ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR
“PEDRO DOMINGO MURILLO”
INFORME
“SISTEMAS NUMERICOS”
Estudiantes 100-A:
• Alex Machaca Ilaluque
• Miguel Vega Aguilar
• Sharen Echegaray Cruz
DOCENTE STI :
Lic Lourdes Averanga
LA PAZ- 2025
INDICE
1.
INTRODUCCION ........................................................................................................ 1
2.
MARCO TEORICO .................................................................................................... 2
2.1.
Bosquejo Histórico ................................................................................................ 2
2.2.
Definición de Sistema Numéricos ........................................................................ 3
2.3.
Teoremas fundamentales de la numeración ....................................................... 3
2.4.
Sistema Decimal (Base 10) ................................................................................... 4
2.5.
Sistema Binario (Base 2)....................................................................................... 4
2.6.
Sistema Octal (Base 8) .......................................................................................... 5
2.7.
Sistema Hexadecimal (Base 16) ........................................................................... 5
2.8.
Conversión entre Sistemas Numéricos ................................................................ 5
2.8.1.
Conversión entre decimal y binario ............................................................. 5
2.8.2.
Conversión entre binario a decimal ............................................................. 6
2.8.3.
Conversión entre decimal y octal ................................................................. 6
2.8.4.
Conversión entre Octal a Binario................................................................. 6
2.8.5.
Conversión entre Binario a Octal ................................................................ 7
2.8.6.
Conversión entre Binario a Hexadecimal.................................................... 7
2.8.7.
Conversión entre Octal a Hexadecimal ....................................................... 7
2.8.8.
Conversión entre Hexadecimal a Octal ....................................................... 7
2.8.9.
Conversión entre decimal y hexadecimal .................................................... 7
2.8.10. Conversión entre Hexadecimal a Binario .................................................... 7
2.8.11. Conversión entre hexadecimal a Decimal ................................................... 8
2.9.
3.
Aplicaciones de los Sistemas Numéricos ............................................................. 9
CONCLUSIONES ...................................................................................................... 11
ANEXOS ............................................................................................................................ 12
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 15
i
1. INTRODUCCION
El sistema numérico es una herramienta fundamental en el desarrollo de las matemáticas
y la informática. A lo largo de la historia, diferentes civilizaciones han creado y utilizado
distintos sistemas para contar, calcular y resolver problemas. Desde el sistema decimal
que usamos todos los días hasta los sistemas binario, octal y hexadecimal empleados en
computadoras y tecnología moderna, cada uno tiene características únicas que permiten
representar información de manera eficiente en diferentes contextos.
En esta exposición, el objetivo es brindar a los estudiantes de nivel secundario una
comprensión más profunda de los sistemas numéricos más utilizados, y cómo se
relacionan con la tecnología que nos rodea. Al conocer los principios de estos sistemas,
los estudiantes podrán entender mejor cómo funcionan las computadoras y dispositivos
electrónicos, que son esenciales en su vida cotidiana y en el futuro profesional. Este
conocimiento les permitirá tener una base sólida para aprender más sobre programación,
matemáticas y ciencias de la computación.
Uno de los aspectos más interesantes de los sistemas numéricos es cómo se pueden
convertir entre sí. Aunque el sistema decimal es el más familiar, los sistemas binarios,
octal y hexadecimal son cruciales en el mundo digital. Durante la exposición, se explicará
el proceso de conversión entre estos sistemas, algo fundamental para quienes desean
adentrarse en el campo de la programación y la ingeniería de software. Esta habilidad es
clave para comprender cómo las computadoras interpretan y procesan datos.
El propósito de esta exposición es, entonces, proporcionar a los estudiantes una
perspectiva más amplia sobre el tema, dándoles no solo información técnica, sino también
nuevos conocimientos que puedan aplicar en su educación futura. Al final, se busca que
cada uno de ustedes valore la importancia de los sistemas numéricos y su impacto en la
tecnología moderna, además de motivarlos a seguir explorando este fascinante campo.
1
2. MARCO TEORICO
2.1. Bosquejo Histórico
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número
al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de
representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se
llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una
marca distinta que los representa o abarca a todos ellos. Este número es la base. Se
sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número
anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número
determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de
estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de
tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la
Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que
contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que
usaba 10 y 60 como bases, y la numeración la Maya que usaba 20 y 5 aunque con
alguna irregularidad.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros,
aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos
no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren demasiada
cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en
general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo
procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos
iniciados. De hecho, cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración
actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron esgrimiendo razones
como: que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método
diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El
sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del
origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas
la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del
nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto
y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan
representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar
las operaciones.
2
2.2. Definición de Sistema Numéricos
Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para
la representación de datos numéricos o cantidades. Un sistema de numeración se
caracteriza por su base, que es el número de símbolos distintos que utiliza y además
es el coeficiente que determina cuál es el valor de cada símbolo dependiendo de la
posición que ocupe. Los actuales sistemas de numeración son netamente
posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra
depende de su valor absoluto y de la posición que ocupa dicha cifra con respecto a
la coma decimal. La coma decimal (,) que separa la parte entera de la parte
fraccionaria, en ambientes informáticos, está representada por el punto decimal (.).
En los sistemas de numeración existe un elemento característico que define el
sistema y que se denomina base, siendo ésta el número de símbolos que se utilizan
para dicha representación. La representación de una cantidad se efectúa por medio
de cadenas de símbolos, cada uno de ellos con un significado que depende de su
posición; por ello estos sistemas se denominan posicionales.
La notación matemática de la base, para distinguir a cuál de ellas nos estamos
refiriendo, consiste en poner al final del número un subíndice formado por un
paréntesis abierto a la derecha y el número de la base correspondiente.
2.3. Teoremas fundamentales de la numeración
Todos los sistemas de numeración posicionales toman como referencia el punto
decimal y tienen una base de numeración que de forma implícita interviene en la
cantidad que con una determinada representación se quiere referenciar. Se trata de
un teorema que relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de
numeración con la misma cantidad expresada en el sistema decimal.
Supongamos una cantidad expresada en un sistema cuya base es B, y representamos
por Xi cada uno de los dígitos que contiene dicha cantidad y cuyo subíndice indica
la posición de la cifra respecto al punto decimal, posición que hacia la izquierda del
punto se numera desde 0 en adelante y de 1 en 1, y hacia la derecha se numeran desde
-1 y con incremento -1. En síntesis, el teorema indica el valor decimal de una cantidad
expresada en cualquier sistema de representación, y viene dado por la fórmula:
3
donde:
B = Base del sistema de numeración.
i = Posición respecto al punto.
d = Número de cifras a la derecha del punto.
n = Número de cifras a la izquierda del número menos 1.
X = Cada una de las cifras que componen el número.
Así dado el número
2.3.1.1.1.1.
X4 X3X2X1X0X-1X-1X-3 (B
su valor decimal viene expresado por el sumatorio
2.4. Sistema Decimal (Base 10)
El hombre, desde hace tiempo ha utilizado como sistema para contar el sistema
decimal, que derivó del sistema indoarábigo, posiblemente se adoptó este sistema
por contar con 10 dedos en las manos.
El sistema decimal utiliza un conjunto de símbolos, cuyo significado depende de su
posición relativa al punto decimal, que en caso de ausencia se supone colocado
implícitamente a la derecha.
El hombre ha utilizado el sistema numérico decimal, basado en diez símbolos (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), que, al combinarlos, permiten representar las cantidades
imaginadas; es por esto que se dice que utiliza la base.
2.5. Sistema Binario (Base 2)
Este sistema de base 2 es el más sencillo de todos por poseer sólo dos dígitos, fue
introducido por Leibniz en el Siglo XVII, es el sistema que internamente utilizan
los circuitos digitales que configuran el hardware de las computadoras actuales. Los
dos dígitos, llamados bits (Contracción de binary digit), son el uno (1) y el cero (0),
por lo cual el equivalente decimal se obtendrá al sumar los pesos correspondientes
a los bits 1.
En bit más significativo (MSB) es aquel que se ubica más a la izquierda (el que
tiene mayor valor). El bit menos significativo (LSB) es aquel que está más a la
derecha y que tiene el menor valor. Para la medida de unidades de información
representada en binario, se utilizan una serie de múltiplos de bit que poseen nombre
propio:
4
Nibble o Cuarteto: Es el conjunto de cuatro bits (1001).
Byte u Octeto: Es el conjunto de ocho bits (10101010).
Kilobyte (Kb): Es el conjunto de 2^10 bits (1.024 * 8 bits)
Megabyte (Mb): Es el conjunto de 2^20 Kilobytes bits (1.0242 * 8 bits)
Gigabyte (Gb): Es el conjunto de 2^30 Megabytes bits (1.0243 * 8 bits)
Terabyte (Tb): Es el conjunto de 2^40 Gigabytes bits (1.0244 * 8 bits)
La razón por la que se utiliza el factor 1.024 en vez de 1.000, es por ser el múltiplo
de 2 más próximo a 1000, cuestión importante desde el punto de vista informático
(210 = 1.024).
2.6. Sistema Octal (Base 8)
Se trata de un sistema de numeración en base 8 que utiliza 8 símbolos para la
representación de cantidades. Los símbolos utilizados son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Este
sistema también posicional, ya que cada una de sus cifras tiene como posición la
relativa al punto decimal que, en caso de no aparecer se supone implícita al lado
derecho del número, este proporciona un método conveniente para la representación
de códigos y números binarios utilizados en los sistemas digitales.
2.7. Sistema Hexadecimal (Base 16)
El sistema hexadecimal emplea la base 16. Así, tiene 16 posibles símbolos digitales.
Utiliza los dígitos del 0 al 9, más las letras A, B, C, D, E y F como sus 16 símbolos
digitales. Cada dígito hexadecimal representa un grupo de cuatro dígitos binarios.
Es importante recordar que los dígitos hex (Abreviatura de hexadecimal) de A a F
son equivalentes a los valores decimales de 10 a 15.
2.8. Conversión entre Sistemas Numéricos
Para convertir números enteros decimales a otra base, la forma más simple es dividir
sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por la nueva
base, hasta que el cociente en una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los
restos obtenidos en orden inverso nos proporciona el número inicial expresado en el
nuevo sistema.
2.8.1. Conversión entre decimal y binario
Existen dos maneras de convertir un número decimal a su representación
equivalente en el sistema binario. En el primero el número decimal se
5
expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y
los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de bits.
4510 = 32 + 8 + 4 + 1 = 25 + 0 +23 + 22 + 0 +20 = 1 0 1 1 0 12
Obsérvese que se coloca un 0 en las posiciones 21 y 24, ya que todas las
posiciones deben tomarse en cuenta. El segundo método es llamado, Método
de las Divisiones Sucesivas entre Dos. Se trata de dividir sucesivamente el
número decimal y los sucesivos cocientes entre dos (2), hasta que el cociente
en una de las divisiones tome el valor cero (0). La unión de todos los restos
obtenidos, escritos en orden inverso, nos proporciona el número inicial
expresado en el sistema binario.
2.8.2. Conversión entre binario a decimal
El sistema de numeración binario es un sistema posicional donde cada dígito
binario (bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB. Cualquier
número binario puede convertirse a su equivalente decimal, simplemente
sumando en el número binario los valores de las diversas posiciones que
contenga un 1.
1
1
0
1
12
(binario)
24
+ 23 + 0 + 21 + 20 = 16 + 8 + 2 1 = 2710 (decimal)
2.8.3. Conversión entre decimal y octal
Igualmente, que, en la conversión de decimal a binario, por medio del
Método de Divisiones Sucesivas, pero en este caso por ocho (8).
2.8.4. Conversión entre Octal a Binario
Para convertir un número octal a binario se sustituye cada dígito
octal por sus correspondientes tres dígitos binarios.
EQUIVALENTE OCATAL-BIANRIO
DIGITO
DIGITO
OCTAL
BINARIO
0
000
1
001
2
010
3
011
6
4
100
5
101
6
110
7
111
2.8.5. Conversión entre Binario a Octal
Para convertir un número binario a octal se realiza un proceso inverso al
anterior. Se agrupan los dígitos de 3 en 3 a partir del punto decimal hacia la
izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada trío de dígitos binarios por su
equivalente dígito octal.
2.8.6. Conversión entre Binario a Hexadecimal
Se realiza un proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos binarios de 4
en 4 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha,
sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito hexadecimal.
Agregando ceros cuando sea necesario para completar un grupo de 4 bits.
2.8.7. Conversión entre Octal a Hexadecimal
Esta conversión realiza un paso intermedio utilizando el sistema binario.
Primero se convierte el número octal en binario y éste se pasa a hexadecimal.
2.8.8. Conversión entre Hexadecimal a Octal
Se realiza un paso intermedio utilizando el sistema binario. Se convierte en
binario y éste en octal.
2.8.9. Conversión entre decimal y hexadecimal
De igual manera, la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar
por medio de la división repetida por 16. Siguiendo el mismo método
utilizado en las conversiones de decimal a binario y de decimal a octal.
2.8.10. Conversión entre Hexadecimal a Binario
Se sustituye cada dígito hexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos.
7
EQUIVALENTE HEXADECIMAL-BIANRIO
DIGITO
DIGITO
HEXADECIMAL
BINARIO
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
A
1010
B
1011
C
1100
D
1101
E
1110
F
1111
2.8.11. Conversión entre hexadecimal a Decimal
Un número hex se puede convertir en su equivalente decimal utilizando el
hecho de que cada posición de los dígitos hex tiene un valor que es una potencia
de 16. El LSD tiene un valor de 160 = 1; el siguiente dígito en secuencia tiene
un valor de 161 = 16; el siguiente tiene un valor de 162 = 256 y así
sucesivamente El proceso de conversión se demuestra en los ejemplos que
siguen.
35616 = 3 x 162 + 5 x 161 + 6 x 16°
= 768 + 80 + 6
= 85410
2AF16 = 2 x 162 + 10 x 161 + 15 x 16°
= 512 + 160 + 15
= 68710
8
2.9. Aplicaciones de los Sistemas Numéricos
Los sistemas numéricos tienen un papel fundamental en muchos aspectos de nuestra
vida, especialmente en la tecnología y la ciencia. Aunque no siempre lo notamos,
su aplicación es clave en distintas áreas, desde la informática hasta el diseño gráfico,
pasando por las telecomunicaciones y la seguridad digital.
En el mundo de la informática y la programación, el sistema binario es el lenguaje
en el que trabajan las computadoras. Todo lo que vemos en una pantalla, desde una
simple calculadora hasta un videojuego, está basado en combinaciones de ceros y
unos. Para facilitar la escritura y lectura de datos, también se utilizan los sistemas
octal y hexadecimal en lenguajes de programación como Assembly, C y JavaScript.
Gracias a estos sistemas, los desarrolladores pueden manejar información de
manera más eficiente en software y bases de datos.
En el ámbito de la electrónica, los circuitos digitales funcionan a través de señales
que indican encendido y apagado, representadas por el 1 y el 0 del sistema binario.
Los microprocesadores, que son el "cerebro" de los dispositivos electrónicos,
almacenan y procesan datos en diferentes sistemas numéricos para garantizar un
funcionamiento óptimo. Incluso en la programación de microcontroladores y
dispositivos embebidos, estos sistemas ayudan a optimizar los recursos y mejorar
el rendimiento de los aparatos que usamos a diario.
Las telecomunicaciones también dependen en gran medida de los sistemas
numéricos. Por ejemplo, las direcciones IP que permiten la conexión a internet están
representadas en sistemas decimales y hexadecimales. Además, los datos que se
envían a través de redes, como mensajes, vídeos y llamadas, utilizan códigos
binarios y hexadecimales para asegurar una transmisión eficiente y corregir
posibles errores en el proceso.
En el diseño gráfico y la multimedia, los sistemas numéricos son esenciales para
representar colores en pantallas digitales. Cada color tiene un código hexadecimal
específico, como el rojo, que se representa con #FF0000. También se utilizan estos
sistemas en la compresión de imágenes y vídeos, permitiendo reducir su tamaño sin
9
perder calidad. Del mismo modo, los archivos de audio y video dependen de
conversiones numéricas para ser almacenados y reproducidos correctamente.
Por último, en las matemáticas y la ciencia, los sistemas numéricos permiten
realizar cálculos complejos y modelar datos en simulaciones. En la seguridad
informática, el sistema hexadecimal es clave para la encriptación de información y
la protección de datos personales. También en la economía y la contabilidad, estos
sistemas son fundamentales para la representación de valores financieros y el
desarrollo de herramientas como las calculadoras electrónicas.
10
3. CONCLUSIONES
La importancia de los sistemas numéricos en nuestra vida cotidiana y en el
desarrollo tecnológico. A lo largo del documento, hemos podido comprender cómo
estos sistemas no solo organizan la información en las computadoras, sino que
también permiten el funcionamiento de dispositivos electrónicos, redes de
comunicación, diseño gráfico y muchas otras áreas.
Es evidente que sin los sistemas numéricos, la informática y la programación no
serán posibles tal como las conocemos hoy. El sistema binario, base del
funcionamiento de todos los dispositivos digitales, junto con los sistemas octal y
hexadecimal, facilita la representación y manipulación de datos en múltiples
aplicaciones. Su presencia es fundamental en la optimización de recursos y el
almacenamiento eficiente de información.
Además, su uso en telecomunicaciones, diseño multimedia y seguridad digital
demuestra que no se limitan solo al ámbito académico, sino que tienen aplicaciones
prácticas en la vida diaria. Desde el envío de un mensaje de texto hasta la elección
de un color en una imagen digital, los sistemas numéricos están presentes en cada
acción tecnológica que realizamos.
Por todo ello, es importante seguir explorando y comprendiendo estos sistemas, ya
que su dominio no solo nos permite mejorar nuestras habilidades en informática y
matemáticas, sino que también nos prepara para enfrentar los desafíos del mundo
digital en constante evolución.
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ANEXOS
Ejemplos de conversiones:
1. Conversión Decimal a Binario
Ejemplo: Convertir 45 a binario.
45 ÷ 2 = 22, residuo 1
22 ÷ 2 = 11, residuo 0
11 ÷ 2 = 5, residuo 1
5 ÷ 2 = 2, residuo 1
2 ÷ 2 = 1, residuo 0
1 ÷ 2 = 0, residuo 1
Resultado: 45₁₀ = 101101₂
2. Conversión Decimal a Octal
Ejemplo: Convertir 45 a octal.
45 ÷ 8 = 5, residuo 5
5 ÷ 8 = 0, residuo 5
Resultado: 45₁₀ = 55₈
3. Conversión Octal a Binario
Ejemplo: Convertir 52₈ a binario.
5 → 101
2 → 010
Resultado: 52₈ = 101010₂
4. Conversión Binario a Octal
Ejemplo: Convertir 101010₂ a octal.
Agrupar en ternas: 101 010
101 → 5
010 → 2
Resultado: 101010₂ = 52₈
5. Conversión Binario a Hexadecimal
Ejemplo: Convertir 101101₂ a hexadecimal.
Agrupar en cuartetos: 0001 1011
0001 → 1
1011 → B
Resultado: 101101₂ = 1B₁₆
6. Conversión Octal a Hexadecimal
Ejemplo: Convertir 52₈ a hexadecimal.
52₈ a binario: 101010₂
Binario a hexadecimal: A
Resultado: 52₈ = A₁₆
7. Conversión Hexadecimal a Octal
Ejemplo: Convertir 2F₁₆ a octal.
2 → 0010
F → 1111
Agrupar en ternas: 000 101 111
000 → 0, 101 → 5, 111 → 7
Resultado: 2F₁₆ = 57₈
8. Conversión Decimal a Hexadecimal
Ejemplo: Convertir 175 a hexadecimal.
175 ÷ 16 = 10, residuo 15 (F)
10 ÷ 16 = 0, residuo A
Resultado: 175₁₀ = AF₁₆
9. Conversión Hexadecimal a Binario
Ejemplo: Convertir 2F₁₆ a binario.
2 → 0010
F → 1111
Resultado: 2F₁₆ = 00101111₂
10. Conversión Hexadecimal a Decimal
Ejemplo: Convertir 2F₁₆ a decimal.
2 × 16¹ + F(15) × 16⁰
2 × 16 + 15 × 1
32 + 15 = 47
Resultado: 2F₁₆ = 47₁₀
BIBLIOGRAFIA
Casanova, C. (2008). Sistemas_Digitales_Introduccion.pdf.
de Cada Sistema, 3. 1. Definición Y. Presentación. (s/f). LOS SISTEMAS DE
NUMERACIÓN. Buap.mx. Recuperado el 28 de febrero de 2025, de
https://www.cs.buap.mx/~andrex/ensamblador/sistemas-denumeracion.pdf
Jhon. (s/f). Sistemas numéricos.pdf.