ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR “PEDRO DOMINGO MURILLO” INFORME “SISTEMAS NUMERICOS” Estudiantes 100-A: • Alex Machaca Ilaluque • Miguel Vega Aguilar • Sharen Echegaray Cruz DOCENTE STI : Lic Lourdes Averanga LA PAZ- 2025 INDICE 1. INTRODUCCION ........................................................................................................ 1 2. MARCO TEORICO .................................................................................................... 2 2.1. Bosquejo Histórico ................................................................................................ 2 2.2. Definición de Sistema Numéricos ........................................................................ 3 2.3. Teoremas fundamentales de la numeración ....................................................... 3 2.4. Sistema Decimal (Base 10) ................................................................................... 4 2.5. Sistema Binario (Base 2)....................................................................................... 4 2.6. Sistema Octal (Base 8) .......................................................................................... 5 2.7. Sistema Hexadecimal (Base 16) ........................................................................... 5 2.8. Conversión entre Sistemas Numéricos ................................................................ 5 2.8.1. Conversión entre decimal y binario ............................................................. 5 2.8.2. Conversión entre binario a decimal ............................................................. 6 2.8.3. Conversión entre decimal y octal ................................................................. 6 2.8.4. Conversión entre Octal a Binario................................................................. 6 2.8.5. Conversión entre Binario a Octal ................................................................ 7 2.8.6. Conversión entre Binario a Hexadecimal.................................................... 7 2.8.7. Conversión entre Octal a Hexadecimal ....................................................... 7 2.8.8. Conversión entre Hexadecimal a Octal ....................................................... 7 2.8.9. Conversión entre decimal y hexadecimal .................................................... 7 2.8.10. Conversión entre Hexadecimal a Binario .................................................... 7 2.8.11. Conversión entre hexadecimal a Decimal ................................................... 8 2.9. 3. Aplicaciones de los Sistemas Numéricos ............................................................. 9 CONCLUSIONES ...................................................................................................... 11 ANEXOS ............................................................................................................................ 12 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 15 i 1. INTRODUCCION El sistema numérico es una herramienta fundamental en el desarrollo de las matemáticas y la informática. A lo largo de la historia, diferentes civilizaciones han creado y utilizado distintos sistemas para contar, calcular y resolver problemas. Desde el sistema decimal que usamos todos los días hasta los sistemas binario, octal y hexadecimal empleados en computadoras y tecnología moderna, cada uno tiene características únicas que permiten representar información de manera eficiente en diferentes contextos. En esta exposición, el objetivo es brindar a los estudiantes de nivel secundario una comprensión más profunda de los sistemas numéricos más utilizados, y cómo se relacionan con la tecnología que nos rodea. Al conocer los principios de estos sistemas, los estudiantes podrán entender mejor cómo funcionan las computadoras y dispositivos electrónicos, que son esenciales en su vida cotidiana y en el futuro profesional. Este conocimiento les permitirá tener una base sólida para aprender más sobre programación, matemáticas y ciencias de la computación. Uno de los aspectos más interesantes de los sistemas numéricos es cómo se pueden convertir entre sí. Aunque el sistema decimal es el más familiar, los sistemas binarios, octal y hexadecimal son cruciales en el mundo digital. Durante la exposición, se explicará el proceso de conversión entre estos sistemas, algo fundamental para quienes desean adentrarse en el campo de la programación y la ingeniería de software. Esta habilidad es clave para comprender cómo las computadoras interpretan y procesan datos. El propósito de esta exposición es, entonces, proporcionar a los estudiantes una perspectiva más amplia sobre el tema, dándoles no solo información técnica, sino también nuevos conocimientos que puedan aplicar en su educación futura. Al final, se busca que cada uno de ustedes valore la importancia de los sistemas numéricos y su impacto en la tecnología moderna, además de motivarlos a seguir explorando este fascinante campo. 1 2. MARCO TEORICO 2.1. Bosquejo Histórico Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa o abarca a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases, y la numeración la Maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren demasiada cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho, cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron esgrimiendo razones como: que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones. 2 2.2. Definición de Sistema Numéricos Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades. Un sistema de numeración se caracteriza por su base, que es el número de símbolos distintos que utiliza y además es el coeficiente que determina cuál es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Los actuales sistemas de numeración son netamente posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra depende de su valor absoluto y de la posición que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal. La coma decimal (,) que separa la parte entera de la parte fraccionaria, en ambientes informáticos, está representada por el punto decimal (.). En los sistemas de numeración existe un elemento característico que define el sistema y que se denomina base, siendo ésta el número de símbolos que se utilizan para dicha representación. La representación de una cantidad se efectúa por medio de cadenas de símbolos, cada uno de ellos con un significado que depende de su posición; por ello estos sistemas se denominan posicionales. La notación matemática de la base, para distinguir a cuál de ellas nos estamos refiriendo, consiste en poner al final del número un subíndice formado por un paréntesis abierto a la derecha y el número de la base correspondiente. 2.3. Teoremas fundamentales de la numeración Todos los sistemas de numeración posicionales toman como referencia el punto decimal y tienen una base de numeración que de forma implícita interviene en la cantidad que con una determinada representación se quiere referenciar. Se trata de un teorema que relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración con la misma cantidad expresada en el sistema decimal. Supongamos una cantidad expresada en un sistema cuya base es B, y representamos por Xi cada uno de los dígitos que contiene dicha cantidad y cuyo subíndice indica la posición de la cifra respecto al punto decimal, posición que hacia la izquierda del punto se numera desde 0 en adelante y de 1 en 1, y hacia la derecha se numeran desde -1 y con incremento -1. En síntesis, el teorema indica el valor decimal de una cantidad expresada en cualquier sistema de representación, y viene dado por la fórmula: 3 donde: B = Base del sistema de numeración. i = Posición respecto al punto. d = Número de cifras a la derecha del punto. n = Número de cifras a la izquierda del número menos 1. X = Cada una de las cifras que componen el número. Así dado el número 2.3.1.1.1.1. X4 X3X2X1X0X-1X-1X-3 (B su valor decimal viene expresado por el sumatorio 2.4. Sistema Decimal (Base 10) El hombre, desde hace tiempo ha utilizado como sistema para contar el sistema decimal, que derivó del sistema indoarábigo, posiblemente se adoptó este sistema por contar con 10 dedos en las manos. El sistema decimal utiliza un conjunto de símbolos, cuyo significado depende de su posición relativa al punto decimal, que en caso de ausencia se supone colocado implícitamente a la derecha. El hombre ha utilizado el sistema numérico decimal, basado en diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), que, al combinarlos, permiten representar las cantidades imaginadas; es por esto que se dice que utiliza la base. 2.5. Sistema Binario (Base 2) Este sistema de base 2 es el más sencillo de todos por poseer sólo dos dígitos, fue introducido por Leibniz en el Siglo XVII, es el sistema que internamente utilizan los circuitos digitales que configuran el hardware de las computadoras actuales. Los dos dígitos, llamados bits (Contracción de binary digit), son el uno (1) y el cero (0), por lo cual el equivalente decimal se obtendrá al sumar los pesos correspondientes a los bits 1. En bit más significativo (MSB) es aquel que se ubica más a la izquierda (el que tiene mayor valor). El bit menos significativo (LSB) es aquel que está más a la derecha y que tiene el menor valor. Para la medida de unidades de información representada en binario, se utilizan una serie de múltiplos de bit que poseen nombre propio: 4 Nibble o Cuarteto: Es el conjunto de cuatro bits (1001). Byte u Octeto: Es el conjunto de ocho bits (10101010). Kilobyte (Kb): Es el conjunto de 2^10 bits (1.024 * 8 bits) Megabyte (Mb): Es el conjunto de 2^20 Kilobytes bits (1.0242 * 8 bits) Gigabyte (Gb): Es el conjunto de 2^30 Megabytes bits (1.0243 * 8 bits) Terabyte (Tb): Es el conjunto de 2^40 Gigabytes bits (1.0244 * 8 bits) La razón por la que se utiliza el factor 1.024 en vez de 1.000, es por ser el múltiplo de 2 más próximo a 1000, cuestión importante desde el punto de vista informático (210 = 1.024). 2.6. Sistema Octal (Base 8) Se trata de un sistema de numeración en base 8 que utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades. Los símbolos utilizados son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Este sistema también posicional, ya que cada una de sus cifras tiene como posición la relativa al punto decimal que, en caso de no aparecer se supone implícita al lado derecho del número, este proporciona un método conveniente para la representación de códigos y números binarios utilizados en los sistemas digitales. 2.7. Sistema Hexadecimal (Base 16) El sistema hexadecimal emplea la base 16. Así, tiene 16 posibles símbolos digitales. Utiliza los dígitos del 0 al 9, más las letras A, B, C, D, E y F como sus 16 símbolos digitales. Cada dígito hexadecimal representa un grupo de cuatro dígitos binarios. Es importante recordar que los dígitos hex (Abreviatura de hexadecimal) de A a F son equivalentes a los valores decimales de 10 a 15. 2.8. Conversión entre Sistemas Numéricos Para convertir números enteros decimales a otra base, la forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por la nueva base, hasta que el cociente en una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los restos obtenidos en orden inverso nos proporciona el número inicial expresado en el nuevo sistema. 2.8.1. Conversión entre decimal y binario Existen dos maneras de convertir un número decimal a su representación equivalente en el sistema binario. En el primero el número decimal se 5 expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de bits. 4510 = 32 + 8 + 4 + 1 = 25 + 0 +23 + 22 + 0 +20 = 1 0 1 1 0 12 Obsérvese que se coloca un 0 en las posiciones 21 y 24, ya que todas las posiciones deben tomarse en cuenta. El segundo método es llamado, Método de las Divisiones Sucesivas entre Dos. Se trata de dividir sucesivamente el número decimal y los sucesivos cocientes entre dos (2), hasta que el cociente en una de las divisiones tome el valor cero (0). La unión de todos los restos obtenidos, escritos en orden inverso, nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario. 2.8.2. Conversión entre binario a decimal El sistema de numeración binario es un sistema posicional donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB. Cualquier número binario puede convertirse a su equivalente decimal, simplemente sumando en el número binario los valores de las diversas posiciones que contenga un 1. 1 1 0 1 12 (binario) 24 + 23 + 0 + 21 + 20 = 16 + 8 + 2 1 = 2710 (decimal) 2.8.3. Conversión entre decimal y octal Igualmente, que, en la conversión de decimal a binario, por medio del Método de Divisiones Sucesivas, pero en este caso por ocho (8). 2.8.4. Conversión entre Octal a Binario Para convertir un número octal a binario se sustituye cada dígito octal por sus correspondientes tres dígitos binarios. EQUIVALENTE OCATAL-BIANRIO DIGITO DIGITO OCTAL BINARIO 0 000 1 001 2 010 3 011 6 4 100 5 101 6 110 7 111 2.8.5. Conversión entre Binario a Octal Para convertir un número binario a octal se realiza un proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos de 3 en 3 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada trío de dígitos binarios por su equivalente dígito octal. 2.8.6. Conversión entre Binario a Hexadecimal Se realiza un proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos binarios de 4 en 4 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito hexadecimal. Agregando ceros cuando sea necesario para completar un grupo de 4 bits. 2.8.7. Conversión entre Octal a Hexadecimal Esta conversión realiza un paso intermedio utilizando el sistema binario. Primero se convierte el número octal en binario y éste se pasa a hexadecimal. 2.8.8. Conversión entre Hexadecimal a Octal Se realiza un paso intermedio utilizando el sistema binario. Se convierte en binario y éste en octal. 2.8.9. Conversión entre decimal y hexadecimal De igual manera, la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar por medio de la división repetida por 16. Siguiendo el mismo método utilizado en las conversiones de decimal a binario y de decimal a octal. 2.8.10. Conversión entre Hexadecimal a Binario Se sustituye cada dígito hexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos. 7 EQUIVALENTE HEXADECIMAL-BIANRIO DIGITO DIGITO HEXADECIMAL BINARIO 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 2.8.11. Conversión entre hexadecimal a Decimal Un número hex se puede convertir en su equivalente decimal utilizando el hecho de que cada posición de los dígitos hex tiene un valor que es una potencia de 16. El LSD tiene un valor de 160 = 1; el siguiente dígito en secuencia tiene un valor de 161 = 16; el siguiente tiene un valor de 162 = 256 y así sucesivamente El proceso de conversión se demuestra en los ejemplos que siguen. 35616 = 3 x 162 + 5 x 161 + 6 x 16° = 768 + 80 + 6 = 85410 2AF16 = 2 x 162 + 10 x 161 + 15 x 16° = 512 + 160 + 15 = 68710 8 2.9. Aplicaciones de los Sistemas Numéricos Los sistemas numéricos tienen un papel fundamental en muchos aspectos de nuestra vida, especialmente en la tecnología y la ciencia. Aunque no siempre lo notamos, su aplicación es clave en distintas áreas, desde la informática hasta el diseño gráfico, pasando por las telecomunicaciones y la seguridad digital. En el mundo de la informática y la programación, el sistema binario es el lenguaje en el que trabajan las computadoras. Todo lo que vemos en una pantalla, desde una simple calculadora hasta un videojuego, está basado en combinaciones de ceros y unos. Para facilitar la escritura y lectura de datos, también se utilizan los sistemas octal y hexadecimal en lenguajes de programación como Assembly, C y JavaScript. Gracias a estos sistemas, los desarrolladores pueden manejar información de manera más eficiente en software y bases de datos. En el ámbito de la electrónica, los circuitos digitales funcionan a través de señales que indican encendido y apagado, representadas por el 1 y el 0 del sistema binario. Los microprocesadores, que son el "cerebro" de los dispositivos electrónicos, almacenan y procesan datos en diferentes sistemas numéricos para garantizar un funcionamiento óptimo. Incluso en la programación de microcontroladores y dispositivos embebidos, estos sistemas ayudan a optimizar los recursos y mejorar el rendimiento de los aparatos que usamos a diario. Las telecomunicaciones también dependen en gran medida de los sistemas numéricos. Por ejemplo, las direcciones IP que permiten la conexión a internet están representadas en sistemas decimales y hexadecimales. Además, los datos que se envían a través de redes, como mensajes, vídeos y llamadas, utilizan códigos binarios y hexadecimales para asegurar una transmisión eficiente y corregir posibles errores en el proceso. En el diseño gráfico y la multimedia, los sistemas numéricos son esenciales para representar colores en pantallas digitales. Cada color tiene un código hexadecimal específico, como el rojo, que se representa con #FF0000. También se utilizan estos sistemas en la compresión de imágenes y vídeos, permitiendo reducir su tamaño sin 9 perder calidad. Del mismo modo, los archivos de audio y video dependen de conversiones numéricas para ser almacenados y reproducidos correctamente. Por último, en las matemáticas y la ciencia, los sistemas numéricos permiten realizar cálculos complejos y modelar datos en simulaciones. En la seguridad informática, el sistema hexadecimal es clave para la encriptación de información y la protección de datos personales. También en la economía y la contabilidad, estos sistemas son fundamentales para la representación de valores financieros y el desarrollo de herramientas como las calculadoras electrónicas. 10 3. CONCLUSIONES La importancia de los sistemas numéricos en nuestra vida cotidiana y en el desarrollo tecnológico. A lo largo del documento, hemos podido comprender cómo estos sistemas no solo organizan la información en las computadoras, sino que también permiten el funcionamiento de dispositivos electrónicos, redes de comunicación, diseño gráfico y muchas otras áreas. Es evidente que sin los sistemas numéricos, la informática y la programación no serán posibles tal como las conocemos hoy. El sistema binario, base del funcionamiento de todos los dispositivos digitales, junto con los sistemas octal y hexadecimal, facilita la representación y manipulación de datos en múltiples aplicaciones. Su presencia es fundamental en la optimización de recursos y el almacenamiento eficiente de información. Además, su uso en telecomunicaciones, diseño multimedia y seguridad digital demuestra que no se limitan solo al ámbito académico, sino que tienen aplicaciones prácticas en la vida diaria. Desde el envío de un mensaje de texto hasta la elección de un color en una imagen digital, los sistemas numéricos están presentes en cada acción tecnológica que realizamos. Por todo ello, es importante seguir explorando y comprendiendo estos sistemas, ya que su dominio no solo nos permite mejorar nuestras habilidades en informática y matemáticas, sino que también nos prepara para enfrentar los desafíos del mundo digital en constante evolución. 11 ANEXOS Ejemplos de conversiones: 1. Conversión Decimal a Binario Ejemplo: Convertir 45 a binario. 45 ÷ 2 = 22, residuo 1 22 ÷ 2 = 11, residuo 0 11 ÷ 2 = 5, residuo 1 5 ÷ 2 = 2, residuo 1 2 ÷ 2 = 1, residuo 0 1 ÷ 2 = 0, residuo 1 Resultado: 45₁₀ = 101101₂ 2. Conversión Decimal a Octal Ejemplo: Convertir 45 a octal. 45 ÷ 8 = 5, residuo 5 5 ÷ 8 = 0, residuo 5 Resultado: 45₁₀ = 55₈ 3. Conversión Octal a Binario Ejemplo: Convertir 52₈ a binario. 5 → 101 2 → 010 Resultado: 52₈ = 101010₂ 4. Conversión Binario a Octal Ejemplo: Convertir 101010₂ a octal. Agrupar en ternas: 101 010 101 → 5 010 → 2 Resultado: 101010₂ = 52₈ 5. Conversión Binario a Hexadecimal Ejemplo: Convertir 101101₂ a hexadecimal. Agrupar en cuartetos: 0001 1011 0001 → 1 1011 → B Resultado: 101101₂ = 1B₁₆ 6. Conversión Octal a Hexadecimal Ejemplo: Convertir 52₈ a hexadecimal. 52₈ a binario: 101010₂ Binario a hexadecimal: A Resultado: 52₈ = A₁₆ 7. Conversión Hexadecimal a Octal Ejemplo: Convertir 2F₁₆ a octal. 2 → 0010 F → 1111 Agrupar en ternas: 000 101 111 000 → 0, 101 → 5, 111 → 7 Resultado: 2F₁₆ = 57₈ 8. Conversión Decimal a Hexadecimal Ejemplo: Convertir 175 a hexadecimal. 175 ÷ 16 = 10, residuo 15 (F) 10 ÷ 16 = 0, residuo A Resultado: 175₁₀ = AF₁₆ 9. Conversión Hexadecimal a Binario Ejemplo: Convertir 2F₁₆ a binario. 2 → 0010 F → 1111 Resultado: 2F₁₆ = 00101111₂ 10. Conversión Hexadecimal a Decimal Ejemplo: Convertir 2F₁₆ a decimal. 2 × 16¹ + F(15) × 16⁰ 2 × 16 + 15 × 1 32 + 15 = 47 Resultado: 2F₁₆ = 47₁₀ BIBLIOGRAFIA Casanova, C. (2008). Sistemas_Digitales_Introduccion.pdf. de Cada Sistema, 3. 1. Definición Y. Presentación. (s/f). LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Buap.mx. Recuperado el 28 de febrero de 2025, de https://www.cs.buap.mx/~andrex/ensamblador/sistemas-denumeracion.pdf Jhon. (s/f). Sistemas numéricos.pdf.
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