Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des sciences et Techniques Béni Mellal
Département de Génie Electrique
Télécommunications
Youssef RHAZI, PH FSTBM
Ingénierie Informatique Electronique et Automatique
Télécommunications
Chapitre 1. Généralités sur les télécommunications
Chapitre 2. Les signaux
Chapitre 3. La modulation Analogique
Chapitre 4. La modulation numérique
Chapitre 5. Sujets de recherches
Chapitre 2: Les signaux
01
Introduction
04
Spectre d’un signal périodique
02
Définitions
05
Généralisation de la notion de spectre
03
Classification des signaux
06
Exemples de signaux élémentaires
01Introduction
“
Un signal est le support physique d’une information.
Signaux sonores : fluctuations de la pression de l’air transportant un message a notre oreille ;
Signaux visuels : ondes de lumière apportant une information a notre œil.
En télécommunications, on appelle signal tout phénomène électromagnétique, généralement de faible
niveau, qui constitue le support d’une information.
.
Définitions
Un signal est une information qui transite à travers un canal de communication. Il permet de transmettre une donnée
brute entre deux machines de manière adaptée au support de communication.
Analogique
Un signal analogique est de type sinusoïdal.
Numérique
Un signal numérique est un signal discret.
Interprétation d'un signal
elle s’effectue selon la tension électrique, l'impulsion lumineuse, la modulation de l'onde
électromagnétique, . . .
Représentation mathématique d’un signal
Un signal est représenté par une fonction d’une ou plusieurs variables. Généralement, une seule variable
est utilisée : le temps car l’information transportée par un signal est la variation d’une grandeur au cours du
temps.
Notation des signaux
x(t), y(t), s(t), ...
Exemples de signaux
Un signal numérique est un signal discret.
x(t) = A (signal constant)
y(t) = at + b
s(t) =𝑆0 𝑒 𝛼𝑡
Ces fonctions constituent une idéalisation mathématique des signaux réels.
Classification des signaux
Les signaux peuvent être classes en deux catégories :
signaux déterministes :
- analogiques : amplitude et temps continus, images exactes des informations a transmettre;
-
numériques : amplitude et temps discrets, obtenus par passage de l’information par un
convertisseur analogique/numérique ou signaux naturellement numériques provenant d’un calculateur.
signaux aléatoires : étudies en utilisant la théorie des probabilités et des processus aléatoires. Ils
permettent de mieux représenter les signaux réels.
Conséquence : il y a deux types de transmission des signaux : transmission analogique et
transmission numérique.
Les signaux périodiques
Un signal x(t) est périodique s’il existe une durée T telle que 𝑥(𝑡+𝑇)= 𝑥 (t).
Un signal périodique 𝑥(𝑡) est caractérisé par :
son amplitude;
1
sa période T (en secondes) ou sa fréquence f = 𝑇 (en Hertz) ;
1
𝑇
sa puissance moyenne 𝑃 = 𝑇 ‫׬‬0 𝑥(𝑡)2 𝑑𝑡
1
𝑇
sa valeur moyenne (composante continue) : 𝑋𝑚 = 𝑇 ‫׬‬0 𝑥 𝑡 𝑑𝑡
signaux sinusoïdaux
Les signaux sinusoïdaux (ou harmoniques) sont des signaux périodiques très importants.
Ce sont les signaux de la forme :
avec:
𝑥(𝑡) = 𝐴0 sin(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑0 )
𝐴0 : amplitude ;
𝑓0 : fréquence ;
𝜑0 : phase a l’origine (ou déphasage ou phase)
;
2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑0 : phase instantanée.
Représentation
Représentation spectrale
Spectre d’un signal périodique
Développement en série de Fourier
En 1822, Joseph Fourier publie Théorie analytique de la chaleur, ouvrage dans lequel il utilise une
technique qui consiste à décomposer une fonction périodique par une somme infinie de sinus et de
cosinus. Bien que suscitant quelques réserves de la part de nombreux mathématiciens de l'époque,
l'analyse de Fourier est de nos jours solidement structurée et bien comprise.
1
Soit x(t) un signal périodique quelconque (non sinusoïdal) de période T (ou de fréquence 𝑓 = 𝑇 ).
On montre que x(t) peut s’écrire sous la forme d’un développement en série de Fourier, c’est-a-dire une
somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples entiers de f :
∝
𝑥(𝑡) =
𝑎0
+ ෍ 𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑓𝑡 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑓𝑡
2
𝑛=1
Avec
𝑎0
1 𝑇
=
‫𝑡𝑑 )𝑡(𝑥 ׬‬
2
𝑇 0
Spectre d’un signal périodique
Développement en série de Fourier
Et ∀𝑛 ≥ 1,
𝑇
2
𝑎𝑛 = න 𝑥 𝑡 cos 2𝜋𝑛𝑓𝑡 𝑑𝑡
𝑇
0
𝑇
𝑏𝑛 =
2
න 𝑥 𝑡 si𝑛 2𝜋𝑛𝑓𝑡 𝑑𝑡
𝑇
0
Le signal sinusoïdal de fréquence f est appelé fondamental et les signaux sinusoïdaux de fréquences nf, n
≥ 2 sont appelés harmoniques.
Si x(t) est impair (c’est-`a-dire x(−t) = −x(t)), alors ∀n > 0, an = 0, et si x(t) est pair (c’est-`a-dire x(−t) = x(t))
alors ∀n > 1, bn = 0.
Spectre d’un signal périodique
Représentation spectrale d’un signal périodique
Il s’agit de représenter l’amplitude du signal en fonction de la pulsation du signal encore appelé spectre du
signal. Rappelons que pulsation et fréquence sont liées par la relation 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 , qui traduit la
proportionnalité des deux grandeurs. Le spectre obtenu est alors le même si on représente l’amplitude en
fonction de la pulsation ou de la fréquence.
Le développement en série de Fourier d’un signal périodique x(t) peut également s’écrire
∝
𝑎0
𝑥(𝑡) =
+ ෍ 𝐴𝑥 𝑛 cos(2𝜋𝑛𝑓𝑡 + 𝜑𝑥 (n))
2
𝑛=1
𝐴𝑥 𝑛 =
𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2
𝑏𝑛
𝜑𝑥 𝑛 = −𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛
𝑎𝑛
Spectre d’un signal périodique
Représentation spectrale d’un signal périodique
𝐴𝑥 𝑛 et 𝜑𝑥 𝑛 représentent respectivement le spectre d’amplitude et le spectre de phase de x(t). Ce sont
des spectres de raies ou spectres discrets : un signal périodique ne possède de composantes spectrales
que pour des fréquences multiples entiers du fondamental.(Matlab)
Spectre d’un signal périodique
Exemple de calcul du spectre d’un signal périodique
Spectre d’un signal périodique
Exemple de calcul du spectre d’un signal périodique
Spectre d’un signal non-périodique
Représentation spectrale d’un signal non-périodique
Soit x(t) un signal quelconque, en particulier non périodique. On montre dans ce cas que le spectre de x(t)
est une fonction continue de la fréquence, c’est-a-dire que x(t) possède des composantes spectrales a
toutes les fréquences. Le signal x(t) peut alors s’écrire sous la forme :
𝜑𝑥 𝑓 )𝑑𝑓
𝐴 𝑓 = 2 𝑋(𝑓) ∶ 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑒 𝑑’𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
ቊ 𝑥
𝜑𝑥 𝑓 = arg 𝑋(𝑓) : 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒
+∞
+∞
𝑥(𝑡) = ‫׬‬0
Ou X(f) est la transformée de Fourier de x(t) définie par : 𝑋(𝑓) = ‫׬‬−∞ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
𝐴𝑥 𝑓 cos(2𝜋𝑓𝑡 +
Spectre d’un signal non-périodique
Exemple de calcul du spectre d’un signal non périodique
Soit une impulsion x(t) de durée τ et d’amplitude A :
Exercice: Spectre d’un signal
Calcul de la puissance d’un signal a partir de son spectre
La puissance d’un signal est égale a la somme des puissances des composantes de son spectre
d’amplitude.
la puissance moyenne est :
∞
2
2
1 𝑇
𝑎
𝐴
𝑛
𝑥
0
𝑃 = න 𝑥(𝑡)2 𝑑𝑡 =
+෍
(é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑠𝑒𝑣𝑎𝑙)
𝑇 0
4
2
𝑛=1
Dans le cas d’un signal non périodique s’écrivant sous la forme :
𝜑𝑥 𝑓 )𝑑𝑓
+∞
1
+∞
Son énergie est : 𝜀 = ‫׬‬−∞ 𝑥(𝑡)2 𝑑𝑡 = 2 ‫׬‬0
𝐴𝑥 𝑓 2 𝑑𝑓
+∞
𝑥(𝑡) = ‫׬‬0
𝐴𝑥 𝑓 cos(2𝜋𝑓𝑡 +
Exemples de signaux élémentaires
La fonction échelon unité
Certains signaux fréquemment rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre.
Echelon Heaviside, fonction marche d'escalier (ou échelon unité) : La fonction échelon unité, ou
simplement échelon ou fonction de Heaviside, notée Γ, est une fonction réelle de la variable réelle définie
par :
Γ(t)
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
Γ(𝑡) = ቊ
+1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0
t
1
Par convention Γ(0) = 2
Exemples de signaux élémentaires
La fonction de signe
La fonction de signe, représentée dans la figure, est donnée par la formule suivante :
Sgn(t)
sgn(𝑡) = ቊ
−1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 < 0
+1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 > 0
t
Exemples de signaux élémentaires
La fonction rectangulaire ou porte
La fonction rectangle, ou fonction porte, de largeur T, notée rect(t), est une fonction réelle de la variable
réelle définie par:
𝑇
1 𝑠𝑖 𝑡 < 2
r𝑒𝑐(𝑡) = ൞
𝑇
0 𝑠𝑖 𝑡 > 2
Exemples de signaux élémentaires
La fonction triangulaire (fonction Bartlett)
La fonction triangle unité, notée tri, est une fonction réelle de la variable réelle définie par :
1 − 𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 1,
tri(𝑡) = ቊ
0
𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
Tri(t)
t
Exemples de signaux élémentaires
Impulsion de Dirac
𝛿(𝑡) = 0 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 0
La distribution ou impulsion de Dirac, notée 𝛿(t), vérifie :
𝛿(𝑡) = ൞
+∞
න
𝛿 𝑢 𝑑𝑢) = 0
−∞
𝑎𝛿(𝑡 − 𝑡0)
𝜹(𝒕)
𝑎
𝒕
𝑡0
Impulsion de Dirac à l’instant initial d’aire
𝑡
Impulsion de Dirac à l’instant t0 d’aire a
Exemples de signaux élémentaires
Peigne de Dirac
Le peigne de Dirac, représenté dans la figure suivante est: 𝛿T (𝑡) = σ+∞
𝑘=−∞ 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇)
𝜹(𝒕) 𝜹(𝒕 − 𝑻) 𝜹 𝒕 − 𝟐𝑻 … . .
Exemples de signaux élémentaires
La fonction sinus cardinal
Cette fonction est très courante en traitement du signal où elle intervient comme transformée de Fourier
d’une fonction rectangle. Une fonction rectangle permet de représenter par exemple des opérateurs idéaux
de filtrage. La fonction sinus cardinal, notée sinc(t), est définie :
𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) =
sin(𝜋𝑥)
𝜋𝑥
Filtrage des signaux
Exemples de filtres