24-mavzu. Affin koordinatali vektorlarning skalyar ko‘paytmasi. Yevklid va
psevdoyevklid fazolar.
Chiziqli bog’liq va chiziqli erkli vektorlar sistemalari.
 

Ixtiyoriy a1 , a 2 ,...a n (1.1.1) vektorlar sistemasi va 1 ,  2 , ... ,  n haqiqiy sonlar
berilgan bo’lsin.




p  1a1   2 a2  ...   n a n
(1.1.2)
vektorni berilgan (1.1.1) vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. Bunda

p vektor (1.1.2) vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalangan deyiladi,  1 ,  2 , ... ,  n
sonlar chiziqli kombinatsiya koeffitsentlari deyiladi.
1.1.4-ta’rif. Agar koeffitsentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lganda

р0
(1.1.3)
bo’lsa, u holda (1.1.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq deyiladi.
Agar
(1.1.3)
tenglik
 1 ,  2 , ... ,  n
sonlarning
hammasi
nolga
teng
bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, (1.1.1) vektorlar sistemasi chiziqli erkli deyiladi.
1.1.1-teorema. Agar (1.1.1) vektorlar sistemasining biror vektori nol vektor
bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.


Isbot. Faraz qilaylik a k  0 bo’lsin, u holda  k  0,  1   2  ...   k 1  ...   n  0 ,




sonlar uchun 1a1   2 a2  ...   n an  0
munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, ta’rifga
asosan (1.1.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq.
1.1.2-teorema. Agar (1.1.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’lsa,
sistemaning kamida bitta vektori uning qolgan vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi.
1.1.3-teorema. Ikkita vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear
bo’lishi zarur va etarli.
1.1.4-teorema.Uchta vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning komplanar
bo’lishi zarur va etarli.
1.1.5-teorema. Fazoda har qanday to’rtta vector chiziqli bog’liqdir. I. V ning
 
ixtiyoriy ikki a, b vektori uchun ularning yig’indisi deb atalgan, shu to’plamning
 
elementidan iborat uchinchi bir vektor mos keltirilgan bo’lsin, bu vektorni a  b
ko’rinishda yozaylik.

V ning ixtiyoriy a vektori va ixtiyoriy k haqiqiy son uchun

V ning shunday bir elementi mos keltirilgan bo’lsinki, bu element a vektorni k songa
II.

ko’paytirishdan hosil qilingan deyilib, uni ka ko’rinishda yozaylik. Kiritilgan bu
ikki amal quyidagi 8 ta aksiomani qanoatlantirsin.
 
I1 .Vektorlarni qo’shish kommutativlik qonuniga bo’ysunadi, ya’ni a, b V
   
uchun a  b  b  a .
 
I2. Vektorlarni qo’shish gruppalanish qonuniga bo’ysunadi, ya’ni a, b ,c V
     
uchun a  b  c  a  b  c .






  
I3. V da nol vektor degan 0 element mavjud bo’lib, a  V uchun a  0  a .
I4. V ning ixtiyoriy a vektori uchun V da shunday a' vektor mavjud bo’lib,


  
a  a  0 . Bunday a  vektorni odatda a vektorga qarama-qarshi vektor deb ataladi va

uni — a bilan belgilanadi. Bu to’rtta aksioma vektorlarni qo’shish aksiomalari deb
ataladi.
 


II1. k  R va a, b V uchun k a  b   ka  kb .


 
II2. k , t  R va a V uchun k  t a  ka  ta .



II3. k , t  R va a V uchun k ta   kt a .

 
II4. a V uchun 1  a  a .


Bu to’rtta aksioma vektorni songa ko’paytirish aksiomalari deb ataladi.
1.1.5-ta’rif. Elementlari shu sakkiz aksioma shartlarini qanoatlantiruvchi V
to’plam vektor (yoki chiziqli) fazo deb ataladi.
Vektorlarni qo’shish va vektorni songa ko’paytirish amallarini birgalikda
chiziqli amallar deb ataladi.
Bu sakkiz aksioma geometriya kursining G. Veyl aksiomalari bo’yicha bayon
qilishdagi birinchi va ikkinchi gruppa aksiomalaridir
 
a
1.2.1-ta’rif. V vektor fazoning ixtiyoriy ikki , b vektori uchun ularning skalyar
 
ko’paytmasi deb atalgan haqiqiy son mos keltirilgan bo’lib (ko’paytmani a  b bilan
belgilaymiz), quyidagi to’rtta akskoma bajarilsa, bunday fazo p o’lchamli vektorli
yevklid fazosi deb ataladi (uni VE bilan belgilaymiz).
V1
   
 
a, b Vn uchun a  b  b  a ,
V3
     
  
a, b , c Vn uchun a  b c  a  c  b  c ,
 
 


k

R
k
a

b

k

a
b .
uchun
a, b Vn va
V4
 

a  0 Vn uchun a  a  0
V2


 
Bu aksiomalarni odatda vektorlarning skalyar ko’paytirish aksiomalari deb
yuritiladi.
Avvalo yuqoridagi aksiomalardan kelib chiqadigan ba’zi natijalarni ko’raylik.
1-natija. V2 aksiomadagi assotsiativlik qonuni ikki qo’shiluvchi vektor uchun
o’rinli bo’lsa, u istalgan sondagi ko’shiluvchilar uchun ham o’rinlidir, ya’ni




a1  a2  ...  am b  a1b  a2b  ...  amb (ifodadagi barcha vektorlar VE ga tegishli).

2-natija. 0 vektorni har qanday vektor bilan skalyar ko’paytmasi nolga tengdir,
 


 
chunki V3 ga asosan 0  a   0b  a  0b  a   0 .
 
 
3-natija. a  a ckalyar ko’paytma faqat a  0 bo’lgandagina nolga tengdir, bu

bevosita V4 aksioma va 2-natijadan kelib chiqadi.
 
 
a  a  0  a  a - haqiqiy sondir.

 
1.2.2-ta’rif. a  a haqiqiy sonni a vektorning moduli (uzunligi) deyiladi va


  
uni a  a  a ko’rinishda belgilanadi. Xususiy hol a  1 bo’lsa, bunday a vektor
birlik vektor deb ataladi, bundan tashqari, nolь vektorning moduli nolga tengligi ham
ravshandir.
4-natija.




b  a  b    a ,

 
 



b  a  a   a  a   aa   2 aa    a
chunki