METRIK FAZODA OCHIQ, YOPIQ VA KOMPAKT TO'PLAMLAR
KIRISH
Mavzuning dolzarbligi va ahamiyati.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari.
Kurs ishining tuzilishi.
1. Metrik Fazolar va Ularning Asosiy Xususiyatlari
Metrik fazo va metrika tushunchasi.
2. Ochiq To'plamlar
Ochiq to'plam ta'rifi va xususiyatlari.
Ochiqlik shartlari va amaliy misollar.
3. Yopiq To'plamlar
Yopiq to'plam ta'rifi va yopishuv xususiyati.
Yopiq to'plamlarning misollari.
4. Kompakt To'plamlar
Kompakt to'plam ta'rifi va xususiyatlari.
Heine-Borel teoremasi.
Kompakt to'plamlarning misollari.
5. Ochiq, Yopiq va Kompaktt To'plamlar o'rtasidagi Munosabatlar
Ochiq, yopiq va kompaktt to'plamlar o'rtasidagi farqlar va bog'liqliklar.
Matematik analizda eng muhim amallardan biri limitga o‘tishdir. Ushbu amal
sonlar o‘qidagi ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasiga asoslanadi. Ko‘plab
fundamental tushunchalar, analizda, sonlar o‘qining algebraik xususiyatlaridan
mustaqildir. Haqiqiy sonlar haqidagi tasavvurimizni to‘plamlar nuqtai nazaridan
umumlashtirgan holda, metrik fazo tushunchasiga kelamiz. Metrik fazo esa
zamonaviy matematikada muhim o‘rin tutadi.
Ta’rif. Bo‘shmas X to‘plamning ixtiyoriy x va y elementlar juftiga aniq bir
manfiymas  ( x, y ) son mos qo‘yilgan bo‘lib, bu moslik
1)  ( x, y )  0 
x y,
2)  ( x, y )   ( y, x) (simmetriklik aksiomasi),
3)  ( x, z )   ( x, y )   ( y, z ) (uchburchak aksiomasi)
shartlarni qanoatlantirsa,  ga X dagi masofa yoki metrika deb ataladi. ( X ,  )
juftlik metrik fazo deyiladi.
Odatda metrik fazo, ya’ni ( X ,  ) juftlik bitta X harfi bilan belgilanadi. Agar
X to‘plamda 1 ,  2 , ...,  n metrikalar aniqlangan bo‘lsa, u holda ( X , 1 ) , ( X ,  2 ) ,
..., ( X ,  n ) metrik fazolar mos ravishda X 1 , X 2 ,, X n harflari bilan belgilanadi.
Haqiqiy sonlar to‘plami R   ,  ,
  x, y   x  y masofa bo‘yicha
metrik fazo tashkil qiladi va bu metrik fazo ham R harfi bilan belgilanadi.
Ixtiyoriy n ta x1 , x2 ,, xn haqiqiy sonlarning tartiblangan x  x1 , x2 , , xn 
guruhlaridan tashkil bo‘lgan to‘plamda har bir x va y lar jufti  x, y  ga
  x, y  
n
  xk  y k 
2
(1.1)
k 1
manfiymas sonni mos qo‘yuvchi  akslantirish masofani aniqlaydi. Endi 3aksiomaning bajarilishini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchta x   x1 , x2 ,, xn  ,
y   y1 , y2 ,, yn  , z  z1 , z 2 ,, z n  nuqtalar uchun uchburchak aksiomasi
n
n
n
k 1
k 1
k 1
2
2
2
  xk  z k     xk  y k     y k  z k 
ko‘rinishda bo‘ladi. Agar ak  xk  yk , bk  yk  z k
xk  z k  ak  bk bo‘ladi va (5.2) tengsizlik
n
n
n
k 1
k 1
k 1
2
 ak  bk    ak2   bk2
ko‘rinishni oladi. Ushbu
(1.2)
belgilashlarni kiritsak,
(1.3)
2
n
n
1 n n
2
 n

2
2
  ak  bk    ak  bk    ai b j  a j bi 
2 i 1 j 1
k 1
 k 1
 k 1
ayniyatni e'tiborga olsak,
n
n
n
k 1
k 1
k 1
 ak  bk   ak2   bk2
(1.4)
tengsizlikka ega bo‘lamiz. (1.4) Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi. U
holda biz
n
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
2
 a k  bk    a k2  2 ak bk   bk2   ak2 

 2  a   b   b  
k 1
k 1
k 1

n
n
2
k

 a   b 
k 1
k 1

n
2
k
n
2
k
n
2
k
2
2
k
munosabatga ega bo‘lamiz. Bu munosabatdan (1.3) tengsizlik bevosita kelib
chiqadi. Demak, uchburchak aksiomasi o‘rinli ekan. Hosil bo‘lgan metrik fazo R n
simvol bilan belgilanadi.
Yana n - ta haqiqiy sonlarning tartiblangan guruhlari x   x1 , x2 ,, xn  dan
tuzilgan to‘plamni qaraymiz va unda masofani
n
1  x , y    x k  y k
(1.5)
k 1
formula vositasida aniqlaymiz. Hosil bo‘lgan metrik fazo R1n simvol bilan
belgilanadi. Bu moslik metrikaning 1-3 aksiomalarini qanoatlantirishini o‘quvchi
mustaqil tekshirib ko‘rishi mumkin.
Yuqoridagi misolda keltirilgan to‘plamda elementlar orasidagi masofani
   x, y   max xk  y k
1 k  n
(1.6)
formula bilan aniqlaymiz. Metrika aksiomalarining bajarilishi oson tekshiriladi.
Hosil bo‘lgan metrik fazo Rn simvol bilan belgilanadi.
n - ta haqiqiy sonlarning tartiblangan guruhlaridan iborat R n to‘plamda har
bir p  1 son uchun

 k 1
n


 p  x , y     xk  y k 
p
1
p
(1.13)
formula bilan aniqlangan  p moslik masofa aniqlaydi va hosil bo‘lgan metrik fazo
R pn simvol bilan belgilanadi. Bu misolda ham 1 va 2 aksiomalarning bajarilishini
tekshirish qiyin emas. Shuning uchun 3 aksiomaning bajarilishini tekshirish yetarli.
Qaralayotgan to‘plamdan ixtiyoriy uchta x   x1 , x2 , , xn , y   y1 , y2 , , yn ,
z   z1 , z2 , ..., zn  nuqtalarni olib ak  xk  yk , bk  yk  zk belgilashlarni kiritsak,
xk  zk  ak  bk bo‘ladi va natijada  p  x , z    p  x , y    p  y , z  uchburchak
tengsizligi

  a k  bk
 k 1
n
1
p
1


    ak

 k 1
n
p
p
1


    bk

 k 1
n
p
p
p


(1.14)
ko‘rinishni oladi. Hosil bo‘lgan (5.14) tengsizlik Minkovskiy tengsizligi deb ataladi.
Agar p  1 bo‘lsa, Minkovskiy tengsizligining bajarilishi ko‘rinib turibdi (chunki,
yig‘indining moduli modullar yig‘indisidan oshmaydi), shuning uchun p  1 deb
hisoblaymiz. Minkovskiy tengsizligining isboti Gyolder tengsizligi deb
nomlanuvchi
n

 k 1
n
 ak  bk    ak
k 1
p
1
p
q
 
    bk 
  k 1

n
1
q
(1.15)
tengsizlikka asoslangan. Bu yerda p  1 va q  1 sonlar
1 1
 1
p q
(5.16)
shart bilan bog‘langan. (1.16) dan quyidagi tengliklar kelib chiqadi
p
q
, p
.
p 1
q 1
q
Ta’kidlash lozimki, (1.15) tengsizlik a  a1 , a2 , , an  va b  b1 ,b2 , ,bn 
nuqtalar uchun bajarilsa, u ixtiyoriy  va  sonlarda a  a1 , a2 , ,an  va
b  b1 , b2 , , bn  nuqtalar uchun ham bajariladi va aksincha. Ya’ni (5.15) bir
jinsli tengsizlikdir. Shunday ekan, (1.15) tenksizlikni
n
 ak
k 1
p
n
  bk  1
q
(1.17)
k 1
shartni qanoatlantiruvchi a va b nuqtalar uchun isbotlash yetarli. U holda (1.15)
tengsizlik (1.17) shart bajarilganda
n
 ak  bk  1
(1.18)
k 1
ko‘rinishni oladi. (1.17) shartda (1.18) tengsizlikni isbotlash uchun  ,  tekislikda
   p1   0  yoki    q1   0  tenglamalar bilan aniqlangan egri chiziqli (5.1
- chizma) trapetsiya yuzini hisoblaymiz. Chizmadan ko‘rinib turibdiki, musbat a va
b sonlarni qanday tanlamaylik, ab  S1  S 2 tengsizlik o‘rinli. S1 va S 2 yuzalarni
hisoblaymiz:
a
S1    p1d 
0
b
ap
bq
, S 2   q1d  .
p
q
0

b
S2
=p-1
S1
0
a

1.1 – chizma
Shunday qilib, quyidagi sonli tengsizlik o‘rinli:
a p bq
ab 
 .
p
q
Agar a ni ak ga, b ni bk ga almashtirib va k ni 1 dan n gacha o‘zgartirib yig‘indi
tuzsak, (1.16) va (1.17) shartlar bajarilganda (1.18) tengsizlik hosil bo‘ladi. Shunday
qilib, (1.18) tengsizlik isbotlandi. Shunday ekan, umumiy (1.15) tengsizlik ham
isbotlandi.
Agar p  2 bo‘lsa (1.15) Gyolder tengsizlidan (1.4) Koshi - Bunyakovskiy
tengsizligi kelib chiqadi.
Endi Minkovskiy tengsizligining isbotiga o‘tamiz. Buning uchun
| a |  | b |p  | a |  | b |p 1 | a | | a |  | b |p 1 | b |
ayniyatdan foydalanamiz. Bu ayniyatda a ni a k ga, b ni bk ga almashtirib va k
ni 1 dan n gacha o‘zgartirib yig‘indi tuzsak, quyidagi ayniyatga ega bo‘lamiz
  ak  bk     ak  bk 
n
k 1
p
n
k 1
p 1
ak    ak  bk 
n
k 1
p 1
bk .
Tenglikning o‘ng tomonidagi har ikkala yig‘indiga ham Gyolder tengsizligini
qo‘llasak va  p 1 q  p ekanligini e'tiborga olsak, quyidagi tengsizlikka ega
bo‘lamiz:
1
1
 n

n
p
p
p
  a  b      a    b  p .


a

b

 k
 k
   k 
k
k
k
 k
 
k 1
1
 k 1

 k 1



n
n
p
1
q
p
Bu tengsizlikning har ikkala tomonini
1
 n  a  b p  q
 k

k
 k 1

ga bo‘lib, isbotlanishi kerak bo‘lgan (1.14) Minkovskiy tengsizligiga ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, uchburchak aksiomasi o‘rinli ekan.
Agar bu misolda p  2 desak,  p metrika (1.3)-misoldagi metrikaga va agar
p  1 desak, 5.4-misoldagi metrikaga aylanadi. Ko‘rsatish mumkinki, (1.5)-misolda
kiritilgan
   x, y   max xk  y k
1 k  n
metrika  p metrikaning p   dagi limitik holati boladi, ya’ni
1
n
p p
   x, y   lim   x k  y k  .
p    k 1

(1.19)
Elementlari

 x k  , p  1
p
k 1
shartni qanoatlantiruvchi barcha x   x1 , x2 ,, xn , haqiqiy sonlar ketma ketliklaridan iborat va ikki nuqtasi orasidagi masofa
  x, y     x k  y k 

p
 k 1
1
p
(1.20)

formula bilan aniqlangan to‘plamni qaraymiz. Bu to‘plamni  p deb belgilaymiz.
Ixtiyoriy x, y   p lar uchun har bir n da
1
p
1
p
 x  y   x  

 k

 k 
  yk 
k
 k 1

 k 1

 k 1

n
p
n
p
n
Minkovskiy tengsizligi o‘rinli bo‘lgani va

 xk
k 1
p

 ,  y k
p

k 1
shartlar bajarilgani uchun (1.21) da n   da limitga o‘tsak,
p
1
p
(15.21)
1
p
1
p
 x  y   x  

 k

 k 
  yk 
k
 k 1

 k 1

 k 1


p

p

p
1
p
ga ega bo‘lamiz. Bundan ixtiyoriy x, y   p lar uchun (1.20) qator yaqinlashishiga
ega bo‘lamiz. (1.20) tenglik bilan aniqlangan  funksiya metrikaning 1 va 2aksiomalarini qanoatlantirishi ko‘rinib turibdi. Uchburchak aksiomasi (1.14)
Minkovskiy tengsizligidan foydlanib isbotlanadi.
Endi biz Minkovskiy va Gyolder tengsizliklarining integral formasini
beramiz.
1
1
1
b
p b
p b
p
p
p
p
  x t   y t  dt     x t  dt     y t  dt  ,
a

a

a

p  1.
(1.22)
Bu Minkovskiy tengsizligi deb ataladi. Minkovskiy tengsizligi, ya’ni (1.22)
tengsizlik [ a , b ] kesmada p  p  1 - chi darajasi bilan Lebeg ma’nosida
integrallanuvchi ixtiyoriy x va y funksiyalar uchun o‘rinli. Quyidagi tengsizlik
1
1
1 1
p
q
b
p b
q








x
t
y
t
dt

x
t
dt

y
t
dt

 
 , p  1, q  1,   1 (1.23)

p q
a
a
 a

b
Gyolder tengsizligi deb ataladi. Gyolder tengsizligi [ a , b ] kesmada p  p  1 -chi
darajasi bilan Lebeg ma’nosida integrallanuvchi x va q q  1 -chi darajasi bilan
integrallanuvchi ixtiyoriy y funksiyalar uchun o‘rinli. (1.10) tengsizlik KoshiBunyakovskiy tengsizligining integral formasidir.
Endi haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi fanida xossalari
o‘rganilgan o‘zgarishi chegaralangan va absolyut uzluksiz funksiyalar to‘plamini
qaraymiz.
Eslatma.  X ,   - metrik fazo va M uning ixtiyoriy qism to‘plami bo‘lsin. U
holda X da aniqlangan  masofa, uning qismi bo‘lgan M da ham masofa
aniqlaydi. Shuning uchun M ,   metrik fazo bo‘ladi. M ,   metrik fazo  X ,  
metrik fazoning qism fazosi deb ataladi.
Metrik fazoga misollar.
1) Haqiqiy sonlar to’g’ri chizig’i: X=R. Bu
to’plamda x va u sonlar orasidagi masofa (x,y)=|y-x| bo’yicha hisoblanadi.
2) n–o’lchamli Evklid fazosi: X=R2n, va x=(x1,x2,,xn), y=(y1,y2,,yn)
n
nuqtalar orasidagi masofa (x,y)=  ( y i  xi ) 2 formula yordamida hisoblanadi.
i 1
Xususan n=2 bo’lganda bu metrik fazo Evklid tekisligi deyiladi.
3) n–o’lchamli fazoning x=(x1,x2,,xn) va y=(y1,y2,,yn) nuqtalari orasidagi
n
masofa (x,y)=  | y k – x k | deb aniqlansa, u metrik fazo bo’ladi (isbotlang) va R1n
k 1
orqali belgilanadi.
4) n–o’lchamli fazoning x=(x1,x2,,xn) va y=(y1,y2,,yn) nuqtalari orasidagi
masofa (x,y)= max
|yk–xk| deb aniqlansa, u metrik fazo bo’ladi (isbotlang) va Rn
1 k  n
orqali belgilanadi.

5) X=l2={x=(x1, x2,..., xn,... ),xiR va  xi2   }, (x,y)=
i 1

(y  x ) ;
2
i
i
i 1
6) X=C[a;b]- [a;b]-kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to’plamida
metrikani quyidagicha kiritamiz: (x,y)= max | y (t )  x(t ) | . Bu funksiyaning metrika
[ a ;b ]
bo’lishligini tekshirish qiyin emas.
Metrika aksiomalaridan birinchi va ikkinchisining o’rinliligi ravshan.
Uchburchak aksiomasini tekshiramiz. Ixtiyoriy t[a;b] nuqta va x(t), y(t), z(t)
funksiyalar uchun ushbu munosabat bajariladi:
|x(t)- y(t)| = |( x(t)- z(t)) + ( z(t)- y(t))|  | x(t)- z(t)|+| z(t)- y(t)|.
Bu tengsizlikdan
max | x(t)- y(t)| max | x(t)- z(t)|+ max | z(t)- y(t)| bo’lishi kelib chiqadi. Oxirgi
a t b
a t b
a t b
tengsizlik
(x,y)  (x,z)+(z,y)
ekanligini bildiradi.
7) [a;b]-kesmada uzluksiz funksiyalar to’plamida metrikani quyidagicha ham
b
kiritish mumkin: (x,y)=  | y  x | dt . Bu metrik fazo C1[a;b] orqali belgilanadi.
a
8) [a;b]-kesmadada kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar to’plamida
b
1
2
(x,y)= (  ( y  x ) dt ) funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi. [2] Bu metrik
2
a
fazo C2[a;b] orqali belgilanadi.
Ochiq va yopiq sharlar
Aytaylik (X,) metrik fazo bo’lsin. Kelgusida metrik fazo elementi yoki
metrik fazo nuqtasi bir xil ma’noda ishlatiladi.
1-ta’rif. Biror x0X nuqta va r>0 son uchun ushbu
S(x0,r)={ x  X: (x ,x0)<r } to’plam X fazoda ochiq shar;
_
S ( х0 , r ) ={x  X: (x ,x0)  r} to’plam yopiq shar deyiladi.
x0 nuqta sharning markazi; r son sharning radiusi deyiladi.
Zaruriyat tuQilganda {x X:  (x,x0)= r} to’plamni ham ishlatamiz, u x0
markazli, r radiusli cfera deyiladi.
2-ta’rif. S(x0,) ochiq shar x0 nuqtaning -atrofi deyiladi va O(x0) kabi
belgilanadi.
Nuqta atrofining ba’zi xossalarini o’rganamiz.
10. Har bir nuqta o’zining ixtiyoriy atrofiga tegishlidir.
Haqiqatan, agar  > 0 bo’lsa, u holda (a,a)=0 < , shuning uchun aO(a).
20. Huqtaning ixtiyoriy ikki atrofi kesishmasi ham atrof bo’ladi.
Haqiqatan, agar 1<2 bo’lsa, u holda O1 (a) O 2 (a)= O1 (a) bo’ladi.
30. Agar x O(a) bo’lsa, u holda x nuqtaning O(a) da yotuvchi atrofi mavjud.
Haqiqatan, aytaylik (a,x)=d bo’lsin. xO(a) bo’lganligidan
=–d>0
bo’ladi. Endi, yO(x) olamiz. Metrikaning uchburchak aksiomasiga ko’ra (a,y)
(a,x)+(x,y)<d+=d+(–d)= bo’ladi. Demak, yO(a). Bundan O(x)O(a)
kelib chiqadi.
40. Bir-biridan farqli ikki nuqtaning kesishmaydigan atroflari mavjud.
Haqiqatan aytaylik, a,bX, a b va (a,b)=r bo’lsin. =r/3 bo’lganda O(a)
va O(b) atroflarning kesishmasligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, bu atroflar
umumiy x nuqtaga ega bo’lsin. U holda (a,x)<, (b,x)< va (a,b) (a,x)+
(b,x)<2=2r/3 <r. Bu esa shartga zid.
Yopiq to’plam va uning xossalari, misollar.
(X,) metrik fazo bo’lsin. Bunda MX to’plam olamiz.
1-ta’rif. Agar М  М bo’lsa, u holda M yopiq to’plam deyiladi.
_
Ixtiyoriy (X,) metrik fazoda S ( х0 , r ) yopiq shar, X ning o’zi, bo’sh to’plam
va har bir chekli to’plam yopiq to’plamlarga misol bo’ladi.
Shuningdek (R,), (a,b)=|b-a| to’g’ri chiziqda ixtiyoriy [c,d] kesma yopiq
to’plamdir.
1-teorema. a) Chekli sondagi yopiq to’plamlarning birlashmasi yana yopiq
to’plam bo’ladi;
b) Ixtiyoriy sondagi yopiq to’plamlarning kesishmasi yopiq to’plam bo’ladi.
Isboti. a) bu xossani ikki to’plam uchun isbotlash etarli. Aytaylik F1 F2 yopiq
_
_
to’plamlar bo’lsin, ya’ni F1  F1 va F2  F2 o’rinli. U holda 2-§ dagi teoremaning
_________
__
__
4) xossaga ko’ra F1  F2  F1  F2  F1  F2 . Demak, ta’rifga ko’ra F1F2 yopiq
to’plam.
b) Aytaylik ixtiyoriy sondagi {F}A yopiq to’plamlar sistemasi berilgan va
x ularning kesishmasi F=  F to’plamning o’rinish nuqtasi bo’lsin. U holda x ning

ixtiyoriy atrofida F ning kamida bitta, masalan, x1 elementi mavjud va kesishmaning
xossasiga ko’ra  ning barcha qiymatlari uchun x1F bo’ladi. Demak, ixtiyoriy 
__
uchun x F =F, ya’ni xF=F bo’ladi. Demak, F yopiq to’plam. Teorema isbot
bo’ldi.
Ochiq to’plam va uning xossalari, misollar.
(X,) metrik fazo, MX biror to’plam bo’lsin.
2-ta’rif. Agar x nuqtaning M to’plamda butunlay joylashgan biror atrofi
mavjud bo’lsa, u holda x nuqta M to’plamning ichki nuqtasi deyiladi.
Agar M to’plamning hamma nuqtalari ichki bo’lsa, u ochiq to’plam deyiladi.
Ixtiyoriy (X,) metrik fazoda S ( x 0 , r ) ochiq shar, R da (a;b) interval ochiq
to’plamga misol bo’ladi.
R da Q rastional sonlar to’plami ochiq to’plam emas, chunki rastional son
ichki nuqta bo’la olmaydi, ya’ni, ixtiyoriy rastional sonning har bir atrofi faqat
rastional sonlardan iborat emas.
Shu kabi irrastional sonlar to’plami ham ochiq to’plam emas.
Bu to’plamlarning R da yopiq to’plam emasligini ham ko’rish qiyin emas.
2-teorema. Biror GX to’plamning ochiq bo’lishi uchun uning to’ldiruvchisi,
F=X\G=CG yopiq bo’lishi zarur va etarli.
Isboti. Zaruriyligi. Aytaylik G ochiq to’plam bo’lsin. U holda har bir xG
nuqta butunlay G da joylashgan atrofga ega. Demak, bu atrof F bilan kesishmaydi.
Bundan ko’rinadiki, F ning birorta ham o’rinish nuqtasi G ga kirmaydi. Demak F
yopiq to’plam.
Etarliligi. Aytaylik F=X\G yopiq to’plam bo’lsin. U holda G dan olingan
ixtiyoriy nuqta F bilan kesishmaydigan, demak G da butunlay joylashgan atrofga
ega, ya’ni G ochiq to’plam.
Natija. Bo’sh to’plam  va X fazoning o’zi ham ochiq, ham yopiq
to’plamlardir.
3-teorema. Ixtiyoriy sondagi ochiq to’plamlarning birlashmasi va soni chekli
bo’lgan ochiq to’plamlarning kesishmasi ochiq to’plam bo’ladi.
n
n
i 1
i 1
Isboti. Ushbu  (X\G)=X\(  G ) va  (X\Gi)=X\(  Gi) tengliklardan va


yuqorida isbotlangan teoremalardan kelib chiqadi.