Mulohazalar hisobi formulasi
Mulohazalar hisobi. Mantiqiy bog‘lovchilar. Simvollar. Formula. Qismiy formula.
Isbotlanuvchi formula. Aksioma.
Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobning tafsifi bu
hisobning simvollari tafsifidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari
ta‟rifidan iborat.
Mulohazalar hisobida uch kategoriyali simvollardan iborat alifbo qabul
qilinadi.
Birinchi
kategoriya
simvollari:
x, y, z,..., x1 , x2 ,... .
Bu
simvollarni
o„zgaruvchilar deb ataymiz.
Ikkinchi kategoriya simvollari:  ,  ,  ,  . Bular mantiqiy
bog‘lovchilardir. Birinchisi – diz‟yunksiya yoki mantiqiy qo„shish belgisi,
ikkinchisi – kon‟yunksiya yoki mantiqiy ko„paytma belgisi, uchinchisi –
implikasiya belgisi va to„rtinchisi – inkor belgisi deb ataladi.
Uchinchi kategoriyaga qavslar deb ataladigan ( , ) simvollar kiritiladi.
Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo„q.
Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi. Mulohazalar hisobining
formulasi deb mulohazalar hisobi alifbosi simvollarining muayyan ketmaketligiga aytiladi.
Formulalarni
belgilash
uchun
lotin
alifbosining
bosh
harflaridan
foydalanamiz. Bu harflar mulohazalar hisobining simvollari qatoriga kirmaydi.
Ular faqatgina formulalarning shartli belgilari bo„lib xizmat qiladi.
Endi mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi ta‟rifini keltiramiz.
1- t a ’ r i f . Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi quyidagicha
aniqlanadi:
1) har qanday x, y, z,... o‘zgaruvchilarning istalgan biri formuladir;
2) agar A va B ning har biri formula bo‘lsa, u holda ( A  B ) , ( A  B ) ,
( A  B ) va A ham formuladir.
3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo‘la olmaydi.
O„zgaruvchilarni elementar formulalar deb ataymiz.
1- m i s o l . Formula ta‟rifining 1) bandiga ko„ra x, y, z,... o„zgaruvchilarning
har biri formula bo„ladi. U vaqtda ta‟rifning 2) bandiga muvofiq ( x  y ) , ( x  y ) ,
( x  y ) , x ham formulalardir. Xuddi shu kabi ( x  y ) ,
(( x  y )  z )) , (( x  y )  ( y  z )) ham formulalar bo„ladi.
Quyidagilar formula bo„la olmaydi:
xy ,  z , ( x  y , x  y , ( x  y )  x . ■
2- t a ’ r i f . Mulohazalar hisobi qismiy formulasi tushunchasi quyidagicha
aniqlanadi:
1) elementar formula uchun faqat uning o‘zi qismiy formuladir;
2) agar A formula bo‘lsa, u holda shu formulaning o‘zi, A formula va A
formulaning hamma qismiy formulalari uning qismiy formulalari bo‘ladi;
3) agar formula A* B ko‘rinishda bo‘lsa (bu yerda va bundan keyin *
o‘rnida  ,  yoki  simvollardan birortasi bor deb tushunamiz), u holda shu
formulaning o‘zi, A va B formulalar hamda A va B formulalarning barcha
qismiy formulalari A* B formulaning qismiy formulalari bo‘ladi.
2- m i s o l . (( x  y )  ( z  y )) formula uchun:
(( x  y )  ( z  y )) – nolinchi chuqurlikdagi qismiy formula,
( x  y ) , ( z  y ) – birinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,
x , y , ( z  y ) – ikkinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,
y , z – uchinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,
z – to„rtinchi chuqurlikdagi qismiy formula bo„ladi. ■
Formulalarni yozishda ayrim soddalashtirishlarni qabul qilamiz. Xuddi
mulohazalar algebrasidagi kabi qavslar haqidagi kelishuv va mantiqiy amallarni
bajarish imtiyozlari (III bobdagi 2- paragrafga qarang) bu yerda ham o„rinli deb
hisoblaymiz. Bu kelishuv va imtiyozlarga binoan, masalan, (( x  y )  z ) , ( x  y) va
(( x  y )  ( z  t ))
formulalarni mos ravishda x  y  z , x  y va x  y  z  t
ko„rinishda yozish mumkin.
Isbotlanuvchi
formula
tushunchasi.
Endi
mulohazalar
hisobida
isbotlanuvchi formulalar sinfini o„rganamiz. Isbotlanuvchi formula tushunchaqsiga
ham formula tushunchasi ta‟rifiga o„xshash ta‟rif beriladi.
Avval dastlabki isbotlanuvchi formulalar (aksiomalar), undan keyin esa
keltirib chiqarish qoidasi aniqlanadi. Keltirib chiqarish qoidasi orqali mavjud
isbotlanuvchi formulalardan yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilinadi.
Dastlabki isbotlanuvchi formulalardan keltirib chiqarish qoidasini qo„llash
yo„li bilan yangi isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish shu formulalarni
aksiomalardan keltirib chiqarish deb ataladi.
Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi. Mulohazalar hisobining
aksiomalar sistemasi XI aksiomadan iborat bo„lib, ular to„rt guruhga bo„linadi.
Birinchi guruh aksiomalari:
I1
x  ( y  x) .
I2
( x  ( y  z ))  (( x  y )  ( x  z )) .
Ikkinchi guruh aksiomalari:
II1
x y  x.
II2
x y  y.
II3
( z  x)  (( z  y )  ( z  x  y )) .
Uchinchi guruh aksiomalari:
III1
x  x y.
III2
y  x y.
III3
( x  z )  (( y  z )  ( x  y  z )) .
To‘rtinchi guruh aksiomalari:
IV1
( x  y)  ( y  x ) .
IV2
xx.
IV3
x  x.
Keltirib chiqarish qoidalari
Keltirib chiqarish. O‘rniga qo‘yish, xulosa qoidalari. Aksiomalar sistemasi.
Isbotlash.
Bu paragrafda mulohazalar hisobida keltirib chiqarish qoidalari deb
ataluvchi o„rniga qo„yish va xulosa qoidalari bayon qilinadi.
O‘rniga qo‘yish qoidasi. Agar A mulohazalar hisobining isbotlanuvchi
formulasi, x o„zgaruvchi, B mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulasi bo„lsa, u
holda A formula ifodasidagi hamma x lar o„rniga B formulani qo„yish natijasida
hosil qilingan formula ham isbotlanuvchi formula bo„ladi.
A formuladagi hamma x o„zgaruvchilar o„rniga B formulani qo„yish
operasiyasini (jarayonini) o‘rniga qo‘yish qoidasi deb aytamiz va uni quyidagicha
B
 ( A) .
belgilaymiz1:
x
O„rniga qo„yish qoidasiga quyidagi aniqliklarni kiritamiz:
B
a) agar A faqat x o„zgaruvchidan iborat bo„lsa, u holda  ( A) o„rniga qo„yish
x
B formulani beradi;
b) agar A formula x dan farqli y o„zgaruvchidan iborat bo„lsa, u vaqtda
B
 ( A) o„rniga qo„yish A ni beradi;
x
d) agar A o„rniga qo„yish aniqlangan formula bo„lsa, u holda A formuladagi
x o„rniga B formulani qo„yish natijasida o„rniga qo„yishning inkori kelib chiqadi,
B
B
x
x
ya‟ni  ( A) o„rniga qo„yish  ( A) ni beradi.
e) agar A1 va A2 formulalarda o„rniga qo„yish aniqlangan bo„lsa, u holda
B
B
B
x
x
x
 ( A1  A2 ) o„rniga qo„yish  ( A1 )   ( A2 ) ni beradi.
1
Bu yerda matematik analizdagi integral belgisi ishlatilsada, uning ma‟nosi o„zgacha.
Agar A isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda uni  A shaklda yozishga
kelishamiz. U holda o„rniga qo„yish qoidasini quyidagicha sxematik ravishda
A
ifodalash mumkin:
B
  ( A)
x
B
va uni “agar A isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda  ( A) ham isbotlanuvchi
x
formula bo„ladi” deb o„qiladi.
Xulosa qoidasi. Agar A va A  B mulohazalar hisobining isbotlanuvchi
formulalari bo„lsa, u holda B ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. Bu qoida xulosa
qoidasi deb yuritiladi va sxematik ravishda quyidagicha yoziladi:
 A;  A  B
B
.
1- t a ’ r i f (isbotlanuvchi formula ta’rifi).
a) har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir;
b) isbotlanuvchi formuladagi x o‘zgaruvchi o‘rniga ixtiyoriy B formulani
qo‘yish natijasida hosil bo‘lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi;
d) A va A  B isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo‘llash
natijasida olingan B formula isbotlanuvchi formuladir;
e) Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi
formula emas.
2- t a ’ r i f . Isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish protsessi (jarayoni) isbot
qilish (isbotlash) deb ataladi.
1- m i s o l .  A  A bo„lishini (implikasiyaning refleksivligini) isbotlaymiz.
x
Buning uchun I2 aksiomadan foydalanamiz. Bu yerda  ( I 2 ) o„rniga qo„yishni
z
 ( x  ( y  x))  (( x  y)  ( x  x)) (1)
bajarish natijasida
kelib chiqadi. I2 aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo„llab
 ( x  y )  ( x  x)
formulani hosil qilamiz.
(2)
x
 ( 2)
(2) formulaga nisbatan
y
o„rniga qo„yishni bajarish natijasida
 ( x  x )  ( x  x)
(3)
isbotlanuvchi formulaga ega bo„lamiz.
IV2 aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo„llash natijasida
xx
(4)
isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi x o„zgaruvchi o„rniga
A formulani qo„ysak
A  A
isbotlanishi kerak bo„lgan formula hosil bo„ladi. ■
2- m i s o l .  x  y  x  y ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham, II3
aksiomaga nisbatan ketma-ket ikki marta o„rniga qo„yish usulini qo„llaymiz: avval
x ni x ga va keyin y ni y ga almashtiramiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi
formulaga ega bo„lamiz
 ( z  x )  (( z  y )  ( z  x  y )) .
(5)
x y
(5) formulaga nisbatan  (5) o„rniga qo„yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz:
z
 (( x  y )  x )  (( x  y  y )  ( x  y  x  y )) .
Endi
x y  x ,
(6)
x y  y
(7)
formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko„rsatamiz. Buning uchun IV1 aksiomaga
x y
nisbatan
 (IV )
1
y
o„rniga qo„yishni bajaramiz. Natijada
 ( x  x  y)  ( x  y  x )
(8)
formulaga ega bo„lamiz. (8) formula va III1 aksiomaga nisbatan xulosa qoidasini
ishlatib, (6) formulaning isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Xuddi shu kabi (7) formulaning ham isbotlanuvchi formula ekanligini ko„rsatish
mumkin.
(6) va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo„llasak,
 (x  y  y)  (x  y  x  y)
(9)
isbotlanuvchi formula kelib chiqadi.
(7) va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo„llab, berilgan
 x y  x  y
formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz. ■
Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari
Formula. Hosilaviy qoidalar. Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish, murakkab xulosa,
sillogizm, kontrpozisiya, ikki karralik inkorni tushirish qoidalari.
O„rniga qo„yish va xulosa qoidalari singari keltirib chiqarish qoidasining
hosilalari ham yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilishga imkon yaratadi.
Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidasi.
T a ’ r i f . Agar A( x1 , x2 ,..., xn ) – isbotlanuvchi formula va B1 , B2 ,..., Bn
mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulalari bo‘lsa, u holda A formulaning
x1 , x2 ,..., xn
o‘zgaruvchilari o‘rniga bir vaqtda mos ravishda
B1 , B2 ,..., Bn
formulalarni qo‘yish natijasida C isbotlanuvchi formulani hosil qilish bir vaqtda
o‘rniga qo‘yish qoidasi deb ataladi.
z1 , z 2 ,..., z n
o„zgaruvchilar
A, B1 , B2 ,..., Bn
formulalardagi
boshqa
o„zgaruvchilardan farq qiluvchi o„zgaruvchilar va zi  z j ( i, j  1, n ) bo„lsin. U holda
A formulaga n ta o„rniga qo„yishni ketma-ket bajaramiz: avval x1 o„rniga z1 ni,
keyin x 2 o„rniga z 2 ni va hokazo x n o„rniga z n ni qo„yamiz. Natijada quyidagi
z1
z2
x1
x2
isbotlanuvchi formulalarga ega bo„lamiz:   ( A) o„rniga qo„yish  A1 ni,   ( A1 )
zn
o„rniga qo„yish  A2 ni, va hokazo   ( An 1 ) o„rniga qo„yish  An ni beradi.
xn
Bundan keyin An formulaga nisbatan yana n ta o„rniga qo„yishni ketma-ket
bajaramiz: avval z1 o„rniga B1 ni, keyin z 2 o„rniga B2 ni va hokazo z n o„rniga Bn ni
B1
B2
z1
z2
qo„yib chiqamiz. Buning natijasida   ( An ) o„rniga qo„yishdan  C1 ni,   (C1 )
Bn
o„rniga qo„yishdan  C 2 ni va hokazo   (C n 1 ) o„rniga qo„yishdan  Cn ni hosil
zn
qilamiz.
Demak,
Cn
isbotlanuvchi
formula
A
formuladagi
x1 , x2 ,..., xn
o„zgaruvchilar o„rniga bir vaqtda mos ravishda B1 , B2 ,..., Bn formulalarni qo„yish
natijasida hosil bo„ladi.
Bir vaqtda o„rniga qo„yish operasiyasini (qoidasini) quyidagicha ifodalaymiz
A

B1 , B2 ,...,Bn
.
(1)
 ( A)
x1 , x2 ,...,xn
Murakkab xulosa qoidasi. Bu qoidada
 A1  ( A2  ( A3  (...( An  L)...)))
ko„rinishdagi formulalarga nisbatan ikkinchi hosilaviy qoida ishlatiladi va uni
quyidagi tasdiq orqali izohlash mumkin.
1- t e o r e m a . Agar A1 , A2 ,..., An va
A1  ( A2  ( A3  (...( An  L)...)))
(2)
isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u holda L ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi.
I s b o t i . Xulosa qoidasini ketma-ket qo„llaymiz. Agar
A1
va (2)
isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda xulosa qoidasiga asosan
A2  ( A3  (...( An  L)...))
(3)
ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. A2 va (3) isbotlanuvchi formula bo„lganligi
uchun
A3  (...( An  L)...)
(4)
formula ham isbotlanuvchi bo„ladi. Muhokamani xuddi shunday davom ettirib,
natijada L isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. ■
Murakkab xulosa qoidasini sxematik ravishda quyidagicha yozish mumkin:
 A1 ,  A2 ,...,  An ,  A1  ( A2  ( A3  (...( An  L)...)))
L
.
(5)
Sillogizm2 qoidasi.
2- t e o r e m a . Agar A  B va B  C isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u
holda A  C ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi.
I s b o t i . Teoremani sxematik ravishda quyidagicha yozamiz
 A  B,  B  C
 AC
.
(6)
I1 va I2 aksiomalarga nisbatan
A , B ,C
B C , A
x, y, z
x, y
 (I 2 ) va
 (I )
1
bir vaqtda o„rniga qo„yish qoidalarini qo„llash natijasida quyidagi isbotlanuvchi
formulalarni hosil qilamiz:
 A  ( B  C ))  (( A  B)  ( A  C )) ,
(7)
 ( B  C )  ( A  ( B  C )) .
(8)
Teoremaning shartiga asosan
 A B,
(9)
BC
(10)
formulalar isbotlanuvchidir.
(10) va (8) formulalardan xulosa qoidasiga asosan
 A  (B  C)
(11)
formulani hosil qilamiz. U vaqtda (11), (9) va (7) formulalardan murakkab xulosa
qoidasiga asosan  A  C ekanligi kelib chiqadi. ■
2
Bu so„z negizida yunoncha συλλογισμός (syllogismos) so„zi yotadi, u mantiqan kelib chiqish ma‟nosini beradi.
Agar A  B va B  C isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda A  C ham
isbotlanuvchi formula bo„lishini sillogizm qoidasi deb ataymiz.
4.3.4. Kontrpozisiya qoidasi.
3- t e o r e m a . Agar A  B isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda B  A
ham isbotlanuvchi formula, ya’ni
 A B
B  A
(12)
bo„ladi.
I s b o t i . IV1 aksiomaga nisbatan
A, B
 (IV )
1
x, y
bir vaqtda o„rniga qo„yish qoidasini qo„llab,
 ( A  B) ( B  A )
(13)
 AB
(14)
isbotlanuvchi formulani hosil qilamiz.
Teoremaning shartiga asosan
isbotlanuvchi formuladir. Shuning uchun (14) va (13) formulalardan xulosa
qoidasiga asosan  ( B  A ) isbotlanuvchi formula ekanligi kelib chiqadi. ■
Agar A  B isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda B  A ham isbotlanuvchi
formula bo„lishini kontrpozisiya qoidasi deb ataymiz.
Ikki karralik inkorni tushirish qoidasi.
4- t e o r e m a . 1) Agar A  B isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda A  B
ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi;
2) Agar A  B isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda A  B formula ham
isbotlanuvchi formula, ya’ni
AB
 A B
 A B
va
A  B
bo‘ladi.
I s b o t i . IV2 va IV3 aksiomalarga nisbatan
(15)
A
B
x
x
 (IV2 ) va  (IV3 )
o„rniga qo„yish qoidalarini qo„llab,
A  A ,
(16)
B  B
(17)
isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz.
Teoremaning 1) va 2) shartlariga asosan
A  B ,
(18)
A  B
(19)
formulalar isbotlanuvchidir. Agar teoremaning 1) sharti bajarilsa, u holda (17) va
(18) formulalardan sillogizm qoidasiga asosan  A  B kelib chiqadi. Agar 2)
sharti bajarilsa, u holda (16) va (19) formulalardan  A  B kelib chiqadi. ■
Agar A  B ( A  B ) isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda A  B ham
isbotlanuvchi formula bo„lishini ikki karralik inkorni tushirish qoidasi deb
ataymiz.
Masala va topshiriqlar
1. Quyidagi ifodalarning qaysilari mulohazalar hisobining formulalari bo„lishini
aniqlang:
a) ( p1  p2 )  ( p1  p2 ) ; b) (( p1  p2 )  ( p1 p2 ))  p3 ;
d) ( p1  ( p2  p3 ))  p3 ;
e) ( p1  ( p2 )  ( p2  p1 ) ;
f) ( p1  p2 )  (( p1  p2 )  p1 ) ;
g) ( p1  p3 )  (( p2  p3 )  (( p1  p2 )  p3 )) ;
h) (( p1  p2 )  ( p1  p3 ))  ( p1  ( p2  p3 )) ;
i) (( p1  p2 )  ( p1   p2 ))  ( p1  p2 ) .
2. Quyidagi formulalarning hamma qismiy formulalarini toping:
a) x  y  ( x  y ) ;
b) ( x  y )  ( x y ) ;
d) x  ( y  x) ;
e) a  b  c ;
f) a  c  b ;
g) x  y  z ;
h) x  yz  x ;
i) x  y  x  y ;
j) (( x  x)  ( y  z ))  ( x  z ) ;
k) ( x  y )  (( x  y )  y ) .
3. L1  ( A  B)  ( B  A ) , L2  A  B va L3  A  B  C formulalar uchun quyidagi
o„rniga qo„yishlarning natijalarini aniqlang:
 ( L2 ) ;
b)
A, B
 ( L1 ) ;
A, B
3
A ,C
A  A ,C , A
B, A
f)  ( L2 ) ;
 (L ) ;
d)
A
A  B , A B
e)
B  A B , B
AB
B ,C
a)  ( L1 ) ;
g)
A, B
 (L ) .
3
A , B ,C
4. O„rniga qo„yish qoidasini qo„llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi
ekanligini ko„rsating:
a) ( A  B)  B  B ;
b) A  B  A  B  C ;
d) ( A  B)  ((C  B)  ( A  C  B)) ;
e) C  D  C  D ;
f) ( A  B  (C  B  C ))  (( A  B  C )  ( A  B  B  C )) .
5. O„rniga qo„yish va xulosa qodalarini qo„llab, quyidagi formulalarning
isbotlanuvchi ekanligini aniqlang:
a) A  A  A ;
b) A  A  A ; d) A  B  B  A ;
e) A  B  B  A ; f) ( A  B)  ( A  A) ; g) A  A .