Upraszczanie Modeli, Sterowalność i Obserwowalność

Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Jezyki ˛ Modelowania i Symulacji Stabilność, Sterowalność, Obserwowalność Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 17 listopada 2011 Upraszczanie modeli O czym bedziemy ˛ mówili? MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI 1 Modelowanie ’zdarzeń’: piłka 2 KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Upraszczanie modeli Przykład MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka • Co sie˛ stanie z piłka? ˛ KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Pogladowy ˛ rysunek • Założenie: ruch kończy sie, ˛ gdy piłka spada na trawe. ˛ xl=-2.75; xr=2; yd=-4; yu=5; Upraszczanie modeli Przykład MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • Podstawowe równania ruchu piłki (model liniowy): x1 := x mẍ = −αẋ mÿ = −αẏ − mg x2 := ẋ, x3 := y ,  ẋ1 = x2    α x2 ẋ2 = − m . ẋ = x  4   3 α x4 − g ẋ4 = − m x4 := ẏ • Model odbicia piłki w chwili t od powierzni blatu stołu (y=0) o długości (|xr-xl|): x1 (t + ) = x1 (t − ), x2 (t + ) = βx2 (t − ), x3 (t + ) = x3 (t − ), x4 (t + ) = −βx4 (t − ) Upraszczanie modeli Przykład MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • Modelowanie ’zdarzeń’: • Warunkiem koniecznym wystapienia ˛ danego zdarzenia jest zerowania sie˛ odpowiednej funkcji opisujacej ˛ to zdarzenie. • Kryteria detekcji zdarzeń (zachowanie sie˛ funkcji opisujacej ˛ w otoczeniu jej zera): -1 w otoczeniu zera mamy funkcje˛ rosnaca, ˛ 0 każde przejście przez zero, 1 w otoczeniu zera funkcja opisujaca ˛ jest malejaca. ˛ • Co robić po detekcji zdarzenia? 0 Pomimo wystapienia ˛ danego zdarzenia całkowanie równania różniczkowego nie jest zatrzymywane. 1 Całkowanie równania różniczkowego jest zatrzymywane (koniec danego etapu całkowania). Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Przykład • Przyjecie ˛ aktywnej (’on’) opcji ’Events’ oznacza, że: • funkcja użytkownika (w omawianym przypadku jest to myball) powinna reagować na parametr ’flag = events’ zwracajac ˛ trzy wielkości: [value,isterm,direct]; • funkcja całkowania równania różniczkowego (w omawianym przypadku jest to ode23) zwraca pieć ˛ wielkości: [T,Y,TE,YE,IE] = solver(odefun,tspan,y0,options) T – wektor kolejnych chwil czasu t, Y – tablica rozwiaza ˛ ń (wiersz odpowiada chwili czasu t), TE – wektor chwil czasu, w których miały miejsce zdarzenia, YE – tablica rozwiaza ˛ ń (wiersz odpowiada chwili danego zdarzenia), IE – wektor indeksów wskazujacych ˛ zdarzenie zaistniałe w chwili podanej w TE, Upraszczanie modeli Przykład MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • Modelowanie ’zdarzeń’: Funkcje opisujace ˛ (identyfikujace) ˛ zdarzenia value=[x(3); x(1)-xl; xr-x(1); x(3)-yd]; Akcje po detekcji zdarzeń: isterminal=[xterm; 1; 1; 1]; Kryteria detekcji zdarzeń: direction=[-1; 0; 0; 0]; Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Przykład function varargout=myball(t,x,flag,m,a,xl,xr,yd,xterm) g=9.81; if strcmp(flag,'') Out=zeros(4,1); Out(1)=x(2); Out(2)=-a*x(2)/m; Out(3)=x(4); Out(4)=-g-a*x(4)/m; varargout{1}=Out; elseif strcmp(flag,'events') [varargout{1:3}]=feval(@event,x,xl,xr,yd,xterm); end function [value,isterm,direct]=event(x,xl,xr,yd,xterm) value=[x(3); x(1)-xl; xr-x(1); x(3)-yd]; isterm=[xterm; 1; 1; 1]; direct=[-1; 0; 0; 0]; Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Przykład function [T,X,TE,XE,IE]=ball m=10; x00=0.0; xl=-2.75; xr=2.0; yu=5; yd=-4; tp=0.0; tf=30.0; vx0=-0.5; %vx0=0.6; alpha=0.25; %alpha=0.20; beta=0.92; %beta=0.8; TE=[]; XE=[]; IE=[]; xterm=1; x0=[x00 vx0 yu 0.0]; T(1)=tp; X(1,:)=x0; opt=odeset('Events','on','RelTol',1e-6,'Refine',6); Upraszczanie modeli Przykład MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI while 1 [tt,xt,te,xe,ie]= ode23('myball',[T(end) tf],x0,opt,m, alpha,xl,xr,yd,xterm); T=[T;tt]; X=[X;xt]; TE=[TE;te]; XE=[XE;xe]; IE=[IE;ie]; if ie==1 x0=[xe(1) xe(2)*beta xe(3) -xe(4)*beta]; elseif (ie==2) | (ie==3) x0=xe; xterm=0; else return; end end [T,X]=ball; plot(X(:,1),X(:,3)); Upraszczanie modeli Przykład MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka • Ilustracja ruchu piłki: KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI vx0=-0.5; alpha=0.25; beta=0.92; vx0=0.6; alpha=0.20; beta=0.8; • Czy (w ogólnym przypadku) zadanie ’detekcji zdarzeń’ może być źle uwarunkowane? Upraszczanie modeli Model obiektu MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • Model obiektu dynamicznego z czasem ciagłym: ˛ ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0), A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p C ∈ Rq×n . y (t) = Cx(t), • Macierz sterowalności Mc = Mc (A, B) Mc := B AB · · · An−1 B , Mc ∈ Rn×n·p . • Macierz obserwowalności Mo = Mo (A, C)   C  CA   Mo :=   ··· , CAn−1 Mo ∈ Rn·q×n . Upraszczanie modeli ctrb, obsv MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Wyznaczanie macierzy sterowalności • Mc = ctrb(A,B); – A - nxn, B - nxp, System jest sterowalny jeżeli jego macierz sterowalności posiada pełen rzad. ˛ Wyznaczanie macierzy obserwowalności • Mo = obsv(A,C); – A - nxn, C - qxn, System jest obserwowalny jeżeli jego macierz obserwowalności posiada pełen rzad. ˛ Upraszczanie modeli ctrb, obsv MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Wyznacz macierze sterowalności i obserwowalności dla systemu opisanego macierzami modelu stanowego −2 1 1 1 B= C= A= 0 0 −1 61 >> Mc=ctrb(A,B) Mc = 1 -2 0 -1 >>Mo = obsv(A,C) Mo = 1 0 -2 1 Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI ctrb, obsv Sprawdź sterowalność i obserwowalność systemu 1 −2 1 0 Mc = Mo = 0 −1 −2 1 >> rank(Mc) ans = 2 % Liczba niesterowalnych zmiennych stanu >> unco = length(A)-rank(Mc) unco = 0 >> rank(Mo) ans = 2 % Liczba nieobserwowalnych zmiennych stanu >> unob = length(A)-rank(Mo) unob = 0 Upraszczanie modeli ctrb, obsv MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Wyznacz macierze sterowalności i obserwowalności dla systemu opisanego macierzami modelu stanowego 1 1 1 −1 1 A= B= C= 4 −2 1 −1 0 >> Mc=ctrb(A,B) Mc = 1 -1 1 -1 >> rank(Mc) = 1 >> Mo=obsv(A,C) Mo = 1 0 1 1 >> rank(Mo) = 2 2 2 -2 -2 Upraszczanie modeli ctrb, obsv MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Szacowanie rz˛edu źle uwarunkowanej macierzy sterowalności 1 δ 1 1 A= B= C= 0 1 δ 0 √ δ 6= 0 δ < eps >> Mc=ctrb(A,B) Mc = 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 >> rank(Mc) = 1 Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Stabilność asymptotyczna • Obiekt ẋ(t) = Ax(t) jest asymptotycznie stabilny, gdy lim x(t) = 0n , t→∞ ∀x(0). • x(t) = eAt x(0) ⇒ obiekt jest asymptotycznie stabilny m lim keAt k = 0. t→∞ • Obiekt (macierz A) jest asymptotycznie stabilny m Re λ < 0, ∀λ ∈ spectr A. Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Stabilność asymptotyczna Model liniowego obiektu dynamicznego: 0 −1 1 0 x = Ax, A= , x(0) = −1 −1 −0.5 lim x(t) = 0n , t→∞ ∀x(0). Rozwiazanie ˛ wzgledem ˛ czasu Upraszczanie modeli MC Stabilność asymptotyczna Modelowanie ’zdarzeń’: piłka lim keAt k = 0. KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI t→∞ A=[0 1;-1 -1]; tk = 1000; x0=[1; -0.5];[T,x]=ode45('Ax',[0 tk],x0,[],A); xx=zeros(2,size(T,1)); for k=1:size(T,1) xx(:,k)=expm(A*T(k))*x0; end norm(xx(:,tk),2) ans = 1.9393e-175 Upraszczanie modeli Stabilność asymptotyczna MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Re λ < 0, A=[0 1;-1 -1]; >> eig(A) ans = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i ∀λ ∈ spectr A. Upraszczanie modeli Kryteria stabilności asymptotycznej MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Nastepuj ˛ ace ˛ zdania sa˛ równoważne: a) A jest macierza˛ stabilna. ˛ b) ∃ M oraz α, takie że keAt k ≤ Me−αt , ∀t. c) ∀ Q > 0, Q ∈ Rn×n równania Lapunowa XAT + AX = −Q maja˛ dodatnio określone rozwiazania: ˛ X ∈ Rn×n > 0 Upraszczanie modeli Kryteria stabilności asymptotycznej MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI keAt k ≤ Me−αt , ∀t. 1 0.8 0.6 0.4 x(t) 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0 10 20 30 40 50 t 60 70 80 Rozwiazanie ˛ wzgledem ˛ czasu 90 100 Upraszczanie modeli Kryteria stabilności asymptotycznej MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI A=[0 1;-1 -1]; tk = 100; x0=[1; -0.5];[T,x]=ode45('Ax',[0 tk],x0,[],A); xx=zeros(2,size(T,1)); for k=1:size(T,1) alpha = 0.1; xx2=zeros(2,size(T,1)); xx(:,k)=expm(A*T(k))*x0; end M = [1 ;1]; for k=1:size(T,1) xx2(k)=exp(-alpha*T(k))*M; end plot(T,xx(1,:),T,xx(2,:)) hold on plot(T,xx2(1,:),'r',T,xx2(2,:),'r') ylabel('x(t)') xlabel('t') Upraszczanie modeli lyap MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Rozwiazywanie ˛ równań Lapunowa • X = lyap(A, Q); A, Q oraz X – macierze kwadratowe nxn: AX+XA’+Q=0 dla symetrycznego Q mamy symetryczne X. Upraszczanie modeli lyap MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI AX + XA0 + Q = 0 A=[0 1;-1 -1]; Q = [3 1; 1 1]; d = eig(Q) d = 0.5858 3.4142 X = lyap(A,Q) X = 4.5000 -1.5000 -1.5000 2.0000 >> eig(X) ans = 1.2974 5.2026 Upraszczanie modeli Gramian sterowalności MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • ∀ (A, B) ∈ Rn×n × Rn×p ze stabilna˛ macierza˛ A równanie Lapunowa Wc AT + AWc = −BB T posiada jednoznaczne rozwiazanie ˛ Wc = Wc (A, B) zwane gramianem sterowalności tej pary (obiektu) Z ∞ T Wc := eAt BB T eA t dt, Wc ∈ Rn×n . 0 Gramian sterowalności jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy para (A,B) jest sterowalna Upraszczanie modeli MC Gramian obserwowalności Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • ∀ (A, C) ∈ Rn×n × Rq×n ze stabilna˛ macierza˛ A równanie Lapunowa Wo A + AT Wo = −C T C posiada jednoznaczne rozwiazanie ˛ Wo = Wo (A, B) zwane gramianem obserwowalności tej pary (obiektu) Z ∞ T Wo := eA t C T CeAt dt, Wo ∈ Rn×n . 0 Gramian obserwowalności jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy para (A,C) jest obserwowalna Upraszczanie modeli gram MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Wyznaczanie gramianów • Wc = gram(sys1, ’c’); – sterowalności, • Wo = gram(sys1, ’o’); – obserwowalności dla obiektu dynamicznego opisanego przez strukture˛ sys (realizacje˛ (A,B,C,D) w przestrzeni stanu). sys1 = ss(A, B, C, D) D=0 Upraszczanie modeli gram MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI sys1 = ss(A, B, C, D) A=[0 1;-1 -1]; B = [3 1; 1 1]; C=[1 0]; >> rank(ctrb(A,B)) >> sys1 = ss(A,B,C,0); >> gc = gram(sys1,'c') gc = 1.2500 -0.1250 -0.1250 0.6250 >> eig(gc) ans = 0.6009 1.2741 D=0 ans = 2 Upraszczanie modeli gram MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI sys1 = ss(A, B, C, D) A=[0 1;-1 -1]; B = [3 1; 1 1]; C=[1 0]; >> rank(obsv(A,C)) >> sys1 = ss(A,B,C,0); >> go = gram(sys1,'o') go = 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 >> eig(go) ans = 0.1910 1.3090 D=0 ans = 2 Upraszczanie modeli Gramiany a stabilność MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • ∀ (A, B) ∈ Rn×n × Rn×p (– para sterowalna): równanie XAT + AX = −BB T posiada jednoznaczne rozwiazanie ˛ Z ∞ T X = Wc (A, B) = eAt BB T eA t dt > 0 0 m A jest stabilna. Upraszczanie modeli Gramiany a stabilność MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • ∀ (A, C) ∈ Rn×n × Rq×n (– para obserwowalna): równanie XA + AT X = −C T C posiada jednoznaczne rozwiazanie ˛ Z ∞ T X = Wo (A, C) = eA t C T CeAt dt 0 m A jest stabilna. Upraszczanie modeli MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Kryteria sterowalności i obserwowalności • ∀ (A, B) ∈ Rn×n × Rn×p ze stabilna˛ macierza˛ A: (A, B) sterowalna m gramian sterowalności Wc (A, B) > 0. • ∀ (A, C) ∈ Rn×n × Rq×n ze stabilna˛ macierza˛ A: (A, C) obserwowalna m gramian obserwowalności Wo (A, Y ) > 0. Upraszczanie modeli MC Jednoznaczność rozwiazania ˛ Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • spectr A ∈ Cn×n = {λi }ni=1 oraz spectr B ∈ Cm×m = {µi }m i=1 : • ∀ A, B oraz C ∈ Cn×m równanie Sylvestera AX + XB = C posiada jednoznaczne rozwiazanie ˛ X ∈ Cn×n m λi + µj 6= 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , m}. Upraszczanie modeli MC Jednoznaczność rozwiazania ˛ Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • spectr A ∈ Cn×n = {λi }ni=1 : • ∀ A oraz C ∈ Cn×n równanie Lapunowa AX + XAT = C posiada jednoznaczne rozwiazanie ˛ X ∈ Cn×n m λi + λ̄j 6= 0, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}. Upraszczanie modeli lyap MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI • Rozwiazywanie ˛ równań Sylvestera • X = lyap(A, B, C); A, X – nxn, B – mxm oraz C – nxm: AX+XB+C=0 Upraszczanie modeli Przykład 1 MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka Przyjać ˛ zmienne stanu f1 i f2 oraz warunki poczatkowe: ˛ f1 (0) = 1, f2 (0) = 2 KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Układ mechaniczny Upraszczanie modeli MC Przykład 1 Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Równania różniczkowe:   B1 ż1 (t) + B2 ż1 (t) + k1 (z1 (t) − z2 (t)) = 0 k (z (t) − z1 (t)) + k2 (z2 (t) − z3 (t)) = 0  1 2 k2 (z3 (t) − z2 (t)) + B3 ż3 (t) = 0 f1 (t) = k1 (z1 (t) − z2 (t)) f2 (t) = k2 (z2 (t) − z3 (t)) Upraszczanie modeli MC Przykład 1 Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Równania różniczkowe:     f2 (t) f1 (t)  +k2 B k1 − B +B    1 2 2    ḟ1 = k1 − f1 (t) −   B +B k +k    1 2 1 2       f1 (t) f2 (t)     k1 − B1 +B2 +k2 B3  f2 (t)      − ḟ = k 2 2  k +k B3  1 2    Upraszczanie modeli Przykład 1 MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI  k12 − B +B 1 2  1  − B k+B − k1 +k2 1 2 A=  k1 k2  − B +B 1  k1 k2 B2 − k1 +k2 k22 B3 k1 +k2 2 k1 +k2 − Bk23 Dla k1 = k2 = k3 = 1, B1 = B3 = 1, B2 = 4 f (0) = A= 1 2 −0.1000 −0.1250 −0.1000 −0.5000 Czy macierz A jest stabilna?      Upraszczanie modeli Przykład 1 MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka ode45 2 1.5 f(t) 1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 40 50 t 60 70 80 90 100 60 70 80 90 100 ode23s 2 1.5 1 f(t) KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 40 50 t Rozwiazanie ˛ wzgledem ˛ czasu ode45 -> size(T) = 109 ode23s -> size(T) = 58 Upraszczanie modeli Przykład 1 MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Czy macierz A jest stabilna? %wartości własne >> d = eig(A) -0.0709 -0.5291 % równanie Lapunowa A=[-0.1000 -0.1250; -0.1000 -0.5000]; d = eig(Q) 0.5858 3.4142 X = lyap(A,Q) 16.7361 -1.3889 -1.3889 1.2778 >> eig(X) 1.1540 16.8599 Q = [3 1; 1 1]; Upraszczanie modeli Przykład 1 MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Czy system jest obserwowalny dla podanej macierzy wyjścia C? C= 1 1 % macierz obserwowalności >> Mo = obsv(A,C) 1.0000 1.0000 -0.2000 -0.6250 >> rank(Mo) 2 % gramian obserwowalności sys1=ss(A,[],C,0); go = gram(sys1,'o') 4.3889 0.6111 0.6111 0.8472 eig(go) 0.7447 4.4914 Upraszczanie modeli Przykład 1 MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI Wyznaczanie funkcji f(t) f (t) = n X WiT f (0)eλi t Vi i=1 W = (V −1 )T V - macierz modalna [V,D]=eig(A); d = diag(D); W = inv(V)'; a = W(:,1)*f0*V(:,1) b = W(:,2)*f0*V(:,2) %T1 - wektor chwil czasu dla których zostało wykonane %całkowanie równania rózniczkowego np.: ode23s xx3=zeros(2,size(T1,1)); for k=1:size(T1,1) xx3(:,k)= a*exp(d(1)*T1(k)) +b*exp(d(2)*T1(k)); end Upraszczanie modeli Przykład 1 MC Modelowanie ’zdarzeń’: piłka ode23s i funkcja analityczna 2 KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI 1.5 f(t) 1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 40 50 t 60 70 Rozwiazanie ˛ wzgledem ˛ czasu 80 90 100

Upraszczanie Modeli, Sterowalność i Obserwowalność

Related documents

Products

Support

Upraszczanie Modeli, Sterowalność i Obserwowalność

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib