parábola
C
h
3
b
b
b
⒊h C 4
10
h
Área de um setor circular
2r sen
3α
α
α
C
r
Figura 08: Posição do centroide em figuras tabeladas Fonte: Adaptado de Santos (2015).
Resistência dos Materiais
97
Em caso de áreas compostas, o processo para achar o centroide da
figura recai na resolução de uma integral para cada eixo. Contudo, se
for possível dividir a área em partes menores de forma simples cuja
posição do centroide conhecemos, poderemos calcular o centroide da
figura composta sem utilizar a integral, somente por meio do somatório
das partes.
Y
Y
C
yc
xc
y1
X
xc =
Área 1
Área 2
X1 e X2
Ao dividir uma área em outras partes, é necessário:
1. Conhecer a localização do centroide de cada parte.
2. Identificar a distância desse centroide até os eixos x e y.
3. Calcular a área de cada parte.
ci
i
∑ y .A
∑A
ci
i
i
C1
Quando temos uma área composta por muitas figuras simples, fica mais
fácil construir uma planilha:
C2
y2
∑ x .A
∑A
i
yc =
Figura 09: Determinação da posição do centroide. Fonte: Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
4. Encontrar as coordenadas do centroide ou as distâncias algébricas,
usando as expressões abaixo:
Elemento
X
Xci
(m)
Yci
(m)
Ai
(m2)
Xci.Ai
(m3)
Xci.Ai
(m3)
1
2
3
...
n
∑
Figura 10: Planilha para determinação da posição do centroide. Fonte: Elaborado pelo autor.
98
Uma observação muito importante no cálculo do centroide é a atenção
com os sinais negativos. Eles vão surgir em casos de regiões com furos e
vazios na figura, ou quando as figuras simples estiverem em coordenadas
negativas, de acordo com o sistema de eixos.
Momento de Inércia
O momento de inércia pode ser definido como o grau de dificuldade
ou a resistência em se alterar o estado de movimento de um corpo em
rotação; depende da distribuição de massa em torno de um eixo de
rotação escolhido de forma arbitrária. A relação do momento de inércia
com a resistência à rotação é diretamente proporcional: quanto maior
for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será para girá-lo ou
alterar sua rotação. A porção de massa que se encontra mais afastada do
eixo de giro contribui mais para o valor do momento de inércia.
A = Área
C
d
x´´
x
x´
Figura 11: Eixos de rotação para cálculo do momento de inércia na figura. Fonte: Elaborado
pelo autor.
Resistência dos Materiais
Podemos calcular o momento de inércia para qualquer eixo de rotação.
Os valores de momento de inércia de figuras simples, passando pelo
centroide desta figura, são tabelados, assim como acontece com a posição
do centroide. Contudo, caso o eixo de rotação não passe pelo centroide
da figura, devemos então utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos para
calcular o momento de inércia. É um teorema que permite calcular o
momento de inércia em um eixo de rotação que passa por uma posição
diferente do centroide da figura, com relação ao eixo que se localiza no
centroide, levando em consideração a distância entre eles. O momento
de inércia do novo eixo é dado por:
I x=
I xx + A.d 2
'x'
I x "=
I xx + A.d 2
x"
Onde:
Ixx = Momento de inércia da figura passando pelo centroide C.
A = Área da figura.
d = Distância do eixo de rotação em que se quer calcular o momento
de inércia até o eixo de rotação que passa pelo centroide da figura.
Como exemplos da aplicação do teorema dos eixos paralelos, temos o
cálculo do momento de inércia da figura abaixo, com relação ao eixo de
rotação x’ e com relação ao eixo de rotação y’.
99
▪ Momento de inércia em x’ (Ix’)
=
I x '2
Y
Y
C
yc
xc
y1
X
Área 1
C1
X1
C2
X2
C
y2 yc
As distâncias entre os centroides de cada parte da figura e o centroide
da figura composta na direção vertical são dadas pelas fórmulas abaixo:
dy1
X'
Área 2
b2 .h23
+ ( b2 .h2 ) .dy2 2
12
dy2
dy=
yc1 − yc
1
dy=
yc − yc 2
2
▪ Momento de inércia em y’ (Iy)
X
Y
Figura 12: Determinação do momento de inércia em x’. Fonte: Elaborado pelo autor.
Y
O momento de inércia total é calculado a partir da soma dos momentos
de inércia de cada parte da figura subdividida.
I=
I x '1 + I x '2
x'
b1.h13
=
I x '1
+ ( b1.h1 ) .dy12
12
dx1= dx2 = 0
Figura simétrica no eixo y
Área 1
y’
C
C
yc
xc
C1
C2
X
Área 2
x1, x2 e xc
X
Figura 13: Determinação do momento de inércia em y’. Fonte: Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
100
O momento de inércia total é calculado a partir da soma dos momentos
de inércia de cada parte da figura subdividida.
I=
I y '1 + I y '2
y'
=
I y '1
h1.b13
+ ( h1.b1 ) .dx12
12
=
I y '2
h2 .b23
+ ( h2 .b2 ) .dx2 2
12
As distâncias entre os centroides de cada parte da figura e o centroide da
figura composta na direção horizontal são dadas pelas fórmulas abaixo:
dx=
xc1 − xc
1
já estudadas em seções simples. A única diferença é que, basicamente,
irá existir uma etapa a mais antes do cálculo da tensão: a determinação
do momento de inércia da seção composta que será avaliada. Veremos
algumas resoluções nos próximos exemplos.
Exemplo 1
A seção transversal em T abaixo é solicitada à Flexão Composta Oblíqua
e são aplicados Mx=20kNm, My=10kNm e N=-350kN. Calcule:
a. A posição do centroide.
a. Os momentos de inércia.
b. Tensões normais nos pontos destacados.
c. A posição da L.N.
dx=
xc − xc 2
2
y
Como a figura é simétrica no eixo y as distâncias dx1 e dx2 são iguais a
0 (zero).
O cálculo das tensões normais em vigas submetidas a flexão reta ou
oblíqua formadas por seções compostas segue as mesmas formulações
Resistência dos Materiais
My
A
4cm
Mx
3. Tensões Normais em Vigas Sob Flexão em
Seções Compostas
My
N
4cm
x
B
C
16cm
Mx
N
D
12cm
Figura 14: Viga de seção em T submetida à flexão composta oblíqua pelos momentos Mx e My.
Fonte: Elaborado pelo autor.
101
a. A posição do centroide
Y
Área 1
Área 1
C1
C
C2
C2
Área 2
xc
=
xc
y . A y . A + y . A 6. (12.4 ) + 14. ( 4.12 )
∑
=
=
= 10 cm
A +A
12.4 + 4.12
∑A
=
yc
i
c1
ci
i
i
c1
1
c2
1
2
1
c2
1
2
2
2
Ou com a nova posição dos eixos x e y:
X
Figura 16: Posição do centroide C com eixos x e y internos aos retângulos. Fonte: Elaborado
pelo autor.
x . A x . A + x . A 6. (12.4 ) + 6. ( 4.12 )
∑
=
=
= 6 cm
A
+
A
+
12.4
4.12
A
∑
i
=
yc
Área 2
X
Figura 15: Posição do centroide C com eixos x e y externos aos retângulos. Fonte: Elaborado pelo autor.
ci
C1
C
yc
=
xc
y
x . A x . A + x . A 0. (12.4 ) + 0. ( 4.12 )
∑
=
=
= 0 cm
A +A
12.4 + 4.12
∑A
ci
i
c1
i
1
c2
1
2
2
y . A y . A + y . A 6. (12.4 ) + 14. ( 4.12 )
∑
=
=
= 10 cm
A
+
A
+
12.4
4.12
A
∑
ci
i
c1
i
1
c2
1
2
2
b. Momentos de inércia
Em X:
Resistência dos Materiais
102
Y
y1
Onde:
Área 1
C1
C
C2
y2 yc
Área 2
x1 e x 2
dy1 = yc1 − yc = 14, 00 − 10, 00 = 4, 00 cm
X1
dy1
X’
dy2
X2
X
dy2 =yc − y2 c =10, 00 − 6, 00 =4, 00 cm
Em Y:
Y
dx1 = dx2 = 0
Figura simétrica no eixo y
Área 1
y’
Figura 17: Determinação do momento de inércia em x.Fonte: Elaborado pelo autor.
C
I=
I x '1 + I x '2
x'
3
1
3
3
3
b1.h
0,12.0, 04
+ ( b1.h1 ) .dy12 =
+ ( 0,12.0, 04 ) .0, 042 =
I x '1 =
8,32.10−6 m 4
12
12
b2 .h2
0, 04.0,12
+ ( b2 .h2 ) .dy2 2 =
+ ( 0, 04.0,12 ) .0, 042 =
I x '2 =
1,344.10−5 m 4
12
12
I x ' = 0,832.10−5 + 1,344.10−5 = 2,176.10−5 m 4
Resistência dos Materiais
C1
C2
Área 2
x1, x2 e xC
X
Figura 18: Determinação do momento de inércia em y. Fonte: Elaborado pelo autor.
103
I=
I y '1 + I y '2
y'
h1.b13
0, 04.0,123
2
=
I y '1 = + ( b1.h1 ) .dx1 =
5, 76.10−6 m 4
12
12
3
h2 .b2
0,12.0, 043
+ ( b2 .h2 ) .dx2 2 =
=
I y '2 =
6, 4.10−7 m 4
12
12
−6
−6
I y ' = 5, 76.10 + 0, 64.10 = 6, 4.10−6 m 4
20.103. ( 0, 06 ) 10.103. ( 0, 06 ) 350.103
M x . y M y .x N
+
− =
−
+
−
=
−55,1 + 93,8 − 36,5 =
+2, 2 MPa
Ix
Iy
A
2,176.10−5
6, 4.10−6
9, 6.10−3
σA =
−
20.103. ( 0, 02 ) 10.103. ( 0, 02 ) 350.103
M x . y M y .x N
−
− =
−
−
−
=
−18, 4 − 31,3 − 36,5 =
−86, 2 MPa
Ix
Iy
A
2,176.10−5
6, 4.10−6
9, 6.10−3
σB =
−
M . y M y .x N
350.103
+
− =0 + 0 −
=−36,5 MPa
Ix
Iy
A
9, 6.10−3
σC = x
Posição da LN
Onde:
Através da formulação:
dx1 = 0
dx2 = 0
c. Tensões normais nos pontos destacados
My
A
B
C
Mx
N
D
Figura 19: Composição das tensões normais. Fonte: Elaborado pelo autor.
Resistência dos Materiais
20.103. y
2,176.10
LN
σ LN =
−
−
−5
10.103. xLN 350.103
0
−
=
6, 4.10−6
9, 6.10−3
−919,1. yLN − 1562,5.xLN − 36,5 =
0
▪ No 1º ponto temos x1 = - 0,02m, onde podemos obter y1= -0,0057m =
-0,57 cm
▪ No 2º ponto temos x2 = + 0,02m, onde podemos obter y2= -0,074m =
-7,4cm
O estudo das tensões normais em vigas, a partir da flexão, pode
ser compreendido como um processo lógico e objetivo. A partir do
conhecimento dos momentos fletores atuantes e do esforço normal,
sendo algum deles nulo ou não, podemos entender se a viga está
104
sujeita a uma flexão reta ou oblíqua, composta ou não, de acordo com a
presença do esforço normal.
Independentemente do tipo de seção transversal analisada, a formulação
da flexão será a mesma. Em casos de seções mais complexas, que
chamamos de compostas, além de determinarmos a tensão normal,
vamos estabelecer, anteriormente, o centroide da figura composta, e o
momento de inércia, de acordo com os eixos de rotação pedidos.
E finalmente, a tensão normal em cada ponto predeterminado da figura
e a posição da linha neutra onde a tensão é nula podem ser calculados
para a seção estudada.
Referências
SANTOS, R. M. Centroide. Mecânica dos Sólidos. Professora do
Departamento de Engenharia Civil da Unigranrio. 2015.
Resistência dos Materiais
105
Resistência dos Materiais
Flambagem de Colunas
Para início de conversa...
Objetivos
Quando uma coluna é submetida a um esforço normal de compressão,
podem ocorrer dois tipos de situações: a coluna escoa ou flamba. O
fenômeno da flambagem é caracterizado pela perda repentina da
estabilidade da coluna, em virtude da ocorrência de um deslocamento
lateral (deflexão) súbito ao atingir a chamada carga crítica. Valores abaixo
da carga crítica não provocam deflexão na coluna; já o escoamento
ocorre quando é atingida a tensão de escoamento. O menor valor entre
a tensão crítica de flambagem e a tensão de escoamento determina se a
coluna irá flambar ou escoar, respectivamente.
▪ Compreender o comportamento do fenômeno de flambagem em
elementos sob compressão.
▪ Entender e aplicar o modelo matemático associado ao fenômeno de
flambagem para determinar a carga crítica ou tensão crítica.
▪ Identificar os efeitos das condições de contorno e estimar a curva de
flambagem.
Veremos uma melhor explicação desta flambagem em colunas, por
meio dos exercícios que serão trabalhados durante a unidade de
aprendizagem.
Resistência dos Materiais
107
1. Carga Crítica de Flambagem
Pcr
P>Pcr
Pcr
(a)
P>Pcr
(b)
Podemos definir a flambagem de colunas como um efeito que tende a
deslocar, lateralmente, (deflexão) elementos classificados como esbeltos,
quando solicitados por uma força normal de compressão.
A força normal capaz de causar a flambagem de uma coluna chama-se
carga crítica. As forças normais com valores abaixo da carga crítica não
causam nenhum deslocamento lateral, ou deflexão, na coluna, portanto,
não existe efeito de flambagem em colunas nesse caso. Atingida a carga
crítica, ocorre então o fenômeno de flambagem. Resumindo:
Se N < NCRIT. → Não ocorre flambagem
Se N >= NCRIT → Ocorre flambagem
A flambagem é um fenômeno de natureza súbita, em que o deslocamento
lateral (deflexão) só ocorre quando a carga crítica é atingida. A partir do
momento em que é atingida, o deslocamento lateral tende ao infinito.
Figura 01: Carga crítica em colunas. Fonte: Adaptado de HIBBELER ( 2010).
A carga crítica de flambagem foi estudada, primeiramente, pelo
matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) e chamada de fórmula
de Euler (1757) para colunas bi-rotuladas (simplesmente bi-apoiada)
e perfeitas (homogêneas, isotrópicas e sem excentricidades). A fórmula
da carga crítica de flambagem é apresentada a seguir e sua respectiva
unidade é N (Newton).
Resistência dos Materiais
108
NCRIT. =
π 2 ⋅E⋅I
L
2
unidade =
N / m2 ⋅ m4
=N
m2
A coluna pode apresentar uma seção diferente da quadrada ou circular
e, neste caso, possui lados com dimensões diferentes ou uma assimetria
na seção. Assim, é importante avaliar qual a inércia será utilizada no
cálculo da carga crítica de flambagem. Para a coluna, vista na Figura 1, se
avaliarmos em qual inércia a seção irá flambar, teremos como resposta
a menor inércia; se avaliarmos a fórmula da carga crítica apresentada
acima, é possível chegarmos à conclusão que, entrando com o valor do
menor momento de inércia, obteremos o menor valor de carga crítica,
assim como o maior valor de momento de inércia resultará na obtenção de
uma carga crítica maior. Consideramos como carga crítica de flambagem
aquela que ocorre primeiro e leva a coluna a flambar primeiro, ou seja, o
menor dos dois valores, pois se a coluna flamba para um valor de carga
crítica menor obtida, utilizando no cálculo a menor inércia, o valor de
carga crítica calculado para a maior inércia nunca irá ocorrer.
Peças que estão submetidas a esforço normal de compressão podem
escoar ou flambar. As colunas classificadas como robustas se associam
ao fenômeno do escoamento, enquanto que as colunas classificadas
como esbeltas estão propensas a flambar. A partir do momento que
ocorre o escoamento de uma coluna, essa jamais irá flambar, assim como
o contrário também acontece: uma coluna que flamba não escoará.
Resistência dos Materiais
Esses dois fenômenos acontecem isoladamente. Nas colunas submetidas
ao esforço normal de tração, somente poderá ocorrer o fenômeno do
escoamento.
Devemos lembrar também que não é somente a flambagem que pode
ocorrer nos pilares quando submetidos a esforços de compressão.
Os fenômenos que podem acontecer são: flambagem, compressão e
cisalhamento, como é mostrado na figura abaixo.
Flambagem
Compressão
Cisalhamento
Figura 02: Fenômenos em pilares. Fonte: Adaptado de FRANKLIN (2018).
109
P
σ
σu
σe
ruptura
escoamento
P
L
P
P
Le= 2L
L = Le
L
Le= 0,5L
Le= 0,7L
L
σe: tensão de escoamento
σcrit: tensão crítica
Figura 03: Curva tensão x deformação. Fonte: Elaborado pelo autor.
2. Efeitos das Condições de Contorno
A fórmula de Euler para carga crítica de flambagem foi determinada
para uma coluna bi-rotulada. Posteriormente, foram estudadas colunas
com diferentes tipos de vínculos como é mostrada na figura abaixo:
Resistência dos Materiais
Extremidades presas
por pinos
Uma extremidade engastada
e a outra livre
Extremidades
engastadas
Extremidades engastadas e
presas por pinos
K=1
K=2
K = 0,5
K = 0,7
(b)
(c)
(a)
(a)
Figura 04: Fator k para diferentes tipos de vínculos em colunas. Fonte: Adaptado de HIBBELER
( 2010).
Para cada tipo de vínculo, estabeleceu-se um fator k definido como
o que torna equivalente a deflexão de diferentes tipos de apoios em
colunas, como a biapoiada. Ou seja, é a relação entre a distância dos
pontos de inflexão da deformada, em que os momentos são nulos. Com a
introdução do fator k, a carga crítica de flambagem passa a se chamar de
carga crítica efetiva de flambagem e fica da seguinte forma:
110
N
CRIT.
=
3. Curva de Flambagem de Elementos
Metálicos
π 2 ⋅E⋅I
(k.L)2
Na vida real, é possível exemplificar os tipos de vínculos mostrados na
Figura 4 com alguns sistemas estruturais utilizados no dia a dia. A Figura
5 apresenta exemplos para as situações bi-engastada (k=0,5), engastadaapoiada (k=0,7) e biapoiada (k=1,0). Quando uma coluna possui fundação
em sapata, ela é considerada apoiada; já uma coluna sob uma fundação
em bloco estaqueado mantém uma relação de engastamento. Na outra
extremidade da coluna, temos a viga chegando nela. Se a viga é alta,
considera-se a relação de engastamento; se a viga é baixa, dizemos que
a viga serve somente como apoio para a coluna.
A tensão crítica efetiva pode ser estabelecida a partir da carga crítica efetiva.
σ=
CRIT
N CRIT π 2 .E.I 1
.
=
=
2
A
( k .L ) A
π 2 .E .I
=
2
( k .L ) . A
π 2 .E
π 2 .E
π 2 .E
=
=
2
2
2 A



A
( k .L ) .

 k .L 
I  k .L.
I 



 I 


 A
Definindo o raio de giro:
r=
I
A
iesb =
k .L
r
x
y
E o índice de esbeltez efetivo:
y
x
4m
A tensão crítica efetiva reescrita fica da seguinte forma:
Figura 05: Fatores k em exemplos reais. Fonte: Adaptado de HIBBELER ( 2010).
Resistência dos Materiais
σ CRIT =
π 2 .E
iesb 2
111
A fórmula da tensão crítica efetiva acima tem as mesmas características
que a equação de uma hipérbole.
y=
Cte
x2
E descreve o que chamamos de Curva de Euler.
σ
σe
y
Peças curtas
y
lim
Peças esbeltas
Na prática, a Curva de Euler pode ser substituída pela curva teórica
mostrada na Figura 7, que separa o comportamento de uma coluna
classificada como robusta e de uma coluna esbelta. As colunas robustas
não chegam a flambar e, portanto, neste trecho, não faz sentido existir
uma relação gráfica de hipérbole entre a tensão crítica efetiva e o índice
de esbeltez. Em colunas robustas, acontece o fenômeno de escoamento
antes da flambagem, como vimos anteriormente, e por isso, temos um
patamar bem-definido limitante no gráfico da curva teórica para a
tensão de escoamento da coluna.
Há, ainda, uma terceira curva, chamada de Curva Experimental, que é
desenhada, na prática, em ensaios de compressão em laboratórios e
demonstra o comportamento real de uma coluna. Durante o ensaio, são
avaliadas as tensões críticas efetivas para diversas relações de índice de
esbeltez da coluna e anotados os pontos no gráfico. Ao final, é gerada
uma curva experimental, que traduz o melhor comportamento dos
pontos obtidos.
Figura 06: Curva de Euler Fonte: Adaptado de BASTOS (2011).
A Curva de Euler é uma curva teórica, que estabelece a relação
gráfica entre a tensão crítica efetiva e o índice de esbeltez da coluna
determinada por uma hipérbole.
Resistência dos Materiais
112
a. Os momentos de inércia nas 2 direções;
b. As cargas críticas;
c. As tensões críticas;
d. Determine se a coluna é robusta ou esbelta;
e. Em cada item abaixo diga se a coluna escoa, flamba em qual eixo ou
nada acontece;
σ
σe
Peças curtas
y
lim
Peças esbeltas
y
σ
σ
σe
σe
Peças curtas
y
lim
Peças esbeltas
Peças curtas
N=500kN
N=800kN
y
y
lim
Peças esbeltas
Figura 07: Curvas relacionando tensão crítica com índice de esbeltez. Fonte: Elaborada pelo
autor.
A partir da teoria de flambagem de colunas estudadas até aqui,
veremos alguns exemplos de colunas submetidas a esforços normais de
compressão, onde ocorre a flambagem ou o escoamento destas colunas.
Exemplo 1
Uma coluna de aço A36 (E = 200 GPa e σe = 250 MPa) possui seção
retangular e é solicitada por uma força de compressão N. Sabendo que a
coluna possui 2,0 m de comprimento e encontra-se engastada na base e
livre no topo, determine:
Resistência dos Materiais
N=1000kN
N=1500kN
f. Qual o índice de esbeltez efetivo da coluna?
12cm
8cm
N
Centroide
y
x
Seção transversal
Figura 08: Seção retangular submetida à carga N de compressão. Fonte: Elaborada pelo autor.
113
a. Os momentos de inércia nas 2 direções:
=
Ix
d. Determine se a coluna é robusta ou esbelta:
bx .hx 3 0, 08.0,123
=
= 1,152.10−5 m 4
12
12
CRIT . X
=
σ CRIT .Y 65,8 MPa → menor
by .hy 3 0,12.0, 083
Iy =
=
= 5,12.10−6 m 4
12
12
b. As cargas críticas:
=
N
CRIT . X
=
N CRIT .Y
π .E.I x
2
=
2
( k .L )
π 2 .E .I Y
=
2
( k .L )
σ=
CRIT .Y
N
.1,152.10−5 m 4
m2
= 1421, 2 kN
2
( 2, 0.2, 0m )
π 2 .200.109
N
.5,12.10−6 m 4
2
m
= 631, 7 kN
2
( 2, 0.2, 0m )
π 2 .200.109
N CRIT . X 1421, 2.103 N
=
= 148, 0 MPa
A
0, 08m.0,12m
N CRIT .Y
631, 7.103 N
=
= 65,8 MPa
A
0, 08m.0,12m
Resistência dos Materiais
σ e = 250 MPa
A coluna é esbelta, pois pode flambar e nunca escoar!
c. As tensões críticas:
σ=
CRIT . X
= 148, 0 MPa
e. Em cada item abaixo diga se a coluna escoa, flamba em qual eixo ou
nada acontece:
1. N=500kN
σ atua. =
N atua.
500.103 N
=
= 52,1 MPa → σ atua. < σ CRIT .Y → Nada acontece
A
0, 08m.0,12m
2. N=800kN
σ atua. =
N atua.
800.103 N
=
= 83,3 MPa → σ atua. > σ CRIT .Y → Flamba emY
A
0, 08m.0,12m
3. N=1000kN
N atua.
1000.103 N
σ atua. =
=
= 104, 2 MPa → σ atua. > σ CRIT .Y → Flamba emY
A
0, 08m.0,12m
114
4. N=1500kN
σ atua. =
3
N atua.
1500.10 N
=
= 156,3 MPa → σ atua. > σ CRIT .Y → Flamba emY
A
0, 08m.0,12m
Obs: Embora a tensão atuante também seja maior que a tensão crítica
em x, a primeira a ser ultrapassada é a tensão crítica em y, logo a coluna
flamba em y.
N=500kN
N=800kN
N=1000kN
N=1500kN
f. Qual o índice de esbeltez efetivo da coluna?
12cm
f. Qual o índice de esbeltez efetivo da coluna?
i=
esb.Y
b.hy
k .L
12
12
= k .L.
= k .L. = 2, 0.2, 0. = 173, 2
3
b.hy /12
hy
0, 08
Iy
8cm
A
Exemplo 2
Uma coluna de aço A36 (E = 200 GPa e σe = 250 MPa) possui seção
triangular e é solicitada por uma força de compressão N. Sabendo que a
coluna possui 3,0m de comprimento e encontra-se engastada na base e
apoiada no topo, determine:
a. Os momentos de inércia nas 2 direções;
b. As cargas críticas;
c. As tensões críticas;
d. Determine se a coluna é robusta ou esbelta;
e. Em cada item abaixo diga se a coluna escoa, flamba em qual eixo ou
nada acontece;
Resistência dos Materiais
y
N
Centroide
x
Seção transversal
Figura 09: Seção triangular submetida à carga N de compressão. Fonte: Elaborada pelo autor.
a. Os momentos de inércia nas 2 direções:
=
Ix
bx .hx 3 0, 08.0,123
=
= 3,84.10−6 m 4
36
36
115
by .hy 3 0,12.0, 083
Iy =
=
= 1, 71.10−6 m 4
36
36
b. As cargas críticas:
2
9 N
−6
4
π 2 .E.I x π .200.10 m 2 .3,84.10 m
=
=
= 1718,8 kN
N
CRIT . X
2
2
( k .L )
( 0, 7.3, 0m )
N
2
π
.200.109 2 .1, 71.10−6 m 4
2
π .E .I Y
m
=
=
= 765, 4 kN
N CRIT .Y
2
2
( k .L )
( 0, 7.3, 0m )
c. As tensões críticas:
σ CRIT . X ℵ
σ=
CRIT .Y
N CRIT . X
A
A coluna é esbelta, pois pode flambar e nunca escoar!
e. Em cada item abaixo diga se a coluna escoa, flamba em qual eixo ou
nada acontece:
1. N=500kN
σ atua. =
1718,8.103 N
0, 08m.0,12m / 2
358,1 MPa
3
d. Determine se a coluna é robusta ou esbelta:
σ CRIT . X = 358,1 MPa
σ CRIT .Y = 159,5 MPa
N atua.
500.103 N
=
= 104, 2 MPa → σ atua. < σ CRIT .Y → Nada acontece
A
0, 08m.0,12m / 2
2. N=800kN
σ atua. =
N CRIT .Y
765, 4.10 N
=
= 159,5 MPa
A
0, 08m.0,12m / 2
Resistência dos Materiais
σ e = 250 MPa
N atua.
800.103 N
=
= 166, 7 MPa → σ atua. > σ CRIT .Y → Flamba em y
A
0, 08m.0,12m / 2
3. N=1000kN
σ atua. =
N atua.
1000.103 N
=
= 208,3 MPa → σ atua. > σ CRIT .Y → Flamba em y
A
0, 08m.0,12m / 2
4. N=1500kN
σ atua. =
N atua.
1500.103 N
=
= 312,5 MPa → σ atua. > σ CRIT .Y → Flamba em y
A
0, 08m.0,12m / 2
Obs: Embora a tensão atuante também seja maior que a tensão de
escoamento, a primeira a ser ultrapassada é a tensão crítica em y, logo a
116
coluna flamba em y antes que possa ocorrer o escoamento.
Qual o índice de esbeltez efetivo da coluna?
f. Qual o índice de esbeltez efetivo da coluna?
i=
esb.Y
10cm
b.hy / 2
k .L
18
18
= k .L.
= k .L. = 0, 7.3, 0. = 111, 4
3
b.hy / 36
hy
0, 08
Iy
A
N
Exemplo 3
Uma coluna de aço A36 (E = 200 GPa e σe = 250 MPa) possui seção
circular e é solicitada por uma força de compressão N. Sabendo que a
coluna possui 1,8m de comprimento e encontra-se apoiada na base e no
topo, determine:
a. O momento de inércia;
b. A carga crítica;
c. A tensão crítica;
d. Determine se a coluna é robusta ou esbelta;
e. Em cada item abaixo diga se a coluna escoa, flamba em qual eixo ou
nada acontece;
1. N=1500kN
2. N=2000kN
3. N=3000kN
Resistência dos Materiais
Centroide
y
x
Figura 10: Seção circular submetida à carga N de compressão.Fonte: Elaborada pelo autor.
a. O momento de inércia:
I
=
π .r 4
=
4
b. A carga crítica:
=
N CRIT
π .0, 054
= 4,91.10−6 m 4
4
π .E .I x
2
=
2
( k .L )
N
.4,91.10−6 m 4
m2
= 2991,3 kN
2
(1, 0.1,8m )
π 2 .200.109
117
c. A tensão crítica:
N CRIT . 2991,3.103 N
380,9 MPa
=
σ CRIT =
=
2
A
π . ( 0, 05m )
d. Determine se a coluna é robusta ou esbelta:
σ CRIT
380,9 MPa
σ e = 250 MPa
A coluna é robusta, pois pode escoar e nunca flambar!
e. Em cada item abaixo diga se a coluna escoa, flamba em qual eixo ou
nada acontece:
1. N=1500kN
σ atua=.
N atua. 1500.103 N
=
= 191, 0 MPa → σ atua. < σ e → Nada acontece
2
A
π . ( 0, 05m )
2. N=2000kN
σ atua=.
N atua. 2000.103 N
=
= 254, 6 MPa → σ atua. > σ e → Escoa
2
A
π . ( 0, 06m )
Resistência dos Materiais
N=3000kN
N atua. 3000.103 N
σ atua=.
=
= 382, 0 MPa → σ atua. > σ e → Escoa
2
A
π . ( 0, 06m )
Obs: Embora a tensão atuante também seja maior que a tensão crítica,
a primeira a ser ultrapassada é a tensão de escoamento, logo a coluna
escoa antes que possa ocorrer a flambagem.
Qual o índice de esbeltez efetivo da coluna?
iesb.
=
k .L
π .r 2
4
2
2
k .L. =
k .=
L.
1, 0.1,8m. = 72
= k .L. =
4
2
π .r
r
r
0, 05m
Iy
4
A
De acordo com o apresentado nesta unidade de aprendizagem, podemos
entender melhor como funciona o fenômeno de flambagem em colunas
sujeitas a esforço normal de compressão. A flambagem de colunas é
caracterizada pelo efeito da tendência de deslocamento lateral da
coluna classificada como esbelta, a partir do momento que se atinge a
carga crítica de flambagem. Vimos que o tipo de vinculação da coluna
interfere diretamente no valor da carga crítica efetiva. Além disso,
podemos determinar a tensão crítica efetiva e estabelecer uma relação
gráfica com o índice de esbeltez conhecida como Curva de Euler. Além
do fenômeno de flambagem, que ocorre em elementos esbeltos, existe
118
também o escoamento, que ocorre em elementos robustos; mas, os dois
efeitos não podem ocorrer na mesma coluna, ou seja, uma coluna que
escoa jamais irá flambar e uma coluna que flamba jamais irá escoar.
Referências
BASTOS, F. Notas de aula 15 – Flambagem. MAC, Faculdade de
engenharia, UFJF. Resmat II. 2011.
BEER, F.P.; JOHNSTON, E.R. Mecânica dos materiais. 5 ed. São Paulo: Mc
Graw Hill, 2008.
FRANKLIN, A. Análise de Flambagem em Pilares (Condições de
Instabilidade). 2018. Disponível em: https://www.slideshare.net/atilfsr/
flambagem-85775403 Acesso em: 19 ago.2019.
HIBBELER, Russel C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
MARTHA, L. F. Introdução à Análise de Estruturas. Disponível em: http://
webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1112-aula06.pdf. Acesso
em: 19 ago.2019.
Resistência dos Materiais
119
Resistência dos Materiais
Deflexão de Vigas
Para início de conversa...
Objetivos
Em nosso dia a dia, estamos cercados de diversos tipos de estruturas,
como edifícios, carros, aviões, navios, entre outros, e todas estão sujeitas
a sofrerem pequenas variações em sua forma quando estão em serviço.
Essas pequenas variações, muitas das vezes, não são perceptíveis por um
observador e estão associadas ao conceito de deflexão.
▪ Compreender o conceito de deflexões de vigas, ângulo de rotação e
curvatura.
▪ Determinar a equação da curva de deflexão para cada viga com
vínculos e carregamentos diferentes.
▪ Calcular as deflexões em pontos específicos ao longo do eixo
da viga
Nesta unidade de aprendizagem, vamos estudar a deflexão de vigas.
Podemos definir deflexão como o deslocamento de qualquer ponto da
viga com relação ao seu eixo. A curva de deflexão de vigas e colunas
possui ângulos de rotação muito pequenos.
O conceito de deflexão de vigas será melhor entendido mais adiante,
pois veremos uma melhor explicação por meio dos exercícios que serão
trabalhados durante a unidade.
Resistência dos Materiais
121
1. Introdução ao Estudo de Deflexão em Vigas
Quando temos uma viga sujeita à flexão simples, desenvolvemse deflexões e inclinações, ou seja, flechas e rotações ao longo do
comprimento dessa viga. O método conhecido como Equação da Linha
Elástica possibilita a formulação de uma função para determinar as
deflexões em diferentes tipos de vigas, de acordo com seus vínculos e
carregamentos.
Considere a viga engastada e livre da Figura 1, sujeita a um carregamento
concentrado P, orientado para cima, localizado na extremidade livre da
viga. A viga está contida no plano xy, e todos os carregamentos irão atuar
nesse plano, chamado de plano de flexão. O material da viga é baseado
na lei de Hooke e as deformações são provenientes da flexão pura.
y
A
du
du
P
y
v
m1 ds
A
B
x
m1
v + dv
m2
dx
m2
θ + dθ
ds
θ
v
dv
v
x
x
dx
x
A curva de deflexão, mostrada com mais detalhes na Figura 2, identifica
duas situações que ocorrem na viga flexionada: a deflexão em cada
ponto ao longo do eixo e a rotação em cada ponto.
B
v
B
O’
Figura 02: Curva de deflexão de uma viga. Fonte: Adaptado de GERE (2003).
P
A
Podemos definir deflexão ν como o deslocamento na direção y (vertical,
nesse caso) de qualquer ponto da viga com relação ao seu eixo. Na
Figura 1, como temos o eixo y sendo orientado positivamente para cima,
a deflexão ν é positiva.
x
A rotação é dada pelo ângulo de rotação θ, definido como o ângulo entre
o eixo x e a tangente à curva de deflexão. O ângulo θ será positivo no
sentido anti-horário. Além disso, o ângulo de rotação pode ser também
chamado de ângulo de inclinação ou ângulo de declive.
Figura 01: Curva de deflexão de uma viga engastada e livre. Fonte: Adaptado de GERE (2003).
Resistência dos Materiais
122
Para um ângulo de rotação muito pequeno, resulta-se em uma curva de
deflexão quase horizontal.
ds ≈ dx → coscos θ =
1
O raio de curvatura ρ representa a distância do centro de curvatura O’
até a curva. Assim, a curvatura é dada por:
1 dθ dθ
k= =
=
ρ ds dx
A convenção de sinal adotada para a curvatura é mostrada na Figura 3:
y
y
+
Curvatura
Positiva
0
x
Curvatura
Negativa
0
x
Figura 03: Convenção de sinais utilizada para a curvatura. Fonte: Adaptado de GERE (2003).
A seguir, apresentaremos uma tabela com valores de pequenos ângulos
em graus e radianos e seus respectivos senos e tangentes. Observando
essa tabela, podemos afirmar que, para pequenos ângulos, os valores
de seno e tangente são praticamente os mesmos valores do ângulo em
Resistência dos Materiais
radianos. Assim, é válido trabalhar com a aproximação de que, para um
ângulo de até 14º, temos que sen θ é aproximadamente θ, e para ângulos
de até 11º, a tan θ é aproximadamente θ. Para ângulos maiores que
esses, a diferença entre os valores vai crescendo e não é mais possível
garantir essa afirmação.
α(graus) α(radianos)
seno
diferença
(%)
tangente
diferença
(%)
1
2
0,01745
0,03491
0,01745
0,03490
-0,01
-0,02
0,01746
0,03492
0,01
0,04
3
0,05236
0,05234
-0,05
0,05241
0,09
4
5
6
7
8
9
10
0,06981
0,08727
0,10472
0,12217
0,13963
0,15708
0,17453
0,06976
0,08716
0,10453
0,12187
0,13917
0,15643
0,17365
-0,08
-0,13
-0,18
-0,25
-0,32
-0,41
-0,51
0,06993
0,08749
0,10510
0,12278
0,14054
0,15838
0,17633
0,16
0,25
0,37
0,50
0,65
0,83
1,03
20
0,34907
0,34202
-2,02
0,36397
4,27
30
0,52360
0,50000
-4,51
0,57735
10,27
40
0,69813
0,64279
-7,93
0,83910
20,19
50
0,87266
0,76604
-12,22
1,19175
36,56
Tabela 1: Aproximação para pequenos ângulos. Fonte: Elaborado pelo autor.
123
Sabendo-se que tan θ é, aproximadamente, θ quando o valor de θ é
muito pequeno:
dν
θ ≈ tanθ =
dx
Derivando em relação a x, temos:
dθ d ²ν
=
dx dx ²
E igualando com a curvatura:
A equação acima pode ser integrada particularmente para se descobrir ν,
M e EI em função de x. Outras equações podem ser escritas com base na
relação entre o momento fletor M, a força cisalhante V e a intensidade
do carregamento distribuído q:
dV
dM
=
−q
=
V
dx
dx
As convenções de sinais para o momento fletor M, a força cisalhante V e
a intensidade do carregamento distribuído q são mostradas na Figura 4:
+M
-M
+V
-V
+q
-q
dθ
1 d ²ν
=k →k = =
dx
ρ dx ²
Se o material é elástico e linear e está de acordo com a Lei de Hooke, a
curvatura é reescrita como:
k=
1 M
=
ρ EI
Em que M é o momento fletor e EI é a rigidez à flexão da viga.
Organizando todo o raciocínio até aqui, a equação diferencial da curva
de deflexão básica de uma viga resulta em:
d ²ν M
=
dx ² EI
Resistência dos Materiais
Figura 04: Convenções de sinais para momento fletor M, força cortante V e carregamento
distribuído q. Fonte: Adaptado de GERE (2003).
124
Sabe-se que deflexão ν, o momento fletor M e a rigidez EI estão em
função de x e que:
y "( x )
d²
dx ²
Uma outra forma de escrever a equação diferencial da curva de deflexão
básica de uma viga de modo a simplificar é:
E.I . y " ( x ) = M ( x )
Determinada a equação da curva de deflexão, podemos achar a
deflexão ν por meio da utilização de um método chamado de Método
de Integrações Sucessivas, que tem como objetivo integrar 2 vezes a
equação diferencial da curva de deflexão:
▪ Integrar a equação da inclinação ν ' para obter a deflexão ν .
Cada vez que integramos a equação diferencial, produzimos uma
constante de integração. Os valores dessas constantes serão
determinados a partir das condições relacionadas com as deflexões e
inclinações. Após encontrarmos os valores das constantes de integração,
devemos substituir nas expressões de deflexão e inclinação e, assim,
serão obtidas as expressões finais para a curva de deflexão.
Tais condições se classificam em três categorias, as quais veremos a
seguir:
a. Condições de contorno
1ª integração:
ν ' = y′ ( x ) = ∫ y " ( x ) .dx
2ª integração:
=
ν y=
( x)
▪ Determinar as expressões para o momento fletor M na equação
diferencial para cada região e integrar para obter a inclinação ν ' .
∫ y ' ( x ) .dx
Na obtenção da deflexão são necessários três passos:
As condições de contorno estão relacionadas às deflexões e
inclinações nos apoios das vigas. Nas Figuras 5 e 6, podemos
observar que, em caso de apoios de primeiro e segundo gênero, a
deflexão é nula, contudo, a inclinação é diferente de zero e deverá ser
determinada. Já para o apoio de terceiro gênero (apoio fixo), tanto a
deflexão quanto a inclinação não existem.
▪ Escrever quais são as equações para os momentos fletores da viga.
Resistência dos Materiais
125
A
B
A
B
VA = 0
VB = 0
b. Condições de continuidade
As condições de continuidade surgirão em regiões intermediárias da
viga, onde não há a presença de apoios, mas sabemos que a condição
de continuidade deve se manter. Na Figura 7, podemos observar
que no ponto C vai existir uma relação de continuidade, pois tanto
a deflexão quanto a inclinação que chegam nesse ponto devido ao
trecho de A a C e a deflexão e a inclinação que ocorrem no ponto C
devido ao trecho de C a B possuem valores iguais.
A
C
B
Figura 05: Condições de contorno em apoio de primeiro e segundo gênero. Fonte: Adaptado de
GERE (2003).
A
A
A
VA = 0
V ’A = 0
Figura 06: Condições de contorno em engaste. Fonte: Adaptado de GERE (2003).
Resistência dos Materiais
C
B
B
B
(V )AC = (V )CB
(V ’)AC = (V ’)CB
Figura 07: Condições de continuidade no ponto C. Fonte: Adaptado de GERE (2003).
c. Condições de simetria
Por simetria, podemos identificar que, em determinado ponto da viga,
a deflexão ou a inclinação será nula ou será igual a outro ponto. Um
exemplo disso é analisarmos uma viga submetida a um carregamento
distribuído ao longo de todo o seu comprimento. Uma afirmação
válida, nesse caso, é que a inclinação da curva de deflexão no ponto
médio dessa viga deverá ser zero.
126
2. Formulação Via Equação da Linha Elástica
Viga e Carregamento
De acordo com o estudado até aqui, podemos entender a linha elástica como
a curva que representa o eixo da viga após a sua deformação. A deflexão,
nesse caso, seria o deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga.
P
y
y
L
x
y
L
y
L
1L
2
A determinação das constantes de integração é feita com base nas
condições de contorno, condições de continuidade e condições de
simetria da viga.
y
P
1L
2
L
b
Para a > b
B
w
y
L
1L
2
L
M
B
L
ymáx
y
A
2
2
Pb( L2 − b 2 )3/2
9 3EIL
L2 − b 2
3
Pb( L2 − b 2 )
6 EIL
Pa( L2 − a 2 )
θB = +
6 EIL
θA = −
Para x < b :
Pb
[ x ³ − ( L ³ − B 2 ) x]
6 EIL
Pa 2b 2
Para x = a : y =
3EIL
−
x
ymáx
L
B
L
3
−
axm =
O
A
x
xmáx
L
M
ymáx
a
A
M
x
O
L
2
2
ymáx
M
P
M
x
O
1L
2
P
( x 2 − 3Lx ²)
6 EI
ymáx
L
L
Equação da linha elástica
y=
ymáx
O
Para descobrir qual a deflexão e a inclinação em qualquer ponto da
viga, é necessário identificar a equação diferencial da curva de deflexão,
ou também chamada de equação da linha elástica, e, com base em
sucessivas integrações e pela determinação das constantes que surgem,
estabelecer os valores de deflexão e inclinação no ponto estudado.
Inclinação
Máxima
x
L
Ao flexionar a viga, ocorre, em cada ponto, ao longo do seu eixo, uma
deflexão e uma rotação. O ângulo de rotação é o ângulo formado entre o
eixo da viga na horizontal e a tangente à curva da linha elástica.
Resistência dos Materiais
L
O
w
Para outros tipos de carregamentos e condições de apoio diferentes dos
estudados aqui, existe na literatura a equação da linha elástica ou a
equação da curva de deflexão para inclinação e deflexão, assim como as
expressões para se calcular a deflexão máxima e a inclinação máxima de
cada situação. Basta, nesse caso, substituir os valores de carregamento,
rigidez, comprimento da viga e posição do ponto em que se quer calcular
a deflexão e a inclinação.
Deflexão
Máxima
Linha elástica
ymáx
x
ML ³
9 3EI
ML
6 EI
ML
θB = −
3EI
θA = +
M
127
2
L
a
A
L
b
B
ymáx
xmáx
L
w
y
L
1L
2
L
M
B
y
A
L
Pb( L2 − b 2 )3/2
9 3EIL
L2 − b 2
3
Pb( L2 − b 2 )
6 EIL
Pa ( L2 − a 2 )
θB = +
6 EIL
θA = −
Pb
[ x ³ − ( L ³ − B 2 ) x]
6 EIL
Pa 2b 2
Para x = a : y =
3EIL
−
g. Qual o valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m da
carga concentrada;
h. A posição e o valor da flecha máxima;
i. A posição e o valor da rotação máxima.
x
ymáx
L
B
L
3
−
axm =
O
A
x
ymáx
x
ML ³
9 3EI
ML
6 EI
ML
θB = −
3EI
θA = +
M
L
Figura 08: Deflexões e inclinações para vigas sujeitas a flexão simples. Fonte: Adaptado de
BEER & JOHNSTON (2008).
Para melhor fixação do conteúdo apresentado nesta unidade, serão
resolvidos alguns exemplos, nas próximas páginas, para diversos tipos de
vigas, englobando ao máximo as diferenças que podem ser encontradas
diversas literaturas.
Exemplo 1
Seja uma viga de aço (E = 200 GPa) em balanço com carga concentrada
na extremidade livre sendo P = 50 kN. Sabendo que a viga possui seção
transversal quadrada com b = 15 cm e h = 30 cm e comprimento L = 3,5
m, determine:
d. A equação da linha elástica;
e. As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação);
f. Qual a flecha e a rotação em um ponto afastado de 1 m do apoio;
Resistência dos Materiais
Vista lateral e deformada
x
P
b
y
Seção transversal
h
Figura 09: Viga em balanço com carga concentrada na extremidade livre. Fonte: Elaborada pelo
autor.
a. A equação da linha elástica
E.I . y " ( x ) = M ( x )
E.I . y " ( x ) = P.x
y "( x ) =
P.x
E.I
128
b. As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação)
1ª integração:
=
∫ y ".dx
P.x
∫ E.I .dx + C
1
P.x 2
+ C1
y′= tgθ ≈ θ =
2.E.I
2ª integração:
P.x 2
∫ y '.dx= ∫ 2.E.I dx + ∫ C1.dx + C2
P.x3
y
=
+ C1 x + C2
2.3.E.I
Condições de contorno (pontos notáveis):
Ponto A: xA= L e θA= 0
P.L2
0
=
+ C1
2.E.I
P.L2
C1 = −
2.E.I
Resistência dos Materiais
Ponto A: xA= L e yA= 0
P.L3
P.L2
0=
+
−
+ C2
6.E.I 2.E.I
C2 =
P.L3
3.E.I
Equações (validade entre x = 0 e x = L):
Inclinação (rotação):
θ≈
P.x 2 P.L2
−
2.E.I 2.E.I
θ≈
P
. x 2 − L2
2.E.I
(
)
Deflexão (flecha):
P.x 3 P.L2
P.L3
y=
.x +
+
−
6.E.I 2.E.I
3.E.I
P
y=
+
x 3 − 3.L2 .x + 2.L3
6.E.I
(
)
129
c. O valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m do apoio
x=0
b.h3 0,15.0,303
Iz =
=
= 3,375.10−4 m 4
12
12
y =+
P
P.L ³
50.103.3,5³
0 + 0 + 2.L3 =+
=
=0, 0106 m =1, 06 cm
6.E.I
3.E.I 3.200.109.3,375.10−4
(
)
A posição e o valor da rotação máxima
x = 2 m:
50.103
y=
. 2,53 − 3 . 3,52.2,5 + 2 . 3,53 = 0, 00117 m= 0,12 cm
6.200.109.3,375.10−4
(
)
50.103
. 2,52 − 3,5² =
−0, 00222 rad =
−0,13º
2.200.109.3,375.10−4
(
θ=
)
d. O valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m da carga
concentrada
x = 1 m:
y=
e. A posição e o valor da flecha máxima
x=0
P
P.L2
50.103.3,52
−
=
−
=
−0, 00454 rad =
−0, 26º
( 0 − L² ) =
2.E.I
2.E.I
2.200.109.3,375.10−4
θ=
+
Exemplo 2
Seja uma viga de aço (E = 200 GPa) biapoiada com carga concentrada
no meio do vão sendo P = 80 kN. Sabendo que a viga possui seção
transversal T com bf = 12 cm, h = 14 cm, tf = tw= 3cm e comprimento L =
4,0 m, determine:
Dados: Iy = 4,5 x 10-6 m4
50.103
. 13 − 3 . 3,52.1 + 2 . 3,53 = 0, 00617 m= 0, 62 cm
9
−4
6.200.10 .3,375.10
(
3
)
50.10
. 12 − 3,5² =
−0, 00417 rad =
−0, 24º
9
−4
2.200.10 .3,375.10
θ=
Resistência dos Materiais
(
)
Iz = 1,1 x 10-5 m4
a. A equação da linha elástica.
b. As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação).
c. Qual o valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m do
apoio.
d. A posição e o valor da flecha máxima.
e. A posição e o valor da rotação máxima.
130
y
P
L/2
L/2
bf
tf
tw
y′ = tgθ =
≈θ
h
Seção transversal
2ª integração:
∫ y '.dx=
Vista lateral e deformada
y
=
Figura 10: Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão. Fonte: Elaborada pelo autor.
a. A equação da linha elástica
E.I . y " ( x ) = M ( x )
E.I . y " ( x ) =
P
.x
2
P.x
y "( x ) =
2.E.I
b. As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação)
1ª integração:
P.x
=
∫ y ".dx ∫ 2.E.I .dx + C1
Resistência dos Materiais
P.x 2
+ C1
2.2.E.I
P.x 2
∫ 4.E.I dx + ∫ C1.dx + C2
P.x3
+ C1 x + C2
3.4.E.I
Condições de contorno (pontos notáveis):
Ponto B: xB = L/2 e θB = 0
2
L
P.  
 2  +C
0
=
1
4.E.I
P.L2
C1 = −
16.E.I
Ponto A: xA = 0 e yA = 0
0 = 0 + 0 + C2
C2 = 0
131
Equações (validade entre x = 0 e x = L/2):
80.103
. 4.12 − 4² =
−0, 0273 rad =
−1,56º
16.200.109.1,1.10−5
θ=
Inclinação (rotação):
θ≈
(
)
d. A posição e o valor da flecha máxima
P.x 2
P.L2
−
4.E.I 16.E.I
P
≈
. 4 x 2 − L2
16.E.I
(
x = L/2
)
3

P  L
P.L3
80.103.43
2  L
y=
+
−
=
−
=
−0, 0485 m =
−4,85 cm
 4.   − 3.L .    =
48.E.I   2 
48.E.I
48.200.109.1,1.10−5
 2 
A posição e o valor da rotação máxima
Deflexão (flecha):
x=0
P.x3
P.L2
y=
+
−
.x
12.E.I 16.E.I
P
P.L2
80.103.42
−
=
−
=
−0, 036 rad =
−2, 08º
( 0 − L² ) =
16.E.I
16.E.I
16.200.109.1,1.10−5
θ=
+
P
y=
+
4 x 3 − 3.L2 .x
48.E.I
(
)
Exemplo 3
c. O valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m do apoio
I z = 1,1.10−5 m 4
x = 1 m:
80.103
y= 9
. 4 .13 − 3 . 42.1 =
−0, 0333 m =
−3,33cm
48.200.10 .1,1.10−5
Resistência dos Materiais
(
)
Seja uma viga de aço (E = 200 GPa) em balanço com carga distribuída
em todo o vão sendo q = 5 kN/m. Sabendo que a viga possui seção
transversal triangular com b = 15 cm e h = 20 cm e comprimento L = 6
m, determine:
a. A equação da linha elástica.
b. As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação).
c. Qual o valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 2 m do
132
apoio.
d. Qual o valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m da
extremidade.
e. A posição e o valor da flecha máxima.
f. A posição e o valor da rotação máxima.
L
Vista lateral e deformada
y
A equação da linha elástica
Resistência dos Materiais
q.x ²
2
q.x ²
2.E.I
As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação)
b
1ª integração:
h
Seção transversal
Figura 11: Viga em balanço com carga distribuída em todo o vão. Elaborada pelo autor.
Dados:
Material: Aço A36
E = 210 GPa (Módulo de Elasticidade)
L=5m
q = 1 kN/m
E.I . y " ( x ) =
y "( x ) =
q
x
E.I . y " ( x ) = M ( x )
=
∫ y ü dx
q.x ²
∫ ü E I dx + C
y′ = tgθ =
≈θ
1
q.x ³
+ C1
3.2.E.I
2ª integração:
q.x ³
∫ y '.dx= ∫ 6.E.I dx + ∫ C .dx + C
y
=
1
2
q.x 4
+ C1 x + C2
4.6.E.I
133
Condições de contorno (pontos notáveis):
Ponto A: xA = L e θA = 0
0
=
q.L3
+ C1
6.E.I
3
q.L
C1 = −
6.E.I
Ponto A: xA = L e yA = 0
q.L4
q.L3
0=
+
−
.L + C2
24.E.I 6.E.I
C2 =
4
q.L
8.E.I
Deflexão (flecha):
q.x 4
q.L3
q.L4
y=
+
−
.x +
24.E.I 6.E.I
8.E.I
q
y=
+
x 4 − 4.L3 .x + 3.L4
24.E.I
(
O valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 2 m do apoio
Iz
=
q.x 3
q.L3
θ≈
−
6.E.I 6.E.I
q
θ≈
. ( x 3 − L3 )
6.E.I
Resistência dos Materiais
b.h3 0,15.0, 203
=
= 3,33.10−5 m 4
36
36
x = 4 m:
5.103
4
y
. 44 − 4.63.4 + 3.6=
0, 0217=
m 2,17 cm
=
9
−5
24.200.10 .3,33.10
(
Equações (validade entre x = 0 e x = L):
Inclinação (rotação):
)
)
5.103
. 43 − 6³ =
−0, 0190 rad =
−1, 09º
6.200.109.3,33.10−5
θ=
(
)
O valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m da
extremidade livre
x = 1 m:
134
5.103
4
. 14 − 4.63.1 + 3.6=
0, 0946=
m 9, 46 cm
9
−5
24.200.10 .3,33.10
5.103
. 13 − 6³ =
θ=
−0, 0269 rad =
−1,54º
9
−5
6.200.10 .3,33.10
(
y
=
(
)
)
A posição e o valor da flecha máxima
a. A equação da linha elástica.
b. As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação).
c. O valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m
do apoio.
d. A posição e o valor da flecha máxima.
e. A posição e o valor da rotação máxima.
L
y
x=0
q
q
q.L4
5.103.64
y =+
0 + 0 + 3.L4 =+
=
=0,1216 m =12,16 cm
24.E.I
8.E.I 8.200.109.3,33.10−5
(
)
b
t
h
Seção transversal
A posição e o valor da rotação máxima
x=0
Vista lateral e deformada
3
3
3
q
q.L
5.10 .6
−
=
−
=
−0, 0270 rad =
−1,55º
( 0 − L³) =
6.E.I
6.E.I
6.200.109.3,33.10−5
θ=
+
Exemplo 4
Seja uma viga de aço (E = 200 GPa) biapoiada com carga distribuída
em todo o vão sendo q = 2 kN/m. Sabendo que a viga possui seção
transversal L com b = 15 cm, h = 17 cm, t = 3cm e comprimento L = 5 m,
determine:
Dados: Iy = 1,6 x 10-5 m4
Iz = 2,2 x 10-5 m4
Resistência dos Materiais
Figura 12: Viga biapoiada com carga distribuída em todo o vão. Fonte: Elaborada pelo autor.
a. A equação da linha elástica
E.I . y " ( x ) = M ( x )
E.I . y=
"( x )
y=
"( x )
q.L
x
.x − q.x.
2
2
q.L.x q.x ²
−
2.E.I 2.E.I
135
b. As equações de deflexão (flecha) e inclinação (rotação)
0 = 0 + 0 + C2
1ª integração:
q.L.x
q.x ²
∫ y ".dx = ∫ 2.E.I .dx − ∫ 2.E.I .dx + C
y′= tgθ ≈ θ =
2
1
3
q.L.x
q.x
−
+ C1
2.2.E.I 3. 2.E.I
2ª integração:
q.L.x 2
q.x ³
dx ∫
.dx − ∫
.dx + ∫ C1.dx + C2
∫ y '.=
4.E.I
6.E.I
=
y
Ponto A: xA = 0 e yA = 0
q.L.x 3
q.x 4
−
+ C1.x + C2
3.4.E.I 4.6.E.I
Condições de contorno (pontos notáveis):
Ponto B: xB = L/2 e θB = 0
2
3
L
L
q.L.   q.  
 2  −  2  +C
0=
1
4.E.I 3
6.E.I
q.L
C1 = −
24.E.I
Resistência dos Materiais
C2 = 0
Equações (validade entre x = 0 e x = L/2):
Inclinação (rotação):
q.L.x 2 q.x3
q.L3
θ≈
−
−
4.E.I 6.E.I 24.E.I
q
θ≈
. ( 6.L.x 2 − 4.x ³ − L ³ )
24.E.I
Deflexão (flecha):
q.L.x 3
q.x 4
q.L3 .x
y=
+
−
−
12.E.I 24.E.I 24.E.I
q
y=
+
2.L.x 3 − x 4 − L3 .x
24.E.I
(
)
O valor da flecha e da rotação em um ponto afastado de 1 m do apoio
I z = 2, 2.10−5 m 4
x = 1 m:
136
2.103
y=
. −14 + 2.5.1³ − 53.1 =
−0, 0022 m =
−0, 22 cm
9
−5
24.200.10 .2, 2.10
(
)
2.103
. −4.13 + 6.5.1² − 5³ =
−0, 0018 rad =
−0,11º
24.200.109.2, 2.10−5
θ=
(
)
A posição e o valor da flecha máxima
x = L/2
4
3

q  L
5.q.L4
5.2.103.54
L
3  L
y=
+
−
=
−
=
−0, 0037 m =
−0,37 cm
 −   + 2.L.   − L .    =
24.E.I   2 
384.E.I
384.200.109.2, 2.10−5
2
 2 
A posição e o valor da rotação máxima
x=0
q
q.L3
2.103.53
−
=
−
=
−0, 0024 rad =
−0,14º
( 0 − L² ) =
24.E.I
24.E.I
24.200.109.2, 2.10−5
θ=
+
Nesta unidade de aprendizagem, pudemos entender melhor o conceito
de deflexão de vigas e inclinação. Para se determinar a equação
diferencial da curva de deflexão de uma viga, também conhecida
como equação da linha elástica, utiliza-se o Método das Integrações
Sucessivas. Por meio das integrações realizadas, surgem as constantes
de integração que deverão ser determinadas por meio de condições de
contorno, condições de continuidade e condições de simetria da viga
Resistência dos Materiais
estudada. Após a determinação das constantes, é possível reescrever
a equação da linha elástica e resolvê-la para encontrar a deflexão e a
inclinação em qualquer ponto da viga.
Alguns casos de carregamento e condições de contorno já se encontram
tabelados na literatura e permitem o cálculo das deflexões e inclinações
por meio da substituição dos valores de carregamento, rigidez,
comprimento da viga e posição do ponto em que se quer calcular. Por
fim, foram resolvidos alguns exemplos para melhor entendimento do
conteúdo apresentado em uma abordagem de casos muito comuns
encontrados em diversas literaturas.
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica dos materiais. 5 ed. São Paulo: Mc
Graw Hill, 2008.
GERE, J. M. Mecânica
Learning, 2003.
dos
materiais.
São
Paulo:
Thomson
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7 ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
137