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Vibrations mécaniques
Book · November 2003
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Jacques P. Bersier
Haute école d'ingénierie et d'architecture de Fribourg HES-SO//FR HEIA-FR
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Vibrations
mécaniques
Jacques P. Bersier
eEIA−FR 2003
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Table des matières
0.
1.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Degrés de liberté et coordonnées généralisées . . . . . . . . . . . . . . . .
Composants d’un système mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscillateur élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equation différentielle du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linéarisation de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
4
9
Systèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Système équivalent à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie cinétique et potentielle du système équivalent . . . . . . .
Travail de l’amortisseur équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Position d’équilibre statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système équivalent à plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de l’équilibre des puissances pour un système
indépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energies et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations du mouvement linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dissipation de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie potentielle élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Puissance fournie au système par des forces extérieures . .
Puissance fournie au système par un mouvement de l’appui
Procédure de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
13
15
15
16
19
22
25
29
30
30
32
ii
Vibrations mécaniques
2.
3.
4.
Régime libre de l’oscillateur élémentaire . . . . . . . . . . . . . . .
35
Régime libre dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement avec amortissement fort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement avec amortissement critique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement avec amortissement faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude du régime libre à l’aide de la transformation de Laplace .
Mouvement avec amortissement fort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement avec amortissement critique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement avec amortissement faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régime libre conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution à l’aide de la transformation de Laplace . . . . . . . . . .
Frottement de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
38
41
42
44
45
45
45
47
47
49
51
Régime permanent harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Equation différentielle du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régime permanent harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vibrations forcées avec amortissement fort . . . . . . . . . . . . . . .
Vibrations forcées avec amortissement critique . . . . . . . . . . .
Vibrations forcées avec amortissement faible . . . . . . . . . . . . .
Vibrations forcées sans amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résonance et battement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Force transmise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotor non équilibré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Force transmise à l’appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vibrations engendrées par l’appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Force transmise à l’appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instruments de mesurei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesure du déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Accéléromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques des composants de l’accéléromètre . . . . . .
Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masse sismique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cas de charge de l’accéléromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthodes expérimentales de mesure du coefficient
d’amortissement visqueux linéaire c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décrément logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réponse en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Largeur de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frottement de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
58
61
61
62
62
64
67
70
72
73
74
76
78
80
82
86
86
87
87
Régime forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction excitatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régime forcé périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction périodique excitatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Recherche des coefficients de la série de Fourier . . . . . . . . .
Symétrie et parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution numérique pour le calcul des coefficients de Fourier
Oscillateur élémentaire soumis à une force périodique . . . . . . . .
Réponse pour une force constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réponse pour une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régime forcé quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evaluation numérique de l’intégrale de Duhamel . . . . . . . . . . . . .
101
101
102
107
107
107
108
110
112
112
113
115
115
120
121
93
93
94
95
96
iii
Table des matières
5.
Système à plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
Degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système à deux degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régime libre d’un système à deux degrés de liberté . . . . . . . . . .
Masses isolées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations mises sous forme matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régime libre dissipatif d’un système à deux degrés de liberté .
Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racines réelles négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racines complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racines réelles et complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régime forcé harmonique d’un système
à deux degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système à plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réponse temporelle obtenue par découplage des équations
(Time history modal superposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrices modale et spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Découplage des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modes orthonormés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthodologie pour le découplage des équations . . . . . . . . . . . . .
Amortissement modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Amortissement de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
126
126
126
126
128
129
133
133
134
135
135
137
Suppression des vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
Niveau acceptable de vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isolement des vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Déplacement imposé par l’appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Force appliquée sur la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isolement des chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Absorptions de vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
161
161
163
164
164
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
Bibliographie & Référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
6.
138
138
142
142
144
145
146
146
147
147
148
iv
Vibrations mécaniques
0 Introduction
La variation de quantités physiques telles que l’accélération, la vitesse,
l’élongation et la force peuvent être groupées en deux catégories ; oscillatoire et non oscillatoire. Le mouvement d’un système physique peut être harmonique, périodique ou un mouvement quelconque où l’amplitude varie
avec le temps.
Dans la plupart des cas, les vibrations sont un élément perturbateur et doivent être atténuées. On citera par exemple :
S les vibrations des machines ou de systèmes qui sont une cause d’imprécision, de bruit et d’usure prématurée ;
S les vibrations des voitures, des avions et des trains qui provoquent, en
plus des inconvénients précédents, l’inconfort des voyageurs et diminuent
la sécurité de conduite de ces véhicules.
On peut dire, au sujet des vibrations perturbatrices, que tout mouvement primaire est une source de vibrations. Par exemple, le vent peut induire une fréquence d’excitation proche de la fréquence de résonance d’un pont et causer
sa destruction. On citera pour mémoire le cas du pont de Tacoma, inauguré
le premier juillet 1940 et détruit le 7 novembre de la même année.
2
Introduction
Figure 1.
Pont Tacoma (USA) inauguré le 1er juillet 1940 et détruit le
7 novembre 1940 sous l’action vibratoire induite par le vent.
Parfois une petite modification constructive peut amener une diminution
notable ou la complète disparition des vibrations. Il n’est pas toujours possible de corriger une machine ou une structure existante. Le problème se pose
toujours de la même manière : déceler les sources de vibrations, étudier la
transmission des vibrations au reste de la construction, rechercher les possibilités de résonance, imaginer les moyens d’atténuer le phénomène.
Il existe aussi des situations où les vibrations mécaniques fournissent un travail utile. Par exemple, on produit volontairement des vibrations dans les
convoyeurs de composants, les compacteurs de béton et les marteaux
pneumatiques.
Degrés de liberté et coordonnées généralisées
Le nombre de degrés de liberté (ddl) d’un système mécanique correspond
au nombre de coordonnées, cinématiquement indépendantes, nécessaire
à la description du mouvement de tous les points du système.
Cet ensemble de coordonnées est appelé l’ensemble de coordonnées géné³
ralisées1. Le vecteur q est utilisé pour définir l’ensemble de coordonnées
généralisées
³
q + [q 1, q 2, q3, @@@ , q n]T.
1
3
Vibrations mécaniques
Composants d’un système mécanique
Un système mécanique comprend des composants présentant une inertie,
une raideur et un amortissement. Les composants présentant une inertie
possèdent une énergie cinétique lorsqu’ils sont en mouvement.
L’énergie cinétique d’un corps rigide en mouvement curviligne plan est
égale à :
où
E c + 1 mv 2C) 1 I C 2,
2
2
v C représente la vitesse du centre de masse,
2
la vitesse angulaire du corps,
m
la masse du corps
IC
son moment d’inertie calculé par rapport au centre de masse.
Un composant présentant une raideur constante présente une relation
force-déplacement :
F + kx.
3
Un composant de type amortisseur (dashpot) présente un amortissement
visqueux. Un composant de type linéaire peut être décrit à l’aide de la
relation :
F + cv,
où
1.
F
représente la force appliquée,
v
la vitesse relative,
c
le coefficient d’amortissement visqueux linéaire.
Coordonnées généralisées : quantités indépendantes qui sont
nécessaires et suffisantes pour décrire la configuration d’un système (ISO 2041).
4
4
Introduction
Oscillateur élémentaire
Le système se compose d’une masse m (kg), d’un ressort de raideur k (N/m)
et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement visqueux linéaire
c (Ns/m).
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
k
F(t)
c
Figure 2.
m
x
Oscillateur élémentaire
Equation différentielle du mouvement
1
Système de coordonnées
Axe O,x
2
Corps isolé
kx
.
cx
O
Figure 3.
3
..
F(t)
x
x
O
x
Masse isolée
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne varié
..
a x + x.
5
4 Etude dynamique
S Equations du mouvement
[F x + ma x]
.
..
- kx- cx)F(t) + mx.
6
Soit :
..
.
mx)cx)kx + F(t).
7
Il s’agit d’une équation différentielle du 2ème ordre, à coefficients constants.
5
Vibrations mécaniques
S Solutions
Régime libre
Pas de deuxième membre
..
.
mx)cx)kx + 0.
8
Régime forcé
Avec deuxième membre
..
.
mx)cx)kx + F(t).
9
Exemple 1
Le système selon figure consiste en une masse m qui peut se déplacer horizontalement sans frottement. La masse est reliée à un appui par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement visqueux linéaire c. Déterminer l’équation différentielle du mouvement
du système si, à ce dernier, est imposé un déplacement initial x0 par rapport
à sa position d’équilibre.
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉ
y
k
c
m
0
x
x0
1
Système de coordonnées
Axes O,x,y
2
Corps isolé
y
y
FN
..
kx
.
cx
x
O
x
mg
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne varié
..
ax + x
O
x
6
Introduction
4 Etude dynamique
S Equations du mouvement
.
..
[F x + ma x] - kx- cx + mx
..
.
mx)cx)kx + 0
[F y + ma y]
F N - mg + 0
F N + mg
Il n’y a qu’une équation différentielle car le système ne possède qu’un seul
degré de liberté. Le mouvement correspond à un régime libre dissipatif. Le
mouvement de la masse va s’arrêter après un certain temps. Si l’amortissement est nul, on retrouve l’équation différentielle d’un mouvement oscillatoire
harmonique.
..
mx)kx + 0
Exemple 2
Le système selon figure consiste en deux masses m 1 et m 2. Les deux masses peuvent se déplacer horizontalement sans frottement et sont reliées
entre elles par un ressort de raideur k 2 et un amortisseur de coefficient
d’amortissement visqueux linéaire c 2. La première masse est reliée à un
appui par un ressort k 1 et un amortisseur c 1. Une force variable agissant sur
chacune des masses, déterminer l’équation différentielle du mouvement du
système.
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
F 1(t)
F 2(t)
k1
c1
k2
m1
c2
m2
x
1
Système de coordonnées
Axes O,x,y
7
Vibrations mécaniques
2
Corps isolés
y
Masse 1
y
F 1N
k 1x 1
F 1(t)
.
c 1x 1
.
O
..
k 2(x 2 - x 1)
.
c 2(x 2 - x 1)
x1
x
O
x
m 1g
y
Masse 2
y
F 2N
k 2(x 2 - x 1)
.
..
F 2(t)
.
c 2(x 2 - x 1)
x2
O
x
O
x
m 2g
3
Etude cinématique
Types de mouvements : mouvements rectilignes variés
4 Etude dynamique
S Equation du mouvement de la masse 1
[F x + ma x]
.
.
.
..
- k 1x 1 - c 1x 1)k 2(x 2 - x 1))c 2(x 2 - x1))F 1(t) + m 1x 1
..
.
.
m 1x 1)(c 1)c 2)x 1 - c 2x 2)(k 1)k 2)x1 - k 2x 2 + F 1(t)
S Equation du mouvement de la masse 2
[F x + ma x]
.
.
..
- k 2(x 2 - x 1) - c 2(x 2 - x 1))F 2(t) + m 2x 2
..
.
.
m 2x 2 - c 2x 1)c 2x 2 - k 2x 1)k 2x2 + F 2(t)
Il y a deux équations différentielles car le système possède deux degrés de
liberté.
Les deux équations du mouvement peuvent s’écrire sous la forme matricielle
suivante :
ƪ
m1 0
0 m2
ƫƪ ƫ ƪ
..
x1
c 1)c 2 - c 2
..
)
c2
- c2
x2
dont la forme simplifiée est :
..
.
Mx ) Cx ) Kx + F
ƫƪ ƫ ƪ
.
x1
k 1)k 2 - k 2
.
)
x2
- k2
k2
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
F 1(t)
+
x2
F 2(t)
8
Introduction
La matrice M correspond à la matrice des masses
ƪ
ƫ ƪ
m 11 m 12
m1 0
M+ m m
+
0 m2
21
22
ƫ
La matrice C correspond à la matrice d’amortissement
ƪ
ƫ ƪ
c 11 c 12
c1)c 2 - c 2
+
C+ c c
c2
- c2
21 22
ƫ
La matrice K correspond à la matrice de rigidité
K+
ƪ
ƫ ƪ
k 11 k 12
k1)k 2 - k 2
+
k 21 k 22
- k2
k2
ƫ
Cette notation sera reprise au chapitre dédié aux systèmes à deux degrés
de liberté ou plus.
Exemple 3
Une barre mince de longueur L, de masse m et de moment d’inertie IC, peut
pivoter autour de son extrémité supérieure fixe; elle est retenue à son extrémité inférieure A par un ressort k et un amortisseur c dont la force reste constamment horizontale. Un moment M étant appliqué sur la barre, déterminer
l’équation différentielle de son mouvement.
La position du système pouvant être décrite par l’angle seule une équation
différentielle sera nécessaire.
1
Système de coordonnées
Axes C,x,y
2
Barre isolée
F Oy
F Ox
O
O
M
y
a Cy
C
mg
.
cx A
kx A
x
a Cx
C
C
L
A
A
9
Vibrations mécaniques
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement circulaire autour du point O.
..
C + 4
Etude dynamique
S Equation du mouvement
..
[M O + I O]
ǒ
Ǔ
2 ..
.
- mg L sin() - (cx A)kx A) Lcos())M + I c)m L 4
2
Avec
x A + L sin()
.
.
x A + L cos()
2
Ic + m L
12
2 ..
.
m L )cL 2 cos 2())kL 2 sin() cos())mg L sin() + M
3
2
Linéarisation de l’équation différentielle
Dans bien des cas, la dynamique de systèmes physiques est gouvernée par
des équations différentielles non linéaires telle celle de l’exemple précédent.
En admettant des oscillations de faible amplitude, une équation différentielle
linéaire du deuxième degré peut être obtenue à partir de l’équation initiale.
sin() [ tan() [ ,
10
cos() [ 1.
11
L’équation précédente devient :
2 ..
.
ǒ
Ǔ
m L )cL 2) kL 2)mg L + M.
12
3
2
Il s’agit d’une équation différentielle du 2ème ordre, à coefficients constants.
10
Introduction
1 Systèmes équivalents
Certains systèmes mécaniques peuvent être modélisés à l’aide d’une combinaison d’oscillateur élémentaires.
Système équivalent à un degré de liberté
Un système à un degré de liberté peut être assimilé à l’oscillateur élémentaire dont la masse, la raideur et l’amortissement correspondent aux valeurs
équivalentes.
Energie cinétique et potentielle du système équivalent
Translation
É
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
k
F(t)
c
Figure 1 - 1.
m
Oscillateur élémentaire équivalent d’un système à 1 ddl
en translation
x
12
Systèmes équivalents
L’énergie cinétique de la masse équivalente s’écrit :
E c + 1 m(x) .
2
L’énergie potentielle élastique du ressort équivalent s’écrit :
2
.
E pe + 1 kx 2.
2
1-1
1-2
Rotation
Figure 1 - 2.
É
É
É
É
É
cr
kr
IC
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
Oscillateur élémentaire équivalent à un système à un degré
de liberté en rotation
L’énergie cinétique de la masse équivalente s’écrit :
E c + 1 I CǒǓ .
2
L’énergie potentielle élastique du ressort équivalent s’écrit :
2
.
E pe + 1 k r 2.
2
1-3
1-4
Travail de l’amortisseur équivalent
Le travail effectué par l’amortisseur équivalent s’écrit :
ŕ cxdx ,
x2
W+ -
.
1-5
x1
et pour un système en rotation :
ŕ c d .
x2
W+ -
.
r
x1
1-6
13
Vibrations mécaniques
Position d’équilibre statique
Le système selon figure comprend des éléments soumis à des forces en
position d’équilibre statique.
ÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉ
c
k
m
Figure 1 - 1.
Position d’équilibre statique
La déformation statique de l’élément élastique dans un système linéaire
n’a aucun effet sur la raideur équivalente du système.
Exemple 1-1
Déterminer les caractéristiques du système équivalent, composé d’une
masse, d’un ressort et d’un amortisseur, si le moment d’inertie de la roue est
égal à IC .
1 Système de coordonnées
Axes C,x,y
2
Plan de situation
y
c
r
C
IC
2r
x
m
Ep + 0
FR
Position d’équilibre statique
mg
k
x
14
Systèmes équivalents
3
Etude cinématique
Types de mouvement :
masse : mouvement rectiligne varié ;
poulie : mouvement circulaire varié.
.
.
r + x
r + x
2r + y
2r + y
.
.
On peut ainsi écrire :
y + 2x
dy + 2dx
4 Etude dynamique
S Equilibre statique
[F x + 0]
mg - F R + 0
mg
k
S Conservation de l’énergie mécanique totale
[E p)E p e)Ec)W F c + C]
mg - k + 0
³
+
E p + - mgx
E pe + 1 k(x)) 2
2
.
.
E c + 1 m(x) 2) 1 I C() 2
2
2
ŕ cydy + - c ŕ 2x 2dx
y2
W Fc + -
x2
.
.
y1
x1
dE t
+0
dt
.
ǒ
- mgx)k x)
Ǔ
ǒ
après simplification
ǒ
Ǔ
Ǔ
I . ..
mg .
. .
x) m) C2 xx)4cxx + 0
k
r
I ..
.
m) C2 x)4cx)kx + 0
r
15
Vibrations mécaniques
c eq + 4c
k eq + k
m
I
m eq + m) C2
r
x
Système équivalent à plusieurs degrés de liberté
Développons une méthode permettant de déterminer les équations du mouvement d’un système mécanique en utilisant les notions d’énergie et de travail. Indépendamment de la méthode employée, seuls de petits déplacements du système seront considérés afin d’obtenir des équations linéaires.
Méthode de l’équilibre des puissances pour un système
indépendant du temps
Cette loi repose sur les principes suivants :
S le système possède une position d’équilibre statique ;
S le système se compose d’un nombre fini de corps dont la masse est invariante ;
S les coordonnées généralisées décrivant la position de chaque corps du
système doivent être définies de façon à ce qu’elles soient nulles dans la
position d’équilibre statique.
L’équation travail-énergie peut être écrite sous la forme
E c + W ³,
1-7
F
E c)E p + W ³.
F
1-8
En faisant tendre le temps vers 0,
.
.
E c)E p + P.
1-9
La forme finale de la relation précédente est
.
.
E c)E p + Pin - P dis.
où
1 - 10
P in représente la puissance des forces externes appliquées au
système,
P dis représente la puissance dissipée par le mécanisme.
16
Systèmes équivalents
Cette relation est assez générale mais elle ne correspond qu’à une seule
équation. Un système à N degrés de libertés étant représenté par N coordonnées généralisées, il s’agit de trouver une méthode permettant d’obtenir N
équations à partir de la relation précédente.
Energies et puissance
Considérons l’énergie cinétique du système suivant figure décrit par l’ensemble de coordonnées généralisées
T
q + ƪx 1 x 2ƫ ,
³
1 - 11
x1
x2
É
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
k1
k2
c1
c2
m1
m2
x
Figure 1 - 1.
Système à deux degrés de liberté
. 2
. 2
E c + 1 m 1ǒx 1Ǔ ) 1 m2ǒx 2Ǔ .
1 - 12
2
2
On peut considérer un autre choix de coordonnées généralisées où l’on définit la position du deuxième corps par rapport à celle du premier corps à l’aide
de la position relative y 2.
T
q + ƪx 1 y 2ƫ .
³
1 - 13
Cette deuxième coordonnée généralisée représente l’élongation du ressort
k 2. Ainsi, le déplacement absolu de la deuxième masse est
x 1)y 2,
1 - 14
sa vitesse
.
.
x 1)y 2,
1 - 15
et son accélération
..
..
x 1)y 2.
1 - 16
L’énergie cinétique totale du système est ainsi
2
2
E c + 1 m 1ǒx 1Ǔ ) 1 m2ǒx 1)y 2Ǔ ,
2
2
. 2
. 2
. .
E c + 1 ǒm 1)m 2Ǔǒx 1Ǔ ) 1 m 2ǒy 2Ǔ ) 1 ǒ2m 2x 1y 2Ǔ.
2
2
2
.
.
.
1 - 17
1 - 18
17
Vibrations mécaniques
L’expression 1 - 12 comprend une somme de carrés alors que dans l’expression précédente (1 - 18), on trouve tous les produits possibles des deux coordonnées généralisées. Les deux expressions représentent des “sommes
quadratiques”. Les variables de ces sommes quadratiques sont les dérivées
temporelles premières des coordonnées généralisées
appelées vitesses
.
généralisées et décrites à l’aide du vecteur q j.
En considérant des coordonnées généralisées mesurées à partir de la position d’équilibre et en ne tenant compte que de petits déplacements, l’expression de l’énergie cinétique totale se réduit toujours à une somme quadratique
dont les variables sont les vitesses généralisées. Si N représente le nombre
de degrés de liberté et par conséquent le nombre de coordonnées
générali.
.
sées, l’énergie cinétique comprend les produits de q 1 avec chaque q i où
n = 1 à N . et ainsi . de suite. Appelons M jn les coefficients constants des produits de q j avec q n.
Ainsi la forme quadratique de l’énergie cinétique devient
E c + 1 [q 1ǒM 11q 1)M 12q 2)@@@ )M 1Nq NǓ
2
.
.
.
.
1 - 19
)q 2ǒM 21q 1)M 22q 2)@@@ )M 2Nq NǓ)@@@
.
.
.
.
)q NǒM N1q 1)M N2q 2)@@@ )M NNq NǓ].
.
.
.
.
On observe que le carré de chaque vitesse généralisée n’intervient qu’une
seule fois tandis que le produit de deux vitesses généralisées différentes
intervient deux fois. On peut regrouper les termes en admettant que
M nj + M jn et représenter l’expression précédente par
ǒ
Ǔ
E c + 1 [ M 11q 1)M 22q 2)@@@
2
. .
. .
)ǒ2M 12q 1q 2)2M 13q 1q 3)@@@Ǔ
.2
.2
1 - 20
)ǒ2M 23q 2q 3)2M 24q 2q 4)@@@Ǔ)@@@ ].
.
.
.
.
Cette dernière relation peut s’écrire sous une forme plus compacte
Ec + 1
2
ȍ ȍ Mjnqjqn
N
N
. .
Mnj + M jn.
1 - 21
j+1 n+1
Les coefficients M jn constants sont des coefficients représentant des inerties. Ils forment une matrice symétrique NxN.
T
q + {q } + ƪq 1 q2@@@ q Nƫ .
³
1 - 22
L’énergie cinétique peut se calculer finalement à l’aide de la relation matricielle
E c + 1 {q} [M]{q}
2
.
T
.
[M] + [M]T .
1 - 23
18
Systèmes équivalents
On pourrait démontrer de la même façon que l’énergie dissipée par les amortisseurs peut s’écrire sous l’une des formes
P dis +
ƪǒC11q21)C22q22)@@@ Ǔ
.
.
1 - 24
)ǒ2C 12q 1q 2)2C 13q 1q 3)@@@Ǔ
.
.
.
.
)ǒ2C 23q 2q 3)2C 24q 2q 4)@@@Ǔ)@@@ ],
.
.
ȍ ȍ Cjnqjqn,
N
P dis +
.
N
. .
.
C jn + C nj,
1 - 25
j+1 n+1
.
.
T
[C] + [C] T.
P dis + {q} [C]{q}
1 - 26
L’énergie potentielle peut être représentée sous une forme assez semblable.
L’énergie potentielle dépend uniquement de la position instantanée du système ce qui se traduit par une dépendance unique par rapport aux coordonnées généralisées. Cette dépendance est exprimée par
E p + E p(qj),
où q j
1 - 27
représente l’ensemble de variables.
Une telle expression peut être étendue sous la forme d’une série de Taylor.
Cela donne pour un système à un degré de liberté
ǒ Ǔ
dE P
dq 1
E p(q 1) + EP )
0
ȡd2E ȣ 2
q 1) 1ȧ 2Pȧ ǒq 1Ǔ ,
2Ȣ dq Ȥ
1
0
1 - 28
0
où l’indice 0 indique que la quantité associée doit être évaluée pour q 1 + 0.
Une série de Taylor d’une fonction de plusieurs variables indépendantes
possède une forme assez semblable. La différence réside dans le fait que
les dérivées correspondent à des dérivées partielles.
ǒ Ǔ ǒ Ǔ
ȱ ēEP q ) ēEP q )@@@ȳ
ȧ
Ȳ ēq1 0 1 ēq2 0 2
ȴ
E p(q 1, q 2, @@@ ) + E P )ȧ
0
ǒ
ȱȡē2E ȣ
ē 2E P
) 1ȧȧ 2Pȧ q 21)
ēq1ēq 2
2ȲȢ ēq Ȥ
1
0
Ǔ
0
1 - 29
ȳ
ȡē2E ȣ
q 1q 2)ȧ 2Pȧ q 22)@@@ȧ.
Ȣ ēq2 Ȥ
ȴ
0
Cette série peut s’écrire sous une forme plus compacte
E p + E P ) ȍǒF 0Ǔjq j) 1 ȍ ȍ K jnq jqn,
2
N
N
N
j+1
j+1 n+1
0
avec
K jn +
ǒ
ē 2E P
ēq jēqn
Ǔ
,
0
ǒF 0Ǔ +
j
ǒ Ǔ
ēE P
ēq n
.
0
K jn + K nj,
1 - 30
1 - 31
19
Vibrations mécaniques
Les quantités K jn sont des coefficients de rigidité tandis que ǒF 0Ǔj représente
une force statique.
La forme explicite de cette relation est
E p + E P )[ǒF 0Ǔ1q 1)ǒF 0Ǔ2q 2)@@@ ]
0
1
ǒ
ƪ
)
K 11q 21)K 22q 22)@@@ ))ǒ2K 12q 1q 2)2K 13q 1q 3)@@@Ǔ
2
)ǒ2K 23q 2q 3)2K 24q 2q 4)@@@Ǔ)@@@ ].
1 - 32
et sous forme matricielle
E P + E P ){ q } NJF 0Nj) 1 { q } [ K ]{ q }.
1 - 33
0
2
Il ne reste plus qu’à analyser la puissance introduite dans le système par les
forces extérieures.
³
³
Si une force F K est appliquée en un point possédant une vitesse v K, la puissance correspondante est
T
³
T
³
P + F K @ v K.
1 - 34
La puissance totale correspond à la somme des contributions de toutes les
forces.
P in +
ȍ FK @ vK.
³
³
1 - 35
La vitesse en un point peut dépendre de plus d’une vitesse généralisée.
.
.
P in + Q 1q1)Q 2q 2)@@@.
1 - 36
Les coefficients Q j dépendent du temps car ils sont construits à partir des forces extérieures. Q j représente un ensemble de forces généralisées.
ȍ Qjqj,
N
P in +
.
1 - 37
j+1
T
{ Q } + ƪ Q 1 Q 2 @@@ ƫ .
1 - 38
L’expression résultante de la puissance introduite devient
.
T
P in + {q} {Q } .
1 - 39
Equations du mouvement linéarisées
Evaluons les dérivées temporelles premières de l’énergie cinétique et de
l’énergie potentielle afin de les introduire dans la relation de l’équilibre des
puissances.
.
ǒ
T
E c + 1 d {q} [ M ]{q}
2 dt
.
.
Ǔ
1 - 40
ǒ
. T
.
. T
.
+ 1 d {q} [ M ]{q}) 1 {q} [ M ] d (q)
2 dt
2
dt
+ 1 {q} [ M ]{q}) 1 {q} [ M ]{q}.
2
2
.. T
.
.
T
..
Ǔ
20
Systèmes équivalents
.. T
.
.
..
T
Comme {q} [ M ]{q} 5 {q} [M ]{q},
.
.
.
.
..
T
E c + {q} [M ]{q},
1 - 41
E p + {q} NJF0Nj){q} [ K ]{ q }.
.
T
T
1 - 42
Ainsi, la relation d’équilibre des puissances devient
{q} T[ M ]{q}){q} TNJF 0Nj){q} T[ K ]{ q } + {q} T{ Q } - {q} T[ C ]{q} .
.
..
.
.
.
.
.
1 - 43
Après simplification (pas justifiée dans ce texte),
[ M ]{q})[ C ]{q})[ K ]{ q } + { Q } - NJF 0Nj.
..
.
1 - 44
Nous avons ainsi N équations différentielles du mouvement.
L’application de cette relation est limitée par les hypothèses faites en début
de chapitre. Les coordonnées généralisées sont mesurées à partir de la
position d’équilibre statique caractérisée par
.
..
{ q } + {q} + {q} + 0.
1 - 45
Exemple 1-2
Un véhicule peut être modélisé sous la forme d’une masse m concentrée sur
le centre de masse G, d’un moment d’inertie I G et de deux ressorts attachés
aux points A et B ( m = 1400 kg, i G = 1.1 m ). Calculer :
1. la matrice d’inertie correspondant aux coordonnées généralisées
y G et ;
2. la matrice d’inertie correspondant aux coordonnées généralisées
y A et y B.
1
Coordonnées généralisées
Cas 1
³
q + [y G ] T + [q 1 q 2] T
Cas 2
³
q + [y A y B]T + [q 1 q 2] T
2
Plan de situation
)
B
yB
yG
yA
A
G
kB
1.5 m
m + 1400 kg
i G + 1.1 m
1.3 m
kA
21
Vibrations mécaniques
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement curviligne plan
Vitesse du point A pour de petits déplacements
³
³
.
.
³
³
v A + v G)
ƞ r AńG
.
y A + y G - 1.3
Vitesse du point B pour de petits déplacements
³
³
.
.
³
³
v B + v G)
ƞ r BńG
.
y B + y G)1.5
Définissons la vitesse du centre de masse et la vitesse angulaire en fonction
des coordonnées généralisées.
.
.
.
y G + 1 ǒ1.3y B)1.5y AǓ
2.8
.
.
.
+ 1 ǒy B - y AǓ
2.8
4
Etude dynamique
Cas 1
Energie cinétique du véhicule
I G + i 2Gm + 1.1 2 @ 1400 + 1694 kgm 2
E c + 1 mv 2G) 1 I G 2
2
2
q1 + yG
q2 + .
.
vG + yG
+
E c + 1 my G) 1 I GǒǓ
2
2
L’équation quadratique standard pour un système à deux degrés de liberté
étant
ǒ
2
.
.2
E c + 1 M 11y G)2M 12y G)M 22ǒǓ
2
.2
.
.
.
2
Ǔ
on obtient par comparaison
M 11 + m + 1400
[M] +
0
ƪ1400
ƫ
0 1694
M 22 + I G + 1694
Cas 2
Energie cinétique du véhicule
E c + 1 my G) 1 I GǒǓ
2
2
.2
.
2
M 12 + 0 + M 21
22
Systèmes équivalents
q1 + yA
q2 + y B
ǒ
ȱ
Ȳ
.
.
Ǔ
1.3y B)1.5y A
E c + 1 mȧ
2.8
2
ǒ
2
ǒ
.
.
Ǔ ȳȧ
y -y
)1.21 B A
2.8
2
ȴ
Ǔ
E c + 1 m 0.4413y A)0.3699y B)2(0.0944)y Ay B
2
L’équation quadratique standard pour un système à deux degrés de liberté
étant
.2
ǒ
.2
.
.
Ǔ
E c + 1 M 11y A)2M 12y Ay B)M 22y B
2
on obtient par comparaison
.2
.
M 11 + 0.4413m
.
.2
M 22 + 0.3699m
ƪ
0.4413 0.0944
[M] + m 0.0944 0.3699
M 12 + M 21 + 0.0944m
ƫ
Dissipation de puissance
La détermination des coefficients d’amortissement s’effectue de la même
façon que pour celle des coefficients d’inertie.
³
vB
³
F
³
n
B
A
³
³
vA
F
Figure 1 - 2.
Amortisseur
Dans un premier temps, calculons la vitesse de déplacement des points A
et B suivant la ligne d’action de l’amortisseur.
.
³
³
.
³
³
uA + vA @ n ,
1 - 46
uB + vB @ n .
1 - 47
La vitesse d’allongement de l’amortisseur est
.
.
.
v rel + f rel + u B - u A.
1 - 48
La force dans l’amortisseur est égale à
.
F + cf rel + cǒu B - u AǓ,
.
.
1 - 49
23
Vibrations mécaniques
et la puissance
P + F @ v rel + cǒf relǓ .
³
2
.
³
1 - 50
Si un système comprend plus d’un amortisseur
P dis +
ȍ CjǒfrelǓ2.
.
1 - 51
j
Afin de créer la matrice d’amortissement [C], il faut décrire dans un premier
temps la vitesse de chaque extrémité de l’amortisseur sous la forme d’une
fonction linéaire des coordonnées généralisées. Il faut ensuite projeter la
vitesse suivant la ligne d’action de l’amortisseur dans sa position d’équilibre.
Par exemple pour un système à deux degrés de liberté
.
.
.
f rel + r 1q 1)r 2q 2,
1 - 52
1
où r 1 et r 2 sont des constantes qui dépendent du système.
Après avoir définit ces expressions pour chaque amortisseur on peut écrire
2
P dis + c 1ǒr1q 1)r 2q 2Ǔ )c 2ǒs 1q 1)s 2q 2Ǔ
.
.
.
.
2
1 - 53
+ ǒc 1r 21)c 2s 21Ǔq 1)ǒc1r 22)c 2s 22Ǔq 2)2ǒc 1r 1r 2)c 2s 1s 2Ǔq 1q 2.
.2
.2
.
.
Par comparaison avec la relation 1 - 24 on peut écrire
C 11 + c 1r21)c 2s 21,
C 22 + c 1r 22)c 2s 22 ,
C 12 + C 21 + c 1r 1r 2)c 2s 1s 2.
1 - 54
1 - 55
24
Systèmes équivalents
Exemple 1-3
Les colonnes supportant le deuxième étage d’un bâtiment sont liées par un
amortisseur placé en diagonale entre les deux étages. En admettant que les
deux premiers étages se déplacent horizontalement, utiliser les déplacements u 1 et u 2 comme coordonnées généralisées afin de calculer la matrice
d’amortissement [C].
u2
15
c
u1
1
Coordonnées généralisées
³
q + [u 1 u 2]T
2
Plan de situation
u2
³
n
15
c
u1
3
Etude cinématique
Vitesse relative
.
.
.
f rel + u 1 cos(15) - u 2 cos(15)
.
f rel + 0.9659ǒu 1 - u 2)
.
.
25
Vibrations mécaniques
4
Etude dynamique
Puissance dissipée
ǒ2
P dis + cǒf relǓ + 0.933c u 1 - 2u 1u 2)u 2
2
.
.
.
.
.2
Ǔ
L’équation quadratique standard pour un système à deux degrés de liberté
étant
.2
.2
.
.
P dis + C 11u1)C 22u 2)2C 12u 1u 2
on obtient par comparaison
C 11 + C 22 + 0.933c
ƪ
0.933 - 0.933
[C] + c - 0.933 0.933
C 12 + C 21 + - 0.933c
ƫ
Energie potentielle élastique
Les forces décrites à l’aide d’une énergie potentielle sont dites conservatives. Les deux éléments qui peuvent stocker de l’énergie potentielle sont les
ressorts et la gravité. Dans le cas de la gravité on parle d’énergie potentielle
alors que dans le cas d’un ressort on parle d’énergie potentielle élastique.
Dans la majorité des cas, la masse du ressort est beaucoup plus petite que
la masse qui lui est attachée ce qui permet d’ignorer l’effet d’inertie du ressort.
E pe + 1 kf 2,
2
où f + L - ȏ 0.
1 - 56
Considérons la situation de la figure ci-dessous.
B
L
B0
L0
A
Figure 1 - 3.
Allongement d’un ressort
La longueur du ressort déformé est
ƪ
2
L + ǒx B - x AǓ )ǒy B - y AǓ
2
ƫ,
1
2
1 - 57
26
Systèmes équivalents
2
E Pe + 1 kǒL - ȏ 0Ǔ + 1 kǒL 2 - 2ȏ 0L)ȏ 20Ǔ.
1 - 58
2
2
Par définition, la position du point B dépend des coordonnées généralisées
et ainsi la longueur déformée L dépend aussi de ces variables.
Afin de voir comment la relation 1 - 31 peut être utilisée pour déterminer les
coefficients de rigidité, considérons l’exemple de la figure 1 - 4.
Dans la position représentée la poutre est en équilibre statique. La longueur
du ressort pour une position autre que celle de l’équilibre statique est
L+
ƪǒ Ǔ
ǒǓ
2
ǒ
b )b 2 - 2 b b cos - 2
2
2
b
2
Ǔƫ
1
2
ƪ
ƫ
1
2
5 b 5 - sin() .
4
1 - 59
b
Figure 1 - 4.
Barre articulée retenue par un ressort
Selon l’expression 1 - 58 l’énergie emmagasinée dans le ressort est égale à
2
ȱ
ȳ
E Pe + 1 kȧb 2 5 - sin() - 2ȏ 0b 5 - sin() )ȏ 20ȧ.
4
2 Ȳ 4
ȴ
ǒ
Ǔ
ǒ
Ǔ
1
1 - 60
Utilisons la relation 1 - 31 pour évaluer le coefficient de rigidité
K 11 +
ē 2E P e
ē 2
ǒ Ǔ
ē 2E P e
ē 2
,
1 - 61
+0
ȡ
+ 1 k d ȥ- b 2 cos() - ȏ 0b 5 - sin()
4
2 d Ȣ
ǒ
ȱ
5
+ 1 kȧb2 sin()) 1 ȏ 0b - sin()
4
2 Ȳ
2
ǒ
K 11 + 2 kȏ 0b.
5 Ǹ5
Ǔ
- 32
Ǔ [ - cos()]ȣȦ
- 12
Ȥ+0
ǒ
[ - cos()] - ȏ 0b 5 - sin()
4
2
1 - 62
Ǔ sin()ȳȧ
- 12
ȴ+0
,
1 - 63
27
Vibrations mécaniques
En utilisant la deuxième relationde 1 - 31 on peut trouver les coefficients ǒF 0Ǔj
permettant de calculer la position d’équilibre.
Même si l’on utilise un logiciel de calcul possédant la notation symbolique,
il est relativement difficile de calculer les dérivées partielles.
Dans la plupart des cas, les coefficients de rigidité associés aux ressorts peuvent être évalués par une méthode plus simple. L’approximation appelée
“approximation du ressort rigide” se base sur le fait que si la valeur de k est
relativement grande, la structure se déforme peu lorsque le système est en
position d’équilibre statique.
B
wB
L
r B
³
n
uB
B0
L0
A
Figure 1 - 5.
Allongement d’un ressort
ǒ
Ǔ
1
2
1
2
L + ǒL 0)u BǓ )w 2B + ǒL 20)u 2B)2L 0u B)w 2BǓ .
2
1 - 64
Si l’on étend L en une série basée sur u b et w B où u b et w B Ơ L0,
1
2
ǒ
Ǔ
u b u 2B w 2Bȣȳ
u
ȱ
ȡ
L + L 0ȧ1)ȧ2 ) 2 ) 2ȧȧ [ L 0 1) B ,
L0
Ȳ Ȣ L0 L L Ȥȴ
0
0
1 - 65
Si ȏ 0 correspond à la longueur de fabrication, l’approximation du ressort
rigide consiste à dire que L 0 + ȏ 0.
Dans ce cas, L + ȏ 0)u B.
2
E pe + 1 kǒL - ȏ 0Ǔ + 1 ku 2B.
2
2
1 - 66
Cette approximation est relativement bonne si ŤF 0ŤńkL 0 t 0.01,
où F 0 représente la force retenant le système en position d’équilibre statique.
E pe + 1
2
ȍ kj f2j ,
j
f j + u B - u A , si
j
j
1 - 67
ŤF 0 Ť
j
k jL 0j
Ơ 1.
1 - 68
28
Systèmes équivalents
La linéarisation du déplacement d’un point peut être
obtenue à partir de sa
.
vitesse. Pour ce faire, on remplace les variables q j par les grandeurs correspondantes q j.
Procédure :
1. effectuer un analyse cinématique afin de déterminer
la vitesse de
.
chaque extrémité du ressort en termes de q j suivant la direction du
ressort dans sa position d’équilibre
statique ;
.
2. remplacer dans les expressions q j par q j ;
3. calculer E pe selon l’expression 1 - 67.
Recalculons la valeur K 11 du ressort précédent.
³
n
b
2
.
b
b
Figure 1 - 6.
Analyse cinématique d’une barre articulée retenue par un ressort
1. Vitesse
de l’extrémité de la barre
.
b dirigée vers le haut.
Angle compris entre le ressort et la verticale
cos() + 1 .
Ǹ5
2. La vitesse de déplacement de l’extrémité du ressort est
.
.
f + - b cos() => f + - b.
Ǹ5
2
2
3. E pe + 1 k b 2 => K 11 + kb
5
2 5
2kȏ 0b
et nous avions trouvé K 11 +
5 Ǹ5
Si l’approximation du ressort rigide est valable,
2
ȏ 0 [ 5 b +u K 11 + kb
4
5
Ǹ
29
Vibrations mécaniques
Energie potentielle
L’énergie potentielle est égale à
E p + mgH,
1 - 69
où H représente la hauteur du centre de gravité de la masse par rapport à
la hauteur de référence.
Afin d’illustrer le calcul de l’énergie potentielle, examinons le cas suivant
figure 1 - 7.
k1
y
m 1g
L0
L
EP + 0
Figure 1 - 7.
k2
m 2g
Système à deux degrés de liberté
Le système est en position d’équilibre statique dans la position représentée.
Lorsque le système s’éloigne de sa position d’équilibre statique, le collier de
masse m 1 se déplace verticalement et la barre mince de masse m 2 subit un
mouvement curviligne plan d’élongation angulaire . Le système de coordonnées généralisées est donc
³
q + [y ] T.
1 - 70
L’énergie potentielle du système correspond à la somme des énergies
potentielles de chaque corps.
ǒ
Ǔ
E p + m 1gǒL 0)y Ǔ)m 2g L 0)y- L cos()) .
1 - 71
2
Pour déterminer la contribution de la gravité sur les coefficients de rigidité,
utilisons la relation 1 - 31.
ǒK11Ǔ
ǒK22Ǔ
+
grav
+
grav
ǒ Ǔ
ǒ Ǔ
ē 2E P
ēy 2
ē 2E P
ē 2
+ 0,
1 - 72
+ m 2g L cos(),
2
1 - 73
y++0
y++0
30
Systèmes équivalents
ǒK12Ǔ
+ K21 +
grav
ǒ Ǔ
ē 2E P
ēyē
+ 0.
1 - 74
y++0
La matrice de rigidité du système est à corriger en sommant les derniers termes obtenus à ceux obtenus à l’aide du calcul de l’énergie potentielle élastique.
Puissance fournie au système par des forces extérieures
³
³
Si une force F p agit sur un point possédant une vitesse v p, la puissance fournie est égale à
³
³
P in + F p @ v p.
1 - 75
Si un couple de forces agit sur un corps b possédant une vitesse angulaire
³
b, la puissance fournie est égale à
P in + M bb.
1 - 76
Ainsi, la puissance totale fournie au système pour un mouvement plan est
P in +
ȍ Fp @ vp) ȍ Mbb,
³
³
p
1 - 77
b
ǒ
Ǔ
+ ǒF @ d 1)Ms 1Ǔq 1)ǒF @ d 2)Ms 2Ǔq 2.
³
³
³
³ .
³
³
.
³
³ .
P in + F @ v)M + F @ d 1q1)d 2q 2 )Mǒs 1q 1)s 2q 2Ǔ
.
³
.
.
1 - 78
.
.
P in + Q 1q1)Q 2q 2 .
1 - 79
Par analogie à la relation 1 - 36,
³
³
³
³
Q 1 + F @ d 1)Ms 1,
Q 2 + F @ d 2)Ms 2.
1 - 80
1 - 81
Puissance fournie au système par un mouvement de l’appui
Une importante classe de mouvement correspond au mouvement de l’appui.
On peut citer l’excitation du sol sur un bâtiment dans le cas d’un tremblement
de terre où l’excitation appliquée à un véhicule lorsqu’il se déplace sur une
route en mauvais état.
L’étude du comportement d’un ressort et d’un amortisseur attachés au sol va
se faire à l’aide du principe de superposition. L’énergie potentielle élastique
emmagasinée dans un ressort et la puissance dissipée dans un amortisseur
se calcule à partir de la variation de la position relative entre leurs deux extrémités f j ( 1 - 68 et 1 - 51 ). Soit u A le déplacement de l’élément attaché au ressort-amortisseur et u g le déplacement du sol attaché à l’autre extrémité.
31
Vibrations mécaniques
Le déplacement u g correspond à la projection du déplacement vertical du sol
z suivant la direction du ressort tandis que le déplacement u A correspond au
déplacement du corps parallèlement au ressort.
.
kf)cf, f + u A
uA
.
ku g)cu g
k
z
Figure 1 - 8.
uG
c
Effet du mouvement du sol sur la force exercée par le ressort et
l’amortisseur
La force exercée par le ressort est égale à kǒu A - u gǓ et celle exercée par
.
.
l’amortisseur cǒu A - u gǓ. Comme le mouvement du corps est défini à l’aide
des coordonnées généralisées, la relation entre u A et les variables q n n’est
pas affectée par le mouvement du sol. Les forces exercées sur le corps sont
séparées en deux parties selon la figure ci-dessus. D’un côté, on considère
la déformation. f + u A comme si le sol était fixe. La force correspondante est
égale à kf)cf représentant une force de traction sur le corps. D’un
autre côté
.
la force induite par le mouvement du sol est égale à ku g)cu g.
La puissance introduite par le mouvement du sol est égale à
P in + ǒku g)cugǓu A.
.
.
1 - 82
En procédant de cette façon les valeurs de E P et P dis sont obtenues en ne
considérant pas le mouvement du sol. Le mouvement du sol a pour effet d’introduire de l’énergie dans le système, énergie calculée à l’aide de la relation
1 - 82.
32
Systèmes équivalents
Procédure de calcul
En résumé, l’équation d’équilibre des puissance peut être appliquée en procédant selon les étapes décrites ci-après.
1. Identifier un ensemble de coordonnées généralisées q j. Utiliser la position d’équilibre statique pour mesurer ces coordonnées généralisées.
De ce fait, q j + 0 pour cette position particulière. Le nombre de degrés
de liberté du système étudié correspond au nombre de coordonnées
généralisées.
2. Calculer la matrice des masses (inerties) [M] par la méthode de l’analogie présentée précédemment. Calculer l’énergie cinétique de chaque
corps du système. Déterminer la vitesse du centre de masse et la vitesse
angulaire
de chaque corps du système sous la forme de fonctions linéai.
res de q j.
3. Calculer la matrice des amortissement [C] par la méthode de l’analogie.
Exprimer la puissance dissipée en termes de composantes des vitesses
à l’aide des relations 1 - 48 et 1 - 51. Exprimer la vitesse de chacun des
points d’attache des amortisseurs par une fonction linéaire des vitesses
généralisées. Utiliser les relations 1 - 46 et 1 - 47 afin de projeter ces
vitesses suivant la direction de la position d’équilibre statique de l’amortisseur.
4. Déterminer la matrice de rigidité [K] à l’aide de l’une des deux solutions
suivantes :
a) Utiliser l’approximation du ressort rigide afin d’appliquer la relation
1 - 67. Exprimer le déplacement de chaque point d’attache des ressorts
sous la forme d’une fonction linéaire des coordonnées généralisées.
Cela peut être fait à l’aide d’une analyse cinématique où l’on remplace
finalement les vitesses par les élongations.
b) Si l’approximation du ressort rigide ne peut être utilisée, il faut exprimer l’énergie potentielle élastique en fonction de grandes modifications
des coordonnées généralisées. Les coefficients de la matrice de rigidité
seront obtenus en décrivant E pe selon la relation 1 - 31.
5. Identifier la contribution de la gravité sur la matrice de rigidité [ K ]. Une
telle contribution est nulle si le système analysé se trouve dans un plan
horizontal, lorsque les corps se déplacent suivant des trajectoires rectilignes ou lorsque le centre de masse se déplace verticalement à la position d’équilibre. Si la gravité doit être considérée, décrire l’énergie potentielle en termes de coordonnées généralisées en utilisant la relation
1 - 69 pour chaque corps. Appliquer la relation 1 - 31 pour trouver la
contribution du poids propres sur la matrice d’inertie. Ajouter les coefficients ainsi trouvés à ceux calculés au point 4.
Vibrations mécaniques
33
6. Calculer le vecteur des forces extérieures { Q } par la méthode de l’analogie. Calculer la puissance introduite par chaque force extérieure appliquée sur le système à l’aide de la relation 1 - 34. Exprimer les composantes de la force par rapport à l’orientation de cette dernière lorsque le
système est en équilibre statique. Exprimer la vitesse du point d’application de chaque force par la même approche.
7. L’équation différentielle du mouvement du système est définie par la
relation 1 - 44.
34
Systèmes équivalents
2 Régime libre
de l’oscillateur élémentaire
Le régime libre décrit le comportement de l’oscillateur élémentaire après un
lâcher initial, sans apport d’énergie extérieure. La force F(t) de la relation 7
est donc nulle.
Régime libre dissipatif
Le régime libre est admis dissipatif lorsque l’amortissement n’est pas nul.
Reprenons l’équation différentielle de l’oscillateur selon figure :
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
k
c
m
x
Figure 2 - 1.
..
Régime libre dissipatif de l’oscillateur élémentaire
.
mx)cx)kx + 0.
2-1
36
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
Une solution particulière de cette équation sera
x(t) + Ae pt,
où A et p sont des constantes à déterminer.
2-2
.
x + pAe pt,
2-3
..
x + p 2Ae pt.
et par substitution dans l’équation différentielle de base :
2-4
mp 2Ae pt)cpAe pt)kAe pt + 0,
qui peut s’écrire :
2-5
ǒ mp 2)cp)k ǓAe pt + 0,
2-6
Ae pt est nulle pour t ³ - R.
L’équation précédente peut être satisfaite si :
2-7
mp 2)cp)k + 0.
Il s’agit de l’équation caractéristique de l’équation différentielle du 2ème
ordre.
Cette équation admet deux racines :
p 1,2 + - c "
2m
Ǹc 4m4mk,
2*
2-8
2
qui peuvent s’écrire sous la forme :
p 1,2 + - c "
2m
Ǹǒ Ǔ
c
2m
2
k .
-m
2-9
Introduisons la notation :
k
20 + m
0= pulsation propre du système,
+ c
2m
+ 0
c
+
= coefficient d’amortissement,
= taux d’amortissement,
2m Ǹ
k
m
+ cc .
2 - 10
c
Le taux d’amortissement des structures considérées comme rigides est
compris entre 0.01 et 0.5.
c c + 2 Ǹkm
c c = coefficient d’amortissement
visqueux critique,
p 1,2 + - " Ǹ 2 - 20,
p 1,2 + - "
Ǹ
ȱǒ Ǔ 2 - 1ȳ,
ȧ 0 ȧ
Ȳ
ȴ
20
2 - 11
2 - 12
37
Vibrations mécaniques
ǒ
Ǔ
p 1,2 + - " 0 Ǹ 2 - 1 + 0 - " Ǹ 2 - 1 ,
2 - 13
+ 0 Ǹ 2 - 1,
2 - 14
= pseudo pulsation ou pulsation du mouvement amorti,
p 1,2 + - " .
2 - 15
La solution générale est :
x(t) + x 1(t))x 2(t) + A 1e p1t)A 2e p 2t ,
2 - 16
où A 1 et A 2 sont des constantes à déterminer au moyen des conditions initiales imposées à la masse.
Trois cas peuvent se présenter :
1
Amortissement fort
u1
L’équation caractéristique admet deux solutions réelles.
2
Amortissement critique
+1
L’équation caractéristique admet une racine double réelle.
3
Amortissement faible
t1
L’équation caractéristique présente deux racines complexes conjuguées.
L’équation différentielle du mouvement peut se présenter sous la forme particulière
..
c x. ) k x + F(t) ,
x) m
m
m
..
.
x)2 0x) 20x + f(t).
2 - 17
2 - 18
38
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
Mouvement avec amortissement fort
u1
Cet amortissement peut aussi être qualifié de surcritique.
x(t) + A 1e p1t ) A 2e p 2t,
2 - 19
.
x(t) + p 1A 1ep 1t ) p 2A 2e p2t.
2 - 20
Les constantes A 1 et A 2 dépendent de x 0 et v 0.
Au temps t = 0 :
x 0 + A 1 ) A 2,
2 - 21
v 0 + p 1A 1 ) p 2A 2,
2 - 22
ce qui donne :
p x -v
A 1 + p2 0- p 0,
2
1
2 - 23
v -p x
A 2 + p0 - p1 0,
2
1
2 - 24
p x -v
v -p x
x(t) + p2 0- p 0 e p1t) p0 - p1 0 e p2t.
2
1
2
1
2 - 25
Elongation x
v0 u 0
x0
v0 + 0
v0 t 0
0
Figure 2 - 2.
tm
Temps t
v 0 t - () Ǹ 2 - 20)x 0
Représentation de la loi du mouvement
avec amortissement fort
L’élongation x tend vers 0 lorsque le temps croît : il n’y a pas d’oscillations.
L’élongation présente un extremum au temps t m.
p 1A 1e p1t m)p 2A 2e p2t m + 0,
2 - 26
p 1A 1 (p - p )t m
e 1 2 + - 1,
p 2A 2
2 - 27
39
Vibrations mécaniques
e (p1*p 2)tm + -
p 2A 2
,
p 1A 1
2 - 28
ǒ
Ǔ
p A
t m + p 1- p ln - 2 2 ,
p 1A 1
1
2
2 - 29
p (v - p x )
t m + p 1- p ln 2 0 1 0 .
1
2 p 1(v 0 - p 2x 0)
2 - 30
La solution de l’équation différentielle peut aussi se présenter sous la forme
ǒ
x(t) + e - 0t a 1e - 0
Ǹ 2 - 1t
)a 2e 0
Ǔ,
Ǹ 2 - 1t
2 - 31
où
a1 +
a2 +
- v 0)( - ) Ǹ 2 - 1) 0x 0
20 Ǹ 2 - 1
v 0)( ) Ǹ 2 - 1) 0x 0
20 Ǹ 2 - 1
,
2 - 32
.
2 - 33
Exemple 2-1
Une masse m de 10 kg est suspendue à un ressort de raideur k = 1’000 N/m et un amortisseur
de coefficient d’amortissement visqueux linéaire
c = 300 Ns/m. Déterminer la loi y =y(t) si la masse
est déplacée de sa position initiale et lâchée avec
une vitesse initiale non nulle.
1
ÉÉÉÉÉÉ
c
k
Système de coordonnées
m
Axe O,y
2
y
Masse isolée
.
cy
L0
k(y))
y
..
mg
y
y
y
La position y de la masse est mesurée à partir de la position d’équilibre statique.
40
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne varié
..
ay + y
4 Etude dynamique
S Equation du mouvement de la masse
[F y + ma y]
.
..
mg - cy - k(y)) + my
L’équilibre statique nous donne :
mg - k + 0
ǒ
.
mg - cy - k y)
Ǔ
mg
..
+ my
k
Finalement
..
.
my)cy)ky + 0
On remarque ainsi qu’il est possible d’éliminer immédiatement le poids propre de l’équation du mouvement de la masse et qu’il suffit de ne tenir compte
que du déplacement y.
Fréquence propre du système
0 +
Nńm
Ǹmk + Ǹ1Ȁ000
+ 10 s - 1
10 kg
Coefficient d’amortissement visqueux critique
c c + 2 Ǹkm + 2 @ Ǹ1Ȁ000 Nńm @ 10 kg + 200Nsńm
Taux d’amortissement
+ cc +
c
300 Nsńm
+ 1.5
200 Nsńm
Le système possède un amortissement surcritique.
y(t) + A 1e p1t)A 2e p2t
avec :
ǒ
p 1,2 + 0 - " Ǹ 2 - 1
Ǔ
ǒ
p 1,2 + 10 s - 1 @ - 1.5 " Ǹ1.5 2 - 1
Ǔ
p 1 + - 3.8197 s - 1
p 2 + - 26.1803 s - 1
Loi du mouvement
y(t) + A 1e - 3.8197t)A2e - 26.1803t
Les constantes A 1 et A 2 seront déterminées à partir des conditions initiales.
41
Vibrations mécaniques
Mouvement avec amortissement critique
+1
Les racines de l’équation caractéristique sont réelles et égales.
p 1,2 + - " Ǹ 2 - 20 + 0( - " Ǹ 2 - 1),
2 - 34
p 1 + p 2 + - 0.
2 - 35
La solution générale de l’équation différentielle doit prendre la forme particulière :
x(t) + (A 1)A 2t)e - 0t,
2 - 36
x(t) + ǒA 2 - 0(A1)A 2t)Ǔe - 0t.
2 - 37
.
Les constantes A 1 et A 2 se trouvent à l’aide des conditions initiales x 0 et v 0.
Au temps t = 0 :
x 0 + A 1,
2 - 38
v 0 + A 2 - 0A 1 ,
2 - 39
ce qui nous donne :
A 1 + x 0,
2 - 40
A 2 + 0x0)v 0,
2 - 41
x(t) + ǒx 0)(v 0) 0x 0)t Ǔe - 0t.
2 - 42
Elongation x
v0 u 0
x0
v0 + 0
v0 t 0
0
Figure 2 - 3.
Temps t
Représentation de la loi du mouvement
avec amortissement critique
L’élongation présente un extremum au temps t m.
0 + ǒA 2 - 0(A1)A 2t m)Ǔe - 0t,
A 2 - 0A 1
,
0A 2
v0
tm +
.
0(v0) 0x 0)
tm +
2 - 43
2 - 44
2 - 45
42
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
Mouvement avec amortissement faible
t1
Les racines de l’équation caractéristique sont complexes conjuguées.
p 1,2 + - " j Ǹ 20 - 2 ,
2 - 46
ǸǒǓ
Ǹ ǒ Ǔ ȣȧȤ
2
p 1,2 + - " j 0
ȡ
Ȣ
1 - ,
0
p 1,2 + 0ȧ- " j
1 - ǒ
Ǔ
0
2 - 47
2
0
,
p 1,2 + 0 - " j Ǹ1 - 2 .
2 - 48
2 - 49
Rappelons que la pseudo-pulsation est égale à :
+ 0 Ǹ1 - 2,
2 - 50
et par substitution dans x(t) + A 1e p1t)A 2e p2t :
x(t) + A 1e (- )j)t)A 2e (- - j)t,
2 - 51
x(t) + ǒA 1e jt)A 2e - jtǓe - t.
2 - 52
Remplaçons les fonctions exponentielles par leur équivalent trigonométrique :
e jt + cos( t))j sin( t),
2 - 53
e *jt + cos( t) - j sin(t),
2 - 54
x(t) + ǒA 1(cos( t))j sin( t)))A 2(cos( t) - j sin( t))Ǔ e - t, 2 - 55
x(t) + ǒ(A 1)A 2) cos( t))j(A 1 - A 2) sin( t)Ǔ e - t.
2 - 56
Le problème doit donner une solution réelle. Posons :
A 1 + C 1)C2j,
2 - 57
A 2 + C 1 - C2j,
2 - 58
A 1)A 2 + 2C1 ,
2 - 59
A 1 - A 2 + 2C2j,
2 - 60
x(t) + ǒ2C 1 cos( t) - 2C 2 sin( t)Ǔ e - t,
2 - 61
x(t) + ǒc 1 cos( t))c 2 sin( t)Ǔ e - t,
2 - 62
x(t) + - e - tǒc 1 cos( t))c 2 sin( t)Ǔ)e - tǒ - c 1 sin( t)) c 2 cos( t)Ǔ
.
2 - 63
Les constantes c 1 et c 2 dépendent de x 0 et v 0.
43
Vibrations mécaniques
Au temps t = 0 :
x 0 + c 1,
2 - 64
v 0 + c2 - c 1,
2 - 65
c2 +
v 0)x0
,
2 - 66
ǒ
x(t) + x 0 cos( t))
Ǔ
v 0)x0
- t
sin( t) e ,
2 - 67
ou encore :
x(t) + Xe - t sin( t) ),
avec :
X+
Ǹ
x 20)
2 - 68
(v 0)x 0) 2
,
20 - 2
2 - 69
et :
+
tan
x 0 Ǹ 20 - 2
v 0)x 0
+
x 0 .
v 0) 0x 0
2 - 70
Le mouvement de la masse peut être considéré comme le produit de deux
mouvements simples : le premier exprimé par une fonction exponentielle
décroissante, le second par un mouvement harmonique de pulsation .
Elongation x
X
x + Xe - t
x0
x1
x2
0
temps t
T
x + - Xe - t
Figure 2 - 4.
Représentation de la loi du mouvement
pour un amortissement faible
44
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
La pseudo-période T est plus grande que la période du système mécanique
composé seulement de la masse et du ressort.
2 .
Ǹ20 - 2
T +
2 - 71
Calculons le rapport des élongations x 1 et x 2 aux temps t et t+T .
Xe - t sin( t) )
x1
T
x 2 + Xe - (t)T) sin( (t)T )) ) + e .
2 - 72
Il en ressort que le rapport est constant. Le logarithme naturel de ce rapport
est appelé le décrément logarithmique .
ǒ Ǔ
2 - 73
ǒ Ǔ
2 - 74
x
ln x 1 + T + ,
2
x
ln x 0 + nT ,
n
+
2 + 2 ,
Ǹ20 - 2 0 Ǹ1 - 2
+
2
+
,
Ǹ1 - 2
.
Ǹ4 2) 2
2 - 75
2 - 76
2 - 77
Etude du régime libre à l’aide de la transformation de Laplace2
Reprenons l’équation 2 - 1 et divisons - la par la masse m.
..
c x. ) k x + 0.
x) m
m
2 - 78
On peut aussi écrire :
..
.
x)2 0x) 20x + 0.
2.
Laplace Pierre Simon (1749-1827), mathématicien et astronome
français dont les travaux sont d’abord constitués par les applications de l’analyse mathématique à la mécanique céleste et à la théorie des probabilités. Membre de l’Académie des sciences et de
l’Académie française, pair et marquis sous la Restauration. Parmi
ses principaux ouvrages : l’Exposition du système du monde, la
Mécanique céleste et la Théorie analytique des probabilités
(1795-1812). Laplace s’est aussi occupé d’un grand nombre de
questions de physique : réfraction, barométrie, électricité, vitesse
du son, etc.
Extraits de “Encyclopédie des sciences”, Le Livre de Poche, 1998
2 - 79
45
Vibrations mécaniques
La transformée de Laplace de la relation précédente donne :
.
s 2X(s) - sx(0) - x(0))2 0[sX(s) - x(0)]) 20X(s) + 0,
2 - 80
s)2 0
1
x0 ) 2
v .
2
2
s )2 0s)0
s )2 0s) 20 0
2 - 81
X(s) +
A partir de cet instant, il faut distinguer le cas où t 1, correspondant à un
amortissement faible, et u 1 correspondant à un amortissement fort.
Mouvement avec amortissement fort
u1
Pour un amortissement fort, la transformée inverse donne :
ȡ
Ȣ
ƪ
x(t) + L - 1Y(s) + e - 0tȥx 0 cosh( 2 - 1) 2 0t )
)
v0
1
1
( 2 - 1)
1
2
sinh( 2 - 1) 2 0t
1
1
2
( 2 - 1) 0
sinh( 2 - 1)2 0 }.
ƫ
2 - 82
+1
Mouvement avec amortissement critique
Pour un amortissement critique, la transformée inverse donne :
x(t) + L - 1Y(s) + e - 0tƪ x 0(1) 0t))v 0t ƫ.
Mouvement avec amortissement faible
Pour
un
amortissement
ƪǒ
faible,
2 - 83
t1
la transformée inverse donne :
Ǔ
ƫ
v
x(t) + L - 1Y(s) + e - 0t x 0 cos( t)) 0 sin(t) ) 0 sin( t) . 2 - 84
Cette dernière relation peut s’écrire sous une forme plus agréable :
x(t) + Xe - 0t cos( t - Ȁ),
avec :
X+
Ǹ
x 20)
(v 0) 0x 0) 2
,
2
2 - 85
2 - 86
et :
tan Ȁ +
v 0) 0x 0
x 0 ,
2 - 87
ou encore :
x(t) + Xe - t sin( t) ),
2 - 88
46
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
avec :
tan
+
x 0 .
v 0) 0x 0
2 - 89
47
Vibrations mécaniques
Régime libre conservatif
Le régime libre décrit le comportement élémentaire après un lâcher initial,
sans fourniture extérieure d’énergie par une force extérieure, donc lorsque
F(t) = 0. Le régime libre est dit conservatif lorsque l’amortissement est nul.
ÉÉÉÉÉÉ
k
L0
k(y))
Position
d’équilibre statique
y
y
Figure 2 - 5.
..
mg
m
y
y
Masse isolée, régime libre conservatif
Reprenons l’équation différentielle de l’oscillateur selon figure :
..
my)ky + 0,
2 - 90
..
k y + 0,
y) m
2 - 91
..
y) 20y + 0.
2 - 92
Solution classique
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
y(t) + Ae pt,
.
y(t) + pAe pt,
..
y(t) + p 2Ae pt,
2 - 93
2 - 94
2 - 95
et par substitution dans l’équation différentielle de départ :
p 2Ae pt) 20Ae pt + 0,
2 - 96
ǒp 2)20ǓAe pt + 0.
2 - 97
L’équation caractéristique est :
p 2) 20 + 0.
2 - 98
Les racines de l’équation caractéristique sont :
p 1 + 0j et p2 + - 0j.
2 - 99
Il s’ensuit :
y(t) + AȀe 0jt)BȀe - 0jt.
2 - 100
48
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
avec :
e 0jt + cos( 0t))j sin( 0t),
2 - 101
e - 0jt + cos( 0t) - j sin(0t),
2 - 102
y(t) + AȀ cos( 0t))AȀj sin( 0t))BȀ cos( 0t) - BȀj sin( 0t),
2 - 103
y(t) + (AȀ)BȀ) cos( 0t))(AȀ- BȀ)j sin( 0t).
2 - 104
Posons :
AȀ + C 1)C 2 j,
2 - 105
BȀ + C 1 - C 2 j,
2 - 106
AȀ)BȀ + 2C 1,
2 - 107
AȀ- BȀ + 2C 2 j,
2 - 108
y(t) + 2C 1 cos( 0t) - 2C 2 sin( 0t).
2 - 109
La solution de l’équation différentielle devient :
y(t) + A cos( 0t))B sin( 0t),
2 - 110
.
y(t) + - 0A sin( 0t)) 0B cos( 0t),
2 - 111
où A et B sont des constantes qui peuvent être déterminées à l’aide des
conditions initiales.
Au temps t = 0 :
y 0 + A,
2 - 112
v 0 + 0B,
2 - 113
v
y(t) + y 0 cos( 0t)) 0 sin( 0t).
2 - 114
0
y(t)
Y
B
0t
A
0
Figure 2 - 6.
Simplification de la fonction harmonique
ǒ
Ǔ
y(t) + A cos( 0t))B sin( 0t) + A cos( 0t))B cos 0t - . 2 - 115
2
Les deux fonctions harmoniques sont égales aux projections sur un axe de
deux vecteurs A et B, tournant à la même vitesse angulaire 0. Leur somme
est donc égale à la projection du vecteur résultant de longueur Y et de
phase .
49
Vibrations mécaniques
Y + ǸA 2)B 2,
2 - 116
ǒǓ
2 - 117
+ arctan A ,
B
Y(t) + Y sin( 0t) ),
Y+
Ǹ ǒǓ
y 2o)
v0
0
ǒ
2 - 118
2
,
2 - 119
Ǔ
Y0
,
v oń 0
2 - 120
y(t) + Y sin( 0t) ).
2 - 121
+ arctan
On retrouve la relation 2 - 68 pour un taux d’amortissement nul.
Solution à l’aide de la transformation de Laplace
La transformée de Laplace de la relation 2 - 95 s’écrit sous la forme :
.
s 2Y(s) - sy(0) - y(0)) 20Y(s) + 0.
2 - 122
Pour des conditions initiales non nulles, on obtient :
s 2Y(s) - sy 0 - v 0) 20Y(s) + 0,
2 - 123
s y ) 1 v .
s 2) 20 0 s 2) 20 0
2 - 124
Y(s) +
La transformée inverse donne :
v
y(t) + L - 1Y(s) + y 0 cos(0t)) 0 sin( 0t).
0
2 - 125
Cette relation est identique à la relation 2 - 114.
Exemple 2-2
Une masse de 0.5 kg est suspendue à un ressort possédant une raideur de
300 N/m. Si la masse est déplacée de sa position d’équilibre statique de
0.01m, déterminer :
S l’équation différentielle de son mouvement ;
S la fréquence propre du système ;
S les lois du mouvement de cette masse ;
S l’énergie totale du système.
1
Système de coordonnées
Axe O,y
2
Masse isolée
50
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
L0
k(y))
Position
d’équilibre statique
y
..
mg
y
3
y
y
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne oscillatoire harmonique
4 Etude dynamique
S Equation du mouvement de la masse
[F y + ma y]
..
- k(y)))mg + my
De la position d’équilibre statique, nous pouvons écrire :
k + mg
Ce qui donne :
..
my)ky + 0
S Solution
Equation différentielle du mouvement de la masse.
..
my)ky + 0
Fréquence propre du système
0 +
f0 +
Nńm
Ǹmk + Ǹ300
+ 24.495 s - 1
0.5 kg
0
-1
+ 24.495 s + 3.898 Hz
2
2
Lois du mouvement de la masse
y(t) + Y sin( 0t) )
Y+
Ǹ ǒǓ
y 2o)
+ arctan
ǒ
v0
0
2
x0
v oń 0
+ Ǹ0.01 2 m 2)0 + 0.01 m
Ǔ
+ arctan(R) + 2
y(t) + 0.01 cos(24.495t) [m]
v(t) + - 0.245 sin(24.495t) [mńs]
a(t) + - 6 cos(24.495t) [mńs 2]
51
Vibrations mécaniques
Energie totale du système
L’énergie totale est constante et égale à une constante additive près, à
l’énergie potentielle élastique maximale.
E + 1 ky 2 + 1 @ 300 Nńm @ 0.01 2 m 2
2
2
E + 0.015 J
Frottement de Coulomb3
Dans ce chapitre, nous nous proposons de tenir compte du frottement de
Coulomb dans le cadre de l’étude du régime libre conservatif (en réalité il
n’est plus possible de parler de régime libre conservatif) de l’oscillateur élémentaire.
k
m, Figure 2 - 7.
1
x
Régime libre conservatif avec frottement de Coulomb
Système de coordonnées
Axes O,x,y
3.
Coulomb Charles Augustin (1736-1806), mécanicien, physicien et
officier français. Membre adjoint de la Société des sciences de
Montpellier en 1757. Il rentre à l’école du génie de Mézières en
1760, d’où il sort avec le grade de lieutenant. Il est chargé de la
construction du fort Bourbon en Martinique de 1764 à 1772 et, à son
retour en France, il sert aux quatre coins du pays jusqu’en 1781. Il
devient correspondant de Charles Bossut à l’Académie des sciences en 1773 pour la présentation de son mémoire : Sur une application des règles de maximis et de minimis à quelques problèmes de
statique relatifs à l’architecture. Premier prix de cette même Académie en 1777 pour son mémoire “sur la meilleure manière de fabriquer des aiguilles aimantées”. A la suite de sa théorie des frottements (1779), il est admis à l’Académie des sciences en 1781,
reçoit à nouveau le premier prix et publie sa Théorie des machines
simples en ayant égard au frottement de leurs parties et à la raideur
des cordages. Il publie ses principaux mémoires sur l’électricité et
le magnétisme de 1784 à 1789. En 1784, Coulomb est nommé
intendant des Eaux et Fontaines et inspecteur général de l’Instruction publique en 1802.
Extraits de “Encyclopédie des sciences”, Le Livre de Poche, 1998
52
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
2
Corps isolé
y
y
FN
kx
FN
..
x
Ff
kx
O
x
Ff
O
x
mg
mg
.
.
x
Figure 2 - 8.
3
..
x
x
Masse isolée, mouvement avant et arrière
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne varié
..
a x + x.
2 - 126
4 Etude dynamique
S Equations du mouvement
..
[F x + ma x] - kx- F f + mx,
2 - 127
[F y + ma y] F N - mg + 0,
2 - 128
avec
.
.
F f + F N sgn(x) + mg sgn(x).
2 - 129
L’équation différentielle du mouvement devient :
..
.
mx)mg sgn(x))kx + 0.
2 - 130
Il s’agit d’une équation différentielle non linéaire qui ne peut être résolue
directement. Pour la résoudre, il faut diviser le temps en deux parties correspondant au mouvement d’aller et de retour.
..
.
mx)kx + - mg sgn(x),
2 - 131
- F f mouvement aller
..
mx)kx + )F mouvement retour
2 - 132
f
Il s’agit d’une équation différentielle non homogène. La solution comprend
deux parties :
S solution homogène (régime libre, second membre nul) ;
S solution particulière (régime forcé).
La solution particulière est de la forme :
x p + C,
x p +#
2 - 133
mg
.
k
2 - 134
53
Vibrations mécaniques
Les solutions de l’équation différentielle deviennent :
mg
.
x(t) + A 1 sin( 0t))B 1 cos( 0t) x w 0,
k
mg
.
x t 0,
x(t) + A 2 sin( 0t))B 2 cos( 0t))
k
où A 1, A 2, B 1 et B 2 dépendent des conditions initiales.
2 - 135
2 - 136
Considérons un déplacement initial vers la droite de x 0 et une vitesse initiale
v 0 nulle. Dès que la masse est lâchée, elle part vers la gauche. Ainsi :
mg
,
k
.
x(t) + 0A 2 cos( 0t) - 0B 2 sin( 0t),
2 - 138
0 + 0A 2 .
2 - 139
x(0) + B 2)
2 - 137
Finalement :
ǒ
Ǔ
mg
mg
cos( 0t))
,
k
k
mg
.
x(t) + - 0 x 0 sin( 0t).
k
.
La direction du mouvement change lorsque x + 0.
x(t) + x 0 -
ǒ
Ǔ
La vitesse est nulle lorsque :
t 1 + .
0
2 - 140
2 - 141
2 - 142
A cet instant, le déplacement est égal à :
mg
x(t 1) + - x 0)2
,
2 - 143
k
et à partir de là, le déplacement s’effectue vers la droite si la force du ressort
est supérieure à la force de frottement. Le mouvement de la masse est défini
par :
mg
x(t) + A 1 sin( 0t))B 1 cos( 0t) .
2 - 144
k
Lorsque
ǒ
x(t 1) + - x 0)2
Ǔ
mg
,
k
2 - 145
et
.
x(t 1) + 0,
2 - 146
A 1 et B 1 deviennent :
ǒ
Ǔ
mg
mg
+ - B1 ,
k
k
mg
B1 + x0 - 3
,
k
- x 0)2
2 - 147
2 - 148
54
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
0 + - 0A 1,
2 - 149
A 1 + 0.
2 - 150
Finalement :
ǒ
Ǔ
mg
mg
cos( 0t) ,
k
k
mg
.
x(t) + - 0 x 0 - 3
sin( 0t).
k
x(t) + x 0 - 3
ǒ
2 - 151
Ǔ
ǒx - 4 mg
Ǔ
k
x0
0
2 - 152
mg
k
0
ǒ
- x0 - 2
Figure 2 - 9.
mg
k
Ǔ
Réponse
libre
de
avec frottement de Coulomb
pente
mg
-2
k 0
l’oscillateur
élémentaire
La vitesse devient nulle lorsque :
t 2 + 2
,
0
2 - 153
et la masse change de nouveau de sens.
A cet instant, le déplacement est égal à :
mg
x(t 2) + x 0 - 4
.
2 - 154
k
On remarque que l’amplitude décroît linéairement. La pente de la droite est
égale à :
mg
-2
.
2 - 155
k 0
Le mouvement s’arrête dans une position d’équilibre plus petite que la position initiale. La fréquence d’oscillation est identique à celle de l’oscillateur élémentaire.
Vibrations mécaniques
55
Exemple 2-3
Ecrire un fichier de fonction MATLAB permettant de tracer la réponse de l’oscillateur élémentaire soumis à un déplacement et/ou à une vitesse initiale.
Les grandeurs d’entrée sont la masse, le coefficient d’amortissement visqueux linéaire, la raideur, le déplacement initial, la vitesse initiale et le temps
de calcul ou sous une forme non dimensionnelle, le taux d’amortissement,
la pulsation propre, le déplacement initial, la vitesse initiale et le temps de calcul.
Fichier vibr1_1.m
function vibr1_1(m,c,k,x0,v0,tf)
% vibr1_1 Régime libre de l’oscillateur élémentaire.
% Ce programme est repris de D.J. Inman, ”Engineering Vibration”,
% Prentice Hall, 1996
% vibr1_1(m,c,k,x0,v0,tf)dessine la réponse de l’oscillateur élémentaire.
% Les arguments x0 et v0 représentent les conditions initiales
% et tf représente le temps total de calcul.
% Le système est décrit par sa masse m, son amortissement c et sa...
% raideur k.
% vibr1_1(zeta,w,x0,v0,tf) dessine la réponse de l’oscillateur élémentaire.
% Les arguments x0 et v0 représentent les conditions initiales
% et tf représente le temps total de calcul.
% Le système est sous une forme non dimensionnelle où zeta représente...
% le taux d’amortissement et w la pulsation propre en rad/s.
% Exemple: Réponse libre pour m=1, k=2, c=.01, x0=1, v0=0 pour 100 sec.
% Entrer la commande suivante après le prompt
% vibr1_1(1,.01,2,1,0,100)
%
clc
figure
uicontrol(’style’,’pushbutton’,’units’,’normal’,’position’,...
[.91 .95 .075 .05],’string’,’Print’,’callback’,’print’)
uicontrol(’style’,’pushbutton’,’units’,’normal’,’position’,...
[.91 .89 .075 .05],’string’,’Close’,’callback’,’delete(gcf)’)
% Cette boucle détermine le format de l’entrée.
if nargin==5
z=m;w=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w^2;
end
w=sqrt(k/m);
z=c/2/w/m;%(2-10)
wd=w*sqrt(1-z^2);%(2-50)
fprintf(’La pulsation propre w est
%.3g rad/s.\n’,w);
fprintf(’Le taux d’amortissement xi est %.3g.\n’,z);
fprintf(’La pseudo pulsation est wd
%.3g rad/s.\n \n’,wd);
t=0:tf/1000:tf;
if z < 1
A=sqrt(((v0+z*w*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);%(2-69)
phi=atan2(x0*wd,v0+z*w*x0);%(2-70)
x=A*exp(-z*w*t).*sin(wd*t+phi);%(2-68)
56
Régime libre de l’oscillateur élémentaire
disp(’x(t)=A*exp(-xi*w*t)*sin(wd*t+phi)’)
fprintf(’A= %.3g\n’,A);
fprintf(’phi= %.3g\n’,phi);
elseif z==1
a1=x0;%(2-40)
a2=v0+w*x0;%(2-41)
disp(’x=(a1+a2*t).*exp(-w*t)’)
fprintf(’a1= %.3g\n’,a1);
fprintf(’a2= %.3g\n’,a2);
x=(a1+a2*t).*exp(-w*t);%(2-36)
else
a1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1);%(2-32)
a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1);%(2-33)
disp(’x=exp(-xi*w*t)*(a1*exp(-w*sqrt(xi^2-1)*t)+,...
a2*exp(w*sqrt(z^2-1)*t))’)
fprintf(’a1= %.3g\n’,a1);
fprintf(’a2= %.3g\n’,a2);
x=exp(-z*w*t).*(a1*exp(-w*sqrt(z^2-1)*t)+,...
a2*exp(w*sqrt(z^2-1)*t));%(2-31)
end
plot(t,x,’g-’)
xlabel(’Temps’)
ylabel(’Déplacement’)
title(’Déplacement par rapport au temps’)
%
3 Régime permanent harmonique
Le régime forcé est le comportement de l’oscillateur soumis à l’action d’une
force extérieure.
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
k
c
Figure 3 - 1.
F(t)
m
x
Régime forcé de l’oscillateur élémentaire
Equation différentielle du mouvement
L’équation différentielle du mouvement est la suivante :
..
.
mx)cx)kx + F(t).
3-1
Le régime forcé correspond à la solution complète de l’équation différentielle
précédente. Il est donc la somme de la solution particulière x p(t) de l’équation
avec second membre et de la solution générale x h(t) de l’équation sans
second membre.
x(t) + x h(t))x p(t).
3-2
58
Régime permanent harmonique
Régime permanent harmonique
Le régime permanent harmonique correspond au cas spécial du régime
forcé où la force d’excitation est harmonique.
..
.
mx)cx)kx + F 0 sin( f t).
3-3
où
F 0 représente l’amplitude de la force excitatrice et
f sa pulsation.
Pour résoudre cette équation, il suffit d’ajouter à la solution de l’équation différentielle, sans second membre, la solution particulière due à la force excitatrice.
La solution particulière est de la forme :
x p + A 1 sin( f t))A 2 cos( f t).
3-4
Ce qui donne pour la vitesse et l’accélération :
.
x p + fA1 cos( f t) - fA 2 sin( f t),
..
x p + - 2fA1 sin( f t) - 2fA 2 cos( f t).
3-5
3-6
En substituant ces deux équations dans l’équation différentielle de départ,
on obtient :
ǒk- m2f ǓǒA1 sin(f t))A2 cos(f t)Ǔ)
c f(A 1 cos( f t) - A 2 sin( f t)) + F 0 sin( f t),
3-7
ǒǒk- m2f ǓA1 - cf A2Ǔ sin(f t))
ǒcfA1)ǒk- m2f ǓA2Ǔ cos(ft) + F 0 sin(ft).
3-8
Cette expression doit être satisfaite, quelle que soit la valeur du temps.
ǒk- m2f ǓA1 - cf A2 + F 0,
3-9
c f A 1)ǒk- m 2f Ǔ A 2 + 0.
3 - 10
Divisons les deux équations précédentes par k et introduisons les relations
suivantes :
F0
k
f
r+
0
X0 +
+ cc +
c
c
2m 0
Déplacement statique,
3 - 11
Pulsation relative,
3 - 12
Taux d’amortissement,
3 - 13
59
Vibrations mécaniques
ǒ1 - r 2)A1 - 2r A2 + X0,
3 - 14
2r A 1)ǒ1 - r 2ǓA 2 + 0,
3 - 15
A1 +
A2 +
ǒ1 - r2ǓX 0
,
3 - 16
,
3 - 17
ǒ1 - r 2)2)(2r ) 2
- 2r X0
ǒ1 - r 2Ǔ2)(2r ) 2
xp + X0
1
2
ǒ1 - r 2Ǔ )(2r ) 2
ǒǒ1 - r 2Ǔ sin(f t) - (2r ) cos(f t)Ǔ,
3 - 18
qui peut être écrite :
xp + X0
où
1
Ǹǒ1 - r2Ǔ2)(2r )2
sin( f t - ),
3 - 19
représente le déphasage défini par :
+ arctan
ǒ12r- r Ǔ,
3 - 20
2
x p + X 0Rd sin( f t - ).
3 - 21
R d est appelé le facteur d’amplification dynamique.
Rd +
1
Ǹǒ1 - r2Ǔ )(2r )2
2
.
3 - 22
L’élongation se compose de deux mouvements :
S un mouvement transitoire amorti ;
S un mouvement harmonique qui persiste sous l’effet de la force perturbatrice.
L’amplitude de l’oscillation forcée est égale à :
R + X 0R d.
3 - 23
60
Régime permanent harmonique
5
Rd
+0
4
3
+ 0, 2
2
1
+ 0, 75
+1
0
0
1
2
3
4
r
3
4
r
180
+ 0, 75
+ 0, 07
+ 0, 2
90
+1
+0
0
0
Figure 3 - 2.
1
2
Amplitude et déphasage du régime permanent harmonique
Le déphasage est compris entre 0_ et - 90_ lorsque r < 1.
Le déphasage est compris entre - 90_ et - 180_ lorsque r > 1.
61
Vibrations mécaniques
On appelle résonance d’amplitude la valeur de la pulsation de la force excitatrice pour laquelle le facteur d’amplification dynamique est maximal.
Le facteur d’amplification dynamique est maximal lorsque :
r + Ǹ1 - 2 2,
3 - 24
2 + Ǹ1 - 2 2 0.
3 - 25
A cette valeur de la pulsation relative correspond le facteur d’amplification
dynamique maximal :
R dmax +
1
.
3 - 26
2 Ǹ1 - 2
L’oscillateur élémentaire linéaire possède quatre pulsations remarquables
dont trois nous sont déjà connues ( 0, , 2) . Il existe aussi une pulsation
de résonance de vitesse et une pulsation de résonance d’accélération.
La pulsation de résonance de vitesse est égale à la pulsation propre de l’oscillateur.
La pulsation de résonance d’accélération est égale à :
0
3 +
.
Ǹ1 - 2 2
3 - 27
Elles sont classées dans l’ordre suivant :
2 t t 0 t 3.
Vibrations forcées avec amortissement fort
3 - 28
u1
x + x h ) x p,
3 - 29
x p + X 0Rd sin( f t - ),
3 - 30
x h + A 1 e p 1t ) A 2 e p 2t ,
3 - 31
x + A 1e p1t ) A 2e p 2t ) X 0R d sin( f t - ).
3 - 32
avec :
Vibrations forcées avec amortissement critique
+1
x + x h ) x p,
3 - 33
x p + X 0Rd sin( f t - ),
3 - 34
x h + (A 1)A2t)e - 0t,
3 - 35
x + (A 1)A 2t)e - 0t ) X 0R d sin( f t - ).
3 - 36
avec :
62
Régime permanent harmonique
Vibrations forcées avec amortissement faible
t1
x + x h ) x p,
3 - 37
x p + X 0Rd sin( f t - ),
3 - 38
x h + Xe - t sin( t) ),
3 - 39
x + Xe - t sin( t) ) ) X 0R d sin( f t - ).
3 - 40
avec :
T
X 0R d
Tf
Figure 3 - 3.
Passage du régime transitoire au régime permanent
Vibrations forcées sans amortissement
L’équation du mouvement de la masse de l’oscillateur élémentaire devient :
..
mx)kx + F 0 sin( f t).
3 - 41
La solution particulière est de la forme :
x p + A 1 sin( f t))A 2 cos( f t).
3 - 42
Ce qui donne pour la vitesse et l’accélération :
.
x p + f A1 cos( f t) - f A 2 sin( f t),
..
x p + - 2fA1 sin( f t) - 2fA 2 cos( f t).
3 - 43
3 - 44
63
Vibrations mécaniques
En substituant ces deux équations dans l’équation différentielle de départ,
on obtient :
ǒk- m2f ǓA1 sin(f t))
ǒk- m2f Ǔ A2 cos(f t) + F 0 sin(f t).
3 - 45
On en déduit :
A1 +
F0
,
k- m 2f
3 - 46
A 2 + 0,
et la solution particulière devient :
3 - 47
xp +
F0
sin( f t),
k- m 2f
3 - 48
xp +
X0
sin( f t),
1 - r2
3 - 49
ou
où :
F0
,
k
r + f.
0
X0 +
3 - 50
3 - 51
La réponse en régime permanent peut aussi s’écrire sous la forme :
x p + X 0Rd sin( f t),
3 - 52
où R d est appelé le facteur d’amplification dynamique.
10
9
Ť R dŤ
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
Figure 3 - 4.
1
2
Facteur d’amplification dynamique
3
4
r
64
Régime permanent harmonique
Le facteur d’amplification dynamique approche l’infini lorsque r = 1. Cela
s’appelle la résonance.
La solution complète s’obtient en sommant la réponse en régime transitoire
et la réponse en régime permanent.
x(t) + x h(t))x p(t) + X sin(0t) ))X 0R d sin( f t),
3 - 53
x(t) + A 1 cos( 0t))A 2 sin( 0 t))X 0R d sin( f t).
3 - 54
ou :
Les constantes X et ou A 1 et A 2 peuvent être déterminées à l’aide des
.
conditions initiales. Pour x(t + 0) + x 0 et x(t + 0) + v 0 :
ǒ
Ǔ
v
x(t) + x 0 cos( 0t)) 0 - r X0R d sin( 0t))X 0R d sin( f t).
0
3 - 55
Résonance et battement
Examinons le cas où la pulsation d’excitation est très proche de la pulsation
propre de l’oscillateur élémentaire non amorti. Si la pulsation relative est
égale à 1, on voit apparaître le phénomène de résonance tandis que si elle
est proche de 1, mais pas égale à 1, on remarque un phénomène de battement.
Résonance
Si la pulsation d’excitation est égale à la pulsation propre de l’oscillateur élémentaire non amorti, le déplacement de la masse est infini selon la relation
3 - 49. Cela n’est physiquement pas possible car l’augmentation du déplacement prend un certain temps. Mathématiquement, la résonance apparaît
lorsque la fréquence d’excitation est égale à l’une des parties imaginaires
des racines de l’équation caractéristique. Dans ce cas, le choix de la solution
particulière x p(t) + A sin( f t) n’est pas valide car c’est aussi la solution de
l’équation sans second membre. L’équation 3 - 49 ne représente pas la
réponse en régime permanent à la résonnance car un déplacement infini ne
peut pas être atteint instantanément. Prenons
x P(t) + tA cos( f t),
3 - 56
comme forme générale de la solution particulière.
Les dérivées successives deviennent :
.
x P(t) + A cos( f t) - f tA sin( f t),
..
x P(t) + - 2 f A sin( f t) - 2f t A cos( f t).
3 - 57
3 - 58
Remplaçons ces relations dans l’équation différentielle initiale :
- 2m f A sin( ft) - m 2f tA cos( f t))ktA cos( f t) + F 0 sin( f t),
pour cos( f t) + 0,
A+ -
F0
.
2m f
3 - 59
65
Vibrations mécaniques
La solution correcte de l’équation différentielle est :
0tX 0
cos( 0t).
3 - 60
2
Le régime permanent à la résonance est égal au produit d’une fonction harmonique par une fonction qui dépend du temps. Le déplacement est oscillatoire avec une amplitude croissante.
x P(t) + -
100
x P(t)
80
60
40
20
0
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100
0
Figure 3 - 5.
1
2
3
4
t
Résonance
A la résonance, la solution complète de l’équation différentielle du mouvement de la masse devient
x(t) + X sin( 0t) ) -
0tX 0
cos( 0t),
2
3 - 61
ou sous la forme alternative
x(t) + A 1 cos( 0t))A 2 sin( 0t) -
0tX 0
cos( 0t),
2
3 - 62
avec :
A 1 + x 0,
3 - 63
v
X
A 2 + 0 ) 0 .
2
0
3 - 64
Battement
Le phénomène de battement intervient lorsque la fréquence d’excitation est
proche de la fréquence propre. Reprenons l’équation 3 - 55 :
ǒ
Ǔ
v
x(t) + x 0 cos( 0t) ) 0 - rX 0R d sin( 0t) ) X 0R d sin(f t).
0
3 - 65
66
Régime permanent harmonique
Si les conditions initiales sont nulles :
x(t) + X 0R dǒsin(ft) - r sin( 0t)Ǔ.
3 - 66
La définition du facteur d’amplification dynamique étant :
20
20
1
Rd +
+ 2 2+
.
( 0) f)( 0 - f)
1 - r2
0 - f
3 - 67
Soit
0 - f
.
3 - 68
2
La constante est très petite car f est très proche de 0. On peut aussi
écrire que
+
0) f [ 20.
3 - 69
Ainsi le facteur d’amplification dynamique est égal à
Rd + 0,
4
et la relation 3 - 66 devient :
x(t) + X 0 0 ǒsin( f t) - sin( 0t)Ǔ.
4
Comme f et 0 sont très proches et que
() )
( - )
sin() - sin( ) + 2 cos
sin
,
2
2
x(t) + - X 0 0 cos( f t) sin(t).
2
ǒ
3 - 70
3 - 71
Ǔ
3 - 72
1
sin(t)
x(t)
0
2
f
2
-1
0
Figure 3 - 6.
20
40
Battement
60
80
100 120 140 160
t
67
Vibrations mécaniques
Force transmise
Calculons la force transmise à l’appui dans le cas du régime forcé harmonique de l’oscillateur élémentaire. Reprenons l’équation 3 - 19 et appliquons-la
au problème de la figure ci-dessous.
xp + X0
1
Ǹǒ1 - r2Ǔ )(2r )2
2
sin( f t - ).
3 - 73
L’équation précédente et le diagramme de la page 60 montrent qu’en augmentant la raideur du ressort et le coefficient d’amortissement visqueux
linéaire, on diminue l’amplitude du mouvement. Par contre l’augmentation de
la raideur du ressort et du coefficient d’amortissement visqueux linéaire a
pour effet d’augmenter la force transmise à l’appui. Il faudra choisir correctement les valeur de k et de c afin de diminuer cette force.
Considérons l’état permanent du système selon figure :
kx p kx p
F(t)
x
m
.
.
cx p cx p
Figure 3 - 7.
Force transmise à l’appui
Equation du mouvement :
.
F t + kx p ) cx p,
3 - 74
où F t représente la force transmise à l’appui.
x p + X 0Rd sin( f t - ),
.
3 - 75
x p + fX0R d cos( f t - ),
3 - 76
F t + kX 0Rd sin( f t - ))c f X 0R d cos( f t - ),
3 - 77
F t + kX 0Rd sin( f t - ))c fX 0R d sin( f t - ) ),
2
3 - 78
F t + X 0Rd Ǹk 2)(c f) 2 sin( f t - ),
3 - 79
où :
+
-
t,
t + arctan
Comme X 0 +
F0
:
k
3 - 80
ǒck Ǔ + arc tan(2r ).
f
3 - 81
68
Régime permanent harmonique
F t + F 0Rd Ǹ1)(2r ) 2 sin( f t - ),
3 - 82
F t + F 0Rd t sin( f t - ),
3 - 83
où :
R d + R d Ǹ1)(2r ) 2 +
t
Ǹ1)(2r ) 2
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
.
3 - 84
R dt est appelé le facteur de transmissibilité.
5
R dt
+0
4
3
+ 0, 2
2
+1
1
+1
+ 0, 75
Ǹ2
0
0
Figure 3 - 8.
1
2
Facteur de transmissibilité
3
4
r
69
Vibrations mécaniques
Exemple 3-1
Un oscillateur élémentaire se compose d’une masse m = 10 kg, d’un ressort
de raideur k = 4000 N/m et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement
visqueux linéaire c = 40 Ns/m. La force excitatrice F0 = 60 N et sa pulsation
f + 40s - 1. Déterminer la loi du mouvement de cette masse. Déterminer le
facteur de transmissibilité et l’amplitude de la force transmise à l’appui.
1
Système de coordonnées
Axes O,x
2
Etude dynamique
Pulsation propre de l’oscillateur
0 +
Nńm
Ǹmk + Ǹ4000
+ 20 s - 1
10 kg
Pulsation relative
-1
r + f + 40 s - 1 + 2
0
20 s
Coefficient d’amortissement
40 Nsńm
+ c +
+ 2 s -1
2m
2 @ 10kg
Coefficient d’amortissement visqueux critique
c c + 2 Ǹkm + 2 Ǹ4000 Nńm @ 10 kg + 400 Nsńm
Taux d’amortissement
40 Nsńm
+ 0.1
c
400 Nsńm
Il s’agit d’un amortissement faible.
Loi du mouvement de la masse
+ cc +
x + Xe - t(sin t) ))X 0R d sin( f t - )
Pseudo-pulsation
+ 0 Ǹ1 - 2 + 20s - 1 Ǹ1 - 0.1 2 + 19.9 s - 1
Déplacement statique sous l’effet de la force extérieure
X0 +
F0
60 N + 0.015m
+
k
4000 Nńm
Facteur d’amplification dynamique
1
R +
d
Rd +
Ǹǒ1 - r2Ǔ2)(2r )2
1
+ 0.33
Ǹ(1 - 2 2)2)(2 @ 2 @ 0.1) 2
70
Régime permanent harmonique
Déphasage
+ arctan
ǒ12r- r Ǔ
2
+ arctan 2 @ 2 @20.1 + - 0.13225 rad
1-2
La loi du mouvement peut s’écrire :
x + Xe - t sin( t) ))X 0R d sin( f t - )
x + Xe *2t sin(19.9t) ))0.004956 sin(40t)0.13255) [m]
Les constantes X et
seront déterminées à partir des conditions initiales.
Facteur de transmissibilité
R d + R d Ǹ1)(2r ) 2 +
t
R dt +
Ǹ1)(2r ) 2
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
Ǹ1)(2 @ 2 @ 0.1) 2
Ǹ(1 - 2 2) 2)(2 @ 2 @ 0.1) 2
+ 0.36
Force maximale transmise à l’appui
F t + F 0Rd t + 60 N @ 0.36 + 21.6 N
y
Rotor non équilibré
Le système se compose d’un rotor dont la
masse n’est pas répartie uniformément et
tournant à la vitesse angulaire f. La masse
totale du rotor est M. Le balourd sera représenté par une masse m placée au rayon e.
On admet que les vibrations ont lieu suivant
l’axe vertical.
1
Système d’axe
e
m
f
M
k
c
Axe O,y
Figure 3 - 9.
Rotor non équilibré
71
Vibrations mécaniques
2
Corps isolé
y
y
..
ym
..
y
f t
O
.
O
mg
cy
m
e
y
M-m
ym
ky
(M−m)g
Figure 3 - 10. Corps isolé
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement circulaire
y m + y)e sin( f t),
.
.
..
..
3 - 85
y m + y) f e cos( f t),
3 - 86
y m + y - 2f e sin( f t).
4
3 - 87
Etude dynamique
[F y + ma y]
.
..
..
- cy - ky + (M - m)y)my m,
..
3 - 88
.
My)cy)ky + me 2f sin( f t).
3 - 89
Relation semblable à :
..
.
my)cy)ky + F 0 sin( f t),
3 - 90
F 0 + me 2f ,
3 - 91
où e 2f représente l’accélération normale de la masse m.
Pulsation propre du système
0 +
ǸMk .
3 - 92
Solution particulière de l’équation différentielle
y p(t) + Y 0
1
Ǹǒ1 - r2Ǔ2)(2r )2
sin( f t - ).
3 - 93
ǒ Ǔ
3 - 94
Déplacement statique
Y0 +
me 2f
me 2
F0
+
+ 2 f + m e r 2.
k
k
M
M
0
72
Régime permanent harmonique
Et par substitution dans la relation précédente :
y p(t) +
(meńM)r2
Ǹǒ1 - r2Ǔ2)(2r )2
sin( f t - ),
3 - 95
qui peut être écrite sous la forme compacte :
y p(t) + me R dr sin( f t - ),
M
3 - 96
où :
R dr +
r2
.
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
3 - 97
Force transmise à l’appui
.
F t + ky p)cyp ,
3 - 98
avec :
y p(t) + me R dr sin( f t - ),
M
.
y p(t) + f me R d r cos( f t - ).
M
Et par substitution :
3 - 99
3 - 100
ǒ Ǔ
3 - 101
-
3 - 102
F t + me R dr Ǹk 2)(c f) 2 sin(f t - ),
M
où :
+
t,
t + arctan
ǒck Ǔ + arc tan(2r ),
f
3 - 103
et comme k/M = 20
F t + me 20Rd t sin( f t - ),
3 - 104
où :
R dt + R dr Ǹ1)(2r ) 2 +
r 2 Ǹ1)(2r ) 2
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
.
3 - 105
73
Vibrations mécaniques
Vibrations engendrées par l’appui
Dans certaines situations, les vibrations du système sont dues au mouvement imposé par l’appui. C’est le cas pour des systèmes tels que les avions,
les voitures et les bateaux. Le mouvement est supposé harmonique.
y a + Y 0 sin( f t).
3 - 106
y a + Y 0 sin( f t)
k
c
supposons y >> ya
y
Figure 3 - 11. Vibrations engendrées par l’appui
1
Système d’axe
Axe O,y
2
Corps isolé
.
.
c(y−y a)
k(y−y a)
O
O
..
y
mg
y
y
Figure 3 - 12. Corps isolé
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne
4
Etude dynamique
[F y + ma y]
.
.
..
- k(y- y a) - c(y - y a) + my,
3 - 107
relation qui peut s’écrire sous la forme :
..
.
.
my)cy)ky + ky a)cy a ,
3 - 108
74
Régime permanent harmonique
et à partir de la loi du mouvement de la base :
..
.
my)cy)ky + kY 0 sin( f t))c fY 0 cos( f t),
3 - 109
kY 0 sin( f t))c fY 0 cos( f t) + Y 0 Ǹk 2)(c f) 2 sin( f t) b),
3 - 110
avec :
où le déphasage est égal à :
ǒck Ǔ + arctan(2r ).
3 - 111
my)cy)ky + Y 0k Ǹ1)(2r ) 2 sin( f t) b).
3 - 112
b + arctan
f
Finalement :
..
.
Cette relation est semblable à celle du régime forcé harmonique :
y p(t) + Y 0
Ǹ1)(2r ) 2
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
sin( f t - ) b),
3 - 113
avec :
+ arctan
ǒ12r- r Ǔ.
3 - 114
2
La loi du mouvement de la masse peut être écrite sous la forme simplifiée
suivante :
y p(t) + Y 0Rd sin( f t - ) b),
3 - 115
où R d est appelé le facteur d’amplification dynamique.
Dans ce cas :
Rd +
Ǹ1)(2r ) 2
Ǹ(1 - r 2)2)(2r ) 2
.
3 - 116
Force transmise à l’appui
.
.
c(y−y a)
k(y−y a)
y u ya
y
Figure 3 - 13. Force transmise à l’appui
..
[F y + ma y] - F t + my,
.
.
F t + k(y- y a) ) c(y - y a),
..
F t + - my.
3 - 117
3 - 118
3 - 119
75
Vibrations mécaniques
A l’état permanent :
F t + mY 0Rd 2f sin( f t - ) b)
+ k2 Y 0R d 2f sin( f t - ) b),
0
F t + Y 0kRdr 2 sin( f t - ) b),
F t + Y 0k
r 2 Ǹ1)(2r ) 2
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
sin( f t - ) b).
3 - 120
3 - 121
3 - 122
3 - 123
Exemple 3-2
Créer un programme Matlab permettant de calculer et de représenter graphiquement le facteur d’amplification dynamique et le facteur de transmissibilité
de l’oscillateur élémentaire soumis à un mouvement sinusoïdal de l’appui
pour des valeurs de taux d’amortissement quelconques et pour des valeurs
de pulsations relatives comprises entre 0 et 2. On doit pouvoir créer un vecteur xi=[xi1,xi2,...,xin] et lancer le programme principal à l’aide de la commande Hmvtappui.
Fonction Hmvtappui.m
%Créer un vecteur xi=[xi1,xi2,xi3,...,xin]
%ne comprenant pas de valeurs nulles
%Donner la commande Hmvtappui(xi)
function Hmvtappui(xi);
clf
%efface la fenêtre graphique courante
for i=1:length(xi)
%compteur du nombre de valeurs xi
[r,Rd]=factad(xi(i));
%calcul du facteur d’amplificatio dynamique
subplot(2,1,1)
plot(r,Rd)
%représentation graphique de la fonction Rd=Rd(r,xi)
hold on
grid
title(’Facteur d’’amplification dynamique’)
ylabel(’Rd’)
Rdt=r.^2.*Rd;
%calcul du facteur de transmissibilité
subplot(2,1,2)
plot(r,Rdt)
%représentation graphique de la fonction Rdt=Rdt(r,xi)
hold on
grid
title(’Facteur de transmissibilité’)
xlabel(’r’)
ylabel(’r^2*Rd’)
end
Fonction factad.m
function [r,Rd]=factad(xi);
%calcul du facteur d’amplification
%dynamique de l’oscillateur élémentaire sousmis à un mouvement
%oscillatoire harmonique de l’appui
r=0:0.01:2;
Rd=sqrt((1+(2*r*xi).^2)./((1-r.^2).^2+(2*r*xi).^2));
%fin
76
Régime permanent harmonique
Mouvement relatif
L’étude du mouvement relatif de la masse par rapport au support est très utile
dans le cadre de la conception d’instruments de mesure. Le déplacement
relatif peut être exprimé sous la forme :
y rel + y- y a.
S Vitesse relative
.
. .
y rel + y - y a.
S Accélération relative
..
.. ..
y rel + y - y a.
3 - 124
3 - 125
3 - 126
En introduisant les relations précédentes dans la relation 3 - 107, on obtient :
..
..
.
m(y rel)y a) + - kyrel - cy rel ,
3 - 127
qui peut s’écrire sous la forme :
..
.
..
.
..
my rel)cy rel)ky rel + - my a ,
my rel)cy rel)ky rel + mY 0 2f sin( f t).
3 - 128
3 - 129
La solution particulière de cette équation est :
m 2f ńk
y rel + Y 0
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
sin( f t - ),
3 - 130
y rel + Y 0
r2
sin( f t - ),
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
3 - 131
y rel + Y 0 r 2R d sin( f t - ),
3 - 132
où :
+ arctan
ǒ12r- r Ǔ.
2
3 - 133
77
Vibrations mécaniques
Exemple 3-3
Une masse sismique m est montée dans un boîtier qui subit un déplacement
harmonique x a + x sin( f t). La masse est reliée au boîtier de chaque côté,
par un ressort de raideur kń2. Déterminer l’expression du facteur d’amplification dynamique relatif x relńx .
kń2
xa
m
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
kń2
x rel
1
Système de coordonnées
Axe O,x
2
Masse sismique isolée
k
m
xa
x rel
x
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne varié
Mouvement relatif de la masse : x rel + x- x a
4
Etude dynamique
Equation du mouvement
..
- k(x- x a) + mx
..
mx)kx + kx a
x rel + x- x a
..
..
..
x rel + x - x a
..
..
m(x rel)x a))k(x rel)x a) + kx a
..
..
mx rel)kx rel + - mxa
..
mx rel)kx rel + m2f x sin( f t)
Cette dernière relation est de la forme :
..
mx)kx + F 0 sin( f t)
x
78
Régime permanent harmonique
La solution est :
x p + X 0Rd sin( ft)
x rel +
m 2f x
R d sin( f t) + r 2R dx sin( f t)
k
Facteur d’amplification dynamique relatif :
x
2
R d + xrel + r 2R d + r 2
rel
1-r
Instruments de mesurei
Nous venons d’étudier les lois du mouvement d’un système à un degré de
liberté soumis au mouvement de son appui. L’équation différentielle peut être
exprimée en fonction du mouvement relatif de la masse par rapport à l’appui
oscillant. La loi du mouvement relatif peut s’exprimer par rapport à la pulsation relative r et au taux d’amortissement y rel + Y 0
r2
sin( f t - ),
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
3 - 134
où Y 0 représente l’amplitude du mouvement de l’appui, f la pulsation et
le déphasage.
Le mouvement relatif peut s’exprimer sous la forme :
y rel + Y 0Rd r sin( f t - ),
3 - 135
y rel + Y 0r2R d sin( f t - ),
3 - 136
ou
où les facteurs d’amplification dynamique sont :
R dr +
r2
,
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
3 - 137
Rd +
1
.
Ǹ(1 - r 2)2)(2r ) 2
3 - 138
79
Vibrations mécaniques
5
R dr
+0
4
3
2
+ 0, 2
1
+ 0, 75
+1
0
0
1
2
3
4
r
3
4
r
180
+ 0, 75
+ 0, 07
+ 0, 2
90
+1
+0
0
0
1
2
Figure 3 - 14. Facteur d’amplification dynamique
80
Régime permanent harmonique
Mesure du déplacement
Pour que la mesure soit précise, il faut que le facteur d’amplification dynamique corresponde à :
R dr +
r2
[ 1.
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
3 - 139
Le mouvement relatif s’exprime de la façon suivante :
y rel [ Y 0 sin( f t - ).
3 - 140
Ainsi l’amplitude du mouvement relatif est environ la même que celle du mouvement perturbateur.
y
y rel
m
k
c
y a + Y 0 sin( f t)
pièce à mesurer
Figure 3 - 15. Mesure du déplacement
D’après la figure ci-dessous, cette condition est satisfaite si la pulsation relative est plus grande que 3. C’est le cas lorsque la pulsation propre de l’instrument de mesure est plus petite que celle du mouvement d’excitation. La pulsation propre peut être diminuée en augmentant la masse de l’instrument de
mesure ou en diminuant la raideur du ressort. Le coefficient d’amortissement
visqueux linéaire va déterminer le domaine d’application de l’instrument. Il
est recommandé de travailler avec un taux d’amortissement + 0.7.
R dr 1,2
+ 0.5
1,1
+ 0.6
1,0
+ 0, 7
+ 0.8
0,9
0,8
0,7
0,6
1
2
3
4
5
6
r
Figure 3 - 16. Facteur d’amplification dynamique (vue partielle de la figure 3 - 14.)
81
Vibrations mécaniques
Exemple 3-4
Un appareil de mesure de déplacement possède une fréquence propre de
5.5 Hz. Un essai en régime libre a montré que le décrément logarithmique
était de 4.71. Cet instrument est utilisé pour mesurer l’amplitude des vibrations d’une machine. Lors d’une mesure, le déplacement total de la machine
suivant la direction de mesure est de 85 mm et la fréquence de 4 Hz. Déterminer la valeur exacte du déplacement de la machine et calculer qu’elle devrait
être la fréquence propre de l’instrument pour que l’erreur de mesure ne soit
pas plus grande que 5%.
1
Système de coordonnées
Axe O,x
2
Etude dynamique
Pulsation relative
r + + f + 4 + 0.7273
5.5
f
0
0
Taux d’amortissement
+ cc
c
et selon la relation 2 - 77
4.71
+
+
+ 0.6
Ǹ4 2) 2
Ǹ4 2)4.71 2
Facteur d’amplification dynamique
R dr +
0.7273 2
r2
+
+ 0.533
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2 Ǹ(1 - 0.7273 2) 2)(2 @ 0.7273 @ 0.6) 2
Déplacement relatif
y rel + Y 0
r2
+ Y 0R d r
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
amplitude du mouvement
de l’appui
amplitude mesurée 42.5 mm
Y0 +
y rel
+ 42.5mm + 79.7mm
0.533
R dr
Recherche de la fréquence de mesure admissible maximale
R dr + 0.95 +
r2
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r )2
pour = 0.6, r + 1.185
Fréquence propre recherchée
f 0 v rf +
4 + 3.37Hz
1.185
82
Régime permanent harmonique
Accéléromètre
L’accéléromètre piézoélectrique est l’instrument le plus utilisé pour la
mesure de vibrations car il possède les propriétés suivantes :
S utilisable sur de très larges gammes fréquentielles ;
S excellente linéarité ;
S le signal d’accélération peut être intégré pour déterminer la vitesse et
l’élongation ;
S les conditions environnementales n’affectent pas trop la précision de
mesure ;
S ne comprend aucun élément mobile, donc très durable ;
S très compact.
Les éléments piézoélectriques sont les éléments actifs de l’accéléromètre.
Il s’agit d’un élément céramique ferroélectrique artificiellement polarisé qui
produit l’effet piézoélectrique. Lorsque cet élément subit une contrainte
mécanique de compression, d’extension ou de cisaillement, il engendre une
charge électrique proportionnelle à la force appliquée.
matériau
piézoélectrique
ÂÂÂÂÂÂ
ÂÂÂÂÂÂ
ÂÂÂÂÂÂ
ÂÂÂÂÂÂ
cisaillement
sortie électrique
traction/compression
Figure 3 - 17. Elément piézoélectrique
Les éléments piézoélectriques agissent comme des ressorts reliant la base
aux masses sismiques.
anneau de
précontrainte
masse sismique
élément
piézoélectrique
base
Figure 3 - 18. Accéléromètre à cisaillement en deltaR (Brüel & Kjaer)
83
Vibrations mécaniques
La figure ci- dessus présente le principe de fonctionnement de l’accéléromètre à cisaillement en deltaR. Les masses sismiques de forme extérieure circulaire sont entourées d’un anneau de précontrainte. On trouve aussi d’autres types de construction tels que l’accéléromètre à cisaillement plan, à
cisaillement annulaire ou à cisaillement isolé. L’accéléromètre à compression centrale est réalisé soit par un ressort soit par une vis de précontrainte.
5
2
1. Tige de serrage
2. Masse sismique
3. Disques d’isolation
4. Disques Piézo
5. Ecrou
6. Base de l’accéléromètre
1
3
4
6
Figure 3 - 19. Accéléromètre à compression (Vibro-Meter)
La relation suivante peut être utilisée pour déterminer les caractéristiques de
l’instrument
y rel + Y 0r2R d sin( f t - ).
3 - 141
y
y rel
m
k
c
y a + Y 0 sin( f t)
pièce à mesurer
Figure 3 - 20. Principe de fonctionnement de l’accéléromètre
En remplaçant r 2 par le rapport ( fń 0) 2, on obtient :
20 y rel + 2f Y 0R d sin( f t - ),
3 - 142
où 2f Y 0 représente l’amplitude de l’accélération du mouvement d’excitation.
Cependant, si le facteur d’amplification dynamique est égal à 1 :
Rd +
1
[ 1,
Ǹ(1 - r 2)2)(2r ) 2
3 - 143
on peut écrire :
20 y rel [ 2f Y 0 sin( f t - ).
3 - 144
84
Régime permanent harmonique
..
Le terme 20 y rel est une mesure de l’accélération y a du système d’excitation.
Comme la pulsation propre est constante, on peut calibrer l’instrument de
..
manière à mesurer directement l’accélération y a. Le déphase entre le mouvement de la masse et celui du mouvement perturbateur est donné par :
f t1 +
+u t 1 + .
3 - 145
f
Il est utile de remarquer que l’équation
1
Rd +
[ 1,
2
2
Ǹ(1 - r ) )(2r ) 2
3 - 146
est satisfaite si la pulsation relative est petite, donc, si la pulsation propre de
l’accéléromètre est beaucoup plus grande que celle de l’action perturbatrice.
R d 1,2
+ 0.5
1,1
1,0
+ 0, 65
0,9
0,8
+ 0.8
+ 0, 7
0,7
0,6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
r
Figure 3 - 21. Facteur d’amplification dynamique
Selon la figure précédente, on peut voir que la valeur du taux d’amortissement affecte fortement le domaine d’utilisation de l’accéléromètre.
Un accéléromètre d’un taux d’amortissement de 0.7 présente une précision
suffisante pour la mesure de vibrations d’une fréquence inférieure à 60% de
sa fréquence propre.
Les fréquences mesurables augmentent si la fréquence propre de l’accéléromètre augmente mais, pour des raisons techniques, le signal de sortie
devient de plus en plus petit. En effet, pour obtenir une plus grande fréquence
de résonance, il est nécessaire d’avoir des éléments piézoélectriques plus
rigides ou bien une masse sismique totale plus faible. La rigidité des éléments piézoélectriques étant constante, c’est une masse sismique plus faible qui est requise. Une telle masse produit une force moins grande et la sensibilité de l’accéléromètre est ainsi diminuée. Il faut donc trouver un
compromis entre la sensibilité de l’accéléromètre et la plus haute fréquence
mesurable. La sensibilité est définie comme le rapport entre le signal électrique de sortie et la grandeur cinématique d’entrée.
85
Vibrations mécaniques
Les gammes fréquentielles utiles sont définies à partir de la réponse fréquentielle de l’accéléromètre. On trouve ainsi par exemple :
S limite fréquentielle à 5% : fréquence pour laquelle on a une déviation de
5% entre le niveau vibratoire mesuré et le niveau vibratoire réel (cela correspond environ à 22% de la fréquence de résonance de l’accéléromètre ;
S limite fréquentielle à 3 dB : fréquence pour laquelle on a une différence de
3dB entre le niveau vibratoire mesuré et le niveau vibratoire réel (cela correspond environ à 54% de la fréquence de résonance de l’accéléromètre).
La limite fréquentielle inférieure n’est pas de 0 Hz car les éléments piézoélectriques ne produisent une charge que lorsqu’ils sont excités par des forces
dynamiques.
La capacité d’un accéléromètre à mesurer un choc est évaluée en observant
la réponse de l’accéléromètre à l’accélération de l’impulsion. Idéalement, la
réponse doit correspondre exactement à l’impulsion. En général, cet objectif
peut être approché mais pas atteint.
A
B
C
Figure 3 - 22. Réponse d’un accéléromètre à un choc
A) T0 = 1.014 B) T0 = 0.338 C) T0 = 0.203
hémi-sinusoïdal.
86
Régime permanent harmonique
Exemple 3-5
Un accéléromètre à jauge de contrainte (quartz), utilisé dans l’automobile se
compose d’une lame en porte-à-faux encastrée à gauche, de deux masses
sismiques et de deux quartz. Les quartz sont excités à leur fréquence de
résonnance et, selon le principe de la corde vibrante, une variation de tension provoque une variation de la fréquence de résonance.
Encastrement
Quartz
Masse sismique I
ya
Lame
Cas de charge (2)
Masse sismique II
Les quartz sont collés de part et d’autre de la lame à la hauteur de la rainure
de manière à avoir en permanence un quartz en traction et un quartz en compression. Ce montage permet d’augmenter la sensibilité de l’accéléromètre
et de diminuer les influences dues aux variations de température.
Caractéristiques des composants de l’accéléromètre
Lame
Matière :
Module d’élasticité :
Coefficient de Poisson :
Masse volumique :
Largeur :
Incoloy
E = 19.5104 N/mm2
= 0.25
= 8.14 g/cm3
b = 4 mm
Autres dimensions selon figure :
8
1
0.86
20
2
4.5
2.5
87
Vibrations mécaniques
Masse sismique
Matière :
Module d’élasticité :
Coefficient de Poisson :
Masse volumique :
Diamètre :
Hauteur :
Laiton
E = 11104 N/mm2
= 0.33
= 8.5 g/cm3
d = 9.5 mm
H = 10.5 mm
Cas de charge de l’accéléromètre
Les conditions de travail énumérées ci-dessous vont servir de base à l’approche analytique.
Poids propre :
g = 9.81 m/s2 (axe O,y vertical)
Charge dynamique :
ya = Y0 sin(f t)
On désire calculer :
S le déplacement vertical des masses sismiques pour le cas de charge statique ;
S la fréquence propre de l’accéléromètre ;
S la loi du mouvement des masses sismiques en régime permanent pour le
cas de charge dynamique.
1 Déformation sous l’effet du poids propre
Masse de la masse sismique
m s + 2 d H + 2 @ @ 9.5 mm @ 10.5 mm @ 0.0085 gńmm 3 + 12.65 g
4
4
Masse de la lame (lame simplifiée)
2
2
2
m l + bhL + 4 mm @ 1 mm @ 28 mm @ 0.00814 gńmm 3 + 0.91 g
On ne considère plus la masse de la lame car elle est insignifiante.
Caractéristiques de la section de la lame
A + bh + 4 mm 2
3
3
3
I z + bh + 4 mm @ 1 mm + 0.333 mm 4
12
12
Déplacement de la masse sismique
2
m s gl 3ms
3
y ms + FL +
3EI z
3EI z
12.65 @ 10 - 3 @ 9.81 @ 0.02 3
y ms +
+ 5.1 @ 10 - 3 mm
3 @ 19.5 @ 10 4 @ 106 @ 0.333 @ 10 - 12
Fréquence propre de l’accéléromètre
0 +
0 +
Ǹmk + Ǹymm smgs + Ǹygm
s
Ǹ5.19810
+ 1Ȁ387 s
@ 10
f 0 + 220 Hz
-3
s
-1
88
Régime permanent harmonique
ÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉ
Schéma équivalent
m g
k + y s + 24.33 kNńm
ms
k
m s + 12.65 @ 10 - 3 kg
ms
3
ÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉ
Mouvement de l’appui
y a + Y 0 sin ft
k
ms
y
Equations du mouvement
..
my + - k(y - y a)
..
my)ky + ky a
..
my)ky + kY 0 sin( f t) + F 0 sin( f t)
Régime permanent
..
my)ky + F 0 sin( f t)
[1]
Solution particulière
y p + A 1 sin( f t))A 2 cos( f t)
En dérivant deux fois cette relation et en remplaçant les termes dans la relation 1 on obtient :
(k- 2f m)A 1 sin( f t))(k - 2f m)A 2 cos( f t) + F 0 sin( f t)
Cette équation doit être satisfaite pour tout temps.
(k- 2f m)A 1 + F0
A 2(k- 2f m) + 0
A1 +
F0
k- 2f m
A2 + 0
En régime permanent :
y ms +
F0
sin( f t)
k- 2f m
y p + Y 0 1 2 sin( f t) + Y 0 sin( f t)
1-r
où + 1 2
facteur d’amplification dynamique.
1-r
89
Vibrations mécaniques
4
Modèle d’éléments finis équivalent
La figure ci-dessous montre un modèle d’éléments finis équivalent, composé
de 108 éléments coque mince quadrilatérale parabolique, d’un élément
rigide et d’une masse concentrée équivalente aux deux masses sismiques.
masse ponctuelle
(masses sismiques I+II)
encastrement
coques minces de
1 mm
élément rigide
Une analyse modale de cette structure a permis de trouver les 5 premières
fréquences propres.
90
Régime permanent harmonique
Mode 1, 217.2 Hz
Mode 3, 6074 Hz
Mode 5, 13394 Hz
91
Vibrations mécaniques
Exemple 3-6
Un accéléromètre possède une masse sismique m de 10 g et une pseudo
fréquence de 150 Hz. Cet accéléromètre, monté sur un moteur dont l’arbre
tourne à la fréquence de rotation de 6’000 tr/min et subissant une accélération de 1 g, indique une accélération de 9.5 m/s2. Calculer le coefficient
d’amortissement visqueux linéaire et la raideur équivalente de l’accéléromètre.
y
y rel
m
k eq
c eq
y a + Y 0 sin( f t)
Moteur
La relation suivante peut être utilisée pour déterminer les caractéristiques de
l’instrument :
y rel + Y 0r2R d sin( f t - ).
En remplaçant r 2 par le rapport ( fń 0) 2, on obtient :
20 y rel + 2f Y 0R d sin( f t - )
20y rel + 2f Y 0R d
9.5 + 9.81R d
où 2f Y 0 représente l’amplitude de l’accélération du mouvement d’excitation.
Rd +
Ǹ
1
(1 - r 2)2)(2r ) 2
+ 9.5 + 0.9684
9.81
r + f et + 0 Ǹ1 - 2
0
r+
f Ǹ1 - 2
f + 6000 2 + 200 radńs
60
+ 300 radńs
r + 0.6667 Ǹ1 - 2
r 2 + 0.4444(1 - 2)
On peut remplacer ces deux derniers termes dans la relation permettant de
calculer R d.
92
Régime permanent harmonique
0.9684 +
1
Ǹǒ
ǒ
1 - 0.444(1 - 2)Ǔ ) 2 @ 0.6667 Ǹ1 - 2
2
Ǔ
2
1.5801 4 - 2.2714 2)0.7576 + 0
+ 0.7252, 0.9547
L’amortissement relatif se situe de manière traditionnelle aux alentours de
0.7 pour les instruments de mesure.
R d 1,2
+ 0.5
1,1
1,0
+ 0, 65
0,9
0,8
+ 0.8
+ 0, 7
0,7
0,6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
r
Selon la figure précédente (reprise de la figure 3 - 21.), on peut voir que la
valeur du taux d’amortissement affecte fortement le domaine d’utilisation de
l’accéléromètre.
Un accéléromètre d’un taux d’amortissement de 0.7 présente une précision
suffisante pour la mesure de vibrations d’une fréquence inférieure à 60% de
sa fréquence propre.
+ 0 Ǹ1 - 2
0 +
300
Ǹ1 - 0.7252 2
+ 1369 radńs
Raideur du ressort équivalent
k eq + 20m + 1369 2 @ 0.01 + 18742 Nńm
Coefficient d’amortissement visqueux linéaire
c + 2 Ǹkm + 2 @ 0.7252 Ǹ18742 @ 0.01 + 19.86 Nsńm
93
Vibrations mécaniques
Méthodes expérimentales de mesure du coefficient
d’amortissement visqueux linéaire c
Le coefficient d’amortissement visqueux linéaire affecte fortement le comportement dynamique d’un système oscillant et le design d’un instrument de
mesure. Dans les chapitres précédents, nous avons admis que les caractéristiques de l’oscillateur étaient connues. Dans la plupart des applications,
la masse et la raideur du système peuvent être facilement mesurées. Le chapitre qui suit présente quelques méthodes qui permettent l’évaluation du
coefficient d’amortissement visqueux linéaire :
S décrément logarithmique ;
S réponse en fréquence ;
S largeur de bande.
Décrément logarithmique
Cette méthode est la plus simple et la plus fréquemment utilisée. L’oscillateur
se trouve en régime libre et il suffit de mesurer le rapport entre plusieurs
amplitudes successives ou non successives du mouvement.
ǒ Ǔ,
xi
ln
+1
x
n
3 - 147
i)n
où x i et x i)n sont les amplitudes mesurées à n oscillations d’intervalle.
Nous avons vu que :
+ T ,
3 - 148
avec :
T +
2 +
2
,
Ǹ
2
2
Ǹ0 - 0 1 - 2
+ T +
+
2
Ǹ1 - 2
Ǹ(2) 2)2
,
.
3 - 149
3 - 150
3 - 151
Le coefficient d’amortissement visqueux linéaire s’obtient finalement de la
façon suivante :
c + c c + 2 Ǹkm + 2 m 0.
3 - 152
94
Régime permanent harmonique
Réponse en fréquence
Pour cet essai, on travaille en régime forcé harmonique. Il faut représenter
graphiquement la fonction R d + R d(r). Ce type de fonction est représenté
à la figure ci-dessous.
3,0
Rd
R dmax
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
1
2
3
r
4
Figure 3 - 23. Réponse en fréquence
Le facteur d’amplification dynamique est donné par la relation :
1
Rd +
.
Ǹ(1 - r 2)2)(2r ) 2
3 - 153
Lorsque f + 0 , ce qui correspond au cas où r = 1, le facteur d’amplification
dynamique se réduit à :
Rd + 1 .
3 - 154
r+1
2
Le facteur d’amplification dynamique maximal apparaît lorsque :
r + Ǹ1 - 2 2 .
3 - 155
La valeur maximale du facteur d’amplification dynamique est égale à :
1
R dmax +
.
3 - 156
2 Ǹ1 - 2
Si le taux d’amortissement est petit, on peut écrire :
[ 1 .
3 - 157
2R dmax
En fait, on admet que R dmax + R d .
r+1
Cela est admissible pour de faibles valeurs de taux d’amortissement.
95
Vibrations mécaniques
Largeur de bande
Cette méthode utilise aussi la réponse en fréquence de l’oscillateur. Il est
donc nécessaire d’obtenir la relation R d + R d(r).
Rd +
Ǹ
1
(1 - r 2)2)(2r ) 2
.
3 - 158
La méthode de la largeur de bande, appelée aussi méthode de la demi-puissance, est la méthode la plus pratique expérimentalement.
Le coefficient d’amortissement visqueux linéaire est obtenu à partir des pulsations pour lesquelles le facteur d’amplification dynamique est égal à :
Rd + 1 Rd .
3 - 159
Ǹ2 r+1
En utilisant les relations données à la page précédente, on obtient :
1 1 +
1
,
Ǹ2 2
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
3 - 160
et par élévation au carré :
1
1 +
,
(1 - r 2)2)(2r ) 2
8 2
3 - 161
r 4)2(2 2 - 1)r 2)(1 - 8 2) + 0.
3 - 162
Les racines de cette équation sont :
r 21 + 1 - 2 2 - 2 (1) 1 2)AAA),
2
r 22 + 1 - 2 2)2 (1) 1 2)AAA).
2
En admettant que le taux d’amortissement est petit :
3 - 163
3 - 164
r 1 + Ǹ1 - 2 - 2 2,
3 - 165
r 2 + Ǹ1)2 - 2 2.
3 - 166
Finalement on admet :
r 1 + 1 - - 2,
3 - 167
r 2 + 1) - 2.
3 - 168
Et par soustraction :
+ 1 (r 2 - r 1).
2
3 - 169
96
Régime permanent harmonique
Rd
3
R dmax [ R d
r+1
2
1 R
Ǹ2 d max
1
(r 2 - r 1) + 2
r1
0
0
r2
1
2
3
4
r
Figure 3 - 24. Méthode de la largeur de bande
Frottement de Coulomb
Considérons le régime forcé harmonique de la masse selon figure, en tenant
compte du frottement de Coulomb.
F(t) + F 0 cos( f t)
k
m
x
Figure 3 - 25. Régime forcé harmonique, avec frottement de Coulomb
1
Système de coordonnées
Axes O,x,y.
97
Vibrations mécaniques
2
Corps isolé
y
y
FN
kx
FN
..
F(t) x
Ff
kx
O
x
Ff
O
..
x
F(t)
x
mg
mg
.
.
x
x
Figure 3 - 26. Masse isolée, mouvement avant et arrière
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne varié
..
a x + x.
3 - 170
4 Etude dynamique
S Equations du mouvement
[F x + ma x]
..
- kx- F f)F(t) + mx,
3 - 171
[F y + ma y]
F N - mg + 0.
3 - 172
Avec
.
.
F f + F N sgn(x) + mg sgn(x),
3 - 173
l’équation différentielle du mouvement devient :
..
.
mx)mg sgn(x))kx + F 0 cos( f t).
3 - 174
Essayons d’évaluer la solution de cette équation différentielle en faisant une
analogie avec un oscillateur élémentaire qui dissipe la même énergie par
cycle. L’amplitude de la force d’excitation est considérée comme beaucoup
plus grande que la force de frottement.
F 0 ơ mg.
3 - 175
Cette approximation est possible si la réponse en régime permanent est de
la forme :
x p(t) + X sin( f t).
3 - 176
L’énergie dissipée par la force de frottement pour chaque cycle est égale à :
E +
ŏ F dx.
f
3 - 177
98
Régime permanent harmonique
L’énergie équivalente dissipée par un amortisseur se calcule de la manière
suivante :
ŕ c xdx + ŕ c x dxdt dt + ŕ c (x) dt .
x
E +
2
f
T
.
.
eq
eq
0
.
eq
0
2
3 - 178
0
En régime permanent :
x p(t) + X sin( f t),
3 - 179
.
x p(t) + f X cos( f t),
3 - 180
et la relation 3 - 178 devient :
E + c eq
ŕ X cos ( t)dt + c X .
2
f
2 2
f
2
eq f
f
2
3 - 181
0
L’énergie dissipée par la force de frottement pour un cycle est égale à :
E + mg
ŕ [sgn(x)(x)] dt.
2
f
.
.
3 - 182
0
L’intégrale précédente est divisée en trois parties correspondant au changement de la direction de la vitesse sur un cycle.
ȡ
E + mgXȧ
Ȣ
ŕcos(u)du - ŕ cos(u)du ) ŕ cos(u)du ȣȧ, 3 - 183
E + 4mgX.
3 - 184
2
3
2
2
0
2
3
2
Ȥ
Pour que l’oscillateur élémentaire soit équivalent au cas qui nous occupe, il
faut que l’énergie dissipée par la force de frottement soit égale à l’énergie
dissipée par l’amortisseur.
c eq f X 2 + 4mgX.
3 - 185
Le coefficient d’amortissement visqueux linéaire est égal à
4mg
c eq +
,
f X
3 - 186
et le taux d’amortissement :
eq +
2g
.
f 0X
3 - 187
Ainsi, l’amortisseur élémentaire équivalent décrit par l’équation différentielle :
..
.
mx)c eqx)kx + F 0 cos( f t),
3 - 188
où c eq + 2 eq0m,
dissipe la même énergie que le système avec frottement de Coulomb.
..
.
..
.
mx)c eqx)kx [ mx)mg sgn(x))kx.
3 - 189
99
Vibrations mécaniques
La solution de la relation 3 - 188 est de la forme :
F 0ńk
X+
.
Ǹ(1 - r 2) 2)(2 eqr) 2
A l’aide de la relation 3 - 187, on peut écrire :
F 0ńk
,
X+
Ǹ
ǒ 4rg Ǔ
3 - 190
3 - 191
2
(1 - r 2) 2) X
0
f
sachant que f + r 0,
X+
F 0ńk
Ǹ
ǒ Ǔ
4g
.
3 - 192
2
(1 - r 2) 2) 2X
Finalement :
X+
F0
k
Le déphasage
0
Ǹǒ Ǔ
1-
4mg
F0
2
.
Ť1 - r 2Ť
3 - 193
est égal à :
+ arc tan
2 eq r
1-r
+ arc tan
2
4mg
,
kX(1 - r 2)
3 - 194
et il ne reste plus qu’à substituer X par la relation 3 - 193.
+ arc tan
" 4mg
F 0 Ǹ1 - (4mgńF 0) 2
.
3 - 195
L’angle de déphasage est positif si r < 1 et négatif si r > 1. L’angle de déphasage est indépendant de la fréquence d’excitation. Il faut noter quelques différences entre le régime forcé de l’oscillateur élémentaire et le régime forcé
avec frottement de Coulomb. A la résonance r = 1, le déplacement de la
masse est infini. L’approximation faite n’est bonne que si
4mg t F 0.
3 - 196
100
Régime permanent harmonique
4 Régime forcé
Réponse impulsionnelle
L’application soudaine d’une force de courte durée sur un mécanisme est
très courante dans la vie de tous les jours. Un tel phénomène est appelé une
impulsion et on se propose d’étudier la réponse impulsionnelle de l’oscillateur élémentaire.
Fonction excitatrice
Une force impulsionnelle correspond à une force de grande amplitude appliquée durant un intervalle de temps t 2 - t 1 + très court. Par analogie avec
la fonction de Dirac, une telle force est appelée impulsion de Dirac4 si le produit F(t 2 - t 1) est égal à l’unité quand ³ 0 et F ³ R.
F(t)
F0
t1 t2
Figure 4 - 1.
Impulsion de Dirac
t
102
Régime forcé
Réponse impulsionnelle
La figure ci-dessous représente un oscillateur élémentaire soumis à l’action
d’une force impulsionnelle.
ÏÏ
ÏÏ
ÏÏ
ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ
k
F(t)
c
Figure 4 - 2.
m
x
Oscillateur élémentaire soumis à l’action
d’une force impulsionnelle
L’équation différentielle de l’oscillateur peut s’écrire sous la forme :
..
.
mx)cx)kx + F(t).
4-1
Intégrons l’équation précédente sur l’intervalle (t 1, t 2).
ŕ mxdt ) ŕ cxdt ) ŕ kxdt + ŕ F(t)dt
t2
t2
..
t2
t2
t1
t1
.
t1
t1
.
4-2
Si l’intervalle de temps est très court, x ne change pratiquement pas et la
variation de vitesse est très petite.
ŕ cxdt + 0
t2
.
lim
t1 ³ t2
t1
ŕ kxdt + 0
,
4-3
.
4-4
t2
lim
t1 ³ t2
t1
Il reste finalement :
ŕ mxdt + ŕ F(t)dt
t2
t2
..
t1
t1
.
4-5
Comme la relation précédente peut s’écrire sous la forme :
ŕ mdx + ŕ F(t)dt
.
x2
t2
.
.
x1
4.
t1
,
Dirac Paul (1902-1984), physicien anglais. Il formula une équation
(équation de Dirac) qui décrit le comportement des particules de
spin 1/2 électron (électrons, protons, etc.) et permet de prévoir
l’existence d’états aux antiparticules. Avec E. Schrödinger, il obtint
en 1933 le prix Nobel de physique.
Extraits de “Encyclopédie des sciences”, Le Livre de Poche, 1998
4-6
103
Vibrations mécaniques
.
.
où x 1 et x 2 représentent respectivement la vitesse au temps 1 et la vitesse
au temps 2 de la masse,
ŕ F(t)dt + I
t2
.
.
m(x 2 - x 1) + p2 - p 1 +
t1
,
4-7
p 2 + p 1)I.
4-8
La quantité de mouvement finale est égale à la quantité de mouvement initiale plus l’impulsion. Sous une autre forme :
.
.
.
I
x + x 2 - x 1 + m
.
4-9
La réponse impulsionnelle est interprétée physiquement comme la réponse
du système possédant une vitesse initiale et un déplacement initial nuls si
t 1 + 0.
L’oscillateur élémentaire est soumis à l’instant t 0 à la variation de vitesse Ińm.
Amortissement faible
La lois du mouvement de l’oscillateur élémentaire en régime libre est :
x(t) + Xe - t sin( t) ),
4 - 10
et sa vitesse :
.
x(t) + - Xe - t sin( t) )) Xe - t cos( t) ).
4 - 11
.
Les conditions initiales sont x(t + 0) + 0, x(t + 0) + Ińm. On peut ainsi
calculer les valeurs de X et à l’aide de ces conditions initiales.
0 + X sin( ) å sin( ) + 0,
4 - 12
I
I
m + X å X + m .
4 - 13
La loi du mouvement de l’oscillateur élémentaire soumis à une force impulsionnelle devient :
x(t) + Im e - 0t sin( t)
.
4 - 14
Cette relation peut s’écrire sous la forme :
x(t) + IH(t),
4 - 15
où :
H(t) + 1m e - 0 t sin( t)
.
4 - 16
H(t) représente la réponse impulsionnelle.
Amortissement critique
La lois du mouvement de l’oscillateur élémentaire en régime libre est :
104
Régime forcé
x(t) + (A 1)A 2t) e - 0t,
4 - 17
et sa vitesse :
x(t) + ǒA 2 - 0(A 1)A 2t) Ǔ e - 0t.
.
4 - 18
.
Les conditions initiales sont x(t + 0) + 0, x(t + 0) + Ińm. On peut ainsi
calculer les valeurs de X et à l’aide de ces conditions initiales.
0 + A 1,
4 - 19
I
m + A 2.
4 - 20
La loi du mouvement de l’oscillateur élémentaire soumis à une force impulsionnelle devient :
I te - 0t
x(t) + m
.
4 - 21
Cette relation peut s’écrire sous la forme :
x(t) + IH(t),
4 - 22
1 te - 0 t
H(t) + m
.
4 - 23
où :
Amortissement fort
La lois du mouvement de l’oscillateur élémentaire en régime libre est :
x(t) + A 1e (* 0) )t)A 2e (* 0* )t,
4 - 24
et sa vitesse :
x(t) + ǒ - 0) Ǔ A1e (- 0) ) t)ǒ - 0 - Ǔ A2e (- 0 - )t
.
.
4 - 25
.
Les conditions initiales sont x(t + 0) + 0, x(t + 0) + Ińm. On peut ainsi
calculer les valeurs de X et à l’aide de ces conditions initiales
0 + A 1)A 2,
4 - 26
I
m + ( - 0) ) A1 - ( - 0 - ) A 2.
4 - 27
La loi du mouvement de l’oscillateur élémentaire soumis à une force impulsionnelle devient :
x(t) +
I e (- 0) )t - I e (- 0 - )t
2 m
2 m
,
4 - 28
x(t) +
I e - 0tǒe t - e - tǓ
2 m
,
4 - 29
x(t) +
I e - 0t sinh( t)
2 m
.
4 - 30
105
Vibrations mécaniques
Cette relation peut s’écrire sous la forme :
x(t) + IH(t),
4 - 31
où :
H(t) +
1 e - 0 t sinh( t)
2 m
.
4 - 32
En pratique, une force correspond à une impulsion si sa durée est beaucoup plus petite que la période propre de la structure (T + 2ń 0). Dans des
tests d’impact, + 10 *3s.
106
Régime forcé
Impulsion au temps
0
Si l’impulsion agit au temps t = elle change la vitesse à cet instant d’une
valeur égale à I/m.
F(t)
F0
d
Figure 4 - 3.
t
Impulsion au temps
La réponse du système devient
x(t) + IH(t - ).
4 - 33
107
Vibrations mécaniques
Régime forcé périodique
Le régime permanent de l’oscillateur élémentaire soumis à l’action d’une
fonction harmonique est sinusoídal et il peut exister un déphasage entre la
force et le déplacement qui dépend du coefficient d’amortissement visqueux
critique. Dans ce chapitre, nous allons étudier le comportement de l’oscillateur élémentaire soumis à l’action d’une fonction périodique.
Fonction périodique excitatrice
Une fonction F(t) est dite périodique de période T f (ou Tf -périodique) si :
F(t) + F(t)T f)
ô t,
4 - 34
où Tf représente la période de la fonction excitatrice.
F(t)
F0
Tf
Figure 4 - 4.
2T f
3T f
t
Fonction créneau
Séries de Fourier5
Une fonction périodique de période Tf peut être exprimée à l’aide d’une
somme de fonctions harmoniques :
F(t) + a 0)
où :
R
R
n+1
n+1
ȍ an cos(nf t)) ȍ bn sin(nf t)
4 - 35
f représente la pulsation fondamentale ;
a 0, a n et b n étant des constantes à déterminer.
F(t) + F 0)
R
ȍ Fn sin(nt) n)
n+1
où :
,
F 0 + a 0,
F n + Ǹa 2n)b2n ,
,
4 - 36
108
Régime forcé
n + n f ,
n + arctan
ǒab Ǔ.
n
n
Recherche des coefficients de la série de Fourier
Coefficient a 0
Intégrons les deux membres de la relation 4 - 35 sur une période :
ŕ F(t)dt + ŕa dt)ȍ ŕ ǒa cos(n t))b sin(n t)Ǔ dt
t)T f
t)T f
t)T f
R
n
0
t
n+1
t
f
n
f
t
.
4 - 37
Pour n’importe quel entier n, il peut être vérifié que :
ŕ cos(n t)dt + 0
t)T f
f
t
ŕ sin(n t)dt + 0
,
4 - 38
.
4 - 39
t)T f
f
t
En substituant ces deux équations dans l’équation 4 - 37 :
ŕ F(t)dt + a ŕ dt + a T
t)T f
t)T f
o f
0
t
a0 + 1
Tf
t
ŕ F(t)dt
,
4 - 40
t)T f
t
.
4 - 41
L’expression précédente montre que a 0 correspond exactement à la valeur
moyenne de F(t). Ceci permet parfois de calculer a 0 sans avoir recours à l’intégrale.
5.
Fourier Joseph (1768-1830), mathématicien et physicien français.
Il se destine à une carrière ecclésiastique, mais la Révolution française le fait sortir du cloître avant qu’il n’ait prononcé ses voeux. Il
se lance alors dans une carrière scientifique. Il est un des premiers
enseignants de l’Ecole polytechnique fondée en 1794. Proche du
pouvoir napoléonien, il participe avec Monge à la campagne
d’Egypte. Il est nommé préfet en 1802. A la Restauration, il se rallie
au roi, mais, ne lui en tenant pas rigueur, Napoléon le renomme préfet et l’anoblit durant les Cents-Jours. A son retour, Louis XVIII le
démet de ses fonctions et refuse son élection à l’institut. Il deviendra
plus tard secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences et de
l’Académie française. En 1822 est publiée son oeuvre majeure,
Théorie analytique de la chaleur où il donne les équations de la propagation de la chaleur dans un solide. Il met au point des méthodes
comme le développement des fonctions en séries trigonométrique
et intégrale, qui restent un outil essentiel de l’analyse et de la physique.
Extraits de “Encyclopédie des sciences”, Le Livre de Poche, 1998
109
Vibrations mécaniques
Coefficients a m
Afin de déterminer les coefficients a m, pour un entier fixe m, on multiplie
l’équation initiale par cos(m ft) et on intègre de t à Tf .
ŕ F(t) cos(m t)dt + ŕ a cos(m t)dt
t)T f
t)Tf
0
f
t
)
f
t
ȍ ŕ an cos(nf t) cos(mf t)dt ) ȍ ŕ bn sin(nf t) cos(mf t)dt.
t)Tf
R
n+1
t)Tf
R
n+1
t
t
4 - 42
Toutes les intégrales sont nulles sauf :
ŕ cos(n t) cos(m t)dt + T2
t)T f
f
f
si m + n
f
.
t
4 - 43
On peut finalement écrire :
ŕ F(t) cos(m t)dt + a T2
t)T f
f
m
f
,
t
am + 2
Tf
4 - 44
ŕ F(t) cos(m t)dt
t)T f
ôt
f
.
t
4 - 45
Coefficients b m
Afin de déterminer les coefficients b m, pour un entier fixe m, on multiplie
l’équation initiale par sin(m ft) et on intègre de t à Tf .
ŕ F(t) sin(m t)dt + ŕ a sin(m t)dt
) ȍ ŕ a cos(n t) sin(m t)dt ) ȍ ŕ b sin(n t) sin(m t)dt.
t)T f
t)Tf
0
f
t
t)Tf
R
n
n+1
f
t
t)Tf
R
f
n
f
n+1
t
f
f
t
4 - 46
Toutes les intégrales sont nulles sauf :
ŕ sin(n t) sin(m t)dt + T2
t)T f
f
f
f
t
si m + n
.
4 - 47
On peut finalement écrire :
ŕ F(t) sin(m t)dt + b T2
t)T f
f
t
m
f
,
4 - 48
110
Régime forcé
bm + 2
Tf
ŕ F(t) sin(m t)dt
t)T f
f
ôt
.
t
4 - 49
Lorsqu’une fonction périodique est représentée par une série de Fourier, une
anomalie peut être observée. Prenons comme exemple la fonction triangulaire selon figure.
n=8
n=12
n=4
Figure 4 - 5.
Phénomène de Gibbs
Lorsque le nombre n de termes s’accroît, l’approximation s’améliore partout
sauf à la proximité de la discontinuité. Il a été observé que l’erreur sur l’amplitude est égale à 9%, même si n ³ R. Ce phénomène est appelé le phénomène de Gibbs.
Symétrie et parité
S Une fonction F(t) est dite paire si F(t) =F( - t) ∀t,
cos(nt) est paire car cos(nt) = cos(- nt).
La série de Fourier d’une fonction paire ne contient que le terme constant
et des termes en cosinus (bm = 0 ∀m).
La somme et la différence de deux fonctions paires est une fonction paire.
S Une fonction F(t) est dite impaire si F( - t)= - F(t) ∀t,
sin(nt) est impaire car sin(- nt) = - sin(nt).
La série de Fourier d’une fonction impaire ne contient que le terme constant et des termes en sinus (am = 0 ∀m).
La somme et la différence de deux fonctions impaires est une fonction
impaire.
S Une fonction T périodique F(t) possède une symétrie demi-onde si
F(t) = - F(t+T/2), ∀t.
Le développement en série de Fourier d’une fonction T périodique de
symétrie demi-onde ne contient que des termes d’ordre impair.
k pair
k impair
am = 0
am 0
bm = 0,
bm 0.
111
Vibrations mécaniques
F(t)
0
t
Tń2
Figure 4 - 6.
Fonction T périodique à symétrie demi-onde
S Le développement en série de Fourier d’une fonction T périodique paire,
présentant une symétrie demi-onde, ne contient que des termes en cosinus d’ordre impair.
F(t)
0
Figure 4 - 7.
t
Fonction T périodique paire à symétrie demi-onde
S Le développement en série de Fourier d’une fonction T périodique
impaire, présentant une symétrie demi-onde, ne contient que des termes
en sinus d’ordre impair.
F(t)
0
Figure 4 - 8.
t
Fonction T périodique impaire à symétrie demi-onde
112
Régime forcé
Spectre de fréquence
Les fonctions harmoniques a n cos(n ft) et b n sin(n ft) sont appelées les harmoniques d’ordre n de la fonction périodique. Les harmoniques peuvent être
représentées sous la forme de barres verticales sur un diagramme d’ordonnée (a n et b n ou F n et n).
Fn
0
n
2
Figure 4 - 9.
Fréquence n
4
3
Fréquence n
Spectre de fréquence
Solution numérique pour le calcul des coefficients de Fourier
Divisons la période Tf en q intervalles égaux. La longueur de chaque intervalle est égale à
T
t + qf
.
4 - 50
Remplaçons les intégrales des relations 4 - 41, 4 - 45 et 4 - 49 par des sommes finies.
a0 + 1
Tf
q
ȍ F(ti)t
i+1
am + 2
Tf
bm + 2
Tf
,
4 - 51
q
ȍ F(ti) cos(mf ti) t
i+1
,
4 - 52
,
4 - 53
q
ȍ F(ti) sin(mf ti) t
i+1
f + 2 + 2
qt .
Tf
où
Finalement :
a0 + 1
q
q
ȍ F(ti)
i+1
am + 2
q
,
4 - 54
q
ȍ F(ti) cos(mf ti)
i+1
,
4 - 55
113
Vibrations mécaniques
bm + 2
q
q
ȍ F(ti) sin(mf ti)
.
i+1
4 - 56
Oscillateur élémentaire soumis à une force périodique
La figure ci-dessous représente un oscillateur élémentaire soumis à l’action
d’une force périodique.
ÏÏ
ÏÏ
ÏÏ
ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ
k
F(t)
c
m
x
Figure 4 - 10. Oscillateur élémentaire soumis à l’action
d’une force périodique
L’équation différentielle de l’oscillateur peut s’écrire sous la forme :
..
.
mx)cx)kx + F(t).
4 - 57
La force excitatrice périodique peut être exprimée sous la forme d’une série
de Fourier :
R
R
n+1
n+1
F(t) + a 0)ȍ a n cos(n f t))ȍ b n sin(n f t)
,
4 - 58
ou sous la forme alternative suivante :
R
F(t) + F 0)ȍ F n sin( nt) n)
n+1
où :
,
4 - 59
F 0 + a 0,
F n + Ǹa 2n)b2n,
n + n f ,
n + arctan
ǒab Ǔ.
n
n
La relation 4 - 57 devient:
..
.
R
ȍ Fn sin(nt) n)
mx)cx)kx + F 0)
n+1
.
4 - 60
La solution de cette équation différentielle comprend deux parties:
S la solution de l’équation homogène appelée solution transitoire x h ;
S la solution particulière appelée solution permanente x p .
Grâce au principe de superposition, nous pouvons écrire :
114
Régime forcé
R
ȍ xpn
x p + x p0)
n+1
.
4 - 61
115
Vibrations mécaniques
Réponse pour une force constante F0
La fonction excitatrice étant constante, la solution particulière l’est aussi.
F(t)
F0
t
Figure 4 - 11. Fonction constante
x p0 + C,
4 - 62
où C est une constante.
Il s’ensuit que :
.
..
x p0 + x p0 + 0.
4 - 63
Par substitution dans l’équation différentielle initiale, on obtient :
kC + F 0,
4 - 64
x p0 + C +
Fo
k.
4 - 65
Réponse pour une force F n sin( nt) n)
Le terme F n sin( nt ) n) représente une fonction harmonique. La solution
pour le régime forcé harmonique est donnée par la relation 3 - 19.
x pn +
où
F nńk
Ǹǒ1 - r2nǓ )(2rn )2
2
sin( nt) n -
n)
,
4 - 66
n représente le déphasage défini par :
n + arctan
ǒ Ǔ
2r n
1 - r 2n ,
4 - 67
et :
n
r n + n + f + nr 1
0
0 +
0
,
4 - 68
Ǹmk .
4 - 69
Il s’ensuit que :
R
R
ȍ xpn + ȍ
n+1
n+1
F nńk
Ǹǒ1 - r2nǓ )(2rn )2
2
sin( nt) n -
n)
.
4 - 70
116
Régime forcé
Solution particulière
A partir des relations 4 - 65 et 4 - 70, nous pouvons écrire :
R
ȍ xpn
x p + x p 0)
xp +
F0
)
k
n+1
R
ȍ
n+1
,
4 - 71
Fnńk
Ǹǒ1 - r2nǓ2)(2rn )2
sin( nt) n -
n)
.
4 - 72
Exemple 4-1
Un oscillateur élémentaire est soumis à l’action d’une force périodique selon
figure. Déterminer le régime permanent.
k
F(t)
c
m
ÏÏ
ÏÏ
ÏÏ
ÏÏ
ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ
ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ
x
F(t)
F0
0
t
2
1 Système de coordonnées
Axe O,x
2
Corps isolé
kx
..
F(t)
.
cx
O
x
x
3 Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne varié
..
ax + x
4 Etude dynamique
S Equations du mouvement
[F x + ma x]
.
..
- kx- cx)F(t) + mx
Soit :
..
.
mx)cx)kx + F(t)
O
x
117
Vibrations mécaniques
La fonction périodique de période Tf peut être exprimée à l’aide d’une somme
de fonctions harmoniques.
R
R
n+1
n+1
F(t) + a 0)ȍ a n cos(n f t))ȍ b n sin(n f t)
où :
f représente la pulsation fondamentale ;
a 0, a n et b n étant des constantes à déterminer.
On peut aussi exprimer la fonction périodique sous la forme
R
ȍ Fn sin(nt) n)
F(t) + F 0)
n+1
où :
F0 + a0
F n + Ǹa 2n)b2n
n + n f
n + arctan
ǒab Ǔ
n
n
S Calcul des coefficients de la série de Fourier
Calcul de a 0
a0 + 1
Tf
ŕ F(t)dt
t)T f
t
et cela donne dans notre cas :
a0 +
2F 0 1
F
@
+ 0
2
2
2
Calcul de a m
am + 2
Tf
ŕ F(t) cos(m t)dt
t)T f
ôt
f
t
F
F(t) + 0 t
0ttv
F
F
F(t) + F 0 - 0 (t - ) + 2F 0 - 0 t
t t v 2
ȱ F
0
2
am + ȧ
t cos(m f t)dt)
Tf
Ȳ0
ŕ
Tf
2
ŕ 2F cos(m t)dt - ŕ
Tf
Tf
2
0
f
Tf
Tf
2
ȳ
F0
t cos(m f t)dtȧ
ȴ
118
Régime forcé
avec :
ŕ
Tf
2
0
ǒ
F0
F0 1
1
t
cos(m
t)dt
+
f
m f m f cos(m ft))t sin(m ft)
ǒ ǒ ǓǓ
Ȣ
F 1 ȡ 1
+ 0 m
ȧm
f
cos m f
f
Ǔ|
Tf
2
0
ǒ
Ǔ
Tf
T
T ȣ
- 1 ) f sin m f f ȧ
2
2
2 Ȥ
ǒ
Ǔ
F0 1
F0 1
ǒ
ǒ
(
) Ǔ
(
)
(
) Ǔ
+ m
m cos m - 1 ) sin m + m m cos m - 1
2F
2F
T
ŕ 2F cos(m t)dt + m
sin(m t)| + m ǒsinǒm T Ǔ - sinǒm ǓǓ
2
Tf
Tf
0
0
Tf
f
2
0
Tf
f
2
f
f f
f
2F
+ m0 ǒsin(m2) - sin(m)Ǔ + 0
f
ŕ F t cos(m t)dt + - F m1 ǒm1 cos(m t))t sin(m t)Ǔ|
Tf
-
f
f
0
0
f
Tf
f
f
f
f
ǒ
ǒ
Ȣ
f
ǒ
f
ǒ
cos m fT fǓ - cos m f
ǓǓ
Tf
2
)T f sinǒm fT fǓ -
F0 1
(
(
)
)
+ * m
m cos m2 - cos(m)
Finalement
ƪ
1 2F 0 cos(m) - 2F 0
am + m 2
m 2
am +
ƫ
2F 0
[cos(m) - 1]
m 2 2
0
ȡ
ȧ
a m + ȥ 4F 0
ȧ
Ȣ m 2 2
m pair
m impair
S Equation différentielle du mouvement
..
.
mx)cx)kx +
Tf
2
2
F 1 ȡ 1
+ - 0 m
ȧm
Tf
F0 R
2
ȍ n4F202 sinǒnft) 2Ǔ
n+1,3,5
ǒ
Ǔ
Tf
T ȣ
sin mf f ȧ
2
2 Ȥ
119
Vibrations mécaniques
S Solution
x p0 +
F0
2k
x pn + -
R
ȍ n4F202 Rd sinǒnft) 2 - nǓ
n+1,3,5
xp +
F0 R
2k
0
ȍ n4F
2 2k Ǹ
n+1,3,5
avec
rn + n f
0
n + arc tan
ǒ Ǔ
2r n
1 - r 2n
1
(1 - r 2n) 2)(2r n ) 2
cosǒn ft -
nǓ
120
Régime forcé
Régime forcé quelconque
La réponse d’un oscillateur élémentaire soumis à l’action d’une force variable peut être calculée à l’aide du concept d’impulsion traité dans un chapitre
précédent. La procédure consiste à diviser la force en impulsions élémentaires, à calculer la réponse de chaque impulsion et à ajouter les réponses individuelles afin de trouver la réponse totale.
F(t)
ti
t1 t2
t
t
t + tńn
Figure 4 - 12. Force variable décomposée en impulsions élémentaires
La réponse à l’impulsion suivant le temps ti est donnée par la relation 4 - 33
comme l’incrément :
x(t i ) + F(t i ) t H(t - t i ),
4 - 73
et la réponse totale après j intervalles devient
j
ȍ F(ti ) H(t - ti ) t
x(t j ) +
.
4 - 74
La superposition est possible pour autant que l’équation du mouvement soit
linéaire. Si t ³ 0(n ³ R),
i+1
ŕ F( ) H(t - ) d
t
x(t) +
.
4 - 75
Cette équation est appelée l’intégrale de Duhamel ou intégrale de convolution.
Pour un oscillateur élémentaire avec amortissement faible,
1 e - 0(t- ) sin( (t - ))
H(t - ) + m
.
4 - 76
Les relations 4 - 75 et 4 - 76 ne sont valables que si les conditions initiales
.
d’élongation et de vitesse sont nulles ( x(t 0) + 0 et x(t 0) + 0 ). Finalement,
0
ŕ F( ) e
t
1
x(t) + m
0
- 0(t- ) sin( (t )) d
.
4 - 77
121
Vibrations mécaniques
Evaluation numérique de l’intégrale de Duhamel
Dans la majorité des applications pratiques, la fonction d’excitation est obtenue à l’aide de données expérimentales ou sous une forme tellement complexe qu’il n’est pas possible d’évaluer analytiquement l’intégrale de Duhamel. Dans ce cas, il faut recourir à une méthode numérique pour évaluer
cette intégrale.
Reprenons l’équation 4 - 77
0
e - 0(t- ) + e t
e 0,
4 - 78
sin (t - ) + sin( t) cos( ) - cos( t) sin( ),
4 - 79
et
- 0t
x(t) + em
ŕ F( )e
t
0 sin( t) cos( )d
0
- 0t
- em
ŕ F( )e
t
0 cos( t) sin( )d
0
.
4 - 80
Comme l’intégration se fait par rapport à , les termes fonction de t peuvent
être sortis de l’intégrale.
ŕ F( )e cos( )d
* em cos( t) ŕ F( )e
sin( )d
t
- 0t
x(t) + em sin( t)
0
0
t
- 0t
0
0
,
4 - 81
ou, sous une forme plus compacte,
- 0t
x(t) + em ƪ B 1 sin( t)*B 2 cos( t) ƫ
,
4 - 82
où :
ŕ F( )e
0 cos(
ŕ F( )e
0 sin(
t
B1 +
)d
0
,
4 - 83
t
B2 +
)d
0
.
Les intégrales I1 et I2 doivent être évaluées numériquement.
ŕ y ( )d
4 - 84
t
B 1(t) +
1
0
,
4 - 85
122
Régime forcé
ŕ y ( )d
t
B 2(t) +
2
0
,
4 - 86
où :
y 1( ) + F( )e 0 cos( ),
4 - 87
0
y 2( ) + F( )e
sin( ).
Le domaine du temps est divisé en n intervalles de largeur .
t
t + n ,
+ n,
j
j + j + n t ,
y( )
j
4 - 88
4 - 89
4 - 90
t+n
Figure 4 - 13. Evaluation numérique de l’intégrale de Duhamel
ȍ y1( j)
n
B 1(t) +
,
j+0
n
B 2(t) +
4 - 91
ȍ y2( j)
,
4 - 92
et en substituant les relations 4 - 89 et 4 - 90 dans les deux dernières relations
j+0
ȍ ǒ Ǔ
n
B 1(t) +
j
y 1 n t nt + nt
j+0
n
B 2(t) +
ȍ y1ǒnj t Ǔ
n
j+0
n
ȍ y2ǒnj t Ǔ nt + nt ȍ y2ǒnj t Ǔ
,
4 - 93
.
4 - 94
En substituant ces deux relations dans la relation 4 - 82, on obtient :
j+0
x(t) +
j+0
te - 0t
ƪD sin(t)*D2 cos(t) ƫ
n m 1
,
4 - 95
où
D 1 + ȍ y 1ǒ jǓ
n
D2 +
j+0
n
,
j+0
.
4 - 96
ȍ y2ǒ jǓ
4 - 97
123
Vibrations mécaniques
L’évaluation numérique des intégrales 4 - 93 et 4 - 94 est faite à l’aide d’une
somme. Une solution plus précise pourrait être obtenue en évaluant l’intégrale à l’aide de la méthode des trapèzes ou de Simpson6.
En augmentant le nombre d’intervalles, la solution devient acceptable dans
la majorité des applications pratiques.
Dans le cas d’un oscilatteur élémentaire en régime libre conservatif, la relation 4 - 95 se réduit à :
x(t) +
t
ƪD sin( 0t)*D 2 cos( 0t) ƫ
nm 0 1
,
4 - 98
et les fonctions y 1 et y 2 se réduisent à :
y 1( ) + F( ) cos( 0 ),
4 - 99
y 2( ) + F( ) sin( 0 ).
4 - 100
Exemple 4-2
Déterminer la réponse d’un oscillateur élémentaire soumis à l’action d’un
saut indiciel d’amplitude F 0.
F(t)
F0
t
La réponse de l’oscillateur élémentaire avec amortissement faible en régime
forcé est donnée par la relation 4 - 77.
ŕ F( ) e
t
1
x(t) + m
ǒ
)Ǔ d
- 0(t- ) sin (t .
tu0
0
Dans le cas d’un saut indiciel F( ) + F 0
F
x(t) + m0
x(t) +
ŕe
t
ǒ
- 0(t- ) sin (t )Ǔ d
0
F 0ȱ e - 0t
ȳ
1cos( t - )ȧ
ȧ
k Ȳ Ǹ1 - 2
ȴ
+ arc tan
et le déphasage
6.
est défini comme suit :
Ǹ1 - 2
Simpson Thomas (1710-1761), mathématicien anglais. Ce disciple
de Newton publia un traité de calcul infinitésimal.
Extraits de “Encyclopédie des sciences”, Le Livre de Poche, 1998
124
Régime forcé
F(t)
F 0ńk
t
5 Système à plusieurs
degrés de liberté
Degrés de liberté
Le nombre de coordonnées nécessaires à la définition de la position de chaque point matériel d’un système est appelé degré de liberté ou ddl.
x1
x2
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
k1
k2
m1
Figure 5 - 1.
m2
Système à deux degrés de liberté
Pour chaque degré de liberté on pourra écrire une équation de la forme :
..
F xj + m jxj
ou
..
M zk + I zk zk,
5-1
où F xj représente la composante en x de toutes les forces agissant sur la
masse ayant le jème degré de liberté et M zk la composante suivant l’axe z
de tous les couples agissant sur la masse ayant le kème degré de liberté.
126
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Système à deux degrés de liberté
Régime libre d’un système à deux degrés de liberté
Soit le système à deux degrés de liberté selon figure :
x1
x2
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
É
k1
k2
m1
Figure 5 - 2.
m2
Régime libre d’un système à deux degrés de liberté
Masses isolées
y
Masse 1
y
F 1N
k 1x 1
..
k 2(x 2 - x 1)
O
x1
x
O
x
m 1g
y
Masse 2
y
F 2N
..
k 2(x 2 - x 1)
x2
O
x
O
x
m 2g
Figure 5 - 3.
Masses isolées
Equations du mouvement
ƪF xi + m iaxi]
..
- k 1x 1)k 2(x 2 - x 1) + m 1x 1,
..
- k 2(x 2 - x 1) + m 2x 2.
5-2
127
Vibrations mécaniques
Ces deux équations peuvent s’écrire sous la forme :
..
m 1x 1)(k 1)k 2)x 1 - k 2x 2 + 0,
..
m 2x 2)k 2x 2 - k 2x 1 + 0.
5-3
Les solutions sont de la forme :
x 1 + X 1 sin(t) ),
5-4
x 2 + X 2 sin(t) ),
5-5
..
x 1 + - 2X1 sin(t) ),
5-6
..
x 2 + - 2X2 sin(t) ),
5-7
et par substitution dans les équations différentielles initiales :
(k 1)k 2 - 2m 1)X 1 sin(t) )*k 2X 2 sin(t) ) + 0,
(k 2 - 2m 2)X 2 sin(t) )*k 2X 1 sin(t) ) + 0.
5-8
Pour satisfaire cette condition, il faut :
(k 1)k 2 - 2m 1)X 1 - k 2X 2 + 0,
(k 2 - 2m 2)X 2 - k 2X 1 + 0.
5-9
Une solution consiste en X 1 + X 2 + 0.
Une solution non triviale sera obtenue si le déterminant des coefficients de
X 1 et X 2 est nul.
- k2 ȧ
ȧk1)k2 - 2m 1
+ 0.
ȧ
- k2
k 2 - 2m 2 ȧ
ȧ
ȧ
5 - 10
Ce qui donne :
(k 1)k 2 - 2m 1)(k 2 - 2m 2) - k 22 + 0,
5 - 11
m 1m 2 4 - [m 1k 2)m 2(k 1)k 2)] 2)k1k 2 + 0.
5 - 12
Cette équation est appelée l’équation caractéristique. Ses racines sont :
Ǹ 2
21 + - b) b - 4ac,
2a
Ǹ 2
22 + - b - b - 4ac,
2a
5 - 13
5 - 14
avec :
a + m 1m 2,
b + - [m1k 2)m 2(k 1)k 2)],
c + k 1k 2.
Un système à deux degrés de liberté possède deux pulsations propres,
1 et 2, dont la valeur dépend des raideurs et des masses.
(k 1)k 2 - 21m 1)X 1 - k 2X 2 + 0,
(k 2 - 21m 2)X 2 - k 2X 1 + 0 .
5 - 15
128
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Le rapport entre X 1 et X 2 donne :
ǒ Ǔ
X1
1 +
X2
+ 1
k2 - 21m 2
X 11
k2
+
+
+
,
X 21
k2
k 1)k 2 - 2m 1
5 - 16
1
où X 11 et X 21 sont respectivement les amplitudes des masses m 1 et m 2 si
le système vibre selon la première pulsation propre.
La solution de l’équation différentielle est :
x 11 + X 11 sin( 1t) 1),
5 - 17
x 21 + X 21 sin( 1t) 1),
5 - 18
et en utilisant les relations précédentes :
x 11 + 1X21 sin( 1t) 1),
5 - 19
x 21 + X 21 sin( 1t) 1),
5 - 20
et par similarité :
ǒ Ǔ
X1
2 +
X2
+ 2
k2 - 22m 2
X 12
k2
+
+
+
,
X 22
k2
k 1)k 2 - 2m 1
5 - 21
2
x 12 + 2X22 sin( 2t) 2),
5 - 22
x 22 + X 22 sin( 2t) 2).
5 - 23
Les solutions complètes sont obtenues en sommant les deux solutions particulières :
x 1(t) + 1X21 sin( 1t) 1)) 2X 22 sin( 2t) 2),
5 - 24
x 2(t) + X 21 sin( 1t) 1))X 22 sin( 2t) 2).
5 - 25
Les quatre constantes X 21, X 22,
tions initiales.
1,
2 seront obtenues à partir des condi-
Les rapports d’amplitude 1 et 2 sont appelés les modes principaux de
vibration. On parle de mode propre, le mouvement du système lié à une pulsation propre.
Un système à deux degrés de liberté possède donc deux modes propres. En
choisissant les conditions initiales X 22 + 0, le système oscille selon le premier mode propre seulement. Dans un cas général, les deux modes existent
simultanément, mais n’ont pas d’influence réciproque. Cette propriété
importante est appelée orthogonalité des modes propres.
Equations mises sous forme matricielle
ƪ
m1 0
0 m2
ƫƪ ƫ ƪ
..
x1
k 1)k 2 - k 2
..
)
x2
- k2 k2
ou, en condensant l’écriture,
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
0
x2 + 0 ,
5 - 26
129
Vibrations mécaniques
..
Mx ) Kx + 0.
5 - 27
On adopte les définitions suivantes :
x
vecteur des déplacements,
..
x
vecteur des accélérations,
M
matrice des masses,
K
matrice de rigidité.
On peut remarquer que la matrice des masses et la matrice de rigidité sont
symétriques.
La forme matricielle générale d’un système à deux degrés de liberté est :
ƪ
m 11 m 12
m 21 m 22
ƫƪ ƫ ƪ
..
x1
k 11 k12
..
)
x2
k 21 k22
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
0
x2 + 0 .
5 - 28
Solution
x + X sin(t) ),
avec :
5 - 29
ƪƫ
X1
X+ X .
2
5 - 30
La dérivée seconde par rapport au temps donne :
..
x + * 2X sin(t) ),
5 - 31
et par substitution dans l’équation différentielle initiale :
..
x + - 2X sin(t) ),
5 - 32
- 2MX sin(t) ))KX sin(t) ) + 0,
5 - 33
équation qui peut être écrite sous la forme :
[K- 2M]X sin(t) ) + 0.
5 - 34
Cette équation devant être satisfaite pour tout temps, il s’ensuit que :
[K- 2M]X + 0.
5 - 35
Une solution non triviale est obtenue si le déterminant est nul.
Ť K- 2M Ť + 0.
5 - 36
En utilisant la forme générale de la matrice de rigidité et de la matrice des
masses, on peut écrire :
ƪ
ƫ ƪ
ƫ
k 11 k 12
m 11 m 12
[K- 2M] + k k
- 2 m m
,
21
22
21 22
ȱk11 - 2m 11 k12 - 2m 12ȳ
+ȧ
ȧ,
2
2
Ȳk21 - m 21 k22 - m 22ȴ
5 - 37
130
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Le déterminant devant être égal à 0 :
Ť
K- 2M
k 11 - 2m 11 k 12 - 2m 12ȧ
ȧ
Ť +ȧ
ȧ,
ȧk21 - 2m 21 k22 - 2m 22ȧ
5 - 38
+ (k 11 - 2m 11)(k 22 - 2m22) - (k 12 - 2m 12)(k 21 - 2m 21),
+ 0.
Cette équation peut être écrite sous la forme :
4(m 11m 22 - m 12m 21)) 2(m 12k 21)m 21k12 - m 11k 22 - m 22k 11)
)k 11k 22 - k 12k 21 + 0.
5 - 39
On retrouve ainsi l’équation caractéristique dont les solutions sont 1 et 2.
Si les matrices de masse et de rigidité sont symétriques
m 12 + m 21 et k12 + k 21,
5 - 40
l’équation caractéristique se réduit à :
4(m 11m 22 - m 212)) 2(2m 12k 21 - m 11k 22 - m22k 11)
)k 11k 22 - k 212 + 0.
5 - 41
Après avoir déterminé 1 et 2, on peut écrire :
ƪ ƫ
x1
x + x + X 1 sin(1t) 1))X 2 sin( 2t) 2),
2
5 - 42
où X 1 et X 2 sont respectivement les vecteurs :
ƪ ƫ
X 11
X1 + X
21
ƪ ƫ
X 12
et X2 + X
.
22
5 - 43
Ces relations sont utilisées pour calculer les rapports d’amplitudes :
X 11
X
et 2 + 12,
X 21
X 22
5 - 44
X 11 + 1X21 et X 12 + 2X 22.
5 - 45
1 +
Ainsi les vecteurs X 1 et X 2 peuvent être écrits sous la forme :
X1 +
X2 +
ƪ ƫ ƪƫ
ƪ ƫ ƪƫ
1X21
1
+
X 21,
X 21
1
5 - 46
2X22
2
X 22 + 1 X 22.
5 - 47
La solution s’écrit sous la forme :
131
Vibrations mécaniques
ƪ ƫ
x1
x + x + X 1 sin(1t) 1))X 2 sin( 2t) 2),
2
+
+
ƪƫ
5 - 48
ƪƫ
1
X 21 sin( 1t) 1)) 2 X 22 sin( 2t) 2),
1
1
ƪ ƫƪ
1 2
1 1
ƫ
X 21 sin( 1t) 1)
X 22 sin( 2t) 2) .
La solution comprend quatre constantes qui peuvent être déterminées à
l’aide des conditions initiales.
Conditions initiales :
ƪ ƫ
x 10
x0 + x
20
ƪ ƫ
.
x 10
et x0 + x.
,
20
.
ƪ ƫ ƪ ƫƪ
x 10
x0 + x
+ 1 2
20
1 1
X 21 sin
X 22 sin
ƪ ƫ ƪ ƫƪ
.
x 10
x 0 + x.
+ 1 2
1 1
20
.
5 - 49
1
2
ƫ
1X 21 cos
2X 22 cos
,
5 - 50
1
2
ƫ
.
5 - 51
Exemple 5-1
Déterminer l’équation différentielle du mouvement du système à deux
degrés de liberté, selon figure.
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
I1
k1
I2
k2
k3
É
É
É
É
É
x
Nous admettons que 1 correspond à la déformation angulaire de l’arbre 1
au niveau du volant 1 et 2 correspond à la déformation de l’arbre 3 au niveau
du volant 2.
1
Système de coordonnées
Axe O,x
132
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
2
Volants isolés
k 1 1
k 2( 2 - 1)
..
1
x
k 2( 2 - 1)
x
k 3 2
..
2
x
3
x
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement circulaire
4
Etude dynamique
..
[Mxi + I i i]
..
- k 1 1)k 2( 2 - 1) + I 1 1
..
- k 2( 2 - 1))k 3 2 + I 2 2
qui peuvent s’écrire sous la forme :
..
I 1 1)(k 1)k 2) 1 - k 2 2 + 0
..
I 2 2)(k 2)k 3) 2 - k 2 1 + 0
avec :
ki +
G i IP
i
li
Les deux équations différentielles peuvent s’écrire sous la forme matricielle
suivante :
ƪ ƫ
..
ƪ
I 1 0 ȱ 1ȳ k 1)k 2 - k 2
.. )
ȧ
0 I2 ȧ
Ȳ 2ȴ - k2 k2)k3
qui est équivalente à :
..
M)K + 0
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
1
0
2 + 0
133
Vibrations mécaniques
Régime libre dissipatif d’un système à deux degrés de liberté
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
Soit le système à deux degrés de liberté, selon figure :
k1
k2
c1
c2
m1
m2
x
Figure 5 - 4.
Régime libre dissipatif d’un système à deux degrés de liberté
y
Masse 1
y
F 1N
k 1x 1
.
.
O
c 1x 1
..
k 2(x 2 - x 1)
x1
.
c 2(x 2 - x 1)
O
x
x
m 1g
y
Masse 2
y
F 2N
..
k 2(x 2 - x 1)
.
.
c 2(x 2 - x 1)
x2
x
O
x
O
m 2g
Figure 5 - 5.
Masses isolées
Equations du mouvement
.
.
.
..
.
.
..
- k 1x 1)k 2(x 2 - x 1) - c 1x 1)c 2(x 2 - x1) + m 1x 1,
5 - 52
- k 2(x 2 - x 1) - c 2(x 2 - x 1) + m 2x 2,
qui peuvent être écrites sous la forme :
..
.
.
m 1x 1)(c 1)c 2)x 1 - c 2x 2)(k 1)k 2)x1 - k 2x 2 + 0,
..
.
5 - 53
.
m 2x 2 ) c 2x 2 * c 2x 1 ) k 2x 1 + 0.
Ces deux équations s’écrivent sous la forme matricielle suivante :
ƪ
m1 0
0 m2
ƫƪ ƫ ƪ
..
ƫ ƪƫ ƪ
.
x1
x1
k 1)k 2 - k 2
c 1)c 2 - c 2
..
.
)
)
)
- c2 c2
x2
x2
- k2 k2
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
0
x2 + 0 , 5 - 54
134
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
dont la forme simplifiée est :
..
.
Mx ) Cx ) Kx + 0.
La matrice M correspond à la matrice des masses
ƪ
ƫ ƪ
ƫ
m 11 m 12
m1 0
+
.
M+ m m
0 m2
21
22
5 - 55
5 - 56
La matrice C correspond à la matrice d’amortissement
ƪ
ƫ ƪ
ƫ
c 11 c 12
c1)c 2 - c 2
C+ c c
+
- c2 c2 .
21 22
5 - 57
La matrice K correspond à la matrice de rigidité
ƪ
ƫ ƪ
ƫ
k 11 k 12
k1)k 2 - k 2
K+ k k
+
- k2 k2 .
21 22
5 - 58
Solution
La procédure est semblable à celle utilisée pour un système à un degré de
liberté. La solution est de la forme :
ƪƫ
X1
x + Xe st + X e st.
2
5 - 59
Les dérivées successives donnent les vecteurs vitesse et accélération.
.
x + sXe st,
5 - 60
..
x + s 2Xe st,
et par substitution dans l’équation différentielle initiale :
5 - 61
s 2MXe st)sCXe st)KXe st + 0,
qui peut être écrite sous la forme :
5 - 62
[ s 2M)sC)K ] Xe st + 0.
Cette équation doit être satisfaite pour tout temps :
5 - 63
[ s 2M)sC)K ] X + 0.
Cette équation peut être écrite sous une forme plus explicite :
5 - 64
ƪƫ
ȱs2m 11)sc11)k11 s2m 12)sc12)k12ȳ X1
0
ȧs2m )sc )k s2m )sc )k ȧ X2 + ƪ0ƫ.
22
22
22ȴ
Ȳ 21 21 21
5 - 65
Cette équation possède une solution non triviale si :
| s 2M)sC)K | + 0,
5 - 66
ȧs2m 11)sc11)k11 s2m 12)sc12)k12ȧ+ 0.
ȧs2m )sc )k s2m )sc )k ȧ
22
22
22 ȧ
ȧ 21 21 21
5 - 67
ou :
135
Vibrations mécaniques
Ce qui donne l’équation caractéristique :
(s 2m 11)sc 11)k 11)(s 2m 22)sc 22)k 22)
5 - 68
- (s 2m 12)sc 12)k 12)(s 2m 21sc 21)k 21) + 0,
(m 11m 22 - m 12m 21)s 4)(m 22c 11)m 11c 22 - m12c 21 - m 21c 12)s 3
5 - 69
)(m 11k 22)m 22K 11)c 11c 22 - m 12k 21 - m 21k12 - c 12c 21)s 2
)(c 11k 22)c 22k 11 - c 12k 21 - c 21k 12)s)k 11k22 - k 12k 21 + 0.
Racines réelles négatives
Si les quatre racines sont réelles et négatives, il existe une solution indépendante associée à chacune d’entre elles. La solution complète correspond à
la somme des quatre solutions.
x 1(t) + 1X21e s 1t) 2X 22e s2t) 3X 23e s3t) 4X 24e s 4t,
5 - 70
x 2(t) + X 21es 1t)X 22e s2t)X 23e s 3t)X 24e s4t.
5 - 71
où 1, 2, 3 et 4 sont les rapports d’amplitude définis de la façon suivante :
i +
ǒ Ǔ
X1
X2
+
s+s i
X 1i
.
X 2i
5 - 72
Les rapports d’amplitude sont obtenus à partir de la relation suivante :
ƪƫ
ȱs2m 11)sc11)k11 s2m 12)sc12)k12ȳ X1
0
ȧs2m )sc )k s2m )sc )k ȧ X2 + ƪ0ƫ.
22
22
22ȴ
Ȳ 21 21 21
5 - 73
Ce cas correspond à un amortissement fort ; le système n’oscille pas.
Racines complexes
Les racines vont par paires et elles sont complexes conjuguées avec une
partie réelle négative.
Elles s’écrivent sous la forme :
s 2 + - p 1 - j 1,
s 1 + - p 1)j 1,
s 3 + - p 2)j
s4 + - p2 - j
2,
2,
où p 1, p 2, 1 et 2 sont des nombres réels positifs. La solution peut donc
être mise sous la forme :
x 1(t) + X 11es 1t)X 12e s2t)X 13e s 3t)X 14e s4t,
5 - 74
x 2(t) + X 21es 1t)X 22e s2t)X 23e s 3t)X 24e s4t,
5 - 75
x 1(t) + 1X21e s 1t) 2X 22e s2t) 3X 23e s3t) 4X 24e s 4t,
5 - 76
x 2(t) + X 21es 1t)X 22e s2t)X 23e s 3t)X 24e s4t,
5 - 77
X 1i
.
X 2i
5 - 78
ou :
i +
ǒ Ǔ
X1
X2
+
s+s i
136
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Les rapports d’amplitude sont obtenus à partir de la relation suivante :
ƪƫ
ȱs2m 11)sc11)k11 s2m 12)sc12)k12ȳ X1
0
ȧs2m )sc )k s2m )sc )k ȧ X2 + ƪ0ƫ.
22
22
22ȴ
Ȳ 21 21 21
5 - 79
Les constantes X 21, X 22, X 23 et X 24 peuvent être obtenues à partir des
conditions initiales. Il est cependant plus pratique d’exprimer les solutions
x 1(t) et x 2(t) sous la forme de fonctions harmoniques.
x 1(t) + 1X21e (- p 1)j 1)t) 2X 22e (- p 1 - j 1)t
) 3X 23e (- p2)j 2)t) 4X 24e (- p2 - j 2)t,
5 - 80
x 2(t) + X 21e(- p 1)j 1)t)X 22e (- p 1 - j 1)t
)X 23e (- p2)j 2)t)X 24e (- p2 - j 2)t.
Ces deux équations peuvent être réécrites sous la forme :
x 1(t) + e - p1t( 1X 21e j 1t) 2X 22e - j 1t)e *p2t( 3X 23e j 2t) 4X 24e - j 2t, 5 - 81
x 2(t) + e - p1t(x 21e j 1t)X 22e - j 1t))e - p2t(X 23e j 2t)X 24e - j 2t).
et selon Euler :
e j 1t + cos
1t)j sin
1t,
e - j 1t + cos
1t - j sin
1t,
e j 2t + cos
2t)j sin
2t,
e - j 2t + cos
2t - j sin
2t,
5 - 82
par substitution dans les relations précédentes :
x 1(t) + e - p1t[( 1X 21) 2X 22) cos
1t)j( 1X 21 - 2X 22) sin
)e - p2t[( 3X 23) 4X 24) cos
x 2(t) + e - p1t[(X 21)X 22) cos
2t)j( 3X 23 - 4X 24) sin
1t)j(X21 - X 22) sin
)e - p2t[(X 23)X 24) cos
5 - 83
1t]
2t],
1t]
2t)j(X 23 - X 24) sin
2t].
x 1(t) + C 11e - p 1t sin(
1t) 11))C 12e
- p 2t
sin(
2t) 12),
x 2(t) + C 21e - p 1t sin(
1t) 21))C 22e
- p 2t
sin(
2t) 22).
5 - 84
Ce cas est semblable à celui de l’amortissement faible d’un système à un
degré de liberté.
Vibrations mécaniques
137
Racines réelles et complexes
Ce cas s’obtient lorsque s 1 et s 2 sont réelles et négatives et s 3 et s 4 sont
complexes.
s 3 + - p)j ,
5 - 85
s4 + - p - j .
5 - 86
où p et sont des nombres positifs.
x 1(t) + 1X21e s 1t) 2X 22e s2t) 3X 23e (- p)j )t) 4X 24e (- p - j )t,
x 2(t) + X 21es 1t)X 22e s2t)X 23e (- p)j )t)X 24e (- p - j )t.
5 - 87
où 1, 2, 3et 4 sont les rapports d’amplitude et X 21, X 22, X 23 et X 24 des
constantes qui peuvent être déterminées à partir des conditions initiales.
Finalement on peut aussi écrire :
x 1(t) + 1X21e s 1t) 2X 22e s2t )
e - pt[( 3X 23) 4X 24) cos t)j( 3X 23 - 4X 24) sin t],
x 2(t) + X 21es 1t)X 22e s2t)
e - pt[(X 23)X 24) cos t)j(X 23 - X24) sin t].
5 - 88
138
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Régime forcé harmonique d’un système à deux degrés de liberté
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
F 1(t)
F 2(t)
k1
k2
c1
c2
m1
m2
x
Figure 5 - 6.
Régime forcé harmonique d’un système
à deux degrés de liberté
y
Masse 1
y
F 1N
k 1x 1
.
F 1(t)
.
O
c 1x 1
..
k 2(x 2 - x 1)
x1
.
c 2(x 2 - x 1)
O
x
x
m 1g
y
Masse 2
y
F 2N
k 2(x 2 - x 1)
.
.
c 2(x 2 - x 1)
..
F 2(t)
x2
O
x
O
x
m 2g
Figure 5 - 7.
Masses isolées
F 1(t) et F 2(t) sont les forces harmoniques qui agissent respectivement sur
.
.
les masses m 1 et m 2. On admet aussi que x 2 u x 1 et x 2 u x 1.
Equations du mouvement
.
.
.
..
.
.
..
F 1 sin ft - k 1x 1)k2(x 2 - x 1) - c 1x 1)c 2(x 2 - x 1) + m 1x 1,
5 - 89
F 2 sin ft - k 2(x 2 - x1) - c 2(x 2 - x 1) + m 2x 2.
qui peuvent être écrites sous la forme :
..
.
.
m 1x 1)(c 1)c 2)x 1 - c 2x 2)(k 1)k 2)x1 - k 2x 2 + F 1 sin ft,
..
.
.
m 2x 2)c 2x 2 - c 2x 1)k 2x 1 + F 2 sin ft.
5 - 90
139
Vibrations mécaniques
Ces deux équations s’écrivent sous la forme matricielle suivante :
ƪ
m1 0
0 m2
ƪ
)
ƫƪ ƫ ƪ
..
x1
c 1)c 2 - c 2
..
)
- c2 c2
x2
k 1)k 2 - k 2
- k2 k2
ƫƪ ƫ
.
x1
.
x2
5 - 91
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
F1
x 2 + F 2 sin ft.
La fonction harmonique peut être exprimée sous la forme complexe suivante :
f(t) + Fe jft + F(cos ft)j sin ft),
où :
5 - 92
ƪƫ
F1
F+ F .
2
5 - 93
L’équation différentielle s’écrit sous la forme matricielle suivante :
..
.
Mx)Cx)Kx + Fe jft.
5 - 94
Pour trouver la forme de l’état permanent du système à deux degrés de
liberté on admet une solution de la forme :
x + Xe jft,
5 - 95
et par substitution dans l’équation précédente :
[ - 2f M)j fC)K ] Xe jft + Fe jft,
5 - 96
[ K- 2f M)j fC ] X + F,
5 - 97
ƪƫ
ȱk11 - 2f m 11)jfc11 k12 - 2f m 12)jfc12ȳȱX1ȳ F 1
ȧk - 2m )j c k - 2m )j c ȧȧX2ȧ+ F 2 .
Ȳ 21 f 21 f 21 22 f 22 f 22ȴȲ ȴ
5 - 98
Cette équation est utilisée pour déterminer l’état permanent X 1 et X 2
ƪƫ
ȱk22 - 2f m 22)jfc22 2f m 12 - k12 - jfc12 ȳ F 1
1
,
X+ ȧ 2
f m 21 - k 21 - j fc 21 k 11 - 2f m 11)j fc 11ȧ F 2
Ȳ
ȴ
5 - 99
ce qui donne :
X 1 + 1 [F 1(k 22 - 2f m 22)j fc 22))F 2( 2f m12 - k 12 - j fc 12)],
X 2 + 1 [F 1( 2f m 21 - k 21 - j fc 21))F 2(k 11 - 2f m 11)j fc 11)],
où le déterminant de la matrice des coefficients est donné par
5 - 100
+ (k 11 - 2f m11)j fc 11)(k 22 - 2f m 22)j fc 22)
5 - 102
- (k 12 - 2f m 12)j fc 12)(k 21 - 2f m 21)j fc21).
5 - 101
140
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Si les facteurs d’amortissement sont nuls, le déterminant se réduit à :
+ (k 11 - 2f m11)(k 22 - 2f m 22) - (k 12 - 2f m 12)(k 21 - 2f m 21),
5 - 103
+ a( 2f * 21)( 2f * 22).
où :
a + m 11m 22 - m12m 21, 1 et 2 sont les pulsations propres du système.
Par rapport à ces pulsations propres le déterminant s’écrit :
+ d 1)jd 2,
5 - 104
où les constantes d 1 et d 2 sont obtenues à partir des masses, des facteurs
d’amortissements et des raideurs.
d 1 + a( 2f - 21)( 2f - 22) - 2f (c 11c 22 - c 12c 21),
5 - 105
d 2 + f[c11(k 22 - 2f m 22))c 22(k 11 - 2f m 11) - c 12(k 21 - 2f m 21)
- c 21(k 12 - 2f m 12)].
5 - 106
Ainsi, les amplitudes du régime permanent s’écrivent :
X1 +
b 1)jb2
(b d )b 2d 2))j(d 1b 2 - d 2b 1)
+ 1 1
,
d 1)jd2
d 2)d 2
5 - 107
c 1)jc2
(c d )c 2d 2))j(d 1c 2 - d 2c 1)
+ 1 1
.
d 1)jd2
d 2)d 2
5 - 108
1
X2 +
1
2
2
où b 1, b 2, c 1 et c 2 sont données par :
b 1 + F 1(k22 - 2f m 22) - F 2(k 12 - 2f m 12),
5 - 109
b 2 + F 1fc 22 - F 2 fc 12,
5 - 110
c 1 + F 2(k11 - 2f m 11) - F 1(k 21 - 2f m 21),
5 - 111
c 2 + F 2fc 11 - F 1 fc 21.
5 - 112
Les amplitudes X 1 et X 2 peuvent aussi être exprimées sous la forme exponentielle complexe :
X 1 + A 1e j 1 ,
5 - 113
X 2 + A 2e j 2 ,
5 - 114
où A 1, A 2,
1 et
A1 +
A2 +
2 sont donnés par :
1 Ǹ(b d )b d ) 2)(d b - d b ) 2,
1 1
2 2
1 2
2 1
d 21)d22
1
d 21)d22
Ǹ(c1d1)c2d2) 2)(d1c2 - d2c1) 2,
5 - 115
5 - 116
ce qui est équivalent à :
Ǹb21 ) b22
A1 +
,
Ǹd21 ) d22
Ǹc21 ) c22
A2 +
,
Ǹd21 ) d22
5 - 117
141
Vibrations mécaniques
1 + arctan
2 + arctan
ǒ
ǒ
Ǔ
Ǔ
d 1b 2 - d 2b 1
,
b 1d1)b 2d 2
5 - 118
d 1c 2 - d 2c 1
.
c 1d1)c 2d 2
5 - 119
Le régime permanent peut s’écrire sous la forme :
X 1ȳ
ȱA1ej ȳ j t
ȱ
j
t
x(t) +ȧ ȧe +ȧ
,
j ȧe
A
e
2
ȲX2ȴ
Ȳ
ȴ
5 - 120
x 1(t) + A 1ej(ft) 1),
5 - 121
x 2(t) + A 2ej(ft) 2).
5 - 122
1
f
f
2
142
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Système à plusieurs degrés de liberté
Réponse temporelle obtenue par découplage des équations
(Time history modal superposition)
La technique de découplage des équations, dans le cadre de l’analyse dynamique, est certainement la méthode la plus courante. Cette technique ne
s’applique que dans le cas d’une analyse linéaire et son utilisation doit être
précédée d’une analyse modale.
Les équations différentielles d’une structure à N degrés de liberté sont couplées et elles ne peuvent être résolues séparément. Il peut être démontré
que la réponse d’une telle structure peut être obtenue par superposition des
réponses de N structures de type oscillateur élémentaire.
F 1(t)
F 2(t)
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
k1
c1
k2
m1
c2
x
Figure 5 - 8.
1
Système à deux degrés de liberté
Système de coordonnées
Axes O,x,y
m2
143
Vibrations mécaniques
2
Corps isolés
y
Masse 1
y
F 1N
k 1x 1
F 1(t)
.
c 1x 1
.
O
..
k 2(x 2 - x 1)
.
c 2(x 2 - x 1)
x1
x
O
x
m 1g
y
Masse 2
y
F 2N
.
..
F 2(t)
k 2(x 2 - x 1)
.
c 2(x 2 - x 1)
x2
O
x
O
x
m 2g
Figure 5 - 9.
3
Masses isolées
Etude cinématique
Types de mouvements : mouvements rectilignes variés
4
Etude dynamique
Equation du mouvement de la masse 1
[F x + ma x]
.
.
.
..
- k 1x 1 - c 1x 1)k 2(x 2 - x 1))c 2(x 2 - x1))F 1(t) + m 1x 1
..
.
5 - 123
.
m 1x 1)(c 1)c 2)x 1 - c 2x 2)(k 1)k 2)x1 - k 2x 2 + F 1(t)
5 - 124
Equation du mouvement de la masse 2
[F x + ma x]
.
.
..
- k 2(x 2 - x 1) - c 2(x 2 - x 1))F 2(t) + m 2x 2
..
.
5 - 125
.
m 2x 2 - c 2x 1)c 2x 2 - k 2x 1)k 2x2 + F 2(t)
5 - 126
Il y a deux équations différentielles car le système possède deux degrés de
liberté.
Les deux équations du mouvement peuvent s’écrire sous la forme matricielle
suivante :
ƪ
m1 0
0 m2
ƫƪ ƫ ƪ
..
x1
c 1)c 2 - c 2
..
)
c2
- c2
x2
ƫƪ ƫ ƪ
.
x1
k 1)k 2 - k 2
.
)
x2
- k2
k2
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
F 1(t)
x2 + F 2(t)
5 - 127
144
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
dont la forme simplifiée est :
..
.
Mx ) Cx ) Kx + F
5 - 128
La matrice M correspond à la matrice des masses
ƪ
ƫ ƪ
m 11 m 12
m1 0
+
M+ m m
0 m2
21
22
ƫ
5 - 129
La matrice C correspond à la matrice d’amortissement
ƪ
ƫ ƪ
c 11 c 12
c1)c 2 - c 2
C+ c c
+
c2
- c2
21 22
ƫ
5 - 130
La matrice K correspond à la matrice de rigidité
ƪ
ƫ ƪ
k 11 k 12
k1)k 2 - k 2
+
K+ k k
- k2
k2
21 22
ƫ
5 - 131
Analyse modale
En régime libre, les forces externes sont nulles et la structure peut vibrer sous
l’effet de conditions initiales. En pratique cela est peu courant mais le résultat
de l’analyse du régime libre permet de connaître les valeurs des paramètres
dynamiques les plus importants de la structure : fréquences propres et
modes propres.
Pour un système sans amortissement il s’agit en fait de trouver la solution
de l’équation
..
[ M ]{x})[ K ]{x } + {0}.
5 - 132
Pour un système à N degrés de liberté, les solutions sont de la forme
{x } i + { } i sin( it - i),
5 - 133
où { } i représente le ième mode propre de pulsation i et de déphasage i.
Après substitution dans l’équation différentielle du mouvement on obtient
ǒ[ K ] - 2i [ M ]Ǔ{ } i + {0}.
5 - 134
La forme explicite de cette dernière équation est
ȱk11 - 2m 1 k12 . . k1N ȳȡ1ȣ ȡ0ȣ
ȧ.2ȧ ȧ0.ȧ
ȧ
k 22 - 2m 2 . .
k 2N
ȧ
ȧ k21
ȧȥ
..
..
.. ..
..
. Ȧ.
ȧ .
ȧ .. Ȧ + ȥ
.
. .
.
ȧ0.ȧ
ȧ
ȧ
ȧ
ȧ
ȢȤ
k N2
. . k NN - 2m NȴȢ NȤi
Ȳ kN1
5 - 135
La formulation précédente correspond à un problème aux valeurs propres.
Les valeurs { } i calculées lors d’une analyse modale ne correspondent pas
aux amplitudes du système en régime libre. L’objectif d’une analyse modale
Vibrations mécaniques
145
est de calculer les valeurs i et les vecteurs { } i qui satisfont l’équation
5 - 134. Une solution non triviale est obtenue, si le déterminant
detǒ[ K ] - 2i [ M ]Ǔ + 0.
5 - 136
L’équation précédente est une équation polynomiale de degré N en i. On
peut résoudre l’équation 5 - 135 pour chaque solution de l’équation 5 - 136.
Une solution i de l’équation 5 - 136 est appelée une valeur propre. A chaque
valeur propre correspond un vecteur propre. En dynamique une valeur propre est appelée une fréquence propre et un vecteur propre un mode propre.
La fréquence propre la plus basse est appelée la fréquence propre fondamentale.
L’équation 5 - 134 peut être écrite sous la forme
[ K ]{ } i + 2i [M ]{ } i,
5 - 137
qui s’interprète physiquement comme un équilibre entre les forces intérieures et les forces d’inertie. Un mode propre peut être vu comme la déformation
de la structure soumise à l’action des forces de la partie de droite de la relation précédente.
Pour un système à deux degrés de liberté, en choisissant des conditions initiales de façon à ce que x 2 = 0, le système oscille selon le premier mode propre. De la même façon il oscille selon le deuxième mode propre si x 1 = 0.
Dans le cas général, les deux modes existent simultanément mais ils n’ont
pas d’influence réciproque. Cette propriété est appelée orthogonalité des
modes propres.
Matrices modale et spectrale
La matrice modale est définie par
[ P ] + [ 1 2 AAA i],
5 - 138
et la matrice spectrale par
[ ] + diag(i).
5 - 139
Pour obtenir ces deux matrices à l’aide de MATLAB il suffit de donner la commande
[P,lambda] = eig( M^(- .5)*K*M^(- .5)).
5 - 140
Il est recommandé d’ordonner ces matrices dans l’ordre croissant des
valeurs propres et de multiplier par - 1 chaque vecteur propre si le coefficient
de la première rangée est négatif.
Si MATLAB n’est pas installé sur votre ordinateur mais que vous êtes
connectés à Internet: allez sous www.calcugator.com
M=( m11, m12 @ m21, m22)
5 - 141
K=( k11, k12 @ k21,k22)
5 - 142
146
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
P=eigenmatrix(inverse(M)*K)
5 - 143
lambda=eigenvalues(inverse(M)*K)
5 - 144
Découplage des équations
La matrice modale peut être utilisée pour découpler les équations du mouvement. Considérons l’équation du mouvement d’un système non amorti
..
[ M ]{x})[ K ]{x } + { F }.
5 - 145
Il est possible d’effectuer le changement de coordonnées
{x } + [P]{ r },
5 - 146
et la relation 5 - 145 devient
..
[ M ][ P ]{r})[ K ][ P ]{r } + { F }.
5 - 147
En multipliant l’équation précédente par la transposée de la matrice modale
on obtient
ǒ[P ]T[M ][P ]Ǔ{r})ǒ[P ]T[K ][P ]Ǔ{r } + [P ]T{F }.
..
5 - 148
Comme les produits entre parenthèses donnent des matrices diagonales dû
à l’orthogonalité des modes propres, les équations sont découplées et elles
peuvent être résolues comme N équations à un degré de liberté par équation.
Pour construire la matrice modale, il faut l’ordonner dans le sens croissant
des valeurs propres et assigner la valeur 1 à in où i représente le vecteur
propre et n le nombre de degrés de liberté.
Modes orthonormés
Chacun des termes de la matrice diagonale des masses est appelé masse
généralisée et chacun des termes de la matrice diagonale des rigidités est
appelé raideur généralisée.
Lorsque les vecteurs propres de la matrice modale sont remplacés par les
~
vecteurs propres orthonormés, la matrice modale est désignée par [P] et l’on
en déduit
ƪP~ ƫ [M ]ƪP~ ƫ + [I],
5 - 149
ƪP~ ƫ [K ]ƪP~ ƫ + [].
5 - 150
T
T
Un vecteur propre orthonormé correspond au vecteur propre obtenu en divisant chacun de ses coefficients par la racine carrée de la masse généralisée
correspondante.
[ P ] T[ M ][ P ] + [M ii],
5 - 151
147
Vibrations mécaniques
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
où [M ii] correspond à la matrice de masse généralisée.
21 + 1
1
r1
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
ÉÉ
22 + 2
1
r2
Figure 5 - 10. Coordonnées modales
Méthodologie pour le découplage des équations
1. Déterminer les matrices de raideur et de masse ;
2. calculer les valeurs propres 1 + 2 et 2 + 2 ;
1
2
3. calculer les vecteurs propres et normer à 1 la dernière composante de
chaque vecteur ;
4. écrire la matrice modale [P] dans l’ordre croissant des valeurs propres
;
T
5. calculer la masse généralisée [ P ] [ M ][ P ] + [M ii] ;
6. calculer la matrice modale orthonormée (diviser chaque composante de
chaque vecteur propre de [P] pas la racine carrée de la masse généralisée correspondante ;
7. écrire les équations modales découplées
ǒƪ ƫ
Ǔ ǒ
Ǔ ǒ
Ǔ
P [ M ]ƪPƫ {r}) ƪPƫ [ C ]ƪPƫ {r}) ƪPƫ [ K ]ƪPƫ {r} + ƪPƫ {F} ;
~
T
~
..
~
T
~
.
~
T
~
~
T
8. résoudre les équations découplées selon les méthodes habituelles (ne
pas oublier de calculer les conditions initiales modales) ;
9. calculer les réponses dans le système de coordonnées physique
~
{x} + [P]{r}.
Amortissement modal
L’équation générale d’un système amorti en régime forcé est
..
.
[ M ]{x})[ C ]{x})[ K ]{ x } + { F(t) }.
5 - 152
~
En changeant de base {x} + [P]{r} et en multipliant l’équation du mouve~
ment par [P] T on obtient
ǒƪ ƫ
Ǔ ǒ
Ǔ ǒ
Ǔ
P [ M ]ƪPƫ {r}) ƪPƫ [ C ]ƪPƫ {r}) ƪPƫ [ K ]ƪPƫ {r} + ƪPƫ {F}.
~
T
~
..
~
T
~
.
~
T
~
~
T
5 - 153
148
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Les matrices des masses et rigidités modales sont diagonales. Habituellement la matrice ƪPƫ [ C ]ƪPƫ n’est pas diagonale et l’équation précédente n’est
~
T
~
pas découplée. Si la matrice d’amortissement est proportionnelle à [M] et [K]
la matrice d’amortissement modaux est aussi diagonale et l’on parle dans ce
cas d’amortissement proportionnel. L’équation 5 - 153 est découplée et la
solution de la ième équation devient
..
~
.
r i)2 i ir) 2i r i + f i(t).
5 - 154
Amortissement de Rayleigh
M. Rayleight a introduit l’amortissement proportionnel sous la forme
[ C ] + [ M ])[ K ] ,
5 - 155
où et sont des constantes. Ainsi,
ǒƪ ƫ
Ǔ
P [ C ]ƪPƫ + ƪPƫ [M ]ƪPƫ)ƪPƫ [K ]ƪPƫ + [ I ])[ ] ,
~
T
~
~
T
~
~
T
~
5 - 156
L’équation 5 - 154 devient
r i)ǒ) 2i Ǔr) 2i r i + f i(t),
..
~
.
5 - 157
et l’amortissement modal est défini par
2 i i + )2i .
5 - 158
Exemple 5-2
Un camion peut être modélisé à l’aide d’une poutre horizontale de moment
d’inertie I C, de masse m et de longueur L 1(gauche) et L 2(droite). La poutre
est retenue à chaque extrémité par un ressort et un amortisseur simulant la
suspension. Le système possède deux degrés de liberté, le déplacement
vertical et le roulis. Déterminer la réponse du système si le fait d’arrêter brusquement le moteur produit une impulsion angulaire équivalente à l’impulsion
de Dirac.
IC, m
L1
k1
c1
ÇÇÇÇÇ
L2
(t)
x(t)
I C + mr 2g, r 2g + 0.6 m 2, m = 4’200 kg,
c 1 + c 2 + 2Ȁ000 Nsńm,
k 1 + k 2 + 20Ȁ000 Nńm,
k2
c2
ÇÇÇÇÇ
149
Vibrations mécaniques
L 1 + 1 m, L 2 + 1.5 m
Equations du mouvement
.
.
.
.
..
[F x + ma x] - k1(x- L 1) - c 1(x - L 1) - k 2(x)L 2) - c 2(x)L 2) + mx
..
.
.
.
.
..
[M c + I c] k1L 1(x- L 1))c 1L 1(x - L 1) - k 2L 2(x)L 2) - c 2L 2(x)L 2) + I c
I c + mr 2g
ƪ ƫ Ȳ
L2c 2 - L 1c 1 ȳ . ȱ k 1)k 2
k 2L 2 - k 1L 1 ȳ
1 0 .. ȱ c 1)c 2
0
m 0 r 2 {x})ȧ
2
2 ȧ{x})ȧ
2
2 ȧ{x} + (t)
L
c
L
c
L
c
)L
c
k
L
k
L
L
k
)L
k
g
2 2
1 1
2
1
2 2 1 1
1
2
2
ȴ
1
Ȳ
1
2
ȴ
NJ Nj
0
4000 1000
40000 10000
ƫ
ƫ{x} + NJ(t)0 Nj
ƪ4200
ƫ
{x})ƪ
{x})ƪ
1000 6500
10000 65000
0 2520
..
.
[C] + 0.1[K], amortissement proportionnel
Matrice de raideur et matrice de masse
ƪ
40000 10000
[K] + 10000 65000
[M] +
ƫ
0
ƪ4200
ƫ
0 2520
Valeurs propres et vecteurs propres
[] +
0
ƪ8.9625
ƫ
0
26.355 - > + 2.9937 radńs,
1
2 + 5.1337 radńs
[P] +
0.9733 - 0.1401
ƪ -0.2295
ƫ
- 0.9901
Matrice modale
[P] +
0.9733 - 0.1401
ƪ -0.2295
ƫ
- 0.9901
Matrice des masses généralisées
[P] +
0.1415
ƪ - 4.2415
ƫ
1
1
[M ii] + [P] T[M][P] +
0
ƪ78078
ƫ
0
2604
Matrice modale orthonormée
~
[P] +
0.0152 0.0028
ƪ -0.0036
ƫ
0.0196
150
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Contrôles
~
~
~
~
[P] T[K][P] + []
[P] T[M][P] + [I]
Equations modales découplées
~
~
[P] T[C][P] +
0
ƪ0.8962
ƫ
0
2.6355
NJ
~
0.0036(t)
[P] T{F(t)} + 0.0196(t)
..
.
..
.
Nj
r 1)0.8962r 1)8.9625r 1 + 0.0036(t)
r 2)2.6355r 2)26.355r 2 + 0.0196(t)
Solution
2 1 1 + .8962 - >
2 2 2 + 2.6355 - >
1 + 0.1497
2 + 0.2567
+ 1 Ǹ1 - 21 + 2.96 radńs
1
+ 1 Ǹ1 - 21 + 4.9617
1
r 1(t) + 0.0012e - .4482 sin(2.96t)
r 2(t) + 0.004e - 1.3178t sin(4.9617t)
Solution dans le système de coordonnées physiques
~
{x(t)} + [P]{r(t)}
{ x(t) } +
0.0012e
0.0152 0.0028
ƪ -0.0036
ƫ
NJ
0.0196 0.004e
- .4482 sin(2.96t)
- 1.3178t sin(4.9617t)
Nj
x 1(t) + - 0.000025e - .4482t sin(2.96t))0.000016e - 1.3178t sin(4.9617t)
x 2(t) + - 0.000008e - .4482t sin(2.96t))0.00008e - 1.3178t sin(4.9617t)
Exemple 5-3
Un système à un degré de liberté entre en résonance s’il est excité par une
force harmonique dont la pulsation est égale à la pulsation propre du système. Ce phénomène peut être évité en modifiant les caractéristiques de raideur et d’inertie. Une autre approche consiste à convertir le système à un
degré de liberté en un système à deux degrés de liberté en y ajoutant une
151
Vibrations mécaniques
masse et un ressort. Les paramètres de raideur et de masse sont choisis afin
d’éliminer les vibrations de la masse principale.
F 1(t) + F 1 sin(f t)
k1
k2
m1
1
m2
Système de coordonnées
Axe O,x,y
2
Masses isolées
y
Masse 1
y
F1
N
..
k 2(x 2 - x1)
k 1x 1
O
x1
F1
x
O
x
m 1g
y
Masse 2
y
F2
N
..
k 2(x 2 - x1)
x2
O
x
O
m 2g
3
Etude cinématique
Type de mouvement : mouvement rectiligne oscillatoire harmonique
..
ax + x
4 Etude dynamique
S Equations du mouvement
[F x + ma x]
..
m 1x 1)(k 1)k 2)x 1 - k 2x 2 + F 1 sin( ft)
..
m 2x 2)k 2x 2 - k 2x 1 + 0
ƪ
m1 0
0 m2
ƫƪ ƫ ƪ
..
x1
k 1)k 2 - k 2
..
)
x2
- k2 k2
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
F1
+
sin( f t)
x2
0
x
152
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
et sous forme matricielle
..
Mx)Kx + 0
S Solutions
x + X sin(t) )
avec :
ƪƫ
X1
X+ X
2
La dérivée seconde par rapport au temps donne :
..
x + - 2X sin(t) )
et par substitution dans l’équation différentielle initiale :
- 2MX sin(t) ))KX sin(t) ) + 0
équation qui peut être écrite sous la forme :
[K- 2M]X sin(t) ) + 0
Cette équation devant être satisfaite pour tout temps, il s’ensuit que :
[K- 2M]X + 0
Une solution non triviale est obtenue si le déterminant est nul.
Ť K- 2M Ť + 0
En utilisant la forme générale de la matrice de rigidité et de la matrice des
masses, on peut écrire :
[K- 2M] +
ƪ
ƫ ƪ
k 1)k2 - k 2
m1 0
2
- k2 k 2
0 m2
ƫ
ȱk1 ) k2 * 2m 1 * k2 ȳ
+ȧ
* k2
k 2 * 2m 2ȧ
Ȳ
ȴ
m 1m 2 4 - [m 1k 2)m 2(k 1)k 2)] 2)k1k 2 + 0
Ǹ 2
21 + - b) b - 4ac
2a
Ǹ 2
22 + - b - b - 4ac
2a
avec :
a + m 1m 2, b + - [m 1k 2)m 2(k 1)k 2)], c + k 1k 2
153
Vibrations mécaniques
Recherche des valeurs de k 2 et m 2 permettant d’éliminer le déplacement de la masse 1
..
Mx)Kx + F sin( ft)
x + X sin( ft)
avec :
ȱX1ȳ
X +ȧ ȧ
ȲX2ȴ
[K- 2M]X sin( ft) + F sin( ft)
[K- 2M]X + F
ƪ ƫ
ȱk1)k2 - 2m 1 - k2 ȳȱX1ȳ+ F 1
ȧ - k2
ȧ ȧ
k 2 - 2m 2ȧ
Ȳ
ȴȲX2ȴ 0
X1 +
X2 +
(k 2 - m 2 2f )F 1
(k 1)k2 - 2f m 1)(k 2 - 2f m 2) - k 22
k 2F 1
(k 1)k2 - 2f m 1)(k 2 - 2f m 2) - k 22
L’amplitude de la première masse est nulle si le rapport :
k2
2
m 2 + f
Loi du mouvement de la masse 2
X2 + -
F1
k2
x 2(t) + -
F1
sin( ft)
k2
Force exercée par le ressort 2 sur la masse 1
F r + k 2(x2 - x 1) + k 2x 2 + - F 1 sin( ft)
Exemple 5-4
Un moteur est monté sur un bloc qui peut se déplacer horizontalement sur
une table sans frottement. La masse combinée du moteur et du bloc est de
20 kg et celle de la masse m 2 de 4 kg. La raideur k 1 du ressort est telle que
si la masse m 2 n’était pas présente, la fréquence propre du système serait
de 20 Hz et le taux d’amortissement serait égal à 0.0125. L’arbre du moteur
présente un balourd em = 0.008 kgm.
154
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
ft
f
e
m
k1
k2
m1
c2
c1
m2
Calculer pour le système où la deuxième masse est absente :
ft
f
e
m
k1
m1
c1
1. la raideur du ressort k 1 ;
0 +
Ǹmk +u k1 + 20m1 + (2··20)2·20 + 315827 Nńm
2. la valeur du coefficient d’amortissement visqueux linéaire c 1;
c1
c1
1 + cc +
1
2 Ǹk m
1
1
c 1 + 0.0125·2· Ǹ315827·20 + 62.83 Nsńm
3. représenter graphiquement le facteur d’amplification dynamique du
moteur pour une pulsation relative allant de 0 à 2 si la masse m 2 n’est
pas présente ;
155
Vibrations mécaniques
..
.
m 1x 1)c 1x 1)k 1x 1 + me 2f sin( ft)
me 2f
F0
x p(t) +
R sin( ft - ) +
R d sin( ft - )
k1 d
k1
2
x p(t) + me
m r R d sin( ft - )
1
R d r + r 2R d
R dr +
r2
Ǹǒ1 - r2Ǔ2)(2r )2
R dr
R dr 2,0
40
30
20
10
0
0
1
2
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4. calculer l’amplitude maximale du mouvement de la masse en régime permanent pour une fréquence d’excitation de 20 Hz ;
f
r + f + 20 + 1
20
f0
R dr + r 2R d + 1 2·40 + 40
0.008
x pmax + me
m 1 R d r + 20 40 + 0.016 m
x pmax + 0.016 m
156
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Calculer la réponse en régime permanent du système à deux degrés de
liberté pour une raideur k 2 égale à 60000 N/m, un amortissement visqueux
linéaire c 2 égal à 12 Ns/m et une fréquence d’excitation f f = 20 Hz :
5. écrire sous forme matricielle les équations du mouvement du système ;
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
F 1(t)
k1
k2
c1
m1
c2
m2
x
1
Système de coordonnées
Axes O,x,y
2
Corps isolés
y
Masse 1
y
F 1N
k 1x 1
.
c 1x 1
F 1(t)
.
.
c 2(x 2 - x 1)
O
..
k 2(x 2 - x 1)
x1
x
x
O
m 1g
y
Masse 2
y
F 2N
..
k 2(x 2 - x 1)
.
.
c 2(x 2 - x 1)
x2
O
x
O
m 2g
3
Etude cinématique
Types de mouvements : mouvements rectilignes variés
x
157
Vibrations mécaniques
4 Etude dynamique
S Equation du mouvement de la masse 1
[F x + ma x]
.
.
.
..
- k 1x 1 - c 1x 1)k 2(x 2 - x 1))c 2(x 2 - x1))F 1(t) + m 1x 1
..
.
.
m 1x 1)(c 1)c 2)x 1 - c 2x 2)(k 1)k 2)x1 - k 2x 2 + F 1(t)
S Equation du mouvement de la masse 2
[F x + ma x]
.
.
..
- k 2(x 2 - x 1) - c 2(x 2 - x 1) + m 2x 2
..
.
.
m 2x 2 - c 2x 1)c 2x 2 - k 2x 1)k 2x2 + F 2(t)
Il y a deux équations différentielles car le système possède deux degrés de
liberté.
Les deux équations du mouvement peuvent s’écrire sous la forme matricielle
suivante :
ƪ
m1 0
0 m2
ƫƪ ƫ ƪ
..
x1
c 1)c 2 - c 2
..
)
c2
- c2
x2
ƫƪ ƫ ƪ
.
x1
k 1)k 2 - k 2
.
)
x2
- k2
k2
ƫƪ ƫ ƪ ƫ
x1
F 1(t)
x2 +
0
dont la forme simplifiée est :
..
.
Mx ) Cx ) Kx + F
La matrice M correspond à la matrice des masses
ƪ
ƫ ƪ ƫ
m 11 m 12
20 0
M+ m m
+ 0
kg
4
21
22
La matrice C correspond à la matrice d’amortissement
ƪ
ƫ ƪ
ƫ
c 11 c 12
74.83 - 12
C+ c c
+ - 12 12 Ns/m
21 22
La matrice K correspond à la matrice de rigidité
ƪ
ƫ ƪ
ƫ
k 11 k 12
375827 - 60000
K+ k k
+ - 60000 60000 N/m
21 22
ƪ
m1 0
0 m2
ƫNJ Nj ƪ
c 1)c 2 - c2
x.. 1
)
x2
- c 2 c2
..
ƫNJ Nj ƪ
.
k 1)k 2 - k 2
x. 1
)
x2
- k2 k2
ƫNJ Nj NJ
6. déterminer la matrice modale du système ;
[P] +
- 0.5911
ƪ0.3383
ƫ
1
1
7. déterminer la matrice spectrale du système ;
[] +
0
ƪ9925
ƫ
0 23867
x1
F 0 sin( ft)
x2 +
0
Nj
158
Systèmes à plusieurs degrés de liberté
8. déterminer les pulsations propres du système ;
1 + 99.62 radńs
2 + 154.49 radńs
9. déterminer la matrice des masses généralisée ;
~
[M] +
0
ƪ6.2896
ƫ
0
10.9881
10. déterminer la matrice modale orthonormée ;
ƪ
~
0.1349 - 0.1783
[P] + 0.3987 0.3017
ƫ
11. écrire les équations modales du mouvement ;
..
.
r 1)1.9788r 1)9925r 1 + 17.04 sin(125.66t)
..
.
r 2)4.7627r 1)23867r 1 + - 22.53 sin(125.66t)
12. calculer les taux d’amortissement modaux ;
2 1 1 + 1.9788
2 2 2 + 4.7627
1 + 0.01
2 + 0.0154
13. calculer la réponse du système dans le système de coordonnées modal ;
r 1(t) + X 01R d sin(125.66t - 1)
1
F0
+ 17.04 + 0.0017
k1
9925
r 1 + f + 2··20 + 1.2614
99.62
1
1
R +
X 01 +
d1
Ǹǒ1 - 1.26142Ǔ2)(2·1.2614·0.0099)2
r 1(t) + 0.0017·1.6902 sin(125.66t r 1(t) + 0.0029 sin(125.66t r 2(t) + - 0.0028 sin(125.66t -
+ 1.6902
1)
1) avec
2) avec
1 + - 0.042
2 + - 0.0739
14. calculer la réponse en régime permanent du système physique ;
~
x(t) + [P]{r}
x 1(t) + 0.00039 sin(125.66 x 2(t) + 0.0012 sin(125.66 -
1))0.000499 sin(125.66t 1) - 0.00084 sin(125.66t -
2)
2)
15. calculer le rapport d’amplitudes entre le déplacement du moteur sans la
deuxième masse et le déplacement du moteur avec la deuxième masse
pour une fréquence d’excitation de 20 Hz.
x 1(t) + 0.00039 sin(125.66 - 1))0.000499 sin(125.66t - 2)
x 1max + 0.0008875 m
r+
0.016 + 18
0.0008875
6 Suppression des vibrations
Niveau acceptable de vibrations
Avant de concevoir un système, il est nécessaire de définir le niveau acceptable de vibrations en termes de déplacement, de vitesse ou d’accélération
et de définir la méthode de mesure correspondante. Ces choix dépendent
du domaine d’application du système.
En pratique, il est généralement admis que la meilleure indication de dommages potentiels est l’amplitude de la vitesse alors que l’amplitude de l’accélération est la plus perceptible par l’humain.
Le tableau ci-dessous présente quelques valeurs courantes de fréquences
de vibration et de déplacement correspondant.
Hz
mm
Vibration atomique
1012
10 - 7
Limite perception humaine
1-8
10 - 2
10 - 100
10 - 2
1-5
10 - 1000
Machines et bâtiments
Gratte - ciel
La norme ISO 2372 (International Organization Standardization,1974)
donne des informations utiles sur le niveau acceptable des “vibrations méca-
160
Suppression des vibrations
niques des machines ayant une vitesse de fonctionnement comprise entre
10 et 200 tr/s - Base pour l’élaboration des normes d’évaluation”.
Ces règles ont pour but de permettre l’évaluation des vibrations des machines dites “normales”, du point de vue de leur sûreté de fonctionnement, de
la sécurité et des réactions humaines. Elles ne sont pas destinées à l’évaluation des vibrations du point de vue des limites acoustiques.
Le niveau acceptable de vibrations peut-être représenté à l’aide d’un nomogramme tel que celui de la figure ci-après.
Déplacement dû à la gravité
Déplacement (rms)
Fréquence Hz
Figure 6 - 1.
Valeurs limites de vibrations harmoniques pour les structures, les
humains et les machines
Le nomogramme ci-dessus représente les valeurs limites de déplacement,
de vitesse et d’accélération pour un oscillateur élémentaire sans amortissement.
Le nomogramme peut être construit à l’aide des relations
x(t) + A sin(t),
6-1
v(t) + A cos(t),
6-2
a(t) + - 2A sin(t),
6-3
et de la définition de la moyenne quadratique (rms root mean square),
161
Vibrations mécaniques
ȱ
Ȳ
x(rms) +ȧ lim 1
T³R T
1
2
ŕ x (t)dtȳȧ.
T
2
0
6-4
ȴ
Isolement des vibrations
Pour éviter des vibrations non désirées, il faut stopper ou modifier la source
d’excitation. Si cela ne peut être réalisé, il faut insérer un élément “isolant”.
L’élément isolant peut être passif ou actif. Un élément actif correspond à un
élément auquel il faut fournir de l’énergie pour qu’il puisse fonctionner. Un
élément passif peut être réalisé à l’aide d’un matériau possédant un excellent
coefficient d’amortissement visqueux linéaire. Le problème consiste à
réduire le déplacement imposé par l’appui ou la force transmise à l’appui.
Déplacement imposé par l’appui
y(t) + R dY 0 sin( f t - ) b)
Appareil
c
k
Isolant
y a(t) + Y 0 sin( ft)
Figure 6 - 2.
Vibrations imposées par l’appui
Le facteur d’amplification dynamique est
Rd +
Ǹ1)(2r ) 2
y(t) max
+
,
Y0
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
6-5
162
Suppression des vibrations
20
+ 0.025
Rd
15
+ 0.05
10
+ 0.1
5
+ 0.2
1
0
0,0
+ 0.3
0,5
1,0
Ǹ2
amplification
Figure 6 - 3.
1,5
2,0
r
isolation
Facteur d’amplification dynamique
1,2
1,0
Rd
0,8
+1
+ 0, 8
0,6
+ 0, 6
0,4
+ 0, 4
+ 0, 2
0,2
+ 0.05
0,0
1,0
Figure 6 - 4.
Ǹ2
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
Facteur d’amplification dynamique (isolement)
2,6 r
163
Vibrations mécaniques
et le rapport des forces transmises (facteur de transmissibilité)
Ǹ1)(2r ) 2
Ft
+ r2
.
kY 0
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r ) 2
6-6
100,00
+ 0.01
R dt
10,00
+ 0.1
+ 0.2
+1
1,00
0,10
0,01
0,0
Figure 6 - 5.
Ǹ2
0,5
1,0
1,5
2,0
r
Facteur de transmissibilité
Force appliquée sur la masse
F(t) + F 0 sin( f t)
Appareil
c
y(t)
k
Isolant
Base
Figure 6 - 6.
Vibrations imposées à l’appareil
Le facteur de transmissibilité est
Ǹ1)(2r ) 2
F(t)
+
.
F0
Ǹ(1 - r 2) 2)(2r )2
6-7
Ces courbes sont très utiles pour concevoir l’isolateur. Le processus de
conception de ce dernier consiste à choisir les valeurs de et r.
164
Suppression des vibrations
Isolement des chocs
Les méthodes utilisées pour isoler les vibrations peuvent aussi être appliquées pour isoler les chocs. Les équations sont toutefois différentes car il
s’agit de phénomènes transitoires. Pour isoler un système de chocs il faut
choisir de grandes valeurs de taux d’amortissement et cela est en contradiction avec les résultats obtenus dans le chapitre précédent. On peut ainsi dire
qu’un bon isolateur de choc est un mauvais isolateur de vibrations.
Absorptions de vibrations
Une autre méthode pour isoler un système de charges périodiques sur une
gamme de fréquences déterminée consiste à lui ajouter un deuxième oscillateur dont les grandeurs caractéristiques sont choisies de manière à atténuer
le déplacement de la masse principale. Un tel système est présenté dans
l’exemple suivant.
Index
A
Accéléromètre, 82, 86
à cisaillement, 83
à compression, 83
piézoélectrique, 82
Amortissement
critique, 41, 45
faible, 42, 45
fort, 38, 45
Amortissement de Rayleigh, 148
Amortissement modal, 147
Analyse modale, 89, 144
B
Coulomb, 51
D
Dashpot, 3
Découplage des équations, 146
Décrément logarithmique, 93
Dirac, 101
E
Battement, 65
C
Coefficient d’amortissement, 36
Coefficient d’amortissement visqueux critique, 36
Coefficients, série de Fourier, 108
Coordonnées généralisées, 16
Elément piézoélectrique, 82
Energie cinétique, forme quadratique, 17
Equation, forme matricielle, 128
Equation différentielle, 4
linéarisation, 9
Equilibre des puissances, 15
Méthode, 15
166
Index
F
Facteur
d’amplification dynamique, 59
de transmissibilité, 68
Fourier, séries, 107
Frottement de Coulomb, 51, 96
G
Gibbs, phénomène, 110
I
Impulsion, de Dirac, 101
Instruments de mesure, 78
Intégrale de Duhamel, 121
M
Masse sismique, 87
Matrice modale, 145
Matrice spectrale, 145
Mesure
déplacement, 80
facteur d’amortissement, 93
Méthode, largeur de bande, 95
Modèle d’éléments finis, 89
Modes orthonormés, 146
O
Oscillateur élémentaire, 4, 126
régime forcé permanent harmonique,
58
régime libre conservatif, 47
régime libre dissipatif, 35
P
Piézoélectrique
effet, 82
élément, 82
Pseudo pulsation, 37
Pulsation propre, 36
R
Régime
forcé quelconque, 120
forcé harmonique, 138
frottement de Coulomb, 96
libre conservatif, frottement de Coulomb, 51
libre dissipatif, 133
permanent harmonique, 58
Régime forcé périodique, 107
Réponse en fréquence, 94
Réponse impulsionnelle, 101, 102
Résonance, 64
Rotor non équilibré, 70
S
Série de Taylor, 18
Séries de Fourier, 107
Sommes quadratiques, 17
Spectre de fréquence, 112
Système équivalent
Energie cinétique, 11
Travail, 12
T
Taux d’amortissement, 36
Time history modal superposition, 142
V
Vibrations
isolement, 161
niveau acceptable, 159
Vibrations forcées
amortissement critique, 61
amortissement faible, 62
amortissement fort, 61
engendrées par l’appui, 73
forces transmises à l’appui, 67
mouvement relatif, 76
Vitesse généralisée, 17
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