O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA
KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
Ehtimollar va statistika
Mustaqil ish
Guruh:MTH-015
Bajardi: Jalolov Farhod
Tekshirdi: Sadaddinova Sanobar
23-Variant
KO‘P O‘LCHOVLI REGRESSIYA TENGLAMASI
Ikki o‘zgaruvchili regressiya tenglamasining tabiiy umumlashmasi bo‘lib, ko‘p
o‘lchovli regressiya modeli hisoblanadi:
𝑦𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 ∗ 𝑥1𝑖 + 𝑏2 ∗ 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝑏𝑚 ∗ 𝑥𝑚𝑖 + 𝑢𝑖 , i=1;n..
Bu yerda 𝑦𝑖 – i-kuzatish uchun natijaviy belgi qiymatlari (bog‘liq o‘zgaruvchi);
𝑥𝑗𝑖 - j-faktorning (j=1;m) (erkli o‘zgaruvchi yoki tushuntiruvchi o‘zgaruvchi) ikuzatishdagi qiymati i=1;n;
𝑢𝑖 –i-kuzatish uchun natijaviy belgining tasodifiy tashkill etuvchisi;
𝑏0 – ozod had bo‘lib, formal jihatdan y ni 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑚 = 0 bo‘lgandagi
o‘rta qiymatini bildiradi;
𝑏𝑗 - j-faktor (j=1;m) oldidagi regressiyaning “toza” koeffitsiyenti. Ushbu
koeffitsiyent boshqa faktorlar o‘zlarining o‘rta qiymatlarida fiksirlanganlik sharti
ostida j-faktor o‘zining o‘lchov birligida bir birlikka o‘zgarganda natijaviy belgi y –
ni o‘zining o‘lchov birligida o‘rta hisobda qancha birlikka o‘zgarishini anglatadi.
Ko‘p o‘lchovli regressiya modelidagi parametrlarini baholash uchun koʻpincha
EKKU (eng kichik kvadratlar usuli) dan foydalaniladi. Ushbu usulga koʻra
parametrlarning baholari sifatida 𝐹(𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ) = ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖∗ )2 funksionalni
minimallashtiradigan 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 miqdorlar olinad. Ushbu funksiya
𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 parametrlarga bogʻliq boʻlgan funksiya boʻlganligii uchun
𝐹(𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ) = ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1 ∗ 𝑥1𝑖 − 𝑏2 ∗ 𝑥2𝑖 − ⋯ − 𝑏𝑚 ∗ 𝑥𝑚𝑖 )2
dan
ushbu parametrlar boʻyicha xususiy hosila olib nolga tenglashtiramiz.
𝜕𝐹(𝑏0 ,𝑏1 ,…,𝑏𝑚 )
𝜕𝑏0
𝜕𝐹(𝑏0 ,𝑏1 ,…,𝑏𝑚 )
=0
=0
……………………….
𝜕𝐹(𝑏0 ,𝑏1 ,…,𝑏𝑚 )
=0
{
𝜕𝑏1
𝜕𝑏𝑚
𝜕𝐹(𝑏0 ,𝑏1 ,…,𝑏𝑚 )
𝜕𝑏0
𝜕𝐹(𝑏0 ,𝑏1 ,…,𝑏𝑚 )
= 2 ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1 ∗ 𝑥1𝑖 − 𝑏2 ∗ 𝑥2𝑖 − ⋯ − 𝑏𝑚 ∗ 𝑥𝑚𝑖 )2−1 (−1) = 0
= 2 ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1 ∗ 𝑥1𝑖 − 𝑏2 ∗ 𝑥2𝑖 − ⋯ − 𝑏𝑚 ∗ 𝑥𝑚𝑖 )2−1 (−𝑥1𝑖 ) = 0
……………………….
𝜕𝐹(𝑏0 ,𝑏1 ,…,𝑏𝑚 )
𝑛
= 2 ∑𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1 ∗ 𝑥1𝑖 − 𝑏2 ∗ 𝑥2𝑖 − ⋯ − 𝑏𝑚 ∗ 𝑥𝑚𝑖 )2−1 (−𝑥1𝑖 ) = 0
{
𝜕𝑏1
𝜕𝑏𝑚
𝑛
𝑛
𝑏0 = 𝑦̅ − 𝑏1 ∗ ̅̅̅
𝑥1 − 𝑏2 ∗ ̅̅̅
𝑥2 − ⋯ − 𝑏𝑚 ∗ ̅̅̅̅
𝑥𝑚
𝑛
𝑛
𝑛
∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝑥1𝑖 − 𝑏0 ∑(𝑥1𝑖 )2 − 𝑏1 ∑ 𝑥2𝑖 ∙ 𝑥1𝑖 − 𝑏2 ∑ 𝑥3𝑖 ∙ 𝑥1𝑖 − ⋯ − 𝑏𝑚 ∑ 𝑥𝑚𝑖 ∙ 𝑥1𝑖 = 0
𝑖=1
𝑖=1
……………………
… … … … … …𝑖=1
… … … … … … … …𝑖=1
… … … … … … … … … …𝑖=1
………………..
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑚𝑖 − 𝑏0 ∑ 𝑥1𝑖 ∙ 𝑥𝑚𝑖 − 𝑏1 ∑ 𝑥2𝑖 ∙ 𝑥𝑚𝑖 − 𝑏2 ∑ 𝑥3𝑖 ∙ 𝑥𝑚𝑖 − ⋯ − 𝑏𝑚 ∑(𝑥𝑚𝑖 )2 = 0
{ 𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
Ushbu teglamalar sistemasi 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 parametrlarga nisbatan m+1 ta
nomaʼlumli m+1 ta tenglamadan iborat bo‘lib, ushbu tenglamalar sistemasini
yechish orqali ko‘p o‘lchovli regressiya tenglamasi nomaʼlum parametrlari
baholari (taqribiy qiymatlari) topiladi.
№
𝑥1𝑖 -viloyat
𝑥2𝑖 -viloyat
𝑥3𝑖 -viloyat
𝑦𝑖 -Respublika
Qoraqalpog`izton
Xorazm
Toshkent sh.
110,1
171,4
98,1
141,7
186,0
290,3
O`zbekiston
Respublikasi
132,1
197,3
241,4
295,1
346,1
209,6
266,5
309,9
407,4
564,8
704,8
294,8
385,0
474,0
475,2
632,4
808,6
400,7
529,7
675,5
884,9
1 307,4
1 842,8
608,5
797,5
1 049,2
901,3
1 117,0
823,5
971,8
2 449,4
3 016,7
1 427,3
1 778,2
1 722,7
2 061,3
4 596,1
2 763,7
2 295,9
2 491,6
5 822,9
3 518,6
2 787,2
2 968,3
7 174,4
4 285,2
3 566,7
3 627,9
8 453,3
5 069,3
4 193,1
4 447,2
10 330,3
4 824,7
5 488,0
5 216,0
6 380,5
12 529,4
15 429,2
6 074,2
7 072,2
6 612,8
7 335,8
20 151,0
9 802,1
8 931,1
10 913,4
8 741,5
10 174,4
25 938,4
33 897,3
12 887,7
15 764,9
12 139,0
13 596,2
11 089,2
13 472,8
36 755,5
43 211,1
17 591,5
21 039,3
maʼlumoti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
maʼlumoti
maʼlumoti
maʼlumoti
8 020,1
Xususan EKKU da nomaʼlum parametrlarni topish uchun keltirilgan sistemasi 4 ta
o‘zgaruvchi uchun quyidagicha ko‘rinishni oladi:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛 ∙ 𝑏0 + 𝑏1 ∑ 𝑥1𝑖 + 𝑏2 ∑ 𝑥2𝑖 + 𝑏3 ∑ 𝑥3𝑖 = ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑏0 ∑ 𝑥1𝑖 + 𝑏1 ∑(𝑥1𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
)2
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
+ 𝑏2 ∑ 𝑥2𝑖 ∙ 𝑥1𝑖 + 𝑏3 ∑ 𝑥3𝑖 ∙ 𝑥1𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝑥1𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑏0 ∑ 𝑥2𝑖 + 𝑏1 ∑ 𝑥1𝑖 ∙ 𝑥2𝑖 + 𝑏2 ∑(𝑥2𝑖 )2 + 𝑏3 ∑ 𝑥3𝑖 ∙ 𝑥2𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝑥2𝑖
𝑖=1
𝑛
{
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑏0 ∑ 𝑥3𝑖 + 𝑏1 ∑ 𝑥1𝑖 ∙ 𝑥3𝑖 + 𝑏2 ∑ 𝑥2𝑖 ∙ 𝑥3𝑖 + 𝑏3 ∑(𝑥3𝑖 )2 = ∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝑥3𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
Natijada 𝑏0 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 -nomaʼlum parametrlarga bog‘liq bo‘lgan 4 o‘zgaruvchili 4 ta
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz. Ushbu sistemani ixtiyoriy
maʼlum usulda (Gauss, Kramer, Jordano-Gauss va hokazo) yechimini topamiz.
Hisoblashlarni excel dasturlar paketida amalga oshirish mumkin.
Yordamchi hisolash jadvalini to‘ldiramiz:
Yordamchi jadval
№1.xlsx
Yordamchi jadval asosida tuzilgan 4 o‘zgaruvchili chiziqli algebraik tenglamalar
sistemasini Kramer usulida Excel dasturlar paketi determinantni hisoblash
komandasi orqali hisoblaymiz.
Yordamchi jadval
№2.xlsx
Natijada quyidagicha ko‘p o‘lchovli regressiya tenglamasiga ega bo‘ldik:
𝑦 = 63.9 + 0.5959 ∗ 𝑥1 + 0.3535 ∗ 𝑥2 + 0.1754 ∗ 𝑥3
Ushbu jarayon Excei dasturlar paketida avtomatlashtirilgan, olgan natijalarimizni
dastur bo‘yicha hisoblash natijalari bilan taqqoslaymiz. Buning uchun quyidagicha
amallar ketma-ketligini bajaramiz:
Natijada bir vaqtning o‘zida bizga zarur bo‘lgan bir qancha maʼlumotlarni olish
imkoniyatiga ega bo‘lamiz.
Yordamchi jadval
№3.xlsx
Olingan natijalardan ko‘rinadiki regressiya tenglamasi parametrlari ahamiyatliligini
tekshirish uchun zarur bo‘lgan t-alomatning hisoblangan qiymatlari:
𝑡𝑏0 = 0.904
𝑡𝑏1 = 2.48;
𝑡𝑏2 = 2.76;
𝑡𝑏3 = 3.24
Ushbu koeffitsiyentlar ahamiyatlilig darajasi 𝛼 = 0.1 va erkinlik darajalari soni
n-h=22-4=18-larga ko‘ra Styudent taqsimoti (yoki t-taqsimot) jadvalidan topilgan
t-alomatning jadval qiymati bilan taqqoslanadi. Agar xisoblangan qiymatlar jadval
qiymatdan katta bo‘lsa, u holda regressiya tenglamasi koeffitsiyentlari ahamiyatli
hisoblanadi.
Bizning holda 𝑡𝑗𝑎𝑑𝑣𝑎𝑙 (𝛼 = 0.1; 𝑛 − ℎ = 22 − 4 = 18) = 1.734
statistika qiymatlari В скобках указаны расчётные значения t-критерия для проверки
гипотезы о значимости коэффициента регрессии. Критическое значение 𝑡кр. =1,746
при уровне значимости α=0,1 и числе степеней свободы (n-h)=20-4=16. Из
уравнения следует, что статистически значимыми являются коэффициенты
регрессии только при 𝑥1 и 𝑥3 , т.к. |𝑡1 | = 1.98 > 𝑡кр. = 1,746 |𝑡3 | = 2.79 > 𝑡кр. =
1,746. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.
𝑡𝑏0 = 0.904 < 𝑡𝑗𝑎𝑑𝑣𝑎𝑙 = 1.734
𝑡𝑏1 = 2.48 > 𝑡𝑗𝑎𝑑𝑣𝑎𝑙 = 1.734
𝑡𝑏2 = 2.76 > 𝑡𝑗𝑎𝑑𝑣𝑎𝑙 = 1.734
𝑡𝑏3 = 3.24 > 𝑡𝑗𝑎𝑑𝑣𝑎𝑙 = 1.734
Bu esa ozod haddan tashqari barcha koeffitsiyentlar ahamiyatli ekanligidan dalolat
beradi.
Regressiya tenglamasi to‘laligicha ahamiyatli ekanligini tekshirish uchun esa Fisher
F-alomatidan foydalanamiz, buning uchun hisoblangan Fisher koeffitsiyenti bilan,
jadval orqali topilgan Fisher koeffitsiyentini taqqoslaymiz.
Fkuzatish 
R2
nh
0.998987 20  4
*

*
 =5917
1  R 2 h  1 1  0.998987 4  1
Bu yerda n - kuzatishlar soni, h – baholanayotgan parametrlar soni.
Ushbu statistika Fisher-Snedokkor taqsimotiga ega boʻladi. Fisher-Snedokkor
taqsimoti jadvalidan F –kriteriyaning kritik qiymati Fkr ni ahamiyatlilik darajasi 
(asosan 0.05 ga teng deb olinadi) va ikkita erkinlik darajalari k1  h  1 va k 2  n  h
orqali topiladi.
𝐹𝑘𝑟 (𝛼 = 0.05; 𝑘1 = ℎ − 1 = 4 − 1 = 3; 𝑘2 = 𝑛 − ℎ = 18) = 0.1927
𝐹𝑘𝑢𝑧𝑎𝑡𝑖𝑠ℎ > 𝐹𝑘𝑟
Bo‘lgani uchun regressiya tenglamasi statistic ahamiyatli hisoblanadi va ushbu
tenglamani bashorat qilishda, statistic tahlilda ishlatish mumkin.
XULOSA.
Iqtisodiy ma'lumotlar deyarli har doim jadval ko'rinishida taqdim etiladi.
Jadvallardagi raqamli ma'lumotlar odatda o'zaro aniq (ma'lum) yoki yashirin
(yashirin) o'zaro bog'liqliklarga ega.
To'g'ridan-to'g'ri hisoblash usullari yordamida olingan ko'rsatkichlar aniq
bog'liq, ya'ni oldindan ma'lum bo'lgan formulalar bo'yicha hisoblab chiqilgan.
Masalan, rejaning foizlari, darajalari, o'ziga xos og'irliklari, summadagi og'ishlar,
foizlardagi og'ishlar, o'sish sur'atlari, o'sish sur'atlari, indekslar va boshqalar.
Ikkinchi turdagi (yashirin) ulanishlar oldindan ma'lum emas. Biroq, ularni
boshqarish uchun murakkab hodisalarni tushuntirish va oldindan aytib berish
(oldindan aytib berish) qobiliyatiga ega bo'lish kerak. Shuning uchun mutaxassislar
kuzatuvlar yordamida yashirin bog'liqlikni aniqlashga va ularni formulalar, ya'ni
hodisalar yoki jarayonlarni matematik modellashtirish usulida ifodalashga harakat
qiladilar. Ushbu imkoniyatlardan biri korrelyatsiya va regression tahlil orqali
ta'minlanadi.