𝑧 ≫ 𝐿인 경우 점 𝑃에서의 전기장을 구하라. (Line charge density는 𝜆라고 하자.) 𝜃 𝓇 𝑥 1 𝜆 𝐸= 4𝜋𝜖0 𝑧 −1 + 𝑧 𝑧 2 + 𝐿2 𝑥+ 𝐿 𝑧 2 + 𝐿2 𝑧 점 𝑃에서의 전기장을 구하라. (Line charge density는 𝜆라고 하자.) 1개의 edge에 의한 전기장 크기는 4개의 edge가 있고, z방향 성분만 합해야 하므로 4 cos 𝜃 = 4𝑧 𝑎 𝑧2 + 2 4 𝐸= 1 4𝜋𝜖0 4𝜆𝑎𝑧 𝑎2 𝑎2 (𝑧 2 + 4 ) 𝑧 2 + 2 𝑧 점 𝑃에서의 전기장을 구하라. (Line charge density는 𝜆라고 하자.) 수평 성분은 대칭에 의해서 서로 상쇄되고 수직 성분만 남는다. 𝐸= 1 4𝜋𝜖0 𝜆𝑑𝑙 cos 𝜃 𝑧 𝓇2 𝑧 𝓇 = 𝑟 + 𝑧 & cos 𝜃 = & 𝓇 2 2 2 1 2𝜋𝑟𝜆𝑧 𝐸= 𝑧 4𝜋𝜖0 𝑟 2 + 𝑧 2 3/2 𝑑𝑙 = 2𝜋𝑟 반지를 𝑅인 원반위에 전하가 𝜎의 면전하를 가지고 고르게 분포해있다. 원반의 중심에서 위로 거리가 𝑧인 곳의 전기장을 구하라. 반지름 𝑟,두께 𝑑𝑟의 경우를 생각하면 𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟 = 𝜆2𝜋𝑟 𝐸𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑘 = 1 4𝜋𝜖0 𝑅 0 1 𝜎𝑑𝑟2𝜋𝑟𝑧 𝑧 4𝜋𝜖0 𝑟 2 + 𝑧 2 3/2 𝜎𝑑𝑟2𝜋𝑟𝑧 2𝜋𝜎𝑧 1 1 𝑧 = − 𝑧 2 2 4𝜋𝜖0 𝑧 𝑟 2 + 𝑧 2 3/2 𝑅 +𝑧 대원의 반지름의 길이가 𝑅인 spherical shell에 고르게(𝜎) 전하가 퍼져있다. 총 전하량은 𝑞라고 한다. 공 밖의 점 𝑃에서의 전기장을 구하라. 𝑧 − 𝑅 cos 𝜃 cos 𝜓 = 𝓇 𝓇 2 = 𝑅2 + 𝑧 2 − 2𝑅𝑧 cos 𝜃 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑎 = 𝜎𝑅2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 1 𝐸𝑧 = 4𝜋𝜖0 𝜎𝑅2 (𝑧 − 𝑅 cos 𝜃) sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 1 2𝜋𝜎𝑅2 𝑧 − 𝑅 𝑧+𝑅 = + 4𝜋𝜖0 𝑧 2 |𝑧 − 𝑅| |𝑧 + 𝑅| 𝑅2 + 𝑧 2 − 2𝑅𝑧 cos 𝜃 3/2 𝑧 > 𝑅인 경우 1 2𝜋𝜎𝑅2 1 𝑞 1 𝑞 𝐸𝑧 = 1 + 1 = ⇒ 𝐸 = 𝑧 4𝜋𝜖0 𝑧 2 4𝜋𝜖0 𝑧 2 4𝜋𝜖0 𝑧 2 그림과 같은 spherical coordinate에서 전기장이 𝐸 = 𝑘𝑟 3 𝑟과 같다고 하자. 전하밀도 𝜌를 구하면? 𝜌 = 𝜖0 𝛻 ⋅ 𝐸 = 5𝜖0 𝑘𝑟 2 그림과 같이 정육면체의 꼭지점에 전하가 있을 경우 빗금친 영역을 지나는 전기장의 flux를 구하면? 대칭형이 되게 정육면체를 확장하면 𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒 1 𝐸 ⋅ 𝑑𝑎 = 24 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑒 1 𝑞 𝐸 ⋅ 𝑑𝑎 = 24 𝜖0 속이 빈 thick spherical shell에서 전하밀도 분포가 𝑘 𝜌 = 2 (𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏) 𝑟 와 같이 주어졌다. 전기장의 크기를 구하면? 𝐸 = 𝑘 𝑟−𝑎 𝜖0 𝑟 2 𝑘 𝑏−𝑎 𝐸 = 𝜖0 𝑟 2 𝐸 =0 전하밀도가 각각 +𝜌, −𝜌로 고르게 퍼진 반지름 𝑅인 공이 두 개가 있다. 두 공의 일부분이 겹쳐있다고 하자. 겹쳐진 부분에서 전기장의 크기를 구하라. 𝐸− = − 𝐸+ = 𝐸= 𝜌 𝑟 3𝜖0 + 𝜌 𝜌 𝑟+ − 𝑟− = 𝑑 3𝜖0 3𝜖0 𝜌 𝑟 3𝜖0 − 𝐸 = 𝑥𝑦𝑥 + 2𝑦𝑧𝑦 + 3𝑧𝑥 𝑧와 같은 전기장은 존재하지 않는다. 왜냐하면… 𝛻 × 𝐸 = −2𝑦𝑥 − 3𝑧𝑦 − 𝑥 𝑧 ≠ 0 반지름 𝑅인 구 속에 전하 𝑞가 고르게 퍼져있다. 공 안과 밖의 전위를 구하라. 1 𝑞 𝐸= 𝑟, 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑟>𝑅 1 𝑞 𝐸= 𝑟𝑟, 4𝜋𝜖0 𝑅3 𝑟<𝑅 𝑟 𝑟>𝑅⇒𝑉=− ∞ 𝑅 𝑟<𝑅⇒𝑉=− ∞ 1 𝑞 1 𝑞 𝑑𝑟 = 4𝜋𝜖0 𝑟 2 4𝜋𝜖0 𝑟 1 𝑞 𝑑𝑟 − 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑟 𝑅 1 𝑞 𝑞 1 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 = 3− 2 4𝜋𝜖0 𝑅3 4𝜋𝜖0 2𝑅 𝑅 1 𝑉= 4𝜋𝜖0 2𝑞 2 𝑑 𝑧2 + 2 𝜆 𝐿 + 𝑧 2 + 𝐿2 𝑉= ln 2𝜋𝜖0 𝑧 𝜎 𝑉= 2𝜖0 𝑅2 + 𝑧 2 − 𝑧 그림처럼 세 전하가 놓여있는 정사각형의 빈 꼭지점에 +𝑞를 먼 곳에서 가져다 놓 을 때 얼마의 일을 해주어야 하는가? 𝑉= 𝑞 1 −2 + 4𝜋𝜖0 𝑎 2 𝑞2 1 𝑊4 = 𝑞𝑉 = −2 + 4𝜋𝜖0 𝑎 2 반지름 𝑅인 속이 꽉 찬 공에 전하 𝑞가 고르게 퍼져있을 때 저장된 에너지를 구하라. 1 𝑞 𝑟2 𝑉= 3− 2 4𝜋𝜖0 2𝑅 𝑅 1 𝑊= 2 1 𝜌𝑉𝑑𝑟 = 𝜌 2 𝑅 0 1 𝑞 𝑟2 1 3𝑞 2 2 3 − 2 4𝜋𝑟 𝑑𝑟 = 4𝜋𝜖0 2𝑅 𝑅 4𝜋𝜖0 5𝑅 반지름 𝑅인 속이 금속구에 전하 𝑞가 고르게 퍼져있다. 두꺼운 금속 공껍질(thick spherical shell)이 금속구의 외부에 있고 대원의 반경은 그림과 같다. 중심에서의 전위를 구하라. 0 𝑉=− 𝑏 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 = − ∞ ∞ 1 𝑞 𝑑𝑟 − 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑎 𝑅 0 𝑑𝑟 − 𝑏 𝑎 1 𝑞 𝑑𝑟 − 4𝜋𝜖0 𝑟 2 0 0 𝑑𝑟 = 𝑅 1 𝑞 𝑞 𝑞 + − 4𝜋𝜖0 𝑏 𝑅 𝑎 전하를 띄지 않은 도체와 가까이 있는 점전하는 늘 끌어당기는 힘이 존재하는가? 답: 아니다 근거: https://math.mit.edu/~stevenj/papers/LevinJo11.pdf 그림과 같은 동축(coaxial) 금속원통이 있다. 단위길이당 capacitance(전기용량)을 구하면? 왼쪽과 같은 cylindrical coordinate를 사용하자. Gauss’ law에 의해서 𝑄 1 𝐸= 𝑠 2𝜋𝜖0 𝐿 𝑠 𝑏 𝑉 𝑏 −𝑉 𝑎 =− 𝑎 𝐶= 𝑄 2𝜋𝜖0 𝐿 𝐶 2𝜋𝜖0 = ⇒ = Δ𝑉 ln 𝑏 𝐿 ln 𝑏 𝑎 𝑎 𝑄 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 = − 2𝜋𝜖0 𝐿 𝑏 𝑎 1 𝑄 𝑏 𝑑𝑠 = − ln 𝑠 2𝜋𝜖0 𝐿 𝑎 접지된 도체판에서 거리 𝑑인 곳에서 선전하 𝜆가 고르게 퍼진 아주 긴 직선 도선이 있다. 그림에서 도체판은 𝑥𝑦평면이라고 하고, 도선은 𝑥축에 평 행하게 두면 된다. 도체판 위쪽의 전위를 구하라. Image charge 방법을 사용하여 좌측 그림과 같은 상황을 고려한다. 𝜆 𝑠−2 𝜆 𝑦2 + 𝑧 + 𝑑 2 𝑉 𝑦, 𝑧 = ln 2 = ln 2 4𝜋𝜖0 4𝜋𝜖 𝑦 + 𝑧−𝑑 2 𝑠+ 0 도체판에서 surface charge density를 구하면 도체판에서 total charge를 구하면 𝜎 𝑦 = −𝜖0 𝑙𝜆𝑑 𝑞𝑖𝑛𝑑 = − 𝜋 ∞ −∞ 𝜕𝑉 𝜆𝑑 =− 𝜕𝑧 𝑧=0 𝜋 𝑦 2 + 𝑑2 1 𝑑𝑦 = −𝜆𝑙 𝑦 2 + 𝑑2 그림과 같이 정육면체를 생각하자. 위쪽의 뚜껑은 𝑉0 로 전압이 주어져있 고, 나머지 다섯개의 면은 접지되어 있다. 이런 경우 electric potential은 어떻게 되는가? 변수 분리법을 적용하고, 경계조건을 사용한다. 𝑋 𝑥 = 𝐴 sin(𝑘𝑥) + 𝐵 cos(𝑘𝑥) , 𝑌 𝑦 = 𝐶 sin(𝑙𝑦) + 𝐷 cos(𝑙𝑦) , 𝑍 𝑧 = 𝐸 cosh( 𝑘 2 + 𝑙 2 𝑧) + 𝐹 sinh( 𝑘 2 + 𝑙 2 𝑧) 경계조건 (i)(ii)에 의해서, 𝐵 = 0, 𝑘 = 𝑛𝜋/𝑎 경계조건 (iii)(iv)에 의해서, 𝐷 = 0, 𝑙 = 𝑚𝜋/𝑎 경계조건 (v)에 의해서, 𝐸 = 0 ∞ ∞ Superposition principle과 Fourier series에 의해서 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑛=1 𝑚=1 경계조건 (vi)에 의해서, ∞ ∞ 𝑉0 = 𝑛=1 𝑚=1 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝜋 𝑛2 + 𝑚2 𝑐𝑚,𝑛 sin 𝑥 sin 𝑦 sinh 𝑧 𝑎 𝑎 𝑎 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝜋 𝑛2 + 𝑚2 𝑐𝑚,𝑛 sin 𝑥 sin 𝑦 sinh 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 (앞 페이지에서 계속) 𝑐𝑛,𝑚 sinh(𝜋 𝑛2 + 𝑚2 ) = 2 𝑎 𝑎 𝑎 2 𝑉0 0 0 𝑛𝜋 𝑚𝜋 sin 𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑎 𝑎 0 16𝑉0 𝜋 2 𝑛𝑚 𝑛𝑚이 짝수 𝑛𝑚이 홀수 𝜋 𝑛2 + 𝑚2 𝑧 16𝑉0 1 𝑛𝜋 𝑚𝜋 sinh 𝑎 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 sin 𝑥 sin 𝑦 2 + 𝑚2 𝜋 𝑛𝑚 𝑎 𝑎 sinh 𝜋 𝑛 𝑛=1,3,5,... 𝑚=1,3,5,… ∞ ∞ Sphere of radius 𝑅에 surface potential이 𝑉0 = 𝑘 cos(3𝜃) 로 주어졌다. Surface charge density 𝜎(𝜃) on the sphere 를 구하라. 𝑉0 = 𝑘 cos(3𝜃) = 𝑘 4 cos 3 𝜃 − 3 cos 𝜃 ∞ 𝑉 𝑟, 𝜃 = 𝑙=0 ∞ 𝑙=0 𝐴𝑙 𝑟 𝑙 𝑃𝑙 (cos 𝜃) 𝑟≤𝑅 𝐵𝑙 𝑃 (cos 𝜃) 𝑟 𝑙+1 𝑙 𝑟≥𝑅 8𝑘 2𝑙 + 1 3 5𝑅 𝐴𝑙 = 𝑉0 𝑃𝑙 (cos 𝜃) sin 𝜃 𝑑𝜃 = 3𝑘 2𝑅𝑙 − 0 5𝑅 𝜋 𝑉 𝑟, 𝜃 = 8 3 = 𝑘 𝑃3 (cos 𝜃) − 𝑃1 (cos 𝜃) 5 5 8𝑘𝑅4 5 𝐵𝑙 = 𝐴𝑙 𝑅2𝑙+1 = 3𝑘𝑅2 − 5 𝑙=3 𝑙=1 𝑘𝑟 𝑟 2 cos 𝜃 4 5 cos2 𝜃 − 3 − 3 5𝑅 𝑅 𝑟≤𝑅 𝑘 𝑅 2 𝑟 2 cos 𝜃 4 5 cos 2 𝜃 − 3 − 3 5 𝑟 𝑅 𝑟≥𝑅 ∞ 2𝑙 + 1 𝐴𝑙 𝑅𝑙−1 𝑃𝑙 (cos 𝜃) = 𝜖0 [3𝐴1 𝑃1 cos 𝜃 𝜎 𝜃 = 𝜖0 𝑙=0 + 7𝐴3 𝑅2 𝑃3 cos 𝜃) 𝑙=3 𝑙=1 𝜖0 𝑘 = cos 𝜃 [140 cos 2 𝜃 − 93] 5𝑅 Cylindrical coordinates에서 𝑧방향으로 균일(𝑧방향 미분이 0)일 때 Laplace equation을 풀면? 1𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕2𝑉 𝑠 + 2 =0 𝑠 𝜕𝑠 𝜕𝑠 𝑠 𝜕𝜙 2 𝑉 𝑠, 𝜙 = 𝑆 𝑠 Φ(𝜙)라 놓고 변수분리법을 적용하면, 𝑠 𝑑 𝑑𝑆 1 𝑑2Φ 𝑠 =− = 𝑘2 2 𝑆 𝑑𝑠 𝑑𝑠 Φ 𝑑𝜙 𝑘 > 1: Φ 𝜙 = 𝐴 cos(𝑘𝜙) + 𝐵 sin(𝑘𝜙) , 𝑆 𝑠 = 𝐶𝑠 𝑘 + 𝐷𝑠 −𝑘 𝑘 = 0: Φ 𝜙 = 𝐴 + 𝐵𝜙, 𝑆 𝑠 = 𝐶 ln 𝑠 + 𝐷 ∞ 𝑉 𝑠, 𝜙 = 𝑎0 + 𝑏0 ln 𝑠 + [𝑠 𝑘 𝑎𝑘 cos 𝑘𝜙 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜙 𝑘=1 + 𝑠 −𝑘 𝑐𝑘 cos 𝑘𝜙 + 𝑑𝑘 sin 𝑘𝜙 ] 반지를 𝑅인 무한하게 긴 금속관을 고른 전기장 𝐸0 𝑥에 직각 방향으로 둘 때, 관밖의 전위를 구하라. 경계조건 𝑉 = 0, @𝑠 = 𝑅 𝑉 = −𝐸0 𝑥 = −𝐸0 𝑠 cos 𝜙 , @𝑠 ≫ 𝑅 ∞ 𝑉 𝑠, 𝜙 = 𝑎0 + 𝑏0 ln 𝑠 + [𝑠 𝑘 𝑎𝑘 cos 𝑘𝜙 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜙 + 𝑠 −𝑘 𝑐𝑘 cos 𝑘𝜙 + 𝑑𝑘 sin 𝑘𝜙 ] 𝑘=1 경계 조건을 대입하면, 𝐸0 𝑅2 𝑉 𝑠, 𝜙 = −𝐸0 𝑠 cos 𝜙 + cos 𝜙 𝑠 𝜎 = −𝜖0 𝜕𝑉 = 2𝜖0 𝐸0 cos 𝜙 𝜕𝑠 𝑠=𝑅 고른 전기장 𝐸0 𝑧가 있는 곳에 고른 선형 유전체로 된 공을 두었다. 공 속의 전기장을 구하라. 경계 조건 (i) 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑜𝑢𝑡 @𝑟 = 𝑅 경계 조건 (ii) 𝜖 경계 조건 (iii) 𝑉𝑜𝑢𝑡 → −𝐸0 𝑟 cos 𝜃 @𝑟 ≫ 𝑅 𝜕𝑉𝑖𝑛 𝜕𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝜖0 @𝑟 = 𝑅 𝜕𝑟 𝜕𝑟 ∞ ∞ 𝐴𝑙 𝑟 𝑙 𝑃𝑙 (cos 𝜃) 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑜𝑢𝑡 = −𝐸0 𝑟 cos 𝜃 + 𝑙=0 경계 조건들을 대입하면, 𝑙=0 3𝐸0 3𝐸0 𝑉𝑖𝑛 = − 𝑟 cos 𝜃 = − 𝑧 𝜖𝑟 + 2 𝜖𝑟 + 2 𝐸𝑖𝑛 = 3 𝐸 𝜖𝑟 + 2 0 𝐵𝑙 𝑃 (cos 𝜃) 𝑟 𝑙+1 𝑙 고른 전기장 𝐸0 𝑥가 있는 곳에 고른 선형 유전체로 된 아주 긴 원통을 두었다. 원통 속의 전기장을 구하라. 경계 조건 (i) 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑜𝑢𝑡 @𝑠 = 𝑎 경계 조건 (ii) 𝜕𝑉𝑖𝑛 𝜕𝑉𝑜𝑢𝑡 𝜖 = 𝜖0 @𝑠 = 𝑎 𝜕𝑠 𝜕𝑠 경계 조건 (iii) 𝑉𝑜𝑢𝑡 → −𝐸0 𝑠 cos 𝜙 @𝑠 ≫ 𝑅 ∞ ∞ 𝑠 𝑘 (𝑎𝑘 cos 𝑘𝜙 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜙 ) 𝑉𝑖𝑛 (𝑠, 𝜙) = 𝑘=1 𝑘=1 경계 조건들을 대입하면, 𝑠 −𝑘 (𝑐𝑘 cos 𝑘𝜙 + 𝑑𝑘 sin 𝑘𝜙 ) 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑠, 𝜙 = −𝐸0 𝑠 cos 𝜙 + 𝐸0 𝐸0 𝑉𝑖𝑛 = − 𝑠 cos 𝜙 = − 𝑥 1 + 𝜒𝑒 /2 1 + 𝜒𝑒 /2 𝜕𝑉𝑖𝑛 1 𝐸𝑖𝑛 = − 𝑥= 𝜒𝑒 𝐸0 𝜕𝑥 1+ 2 기다란 두 개의 동축(co-axial)관이 유전체 기름이 담긴 통속에 있다. 안쪽관은 𝑉로 유지되고 바깥쪽 관은 접지되어 있다. 기름은 두 관 사이로 얼마의 높이(ℎ)까지 올라올까? 𝑙 공기가 있는 부분 기름이 있는 부분 2𝜆 1 2𝜆 𝑏 𝐸= ⇒𝑉= ln 4𝜋𝜖0 𝑠 4𝜋𝜖0 𝑎 𝐷= 2𝜆′ 2𝜆′ 1 2𝜆′ 𝑏 ⇒𝐸= ⇒𝑉= ln 4𝜋𝑠 4𝜋𝜖 𝑠 4𝜋𝜖 𝑎 𝜆 𝜆′ 𝜖 = ⇒ 𝜆′ = 𝜆 = 𝜖𝑟 𝜆 𝜖 𝜖 𝜖0 𝐶= 𝑄 𝜆(𝜒𝑒 ℎ + 𝑙) (𝜒𝑒 ℎ + 𝑙) = 4𝜋𝜖0 = 2𝜋𝜖0 𝑏 𝑏 𝑉 2𝜆 ln ln 𝑎 𝑎 Upward force: 𝐹= Downward force: 𝑄 = 𝜆′ ℎ + 𝜆 𝑙 − ℎ = 𝜆 𝜖𝑟 − 1 ℎ + 𝑙 = 𝜆(𝜒𝑒 ℎ + 𝑙) 1 2 𝑑𝐶 1 2 𝜒𝑒 𝑉 = 𝑉 2𝜋𝜖0 𝑏 2 𝑑ℎ 2 ln 𝑎 𝐹 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝜋 𝑏2 − 𝑎2 𝑔ℎ ⇒ℎ= 𝜖0 𝜒𝑒 𝑉 2 𝑏 𝜌 𝑏2 − 𝑎 2 𝑔 ln 𝑎
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