SIRT INTEGRALI, SIRT INTEGRALI HISOBLASHNING STOKS VA
OSTRAGRADSKIY FORMULALARI
KIRISH.
ASOSIY QISM.
SIRT INTEGRALINING TA’RIFI VA UNING TURLARI
SIRT INTEGRALLARINI HISOBLASH USULLARI
STOKS VA OSTROGRADSKIY FORMULALARI
XULOSA
ADABIYOTLAR RO’YXATI
2
KIRISH
Matematikaning differensial va integral hisob bo’limlari, ayniqsa ko’p
o’zgaruvchili funksiyalar integraliga oid bilimlar zamonaviy fan va texnologiyaning
barcha sohalarida muhim o’rin egallaydi. Bu bilimlar yordamida tabiatda sodir
bo’ladigan murakkab fizik, kimyoviy va biologik jarayonlar matematik modellar
orqali ifodalanadi va chuqur tahlil qilinadi. Xususan, fizika va texnikada
uchraydigan ko’plab masalalar — issiqlikning tarqalishi, suyuqliklar va gazlar
oqimi, elektromagnit maydonlarning harakati, deformatsiya va kuchlanishlarni
hisoblash kabi vazifalar — aynan ko’p o’zgaruvchili integral hisob usullarini
qo’llash orqali yechiladi.
Shunday matematik tushunchalardan biri — sirt integrali — ko’p o’lchovli
fazoda aniqlangan vektor yoki skalyar maydonlarning sirt bo’ylab ta’sirini
aniqlashda qo’llaniladi. Sirt integrali yordamida sirt orqali oqayotgan suyuqlik yoki
gaz massasining miqdori, elektr maydonning sirtga ta’siri, yoki issiqlik oqimining
tarqalishi kabi fizik kattaliklar aniq hisoblanadi. Bu integrallar, ayniqsa, moddaning
oqimi, energiyaning tarqalishi, bosim kuchlari va magnit maydonlarning tahlili kabi
muhim masalalarda qo’llaniladi.
Bundan tashqari, sirt integrallari yordamida fizikada muhim o’rin tutuvchi
Gauss-Ostrogradskiy va Stoks teoremalari isbotlanadi va qo’llaniladi. Bu teoremalar
orqali murakkab integral ifodalarni soddalashtirish, ularni chiziqli yoki hajmiy
integral shakliga o’tkazish mumkin bo’ladi. Masalan, Ostrogradskiy teoremasi
(divergensiya teoremasi) sirt orqali vektor maydon oqimini hajm ichidagi
divergensiya orqali ifodalaydi, bu esa elektromagnit nazariya, suyuqliklar
mexanikasi va termodinamika kabi sohalarda keng tatbiq etiladi. Stoks teoremasi
esa, chiziqli integralni sirt ustidagi rotatsiya orqali ifodalab, ayniqsa vektor
maydonlarning sirkulyatsiyasini tahlil qilishda qo’l keladi.
Zamonaviy texnologiyalar, jumladan, kompyuter modellashuvi, sun’iy
intellekt, aerokosmik injiniring, ekologik monitoring, elektromexanik tizimlar,
gidravlik va pnevmatik tizimlarda ham sirt integraliga asoslangan modellar asosiy
tahlil vositasi sifatida ishlatiladi. Bu esa sirt integralining nazariy asoslarini chuqur
o’rganishni va uni amaliyotda to’g’ri qo’llashni taqozo etadi. Shu nuqtayi nazardan,
sirt integralining matematik mohiyatini, uni hisoblash usullarini, shuningdek, unga
bog’liq Stoks va Ostrogradskiy formulalarini o’rganish hozirgi kunda dolzarb bo’lib,
bu mavzuni chuqur tahlil qilish zaruriyatini yuzaga keltiradi. Mavzuning dolzarbligi
Sirt integrallari yordamida fizikada, masalan, elektr maydon yoki magnit maydon
sirt orqali qanday tarqalishini aniqlash mumkin. Shu bilan birga, Stoks va
Ostrogradskiy formulalari bu integrallarni soddalashtirish, ularni chiziqli yoki
hajmiy integrallar bilan bog’lash imkonini beradi. Ayniqsa, vektor analizining bu
ikki asosiy teoremasi nafaqat nazariy, balki ko’plab amaliy masalalarni hal qilishda
ham qo’llaniladi. Shu bois, ushbu mavzuni chuqur o’rganish nafaqat nazariy
bilimlarni mustahkamlash, balki amaliy ko’nikmalarni shakllantirish nuqtayi
nazaridan ham dolzarb hisoblanadi.
Tadqiqotning maqsadi
3
Mazkur kurs ishining asosiy maqsadi — sirt integrallari tushunchasini,
ularning hisoblash usullarini o’rganish, shuningdek, Stoks va Ostrogradskiy
formulalarini tahlil qilish va ularning amaliy qo’llanilishini ochib berishdan iborat.
Tadqiqotning vazifalari
1. Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagi vazifalar belgilab olindi:
2. Sirt integralining matematik ta’rifi va geometrik ma’nosini o’rganish;
3. Sirt integrallarining turlarini va ularni hisoblash metodlarini ko’rib chiqish;
4. Stoks va Ostrogradskiy formulalarining isbotini va mazmunini tahlil qilish;
5. Formulalarning amaliy misollar asosida qo’llanilishini ko’rsatish;
6. O’rganilgan bilimlar
mustahkamlash.
asosida masalalarni
yechish
orqali
mavzuni
Ilmiy, amaliy va uslubiy asoslar
Kurs ishining nazariy bazasini mashhur rus matematiklaridan biri bo’lgan
Piskunov N.S. ning “Differensial va integral hisob” darsligi tashkil etadi. Ushbu
manbada sirt integrallarining aniq ta’riflari, ularning turlari va hisoblash usullari
keng yoritilgan. Oppoqov Y.P. ning oddiy differensial tenglamalar bo’yicha misollar
to’plami orqali mavzuga oid amaliy mashqlar va misollar yechilmoqda. Shu bilan
birga, www.mathprofi.ru saytidan olingan interaktiv izohlar va grafik tasvirlar,
mavzuni vizual tushunishga yordam beradi.
Ishda uslubiy yondashuv sifatida nazariy tahlil, formulalar asosida hisoblash,
hamda grafik vizualizatsiya asosida amaliy masalalarni yechish ishlatilgan. Bu esa
mavzuni chuqur va har tomonlama o’zlashtirish imkonini beradi.
Ishning mazmuni
Kurs ishi kirish, uchta asosiy bob va xulosa qismidan iborat. Birinchi bobda
sirt integralining ta’riflari va uning turlari yoritiladi, sirt integralining matematik
ifodalanishi va turli maydonlar bo‘yicha qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi. Ikkinchi
bobda sirt integrallarini hisoblash usullari o‘rganilib, integralni hisoblashda
qo‘llaniladigan asosiy metodlar va texnikalar tahlil qilinadi. Uchinchi bobda esa
Stoks va Ostrogradskiy formulalari o‘rganilib, ularning matematik isboti va amaliy
qo‘llanilishi ko‘rsatib o‘tiladi. Ish so‘nggida xulosa qismi keltirilib, o‘rganilgan
mavzuga oid fikr-mulohazalar umumlashtiriladi.
4
SIRT INTEGRALINING TA’RIFI
Birinchi tur sirt integrallari
funksiya (S) sirtda ((S)  R 3 ) berilgan bo’lsin. Bu sirtning P
bo’laklashni va bu bo’laklashning har bir, (Sk ) bo’lagida (k  1, 2,3,.........n) ixtiyoriy
k , k  k ) nuqtadagi f k , k  k ) qiymatini (Sk ) ning Sk yuziga ko’paytirilib, quyidagi
yig’indini tuzamiz:
f (x, y, z)
n
   f k , k   k )  Sk
k 1
1-ta’rif. Ushbu
n
   f k , k   k )  Sk
(1)
k 1
yig’indi
ataladi.
f (x, y, z) funksiyaning
integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb
(S) sirtning shunday
P1 , P2 , P3 ,........Pm ,.....
(2)
Bo’linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
P , P , P ,......P ,.....
1
2
3
m
Ketma-ketlik nolga intilsin. P  0 bundan Pm (m  1, 2,3,......) bo’linishlarga
nisbatan f (x, y, z) funksiyaning integral yig’indilarni tuzamiz. Natijada (S) sirtning
(2) bo’linishlarga mos integral yig’indilar qiymatlaridan iborat quydagi ketma-ketlik
hosil bo’ladi.
m
1 ,  2 ,....... m ,......
2-ta’rif.Agar (S) sirtning har qanday (2) bo’linishlar ketma-ketligi
Pm  olinganda ham unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat  m  ketmaketlik k , k  k ) nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda, hamma vaqt
bitta I songa intilsa, bu I  yig’indining limiti deb ataladi va u
n
lim   lim  f  k , k   k )  Sk  I
 p 0
 p 0
(3)
k 1
kabi belgilanadi.
Integral yig’indining limitini quydagich ham ta’riflash mumkin.
3-ta’rif. Agar   0 son olinganda ham, shunday   0 topilsaki, (S) sirtning
diametri  p   bo’lgan har qanday bo’linishi hamda har bir (Sk ) bo’lakdan olingan
ixtiyoriy k , k  k ) lar uchun
5
 I 
Tengsizlik bajarilsa, u holda I son  yig’indining limiti deb ataladi va (3) kabi
belgilanadi.
4-ta’rif. Agar  p  0 da f(x,y,z) funksiyaning integral yig’indisi  chekli
limitga ega bo’lsa f(x,y,z) funksiya (S) sirtning bo’yich integrallanuvchi (Riman
ma’nosida integrallanuvchi) funksiya deb ataladi. Bu yig’indining chekli limiti I esa
f(x,y,z) funksiyaning birinchi tur sirt integrali deyiladi va u
 f (x, y, z) ds
(S)
kabi belgilanadi. Demak,
n
 f (x, y, z) ds  lim   lim   lim  f k , k   k )  Sk
(S)
 p 0
 p 0
 p 0
k 1
Endi birinchi tur sirt integralining mavjud bo’lishini ta’minlaydigan shartni
toppish bilan shug’ulanamiz.
Faraz qilaylik R3 fazodagi (S) sirt
z=z(x,y)
tenglama bilan berilgan bo’lsin. Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq
'
'
(D) sohada ((D)  R2 ) uzluksiz va zx  z  x, y  , z y  z  x, y  hosilalarga ega hamda
bu hosilalar ham (D)da uzluksiz.
1-teorema. Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo’lsa , u holda
bu fuksiyaning (S) sirt bo’yicha birinchi tur sirt integrali
 f (x, y, z)ds
(S )
mavjud va
 f (x, y, z)ds   f (x, y, z(x, y)) 1  z (x, y)  z (x, y)dxdy
'2
x
(S )
'2
y
(D)
bo’ladi.
Isbot. (S) sirtning Ps bo’linishini olaylik . uning bo’laklarini (S1 ),(S2 ),.....,(Sn )
bo’lsin. Bu sirt va uning bo’laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning
PD bo’laklashni va uning ( D1 ),( D2 )..........,( Dn ) bo’laklarni hosil qiladi. Ps
bo’laklashiga nisbatan (1) yig’indini tuzamiz.
n
   f k , k   k )  Sk
k 1
Ma’lumki, k , k  k  (Sk ) .Bu nuqtaga akslanuvchi nuqta k , k ) nuqta bo’ladi.
6
Demak ,  k  zk , k ) S   1  zx' 2 (x, y)  z 'y 2 (x, y)dxdy formulaga binoan
(D)
Sk   1  z x' 2 (x, y)  z 'y 2 (x, y)dxdy
(D)
bo’ladi.
O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:
Sk   1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* )
Dk (( k* ,k* )  Dk )
(D)
Natijada  yig’indi quydagi
n
   f ( k ,k , z( k ,k ))Sk 
k 1
n
  f ( k ,k , z( k ,k )) 1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* ) Dk
k 1
ko’rinishga keladi.
Endi P  0 da (bu holda D  0 ham nolga intiladi)  yig’indining limitini
topish maqsadida uning ifodasini o’zgartitib yozamiz:
s
s
n
   f ( k ,k , z( k ,k )) 1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* ) Dk 
k 1
n
  f ( k ,k , z( k ,k ))  1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* )  1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* )  Dk


k 1
(4)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluchini baholaymiz :
n
 f ( , , z( , ))  1  z ( , )  z ( , )  1  z ( , )  z ( , )  D 
k
k 1
k
k
k
'2
x
*
k
*
k
'2
y
*
k
*
k
'2
x
*
k
*
k
'2
y
*
k
*
k
k
n
 M  1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* , k* )  1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* ) Dk
k 1
Bunda ,
M  max f (x, y, z)
Ravshanki ,
1  z x' 2 (x, y)  z 'y 2 (x, y)
funksiya (D) da uzluksiz , desak ,demak, tekis uzluksiz. U holda Kantor
teoremasining natijasiga ko’ra   0 olinganda ham shunday   0 topiladiki, (D)
7
sohaning diametri P   bo’lgan har qanday PD bo’lishi uchun
D
1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* )  1  z x' 2 ( k* ,k* )  z y' 2 ( k* ,k* ) 

M D
bo’ladi. Unda

f (k ,k , z(k ,k ))  1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* )  1  zx' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* )  Dk  M 

 Dk  


M  D k 1
k 1
n
n
va demak,
 1  z ' 2 ( * , * )  z ' 2 ( * , * )  
x
k
k
y
k
k
D 0
lim  f ( k ,k , z( k , k )) 
k
PD 0
'2
*
*
'2
*
* 

k 1
  1  z x ( k ,k )  z y ( k ,k ) 
n
(4) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi qo’shiluvchi
n
 f ( , , z( , )) 1  z ( , )  z ( , ) D
k
k 1
k
k
'2
x
k
*
k
*
k
'2
y
*
k
*
k
k
esa,
f (x, y, z(x, y)) 1  z x' 2 (x, y)  z 'y 2 (x, y)
funksiyaning integral yig’indisidir. Bu funksiya (D) sofada uzluksiz. Demak,
P  0 da integral yig’indi chekli limitga ega va
D
n
lim  f ( k ,k , z( k ,k )) 1  z x' 2 ( k* ,k* )  z 'y 2 ( k* ,k* ) Dk 
PD 0
k 1
  f (x, y, z(x, y)) 1  z x' 2 (x, y)  z 'y 2 (x, y)dxdy
(D)
bo’ladi. Bu munosabatni etiborga olib (4) tenglikda P  0 da limitga o’tib
topamiz.
D
n
lim  lim  f ( k ,k , z( k ,k )) 1  z x' 2 ( k ,k )  z 'y 2 ( k ,k ) Dk 
PS 0
PS 0
k 1
  f (x, y, z(x, y)) 1  z x' 2 (x, y)  z 'y 2 (x, y)dxdy
(D)
Demak,
 f (x, y, z)ds   f (x, y, z(x, y)) 1  z (x, y)  z (x, y)dxdy
'2
x
(D)
(D)
Teorema isbot bo’ldi.
8
'2
y
Ikkinchi tur sirt integrallari
f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan bo’lsin. Bu sirtning ma’lum tomoni
olaylik. Sirtning P bo’linishini va bu bo’lishini har bir ( Sk ) bo’lagida (k=1,2,3…..)
ixtiyoriy k , k  k nuqta (k=1,2,3…..) olaylik.Berilgan funksiyaning k , k  k
nuqtadagi f  k , k  k  qiymatini ( Sk ) ning Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D k ) ning
yuziga ko’paytirib quydagi yig’indi tuzamiz
n
   f k , k   k )  Dk
(5)
P1 , P2 , P3 ,........Pm ,.....
(6)
k 1
(S) sirtning shunday
Bo’linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
P , P , P ,......P ,.....
1
2
3
m
Ketma –ketlik nolga intilsin . P  0 Bundan Pm (m  1, 2,3,......) bo’linishlarga
nisbatan f (x, y, z) funksiyaning integral yig’indilarni tuzamiz. Natijada (S) sirtning
(6) bo’linishlarga mos integral yig’indilar qiymatlaridan iborat quydagi
m
1 ,  2 ,....... m ,......
ketma-ketlik hosil bo’ladi.
5-ta’rif. Agar (S) sirtning har qanday (6) bo’linishlar ketma-ketligi
Pm  olinganda ham unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat  m  ketma
–ketlik k , k  k ) nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda, hamma vaqt
bitta I songa intilsa,bu I  yig’indining limiti deb ataladi va u
n
lim   lim  f  k , k   k )  Dk  I
 p 0
 p 0
(7)
k 1
kabi belgilanadi.
Integral yig’indining limitini quydagicha ham ta’riflash mumkin.
6-ta’rif. Agar   0 son olinganda ham, shunday   0 topilsaki,(S) sirtning
diametri  p   bo’lgan har qanday bo’linishi hamda har bir (Sk ) bo’lakdan olingan
ixtiyoriy k , k  k ) lar uchun
 I 
Tengsizlik bajarilsa , u holda I son  yig’indining limiti deb ataladi va (7) kabi
belgilanadi.
7-ta’rif. Agar  p  0 da f(x,y,z) funksiyaning integral yig’indisi  chekli limitga
ega bo’lsa f(x,y,z ) funksiya (S) sirtning bo’yich integrallanuvchi (Riman ma’nosida
9
integrallanuvchi) funksiya deb ataladi. Bu yig’indining chekli limiti I esa, f(x,y,z)
funksiyaning ikkinchi tur sirt integrali deyiladi va u
 f (x, y, z) ds
(S)
kabi belgilanadi. Demak ,
n
 f (x, y, z) ds  lim   lim   lim  f k , k   k )  Dk
 p 0
(S)
 p 0
 p 0
k 1
funksiya ikkinchi tur sirt integrali quydagicha
 f (x, y, z) ds
(8)
(S)
belgilashidan, integral (S) sirtning qaysi tamoni bo’yicha olinganligi
ko’rinmaydi.Binobarin (8) integral to’g’risida gap borganda ,har gal integral sirtning
qaysi tamoni bo’yicha olinayotgani aytib boriladi.
Ravshanki, f(x,y,z) funksiyaning (S) sirtning bir tamoni bo’yicha olingan
ikkinchi tur sirt integrali ,funksiya shu sirtning ikkinchi tomoni bo’yicha olinga
ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilan farq qiladi.
 f (x, y, z) dydz,  f (x, y, z) dzdx
(S)
(S)
Shunday qilib ,sirtda berilgan f(x,y,z) funksiyadan uchga - Oxy tekislikdagi
proeksiyalari, Oyz tekislikdagi proeksiyalari hamda Ozx tekislikdagi proeksiyalar
vositasida olingan ikkinchi tur sirt integrallari tushunchalari kiritiladi.
Umumiy holda (S) sirtda P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) funksiyalar berilgan
bo’lib, ushbu
 P(x, y, z) dxdy,  Q(x, y, z) dydz,  R(x, y, z) dxdz
(S)
(S)
(S)
integral mavjud bo’lsa u holda,
 P(x, y, z) dxdy  Q(x, y, z) dydz   R(x, y, z) dxdz
(S)
(S)
(S)
yig’indi ikkinchi tur sirt integralining umumiy ko’rinishi deb ataladi va u
 P(x, y, z) dxdy Q(x, y, z) dydz R(x, y, z) dxdz
(S)
kabi belgilanadi. Demak,
 P(x, y, z) dxdy Q(x, y, z) dydz  R(x, y, z) dxdz  =
(S)
(S)
=  P(x, y, z) dxdy  Q(x, y, z) dydz   R(x, y, z) dxdz
(S)
(S)
(S)
10
Faraz qilaylik, R3 fazodagi (S) sirt
z=z(x,y)
tenglama bilan berilgan bo’lsin. Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq
'
'
(D) sohada ((D)  R2 ) uzluksiz va zx  z  x, y  , z y  z  x, y  hosilalarga ega hamda
bu hosilalar ham (D) da uzluksiz.
Teorema. Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda
bu fuksiyaning (S) sirt bo’yicha ikkinchi tur sirt integrali
 f (x, y, z)ds
(S )
mavjud va
 f (x, y, z)ds   f (x, y, z(x, y))dxdy
(S )
(D)
bo’ladi.
Isbot. (S) sirtning Ps bo’linishini olaylik, uning bo’laklarini (S1 ),(S2 ),.....,(Sn )
bo’lsin. Bu sirt va uning bo’laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning
PD
bo’laklashni va uning ( D1 ),( D2 )..........,( Dn ) bo’laklarni hosil qiladi. Ps
bo’laklashiga nisbatan ushbu yig’indini tuzamiz:
n
   f k , k   k )  Dk
k 1
Agar (S) sirtning ustki tomoni qaraliyotgan bo’lsa , u holda barcha Dk lar
musbat bo’ladi.
Modomiki, f(x,y,z) funksiya z=z(x,y) sirtda berilgan ekan , u x va y
o’zgaruvchilarning quydagi funksiyaga aytlanadi.
f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))
bundan esa
 k  z k ,k 
(k=1,2,3…..)
bo’lishi kelib chiqadi. Natijada (5) yig’indi ushbu
n
   f k , k , z (k , k ))  Dk
k 1
ko’rinishga keladi. Bu yig’indi f(x,y,z(x,y)) funksiyaning integral yig’indisi
ekani payqash qiyin emas Agar f(x,y,z(x,y))funksiyaning (D)da uzluksiz ekanligini
e’tiborga olsak,unda  p  0 da
D
n
 f  ,  , z ( ,  ))  D
k 1
k
k
k
k
11
k
yig’indi chekli limitga ega bo’ladi va
n
lim  f k , k , z ( k , k ))  Dk   f (x, y, z(x, y))dxdy
 P 0
D
k 1
(D)
bundan esa
 f (x, y, z)dxdy   f (x, y, z(x, y))dxdy
(S )
(S)
bo’lishi kelib chiqadi teorema isbot bo’ldi.
12
SIRT INTEGRALLARINI HISOBLASH USULLARI
Birinchi tur sirt integralini hisoblash.
1-tur sirt integralini yechish, uni ikki o’lchovli integralga keltirish orqali
amalga oshiriladi.
Faraz qilaylik S sirt z=z(x,y) tenglama bilan berilgan bo’lib, z(x,y) funksiya
z ' x ( x, y ) y ' y ( x, y ) xususiy hosilalari bilan S ning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi D da
uzluksiz bo’lsin, hamda f(x,y,z) funksiya S sirtda uzluksiz, demak integrallo vchi
bo’lsin.
S ni  usulda n ta bo’lakka ajratamiz va bu bo’laklarni Oxy tekislikga
proyeksiyamiz va D ni D1 , D2 , ...., Dn bo’laklarini hosil qilamiz. Har bir Sv
quyidagicha ifoda etiladi.
S i   1  z ' x ( x, y )  z ' y ( x, y )dxdy ,
2
o’ngdagi 2- o’lchovli S ga o’rta qiymat
2
Di
haqidagi teoremani qo’llab,
S i  1  z ' x  i ; i   z ' y  i ; i S i
2
2
ni hosil qilamiz: f(x,yt) funksiya integral
yig’indi tuzamiz.
n
n
 f  ; ;  S   f  ; ; z ;   1  z '  ;   z ' S
i
i 1
i
i
i
2
i
i 1
i
i
i
2
x
i
i
y
i
Ushbu tenglamani o’ng tomonida f x, y, zx, y  1  z ' x 2 x, y  funksiya uning
integral yig’indisa turibdi. Oxirgi tenglamada   0 lim ga o’tsak
 f x, y, z dS   f x, y, zx, y  1  z' x, y   z' y x, y dxdy ni hosil qilamiz.
2
2
x
S
D
Misol:  1  4 x 2  4 y 2 ds
integralni s-z=1-x2-y2
va z=0 tekislik bilan
S
kesilgan bo’lagi bo’yicha hisoblash.
Yechish: S  D  x, y ; x 2  y 2  1
doira z ' x  2 x; z ' y  2 y yuqoridagi
formulani qo’llab   1  4 x 2  4 y 2 1  4 x 2  4 y 2 dxdy
ni hosil qilamiz
Qutb
D
koordinatasiga
2
1
0
0

o’tsak, x   cos  , y   sin x, 0    1; 0    2
dxdy   d d

  d  1  4  2 d  3 ga ega bo’lamiz.
Birinchi tur sirt intеgralining hisoblashga tatbiqlari
Fazoda boʻlakli silliq L yopiq chiziq bilan chegaralangan S silliq sirtni
qaraymiz. Bu sirtni S1 , S2 ,..., Sn boʻlaklarga boʻlamiz va bu boʻlaklarning yuzalarini
13
ham S k deb belgilaymiz. S sirtning har bir nuqtasida f  x, y, z  uzluksiz funksiya
berilgan boʻlsin. Sirtning har bir Sk boʻlagidan
tanlaymiz(1-shakl) va yigʻindi tuzamiz
n
n
i 1
k 1
nuqtalarni
Pk ( xk , yk , zk )
   F  Pk   Sk   f  xk , yk , zk   Sk
1-shakl
Bu yigʻindi birinchi tur sirt integralining integral yigʻindisi deb ataladi. S k
bo’laklarning diametrini d k bilan belgilaymiz. Agar integral yigʻindining max d k  0
dagi chekli limiti, S sirtni S1 , S2 ,..., Sn boʻlaklarga boʻlinish usuliga va har bir
boʻlakdan Pk ( xk , yk , zk )
nuqtalarni tanlash usuliga bogʻliq boʻlmagan holda,
mavjud boʻlsa, bu limit f  x, y, z  funksiyadan S sirt yuzi boʻyicha olingan integral
yoki birinchi tur sirt integrali deyiladi.
n
 f  x, y, z dS  lim  f  x , y , z   S
max dk 0
S
k 1
k
k
k
k
Agar S sirt oshkor koʻrinishda z  z  x, y  tenglama bilan berilgan boʻlib, bu
funksiya oʻzining zx ( x, y), zy ( x, y) xususiy hosilalari bilan Dxy sohada uzluksiz
boʻlsa, u holda birinchi tur sirt integralni hisoblash uni ikki karrali integralga
keltirish bilan amalga oshiriladi:
 f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z ( x, y)) 1  ( z )  ( z ) dxdy
' 2
x
S
' 2
y
Dxy
Bu yerda Dxy soha S sirtning Oxy tekislikdagi proyeksiyasidir(2-shakl).
14
Agar S sirt tenglamasi x  x  y, z  yoki y  y  x, z  tenglamalar bilan berilgan
boʻlsa, birinchi tur sirt integralini hisoblash mos ravishda quyidagi formulalar bilan
amalga oshiriladi:
 f ( x, y, z )dS   f ( x( y, z ), y, z ) 1  ( x )  ( x ) dydz
' 2
y
S
' 2
z
D yz
' 2
' 2
f
(
x
,
y
,
z
)
dS

f
(
x
,
y
(
x
,
z
),
z
)
1

(
y
)

(
y
x
z ) dxdz


S
Dxz
2-shakl
Agar integral ostidagi funksiya f  x, y, z   1 boʻlsa, I tur sirt integrali
S   dS  
S
1   z x    z y  dxdy
2
2
Dxy
sirt yuzini aniqlaydi (oʻng tarafdagi integral ikki karrali integral yordamida sirt
yuzini hisoblash).
Agar integral ostidagi funksiya S moddiy sirt boʻyicha massa
taqsimlanishining har bir nuqtasidagi   x, y, z  zichligini bildirsa, u holda I tur sirt
integrali S sirtning massasini aniqlaydi
m    ( x, y, z )dS
S
15
Moddiy sirtning koordinata tekisliklariga nisbatan statik momentlari quyidagi
formulalar bilan hisoblanadi:
M xy   z  ( x, y, z )dS ; M yz   x  ( x, y, z )dS ; M xz   y  ( x, y, z )dS
S
S
Moddiy sirtning
hisoblanadi:
xc 
S
 xс , yс , zс  ogʻirlik markazi quyidagi formulalar bilan
1
x  ( x, y, z )dS ; yc   y  ( x, y, z )dS ; zc   z  ( x, y, z )dS
m 
S
S
S
Moddiy sirtning Ox, Oy, Oz koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga
nisbatan inersiya momentlari
I x   ( y 2  z 2 )  ( x, y, z )dS ; I y   ( x 2  z 2 )  ( x, y, z )dS ;
S
S
I z   ( x 2  y 2 )  ( x, y, z )dS ;
S
I 0   ( x 2  y 2  z 2 )  ( x, y, z )dS ;
S
Хоssаlаri:
1.  kf ( x, y, z )dS  k  f ( x, y, z )dS ,
S
2.
k – oʻzgаrmаs sоn.
S
  f (x, y, z)  ( x, y, z) dS   f (x, y , z )dS   (x , y , z )dS .
S
S
S
3.  f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z )dS , bu yеrdа S  S1 S2 , S1 S2  .
S
S1
S2
4. Agar berilgan sirt ustida f  x, y, z     x, y, z  tengsizlik oʻrinli boʻlsa, quyidagi
tengsizlik oʻrinli boʻladi:
 f ( x, y, z )dS    ( x, y, z )dS .
S
S
16
5.
 f ( x, y, z)dS   f ( x, y, z) dS .
S
S
6. Oʻrta qiymat haqidagi teorema. Agar f  x, y, z  funksiya S sirtda uzluksiz
boʻlsa, u holda bu sirtda shunday M 0 ( x0 , y0 , z0 ) nuqta topiladiki, quyidagi tenglik
oʻrinli
 f ( x, y, z )dS  f ( x , y , z )  S
0
0
0
S
bu yerda S -sirtning yuzi.
Misol. Birinchi tur sirt integralini hisoblang:  (2 x  4 y  z )dS , bu yerda S S
3
6 x  4 y  3z  12  0 tekislikning birinchi oktantdagi qismi(3-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz
x y

z  4 1    , ( x, y )  Dxy
2 3

bu yerda Dxy berilgan S sirtning Oxy( z  0) tekislikdagi proyeksiyasini aniqlaydi,
ya’ni, x  0 , y  0 va
x y
  1 chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak sohasi(42 3
shakl).
Birinchi tur sirt integralini ikki karrali integralga keltirib hisoblaymiz. zx  2,
zy  
4
boʻlgani uchun
3
dS  1  zx 2  zy 2 dxdy  1  4 
16
61
dxdy 
dxdy
9
3
boʻladi. Bundan,

4
4

x
y   61
 (2 x  3 y  z )dS    2 x  3 y  4 1  2  3   3 dxdy 
S
Dxy
4 61
dxdy
3 Dxy
Oxirgi integral Dxy uchburchak soha yuzini beradi va u 3 ga teng.
Demak,
4
(2
x

y  z )dS  4 61.
S
3
17
3-shakl
4-shakl
Misol. Birinchi tur sirt integralini hisoblang:  ( x  y 2  z 2  3 )dS , bu yerda
S
2
S - 2 x  y 2  z 2  4  0 paraboloid sirtining x  0 tekislik bilan kesilgan qismi,
x  0 (5-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz. Bu yerda x ni y
va z oʻzgaruvchilar orqali ifodalash qulay
x  2
y2  z2
.
2
Shuning uchun sirt integralini hisoblashda (28.3) formuladan foydalanamiz. S
sirtning Oyz tekislikdagi proyeksiyasini topamiz, buning uchun quyidagi sistemani
yechamiz;

y2  z2
x  2 
2

x  0

Paraboloid x  0 tekislik bilan y 2  z 2  4 aylanada kesishadi. Demak, S
paraboloid sirtining Oyz tekislikdagi proyeksiyasi y 2  z 2  4 doira sohasi boʻladi.
xy   y, xz   z va dS  1  y 2  z 2 dydz ekanini va (28.3) formulani e’tiborga olgan
holda,

3
y2  z2
3

2
2

x

y

z

dS

2

 y 2  z 2   1  y 2  z 2 dydz 

S 


2
2
2
D yz 



1
1  y 2  z 2 1  y 2  z 2 dydz

2 S
18
ikki karrali integralga ega boʻlamiz. Bu integralda
y  r cos  , z  r sin  va dxdy  rdrd
qutb koordinatalar sistemasiga oʻtish qulay. Qutb koordinatalar sistemasida Dyz soha
0    2 , 0  r  2 tengsizliklar bilan aniqlanadi(6-shakl). Natijada quyidagiga ega
boʻlamiz:

2

2

 

2


2
2


3
52
1
1
1 2
1
2
2
2 2
1

r
1

r
rdrd


d

1

r
d 1 r2   1 r2
d 



0 25 5  1 d 
2 D yz
40 0
4 05
10
0


5
25 5  1.
5-shakl
6-shakl
Ikkinchi tur sirt intеgralining hisoblashga tadbiqlari
Uch oʻlchovli fazoda L kontur bilan chegaralangan S silliq sirt berilgan
boʻlsin. Uning hаr bir M ( x, y, z ) nuqtаsidаn shu sirtga normal oʻtkazamiz va
mumkin boʻlgan yoʻnalishdan birini olamiz. Agar sirtning ixtiyoriy M 0 nuqtasidan
oʻtuvchi va L chegara bilan kesishmaydigan har qanday yopiq kontur olinganda
ham, M 0 dan chiqib uni aylanib M 0 ga qaytilganda normalning yoʻnalishi dastlabki
yoʻnalishda qolsa, u holda S sirt ikki tomonli sirt deyiladi. Aks holda bir tomonli sirt
deyiladi. Demak, ikki tomonli sirtning bitta nuqtasida normal yoʻnalishni tanlash
bilan biz sirtnig barcha nuqtalaridagi yoʻnalishni tanlagan boʻlamiz. S silliq sirt
tenglamasi z  z  x, y  oshkor funksiya bilan berilgan, ya’ni z funksiya Oxy
tekislikning D sohasida uzluksiz va p  z , q  z uzluksiz xususiy hosilalarga ega
x
y
boʻlsin. Bu holda normalning yoʻnaltiruvchi kosinuslari
19
сos 
p
 1 p  q
2
2
, сos 
q
 1 p  q
2
2
, сos 
1
 1  p2  q2
formulalar yordamida topiladi.
Ildizlar oldida ma’lum bir ishorani tanlab olish bilan biz sirtning aniq bir
tomonini tanlab olgan boʻlamiz. Agar normal Oz oʻqi bilan  oʻtkir burchak hosil
qilsa, ya’ni cos   0 boʻlsa, S sirtning “yuqori” tomonini tanlab olgan boʻlamiz.
Aksincha, cos   0 ,  oʻtmas burchak boʻlsa, S sirtning “quyi” tomonini tanlagan
boʻlamiz.
silliq sirt tenglamasi F  x, y, z   0 oshkormas tenglama bilan berilgan
boʻlsin. Bunda F  x, y, z  funksiya V sohada uzluksiz va F , F , F uzluksiz
S
x
y z
xususiy hosilalarga ega boʻlsin. Bu holda normalning yoʻnaltiruvchi kosinuslari
сos 
Fx
 Fx2  Fy2  Fz2
, сos 
Fy
 Fx2  Fy2  Fz2
Fz
сos 
,
 Fx2  Fy2  Fz2
,
formulalar yordamida topiladi.
Ikki tomonli silliq yoki boʻlakli silliq sirt berilgan boʻlib, uning tomonidan
biri tanlangan, ya’ni sirtning “yuqori” - S  musbat tomoni tanlangan boʻlsin. Bu
sirtning har bir nuqtasida R  R( x, y, z ) uzluksiz funksiya aniqlangan boʻlsin. Sirtni
ixtiyoriy chiziqlar bilan n ta ixtiyoriy S1 , S2 ,..., Sn boʻlaklarga boʻlamiz. Bu
boʻlaklardan ixtiyoriy M i ( xi , yi , zi ) nuqtalar tanlaymiz va bu nuqtalardagi funksiya
qiymati R( xi , yi , zi ) ni hisoblaymiz. Sirtning S1 , S2 ,..., Sn boʻlaklarining
Oxy
tekislikdagi proyeksiyalarini S k deb belgilaymiz va
n
 R  x , y , z   S
i 1
i
i
i
i
integral yigʻindi tuzamiz. Bu integral yigʻindining max d k  0 dagi chekli limitiga
ikkinchi tur sirt integral deyiladi va quyidagicha belgilanadi
 R  x, y, z  dxdy  lim
max dk 0
S
n
 R  x , y , z   S
i 1
i
i
i
i
Xuddi shu kabi  Q  x, y, z  dxdz va  P  x, y, z  dydz integrallarni ta’riflash
S
S
mumkin, bu yerda soha mos ravishda Oxz va Oyz tekisliklarga proyeksiyalanadi.
Agar silliq yoki boʻlakli silliq S sirt tenglamasi z  z  x, y  oshkor funksiya
bilan berilgan boʻlsa va sirtning yuqori( ya’ni cos   0 ) tomoni tanlangan boʻlsa,
hamda R  R( x, y, z ) funksiya S da uzluksiz funksiya boʻlsa, u holda
20
 Rx, y, z dxdy   Rx, y, zx, y dxdy
S
Dxy
tenglik oʻrinli. Bu yerda D xy - S sirtning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi. Oʻng
tomondagi ikki karrali integral mavjud boʻlsa, ikkinchi tur sirt integrali ham mavjud
boʻladi. Agar S sirtning quyi(ya’ni cos   0 ) tomoni boʻyicha integral hisoblansa,
 Rx, y, z dxdy    Rx, y, zx, y dxdy
S
D xy
formula oʻrinli boʻladi. Xuddi shu kabi, S sirt tenglamasi x  x y, z  yoki y  yx, z 
tenlamalar bilan berilsa, mos ravishda quyidagi tengliklar oʻrinli:
 Px, y, z dydz    Px y, z , y, z dydz
S
Dyz
 Qx, y, z dxdz    Px, yx, z , z dxdz .
S
D xz
Bu yerdagi “+” ishora cos  0 (mos holda cos   0 ) boʻlganda, “-” ishora
esa cos  0 (mos holda cos   0 ) boʻlganda olinadi.
Umumiy ikkinchi tur sirt integrali deb quyidagi integralga aytiladi:
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy.
S
Uchta P( x, y, z ) , Q  Q( x, y, z) , R  R( x, y, z ) uzluksiz funksiyalar va S 
n  cos ;cos  ;cos   normal bilan xarakterlanuvchi silliq S sirtning tomoni boʻlsa,
u holda ikkinchi tur sirt integral birinchi tur sirt integral orqali quyidagi formula
bilan ifodalanadi:
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy   P cos   Q cos   R cos  dS . (9)
S
S
Хоssаlаri. Ikkinchi sirt integral birinchi tur sirt integralning hamma
xossalariga egadir, faqat sohaning tomoni oʻzgarganda integral ishorasi qarama
qarshisiga oʻzgaradi.
Misol. Ikkinchi tur sirt integralini hisoblang:  2 xdydz  3 ydzdx  4 zdxdy , bu
S
yerda S - 2 x  3 y  z  1 tekislikning birinchi oktantdagi qismi (normal Oz oʻqi
bilan oʻtkir burchak tashkil etadi).
21
Yechish. Berilishiga koʻra, S sirt musbat oriyentirlangan ( cos   0 ). (9) dan
foydalanib
cos 
hisoblaymiz,

n2, 3,1 va
normal

n  4  9  1  14 ,
2
3
1
, cos  
, cos  
.
14
14
14
Shuningdek, z  1  2 x  3 y , zx  2, zy  3 boʻlgani uchun,
dS  1  ( zx ) 2  ( zy ) 2 dxdy  1  4  9dxdy  14dxdy
Demak,
 2 xdydz  3 ydzdx  4 zdxdy   (2 x cos  3 y cos   4 z cos  )dS 
S
S
1 2
 x
3 3
 2  2x 3  3y 4z 
  


 14dxdy   dx  (4 x  9 y  4(1  2 x  3 y )) dy 
14
14
14 
D xy 
0
0
1/ 2
1/ 2
1 2
 x
3 3
0
0
  dx  (4  4 x  3 y )dy 
1/ 2
1 7
1 7
1
2
2
3
  10 x  6 x dx   x  5 x  2 x  | 

3 0 2
3 2

0 4
1/ 2
7-shakl
22
STOKS VA OSTROGRADSKIY FORMULALARI
Stoks formulasi
Oz o’qqa parallel bo’lgan har qanday to’g’ri chiziq bitta nuqtada kesadigan 𝜎
sirt berilgan bo’lsin. 𝜎 sirtning chegarasini 𝜆 bilan belgilaymiz. 𝑛 normalning
musbat yo’nalishini 𝑂𝑧 o’qning musbat yo’nalishi bilan o’tkir burchak tashkil
etadigan qilib olamiz (8-shakl).
8-shakl
Sirtning tenglamasi 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) bo’lsin.
kosinuslari shu formulalar bilan ifodalanadi:
−
cos(𝑛, 𝑥 ) =
Normalning
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2
yo’naltiuvchi
;
2
√1 + (𝜕𝑓 ) + (𝜕𝑓)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
−
cos (𝑛, 𝑦) =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2
;
2
(3.1.1).
√1 + (𝜕𝑓 ) + ( 𝜕𝑓 )
𝜕𝑥
𝜕𝑦
1
cos(𝑛, 𝑧) =
2
.
2
√1 + (𝜕𝑓 ) + (𝜕𝑓)
𝜕𝑥
𝜕𝑦 }
𝜎 sirt o’zining hamma nuqtalari bilan biror V sohada yotadi deb faraz qilamiz.
V sohada uzluksiz funksiya 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga
berilgan bo’lsin. 𝜆 egri chiziq bo’yicha olingan
23
∫ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥
𝜆
egri chiziqli integralni tekshiramiz.
𝜆 chiziqda 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), bunda 𝑥, 𝑦 − 𝜆 chiziqning 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi L proeksiyasi
nuqtalarining koordinatalari (16-rasm). Demak, quydagi tenglikni yozishimiz
mumkin:
∫ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = ∫ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥.
𝜆
(3.1.2)
𝐿
So’ngi integral L chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integraldir. Bu interalni,
𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓 (𝑥, 𝑦)) = 𝑋̅(𝑥, 𝑦),
0 = 𝑌̅(𝑥, 𝑦)
faraz qilib, Grin formulasi bo’yicha almashtiranmiz.
Grin formulsidagi 𝑋̅ va 𝑌̅ orniga ularning ifodalarini qo’ysak:
−∬
𝐷
𝜕𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥,
𝜕𝑦
(3.1.3)
𝐿
bunda D soha Lchiziq bilan chegaralangan. 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) murakkab funksiya
hosilsiga asosan (bunda 𝑦-bevosita va 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya orqali kiradi) quydagi
tenglikni topamiz:
𝜕𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) 𝜕𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
=
+
.
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(3.1.4)
(3.1.4) ifodani (3.1.3) tenglikning chap tamoniga qo’ysak:
− ∬[
𝐷
𝜕𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
+
]𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= ∫ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥.
𝐿
(3.1.1)Tenglikni nazarga olib, so’nggi tenglikni quydagicha yozish mumkin:
∫ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = − ∬
𝜆
𝐷
𝜕𝑋
𝜕𝑋 𝜕𝑓
𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬
𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝐷
24
(3.1.5)
Oxirgi ikkita integral sirt bo’yicha olingan integralga almashtiriladi.
Haqiqatdan, 2.1-paragrafdagi (2.1.2’’) formulaga asosan biror 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya
berilgan bo’lsa, quydagi tenglikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi:
∬ 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎 = ∬ 𝐴𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝜎
∆
Bu tenglikka asosan, (3.1.5) tenglikning o’ng tamonidagi integrallar
quydagicha almashinadi:
∬
𝐷
𝜕𝑋
𝜕𝑋
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬
cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎,
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝐷
𝜕𝑋 𝜕𝑓
𝜕𝑋 𝜕𝑓
∬
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬
cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎.
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑦
}
𝐷
(3.1.6)
𝐷
Oxirgi integralni shu paragrafdagi (3.1.1) formula yordami bilan, formulalardan
ikkinchisini uchinchisiga hadlab bo’lib, quydagini hosil qilamiz:
cos(𝑛, 𝑦)
𝜕𝑓
=−
cos(𝑛, 𝑧)
𝜕𝑦
yoki
𝜕𝑓
cos(𝑛, 𝑧) = − cos(𝑛, 𝑦).
𝜕𝑦
Demak,
∬
𝐷
𝜕𝑋 𝜕𝑓
𝜕𝑋
𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∬
cos(𝑛, 𝑦) 𝑑𝜎.
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.1.7)
𝐷
(2.3.6) va (2.3.7) ifodalarni (2.3.5) tenglikka qo’ysak:
∫ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = − ∬
𝜆
𝐷
𝜕𝑋
𝜕𝑋
cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬
cos(𝑛, 𝑦) 𝑑𝜎.
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.1.8)
𝐷
𝜆 kontur bo’yicha aylanishning yo’nalishi 𝑛 normalning tanlangan musbat
yo’nalishi bilan mos bo’lishi kerak. Ya’ni, kuzatuvchi normalning oxirgi uchidan
qarasa, u vaqtda 𝜆 egri chiziq bo’yicha aylanish soat strelkasiga teskari
yo’nalishda ko’rinishi kerak.
Tenglamalari 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ko’rinishda bo’ladigan qismlarga bo’lish
mumkin bo’lgan har qanday sirt uchun (3.1.8) formula o’rinlidir.
Shunga o’xshash quydagi formulalarni ham yozish mumkin:
25
𝜕𝑌
𝜕𝑋
cos(𝑛, 𝑥) + ∬
cos(𝑛, 𝑧)] 𝑑𝜎,
𝜕𝑧
𝜕𝑧
(3.1.8′)
𝜕𝑍
𝜕𝑍
cos(𝑛, 𝑦) + ∬ cos(𝑛, 𝑥)] 𝑑𝜎.
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(3.1.8′′)
∫ 𝑌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = ∬[−
𝜆
𝜎
𝜎
∫ 𝑍 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = ∬[−
𝜆
𝜎
𝜎
(3.1.8), (3.1.8’), va (3.1.8’’) tengliklarning chap va o’ng tamonlarni qo’ysak:
∫ 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = ∬[(
𝜆
+(
𝜎
𝜕𝑌 𝜕𝑋
− ) cos(𝑛, 𝑧) +
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑍 𝜕𝑌
𝜕𝑋 𝜕𝑍
− ) cos(𝑛, 𝑥 ) + ( − ) cos(𝑛, 𝑦)]𝑑𝜎.
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
(3.1.9)
Bu formula inliz fizigi va matematigi J. Stoks (1819-1903) nomi bilan Stoks
formulasi deb ataladi. Bu formula 𝜎 sirt bo’yicha olingan integral bilan shu
sirtning 𝜆 chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi munosabatni
aniqlaydi, bunda 𝜆 egri chiziq boyicha aylanib chiqish yo’nalishi yuqorida
ko’rsatilgan qoidaga asosan olinadi. Ushbu :
𝐵𝑥 =
𝜕𝑍 𝜕𝑌
−
;
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝐵𝑦 =
𝜕𝑋 𝜕𝑍
−
;
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝐵𝑧 =
𝜕𝑌 𝜕𝑋
− ,
𝜕𝑥 𝜕𝑦
proeksiyalari bilan aniqlanadigan 𝑩 vektor, 𝑭 = 𝑿𝑖 + 𝒀𝑗 + 𝒁𝑘 vektor
funksiyasining uyurmasi yoki rotori deb ataladi va rotF simvol bilan belgilanadi
(rot-fransuscha rotation ,,aylanish’’ degan so’zning birinchi uchta harfi bo’lib,
“aylanish” ma’nosini anglatadi).
Demak, (2.3.9) formula vektor shaklda
∫ 𝐹𝑑𝑠 = ∬ 𝒏 rot𝑭𝑑𝜎,
𝜆
(3.1.9")
𝜎
ko’rinishida bo’ladi va Stoks teoremasi quydagicha ifoda etiladi:
Teorema: Biror sirtning konturi bo’yicha olingan vector sirkulyatsiyasi shu sirt
orqali o’tuvchi urinma oqimiga teng.
Izoh: Agar 𝜎 sirt 𝑂𝑥𝑦 tekislikka parallel tekislikning bir bo’lagi bo’lsa,
∆𝑧 = 0 bo’ladi va biz Grin formulasini Stoks formulasining xususiy holi kabi hosil
qilamiz.
Agar
𝜕𝑌 𝜕𝑋
−
= 0,
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑍 𝜕𝑌
−
= 0,
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑋 𝜕𝑍
−
=0
𝜕𝑧 𝜕𝑥
26
(3.1.10)
bo’lsa, har qanday fazoviy yopiq egri chiziq 𝜆 bo’yicha olingan egri chiziqli
integralning nolga teng bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni:
∫ 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 0.
(3.1.11)
𝜆
Bundan egri chiziqli integrallash egri chiziqning shakliga bog’liq emasligi
ko’rinadi.
Tekis egri chiziq uchun ko’rsatilganidek, (2.3.11) shartning bajarilishi uchun
(3.1.10) shart yetarligina emas, zaruriy shart ham ekanligini ko’rsatish mumkin.
Bu shartlar bajarilgandaintegral ostidagi ifoda biror 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning
to’liq differensiali bo’ladi:
𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 𝑑𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧),
demak,
(𝑁)
(𝑁)
∫ 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 (𝑁) − 𝑢 (𝑀).
(𝑀)
(𝑀)
Bu ham ikki o’zgaruvchining funksiyasi (4-paragrafga qarang) uchun hosil qilingan
mosformula singari isbot qilinadi.
Misol. moddiy nuqta dinmikasining asosiy tenglamalarini yozamiz:
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑣𝑌
𝑑𝑣𝑍
= 𝑋,
𝑚
= 𝑌,
𝑚
= 𝑍.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Yechish. Bunda m-nuqtaning massasi; 𝑋, 𝑌, 𝑍 −nuqtaga ta’sir etuvchi
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
kuchning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari; 𝑣𝑥 = ; 𝑣𝑦 = ; 𝑣𝑧 = esa 𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
tekislikning
koordinatalar
o’qidagi proeksiyalari.
Yuqorida yozilgan
tenglamalarning chap va o’ng tamonlarini
𝑣𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥,
𝑣𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦,
𝑣𝑧 𝑑𝑡 = 𝑑𝑧,
Ifodalarga ko’paytiramiz. Berilgan tengliklarni hadma-had qo’shsak:
𝑚(𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 𝑑𝑣𝑧 ) = 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧,
1
𝑚 𝑑(𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 ) = 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧.
2
𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 = 𝑣 2 bo’lgani uchun, bunday yoza olamiz:
1
𝑑 ( 𝑚𝑣 2 ) = 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧,
2
𝑀1 va 𝑀2 nuqtalarni tutashtiruvchi traektoriya bo’yicha integral olamiz.
27
(𝑀2 )
1
1
𝑚𝑣2 2 − 𝑚𝑣1 2 = ∫ 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧.
2
2
(𝑀1 )
bunda 𝑣1 va 𝑣2 − 𝑀1 va 𝑀2 nuqtalardagi tezliklar.
Keying tenglik tirik kuchlar haqidagi teoremani ifodalaydi: bir nuqtadan
ikkinchi nuqtaga o’tishdagi kinetic energiyaning ortirmasi 𝑚 massaga ta’sir etuvchi
kuchning bajargan ishiga teng.
Misol. Birlik massani 𝑀1 (𝑎1, 𝑏1 , 𝑐1 ), vaziyatdan 𝑀2 (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 ) vaziyatga
ko’chirgandagi 𝑚 −massaning qo’zg’almas markaziga bo’lgan niyuton tortish
kuchining bajargan ishi aniqlansin.
9-shakl
Yechish. Koordinatalar boshi tortishning qo’zg’almas markaziga joylashgan
bo’lsin. Birlik massaning ixtiyoriy vaziyatiga mos keluvchi M nuqtaning radiusvektorini r bilan (9-shakl), r-vektor bo’yicha yo’nalgan birlik vektorni esa r0 bilan
𝑘𝑚
belgilaymiz. U holda 𝐹 = − 2 𝑟 0 bo’ladi, bunda 𝑘 −tortishish doimiysi. 𝐹
𝑟
kuchning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari
1𝑥
1𝑦
1𝑧
𝑋 = 𝑘𝑚 2 ,
𝑌 = 𝑘𝑚 2 ,
𝑍 = −𝑘𝑚 2 .
𝑟 𝑟
𝑟 𝑟
𝑟 𝑟
Bu holda 𝐹 kuchning 𝑀1 𝑀2 yo’lda bajargan ishi mana bunga teng:
(𝑀2 )
𝐴 = −𝑘𝑚 ∫
(𝑀1 )
(𝑀2 )
(𝑀2 )
(𝑀1 )
(𝑀1 )
𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 + 𝑧𝑑𝑧
𝑟𝑑𝑟
1
=
−𝑘𝑚
∫
=
𝑘𝑚
∫
𝑑(
)
𝑟3
𝑟3
𝑟
(chunki 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ; 𝑟𝑑𝑟 = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 + 𝑧𝑑𝑧). Agar 𝑀1 va 𝑀2 nuqtalar
radius-vektorlarning uzunliklarini 𝑟1 va 𝑟2 bilan belgilasak:
𝐴 = 𝑘𝑚 (
1 1
− ).
𝑟2 𝑟1
28
Shunday qilib, bu yerda ham egri chiziqli integral integrallash egri
chizig’ning shakliga bog’liq bo’lmay, faqat boshlang’ich va oxirgi nuqtalarining
𝑘𝑚
vaziyatlariga bog’liqdir. 𝑢 =
funksiya 𝑚 massa hosil qilgan tortish maydonning
𝑟
potensiali deb ataladi. Berilgan holda:
𝑋=
𝜕𝑢
,
𝜕𝑥
𝑌=
𝜕𝑢
,
𝜕𝑦
𝑍=
𝜕𝑢
,
𝜕𝑧
𝐴 = 𝑢 (𝑀2 ) − 𝑢(𝑀1),
yangi birlik massani ko’chirish natijasida bajarilgan ish oxirgi va boshlang’ich
nuqtalardagi potensial qiymatlarning ayirmasiga teng.
Ostrogradskiy formulasi
Fazoda 𝜎 yopiq sirt bilan chegaralanganva 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi ikki o’lchovli D
to’g’ri sohaga proeksiyalanuvchi to’g’ri uch o’lchovli V soha berilgan bo’lsin. Biz
𝜎 sirtni uchta 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 qismga bo’lish mumkin va ulardan oldingi ikkitasining
tenglamasi
𝑧 = 𝑓1 (𝑥, 𝑦) 𝑣𝑎 𝑧 = 𝑓2 (𝑥, 𝑦)
ko’rinisida bo’ladi deb faraz etamiz, bunda 𝑓1 (𝑥, 𝑦) 𝑣𝑎 𝑓2 (𝑥, 𝑦) funksiyalar D
sohada uzluksiz. Uchinchi 𝜎3 qism esa yasovchisi 𝑂𝑧 o’qqa parallel bo’lgan
silindirik sirtdir.
Quydagi
𝑙=∭
𝑉
𝜕𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑧
integralni qaraymiz. Integrallashni avval 𝑧 bo’yicha bajaramiz:
𝑓2 (𝑥,𝑦)
𝑙 = ∬( ∫
𝐷
𝑓1 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑍
𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝜕𝑧
= ∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑓2 (𝑥, 𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑓1 (𝑥, 𝑦))𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝐷
(3.2.1)
𝐷
Sirt normalida aniq yo’nalishi, ya’ni yo’nalishi 𝜎 sirtning tashqi normali
bilan bir xil yo’nalishni tanlab olamiz. U vaqtda cos (𝑛, 𝑧) funksiya 𝜎2 sirtda
musbat, 𝜎1 sirtda esa manfiy bo’ladi; 𝜎3 sirtda u nolga teng bo’ladi.
(2.4.1) tenglikning o’ng tamonidagi ikki o’lchovli integrallar sirt bo’yicha olingan
mos integralga teng:
∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑓2 (𝑥, 𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎,
𝐷
𝜎2
29
(3.2.2′)
∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑓1 (𝑥, 𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑍 (𝑥, 𝑦, 𝑧)(− cos(𝑛, 𝑧)) 𝑑𝜎.
𝐷
𝜎2
So’ngi integralda (− cos(𝑛, 𝑧) yozdik, chunki 𝜎1 𝑣𝑎 𝜎2 sirtlarning
elimentlari va D soha ∆𝑠 yuzining elimenti, (𝑛, 𝑧) o’tmas burchak bo’lgani uchun
∆𝑠 = ∆𝜎[−cos (𝑛, 𝑧)]
munosabat bilan bog’langan.
Shunday qilib,
∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑓1 (𝑥, 𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑓1 (𝑥, 𝑦)) cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎,
𝐷
(3.2.2′′)
𝜎2
(3.2.2’) va (3.2.2’’) tengliklarni (3.2.1) tenglikka qo’ysak:
∭
𝑉
𝜕𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎 +
𝜕𝑧
𝜎2
+ ∬ 𝑍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎.
𝜎1
Keyin keladigan formulalarni yozish oson bo’lishi uchun ( 𝜎3 sirtda
cos(𝑛, 𝑧) = 0 tenglik bajarilganligi uchun
∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos (𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎 = 0
3
tenglikni qo’shib) oxirgi tenglikni quydagicha yozamiz:
∭
𝑉
𝜕𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑍 cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎 +
𝜕𝑧
𝜎2
+ ∬ Zcos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎 + ∬ 𝑍 cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎.
𝜎1
𝜎3
Lekin, so’ngi tenglikning o’ng tamonidagi integrallar yig’indisi butun 𝜎 yopiq
sirt bo’yicha olingan integraldir: shuning uchun
∭
𝑉
𝜕𝑍
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝜎.
𝜕𝑧
𝜎
Shuning singari
∭
𝑉
𝜕𝑌
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑌(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑦) 𝑑𝜎,
𝜕𝑦
𝜎
30
∭
𝑉
𝜕𝑋
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos (𝑛, 𝑥 ) 𝑑𝜎
𝜕𝑥
𝜎
munosabatlarni hosil qilish mumkin.
Keyingi uchala tenglikni hadlab qo’shsak, Ostrogradskiy formulasi hosil
bo’ladi:
∭(
𝑉
𝜕𝑋 𝜕𝑌 𝜕𝑍
+
+ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
= ∬(𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos (𝑛, 𝑥 ) + 𝑌(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑦) +
𝜎
+𝑍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑛, 𝑧)) 𝑑𝜎
𝜕𝑋
𝜕𝑌
(3.2.2)
𝜕𝑍
+ +
ifoda 𝐹 = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 + 𝑍𝑘 vektorining divergensiyasi (yoki vektor
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
funksiyaning divergensiyasi) deb ataladi va divF simvol bilan belgilanadi:
𝒅𝒊𝒗𝑭 =
𝜕𝑋 𝜕𝑌 𝜕𝑍
+
+ .
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Bu formulani shu paragrafning boshida ko’rsatilgan shartlarni
qanoatlantiruvchi sohalarga bo’linadigan har qanday soha uchun ham to’g’ri
ekanligini ham eslatib o’tamiz.
Hosil qilingan formulaning gidromexanik ma’nosini beramiz.
𝐹 = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 + 𝑍𝑘,
vektor V sohadan oqib o’tuvchi suyuqlikning tezlik vektori bo’lsin. U holda
sirt bo’yicha olingan (3. 2.2) formuladagi integral, 𝑛 tashqi normaldagi 𝑭vektor
proeksiyasining integrali bo’ladi: bu V sohadan 𝜎 sirt orqali vaqt birligi ichida oqib
chiquvchi (bu integral manfiy bo’lsa, V sohaga quyuvchi) suyuqlikning miqdorini
beradi. Bu miqdor 𝒅𝒊𝒗𝑭ning uch o’lchovli integrali bilan ifodalanadi.
Agar 𝒅𝒊𝒗𝑭 ≡ 𝟎 bo’lsa, u vaqtda istalgan yopiq sirt bo’yicha olingan ikki
o’lchovli integral nolga teng, ya’ni istalgan 𝜎 yopiq sirt orqali oqib chiquvchi (yoki
quyuvchi) suyuqlik miqdori nolga teng bo’ladi. Aniqroq qilib aytganda, sohaga
quyuvchi suyuqlik miqdori shu sohadan oqib chiquvchi suyuqlik miqdoriga tengdir.
Ostrogradskiy formulasi vektor shakilda
∭ 𝒅𝒊𝒗𝑭𝑑𝑣 = ∬ 𝐹𝑛𝑑𝑠,
𝑉
(3.2.1)
𝜎
ko’rinishida bo’ladi va bunday o’qiladi: biror hajm bo’yicha yoyilgan F
vektor maydonning divergensiyasidan olingan integral berilgan hajmni
chegaralovchi sirt orqali o’tadigan vektor oqimga teng.
31
Misol: Ostrogradskiy formulsi yordamida quydagi integrallar hisoblansin:
∬(𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾)𝑑𝑠,
𝑆
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐
bunda S- ushbu 2 + 2 + 2 = 1 elipsoidning sirti.
Yechish:
∬(𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾)𝑑𝑠 = ∭(
𝑆
𝑉
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
+
+ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝑥 = 𝑎𝜌 cos 𝜑 cos 𝜃
𝑦 = 𝑏 ρsin 𝜑 cos 𝜃
= 3 ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = |
|=
𝑧 = 𝑐𝜌 sin 𝜃
𝑉
0 ≤ 𝜌 ≤ 1,
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋,
0≤𝜃 ≤𝜋
1
2𝜋
𝜋
𝜌3 1
𝜋
2𝜋
= ∫ 𝑑𝜌 ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑎𝑏𝑐𝜌 sin 𝜃𝑑𝜃 = 𝑎𝑏𝑐 | ∙ 𝜑 | ∙ (− cos 𝜃) | = 4𝜋𝑎𝑏𝑐.
0
0
3 0
2
0
0
0
32
XULOSA
Mazkur kurs ishini bajarish davomida men matematikaning chuqur va amaliy
jihatdan ahamiyatli bo‘lgan bo‘limlaridan biri - ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar
integral hisobining muhim tarkibiy qismi bo‘lgan sirt integrallari haqida keng
tasavvurga ega bo‘ldim. Ayniqsa, bu mavzu orqali sirtlar ustidagi matematik
operatsiyalar, ularning real dunyo fizikaviy jarayonlari bilan bog‘liqligi va ularni
tahlil qilishda qo‘llaniladigan Stoks va Ostrogradskiy formulalarining nazariy va
amaliy asoslarini o‘zlashtirish imkoniyatiga ega bo‘ldim.
Sirt integralining o‘zi, avvalambor, abstrakt matematik ifoda sifatida qabul
qilinadi. Ammo uni turli yuzalar, sirtlar, vektor maydonlar va fizikaviy hodisalar
bilan bog‘laganimda, bu tushuncha hayotdagi ko‘plab murakkab jarayonlarni
modellashtirish imkonini berishini angladim. Shu nuqtayi nazardan sirt integrali
yordamida suyuqlik oqimining sirt orqali o‘tishi, elektromagnit kuchlarning
tarqalishi, bosim ta’sirining yuzalarga qanday ta’sir qilishi, issiqlikning yoki
zaryadning sirt orqali uzatilishi kabi ko‘plab jarayonlar matematik jihatdan aniq
ifodalanadi.
Stoks teoremasi va Ostrogradskiy teoremasi sirt integralini chiziqli va
hajmiy integrallar bilan bog‘laydi. Bu orqali murakkab integral ifodalarni
soddalashtirish va ularni aniq hisoblash imkoni yaratiladi. Ayniqsa, bu ikki teorema
ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar ustida ishlovchi dasturchilar, fizika mutaxassislari,
muhandislar uchun kuchli nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi. Men bu formulalarning
matematik isbotlarini o‘rganar ekanman, ularning ortida turgan geometrik va fizik
ma’noni anglashga harakat qildim. Ayniqsa, Stoks formulasining kontur bo‘ylab
maydonning sirkulyatsiyasi va sirt ustidagi rotatsiya o‘rtasidagi bog‘liqlikni
ko‘rsatishi men uchun o‘ziga xos ochilish bo‘ldi.
Kurs ishi davomida men klassik darsliklar, jumladan N.S. Piskunov ning
"Differensial va integral hisob" asari va Y.P. Oppoqov ning differensial tenglamalar
bo‘yicha qo‘llanmasi bilan ishladim. Ularning mazmuni ko‘p yillar davomida
shakllangan nazariy bilimlarni ifodalagani bois, ular men uchun asosiy manba
vazifasini o‘tadi. Shuningdek, www.mathprofi.ru sayti orqali interaktiv materiallar,
grafik animatsiyalar, tushunarli misollar orqali mavzuga zamonaviy va vizual
yondashuvni ko‘rdim. Bu esa mavzuni o‘zlashtirishni ancha yengillashtirdi.
Shaxsiy fikr va mulohazalarim. Kurs ishini bajarish davomida men nafaqat
nazariy bilimlarga, balki mavzuga ijodiy va mustaqil yondashishga harakat qildim.
Shu asosda quyidagi shaxsiy fikr va kuzatuvlarimni bayon qilmoqchiman:
- Matematikani abstrakt fan sifatida emas, balki real hayotiy jarayonlarni
tahlil qilish vositasi sifatida ko‘rish lozim. Ayniqsa, sirt integrali kabi mavzular
orqali matematikaning texnika va muhandislik bilan uzviy bog‘liqligi yaqqol ko‘zga
tashlanadi.
33
- Sirt integrallarini o‘rganish orqali fazoviy fikrlash, ko‘p o‘lchovli obyektlarni
tasavvur qilish va matematik modellashtirish ko‘nikmalarim sezilarli darajada
rivojlandi. Bu, o‘z navbatida, boshqa ilmiy yo‘nalishlarda ham qo‘l keladi.
- Klassik darsliklar muhim, lekin zamonaviy o‘quv vositalari — videodarslar,
interaktiv platformalar, 3D grafikalar — o‘quvchini mavzuga qiziqtirishda kuchli
vosita bo‘lib xizmat qiladi. Bu dars uslublari ayniqsa texnik oliy ta’lim
muassasalarida keng joriy etilishi kerak.
Amaliy taklif va tavsiyalar. Men kurs ishida olgan bilimlarim va tahlillarim
asosida quyidagi taklif va tavsiyalarni ilgari suraman. Ular avval kurs ishida
keltirilmagan, mutlaqo meniki va tajriba asosida shakllangan:
1. Matematika va fizika o‘rtasidagi integratsiyani kuchaytirish zarur. Sirt integraliga
oid mavzular fizika kurslari (elektr maydon, magnit oqim, suyuqliklar dinamikasi)
bilan bog‘lab o‘qitilsa, talabalarning mavzuni tushunish va uni amalda qo‘llash
qobiliyati ortadi.
2. Har bir sirt integraliga doir masalani dasturiy algoritm orqali yechish mashqlari
kiritilishi lozim. Masalan, Python, MATLAB yoki Wolfram Mathematica kabi
vositalar yordamida talabalar sirt integrallarini avtomatik hisoblay olishlari kerak.
Bu ularni dasturlashga ham rag‘batlantiradi.
3. Sirt integralini hayotiy loyihalarga tatbiq qilish bo‘yicha kichik amaliy loyiha
ishlari joriy etilishi mumkin. Masalan, ventilyatsiya tizimlaridagi havo oqimi,
quyosh panellarining yorug‘likni yutish darajasi, ekologik monitoringda
ifloslantiruvchi moddalar oqimi kabi mavzularda sirt integraliga asoslangan
modellar qurish orqali talaba nazariyani bevosita qo‘llaydi.
4. Mavzuga doir laboratoriya yoki interaktiv mashg‘ulotlar tashkil etilishi lozim.
Bunda o‘qituvchi sirtni grafik tarzda ko‘rsatib, maydonlar ustidagi integrallarni
vizualizatsiya qiladi. Bu o‘quvchilarda mavzuni "sezish" qobiliyatini oshiradi.
5. Fanlararo yondashuv rivojlantirilishi kerak. Sirt integralining nazariy mohiyati
matematika doirasida bo‘lsa-da, u boshqa fanlar — kimyo (diffuziya jarayoni),
biologiya (membranalar orqali moddalar o‘tishi), va geofizika (qazilmalar oqimi)
kabi sohalarda ham tadbiq etilishi mumkin. Shu bois matematika o‘quv dasturiga
fanlararo loyiha ishlari kiritilishi maqsadga muvofiq.
Yuqoridagilardan kelib chiqib aytish mumkinki, sirt integrali — bu oddiy
matematik formula emas, balki tabiat va texnikadagi ko‘plab murakkab hodisalarni
tushuntiruvchi asosiy nazariy vositadir. Stoks va Ostrogradskiy formulalari esa bu
integrallarni tahlil qilishda soddalashtiruvchi, o‘zaro bog‘lovchi kuchli matematik
asoslardir.
Kurs ishi davomida o‘rganilgan nazariy bilimlar, yechilgan masalalar va
bildirilgan shaxsiy mulohazalar menga matematikaning amaliy hayotdagi o‘rni,
imkoniyatlari va o‘qitishdagi yondashuvlari haqida chuqur tushuncha berdi.
34
Mavzuni o‘rganish davomida yuzaga kelgan savollar esa meni bu sohada yanada
chuqurroq izlanishga undamoqda. Shunday qilib, bu kurs ishi nafaqat hozirgi
bilimlarimni boyitdi, balki ilmiy va kasbiy yo‘nalishimda muhim qadam bo‘lib
xizmat qildi.
35
Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, I -qism. Toshkent,
« O’qituvchi», 1994;
2. Piskunov N.S. Differensial va integral hisob.
3. Azlarov T „ Mansurov H. Matematik analiz, 2-qism. Toshkent,
« O’zbekiston», 1995;
4. Oppoqov Y.P. Oddiy-differensial-tenglamalardanmisol-va-masalalar-toplami.
5. Azlarov T., Mansurov H. Matemalik analiz asoslari, l-qism, Toshkent,
2005;
6. A.Gaziyev, I.Isroilov, M.Yaxshiboyev. “Matematik analizdan misol va
masalalar” 2-qism. Toshkent-2012.
7. A.Sadullayev, H.Mansurov, G.Hudoyberganov, A.Vorisov, R.G‟ulomov.
“Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‟plami” 1-qism, Toshkent-1995
8. A.Sa`dullayev „Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami II“
Toshkent „O‘zbekiston“ nashriyoti 1995-yil (282-322-betlar).
9. Sh.O. Alimov, R.R. Ashurov “Matematik tahlil“ II qism.Toshkent, 2012-yil
(295-310-betlar).
10. Y.U. Soatov. «Oliy matematika» , 221-230-betlar, Toshkent
“O’qituvchi”.1992-yil
11. http://mathprofi.ru
36