Maxwell’s equations 𝛻⋅𝐷 =𝜌 𝛻⋅𝐵 =0 𝛻×𝐸 =− 𝜕𝐵 𝜕𝑡 𝛻 × 𝐻 = 𝐽Ԧ + 𝜕𝐷 𝜕𝑡 𝑟Ԧ 𝑟′ 𝐹Ԧ = 𝐹Ԧ𝑖 𝑖 The principle of superposition, which states that the interaction between any two charges is completely unaffected by the presence of others. 𝓇Ԧ = 𝑟Ԧ − 𝑟′ Ԧ 𝓇ො = 𝓇Ԧ 𝑟Ԧ − 𝑟′ Ԧ = Ԧ |𝑟Ԧ − 𝑟Ԧ ′ | |𝓇| Coulomb Force: 𝐹Ԧ = 1 𝑞𝑄 𝓇ො 4𝜋𝜖0 𝓇 2 permittivity of free space: 𝜖0 = 8.85 × 10−12 𝐶2 𝑁 ⋅ 𝑚2 1 𝐹Ԧ = 𝐹1 + 𝐹2 + ⋯ = 1 𝑞1 𝑄 1 𝑞2 𝑄 ෞ+ ෞ +⋯ 𝓇 𝓇 4𝜋𝜖0 𝓇12 1 4𝜋𝜖0 𝓇22 2 1 𝑞1 1 𝑞2 ෞ+ ෞ +⋯ =𝑄 𝓇 𝓇 4𝜋𝜖0 𝓇12 1 4𝜋𝜖0 𝓇22 2 = 𝑄𝐸 𝐸= 1 𝑞1 1 𝑞2 ෞ ෞ +⋯ 𝓇 + 𝓇 4𝜋𝜖0 𝓇12 1 4𝜋𝜖0 𝓇22 2 Electric field 𝐸 = 𝐸𝑖 𝑖 2 대칭성에 의해서 𝐸1 와 𝐸2 의 𝑥방향 성분은 상쇄 𝐸=2 1 𝑞 1 2𝑞𝑧 1 𝑞𝑧 cos 𝜃 = 𝑧 Ƹ = 𝑧Ƹ 4𝜋𝜖0 𝓇 2 4𝜋𝜖0 𝑧 2 + 𝑑Τ2 2 3Τ2 2𝜋𝜖0 𝑧 2 + 𝑑Τ2 2 3Τ2 𝑧 ≫ 𝑑인 경우 𝐸= 1 2𝑞𝑧 1 1 2𝑞 𝑧 Ƹ ≈ 𝑧Ƹ 4𝜋𝜖0 𝑧 3 1 + 𝑑Τ2𝑧 2 3Τ2 4𝜋𝜖0 𝑧 2 3 1 1 ො 𝐸 𝑟Ԧ = න 𝓇𝑑𝑞 4𝜋𝜖0 𝓇 2 1 𝜆(𝑟Ԧ ′ ) ො 𝐸 𝑟Ԧ = න 2 𝓇𝑑𝑙′ 4𝜋𝜖0 𝓇 1 𝜎(𝑟Ԧ ′ ) ො 𝐸 𝑟Ԧ = න 2 𝓇𝑑𝑎′ 4𝜋𝜖0 𝓇 1 𝜌(𝑟Ԧ ′ ) ො 𝐸 𝑟Ԧ = න 2 𝓇𝑑𝜏′ 4𝜋𝜖0 𝓇 𝑑𝑞 ~ 𝜆𝑑𝑙 ′ ~ 𝜎𝑑𝑎′ ~ 𝜌𝑑𝜏 ′ 4 𝑟Ԧ = 𝑧𝑧Ƹ 𝑟′ Ԧ = 𝑥 𝑥ො 𝑑𝑙 ′ = 𝑑𝑥 ′ 𝓇Ԧ = 𝑟Ԧ − 𝑟Ԧ = 𝑧𝑧Ƹ − 𝑥 𝑥ො Ԧ = |𝓇| 𝑧2 + 𝑥2 𝓇ො = 𝓇Ԧ 𝑧𝑧Ƹ − 𝑥 𝑥ො = Ԧ |𝓇| 𝑧2 + 𝑥2 2𝐿 𝐸 𝑟Ԧ = 𝜆(𝑟Ԧ ′ ) 𝐿 𝐿 𝐿 −𝐿 −𝐿 −𝐿 1 1 𝜆 𝑧𝑧Ƹ − 𝑥 𝑥ො 𝜆 𝜆 𝑧 𝜆 𝑥 ො = න 2 𝓇𝑑𝑙′ න 2 𝑑𝑥 = 𝑧 Ƹ න 𝑑𝑥 − 𝑥 ො න 𝑑𝑥 4𝜋𝜖0 𝓇 4𝜋𝜖0 𝑧 + 𝑥 2 𝑧 2 + 𝑥 2 4𝜋𝜖0 𝑧2 + 𝑥2 𝑧2 + 𝑥2 𝑧2 + 𝑥2 𝑧2 + 𝑥2 𝜆 𝑥 = 𝑧Ƹ 4𝜋𝜖0 𝑧 𝑧2 + 𝑥2 = 𝜆 2𝐿 𝑧Ƹ 4𝜋𝜖0 𝑧 𝑧 2 + 𝐿2 = 𝜆 𝐿 𝑧Ƹ 2𝜋𝜖0 𝑧 𝑧 2 + 𝐿2 𝐿 − 𝑥ො − −𝐿 1 𝐿 𝑧 2 + 𝑥 2 −𝐿 5 Surface 𝑆를 지나는 𝐸의 flux: Φ𝐸 ≡ න 𝐸 ⋅ 𝑑 𝑎Ԧ 𝑆 6 Gauss’s law ර 𝐸 ⋅ 𝑑 𝑎Ԧ = 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 Divergence theorem ර 𝐸 ⋅ 𝑑𝑎Ԧ = ර 𝛻 ⋅ 𝐸𝑑𝜏 ~ Gauss’s theorem ~ Green’s theorem 𝑆 𝑉 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜌 ර 𝐸 ⋅ 𝑑 𝑎Ԧ = = ර 𝑑𝜏 𝜖0 𝜖0 𝑆 𝑉 𝜌 𝛻⋅𝐸 = 𝜖0 The integral of a derivative (here, divergence) over a region (here, a volume V) is equal to the value of the function at the boundary (here the surface S that bounds the volume) 7 Gauss’s law is always true, but it is not always useful. 8 ර 𝐸 ⋅ 𝑑 𝑎Ԧ = 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 𝜌 = 𝑘𝑠 𝑠 ′ =𝑠 𝑠 ′ =𝑠 𝑄𝑒𝑛𝑐 = න 𝜌𝑑𝜏 = න (𝑘𝑠 ′ )(𝑠 ′ 𝑑𝑠 ′ 𝑑𝜙𝑑𝑧) = 2𝜋𝑘𝑙 න 𝑠 ′2 𝑑𝑠′ = 𝑠 ′ =0 𝑠 ′ =0 2 𝜋𝑘𝑙𝑠 3 3 ර 𝐸 ⋅ 𝑑𝑎Ԧ = |𝐸|2𝜋𝑠𝑙 1 𝐸= 𝑘𝑠 2 𝑠Ƹ 3𝜖0 9 ර 𝐸 ⋅ 𝑑 𝑎Ԧ = 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 𝜎𝐴 2𝐴 𝐸 = 𝜖0 𝜎 𝐸= 𝑛ො 2𝜖0 10 Curl of Estatic 𝐸= 1 𝑞 𝑟Ƹ 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑑𝑙Ԧ = 𝑑𝑟𝑟Ƹ + 𝑟𝑑𝜃𝜃መ + 𝑟 sin 𝜃𝑑𝜙𝜙 𝑏 𝑟𝑏 න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ = න 𝑎 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ = 0 ර Stokes’ theorem 𝑟𝑎 1 𝑞 1 𝑞 𝑞 𝑑𝑟 = − 4𝜋𝜖0 𝑟 2 4𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑎𝑡ℎ 𝛻×𝐸 =0 𝜕 𝐴Ԧ 𝐸 = −𝛻𝑉 − 𝜕𝑡 Estatic: line integral is independent of path 𝜕 𝛻 × 𝐴Ԧ 𝜕𝐵 𝛻 × 𝐸 = −𝛻 × 𝛻𝑉 − =− 𝜕𝑡 𝜕𝑡 11 Stokes’ theorem Stokes’ theorem or the fundamental theorem for curls, න (𝛻 × 𝑣) Ԧ ⋅ 𝑑𝑎Ԧ = ර 𝑣Ԧ ⋅ 𝑑𝑙Ԧ 𝑆 𝑃 The integral of a derivative (here, curl) over a region (here, a patch of surface S) is equal to the value of the function at the boundary (here the perimeter of the patch, P) 12 Electric potential 𝑟Ԧ 𝑉 𝑟Ԧ ≡ − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ 𝒪: some reference point 𝒪 𝑏 𝑎 𝑏 𝑉 𝑏 − 𝑉 𝑎Ԧ = − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ + න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ = − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ 𝒪 𝒪 𝑎 𝑏 Fundamental theorem for gradient 𝑉 𝑏 − 𝑉 𝑎Ԧ = න(𝛻𝑉) ⋅ 𝑑𝑙Ԧ 𝑎 Integral (here a line integral) of a derivative (here the gradient) is given by the value of the function at the boundaries ( 𝑎Ԧ and 𝑏). 𝐸 = −𝛻𝑉 𝜕 𝐴Ԧ 𝐸 = −𝛻𝑉 − 𝜕𝑡 13 The reference point 𝒪 𝑟Ԧ 𝒪 𝑟Ԧ 𝑉 ′ 𝑟Ԧ = − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ = − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ = 𝐾 + 𝑉(𝑟) Ԧ 𝒪′ 𝒪′ 𝒪 𝑉 ′ 𝑏 − 𝑉 ′ 𝑎Ԧ = 𝑉 𝑏 − 𝑉(𝑎) Ԧ Potential as such carries no real physical significance. The only quantity of intrinsic interest is the difference between two points, and that is the same whatever your reference level. Unit of potential: N⋅m J = = [V] C C There is a “natural” spot to use for 𝒪 in electrostatics and that is a point infinitely far from the charge. Ordinarily, then, we “set the zero of potential at infinity.” (Since V(𝒪) = 0, choosing a reference point is equivalent to selecting a place where V is to be zero.) 14 𝑧 𝑉 𝑧 =−න ∞ 𝜎 𝜎 𝑑𝑧 = − 𝑧−∞ 2𝜖0 2𝜖0 The remedy is simply to choose some other reference point (in this example you might use a point on the plane). Notice that the difficulty occurs only in textbook problems; in “real life” there is no such thing as a charge distribution that goes on forever, and we can always use infinity as our reference point. 15 Poisson’s equation and Laplace’s equation 𝜌 𝛻⋅𝐸 = 𝜖0 𝐸 = −𝛻𝑉 𝜌 𝛻 𝑉=− 𝜖0 2 In regions where there is no charge, so ρ = 0, Poisson’s equation reduces to Laplace’s equation, 𝛻 2𝑉 = 0 16 1 𝑞 𝑉 𝑟Ԧ = 4𝜋𝜖0 𝓇 𝑁 1 𝑞𝑖 𝑉 𝑟Ԧ = 4𝜋𝜖0 𝓇𝑖 𝑖=1 1 𝑑𝑞 1 𝜌 𝑟Ԧ ′ 𝑑𝜏′ 𝑉 𝑟Ԧ = න = න 4𝜋𝜖0 𝓇 4𝜋𝜖0 𝓇 17 18 Find the potential inside and outside a spherical shell of radius R that carries a uniform surface charge. Set the reference point at infinity 가우스의 법칙➔ (outside) (inside) 𝐸= 𝑟Ԧ 𝑟 𝒪 ∞ 1 𝑞 𝑟Ƹ (outside) 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝐸 = 0 (inside) 1 𝑞 1 𝑞 𝑟 1 𝑞 ′ Ԧ 𝑉 𝑟 = − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 = − න 𝑑𝑟 = = 4𝜋𝜖0 𝑟 ′2 4𝜋𝜖0 𝑟 ′ ∞ 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑅 𝑟 ∞ 𝑅 1 𝑞 1 𝑞 𝑅 1 𝑞 ′ ′ 𝑉 𝑟 =− න 𝑑𝑟 − න 0𝑑𝑟 = +0= 4𝜋𝜖0 𝑟 ′2 4𝜋𝜖0 𝑟 ′ ∞ 4𝜋𝜖0 𝑅 19 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜎𝐴 ර 𝐸 ⋅ 𝑑𝑎Ԧ = = 𝜖0 𝜖0 𝑆 ⊥ ⊥ 𝐸𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 − 𝐸𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 = 𝜎 𝜖0 The normal component of 𝐸 is discontinuous by an amount 𝜎Τ𝜖0 at any boundary. (통의 두께 𝜖을 0으로 보내면, 옆면에서의 flux는 0이 된다.) 𝐸𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 − 𝐸𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 = ර 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ = 0 ∥ ∥ 𝐸𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 − 𝐸𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 =0 𝜎 𝑛ො 𝜖0 𝑛ො is a unit vector perpendicular to the surface, pointing from “below” to “above.” The tangential component of 𝐸 is always continuous. 20 𝑏 𝑉𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 − 𝑉𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 = − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ 𝑎 As the path length shrinks to zero, so too does the integral: 𝑉𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 − 𝑉𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 = 0 ➔ The potential, meanwhile, is continuous across any boundary. 𝜎 𝐸𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 − 𝐸𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 = 𝑛ො 𝜖0 𝜕𝑉𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 𝜕𝑉𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 𝜎 − =− 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝜖0 𝜕𝑉 = 𝛻𝑉 ⋅ 𝑛ො 𝜕𝑛 21 Work & Energy in ELECTROSTATICS You want to move a test charge Q from point 𝑎Ԧ to point 𝑏. 𝑏 𝑏 The work you do is 𝑊 = න 𝐹Ԧ ⋅ 𝑑𝑙Ԧ = −𝑄 න 𝐸 ⋅ 𝑑 𝑙Ԧ = 𝑄 𝑉 𝑏 − 𝑉(𝑎) Ԧ 𝑎 𝑎 At any point along the path, the electric force on 𝑄 is 𝐹Ԧ = 𝑄𝐸; the force you must exert, in opposition to this electrical force, is −𝑄𝐸. (If the sign bothers you, think about lifting a brick: gravity exerts a force 𝑚𝑔 downward, but you exert a force 𝑚𝑔 upward. Of course, you could apply an even greater force—then the brick would accelerate, and part of your effort would be “wasted” generating kinetic energy. What we’re interested in here is the minimum force you must exert to do the job.) 𝑉 𝑏 − 𝑉 𝑎Ԧ = 𝑊 𝑄 The potential difference between points 𝑎Ԧ and 𝑏 is equal to the work per unit charge required to carry a particle from 𝑎Ԧ to 𝑏. 22 If you want to bring 𝑄 in from far away(∞) and stick it at point 𝑟, Ԧ the work you must do is 𝑊 = 𝑄 𝑉 𝑟Ԧ − 𝑉(∞) = 𝑄𝑉 In this sense, potential is potential energy (the work it takes to create the system) per unit charge (just as the field is the force per unit charge) How much work would it take to assemble an entire collection of point charges? The first charge, 𝑞1 , takes no work, since there is no field yet to fight against: 𝑊1 = 0 Now bring in 𝑞2 . This will cost you 𝑞2 𝑉1 (𝑟Ԧ2 ), where 𝑉1 is the potential due to 𝑞1 , and 𝑟Ԧ2 is the place we’re putting 𝑞2 : 𝑞2 𝑞1 𝑊2 = 4𝜋𝜖0 𝓇12 Now bring in 𝑞3 ; this requires work 𝑞3 𝑉1,2 (𝑟Ԧ3 ), where 𝑉1,2 is the potential due to charges 𝑞1 and 𝑞2 . 𝑞3 𝑞1 𝑞2 𝑊3 = + 4𝜋𝜖0 𝓇13 𝓇23 1 𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞3 𝑞2 𝑞3 𝑊= + + 4𝜋𝜖0 𝓇12 𝓇13 𝓇23 23 𝑁 𝑞𝑖 𝑞𝑗 1 𝑊= 4𝜋𝜖0 𝓇𝑖𝑗 1 𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞3 𝑞2 𝑞3 𝑊= + + 4𝜋𝜖0 𝓇12 𝓇13 𝓇23 Generally, 𝑁 𝑁 𝑁 𝑖=1 𝑗>𝑖 𝑁 𝑁 𝑁 𝑖=1 𝑗≠𝑖 𝑖=1 𝑗≠𝑖 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑞𝑖 𝑞𝑗 1 1 1 1 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑊= = = 𝑞𝑖 4𝜋𝜖0 𝓇𝑖𝑗 8𝜋𝜖0 𝓇𝑖𝑗 2 4𝜋𝜖0 𝓇𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗>𝑖 𝑁 𝑁 1 = 𝑞𝑖 𝑉(𝑟Ԧ𝑖 ) 2 𝑖=1 1 𝑊 = න 𝜌𝑉𝑑𝜏 For a volume charge density 𝜌, 2 0 1 1 𝜖0 𝜖0 𝜖0 𝑊 = න 𝜌𝑉𝑑𝜏 = න 𝜖0 𝛻 ⋅ 𝐸𝑉𝑑𝜏 = − න 𝐸 ⋅ 𝛻𝑉 𝑑𝜏 + ර 𝑉𝐸 ⋅ 𝑑𝑎Ԧ = න 𝐸 2 𝑑𝜏 + ර 𝑉𝐸 ⋅ 𝑑 𝑎Ԧ 2 2 2 2 2 𝑉 𝑆 𝜖0 𝑊 = න 𝐸 2 𝑑𝜏 2 𝑉 24 Find the energy of a uniformly charged spherical shell of total charge q and radius R. 1 1 1 1 𝑞 1 𝑞2 𝑊 = න 𝜌𝑉𝑑𝜏 = න 𝜎𝑉𝑑𝑎 = න 𝜎𝑑𝑎 = 2 2 2 4𝜋𝜖0 𝑅 8𝜋𝜖0 𝑅 Method 1 Method 2 1 𝑞 1 𝑞2 2 𝐸= 𝑟Ƹ → 𝐸 = 4𝜋𝜖0 𝑟 2 4𝜋𝜖0 2 𝑟 4 𝑞2 ∞ 𝜖0 𝜖0 1 𝜖0 1 1 1 1 𝑞2 2 2 2 𝑊 = න 𝐸 𝑑𝜏 = න 𝑑𝜏 = න 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 = 𝑞 4𝜋 න 2 𝑑𝑟 = 2 2 4𝜋𝜖0 2 𝑟 4 2 4𝜋𝜖0 2 𝑟 4 32𝜋 2 𝜖0 𝑟 8𝜋𝜖0 𝑅 𝑉 𝑉 𝑞2 𝑉 𝑅 25 Conductors 𝐸 = 0 inside a conductor 도체의 외부에 전기장 𝐸0 가 걸린 경우 전하가 이동하여 그 림과 같이 도체 내부의 전하 분포가 형성된다. 도체 내부에 서는 전하 분포에 의한 전기장 𝐸1 이 생기게 된다. 도체 내 부의 전체 전기장은 𝐸0 + 𝐸1 = 0에 의해서 “0”이 된다. Outside the conductor the field is NOT ZERO 𝜌 = 0 inside a conductor Any net charge resides on the surface A conductor is an equipotential 𝐸 is perpendicular to the surface, just outside a conductor 26 전하가 없는(net charge=0) 도체 가까이에 전하 +𝑞 를 두면, 도체에 전하의 분포가 생기게 된다. 도체속에 구멍이 있고, 구멍 속에 전하가 있는 경우 구멍 내의 전기장은 “0”이 아니다. 그러나, 도체 내 부에 Gaussian surface를 잡으면 전기장은 “0”이 된 다. 도체 표면의 외부에 생기는 전하분포의 총합은 𝑞가 된다. 27 도체에 surface charge 𝜎가 존재하는 경우 표면전하밀도와 전위 사이의 관 계식 𝜕𝑉 𝜎 = −𝜖0 𝜕𝑛 전하와 전기장이 존재하므로 “힘”을 받게된다. 전하의 분포가 surface charge이므로 단위 면적당 힘을 고려해볼 수 있다. 1 𝜎2 𝑓Ԧ = 𝜎𝐸 = 𝜎 𝐸𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 + 𝐸𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 = 𝑛ො 2 2𝜖0 28 Capacitor 𝐸= 1 𝜌 ො න 2 𝓇𝑑𝜏 4𝜋𝜖0 𝓇 도체에서는 전위가 일정하므로 두 도체의 전위차를 구하면, (+) 𝑉 = 𝑉+ − 𝑉− = − න 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙Ԧ (−) 도체의 모양이 복잡하고 전하의 분포가 복잡하다해도, 𝐸와 𝑉는 𝑄에 비례한다. 𝑉와 𝑄의 비례 상수를 전기용량(capacitance)라고 한다. 𝑄 𝐶≡ 𝑉 전기용량(capacitance) 𝐶의 단위는 farad이라고 한다. [F] 29 평행판 축전기의 전기용량 the capacitance of a parallel-plate capacitor 위쪽 plate에 +Q의 전하를 아래쪽 plate에 –Q의 전하를 채우면 평행판 사이의 전기장은 두 판의 전위차는 1𝑄 𝑉= 𝑑 𝜖0 𝐴 Capacitance는 𝐴 𝐶 = 𝜖0 𝑑 1𝑄 𝐸= 𝜖0 𝐴 30 Capacitor에 전하 Q를 채우려면, 𝑑𝑊 = 𝑉𝑑𝑞 = 𝑞 Τ𝐶 𝑑𝑞의 일을 해주어야한다. 𝑄 𝑞 1 𝑄2 𝑊 = න 𝑑𝑞 = 𝐶 2 𝐶 0 1 𝑄2 1 1 2 𝑊= = 𝑄𝑉 = 𝐶𝑉 2 𝐶 2 2 31 Laplace’s equations 𝛻 2𝑉 = 0 1D 2 𝑑 𝑉 𝛻2𝑉 = = 0 → 𝑉 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 2 32 Laplace’s equations – image method imaginary charge 접지된 무한 도체 평면위로 거리 d인 곳에 점전하 q가 있다고 가정하자. 전하 q때문에 도체표면의 가까운 곳에서는 음전하가 유도된다. 전위는 “q”와 “유도된 전하 “에 의해 형성된다. 두개의 점전하 “q”, “-q”가 있는 경우 전위는 다음과 같다. 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 𝑑 2 + −𝑞 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 + 𝑑 2 Solution은 위 전위 방정식에서 𝑧 ≥ 0인 경우에 해당한다. 33 표면에 유도된 전하 밀도는 다음과 같이 구할 수 있다. 𝜎 = −𝜖0 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑞𝑑 1 = −𝜖0 =− 𝜕𝑛 𝜕𝑧 𝑧=0 2𝜋𝜖0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑑 2 3/2 total induced charge는 다음과 같이 구할 수 있다. 𝜙=2𝜋 𝑟=∞ 𝑄 = න 𝜎𝑑𝑎 = න 𝜎𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙 = න 𝜙=0 න − 𝑟=0 𝜙=2𝜋 𝑟=∞ 𝑞𝑑 1 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙 = න 2𝜋𝜖0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑑 2 3/2 𝜙=0 න − 𝑟=0 𝑞𝑑 1 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙 = −𝑞 2𝜋𝜖0 𝑟 2 + 𝑑 2 3/2 34 A point charge q is situated a distance a from the center of a grounded conducting sphere of radius R. 𝑞′ = − 𝑅 𝑞 𝑎 𝑅2 𝑏= 𝑎 1 𝑞 𝑞′ 𝑉= + 4𝜋𝜖0 𝓇 𝓇 ′ The method of images is delightfully simple . . . when it works. But it is as much an art as a science, for you must somehow think up just the right “auxiliary” configuration, and for most shapes this is forbiddingly complicated, if not impossible. 35 Laplace’s equations – partial differential equation, separation of variables 주어진 임의의 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. ∞ 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) 𝑛=0 여기서 𝑓𝑛 (𝑥)는 orthogonal function 이다. 주어진 영역 [0, 𝑎]에서 𝑓𝑚 𝑥 , 𝑓𝑛 𝑥 𝑎 = 0 𝑓𝑚 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 0 if 𝑚 ≠ 𝑛 36 주어진 구조가 z축과는 무관하므로 Laplace’s equation은 다음과 같다. 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 경계 조건은 다음과 같다. 𝑖 𝑉 = 0 @𝑦 = 0 𝑖𝑖 𝑉 = 0 @𝑦 = 𝑎 𝑖𝑖𝑖 𝑉 = 𝑉0 (𝑦) @𝑥 = 0 𝑖𝑣 𝑉 → 0 𝑎𝑠 𝑥 → ∞ The first step is to look for solutions in the form of products: 𝑉 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 𝑌(𝑦) 이렇게 가정하는 것은 특별한 경우에 해당한다. 37 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 𝑑2𝑋 𝑑2𝑌 + =0⇒𝑌 +𝑋 2 =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 1 𝑑2𝑋 1 𝑑2𝑌 1 𝑑2 𝑋 1 𝑑2𝑌 + =0→ =− = 𝑘2 2 2 2 2 𝑋 𝑑𝑥 𝑌 𝑑𝑦 𝑋 𝑑𝑥 𝑌 𝑑𝑦 2𝑌 𝑑2 𝑋 𝑑 = 𝑘 2 𝑋, 2 = −𝑘 2 𝑌 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑋 = 𝐴𝑒 𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑘𝑥 𝑌 = 𝐶 sin(𝑘𝑦) + 𝐷 cos(𝑘𝑦) 𝑉 𝑥, 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑘𝑥 𝐶 sin 𝑘𝑦 + 𝐷 cos 𝑘𝑦 경계조건 𝑖 , 𝑖𝑖 , (𝑖𝑣) 를 사용하면 𝑛𝜋 𝑉 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑒 −𝑘𝑥 sin 𝑘𝑦 , 𝑘 = (𝑛 = 1,2,3, ⋯ ) 𝑎 ∞ 𝑉 𝑥, 𝑦 𝑛𝜋 −𝑎𝑥 = 𝑐𝑛 𝑒 sin 𝑛=1 𝑛𝜋 𝑦 𝑎 38 경계조건 𝑖𝑖𝑖 을 사용하면 4𝑉0 𝑉 𝑥, 𝑦 = 𝜋 ∞ 𝑛=1,3,5,⋯ 1 −𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋 𝑒 𝑎 sin 𝑦 𝑛 𝑎 39 주어진 구조가 z축과는 무관하므로 Laplace’s equation은 다음과 같다. 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 경계 조건은 다음과 같다. 𝑖 𝑉 = 0 @𝑦 = 0 𝑖𝑖 𝑉 = 0 @𝑦 = 𝑎 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 𝑑2𝑋 𝑑2𝑌 + =0⇒𝑌 +𝑋 2 =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 𝑖𝑖𝑖 𝑉 = 𝑉0 @𝑥 = 𝑏 𝑖𝑣 𝑉 = 𝑉0 @𝑥 = −𝑏 1 𝑑2𝑋 1 𝑑2𝑌 1 𝑑2𝑋 1 𝑑2𝑌 2 + = 0 → = − = 𝑘 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑌 𝑑𝑦 2 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑌 𝑑𝑦 2 2 𝑑2𝑋 𝑑 𝑌 2 𝑋, = 𝑘 = −𝑘 2 𝑌 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑋 = 𝐴𝑒 𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑘𝑥 𝑌 = 𝐶 sin(𝑘𝑦) + 𝐷 cos(𝑘𝑦) 40 𝑉 𝑥. 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑘𝑥 𝐶 sin 𝑘𝑦 + 𝐷 cos 𝑘𝑦 𝑥 = 0 대해 대칭이므로, 경계조건 𝑖 , 𝑖𝑖 𝑉 𝑥. 𝑦 = cosh(𝑘𝑥) 𝐶 sin 𝑘𝑦 + 𝐷 cos 𝑘𝑦 를 사용하면 𝑉 𝑥. 𝑦 = 𝐶 cosh 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥 sin 𝑦 𝑎 𝑎 ∞ 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑉 𝑥. 𝑦 = 𝑐𝑛 cosh 𝑥 sin 𝑦 𝑎 𝑎 𝑛=1 경계조건 𝑖𝑖𝑖 , 𝑖𝑣 를 사용하면 𝑛𝜋 cosh 𝑥 4𝑉0 1 𝑛𝜋 𝑎 𝑉 𝑥. 𝑦 = sin 𝑦 𝜋 𝑛 cosh 𝑛𝜋 𝑏 𝑎 𝑛=1,3,5,⋯ 𝑎 ∞ 41 Laplace’s equation은 다음과 같다. 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 + + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 경계 조건은 다음과 같다. 𝑖 𝑉 = 0 @𝑦 = 0 𝑖𝑖 𝑉 = 0 @𝑦 = 𝑎 𝑖𝑖𝑖 𝑉 = 0 @𝑧 = 0 𝑖𝑣 𝑉 = 0 @𝑧 = 𝑏 𝑣 𝑉 → 0 𝑎𝑠 𝑥 → ∞ 𝑖𝑣 𝑉 = 𝑉0 (𝑦, 𝑧) @𝑥 = 0 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍(𝑧) 1 𝑑2𝑋 1 𝑑2𝑌 1 𝑑2𝑍 + + =0 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑌 𝑑𝑥 2 𝑍 𝑑𝑥 2 2𝑌 2𝑍 1 𝑑2𝑋 1 𝑑 1 𝑑 = 𝑘 2 + 𝑙2 , = −𝑘 2 , = −𝑙 2 2 2 2 𝑋 𝑑𝑥 𝑌 𝑑𝑥 𝑍 𝑑𝑥 42 2 2 2 2 𝑋 𝑥 = 𝐴𝑒 𝑘 +𝑙 𝑥 + 𝐵𝑒 − 𝑘 +𝑙 𝑥 𝑌 𝑦 = 𝐶 sin 𝑘𝑦 + 𝐷 cos(𝑘𝑦) 𝑍 𝑧 = 𝐸 sin 𝑙𝑧 + 𝐹 cos(𝑙𝑧) 경계조건 𝑖 , 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖𝑖 , 𝑖𝑣 , (𝑣) 를 사용하면 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 = 𝐶𝑒 ∞ 𝑛Τ𝑎 2 + 𝑚Τ𝑏 2 −𝜋 ∞ 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑚,𝑛 𝑒 −𝜋 𝑛Τ𝑎 2 + 𝑚Τ𝑏 2 sin 𝑛=1 𝑚=1 경계조건 𝑣𝑖 𝑛𝜋 𝑚𝜋 sin 𝑦 sin 𝑧 𝑎 𝑏 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑦 sin 𝑧 𝑎 𝑏 를 사용하면 0 𝑐𝑛,𝑚 = ቐ 16𝑉0 𝜋 2 𝑚𝑛 16𝑉0 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 𝜋 𝑚, 𝑛 𝑖𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑚, 𝑛 𝑖𝑠 𝑜𝑑𝑑 ∞ ∞ 𝑛=1,3,5,⋯ 𝑚=1,3,5,⋯ 1 −𝜋 𝑒 𝑚𝑛 𝑛Τ𝑎 2 + 𝑚Τ𝑏 2 sin 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑦 sin 𝑧 𝑎 𝑏 43 Spherical coordinates 2 1 𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕 𝑉 𝛻 2𝑉 = 2 𝑟2 + 2 sin 𝜃 + 2 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 2 𝑧축에 대한 회전 대칭이 존재한다면, 𝛻 2𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 Θ(𝜃) 1 𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕 𝜕𝑉 2 𝑟 + sin 𝜃 =0 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 1 𝑑 𝑑𝑅 1 𝑑 𝑑Θ 𝑟2 + sin 𝜃 =0 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 1 𝑑 𝑑𝑅 1 𝑑 𝑑Θ 2 𝑟 =− sin 𝜃 = 𝑙(𝑙 + 1) 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 44 1 𝑑 𝑑𝑅 𝑟2 = 𝑙(𝑙 + 1) 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑅 𝑟 = 𝐴𝑟 + 1 𝑑 𝑑Θ sin 𝜃 = −𝑙(𝑙 + 1) Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 Θ 𝜃 = 𝑃𝑙 (cos 𝜃) Legendre polynomial 𝑙 𝐵 𝑟 𝑙+1 1 − 𝑥 2 𝑃𝑙′′ 𝑥 − 2𝑥𝑃𝑙′ 𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0 1 𝑑𝑙 2 𝑙 𝑃𝑙 𝑥 = 𝑙 𝑥 − 1 2 𝑙! 𝑑𝑥 𝑙 45 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 = 𝐴𝑟 𝑙 + 𝐵 𝑟 𝑙+1 𝑃𝑙 (cos 𝜃) ∞ 𝑉 𝑟, 𝜃 = 𝑙=0 𝐴𝑙 𝑟 𝑙 + 𝐵𝑙 𝑃 (cos 𝜃) 𝑟 𝑙+1 𝑙 46 An uncharged metal sphere of radius R(𝑉 = 0@𝑟 = 𝑅) is placed in an otherwise uniform electric field 𝐸 = 𝐸0 𝑧.Ƹ The field will push positive charge to the “northern” surface of the sphere, and—symmetrically— negative charge to the “southern” surface. This induced charge, in turn, distorts the field in the neighborhood of the sphere. Find the potential in the region outside the sphere. 경계조건 𝑖 𝑉 = 0 @𝑟 = 𝑅 (𝑖𝑖)먼 곳(𝑧 ≫ 1)에서 전기장이 𝐸0 𝑧가 Ƹ 되므로, 먼 곳에서의 전위 는 𝑉 = −𝐸0 𝑧 = −𝐸0 𝑟 cos 𝜃가 된다. (hidden) ∞ 𝑉 𝑟, 𝜃 = 𝑙=0 ∞ 경계조건 𝑖 에 의해서 𝑉 𝑅, 𝜃 = 𝑙=0 𝐵𝑙 = −𝐴𝑙 𝑅2𝑙+1 𝐴𝑙 𝑅 𝑙 + 𝐴𝑙 𝑟 𝑙 + 𝐵𝑙 𝑃 (cos 𝜃) 𝑟 𝑙+1 𝑙 𝐵𝑙 𝐵𝑙 𝑙 𝑃 (cos 𝜃) = 0 ⇒ 𝐴𝑙 𝑅 + 𝑙+1 = 0 𝑅𝑙+1 𝑙 𝑅 47 ∞ ∞ 𝑙=0 𝑙=0 𝐴𝑙 𝑅2𝑙+1 𝑅 2𝑙+1 𝑙 𝑙 𝑉 𝑟, 𝜃 = 𝐴𝑙 𝑟 − 𝑃𝑙 (cos 𝜃) = 𝐴𝑙 𝑟 − 𝑙+1 𝑃𝑙 (cos 𝜃) 𝑟 𝑙+1 𝑟 0 ∞ 𝑉 𝑟 ≫ 𝑅, 𝜃 = 𝐴𝑙 𝑙=0 2𝑙+1 𝑅 𝑟 𝑙 − 𝑙+1 𝑃𝑙 (cos 𝜃) = −𝐸0 𝑟 cos 𝜃 𝑟 Legendre polynomial의 성질에 의해서 𝑃1 cos 𝜃 = cos 𝜃이므로, 𝐴1 = −𝐸0 , 𝐴𝑙 𝑙 ≠ 1 = 0 𝑉 𝑟, 𝜃 = −𝐸0 𝑅3 𝑅3 𝑟 − 2 cos 𝜃 = −𝐸0 𝑟 cos 𝜃 + 𝐸0 2 cos 𝜃 𝑟 𝑟 첫번째 항은 외부의 전기장에 의해서 형성된 것이고, 두번째 항은 induced charge가 만든 전기장이다. Induced charge density는 𝜎 = −𝜖0 𝜕𝑉 = 3𝜖0 𝐸0 cos 𝜃 𝜕𝑟 𝑟=𝑅 48 Electric dipole 그림과 같이 +𝑞의 전하와 −𝑞의 전하가 𝑑만큼 떨어져 있는 경우, electric potential은 다음과 같다. 𝑉= 1 𝑞 𝑞 − 4𝜋𝜖0 𝓇+ 𝓇− cos 법칙을 쓰면 아래와 같은 식을 얻는다. 𝓇±2 = 𝑟 2 + 𝑑Τ2 2 ∓ 𝑟𝑑 cos 𝜃 = 𝑟 2 1 1 𝑑 ≈ 1 ∓ cos 𝜃 𝓇± 𝑟 𝑟 1 −2 𝑑 𝑑2 1 ∓ cos 𝜃 + 2 𝑟 4𝑟 1 𝑑 1 1 𝑑 ≈ 1 ± cos 𝜃 ⇒ − ≈ cos 𝜃 𝑟 2𝑟 𝓇+ 𝓇− 𝑟 2 𝑉= 1 𝑞 𝑞 1 𝑞𝑑 − ≈ cos 𝜃 4𝜋𝜖0 𝓇+ 𝓇− 4𝜋𝜖0 𝑟 2 Electric dipole의 경우 거리가 멀어지면, 𝑉 ∝ 1Τ𝑟 2 의 관계를 가진다. 49 Multipole expansion 그림과 같이 한 곳에 모여있는 전하 분포의 경우, electric potential은 다음과 같다. 1 1 න 𝜌(𝑟Ԧ ′ )𝑑𝜏′ 4𝜋𝜖0 𝓇 cos 법칙을 쓰면 아래와 같은 식을 얻는다. 𝑉 𝑟Ԧ = ′ 𝑟 𝓇 2 = 𝑟 2 + 𝑟 ′2 − 2𝑟𝑟 ′ cos 𝛼 = 𝑟 2 1 + 𝑟 1 1 1 1 1 3 2 5 3 − 2 = 1+𝜖 ≈ 1− 𝜖+ 𝜖 − 𝜖 +⋯ 𝓇 𝑟 𝑟 2 8 16 2 ∞ 𝑟′ − 2 cos 𝛼 ≡ 𝑟 2 (1 + 𝜖) 𝑟 1 𝑟′ = 𝑟 𝑟 𝑛 𝑃𝑛 (cos 𝛼) 𝑛=0 ∞ 1 𝑟 ′𝑛 𝑉 𝑟Ԧ = න 𝑛+1 𝑃𝑛 (cos 𝛼)𝜌(𝑟Ԧ ′ )𝑑𝜏′ 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑛=0 2 1 1 1 1 2 3 cos 𝛼 − 1 ′ ′ ′ ′ = න 𝜌 𝑟Ԧ 𝑑𝜏′ + 2 න 𝑟 cos 𝛼 𝜌(𝑟Ԧ )𝑑𝜏′ + 3 න 𝑟 𝜌(𝑟Ԧ ′ )𝑑𝜏′ + ⋯ 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑟 𝑟 2 50 𝑉𝑚𝑜𝑛𝑜𝑝𝑜𝑙𝑒 = 1 1 න 𝜌 𝑟Ԧ ′ 𝑑𝜏′ 4𝜋𝜖0 𝑟 1 1 1 1 1 1 1 1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 𝑉𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑒 = න 𝑟 cos 𝛼 𝜌(𝑟Ԧ )𝑑𝜏′ = න 𝑟Ԧ ⋅ 𝑟𝜌( Ƹ 𝑟Ԧ )𝑑𝜏′ = 𝑟Ƹ ⋅ න 𝑟Ԧ 𝜌 𝑟Ԧ 𝑑𝜏 ≡ 𝑟Ƹ ⋅ 𝑝Ԧ 4𝜋𝜖0 𝑟 2 4𝜋𝜖0 𝑟 2 4𝜋𝜖0 𝑟 2 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑛 𝑝Ԧ = න 𝑟Ԧ ′ 𝜌 𝑟Ԧ ′ 𝑑𝜏 ′ = 𝑞𝑖 𝑟Ԧ𝑖 ′ 𝑖=1 두 점전하에 대해서 식을 정리하면, 𝑝Ԧ = 𝑞 𝑟Ԧ+′ − 𝑞 𝑟Ԧ−′ = 𝑞 𝑟Ԧ+′ − 𝑟Ԧ−′ = 𝑞𝑑Ԧ 51 The electric field of a dipole 1 1 1 𝑝 cos 𝜃 𝑉𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑒 = 𝑟Ƹ ⋅ 𝑝Ԧ = 4𝜋𝜖0 𝑟 2 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝐸𝑟 = − 𝜕𝑉 1 2𝑝 cos 𝜃 = 𝜕𝑟 4𝜋𝜖0 𝑟 3 1 𝜕𝑉 1 𝑝 sin 𝜃 𝐸𝜃 = − = 𝑟 𝜕𝜃 4𝜋𝜖0 𝑟 3 𝐸𝜙 = − 1 𝜕𝑉 =0 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 1 𝑝 𝐸𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑒 = 2 cos 𝜃𝑟Ƹ + sin 𝜃 𝜃መ 3 4𝜋𝜖0 𝑟 52
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